К исследованию динамики течения торможения сверхзвукового потока идеального газа в каналах с продольными перегородками

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том II 1971

М 4

УДК 532.552

К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ ТЕЧЕНИЯ ТОРМОЖЕНИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В КАНАЛАХ С ПРОДОЛЬНЫМИ ПЕРЕГОРОДКАМИ

В. Т. Гринь, М. Я Иванов, Н. Н. Князева,

А. П. Корзун, А. Н. Краико

Рассматриваются некоторые вопросы исследования динамики течения идеального (невязкого и нетеплопроводного) газа в плоских и кольцевых сужающихся — расширяющихся каналах. На стационарном режиме в расширяющейся части канала локализован замыкающий скачок уплотнения, разделяющий сверх- и дозвуковую области потока. Начальный (или концевой) участок канала разделен на два канала продольной перегородкой конечной толщины. Внешнее нестационарное возмущение задается во входном (или соответственно выходном) сечении одного из каналов, которые получаются в результате такого разделения. Исследование основано на численном интегрировании уравнений нестационарного двумерного течения идеального газа.

В работах [1] — [3] для исследования динамики потока, который на стационарном режиме содержит замыкающий скачок уплотнения, было применено численное интегрирование уравнений нестационарного течения. В работе [1] указанные уравнения брались в квазиодномерном приближении, а расчеты велись по схеме Лакса [4]. В работах [2] и [3] использовалась разностная схема, предложенная С. К. Годуновым [5], [6]. При этом предварительные расчеты, в которых интегрировались уравнения осесимметричного течения, показали, что в рассмотренных случаях эффекты двумерности играют второстепенную роль. По этой причине в работах [2] и [3] по поперечной координате бралась всего одна ячейка, верхняя и нижняя границы которой совпадают с отрезками образующих обечайки и центрального тела. Это при использовании уравнений осесимметричного течения приводит к результатам, близким результатам одномерного приближения. Ниже проведено исследование аналогичного течения торможения для плоских и кольцевых каналов с продольной перегородкой в окрестности входа или выхода. Учет двумерности необходим уже в силу самой постановки задачи. Расчеты, как и в работах [2] и [3], велись по разностной схеме С. К. Годунова.

1. Рассмотрим течение идеального газа в кольцевом канале с цилиндрической верхней стенкой (обечайкой). Меридиональное сечение канала изображено на фиг. 1 ,а: ху— прямоугольные координаты, ось х совпадает с осью симметрии, сечениям входа и выхода отвечают х = 0 и х = Ь, где Ь—длина канала. Продольная перегородка справа разделяет канал на два —верхний и нижний. Газ будем считать совершенным с показателем адиабаты % = 1,4.

Пусть ^ — время, р — давление, р — плотность, и иг/ — проекции вектора скорости на оси х и у. Удобно считать, что все переменные — безразмерные

величины. Это достигается отнесением пространственных переменных к характерной длине перегородки /*, скоростей — к характерной скорости и*, времени — к /*/«*, плотности — к характерной плотности р* и давления — к р*и*. Как видно из фиг. 1, я, в данном случае за /* взят радиус цилиндрической стенки.

На входе в канал (* = 0) поток считался сверхзвуковым, значения энтропии, полной энтальпии и компонент скорости и принимались постоянными, а V задавалось линейной функцией у так, чтобы в этом сечении на нижней и на верхней стенках выполнялось условие непротекания. За р* и и* брались критические плотность и скорость при х = 0, которые в силу сделанных предположений не зависели от у и В качестве исходного стационарного потока было взято

стационарное течение, которое реализуется при и (0. _у)=1,52 и р+ (¿, у) = = Р_ (£. 30= !• Здесь индекс „ + “ употреблен с параметрами в сечении входа из верхнего (нижнего) канала. Стационарное положение замыкающего скачка дано на фиг. 1, а двойной линией.

Нестационарное течение возникало из-за внезапного увеличения (¿, у) в момент времени } = 0 на величину Др. При давление в сечении

выхода из нижнего канала поддерживалось постоянным, а затем также скачкообразно падало до начальной величины р_ (Ь, у) г 1. На выходе из верхнего

2,0

Ц>

05

1 7

¿А т \ \ V

"t=0

X и -1

2 3

&

2 3

Я)

Фиг. 1

'о,* 0,8 у г

Фиг. 2

канала давление р+ (как и р_) при х — Ь во все моменты времени считалось постоянным по сечению. Зависимость р_|_ от времени при этом подбиралась такой, чтобы при оказывалось неизменным осредненное по сечению число М.

