О плотности распределения скоростей движения пешеходов при пересечении проезжей части улиц

ТРАНСПОРТ

УДК 656.13.08:65.012.12

К.Н. Платошина

О ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ ДВИЖЕНИЯ ПЕШЕХОДОВ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПРОЕЗЖЕЙ ЧАСТИ УЛИЦ

Проведены экспериментальные исследования по определению скоростей движения пешеходов при пересечении проезжей части городских улиц. Показан математический аппарат для определения средней скорости движения и среднеквадратическое отклонение скорости движения.

Скорость движения пешеходов, проезжая часть, распределение скоростей

K.N. Platoshina DENSITY DISTRIBUTION OF THE PEDESTRIAN FLOW AT STREET CROSSINGS

The article presents the research data related with defining pedestrian walking speed at street crossings. Mathematical tools are provided to define the average walking speed rate and standard deviation referring the speed rate.

Speed of the pedestrians, parts of city streets, distribution of speeds

Для учета вероятностной сущности скоростей движения пешеходов, переходящих улицу, будем использовать теорию риска. Эта теория требует в качестве необходимых данных наличие законов распределения скоростей движения пешеходов различных возрастных групп, переходящих проезжую часть улицы в спокойном режиме, быстром темпе, беге. Зачастую исследователи останавливались на средней величине скорости движения пешеходов для каждой из представленных групп. Для применения теории риска необходимо знать два параметра: среднее значение и среднеквадратическое отклонение скоростей движения пешеходов.

В настоящее время имеются завершенные исследования скоростей движения мужчин, переходящих улицу перед движущимися автомобилями, в которых установлены как средние скорости движения пешеходов-мужчин, так и среднеквадратическое отклонение скорости движения [1]. Такие результаты исследований по определению скоростей движения пешеходов-женщин в настоящее время у других авторов отсутствуют. Некоторые авторы предлагают определять скорости движения пе-шеходов-женщин по скорости пешеходов-мужчин, которую следует уменьшить на 5-12 %.

Для применения теории риска и проведения экспертиз дорожно-транспортных происшествий необходимо выполнить экспериментальные исследования скоростей движения пешеходов-женщин и установить как средние скорости, так и среднеквадратические отклонения движения их при различных темпах (спокойном режиме, быстром темпе, беге) с учетом разделения их на возрастные группы: 7-14, 14-25, 25-45,45-60, >60 лет.

Исследования по определению скоростей движения пешеходов при пересечении проезжей части улиц проводились нами как для мужчин, так и для женщин. При проведении натурных исследований по определению скоростей движения женщин-пешеходов было определено, что этот параметр имеет различное значение в зависимости от времени года, времени суток, ширины проезжей части и других факторов.

В качестве примера в данной работе показаны параметры скоростей движения пешеходов-женщин в возрасте от 14 до 25 лет. После статистической обработки результатов исследований было

179

установлено, что в летнее время на сухом и чистом покрытии эмпирическое распределение хорошо описывается нормальным законом. В зимнее время года гистограмма распределения пешеходов-женщин имеет скошенность в область минимальных скоростей (табл. 1, рисунок).

Сразу необходимо отметить, что такое отличие (отсутствие скошенности в законах распределения скоростей движения мужчин) при пересечении дороги в зимний период (в данной и других возрастных группах), как правило, отсутствует.

Таблица 1

Последовательность вычисления ординат статистической плотности и функции распределения скоростей движения женщин-пешеходов

Г раницы разрядов Интервал в разряде, di Середина разряда Частота, mi Частости, Pi ^ /п Ординаты эмпирической плотности, F(Li)=mi /n*di Эмпирическая функция распределения, Р( и)=^

1,1-1,2 0,1 1,15 4 0,0754 0,7547 0,0754

1,2-1,3 0,1 1,25 10 0,1886 1,8868 0,264

1,3-1,4 0,1 1,35 8 0,1509 1,5094 0,4149

1,4-1,5 0,1 1,45 9 0,1698 1,6981 0,5847

1,5-1,6 0,1 1,55 6 0,1132 1,1320 0,6979

1,6-1,7 0,1 1,65 8 0,1509 1,5094 0,8488

1,7-1,8 0,1 1,75 3 0,0566 0,5660 0,9054

1,8-1,9 0,1 1,85 2 0,0377 0,3773 0,9431

1,9-2,0 0,1 1,95 2 0,0377 0,3773 0,9808

2,0-2,1 0,1 2,05 1 0,0188 0,1886 1,000

N=53 1^=1

По данным табл. 1 на рисунке показана гистограмма распределения изученных интервалов скоростей движения женщин.

