Агрегированное прогнозирование численности населения с использованием техники демографического потенциала

АГРЕГИРОВАННОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ НАСЕЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕХНИКИ ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА

Эдиев Д.М. (dalkhat@hotmail.com) Карачаево-Черкесский Государственный технологический институт

Введение

Метод агрегированного экономико-демографического моделирования, основанный на концепции демографического потенциала, был ранее предложен и протестирован автором (Ediev 2000). Метод был протестирован на шведских данных и показал высокую эффективность при моделировании различных индексов населения, включая численность населения и различных возрастно-половых групп.

В настоящей статье глубже исследуются достоинства метода при прогнозировании численности населения. В дополнение к шведским данным, при тестировании используются так же длительные ряды данных по трем другим странам (США, Франция, Япония) и известные прогнозы численности населения РФ. Большое внимание уделено влиянию длины горизонта прогнозирования на точность прогноза.

Сравнительный анализ различных альтернатив показал высокую эффективность предлагаемого метода и позволил получить практические рекомендации по прогнозированию численности населения при различных горизонтах.

Прогнозирование численности населения с использованием техники демографического потенциала

Идея потенциала, присущего текущей структуре населения, возникла в демографии достаточно давно и восходит к работам Р. А. Фишера по репродуктивному потенциалу (Fisher 1930), П. Винсента и Ж. Буржуа-Пиша по потенциалу прироста возрастной структуры (Vincent 1945, Bourgeois-Pichat 1968, 1971, Андреев, Пирожков 1975), Л. Гудмана по условному репродуктивному потенциалу (Goodman 1968), Н. Кейфица по эквивалентному стабильному населению и потенциалу прироста

(Keyfitz 1968, 1969, 1971, 1985, Keyfitz, Flieger 1968, 1990) с его многочисленными обобщениями (Frauenthal 1975, Mitra 1976, 1987, Cerone 1996; Tuljapurkar, Li 199?, Potter, Wolowyna, Kulkarni 1977, Schoen, Kim 1991), К. Тогнетти по репродуктивной брутто-ценности (Tognetti 1976) и работам Л. Херша и его последователей в рамках потенциальной демографии (Hersch 1944).

Концепция демографического потенциала (Эдиев 1999) тесно примыкает к приведенным выше понятиям и возникает из различных потребностей моделирования населения. Он может быть получен как индекс, пропорциональный асимптотической численности потомства населения или его подгруппы. Старый человек имеет небольшой демографический потенциал, т.к. все его дети уже родились, и с ним не может быть ассоциировано никакое будущее потомство. Приложение этого подхода к однополой модели стабильного населения приводит к репродуктивному потенциалу Р.А. Фишера (Fisher 1930). Фишер рассматривал рождение как заем, данный ребенку, и его репродуктивный потенциал как текущую дисконтированную стоимость будущих платежей долга (то есть его детей). Кейфитц исследовал это понятие и показал, что воспроизводственный потенциал пропорционален асимптотической численности потомства (Keyfitz 1985). Понятие демографического потенциала может быть развито и для более сложных демографических моделей, отражающих миграцию, очередность рождения детей, и т.п.

Другой подход к демографическому потенциалу имеет отношение к его свойствам как агрегированного индекса населения. Наиболее важное для агрегированного моделирования населения свойство заключается в том, что темп изменения суммарного демографического потенциала равен асимптотическому темпу роста численности населения (т.н. истинному коэффициенту воспроизводства населения, коэффициенту Лотки). В рамках модели асимптотически стабильного населения этого свойства достаточно для того, чтобы определить понятие демографического потенциала (Эдиев 1999). Наиболее простая реализация концепции демографического потенциала - в рамках однополой модели населения с постоянными повозрастными показателями рождаемости и смертности. В этом случае демографический потенциал человека возраста x дается формулой (Эдиев 1999):

„ ~

с

где г - коэффициент Лотки, I(х), /(х) - функции дожития (вероятность того, что младенец доживет до возраста х) и рождаемости (интенсивность рождения детей в возрасте х). В дальнейшем будем использовать переменные х и у для обозначения возраста, t - как переменную времени. Так же, как и в предшествующей работе (Ediev 2000), будем использовать демографические потенциалы, вычисленные на основе показателей рождаемости и смертности США за 1991 год (табл. 1).

Таблица 1. Демографические потенциалы для США, 1991.

