Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 2

А. В. Матросов

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

ЛИНЕЙНО-УПРУГОГО АНИЗОТРОПНОГО ПРЯМОУГОЛЬНИКА

Введение. Для построения аналитических решений задач деформирования упругих тел конечных размеров канонической формы в различных системах координат с успехом используется метод суперпозиции. В его основе лежит предложенный Ламе в 1852 г. подход к построению общего решения граничной задачи линейной теории упругости в виде суммы ее частных решений, каждое из которых обладает достаточным функциональным произволом для полного удовлетворения граничным условиям на двух противоположных гранях упругого тела [1]. Для плоских и пространственных задач в прямоугольных декартовых системах координат частные решения могут быть взяты в виде тригонометрических рядов с неизвестными коэффициентами. В этом случае метод суперпозиции сводит решение граничной задачи теории упругости к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов рядов.

Достаточно простой с идейной стороны метод не получил широкого распространения в связи с трудоемкой процедурой построения и решения бесконечной системы алгебраических уравнений. Но по прошествии полувека он с успехом был использован русскими учеными Б. М. Кояловичем (1902 г.) и И. Г. Бубновым (1914 г.) для решения задачи изгиба защемленной по контуру прямоугольной пластинки. Более того, Кояловичем в 1930 г. были проведены исследования по теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений [2], которые позволили даже в условиях ручного счета получить полное решение некоторых задач.

С начала 50-х годов XX столетия интерес к использованию и развитию метода суперпозиции снова возрастает. Б. Л. Абрамян впервые устанавливает регулярность бесконечных систем для задач с заданными на границе напряжениями [3], что можно рассматривать как обоснование использования методов простой редукции и последовательных приближений для решения бесконечных систем алгебраических линейных уравнений при любых типах граничных условий (с учетом исследований Кояловича).

В настоящее время метод суперпозиции усиленно разрабатывается и интенсивно применяется для решения задач статики и установившихся колебаний прямоугольных пластин и цилиндров школой украинских ученых В. Т. Гринченко и А. Ф. Улитко [4, 5]. Следует, однако, заметить, что использование разработанного ими метода векторных решений построения частных решений ограничивает их исследования граничными задачами для изотропных тел. Также отметим, что, в силу большой трудоемкости построения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений при произвольных граничных условиях (ГУ) на гранях упругого тела, в основном приводятся решения для симметрично-нагруженных тел.

В настоящей работе предлагается универсальный алгоритм построения общего решения задачи деформирования упругого анизотропного прямоугольника в декартовой прямоугольной системе координат на основе метода суперпозиции и решения для периодически нагруженного упругого анизотропного слоя, получаемого методом начальных функций в виде тригонометрического ряда по одной из независимых переменных,

© А. В. Матросов, 2006

коэффициенты которого представлены степенными рядами по другой независимой переменной. Решение для изотропного прямоугольника получается как частный случай.

Построенное общее решение позволяет рассчитывать напряженно-деформированное состояние (НДС) упругого прямоугольника не только с ГУ, реализующими определенные симметричные распределения компонентов НДС, но и с произвольными ГУ. В качестве примера предлагается расчет находящегося в условиях плоской деформации тела, защемленного по двум противоположным граням под воздействием равномерно-распределенной нормальной нагрузки на одной из оставшихся граней.

Алгоритм метода начальных функций при реализации его тригонометрическими рядами в случае учета гармоник высокого порядка обладает вычислительной неустойчивостью. Поэтому его программирование было выполнено в системе аналитических вычислений Maple, позволяющей представлять вещественные числа с мантиссой практически произвольной, но ограниченной длины, а также выполнять над ними арифметические операции.

Общее решение. Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат Оху анизотропный упругий прямоугольник 0 х ^ а, О^у^б, материал которого подчиняется линейному закону Гука с шестью независимыми упругими константами

и = Не.

-4l2 А16

Здесь а = {сгх,ау,тху}, £ = {£х,£у,еху}, Н = AI2 а22 а26

Ai6 А-26 Авв

Общее решение в соответствии с принципом суперпозиции строим из двух частных решений граничной задачи для упругого прямоугольника, каждое из которых позволяет независимо от другого удовлетворить произвольным ГУ на противоположных гранях деформируемого тела. В качестве таких решений возьмем два, которые получаются методом начальных функций. Для первого решения начальные функции задаются на начальной грани х = 0 упругого прямоугольника, а для второго - на грани у = 0.

