Математическая модель расчета оптимальной схемы раскроя бревен на радиальные пиломатериалы

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНОЙ СХЕМЫ РАСКРОЯ БРЕВЕН НА РАДИАЛЬНЫЕ ПИЛОМАТЕРИАЛЫ

Яцишин С.И., Грицюк Ю.И.

Предложена математическая модель расчета оптимальной схемы раскроя бревен на пиломатериалы по критерию, что характеризирует эффективность использования торца бревна. Такой подход дает возможность определить оптимальные толщины досок для секторного способа раскроя бревен на радиальные пиломатериалы. Проведенные расчеты дают результаты, вполне пригодные для прогнозирования спецификационного выхода пилопро-дукции.

The mathematical model of calculation of optimum chart I will cut out logs on

radial saw-timbers

The mathematical model of calculation of optimum chart is offered I will cut out logs on saw-timbers after а criterion, that characterizes efficiency of the use of butt end of log. This approach enables to define optimum thickness of boards for а sectblor method I will cut out logs on radial saw-timbers. The conducted calculations give results suitable for prognostication of specification output of sawn production.

На сегодня для многих способов раскроя бревен на пиломатериалы, за исключением секторного, разработаны совершенные математические модели, вполне достаточные как для определения оптимальных схем раскроя, так и для выполнения соответствующих производственных расчетов. Поэтому вопрос разработки математической модели для определения оптимальных схем раскроя бревен секторным способом на радиальные пиломатериалы является актуальным, может иметь широкое применение для прогнозирования спецификационного выхода пилопродукции.

При расчете оптимальных схем раскроя важное значение имеет используемый метод подбора оптимальных толщин пиломатериалов. В роботе "Основы теории максимальных поставов" [3] Г.Г.Титков предложил метод для вычисления оптимальных толщин двусторонне обрезных досок относительно розвального способа раскроя бревен на пиломатериалы. Мы попробуем адаптировать этот метод для секторного способа раскроя, применив при этом методику нахождения абсолютно максимального постава по критерию, характеризирующего эффективность использования вершинного торца бревна [1, ст. 79].

Обратим внимание на то, что, в отличие от моделей Г.Г. Титкова, для выполнения соответствующих расчетов как образующую контура вершинного торца бревна применим эллипс, который описывается таким каноническим уравнением

г \ x

V ae

2

+

f \

X

V be У

2

= 1,

где ae, Ь - соответственно большая и малая полуоси эллипса. Необходимо также отметить, что для увеличения ширин выпиливаемых досок бревна в лесопильное оборудование подаются большим диаметром вертикально. Вместо эллипса можно использовать любую другую кривую, например, описанную квадратичными или кубическими сплайнами [4], а приведенная ниже методика вычисления оптимальных толщин досок останется той же.

Рисунок 1- Схема определения оптимальных толщин центральных и боковых досок

В процессе раскроя бревен секторным способом на радиальные пиломатериалы возможны два способа составления схем - с сердцевинной и с центральными досками. На рис. 1 показана схема раскроя сектора бревна только на радиальные пиломатериалы с двумя центральными досками. Отметим, что нижеприведенная методика в полной мере является пригодной и для вычисления оптимальных толщин двусторонне обрезных боковых досок.

Обозначим площадь поперечного сечения двусторонне обрезной доски с припуском на усушку через ГаЬса и площадь части поперечного сечения сектора, используемого для получения этой доски с учетом ширины пропила, через FABCD• Тогда максимальную эффективность использования части поперечного сечения сектора можно определить

Е, Л =

к

а1)С(1

к

^ тах.

ЛБСБ

Согласно с рис. 1, истинную площадь поперечного сечения двусторонне обрезной доски можно определить по такой формуле

КаЬеа = КаЬеГ - •

В формуле (3) Fabef - общая площадь поперечного сечения доски, что содержит его истинную и мнимую части, определяется

КаЬеГ = т • ?6е [Аш + т; ае; Ье ],

где т - толщина доски с припуском на усушку; Авн - расстояние от центра торца бревна к внутренней пласти доски (для центральной доски Авн = 1/2, где 1 - ширина пропила); ^гк[х; ае; Ье] - функция, которая воспроизводит образующую контура вершинного торца бревна. Для эллипса, согласно с формулой (1), эта функция имеет такой вид

Гбе [х; ае; Ье]= Ье •

1 -

Г \2

X

Ч ае У

где х - текущее значение абсциссы оси эллипса.

