Метод расчета упругих волн в неоднородных балках

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том IV 197 3 № 3

УДК 629.735.33.015.4:539.4.012

МЕТОД РАСЧЕТА УПРУГИХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ

БАЛКАХ

И. А. Ляховенко

Для задач о поперечных волнах в неоднородных по длине балках получены уравнения типа уравнений Тимошенко и описан алгоритм их численного решения на основе метода характеристик при различных комбинациях граничных условий. В качестве иллюстрации даны примеры расчета шарнирно опертой на двух опорах конической балки и однородной балки, опертой на одном конце и свободной на другом, при действии распределенной динамической нагрузки.

Поперечные колебания балок исследуются чаще всего на основе инженерной теории изгиба, причем при выводе основного дифференциального уравнения колебаний (уравнения Бернулли— Эйлера) в поперечных сечениях балки исключаются податливость на сдвиг и продольные силы инерции. При достаточно длинных изгибных волнах указанные факторы не играют существенной роли, но при уменьшении длины волны их влияние становится решающим [ 1 ] — [3], [9].

Недостатки теории Бернулли —Эйлера были устранены Тимошенко путем учета деформаций сдвига и инерции вращения элементов балки.

Область применимости уравнений Тимошенко обследована теоретически Е. С. Сорокиным и А. С. Архиповым [4] с помощью точных уравнений теории упругости (рассматривалась задача о свободных поперечных колебаниях балки как плоская задача теории упругости).

Надежные эксперименты с высокочастотными колебаниями были проведены методом голографической интерферометрии [5]. Показано, что найденные формы и частоты колебаний хорошо согласуются с теорией балки Тимошенко вплоть до длин полуволн порядка высоты балки. Поэтому можно ожидать, что и для балок переменного сечения, рассматриваемых в настоящей статье, теория Тимошенко обеспечивает приемлемую для практических целей точность определения внутренних усилий и перемещений.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ БАЛОК*

Обозначим полный прогиб балки в сечении с координатой х в момент времени / через ии(х,і), составляющую прогиба от изгиба — через 1юп(х,(), составляющую прогиба от сдвига — через {х, і), тогда можем записать: XV (х, і) = ж>и (х, і) + хгіс (х, і).

0) & > г)

Угол р между касательной к изогнутой оси балки и осью х без учета сдвига определяется как дхюп/дх. Соотношения для изгибающего момента и перерезывающей силы в сечении х имеют

Здесь Е1(х) — жесткость балки на изгиб; (х) — жесткость на сдвиг (С —модуль 2-го рода); £ — коэффициент, зависящий от формы сечения балки.

В работе [8] рассмотрена задача определения & для разных форм поперечного сечения. Оказалось, что значения £ лежат в сравнительно узком диапазоне. Неопределенности в выборе /г, заключают авторы работы [8], вообще не так серьезны при той степени приближения, которую имеет модель сдвига балки.

Здесь будет принято, что к является некоторой слабоменяю-щейся функцией координаты х.

За положительные направления х, чю, УИ, (3, д* примем указанные на фиг. 1 (в левом верхнем углу). Уравнения равновесия имеют в этом случае вид

Здесь т(х) — рЕ(х) — погонная масса балки; /р (х) ^ рі(х) — массовый момент инерции слоя балки единичной длины.

* Под неоднородными балками, как и в работе (6], будем подразумевать балки с переменными по их длине жесткостными и массовыми характеристиками.

Фиг. I

ВИД [1, 7]:

Для расчета неоднородных балок удобно выражения площади поперечного сечения и момента инерции представить в виде

р{х) = р0/(х) и І(х) = І0і(х), где Г0 и /,

значения соответствующих величин мерные функции координаты х.

Преобразуем соотношения для момента и силы, а также уравнения (2) после подстановки ний (1) к следующему безразмерному виду:

0 —некоторые амплитудные (константы), а / и і — безраз-

_. _ дЭ

М = і

дх

<3 = — **(*)/Ц-^

перерезывающей в них соотноше-

д

дх

д

— — I дт о

-/

д2 ии дР

— <7* (х, і) ;

Здесь

дх

т = — ; л : '"о

£/о/л> ’

£/о/г02 ’

ЕГо/4

•!й=

к (х) (7

Опуская черту над безразмерными символами, представим систему уравнений (4) для случая непрерывного изменения / и I в следующем виде:

дг т 1 д2 т л , _ч / дда п\ ' п/ л.

