Минимальные сплайны и всплески

Ю. К. Демьянович

МИНИМАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ И ВСПЛЕСКИ*

Посвящается светлой памяти Соломона Григорьевича Михлина, дорогого учителя и друга

В предлагаемой работе на неравномерной сетке строятся минимальные (не обязательно полиномиальные) сплайны порядка т > 3 нулевой высоты (понятие высоты принадлежит С. Г. Михлину, см. [1]), даются необходимые и достаточные условия их гладкости, вводятся В^-сплайны упомянутого порядка, строятся вложенные пространства сплайнов и их вэйвлетные разложения.

Исходной идеей построений минимальных сплайнов служит идея получения координатных функций из аппроксимационных соотношений; ввиду важности этих соотношений С. Г. Михлин называл их фундаментальными (см. [1, 2]). Развитие этой идеи привело к сплайн-всплесковым (вэйвлетным) разложениям (см. [5-7]). Преимущества этой идеи очевидны: выполнение аппроксимационных соотношений в достаточно общих предположениях ведет к качественным оценкам приближений (асимптотически оптимальным по N -поперечнику стандартных компактов).

Для неравномерных сеток вопрос о построении сплайн-всплесковых разложений (см. [8-13]) цепочек вложенных пространств долгое время оставался открытым. В случаях т = 2 и т = 3 удалось найти положительный ответ на этот вопрос (см. [6, 7]), однако примененная там методика недостаточна для исследования случая т > 3. Заметим, что известные ранее В-сплайны, получаемые из ЕСТ -систем (см. [14-21]), являются частным случаем построенных здесь минимальных сплайнов.

В данной работе установлено, что при т > 3 для фиксированной пары сеток, одна из которых вложена в другую, и для любого фиксированного для первой сетки пространства минимальных (возможно, неполиномиальных и разрывных) сплайнов существует континуальное множество различных пространств минимальных сплайнов для второй сетки, каждое из которых содержит упомянутое фиксированное пространство; для каждого такого вложения строится всплесковое (вэйвлетное) разложение. Тем самым установлено, что в отличие от случая равномерных сеток для фиксированного пространства минимальных сплайнов существует континуальное число цепочек вложенных пространств минимальных сплайнов, содержащих упомянутое пространство; при этом каждая такая цепочка может быть представлена в виде прямой суммы вэй-влетных пространств. Кроме того, здесь дана классификация всех рассматриваемых пространств минимальных сплайнов с помощью множества классов полных цепочек точек прямого произведения рассматриваемого интервала (а, в) на т-мерное проективное пространство Рт и соответствующая классификация их всплесковых разложений.

*Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты №07-01-00451 и 07-01-00269).

© Ю. К. Демьянович, 2008

1. Цепочки векторов: локальная ортогональность и полнота; классы эквивалентных цепочек

Пусть Ъ — множество целых чисел, N — множество натуральных чисел, К1 — множество вещественных чисел.

Линейное пространство т + 1-мерных вектор-столбцов обозначим Мт|1, причем для нулевого вектор-столбца введем символ 0. Компоненты векторов обозначаются квадратными скобками и нумеруются цифрами 0,1,...,т; например, а = ([а]о, [а]1,..., [а]т)Т. К векторам применяются обычные матричные операции, так что для двух векторов а, Ь € Мт|1 имеем а Т Ь = ЕПоМЛЬЬ, в то время, как аЬт — матрица с элементами [а]р[Ь]д (р и ц — номера строки и столбца соответственно, р, ц =

0,1,..., т). Матрица, столбцами которой являются векторы а,Ь,с^, ..., Г € Мт|1 (в указанном только что порядке), обозначается символом (а, Ь, с, ^ ..., Г), а в случае квадратной матрицы выражение ёе^а, Ь, с, ^ ..., Г) означает ее определитель.

Упорядоченное множество А = {а, },ех векторов а, € Мт+1 будем называть цепочкой векторов; для одной и той же цепочки допустимы различные нумерации, при этом две различные нумерации могут отличаться лишь постоянным слагаемым и направлением нумерации, например, А {а,}/ех с ]' = — ] + ^’о (где ^’о —целочисленная константа) представляет собой другую нумерацию той же самой цепочки.

Цепочка А =£ {а*} называется локально ортогональной цепочке В =£ {Ь,},^, если существуют такие нумерации, при которых

ЬТа,_т = 0, ЬТа,_т+1 = 0, ..., ЬТа,— =0 У? € Ъ.

Лемма 1. Если цепочка А локально ортогональна цепочке В, то и цепочка В локально ортогональна цепочке А.

Итак, локальная ортогональность симметрична, так что в рассматриваемой ситуации цепочки А и В можно называть локально ортогональными. Цепочка А называется невырожденной цепочкой векторов, если среди векторов цепочки нет нулевых векторов; в противном случае цепочка называется вырожденной.

Пусть А, ^а,_т, а,-т+1,..., а,_ 1, а,^ . Цепочка А называется полной цепочкой

векторов, если ёе!;А, = 0 для всех ] € Ъ. Совокупность всех полных цепочек будем обозначать А. Очевидно, что множество А не содержит вырожденных цепочек.

