Редуцированный оптимальный регулятор выхода сингулярно возмущенных систем

ТЕОР1Я I МЕТОДИ АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛ1ННЯ

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

THEORY AND METHODS OF AUTOMATIC CONTROL

УДК 517.92

В. Г. Козырев

РЕДУЦИРОВАННЫЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕГУЛЯТОР ВЫХОДА СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ

Построено асимптотическое приближение оптимального терминального регулятора выхода сингулярно возмущенных систем, равномерное вне малой окрестности конца области управления. Приближение строится на основе решения редуцированной линейно-квадратичной задачи оптимального управления и дает экономное представление закона управления.

ВВЕДЕНИЕ

Построение равномерного асимптотического приближения оптимального регулятора систем с сингулярными возмущениями требует решения полной асимптотической задачи оптимального управления. Эта задача включает в себя получение как регулярных, так и погранслойных составляющих закона управления [1, 2]. Существенное упрощение достигается, если ограничиться построением лишь регулярной части этого приближения, отбросив погранслойную часть. В простейшем случае нулевого приближения это соответствует решению вырожденной задачи - задачи с нулевым значением малого параметра. Часть уравнений регулятора при этом из дифференциальных становятся алгебраическими, порядок системы уравнений понижается, т. е. задача редуцируется. Подобный редуци-

рованный регулятор имеет более простые форму и алгоритм функционирования. Хотя он и не дает равномерной асимптотики процесса на всем промежутке управления (отклонение имеет место в малой окрестности конца промежутка), он обеспечивает зачастую удовлетворительное качество управления. В первую очередь, это относится к инерционным объектам. Такие объекты практически не реагируют на изменение управления на малом отрезке времени. Поэтому для них редуцированный регулятор близок к полному по точности, а его упрощенность экономит ресурсы бортового компьютера, в памяти которого запоминаются только «медленные» (регулярные) коэффициенты контуров управления.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается сингулярно возмущенная задача оптимального управления для линейной системы

^ = А1

с квадратичным функционалом качества I [ и( Ь)] = 1 х' (Т)Ф х( Ь) +

21[ х'

Уравнения (1) заданы на фиксированном отрезке времени 0 < Ь < Т; у е Е , г е Е , х = со1[у, г] е

+т

е Е - вектор состояния; и е Е - вектор управления; -> 0- малый сингулярно возмущающий параметр; штрих обозначает транспонирование.

Как и в [1], предположим, что:

I. Матрицы Аг(Ь) (г = 1~4) и Бг(Ь) (] = 1, 2) непрерывны на отрезке [0, Т];

II. Ф - постоянная неотрицательно определенная матрица, для которой используется представление Ф = И'ЕН, где И - постоянная матрица размера д х (п + т), д < (п + т); Е - постоянная положительно определенная матрица д х д;

III. д(Ь) - неотрицательно, а К(Ь) - положительно определенные и непрерывные на [0, Т] матрицы.

Обозначим

Представление матрицы К в форме (4) используется далее для построения ее асимптотики. Разобьем матрицы на блоки

Р =

>1 - Р2 , Ш = Ш1 -Ш2 , М = М1 М2

-Р ' 2 - Р3 ^3 М' 2 М3

Е=

Еп 0

0Е

(Еп и Ет - единичные матрицы размеров п х п и т х т соответственно).

Тогда три уравнения (5) запишутся как три системы уравнений для блоков

й Р 1 = ' ' '

—ЦЬ---р1а1 - а1' р1 - р2а3 - а3' Р2 + Р1Б1 р1 +

+ р1^2р2' + р2б2' р1 + Р2^3Р2 - д^ р1 |Ь = Т = 0, йР2

= - РА - Р2А4 - - А1' Р2 - А3Р3 + -Р^Р +

+ Р1Б2Р3 + ХР2Б2'Р2 + Р2^3Р3 - д2, Р2|ь = т = 0,

А=

а 1 а 2 1 1

, Б =

б1

йРч

Б = БК 1 Б' =

1 ' 1 - Б'2 -2Б3

-1 -1 -1 Б1 = Б1К Б' 1, Б2 = Б1К Б '2, Б3 = Б2К Б '2.

