Нелинейное уравнение в частных производных, связанное с оператором Дирака

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«наука. инновации. технологии», № 2, 2018

удк 517.95 Яновская О.С. [Yanovskaya O.S.],

Сурнева О.Б. [Surneva O.B.]

нелинейное уравнение в частных производных, связанное

с оператором дирака

Nonlinear equations in private derivatives, related to the operator of Dirak

Рассматривается теория нелинейных интегрируемых уравнений, обладающих солитонными решениями нового типа - опрокидывающимися солитонами. Исследуется операторная конструкция предложенная О.И. Богоявленским, и имеющая аттракторы в фазовом пространстве. Для вывода нового нелинейного уравнения используется операторная структура L = [L,A] + P(L), расширяющая конструкцию Лакса, с L,A - дифференциальными операторами, P(L) - полином 1-го порядка. В качестве оператора L рассматривается дифференциальный оператор Дирака первого рода. Определяются необходимые и достаточные условия, при которых операторное уравнение является условием совместности трех линейных дифференциальных уравнений: первое - является уравнением на собственные значения оператора L по пространственной переменной и спектральными значениями, параметрически зависящими от времени, второе - описывает динамику собственных функций оператора L по временной переменной, третье - определяет спектральную функцию. Показано, что спектральная функция может иметь орбиту - устойчивое подмногообразие или аттрактор.

Theory of integrable nonlinear equations possessing soliton solutions of a new type - tipper solitons. The operator examines the design proposed by O.I. Bogoyavlensky, and having attractors in the phase space. For output of a new nonlinear equation is used operator structure Lt = [L,A] + P(L), that extends the design of lax, L,A - differential operators, P(L) - polynomial 1-th order. As the operator L, one considers the dierential Dirac operator of the first kind. Are defined by necessary and sufficient conditions under which the operator equation is the compatibility condition for the three linear differential equations: the first is the eigenvalue equation of the operator L on the space variables and the spectral values parametrically dependent on time, the second describes the dynamics of the eigenfunctions of the operator L in a temporary variable, and the third one defines the spectral function. It is shown that the spectral function can have an orbit -stable subvariety or attractor.

Ключевые слова: аттрактор, нелинейное уравнение в частных производных, оператор Дирака, спектральная функция, операторное уравнение, комплексная функция, полином.

Key words: attractor, nonlinear partial differential equation, Dirac operator, spectral function, operator equation, complex function, polynomial.

Для вывода уравнения используется операторная структура Ь, = [Ь,А] + Р(Ь), с Ь,А - дифференциальными операторами, Р(Ь) - полином 1-го порядка. В качестве оператора Ь рассматривается дифференциальный оператор Дирака первого рода.

В последние годы существует множество направлений математической физики, связанных с динамическими моделями с аттракторами. Большое внимание физиков и математиков привлекают бесконечные решетчатые системы

[2, 5, 7]. Аттрактор является важным понятием для описания долгосрочного поведения решений для системы. Так Темам систематически изучал глобальный детерминированный аттрактор многих конкретных детерминированных автономных уравнений, возникающих в математической физике, Че-пыжов и Вишик исследовали неавтономные уравнения. Глобальный случайный аттрактор был впервые изучен Рюэлем [6], а позднее Крауэлом, Дебус-щем, Фландолем, Чмалфуссом, Имкеллекром, Лангом, Робинсоном и др. разработана теория случайных аттракторов [3, 4].

Большинство интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных, имеющих решения солитонного типа, имеет представление Лакса с линейными операторами Ь и А, обладающие специальными свойствами. Рассмотрим алгебраическую конструкцию, расширяющую конструкцию Лакса [1], и, имеющую аттракторы в своем фазовом пространстве, представленную уравнением

хг=[4л]+ад,

где Ь,А - дифференциальные операторы по переменной х, не содер-

жащие дифференцирования по переменной ^ [Ь,А] = ЬА — АЬ, Рп(Ь) - полином п-го порядка.

Уравнение

¥,=~АУ,

т = Р„Ш),

где у(х,Ц) -

т -

собственная функция оператора Ь,

спектральная функция параметрически зависит от t, для которой с учетом (2) выполняется свойство

Будем использовать в качестве оператора Ь оператор Дирака, который имеет две канонические формы:

4

Го Г 5 (

—+

0, 8х ^

<7,0,0 0 '

О д2м

№ 2, 2018

77

2 ~~

0 1

V-! 0/

д — +

дх

<71 Ом) 12(х>0 ц2(х,{) -9,0,0.

