Моделирование монои мультифрактального телекоммуникационного трафика c помощью вейвлетов

УДК 621.396.67

Моделирование моно- и мультифрактального телекоммуникационного трафика с помощью вейвлетов

О.И. Шелухин, А.В. Осин, Арсеньев А.В.

Представлено мультифрактальное расширение традиционных монофрактальных моделей для анализа, описания и синтеза положительнозначных процессов речевого и видео трафика.

An introduction to stochastic models for dynamic networks' fragmentation into parts of two and more nodes with binary condition of nodes and arcs.

Введение

Последние исследования доказывают, что трафик в системах и сетях связи обладает сложной многомасштабной структурой. Процессы с такими свойствами принято относить к классу мультиф-рактальных [1, 2].

В качестве инструмента моделирования ниже используется мультифрактальная вейвлет-модель (МВМ), позволяющая имитировать мультифрак-тальные особенности реальных данных. МВМ базируется на вейвлет-разложении экспериментальных данных, что и позволяет имитировать свойства реального трафика на различных разрешениях. Одно из отличий МВМ от аналогичных моделей -гарантированное моделирование положительных значений трафика. Модельные эксперименты были выполнены для речевого и видеотрафика. Мультипликативная конструкция МВМ-процесса является прообразом биномиальной меры классического мультифрактального процесса.

В большинстве простых моделей мультифракталы обладают локальной сглаженностью показателя Херста Н, которая зависит от времени V неустойчивым образом. В свою очередь, мультифракталы обладают моментами, которые нелинейно изменяются в зависимости от масштаба. Путем подбора мультифрактальных свойств для тестовых данных МВМ может синтезировать редкие события в дополнение к глобальному поведению. Случайные произведения обычно маленькие, но иногда они бывают чрезвычайно большими. Это приводит к пульсирующей структуре трафика. Однако модели, основанные на фрактальном броуновском движении (ФБД) и фрактальном гауссовом шуме (ФГШ), имеют постоянное значение показателя Херста Н и поэтому являются «монофрактальными».

По отношению к сетевому трафику самоподобные, аддитивные схемы моделируют поступления трафика как среднюю скорость с наклады-

ваемыми ФГШ флюктуациями. Это согласуется с концепцией трафика как наложения отдельных компонентов и является точным подходом на больших масштабах времени. В то же время мультипликативные модели представляют поступления трафика как произведение случайных коэффициентов, которые имитируют разбиение обшей пропускной способности трафика на части. Подобная точка зрения выгодна при рассмотрении малых масштабов времени.

Таким образом, хотя ФБД и ФГШ являются мощными и аналитическими моделями сигналов, их строгая самоподобность слишком ограничивает возможности описания разнообразных типов сигналов. В частности, многие сигналы обладают свойством существенной долговременной зависимости (ДВЗ), но проявляют кратковременные корреляции и масштабное поведение, которые не согласуются со строгой самоподобностью. Многие сигналы содержат приращения, которые по своей природе положительные, и следовательно - негауссовские.

Сигналы с такими свойствами относятся к классу мультифрактальных процессов. Мультиф-рактальные модели сигналов являются положительными мерами, и их распределения проявляют самоподобность, а не однородное (гомогенное) масштабирование.

Цель этой статьи - представить мультиф-рактальное расширение традиционных ФБД- и ФГШ -моделей сигналов для анализа, описания и синтеза положительнозначных процессов реального времени (речевых и видеопроцессов), обладающих ДВЗ-свойствами.

Основные положения вейвлет-анализа

Вейвлет-анализ [1, 2] выполняется путем разложения выборки X(V): (х(^0), х(^1),_х(^^_1)} объема п0 = 2/тах , («0<ЛО (где </тах=[1о§2-^] - макси-

мальное число масштабов разложения, [log2N] -целая часть числа ^2Л^), на функции детализации различного масштаба на основе сдвинутых и расширенных вариантов прототипа полосовой вейвлет-функции и сдвинутых вариантов низкочастотной скейлинг-функции.

Значение индекса масштаба у=0 (0 < У < •Лпах) соответствует случаю максимального разрешения

- самой точной аппроксимации, которая равна исходному ряду Х(0, состоящему из п0 отсчетов. С увеличением у происходит переход к более грубому разрешению.

