Влияние структурного фактора на конфигурацию линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

УДК 538.945

МЛ. Зеликман, К.А. Поцелуев

ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРНОГО ФАКТОРА НА КОНФИГУРАЦИЮ ЛИНЕЙНЫХ ВИХРЕЙ В ТРЕХМЕРНОЙ УПОРЯДОЧЕННОЙ ДЖОЗЕФСОНОВСКОЙ СРЕДЕ

Одной из важнейших проблем в физике высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) является анализ структуры, движения и пиннинга вихрей, возникающих в образце при внесении его во внешнее магнитное поле. Исследованию вихрей посвящено значительное количество работ [1—7]. Например, в статьях [3, 4] анализируется поведение одномерных вихрей в длинном джозефсоновском контакте. Однако при этом рассмотрении распределение фазы у вихря предполагается непрерывным в пространстве, а его пиннинг обусловлен взаимодействием с дискретно расположенными центрами пиннинга. На самом же деле джозеф-соновская среда представляет собой ячеистую структуру, что уже само по себе обусловливает пиннинг; последний определяется энергией, необходимой для перемещения центра вихря из одной ячейки в другую.

В работе [5] проведен анализ поведения вихря в линейной цепочке СКВИД. Однако рассмотрение ведется для двумерного случая, т. е. магнитное поле отдельной петли учитывается лишь в магнитном потоке, который ее пронизывает. Для трехмерного случая вихрь представляет собой систему коаксиальных «соленоидов», поэтому магнитный поток через петлю создается не только ею самой, но и другими токовыми участками, в том числе достаточно

удаленными. С уменьшением критического тока контакта растет размер вихря, т. е. число петель, принимающих участие в формировании магнитного потока через центральную ячейку вихря; это компенсирует уменьшение вклада в магнитный поток от каждой петли.

В работе [7] была получена система уравнений квантования флюксоида в ячейках для трехмерной упорядоченной джозефсоновской среды, содержащая два безразмерных параметра / и Ъ, смысл которых будет понятен из дальнейшего изложения. На базе этих уравнений в работе [8] проведен расчет равновесных конфигураций линейного вихря в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде и построены зависимости энергии пиннинга вихря, а также его магнитной и джозефсоновской энергий от величины критического тока джо-зефсоновского контакта. Расчет проводился в широком диапазоне значений параметра /, при этом для простоты расчета параметр Ь предполагался равным нулю. В частности, в указанной работе рассматривался случай значений 7, при которых Л« 1.

Цель настоящей работы—выполнение аналогичной программы для случая линейного вихря в трехмерной джозефсоновской среде при разных значениях Ь. Поскольку, как будет видно из дальнейшего, параметр Ъ принимает значения от

0,049 до 0,454, для К 0,25, при которых 1Ь<< 1, будет справедлив подход, описанный в статье [8]. Поэтому в данной работе будет рассматриваться случай 1> 0,25.

Расчет структуры и энергии линейного вихря

Рассмотрение будем проводить на модели, представляющей собой кубическую решетку с периодом а> состоящую из сверхпроводящих проводов радиусом §, каждая связь которой содержит один джозефсоновский контакт, причем все контакты имеют малые размеры и обладают одной и той же величиной критического тока /с. Токовое распределение имеет плоскую структуру, т. е. во всех параллельных плоскостях, перпендикулярных оси вихря и расположенных на расстоянии а друг от друга, токи распределены идентично. Такая модель, являясь в достаточной степени цростой, позволяет сделать оцределенные выводы о структуре вихрей, их пиннинге и динамике.

Рассмотрим возможность существования вдали от границы образца изолированного самоподдерживающегося линейного вихря при отсутствии внешнего магнитного поля. Из соображений симметрии следует, что равновесные конфигурации могут быть трех видов в зависимости от расположения центра вихря: либо он находится в центре одной из ячеек, либо на одном из контактов, либо на пересечении проводов. Однако подробный анализ показывает, что последний вариант решения не имеет.

Рассмотрим подробно обе равновесные конфигурации линейного вихря.