Лемма 2. Пусть цепочки А =£{а*}*^^ и В {Ь,},ех локально ортогональные и невырожденные. Тогда цепочка А является полной, если и только если полной является цепочка В.

Лемма 3. Если цепочки А {а*}*^^ и В а= {Ь, },ех полные и выполнено условие

(1.1), ^то ^ а, = 0, Ьд. | т | 1 а, = 0.

Доказательства лемм 1-3 аналогичны доказательствам для случая т = 3 (см. [6] с. 41-42).

Лемма 4. Какова бы ни была полная цепочка векторов, существует невырожденная локально ортогональная ей цепочка; направления ее векторов определяются однозначно.

Доказательство. Пусть А = {а,},ех —полная цепочка векторов. Зафиксируем целое число к и найдем вектор Ь^ из условий

Ь& ак—т ° Ь& ак—т+1 ° . . . , Ь& ак—1 0.

Условия (1.2) можно представить в виде линейной системы уравнений относительно вектора Ь^:

Ввиду полноты цепочки А векторы а^—т, а^—т+1,..., а^—1 линейно независимы. Следовательно, система (1.3) имеет единственное (с точностью до постоянного множителя) ненулевое решение Ь, которое может быть определено тождеством

Ь& х = det

Лемма доказана.

Следствие 1. Какова бы ни была полная цепочка существует локально ортогональная ей полная цепочка, определяемая однозначно с точностью до ненулевых постоянных множителей.

Доказательство вытекает из лемм 2 и 4.

Лемма 5. Пусть А =£{а^} —полная цепочка, цепочка В =£{Ь} получена по формуле Ь^х = ёе^х, а^—т, а&—т+1, . .., а^—1), а цепочка С =£ {с,} получена по формуле

СТх = ёе^х, Ь,+1, Ь,+2, . .., Ь,+т); тогда с ненулевыми константами А, выполнены

соотношения с, = А, а,.

Доказательство. Согласно лемме 2 цепочка В полная. Очевидны соотношения ортогональности Ь ± а^—т, Ь^а^—т+1, ..., Ь^ ± а^—1 Ук € Ъ; последние эквивалентны соотношениям а, ± Ь,+1, а, ± Ь,+2, ..., а, ^ Ь,+т У? € Ъ. Поскольку цепочка С=£{с,} получена по формуле с^х = det(x, Ь,+1, Ь,+2,..., Ь,+т), верны соотношения с, ± Ь,+1, с, ± Ь,+2, ..., с, ± Ь,+т У? € Ъ. Из сравнения их с предыдущими выводим требуемый результат.

Рассмотрим две невырожденные цепочки А =£{а*} и А' =£{а,}, для которых существует такая нумерация, при которой составляющие их векторы с одинаковыми номерами коллинеарны, т. е. имеются отличные от нуля числа А& такие, что а^ = А&а^; в этом случае будем писать А ~ А'. Введенное соотношение ~ обладает симметричностью и транзитивностью, поэтому цепочки с таким свойством будем называть эквивалентными. Разобьем все невырожденные цепочки на классы эквивалентных цепочек; если А =£ {а^ } — невырожденная цепочка, то содержащий ее класс Р имеет вид

Р=£{Ал | Ал = {А,а,},ех УА, € М1, А, =0 У? € Ъ}.

Для некоторого ненулевого вектора а пространства Мт|1 рассмотрим множество Р = {Аа | УА € М1, А = 0}; очевидно, что это множество представляет собой точку проективного пространства Рт. Введенный выше класс Р можно рассматривать как упорядоченное множество Р =£ {р,} точек т-мерного проективного пространства Рт: р, € Рт, ? € Ъ; это множество будем называть цепочкой точек пространства Рт.

Если полная цепочка векторов А эквивалентна цепочке А', то ясно, что А' тоже полная цепочка; поэтому если класс Р содержит полную цепочку, то в этом классе все цепочки полные. Класс полных цепочек называется полным классом, или полной цепочкой точек проективного пространства Рт. Множество всех полных классов обозначим А.

Из следствия 1 вытекает, что для каждого полного класса Р существует единственный класс р, каждая цепочка которого локально ортогональна цепочкам класса Р; класс Р называется локально ортогональным классу Р. Очевидно, что это соотношение симметрично: в этом случае класс р — полный класс и ему локально ортогонален класс

Р. Используя следствие 1, заключаем, что во множестве полных классов А операция перехода от полного класса к локально ортогональному классу является инволюцией; обозначая символом * переход от полного класса к локально ортогональному, получаем соотношения Р = Р*, (Р*)* = Р УР € А.

Лемма 6. Какова бы ни была полная цепочка векторов, между любыми двумя ее векторами можно вставить такой вектор, что полученная цепочка окажется полной. Имеется континуальное количество неколлинеарных векторов, вставка каждого из которых между двумя фиксированными векторами упомянутой исходной полной цепочки приводит всякий раз к полной цепочке.