Исходными уравнениями для построения указанных решений являются уравнения равновесия Ламе, которые в прямоугольной декартовой системе координат Оху могут быть записаны в следующей матрично-операторной форме:

СЫ — 0,

в которой Ы = {и, ь} - вектор-столбец перемещений вдоль координатных осей, а матрица дифференциальных операторов С имеет вид

Г Апд°- + 2Аидхду + А66д'2 А16д2х + (А12 + А66) дхду + А26д2у ' ~ А16д2х + (Л12 + Л66) дхду + А2вд2у А66д2х + 2А26дхду + А22д\ \'

где через дх, ду обозначены соответственно операторы дифференцирования по переменным х и у.

Вектор перемещений Ы, удовлетворяющий уравнению (2), можно представить через две функции [6] в виде

и = ВЕ.

Здесь компоненты вектора-столбца Е = (х,у),Р2 (х,у)} удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению в частных производных четвертого порядка

а элементами матрицы В являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы Ламе С.

Вектор напряжений а представляется на основе закона Гука (1) и соотношений

Коши е - Си, С1 =

дх 0 ду О ду дх

с учетом (3):

а = ЭЕ,

где матрица дифференциальных операторов Б = НСВ.

В соответствии с процедурой метода начальных функций (МНФ) компоненты вектора Е ищутся в. виде степенных рядов по одной из независимых переменных с коэффициентами, являющимися функциями от операторов дифференцирования по другой переменной. Для этих целей используется уравнение (4), которое рассматривается как обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно той независимой переменной, по которой строятся степенные ряды. Операторы дифференцирования по другой переменной «замораживаются» и считаются постоянными величинами. Коэффициенты степенных рядов вычисляются через четыре произвольные начальные значения функций заданных в соответствующей начальной «точке» (ж = 0 или у = 0), с использованием рекуррентного соотношения, определяемого уравнением (4). Если найти общее решение последнего, то появляется возможность вывода формулы общего члена для степенного ряда решения. Однако в случае тела с произвольной анизотропией получить общее решение не удается, и рекуррентное соотношение применяется напрямую для последовательного вычисления коэффициента любого члена ряда. Именно эта процедура и относит полученное решение к разряду «численно-аналитического ».

Далее начальные значения функций в соответствии с процедурой МНФ, представляются в виде линейных комбинаций начальных функций - компонентов НДС, определенных на начальной грани

Основное соотношение метода начальных функций для плоской задачи теории упругости в случае представления функций Е^ степенными рядами по переменной х можно представить так:

и = £и°.

Здесь и = {й, V, дх, ду, тху} - вектор-столбец перемещений и напряжений в произвольной точке прямоугольного тела, "0° = {й°, г>°, Тху} - вектор-столбец начальных функций, определенных на грани х = О, £ = \Ьц\ (г = 1..5, 3 = 1..4) - матрица операторов МНФ с элементами вида

= А)**,

/с=0

в которых коэффициенты Щ зависят от упругих постоянных Атп анизотропного тела и оператора дифференцирования ду.

Построенное частное решение (6) обладает достаточным функциональным произволом для удовлетворения ГУ на двух противоположных гранях х — О, Л. упругого прямоугольника. Четыре начальные функции представляют собой четыре компонента НДС начальной плоскости х = 0. Два из них всегда известны из ГУ решаемой задачи, а следовательно, известны и две начальные функции. Оставшиеся неизвестными две начальные функции могут быть определены из ГУ на противоположной грани х = Л. Если, например, на обеих гранях х = 0, /г заданы соответственно функции напряжений ах, тху и ах, тху, то начальные функции перемещений й° и и0 могут быть определены из решения следующей системы дифференциальных уравнений:

¿31 |„» + ¿32 Й° = <7* - ¿33 и* <7? - ¿34 и Г°

¿51 + ¿52 и = Т*у - ¿53 |.=1к - ¿54 |._к Т%. ^

Отметим, что при этом ГУ на двух других гранях прямоугольника диктуются видом как заданных начальных функций, так и выведенных в результате решения системы дифференциальных уравнений (8).

