Принципы математической подготовки студентов с позиций информационной модели мышления

удк 37022 Н.И. Пак, Т.П. Пушкарева

ББК 74.5 ’ 3 г

Принципы математической подготовки студентов с позиций информационной модели мышления

В работе показана необходимость пересмотра научно-методических основ системы математического образования педагогического вуза в условиях становления информационного общества. Обоснован информационный подход к обучению математике. Предложена пространственно-временная модель мышления и на ее основе сформулированы принципы современной математической подготовки студентов педвузов.

Ключевые слова: математическая подготовка в педвузе, принципы обучения студентов математике, информационный подход, пространственно-временная модель мышления.

STUDENTS MATHEMATICAL PREPARATION PRINCIPLES FROM THE POSITIONS OF THINKING INFORMATION MODEL

The work reveals the necessityfor revision of scientific and methodical basis of mathematical education system for universities in the conditions of information society formation. The information approach to mathematical training is validated. The space-time model of thinking is offered and the principles of modern mathematical preparation ofpedagogical universities students are formulated on its basis.

Keywords: mathematical preparation in pedagogical university, principles of students mathematical training, the information approach, the space-time model of thinking.

Введение

Стремительное развитие компьютерных технологий, становление информационного общества выдвигают новые требования к качеству школьного образования. В этой связи актуальной становится проблема обновления профессиональной подготовки будущих учителей-предметников в условиях глобальной информатизации и коммуникации.

Большую роль в формировании необходимых качеств современного учителя играет математическое и информационное образование.

В настоящее время усиливается тенденция дидактических исследований процесса обучения учащихся естественно-научным дисциплинам на платформе информационного подхода, определяющего основной тезис: обучение является информационным процессом восприятия, сохранения и извлечения информации.

Фундамент математических знаний у человека закладывается с

раннего детства и развивается непрерывно в течение всей жизни. Быстрая смена технологий, увеличивающийся и меняющийся по содержанию поток информации, потребность в постоянном обновлении знаний определяют насущную необходимость перехода к непрерывному математическому образованию, как в школе, так и в вузе.

Известно, что математика - одна из наиболее сложных, с точки зрения усвоения, дисциплин. Основная причина заключается в абстрактности математических объектов, которые выражаются в основном символами и словами. Из-за отсутствия образа математического объекта, позволяющего его «материализовать», в сознании обучаемых знаки часто доминируют над их содержанием. В результате математический язык оказывается недоступным для понимания студентами нематематических специальностей, в силу их психофизиологических особенностей восприятия информации

и типа мышления. Это вызывает необходимость применения в процессе обучения математике современных средств и методов визуализации математической информации и знаний. При этом для системности, глубины и прочности приобретаемых знаний важно непрерывное использование информационных технологий в учебном процессе.

Исследования психологов, выявивших, что левое и правое полушария головного мозга выполняют различные функции в процессе мышления, привели к осознанию, что развитие абстрактно-логического мышления, соответствующего традиционному подходу обучения, не отвечает новым задачам.

Стремительное развитие науки и производства требуют от современного специалиста умения быстро находить оптимальные решения в условиях неопределенности. В таких ситуациях чаще всего анализ исходных информацион-

Н.И. Пак,

д.п.н., проректор по информационным технологиям Тел.: 8 (913)184-69-84, E-mail: nik@kspu.ru Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева www.kspu.ru

Т.П. Пушкарева,

к.ф.-м.н., доцент Тел.: 8 (904)895-67-98 E-mail: a_tatianka@mail.ru Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева www.kspu.ru

ных данных и логическое мышление заменяются интуицией, подсознательными действиями. Следовательно, в качестве одной из задач математического образования следует определить развитие интуитивного мышления.

Говоря о студентах нематематических направлений педагогического вуза, стоит отметить, что математика для них - это, в первую очередь, необходимый и полезный инструмент для решения профессиональных задач. В связи с этим требуется усиление профильной интегрированности и прикладной направленности в обучении будущих педагогов математике.

