О закономерностях локализации деформации в горизонтальных слоях среды при разрывном сдвиговом смещении основания

УДК 539.3, 539.422.23, 551.242.11

О закономерностях локализации деформации в горизонтальных слоях среды при разрывном сдвиговом смещении основания

Ю.П. Стефанов, Р.А. Бакеев, И.Ю. Смолин

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе предложен способ оценки характера распределения деформации на различных глубинах. Численное моделирование упругопластической деформации горизонтальных слоев среды осуществлялось с использованием аналитического решения упругой задачи для задания нагрузки. Показано влияние глубины и прочности среды на расстояние между полосами локализованной деформации.

Ключевые слова: геосреда, численное моделирование, аналитическое решение, сдвиг, пластическая деформация, локализация

Patterns of deformation localization in horizontal layers of a medium at shear displacement of the base

Yu.P. Stefanov, R.A. Bakeev and I.Yu. Smolin

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

The paper proposes a method for evaluating the deformation distribution pattern at different depths. Elastoplastic deformation in horizontal layers of the medium is simulated with the use of the analytical solution of an elastic problem for load assignment. The medium depth and strength is shown to influence the distance between localized deformation bands.

Keywords: geomedium, numerical simulation, analytical solution, shear, plastic deformation, localization

1. Введение

Одним из основных вопросов, возникающих при изучении деформации на земной поверхности, является объяснение причин и условий формирования конкретных деформационных структур. Для ответа на этот вопрос необходимо понимание того, как процессы деформации, протекающие на той или иной глубине, отражаются на дневной поверхности. На поверхности часто наблюдают множество полос локализованного сдвига Риделя. Эшелонированная система полос локализации такого рода наблюдается в геологической среде повсеместно в областях, где имеют место сдвиговые деформации [1-5]. Деформационная картина такого вида проявляется на поверхности обнажений, вдоль линий разрывов, в разломных зонах.

Исследование процессов деформации на различных глубинах, даже там, где это осуществимо, — чрезвычайно сложная с технической точки зрения и затратная задача. Поэтому особую роль играют эксперименталь-

ные исследования таких процессов, выполненные на моделях, которые дают много информации об образовании конкретных структур при известных условиях деформирования [5-7]. Однако в силу очевидных причин эти процессы изучаются на моделях с размерами не сопоставимыми с реальными, что не позволяет корректно учесть влияние гравитации, а соответственно и изменение напряженного состояния и эффективной прочности среды. Таким образом, вопрос о взаимосвязи процессов, протекающих на глубине, и наблюдаемых деформационных структур на поверхности остается открытым. Кроме того, важно иметь представление о том, как меняется деформационная структура с глубиной.

Численное моделирование такого процесса предполагает решение трехмерной задачи. Однако трехмерное моделирование упругопластического деформирования и разрушения геологической среды с достаточной степенью подробности описания затруднительно. В то же время, некоторые оценки могут быть получены в рамках

в Стефанов Ю.П., Бакеев P.A., Смолин И.Ю., 2009

дифицированной модели Друкера-Прагера-Николаевс-кого [13, 14].

Система уравнений, использованная для описания процессов деформации, включает: уравнение неразрывности р + puii = 0, уравнения движения

Таблица 1

Параметры среды

CT i-

+ PF = риг-.

Здесь р — плотность материала; ui — компоненты вектора скорости; ст.- — компоненты тензора напряжений Коши; Fi — массовые силы; точка сверху означает производную по времени, индекс после запятой означает производную по соответствующей координате. Ввиду того что в определяющие соотношения используемых в работе моделей не входит внутренняя энергия, уравнение энергии не включено в систему уравнений.

Связь между напряжениями и деформациями для упругого поведения описывается гипоупругим законом:

• 1 • х

ст-- = -ст0--

DSj Dt / = 2ц 1

DSj = & .. —

Dt sij

ст = - -kV- . V

kk ij

Здесь использовано разложение тензора напряжений на шаровую и девиаторную части; ст = -ст kk/ 3 — среднее давление; s. — компоненты девиатора тензора напряжений, I j — компоненты тензора скорости деформаций; ö j — символ Кронекера; K и ц — модули всестороннего сжатия и сдвига соответственно.

