Является ли «Множество действительных чисел» множеством?(введение в математику длительности)

УДК 512+517.11+510.1

ЯВЛЯЕТСЯ ЛИ «МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ» МНОЖЕСТВОМ?

© С.А. Bckiiiciiok

Vekshenov S.A. Is «the set of real numbers» a set? (An introduction into the mathematics of duration). The article considers a new, non-theoretically plural view of mathematics, the basic concept being «ordinal infinity» which cannot be r educed to G. Cantor’s «quantitative», plural infinity. The article also looks at a new construction of the real straight line that is based on the «diagonal» method of outcome. This allows us to take a look from a different angle at the gamut of classical issues and constructions and, specifically, at the continuum problem and the method of forcing. The author adduces a quantum mechanical interpretation of «ordinal» and “quantitative” infinity and discusses mathematical and philosophical issues of the mathematics of duration.

Е.-Е.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Осмыслить незнакомое умственное построение -все равно, что проникнуть в укрепленную цитадель. Для этого, с одной стороны, нужен сильный внешний мотив, с другой - хотя бы приблизительная номенклатура возможных приобретений.

Этот психологический момент нашел отражение в двойном названии данной работы. В ней речь идет, прежде всего, о построении новой самодостаточной теории, которая является полноценной альтернативной теоретико-множественной концепции, не только как математической теории, но и как математической цивилизации с явными экспансивными устремлениями. «Математика длительности» столь же условна, как и математика «теоретико-множественная» (как условна и всякая «математика»). Речь идет, разумеется, о новом спектре внутри самой математики, весьма серьезно, впрочем, меняющих ее Credo, методы и взаимоотношения с «внешними объектами». По отношению к теоретико-множественному миру, эти изменения имеют характер парадокса. Один из таких парадоксов и стал основным именем - названием данной работы. Желающий взять на себя труд по его разрешению получит представление и о самой математике длительности.

Как известно, действительная прямая понимается как множество чисел D, удовлетворяющих, например, следующей системе аксиом:

1. Множество D - упорядоченное поле.

2. На множестве D выполняется аксиома Архимеда: V x є D, 3 n eZ, такое, что n > x.

3. На множестве D выполняется аксиома непрерывности: для любой системы вложенных отрезков из D

ад

[ai, bi]  [ai+b bi+1]  bn — an ^ 0 n n la > bi ]*0.

i= 1

В этом определении, казалось бы, нет и намека на какой-либо внутренний дефект. Трудность же, связанная с определением мощности D, воспринимается, в

большей мере, как трудность аксиоматизации теории множеств, не имеющая прямого отношения к данному определению.

Мы хотим показать, что ситуация, в известной мере, обратная. Это означает, что соотнесение D с понятием «множества», как замкнутой в себе совокупности элементов, есть не более чем гипотеза, которая допускает разумную альтернативу. Разумеется, эту альтернативу невозможно реализовать без изменения точки зрения на бесконечность, множество и аксиоматизацию. Это же, в свою очередь, оправдано при накоплении определенной «критической массы» фактов, не укладывающихся в рамки названных концепций. Поскольку, по нашему мнению, такой момент наступил, уже не важно, какая именно конкретная задача спровоцирует начало «цепной реакции».

§ 1. ПРОЦЕСС И ЕГО ЗАВЕРШЕНИЕ

Принято считать, что множество является простейшим интуитивно ясным понятием. В отношении конечного множества это бесспорно. Что же касается множества бесконечного, то здесь интуиция очень часто допускает фатальные ошибки. Однако именно теория множеств является сегодня единственной удовлетворительной теорией бесконечного.

И все же связка «множества» и «бесконечности» есть факт исторический, чем необходимый.

В качестве первого шага ее разрыва проанализируем понятие бесконечности «в себе», вне связи с понятием множества.

Основным инструментом этого анализа будет классическая схема теоретико-множественного формализма: сформулировать характеристические свойства изучаемого объекта и рассмотреть новый, абстрактный объект, удовлетворяющий этим свойствам. Однако, в отличие от традиционного формализма, мы не будем a ’priori считать этот объект множеством.

Попытаемся сформулировать характеристическое свойство бесконечного.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Возьмем упругое столкновение двух шаров массой m и M. Если масса М будет много боль-

ше массы т, то шар с этой массой практически «не почувствует» столкновения. Если же предположить, что масса М бесконечна по отношению к т, то естественно считать, что шар массой М вообще «безразличен» к столкновению с шаром массы т.

Пример 2. «Является ли число IO10* - конеч-

ным?» Этот вопрос, поставленный ван Данцигом в одноименной статье, отражает сомнение нашей интуиции

в различимости «больших» чисел, скажем 1010* и

101С>1 +1, хотя аксиматизация арифметики не дает к этому никаких поводов [1].

Пример 3. К бесконечному множеству мощности V добавили один элемент. Полученное множество также имеет мощность V.

Подобных примеров можно привести множество.

Общий взгляд на эти и другие примеры говорит о том, что характерным свойством бесконечного является поглощение конечного. Это значит, что конечное полностью теряется в бесконечном, что конечное в бесконечном неразличимо. Заметим, что к такому пониманию бесконечного склонялся и Н. Кузанский, авторитетный средневековой богослов, чьи взгляды существенно повлияли на Г. Кантора в период создания теории множеств.

Это свойство неразличимости делает практически невозможным содержательное изучение отношения «бесконечное - конечное» на теоретико-множественном языке и требует иных подходов.

Интуиция подсказывает, что бесконечное можно мыслить как некоторый горизонт, за которым движущиеся объекты становятся неразличимыми (сходный образ приводит и П. Вопенка [2]). Эту картину можно уточнить следующим образом.

Пусть имеется процесс у и набор двуместных предикатов Ть Т2, ..., Тп, которые различают объекты, порожденные у.

Назовем Т-торможением процесса у его стабилизацию относительно предиката Tj с некоторого, в общем случае, неконечного шага. Т,-торможение определяет объект а, на котором стабилизируется у относительно предиката Т,. Можно сказать, что у сворачивается в а, относительно Т,.

Пример. Пусть lim xn = а . Согласно критерию

Коши, это означает, что V 8 > 0, 3 N V n : n > N, V m, m > N \xn - xm\ < 8. В качестве различающего предиката можно взять предикат T(x, y): V 8 (\ x - y\ < 8). В этом случае процесс (последовательность) {xn} сворачивается в а, относительно T(x, y).

Данный пример показывает, что понятие торможения есть обобщение понятия предельного перехода.

Если процесс у неограничен и все порожденные им объекты различны, то полученный Т-торможением у объект а можно считать бесконечным относительно предиката Т,.

Приведенная конструкция не может быть адекватно отражена в рамках теории множеств и построенных на ее основе формализмов. Это связано с тем, что понятие предельного перехода, основанное на интуиции времени, длительности, остается либо не формализованным, как в классическом анализе, либо весьма условно отражается в понятии ультрафильтра.

Однако если приглядеться к классическим, «наивным» формулировкам Г. Кантора, то можно увидеть, что они лишены того теоретико-множественного максимализма, который стал свойственен его последователям.

§ 2. НЕКОТОРЫЕ РЕКОНСТРУКЦИИ

Рассмотрим, как применить сформулированное понятие торможения к построению шкалы кардиналов, представленной в классическом труде Г. Кантора «Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehe». Leipzig, 1883.

Воспроизведем фрагмент этой работы по русскому переводу. «...Ряд положительных натуральных чисел 1, 2, ..., n имеет источником своего возникновения повторное введение и объединение единиц, положенных в основу и рассматриваемых как равные. Число n есть выражение, как определенного количества, так и соединения рассматриваемых единиц в одно целое. Таким образом, образование конечных целых чисел основывается на принципе присоединения единицы к некоторому имеющемуся, уже образованному числу... Назовем это первым принципом порождения.

С другой стороны, нет ничего нелепого в том, чтобы вообразить себе некоторое новое число, обозначим его ю, которое должно быть выражением того, что нам дана, согласно своему закону, в своей естественной последовательности вся совокупность 1, 2, 3, ..., n, ... (подобно тому, как n служит выражением того, что известное конечное число единиц соединено в одно целое). Можно даже вообразить число ю пределом (выделено мною. - С. В.), к которому стремятся числа n, если понимать под этим лишь то, что ю должно быть первым целым числом, которое следует за всеми числами n... . Это второй принцип порождения.

Допуская за введением числа ю следование дальнейших присоединений единицы, мы получим с помощью первого принципа порождения числа:

ю + 1, ю + 2, ..., ю + n, ...

Так как мы при этом снова не приходим к наибольшему числу, то воображаем себе новое число, которое можно обозначить 2ю.

Если снова применить к числу 2ю первый принцип порождения, то мы приходим к продолжению:

2ю + 1, 2ю + 2, ..., 2ю + n, ... и т. д.» [3].

Анализ этого фрагмента показывает, что Кантор изначально мыслил натуральное число, состоящее из конечного числа различимых частей. Это позволяет ему естественно перейти к числу ю, состоящему из бесконечного числа частей. Такая точка зрения вполне оправдана, но она не является единственно возможной. Дело в том, что число изначально мыслилось как нечто неделимое, а возможность его разбиения на части есть не более чем удобная гипотеза.

На такое понимание числа (со ссылкой на неоплатоников) указывал, в частности, А.Ф. Лосев.

«...Необходимо отграничить число от количества. В чем разница между тем и другим? Наиболее ясным является здесь то, что количество является вторичным качеством по сравнению с числом... Когда говорят о пяти копейках, то «пять» в данном случае является

количеством... Выражаясь точнее, количество предполагает переход числа в инобытие и применение числа для осязания (пересчета) этого количества. Число дано само по себе и является самостоятельным предметом мысли. Когда же речь идет о количестве, мы уже покинули число как таковое и перестаем созерцать его в его полной самостоятельности» [4].

Нашей ближайшей задачей является осмысление приведенной конструкции Кантора, опираясь на понятие торможения. Это позволит понять, в какой момент нам потребуется утверждение о представлении числа в виде частей и тем самым выяснить, где и как появляется понятие множества.

Как известно, натуральное число можно понимать в двух смыслах: порядковом и количественном. Встав на критическую позицию, необходимо «развести» их, например, с помощью предикатов TR (т, п) (т = R п, «количество т равно количеству п») и Т2 (т, п) (т =2 п, «порядок т равен порядку п»).

Обозначим через ю и О результаты соответственно Т^- и Т2-торможений последовательности 1, 2, ..., п ...

Если считать ю и О числами, то расширенная последовательность натуральных чисел выглядит следующим образом:

1, 2, 3, ..., ю, ю + 1, ю + 2, ..., 2ю ... Ю! ... ю2 ... О.

Все числа до ю различимы обоими предикатами ^ и Т2, после ю они различимы предикатом Т2, но не различимы предикатом Тк.

Число О представляет собой абсолютное завершение последовательности натуральных чисел, конечных и бесконечных, поскольку после О немыслим никакой шаг вообще.

