Моделирование алгоритмов распознавания объектов по их радиолокационным портретам

УДК 621.396

В.В. Тертышник, А.В. Зиновьев

МОДЕЛИРОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБЪЕКТОВ ПО ИХ РАДИОЛОКАЦИОННЫМ ПОРТРЕТАМ

Приводятся результаты моделирования распознавания аэродинамических объектов трех классов по их радиолокационным портретам. Исследовались корреляционный алгоритм распознавания и корреляционный алгоритм с усреднением. Эффективность алгоритмов оценивалась по матрице условных вероятностей, а также с помощью рабочих характеристик распознавания. Входные радиолокационные портреты предварительно смешивались с шумом. При моделировании выяснилось влияние числа эталонных портретов и величины отношения сигнал/шум на эффективность распознавания.

V.V. Tertishnik, A.V. Zinoviev MODELING OF ALGORITHMS OF OBJECTS RECOGNITION ACCORDING TO THEIR RADIOLOCATION PORTRAITS.

Modeling results of three-class objects recognition according to thir radiolocation portraits are represented. Correlation algorithm of recognition and correlatoin algorithm with averaging are studied. Algorithms efficiency is evaluated by matrix of conditional prolabilities and using recognition characteristics. Input radiolocation portraits are preliminary mixed with noise.

Influence of perfect portraites number and relation signal/noise on recognition efficiency are defined.

Моделирование распознавания проводилось в предположении гауссовости входных сигналов. Условная плотность распределения вероятности смеси к-го портрета i-го класса с шумом описывалась выражением [1]

p„

где Pik - оператор, обратный к корреляционному оператору, соответствующему смеси к-го радиолокационного портрета объекта класса Аг-; Н - определитель матрицы Н, характеризующей систему выбранных линейно независимых функций конечного унитарного подпространства Hn гильбертова пространства L2.

В выражении (1) зависимость от конкретного базиса в подпространстве Hn отражена только в det H, остальные величины от базиса не зависят.

Условная плотность распределения вероятности только шума имеет вид

pn

где N - спектральная плотность мощности шума; I - единичная матрица.

Отношение правдоподобия с учетом (1) и (2) можно записать

, —(I-NPk V,V .

lk

оно не зависит от базисных функций в подпространстве Hn [2].

Анализ величин, входящих в отношение правдоподобия, показал, что при энергетических соотношениях сигнал / шум для одиночных импульсов портрета больше трех оператор (I-NPik) представляет собой стробирующий (опорный) сигнал, а сомножитель det (NPk) практически не влияет на величину отношения правдоподобия. С учетом этого отношение правдоподобия можно записать

lk - ^ ) ,

где Э - энергия входного сигнала; p.k - коэффициент взаимной корреляции входного

радиолокационного портрета с k-м эталоном i-го класса.

С целью упрощения алгоритма распознавания при моделировании представим экспоненту в (4) степенным рядом

Э

lik ~ 1 + NPk .

Заметим, что замена отношения правдоподобия степенным рядом более удобна и корректна, чем замена его логарифмом отношения правдоподобия.

Выражение для максимального среднего выигрыша с учетом (3)...(5) записывается

[3]

__ n 1 Щ ( Э Л

D = 1 -JZв* 11 + ЭpjdV ,

.=1 ns.k=1 t N )

где pik - априорная вероятность появления k-го портрета i-го класса.

Для обеспечения максимального среднего выигрыша (6) необходимо для каждой области Si выбирать максимум суммы

n Э

р. =Ё—$tkPik .

k=1 N

Э

Входящий в выражение (7) сомножитель — является общим для всех р., поэтому

N

при сравнении последних его можно не учитывать.

Таким образом, при разбиении пространства входящих сигналов на непересекающиеся области Si можно пользоваться статистикой

P. =Z Pik Pik .

k=1

Решающее правило при этом имеет вид

V е St если p.)pj, j = 1,2,3...n .