* (.-*> Ч~1

•х.2 (х) дР дх \ дх

д2р дх2

Здесь обозначено

л (*) = —и-/«

ж--см

дт

дх

дт.

т-Цх) -й«^-

дх

у. (х) дх

В{х)

ді

С(х) = **(х)^- , Р(х,і) =

і

і (х) дх

Я* (х, О

/

Из уравнений (4) как частный случай получаются известные уравнения Тимошенко для балок постоянного сечения.

ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК

В общем случае для неоднородных балок получить аналитическое решение уравнений (5) невозможно, поэтому возникает задача разработки алгоритма численного решения. Как известно [1], уравнения Тимошенко относятся к гиперболическому типу, поэтому для построения алгоритма численного решения уравнений можно воспользоваться методом характеристик.

Естественно считать неизвестные величины ту и р непрерывными функциями координат л, і, производные которых могут

претерпевать разрывы. Для тех областей плоскости х1, в коточастные производные от ад и р непрерывны, можно

рых первые написать

сі

дт

дх

дт

Ж

д2 т , =='д^(ІХ +

д - т = дхді

сіх

а -£

д2 да

_д=р_

дхд(

сН\

<Н:

а

ді

д2$

дхд(

СІХ + ^йі-

Шесть уравнений (5) и (7) могут быть использованы для определения шести вторых производных, если сами функции да, р и их первые производные заданы вдоль некоторой кривой. Однако при задании функций да, 8, дт/дх, дт/дЬ, дфідх, д$/ді вдоль некоторых направлений решения уравнений (5) и (7) будут неопределенными. Такие направления называются характеристическими, а линии, идущие вдоль таких направлений, —характеристиками. На характеристиках вторые производные могут претерпевать разрывы.

На характеристиках определитель Л системы уравнений (5) и (7) равен нулю:

і

ііх2 = 0.

Приравнивая нулю выражение в первых скобках (8), получим уравнения прямых линий на плоскости  с1х

сН

1,

которые назовем с{ - и сГ -характеристиками. Вдоль этих направлений можно получить характеристические соотношения, если приравнять нулю определитель матрицы коэффициентов системы (5), (7) со столбцом коэффициентов при неизвестном д2$/дх'2, замененным на столбец правых частей. Раскрывая получающийся таким путем определитель и учитывая (9), найдем

дт

Л

д(

- 3

дх) 1

Я1йх — 0,

Верхние знаки соответствуют характеристике с?, нижние—характеристике сГ-

Приравнивая нулю выражение во вторых скобках (8), получим уравнения кривых йх/сН = + * (х), которые назовем С2- и с-Г-характе-ристиками.

Определяя далее д^т/дх2 из системы (5), (7), получаем, что вдоль характеристик с} и с7 справедливы соответственно соотношения

дт

. . д~х

где

г. <^3 я / ..ч ( дт ^ 1

/<2 :

іІ

дт

~дГ

дх

ХСІ

Л

СІХ = 0,

дх

Р{х, і).

Равенство нулю знаменателей и числителей в решениях для д2ги!дхд(, д2,№1д£2, д2р/сЬсдЛ д2р/д/2 приводит к уравнениям, идентичным (10) и (11). Так как рассматриваются только непрерывные т и {$, то соотношения

, дю , , ди>

ат — —г- ах -4—а1

дх 1 д/

ар

справедливы вдоль любого направления плоскости хі. В тех областях плоскости хі, в которых первые производные ОТ 10 и р непрерывны, соотношения (Ю)—(12) представляют собой систему уравнений и могут быть использованы для нахождения шести неизвестных її), р, дъи/дх, дъо/дЬ, д$/дх, др/'ді, если заданы соответствующие граничные и начальные условия.