Таким образом, все сказанное выше требует пересмотра научнометодических основ системы математического образования с позиций информационного подхода.

Цель данной работы заключается в уточнении основных принципов современной математической подготовки студентов педвузов (не математиков) на основе информационной модели мышления.

Для формирования методологической базы процесса обучения учащихся математике спроектируем информационную модель мышления.

1. Информационная модель мышления

Мышление (гр. ноэзис) — это опосредованное и обобщённое отражение действительности, вид умственной деятельности, заключающейся в познании сущности вещей и явлений, закономерных связей и отношений между ними. В психологии под мышлением понимают совокупность умственных процессов, лежащих в основе познания; процесс ассоциаций, образование понятий и суждений.

Существует множество моделей мышления, однако практически ни в одной не раскрываются механизмы, обеспечивающие понимание мыслительных процессов.

Современные представления сущности мышления в большинстве своем носят описательный характер, выявляют в понятийной форме результаты мышления, определяют формы мышления, виды мышления, операции мышления [1].

Рассмотрим информационную модель мышления, основанную на

пространственно-временной структуре памяти [2].

Мышление является функцией мозга и представляет собой естественный непрерывный информационный процесс. В этой связи необходимо рассматривать процесс отражения объективной реальности в динамике всех составляющих его компонент.

Механизм мышления следует описывать с точки зрения особенностей формирования определенной структуры запомненной информации в памяти (опыт) и ее извлечения для организации жизнеобеспечения организма. Следовательно, выявление сущности мышления в первую очередь следует искать в структуре и природе памяти.

Память человека - это сложная многокомпонентная нейронная система, пронизывающая весь организм и предназначенная для сохранения информации о поведении организма в условиях реальной окружающей среды с целью ее дальнейшего использования для быстрой и успешной адаптации и удовлетворения своих потребностей.

Восприятие и запоминание отдельного фрагмента материи человеком необходимо рассматривать эволюционно во времени и в пространстве. Процесс восприятия заданного фрагмента является непрерывным во времени, началом которого служит момент первого взаимодействия с ним. Многие объекты окружающего мира начинают взаимодействовать с человеком с самого его рождения, например, воздух, молоко, мать и др., и будут взаимодействовать с ним на протяжении всей жизни. Некоторые объекты попадают в «поле восприятия» позже, а некоторые пропадают и исчезают. Таким образом, все события, с которыми сталкивается человек, можно характеризовать функциями состояний. Эти функции могут быть непрерывными, дискретными, случайными, определенными. Например, смена дня и ночи, круговорот воды в природе, агрегатные состояния воды, смена сезонов, землетрясения, химические превращения и др.

В памяти человека фиксируются свойства объектов и их предыстория в виде иерархического дерева, формирующегося в пространстве и во времени (рис. 1).

время

Рис. 1. Иерархическая структура запомненной информации в памяти

Свойства объекта - это те ощущения в нейронной системе организма, которые вызывает объект при взаимодействии с ним. Определив для каждого свойства меру (измеритель), можно его фиксировать с помощью некоторого кода. Например, размеры и форма тела, его расположение в пространстве, температура и пр. Свойства следует описывать с помощью функции от времени, значение которой может быть постоянным или меняться по определенным закономерностям в зависимости от условий среды и качества ощущений.

Уровень восприятия и понимания объекта зависит от структуры и содержания его иерархического пространственно-временного образа.

Каким образом в памяти фиксируется временная динамика всех сопровождающих человека событий? Следует предположить, что каждый нейрон имеет множество временных состояний, в каждом из которых он может быть активен и образовывать связи с другими нейронами.

На рис. 2 представлена временная развертка состояния группы нейронов, которые фиксируют некоторый динамический образ, сформированный за счет сенсорных ощущений за определенный промежуток времени. Сенсорная система (СС) непрерывно активирует и возбуждает заданный ансамбль нейронов (на рисунке их пять). При определенных условиях возбужденные нейроны в разные моменты времени образуют связи.