Возраст Мужчины Женщины Возраст Мужчины Женщины

0 1.00 1.00 28 0.55 0.39

1 1.00 1.00 29 0.49 0.33

2 1.01 1.01 30 0.43 0.28

3 1.01 1.01 31 0.38 0.23

4 1.01 1.01 32 0.33 0.19

5 1.01 1.01 33 0.28 0.15

6 1.01 1.01 34 0.24 0.12

7 1.01 1.01 35 0.20 0.09

8 1.01 1.01 36 0.16 0.07

9 1.01 1.01 37 0.14 0.05

10 1.01 1.01 38 0.11 0.04

11 1.01 1.01 39 0.09 0.02

12 1.01 1.01 40 0.07 0.02

13 1.01 1.01 41 0.06 0.01

14 1.01 1.01 42 0.05 0.01

15 1.01 1.00 43 0.04 0.00

16 1.01 0.99 44 0.03 0.00

17 1.00 0.96 45 0.02 0.00

18 0.99 0.93 46 0.02 0.00

19 0.97 0.89 47 0.01 0.00

20 0.94 0.84 48 0.01 0.00

21 0.91 0.80 49 0.01 0.00

22 0.87 0.74 50 0.01 0.00

23 0.82 0.68 51 0.01 0.00

24 0.77 0.62 52 0.00 0.00

25 0.72 0.56 53 0.00 0.00

26 0.66 0.50 54 0.00 0.00

27 0.60 0.44 55 0.00 0.00

При известных потенциалах представителей различных возрастно-половых групп, демографический потенциал всего населения может быть получен как:

С

0

где С(1) - общий демографический потенциал, а п(х; I) - плотность численности населения в возрасте х в момент времени

Хотя потенциалы (1)-(2) получены для однополого населения, можно распространить их и на случай двуполой модели. Следующая формула используется для получения демографического потенциала двуполого населения:

сыа1

где С Шоп (() - суммарный демографический потенциал соответствующего населения в момент времени у - соотношение численности полов при рождении (мальчиков на одну девочку). Прямого обобщения понятия истинного коэффициента воспроизводства населения для двуполой модели не существует. Однако, принимая во внимание свойство демографического потенциала однополого населения, темп изменения агрегированного демографического потенциала (3) может быть принят за истинный коэффициент воспроизводства двуполого населения. Поэтому, имея (прогнозные или модельные) величины истинного коэффициента воспроизводства, суммарный демографический потенциал можно прогнозировать без детального возрастно-полового анализа:

С (() = С ((0 )• ехр

\

} г (т)Ст

^0

где С(1) - общий демографический потенциал, т(1) - истинный коэффициент воспроизводства в момент времени . При постоянной величине истинного коэффициента воспроизводства, демографический потенциал является экспоненциальной функцией переменной времени 1 Используя уравнение (4) - вместо (2) - мы свободны от необходимости моделирования возрастно-половой структуры. Это соотношение - основа для агрегированного прогнозирования населения. Численность населения не может быть адекватно моделирована так же просто, как и демографический потенциал. Изменения возрастной структуры и инерция

демографических процессов делают подобную модель упрощенческой. Однако, то, что, несмотря на свою агрегированную природу, модель (4) адекватно отражает изменения в возрастно-половой структуре населения, открывает путь агрегированному моделированию численности населения.

Хотя численность населения с переменной возрастно-половой структурой не может быть описана просто, и для нее нельзя предложить общего уравнения динамики, некоторые рассуждения можно провести относительно соотношения численности и демографического потенциала (то есть среднего демографического потенциала):

^--Wr <5)

здесь N(t) - численность населения в момент времени (.

Этот отношение постоянно для населения со стабильной возрастно-половой структурой. Для нестабильного населения известно, что его возрастно-половая структура сходится к асимптотической стабильной структуре (Arthur 1982; Schoen, Kim 1991). Мы можем, следовательно, ожидать, что коэффициент (5), отражающий текущую возрастно-половую структуру населения, тоже сходится к своей асимптотической величине. Обозначим предельную величину коэффициента (5) как c * ((). Подобно возрастно-половой структуре стабильного населения, эта величина зависит от функции дожития и коэффициента Лотки:

(1+л

*

c

(()-

fl'females

flf , (x)-((rdx + r\l , (x)-(()xdx

emales males

0

Простейшая модель, учитывающая то, что коэффициент (5) стремится к пределу (6), такова:

^ = а

т

Дискретный аналог (7) очевиден:

с

параметры этого соотношения могут быть оценены с помощью обычных процедур

линейной регрессии. На рис. 1 представлена динамика с(( +1)- с(() и с(()- с * (() для женского населения США.

В целом зависимость, отраженная на рис. 1, согласуется с моделью (8), но характер этой зависимости более соответствует системе с гистерезисом, т.е. ситуации, когда изменение среднего демографического потенциала происходит с инерцией. С учетом этого, модель (7) можно скорректировать:

Качество модели (10) можно проиллюстрировать на тех же данных по США (рис. 2).

Коррекция дискретной модели (8) очевидна:

0.000

о.соо

0.050

0.100

0.150

-0.001 -

1968

-0.005 -

-0.002 -

-0.003 -

-0.004 -

с

-0.006 1

Рис. 1. Изменение и расстояние до асимптотической величины для среднего демографического потенциала женского населения США.

Рис. 2. Изменение и расстояние до асимптотической величины для среднего демографического потенциала женского населения США - фактически и по модели (10).

