Математическое моделирование деформационной силы трения ножа с различными параметрами шероховатости при резании рыбы

УДК 664.9.022

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИОННОЙ СИЛЫ ТРЕНИЯ НОЖА С РАЗЛИЧНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ШЕРОХОВАТОСТИ

ПРИ РЕЗАНИИ РЫБЫ

О. В. Агеев, В. А. Наумов, Ю. А. Фатыхов

MATHEMATICAL MODELING OF THE DEFORMATION STRENGTH OF THE KNIFE WITH DIFFERENT PARAMETERS OF ROUGHNESS

WHEN CUTTING FISH

O. V. Ageev, V. A. Naumov, Ju. A. Fatykhov

Показана актуальность исследования процесса трения при резании рыбы. Мышечная ткань сырья описана реологической моделью Максвелла-Томсона. При выборе аналитического описания регулярного микрорельефа ножей рыбообрабатывающего оборудования с учетом технологических формообразующих факторов использована физико-технологическая теория неровностей поверхности. Получено математическое описание профиля шероховатой поверхности ножа в виде безразмерной периодической однопараметрической функции. Путем решения дифференциального уравнения состояния вязкоупругого материала в безразмерном виде определен закон распределения безразмерных нормальных контактных давлений над микровыступами шероховатой поверхности грани. На основе энергетического подхода разработано выражение для безразмерной деформационной силы трения, включающее параметр формы неровности. Установлено, что при скоростях, стремящихся к нулю или бесконечности, указанная сила стремится к нулю. Величина силы монотонно возрастает с ростом меры эластичности материала и увеличением безразмерной длины грани ножа. При малой скорости скольжения зависимость силы трения от параметра формы является немонотонной. При достижении определенного значения скорости указанная сила монотонно нелинейно уменьшается со снижением коэффициента заполнения микровыступа. Безразмерная ширина контактной площадки неровностей монотонно зависит от меры эластичности материала и немонотонно - от безразмерной скорости скольжения с явно выраженным минимумом. При увеличении параметра формы и снижении коэффициента заполнения безразмерная координата крайней контактной точки нелинейно уменьшается. При значениях меры эластичности мышечной ткани 5; безразмерной длины грани 50; безразмерной скорости 1, параметра формы 1; 2; 8; 12 значения безразмерной деформационной силы трения составляют 31,6670; 33,0792; 25,0945; 21,9402 соответственно; при значении безразмерной скорости 10 - 4,3652; 4,0174; 2,7255; 2,3433 соответственно.

рыба, резание, сила, трение, форма, нож, грань, реология, вязкоупругость

The paper shows the relevance of researching the process of friction when cutting fish. The fish muscular tissue has been described by a Maxwell-Thomson

rheological model. When choosing an analytical description of a regular microrelief of fish-processing equipment knives, taking into account technological formative factors, a physical-technological theory of surface roughness has been used. A mathematical description of the profile of the knife rough surface in the form of a dimensionless periodic one-parameter function has been obtained. By solving the differential equation of viscoelastic material state in a dimensionless form, law of distribution of dimensionless normal contact pressures over the microprotrusions of the edge rough surface has been obtained. On the basis of the energy approach, an expression for the dimensionless deformation friction force, which includes the shape parameter of the roughness, has been obtained. It is established that at speeds tending to zero or infinity, this force tends to zero. The force value increases monotonically with increasing measure of the material elasticity and increasing the dimensionless length of the knife face. At a low sliding speed, the dependence of the friction force on the shape parameter is non-monotonic. When a certain value of speed is reached, the indicated force decreases monotonically non-linearly with a decrease in the fill factor of the microprotrusion. The dimensionless width of the irregularities contact area monotonously depends on the measure of material elasticity and non-monotonously depends on the dimensionless sliding speed with a pronounced minimum. As the shape parameter increases and the fill factor decreases, the dimensionless coordinate of the extreme contact point decreases nonlinearly. When the muscle tissue elasticity measure is 5, the value of the dimensionless edge length is 50, the value of the dimensionless speed is 1, the values of the form parameter are 1, 2, 8, 12; then values of the dimensionless deformation force of friction are 31.6670, 33.0792, 25.0945, 21.9402, respectively; at a value of dimensionless speed of 10 - 4.3652, 4.0174, 2.7255, 2.3433, respectively.

fish, cutting, force, friction, profile, knife, edge, rheology, viscoelasticity

ВВЕДЕНИЕ

Обеспечение ресурсосбережения при резании рыбы предусматривает тщательный анализ сил сопротивления. Снижение силы вредного сопротивления предполагает минимизацию её важной составляющей - деформационной силы трения.

