О разрешимости «в целом» начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение магмы

О разрешимости «в целом» начально-краевой задачи для системы уравнений... УДК 517.91

О разрешимости «в целом» начально-краевой задачи для системы уравнений, описывающей движение магмы*

А.А. Папин, М.А. Токарева

Алтайский государственный университет

On the Solvability of the Initial Boundary Value Problem for a System of Equations Describing the Motion of Magma

A.A. Papin, M.A. Tokareva Altai State University

Исследовано математическое обоснование одной модели движения вязкой жидкости в поро-упругой среде. Рассматриваемая система уравнений является обобщением классических моделей фильтрации, в которой пористость является заданной функцией. Учет сжимаемости пористой среды является принципиальным моментом. В основе рассматриваемой модели лежат уравнения сохранения массы жидкости и пористого скелета, закон Дарси для жидкости, учитывающий движение пористого скелета, реологическое уравнение для пористости и условие равновесия «системы в целом». Приводится краткий обзор основных результатов по рассматриваемой проблеме. Далее дана постановка задачи одномерного движения магмы в переменных Эйлера. Переход в переменные Лагранжа позволяет свести исходную систему к одному уравнению третьего порядка неклассического типа. Установлена локальная теорема существования гладкого решения начально-краевой задачи при модельных зависимостях коэффициента фильтрации и коэффициента упругости скелета от пористости, а также доказана глобальная разрешимость задачи. При доказательстве основную роль играют глобальные априорные оценки, причем центральными из них являются оценки строгой положительности и ограниченности пористости.

Ключевые слова: фильтрация, пороупругость,

магма, закон Дарси, глобальная разрешимость.

БМ 10.14258/izvasu(2017)1-22

The study deals with the mathematical justification of a filtration model for a viscous fluid in a poroelastic medium. The system of equations under consideration is a generalization of classical filtration models with porosity being a given function. The consideration of porous medium compressibility is a matter of principle. The basis of this model includes fluid mass conservation equations, the porous skeleton, Darcy's law for a fluid with consideration of the porous skeleton movement, the rheological equation for porosity, and the system equilibrium condition. Paragraph 1 provides a brief overview of the main results. In paragraph 2, we state in Euler variables the problem of one-dimensional motion of magma. The transition to Lagrange variables allows us to reduce the original system to a single non-classical equation of the third order. In paragraph 3, the local theorem on the existence of a smooth solution of the initial-boundary value problem with the model dependence of filtration rate and shear viscosity coefficients on porosity is established. Also, the global solvability of the problem is proved. Global a priori estimates play the crucial role in proving the theorem with the estimates of strict positivity and limited porosity being the key features.

Key words: filtration, poroelasticity, magma, Darcy law, global solvability.

Введение. Интерес к задачам фильтрации в пористых средах возникает, в частности, с широким применением данных моделей в области нефтегазодобычи [1], движения грунтовых вод и связанных с ними проблемами загрязнения [2].

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ №16-08-00291.

Первым достижением в этом направлении была введенная Терцаги концепция эффективного напряжения для одномерной модели пористой деформации [3]. В дальнейшем теория Терцаги была развита Био [4], практически одновременно и независимо близкая теория изучалась Френкелем [5]. Позднее аналогичные модели бы-

ли предложены в работах Николаевского, Золотарева и Рахматуллина [6, 7, 8]. Следует отметить, что в случае двухфазного движения несмешиваю-щихся несжимаемых жидкостей в недеформируе-мой пористой среде математическая теория процесса построена в работах [9]. Вопросам обоснования начально-краевых задач двухфазной фильтрации в недеформируемой пористой среде также посвящены работы [10, 11, 12]. В работе [13] пористость зависела от давления (но деформация пористого скелета не рассматривалась). В исследовании [14] предложена модель двухфазной фильтрации в деформируемой пористой среде, в которой движение твердого скелета описывалось на основе аналога принципа Терцаги и модифицированного линейного закона Гука. Вопросы обоснования в этой работе не рассматривались. Это было сделано в [15, 16], где были построены частные решения. Близкие по структуре системы уравнений рассматривались в [17, 18, 19]. В [17] установлена локальная разрешимость задачи Коши в пространствах С.Л. Соболева. В [18, 19] исследованы решения типа «простой волны». В [20] установлено свойство конечной скорости распространения возмущений в случае преобладания упругих свойств твердого скелета. Двумерная задача была рассмотрена в [21]. Подобная модель исследовалась в [22] в случае двухфазной пороупругой фильтрации.

