Свойства статистик Мак-Магона на множествах слов

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2015

Секция 1

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

8

УДК 519.1 DOI 10.17223/2226308X/8/1

СВОЙСТВА СТАТИСТИК МАК-МАГОНА НА МНОЖЕСТВАХ СЛОВ1

Л. Н. Бондаренко, М. Л. Шарапова

Рассматриваются свойства статистик Мак-Магона maj и inv на трёх множествах слов над алфавитом {1,... , n}: 1) перестановки степени n; 2) все слова длины n; 3) вогнутые перестановки степени n. На множествах п. 1 и 3 получены новые рекурсивные описания производящих многочленов пар (des, maj) и (des, inv); на множестве слов п. 2 найдены только соответствующие рекурсивные описания для пары (des, maj) и статистики inv. Эти рекурсивные описания использованы на множествах п. 1 и 2 для другого доказательства известной теоремы Мак-Маго-на о совпадении распределений maj и inv. На множестве слов п. 2 определены статистики fas и cas как особые средние значения символа в слове, причем fas и des одинаково распределены, и доказана теорема о совпадении распределений пар (fas, maj) и (fas, inv), а также пар (cas, maj) и (cas, inv).

Ключевые слова: статистики Мак-Магона, производящий многочлен, рекурсивное описание, статистики Эйлера.

Для слов а = а1... а1 длины I = r1 + ... + rn над алфавитом {1,... ,n}, являющихся перестановками мультимножества M = {1ri ,...,nr"} (иначе, а Е S (M )),

i-1

функции maj(a) = i и inv(a) = #{(i, j) : 1 ^ i < j ^ l, а > аj•} назы-

î=1,<Ti><Ti+1

ваются статистиками Мак-Магона [1]. Справедлива известная теорема Мак-Магона: qmaj(o") = qinv(a) = G\(q), т.е. гауссовский полиномиальный коэффици-

aeS

ент G\(q) = 1 =т-г—;—1-—, где А = (1ri .. Ап) —разбиение числа /, а

Lri,-,ríJ q (q; q)ri ... (q; q)n

(t; q)i = (1 — t)(1 — tq) ... (1 — tql-1), служит производящим многочленом статистик Мак-Магона на S (M ) [2], иначе эти статистики одинаково распределены на S (M ).

При длине I = n и r1 = ... = rn = 1, т. е. а Е Sn, в [1] приводится рекурсивное описание полиномов An(t,q), задающих, как показал Л. Карлитц, распределение пары (des, maj), где des(a) = #{i : 1 ^ i ^ n, a¿ > ai+1,an+1 = 0}, а также описание полиномов A*n(t,q), задающих распределение пары (des,inv), с помощью соответствующей производящей функции, найденное Р. Стенли. Отметим, что в [1] вместо des употребляется статистика rize, причём des(a) = rize(ca), где инволюция c : Sn ^ Sn определяется соотношением ca¿ = n +1 — a¿, i = 1,... , n.

Рассмотрим получение рекурсивных описаний производящих многочленов пар (des, maj) и (des, inv) на трёх множествах слов а длины n над алфавитом {1,... , n}: 1) перестановки a G Sn; 2) все слова a G Sn; 3) вогнутые перестановки а Е Sn, у

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №14-01-00273.

Теоретические основы прикладной дискретной математики

7

которых префикс задает убывающую, а оставшийся после его удаления суффикс — возрастающую последовательность символов [3]. Отметим, что |Sn| — n!, |Sn| — nn, | | — 2n—1 и Sn С Sn С Sn при n ^ 3.

Теорема 1. На множестве перестановок Sn производящие многочлены An(t,q) пары (des, maj) и An(t, q) пары (des, inv) имеют следующие рекурсивные описания при A1,1(t, q)) — A1,1(t, q) — t и m — 2,... , n, k — 1,... , m:

k—1 m—1 n

(t, q) — tqn—m+1 £ Am— 1,i(t,q) + E Am— 1,i(t,q), An(t,q) — E An,k(t, q),

.= 1 .=k k=1 / fc—1 m— 1 \ m

Am,k(t, q) — qk—M t £ Am—1,i(t,q) + £ Am—1,i(t,q) , Am(t,q) — £ Am,fc(t,q). \ i=1 i=k / k=1

Рекурсивное описание An(t, q) теоремы 1 значительно отличается от их рекурсивного описания в [1], а соответствующее описание An(t, q) в [1] отсутствует (в [4] приведены два рекуррентных соотношения для многочленов An(t, q)).

Теорема 2. На множестве слов Sn производящие многочлены An(t, q) пары (des,maj) и £>n(q) статистики inv при k — 1,...,n, A^k(t,q)) — 1, £>ik(t,q) — 1 и m — 2,... , n имеют следующие рекурсивные описания:

^ k— 1 ^ n ^ ^ n ^

Am,k(t, q) — tqn—m+1 E Am—1,i(t,q) + £ Am—M(t,q), An(t,q) — £ An,k(t, q),

i=1 .=k k=1 ^ k— 1 ^ n ^ ^ n ^

B?m,fc(q) — qm—1 E B?m—1,i(q) + E BU,.(q), B(q) — E £n,k(q).

