Дифракция монохроматического и нестационарного поля на осесимметричном экране с переменным импедансом

Дифракция монохроматического и нестационарного поля на осесимметричном экране с переменным импедансом

Ключевые слова: дифракция, точечный источник, преобразование Фурье, переменный импеданс.

Рассмотрена задача дифракции поля точечного источника расположенного на оси вращения зеркальной антенны с переменным импедансом. Предполагается, что центральная часть экрана является идеально отражающей, а на краях экрана задано обобщенное импедансное краевое условие [1,2]. При этом импеданс зависит от координат. Рассмотрена как стационарная, так и нестационарная задача дифракции для экранов различной формы. Стационарная задача решалась при помощи метода продолженных граничных условий (МПГУ) [3, 4]. Нестационарная

— с использованием преобразования Фурье, то есть путем сведения к стационарной задаче. Одной из целей работы было выявление эффекта снижения уровня боковых лепестков диаграммы рассеяния волнового поля при определенной зависимости импеданса экрана от координат. Точнее, в случае, если импеданс на кромке антенны принимает значение равное согласованному импедансу, то в этом случае наблюдается снижение уровня боковых лепестков по сравнению со случаем идеально отражающего экрана. Как показали расчеты этот эффект проявляется сильнее для экрана сферической формы.

Алероева Х.Т., Кюркчан А.Г., Маненков С.А.,

МТУСИ

I. Постановка задачи.

Рассмотрим зеркальную антенну в виде осесимметричного экрана (то есть тела вращения). Предполагаем, что ось 2 цилиндрической системы координат направлена вдоль оси вращения тела (см. рис. 1). Будем считать, что уравнения контура осевого сечения экрана имеют вид: р = р}(.ч), 2 = г, (л-), где .у е [О, .V, ] • При этом на центральной части экрана, то есть при ж е [О,.V, ] волновое поле удовлетворяет условию Дирихле, а на оставшейся части экрана (при д- е[л,,л,]) выполнено краевое условие вида:

. „ . . W(du, дй

u.—u =0, « = —----------------- ,

k I, дп дп )

ное возбуждение рассматриваемой структуры. В первом случае падающее поле имеет вид

(к

где /?,, =yjp2 +(z-z0)2 ((p,<p,z ) - цилиндрические координаты, z0 - координата источника). В случае нестационарной дифракции падающее поле соответствует гауссовскому импульсу и имеет вид:

( ('-Vc)2l

exp -Л------;--—

О/ р "г/7 \ ехр(/й>(/ - R0 / с)) Т

u (p,z,t) = Re J/(<u)— '

Я,

-do) s -

где г/ - полное волновое поле (здесь и далее символом " " будем обозначать величины, зависящие от круговой частоты со), м = м0+м', причем //" - первичное (падающее), й' -вторичное (рассеянное) поле. Величины н+, й в формуле

(1) - это значения волнового поля на двух сторонах экрана. Таким образом, имеется скачок нормальной производной на поверхности экрана. Далее, в формуле (1) к - волновое число в среде, окружающей рассеиватель, д/дп - означает дифференцирование по нормали к поверхности антенны, направленной в сторону источника поля. Отметим, что величина IV в формуле (I) является функцией координат, то есть импеданс различен в различных точках экрана.

где С - скорость распространения волн в среде,

Т ( агТ-

/(<у) = -?=ехр-------—

\ 4

В формуле (4) Т - полуширина импульса.

Следуя работе [2], будем считать, что импеданс экрана зависит от координат следующим образом:

W =

а(р~р,? (p-pJ

Р\< Р< Рг>

(Pz~P\Y (Рг~Р\)*'

0, else,

где р,, = p0(st,), а постоянные А и В определяются из

физических соображений (см. ниже). Таким образом, для упрощения формул мы считаем, что на всем экране задано обобщенное импедансное краевое условие (1).

2. Решение стационарной задачи при помощи МПГУ.

В соответствии с МПГУ граничное условие (1) переносится с поверхности экрана на вспомогательную поверхность вращения Sg, уравнения контура осевого сечения которой имеют вид:

ps(s) = + zs(s) = z.j(s) — ——^——<5 •

h(s) малый

h

положительный параметр,

В качестве первичного поля рассмотрим поле точечного источника, расположенного на оси экрана. Будем исследовать как монохроматическое падающее поле, так и импульс-

Здесь 8 -

/?(.у) = Jp~ + i* . причем точка означает производную по

параметру s . Представим рассеянное экраном поле в виде

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-02-00062).

