Критерии полноты для некоторых классов одноместных монотонных функций в Pk 

методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Hardy G.H. Orders of Infinity. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1910.

3. Бурбаки H. Теория функций действительного переменного. М.: Наука, 1965.

4. Muller D.E. Complexity in electronic switching circuits // IRE Trans. Electron. Comput. 1956. EC-5, N 1. 15-19.

5. Лупанов О.Б. Об одном методе синтеза схем // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. 1, № 1. 120-140.

6. Gilbert E.N. Lattice theoretic properties of frontal switching functions //J. Math, and Phys. 1954. 33, N 1. 5767.

7. Марков A.A. Об инверсионной сложности систем функций // Докл. АН СССР. 1957. 116, № 6. 917-919.

8. Нечипорук Э.И. О сложности схем в некоторых базисах, содержащих нетривиальные элементы с нулевыми весами // Проблемы кибернетики. Вып. 8. М.: Физматгиз, 1962. 123-160.

9. Нечипорук Э.И. О синтезе схем из пороговых элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 11. М.: Наука, 1964. 49-62.

10. Лупанов О.Б. О синтезе схем из пороговых элементов // Проблемы кибернетики. Вып. 26. М.: Наука, 1973. 109-140.

11. Каеим-Заде О.М. О сложности реализации булевых функций схемами в одном бесконечном базисе // Дискретный анализ и исследование операций. 1995. 2, № 1. 7-20.

12. Каеим-Заде О.М. Общая верхняя оценка сложности схем в произвольном бесконечном полном базисе // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1997. № 4. 59-61.

13. Карпова H.A. О некоторых свойствах функции Шеннона // Матем. заметки. 1970. 8, вып. 5. 663-674.

Поступила в редакцию 20.06.2012

УДК 511

КРИТЕРИИ ПОЛНОТЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОДНОМЕСТНЫХ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ В Pk

Д. Ю. Панин1

Рассматривается задача о полноте систем одноместных функций многозначной логики, монотонных относительно частично упорядоченных множеств специального вида. В работе получены критерии полноты для указанных функциональных систем.

Ключевые слова: функции многозначной логики, одноместные функции, замыкание, полные системы.

Systems of unary monotone functions of multi-valued logic are considered. These functions are monotone with respect to partial orders of special form. Criteria for the completeness of the functional systems are obtained.

Key words: functions of multi-valued logic, unary functions, closure, complete systems.

Рассматривается задача о полноте систем одноместных функций многозначной логики, монотонных относительно частично упорядоченных множеств специального вида. Подобные вопросы возникают при изучении свойств предполных классов монотонных функций, не имеющих конечных порождающих систем [1-4]. В работе получены критерии полноты для указанных функциональных систем (см. также [5-7]).

Пусть P — множество с заданным на нем отношением частичного порядка Будем считать, что P имеет наименьший элемент (будем обозначать этот элемент через 0). Пусть а, в £ P. Если для этих

Панин Дмитрий Юрьевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pank.dmQgmail.com.

элементов выполняется по крайней мере одно из соотношений а ^ в в ^ а, то эти элементы называются сравнимыми, в противном случае — несравнимыми.

Будем обозначать через Мр множество всех одноместных функций / (ж), определенных на множестве Р, принимающих значения из Р, монотонных относительно частичного порядка ^ и таких, что /(5) ^ 5 для всех 5 € Р. Введем та множестве Mр операции композиции и свертки. Пусть /(ж), д(ж) € Mр. Композицией функций / м д будем называть функцию (/ о д)(ж), значение которой на любом элементе а € Р определяется равенством (/ о д)(а) = /(д(а)). Сверткой функций /ид будем называть функцию (/ * д)(ж), значение которой на любом элементе а из множества Р определяется следующим образом:

/а, если д(а) = 0;

(/ *д)(а) = < ,, . ( , п

I /(а), если д(а) = 0.

Нетрудно убедиться, что (/ * д)(ж) € Мр.

