Критерий устойчивости в теории наведенной неоднородности

УДК 539.3: 539.4

Н.Ф. Синева

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ТЕОРИИ НАВЕДЕННОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ

Обосновывается целесообразность применения концепции равноактивной бифуркации для исследования устойчивости процессов упругопластического деформирования на новый класс процессов - связанных необратимых процессов упругопластического деформирования и деградации материала, приводящей к наведению неоднородности физико-механических свойств в процессе деформирования вследствие агрессивных воздействий.

Критерии устойчивости процессов, воздействие агрессивных сред на материал, бифуркации решений краевых задач, неоднородные сплошные среды, упругопластическое деформирование

N.F. Sineva STABILITY CRITERION IN THE THEORY OF INDUCED HETEROGENEITY

The validity of the concept referring equally active bifurcation is determined for the study of stability in elastoplastic deformation processes. This new class of processes

is related to irreversible processes of elastoplastic deformation and degradation of materials leading to heterogeneity of physical and mechanical properties during the deformation process resulting from aggressive actions.

Criteria for stability of processes, impact of aggressive media on the material, bifurcation of solutions of boundary value problems, heterogeneous medium, elastoplastic deformation

Задача исследования нелинейных процессов деформирования сложных сред и конструкций из них - актуальная задача механики деформируемого твердого тела. Влияние природных и технологических сред на процесс деформирования нагруженной конструкции приводит к различным изменениям в материале конструкции. Под наведенной неоднородностью понимаются изменения в материале, состоящие в появлении и развитии неоднородных свойств в процессе деформирования, которые ухудшают основные характеристики. Это часто приводит к преждевременной потере конструкциями проектных рабочих свойств, а иногда и к катастрофическим последствиям. Для возможности прогноза периода безопасной эксплуатации конструктивных элементов необходимо уточнять математические модели, применяемые для их проектирования и расчета. В данном направлении существуют различные подходы, в числе которых моделирование уравнений состояния сложной сплошной среды с учетом деградации ее физико-механических свойств. Теория наведенной неоднородности [1] была предложена для исследований в этой области. В последующих работах эта теория развивается в направлении как ее применения к новым объектам, так и теоретического обоснования ее положений. Эта статья является вкладом в обоснование выбора концепции исследования устойчивости, которая применяется в исследованиях. Следует отметить, что возможны и другие подходы, которые, например, применяются в задачах с реологией [6], и возможно, они тоже будут разрабатываться в теории наведенной неоднородности. Обсуждаемая здесь концепция привлекательна с точки зрения достаточной простоты в проведении оценок и тем, что основывается на исторически проверенных формах критериев бифуркационной устойчивости при пластичности.

По словам Ляпунова, в устойчивости нет универсальных определений и критериев, нет ничего абсолютного, всё зависит от цели исследования и природы ожидаемой неустойчивости в системе. Основная задача - выделение области изменения параметров, при которых процесс можно считать устойчивым в том или ином смысле относительно происходящих возмущений. Именно механика как феноменологическая наука должна формулировать критерии и классифицировать типы потери устойчивости процессов в природе. С точки зрения математики теория устойчивости - часть математической физики, изучающая вопрос о том, как решения определяющих процесс систем дифференциальных уравнений ведут себя при изменении: начальных данных, параметров, материальных функций, структуры самих определяющих процесс систем.

В [7] Д.В. Георгиевским приводится некоторая классификация типов потери устойчивости процессов в механике:

- устойчивость относительно малых и конечных возмущений параметров основного движения (скоростей, напряжений, температур и т.п.), внешних данных (массовых и поверхностных сил, заданных скоростей и перемещений на границах и т. п.) и геометрии области (вариации границ, поверхностей раздела);

- устойчивость относительно возмущений материальных функций (функций материала) и правомерность различных предельных переходов по физическим параметрам;

- устойчивость самого материала по отношению к изменению его внутренней структуры и немеханическим взаимодействиям;

- устойчивость численного процесса моделирования механической задачи и возможная физическая интерпретация потери устойчивости численного процесса.

Необходимо понимать относительную условность подобной классификации. Неустойчивость, вызванная одной группой причин, зачастую приводит к более глобальной неустойчивости, объясняемой другими причинами, и т.д. Но факт качественного изменения протекающего процесса в тот или иной момент, который и интерпретируется в широком смысле как потеря его устойчивости, - наблюдаемое явление. Задача заключается в построении математической модели самого процесса и его возмущений.

