Простые достаточные условия К-гладкости основного вариационного функционала в пространстве Соболева w2

Ученые записки Таврического национального университета им. В. И. Вернадского

серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика» Том 22(61) № 1 (2009), с. 26-35.

Е. В. Божонок

ПРОСТЫЕ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ К-ГЛАДКОСТИ ОСНОВНОГО ВАРИАЦИОННОГО ФУНКЦИОНАЛА В ПРОСТРАНСТВЕ СОБОЛЕВА

Получены простые достаточные условия К-гладкости основного вариационного функционала в пространстве Соболева W21 Исследована их связь с классическими условиями на рост интегранта. Рассмотрены примеры.

Введение. Предварительные сведения

Активно ведущиеся в последние десятилетия исследования по экстремумам вариационных функционалов в пространствах Соболева показали, что в пространствах с гильбертовой интегральной метрикой основной вариационный функционал обладает значительно худшими аналитическими свойствами, чем в случае банаховых пространств типа Ск Так, в частности, в ([1]) установлено, что вариационный функционал не является дважды дифференцируемым по Фреше в пространстве Соболева W21  В работах ([2], [3], [4]) установлены некоторые варианты слабой непрерывности и слабой дифференцируемости в пространствах с интегральной метрикой. В работах ([5], [6]) было показано, что в пространстве Соболева W21 вариационный функционал обладает более сильным свойством повторной компактной дифферен-цируемости.

В работе [7] введено понятие псевдоквадратичного функционала и показано, что требование псевдоквадратичности по у' интегранта обеспечивает корректную определенность вариационного функционала в пространстве Соболева . Далее введены вейерштрассовские классы псевдоквадратичных функционалов WK2(z), W 1К2(г), W2K2(г) и показано, что попадание интегранта в подходящий вейерштрассовский класс гарантирует, соответственно, К-непрерывность, К-дифференцируемость и повторную К-дифференцируемость основного вариационного функционала в пространстве W21

В данной статье установлены простые достаточные условия принадлежности ин-тегранта подходящим вейерштрассовским классам и исследована их связь с классическими оценками роста интегранта. Рассмотрены конкретные примеры. Приведем необходимые определения и результаты ([5]—[8]).

Определение 1. Говорят, что борелевское отображение / : П х У х 2 =: Т ^ ¥, где П—компактное пространство с конечной борелевской мерой, У, 2, ¥— вещественные банаховы пространства, псевдоквадратичное по г (/ € К2(г)), если / можно представить в виде:

где для любого компакта С = Су С У борелевские отображения Р, ф, и К существенно по ж € П ограничены на Тс = П х Су х 2.

Определение 2. Говорят, что отображение / вейерштрассовское псевдоквадратичное: / € если представление (1) можно выбрать таким образом, что для любого компакта С = Су С У отображения Р, ф и К равномерно непрерывны и ограничены на Тс.

Определение 3. Говорят, что отображение / принадлежит классу Ш:К2(г), если представление (1) можно выбрать таким образом, что для любого компакта С = Су С У не только Р, ф и К, но также и градиенты УР := Уу,гР, Уф := Уу,гф, УК := УугК равномерно непрерывны и ограничены на Тс.

Определение 4. Говорят, что отображение / принадлежит классу Ш2К2(г), если представление (1) можно выбрать таким образом, что для любого компакта С = Су С У не только Р, ф, К, их градиенты УР, Уф, УК, но и гессианы Н(Р) := Нуг(Р), Н(ф) := Нуг(ф), Н(К) := Нуг(К) равномерно непрерывны и ограничены на Тс.

Замечание 1. Отметим, что представление / = Р + ф  ||г|| + К  ||г||2 функции / € К2(г) (/ € ШК2(г), / € Ш:К2(г), / € Ш2К2(г)) можно, не меняя общности рассуждений, заменить представлением

при сохранении требований определений 1, 2, 3, 4.

Определение 5. Пусть Е—вещественное банахово пространство, Ф : Е ^ М— функционал на Е. Говорят, что функционал Ф компактно непрерывен (К-непрерывен) в точке у € Е, если для любого абсолютно выпуклого компакта С С Е сужение Ф на (у + зрапС) непрерывно в у относительно банаховой нормы ||  ||с в зрапС, порожденной С.