Пусть А С Мр, а 5 — подмножество множества {о, *}. Определим по индукции понятие формулы над А относительно 5, а также понятие функции, реализуемой формулой. Выражение вида /(ж) где /(ж) € А, является формулой над А относител ьно 5. Такая формула называется тривиальной и реализует функцию /(ж). Пусть $1 — формула над А относительно 5, ревизующая функцию /1 (ж), а Ф2 — формула над А относительно 5, реализующая функцию /2(ж). Тогда выражение Ф1 ▽Ф^, где V € 5, является формулой над А и ревизует функцию (/1 ▽/2)(ж). При этом предполагается, что других формул над А нет. Сложностью формулы Ф над А относител ьно 5 будем называть число символов о, * в Ф (обозначение Р(Ф)).

Замыканием множества А С Мр относител ьно 5 будем называть множество всех функций, которые могут быть реализованы формулами над А относител ьно 5 (обозначение С(А, 5)). Очевидно, что С(А, 5) С Мр. Систему А будем называть полной относительно 5, если С(А, 5) = Мр.

АА

{о} {о, *}

{о} {о, *}

Положим [А] = С(А, {о}) [А] з = С(А, {о, *}). Будем называть сложностью функции /, / € [А], величину Ра(/) равную штР(Ф), где минимум берется по всем формулам Ф над А, ревизующим /. Будем называть в-сложностью функции /, / € [А]3, величину ¿А(/)> РавнУю ш1пР(Ф), где минимум

Ф А /

Пусть / € Мр. Будем говорить, что функция / неразложима, если для любых функций /1, /2 из Мр / = /1 о /2 /1 = /

/2 = /

Мр

Лемма 1. Пусть О С Мр и О является полной в Мр. Тогда, О содержит все неразложимые Мр

Пусть п ^ 1. Положи м ^^ = {0,а1 ,а/1,...,а;г, а^}, где 0 ^ к ^ п. Положим ^ = Qn, а0 = а0 = 0. Множество Дг = {аг} и {а^} где 0 ^ г ^ п, будем называть г-.м слоем.

Введем на элементах множества ^ ^^^^^^^^^ ^^стичного порядка ^ следующим образом:

1) ег ^ е3- для всех ег, е3-, таких, что ег € Дг, е3- € Д3-, 0 ^ г < ^ ^ п;

2) е ^ е для всех е € Q;

3) других сравнимых элементов нет.

Пусть е € Q \ {0}. Через с(е) будем обозначать элемент из Q, та сравнимый с элементом е. Цепью длины, т, 1 ^ т ^ п + 1, будем называть последовательность элементов Ь0,Ь1 ,Ь2,... , Ьт-1 € Q, таких, что для всех г = 0,...,т — 1 элемент Ьг принадлежит г-му слою (т.е. множеству Д^). Через Ст будем

т

Положим Р = МПусть е € ^^ / — произвольная функция из множества Р. Будем говорить, что функция / сохраняет элемент е, если /(е) = е. Пусть О С Q. Положим

£п = {/ € Р | /(5) = 5 для всех 5 € О}, = {/ € Р | /(5) = 5 для всех 5 € О}.

В частности, Б{ап} — множество всех функций из Р, сохраняющих элемент ап. Пусть / € Р. Будем говорить, что функция / сохраняет, множество О, если / € £п. Положим /(О) = {/(5) | 5 € О}. Нетрудно убедиться в справедливости следующих вспомогательных утверждений. Утверждение 1. Пусть /1,/2 € Р, / = /2 о /1; е — произвольный элемент из множества Q. Тогда, / е /1 /2 е

Утверждение 2. Пусть Q = (w0,...,w) — цепь длины к + 1, где 1 ^ к ^ п. Пусть ô G Qk, а f _ произвольная функция из Sq П Жгф где е = c(wk). Тогда

f (ô) S Wi, если ô = wi; где 0 ^ i ^ к;

1 wi-i, если ô = c(wi), где 1 ^ i ^ к.