Сила трения мышечной ткани рыбы и поверхности ножа является следствием шероховатости граней, которая определяется параметрами технологической обработки рабочего органа [1]. Как показано в работе [2], прогрессивная технология производства ножей рыбообрабатывающего оборудования предусматривает следующие основные виды операций: обработку резанием (чистовое точение) и шлифованием, в результате чего профиль поверхности включает случайную и систематическую составляющие [3].

Математическое моделирование процесса трения пищевых материалов по шероховатой поверхности представляет собой актуальное научное направление и является предметом пристального внимания в России и за рубежом. В работе [4] исследовано влияние трения и глубины погружения лезвия на силы сопротивлений при резании вязкоупругих материалов. В статье [5] выполнен теоретико-экспериментальный анализ механического поведения высокоэластичных сред в процессе деформирования и разрушения. В работе [6] рассмотрены закономерности трения при обработке пищевых материалов в широком диапазоне скоростей:

от 0,001 до 10 м/с. Статьи [7, 8] описывают численное моделирование контактных явлений на поверхности раздела эластичных и жестких тел. В работах [9, 10] исследованы закономерности процесса трения различных материалов при изменении режима скольжения.

Однако, несмотря на ценность известных работ, в настоящее время отсутствует аналитическое описание сил трения, действующих на рабочий орган при резании рыбы. Вместе с тем для оптимизации геометрии ножа по критерию минимального сопротивления резанию требуется математическое моделирование сил на его грани с учетом шероховатости поверхности.

МАТЕРИАЛ

В [11, 12] обоснован выбор реологических моделей мышечной ткани рыбы. Рассмотрены дифференциальные уравнения моделей с их решениями для трех различных условий нагружения. Установлено, что мышечная ткань рыбы до разрушения проявляет ограниченное течение под нагрузкой, релаксирует при постоянной нагрузке до равновесного состояния, полностью восстанавливается при полной разгрузке. Показано, что результатам проведенных экспериментальных испытаний материала при малых и средних напряжениях приближенно соответствует трехэлементная реологическая модель Максвелла-Томсона. (стандартное вязкоупругое тело).

МЕТОДЫ

При выборе аналитического описания регулярного микрорельефа рабочих органов рыбообрабатывающего оборудования с учетом вышеизложенных технологических формообразующих факторов использована физико-технологическая теория неровностей поверхности [1]. Указанная теория включает спектральную теорию размерных параметров и теорию суперпозиций эффекта размерного формообразования технических поверхностей, а также предусматривает систему теорем, которые доказаны на основании ранее установленных научных положений и обобщенных результатов экспериментальных исследований.

Согласно работам [1-3] действие формообразующих факторов при чистовом точении имеет периодический или практически периодический характер, что обусловлено подачей инструмента, оборотами заготовки, самозатачиванием абразивного инструмента и другими условиями. Случайная составляющая профиля минимизируется за счет совершенствования технологии обработки поверхности ножей, улучшения отвода стружки и металлорежущего инструмента, повышения жесткости узлов станка и т.д. Если считать случайную составляющую малой, то основу микрорельефа поверхности грани ножа возможно приближенно описать тригонометрическим полиномом вида:

\ а0 р\ Гп • х — П Ах) =-Г + ЕК  сов —--+ Щп \,

2 п =1[ V ))

где So - шаг профиля (шаг первой гармоники); р - порядок многочлена (число гармоник); ап, щп - коэффициент Фурье и фазовый угол п -й компоненты профиля; ао /2 - нулевой член разложения для кривой профиля (координата средней линии профиля в такой системе координат, в которой ордината параллельна средней линии профиля).