Доказательство. Пусть А = {а,},ех — полная цепочка векторов. По формулам

(1.4) найдем локально ортогональную ей полную цепочку векторов В = {Ь,},ех. Зафиксируем целое число к. Вставим вектор х пространства Мт+1 в цепочку А между векторами а^ и а&+1. В результате получится цепочка

..., ак—3, ак —2, ак — Ь afc, х ай+Ъ ак+2, afc+3, afc+4, ...,

условиями полноты которой (с учетом известной по условию полноты цепочки А) являются неравенства

Ь^х = 0, г = 1, 2, .. ., т + 1.

Пусть у — произвольный вектор пространства Мт+1, все компоненты которого ненулевые:

т

П [у], =0.

, = 0

Рассмотрим решение уравнения

Поскольку матрица системы (1.8) неособенная (т.к. цепочка Ь — полная), эта система однозначно разрешима, а ее решение при условии (1.7), очевидно, удовлетворяет соотношениям (1.6). Последнее означает полноту цепочки (1.5).«

Следствие 2. Множество векторов х, которые приводят к неполной цепочке

(1.5), представляет собой объединение т +1 различных (т-мерных) гиперплоскостей, проходящих через начало координат пространства Мт+1.

Доказательство. Из (1.6)—(1.8) следует, что нарушение соотношений (1.6) (а следовательно, неполнота результирующей цепочки (1.5)) может произойти тогда и только тогда, когда х € и1=0((Ьй+1, Ь+2,..., Ьк+т+1)Т) 1М'т, где К™ =£ {у | [у]* = 0} — координатные гиперплоскости пространства Ит+1.

Следствие 3. Для любой полной цепочки векторов существует континуальное число вариантов вставки любого конечного количества векторов между любыми парами соседних векторов таким образом, чтобы результирующая цепочка векторов оказалась полной (количество таких вставок может быть конечно или счетно).

2. Пространства (А, ^>)-сплайнов

Рассмотрим многообразие М, являющееся прямым произведением интервала (а, в) вещественой прямой и проективного пространства Рт, М =£ (а, в) х Рт. Точки т этого пространства будем представлять в виде упорядоченной пары т =£(£, р), где £ € (а, в), а р € Рт.

Рассмотрим (бесконечную в обе стороны) последовательность А == {ш3}3ех точек ш3 =£ (ж3, р3) этого пространства таких, что множество X =£ {ж3 }3ех представляет собой сетку вида

X : ... < ж— < жо < Ж1 < ...; пусть а=£ Иш ж3, в=£ 1™ ж3,

3—— _^ 3——+ ^

а класс Р =£ {р3}3ех является полным классом эквивалентных цепочек А =£ {а3}3ех из векторов а3 € Мт+1 (полной цепочкой точек пространства Рт); последовательность А будем называть полной цепочкой на многообразии М. Множество всех полных цепочек на М обзначим А.

Во множестве А введем операцию инволюции следующим образом. Пусть А =£ {(ж3, р3)}3ех € А. По определению А класс Р =£{р3}3ех является полным классом и для него определена операция инволюции в А. Пусть р = Р*, р = {^-}3ех. Построим цепочку на М, полагая А* =£ {(ж3, ^ )}3ех; эту цепочку назовем локально ортогональной цепочке А. Очевидно, что А* € А. Операция перехода А ^ А* является инволюцией в А.

Введем обозначения: О =£ изех (ж3, ж3+1), Б3 =£ [ж3, ж3+т+1], ^ =£{к — т, к — т +

1, . .., к — 1, к}, к,? € Z, Л-х =£ вир^еХ (ж3+1 — ж3).

Пусть Х(О) — линейное пространство вещественнозначных функций, заданных на множестве О, а С5(а, в) —линейное пространство функций, непрерывных вместе со всеми производными до порядка Б в точках интервала (а, в).

Рассмотрим т+1-компонентную вектор-функцию у>(£) с компонентами из пространства Х(О); пусть выполнено следующее предположение.

(Ь) Компоненты вектор-функции у>(£) представляют собой линейно независимую систему на множестве О П (с, й) для любого интервала (с, й), содержащегося в интервале (а, в)-

Выбранная полная цепочка А точек многобразия М в соответсвии с только что сказанным определяет сетку X вида (2.1) и полный класс Р эквивалентных цепочек; пусть цепочка А =£ {а3 }3ех — любой представитель этого класса.

Определим функции о3 (£), £ € О, ? € Z, аппроксимационными соотношениями

^^а3'оу

3'

Ввиду полноты цепочки А этими соотношениями функции о3 (£) определяются на множестве О однозначно. Из (2.2) получаем эирр о3 С Б3, о3 € Х(О) У? € Z, и

{а3'}3'£7Ь,3'=3 II 3^

^з

{а3' Ъ'ел)

где значок || 3 означает, что определитель в числителе получается из определителя в знаменателе заменой столбца а3 на столбец у>(£) (с сохранением прежнего порядка следования столбцов); таким образом, линейное пространство

3ех

содержится в пространстве Х(С). Из соотношений (2.2)—(2.4) видно, что состав элементов в пространстве § не изменится, если векторы а3 умножить на отличные от нуля коэффициенты Л3, и значит выбор представителя А класса Р не меняет пространства 8: задание полной цепочки точек А многообразия М и вектор-функции у>(£) однозначно определяют пространство 8. В дальнейшем пространство (2.4) будем обозначать §(д,^); это пространство называется пространством минимальных (А, у>)-сплайнов (порядка т).

