Возможная реализация операций в элементах квантового компьютера на квантовых волноводах

ВОЗМОЖНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОПЕРАЦИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КВАНТОВОГО КОМПЬЮТЕРА НА КВАНТОВЫХ ВОЛНОВОДАХ

М.А. Гаврилов, Л.В. Гортинская, А.А. Пестов, И.Ю. Попов, Е.С. Тесовская

Введение

Только к середине 1990-х гг. теория квантовых компьютеров и квантовых вычислений утвердилась в качестве новой области науки. По мере развития классических компьютеров стало понятно, что практически невозможно напрямую рассчитать состояние системы, состоящей всего лишь из нескольких десятков взаимодействующих частиц, поскольку для полного описания сложной системы необходимо экспоненциально большое по числу частиц количество памяти. Русский математик Ю.И. Манин указал в 1980 г. на необходимость разработки теории квантовых вычислительных устройств. Дальнейшее внимание научной общественности к проблеме разработки квантовых компьютеров привлекла публикация в 1982 г. лауреата Нобелевской премии по физике Р. Фейнмана [1].

Важным направлением исследований в области квантовых вычислений является разработка алгоритмов, поскольку квантовый компьютер способен решать отдельные задачи успешнее классического [2, 3]. Известным примерами являются алгоритм Шора разложения натурального числа на множители [2] и алгоритм Гровера поиска в базе данных за

операций [3]. Следует отметить, что все такие результаты являются уникальными, и не существует универсального способа ускорения классических алгоритмов [4].

Проблема квантовых вычислений тесно связана с физической реализацией соответствующих наноустройств. В настоящее время существует несколько возможных элементных баз для квантового компьютера: связанные ионы, ядерный магнитный резонанс в жидкости, квантовые точки и др. [5]. Каждая из них имеет свои преимущества и соответствующие недостатки. Идеальной для реализации базы пока не существует, поэтому актуальна проблема исследования и разработки наноустройств для квантовых вычислений.

Квантовые вычисления в слабосвязанных волноводах

Весьма интересной физической базой для квантовых вычислений является система слабо связанных наноструктур, представляющие собой параллельно расположенные квантовые волноводы для баллистических электронов (электронов, длина свободного пробега которых превышает характерные размеры структуры), связанные в определенных местах между собой через отверстия в границе разделения. Физически это маленькие полоски очень чистого полупроводникового материала.

Движение электрона в подобных структурах имеет некоторые специфические особенности [6-9]. Например, явление резонансного эффекта приводит к сильному изменению коэффициента прохождения в зависимости от величины константы связи. Это явление можно использовать для квантовых вычислений.

Наличие резонансных эффектов и их зависимость от граничных условий, а также от ориентации спинов электронов позволяет предложить две возможные трактовки ку-бита в рассматриваемых структурах:

• «волноводная» интерпретация;

• «спиновая» интерпретация.

В подобных структурах может быть реализовано произвольное количество вычислительных кубитов с помощью добавления соответствующего числа параллельных связанных волноводов.

Волноводная интерпретация

Кубит в данной интерпретации представляет собой состояние электрона в двух близко расположенных квантовых слоях. Нахождение электрона в одном из слоев в этом случае выбирается в качестве нулевого базисного состояния, а в другом - единичного. Когерентная суперпозиция состояний получается в случае, когда волновая функция электрона не сосредоточена в одном из слоев, а находится с некоторой вероятностью в каждом из них.

Для приготовления начального состояния |01,02,0з  0l) достаточно ввести по

одиночному электрону в нулевые каналы всех кубитов. В настоящее время это можно сделать с помощью электронного насоса [10]. Такие насосы располагаются возле нулевого слоя каждого кубита.

В конце вычислений нам необходимо определить наличие электрона в одном из двух слоев для каждого канала. Эту операцию можно осуществить с помощью подсоединенного к слою одноэлектронного транзистора (single electron transistor), который чувствителен к приходу единственного электрона. Основной недостаток такой схемы -очень большое время отклика одноэлектронного транзистора.

Рассмотрим однокубитовые операции. Пусть основное состояние поперечной компоненты системы - четная функция (с энергией ше), а первое возбужденное -

нечетная (с энергией ш0), им соответствуют четная и нечетная собственные

функции. Сумма и разность этих функций представляют собой электрон, полностью локализованный в верхнем или нижнем слое, соответственно.

