Аппроксимация трехмерных графических зависимостей

УДК 539.374

АППРОКСИМАЦИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ГРАФИЧЕСКИХ

ЗАВИСИМОСТЕЙ

Г.В. Панфилов, А.В. Черняев

Приведены методика и алгоритм статистически обоснованного построения трехмерных графических регрессионных зависимостей. Затронуты вопросы аппроксимации полученных экспериментальных результатов с помощью компьютерной программы «TableCurve 3D» для результатов расчета технологической силы бокового выдавливания материала через отверстие, расположенное под углом к оси контейнера.

Ключевые слова: анализ трехмерных массивов, аппроксимация экспериментальных зависимостей, расчет количественных параметров распределения, установление доверительных границ.

В настоящее время развитие техники и технологии таково, что появляется все больше и больше задач по обработке получаемых экспериментальным, теоретическим или иным способом данных, с последующим установлением между ними взаимосвязи в виде аппроксимирующего полинома и его статистических величин.

Существует множество математических пакетов программ, решающих практически любые задачи, в том числе и по математической статистике (MATHCAD, MATHLAB, MAPLE и др.). Всех их объединяет то, что они довольно сложны в использовании из-за огромного набора всевозможных инструментов и функций и низкого быстродействия широко используемых в настоящее время компьютеров, в то время как в большинстве статистических расчетов требуется ограничение как по числу входных параметров расчета, так и по числу выходных параметров при хорошем быстродействии.

Существенно упрощается статистический расчет при использовании программных пакетов «TableCurve 2D» и «TableCurve 3D» [1], в котором простота использования сочетается с отличным быстродействием.

1. Назначение и возможности программы

Программа «TableCurve 3D» предназначена для статистической обработки трехмерного массива данных с последующей выдачей наиболее подходящего для него аппроксимирующего полинома и широкого спектра его статистических параметров.

В базе данных программы находится более 16000 различных функций, начиная с простейших линейных и заканчивая сложнейшими нелинейными уравнениями.

Входными параметрами могут являться как данные, непосредственно вводимые при запуске программы, так и импорт таблиц данных в различных форматах: ASCII различных типов, а также таблицы Lotus, Excel, QuattroPro, SigmaPlot, SPSSWindows, dBase и DIF.

194

Программа предоставляет пользователю возможность работы либо с определенной категорией аппроксимирующих полиномов, либо со всеми полиномами, находящимися в базе данных программы. Возможна также работа и с функциями пользователя.

Возможны варианты обработки исходных данных, такие как их сортировка, упорядочивание, сглаживание и др.

По сравнению с «TableCurve 2D», программа «TableCurve 3D» имеет улучшенный интерфейс, а также функцию анимации, при которой возможно вращение в одной из трех плоскостей или поверхности исходных данных, или поверхности аппроксимирующего полинома, причем перемещение и масштабирование координатных плоскостей происходит автоматически, что очень удобно для свободного обзора вращающейся поверхности.

Многофункционален экспорт данных в различные текстовые редакторы и другие программы, а также вывод их на принтер. Программа имеет широкие возможности форматирования полученных данных.

2. Ввод данных

Ввод исходных данных осуществляется либо через импорт файла данных, либо непосредственно в программе.

Для импорта файла данных необходимо в меню «File» выбрать команду «Import» и в появившемся окне выбрать нужный файл и нажать «ОК»

ру TableCurve 3D v2

File Edit Calculate Jable View P rocess Review Help

import... Ctrl+I 1 Mp R | PR Pk

Import Digital Filter...

Import Clipboard

Import Clipboard Matrix

Save As...

ASCII List...

Reset All Defaults

Exit

oAprograml \tc3d\p3d.prn

Рис. 1. Окно для ввода данных

В «TableCurve 3D» возможен импорт следующих типов файлов.

Файлы X, Y, Z ASCII - заданный по умолчанию формат данных. Эти файлы произвольно содержат главный заголовок, X заголовок, Y заголовок и Z заголовок на первых четырех строках, сопровождаемых последовательными строками данных.

Многоколоночные файлы ASCII. Если пятая строка файла ASCII содержит больше чем три значения с запятой, то будет предложен вариант многоколоночного чтения. В этом случае необходимо выбрать столбец X, Y, Z, и по необходимости столбец Weights. Выберете номер столбца, и строчную ASCII информацию в исходных столбцах, чтобы определить столбцы, участвующие в расчете.

