О константах в неравенствах типа Джексона для наилучших приближений периодических дифференцируемых функций

УДК 517.5

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 1

В. В. Жук, О. А. Тумка, Н. А. Козлов

О КОНСТАНТАХ В НЕРАВЕНСТВАХ ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Рассмотрено пространство непрерывных 2 ^-периодических функций с равномерной нормой. Структурные свойства функций в настоящее время принято характеризовать посредством модулей непрерывности различных порядков. В 1911 г. Д. Джексон установил ряд фундаментальных теорем, дающих оценки наилучших приближений посредством модуля непрерывности первого порядка самой функции и ее производных. Эти результаты были позднее распространены на случай, когда оценки наилучших приближений производятся при помощи модулей непрерывности произвольного порядка. Такого типа неравенства играют важную роль в теории аппроксимации, и их изучению (в различных направлениях) посвящено большое количество работ многих авторов. Аналогичные соотношения принято называть прямыми теоремами теории аппроксимации или обобщенными неравенствами Джексона. В данной работе для широкого класса пространств получены новые оценки для постоянных, входящих в обобщенные неравенства Джексона для дифференцируемых функций, в ряде случаев улучшающие ранее известные. Основным аппаратом, используемым в работе, служат методы приближения, построенные на основе функций В. А. Стеклова. Библиогр. 12 назв.

Ключевые слова: наилучшее приближение, модули непрерывности, константы в неравенствах типа Джексона.

V. V. Zhuk, O. A. Tumka, N. A. Kozlov

CONSTANTS IN JACKSON-TYPE INEQUATIONS FOR THE BEST APPROXIMATION OF PERIODIC DIFFERENTIABLE FUNCTIONS

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

Let us consider the space of continuous 2 ^-periodic functions endowed with the uniform norm. The structural properties of the functions are commonly characterized by moduli of continuity of various orders. In 1911, D. Jackson established a number of fundamental theorems that give estimates for the best approximation by the modulus of continuity of the first order for the function and its derivatives. These results were later extended to the case when the estimates of the best approximations are produced by the moduli of continuity of arbitrary order. Inequalities of this type play an important role in the theory of approximation and are studied (in various ways) in a large number of works of many authors. Similar relations are called direct theorems of approximation theory or generalized Jackson inequalities. In this paper for a wide class of spaces new estimates were obtained for the constants in the generalized Jackson inequality for differentiable functions, in some cases, improving the previously known.

Жук Владимир Васильевич — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: zhuk@math.spbu.ru, zhuk@unitel.spb.ru

Тумка Олег Анатольевич — старший преподаватель; e-mail: tumka.oleg@rambler.ru Козлов Никита Алексеевич — аспирант; e-mail: nkozlov.box@gmail.com

Zhuk Vladimir Vasilievich — doctor of physical and mathematical sciences, professor; e-mail: zhuk@math.spbu.ru, zhuk@unitel.spb.ru

Tumka Oleg Anatolievich — senior teacher; e-mail: tumka.oleg@rambler.ru Kozlov Nikita Alekseevich — post-graduate student; e-mail: nkozlov.box@gmail.com

The basic apparatus used in the work is approximation methods, which are constructed on the basis of V. A. Steklov functions. Bibliogr. 12.

Keywords: best approximation, the moduli of continuity, the constants in inequalities of Jackson type.

Пусть C - пространство 2п-периодических непрерывных функций с равномерной нормой; En(f) - наилучшее приближение функции f тригонометрическими полиномами порядка не выше n в пространстве C; wr (f, h) - модуль непрерывности функции f порядка r в пространстве C.

Хорошо известно (см. [1, с. 274-275; 2, с. 202-208]), что для любой f G при r G N, n,k G Z+, y > 0 справедливо неравенство

"r г)

(n+l)k

En

где постоянная C(r,k,Y) зависит только от выписанных аргументов. Ряд утверждений, содержащих нестандартные модификации неравенства (1), установлены в [3].