Замечание. Очевидно, что предикаты ^ и Т2 несимметричны. Если ^-торможение сохраняет Тг-различимость, то, напротив, Т2-торможение исключает всякую различимость объектов процесса после О.

Это означает, в частности, что последовательность

0, 1, 2, ..., ю, ..., О является самой «длинной» последовательностью различимых чисел.

Построенное расширение натурального ряда страдает дефектом «нечислоподобия», поскольку после ю новые числа различимы только одним предикатом Т2, в то время как натуральные числа различимы двумя предикатами. Чтобы исправить этот дефект, необходимо ввести новый предикат ТМ, который в конечном случае совпал бы с предикатом Тк. Поскольку ^-торможение не влечет ТМ-торможения, то это дает возможность различить числа после ю в смысле ТМ. При этом необходимо согласовать предикаты ТМ и Т2, т. е. ближайшие в смысле предиката ТМ числа должны быть таковыми и в смысле предиката Т2 и обратно.

Все эти проблемы решает «атомистическая» аксиома:

«Каждое число, конечное или бесконечное, состоит из конечного или бесконечного числа частей». Отсюда уже естественно сделать шаг к понятию множества: «Множество - это единство, состоящее из конечного или бесконечного числа различимых элементов».

Введение понятия множества и предиката ТМ(х, у): «число элементов х равно числу элементов у» позволяет ввести единый предикат количественного различия чисел Ттм[. «п = тм т, если мощность п совпадает с мощностью т». Это дает необходимое, «числоподобное» расширение натурального ряда:

0 ^ 1 ^ ... п, ..., ю, ю+1, ..., ю+ю, ..., ю1 ... ю2 ... О.

----- К0------->---------^ ^ К2------> - -

Рис. 1.

Таким образом, мы видим, что понятие множества возникает при решении вполне конкретной задачи «числоподобного» расширения натурального ряда.

Если же следовать приведенной выше схемы Контора, т. е. изначально принять атомистическую гипотезу и связанное с ней понятие множества, то предикат Т2 необходимо сразу свести к ТМ. В этом случае теряется число О и бесконечность сводится только к «количественной бесконечности».

Это хорошо понимал Кантор, формулируя определение актуально бесконечного: «Под актуально-

бесконечным (а’фюубцєуає) следует понимать такое количество, которое, с одной стороны, не изменчиво, но определено и неизменно во всех своих частях, с другой, в то же время превосходит по своей величине всякую конечную величину того же вида» [5].

Более критическое применение атомистической гипотезы позволяет освободить бесконечность от предиката количественности (заметим, что для этого необходимо обернуть и саму связку: от «бесконечности количества» - ю перейти к «количественной бесконечности»). В этом случае вполне осмысленно говорить о «бесконечности порядка» - О.

В целом же наша попытка уточнить и дифференцировать бесконечное дает следующую картину:

1. +го = {ю, О}, если оставаться в рамках арифметики;

2. +<х> = {ю = к0, ю + 1 ... кь ю1 + 1, . О}, если

ввести понятие множества и его мощности. При этом число О остается вне рамок теории множеств.

Отметим, что определение бесконечности «по предикату» дает возможность ввести целый спектр бесконечностей, располагающихся «левее» О, однако в данной работе мы ограничимся только рассмотрением количественной и порядковой бесконечности.

§ 3. НОСИТЕЛИ БЕСКОНЕЧНОГО

Рассмотрим, как выглядит теоретико-множественный мир с точки зрения обрисованного выше подхода.

Прежде всего, необходимо дать иное толкование понятию множества. Эта задача, казалось бы, полностью противоречит сложившимся представлениям, не видящим за множеством ничего более простого и фундаментального. Тем не менее, вглядимся внимательнее в это понятие, отмечая сразу, что объектом нашего интереса в этом параграфе будут только упорядоченные множества.

Классическое определение множества, данное Г. Кантором в [3], давно уже свелось к афоризму: «Множество есть многое, мыслимое как единое».

Наша точка зрения, как мы уже не раз подчеркивали, основана на понятии процесса. Чтобы выделить из него множество в смысле Кантора, необходимо каким-либо образом «закрыть» этот процесс и обеспечить требуемое единство.

В понятии «закрытие процесса» зафиксирована существенная сторона рассматриваемого динамического

подхода: размежевания «порождения» и «различения». Как известно, теоретико-множественный взгляд основан на тождестве существования и различимости: существует только то, что различимо фиксированными предикатами.

Основной задачей данного параграфа является поиск условий, при которых видимую часть процесса, состоящую из порожденных им объектов («след процесса»), можно считать множеством.

Образование конечного множества из следа процесса у не представляет сложности - достаточно отсчитать необходимое число шагов у.

Бесконечное же множество М задается совокупностью предикатов Ті, ..., Тп, которые выделяютМиз всех других множеств.

Предположим, что объекты, порожденные у, различимы предикатами Т1, ..., Тп. Мы хотим образовать множество, определяемое этими предикатами. Для этого закроем процесс у по одному из предикатов Т, используя для этого Т,-торможение. Объект а,-, в который сворачивается у, определяет границу: до а,- объекты, порожденные у, различаются предикатами Т1, ..., Тп, после а,-предикатами Т1, ..., Т,-1, Т,+1, ..., Тп. Тем самым из процесса у выделяется М-совокупность элементов, различимых предикатами Т1, ..., Тп.

Можем ли мы считать М множеством? Ответ содержится в следующих теоремах.

Теорема 1. Для того чтобы из объектов процесса у можно было бы выделить множество, необходимо, чтобы они различались, по крайне мере, двумя предикатами Т2 и Т2.

Доказательство. Заметим сразу, что если объекты процесса у различаются только одним предикатом, то он совпадает с Т2.

Действительно, различимость объектов процесса предикатом Т2 есть необходимое условие его видимого проявления. Если же различающий предикат только один - необходимое условие становится достаточным.

Пусть Т1 ф Т2, тогда Т1-торможение позволяет выделить из процесса у некоторую совокупность объектов (до а1). Эту совокупность можно считать некоторым количеством. Однако такая совокупность еще не является множеством в смысле Кантора, если нет еще, по крайней мере, одного различающего предиката. Действительно, для каждого множества М определено множество - степень Б(М), которое имеет большее, по сравнению М, количество (большую мощность). Следовательно, у нас должна быть возможность построить множество Б(М). На языке процесса у это означает существование различных после а1 объектов. Поскольку объекты после а1 предикатом Т1 неразличимы, необходим еще один предикат Т2, который различает объекты, порожденные процессом, в частности, объекты после а1. Только в этом случае можно образовать совокупность Б(М) объектов у, различимых, правда, уже предикатом Т2, которая количественно больше совокупности М. Теорема доказана.

Следствие. Если совокупность объектов, порожденных процессом у, различима одним предикатом, то из нее нельзя образовать множества.

Рассмотрим случай, когда объекты, порожденные процессом у, различаются только двумя предикатами Т1 и Т2. Один из них, например Т2, должен совпадать с Т2. Определим второй предикат.

Во-первых, как мы убедились, все объекты у до И! образуют множество, поскольку различимы как Т1, так и Т2. Это означает, что для объектов у0 ... уп ... а! корректным является понятие элемента. Коль скоро так, то объекты, порожденные у до аь можно отождествлять с множествами: {у0}, {у0, у1}, ..., {у0 ... а^ и ввести различающий их предикат ТМ = Тя. Поскольку по условию никаких других предикатов, различающих объекты у, нет, то Т2 совпадает с Тя. Следовательно, мы пришли к следующей теореме.

Теорема 2. Если объекты, порожденные процессом у, различимы только двумя предикатами Т1 и Т2, то один из них совпадает с предикатом Тк, а другой - с предикатом Т2..

Приведенные рассуждения позволяют найти подход к определению множества. С данной точки зрения, «множество» - это заторможенный относительно Тк процесс. Торможение определяет некоторую границу А, до которой объекты процесса различимы Тя. После А процесс либо видимым образом обрывается, тогда А -конечно, либо продолжается за А, и объекты процесса различаются только предикатом Т2. В обоих случаях А фиксирует вполне определенное количество различимых объектов процесса, и объект, порожденный процессом, трансформируется в элемент множества.

В данном подходе существенным является то, что множество получается торможением только относительно предиката Тя, относительно же предиката Т2 оно видится только как один из шагов процесса. Это позволяет получить конечную характеристику бесконечного множества.

Изложенный взгляд на множество позволяет сформулировать следующий принципиальный тезис.

Множество есть материализованная основа, реализующая предикат Тя. Тем самым множество становится воплощением количественной бесконечности. Иными словами, множество есть носитель этой бесконечности.

Из вышесказанного можно сделать следующий вывод. Предикат Тя определяет число <в, которое, в свою очередь, определяет носитель - множество. Поскольку мы выяснили, что число О, которое выражает порядковую бесконечность количественную, корректно поставить вопрос о характере носителя этой, порядковой, бесконечности.

Такой носитель порождается процессом у, если его объекты различимы только предикатом Т2. В этом случае мы можем затормозить процесс и образовать некоторое единство. Однако это единство, как показывает теорема 2, уже не будет множеством, поскольку последнее получается путем торможения процесса относительно предиката Тк. Носитель порядковой бесконечности представляет собой упорядоченную совокупность объектов, простирающихся до мыслимого завершения процесса у. С точки зрения теории множеств, такой носитель представляет собой неограниченную последовательность расширяющихся множеств. Завершение этой последовательности выводит нас из мира множеств. Полученное образование естественно называть надмножеством.

Существование надмножества как равноправного с множеством носителя бесконечного позволяет обернуть постановку ряда проблем теории множеств. Вместо того, чтобы задавать вопрос, каковы свойства данного множества М, стоит спросить: является ли М множеством? Или иначе: какова бесконечность,

определяемая известными свойствами? Таким образом, вместо традиционной пары: свойство ^ множество мы переходим к триаде:

множество

свойство ^ бесконечность ^ носитель

надмножество

Основываясь на этой методологии, можно по-иному осветить ряд классических проблем теории множеств. В частности, из теоремы 2 следует, что он не является множеством, поскольку элементы континуума различимы только одним предикатом порядка,. Более конкретно о количестве элементов континуума С можно сказать следующее: для любого сколь угодно большого кардинала а С > а. Таким образом, континуум гипотеза в ее классической постановке оказывается некорректной.

Ниже мы представим прямую конструкцию действительной прямой, которая также является надмножеством. В этом ключе можно получить и другие результаты, однако это является задачей специального исследования.

Подчеркнем лишь один принципиальный момент.

Обозначим через Т число, полученное ТМ-торможением. Это значит, что Т ставит границу мира множеств, и, следовательно, границу объектов, которым можно присвоить некоторое количество. Однако после Т еще существуют, например, «элементы» континуума, которые различимы предикатом Т2, но не являются элементами какого-либо множества. Это значит, что между О и Т существует некоторый «люфт», состоящий из Т2-различимых объектов (рис. 2).