Аналогично соотношению (0) можно получить уравнение связи вектора перемещений и напряжений с начальными функциями, определенными на грани у = 0, в случае представления функций Гг степенными рядами по переменной у

й = Ё и°.

Здесь и = {й, и,стх,ау,тху} - вектор-столбец перемещений и напряжений в произвольной точке прямоугольного тела, и = {5°,С0,¿7°,^} - вектор-столбец начальных функций, определенных на грани у = 0, £ = 1 (г = 1..5, ] = 1..4) - матрица операторов МНФ с элементами вида

оо

=Т/Щ

к=0

Решение (9) обладает достаточным произволом для удовлетворения ГУ на противоположных гранях у — 0, а упругого прямоугольника.

В соответствии с принципом суперпозиции сумма решений

и = и + и

будет обладать достаточным функциональным произволом для удовлетворения ГУ на всех четырех гранях упругого анизотропного прямоугольника. Теперь, правда, все восемь начальных функций будут неизвестными, так как на гранях х = 0 и у = 0 задаваемые из условий задачи ГУ не будут совпадать с соответствующими начальными функциями в связи с вносимым от второго решения «возмущением» в компоненты ГУ на начальной грани второго решения. Поэтому система разрешающих дифференциальных уравнений будет состоять из восьми уравнений относительно восьми неизвестных начальных функций.

Например, в случае задания на гранях х = 0, Н прямоугольника функций напряжений, соответственно равных а°с = а °(у), т°у = т°у{у) и <т£ = а ¿(у), т'х1у = т£у(у), а на

гранях у — 0, а функций перемещений, соответственно равных и0 = и°(х), v° = w°(a;) и иа = и"(х), v" = va(x), система будет иметь следующий вид:

' + Ul |..о + ¿32 L=0 + ¿33 L=0 Щ + ^34 Uo f°xy =

T°xy + ¿51 I..0 Ü° + ¿52 L=0 + ¿53 Uo + ¿54 Uo % = T%,

¿31 \x=h Ü° + ¿32 |x=ft V° + ¿33 \x=h + ¿34 |x=hT°y +

+ ¿31 Ix = h + ¿32 \x=h + ¿33 |x=/i <7° + ¿34 |Х=Л = cr£,

¿51 |i = h Ö° + ¿52 |x = /i V° + ¿53 |x = fc + ¿54 Ix=h.Txy +

+ ¿51 \x=h U° + ¿52 \x=h + ¿53 |x=/i + ¿54 |x=ft = Тхь> < _ _ _ _

¿11 |y=o ö° + L12 |y=o + L13 0 <r° + Lu 0 f°y + й° = u°,

¿21 |y=0 Ü° + ¿22 |y=0 V° + ¿23 |y=0 &y + ¿24 |y=0 T%y + V° = V°,

¿11 |y=a Ö° + ¿12 |y=a V° + ¿13 |y=a + ¿14 |y=aTxy +

+ ¿11 Iy=a Ü° + ¿12 Iy=a V° + ¿13 \y=a Щ + ¿14 \y=a f°y = Ua,

¿21 Iy=a + ¿22 |y=a + ¿23 |y=o Ö'x + ¿24 \y=afxy +

+ ¿21 |y=a U° + ¿22 |y=a V° + ¿23 |y=« + ¿24 |«=a =

Реализация тригонометрическими рядами. Решение системы дифференциальных уравнений типа (12) в общем случае задания функций граничных условий практически невозможно. Однако в случае представления начальных функций тригонометрическими рядами по определенной системе тригонометрических функций она преобразуется к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, приближенное решение которой может быть получено, например, методом редукции. Критерием выбора системы тригонометрических функций является ее замкнутость относительно операторов основного соотношения МНФ - компоненты вектора перемещений и напряжений, соответствующие начальным функциям, после воздействия операторами МНФ на начальные функции должны получаться в виде тех же самых функций.

Для тел с произвольной степенью анизотропии операторы матриц L и L в соотношениях (6) и (9) замкнуты соответственно относительно следующих линейных комбинаций тригонометрических функций: = sin(am?/), c^, = cos (amy) и sjj = sin(/?„z), cj = cos (ßnx) (am = mir/а, ßn = nix/h, m и n - любые целые неотрицательные числа).

