О предельных уравнениях и притяжении для неавтономных систем с последействием

УДК 517.911.5

О ПРЕДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ И ПРИТЯЖЕНИИ ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

© И. А. Финогенко, H.A. Чумакова

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; предельное уравнение; функционал Ляпунова-Красовского; квазиинвариантное множество; принцип инвариантности; притяжение; асимптотическая устойчивость.

Для неавтономных функционально-дифференциальных уравнений устанавливается свойство квазиинвариантности w-предельных множеств и аналог принципа инвариантности Ла-Салля с использованием функционалов Ляпунова-Красовского со знакопостоянной производной. На этой основе рассматриваются вопросы притяжения и асимптотической устойчивости.

ВВЕДЕНИЕ

В известных теоремах Е.А. Барбашина и H.H. Красовского (см. |1|) об асимптотической устойчивости автономных систем дифференциальных уравнений были использованы зпа-коопределеиные функции Ляпунова со знакопостоянной производной в силу системы. При этом требовался дополнительный анализ множества нулей производной функции Ляпунова на наличие в нем целых траекторий системы. Позднее были установлены различные модификации теорем Барбашина и Красовского, основанные на некоторых свойствах инвариантности и -предельных множеств. На этом свойстве основывается теорема Ла-Салля, известная, как принцип инвариантности (см. [2]), который утверждает, что w-предельное множество системы принадлежит наибольшему полуинвариантному подмножеству из множества нулей знакопостоянной производной функции Ляпунова в силу рассматриваемого уравнения. Принцип инвариантности позволяет эффективно решать многие прикладные задачи о притяжении и асимптотической устойчивости. Это же относится и к автономным системам с последействием. Для неавтономных уравнений ш -предельные множества не обладают свойством полуинвариантности, а множество нулей произдной функции Ляпунова зависит не только от фазовой переменной. Но оказалось, что ш -предельные множества решений обладают свойствами типа инвариантности относительно некоторых уравнений, порождаемых „сдвигами" исходных уравнений. Это дало возможность получать аналоги принципа инвариантности для неавтономных систем и на этой основе исследовать свойства притяжения и устойчивости. Подобные результаты для асимптотически автономных и близких к ним систем дифференциальных уравнений имеются в [2|. В статье [3] приводятся результаты и обзор работ по устойчивости для неавтономных функционально-дифференциальных уравнений с использованием функционалов Ляпунова Красовского, имеющих знакопостоянную производную, в том числе — определен анавлог принципа инвариантности. Эти исследования основаны на топологической динамике функционально-дифференциальных уравнений, которая обеспечивает существование так называемых предельных уравнений и свойство квазинвариантности а;-предельных множеств.

В данной работе исследования основаны на предельных (в общей ситуации многозначных) отображениях, которые строятся в явном виде на основе теоретико множественных операций.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Пусть R11 — п -мерное векторное пространство с нормой ((-[], т > 0 — произвольное вещественное число, Ст — пространство всех непрерывных функций ф{-), определенных на отрезке [—т,0] со значениями в R" с обычной sup-нормой ||0(-)11с = sup_T^0^o ||0(0)||. Для любых чисел а, ß > 0, t € [а, ß) и непрерывной функции х : [а — т, ß) —♦ Rn определим функцию xt(-) € Ст равенством xt(0) = x(t + в), —т < в < 0. Будем рассматривать функционально-дифференциальное уравнение:

= /

где </?() е Ст — начальная функция заданная в момент времени t — а.

Сделаем следующие предположения:

AI. Отображение /(£,ф{-)) непрерывно по переменной ф(-) равномерно относительно t. Это означает, что для любой функции ф(-) и для любого t > 0 существует S > 0, такое, что - /(<>0(0)11 < е Для вссх * 6 ПРИ условии ||0() - 0()11с < S ;

А2. Для любой функции ф(-) отображение t —> f(t, ф(-)) измеримо;

A3. Для любого ограниченного множества D С Ст отображение /(£, <"/>()) ограничено на множестве R1 х D.

Под решением задачи (1), определенном на промежутке [а—т, ß), понимается непрерывная функция x(t), абсолютно непрерывная на каждом отрезке [а, fi], t\ < ß, такая, что ее производная x(t) на этом отрезке почти всюду удовлетворяет уравнению x(t) — f(t, xt ( )) и выполняется начальное условие ха( ) = ).