Модели (7)-(8) и (9)-(10) вместе с моделью (4) для демографического потенциала могут быть использованы для моделирования численности населения. Из уравнения (5) имеем:

N

с

Это соотношение завершает модель численности населения. Все соотношения (6)-(11), необходимые для моделирования численности, записаны на агрегированном уровне, кроме выражения (6) для предельной величины среднего демографического потенциала. Для получения полностью агрегированных моделей, соотношение (6) то же может быть заменено агрегированным приближением. Возрастно-половая структура стабильного населения, входящая в (6), зависит от двух характеристик населения - истинного коэффициента воспроизводства г (() и функции дожития I (х; ¿). Для получения агрегированной модели следует заменить зависящую от пола и возраста

1 и и и тт и

функцию дожития некоторой агрегированной мерой дожития. Для этой цели можно использовать ожидаемую продолжительность жизни при рождении:

c*

Соотношение (12) завершает построение агрегированных моделей динамики численности населения:

непрерывная модель: (t

C (t ) = C (t 0 )exp J r (т)т

dc

= a^(c(t)-

c (t

dt

c* (t) = c • r(t)+ d • e0 (t)+ const,

C

N

дискретная форма:

C(() = C(t0 )exp Jr(т)т

v /

c(t +1) - c(t) = a • (c(t)- c * (()), c* (() = c • r(()+ d • e0 (()+ const,

n (()=CD

c

0

Или, используя более точное соотношение (9), отражающее инерцию возрастной структуры населения:

нпрерывная модель : (t

C(t) = C(t0 )exp Jr(т)т

= £•

dt2

dt

c* (t) = c • r(t)+ d • e0 (t)+ const,

N

CO c

дискретная форма : (t

C(t) = C(t0 )exp Jr(т)т

1/0

c(t + 1)- c(t ) =

= a(c(t)- c * (t))+ b(c(t)- c(t -1) c* (t) = c • r(t)+ d • e0 (t)+ const,

C

N

*)

Для того чтобы приложить построенные модели к конкретному населению, должны быть заданы следующие параметры: истинный коэффициент воспроизводства г((); ожидаемая продолжительность жизни при рождении е0 ((); величина демографического потенциала в любой момент времени С ((); исходное значение среднего демографического потенциала с(() - для модели (I) - или значение и производная среднего потенциала в начальный момент времени - для (II). Все эти параметры, за исключением первых двух, должны быть оценены на основе возрастно-половой структуры моделируемого населения. Истинный коэффициент воспроизводства и

ожидаемая продолжительность жизни при рождении должны быть оценены отдельно (например, как функции некоторых экономических переменных). Для открытого населения дополнительные предположения должны быть сделаны относительно миграции.

Результаты тестирования агрегированных моделей

Работоспособность моделей, предложенных выше, была исследована на рядах данных, включающих возрастно-половые структуры населения и таблицы дожития для населения США, Франции, Швеции и Японии (База данных по смертности Беркли; University of California 1998). Кроме того, модели были опробованы на российских данных, с привлечением прогнозов численности населения России до 2020 года (Центр демографии и экологии человека 2000). В целях установления того, насколько агрегированные модели (I), (II) адекватны изменениям возрастно-половой структуры населения, истинный коэффициент воспроизводства населения, ожидаемая продолжительность жизни при рождении и миграция были приняты равными фактическим величинам.

Качество модели (II) было заметно еще на этапе оценки параметров. Оценка параметров для уравнений (10) и (12) - с помощью МНК - была очень успешной (a=-0.0126, b=0.683, c=8.86, d=-0.00325, const=0.619) - почти все коэффициенты детерминации были близки к 0.9 (как для двуполой, так и однополых моделей). Что касается модели (I), в которой (10) заменяется на (8), оценка параметра в этом уравнении (a=-0.35) не была столь успешной, коэффициент детерминации был близок к 0.9 только для некоторых из проанализированных населений.

Используя оцененные значения параметров моделей, а так же исходные данные по структуре населения, были построены прогнозы численности населения указанных выше стран и полученные прогнозы были сравнены с реальной динамикой численности населения. Результат подобного прогнозирования численности населения с использованием обоих моделей, а так же исходные данные по численности показаны на рис. 3-6.

70 ООО ООО п

60 000 000 -

50 000 000 -

40 000 000

30 000 000 -

20 000 000 -

10 000 000 -

I actual -lproj

~I-1-Г~

1895 1900 1905 1910 1915 1920 1925 1930 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Рис. 3. Численность населения Франции: фактически и по моделям (I), (II).

140 000 000 -л

120 000 000 -

100 оооооо -

80 000 000 -

60 000 000 -

40 000 000

20 000 000 -

I actual -I proj

—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Рис. 4. Численность населения Японии: фактически и по моделям (I), (II).

Рис. 5. Численность населения Швеции: фактически и по моделям (I), (II).

300 000 000 1

250 000 000 -

200 000 000 -

150 000 000 -

100 000 000 -

50 000 000 -

I айиа! -1ргсу

0 -I—I—I-

-I-1-1—I-1-1—I-1—I-1-1—I-1-

-I-1—I—I-1—I-

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

Рис. 6. Численность населения США: фактически и по моделям (I), (II).