Аналогично, говорят, что Ф компактно (дважды) дифференцируем (K -дифференцируем, дважды K-дифференцируем) в точке у £ E, если для любого абсолютно выпуклого компакта C С E сужение Ф на (y + span C) (дважды) дифференцируем по Фреше в y относительно ||  Ус•

Обозначим через Ф'к(у) и Ф''(у) первую и вторую K-производные Ф, соответственно.

В [7] были получены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть Q = [a; b], E—банахово пространство, u = f (x,y,z), f : Q x E2 ^ R. Тогда при f £ K2(z) вариационный функционал Эйлера-Лагранжа

Ф(у) = j f (x,y,y')dx, y(-) £ W1(Q,E),

определен всюду на W),(Q,E).

Теорема 2. Пусть О = [а; Ь], Н —вещественное гильбертово пространство, и = f (х,у,г), f :О х Н2 ^ М. Если f £ ШК2(г), то функционал Эйлера-Лагранжа (3) К-непрерывен всюду на Ш2^(О,Н).

Теорема 3. Пусть О = [а; Ь], Н —вещественное гильбертово пространство, и = f (х,у,г), f : О х Н2 ^ М. Если f £ Ш 1К2(г), то функционал Эйлера-Лагранжа (3) К-дифференцируем всюду на Ш2(О,Н); при этом

Ф'к (y)h = j

df df — (x, у, y')h + — (x, у, у')h'

dx

Пусть Q = [a; b], H —вещественное гильбертово пространство, f : Q x H2 ^ R. Если f £ W2K2(z), то функционал Эйлера-

Теорема 4.

u = f (x, у, z),

Лагранжа (3) дважды K -дифференцируем всюду на W2(Q, H); при этом

Ф'К (у)(Кк) =

д2 f д2f

-f (x, у, у')(h, к) + -¿f- (x, у, у'Ш', к) + (h, k'))+

1ду

-у-z

д2 f

+ Qf[

dx.

Замечание 2. Отметим, что К-аналитические свойства слабее классических. В [9] рассмотрен пример интегрального функционала, который является К— непрерывным в Щ^1, но при этом разрывным в нуле в обычном смысле. Кроме того, в [1] было впервые доказано, что вариационный функционал (3) в пространстве в общем случае не является дважды сильно дифференцируемым (за исключением чисто квадратичного случая по у'). Нами получено в теореме 4 условие более слабого свойства повторной К-дифференцируемости для более широкого класса псевдоквадратичных интегрантов (см. примеры 1, 2).

1. Достаточные условия принадлежности интегранта классам ШК2

Как было выяснено выше, достаточными условиями К—непрерывности, К— дифференцируемости, повторной К—дифференцируемости функционала Эйлера— Лагранжа (3) являются условия попадания интегранта /(ж, у, г) в классы ШК2(г), Ш 1К2(г), Ш2К2(г) соответственно. В данном пункте мы опишем условия на коэффициенты Р и К в представлении / = Р + К  ||г||2, при которых / попадает в указанные классы.

Сначала выясним необходимые и достаточные условия попадания функции / в класс ШК2(г). Для этого введем вспомогательное понятие.

Определение 6. Борелевское отображение С : П х У х 2 =: Т ^ ¥, где П— компактное пространство с конечной борелевской мерой, У, 2, ¥—вещественные банаховы пространства, назовем вейерштрассовским по у (С € Ш к(у)), если для любого абсолютно выпуклого компакта С = Су С У С равномерно непрерывно и ограничено на Тс = П х Су х 2.

Из определения 1 немедленно следует

Предложение 1. Пусть, в обозначениях определения 1 функция / представима в виде

Тогда / € ШК2(г) в том и только в том случае, когда Р € Ш к(у), К € Шк(у).

Для описания достаточных условий попадания функции / в класс Ш1 К2(г), введем следующее

Определение 7. Пусть, в обозначениях определения 6, У, 2—гильбертовы пространства и функция С непрерывно дифференцируема в П х У х 2 по (у, г). Будем говорить, что С € (у) (С1 -вейерштрассовская по у), если (С, УугС) € Шк(у), или, что равносильно, С € Шк(у), к = 0,1; г = у, г.

Справедливо следующее

Предложение 2. Пусть, в обозначениях определения 1, функция / представлена в виде (6). Если Р, К € (у), то / € Ш^(г).

Доказательство. Из определения 7 следует, что (у) С Ш к (у), откуда, по предложению 1, / € ШК2(г).