Устойчивость деформирования с позиции энергетических методов сводится к вариационной проблеме экстремума некоторого функционала, который в потенциальных системах является потенциальной энергией. Наличие диссипации в таких средах приводит к тому, что потенциальной функ-22

ции, строго говоря, не существует. Её заменяет функционал переменных состояния, зависящий от внешних параметров (например, функции нагрузки от времени для вязкоупругих систем).

Это бывает более эффективным, когда точное решение краевой задачи затруднено из-за её сложности, а также при привлечении термодинамики и анализа связанных процессов. В задачах устойчивости упругих стержней, пластин и оболочек энергетические методы были развиты Дж.Х. Брайаном, С. П. Тимошенко, В. Ритцем и др. При этом прогибы конструкции описываются бесконечными рядами с неизвестными амплитудами при каждой моде. Эти амплитуды определяются из принципа виртуальных работ (метод Рэлея-Ритца). Здесь же метод Бубнова (проекционный), состоящий в том, что краевая задача заменяется условием ортогональности уравнения, в которое подставлено выбранное представление искомой функции по базисной системе, к каждой базисной функции. Критерий бифуркационной потери устойчивости в упругости представлен в двух основных формах - форме Брайана и форме Тимошенко. Для описания закритического поведения упругих элементов конструкций решают задачи в нелинейной постановке.

Основы теории устойчивости упругопластических систем были заложены Т. Карманом, затем развиты А.А. Ильюшиным. В этой теории докритическая стадия деформирования описывается простым процессом нагружения. При бесконечно малом продолжении процесса за точку бифуркации нагружение становится «квазипростым». Исходя из этого, для описания докритического этапа применяется теория малых упругопластических деформаций, а затем для анализа процесса выпучивания -деформационная теория. Таким образом, момент перехода процесса из докритического в закритиче-ский режим учитывается посредством «переключения» определяющих соотношений, что соответствует излому траектории деформации. Теория устойчивости Ильюшина согласуется с экспериментами значительно лучше, чем другие аналогичные подходы, построенные на основе теории течения с изотропным упрочнением или теории пластичности для траектории средней кривизны (несмотря на то, что эти две теории охватывают более широкий класс траекторий деформаций).

В.Г. Зубчаниновым построена модифицированная теория бифуркаций и устойчивости упругопластических процессов, в основу которой положен подход Т. Кармана, А.А. Ильюшина. В основе лежит общий принцип: процесс нагружения становится неустойчивым, если сколь угодно малое его продолжение вызывает быстрый рост перемещений и деформаций. Выпучивание интерпретируется как возмущённый процесс. Критическое состояние имеет место в предельной точке (точке бифуркации Пуанкаре). Достижение предельной точки принимается за критерий неустойчивости, а соответствующая нагрузка считается критической.

При формулировании общего условия единственности решения краевых задач о равновесии упругопластического тела в скоростях Р. Хилл сопоставил полученное им условие единственности с условием устойчивости. При этом условие устойчивости он сформулировал как условие устойчивости состояния равновесия. Исследование Хилла показало, что эти условия не эквивалентны. Однако критерия устойчивости процесса при продолжающемся нагружении Р. Хилл не сформулировал.

В.Д. Клюшниковым [4, 5] построена другая теория неупругой устойчивости. Неустойчивость процесса неупругого деформирования сложной среды связывается с наличием особых точек процесса: бифуркационных и псевдобифуркационных различного порядка. Осуществлен подход, ставящий задачу единственности в приращениях. При постановке бифуркационных задач неединственности скоростей для приращений при единственности самих приращений приходим к краевой задаче на собственные значения, где в качестве собственных функций служат вариации скоростей приращений перемещений. Обозначая бифуркацию состояния В0, бифуркацию приращений В1, бифуркацию скоростей приращений В2, можно показать, что на условной кривой равновесных состояний точка ВО лежит выше всех остальных, ниже точка В1 и т.д. Бифуркации высших порядков (выше первого) в случае дифференциально-линейных физических соотношений, по положению на кривой равновесных состояний совпадают с В1, как и следует ожидать. В отличие от концепции В.Г. Зубчанинова и А.А. Ильюшина формализм В.Д. Клюшникова построен на концепции равноактивной бифуркации. При этом активность возмущенного (побочного) процесса (его догрузка или разгрузка) такая же, как у основного процесса. Естественно, что задача поиска новых зон нагрузки и разгрузки представляет собой сложную задачу.

