Поперечники Колмогорова и ненасыщаемые методы аппроксимации классов функций, определяемых решениями уравнений математической физики (часть I. функции одной переменной)

УДК 518.5

И. В. Бойков

ПОПЕРЕЧНИКИ КОЛМОГОРОВА И НЕНАСЫЩАЕМЫЕ

МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ РЕШЕНИЯМИ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Аннотация.

Актуальность и цели. Среди ряда важных проблем вычислительной математики можно сформулировать две проблемы: вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко на классе Qr (О,M); построение ненасыщаемых методов аппроксимации компактов функций. Вычислены поперечники Колмогорова и Бабенко классов функций Q(О,M) и Q(О,M), являющиеся обобщением класса функций Qr (О,M); построены оптимальные по порядку методов приближения этих классов; построены ненасыщаемые алгоритмы аппроксимации этих же классов. Точность ненасыщаемых алгоритмов отличается от точности оптимальных множителей O(lna n), где n - число функционалов, используемых при построении алгоритма, a - некоторая константа. Классам функций Q^y (О, M), Q^y (О, M) принадлежат решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.

Материалы и методы. Вычисление поперечника Колмогорова основано на оценке снизу поперечника Бабенко, оценке сверху поперечника Колмогорова и на использовании леммы, устанавливающей связь между этими поперечниками. Для оценки сверху поперечника Колмогорова строятся локальные сплайны, которые являются оптимальными методами приближения классов функций Quy (О, M), QUy (О, M).

Результаты. Построены оптимальные методы аппроксимации классов функций Qfr(О,M), QU(О,M), которые могут быть положены в основу эффективных численных методов решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.

Выводы. Построенные в работе сплайны могут быть положены в основу конструирования эффективных численных методов решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений.

Ключевые слова: поперечники Колмогорова, поперечника Бабенко, ненасыщаемые методы, сплайны, оптимальные алгоритмы, весовые пространства Соболева.

I. V. Boykov

KOLMOGOROV DIAMETERS AND UNSATURABLE METHODS OF APPROXIMATION OF FUNCTIONCLASSES, DETERMINED BY SOLUTIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS’ EQUATIONS

Abstract.

Background. Among the important problems of calculus mathematics there can be formulated two problems: calculation of Kolmogorov and Babenko diameters in Qr (П, M) class; development of unsaturable methods of function compacts approximation. The author calculated Kolmogorov and Babenko diameters of Qju^ (П, M) and quy (П, M) function classes, being the generalization of the Qr (П, M) function

class; built optimal in method order approximations of the said classes; built unsaturable algorithms of the said classes’ approximation. Accuracy of the unsaturable algorithms differs from optimal O(lna n) multipliers, where n - number of functionals used in algorithm construction, a - certain constant. Q^ (П, M), Q^y (П, M) function classes include solutions of elliptic equations, weakly singular, singular and hypersingular integral equations.

Materials and methods. Calculation of Kolmogorov diameter is based on the estimate at the bottom of Babenko diameter, on the estimate on the top of Kolmogorov diameter and on usage of the lemma connecting the said two diameters. To estimate the top of Kolmogorov diameter one builds local splines, which appear to be the optimal methods of approxaimation of Qr, (П, M), (П, M) function classes.

Results. The author developed optimal methods of approxaimation of Qurl (П, M), Qu y (П, M) function classes, which may form a base of effective numerical methods of solution of elliptic equations, weakly singular, singular and hypersingular integral equations.

Conclusions. The splines, built in the work, may form a base for construction of effective numerical methods of solutions of elliptic equations, weakly singular, singular and hyper singular integral equations.

Key words: Kolmogorov diameter, Babenko diameter, unsaturable methods, unsaturable splines, optimal algorithms, Sobolev weight space.

Введение

В работе [1] К. И. Бабенко сформулировал ряд важных задач вычислительной математики.

Одна из них относится к вычислению поперечников Колмогорова и Бабенко на классе функций Qr (П,M). Как отмечает К. И. Бабенко, интерес к этой задаче вызван тем, что решения эллиптических уравнений принадлежат классу Qr (П,M). Позднее было показано, что решения слабосингулярных интегральных уравнений [2, 3], решения сингулярных и гиперсингуляр-ных интегральных уравнений [4, 5] принадлежат классам функций

Qry (П, M), Бп (П, M), являющихся обобщениями класса функций Qr (П, M).