Одномерный аналог данного граничного условия находит широкое распространение при приближенном описании нестационарных течений в каналах в тех случаях, когда канал заканчивается »коротким* соплом, работающим на критическом режиме [7] —[9].

Для достаточно больших Ар, как и в примерах, рассмотренных в работе [3], в окрестности сечения выхода из нижнего канала наблюдается изменение направления потока (и<0). Здесь при х — I, кроме р_, требуется задавать еще две величины, например вертикальный компонент скорости и полную энтальпию. В таких случаях считалось, что «_(.£, у, 1) = 0 при и_ (£, у, /)<0, а полная энтальпия та же, что в сечении входа (х = 0).

Использованные для расчета уравнения течения, записанные в форме интегральных „законов сохранения“, приведены в работе [2]. Разностная схема описана в работе [5], а детали и подробности, связанные с особенностями рассматриваемых задач, даны в работах [2], [3], [10] и [11]. Расчеты проводились при К — 4 и N—46, где К и N — числа разбиений по у и х. Для оценки погрешностей некоторые расчеты были выполнены при К = 2 и N=23, т. е. при четырехкратном уменьшении общего количества расчетных ячеек. Сравнение показало, что погрешности счета при К = 4 и N=46 лежат в пределах точности графического представления результатов.

Некоторые результаты расчетов для канала, изображенного на фиг. 1, а, приведены на фиг. I, б и на фиг. 2. На фиг. 1 даны распределения давления по длине канала в разные моменты времени для возмущения амплитуды Ьр = 1 и длительности Т = 3. Сплошные и штриховые кривые соответствуют длине перегородки 1 = 2, а пунктирная— / = 0,5. Сплошные кривые и пунктирная показывают распределение р около нижней стенки, а штриховые — у верхней (на расстоянии 1/8 высоты канала в данном сечении слева от передней кромки перегородки и 1/4 высоты верхнего или нижнего каналов —в противном случае).

Кривые, приведенные на фиг. 1, б, дают достаточно полное представление о нестационарных процессах, происходящих во всем канале из-за внезапного повышения при t = 0, а затем падения при t=T = 3 давления в выходном сечении нижнего канала. Видно, что после того как идущий влево скачок уплотнения выходит из нижнего канала, в последнем образуется область пониженного давления. В то же время ударная волна, продолжающая движение влево и ослабившаяся при дифракции на кромке перегородки, моменту времени t =: 2,5 достигает сечения замыкающего скачка. В результате взаимодействия образуется более сильный скачок, который движется также влево, усиливаясь (ослабляясь) на участке канала справа (слева) от горла. При дифракции на кромке, кроме того, формируется ударная волна, распространяющаяся по верхнему каналу вправо. Давление в сечении выхода из этого канала, где в силу использованного граничного условия фиксировано число М, растет в данном случае до значения р+ ж 1,4. Характер распространения возмущений в канале существенно зависит от длины перегородки I. Это видно из сравнения пунктирной и сплошной кривых, отвечающих одному и тому же моменту времени. Видно, что четырехкратное уменьшение длины перегородки приводит к заметному увеличению максимального уровня возмущений давления. Одновременно растет Ар+ — интенсивность возмущения на выходе из верхнего канала, которую удобно характеризовать отношением А = Ар+/Ар_, где для Др+ берется максимальное по t значение. Зависимость А от I дана на фиг. 2. Кривые 1 и 2 соответствуют Др_ = 0,5 и 1. Различие кривых 1 и 2 можно объяснить ростом диссипативных потерь в скачках уплотнения при увеличении Др_.