т

2 1,8 1,6 1,4 1,2

1 0,8 0,6

0,4 0,2 0

123456789 10

V, м/с

Гистограмма распределения изученных интервалов скоростей движения женщин

В табл. 2 дан пример статистической обработки скоростей движения женщин и показаны методы определения среднего значения скорости движения и среднеквадратического отклонения.

Таблица 2

Пример статистической обработки скоростей движения пешеходов-женщин в возрастной группе от 14 до 25 лет

Разряды скорости, м/с Середина разряда, Um Абсолютная частота, Ь1т Частичная сумма, Sm Накопленная частота, Т Середина условного интервала, и Произведение

1т2 1 2*Ь| 1т Пт

1,1-1,2 1,15 4 4 4 -4 -16 16 64

1,2-1,3 1,25 10 14 18 -3 -30 9 90

1,3-1,4 1,35 8 22 40 -2 -16 4 32

1,4-1,5 1,45 9 31 71 -1 -9 1 9

1,5-1,6 1,55 6 37 108 0 0 0 0

1,6-1,7 1,65 8 45 153 1 8 1 8

1,7-1,8 1,75 3 48 201 2 6 4 12

1,8-1,9 1,85 2 50 251 3 6 9 18

1,9-2,0 1,95 2 52 303 4 8 16 32

2,0-2,1 2,05 1 53 356 5 5 25 25

N=53 М=356 Т=1505 В=-38 А=290

Определим среднее значение и среднеквадратическое отклонение скоростей движения жен-щин-пешеходов.

Применяя к табл. 1 мультипликативный метод, получаем

- среднее значение скорости движения:

Х“=Ха+ё/п*Б

Х“=1,55+0,1/53*(-38)=1,48 м/с

1) среднее значение среднеквадратического отклонения скорости

ст2в=

ст2в=(0,12/53-1)*(290-(38)2/53)=0.05 стб=0,22 м/с

2) по методу суммирования:

Х“=ик-ё

Х" =2,05-0,1 ((356/53)-1)=1,48 м/с2

3) среднее значение среднеквадратического отклонения скорости

ст2в=

ст2в=(0.12/53-1)*(2*1505-356-3562/53)=0.05 стб=0.22 м/с

Таким образом, средняя скорость движения пешеходов составила У=1,48 м/с2, а среднеквадратическое отклонение о=0,22 м/с.

Из гистограммы на рисунке видно, что распределение скоростей движения не соответствует нормальному закону распределения.

Проведенные исследования по применению тех или иных законов распределения показали, что для одних возрастных групп с оценками хорошо и отлично подходит распределение Вейбулла, а для других можно применить гамма-распределение. В связи с этим предлагается использовать распределение Шарлье, которое универсально. В этом распределении присутствуют коэффициенты эксцесса и асимметрии, которые позволяют охватывать любые формы скошенного распределения, поэтому его можно считать универсальным.

Представим нормированную плотность распределения в виде распределения Шарлье:

2 _иИ _и2

^0 —— , С йе 2 С2 02е 2 сп йПе 2

С0 * е 2+^*-------------+ — *----— +------+ — *-----—

1! йи 2! йи2 п! йип

1 ——

где -^= * е 2 - закон нормального распределения случайной нормированной непрерывной перемен-

2 2 2 _2 _2 1 йе 2 1 й2е 2 1 йПе 2

ной Ш 1= *------------------1=*-', 1=*------ производные 1-й, 2-й,..., п-й степени плотности

V2л йи V2л йи2 V2л йип

нормального распределения; С0,СьС2,..., Сп - постоянные коэффициенты данного распределения.

Ограничиваясь для практических расчетов четвертой производной в распределении Шарлье,

имеем

Сс=1, С1=0, С2=0, Сэ=С8, С4=Еи,

где С8 - коэффициент асимметрии

^Зи ,

Сз = ~—

Цзи - третий центральный момент плотности распределения вероятностей, характеризующий степень асимметрии распределения. Для нормальной плотности распределения ц3и=0 и С8=0; Еи - эксцесс плотности распределения

т-’ ^4и ~ /тч

Еи= — ~3,

ц4и - четвертый центральный момент, характеризующий степень островершинности (плосковершинности) плотности распределения вероятностей. Для нормальной плотности распределения ^-=3 и Еи=0.