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Вследствие сжатия указанного элементарного волокна мышечной ткани дх в точке а микровыступа действует контактное усилие а, обусловленное внутренним напряжением в волокне дх (рис. 1). Вектор а в некоторой точке а направлен по нормали к касательной, проведенной в указанной точке а к микрорельефу /(х). Контактное усилие а состоит из нормальной р к направлению скольжения микровыступа и тангенциальной д (параллельной направлению скольжения) составляющих: а = р + д . Нормальная составляющая р является проекцией вектора а на нормаль к направлению скольжения, а тангенциальная д - проекцией вектора а на указанное направление.

2

Рис. 1. Схема скольжения микровыступа грани ножа по мышечной ткани рыбы (

Sq - подача резца)

Fig. 1. The scheme of gliding of knife edge microprotrusion on the fish muscle tissue

Нормальная составляющая р - это нормальное контактное давление элементарного волокна дх в точке а микровыступа. Тангенциальная составляющая д является встречным сопротивлением материала движению точки а микровыступа. На микровыступе при определенной скорости скольжения существует крайняя точка контакта С, имеющая координату хс, в которой материал полностью разгружается (р = 0).

На основе выражения (1) в рамках физико-технологической теории неровностей получим математическое описание профиля шероховатой поверхности

ножа в виде безразмерной периодической однопараметрической функции ~(х), удовлетворяющей определенным требованиям. В качестве допущения будем счи-

тать, что поверхность грани образована симметричными неровностями и сформирована путем чистового точения и шлифования с постоянной скоростью подачи металлообрабатывающего инструмента, режущая кромка которого симметричная

и выпуклая. Тогда безразмерная функция f (х), описывающая симметричную форму единичного микровыступа, должна удовлетворять заданным граничным условиям, а также условиям по наличию точек: перегиба и критических. Безразмерный параметр формы указанной функции зависит от режимных параметров чистового точения и геометрических параметров металлорежущего инструмента. Искомую функцию построим как решение краевой задачи для дифференциального уравнения, правая часть которого зависит от безразмерного параметра формы микровыступа. Наличие параметра в правой части уравнения позволит подчинить искомое решение дополнительному ряду условий, кроме граничных.

Из рис. 1 следует, что безразмерная периодическая функция f (х), описывающая единичный микровыступ, является непрерывной и положительной по всей области определения, на отрезке 0 < х < 1 имеет две точки перегиба, а также одну точку максимума с координатами (0,5;l) и две точки минимумов с координатами (0;0) и (l;0). Кроме того, на этом же отрезке функция должна быть симметричной относительно точки максимума.

Таким образом, на отрезке 0 < х < 1 вторая производная искомой функции должна дважды менять знак и в двух точках перегиба принимать нулевое значение. При этом в известной точке максимума функции вторая производная f "(х) должна принимать отрицательное значение, а в двух известных точках минимума - положительное или нулевое. Наряду с этим, в точках экстремумов первая производная f '(х) искомой функции должна принимать нулевое значение. Указанным требованиям удовлетворяет дифференциальное уравнение следующего вида:

f "(х) = ^ f(х) = k ' П ' Sin"2 (Ж' х)' Пз'cos2(ж' х) — sin2(ж • х)],

0 < х < 1,

где ki - коэффициент; n, П2, Щ - параметры, соответствующие условиям: ni - натуральное число; П2 - четное целое число или нуль; П2 > 0; щ - нечетное целое число; ni > 1.

Обозначив n = m; П2 = 2 • m — 2; П3 = 2 • m —1, приходим к дифференци-

= k • m • sin2m-2(ж • х)• [(2 • m —1)' cos2(ж • х)- sin2(ж • х)],

альному уравнению c одним параметром:

/2 7лл

2-m—2 /

-j— = k • m • sul (ж • л)• i(2 • m — 1Г cos (ж • л) — sin (ж • л )i,

dj,

0 < х < 1.

Потребуем, чтобы искомая функция f (х) удовлетворяла граничным условиям:

f

di,

Проинтегрируем уравнение (3) в соответствии с граничными условиями (4):

7'

dx ж

Проинтегрируем уравнение (5), удовлетворяя граничным условиям (4) и условию f (0,5) = 1, в результате чего получим искомую безразмерную функцию с одним параметром формы m , описывающую форму единичного микровыступа:

f

Дифференциальное уравнение состояния материала согласно реологической модели Максвелла-Томсона запишем в безразмерном виде [13, 14]:

. й + f

dx dx

где f(x) - безразмерное нормальное контактное давление; й - безразмерная

скорость скольжения; eoi - безразмерная мера эластичности материала [1, 2];

x - безразмерная координата.

