Исследование вынужденных механических колебаний методом скоростной фотосъёмки

список литературы

1. Коловский М.З., Петров Г.Н., Слоущ А.В. Об

управлении движением замкнутых рычажных механизмов с несколькими степенями свободы // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2000. №4.

2. Евграфов А.Н., Петров Г.Н. Компьютерное моделирование механических систем // Труды СПбГПУ. 2007. № 504.

3. Евграфов А.Н., Петров Г.Н. Компьютерная анимация кинематических схем в программах EXCEL и MATHCAD // Теория механизмов и машин.

Периодический научно-методический журнал. Изд. СПбГПУ. 2008. № 1.

4. Евграфов А.Н., Петров Г.Н. Геометрический и кинетостатический анализ плоских рычажных механизмов второго класса // Теория механизмов и машин. Периодический научно-методический журнал. Изд. СПбГПУ. 2003. № 2.

5. Петров Г.Н. Определение реакций в шарнирах плоских многоподвижных механизмов с учетом сил трения // Периодический научно-методический журнал. Изд. СПбГПУ. 2003. № 1.

УДК. 534.014.2;004.93

М.С. Скляренко, М.А. Марценюк, В.Г. Сивков

исследование вынужденных механических колебаний методом скоростной фотосъёмки

Появление современной компьютерной техники, такой, как скоростная фотосъёмка, и новых возможностей цифровой обработки фотографий позволяют получать высокоточные количественные данные о координатах и скоростях движения механических систем. До этого подобные эксперименты требовали так много времени и сил, что осуществлялись только в исключительных случаях. Сейчас мы значительно приблизились к тому, чтобы такие исследования стали доступны даже для студенческой лаборато -рии, что качественно изменит сам характер обучения, делая его приближенным к реальности.

В предыдущих наших работах [1-3] компьютерные методы были использованы для изучения свободных колебаний физического маятника в поле тяжести при наличии трения. Количественно была исследована область линейного приближения в описании колебаний, а также начало области проявления нелинейных эффектов, возрастающих с ростом амплитуды колебаний. Получены данные, описывающие поведение конкретного маятника, для обработки данных использовались определённые теоретические модели.

Цель настоящей статьи - экспериментальное исследование вынужденных механических колебаний, основанное на анализе данных скоростной цифровой фотосъёмки колебательного процесса. Описаны особенности установки для исследования вынужденных механических колебаний, приведены методика идентификации параметров данной колебательной системы, а также результаты экспериментов, их обработки и интерпретации. Как и для случая свободных колебаний, большое значение имеет именно получение характеристик, описывающих данную механическую систему: резонансной кривой, фазовых траекторий, идентификация основных параметров маятника и метода возбуждения. В заключительной части статьи приводятся данные об исследовании колебаний со многими степенями свободы (с двумя) и на основе экспериментальных данных проводится выделение отдельных колебательных мод.

Экспериментальная установка

Схема установки для исследования вынужденных колебаний в системе с одной степенью свободы показана на рис. 1,д. В качестве осцил-

лятора использовался физический маятник в виде металлического стержня 1 с грузом 8, закреплённый на оси 3. Для реализации вынужденных колебаний маятник 1 соединен с маятником 2 посредством двух одинаковых пружин 4 и скобы 5. Маятник 2 приводится в движение эксцентриком 6, закреплённым на валу двигателя с регулируемой частотой вращения. Для уменьшения амплитуды колебаний маятника 1 на его конце закреплён демпфер в виде пластмассового шара 7 с радиусом 1,5 см. Демпфер погружается в кювету с водой (на рисунке она не показана). На рис. 1 ,б приведена схема установки для исследования колебаний двух связанных маятников, использовавшаяся для анализа вынужденных колебаний в системах со многими степенями свободы.