.= 1 .=k k=1

Применение теоремы Мак-Магона к множеству слов Sn приводит к следующему

соотношению: Bn(q) — Bn(q) — £ ( W^(q), где Bn(q) — An(1,q); Л — разбиение

числа n; |Л| —вес, а #Л — число частей разбиения Л; Сл —число композиций, соответствующих разбиению Л с записанными n — #Л нулями; Сл^) —гауссовский полиномиальный коэффициент.

Теорема 3. На множестве вогнутых перестановок Sn производящие многочлены An(t, q) пары (des, maj) и An(t, q) пары (des, inv) имеют тривиальные рекурсивные описания, которые приводят к соотношениям

An(t,q)— E fn — 1)qk(k—1)/2 tk, An(t,q)— E \ k — 11 qk(k—1)/2 tk — t(—f*^1

k=1\k — V k=1 Lk — ^ q 1+t

с биномиальными и соответственно q-биномиальными коэффициентами (аналогичное выражение для An(t,q) имеется в [3]).

Доказательство теорем 1-3 основано на лексикографическом упорядочении и рассмотрении их начальных частей, имеющих соответственно мощности m!, nm, 2m-1, m = 1,..., n. Эти подмножества дополнительно разбиваются соответственно на m, n и m частей, а затем применяется определение статистик и индукция.

Иное упорядочение множеств и позволяет упростить рекурсивные описания многочленов пары (des, maj) теорем 1 и 2, в которых множитель qn-m+1 заменяется

m

на qm-1 и Am(t, q) = £ Am,k(t,q), а сравнение полученных рекурсивных описаний

fc=i '

приводит к другому доказательству равенств An(1,q) = A^(1,q) и An(1,q) = Bn(q).

8

Прикладная дискретная математика. Приложение

Определение 1. Статистики fas

n

,-1

П 1 Е Oi

i=1

и

cas

n

1

n 1 ^ Oi

i=1

задают

соответственно «пол» и «потолок» средней величины символа в слове о Е Sn.

Статистика fas (под именем mes) введена в [5], где с помощью рекурсивного описания установлено, что fas и des на Sn имеют производящий многочлен An(t, 1), иначе, fas и des — эйлеровы статистики на Sn. Легко показать, что fas(o) + cas(co) = n + 1, т.е. многочлен tn+1An(t -1) является производящим для статистики cas.

Теорема 4. Пары (fas, maj) и (fas, inv), а также пары (cas, maj) и (cas, inv) одинаково распределены на Sn.

Доказательство. Разобьём Sn на минимальное число подмножеств, состоящих из перестановок подходящих мультимножеств символов из алфавита {1,... ,n}. По теореме Мак-Магона и определению 1 пары (fas,maj) и (fas,inv), а также пары (cas, maj) и (cas, inv) одинаково распределены на этих подмножествах, что и приводит к требуемому утверждению.

Отметим, что для пары (des, maj) на Sn неизвестна одинаково распределённая с ней пара (e,inv), где e — эйлерова статистика [1].

ЛИТЕРАТУРА

1. Фоата А. Распределения типа Эйлера и Мак-Магона на группе перестановок // Проблемы комбинаторного анализа. М.: Мир, 1980. С. 120-141.

2. Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука, 1982. 256с.

3. Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика. М.: Наука, 1990. 504 с.

4. Chow C. A recurrence relation for the "inv" analogue of q-Eulerian polynomials // Electronic J. Combinatorics. 2010. V. 17. #N22.

5. Бондаренко Л. Н., Шарапова M. Л. Статистики спусков и средних на множествах слов // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы XVII Междунар. конф. (Казань, 18-20 июня 2014 г.). Казань: Отечество, 2014. С. 63-65.

УДК 519.6 DOI 10.17223/2226308X/8/2

О ПРИМИТИВНОСТИ ПЕРЕМЕШИВАЮЩИХ ГРАФОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ РЕГИСТРОВ СДВИГА С ДВУМЯ ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ

А. М. Дорохова

Среди преобразований двоичных регистров сдвига с двумя обратными связями выделен класс подстановок, для которого получен критерий примитивности перемешивающих графов. Получены оценки экспонентов некоторых примитивных графов из данного класса.

Ключевые слова: перемешивающий граф преобразования, регистр сдвига, экспонент графа.

Введение. Актуальность исследования перемешивающих свойств криптографических функций достаточно обоснована в ряде работ (см., например, [1-5]). Точное определение существенных переменных итеративных функций весьма трудоёмко, поэтому применяется оценочный матрично-графовый подход. Перемешивающие свойства преобразования векторного пространства Vn над полем GF(2) кодируются перемешиваю-