Непосредственные вычисления показывают, что

Ууг/ = УугР + [2

Пусть 1 = ^(ЦгЦ) + -02(||г||)—разложение единицы в М, фi равномерно непрерывны и ограничены, 0 < ^ < 1 (г = 1, 2), зирр^ С [0; М], зирр^ С [М — те) (М < те).

Перепишем (7) в виде: Уух /

У ухр + 2

+

+

При этом

a) У ух Р € Wк (у), (0, Я) € Жк (у), ^(ЦгЦ) равномерно непрерывна и ограничена, ||<г, -)|| < М при ||г|| € откуда Р € Жк(у).

b) (0, Я) € Жк(у), ^2(||г||) равномерно непрерывна и ограничена, <г, -)/||г||2 равномерно непрерывна и ограничена при ||г|| € [М — те), УухЯ € Жк(у), откуда Я € Жк(у).

Следовательно, по предложению 1, Уух/ € откуда, по определению 1,

/ € Ж ^(г).

Теперь рассмотрим достаточные условия попадания функции / в класс Ж2К2(г). Для этого введем следующее

Определение 8. Пусть, в обозначениях определения 6, У, 2—гильбертовы пространства и функция О дважды непрерывно дифференцируема в О х У х 2 по (у, г). Будем говорить, что О € (у) (С2-вейерштрассовская по у), если (О, УухО, НухО) € Жк(у), или, что равносильно, д-О € Жк(у), к = 0,1, 2;

г,; = у, г.

Справедливо следующее

Предложение 3. Пусть, в обозначениях определений 1, функция / представлена в виде (6). Если Р, Я € (у), то / € Ж2К2(г).

Доказательство. Из определения 8 следует, что (у) С (у), откуда, по предложению 2, / € Ж 1К2(г).

Непосредственные вычисления показывают, что

Нух/ = [ЯухР + 2

Используем снова разложение единицы в М : 1= ^(ЦгЦ) + ^2(||г||), где ^ равномерно непрерывны и ограничены, 0 < ^ < 1 (г = 1, 2), зирр^ С [0; М], ««рр^ С [М — те) (М < те). Тогда (8) перепишется в виде:

Нух /

+

НухР + 2

+

Л

При этом

a) НугР £ Шк(у), (0,К) £ Шк(у), Ф^НгН) равномерно непрерывна и ограничена, ||<-, -)|| < 1, (0, К) £ Шк(у), ||<г, -)|| < М при ||г|| £ виррфъ откуда Р £ Шк(у).

b) (0, УугК) £ Шк(у), ф2(|^|) равномерно непрерывна и ограничена, <г, -)/||г||2 равномерно непрерывна и ограничена на ||г|| £ [М — 5; ж), НухК £ Шк(у), откуда К £ Шк(у).

Следовательно, по предложению 2, Нухf £ ШК2(г), откуда, по определению 1, f £ Ш2К2(г).

Пример 1. Рассмотрим, как частный случай, интегрант вида f (х,у,г) = р(г)  ||г||2 + ф(х,у). Если р,ф £ (у), то, в силу предложения 3, f £ ш2К2(г). Эти достаточные условия легко записать на языке джетов второго порядка функций р и ф :

a) джет 32р(г) = (р(г),р'(г),р''(г)) равномерно непрерывен и ограничен на %,

b) джет 3у2ф(х,у) = (ф(х,у),ф'у(х,у),фу2(х,у)) равномерно непрерывен и ограничен на О х Су для любого абсолютно выпуклого компакта Су С У.

Пример 2. Рассмотрим интегрант вида f (х, у, г) = р(х, у)  ||г||2 + ф(х, у, г). Тогда f £ ш2К2(г), если джеты второго порядка функций р и ф :

3 2р

и

4:ф

равномерно непрерывны и ограничены на О х Су для любого абсолютно выпуклого компакта Су С У.

Замечание 3. Отметим, что в приведенных примерах отсутствует, вообще говоря, чистая квадратичность интегранта по г. Тем самым, по теореме Скрыпника (см. [1]), отсутствует повторная сильная дифференцируемость Ф(у). В тоже время, в силу теоремы 3, Ф(у) является дважды К-дифференцируемым.

2. Сравнение полученных условий с классическими оценками роста

интегранта

Во многих работах по абсолютным экстремумам вариационных функционалов в пространствах Соболева Шр,

f (х, у, г) > ф|р + в, где а > 0, в £ М.