Подставим в дифференциальное уравнение (7) выражения (5), (6) и получим:

dP

dx

Аналитическое решение уравнения (8) с учетом начального условия p(o) = 0 имеет вид комплексной функции действительной переменной, включающей действительную и мнимую (сопряженную) части:

p(x ) =-7-ж.exp (- Vй )-,-X

4m • fel -(i + 2ж-m • и )-(i - 2ж-и + 2ж-m • и )-Ц -Г2

X

{

- 4ж • e01 • m2 • й2 • fe1 • Г1 • Г3 • Г4 - 4ж • m2 • й2 • fe1 • Г1 • Г3 • Г4 -

- 2 • i • eoi • m • й • fe1 'Г1 -Г3 -Г4 - 4ж-e01 • m • й • fe1 ' Г2 - Г3 - Г5 -

e01• m й Je1 Г1 Г3 Г4 4ж е0Г m й •fe1 Г2 Г3 Г5

- 4ж-Ш2 -й 2- fe1 -Г2 -Г3 -Г5 + 4ж-e01 • ш-й2- fe1 - Г2 - Г3 - Г5 +

'e1 х2 х3 х5 1 ^01 ш J e1 2 3 5

+ 4ж• m-й2 • fe1 -Г2 -Гз -Г5 + 2-i• й• f^ -Г -Гз -Г -- 2-i-e01 • m - й - fe1 ' Г2 -Г3 -Г5 - 4-i - m - й - fe1 ' Г2 -Г3 - Г5 +

+ (1/ ж)-(fe1 -Г2 -Гз -Г5 - fe1 • Г1 • Г3 • Г4 - exp (x/й )• fe2 • Г1 • Г • Ф1) + + 4ж • exp (x/й) • fe2 • m2 • й2 • Г • Г2 • ф + 4ж • exp (x/й) • f 2 • e01 • m2 • й2 • Г • Г2 • ф -- 4ж • exp (x/й) • f 2 • m • й2 • Г • Г2 • ф - 4ж • exp (x/й) • f2 • e01 • m • й2 • Г • Г2 • ф --2-i-exp(x/й) • fe2 -й-Г -Г2 -ф + 4-exp(x/й) • fe2 -i-m-й -Г -Г2 -ф + + 2 • exp (x/й) • fe2 • i • e01 • m • й • Г • Г2 • ф + + (1/ ж) • exp (x/й + i- 2ж- x) • f 2 -Г -Г2 - ф + + 4ж • exp (x/й + i • 2ж • x) • f 2 • m2 • й2 • Г • Г • ф +

+ 4л- ехр(х/ы + г • 2л- х)• /е2 • ео1 • т • и -Ц -Ц Ф2 +

+ 2 • ехр (х/ы + г • 2л- х)• /е2 • г • е01 • т • ы -ГЦ -Г2 -Ф2

где /ё1 = I1 - ехР О- 2л - х)]2т;

/2 = [— г • ехр(— г • л • х)• (ехр (г • 2л • х) — 1)]2т; г - мнимая единица;

ад / \

Г(г) = | 1 • е - гамма-функция Эйлера; Ц = Г

Г2 =Г

г

Г5 =Г

1 + т — _

V 2л- ы

' г :

1 — т--з

V 2л • и

А; Г3 =Г(2 • т); Г4 =Г2

т —

г

2л- и У

2 — т — - _ 2л • ы

Ф = 2Г1 [а, Ь; с; г ] - гипергеометрическая функция Гаусса;

Ф = F Ф1 2 1 1

2л- ы

2л- ы

Ф = 1 Ф 2 2 1 1

2л- ы

2л- ы

С учетом (7) выражение для безразмерной деформационной силы трения грани длиной хв имеет вид [15]:

12 = | (/ '(х )• р(х )) ох = | (2 -л- т • $тЪт 1 (л- х )• сов(л- х )• р(х )) Рх .