Благодаря предположению (Ь), функции ^, j € ^, образуют базис пространства §(Д,^)> его будем называть главным базисом. Ввиду леммы 4 главный базис пространства §(д,^) определяется однозначно с точностью до последовательности ненулевых множителей.

3. Свойства

По полной цепочке векторов А =£ |а3построим локально ортогональную ей полную цепочку Б векторов ^ (см. лемму 2), определяемую соотношениями

В =£ }зеХ, ат X = ёе^х, а3_т, а3_т+1,..., а3_х) Ух € Мт+1.

Пусть £ € (ж^, ж^+1). Умножая вытекающее из (2.2) аппроксимационное соотношение а,к-т+ ай_т+1^й_т+1 + ... + ай_1^й_1 + а^ = у>(£) слева на векторы , j = к — т, к — т + 1, . .., к + т +1, получим две системы уравнений: У~]к=й_т ^а*^ = dTу>,

= к — т, к — т + 1, .. ., к, ^к= к_т dT,а^ = dT, у>, ' = к + 1, .. ., к + т +1. Из

соотношений ортогональности dj ± а*, г = — т, j — т +1,..., j — 1 следует, что матрицы этих систем треугольные, а поскольку (согласно лемме 3) dTа3 = 0 и dT+m+laз = 0 для любых j € ^, их диагонали состоят из ненулевых элементов:

к

dT а^ = d;T ^, ^ = к — т,к — т + 1,...,к,

*=3

3 ;_т_1

dJ,а*^ = dJ,у>, 1 = к + 1, .. ., к + т +1.

г = й_т

Каждое из этих уравнений позволяет определить все функции 03 (£) для £ € (ж^, в^+1) при всех = к — т,..., т, а при фиксированном j € ^ отсюда следует представление функции (£) на каждом из интервалов (ж^, ж^+1), к = j, j + 1,..., т. При этом получаются тождественные, но по форме различные представления, отличающиеся (при т > 3) весьма громоздкими формулами; из них следуют тождества, содержащие определители матриц порядка т, элементами которых служат определители матриц порядка т +1 (повидимому, они ранее в литературе не отмечались).

Функции при j = к, к — 1, . .., к — [т/2] определим из соотношений (3.2), а функ-

ции / при j ' = к — т, к — т + 1, .. ., к — [т/2] — 1 — из соотношений (3.3).

Лемма 7. На интервале (ж^ ,ж^+1) функции при j = к, к — 1,...,к — [т/2] определяются вектор-функцией <£>(£) и векторами dj, а3+1, . .., а^; а функции / при j 7 = к — т, к — т+1, . .., к — [т/2] —1 определяются вектор-функцией <£>(£) и векторами

^3 '+т+1; ак_т; ак_т+1; ..., а3 •

Доказательство Легко получается из соотношений (3.2) и (3.3).

Гладкость функций 03(£) на интервалах (ж*, ж*+1), г € {j, j+1,..., j+т}, определяется гладкостью вектор-функции у>(£); поэтому интерес представляют условия гладкости функций 03 (£) в узлах.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть число Б фиксировано, Б € {0, 1, 2, . ..}, вектор-функция <р лежит в классе С5(а, в), А — полная цепочка векторов, а цепочка Б построена по фор-

мулам (3.1). Для того, чтобы производные 03 (£) функций 03 (£), £ € М, У? € ^,

могли быть продолжены до функций, непрерывных на интервале (а, в), необходимо и достаточно, чтобы

dT^кй) =0 Ук € Z.

Доказательство аналогично доказательству, проведенному при т = 3 в работе [24]. .

Теорема 2. Пусть фиксированы сетка X = {ж3 } вида (2.1) и вектор-функция <р € Ст(а, в). Предположим, что при некотором вещественном е > 0 верно соотношение

|ёе^у>&, ^ к,..., ^кт))(^)| > е У£ € (а, в), Ук € Z.

Тогда существует такое число 6 = 6(е) > 0, что при Лх <6 во множестве А полных цепочек из точек проективной плоскости Рт существует единственная цепочка РВ={р} такая, что для А=£ {(ж3, р)} пространство 8(дв,^) лежит в Ст 1(а,в).

