Полосно-заграждающие фильтры с улучшенными частотными характеристиками

Теория сигналов

УДК 621.372.54

Е. Н. Червинский

ЗАО "СИМЕТА"

|Полосно-заграждающие фильтры с улучшенными частотными характеристиками

Представлена методика расчета элементов полосно-заграждающих фильтров (ПЗФ) лестничной структуры с различными амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ). Передаточные функции (ПФ) ПЗФ получены из ПФ фильтров-прототипов нижних частот методом преобразования частоты. Параметры ПЗФ определены в результате решения системы уравнений, образованных приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях нормированной комплексной частоты ПФ реального фильтра и преобразованной ПФ. Отличительной особенностью синтезированных фильтров является неизменность полосы задерживания при любом соотношении величины пульсаций АЧХ в полосах пропускания и задерживания. Проведено сравнение ПФ и АЧХ синтезированных фильтров с характеристиками ПЗФ Баттерворта, Чебышева и эллиптических. В качестве примеров рассчитаны параметры ПЗФ 8-го порядка сравноволновой А ЧХ, инверсных и квазиэллиптических ПЗФ.

Полосно-заграждающий фильтр, передаточная функция, преобразование частоты, неравномерность амплитудно-частотной характеристики, затухание в полосе задерживания, фильтр лестничной структуры

Полосно-заграждающие фильтры (ПЗФ) используются для подавления помех в определенной полосе частот. Математическое выражение передаточной функции (ПФ) ПЗФ может быть получено из выражения ПФ фильтра-прототипа нижних частот методом преобразования частоты [1]. Полоса подавления концентрируется вокруг центральной частоты настройки фильтра. Крутизна переходов от полосы подавления к полосам пропускания модуля ПФ ПЗФ, или его амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), определяется соответствующей характеристикой фильтра-прототипа. Наименьшей крутизной переходов и максимально плоской характеристикой обладает ПЗФ, прототипом которого является фильтр нижних частот (ФНЧ) Баттерворта. При преобразовании характеристик ФНЧ Чебышева АЧХ ПЗФ носят колебательный характер в полосах пропускания, а эллиптических ФНЧ - в полосах пропускания и подавления, при этом крутизна переходов АЧХ увеличивается. Неравномерность АЧХ может быть снижена за счет введения специальных коэффициентов при одновременном сужении полосы подавления ПЗФ.

Цель настоящей статьи - представление методики расчета ПФ ПЗФ с требуемыми характеристиками и неизменной полосой подавления (режекции), определяемой на уровне

1/72 модуля ПФ. Рассмотренные фильтры имеют лестничную структуру, т. е. представляет собой пассивную цепь из индуктивностей и емкостей, соединенных определенным образом для реализации заданной частотной характеристики.

ПФ полиномиального ФНЧ п-го порядка Нп () (5н = уюн - мнимая часть нормированной комплексной частоты рн = ан + уюн; юн = ю/юср - нормированная угловая час-

© Червинский Е. Н., 2012

3

тота; Юф - частота среза) с равноволновой на отрезке АЧХ, равномерно приближающей

идеальную АЧХ в полосе пропускания, представляет собой отношение постоянного числа к полиному степени п относительно переменной . Зададим ПФ полиномиального

фильтра и ее модуль Йп (юн) = \Й п ()| в форме произведений ПФ и АЧХ, соответственно, звеньев 1-го и 2-го порядков с общим коэффициентом К в числителе и положительными коэффициентами Ь, с] в знаменателе:

Й1 (8И) = К/(*н + с0); Й1 К) = К/л/юН + с0 , п =1;

п/ 2

Йп (^И ) = К П

=1 ¿И + + с

п/ 2

; Йп () = К п

п = 2, 4,

ч  н

Йп (¿н) =

К

(п-1)/ 2

п

^н + с0 I=1 ^н + +

-; Йп (н) =

1=4(шН - с )2+ь2-2

КС (п-1)/ 2

п

I=1

: 22

-I ю н

«ч"0 - ^ - с) + ц

п = 3, 5, ... .

При четном п неравномерность равноволновой на отрезке АЧХ 5, измеряемая в децибелах, выражается как 5 = 201§ [(2с1с:2•• сп/2 - К)/К ], при нечетном п - как

5 = 201в {К/' 2С0с1 с(п-1)/2 - ^]}. Коэффициенты с0, > с1 при выбранном значении

5 определяются в результате решения системы 2п уравнений, связывающих искомые коэффициенты и координаты экстремумов АЧХ сону, у = 2, 3, ..., п, со значениями АЧХ и

ее производных в заданных точках: • при четном п:

К ш/>/(1 - с )2+Ь} = 1/^2;

п/ 2

П1

I=1

п/ 2

1 - К П 1 с =

I=1

К п/йн - С )2+Ь

I=1

_п/ 2 _ п/ 2 / Г

1 - К п 1 с = 1 - К п У

, А 2~2

+ Ь СО ну

-1, 7 = 2, 4,

п;

)2

22

«ну,7 =3, 5, п~1;

а

а н

К ш/>/(о2 - с )2 + Ь2Н

I=1

0, 7 2, 3,

п;

201в [( 2^2 Сп/2 - К )/К

н = ну

= 8;

1

1

при нечетном п:

К (п-1)/ 2

4

1 + Щ г =1 К (п-1)/2 1

К П 1 -1 = 1-

с0 г=1 сг

К (п-1)2 1

К П г1 -1

с0 г =1 сг

п 1 ^(ГСТЦ2 = 1/72;

к:

4

(п-1)/ 2

П

1

к:

Л

(п-1)/ 2

П

"Н 1 1

2

,- = 2, 4, ..., п- 1;

юН + со г=1 «I - с )2+ь2«Н

'I™ н

Н "г

2

1, 7 = 3, 5, ..., п;

юН + со2 г=1 ^«52, - с )2+2,

^ ~ н,

а

асо н

К

(п-1)/2

2 -2 V

Со2 г=!

2 \2 ~2 2 н- сг) + ьгн

-о, 7 = 2, 3,

-1 йн =й н

2018 {К/[2СоС1^сС(п-!)/2 - К]} = 8.

п;

При составлении систем уравнений (1), (2) учитывалось равенство отклонений Н п (юн) от 1 в экстремальных точках. В табл. 1 представлены результаты расчетов параметров ПФ для п = 1... 4 при двух значениях 5. Для п = 2... 4 раздельно приведены абсциссы локальных максимумов сони тах и минимумов сон т1п функции Нп (юн) (для четных п

И = 2, 4, ..., п; I = 3, 5, ..., п-1, для нечетных п И = 3, 5, ..., п; I = 2, 4, ..., п-1).

