Определение требуемого объема испытаний на отдельном этапе наземной экспериментальной отработки сложного технического изделия по заданным вероятностям ошибок первого и второго рода

Мальцев Г.Н. , Карасев А.С., Гришин В.В.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРЕБУЕМОГО ОБЪЕМА ИСПЫТАНИЙ НА ОТДЕЛЬНОМ ЭТАПЕ НАЗЕМНОЙ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ОТРАБОТКИ СЛОЖНОГО ТЕХНИЧЕСКОГО ИЗДЕЛИЯ ПО ЗАДАННЫМ ВЕРОЯТНОСТЯМ ОШИБОК ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА

Определение требуемого объема испытаний сложного технического изделия (далее объекта испытаний) по заданным вероятностям ошибок первого и второго рода а и в является одной из наиболее распространенных задач обеспечения требований к достоверности контроля на отдельном этапе наземной экспериментальной отработки (НЭО).

Показатель достоверности контроля технического состояния объекта испытаний (ОИ) Б в соответствии с обобщенным выражением

зависит от трех параметров - Р, а и в. При этом вероятность исправного состояния ОИ к началу испытаний Р определяется свойствами ОИ и результатами предыдущих этапов испытаний, а систему контроля на анализируемом этапе испытаний характеризуют параметры а и в - вероятности ошибок первого и второго рода. Достоверность контроля технического состояния ОИ тем выше, чем меньше значения а и в, однако возможности уменьшения а и в при проведении тех или иных операций контроля технического состояния ОИ могут быть ограничены. В этих условиях требуемые значения параметров а и в достигаются увеличением объема испытаний.

Задача уменьшения вероятностей ошибок первого и второго рода а и в для каждого этапа НЭО объекта испытаний может быть связана как с повышением достоверности контроля технического состояния на данном этапе, независимо от остальных этапов испытаний, так и с нормированием требований к достоверности контроля технического состояния ОИ на данном этапе с учетом достоверности на остальных этапах испытаний при многоэтапном контроле. В первом случае решается задача минимизации вероятностей первого и второго рода а и в, что соответствует достижению наивысшей достоверности на анализируемом этапе испытаний, а во втором случае решается задача достижения на анализируемом этапе значений а и в, обеспечивающих требуемую достоверность контроля технического состояния ОИ по результатам всего цикла испытаний.

Многократный контроль широко применяется при проведении испытаний радиоэлектронной аппаратуры, в том числе сложных радиоэлектронных систем. Объем испытаний характеризуется количеством многократно повторяемых проверок Ы, по результатам которых принимается решение о годности или негодности ОИ. Поскольку результаты контроля в общем случае могут быть различными, правило принятия решения строится с учетом всех возможных положительных и отрицательных исходов проверок. Чем больше положительных исходов, тем с большим основанием ОИ может быть признан годным и, наоборот, при большом числе отрицательных исходов ОИ практически достоверно можно считать неисправным.

Рассмотрим многократный однопараметрический контроль ОИ. В общем случае по результатам N проверок ОИ может быть признан годным, если результат контроля «годен» был получен п<Ы раз. В случае отрицательного исхода проверки осуществляется отбраковка ОИ, и после ремонта, настройки или регулировки его контроль начинается с начала. Следовательно, годным признается только тот ОИ, который по результатам Ы-кратной проверки признан годным п=Ы раз. Пусть известны а=а{1) и в=в{1) - вероятности ошибок первого и второго рода при однократной проверке (N=1). Необходимо определить вероятности ошибок первого и второго рода при Ы-кратной проверке с отбраковкой а{Ы) и в(Ы), которыми будет определяться достижимое значение показателя достоверности контроля технического состояния ОИ - Б.

Для определения значений а(Ы) и в(Ы) при многократном контроле ОИ с отбраковкой используем подход, основанный на анализе условных вероятностей ошибок типа ложного отказа р( Г\И) и необнаруженного

отказа р( Иг ) при Ы-кратной проверке. Для симметричной гауссовской плотности вероятности погрешности измерения $(%) с нулевым математическим ожиданием при условии, что поле рассеяния погрешности измерений меньше поля допуска на измеряемый параметр, а области принятия решения и работоспособности совпадают, условные вероятности р(Г\И) и р(И\Г) при многократных измерениях приближенно определяются по формуле

где w(x) - плотность вероятности значений контролируемого параметра на момент начала Ы-ой проверки, с и d - соответственно нижняя и верхняя границы контрольного поля допуска, совпадающие с нижней и верхней границей области работоспособности. Формула (2) тем точнее, чем меньше погрешности отдельных измерений и чем больше их число Ы.