Доказательство. Пусть и^ — вектор-столбцы пространства Мт+1, г, j = 0,1,..., т — 1. Введем обозначения

«*3 = ёе^'(и20, и*1, . . . , Uг,m — 1, и03 ), г — 1, ^ . . . , т 1, j — ° 1,..., т 1,

и рассмотрим полилинейную вектор-функцию, зависящую от векторов , г^' = 0,1,..., т — 1, и задаваемую символическим определителем

и00 и01 . . . и0,т-1

«10 «11 . . «1,т_1

0,1,... ,т_ 1) = det «20 «21 . . «2,т_1

У«т_1,0 «т_1,1 . . «т_1,т_1 /

Используя обозначения = ^(4) (ж^), определим векторы dfc тождествами

dTх=£ёе^(жй),^'(жй), . .. ,^(т_1)(жй), х),

а также положим

и*9

Нетрудно видеть, что в этом случае соотношения dJ+paj = 0 справедливы для всех р = 1, 2,..., т и j € Z. Цепочка {а3-}3ег при достаточно малом Лх (при Лх < 6) полная: доказательство полноты сводится к применению формулы Тейлора в представлении (3.6)—(3.7) для получения асимптотики (при Лх ^ 0), равномерной на интервале (а,в). Теперь можно вычислить сплайны 03 из аппроксимационных соотношений

(2.2) (так вычисленные сплайны 03 обозначаем 0В). Эти сплайны непрерывны и имеют непрерывные производные вплоть до порядка т — 1 включительно, т. к. выполнены условия (3.5) для Б = 0,1, 2, .. ., т —1 (см. теорему 1). Единственность легко получается применением соотношений (3.5) к представлению (2.3). Теорема доказана.

Совокупность линейных комбинаций функций 0, j € Z, называется пространством Д^-сплайнов и обозначается В(дв ,^).

4. Калибровочные соотношения и вложенность пространств

В этом пункте исходной считаем полную цепочку векторов Б = ^3 }3'еХ и по этой цепочке строим локально ортогональную (и следовательно, согласно лемме 2, полную) цепочку векторов А =£ {а3 }3ег, где а3- определяются формулами

атх = det

По сетке X вида (2.1) и по только что полученной цепочке А из аппроксимационных соотношений (3.2) находим функции 03.

Лемма 8. Функции 03 (£) , j = к, к — 1,...,к — |_т/2_|, определяются

вектор-функцией <£>(£) и векторами dj, dj+l, . . ., dfc+m, а функции 03 /, j ' = к — т, к — т + 1, .. ., к — [т/2] — 1, определяются вектор-функцией <£>(£) и векторами dfc_m+l,

dfc_m+2, ..., ^7+т+1.

Доказательство получается применением леммы 7 и представления (4.1).  Лемма 9. Функция 03(£) определяется сеткой X, вектор-функцией <£>(£) и векторами

Н''} +1 +1 .

Доказательство. Введем обоначения

3+|т/2] 3+т

Б(1) = У (жй,жй+1), Б(2) = У (жй, жк+1).

к=3 й=3+[т/2] + 1

В соответствии с леммой 8 видим, что при заданной вектор-функции ^>(£) функция с^(£) определяется множеством векторов j' = з,з -\- 1,    ,з -\- |_у] + т) а

*£5

с^(£) определяется множеством векторов {сЬ,//}, _7 "= 3 — \ Ш2^\ + 2, .7 — [^2^] +

*£5

3,... ,_7 — [т^1 ] + т. Объединение этих двух множеств дает множество (4.2).

Ввиду леммы 9 существует функция юх,^(£, ё0, ё1, ..., §2т_2), зависящая от вещественной переменной £ € (а, в) и 2т — 1 векторов ё0, ё1,..., ё2т_2 пространства Мт+1, такая что

= шх,<р

т+ 1 2

В дальнейшем исходная сетка X дополняется новым узлом £, а цепочка векторов Б дополняется вектором (1 так, чтобы результатирующая цепочка Б оказалсь полной; по полученным таким образом X и Б строятся сплайны / (£) по формулам, аналогичным (4.3), и отыскиваются представления сплайнов 03 в виде линейных комбинаций сплайнов й2 /.

3-

Пусть £ — новый узел, £ (Е (ж&, жд^х), а ж^ —узлы вновь полученной сетки:

ПРИ 0 — к, ^й+1=££, хз-1 ПРИ 3 > ^ + 2, X =£{жз | ,7

Пусть еще (1 — такой вектор пространства Ит+1, что цепочка В=£{сиз векто-

ров

=£<і, ^-=£^-_1 при з > к + 2,

является полной цепочкой (о возможности такого выбора вектора d см. лемму 6). Рассмотрим локально ортогональную для цепочки Б цепочку А=£{ая}яЄ2 из векторов, определяемых тождествами

а^х = (іе1;(х, (ія+і,..., (ія+т) Ух Є Мт+1, в € 2.

Из (4.5) и (4.6) следуют соотношения

а,- = а,- при j < к — то, а,- = а,-_і при _7 > к + 1.

Ввиду локальной ортогональности справедливы равенства

—т_ —т _ —т _

(1;у а^_1 = (1;у а^_2 = ... = сі • а^_т = 0 У7 Є 2.

Введем обозначения: С?=£ (ж.?; х.?+1); ^ =£[ж?;жз+т+1]- С помощью новой сетки

определим функции

+2

'3+1іг\+г‘

Теорема 3. Сплайны йу(1;), ) Є Z; при всех і Є С? удовлетворяют аппроксимаци-онным соотношениям ^ = (р(Ь); й^(і) =0 Уі ^ ^ П (?.

Доказательство легко следует из формул (2.2), (4.3), (4.5)-(4.9).