При условиях I—III оптимальное управление и = и(Ь) для задачи (1), (2) определяется известной формулой

и = -К 1Б' Кх,

где, согласно [3],

-1 -1

К = Р + Ш'Н'

а матрицы Р, Ш и М в (4) подчиняются уравнениям йР

йЬ

= -РА-А'Р + РБР-д, Р|Ь = Т = 0,

йЬ- = -Ш (А-БР), Ш|Ь = Т = Е (Е - единичная матрица),

йМ

йЬ

= -ШБ

- Ж = -- Р2 'А2- А Р2- Р3А4- А4' Р3 + -Р Б1Р2 +

+ -Р2'Б2Р3 + -Р3Б2'Р2 + Р3Б3Р3-д3, Р3| = 0;

йШ.

1

йЬ

= -Ш1

-ш2(а3- б2'р1 - б3р2'), ш1 |ь = т = еп,

-М = -Ш1( А2- - Б1Р2- Б2Р3 )--Ш2(А4- -Б2' Р2-Б3 Р3), ь = т = 0,

йШ3 йЬ

= - Ш3(А1 - Б1Р1 - Б2Р2')-

-Ш4(А3 -Б2'Р1 -Б3Р{), Ш3|ь = т = 0, йШ4

- = - ^3 (А2 - -Б1Р2 - Б2Р3) --ш4(а4 - - б2' р2 - б3p3), ш4 |Ь = Т = -ет; (7) йм1

= - Ш1Б1 - Ж1Б2^2' - Ш2Б2 ' -- Ж2Б3Ш2', М^ = 0,

йм2

= - Ш1Б1 Ш3' - Ш1 Б2ж4' - Б2 ' ' -

ш2б3 w4^ м2 |Ь = Т = 0,

йМ

= - Б1 Ш3' - Б2^4' - Ш4Б2' Ш3' -

- м31ь = т = 0.

Равномерная на отрезке [ 0, Т] асимптотика решений уравнений (6)-(8) согласно [1, 2] имеет общий вид Р + ПР, Ш + ПЖ и М + ПМ, где Р , Ш и М - регулярные части асимптотики (ряды по степеням Х), а П Р, ПШ и ПМ - погранслойные части (ряды), существенные лишь в Х-малой окрестности момента времени Ь = Т. При подстановке этой асимптотики в (4) получается равномерная на [0, Т] асимптотика всей матрицы К и, по формуле (3), равномерная асимптотика регулятора [1]. Покажем, что для построения асимптотики регулятора (3) вне Х-малой окрестности момента времени Ь = Т можно ограничиться лишь регулярной частью асимптотических разложений Р, Ш и М, отбросив их погранслойные части. Такой редуцированный (усеченный) асимптотический регулятор будет давать равномерное приближение точного регулятора (3) на любом внутреннем отрезке [0, Т], Т < Т и, как уже сказано, во многих случаях может успешно использоваться вместо полного, равномерного регулятора из [1].

Главный член £ Х Р^(Ь) в (9) представляет собой, к = 0

как мы видим, сумму степеней Х с матричными коэффициентами Р{к( Ь), зависящими от времени. Для определения этих коэффициентов используется алгоритм, описанный в [2] и поясняемый ниже. Остаток оР1р(Ь, Х) разложения (9) мал на любом внутреннем фиксированном отрезке [0, Т1] с [0, Т], 0 < Т < Т. Покажем, что он подчиняется оценке при выполнении условий 11-У1:

\\oPlp(t,X)|| = Xp + 1O( 1), (i = 1, 3),

где || О (1 )|| < С для всех достаточно малых Х и всех Ь е [0, Т1], С > 0 - некоторая постоянная.

