Расчет течения и теплообмена в плоскости симметрии треугольного крыла в сверхзвуковом потоке

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XXIV 1993

№ 1

УДК 629.735.33.015.3.025.1 : 532.526 629.735.33.015.3:533.6.011.6

РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕНА В ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

В. А. Башкин, Н. П. Колина, А. П. Косых

В рамках классической постановки задачи исследовано течение совершенного газа в плоскости симметрии плоского треугольного крыла с затупленными передними кромками и вершиной, обтекаемого сверхзвуковым потоком под малыми углами атаки. Расчеты пограничного слоя проведены при ламинарном, переходном и турбулентном режимах течения в предположении, что с поверхности тела происходит излучение тепловой энергии по закону Стефана—Больцмана. Рассмотрены также некоторые вопросы моделирования течения в аэродиинамических трубах.

Треугольное крыло относится к семейству пространственных тел, имеющих наиболее простую конфигурацию.

При наличии угла атаки обтекание треугольного крыла сверхзвуковым потоком является, как правило, безотрывным на наветренной стороне и отрывным на подветренной стороне. Вследствие этого для описания поля течения необходимо использовать полные или усеченные уравнения Навье—Стокса. Результаты расчетных и экспериментальных исследований показывают, что течение на подветренной стороне оказывает очень слабое влияние на поле течения около наветренной стороны крыла. Поэтому при больших числах Рейнольдса анализ особенностей течения газа на наветренной стороне треугольного крыла можно проводить в рамках классической постановки задачи: поле невязкого течения рассчитывается на основе уравнений Эйлера, а влияние вязкости среды учитывается на основе уравнений Прандтля.

Треугольное крыло с острой вершиной при углах атаки, меньших предельного, обтекается с присоединенной к вершине ударной волной, за которой реализуется коническое невязкое течение — вырожденное пространственное течение, описываемое системой двумерных уравнений. Расчет пограничного слоя при коническом внешнем течении в общем случае представляет собой трехмерную задачу, но при определенных условиях может быть сведен к двумерной задаче. В силу вырожденное™ течения и прикладной значимости эти задачи интенсивно изучались различными исследователями; изложение результатов этих исследований можно найти, например, в [1].

Если вершина треугольного крыла затуплена, то перед телом образуется отошедшая ударная волна, за которой образуется существенно пространственное, сложное по своей структуре течение идеального газа. Эта сложность структуры течения оказывает воздействие на развитие пограничного слоя и на, аэродинамическое нагревание обтекаемой поверхности.

В данной работе на частном примере плоского треугольного крыла с затупленными передними кромками и вершиной, обтекаемого ги-перзвуковым потоком совершенного газа под углом атаки, рассчитано поле невязкого течения и развитие пограничного слоя в плоскости симметрии для оценки температурного режима обтекаемой поверхности. Из-за сложного характера течения и возможного влияния вязко-невяз-кого взаимодействия и эффектов реального газа теоретические исследования должны дополняться экспериментальными. Но поскольку на аэродинамических установках натурные условия не моделируются полностью, то возникает проблема аэродинамического моделирования; некоторые ее аспекты также рассматриваются в настоящей работе.

1. Рассматривается плоское треугольное крыло со сферически затупленной вершиной и цилиндрическими передними кромками и большими углами стреловидности.

Поле невязкого течения около треугольного крыла определялось путем численного анализа уравнений Эйлера с выделением головной ударной волны, на которой ставились условия Ренкина—Гюгонио; на обтекаемой поверхности ставилось граничное условие непротекания.

Течение у носового затупления получено с помощью алгоритмов и программ, созданных на базе метода установления по времени [2, 3] и метода пространственного «разворота» сверхзвукового потока [4]. Далее вниз по потоку сверхзвуковое течение (местное число Маха М = = v/a> 1) рассчитывалось маршевым методом [5].

В сверхзвуковой области течения задача рассматривалась в декартовой системе координат х, у, z. Плоскость z = 0 совпадает с плоскостью симметрии, ось л: лежит в этой плоскости, а передние кромки крыла лежат в плоскости у = 0. Расчетная сетка в сечении x=const конструировалась с помощью лучей, выходящих из узловых точек на поверхности крыла, которые распределялись на ней по синусоидальному закону для более точного описания поля течения с большими градиентами газодинамических переменных. В расчетах использовалась сетка с 37x21 узлами (37 точек — на поперечном контуре крыла и 21 точка на каждом луче между телом и головной ударной волной). Выбор шага интегрирования в продольном направлении диктуется условием устойчивости схемы Годунова. Время счета одного варианта примерно 1,5—2,0 ч на ЭВМ с быстродействием 0,2 Mflops.