Информацию об импорте реже используемыхфайловLotus, Excel, Quattro, SigmaPlot, dBase, SPSS,Windows и DIF можно найти в Help-файле программы.

Для ввода данных непосредственно в программе необходимо войти в подменю «TableCurve 3Deditor» в меню «Edit» и ввести в соответствующих столбцах значения Х, Y и Z. По умолчанию, четвертый столбец Weight заполнять не требуется, хотя это можно сделать и вручную, сняв в правой части окна флажок с «AutoEntryW». Числовые значения в столбце Weight (в переводе - "значимость") являются обратным квадратом среднеквадратичного отклонения. Иными словами, в указанном столбце определяется важность данной точки для аппроксимирующего полинома, то есть обязательность или необязательность прохождения подбираемого графика функции через данную точку.

Рис. 2. Экран отмасштабированной координатной плоскости с нанесенными на нее точками

После загрузки данных программа выводит на экран отмасштаби-рованную координатную плоскость с нанесенными на нее точками (рис. 2).

196

3. Назначение параметров расчета

После ввода исходных данных программа дает возможность, если необходимо, отформатировать введенные данные по следующим параметрам.

1. Изменение основного заголовка таблицы данных, а также заголовков осей X, Y и Z. Для этого следует выбрать подменю «NewTitles» вменю«TaЫe» и переименовать необходимые строки.

2. Очистка неактивных точек. Данная операция позволяет избавиться от точек, погрешность которых на фоне остального массива данных слишком велика, что дает право предполагать их случайность и не принимать их в расчет. Для активизации функции необходимо выбрать опцию «ClearInactivePoints» в меню «Table».

Возможно задание определенной функции, позволяющей автоматически конвертировать существующие переменные в необходимые значения. Функция задается в опции «EnterCalculation» в меню «Calculate». Вычисление может использоваться для замены существующей переменной. Например, выражение X=X*2.54 преобразовывает X-значение из дюймов в сантиметры, а выражение Y=(4/3)*PI*YA3 преобразовывает Y-значение, представляющие собой радиус шара в его объем. Также может задаваться и взаимная зависимость: например переменной Х от Y или от W и наоборот. «TableCurve 3D» предоставляет множество различных функций от самых простых до сложнейших нелинейных, которые можно задать из нескольких меню в окне «EnterCalculation» (рис. 3).

Рис. 3. Окно для возможности задавания различных функций

от переменных X, У, Z

4. Выбор аппроксимирующих полиномов

После ввода исходных данных и назначения параметров расчета начинается выбор аппроксимирующих полиномов для расчета. Существуют 3 способа выбора полиномов для расчета.

197

1. Выбор одной из 9 стандартных категорий полиномов(рис. 4).

Перед началом расчета следует определить категорию уравнений, среди которых и будет находиться искомое. Это необходимо в том случае, когда не всякий полином удовлетворяет требованиям расчета. Если же такого ограничения нет, то для наиболее точного подбора следует провести расчет по всем уравнениям. Категории делятся на:

- всеуравнения (Surface-FitAlffiquations);

- уравненияпервойстепени (Surface-FitLinearEquations);

- простейшиеуравнения (Surface-FitSimpleEquations);

- прямыеплоскости (Surface-Fit Robust Plane);

- полиномиальныемногочлены (Surface-Fit Polynomial Functions);

- рациональныемногочлены (Surface-Fit Rational Equations);

Рис. 4. Окно выбора аппроксимирующих полиномов

- рациональные/полиномиальные многочлены (Surface-FitPoly/ Rat-lEquations);

- пиковыефункции (Surface-FitPeakFunctions);

- переходныефункции (Surface-Fit Transitions Functions);

После выбора категории для начала расчета необходимо нажать на одноименную опцию в меню «Process».

2. Более тщательный отбор полиномов в каждой из 9 групп.

В том случае, когда первый вариант выбора не удовлетворяет требуемым условиям, можно сделать более тщательный отбор функций. Для этого необходимо выбрать опцию «EditCustomEquationSet» (рис.5) в меню «Process» и указать необходимые подкатегории функций, а если таковые уже имеются и сохранены в файле, то его можно загрузить. Для этого

выбирается опция «ReadCustomEquationSet» и загружается необходимый файл. Сохранение введенных функций происходит при нажатии на кнопку «Save» и указании имени файла. Для начала расчета нажимается кнопка «Fit».

