О прикладной ориентации школьного курса математики

УДК 372.851 Б01 10.17238^^998-5320.2017.28.87

О. С. Титова,

Филиал Омского государственного педагогического университета в г. Таре О ПРИКЛАДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

Проанализированы прикладные аспекты школьной математики, изучены особенности теоретической и прикладной математики, определено понятие «прикладная задача» и выявлены этапы её решения посредством математического моделирования, проведён анализ прикладной ориентации школьных учебников по алгебре.

Ключевые слова: прикладная задача, школьный курс математики, математическое моделирование.

Решению прикладных математических задач, как и практической значимости математики вообще, всегда уделялось достаточно большое внимание в педагогической литературе. В последнее время заметно усилилось стремление педагогов к реализации прикладной направленности математики. Это обусловлено становлением профильного обучения, так как решение прикладных задач рассматривается как один из способов удовлетворения профильных интересов учащихся. Ещё актуальнее тема прикладной математики стала звучать после введения в Основной государственный экзамен (9 класс) модуля «Реальная математика», прикладные задачи встречаются и в Едином государственном экзамене (11 класс).

На сегодняшний день математика характеризуется взаимодействием практически со всеми сферами человеческой деятельности. И даже в таких областях науки, которые, казалось бы, не связаны с математикой (биология, медицина, языкознание), уже внедрены математические методы; биологические, медицинские, лингвистические задачи переводятся на язык математики. Появление новых наук, базирующихся на математических представлениях и методах исследования, проникновение математики во всё более далёкие отрасли знаний и сфер практической деятельности - всё это свидетельствует о том, что математика становится «наукой с универсальной сферой приложения» [1]. Соответственно возникает вопрос, насколько школьный курс математики отражает её прикладной характер.

Традиционно математику как науку принято делить на теоретическую и прикладную. Основанием для такого деления, по мнению В. В. Фирсова [1] и Н. А. Терешина [2], может служить использование (или неиспользование) того или иного раздела математики или математических методов в решении задач, возникающих вне математики. Если содержание какого-либо раздела математики можно использовать для решения задач, возникающих вне математики, то его можно отнести к прикладной математике; если же содержание этого раздела работает лишь внутри науки, то он относится к теоретической математике.

Н. А. Терешин [2] обосновывает такое деление, основываясь на исторических аспектах развития математики, обозначив их условно как внутренний и внешний. Если раздел математики зарождается как средство решения задач практической деятельности человека (например, необходимость подсчёта предметов, измерения площадей, объёмов и т. д.), то есть по внешнему пути развития, то это прикладная математика. Если же раздел математики возникает из необходимости проанализировать уже накопленные математические факты, их обобщения и разработки (внутренний путь развития), то это теоретическая математика.

Следует отметить, что не все учёные-математики согласны с таким делением, считая его достаточно условным, так как некоторые разделы математики могут быть отнесены как к прикладным, так и к теоретическим. Поэтому существует мнение о единстве и неделимости математики.

По аналогии с представленным разделением математики как науки уместно предположить, что и школьный курс математики можно разделить на теоретический и прикладной. Более того, необходимо усилить ориентацию школьного курса математики на прикладную направленность, так как, по мнению В. В. Фирсова [1], результат обучения математике состоит в том, чтобы легко и естественно использовать математический аппарат, полученные в школе математические знания, умения и навыки при возникновении у человека необходимости решить конкретную практическую задачу.

Однако следует учесть, что термин «прикладной» в условиях школьной математики должен трактоваться иначе, чем это принято в математике как в науке. А именно, под прикладной направленностью школьной математики, по утверждению М. В. Егуповой [3], принято понимать требование к обучению математике, при котором предполагается демонстрация того, как математические факты могут быть применены в той или иной предметной области, а не только изучение этих фактов. Например, в

школьной математике прикладной может считаться задача: «Наклонная балка поддерживается тремя столбами, стоящими вертикально на равном расстоянии друг от друга. Длины двух меньших столбов - 60 см и 90 см. Найдите длину большего столба. Ответ дайте в сантиметрах» [4] - так как она носит практический характер и может быть решена с применением математического аппарата.

