Несколько замечаний о топологии Зарисского на алгебраических системах

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 4. С. 27-32.

УДК 512.57+515.12 М.В. Котов

НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ О ТОПОЛОГИИ ЗАРИССКОГО НА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ*

Изучаются взаимосвязи между заданной на топологической алгебраической системе топологией, топологией Зарисского и совокупностью алгебраических множеств. Доказаны некоторые свойства топологии Зарисского, изучены топологические алгебраические системы, для которых заданная топология совпадает с топологией Зарисского и для которых совокупность алгебраических множеств совпадает с совокупностью замкнутых в заданной топологии множеств.

Ключевые слова: топология Зарисского, топологические алгебраические системы, универсальная алгебраическая геометрия, алгебраические множества.

Введение

Основными объектами изучения универсальной алгебраической геометрии являются алгебраические множества, т. е. множества решений систем уравнений. Если наделить алгебраическую систему топологией, согласованной со структурой алгебраической системы, т. е. превратить её в топологическую алгебраическую систему, то некоторую информацию об алгебраических множествах можно получить из свойств полученного топологического пространства.

Например, в классической алгебраической геометрии изучаются множества нулей многочленов над полем вещественных чисел Я . Хорошо известно, что в этом случае все множества решений уравнений будут замкнутыми в евклидовой топологии. Ниже показано, что аналогичное утверждение имеет место в случае произвольной топологической алгебраической системы А = (А,Т,Ь) с хаусдорфовой топологией Т .

Для некоторых топологических алгебраических систем А =(Л, Т, Ь) верно и обратное включение, т. е. любое замкнутое в топологии Тп множество X с Ап является алгебраическим над А . Заметим, что в этом случае мы получаем описание алгебраических множеств, в чем и состоит одна из основных задач универсальной алгебраической геометрии. Описание таких алгебраических систем даётся утверждением 4.

В универсальной алгебраической геометрии важную роль играет топология Зарисского, которая определяется как топология, предбазой замкнутых множеств которой является совокупность всех алгебраических множеств. Некоторые свойства этой топологии доказываются в этой работе.

Для некоторых топологических алгебраических систем, для которых не имеет место утверждение 4, удаётся доказать более слабое утверждение о том, что любое замкнутое в топологии Тп множество является замкнутым в топологии Зарисского. Утверждение 5 даёт описание алгебраических систем с таким свойством.

В качестве следствия из утверждения 5 показывается, что для линейно упорядоченных решёток и линейно упорядоченных множеств топология Зарисского совпадает с порядковой топологией.

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (субсидия, соглашение с Минобрнауки РФ № 14.В37.21.0359 и 0859). При поддержке гранта РФФИ №12-01-31008мол_а.

© М.В. Котов, 2012

Топология Зарисского

В этом разделе напомним некоторые определения из универсальной алгебраической геометрии, следуя [2-6], и рассмотрим некоторые свойства замыкания в топологии Зарисского.

Пусть x - конечный набор переменных, L - произвольный язык. Любая атомарная формула языка L от переменных x называется уравнением. Любое множество уравнений от переменных x языка L называется системой уравнений.

Пусть A = {A, L) - произвольная алгебраическая система языка L . Точка a е An называется решением уравнения s(x) языка L от n переменных x над A , если A |= sA(a) . Точка а е An называется решением системы уравнений S(x) над A, если она является решением каждого уравнения системы S .

Множество всех решений системы уравнений S (x) называется алгебраическим

над A множеством, соответствующим системе уравнений S , обозначается VA (S) . Совокупность всех алгебраических над A множеств Y с An обозначим AA n.

Зафиксируем положительное целое число n. Топологией Зарисского на множестве An называется топология, предбазой замкнутых множеств которой является совокупность AAn . Топологию Зарисского будем обозначать ZA n . Отметим, что, вообще

говоPя, ZA,n * ZA,in .

Алгебраическая система A называется эквациональной областью [5], если для любого целого положительного n и любых

Y,Z е AAn объединение Y и Z принадлежит AAn. Если A - эквациональная область и 0е AAn , то AA,n = Cl(ZA,n) [5].

Алгебраическая система A называется нётеровой по уравнениям, если для любого целого положительного n и любой системы уравнений S от n переменных найдётся конечная подсистема S0 системы S такая, что VA(S) = VA(So).