Задача вычисления поперечников Колмогорова и Бабенко на классах функций Qry(П,M), Qrj(П,Ы) Bry(П,M) решена автором [6-8].

Для оценки сверху поперечников Колмогорова классов функций Qry (П,M) и Bry (П,M) были построены [6-8] локальные сплайны, являющиеся оптимальными по порядку методами аппроксимации классов функций Qry (П, M) Bry (П, M).

Вторая задача относится к построению ненасыщаемых численных методов.

Исследование ненасыщаемых алгоритмов аппроксимации бесконечнодифференцируемых функций было проведено В. Н. Белых [9].

Построенные в работах [6-8] оптимальные методы аппроксимации функций из классов 0гу (П,M) являются насыщаемыми. Поэтому представляется актуальной задача построения ненасыщаемых методов аппроксимации функций из классов Qr ^ (П, M), 0%.^ (П, M), являющихся обобщением класса функций Qry (П, M).

В разделе 1 описаны классы функций, используемые в работе, и приведены необходимые определения и обозначения.

В пункте 1 раздела 2 построены оптимальные по порядку методы

аппроксимации классов функций 0^ (П, M), 0^ (П, M), П = [-1,1].

В пункте 2 раздела 2 построены ненасыщаемые методы аппроксимации классов функций 0^ (П, М), 0^ (П, М), П = [-1,1].

1. Классы функций. Определения

В работе К. И. Бабенко [1] введен класс функций 0Г (П,М).

Определение 1. Пусть П = [-1,1]1,I = 1,2,... Функция ф(х^...,XI) принадлежит классу 0Г (П, М), если выполнены условия:

тах

хеП

3|v|9( *1, ..., xi) / Эх^ — Эх^ 3|v|9( *i,., *i) / Эх^1 — d*ll

M

<------------—, x еП \ Г, при r <| v |< 2r +1,

(d (x, r))|vl-r

где х = (х1,..,х/), V = (1,..,У/), |V |= V +-+ VI, й(х,Г) - расстояние от

точки х до границы Г области П, вычисляемое по формуле

й(х,Г) = тт1<г</тт(|-1 -х |,|1 -х |).

Приводимые ниже классы функций 0Г^ (П, М), 0^ (П, М),

0и у (П, М) являются обобщениями класса 0Г (П, М).

Определение 2. Пусть П = [-1,1]1,1 = 1,2,. Функция ф( х1..., х1) принадлежит классу 0Г у (П,М), если выполнены условия:

тах

хеП

М

--------гг—у, х еП \Г, при г <| v |< 5

(й (х, Г))|v|-r^

где 5 = г + [у] +1, у = [у] + Ц, 0< Ц <1, £ = 1 -Ц при у нецелом, 5 = г + у

при у целом.

Определение 3. Пусть П = [-1,1]1, I = 1,2,.; у, г и и - неотрицательные целые числа. Множество 0. (П, М) состоит из функций ф(х1, х2,..., х1), удовлетворяющих условиям:

тах

хеП

Э^ф( х) / Эхр —Эх^1

< M при 0 <| v |< r -1;

3|v|9( х)/ Эх-11 —Эх^

< M(1+ |lnud(х, Г) |), х е П \ Г, при | v |= r;

d|v|9( х)/ Эх^1 —Эх^1

< M(1+|lnu-1d(х, Г)|) П \ Г <| |<

<—1—!--------гг-—, х е П \ Г, при r <| v |< s,

(d (х, Г))М-г

где 5 = Г + у.

Определение 4. Пусть П = [-1,1]1,1 = 1,2,.,и, - натуральное число, у - нецелое число. Класс 0%. у(П,М) состоит из функций, удовлетворяющих следующим условиям:

<

тах

хеП

M

Э^ф( х) / Эх^1 —Эх^‘

(d (х, Г))М-г-Z

(1+ |lnud(х,Г) |), хе П \ Г, при r <| v |< s,

где 5 = г + [у] +1, у = [у] + Ц, 0<Ц <1, £ = 1 -Ц.