Ориентация школьного курса математики на практическое применение может быть осуществлена посредством подготовки школьников к решению прикладных задач (тем более, что этого требует Основной государственный экзамен).

Задачи школьного курса математики, также как и саму математику, можно разделить на теоретические и прикладные. По мнению А. А. Столяра [5], под математической задачей понимается задача, решаемая средствами математики, под прикладной - задача, возникающая в различных областях науки и техники, которая, если её перевести на язык математики, становится математической.

Л. М. Фридман и Е. Н. Турецкий [6] полагают, что задачи, в которых все объекты математические (числа, функции, геометрические фигуры и т. д.), следует считать математическими; а задачи, в которых хотя бы один объект представляет собой реальный предмет, - практическими (прикладными).

Прикладная задача, по мнению Н. А. Терешина [2], это задача, созданная вне математики, но решать которую нужно математическими средствами.

И. М. Шапиро [7] математической задачей прикладного характера называет задачу, сюжет которой раскрывает применение математики в смежных науках и учебных дисциплинах, знакомит с её использованием в окружающем мире, в быту, в современном производстве, при выполнении трудовых операций.

С. Козлов [8] считает, что любая задача из практики, которая решается средствами математики, является прикладной.

В проведённом исследовании М. В. Крутихина [9] приходит к выводу, что прикладная задача - это задача с сюжетом, сформулированная в виде проблемы и удовлетворяющая следующим требованиям:

• вопрос задачи должен иметь практическое значение;

• искомые и данные по условию величины должны быть взятыми из практической ситуации, отвечать реальности.

Дополнительные требования к прикладным задачам предъявляет И. М. Шапиро [7]:

• задача должна иметь познавательную ценность для ученика и оказывать на него воспитывающее влияние;

• используемый в задаче нематематический материал должен быть доступен для школьников;

• ситуация, описываемая в условии задачи, значения числовых данных, вопрос и полученное решение должны соответствовать реальности.

Выделяют следующие виды прикладных задач И. М. Шапиро [7]:

1. На вычисление значений величин, встречающихся в практической деятельности.

2. На составление расчётных таблиц.

3. На построение простейших номограмм.

4. На применение и обоснование эмпирических формул.

5. На вывод формул зависимостей, встречающихся на практике.

Любая прикладная задача, не зависимо от выделяемых видов, по мнению С. Козлова [8], решается последовательным прохождением следующих этапов:

I. Анализ условия задачи. Поскольку задача связана с практической деятельностью и формулируется на описательном языке, то успешность её решения зависит от правильного понимания постановки задачи, данных ресурсов и величин. Учителю следует уделить особое внимание прочтению задачи и разбору её условия.

II. Построение математической модели задачи. Для решения прикладной задачи необходимо осуществить перевод её условия на математический язык, ввести необходимые переменные, найти связи между ними и установить ограничения на них. Найденная математическая модель записывается в виде уравнений, неравенств или их систем.

III. Внутримодельное решение. Изучение и решение полученной математической модели (уравнения, неравенства или системы) или поиск необходимого алгоритма для её решения.

IV. Интерпретация решения. Представляет собой перевод полученного ответа на исходный язык, применимость его к реальной практике.

Таким образом, решение любой прикладной задачи базируется на процессе математического моделирования. Под моделью в данном случае понимается «физический или абстрактный объект, свойства которого в определённом смысле сходны со свойствами исследуемого объекта» [10].

То есть моделирование - это процесс построения модели, которая воспроизводит особенности поведения и свойства оригинала и предполагает в последствие её экспериментальное исследование.

В процессе математического моделирования традиционно выделяют три этапа:

1. Формализация - этап перехода от практической ситуации к формальной математической модели, осуществление перевода предложенной к решению задачи с описательного языка на математический язык, построение математической модели задачи.