Выбранные конкретные скейлинг и вейвлет функции

ф}= 2-3/2ф[2-Ч - к),

¥],к = 2-3/2^( 2-3 і - к ), і к

є г

образуют ортонормированный базис и получают представление временного ряда Х(() в виде

х ( )=х, ( )+Х°з ('),

п0/2Ф-1

гДе Хф () = X ™ф,кфф, к (і) — функция начальной

к=0

/23-1

°і (')=х ¡.о2- и3,к (і) — функция детализации 3-го масштаба;

да

\х (і ),фф ^ = | х (і )фф ,к (і )ж

иФ ,к = <

скей-

линг-коэффициент, равный скалярному произведению исходного ряда Х(і) и скейлинг-функции «самого грубого» масштаба Ф, смещенной на к единиц масштаба вправо от начала координат;

w3 ,к =

(Х (і )^3 к) = { Х (і )^3 ,к (і )^

— вейв-

лет-коэффициент масштаба у, равный скалярному произведению исходного ряда Х(0 и материнского вейвлета масштаба у, смещенного на к единиц масштаба вправо от начала координат.

При таком представлении к отражает пространственное расположение анализа, а у указывает на масштаб или разрешение анализа - большее у соответствует большему разрешению, при этом у =0 отражает самый грубый масштаб или самое низкое разрешение анализа. Используя методики блока фильтров, вейвлет-преобразование и обрат-

ное вейвлет-преобразование могут быть вычислены за О(п) операций для сигнала длиной N.

При вейвлет-преобразовании Хаара (рис. 1) прототип скейлинг- и вейвлет- функций задается соответствующими формулами Г1 1бе 1 < I < 0

ф(і) =

0 а абоаеб пео^ауо

¥(і) =

1

, 1

і бе 1 < і < — 2

-1 і бЄ — < і < 1 2

0 а абоаЄб пео^ауб

аппроксимации, соответствующая масштабу ,

(ф^^тах);

Рис. 1. Вейвлет Хаара: а - материнский вейвлет; б - скей-линг-функция

Скейлинг- и вейвлет- коэффициенты Хаара могут быть рекурсивно вычислены, используя соотношения

1,к 2 1 (из,2к + из ,2к+ 1^,

1

3- 1, к

= 2-1/2(ї

иі ,2 к - иі ,2 к+

Моделирование ДВЗ-данных

Вейвлеты служат в качестве приближенного преобразования Карунена-Лоэва долговременнозависимых сигналов. Следовательно, моделирование и обработка этих сигналов в вейвлет-области зачастую более эффективны и полезны, чем во временной области.

Дисперсия вейвлет-коэффициентов для непрерывного ФБД-процесса затухает с масштабом в соответствии со степенным законом для Н. Для

ФГШ-процесса точная степенная зависимость для Н также соответствует затуханию дисперсий коэффициентов вейвлета Хаара. Это степенное затухание совместно со свойством декорреляции вейвлетов приводит к быстрым, устойчивым алгоритмам для оценки.

Гауссовские ДВЗ-процессы могут быть приблизительно синтезированы при помощи генерирования вейвлет-коэффициентов, как независимые гауссовские случайные переменные с нулевым средним, одинаково распределенные в пределах масштаба в соответствии с формулой Wj k ~ N(0; s2 ), где 52 - дисперсия вейвлет-коэффициентов на масштабе j [15].

Степенное затухание для sj приводит к приблизительному вейвлет-синтезу ФБД-процесса или ФГШ-процесса [6]. Тем не менее, хотя сетевой трафик может проявлять свойства ДВЗ, присущие ФБД-процессам или ФГШ-процессам, он может иметь кратковременные корреляции, которые сильно отличаются от идеального ФБД-процесса или ФГШ-процесса масштабирования. Такие ДВЗ-процессы могут моделироваться при установке

2 ~

Sj в соответствии с измеренной или теоретической

дисперсией вейвлет-коэффициентов требуемого процесса [15]. Будем называть полученную модель независимой в вейвлет-области гауссовской (WIG) моделью [15] (рис.2, б). Для процесса длины N модель WIG характеризуется числом параметров, приблизительно равным log2N. Рекурсивная схема для вычисления скейлинг-коэффициента Хаара u;+1,2k и Uj+1,2k+1 на масштабе (+1) как суммы и разности скейлинг- и вейвлет-коэффициентов Uj,k и Wj,k на масштабе j (нормированные при помощи */4). Для модели WIG Wj,k взаимно независимые и одинаково распределенные в пределах масштаба,

соответствующие Wj k ~ N(0; s2 ).