Таблица 1

п 5, дБ 1  н1 тт И  нИ тах К с0 г Сг

1 0.1 0.994341 0.988650

0.5 0.973512 0.946284

2 0.1 2 0.362085 0.863977 1 1.214803 0.868980

0.5 2 0.498427 0.731663 1 1.004898 0.753340

3 0.1 2 0.359011 3 0.621825 0.609863 0.696054 1 0.696054 0.871157

0.5 2 0.423908 3 0.734231 0.448697 0.531120 1 0.531120 0.821183

0.1 3 0.581939 2 0.314943 0.377886 1 0.434794 0.900839

4 4 0.760340 2 1.049686 0.421911

0.5 3 0.643000 2 0.347989 0.251723 1 0.318911 0.879422

4 0.840120 2 0.769919 0.294717

Преобразование частоты полиномиального ФНЧ. Для синтеза ПЗФ с центральной частотой режекции Ю0 и полосой подавления юЛ -ю, (юл и ю, - верхняя и нижняя частоты среза ПЗФ соответственно) выполним преобразование типа

¿н Ч

где 0 - положительное число; ¿Н = 7ЮН - преобразованная мнимая часть нормированной комплексной частоты; ю^ = ю/ю0 - угловая частота, нормированная на центральную частоту Ю0. В соответствии с (3) ПФ ФНЧ п-го порядка Нп (¿н) преобразуются в ПФ Н2„ (¿Н) ПЗФ четного порядка 2п. АЧХ ПЗФ есть модуль его ПФ: Й"2п (юН) = \н"2п (¿Н)|.

Перейдем в (3) к угловой частоте, умножив левую и правую части соотношения на у п-1

сон —> сон

0 (l -Юд) . Из уравнения ю^ + (0юн) 1 юН -1 = 0 определим область изме-

н,

нения юн для положительной полуоси в зависимости от юн :

<1,2 =vy

Среднее геометрическое частот ю^й2 дает нормированную центральную частоту режекции: ^/юН1юн2 = 1; разность этих частот -н1 = V(юн). При юн = 1: 01^12 =

= ] 1(402 ) +1 + 1/ ( 20 ), юн2 - Юн1 = 1/0. Значения АЧХ ПЗФ в точках ra^d 2 равны значению АЧХ ФНЧ-прототипа в точке юн. Так как Hn (1) = 1^V2, то Й2n (©Н) = Й2n (©^2 ) = поэтому для ПЗФ с АЧХ, образованной из характеристики полиномиального ФНЧ, равномерно приближающей идеальную АЧХ в полосе пропускания, ra^v = юНь юнл = юн2 - нормированные нижняя и верхняя частоты среза ПЗФ соответственно. Нормированная

полоса подавления составляет Н2 -Нь а 0 = (ю'н2 -н1) 1 определяет добротность

синтезируемого ПЗФ, равную отношению нормированной центральной частоты режекции к нормированной полосе подавления.

В табл. 2 приведены ПФ Й "2n (s' ) и АЧХ Й2n (о>Н) ПЗФ порядков 2n = 2, 4, 6, 8, полученные преобразованием ПФ полиномиальных ФНЧ Hn (sH) порядков n = 1... 4. На рис. 1 представлены АЧХ Й 2n () при 5 = 0.1 и 0.5. Как следует из кривых, в переходных областях крутизна Й2n () возрастает с увеличением порядка фильтра 2n и неравномерности АЧХ 5.

На рис. 2 приведены характеристики ПЗФ 4-го порядка Й 4 (Н) в сравнении с аналогичными характеристиками ПЗФ Баттерворта й4б (Н ) и Чебышева Й 4Ч (юН) с нерав-

номерностями передачи 5 = 0.1 и 0.5 дБ. При построении графиков Й4б

использованы данные для расчета ФНЧ-прототипов [1]. АЧХ ПЗФ Баттерворта изменяются монотонно. АЧХ ПЗФ Чебышева и синтезируемых ПЗФ носят колебательный характер в полосах пропускания, с тем отличием, что у ПЗФ Чебышева разность верхней ю^л и нижней ra^v частот среза меньше требуемой полосы подавления ПЗФ. Это равносильно увеличению добротности по сравнению с заданным значением 0. Действительно, частота, на которой АЧХ ФНЧ Чебышева снижается на 3 дБ, определяется соотношением [1]

юнЧ = ch _(1/ n

) arch (^10^° -1)] или, после преобразования, <412 =yj 1/(402юНч ) +1 + + 1/(20юнЧ ), что дает нормированную полосу режекции шириной 1/(0юнч ). Обратная величина есть добротность ПЗФ Чебышева с неравномерностью передачи 5: Qg4 =

= 0 ch (1/n) arch (1/V106/10 -1) . Для фильтра 4-го порядка Qm = 12130 при 5 = 0.1 дБ и

fn

Q054 = 1.0930 при 5 = 0.5 дБ.

Таблица 2

2п = 2

н 2 (¿н) = (К/С)) (¿Н2 +1)/ {¿Н2 + [V (С0 ©)] ¿н +1}

нн2 К) =

шН22 -1

шН2 -1) +[1 (С0©)]2 юН2

2п = 4

н 4

2

¿Н +1

й 4 (шн) = (к/с) (шн2 - 1)у ^|{шн4 -[ 2+1 (с1©2 )]шн2 +1}2 + {[£/( с1©)] (шн3 -н)}

2п = 6

й 6 (¿н) =

[ К/(сс)][ ¿Н6 + 3 (¿Н4 + ¿Н2)+1

6 + ^ + ( ,5

¿н —1 ( ¿Н5+¿Н )+

Н с0с1© у н

3

с0+ с0с1©2

(¿Н4 + ¿Н2 )-

2 с0ъ1 + с1 + 1 с0с1© £?0£?!©3

л

¿Н3 +1

й6(шН)=

Н2 -1)6

со

3+^ I

^ с1 (ш'5 С0С1<д

(шН5 + шН)-

2 с0^+ с1 + _ 1

с0с1© С0(51©3

Н

2п = 8

Й 8 (¿н) = [ К/^ ][ ¿н8 + 4 (¿н6 + ¿н2)+6¿;4 +1]/2¿8, где

: + [(¿С + ¿2С1)/(^2© )] (¿н7 + ¿н ) + [4 + (С1 + № + С2 )/ (С1С2©2 )] (¿н6 + ¿н2) +

3 ¿С^ + ^ ( ¿н5 + ¿н ) + [6 + 2 (н + ^ + С2 )/(С1С2©2 ) +1 (С^©4 )] ¿н4 +1

С^© С]С2

3

Й (шН) = [К/ (СС)] (ш22 -1)7& где 0ш8 = {шн8 -[4 + (С + ¿¿¿2 + С2 )/Съ©)](шн6 +шн2) + [6 + 2(С1 + ЪЪ + С2 )/(С1С2©2) + У(С1С2©4)]ш + {[(¥2 + ¿2С1 УС^©)](шн7 -шн)-[3(Ь^С2 + ь 2С V(¥2©) + (Ъ + ¿2 У^© ](шн5 -шн3 )}

1

2

2

2

2

+

ю

+

2

На рис. 3-10 представлены схемы ряда ПЗФ лестничной структуры порядков 2п = 2, 4, 6, 8 с последовательным

и квадраты модуля ПФ Й2п (©Н) = \н'2п (¿Н)|2 ПЗФ, представленных на рис. 3-10, приведены в табл. 3. Центральная частота режекции фильтров 0.

