Нелинейная модель взаимодействия двух электронных потоков и ее тестирование

НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКОВ И ЕЕ ТЕСТИРОВАНИЕ

С. С. Волощук

Саратовский государственный университет

Приведен вариант построения нелинейной нестационарной теории взаимодействия электронных потоков в двухлучевых системах для случая попутных и встречных пучков. Сделано тестовое сравнение результатов построенной теории с расчетами линейной теории для обоих случаев.

Ключевые слова: Электронно-волновая лампа, двухпучковая неустойчивость, метод частиц в ячейках.

Введение

Благодаря простоте конструкции и возможности конструирования терагерцо-вых приборов многолучевые системы являются привлекательным объектом исследования. К настоящему времени предложены теории для многих частных случаев таких систем: например, линейная теория попутных и встречных пучков [1], нелинейная теория попутных пучков [2]. В настоящей работе предлагается вариант нелинейной нестационарной теории взаимодействия электронных потоков в двухлучевых системах (примером такой системы может быть электронно-волновая лампа). Рассмотрены случаи попутных и встречных пучков. Проведено тестовое сравнение результатов расчета в рамках нелинейной теории с расчетами линейной теории электронно-волновой лампы [1] для обоих случаев.

На рис. 1 представлена схема электронно-волновой лампы с попутными пучками. Разность скоростей потоков обеспечивается разностью потенциалов катодов

К\ и К2. Один из потоков модулируется на входе с помощью отрезка замедляющей системы (например, спирали). Скорость потока подбирается близкой к фазовой скорости замедляющей системы, что обеспечивает эффективное взаимо-

Рис. 1. Схема электронно-волновой лампы с попут- действие. Далее пучки шстушюг в пр°-ными пучками странство дрейфа, где взаимодействуют.

Усиленный сигнал снимается вторым отрезком замедляющей системы. Отработанные пучки оседают на коллекторе K.

В построенной модели модуляция с помощью отрезков спирали для простоты заменена на скоростную модуляцию в момент влета, что соответствует модуляции с помощью резонатора.

Анализ рассматриваемой модели основан на методе «частицы в ячейках» (par-ticle-in-cell или PIC-модель). Модель фактически является модификацией одномерной модели клистрона с бесконечно широким пучком [3]: один пучок заменяется на два пучка, каждый для своего сорта частиц, отличающихся начальными средними скоростями. При такой замене приходится складывать электрические поля первого и второго пучка на каждом шаге, но появляется возможность вычислять распределение тока для каждого пучка в отдельности.

Основные уравнения модели: это уравнение Пуассона и уравнения движения. Для удобства была произведена нормировка физических величин: р — pop — объемная плотность заряда,

Vi — VoPi — скорость крупной частицы в г-м пучке,

Ф — VoФ/п — потенциал,

Е — VqE/(Lv) — напряженность электрического поля,

х — LX — координата крупной частицы,

t — Lt/v0 — время.

Здесь L - длина пространства взаимодействия; v0, р0 - невозмущенная начальная скорость и плотность первого потока; п - отношение заряда к массе электрона. Безразмерные переменные обозначены знаком тильда «~», так как далее будет идти речь только о безразмерных переменных, знак тильда будем опускать.

Рассмотрим кратко схему реализации расчетов. Пространство взаимодействия разбивается на ячейки. Вычисление значений плотности заряда, потенциала, поля пространственного заряда происходит в узлах этой сетки (эти величины дискретны по координате). На каждом шаге в пространство влетают электроны, координата которых непрерывно меняется на всей длине взаимодействия.

Каждая итерация начинается с процедуры «взвешивания» частиц [3] для каждого пучка в отдельности. Это необходимо для перехода от пучка электронов с «непрерывными» координатами к дискретному распределению плотности заряда в пространстве. После того, как получены распределения зарядов в первом и втором пучке, происходит вычисление распределений потенциалов. Для этого решается уравнение Пуассона «методом распространения ошибки»

д2ф 2 дх2 а р Ф (0) = ф (L) = 0,

где а = WpL/vo, wp - плазменная частота.