Интенсивность возмущения на выходе из верхнего канала сильно зависит также от времени действия внешнего возмущения, т. е. от Т. Расчеты, проведенные для Др_ = 1 и 1—1, показали, например, что при изменении Т в десять раз (от 0,5 до 5) величина А возрастает от 0,15 до 0,6. При этом в случае возмущений значительной продолжительности наблюдалось полное разру-

шение сверхзвукового течения во всем канале. В то же время, если Г<;0,5, полного разрушения сверхзвукового течения не происходит. Это связано с тем, что волна разрежения, возникающая после прекращения действия внешнего возмущения, успевает ослабить скачок, движущийся влево, и, следовательно, изменить направление его скорости еще до достижения сечения х = 0.

2. Наряду с каналом, имеющим перегородку на кольцевом участке, исследовался случай, когда перегородка примыкает ко входному сечению. Рассматривался плоский канал (фиг. 3); за характерный линейный размер взята половина высоты канала в сечении выхода. Большинство вопросов, связанных с постановкой граничных условий, обезразмериванием, числом расчетных ячеек и т. п., при этом решалось так же, как и выше. Поэтому в дальнейшем обращается внимание лишь на те моменты, которые, как и форма канала, отличают данный случай от предыдущего.

В качестве исходного стационарного потока бралось течение, реализующееся при и+ (0, у) = и_(0, у) =1,63 и р (£, у) =0,86. Стационарные замыкающие скачки в верхнем и нижнем каналах даны на фиг. 3 для этих условий двойными линиями. В момент ¿ = 0 в начальном сечении одного или обоих каналов задавалось внезапное повышение давления. Приращения других параметров в сечении х = 0 находились при этом по соотношениям на ударной волне, движущейся вправо и расположенной перпендикулярно оси х. Действие такого (постоянного) возмущения ограничивалось временем ¿С?1. При £ = Т все параметры в сечении л: = 0 возвращались к своим исходным стационарным значениям также скачкообразно, а затем поддерживались постоянными. Подобный скачкообразный переход к первоначальному состоянию, хотя и соответствует совпадающим в

момент ¿=7" контактной поверхности и полюсу центрированной волны, в общем случае следует рассматривать как некоторую схематизацию. Граничное условие в сечении х = £ бралось таким же, как на выходе из верхнего канала в предыдущем разделе, т. е. фиксировалось среднее по сечению число М.

Некоторые результаты расчетов для канала, изображенного на фиг. 3, приведены на фиг. 4 и 5. На фиг. 4 сплошными кривыми даны траектории замыкающих скачков в нижнем (кривая 1) ив верх-

Фиг. 3

Фиг. 4 Фиг. 5

нем (кривая 2) каналах при наличии возмущения (увеличения давления в 1,7 раза при Т = 2) только на входе в нижний канал. По оси ординат на фиг. 4 отложена величина X = х$е — х5, где х3 и х5е — текущее и стационарное („равновесное") положения замыкающего скачка. Следует помнить, что из-за эффектов „размазывания“ моменты начала взаимодействия возмущений с замыкающими скачками оказываются несколько более ранними, чем в действительности. Исправленные начальные участки соответствующих кривых даны на фиг. 4 штрихами.

Для объяснения поведения кривых, изображенных на фиг. 4, существенно, что замыкающие скачки, которые в стационарном состоянии покоятся относительно стенок канала, относительно газа движутся влево. Напротив, ударная волна, возникшая при внезапном повышении давления в сечении входа, а вернее, являющаяся причиной такого повышения, движется вправо и относительно газа, и относительно стенок канала. Поэтому скорость и плотность слева от нее больше, чем справа, причем скорость возрастает настолько, что, как видно из фиг. 4, поток начинает сносить замыкающий скачок* вправо. Этому отвечает участок отрицательных, увеличивающихся по модулю значений X кривой 1 на фиг. 4. Ударная волна, идущая вправо быстрее замыкающего скачка, в результате дифракции на кромке перегородки ослабляется, порождая волну разрежения, которая распространяется по нижнему каналу навстречу замыкающему скачку, и скачок уплотнения, который движется влево по верхнему каналу. При < = 6 этот скачок взаимодействует с замыкающим скачком, расположенным в верхнем канале, вызывая движение последнего к сечению х — 0.