Пластическая деформация определяется в соответствии с уравнением предельной поверхности и пластическим потенциалом:

f (CTj, е?) = 0, g(CTj, е?) = 0, de?- = dl^g->

ij

где f— уравнение поверхности (функции) нагружения; g — пластический потенциал; X — множитель, опреде-

р, г/см3 K, ГПа ц, ГПа Y, МПа а Л H, м

1.8-2.65 4-25 1-15 5-35 0.65 0.16 4 000

ляемый в ходе процесса деформации; е? — компоненты пластической (неупругой) деформации.

В качестве условия пластичности применяется условие Мизеса-Шлейхера в виде:

т-аст = Y,

где а—коэффициент внутреннего трения; Y— сдвиговая прочность материала, или сцепление; т = l/2(SjSj )05. В отличие от классической формулировки модели Дру-кера-Прагера, в модели Николаевского используется не-ассоциированный закон течения с пластическим потенциалом, который можно записать в виде:

g (ст, т) = т - Лст.

Процессы деформирования рассматриваются в двумерной постановке для условий плоской деформации, когда

uz = u z = е xz = е ^ = е zz = 0.

4. Результаты расчетов

Предполагалось, что модули упругости, плотность и прочность среды линейно возрастают с глубиной H (табл. 1).

Для двумерного моделирования упругопластическо-го деформирования нагрузка в каждом из слоев задавалась внутри расчетной области на основании имеющегося аналитического решения упругой задачи. С этой целью рассчитывалось распределение сил, имитирующих объемное нагружение для двух случаев:

Fy(^ z) = ст xy(x, z) x, а также

Fy (x, z) = тmax (x, z),x.

Такая нагрузка обеспечила на упругой стадии деформирования соответствие полученных численных расчетов двумерной задачи аналитическому решению. На

X, м

т \ \ б

0.8 - \ \ \ \

0.4 - \3500 \ \ Ч

0.0 л— _

0 4000 8000

x, м

Рис. 2. Графики распределения смещений (а) и касательных напряжений (б ) на различных глубинах в упругой среде

рис. 2 приведены графики распределения смещений и напряжений для различных глубин.

На приведенных графиках видно, что согласно решению для упругой среды по мере приближения к неподвижной границе, соответствующей плоскости симметрии, происходит рост напряжений. В результате при рассмотрении поведения упругопластической среды вдоль этой границы возникает и локализуется пластическая деформация. С увеличением амплитуды нагрузки, которая могла бы вызвать пластическую деформацию в более широкой области среды, большие деформации на линии локализации приводят к невозможности продолжения расчетов.

Очевидно, что в процессе пластического деформирования, которое имеет место в реальной ситуации, интенсивность сдвиговых напряжений ограничена сдвиговой прочностью среды. Ограничение нагрузки на каждом из слоев должно следовать из условий пластичности более глубокого слоя. Однако этот вопрос пока рассматривать не будем и для проведения расчетов значение нагрузки ограничим уровнем 0.6 от максимального значения напряжений в слое. В области, где они превышали данное значение, напряжения принимались постоянными. Соответственно в данной зоне имитирующие нагрузку силы Ру принимали нулевые значения. Такой шаг позволил выполнить серию расчетов для разных глубин и получить распределение полос локализованного сдвига в каждом из слоев.

На рис. 3 приведены полученные картины распределения интенсивности сдвиговой деформации для разных глубин с шагом ~500 м. Расчеты осуществлялись с учетом симметрии для области размером 160x16 км2 и 120x8 км2. Для наглядности рисунки приведены для полной геометрии, а краевые области слева и справа были обрезаны.

Хорошо видно, что с ростом глубины сужается зона локализованной деформации. Это обусловлено характером распределения нагрузки (рис. 2). Чем больше глубина, тем уже зона, где нагрузка имела постоянное наибольшее значение. На глубине, соответствующей основанию, пластическая зона вырождается в линию разрыва. В связи с тем, что усечение величины нагрузки осуществлялось с определенным произволом, ширина области, охваченной пластической деформацией, определяется с тем же допущением. Можно говорить лишь о качественном характере изменения ширины пластической зоны с глубиной.

Аналогичное распределение имеет объемная пластическая деформация. При данной степени деформации сдвига максимальная величина объемной деформации составляет порядка 2 %.