Несовпадение Т и ю означает, что порядковых чисел больше, чем чисел количественных. Или, в более философском плане, - что сосчитываемых объектов меньше, чем объектов нумеруемых. Это значит, что существуют объект, про который можно сказать, что он «п-ый» в некотором пересчете, но про который нельзя сказать, что он имеет п элементов (это все равно, что можно сказать «второй», но нельзя сказать «два»).

Такая количественно-порядковая несимметрия является источником многих нетривиальных утверждений. Некоторые из них мы рассмотрим ниже.

§ 4. ДИАГОНАЛЬНЫЙ МЕТОД С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ДЛИТЕЛЬНОСТИ

Мысль ортодоксальных последователей Г. Кантора

0 сведении математического универсума к миру множеств сродни желанию понизить температуру окружающей среды до абсолютного нуля. Именно в этих условиях прекращается всякое движение и можно корректно говорить о «множествах» и их «элементах».

Во всех иных случаях необходимо иметь дело с более или менее интенсивным движением, а следователь-

0, 1, 2, ... ю, К1 ... Кп .... Т .. О

1 количество I

I------------------Т = Тм) -------------1

порядок

Т)

Рис. 2.

но, с понятием времени, длительности. Теоретикомножественная картина - это лишь желаемое умственное построение, реальное содержание которой весьма проблематично. Теория Кантора, как тонко заметил П. Вопенка, просто перемещает идею движения, потенциальной бесконечности, на более высокий уровень неограниченной шкалы мощностей («потенциальная супербесконечность»). Поэтому неудивительно, что желание организовать мир множеств приводит к старым арифметическим идеям. Мысль о представлении теории множеств как «большой арифметики» приводит к коммулятивной иерархии {Ка}, построенной по ординальным числам а, где функция Б «перехода к следующему» распадается на две функции: «объединение предыдущих», «взятие множества - степени»:

0

Рис. 3.

Принципиальным отличием коммулятивной иерархии от классической ординальной шкалы 0, 1, 2, ..., <в, ..., ю1, ..., <в2, ..., а следовательно, теории множеств от арифметики, является возможность в ней «обратного хода», т. е. перехода с большего уровня на меньший. Именно благодаря такой возможности, предоставляемой диагональным методом, теория множеств является уникальной математической дисциплиной, а не просто «большой арифметикой».

Диагональный метод размывает теорию множеств. В иных случаях он создает непреодолимые трудности, в иных - дает надежду на спасение. Во всех случаях он всегда является намеком на иной, неканторовский мир. Еще в 1959 году О. Беккер заметил, что диагональный метод по своей сути диалектичен и не может корректно использоваться в качестве доказательства [6]. Однако вполне корректно изучить его возможности как метода построения, в данном случае, действительной прямой.

§ 5. КОНСТРУКЦИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ

Рассмотрим простейшую диагональную конструкцию.

Пусть Шп - перечислимое множество, а и = < п, Шп > -множество, универсальное по отношению ко всем Шп. Тогда Р = { < п, п > £ и } - неперечислимо.

Если отвлечься от теоретико-множественной оболочки, то эту конструкцию можно записать в виде следующей схемы:

1. Фиксируется неограниченная последовательность различных объектов {ап}. В приведенном примере множество перечислимых множеств можно мыслить как последовательность {Шп}.

2. Предположим, что существует объект и, ограничивающий сверху последовательность { ап}. В примере - это универсальное множество и.

3. Вообразим, что с некоторого конечного шага N мы совершим скачок к объекту U с целью распространить за него последовательности {а„}. На языке психологии это можно было бы назвать «осознанием цели движения», целеполаганием.

4. Поскольку U - объект, ограничивающий последовательность {an}, она отражается от него. В результате этого отражения получается новый объект р, отличный от объектов an. Именно в этом отражении и состоит смысл «диагонального метода».

Объект р в известном смысле можно понимать как предел последовательности {an}. Однако, поскольку место р по отношению к конкретным an не определено, будем называть р «блуждающим пределом» (Limit stohastic) и обозначать L s (an < U) = p.

я^ад

Изучим, как может быть использовано это понятие при построении действительной прямой.

Рассмотрим последовательность Sn целых неотрицательных чисел: 0, 1, 2, ..., n, ... . Как было показано, эта последовательность завершается числом Q.

С другой стороны, число ю является бесконечным по отношению к числам 0, 1, 2, ..., но видится «конечным» по отношению к Q. В этом случае блуждающий предел q0 можно представить как результат отражения последовательности Sn относительно числа ю, который не совпадает ни с одним из чисел 0, 1, 2, ..., n, ..., Ls (Sn < ю) = q0. Заметим, что если не считать ю ог-

я^ад

раничителем последовательности Sn, то следующим шагом за ю было бы просто число ю + 1:

0, 1, 2 ... ю, ю + 1, ю + 2 ...

0, 1, ... n, q0, n + 1, ... ю.

Следующим шагом можно рассмотреть последовательность Snq0: 0, 1, ..., n, q0, n + 1, ..., для которой ю также является ограничителем. Блуждающий предел последовательности Snq0 обозначим через qx :

Ls (Snq0 < ю) = q1. Далее можно получить блуждаю-

я^ад

щий предел последовательности Snq0q1: 0, 1, n, q0, n + 1, ... m, q1, m + 1, ... и т. д. В результате этих действий можно получить следующую последовательность вложений:

К с K с ... с Кпс Кю ... с Кп,

где К0 = N, Ка+1 = К„ и {q„}.

Заметим, что эта теоретико-множественная запись вложений Кі с Кі+1 не вполне точно передает характер описываемого процесса. В частности, на первом шаге появляется только начальный сегмент N, который достраивается до N уже на последующих шагах. Однако на первых порах, с необходимой мысленной поправкой, мы остановимся на этой привычной записи.

Полученная последовательность примечательна тем, что в ней не все члены являются множествами. Очевидно, что Кп содержит класс всех ординальных чисел и, следовательно, не может быть множеством. Интуитивно Кп можно мыслить как «предел множеств» и в силу этого его естественно считать «надмножеством».

Заметим сразу, что там, где не возникает противоречий и двусмысленности, мы будем применять к над-

множеству устоявшуюся терминологию и символику теории множеств.

Поскольку как множество, так и надмножество есть замкнутое в себе единство (понимаемое, правда, в разных смыслах), то корректно проверять на них выполнение сформулированных выше аксиом действительных чисел.

Это превращает процесс построения последовательности {Ка} в некоторое подобие циклической процедуры: «Добавлять к Ка блуждающий предел да+1, пока не будут выполняться все аксиомы 1-3».

Заметим сразу, что для выполнения аксиомы 1 нужно перейти от последовательности 0, 1, 2, ..., п, ..., к последовательности 0, 1, - 1, 2, - 2, ... - п , п ... и все дальнейшие рассуждения будут относиться именно к ней.

Естественно поставить вопрос: «На каком шаге завершится этот циклический процесс и завершится ли он вообще?»

Ответ дает следующая теорема.

Теорема 3. 1. В надмножестве КО выполняются все аксиомы действительной прямой.

2. Для любого кардинального числа а, Ка будет отличаться от КО на совокупность элементов меры нуль (предполагается, что понятие меры адекватно применимо к надмножествам). Отсюда следует, что процесс построения действительной прямой завершается на числе О т. е. D = Ка

Доказательство. Очевидно, что достаточным условием выполнения аксиом 1 и 2 является завершение процесса надмножеством КО.

Выясним, сколько шагов необходимо сделать для выполнения аксиомы непрерывности.

Рассмотрим последовательность вложенных отрезков: Іп с ( -да, +да) 11 с І2 с ... с Іп с ..., где I с ( -да, +да), и образуем последовательность чисел а1, а2, ..., ап, ..., такую, что а1 і І1, а2 іІ2, ..., ап і 1п ... .

Возьмемр є П Іп, тогда V,, р ф ап.

Пусть д1 = (ап < ю),

и^да

42 = Ls (ап, Ц1 < ю),

и^да

qk = Ls (a„, qb ... qk-1 <ю),

я^ад

где ап, дъ ..., дкЛ - последовательность, полученная добавлением к последовательности {ап} чисел д1, ..., дкл.

Если для какого-нибудь т = 0, 1, 2, ..., ю, ..., О дт = = р, то аксиома непрерывности выполнена. Предположим, что это не так, и для любого т = 0, 1, ..., ю, ..., О, 4т ф р.

Рассмотрим последовательность:

аь а2, ..., 41, д2, ..., дш, ..., ^п.

Очевидно, что все члены этой последовательности различны. Если р не совпадает ни с одним из членов этой последовательности, то можно образовать последовательность а1, а2, ..., ап , ..., д1, 42, ..., ,р, все чле-

ны которой также будут различны. Но эта последовательность длиннее последовательности 0, 1, ... , ю, ... , О, которая, как было указано выше, является самой длин-

ной последовательностью неразличимых чисел. Противоречие.

Следовательно, на одном из шагов m = 0, 1, ..., ю, ..., Q число qm = p. Таким образом, в надмножестве Кп выполняется аксиома непрерывности и, следовательно, все аксиомы 1-3.

С другой стороны, каждое число qj можно считать случайным числом, а весь описанный выше процесс построения действительной прямой D эквивалентен заполнением некоторого конечного отрезка [а, b] случайными числами по методу Монте-Карло. При этом понятно, что условие: qj Ф qj-1, qj Ф qj-2, ..., qt Ф qb qt Ф 0,

1, 2, ... , m ... не влияет на утверждение, что отрезок [а, b] будет заполнен случайными числами qj почти всюду.

Как известно, метод Монте-Карло выводится из усиленного закона больших чисел, в котором фигурирует предел суммы случайных величин + ... + С„ при n ^ да. Поскольку в контексте этого закона от символа «да» не требуется никаких иных свойств, кроме «не -конечности», его можно уточнить, взяв в качестве «да» любой кардинал а.

Из этих двух утверждений следует, что процесс построения действительной прямой завершается числом Q и не раньше. Таким образом, D = Кп.

Следствие. Надмножество Кп вполне упорядоченно. В традиционном случае, как известно, это утверждение является следствием аксиомы выбора, которая вводит в статический мир множеств динамику времени. На такую трактовку этой аксиомы указывал, в частности, А.Ф. Лосев [7].

Замечание. Приведенная конструкция позволяет естественно связать с каждым числом qm из D некоторое число m = 0, 1, ..., ю, ... - шаг, на котором qm появилось в D. Это позволяет, в свою очередь, группировать числа на классы в зависимости от величины m.

Появление подобных классов в рамках традиционного теоретико-множественного подхода неестественно, хотя, как показал Г. Вейль в своей книге «Das Kontinuum», их введение позволяет несколько смягчить ряд острых проблем, связанных с непредикативностью анализа. Трактовка D как Кп говорит о том, что непре-дикативность вытекает из имманентного свойства континуума - «перемешивания» в нем чисел с различными «моментами возникновения» (шагами m). Более отвлеченно можно сказать, что континуум образуется путем «перемешивания» времени. Впрочем, этому утверждению мы в дальнейшем придадим более точный смысл.