Центр вихря в центре ячейки — конфигурация А. Сечение части такого вихря плоскостью, перпендикулярной его оси, показано на рис. 1. Вихрь обладает осевой симметрией, а также четырьмя плоскостями симметрии, проходящими через центр левой нижней ячейки: вертикальная, горизонтальная и две диагональные. На этой основе можно построить все сечение вихря. В каждой из ячеек выполняется условие квантования флюксоида:

2п^+Ъ<$1) = 2пКт,

ф0 к

где — сумма скачков фазы на джозеф-

к

ооновских элементах т-ой ячейки: Ф„ — пол-

' т

1

У9-Н»13 ^з-Ун

!Э !Э'

¥[^-¥13

30 30 Уй-Уа 10  ¥*Г¥12

0-90 30 УгЧи 10. 30 30- ¥кг¥п

90 ,0 , 30 4^6 1Э' ¥кд"¥п

Рис. 1. Распределение токов и скачков фазы на контактах для конфигурации А вихря в плоскости, перпендикулярной его оси. Над каждым контактом указан скачок фазы, выраженный через Ячейка с г0 содержит 1 квант магнитного потока Ф0, все остальные квантов не содержат

ный магнитный поток через т-ю ячейку; Ф0 -квант магнитного потока; Кт — целое число, равное 1 для центральной ячейки вихря (с током /0) и нулю для всех остальных.

Величины джозефсоновских токов Зк =1сш(рк по мере удаления от центра вихря убывают. Мы будем рассматривать лишь такие конфигурации, в которых ф£ «1, т. е. бш ср^ ~ щ для всех (рк, кроме самых больших по величине скачков фазы ф0 и ф! в ближайших к центру ячейках (см. рис. 1). Справедливость этого предположения будет подтверждена далее. Чтобы избежать выписывания условий баланса токов в узлах, удобно воспользоваться методом «контурных токов» ячеек. Пусть в каждой ячейке с номером т протекает контурный ток ¡т = где — «контурный» скачок фазы. Тогда значения скачков фазы фк на контактах (кроме ф0 и ф|) определяются как разности соответствующих «контурных» значений (см. рис. 1).

Вычислим вклад в магнитный поток через ячейку от бесконечного числа токов, расположенных один под другим и протекающих по одной из ее границ (рис. 2). Вертикальная проекция В2 поля, созданного элементом, на-

Рис. 2. Геометрия ячейки для расчета индукции магнитного поля В: М — точка нахождения элемента ячейки; площадь сечения ячейки в направлении, перпендикулярном оси вихря, заштрихована

ходящимся в точке М на расстоянии z = па по вертикали от плоскости ячейки, следует выражению

В = i? eos у =

4п(х2 +(йй)2)0'5 x(cosP1 +cos(32)cosy = Но/

X

X

X

4к(х2+(па)2?'5 У . а~У

+У* НпаГГ (.х2 +(а-уУ +(па)) х

2\0,5

У

X

(х2+(па)2)0'5

Проинтегрировав по площади ячейки, получим выражение для вклада в поток от элемента:

-2(а2+(1-сс)2 +n2J'5 +(2а2 +л2)'

и0/а 1-а

---х

2л 2

xln

^2(1 - а)2 + я2 )°'5 -1+а +(1 - а)2 +я2)°'5 +1- а ^2 (1-а)2 +й2)°'5 +1-а^(а2 +(1-а)2 +n2J'5 -1+а

[(2а2 ч-й2)0'5 -а|(а2 +(1-а)2 +«2)°'S +а)'

2тс 2

где а = 8/а.

Просуммировав по п от -ее до -и», найдем искомый поток через ячейку. Представим его в виде

Параметр как и структурный фактор Ъ = [2я(1 - 2а)] 1 1п(2? / 2)),

где

2Г = 1-ехр[2я(1-а)], 2) = 1-ехр[-2яа],

приведенный в статье [6], связан с неоднородностью поля в ячейках вследствие дискретности распределения токов. Бели бы поле было однородным, то фактор Ьь был бы равен нулю. Тогда полный поток через ячейку от токов по всем четырем границам следовал бы выражению

BS = ^(a-2S)2,

как и должно быть.

Расчет показывает, что при всех значениях а величина Ъь на 5—7% меньше Ъ. Но фактор Ъ соответствует учету неоднородности от поля, созданного бесконечно длинными токами, а Ьь — только неоднородности от участка, ограничивающего ячейку. Следовательно, вклад от остальных участков мал и им можно пренебречь в целях упрощения анализа. Далее будем считать значение Ьь равным Ь. В работе [6] показано, что с ростом отношения 5 / а структурный фактор Ъ уменьшается и все его практически значимые величины, соответствующие 0,01 < 5 / а < 0,50, находятся в диапазоне от 0,049 до 0,454.

