Проблема Варинга с натуральными числами специального вида

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 15 Выпуск 3

УДК 511.34

ПРОБЛЕМА ВАРИНГА

С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

С. А. Гриценко

Аннотация

Работа является продолжением исследований авторов классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена, Лагранжа. Для числа решений этих проблем с числами специального вида получены асимптотические формулы. Задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена — задачи с простыми числами. Они являются классическими проблеми теории чисел о числе решений уравнения р™+'2+• • •+Р2 = N в простых числах р1, р2,... ,рц, где к ^ 2 и п ^ 1 — натуральные числа. При к = 3, п = 1 — задача Гольдбаха, к = 5, п = 2 — задача Хуа Ло-Кена. Авторы рассматривали эти задачи при условии, что на простые числа '1, 1 = 1, 2,..., к, наложены дополнительные ограничения вида а < {пР2} < Ь, где а и Ь — произвольные действительные числа, 0^а<Ь^1, п — квадратичная иррациональность. При выводе асимптотических формул использовали круговой метод Харди-Литтлвуда-Виноградова. Полученные формулы отличаются от асимптотических формул классических задач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появляются ряды специального вида:

а

Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая также исследована авторами. Задача Лагранжа — задача о представлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чисел: ¿2 + ¡2 + ¡3 + ¡1 = N. Авторами рассмотрен вариант задачи Лагранжа с целыми числами ¡¿, 1 = 1, 2, 3, 4, удовлетворяющими условию а < < Ь. При выводе асимптотической формулы в задаче Лагранжа авторы, в основном, следовали схеме Клоостермана. В этой задаче в главном члене ряда вида ац(Ж,а,Ь) не возникает. Проблема Варинга — это задача о представлении любого натурального N суммой х2 + х2 + ... + х2 = Ж,

где х^х2,...,х& — натуральные числа. В данной работе решается вариант проблемы Варинга с натуральными числами Xi, г = 1, 2,..., к, такими, что а ^ |пх™} < Ь, где п — алгебраическое иррациональное число. Здесь в главном члене появляется ряд (А, а, Ь), как и в задачах Гольдбаха и Хуа Ло-Кена с простыми числами, удовлетворяющими условию а < |ПР?} < Ь, г = 1, 2,..., к. Основным результатом работы является получение асимптотической формулы для числа решений 7(А) проблемы Варинга с числами специального вида:

' -1--

J (N ) = / (N )afc (N,a,b) + O(N n 1 n3iogn),

где /(N) — число решений классической проблемы Варинга в произвольных натуральных числах xi, x2,..., , c = c(n) >0, n > 3,

k > k =| 2n + 1, если 3 ^ n ^ 10,

> \ 2[n2(2logn + log log n + 5)], если n > 10.

Ключевые слова: проблема Варинга, аддитивные задачи, числа специального вида, число решений, асимптотическая формула, квадратичная иррациональность, алгебраическое иррациональное число.

Библиография: 20 названий.

WARING'S PROBLEM

INVOLVING NATURAL NUMBERS OF A SPECIAL TYPE

S. A. Gritsenko

Abstract

In 2008-2011, we solved several well-known additive problems such that Ternary Goldbach's Problem, Hua Loo Keng's Problem, Lagrange's Problem with restriction on the set of variables. Asymptotic formulas were obtained for these problems. The main terms of our formulas differ from ones of the corresponding classical problems.

In the main terms the series of the form

a (N a b) = Y^ e2nim(nN-0,5k(a+b)) sinknm(b — a) ' ' nkmk

appear.

These series were investigated by the authors.

Suppose that k > 2 and n > 1 are naturals. Consider the equation

x? + xn + ...+x£ = N

in natural numbers x\,x2,..., xk. The question on the number of solutions of the equation (1) is Waring's problem. Let n be the irrational algebraic number, n ^ 3,

( 2n + l if n< 10,

" 0 \ 2[n2(2logn + loglogn + 5)], if n > 10.

In this report we represent the variant of Waring's Problem involving natural numbers such that a ^ {nxf} < b, where a and b are arbitrary real numbers of the interval [0,1).

Let J(N) be the number of solutions of (1) in natural numbers of a special type, and I(N) be the number of solutions of (1) in arbitrary natural numbers. Then the equality holds

J(N) ~ I(N)ak(N, a, b).

The series ak(N,a,b) is presented in the main term of the asymptotic formula in this problem as well as in Goldbach's Problem, Hua Loo Keng's Problem.

