Волноводные наноструктуры во внешнем электрическом поле

УДК 517.938

ВОЛНОВОДНЫЕ НАНОСТРУКТУРЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Д.Г. Матвеев

Рассмотрены системы из двухмерных и трехмерных плоских волноводов в однородном электрическом поле. Построены соответствующие математические модели, проанализированные с помощью метода прямой вариационной оценки. Продемонстрирована возможность управления положением связанного состояния электрона при помощи внешнего электрического поля в наноструктурах волноводного типа. Ключевые слова: квантовые волноводы, связанные состояния, оценки спектра.

Введение

Создание наноструктур с заданными свойствами является одним из наиболее развитых направлений современных исследований в области нанотехнологий [1]. Известные решения позволяют производить двух- и трехмерные структуры с определенным набором параметров и характеристик. Различные материалы и легирование предоставляют выбор граничных условий и режимов проводимости [2]. Примеси и пространственные неоднородности привносят дополнительные особенности в электронный транспорт, добавляя резонансы или связанные состояния [3]. Одним словом, технология производства структур различной сложности и размеров уже вышла на принципиально новый уровень и продолжает развиваться. Это ставит вопрос о возможности изменения свойств уже существующих структур для варьирования случаев использования и количества операций над кубитами, выполнимых с помощью конкретной реализации наноразмерной системы.

Одним из примеров решения данного вопроса может быть рассмотрение конкретной математической модели для фиксированной структурной системы с применением внешнего воздействия. Такая модель позволяет спрогнозировать результаты воздействия извне системы на ее ключевые особенности. Оценка зависимости от внешнего электрического поля связанного состояния в системе из двух волноводов, соединенных через отверстие, и является предметом настоящей статьи.

Построены две модели - для случая двухмерных волноводов с отверстием и для случая трехмерных плоских волноводов с квадратным соединительным окном. Начальными параметрами данных моделей являются их пространственные и размерные характеристики: толщина и ширина волноводов, длина и ширина отверстия. При введении поперечного электрического поля в качестве влияющего параметра появляется напряженность. Рассмотренные модели изображены на рис. 1, 2.

Будем оценивать положение собственного значения ниже границы непрерывного спектра для оператора Лапласа у построенных моделей. Известно, что в случае отсутствия электрического поля существует связанное состояние в спектре лапласиана подобной системы [4], что верно и при наличии периодических соединительных отверстий [5].

У

2а

б Е X

Рис. 1. Двухмерные волноводы с соединительным отверстием

Доказательство существования собственного значения и нахождение зависимости его положения от введенного поля позволят размышлять о возможности управления поведением структуры извне. Управление расположением связанного состояния ведет к управлению электронным транспортом в наноструктуре в принципе. А изменение свойств транспорта в реальном времени открывает путь для реализации квантовых операций любой сложности. Не стоит думать, что приведенная модель являет собой решение всех проблем с квантовыми вычислениями [6], но, по крайней мере, она может рассматриваться

как непосредственное приближение для описания квантово-вычислительных устройств, а результаты дают толчок для продолжения исследований в области управления.

Методы исследования

Основным методом, использованным при проведении доказательства, является метод прямой вариационной оценки (метод Ритца). Важной для исследования становится особенность этого метода, заключающаяся в предоставлении оценки сверху для уровня энергий оператора. Последовательность пробных функций приближает реальное решение со стороны верхней границы и предоставляет возможность оценивать его положение относительно границы непрерывного спектра. Действительно, нахождение пробной функции, для которой полученное собственное значение оператора будет расположено ниже обозначенной границы, утверждает о наличии связанного состояния в спектре, находящегося на равном или большем расстоянии от непрерывного спектра.

Построение пробной функции - один из наиболее важных этапов исследования. Полученная функция должна иметь правдоподобные зависимости от основных параметров системы и учитывать вклад электрического поля для поперечных компонент. Оценка, полученная с использованием достоверных функциональных зависимостей, дает возможность анализа пропорциональности результата свойствам системы и позволяет оценить вклад напряженности в изменение ширины зазора в спектре оператора Лапласа.

В случае двухмерной модели достаточно определить поведение пробной функции на продолжении волноводов Е(х, у) и в месте разрыва связующей поверхности 0(х, у) для продольной х и поперечной у координаты. В трехмерном случае добавляется компонента Z(z) для описания пробной функции по координате г вне соединительного окна и компонента Т(г), характеризующая поведение электрона по координате z внутри окна. Таким образом, результирующая функция будет иметь следующий вид:

у

^ (х, у, г) = аП (х)¥(у)2 (г), в(х, у, г) = цР(х)Я(у) Т (г).