2. Решение задачи внутри модели - решение составленной математической задачи по известному алгоритму или поиск нового алгоритма.

3. Интерпретация - перевод полученного математического ответа на исходный язык, на котором была представлена задача.

По мнению большинства педагогов, на сегодняшний день в обучении математике отмечается тенденция к решению таких задач, которые не предполагают построения математической модели (она в готовом виде даётся в условии задачи), то есть усиленное внимание уделяется только второму этапу моделирования, при этом формализация и интерпретация теряют свой смысл. Это влечёт за собой то, что учащиеся, научившись решать довольно сложные математические задачи, сталкиваются с трудностями в решении простой практической задачи, возникающей вне математики и требующей её перевода на математический язык.

Тем не менее, для формирования прикладных математических навыков, по мнению Н. А. Те-решина [2], необходимо развивать следующие умения:

• выбрать заранее явно не представленный метод исследования;

• оперировать с различными величинами;

• довести решение задачи до результата, приемлемого с точки зрения практики;

• контролировать правильность решения;

• отбирать данные, необходимые для решения задачи с необходимой точностью;

• оценивать порядки величин;

• применять справочные материалы и таблицы данных;

• составлять задачи, требующие решения с помощью предварительного вывода аналитических зависимостей;

• составлять задачи, требующие для своего решения знаний из других разделов курса и смежных дисциплин;

• составлять и анализировать математические модели реальных задач, развивая интуицию на доступном учащимся уровне.

Таким образом, взгляды большинства методистов сходятся в том, что решение математических задач с практическим содержанием является важной частью обучения математике в школе, однако в силу различных причин учителя часто игнорируют этап построения математической модели и осуществляют решение по уже готовой модели.

В. В. Фирсов высказывает принципиальную мысль о том, что «сущность прикладной направленности среднего математического образования заключается в осуществлении целенаправленной и методологической связи школьного курса математики с практикой» [1]. Это может быть реализовано с учётом следующей специфики прикладной математики, важной для обучения школьников:

• Существование математического объекта. В прикладной математике в качестве математического объекта существует математическая модель реального объекта, построенная самим учеником.

• Отношение к числу. В прикладной математике число чаще всего воспринимается как количественная характеристика, а не как логический объект.

• Трактовка функции. В прикладной математике допускается любая трактовка функции.

Для определения места и роли прикладных задач в школьном курсе математики нами был проведён

анализ школьных учебников 10-11 классов [11, 12, 13, 14], который показал следующие результаты:

• большинство задач прикладного характера в учебниках представлены по теме «Производная и её приложение» и связаны с понятием механического движения (например, «Материальная точка движется вдоль оси Ох согласно закону х = 4 + 121 - 0,25 2 Найти скорость движения точки в момент времени = 8» [14, с. 180]) или с электричеством (например, «Количество электричества, протекающее через проводник с момента ^ = 0, задано формулой д = 32 + ^ + 2. Найти силу тока в момент времени ^ = 3» [14, с. 122]);

• задачи прикладного характера по теме «Интеграл» основаны на применении интеграла для вычисления объёмов тел, площадей плоских фигур, работы переменной силы (например, «Сила упругости F пружины, растянутой на 11 = 0,05 м, равна 3Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 12 = 0,1 м?» [11, с. 193]);

• очень мало прикладных задач представлено в темах «Показательная функция», «Логарифмическая функция», «Тригонометрические функции»;

• большинство прикладных задач связано с физикой и техникой. Это можно объяснить тем, что данные науки очень тесно связаны с математикой. Однако можно найти множество примеров связи математики с химией, биологией, медициной и другими науками гуманитарной и естественнонаучной направленности;

• чаще всего встречаются задачи на прямое применение математических формул, на вычисление значений величин (например: «Камень подбросили вверх. Его высота над землёй в метрах вычисляется по формуле: к ( С) = 2 3 С — 5 С2 , где t - время в секундах. Сколько секунд камень находился на высоте более 12 м?» [14, с. 22]). Примеров других видов задач прикладного характера (на построение таблиц, графиков, на вывод и обоснование формул) выявлено не было;