Магнитный поток через т-ю ячейку можно записать в следующем виде [6]:

Ф =м

(т Ф 0),

где - алгебраическая сумма токов кон-

к

тактов т-ой ячейки, 5 - площадь ячейки.

В отличие от рассмотрения, приведенного в работе [8], где для простоты изучался случай lb « 1 (/— параметр пиннинга, определяемый выражением (4)), в настоящей статье рассмотрим все возможные значения Ъ и I.

Подставим выражение (2) в условие (1) и считаем, что контурные токи im - Jc\¡гт; тогда система уравнений квантования флюксоида (т — номер ячейки на рис. 1) имеет вид

/(46 + 1)\|/0-46/\|/1+4ф0 =2я (аи = 0);

[/

—(7Ь + 1)(\|/3 +2\|/5)-ф1 = 0 (/я = 2); [7(46 + 1) + 4]г|/3 - (Л+ 1)(V2 +2щ) = 0 (т = 3);

[/

и т. д.

Кроме того,

втфо =Vo"Vi; ШПф! =Vi-V2>

где

j = 1k\lqJcS ^^

Ф0а

Последние два уравнения в системе (3) получены из дополнительных условий

Jc sin фо = /0 - ;

/csin<p, = /, -i2

для токов в контактах со скачками фазы ф0 и

Ф1 соответственно (ф0 и ф! мы не считаем малыми).

Джозефсоновская энергия Ej единицы длины вихря такой конфигурации определяется выражением

Ej = Еса1X (1 - cos <рЛ) = 4Щ (4 - cos ф0 -

к

-СОвф!-COs(\|/2-\|/3)-COS\|/3)+ ^

+ %1Ей (б - cos (\|Г4 -Ц15)~ COS (||/5 - \|/6) -—cos\|/6-cos(\|/7-\|/8)-COS\|/g-COS\|/9) + ... .

Суммирование по А: в выражении (5) ведется по всем джозефсоновским контактам. Здесь Ес - Ф0/с/2я — энергия джозефсоновского контакта; Е0-фЦ4п2 а2ц0 — нормировочная постоянная.

Для расчета магнитной энергии Ен выражения из работы [8] применять нельзя, так как при их выводе использовался факт однородности поля. В рассматриваемом случае поле не является однородным (см. выражение (2)). Именно поэтому величина Ь отлична от нуля. Запишем выражение для магнитной энергии системы контурных токов

Ен

т,п

где под током гт подразумевается столбец из бесконечного числа контуров с контурным током 1т, расположенных один под другим в сечениях, перпендикулярных оси вихря. Здесь Аил — матрица взаимных индукгивностей, определяемая из соотношения

Ф ^

и/ _ ^т — \т /

1 т ¿и ^тпЫ '

а п

где х¥т — полный магнитный поток (пото-косцепление) через столбец.

Используя это соотношение, запишем выражение для магнитной энергии единицы длины вихря в виде

ЕН = 0.5Х 1т Е 1тп'п = Е 1тфт  т п а т

Для конкретной конфигурации А это выражение примет вид

Ен =0,5Г2Е0(у20 + 4М|/0(у0-Щ) +

+ 4(\|/12-^1(¥О+¥2+2¥4-4¥1)+ ,,ч

1

+ щ-Ь\\г2(У1 +2^5 -4\|/2) + ...) +

+8(^5 - Ьф5 (¥2 + ¥4 + + ¥7 - 4^5) +  • •))•

Суммирование по т в выражении (6) ведется по всем ячейкам с учетом симметрии вихря (что приводит к коэффициенту 4 для ячеек, лежащих на центральных столбце и строке, и к коэффициенту 8 для всех остальных).

Переход от бесконечной системы (3) к конечной можно осуществить, если пренебречь токами, достаточно удаленными от центра (см. рис. 1). Размер квадрата, необходимого для рас-

0 1 2 3 А I, о.е.