Как показывает анализ, параметр формы т соответствует числу гармоник ряда, в который возможно разложить выражение (6) в соответствии с (1), описывающим периодический профиль микровыступов шероховатой поверхности ножа. Наряду с параметром т, введем дополнительный безразмерный параметр единичного микровыступа - коэффициент заполнения / , который является отношением площади единичного микровыступа к площади единичного квадрата: 1 1

2-т I

3 = | /(хр = | Бт2"" (л • хр .

(х рх =

о о

РЕЗУЛЬТАТЫ

Разработанные математические модели (9), (10) позволяют исследовать численными методами зависимости безразмерной деформационной силы трения

от параметра формы т и коэффициента заполнения 3 при заданных значениях меры эластичности материала ео1, безразмерной скорости скольжения ы и

безразмерной длины грани ножа хв . В табл. 1, 2 приведены значения указанной силы и безразмерной координаты крайней точки контакта при различных значениях параметра формы и коэффициента заполнения микровыступа.

о

о

Результаты моделирования получены путем вычисления значений выражения (9) и численного интегрирования выражения (10) при различных значениях параметра т и условиях: ы = 1 (табл. 1), ы = 1о (табл. 2); ео1 = 5 ; хв = 5о . Таблица 1. Результаты моделирования безразмерной деформационной силы трения и безразмерной координаты крайней точки контакта (ы = 1; ео1 = 5;

хв = 5о )

Table 1. Simulation results of the dimensionless deformation friction force and the dimensionless coordinate of the extreme point of contact

№ п/п Параметр формы m (число гармоник) Коэффициент заполнения Р Безразмерная деформационная сила трения f Безразмерная ширина контактной площадки xc

1 1 0,5 31,6670 0,8028

2 2 0,375 33,0792 0,7554

3 3 0,3125 31,7320 0,7224

4 4 0,2734 30,1211 0,7008

5 5 0,2461 28,6246 0,6852

6 6 0,2256 27,2969 0,6731

7 7 0,2095 26,1276 0,6634

8 8 0,1964 25,0945 0,6554

9 9 0,1855 24,1760 0,6486

10 10 0,1762 23,3537 0,6427

11 11 0,1682 22,6125 0,6375

12 12 0,1612 21,9402 0,6330

13 13 0,1550 21,3269 0,6289

14 14 0,1494 20,7644 0,6252

15 15 0,1445 20,2461 0,6219

16 16 0,1399 19,7665 0,6188

На рис. 2 показаны виды микровыступа при различных значениях параметра формы. На рис. 3 приведены зависимости безразмерной координаты крайней точки контакта хс , коэффициента заполнения / и безразмерной силы трения

12 от параметра формы микровыступа т при двух значениях безразмерной скорости скольжения: ы = 1о и ы = 1, а также значениях меры эластичности материала ео1 = 5 и безразмерной длины грани ножа хв = 5о .

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ Анализ моделей (10), (11) показывает, что безразмерная деформационная сила трения является немонотонной функцией безразмерной скорости скольжения. При скоростях, стремящихся к нулю или бесконечности, указанная сила стремится к нулю. Величина силы монотонно возрастает с ростом меры эластичности материала и увеличением безразмерной длины грани ножа.

Таблица 2. Результаты моделирования безразмерной деформационной силы трения и безразмерной координаты крайней точки контакта

Table 2. Simulation results of the dimensionless deformation friction force and the dimensionless coordinate of the extreme point of contact