Оценка (10) непосредственно следует из полного асимптотического разложения Р(Ь, Х) и леммы 1 из работы [1]. В самом деле, согласно [1],

РЕДУЦИРОВАННАЯ АСИМПТОТИКА

МАТРИЦ P, W И M

Наряду с выполнением условий I—III предположим, что выполняются следующие условия [1]:

IV. Все матрицы Ai(t) (i = М), Bj(t) (j = 1, 2), Q(t), R(t) p + 2 раза непрерывно дифференцируемы на [0, T] (p - некоторое натуральное число: p = = 0, 1, 2,...);

V. Система (1) по терминологии [4, 5] управляема в пограничном слое, то есть

rank[B2(t),A4(t)B2(t), ..., A4-1 (t)B2(t)] = m на [0, T];

VI. Система (1) наблюдаема в пограничном слое [4, 5], то есть

Pi(t, X) = £ Xk[Pik(t) + nAPi(T)] + oPip(t, X), k = 0

где ПкР; (т) (i = 1, 3; к = 0, 1,..., р) - погранслойные функции, зависящие от «растянутого» («быстрого») времени т = (Ь - Т)/Х и определяемые с помощью того же алгоритма, что и Piк(Ь). Они затухают как экспоненты

||nkPi(T^< Cexp(ат) при т< 0,

где C > 0 и a > 0 - некоторые постоянные. Согласно [1], остаток разложения (11) подчиняется оценке

гапк[С*'(Ь), А4'(Ь)С*'(Ь), ..., (А4')т 1(Ь)С*'(Ь)] = т

на [0, Т], где С*(Ь) - решение уравнения С*'С* = Рз.

Регулярная часть асимптотики Р(Ь, Х). При отбрасывании погранслойной составляющей ПР в полном (равномерном на [0, Т]) асимптотическом разложении матрицы Р = Р + ПР [1, 5] остается регулярная часть разложения Р, которая и дает искомую редуцированную асимптотику этой матрицы вне Х-малой окрестности момента времени Ь = Т. А именно, для компонент РД Ь, Х) этой матрицы можно записать следующие редуцированные асимптотические при Х ^ 0 разложения:

Pi

k=0

где || О (1 )|| < С для всех достаточно малых Х и всех Ь е[0, Т]. Суммируя (11)—(13), записываем выражение для остатка oPip(Ь, Х) разложения (9) в виде

oPip(Ь, Х) = £ ХкПк^я(т) + оРр{Ь, Х),

к=0

откуда в силу (12) и следует оценка (10) на отрезке [0, Тх ]с[ 0, Т].

Алгоритм получения коэффициентов разложений Pik(Ь) (и одновременно ПкРДт)) состоит в том, что главные части разложений (11) подставляются в уравнения (6) в качестве Pi и коэффициенты при одинаковых степенях Х в обеих частях уравнений приравниваются, причем отдельно приравниваются коэффи-

циенты, зависящие от Ь, и отдельно - зависящие от т [2]. Это и дает уравнения для определения коэффициентов. Граничные условия для них записываются с учетом граничных условий для (6) тоже аналогично [2]. Сами уравнения и граничные условия для них выписаны в [4, 5]. Приведем их здесь для регулярных коэффициентов Рц,(Ь) нулевого приближения к = 0.

0 = - Wi0(A2 - S2P30) - W20(A4 - S3P30),

dW 30 ^

dt

= - W30(At - StPi0 - S2P'20) -

W40( A3 - S' 2P10 - S3P ' 20), W30(T) =-J n0/w3(^) d^,

dP = - p10a1 - A' 1p10 - p20 a3 - A'3P'20 + + P10 S1P10 + P10S2P' 20 + P20S' 2P10 + P20S3P ' 20 - 01,

P10( t) = 0,

где

0 = - W30(A2 - S2P30) - W40(A4 - S3P30), (16) n0^W3(t) =

= -П-1 W4(i){ A3( T) - S3( T)[ P' 20( T) + П0 P2(t)] }

0 = - Рю(А2 - Б2Р30) - Р20(А2 - Б3Р30) - А' 3Р30 - д2, 0 = - Р30А4 - А '4Р30 + Р30Б3Р30 - д3.

