Теорема отсчетов для сигналов с нефинитным спектром

Теорема отсчетов для сигналов с нефинитным спектром

Ключевые слова: теорема УКШ, совершенное восстановление, сверхразрешение, нефинитный спектр, коэффициент нефинитности, шум наложения спектров.

Теорема отсчетов, известная у нас как теорема ВАКотельникова, за рубежом — как теорема КШеннона, а потом везде — как теорема Уиттекера, Котельникова, Шеннона (теорема УКШ), является основой решения множества теоретических и практических задач, требующих дискретизации и точной интерполяции сигналов с финитным спектром. Практическое применение теорем отсчетов затрудняется требованием финитности спектра сигнала, которое не только предполагает предварительную частотную фильтрацию сигнала, уменьшает используемую долю энергии сигнала, но и ограничивает снизу выбор частоты его дискретизации. Эти недостатки устраняются представленным обобщением теоремы отсчетов на случай восстановления сигнала по отсчетам его линейного преобразования с нефинитным спектром. Обобщение базируется на высокоточном решении обратной задачи методом редукции к совершенному прибору (РСП) с исключением шумов наложения спектров, что снимает необходимость согласования частоты дискретизации с полосой частот сигнала, которое, к тому же, в ряде случаев невозможно. Достигается сверхразрешение элементов входного сигнала в восстановленном. Приведены соответствующие иллюстрации. Из этого следует, что теорема отсчетов для сигналов с нефинитным спектром расширяет круг решаемых задач, в ряде случаев позволяет отказаться от фильтровой части системы.

Михайлов БА

Теорема отсчетов, известная у нас как теорема В. А. Котельникова [1], за рубежом - как теорема К. Шеннона [2], а потом везде - как теорема Уиттекера, Котельникова, Шеннона (теорема УКШ) [3], является основой решения множества [например, 4] теоретических и практических задач, требующих дискретизации и точной интерполяции сигналов с финитным спектром.

В обстоятельном обзоре [3] рассмотрены многочисленные теоремы отсчетов и их варианты. Все они основываются на теории интерполяции и связаны с именами многочисленных исследователей.

Возможность точного восстановления сигналов в любой точке базируется в теоремах отсчетов на их (сигналов) аналитичности, обусловленной финитностью спектра.

Анализируются также ошибки дискретного представления посредством теорем отсчетов, в первую очередь, ошибки усечения числа отсчетов, считающиеся неустранимыми ошибки наложения спектров.

В работе [4] представлены два обобщения теоремы отсчетов для восстановления непериодической функции по отсчетам ее первообразной или производной и охватывающие, с некоторыми особенностями, случай периодических функций, что дает возможность также целенаправленной модификации амплитудной и фазовой составляющих спектра. Отсчеты первообразной соответствуют использованию дискретизирующих элементов интегрирующего типа, что позволяет уменьшать ошибки, обусловленные аддитивной шумовой составляющей и возможной нефинитностью их спектра.

Теорема УКШ и ее обобщения [3] говорят о возможности восстановления функции с финитным спектром по отсчетам ее линейного преобразования с той же ширины

финитным спектром и в этом смысле, в частности, описывают решение обратной задачи с восстановлением входного сигнала линейной системы по отсчетам ее выходного сигнала при известной импульсной реакции системы.

В общем случае, при использовании тихоновских [5] подходов (за неимением до последнего времени других возможностей) такая обратная задача является некорректной и не может обеспечить одновременно высокую точность и высокую устойчивость решения [6, 7]. Поэтому теоремы отсчетов охватывают только простейшие обратные задачи, в которых точность и устойчивость решений не являются проблемой. Это ограничивает область корректного практического применения теорем отсчетов, оставляя за ними роль путеводителя, ориентира в принципиально сложных ситуациях.

К тому же, практическое применение теорем отсчетов затрудняется требованием финитности спектра сигнала, которое не только предполагает предварительную частотную фильтрацию сигнала уменьшает используемую долю энергии сигнала, но и ограничивает снизу выбор частоты его дискретизации.

Такое положение дел не соответствует сложившимся к настоящему времени новым возможностям, обуслов-леным появлением высокоточного, совершенного метода решения обратной задачи редукцией к совершенному прибору (РСП) [8, 9], что обеспечивает сверхразрешение элементов сигнала согласно его информационному ресурсу по теореме Винера-Пэли [10].

Сложности [6, 11] использования информационного ресурса сигнала удалось [8, 9] преодолеть в принципиально необходимом сочетании с решением сопутствующих проблем. Полученный метод РСП позволяет по узкополосному выходу линейной системы получать совершенно восстановленный (то есть, равный [9] свертке входного сигнала с 8-функцией) входной сигнал, что означает восстановление всех свойств входного сигнала, в том числе, получение теоретически беспредельного разрешения элементов входного сигнала. Практически деструктивное влияние несовершенства звеньев реаль-

нои системы, в том числе, наличие шумов и неполное использование реальных характеристик превращает совершенные системы в квазисовершенные, приводящие к соответственно ограниченному сверхразрешению.