Теперь возможно вычислить распределение напряженности поля пространственного заряда на основе центральных разностей

Епз = — д ф/дх, где ф(х) есть решение уравнения Пуассона.

До этого момента все величины вычислялись для каждого пучка в отдельности, и в результате имеем два распределения напряженности поля пространственного заряда, создаваемых каждым пучком. Суммируя эти распределения, получим распределение напряженности поля, действующее на электроны. Используя узловые значения, можно с помощью линейной интерполяции вычислить напряженность поля, действующую на каждую частицу,

Е (хт) = Е3 ((] + 1) Ах - хт) + Е?+1 (хт - ]Ах),

здесь т - индекс по массиву частиц, ] - индекс по массиву ячеек.

Найденная напряженность поля для каждой частицы используется для вычисления изменения скорости и координаты крупных частиц

Уг+1 = Уг + Е(хт)АЬ,

Хг+1 = хг + Уг&Ь.

Последний этап - это ввод в пространство новых электронов и удаление электронов вышедших за пределы пространства взаимодействия.

Для анализа процессов, протекающих в пространстве взаимодействия, удобнее рассматривать плотность тока пучка. Вычисление распределения плотности тока происходит аналогично вычислению распределения плотности заряда.

Результаты расчетов для модели попутных потоков и их сравнение с линейной теорией

Для тестирования описанной модели будем сравнивать результаты расчетов с линейной теорией (см., например, [4]). Уравнения гидродинамической модели в используемых переменных имеют вид

д2г1 дг1 2 2 2 , .

—2 + 2^а—--м2а211 = - а2 («1 + г2),

дх2 дх

д 2«2 , а д«2 2 а2 . а2

—у + 2^----W2^«2 =--2 («1 + «2) ,

дх2 у дх у2 у2

здесь г1, г2 - плотность тока первого и второго пучка; у = у01/у02 - отношение начальных немодулированных скоростей первого и второго потоков; w = ш/шр - частота входного сигнала, нормированная на плазменную частоту; ] - мнимая единица. Система (1) записана в предположении, что все переменные величины изменяются во времени как

Решение дисперсионного уравнения для системы (1) имеет следующий вид:

"к = ер = гЬ("К+г)2 + 1 Ч)2 + 0' * = 1'-'4'

здесь вр = Шр/уоь Таким образом, решение системы (1) представляет собой суперпозицию четырех парциальных волн пространственного заряда. Зависимости мнимой и действительной части волнового числа от частоты приведены на рис. 2. Видно,

Рис. 2. Дисперсионная характеристика модели для нескольких параметров V: а - мнимая часть волнового числа, б - действительная часть волнового числа

что существуют две области изменения корней. В первой области (0 < т < 13 для V = 0.8) существует: одна волна с экспоненциально возрастающей амплитудой (1), одна с экспоненциально затухающей (2) (рис. 2, а) и две волны с постоянной амплитудой (3, 4) (рис. 2, б) - эту область изменения параметра т принято называть областью неустойчиости. Во второй области (13 < т для V = 0.8) возможно распространение четырех волн постоянной амплитуды (3, 4, 5, 6) (рис. 2, б) - это область интерференции.

Для того, чтобы сравнивать линейную модель с нелинейной нужно использовать одинаковую модуляцию входного электронного потока. Уравнения линейной модели записаны относительно плотности тока, поэтому модуляцию по скорости можно ввести следующим образом:

дг дх

д р

д г - Р0^

vo

дг дх

JЫрo-

х=0

V0

д г

или в используемых безразмерных переменных: ——

дх

jwaV , где т - безразмер-

х=0

ная частота модуляции. Таким образом, граничные условия для линейной модели имеют вид

д г\ дх

jwav 1,

х=0

0,

д г 2

дх х=0

г 4=0 = °,

г2

х=0

0.

