Решение задач распределенного управления на основе спектрального метода

В.А. Коваль

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РАСПРЕДЕЛЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ

СПЕКТРАЛЬНОГО МЕТОДА

Разработан математический аппарат описания пространственно-временных процессов в форме уравнений пространства состояний. Исследованы вопросы сходимости полученных решений. Решена задача синтеза распределенных систем на основе метода пространства состояний.

Распределенная система, спектральный метод, сходимость решения, синтез закона управления

V.A. Koval’

SOLVING THE DISTRIBUTED CONTROL PROBLEM ON THE BASIS OF THE

SPECTRAL METHOD

The mathematical tools for describing space-time processes in the state-space form are worked out. The convergence of the solution is investigated. The synthesis problem is solved on the basis of the state-space method.

Distributed system, spectral method, convergence of the solution, synthesis of a control low

В настоящее время достаточно широкое распространение получили системы, параметры которых зависят не только от времени, но и от пространственных переменных - системы с распределенными параметрами.

В основе описания объектов с распределенными параметрами лежат физические законы, формируемые на языке дифференциальных, интегральных и интегро - дифференциальных уравнений с частными производными. Таковы законы теплопроводности и теплообмена, электродинамики, движения жидкости и газа, теории упругости, квантовой механики и т.д.

Изучение и автоматизация управления распределенными объектами экономически целесообразны и практически значимы.

Проблемы, возникающие при создании систем управления с распределенными параметрами, те же, что и в системах с сосредоточенными параметрами, - анализ, оптимизация, синтез.

До сих пор не создано единого методологического подхода и общей теории по решению указанных проблем, поэтому весьма актуальными становятся решения задач, связанных с анализом и синтезом систем управления с распределенными параметрами.

Математический аппарат теории распределенных систем весьма разнообразен. Широко используются такие аналитические методы как метод разделения переменных и представления решения в виде ряда по ортогональной системе собственных функций, интегральных преобразований, интегральных уравнений, функций Грина и т.д. В случае, если решаемую задачу нельзя упростить или свести к задаче, решаемой известными аналитическими методами, применяют численные методы, которые предполагают приближенную замену исходного уравнения другими, более простыми. Широко известны и достаточно изучены такие методы, как метод конечных разностей, конечных элементов и т.д. Весьма важным фактором, ограничивающим применение численных методов, является то, что представление распределенного объекта в виде совокупности сосредоточенных объектов не всегда отображает физическую суть процессов, происходящих в распределенной системе [1].

Таким образом, круг методов анализа распределенных систем весьма широк. Однако для решения многих практических задач их применение оказывается весьма сложным и малоэффективным. Поэтому создание новых и совершенствование известных методов анализа систем является весьма актуальной задачей.

Для систем управления с распределенными параметрами можно выделить следующие основные методы синтеза: методы, основанные на теории оптимального управления; параметрический синтез; методы конечной аппроксимации.

Основным препятствием на пути применения методов теории оптимального управления для синтеза регуляторов распределенных систем является сложность решения дифференциальных, интегральных или интегродифференциальных уравнений, определяющих задачу оптимизации. Кроме того, в принципе, не решена проблема выбора коэффициентов функционала оптимизации, чрезвычайно сложно решается задача наблюдения [2, 3].

При параметрическом синтезе задаются структура системы управления, математические модели объекта управления и регулятора. Поиск параметров регулятора не всегда дает желаемый результат, так как при заданной структуре может не существовать параметров регулятора, обеспечивающих заданные требования устойчивости и качества.

Учитывая вышеизложенное, были поставлены следующие задачи:

1. Разработать аппарат описания пространственно-временных процессов в форме уравнений пространства состояний на основе понятия вектора спектральной характеристики, что позволит дифференциальные уравнения в частных производных представить в виде бесконечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши, отличительной особенностью которой является аддитивное вхождение в правые части уравнений составляющих, учитывающих граничные условия.

2. Исследовать вопросы возможности аппроксимации бесконечномерной спектральной модели ограниченным числом переменных состояния, обосновывая возможность проведения вычислительных процедур.

3. Применить методы пространства состояний обыкновенных систем для синтеза законов управления распределенных систем.

