Правило конфайнмента - недостаток теории или проявление новой физики?

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2013. № 6

ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

Ю.В. Кузьмин*

ПРАВИЛО КОНФАЙНМЕНТА - НЕДОСТАТОК ТЕОРИИ

ИЛИ ПРОЯВЛЕНИЕ НОВОЙ ФИЗИКИ?

Конфайнмент — явление удержания кварков в барионах, в том числе в протонах и нейтронах, до сих пор не нашло полного теоретического объяснения. В статье выдвинуто предположение, что это не временное затруднение физики, а принципиальный момент, требующий применения в физических теориях нового класса математических инструментов, связанных с дискретной математикой.

Ключевые слова: конфайнмент, математические методы физики, методология физики, дискретная математика.

Yu.V. K u z m i n. The rule of confinement — the fault of the theory or demonstration of new physics

The phenomenon of quark confinement in baryons, including in protons and neutrons, has not been yet fully explained theoretically. The article supposes that this is not a temporary difficulty of physics but the fundamental point, requiring to use in physical theories a new class of mathematical instruments, related to discrete mathematics.

Key words: confinement, mathematical methods in physics, methodology of physics, discrete mathematics.

Явление конфайнмента — удержание кварков в сильно взаимодействующих элементарных частицах — пока не нашло удовлетворительного теоретического объяснения. О важности проблемы говорит то, что Математический институт Клэя объявил поиск общего решения уравнений Янга-Миллса (к этому классу уравнений относятся и уравнения квантовой хромодинамики), приводящий к устойчивой системе с ненулевым дефектом массы, одной из семи задач тысячелетия. Пока эта задача не решена1.

Возможно, задача поставлена институтом неверно, и причина данного затруднения в том, что для описания нового круга явлений — конфайнмента — не подходит не конкретная вариация уравнений, а весь класс используемых методов, и требуется применение иных способов математического описания.

* Кузьмин Юрий Викторович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института истории естествознания и техники имени С.И. Вавилова РАН, тел.: 8 (495) 988-22-80; e-mail: ykuzmin@rambler.ru

1 Данная задача в общем списке задач тысячелетия приведена на сайте Clay mathematics instiute, прямая ссылка: http://www.claymath.org/millennium/Yang-Mills_Theory/

Для анализа этой проблемы рассмотрим, какие классы математических подходов применяются в физике, есть ли у этих подходов нечто общее, какими факторами — объективными или субъективными ограничен их выбор и существуют ли другие классы подходов, которые могут оказаться полезными.

1. Парадокс применимости математических теорий в физике

Вопрос о том, почему мир физических явлений познаваем и почему для его описания так подходит математика, очень глубокий и непростой. Еще более удивительно то, что большинство разработанных новых математических методов почти сразу или даже сразу в процессе их создания с успехом были применены в физических теориях, имеющих большую предсказательную силу. Наконец, поражает тот факт, что мир не просто познаваем, но познаваем последовательно, с разной точностью, при помощи различных математических средств — от самых простых до наиболее изощренных.

Рассмотрим два последних предложения подробнее.

1.1. Разнообразие моделей и связанного с ними математического

описания

Для большинства физических явлений существует целый комплекс моделей, обладающих разной предсказательной силой. Цель краткого рассмотрения — не общий анализ этой чрезвычайно сложной проблемы, а поиск того общего, что есть в математическом инструментарии всевозможных теорий.

Цепочку моделей можно продемонстрировать на примере небесной механики и теории гравитации.

Физикам удалось создать стройную и полезную теорию, пригодную для предсказания движения планет, зная только элементарную алгебру и свойства конических сечений. Пользуясь именно этими инструментами, сформулировал свои законы Кеплер.

Дифференциальное исчисление и умение решать системы обычных дифференциальных уравнений второго порядка привели к теории с несравненно большей прогностической силой, включающей в себя законы Кеплера, — к механике и теории гравитации Ньютона. С ее помощью были открыты Уран и Нептун.

Риманова геометрия позволила создать еще более мощную общую теорию относительности, правильно предсказавшую и смещение перигелия Меркурия, и красное смещение, и множество других эффектов. При этом при переходе к новой теории меняются

не только математические методы, но и сущность физической модели, ее описательно-метафизическая составляющая: от эмпирики эллиптических орбит — к понятию мгновенных дальнодействую-щих сил в евклидовом пространстве, а затем к движению по геодезическим линиям в искривленном пространстве со знаконеопре-деленной метрикой. При этом прогностическая сила «отмененных» новым подходом старых моделей в их области применимости отнюдь не исчезает.