Для численного решения этой системы построим на плоскости х/ сетку характеристик. Так как мы имеем дело с семейством четырех однопараметрических семейств линий—характеристик положительного и отрицательного наклона, то, вообще говоря, можно сетки двух семейств характеристик строить независимо одну от другой. Тогда значения искомых функций в узлах сетки определяются с помощью сложных интерполяций, что приводит, в конечном счете, к потере точности результатов. Целесообразно поэтому на плоскости хі сначала построить сетку характеристик сіх = + сІЇ с шагом /г, а затем характеристики <іх = + ч-сИ вписать в основную сетку,, полагая при этом в пределах одной ячейки х постоянной*. Тогда интерполяционные формулы будут едины для всех ячеек.

Расчетные формулы с учетом пересчета найдем для произвольной ячейки N (см. фиг. 1,а). Отрезки прямых и би-

характеристики первого семейства, N8 и — характеристики второго семейства. Через точки N и Б проведем пунктирными линиями характеристики третьего (ЛуУ и 5£>) и четвертого (Сб и N8) семейств.

Введем обозначения дт)дх = р, дт/д( = д, д$/дх = и, д$/д1=:У и перепишем в следующем виде характеристики системы и соответствующие им соотношения вдоль характеристик:

= 1, йю — йи = [С (х) (р — р) + В (х) и\ сИ , йф = (V и) сИ\

йх (іі

~ = — 1, йюсій = \С (х) (р— р) -)- В (х) и\ сІЇ, с1$ = (г>~и)сИ-,

йх

СІІ

-х, сід — мір

сітю = (д + *р) Ш]

Лх

Ж

•—х, сід + -/.йр = — -х2

и — А

СІІ,

сі,ш = (д — тир) сіі.

і

* Так как на участках непрерывного изменения сечения балки величина к, а следовательно, и % мало изменяются, то принятое допущение не приводит к существенным погрешностям.

Дифференциальные соотношения (13) вдоль соответствующих характеристик следует заменить приближенными разностными выражениями. Из полученной таким образом системы алгебраических уравнений определяются неизвестные а, р, V, (3, q и w в точке N через значения этих функций (с использованием линейной интерполяции) в узлах W, S и Е ячейки основной сетки характеристик. Отметим при этом, что в процессе составления разностных выражений, заменяющих дифференциальные (13), значения величин, стоящие в скобках в правых частях соотношений (13), на соответствующих отрезках характеристик заменяются среднеарифметическими из крайних значений на этих отрезках. Такая процедура получения расчетных формул эквивалентна пересчету, который, как известно [10], повышает точность на один порядок. Опуская громоздкие алгебраические выкладки, выпишем окончательные расчетные формулы для произвольной внутренней (полевой) точки области переменных (х, t)\

uN = us + vE-vw-Р/у— Р$ +' ЯЕ Qw '

1 \ СсЛ2 '

vtt =---C7h* Г*-4 (vs + w + ve) +

»+—'

Co h. fr

4—2—(Pn 4* Ps — ^Ps) 4“11E — wu/+ -у \Bs{uN 4- us) +

4~ СE (p£ (3£) -|- Cv,(P\)y Рк7) + Bp uE 4- В wuw ]},

Р.У + ~2~ 0VN + Vw -j- Vs 4- VF)\

Qn = Qs + x2 \Pe ~~ Pf ~ (p W— + IT (^Л- + Ps +

4“ P\v ~r Pg ~Ь [qg qw ~ СЭл/ Ps)l "4 ^ e (Pe Pc) 4“ ^w^P'X' Pup)>

™,v 4“ (Яц 4" Яs 4~ Я w ~1’ Яe)'

Выпишем формулы для точек границы области xt. Рассмотрим вначале полуячейку WNE, примыкающую к границе t = 0 (см. фиг. 1,6). Пусть в начальный момент балка покоилась и напряжения в ней равнялись нулю. В этом случае

то = -ЁЕ-=-^.==8 = -^- = -^- = 0

дх dt  дх dt { )