Выбор граничных условий для пробной функции зависит от типа материалов, используемых для квантовых волноводов. Условия Дирихле подходят для диэлектрических гетероструктур, а условия Неймана - для слоистых металлических наноструктур. Стоит отметить, что результаты исследования остаются актуальными при выборе любых из предложенных граничных условий.

д2 д2 д2

Для получения оценки зазора в спектре оператора Лапласа Н = ——------- необходимо до-

дх ду дг

казать отрицательность разности собственного значения для приведенной функции и граничного собственного значения для непрерывного спектра:

НУ = ^,

= ^, ^ _ X < 0,

(H_Хо < 0,

— X..

< о,

где Хп - собственное значение для выбранной пробной функции, - граница непрерывного спектра.

Результаты

Доказательство нескольких предварительных лемм и основной теоремы в [7] приводят к интересным результатам.

1. Прослеживается зависимость положения собственного значения от ширины соединяющего отверстия в положительной степени, что подтверждает правильность результата предельным переходом к [4] при отсутствии внешнего поля.

2. Для двухмерного и трехмерного случая, демонстрируется приближенный вид влияния электрического поля как дополнительного члена пропорциональности.

Приведем вид основных результатов для двухмерного случая, / 2 \2 „12 4 I 2тХ Е 2 а41 1

5> v й2 16X2

> л6 d2 (2+s1)2(2 + s2) и для трехмерного случая,

3 • 217 а6

5>

(2mX E2 ^ —^ +-2

Ь,2 1 2

й2 16X2

л10d2 (3 + 2e1 )2||Z||4 (2 + s2) ' Здесь m - масса электрона; й - постоянная Планка; si, 62 - положительные константы. Можно заметить, что в обоих случаях ширина зазора 5 не имеет явной пропорциональной зависимости от напряженности электрического поля. Этот факт имеет реальный физический смысл - исключение влияния внешнего поля вызовет не исчезновение связанного состояния, а лишь его перемещение в спектре оператора Лапласа, что хорошо согласуется с результатами [4].

С другой стороны, изменение внешнего воздействия посредством варьирования напряженности влечет за собой сдвиг собственного значения на контролируемое расстояние в выбранном направлении, позволяя управление характеристиками электронного транспорта в подобных системах.

Учитывая тот факт, что при изгибе плоских волноводов (включая слабый) связанные состояния могут переходить в резонансы [3], управление положением собственного значения может также иметь свое развитие в управлении положением резонансов системы, что является возможным продолжением исследования в этой области.

Заключение

Результаты исследования дают основания полагать, что существует реальная возможность обеспечить динамическое изменение свойств электронного транспорта в наноструктурах волноводного типа. Использование данной возможности позволит добиться увеличения числа различных результатов взаимодействия частиц при прохождении системы и поведения частиц в самой системе.

Являясь приближением операции над кубитами, рассмотренная модель приводит к выводу о реальности контролируемых квантовых операций в устройствах подобного типа. А это есть достаточное обоснование, непосредственно приближающее нас в теории к созданию квантовых вычислителей революционно нового типа на практике.

Литература

1. Алферов Ж.И., Асеев А.Л., Гапонов С.В., Копьев П.С., Сурис Р.А. Наноматериалы и нанотехнологии // Нано- и микросистемная техника. - 2003. - С. 3-13.

2. J.C. Ho et al. Controlled nanoscale doping of semiconductors via molecular monolayers // Nature Mater. -2008. - № 7. - 62 р.

3. Hynek Kovafík and Andrea Sacchetti. Resonance in twisted quantum waveguides // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. - 2007. - V. 40. - № 29.

4. Exner P. Laterally Coupled Quantum Waveguides // Cont. Math. - 1998. - V. 217. - Р. 69-82.

5. Мельничук О.П., Попов И.Ю. Квантовые волноводы, связанные через периодическую систему малых отверстий: оценка запрещенной зоны // Письма в ЖТФ. - 2002. - Т. 28. - Вып. 8. - С. 69-73.

6. Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. - М.: Мир, 2006. - 824 с.

7. Matveev D.G., Popov I.Yu. Bound Electron States in a System of Coupled Waveguides in a Transverse Electric Field // Technical Physics Letters. - 2009. - V. 35. - № 11. - Р. 1007-1009.

Матвеев Дмитрий Геннадьевич - Санкт-Петербургский государственный университет информационных

технологий, механики и оптики, аспирант, d.g.matveev@gmail.com