Для ортотропных, трансверсально-изотропных и изотропных тел операторы МНФ замкнуты не только относительно указанных линейных комбинаций, но и относительно определенного упорядоченного списка тригонометрических функций. Если начальные функции для двух решений МНФ взять в виде Ü0(m) =

и Ü°(n) L {b[n)4,b^s^ b^cft} (aj™> H 6("), i = 1,...,4, - произвольные числовые коэффициенты), то соответствующие им векторы перемещений и напряжений после воздействия на них операторами матриц L и L можно представить так:

TT (m) _ /г(»п) О т(т)га ¥ (m) а f (ni) а f (m) а \

U - Sm,b2 С,п,Ьз Sm,L4 Sm, Ь5 Cm j- ,

= (n) _(f(n) h f{n) h f(n) h f(n) h fin) h\ — стъ2 An'-b3 n' 4 smL5 cnJ •

(13) 59

В (13) L

f

Г.(») í -

L

1,..., 5, являются степенными рядами с числовыми коэффи-

циентами соответственно по переменным х и у и вычисляются с учетом (7) и (10) следующим образом:

= E4m)¿

p=i

гр

р=i

(т) Тк к=О

Jt=0 р=1

р=1 р=1 fc=0p=l

В этих рядах операторы дифференцирования и <9У появляются в виде целых степеней. Их замена на числовые значения с соответствующим знаком ±а,п и ±/Зп должна выполняться последовательным дифференцированием исходной тригонометрической функции, на которую оператор воздействует. Так, например, оператор ду должен быть заменен на — если исходной функцией является функция sin (amy) (idlsam = = -a2ndysam = -агтсат) и на в случае ero воздействия на

cos (ату) (дуС^ = -otmdyS^ = -а^дуС^ = azms^n). Аналогичное правило применяется и к оператору дифференцирования по переменной ж, только функции, на которые он воздействует, будут sin (/Зпх) и cos фпх)-

Подобное представление начальных функций и компонентов НДС будем в дальнейшем для краткости называть представлением по синусам. Если в представлении по синусам все синусы заменить на косинусы, а косинусы на синусы, то полученное (также замкнутое относительно операторов МНФ) представление будем называть представлением по косинусам.

Полученные через тригонометрические функции два решения МНФ по существу являются частными решениями задач о периодически нагруженном бесконечном слое [8]. Для первого решения Ü('n) таким является слой 0 ^ х ^ h с нагрузкой, имеющей

=

период 2а, тогда как для второго решения U слой ограничен 0 ^ у ^ а, а период нагрузки равен 2li. Общие решения для каждой такой задачи могут быть взяты в виде тригонометрических рядов с использованием представлений по синусам или по косинусам

U = £ U(m),

т=О

=

U = £ U \

п=0

(ш) I (п)  л л п

в которые входят неизвестные постоянные а) ' и о] , г = 1,... ,4, т, п = 0, ...,оо, определяемые из условия удовлетворения ГУ задачи.

Если в общем решении (11) использовать решения (14) для периодически нагруженных слоев, то система разрешающих дифференциальных уравнений типа (12) преобразуется к системе уравнений, в которых в левой части будут суммы тригонометрического и степенного рядов с коэффициентами, являющимися линейными комбинациями

неизвестных постоянных только а] или только о] , а в правой - соответствующая функция ГУ. Например, в случае представления решения по синусам третье и седьмое

я

•Ы4

•Л/2

ЗА/4

и

0,5 0

-0,5

Рис. 1. Графики безразмерных перемещений иЕх/до/) (/) и 1>Ех/до1г (II) в горизонтальных (А) и вертикальных (Б) сечениях.

Объяснение в тексте.

уравнения преобразуются:

оо 4 оо

оо оо 4

Е Е Е («-?/) + Е Е Е 81п (м =

т=0 р=1 /с=0 А:=0 ?г=0 р= 1

оо оо 4 оо 4 оо _

ЕЕ ЕЛ

¿=0 7л—0 р=1

вт ата

) ** + Е Е Е ^ = и*.

п=О р=1 ¿=0

Раскладывая в полученных функциональных уравнениях степенные функции и левой части и функции ГУ правой части в ряды Фурье по соответствующей системе тригонометрических функций (в приведенных выше уравнениях по синусам), получим

/

Рис. 2. Графики безразмерных нормальных напряжений ax/qo (I) и (ry/qo (II) в горизонтальных (Л) и вертикальных (В) сечениях.

