Исследование устойчивости структуры математической модели взаимодействия четырех сообществ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», №2, 2015

УДК 517.2 Адамчук А.С. [Adamchuk A.S.], Амироков С.P. [Amirokov S.R.], Притула Т.К. [Pritula Т.К.]

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТРУКТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЧЕТЫРЕХ СООБЩЕСТВ

Study of structure stability in a mathematical model of four interacting groups

Рассматривается проблема математического моделирования процессов динамики и изменений структуры четырех взаимодействующих сообществ с помощью системы нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа. Показано, что можно найти стационарное состояние с положительными координатами, когда все сообщества сосуществуют. Предложены алгоритм и программа поиска и исследования на устойчивость стационарного состояния с ненулевыми координатами математической модели динамики четырех взаимодействующих сообществ.

Ключевые слова: алгоритм, программа, модель, устойчивость, дифференциальные уравнения.

We will discuss the problem of mathematical modeling of dynamic processes and structure change in a model with four interacting groups using a system of V\Mer's nonlinear differential equations. We will show that it is possible to find a stationary state with positive coordinates when all groups exist. We will also suggest an algorithm and a program for finding the stationary state with non-zero coordinates and testing its stability in a mathematical model of dynamics between four interacting groups.

Keywords: algorithm, program, model, stability, differential equations.

В математических моделях взаимодействия нескольких сообществ динамика изменения их численности и структуры обычно описывается обобщенной системой нелинейных дифференциальных уравнений Вольтерра.

Изучение процессов динамики и изменений структуры взаимодействующих сообществ в различных сферах человеческой деятельности сегодня по-прежнему представляет особый интерес. Так, в экономике до сих пор важны как вопросы о методах конкуренции, так и условия сосуществования многих фирм на рынке для решения проблемы демонополизации

товаров и услуг [1,2]. При моделировании процессов глобализации, которые были рассмотрены в работах [3], остаются актуальными вопросы исследования возможности и условий сосуще ст во ван и я государств, как взаимодействующих сообществ. К системам вольтерровского типа четырех и более уравнений сводятся и математические модели взаимного информационного взаимодействия двух этносов [4] и другие.

Большинство методов и алгоритмов нелинейной динамики эффективны в приложениях сравнительно малой размерности. К настоящему времени хорошо изучены системы нелинейных дифференциальных уравнений размерности не выше 3. Однако для решения многих практических задач (передачи информации, медицины, сейсмологии, экономики, и т.д.) требуется использование систем большей размерности.

Поэтому для решения задач, связанных с исследованием более сложных взаимодействий необходимо исследование систем размерности 4 и выше, а также создание новых математических моделей, на которых они могут быть апробированы.

В частности, можно предложить следующую упрощенную модель обучения в вузе.

Пусть II] - количество поступающих на первый курс вуза из числа абитуриентов, способных обучаться и обмениваться информацией между собой.

и2 - студенты вуза, еще не обученные, но способные обучаться;

и3 - отстающие студенты, не способные или не желающие обучаться, вуз может их отчислять за неуспеваемость;

114 - преподаватели.

Тогда модель обучения в университете можно представить в виде: сШх

<И

¿и,

Ж

-а1и1+а12и1и2-апи1иъ -аиигиА -ап *1/1

= агиг + а21Ъ\и1 - а2гигиъ + а2ли2и4 +а12*и1

—- = аъиз + а31и1из + аъ2и2иъ - а341/31/4

¿и аи*

— = а4иА+а42и2и4 - а4зиз114

коэффициенты естественного прироста каждого вида (скорость поступления на учебу или работу в университет);

коэффициенты внутривидовой конкуренции (/' = 1,2,3,4); коэффициент прироста обученных из числа поступивших V] за счет информированности и помощи в учебе студентами (А:

коэффициент прироста обученных студентов и2, получивших знания от преподавателей;

коэффициент убыли обученных, которые могут быть отчислены по разным причинам;

коэффициент прироста количества преподавателей из числа успешных студентов-выпускников; коэффициент убыли первокурсников за счет неуспеваемости;

коэффициент отчисления отстающих; коэффициент уменьшения количества преподавателей из-за отчисления студентов.

Коэффициенты в данной модели положительны.

Все 4 вида участников процесса обучения в практике работы вуза сосуществуют. Поэтому является важным исследование условий их сосуществования.