Определение 5. Через С (1) обозначен класс функций I независимых переменных, у которых существуют и ограничены по модулю единицей все частные производные до г -го порядка включительно.

Пусть А = [а,Ь], с е [а,Ь],/(х) еЖг. Через Тг (/, А,с) обозначен отрезок ряда Тейлора

Тг (/, А,с) = /(с) + /(С)(х - с) + • • • + /Г^С)(х - с)г.

1! г!

В работе используется формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме [10].

Напомним эту формулу:

/ (х) = / (с) + /'(с) + Г (с) + ••• + (х-^1 /г -1 (с) + Яг (х),

1! 2! (г -1)!

где

i t

Rr(x) = ( -1)! J(x-t)r-if(r)(t)dt.

(г -1)!-

а

Пусть А = [а!,Ь1;...;а/,Ь/], I = 2,3,., сеА, /(х1,...,х1)е С. Через Тг (/, А, с) обозначим отрезок ряда Тейлора

Тг (/, А, с) = /(с) +1 й/(с) + • +1 йг/(с),

1! г!

где йг/(с) - дифференциал г -го порядка функции /(х1,...,), вычисленный в точке с.

В работе используется формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в интегральной форме [11].

Напомним эту формулу:

/

к=0 11=1 1к =1 11 ^

где

i i l l Г

Rr+i( X) = l j(i - U )Г і і I Xji - X°

' О ji=i jr+i=i

X -хО 'Id'+i f(X°+U (x - X° )) d _

Д, , Д, . і ІЛІЛ

Jr+i j,+i) дх,- •••Эх,-

ji jr+i

=

Пусть B - банахово пространство; X с B - компакт; П: X ^ X -представление компакта X с B конечномерным пространством X.

Определение б [i2]. Пусть L - множество n -мерных линейных подпространств пространства B. Выражение

Ln хєXrєLn

где последний inf берется по всем подпространствам Ln размерности n, определяет n -поперечник Колмогорова.

Определение 7 [i2]. Пусть %є Rn. Выражение

5n (X) = inf supdiamn-in( x),

(n:X ^Rn ) xeX

где inf берется по всем непрерывным отображениям П : X ^ Rn, определяет n -поперечник Бабенко.

2. Методы аппроксимации классов функций

QUn (П, M) и Qun (П, M), П = [-1,1]

2.1. Оптимальные по порядку методы аппроксимации классов функций Q

В этом разделе оцениваются поперечники Бабенко и Колмогорова для классов функций Q^ (П, M), QWy (П, M), П = [-1,1] и строятся оптимальные методы аппроксимации этих классов.

Рассмотрим класс функций Qr^ (П,M). Построим локальный сплайн,

аппроксимирующий функции класса Qry (П,1) с точностью cn~s, где n -

число функционалов, используемое при построении сплайна.

Разделим сегмент [-1,1] на 2N частей точками tk = -1 + (k / N)v и

Тк =1-(k / N)v, k = 0,1,.., N,v = s / (s-у). Через Ak и a| обозначим

1 2

сегменты Ak =[tk, tk+1], Ak =[Tk+1,Tk ], k = 0,1, ...,N -1. Каждый из

сегментов Ak, k = 0,1,., N -1, i = 1,2, разделим на Mk равных частей, k = 0,1,., N -1, точками

tk, j = tk + (tk+1 - tk) j / Mk, Tk, j = Tk - (Tk - Tk+1) j / Mk, j = 0,1,.,Mk, k = 0,1,.,N -1.

Здесь Mq = Пи n~],Mk =1, k = 1,2,.,N -1, если w = 1 и M0 = TlnM/rN ], Mk = Tln(w-1)/s(N/k)!, k = 1,2,.,N-1, если w = 2,3,.

Полученные в результате деления сегменты обозначим через Ak j,

j = 0,1,.,Mk -1, k = 0,1,.,N-1, i = 1,2.

Здесь A1k,j =[tk,jAi,j =[Tk,j+1,Tk,j], j = 0,1,-.,Mk -1,

k = 0,1,.,N -1.