н 4 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

нн4

0

__' 4ч

н4б \ ^ i

л

0.5

н 4 1.0 0.8

0.6 0.4 0.2

1.5

ю

н

Рис. 2

0

0.5

1.5

ю„

В табл. 3 приняты обозначения: Ьу, Су, Шру = 1 ^ЬуСу , у = 1...4 - индуктивность,

емкость и резонансная частотау-го контура соответственно; г - включает внутреннее сопротивление источника сигнала; Я - сопротивление нагрузки; Ку - коэффициент усиления усилителя. Параметры ПЗФ могут быть определены в результате решения системы уравнений, образованных приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях нормированной переменной ¿Н ПФ реального фильтра и преобразованной ПФ.

0—

т

и.

С

0-

0—

К

-0 -0

и„

0—

Рис. 3

и.

0-

я

К

-0 -0

и.

и.

Ь С

с-

0-

К

-0

-0

и.

0-_

Рис. 4 ПГ^Ь

с

1

С2

к

0-

Рис. 5

0-

К,

-0

-0

и.

Рис. 6

и

^ С

0-

С] — с3 -

0-

К

-0 -0

и.

и.

С1

ЬЛ С3

я

С,

Рис. 7

0-

К„

-0 -0

и.

Рис. 8

0-

ь1< С

Ь2 п^

ь3< с4

Я

С

0-

С

К

-0 -0

ио

Рис. 9

0- ^н:

и.

С

ь2л с3

4

Я

С

С

ку

-0

-0

и.

1

Ь

1

г

г

Ь

Я

г

г

Ь

2

Я

Ь

Ь

3

г

г

Я

Ь

4

г

Ь

1

Ь

4

Таблица 3

2п = 2. Схема по рис. 3

H2пс () = [яку /(г + Я)][(2/ш2х)н2 +1]/{[2/шр!]+ шо [с^я/(г + Я)]+ 1}

н2ПС (ш) = [ЯКу/(г + Я)]2 (ш2/ш

р!

1

о /©р1-

1)2 +[С1гЯ/(г + Я)]2 ш2 }

2п = 2. Схема по рис. 4

н 2ПР («н) = [ ЯК у/(г + Я)] [(ш2/ш21) *н2 +1]/{(ш2/шр!) ^н2 + шо [ А /(Г + Я) ] «н +1}

Н2ПР (ю) = [ЯКу/(г + Я)]2 (ю2/юр! -1

ш2/юр1 - II +

1)2 +[V(г + Я)]2 ю2}

2п = 4. Схема по рис. 5

н4пс (5Н) =

ЯКу/(г + Я)] ю4юр2юр22^н4 + ю2 (Юр2 + юр2)+ 1

-2 -2

4 -2 -2 (4 3юр1 Ь2+ р2с1гя ,3 2 ( -2 -2 Ь2С1Г ^ ,2 Ь2 + С1гЯ . ,

ю4юр12юр2«н4 + 0 --«н3 + а>2 | орг + 2 1 1«н2 + шп —-1— «н +1

—-«н + 0 1р1 + р2 + ^ I «н + 0 г + Я «н

Н4Пс(ш)=-

[ЯКу/ (г+Я )]2

-2 -2 4

шрГ шр2ш  - (ш-2 +ш-2) ш2 +1

2

-2 -2 4 I -2 -2 ьсг | 2 1

р1р2 "I р1 +р2 н—^^ ^ +1

г + Я )

р2 ¿2 + р2с1гЯ 3 Ь + С1 гЯ р р -о3—2-1—о

2

г + Я

г+Я

2п = 4. Схема по рис. 6

н4пр («н )=-

[ЯКу/(г + Я Г^Юр^«;4 +ю2 (ю_2 + Ю-2 ) «Н2 +1

_2 р2

4 _2 _2 ,4 + 3р2Ь1+ р1 С2гЯ ,3 + 2 ( _2 + _2 + ЬС2Я ^ ,2 + Ь + С2гЯ ,

&о& р^ р2«н + <х>;

г+Я

«н + ю0 юр1 + юр9 +

'0 ^р1 ^Шр2т-Г+Я |Лн

о

г + Я

«н+1

Н4ПР(ш)=-

\_ЯКу/ (

г+Я

2 -2 4

- (ш-2 +ш-2) ш2 +1

-2 -2 4 I -2 -2 ьс2я | 2

р2 р2 " I^ + р2+ I +1

шр2 ¿1 + ш-2 С2ГЯ 3 Ь + С2гЯ

—---о3 —1-2—о

г+Я г+Я

2п = 6. Схема по рис. 7

н6ПС ( «н

) = [ЯКу/(г + Я)](Р«б/&б), где

6 -2 -2 -2 6 4 -2 -2 -2 -2 -2 -2 4 2 -2 -2 -2 2

р«6 = 0р1 р2р3«н + 0^р1р2 + р1р3 + р2р3 ] «н + 0^р1 + р2 + р^ «н +1

<2*6 =ш0ш-2ш-2ш-2«н6 + ш0

+ ш—2 ш-2 +ш-2ш-2 + (ш-2 Ь2С3Я + ш—2 Ь2С1г )/(г +Я)]

«н5 +

4 +0 [ —2

3

+0 [ш—2

2

+2 ш—2

'4

«н +

«н3 +

Р(о6 -

Н6Пс (ш) = [ЯКу/(г + Я)]2 (Рт62^6), где 2ш—2ш—зш6 - (ш—2ш—2+ш—2ш—2 +ш—2ш—2)ш4+(ш—2+ш—2 +ш—2)ш2

2

: +—2 +—2 +[¿2 (С1Г + С3Я)]/(г + Я)} 2 -1)2 + ({(—2—2С3ГЯ +—2—2¿2 +—2—2С1ГЯ)5 -

-[—2 (Ь 2 +С3гЯ) + —2 (С + С3 ) гЯ + —2 (Ь2 + С1гЯ) + ¿2С1С3гЯ] 3 + [Ь2 + (С1 + С3 ) гЯ] }/(г + Я))2

4 +

2

2

2

+

2

2

2

+

2

Продолжение табл. 3

2п = 6. Схема по рис. 8

п 6 -2 -2 -2/6 4 / -2 -2 -2 -2 -2 -2 \ ,4 2 / -2 -2 -2 \ ,2 1 рш6 = 0р1 р2р3 ¿н + 0\р1р2 + р1р3 + р2р3 ¿н + 0\р1 + р2+ р3^ ¿н +1;

¿н5 +

Н6пр (¿н) = [ЯКу/( г + Я)] (P¿6 / Q¿6), где

-2 -2 -2 р1 р2 р3

Q¿6 = 6-12-2-3 ¿н6 + 0

[-2 (¿3 + С2гЯ) + -2 (Ь1 + ' ) + -32 ('1 + С2гЯ) + ¿СЬ ]/(г + Я)} ;

+2 i-? +-2 +-2 +[С2 (Ь3г + Ь1Я)]/(г + Я)} ¿н2 +0 [(Ь1 + С2гЯ + Ь3 у(г + Я)] ¿н +1