Пусть между слоями одного кубита есть соединяющее окно, в котором потенциал достаточно мал, и расстояние между слоями в окне связи существенно меньше ширины слоя. Тогда, в соответствии с [17], четная составляющая волновой функции начнет осциллировать между слоями с периодом 2п/(ш0 ) . На границе окна эти осцилляции прекращаются, и волновая функция снова разделяется на верхнюю и нижнюю составляющую. Данный тип операции представляет собой, помимо общего сдвига фазы, не изменяющего состояния кубита, реализацию матрицы Rx (9) (вращение вокруг x).

Рассмотрим другую однокубитовую операцию - фазовый сдвиг между двумя компонентами кубита, соответствующий матрице трансформации Rz (9) (вращение вокруг z). Для ее осуществления необходимо создать в одном из слоев потенциальный барьер, высота которого не превышает энергии электрона. Чтобы не наблюдалось отражения волны, необходимо выбрать ширину барьера кратной половине длины волны n

электрона L = ^ ^, n e N [17]. Тогда сдвиг фазы волновой функции будет иметь вид

(

tystep

= ПП

i

Vi - V / E,

Рассмотрим теперь случай, когда два слоя, соответствующие различным кубитам, находятся на достаточно близком расстоянии друг от друга. Если в одном из них электрона нет, то волновая функция другого не будет испытывать никаких возмущений. Однако если в обоих слоях окажется по электрону, то они будут создавать друг для друга потенциальный барьер, причем, если электроны двигаются синхронно, то конфигурация этих барьеров будет идентична, и они получат одинаковый сдвиг фазы. Пусть достаточно близко друг от друга находятся единичные слои двух кубитов, тогда получившаяся матрица преобразования имеет вид

0 0 0 ^ 1 0 0 0 1 0 , 0 0

где у - величина, зависящая от геометрии системы: длины зоны взаимодействия и расстояния между слоями. Если подобрать габариты системы так, чтобы у = п, то получившееся преобразование е1Ж позволяет построить гейт СЫОТ путем применения к контролируемому кубиту операций Адамара до и после вгл :

СЫОТ = (1  Н)• егп • (1  Н) .

Для осуществления двухкубитовых операции необходимо, чтобы электроны в различных каналах перемещались синхронно и одновременно приходили в зону взаимодействия.

Спиновая интерпретация

Кубит в данной интерпретации представляет собой состояние спина электрона: - спин электрона направлен вниз, Ц - спин направлен вверх.

Перед началом вычислений нам надо перевести квантовый регистр в исходное состояние 101,02,03 ••• 0. Проще всего это сделать, пропустив пучок электронов через

спин-фильтр. В настоящее время существует много вариантов реализации такого фильтра: пропускание электронов через специальные магнитные материалы [11]; фильтры, основанные на эффекте Рашба (КавЬЬа) [12]; использование квантовых точек специальной структуры [13].

В качестве спинового фильтра можно использовать металлическую наноструктуру, рассмотренную в [14]. В структурах с перемежающимися магнитными и немагнитными слоями возможно, что волновая функция с одной ориентацией спина удовлетворяет краевому условию Дирихле, в то время как волновая функция электрона с другой ориентацией спина подчинена условию Неймана. Таким образом, при правильном выборе параметров структуры и энергии электронов мы можем получить существование резонанса для электрона с одной ориентацией спина и его отсутствие при противоположной ориентации. Тем самым создается поток поляризованных по спину отраженных электронов, при этом прошедший пучок будет, соответственно, тоже частично поляризован. Если в нашей системе использовать не одно отверстие связи, а несколько следующих друг за другом на достаточном расстоянии (чтобы предотвратить появление сложных интерференционных эффектов), то можно получить сколь угодно чистый по спину проходящий пучок электронов. Заметим также, что эта же структура может быть использована и для окончательного измерения состояния спина. При этом она осуществляет проектирование кубита-результата на нерезонирующее направление спина: если измерение обнаруживает у электрона такое направление спина, то на выходе можно будет наблюдать прошедший электрон, который, в свою очередь, можно обнаружить с помощью одноэлектронного транзистора.

Для осуществления однокубитовых операций можно предложить два подхода: управление с помощью электромагнитных полей и с помощью введения в полупроводниковую структуру участков с ферромагнитными свойствами.

Рассмотрим первый способ. На электрон, двигающийся со скоростью V в постоянном электрическом поле, действует эффективное магнитное поле В ~ [V х Е], которое взаимодействует с его спином. При этом существуют две возможные архитектуры:

Я (У) =

(1

0 0 0

электрон распространяется вдоль прямой, и разрешены как вертикальные электрические поля, так и боковые,

электрон распространяется по изогнутому каналу, но разрешены только вертикальные поля.