В формуле (3) Fdcef - мнимая площадь поперечного сечения доски, определяется по такой формуле

Fdcef = m •

где а' - расстояние от центра торца бревна к внутреннему ребру сектора, образованного двумя его смежными пластями, определяется по такой формуле

. t/2 _

а' =-,

cos a

где a - угол между осью абсцисс и прямой DG, определяется

a = 90 — У,

где у - центральный угол сектора: для 4 секторов у = 90°; для 6 секторов у = 60°; для 8 секторов у = 45.

Для более понятного выполнения последующих расчетов введем переменную, которая будет характеризировать истинную ширину обрезной центральной или боковой доски

ba = f6e [Aaf+ m; ^ be]-

Тогда формула (3) приобретет такой вид

Fabcd = m  ba.

Согласно с рис. 1, истинную площадь части поперечного сечения сектора, используемую для получения двусторонне обрезной доски с учетом ширины пропила, можно определить по такой формуле

FABCD = FABE0 - FDCE0,

В формуле (11) FABE0 - общая площадь используемой части поперечного сечения сектора для получения двусторонне обрезной доски, которая включает его истинную и мнимую части, определяется по такой формуле

Bi

FABE0 = J f6e [x; ae; be]dx ,

Ai

где Ai, Bi - соответственно нижняя и верхняя границы интегрирования, которые в процессе выполнения расчетов набирают такие значения:

Ai = Aai — \ ; Bi = Aai + m + \ .

Подынтегральная функция в формуле (12), воспроизводящая образующую контура вершинного торца бревна, приведена в формуле (5). Для вычисления определенного интеграла можно использовать формулу трапеций или Симпсона с постоянным шагом интеграции, например, в 1 мм.

В формуле (11) FDCE0 - мнимая площадь поперечного сечения сектора, определяется по такой формуле

Bi

FDCE0 = Ka'+x • tga)dx =

A;

X

a'^x ч---tga

2

у

Bi

A

= X

x

а'ч— tga 2

B

Ai

= B:

' , Bi v 2

tga

- A

f , Ai v 2

tga

Задавшись необходимыми начальными данными и проведя нужные расчеты, в соответствии с приведенной выше методикой с разными стандартными толщинами пиломатериалов, по формуле (2) можно получить разные значения эффективности использования части поперечного сечения сектора. По максимальному значению эффективности принимается оптимальная толщина центральной или боковой доски. Рассмотрим конкретный пример расчета.

Пример 1. Пусть задано бревно хвойной породы, диаметры вершинного торца которого в двух измерениях составляют соответственно d1 = 32 см и d2 = 36 см. С использованием ленточного оборудования бревно распиливается на 4 сектора, а секторы распиливаются на радиальные пиломатериалы стандартных толщин. Толщина пропилу составляет 2,8 мм. Необходимо подобрать оптимальные толщины центральных досок для вертикального сектора при условии, что центр осей координат пропилов совпадает с центром вершинного торца бревна.

В соответствие с условием задачи, половина горизонтальной оси эллипса составляет ae = 160 мм, а половина вертикальной оси be = 180 мм. Поскольку бревно распиливается на 4 сектора, то а = 45°. Кроме того, расстояние от центра торца бревна к внутренней пласти доски Авн = 1,4 мм, расстояние от центра торца бревна к внутреннему ребру сектора a' = 1,980 мм, а нижняя граница интегрирования Ai = 0,0 мм. В соответствии с этими начальными результатами расчета попробуем выполнить и все остальные расчеты, результаты которых целесообразно свести в соответствующую табл. 1.