Custom TableCurve 3D Equation Set

m

Linear Equations

Keep

Active

Polynomial Rational Subset 244 151,229,741

FjStandardi W Standard W Standard

F Add Lnjnv F Add Ln Г Add Ln Z

Select All

Clear All

GK

Fit

Read

Non-Linear Equations

Active

Peak

Gaussian O Lorentzian Log Normal I- Logistic Pk  Enti Value I- Gauss/LN General

Exponential E Power

Transition Г Gauss Cum

Lorentz Cum Г" Log Norm Cum Г" Sigmoid |J EwtVal Cum Jl LgstcDoseRsp

Г Robust Plane

Profile B Standard B Equal Widths (^Additive

W Additive «/Synergy B Fn in X Only 0 Fn in Y Only Intercept B None

FAdd

24

Select All

Clear All

Save

Reset

Options

Cancel

Help

Рис. 5. Окно для более тщательного отбора полиномов в каждой

из 9 групп

3. Задание функций пользователя.

В программе имеется возможность задать одну или несколько функций пользователя. В этом случае необходимо выбрать опцию «User-Functions» в меню «Process» и записать функции в поле «Function» (рис. 6). При уже сохраненных ранее функциях для их новой загрузки следует нажать кнопку «Read» и указать файл функций. Сохранение введенных функций происходит при нажатии на кнопку «Save» и указании имени файла. Для начала расчета нажимается кнопка «FitUDFs».

Рис. 6. Окно для задания функций пользователя

199

5. Расчет статистических величин для выбранных полиномов

После проведения расчета при любом варианте выбора полиномов появляется окно с образовавшейся поверхностью.

Для вывода рассчитанных параметров используется кнопка «GraphStart» в меню «(рис.5)». После нажатия на нее на экране появляются два окна, в одном из которых отображаются подобранные функции (окно ReviewSurface-Fit) (рис. 7), а в другом - поверхность, соответствующая выделенной среди подобранных функций (окно Equations) (рис. 8).

В окне Equations функции по умолчанию отсортированы по убыванию коэффициента детерминации, однако возможно иное упорядочивание функций.

Возможно упорядочивание по:

- уровню доверительной вероятности (byDOFadjustedrl);

- стандартной ошибке (byStdError);

- критериюФишера (by F-statistic);

- скорости операций с плавающей точкой (Sortby FloatingPoint

Speed).

Рис. 7. Окно вида подобранных функций с соответствующими коэффициентами детерминации

Рис. 8. Окно с образовавшейся поверхностью

200

В окне с графиком функции имеются несколько кнопок. Назначения каждой из них следующее:

- «3DType» - форматирование цвета поверхности функции при отображении ее в данном окне;

- «3DView» - форматирование структуры поверхности при ее отображении в данном окне;

- «Scaling» - калибровка и масштабирование поверхности функции в данном окне;

- «Animate» - трехмерное вращение поверхности вокруг одной из трех осей;

- «Titles» - выбор заголовка в верхней части окна, отображающего поверхность;

- «Font» - выбор шрифта для текстовой части изображения;

- «Colors» - выбор цветов текстовой части и фона изображения;

- «Points» - задание отображения или не отображения на поверхности точек исходных данных;

- «Residuals» - погрешности в графическом изображении;

- «List» - список подобранных аппроксимирующих полиномов для исходных данных по заданным параметрам расчета;

- «Numeric» - статистические данные расчета;

- «Data» - обобщенные данные по точкам исходных данных;

- «Precision» - точность вычисления;

- «Copy» - копирование изображения поверхности в буфер обмена.

- «Print» - вывод поверхности на печать;

Вверху имеется также полоса горизонтальной прокрутки. В данном случае она исполняет роль зуммирования.

Более подробно следует остановиться на кнопках «Numeric» и «Data».

После нажатия на «Data» открывается окно со следующими характеристиками точек:

«XYZ» - номер точки;

«XValue» - значение Х данной точки;

«YValue» - значение Y данной точки;

«ZValue» - значение Z данной точки;

«ZPredict» - прогнозируемое значение Z относительно его натурального значения;

«Residual» - погрешность Z в натуральных значениях;

«Residual%» - погрешность Z в процентах;

«95 % ConfidenceLimits» - значение доверительной границы с вероятностью 95 %;

«95 % PredictionLimits» - прогнозируемое значение доверительной границы с вероятностью 95 %;

«Weights» - значимость точки, указанная при вводе данных.