Заменив соотношения (13) вдоль соответствующих характеристик разностными выражениями и решив с учетом (14) получающуюся таким путем алгебраическую систему уравнений, найдем:

un=Pn'=vn= P/v = °;

Яы~ 2 [ N ' 2

wn==~Y(Jn-

Выпишем формулы, справедливые на левой и правой границах области переменных xt. На фиг. 1, в, г изображены полуячейки SEN и SWN, примыкающие к соответствующим границам. Рассмотрим случай шарнирного опирания балки по обоим концам и

случай, когда один конец балки оперт, другой свободен. На шарнирных опорах смещение, скорость и изгибающий момент равны нулю, следовательно, ,

Представляя в разностном виде соотношения (13) вдоль соответствующих характеристик и решая с учетом (15) получающуюся таким путем алгебраическую систему уравнений, найдем для точек левой границы

Выпишем, наконец, формулы для случая, когда правый конец балки (х — \) свободен. На свободном конце момент и перерезывающая сила равны нулю, следовательно,

Используя равенство (16) и соотношения (13), записанные в разностном виде вдоль соответствующих характеристик, найдем:

Аналогичным образом могут быть получены формулы и для других видов граничных условий.

Выведенные формулы позволяют шаг за шагом находить в каждой точке /V сетки характеристик на плоскости переменных х1 шесть неизвестных функций и, р, V, [3, д, то. При этом безразмерные момент и перерезывающая сила в точке N определяются по формулам (3).

На основе изложенного для ЭЦВМ БЭСМ-6 составлена программа расчета деформаций и напряжений в неоднородных балках

= Я3 = = WN^ Яы = чы= О-

С с Л2 ч

+ С5 /г яЕ — Р5)--------— (ъЕ + ъ3) | ;

Рл/ = ^5 + \ + ^5 + 2 юе)-

Аналогичные формулы для точек правой границы:

Р N = Рэ 2 Я]хп

Vд, V5 4" - | 2 иц, 4- И. [CW (Рур Р^) 4"

Со Л2 )

-|- с5 и. (р— с/^ р^) 2 “I- ^5) | >

= ^5 ~2~

иЫ=и5'~Рм — Р5 = °-

+ хЗ н ^ (2 - X) (Р„ + Р5);

2____^

+ -2" ^ + 2 <?», + —(д„ + я5) •

под действием динамических нагрузок. Исходные данные задачи, такие как нагрузка, жесткостные и массовые характеристики, задаются в виде таблиц для определенного числа сечений. Промежуточные значения соответствующих величин вычисляются с помощью интерполяции. Шаг интегрирования выбирается по усмотрению программиста, что дает возможность путем изменения шага и повторного расчета оценивать точность численного решения. Такая оценка может быть выполнена по формулам, указанным в работе [10].

Обозначим через Ал удлинение полуволны (если >. — удлинение всей балки, п— число полуволн, на которые разбивается балка при

поперечных колебаниях с п полуволнами, то 'кп=~^)- Шаг интег~

рирования должен быть достаточно малым по сравнению с длиной полуволны наивысшей из гармоник, вносящей в суммарный эффект волн существенный вклад. Можно показать, что для правильного учета гармоники с длиной полуволны, равной Хп, заданный шаг 'п должен быть меньше Хл примерно на один порядок. Так как минимальное значение ~кп равно примерно высоте балки, то можно ограничить снизу начальный шаг величиной порядка десятых долей г.

ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА

1. Рассмотрим вынужденные колебания шарнирно опертого усеченного конуса с углом раствора 2 а под действием распределенной нагрузки. Начало координат принято в центре большего основания, и ось л: направлена по оси конуса. Площадь и момент инерции (безразмерные) поперечного сечения с координатой к выражаются при этом следующими формулами:

f(x) = (1 — лМ^а)2, г(х) = (1 — лПа*)4.

Далее, используя (8), получим

л<*) = -п^тв>

В расчете принято Х = 20, а = 0,04, что соответствует значению -^- = 0,4 (/— высота усеченного конуса, /. — высота полного

конуса); нагрузка по времени нарастает линейно до значения £ = 20, далее мгновенно снимается (время действия нагрузки составляет примерно 0,06 периода первого тона колебаний). Амплитуда нагрузки (безразмерное значение) принята равной единице, параметр х — равным 0,7.