Напомним, что топологическое пространство (X, T) называется нётеровым, если любая строго убывающая цепочка замкнутых в топологии T множеств обрывается.

Лемма 1 [2; 3]. Алгебраическая система A = (A,L) является нётеровой по уравнениям тогда и только тогда, когда для любого

целого положительного п топологическое пространство (Ап, ZAn) является нётеро-вым.

Множество У с X , У ^0 называется неприводимым в топологическом пространстве (X, Т) , если для любых замкнутых в топологии Т множеств У1,У1 сX из включения У с У1 и У2 следует, что У с У1 или У с У2.

Пусть X с Ап - произвольное множество, А = (А, Ь) - произвольная алгебраическая система. Определим алгебраическое замыкание с1А и замыкание в топологии

АА,п

Зарисского е1^ следующим образом: с1. X = I У , с17 X = I У . Легко пока-

А,п У еЛАп А’п У eZAn

XсУ , XсУ,

зать [3], что

1) с1^ X с с1Аа X для любого множества X с Ап;

2) если А - эквациональная область и 0ё А. , то с17 X = с1А X;

А,п ’ Zа,п А.,п ’

3) с1^ X = с1Ад X тогда и только тогда, когда с1^ X - алгебраическое множество;

4) если X - неприводимое

в топологии ZA п множество, то

с^Д = с^Х-

В случае если А нётерова по уравнениям, то замыкание в топологии Зарисского удаётся выразить через алгебраическое замыкание.

Утверждение 1. Пусть А = (А, Ь) -

произвольная нётерова по уравнениям алгебраическая система, X с Ап - произвольное непустое множество. Тогда

^ = ^А^1 и к и c1AAnXa , где

X = X1 и к и Xm - разложение множества X на неприводимые в топологии ZA п

компоненты.

Доказательство. В самом деле, так как А нётерова по уравнениям, то по лемме 1 топологическое пространство (Ап, ZAn ) является нётеровым. Следовательно [12], множество X является конечным объединением неприводимых алгебраических множеств X = X1 и к и Xm . Так как объединение конечно, то с17 X = с17 и X, = и с17 X,..

А’п A,n 1<<т 1<<т A,n

Но для неприводимых множеств X,, как было сказано выше, алгебраическое замыкание совпадает с замыканием в топологии ZA,n .

Следуя А. И. Мальцеву [7], введём понятие трансляций алгебраической системы. А

именно, пусть А = (А,Ь) - произвольная алгебраическая система, тогда преобразования множества А , имеющие вид х а tA (х), где t(х) - некоторый терм языка Ь от переменной х, называются трансляциями алгебраической системы А . Произведение трансляций алгебраической системы А , определяемое формулой (^2)(х) = ^2(х)) , снова является трансляцией. Таким образом, множество всех трансляций алгебраической системы А образует полугруппу - полугруппу трансляций. К числу трансляций относится всегда и тождественное отображение гё . Трансляция t1 называется обратимой, если существует трансляция t2 такая, что ^2 = t2t1 = гё . Все обратимые трансляции

алгебраической системы А составляют группу обратимых трансляций алгебраической системы А .

Пусть Ь - язык, В - множество, тогда ЬВ будет обозначать расширенный язык Ь и {сЬ }ЬеВ . При этом, если A = (А,ЬВ ) - алгебраическая система языка ЬВ , В с А , то

будем считать, что сьА = Ь .

Лемма 2 [3]. Любое термальное отображение tA : Ап а Ат произвольной алгебраической системы А является непрерывным отображением из топологического пространства (Ап, ZAn ) в топологическое пространство (Ат, ZAm).

Лемма 3. Любая обратимая трансляция t произвольной алгебраической системы А является непрерывным, открытым и замкнутым в топологии Зарисского (А, ZA1) отображением.

Доказательство. По предыдущей лемме t и Г1 являются непрерывными функциями, откуда получаем, что трансляция t является гомеоморфным отображением. А любое гомеоморфное отображение является одновременно и замкнутым, и открытым [8].

Лемма 3 обобщает следующее известное утверждение для групп [9].

