Дискретные модели в исследовании волновых процессов стержневых конструкций РЭС

Для того, чтобы показать, как наличие микронапряжений в материале влияет на размеры кристаллитов, был произведен расчет значений размеров кристаллитов по оригинальной формуле Де-бая-Шеррера а также по приведенной мето-

дике (расчет проводился по выражению (15), т.к. использовалось приближение рефлексов функцией Коши, Dc). Рассчитанные двумя способами значения размеров кристаллитов и относительной погрешности между этими двумя методами, а также значения микронапряжений в образцах сведены в таблицу 1:

Выводы

Предложена оригинальная методика расчета размеров кристаллитов в наноматериалах, которая также позволяет рассчитывать значение микронапряжений в кристаллической решетке. В рамках данной методики используется аппроксимация формы интенсивных пиков на дифрактограммах функциями

Гаусса или Коши. Она позволяет рассчитать параметры наноматериалов, находящихся в сильнодефор-мированном состоянии, что отличает ее от способа расчета с применением классического уравнения Дебая-Шеррера.

Рассчитанные значения размеров Таблица 1

кристаллитов и микронапряжений в образцах

Параметры Время высокоэнергетического размола, ч

0 1 3 5

Dc, нм 90 77 58 45

Dd-s, нм 132 108 86 66

П*100, % 0,15 0,19 0,24 0,31

(Pa_, ~DC)/Dd_, -100 , % 32 29 32 32

Показано, что относительная погрешность расчетов по предложенному способу и классическому составляет в среднем 32%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пронин И.А., Донкова Б.В., Димитров Д.Ц., Аверин И.А., Пенчева Ж.А., Мошников В.А. Взаимосвязь фотокаталитических и фотолюминесцентных свойств оксида цинка, легированного медью и марганцем // Физика и техника полупроводников. 2014. Т. 48. № 7. С. 868-874

2. Крастева Л.К., Димитров Д.Ц., Папазова К.И., Николаев Н.К., Мошников В.А., Карпова С.С. Синтез и характеризация наноструктурированных слоев оксида цинка для сенсорики. // Физика и техника полупроводников. 2013. Т. 47. № 4. С. 564-569.

3. Mills A.r Hunte S.L. An overview of semiconductor photocatalysis. // Journal of Photochemistry and Photobiology A: Chemistry. 1997. V. 108. № 1. P. 1-35.

4. Графутин В.И., Ельникова Л.В., Илюхина О.В., Прокопьев Е.П., Тимошенков С.П., Фунтиков Ю.В., Чаплыгин Ю.А. Определение размеров нанообъектов в пористых системах, дефектных материалах и нано-материалах на основе кремния и в облученных металлах и сплавах по методу позитронной аннигиляционной спектроскопии // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2016. № 1. С. 18-35.

5. Аверин И.А., Игошина С.Е., Пронин И.А., Карманов А.А. Моделирование образования золь-гель нанокомпозитных пленок // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2 013. Т. 2. С. 133-136.

6. Chunping X.r Sudipta D.r Balu A.r Ojeda M., Luque R. Mechanochemical synthesis of advanced nanomaterials for catalytic applications. // Chemical Communications. 2015. № 51. P. 6698-6713.

7. Цыбуля С.В., Яценко Д.А. Рентгеноструктурный анализ ультрадисперсных систем: формула Дебая. // Журнал структурной химии. 2012. Т. 53. Приложение. С. 155-171.

8. McCusker Lynne B.r Baerlocher C. Solving the Structures of Polycrystalline Materials: from the Debye-Scherrer Camera to SwissFEL. // CHIMIA International Journal for Chemistry. 2014. V.68. № 1. P. 19-25.

9. Кревчик П.В., Кревчик В.Д., Семенов М.Б. Эффекты диссипативного туннелирования: теория и сравнение с экспериментом // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2016. № 2 (38). С. 147-180.

УДК 368.3.068

Таньков Г.В., Кочегаров И.И. , Трусов В.А., Жихарев К.В., Данилова Е.А.

ФГБОУ ВО «Пензенский государственный университет», Пенза, Россия

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ В ИССЛЕДОВАНИИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ РЭС

В статье показана актуальность применения дискретных моделей стержневых конструкций РЭС для исследования их поведения при нестационарном нагружении. Предложена дискретная модель процесса распространения гармонических волн в стержне и исследования образовавшихся стоячих волн. Проведены вычислительные эксперименты с использованием предложенной модели. Полученные результаты показывают, что модель качественно правильно отражает динамику физических процессов в упругом стержне при прохождении по нему волн упругих деформаций Ключевые слова:

дискретная модель, волна смещений, упругий стержень, стоячая волна, резонанс

Введение. В работе [1] отмечена необходимость исследования динамики стержневых конструкций РЭС, устанавливаемых на подвижных носителях. Рассмотрены вопросы применения методов математического моделирования для исследования физических процессов, протекающих в стержневых элементах под действием одного кратковременного ударного импульса. При этом потери энергии в теле стержня не учитывались и считалось, что импульс сохраняет неизменной свою форму и амплитуду за всё время движения вдоль стержня [2].

