Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 265-274 Механика

УДК 539.3:534.26

Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром

*

с неоднородным покрытием *

Л. А. Толоконников

Аннотация. Рассматривается задача о рассеянии звука упругим цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием при наклонном падении плоской волны. Получено аналитическое выражение, описывающее рассеянное акустическое поле.

Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругий цилиндр, неоднородное упругое покрытие.

Существуют различные подходы к изменению звукоотражающих характеристик тел в определенных направлениях. Изменение характеристик рассеяния звука упругих тел можно осуществить с помощью специальных покрытий. Представляет интерес исследовать звукоотражающие свойства тел с покрытиями в виде непрерывно неоднородного упругого слоя. Такой слой легко реализовать с помощью системы тонких однородных упругих слоев с различными значениями механических параметров (плотности и упругих постоянных).

Рассеяние звуковых волн на однородных изотропных упругих цилиндрах рассматривалось в ряде работ. Например, случай нормального падения плоской волны исследовался в [1], а случай наклонного падения — в [2]. В работах [3, 4] решена задача о рассеянии плоских звуковых волн на неоднородном упругом цилиндре. Исследованию рассеяния звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем посвящена работа [5]. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном анизотропном полом цилиндре в общем случае анизотропии рассмотрена в [6]. Решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости получено в [7]. В работе [8] изучена дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями. Рассеяние звуковых волн абслютно жестким цилиндром с неоднородным упругим покрытием рассмотрено в [9].

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514).

В настоящей работе решается задача о рассеянии плоской монохроматической звуковой волны, падающей наклонно на упругий круговой цилиндр, покрытый радиально-неоднородным упругим слоем.

1. Постановка задачи. Рассмотрим бесконечный однородный упругий

цилиндр радиуса т2, материал которого характеризуется плотностью р2 и упругими постоянными А 2 и ^2. Цилиндр имеет покрытие в виде неоднородного изотропного упругого слоя, внешний радиус которого равен Т\. Цилиндрическая система координат r,ip,z выбрана таким образом, что координатная ось z является осью вращения цилиндра. Полагаем, что

модули упругости А и ц материала неоднородного цилиндрического слоя

описываются дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты т, а плотность р — непрерывной функцией координаты т. Окружающая цилиндр жидкость является идеальной. Ее плотность и скорость звука соответственно равны pi и с.

Пусть из внешнего пространства на цилиндр произвольным образом падает плоская звуковая волна, потенциал скоростей которой равен

Фо = Ao exp{i[(k  r) - ut)]},

где Ao — амплитуда волны; k — волновой вектор падающей волны; r —

радиус-вектор; и — круговая частота. В дальнейшем временной множитель в-гш1 будем опускать.

В цилиндрической системе координат падающая волна запишется в виде

Ф0 = A0 exp{ik[r sin 90 cos (^ — <^0) + z cos 00]},

где 00 и ^>0 — полярный и азимутальный углы падения волны; к = и/с — волновое число во внешней области.

Определим отраженную от цилиндра волну, а также найдем поля смещений в упругом цилиндре и неоднородном слое.

2. Определение волновых полей. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [10]

ДФ(1) + к2Ф(1) = 0,

где Ф(1) — потенциал скоростей полного акустического поля, Ф(1) = Ф0 + Ф«, Ф5 — потенциал скоростей рассеянной волны. При этом скорость частиц v и акустическое давление p в жидкости определяются по формулам: v = gradФ(1), p = ip1 иФ(1).

Потенциал скоростей падающей плоской волны представим в виде [11]

ГО

Ф0(т,^)= А0в^ injn(er)ein(v-v0),

П= — ГО

где Jn(x) — цилиндрическая функция Бесселя порядка n; а = kcos00; в = = к sin 00.

С учетом условий излучения на бесконечности функцию Ф8 будем искать в виде

ГО

Ъ8

п=-го

где Ип(х) — цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка п.

Рассмотрим теперь уравнения, описывающие распространение малых возмущений в упругом цилиндре и неоднородном слое.

Представляя вектор смещения и(2) частиц упругого изотропного однородного цилиндра в виде

и(2) = gradФ(2) + го1Ф,

где Ф(2) и Ф — скалярный и векторный потенциалы смещения, из уравнения Ламе получаем два волновых уравнения [12], которые для установившегося режима движения переходят в волновые уравнения Гельмгольца

дф(2) + к2ф(2) = о,

ДФ + к2 Ф = 0,

где к = ш/в[ — волновое число продольных упругих волн; кТ = ш/ет — волновое число поперечных упругих волн; с = л/(А2 + 2^2)/р2 и ст = л/^2/р2

— скорости продольных и поперечных волн соответственно.