Исследования показали, что при дифференциально-линейной пластичности среди других равноактивная бифуркация становится возможной на наиболее ранней стадии исследуемого процесса. Смена траектории деформирования происходит потому, что новая траектория энергетически «выгоднее» - требует меньших затрат энергии. Отсюда - выгоднее траектория с наименьшим объемом упругих зон (пластическая догрузка происходит при меньших уровнях энергии). Так как в равноактивном случае новых зон при бифуркации вообще не возникает, то этот случай - самый предпочтительный.

Подтверждением того, что равноактивная бифуркация - наиранняя в истории процесса, является факт, обнаруженный независимо друг от друга Ф. Шенли и Ю.Н. Работновым: прямой стержень может изгибаться еще до достижения приведенно-модульной нагрузки (А.А. Ильюшина и В.Г. Зубча-нинова), причем при возрастании внешней нагрузки (продолжающееся нагружение) с плавным нарастанием зон разгрузки. Характерной и ценной особенностью концепции равноактивной бифуркации для дифференциально-линейной модели является совпадение тензоров констант материала для основного и побочного процессов (без излома траектории). Именно это и порождает в концепции равноактивной бифуркации формализм упругого эквивалента.

При рассмотрении вопросов деформирования нагруженных конструктивных элементов, взаимодействующих с внешней средой, нарушающей внутренние связи в материале, всегда имеем дело с некоторым реологическим процессом, состоящим в медленном движении точек континуума деформируемого твердого тела. Для моделирования этого процесса построена теория наведенной неоднородности [1]. Инкрементальная теория наведенной неоднородности в качестве основополагающих гипотез унаследовала, в том числе, гипотезы деформационной теории пластичности в скоростях для каждого этапа изменения физико-механических параметров, в каждой точке ведущего параметра процесса. В отличие от классической деформационной теории она построена в скоростях и имеет в качестве уравнений состояния неоднородные соотношения в приращениях, содержащие не только приращения компонент тензоров напряжений и деформаций, но и полные тензоры, накопленные по шагам инкрементальной теории. Этим она отличается от теории пластического течения, где эти уравнения однородны. Так же как теория пластического течения, модель учитывает историю процесса. В данном случае, когда имеем связанный процесс взаимодействия агрессивной среды с материалом нагруженной конструкции и деформирование конструкции, памятью о прошедших моментах деформирования (историей деформирования и деградации материала) обладает система уравнений, определяющая связанный процесс взаимодействия и деформирования. При этом неустойчивость такого процесса обусловлена изменением природы внутренних связей системы и характеризуется неединственностью продолжения процесса для его внутренних, определяющих процесс параметров.

Это позволяет положить в основу исследований устойчивости данных процессов квазистати-ческий подход. Потеря устойчивости исходного процесса деформирования может служить в качестве оценки работоспособности конструкции в условиях внешних агрессивных воздействий, изменяющих физико-механические свойства материала в процессе деформирования.

Из гипотез теории наведенной неоднородности следует возможность применить концепцию равноактивной бифуркации. Таким образом, для текущего состояния 8П инкрементальной теории наведенной неоднородности можно не учитывать дополнительные зоны пассивного деформирования, сопровождающие бифуркацию. Распределение зон активного и пассивного деформирования на момент бифуркации такое же, как и в текущем состоянии вп. В [2, 3] данный подход был реализован на модельных задачах.

Использование концепции устойчивости равноактивной бифуркации первого порядка в теории наведенной неоднородности влечет построение упругого эквивалента конструкции с наведенной неоднородностью материала.

Покажем, что матрица констант упругого эквивалента следует из матрицы констант уравнений состояния материала с наведенной неоднородностью на шаге 8п для фиксированного момента времени (как параметра процесса), при этом в соотношениях следует положить Ек = Ек, Ес = Ес на шаге процесса (символ * соответствует возмущенному состоянию, Ек, Ес переменные касательный и секущий модули).

В общем случае инкрементальные уравнения состояния теории наведенной неоднородности имеют вид

Л о ч = Ф ^ А е и + ф ч.

