Прямоугольная пластина на двухпараметрическом упругом основании: аналитическое решение

УДК 539.3

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА НА ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ: АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

© 2011 А.А. Большаков1

Приближенное решение задачи о прямоугольной пластине на двухпара-метрическом основании ищется в форме двойного ряда по балочным функциям. Построены балочные функции, удовлетворяющие краевым условиям упругого опирания. Предложены аналитические выражения для вычисления коэффициентов ряда.

Ключевые слова: прямоугольная пластина, приближенное аналитическое решение, двухпараметрическое упругое основание, упругое опирание, балочные функции, двойной функциональный ряд.

Введение

Пластина на упругом основании является широко распространенной расчетной моделью конструктивных элементов объектов строительства, машиностроения, приборостроения, судостроения и т. д. Доминирующее место при решении задач в теории пластин в настоящее время занимают численные методы, альтернативу которым составляют аналитические методы, основанные на представлении решений в виде рядов.

Рассматривается задача о пластине, свободно лежащей на двухпараметриче-ском упругом основании и находящейся под действием распределенной произвольной нагрузки д(х,у). Такой выбор задачи обусловлен тем, что если различные варианты решений в рядах для шарнирно-опертых или защемленных по контуру пластин широко представлены в литературе, то решений в рядах для прямоугольной пластинки с незакрепленными краями и двухпараметрическим упругим основанием найти не удалось. Поэтому разработка алгоритма построения решения названной задачи, при произвольном нагружении, в аналитической форме является актуальной проблемой.

Кроме того, алгоритмы расчета пластин, лежащих на двухпараметрическом основании, могут быть использованы для определения форм гармонических поперечных колебаний пластинок при учете прогибов, вызываемых деформациями сдвигов (пластина С.П. Тимошенко): уравнения, описывающие названные процессы, формально совпадают.

1Большаков Артем Александрович (info@project-center.ru), Пермский проектный институт реконструкции и строительства, 614000, Российская Федерация, г. Пермь, ул. Орджоникидзе, 14.

1. Постановка задачи

Дифференциальное уравнение изгиба пластины, лежащей на двухпараметрическом упругом основании [1], имеет вид:

^ дАгш ^ дАгш ^ дАгш (д2гш д2

ВдМ + 2ВдХ^ + 2дум + - С2

Здесь первый коэффициент С1 — коэффициент сжатия, связывающий интенсивность вертикального отпора упругого основания с его вертикальным смещением, Н/м3; С2 — независимый от С1 коэффициент сдвига, связывающий интенсивность вертикальной силы сдвига и производную вертикального смещения в соответствующем направлении, Н/м.

Решение уравнения (1.1) представим в виде двойного ряда:

КХ,У) = ^2мтпХт

, мтпХт( т=1 п=1

где штп — коэффициенты ряда, Хт(х),Уп(у) — фундаментальные балочные функции [2], представляющие собой частные решения уравнения поперечных колебаний балки.

Общее решение уравнения поперечных колебаний балки может быть представлено в форме:

X

Здесь К1(ах), К2(ах), Кз(ах), К4(ах) — функции Крылова, С1 ,С2,Сз,С4 — произвольные постоянные, которые определяются из краевых условий задачи свободных колебаний балки.

Как известно [1], при приложении к плите, свободно лежащей на упругом двух-параметрическом основании, вертикальной нагрузки, по периметру плиты возникают погонные поперечные силы переменной интенсивности, определяемой величиной вертикального перемещения точки контура.

Отнеся эти силы к полоске единичной ширины, получаем краевые условия для балочных функций:

кХ

в

дх3

д2Х

; кХ

дх2

= 0; В^М =0

' П 2

х=0 дх2

дх3

= 0.

Х = 1

2. Построение балочных функций

Введем обозначения Л = а1 и в = В а-, к = ^С7С2, и подставим (1.3) в (1.4), тогда краевые условия запишутся в виде:

Сз =0;

С1 + вС4 = 0;

С1 [К1(Л) - вК2(Л)] + С2 [К2(Л) - вКз(Л)] + С4 [К4(Л) - вК1 (Л)] = 0; (2.1) С1Кз(Л) + С2К4(Л) + С4К2 (Л) = 0.

Х

Для получения отличных от нуля коэффициентов приравниваем нулю определитель полученной однородной системы уравнений. Подставив в (2.1) развернутые выражения функций Крылова [3] и проделав некоторые преобразования, придем к уравнению для определения характеристического числа:

4th Л sin Л + 4в th Л cos Л - 4в sin Л - 2в2 cos Л + 2Й2-^ =0.

ch Л

При больших значениях Л:

tg Л « .

S 2

В соответствии с (2.1) коэффициенты Ci и C4, C2 и C4 связаны соотношениями:

C = -в, C1 = -',

C4 C4

здесь ф — вновь введенный параметр, определяемый выражением:

К2

Искомая балочная функция после нахождения корней Л из уравнений (2.2), (2.3) с учетом введенных обозначений (2.4), (2.5) примет вид:

Xi

Аналогично введя для фундаментальных балочных функций по оси y обозначения ayj, вуз тЛуу, 'фyj, получаем:

Yj(y) = 2 [(1 - фуз) sh ayjу - (1 + фуз) sin ayjу - вуз(sh аузу +cos ayjу)] . (2.7) 3. Определение коэффициентов ряда

Фундаментальные функции, определенные изложенным выше способом, ортогональны между собой и со своими четвертыми производными. Кроме того, балочные функции и их вторые производные обладают свойством «квазиортогональности» [2]. Для интегралов от фундаментальных балочных функций введем обозначения au,bii,cn,djj,ejj, j, определяемые соотношениями:

' a

агг = J X2(x)dx;

о

bu = J Xf

о

_ 4 ;

cii a aii ;

b

djj = / Yj (y)2rfy;

j

о

^ ejj = J Yj'(y)Yj(y);

о

4

f  • = a 4d- • Jjj ay djj .