Лемма 4. Пусть О = (О,Ь О) - некоторая группа, а е О , А с О, тогда

1) если АеС1^01), то А-1, аА, Аа е С1^од);

2) с12од (аА) = ас12одА, с12од(Аа) =(с1 2од А)а.

Доказательство. Достаточно заметить,

что для любого а е О отображения х а х—, х а ах и х а ха являются обратимыми трансляциями группы О .

Утверждение 2. Пусть A = (А,Ь) -

произвольная алгебраическая система,

t( х1,к, хп) - терм языка ЬА и А1,... Ап с А .

Тогда t ^2^ Д,...,^^ Ап ) с (А1,к, Ап ).

Доказательство. Заметим, что ^(с17 А,,с17 А,,...,с17 А) =

4 7Л,1 ^ 7Л,1 2’ ’ 7Л,1 п/

= и Г4(с!7 А.,а2,...,а)с

0Иес11л, 4 ^ 2а1 15 2’ ’ пП~

апес11Л1 Лп

с и с17 ^(А,а2,...,а)с

~а ес1 А 7Л,1 у 15 2 п/_

°2ес/7л,1Л2

апес17Л1 Лп

сс/7 tA(А,с17 А,,...,с17 А).

— 7Л,1 4 ^ 7Л,1 2’ ’ 7Л,1 п/

Первое включение имеет место в силу непрерывности трансляций. Повторяя аналогичные рассуждения ещё п -1 раз, получаем требуемое включение.

Топологические алгебраические системы

В этом разделе определим топологические алгебраические системы, приведём известные топологические факты, переписанные с помощью терминологии универсальной алгебраической геометрии, и покажем, когда алгебраические множества являются замкнутыми в заданной топологии.

Пусть А = (А, Ь) - произвольная алгебраическая система. Предположим также, что на множестве А задана некоторая топология Т . Тогда если для любого функционального символа / е Ь функция

fA : Ап а А является непрерывным отображением из топологического пространства (А1, Т^ ) в топологическое пространство (А, Т) и для любого предикатного символа

г A

г е Ь множество г является замкнутым в топологии ТПг , то алгебраическая система А называется топологической [7] и обозначается (А,Т,Ь).

Если некоторая топология Т превращает алгебраическую систему А в топологическую, то будем говорить, что Т является топологией на А .

Имеют место следующие две леммы.

Лемма 5 [8]. Пусть А = ( А, Т, Ь) - топологическая алгебраическая система. Пространство (А, Т) хаусдорфово тогда и только тогда, когда множество решений уравнения х = у замкнуто в топологическом пространстве (А2,Т2) .

Лемма 6 [8]. Пусть А = (А,Т,Ь) - топологическая алгебраическая система, топология Т является хаусдорфовой и s(x) -уравнение языка Ь от п переменных х.

Тогда множество VA (s(x)) замкнуто в топологическом пространстве ( An, Tn ) .

Лемма 6 в [8] доказывается только для уравнений вида ?1(x) = t2(x) , но приведённое там доказательство переносится и на уравнения вида r(t1(x),...,(x)) .

Утверждение 3. Пусть A = (A, T,L) -

топологическая алгебраическая система. Для любого положительного целого n любое

алгебраическое над A множество Y с An является замкнутым в топологическом пространстве (An, Tn) тогда и только тогда, когда топологическое пространство (A, T) является хаусдорфовым.

Доказательство. В самом деле, если (A, T) хаусдорфово, то по лемме 6 множество решений любого уравнения замкнуто

в топологии Tn . А так как пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто, то будет замкнутым и множество решений любой системы уравнений. Наоборот, если

для любого n замкнуто в топологии Tn любое алгебраическое над A множество

Y с An, то, в частности, будет замкнуто множество решений уравнения x = у . Следовательно, по лемме 5 пространство (A, T) хаусдорфово.

Замечание 1. Из утверждения 3 следует, что если топология хаусдорфова, то для любого целого положительного n верны

включения AAn с Cl(ZAn) с Cl(Tn), т. е. топология Зарисского мажорируется топологией T .

