Модель анизотропной неоднородной пластинки из конечных элементов

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

Том IX 1978

№ 6

УДК 534.121.1

МОДЕЛЬ АНИЗОТРОПНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

М. В. Полюдов

Приведена упругомассовая модель тонкой ортотропной пластинки на базе плоского четырехугольного конечного элемента. Рассмотрены плоское напряженное состояние и изгибные деформации неоднородной пластинки. Коэффициенты матриц обобщенных жесткостей и масс элемента записаны в замкнутой форме, допускающей произвольность в выборе базисных полиномов для аппроксимации функций перемещений. Приведен пример вычисления перемещений, напряжений и собственных частот колебаний изгиба консольной треугольной пластинки с помощью прямоугольного согласованного элемента и даны сравнения с результатами других работ.

Решение ряда технических задач, связанных с исследованием прочности, колебаний и устойчивости авиационных конструкций,, могут быть приведены в линейном приближении к соответствующим задачам для упругих пластинок. Упругомассовую схему пластинки будем рассматривать в рамках метода конечных элементов, основанного на дискретном представлении конструкции и реализованного с применением вариационных принципов. Дальнейшее рас* ширение класса задач об упругом поведении пластинок может быть достигнуто путем применения конечных элементов с неоднородным распределением параметров, с анизотропией упругих свойств внутри материала. Кроме того, получение таких конечных элементов связано с матрицами жесткостей и масс, обеспечивающими произвольность в выборе базисных функций для перемещений. Для этого необходима запись их коэффициентов в замкнутой форме.

В работе с этих позиций рассматриваются плоское напряженное состояние и изгиб пластинок. Рассмотрены вопросы приведения статических нагрузок при изгибе элемента и определения напряжений в пластинке. В конце работы рассмотрен пример на

вычисление напряжений, перемещений и собственных частот колебаний консольной пластинки и приведены сравнения с некоторыми исследованиями по другим методикам.

1. Рассмотрим четырехугольный, неоднородный, анизотропный конечный элемент тонкой пластинки, изображенный на фиг. 1, с координатами (х1г 2, з, 4 и осями анизотропии £ и у], в общем

случае не совпадающими с осями х и у элемента.

Считаем, что пластинка имеет плоскость упругой симметрии, проходящую через ее срединную поверхность.

Энергия деформации такой пластинки, выраженная через вектор деформацией {а}, записывается интегралом:

и^1^{*)*\В\[ь)<1хйу<1г,

где V — объем тела, [О] — матрица упругости, устанавливающая связь между напряжениями и деформациями. Матрица [В\ симметрична и коэффициенты ее определяются известными выражениями [1].

В случае плоского напряженного состояния, поле перемещений которого определяется перемещениями срединной поверхности и й 0, энергия деформации представляется в виде:

и = -у ^ Л 1 и,х + 2 £)21 чх + 2 В3 их (иу

+ Л22 -

В случае изгиба пластинки с учетом гипотезы прямых нормалей

потенциальная энергия выразится в виде

^ = -у- ] I "Й (ДЧ + 2 £>21 «'лгл: уу + 4 £«1,у + £>22 у +

+ 4 £32 туу тху + 4 033 т2ху) йхйу.

Перемещения элемента будем искать в виде степенных рядов:

П1 л,

и(х, У) = 'Е,*1хх‘у',‘] 8(х,у)= 2

/="1 + 1

«(•*. >')*=* X в,хр‘У1;

г=л,+1 ;

здесь п1 — порядок многочлена, аппроксимирующего перемещение и; (п2 — П\) — перемещение (га — п2 — пх) — перемещение но, п — число степеней свободы элемента, а ^, V,, гг, 52, р0 д1— набор показателей, выбираемых из условия необходимой степени согласованности между элементами при отсутствии внешних связей. В качестве параметра неоднородности примем толщину панели Л (л:, у) с линейным изменением по координатам х и у:

3

Л

е=1

Между вектором коэффициентов линейной формы (а) и выбранным согласно базисным функциям вектором узловых координат {№} вводится соответствие [2]:

{«} = [<*]{№}, •

где [а]— матрица преобразования координат, устанавливающая переход к матрицам жесткостей и масс конечного элемента:

[Л]-[в]т [*•][«]; 1

[К] = [а]ЦК*][а]. /

Матрицы обобщенных масс [от*] и жесткостей [/С*] с учетом (1.2) —

(1.5) записываются в удобной для программирования замкнутой

форме:

3

т*1 = Р X р, [/*

е = \

3

= Е 1, 1/5/-1)4-

е—\

-!^/(Ш-1, УSJ - 1)] + С81(Х|уу + Х^|)Р(и - 1, УУ- 1)4-+ 011&г/Г(Ш-2, УБП+^ПР^М-2, ГСУ)]4-+ Я22 5,5, Т7 (ЯЯ, 55 - 2) + Взг [V, 5/ Р (ЬШ, УЭ/ — 2) +

4 V, 5, /^ (£/?/, УSJ— 2)] 4- Ою(г, 5у + г, Б,) /*(/?/? - 1, 55- 1) +. 4-Д,зКу 1Г{и, УУ— 2) +Г;Г/Р(/?/? — 2, 55)]4-

4-АзЬ0 ^(1/?/- 1, 1/5/-1)4-У; г;^(£/?У-1, 1/57-1)]} +

ю

+ Е £ {А»л/>у (Л - 1)(Л— 1)^(РЯ- 4, 00)+А1[/>,?Дл-1)(<7;—1)+

¿ = 1

+ ±033р1р;д1д]Р{РР— 2, 00-2) + 20п[р1{р1—\)р]д1 +

+ Р){Р)—1)Р1Ч1]Р{РР- 3, 1) + 2 032[^.(^— 1) д}р, +

+ 00-3)}.

95

В выражения (1.8), (1.9) введены обозначения:

LL = \l + hj + <?е; УУ = + <]у,

/?# = //4- г] 4- ?е; 55 = 5,- 4- 5у4- <]>е; РР*=Р1 + Р] + 9/> р1 = р?;

Р*2 = 3р?р2;

Рз=зр?р8;

Р4 = 3р,р5;

Рб — 6 ?! р2 р8;

/./?/=Хг 4- /"у + Те! 1/5/ = ^ 4- 5, 4-/./?./ = Ху 4" 4-

УSJ = 1>j 4- 5г 4- Фе; 00 = <?|4-?у + Фв; Рб = 3р, р§;

Р*7 = Р32;

Ре = 3 р! р3; Рэ = 3 р2 Рз; Р*о=Рз;

р — плотность материала, а в табл. 1.

показатели <ре и приведены

Интеграл /г(а, 6) = ||лау*йхйу вычисляется по площади конеч-

ного элемента. Запись матриц жесткостей и масс в приведенном выше виде позволяет по существу получить конечный элемент

Таблица 1 Показатели параметра Неоднородности

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Че 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0

Фе 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3

с произвольным набором полиномов, обеспечивающим ту или иную степень согласованности. При совпадении координат х2 и х4, у2 и уА четырехугольный конечный элемент преобразуется в треугольный. При этом интегралы в выражении (1.8) и (1.9) необходимо брать по площади треугольника, а матрица преобразования координат [а] будет определяться координатами хи х2, хв, уи у2, у3 элемента и заданными для треугольного конечного элемента базисными функциями.

В табл. 2 приведены три модели для изгибного конечного элемента с тремя, четырьмя и шестью степенями свободы в узле. Возможные варианты показателей полиномов представлены как для четырехугольных, так и для треугольных конечных элементов. Согласованным является прямоугольный конечный элемент модели 4 и элементы модели 6.