Идентификация движений колебательной системы

Колебательный процесс снимался скоростной фотокамерой Basler WatchGuard A504kc. В качестве реперных точек использовались центры меток в виде плоских дисков с матовой поверхностью, закрепленных на грузе 8 и на месте крепления пружины 4 к скобе 5. Первая метка служит для идентификации движения исследуемого маятника 1, вторая - для идентификации движения маятника 2 (см. рис. 1). Методика идентификации координат реперных точек по данным фотосъёмки подробно рассмотрена в [2].

Теоретическая модель. В случае малых амплитуд колебания маятника описываются уравнением

d2 х „ (dx \ 2 .

—— + о | — | + ю0 х = -2 — (х - Xf).

dt2

dt

Здесь х — горизонтальное отклонение маятника 1 от вертикального положения; х^ — горизонтальное отклонение маятника 2 от вертикального положения; 8| — | — слагаемое,

^ Л )

отвечающее за диссипацию энергии; ю0 — частота свободных колебаний маятника 1 при отсутствии связи с маятником 2 (пружины 4 отцеплены) и отсутствии диссипации; т — масса маятника 1; k — жесткость каждой из пружин 4. Уравнение (1) можно переписать:

d2 х dt2

+ »(§ } + „2 х = f (t) ,

2 2 k где ю = ю0 + 2--частота свободных колеба-

m

ний маятника 1 при наличии связи с маятником 2 в случае жесткого закрепления последнего в вертикальном положении (xf = 0), вынуждающая сила f (t) имеет вид

f

mm

где Af — амплитуда (определяемая длиной хода эксцентрика); ф f — начальная фаза колебаний

Рис. 1. Схемы экспериментальных установок

маятника 2; p — частота вращения вала эксцентрика (частота вынуждающей силы).

Диссипация энергии, связанная с трением на оси и трением о воздух, пренебрежимо мала в сравнении с потерей энергии, вызванной движением демпфера 7 (см. рис. 1) в кювете с водой.

Таким образом, вид зависимости 81 — | будет

l dt)

определяться исключительно гидродинамикой движения демпфера в воде.

Экспериментальные результаты. Для выяснения зависимости трения от скорости были исследованы свободные демпфированные колебания маятника 1 при жестком закреплении маятника 2 (см. рис. 1,а). Зависимость координаты от времени была аппроксимирована кривой x (t) = xm cos (rat) e, являющейся решением уравнения (2) при отсутствии вынуждающей силы и линейной зависимости трения от скорости 8 ^d^) = 80 d^ (рис. 2,а).

Из рис. 2,б видно, что колебания нельзя описывать моделью с линейным трением. Характер движения шара в вязкой жидкости определяется

числом Рейнольдса [4] R = —, где и — скорость

V

движения; r — радиус шара; v — кинематическая вязкость жидкости.

Оценка числа Рейнольдса для исследуемого 5,4 см/с • 1,5 см

движения дает R =

= 810 (в каче-

0,01 см2/с

стве скорости и взята половина максимального значения скорости, кинематическая вязкость воды составляет 0,01 см2/с ). При таких числах Рейнольдса движение жидкости вокруг шара становится турбулентным. При этом энергия затрачивается на образование вихрей, и сила трения пропорциональна квадрату скорости (турбулентное сопротивление) [5]. Таким образом,

8| dx l = QI dr dt) l dt

sign

где Q — коэффициент пропорциональности. Применимость модели с квадратичным трением (с турбулентным сопротивлением) подтверждается результатом аппроксимации данных эксперимента решением нелинейного дифференциального уравнения

d2 x nf dx + Q l ~dt

sign

dx | 2 — | + ra2 x = 0 dt

при ю = 7,27 рад/с , Q = 0,065 (см. рис 3).