4 04

+0

¿н4+

¿3+

Н6Пр () = [ЯКу /(г + Я)]2 (Р^ ^ ), где

рш6 -

-2 -2 -2 6 / -2 -2 -2 -2 р1р2р3 р1р2 + р1р3 +

р2 рз) 4+(

4 -2 -2 -2 2

р1 р2 р3 1

4

СО +

(о о о /Г о о о о / о о \ I / \

р2 р2рз - [Р2 р2 + Р2 рз + Р2рз +

+ {-2 + -4 + -4 +[с2 (v + ¿1я)]/(г + Я)} 2 -1)2 + ([(-2-2¿3 + ю-2ю-зс2гя + р2р4¿1)/(г + Я)]

-{[-2 (Ь 3 +С2гЯ) + -2 (Ь1 + Ь3) + -2 (' + С2гЯ) + Ь1С2Ь3 ]/(г + Я)} 3 + [(' + С2гЯ + Ь3 )/(г + Я)]

5 -

2п = 8. Схема по рис. 9

Н8пс (¿н) = [ ЯКу/(г + Я)] (P¿8 / Q¿8), где

8 -2 -2 -2 -2 8 6 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 6 ^8 =0р1р2р3р4¿н + 0^р1р2р3 + р1р2р4 + р1р3р4+ р2р3р^ ¿н +

4 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 4 2 -2 -2 -2 -2 2

Шр^р^ Шр^р^ р2р3 + р2р4+ Юр^р^ ¿н + О^Ор^ Шр2 + Шр3 + Шр^ ¿н + 1;

+0

q¿8 = 0р2р2р3р4 ¿н8 +

р2р2р3 ¿4 +р2р3р4 ¿2 + ( р2р2р4с3 + р2рзр4с1 ) гЯ ]/( г + Я )}

¿н7 +

6 \ -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0 р1 р2 р3 р1 р2 р4 р1 р3 р4 р2 р3 р4

6 ¿н

(р2р2ь4с3 +р2р3ь4с1 +рзр4ь2с1)г + р2р4ь2с3я /(г + я)}

-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 31р2 + юр1р3 + р2р3 + р1 Ь2С3) ¿4 р1р3 + р1р4 + р3«

(-2-2 +-2-4 +-2-4)С3гЯ + (-2-3 +-2-4 + рзр4 + р4ь2с3 )с1гя /(г + я)}¿н5 +

+0

+о (р2р4+р2р2+р2р2 +р2р2 +р2р2+р2р4

¿н4 +

р2 +р4 + ь2с1) ь4с3 +

+0 { (-2 +-2 +рз )Ь4 + (р2 +р3 + р4 + Ь4С3)Ь2 + (-2 +р2 +-4 + Ь2С1)С3гЯ !(г + Я) +

+(-2+-4+-4) с1гя I(г+я )} ¿н3 +21-2 +-2+ -з + р4 + + [(Ь2С1 + Ь4С1 + Ь4С3 ) г + Ь2С3Я ]/(г + Я)} ¿н2 + 0 {[Ь2 + (С1 + С3 ) гЯ + Ь4 ]/(г + Я )} ¿н +1

2

2

{

+

+

Продолжение табл. 3

Рш8 -

Н8пс ( ) = [ ЯКу/ ( г + Я )]2 ( Р^^ ), где

-2 -2 -2 -2 8 / -2 -2 -2 , -2 -2 -2 , -2 -2 -2 , -2 -2 -2 \ 6 <Вр1<В р^ р^р^Ш Шр1Й) р2«> р3 + Шр^р^р^ Шр^р^р^ Шр^ р^р4

+ (шр2шр2 +шр2шр4 +юр2шр4 +шр2шр4 + шр2шр4 +шр4шр1)ш4 -(шр2 + шр2 + шр3 +шр4 )ш2 +1

-2 -2 ар1ш р3

-2 -2 р1 р4

-2 -2 р2 р3

-2 -2 р2 р4

-2 -2 р3 р4

) ш4 - (с

р1

р-22

р-23

р4

2) ш2

Йв8 -

-2 -2 -2 -2 8 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2  р1р2р3р4 ~\[р1р2р3 + р1р2р4+ р1р3р4 + р2р3р4 +

Ш

-2

+ (р2р2ь4с3 +-2-2ь4с1 + _3_4ь2с1)г + -2-4ь2с3я /(г + Я)}6 + (-2-2 +-2-3 +-2-3 +-2-3 +  -2 -4 +-2-4 + р1 +-2 + ь2с1)ь4с3 + (-2 +-3 )ь4с1 + (-3 +-4)ь2с1 ]г + (-2 +-2)ь2с3я}/(г + Я))4 -

-{-2 +-2 +-3 +-4 +[(Ь2С1 + ¿4С1 + Ь4С3 ) г + Ь2С3Я ]/(г + Я)} 2 +1 +

-2-2-4¿4 + р2р3р4¿2 + (р2р2р4с3 + р2-3-4с1) гЯ /(г + Я)} 7 -

-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 р1 р2 + р1 р3 + р2 р3 + р1 Ь2С3) Ь4+{ р1 р3 + р1 р4 + р3 р4 ] ¿2 +

"( -2-2 +-2-4 + -2-4 ) С3гЯ + ( р2 -3 +-2-4 +-3-4 +-4 Ь 2 С 3 ) с1гя /(г + Я )}

3-2 +-2 +-3 ) ¿4 + (-2 +-3 +-4 + ь4с3 ) ¿2 +[(-2 +-2 +-4 + ь2с1)с3 +

+ (р2 +-4 + _4)С1 ] гя} /(г + Я))3 - {[Ь2 + (С1 + С3 ) гЯ + Ь4 ]/(г + Я)}

5 +

2п = 8. Схема по рис. 10

Н8пр (¿Н) =[ЯКу/( г + Я)] (Ра! Q¿8), где

8 -2 -2 -2 -2 8 6 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 6 ^8 =0р2р2р3р4¿Н + (Др2р2р3 + р2р2р4 + р2р3р4 + р2р3р4 ]¿Н +

4 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 4 2 -2 -2 -2 -2 2

р2<»рз + шрзшрз + шрзшр4 + шрзшр3 + шрзшр4 + шр3<»р4 ] ¿Н +Оз(р2 + шрз + фр3 + шр4 ] ¿Н +1;

8 -2 -2 -2 -2 ,8 , 7 ([/ -2 -2 -2^ , -2 -2 „ , -2 -2 -2 г , -2 -2 -2 т

^8 = 0р1р2р3р4¿н + 0 { (р1р2р3с4 + гЯ+ р1р2р4¿3 + р2р3р4¿1

6 i _з _з _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 _2 ( _2 _2 _2 _2 _2 _2 \

+6 ( р!р2р3 + р!р2р4 + р!р3р4 + р2р3р4 + |_\р2р2' 3с4 + р2р3 ¿А + р3р4ь1с^ я +

+ш-2ш-4ь3с2г]/(г + я)}¿Н6 +ш5 { (ш_2ш_2 +ш_2ш_3 +ш_2ш_4 +ш_2¿3с2)с4гя +

+ш_3ш_4 ) С2гЯ + (ш-2ш-3 + ш_2ш_4 +ш-2ш-0 + ш_4ь3с2 ) ¿1 + (ш_2ш_2 +ш_2ш_4 +ш_2ш_4