Подобная организация нейронов позволяет на заданном участке нейронной системы фиксировать образы окружающей действительности и динамику событий в пространстве и во времени.

Теперь рассмотрим общую структуру памяти организма и ее компоненты (рис. 3).

Каждый орган (на рисунке - в центральной части схемы) обладает эмоциональной системой раздражителей (ЭС) и моторной системой (МС), обеспечивающих функционирование органа адекватно воздействиям окружающей среды. Для фиксации опыта подобного взаимодействия органа имеется эмоциональная (ЭП) и моторная память (МП). Для функционирования организма в целом и для его

более адаптивного взаимодействия с окружающей средой у человека имеются органы чувств. Далее отдельно следует выделить эту сенсорную систему (СС), которая имеет специальную сенсорную память, включающую оперативную (ОП), кратковременную (КВП) и долговременную (ДВП) память.

Сенсорная система (СС) отбирает из окружающей среды сигналы, которые направляет в виде нервных импульсов в зону оперативной памяти (ОП), которая обеспечивает две функции: формирует текущие ощущения в виде чувственных образов (характерно для животных) и воображение осознанных образов (характерно для человека). Поскольку импульсы передаются в зону ОП порциями во времени, новая порция информации замещает старую. К примеру, смена порций визуальной информации

происходит в течение одного такта в 1/24 секунды. Эмпирически доказано, что каждая новая порция удерживается в КВП 7 тактов. При этом в КВП одновременно могут находиться 7 объектов информации. Время существования информации в КВП (примерно 7 тактов) определяется необходимым интервалом времени для устойчивого связывания нейронов между собой. Те связи, которые сохраняются надолго, образуют запомненный образ в ДВП. Каков механизм запоминания информации в ДВП?

Образы сенсорной памяти непосредственно связаны с образами эмоциональной и моторной памяти нервными связями, образуя нервное дерево (рис. 4).

Следует предположить, что для каждой заданной порции внешних сенсорных сигналов активируется определенное нервное дерево. Вероятнее всего с целью оптимизации временных и энергетических затрат организма, каждый удачный или неудачный (с точки зрения ЭС и МС) образ объектов и событий внешней среды запоминается. Другими словами, в долговременной памяти сохраняются лишь те сенсорные образы, которые связались нервными связями с образами эмоциональной и/или моторной памяти.

В каждой из выделенных компонент памяти (СП, ЭП, МП), помимо связанных общих нервных деревьев, имеются отдельные образы. Например, в сенсорной памяти фиксируются образы букв, цифр и пр., не имеющих связи с эмоциями и моторикой; в эмоциональной памяти имеются образы чувств, связанных лишь с отдельными органами; в моторной памяти - обра-

зы действий, которые имеют чисто «механический» характер.

Эволюционный процесс развития разума привел к ситуации, когда помимо образов реальных объектов и событий окружающей (внешней и внутренней) среды (ЧО) в памяти стали запоминаться модельные их образы: знаки, звуки, символы, рисунки (рис. 5). А это значит, что к чувственным образам стали присоединяться модельные образы (МО). Впоследствии каждому образу объекта, их моделям стали давать имена и понятия. Появилась понятийная зона памяти (ПО). Развитие понятийной области привело к появлению абстрактных понятий и, соответственно, к формированию абстрактной области памяти (АО).

На современном этапе МО представляет достаточно сложную совокупность модельных представлений окружающего мира, определяющую основу разума. Впоследствии модельные образы стали образовывать собственные деревья. В ЭП и МП появляются модельные коды (образы). Моделирование эмоций, действий, передача их смысла другим людям заставило природу ввести искусственные звуки, фонемы, впоследствии - слова, понятия, определившие появление понятийной области ПО. Следует признать, что «разумность», «сознание» появляется именно на этом этапе формирования модельнопонятийной области памяти.