В частности, при р = 2 условие роста принимает вид:

f (x,y,z) > az2 + в.

Напомним, что классическая теорема Тонелли ([10]) утверждает, что, в предположениях гладкости по x и у, гладкости и выпуклости по z интегранта, выполнении условия р-роста и корректной определенности всюду в Wp([a; b], R) основной вариационный функционал

b

Ф

a

достигает абсолютного минимума в Wp([a; b],R). При этом Ф(у) слабо полунепрерывен снизу (проверка чего является ядром доказательства теоремы).

Условие же корректной определенности Ф(у) в Wp обеспечивается, как правило, ограничением на рост сверху (условием роста не выше р-ой степени) ([10], [12], [13]):

f (x,y,z) < y|z|p + 5, где y> 0,5 е R.

Таким образом, условие р-роста вместе с условием роста не выше р-ой степени приводит, в случае W21, к условию двойной оценки:

az2 + в < f

(как правило, вместе с условием выпуклости по z).

Сравним найденные в теоремах 1, 2, 3 и 4 условия на интегрант f с условием (10) (в случае Ж£([а; b], R)).

1) Условие f е K2(z) в теореме 1 о корректной определенности Ф(у) в W2 означает, по определению 1, представимость f в виде

f

где для любого компакта C = Cy С R отображения P, R существенно по x е [a; b] ограничены на [a; b] х CY х R. Следовательно, оценка сверху f (x, у, z) < yz2 + 5 требуется лишь локально по у, квадратичная оценка снизу из (10) вообще не требуется.

2) Условие f е WK2(z) в теореме 2 о K-непрерывности Ф(у) выполнено, согласно предложению 1, если в представлении (11) P, R е Wk(у).

Здесь также, переходя к супремумам на каждом компакте по у, мы получаем локальное по у условие роста не выше квадратичного:

f (x, у, z) < sup P(x^, z)+l sup R(x^, z)l  z2,

xS[a;b], \ xe[a;b], /

zeR,yeCy zeR,yeCy

где ö = sup P(x, y,z) и y = sup R(x, y, z) зависят от компакта Су. Сформу-

xE[a;b], xE[a;b],

zER,yECY zER,yECY

лируем полученный результат в виде предложения.

Предложение 4. Если f (x, y, z) = P(x, y, z) + R(x, y, z)  z2, где P,R G WK(y) на [a; b] x Ry x Rz, то f локально по y имеет рост по z не выше квадратичного: для любого абсолютно выпуклого компакта Су С Ry существуют такие y > 0, ö G R, зависящие от Су, что

f (x,y,z) < yz2 + ö,

для любых x G [a; b], z G Rz •

Условие квадратичного роста (квадратичная оценка снизу) будет иметь место локально лишь при R > r^ > 0 и P > pcY на каждом компакте Су:

f(x,y,z) > inf P(x,y,z)+[ inf R(x,y,z)\  z2.

xE[a;b], \ iE[a;i], I

zER,yECY zER,yECY /

В частности, если R и P не зависят от z, и R положительно, то по теореме Вей-ерштрасса, для любого абсолютно выпуклого компакта Су С Ry inf R(x, y) > 0,

xE [a;b], yECY

inf P(x,y) > —те.

xE [a;b], yECY

Сформулируем полученный результат в виде предложения.

Предложение 5. Если f (x,y,z)= P(x,y) + R(x,y)  z2, где P,R G WK(y) на [a; b] x Ry и R(x, y) > 0, то для любого абсолютно выпуклого компакта Су С Ry существуют такие а > 0, ß G R, зависящие от Су, что

f (x,y,z) > az2 + ß,

для любых x G [a; b], z G Rz •

Заметим, что в условиях последнего предложения f является выпуклой по z для любых x G [a; b], y G Ry.

Рассмотрим некоторые конкретные примеры

Пример 3. Функция

fi(x, y, z) = ey  z2 + sin(x + y + z) локально по y удовлетворяет оценке (10):

(y G [m; M]) ^ (em  z2 — 1 < fi(x,y,z) < eM  z2 + 1). Пример 4. Функция

f2(x, y, z) = ey sin2(x + y + z)  z2

локально по y удовлетворяет только верхней оценке (10):

(y G [m; M]) ^ (/2(x,y,z) < eM  z2), так как при любом y G R : /2(x, y, z) = 0 при некоторых x, z G R.