Погрешность расчета поля течения по выполнению закона сохранения массы и теоремы импульсов не превышает 2—5%. Однако следует отметить, что по мере удаления от затупленной вершины возрастают физические размеры счетных ячеек и, следовательно, понижается точность описания локальных особенностей течения, например, высокоэнтропийного слоя газа около обтекаемой поверхности.

При численном анализе все линейные размеры были отнесены к радиусу R затупления крыла, а газодинамические переменные — давление р, плотность р и компоненты вектора скорости и, v, w на оси декартовых координат — были обезразмерены путем деления на РооКшах, poo, Vmax соответственно. Здесь Утах — максимальная скорость потока, рос — плотность газа в набегающем потоке. Ниже безразмер-

ные переменные будут отмечаться чертой над соответствующим символом.

2. По описанной выше методике были рассчитаны поля невязкого течения ОКОЛО треугольного крыла с углом стреловидности % = 81° при изменении числа M*,, набегающего потока от 4 до 15,9 и угла атаки а от нуля до 16°.

Анализ расчетной информации показывает, что на небольших расстояниях от носового затупления поле течения характеризуется наличием больших градиентов газодинамических переменных как в продольном направлении, так и поперек сжатого слоя. При движении от носка крыла вниз по потоку наблюдается процесс перехода от сильно заторможенного течения газа к течению, характерному для плоского треугольного крыла с цилиндрическими передними кромками. При х—100 происходит постепенное выравнивание уровня давления в сжатом слое и формируется высокоэнтропийный слой газа, который прилегает к обтекаемой поверхности крыла и поперек которого резко изменяются плотность и число М. С удалением от затупленной вершины энтропийный слой относительно утоньшается и занимает малую часть ударного слоя.

Ограничимся анализом поведения тех газодинамических переменных, которые определяют развитие пограничного слоя в плоскости симметрии крыла на наветренной стороне. Влияние числа М при фиксированном угле атаки и угла атаки при фиксированном числе М на распределение газодинамических переменных показано на рис. 1—4.

На сферическом затуплении реализуется осесимметричное течение, свойства которого хорошо известны. Для плоскости симметрии при расчете пограничного слоя используется ортогональная система координат s, п, связанная с обтекаемой поверхностью: s — длина дуги, отсчитываемая от критической точки, и п — длина дуги большого круга, отсчитываемая от плоскости симметрии, на сферическом затуплении или координата г на плоской части крыла. На сферическом затуплении компонент скорости и, параллельный обтекаемой поверхности, монотонно возрастает, а градиент скорости поперечного течения определяется выражением

dwldn = wctgs.

В критической точке (s = 0) имеем особенность типа 0/0, которая раскрывается по правилу Лопиталя;

(dwjdn)s=о = (du/ds)s=o-

Следовательно, в плоскости симметрии на сферическом затуплении имеем линию растекания (dw/dn>0).

При определенном значении координаты s, зависящей от углов атаки и стреловидности, нарушается осеоимметричность течения из-за наличия плоского треугольного крыла, и далее вниз по потоку имеем сложную пространственную картину; течения (см. рис. 4). В зависимости от комбинации параметров Моо й а возможны следующие режимы: а) линия растекания переходит в линию стекания, на которой dw/dz<0\ б) градиент скорости поперечного течения является знакопеременной функцией, т. е. наблюдается чередование линий растекания и стекания; в) в плоскости симметрии располагается линия растекания (dw/dz> 0).

-4

а>

Рис. З

Рис. 4

Далее следует отметить, что некоторые аномалии в поведении газодинамических переменных в зависимости от изменения определяющих параметров (см. рис. 2 и 3), а также их выход на решение для треугольного крыла с острыми передними кромками [6] указывают на то, что по мере отхода от затупления происходит размывание энтропийного слоя за счет схемной вязкости.