Пусть /е C[a,6]. На каждом сегменте [a,b] построим полином

Ps (f,[a,b]), интерполирующий функцию f е Q^y(П,1) следующим образом.

Обозначим нули полинома Чебышева первого рода степени s через Zk,k = 1,2,.,s. Аффинно отобразим сегмент [Z1,Zs] с [-1,1] на [a,b] так, чтобы точки Z1 и Zs отобразились в точки а и b соответственно. Обозначим образы точек Zi через Z'i, i = 1,2,., s. Обозначим через

Р5 (/ ,[а, Ь]) полином, интерполирующий функцию / по узлам

, 1 = 1,2,., 5, на сегменте [а, Ь].

Обозначим через /^ локальный сплайн, составленный из полиномов Р(/,Ак, 1), ] = 0,1,..,Мк -1, к = 0,1,..,М-1, 1 = 1,2.

Теорема 1. Пусть П = [-1,1]. Пусть г,и,у - положительные постоянные, 5 = г + у. Тогда 5п (ОГ у (П, М)) = С йп (0^ (П, М), С) = С п-5 и сплайн /м является оптимальным по порядку методом аппроксимации фукций класса

0% (П, М).

Доказательство. Оценим погрешность || / -/^ ||с(П) . Для определенности рассмотрим случай, когда и = 2,3,. Случай, когда и = 1, рассматривается аналогично.

Оценивая точность аппроксимации на сегменте А10 , ограничимся

рассмотрением || / - /^ || { . Очевидно,

С

|| / - /^ ||с(А00) “ Е -1 /, А0,0 )(1 + ^5 ),

где Е5-1(/, А) - наилучшее приближение функции / в равномерной метрике на сегменте А полиномами степени 5 -1; Х5 - константа Лебега по 5 узлам, расположенным на сегменте А.

Используя формулу Тейлора, имеем

Es-i

<

i

C(A0,o) (r-i)! ^

тах

1,0

j/г)ш-т)0 idт

-i

<

где

7-----7T7 max

(Г - i)! *єЛІ

< c

f i Y NvM0

0,0

lnu

j (i+|ln r(i + т) |)(t - т)0-i d т

-i

f

i

NvM 0

< c----i-(ln rN + ln r ln N) < c—^,

Ns ln rN Ns

00 = k) /M0, k)= ti -10. Следовательно,

If - fvllc (A') £ CN -, i = 1,2.

Оценим теперь норму

Ilf - f^llc (Ak .), j = 0,1,.,Mk-1, k = 1,.,N -1, i = 1,2.

Оценка следует из цепочки неравенств

\\f - f4

,1 ч<‘

c(tk,1 - tk,0)s Г N \vY

C (Ak ,1) 2s-1 s!

1+

lnw -1!N

vj

<

( U. V

< c

V Mk j

N

VJ

N

T j I1+^T1 <

< c

V

f'k+1\v Гk^vЛ

N

N

1

N\0 -1)/s

ln —

k

N

vy

1+lnw-1 N i <

< c

(k + 0)'

(v-1)s-vy

<

Ns Ns

где tk,j = tk + (tk+1 - tk )j/ Mk, j = 0,1,...,Mk, k = 0,1,..., N -1.

Нормы f -fN||C(Ak ,), j = 0,1,.,Mk -1, k = 0,1,.,N-1, i = 1,2,

1

оцениваются аналогично.

Из оценок (1), (2) следует, что

Ilf -fvll

C

< cN-s.

Оценим число узлов используемых для построения локального сплайна /ы. Вначале оценим общее число сегментов Ак/, 1 = 0,1,..,Мк -1,

к = 0,1,..,Ы-1, 1 =1,2, покрывающих [-1,1].

Пусть q = (и -1) / 5. Тогда

N-1

( n-1 1 ,Л

w 2— w-1N

m

< c

k=0

Г N-1

N + ^ ln q

k=2

= 2^Mk <2 lnrN + Zьт-т

N

V

\ Г

< c

k=1

N

N + N J 1

<

ln qt

< cN.

Общее число узлов, используемых для построения сплайна, равно п = (5 + 1)т +1 = сЫ.