Утверждение 3. Пусть Q = (w0,..., Wk-2) — цепь длины, к — 1, где 2 ^ к ^ п ô G Qfc-ъ а функция f из F удовлетворяет условиям f G Sq m f (Ak) = Afc-1. Тогда,

{Wk-2, если ô G Ak-i;

wi, если ô = wi; где 0 ^ i ^ к — 2;

wi-1, если ô = c(wi); где 1 ^ i ^ к — 2.

Будем обозначать через Di множество всех функций g из F, для которых найдутся номер к, 2 ^ к ^ п, и цепь Q длины к — 1, такие, что выполнены следующие условия: g G Sq, g(Ak) = Ak-i-

Пусть Q = (wo,Wk) — цепь дли ны к + 1, где 0 ^ к ^ п. Определим функцию <^q, положив

Îô, если ô G Ai5 где к + 1 ^ i ^ п; wi, если ô = wi5 где 0 ^ i ^ к; wi-1, если ô = c(wi), где 1 ^ i ^ к.

Определим множества Rk (0 ^ к ^ п), D2,G1 ,G2 следующим образом. Положим

n

Rk = U I^q}, D2 = [J Rk, G = D1 П NAn, G = Rn.

Qecfc+i k=o

F

ственно вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Множество G1 U G2 является s-полной eue m,ем,ой в F

F

Теорема 2. Пусть D С F. Система D полна, в F тогда и только тогда, когда D1 U D2 С D.

Доказательство этой теоремы опирается на следующие леммы.

D1 U D2

Приведем схему доказательства этой леммы. Пусть f1;f2 G F g G D1 U D2, g = f2 о f1.

Если g G D1, то из определения множества D1 следует, что найдутся номер к и цепь Q длины к — 1, такие, что g(Ak) = Ak-b g G Sq, 2 ^ к ^ п. Далее доказывается, что функции f2 и f принадлежат множеству Sq. После этого показывается, что возможны два случая: f1(Ak) = Ak и f1(Ak) = Ak-1-И наконец, с помощью утверждения 3 устанавливается, что в первом случае g = f^, а во втор ом g = Д.

Если же g G D2, то из определения множества D2 следует, что найдется номер к, 0 ^ к ^ п, такой, что g G Rk. Далее разбираются два случая. В случае к = 0 показывается, что g = Д. В случае к > 0 с использованием утверждения 2 доказывается, что найдется функция f G If 1, f2} ? такая, что равенство f (ô) = g (ô) выполнено для всех ô G Qk- И наконец, с помощью утверждения 1 показывается, что f = g.

Пусть A С F Будем говорить, что множество A инвариантно относительно операции свертки, если для любой функции f из A и для любой функции h из F выполняется соотношение f * h G [A].

D1 U D2

f D1 U D2 h F

Положим g = f * h. Докажем, что g G [D1 U D2].

Пусть f G D2. Тогда найдутся число к, 0 ^ к ^ п, и цепь Q длины к + 1 такие, что f = Обозначим через Г множество всех элементов 7 из Q, таких, что g(Y) = 7. Если Г = 0, то g G Ro- По определению R0 С D2, поэтому g G D2. Далее считаем, что Г = 0. Обозначим через A множество Q U |Ak+1,..., An}.

f f A

следует, что g сохраняет A, откуда получаем, что Г С |c(w1 ),..., c(wk)}• Рассмотрим наибольший номер i 1 ^ i ^ к, такой, что c(wi) G Г Положим В = (wo,..., wi) Так как В С A, то g G S©. Из максимальности i следует, что g(ô) = ô для всех ô G Qn \ Qi. Так как g(c(wi)) = c(wi), то из утверждения 2 и определения функции ^>© получаем g = ^>©. По определению ^>© G D2, поэтому g G D2.

Пусть теперь / £ Тогда найдутся номер к, 2 ^ к ^ и, и цепь П = такие, что

/ (Ай) = Ай_1 и / £ ^-Рассмотрим случай / (ай) = ай_ь /(а') = а'^ (случай / (ай) = а'А._1, /(а') = а^ рассматривается аналогично).