§ 6. ФОРСИНГ, ДИАГОНАЛЬ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ

Как известно, общепринятая теоретико-множественная трактовка континуума (в данном случае - действительной прямой) повергалась весьма убедительной критике, исходившей из школы интуиционизма, видевшей в нем среду свободного становления. Причины же, по которой их аргументы воплотились лишь в специальные и весьма экзотические конструкции, исходили из явной неконкурентности идеи потенциальной бесконечности по сравнению с бесконечностью актуальной.

Изложенный выше подход можно в значительной мере рассматривать как синтезирующий оба взгляда.

Действительно, с точки зрения теоретико-множественного универсума континуум, действительная пря-

мая, Б = КО есть переменная величина, т. е. среда становления. С другой стороны, вполне корректно мыслить континуум как нечто завершенное. Суть лишь в том, что это завершение возможно осуществить только вне мира множеств.

Число О, которое соотносится с континуум больше любого наперед заданного кардинала, абсолютное завершение времени, число Апокалипсиса («И клялся он живущим во веке веков, что времени уже не будет» (Ап. 10.6)).

В философском плане число О корректирует идею арифметизации, к которой математика тяготела со времен Пифагора: существуют объекты, обладающие порядком, но не обладающие количеством. Именно к таким объектам и относится континуум.

Приведенная выше конструкция позволяет лучше понять теоретико-множественную проблему определения места континуума на кардинальной шкале.

Имеются следующие альтернативы:

- вести счет отражений последовательности Бп до

0 и получить надмножество КО, в котором выполняются аксиомы 1-3, но не иметь возможность зафиксировать «мощность» КО;

- вести счет отражений до любого кардинала а, оставаясь в рамках теории множеств. В этом случае мощность Ка будет равна а, но аксиомы 1-3 еще выполняться не будут.

Первая альтернатива говорит о естественном желании иметь «множество», удовлетворяющее аксиомам

1 -3, вторая же подчеркивает то обстоятельство, что для образования подобного «множества» теоретикомножественных ресурсов недостаточно.

Таким образом, мы имеем хорошо известную ситуацию: континуум мыслится «множеством» с неопределенной мощностью без видимых путей ее конкретизации.

Теорема 3 утверждает, что в рамках теории множеств эта задача неразрешима. Однако это не закрывает путей к построению моделей аксиоматической теории множеств, где континуум имел бы фиксированную мощность.

Приведем пример. Возьмем любой кардинал а. Множество Ка заполняет Б почти всюду, но на Ка, в общем случае, не выполняются аксиомы 1 -3 (рис. 4).

Поскольку заполнить разность Б\Ка, оставаясь в рамках теории множеств, невозможно, необходимо съимитировать его на логическом уровне.

Заполнение Б «почти всюду» говорит о том, что аксиомы 1-3 выполняются в Б «почти всюду». Таким образом, заменив логическую истинность 1 на истинность «почти всюду», мы имитируем заполнение Б\Ка, не изменяя при этом мощности Ка.

Корректное проведение этой идеи составляет суть метода форсинга, предложенного П. Коэном и обобщенного впоследствии Д. Скоттом и Р. Соловеем [8, 9].

В общих чертах их решение сводится к следующему. Заменим двухэлементное множество {0, 1} =

= {ложь, истина} на булеву алгебру B и определим булево значение ||^|| е В для каждой формулы ZF. Истинность

А определяется как |Щ =1, в то же время «истинность почти всюду» можно понимать как |Щ е G, где G - некоторый ультрафильтр.

Поскольку ультрафильтр G играет роль «истины», то он должен отличаться от всех множеств, участвующих в построении модели ZF. Коэн назвал его генерическим и доказал, что в случае счетной модели такие ультрафильтры существуют.

Опираясь на существование генерического ультрафильтра, можно построить модель M [G] теории ZF, в которой множество действительных чисел имеет фиксированную мощность, скажем, К2.

Метод форсинга является крайне нетривиальной математической конструкцией, поскольку использует предельные возможности теории множеств. Теорема 3 показывает, что основу этого метода составляет не эффективный логический трюк, а реальная конструкция, выводящая, правда, за рамки теории множеств.

Результат Коэна о независимости континуум гипотезы от остальных аксиом ZF является естественным следствием теоремы 3. В рамках же теории множеств, как мы уже говорили, можно лишь сказать, что мощность континуума С больше любого наперед заданного кардинала. Такой результат предчувствовал и сам П. Коэн, что видно из следующего отрывка:

«...нет разумного основания ожидать, что какое-либо описание большого кардинала, которое пытается построить этот кардинал с помощью идей, происходящих от аксиомы подставки, окажется когда-либо достаточным для получения С. Таким образом, С больше, чем ... Ка, где а = и т. д. С этой точки зрения

С рассматривается как невероятно большое множество, которое дано нам какой-либо смелой аксиомой и к которому нельзя приблизиться путем какого бы то ни было постепенного процесса построения. Быть может, последующее поколение научится видеть эту проблему яснее и выражаться о ней красноречиво» [8, с. 282].

Будем надеяться, что соотнесение «мощности» континуума с числом Q является тем красноречивым ответом, который ожидал услышать П. Коэн.

§ 7. ВНЕШНИЕ ЭФФЕКТЫ: КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Адекватность математической теории реалиям окружающего мира - трудный и даже болезненный вопрос. Но он совершенно естественен, если не считать математику «большой шахматной доской» («Spielraum» в терминологии Л. Витгенштейна), служащей для захватывающего состязания математиков и математических школ.

Острота этой проблемы такова, что даже натуральный ряд может вызвать сомнения в адекватном описании реальности (П.К. Рашевский [10]), не говоря уже об абстрактных конструкциях теории множеств. Поэтому весьма естественным является желание понять, какое реальное физическое содержание соответствует

чему последовательность 0, 1, 2, ..., ю, ..., О отражается от числа ю? Или более точно: моделью какого реального процесса служит такое отражение?

Такая постановка вопроса меняет стиль изложения. Если в предыдущих параграфах оно велось на возможно более строгом уровне, то содержание данного параграфа представлено в форме разнообразных эвристик, что позволяет быстрее двигаться в выбранном направлении.

Попытаемся вначале понять, какой реальностью обладают числа ю и О.

По определению, числа ю и О являются количественной и порядковой бесконечностью соответственно.

По традиции, идущей от И. Канта, принято соотносить количество с пространством, а порядок со временем. Соединение в натуральном числе количественно-сти и порядкового аспекта указывает на его глубокую пространственно-временную природу. Подробное и ясное описание этой ситуации можно найти, в частности, у А. Бергсона [11].

Пространство и время бесконечны, также как и числа ю и О. Поэтому естественно соотносить число ю с бесконечностью пространства, а О - с бесконечностью времени.

Замечание. В рамках количественной трактовки пространства можно было бы соотнести его бесконечность с числом ^, завершающим шкалу кардиналов. Принципиально это ничего бы не изменило, но добавило бы лишних философских вопросов о реальности существования несчетных (и других, гораздо более мощных) кардиналов.

Поскольку О > ю (и, заметим, О > ^) и числа ю и О соотносятся как конечное и бесконечное (то же справедливо и для чисел ^ и О), можно предположить, что бесконечность времени существенно больше бесконечности пространства. Это утверждение естественно соотносится с высказанным выше фундаментальным арифметическим принципом: порядковых чисел существенно больше, чем чисел количественных.

Посмотрим, какие можно сделать отсюда содержательные выводы.

Рассмотрим классический принцип Дирихле: если в т ячеек поместить п объектов, где п > т, то хотя бы в одной ячейке будет не менее двух объектов.

В случае пространства - времени мы имеем схожую ситуацию.

Пространство, взятое само по себе, будем предполагать трехмерным, однородным и имеющим бесконечность ю.

Аналогично, время будем считать линейным, равномерно текущим и имеющим бесконечность О.

Образование единого пространственно-временного континуума приводит к необходимости «разместить» текущее время «длины» О в пространстве Я3, «длина» которого по каждой координате равно ю. Тем самым мы попадаем в классическую ситуацию принципа Дирихле. Существенное отличие от приведенной выше схемы с «ячейками» и «объектами» заключается в том, что время продолжает течь внутри ограничивающего его пространства. Это приводит к возникновению колебаний и появлению волн (рис. 6) аналогично распространению физических волн в конечном объеме.

предложенной выше схеме построения действительной прямой. Поскольку в основе этой схемы лежит понятие отражения, прежде всего надо ответить на вопрос: по-

= tR

Т2 =

Моментом времени іТ при отображении / будет инте-

Тп =

Рис. 6.

Колебания пространственно-ограниченного времени фиксируются по отношению к независимому от пространства равномерно текущему времени. Поскольку время для нас, в целом, неразделимо, то его колебания являются ненаблюдаемой величиной.

Более того, время, «текущее вспять», есть достояние разве что фантастических романов. Однако как полезная (вскоре мы в этом убедимся) математическая абстракция оно имеет права гражданства.

Поскольку время приложимо к каждой точке пространства Я3, в действительности мы имеем дело не с одной волной времени ГЯ = Т(Г), где ГЯ - линейное время, ограниченное пространством, а Г - время, независимое от пространства, а с множеством волн {Т* (Г)}, каждая из которых соответствует ограничивающей время точке пространства.

Таким образом, отдельными моментами общего пространственно-ограниченного времени Т можно считать волны Т*.

В простейшем случае волна может быть представлена комплексно-значной функцией Т = Ае'и (монохромная волна).

В более общем случае волна представляется в виде:

Т(Г) = ^Акв™* для дискретного спектра частот ук

к =1

или Т(Г) = |ЛвшсЫ для непрерывного спектра

о

(принцип суперпозиции).

В общем случае Т = {Т* (Г)} можно мыслить как гильбертово пространство со скалярным произведени-

2л

ем (Т1, Т2) = |Т1Т2Л.

о

Комплексное время Т, как уже говорилось, есть не более чем математическая абстракция, хотя, скажем, общепризнанный феномен предвидения может быть понят, только если предположить возможность «поворота» времени из будущего в настоящее.

При рассмотрении конкретной физической задачи мы соотносим ее с некой пространственной системой координат и, если принять все предыдущие утверждения, - с комплексным временем Т. Таким образом, в законах классической физики равномерно текущее время Г, строго говоря, нужно заменить комплексным временем Т.

Эта ситуация, однако, трудно реализуема практически. Возможный выход заключается в том, чтобы рассмотреть отображение / Т — Я+ и его образ считать «настоящим», «реальным» временем.

Положим /Т) = (Т, Т). Причина выбора именно такого отображения заключается в удобстве интерпретации оператора дифференцирования как энергии, в чем мы убедимся позднее.

Будем обозначать Зт/ через ГТ отличая его от первоначальной модели времени Г.

грал |ТТЛ. Ясно, что соотносить физический про-

о

цесс с таким временем, в общем случае, затруднительно.

Это неизбежно возвращает нас к первоначальной модели времени как линейной, равномерно текущей величины. Однако при этом время ГТ будет оставаться промежуточной величиной между классическим временем Г и соотносимой с ним физической величиной А: Г —— Гт —— А.