Отметим, что в этой модели, вообще говоря, должны быть учтены ограничения по численности, например Щ + 17* + £/3 + 174 < N - общее число людей, занятых учебой в университете в конкретном учебном году. Могут быть также добавлены при уточнении модели ограничения, учитывающие план набора, общее количество студентов, число преподавателей и другие контрольные цифры. В данной статье ограничения пока в модели не учитываются.

Необходимо найти сбалансированное соотношение численности между этими четырьмя сообществами, что соответствует математической задаче о поиске и исследовании на устойчивость соответствующей стационарной точки для четырехвидовой системы уравнений Лотки-Вольтерра.

Предложенная математическая модель есть частный случай обобщенной четырехвидовой модели взаимодействия, которая описывается

где -

Щ -

аи = а 21 -

«24-

«23 = «32 —

«42-

«14-

«34-«43-

системой 4-х нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровско-го типа.

^ = а1и1 + апихиг + апих1]ъ + а14С/,1/4 + аи *С/,2 М

= а1и2 + а21ихиг + а2зи211г + а24112и4 + а22 * и\

Ш

Iт, 2

—- = а31/3 + аъ^и1из + апи2из + аииъиА + а33 * иг &

йЬ\ ,

—Г= а4и4 + аА.1игил + а42и2и4 + а4ъиъи4 + а,4 * Щ ш

Система (2) имеет 16 стационарных точек, которые получаются, если приравнять все правые части уравнений системы (2) к нулю. Пятнадцать имеют как минимум одну нулевую координату, поэтому для нашей модели не годятся. Интересно найти ненулевые координаты такой точки равновесия, в которой все 4 сообщества Щ сосуществуют.

Обозначим координаты ненулевой стационарной точки: А(1,т,п,к).

В вольтерровской модели, оказывается, можно получить алгоритм и формулы для отыскания точных координат как интересующей нас точки, так и всех остальных стационарных точек для систем любой размерности, благодаря особому виду нелинейных членов дифференциальных уравнений системы (2).

Для четырехвидовой модели правые части уравнений системы (2) при п = 4 имеют вид:

С/Да, + апи2 + апиз + анил + ап *£/,) = 0.

и2

1/3 (а3 + а3/У, + аЪ2и2 + а34С/4 + а33 * иг) = 0,

С/4(а4 + ам11, + щ2и2 + а4зиз + а44 * Ь\) = 0.

Так как для предложенной модели нас интересует только точка с ненулевыми координатами, где все Ф 0, на них в (3) можно сократить и получить линейную алгебраическую систему четырех уравнений (4), которая, будучи невырожденной, имеет единственное решение и решается стандартными методами линейной алгебры.

сц + аии2 + а13и3 + а14и4 + аи*их = 0;

а2 + а2\ их + а2,и3 + а24и4 + а22* = 0;

а3 + а, и + а32и2 + Лзз*из = 0;

а4 + а41иг + а43112 + а43113 + аи*и4 = 0;

В частности, метод Жордана-Гаусса позволит найти стационарные точки и для вольтерровских моделей размерности выше 4.

Обозначим координаты ненулевой стационарной точки: А(1,т,п,к). Следующий шаг исследования этого стационарного состояния системы (2) на устойчивость - линеаризация методом Ляпунова. Получаем характеристическое уравнение:

«12 «13 «14

«21 с2 - А «23 «24

«31 «32 съ- Я «33

«41 «42 «43 С4~-

в котором коэффициенты с,. щ после линеаризации связаны с координатами А (I, т, п, к) стационарной точки соотношениями:

с1=а1 + аит + аип + аик с2 = а2 + а211 + а2Ъп + а24к с3 = аъ + а311 + аЪ2т + аик с4=а4+ а411 + а42т + а4Ъп

с1\ о /, ^ а,, /, (Х\л а,д/.

(X4| ^ / ; А . 0^42 ^42 ^ - ^43 ^43 ^

В развернутом виде уравнение (5) алгебраическое, в правой части которого - полином 4 степени:

й^ + + йг?} + йъ1 + с14=§

Выражаем его коэффициенты через коэффициенты с„ щ:

^31 31 ? 32 32 5 ^34 ¿«34 /?,

4) ^ 5 ^ Сд

Й?2 = С[С2 - а,3% - аАа,л - %% - аиаА2 - а34а43 - %% + с,с3 + с,с4 + с2с3 + с2с4 + с3е4

¿3 - ^12^21^3 ^21^13^32 ^12^41^24 ^21^14^42 ^13^41^34 ^31^14^43 ^23^42^34 ^32^24^43 "

+ (^24^42^3 + + ^34^43^2 Cj^C^ С-^С^С^ СуС^С^ С^С^С^

= ^12^21^34^43 "^12^31^24^43 — ^12^23^41^34 ~~ ^21^13^42^34 — ^21^14^32^43 ^13^31^24^42 ~~

Далее, проверяя условия Рауса-Гурвица, можно сделать вывод об устойчивости или неустойчивости ненулевого стационарного состояния.