¿н7+

-2 -2 -2 -2 р1 р3 р1 р4

¿н5+

+ш0 шр2шр2 +шр2шр^ +шр2шр4 + шр2шрз +шр2шр4 +шрзшр4 +(

шр2 +шр2 + ¿1с2 ) ЬС4 + (шр2 +шр^ ) ¿А "

|шрг +Шр2 +шр4) С4 +

-2 р1

р-22

+(ш-4 +Шр4) ЬСз ] Я + (шр2 +Шр4) ЬэСзг^(г + Я)) ¿Н4 ++ш0

-(ш_2 +ш_4 +ш_4 + ЬСС4) Сз ] гЯ + (шр-2 +ш_2 +ш_4 + ЦСз) ¿3 + (ш_2 +ш_4 +ш_4) ь}(г + Я)) ¿Н3 + +ш2 {ш_4 +ш_2 +ш_4 +ш_4 +[(Ь1С2 + Ь1С4 + Ь3С4) Я + Ь3С2г ]/(г + Я)} ¿Н + +ш0 {[' + (С2 + С4 ) гЯ + Ь3 ]/(г + Я)} 4 +1

+

2

Окончание табл. 3

Н&р (ш) = [ЯКу/(г + Я)] (Рй8/бй8), где

Рш8 -

-2 -2 -2 -2 8 i -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 \ ( р1р2рзр4 р1р2рз + р1р2р4 + р1рзр4 + р2рзр4

i -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 \ 4 i -2 -2 -2 -2 \ р1 р2 р1 рз р1 р4 р2 рз р2 р4 рз р4 р1 р2 рз р4

„ Г -2 -2 -2 -2 8 Г -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 Цв8 = р1р2рзр4 р1р2рз + р1р2р4 + р1рзр4 + р2рзр4 +

+ (ш-!2шр2Ь3С4 +шр2ш-2Ь1С4 +шр^шр4—1С2)Я + ш-5гш-2!ЗС2г /(г + Я)} ш6 +

-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 р1 р2 р1 рз р1 р4 р2 рз р2 р4 рз р4

{ (ш -2 + ш-2 + ь1с2 ) Ь3С4 + (ш-2 + шрз ) ь1с4 + (ш-3 +шр4 ) ь1с2 Я + (ш-1 +шр4 ) Ь3С2 г}/(г + Я )) - {ш-2 +ш-2 +Ш +ш-2 +[(Ь1С2 + Ь1С4 + Ь3С4 ) Я + Ь3С2г ]/( г + Я )} ш2 +1

ш4 -

"шр2

Г -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 ]

| (р1р2р3с4 +р1рзр4с2]гЯ+ р1р2р4ь3 +р2рзр4ь1

(ш-1 ш-2 +шPl2шP2 + ш-2ш-3 +шр2Ь3С2 )С4гЯ + (ш-2ш-32 +ш-2шр4 +шрзшр4)С2гЯ /(г + Я) + (ш-2ш-2 + шр2ш-4 +ш-2ш-4 ) Ь3 + ( ш-2ш -з +ш-2ш-4 + ш-зш-4 + ш-4ь3с2 ) ь1 /(г + Я )} ш5 + (ш-2 +ш-2 +ш-2)с4 + (ш-2 +ш-2 +ш-4 + Ь3С4)с2 гЯ + (ш-2 +ш-2 +ш-4 + ь1с 2 ) -з +

+ (шр2 +шр2 +ш-4)(г + Я))шЗ - {Г- + (С2 + С4)гЯ + Ь3 ]/(г + Я)}(

/( г + Я )}

ш7 -

Из графиков на рис. 1 следует, что все контуры ПЗФ, прототипом которого является полиномиальный ФНЧ, должны быть настроены на центральную частоту режекции Юд. В табл. 4 приведены ПФ ПЗФ порядков 2п = 2, 4, 6, 8, полученные при условии

2 -2

Ю0Юр1

2„ -2

= 1.

Пример 1. Определим параметры ПЗФ 8-го порядка с неравномерностью АЧХ 5 с последовательным контуром на входе. Неизвестными являются 11 параметров: г, Я, -1, С1, -2, С2, Ьз, Сз, -4, С4, Ку. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ¿Н в И'8пс (¿Н) (см. табл. 4) и Н8 (¿Н) (см. табл. 2), с учетом четырех уравнений вида (5) и уравнения ЯКу/(г+Я) = К/ (с^) получим систему из девяти уравнений. Значения коэффициентов К,

Ь, с фильтра-прототипа приведены в табл. 1 для п = 4. Положим Юд = 105, © = 2, 8 = 0.5 и выберем значения двух элементов, например г = 100 Ом и С1 = 0.1 мкФ. Остальные параметры найдем как решение системы уравнений. Приведя номиналы конденсаторов и резистора Я к ряду номинальных значений Е24 [2], получим: Ку = З.0З, -1 = 1 мГн, -2 = 0.56 мГн,

С2 = 180 нФ, — = 0.6З мГн, Сз = 160 нФ, Ь4 = 0.41 мГн, С4 = 240 нФ, Я = 47 Ом.

Для ПЗФ того же порядка с параллельным контуром на входе решение системы уравнений при тех же начальных условиях дает: Ку = 1.45, -1 = 1 мГн, —2 = 1.6 мГн, С2 = 62 нФ,

Ьз = 1.З мГн, Сз = 75 нФ, Ь4 = 2.4 мГн, С4 = 43 нФ, Я = 200 Ом. Графики АЧХ обоих синтезированных фильтров совпадают с кривой, описываемой формулой 12

2

+

+

Щ Ы = [к/(с~1С~2)](ю2)708, где

0ш8 = {8 - [4 +

2

+1 (С1С2©4 )] «(Х + 0 } + {[(¿с2 + ¿2С1V(С1С2©)] (0Ю7 - 0) -

2

- 3 (¿02 + ¿2С V(<¥2©) + (¿1 + ¿2 V(С1С2©3 )] (ю05 - «О3 )} •

В общем случае число уравнений, которые могут быть составлены для нахождения 2п + 3 неизвестных параметров ПЗФ порядка 2п, равно 2п +1, поэтому два параметра выбираются произвольно.

Таблица 4

2п = 2

Щпс (4) = [Жу/(г + К)] (42 + \)/{,Н2 + о \C1rRl(г + К)] ^ +1}

ЩпР (4) = [ККу/(г + К)](¿Н + \)!Ц2 +о [А/(г + К)]^ +1}

2п = 4

ЩПС

Щпр

2п = 6

Щ'пс (¿н) = [ККу/(г + К)] [¿н6 + 3 (¿н4 + ¿н2) +1]/^, где + 0 {[ ¿2 + (С1 + С3) гК ]/(г + К)} (¿н5 + ¿н) + {3 + (С1г + С3 К )/ [С2 (г + К)]} (¿Н4 + ¿Н) + +ю0 {2 [Ь2 + (С1 + С3 )гК]/(г + К) + С1С3гК/[С2 (г + К)]} +1

Щ6ПР (¿н) = [ККу/(г + К)][¿н6 + 3(¿н4 + ¿н2) +1]/0^6 , где 0*6 = 46 + 0 [(¿1+¿3 + С2 гК )/(г+К)] (45 + 4)+{3 + С2 К/С (г+К)] + С?! [С3 (г+К) ]} (¿н4+¿н2) -+ш0 (2 (¿1 + Ь3 + С2гК)/(г + К) + [ь3С2/[С1 (г + К)]})^ +1

2п =!