1. Спектральный метод анализа распределенных систем объектов управления

Спектральная теория [4] дает эффективные и корректные машинно-ориентированные методы решения задач для класса непрерывных, нелинейных, многомерных, нестационарных систем с сосредоточенными параметрами.

Обобщение результатов, полученных в [4], на системы с распределенными параметрами представляется весьма затруднительным, поэтому на основе ортогональных разложений будет разработано преобразование, отличительной особенностью которого является то, что спектральная характеристика регулируемой переменной системы определяется на пространственном интервале, включающем границы. Это дает возможность при переходе от уравнений в частных производных к системе уравнений в форме Коши иметь в правой части члены, соответствующие граничным условиям. В результате открывается возможность дать описание распределенной системы в терминах пространства состояний. Полагаем, что регулируемая переменная ф(хД), зависящая от пространственной переменной x е [а, Ь] и времени t е [0, го], является ограниченной функцией с интегрируемым квадратом на указанном интервале для х. Функция ф(хД) является вещественной, однозначной, непрерывной всюду, дифференцируемой по пространственной переменной х и времени 1.

Функцию ф(хД) можно разложить в ряд по системе ортонормированных функций |Р(И,х)|:

h ф h -— - -— _ , h = 1, h = 1, го. h = h

Ряд Фурье по данной ортогональной системе функций имеет вид

р(х, t) = ^ Ф(к, t)P(h, х) ,

к=0

Ь

а

Функцию Ф(Ид), описывающую коэффициенты ряда Фурье, назовем спектральной характеристикой функции ф(хД) по пространственной переменной х. Эта функция зависит от дискретной переменной И и времени Ь и может быть представлена как матрица-столбец бесконечного порядка.

В [5, 6] доказан ряд свойств одномерных спектральных характеристик, которые будут приведены ниже без доказательства.

Свойство 1. Линейность спектральных характеристик. Если функция ф(хД) является линейной комбинацией функций фк(хД), то спектральная характеристика ф(хД) будет линейной комбинацией спектральных характеристик, соответствующих фк(хД).

Свойство 2. Представление интеграла от произведения двух функций в спектральной форме. Интеграл от произведения двух функций фі

ь

]

а

для которых существуют спектральные характеристики

Яр

S[ф2

может быть представлен в виде

]

где 1(0 - скалярная величина, матрица размером (1х1); если положить к = 1, ^, то Ф1 - матрица

т

спектральных характеристик функции ф1(х,Ь) размером (Их1); Ф 1 - транспонированная матрица от Ф1 размером (1хИ); Ф2 - матрица спектральных характеристик функции ф2(хД) размером (Их1). Здесь и далее выбор числа И определяется точностью вычислительной процедуры.

Свойство 3. Представление произведения двух функций с помощью спектральных характеристик. Произведение двух функций

р

может быть представлено в спектральной форме в виде

Ф

к=1

где Ф(к, г) и Ф2(к, г) определяются по (1.3),

_ ь _

Ф11

а

Если положить, что число членов ряда к = 1, ^, к = 1, ^ Ф(к, г) представляет собой матрицу Ф размером (к х1), Ф11(к, к, г) - квадратная матрица Ф1 размером (к х к) (здесь и далее полагаем к = к ), Ф2 (к, г) - матрица Ф2 размером (Их1), то (1.9) можно представить в матричной форме в виде

Ф = Ф11Ф2.

Свойство 4. Коммутативность представления произведения двух функций в спектральной форме. Если для функций р1(х, г) и р2(х, г) существуют пространственные спектральные характеристики, то спектральная характеристика от произведения двух функций

р1 (х, г) • р2 (х, г) равна спектральной характеристике от произведения р2 (х, г) • р1 (х, г), т.е.

