Использование нечетких множеств при решении задач аппроксимации нелинейностей

УДК 338.46

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

Г.А. Пюкке, Н.Н. Портнягин, Т.И. Горева

Обсуждаются вопросы, связанные с широким использованием теории нечетких множеств в качестве теоретической основы при разработке методик решения задач диагностирования систем, что дает возможность приблизить соответствующие модели к реальной жизни и значительно снизить уровень ложного диагноза.

The article touches upon the questions, connected to wide usage of the theory of indistinct sets as a theoretical basis in the process of development of techniques of tasks ' solution of system diagnosing that enables to approach appropriate models to real life and lower the level of false diagnosis considerably.

При анализе сложных систем приходится отказываться от высоких стандартов точности, характерных для систем небольшой размерности. В этих условиях требования адекватности диагностических моделей не гарантированы. Это связано, как правило, со сложным характером взаимозависимости параметров компонент, их нелинейностью и вероятностным характером процессов, протекающих в системах. В частности, при неполной или ограниченной информации о надежности компонент, отсутствии сведений о законах распределения вероятностей при производственном разбросе входных параметров задача идентификации попадает в ранг трудноразрешимых.

Техническая наука имеет определенные исторически сложившиеся подходы к решению задач подобного рода: численные методы, корреляционный анализ, метод статистических испытаний и др. Качественно новый подход был сформулирован в работе [1] и связан с введением лингвистических переменных, описывающих нечеткое восприятие человеком окружающей действительности. Это дает возможность ввести методику количественного анализа тех явлений, которые ранее из-за сложности и многофакторности моделей не рассматривались либо могли быть учтены только на качественном уровне.

Современные устройства судовых электрических средств автоматизации содержат гетерогенные компоненты сложной структуры с различными, в том числе и нелинейными, вольт-амперными характеристиками, усложняющими построение аналитических моделей диагностирования. В ряде работ по идентификации нелинейных зависимостей разработан метод двухэтап-ной идентификации нелинейных зависимостей с формированием нечеткой базы знаний, отражающей взаимосвязь между входами и выходами с помощью лингвистических правил «если -то», где возможность параметрической идентификации исследуемой зависимости выбирается из условия нахождения таких параметров нечеткой базы знаний, которые минимизируют отклонение модельных и экспериментальных результатов [1, 2].

Широкое использование теории нечетких множеств в качестве теоретической основы при разработке методик решения задач диагностирования систем дает возможность приблизить соответствующие модели к реальной жизни. В частности, при решении основных задач диагностирования судовых ЭСА можно значительно снизить уровень ложного диагноза. Например, при определении работоспособности объекта диагностирования методами тестового диагностирования, приведенными в работе [3], невозможно исключить попадание точки текущего состояния работоспособного ОД за пределы области работоспособности. Причиной здесь служит невозможность включения в модель всей совокупности случайных и трудноподдающихся формализации факторов, воздействующих на ОД. Более того, из-за первоначального производственного разброса параметров компонент ОД сама точка текущего состояния преобразуется в некоторую область, дрейфующую во времени в пространстве диагностирования. Упростить процедуру разработки диагностического обеспечения можно путем включения системы экспертных оценок в процесс принятия решения с последующей их формализацией и использованием в диагностических моделях. Возможность применения лингвистических методик обоснована доказательством теоремы Коско, согласно которой посредством естественно-языковых высказываний-правил «если - то» с последующей их формализацией средствами теории нечетких множеств можно сколь угодно точно отразить произвольную взаимосвязь «входы - выход» без использования сложного аппарата дифференциального и интегрального исчисления, традиционно применяемого в управлении и идентификации.

В работе [3] приведен метод диагностирования, базирующийся на использовании детерминированной аналитической модели (рис. 1). Рассматриваются задачи поиска дефектов в разветвленной электрической цепи средней размерности и задачи определения степени работоспособности ЭСА. В условиях неполной информации в диагностическом эксперименте применение детерминированной модели не всегда оправданно из-за имеющей место вероятности постановки ложного диагноза. Поэтому введение нечеткого порога и включение нечетких оценок в процесс построения диагностической модели с последующей формализацией вычислительных процедур приблизит решение задачи к реальным условиям. Диагностическая модель строится по результатам наблюдений с использованием методов нечеткой логики и лингвистических правил. Для формирования приближенных рассуждений используется композиционное правило вывода, т. е. аппроксимация исследуемой зависимости (рис. 1) на основе лингвистических высказываний «если - то» с использованием операций над нечеткими множествами. Приведенная в работе [3] диагностическая модель