Щпс (¿Н ) = [КК^(г + К)] + 4(¿н6 + 42 ) + ** +1]/2^8 , где 0^8 = ¿Н8 + 0 {[¿2 + ¿4 + (С1 + С3 ) гК]/(г + К)} (¿н7 + ¿н ) + + {4 + [(С1С2 + С1С4 + С2С3 ) г + С3С4 К ]/[С2С4(г + К )]} (¿Н6 + ¿Н2 ) + +ю0 {3 [Ь2 + Ь4 + (С1 + С3 )гК]1 (г + К) + (¿4С3 + С1С3гК)/[С2 (г + К)]} (¿Н5 + ¿Н3 ) + + {6 + 2[(С1С2 + С1С4 + С 2С3)г + С3С4К]/[С2С4 (г + К)] + С1С3^[С2С 4 (г + К)]} +1

где

НН8ПР (¿н) = [ККу/(г + К)][48 + 4(¿н6 + ¿н2) + 644 +1

0^8 = ¿н8 +0 {[¿1 + ¿3 + (С2 + С4)гК]/(г + К)} (¿н7 + ¿н) + + {4 + [СС2г + (С1С4 + С2С3 + С3С4)К]/[СА (г + К)]} (¿н6 + ¿н2) + +ю0 {3[Ьу+ Ь3 + (С2 + С4)гК]/(г + К) + [С2С4гК + ЦС2]/[С3 (г + К)]} (+ ) + + {6 + 2[С1С2г + (С1С4 + С2С 3 +С3С4)К]/[С1С3 (г + К)] + С2С4к/[С1С3 (г + К)]} 44 +1

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 3======================================

Инверсные и квазиэллиптические ПЗФ. ПФ Нп (¿н ) и модули ПФ Нп (юн) = |нп (¿н )|

(АЧХ) инверсного и квазиэллиптического фильтров нижних частот (ИФНЧ и КФНЧ соответственно) порядка п представляются в форме произведений ПФ и АЧХ звеньев 1-го и 2-го порядков вида

п2 V2 + а п4

Нп (¿н)=КП 2 Л", + щ ; Нп (ш)=КП

1п\"н) "1 1 2 , ' н> "ц I ~

¿н + ¥н + ,ш2 _ )2 + „2Ю2

У Н ' —, п = 2, 4, ...;

(п-1)/2 2 + Л 1Г (п-1)/2

Нп (¿н)П з ¿Н+щ ; Нп к)П

'п^=т— п -; нпк<*н)~ г-3—2 и I-3-:

+С0 - =1 ¿н + ^ +с № + с 0 - =1 ^Ш2 - )2 + ¿2Й2

п = 3, 5, ... .

ПФ и АЧХ указанных фильтров отличаются лишь коэффициентами К, щ, Ь-, с-, зависящими от минимального затухания АЧХ в полосе задерживания 5 и неравномерности АЧХ КФНЧ в полосе пропускания 5. Параметры фильтров для различных значений затухания 5 и неравномерности 5, а также абсциссы нулей юнг- 0 и локальных максимумов

нИтах И = 1, 2, ••, АЧХ ИФНЧ Нп (юн) и КФНЧ Нп (юн) в полосе задерживания и минимумов юшт|п и максимумов тах ¿, q = 1, 2, ..., АЧХ КФНЧ Нп (юн) в полосе

пропускания приведены в табл. 5.

ПФ Нп (¿н ) преобразуются в ПФ Н2п (¿Н) инверсных ПЗФ (ИПЗФ) и квазиэллиптических ПЗФ (КПЗФ) порядка 2п. Преобразованные ПФ Н2п (¿Н) и их модули Н4п (юн) = |н4п (¿н )| для 2п = 4, 6, 8 представлены в табл. 6.

На рис. 11 и 12 приведены АЧХ ИПЗФ Н"2п

при 5 = 0.5 дБ, 5 = 30 дБ для 2п = 4, 6, 8, причем на рис. 11 и 12, б показаны полосы задерживания фильтров в увеличенном масштабе. АЧХ фильтров обоих типов имеют пульсации в полосе задерживания, различие между ними заключается в координатах нулей

5

Инверсный фильтр. 8 = 30 дБ

п q  нц тах 5 ш тт И нИ тах - шнг 0 К с0 а1 Ьг с

2 1 5.710251 0.031623 - 32.606961 1.413164 1.031123

3 - - - - 1 4.2343 1 2.000661 0.200950 1.134320 5.976366 0.933370 1.058740

4 - - - - 1 2.2005 1 1.717862 0.031623 - 2.951050 0.630988 1.061509

2 0.107286 17.199978 2.169970 1.512100

Квазиэллиптический фильтр. 8 = 0.5 дБ; 8 = 30 дБ

2 1 0.5065 - - - - 1 4.886497 0.031623 - 23.877850 0.998632 0.777455

3 2 0.7692 1 0.4612 1 3.1960 1 1.916475 0.108702 0.608013 3.672876 0.063032 0.873387

4 1 0.4258 2 0.7320 1 1.6163 1 1.322736 0.031623 - 1.749631 0208756 0.940814

2 0.8945 2 2.778332 7.719129 0.891085 0.467402

Таблица 6

2п = 4

н 4 (¿н) = (м/ с1 ^н4 +[2+1 («1©2)] ^ + ^н4 +[>/ (с1©)] (^ + ¿н)+[2+1 (с1©2)] ^ +1}

н 4

2п = 6

н 6 (¿н) = [ М/ (С0<1)] {¿н6 + [3+1 («1©2)] (44 + 42)+1^0,6 , где

&6 = ¿н6 + [М + С1 )/( СО С1© )] (¿н5 + ¿н)+[3+(Со + ¿1)/(С0С1©2 )] (¿н4+¿н2) -

+ [ 2 (СоЙ! + С1 У(с0с1©) + V (сос1©3 )] ¿н3 +1

Н6 (шн) = [м/(С0С1 {шн6 -[3 +1 (а1©2)] (шн4 -шн2) -1}2 /У0Й6, где 0ш6 = {н6 -[3 + (СО + ¿1)/(С0С1©2)](шн4 -н2)-

2

1} +

"{[(«А + с1)/(С0С1©)] (шн5 +н)-[2 (С0Й1 + С1)/(С0С1©) +1 (С0С1©3 )]шн3}2

2п = 8

Н8 (1н ) = \_Ka1a2/ (С1С2 )] {¿н8 + [4 + ( 01 + а2 )/( ©2 )] ( ¿н6 + ¿н2 ) + + [6 + 2(а1 + а2 )/(а^©2 ) +1/(а^©4 )] 44 +1}/, где

