Математическая теория графов и модель квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ И МОДЕЛЬ КВАЛИФИКАЦИИ НАСИЛЬСТВЕННЫХ КОРЫСТНЫХ ПРЕСТУПЛЕНИЙ, СОВЕРШАЕМЫХ НЕСОВЕРШЕННОЛЕТНИМИ

Л. В. НАБОКОВ, В. М. ТЮРИН

Статья посвящена моделированию квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними, с помощью математической теории графов. На основании квалификационных признаков составов насильственных корыстных преступлений, ч. ч. 1, 2, 3 ст. 161 УК РФ «Грабеж» построен обыкновенный неориентированный граф.

Определены инварианты графа: число вершин, число ребер, степень графа, плотность, неплотность графа, хроматическое число, число Хадвигера. Анализ построенного графа, отражающего модель квалификации насильственных корыстных преступлений ч. ч. 1, 2, 3 ст. 161 УК РФ «Грабеж» позволил выявить следующее:

- каждая вершина графа наглядно отображает и определяет соответствующую квалификацию отдельного состава преступления ч. ч. 1, 2, 3, ст. 161 УК РФ;

- неориентированные ребра попарно связывают смежные вершины графа и в то же время отграничивают отдельные квалификационные признаки составов преступлений;

- неплотность графа характеризует несмежные составы преступлений;

- хроматическое число графа позволяет раскрасить различными цветами вершины несмежных составов преступлений;

- с помощью метода Хадвигера дается оценка совокупности преступлений, формируются классы и группы преступлений.

Исследуемая модель позволяет: выделить составы и признаки насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними, согласно соответствующей статьи УК РФ; отделить составы и признаки преступлений по характеру и степени тяжести; с помощью графоаналитических расчетов отграничить смежные и несмежные составы преступлений; метод определения хроматического числа позволяет с помощью раскраски вершин графа выделить несмежные составы преступлений; метод Хадвигера позволяет установить совокупность составов преступлений; с помощью видоизменения графов и подграфов можно показать и теоретически обосновать, например: переход преступления «грабеж» в «разбой», и т. п. Исследуемая модель - граф квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними, с множеством вершин и множеством ребер, и с различной раскраской вершин, наглядно показывает составы преступных деяний, совершаемых несовершеннолетними, квалифицируемые соответствующей статьей УК РФ.

Ключевые слова: несовершеннолетние, квалификация, граф, клика, инварианты.

Математическая теория графов - один из важнейших разделов дискретной математики, с помощью которой можно теоретически описать и практически обосновать различные процессы и явления в технической, естественной, гуманитарной областях, и в том числе в теории и практике уголовного права.

Родоначальником теории графов является Леонард Эйлер (1707-1783 гг.), швейцарский, немецкий и российский математик. В 1772 г. переехал в Санкт-Петербург, в академию наук, хорошо знал русский язык. Учениками Эйлера являлись академики С. К. Котельников (1723-1806 гг.), С. Я. Румовский (1734-1812 гг.).

В связи с бурным развитием электронно-вычислительных машин и проектированием различных автоматизированных систем управления роль теории графов особенно возросла в последнее время в различных научно-технических областях.

В области теории и практики уголовного права, и в том числе при квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними, таких работ практически нет.

Квалификационные признаки составов преступлений ст. 161 УК РФ следующие: грабеж, то есть открытое хищение чужого имущества (ч. 1. ст. 161); грабеж, совершенный группой лиц по

предварительному сговору (ч. 2. п. а. ст. 161); грабеж, совершенный с незаконным проникновением в жилище, помещение, либо иное хранилище (ч. 2. п. в. ст. 161); грабеж, совершенный с применением насилия, не опасного для жизни или здоровья, либо с угрозой применения такого насилия (ч. 2. п. г. ст. 161); грабеж, совершенный в крупном размере (ч. 2. п. д. ст. 161); грабеж, со-

вершенный организованной группой (ч. 3. п. а. ст. 161); грабеж, совершенный в особо крупном размере (ч. 3. п. б. ст. 161).