3. Поле течения около треугольного крыла с затупленными передними кромками и вершиной является существенно трехмерным, вследствие этого и течение газа в пограничном слое, образующемся на его поверхности, будет также носить ярко выраженный пространственный характер. Однако в плоскости симметрии крыла, где поперечный компонент вектора скорости невязкого потока обращается в нуль, решение пространственных уравнений Прандтля сводится к двумерной задаче.

Для численного интегрирования уравнений пограничного слоя в плоскости симметрии треугольного крыла на его наветренной стороне была использована программа [7], в которой реализован численный алгоритм И. В. Петухова; при этом для определения характерных толщин пограничного слоя — толщины вытеснения 61 = 61/? и толщины потери импульса 82 = 62^ — использовались дифференциальные уравнения, определяющие их развитие на обтекаемой поверхности (см., например, [8]). В работе [7] начало перехода ламинарного течения в турбулентное определяется согласно критерию Роуза, а в переходной области расчет проводится с использованием коэффициента перемежаемости, базирующегося на теории распространения турбулентных пятен Эммонса; коэффициент турбулентной вязкости вычисляется на основе алгебраической модели турбулентности Прандтля с поправкой Ван-Дриста.

В исходном варианте программы [7] предполагалось, что течение газа на внешней границе пограничного слоя является изоэнтропическим и все газодинамические переменные выражаются через скорость внешнего потока. Выше уже отмечалось, что при расчетах поля невязкого потока область сильно завихренного течения по мере удаления от затупленной вершины стягивается в тонкий энтропийный слой, который постепенно размывается за счет схемной вязкости. В результате этого обтекаемая поверхность тела не является изоэнтропической и, следовательно, течение газа на внешней границе пограничного слоя также не будет изоэнтропическим. В силу сказанного выше программа была модифицирована таким образом, чтобы выделить члены, связанные с градиентом давления, и члены, связанные со скоростью внешнего течения в связи с преобразованиями уравнений Прандтля. Тогда для решения задачи в память машины необходимо ввести три массива данных, которые характеризуют распределение давления, скорости и плотности невязкого течения на поверхности тела.

4. По модифицированной программе численного интегрирования двумерных уравнений пространственного пограничного слоя были проведены расчеты для плоскости симметрии на наветренной стороне треугольного крыла при ламинарном, переходном и турбулентном режимах течения совершенного газа. При расчетах предполагалось, что с поверхности нетеплопроводного тела происходит излучение тепловой энергии по закону Стефана—Больцмана с коэффициентом черноты 8 = 0,8.

Основные расчеты были проведены для условий полета на высоте Я = 27,5 км для треугольного крыла с радиусом затупления R = 0,275 м. Поскольку затупление вершины крыла является сферическим и закономерности развития пограничного слоя на сфере хорошо известны, то ниже всюду речь будет идти только о характеристиках на плоской поверхности крыла.

Влияние угла атаки на температурный режим поверхности при Мао = 8 показано на рис. 5, а влияние числа М при а = 8°— на рис. 6; на последнем рисунке дополнительно нанесена зависимость для Моо = = 12,5 и // = 32,5 км. На этих рисунках результаты расчетов для ламинарного течения нанесены штриховой линией, для турбулентного — сплошной.

Для рассмотренных режимов обтекания переход ламинарного течения в турбулентное имеет место на сферическом затуплении, где и наблюдаются максимальные значения температуры. Поэтому на плоской поверхности реализуется турбулентное течение; тем не менее для оценки роли различных режимов течения на температурный режим поверхности приводятся также результаты расчетов для ламинарного течения. Кроме того, эти данные позволяют оценить перепад температур в тех случаях, когда точка перехода расположена вне затупления.

На плоской поверхности крыла из-за сложной структуры невязкого течения распределение температуры носит немонотонный характер и при определенных условиях можно наблюдать несколько локальных экстремумов температуры. Наиболее сильная неравномерность в распределении температуры наблюдается при угле атаки а = 4°, поскольку именно при этих условиях имеет место наиболее сложная структура невязкого потока — происходит чередование линий растекания и стекания.

При фиксированном числе М с ростом угла атаки возрастает интенсивность тепловых потоков и, следовательно, повышается уровень равновесной температуры. Это обусловлено двумя причинами — увеличением давления и плотности газа из-за уменьшения местного числа М и изменением интенсивности поперечного течения на внешней границе пограничного слоя в плоскости симметрии.