Сказанное позволяет сформулировать теорему отсчетов для сигналов с нефинитным спектром. Теорема относится к случаю преобразования сигнала стационарной линейной системой, описываемой импульсной реакцией.

Формирование выходного сигнала /(дг) такой системы с импульсной реакцией И(х) описывается сверткой

/(*) = /(*)  Их) + Их) входного сигнала /(дг) с /?(дг) в присутствии в общем случае аддитивного шума п(х) наблюдения и мультипликативного шума п/(х) наложения спектра (/(дг), /(*), Их) принадлежат ). Обратная задача состоит в нахождении оценки /(дг) входного сигнала по выходному при известной И(х) и известной закономерности [12] формирования шума п/(дг) наложения спектров.

Вспомним понятие финитного спектра сигнала: спектр сигнала является финитным, если его ширина не превышает частоту дискретизации. Из этого следует, что

речь идет о спектре линейного преобразования /(х), по отсчетам которого должен восстанавливаться сигнал. Нефинитным спектр этого линейного преобразования будет при его выходе за полосу частот дискретизатора. Количественно нефинитность спектра определим коэф-

+ * фициентом кп = А у / V , где Д у = 2у - ширина спек-_ * тра линейного преобразования, V - граничная частота

спектра, V - частота дискретизации.

Независимо от значения коэффициента нефинитности спектра линейного преобразования спектр восстанавливаемого сигнала может быть любой ширины вплоть до бесконечной, но не уже спектра линейного преобразования.

Такому пониманию финитности / нефинитности спектра для линейной системы й(дг) соответствует следующая теорема отсчетов для сигналов с нефинитным спектром.

Теорема. “Непериодический сигнал /(дг) е Ь2, представленный на операционном интервале приемлемой суперпозицией

1-1

/

1=0

финитных базисных сигналов £(дг — дг( — А) с весами

р1, где х1: + Д - координаты точек представления, Д -

смещение, поинтервально (в операционных интервалах) точно восстанавливается в любой группе точек

{дг + Д), /=0, 1, 1-1, I - число точек восстановления

г

на операционном интервале, по отсчетам её с любым значением коэффициента кп= Ау / у+ нефинитности спектра линейного преобразования /(дг) в точках

т / У+ дискретизации применением интерполяционной формулы

/

т=-оо у у

и последующим совершенным решением для этих точек на операционном интервале обратной задачи методом РСП, состоящим в следующих действиях:

- ортогонализация импульсных реакций

{И(х - дг,. - Д)}:

{й

где {•} - множество элементов, (-у - операция ортого-нализации, например, методом Грама-Шмидта;

- определение весовых коэффициентов р! в виде

Р1 = к> • С

(h(x - xt - Д), h(х - X/ - Д)) где kj есть коэффициенты разложения fix) в ряд Фурье по ортогонализированным импульсным реакциям {h(x - xi - Д)}, Cj есть корректирующие множители, равные доле (весу) импульсной реакции И(х-х -Д) В орто-гонализированных импульсных реакциях [Л(х - х. - д» и определяемые их видом, (Р(х), у(дг)) = \а P(x)y(x)dx, А -область определения сигналов /?(дг) и у(х);

- повторение действий (4, 5) для каждого операционного интервала области восстановления”.

Для доказательства теоремы достаточно показать правомерность интерполяции (2) и определения весов

Pi соответственно выражениям (4), (5) при любых значениях кп > 0 коэффициента нефинитности спектра

реакции /(х) на входной сигнал.

Интерполяция (2) правомерна, поскольку при любом значении кп для выделения спектра функции /(дг) из её спектра после дискретизации необходим и использу-

V

ется фильтр Re Ct(—), что приводит к выводу о под-

V

чинении /(дг) теореме УКШ.

Проблема определения весов /?(- для (1) состоит в недоступности входного сигнала /(дг) на выходе системы h(x).

С недостаточными точностью и устойчивостью веса pi могут быть определены применением тихоновского

обратного оператора [5, 6], что в данном случае противоречит задаче. Но выходная реакция системы (линейного преобразователя) на оценку /(х) была бы равна

/ - I

f(x) = f(x)h(x)= £ р h(x-x ),

/ = о

где <8> - операция свертки; / - число базисных сигналов на операционном интервале. Из этого следует, что веса

р/ являются также весами в представлении оценки реакции /(дг) на входной сигнал суперпозицией

_ 1-1

/

/ I

/ = О

то есть, что веса р: базисных сигналов в аппроксимации входного сигнала определимы по выходу системы. Этот простой и просто выявленный здесь факт является ключевым в доказательстве теоремы и для ее эффективности.