Пусть г — это наибольший номер, такой, что Н(аг) = 0 и Н(аг) =00 ^ г ^ и Если г ^ к, то из определения операции свертки следует, что значения функций / и д совпадают на всех элементах множества Поэтому д £ £п, д(А') = Откуда следует, что д £

Если г ^ к — 2 то найдется эле мент е из множества А'_1, такой, ч то Н(е) = 0. Пусть 5 — произвольный элемент из множества фп\Qk_1. Тогда из монотонности функции Н следует неравенство Н(5) = 0. Согласно определению операции свертки, д(5) = 5 и д сохраняет цепь П. Если Н(с(е)) = 0, то функция д сохраняет элементы ей с(е), т.е. множество А^_1. На элементах множества функция д совпадает с функцией /. Из утверждения 2 и определения функции (п следует, ч то д = (п- Поэтому д £ Если же Н(с(е)) = 0, то функция д сохраняет элемент е и не сохраняет элемента с(е). Рассмотрим цепь В = (—о, • • • ,—/с_2, е). Из утверждения 2 и вида функции (© следует, что д = (©. Поэтому д £ ^2.

Неразобранным остался только случай г = к — 1. Положим П0 = П и |а^_1}, ПО = П и {а'_ 1}, П1 = П и (а^_1, а'}, П1 = П и |а^_1, а'}. Определим функцию ф следующим образом. Положим ф = (п0 ° (п'0-Рассмотрим произвольный элемент 5 из множества ф. Далее возможны три случая.

1. Пусть Н

д(5) =

5, если 5 £ Аг, где к ^ г ^ и;

Шй_2, если 5 £ Ай_1;

шг, если 5 = шг, где 0 ^ г ^ к — 2;

Шг_1, если 5 = с(шг), где 1 ^ г ^ к — 2.

Нетрудно проверить, что для функции д справедливо равенство д = ф.

2. Пусть Н(а&) = 0 Н(а') = 0. Из утверждения 3 и определения операции свертки следует, что

5, если 5 = а' ми 5 £ Аг, где к + 1 ^ г ^ и

если 5 = а^

если 5 £ Ай_Ь

—г, если 5 = шг, вде 0 ^ г ^ к — 2;

если 5 = с(шг^ вде 1 ^ г ^ к — 2.

Нетрудно проверить, что справедливо равенство д = (п'х ° Ф-

3. Пусть Н(а&) = 0 Н(а') = 0. Аналогично случаю 2 доказывается, что д = ° ф- Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть Б С Г; множество Б инвариантно относительно операции свертки, д £ [Б]; Н £ Г. Тогда д * Н £ [Б].

Лемма доказывается индукцией по сложности функции д и с учетом равенства (д1 ° д2) * Н = (д1 * Н) ° (д2 * Н), где д1,д2,Н £ Г.

Доказательство теоремы 2. Необходим,ость следует из лемм 1 и 2.

Достаточность. Пусть / £ Г, Б = и ^2, С = С1 и С2. По теореме 1 множество С является в-полным в Г. Докажем индукцией по в-сложности что / £ [Б]. Если ) = 0) т0 утверждение

следует из соотношений С1 С и С2 С Пусть теперь = к, к > 0. Используя определение

в-формулы, нетрудно показать, что найдутся функции /1 и /2 из Г такие, что ^(/1),^(/2) < к, / = /2У/1, где V £ {*, °}. По предположению индукции получаем /1, /2 £ [Б]. Если / = /2 ° /1, то очевидно, что / £ [Б]. Если же / = /2 * /1; то из лемм 3 и 4 следует, что / £ [Б]. Теорема доказана.

Получим теперь критерий полноты для множества Мгде Р содержит наименьший и наибольший элементы. Будем обозначать элемент ап через 1, а элемент аП через 1'. Положим ф1 = ф \{1'}, Г1 = М^ .