Следовательно, ||/ - /ы |С([_11]) < сЫ~5 < сп~5.

Так как сплайн /Ы непрерывный, то

dn (Qr ,Y (П,1), C) < cn-s.

Докажем неулучшаемость оценки (5). Для этого покажем, что ёп (ОГ,у (П,1), С) > сп-5.

Заметим, что 0Г у(П,1) с о. у(П,1). Известно [7, 8], что

5п (0Гу (П,1)) ^ п 5. Следовательно,

5п

Сопоставляя оценки (5), (6), имеем

5п (ёи,у (П,1) П ёп (ёи,у (П,1)), С) П сп-5.

Теорема доказана.

Рассмотрим класс функций О.у (П,1).

Построим непрерывные локальные сплайны, являющиеся оптимальными по порядку алгоритмами аппроксимации функций класса О.у(П,1).

Для этого покроем сегмент [-1,1] более мелкими сегментами Ак 1, 1 = 0,1,..,Мк -1, к = 0,1,,.,Ы-1, 1 = 1,2, подобно тому, как это сделано на

классе 0Г у (П,1). Отличие состоит в том, что теперь

М0= Ппи/(г+1-^)Ы],ц = 1 -с, Мк = Г1пи/5ы1, к = 1,2,.,Ы-1.

Функцию / е 0.у (П,1) аппроксимируем сплайном /ы , составленным

из полиномов Р5(/,А\ 1),у = 0,1,..,Мк - 1,к = 0,1,.,Ы-1,1 = 1,2. Повторяя,

с изменениями технического характера рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 1, приходим к следующему утверждению.

Теорема 2. Пусть П = [-1,1]. Пусть г, и - положительные целые числа,

у - положительное нецелое число. Тогда сплайн /ы является оптимальным по порядку (по точности) методом аппроксимации функций /е О.у(П,1). Справедлива оценка 5п (0. у (П, 1)) = сёп (0. у (П,1), С) = сп-5.

2.2. Ненасыщаемые алгоритмы аппроксимации функций из 0“у(П,1), О.у(П,1), П = [-1,1]

Рассмотрим класс функций 0Г у(П,1). Для аппроксимации функций

/ е 0Г у (П,1) построим непрерывный локальный сплайн, использующий не более, чем п узлов. Обозначим через пд, п1 натуральные числа, причем п0 = Г1п п1, п1 = Гп / п01. Обозначим через п2 натуральное число, величину

которого определим ниже. Введем узлы 1к = -1 + (к / п2^, Тк =1 - (к / п2), к = 0,1, ...,П2, V = 5/(5-у), и сегменты Ак = [к ,^к+1], А2 =[Тк+1,Тк ], к = 0,1,.,п2. Каждый из сегментов Ак покроем более мелкими сегментами Ак 1, 1 = 0,1,.,Мк -1, к = 0,1,.,п2, 1 = 1,2. Построение сегментов Ак 1 аналогично приведенному при доказательстве теоремы 1. Здесь М0 = Г 1п п21, Мк =1 при и = 1 и М0= Г1пи/гп21, Мк = Г1п(и-1)/5(п2 /к)1, к = 1,2,.,п2.

Обозначим через пз общее число сегментов Ак , 1 = 0,1,.,Мк -1, к = 0,1,., п2 -1,1 = 1,2, покрывающих [-1,1].

Пусть п2 - наименьшее натуральное число, при котором пз > п1. Для определенности положим, что пз = п1.

Как отмечено выше, число п2 используется при построении сегментов

Ак,/, 1 = 0,1,.^-Мк-1, к = 0,1, .,п2 -1, 1 = 1,2.

Функцию / будем аппроксимировать локальным сплайном /п составленным из интерполяционных полиномов

1 = 0,1,..,Мк-1, к = 0,1,.,п2 -1, 1 = 1,2.

Оценим | |у - ./п||с ([-1,1]).

Нужно рассмотреть два случая: 1) 5 < п0; 2) 5 > и^.

Вначале рассмотрим случай, когда 5 < п^.

