Модель полумарковского процесса функционирования мобильной системы видеонаблюдения (с реализацией в матlав)

УДК 004.942

А. Ю. Козлов

МОДЕЛЬ ПОЛУМАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МОБИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ВИДЕОНАБЛЮДЕНИЯ

Аннотация.

Актуальность и цели. Мобильное видеонаблюдение используется в случаях, когда необходимо быстро организовать автономное, в большинстве случаев скрытное, видеонаблюдение на любой территории. Актуальной задачей является выработка требований к вероятностным и временным параметрам функционирования таких мобильных систем видеонаблюдения при их проектировании, которую возможно решить только на основе математического моделирования.

Материалы и методы. С учетом в общем случае неэкспоненциальности времен нахождения мобильной системы видеонаблюдения в своих состояниях модель функционирования системы, отражающая характер отношений между состояниями системы и вероятностными и временными параметрами ее функционирования, построена на основе положений теории полумарковских процессов. Получение характеристик функционирования мобильной системы видеонаблюдения в переходном и устоявшемся режиме осуществлено на основе решения оптимизационной задачи методом последовательного квадратичного программирования с программной реализацией в Matlab.

Результаты. Предложен алгоритм определения временных и вероятностных параметров функционирования мобильной системы видеонаблюдения в переходном и устоявшемся режиме. Работа алгоритма представляет собой итерационную процедуру нахождения условных и безусловных времен, а также матриц интервально-переходных вероятностей в заданном диапазоне времени функционирования системы.

Выводы. Предложено решение задачи разработки модели функционирования мобильной системы видеонаблюдения на основе положений теории полумарковских процессов. Модель программно реализована в Matlab. Проведенная оценка адекватности разработанной модели позволяет заключить, что модель пригодна для решения задач проектирования.

Ключевые слова: модель, полумарковский процесс, марковский процесс, мобильная система видеонаблюдения.

A. Yu. Kozlov

A MODEL OF THE SEMI-MARKOV PROCESS OF MOBILE SURVEILLANCE SYSTEM OPERATION

Abstract.

Background. Mobile video surveillance is used in cases when you need to quickly organize autonomous, in most cases covert, video surveillance. An urgent task is to develop requirements for probabilistic and temporal parameters of operation of mobile surveillance systems in their design, which can be solved only on the basis of mathematical modeling.

Materials and methods. Taking into account the general case of a nonexponen-tial type of periods of the mobile surveillance system being in its states, an operating

model, reflecting the nature of relationships between the system states and probabilistic and temporal parameters of its functioning, was based on the theory of semi-Markov processes. Characterization of the mobile video surveillance system functioning in transitional and steady modes was implemented on the basis of solving an optimization problem by successive quadratic programming realized on the Matlab softwar.

Results. The author has suggested an algorithm for determining temporal and probabilistic parameters of the mobile video surveillance system in transitional and steady mode. The algorithm is an iterative procedure for finding conditional and unconditional times, as well as matrices of interval-transition probabilities within a predetermined range of time of operation of the system.

Conclusions. The article proposes a solution to the problem of development of a model of mobile video surveillance system functioning on the basis of the theory of semi-Markov processes. The model was implemented on the Matlab software. Assessment of the adequacy of the developed model allows us to conclude that the model is suitable for solving design problems.

Key words: model, semi-Markov process, Markov process, mobile video surveillance system.