Рис. 5. Расчетные зависимости полной энергии линейного вихря для конфигураций В

6ф, о.е

0.00

012345S78 Jf ае>

Рис. 6. Расчетные зависимости относительных отклонений 8ф для значений скачков фаз 2) от параметра /при увеличении размера квадрата от

5 х 5 до 7 х 7 (1,2) йот 3 х 3 до 5 х 5 (Г, 2); Ъ = 0,454

Рис. 4. Расчетные зависимости магнитной (/, 1) и джозефсоновской (2, 2) энергий от параметра / для значений Ь^ = 0,049 (/, 2)нЬтях = 0,454 (Г, 2)\ размер ячейки 7x7

чета, определяется следующим условием: изменения величин скачков фазы на контактах, близких к центру, должны быть малыми при увеличении размера квадрата.

Выразим , и у 2 через ф0 и ср, из линейных уравнений системы (3) и подставим их в два последних уравнения этой системы; тогда получим два нелинейных уравнения, в которых неизвестными являются ф0 и ср1. Кривые, которые описываются этими уравнениями, имеют одну точку пересечения — ей соответствуют значения <р0 и ф1, определяемые численным методом. Зная ф0 иф1; находим и все \|/т.

ф, трад

1.6 -

Расчет, проведенный для разшчных значений параметра Ь, показал, что контурные скачки фазы на всех контактах, кроме контактов со скачками фаз ф0 и ф1, меньше 0,5 при любых значениях параметров /и Ь, что подтверждает справедливость условия Ш1ф£ ~ (рк при к Ф 0 и 1.

На рис. 3 представлены зависимости скачков фаз ф0 и ф1 от параметра /для минимального и максимального значений 6. Видно, что с увеличением Ъ значения ф0 и ф1? т. е. токи в центральной области, заметно уменьшаются. При всех значениях Ь для /> 0,25 величину ф1 можно считать малой.

Е/Ер o.e. 11

ю

9 8 7

е 5 4

3 2

—|-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

0 2 4 6 8 If o.e.

Рис. 3. Расчетные зависимости скачков фаз <р0

и <¡>1 (2,2) от параметра /для значений параметра Ьтт=0,049 (/, 2) и дпшх=0,454(i; 2); размер ячейки 7x7

E/Eq, o.e.

15

На рис. 4 представлены зависимости от параметра / величин джозефсоновской и магнитной энергий Е1 и Еи при разных Ь. Из хода кривых можно сделать следующие выводы:

при малых значениях /(/< 0,25) кривые для разных Ь совпадают, т. е. значения энергий не зависят от Ь. Этот результат соответствует выводам работы [8], где было показано, что при 1Ь<< 1 можно считать Ъ равным нулю;

чем больше значение Ь, тем меньше джозеф-соновская энергия. Это выполняется при всех /;

магнитная энергия убывает с ростом величины Ъ только при достаточно больших значениях /. При малых / зависимость обратная, т. е. с ростом параметра Ь магнитная энергия возрастает.

На рис. 5 представлены зависимости от параметра /полной энергии вихря для конфигураций Ли В. Из графиков видно, что с ростом Ъ полная энергия всегда уменьшается. При малых значениях /кривые для разных Ь совпадают, т. е. справедлив расчет, выполненный в работе [8], в котором Ъ считается равным нулю.

Расчет проводился для квадрата размером 7x7 (11 уравнений) — по три ряда от центра вихря в каждую сторону. Результаты расчетов показали, что для исследования конфигурации А достаточно рассмотреть квадрат размером 5x5. Д ля подтверждения этого оценим правомочность пренебрежения квадратом 7x7, рассмотрев дополнительно квадраты 3x3 (4 уравнения) и 5x5 (7 уравнений). На рис. 6 приведены кривые относительных отклонений 5ср значений скачков фаз ф0 и ф, при увеличении размера квадрата. Для сравнения взяты следующие величины:

8Ф<» =1-ФГ>/ФГ>; 8Ф = 1-ФГ)/ФГ5);

8Ф<" =1-ф?х5> /ф<7х7>; 8<рр> = 1-ф?*3>/фГ> .

Подобные кривые для значений Ъ = 0,049 и 0,454 совпадают, поэтому они здесь не приведены.