1.2. Использование математических методов в физике

Второй удивительный момент применения математики в физике — это то, что практически каждый новый математический метод очень быстро начинал использоваться для описания тех или иных физических явлений в рамках новых физических теорий.

Мы уже отметили, что дифференциальное и интегральное исчисления, геометрия Лобачевского (как геометрия скоростей специальной теории относительности), риманова геометрия (геометрия общей теории относительности) оказались очень полезными для физиков. Быстро нашли свое место в физике и другие математические новации. Так, комплексные числа оказались незаменимыми для анализа колебательных процессов.

Использование вариационных методов расширило область распространения физики и на немеханические феномены: единый лагранжиан мог описать и механическую, и тепловую, и электромагнитную части системы, например, стало возможным единой системой уравнений описать, а затем и решить задачу о затухании колебаний заряженного маятника из-за излучения электромагнитных волн. Позднее настал черед применения в физике гильбертовых пространств (квантовая механика), функционального анализа (лагранжев подход, в том числе в теории поля), групп и алгебр Ли (теории элементарных частиц), расслоенных пространств (теории калибровочных полей) и многих других математических инноваций.

Мы не станем рассматривать вопросы первичности и причинности, т.е. мы не будем говорить о том, как создавались математические методы — «по заказу» физиков или под впечатлением от новых физических проблем, или о том, имеет ли отношение интуиция математика и внутренняя логика самой математики к физическому миру, и т.д. — для целей данной статьи эти очень сложные и важные вопросы не существенны. Мы только констатируем эмпирический факт: большая часть разработанных математических методов нашла свое применение в физике.

2. Какая математика применяется в физике?

Не случайно в предыдущем параграфе сделана оговорка: нашли применение не все, а большая часть математических методов. Все упомянутые области применяемой в физике математики имеют нечто общее: для описания физической системы составляется система уравнений от непрерывно изменяющихся переменных (функций, матриц непрерывных переменных, функционалов), которая затем решается с учетом начальных и/или граничных условий. Так применяются в математической физике и дифференциальное и интегральное исчисления, и риманова геометрия, и теория спиноров (описание частиц с полуцелым спином), и геометрия расслоенных пространств, и теория групп и алгебр Ли, и нелинейная теория колебаний и многие, многие другие методы.

Для простых систем составленная система уравнений решается в аналитическом виде (решение выражается в виде формул), в более сложных случаях приходится использовать приближения, например, фейнмановские диаграммы для расчета сечения процессов рассеяния элементарных частиц, или численные методы.

Одним из таких быстро развивающихся численных методов является решеточная хромодинамика — численные расчеты взаимодействия отдельных сильно взаимодействующих элементарных частиц и целых атомных ядер, в которых пространство-время представляется в виде дискретной решетки. Но основная идея математической физики со времен Ньютона остается неизменной: законы мира выражаются уравнениями с непрерывными переменными, а мир есть их решение.

Конечно, вариационный принцип с его удивительной телеологией2, когда система с первого же момента движется так, чтобы действие вдоль всей траектории было минимальным, выглядит совсем по-другому, но и он для всех применяемых лагранжианов сводится к динамическим дифференциальным уравнениям движения, а собственно действие можно рассматривать как явное выражение симметрий системы, что было показано в теореме Нётер [Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков, 1984, с. 20]3. Имеющаяся же в современной

2 Телеология — способ объяснения явлений не на основе причинно-следственных связей, а исходя из требования удовлетворить некой цели. Согласно физическому принципу наименьшего действия, любой физический процесс с первого и до последнего момента происходит именно таким образом, чтобы некоторая величина — «действие», соответствующая процессу в целом и вычисляемая по известным правилам, была минимальной. Таким образом, физические расчеты производятся в предположении, что тела двигаются так, чтобы удовлетворить заранее поставленной цели — обеспечить минимум действия.

3 Нелокальные лагранжианы, неполиномиальным образом зависящие от переменных, не сводятся к дифференциальным уравнениям, решение которых одно-

физике дискретность — квантовая или топологическая — проявляется уже при выборе классов решений упомянутых уравнений от непрерывных переменных: либо через собственные значения операторов (квантование), либо через топологические инварианты (солитоны, инстантоны, нетривиальные космологические решения). Автору не удалось обнаружить ни одного противоречащего данным высказываниям примера. Вероятно, это концептуальное единство применяемой математики во многом обусловливает ощущение единства и стройности физического мира. Оно комфортно для физиков, и подобный подход стал де-факто стандартом для разработок математического аппарата новых физических теорий.