При сделанных предположениях уравнение (1) для любой начальной функции имеет локальное решение и любое ограниченное непродолжимое решение определено на максимальном промежутке [а — т, +оо).

Через /а(£, ф{-)) обозначается сдвиг отображения /(/,, ф(-)) на величину а > 0 , определенный равенством

Ф(-)) = f(t + a, 0(-)).

Введем в рассмотрение два вида, вообще говоря, многозначных отображений, порождаемых сдвигами, которые будем называть предельными для отображения / .

Наибольшее предельное отображение определяется равенством

f*

Предельное многозначное отображение относительно последовательности i„ —> +оо определяется равенством

/'

(Здесь со — знак выпуклой замкнутой оболочки множества.) Имея в виду, что /* и /' могут быть многозначными отображениями, в дальнейшем будем рассматривать функционально-дифференциальные включения

±еГ

ief{t,4>{ ))•

Л е м м а 1. При выполнении условий AI, A3 справедливы следующие утверждения: 1) Для любых фиксированных %ф(0) множества /*Ц,ф(-)) и /'(*,</>(0) непусты, компактны, выпуклы и справедливы равенства

Ыть^+oocö öa>b /

Lîmn_+00CÔ Ufc>n f

где предел понимается в метрике Хаусдорфа, определенной на всех непустых, компактных подмножествах из Rn (см [4, стр. 347J).

2) Множество f*(t, ф(-)) не зависит от t для любой функции ф(-).

3) Множество /*(</>()) (/'(<, 0(0)) представляет собой выпуклую замкнутую оболочку пределов всех сходящихся последовательностей {/(¿п>0(О}) пРи 'п — +оо (всех сходящихся подпоследовательностей {f{t + tnk,0(0)} последовательности {f(t + tn, </»(•))} при tnk —> +оо ).

4) Для каждой фиксированной функции ф(-) множество f* состоит из одно точки тогда и только тогда, когда существует предел limt_+00/(i, </>(•)) .

Доказательство. Утверждение 1 следует непосредственно из теоремы [4, стр. 422].

Докажем утверждение 2. Для фиксированных Ь > 0 и (£,0(0) обозначим

Г(1,ф(-у,Ь) = с5 0а>ь fa(tA(-))-В силу равенства (6) для любого У > О выполняется

Limh_+00F(t, 0(0; Ь + Ь') = f(t, 0( •)). С другой стороны, F(t, ф(-): b + b') = F(t + b', 0(0;b) и поэтому

Limb^+00F(t, 0(0; Ь + Ь') = f*(t + b', ф(•)),

откуда легко вытекает, что /*(i, 0( )) = /*(£', 0(0) для любых t, t' G R] .

Утверждение 3, используя равенство (6), докажем для отображения /*(0(О). Для отображения //(i,0(0) доказательство аналогично с использованием равенства (7). Учитывая установленное выше утвеждение 2, всюду в дальнейшем зависимость /* от переменной t не указываем.

Для любого е > 0 и множества А С Rn через Ае обозначается е-окрестность множества А.

Возьмем произвольную последовательность £fc —» +0. Из (6) вытекает, что существует последовательность bk —» +оо такая, что

rm)c

Пусть z G /*(0(О) произвольно. Тогда из (8) вытекает, что существует последовательность 2jt € F(t, 0(0; bk), сходящаяся к z, каждый элемент которой представляет собой выпуклую комбинацию точек множества Ua>bkf{t + а> 0(0)  В силу теоремы Каратеодори (см. [5, стр. 50|) число таких точек не превышает n+1, где п — размерность пространства Rn . Поэтому для каждого к = 1,2,... существуют числа а\ > bk , а\ > 0, i = 0,... ,п, <*fc H-----Ь ак - 1 ' такие! '1ТО гк — + aî' 0(0) H-----1" aïk + afe> 0(0)  Последовательно выберая для каждого фиксированного i = 0,...,п из последовательностей {агк}к'^1, + сходящиеся подпоследовательности, заключаем, что вектор г представим как выпуклая комбинация предельнывх значений фикции /(i, 0(0) при t — +оо .