Соотнесение Т — А дает строго детерминированную картину. То же можно предположить и о соотнесении ГТ — А. Однако при соотнесении Г — ГТ происходит потеря информации о характере движения.

2л

Нахождение значения интеграла | ТТЛ/ по точке

о

Г может иметь лишь характер предположения. При этом, очевидно, что величина Т(Г) Т(Г) играет роль вероятности найти значение ГТ в момент времени Г. По транзитивности это утверждение можно распространить и на соотнесение Г — А: величина Т(Г) Т(Г) есть вероятность нахождения значения физической величины А в момент времени £

Вернемся к комплексному времени Т. Рассмотрим его два момента, т. е. функции Т1 и Т2. Переход от момента времени Т1 к моменту времени Т2 в гильбертовом пространстве может быть осуществлен путем применения линейного оператора и к вектору Т1, результатом которого будет вектор Т2: иТ1 = Т2. Это значит, что течение комплексного времени Т можно моделировать с помощью линейных операторов.

Рассмотрим линейный оператор дифференцирова-

^ 1 л

ния и =-------. Чтобы установить его физический

I л

смысл, необходимо перейти к действительному времени ГТ, т. е. рассмотреть значение (ПТ, П Т) =

(" йц йц 2?

----------аґ. Как известно, величину -

3 йґ йґ 3

& Л

Л

можно интерпретировать как кинетическую энергию колеблющейся материальной струны Т.

1 й

Это подсказывает мысль, что оператор--------можно

і йґ

понимать как энергию перехода физической системы от момента комплексного времени Т в момент ком-

1 йЦ

плексного времени--------.

і йґ

Если же предположить, что под действием оператора Б функция Т не изменится, то его собственные значения А: БТ = АТ должны характеризовать значение энергии Б в момент комплексного времени Т. Это вполне корректное предположение, поскольку оператор Б является самосопряженным и его собственные значения - действительные числа.

Пусть БТ = ЕТ, где Е - значение энергии колебательного процесса. Так как в простейшем случае Т = = Ае'и, то БТ = іТ. Сопоставляя эти два соотношения, можно сделать вывод, что энергия колебательного процесса пропорциональна его частоте. Обозначая

о

коэффициент пропорциональности через Ъ, получим соотношение Е = Й V

Во всем приведенном фрагменте уже достаточно ясно угадывается корпус нерелятивистской, волновой механики. Возникающий коэффициент пропорциональности Ъ может быть вычислен только на основе реальных физических экспериментов. Примечательным же является то, что его появление, равно как и основные принципы волновой механики, может быть получено чисто умозрительным путем, опираясь, в конечном счете, на сформулированный выше арифметический факт: О > ю.

Приведенная волновая трактовка принципа Дирихле не является единственным путем, ведущим к основным принципам квантовой механики. Лежащая в его основе несимметрия пространства и времени может быть выражена иным, возможно, более прямым, путем.

Рассмотрим векторные поля ех, еу, ег, еГ. Очевидно, что в классическом случае все они коммутируют между собой:

[ е 1, е,] = 0, где г, , = х, у, 2, Г (рис. 7).

Если же ограничить время пространством, то из соотношения О > ю следует, что [ е 1, е,] = 0, [ е 1, Гг] ф 0 и [ е 1, е ] ] ф 0, где ,, , = х, у, г (рис. 8).

Если перейти к конфигурационному пространству Я2п = {р,, д,}, приведенные выше соотношения приобретают следующий вид:

[д,, д,] = 0, р р,] = 0, ^ р,] ф 0 (как известно, [дг, р,] = ,Ъ.

Несимметрия пространства и времени характеризуется некоторой константой Ъ, которая проявляется в физических процессах, но по своему смыслу от них не зависит.

Я3

Рис. 7.

а 1 : ; 1 ; ;

„ *

. *

•з .

а *1 > *

еґ

Я

е*, е2, ег _

еГ Г

Рис. 8.

Приведенные соотношения некоммуникативности могут стать отправной точкой развертывания кванто-

вомеханической картинзі в стиле Гейзенберга, в то время как сделанная выше опора на волновую функцию приводит, как известно, к картине Шредингера.

Наконец, последний из рассмотренных в данном параграфе физических фрагментов касается гармонического осциллятора.

В классической механике гармонический осциллятор - это частица, способная перемещаться вдоль некоторой оси и подверженная действию возвращающейся силы, пропорциональной расстоянию от начала координат.

Эта задача представляет для нас особый интерес, поскольку время, ограниченное пространством вдоль каждой линии, параллельной координате ґ, можно рассматривать как гармонический осциллятор. В пространстве же в целом имеется бесконечная совокупность осцилляторов. Как известно, это первый шаг, ведущий к квантовой теории поля.

Разумеется, эта аналогия весьма условна, поскольку колеблющееся время гипотетично, а его возможная интерпретация предполагает наличие у движущейся по классическим законам частицы внутренних колебаний. Заметим, правда, что подобная гипотеза была впервые высказана Л. де Бройлем (и впоследствии им же отвергнутая), в его докторской диссертации, явившейся одним из источников волновой механики [12].

Обозначим через д - координату колеблющейся частицы, р - импульс, т - массу, а 2жутд - возвращающую силу (мы не переходим к круговой частоте <в = 2жу, чтобы не вводить символ, совпадающий с количественной бесконечностью <в). Гамильтониан в этом случае записывается как:

1

Н0 = — - (р2 + 4 л2 ^т2д2),

при условии выполнения соотношения [р, д] = г Й . Необходимо найти собственные векторы Н0. Чтобы избежать лишних вычислений, заменим Н0 на 2жН Й V и выразим переменные р, д через переменные Р, Q:

Й

2лті

Q, р = (2лтЬі)1/2 Р.

Тогда исходная задача сведется к нахождению собственных значений оператора Н = — (Р2 + Q2), где

[Р, Q] = і.

Определим два новых оператора:

42

а = ------

2

+ 42

а+ = ------(Q - іР).

2

Очевидно, что [а, а+] = 1 и Н = 1/2 (аа+ + а+а).

Положим N = а+а, тогда Н = N + 1/2. Следовательно, поиск собственных значений Н свелся к поиску собственных значений N. Нетрудно показать, что собственными значениями N являются все числа 0, 1, ..., п, ..., а соответствующие им собственные вектора при соответствующей нормировке могут быть получены из вектора Т0 п-кратным применением оператора а+.

е,, е,,, е

V? ''2

Ґ

И”

Тп = М-У 0 [13].

V”!

Мы целиком воспроизвели эту хорошо известную схему, чтобы показать место, с которого мы начинаем рассуждать по-иному.

Итак, мы имеем две последовательности чисел и моментов комплексного времени Т:

0, 1, 2, ... , п, ... .

Т0, Т1, ..., Тп, ... и АТ* = пТ*.

Поскольку комплексное время Т заключено внутри пространства Я3, следовательно, п < ю. Это значит, что последовательность 0, 1, 2, ... , п, ... , О отражается от числа ю и, следовательно, порождает новое число д0 = = Ls (Бп < ю). Это число возникает в момент времени

и—го

Тд0. Однако, поскольку для гармонического осциллятора не существует никаких иных моментов комплексного времени Т, кроме тех, которые составляют приведенную выше последовательность, то Тд0 = Тт для некоторого т.

Это вполне «диагональное» рассуждение, что неудивительно, поскольку и диагональная конструкция в теории множеств, и квантовомеханические эффекты имеют один и тот же источник: несимметрию порядковой и количественной шкал, несимметрию пространства и времени.

Поскольку д0 есть новое число, то можно сказать, что в момент Тт комплексного времени Т появился новый физический объект (частица).

«Попадание» числа д0 в число т может быть истолковано как разбиение т на части, одна из которых отождествляется с д0.

Таким образом, в данном случае процесс порождения последовательности {д^} сводится к «разбиению» натуральных чисел на части, т. е. к реализации атомистической гипотезы, сформулированной в § 3.

Это значит, что каждое число т можно понимать как множество, состоящее из т элементов. С точки же зрения физики это означает существование в пространстве Я3 т различных частиц, а оператор а+ приобретает смысл рождения новой частицы.

Приведенные рассуждения указывают на глубокую аналогию между выделением множества из процесса и квантованием поля, приводящего к операторам рождения (и уничтожения) частиц.

Существенным моментом всего построения является изменение взгляда на последовательность натуральных чисел 0, 1, 2, ..., п, ... . В данном случае она понимается не просто как переход от одного числа к другому, а как механизм порождения новых чисел.

Учитывая, что в основе действия этого механизма лежит неравенство О > ю, несимметрия пространства и времени, можно высказать следующую гипотезу: материя как таковая обязана своим происхождением несимметрии пространства и времени, материя порождается этой несимметрией, а ее квантовые свойства есть прямое проявление несимметрии.

Несимметрия пространства и времени есть одно из свидетельств духовного начала М!ра.

По учению святого Максима Исповедника, кроме времени, которое начинается, продолжается и кончается

(т. е. времени, ограниченном в пространстве), есть еще и другая форма существования, свойственная бытию сверхчувственному. Это - эон (airov). «Эон, - говорит Максим Исповедник, - это неподвижное время, тогда как время - это эон, измеряемый движением» [14].

Комментируя этот фрагмент, можно сказать, что различие между эоном и временем можно понимать как различие между внутри- и вненепространственным временем, поскольку движение времени имеет смысл только по отношению к пространству. Вне его - это «неподвижное движение» (термин А.Ф. Лосева).

Природа материи, по учению святого Григория Нисского, воспринятому святым Максимом Исповедником, является результатом соединения простых качеств, сверхчувственных в отдельности (т. е. происходящих из внепространственного времени), но их совокупность, множество, конкретное проявление производит их пространственность, материальность.

«Из рассматриваемого в теле ничего само по себе не есть тело; ни наружный вид и цвет, тяжесть и протяжение и количество и всякое иное видимое качество,

и, напротив того, каждое из них есть понятие: взаимное же их стечение и соединение между собой (<juv5po|xq) делается телом» [14, с. 79].

Эта динамическая теория материи позволяет разрешить ряд принципиальных богословских проблем, и поэтому она получила детальную разработку у Восточных Отцов Церкви.

Как видно из приведенных фрагментов, эта теория находится в удивительном соответствии с высказанным принципом о порождении материи пространственно-временной несимметрией.

На этом мы закончим спуск в «дантовы круги» физики и вернемся в более прозрачный мир математики.

§ 8. МНОЖЕСТВО ИЛИ ПРОЦЕСС: ФИЛОСОФСКИЙ СИНТЕЗ ИЛИ БОГОСЛОВСКАЯ АЛЬТЕРНАТИВА?

Было бы неправильным замкнуть развернутую выше тему рамками математики и физики, не увидев в ней философского, более, - богословского контекста. Краткому развертыванию этого контекста и посвящен данный параграф.