Применение метода Галеркина [4] к поиску коэффициентов ряда (1.2) позволяет с учетом свойства «квазиортогональности» балочных функций определять коэффициенты мтп независимо друг от друга:

а4В1 + 2Вз ^ 3 + в4В2 + С1 - с А ^ + 3

агг ^33 \ аИ ^33

Ь а

/ /?(х,у)Х*(х)у-(у)йхйу

о о

aii j

Произведя вычисление интеграла а^, получим следующие формулы:

ац = S/i + S/2 + S/3;

S/i =(1 - ^)2 + в2 sh 2Л - 2в(1 - ф) ch 2Л; 4a 4a

(ф2 - 1) в2 S/2 =-(sin Л ch Л — еовЛ sh Л) +--(sh Л cos Л + ch Л sin Л) —

aa

2в

--

a

S/3 = (2ф + в2) a — (1 + Ф)2 — в2 sin 2Л — в (1+ф cos 2Л — 3^ .

4a a 2

Вычислим также интеграл Ьц в общем виде:

Ь = — bii = 16

sh Л ((1 — ф)2 + в2 — 2в(1 — ф) cth 2Л^ + + ((1 + ф)2 — в2) sin 2Л + 2в(1 + ф) cos 2Л — 4 ((1 + ф2) Л + вф)] .

Однако, если определять функции Xi(x) через (2.6), а функции Yj(y) — через (2.7) при ф,фу, вычисляемых по соотношению (2.5), то возникают проблемы с численной реализацией алгоритма. Приемлемая точность вычисления интегралов (3.1), (3.2) обеспечена при таких значениях i, j, для которых sh Л < 1018, sh Лу < < 1018. При дальнейшем возрастании индексов i, j вычислительные погрешности приводят к обнулению коэффициентов wmn ряда (1.2).

Найдем асимптотическую формулу, связывающую параметры ф и в (индексы для простоты опущены) при неограниченном возрастании индексов i, j, для чего перепишем формулу (2.5) в виде:

sh Л

Учитывая, что с увеличением номера гармоники th Л ^ 1, cth Л ^ 1, и пренебрегая sin Л, cos Л по сравнению с sh Л, ch Л, получаем из (3.6):

ф = 1 — в.

Тогда, учитывая соотношения (3.6), (3.7), начиная с некоторых номеров ia, ja вместо (2.6), (2.7) имеем:

Xi

в

Y

Вычисляя интегралы а,ц, bjj, при г ^ ia, получаем:

ац = ((1 - в)2 + 1) а - ^^в sin 2А - в Гв cos2A - 3^ ;

а а у 2 у

Ь« = 16 [4

Таким образом, при относительно небольших значениях А, (i < ia) для поиска ац, Ьц используются формулы (2.6), (2.7) и (3.4), (3.5), а при больших А — формулы (3.8),(3.9) и (3.10), (з.11).

Выражения для поиска djj и ejj имеют такой же вид, как и для ац и Ь^, естественно, со своими значениями ву и Ау. Интеграл в правой части (3.3) вычисляется либо аналитически, либо численно в зависимости от функции q(x,y).

Скорость сходимости рядов вида

q

i=ij=i

проверялась путем проведения вычислительных экспериментов.

Так, точность аппроксимации порядка 1 % при разложении в ряд (2.12) нагрузки qo = const, приложенной по области xi ^ x ^ x2,yi ^ y ^ У2, достигалась при i = 50, j = 50.

Заметим, что при использовании метода Галеркина коэффициенты qj находятся независимо друг от друга, в силу ортогональности систем функций Xj(x),Yj(y).

Для улучшения сходимости рядов, представляющих производные от функции прогибов w(x,y), применяются множители Ланцоша [5].

Выводы

1. Предложен алгоритм построения приближенного аналитического решения задачи о пластинке, свободно лежащей на двухпараметрическом упругом основании, под действием произвольной распределенной поверхностной нагрузки.

2. Решение задачи построено в форме двойного ряда по балочным функциям, удовлетворяющим условиям упругого опирания концов балок. Коэффициенты ряда находятся независимо один от другого, что позволяет построить аппроксимацию решения с высокой точностью.

3. Алгоритмы, разработанные для пластин, лежащих на двухпараметрическом упругом основании, могут быть использованы для определения форм гармонических колебаний упругой пластины С.П. Тимошенко: уравнения, описывающие названные процессы, формально совпадают.

Литература

[1] Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М.: Госстройиздат, 1954. 56 с.

[2] Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высш. школа, 1972. 296 с.

[3] Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высш. школа, 1972. 416 с.

[4] Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 296 с.

[5] Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

Поступила в редакцию 29/X1/2011; в окончательном варианте — 29/X//2011.

A RECTANGULAR PLATE ON A TWO-PARAMETER ELASTIC BASE: THE ANALYTICAL SOLUTION

© 2011 A.A. Bolshakov2

In the paper the approximate solution for a problem of a rectangular plate on a two-parameter elastic base is suggested. The double series of beam functions satisfying elastic support boundary conditions are constructed. The analytical expressions for series function coefficients are obtained.

Key words: rectangular plate, approximate analytical solution, two-parameter elastic base, elastic support, beam functions, double series of functions.

Paper received 29/X1/2011. Paper accepted 29/X1/2011.

2Bolshakov Artem Alexandrovich (infoaproject-center.ru), Perm Project Institute of Reconstruction and Civil Engineering, Perm, 614000, Russian Federation.