Keywords: Waring's Problem, additive problems, numbers of a special type, number of solutions, asymptotic formula, quadratic irrationality, irrational algebraic number.

Bibliography: 20 titles.

1. Введение

Данная работа является продолжением исследований авторов аддитивных задач с числами из специальных множеств.

Для числа решений /3д (N) задачи Гольдбаха о представимости нечетного натурального N в виде суммы трех простых чисел:

Pi + Р2 + Рз = N

в 1937 г. И.М. Виноградов получил асимптотическую формулу [1], а именно доказал, что:

i3'i(N) ~ П 0 + (P-D3) П t - Р2—ip+3) •

В 1938 г. Хуа Ло-Кен доказал [2], что достаточно большое натуральное N, N = 5 (mod 24), представимо суммой квадратов пяти простых чисел:

Р2! +Р2 +Р3 +Р42 +Р5 = N

(задача Хуа Ло-Кена). Для числа представлений I5,2(N) Хуа показал [3], что

N 3/2

I5,2

(log N )5'

q

32niaj2/q

В 1770 г. Ж. Лагранж доказал, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов натуральных чисел:

12 +12 +12 +12 = N

(задача Лагранжа). Для числа решений /4 2(А) задачи Лагранжа известно, что

[4]

те

/4,2(А)=п2N ^ ^в-2пШа/(> + 0(М17/18+£),

(ад)=1

где

= ^ у е

3 = 1

Пусть п — квадратичная иррациональность, а и Ь — произвольные действительные числа, 0 ^ а < Ь ^ 1. Ранее нами получены следующие результаты.

Теорема 1. [5] Для числа решений /зд^) задачи Гольдбаха с простыми р, а < {п'Рг} < Ь, г = 1, 2, 3, при любом фиксированном положительном С справедливо равенство

) = /з,1^ )аз^,а,Ь) + 0^ ),

где

^з(N, а, Ь) = е

2nim

n3m3

Теорема 2. [6] Пусть J5,2(N) — число решений задачи Хуа Ло-Кена с простыми числами pi; а < {np2} < b, i = 1, 2, 3, 4, 5. Для достаточно большого N = 5 (mod 24) справедлива формула

J5,2 (N) = I5,2(N MN,a,b) + O(N3/2-0,00002),

где

a5(N,a,b)= У e2nim(nN-2,5(a+b)) s^5™1(b— a).

n5m5

Теорема 3. [7] Число решений J4,2(N) задачи Лагранжа в целых числах li, а < {nli} < b, i= 1, 2, 3, 4, для любого положительного малого £ выражается формулой

J-4,2 (N) = (b — a)4l4,2(N) + O(N °,9+£).

Полученные нами в теоремах 1 и 2 формулы отличаются от асимптотических формул классических задач Гольдбаха и Хуа Ло—Кена в простых числах без ограничений. У нас в главных членах появляются ряды a3(N, a, b), а5(N, a, b) специального вида. Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая исследуется авторами в [8].

В данной работе рассмотрена проблема Варинга:

хП + ХП + ••• + xnk = N

с натуральными числами xi, х4,... , хк специального вида.

Первое общее решение проблемы Варинга в 1909 г. дано Д. Гильбертом [9]. Он доказал, что при любом целом n ^ 4 существует k = k(n), для которого число решений уравнения (2) положительно при любом N ^ 1.

В 1921 г. Г. Харди и Дж. Литтлвуд [10], применив свой круговой метод [11]—[14], получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга при k порядка n2n-i.

В 1924 г. И. М. Виноградов усовершенствовал рассуждения Харди и Литт-лвуда [15]. Он доказал, что асимптотическая формула Харди-Литтлвуда для числа решений проблемы Варинга справедлива при k порядка n4logn, и уравнение (2) разрешимо для всех достаточно больших N при числе слагаемых k порядка n log n.

Нами получен следующий результат.

Теорема 4. Пусть п — алгебраическое число степени s ^ 2, a и b — произвольные действительные числа, 0 ^ a < b ^ 1. Пусть n ^ 3, k ^ k0, где

k = i 2n + 1, если 3 ^ n ^ 10,

0 2[n4(2log n + log log n + 5)], если n > 10.

Тогда для числа решений J(N) проблемы Варинга в натуральных числах xi,x2, • • • , xk таких, что a ^ {,qxn} < b (j = 1, 2,..., k), справедлива асимптотическая формула.