№ Параметр Коэффициент Безразмерная дефор- Безразмерная ши-

п/п формы m заполнения мационная сила тре- рина контактной

(число гармоник) Р ния площадки xc

1 1 0,5 4,3652 0,9360

2 2 0,375 4,0174 0,8633

3 3 0,3125 3,6822 0,8179

4 4 0,2734 3,4107 0,7868

5 5 0,2461 3,1908 0,7637

6 6 0,2256 3,0093 0,7457

7 7 0,2095 2,8564 0,7312

8 8 0,1964 2,7255 0,7192

9 9 0,1855 2,6118 0,7089

10 10 0,1762 2,5118 0,7001

11 11 0,1682 2,4229 0,6924

12 12 0,1612 2,3433 0,6855

13 13 0,1550 2,2713 0,6794

14 14 0,1494 2,2058 0,6739

15 15 0,1445 2,1393 0,6689

16 16 0,1399 2,0867 0,6643

0.8

0.6

0.4

0.2

\/ j 2f j

i у

к

0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.E 0.9

1 x

Рис. 2. Виды микровыступа при различных значениях параметра формы

sin

. 2 • m

(ж- x): 1 - m = 1; 2 - m = 2; 3 - m = 4; 4 - m = 8; 5 - m = 16; 6 - m = 32

Fig. 2. Types of microprotrusion with different values of the shape parameter

Рис. 3. Зависимости безразмерной ширины контактной площадки, коэффициента

заполнения и безразмерной силы трения от параметра формы микровыступа (e0i = 5 ; Xg = 50 ): 1 - коэффициент заполнения; 2 и 3 - безразмерная координата крайней точки контакта; 4 и 5 - безразмерная деформационная сила трения;

2 и 4 - й = 10; 3 и 5 - й = 1 Fig. 3. Dependences of the dimensionless width of the contact area, the fill factor and the dimensionless friction force on the microprotrusion shape: 1 - the fill factor; 2 and 3 - the dimensionless coordinate of the extreme point of contact; 4 and 5 - dimensionless deformation friction force; 2 and 4 - й = 10;

3 and 5 - й = 1

Функция безразмерного нормального контактного давления является периодической, амплитудные значения которой существенно возрастают с повышением безразмерной скорости скольжения. Давление растет на выступе и уменьшается на впадине микрорельефа. При увеличении безразмерной скорости распределение давлений в контакте становится более несимметричным. Безразмерная ширина контактной площадки xc монотонно зависит от меры эластичности материала и немонотонно - от безразмерной скорости скольжения.

Результаты моделирования, приведенные в табл. 2, 3, показывают, что на зависимость безразмерной деформационной силы трения от параметра формы и коэффициента заполнения существенное влияние оказывает безразмерная скорость скольжения микровыступов.

При безразмерной скорости U = 1 указанная зависимость является немонотонной с явно выраженным максимумом при форме микровыступа

/ (x) = sin2 (ж- x). С ростом скорости при U = 10 зависимость приобретает моно-

тонный характер: деформационная сила трения уменьшается при увеличении параметра формы и снижении коэффициента заполнения. Следует отметить, что значение характерной скорости, при которой указанная закономерность становится монотонной, зависит от безразмерной длины грани ножа - наименьшая характерная скорость соответствует контактной площадке первого микровыступа: при ^01 = 5 ; Хв = Хс данное значение составляет = 0,18.

Зависимость безразмерной ширины контактной площадки от параметра формы при рассмотренных значениях безразмерной скорости скольжения является монотонной: безразмерная координата xc крайней точки контакта уменьшается при снижении коэффициента заполнения микровыступа.

ВЫВОДЫ

1. Распределение контактных давлений и деформационная сила трения ножа существенно зависят от формы неровностей шероховатой поверхности грани, а также от скорости резания и реологических свойств рыбы. При малой скорости зависимость силы трения от параметра формы является немонотонной. При достижении определенного значения скорости указанная сила монотонно нелинейно уменьшается со снижением коэффициента заполнения микровыступа.

2. Безразмерная ширина контактной площадки микровыступов монотонно зависит от меры эластичности материала и немонотонно - от безразмерной скорости скольжения с явно выраженным минимумом. При увеличении параметра формы и снижении коэффициента заполнения безразмерная координата крайней контактной точки нелинейно уменьшается.

3. Установленные зависимости позволяют научно обоснованно управлять геометрической формой неровностей технологической шероховатости ножа с целью минимизации деформационной силы трения при резании рыбы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Григорьев, А. Я. Физика и микрогеометрия технических поверхностей / А. Я. Григорьев. - Минск: Беларуская навука, 2016. - 247 с.

2. Гик, Л. А. Ротационное резание металлов / Л. А. Гик. - Калининград: Кн. изд-во, 1990. - 254 с.

3. Остапчук, А. К. К вопросу о моделировании шероховатости поверхности / А. К. Остапчук, А. С. Канаев // Вестник Курганского государственного университета. - 2005. - № 2. - С. 144-147.