Отметим, что обе рассматриваемые функции принадлежат классу WK2(z) (и даже W2K2(z)), при этом ни одна из них не удовлетворяет оценкам (10) глобально по y. Заметим также, что как /i(x,y,z), так и /2(x,y,z) не являются выпуклыми по z. Таким образом, полученные условия на / являются более общими, чем соответствующие классические двухсторонние оценки роста интегранта в W21.

Замечание 4. Условие / G WK2(z), разумеется, не гарантирует слабой полунепрерывности снизу функционала Ф(у). Однако, согласно теореме 2, Ф(у) будет при этом условии K-непрерывным. В случае же / G W2K2(z) (как в рассмотренных выше примерах) Ф(у) будет дважды K-дифференцируемым. Кроме того, можно отметить, что Ф может достигать компактного минимума ([5]), который при этом не является локальным (а тем более, абсолютным), без двойной квадратичной оценки (10) и без условия выпуклости по z.

Выводы

В работе получены простые достаточные условия принадлежности интегранта вейерштрассовским классам WK2(z), W1K2(z), W2K2(z), что, в свою очередь, гарантирует, соответственно, K-непрерывность, K-дифференцируемость и повторную K-дифференцируемость вариационного функционала в пространстве Соболева W21. Исследована их связь с классическими условиями на рост интегранта. Рассмотрены примеры.

Автор выражает благодарность И.В. Орлову за полезные обсуждения и замечания.

Список литературы

[1] Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. - К.: Наукова думка, 1973. - 219 C.

[2] Згуровский М.З., Мельник В.С. Нелинейный анализ и управление бесконечномерными системами. - К.: Наукова думка, 1999. - 630 C.

[3] Hencl S., Kolar J., Pangrac O. Integral junctionals that are continuous with respect to the weak topology on W01,p(0; 1) // Preprint submitted to Elsevier Science 3 May 2005. - 8 P.

[4] Marcellini P., Sbordone C. Semicontinuity Problems in the Calculus of Variations // Nonlinear Anal. - 1980. - Vol. 4. - P. 241-257.

[5] Орлов И.В. K-дифференцируемость и K-экстремумы // Украинский математический вестник. - 2006. - Т. 3, № 1. - С. 97-115.

[6] Orlov I. V. Extreme Problems and Scales of the Operator Spaces // North-Holland Math Studies., Functional Analysis and its Applications. — Amsterdam-Boston-...: Elsevier. -2004. - Vol. 197. - P. 209-228.

[7] Орлов И.В., Божонок Е.В. Условия существования, K-непререрывности и K-дифференцируемости функционала Эйлера-Лагранжа в пространстве Соболева W2 // Ученые записки ТНУ, серия "Математика. Механика. Информатика и кибернетика". - 2006. - T. 19(58), № 2. - С. 63-78.

[8] Орлов И.В. Гильбертовы компакты, компактные эллипсоиды и компактные экстремумы // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2008. - Т. 29. -C.165-175.

[9] Божонок Е.В. Пример K-непрерывного, разрывного вариационного функционала в пространстве Соболева // Динамические системы (межвед. науч. сб.). - Симферополь: ТНУ, 2007. - Вып. 22. - С. 140-144.

[10] Тихомиров В.М., Фурсиков А.В. Существование 'решений экстремальных задач. -http://lib.mexmat/ru/books/9645. - 39 C.

[11] Dacorogna B. Direct methods in the calculus of variations. - New York: Springer-Verlag, 1989. - 228 P.

[12] Ambrosio L., Fonseca I., Marcellini P. and Tartar L. On a volume-constrained variational problem // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1999. - Vol. 149(1). - P. 21—47.

[13] Mosconi S., Tilli P. Variational problems with several volume constraints on the level sets // Calc. Var. Partial Differential Equations. - 2002. - Vol. 14. - P. 233-247

Отримано прост1 достатш умови К-гладкост1 основного вар1ацшного функщона-ла в простор! Соболева W21. Дослщжений ix зв'язок i3 класичними умовами на picT штегранта. Розглянуто приклади.

The simple sufficient conditions of K-smoothness of the basic variational functional in Sobolev space Wl are obtained. The connection between these conditions and the classical growth conditions for integrand is investigated. The examples are considered.