Объяснение в тексте.

оо4оо оооо 4 оо ^

Е Е ЕPft4m) sin (<*•nv) + Е Еsin Е bPl) Е ¿V™'sin ^у) =

m=0p=lk=0 m=0n=0 р=1 к=О

оо

= Е ax,mS'm(a™y),

m=0

оо оо 4 оо оо 4 оо

£ £ Sin (ата) 4m) Е 5 sin (М + Е Е Е гЪ°ЧП) sin (&•*) =

П=0т=0 р= 1 fc=0 n=0p=lfc=0

оо

= E<sin о3»*)-

n=0

Здесь введены обозначения Fm = ^ f ук sin (ату) dy, G« = £ f хк sin {¡Зпх) dx, <7¿ m и

о о

для коэффициентов Фурье разложения в ряды по синусам соответственно степенных функций и функций ГУ. Выполняя подобные разложения в ряды Фурье степенных функций в левых частях и функций ГУ в правых частях оставшихся уравнений системы (12) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получим бесконечную систему алгебраических уравнений относительно бесконечного числа неизвестных а|т) и Ь-п\ г = 1,..., 4, т,п = 0,..., оо.

Найти приближенное решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений можно методом редукции [9]. Его применение для рассматриваемой задачи эквивалентно ограничению количества членов в рядах Фурье представления начальных функций, а следовательно, и функций ГУ.

Численные расчеты. Прежде всего для доказательства достоверности получаемых результатов, было выполнено сравнение расчета в соответствии с построенным решением НДС изотропного квадрата (а = h), сжатого по двум противоположным граням х = 0, h нормальными распределенными нагрузками, изменяющимися по параболическому закону ах (у) = ах (у) = |/о — у~^ ^, с расчетами этой же граничной задачи из работы [5], где для решения системы бесконечных алгебраических уравнений применялся улучшенный метод редукции, а поэтому ее результаты можно считать точными. В таблице приведены величины нормального безразмерного напряжения стх/fo в серединном сечении х = Л/2 для различного количества удерживаемых членов в рядах Фурье. В скобках для значений расчетов по предлагаемому решению указан процент расхождения с данными [5].

Нормальное безразмерное напряжение ax¡ fo в сечении X = h/2

У/а 0,0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,5

0,616 0,668 0,745 0,838 0,935 1,030 1,117 1,189 1,243 1,277 1,288

m, п = 9 0,652

m, те = 15 0,628

m, п = 25 0,620

Анализ данных таблицы показывает, что уже при девяти удерживаемых в рядах Фурье членов даже в случае метода простой редукции получается приемлемый (в рамках допускаемой технической погрешности 5%) результат. Отметим наибольшее расхождение в точке границы упругого тела, что объясняется медленной сходимостью на границах упругого тела тригонометрических рядов для напряжений.

В качестве иллюстрации работоспособности предложенного алгоритма приведены расчеты анизотропного (Ех = 181 ГПа, Еу — 24,3 ГПа, ь>ху = 0,28, Сху_= 7,17 ГПа) защемленного по двум противоположным граням у = 0, а квадрата (а = Н) под воздействием равномерно-распределенной нормальной нагрузки интенсивности до на

А

Б

-0,6 -0,4 -0,2

0,2 0,4 0,6

0,4

0,2

0

-0,2

•0,4-

Рис. 3. Графики безразмерных касательных напряжений rxy/qo в горизонтальных (Л) и вертикальных (Б) сечениях.

Объяснение в тексте.

грани х = 0. Противоположная грань х = h свободна от какого-либо воздействия. Защемление моделируется приравниванием нулю перемещений и и v на соответствующих гранях. Упругие постоянные выражаются через технические по следующим формулам: Лп = Ех/(1 - uly), Л-22 = Еу/(1 - vly), А12 = Exvxy/(l - vly), Л66 = Gxy. Задача решалась в правосторонней декартовой системе координат Оху, в которой ось х направлена вниз, ось у - вправо. Расчеты выполнялись с удержанием 25 членов в рядах Фурье и 501 в степенных рядах.