Из теоремы Джексона следует

V f, Ak, j),

If - fN\[

C(Ak,0) < c

Г tk ,1 - tk ,0 \s _1 n

J

n2 s> k

vy

1 +

,w -1( n2

to“"1T

vy

<

< c

Г JL. \s 2Mk,

vy

n0

1+

h"1T

w-1( n2

vy

< c

Г \s

(k + 1)v - kv

n2 (ln n2)(w-1)/s k

ln I -T

-1f n2

vy

<

n2nQ n

= —.

Здесь использована формула (4), из которой следует, что п = сп2. Нормы ||/ - /ы||с (Дк ,), 1 = 0,1, .,Мк -1, 1 < к < п2 -1, 1 = 1,2, оценивается по аналогии с неравенством (7).

Следовательно,

f - fn

где 1 = 0,1,.Мк -1, к = 1,2,.,п2 -1, 1 = 1,2.

°ценим ||у-/п\\С(А100) < Е5-1 (/,а10,0)(1 + X5). Используя формулу Тейлора, имеем

Е5-1

c (А0,О) it

<7-------777 max | j f(r)(T)(t -т)г-i dт |<

(r - i)' *1 J.

tєЛ00 -1

1 t 1

< -----177 max j (i+|lnU (i + T)|)(t-т)Г 1 d т< — (h0),o\lnU hoo\+h,o )<c ~T,

(r - i)! tєл0O - r- 1 4

00 -i

где h0,k =| t0,k+1 - t0,k |, k = 0,i,-.-M - 1

Следовательно,

Es-i (f, A0,o )< -c-.

п25

Так как константа Лебега Х5 не зависит от И2 и инвариантна относительно длины сегмента, то имеем

llf fn llc(л0О) < ns.

п2

2

Аналогичные оценки справедливы и для Д00 =[Т01,Т0 0]. Окончательно имеем

llf fnllc(A0,o) < n2. Из формул (7)-(10) имеем при s < no

\\f - fn

< = cln sn

(П^ И2 п5

Рассмотрим теперь случай, когда И) < 5.

Здесь в отдельности нужно рассмотреть случаи, когда < г -1, г = и^,

Г < И0 < 5.

Нетрудно видеть, что при И0 < г -1

llf fn llc([-1,1]) <

1C([-1,1]) - maxllf - fnllc(Ak,J) < cmkax

f tk ,1 - tk ,0 T0 i

2no n0!

<

< c max1<k <n2 -1

Y0

(k + 1)v - kv

2n2 (ln Щ(и -1)/5 k

n

2n' n0!

- + c

v nlM0 ,

2n° n0!

,(v-1) n0

< c max

k 2я™0 Г ln Tf -1)”o/5””o!_ „,”0 „„0, n"0+1'

Рассмотрим случай, когда И0 = г. Выше было показано, что

f - fnlUA' ) < — =

”11С (AQ ) 5

Oj n2 n

c _ cln sn

5 „5

При 1 < к < И2 -1 имеем оценку

f - fn

(k + 1)v - k

\u / r

2n21 ln —

ln

1 + ln

Wu

n2

2r-1 r!

//

k(v-1)r 1 1 1 rr

< c-----------------— = c---------— = c-

2гг?{ 2r-1 r! n2n2r! nr+2 r! '

n2 n

Из последних двух оценок следует, что

f - fAc ([-1,1]) <

c min

Г ln5n 1 rr ^

~n5~, n^

Рассмотрим случай, когда г < И0 < 5. В этом случае, как показано выше,

f - л!

c cln 5n

C(A0,j )_ 4 n5

При 1 < к < И2 -1 имеем оценку

-fNIC(Ak,j) <

(k + 1)v - kv Г0

2n2 I ln —

(u-1)/5

2"° ”q!

X

Г

y It-1 J k(v-1) T' г n2 Y( n0-r) 1

X

1 + ‘п|”2

w

< C

//

2n2v

2

ln n2

„„q! V k

<

„ \U—1^ c ,П\ +U-1

(ln n)r 1 < r +2 (ln n) 0

nn0+2n„!