0$8 = 4 + [(¥2 + ¿2С1)/(С1С2©)](¿н7 + 4) + [4 + (С1 + ¿¿2 + С2 )/ (С1С2©2 )](^ + ) + [3 (¿1С2 + Ъ 2С1)/(С1С2©) + (¿1 + ¿2 )/(С1С2©3 )] (45 + ¿н3 ) + [6 + 2 (С1 + ¿1^2 + С2 )/(С1С2©2 ) + 1/(с^©4 )] ^ +1

н8 (шн) = [ка1а2/(с1с2)]/л/°ш8 , где Р>8 = {шн8 - [4 + (а1 + а2 )/ (а^©2 )] (шн6 + шн2 ) + [6 + 2(а + а2 У(а^©2 ) + 1/(а^©4 )] шн4 +1} ;

08 = {шн8 -[4 + («1 + Ъ1Ъ2 + 02)/ (С1<2©2)](шн6 +шн2) + [6 + 2(«1 + ¿¿2 + 02)/ (С1<2©2) + 1/(С1<2©4)]шн4 +1}

+ {[(¿102 + ¿201 )/(01С2©)](шн7 -шн) -[3(^02 + ¿201 )/(С1С2©) + (¿1 + ¿2)/(С1<2©3)](шн5 -шн3)}

АЧХ и в колебательном характере Н"2п (юН) в полосах пропускания. АЧХ КПЗФ Н2п (юН) обладает наименьшей шириной переходных областей по сравнению с АЧХ Н2п () и Н2п (юН) при равных значениях 5 и 5 соответственно.

Н 2п 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Н 4 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0

Н 2п

- 1 2п = 4 4 0.05

- Ф> 1 оои» /" /уО 5 = 0.5 дБ 5 = 30 дБ 1 0

0.5 1 1.5 йН

а

Рис. 12

I V4э \\ " пЛ - Н 4 и Н 4

/7 // // 1 8 = 0.5 дБ 0.05

- \\ 1 Чх и 8 = 30 дБ

и 1 0

I I I

16 г

8 'А 1мХ

V ГУ

! I

I I

I I

ч Х-'

0.75

1

б

0.5

1.5

1

б

Рис. 13

На рис. 13 АЧХ КПЗФ 4-го порядка Н\ (юН) показана в сравнении с АЧХ ПЗФ эллиптического фильтра Н4э (юН) при 5 = 0.5 дБ, 5 = 30 дБ . Параметры эллиптического фильтра: К = 0.031623, ах = 45.741812, Ь = 1.401021, с1 = 1.532193 [1]. На рис. 13, б представлены полосы задерживания в увеличенном масштабе. Как и для ПЗФ Чебышева, разность верхней ю^л и нижней ю^ нормированных частот среза эллиптического ПЗФ

меньше требуемой полосы подавления.

Пример 2. Определим параметры ИПЗФ 8-го порядка с минимальным затуханием

5 = 30 дБ с последовательным контуром на входе. С учетом (4) запишем четыре уравнения, задающие частоты Юру = у\JLjC~ , у = 1, 2, 3, 4, на которых Н§пс () = 0:

2„ -2 (Р1 \р4

Ю0Ю (р1

)

1

- + 1±-

1

40

Э2 (<>И1„ Г

20ю

н1п

2 -2 ©0

1

1

1

4

Э2 (»н20

20ю

н2п

и уравнение ЯКу! (г+Я) = Ка^а2/(сс). Еще семь уравнений образуются приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях ¿Н в знаменателях функций Н8пс (¿н) (см.

табл. 3) и Н8 (¿Н) (табл. 6). Решение полученной системы уравнений при ©0 = 105, 0 = 2 для значений юн1 , юн20 и коэффициентов К, а^, Ь, с^, приведенных в табл. 5 для инверсного фильтра 4-го порядка, определило следующие параметры фильтра: Ку = 2,

со

со

2

2

где Рю8 = I

Ц = 2.4 мГн, С1 = 56 нФ, Ь2 = 0.51 мГн, С2 = 220 нФ, Ь3 = 0.89 мГн, С3 = 100 нФ, Ь4 = 0.175 мГн, С4 = 430 нФ, г = Я = 68 Ом.

Решение аналогичной системы уравнений для ИПЗФ восьмого порядка с параллельным контуром на входе дает следующие значения параметров: Ку = 2, Ц = 0.26 мГн,

С1 = 510 нФ, Ь2 = 1.13 мГн, С2 = 100 нФ, Ь3 = 0.495 мГн, С3 = 180 нФ, Ь4 = 2.08 мГн, С4 = 36 нФ, г = Я = 75 Ом. Графики АЧХ #8пс(и Нпр повторяют теоретическую кривую, полученную преобразованием последней строки табл. 6:

Н8

4 + (а1 + а2 )/(а:а202 )] (к^ю6 + к>6ю2 ) +

6 + 2

4 + ( С1 + Ъфъ + С2 )/(С1С2©2 )] (ш2ш6 + ш6ш2 ) + [6 + 2 ( С1 + ЪЪ + С2 )/(С^02 ) +1 (С1С20 )_ ю44 + ш0 } + {[(Ъ1С2 + Ъ2С1)/(С1С20)] (ю07 - ш()ш) -

-[3(¿1С2 + Ъ2С1)/(С1С20) + (Ъ + Ъ2)/(С1С203)](ш0ш5 -ш^ш3)} .

Коэффициенты для (6) приведены в табл. 5 (ИФНЧ 4-го порядка).

Пример 3. Для определения элементов КПЗФ 8-го порядка с неравномерностью

АЧХ 5 = 0.5 дБ и с затуханием 5 = 30 дБ первые четыре уравнения записаны в виде

+

4 4, 8

а>0 +0

0«8 = {

ш8 -

+

2 -2 Ю0/р1 \р2

1

1

1

4

Э2 (»Н10 Г

2

н1п

2 -2 ; Ю0Ю/р3

\р4

1

• + 1±-

1

40

Э2 (»И20 )2

20ю

н2п

Остальные уравнения оставлены без изменения. Используя данные табл. 5 для квазиэллиптического фильтра 4-го порядка (частоты юн10, юн20 и коэффициенты К, аг-, Ц, сг-),

для КПЗФ 8-го порядка с последовательным контуром на входе получим: Ку = 3.7,

Ь1 = 9.63 мГн, С1 = 15 нФ, Ь2 = 2.09 мГн, С2 = 33 нФ, Ь3 = 4.97 мГн, С3 = 24 нФ,

Ь4 = 1.11 мГн, С4 = 75 нФ, г = 620 Ом, Я = 220 Ом. АЧХ синтезированного КПЗФ

Н8пс (ю) и АЧХ Н'8 (ю) (6) приведены на рис. 14, где следует отметить близкое совпадение указанных характеристик.

