Проблема одномерной упаковки элементов

Раздел III. Автоматизация проектирования

В.М. Курейчик, Р.В. Потарусов ПРОБЛЕМА ОДНОМЕРНОЙ УПАКОВКИ ЭЛЕМЕНТОВ*

Введение. В последние годы наблюдается рост объема производства сверхбольших интегральных схем (СБИС). Использование СБИС оказывается настолько эффективным, что даже большие, в сравнении с производственными затратами, вложения в научно-исследовательские работы, направленные на совершенствова-, .

схем, причем одновременно растут их надежность и экономичность [1]. Если задача проектирования топологии разделена на подзадачи, и они рассматриваются абстрактно и с приближениями, то их можно анализировать как классические комби.

возможное количество рядов является классической задачей комбинаторной оптимизации, называемой задачей одномерной упаковки (One-Dimensional Bin Packing Problem) [2]. В этой задаче минимизируется количество занятых блоками рядов, а ее допустимые решения представляют собой все возможные перестановки блоков .

Задача одномерной упаковки блоков моделирует различные практические задачи в области САПР, например: форматирование таблиц, постраничное разбиение, размещение файлов [3].

,

свести одну из них к классической задаче одномерной упаковки, вводятся целевые функции и ограничивающие условия, которые не могут быть строго определены, и производится формализация задачи для ЭВМ. Но даже и при упрощении целевых функций и ограничивающих условий, а также при выполнении некоторых частных , , интеграции схемы растет в экспоненциальной зависимости [2, 4]. Это справедливо и в отношении задачи одномерной упаковки. Поэтому целесообразным для ее решения является использование эвристических алгоритмов, которые, при отсутствии гарантии нахождения оптимального решения, позволяют получить приближенное в течение некоторого реального интервала времени. Недостатки эвристических алгоритмов решения задачи одномерной упаковки сводятся в общем к низкому качеству решения, либо затрачивают на его поиск избыточное количество [3].

1. Постановка задачи. Задача одномерной упаковки может быть описана, используя терминологию задачи о рюкзаке [5]. Даны n элементов (товара, изделий) и n блоков (рюкзаков, ящиков или бинов (bin)) с Wj - весом элемента j, с - грузо-( ) .

Назначим каждый элемент одному блоку так, чтобы общий вес элементов в c, .

Математическая формулировка проблемы следующая [5]:

* Работа выполнена при поддержке РФФИ

П

минимизировать

i=i

n

при условии, что

X WJXV - °Уг , 1 eN = {1, п}

i=1

n

Z Xv = 1,j eN,

i=1

yi = 0 или 1, I e N,

Xj = 0 или 1, I e N, j e N,

где у{ = 1, если накопитель I использован, в противном случае у{ = 0; Ху = 1, если элемент] назначен бину I, в противном случае х:у = 0.

Будем полагать, что wу - положительные целые. Следовательно, чтобы сохранить универсальность, предположим, что

Если предположение (6) нарушается, то с может быть заменено на . Если

элемент нарушает предположение (7), то упаковка заведомо невыполнима. Будем полагать, что в любом возможном решении используются наименьшие пронумерованные накопители, т.е. yi >yi+1 для i = 1, ..., п-1.

2. Алгоритм одномерной упаковки Next-Fit. Первый рассматриваемый приближенный подход к решению задачи бинарной упаковки - это Next-Fit (NF) алгоритм [5, 6]. Первый элемент назначается блоку 1. Элементы 2, ...,п рассматриваются в порядке возрастания их индексов: каждый элемент назначается текущему блоку, если он вмещается туда; в противном случае он назначается новому блоку, который становится текущим. Временная сложность алгоритма O(n). Доказано, что для любого экземпляра I задачи BPP значение решения NF(I) может быть получено при использовании алгоритма, который удовлетворяет ограничению

где 2(!) есть оптимальное значение решения [2,7].

, , -ние ~Ы¥(1)/2(1) сколь угодно близко к 2, т.е. наихудший коэффициент производительности ЫЕ это г(ЫГ)=2. Заметим, что для проблемы минимизации наихудший случай коэффициента производительности эвристического алгоритма А описан как наименьшее вещественное число г(А), такое что

где A(I) - значение решения, полученное при использовании алгоритма A.

, , , так, что w1 > w2 > ... >wn, где Wj - размер элемента j, и применим NF. Получающийся алгоритм временной сложности O(n-log п) называется Next-Fit Decreasing

3. Алгоритм одномерной упаковки First-Fit. Алгоритм First-Fit (FF), рассматривает элементы в соответствии с возрастанием их индексов и назначает каждый элемент низшему индексированному уже инициализированному блоку, куда он может быть помещен без переполнения. Только когда текущий элемент не мо-

с - это положительное целое, Wj — с для j e N.