Пусть теперь z = а0/о + • • • + anfn — выпуклая комбинация предельных значений функции /(i, 0(0), которые запишем в виде fi = lima^_+00 f(t + a\, 0(0), i = 0,... ,n. Из (6) вытекает, что для любого е > 0 существует В > 0 такое, что

с

для всех b > В. Тогда существует номер N такой, что для всех к > N выполняется z g (/*0(O))2t. В силу произвольности е > 0 заключаем, что z G /*(0(О) • Тем самым утверждение 3 доказано.

Утверждение 4 является достаточно очевидным следствием утверждения 3.

Лемма доказана.

ПОЛУИНВАРИАНТНОСТЬ ш -ПРЕДЕЛЬНЫХ МНОЖЕСТВ

Будем говорить, что множество ЯсСт полуинвариантно относительно уравнения (1), если для любой функции ip(-) е Я существует решение y{t) включения (4), такое, что Уо{ ) = 0(0 и yt(-) € Я для всех t ^ 0.

Множество Я С Ст квазиинвариантно относительно уравнения (1), если для любой функции •ф(-) € Я и любого Т > 0 существуют предельное отображение /' и решение y{t) включения (5) (с предельным отображением /' в правой части), такое, что уо(0 = 0(0 и yt(-) € Я для всех t е [О, Г] .

Замечай и el. Легко заметить, что для любого предельного отображения /' выполняется условие

/'

для любых ф(-) е Ст иге/?1. Отсюда вытекает, что свойство квазиинвариантности влечет свойство нолуинвариантности.

Функцию ф{-) назовем ш-предельной для решения x(t) уравнения (1), определенного промежутке (а — т, +оо), если существует последовательность tn —> -boo такая, что xtn (0 —» 0(0  Множество всех ш-предельных функций обозначим Л+(:с).

Л е м м а 2. Пусть выпол.няются условия AI A3, x{t) —- ограниченное решение уравнения (1), определенное на промежутке [а — т,+оо). Тогда множество Л+(ж) непусто, компактно, связно, квазиинвариантно и d(xt(-), А+(х)) —»О при t —» +оо, где d обозначает расстояние от точки до множества в пространстве СТ .

Доказательство. Свойства непустоты, компактности, связности и/ -предельного множества и г/(х((-), А+(х)) —* 0 при t —> +оо для решения x{t) с предкомпактной траекторией {Uxi(-) : t > а} известны (см. [б]). В свою очередь предкомпактность траектории для любого ограниченного решения вытекает из условия A3 и теоремы Арцела.

Докажем квазиинвариантность множества А+(х). Пусть гр(-) € А+(х) и Т > 0 произвольны. Тогда существует последовательность Xtk(-) —> ф(-) при tk —* +оо. Определим последовательность функций yk(t) = x(t+tk), t е [-т, Г]. Тогда ук(-) = Xt+tk{ ), t € [0,Т], и функции yk(t) являются решениями уравнений

yk

Из условия A3 вытекает, что последовательность {j/fc(0} равностепенно непрерывна, а равномерная ограниченность этой последовательности следует из ограниченности решения х(£). Тогда в соответствии с теоремой Арцела у последовательности {?/*( )} существует подпоследовательность, равномерно на отрезке [-т, Т] сходящаяся к некоторой функции y(t.). Не ограничивая общности рассуждений, считаем, что к y(t) сходится последовательность функций yk(t) . Тогда уо(0 — 0(0 и в силу теоремы 1.3 из [7, стр. 16| для почти всех t £ [0, Т] выполняется

y{t) £nn>icöök>nyk

Из (10), (11) и условия AI получаем, что для любого е > 0 выполняется

y(t) € (nn>icö Ufc>„ f(t + tk,yt( )))c

для почти всех t € [О, Т], откуда, в силу произвольности е > 0, вытекает, что функция y(t), определенная на отрезке [-т, Т], является решением включения (5) с начальной функцией у0(.) = ф(-) для предельного относительно последовательности tn —* +оо отображения /'. Тем самым установлена квазиивариантность множества А+(х). Из него, с учетом замечания 1, вытекает его полуивариантость.

Лемма доказана.