В данной статье рассмотрен случай, когда на одном конце стержня (или на обоих) задаётся не отдельный импульс, а периодическое движение, которое будет распространяться вдоль стержня с некоторой конечной скоростью. Поэтому все другие точки стержня постепенно начнут совершать периодическое движение с той же частотой и вследствие потерь энергии амплитуды колебаний отдельных точек стержня будут постепенно убывать по мере удаления от точки, которая приводится в колебательное движение. Такие колебательные дви-

жения, распространяющиеся вдоль стержня, постепенно затухая, относятся к классу волновых движений или волн [2].

В статье [1] разработана дискретная модель для исследования процесса распространения одиночного импульса смещения в упругом стержне при торцевом ударе. Потери энергии при этом не учитывались. В [2] для исследования распространения волн в стержне используется модель «бесконечно длинного» стержня, не обладающего затуханием. Реальные стержневые элементы конструкций РЭС имеют конечную длину и при распространении упругих волн в стержне необходимо учесть все факторы, характеризующие динамику волновых процессов. Необходима соответствующая модель, адекватная этим процессам.

Разработка дискретной модели распространения упругой волны смещений в стержне

Рассмотрим уравнение движения стержня при вынужденных колебаниях. Положим, что левый конец длины l закреплён, а правый свободен и совершает гармонические колебания по закону u = ^ 51ПШ1 в направлении длины стержня (рис.1). Эти колебания

(как и отдельный продольный импульс) будут передаваться по стержню от слоя к слою: по

Рисунок 1 - Геометрическая модель стержня

стержню побежит продольная упругая волна. Каждая точка стержня, находящаяся на расстоянии х1 от начала будет совершать такое же гармоническое движение, как и начальная точка, однако в этом движении она будет отставать на время, потребное для распространения волны на расстояние х1 . Это время равно х1 / V, где V - скорость распространения волны вдоль стержня [2]. Такое гармоническое движение отдельных точек (сечений) стержня, распространяющееся вдоль стержня с некоторой определённой скоростью, называется гармонической бегущей волной.

Продольные колебания, возникающие в стержне, описываются волновым уравнением [3] а2и а2и Е Тй = РЦГ'

где и(хг1) - смещение текущего сечения стержня вдоль оси х ; Е - модуль Юнга; р - плотность материала.

Поскольку при распространении бегущей волны энергия колебаний постепенно рассеивается вследствие внутреннего трения [2], учтём в (1) потери энергии в виде диссипативной силы, пропорциональной скорости деформации, и в правую часть добавим внешнюю силу ¥(х,Ь), возбуждающую колебания в торцевом сечении стержня (рис. 1). Тогда уравнение вынужденных продольных колебаний стержня запишется в виде:

Е

а2и а (г а2и\ а2и

ахи + ^{Еаа*)-"а* = р

где 1] - коэффициент вязкости материала.

В соответствии с методом конечных разностей построим геометрическую дискретную модель стержня, состоящую из N узлов, соединённых упругими связями (рис. 2) .

Рисунок 2 - Дискретная модель стержня

Заменим первую производную по времени в левой части (2) её разностным аналогом и положим в (2) г/1 а2и

- Ь(и)= ТХй

вить в виде:

Тогда уравнение (2) можно предста-

ЕЬ

где т - шаг дискретизации по времени, а сила Е(х,1) учитывается в начальных условиях.

Раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены в (3), получим:

м

аI2'

т2а= их(Х + т) — 2их(1) + их(г — т).

Преобразуем (5) уравнения

т2а + 2их(г) — их(г — т) = их(г + т),

к виду явного разностного

которое, будучи дополнено граничными и начальными условиями, образует явную разностную схему, в сочетании с геометрической моделью дающую расчётную модель стержня, достаточно просто реализуемую на ЭВМ.

Степень достоверности информации, полученной на дискретных моделях, должна быть подтверждена материалами исследований моделей после их разработки и построения алгоритмов [4].

В статье приводятся результаты исследований модели стержневой конструкции, проведённые с помощью вычислительных экспериментов. Полученные по разработанной модели численные решения для ряда задач сравнивались с известными аналитическими решениями этих задач - так оценивалась степень точности модели.

Проведение вычислительных экспериментов

В вычислительных экспериментах исследовался процесс прохождения по стержню гармонической бегущей волны смещений и определялось распределение амплитуд смещений по длине на разных частотах нормальных колебаний и при разных условиях закрепления концов стержня (консольное закрепление, стержень с закреплёнными концами).