Разработана программа в программном комплексе на Delphi поиска стационарной точки со всеми ненулевыми координатами, а также исследования ее устойчивости. Конкретный пример применения этой программы приведен на рисунках 1 и 2.

^12^3 Аз ^12^21^4 """ ^13^31^2 ^23^32^1 ^13^3 А А ^14^41^3 ^24^42^1 """ ^23^32^4

^13^32^41^24 ^31^14^23^42 + ^14^23^32^41 + ^12^31^23^4 + ^21^13^32^4 ^12^41^24^3 + ^21^14^42^3

+ ^13^41^34^2 ^31^14^43^2 ^23^42^34^1 """^32^24^43^1 ^12^21^3^4 ^13^31^2^4 ^14^41^2^3

^23^32^1^4 ^24^42^1^3 ^34^43^1^2 '

Поиск стационарных точек четырехмерной вольтерровскои модели

Введите начальные условия: Введите параметры:

! Compute

а23: О а32: -14

Ненулевая стационарная точка:

U1: 43,33898184* U2: 21,374389560 U3: 109,65461795 Коэффициенты полинома:

dO: 1 dL- 5077,7573186 d2: -934044,1730

Вывод об устойчивости:

Модель неустойчива

а44: 10000

U4: 0,4907689091

d3: 43339833321 d4: -8128440047,

Рисунок 1.

Ввод параметров четырехмерной вольтерровской системы и результаты исследования.

Рассмотрим частный случай с другими параметрами. I-

о а

Поиск стационарных точек четырехмерной вольтерровской модели

Введите начальные условия; U1(0)= 1 U2{0)= 1 U3(0)= 1 U4(0) = 1

Введите параметры:

al: 60 а 12: 12 а13: -12 а14; -56 all: 11

а2: 30 а21: 0 а23: -145 а24: 22 а22: 2

аЗ: 25 а31: -12 а32: 14 а34: -1 аЗЗ: 0

а4: 10 а41: -8 а42: 68 а43: -1 а44: 0

[ Compute j

Ненулевая стационарная точка:

U1: 2,0877964006 U2: 0,104781735с U3: 0,422786815? U4: 1,4133874903

Коэффициенты полинома:

dO: 1 dl: 23,175323875 d2: -1576,503920 d3: 759446,89297 d4: -1258,472042

Вывод об устойчивости:

Модель неустойчива

Рисунок 2. Результаты поиска и исследования на устойчивость

стационарной точки.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Чернавский Д. С., Щербаков А. В., Зульпукаров М.М. Модель конкуренции. Москва: Препринт ИПМ № 64, 2006 г.

2. Амироков СР., Адамчук A.C. Исследование изменений структуры модели конкуренции трех сообществ // Вестник СКФУ №2(35). 2013. С. 9-13.

3. Буданов В. Г. Проблема параметров порядка и глобализация // Глобализация: синергетический подход. М.: РАГС, 2002. С. 47-50.

4. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

ОБ АВТОРАХ

Адамчук Анна Станиславовна, доцент, кандидат физ-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики и компьютерной безопасности Северо-Кавказского федерального университета. Тел. 8-906-463-64-81. Email: adamchuk_arina@mail.ru.

Adamchuk Anna Stanislavovna, candidate of physical and mathematical sciences, professor (chair of applied mathematics and computer security, North Caucasus Federal University). Phone 8-906-463-64-81. Email:adamchuk_anna@mail.ru

Амироков Станислав Рауфович, кандидат физ-мат. наук, доцент кафедры высшей алгебры и геометрии Северо-Кавказского федерального университета. Тел. 8-962-490-34-49. E-mail: amirsr@mail.ru.

Amirokov Stanislav Raufovich, candidate of physical and mathematical sciences, chair of of higher algebra and geometry, North Caucasus Federal University. Phone 8-962-490-34-49. Email:amirsr@mail.ru.

Притула Татьяна Константиновна, аспирант, программист компании «Теплосеть», г. Ставрополь. Тел. 8-961-483-70-22. E-mail: pritulatatjana@yandex.ru.

Pritula Tatyana Konstantinovna, graduate, the programmer of the software Department of the company «Teploset». Phone 8-961-483-70-22. E-mail: pritulatatjana@yandex.ru.