Для получения кривой поглощения (зависимость энергии установившихся вынужденных колебаний от частоты) и фазовой характери-

а)

Х, см

б)

dx

— ,см/с dt

12 -2 -ll г,с

2

2

Рис. 2. Свободные демпфированные колебания: а — зависимость координаты от времени;

б — фазовая траектория Сплошная линия — эксперимент, пунктирная линия — результат аппроксимации линейным трением

а) л^см

Рис. 3. Свободные демпфированные колебания: а — зависимость координаты от времени;

б — фазовая траектория

стики системы (зависимость сдвига фаз между колебанием осциллятора и колебанием вынужденной силы) проводится серия экспериментов при различных частотах вращения вала эксцентрика 6 (см. рис. 1).

Частота изменений вынуждающей силы p определяется путем аппроксимации зависимости координаты центра метки, установленной в месте крепления пружины 4 к скобе 5

ятника 1 от времени аппроксимируется кривой

x(t) = Ax • cos(pt + фх), где Ax,фх — амплитуда и начальная фаза колебаний маятника 1 (колебания мало отличаются от гармонических ввиду малости амплитуд вследствие сильного демпфирования). Из (3) следует, что сдвиг фаз ф между колебаниями осциллятора и вынуждающей силы равен фх - ф f. Отношение энергии вынужденных колебаний к энергии вынужденных колеба-

E E„

A

ний в случае резонанса равно ^ 2

^рез max (Ax )2

где max (Ax )2 — резонансное значение амплитуды (рис. 4).

б)

ф, П

9 10

Р, рад/с

2

Рис. 4. Кривая поглощения

На рис. 5 представлены графики переходного процесса (неустановившихся вынужденных колебаний) при частоте вынуждающей силы, равной резонансной. Рис. 5, а наглядно иллюстрирует процесс нарастания амплитуды колебаний с последующим выходом на резонансное значение (выход на предельный цикл).

В ходе экспериментов было выявлено, что поведение исследуемой системы (см. рис. 1, а) при отсутствии возбуждения описывается уравнением

d2 x _( dx V . (dx \ 2

—^ + QI — I sign I — I + ю2x = 0 ,

dt2 П dt J ё \ dt J '

ю = 7,27 рад/c , Q = 0,065 .

По экспериментальным данным были построены графики кривой поглощения и фазовой характеристики. Резонансная частота составила p = 7,55 рад/ c , при этом сдвиг фаз между колебаниями осциллятора и колебаниями вынуждающей силы составил ф = - 0,48п .

Исследование колебаний в системе с двумя степенями свободы

Модернизированный вариант установки (см. рис. 1, б) может применяться для исследования вынужденных колебаний в системе с двумя степенями свободы. Для этого на оси 9 закрепляется

маятник 10, соединенный с маятником 1 посредством пружины 11 (в случае закрепления дополнительного маятника на оси 3 невозможно будет идентифицировать метки на грузах 8 вследствие их перекрытия на кадре во время колебаний).

Свободные колебания системы двух связанных маятников. Поведение данной системы (см. рис. 1, б) в случае малых колебаний и при отсутствии связи с маятником, отвечающим за реализацию возбуждения (пружины 4 отцеплены), описывается уравнениями:

d 2 x ( dx —-1 + S1 1

dt2 d x 2

dt2

+ 5

dt dx2

dt

+ ю

0 ' x1 = (x1 x2) m

2k2

+ ю0 • x2 =--(x1 - x2) ,

m

где к2 — жесткость пружины 11; х1, х2 — координаты маятников.

При произвольных начальных условиях колебания маятников не будут гармоническими. В данной системе существует лишь два случая, когда колебания гармонические — нормальные моды (рис. 6). Одна из мод соответствует колебаниям при нерастянутой пружине связи (в начальный момент маятники отклонены на один и тот же угол), мода 2 — соответствует колебаниям, возникающим в системе при начальном отклонении маятников на противоположные значения углов.