Постановка задачи. В работе изучается следующая квазилинейная система уравнений составного типа [23]-[24]:

^ + дх (Р/) = 0,

^^ + £ (р.(1 - *м = о, др /

ф(«/ - ) = -Мф)("дхг - Р/^

дж

Ре

«(Ф),

Ре = Р4о4 - Р/, Р4о4 = (1 - ФК + ФР/,

дре.

дх

Р4о4 =

решаемая в области (х,£) € = И х (0, Т), И = (0, 1), при краевых и начальных условиях

«я |ж=0,ж=1 = V/ |ж=0,ж=1 0,

Ф |е=0= Ф0(х), р4о4 |ж=0= Р0(£).

Здесь р/,рЯ,«/,«я,р/,ря - соответственно, плотности, скорости и давления жидкой и твердой фаз; ф - пористость, ре - эффективное давление, Р(о4 - общее давление, р^ - общая плотность; д - плотность массовых сил, &(Ф) - коэффициент

фильтрации, £(ф) - коэффициент объемной вязкости (заданные функции). Задача записана в эйлеровых координатах (х, £). Истинные плотности фаз принимаются постоянными. Искомыми являются величины ф,,р/,ря. При исследовании задачи (1)-(4) удобно использовать переменные Лагранжа [9, стр. 47]. В новых безразмерных переменных система примет вид

^ + (1 - Ф)2 & = о,

Ж ( 1-ф) + дж (Ф(«/ - «я))=0,

Ф

(1 - = -Рíoíg,

(1 - Ф) "даЯ = а1 (Ф)Ре.

Далее рассмотрим следующие зависимости: &(Ф) = Ф, а1(Ф) = Ф. Таким образом, система (6)-(9) приводится к одному уравнению для функции Ф:

£ (1-ф ) = дх (Ф((1 - Ф) дх (ж Ч ))-

-д(Р^ + Р/))).

(1) Л-

Следует отметить, что близкие уравнения рассматривались во многих работах, например в [25, с. 158]. Особенностью (10) является необходимость доказательства физического принципа максимума для пористости Ф € (0,1). В дальнейшем также вместо Ф удобно ввести функции в =

„0 = Ф° 1-ф , „ 1-0° ' к следующей задаче для г, в:

--г д

Полагая г = д , приходим

„I

4=0

в0(х),

^ - дх («(„) дж - км^н0,

(адж - ь) 1ж

0,ж=1=

где ф) = Я ,а(в) =

(1+я)2

, Ь(х,£, в) =

1+д(Т+Я(Р/ - Ря) + (Ря + Р/)). Локальная классическая разрешимость задачи (11) легко устанавливается с помощью теоремы Банаха и следует алгоритму из [26]. Принцип максимума для Ф при малых значениях £ € [0, ¿0] следует из представления /пв(х,£) = /пв0(ж) + / г(ж,£)йт. Итак, при

0

Ф0 € С2+а(Пт), 0 < т0 < Ф0 < т0 < 1, на промежутке [0, ¿0] существует и единственно решение задачи (1)-(5) в(х, ¿) € С2+а,1+ а (д4°), г(х, ¿) € С2+а(П) причем, 0 < Ф(х, £) < 1. Получим глобальные априорные оценки решения (в, г), не зависящие от величины ¿0. После этого локальное решение можно продолжить на весь отрезок [0, Т].

г

0

в

О разрешимости «в целом» начально-краевой задачи для системы уравнений.

Глобальная разрешимость. Решением задачи (1)—(5) называется совокупность функций ф,«,,^ € С2+а'1+а/2(дт€ С1+а'1+а/2(дт), таких, что 0 < ф < 1. Эти функции удовлетворяют уравнениям (1)—(4) и начальным и граничным условиям (5) как непрерывные в <3т функции.