Пример 4. ПФ 8-го порядка Н8

может быть представлена в виде произведения двух ПФ 4-го порядка:

. Н8,

Н8пс 1.0 0.8

0.6

0.4

0.2

0

Н 8

— - ~ V '/

— н8ПС ч

1 5 = 0.5 дБ

5 = 30 дБ

1 ^__/ ,

0.5

1

1.5

ю-10

-5

2

2

H4(1) () =

H4(2) () =

(-JKaJ с1 ){sH4 + 2 +1/ '( a102)] sH2 +1 1 .

sH4 + [^/ ( <10 )] (sH3 + sH) + [ 2 +1 (C102)] sH2 +1

(-JKa2j <2 ){sH4 + .2 +1 /( a202 )] sH2 +1}

sH4 + [b 2 / ( <20 )] ( sH3 + sH ) + [ 2 +1( C202 ) sH2 +1

Определим параметры двух последовательно включенных КПЗФ 4-го порядка с последовательным и с параллельным контурами на входе, реализующих АЧХ Щ (ю).

За основу взят КФНЧ 4-го порядка с параметрами, приведенными в табл. 5. Получены параметры фильтра с последовательным контуром на входе: Ку1 = 13.7, Li = 1.46 мГн,

C1 = 100 нФ, L2 = 0.123 мГн, C2 = 560 нФ, r = 270 Ом, R = 6.8 Ом. Для фильтра с параллельным контуром на входе получены параметры: Ку2 = 5.3, Lj = 1.2 мГн, C1 = 100 нФ, L2 = 1.11 мГн, C2 = 75 нФ, r = 100 Ом, R = 120 Ом. На рис. 15 представлены АЧХ H4ПС (ю) и H4пр (ю) (на рис. 15, б - в увеличенном по оси ординат масштабе), построенные по формулам, приведенным в табл. 3 для 2n = 4, и #8пзф (ю) = Н^4пс (ю) Н/4пр (ю).

Функция Щ^8!ПЗФ (полностью воспроизводит расчетную АЧХ КПЗФ 8-го порядка H8 (ю).

Коэффициенты усиления усилителей последовательно включенных фильтров могут варьироваться при условии, что их произведение КуКу2 остается постоянным.

Пример моделирования в программной среде Multisim КПЗФ 8-го порядка в виде двух последовательно включенных КПЗФ 4-го порядка представлен на рис. 16. Сопротивление нагрузки фильтра R9 = 75 Ом.

ПФ 6-го порядка в виде произведения ПФ 2-го и 4-го порядков имеет вид

H6 (sH) = Н2(1) (sH) Н4(2) (sH), где H2(0 (sH) = (VK/o)(sH2 + l)l[sH2 + s'J(cq&) + f ;

H4(2) (sH ) =

(jKaJ< ){sH

+

2 + 1,

\ ai&2)] sH

sH2 +1

sH4 +[V

sH2 +1

H

\ h4np

h 4пс \ \ ^пзф / 8 8 = 0.5 дБ = 30 дБ

----\ ч! k

1 \azrs:/.J 1

0.5

1.5

ю-10

-5

H

1 H4np /

------/-^y /л-'

_ h 8пзф д lb. ^ = 0.5 дБ

\ i '•. 8 = 30 дБ

и" /1 i 4 h4пс / |\ / 4.

1 \-r\4 i

1 1

0.5

1.5

ю-10

-5

2

2

1

1

0

0

1

1

б

a

I

Представленная методика позволяет рассчитать фильтр, не прибегая к предварительному расчету ФНЧ-прототипа с нормированными значениями элементов, деноминированием их и преобразованием в схему реального ПЗФ [3]. Кроме того, существующие таблицы не содержат коэффициентов для расчета ФНЧ с улучшенными частотными характеристиками.

Список литературы

1. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. М.: Энергоатомиздат, 1983. 128 с.

2. Автоматизированное проектирование узлов и блоков РЭС средствами современных САПР: учеб. пособие для вузов / И. Г. Мироненко, В. Ю. Суходольский, К. К. Холуянов; под ред. И. Г. Мироненко. М.: Высш. шк., 2002. 391 с.

3. Синтез электрических фильтров по рабочим параметрам: метод. указ. к курс. раб. по дисц. "Теория электрических цепей" / сост.: Т. М. Крайнова, Л. С. Медведева, А. З. Клявлин / Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. Уфа, 2009. 64 с.

Плоттер Боде-Х8Р1

+ 1 иНг

Режим

Амплитуда

Фаза

По горизонтали

По вертикали

^ л Лин 1-од Лин

30 кНг ? 1.1

1 дНг I о

Управление Экран

Уст...

_ Дохранить

+  Ёх  - +  Вых  -

Рис. 16

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2012. Вып. 3======================================

E. N. Chervinsky

Closed joint-stock company "SIMETA" (Saint-Petersburg) Band-rejection filters with improved frequency characteristics

The calculation technique of the elements of the ladder structure band-rejection filters (BRF) with various amplitude-frequency characteristics (AFC) is presented. The BRF transfer functions (TF) are obtained from low-pass filters-prototypes TF by the method offrequency transformation. BRF-parameters are determined as a result of solution of the equations system, which are formed by equalization of coefficients at the equal degrees of normalized complex frequency of TF of real filter and transformed TF. The peculiarity of synthesized filters is the invariability of the attenuation band at any correlation of AFC pulsations in pass- and attenuation bands. The comparison with Butterworth, Chebyshev and elliptic BRF characteristics is performed. As examples the parameters of eighth order BRF with equiwave AFC, inverse and elliptic BRF are calculated.

Band-rejection filter, transfer function, frequency transformation, amplitude-frequency response unevenness, fading in attenuation band, ladder-structure filter

Статья поступила в редакцию 15 мая 2012 г.

УДК 621.391.2

В. А. Богданович, А. Г. Герчиков, Б. В. Пономаренко

ЗАО "ВНИИРА-Навигатор"

А. Г. Вострецов

Новосибирский государственный технический университет

Сравнительное исследование помехоустойчивости демодуляции двух форматов информационных сигналов в мобильных широкополосных системах передачи данных*

Приведены результаты сравнительного анализа демодуляции двух типов информационных сигналов в канале передачи данных: сигналов, у которых расширение спектра достигается за счет внутриимпульсной фазовой манипуляции по закону бинарной псевдослучайной последовательности, и сигналов, спектр которых расширяется внутриимпульсной частотной манипуляцией с непрерывной фазой. Показано, что в условиях многолучевого распространения сигналов сигналы с такой манипуляцией являются предпочтительными.

Мобильная система передачи данных, формат сигнала, шум, помеха, модуляция, демодуляция, помехоустойчивость

В ряде систем обмена данными между подвижными объектами, в том числе между рассредоточенными летательными аппаратами (например, в известной системе ЛЮБ [1]), используются широкополосные сигналы с внутриимпульсной частотной манипуляцией с непрерывной фазой [2] (далее - сигналы формата 1). Обмен данными проводится в пакетном режиме с временным разделением каналов; демодуляция сигналов информационного блока выполняется по сигналу прямого прохождения в канале передачи.

Для обмена данными между летательными аппаратами, особенно находящимися над морской поверхностью, характерно присутствие на входе приемника не только сигнала

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 11-07-00078-а). 20 © Богданович В. А., Герчиков А. Г., Пономаренко Б. В., Вострецов А. Г., 2012