Априорная (доопытная) вероятность ошибки первого рода а=ад определяется условной вероятностью

ошибки типа ложный отказ: а= р(Г\И) . Определив для Ы-кратной проверки величину р(^)(Г|И) , мы непосредственно получаем значение а(Ы). Условной вероятностью необнаруженного отказа определяется апо-

ошибки второго рода при Ы-кратной проверке. Для перехода к интересующей нас величине априорной (до-опытной) вероятности ошибки второго рода в(Ы) необходимо установить взаимосвязь между величинами вп{Ы) и в(Ы) при заданных условиях испытаний.

Ложный отказ ОИ может возникнуть при каждой из Ы проверок. После первой проверки и отбраковки

ки типа ложного отказа при первой проверке. После второй проверки и отбраковки среднее относитель-

признания ОИ годным после первой проверки, р{2) (И) - вероятность исправного состояния ОИ к началу

Наконец, после Ы-ой проверки и отбраковки среднее относительное число ложно отбракованных ОИ со-

c

стериорная (послеопытная) вероятность

Определив для N-кратной про-

верки величину

мы получаем соответствующее значение ßп{ы) - апостериорную вероятность

среднее относительное число ложно отбракованных ОИ

вероятность исправного состояния ОИ к началу первой проверки, р( Г\И) - условная вероятность ошиб-

ное число ложно отбракованных ОИ

где р(1) (Г) - вероятность

второй проверки, р2( Г\И) - условная вероятность ошибки типа ложного отказа при второй проверке.

ставляет:

проверки,

„(*) .

N -1

П р

I =1

р

вероятность признания ОИ годным после 1-ой

- вероятность исправного состояния ОИ к началу Ы- ой проверки, PN(Г|И) -

условная

вероятность ошибки типа ложного отказа при Ы-ой проверке.

Общее среднее относительное число ложно отбракованных ОИ соответствует безусловной вероятности ложного отказа за Ы проверок:

¿.ю = „0) , „(2) , , n(N) =

рЛО = „ЛО ^ „ЛО ^  ^ „ЛО =

р(1)(И) р1(Г|И) + р(1)(Г) р(2)(И) р2( Г\И) +  р(т(И)рт(Г|И) '

N-1

П р0)( г ) .¿-1

При контроле с отбраковкой плотность распределения значений контролируемого параметра признанных годными ОИ после первой проверки определяется выражением а-х

I Я

™1(х) =

После 1-1 независимых проверок с отбраковкой, применяя последовательно формулу (4), получаем плотность распределения

п/-1

™

П р(к)(Г) к=1

которая является начальной плотностью вероятности значений параметра для 1-ой проверки.

При высокой точности измерений контролируемых параметров можно полагать, что при первой проверке а а

а ППТ/Т ГГ!“!!"1 ТТ ^ ТТ^ 7ТПТТТТ/Т V ППП В П1Л О V I -и;

р(1) (Г)~р(1) (и)^ | ^( х)ах,

а при последующих проверках

|^-1(х)ах = 1 и р(1) (Г)^р(1)(И)^1, где 1=2,3,.., Ы-1.

Тогда, подставив плотность распределения ж±-1(к) вида (5) в выражение (2), после преобразований получаем:

р.<

где а= р1( Г|И) - вероятность ошибки первого рода при одном измерении.

Результирующая условная вероятность ошибки типа ложного отказа для Ы-кратной проверки определяется в виде: р

сумма в правой части выражения (3) приводится к виду геометрической прогрессии. Определив сумму геометрической прогрессии для Ы слагаемых, получаем выражение для вероятности ошибки первого рода

а^ = р{Ы)(Г\И) при Ы- кратной проверке с отбраковкой:

1

Полученное выражение (7) устанавливает зависимость от а и от Ы. При Ы>>1 можно полагать

а(^ « 2а .

Из выражения (7) следует, что многократный контроль с отбраковкой приводит к увеличению вероят-

ности ошибки первого рода а по сравнению с вероятностью ошибки первого рода а при однократном контроле. Однако порядок вероятности ошибки первого рода сохраняется, и максимальное ее увеличение

не превышает 2 раз. На рисунке 1 приведены рассчитанные по формуле (7) зависимости а(^ от а при различных Ы. Кривая 1 соответствует Ы=1, кривая 2 - Ы=5, кривая 3 - Ы=10. Из графиков видно, что зависимости, соответствующие Ы=5 и Ы=10, отличаются незначительно и практически совпадают с предельной зависимостью а^ = 2а .

Рисунок 1. Вероятность ошибки первого рода а(Ы) ошибки первого рода при одной проверке а. Кривая 1 -

при Ы проверках в зависимости от вероятности

Ы=1, кривая 2 - Ы=5, кривая 3

Ы=10.