• помимо задач в объяснительном тексте учебника М. И. Башмакова [14] содержится много примеров использования математического инструментария в практической деятельности человека. Например, преобразование координат изучается на примере шкалы температур и графиков зависимостей физических величин от температуры; суть определения «производная» рассматривается с точки зрения математического описания мгновенной скорости неравномерного движения; дифференциал может применяться в физике для нахождения работы, совершаемой переменной силой, заряда, переносимого электрическим током через поперечное сечение проводника или массы тонкого стержня и т. д.

Анализ содержания курса алгебры и начал математического анализа позволил нам предложить тематику задач, связывающих математику с физикой, техникой, астрономией, химией и биологией (табл.).

Соответствие тем курса алгебры и начал математического анализа тематике прикладных задач

Темы базового курса алгебры и начал математического анализа Тематика прикладных задач элективного курса

Действительные числа - из курса астрономии

Степенная функция - на применение уравнения состояния идеального газа; - на вычисление периода колебания математического маятника

Показательная функция - на вычисление скорости остывания предмета; - на применение законов падения тел в воздухе; - на определение массы топлива, необходимого для того, чтобы придать ракете нужную скорость; - на вычисление периода полураспада радиоактивного вещества; - на вычисление силы света при прохождении его через мутную среду; - на применение закона органического размножения и затухания

Логарифмическая функция - на вычисление величины блеска звёзд; - на построение логарифмической спирали; - на вычисление уровня интенсивности шума; - на вычисление высоты над уровнем моря; - на вычисление скорости химической реакции

Тригонометрия - на использование тригонометрических функций в астрономии; - на использование тригонометрии при измерениях на поверхности Земли; - на использование тригонометрии в физике, технике и артиллерии; - на использование тригонометрии в авиации и гидравлике

Дифференциальное исчисление - на применение производной к решению технических и физических задач; - на нахождение наибольшего и наименьшего значений

Интегральное исчисление - на вычисление работы переменной силы; - на вычисление массы стержня; - на вычисление пути при перемещении точки; - на вычисление величины электрического заряда; - на вычисление объёма воды, вытекающей из сосуда

Приведём примеры некоторых задач.

Так как показательная функция позволяет описывать быстрорастущие процессы, то можно предложить учащимся следующую задачу: «В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?» [15]. Следующая задача, связанная со скоростью химической реакции, решается с помощью логарифмирования:

«На сколько градусов надо повысить температуру для ускорения химической реакции в 59 000 раз, если скорость реакции растёт в геометрической прогрессии со знаменателем, равным 3 при повышении температуры на каждые 10°» [15]. Примером использования тригонометрических функций служит следующая задача: «На уроках физкультуры при метании малого мяча можно рассчитать дальность его полёта по формуле:

un2 sin 2а

s = —-

g ,

где a - угол вылета,

и0 - начальная скорость.

Пусть и0 = 4 м/с, g = 9,8 м/с2. Постройте график функции s = s (а). При каком значении а дальность полёта будет максимальной?» [15].

Важность и необходимость использования в школьном курсе математики задач прикладного характера обосновываются Федеральным государственным образовательным стандартом среднего общего образования, где отмечается, что ученик должен показать «сформированность умений моделировать реальные ситуации» [16]. Однако следует отметить, что в достаточно распространённых школьных учебниках по алгебре таких задач представлено не так уж много, и они не отличаются разнообразием. На наш взгляд, учителю в процессе обучения математике следует включать большее количество прикладных задач, особенно по темам «Показательная функция», «Логарифмическая функция», «Тригонометрические функции», и разнообразить их содержание.

Библиографический список

1. Фирсов, В. В. О прикладной ориентации курса математики [Электронный ресурс] / В. В. Фирсов -Режим доступа: http://intellect-invest.org.ua/pedagog_editions_e-magazine_pedagogical_science_arhiv_pn _n1_2009_st_1/, свободный.