Ki Ki

: Fi

К К

Di

Ki

Ki =

= Li

Ki — Fm(gm) K2 — Dm(gm) Ki — Lm(K2),

где К\, К2 - коэффициенты передачи выбранных каналов прохождения тестового сигнала ОД; gb gm - параметры структурных единиц ОД (входные параметры), может быть приведена к нечеткой форме на основе построения нечетких моделей, идентифицирующих зависимости (i) в заданном диапазоне изменения параметров СЕ с использованием обучающей выборки. Зависимости Ki — Fj(gj) и Ki — Dj(gj) могут быть представлены в виде нечеткого отношения F на декартовом произведении OX х OY (рис. 2), где g - нечеткое подмножество входных параметров; g* - цилиндрическое нечеткое множество с основанием g; g* n F - пересечение g* с нечетким отношением F. Значения Y в виде нечеткого подмножества К можно получить, проектируя пересечение g* n F на ось OY. Операции с функциями принадлежности ц^, ц*, |iF, |iK соответствующих множеств g, g*, F, K устанавливают взаимосвязь функций принадлежности соответствующих нечетких множеств по диагностическому признаку К и диагностическому параметру g: ц*(х, у) = ця(х); ц g* n F (х, у) = ц*(х, у) л цДх, у); ц g* n F (x, у) = цДх) л цДх, у), где л - операция min (пересечения) множеств. Соответственно выражение функции принадлежности для проекции (тени) отношения g* n F на ось Y записывается при выполнении операции max (объединения) по дополняющему множеству: цК(у) = v цЁ(х) л цДх, у). Для нечетких множеств g и F, имеющих конечные носители, множество К можно получить через операцию композиции К — g o F, которая сводится к максминному произведению g и F. Согласно композиционному правилу вывода решение уравнений назначения

Я(х) — g, Я(х, у) — F

имеет вид

Я(у) = g о F,

где X, У - два универсальных множества с базовыми переменными х и у; Я(х), Я(х, у), Я(у) - ограничения на х, х, у, у, которые представляют собой нечеткие отношения в X, X х У, У.

Рис. 1. Диагностическая карта, построенная на основе детерминированной модели

Рис. 2. Зависимость диагностического признака от параметра компоненты в виде нечеткого отношения

После введения термов аг- и присвоения Л(х) = g = а:; Л(х, у) = Р = а2 получим решения уравнений назначения

Я(у) = g ° Р = а: о а2 = в,

где а2 - лингвистическое приближение импликации: ЕСЛИ а:, ТО в;

Я(у) - точное, а в - лингвистическое приближение решения уравнений назначения (2).

Построение нечеткой модели, идентифицирующей диагностическую модель (1), начинается с записи каждой предпосылки в виде уравнения назначения. Уравнения решаются относительно искомых ограничений при помощи композиции нечетких отношений для получения вывода. Высказывание «ЕСЛИ а, ТО в» выражается бинарным нечетким отношением в X х Г, формализуемым следующим образом через унарные отношения: «ЕСЛИ а, ТО в» или «ЕСЛИ НЕ а, ТО в* = а х в + а х в*», т. е. происходит объединение декартовых произведений. Для выделения нечеткого графика зависимостей (1) необходимо положить в* = 0 и записать «ЕСЛИ а, ТО в, ИНАЧЕ 0 = а х в».

Для описания зависимостей (1) в терминах нечетких лингвистических высказываний формируется совокупность лингвистических правил, которые могут быть реализованы с помощью алгоритма Мамдани [2], имеющего базу знаний следующего формата:

ЕСЛИ (х: = а:,л) И (х2 = а2,1 И.........И (х„ = ап,л) |

ИЛИ (х: = а:,;2) И (х2 = а2,]2) И.........И (хп = ап,]2) | ш,2

ИЛИ (х: = а:, И (х2 = а2,}к,) И.........И (хп = ап,ук,) | ю,к,

ТО у = у = : т,

где а,, ур - лингвистический терм, которым оценивается переменная х, в строчке ур(р = : к); 1 = : п; к - количество строк-конъюнкций, в которых выход у оценивается лингвистическим термом ю;р - весовой коэффициент правила: число из интервала [0, задающее относительный вес правила при нечетком логическом выводе; т - количество термов, используемых для лингвистической оценки выходной переменной; (х:, х2, ..., хп) - вектор входов. Алгоритм аппроксимации зависимостей (:) на основе базы правил системы нечеткого логического вывода и операций над нечеткими множествами приведен на рис. 3, 4.