При фиксированном угле атаки (а = 8°) по мере увеличения числа М повышается уровень температуры, который при М<х,= 12,5 становится слишком высоким для обычных материалов конструкций. Увеличение высоты полета при Моо = const позволяет понизить уровень температуры (рис. 6).

Результаты расчетов также показывают, что турбулентное течение по сравнению с ламинарным более чувствительно к топологии внешнего потока (для ламинарного режима наблюдается меньшая неравномерность в распределении температуры), что, по-видимому, связано с тем, что турбулентная вязкость зависит от кинематики течения.

В заключение отметим, что в [9] на основе численного интегрирования параболизованных уравнений Навье—Стокса (ламинарное течение совершенного газа) установлена сложная структура течения около треугольного крыла (Мое = 6, ReooH = 3,55-104, % = 75°, а = 0 и 10°); при этом на наветренной стороме между передними кромками и плоскостью симметрии наблюдается поперечный отрыв и присоединение пристеночного (пограничного) слоя, но в то же время течение в плоскости симметрии остается безотрывным. Это обстоятельство указывает на заметное влияние вязко-невязкого взаимодействия на поле течения, что, в свою очередь, может изменить структуру потока по сравнению с той, которая

получается на основе решения уравнений Эйлера. Однако можно ожидать, что при больших числах Рейнольдса и углах стреловидности влияние вязко-невязкого взаимодействия ослабевает и классический подход к решению задачи представляет полезную информацию о структуре поля течения и теплообмене на обтекаемой поверхности.

5. Как уже отмечалось выше, полное моделирование натурных условий в аэродинамических трубах невозможно, поэтому оно обычно осуществляется по одному или нескольким параметрам подобия. Рассмотрим возникающие при этом проблемы на частном примере, и в качестве базового натурного условия выберем рассмотренный выше режим обтекания треугольного крыла при М„о = 8, #=27,5 км (число Рейнольдса КеооД= 1,22-10е), а = 0 (для этих условий температура торможения 7’о = 3100 К).

Для невязкого потока совершенного газа (показатель адиабаты >•=1,4) необходимо выполнение подобия по одному параметру — числу Мао. Это условие в аэродинамических трубах выполняется, и, следовательно, параметры невязкого потока в безразмерном виде одни и те же как для натуры, так и для трубного эксперимента (с точностью до воздействия пограничного слоя на внешний поток).

Для вязкого течения кроме числа М необходимо моделирование течения по числу Рейнольдса, а также по другим физическим параметрам, которые определяют поведение переносных свойств среды. По всем этим дополнительным параметрам моделирование в аэродинамических трубах не имеет места. В качестве примера рассмотрим два возможных режима работы аэродинамической трубы при числе М,х> = = 8: 1) Ивоо л = 6,83 • 105 и Го=800 К и 2) Ие» я = 4,64 • 104 и 70=707 К. Эти режимы из всех воз>*шжйых наиболее близки к натурным условиям. Можно сказать, что в первом режиме моделируются числа М и Ие, а во втором — только числа М.

Поскольку в аэродинамических установках не моделируется температурный режим, то по сравнению с натурными условиями уровень температуры существенно ниже и, следовательно, пренебрежимо мало излучение тепловой энергии с обтекаемой поверхности. При этом в зависимости от методики эксперимента приходится иметь дело либо со случаем теплоизолированной поверхности (дТ/дп=0), либо со случаем изотермической поверхности (Гг(, = Ги,/7’ояаО,5). Эти два режима и были положены в основу расчетов для условий трубного эксперимента.

При расчетах пограничного слоя динамическая вязкость вычислялась по формуле Сазерленда, которая содержит параметр подобия С = = 110,4/7’оо. Для натурных условий этот параметр подобия С = 0,494. В условиях трубного эксперимента температура набегающего потока существенно меньше и параметр подобия С принимает значения, большие единицы: С=1,78 для первого режима и С = 2,17 для второго режима. Таким образом, невыполнение в аэродинамических трубах условий моделирования температурного режима обусловливает немодели-рование переносных свойств среды, что, в свою очередь, может привести к иному характеру развития пограничного слоя на обтекаемой поверхности.