Таким образом, следует принять предположение, что человеческая память в целом представляет структурно систему из трех компонентов: СП, ЭП, МП. В свою очередь, СП (его ДВП) состоит из четырех областей: ЧО, МО, ПО, АО (рис. 6).

Состояние памяти - это фиксированные деревья связанных нейронных образов всех перечисленных зон. Активация любой ее вершины (например, моторного образа) активирует все дерево, как по пространству, так и по времени.

Деятельность организма и поведение человека обеспечивается активацией подходящих деревьев.

Рис. 5. Структура ДВП

Рис. 6. Расширенное дерево связи нейронных образов

обр азы

Рис. 7. Обобщение и конкретизация образов объектов

Выбор нужных нервных деревьев осуществляется под воздействием сигналов окружающей среды либо запросов эмоциональной системы органов. Понятийная область позволяет фиксировать объекты окружающего мира в метриках (измерителях свойств) пространства и времени. Включение в нервное дерево образов понятийной области дает воображение: при активности сенсорной системы - реальное воображение окружающей среды, при активности лишь модельнопонятийной области - абстрактное воображение.

Каждый образ в любой зоне и области, являясь частью некоторого дерева, может быть автономным, существовать сам по себе, вступать в связи с образами других зон и областей. Возможность существовать вне деревьев, образовывать собственные связи на уровне модельных, понятийных и абстрактных областей делает образ элементарным кирпичиком для создания новых деревьев.

Поведение человека происходит под управлением цепочки активирующихся нервных деревьев, обеспечивающих удовлетворение потребностей всего организма в общем и каждого органа в частности. Активация образов в ЭП и МП определяет возбуждение соответствующих элементов эмоциональной и моторной систем. В соответствии с этим моторная система управляет мышечно-двигательным аппаратом организма, включая речевой анализатор и опорнодвигательную систему. (На рис. 3 обозначена как ВС - выходная система.) В отличие от внутренних органов, выходная система обеспечивает деятельность по ограничению или извлечению новых сигналов из окружающей среды для своей сенсорной системы с целью со-

хранения жизни и удовлетворения возникающих потребностей. Таким образом, возникает цикл обучения разумного организма с обратной связью: человек - среда.

Структура и объем нервных деревьев в памяти обусловливают способы извлечения (активации) информации. Процесс поиска подходящих деревьев и моделирование новых деревьев, как информационный процесс оптимизации и выбора из имеющейся совокупности образов, представляет мышление. Каждое активированное нервное дерево следует назвать мыслью. Тогда мышление представляет способ конструирования цепочки мыслей.

Вышесказанное определяет довольно сложную пространственновременную конфигурацию памяти и трудности в извлечении нужной информации в силу большого объема и многомерной иерархической структуры. Минимизировать процесс запоминания и облегчить способы извлечения информации позволяют информационные операции сравнения, обобщения и конкретизации [3].

Образы сходных объектов в памяти представляют многослойную структуру, сжатие ее по времени формирует обобщенный об-

раз этих объектов (рис. 7). Каждый образ является частью обобщенного (целого). Конкретизация целостного обобщенного образа приводит к заданному экземпляру объекта. При этой процедуре возможно формирование конкретного образа, несуществующего в реальной практике. Этот нереальный конкретный образ снова вовлекается в обобщение (рекурсия). Поэтому обобщение и конкретизация образов являются главными механизмами мышления на чувственном, модельном и понятийном уровнях.

Аналогичные рассуждения можно провести по отношению к образам событий.

Если сжатие образов событий пространственно-временной нейронной системы осуществлять по пространству, то получим обобщение сходных событий: дождь, снег, смена дня и ночи, смена времен года, течение воды, полет птицы и самолета, падающее тело и т.п. (рис. 8).

Свойства и характеристики обобщенного события для нас представляют закономерности природы, которые позволяют осознавать, моделировать и прогнозировать конкретные события. Повторение сходных событий происходит циклически. Циклы - это выявленные закономерности течения событий во времени, рекурсия - закономерности в пространстве.