ОБОБЩЕНИЕ ПРИНЦИПА ИНВАРИАНТНОСТИ И ПРИТЯЖЕНИЕ

Следуя [8], введем следующие определения.

Для произвольной функции ф(-) £ Ст а числа Д > 0 через Ел(ф(-)) обозначим множество всех непрерывных продолжений Ф() функции ф(-) на отрезок [—т, Д].

Будем говорить, что функционал Ж : Ст —» Я имеет инвариантную производную д^Ш в точке ф(-) е Ст , если для любой Ф(-) е Е^(ф()) функция = И^Ф^-)), где

С € [0, Д), имеет в нуле конечную правую производную инвариантную относительно функций Ф

Функционал V : Я1 х Я71 х Ст Я инвариантно дифференцируем в точке р = = (£,х, ф(-)) € Я1 х К11 х Ст, если в этой точке существуют конечные УХУ, дфУ, д^У и для любой Ф(-) 6 Е&(ф(-)) выполняется равенство

УЦ + ъх + х, Щ-))-У(1,х,ф(-)) =

= д1У\р]  V + г) + д<,У\р] Ч + о (\Л?2 + ||*||2 +

при г] > 0. г € Яп, £ е [0, Д), причем о

3 а м е ч а н и е 2. Для того, чтобы функционал V был инвариантно дифференцируем в точке р — (£, х, ф(-)) необходимо, чтобы он имел в этой точке частные производные VХУ , дфУ , дУ и достаточно, чтобы они были ипвариантно непрерывны в точке р (см. [8, стр. 44]).

Производную ^(1)(£,0(-)) функционала У(£, х, ф(-)) (в точке (£, 0(0), ф(-)) в силу дифференциального уравнения (1) определим следующим равенством:

%>

х=ф

Если функционал У(£,х, <£(•)) инвариантно дифференцируем, то для любого решения х(() уравнения (1) выполняется равенство:

*>

для почти всех £, где ¿

Теорема1. Пусть выполняются условия А1-АЗ, х(-) — ограниченное решение уравнения (1) с и: -предельным множеством Л+(х). Предположим, что:

1. Существует непрерывный, инвариантно дифференцируемый функционал У(£,х, <£(•)), ограниченный снизу и равномерно относительно переменной £ непрерывный по переменным (х,ф(•)) на каждом множестве вида Я1 х /С[0] х К, где К С СТ — компактное множество, /С[0] = {</«[0] : ф{ ) € К} .

2. Существует ограниченный и равномерно по совокупности аргументов непрерывный на каждом множестве вида Я1 х К функционал и>(£, ф(-)) > 0, такой что для всех (£,0( )) е Я1 хСТ выполняется неравенство:

%)

Тогда для любых ф(-) € А+(х) и Т > 0 существуют предельные отображения У, и)', /' ( соответствующие одной и т.ой же последовательности £„ —> +оо ) и решение

у( ) включения (5) с начальной функцией уо = ф(-), такое, что выполняются соотношения:

</,

для всех £ € [О, Т], где с — некоторая константа, одна и та же для всех функций € Л+(х).

Доказательство. Пусть х(£) — ограниченное решение уравнения (1) и гр(-) е € Л+(х), Т > 0 произвольны. Тогда существует последовательность ^ —+ +оо такая, что 'Ф(-)  В силу равенства (12) и неравенства (13) функция £ — 1^(£,х(£),х4(0) является невозрастающей и по предположению теоремы ограничена снизу. Поэтому существует

Дпп^

Из равенства (12) и неравенства (13) следует также

V

J о

для всех £ е [0, Т]. С учетом равенства (15) и неравенства (16) заключаем, что

Ит / ии

tk->+ooJ

В силу условия 2 теоремы с компактным множеством К — {их5+<к(-) : в € [О,Т], к = = 1,2,...} и теоремы Арцела из последовательности функций юк(в) — и>(в + хя+гк) можно выделить равномерно на отрезке [0, Т] сходящуюся к функции 1/(в) подпоследовательность. Из последовательности х(в + £*,) также выделяем равномерно сходящуюся на отрезке [—т,Т] к функции у(£) подпоследовательность (см. доказательство леммы 1). Не вводя новых обозначений, считаем, что обе последовательности сходятся одновременно. Причем г/(£) является решением включения (5) с некоторым предельным отображении /' и Уг( ) € Л+(х), £ ^ 0. Используя равномерную ограниченность функции ад(£,0(О) на множестве Д1 х К и утверждение 4 леммы 1 (применительно к функции ад), заключаем, что 1>({) = и)'(в, 2/Л')) I ГДС —предельная относительно последовательности функция.