Статистика (8) представляет собой усредненный коэффициент взаимной корреляции входного радиолокационного портрета со всеми эталонами i-го класса. В случае неизвестных априорных вероятностей появления портретов i-го класса приходится

применять P.k = ^п = const. Тогда статистика р. будет представлять собой усредненный с

одинаковыми весами коэффициент корреляции входного сигнала V(t) с эталонами i-го класса. При моделировании распознавания входные радиолокационные портреты объектов представлялись в виде дискретных отсчетов амплитуды через равные промежутки времени. Интервал дискретизации по времени с целью обеспечения небольших ошибок восстановления портретов в большинстве случаев выбирался равным Ат=0,4тм, где Tu - длительность сжатого импульса. При таком представлении входных

радиолокационных портретов первичными признаками распознавания являются значения дискретных отсчетов амплитуд и последовательность их следования. При реализации рассматриваемого алгоритма распознавания необходимо производить поиск максимума коэффициента корреляции р/к. Это связано с тем, что, во-первых, точное время прихода входных портретов неизвестно, во-вторых, начало портретов в присутствии шумов точно определить удается не всегда. Входной сигнал, поступающий на устройство распознавания, выделялся с помощью строба дальности. Длительность строба тс превосходила максимальную длительность полезного сигнала и определялась точностью измерения дальности до объекта. Число дискретных отсчетов (размерность вектора

дискретизации.

Максимум коэффициента корреляции входного сигнала с эталоном находился путем перемещения эталона вдоль входной реализации с дискретным шагом Ат и вычисления коэффициента корреляции на каждом шаге.

Таким образом, работа квазиоптимального алгоритма распознавания при решающем правиле (9) описывается выражением

где $, - дискретный у-й отсчет входной реализации; Щк - дискретный у-й отсчет к-го портрета /-го класса.

Рассмотренный квазиоптимальный алгоритм распознавания включает в себя черты и основные преимущества, присущие корреляционному методу распознавания. Корреляционный метод распознавания также базируется на подсчете коэффициентов корреляции между заранее сформированными эталонами и входными реализациями [4]. Однако решение о принадлежности входной реализации к определенному классу выносится по максимальному коэффициенту корреляции входной реализации только с одним из эталонов классов.

Одним из существенных преимуществ этих алгоритмов является то, что в них используются нормированные эталоны и входные реализации. Если эталоны и входные реализации представить как векторы в и-мерном пространстве, то на результат распознавания не будут оказывать влияние длины этих векторов.

Другим важным преимуществом алгоритма является инвариантность к временным сдвигам входных реализаций. Это свойство заложено в самом принципе алгоритма распознавания (10), так как он предусматривает просмотр всех положений входных реализаций и отыскание такого положения, которое дает наибольшую корреляцию с эталоном. При этом не требуется предварительного отыскания начала входного радиолокационного портрета (РЛП).

Оценка эффективности рассмотренных квазиоптимальных алгоритмов распознавания проводилось экспериментальным путем. Произвести аналитическую оценку этих алгоритмов довольно сложно, поскольку вид распределения случайной величины р/ не известен. При моделировании распознавания по РЛП использовались объекты трех классов: протяженный объект (бомбардировщик), объект средних размеров (истребитель) и маленький объект (ракета). Распознавание проводилось в некоторой области диапазона наиболее вероятных ракурсов. Эта область располагалась в пределах ф=4°-17° и 0=100°-101° и, как отсюда следует, размеры в горизонтальной плоскости равнялись 13°, а в вертикальной 1°. Размеры области были достаточно небольшими с тем, чтобы получить достаточное количество статистических данных. РЛП объектов всех классов в этой области были рассчитаны с дискретностью по ф=0,1° и 0=1° [5, 6]. Число

признаков) входной реализации при таких условиях равна

т

]Ы(] +1 )ік

І =1

>, І = 0,1... п ,

различных входящих реализаций портретов объектов каждого класса, предъявляемых для распознавания, составляло от 70 до 260. В реальных условиях на реализацию портретов будет оказывать влияние шум. Поэтому входные радиолокационные портреты области предварительно смешивались с шумом. Квадратурные составляющие шума были распределены по нормальному закону с нулевым средним и заданной дисперсией. Пример входных радиолокационных портретов объекта средних размеров при разрешающей способности по дальности 5Г=2,25 м без учета шума и с его учетом а=0,109 показаны на рис. 1. В дальнейшем при оценке качества распознавания в зависимости от отношения энергии сигнала и спектральной плотности мощности шума используется параметр q

д = .

(23

N

где 3 - средняя энергия одного импульса радиолокационного портрета; N - спектральная плотность мощности шума.