NF(I) <2*z(I),

I,

(NFD).

жет быть помещен в какой-либо уже инициализированный блок, то вводится новый блок. Доказано [2,5,8], что

17

FF

10

для всех случаев I задачи BPP, и что имеются случаи I со сколь угодно большим z(I), для которых

17 FF

(9),

для других алгоритмов, наихудший коэффициент производительности не может давать полной информации о наихудшем поведении алгоритма. Вместо него, для BPP -

изводительности. Для эвристического алгоритма A он определен как минимальное вещественное число r™(A), та кое, что для некоторых положительных целых k

A

----- < r (A) для всех случаев I, удовлетворяющих z(I) >k.

z

~ 17

Тогда из (9) - (10) следует, что r (FF) = —.

, , , так, что w1 >w2 >... >w„, где Wj - размер элемента j, и применим FF. Получающийся алгоритм временной сложности O(n-log n) называется First-Fit Decreasing (FFD).

4. Алгоритм одномерной упаковки Best-Fit. Следующи й алгоритм, Best-Fit (BF) получается из FF назначением текущего элемента допустимому блоку (если

), , поиск такого блока начинается с первого инициализированного блока (как в алгоритме FF). Johnson, Demers, Ullman, Garey и Graham [2] доказали, что BF удовле-

, FF ((9)-(10)), -

~ 17

тельно, r (FF) = —.

10

Временная сложность обоих алгоритмов FF и BF O(n-log n). Она может быть 2-3 ,

. (2-3 - , -

ром: а) каждый нелистовой узел имеем 2 или 3 сына; б) каждый путь из корня к

l; )

по его значению, его обновления, или вставки нового листа в O(l) время. В этом случае каждая итерация FF или BF требует O(log n) времени, так как число листьев ограничено числом n [9-11].

, , ,

, w1 > w2 > . > wn, wj - j, BF. -

щийся алгоритм временной сложности O(n log n) называется Best-Fit Decreasing (BFD).

5. Результаты экспериментов. Алгоритмы были реализованы на C++ и протестированы на ЭВМ с процессором AMD Athlon 600 МГ ц и 128 Мб оперативной

. NFD

: 1: wj -

пазоне [1,100]; Класс 2: wj в диапазоне [20,100]; Класс 3: wj в диапазоне [50,100]. В

таблице n - число элементов для упаковки, T - время выполнения алгоритма, ошибка упаковки Error рассчитывалась следующим образом:

^

Error = -------с------* 100%,

NPB

где с - вместимость блока, ItemSum - суммарный вес упакованных в него элемен-

, NPB - , .

Таблица

Результаты тестирования алгоритма Next-Fit Decreasing

Next-Fit Dec

Класс n Error, % T, мсек

1[1,100] 500 21.9912 1

1000 21.8452 2

2000 21.6891 6

5000 21.5413 18

10000 21.7912 25

2[20,100] 500 22.1891 1

1000 22.9908 2

2000 22.6507 5

5000 22.4015 19

10000 22.3253 26

3[50,100] 500 24.0730 1

1000 23.7568 2

2000 24.5603 6

5000 24.2286 17

10000 24.2351 27

Ошибка представляется как средний арифметический процент образовавшихся невостребованных пустот в инициализированных блоках после упаковки.

, , , -ченных для упаковки, при возрастании числа элементов значение ошибки сначала

, -тании времени выполнения упаковки. На втором классе элементов при увеличении их числа и времени, требующегося для упаковки всех элементов, значение ошибки сначала незначительно увеличивается, затем незначительно уменьшается. На третьем классе элементов с ростом количества упаковываемых элементов и времени работы алгоритма упаковки значение ошибки сначала уменьшается незначи-, .

На рис.1-3: «Вместимость» - вместимость блока с; «Блоков для упаковки» -, , -ветствующей эвристики; «Время» - время работы алгоритма; «Ошибка» - ошибка, описанная выше; «Заполнено» - процент укомплектованности блоков. На рис.1-3 показан суммарный вес каждого блока после упаковки.