Далее из (17) и теоремы о предельном переходе последовательности функций под знаком интеграла заключаем, что

/ ги'(з,уе(-))(1з = 0. Jо

Теперь, учитывая непрерывность и знакопостояпность функции ад', заключаем, что ги'(£, г/4(-)) = 0 для всех £ е [0, Т].

Используя равенство (15), условие 1 теоремы и утверждение 4 леммы 1 (применительно к функции У(£, 0(0), <£(•))), заключаем, что = с для всех £ <Е [0,Т]

Теорема доказана.

3 а м е ч а н и е 3. В утверждении теоремы 1 предельные отображения V', ад', /' могут быть заменены на предельные отображения /* , У* , ад* так, что соотношения (14) для них будут выполняться для всех £ > 0.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 для любого ограниченного решения х() уравнения (1) множество Л+(х) принадлежит наибольшему полу инвариантному подмножеству, из пересечения множеств

Еу = {Ф(-) : У*(гР(0), Ю) = с}, Еш = М ) : ад*МО) = 0}.

С учетом замечания 3, теорема 2 вытекает из теоремы 1 и является аналогом принципа инвариантности для функцинальiio-дифференциального уравнения (1),

Будем говорить, что функционал V(t,x, $(•)) является положительно определенным, если найдется функция а : R+ — R+ . такая, что а (и) > 0 при и / 0, и(0) = 0 и выполняется неравенство V(t, 0(0),$>()) ^ а(|0(О)|) для всех t £ R1 и всех ф(-) из малой окрестности нулевой функции.

Следствие 1. Пусть выполняются все предположения теоремы 1 и, дополнительно, функционал V'(t, х,ф(-)) является положительно определенным. Предположим также, что 0 = /(i, 0,0) для всех t и и множество Е\/ П Еш не содержит полуинвариаптпых подм1шп1сеетв уравнения (1) кроме нулевой функции.

Тогда любое ограниченное решение ж(-) уравнения (1) стремится к нулю ( т.е. М-)||с —* 0 при t —> +оо) и нулевое, решение асимптотически устойчиво.

В заключение отметим, что в упомянутой выше работе [3| исследование основано на топологической динамике функционально-дифференциальных уравнений в некоторой подобласти пространства СТ , представляющей собой объединение вложенных возрастающих но включению компактных множеств. Соответсвующая компактно открытая топология оказывается метризуемой, пространство — полным, а семейство сдвигов функций — предкомпакт-ным. Тем самым достигается существование предельных функций. В наших исследованиях предельные многозначные в общей ситуации отображения строятся в явном виде на основе тсорстико множественных операций по формулам (2), (3) и вопрос об их существовании практически очевиден.

ЛИТЕРАТУРА

1. Барйашип Е,А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

2. Руги И., Абетс М., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова а теории устойчивости. М.; Мир, 1980. 300 с,

3. Андреев А.С. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // АиТ. 2009. №9. С. 4-55.

4. Куратовскии К. Топология, т. 1. М.: Мир, 1966. 594 с.

5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения С разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

6. Хейл Док. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1984. 421 с.

7. Толстоногая А.А. Диифференциалт.ные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Паука. 1986. 276 с.

8. Ким А.В. i-гладкий анализ и функционально-диффефонциальные уравнения. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1996. 233 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана СО РАН, междисциплинарный проект № 107.

Поступила в редакцию 25 сентября 2011 г.

Finogenko I.A., Chumakova N.A. Он a limit équations and attraction; for nonautonomous systems with delay. For nonautonomous func ti о ri al-d i fferent i al équations property of quasi-invariance for W -limiting sets and analogue of the La-Salle principle of invariancy by use of Lyapunov functional with constant sign derivative is established.

Key и tords: functional differential inclusion; Lyapunov functional; limit équations; quasiinvariant set; principle of invariancy; asymptotic stability.