Є - ЮЛ*

ч>-

ЮІ о

/\/~'1 ч/\л/ч-уЛАл

с,*' в • іСн °

Р* 401°

|>г= и. 8а

э- іОІ0

б

Рис. 1. Радиолокационные портреты объекта средних размеров: а) без шума, б) с учетом шума

а

Среднее число импульсов радиолокационных портретов выбранных большого, среднего и малого объектов на основе их анализа было принято соответственно 8.5, 4.5 и

2. Чтобы получить значение отношения сигнал / шум qz по напряжению для всего РЛП каждого объекта, параметр q необходимо умножить: для большого объекта на 2,9, средней протяженности на 2,1 и малой протяженности на 1,4. Эти простые пересчетные соотношения можно получить с помощью рис. 2. На второй оси ординат отложено отношение средней суммарной энергии портретов к спектральной плотности мощности

шума Уы 0.

Эффективность распознавания оценивалась по матрице условных вероятностей

элементы главной диагонали которой характеризуют вероятность

правильного распознавания соответственно большого, среднего и малого размера среди объектов трех классов.

р 1 ББ р БИ р БР

р = Р 1 ИБ р ИИ Р 1 ИР

р 1 РБ р РИ р РР

ь

ш 30

т 38

т 26

288 2І

гц 22

м го

162 /8

№ (6

98 /4

72 (2

56 Ю

3? 8

/8 6

8 4

г г

0 і*

V

Уу /V

/ у/ 1

8 Ю І2 /4 16 /8

20

Рис. 2. Зависимость суммарного отношения сигнал/шум для трех классов объекта от параметра д

Исследование алгоритмов распознавания было направлено на выяснение следующих вопросов: влияние на качество распознавания числа эталонов классов и отношения сигнал / шум; степень приближения квазиоптимальных алгоритмов к оптимальным.

Вначале рассматривался наиболее просто реализуемый корреляционный алгоритм распознавания. Число эталонов большого, среднего и малого объектов было соответственно выбрано 3, 5, 1. В качестве эталонных портретов большого объекта принимались усредненные портреты для значений ракурсов 0=100°, 101° и ф=5°, 5,1°, 5,2° - первый эталон; 0=100°, 101° и ф=10,3°, 10,4°, 10,5° - второй эталон; 0=100°, 101° и ф=15,1°, 15,2°, 15,3° - третий эталон. Для объекта средних размеров в качестве эталонов принимались усредненные портреты для таких же значений ракурсов, как и у большого объекта, и, кроме того, четвертый эталон был получен усреднением с одинаковыми весами реализаций 0=100°, 101° и ф=7°, 7,1°, 7,2°, а также пятый эталон - 0=100°, 101° и ф=8°, 8,1°, 8,2°. За эталонный портрет малого объекта была принята реализация при 0=100° и ф=10°.

Моделирование распознавания при таких исходных данных при использовании корреляционного алгоритма и разных отношениях сигнал / шум дало следующие результаты:

Ч = 2,8

Ч = 6,4

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0,59 0,41 0 0,3 0.7 0 0,02 0,98 0

1 0 0 0,07 0 0,93 0 0 1

Из (12) видно, что для надежного распознавания аэродинамических объектов при использовании корреляционного алгоритма с ограниченным числом эталонов требуется достаточно большое отношение сигнал / шум для одного импульса портрета. Большие значения вероятностей РРБ - вероятностей принятия малого объекта за большой объект связано с тем, что за счет влияния шумов портреты малого объекта становятся похожи на эталоны большого объекта, что обеспечивает высокий коэффициент корреляции с ними. Более наглядное представление о зависимости вероятности правильного распознавания от отношения сигнал / шум дает рис. 3. Цифрами 1, 2, 3 обозначены кривые распознавания соответственно большого, среднего и малого объектов. В скобках указано число эталонов каждого класса.

Р 6 (0 /£ Ж 35

Рис. 3. Зависимость вероятностей правильного распознавания от отношения сигнал/шум

Согласно этому рисунку, для обеспечения вероятности правильного распознавания среднего объекта > 0,9 отношение сигнал / шум по напряжению для одного импульса должно быть > 11, а для распознавания ракеты - ловушки с той же вероятностью среди объектов трех классов это отношение должно быть > 6.

Одним из путей повышения качества распознавания аэродинамических объектов, например, объекта средних размеров является увеличение числа эталонов. Увеличение числа эталонов объекта среднего размера в корреляционном алгоритме до 9 давало существенное повышение вероятности правильного распознавания (рис. 4). Рис. 5 иллюстрирует зависимость вероятности принятия объекта средних размеров за большой объект от отношения сигнал / шум. Цифры на рисунках в скобках указывают число эталонов объекта среднего размера. Наиболее существенное улучшение качества распознавания наблюдается при увеличении значений ^ от 2,5 до 9. Необходимо отметить, что дальнейшее увеличение числа эталонов до 11 обеспечивало не столь существенный выигрыш при распознавании. Зависимость вероятности правильного распознавания объекта средних размеров от числа эталонов пи корреляционного алгоритма при фиксированном отношении сигнал / шум показана на рис. 6.