Вопрос об оценках величины C(r, k, y) еще далек от завершения. Наиболее полно он освещен в работе [4], в которой, в частности, уделено много внимания изложению истории вопроса. Приведенные в ней оценки являются, насколько известно авторам, наилучшими на настоящий момент. В данной работе для ряда значений параметров r, k, y мы улучшаем их. Отметим, что ранее случай, когда k = 0, был рассмотрен в [5].

В основе метода доказательства лежит соединение в несколько модифицированном виде рассуждений, использованных в аналогичных ситуациях в работах [5; 6, с. 51-57; 7, 8].

1. Обозначения. Вспомогательные предложения.

1.1. В дальнейшем R, R+, Z+, N - соответственно множества вещественных, неотрицательных вещественных, неотрицательных целых, натуральных чисел; все функции предполагаются вещественнозначными.

Функции, имеющие в некоторой точке устранимый разрыв, доопределяются в ней

b

по непрерывности; в других случаях символ ^ понимается как 0; сумму при

a

b < a считаем равной нулю. Через C обозначаем пространство непрерывных 2п-периодических функций f с нормой \\f || = max\f (ж)|.

Если 1 ^ p < ж, то Lp - пространство 2 п-периодических измеримых функций,

Пусть в пространстве C введена полунорма P. Будем говорить, что P принадлежит классу A, если выполнены условия: 1) существует такая постоянная M, не зависящая от f, что P(f) ^ M\\f\\ для любой f G C; 2) полунорма P инвариантна относительно сдвига, т. е. для любой f G C и любого h G R справедливо равенство P (f ( + h))= P (f).

Линейное пространство C, в котором введена полунорма P, принадлежащая классу A, будем называть пространством CP.

Пусть n G Z+. Тогда Hn - множество тригонометрических полиномов порядка не выше n. Если f G CP, то

En

- наилучшее приближение порядка n функции f в CP.

Легко видеть, что при Р € А полунормa Еп также принадлежит классу А. Пусть / : М ^ М, г € . Тогда 6Т (/,х) - центральная разность г-го порядка функции / с шагом Ь:

r

к=0

Пусть P G A, n,r G Z+, h ^ 0, f G С. Полагаем

Ur,n (f,h) = sup £„№r (f, ж)),

Шт(/,Н) = вир Р6 (/, х)).

\г\^к

Очевидно, что для любой / € СР

Шт,п(/, Н) < Шг (/, Н).

Пусть / € Ь\, Н > 0. Через Вкд(/) обозначаем функцию Стеклова первого порядка для функции / с шагом Н:

к/2

х) = \ J + -к/2

При г — 1 € М, Н > 0 через БктТ(/) обозначаем функцию Стеклова порядка г функции / с шагом Н:

Вк,т(/,х) = Вм (БКт-1(/),х).

При г € N полагаем

к\ (г-к)\

г (-1) (|t|+§-fc) при щКг

Фг(Ь) = { 0<A;<|t|+§

Для любой f G Li имеет место равенство

Sh,r

R

Функция фг называется ядром Стеклова.

Функции (2) широко применяются в теории аппроксимации. В частности, они рассматривались в работе [10].

Если f G С, то Sh, r и,ж) G С(r) и

SU и,ж) = h-r Sh

Для P G A при n G Z+ полагаем

D t \ \к=2 J B„{r, то) = sup sup-——--,

h>0 feo En

B(r,m) = sup Bn(r,m).

n£Z+

Далее, при a ^ 0

A(r, a) = J ta',pr(t)dt, D(r, 0) = i- A(r, 0).

0

1.2. Нам понадобятся следующие известные результаты.

Теорема A (см. [11, с. 148]). Пусть P е A, n е Z+, r е N, f е C(r). Тогда

K

(n + l)r

Здесь и всюду далее

4 ~

IT

ъ ^ (21 + 1У+1'

1=0 у '

Величины Кг в литературе часто называют константами Фавара.

Теорема В (см. [11, с. 58]). Пусть функция К непрерывна на множестве М х [а,Ь], где —ж < а < Ь < К(-,1) € С при любом фиксированном Ь € [а,Ь],

ь ь

полунорма Р € А. Тогда функция д = / К(-,Ь)& € С и Р(д) ^ / Р(К(-,Ь))&.