В то же время волны разрежения, которые образуются в нижнем канале при дифракции ударной волны на кромке, а также в сечении входа в момент / = Т, замедляют замыкающий скачок, а затем и меняют его направление в нижнем канале так, что при 11 <¿<18 этот скачок оказывается ближе к сечению входа, чем в стационарном положении. После взаимодействия с нижним замыкающим скачком и дифракции на кромке волна разрежения, возникшая в сечении входа нижнего канала, приходит в верхний канал, изменяя и здесь направление движения соответствующего скачка. Начиная с /=;20, оба скачка, совершая небольшие колебания, достаточно быстро релаксируют к своему начальному стационарному положению.

Описанный выше механизм распространения возмущений и движения скачков подтверждают и .осциллограммы“ (кривые зависимости р от ¿). приведенные на фиг. 5. Сплошные (штриховые) кривые на 5 показывают изменение давления по времени у нижней (верхней) стенки в сечениях * = 0,1; 1,9 и 5,9, которым отвечают кривые /, 2 и 3 соответственно. Как видно из фиг. 4 и 5, время t х: 20, в течении которого в канале при несимметричном возмущении наблюдаются значительные отклонения параметров от их стационарных значений, на порядок превышает не только время действия возмущения Ь = Т = 2, но и время £ г: 3, необходимое возмущению, чтобы достигнуть выходное сечение.

* Здесь и ниже замыкающим называется тот из образующихся в результате взаимодействия скачков, который движется относительно газа влево.

Для сравнения был также рассчитан случай, когда возмущение такого же вида, как в рассмотренном выше случае, задавалось по всему входному сечению (т. е. и в нижнем и в верхнем каналах). Траектории замыкающих скачков в этом случае совпадают (на фиг. 4 показаны пунктиром). При наличии повышенного давления в правой части канала разрежение, которое возникает при этом в момент t—T, ведет к выбиванию замыкающих скачков за сечение входа, т. е. к нолному разрушению сверхзвукового течения. Отметим, кроме того, что если при несимметричном возмущении максимальное приращение давления в сечении выхода (отнесенное к невозмущенному давлению в том же сечении) равно 0,6, то при симметричном возмущении эта величина равна 1,2. Во втором случае давление на выходе достигало максимума еще до момента разрушения сверхзвукового течения х — 0.

В заключение заметим, что, как видно из фиг. 1 и 4, в общей части канала уже на небольшом расстоянии от кромки перегородки распределение давления слабо зависит от у. Это согласуется с оценкой роли эффектов двумерности, сделанной в работах [2] и [3].

Расчеты выполнялись на ЭЦВМ М-220. Счет одного варианта занимает

0,5—1 час машинного времени. Оформление работы проведено Н. Е. Фоминой, которой авторы выражают свою признательность.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mays R. A. Inlet dynamics and compressor surge. AIAA Paper, № 69-484, 1969.

2. Г p и н ь В. Т., И в а н о в М. Я., К p а й к о A. H. Исследование динамики течения торможения идеального газа с замыкающим скачком уплотнения. МЖГ, № 4, 1970.

3. Г р и н ь В. Т., И в а н о в М. Я. К исследованию нестационарного течения в канале при внезапном изменении условий в выходном сечении. МЖГ, № 4, 1971.

4. Lax P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and Jheir numerical computation. Commun. Pure and Appl. Math., v. 7, No. 1, p. 159-193, 1954.

5. Г о д у н о в С. К. Разностный метод расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. „Математический сборник“, т. 47 (89), № 3, 1959.

6. Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. ЖВМ МФ, т. 1, № 6, 1961.

7. Ц ы н к о в а О. Э. Движение газа в каналах конечной длины при переменном противодавлении. Изв. АН СССР, ОТН, „Механика и машиностроение“, № 3, 1959.

8. Ц ы н к о в а О. Э. Об автоколебаниях в сверхзвуковых диффузорах. Изв. АН СССР, ОТН, „Механика и машиностроение“, № 5, 1959.

9. Mitchell С. Е., Crocco L„ Sirignano W. A. Nonlinear longitudinal instability in rocket motors with concentrated combustion. Combustion Sci. and Technology, v. 1, No. 1, p. 35 —64, 1969.

10. И в а н о в М. Я., Крайко А. Н. Численное решение прямой задачи о смешанном течении в соплах. МЖГ, № 5, 1969.

11. Иванов М. Я. К расчету течения газа в ударной трубе переменного сечения. МЖГ, № 3, 1970.

Рукопись поступила ЩИ 1971 г.