Частотные характеристики фазы и группового времени задержки многополосовых фильтров

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ермолаев В. Т., Маврычев Е. А., Флаксман А. Г. Применение адаптивных антенных решеток для повышения темпа передачи информации в перспективных системах связи // Зарубеж. радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2001. № 9. С. 50-58.

2. Kramer G., Gastpar M., Gupta P. Cooperative strategies and capacity theorems for relay networks // IEEE Trans. Inform. theory. 2005. Vol. IT-51, № 9. P. 3037-3063.

3. Capacity scaling laws in MIMO relay networks / H. Bolcskei, R. U. Nabar, O. Oyman, A. J. Paulraj // IEEE Trans. Wireless comm. 2006. Vol. WC-5, № 6. P. 1433-1444.

A. A. Zabolotsky, E. A. Mavrychev Nizhny Novgorod state technical university

4. Power control by geometrical programming / M. Chiang, C. W. Tan, D. P. Palomar et al. // Resource allocation in next generation wireless networks / ed. by W. Li, Y. Pan. 2005. Vol. 5, ch. 13. P. 289-313.

5. Power allocation in wireless multi-user relay networks / K. T. Phan, T. Le-Ngoc, S. A. Vorobyov, C. Tellam-bura // IEEE Trans. Wireless comm. 2009. Vol. WC-8, № 5. P. 2335-2545.

6. Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. Cambridge: Cambridge university press, 2004. 716 p.

Optimal power allocation for multiuser relay network in fading channels

Power resource optimization of relay network with multiple access is considered. It is supposed that relay network operates in wireless fading channels. Power allocation is based on maximization of minimal signal to noise ratio, minimization of maximal transmit source power and maximization of aggregative capacity. Geometrical programming is used for optimization problem solving Analysis of optimal power allocation is performed in the case of exact knowledge of channel coefficients and in the case of knowledge of second order channel statistic.

Relay network, multiple access, power allocation, geometrical programming

Статья поступила в редакцию 30 сентября 2013 г.

УДК 621.372.55

А. А. Головков, С. А. Кершис Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова

Частотные характеристики фазы

и группового времени задержки многополосовых фильтров

Рассмотрена математическая модель многополосового фильтра с идеальными характеристиками полос пропускания и задерживания. Приведены выражения общего вида для фазочастотной характеристики (ФЧХ) и частотной зависимости группового времени запаздывания (ГВЗ). Результаты проиллюстрированы на примере ФЧХ и частотной зависимости ГВЗ двухполосового фильтра.

Многополосовый фильтр, фазочастотная характеристика, групповое время запаздывания

В настоящее время в радиоаппаратуре различного назначения широко применяются полосовые фильтры с несколькими полосами пропускания. Например, часто приходится разрабатывать фильтры для аппаратуры связи с полосами пропускания, соответствующими двум диапазонам из используемых сетями GSM, Wi-Fi, WLAN и др. Для аппаратуры потребителей спутниковых навигационных систем ГЛОНАСС и GPS требуются фильтры, пропускающие полосы частот, соответствующие диапазонам L1 и L2. В литературе

опубликовано много сообщений, посвященных вопросам построения многополосовых фильтров. Такие фильтры могут быть реализованы по нескольким принципам: в виде каскадного соединения полосно-пропускающих фильтров и полосно-заграждающих фильтров, комбинированием нескольких фильтров с одной полосой пропускания и двух мультиплексоров на входе и на выходе для разделения и объединения сигналов, на основе многочастотных резонаторов и др. [1]—[3].

© Головков А. А., Кершис С. А., 2013

В опубликованных работах [1]-[3] исследуются в основном амплитудно-частотные характеристики многополосовых фильтров. В то же время в ряде случаев к многополосовым фильтрам предъявляются жесткие требования к линейности фазовых характеристик и к постоянству характеристик группового времени задерживания (ГВЗ) в полосах пропускания фильтров. Поэтому исследование фазочастотных характеристик (ФЧХ) многополосовых фильтров представляет актуальную в последнее время задачу.

В настоящей статье особенности поведения ФЧХ многополосовых фильтров исследованы на примере двухполосного фильтра.