В теории вероятностей доказывается, что третий и четвертый центральный моменты суммарной плотности распределения для случая разности двух независимых случайных величин можно установить через числовые параметры исходных законов распределения по зависимостям

Ц3и = М-3х2 - Ц3хЬ

М-4и = М-4х1 + Ц4х2+6

где ц3х1 ,ц3х2, ц4х1,ц4х2, о х1,ох2 - соответственно центральные моменты третьего и четвертого порядка и среднеквадратические отклонения суммируемых плотностей распределения вероятностей в существующих условиях (х1) и критической ситуации (х2).

Для определения центральных моментов исходных законов распределения (в существующей и критической ситуациях) используют следующие формулы.

При статистической обработке результатов измерений (то есть по данным, полученным экспериментально в существующих условиях):

Ик = ТП=А{Х1 - Аср)ь * Р\.

где к - показатель степени: к=3 при определении третьего центрального момента и к=4 при определении четвертого центрального момента; Аср - среднее значение исследуемого параметра в существующих условиях; Х( - конкретное значение случайной величины X в разряде; Р( - частость появления экспериментально установленных значений Х( случайной величины X в разряде:

Р1=т/н,

где т1 - число значений Х( случайной величины X в разряде; п - общее число наблюдений случайных величин во всех разрядах.

При определении центральных моментов третьего и четвертого порядка в критической ситуации (при которой риск отказа равен 50 %) можно использовать следующий подход. Применять формулу (11) для определения центральных моментов в критической ситуации можно только в том случае, когда известны конкретные значения х*р случайной величины Хкр в разрядах. Если бы критические значения х*р в нашем распоряжении были, то формулу (11) использовали бы в виде

Ик = Х^Ж^кр - Аср)к * Р^.

При известных величинах среднего значения (Акр) и среднеквадратического отклонения (окр) критического распределения имеем зависимость, сохраняющую идентичность фактического и критического законов распределения, и предназначенную для определения конкретных значений хк случайной величины Хр в разрядах

Х*Р=

При таком подходе сохраняются одинаковыми: число значений (т^ критических и фактических величин в разрядах, объем статистической совокупности (п) и значения частостей. Это гарантирует неизменность закона распределения в фактическом состоянии и критической ситуации.

Подстановкой коэффициентов в распределение Шарлье (6) получаем

и2 1 йЗе 2 1 аАе 2

2 +— * С5 *--------- I * Еи *

6 5 йиЗ 24 йи4

Основным достоинством этого распределения является то, что для установки его соответствия гистограмме распределения нужно только вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса [2].

Полученные результаты можно считать достоверными. Данный вывод сделан на основании анализа другого источника. В [3] были проведены исследования по определению скоростей движения пешеходов, как мужчин так и женщин, и полученные ими средние значения скоростей движения до-

статочно близки к результатам автора данной статьи. Однако среднеквадратические отклонения, которые необходимы для составления законов распределения, в [3] не приводятся.

Для сравнения приведем пример статистической обработки данных для мужчин-пешеходов в такой же возрастной категории, как и женщин-пешеходов, - от 14 до 25 лет в зимний период года.

Таблица 4

Пример статистической обработки скоростей движения пешеходов-мужчин в возрастной группе от 14 до 25 лет

Разряды скорости, м/с Середина разряда, ит Абсолютная частота, Ь1т Частичная сумма^т Накопленная частота, Т Середина условного интервала, 1т Произведение

!т*Ь| т 1т2 1т 2* т

0,95-1,05 1 4 4 4 -3 -12 9 36

1,05-1,15 1,1 1 5 9 -2 -2 4 4

1,15-1,25 1,2 2 7 16 -1 -2 1 2

1,25-1,35 1,3 7 14 30 0 0 0 0

1,35-1,45 1,4 4 18 48 1 4 1 4

1,45-1,55 1,5 1 19 67 2 2 4 4

1,55-1,65 1,6 3 22 89 3 9 9 27

N=22 М=89 Т=263 В=-1 А=77

Определим среднее значение и среднеквадратическое отклонение скоростей движения муж-чин-пешеходов.