2000

Следует заметить, что прогнозы с использованием предлагаемых агрегированных моделей были основаны на информации о структуре и численности

населения лишь на начальный момент времени, и не корректировались по мере получения прогноза, т.е. ошибки прогнозирования аккумулировались на протяжении многих десятилетий. Обе модели показывают хорошее согласие с эмпирическими данными, хотя модель (II) несколько более адекватна реальным данным.

В целях проведения сравнительного анализа, наряду с предлагаемыми моделями, было опробовано несколько альтернативных «наивных» методов прогнозирования численности населения с различными горизонтами прогнозирования.

Первый альтернативный метод - линейная экстраполяция тренда численности населения. Использовалось несколько горизонтов прогнозирования - от 1 до 10 лет. Поскольку учета миграции в этом случае не проводилось, ошибки были преувеличены, особенно для стран с заметной миграцией и изменениями границ (например, Франция).

Длительность периода, использованного для экстраполяции, равна длине горизонта прогнозирования плюс один год (это же верно и для всех остальных методов, описываемых далее).

Второй метод прогнозирования отличается от (I) и (II) особенностью моделирования динамики коэффициента (5) - линейная экстраполяция использована вместо моделей (8) и (10). Как и в предыдущем методе, использовались разные горизонты прогнозирования.

Третий метод прогнозирования игнорирует процессы изменения возрастно-половой структуры населения. В этом методе темп изменения численности населения принят равным истинному коэффициенту воспроизводства.

Последний альтернативный метод прогнозирования численности в некотором смысле противоположен предыдущему. В этом методе считается, что изменения возрастно-половой структуры населения происходят мгновенно, немедленно отражая изменившиеся показатели воспроизводства. Другими словами, средний демографический потенциал в любой момент времени считается равным своей асимптотической величине (6) (эта величина без особой потери в точности может быть заменена агрегированной аппроксимацией (12)).

Использование моделей (I), (II) для получения долгосрочных прогнозов (см. рис. 3-6) ведет к накапливанию ошибок. Для более полного изучения работоспособности моделей, были рассмотрены фиксированные краткосрочные горизонты прогнозирования (1-10 лет), - так же как и для альтернативных моделей. При этом для

каждого момента времени строился свой прогноз с исходными данными, взятыми на период, предшествовавший моменту прогнозирования на необходимое число лет. Например, для того, чтобы получить прогноз на 2000 год с горизонтом 10, использовались реальные данные о возрастно-половой структуре и численности населения до 1 990 года.

Таблица 2 суммирует результаты по расчету коэффициентов детерминации в ходе испытания моделей на данных по населению четырех стран, упомянутых ранее (здесь и далее данные по Франции скорректированы с тем, чтобы уменьшить влияние изменений границ на точность методов экстраполяции). Среди представленных моделей наиболее точна «инерциальная» модель (II), хотя модель (I) также достаточно хороша.

Таблица 2. Коэффициенты детерминации между фактическими и спроецированными численностями населения - для различных моделей.

Горизонт прогнозирования, лет Население

ФРАНЦИЯ ЯПОНИЯ ШВЕЦИЯ США

Модель (I):

1 1,000 1,000 1,000 1,000

2 1,000 1,000 1,000 1,000

3 0,999 1,000 1,000 0,999

4 0,999 0,999 0,999 0,999

5 0,998 0,999 0,999 0,998

6 0,998 0,999 0,999 0,997

7 0,997 0,999 0,999 0,996

8 0,997 0,998 0,998 0,995

9 0,997 0,998 0,998 0,994

10 0,996 0,998 0,998 0,993

Непрерывно 0,995 0,993 0,992 0,991

Модель (II):