' n-i-_

n n3 log n

J(N) = I(N)a(N, a, b) + O (nk i nnogn j

где I(Ж) — число решений уравнения (2) в произвольных натуральных числах XI, Х2, ... ,хк,

r(N ,a,b) = Y

4nim

a(N,a, b) = у e

nk mk

Положительная постоянная c зависит только от rq. Для I(N) известно [16], что при k ^ cn4logn,

I(N) - (Г(1 + 1/n»k Nk/n-i ' ' r(k/n) N •

Последовательность натуральных чисел х, удовлетворяющих неравенству а ^ {пхп} < Ь имеет плотность (Ь — а). Естественно предположить, что

3^) - (Ь — а)к/^).

Однако, это предположение не верно. Действительно, возможно, что

Ь — а ^ —-. 2к

При а = 0, {пхп} < Ь (= 1, 2,..., к) имеем

{пхП} + {пхП} +... + {пХП} ^ 2.

Тогда из равенства

п^п + пХП +... + пХП = ^

следует, что

J оп-п

то есть

_1_ -Г<"4 Но возможно, что

{пхП + пхП + ... + пхп} = {nN},

{пхП} + {пхП} + ... + {пхП} = ^}.

{пN} > 2.

Из (3)-(5) имеем, что 3^) = 0. Приходим к противоречию с предположением о том, что

3^) - (Ь — а)к/(N),

поскольку

Ьк / ^) > Nк/п-1.

Таким образом, число решений 3^) рассматриваемой задачи связано с числом решений /^) классической задачи так, что в главном члене появляется ряд а, Ь) того же типа, что и в теоремах 1, 2.

2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1 (Дирихле). Пусть т ^ 1, а — вещественное число. Тогда существуют целые взаимно простые числа а и д, 1 ^ д ^ т, такие, что

а

а--

д

1

^ —. дт

Доказательство см., например, в [16], с. 158.

Лемма 2 (Лиувилль). Для любого действительного алгебраического числа а степени п можно подобрать положительное с, зависящее только от а, такое, что для всех рациональных чисел а/Ь (а/Ь = а) будет иметь место неравенство

а

а--

а b

c

> —. b n

Доказательство см., например, в [17], с. 264.

Лемма 3. При натуральном N ^ 2 справедливо равенство

N

Р

n=1

где

r

1

1 + N2 sin2 nx Имеем разложение функции r(x) e ря^ Фурье

r(x)= ^ cme

2nimx

+ O

log N N

с коэффициентами ст ^ е-|т|/м.

Доказательство см., например, в [18], с. 473, с. 660, с. 668. Лемма 4. Пусть

а 0

а = - + —, (а,д) = 1, 0^ а<д^ т, |0| ^ 1. д дт

Пусть п — алгебраическое число степени в ^ 2, т — натуральное число, т ^ 2М. Тогда существуют целые взаимно простые числа А и Q такие, что

A

а + nm — — Q

1

2

i

s — 1

8Mq

^ Q ^

г^е c0 = c0(n) > 0.

Доказательство. В силу теоремы Дирихле существуют целые числа А1 и Q1 такие, что

Ai Qi

1

л/TQi

(Ai,Qi) = 1, Qi^ VT.

n

По условию леммы 4

а

а--

5

1

^ —, 5т

(а, д) = 1, 1 ^ 5 ^ т.

Тогда из теоремы Дирихле следует, что существуют целые взаимно простые числа А и Q такие, что

А

а + пт — — Q

1

Докажем, что

2

(Со у/Т) ^

, 1 ^ Q ^ 2^Гд.

8Мд

^ Q ^ 2

где Со = Со(п) > 0.

Из неравенства (6) имеем

пт

А^

Ql

т

v/ТQl

Пусть

тогда

А1т = А, (А2,Q2) = 1, Q2^ Ql Q2

пт

А

Q2

т

Из (7) и (9) следует, что

а + пт —

Поскольку Q2 ^ д/Т, то

11

— <

аQ2 + дА

^2'

1 т

^ — +

дт ^2'

1 т 2т

— + £

и

где

дт \ZTQ2 ' дт v/ТQ2 V/ТQ2

2т

+ Аз а + пт — ——

Аз aQ2 + дА2

\ZrQ2

(Аз^з) = 1.