«(г) = й\г)-^~ Гс(г,г')У(г')£/сг'-

4л-

5

______ехр

где й(г,г ) =-----—------'•

Я = у]р2 +р,: - 2рр'со$((р - <р') + (г - г')2 •

Величина 7(г') = — *

ам

ап

в формуле (7), причем квадрат-

ные скобки означают скачок нормальной производной. Далее опустим точку наблюдения в формуле (7) на вспомогательную поверхность 5(>- и воспользуемся условием (1) на

поверхности экрана. В соответствии с МПГУ мы полагаем, что это условие выполнено (приближенно) на поверхности 5<5. В результате получим следующее интегральное уравнение второго рода:

- к2 Г -

Щг)Лг) + — \С(г,г')Яг')^' = И\г), г еЯ,. (8) 4 я J

Учитывая, что в рассматриваемой задаче отсутствует зависимость волнового поля от угловой координаты, из (8) можно получить одномерное интегральное уравнение относительно неизвестной функции у вида

№

О

где

2ж

= ~ [СЧр( ' 1// = </>~<р', Р(5) = й°(р,г).

1п J кИ

О

Уравнение (9) решается численно методом коллокации. Для этого разбиваем интервал [0,52] на два интервала

[0,5|] и [л'| ,Л'2 ], где импеданс равен нулю и отличен от

нуля соответственно. Далее на каждом интервале выбираем точки

=(л-0.5)-!-. и = 1,2...

" М

+

У; - Я,

ЛГ,

, п = 1,2,...,N..

Неизвестную функцию разлагаем по базису из кусочнопостоянных функций х!,(х)< х], (5) •

Л*) =

л=I N

В результате подстановки (13) в (9) и приравнивания правой и левой частей полученного равенства в точках коллокации, получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

-і,;,

«=1

N.

п=I

N7

£4;, т.игл,.

в которой

4*Аи/2

К=П*Рт)> Р,я = 1>2,

где А, = 5, / Лг|, Д: = (5, - 5, ) / М2.

Основной трудностью при численной реализации рассмотренного алгоритма является вычисление матричных элементов СЛАУ (14), а точнее функций .*>„ [51- Подинте-

гральная функция в (10) является бысфоменяющейся функцией переменной ц/, в случае, если точка наблюдения и точка «источника» находятся близко друг к другу. Такая ситуация имеет место при вычислении элементов матрицы СЛАУ, расположенных вблизи диагонали. В результате при расчете матричных элементов затрачивается очень большое время на вычисление указанных выше интегралов (как видно из (10) и (15) приходится вычислять двойные интегралы). Для ускорения счета мы преобразовали данные интегралы следующим образом. Величины 50 могут быть записаны в виде:

50 - 50 + 50,

где

=!(— л 1<а-

СІІ//

\1/2

'

причем а = к2(р2 + р’2 + (г-ї)2), Ь = 2к~рр''. Интегралы 5 выражаются по формуле

I Г ехр (-Ш?) -

кЯ

<1ц/ •

При этом интегралы в формуле (15) по переменной 5 разбиваются на сумму двух интегралов, а именно, первый интеграл вычисляется от бысфоменяющейся части подинте-грапьной функции, выражающейся через величину 5 • По-динтефальная функция второго интефала является гладкой функцией переменной Л'г (см. (18)), и он может быть вычислен при помощи квадратурной формулы с малым числом узлов, например, формулы Гаусса с двумя узлами. Величина 50 выражается через полный эллиптический интефал второго рода К(ц) следующим образом [6]:

2

—

л

В формуле (19) п= 2Ь Хаким образом, интефал ' \« + й

от

быстроменяющейся функции представляет собой однократный интеграл, так как подинтефальная функция представляет собой полный эллиптический интеграл, который находится достаточно быстро при помощи встроенных процедур.

3. Решение нестационарной задачи.

Перейдем к вопросу о решении нестационарной задачи дифракции. Учитывая, что полное поле представляется в виде интеграла Фурье, где спектральная функция находится с помощью описанного выше метода продолженных фа-ничных условий, получаем следующее выражение для поля:

и(р,2,1)к Я с !»(/;?, -, ю) ехр (іо>І) сім •

і’ііс. 5

На всех рисунках диаграмма нормирована на свое максимальное значение. Рис. 2 и 4 соответствуют распределению импеданса, для которого постоянные А = —2/ и В = /', а для рис. 3 и 5 - А = -/ и В = 0.