1 1,000 1,000 1,000 1,000

2 1,000 1,000 1,000 1,000

3 0,999 0,999 1,000 1,000

4 0,999 0,999 0,999 1,000

5 0,999 0,999 0,999 1,000

6 0,998 0,998 0,999 1,000

7 0,998 0,997 0,999 1,000

8 0,998 0,997 0,998 1,000

9 0,997 0,996 0,998 1,000

10 0,997 0,996 0,998 1,000

Горизонт прогнозирования, лет Население

ФРАНЦИЯ ЯПОНИЯ ШВЕЦИЯ США

Непрерывно 0,997 0,996 0,997 0,999

Население без изменений в возрастно-половой структуре

1 0,999 1,000 1,000 0,999

2 0,997 0,999 0,999 0,997

3 0,993 0,998 0,998 0,993

4 0,987 0,997 0,997 0,987

5 0,980 0,995 0,995 0,979

6 0,973 0,992 0,993 0,969

7 0,964 0,988 0,990 0,958

8 0,954 0,984 0,988 0,946

9 0,943 0,979 0,985 0,932

10 0,932 0,973 0,981 0,917

Непрерывно 0,844 0,268 0,693 0,751

Население с мгновенным изменением возрастно-половой структуры

- 0,705 0,837 0,806 0,465

Линейная экстраполяция численности населения

1 1,000 1,000 1,000 1,000

2 0,998 0,999 1,000 0,999

3 0,994 0,998 0,999 0,999

4 0,988 0,995 0,999 0,998

5 0,981 0,992 0,997 0,997

6 0,973 0,987 0,996 0,997

7 0,963 0,981 0,994 0,997

8 0,951 0,974 0,992 0,998

9 0,938 0,966 0,990 0,998

10 0,923 0,956 0,988 0,999

Линейная экстраполяция среднего демографического потенциала

1 1,000 1,000 1,000 1,000

2 0,999 1,000 1,000 1,000

3 0,995 0,999 0,999 0,998

4 0,990 0,998 0,998 0,994

5 0,981 0,997 0,996 0,989

6 0,971 0,995 0,993 0,983

7 0,959 0,994 0,989 0,977

8 0,943 0,992 0,984 0,971

9 0,926 0,991 0,977 0,967

10 0,907 0,991 0,970 0,966

Хотя коэффициент детерминации обладает прозрачным статистическим смыслом и отражает тесноту корреляции между прогнозами и реальными значениями численности населения, тем не менее, для целей прогнозирования численности населения полезно получить оценки ошибок прогнозирования. Это особенно важно,

ввиду наличия у всех рассмотренных примеров четкого восходящего тренда численности населения. В таблице 3 приведены результаты расчетов средних относительных ошибок различных прогнозов.

Таблица 3. Средние относительные ошибки прогнозов численности населения - для различных моделей

Горизонт прогнозирования, лет Население

ФРАНЦИЯ ЯПОНИЯ ШВЕЦИЯ США

Модель (I):

1 0,1% 0,3% 0,2% 0,3%

2 0,3% 0,5% 0,3% 0,4%

3 0,4% 0,8% 0,4% 0,6%

4 0,5% 1,0% 0,6% 0,7%

5 0,6% 1,2% 0,7% 0,9%

6 0,6% 1,4% 0,8% 1,0%

7 0,7% 1,6% 0,9% 1,1%

8 0,8% 1,8% 1,0% 1,2%

9 0,8% 1,9% 1,1% 1,3%

10 0,8% 2,1% 1,2% 1,3%

Непрерывно 1,6% 3,5% 2,6% 1,3%

Модель (II):

1 0,1% 0,1% 0,1% 0,1%

2 0,2% 0,2% 0,2% 0,1%

3 0,3% 0,3% 0,3% 0,1%

4 0,4% 0,4% 0,4% 0,1%

5 0,5% 0,5% 0,5% 0,2%

6 0,6% 0,6% 0,6% 0,2%

7 0,6% 0,7% 0,7% 0,2%

8 0,7% 0,8% 0,8% 0,2%

9 0,7% 0,8% 0,8% 0,2%

10 0,7% 0,9% 0,9% 0,2%

Непрерывно 1,2% 2,4% 1,8% 0,4%

Население без изменений в возрастно-половой структуре

1 0,4% 1,1% 0,4% 0,7%

2 0,8% 2,2% 0,8% 1,4%

3 1,2% 3,2% 1,1% 2,1%

4 1,6% 4,1% 1,5% 2,8%

5 2,0% 5,1% 1,8% 3,4%

6 2,3% 5,9% 2,1% 4,0%

7 2,6% 6,8% 2,5% 4,6%

8 2,9% 7,6% 2,8% 5,1%

9 3,2% 8,4% 3,1% 5,6%

10 3,5% 9,1% 3,4% 6,1%

Горизонт прогнозирования, лет Население

ФРАНЦИЯ ЯПОНИЯ ШВЕЦИЯ США

Непрерывно 10,8% 19,9% 11,7% 10,1%

Население с мгновенным изменением возрастно-половой структуры

- 14,2% 35,2% 12,3% 27,0%

Линейная экстраполяция численности населения

1 0,2% 0,1% 0,1% 0,1%

2 0,5% 0,3% 0,3% 0,2%

3 0,8% 0,5% 0,4% 0,2%

4 1,2% 0,8% 0,6% 0,3%

5 1,5% 1,0% 0,8% 0,3%

6 1,8% 1,3% 1,0% 0,3%

7 2,2% 1,6% 1,3% 0,3%

8 2,6% 1,8% 1,4% 0,3%

9 3,0% 2,0% 1,6% 0,3%

10 3,3% 2,2% 1,7% 0,2%

Линейная экстраполяция среднего демографического потенциала

1 0,1% 0,1% 0,1% 0,1%

2 0,3% 0,2% 0,2% 0,2%

3 0,6% 0,3% 0,4% 0,4%

4 1,0% 0,4% 0,7% 0,6%

5 1,4% 0,5% 0,9% 0,8%

6 1,8% 0,6% 1,2% 1,0%

7 2,2% 0,7% 1,6% 1,1%

8 2,7% 0,7% 1,9% 1,2%

9 3,0% 0,7% 2,3% 1,2%

10 3,3% 0,8% 2,7% 1,2%

На рис. 7 приведена зависимость средней относительной ошибки прогноза от длины горизонта прогнозирования. Видно, что в среднем по приведенным странам (это в общей сложности около 300 лет прогноза) относительная ошибка для модели (II) составила менее одного процента при горизонтах менее 10 лет. Даже при непрерывном прогнозировании с накоплением ошибок, средняя относительная ошибка этой модели составила лишь немногим более полутора процентов.