5 [р1

Свойство 5. Представление производной по пространству в спектральной форме. Если для функции ф(хД) существует спектральная характеристика Ф0 на интервале х є [а, Ь], то спектральная характеристика для т-й производной по пространственной переменной от функции

ф(хД) на интервале х е [а, Ь], где а = а — £, Ь = Ь + £, £ - бесконечно малая величина, представляется в виде

ф.=р.ф» + £гт—1)а + £ гт—1)Ь. т=1,2,...,

.=1 г=1

где Фт — матрица спектральной характеристики от производной т-го порядка размером (к Х1); Рт — операционная матрица дифференцирования порядка т, равная Рт = Р. размером ( к Х к); Р\ - операционная матрица дифференцирования первого порядка размером (к х к); Ф0 — матрица спектральной характеристики функции р(х, г) по переменной х е [а, Ь] размером (к Х1); Г. 1) а, Г т 1)Ь — матрицы граничных условий на границах х = а и х = Ь

соответственно размером (к Х1).

-« «- -р^ —1)а т~,(^—1)Ь

Матрицы Р1, Г . , Г т определяются выражениями

Ь

РДк, к) = | Р

д

— Р(к, х) дх

йх, к = 1, го; к =1, го ;

ГГ1)а = р,)

а

а

Ь

дх

ГС—1)Ь = |рЬ'—'

а

где т - порядок производной по пространству; (1-1) - порядок скачка производной на границах

(а-0), (Ь+0); р(а' 1)(г), рЬ 1)(г) - амплитуды скачков производных на границах (а-0) и (Ь+0).

В [5, 6] кроме рассмотренных выше свойств, доказаны свойства о представлении в спектральной форме определенного интеграла по пространству; произведения функции на производную от другой функции, зависящих от пространственных переменных; свойство о замене орто-нормированной системы и другие.

Полученные свойства открывают возможность анализировать объекты управления, описываемые дифференциальными, интегральными и интегродифференциальными уравнениями с частными производными.

В качестве примера рассмотрим анализ объекта управления, описываемого интегро-дифференциальным уравнением вида

дрр; ’1) =«2

х е [а, Ь], г е [0, го),

где а0(х), а1(х), а2(х) - безразмерные коэффициенты уравнения, зависящие от пространственной переменной х; к (х, %) - ядро интегрального преобразования; f (х, г) - внешнее воздействие.

Функции f (х, г), р(х, г) - однозначные, непрерывные, ограниченные с интегрируемым квадратом, всюду дифференцируемые на интервале х е [а, Ь], г е [0, го).

У правление объектом осуществляется с границ

р

р

Начальные условия:

р

а

На основе доказанных свойств спектральных характеристик уравнение (1.17) может быть представлено в виде бесконечномерной системы дифференциальных уравнений в форме Коши относительно спектральной характеристики регулируемой переменной Фр(к, г). Фр(к, г) - вектор, составленный из коэффициентов ряда Фурье для регулируемой переменной р(х, г) по пространственной переменной х на основе ортонормированной системы функций {Р(к, х)}. йФ

—р = Ф 12

где Фр - вектор спектральной характеристики размерности к х1; Ф12, Ф11, Ф10 - матрицы первого сомножителя, определяемые по [5, 6], размерности (к Х к ), к = к ; Р1, Р2 - операционные матрицы дифференцирования функции р(х, г) по пространственной переменной первого и второго порядка соответственно, определяемые по [5, 6], размерности (к Х к), к = к ; Р* - операционная матрица интегрального преобразования, определяемого по [6], размерности (к Х к), к = к ; Г10а, Г10Ь, Г20а, Г20Ь - матрицы граничных условий, определяемые по [5, 6], размерности (к х1); Фf

- вектор спектральной характеристики внешнего воздействия f (х, г) по пространственной переменной, определяемый по (1.3), размерности (к х1). Для всех матриц из (1.21) справедливо

к = 1, го, к = 1, го, к = к .

Решая систему (1.21) при начальных условиях (1.20), представленных в спектральной форме по (1.3), находим Фр. Решение исходной задачи определяется как сумма ряда Фурье по пространственной переменной на основе ортонормированной системы функций {Р(к, х)}, т.е.

р

к=1

Конечные результаты спектрального метода анализа получены в векторно-матричной форме, что дает возможность использовать для вычислительных процедур ЦВМ.

2. Аппроксимация бесконечномерных систем

Одной из основных проблем, связанных с использованием для анализа бесконечномерных систем, является проблема аппроксимации - замены бесконечномерной системы адекватной конечномерной системой, так как любая вычислительная процедура, в конечном итоге, предполагает наличие ограниченного числа уравнений в решаемой системе. Анализ и синтез с использованием спектрального метода проводится по ограниченному, конечному числу уравнений системы.