И-14^1) И-12 СхО ......И-1Г(К1) м-зЧ^а) И-з2 ......ИаЧ^ ^ ОО Цц3 (зь)...

Рис. 3. Алгоритм нечеткого логического вывода

Щ (у) = Ц1*(у) " и

_А_

-и Ц,*

Приведение к четкости

У0

Рис. 4. Алгоритм нечеткого логического вывода

На первом этапе выполняется введение нечеткости (фаззификация) для каждого значения входной базовой переменной х( = 1, ..., п). Для каждой входной лингвистической переменной формируются терм-множества {Ть Т2, ..., Тт}; {Ть Т2, ..., 7}; ...: {Ть Т2, ..., 7} -выходы блоков 1-1. На основе имеющейся базы выбираются и распределяются соответствующие типы функций принадлежности ць ц2, ..., цп, используемые для формализации термов соответствующих лингвистических переменных Аг(/ = 1, п). После выбора параметров функций принадлежности, отнесенных к соответствующим лингвистическим переменным, формируются множества функций принадлежности {ц/1, ц/2, ..., щТт}; {ц/1, ц/2, ..., Ц2И}; ...; {Цп71, ц/2, ..., ц/5} -выходы блоков 2-2, используемые для формирования подусловий предпосылок базы знаний по каждой лингвистической переменной {ц11, ц12, ..., ц1г}; {ц21, ц22, ..., ц2г}; ...; {цД цп2, ..., цпг} -выходы блоков 3-3, где г - количество правил в базе знаний. Завершается этап фаззификации процедурой нахождения численных значений функций принадлежности (введение нечеткости), устанавливающих соответствия между численными значениями базовых переменных хг- и термами входных лингвистических переменных, включенных в подусловия предпосылок нечеткой базы знаний {цЛхД Ц12(Х1), ..., цГ^)}; {^Ы, ^Ы, Ц/Ы} .; {Цп'^п), Цп^Хп), ..., Цпг(хп)}.

Результаты могут быть представлены матрицей фаззификации формализующей предпосылки базы знаний системы нечеткого логического вывода. Количество столбцов матрицы \ соответствует количеству базовых переменных, а количество строк - количеству правил, содержащихся в базе знаний:

Ц/

Ц1Г

На этапе нечеткого логического вывода (рис. 4) определяется значение выходной лингвистической переменной в виде нечеткого множества Цх(у) на основе совокупности заключений базы знаний ц1(у), ц2(у), ..., цг(у) и формализованной совокупности предпосылок нечетких правил а1, а2, ..., аг, образующей числовой вектор уровней «отсечения» для предпосылок каждого из правил (агрегирование):

ai = m-i1

a2 = ^i2

ак = Ц1г(х:) л Ц2Г(^2> л ...... л ц„г(х„),

где л - операция логического минимума.

Этап агрегирования завершается, когда становятся известными все значения а(г = 1, г) степени принадлежности предпосылок по каждому из правил для данного фиксированного значения вектора входных переменных (х1, х2, ..., х„). Для нахождения функций принадлежности заключений каждого из правил ц1*(у) Ц2*(у) ... Цг*(у) формируется совокупность нечетких заключений по каждому из правил предпосылок (выбирается выходная лингвистическая переменная В, а также количество термов терм-множества выходной лингвистической переменной {Т1, Т2, ..., Тр}, выбираются параметры функции принадлежности для каждого из термов {цТ1(у), ц(у)Т2, ..., ц(у)Тр} и формируется совокупность нечетких заключений базы знаний ц1(у), ц2(у), ..., Цг(у). С другой стороны, значения степеней принадлежности заключений каждого из правил формируются с учетом значений весовых коэффициентов юг предпосылок и значений степеней принадлежности для предпосылок каждого из правил. После нахождения множества а,-; , = 1, г (полагаем значения всех весовых коэффициентов юг равными 1) находятся функции принадлежности для заключений каждого из правил:

мЛ у) =

* 2 М2

Иг*(у) = (аг лиг(у)).

После выполнения операций становятся известными функции принадлежности заключений каждого из правил выходной лингвистической переменной. Объединение найденных усеченных функций с использованием операции логического максимума приводит к получению итогового нечеткого множества для переменной выхода с функцией принадлежности:

(у) = Ц1*(у) V Ц2*(у) V ... V цг*(у).