Исследовался процесс образования стоячих волн в стержне (связь этого обстоятельства с явлением резонанса описана в [2]), описаны условия, при которых амплитуда стоячей волны в пучности при заданной амплитуде смещений концов стержня будет максимальной.

Задача 1. Рассмотрен случай, когда концы стержня находятся в разных условиях: левый конец стержня длины 1 = 1500 мм жёстко закреплён, правый свободен и правый конец стержня совершает гармоническое движение по закону и = ио Бтшг в направлении длины стержня (рис. 3).

Рисунок 3 - Схема эксперимента

Задача рассмотрена в [2], где показано, что в этом случае возможны только такие распределения амплитуд смещений, когда на свободном конце образуется пучность, на закреплённом - узел. Это условие выполняется только в случае, когда на длине стержня укладывается нечётное число четвертей волны, то есть длины волн, соответствующие разным гармоникам, удовлетворяют соотношению Лк = 41/к, где к = 1,3,5, ... (2п-1) (п - любое целое число).

При моделировании в программе вычисляются 1,3 и 5 собственные частоты продольных колебаний консольно закреплённого стержня по аналитической формуле [3]

(2п-1)к ГЕ~

Ш: =

где 1=п

Учитывая, что вторая производная от перемещения по времени есть ускорение а узла, запишем а2и

(4) в виде а = —г- и, заменив вторую производную аг2

по времени разностным аналогом, получим:

21 Лр '

Далее последовательно колебания на каждой частоте задаются на свободном конце стержня. Решение продолжается до образования стоячей волны в стержне. По результатам решения строятся графики форм продольных колебаний консольного стержня (рис.4) для одного момента времени.

Из графиков рисунка 4 видно, что на каждой частоте колебаний внешнего воздействия в стержне устанавливается стоячая волна смещений и амплитуда смещений на свободном конце равна амплитуде внешнего воздействия, а в закреплённом конце устанавливается узел смещений. В целом распределение амплитуд смещений по длине стержня и взаимное расположение узлов и пучностей соответствует первой (рис. 4,а), третьей (рис. 4,б) и пятой (рис. 4,в) гармонике, что полностью соответствует картине аналитического решения, приведённой в [2].

Задача2. Характер нормальных колебаний стержня зависит также от условий на его краях [2]. В задаче 1 рассмотрен случай, когда условия на концах стержня разные.

а2 и

а) б) в)

Рисунок 4 - Формы продольных колебаний стержня

стержню будет распространяться гармоническая волна с такой же скоростью, как и в стержне со свободными концами [2]. Распределение амплитуд смещений вдоль стержня будет определяться выра-

жением ят-

где п

1,2,3,.

Это выражение

Рисунок 5 - Схема крепления стержня

Здесь рассмотрим случай, когда оба конца стержня находятся в одинаковых условиях - оба закреплены неподвижно (рис. 5).

На правый конец стержня через закрепление действует сила, сообщающая ему гармоническое движение с заданной амплитудой, частотой и фазой.

Здесь взят стержень длиной l =1500 мм. Вторая собственная частота продольных колебаний (по формуле [3]) равна /2 = 3459 Гц (выбрана для примера). Правый край стержня через закрепление

позволяет установить, какой гармонике какая функция распределения соответствует [2].

Для такого закрепления на длине стержня укла-

длина волны,

дывается г-^ длин волн, где Яп

2

соответствующая данному значению г. В [2] показано, что г = к, где к - волновое число, и при г = к = 2 (вторая собственная частота) - длина волны Я2 = 1 и угловая частота ш2 = 2лу/1, то есть соответствует второй гармонике. Это означает, что на длине стержня укладывается к полуволн к - ой гармоники.

На модели получено решение и построен график распределения амплитуд смещений, который соответствует второй гармонике (рис. 6) колебаний -по длине стержня укладываются две полуволны.

приводится

движение

частотой -

Э 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Координата

Рисунок 6 - Форма колебаний стержня с закреплёнными концами

На левом закреплённом конце получился узел смещений, на правом конце, где задаётся возмущение - узел образовавшейся волны смещён внутрь (в сторону левого края) всего лишь на 0,0625 шага сетки, то есть близко к правому концу стержня и когда при колебаниях он попадает в правый крайний узел модели, получается форма второй гармоники (рис. 6). А так как в этом случае на обоих концах модели получаются узлы смещений, то амплитуда в пучности волны получается максимально большой - 10 мкм против 0,3 мкм амплитуды внешнего возмущения (рис. 6).

Результаты модельного исследования полностью подтверждаются аналитическим решением этой задачи, приведённым в [2].