Из представленных зависимостей следует, что уже квадрат 3x3 позволяет получать достаточно точные значения ф0. Однако для расчета значений ф! квадрата 3x3 недостаточно (5ф1 »12 %), необходимо рассмотреть больший квадрат —5x5. При переходе к еще большему квадрату (7x7) изменение значений ф0 со-

ставляет менее 0,6 %. Это позволяет сделать вывод, что при сколь угодно малых значениях /для расчета структуры центральной части вихря можно ограничиться квадратом 5x5 при любых значениях параметра Ь

Полученные результаты показывают, что линейный вихрь при любых значениях /имеет центральную часть размером в несколько ячеек, где скачки фазы, а значит и токи в контактах намного больше, чем в остальной области вихря. Можно сказать, что линейный вихрь всегда имеет в центре «бугорок» размером в несколько ячеек.

Подобная оценка для значений полной энергии вихря приведена на рис. 7. Для сравнения взяты величины

ЬЕ™ =1 -Я<5х5>

где 5Е — относительное отклонение значения полной энергии Ж при переходе к квадрату другого размера.

Из графиков видно, что для значения /= 0,25 изменение размера квадрата с 3x3 на 5x5 увеличивает полную энергию на 10 %, а с 5x5 на 7x7 — на 2,5%. При больших величинах I (/ > 0,25) разница в значении энергии еще меньше. Также, как и в случае значений скачков фаз, для расчета полной энергии оказывается достаточным рассмотреть квадрат 5x5.

8Е, o.e.

Рис. 7. рафики зависимостей относительных отклонений ЬЕ значений полной энергии Е от параметра пиннинга /для значений параметра Ьтт — 0,049

Наш подход для расчета магнитной и джо-зефсоиовской компонент энергии вихря по формулам (5) и (6) верен при таких значениях параметра пиннинга I, при которых вихрь умещается в рассматриваемом квадрате (для выбранного квадрата 7x7 при /> 0,25). В работе [8], где рассматривался линейный вихрь при 1Ь<< 1, показано, что расчет по формулам (5) и (6) справедлив при тех же значениях параметра пиннинга.

Центр вихря на контакте — конфигурация В.

Такой вихрь имеет две плоскости симметрии (на рис. 8 им отвечают горизонтальная ось, проходящая между ячейками с контурным током /0, и вертикальная — посредине ячейки с ?0). На этой основе можно построить полное сечение вихря. Из соображений симметрии следует, что на центральном контакте скачок фазы равен тс, а на всех остальных контактах того же ряда — нулю (см. рис. 8). В результате расчета мы увидим, что при всех значениях параметра /можно считать малыми скачки фаз на всех контактах (так что япф^ ~ ), кроме <&+ф4. Как и в предыдущем разделе, введем контурные токи 1т = 1схрт. Это позволяет автоматически удовлетворить условиям баланса токов на всех узлах. Аналогично системе (3) получим при Ъф 0 следующую систему уравнений квантования флюксоида в ячейках (да — номер ячейки на рис. 8):

.Г (3^+1)\|/0 - + )+ +2ф2 + ф! =п (ж = 0); [/(3*+1)+1]у1-Л(чго+ЧГ2)--(Л+1)У4+Ф4-Ф2 = 0 (т = 1);

[/(за+^+г]^-^--(#+1)(1|/3+у5)-ф4=0 (да = 2); [/(»+1)+3]чгз -(Л+1)(чг2 +Щ) = 0 (т = 3);

[/

и т. д.

К этим уравнениям надо добавить дополнительные условия:

/^шф! =/о-/10; /с8Шф2 = - ¿1;

Ч»*-У|2

Ч'б-Ч'в

Ч>6

Рис. 8. Распределение токов и скачков фазы на контактах для конфигурации В. Штрихованная ячейка содержит 1 квант потока Ф0, все остальные квантов не содержат

/с8Ц1фз=/10-/и;

для токов в контактах с -г-ф4 (их мы не считаем малыми); далее

тф1=¥о-¥ю;

8Шфз=Ж10-\|/11;

Переход от бесконечной системы уравнений к конечной проводился так же, как и в рассмотренном ранее случае (токами, достаточно удаленными от центра, пренебрегали).

Система уравнений (7)—(11) отличается от системы (3) тем, что ее нельзя непосредственно свести к системе двух нелинейных уравнений, решаемой численно. Поэтому в данном случае воспользуемся методом последовательных при-

ближений. Для этого представим величины (р3 и ф4 и их синусы в виде

Фз=Фз+5з;

Ф4 =ф4+64;

втфз = втфз +83 совфз;

8Шф4 = втф +84 совф ,

где фз и ф4 считаем известными величинами (на первой итерации равными нулю), а 83 и 54 являются новыми неизвестными (вместо ф3 и Ф4), относительно которых система линейна.