Введение

Количество угроз и напряжения в современном мире только увеличивается, и тенденций к их сокращению не наблюдается. Долгие годы с момента своего появления как класса видеонаблюдение предназначалось лишь для защиты стационарных объектов. В последнее время наметилась тенденция развития мобильного видеонаблюдения. К отдельному классу мобильного видеонаблюдения относится так называемое быстроразворачиваемое видеонаблюдение. Быстроразворачиваемое видеонаблюдение требуется только государственным заказчикам и используется в случаях, когда необходимо быстро организовать автономное, в большинстве случаев скрытное, видеонаблюдение на любой территории. Обычно это обеспечение безопасности на массовых мероприятиях; в случаях чрезвычайных происшествий, когда экстренно нужно получить визуальный контроль над ситуацией; во время военных учений и смотров - для оперативного предоставления информации командованию [1]. Актуальной задачей является выработка требований к вероятностным и временным параметрам функционирования таких мобильных систем видеонаблюдения (МСВ) при их проектировании, которую возможно решить только на основе математического моделирования. В качестве математической основы для моделирования предлагается использовать основные положения теории полумарковских процессов (ПМП).

1. Модель полумарковского процесса функционирования мобильной системы видеонаблюдения

Для решения задач исследования функционирования МСВ в переходном и установившемся режимах наиболее адекватным является такое представление ПМП, когда фазовый портрет исследуемого процесса задан графом состояний G(P,Q) (рис. 1), возможными переходами {i, j}, матрицей независимых функций распределения времени пребывания МСВ в i-м состоянии перед переходом в j-e состояние Q(t) = \Qj-(t) , т.е. таких функций, которые

имели бы место, если бы данный переход из состояния / был единственным, начальным состоянием процесса в момент времени V = 0 [2].

Рис. 1. Граф состояний МСВ

Состояния МСВ могут быть следующими:

- МСВ занимает указанное место и развертывается для ведения наблюдения;

52 - МСВ ведет наблюдение и обрабатывает получаемую информацию;

53 - МСВ свертывается и производит смену места наблюдения;

54 - МСВ обнаружена и находится под негативным воздействием;

55 - МСВ неисправна и ремонтируется.

Таким образом, число состояний К рассматриваемой МСВ равно 5.

При определении вероятностей состояний МСВ следует задавать независимые функции Q^j (V) . Аналитический вид независимых функций распределения можно определить статистическим путем - на основе выдвижения и проверки статистических гипотез о видах законов распределений [3].

В итоге для рассматриваемой МСВ получим матрицу функций Q^j (V):

Q(t) =

0 QU(t) 0 Qu(t) 0

о 0 Q23(t) Q24 (t) 0

Q3l(t) 0 0 Q34(t) 0

0 0 0 0 Q45

Q5l(t) 0000

Тогда при наличии смежных состояний вероятность перехода Ру (V) из состояния / в состояние j вычисляется по формулам

Pij

0 k * j

где (1 — Qik (t)) - вероятность невыхода из 7-го состояния за время I по

к ф у

направлению к Ф у; dQij(t) - вероятность перехода по направлению у в окрестности t.

Для представленного графа матрица нестационарных вероятностей перехода будет иметь вид

p(t) =

0 Pi2(t) 0 pi4(t) 0

0 0 p23(t) p24(t) 0

P3l(t) 0 0 P34(t) 0

0 0 0 0 p45

p51(t) 0 0 0 0

Установившееся (стационарное) значение переходной вероятности ру получим из выражения

Ру = Ру ^ = Ит Ра ^) =

t

= JPj (t)dt = J П (1 - Qik (t))dQij (t) .

0 k

0

Полученная матрица стационарных значений переходных вероятностей имеет вид

0 Pl2 0 Pl4 0

0 0 P23(t) P24 0

P31 0 0 P34 0

0 0 0 0 P45

P51 0 0 0 0

Вероятность (2) есть вероятность сложного события: ру - перехода в состояние у; р (^ - пребывания в 7-м состоянии в течение времени t, т.е. Ру(0 = РуРу (0, откуда можно определить условную функцию распределения времени ожидания перехода:

Fii

Pij

Pij

В итоге получим следующую матрицу:

p

F(t) =

0 0

Fn(t) 0

Fsi

Fn(t) 0 0 0 0

0 FiA

F^

0 F34

0 0

0 0

0 0 0

Fts(t) 0

Следовательно, исходная матрица независимых функций распределения времени ожидания переходов Q(t) трансформируется в две матрицы:

переходную матрицу p = |\dQij (0||, 7, у = 1,..., К, и матрицу условных функций

распределения времени ожидания перехода F(t) = |Цу(0||, 7,у = 1,...,К, определяющих функционирование полумарковской модели МСВ.