3. Другие математические инструменты

Вместе с тем, математические подходы, применение которых в физике происходит в форме составления и решения систем уравнений от непрерывных переменных, это отнюдь не вся математика. Кроме «непрерывной» математики существует математика дискретная — огромная отрасль знаний, включающая в себя математическую логику, теорию автоматов, теорию графов, теорию информации, в том числе криптографию, теорию алгоритмов и программирования. И подход, применяемый при создании, а затем и при отладке искусственного «мира» программы, существенно отличен от подхода физика, постигающего окружающий мир: обычно программист не пишет уравнения, описывающие поведение создаваемой или моделируемой системы, а программирует объекты и системы объектов, подчиняющиеся императивным правилам. Используются не системы уравнений, а теория автоматов. Объекты взаимодействуют, и результат их взаимодействия организован в общем случае по иным принципам, чем динамика переменных в связанных уравнениях.

Применима ли эта область математики для описания окружающего мира, точнее, нерукотворных объектов этого мира? Да, и очень широко, хотя в основном не в физике. Химия во многом описывается именно на языке правил. Физик-редукционист может возразить, что эмпирические правила химии, например, четырехвалент-ность углерода, имеют опосредованный характер по сравнению с фундаментальной теорией и что все химические феномены могут быть описаны в терминах решений квантовомеханических уравнений от непрерывных переменных, в данном случае — электронных волновых функций. Однако редукционизм становится все более

значно определяется начальными и граничными условиями [Ю.В. Кузьмин, 1989]. Но такие лагранжианы пока не нашли прямого применения в физике и остаются игрой ума.

проблематичным при продвижении к более сложным классам изучаемых объектов, а роль дискретной математики при их описании все возрастает.

Так, в еще большей степени с дискретной математикой связаны успехи современной биологии, в том числе генетики. Информация, содержащаяся в ДНК, расшифровывается как программный код, записанный при помощи дискретных переменных — групп аминокислот. Клетка для генетика ближе к дискретному автомату, чем к динамической системе, описываемой уравнениями. Но физик и здесь может утверждать, что всю биологию в конце концов удастся свести к решению гигантского уравнения с огромным числом переменных, например, уравнения Шрёдингера.

Для физика вырисовывается стройная картина: уравнения непрерывных переменных применяются в моделях, оперирующих фундаментальными объектами — кирпичиками нижнего уровня, на данном этапе развития науки это лептоны, кварки и частицы — переносчики взаимодействий, а возможно, и еще более фундаментальными сущностями. Теория же автоматов и прочие достижения дискретной математики подходят для описания поведения сложных, составных объектов, типичных для химии и биологии. При этом остается надежда довести описание, по крайней мере, простых химических и даже биологических систем до уравнений физики. И не удивительно, что теориям, описывающим столь различные объекты с различным поведением, соответствуют и качественно различные математические инструменты.

Для физика же дискретные правила воспринимаются как уровень предварительного описания. Например, правило, что «обычно кислород двухвалентен» становится частью физической науки после составления и решения уравнений Шрёдингера для электронных оболочек атома кислорода и взаимодействующих с ним атомов. Правило после этого теряет свою фундаментальную природу и становится лишь удобным описанием решения систем уравнений.

Другие примеры дискретных правил в физике подтверждают эту мысль. Например, принцип запрета Паули (два фермиона не могут находиться в одном состоянии одновременно) сейчас не рассматривается как самый фундаментальный уровень описания, а вытекает из антисимметричности волновых функций — непрерывных переменных, являющихся решениями уравнений Дирака.

Принцип постоянства скорости света опять-таки связан со структурой непрерывного пространства-времени и его группой симметрий (группой Лоренца). Но в последние десятилетия появилось как минимум одно, но очень существенное исключение из правила: дискретные правила появляются как следствие решения

уравнений, описывающих динамику непрерывных переменных (примеры приведены выше). Это исключение — проблема конфайн-мента. Рассмотрим проблему подробнее.

4. Особенность конфайнмента

Для того чтобы показать особенность проблемы конфайнмента, вспомним очень общее физическое правило: масса связанной системы в физике несколько меньше, чем масса составляющих ее частей. Разница — дефект массы — соответствует энергии связи.