Повышению качества распознавания будет способствовать, во-первых, тщательный отбор эталонов каждого класса и, во-вторых, учет априорных вероятностей появления радиолокационных портретов ргк. Причем учет априорных вероятностей появления портретов должен по возможности базироваться на данных обучающей выборки. Пренебрежение такой возможностью и принятие одинаковых вероятностей появления

портретов вгк =

иногда приводит к ухудшению распознавания. Так, например,

корреляционный алгоритм распознавания, когда решение о принадлежности объекта к какому-либо классу принимается по максимуму коэффициента корреляции входной реализации с одним эталоном класса при д=4,5 и числом эталонов большого, среднего и малого объектов равными соответственно 3, 8, 1 дает Рщ ,•=(),при Рщ—О,17.

Рис. 4. Зависимости вероятности правильного распознавания объектов второго класса

от числа эталонов

ОА

о?

\\ \

2

т/ 1 №

О 2 4 6 8 Ю Ю М Ю №

Отношение сигнал/шум, у

Рис. 5. Зависимость вероятности принятия объекта средних размеров за большой объект от отношения сигнал/шум

Раи

0,6 ОА О,г

О 3 Ь 6 8 Ю /2 И Пи

Рис. 6. Зависимость вероятности правильного распознавания объекта средних размеров

от числа эталонов

Алгоритм, принятие решения в котором производится по усредненному коэффициенту корреляции с = у при этом же отношении сигнал / шум дает РИИ=0,75

и РИБ=0,25. Видно, что усредненный коэффициент корреляции с одинаковыми весами по всем эталонам класса может приводить к ухудшению качества распознавания.

Оценка работы алгоритма при тщательном отборе эталонов и учете априорных вероятностей появления РЛП проводилась на примере распознавания объекта средних размеров. РЛП диапазона наиболее вероятных ракурсов 0=100°-101° ф=4°-10,5° при дискретности 0=1° и по ф=0,1° принимались за портреты обучающей выборки. Среди этой совокупности портретов были выбраны 10 наиболее характерных реализаций и приняты за эталоны. Каждый портрет совокупности был похож хотя бы на один эталон с коэффициентом корреляции р>0,95. Была определена частота появления портретных реализаций. Вид характерных РЛП объекта средних размеров и частота их появления для указанного диапазона ракурсов приведена на рис. 7. Выявление наиболее характерных портретов и определение частоты их появления производилось с помощью компьютера.

Рис. 7. Вид характерных радиолокационных портретов объектов средних размеров

Моделирование алгоритма распознавания с учетом выбранных эталонов и априорных значений появления портретов при использовании реализаций из диапазона изменения ф=4°-17° и 0=100°-101° дало значительно лучшие результаты по сравнению с описанными ранее. Штрих-пунктирная кривая рис. 4 иллюстрирует зависимость вероятности правильного распознавания объекта средних размеров от отношения сигнал / шум для рассмотренного случая.

Моделирование распознавания говорит о том, что применение в РЛС, обеспечивающей отношение суммарной энергии сигнала к шуму больше 200-250, корреляционного алгоритма дает хорошие результаты. Лучшие результаты получаются в том случае, когда производится отбор эталонов и учитываются априорные вероятности их появления на основе информации о структуре РЛП распознаваемых объектов. Недостатком корреляционных алгоритмов является то, что они не позволяют регулировать величины вероятностей отношения ошибочных решений, поскольку, согласно решающему правилу, определение класса входной реализации производится по максимуму коэффициента корреляции либо усредненного коэффициента корреляции.