2. Вектор обобщенных узловых сил {/?}, эквивалентный внешней статической нагрузке /(.х, у), при изгибе конечного элемента определяется выражением:

{/?} —[а]т Ц/

5

Модели изгибных конечных элементов

^'''-'^Модель ПараметрьГ^'''\^^ 3 4 6

Узловые координаты т, да*, ту да, тх, іе>у, юху т, тх, тму, тхх, ^ху* >уу

Геометрия элемента £3, Л £3, Л 1Л Л

Порядок вектора 12 9 16 12 24 18

Показатели

полинома

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

0 1

1 I

2 3 1 3 4 2 1

3 0 1 5 2 2

з 1 2 0 2 3

3 2 2 1 з 0

3 3 2 2 3 1

2 3 3 2

2 4 4 0

3 0

3 1

3 2

4 0

4 1

5 о

7—Ученые записки № 6

97

Распределенную нагрузку f(x, у) представим как неоднородный параметр в виде степенного ряда с показателями рк и qk\

П

/о*, у)=2а*xPk y“k dxdy

*=i

Пусть при этом имеются параметры нагрузки в п точках внутри элемента, образующие вектор заданных нагрузок {/}. Тогда выражение (2.1) с учетом (2.2) запишем в развернутом виде:

{#} = Ит + Pi, Як + 9/)] М-1 {/).

где [лг] — матрица перехода для п заданных точек нагружения. В случае дискретной нагрузки /0, приложенной в точке х0, у0 элемента, выражение (2.3) преобразуется к виду:

{/?} = № /о 4і УІ1-

Вектор деформаций {е°} в точке х0, у0 конечного элемента после определения вектора перемещений { определяется матричным выражением:

{«°} = [*°] [*]

где [К°] =

о

К

— прямоугольная матрица перехода к деформациям {е°}.

При изгибе пластинки деформация на ее поверхности в точке с координатами хп матрицы перехода:

[*"] =

о и у о с толщиной h0 находится; с помощью

РіІРі- ЇХ'-2 УІ1 ЯЛЯї — iX'jtf'"8

1-2 1 У«‘

3. В качестве примера для вычисления перемещении, напряжений и собственных частот колебаний была рассмбтрена изгибная, однородная изотропная пластинка, изображенная на фиг. 2, с известными решениями [3]. Исследования проводились с помощью прямоугольного элемента модели 4 из табл. 2. На скошенном краю

,19Г

I = п, + 1...., п

Фиг. 2

были введены элементы с фиктивными узлами в областях, где плотность и жесткость пластинки равны нулю. Было рассмотрено пять вариантов разбиения на элементы (см. фиг. 2). Величина безразмерного прогиба конца плас' о

Таблица 3 Безразмерный прогиб конца пластинки у=А

тинки те»

¿Л*

от действия равно-

мерно распределенной нагрузки g приведена в табл. 3. На фиг. 3 представлены приведенные напря-

оЦ^иЗГ

в заделке плас-

жения а.

пр

мн

Работа И ни ,, іАі Є, %

МКЭ (1X1) 0,05503 2.65

МКЭ (2X2) 0,05589 1,06

МКЭ (3X3) 0,05611 0,71

МКЭ (4X4) 0.05619 0.53

МКЭ (5X5) 0,05624 0,46

[3] ! 0,0552 2,30

[5] 0,0550 2,65

[7] 0.0560 0,88

Эксперимент 0,0565 0,00

тинки, а в табл. 4 — приведенные частоты собственных колебаний

]/". Для сравнения в табл. 4 приведены вычисления

частот колебаний с помощью согласованных треугольных конечных элементов модели 6 и прямоугольных элементов модели 1. Модель 1 с одной степенью свободы в узле: определяется редукцией матрицы жесткостей модели 3 при задании укороченной ба-

\фср

зисной функции для матрицы масс. При этом приходим к уравнению движения модели из конечных элементов, в котором матрица масс имеет нулевые блоки:

КиК12 К* Кгг j

+

мГіО о о

Выполнив преобразование К = Ки — КпКю Към переходим к уравнению движения модели из конечных элементов с одной степенью свободы в узле:

Данный подход значительно уменьшает число степеней свободы суммарного уравнения движения модели.