Линейные уравнения относительно 83 и 84 выглядят следующим образом:

втфз+83 совфз =\|/10-\|/п;

втф"+84со8ф5 =4/1-^2.

В эти уравнения ф° и Ф4 входят как параметры. Так же, как и в случае конфигурации А, решение системы (7) достигалось выражением

, \|/2, \|/10 и \|/п через ф] и ф2 из линейных уравнений системы (7). Затем при подстановке полученных выражений в уравнения (10) и (11) мы получали два нелинейных уравнения, в которых неизвестными были ф1 и ф2. Кривые, которые описываются этими уравнениями, имеют одну точку пересечения, и значения ф1 и ф2, ей соответствующие, находятся численным методом. Зная ф, и ф2, затем находим все величины \|/ш и 83, 84 .Если полученные значения 83 и 84 недостаточно малы, то мы меняем значения и ф4 на полученные ф3 и ф4 и повторяем процедуру. Итерационная процедура сходится, т. е. каждая следующая итерация дает на порядки меньшие значения 83 и 84. Таким способом исходную систему можно решить с любой степенью точности всего за несколько шагов.

Джозефсоновская энергия Е] единицы длины вихря для конфигурации В описывается выражением

Е1=1Е^{ 1-со8У*),

к

причем суммирование по Сведется по всем джо-зефсоновским контактам (см. рис. 8).

Выражение для магнитной энергии Ен единицы длины вихря в случае конфигурации В можно получить тем же способом, что и для конфигурации А:

Еи = 0,5£Фт1т = 0,5/2£о(2(^ -М|/0(2у, +

т

+\|/10 -Зу0) + \|/?0 -¿>у,0(\|/0 +2\|/4 +уп - (14) - 4\|г10) +...) + - ¿^(Уо +^2 + 4/4-3^) +

+ \|(I -Ь\\12(\\11+\\13 +\|/5-3\|/2) + ...)).

Расчет, проведенный для различных значений параметра Ь, показал, что для / > 0,25 значения ф3 и ф4 малы при любых значениях Ь. Тогда при /> 0,25 расчет вихря можно проводить, считая, что все втф^ ~ фл при кФ 1 и 2.

На рис. 9 представлены зависимости скачков фаз ф1 -н ф4 для разных значений Ь. Все основные выводы по влиянию параметра Ь на ход зависимостей скачков фазы от I, сделанные для конфигурации А, остаются справедливыми и здесь.

На рис. 10 представлены зависимости от / величин джозефсоновской и магнитной энергий Е1 и Енпри разных Ъ. По сравнению с конфигурацией В джозефсоновская энергия уже не имеет максимума в рассматриваемом диапазоне значений параметра /и монотонно возрастает с увеличением I. Следует отметить, что указанная энергия конфигурации В больше, чем энергия конфигурации А при всех значениях параметра Ъ. Магнитная энергия, наоборот, уменьшилась по сравнению с ранее рассмотренным случаем.

На рис. 5 представлены зависимости приведенной полной энергии от параметра / для конфигурации В при различных значениях Ъ. Из графиков видно, что так же, как и в случае конфигурации А, с ростом параметра Ъ полная энергия вихря всегда уменьшается. При малых значениях /кривые для различных Ъ совпадают, т. е. и для конфигурации В справедлив расчет, проведенный в работе [8], в котором Ъ считается равным нулю.

Расчет зависимостей (см. рис.5) проводил-сядля прямоугольника размером 8x7 (19 уравнений): по три с половиной ряда ячеек от центра вихря по горизонтали влево и вправо и четыре по вертикали вверх. Результаты расчетов показали, что для исследования конфигурации В достаточно рассмотреть прямоугольник размером 6x5 . На рис. 11 приведены кривые от-

Е/Щ, о.е

16 т

0,0 0,5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3,5 4,0

I, о.е.