Модель WIG предполагает гауссовость даже несмотря на то, что сигналы сетевого трафика (такие как нагрузка и времена между поступлениями) могут быть сильно негауссовскими. Эти сигналы не только строго неотрицательны, но могут проявлять «пульсирующее» поведение, соответствующее маргинальному распределению, чей правый хвост затухает гораздо медленнее, чем в гауссовском случае. Необходимо найти более точное маргинальное описание для этих пульсирующих, неотрицательных ДВЗ-процессов, а также сохранить декоррелирующие свойства вейвлетов и простоту модели WIG.

Из рис. 2 видно, что для модели WIG узлы Uj+1,2k и Uj+12k+1 сгенерированы как сумма и разность родительского узла Vj,k и случайного гауссовского нововведения Wj k. В пределах каждого интервала (т.е. для фиксированного j) величины Wj,k - независимые, одинаково распределенные случайные переменные с гауссовским распределением N(0, sj).

Рис. 2. Модель WIG: а - двоичное дерево скейлинг-коэффициентов от грубого к тонкому масштабам; б - рекурсивная схема для вычисления скейлинг-коэффициентов Хаара

Моделирование неотрицательных данных при помощи вейвлета Хаара

Чтобы смоделировать негауссовские сигналы, используя вейвлет-преобразование, необходимо наложить условия на значения скейлинг- и вейвлет-коэффициентов, чтобы величина Х(0 в (1) была неотрицательной. По сравнению с громоздкой обобщенной вейвлет-системой эти условия упрощают систему Хаара, изображенную на рис. 2.

Поскольку скейлинг-коэффициенты и/,к отражают локальное среднее значение сигнала при различных масштабах и сдвигах, они являются неотрицательными, если и только если сам сигнал является отрицательным, т.е. поскольку Х(0>0, то и иу ,к >0, V/, к . Это условие непосредственно приводит к ограничениям на коэффициенты вейвлета Хаара. Решая (2) и (3) относительно и/,2к и и/,2к+1, находим

Uj ,2 * = 2-V%u + Wj

u

j ,2k+

,= 2-'2(u

j- 1,*

w

1,k ), j- 1,* ),

что соответствует смещению вниз по дереву на рис. 2, б на один уровень масштаба за один шаг.

Теперь, совмещая (10) с условием и/,к >0, получаем условие Х(0>0, следовательно

К* < uj,* , Vjk •

j,k|_ j,

Мультифрактальная вейвлет-модель

Из изложенного вытекает основной вейвлет-подход для моделирования негауссовского ДВЗ сетевого трафика. Как и для WIG, чтобы охватить и кратковременные и долговременные корреляции, будем описывать затухание дисперсии вейвлета Хаара как функцию масштаба. В отличие от WIG, для того чтобы гарантировать неотрицательность выходных значений модели, необходимо соблюдать условие (5).

Ограничения положительности (5) на коэффициенты вейвлета Хаара предполагают очень простую многомасштабную, мультипликативную модель процесса для положительных процессов. Для мультифрактальной вейвлет-модели (MWM) рекурсивно вычисляем вейвлет-коэффициенты как

wj,* = Aj,k uj,* , (6) где Ajk - случайная переменная на интервале [-1;1]. '

В результате с учетом (4) получаем алгоритм, изображенный на рис. 3.

Из рис. 3 видно, что на масштабе j генерируется коэффициент Aj]k ~fi(pj,pj), а затем формируется вейвлет-коэффициент как произведение wj* =Ajk uj,k. На масштабе (j+1) этого дерева формируются скейлинг-коэффициенты таким же образом, как для модели WIG (см. рис. 2).

С помощью Ау,к скейлинг-коэффициенты могут быть определены из системы уравнений следующим образом:

иу,2к = 2 1/2

иу',2к+1 = 2 1/2 (1 - Ау+1,к )иу-1,к.

Наложим некоторые дополнительные ограничения на Ау, к:

1. Множители Ау,к независимые, одинаково распределенные в соответствии со случайной переменной А( у) е [-1,1].

2. Значения Ау,к симметричны относительно 0.

3. Величина А у к является независимой и для самого грубого масштабного коэффициента £/0,0 и Ау,к на более детальных масштабах I >у'5 (строго говоря, для этого нужна независимость только по линии потомков, т.е. множители на разных масштабах могут быть зависимы до тех пор, пока они не являются потомками друг друга).

Кроме того, на начальном этапе построения модели используется среднее значение реального сигнала для вычисления всех коэффициентов и самих точек данных.