Более простая модель (I) приводит к росту ошибок на 0,5% при длительных горизонтах прогнозирования. Модели линейной экстраполяции уже при горизонте 10 лет дают ошибку на 1% выше, чем у модели (I) (т.е. в два раза выше, чем у инерциальной модели (II)). По понятным соображениям, эти модели при более длительных горизонтах прогнозирования дают ошибки гораздо больше, непрерывный прогноз с их помощью получить не удается.

Из двух моделей экстраполяции лучше оказалась более простая, - в которой сразу прогнозируется численность населения, без промежуточной экстраполяции среднего демографического потенциала. Этот довольно удивительный результат -свидетельство того, что необоснованное усложнение может привести к росту ошибок модели.

Наибольшие ошибки среди моделей, представленных на рис. 7, дает модель без учета изменений возрастно-половой структуры (около 5% при горизонте 10 лет, и около 12% при непрерывном прогнозировании). Еще большие ошибки (18%) давала в среднем модель с мгновенными изменениями возрастно-половой структуры.

horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon contin. legnth 1 legnth 2 legnth 3 legnth 4 legnth 5 legnth 6 legnth 7 legnth 8 legnth 9 legnth 10 projecting

Рис. 7. Средние относительные ошибки прогноза численности населения (усредненные по всем четырем странам) в зависимости от горизонта прогнозирования и использованной модели (на рисунке указаны: модель (II), модель (I), линейная экстраполяция, линейная экстраполяция среднего потенциала, модель без изменений возрастно-половой структуры населения).

Резюмируя результаты по расчету средних относительных ошибок, можно сказать, что предложенные в работе модели работают в среднем достаточно хорошо. Инерциальная модель (II) лучше всех остальных при всех горизонтах прогноза, в то время как модель (I) уступает простому методу линейной экстраполяции при

краткосрочных (до 2-3 лет) прогнозах, но заметно лучше при долгосрочном прогнозировании.

Этот вывод не меняется, если исключить из рассмотрения Францию, для которой изменения в границах ухудшили показатели методов экстраполяции (проведенные корректировки данных улучшили ситуацию, но не до конца). При анализе данных только по Японии, Швеции и США (около 200 лет прогноза) слегка, где-то на 0,5% при горизонте 10 лет, улучшаются показатели методов экстраполяции, и ухудшаются показатели модели (I) - на 0,2% - и модели без изменений возрастно-половой структуры - на 0,5% при горизонте 10 лет. В результате, модель (I) оказывается предпочтительней модели линейной экстраполяции численности при горизонтах свыше 5-6 лет (рис 8).

horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon contin. legnth 1 legnth 2 legnth 3 legnth 4 legnth 5 legnth 6 legnth 7 legnth 8 legnth 9 legnth 10 projecting

Рис. 8. Средние относительные ошибки прогноза численности населения (усредненные по трем странам - Японии, Швеции и США) в зависимости от горизонта прогнозирования и использованной модели (на рисунке указаны: модель (II), модель (I), линейная экстраполяция, линейная экстраполяция среднего потенциала, модель без изменений возрастно-половой структуры населения).

Наряду со средними ошибками прогноза большой интерес представляют максимально возможные относительные ошибки прогноза. Таблица 4 и рисунки 9, 10,

на которых отражены результаты расчета максимальных ошибок по использованным данным, дают некоторое представление об этом.

Максимальная ошибка инерциальной модели (II) даже при непрерывном прогнозировании составила менее 6%, а при горизонте 10 лет - менее 4%. Линейная модель (I), приводила к большим ошибкам (до 8,5% при непрерывном прогнозе и 4,2% - при горизонте 10 лет), но оказалась заметно лучше методов линейной экстраполяции. Тем не менее, при коротких горизонтах прогноза (1-3 года) модель (I) уступает в точности методам линейной экстраполяции.

Таблица 4. Максимальные относительные ошибки прогнозов численности населения - для различных моделей

Горизонт прогнозирования, лет Население

ФРАНЦИЯ ЯПОНИЯ ШВЕЦИЯ США

Модель (I):

1 0,5% 0,5% 0,6% 2,3%

2 0,9% 0,9% 1,2% 2,5%

3 1,3% 1,4% 1,8% 2,7%

4 1,6% 1,8% 2,3% 2,9%

5 1,8% 2,2% 2,7% 3,1%

6 2,0% 2,5% 3,0% 3,3%

7 2,1% 2,9% 3,3% 3,5%

8 2,2% 3,2% 3,6% 3,7%

9 2,3% 3,5% 3,9% 4,0%

10 2,4% 3,8% 4,1% 4,2%

Непрерывно 3,4% 8,5% 5,8% 4,9%

Модель (II):