Фазочастотная характеристика фильтра-прототипа. Для исследования ФЧХ многочастотных фильтров воспользуемся в качестве прототипа фильтром нижних частот (ФНЧ) с полосой пропускания ДО. Для упрощения выкладок ограничимся фильтром с идеальными характеристиками, который в пределах полосы пропускания имеет единичный коэффициент передачи (нулевое затухание), а на границе полосы пропускания (частоте среза) Оср = ДО обеспечивает скачок

затухания А до нуля. АЧХ такого фильтра представлена на рис. 1, а.

ФЧХ данного фильтра связана с амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) преобразованиями Гильберта и для фильтра-прототипа с АЧХ на рис. 1, а описывается выражением [4]:

ф(о) =276а1п

ДО

1+ О/ДО

1 -О ДО

Фазочастотная характеристика многополосового фильтра. Для того чтобы перейти от ФЧХ фильтра-прототипа к многополосовому фильтру, воспользуемся реактансным преобразованием частоты вида [5]:

о = р

П

/=1

га2 - га2/,

п-1 ( 2 N /=1

А, дБ> 0

О

Ао

где р - коэффициент преобразования ширины полосы пропускания ФНЧ-прототипа в суммарную полосу многополосового фильтра; п — число полос пропускания многополосового фильтра; га0/ - центральные частоты полос пропускания многополосового фильтра; гат- - полюсы частотной характеристики многополосового фильтра.

Коэффициент р определяется как

р = ДО/ХДгаг-/ /=1

где Дга/ = гав/ — ган/ - ширина /-й полосы пропускания многополосового фильтра, причем ган/, гав/ - нижняя и верхняя граничная частоты /-й полосы соответственно. Центральные частоты полос пропускания определяются следующим образом: гао/ = д/ган/гав/.

Частоты гао/ и гат- находятся из решения однородных квадратных уравнений вида п . .

П

/=1

причем гао/ определяются решением уравнения, сформированного из (4) группировкой членов с четными степенями га, а гат- - из решения уравнения, полученного из (4) группировкой однородных членов с нечетными степенями га.

Ограничимся далее фильтрами с двумя равными полосами пропускания (п = 2) (см. рис. 1, б). В этом случае при р = 1

Дга1 =Дга2 =Дга=ДО/ 2.

С учетом (5) выражение (4) упростится и приведется к виду

1 гао1 гао2 га

1 1 1 1

Д«1 Дю9

1 1 1 1 1 1 1 1

ДО = Дю! + Дга2

Рис. 1

б

а

Определим частоты ш0г, сформировав для них уравнение группировкой однородных членов из (6) с четными степенями ш :

Ш4 -

Из (5) и (7) получим:

ш4 -

где к = (ш02 - ш01 )/Аю - разнос центральных частот полос пропускания, нормированный на ширину полос.

Центральные частоты первой и второй полос пропускания определены как

™01 = Ш0;

01

™02 = ™0 + к Аш,

причем к с [0,да).

Решения уравнения (8) определяют значения частот ±ш01 и ±ш02. Согласно свойствам полинома Гурвица [6] положение полос пропускания в результате реактансного преобразования на отрицательных и на положительных частотах симметрично относительно нулевой частоты. Поэтому в дальнейшем будем использовать только положительную полуось частоты:

ш012 ={0.5[(ш0 + кАш -Аш2/4) +

1

причем верхний знак "—" соответствует ш01, а нижний знак "+" определяет ш02.

Сгруппировав в (6) однородные члены с нечетными степенями ш, получим уравнение для

определения частот шш-. С учетом (5) это уравнение запишется в виде

Рис. 2

-Дгага3 +(дююо + k Дю2Д = 0,

откуда га2 =(Дююо + k Дю2/2 )/Дю.

Решение этого уравнения на положительной полуоси частот имеет вид

гап1 = -^

Подстановкой (10) и (11) в (2) определяется ре-актансное преобразование частоты Q, преобразующее частотную характеристику ФНЧ-прототипа в характеристику двухполосового фильтра с центральными частотами шоъ 02 и разворачивающимися вокруг этих частот полосами пропускания равной ширины Да>1 = Дю2 = Дга (см. рис. 1, б). Подставив (2) в (1), получим выражение для ФЧХ двухполосового фильтра в зависимости ширины полосы пропускания Дга и взаимного расположения центральных частот полос гао1 и гао2, определяемого коэффициентом k. Дифференцирование этой характеристики дает частотную зависимость ГВЗ.