Если все Цу ^) = 0 при t < 1 и Цу ^) = 1 при t > 1 (скачки происходят

через каждую единицу времени), то ПМП превращается в марковскую цепь с дискретным временем. Если же Цу (0 экспоненциальные, то ПМП превращается в марковский процесс с непрерывным временем.

Интервально-переходная вероятность Ру ^) - это вероятность того, что

в момент времени t МСВ находится в состоянии у, если в момент t = 0, она была в состоянии 7. МСВ, выйдя из состояния 7, может попасть в состояние у в момент времени t разными путями [4].

Во-первых, если 7 = у, то она может не покидать состояния в течение промежутка времени или, выйдя из состояния 7, она все-таки возвращается в состояние 7 к моменту времени t.

Во-вторых, МСВ может попасть в произвольное состояние у, занимая в момент времени т некоторое промежуточное состояние п.

Вероятности этих двух взаимно исключающих возможностей должны суммироваться. Следовательно, получаем уравнение для вероятности Ру^) :

к

Pij (t) = Vi (t) + 2 Pin { Pnj (t - T)dFin (t).

n=1 0

После дифференцирования подынтегральное выражение примет вид

к t

Pij (t) = Vi (t) + 2 Pin J fin (T) Pnj (t-T)d X.

n=1

где /п (т) = <йЦп (Т) - функция плотности вероятности времени пребывания й т

МСВ в состоянии 7 в направлении п.

Первый член в (9) V] (t) - вероятность того, что МСВ не покинет состояние 7 в момент времени t,

V

где 8j - символ Кронекера,

% =I1 ^'=>•

[0 при 1 Ф ];

Ъ (7) - безусловная функция распределения времени пребывания ПМП в состоянии 1, она может быть получена непосредственно через ву по формуле

Ъ

1

Тогда выражение (10) будет иметь вид

V

1

где (1 — ву (7)) - вероятность того, что ПМП за время 7 не перейдет из 1-го 1

состояния ни в какое 1-е состояние; 1 — 5гу П^ (1 — ву (7)) - вероятность перехо-

1

да за время 7 хотя бы в одно 1-е состояние.

Второй член выражения (9) - вероятность последовательных событий, когда МСВ совершает переход из состояния 1 в состояние п к моменту т и затем переходит из состояния п в состояние 1 за оставшееся время (7 — т). Вероятности частных переходов суммируются по всем промежуточным состояниям п, в которые возможны переходы из начального состояния , и интегрируются по возможному времени перехода т между 0 и 7.

В итоге искомые интервально-переходные вероятности сводятся в матрицу Р(7) =|\Ру ()||.

Кроме вероятностных параметров модель ПМП функционирования МСВ позволяет определять временные параметры:

- безусловные математические ожидания (МОЖ) времени пребывания МСВ в каждом состоянии:

0 0 1

- условные МОЖ времени пребывания МСВ в состоянии

ь

= \

0

Система линейных интегральных уравнений (9) является основной для анализа функционирования МСВ. Она позволяет определять вероятностные параметры исследуемого процесса функционирования МСВ через основные характеристики ПМП.

Традиционный подход к решению таких систем состоит в использовании преобразования Лапласа. Однако получить точное решение в явном виде

удается только в самых простых ситуациях, т.е. при числе состоянии, не превышающем трех. Трудности, возникающие при исследовании реальных систем, содержащих большее число состоянии, связаны не только с быстро растущим объемом вычислении, но, главным образом, с тем, что получающиеся при этом лапласовы изображения функций, описывающих переходной процесс, оказываются настолько сложными, что отыскание их оригиналов не представляется возможным. Для отыскания приближенного решения целесообразно применить итерационные методы, сформулировав задачу в виде оп-тимизационнои.