Согласно квалификационным признакам составов преступлений и условиям задания графа [2], строим обыкновенный неориентированный граф (рис. 1).

Рис. 1. Обыкновенный граф 08, соответствующий ч. 1. ст. 161, ч. 2. ст. 161 и ч. 3. ст. 161 «Грабеж» УК РФ

Множество вершин графа 08

Х^8)= {1,2,3,4,5,6,7}.

Множество ребер графа 08

и(08)= {^к ,1,т ,П ,Р,у}

Свойство графа

(2).

0 < ш(08) < ("28)) т(С8) = 7;0 < 7 < (2);

Свойство графа 08 выполняется. Определение инвариантов графа.

1. Из графа (рис. 1) видно, что число вершин п(08) = 7.

2. Число ребер соответственно т(08) = 7.

3. Степень графа 8(08) = 2.

4. Вычисление плотности графа ф(^8) . Приведем алгоритм вычисления плотности:

- пусть множество вершин образует пустое

множество ^=0;

- объединяем пустое множество с каждой из вершин графа 08;

- к полученному множеству, относительно каждой вершины, добавляем такую вершину графа, чтобы эти вершины все были смежными и т. д.;

- затем выбираем клику с наибольшим числом вершин, это и будет максимальная клика;

- клика с максимальным числом вершин и

есть плотность графа ф(^8) .

Схема алгоритма вычисления плотности графа 08 приведена на рисунке 2.

Плотность графа 08 - это число вершин в наибольшей клике. Очевидно, что плотность ф(08)=2 (рис. 2) или что то же самое - наибольшее количество попарно смежных вершин.

5. Вычисление неплотности графа в(С8) .

Для определения неплотности графа найдем множества независимых вершин в графе 08, то есть таких вершин, которые в данном графе не являются смежными.

Для вершины 1 несмежными вершинами являются V = {1,3,6};

Для вершины 2, У2 = {2,7,4};

Для вершины 3, У3 = {3,5,1} ;

Таким образом, из множеств несмежных вершин вытекает, что неплотность графа 8^8)=3. Для подтверждения вышесказанного

построим дополнительный граф 0(8) (рис. 3).

У=0

Рис. 2. Схема алгоритма для вычисления плотности графа 08

Рис. 3. Дополнительный граф 08 для определения неплотности исходного графа 08

И т. д. У4 = {4,6,2} ;

У5 = {5,3,7}; (4) Уб = {б,4,1}; У7 = {7,2,5}.

Алгоритм вычисления неплотности следующий:

1. Пусть множество вершин образует пустое

множество ° 0 .

2. Объединяем пустое множество с каждой из

вершин дополнительного графа 08 .

3. К полученному множеству относительно каждой вершины добавляем такую вершину графа, чтобы эти вершины были несмежными.

4. К полученному множеству несмежных вершин добавляем другие несмежные вершины и т. д. (рис. 4).

Б=0

Рис. 4. Схема алгоритма для определения неплотности графа 08

Схема алгоритма для определения неплотности графа 08 представлена на рисунке 4.

Неплотность графа 08 (рис. 4) - это наибольшее количество его попарно несмежных вершин. Из этого следует, что неплотность графа

08 равна плотности дополнительного графа 08 (рис. 3) ,и плотность графа 08 равна неплотности

дополнительного графа 08, а именно:

8

Значит,

Ф(С8)=3 и 8(08)=3.

6. Определение хроматического числа У(^8) . Согласно теореме Брукса [1], если степени всех вершин не превосходят величины 8 и если

^ — 3 и ни одна компонента связности графа не

то хроматическое у(О) < 2

К

является полным графом Я+1.

число < 2 . При 8 = 2 неравенство выполняется, если ни одна компонента связности графа не является нечетным числом.