Рис. 9. Расчетные зависимости скачков фаз фх

2345678 / 0 е

Рис. 10. рафики зависимостей джозефсоновских

-0,004

-0,008

0,0 0.5

Рис. И. Расчетные зависимости относительных отклонений 8ф для значений скачков фаз фх

Рис. 12. Графики зависимостей относительных отклонений 5 Е значений полной энергии Е от параметра пиннинга /для значений параметра Ь^ = 0,049 (Л) и Ьтяк=0,454 (1) при увеличении размера прямоугольника от6х5до8х7

носительных изменений 5ф значений скачков фаз фг и ф2 при увеличении размера прямоугольника с 6x5 до 8x7. Здесь

5Ф1 = 1-Ф<бх5>/Ф<8х7>; бФ2 = 1-Ф(26х5)/Ф(28х7) .

Из приведенных зависимостей следует, что уже прямоугольник 6x5 позволяет получать достаточно точные значения как ф! (5фх не более 0,3 %), так и ф2 ( 5ф2 не более 0,8 %). При всех значениях Ъ погрешности малы. Это позво-

ляет сделать вывод, что цри значениях I > 0,25 для расчета структуры центральной части вихря можно 01раничиться прямоугольником 6x5

Подобная оценка для значений полной энергии вихря цриведена на рис. 12, где 8Е — относительное отклонение значения полной энергии 2?при переходе к прямоугольнику другого размера, причем

ЬЕ = 1-Е(вх5) /Е{*х1).

При / = 0,25 переход от прямоугольника 6x5 к 8 х 7 привел к изменению значения полной энергии на 2,2 %. При больших / (/ > 0,25) разница в значении энергии еще меньше. Так же, как и в случае значений скачков фаз, для расчета полной энергии оказывается достаточным рассмотреть прямоугольник 6x5.

Наш подход для расчета магнитной и джо-зефсоновской компонент энергии вихря по формулам (13) и (14) верен при таких значениях параметра пиннинга /, при которых вихрь умещается в рассматриваемом прямоугольнике (для выбранного прямоугольника 8x7 при /> 0,25). В работе [8], где рассматривался линейный вихрь при 1Ь «1, показано, что расчет по формулам (13) и (14) справедлив при тех же значениях параметра пиннинга.

Сравнивая результаты расчетов для конфигураций А и В (см. рис. 5), можно сделать вывод, что конфигурация В обладает большей энергией, чем А, во всем диапазоне значений параметра Ъ и при /> 0,25. С ростом ¿»различие в энергиях конфигураций А и В растет.

Таким образом, проведенное исследование показало, что математический подход, основанный на условиях квантования флюксоида в ячейках, позволяет рассчитать структуру и энергию линейных вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде при любых значениях структурного фактора. Рассмотрены две возможные равновесные конфигурации, различающиеся положением центра вихря, в центре одной из ячеек и на одном из контактов.

Составлены бесконечные системы уравнений, описывающие эти конфигурации. Переход к конечной системе выполнен путем пренебрежения токами, протекающими достаточно далеко от центра. Размер квадрата, необходимого для такого расчета, определяется условием малости изменений скачков фазы на ячейках, близких к центру вихря, при увеличении размеров квадрата.

Показано, что при величинах параметра пиннинга / меньше 0,25 справедливо рассмотрение, предполагающее нулевое значение параметра Ъ.

Рассчитаны структуры и энергии обеих конфигураций линейных уединенных вихрей при / > 0,25 во всем диапазоне возможных значений структурного фактора Ъ.

В отличие от плоских вихрей, ширина которых с убыванием параметра пиннинга / стремится к бесконечности, линейный вихрь при любых значениях / и Ъ имеет центральную часть размером в несколько ячеек, где скачки фазы, а значит и токи в контактах, намного больше, чем в остальной области вихря.

В обеих конфигурациях с увеличением структурного фактора Ъ при одном и том же значении параметра пиннинга / скачки фаз на контактах и токи в центральной области вихря, а также полные энергии вихрей уменьшаются.

Энергия вихря с центром на контакте при всех значениях /и Ь больше энергии конфигурации с центром в середине ячейки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Muller, K.-H. Josephson vortices and flux penetration in HTSP [Text]/К.-Н. Muller, J.C. Macfarlane, R. Driver // Physica. C. -1989. - Vol. 158. - P. 69-75.

2. Rzchowski, M.S. Vortex pinning in Josephson-junction arrays [Text] / M.S. Rzchowski, S.P. Benz, M. Tinkham, C.J. Lobb // Phys. Rev. B. - 1990. -Vol. 42. - P. 2041-2051.