Решение задачи определения интервально-переходных вероятностей при функционировании МСВ основано на решении системы линейных интегральных уравнений (9) на каждом временном шаге функционирования МСВ.

В связи с этим сформулируем следующую оптимизационную задачу условной нелинейной минимизации, решаемую в каждый момент времени ^ функционирования МСВ.

Требуется найти глобальный минимум целевой функции /(Р()) на

*

множестве допустимых решений Рд , т.е. такую точку Р() е Рд , что

/ (Г (,» njrn/ (Р (, )) =

= Ш1П

Р(Г )еРд

i

к к ( к t V

ZZ Pij (t) - V (t) - Z Pin j /in (T)Pnj (t - T)dT

i=1 j=11

где

Pd =

P

к

gl (P(t)) = ZPj (t)-1 = 0, 1 = 1, .,K

j=1

В качестве начального приближения решения оптимизационной задачи при ^ = 0 принимается единичная матрица порядка К:

Р (0)(0)= E.

В качестве начального приближения при ^ > 0 принимается квадратная матрица интервально-переходных вероятностей, полученная на предыдущем временном шаге:

Р (t )(0) = Р (t-At).

Итерационный процесс останавливается при одновременном выполнении следующих условий:

2

еъ

P

<£2, <ез,

где 8j, 82, £3 - наперед заданная точность вычислении.

В качестве полученного решения принимается вектор P

2. Программная реализация модели в Matlab

На основе описанной модели разработан алгоритм, блок-схема которого представлена на рис. 2. Алгоритм основан на решении указанной выше оптимизационной задачи методом последовательного квадратичного программирования (SQP), который программно реализован в МаАаЬ функцией 1ттсоп(...) [5].

Реализация метода SQP состоит из трех основных стадий:

1. Корректировка матрицы Гессе для Лагранжевой функции.

2. Решение задачи квадратичного программирования.

3. Вычисление линейного поиска и функции выгоды.

В табл. 1 представлены принятые параметры функции йттсоп для решения обозначенной задачи оптимизации.

Таблица 1

Параметры функции fmincon

Параметр Описание параметра Значение параметра

Algorithm Алгоритм, используемый для решения оптимизационной задачи 'active-set'

Display Уровень отображения. 'off - отображение не производится, 'iter' - отображение проводится на каждой итерации, 'final' (принимается по умолчанию) - отображение только конечной информации 'off

MaxFunEvals Максимальное число допустимых расчетов функции 6000

MaxIter Максимальное число допустимых итераций 1500

TolFun Конечное допустимое отклонение по значению функции(82) 10-4

TolCon Конечное допустимое отклонение по нарушению условий ограничения (83) 10-4

TolX Конечное допустимое отклонение по значению х (8j) 10-6

Разработанный алгоритм программно реализован в Matlab.

00

с

¡3 О)

ТЗ

3

о О) О)

о. 3'

1/1 §

¿Г о

о'

3

( Начало ^

Исходные данны ег

Определение элементов матрицы

(><.»

Определение элементов матрицы

КО

Определение элементов матрицы

Определение элементов матрицы

¿ТО

Определение элементов матрицы

/то

Определение элементов матрицы

ЗД

I

Определение элементов матрицы

Определение элементов матрицы

©

1. Размеченный граф состояний МСВ.

2. Условные времена нахождения МСВ е своих состояниях.

1. Проверка статистических гипотез о виде закона распределения на основе критерия Мизеса.

2. Получение элементов матрицы (1).

Расчет элементов матрицы по зависимости (2).

Расчет элементов матрицы по зависимости (4).

Расчет элементов матрицы по зависимости (6).

Расчет элементов матрицы условных функций плотности вероятности методом конечных разностей

Расчет безусловной функции распределения времени пребывания ПМП в состоянии /'

Расчет безусловных математических ожиданий времени пребывания МСВ в каждом состоянии

Расчет условных математических ожиданий времени пребывания МСВ в каждом состоянии

1.