4. Spagnoli A, Brighenti R, Terzano M, Artoni F. Cutting resistance of soft materials: Effects of blade inclination and friction. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2019, no. 101, pp. 200-206.

5. Xiao-Ping Zhou, Liang Fu, Wang Ju, Berto F. An experimental study of the mechanical and fracturing behavior in PMMA specimen containing multiple 3D embedded flaws under uniaxial compression. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2019, no. 101, pp. 207-216.

6. Schuldt S, Schneider Y, Rohm H. High-speed cutting of foods: Cutting behavior and initial cutting forces. Journal of Food Engineering, 2018, no. 230, pp. 55-62.

7. Belaasilia Y, Braikat B, Jamal M. High order mesh-free method for frictional

contact. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2017, no. 82, pp. 68-78.

8. Belaasilia Y, Timesli A, Braikat B, Jamal M. A numerical mesh-free model for elasto-plastic contact problems. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2018, no. 94, pp. 103-112.

9. Wang P, Ni H, Wang R, Li Zh, Wang Y. Experimental investigation of the effect of in-plane vibrations on friction for different materials. Tribology International, 2016, no. 99, pp. 237-247.

10. Jadav P.U, Amali R, Adetoro O.B. Analytical friction model for sliding bodies with coupled longitudinal and transverse vibration. Tribology International, 2018, no. 126, pp. 240-248.

11. Агеев, О. В. Выбор и идентификация реологической модели структурно-механических свойств мышечной ткани рыбы / О. В. Агеев, Ю. А. Фа-тыхов, Н. В. Самойлова // Известия Калининградского государственного технического университета. - 2018. - № 49. - C. 75-91.

12. Анализ соответствия реологических моделей структурно-механическим свойствам рыбы / О. В. Агеев [и др.] // Научный журнал Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. - 2018. -№ 2(36). - С. 34-43. - DOI 10.17586/2310-1164-2018-11-2-34-43.

13. Агеев, О. В. Математическое моделирование сил нормального контактного давления на боковые грани ножа при резании пищевых материалов / О. В. Агеев, В. А. Наумов, Ю. А. Фатыхов // Научный журнал Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств. - 2017. -№ 4. - С. 27-42. - DOI: 10.17586/2310-1164-2017-10-4-27-42.

14. Математическое моделирование силы сопротивления формы двухкро-мочного ножа без боковых граней при резании рыбы / О. В. Агеев [и др.] // Известия Калининградского государственного технического университета. - 2019. -№ 53. - C. 75-88.

15. Солдатенков, И. А. Расчет трения индентора с фрактальной шероховатостью о вязкоупругое основание / И. А. Солдатенков // Трение и износ. - 2015. - № 3. - Т. 36. - C. 257-262.

REFERENCES

1. Grigoriev A. Ya. Fizika i mikrogeometriya tekhnicheskikh poverkhnostey [Physics and microgeometry of technical surfaces]. Minsk, Belaruskaya navuka, 2016, 247 p.

2. Gik L. A. Rotatsionnoe rezanie metallov [Rotary metal cutting]. Kaliningrad, Kaliningradskoe knizhnoe izdatel'stvo, 1990, 254 p.

3. Ostapchuk A. K., Kanaev A. S. K voprosu o modelirovanii sherokhovatosti poverkhnosti [On the issue of modeling surface roughness]. Vestnik Kurganskogo gosudarstvennogo universiteta, 2005, no. 2, pp. 144-147.

4. Spagnoli A., Brighenti R., Terzano M., Artoni F. Cutting resistance of soft materials: Effects of blade inclination and friction. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2019, no. 101, pp. 200-206.

Haynubiu wypnan «H3eecmuH KfTY», № 54, 2019 г.

5. Xiao-Ping Zhou, Liang Fu, Wang Ju, Berto F. An experimental study of the mechanical and fracturing behavior in PMMA specimen containing multiple 3D embedded flaws under uniaxial compression. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 2019, no. 101, pp. 207-216.

6. Schuldt S., Schneider Y., Rohm H. High-speed cutting of foods: Cutting behavior and initial cutting forces. Journal of Food Engineering, 2018, no. 230, pp. 55-62.