Теорема 4. Для сплайнов с^(і) и йу(і) при всех і Є (а, /3) справедливы соотноше-

7 (і) = ^-(і) при j < к — то —

т

12

и) і (і) = uJj+l(t) при j > к +

т — 1

Доказательство. Если j < к — то — |_у_|, то согласно формулам (4.5) и (4.5) получаем

сі

т+ 1 2

т+ 1 2

+2

+2

Поскольку в рассматриваемом случае [ж^ж^т+і] = [х^,х^+т+і\, получаем зиррс^-эирр^- и, следовательно, і Є (а,/?).

т+ 1

З-

2

з

з

В том случае, когда з > к + |_т2 _|, в соответствии с формулами (4.3) и (4.5) имеем

з-

т+1

2

+1

кроме того, согласно равенствам (4.4) очевидно, что [ху, ж3+т+1] = \xj--\_, х^+т\. Отсюда при этих значениях j получаем t (Е (а, /3). Теорема доказана.

Теорема 5. Для сплайнов о>*(£) при всехЬ (Е (а,/3) справедливы соотношения

к+1^\

где { = к — [^\ — т, —1, ..., к + [т2~1 — 1], а р^- = р^- (к) — конструктивно определяемые константы.

Доказательство. Записывая аппроксимационные соотношения в виде1 Е^г аз^з = Е^г аРз = получаем

Х!а<-;

Формулу (4.12) перепишем в эквивалентной форме

/ \ Й+[^Ь1 / ^

\ а3 г + а3 ° + | а3 =

J з = к~У^\-т+1 ^ ^>А:+ '

-/ ^ \ "+[^Ь1 - - / ^ \

—< 2^ аз'^'г+ 2^ аз'^'+^ 2^ аз,шз'У

У 3'<к~УЩ-\-т ) ]’ = к-[_Щ-\-т+1 I ^J

Ввиду равенств (4.7) и (4.10) слагаемые правой и левой частей, отмеченные фигурными скобками, соответственно равны; отбрасывая одинаковые слагаемые, перепишем это соотношение в виде следующего равенства:

а^'Сі^'.

53 "-з^з — "-з’^з

3 = к-УЩ-\—т+1 о ' = к— [^\ -т+1

Умножим обе части равенства (4.13) последовательно на вектор-строки di для і = к — [у] — то + 1,..., к + [т2~1 ] — 1. В результате получается система линейных алгебраических уравнений относительно функций шз-, которые в этой ситуации будем считать неизвестными:

к+І^І-1 к+У^-\

^2 <*Га^ = ^2 ЛЇ^з'йі',

І=к-УЩ-\—т+1 о ' = к- 1^\-т+1

1 Бесконечные суммы понимаются в смысле поточечной сходимости: вводится слабая топология — локально выпуклая топология, определяемая полунормами р(и) = |(1ь, и)|, где {1ь}г£Ы — семейство линейных функционалов, определяемых формулами (^, и) и(Ь).

к+\^\-1

к+ 1^±1

где * (Е V, Ул= {к — [у] — то + 1, .. ., к + [т2~1 ] — 1}- Поскольку матрицу этой системы неособенная, отыскивая функции 03(£), выводим соотношения (4.11).

Теорема полностью доказана.

Введем два множества пар индексов (*,^), полагая М0 =£{(*,.?) | *,^’ € V},

М1а=£{(*,Я | |_у_| - и {(*,.?') | г = ) - 1, .? > /г + Для (О') € М0

числа р^- определяются из соотношений (4.14); положим

р3 = 1 при

Ввиду теоремы 5 любую функцию 0.1, г € Z, можно представить в виде конечной линейной комбинации функций и7Д-, _7 (Е 2:

^г

3

здесь использованы коэффициенты р3, указанные формулами (4.10), (4.14)—(4.15). Соотношения (4.16) называются калибровочными соотношениями.

Введя бесконечномерные вектор-столбцы ю(£) = (. . ., 0_2(£), 0_1(£), 00(£), 01(2), и>2(Ь), . . .)Т, = (• • •   -)Т, соотношения (4.16) пред-

ставим в виде

ш

где р — бесконечная матрица вида Р =£ (р^3 )^3ег, элементы которой задаются равенствами (4.14)-(4.15).

Пусть цепочка У =£{(ж3-, р3-многообразия Ш полная (т. е. У € А), так что X =£{ж3-} —сетка вида (2.1), а Р =£{р3-— полная цепочка точек проективного пространства Рт. Зафиксируем целое число к, выберем £ из интервала (ж&, ж&+1) и введем сетку X по формулам (4.4). Выберем точку р в Рт так, чтобы цепочка, полученная вставкой этой точки между точками р^ и рд;+1 (обозначим эту цепочку Р=£ {р^^х), оказалась полной. На многообразии Ш построим теперь цепочку yd={(xj,:pj)}jez Будем называть цепочку У элементарным расширением цепочки У.

Полным расширением цепочки У будем называть цепочку 2, полученную в результате конечного или счетного числа элементарных расширений; если 2 — расширение цепочки У, будем писать У С 2.

Справедлива

Теорема 6. Если А — полная цепочка на Ш, то для любого полного расширения В цепочки А* справедливо вложение §(д,^) С §(в*,^).