Аналогично можно записать и уравнения для коэффициентов разложений в более высоких степенях приближений.

Регулярная часть асимптотики Ш(Ь, -) образуется аналогично. Для этого отбрасываем погранслойную часть ПШ в полном, равномерном на [0, Т], разложении матрицы Ш из [1]. Оставшаяся регулярная часть Ш дает асимптотику матрицы Ш вне --малой окрестности момента времени Ь = Т. Запишем ее поблочно

Шг

к = 0

Р к —

где £ - Шгк(Ь) - главная часть разложения блока

к=0

V; (Ь,-). Коэффициенты Ш;к( Ь) этого разложения определяются по тому же алгоритму из [2], что и Р;к( Ь). Остаток разложения (14) при выполнении условий П-У! равен по норме

\\аШгр

[1]. Для определения конечного условия в (16) необходимо, как видно из последнего выражения, знать погранслойные функции П-1 W4(t) и nflP2(t). Их можно найти из уравнений [1] следующим образом:

dn0P2 _

—0-2 = - n0P2[A4(T) -S3(T)P30(T)] -

- [ A3( T) - S3 (T )• P 20 (T )]'.Ü0 P3 +

+ n0P2 • S3(T)-Ü0P3, n0P2(0) = -P20(T),

dn0P3 _

= - n0P3[A4(T) -S3(T)P30(T)] -

- [A4(T) -S3(T)• P30(T)]' • П0P3 +

+ • S3(T).Ü0P3, 0) = -P30(T),

dü, W4 _

dT ^ = -П-1 W4[A4(T) - S3(T)P30(T) - S3(T^3],

n-1W4( 0) = Em.

Аналогично можно получить уравнения для Wk t) в следующих приближениях.

Регулярная часть асимптотики M(t, X). Отбрасывая погранслойную часть ПМ в полном равномерном на [0, T] разложении матрицы М [1], получаем редуцированную асимптотику этой матрицы, равномерную вне X-малой окрестности момента времени t = T,

для всех малых X и всех 0 < t < T1. Соотношение (15) сразу следует из полного асимптотического разложения W(t, X) и леммы 2, приведенных в [1], по аналогии с соотношением (10).

В нулевом приближении уравнения и граничные условия для определения коэффициентов Wk t) в (14) имеют вид

'ddW = - W10A - S1P10 - S2P' 20 ) -W20(A3 - S' 2 P10 - S3P ' 20), W10( T) = En,

Mi(t, X) = j XkMlk(t) + oMlp(t, X), (l = 1, 2), k = 0

hn-

p

М3(Ь,-) = -М3, -1 (Ь) + £ -кМ3к(Ь) + аМ3р(Ь,-). (17) к = 0

Здесь коэффициенты М;к(Ь) (г = 1, 3) определяются по уже упомянутому алгоритму из [2], а остатки аМр(Ь,-) (г = 1, 3) подчиняются оценкам

для всех малых Х и всех 0 < Ь < Т1, где Т1 < Т - произвольно и фиксировано. Оценка (18) верна согласно полному асимптотическому разложению М(Ь, Х) и лемме 3 из [1] аналогично предыдущим оценкам (10) и (15).