Qз <2^2

Пусть в приближении (8) числа а + пт рациональной дробью А^ сначала Q = Qз. Тогда

1

QQз

А Аз

Я Qз

А

Я

— а — пт

Аз Qз

— а — пт

1 2т

£ —+

2 v/TqQ ^2' Поскольку Q3 £ Q2q £ д^/т, из (10) имеем

10)

1 1 2т 1 2тд

£ - ^ - + £ +

поэтому

QQз 2 v/TqQ ^2 2QQз ^з'

Q ^

т

4тд

Рассмотрим теперь случай, когда в неравенстве (8) Q совпадает с Q3. Пусть ¿|(aQ2+дА2, дQ2), тогда í|(agQ2+д2А2, д2Q2), следовательно, $|(д2А2, g2Q2) = д2, откуда $ £ д2. Тогда имеем:

д

Кроме того

значит

т

Оз^.

тд

По теореме Лиувилля:

Со_

Ql

£

А

Ql

£

Ql л/Г'

где с0 = с0(п) > 0. Тогда имеем

Ql ^ (со^т)8-1, Q = Qз^

1

8-1

тд

Мы доказали, что существуют целые взаимно простые числа А и Q такие,

что

при

а + пт —

А

О

£

1

2 v/TqQ'

(со^т)8-1

£ шт ^^^ )£ Q £ 2^д.

8Мд \ тд 4т

Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть f (х) = ап+1хп+1 + ... + а1х, а3- — вещественные числа.

а 0

ап+1 = а + ^, (а, д) = 1, 1 £ д £ Рп+1, |0| £ 1.

д д2

п

Тогда

Е

x<P

e2nif

С ci(n)PА,

где

i

/ / р "-+1 \\ 16n2logn

А = i min i P,-, q J J

5

С1(п) — положительная константа.

Доказательство см., например, в [16], с. 198.

Лемма 6. Пусть 1С ] С I, £ — произвольное положительное число,

N

f («) = Е

m=1

Тогда

[ |f(а)Гda<N

1

J0

Доказательство см., например, в [19], с. 20-21.

Лемма 7. Пусть b ^ bo, bo = 2[/2 (2 log / + log log / + 4)], / — натуральное число, большее 10,

S (а) =

x=1

Тогда имеем

a

2niaxl

1

\Ъ

|S (a)|bda <ab°-

o

Доказательство см., например, в [20], с. 84-85.

3. Доказательство теоремы 4

1. Определим функцию ^0(х):

1, если а С х < Ь,

Фо{х) ч о, если 0С х < а или Ь С х С 1, и продолжим ее периодически с периодом 1 на всю числовую ось. Пусть

Я, (а) = £ Мпхп)е2тахП,

хСР

где Р = N1/п. Тогда число решений уравнения

хп + хп + ... + хп = N

в натуральных числах х^-, удовлетворяющих условию а £ {пхп} < Ь, ] 1, 2,... , к, равно

3(^ = [ (а)е-2пгаМ¿а. о о

Поскольку

"0(х) = Ь — а + р(х — а) — р(х — Ь),

тогда в силу леммы 3

00 (пхп) = V — а)т е-пгт(а+Ь)е2пгтпхп +

пт

+0(г(пхп — а)) + 0(г(пхп — Ь)),

где

r(x) = £ с,,2—+ о( М

I™ 1\/Г 1\/Г \ /

log M

cme toi

Отсюда получаем

So(a)= V Sinn(b - a)m(a t nm)t ' nm

H^M

tO ( ^ - aHtO ^ r(nxn - b) ) ,

где

S (a) = E'

(a) = > e2niaxn.

Ж<Р

Пусть d любое из чисел a, b. Тогда

^ r(nxn - d) = ^ ^ Cm62nim(nxn-d) t o f plog^

x^P x^P 0<|m|^MlogM ^

Оценим

Ri = ^ ^ Cme2nim(nx"-d).

Применим неравенство Коши и воспользуемся тем, что

log M

Cm<< M ,

имеем:

ст1 + Р / J 1 Ст1 11 с

0<|т|<Мк^М 0<т1<т2<Мк^М хСР

¿м + Р ^

м + м2

2 ^М ^

«Р + |Я(П(т2 Ш1))|.

0<т1<т2<Мк^М

Пусть

п(т2 - Ш1) - ^

1

Сд, (А,д) = 1, д с Рп-1.