Для выявления потенциальных возможностей повышения эффективности распознавания аэродинамических объектов нескольких классов используют рабочие характеристики распознавания (РХР). Для этого переходят от многоальтернативного к двухальтернативному распознаванию. Согласно принятой классификации это означает переход от полного разрешения объектов п классов к квазиполному разрешению -различению объектов /-го класса на фоне шумов и объектов (п-1)-го классов. Так, например, рабочей характеристикой распознавания объекта большого размера является зависимость вероятности принятия объекта большого размера за объект малого или среднего размера, т.е. ошибка 1-го рода, от вероятности принять объект среднего или малого размера за объект большого размера, т.е. ошибка 2-го рода. Для полного представления о процессе распознавания требуется построить п рабочих характеристик распознавания. Алгоритм распознавания для таких случаев в принципе не изменяется, а распознавание разбивается на п этапов различения, на каждом из которых используются эталоны только одного из классов. Правило решения при этом формулируется так: если р>р0, то принимается решение У^Бг, если р<ро, то принимается решение У^Бг. Вероятности ошибочных решений будут равны

Ро

Р,п-1 =1 Рг

-ОТ

ад

Рп-1,г = | Рп-1

Р0

Зависимости Рг,п-1 (Рп-1,г) строились путём использования обучающей выборки при фиксированном отношении сигнал / шум, без восстановления законов распределения статистики р. Обучающая выборка представляла собой РЛП объектов трёх классов области по 0=100-101° и ф=4-10,5°. Для каждой реализации обучающей выборки с помощью алгоритма распознавания вычислялось значение статистики р. Затем, изменяя величину порога р0, для каждого его значения определялась частота ошибок первого и второго рода. При достаточном объёме обучающей выборки эти частоты стремятся к условным вероятностям ошибок первого и второго рода. Объём выборки выбирается не очень большим, поскольку рабочая характеристика распознавания является интегральной характеристикой различимости классов.

На рис. 8 представлена рабочая характеристика распознавания большого объекта среди объектов трёх классов при различных отношениях сигнал / шум. С помощью этих характеристик распознавания можно выяснить эффективность рассмотренных алгоритмов, а также определить качество решающих правил, получаемых по критерию Неймана-Пирсона, минимума среднего риска и идеального наблюдателя.

Рис. 8. Рабочая характеристика распознавания объекта большого размера

Рабочие точки рассмотренных корреляционных алгоритмов распознавания большого объекта на фоне объектов других классов при отношениях сигнал / шум ^>3 располагаются на оси абсцисс. При этом обеспечивается практически безошибочное распознавание объекта большого класса. Однако вероятности ошибок 2-го рода - ложных тревог - могут достигать значительной величины. Регулировать величину вероятностей ошибок 2-го рода при решающем правиле корреляционного алгоритма не представляется возможным. В тех случаях, когда необходимо получить заданное значение вероятности ошибок 2-го рода при минимальных вероятностях ошибок 2-го рода, целесообразно использовать решающее правило согласно критерию Неймана-Пирсона. Применение этого правила в нашем случае для отношения сигнал / шум, равного 5,8, и вероятности ошибок 2-го рода 0,16 позволит распознавать объект большого размера с вероятностью 0,95 (рис. 8). Приведенные рабочие характеристики распознавания не противоречат тому физически явному факту, что качество распознавания улучшается с увеличением отношения сигнал / шум. Несимметричность рабочей характеристики распознавания говорит о том, что вероятности ошибок принятия объекта большого размера за малый объект и объект средних размеров особенно при большой спектральной плотности мощности помех несколько выше, чем вероятности принятия малого и среднего объекта за большой.

Рабочие характеристики распознавания объекта средних размеров для нескольких значений отношения сигнал / шум и разрешающей способности 5Г=2,25 м приведены на рис. 9 и они были построены по описанной выше методике. Из рис. 9 видно, что вероятность принятия объекта средних размеров за большой или малый объект несколько ниже, чем вероятность принять большой или малый объект за объект среднего размера.

О возможностях распознавания малых объектов и о качестве имитации ими более опасных объектов можно судить по рабочим характеристикам (рис. 10).

Вероятность принять большой объект или объект средних размеров за малый объект в целом меньше, чем вероятность принять малый объект за объекты двух других рассматриваемых классов. Причём с учётом РХР (рис. 9), свидетельствующих о меньших вероятностях принятия объекта средних размеров за малый или большой объект, можно сделать вывод, что малый объект при малых отношениях сигнал / шум чаще будет приниматься за большой объект, чем за объект средних размеров. Поэтому большое число объектов малых размеров при малых отношениях сигнал / шум может способствовать затруднению распознавания и приводить к информационным перегрузкам каналов. Для распознавания объектов малых размеров с вероятностями > 0,9 при вероятности ошибок 2-го рода < 0,1, отношение сигнал / шум должно быть 17, что свидетельствует отношению общей энергии РЛП к спектральной плотности мощности Э^/Ж = 24,7 дБ. При отношениях сигнал / шум ^ > 22 обеспечивается практически безошибочное

распознавание объектов малых размеров среди объектов трёх классов.