Уравнения и граничные условия для коэффициентов Mik( Ь) в «-1» и нулевом приближениях записываются так:

'М 3, - 1 = 0 йЬ ,

М-

3, -1 (т) = |п_1ш4(ст)- 5(т)-п-1 ш¿с)йс,

йМ 10 = _ ш-Ш

йЬ

105 ш 10 - ш1052ш'20 - ш205'2ш' 10"

- Ш2020, Мщ(Т) = 0,

1М20 = - Шю^^Ш

1Ь

1051 ш 30 - ш1052ш'40 - ш205'2ш30"

W20SзW' 40, М20( Т) = |П<)/М2(ст) 'с,

'ПШ = - П0Ш3[А2( Т) - Т) Р30( Т) - я2( Т )П0 Р3 ]-

- П0Ш4[ А4( Т) - Т) Р30( Т) - Т)П0Р3] + П0Ш4(т),

П0Ш4( 0) = -Ш40( Т),

где П0/Ш 2(т) = [ Шю( Т) Т) + Ш20( Т Т^ПЛ П0/ш3(т) была приведена выше;

П0/Ш4(т) = -П-1Ш4 X

X \ [А41\Т) - т)Р310)(т) - 41\т)(Р30(Т) + П0Р3)]

- 5'2(Т)[Р20(Т) + П0Р2] - Т)[Р31 (Т) + П1Р3] | + + [ Ш30( Т)^(Т) + Ш40( Т Т^ПЛ

Выражения вида Р 1)(Т) обозначают здесь и далее первую производную функции Р(Ь) по времени Ь при Ь = Т. Функции П0РДт) (i = 2, 3) определены раньше,

а Р31( Т) и П1Р3 находятся из уравнений

м--ш3051 30 - ш3052ш '40 - ш405 '2ш30"

0

- ш40^3ш'40, м30(т) = |п0/м3(с)йс,

где

П0/М2(т) = -[Ш10(Т) - 52(Т) + Ш20(Т) - 53(Т)] х х П-1 Ш' 4 - П0 Ш2 - 53( Т) - П-1 Ш' 4;

п0/М3(т) =

= -П-1 Ш'4 - [ Ш30(Т) - Т) + Ш40(Т) - 53(Т)]' -- [Ш30(Т) - Т) + Ш40(Т) - 53(Т)] - П-1 Ш'4 -

- П-1Ш'4 - 5'2(Т) - П0 Ш'3 - П0Ш3 - 52(Т) - П-1 Ш'4 -

- П-1 Ш '4 - ^(Т) - П0 Ш4 - П0Ш4 - 53(Т) - П-1 Ш4 -

- т-П -1 Ш4 - ^ Т) - П-1 Ш' 4.

Здесь для определения функций П^/м 2(т) и ^/^-3^), входящих в выражения для конечных условий, надо сначала найти функции П0 Wi(т) (i = 2, 4) (П-1 Ш4(т) уже найдена из предыдущих уравнений). Это можно сделать из следующих уравнений [1]:

= - П0 Ш2[ А2(Т) - 53( Т) Р30(Т) - 53( Т)П0Р3] +

+ П0Рш2(т), П0Ш2( 0) = -Ш20( Т),

Р = - Р31(А4 - 53Р30) - (А'4 - Р^)Р31 + Рр30(9), где

Рр30(9) = -Р20А2 - А'2Р20 + Р20*52Р30 + Р305 '2Р20

'й-3 = - П1Р3{А4( Т) - 53( Т)[Р30(Т) + П0Р3]}-- {А4(Т) -53(Т)[Р30(Т) + П0Р3]}' - П1Р3 + П1Рр3(т),

где

П1 Рр3(т) = -Цц Р' 2 -[А2( Т) - Т)-Р30( Т)]- [А2(Т) - Т)- Р30(Т)]'-П0Р2 -- п0р3 - «41 - а '41 - п0р3 + п0р '2 - 52(Т) - п0р3 +

+ П0Р3 - 5'2(Т) - П0Р2 + П0Р3 - ^Т) - т - П0Р3,

1

,(1) е( 1)1

1й1111п11110111ш1111111311 йт

= П0/ш3(т), П0 Ш3( 0) = |П0/ш3(с)1с,

а41 = (а4 - 53р30 - 53 р30)Ь = Т 'т -

- (5' 2р20 + 53р31 )ь = Т.