Таблица 1- Определение эффективности использования части поперечного сечения

mc, мм Ду, мм m, мм b', мм b", мм Ьд> мм Fabc^, мм Bi, мм FAB^ мм FdC^ мм FABCD, мм EB

13 0,8 13,8 179,19 17,18 162,01 2235,68 16,6 2982,63 170,65 2811,98 0,795

16 0,9 16,9 178,82 20,28 158,54 2679,31 19,7 3537,02 233,05 3303,97 0,811

19 1,0 20,0 178,38 23,38 155,00 3100,06 22,8 4090,07 305,06 3785,00 0,819

22 1,2 23,2 177,86 26,58 151,28 3509,69 26,0 4659,32 389,48 4269,84 0,822

25 1,3 26,3 177,28 29,68 147,60 3881,93 29,1 5208,97 481,02 4727,95 0,821

32 1,6 33,6 175,64 36,98 138,66 4659,00 36,4 6495,02 734,55 5760,48 0,809

40 2,0 42,0 173,25 45,38 127,87 5370,61 44,8 7957,33 1092,22 6865,12 0,782

45 2,2 47,2 171,50 50,58 120,92 5707,21 50,0 8851,26 1348,99 7502,27 0,761

50 2,4 52,4 169,52 55,78 113,74 5959,93 55,2 9735,17 1632,81 8102,36 0,736

Примечание: тс - стандартная толщина доски; Ду - припуск на усушку хвойных пиломатериалов к влажности 8-10 %.

Анализируя полученные результаты расчета, можно увидеть, что максимальная эффективность использования части поперечного сечения вертикального сектора вершинного торца бревна, полученная для центральной доски толщиной 22 мм, составляет Евмах = 0,822. Однако в рациональную схему раскроя можно вносить доски с толщинами 19, 22 и 25 мм, поскольку значения их показателей Ев на-

ходятся в ближайшей окрестности Евмах. При этом истинные ширины этих досок будут составлять соответственно 155, 151 и 148 мм. Закруглять эти значения к стандартной ширине нет потребности, поскольку, что часто радиальные пиломатериалы сначала сращивают по ширине с прямой или наклонной кромкой, а уже потом происходит их разрезание на нужный размер.

Кроме того, если проанализировать результаты расчетов для центральных и сердцевинных досок [2], то можно увидеть, что в оптимальную схему раскроя секторов на радиальные пиломатериалы первой целесообразно вносить сердцевинную доску, а остальные - боковые доски. Во-первых, сердцевинная доска является более радиальной по сравнению с центральной, потому что угол между касательной к годовым кольцам и внутренней пластю доски находится в пределах 85-88 Во-вторых, сердцевинная доска может иметь намного больше ширину по сравнению с центральной, что дает возможность более эффективно использовать дорогое сырье. В-третьих, схема раскроя с сердцевинной доской является менее громоздкой и затратной, чем с центральными досками.

Для выполнения окончательных производственных расчетов необходимо также знать значения акр и Ькр (см. рис. 1). Для их определения используются такие соотношения:

Ьед = а'+аед • , (15) или Ьед = Ь

1 -

аед

Ч ае У

Отсюда

а'+аед • = Ь

1

1 -

а

ед

Ч ае У

^ а'+аед • tga - Ье

1

1-

а

ед

Ч ае У

= 0.

Решив сначала нелинейное уравнение (17) одним из итерационных методов (например, золотого сечения или Фибоначчи), определяется акр, а затем, с использованием выражения (15) или (16), определяется Ькр.

Выводы

Предложена математическая модель расчета оптимальных схем раскроя бревен на пиломатериалы по критерию, характеризирующему эффективность использования торца бревна. Применение этой модели дает возможность вычислить оптимальные толщины досок для секторного способа раскроя бревен на радиальные пиломатериалы. Проведенные нами многочисленные расчеты дают результаты, пригодные для использования в производственных условиях.

Лггература

1. Аксёнов П.П. Теоретические основы раскроя пиловочного сырья. - М.-Л.: Гослесбумиздат, 1960. - 216 с.

2. Грицюк Ю.1., Яцишин С.1. Визначення оптимальних схем розкрою колод на радiальнi пи-ломатерiали// Наук. вюник УкрДЛТУ: Зб. наук.-техн. праць. - Львiв: УкрДЛТУ. - 2005, вип. 15.3. -С. 115-125.

3. Титков Г.Г. Основы теории максимальных поставов// Механическая обработка древесины. - М., 1939, № 2-3.

4. Яковлев М.К. Совершенствование учёта и раскроя круглых лесоматериалов на основе метода индивидуальных моделей/ Автореф. дис... канд. техн. наук: 05.21.05/ Белор. гос. технол. ун-тет. - Минск, 1995. - 19 с.

е

2

2