На глубине 3 000 м значения упругих характеристик и сдвиговой прочности среды в слое задавались пониженными. В соответствии с этим данная аномалия проявляется в характере распределения полос локализации.

В этом слое расстояние между ними меньше, чем на соседних глубинах.

На рисунках хорошо видно, что с глубиной увеличивается расстояние между полосами локализованного сдвига. Изменение расстояния между полосами связано с зависимостью прочности среды от глубины. Чем выше прочность среды, тем больше расстояние между полосами локализации. Причем эффективную прочность геологической среды можно разделить на две составляющие: сдвиговая прочность связи между частицами У, или когезия, и прочность, обусловленная трением, аст. Обе эти составляющие меняются с глубиной. Изменение сдвиговой прочности обусловлено изменением состава материала, а трение возрастает с ростом давления. Для иллюстрации влияния изменения эффективной прочности материала на формирование полос локализации

-

Рис. 4. Распределения интенсивности деформации на глубине 2000 м: расчет с параметрами, соответствующими заданной глубине (а); при поднятии слоя на поверхность ст ~ 0 (б); при малой сдвиговой прочности (У ~ 0) (в). Ширина расчетной области — 16 км

были выполнены расчеты для слоя, соответствующего глубине 2000 м, при отсутствии влияния давления (т.е. подняв слой на поверхность) и при малой сдвиговой прочности (близкой к сыпучей среде, как на поверхности). На рис. 4, где показаны результаты расчетов, хорошо видно, что снижение эффективной прочности приводит к более частому расположению полос локализованного сдвига.

Не вызывает сомнений, что характер формирования и развития полос локализованного сдвига определяется условиями нагружения и параметрами среды. Например, рассматривая сдвиговое деформирование слоя среды, зажатого между направляющими, можно увидеть, как угол наклона полос зависит от коэффициентов внутреннего трения и дилатансии [11]. Заметно упрочняющее влияние коэффициента дилатансии. Повышение его значения может привести к однородной деформации, за исключением областей вблизи свободных краев, где всегда возникают полосы локализации. При малых значениях коэффициента дилатансии деформация с самого начала имеет локализованный характер практически в любых условиях деформирования.

Угол наклона основных полос локализации к оси наибольшего сжатия можно оценить как

е-45° ±(ф+}

где ф, ф — углы внутреннего трения и дилатансии соответственно. Угол внутреннего трения для геологических сред обычно лежит в диапазоне 30°-40°. Угол дилатан-сии меньше угла внутреннего трения и может меняться как с изменением давления, так и в ходе деформирования. Примем его ~ 10°. В условиях простого сдвига при отсутствии дополнительных сжимающих или растягивающих напряжений (не считая давления) направление

главных осей на упругой стадии и стадии однородного пластического деформирования будет под углом 45°. Поэтому наклон полос локализованной деформации к направляющей сдвига составляет ~ 10°-12°.

В случае неравноосного напряженного состояния (стх ф сту) возможно искривление полос локализации. Ориентация полос локализации отклоняется в направлении наибольшего сжатия по мере удаления от плоскости симметрии. Это связано с изменением направлений главных осей при изменении касательных напряжений и постоянных значений осевых напряжений.

Вопрос о закономерностях формирования полос локализованного сдвига, сети полос Риделя и трещин в геологических средах остается актуальным. В работах [3-7] сделаны оценки периодичности и связи с геометрией полос локализации на основании натурных и экспериментальных наблюдений. Исследование условий формирования и периодичности полос локализованного сдвига выполнено в теоретических работах [14, 15], на основе численного моделирования в [16]. Данные вопросы тесно переплетены с изучением периодичности формирования зон разрушения, неустойчивости деформирования.

5. Заключение

В работе предложен способ имитации трехмерных условий нагружения для моделирования процесса деформирования в двумерной постановке плоской деформации. Решение данной проблемы осуществляется путем задания нагрузки в виде дополнительных сил, имитирующих объемное нагружение. С этой целью используются результаты аналитического решения, на основании которого задается нагрузка в каждом из горизонтальных сечений исследуемой области. Это позволило

сымитировать необходимые условия, при которых распределения напряжений и смещений на упругой стадии деформирования близки к аналитическому решению трехмерной задачи.