Формирование начальных значений матрицы интервально-' переходных вероятностей

Р(0Т] = Е

Итоговое формирование матрицы интервально-переходных вероятностей

Расчет значений целевой функции

Расчет ограничений-----

Решение задачи условной нелинейно! минимизации методом БОР

Расчет значений целевой функции по зависимости (15).

Расчет ограничений по зависимости (16).

Решение оптимизационной задачи средствами МаЫаЬ

Проверка условий окончания итерационного процесса поиска по зависимости

Определение

интервально-

переходных

вероятностей в

момент времени f

1. Расчет значений

2 .Р

Проверка условия достижения заданного времени функционирования МСВ

1. Формирование матрицы интервально-переходных вероятностей за весь временной период функционирования МСВ.

2. Построение графиков.

§

00 О) о

§

00 ст

§ -с

О)

I

ст

*

0 00 О) О/ О)

1

с

Сс

о

оо §

N

с

Сс ТЗ О) Го С

0

1

Рис. 2. Блок-схема алгоритма определения интервально-переходных вероятностей МСВ

№ 1 (37), 2016 Технические науки. Информатика, вычислительная техника 3. Оценка адекватности модели

Так как получение опытных значений интервально-переходных вероятностей для МСВ невозможно, то оценку адекватности разработанной полумарковской модели функционирования МСВ проведем на основе сравнения с результатами, полученными на хорошо апробированном аппарате марковских процессов (МП). Для проверки адекватности будем использовать следующее положение: при условии экспоненциальности времен нахождения МСВ в каждом состоянии и равенстве МОЖ времен нахождения в состояниях финальные вероятности МП, полученные на основе решения уравнений Колмогорова и интервально-переходные вероятности, рассчитанные в установившемся режиме на основе ПМП, должны быть равны между собой.

Решим сначала задачу определения вероятностей состояний МСВ, принимая в качестве допущений экспоненциальность времен нахождения МСВ в каждом состоянии и равенство их МОЖ, т.е. рассмотрим МП с дискретными состояниями и непрерывным временем. Для решения этой задачи составим систему уравнений Колмогорова [6]. Размеченному графу, который представлен на рис. 1, соответствует следующая система уравнений Колмогорова:

^ ^) = Х31Р3

dt dp2

dt dP3

dt dP4

dt dP5

dt

= X12 P1

= X23P2

= X14Pi

Начальные условия для решения системы уравнений (20) при t = 0 следующие:

Р1

Система линейных дифференциальных уравнений (20) при начальных условиях (21) имеет единственное решение, если заданы интенсивности перехода из состояния в состояние X. Учитывая допущение о равенстве математических ожиданий времен нахождения в состояниях, примем X = 0,2.

Систему уравнений Колмогорова (20) с начальными условиями (21) решим методом численного интегрирования Рунге - Кутты, который реализован в МаАаЬ функцией ode45(...).

Теперь решим эту же задачу на основе использования математического аппарата ПМП. При задании ПМП МСВ примем экспоненциальный закон для всех независимых функций Q^j ^) с X = 0,2. В качестве начального состояния

системы примем состояние «1». Решение системы (9) реализовано в системе МайаЬ на основе использования разработанного алгоритма.

Полумарковские вероятности состояний МСВ в установившемся режиме можно определить двумя способами. Первый способ основан на том факте, что с увеличением времени функционирования в системе наступает стационарный режим, когда полумарковские вероятности становятся не зависимыми от начального состояния. Второй способ базируется на непосредственном определении стационарных полумарковских вероятностей состояний через вероятности вложенной марковской цепи по следующей зависимости:

Р ,

Z zt

I=1

где ti = | П [1 - Qij (*)] & - безусловное МОЖ времени пребывания МСВ

о j

в 7-м состоянии перед переходом в любое другое состояние; - финальные вероятности вложенной цепи Маркова.