Векторное уравнение (2) в цилиндрической системе координат в общем случае не распадается на три независимых скалярных уравнения относительно проекций вектора Ф, а представляет собой систему трех уравнений, решение которой сопряжено со значительными математическими трудностями.

Представим вектор Ф в виде

Ф = го1(Ьех) + кт Мёг,

где Ь и М — скалярные функции пространственных координат г, р, г; ~ёх — единичный вектор оси г.

Тогда векторное уравнение (2) заменится двумя скалярными уравнениями Гельмгольца относительно функций Ь и М

ДЬ + к2 Ь = 0,

ДМ + к2 М = 0.

С учетом условия ограниченности функции Ф(2), Ь и М будем искать в виде

го

Ф

п=-го

го

Ь

п=-го

М(г, р, г) = е™ £ 7„(к2г)е

Іп

где

кі = \/кг2 — а2; к2 = д/к2 — а2.

Компоненты вектора смещения и(2), записанные через функции Ф(2), Ь и М в цилиндрической системе координат, имеют вид

,.

и.

(2) =

дФ

дг

+

д2Ь

дгдг

кт дМ + —

г др ’

д Ф(2) дг

(2) = 1 д Ф(2) др

дЬ Ч

1

+ -

д 2Ь

1 д_ г дг

гдг /

г дрдг

1 д2Ь

г2 др2

к

дМ

дг

дФ

дг

д2Ь ,2г

+ д^2 + к^'

Соотношения между компонентами тензора напряжений стг(2) и вектора смещения и(2) в однородном изотропном упругом цилиндре записываются следующим образом [13]:

ст = А2^уи(2) + 2^2

ди

дг

ст = А2ё1уи(2) +2^^1 +

иг

г др

ст = А2ё1уи(2) + 2^2

ди

дг

ст,

Г)

= ^2

1 ди г др

+

ди

и

дг

ст

= ^2

'ди

дг

+

диГ2)

дг

ст

= ^2

ди

дг

+ -

1 ди

г др

где <Ь-и('2) = ^ + „И) + я .

дг г \ др / дг

Используя приведенные выше формулы и и учитывая, что divu(2) = = ДФ(2) = —кг2Ф(2) , выразим компоненты тензора напряжений ст, ст и ст^ через функции Ф(2), Ь и М. Получим

ди

ди

ст = — А2к2Ф(2) + 2^2 ^

д2Ф(2) д3Ь кт д2М

----------1----------+ —---------

дг2 дг2 дг г дгдр

кт дМ

г2 др

ст

(2) =

Г)

2^2 / д2Ф(2) г \ дгдр

1 дФ(2) д3 Ь

+

—^2кт

г др дгдрдг

/ д2М 1 дМ 1 д 2М Ч

дг2 г дг г2 др2

1 д2Ь Ч

г дрдг у

п= — гх

г

)

)

г

(2) _ (2 9 2 ф(2) 2 д3Ь к2 дЬ кт д2М \

СТгх д2 \ дгдг + дгдг2 + т дг + г дрдг у ’

Уравнения движения неоднородного изотропного упругого цилиндрического слоя в случае установившихся колебаний в цилиндрической системе координат имеют вид [13]

д@тт , 1 д^гш , дстгх , СТ22 2 / \

-------1---------------------1-----— _ -и2р(г)пг;

дг г др дг

д@Тф ! 1 дст 22 | дС(рг ! 2

ГГ + ГГ + ^ + _ ^ Р(' )п2;

дг г др дг г

^ ^ ^ _ -^2р

г др дг г

дСТг2 . 1 дСТщх . дСТхх . 1

•'гг . 1 ди 2х хх 1 2 / \

+-------ГГ2- + -----+ - СТГх _ -^ р(г)и2

дг г др дг г

где пг, п2, пх — компоненты вектора смещения и частиц неоднородного слоя; — компоненты тензора напряжений в неоднородном слое.

Соотношения между компонентами тензора напряжений и вектора смещения и в неоднородном упругом цилиндрическом слое аналогичны соотношениям для однородного упругого цилиндра. Только упругие

постоянные Л2 и д2 следует заменить на функции А — А(г) и д — д(г).