Исследуемый граф 08 циклический с нечетным числом вершин п(08)=7. Степень графа 8(08)=2, тогда на основании теоремы Брукса хроматическое число графа 08 равно трем, а так

как У^8)^8)^1, то и У(С8)=3.

следовательно

При квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними, вершины исследуемого графа 08 будут раскрашены в три цвета, определяющие различные несмежные составы преступлений, согласно ч. ч. 1, 2, 3 ст. 161 УК РФ «Грабеж».

7. Нахождение числа Хадвигера п

Для нахождения числа Хадвигера применим метод стягивания ребра [2] ~у е и графа

08=(Х,и), превращающий его в другой граф с меньшим числом вершин п(08) - 1 и с меньшим числом ребер, чем у исследуемого графа 08.

Метод стягивания ребра включает в себя несколько этапов.

1. Ребро 1 удаляется (рис. 1), а инцидентные ему вершины 1 и 2 заменяются одной вершиной, которую мы обозначаем х1

2. Вершина х1 объявляется смежной с теми

вершинами Х ^ {1,2}, которые в графе 08 были смежны, по крайней мере с одной из этих вершин 1, 2, то есть вершина х1 будет смежной с вершинами другого графа (с вершинами 3 и 7) (рис. 5).

3. Мы получили уже другой, новый граф с шестью вершинами, который мы обозначим, как граф 0Х6 (рис. 5). Множество вершин графа ОХ6 = {5X1,3,4,5,6,7}.

Рис. 5. Граф ОХ6, полученный после стягивания ребра 1

4. Затем ребро К стягиваем в вершину 3 и объявляем ее вершиной ~ 2, которая будет смежной с вершинами 4 и 7, при этом получаем новый граф (рис. 6) с пятью вершинами ОХ = {~ 2,4,5,6,7}.

Рис. 6. Новый граф ОХ5 для дальнейшего определения числа Хадвигера

При квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними [3], это может определять совокупность составов преступлений, так как вершина ~ 2 равна сумме вершин ~ 2 = + 3 = 1 + 2 + 3, то есть совокупность преступлений включает в себя ч. 1 ст. 161, ч. 2, п. а ст. 161 и ч. 2. п. в. ст. 161 УК РФ «Грабеж».

5. Далее ребро 1 стягиваем в одну точку и объявляем ее вершиной ~ 3, которая будет смежной с вершинами 5 и 7, при этом получим совершенно другой граф ОХ4 (рис. 7) с множеством вершин {~3,5,6,7}. Вершина ~3 равна сумме вершин ~ 3 = ~ 2 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4, что определяет новый состав совокупности преступлений, квалифицируемых ч. 1. ст. 161, ч. 2. п. а. ст. 161, ч. 2. п. в. ст. 161 и ч. 2. п. г. ст. 161 УК РФ.

Рис. 7. Граф ОХ4, полученный методом стягивания ребра 1

6. На следующем этапе, ребро Ш] стягиваем в одну точку и объявляем ее вершиной ~ 4 нового графа ОХ3 с множеством вершин {~ 4,6,7}. Получили новый, полный 3-х вершинный граф ОХ3, который в теории графов называется треугольником (рис. 8).

Рис. 8. Трехвершинный полный граф ОХ3, определяющий число Хадвигера

7. Граф 0Х3 простой, полный, обыкновенный с неориентированными ребрами, который дальше уже стянуть нельзя, так как числом Хадвигера п(^8) связного графа 08 называется наибольшее количество попарно исследуемых классов вершин Х1, Х2, и т. д., на которые можно разбить множество вершин графа 0Х3, чтобы каждый класс порождал связный подграф.

Анализируя граф 0Х3, можно отметить, что попарно исследуемыми классами вершин являются Х1 = {~4,б}, X2 = {6,7}, Х3 = {554,7}.