Для теории наведенной неоднородности с гипотезой несжимаемости материала (что непринципиально), эти соотношения можно представить и в виде

А в, = А ем + ф„

Здесь Лоу,АБу - приращения тензора и девиатора напряжений, Леу- приращения тензора деформаций, или Ф^ - матрица констант материала с наведенной неоднородностью. Неоднородность в этих уравнениях порождается связанным процессом упругопластического деформирования и деградации материала, изменяющей параметры диаграммы деформирования, содержит накопленные полные деформации. Получим формализм концепции равноактивной бифуркации первого порядка,

распространив его на новый класс задач. Построим матрицу констант упругого эквивалента в теории наведенной неоднородности.

Соотношения для упругого эквивалента бифуркации Вк любого порядка к^0 получаются к-кратным варьированием [4]:

(к) ~ (к) (3) А кв,= 20,™ Акетп,

в = 20с

где Ос - секущий модуль диаграммы чистого сдвига, Ак - разности приращений порядка к.

Для определения бифуркации первого порядка необходимо иметь соотношения для скоростей, которые записываются с помощью дифференцирования (4) по времени (обозначено точкой):

.

ё Г

Далее

2-^Г ей+ 0 с е,].

ёО • 1 Г 4Г -11=%

ёГ Г ^ ёГ Г) Т 2 1

т = в,],

Г = 2еу е! = &] е! = е!]

Г Ос Г Т ’

где 0к - касательный модуль сдвига на диаграмме чистого сдвига, и в результате из (5) получим

в] = 20с

ел1 - О" I ~2Т^' е™

Условия бифуркации первого порядка:

Аову = Аоеч= 0; А] О, А] 0.

Соотношения для упругого эквивалента (матрица его констант) бифуркации первого порядка

получаются варьированием соотношений (7).

В силу дифференциальной линейности формальный акт варьирования отвечает составлению уравнения связи для параметров:

А &] = в]-в/ А еу= еу-е,]0;

где (в,, о у) - побочное, а (в, , о, ) - основное продолжение процесса в предположении их равноак-

тивности. Тогда

Оут, = 0(

& -

хЛш ХУ1П

О

1 -±ик.

Ос

2Т2

Покажем, что на шаге инкрементальной теории вп компоненты, определяющие тензор ¥ являются жесткостями упругого эквивалента.

При решении задачи в приращениях требуется определть на шаге вп приращения внутренних параметров А в ,] , А е ,] по заданным параметрам внешнего процесса. Бифуркация отвечает неединственности

решения для приращений, например существует два решения (индексы 1 и 2): А в у1, А е] и

2 2

А в у , А е у . Тогда для приращений А 1в , , А 1е , представляющих собой их разность, справедливо

А ^ = А ву1 -А в/, А 1е1] = А е] - А е,2.

Вычитая, получим

А 1ву = ¥ !]к1 А 1е!],

Тогда из сравнения соотношения (3) при к = 1 и (12) следует

2

2 О !]к1 т !]к1 ’

что и требовалось показать.

Сделаем несколько замечаний о связи этого формализма с известными критериями в пластичности, так как при отсутствии внешнего процесса теория наведенной неоднородности предельно переходит в деформационную теорию в приращениях.

Вводя обозначения

'Г'2 _ 1 _2

т _3№.

2 3

а _ ^щ,

г _ Ес а _ з.

для случая обобщенного плоского напряженного состояния (О33 = 0, £33 #0) матрица констант упругого эквивалента будет определяться соотношением [3]:

или

"1]И

Е1]к1

Е_

3 (5™ 5]П+5ц5шп )-

Щ“ШП

с /

а

2

3

О;

Если положить Ес = Е , то получится упругий эквивалент в теории изотропного упрочнения. В

деформационной теории его впервые предложил Э.Стоуэлл как приближенное выражение для критической нагрузки бифуркации состояния. В теории изотропного упрочнения эти выражения использовали Хандельман и Прагер, Пирсон, Л.М. Качанов, А.С. Вольмир. В.Д. Клюшников получил это выражение из применения критерия равноактивной бифуркации для деформационной теории пластичности.