Формула Сазерленда достаточно хорошо отражает поведение динамической вязкости при умеренных значениях температуры, но не соответствует экспериментальным закономерностям при малых температурах. В [10, 11], в которых анализируется моделирование вязких ги-

6 — «Ученые записки» № I

81

перзвуковых течений в аэродинамических трубах, была предложена формула

^[нс/м2] = 0,1755Г0’833 ехр {—0,167 [

Для условий натурного полета расчет динамической вязкости по формуле Сазерленда и по формуле (1) при интегрировании уравнений Прандтля приводит в целом к очень близким результатам по основным характеристикам пограничного слоя (см. табл. 1).

Таблица 1

X С/Ь, а1 8 2 Л*0К Формула

0 0 0.000316 0,000345 1701

0 0,000302 0,000331 1681 Сазерленда

0,78 0,002934 0,000625 0,000675 1526

0,002859 0,000323 0,000516 1512 Сазерленда

5,0 0,001107 0,03006 0,01414 1167

0.001121 0,02605 0,00862 1168 Сазерленда

29,3 0,000491 0,20412 0,07665 969 (О

0,000494 | 0,19807 | 0,06821 969 Сазерленда

Различные законы изменения динамической вязкости слабо отражаются на температурном режиме обтекаемой поверхности — максимальное различие в значениях радиационно-равновесной температуры составляет «1%, слабое влияние имеет место также на местный коэффициент сопротивления трения С/^, =тш/0,5 рооУи- На характерные толщины пограничного слоя на сферическом затуплении изменение закона вязкости сказывается существенно, но для данных условий полета сами эти величины близки к нулю. По мере удаления от затупления влияние этого фактора быстро ослабевает, поскольку определяющим становится турбулентная вязкость. Далее отметим, что использование формулы (1) приводит к более раннему переходу ламинарного течения в турбулентное и увеличению области перехода, хотя эти изменения сравнительно невелики.

Переход к трубным условиям сказывается прежде всего на характеристиках области переходного течения (для выбранных критериев перехода и развития турбулентности). При использовании формулы Сазерленда переход во всех случаях имеет место в одном и том же сечении, расположенном непосредственно за точкой сопряжения сферического затупления с плоской поверхностью треугольного крыла. Однако при этом по сравнению с натурой возрастает длина области перехода: для первого режима, когда есть моделирование по числу Ие, это увеличение сравнительно невелико (примерно в 1,5 раза), в то время как для второго режима это увеличение весьма значительно (примерно в 5 раз). При расчете динамической вязкости по формуле (1) для первого трубного режима точка перехода резко смещается вверх

по потоку и существенно сокращается область перехода. На втором режиме смещение точки перехода вверх по потоку незначительно, но резко возрастает длина области перехода (примерно в 5 раз).

Изменение температуры восстановления (ТЮ=ТГ при г/ю = 0) в плоскости симметрии тела и влияние на нее закона вязкости показано на рис. 7. В обоих случаях зависимости имеют одинаковый качественный характер поведения, но использование формулы (1) приводит к более низкому уровню температуры по сравнению с формулой Сазерленда. Это, в свою очередь, может повлиять на аэродинамические характеристики обтекаемого тела и на результаты экспериментального исследования теплообмена.

Влияние закона вязкости наиболее заметным образом проявляется для ламинарного течения и сказывается прежде всего на профиле скорости; профиль температуры для изотермической поверхности практически не чувствителен к изменению закона вязкости, а на теплоизолированной поверхности они отличаются из-за различия в значениях температуры восстановления. Эти деформации профилей скорости и температуры сказываются на локальных характеристиках пограничного слоя.

Для рассмотренных случаев наибольшее влияние закона вязкости сказывается в окрестности затупления на величине местного коэффициента сопротивления трения (различия в максимальных значениях составляет примерно 30% Для первого режима и 10% для второго режима), а на больших расстояниях от затупления их значения близки между собой. Числа Стантона С/1 = 9„,/р0о1/ооЯоо(7'д—Тщ) для разных законов вязкости на затуплении отличаются сравнительно мало (в кри-

0,9

Тг

1- пердый режим 2 - {то рой »

и

Ч

формула Сазерленда

» (О

о

50

I

100

150

1

1,0

2,0

$

Рис. 7

Рис. 8

тической точке различие составляет —2,5% для первого режима и —4% для второго режима); на достаточно больших расстояниях от затупления зависимости для разных законов вязкости идут почти эквидистантно, но всюду учет вязкости согласно закону (1) приводит к занижению значений Сл,*, по сравнению с использованием формулы Сазерленда (рис. 8). В окрестности затупления закон вязкости оказывает существенное влияние на величины толщин вытеснения и потери импульса, но на больших расстояниях от затупления его влияние ослабевает; причем для толщины вытеснения становится основным влияние температурного фактора, а для толщины потери импульса оба эти фактора имеют одинаковый порядок влияния.