Таким же способом можно выписать уравнения и для последующих коэффициентов разложений (17).

РЕДУЦИРОВАННАЯ АСИМПТОТИКА МАТРИЦЫ К И АСИМПТОТИКА РЕГУЛЯТОРА

Используя разложения (9), (14) и (17), запишем редуцированное асимптотическое приближение мат-

и

рицы К (4). Обозначим главные части этих разложений выражениями с тильдой. Тогда

Plp

k = 0

Wip(t,X) = £ XkWik(t) (i = 1, 4),

k = 0

Mip(t,X) = £XkMik(t) (i = 1, 3),

k = 0

M4p(t,X) = £ XkM4k(t) . k = -1

Составим матрицу

K (t,X) =

= P (t,X) + W' (t,X)H' [ HM( t,X) H' + F 1 ] HW( t,X),

где при всех Ь е[ 0, Т ] (Т1 - любое фиксированное число такое, что 0 < Т < Т) и всех - е (0, -0] (-0 > 0 -некоторое число) для остатков аКр(Ь, -) справедливы неравенства

где С > 0 - некоторая постоянная.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы из [1] с учетом сформулированных в [1] лемм об экспоненциальном убывании пограничных функций и вида матриц Р(Ь, -), Ь, -) и М(Ь, -).

Из теоремы следует, что подстановка матрицы К в формулу (3) вместо К дает равномерное асимптотическое приближение регулятора с точностью до 0(-р +1) на отрезке [0, Т1 ] с [ 0, Т].

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

где P(t, X) =

W( t,X) =

M (t,X) =

Р 1р(Ь,-) -Р2р(Ь,-) ; ХР'2р(Ь, -) -рР3р(Ь,-)]

ШШ 1р

М1 р(Ь, -) М2р(Ь,-) Р»'2р(Ь,-) ММ3р(Ь,-) Для самой матрицы К(Ь, -) также примем блочное

представление

K (t,X) =

K 1p

Теорема. При выполнении условий II-VI матричные функции К{р

(г = 1, 3) при 0, равномерными по Ь на любом отрезке [ 0, Т ] с [ 0, Т], то есть

Кг( Ь,-) = Кгр( Ь,-) + аКгр( Ь,-) (г = 173),

1. Козырев В. Г. Оптимальный регулятор выхода сингулярно возмущенных систем / Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2003. - № 10. - С. 125-131.

2. Васильева А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. - М.: «Наука», 1973. - 272 с.

3. Козырев В. Г. Терминальная ошибка почти точного оптимального приведения в ноль / Динамические системы: межвед. науч. сб. - Симферополь: КФТ. - 2001. - Вып. 17. - С. 18-22.

4. Kokotovic P. V. Singular Perturbations of Linear Regulators: Basic Theorems / P. V. Kokotovic, R. A. Yackel // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1972. - V. 17, No. 1, Fabruary. - P. 29-37.

5. Yackel R. A. Метод пограничного слоя для матричного уравнения Риккати / R. A. Yackel P. V., Kokotovic // IEEE Trans. on Automatic Control. - 1973. - V. 18. -No. 1, Fabruary. - P. 17-24.

Надшшла 19.07.04 Шсля доробки 14.03.05

Побудовано асимптотичне наближення оптимального термталъного регулятора виходу сингулярно збурених систем, р1вном1рне поза малою околицею ктця област1 керування. Наближення будуеться на тдстав1 рШення редукованоЧ лтшно-квадратичног задач1 оптимального керування й дае економне подання закотв керування.

Uniform at the control field outside a small vicinity of its end, the asymptotic approximation of the optimal terminal output regulator of a singular perturbed system is constructed. The approximation is obtained on the basis of the reduced linear-quadratic optimal control problem solution and it gives the economical control law presentation.

p