Оценим сумму |Я(п(т2 — т1))| по лемме 5. Пусть в лемме 4

а = 0, 5=1, а = 0, 0 = 0, т = т2 — т1,

1 п-1

т = Рп-1, М = Р 1 "-1.

Согласно лемме 4 получим

7 п-1

Р8 п- « д « Рп-1

Тогда из леммы 5 имеем

|Я(п(т2 — т1))| « Р1 п21°8

1 _£1

1--2—

£1 п2 1°е п

где С1 = С1(п) > 0. Получаем

В результате

1- с2

Д1 « Р п21°Еп , с2 = с2(п) > 0.

Яо(а)= £ 81ПП(Ь — а)те-п^т(«+ь)Я(а + пт) + О (р 1, пт V /

2. Рассмотрим

3 )= у 81пп(Ь а)т1 е-П^т1(«+ь) Г Я (а + пт1)Я0к-1 (а)е-м ¿а+

, , пт1

+тр1-п21°8п/ |Яо

.7 0

Оценим интеграл

/ |Я0(а)|к-Ма. '0

Пусть 3 £ п £ 10.

Г |5,о(а)|к-1^а £ Рк-2"-1 Г ^НГ^а. оо

В силу леммы 6 имеем

[ |£о(а)|к-1^а<Рк-п+е-1.

о

При п > 10 по лемме 7 имеем

/ |ЗЬ(а)|к-Ма<Рк-п-1.

о

Выбирая в лемме 6

с2

2n2 log n'

получаем, что при любом n ^ 3 остаток в формуле (11) будет оценен как:

c л1 c

p1- |So(a)|k-1da = O(Pk-n- ),

0

где Сз = С2/2.

Таким образом получено равенство

j )= у sinn(b - a)mi e-nimi(a+b) Г S(a tnmi)S0k-i(a)e-2niaNdat

-.k—n--

to (^Pk n n^iog

3. Далее аналогично получаем, что

i S(a tnmi)S0k-i(a)e-2niaNda 0 0

^ sinn(b a)m2 e-™m2(a+b) f1 s(a tnmi)S(a t nm2)S0k-2(a)e-2nittNdat

-1

nm2 Jo

tO ( P1 n2C2gn [ |S(a t nmi)||So(a)|k-2da ) .

о

Воспользуемся неравенством между средним геометрическим и средним арифметическим:

[ |5(а + пт1)||5,о(а)|к-2^а < [ (а + птО|к-Ма + [ |ЗЬ(а)|к-1^а < ио ио ио

1

« |Я(а)|к-1 ¿а. 0

Поскольку правая часть последнего неравенства не превосходит по порядку

О (рк-п+ п^-1 ^ ,

получаем

3N)= V 81пп(6 — а)т1 е-пгт1(а+6) у^ в1пп(Ь — а)т2 е-пгт2(а+Ь) х , , пт1 , пт2

х [ Я (а + пт1)Я (а + пт2)3к-2(а)е-2пш^ 0 0

+О (Рк-п- п2^ bgP) .

Повторяя эти рассуждения еще (к — 2) раза, приходим к формуле

3(Ж)= Й1ПП(Ь — а)т1 е-пгт1(а+6) у^ в1пп(Ь — а)тк е-пгтк(а+Ь) х

^ пт1 ^ птк

х [ Я (а + пт1) ...Я (а + птк )е-2™°^ 0

+О (Рк-п- п2^ 1ogk-1 р) .

4. При т1 = т2 = . . . = тк = т рассмотрим

й1пкпт

11(Ж)= £

1

пк тк

х ^ . . . ^ / е2пг(а+тп)(хп+хп+...+хп-N)^а. х1СР хк СР

Учтем, что подынтегральная функция периодична по х с периодом 1, получим

/1

пк тк

= /(Ж)( а(Ж,а,6) + О' 1

М к-1

5. Если среди т1 , т2, . . . , тк есть два не равных друг другу числа, то допустим, что т1 < т2. Рассмотрим

/(Ж,т1,т2,...,тк)= / |Я(а + т1п)|... |Я(а + ткп)|^а,

где

6 (а) = •

Сделаем замену Ь = а+т^. Поскольку подынтегральная функция является периодичной по Ь с периодом 1, интеграл можно рассматривать на промежутке Е=[-1/п; 1 - 1 /т"х), где п = Рп-1.