Таким образом, число Хадвигера графа 08

К ^ л(08)=3 равно трем, потому что 3 , так как

П(Сп )=3 2 — 3 г|(08)=3

14 п/ при 2 — 3 , значит 14 ' .

Попарно исследуемые множества вершин

X = {~4,б}; Х2 = {6,7}; Х3 = {~4,7}, при квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними, определяют совокупность групп (классов) преступлений. Множество вершин Х1 = {х 4,6}определяет группы преступлений.

Группа А:

- грабеж, то есть открытое хищение чужого имущества, ч.1 ст. 161 УК РФ;

- грабеж, совершенный группой лиц по предварительному сговору, ч. 2. п. а. ст. 161 УК РФ;

- грабеж, совершенный с незаконным проникновением в жилище, помещение либо иное хранилище, ч. 2. п. в. ст. 161 УК РФ;

- грабеж, совершенный с применением насилия, не опасного для жизни или здоровья потерпевшего, либо с угрозой применения такого насилия, ч. 2. п. г. ст. 161 УК РФ;

- грабеж, совершенный в крупном размере, ч. 2. п. д. ст. 161 УК РФ.

Группа Б:

- грабеж, совершенный организованной группой, ч. 3. п. а. ст. 161 УК РФ.

Множество вершин Х2 = {6,7} определяет группу преступлений В.

- грабеж, совершенный организованной группой, ч. 3. п. а. ст. 161 УК РФ;

- грабеж, совершенный в особо крупном размере, ч. 3. п. б. ст. 161 УК РФ;

Множество вершин Х3 = {х 4,7} составляют преступления группы Г, которые включают: преступления группы А и преступление ч. 3. п. б. ст. 161 УК РФ - «грабеж, совершенный в особо крупном размере».

Анализируя построенный граф 08, как модель квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними, согласно ст. 161 УК РФ «Грабеж», и вычисленные инварианты графа, можно отметить следующее:

1. Обыкновенный неориентированный граф 08 наглядно отображает в себе семь вершин Х(08) 7 , каждая вершина которого определяет соответствующую квалификацию отдельного состава преступления ч. ч. 1, 2, 3 ст. 161 УК РФ.

2. Каждая пара вершин графа соединяется неориентированным ребром т(0)=7, которое инцидентно только этой смежной паре.

3. Степень графа 8(0)=2 определяет количество ребер графа, которые инциденты данной вершине. Иначе говоря, степень графа - это количество вершин, которые инцидентны рассматриваемой вершине, то есть являются с ней смежными. Например, для вершины 3 (рис. 1), квалифицирующей преступление по ч. 2. п. в ст. 161 УК РФ «Грабеж, совершенный с незаконным проникновением в жилище, помещение или иное хранилище», смежными преступления являются: «грабеж, совершенный группой лиц по предварительному сговору» (вершина 2 на графе) и «грабеж, совершенный с применением насилия, не опасного для жизни или здоровья, либо с угрозой применения такого насилия» (вершина 4).

4. Плотность графа ф(^8) 2 - это наибольшее количество попарно смежных вершин. Так, для вершины 1 попарно смежными вершинами являются вершины (1-2) и (1-7). Другими словами, для вершины 1 первая пара смежных преступлений - это «грабеж, то есть открытое хищение чужого имущества» (ч. 1 ст. 161) и «грабеж, совершенный группой лиц по предварительному сговору» (ч. 2. п. а. ст. 161 УК РФ) (рис. 2).

Вторая пара: «грабеж, то есть открытое хищение чужого имущества» и «грабеж, совершенный в особо крупном размере» (ч. 3. п. б. ст. 161) (рис. 2).

5. Неплотность графа 8(^8) 3 определяет количество несмежных преступлений. Несмежными преступлениями на графе для вершины 4 являются: «грабеж, совершенный с применением насилия, не опасного для жизни или здоровья, либо с угрозой применения насилия»; «грабеж, совершенный организованной группой», и «грабеж, совершенный группой лиц по предварительному сговору».