(х,?), д2 (х,?) - произвольные функции двух независимых переменных.

Так как операторы (5), (6), подлежащие рассмотрению в качестве одного из коммутационных членов равенства (1), имеют матричные коэффициенты 2 х 2, то формально записанная система (2) - (4), из которой возникает условие совместности (1), должна быть уточнена. Выполним преобразование системы (2) - (4), и определим дополнительные условия необходимые для перехода от (2) - (4) к (1.1). Продифференцируем уравнение на собственные значения (2) по переменной ?

Цуг + ЬГ,=Х( 1)у/+ Л(1)уг,,

выполним подстановку значений производных из (1.3),

(1.4), тогда

Цу/ = ЬАу/ + Рп - Щ)Ацт.

Для получения (1) из (7) необходимо выполнение условий:

РЯШУТ = РЛт¥) = Р„(!¥) = ЗДУ,

Х{1)Ау/ = АЛ(!)у/.

Очевидно, что (8) и (9) выполняется тождественно, если многочлен Рп (•) имеет числовые коэффициенты, а А(?) - функция одной переменной, но если полином Рп(•) имеет матричные коэффициенты и Щ) - матричная функция, то коммутации (8), (9) имеют место только при их определенных структурах. Задание более конкретного структурного содержания элементов Рп(•) и А(?) зависит от степени полинома и вида оператора А. Проведем такой анализ для некоторых частных случаев.

Рассмотрим первый вид канонической структуры оператора Ь - (5), пусть А имеет следующий дифференциальный вид первого порядка:

А =

12

М21 N.

22)

8 — +

дх

'ри0,0 ра(х,о

.^С*'» 0 "^22 С*'0

и

где Ну - произвольные постоянные,

Ру (х,?) - неизвестные функции двух переменных (1,у = 1,2).

В качестве многочлена Рп (•) рассмотрим наиболее простой

линейный вид

„ Л íи и 4 а, а, о, о2

4 +

чА ¿V

а,- (t), Ъ1 (t), (/' = 1,2,3,4) - функции, зависящие параметрически от t, вид которых можно доопределить в ходе дальнейших преобразований.

Зададим собственные значения (2) в виде матричной функции

4,(0 Л2(0Л

т-

4а (0.

ЛЕММА 1. Для того чтобы А, Рх (Ь1), X (t) вида (10), (11), (12) тождественно удовлетворяли формулам (8), (9), и обеспечивали совместность системы (2) - (4), необходимо выполнение равенств:

Лг-^21 -^21-^12»

СЛх -Л2Ж12 =^2^11 --Щ

(А1 ~^1г)Р\2 = \г\.Р11 ~Р22]'

-^22] = (^1-^2)^21. Лг-^21 = ^2\Р\2'

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Проведем доказательство, записав собственную функцию

как функциональный вектор - столбец.

Проверим выполнение равенства (8) для п = 1, выпишем

вид левой части

Р№))¥-

в силу уравнения, на собственные значения (2):

-¥и + Я2¥2 = + ¿22^2.

выполним последовательную замену в векторной записи

а№2* + + а2(~¥и + 92¥2) + + ЪгУг аъ(у1х + 4^) + а4(-у/1х + д2у/2) + Ъъу/Х + Ъд/2

= Р1{1л)у.

Как видно из выполненного преобразования, никаких дополнительных условий накладывать на вид полинома не надо.

Рассмотрим теперь равенство

+ Хпщх + Рхху/х +Рпщ) + + Щ2у/2х+Р2ху/х + Р12у/2) =

= ^ПЙЛ + ЛиЮ+Щ^тх+ЛпКх)+^(Л 1(^1 +^2 +^22%), + ^п¥2х + ри¥\+рп¥2) + Л1г(Х2Ху/Хх + Щ2у/2х + Р2ху/х +Р22щ)= = #21 (Л + \2¥2Х)Щ2 (^Мх+Лщ^+ЗМ 1¥1+^2¥2)+Р22 (¿пЩ

или в виде системы на коэффициенты при различных ^у:

0*11 -^22)^12 =Л2[^11 -^22]. ^21^1 -^22] = (^1 -^22)^21.

Определим условия, при которых операторное уравнение (1) не будет содержать операторов дифференцирования.

ЛЕММА 2. Для того чтобы операторное уравнение (1) не содержало операторов дифференцирования необходимо и достаточно, чтобы произвольные параметры оператора (10) и многочлена (11) удовлетворяли условиям:

N12 = -Н21, N22 = Нц, а2 = аз = «

Р21 = а

где в(?) _ произвольные функции.