Применяя к табл. 4 мультипликативный метод, получаем:

- среднее значение скорости движения:

Х"=Ха+ё/п*Б

Х"=1,3+0,1/22*(-1)=1,3 м/с

1) среднее значение среднеквадратического отклонения скорости

ст2в=

ст2в=(0,12/22-1)*(77-(1 )2/22)=0,03 стб=0,17 м/с

2) по методу суммирования:

Х-=Ик-ё

Х"=1,6-0,1((89/22)-1)=1,3 м/с2

3) среднее значение среднеквадратического отклонения скорости

ст2в=

ст2в=(0,12/22-1)*(2*263-89-892/22)=0,03 стб=0,17 м/с

Таким образом, средняя скорость движения пешеходов составила У=1,3 м/с, а среднеквадратическое отклонение ст=0,17 м/с.

Сравним эмпирическое распределение пешеходов-женщин с нормальным законом распределения.

Таблица 5

Сравнение эмпирического распределения скорости движения пешеходов с законом нормального распределения пешеходов-мужчин в той же возрастной категории

Разряды интервалов скорости движения, м/с Абсолютная частота, Ь1т Вероятность попадания измерений в разряд, Pi Теоретическое количество измерений (т=Р|*п) Х2=(Ь1т-Пт)2/Пт

<0.95 0 0.020 0.44 0.44

0.95-1.15 5 0.169 3.718 0.44

1.15-1.35 9 0.424 9.438 0.02

1.35-1.55 5 0.315 6.93 0.53

1.55-1.65 3 0.050 1.10 3.28

>1.65 0 0.020 0.44 0.44

N=22 Р|=1 Х2=5.15

Для теоретического распределения число степеней свободы определялось по формуле

у=п-1=к-г,

где k - число разрядов ( в табл. 5 k=6); r - число наложенных связей (для нормального распределения r=3).

В приведенном примере у=6-3=3.

Из таблиц X распределения при %2=5,15 и у=3 выписываем вероятность P=0,15, при такой вероятности соответствие фактической кривой распределения скорости движения нормальному распределению следует считать удовлетворительным.

Как показали натурные наблюдения, поведение пешеходов-женщин и пешеходов-мужчин на проезжей части имеет существенное различие. Вероятнее всего, эти различия связаны со следующими обстоятельствами: пешеходы-мужчины гораздо более хладнокровны в оценке экстремальной ситуации во время пересечения проезжей части, а женщины более эмоциональны в восприятии сложившейся нестандартной ситуации. Различие женщин и мужчин заключается в удобстве обуви, которая напрямую влияет на скорость пересечения проезжей части. Высокие каблуки не позволяют представительницам слабого пола быстро переходить дорогу, вследствие чего скорость снижается, а время пересечения участка дороги увеличивается. Важным фактором является покрытие проезжей части. Если, например, покрытие будет сделано из брусчатки или это будет каменная мостовая, то женщины будут пересекать такой участок гораздо дольше, чем мужчины. Разброс скоростей движения женщин-пешеходов, на наш взгляд, напрямую зависит и от эмоциональной составляющей женщин, о чем свидетельствует гистограмма распределения интервалов скоростей (рисунок).

Как показали выполненные исследования плотности распределения скоростей мужчин и женщин в благоприятный период года, как правило, согласно нормальному закону распределения, при наличии скользкого покрытия, распределение скоростей движения мужчин остается нормальным (с оценкой удовлетворительно), а гистограмма распределения скоростей движения женщин при пересечении дороги удобнее всего описывать распределением Шарлье, так как появляются коэффициенты асимметрии и эксцесса, соответствующие скошенному распределению.

ЛИТЕРАТУРА

1. Платошина К.Н. Влияние дорожных условий на возникновение ДТП с участием пешеходов / К.Н. Платошина // Молодежь и научно-технический прогресс в дорожной отрасли юга России: материалы IV научно-технической конференции 11-14 мая 2010 г. Волгоград, 2010. С. 135-138.

2. Столяров В.В. Проблемы транспорта и транспортного строительства / В.В. Столяров. Саратов: СГТУ, 2005. 200 с.

3. Евтюков С.А. Расследование и экспертиза дорожно-транспортных происшествий / С.А. Евтюков, Я.В. Васильев; под общ. ред. С.А. Евтюкова. СПб.: ООО «Издательство ДНК», 2005. 288 с.

Платошина Кристина Николаевна -

аспирант кафедры «Строительство дорог и организация движения»

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 10.02.12, принята к опубликованию 04.06.12

Kristina N. Platoshina -

Postgraduate

Department of Road Construction and Traffic Control Gagarin Saratov State Technical University