Для случая плоского напряженного состояния с учетом сжимаемости матрица констант упругого эквивалента в теории наведенной неоднородности записывается на основе более сложных соотношений [7]

Ес

л. 11

1 2 1 -Цс

. Ес

1 -Ц

Цо +

1+

*

Ек- Ес Ес Б

Ек Ес

1#к, 1#, к#1,1],кД=1,2

Ес

1]кк

1 +Цс

Ес

11И 1 +Цс

Ес Б

Ек- Ес Узе,

*

Ес Б

Ек - Ес Узек1

*

Ес Б

(2Ц1

екк +Ц2е11

Ес

1]к1 1 + Цс

я я + Ек ЕсУзе1]Цзец

О1к О ]1 + _ _ * (2Ц1екк + Ц2е11 /

Ес

Б

1# 1,] =1,2 1#к, 1#], к#1, к#1 1,к,1= 1,2 1#], к#,1],кД=1,2

Б' _ 2 (1-ц2 ^Ге? - БУо^-^;

Ео

Уравнения в приращениях, в основе которых лежат эволюционные соотношения для материала с наведенной неоднородностью, своей «однородной» частью, при «замороженном» времени представляют уравнения устойчивости с позиций концепции равноактивной бифуркации.

Входящие в тензоры констант уравнений состояния теории наведенной неоднородности параметры Ес и Ек в отличие от деформационной теории пластичности в приращениях являются секущим и касательным модулями «объективной» диаграммы деформирования, а значит они зависят не только от напряженно-деформированного состояния материала в точке объема, но и от функций деградации, то есть меняются во времени через деградационные функции, для которых решается начальная задача Коши (кинетические уравнения). При переходе из состояния Бп инкрементальной теории в состояние Бп+1 при фиксированной величине внешних нагрузок этот переход обусловлен процессом деградации материала, то есть изменение Ес и Ек определяется кинетикой деградации. При этом компоненты тензора констант упругого эквивалента в каждый фиксированный момент отражают степень деградации материала.

Таким образом, нелинейные уравнения теории наведенной неоднородности позволяют решать задачи бифуркационной устойчивости сжатых и сжато-изогнутых тонкостенных элементов, а также других склонных к потере устойчивости конструктивных систем на основе критерия равноактивной бифуркации, именно этому критерию соответствуют получаемые уравнения в вариациях. Определяемое при этом критическое время взаимодействия материала и внешнего воздействия при заданной

истории процесса соответствует наираннему моменту времени, при котором процесс деформирования конструкции во времени становится неустойчивым.

Среди известных подходов и концепций устойчивости изложенный бифуркационный подход с четким формализмом представляется предпочтительным для данного класса исследований. Задачи данного класса характерны многократной нелинейностью основных соотношений: нелинейность и необратимость деформирования материала, геометрическая нелинейность кострукций, устойчивость которых исследуется, нелинейность кинетических уравнений, связность процесса деформирования и деградации материала. В данных задачах, как правило, важно исследовать, гарантировать период безопасной эксплуатации, определить время до точки бифуркации процесса, которое зависит от многих факторов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петров В.В. Теория наведенной неоднородности и ее приложения к проблеме устойчивости пластин и оболочек / В.В. Петров, В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева. Саратов: СГТУ, 1996. 312 с.

2. Иноземцев В.К. Бифуркационный критерий устойчивости сооружений на деформируемом грунтовом основании / В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева // Известия вузов. Строительство. 2002. № 8. С. 16-22.

3. Иноземцев В.К. Устойчивость стержня Шенли в условиях наведенной неоднородности свойств материала во времени / В.К. Иноземцев, Н.Ф. Синева // Известия вузов. Строительство. 2002. № 10. С. 34-41.

4. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем / В.Д Клюшников. М.: Изд-во МГУ, 1986. 224 с.

5. Клюшников В.Д. Устойчивость упругопластических систем / В.Д. Клюшников. М.: Наука, 1980. 240 с.

6. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования по наборам мер относительно заданных классов возмущений / Д.В. Георгиевский // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 2. С. 69-92.

7. Георгиевский Д.В. Устойчивость процессов деформирования вязкопластических тел / Д.В. Георгиевский. М.: «УРСС», 1998. 176 с.

Синева Нина Федоровна -

доктор технических наук, профессор кафедры «Инженерные изыскания и информационные технологии в строительстве»

Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А

Статья поступила в редакцию 25.10.11, принята к опубликованию 01.12.11

Nina F. Sineva -

Dr. Sc., Professor

Department of Engineering Investigations

and Information Technologies in Civil Engineering

Gagarin Saratov State Technical University