В обоих случаях импеданс принимал значение /Г(.ь) = —/

на краю экрана, то есть представлял собой согласованный импеданс. Сплошные кривые на рисунках соответствуют ненулевому импедансу, а штриховыми кривыми изображены зависимости диаграммы для идеально отражающего экрана (условие Дирихле на всей поверхности зеркала). Размеры параболического экрана составляли Ы = 40, кр = 20, где с1

- диаметр параболической антенны, Р. - фокусное расстоя-

2

ние. При этом уравнение контура осевого сечения параболического экрана имеет вид г _ Р__£_. Источник находился в

2 2 р

фокусе параболического экрана, то есть в начале координат. Размеры сферического экрана имели значения: радиус кга = 40 / >/з . угол раскрыва (рп =60 • Источник располагался по середине радиуса экрана, то есть при г0 = 0.5го • При таком выборе размеров экранов они имеют одинаковый диаметр, и угол, под которым виден экран из источника излучения, равен 90 . Отметим, что области нулевого импеданса были выбраны примерно одинаковыми (по длине дуги вдоль контура осевого сечения экрана), а именно $ = 0.5.5, для параболической антенны и с = 0.43.9, для сферической. Как

видно из приведенных рисунков уровень дальних боковых лепестков диаграммы рассеяния меньше в случае переменного импеданса экрана. Уровень первых боковых лепестков в случае параболического экрана с переменным импедансом такой же, как у идеального экрана. В случае сферического экрана уровень главного лепестка диаграммы рассеяния при нулевом импедансе экрана и уровень главного лепестка при переменном импедансе относятся примерно как 1.3 и 1.2 в случае А = -2/, В = 1 и Л = —/, 5 = 0 соответственно. При этом уровень первого бокового лепестка уменьшается примерно в 1.5 раза по сравнению с главным. Последующие боковые лепестки снижаются значительно сильнее.

11ерейдем к результатам расчета для нестационарной задачи дифракции. На рис. 6, 7 и 8 представлены зависимости полного волнового поля от времени в трех точках наблюдения для параболического и сферического экранов. При рассмотрении нестационарной задачи все размеры тел удобно отнести к безразмерному параметру к = сТ. Координаты точек наблюдения р = 0 (рис. 6) р!к = 5 (рис. 7) и р!к = 10

(рис. 8). Таким образом, поле вычислялось в точке, расположенной на оси экрана, вблизи кромки экрана и в промежуточной точке. Для всех точек координата 2 выбиралась из условия 12 — 2„)/к — —2 • Для приведенных рисунков в случае параболической антенны с!/к = 20, р/к= 10, г(| = 0, а для сферического экрана ги / *• = 20 / 7з , <р„ = 60 , г„ = 0.5/-0 •

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Кривые I и 3 на рисунках иллюстрируют поведение поля для идеально отражающих параболического и сферического экранов (то есть при нулевом импедансе), а кривые 2 и 4 соответствуют параболическому и сферическому экранам с А = -/' и В = 0. На всех рисунках видно наличие падающего и отраженного от экрана импульсов. Как следует из рисунков, в случае если точка наблюдения расположена вблизи

кромки экрана, отраженный импульс имеет небольшую амплитуду по сравнению с падающим в силу поглощения энергии на краях рассеивателя.

На рис. 9-11 представлены зависимости временной диаграммы рассеяния, то есть функции %

0 = 90" (рис. 10) и 0=180” (рис. 11). Сплошные кривые на рисунках соответствуют случаю дифракции на параболическом или сферическом экране с нулевым импедансом (кривые 1 и 3), а штриховыми кривыми изображены зависимости для экранов с переменным импедансом (кривые 2 и 4). Все размеры тел и распределения импеданса такие же, как и для рис. 6-8. Как видно из рисунков диаграммы рассеяния экранов параболической и сферической формы похожи друг на друга и отличаются в основном сдвигом по времени. В случае 0 = 90 диаграммы обеих геометрий экрана близки друг к другу, что очевидно соответствует физической картине рассматриваемого явления.

9

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Литература

1. Войтович Н.Н.. Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. - М.: Наука, 1977.

2. Бахрах Л.Д., Будагяы И.Ф.. Щучкин Г.Г. Моделирование характеристик излучения в ближней и дальней зонах зеркальных антенн при работе с сверхкороткими импульсами // Антенны, выпуск 8-9 (87-88), 2004.

3. Кюркчан А.Г.. Анютин А.П. Метод продолженных граничных условий и вейвлеты / Доклады РАН, 2002. - Т. 385. - №3. -С. 309-313.

4. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач дифракции волн методом продолженных граничных условий // Акустический журнал, т. 53, №4, 2007, с. 490-499.

5. Васильев Е.В. Возбуждение тел вращения. - М.: Радио и связь, 1987.

6. Кюркчан А. Г., Маненков С.А. Электростатическое приближение в задаче дифракции плоской волны на группе соосных малых рассеивателей // Радиотехника и Электроника, 2012. - Т. 57. -№4.-С. 389-398.

7. Vetterling W.T., Press W.H., Teukolsky S.A.. Flannery B.P. Numerical Recipes in Fortran: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press (2nd edition). 1992.

8. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека 1MSL. 4.2,3. - М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2001.