Замечание 2. Утверждение 3 позволяет в некоторых случаях легко отвечать на вопрос о том, является ли какое-то множество алгебраическим. Так как если показать, что множество не является замкнутым в какой-либо хаусдорфовой топологии на A, то тогда оно не будет алгебраическим. Например, рассмотрим алгебру A = (R, max, • , + , - , 0, 1), и в качестве топологии на R рассмотрим евклидову топологию. Тогда из утверждения 3 следует, что множества ]0,1[ и [0,1[ не являются алгебраическими над этой алгеброй. Это наблюдение можно обобщить. Так как включение ZA1 с T верно для любой хаусдорфовой топологии на A , то можно рассмотреть точную нижнюю грань множества всех хаус-дорфовых топологий на A в решётке топологий на A . Полученная топология рассматривалась А. А. Марковым в [9]. Обозначим эту топологию MA . Имеем следующую

цепочку включений: ZA1 с MA с T .

Сформулируем проблему, поставленную А.А. Марковым для групп, но имеющую смысл для любой алгебраической системы.

Проблема Маркова. Для. заданной алгебраической системы A доказать или опровергнуть, что ZA1 = MA .

Например, если для некоторой алгебраической системы топология Зарисского является дискретной, то эта проблема для этой алгебраической системы, очевидно, решается положительно. Ниже будут рассмотрены алгебраические системы, для которых эта проблема также решается положительно.

Совпадение топологии Зарисского с заданной топологией

Выясним, когда совокупность алгебраических множеств совпадает с совокупностью замкнутых множеств, а также когда топология Зарисского совпадает с заданной топологией.

В работе [1] была доказана следующая лемма.

Лемма 7 [1]. Пусть (A, T) - топологическое пространство, B1 - база открытых множеств топологии T . Для того чтобы некоторая совокупность B2 замкнутых множеств топологии T была базой замкнутых множеств этой топологии, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки а е A и любого содержащего точку а множества X е B1 существовало множество Z е В2, не содержащее точку а и содержащее множество A \ X .

Имеют место следующие утверждения. Заметим, что утверждение 4 для случая, когда алгебраическая система является алгеброй, доказана в работе [1].

Утверждение 4. Пусть A = (A, T, L) -топологическая алгебраическая система, T - хаусдорфова топология, n - положительное целое число. AAn = Cl(Tn) тогда и только тогда, когда найдётся такая база B топологии Tn , что для любой точки а е An и любого содержащего точку а множества X из B найдётся алгебраическое множество Y , не содержащее точку a

и содержащее множество An \ X .

Доказательство. Так как топология T хаусдорфова, то из утверждения 3 следует,

что AAn с Cl(Tn ) , следовательно, можно

воспользоваться леммой 7.

Совершенно аналогично доказывается утверждение 5.

Утверждение 5. Пусть A = (A, T, L) -

топологическая алгебраическая система, T - хаусдорфова топология, n - положительное целое число. Z A n = Tn тогда и только тогда, когда найдётся такая ба-

за В топологии Тп, что для любой точки а е Ап и любого содержащего точку а множества X из В найдётся замкнутое в топологии Зарисского ZA п множество У , не содержащее точку а и содержащее

множество Ап \ X .

В работе [1] показано, что для алгебр А = (Я, +,| -|,-1,0,1), Л2 = (Я,тах, •,+,-, 0,1) и Л3 = (Я,тах,-,+,-1,0,1) выполнены все условия утверждения 4, если множество Я снабдить евклидовой топологией, следовательно, для этих алгебр и для любого целого положительного п совокупность алгебраических множеств У с Яп над этими алгебрами совпадает с совокупностью замкнутых в евклидовой топологией подмножеств Яп .

Пусть Ь^ = {л, V} - язык решёток,

Ь01й = {<} - язык упорядоченных множеств. Рассмотрим произвольную решётку Ь = (Л,ЬЫА) . Назовём решётку линейной,

если соответствующее ей частично упорядоченное множество является линейно упорядоченным. Зададим на Ь порядковую топологию Т , взяв в качестве базы топологии В совокупность следующих множеств: А , {х < а} , {х > а} , {а < х < Ь}, где а,Ь е А .

Следствие 1. Для любой линейной решётки Ь = (Л, Ь1а4А) (а также линейно упорядоченного множества Ь = ( А, ЬтйА ) ) и для любого целого положительного п топология Зарисского Zь п совпадает с порядковой топологией 1Ь .