На основании [7] были сформулированы достаточные условия того, чтобы решение системы

= Л

йг

где /М— параметр системы, при достаточно большом значении п (порядок усечения), было близко на заданном временном интервале [0, Т] к решению «укороченной» системы дифференциальных уравнений, которая получается из первых п уравнений (2.1), если положить в них равными нулю все искомые функции, начиная с п-й.

Итак, полагаем, что правые части системы (2.1) заданы в замкнутой области Э и при

г е [0,Г ], вир к Фк ^ К,

Достаточные условия возможности усечения системы (2.1), согласно [8], могут быть сформулированы следующим образом:

1. Функции fK непрерывны по переменным г,Ф01,Ф02,Ф03,...,М.

2. Функции удовлетворяют относительно переменных Ф01,Ф02,Ф03,... усиленному условию Коши-Липшица:

fk (г’Ф01’Ф02’Ф03’...Ф0т—1,Ф0т ,Ф0т+1

fk (г, Ф01,Ф02 ,Ф03 ’...Ф0т—1,Ф0т ,Ф0т+1

т т 0

(к = 1,2,3...;т = 1,2,3...); £т — 0 при т — го; £1 = м,

М - ограниченное число. Аргументы функции находятся в области Э

где Ф0к и Ф0к - значения спектральных характеристик, разделенных интервалом Аг — 0 .

3. При любом г е [0,Г], /Ме [Д0,Д] и при Ф01 = Ф02 = Ф03 = ••• = 0 выполняется нера-

венство

где В(г) - ограниченная непрерывная функция на отрезке [0,Т].

Кроме того, в [7] доказана теорема о том, что если правые части исходной системы (2.1) удовлетворяют усиленному условию Коши-Липшица (2.3), то решение Ф0к (г,М) укороченной системы

^ = Л 0, Ф^Ф^Ф^-Ф*, ,0,0...; М),

йг

при г е [г0, г0 + 3] удовлетворяет условию

11т Ф 0к

П——го

где Ф0к (г,М) - решение исходной системы (2.1 ); 3 - бесконечно малая величина. При этом предельный переход является равномерным по параметру м при М е [Д, Д ].

Система (2.6) получается из системы (2.1) путем приравнивания к нулю всех искомых функции, начиная с (п+7)-й.

Приведенные достаточные условия и теорема дают возможность вынести суждение о правомочности рассмотрения ограниченного числа уравнений в бесконечной системе (2.1), составленных относительно спектральных характеристик, что, в конечном итоге, определяет достоверность использования ограниченного числа пространственных мод для описания процессов в распределенной системе управления.

3. Синтез распределенных систем управления на основе спектрального метода представления

Спектральный метод представления распределенной системы дает возможность использовать для описания процесса управления систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Это открывает возможность применения аппарата аналитического конструирования регуляторов в обыкновенных системах для синтеза регуляторов распределенных систем.

Пространственно одномерный распределенный объект управления, согласно разделу 1, может быть представлен в спектральной форме в виде

Ф0 = АФ0 + Ви + Фу,

Р = »ХФ0,

Ох = [Р

где р( х, г) - выходная (измеряемая) переменная распределенного объекта, скалярная величина; Бх

- матрица, составленная из элементов ортонормированной системы функций, размером (1хп); Ф0

- матрица спектральных характеристик (переменных состояния) размером, (пх1); А - матрица коэффициентов размером (пхп); В - матрица коэффициентов размером (пхш); и - матрица управляющих воздействий на границах размером (шх1); Фу - матрица спектральных характеристик внешнего возмущения размером (пх1); п - порядок «усечения»; ш - число управлений; х - пространственная переменная; Ь - время.

Будем рассматривать управляемость системы в пространстве мод исходной системы функций, используемой для спектрального представления распределенного объекта. При любом допустимом управлении и еА, согласно (3.1), формируется пространство состояний объекта управления в спектральной области по заданному числу мод.