6. Хроматическое число графа У(^8) 3. Значит исследуемый граф 08 будет раскрашен в

три разных цвета, которые определяют несмежные составы преступлений.

7. С помощью определения числа Хадвигера можно дать оценку совокупности преступлений и сформировать отдельные классы преступлений, включающие совокупность групп преступлений.

Выводы: С помощью исследуемой модели графа квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними, можно:

- выделить составы и признаки насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними, согласно соответствующей статьи УК РФ;

- отделить составы и признаки преступлений по характеру и степени тяжести;

- с помощью графо-аналитических расчетов отграничить смежные и несмежные составы преступлений;

- метод определения хроматического числа позволяет с помощью раскраски вершин графа выделить несмежные составы преступлений;

- метод стягивания ребра в графе (метод Хадвигера) позволяет установить совокупность составов преступлений;

- с помощью видоизменения графов и подграфов можно показать и теоретически обосновать, например: переход преступления «грабеж» в «разбой»;

- исследуемая модель - граф квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними, с множеством вершин и множеством ребер, и с различной раскраской вершин, наглядно показывает составы преступных деяний, совершаемых несовершеннолетними, квалифицируемые соответствующей статьей УК РФ.

Литература

1. Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов, М., 1976.

2. Зыков А. А. Теория конечных графов. Новосибирск, 1969.

3. Набоков Л. В., Панфилов И. П. Общие признаки и правила квалификации насильственных корыстных преступлений, совершаемых несовершеннолетними // Вестник ЛГТУ. Липецк, 2013. С. 45-54.

* * *

THE MATHEMATICAL THEORY OF COUNTS AND MODEL OF QUALIFICATION OF THE VIOLENT CRIMES FOR PROFIT COMMITTED BY MINORS

L. V. Nabokov, V. M. Tyurin

Article is devoted to modeling of qualification of the violent mercenary crimes committed by minors, by means of the mathematical theory of counts. On the basis of qualification signs of structures of violent mercenary crimes, p. 1, 2, 3 Art. 161 of the criminal code of Russian Federation «Robbery» the ordinary nondirectional count is constructed. Invariants of the count are defined: number of tops, number of edges, degree of the count, density, thinness of the count, chromatic number, Hadwiger's number. The analysis of the constructed count reflecting model of qualification of violent crimes for profit of p.1, 2, 3 Art. 161 of the criminal code of Russian Federation «Robbery» allowed to reveal the following:

- each top of the count visually displays and defines the corresponding qualification of separate structure of a crime of p.1, 2, 3, Art. 161 of the criminal code of Russian Federation;

- nondirectional edges in pairs connect adjacent tops of the count and at the same time delimit separate qualification signs of structures of crimes;

- the thinness of the count characterizes non-adjacent structures of crimes;

- the chromatic number of the count allows to paint with various flowers of top of non-adjacent structures of crimes;

- by means of Hadwiger's method the assessment of set of crimes is given, classes and groups of crimes are formed.

The studied model allows: to allocate structures and signs of the violent crimes for profit committed by minors, according to the relevant article of the Criminal Code of the Russian Federation; to separate structures and signs of crimes on character and severity; by means of graphic-analytical calculations to delimit adjacent and non-adjacent structures of crimes; the method of definition of chromatic number allows to allocate non-adjacent structures of crimes by means of a colouring of tops of the count; Hadwiger's method allows to establish set of structures of crimes; by means of modification of counts and subgraphs it is possible to show and theoretically to prove, for example: crime transition «robbery» in «brigandage», etc. The studied model - the count of qualification of the violent crimes for profit made by minors, with a set of tops and a set of edges, and with various colouring of tops, demonstrates structures of the criminal actions made by minors, qualified by the relevant article of the Criminal Code of the Russian Federation.

Key words: minors, qualification, count, clique, invariants.