Рассмотрим работу лампы в области неустойчивости при следующих параметрах: а = 1, т = 10, V = 0.9. На рис. 3 приведены распределения первой гармоники плотности тока в лампе для первого и второго пучка вдоль пространства взаимодействия: здесь 1 - модулированный пучок, 2 - смодулированный; сплошная линия -линейная теория; кружками обозначено распределение плотности первой гармоники тока по расчетам нелинейной теории, квадратами - второй гармоники. На начальном

этапе модели демонстрируют хорошее взаимное соответствие. Как и ожидалось из анализа дисперсионных диаграмм, модели демонстрируют рост амплитуды тока по пространству взаимодействия. Из рис. 3, б видно, что на определенной длине начинают сказываться нелинейные эффекты: с ростом координаты заметно увеличивается амплитуда второй гармоники (рис. 4, б), что и приводит к расхождению результатов.

Рассмотрим поведение модели в области интерференции при следующих параметрах: а =1, v = 0.8. На рис. 5 приведены зависимости распределения амплитуды первой гармоники тока в немодулированном пучке по пространству взаимодействия.

Рис. 3. а - распределение по длине пространства взаимодействия первой гармоники тока: 1 - модулированный пучок при амплитуде модуляции начальной скорости 10-2, 2 - смодулированный пучок; б - увеличенный фрагмент участка для первой гармоники модулированного и смодулированного пучка и второй гармоники тока немодулированного пучка

Рис. 4. Спектры переменной составляющей тока смодулированного пучка для различных координат х пространства взаимодействия: а - 0.05, б - 0.95

Рис. 5. Распределение первой гармоники тока для различной входной частоты ш в смодулированном пучке: а - 100, б - 50. Сплошная линия - линейная модель, пунктирная линия - нелинейная модель

I -

8.0x10-5 -

6.0х10-5 -

4.0x10-5 -

2.0x10-5 -

0 1_--.---,-

а 0 100 200 300 400 б 0 100 200 300 400 хю

Рис. 6. Спектр переменной составляющей тока для различных координат х пространства взаимодействия: а -0.05, б -0.95

Поведение линейной и нелинейной модели в области интерференции качественно совпадают, но с ростом координаты результаты расходятся. Это происходит из-за роста амплитуды второй гармоники, что видно из спектра, приведенного на рис. 6, б.

Результаты расчетов для встречных потоков и их сравнение с линейной теорией

Перейдем к анализу встречных потоков. Для проверки результатов нелинейной модели воспользуемся результатами работы [1], которая также основана на линейной гидродинамической теории, но построенной для встречных потоков.

Для простоты будем рассматривать случай встречных потоков, движущихся с одинаковыми скоростями навстречу друг другу. Уравнения модели аналогичны (1), но в данном случае имеем V = -1. Для этого случая можно получить (см., например, [1]) точное решение дисперсионного уравнения, которое имеет вид,

bk = ±\/ 1 + т2 ± /1 + 4т2, к = 1,..., 4.

На рис. 7 приведены дисперсионные зависимости мнимой и действительной частей волновых чисел . Аналогично случаю попутных пучков можно выделить область неустойчивости (0 < т < 1.4) и область интерференции (1.4 < т), где существуют такие же волны, как и в случае попутных пучков.

Рассмотрим поведение моделей встречных пучков в области интерференции. На рис. 8 показано распределение тока по координате для двух моделей и спектр плотности тока модулированного пучка в точке х = 0.95. Здесь: сплошной линией показано распределение переменной составляющей тока для гидродинамической модели, точками - распределение первой гармоники тока нелинейной модели. Кривые 1 соответствуют модулированному пучку, движущемуся в положительном направлении, кривые 2 - смодулированному встречному пучку. Модуляция потока производилась по скорости, величина модуляции 0.01. Графики построены при частоте модуляции т = 5 для разных значений параметра а.

Можно сделать вывод, что даже при малой модуляции с увеличением параметра а в спектре тока появляются нелинейные составляющие (рис. 8, б), с ростом которых соответствие между моделями пропадает (рис. 8, в). Увеличение параметра а можно интерпретировать как увеличение длины пространства взаимодействия.