Под свойством управляемости будем понимать возможность перевода с помощью допустимого управления объекта из заданной начальной точки пространства спектральных характеристик Ф°(£О),Ф0 е К в заданную конечную точку пространства состояний спектральных характеристик Ф0 (ґк), Ф0 е К на конечном временном интервале [Ь0, Ьк].

Согласно критерию Калмана [8], объект, соответствующий системе (3.1), будет полностью управляем тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости равен п:

Ку = [В АВ Л2В ...Ап-1В].

Лишь при этом условии в воссоздании заданной конечной точки в области пространства состояний спектральных характеристик будут участвовать п независимых векторов п-мерного пространства системы (3.1), то есть будут участвовать п независимых пространственных мод в воссоздании регулируемой переменной.

Для оценки управляемости по выходному параметру и оценки наблюдаемости объекта введем в рассмотрение матрицу Э, составленную из элементов ортонормированной системы разложения и вычисленных для г фиксированных значений пространственных координат, то есть г -число точек, принадлежащих пространственно-управляемому множеству. В случае пространственно одномерного объекта эти точки хі,х2, . . . хг принадлежат интервалу х е (О,I).

Матрица Э имеет размерность (гхп), то есть

Р

Б =

Р

Р

Если вместо уравнения (3.2) записать уравнение

Р = ОФ0,

то система (3.1) и (3.6) будет связывать спектральные характеристики объекта управления со значениями выходной переменной объекта управления в конкретных точках геометрического пространства.

Рассмотрим далее вопросы наблюдаемости в спектральной области представления распределенного объекта.

Определение наблюдаемости (восстанавливаемости) для распределенной системы (3.1), (3.6) в области спектральных характеристик полностью совпадает с определением наблюдаемости для линейных систем [8], что дает возможность воспользоваться критерием наблюдаемости, предложенным там же. Система наблюдаема только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости равен п:

О = [Бт АтБт ...

Ранг матрицы (3.7) вычисляется для точек (1=1,г), принадлежащих интервалу х е (0,1), который определяет множество пространственно управляемых точек.

Распределенная система управления при ее рассмотрении по ограниченному числу п пространственных мод может быть представлена в спектральной форме в виде

Ф 0 = АФ0 + BU + MV,

P = ОФ0,

У = P+Y,

£ ii S4 0

U = СФн,

0 = ЫФ0,

x e (0, l), t > 0,

где Фо - матрица спектральных характеристик (переменных состояния) размером (nxi); U -матрица управляющих воздействий размером (mxl); V - матрица возмущающих воздействий размером (qxl); А, В, М - матрицы коэффициентов размером (nxn), (nxm), (nxq) соответственно; у

- матрица измеряемых переменных размером (rxl); р - матрица выходных параметров объекта управления размером (rxl); у - матрица помех измерения размером (rxl); D - матрица

коэффициентов преобразования размером (rxn); Фн - матрица измеренных спектральных характеристик размером (nxl); H - матрица преобразования измеренных значений в спектральные характеристики размером (nxr); С - матрица коэффициентов регулятора размером (mxn); 0 -матрица регулируемых переменных размером (nxl); N - матрица коэффициентов преобразования размером (nxn). Все матрицы коэффициентов преобразования являются постоянными, то есть составлены из элементов, не зависящих от времени. Структурная схема системы представлена на рисунке.

Рассмотрим решение задачи аналитического конструирования регуляторов на основе методов пространства состояний для системы (3.8) - (3.l3). Синтез регулятора проведем по переменной Фо. В качестве критерия оптимизации выбран квадратичный функционал с постоянными весовыми коэффициентами и бесконечным верхним пределом:

J = j

о

где Q - заданная неотрицательно-определенная матрица размером (nxn); R - заданная положительно-определенная матрица размером (mxm).

Определению подлежит закон управления:

U = ^Ф0,

который минимизирует критерий (3.l4) и, кроме того, замкнутая система должна быть асимптотически устойчива.

Представим матрицу Q в виде

Q = STS,

где S- матрица размером (a xn); а = rank Q < n.

Согласно [8], уравнение Риккати в данном случае является алгебраическим уравнением вида

LA + ATL-LBR - BTL + ST S = 0.