На рис. 1 представлены графики безразмерных перемещений uEx/qoh и vEx/qoh в горизонтальных х = (г — 1) h/4 и вертикальных у = (г — 1) а/4, г = 1,..., 5, сечениях. Номер кривой как на этом, так и на рис. 2, 3 соответствует значению переменной г.

Были выполнены также расчеты с удержанием 9, 15 и 20 членов в тригонометрических рядах (в работе не приводятся). Из анализа полученных результатов можно заключить, что во внутренних точках упругого прямоугольника значения рассчитываемых перемещений уже при 9 удерживаемых членах вычисляются точно, тогда как на границе и в ее окрестности с увеличением числа удерживаемых членов рассчитываемые величины перемещений продолжают уточняться. Даже при 25 удерживаемых в тригонометрических рядах членах перемещения v в заделках (рис. 1, II, Б) близки, но не равны нулю, а в угловых точках квадрата - даже больше половины максимального значения перемещения v, достигаемого в сечениях у = а/4, За/4. Подобное поведение связано с тем, что получаемые для компонентов НДС на границе упругого тела ряды сходятся достаточно медленно.

Аналогичное поведение наблюдается и для тригонометрических рядов напряжений. На рис. 2 и 3 представлены графики безразмерных нормальных и касательных напряжений в горизонтальных х = (г — 1) h/4 и вертикальных у — (г — 1) а/4, г = 1,..., 5, сечениях деформируемого квадрата. Из рис. 2 видно, что в заделках они еще носят колебательный характер, что говорит о необходимости увеличения количества удерживаемых членов в тригонометрических рядах начальных функций и нагрузки.

Рисунок 3, на котором приведены графики касательных напряжений, также свидетельствует о необходимости увеличения числа удерживаемых членов тригонометричес-

ких рядов - в заделках в угловых точках касательное напряжение далеко от истинного нулевого значения.

Заключение. Построенное в виде тригонометрических рядов решение граничной задачи для упругого анизотропного прямоугольника позволяет с достаточной для практических приложений точностью выполнять расчеты анизотропных тел конечных размеров с произвольными ГУ. На границе тригонометрические ряды решения сходятся достаточно медленно, и для получения удовлетворительного результата требуется проводить расчеты с большим количеством удерживаемых в тригонометрических рядах членов, что связано с необходимостью увеличения оперативной памяти компьютера. Можно попытаться применить специальные приемы ускорения сходимости тригонометрических рядов, реализация которых не требует большого объема оперативной памяти. Однако этот подход не является универсальным, так как известные методики ускорения сходимости рядов (например, метод А. Н. Крылова (см. [9])) по существу основаны на выделении медленно сходящейся части ряда в виде заданной аналитически функции, что в условиях предлагаемого алгоритма невозможно.

Summary

Matrosov А. V. Numerical-analytical solution for a boundary problem of deformation of linearly-elastic anisotropic rectangle.

The general solution in trigonometric series for the problem of deformation of linearly-elastic anisotropic rectangle using the crosswise superposition method in combination with the method of initial functions is built.

Литература

1. Lamé G. Leçon sur la théorie mathémathique de l'élasticité des corps solids. Paris: Bachelier, 1852. 335 p.

2. Коялович Б. M. Исследование о бесконечных системах линейных алгебраических уравнений // Изв. Физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1930. Т. 3. С. 41-167.

3. Абрамян Б. Л. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра // Докл. АН АрмССР. 1954. Т. 19, № 1. С. 3-12.

4. Гринченко В. Т., Улитпко А. Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности: Равновесие упругих тел канонической формы. Киев: Наукова думка, 1985. 280 с.

5. Meleshko V. V. Equilibrium of elastic rectangle: Mathieu-Inglis-Pickett solution revisited // J. of Elasticity. 1995. Vol. 40. P. 207-238.

6. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. M.: Гостехиздат, 1955. 491 с.

7. Галилеев С. М., Матросов А. В. Метод начальных функций в расчете слоистых плит // Прикладная механика. 1995. Т. 31 (41), № 6. С. 64-71.

8. Власов В. 3., Леонтьев H. Н. Балки, плнты и оболочки на упругом основании. М.: Изд-во физ.-матем. лит-ры, 1960. 491 с.

9. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гос. изд-во теор.-техн. лит-ры, 1950. 695 с.

Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. Ю. М. Далем. Статья принята к печати 20 ноября 2006 г.