а а

1.3. Пусть / € Ь1у г,т € N. Тогда полагаем

2 т

= —-

2 m

k=1

Принимая во внимание соотношения (4), / фг = 1, фг (Ь) = фг(—Ь) при Ь € М, легко

к

убедиться, что

2(-l)m+1 CT

Sh,r,M *) = —s^- / x) Фг№ + f

2m

R+

Учитывая (4) и (3), легко понять, что для f е C

q(r) (-е _ 2 \ " лЛк+1гт+к örkh(fiх) °h,r,m\J — (jm ' 2m (b h)r

2m k=1 ^ '

Лемма 1. Пусть n,p е Z+, r,m е N, p ^ 2 m, h > 0, полунорма P е A, f е C(p). Тогда

EM ~ Sh,r,m

C2 m

Доказательство. Опираясь на равенство (4), легко понять, что

J S?h(f) Фг (^ .

/

2

En(f - Sh,r,m{f)) = 7Ч^г El

fm n C2 m

Учитывая, что для Р € А полунорма Еп также принадлежит классу А, и, используя теорему В, имеем

1

ВД - я,г,т(/)) ^ т4г /ВД2ЛЛ) Фг№ = -4- [ВД2Г(/)) Фг№ +

С2 т-1 С2 т>

К+ 0

+ ?4г- [еп(6?Ш)Фг№.

С2 т

1

Для / € С

(/, Н) < Нр

(/(р) ,н).

Поэтому

1 1 2 ¡' 2 'им2™'..........

Еп(ё№(/))Фг№ < —- Ш2шМ,ЩФГ№ <

С2 т С2 т

00 1

< -Лг [{ОгУ и2т^М{р)МФЛт. С2тт

0

Очевидно, что ш2т-р,п(/(р),ЬН) возрастает по Ь. Так как Ь € [0,1], то 1 1

С2тт С2тт

Далее

Лг \Еп(6?н(Л)Фг№ < -4- /22тЕМ)Фг№ = -4- &тЕМ) \Фг№ =

С2 т С2 т С2 т

1 1 1

2

= —-22тВД)£>(г,0).

С2 т

Сопоставляя полученные оценки, получаем требуемое.

Следствие 1. В условиях леммы 1 справедливо неравенство

ВД-Я,г,т

С2 т

Лемма 2. Пусть п,р € г,т € М, р ^ 2 т, Н > 0, полунорма Р € А, / € С(р). Тогда

2

С2 т

Кг+Р С2т+1

2

Доказательство. Имеем

/2 с т+1 \ ( 2 m \

En

V C2 m / \ C2 m к=2 )

Применяя теорему А, находим

Р

\ ' ) с?"™ (п + гу+рь/ г'п[1 ,п)'

Сопоставляя полученные оценки, получаем требуемое.

Следствие 2. В условиях леммы 2 справедливо неравенство

En(Sh,r,m(f)) < пт

C2 m

2

(n + l)r+p hr ry ' 7 (n + 1)r hr

2. Основные результаты.

Теорема 1. Пусть п,р € , г,т € М, 2 т — р = г, полунорма Р € А, / € С(р). Пусть ^ > 0 такова, что

22 m+1 2 K 1--Dir, 0)---—V В (г, то) > 0.

c2mm ^ ; с?т (7 7г)Т [ J

Тогда справедливо неравенство

^2 m-p,n

(п + 1) где

_2__(7п)Р А(2 т-р,р)+ _

2 т 2 т V I >

Доказательство. Имеем

Еп(1) ^ Еп(/ — Бь,г,т(1)) + Еп(Бь,г,т(1)). Отсюда, применяя леммы 1 и 2, получаем, что

С2 т 4 У

2 / С^1 ы Кг В(г,т) \

+ Т^г , -гт-+ —-— ьп{})

Стт \(н +1)r+p hr ' 7 (n + 1)r h

или

1 22m+1 m 2 J^Mlp/fl.

Положим h = ^pj-. Тогда

22 m+1 2 ^

< -А- , V ((1ттУА(2т-р,р)+,К1т С2"!+Л (/Ыг Л^У

(П+1)Р V (7тг)2»-Р 2т у р' V п+1/

Остальная часть доказательства очевидна.