Математика, коль скоро она желает своего развития, должна, в целом, оставаться автономной по отношению к внешним воздействиям. Только так она может сформулировать свое Credo как самостоятельный, ни с чем не сравнимый сплав Божественного замысла и человеческого дерзновения.

Однако в переломных моментах, когда приобретенное ранее направление мысли теряет силу и привлекательность, выход за пределы собственно математических проблем необходим и оправдан.

Когда в начале века молодая полная сил теоретикомножественная математика испытала сердечный перебой, вызванный парадоксом Рассела, никто не сомневался в ее жизнеспособности и силе. И действительно, решение, и не одно, было скоро найдено. Сегодня парадоксы теории множеств, равно как и, скажем, парадоксальные следствия аксиомы выбора психологически не воспринимаются как ее дефект.

Сегодня проблема в ином. Теория множеств, достигнув в математике своих естественных границ, состарилась. Она уже не в состоянии породить какого-нибудь громкого «скандала» и снова привлечь к себе

внимание. Она просто медленно угасает на страницах безмерно разросшихся академических изданий, балансируя на грани смысла и бессмыслицы.

В этой возникшей паузе между окончательным уходом этой великой доктрины и пришествием новой (новых!), уместно и необходимо задать вопрос: что, собственно, есть теория множеств в контексте философии, культуры, богословия?

Вопрос принципиальный, ибо за ним следует задать вопрос: чего мы ждем и хотим? Разумеется, все, в конечном итоге, решится без нашего ведома и участия. И все же распознать «наследника» жизненно важно, ибо это касается всех живущих «под небом» математики.

Попытаемся, по возможности, кратко и точно ответить на первый из поставленных вопросов: что такое теория множеств? Внутри математики ответ сведется к тривиальной тавтологии: «Теория множеств есть теория множеств».

Попробуем ответить на него в более широком контексте.

Заметим сразу, что здесь есть определенная тонкость. Теория множеств есть, с одной стороны, создание одного человека - Георга Кантора, с другой - собственность математики. Их взгляды на нее хотя и схожи, но далеко не тождественны. Поэтому в своем ответе на поставленный вопрос мы с должным уважением отнесемся к обеим сторонам.

С этой поправкой ответ на вопрос может быть сформулирован следующим образом: «Теория множеств есть одна из форм неоплатонизма». Что здесь имеется в виду?

Согласно учению неоплатоников: Плотина, Порфи-рия, Прокла и др. (Ш-У в. Р. Х.), существенны четыре основные стадии бытия:

Единое

Ум

Душа

Космос.

Эти ступени связаны иерархией подчинения. Общая схема этого подчинения выглядит примерно так.

Зададим вопрос, откуда происходит движение в Міре физических тел. Очевидно, от воздействия других тел, а те, в свою очередь, от воздействия третьих и т. д.

Перебрав все тела, можно задать тот же вопрос о всех телах в целом, то есть о Космосе. Ясно, что причиной движения Космоса является он сам, т. е. Космос обладает свойством самодвижения. Это свойство и есть Душа - более высокая ступень, чем Космос.

Далее, можно применить тот же ход рассуждения к Душе. Тела движутся Душой, но по каким законам движется Душа? Каков смысл этого движения? Неоплатоники отвечают - Ум. Ум - это принцип универсального осмысления, устройства и закономерностей. Снова можно сформулировать вопрос о происхождении Ума. Поскольку Ум предполагает раздельное мышление, его высшим принципом будет Единое.

В эту общую для неоплатоников конструкцию Прокл (V в. Р. Х.) ввел дополнительную область Чисел. Каждое такое число, с одной стороны, не отражает никакого конкретного качества и, следовательно, подобно Единому. С другой стороны, всякое число есть некоторое различие, т. е. нечто аналогичное неоплатоническому Уму.

При таком подходе одной из центральных проблем философии неоплатоников становится взаимоотношение «единого» и «многого».

Воспроизведем фрагменты разработки этой проблемы из трактата Прокла «Первоосновы теологии» (пер. А.Ф. Лосева):

1. «Всякое множество тем или иным образом причастно Единому.

2. Все причастное Единому едино и не едино.

3. Всякое становится Единым в силу причастности Единому.

4. Все объединенное отлично от того, что Едино в себе.

5. Всякое множество вторично по сравнению с Единым.

6. Всякое множество состоит или из объединен-ностей или из единичностей.

7. Все потенциально сущее происходит от актуально сущего.

8. Всякое множество беспредельных потенций зависит от одной первичной беспредельности, которые существуют не как потенция, допускающая причастность себе и не обладающая потенцией, а сама по себе, будучи не потенцией чего-то причастного, а причиной всего сущего...» [15].

Даже приведенный беглый абрис основных идей неоплатонизма не оставляет сомнения в исключительной близости к ним исходных идей теории множеств.

Например, построение ординальной шкалы, описанное в § 2, имеет несомненную идейную основу с приведенной выше схемой подъема от Космоса к Единому.

Числа же, промежуточные между Единым и Умом, могут быть интерпретированы как неограниченная шкала мощностей. Приведенный же фрагмент трактата Прокла, вообще, производит впечатление пособия по теории множеств, включая парадокс Рассела (п. 2).

Общий вывод из всего вышесказанного вполне очевиден. Теория множеств - это математическая форма платонизма (более точно - неоплатонизма), самостоятельно и оригинально разработанная Г. Кантором.

Этот факт хорошо известен историкам математики, занимающимся наследием Г. Кантора, которое проводит и более тонкие параллели этих двух концепций. Заметим только, что столь яркий «теоретико-множественный» трактат Прокла практически не изучен под этим углом и упоминается в этой связи крайне редко.

Неоплатонизм - не просто влиятельная философская концепция Ш-У в. Р. Х. Она создавалась как языческая альтернатива нарождающемуся христианскому мировоззрению.

С другой стороны, категории неоплатоновской философии послужили основой не только для философии Плотина и его последователей, но и сделались общепринятым языком христианского богословия. При таком единстве исходных понятий задача богослова, балансирующего на грани «Афины - Иерусалим», оказалась исключительно сложной.

Концепция множества и актуальной бесконечности вместе с многими другими категориями платонизма и неоплатонизма просочились в богословие, в частности, в сочинения Николая Кузанского, оттуда и были извлечены Г. Кантором.

Несмотря на то, что создатель теории множеств искренне верил в то, что его построение есть несомненный путь богопознания, само понятие множества осталось категорией неоплатонизма. Следовательно, Бог Кантора - есть Бог неоплатоников, а не Бог Священного Откровения.

Самым существенным дефектом теории Кантора, как и всей концепции неоплатоников, было отсутствие понятия времени.

С точки зрения платоновской философии, реально существуют только вечные идеи, и время есть лишь тень вечности. Что касается Мира видимого, то главная его ценность заключается, по мнению платоников, в законообразности и симметрии пространственной структуры. Поэтому их мир - это «Космос» в его изначальном понимании (кобцо^ - «украшение», «убранство», «стройность»). Разумеется, это не значит, что античность вовсе не знала понятия времени. Не случайно греческое слово Хроую^ (время) однозвучно со словом Кроую^ - древнейшим божеством, породившим Мір.

Однако в полной мере понятие времени было прочувствовано, начиная с Библии. С.С. Аверинцев говорит об этом следующее: «Древняя история восточного Средиземноморья выявила и другую мыслительную возможность, резко контрастирующую с эминским умонастроением. Эта возможность воплощена в библейской традиции мистического историзма «...мир Библии - это не «космос», а «олам» (по гречески «эон»), т. е. поток временного свершения, несущий в себе все веши или мир как история. ...Библейский Бог Яхве - это «Сотворивший небо и землю», т. е. Господин неотменяемого мгновения, с которого началась история, и через это Господин истории, Господин времени» [16].

Ветхий Завет начинается с утверждения реальности «Бога живого» и не задается никакими вопросами «Как?» и «Почему?». Бог есть Тот, кто положил начало Міру и Истории. Мір - это неравенство и разнообразие, но с точки зрения неоплатоников в этом его непоправимый дефект. Совершенно только надмировое Единое. Всякая же множественность есть умаление Единого и поэтому «шаг вниз» от Совершенства.

Заметим, что эти мотивы очень характерны для мировоззрения Кантора. По его представлению, множество - это то многое, в котором отдельные элементы «срастаются» между собой, образуя нечто целое, единое.

Математическим выражением этой идеи является понятие мощности множества.

В точном соответствии с идеями неоплатоников, для которых весь Мір есть эманация Единого, Кантор хочет вывести из понятия мощности понятие числа. Он был настолько вдохновлен этой идеей, что стал утверждать, будто естественный порядок чисел при счете является чем-то случайным.

Как известно, эта идея оказалась математически несостоятельной, и от определения числа как «мощности всех равномощных множеств» пришлось перейти к традиционной, временной последовательности развертывания чисел-множеств: 0 , {0 }, {0 ,{(0 }} и т. д.

Внимательный взгляд позволяет найти в теории множеств массу подобных недоразумений, связанных с желанием полностью исключить из рассмотрения идею длительности, времени.

Этот дефект, как мы видели, присущ всей системе неоплатонизма. Следовательно, последовательный отход от теоретико-множественной доктрины есть, прежде всего, отказ от объемлющей его неоплатонической концепции.

Только на этом пути можно надеяться получить принципиально новый взгляд на математику.

Действительно, существующие попытки преодолеть теоретико-множественный диктат путем введения новых понятий типа «классов» (П. Бернайс), «атомов» (Р. Френкель), «полумножеств» (П. Вопенка) не могут принудительно изменить ситуацию, поскольку остаются в круге все той же старой проблемы «многое - единое».

Отказ от неоплатонизма в математике с явной опорой на понятие времени и динамические категории есть, по сути, отказ от язычества и переход к осознанному христианству. Стоит ли говорить, что именно такой путь развития математики заслуживает наибольшего внимания!

Столь решительно высказанная программа нуждается, разумеется, в серьезном подкреплении. Речь, прежде всего, идет о развернутой и ясно сформулированной системе Міра, в которой нет места неоплатонизму и которая могла бы вывести на необходимый для математики уровень формализации.

Такая система окончательно оформилась в творениях уже упомянутого выше св. Максима Исповедника (580-668 Р. Х.) - одного из самых выдающихся христианских богословов и отцов Церкви.

Согласно его учению, сотворение Міра есть динамический процесс, который происходит в согласии с божественной волей. Этот процесс состоит из трех стадий: во-первых, «пуска в ход», генесиза - начала осуществления видимого мира; затем развертывание -свободной реализации всех божественных идей, кине-сиса и, наконец, стабильного состояния, статиса, «успокоения» в Боге.

«Начало всего естественного движения состоит в «пуске в ход» сотворения существ и начало этого «пуска в ход» положено Богом-Творцом (генесиургос). Целью естественного движения сотворенных существ является неподвижное состояние. Это состояние происходит от Бесконечного и достигается путем выхода из всего конечного; вследствие отсутствия пространства в нем по естественным причинам прекращается движение существ... Бог есть начало (архи) и конец (телос) всякого возникновения и движения: они исходят из Него, стремятся к Нему и в Нем обретают свою неподвижность (св. Максим Исповедник, Ampigua, пер. фрагм. пр. И. Мейендорфа) [17].