Задача 3. Исследовалось образование стоячих волн в стержне при продольных колебаниях. Использовалась модель стержня с жестко закреплёнными краями (рис.5). В левый и правый крайние узлы модели задавались синусоидальные колебания, либо в фазе, либо в противофазе с одинаковой амплитудой.

При таком воздействии по стержню будут распространяться навстречу друг другу две гармонические бегущие волны и колебания каждого сечения стержня (или узла модели) можно рассматривать

как результат сложения двух бегущих волн. По условиям крепления каждая бегущая волна образует на противоположном конце узел формы (см. рис.6), поэтому сложение обеих волн даёт стоячую волну. Амплитуды стоячих волн в пучностях достигают максимума, когда условия на концах стержня одинаковы и частоты нормальных колебаний стержня и частота действующей на стержень внешней силы совпадают [2]. По аналитической формуле [3] определены первые четыре собственные частоты колебаний закреплённого по концам стержня длиной 1 = 1500 мм: ^ = 1729 Гц, f2 = 3459 Гц, fз = 5188 Гц, f4 = 6198 Гц.

Последовательно колебания с этими частотами задавались на оба конца стержня в фазе и проти-вофазе. На рисунке 7 приведена картина установления стоячей волны для всех случаев внешнего воздействия.

Как видно из рисунка 7 стоячая волна с большой амплитудой в пучности образуется в нечётных гармониках при одинаковых условиях на конце стержня: колебания в фазе - рисунок 7,а,в. При колебаниях концов в противофазе (разные условия на концах) нечётные гармоники отсутствуют, а амплитуда образовавшихся волн не превышает амплитуды внешнего воздействия (рис.7,а,в).

в

по

б) г)

Рисунок 7 - Распределение амплитуд смещений при образовании стоячей волны в стержне

Чётные гармоники (£2, f^) образуют стоячую волну значительной амплитуды, когда концы стержня колеблются в противофазе (рис. 7,б,г), а если в фазе, то амплитуда образовавшихся колебаний не превышает амплитуды внешнего воздействия (рис. 7,б,г).

Результаты моделирования соответствуют результатам аналитических исследований в [2] и показывают, при каких условиях можно получить в стержне сильные вынужденные колебания, частота и распределение амплитуд которых будут близки к частоте и распределению амплитуд одного из нор-

мальных колебаний стержня. Эти нормальные колебания тождественны со стоячими волнами, которые могут возникать в сплошной системе [2].

Возникновение в стержне под действием гармонической внешней силы стоячих волн значительной амплитуды представляет собой явление резонанса [2], анализ исследования которого в стержневых конструкциях РЭС является насущной задачей.

Вывод. Проведенные исследования предложенной модели стержневой конструкции показали, что модель качественно правильно отражает динамику физических процессов, происходящих в упругом стержне при вынужденных колебаниях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Затылкин А.В. Дискретная модель процесса распространения импульса смещения в упругом стержне постоянного сечения при торцевом ударе / А.В. Затылкин, Г.В. Таньков, Д.В. Ольхов // Вестник Пензенского государственного университета. - Научный журнал. - Пенза: Изд-во ПГУ, 2013. - № 4. С. 79-85.

2. Хайкин С.Э. Физические основы механики / С.Э. Хайкин. - М.: Физматгиз, 1962. - 770 с.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. - М.: Наука, 1968.- 559 с.

4. Абрайтис Л.Б. Автоматизация проектирования ЭВМ / Л.Б. Абрайтис, Р.И. Шейнаускас, В.А. Жиле-вичюс; под ред. Л.Б. Абрайтиса. - М.: Сов.радио, 1978. - 272 с.

5. Кочегаров, И.И. Алгоритм прямого перебора с применением теории графов для прогнозирования отказов сложных РЭС / И.И. Кочегаров, В.В. Стюхин // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2012. Т. 2. С. 130-131.

6. Меркульев, А.Ю. Программные комплексы и системы проектирования печатных плат / А.Ю. Меркульев, Ю.А. Сивагина, И.И. Кочегаров, В.Я. Баннов, Н.К. Юрков // Современные информационные технологии. 2014. № 19. С. 119-128.

7. Кочегаров, И.И. Развитие систем изучения микроконтроллеров и ПЛИС / И.И. Кочегаров, В.А. Трусов // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2008. Т. 2. С. 166-167.

8. Grishko, A.K. Dynamic analysis and optimization of parameter control of radio systems in conditions of interference / Grishko A.K., Goryachev N.V., Kochegarov I.I., Yurkov N.K. // 2016 International Siberian Conference on Control and Communications, SIBCON 2016 - Proceedings 2016. С. 7491674.

9. Кочегаров, И.И. Системы удалённого рабочего стола при работе с конструкторскими САПР / И.И. Кочегаров, В.А. Трусов //Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2009. Т. 2. С. 406407.