Итоговое количественное значение выходной лингвистической переменной в форме действительного числа у0 определяется на этапе приведения к четкости (дефаззификации) одним из известных методов (например, центроидным методом):

max max

уо = J (уМу JуМт (y)dy,

min min

где min и max - левая и правая точки интервала носителя нечеткого множества рассматриваемой выходной лингвистической переменной.

Для реализации алгоритма идентификации по адаптации нечеткой модели используются численные значения (вход - выход) и вводится периодическое изменение численных значений компонент вектора входных переменных. Структура процедуры идентификации нечеткой модели диагностирования приведена на рис. 5. Она включает в себя воздействие на вход нечеткой модели совокупности векторов входных воздействий X1, X2, ..., Xq, вариацию параметров функций принадлежности, описывающих термы лингвистических переменных, оценку расхождения значений выхода нечеткой модели и значений выхода объекта диагностирования. При выполнении идентификации находятся параметры функций принадлежности (I, Q, ю) нечеткой модели, обеспечивающие минимальное значение среднеквадратической невязки R:

R = (1/q)£[У, - F(I, Q, ш, х.)]2 ^ min,

j = i

где I - вектор параметров функций принадлежности термов входной переменной; Q - вектор параметров функций принадлежности термов выходной переменной; ю - коэффициент веса; q - объем выборки. Настраиваемые параметры включают в себя коэффициенты концентрации функций принадлежности термов входных и выходных лингвистических переменных, координа-

ты максимумов центров функций принадлежности некрайних термов входных и выходной переменных. Модель формируется как реальное приближение нечеткой лингвистической модели, построенной на основе экспертных оценок зависимостей (1), - не учитывающих нелинейного характера составляющих компонент, наличия производственного разброса параметров элементов принципиальных схем и других трудностей, имеющих место при использовании хорошо отработанного аппарата анализа линейных электрических цепей, - к адекватной нечеткой модели, адаптированной по совокупности эмпирических выборок.

Рис. 5. Структура процедуры идентификации нечеткой модели диагностирования

Рассмотрим пример этапа структурной идентификации нелинейных зависимостей, построенных в качестве диагностической модели для шестикомпонентной электрической цепи (рис. 6). Диагностическая карта рассматриваемой цепи, построенная в соответствии с методикой, приведенной в работе [1], представлена на рис. 7. Исходными данными для построения нечеткой модели, идентифицирующей зависимости (1), являются ограничения на входные переменные К2-3 е [К2_3, К2_/г], 1, у = 1, 6, графики зависимостей К1-2 = ^(К2_3) и обучающая выборка, полученная для последующей идентификации модели.

Рис. 6. Диагностируемая электрическая цепь Рис. 7. Диагностическая карта электрической цепи

Семейство графиков (рис. 7), пересекающихся в общей точке (точка равновесного состояния цепи), при вариации параметров каждой из компонент образует систему дробно-линейных функций: К— = (а1Кк-1 + Ъ1)/(а2Кк-г + Ь2), где К—, Кк-г - функции передачи выбранных каналов прохождения тестового сигнала; ¡, у, к, I - номера полюсов подачи сигнала и съема диагностической информации; а1, Ъ1, а2, Ъ2 - коэффициенты, зависящие от параметров компонент.

Для отдельно взятого графика (рис. 7, изовара £6), соответствующего вариации параметра £6, уравнение изовары и соответствующих функций передачи выглядят так:

К1-2 Я6 = = (1,48 К2-3 + 0,16X6,2 К2-3 + 4,84); К^ ^ = о = -0,048;

К1-2 Я6 = = (-0,187 £6 - 2,12)/(0,187g6 + 43,476); К2-3 Я6 = о = -0,225; К2-3 £6 = = (-0,127^6 - 2,259)/(0,187£6 + 10,019). К^ Я6 = ю = -1;

К2-3 Я6 = ю = -0,645.

Входы К2-3 и выход К1-2 модели будем рассматривать как лингвистические переменные, определяемые из терм-множеств. Для К2-3 : {Н, НС, С, ВС, В}; для К1-2 : {Н, С, В}, где Н - низкий; НС - ниже среднего; С - средний; ВС - выше среднего; В - высокий.

Формализацию термов выполним симметричной гауссовской функцией принадлежности:

ц(и) = ехр [-(и - к)212е2 ],

где и - элемент универсума; к - координата максимума функции принадлежности; с - коэффициент концентрации функции принадлежности.

Результат экспертной оценки характера графика (рис. 9) идентифицируемой зависимости К\-2 = Р(К2-3) формируется в виде нечеткой базы знаний модели:

Ki-2 Н Н Н С В

K2-3 Н НС С ВС В

Вариация величины К2-3 на входе алгоритма аппроксимации при выбранных функциях принадлежности позволяет получить нечеткий лингвистический график (рис. 8) зависимости

К\-2 = F(K2-3).