Двухкубитовые операции осуществляются при взаимодействии двух синхронно пролетающих электронов в области низкого потенциального барьерам между слоями-проводниками. Гамильтониан обменного взаимодействия между спинами имеет вид [15]

Hex = J(t)Si • S2,

где J(t) определяется степенью перекрытия волновых функций электронов. Пусть длительность взаимодействия Т такая, что

f J(t) dt = п ,

тогда над кубитами осуществится операция SWAP - они обменяются спинами. Однако операция SWAP не очень полезна сама по себе, так как с ее помощью нельзя осуществить произвольную двухкубитовую операцию. Но если сделать длительность взаимодействия равной T / 2, то получившаяся операция

-1/2

(2i)1/2 0 0 0

0 i 1 0

0 1 i 0

0 0 0 (2i)1/2

4SWAP = (2i)-1

в совокупности с однокубитовой операцией Rx, позволяет реализовать гейт CNOT последовательностью операций

CNOT = (RA (п /2)  RB (-п / 2)) •V SWAP • R (п /2)  1B) •V SWAP и, таким образом, обеспечивает полноту системы операций.

Реализация двухкубитовых операций на основе обменного взаимодействия спинов открывает возможность для второго способа осуществления однокубитовых операций, который заключается в том, что на границе слоев в некоторых местах включаются участки ферромагнетика. Тогда спин пролетающего электрона за счет взаимодействия с магнитным моментом ферромагнетика изменит свое направление на угол, пропорциональный длине участка.

Аналогично «волноводной» интерпретации для осуществления двухкубитовых операции, возможно использовать эффект резонанса, при этом окна взаимодействия будут небольшими по размерам и хорошо управляемыми.

Работа поддержана грантом РФФИ № 05-03-32576

Литература

1. Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах. // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. Т. II. Ижевск: УРСС, 1999. С. 96.

2. Shor P.W. Algorithms for Quantum Computation: Discrete Logarithms and Factoring. / Proceedings of the 35th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, S. Goldwasser (Ed.), IEEE Computer, Society Press, 1994, pp. 124-134.

3. Grover Lov. K. Quantum Computers Can Search Arbitrarily Large Databases by a Single Query. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. p. 4709-4712.

4. Ozhegov Y. Quantum Computer Can Not Speed Up Iterated Applications of a Black Box. // quant-ph/9712051, 1997.

5. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. М.: R&C Dynamics, 2001.

6. Exner P. and Vugalter S. // Ann. Inst. Henri Poincare. 1996. V. 65. №1. Р.109.

7. Exner P. and Vugalter S. // J. Phys. A: Math. Gen. 1997. V. 30. Р. 7863

8. Frolov S.V., Popov I.Yu. // J. Math. Phys. 2000. V. 41. №7. Р.4391.

9. Frolov S.V., Popov I.Yu. // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. V. 36. Р.1655.

10. Likharev K.K. Single-Electron Devices and Their Applications. // Proc. IEEE. April 1999. V. 87. Р. 606-632.

11. Taddei F., Sanvito S., Lambetr C. J. Material-specific spin filtering in ferromag-net/superconductor ballistic nanojunctions. // E-print: 2000, cond-mat/0012352, 4 p.

12. Marigliano Ramaglia V., Cataudella V., De Filippis G., Perroni C. A., Ventriglia F. Electron Double Refraction in Hybrid Systems with Rashba Spin-Orbit Coupling. // E-print: 2002, cond-mat/0203569, 16 p.

13. Recher P., Sukhorukov E.V., Loss D. Quantum Dot as Spin Filter and Spin Memory. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. Р. 1962-1965.

14. Gortinskaya L.V., Popov I.Yu., Tesovskaya E.S. / Proceedings of International Seminar «Day on Diffraction'2003». St.-Petersburg, 2003. Р. 52.

15. Loss D., DiVincenzo D. P. Quantum computation with quantum dots. // Phys. Rev. 1998. V. A57. №1. Р. 120-129.

16. Popov I.Yu., Gortinskaya L.V., Gavrilov M.I., Pestov A.A., Tesovskaya E.S. Weakly coupled quantum wires and layers as an element of quantum computer. // Int. Conf. «Quantum Physics and Computation», QPC 2005, Dubna, 2005. Abstracts. Р. 8.

17. Bertoni A. Quantum Computation and Proposal for Solid-state quantum Gates // INFM, Italy, ESSDERC 2002 (http://www.imec.be/essderc/ESSDERC2002/).