В этой концепции уже нет места неоплатонической идее вечного предсуществования Міра, согласно которой не только идеальные образы Міра, но и сам Мір предвечно существуют в божественном сознании, в Едином. Для св. Максима такое представление об устройстве Міра невозможно: Бог сотворил как видимый, так и невидимый Мір из ничего. В отличие от неоплатоников у Максима идея Міра от века коренится в бытии Бога, но не является его сущностью.

Различия неоплатонического и христианского мировоззрения отнюдь не носят теоретический характер, а прямо соотносятся с духовной практикой.

С точки зрения неоплатонизма, конечная цель духовного развития направлена на созерцание божественного Единства. При этом другие человеческие существа и даже сам Мір видятся грешными (за исключением немногих посвященных) и поэтому, в лучшем случае, безразличными на пути к обретению совершенства. Это поразительным образом сближает неоплатонизм и тяготение к нему формы христианской мысли с таким, казалось бы, далеким мировоззрением, как буддизм с его «прорывом в Нирвану».

Напротив, введение времени, как это сделано у св. Максима, означает, что все существующее в этом (историческом) Міре важно в глазах Бога и поэтому касается также и нас.

Понятие спасения и Царства Божия - космические понятия, связанные с идеей сотворения всего Міра Богом.

Поэтому Царство Небесное есть не только цель нашего личного спасения, но и реальность, предполагающая, что мы должны любить все творения и заботиться об их спасении.

Поскольку в наши цели не входит изложение всеобъемлющей концепции св. Максима, мы выделяем в ней тот существенный фрагмент, который может стать предметом математической разработки.

При этом, разумеется, мы ясно осознаем, что основной смысл христианского миропонимания лежит далеко от рациональной сферы, в области мистического соединения человека с Богом (православный энергетизм св. Григория Паломы). Строго говоря, это относится и к неоплатонизму и мысли Кантора о «богопо-знании» через теорию множеств не более чем самонадеянная попытка понять «целое» через его «часть».

Тем не менее, даже приведенного выше фрагмента достаточно, чтобы обрисовать строй мыслей, который может послужить отправной точкой развития нетривиальных математических теорий.

Сформулируем его более отчетливо.

Как уже было отмечено, основное противопоставление неоплатонизма «часть - целое» было синтезировано математикой в понятии множества («множество есть многое, мыслимое нами как единое»). Было бы естественным повторить этот путь и в динамической картине.

Ее основным противопоставлением, как легко увидеть, является противопоставление «движения» и его «завершения». Соединим их в едином понятии «БЕ-последовательности».

Для этого еще раз приведем рассмотренное в начале этой работы определение торможения.

Рассмотрим некоторый, начинающийся с «нуля» неограниченный процесс а и набор предикатов: А1, А2, А3, ., Ап, с помощью которых можно различать объекты, порожденные а. Процесс а стабилизируется на объекте а относительно предиката Аі, если всякий шаг процесса а после объекта а совпадает с а в смысле предиката Аі.

Объект а, стабилизирующий процесс а относительно предиката А, можно назвать завершением относительно А.

После объекта а процесс а может быть продолжен, но число предикатов, различающих его объекты, уменьшается: А1, ..., А1-1, AI, А1+1, ..., Ап. Снова выбрав предикат А, можно рассмотреть объект Ь, на котором стабилизируется а относительно Аі, и т. д. В конечном итоге, когда все предикаты будут исчерпаны, все шаги процесса а будут неотличимы друг от друга. Это будет его абсолютное завершение (статис). Обозначим его О.

Эту конструкцию можно представить в виде следующей схемы:

0------------а ---------------- Ь ...---------

A1, ..., Ai, ..., An, АЬ ..., Ai-1, , Ai+1, ..., An, ...

Рис. 9.

Именно эту последовательность и будем называть БЕ-последовательностью.

Если перейти на язык образов, БЕ-последова-тельность можно уподобить клавиатуре музыкального инструмента с неограниченным числом неограниченных гамм. Каждая гамма тяготеет к своему «разрешению» - стабилизирующему объекту - «тонике», которая одновременно является началом другой, более высокой «гаммы».

Как легко видеть, в ее основе лежит повторяющаяся (относительно различных предикатов) триада св. Максима: генесис, кинесис, статис.

На этом мы закончим философский экскурс и приступим к построению формализма БЕ-последова-тельностей.

§ 9. ФОРМАЛИЗМ БЕСКОНЕЧНОГО

Последний параграф данной работы посвящен началам метаматематики длительности, т. е. формализму, призванному «упрочить» математическую репутацию предложенной теории. Подобная практика стала традиционной в теоретико-множественной математике, но неизвестно, приживется ли она в математике длительности. Независимо от конечного результата, смысл приведенной работы состоит, прежде всего, в том, чтобы понять логику бесконечного, отраженную в формализованном построении БЕ-последовательности.

Одним из несомненных достижений теории множеств является предельное расширение границ существования математических объектов. Сам Кантор выразил эту мысль так: «Математика в своем развитии совершенно свободна и связана лишь тем само собой разумеющимся условием, что ее понятия должны быть свободны от противоречия и должны находиться в неизменных условиях к образованным ранее, уже имеющимся понятиям» [3].

Несмотря на эти почти неограниченные возможности, ни один из теоретико-множественных формализмов не в состоянии непротиворечивым образом выразить идею бесконечности в том виде, в каком она была представлена в § 1, а именно, как результат торможения процесса по некоторому предикату.

Действительно, пусть у нас имеется формальная арифметика FA и мы желаем присоединить к ней новую константу ю, добавив следующие аксиомы, вытекающие из определения ТЯ-торможения:

1. Бю = Я ю

2. Бю Ф 2 ю

3. X = Я у ^ X = 2у, где Б - переход к следующему объекту.

Последняя аксиома вводится, поскольку различие предикатов ТЯ (“=Я”) и Т2 (“=2”) имеет смысл только после ю. Это позволяет записать две начальные аксиомы в виде традиционного противоречия: Бю ф ю & Бю ф ю.

С точки зрения классического формализма, такое определение ю бессмысленно. С другой стороны, это всего лишь формализация вполне работоспособного математического понятия.

Таким образом, проблема состоит в том, чтобы соединить традиционную схему формализма с нетрадиционным пониманием противоречия, при котором форма

А & A означает нечто иное, чем простое аЬттЛит.

Чтобы осмыслить эту проблему, вернемся к началу всего построения. Его принципиальным моментом, как

уже говорилось, является размежевание «порождения» и «различения». Это значит, что всякий объект может быть мысленно рассечен на вполне реальную основу и многочисленную палитру предикатов, накладываемых на основу, как краски на загрунтованный холст. Сама основа находится за пределами нашего интеллектуального зрения, но с помощью предикатов она проявляется в Міре. С другой стороны, предикаты без основы также «невидимы» как и основа без предикатов.

Основу как таковую и основу с предикатами можно уподобить фотопленке и фотографии. Чистая пленка сама по себе не дает никакого представления о мире -важен лишь факт ее существования. Предикаты же оставляют на ней отпечаток, который уже проявляется как видимая картина.

В философском плане понятие основы близко к понятию «предварительной данности»

Э. Гуссерля, хотя наш контекст существенно отличается от фенологического и такая параллель в известной мере условна.

Существенное же отличие состоит в том, что в нашем понимании все основы связаны единой временной нитью (не отдельные «кадры», а целый «фильм», если продолжать говорить образами) или более точно: течение времени есть постоянное дублирование, само-полагание единственной Основы.

Чтобы не вызвать дальнейших непродуктивных околофилософских реминисценций, остановимся на этом, практически однозначно понимаемом описании.

Применим высказанные идеи к определению бесконечного числа внутри формальной арифметики FA.

Размежевание порождения и различения означает, что, во-первых, существует некоторый беспредикатный процесс Л порождения основ:

О ^ О ^ О ^ О ^............,

^ О ^ ^ ^ ^ •

Логическое пространство FA

во-вторых, существует множество предикатов, определяемых аксиомами Пеано, которое мы будем называть логическим пространством L. Термин «логическое пространство», по-видимому, впервые был введен Л. Витгенштейном в «Логико-философском трактате». «Мир есть совокупность фактов, а не вещей. Факты в логическом пространстве есть Мир» («Die Welt die gesamtheit der Tatsachen, nicht der Dinge», «Die Tatsachen im logischen raumsin die Welt» [18]. Наше понимание этого термина существенно иное. Логическое пространство L для нас - это совокупность предикатов, с помощью которых видимым образом проявляется основа.

Далее логическое пространство будем называть широким, если в нем возможно разместить неограниченное число отличных друг от друга объектов.

Логическое пространство будем называть узким, если в нем нельзя разместить ни одной пары объектов, отличных друг от друга.

Погружение беспредикатного процесса в логическое пространство дает видимый процесс Sn порождения натуральных чисел. Иными словами, логическое пространство, определяемое аксиомами Пеано, дает возможность основам проявиться как натуральным числам (рис. 10).

Что касается формального противоречия A & A, то оно, с одной стороны, принадлежит логическому пространству как одна из правильно построенных формул,

Рис. 10.

FA Рис. 11

с другой, - является механизмом «сжатия» широкого логического пространства до узкого. Это означает, что отсутствие противоречия позволяет беспредикатному процессу проявиться как бесконечная последовательность различных объектов, в данном случае, натуральных чисел.

Если же в логическом пространстве присутствует противоречие 1, то из условия 1 — V ху (х = у) следует, что беспредикатный процесс проявляется как единственный объект, за которым стоит неограниченная последовательность тождественных ему объектов (рис. 11).

Легко видеть, что процесс, помещенный в узкое логическое пространство, трансформируется в объект, стабильный по отношению к объектам того же самого процесса, размещенного в широком пространстве. Это значит, что введение формулы противоречия в широкое логическое пространство эквивалентно торможению процесса относительно предикатов, входящих в эту формулу.

Вспоминая то, что понятие торможения есть расширение понятия предела, можно сделать вывод, что формула противоречия является механизмом, обеспечивающим предельный переход внутри формальной системы.

Рассмотренная интерпретация позволяет не только избежать абсурда при введении формулы £ю = ю & £ю ф ю, но и определить новый объект, стабильный относительно предиката «=». Заметим, что при этом вовсе не обязательно вводить новую константу ю до введения формулы противоречия. Достаточно записать его, например, в следующей форме Б0 = 0 & Б0 ф 0. Это позволяет сжать пространство до одного объекта «0», который затем может быть переименован в ю. Рассмотрим эту мысль подробнее.

Узкое логическое пространство ЕЛ1 само по себе имеет минимальный познавательный интерес. Необходимо связать его с широким пространством ЕЛ, в новом едином логическом пространстве ЕЛ1 и ЕЛ. Для этого необходимо тем или иным способом разрешить противоречие £0 = 0 & £0 ф 0, т. е. расширить узкое логическое пространство ЕЛ1.