При нажатии на «Numeric» открывается окно (рис. 9) со следующими характеристиками поверхности:

Rank - номер уравнения в списке;

Eqn - номер уравнения в базе данных программы, а также его вид; r CoefDet - коэффициент детерминации уравнения; DFAdjr2 - уровень доверительной вероятности; FitStdErr - значение стандартной ошибки; F-value - значение критерия Фишера; Parm - список используемых в уравнении переменных; Value - значение выбранной переменной; StdError - стандартная ошибка выбранной переменной; t-value - значение критерия Стьюдента для переменной; 95% ConfidenceLimits - значение доверительных границ с вероятностью 95%;

XatFnZmin - значение X при значении функции от Zmin; YatFnZmin - значение Y при значении функции от Zmin; FnZmin - значение Zmin;

XatFnZmax - значение X при значении функции от Zmax; YatFnZmax - значение X при значении функции от Zmax; FnZmax - значениеZmax;

* Numeric Summary

File Edit Style Options

Rank 1 Eqn 3144 z=a+bx2+cy3

r2 Coef Det 0.9999999752

DF Adj r2 0.9999999736

Parm Value a 0.004865005 b -7.01327463 с 1.000045965

Std Error 0.010181695 0.022792484 2.40172e-05

Fit Std Err 0.0431552176

t-value 0.477818789 -307.701197 41638.72226

F-value 9.485818e+08

95% Confidence Limits -0.01561792 0.025347932 -7.05912719 -6.96742207 0.999997649 1.000094282

P>|t| 0.63499 0.00000 0.00000

X at Fn Zmin 0.9968

X at Fn Zmax 0.001268

Y at Fn Zmin 0.01619

Y at Fn Zmax 9.829

Fn Zmin -6.963592238 Fn Zmax 949.62073077

Procedure GaussElim

r2 Coef Det DF Adj r2 Fit Std Err 0.9999999752 0.9999999736 0.0431552176

Source Sum of Squares DF Mean Square

Regr 3533226 2 1766613

Error 0.087531522 47 0.0018623728

JJ

F Statistic 9.48582e+08

P>F 0.00000

Рис. 9. Окно с характеристиками поверхности, открывающееся после

нажатия на кнопку «Numeric»

Далее в окне находятся еще несколько менее важных и менее используемых статистических характеристик функции, о которых при необходимости можно узнать из файла помощи.

202

Для копирования этих данных в текстовый или другой редактор необходимо выбрать опцию «Copy» в меню «Edit».

6. Форматирование данных

Программа «TableCurve 3D» предоставляет широкие возможности по форматированию внешнего вида полученной поверхности функции.

К ним относятся следующие.

1. Ручной и автоматический выбор типа осей X, Y и Z, а также их диапазона. Изменение осуществляется посредством нажатия на кнопку «Scalling» и установки параметров в открывшемся окне.

2. Выбор формы, размера и цвета точек на графике. Для изменения необходимо нажать на кнопку «Points».

3. Выбор заливки поверхности графика. Заливка может быть как одноцветной, так и градиентной. Осуществляется нажатием на кнопку «3DType»

4. Выбор внешнего вида самой поверхности: частота и толщина линий, угол поворота поверхности, вид координатных осей и др. Для настройки данных параметров необходимо нажать на кнопку «3DView»

5. Надписи в верхней части рисунка. Для изменения необходимо выбрать опцию «Titles».

6. Изменение шрифта, используемого на рисунке. Для изменения необходимо выбрать опцию «Fonts».

7. Экспорт полученных данных

В программе предусмотрено сохранение полученных данных в том же формате, в каком и осуществлялся ввод, а также в любом из форматов ввода. Для этого следует после расчета данных выбрать необходимый формат сохранения в меню «File» и указать имя файла.

8. Пример расчета

Задание: подобрать аппроксимирующий полином и провести его исследование для зависимости относительной силы в матрице от расстояния от верхнего торца матрицы до оси специального отверстия и от угла наклона специального отверстия для выхода материала после бокового выдавливания [2] исходные данные для задания представлены в таблице.

Исходные данные

Относительная Расстояние до оси, Угол наклона

сила, Н мм отверстия, град

250 10 4.3

252 12 12.9

253.5 14 25.7

255 16 42.9

256 18 62.8

256.5 20 90

После занесения исходных данных в программу (относительная сила - графа Х, расстояние до оси - У, угол наклона отверстия - Z), на экране появляется следующее окно (рис. 10).