Например, масса частиц, составляющих ядро гелия-4, равна:

2 • 938,272 + 2 • 939,565 = 3755,6 МэВ

(первое слагаемое — два протона, второе — два нейтрона).

А вот масса ядра в целом — только 3727,4 МэВ. Дефект масс равен:

3755,6 - 3727,4 = 28,2 МэВ — примерно 0,8% массы ядра.

Именно эта положительная разность обеспечивает стабильность ядра: для того, чтобы растащить частицы, его складывающие, на большое расстояние друг от друга, необходимо сообщить им как минимум недостающие 28 МэВ энергии.

Атом водорода также весит меньше, чем протон и электрон по отдельности, а Солнечная система — меньше, чем составляющие ее Солнце, планеты, астероиды, метеориты, пыль и газ вместе взятые.

Иная ситуация с нуклонами. Протон и нейтрон каждый состоят из трех кварков. Но суммарная масса кварков протона — двух верхних и одного нижнего — равна примерно

2 • 5 + 9 = 19 МэВ, т.е. в 50 раз меньше массы протона — 938 МэВ4.

С энергетической точки зрения кваркам выгодно разлететься друг от друга как можно дальше, и при этом на единицу массы высвободится в сотни раз больше энергии, чем при ядерном взрыве. Но этого не происходит: протон практически устойчив5, а нейтрон превращается только в протон, но тоже не разваливается на кварки.

4 Масса кварков точно не определена, но это именно единицы, а не сотни МэВ. В тексте статьи взята верхняя граница из встречающихся значений. Например, в работе [C. Amster et al, 2008, vol. 667, N 1, p. 1] указаны пределы массы «верхнего» кварка 1,5—3,3 МэВ, «нижнего» — 3,5—6 МэВ. Суммарная масса кварков протона, согласно этой работе, лежит в пределах 6,5—12,6 МэВ, т.к. в 75—140 раз меньше массы самого протона.

5 Согласно предсказаниям квантовой хромодинамики, протон также нестабилен, но его время жизни составляет порядка 1032 секунд, что в миллион миллиардов раз больше возраста Вселенной. Экспериментально распад протона, естественно, не наблюдался. В статье же идет речь о том, что кварки без введения специального механизма их удержания должны разлетаться за время, характерное для ядерных реакций, — миллиардные доли секунды.

Для объяснения устойчивости нуклонов и других состоящих из кварков элементарных частиц был предложен принцип конфайн-мента — именно дискретный принцип, а не новое, дополнительное уравнение, связывающее непрерывные переменные. Принцип императивно утверждает: обособленно могут существовать только «бесцветные» конфигурации. Каждый кварк имеет заряд, условно названный «цветным». Существует три вида зарядов: красный, синий и зеленый, разумеется, названия условны и не имеют отношения к оптике. И только смесь из равного числа всех трех зарядов, как в барионах, или заряда и антизаряда, как в мезонах, является бесцветной.

Подчеркнем, что данное правило, в отличие от упомянутых выше правил валентности, Паули, постоянства скорости света и других, вводится само по себе, не как следствие из решения уравнений квантовой хромодинамики. Но такое императивное правило, дополнительное ограничение, не вытекающее из уравнений движения, не характерно для «непрерывной» математики, используемой в физике. Зато оно очень характерно для того же программирования или поведения автоматов. Что же из этого следует?

5. Возможные решения проблемы теоретического описания

конфайнмента

Существует несколько объяснений возникновения дискретного правила, дополняющего «непрерывные» уравнения физики элементарных частиц, в частности, квантовой хромодинамики:

1) теория сильного взаимодействия пока еще неполна, и постепенно физики добавят в нее что-то, что объяснит устойчивость протонов и нейтронов на привычном физикам языке уравнений, может быть, даже лагранжевых уравнений;

2) конфайнмент естественным образом получается из имеющейся теории, но мы пока не понимаем, каким образом;

3) мы увидели нечто принципиально новое.

Первый вариант — неполнота теории — предполагался многими и для разрешения одного из предыдущих кризисов физики, связанного с возможной неполнотой квантовой механики [M. Redhead, 1987, p. 45]. Была надежда, что развитие науки избавит от принципа неопределенности — возможности для системы точно определить только часть переменных, составляющих коммутирующий набор. Эти надежды были опровергнуты после проведения экспериментов, показавших, что в соответствии с теоремой Белла скрытых параметров в квантовой механике нет и определить одновременно точные значения некоммутирующих величин (например, координаты частицы и е1 импульса) принципиально невозможно [I.& Bell, 1964, vol. 1, p. 145-149; Idem., 1966, vol. 38, p. 447-475].