а)

б)

dx

-, см/с

dt зот

If, см

Рис. 5. Графики переходного процесса: а — фазовая траектория; б — график зависимости координаты маятника 1 от координаты маятника 2

см

Мода 1 Мода 2

Рис. 6. Нормальные моды колебаний

Для определения частот, соответствующих нормальным модам (нормальные частоты), можно использовать два метода. Первый основан на принудительном возбуждении нормальных мод путем задания соответствующих начальных условий и последующем определении частоты колебаний маятников.

Второй метод основан на анализе Фурье-спектра произвольного свободного колебания. Как известно, свободные колебания каждого из связанных маятников можно представить в виде

суперпозиции двух гармонических колебаний с частотами, равными нормальным частотам. Таким образом, на Фурье-спектре колебаний должно наблюдаться два максимума, соответствующих нормальным частотам.

Нормальные частоты, определенные первым способом, составили ю1 = 5,11 рад/с , ю2 = 6,48 рад/с . На рис. 7 представлены свободные колебания в системе при отсутствии демпфирования (шары 7 не погружены в кювету с водой) и их Фурье-спектры.

а)

*,см

б)

X,см

см

10

Р, рад/с

Рис. 7. Свободные колебания: а — зависимость координат от времени; б — Фурье-спектр Сплошная линия — маятник 1, пунктирная — маятник 2

Максимумы в Фурье-спектре наблюдаются на нормальных частотах ю1 = 5 рад/с , а2 = 6,5 рад/с .

Таким образом, видно, что оба метода определения нормальных частот дают одинаковый результат (погрешность меньше 1%). Однако на практике предпочтительнее использовать второй метод, т. к. первый требует точного задания начальных условий. Кроме того, во втором методе по отношению амплитуд максимумов на рис. 7, б могут быть определены линейные комбинации у1, у2 исходных х1, х2 координат, отвечающие за нормальные колебательные моды. Таким образом, задача сведется к анализу вынужденных колебаний двух независимых осцилляторов. Для исследуемой системы это преобразование имеет вид: у1 = х1 + 1, 029х2 , у2 = 1,06х1 - х2.

Вынужденные колебания связанных маятников. Наличие связи между маятником 1 и маятником, отвечающим за реализацию возбуждения (см. рис. 1, б), приведет к изменению нормальных мод. Данные моды можно определить предложенным выше способом при жестком закреплении маятника, связанного с эксцентриком. Установившиеся вынужденные колебания каждого маятника будут по часто-

те совпадать с частотой вынуждающей силы. По аналогии с вынужденными колебаниями одного маятника были получены кривые поглощения для каждого из осцилляторов, при этом наблюдаемые частоты максимумов поглощения соответствуют нормальным частотам колебаний.

Разработанная методика прецизионного анализа механических движений по данным скоростной цифровой фотосъёмки позволяет не только получить количественные и качественные характеристики самого движения, включая зависимости координат и скоростей от времени, но и идентифицировать параметры модели, используемой для описания движения. В дальнейшем мы предполагаем использовать её для анализа локомоторных движений искусственных и естественных объектов. Исследования вынужденных механических колебаний, представленные в данной статье, найдут применение в учебном физическом практикуме для постановки исследовательских магистерских работ по современной экспериментальной физике, а также для моделирования колебаний со многими степенями свободы в молекулярных и других системах.

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Скляренко М.С., Сивков В.Г., Марценюк М.А.

Идентификация параметров механических колебаний по данным скоростной фотосъёмки // Компьютерное моделирование-2007. Тр. Междунар. науч.-техн. конф. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та. 2007. С. 66,67.

2. Скляренко М.С., Марценюк М.А. Экспериментальное исследование механических колебаний методом скоростной фотосъёмки // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2007. Т. 1, № 7. С. 167-174.

3. Скляренко М.С. Методы компьютерного видения в физическом эксперименте // Вестник Перм. ун-та. 2007. Вып. 10 (15). Информационные системы и технологии. С. 85—93.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие для вузов. В 10 т. Т.6. Гидродинамика. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2006.

5. Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем: Пер. с нем. М.: Мир. 1982.