Это возможно путем совершения следующих действий.

1. Переименование константы «0»: 0 — ю. Само по себе это не разрешает противоречия, но позволяет отделить узкое логическое пространство ЕЛ1 от широкого логического пространства ЕЛ, в котором имеется константа «0».

«= я»

У*

2. Разделить предикат «=» на два предиката: «=»

«= 2»

Формула противоречия при этом приобретает следующий вид:

Бю = яю & Бю ф 2ю.

Эта формула внешне совпадает с формулой, определяющей бесконечный Тя-объект в традиционной схеме формализма. Отличие состоит в том, что формула Бю = яю & Бю ф 2ю возникает после развертывания натурального ряда в широком логическом пространстве ЕЛ. Это освобождает нас от записи эквивалентности Тя <» Т2 и, следовательно, от противоречия.

3. Альтернативой предыдущему действию может быть преобразование шага Б после ю в шаг Бь Тогда формула противоречия запишется в виде Бю = ю & Б^ ф ю. Содержательно Б можно интерпретировать как настолько большой шаг по сравнению с шагом Б, что он позволяет преодолеть стабильность ю относительно Б.

И в первом и во втором случае устранение противоречия дает возможность расширить логическое пространство ЕА(1) до пространства ЕЛ и ЕЛ1, и, тем самым, продолжить последовательность натуральных чисел на бесконечные объекты.

Наглядно это можно изобразить так:

Следует отметить также, что бесконечность при таком взгляде является относительной. Внутри каждого уровня, каждой цивилизации нет бесконечных объектов. Бесконечность возникает только при сопоставлении фрагментов - «цивилизаций», что интуитивно вполне естественно.

Возможность такой картины основана на понимании формулы противоречия как механизма конструирования, а не как необходимого условия существования формальной системы.

Такой поворот может показаться неожиданным, но только на первый взгляд. Для этого рассмотрим следующую механическую аналогию.

Пусть на прямой движется материальная точка под действием силы К. Чтобы затормозить этот процесс и зафиксировать точку покоя (тонкости с его относительностью в данном контексте опускаются), необходимо мгновенно подействовать на движущуюся точку с силой - К.

Почти само собой напрашивается следующее соответствие:

S0 ф 0 F

S0 = 0 -F

S0 = 0 & S0 ф 0 F + -

£ І t t нч О FA1 © (Sb) ^ ^ -

FA и FA1 ...

К фрагменту II логического пространства ЕЛ и ЕЛ1 может быть применена аналогичная процедура с введением новой константы и последующим устранением противоречия и так вплоть до числа О.

Этот процесс может быть изображен как последовательность сменяющих друг друга логических пространств, причем каждое последующее пространство строится путем сжатия, разрушения предыдущего.

В результате этого процесса и образуется ББ-последовательность:

Q.

Tr & Tz

Tz

Разумеется, данная схема применима к любому логическому пространству L, результатом которой является SE-последовательность в общем виде. Однако мы не будем здесь проводить необходимые уточнения.

Рассмотренная схема формализма дает иную картину, нежели классическая схема.

Мир в этом формализме распадается на отдельные фрагменты, «цивилизации», которые развиваются во времени и заканчивают свое существование «локальным апокалипсисом» (термин Н.А. Бердяева). Однако это пространственная катастрофа еще не является бедой в масштабах времени. Она порождает новый фрагмент, новую цивилизацию, которая в свернутом, символическом виде содержит прежнюю цивилизацию.

Такая расшифровка противоречия была известна еще И. Канту, который еще в 1763 г., в небольшой работе «О ложных тонкостях 4-х силлогистических фигур» писал, что тело, которое одновременно движется и покоится, есть небылица, но тело, которое одновременно подвергается действию одинаковых сил по двум диаметрально противоположным направлениям, находится в покое.

В заключение приведем теорему, иллюстрирующую возможности развитого выше подхода.

Теорема 4. Беспредикатный процесс Л, погруженный в логическое пространство L = {Тя, Т2; Тя Т2}, есть последовательность натуральных чисел.

Доказательство. Поскольку в данном логическом пространстве отсутствует противоречие, то это широкое пространство, в котором может быть размещено бесконечное число различных объектов. Таким образом, процесс Л видимым образом проявляется как бесконечная последовательность. Это проявление подразумевает существование некоторого объекта 0 и шага Б.

В этой бесконечной последовательности различимых объектов можно выделить некоторый начальный объект 0 и шаг Б - «переход к следующему объекту». Поскольку предикаты Ь применимы ко всем порождаемым объектам, шаг Б можно считать не меняющимся при переходе объекта к объекту.

Поскольку пространство широкое, Б0 фк 0 и Б0 =20. Из определения Т2 вытекает, что если для любых х и у справедливо Бх = 2 Бу, то справедливо и х = ¿у. В силу эквивалентности, то же справедливо и для предиката Тя. Соединив предикаты Тя(х, у) и Т2(х, у) в один предикат равенства, мы получим систему аксиом Пеано, за исключением аксиомы индукции. Но она эквивалентна видимому проявлению процесса Л. Следовательно, утверждение доказано.

о

ю

Смысл этой теоремы состоит в том, что натуральное число определяется как объект, в котором соединяется количественная и порядковая различимость или иначе - различимость пространства и времени. Этой теоремой мы закончим изучение математических аспектов длительности, а вместе с ними - и всю работу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренная выше теория является радикально не теоретико-множественной, что создает для нее трудности совершенно особого рода.

Дело в том, что множества являются почти идеальным инструментом обустройства математического Міра, отказаться от которого чрезвычайно трудно. Не случайно, Д. Гильберт уподобил такой отказ изгнанию из рая.

Но не только соображениями удобства объясняется приверженность математиков канторовской теории.

Сегодня теория множеств - это больше чем математическая теория, больше чем основания математики. Она сама математическая цивилизация, «мировой математический порядок», своеобразная доктрина Монро от математики, запрещающая или, во всяком случае, морально ограничивающая всякую вне теоретико-множественную деятельность. «Математика, основанная на канторовской теории множеств, превратилась в математику канторовской теории множеств», -подвел итог этой экспансии П. Вопенка [2].

Более того, в теории множеств можно угадать модель, прообраз того «нового мирового порядка», который развертывается на наших глазах, подавляя всякое проявление живой мысли и разумного действия.

Чрезвычайная эффективность теории множеств как модельной среды можно объяснить тем, что она предельно заостряет одну из самых существенных и глубинных проблем ново-европейской мысли: отношение части к целому, индивидуума к универсальному.

Объект мысли в плоскости этой проблемы должен быть, прежде всего, построен для чего-то и из чего-то. То же самое можно сказать о мире материальном. Например, чтоб «пообщаться» с Богом, необходимо построить Вавилонскую башню. Средствами построения здесь являются камни, рабочие руки и, как всегда, деньги. Пример, разумеется, не европейский, но чрезвычайно близкий ей по общему умонастроению. Или, чтобы построить натуральный ряд, необходим объект «0» и неограниченный «запас» количеств.

Подобные параллели могут показаться неправомерными, однако тяготение европейской мысли к обладанию универсальным инструментом деятельности, будь то мир множеств в математике или мир доллара в социуме, неоспоримо.

Такие инструменты становятся предметом псевдорелигий, а человек, завладевший одним из них, причисляется к избранным. Жизнь же обычного человека в такой цивилизации превращается в одно грандиозное жертвоприношение.

Если вглядеться внимательнее, то именно такой образ несмываемым пятном все более отчетливо проступает на величественной тоге «цивилизованного» мира.

Математика длительности дает существенно иную модель. В ее основе нет стремления к построению искусственных универсалей, поскольку единственная Универсальность предполагается данной каждому индивиду. Главная проблема заключается не в том, чтобы построить необходимый объект, а в том, чтобы проявить его. Это уже не проблема части и целого, а проблема мгновения и Вечности, времени и его завершения. Различие этих моделей на примере различного понимания натурального числа иллюстрирует теорема 4 из последнего параграфа.

За этой моделью, как и за теоретико-множественной, угадывается целый М!р, цивилизация, в которой будут доминировать не желание преобразовать, переделать, «исправить» Мр, а пристальный взгляд в его глубины, обращение к его Творцу. Время этой цивилизации еще не пришло. Но то, что осуществимо в модели и желаемо в душе, может произойти и наяву. Течение времени нельзя рассчитать и предсказать. Его можно только переживать. Главное, чтобы в нем всегда была Любовь, Вера, Надежда!

ЛИТЕРАТУРА

i rjlO

1. Dantzig Van. Is IO a finite number? // Dialéctica. 1956. № 9. Р. 273-277.

2. Vopênka P. Mathematics in the Alternative Set Theory. Leipzig, 1979. (Русский перевод. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. М.: Мир, 1983).

3. Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях. Математиче-ски-философский опыт учения о бесконечном // Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985.

4. Лосев А. Ф. Логическая теория числа // Вопросы философии.

5. Mitteilungen zur Lehre vom Transfmitum. (Русский перевод. Кантор Г. К учению о трансфинитном. Труды по теории множеств. М., 1985.).

6. Bekker O. Grösse und Grenze der mathematischen Denkweise. Freiburg; München, 1959.

7. Лосев А.Ф. Диалектические основы математики // Хаос и структура. М.: Мысль, 1997.

8. Cohen P.J. Set Theory and the Continuum Hypothesis. (Русский перевод. Коэн П.Д. Теория множеств и континуум-гипотеза. М.: Мир, 1969).

9. Scott D., Solovay R. Boolen-valued Models for Set Theory, Proc. of Sump. in Pure Math., 13. II.

10. Рашевский П.К. О догмате натурального ряда // Успехи математических наук.

11. Bergson H. Essai sur les données immédiates de la conscience. (Русский перевод. Бергсон А. Опыт о непосредственных данных сознания. Собр. соч. Т. 1. М.: Московский клуб, 1992).

12. Brougle L. ge. Les incertitudes d’ Heisenberg et l’interprétation probabiliste de la mécanique ondulatoire. (Русский перевод. Де Бройль Л. Соотношение неопределенностей Гейзенберга и вероятностная интерпретация волновой механики. М.: Мир, 1986).

13. Dirac P.A.M. The Principles of Quintum Mechanics. (Русский перевод. Дирак П. Принципы квантовой механики. М. : Наука, 1979).

14. Лосский В.Н. Очерк мистического богословия восточной церкви. Догматическое богословие. М., 1991.

15. Прокл. Первоосновы теологии. М.: Прогресс, 1993.

16. Аверинцев С. Поэтика ранневизантийской литературы. М.: CODA, 1997.

17. Мейендорф И. Введение в святотеческое богословие. Вильнюс -Москва: Весть, 1992. C. 303.

18. Wittgenstein L. Logisch-philosophische Abhanglung (Русский перевод. Витгенштейн Л. Логико-философский трактат // Витгенштейн Л. Философские работы. Ч. I. М.: Гнозис, 1994).

Поступила в редакцию 24 мая 2000 г.