1 0,4% 0,3% 0,5% 0,7%

2 0,7% 0,6% 1,0% 0,8%

3 1,1% 0,9% 1,5% 0,8%

4 1,3% 1,1% 2,0% 0,9%

5 1,6% 1,3% 2,4% 1,0%

6 1,8% 1,5% 2,7% 1,0%

7 1,9% 1,7% 3,1% 1,1%

8 2,1% 1,8% 3,3% 1,1%

9 2,2% 1,9% 3,5% 1,2%

10 2,3% 2,0% 3,7% 1,2%

Непрерывно 2,8% 5,7% 4,8% 1,9%

Население без изменений в возрастно-половой структуре

1 1,4% 1,6% 1,3% 1,1%

2 2,6% 3,1% 2,5% 2,1%

Горизонт прогнозирования, лет Население

ФРАНЦИЯ ЯПОНИЯ ШВЕЦИЯ США

3 3,7% 4,5% 3,7% 3,1%

4 4,7% 5,9% 4,8% 4,2%

5 5,4% 7,3% 5,9% 5,1%

6 5,9% 8,6% 6,9% 6,1%

7 6,6% 9,9% 7,9% 7,0%

8 7,5% 11,1% 8,9% 7,9%

9 8,3% 12,3% 9,8% 8,7%

10 9,0% 13,4% 10,7% 9,6%

Непрерывно 24,0% 41,0% 32,9% 20,5%

Население с мгновенным изменением возрастно-половой структуры

- 72,6% 62,3% 52,8% 37,1%

Линейная экстраполяция численности населения

1 1,4% 0,6% 0,7% 0,2%

2 3,0% 0,9% 1,4% 0,6%

3 4,2% 1,4% 2,4% 0,6%

4 6,6% 2,1% 2,7% 0,8%

5 8,0% 2,8% 3,1% 1,0%

6 9,2% 3,5% 3,9% 1,2%

7 10,0% 4,1% 4,7% 1,3%

8 10,6% 4,8% 5,3% 1,4%

9 11,2% 5,6% 6,0% 1,6%

10 12,2% 6,6% 6,3% 1,7%

Линейная экстраполяция среднего демографического потенциала

1 1,8% 0,6% 0,5% 0,2%

2 3,6% 0,6% 1,3% 0,8%

3 5,4% 1,3% 2,2% 1,5%

4 7,2% 2,0% 2,9% 2,4%

5 9,7% 2,6% 4,2% 3,3%

6 10,9% 3,1% 5,5% 4,1%

7 11,4% 3,5% 6,9% 4,6%

8 11,7% 3,6% 8,3% 5,0%

9 12,0% 3,8% 9,9% 5,2%

10 11,9% 3,7% 11,3% 5,2%

Выводы относительно работоспособности различных моделей, сделанные выше, удобно проиллюстрировать графически. На рис. 11, 12 показаны результаты прогнозирования численности населения Швеции с использованием различных моделей - для горизонта 10 лет и для случая непрерывного прогнозирования с накапливанием ошибок.

Помимо данных по населению США, Франции, Швеции и Японии, работоспособность модели (II) была продемонстрирована на российских данных. К

сожалению, в распоряжении автора нет длительных рядов подробных и достоверных данных по возрастно-половой структуре и смертности в РФ. Это помешало реализовать то же подход, что и выше. Вместо этого с помощью модели (II) были получены прогнозы численности российского населения, которые сравнивались с аналогичными прогнозами, полученными при помощи весьма продвинутой многорегиональной модели передвижки возрастов (Центр демографии и экологии человека 2000). При получении прогнозов с помощью модели (II) использовались те же предположения, что и в прогнозах Центра демографии и экологии человека.

Результаты прогнозирования отображены на рис. 13. На рис. 14 приведены относительные отклонения прогноза по модели (II) от прогноза Центра ДЭЧ в зависимости от длины горизонта прогнозирования. Представленные результаты вполне согласуются с полученными выше результатами.

horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon contin. legnth 1 legnth 2 legnth 3 legnth 4 legnth 5 legnth 6 legnth 7 legnth 8 legnth 9 legnth 10 projecting

Рис. 9. Максимальные (по всем четырем странам) относительные ошибки прогноза численности населения в зависимости от горизонта прогнозирования и использованной модели (на рисунке указаны: модель (II), модель (I), линейная экстраполяция, линейная экстраполяция среднего потенциала, модель без изменений возрастно-половой структуры населения).

horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon horizon contin. legnth 1 legnth 2 legnth 3 legnth 4 legnth 5 legnth 6 legnth 7 legnth 8 legnth 9 legnth 10 projecting

Рис. 10. Максимальные (по трем странам - Японии, Швеции и США) относительные ошибки прогноза численности населения в зависимости от горизонта прогнозирования и использованной модели (на рисунке указаны: модель (II), модель (I), линейная экстраполяция, линейная экстраполяция среднего потенциала, модель без изменений возрастно-половой структуры населения).

Рис. 11. Фактическая и прогнозная численность населения, Швеция, 1861-1996. 10-летний горизонт прогнозирования.

Рис. 12. Фактическая и прогнозная численность населения Швеции, 1861-1996 (накопление ошибок прогноза с 1861).

Рис. 13. Прогнозы численности населения РФ, полученные с помощью модели (II) («ForecToy»), а так же с помощью многорегиональной модели передвижки возрастов Центра демографии и экологии человека («Source»).