Конечно, конфайнмент — это совсем другой случай, и приведенная историческая аналогия не является опровержением варианта 1. Это только аналогия, которая побуждает допустить возможность, что не все так просто. Существует вероятность, что и в этом случае построить «расширение» теории, в котором практическая устойчивость протона получается как свойства решения уравнений, не удастся.

Физики, склоняющиеся ко второму варианту, пытаются показать, что из-за силы сильного взаимодействия (данный повтор здесь уместен) одиночный кварк создает вокруг себя в огромных количествах новые глюоны и кварк-антикварковые пары, и масса его с учетом окружающего облака частиц в результате становится очень большой — вплоть до стремления к бесконечности. Некоторые приближенные численные вычисления в решеточной квантовой хромо-динамике дают такой результат, но математически строгого доказательства нет. Это передоставляет нам право рассматривать и третий вариант: то, что масса кварков в десятки раз меньше нуклона, но при этом нуклон устойчив, может быть описано именно в виде правила «удержания» кварков, которое не выводится из решений каких-либо уравнений, в том числе уравнений квантовой хромоди-намики. То есть правило первично по отношению к решениям уравнения, и в явлении конфайнмента проявилось то, что требует введения нового класса математических теорий в физику.

6. Выводы

Если справедлив именно третий вариант, что описание явления конфайнмента требует дополнения уравнений дискретными правилами, не сводимыми к описанию решений каких-либо уравнений, как это было в других приведенных примерах (валентность, принцип Паули, принцип постоянства скорости света), то математическая структура физической теории должна быть расширена. Уравнения должны быть дополнены набором дискретных правил, исключающих класс возможных решений (например, решений, соответствующих развалу протона на кварки) или даже модифицирующих эти решения (прямой запрет быстрого распада протона). Правила могут быть весьма сложными, сходными с правилами, используемыми генетиками и программистами.

Пока это только предположения. Одно исключение — кон-файнмент — выглядит неубедительно. Поэтому интересно попытаться найти, кроме конфайнмента, и другие физические явления, которые можно содержательно объяснить, выйдя за пределы парадигмы Лагранжиан—Действие—Уравнения движения—Решения этих уравнений, с учетом вероятных начальных и граничных условий, в том числе при помощи введения императивных правил.

7. Дальнейшие размышления

Позволим себе и размышления о том, не содержит ли конфликт с теоретическим описанием конфайнмента косвенную информацию о вопросе, образовалась ли известная нам Вселенная случайно или она появилась в результате определенного замысла, — о вопросе, на который пока нет определенного ответа.

С подобными, но более частными вопросами о генезисе отдельного объекта сталкиваются и историки, и геологи, и другие ученые. Если геолог вдруг обнаруживает пирамиду с исключительно пропорциональными, зеркально гладкими гранями, изящными, как законы мироздания, он может предположить ее искусственную природу, а может попытаться смоделировать ее естественное происхождение и предложить вполне реалистичные гипотезы.

Но если три грани пирамиды сложены из базальта, а четвертая — из керамических кирпичей, шансы на естественное происхождение сильно уменьшаются. И если в законах физики действительно наблюдается методологическая эклектичность, если большинство явлений описываются уравнениями движения, но некоторые, в том числе конфайнмент, а возможно, и другие феномены требуют дополнительного привлечения императивных правил, то такая эклектичность не может не удивлять. Нарушается один из основных постулатов физики — постулат простоты и единства описания, часто не высказываемый, но активно используемый.

Возможно, стоит подумать о том, не является ли данное проявление свидетельством в пользу наличия сознательного плана построения нашей Вселенной, более того, плана эклектичного и не самого совершенного, где для различных законов применены методологически различные подходы? В любом случае, поиск физических феноменов, требующих привлечения для своего описания дискретной математики, на мой взгляд, представляет особый интерес.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М., 1984.

Кузьмин Ю.В. Квантование нелокальных теорий и гравитация. М., 1989.

Amster C. et al. Review of particle physics: Quarks. Physics Letters B. Particle Data Group. 2008. Vol. 667. N.1.

Redhead M. Incompleteness, nonlocality and realism: A prolegomenon to the philosophy of quantum mechanics. Oxford, 1987.

Bell I.S. On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox // Physics. 1964. Vol. 1.

Bell I.S. On the problem of hidden variables in quantum mechanics // Review of Modern Physics. 1966. Vol. 38.