Обобщенный образ события не только позволяет формировать конкретное событие, как в случае с образами объектов, но и прогнозировать события в будущем и определять, что было в прошлом.

Механизм извлечения (активации) цепочки образов чувственной области (ЧО), связанной с ЭП и МП, следует назвать интуитивным мышлением.

обр азы

Рис. 8. Обобщение и конкретизация образов событий

Механизм извлечения (активации) цепочки образов модельной и понятийной областей (Мо и ПО) представляет логическое м ышление.

Механизм извлечения (активации) цепочки образов абстрактной области (АО) назовем абстрактным мышлением.

Качество любого типа мышления определяется содержанием и количеством образов, мощностью их обобщений: полнотой и глубиной. Четкость мысли зависит от мощности своего образа (объема и глубины иерархии). Глубина мысли (информационная емкость) - это количество образов, активируемых связями с заданным образом (этой мыслью).

Таким образом, мыслительный процесс (мышление) представляется как активация в памяти последовательности (цепочки) пространственно-временных, иерархически связанных нейронных деревьев из эмоциональных, моторных и сенсорных образов, отражающих объективную реальность в виде объектов, их свойств и отношений материального мира на чувственном, модельном, понятийном и абстрактном уровнях.

2. Математическое мышление

Если мыслительный процесс связан с образами математических объектов чувственной, модельной и понятийной областей памяти, то его можно назвать математическим мышлением. Особенность математического мышления заключается в том, что иерархические деревья математических образов обладают большими объемом и глубиной иерархии в модельной, понятийной и абстрактной зонах памяти (выделенный сектор на рис. 9). В этом заключается главная трудность усвоения математических знаний. Действительно, математический тезаурус в вершине иерархии имеет небольшую мощность образов чувственной зоны (ощущения: близко - далеко, много - мало и пр.). Тезаурусное дерево в модельной и понятийно-абстрактной зонах «разветвляется» за счет введения математических моделей, знаков и понятий.

Восприятие, понимание и извлечение математической информации

Математический тезаурус

Рис. 9. Зона математических образов и понятий

зависит от сформированной структуры математического тезауруса.

Под влиянием различных факторов в процессе жизнедеятельности тезаурус меняется как качественно, так и количественно. С появлением новых понятий происходят их дифференциация и интеграция в имеющиеся и новые деревья. Изучение математики в вузе базируется на математических знаниях, полученных в школе (рис. 10). Каждое новое понятие усваивается, если оно представлено в виде осмысленных связей, в старые и новые структуры между которыми необходимо вставить ассоциативные образы.

Следовательно, «правильное» формирование математического тезауруса должно осуществляться иерархически непрерывно во времени, от базовых образных представлений и элементарных математических моделей и понятий к сложным абстракциям.

Базовые образные математические представления на чувственном и модельном уровнях удобнее формировать на объектах реальной среды, в реальной практикоориентированной и профильной деятельности.

В условиях профильного образования, большой интеграции учебных предметов, с точки зрения информационного подхода процесс обучения математике студентов нематематических факультетов представляется нам как процесс формирования у обучаемых интегрированного учебного тезауруса[4].

По сути, интегрированный тезаурус - это синтез математического тезауруса и профильного, а не просто сумма двух тезаурусов. Он представляет собой новое знание, которое по объему меньше, чем сумма составляющих его частей (рис. 11).

Значит, для запоминания новых понятий потребуется меньше вре-

мени, а это особенно актуально в условиях постоянного сокращения количества часов для изучения математики. Более того, интегрированный тезаурус обеспечивает высокий уровень междисциплинарных связей математики с профильными предметами, что облегчает понимание математики, обеспечивает мотивацию ее изучения, способствует осознанному овладению знаниями и навыками использования математических методов, в том числе метода математического моделирования, в профильной деятельности.