Структурная схема системы

Как известно, данное уравнение является нелинейным и имеет несколько решений. Доказано, что если объект полностью управляем и наблюдаем по некоторому сигналу в = £Ф0, то среди решений уравнения (3.17) существует единственное ^>0 (положительно-определенная матрица размером (пхп)) и при этом закон управления по переменной Фо будет иметь вид

и =- Я ~1БТЬФ0.

Данное управление минимизирует функционал (3.14) и замкнутая система, соответствующая системе уравнений (3.8), (3.18), будет асимптотически устойчива.

Если в распределенной системе, содержащей устройства измерения и преобразования переменной состояния согласно (3.9) - (3.13) при (У=0, у =0) управление представляется в виде

и = СНБФ0,

при этом произведение ИЭ - матрица неособенная, то приравнивая (3.18) и (3.19), определяем коэффициент С в (3.12):

С = -Я - БТЬ

определяющий коэффициент передачи оптимального регулятора.

Матрица Э, согласно (3.5), составлена из постоянных, ограниченных по величине чисел. Матрица Н, выполняющая роль измерителя в системе, преобразует значения переменной состояния р (хД) в отдельных точках пространства в матрицу спектральных характеристик Фн.

При г < п задача наблюдения может быть решена на основе известной задачи построения наблюдателя полного порядка [8].

Выводы

1. Для распределенных объектов управления, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных параболического и гиперболического вида с постоянными и переменными коэффициентами, разработана алгебра преобразований, позволяющая использовать матрицы для формализации процесса вычислений; разработаны алгоритмы и пакеты прикладных программ анализа нестационарных режимов распределенных объектов и систем.

2. Благодаря спектральной форме представления пространственно-временных процессов доказана возможность использования ограниченного числа пространственных мод и ограниченного числа дифференциальных уравнений бесконечномерной системы для описания процесса. Показано, что при достаточно большом порядке «усечения» решение исходной бесконечномерной системы близко на заданном временном интервале к решению «укороченной» системы.

3. Полученные результаты обобщены на случай анализа и синтеза пространственно двумерных и трехмерных распределенных систем.

4. Разработанная математическая модель дает возможность использовать теорию аналитического конструирования регуляторов обыкновенных систем для синтеза регуляторов распределенных систем в спектральной области представления.

5. На основе спектрального метода анализа и синтеза разработаны и внедрены в производство распределенные системы управления температурными полями в установках для вытяжки световодов, микроканальных пластин; разработаны системы управления нестационарными тепловыми режимами в многослойных интегральных схемах, используемых в радиоэлектронной аппаратуре; получены алгоритмы оптимального управления (с точки зрения минимизации энергетических затрат) процессом проточного индукционного нагрева нефти перед транспортировкой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бутковский A.r. Структурная теория распределенных систем I A.r. Бутковский. М: Наука, 1977. 320 с.

2. Рапопорт Э.Я Оптимальное управление системами с распределенными параметрами: учеб. пособие I Э.Я. Рапопорт. М: Высш. шк., 2009. 667 с.

3. Егоров A.^ Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами I A.^ Егоров. М: Наука, 1978. 463 с.

4. Солодовников В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления I В.В. Солодовников, В.В. Семенов. М: Наука, 1974. 329 с.

5. Коваль ВА. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных управляемых систем: I ВА. Коваль. Саратов: Изд-во СГТУ, 1997. 192 с.

6. Коваль В .A. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных систем: учеб. пособие I В .A. Коваль. Саратов: Изд-во СГТУ, 2010. 145 с.

7. Валеев Г.К. Бесконечные системы дифференциальных уравнений I Г.К. Валеев, ОА. Жаутыков. Aлма-Aта: Наука Казахской ССР, 1974. 356 с.

8. Aлександров A.r. Оптимальные и адаптивные системы I A.r. Aлександров. М: Высш. шк., 1989. 263 с.

Коваль Владимир Александрович - Koval’ Vladimir Aleksandrovich -

доктор технических наук, профессор, про- Doctor of Technical Science, Professor of the фессор кафедры «Техническая кибернетика и Department “Technical Cybernetics and Infor-информатика», Саратовского государствен- matics” of Saratov State Technical University ного технического университета им Гагарина named after Gagarin Yu.A.

ЮА.