Доказательство вытекает из калибровочных соотношений (4.16).

5. О системе функционалов, биортогональной к системе функций {03}

Считая (с, й) конечным интервалом вещественной оси, введем линейное пространство С (с, й), состоящее из функций и(£) пространства С (с, й), которые имеют конечные пределы Ит^с+0 и(£) и Иш^й_0 и(£). Если значение (/, и) линейного функционала / € (С(с, й))* зависит лишь от значений функции и в сколь угодно малой правосторонней окрестнсти точки с, то будем писать вирр/ = с+.

Рассмотрим пространства Сх =£ §§д,еХ С(ж&, ж&+1), СХ =£{и | и(^ € Сх, Уг = 0,1,..., Б}. Символом (С|)* обозначим пространство, сопряженное к пространству СХ. Очевидно, что при X С X справедлива формула СХ С С^, а функционал / (Е (СХ)*

со свойством вирр/ = ж+ естественным образом доопределяется на функциях из пространства СЦт. Кроме того, при условии <р £ СХ пространства лежат в простран-

стве СХ.

В дальнейшем понадобится определенное продолжение на пространство СХ системы фунционалов {й(А)}, биортогональной к системе функций {03}.

Лемма 10. Пусть вирр д(А) = ж+. Для того чтобы система функционалов {й^Ъеж была биорогональна системе минимальных сплайнов {03/^'ег, необходимо и достаточно, чтобы (й(А), у>) = а^.

Доказательство легко получается применением функционала д(А) к аппроксима-ционным соотношениям (2.2) (см. [7], с. 39).

Если и € Ст, то существуют конечные предельные значения и(^(жд; +0), г = 0,1, . .., т, и можно ввести линейные функционалы (/(А), и) —£и(^ (ж& +0), г = 0, 1, .. ., т. Предполагая, что компоненты вектор-функции у>(£) лежат в пространстве С^, рассмотрим определитель Вронского Ш(4) =£det(y>, ^',..., ^>(т))(£) и положим Г(а) =£ (/дА), /{А),

..., /г»г ))Т. Для компонент вектора, как и прежде, будем использовать квадратные скобки с соответствующим индексом, так, например, [Г(а)^ = /(А), г = 0,1,..., т.

Лемма 11. Пусть предельные значения определителя Вронского Ш(ж^ +0) отделены от нуля, т. е. существует число 7 > 0 такое, что для всех к € Z верно неравенство |Ш(ж& + 0)| > 7. Тогда при каждом фиксированном г € {0, 1, .. ., т} система функционалов

(к) ае£ й(г) -

АТ- „«( Г<‘_''+3>УГ) _‘г (к_

к € Z,

биортогональна системе системе функций {юд/}й'ех-' (й^), 0 а/) = ^д/ Ук, к' € Z, причем д(к) € (СХ)* и вирр д(к) = ж+.

Доказательство аналогично доказательству, данному для т = 3 в работе [7], с. 38-39.

6. Всплесковое (вэйвлетное) разложение пространств минимальных (А, ^>)-сплайнов

Пусть {й(А)Ьех — система функционалов, биортогональная системе функций {0 Ъег:

Введем обозначения:

Чг/=£<^),^), (6.2) 10 =£ {(г, 3) | к — т — [т/2] + 1 < 3, 0 < г — 3 < т, г < к},

^1Л= {(*,3) I 3 <к + [т 2 -1 < г - 3 < т - 1, г > /г + 1},

^0 = {(г,3) | г € Z,3 < к — т — |_т/2_|},

т1

+1

Г

Теорема 7. Справедливы формулы:

О

а.

Я*,д =----------т—--------ч----- при

^

Яг,д = ----------7~2------\----- П'Ри

Яг,3 = при

Я»,3 =0 при

Доказательство. 1. Пусть г < /г; в этом случае (ж^ж^х) С (ж*,ж*_|_1) и для £ €= (ж*,ж*-|_1) имеем Е}=*-т а^^'(^) = ‘у5(^)- Применяя к обеим частям этой формулы функционал д(г), выводим соотношение (6.3).

2. Рассмотрим случай г > /г + 1; здесь имеем (ж*_|_1, ж*_|_2) = (ж*, ж*_|_ 1) и для Ь (Е (ж>+ь ж*+г) получаем Х^=1-т+1 Щ^э№) = Так чт0 после применения функционала д(г) отсюда находим (6.4).

3. Ввиду соотношений (4.10) при (*,3) € имеем (д(г\й^ = (д^1\с= 8^^, а при

(*,3) € Л получаем = (g(г\u^j-1) = <5*^-1; отсюда следуют формулы (6.5).

4. В случаях, не относящихся к предыдущим пунктам, верно соотношение (6.6), ибо при достаточно малом е > 0 интервал (ж*, ж* + е) и носитель рассматриваемой функции в этих случаях не пересекаются.

Теорема доказана.

Введем матрицу Д =£ с элементами qІJj.

Следствие 4. Матрица Д является левой обратной к матрице рТ.