Используя упомянутые соотношения, запишем уравнения (6) через компоненты вектора смещения и. Получим

/л ^ ч д2пг Л, „ , А + 2д \ дпг д д2пг . д2пг д2пг

(А + 2д)^г-2т + А' + 2д' +----------^ + А^-^ + д^1 +

дг2 \ г у дг г2 др2 дгдг дг2

А дпг А + д д2п2 А дп2 1 / ' А + 3д\ дп2

г дг г дгдр г дрдг г \ г у др

ч д2пх ,, дпх /А' А + 2д 2 і

+(А + д) ———+ А —-----------+ I----------2----+ ш р) пг _ 0

дгдг дг \ г г2

А + д д2пг 1 / . А + 3д\ дпг д2п2 А + 2д д2п2 / . д \ дп2

+ Г д + : ""я77 + + 12 + д + г “к;г +

г дгдр г г др дг2 г2 др2 г дг

д2п2 А + д д2пх / д' д 2 \ „

д^ТХ +------- 7ПТ + - ^ + ^Р К _ 0,

дг2 г дрдг \ г г2 у

д2пг / ' А + д \ дпг А + д д2п2 д2пх д д2пх

дгдг + \д + г у дг + г дрдг +д дг2 + г2 др2

^д' +

(А + 2д)+ (д' + д) ^7 + ^Рпх _ 0

^1 / , и\ии'х1 ,2

г.

где штрих означает дифференцирование по г.

Так как неоднородность материала покрытия проявляется лишь в радиальном направлении, то зависимость компонент вектора смещения и от координаты г, согласно закону Снеллиуса, имеет вид егаг. Компоненты

вектора смещения u в неоднородном упругом слое являются периодическими функциями координаты р с периодом 2п. Поэтому функции ur(r, р, z), u2(r, р, z) и uz(r, р, z) будем искать в виде

го

Ur(r,p,z) = eiaz ^ um(r)ein(^o),

n=-ro

го

u2

n=-ro

ro

uz(r,p,z) = eiaz ]T u3„(r)em(^0).

n=-ro

Подставляя выражения (8) в уравнения (7), получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций u1n(r), u2n(r) и u3n(r) для каждого n:

AnUn + BnUn + CnUn = 0,

где Un = (uin,u2n,u3n)T; An = (anij )3x3,Bn = (bnij )3x3,C<n = (Cnij )3x3

матрицы третьего порядка;

«nil = (A + 2^)r2, fln.22 = fln33 = дг2, an? =0 (i = j),

bnii = (A; + 2д')r2 + (A + 2д)г + iaA, bni2 = in(A + д)г, bni3 = ia(A + д)г2,

bn21 = in(A + д)г, bn22 = ^V2 + ДГ, bn23 = 0, bn3i = ia(A + д)г2, bn32 = 0, bn33 = д'г2 + дг,

cnii = A'r — (1 — iar)A — (n2 + 2 + а2г2)д + w2pr2,

Cni2 = in (A'r — A — 3д), Cni3 = iaA',

Cn2i = in (д'г + A + 3д),

Cn22 = —д'г — n2A — (2n2 + a2r2 + 1)д + w2pr2, c,n23 = —na(A + д)г,

Cn3i = ia^'r2 + (A + д)г], Cn32 = —na(A + д)г,

cn33 = —(n2 + 2а2г2)д — a2Ar2 + w2pr2.

Коэффициенты An, Bn, Cn, Dn разложений (1), (3)-(5) и функции uin(r),u2n(r),u3n(r) из разложений (8) подлежат определению из граничных условий.

Граничные условия на внешней поверхности цилиндрического слоя заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений. На внутренней поверхности слоя при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные

и тангенциальные напряжения. Имеем г = Г1 : — шиг = -иг, стгг = —р, = 0, = 0;

(2) (2) (2) г = Г2 : и = иг ', % = ,

=

(7"гг 0Уг ; .

Из условия равенства нормальных скоростей при г = Г1 находим коэффициенты Ап, выраженные через величины и1П(г1):

, Аоггав^П

П вНП

где штрихи означают дифференцирование по аргументу.

Из условий непрерывности составляющих вектора смещения при Г = Г2 находим коэффициенты Вп, Сга и Дга, выраженные через величины и1П(г2), и2п(Г2) и иэ„(Г2):

q-S

Bn = [binuin

D„ = [dinuin(f2) + d2nU2„(r2) + d3nU3n(—2)] q—,

где

bin = fcrk2(k? - a2)—|Jn(k2—2) Jn(k2—2); b2n = mkr(k^ - a2)—2Jn(k2—2);

Ьз„ = iakr[n2Jn

C3n = [1 - iaJn(kir2)b3n]/[(k2 - a2) Jn(k2^2)];

din = mfc^fc,2 - a2)—2Jn(ki—2) Jfe^); d2n = (k2 - a2)r2 Jn(k2r2)[ki(k2 - a2) J^ki—2) Jn(k2—2) + a2k2 Jn(ki—2) J^(k2—2)]; d3n = an(k2 - a2)—2 Jn(k2—2)[k2 Jn(ki—2) Jn(k2^2) - ki Jn(ki—2) Jn(k2—2)]; qn = krk2r|jn(k2r2)[ki(k2 - a2)jn(kir2)Jn(k2—2) + a% Jn(ki—2) J^(k2—2)] -

-n2k3 Jn(kir2)Jn(k2r2).