1

2.0x10-6 1.5хЮ"6 1.0x10-6 0.5x10-6

а

2.0

-2.0

-4.0

....... ч5^2.0 2.5 т

б

Рис. 7. Дисперсионная характеристика модели для встречных пучков с одинаковыми скоростями: а - мнимая часть волновых чисел, б - действительная часть волновых чисел

1/1 0.04

1 ^

у

05 ' ¿У 2

... ........-----,

0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 ш

в

\1\ 0.04

0.03

0.02

0.01

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 х

0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 «

/ ^^оОООООООООоо

/ V

• в в •• • » • • * »-Г» • * , у ^ . ^ ^ ^__

0 0.2 0.4 0.6 0.£

0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 и)

Рис. 8. Распределение тока модулированного 1 и немодулированного 2 пучка по координате для двух моделей и спектр плотности тока модулированного пучка при х = 0.95 для различных значений а: а - 1, б -2, в - 3

Также из этих рисунков видно, что возбуждаемая во встречном пучке амплитуда колебаний плотности тока гораздо меньше амплитуды колебаний в модулированном пучке. С увеличением частоты модуляции и (и > 5) возбуждаемая амплитуда колебаний плотности тока уменьшается, и взаимодействие между пучками практически пропадает, что соответствует результатам работы [1].

В [1] показано, что для области неустойчивости возможно добиться значительного усиления входного сигнала. Но в нелинейной модели не удалось добиться значительного усиления, так как для PIC-модели начинают проявляться свойства частиц, а именно возможность их поворота.

В некоторой области параметров и и а, в которой не происходит поворота частиц, поведение моделей качественно совпадает (рис. 9). Вне этой области возможен поворот электронов, что принципиально невозможно в гидродинамической (линейной) модели.

Заключение

Предложенная нелинейная модель двухлучевой системы демонстрирует хорошее соответствие линейной модели на коротких промежутках взаимодействия. С ростом длины пространства дрейфа увеличивается вклад высших гармоник и соответствие между моделями пропадает. При некоторых значения входного сигнала и длины пространства дрейфа в построенной модели происходит разворот электронов, что невозможно в линейных моделях, используемых для сравнения.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 13-02-01209 А.

Библиографический список

1. Лопухин В.М., Рошаль А.С. Усилитель на встречных электронных потоках // Радиотехника и электроника. 1962. № 4, с 643.

2. Филимонов Г.Ф. Нелинейная теория двухлучевой электронной лампы. Ч. I. Вывод и исследование уравнений // Радиотехника и электроника. 1959. № 3, с 489.

3. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. В 2-х т. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003

4. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. М.: Советское радио, 1970.

References

1. Lopuhin V.M., Roshal A.S. Opposite directed beam amplifier // Radiotehnika i electronika. 1962. № 4. P. 643.

I/! 0.010

0.008

0.006

0.004

0.002

0

-

- о°

- о

< 2

0

0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 9. Распределение тока модулированного 1 и немодулированного 2 пучка по координате для двух моделей при ю = 1.3, а = 1

2. Filimonov G.F. Nonlinear theory two-stream tube. P. I. Deriving and studying of equations // Radiotehnika i electronika. 1959. № 3. P. 489.

3. Trubetskov D.I., Khramov A.E. Lectures on Microwave Electronics for Physicists. In 2 volumes. Moskow: FIZMATLIT, 2003.

4. Shevchik V.N., Trubetskov D.I. Analytic methods of calculation in microwave electronics. Moscow: Sovetskoe radio, 1970.

Поступила в редакцию 26.05.2015

NONLINEAR MODEL OF TWO ELECTRON BEAM AND TESTING

S. S. Voloshchuk

Saratov State University

Non-linear nonstationary theory of two-stream amplifier has been suggested for case of co- and opposite directed beams. Non-linear theory has been compared with calculation of linear theory for both cases.

Keywords: Two-stream amplifier, two-stream instability, particle-in-cell method.

Волощук Сергей Сергеевич - родился в Саратове (1990), окончил Саратовский государственный университет (2013). В настоящее время - аспирант факультета нелинейных процессов Саратовского государственного университета. Научные интересы - численные методы, многолучевые системы. Имеет одну научную публикацию в журнале «Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика».

410012 Саратов, Астраханская, 83

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: ss.voloshchuk@gmail.com