Теорема. Пусть данные задачи (1)—(5) подчиняются следующим условиям: функция д, начальная функция ф0, граничная функция р0 удовлетворяют следующим условиям гладкости:

д € С 1+«-1+а/2((3т),

ф0 € С2+а(П),/(£) € С1+а[0,Т], а также функция ф0 удовлетворяет неравенству 0 < т0 < ф0 (х) < М0 < 1, х € П,

где т-0, М0 - известные положительные константы. Тогда для всех £ € [0, Т], Т < то существует единственное решение задачи (1)-(5), причем существуют числа 0 < т-1 < М1 < 1 такие, что т1 < ф(х,£) < М1, (х,£) € .

Поскольку на промежутке [0, ¿0] существует решение задачи (1)-(5), причем 0 < ф(х, ¿) < 1, х € П, £ € [0, ¿0]. После получения необходимых априорных оценок, не зависящих от величины ¿0, локальное решение можно продолжить на весь отрезок [0, Т]. Из (10), (11) имеем

ds d

1 d2(lns) dt dx V 1 + s V1 + s dxdt

s 1 d2

- ^

s|t=0 = s0, ( —(

1 + s 1 + s dxdt

-ЖФ(*)))|

x=0,1 =

где д(5) = д( р8 + ^Р/).

Справедливо следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть в(х,£) - решение задачи (12)-

(13). Тогда существует такая точка а(£) € [0,1], 1

что в(а(*),^х = 5 . I Л^х.

0

Доказательство полностью следует [9]. Лемма 2. Пусть в(х,£) - решение задачи (12)-(13). Тогда 0 < А < в < В < то, где А = В = -, м0 е^, С - постоянная, зави-

-VC

1-шо ' 1-Мо

сящая только от данных задачи и независящая от ¿0.

Доказательство. Пусть функция ^(в) такая,

что

а-ф

ds2

(s + 1)2- Умножив уравнение (12) на

ds и проинтегрировав по х от 0 до 1, получим интегральное равенство

1

1

dt У (ФЫ + 2(lns)X)dx = j з(1 + s)(lns)xdx.

Откуда имеем оценку 1

d Г, ,, , 1

d с 1

dt У (^(s) + -(lns)X)dx <

0

< 2 П ((lns)x)2dx + У (g(1 + s))2dx I . \0 0 / Из определения ^(s) следует, что s2

ф = у + (2s - 1)lns + s(ci - 2) + С2. Выбирая ci = 3, С2 = 3/2, получим, что

ф

(s + 1)2 + (2s - 1)lns + 1 > (1 + s)2

2

2

0

поскольку (2s - 1)lns + 1 > 0 для любого s > 0. Учитывая свойства ф, получим

i 1

dt У (ФМ + (lns)X)dx < ^(ф(s) + (lns)X)dx,

00

где С - постоянная, зависящая от данных задачи

и не зависящая от ¿0- Из неравенства Гронуолла i

получаем У (lns)Xdx < C. Поскольку |lns - lnS| =

0

x 1

| y ^dx| < | y -ydx| < C, то e-C < S < eC, и,

a(t) 0

следовательно, 0 < < Ф < j+~b < 1. Лемма 2 доказана. Поскольку уравнение (12) ввиду леммы 2 становится равномерно эллиптическим для всех t G [0, T], то, используя теорию эллиптических уравнений [27], получаем, что z G С2+а(П). Гладкость функции z по переменной t определяется гладкостью функции g(x,t). Теорема доказана.

Замечание. Решение задачи (1)-(5) в рассматриваемом случае можно получить в более широком классе. А именно: sx, st, (lns)xxt G L2(Qt). Для доказательства используется известная процедура [25, с. 48]: начальную функцию s0 приблизим функцией s° такой, что s° ^ s0 при е ^ 0 в W21(0,1). Возникают последовательности (se,ze), удовлетворяющие задаче (11). Для решений этих задач справедливы леммы 1, 2 и следующие оценки:

I (slx+slt+zï+z2EX+z2EXX+z2EXt)dx < c(1+/ |sX|2) 00

равномерно по е. Из этой оценки следует, что se ^ s, ze ^ z, z£x ^ zx сильно в L2, а z£xx ^ zxx слабо в L2. Предельные функциии будут удовлетворять системе (11) почти всюду.

Заключение. В работе доказана глобальная разрешимость начально-краевой задачи одномерного движения магмы в пороупругой среде.