Расчет выполнен для трех различных значений шага /г (0,2; 0,1; 0,05) и по полученным данным с помощью метода Рунге [10] сделана экстраполяция на нулевой шаг. Результаты расчета представлены в виде графиков.

На фиг. 2 для различных моментов времени I показаны кривые прогибов, Для максимальных амплитуд формы кривых прогибов весьма близки к формам собственных колебаний усеченного конуса по первому тону, а разница в значениях времени, отвечающая максимальным отклонениям балки в противоположные стороны, практически совпадает с полупериодом собственных колебаний по первому тону. Максимальная погрешность расчета за период не превышает 1%.

На фиг. 3 представлены эпюры изгибающих моментов для различных моментов времени. Из поведения кривых следует, что

и при действии равномерно распределенной нагрузки в балке возбуждаются высокие тона колебаний со значительной амплитудой, если время изменения нагрузки достаточно мало.

2. Рассмотрим вынужденные колебания опертой на одном и свободной на другом конце однородной балки с удлинением Х = 30 при действии распределенной динамической нагрузки. Нагрузка по времени задавалась по форме кривой, изображенной на фиг. 4 (в верхнем левом углу). Время нарастания нагрузки до максимума принималось равным 0,3 от общей продолжительности ее действия. Продолжительность действия нагрузки принималась в расчете равной 45, что составляет примерно 0,12 периода первого тона собственных колебаний.

На фиг. 4 изображены эпюры изгибающих моментов для различных значений времени. Для рассматриваемого примера по теории Бернулли — Эйлера существует точное решение в виде ряда по формам собственных колебаний. Это решение в виде графиков изгибающего момента представлено на фиг. 4 (пунктирные линии) для двух характерных значений времени (t = 63 и 99). Существенное количественное различие решений данной задачи по теориям Бернулли — Эйлера и Тимошенко вполне объяснимо на основе изложенного выше.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пономарев С. Д., Бидерман В. Л., Л и х о р е в К. К., Макушин В. М., Малинин Н. Н., Ф е о д о с ь е в В. И. Расчеты на прочность в машиностроении. Т. III. М., Машгиз, 1959.

2. Duwez Р. Е., СI а г k D. S. and Bohnenblust N. F. The behavior of long beams under Impact loading. J. of Appl. Mech., 17,

No 1, 1950. (См. также сб. „Механика". М., Изд. иностр. лит., 1950).

3. С л е п я н Л. И. Нестационарные упругие волны. Л., „Судостроение", 1972.

4. Архипов А. С.. Сорокин Е. С. Исследование свободных поперечных колебаний балки как плоской задачи теории упругости.

В сб. „Строительная механика". М., Стройиздат, 1966.

5. Aprahamian R., Evensen D. A. Applications of holography to dynamics: high-frequency vibrations of beams. J. of Appl. Mech., vol. 37, series E, No 2, 1970. (См. также „Прикладная механика", 1970, № 2).

6. Б а л а б у x Л. И., Колесников К. С., Я а р у б и н В. С.,

А л ф у т о в Н. А., У с ю к и н В. И., Ч и ж о в В. Ф. Основы строительной механики ракет. М., „Высшая школа", 1969.

7. Л я х о в е н к о И. А. Поперечные волны в составных балках. Труды ЦАГИ, № 1085, 1967.

8. МГ-Л dl in R. D. and Deresiewicz H. Timoschenko’s shear coefficient for fluxural vibrations of beams. Proceedings of the Second U. S. National Congress of Applied Mechanics, ASME, 1954.

9. G a r r e I i с k J, М., В e n v e n i s I e J. E. Comparison of beam impact models. AIAA. J., No 4, 1970. (См. также „Ракетная техника и космонавтика", т, 8, № 4, 1970).

10. Жуков А. И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики. Труды ма-тем. ин-та им. В. А. Стеклова, № 58. М., 19R0.

Рукопись поступила 7/ VIII 1972 г.