Доказательство. Докажем случай линейных решёток. Случай линейно упорядоченных множеств доказывается аналогично. Топология Т является хаусдорфовой [10] и,

как несложно показать, превращает Ь в топологическую алгебру. Заметим, что У (а V х = а) = {х < а}, УЬ (а V х = х) = {х > а} . Предположим далее, что решётка состоит более чем из одного элемента, тогда пустое множество также будет алгебраическим. Заметим также, что Вп является базой топологии Т^ . Пусть X е Вп , тогда множество X имеет вид X = В1 х... х Вп , где В1 - одно из множеств, перечисленных в определении базы В , и пусть (а1,...,ап)еX . Покажем, что множество

У = Ап - X является замкнутым в топологии Зарисского. В самом деле оно представимо в виде У = У1 и к и Уп, где

У = А-1 х {х, < а} х Ап-г, если В1 = {х, > а},

У. = А-1 х {х. > а} х Ап-г, если В1 = {х, < а},

У = А'-1 х ({х, < а} и {х, > Ь}) х Ап- , если

B = {а < xt < b}, Y =0 , если B = A . Таким образом, Y является объединением алгебраических множеств, следовательно, является замкнутым в топологии Зарисского. Следовательно, применяя утверждение 5, получаем требуемое.

Отметим, что вопрос о совпадении топологии Зарисского ZL1 с порядковой топологией TL для дистрибутивных решёток изучался в работе [11].

Пусть L с L' - расширение языка, если A = ( A, L) и A' = ( A, L') такие алгебраические системы, что fA = fA , rA = rA и cA = cA для всех f, r, c е L , то будем говорить, что A' является расширением A .

Утверждение 6. Пусть A = (A, T, L) -топологическая алгебраическая система, T - хаусдорфова топология, n - положительное целое число и ZA n = Tn . Тогда

1) если топологическая алгебраическая система A' = (A, T, L') является расширением алгебраической системы A , то Za ,n = Tn;

2) если n = 1, то MA = ZA1;

3) топология ZAn является хаусдорфо-

вой;

4) если A является нётеровой по уравнениям, то множество A является конечным.

Доказательство. Пункт 1 следует из замечания 1 и того факта, что ZA n с ZA, n .

Пункт 2 следует из цепочки включений из замечания 2. Пункт 3 следует из замечания 1. Пункт 4 следует из замечания 1, леммы 1 и того факта, что если топологическое пространство нётерово и хаусдорфово одновременно, то оно конечно [12].

Пусть A = ( R, TE, Lr ) - топологическая алгебраическая система, язык которой содержит символ отношения порядка < , интерпретированный естественным образом, и TE - евклидова топология. Тогда из пункта 1 утверждения 6 и следствия 1 следует, что топология ZA,n совпадёт с евклидовой

топологией TEn при любой интерпретации остальных символов языка L .

ЛИТЕРАТУРА

[1] Котов М. В. Алгебраическая геометрия над некоторыми топологическими алгебрами // Алгебра и теория моделей, 8 : сб. трудов / под ред. А. Г. Пинуса и др. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. С. 40-47.

[2] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Alg. Discr. Math. 2008. № 1. Р. 80-112.

[3] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над ал-

гебраическими системами. II. Основания, Фундамент. и прикл. матем. 2012. Т. 17. № 1. С. бб-10б.

[4] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures NN Equationally Noetherian property and compactness. South. Asian Bull. Math. 2011. Vol. 35. № 1. P. 35-б8.

[б] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. IV. Эквациональ-ные области и ко-области // Алгебра и логика. 2010. Т. 49. № б. С. 71б-7бб.

[б] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над ал-

гебраическими системами V: Случай произвольной сигнатуры (готовится к печати).

[7] Мальцев А. И. К общей теории алгебраических систем : матем. сб. 1954. Т. 35. № 1. С. 35-20.

[8] Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология : учеб. пособие для вузов. М. : Высш. школа, 1979.

[9] Марков А. А. О безусловно замкнутых множествах : матем. сб. 1946. 18(60). № 1. С. 35-28.

[10] Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. М. : Наука, 1984.

[11] Gierz G., Stralka A. The Zariski topology for distributive lattices, Rocky Mountain // J. Math. 1987. Vol. 17. № 2. P. 196-217.

[12] Бурбаки Н. Коммутативная алгебра : пер. с фр. М. : Мир, 1971.