Необнаруженный отказ ОИ при многократных проверках возникает после последней Ы-ой проверки. Отказы, не обнаруженные при каждой из предыдущих Ы-1 проверок, могут быть обнаружены при последующих проверках, и не учитываются при определении результирующей условной вероятности необнаруженного

отказа при Ы-кратной проверке р^^ГИ) . Следовательно, р^М)(Г|И) = рN(Г|И) , где рN(Г|И) - условная

вероятность ошибки типа необнаруженного отказа при Ы-ой проверке.

Р(Ы) (И

+

с

Плотность распределения значений контролируемого параметра признанных годными ОИ после (Ы-1)-ой проверки определяется выражением "а -

' .

-.N-1

Чх)

-1(х) = N-1

П р

к=1

Так же, как и при определении р(И)(Г|И) , будем полагать, что имеет место высокая точность измере-

а

ний контролируемых параметров. Тогда при первой проверке р(1)(Г)^р(1)(И)^ |^(х)ах , а при последующих

а

проверках

вида (8) в выражение (2), после преобразований получаем:

PN

где вП= р( И|Г) - апостериорная вероятность ошибки второго рода при одном измерении.

Выражение (9) определяет апостериорную вероятность ошибки второго рода П=р(N)(щ|г)=ры(Щг) при Ы-кратной проверке с отбраковкой. Переход от рГ к необходимой для расчета показателя достоверности контроля технического состояния ОИ Б априорной вероятности ошибки второго рода р^" осуществляется с использованием соотношения для рп вида

Р

Рп =----—------ ---- .

П Р-аР + Р

С учетом выражения (9) составим уравнение

р

,

Р -а

связыв

1

ающее р^" и в. Разрешая уравнение (11) относительно р^" после преобразований получаем:

р(") =_______________________Рр__________________

2И-1[Р -аР + Р

1 - 2а I 1 -

Полученное выражение (12) устанавливает зависимость Р(И) от в и от Ы, кроме того, р^" зависит от а и от Р.

Из выражения (12) следует, что многократный контроль с отбраковкой приводит к уменьшению вероятности ошибки второго рода р^" по сравнению с вероятностью ошибки второго рода в при однократном

контроле, причем при Ы>>1 обеспечивается Р(И) ^0 . Это уменьшение вероятности ошибки второго рода оказывает более значительное влияние на повышение достоверности контроля, чем увеличение вероятности ошибки первого рода, по двум причинам. Во-первых, показатель достоверности контроля Б более

критичен к величине вероятности ошибки второго рода в, чем к величине вероятности ошибки первого

рода а. Во-вторых, при в=0 независимо от величины а достигается максимальное значение показателя

достоверности контроля Б=1, а при многократном контроле с отбраковкой величина Р^ уменьшается до значений, близких к нулю.

Анализ выражения (12) показывает, что величина Р(И) определяется, в основном, значениями в и Ы,

а зависимостью р^" от а и от Р при а<0,2 и Р>0,8 можно пренебречь и полагать р(И) ~ р/2N 1 , что соответствует а=0 и Р=1. Из этого приближенного выражения непосредственно следует, что с увеличением числа проверок величина вероятности ошибки второго рода быстро уменьшается. Так, при Ы=5 уменьшение

Рпо сравнению с в составляет 16 раз, а при Ы=10 - 512 раз. При этом увеличение по сравнению

с а для этих же условий не превышает 2 раз.

На рисунке 2 приведены рассчитанные по формуле (12) зависимости р^" от в при различных Ы. Полагалось а=0,2 и Р=0,8. Кривая 1 соответствует Ы=1, кривая 2 - Ы=5, кривая 3 - Ы=10. Из графиков видно, что с увеличением Ы величина р^" резко уменьшается и стремится к нулю, при этом влияние парата /?(") /?(•") о

метров а и Р на величину р незначительно, и приведенные зависимости р от в, полученные для

выбранных значений а и Р практически совпадают с предельной зависимостью

Р(Л0 = р! 2й-1 .

с

Рисунок 2. Вероятность ошибки второго рода в(м) ПРИ N проверках в зависимости от вероятности ошибки второго рода при одной проверке в• Кривая 1 - N=1, кривая 2 - N=5, кривая 3 - N=10.

Таким образом, получены выражения, позволяющие расчетным путем определять вероятности ошибок первого и второго рода при многократных проверках ОИ с отбраковкой, а по ним - результирующий показатель достоверности контроля ОИ. Исходными данными для расчетов являются вероятность исправного технического состояния ОИ к началу контроля, вероятности ошибок первого и второго рода при одном измерении контролируемого параметра и число проверок. Эти соотношения могут быть использованы при нормировании требований к достоверности контроля технического состояния ОИ в процессе многоэтапной НЭО. Вероятности ошибок первого и второго рода при одном измерении определяются системой контроля, а вероятность исправного технического состояния ОИ к началу контроля - достоверностью контроля на предыдущем этапе испытаний. В этих условиях требуемая достоверность контроля на анализируемом этапе испытаний может быть обеспечена выбором числа проверок.