Для нахождения финальных вероятностей вложенной цепи Маркова составляется система алгебраических уравнений

к

г = гр при ^2 = 1,

i=1

где г = (21,^2,...гз) - вектор-строка; к - общее число состояний процесса функционирования МСВ, определяющее стационарные вероятности 2^ застать вложенный МП в момент произвольного перехода в состояние /'; Р =11 Ру \ - стационарные переходные вероятности.

Программно реализовав вышеуказанные зависимости в МаАаЬ, получили численные значения полумарковских вероятностей состояний в установившемся режиме.

Результаты расчетов графически представлены на рис. 3-8. Количественные показатели оценки адекватности определялись относительно модели, построенной на теории МП, по следующим зависимостям:

1. Среднее квадратическое отклонение погрешности модели на основе ПМП (переходный режим):

51j =

N 2 Z

k=1_

N -1

где j - номер состояния; N - число расчетных точек (размерность заданной временной сетки).

Н Figure 1

File Edit View Insert Tools Desktop Window Help

U^ILBj

a a & I

1

0.9 0.3 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

Полумарковский процесс --Марковский процесс

20

25

Рис. 3. Вероятность нахождения МСВ в состоянии «1»

И Figure2

Fife Edit View Insert Tools Desktop Window hfefp

МИэД

D6aa| fe I ^ ^ о a # ^ -1 a I о Щ]|

0.2

0.1 8

0.16

0.14

0.12

К

0.08

0.06

0.04

0.02

0

Полумарковский процесс --Марковский процесс

20

26

Рис. 4. Вероятность нахождения МСВ в состоянии «2»

2. Относительная погрешность определения стационарных полумарковских вероятностей, полученных на основе изучения переходного режима ПМП:

82, =

P1, - Р

P

•100% .

1j

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион где pj - финальные вероятности состояний, определенные на основе изучения переходного режима МП; р j - стационарные полумарковские вероятности, полученные на основе изучения переходного режима ПМП.

И Figure 3

File Edit View jtitserl Tools Desktop Window Help

UHIHI

'Ju J i

I ч ч о а с a -

ra

0.08 0.07 006 0.06 0.04 0.03 0.02 0.01 0

Полумарковский процесс --Марковский процесс

~1

i

15 1

Рис. 5. Вероятность нахождения МСВ в состоянии «3»

n Figure 4

File Edit View Insert Tools Desktop Window Help

UdlHIS

о a :d I

0.4 0.35 0.3 0.25 02 0.15 0.1 0.05 0

умарковский процесс -ковский процесс

1 1 1 1

15 t

Рис. 6. Вероятность нахождения МСВ в состоянии «4»

3. Относительная погрешность определения стационарных полумарковских вероятностей, полученных через вероятности вложенной марковской цепи:

83j =

\pj\

•100%

Рис. 7. Вероятность нахождения МСВ в состоянии «5»

H Figure 7 Г^ТвЦдЗ

File Edit View nsert Tools £>е5 1ор \Mndo w Н sip

e a&i k\\ Э4 Э^-IS П|Щ| «И

Стационарные полумарковские вероятности состояний

IBPIC::: через переходный через финальные полумарковский процесс вероятности вложенной цепи Маркова

Вероятность

П

I I 1

3 4 5 Номер состояния

Рис. 8. Стационарные полумарковские вероятности состояний

Результаты оценки представлены в табл. 2. Анализируя представленные графики и данные, представленные в табл. 2, можно сделать выводы об адек-

ватности разработанной модели функционирования МСВ на основе использования ПМП.

Таблица 2

Количественные показатели оценки адекватности математической модели

№ состояния 51, 52, , % 53,, %

1 0,0025 3,2473 0,0194

2 0,0032 3,4073 0,0101

3 0,0025 3,1889 0,0285

4 0,0036 6,9190 0,0242

5 0,0036 2,0850 0,0144

Заключение

Разработана модель функционирования мобильной системы видеонаблюдения на основе использования положений теории полумарковских процессов. Модель базируется на формализованном поведенческом графе мобильной системы видеонаблюдения. Особенностью разработанной модели является более общее представление поведения системы, в котором снимается марковское допущение о показательном распределении времен нахождения системы в своих функциональных состояниях.