Освоение математических абстракций будет облегчено при наличии сенсорного сопровождения в пространстве и во времени, например, динамической визуализации информации и знаний.

Начальный уровень сформиро-ванности математического мышления является интуитивным, поскольку вершинами тезаурусно-го дерева являются чувственные и модельные образы. Осознание чувства меры окружающей действительности, в первую очередь ме-

Рис. 10. Динамика формирования математического тезауруса

Рис. 11. Интегрированный тезаурус

трик длины, количества и течения времени, обеспечивает понимание счета, измерителей пространственных и временных характеристик объектов среды. В этой связи для людей, не связанных с профессиональной математической деятельностью (тех, для кого важнее абстрактное мышление), интуитивное мышление в процессе изучения математики играет ключевую роль.

Вышесказаное определяет обновленные дидактические принципы математической подготовки, главные их которых:

1. Иерархическая непрерывность обучения математике в пространстве и во времени.

Удовлетворение этого принципа можно достичь при выполнении следующих условий:

• единство системы целей и содержания математического образования - предполагает построение единой системы целей и содержания образования на всем протяжении обучения математике от начальных классов в школе до вузовского, а затем послевузовского обучения;

• единая образовательная среда - предполагает объединение информационных, материальных, технических и интеллектуальных

ресурсов школы и вуза, создание единой учебной информационной предметной среды, обеспечивающей преемственность школьных и вузовских учебников по математике; связь с научными институтами; универсальность контроля и диагностики знаний школьника и студента, организацию непрерывной исследовательской деятельности обучающихся;

• концентричность отбора содержания - предполагает ступенчатое, многоуровневое построение содержания математики, начиная с понятийного, «интуитивного» уровня с последующим углублением изучения дисциплины (базовый, программный, творческий уровень и т.д.).

2. Профильная интегрированность и прикладная направленность содержания матподготовки.

Для удовлетворения этого принципа необходимы:

• междисциплинарность содержания - раскрывает логикосодержательные связи математики с другими дисциплинами (например, химией);

• интегрированные с математикой профильные курсы, основанные на методе математического моделирования - обеспечат уси-

ление внутренней и внешней мотивации к освоению математических знаний, самостоятельность, активность, реализацию личностноориентированных дидактических принципов.

3. Образность восприятия математической информации и знаний в пространстве и во времени.

Удовлетворение данного принципа возможно при условии:

• использования методов динамической визуализации математической информации и знаний (концептуальные карты, анимации, электронные учебные материалы и т.п.);

• использования новых информационных технологий.

4. Доминантность развития интуитивного мышления.

Для выполнения этого принципа необходимо использование метода системной динамики [5] в содержании и средствах обучения (подбор специальных заданий, задач, имитационное и математическое моделирование).

Выводы

Прогресс в области ИКТ, искусственного интеллекта, исследований разума обусловливает реконструкцию классических принципов дидактики. Серьезные изменения необходимо внести в существующие методические системы предметной подготовки студентов. Особенно значимо обновление математической подготовки будущих учителей естрественно-научных направлений. Предложенная информационная пространственновременная модель мышления позволила уточнить основные принципы обучения студентов нематематического профиля и обозначить способы их реализации в современных условиях информатизации образования.

Литература

1. Солсо Р. Когнитивная психология. - 6-е изд. - СПб.: Питер, 2006. - 589 с.

2. Пак Н.И. Пространственно-временная информационная модель памяти // Тр. междунар. конф. «Фундаментальные науки и образование». Бийск, 2011.

3. Пак Н.И., Хегай Л.Б.Разработка трехмерных учебных материалов на основе гипертекстовой технологии // Инновации в непрерывном образовании. - 2012. - №4.

4. Пушкарева Т.П. Формирование математического тезауруса как результат обучения математике // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. - 2012. - №2 - С. 132-138.

5. Пак Н.И. Развитие интуиции и параллельного мышления методом системной динамики // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. - 2012. - №2. - С. 117-124.