7. Belaasilia Y, Braikat B, Jamal M. High order mesh-free method for frictional contact. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2017, no. 82, pp. 68-78.

8. Belaasilia Y., Timesli A., Braikat B., Jamal M. A numerical mesh-free model for elasto-plastic contact problems. Engineering Analysis with Boundary Elements, 2018, no. 94, pp. 103-112.

9. Wang P., Ni H., Wang R., Li Zh., Wang Y. Experimental investigation of the effect of in-plane vibrations on friction for different materials. Tribology International,

2016, no. 99, pp. 237-247.

10. Jadav P. U, Amali R., Adetoro O. B. Analytical friction model for sliding bodies with coupled longitudinal and transverse vibration. Tribology International, 2018, no. 126, pp. 240-248.

11. Ageev O. V., Fatykhov Yu. A., Samoylova N. V. Vybor i identifikatsiya reologicheskoy modeli strukturno-mekhanicheskih svoystv myshechnoy tkani ryby [Selection and identification of rheological model of the structural-mechanical properties of muscular fish tissue]. Izvestiya Kaliningradskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2018, no. 49, pp. 75-91.

12. Ageev O. V., Naumov V. A., Fatykhov Yu. A., Samoylova N. V. Analiz sootvetstviya reologicheskikh modeley strukturno-mekhanicheskim svoystvam ryby [Correspondence of rheological models to the structural-mechanical properties of fish]. Nauchnyy zhurnal Sankt-Peterburgskogo natsional'nogo issledovatel'skogo universiteta informatsionnykh tekhnologiy, mekhaniki i optiki. Seriya: Protsessy i apparaty pishhevykhproizvodstv, 2018, no. 2(36), pp. 34-43.

13. Ageev O. V., Naumov V. A., Fatykhov Yu. A. Matematicheskoe modelirovanie sil normal'nogo kontaktnogo davleniya na bokovye grani nozha pri rezanii pishhevykh materialov [Mathematical simulation of forces of normal contact pressure on side knife edges during cutting of food materials]. Nauchnyy zhurnal Sankt-Peterburgskogo natsional'nogo issledovatel'skogo universiteta informatsionnykh tekhnologiy, mekhaniki i optiki. Seriya: Protsessy i apparaty pishhevykh proizvodstv,

2017, no. 4(34), pp. 27-42.

14. Ageev O. V., Naumov V. A., Fatykhov Yu. A., Samoylova N. V. Matematicheskoe modelirovanie sily soprotivleniya formy dvukhkromochnogo nozha bez bokovykh graney pri rezanii ryby [Mathematical simulation of profile resistance force of double-edged knife without side edges during fish cutting]. Izvestiya Kaliningradskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2019, no. 53, pp. 75-88.

15. Soldatenkov I. A. Raschet treniya indentora s fraktal'noy sherokhovatost'yu o vyazkouprugoe osnovanie [Calculation of friction force for indentor with fractal roughness in sliding on viscoelastic foundation]. Trenie i iznos, 2015, no. 3, vol. 36, pp. 257-262.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Агеев Олег Вячеславович - Калининградский государственный технический университет; кандидат технических наук; доцент кафедры пищевых и холодильных машин; E-mail: oleg.ageev@klgtu.ru

Ageev Oleg Vyatcheslavovich - Kaliningrad State Technical University; PhD in Engineering, Associate Professor, Department of Food and Refrigeration Machines;

E-mail: oleg.ageev@klgtu.ru

Наумов Владимир Аркадьевич - Калининградский государственный технический университет; доктор технических наук; зав. кафедрой водных ресурсов и водопользования; E-mail: van-old@rambler.ru

Naumov Vladimir Arkadievich - Kaliningrad State Technical University; Doctor of Engineering, Head of the Department of Water Resources and Water Management;

E-mail: van-old@rambler.ru

Фатыхов Юрий Адгамович - Калининградский государственный технический университет; доктор технических наук; зав. кафедрой пищевых и холодильных

машин; E-mail: elina@klgtu.ru

Fatykhov Juriy Adgamovich - Kaliningrad State Technical University; Doctor of Engineering, Head of the Department of Food and Refrigeration Machines;

E-mail: elina@klgtu.ru