Из оставшихся неиспользованными граничных условий получаем шесть краевых условий, которым должно удовлетворять решение системы дифференциальных уравнений (9):

—2 Anun + KUn) = (ini

r 1 Л Л \ri

-9 Anun + —nUn) = 0|

—2 n^n

' / Г=Г2

где элементы матриц ' = (enj )3х3, —n = (/mj )3х3, Gn = (/nj )3xi

определяются следующими выражениями:

Л w2piHn(e—i) in—

enii — + 0,r. (n \ ; eni2 — ; eni3 — iaA;

—i eHn(e—i) —

en2i = —^ ; en22 = - — ; en3i = iaW en23 = en32 = en33 = 0;

.nii = — (7inbin + Y2n cin + Y3n din)qn ;

I in— / , ,\-1

/ni2 =-------(7in02n + Y2nC2n + 73n«2n)qn ;

—

,/ni3 = iaA - (Yinb3n + Y2nc3n + Y3nd3

n qn- i ;

,/n2i — — (Y4nbin + Y5ncin + Y6ndin)qn ;

,/n22 = - - (74nb2n + 75nc2n + 76nd2n)qn i;

»/*n23 = - (74nb3n + 75nc3n + 76nd3n)qn i; ,/n3i = ia^ - (Y7nbin + Y8ncin + Y9ndin)qn i; /n32 = - (Y7nb2n + Y8nc2n + Y9nd2n

n -i

/'n33 = - (77nb3n + 78nc3n + 79nd3^ " i'

3n n

Здесь

_ _ 2inAowpi _ _ _ _

/ni = пв—i Hn(e—i); gn2 = /n3 = 0'

Yin = 2д2^П(ki— 2) - —2k2Jn(ki—); Y2n = 2i^2ak|J^(k2—2);

2i 2i

Y3n = -0 ^2nkr [k2—2Jn(k2—2) - Jn(k2—2)]; Y4n = “o №n[ki—2 Jn(ki— 2) - Jn(ki—2)]; —2 —2

2

Y5n = -“o^2na[k2—2Jn(k2—2) - Jn(k2 —2)];

—22

Y6n = Л^2kr[-(k2— 2)2Jn(k2—2) + k2—2Jn(k2—2) - n°Jn(k2—2)];

—22

Y7n = 2i^2akiJn(ki—2); Y8n = ^2k2Jn(k2—2)(2a2 + k°);

Y9n = -—^2kr naJn(k2—2)'

—2

Краевая задача (9), (12) может быть решена различными методами, например, методами, приведенными в [14].

После решения краевой задачи (9), (12) по формулам (10) и (11) вычисляются коэффициенты An, Bn, Cn и Dn.

В результате получаем аналитическое описание волновых полей вне и внутри упругого тела с помощью выражений (1) и (3)—(5).

Особый интерес для изучения звукоотражающих свойств упругого цилиндра с неоднородным покрытием представляет исследование дальней зоны рассеянного акустического поля.

Используя асимптотическую формулу для цилиндрической функции Ханкеля первого рода при больших значениях аргумента [15]

Hn

2

пвг

exp

ПП П Ч вг - -у - -

из (1) находим

= а/2Г exP

Maz і вг — П

F

где

Vnkrl

^ (-in)An exp[m(p - po)j.

С помощью выражения для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля | ^(р) | строятся диаграммы направленности и частотные характеристики рассеянного поля, позволяющие изучить звукоотражающие свойства тела в различных направлениях и резонансное рассеяние звука.

2

n=—ro

Список литературы

1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. № 4. P. 405-420.

2. Flax L., Varadan V.K., Varadan V.V. Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. V. 68. N 6. P. 1832-1835.

3. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 6. С. 762-766.

4. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акуст. журн. 1987. Т. 33. № 6. С. 1060-1063.

5. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсаль-но-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

6. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.

7. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 63-72.

8. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

9. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

10. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352 с.

11. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника. 1968. 584 с.

12. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1973. 584 с.

13. Новацкий В. Теория упругости. Т. 2. М.: Мир, 1975. 872 с.

14. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: Изд-во ТулГУ, 2008. 232 с.

15. Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовица М., Стигана И.

- М.: Наука, 1979. 832 с.

Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a non-uniform covering

L.A. Tolokonnikov

Abstract. The problem of the scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a radially non-uniform elastic coating is considered. An analytical expression describing the scattered acoustic field is obtained.

Keywords: scattering, sound waves, elastic cylinder, non-uniform elastic coating.

Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 20.03.2013