о т о,г о.з о,4 о,5 ^рБРИ

Рис. 9. Рабочие характеристики распознавания объектов средних размеров

э $

Р:ИЬ

0,8

0,7

0,6

0,5

ол

о,г

№

0,1

Д/2 .9

1 15

г її

/ л го

1 4 гг

3

^ А

о 0,1 о.г о.з &

ГИБ Р

Рис. 10. Рабочие характеристики распознавания объекта малого размера

Для числовой оценки эффективности распознавания было выбрано минимальное значение суммарной вероятности ошибки

Р2 = Р

где Р($\) - априорная вероятность появления объекта /-го класса; Р(£п-1) - априорная вероятность появления объектов остальных (п-1) классов.

Вероятности ошибок 1-го рода Рг-,п-1 и 2-го рода Рп-1/ в этом выражении выбирались равными длине отрезков, отсекаемых касательной к кривой рабочей характеристики различения, проведенной нормально к биссектрисе. Априорная вероятность Р(£г) принималась равной 0,33, а Р(£п-1)=0,67, поскольку объекты каждого класса полагались равновероятными.

На рис. 11 приведены зависимости Ре(^) для объектов трех классов. Нижняя кривая показывает, что приемлемую эффективность распознавания объекта большого размера Ре=0,1^0,2 можно обеспечить при отношении сигнал / шум 4<^<10. Для распознавания объекта средних размеров с той же эффективностью, необходимы большие отношения сигнал / шум 6<^<13, и для распознавания объектов малых размеров отношение сигнал / шум должно быть ^>15.

0,1 ф №

0$

0,1 0,2

ы

О 2 0 7з А? $

Рис. 11. Зависимость минимального значения суммарной вероятности ошибки

от отношения сигнал / шум

Выше рассматривалось распознавание объектов в небольшой области диапазона наиболее вероятных ракурсов. Чтобы получить представление о качестве различения, например объекта большого размера, в большей области диапазона ракурсов было проведено моделирование распознавания по РЛП, при значениях 0=91°-99° и ф=1°-15°. Дискретность по 0 и ф была выбрана 1°, а общее число входных реализаций при моделировании составляло 135. Число эталонов объектов большого, среднего и малого размеров было выбрано соответственно 10, 10 и 1. За эталоны большого объекта принимались наугад выбранные РЛП из указанной области, причем только четыре эталона в точности совпадали с реализациями, предъявляемыми для распознавания. Моделирование распознавания с использованием корреляционного алгоритма при отношениях сигнал / шум больше 2,5 давало практически безошибочные результаты определения объекта больших размеров. Несколько худшие результаты распознавания были получены, если решение принималось по усредненному коэффициенту корреляции входного портрета со всеми эталонами, причем веса эталонов объекта одного класса полагались одинаковыми. При отношении сигнал / шум ^=4,7 обеспечивалась вероятность правильного распознавания объекта большого размера РББ=0,91 при Рбр=0,09.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тертышник В.В. Связь различных способов распознавания радиолокационных объектов с оптимальным способом / В.В. Тертышник, В.Н. Бурканов // Функциональные устройства низких и сверхвысоких частот: межвуз. науч.-техн. сб. Саратов: СГТУ, 2002.

С. 80-85.

2. Кловский Д.Д. Теория передачи сигналов / Д.Д. Кловский. М.: Связь, 1973. 376 с.

3. Ширман Я. Д. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех / Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.

4. Васильев В.И. Распознающие системы: справочник / В.И. Васильев. Киев: Наукова думка, 1983. 424 с.

5. Тертышник В.В. Моделирование радиолокационных портретов

аэродинамических объектов / В.В. Тертышник // Материалы Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 15-летию кафедры радиотехники. Саратов: СГТУ, 2004. С. 51-58.

6. Тертышник В. В. Методика расчета радиолокационных портретов аэродинамических объектов / В.В. Тертышник, А.В. Зиновьев // Материалы Междунар.

науч.-техн. конф., посвящ. 15-летию кафедры радиотехники. Саратов: СГТУ, 2004. С. 3851.

Тертышник Валерий Васильевич -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Радиотехника» Саратовского государственного технического университета

Зиновьев Андрей Викторович -

начальник военной кафедры

Саратовского государственного технического университета