Для минимизации погрешности определения весов р1 рассматриваем (1) как ряд Фурье, что приводит к необходимости вышеуказанной ортогонализации базисных сигналов {И(х - х )} и, следовательно, к представ-

I

лению весов р. в форме произведения (4). К тому же,

погрешность приближения сигнала рядом Фурье определяется отбрасываемыми его членами, а в рядах (1) и

(7) каждому коэффициенту р . соответствует строго

один свой член ряда. Следовательно, при определении

весов р I эта погрешность принципиально отсутствует.

Восстановление оценки /(дг) в операционных интервалах означает насечку входного сигнала на соответствующие фрагменты, то есть, отсутствие нефинитных сигналов для процедуры восстановления, что облегчает ортогонализацию импульсных реакций и обеспечивает полный охват теоремой сигналов из Ь2 (иначе, например, спектр входного модулированного сигнала мог бы выходить за пределы полосы частот системы).

Реакция на входной сигнал формируется линейной системой как свертка входного сигнала с её импульсной

реакцией, то есть, выходной сигнал есть интегральная сумма сдвинутых импульсных реакций, взвешенных отсчетами входного сигнала. Следовательно, в соответствии с фильтрующим свойством (5) метода Фурье, определение весовых коэффициентов при сдвинутых импульсных реакциях есть определение значений входного сигнала в точках его представления. И этот факт не зависит от особенностей импульсной реакции (от наличия или отсутствия в системе ШНС, от значения коэффициента кп нефинитности спектра).

Определение весов р1 (равных значениям восстановленного сигнала в соответствующих точках) с использованием коэффициентов (5) Фурье означает восстановление полного спектра сигнала (достижение сверхразрешения) единственно возможным способом -посредством замены узкополосных реакций на базисные сигналы самими базисными сигналами. Это, совместно с использованием смещений Д, означает совершенное восстановление входного сигнала в любой точке.

Этим доказательство теоремы завершено.

Для практических применений теоремы важно, что интегральный характер определения (5) коэффициентов Фурье придает ей шумостойкость решения, причем, как показывает выполненный анализ [9], наблюдается эффект сдерживания влияния шума с повышением уровня сверхразрешения.

Примером принципиальной необходимости [13] и успешности применения (таблица 1) теоремы являются оптико-электронные средства формирования и обработки полихромных, панхроматических изображений. Особенностью этих средств является необходимость учета своего коэффициента нефинитности спектра для каждой спектрозональной компоненты, без чего совершенное восстановление компонент полихромных, панхроматических изображений невозможно.

Таблица I

Выделение спектрозональных изображений из панхроматического

Панхром Х= 580-800 нм; частота дискретизации 110 лин/мм;

Спектральная зона Х= 450 нм ±0.1%;

V * = 280 лин/мм; кп=5

Спектральная зона Х= 750 нм ±0.1% V* =170 лин/мм; к„=3.

1111 К’

Изложенное позволяет заключить, что теорема отсчетов для сигналов с нефинитным спектром расширяет круг решаемых задач, делает реальной задачу сверхразрешения, в ряде случаев позволяет отказаться от принципиально проблематичного согласования частотных полос пропускания фильтровой части системы и дискретизатора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Котельников В.А. О пропускной способности “эфира” и проволоки в электросвязи. Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. - Всесоюзный энергетический комитет, 1933.

2. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике: Перевод с англ. - М.: ИЛ, 1963. - 832 с.

3. Джерри А.Дж. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и приложения. Обзор. - ТИИЭР, 1977. — Т.65. — №11. - С.53-89.

4. Михайлов Б.А. Два обобщения теоремы отсчетов. -Электронная техника. Сер. 10 “Микроэлектронные устройства”. - Вып. 5 (17). - 1979. - С.24-27.

5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. -285 с.

6. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов. О редукции к идеальному прибору в физике и технике. - М.: Сов. радио, 1979. - 302 с.

7. Чижов А.А. Сверхрэлеевское разрешение. Т. 2: Преодоление фактора некорректности обратной задачи рассеяния и проекционная радиолокация. - М.: КРАСАНД, 2010. - 104 с.

8. Михайлов Б.А. Устройство для обработки сигналов // Патент на изобретение РШ 2385489, 28.08.2008. - Бюл. №9. -2010.

9. Михайлов Б.А. Пропускная способность квазисовер-шенных систем. Материалы Первой Всероссийской конференции “Радиоэлектронные средства передачи и приема сигналов и визуализации информации”. - М.; Таганрог: РНТОРЭС им. А. С. Попова, 2011.

10. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной плоскости: Пер. с англ. - М.: Наука, 1964. - 267 с.

11. Пр этт У. Цифровая обработка изображений: Перевод с англ.-М.: “Мир”, 1982.

12. Богнер Р., Константинидис А. Введение в цифровую фильтрацию. Пер. с англ. - М.: Мир, 1976. - 216 с.

13. Михайлов Б.А. Совершенное выделение гиперспек-тральных изображений из панхроматического. Материалы II Всероссийской научно-технической конференция “Актуальные проблемы ракетно-космической техники” (“II Козловские чтения”). - Самара, 2011.