3. Kivshar, Yu.S. Dynamics of solitons in nearly integrable systems [Text] / Yu.S. Kivshar, В A Malomed //Rev. Mod. Phys. -1989. -Vol. 61. - P. 763-915.

4. Брыксин, В.В. Критическое состояние неоднородного джозефсоновского контакта [Текст] / В.В. Брыксин, С.Н. Дороговцев //ЖЭТФ. - 1992. -Т. 102. - С. 1025-1032.

5. Farodi, F. The critical state and the flux dynamics in

squid arrays [Text] / F. Parodi, R. Vaccarone //Physica. C. — 1991. - Vol. 173. - P. 56-64.

6. Зеликман, M.А. Влияние структурного фактора на мейсснеровское состояние в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] / M.A. Зеликман, K.A. Поцелуев // Научно-техниче-ские ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.-2011.-Т. 116.-№ 1. - С. 18-25.

7. Zelikman, M.A. Vortex states and screening currents in a 3D Josephson medium with small loop inductance [Text] / M.A. Zelikman // Superconductor Science & Technology. - 1997. - Vol. 10. - № 11. -P. 795-800.

8. Зеликман, MA // Линейные вихри в трехмерной упорядоченной джозефсоновской среде [Текст] /М А Зе-

ликман //ЖТФ. - 2005. - Т. 75. - Вып. 1. - С. 37-44.

9. Зеликман, МА // Равновесные состояния плоских вихрей в трехмерной упорядоченной джозефсо-новской среде и смысл понятия «энергия пиннинга»

[Текст] / М А. Зеликман // ЖТФ. - 2004. - Т. 74. -Вып. 9. - С. 55-62.

10. ДеЖен, П. Сверхпроводимость металлов и сплавов [Текст]: П. де Жен. - М.: Мир, 1968. - 279 с.

УДК 532.51 7.4

М.С. Грицкевич, A.B. Гарбарук

ВСТРОЕННЫЙ МЕТОД КРУПНЫХ ВИХРЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБЪЕМНОГО ИСТОЧНИКА ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ

В последние годы при расчете сложных турбулентных течений все более широкое применение находят так называемые гибридные (RANS/LES)-noflxoflbi к моделированию турбулентности [1], которые сочетают в себе сильные стороны традиционных методов, базирующихся на уравнениях Рейнольдса (RANS Reynolds- Ave raged Navier — Stokes), и метода моделирования крупных вихрей (LES — Large Eddy Simulation). Встроенный LES (ELES — Embedded LES) представляет собой пример достаточно широкой группы гибридных моделей, в которых LES используется только в ограниченных априорно-задаваемых областях потока (например там, где RANS не обеспечивает приемлемой точности расчета осред-ненных параметров течения или требуется определить нестационарные характеристики турбулентности), а в остальной части потока применяется RANS. Однако для успешного функционирования ELES в тех случаях, когда LES-подобласть расположена вниз по потоку от RANS-подобласти, на входе в нее необходимо каким-либо образом искусственно создать турбулентный «контент», так как в противном случае для формирования реалистичных полей разрешенных турбулентных пульсаций требуется неприемлемо длинный переходный участок.

Большинство предложенных в настоящее время способов решения этой задачи ос-

новывается на задании на входных границах LES-подобласти тех или иных нестационарных граничных условий («синтетической турбулентности»), что накладывает достаточно жесткие ограничения на выбор положения этой границы и тем самым значительно сужает область применимости ELES при расчете течений со сложной геометрией. Кроме того, при использовании данного подхода могут возникать разрывы гидродинамических переменных на границе RANS- и LES-подобластей, для устранения которых требуется применение специальных приемов [2], трудно реализуемых в CFD-кодах общего назначения.

Перспективной альтернативой созданию турбулентного контента с использованием нестационарных граничных условий в LES-подобласти ELES является введение в уравнение движения объемного источника турбулентных пульсаций (ОИТП) [3], сконструированного специальным образом. Однако реализация этой идеи в работе [3], опирающаяся на метод вихрей (VM — Vortex Method) [4] обладает рядом недостатков. В частности, метод вихрей плохо распараллеливается, что делает его малоэффективным при решении требующих больших вычислительных ресурсов сложных задач, для которых в первую очередь предназначен ELES. Кроме того, несмотря на то, что опыт практического использования VM пока невелик, он сви-