Пусть / £ Г. Через /|д1 будем обозначать функцию д : ф1 ^ ф1, такую, что для любого элемента 5 из ф1 выполняется равенство д(5) = /(5). Пусть / £ ГЧ Через /^ будем обозначать функцию д : ф ^ ф, такую, что д(1') = 1', а для любого эле мента 5 из ф1 выполняется равенство д(5) = / (5). Нетрудно убедиться, что если д, /1,/2 £ Г\ д = /1 ° /2, то д^ = /^ °

Положим А = (^1 и^2)П5{1/у Определим множество К следующим образом. Положим К = и{/|д1}, где объединение берется по всем функциям / из множества А.

Имеет место следующий критерий полноты для систем функций из F1.

Теорема 3. Пусть D С F К Система D является полной в F1 тогда и только тогда, когда, K С D. Доказательство теоремы опирается на следующие леммы.

K

Доказательство леммы опирается на лемму 2 и вышеупомянутое равенство gQ = fQ о fQ. Лемма 6. Пусть Ф — формула над D1 U D2; реализующая функцию f из множества S{1'}. Тогда, существует формула Ф' над K, реализующая функцию f |qi.

Лемма доказывается индукцией по сложности формулы Ф. Для доказательства базы индукции используется замена тривиальных формул вида g(x) на выражения вида g'(ж) где g' = g|gi. Индукционный переход следует из утверждения 1.

Доказательство теоремы 3. Необходим,ость следует из лемм 1 и 5.

Достаточность. Пусть f — произвольная функция из F1. Рассмотрим фун кцию fпринадлежащую множеству F. По теореме 2 множество Dl U D2 является полной системой в F. Поэтому существует формула Ф над Dl U D2, ревизующая фун кцию fИз определения фу нкции fQ следует, что fQ(l' ) = l'. По лемме 6 существует формула Ф' над K, ревизующая фун кцию (f q)|qi- Очевидно, что (f q)|qi = f.

Ф' f f S [K]

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00508) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tardos G. A not finitely generated maximal clone of monotone operations // Order. 1986. 3. 211-218.

2. Lau D. Function algebras on finite sets: a basic course on many-valued logic and clone theory (Springer monogrpahs in mathematics). Secaucus, N.J.: Springer-Verlag, 2006.

3. Дудакова O.G. О конечной порожденностн предполных классов монотонных функций многозначной логики // Математические вопросы кибернетики. Вып. 17. М.: Физматлит, 2008. 13-104.

к

Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 1. 31-37.

5. Панин Д.Ю. О порождении одноместных монотонных функций многозначной логики // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 6. 52-55.

6. Панин Д.Ю. О некоторых свойствах одноместных монотонных функций многозначной логики // Проблемы теоретической кибернетики: Мат-лы XVI Междунар. конф. (Н. Новгород, 20-25 июня 2011 г.). Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2011. 349-352.

7. Панин Д.Ю. О полноте систем монотонных одноместных функций в P¡~ // Дискретная математика и ее приложения: Мат-лы XI Междунар. семинара (Москва, 18-23 июня 2012 г.). М., 2012. 210-212.

Поступила в редакцию 24.10.2012

УДК 519.876.5

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ОТТОКА ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ ОБЛАСТИ И ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ

А. П. Олийнык1, Л. Е. Штаер2

Рассмотрена задача моделирования течения вязкой жидкости по поверхности пластины при условии изменения давления по линейному закону вдоль продольной координаты. Осуществлена постановка граничных условий задачи. Найдено точное решение системы

1 Олийнык Андрей Петрович — доктор техн. наук, проф. каф. компьютерных технологий в системах управления и автоматики ф-та автоматизации и компьютерных наук Ивано-Франков. нац. техн. ун-та нефти и газа, e-mail: andrij-olij nykQrambler.ru.

2 Штаер Лидия Емельяновна — канд. техн. наук, доцент каф. компьютерных технологий в системах управления и автоматики ф-та автоматизации и компьютерных наук Ивано-Франков. нац. техн. ун-та нефти и газа, e-mail: lida.shtayerQgmail.com.