Дальнейшая параметрическая идентификация нечеткой базы знаний может быть реализована в пакете расширения Optimization Toolbox многофункциональной системы автоматизации математических и научно-технических расчетов MATLAB.

Количество управляемых переменных равно двенадцати: восемь коэффициентов концентраций функций принадлежности термов входной и выходной переменных, три координаты максимумов центров функций принадлежности некрайних термов входной переменной, одна координата максимума центра функции принадлежности терма «средний» выходной переменной.

Рис. 8. Нечеткий лингвистический график

Рис. 9. График идентифицируемой зависимости

Следует отметить, что сочетание системы нечеткой логики, хорошо интерпретирующей полученные с ее помощью выводы, с возможностью обучения модели по совокупности эмпирических выборок открывает широкие перспективы для решения вопроса построения адекватных моделей сложных многомерных систем. Такое соображение легло в основу построения аппарата гибридных сетей, в которых настройка функций принадлежности осуществляется посредством использования алгоритмов обучения нейронных сетей (например, алгоритма обратного распространения), а соответствующие выводы делаются на основе аппарата нечеткой логики. При рассмотрении однонаправленных нейронных сетей (например, многослойного перцептрона) задача сводится к выбору архитектуры сети и процесса ее обучения (корректировке весовых коэффициентов синаптических связей нейронов), позволяющего достичь минимальной ошибки реакций. После поступления на вход перцептрона всех пар вход - выход данной обучающей выборки оценивается суммарная ошибка Е5 и регистрируется матрица весовых коэффициентов данной выборки:

к

Е5= (£Хк -Х*к)/к,

где 5 - номер выборки, на выходе; X1 - вектор значений обучающей выборки по выходу; X - вектор результатов нейросетевой обработки входного сигнала в 5-й выборке. Для подстройки весо-

k=1

вой матрицы W8 выполняется минимизация значения среднеквадратической ошибки Е5 с помощью итерирования по выборкам обучения посредством алгоритма обратного распространения:

где ц, V - параметры алгоритма, определяющие скорость и устойчивость итерационного процесса.

Анализ работ, связанных с использованием нейронных сетей для решения задач диагностирования, подтверждает их целесообразность при условии обеспечения качества и точности выполняемой задачи. Гетерогенный характер компонент современных электрических средств автоматизации затрудняет процесс построения адекватных моделей диагностирования. Решаемые задачи не поддаются строгой формализации традиционными математическими методами. В таких условиях оправдан нейросетевой подход, позволяющий обеспечить достаточно высокое качество выполнения задачи.

В работах [1, 2], касающихся аппроксимации нелинейных функций, заложен математический базис нейросетевой теории, определяющий универсальные аппроксимирующие свойства нейронных сетей [1]. В большинстве случаев аналитические модели диагностирования - это нелинейные соотношения, затрудняющие формирование модели объекта диагностирования по моделям составляющих компонент. Формально высказывание об универсальных аппроксимацион-ных свойствах нелинейности представляется в виде

утверждающем, что с помощью линейных операций и каскадного соединения можно из произвольных нелинейных элементов получить любой требуемый результат с заранее заданной точностью. Здесь hq - непрерывная функция; Фср(хр) - функция зависящая от F.

В работе [1] в качестве процедуры обучения многослойного перцептрона приведен алгоритм обратного распространения (back propagation), обеспечивающий решение задачи статистической классификации и распознавания.

Таким образом, идентификация нелинейных зависимостей с помощью нечеткого логического вывода позволяет построить модель диагностирования, обученную на практических выборках данных. Введение нечеткого порога и включение нечетких оценок в процесс построения диагностической модели с последующей формализацией вычислительных процедур приближает решение задачи к реальным условиям и позволяет построить аналог натурных зависимостей величин.

1. Абрамович Ф.П., Вагенкнехт М.А., Хургин Я.И. Решение нечетких систем линейных алгебраических уравнений // Методы и системы принятия решений. - Рига: РПИ, 1987. - 353 с.

2. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976. - 167 с.

3. Кузнецов С.Е., Пюкке Г.А., Портнягин Н.Н. Диагностирование электрических цепей методом изовар // Изв. вузов. Электротехника. - 1998. - № 1.

W8 +1 = Ws - ц(ЭЕ5/Э W8) + v( W8 - W8 - x),

q =1 p =1

Литература