торов (5), (10),

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Для получения необходимых условий, используя вид опера-(11), выполним их подстановку в правую часть уравнения (1):

м21

Ч-^П У

'рпЧ\ Рп9х Г21Я2 Р2292.

д_ дх

Ып М12

N.

22 У

д — +

дх

Гр р\ ГП \2

\Р21 Р22)

0 1 -1 о

д — +

дх

Го п д — + / «1 \ а2 [9: 0л

1-1 дх Оь 1° 92,

-Р -Р

V П* г\2х)

22

— р —р

V -41 127

дх

0 92.

\ Ъ2 \А Ау

К21д2 ^22^2.

дх

- +

\ "^12 N } •'»и б2 Хп92 д %Лх ХХ292Х

У № ^21/ дх2 ^2191 Я2292, дх ^219\х ^2292х,

~Р\2 Р\\

Р Р

V 22 ^21У

ри9х ри92

Р2\Я\ Р2292.

\ + -а2 а," а + ад а2Ь + \ Ь2

—

У Га4 аг, а4Я2; А К

г) д2

^21 + ^12 -^11+^22

лг22-лгп

Л02

дх2

/21 + ^12'

а2 Р22 + - ?2] - Рп + а,

Р2\х

аЪ Р\2 Р2\

д — +

дх

р22х+рп9\ -^п92х+(а2-рп)92+Ь2

А " ¿Ш + Р2\92 - ^Лх + («3 - РцХ

д!_ и

Р12х

Коэффициенты при и должны обнулиться, поэтому приравниваем матрицы при операторах нулю, получаем систему:

дх2

д_. йс

#21 + Ж12=0,

=0,

12 '

-Ж

21'

^22=^11-

Р21+^2-а2=0, -Р12-Р21+аъ= 0,

Р22~РП +ЛГ21(?2=°>

Р22 - Рп + ^12 (?1 - + а\ = °>

в силу (18) получаем следующие ограничения а2=а3=а(0, Ри=а^)-Р2], щ = -а4 = /3(1;), Р22=Рп-Щ{д2-д^+р(1;).

В результате получены условия леммы.

Достаточное условие доказывается простой проверкой. Продолжим рассмотрение оставшейся отличной от нуля матрицы в сумме (17) не содержащей операторов дифференцирования, приравняем ее правой части уравнения (1), т. е.

ч(*.о 0 '

v. 0 9ас*.0,'

в результате получаем систему из четырех уравнений:

P2ix~Nu4ix+a1q1+hi=qlt,

р22х + Pu4i ~ N12q2x + (а2 - Pu)q2 +b2= 0, h~pux+ P2\1i ~ Nix1xx + («з - pix)q\ = 0, bA - P\2x - N2l42x + a44l = q2f

После подстановки ранее определенных значений (15), (16) получим связь:

-pi2x~Nu4ix+ Ph+bl=qlt, Р\\х - #1201« + - ?2] + al2 +Ъ2 = 0»

ьг - (рпх - Nn<hx) + рп\.Ч\ -q2] + aq2= 0>

b*-Pl2x-NU<l2x-P<l2=<l2r

Второе и третье равенство выполняется тождественно, если положить

Pn=Nnqx, Рп=Ь2=Ьъ=т

9\ -q2

при интегрировании постоянная интегрирования положена равной нулю. Оставшиеся два равенства (19) с учетом (20) преобразуются к виду

"^¿l- Nnqlx + fax + Ъх = qlt, Nn<hx - Pq2 +bA = q2t.

Очевидно, с учетом того, что а (t) не зависит от переменной х, в первом равенстве можно сделать следующие преобразования:

'щ2+гЩ = fщ-адх+щ+КО)=f m+riO jfa<?i+r(0 ~Ч2 Jx I 9i~q2 Jx i 9i~q2 Jx I 4i~q2

тогда окончательно система примет вид

Выпишем уточненные коэффициенты оператора А:

-^12= ^22= ^11= К ^11 = -^12<71, Р]2= ~

р21 = -Т-Т, Рц = ^ад2 + т„

Ч\ 42

а (?), в (?), У (?), Ь1 (?), Ь4 (?) - произвольные функции, к - произвольная постоянная. Соотнося полученные значения с системой (21) можно сделать вывод, что постоянные М2, N21 никак не влияют на вид последней системы, как и функции Р1Ь Р22 в которые они входят, поэтому в дальнейшем будем полагать

ЛТ12=0, АГ21=0.