Сопоставим характеристики пограничного слоя на большом расстоянии от затупления для натурных и трубных условий (для определенности выбрано сечение х= 140) (см. табл. 2).

В натурных условиях температурный фактор Тю примерно вдвое ниже, чем это имеет место в аэродинамической трубе. При этом следует отметить, что в силу сложной структуры внешнего течения теплоизолированная поверхность сравнительно немного отличается от температуры изотермической поверхности (Тю = 0,5), поэтому характеристики пограничного слоя для этих двух случаев близки между собой.

Поскольку на первом режиме трубного эксперимента моделируется подобие по числу Яе, то на больших расстояниях от затупления характеристики пограничного слоя близки к соответствующим характеристикам в натурных условиях и, следовательно, возмущение поля течения пограничным слоем примерно такое же, как и в натурном полете; оно несколько сильнее из-за немоделирования температурного ре-

Формула Сазерленда

Натура

условия излучение излучение

ти 0,2933 0,2936

0,6226 0,6263

Ь.2 0,2233 0,2277

Первый режим

условия qw = 0 Tw 4w 0 Тw

~TW 0,723 0,5 0,706 0,5

1,056 0,926 1,052 0,930

2 0,320 0,330 0,338 0,348

Второй режим

т 1 w 0,699 0,5 0,670 0,5

°i 2,838 2,342 2,617 2,360

h 1,130 1,149 1,246 1,257

жима. На втором режиме подобия по числу Re нет, и характерные толщины пограничного слоя в несколько раз больше соответствующих величин в условиях натурного полета; вследствие этого поле течения в рассматриваемом сечении х = const более сильно возмущено пограничным слоем по сравнению с натурным полетом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Башкин В. А. Треугольные крылья в гиперзвуковом потоке.— М.: Машиностроение, 1986.

2. MakCormack R. W. Nimerical solution of the interaction of a shock wave with laminar boundary layer//Proc. Second Intern. Conf. on Nimerical Methods in Fluid Dynamics.— 1971.

3. Б а з ж и н А. П., Пирогова С. В. Алгоритм расчета трехмерных смешанных течений газа//Труды ЦАГИ.— 1974. Вып. 1604.

4. Б а з ж и н А. П., М и х а й л о в Ю. Я., Нерсесов Г. Г. Специализированный алгоритм расчета сверхзвуковых трехмерных течений газа//Труды ЦАГИ. — 1984. Вып. 2248.

5. Г оду нов С. К-, 3 а б р о д и н А. В., Иванов М. Я., К р а ft-ко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики.—М.: Наука, 1976.

6. Косых А. П. Некоторые результаты численного исследования сверхзвуковых течений около треугольных в плане крыльев с конечной толщиной//Тру.ды ЦАГИ. — 1978. Вып. 1971.

7. К о л и н а Н. П., Сол од кин Е. Е. Программа на языке ФОРТРАН для численного интегрирования уравнений пространственного пограничного слоя на линии растекания и, на бесконечном скользящем цилиндре. — Сб.: Аэродиннамическое нагревание при сверхзвуковых скоростях полета//Труды ЦАГИ. — 1980. Вып. 2046.

8. Хиршель Э., Кордулла В. Сдвиговое течение сжимаемой жидкости. Численный расчет пограничного слоя.—М.: Мир, 1987.

9. Гончар А. В. Численное исследование сверхзвукового течения вязкого газа около затупленных треугольных крыльев//Ученые записки ЦАГИ. — 1992. Т. 23, № 3.

10. Галкин В. С., Николаев В. С. О моделировании вязких ги-перзвуковых течений в аэродинамических трубах//Ученые записки ЦАГИ.— 1970. Т. 1, № 4.

И. Галкин В. С., Жбакова А, В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзву-ковом потоке и вопросы моделирования в вакуумных аэродинамических трубах//Труды ЦАГИ. — 1970. Вып. 1187.

Рукопись поступила 8/1У 1991