! CLIPBRD.PRN

Jan 8, 2002 10:07:51 AM Mem: 3.656 Mb 268.113 FPI: flX-Y: G Active: G

CLIPBRD.PRN

X Variable:

Min: 250 Max: 256.5

Range: 6.5

Mean: 253.8333 Std: 2.503331

Y Variable:

Min: 10 Max: 20

Range: 10

Mean: 15 Std: 3.741657

Z Variable:

Min: 4.3 Max: 90

Range: 85.7

Mean: 39.76667 Std: 32.37688

Рис. 10. Окно со сформированной поверхностью

Так как в задании не указывалось никаких параметров аппроксимирующего полинома, то расчет будем проводить по всем функциям, имеющимся в базе данных программы.

В меню «Process» выбираем опцию «Surface-fitAllEquations», и по истечении некоторого времени появляется итоговое окно расчета (рис. 11), в котором:

- функций обработано: 16964;

- найдено функций: 164;

- общее время работы - 0,66 секунды.

Далее, нажимая на кнопку «GraphStart», следует перейти непосредственно к результатам расчета.

Результатом расчета является аппроксимирующая поверхность, показанная на координатной плоскости в окне «ReviewSurface-Fit», а также соответствующий ей аппроксимирующий полином, расположенный в окне «Equations». В окне «Equations» можно выбрать любой из подобранных полиномов, причем выбирая определенный полином, в окне «ReviewSur-face-fit» автоматически появляется соответствующая ему поверхность(рис. 12).

В данном случае наиболее подходящим (с максимальным коэффициентом детерминации) для исходных данных полиномом является полином z=a+bx15+cx3+d/x+e/x15.

Рис. 11. Итоговое окно расчета

! Review Surface-Fit

Graph intervals Scan List Window

CLIPBRD.PRN Rankl Eqn 38376 z=a+tix15+cx3+dfe+e/x1-5 r^=1 DF Mj г^-NAN FitStdBT^O Fstat=1e-|3DD =6.5787825e+il9 b=-65384S.e c=33.844765 d=-2.247Ü994e+12 e=1 ,T6SD862e+13

164 Equations [Rank, r2, FP, Eq#, Eqn] В|3б

1 1 19 38376 z=a+bx1-5+cxfl

2 1

3 0.9ЭЭ99Э9419

4 0.9ЭЭ99Э7815

z=a+bx1 -s+cx:" z^a+be^+c ^a+be^^+c

Рис. 12. Аппроксимированная поверхность, показанная на координатной плоскости в окне «ReviewSurface-Fit»

Для просмотра его статистических параметров выбираем опцию «Numeric»:

Rank - номер уравнения в списке - 1;

205

Eqn - номер уравнения в базе данных программы - 38376, и его вид

- z=a+bxL5+cx3+d/x+e/xL5;

r CoefDet - коэффициент детерминации уравнения - 1;

2

DFAdjr - уровень доверительной вероятности - NAN- не определен;

FitStdErr - значение стандартной ошибки - 0;

F-val - значение критерия Фишера - 1e+300;

Parm - используемые в уравнении переменные - a, b, c, d, e;

и т. д.

Если какой-нибудь параметр не устраивает экспериментатора, то выбирается следующий аппроксимирующий полином и проверяются его параметры.После определения нужного полинома график функции и его статистические параметры можно скопировать в другое приложение или распечатать на принтере, после чего в данном случае расчет заканчивается.

Список литературы

1. Агаянц И.М. Азы статистики в мире химии. Обработка экспериментальных данных. СПб.: НОТ, 2015. 614 с.

2. Панфилов Г.В., Черняев А.В. Статистически обоснованное построение двухмерных графических зависимостей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017.Вып. 11. С. 198 -207.

Панфилов Геннадий Васильевич, д-р техн. наук, проф., tulpan.2000@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Черняев Алексей Владимирович, д-р техн. наук, проф., mpf-tula aramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

APPROXIMATION OF THREE-DIMENSIONAL GRAPHICS DEPENDENCIES

G. V. Panfilov, A. V. Chernyaev

The technique and algorithm of statistically based construction of three-dimensional graphical regression dependences are presented. The questions of the obtained experimental results approximation with the help of the computer program «TahleCurve 3D»ffr the calculation results of the technological force of the material lateral extrusion through an hole, located at an angle to the container axis, are touched upon.

Key words: analysis of three-dimensional arrays, approximation of experimental dependences, calculation of quantitative distribution parameters, establishment of confidence boundaries.

Panfilov Gennady Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, tulpan.2000@yandex.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Chernyaev Aleksey Vladimirovich, doctor of technical sciences, docent, mpf-tulaqrambler. ru, Russia, Tula, Tula State University