Посмотрим, не противоречат ли полученные значения

л21ао = с*22 а[г >

-Я^2) =

+ Г) = + Г)-

При произвольных функциях (х,?), д2 (х,?), зависящих от переменной х, зависимость от которой отсутствует во всех остальных функциях, входящих в равенства (24) приводит к необходимости положить

^=0, = Л2=0.

Определим динамику собственных значений оператора Ь, используя уравнение (4), дающее линейную неоднородную дифференциальную систему с переменными коэффициентами

К\ = «ДОЛ1 + «2(0^1 + М0> Л'г = «1 (04г + «2(0^2 + А(0, = «з( 0^1 + «4(0^21 + ¿з(0> = а3(0Л2 + «4 (0^22 + А(0-

С учетом (15), (20) она перепишется в виде

= A04i + «(0^1+kit), л;2 = тКг+«(0^2 + г(о,

= a(0Ai -AOAl + r(0, = «(ОЛ2 -ЖОЛ2+bM Дополнительные требования (25) приводят ее к виду

Л^тъ+Ш a(0VK0=0.

Доопределим функции так, чтобы оставшаяся система стала совместной

КО ЛН0

a{t)' \a(t)j ик a(t) Очевидно,

a

Yit)

где

jit)

тогда из системы (26) остается одно дифференциальное равенство

a

a

решение, которого находится в интегральном виде В результате найден вид функции

МО = 2Р(1)е\т* [с -

+ й4(0 , (29) Ь4 (?), в (?), а(?) - произвольные функции. Обобщим полученный результат.

ЛЕММА 3. Спектральное значение уравнения на собственные значения (2) имеет диагональную структуру

т4\

1)

где b4 (t), в (t) - произвольные функции, С - произвольная постоянная.

ТЕОРЕМА 1.

Система (21) на функции q1 (х,?), д2 (х,?) эквивалентна операторному уравнению (1) с операторами вида

А =

А =

к О" О к

д — +

дх

О

«А + У Ч1-Ч2

Щг+У 92-11

т

'0 Г 5 (

— +

-1 дх ^

ql

и полиномом первого порядка

/

Р а а -Р

А +

а Л У

У

где к -

произвольная постоянная, Ь4 (?), в (?), а (?) - произвольные функции, остальные элементы определяются из (28), (29).

Систему

^ = Яер

умножим второе равенство на г и сложим полученные равенства

ар + у{ 1 + /)

крх + Рр + Ь]+1Ь4=р1

Ъер-Ъоар )х

г - мнимая единица, черта обозначает комплексное сопряжение

СЛЕДСТВИЕ 1. Уравнение (33) на комплексную функциюр(х,?) эквивалентно операторному уравнению (1) с операторами вида

А =

А--

' 0 Г

—+

-1 дх ^ /

(Г д

— +

,0 К дх

Явр

О

аЯер + у Яер-Ьар

аЪпр + у 1т р - Яе р

№

и полиномом первого порядка (31), где k - действительная произвольная постоянная, Ь4 (?), в(0, а(О - произвольные действительные функции, остальные элементы определяются из (28), (29).

Сведем систему (21) к уравнению второго порядка на одну функцию. Для этого сложим и вычтем почленно эти уравнения

- *(?! +02),+ А01 - 02) + 2Р~ + 2Ь4 = (01 + Ч2)„

а

Р(.Ч\ + Чг) ~ КЧ\ ~ Чг)х + 2Р~ = (дх ~Я2)Г

а

Используя замену старых функций на новые

4 + 42 = и(хД 4 + 4 = и(хД

система принимает вид

а

'и^ '

а

0и-Ьх + 2Р^ = уг а

Из второго равенства функция п

и = ^-[у( + Ьх]- 2 А р а

Подставим (35) в первое уравнение системы (1.34), тогда с

учетом, что вУ/а - зависит только от t, получаем

а

Р

Ух

% +кух]х + ру + 2р^ + 2Ь4 = -1[у, + *уд - 2 Р а р

а

Так как

'ко'

а( 0.

уО)

то имеем

«(0

а

- к\Уг + ЧЪ + Р2? = [V, + 41.

СЛЕДСТВИЕ 2. Уравнение (36) на функцию v(x,t) эквивалентно операторному уравнению (!) с операторами вида

4=

ч

О 1 -1 О

у

'к (Л О к

д 1

— + —

дх 2

'1 У

р а

О

д а

О

а

-р

ч V

и полиномом первого порядка

г ..