Библиографический список

1. Connolly J.A.D., Podladchikov Y.Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodin. Acta. - 1998. - Vol. 11.

2. Fowler A. Mathematical Geoscience//Interdisciplinary Applied Mathematics. — 2011. — 36.

3. Terzaghi K. Die Berechnung der DurchlaЁssigkeitsziffer des Tones aus dem Verlauf der hydrodynamischen Spannungserscheinungen, Sitzungsber. Akad. Wis. Wien, Math. Nat. Klasse, Abt. Ila. — 1923. — Vol. 132.

4. Biot M. A. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys. — 1941. — Vol. 12.

5. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве // Изв. Акад. наук СССР. — 1944. — Т. VIII, №. 4.

6. Николаевский В.Н. О распространении продольных волн в насыщенных жидкостью упругих пористых средах // Инженерный журнал. —

1963. — Т. III, вып. 2.

7. Золотарев П.П. Распространение звуковых волн в насыщенной газом пористой среде с жестким скелетом // Инженерный журнал. —

1964. — Т. IV.

8. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // ПММ. — 1956. — Т. XX.

9. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. — Новосибирск, 1983.

10. Алексеев Г.В., Хуснутдинова Н.В. О разрешимости первой краевой задачи и задачи ко-ши для уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости // Докл. АН СССР. — 1972 — Т. 202, № 2.

11. Доманский А.В. О некоторых краевых задачах фильтрации несмешивающихся жидкостей // Математические модели фильтрации и их приложения : c6. науч. тр. / СО РАН. Ин-т гидродинамики. — 1999.

12. Кружков С.Н., Сукорянский С.М. Краевые задачи для систем уравнений типа двухфазной фильтрации; постановка задач, вопросы разрешимости, обоснование приближенных методов // Матем. сб. — 1977. — T. 104(146), № 1(9).

13. Бочаров О.Б. О фильтрации двух несме-шивающихся жидкостей в сжимаемом пласте // Динамика сплошной среды / СО АН СССР, Ин-т гидродинамики. — 1981. — Вып. 50.

14. Vedernikov V.V., Nikolaevskii V.N. Mechanics equations for porous medium saturated

by a two-phase liquid // Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Mekhanika Zhidkosti i Gaza. — 1978. — № 5.

15. Бочаров О.Б., Рудяк В.Я., Серяков А.В. Простейшие модели деформирования пороупру-гой среды, насыщенной флюидами // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 2014. — № 2.

16. Rudyak V.Ya., Bocharov O.B., Seryakov A.V. Hierarchical sequence of models and deformation peculiarities of porous media saturated with fluids // Proceedings of the XLI Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (APM-2013). July 1-6; St-Petersburg. 2013.

17. Simpson M., Spiegelman M., Weinstein M.I. Degenerate dispersive equations arising in the stady of magma dynamics // Nonlinearity. — 2007. — Vol. 20.

18. Abourabia A.M., Hassan K.M., Morad A.M. Analytical solutions of the magma equations for rocks in a grnular matrix // Chaos Solutions Fract. — 2009. — Vol. 42.

19. Geng Y., Zhang L. Bifurcations of traveling wave solutions for the magma equation // Applied Mathematics and computation. — 2010. — Vol. 217.

20. Tokareva M.A. Localization of solutions of the equations of filtration in poroelastic medium // Журнал Сибирского федерального ун-та. Серия: Математика и физика. — 2015. — Т. 8, № 4.

21. Токарева М.А. Двумерная задача фильтрации в тонком пороупругом слое // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2013. — № 1-1 (77).

22. Папин А.А., Сибин А.Н. Автомодельное решение задачи поршневого вытеснения жидкостей в пороупругой среде // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2016. — № 1 (89). D0I:10.14258/izvasu(2016)1-27

23. Morency C., Huismans R.S., Beaumont C., Fullsack P. A numerical model for coupled fluid flow and matrix deformation with applications to disequilibrium compaction and delta stability // Journal of Geophysical Research. — 2007. — Vol. 112.

24. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media. — New York Elsevier, 1972.

25. Ларькин Н.А., Новиков В.А., Янен-ко Н.Н. Нелинейные уравнения переменного типа. — Новосибирск, 1983.

26. Ахмерова И.Г., Папин А.А., Токарева М.А. Математические модели механики неоднородных сред. Часть 1. — Барнаул, 2012.

27. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М., 1973.