2. Терешин, Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики : кн. для учащихся / Н. А. Терешин. - М. : Просвещение, 1990. - 96 с.

3. Егупова, М. В. Методическая система подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе : монография / М. В. Егупова. - М. : МПГУ, 2014. - 220 с.

4. Решение задач демонстрационного варианта ОГЭ-2017 по математике [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://4ege.ru/trening-gia-matematika/53221-reshenie-demoversii-oge-2017-po-matematike.html, свободный.

5. Столяр, А. А. Педагогика математики : учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. ин-тов / А. А. Столяр. -Минск, «Вышэйшая школа», 1986. - 414 с.

6. Фридман, Л. М. Как научиться решать задачи: кн. для учащихся ст. классов сред. шк. / Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий. - М. : Просвещение, 1989. - 192 с.

7. Шапиро, И. М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: кн. для учителя / И. М. Шапиро. - М. : Просвещение, 1990. - 96 с.

8. Козлов, С. Тема: «Прикладные задачи» / С. Д. Козлов // Математика (Приложение к газете «Первое сентября»). - 2006. - № 21. - С. 11-13.

9. Крутихина, М. В. Обучение некоторым элементам математического моделирования как средство подготовки к профильному образованию / М. В. Крутихина // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона: периодический межвузовский сборник научно-методических работ. - Вып. 6 -Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. - С. 246-254.

10. Математическое моделирование в школьном курсе математики [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://multiurok.ru/files/matiematichieskoie-modielirovaniie-v-shkol-nom-kursie-matiematiki.html, свободный.

11. Алгебра и начала анализа : учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - М. : Просвещение, 2012. - 384 с.

12. Алгебра и начала математического анализа : учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и про-фил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2011. - 464 с.

13. Алгебра и начала математического анализа : учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и про-фил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М. : Просвещение, 2011. - 430 с.

14. Башмаков, М. И. Алгебра и начала анализа : учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / М. И. Башмаков. - М. : Просвещение, 1993. - 351 с.

15. Титова, О. С. Комплекс прикладных математических задач для учащихся старших классов физико-математического профиля обучения : учебно-методическое пособие / О. С. Титова. - Тара : Изд-во А. А. Аска-ленко, 2010. - 48 с.

16. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования [Электронный ресурс]. - Режим доступа: Ы1р5://минобрнауки.рф/документы/2365, свободный.

O. S. Titova,

Candidate of Pedagogic Sciences, associate Professor of mathematics, Informatics and training,

e-mail: 0lgas832007@yandex.ru Omsk State Pedagogical University Branch in Tara 35, street Skolnaya, Tara, Omsk region, 696465 Russian Federation

APPLIED ORIENTATION OF SCHOOL MATHEMATICS COURSE

The paper analyzes the practical aspects of school mathematics. It describes peculiarities of theoretical and applied mathematics. The author defines the concept of "application problem" and identifies the steps to solve it by means of mathematical modeling. It points out the analysis of applied orientation of specific textbooks on algebra.

Keywords: Applied Problem, School Course of Mathematics, Mathematical Modeling.

References

1. Firsov V. V. O prikladnoj orientacii kursa matematiki. [About applied orientation mathematics]. Available at: http://intellect-invest.org.ua/pedagog_editions_e-magazine_pedagogical_science_arhiv_pn_n1_2009_st_1/.

2. Tereshin N. A. Prikladnaja napravlennost' shkol'nogo kursa matematiki: kn. dlja uchashhihsja. [The applied focus of school mathematics]. Moscow, Prosveshhenie, 1990, 96 p.

3. Egupova M. V. Metodicheskaja sistema podgotovki uchitelja k praktiko-orientirovannomu obucheniju matematike v shkole. [Methodical system of preparation of teachers to practice-oriented teaching mathematics at school: monograph]. Moscow, MPGU, 2014, 220 p.