В условиях сдвиговой деформации толщи среды, обусловленной разрывным смещением фундамента, в горизонтальных сечениях формируется квазипериодическая система полос локализованного сдвига Риделя. С увеличением глубины ширина зоны, в которой сосредоточены полосы локализации, сужается с соответствующим ростом степени деформации в ней. Расстояние между полосами локализованного сдвига возрастает с увеличением эффективной сдвиговой прочности, а следовательно, и с глубиной.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 07-05-00274-а). Авторы выражают благодарность Ю.Л. Ребецкому за полезные советы и обсуждение работы.

Литература

1. ГогоненковГ.Н., КашикA.C., ТимурзиевА.И. Горизонтальные сдви-

ги фундамента Западной Сибири // Геология нефти и газа. - 2007. -№ 3. - С. 3-18.

2. Katz Y., Weinberger R., Aydin A. Geometry and kinematic evolution of

Riedel shear structures, Capitol Reef National Park, Utah // J. Struct. Geol. - 2004. - V. 26. - No. 3. - P. 491-501.

3. Шерман С.И., Семинский К.Ж., Борняков C.A., Буддо В.Ю., Лобац-

кая P.M., АдамовичА.Н., Трусков В.А., Бабичев A.A. Разломообра-зование в литосфере: В 3-х т. Т. 1. Зоны сдвига. - Новосибирск: Наука, 1991.- 261 с.

4. Семинский К.Ж. Общие закономерности динамики структурооб-разования в крупных сдвиговых зонах // Геология и геофизика. -1990. - №4. - С. 14-23.

5. Шерман С.И., Гинтов О.Б., Борняков СЛ. и др. Характер разломо-

образования в консолидированной земной коре и моделирование зон скалывания // Геофиз. журн. - 1988. - Т. 10. - 1. - С. 13-20.

6. Борняков С.A. Количественный анализ параметров разномасштаб-

ных сдвигов // Геология и геофизика. - 1990. - № 10. - С. 34-42.

7. Борняков С.A. Динамика развития деструктивных зон межплитных

границ (результаты моделирования) // Геология и геофизика. -1988. - № 6. - C. 3-10.

8. Ребецкий Ю.Л. Напряженное состояние слоя при продольном горизонтальном сдвиге блоков его фундамента // Поля напряжений и деформаций в земной коре. - М.: Наука, 1987. - С. 41-57.

9. Ребецкий Ю.Л. Напряженное состояние слоя при продольном сдви-

ге // Изв. АН СССР. Физика Земли. - 1988. - № 9. - С. 29-35.

10. Стефанов Ю.П. Некоторые особенности численного моделирования поведения упруго-хрупкопластичных материалов // Физ. ме-зомех. - 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 129-142.

11. СтефановЮ.П. Локализация деформации и разрушение в геоматериалах. Численное моделирование // Физ. мезомех. - 2002. -Т. 5. - № 5. - С. 107-118.

12. Wilkins M.L. Computer Simulation of Dynamic Phenomena. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1999. - 246 p.

13. Николаевский В.Н. Механические свойства грунтов и теория пластичности // Механика твердых деформируемых тел. Т. 6. Итоги науки и техники. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1972. - С. 5-85.

14. Гарагаш И.A., Николаевский В.Н. Неассоциированные законы течения и локализации пластической деформации // Успехи механики. - 1989. - Т. 12. - № 1. - С. 131-183.

15. Гарагаш И.A. Умовия фоpмиpования pегуляpныx стстем полоc сдвига и компакции // Геология и геофизика. - 2006. - Т. 47. -№ 5. - С. 657-668.

16. Chemenda A.I. The formation of shear-band/fractuxe networks from a constitutive instability: Theory and numerical experiment // J. Geo-phys. Res. - 2007. - V. 112. - B11404. - doi:10.1029/2007JB005026.

Поступила в редакцию 10.11.2008 г.

Сведения об авторах

Стефанов Юрий Павлович, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, stefanov@ispms.tsc.ru Бакеев Рустам Альфредович, программист ИФПМ СО РАН, rustam@ispms.tsc.ru

Смолин Игорь Юрьевич, д.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, smolin@ispms.tsc.ru