Таблица 4

Приведенные частоты собственных колебаний треугольной пластины

Модель Метод конечных элементов Пластина Экспе-

4 1 6 как система ортотропных римент {8]

Разбиение (1X1) (2X2) (3X3) (4X4) (5X5) (4X4) балок [4]

""-^частота тон 01 є СО £

1 6,23 5.6 6,18 4,7 6,17 4.6 6,17 4,6 6,45 8,7 6,29 6,6 6,15 4,2 5,9

2 24,20 4,3 23,60 1,7 23,52 1.4 23,48 1.2 23,4 0,9 23,9 3,0 23.8 2.4 23.2

3 43,27 32,7 33,20 2,1 32,85 0,8 32,75 0,5 34,9 7,2 33,3 2,2 32.6 0,0 32,6

4 70,52 26,8 58.19 4,7 56.41 1.5 56,29 1.2 55,9 0,4 57.2 2,9 55,0 -1.2 55,6

5 138,0 — 84,78 12,1 77,44 2,4 76,96 1.8 84,4 11,5 78,0 3.2 75,8 0,2 75,6

6 211,7 — 109,6 10,6 101,4 2.6 100.1 1.2 — — 101,5 2,6 85,3 —13,8 98,9

Влияние параметра неоднородности на Частоты собственных колебаний пластинки

Консольная квадратная пластинка чк /у Однородная пластинка І & Неоднородная пластинка

Модель 1 3 4 экспери- мент 1 3 4 экспери- мент

Разбиение

Тон Приведенные частоты

1 3,46 3.47 3,48 3,43 2,38 2,39 2,37 2,30

2 8,56 8,53 8,53 8,32 5,42 5,72 5,69 5,57

3 22,12 21,67 21,37 20,55 10,52 11,02 10,86 10,69

4 28,30 26,85 27,34 27,15 14,94 13,99 14,65 14,51

5 32,33 30,80 31.16 29,75 16,10 16,56 16,72 16.25

Относительные отклонения

1 1,0 1.2 1.46 — 3,4 3,6 з.о —

2 2,8 2,5 2.5 — —2,6 2,8 2,2 —

3 7,6 5,5 4,0 — —1.6 3,1 1,6 —

4 4,2 -1,1 0,7 — 2,9 -3.6 1,0 —

5 8,7 3,54 4.7 — -0,9 1.9 2.9 —

№ колонки 1 2 3 4 5 6 7 8

Анализируя результаты вычислений, можно сделать выводы, что модель 4 при определении перемещений дает большую точность, чем при определении напряжений. Это, видимо, объясняется тем, что аппроксимирующая функция хорошо представляет функцию прогибов и несколько хуже функцию деформаций. Однако сходимость обеспечена, и при разбиении (4 X 4) точность вычисления напряжений можно считать удовлетворительной. Сравнивая полученные результаты с другими методами и моделями, можно считать, что элемент модели 4 эффективен при исследовании прочности и колебаний тонких пластинок.

Влияние неоднородности толщины пластинки на собственные колебания рассмотрено на примере неоднородной, консольной, квадратной пластинки с известными экспериментальными частотами [9]. Вычисления проводились конечными элементами моделей /, 3 и 4. Результаты вычислений сведены в табл. 5. Для сравнения приведены аналогичные вычисления для однородной пластинки. Из анализа относительных отклонений вычисленных частот от экспериментальных следует, что модель 4 может быть применена при исследовании неоднородных пластинок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М., Гостехиз-дат, 1947.

2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., „Мир*, 1975.

3. Фролов В. М. Применение метода корректирующей функции в расчетах деформаций консольных пластин. М., Оборонгиз, 1957.

4. Б и р г е р И. А., П а н о в к о Я. Г. Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3, № 3, М., .Машиностроение“, 1968.

5. 3 у р а е в Т. Г. О применении вариационно-разностного метода в расчетах крыльев малого удлинения. .Ученые записки ЦАГИ*, т. 2, № 4, 1971.

6. Каупер Ж., Коско Е., Линдберг Ж., Олсон М. Применение высокоточных треугольных элементов изгибаемых пластин в статических и динамических задачах. РТК, 1969, № 10.

7. Williams М. L. A review of certain analysis methods for swept-wing structures. IAS, vol. 19. N 9, 1952.

8. Gustafson P. N., Stokey W. F., Zorowski C. F. An experimental study of natural vibrations of cantilevered triangular plates. .Journal of the Aeronautical Sciences*, vol. 20, N 5, 1953.

9. Dawe D. Vibration of rectangular plates of variable thickness. .Journal Mechanical Engineering Science", vol. 8, N 1, 1966.

Рукопись поступила 6jIV ¡977 г.