О классах группоидов бинарных отношений с диофантовыми операциями

УДК 512.57

Д. А. Бредихин

О КЛАССАХ ГРУППОИДОВ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ С ДИОФАНТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности П операций над ними, образует алгебру (Ф, П), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная отношением теоретико-множественного включения С. Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [1, 2]. Как правило, операции над отношениями задаются с помощью формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Логические операции могут быть классифицированы по виду задающих их формул. Операция называется диофантовой [3], если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операции конъюнкции и кванторы существования. Диофантовы операции допускают описания с помощью графов [3, 4]. Эквациональные и квазиэквациональные теории алгебр отношений с ди-офантовыми операциями описаны в [5, 6].

Для заданного множества П операций над бинарными отношениями обозначим через Я{П} (Я{П, с}) класс алгебр (упорядоченных алгебр), изоморфных алгебрам отношений с операциями из П. Пусть ^{П} (ф{П, с}) — квазимногообразие и Уат{П} (Уат{П, с}) — многообразие, порожденное классом Я{П} (Я{П, с}).

Следующие проблемы обычно рассматриваются при изучении различных классов алгебр отношений:

1. Найти базис тождеств многообразия Уат{П}. Выяснить, является ли это многообразие конечно базируемым.

2. Найти базис квазитождеств квазимногообразия ^{П}. Выяснить, является ли это квазимногообразие конечно базируемым. Выяснить, является ли это квазимногообразие многообразием.

3. Найти систему элементарных аксиом для класса Я{П}. Выяснить, является ли этот класс конечно аксиоматизируемым. Выяснить, является ли этот класс квазимногообразием (многообразием).

Аналогичные проблемы формулируются для упорядоченных алгебр отношений.

Предметом нашего рассмотрения будут алгебры с одной бинарной диофантовой операцией. Рассмотрение бинарных операций над отношениями играет в алгебраической логике предикатов роль, аналогичную

роли бинарных булевых функций в пропозициональной логике высказываний. Поэтому естественен интерес к алгебраическим свойствам указанных операций. В общем случае алгебра отношений вида (Ф, *), где * - некоторая бинарная операция над отношением, образует группоид. Класс всех группоидов не имеет естественных представлений в виде алгебр бинарных отношений, поэтому с точки зрения теории группоидов представляет интерес рассмотрение группоидов, допускающих такое представление. Некоторые результаты в этом направлении можно найти в [7, 8].

Упорядоченным группоидом (А, •, <) назовем группоид (А, •) с заданным на множестве А отношением порядка <, согласованным с операцией группоида. Элемент 0 называется нулевым элементом группоида (упорядоченного группоида), если 0х = х0 = 0 (и 0 < х) для любого х £ А.

Сосредоточим свое внимание на следующей бинарной операции над отношениями, определяемой следующим образом:

р * а = {(ж, у) : (Зг, и)(х, г) £ р Л (г, и) £ а}.

В работе [9] были найдены конечные базисы тождеств для многообразий Уат{*} и Уат{*, с}, то есть получено решение проблемы 1.

Теорема 1. Группоид (А, •) принадлежит, многообразиюУат{*} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам:

(ху)х = ху (1), (жу)у = ху (2), (жу)2 = ху (3), х2у = ху2 = х2у2 (4),

х2(уг) = х2(гу) (5), (х2у)г = (х2г)у (6), (ху2)г = х(у2г) (7).

Теорема 2. Упорядоченный группоид (А, •, <) принадлежит, многообразию Уат{*, с} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1-7) и тождествам:

х < х2 (8), ху < х2 (9).

Формулируемые ниже результаты посвящены решению проблем (2) -(3) для рассматриваемого класса группоидов бинарных отношений.

Теорема 3. Квазимногообразие Q{*, с} является многообразием, то есть Q{*, с} = Уат{*, с} Упорядоченный группоид (А, •, <) принадлежит, квазимногообразию Q{*, с} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1) - (9). Класс Я{*, с} не является квазимногообразием. Упорядоченный группоид (А, •, <) принадлежит, классу Я{*, с} тогда и только тогда, когда он удовлетворяет тождествам (1) - (9) и следующим аксиомам:

xy = 0 ^ yx = 0 (10); y = 0 ^ xy2 = x2 (11).

Теорема 4. Квазимногообразие Q{*} не является многообразием и не имеет конечного базиса квазитождеств. Класс Л{*} не может быть охарактеризован никакой конечной системой элементарных аксиом и не является квазимногообразием.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Tarski A. On the calculus of relations // J, Symbolic Logic, 1941, Vol, 4, P. 73 -89,

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations // J, Symbolic Logic. 1953. Vol. 18. C. 188-189.

3. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Доклады РАН. 1998. Т. 360. С. 594-595.

4. Boner P., Po-schel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. Vol. 7, P. 50-70.

5. Бредихин Д. А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями // Изв. вузов. Сер. математическая. 1993. JV2 3. С. 23-30.

6. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сибирек, мат. журн, 1997. Т. 38. С. 29-41.

7. Bredikhin D. A. On relation algebras with general superpositions// Colloq, Math. Soc. J. Bolvai. 1994. Vol. 54. P. 111-124.

8. Bredikhin D.A. Varietes of groupoids associated with involuted restrictive bisemigroups of binary relations// Semigroup Forum. 1992. Vol. 44. P. 87-192.

9. Бредихин Д. А. О многообразиях группоидов бинарных отношений // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 1, ч. 1. С. 93-98.

УДК 514.764

А. В. Букушева

О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ПОЧТИ ПАРАКОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Аннотация. Вводится понятие почти параконтактной эрмитовой структуры. Находятся условия, при которых почти параконтактная метрическая структура является почти параконтактной эрмитовой структурой.

Пусть Х- гладкое многообразие нечетной размерности n, S(X) -CTO(X)-модуль гладких векторных полей наХ. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса CПочти парарконтактной метрической структурой на X называется совокуп ность (р, £, п, g) тензорных пол ей на X, где р -тензор типа (1, 1), называемый структурным эндоморфизмом, ^ и п ~