Опустив достаточно громоздкие промежуточные выкладки, проанализируем результаты моделирования, представленные графически. На рис. 2-5 даны графики ФЧХ и ГВЗ двухполосового фильтра для ширины полос пропускания Д2 = Д/ = = 1о МГц при центральной частоте первой полосы пропускания /щ = гао1/( 2л) = 1оо МГц и центральной частоте второй полосы, согласно (9), /о2 =(1оо + Ш ) МГц.

На рис. 2 показаны характеристики ФЧХ и ГВЗ многополосового фильтра при достаточно большом относительном разносе полос пропускания ( k = 5). Как видно из графиков, ФЧХ и ГВЗ полос одинаковы и симметричны относительно центральных частот в каждой полосе пропускания и относительно частоты полюса /п1 « 127 МГц.

Следовательно, при большом разносе центральных частот полос пропускания многополосового

Рис. 3

Гц

A, ДБ

1ГВЗ'

0.01

90

100

110

Рис. 4

120 f МГц

фильтра по сравнению с шириной этих полос искажения форм ФЧХ и частотной зависимости ГВЗ практически не возникает.

На рис. 3 приведены характеристики рассмотренного фильтра при к = 1.9. При этом значении начинает сказываться взаимное влияние полос друг на друга, приводящее к нарушению симметрии характеристик относительно центральных частот полос пропускания. Симметрия характеристик относительно полюса ~ 1Ю МГц.

При дальнейшем сближении полос пропускания двухполосового фильтра (рис. 4, к = 1.1) искажения частотных характеристик фазы и ГВЗ еще более усиливаются, сохраняя при этом симметрию относительно частоты = Ю5 МГц.

На рис. 5 представлены в общих координатах частотные зависимости ГВЗ для к = 5.о (1), 1.9 (2) и 1.о 1 (3). Как следует из рисунка, при уменьшении разноса центральных частот до значений к < 1.9 наблюдается существенное искажение характери-

Гц"1 10 1 0.1 0.01

у

....... ••' 1.01 1 i I11 i i /\ Г........' ! 1 1 i

к = 1.9

90

100 110 Рис. 5

120

f МГц

стик ГВЗ в пределах полос пропускания многополосового фильтра, что может послужить причиной, ограничивающей применение таких фильтров в широкополосных системах связи.

Представленная в настоящей статье математическая модель описывает идеальный случай, когда потери в фильтре равны нулю, а количество реактивных элементов стремится к бесконечности. Однако даже при таком рассмотрении видно, что нелинейность ФЧХ и, как следствие, неравномерность частотной зависимости ГВЗ при сближении полос пропускания многополосового фильтра друг к другу могут иметь значительную величину. Выявившиеся искажения должны быть скомпенсированы цифровыми методами на этапе постобработки или в реальном времени на микропроцессорах или ПЛИС.

Полученные результаты могут быть распространены и на многополосовые фильтры с большим числом полос пропускания.

т

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кершис С. А. Многочастотные резонаторы и фильтры на их основе // Изв. СПбГЭТУ "ЛЭТИ". 2012. № 9. С. 3-7.

2. Kim C. H., Chang K. Independently controllable dual-bad bandpass filters using asymmetric stepped-impedance resonators // IEEE Trans. microw. theory tech. 2011. Vol. 59, № 12. P. 3037-3047.

3. Design of the compact dual-band bandpass filter with high isolation for GPS/WLAN applications / Y. C. Chang,

C. H. Kao, M. H. Weng, R. Y. Yang // IEEE microw. wireless compon. lett. 2009. Vol. 19, № 12. P. 780-782.

4. Похвалин А. А. Предельные характеристики управляемых линий задержки на основе фильтров нижних частот // Изв. СПбГЭТУ "ЛЭТИ". 2005. № 2. С. 31-35.

5. Чавка Г. Г. Многополосовое преобразование частоты // Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника. 1968. № 12. С. 1315-1318.

6. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей: учебник для вузов. СПб.: Лань, 2009. 544 с.

А. A. Golovkov, S. A. Kershis Saint-Petersburg electrotechnical university "LETI"

Phase response and group delay characteristics of multiband filters

Mathematical model of the multiband filter with ideal frequency response characteristics is considered. General view expressions of phase response characteristic (PRC) and group delay characteristic (GDC) are given. Results are illustrated on the example of PRC and GDC of the two-band filter.

Multiband filter, phase response characteristic, group delay time

Статья поступила в редакцию 5 ноября 2013 г.