Доказательство. Транспонируя соотношение (4.17), получаем равенство вектор-строк (и))Т (1,) = (й7)т(£)фт. Умножая слева это равенство на вектор-столбец й(й(г))*ех, ввиду свойства биортогональности (6.1) в левой части получаем единичную матрицу I, а справа (согласно формулам (6.2)—(6.6)) — матрицу Д, умноженную на что и требовалось.

В соответствии с определением §

справедливо включение §(д,^) С §(в* ^). Рассмотрим оператор Р проектирования пространства §(в*,у) на подпространство §(д,^), задаваемый формулой

Ри— ^ у а3 0, =

3

и введем оператор Q = I — Р, где I — тождественный оператор.

Пространство Ш — Q§(в*JV) называется пространством всплесков (вэйвлетов), а прямое разложение

§

называется сплайн-вэйвлетным разложением пространства §(в*,^).

Для элемента м е в соответствии с разложением (6.8) имеется два представ-

ления:

И = И и = О-г^ъ + /Щ >.

3 * *'

Формулы, выражающие коэффициенты а* и 6* ' через коэффициенты с3-, называются формулами декомпозиции, а формулы для определения с3- через а* и 6* ' называются формулами реконструкции.

Теорема 7. Для сплайн-вэйвлетного разложения (6.8) пространства м(в*,^) формулы декомпозиции имеют вид

а* ^ ' Я*3с3, 63 = с3 ~ ^ ' Р*зЧй'с*');

3 *' *

а формулы реконструкции можно записать в форме

сз = ^ а*р*,з + 63, Зе Я;

*

здесь числа р*з задаются формулами (4.Ц)-(4.15), а числа Ч**' —формулами (6.3)-

(6.6).

Доказательство. Рассмотрим систему функционалов {gj}jez^ биортогональную системе функций Из равенства (см. (6.9)) имеем и = Е + Е' =

ЕЛЕ *а так что для чисел = {gj,u) получаем соотношение (6.11), а

из него с учетом представления (6.7) выводим соотношения (6.10).

7. Заключительные замечания

В случаях т = 2 и т = 3 показано, что 63 = 0 при з = к, откуда следует, что всплесковым базисом пространства ТУ служит (В*, <у2)-сплайн шк', таким образом, Ш = {Ь йк | Ь £ К1} (см. [15, 16, 24]). В рассматриваемом общем случае справедлив аналогичный результат (подробное его изложение будет дано в другой работе).

Для сплайнов ненулевой высоты при т > 3 вопрос о сплайн-всплесковых разложениях пока остается открытым (случай т = 3 см. в [24]).

Литература

1. Михлин С. Г. Вариационно-сеточная аппроксимация // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т. 48. С. 32-188.

2. Демьянович Ю. К., Михлин С. Г. О сеточной аппроксимации функций соболевских пространств // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1973. Т. 35. С. 6-11.

3. Демьянович Ю. К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с.

4. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория минимальных сплайнов. СПб., 2000. 316 с.

5. Демьянович Ю. К. Всплески & минимальные сплайны. СПб., 2003. 200 с.

6. Демьянович Ю. К., Макаров А. А. Калибровочные соотношения для неполиномиальных сплайнов // Сб. Проблемы математического анализа. Вып. 34. 2006. С. 39-54.

7. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения на неравномерной сетке // Труды С.-Петерб. мат. об-ва, 2007. Т. 13. С. 27-51.

8. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М.; И., 2004. 464 с.

9. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи мат. наук. 1998. Т. 53, №6. С. 53-128.

10. Петухов А. П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб., 1999. 132 с.

11. Чуи К. Введение в вэйвлеты. М., 2001. 412 с.

12. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М., 2005. 671 с.

13. Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А. Теория всплесков. М., 2005. 616 с.

14. Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976. 248 с.

15. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М., 1980. 352 с.

16. Schumaker L. L. Spline Functions. Basic Theory. Waley Interscience. New York, 1981. 548 p.

17. А. И. Гребенников. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1983. 208 с.

18. Малоземов В. Н., Певный А. Б. Полиномиальные сплайны. Л., 1986. 120 с.

19. Buchwald B., Muhlbach G. Construction of B-splines for generalized spline spaces from local ECT-systems // Journal of Computational and Applied Mathematics. Vol. 159. 2003. P. 249-267.

20. V. A. Morozov, A. I. Grebennikov. Methods for Solution of Ill-Posed Problems. Algorithmic Aspect. Moscow University Press. 2005. 326 p.

21. MUhlbach G. ECT-B-splines defined by generalized divided differences // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2006. Vol. 187. P. 96-122.

22. Демьянович Ю. К., Иванцова О. Н. Гладкость пространств сплайнов третьего порядка // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 7. СПб.: ВВМ, 2006. С. 58-64.

23. Демьянович Ю. К. Локальный базис всплесков на неравномерной сетке // Записки науч. семинаров ПОМИ. Т. 334. Численные методы и вопросы организации вычислений. 2006. С. 84-110.

24. Демьянович Ю. К. Вложенность и всплесковые представления пространств минимальных сплайнов // Проблемы математического анализа, 2007. Т. 35. С. 13-41.

Статья поступила в редакцию 11 ноября 2007 г.