4. Reshenie zadach demonstracionnogo varianta OGJe-2017 po matematike. Available at: http://4ege.ru/trening-gia-matematika/53221-reshenie-demoversii-oge-2017-po-matematike.html.

5. Stoljar A. A. Pedagogika matematiki: ucheb. posobie dlja fiz.-mat. fak. ped. in-tov. [Pedagogy of mathematics]. Minsk, «Vyshjejshaja shkola», 1986, 414 p.

6. Fridman L. M., Tureckij E. N. Kak nauchit'sja reshat' zadachi: kn. dlja uchashhihsja st. klassov sred. shk. [How to learn to solve problems]. Moscow, Prosveshhenie, 1989, 192 p.

7. Shapiro I. M. Ispol'zovanie zadach s prakticheskim soderzhaniem v prepodavanii matematiki: kn. dlja uchitelja. [Using tasks with practical content in teaching mathematics]. Moscow, Prosveshhenie, 1990, 96 p.

8. Kozlov S. The applied problems. Matematika (Prilozhenie kgazete «Pervoe senjabrja»), 2006, no 21, pp. 11-13.

9. Krutihina M. V. Learning some elements of mathematical modelling as a means of preparation for professional education. Matematicheskij vestnik pedvuzov i universitetov Volgo-Vjatskogo regiona: periodicheskij mezhvuzovskij sbornik nauchno-metodicheskih rabot, Kirov: Izd-vo VjatGGU, 2004, vol. 6 p. 246-254.

10. Matematicheskoe modelirovanie v shkol'nom kurse matematiki. Available at: https://multiurok.ru/files/matiematichieskoie-modielirovaniie-v-shkol-nom-kursie-matiematiki.html.

11. Alimov Sh. A., Koljagin Ju. M., Sidorov Ju. V. Algebra i nachala analiza: ucheb. dlja 10-11 kl. obshheobrazovat. uchrezhdenij. [Algebra and beginning analysis]. Moscow, Prosveshhenie, 2012, 384 p.

12. Nikol'skij S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra i nachala matematicheskogo analiza: ucheb. dlja 11 kl. obshheobrazovat. uchrezhdenij: bazovyj i profil. urovni. [Algebra and beginning mathematical analysis]. Moscow, Prosveshhenie, 2011, 464 p.

13. Nikol'skij S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. Algebra i nachala matematicheskogo analiza: ucheb. dlja 10 kl. obshheobrazovat. uchrezhdenij: bazovyj i profil. urovni. [Algebra and beginning mathematical analysis]. Moscow, Prosveshhenie, 2011, 430 p.

14. Bashmakov M.I. Algebra i nachala analiza: ucheb. dlja 10-11 kl. sred. shk. [Algebra and beginning analysis]. Moscow, Prosveshhenie, 1993, 351 p.

15. Titova O.S. Kompleks prikladnykh matematicheskikh zadach dlya uchashchikhsya starshikh klassov fiziko-matematicheskogo profilya obucheniya: uchebno-metodicheskoe posobie. [The complex applied mathematical problems for high school students of physical and mathematical profile of training]. Tara, Izd-vo A. A. Askalenko, 2010, 48 p.

16. Federal'nyi gosudarstvennyi obrazovatel'nyi standart srednego obshchego obrazovaniya. Available at: https://MHH06pHayKH^^0KyMeHTbi/2365

Поступила в редакцию 7.02.2017 © О. С. Титова, 2017

Автор статьи: Ольга Сергеевна Титова, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, информатики и профессионального обучения, Филиал Омского государственного педагогического университета в г. Таре, e-mail: 0lgas832007@yandex.ru, 646535, Омская обл., г. Тара, ул. Школьная, д. 69.

Рецензенты:

A. М. Берестовский, кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры гуманитарных, социально-экономических и фундаментальных дисциплин, Тарский филиал Омского государственного аграрного университета им. П. А. Столыпина.

B. А. Далингер, доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и методики обучения математике, Омский государственный педагогический университет.