Рис. 14. Относительные ошибки прогнозов численности населения РФ, полученных с помощью модели (II) по сравнению с прогнозами, полученными с помощью многорегиональной модели передвижки возрастов Центра демографии и экологии человека.

Резюмируя, можно заключить, что предложенные в работе модели, особенно модель (II), достаточно адекватны реальным процессам, протекающим в населении, и могут быть использованы при составлении прогнозов численности населения. Во всех горизонтах прогнозирования модель (II) приводит к меньшим ошибкам, - как в среднем, так и при расчете максимальных ошибок. При выборе из более простых моделей для краткосрочного прогнозирования (1-3 года) может быть использована модель линейной экстраполяции численности населения, но уже при горизонте прогноза более пяти лет модель (I) оказывается лучше экстраполяции, уступая лишь модели (II). Предлагаемые модели, будучи агрегированными и, в то же время, адекватными реальным процессам воспроизводства населения, могут быть использованы как в прикладных расчетах, так и в теоретических исследованиях, построении других демографических и экономико-демографических моделей.

Благодарности

В работе частично использовались результаты, полученные при поддержке Бюро Образовательных и Культурных Программ Государственного Департамента США в рамках региональной программы обмена учеными (Я8БР 2000).

Я выражаю свою признательность Сороко Е.Л. за ценные советы и содействие в тестировании модели на российских данных.

Я благодарен организаторам и участникам семинара по демографо-макроэкономическому моделированию в институте Макса-Планка демографических исследований (Росток, Германия) за полезное обсуждение и советы, полученные в ходе семинара.

Литература

Arthur, W. B. 1982. The ergodic theorems of demography: a simple proof. Demography 19: 439-445.

Bourgeois-Pichat, J. E. 1968. The Concept of a Stable Population. Application to the Study of Populations of Countries With Incomplete Demographic Statistics. N.Y.: United Nations.

Bourgeois-Pichat, J. E. 1971. "Stable, Semi-stable Populations and Growth Potential". Population Studies, 25: 235-254.

Ediev, D. M. 2000. Principles of Aggregate Demographic-Economic Modeling Based on

Demographic Potentials' Technique. Rostock: Max Plank Institute for Demographic

Research. http://www.demogr.mpg.de/Papers/workshops/ws001011 .htm 17 с.

Fisher, R. A. 1930. The genetical theory of natural selection. N.-Y.: Dover Publications.

Frauenthal, J. C. 1975. "Birth Trajectory Under Changing Fertility Conditions". Demography, 12: 447-454.

Goodman, L. A. 1968. "An Elementary Approach to the Population Projection-Matrix, to the Population Reproductive Value, and to Related Topics in the Mathematical Theory of Population Growth". Demography, 5: 382-409.

Keyfitz, N. 1968. Introduction to the Mathematics of the Population. Reading, Mass.: Addison-Wesley.

Keyfitz, N. 1969. "Age Distribution and Stable Equivalent". Demography, 6: 261-269.

Keyfitz, N. 1971. "On the momentum of Population Growth". Demography, 8: 71-80.

Keyfitz, N. 1985. Applied mathematical demography. N. Y., etc.: Springer.

Keyfitz, N., Flieger, W. 1968. World Population: An Analysis of Vital Data. Chicago: The University of Chicago Press.

Keyfitz, N., Flieger, W. 1990. World Population Growth and Aging: Demographic Trends in the Late Twentieth Century. Chicago and London: The University of Chicago Press.

Mitra, S. 1976. "Influence of instantaneous fertility decline to replacement level on population growth: an alternative model". Demography, 13: 513-519.

Mitra, S. 1987. "Models of birth trajectories with certain patterns of variation in vital rates".

Genus, 43: 1-14.

Potter, R. G. Wolowyna, O. Kulkarni, P. M. 1977. "Population Momentum: A Wider Definition". Population Studies, 31: 555-569.

Schoen R., Kim, Y.J. 1991. "Movement toward stability as a fundamental principle of population dynamics". Demography, 28: 455-466.

Tuljapurkar, Sh., Li, N. 199?. "Population momentum". Accessed at 24.02.01. http://www.mvr.org/Papers/momentum/momentum.html Cerone, P. (1996). "On the effects of the generalized renewal integral equation model of population dynamics". Genus, 52: 53-70.

University of California, Berkeley. 1998. The Berkeley mortality database. http://demog.berkeley.edu/wilmoth/mortality.

Vincent, P. 1945. "Potentiel d'accroissement d'une population stable". Journal de la Societe de Statistique de Paris, 86: 16-29.

Андреев, Е. М., Пирожков, С. И. 1975. О потенциале демографического роста. В кн.: Население и окружающая среда. Москва, 1975.

Центр демографии и экологии человека. 2000. Население России 1999. Седьмой

ежегодный демографический доклад / Под ред. Вишневского А.Г. - М.: «Книжный дом

«Университет»», 2000.-176с.: ил.

Эдиев, Д.М. 1999. Демографические и экономико-демографические потенциалы. Дис... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. М.: МФТИ, 1999.-210 с.