По теореме Дирихле о приближении действительных чисел рациональными числами Ь представимо в виде

— 0

Ь = - + —,

5 9Т1

Промежуток интегрирования по Ь разобьем на два непересекающихся множества: Е1 — «большие» дуги и Е2 — «малые» дуги. На «больших» дугах Е1 в разложении (12) выберем д ^ М. Тогда Е2 = Е\Е". Имеем

I(А,тьт2,...,-т)= / Р(Ь)-Ь + / Р(Ь)-Ь,

где

Р(Ь) = (Ь)||£(Ь + (т2 - т1)п)| • • • (Ь + (ш* - т1 )п)|.

6. Если Ь принадлежит множеству Е2, то в силу леммы 5 и выбора

! п-1

М = Р 8 п—

имеем

( ! ! \ 1 с4

|6 (Ь)| < Р(Р Мп^п+М !6п2^п\ ^Р п2 log п , С4=С4(п) > 0.

7. Пусть Ь принадлежит множеству Е1. Тогда по лемме 4 существуют взаимно простые числа А и Q такие, что

А

Ь + пт - Q Q

1

^ —, " Q2,

при

!

I з- !

« Q <

По лемме 5 для Ь, принадлежащих «большим» дугам Е1, имеем

( - ! ! \ 1 с4

|6 (¿ + шп)|< Р(Р !6n2logn + М 8п2 log п \ <Р n2logn .

8. Из рассмотренных оценок получаем

1(А,тьт2,...,т^ < Гшах |£(Ь + тп)| + шах|£(Ь)А [ |6(Ь)|к-1-Ь <

/ ./о

^ pk n n2logn c5 = C5(n) > 0.

Окончательная оценка остатка имеет вид

O ^N"-1- "3l°g" j , c = c(n) > 0.

Теорема доказана.

4. Заключение

В данной работе получена асимптотическая формула для проблемы Варинга с числами специального вида. В главном члене появляется ряд специального вида, поведение которого было изучено авторами ранее. Причина появления такого ряда представляет интерес и требует дальнейшего исследования.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР. 1937. Т. 15. С. 169-172.

2. Hua L. K. On the representation of numbers as the sum of powers of primes // Math. Z. 1938. 44. P. 335-346.

3. Хуа Ло-ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964. 194 с.

4. Kloosterman H. D. On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2 // Acta mathematica. 1926. 49. P. 407-464.

5. Gritsenko S., Motkina N. Ternary Goldbach's Problem Involving Primes of a Special type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812.4606 - 25 Dec 2008

6. Gritsenko S., Motkina N. Hua Loo Keng's Problem Involving Primes of a Special Type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812. 4665 - 26 Dec 2008

7. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. Представление натуральных чисел суммами четырех квадратов целых чисел специального вида // Современная математика и ее приложения. 2010. Т. 67. С. 71-77.

8. Гриценко С.А., Мотькина Н.Н. О вычислении некоторых особых рядов // Чебышевский сборник. 2011. Т.12, вып. 4. С. 85-92

9. D. Hilbert Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Math. Annalen. 1909. 67. P. 281-300.

10. Hardy G. Collected papers of G. H. Hardy, including joint papers with J. E. Littlewood and others, ed. by a committee appointed by the London Mathematical Society, vol. I. Oxford: Clarenon Press, 1966.

11. Hardy G. H., Littlewood J. E. A new solution of Waring's problem, Quart. J. Math., 48, (1919), 272-293.

12. Hardy G., Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorum»: I A new solution of Waring's problem // Gottingen nachrichten. 1920. P. 33-54.

13. Hardy G., Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorum»: III On the expression of a number as a sum of primes // Acta. Math. 1923. 44. P. 1-70.

14. Hardy G., Littlewood J. Some problems of «Partitio Numerorum»: V A further contribution to the study of Goldbach's problem // Proc. Lond. Math. Soc. 1923. (2) 22. P. 46-56.

15. Виноградов И. М. Sur un theoreme general de Waring //Мат. сб. —19221924. —Т. 31. —C. 490-507. Рез. на рус. яз.

16. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. —М.: Наука, 1983. 240 с.

17. Бухштаб А. А. Теория чисел. —М.: Просвещение, 1966. —384 c.

18. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. —М.: Высш. шк., 1999. 695 с.

19. Вон Р. Метод Харди-Литтлвуда. —М.: Мир, 1985. 184 с.

20. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980. 160 с.

Финансовый университет при Правительстве РФ, МГУ имени М. В. Ломоносова Белгородский государственный университет Получено 09.06.2014