+ Р 2—

а

^(4) =

Р а а -Я

4 +

2/?—+ 64 у

а

. У

где k -

произвольная постоянная, Ь4(?), в(?), а (?) - произвольные функции, остальные элементы определяются из (28), (29).

Легко заметить, что в последнем равенстве выделилась комбинация производных V, + кух , для компактности записи можно ввести замену на комбинированную переменную г, такую что + к-^ = тогда уравнение приме вид

а

У* Ух

уш+р\ = О, или уравнение с кубической нелинейностью

«К* - V*]+(А - V,, у = о.

Сведем

= 0.

Собственные значения оператора Ь1 представляют функции времени

Л, (Г) = = е-1™* [с +1 ¿т\т

зависящие от двух произвольных функций в(?), Ь4(?) и удовлетворяют линейному уравнению

4

Правая часть (40) может иметь нули

ЪА (t) -fi(t А = 0

А Ъ4

А =—-= const'

nn e

тогда простейшие решения являются стационарными

A(t) = А .

' пп

Если ¿4(0 - в'(t)k*m < 0, то Х*т - притягивающая точка, при ¿4(0 - в'(0ГПП > 0, k*nn- отталкивающая точка. В ходе эволюции собственные функции A(t) будут стремится от одних стационарных значений к другим. Вся матрица A(t) собственных значений соответственно стремится к инвариантному подмногообразию (к корням уравнения b4(t) - e(t)Kn = 0) - орбите, т.е. возникает уравнение с аттракторами. Орбита - устойчивое подмногообразие или аттрактор уравнения, если все X*nn удовлетворяют неравенству ¿4(0 - в' (0 Х*т < 0. Комбинации притягивающих значений дают все аттракторы, поэтому из многообразий с отталкивающимися knn, через многообразия где есть и притягивающие и отталкивающие точки к многообразиям с притягивающими knn. Траектории при этом наматываются на притягивающие многообразия.

Несмотря на то, что у таких уравнений есть аттракторы,

они имеют первые интегралы вида

Ж t)Jmdt-\Jm\m=c.

Библиографический список

1. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны в новых двумерных интегрируемых уравнениях // Изв. АН СССР Сер. матем. 1989. Т. 53, № 2. С. 243-258.

2. Bates P. W., Lu K., Wang B. Attractors for lattice dynamical systems // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2001. Т. 11. № 1. С. 143-153.

3. Crauel H. Random point attractors versus random set attractors // Journal of the London Mathematical Society. 2001. Т. 63. № 02. С. 413-427.

4. Crauel H., Flandoli F. Attractors for random dynamical systems // Probability Theory and Related Fields. 1994. Т. 100. № 3. С. 365393.

5. Karachalios N. I., Yannacopoulos A. N. Global existence and compact attractors for the discrete nonlinear Schrodinger equation // Journal of Differential Equations. 2005. T. 217. №. 1. C. 88-123.

6. Ruelle D. Characteristic exponents for a viscous fluid subjected to time dependent forces //Communications in Mathematical Physics. 1984. T. 93. № 3. C. 285-300.

7. Zhou S., Shi W. Attractors and dimension of dissipative lattice systems //Journal of Differential Equations. 2006. T. 224. № 1. C. 172-204.

References

1. Bogoyavlensky O.I. Oprokidyvayushchiesya solitony v novyh dvumernyh integriruemyh uravneniyah (Overturning solitons in new two-dimensional integrable equations), Izv. AN SSSR Ser. Math. 1989. T. 53, № 2. P. 243-258.

2. Bates P.W., Lu K., Wang B. Attractions for lattice dynamical systems. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2001. T. 11. № 1. P. 143-153.

3. Crauel H. Random point attractors versus random set attractors // Journal of the London Mathematical Society. 2001. T. 63. № 2. P. 413-427.

4. Crauel H., Flandoli F. Attractors for random dynamical systems // Probability Theory and Related Fields. 1994. T. 100. № 3. P. 365393.

5. Karachalios N.I., Yannacopoulos A.N. Global existence and compact attractors for the discrete nonlinear Schrodinger equation // Journal of Differential Equations. 2005. T. 217. № 1. P. 88-123.

6. Ruelle D. Characteristic exponents for a viscous fluid subjected to time dependent forces // Communications in Mathematical Physics. 1984. T. 93. № 3. P. 285-300.

7. Zhou S., Shi W. Attractors and dimension of dissipative lattice systems. Journal of Differential Equations. 2006. T. 224. № 1. P. 172-204.