Next-Fit Dec ----- ------

Вместимость: 100 _____

Бинов для упаковки: 0 Время: 0

Ошибка: 32.500000

Заполнена: 79 63 60 58 93 80 90 17

Рис.1. Пример упаковки 12 случайно сгенерированных элементов посредством эвристики Next-Fit Decreasing

First-Fit Dec Вместимость: 100 Бинов для упаковки: 6 Время: О

Ошибка: 10.000000

Заполнено: 96 99 98 100 93 54

Рис. 2. Пример упаковки 12 случайно сгенерированных элементов посредством эвристики First-Fit Decreasing

Рис. 3. Пример упаковки 12 случайно сгенерированных элементов посредством эвристики Best-Fit Decreasing

. ,

задачи одномерной упаковки. Из вычислительных экспериментов следует, что эв-NFD , -

, ,

элементов. Эвристики FFD и BFD, напротив, имеют меньшую, чем эвристика NFD, одинаковую по величине ошибку упаковки. Однако эвристика BFD требует больших, чем FFD-эвристика временных затрат. Связано это, прежде всего, с тем, что в случае BFD-эвристики каждый раз при упаковке текущего элемента необходимо определить максимально упакованный подходящий блок и поместить туда . , -дует считать FFD- и BFD-эвристики. Рост производительности современных ЭВМ позволяет широко использовать алгоритмы, менее критичные по отношению к быстродействию и машинной памяти, но позволяющие получить качественные (т.е. близкие к оптимуму) результаты. Среди таких подходов можно выделить генетические алгоритмы - мощный метод оптимизации, моделирующий естественный процесс эволюции в качестве средства достижения оптимума, сравнительно недавно начавший широко применяться для решения задач в различных областях, включая задачу размещения при проектировании СБИС [12].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Корячко В.П., Курейчик В.М., Норенков ИМ. Теоретические основы САПР: Учебник для вузов. - М.: Энергоатомиздат, 1987. - 400 с.

2. Johnson D.S., Demers A., Ullman J.D., Garey M.R., Graham R.L. Worst-case performance bounds for simple one-dimensional bin-packing algorithms, SIAM Journal on Computing 3, pp. 299-325, 1974.

3. Cook S.A. The complexity of theorem-priving procedures. Proc. 3rd Annual ACM Symp. on the Theory of Computing, 1971, pp.151-158.

4. Brown A.R. Optimal Packing and Depletion. American Elsevier, New York, 1971.

5. S. Martello, P. Toth. Knapsacks problems: algorithms and computer implementations. Chichester/England: John Wiley and sons Ltd, 1990.

6. . ., . ., . . моделирования. - М.: Физматлит, 2003.

7. Johnson D.S. Approximation algorithms for combinatorial problems. Journal of Computer and Systems Sciences 9, pp. 256-278, 1974.

8. Johnson D.S. Near-optimal bin-packing algorithms. Technical Report MAC TR-109, Project MAC, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA, 1973.

9. Yao A.C. New algorithms for bin packing. Report NoSTAN-CS-78-662. Computer Science Dept., Stanford University, Stanford, CA, 1978.

10. Brown A.R. Optimal Packing and Depletion. American Elsevier, New York, 1971.

11. Garey M.R., Graham R.L., Johnson D.S., Yao A.C. Resource constrained scheduling as generalized bin packing. J. Combinatorial Theory Ser. A21, pp. 257-298.

12. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы: Учебное пособие. Под ред. В.М. Курейчика. - Ростов-на-Дону: ООО «Ростиздат», 2004. - 400 с.

А.А. Лебедев, АЛ. Рыжов ОЦЕНКА И МОНИТОРИНГ ПРОЕКТОВ РАЗРАБОТКИ ВЫСОКОТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ИЗДЕЛИЙ

Одной из первых и важных проблем любого инновационного проекта является проблема оценки способности коллектива разработчиков выполнить проект в необходимое время с требуемым качеством при заданном ресурсном обеспечении [9,10]. Примерами вопросов, которые возникают на этой начальной стадии, являются:

♦ Достаточно ли у коллектива разработчиков навыков и ресурсов для завершения проекта?

♦ Какие части проекта представляют наибольшие трудности?

♦ Каким образом различные вложения средств (например, обучение, за-

, ) -

?

♦

образом при заданном ресурсном обеспечении?

В настоящее время на эти вопросы отвечают эксперты, менеджеры проекта, основываясь на своём личном опыте и интуиции. Цена ошибки на этом этапе -увеличение стоимости проекта, увеличение времени разработки изделия - вплоть до провала проекта. Поэтому любое повышение надежности оценок и ответов на сформулированные вопросы является важным, иногда критичным, для любого серьезного проекта.

В работе описывается прототип такой системы оценки и мониторинга проектов на примере разработки изделий микроэлектроники. В рамках разработки системы происходит формализация знаний экспертов и автоматизация процессов об-