Когда Х(0 сгенерируется искусственно, нужно гарантировать, чтобы выходные значения являлись неотрицательными. Из (6) видно, что положительные иу,к могут быть сгенерированы, если Ау,к выбираются из распределения в интервале [-1;1]. Для выбора Ау,к использовано симметричное бета-распределение с плотностью распределения вероятностей вида

w

(х )=-

0 < х < 1.

В

где В(а,Ь)=Г(а) Г(Ь)/ Г(а+Ь) - бета-функция.

Характер распределения для различных значений параметрар иллюстрируется на рис. 4.

В случае симметричного распределения а=Ь=р. Параметр ру оценивается из дисперсии Аук на разрешении 3 в соответствии с уравнением

ct2[A* ] = 1

2 Pj +1

В [9] показано что, если использовать в распределение для множителей, то имеет место асимптотическое значение

P = lim p(j) =

22 H-1 -1

-¡2 H-

r,0,5<H<1.

j 2 - 22

В табл. 1 приведены фиксированные значения для р и

2 'у 2__2 H

дисперсия <ja = lim <т( j) = 2 -1,

Рис. 3. Построение MWM

0,5<H<1, в зависимости от требуемого Н:

Рис. 4. ПРВ для случайной переменной А при различных значениях параметра р

Таблица 1.

н 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95

р 0,077 0,175 0,301 0,470 0,707 1,06 1,66 2,86 6,47

аАА 0,866 0,741 0,625 0,516 0,414 0,320 0,231 0,149 0,072

вание вида I + w(x)(И -I), где I - левая граница интервала (в нашем случае - 1); И - правая граница интервала, т.е. 1.

Алгоритм моделирования случайных чисел из бета-распределения можно сформулировать следующим образом [7].

Пусть требуется получить случайную величину У, имеющую бета-распределение с параметрами (а, Ь), и пусть Х1 и Х2 - случайные величины, имеющие гамма-распределение с параметрами а и Ь соответственно. Тогда искомая случайная величина определяется согласно соотношению

У =-

X,

X + X 2

В итоге алгоритм МВМ формулируется следующим образом.

Пусть К(?) - опытная трасса, из которой генерируется искусственная трасса У(^).

Шаг 1. Определяется и,,к и Wj,k, выполняя

вейвлет-преобразовании для Г(?).

Шаг 2. Из оцененных и,,к и Wj,k оценивается дисперсия (а2) для А,к на каждом разрешении j.

Шаг 3. Пусть j = 0 ии° = М[V)].

Шаг 4. На разрешении j, генерируются случайные множители (А-, к) е [-1; 1] из симметричного бета-распределения (7) с параметром

р,=а - о,5.

Шаг 5. На разрешении ,, используются и,к и А,,к в (6) для вычисления и + 1,2к и и,+ 1,2к+1.

Шаг 6. Шаги 4 и 5 повторяются, заменяя, на (,+1) до тех пор, пока не будет достигнуто самое детальное разрешение , = /.

Бета-распределение

Одной из особенностей применения МВМ является формирование случайной величины с симметричным бета-распределением с положительными параметрами а и Ь, определяемыми в соответствии с (7). Учитывая, что (7) задано на интервале х е (1; 1), а для МВМ-модели требуется, чтобы распределение располагалось в интервале [-1; 1], следует выполнить простейшее преобразо-

Для моделирования случайных величин с гамма-распределением в [4] предлагается воспользоваться следующим алгоритмом.

Шаг 1. Присвоить У^Х%(пи), где и - равномерно распределенная случайная величина, и присвоить X 2а - 1У + а -1.

Шаг 2. Если X< 0, то возвращаются к шагу 1. Иначе - генерируется равномерно распределенная величина V и, если

V > (1+У2) ехр((а-1) ¡^/(а-^-Т^а-Т У), то возвращаются к шагу 1. Иначе X считают искомой случайной величиной.

Структура зависимости в вейвлет-области

Если предположить, что Ак являются независимыми и между масштабами, и в пределах масштаба, тогда вейвлет-коэффициенты будут зависимыми, но некоррелированными. Такое отсутствие корреляции следует из того, что М[А1,- ] =0.

Однако зависимость более высоких порядков остается, что и является основой для сохранения положительности сигнала.

Вейвлет-коэффициенты случайных сигналов могут проявлять минимальные корреляции 2-го порядка (приблизительно некоррелированы за счет преобразования Карунена-Лоэва), все еще сохраняя сильную зависимость для моментов более высоких порядков. Например, многие реальные данные проявляют сильные зависимости в энергии вейвлет-коэффициентов, что соответствует смешанным моментам 4-го порядка [40].