Разработан алгоритм определения вероятностных и временных показателей функционирования мобильной системы видеонаблюдения в переходном и установившемся режиме за заданный период времени. Алгоритм основан на методе условной нелинейной минимизации функций, который используется в процессе итерационного решения системы линейных интегральных уравнений, описывающих полумарковский процесс функционирования системы. Алгоритм программно реализован в Matlab.

Адекватность модели проверена статистическим сравнением результатов, полученных на разработанной модели, с результатами, полученными на хорошо апробированной модели марковского процесса при равных начальных условиях. Проведенная оценка адекватности позволяет заключить, что модель пригодна для решения задач проектирования мобильных систем видеонаблюдения.

Список литературы

1. Ерошин, Е. Мобильное видеонаблюдение - 2012 / Е. Ерошин // Тренды и перспективы. Каталог CCTV-2012. - С. 16-17. - URL: http://www.secuteck.ru

2. Адерихин, И. В. Алгоритм оценивания и исследования готовности системы управления судном морского транспорта / И. В. Адерихин, М. Г. Воротынцева // Вестник АГТУ. - 2005. - № 2 (25). - С. 194-198.

3. Мхитарян, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. для студ. учреждений высш. проф. образования / В. С. Мхитарян, В. Ф. Шишов, А. Ю. Козлов. - М. : Академия, 2012. - 416 р.

4. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, М. А. Миронов. - М. : Советское радио, 1977. - 488 с.

5. Трифонов, А. Г. Оптимизация при наличии ограничений / А. Г. Трифонов // MATLAB. Exponenta. - URL: http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/15.php.

6. Захарикова, Е. Б. Имитационное моделирование систем и сетей массового обслуживания средствами приложения к пакету Mathcad / Е. Б. Захарикова,

П. П. Макарычев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2012. - № 3 (23). - С. 25-35.

References

1. Eroshin E. Trendy i perspektivy. Katalog CCTV-2012 [Trends and prospects. Catalogue CCTV-2012]. P. 16-17. Available at: http://www.secuteck.ru

2. Aderikhin I. V., Vorotyntseva M. G. Vestnik AGTU [Bulletin of ASTU]. 2005, no. 2 (25), pp. 194-198.

3. Mkhitaryan V. S., Shishov F., Kozlov A. Yu. Teoriya veroyatnostey i matematich-eskaya statistika: ucheb. dlya stud. uchrezhdeniy vyssh. prof. obrazovaniya [Probability theory and mathematical statistics: textbook for university students]. Moscow: Akad-emiya, 2012, 416 p.

4. Tikhonov V. I., Mironov M. A. Markovskie protsessy [Markov processes]. Moscow: Sovetskoe radio, 1977, 488 p.

5. Trifonov A. G. Optimizatsiyapri nalichii ogranicheniy [Optimization with limitations]. MATLAB. Exponenta. Available at: http://matlab.exponenta.ru/optimiz/book_1/15.php.

6. Zakharikova E. B., Makarychev P. P. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzh-skiy region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2012, no. 3 (23), pp. 25-35.

Козлов Андрей Юрьевич

кандидат технических наук, доцент, кафедра автоматики и телемеханики, Пензенский государственный университет

Kozlov Andrey Yur'evich Candidate of engineering sciences, associate professor, sub-department of automation and remote control, Penza State University

E-mail: _kozlov_@mail.ru

УДК 004.942 Козлов, А. Ю.

Модель полумарковского процесса функционирования мобильной системы видеонаблюдения (с реализацией в Matlab) / А. Ю. Козлов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2016. - № 1 (37). - С. 40-55.