Из последних двух неравенств следует, что

Г

/

Таким образом, построен ненасыщаемый метод аппроксимации функций класса 2г у (^Д )•

1. Бабенко, К. И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. - 1985. - Т. 40, № 1. -

2. Вайникко, Г. М. О гладкости решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений / Г. М. Вайникко // Математический сборник. - 1989. -Т. 180, №12. - С. 1709-1723.

3. Вайникко, Г. М. Методы решения слабосингулярных интегральных уравнений / Г. М. Вайникко, А. Педас, П. Уба. - Тарту : Тартуский гос. ун-т, 1984. -94 с.

4. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингу-лярных интегралов. Часть I. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2005. - 360 с.

5. Бойков, И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингу-лярных интегралов. Часть II. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2009. - 252 с.

6. Бойков, И. В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисления интегралов / И. В. Бойков // Оптимальные методы вычислений и их применение. - Вып. 8. -Пенза : Изд-во ППИ, 1987. - С. 4-22.

7. Бойков, И. В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными

сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и математи-

ческой физики. - 1998. - Т. 38, № 1. - С. 25-33.

8. Бойков, И. В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления

интегралов / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПензГУ, 2007. - 236 с.

9. Белых, В. Н. О свойствах наилучших приближений С”-гладких функций на отрезке вещественной оси (к феномену ненасыщаемости численных методов) / В. Н. Белых // Сибирский математический журнал. - 2005. - Т. 46, № 3. - С. 483499.

10. Никольский, С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский. - М. : Наука, 1979. - 254 с.

11. Никольский, С . М . Курс математического анализа / С. М. Никольский. - М. : Наука, 1975. - Т. 1. - 432 с.

12. Бабенко, К. И. Основы численного анализа / К. И. Бабенко. - М. : Наука, 1986. - 744 с.

Ненасыщаемый метод аппроксимации функций класса (П,1) строится аналогично.

Список литературы

С. 3-28.

References

1. Babenko K. I. Uspekhi matematicheskikh nauk [Progress of mathematical sciences]. 1985, vol. 40, no. 1, pp. 3-28.

2. Vaynikko G. M. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collection]. 1989, vol. 180, no. 12, pp. 1709-1723.

3. Vaynikko G. M., Pedas A., Uba P. Metody resheniya slabosingulyarnykh integral’nykh uravneniy [Methods of weakly singular integral equations solution]. Tartu: Tartuskiy gos. un-t, 1984, 94 p.

4. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh in-tegralov. Chast’ I. Singulyarnye integraly [Approximate methods of singular and hypersingular integrals calculation. Part I. Singular integrals]. Penza: Izd-vo PenzGU, 2005, 360 p.

5. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh in-tegralov. Chast’ II. Singulyarnye integraly [Approximate methods of singular and hypersingular integrals calculation. Part II. Singular integrals]. Penza: Izd-vo PenzGU, 2009, 252 p.

6. Boykov I. V. Optimal’nye metody vychisleniy i ikh primenenie [Optimal methods of calculations and application thereof]. Issue 8. Penza: Izd-vo PPI, 1987, pp. 4-22.

7. Boykov I. V. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 1998, vol. 38, no. 1, pp. 25-33.

8. Boykov I. V. Optimal’nye metody priblizheniya funktsiy i vychisleniya integralov [Optimal methods of function approximation and calculation of integrals]. Penza: Izd-vo PenzGU, 2007, 236 p.

9. Belykh V. N. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal [Siberian mathematical journal]. 2005, vol. 46, no. 3, pp. 483-499.

10. Nikol'skiy S. M. Kvadraturnye formuly [Quadrature formulas]. Moscow: Nauka, 1979, 254 p.

11. Nikol'skiy S. M. Kurs matematicheskogo analiza [Course of mathematical analysis]. Moscow: Nauka, 1975, vol. 1, 432 p.

12. Babenko K. I. Osnovy chislennogo analiza [Fundamentals of numerical analysis]. Moscow: Nauka, 1986, 744 p.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street,

Penza, Russia)

E-mail: math@pnzgu.ru

УДК 518.5 Бойков, И. В.

Поперечники Колмогорова и ненасыщаемые методы аппроксимации классов функций, определяемых решениями уравнений математической физики (Часть I. Функции одной переменной) / И. В. Бойков // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 65-78.