Следствие 3. В условиях теоремы 1 справедливо неравенство

ВД) < ш)- \ + Л

3. Численные результаты. Отметим ряд частных случаев, вытекающих из следствия 3, с указанием конкретных постоянных. Пусть / € С, тогда неравенство

n +1 у n +1/

справедливо для

Y = 0.511; 0.55; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1

при a(Y), равных 0.64337; 0.53553; 0.44314; 0.34269; 0.2983; 0.28071; 0.27725 соответственно.

Если f G C(1), тогда неравенство

a(Y) . ( r(i) Yn

п+1 у п+1 справедливо для

7 = 0.472; 0.475; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1

при «(7), равных 0.5935; 0.5731; 0.4377; 0.20093; 0.13136; 0.10899; 0.10379; 0.10376 соответственно.

Если / € С(1), тогда неравенство

n +1 у n +1/

справедливо для

Y = 0.473; 0.475; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1

при a(Y), равных 0.60506; 0.58364; 0.38677; 0.12198; 0.06795; 0.05549; 0.05421; 0.05421 соответственно.

Если f е C(2), тогда неравенство

(n + 1)2 \ n +1 J

справедливо для

Y = 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1

при а(7), равных 0.55921; 0.28061; 0.18939; 0.16038; 0.158396; 0.158396 соответственно.

Вычисления констант проводились с помощью компьютера.

В связи с ранее известными результатами, относящимися к рассматриваемому вопросу, укажем на работу [4].

В заключение отметим, что результаты работы стандартным образом распространяются на пространство Lp при 1 ^ p < ж.

Литература

1. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

2. De Vore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1993. 450 p.

3. Жук В. В., Тумка О. А. О некоторых модификациях обобщенной теоремы Джексона для наилучших приближений периодической функций // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2014. Вып. 1. С. 40—50.

4. Виноградов О. Л., Жук В. В. Оценки функционалов с известным конечным набором моментов через модули непрерывности и поведение констант в неравенствах типа Джексона // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 5. С. 1-43.

5. Жук В. В., Буре В. М. О константах в обобщенной теореме Джексона // Материалы меж-дунар. науч. конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, Тула, 15-19 сентября 2014 г.). Тула: Изд-во Тульск. ун-та, 2014. С. 48-49.

6. Жук В. В. Структурные свойства функций и точность аппроксимации. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 116 с.

7. Жук В. В. Неравенства для наилучших приближений типа обобщенной теоремы Джексона // Зап. науч. семинаров Петерб. отд. Матем. ин-та. 2012. Т. 404. С. 135-156.

8. Жук В. В. Оценки наилучших приближений периодических функций посредством линейных комбинаций значений самой функции и еe первообразных // Зап. науч. семинаров Петерб. отд. Матем. ин-та. 2012. Т. 404. С. 157-174.

9. Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование, Л.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. 352 с.

10. Жук В. В., Пуеров Г. Ю. Сравнение отклонений обобщенных средних В. А. Стеклова в пространстве L2 // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 1. С. 56-62.

11. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 366 с.

12. Жук В. В. О приближении 2 ^-периодической функции линейным оператором // Исследования по некоторым проблемам конструктивной теории функций: сб. науч. трудов Ленингр. механ. ин-та. Л., 1965, № 50. С. 93-115.

References

1. Timan A. F. Teorija priblizhenija funkcij dejstvitel'nogo peremennogo (Theory of approximation of functions of a real variable). Moscow: Fizmatgiz, 1960, 624 p.

2. De Vore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation. Berlin; Heidelberg; New York: SpringerVerlag, 1993, 450 p.

3. Zhuk V. V., Tumka O. A. O nekotoryh modifikacijah obobshhennoj teoremy Dzheksona dlja nailuchshih priblizhenij periodicheskoj funkcij (On some modification of Jackson's generalized theorem for the best approximations of periodic functions.) Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2014, issue 1, pp. 40-50.

4. Vinogradov O. L., Zhuk V. V. Ocenki funkcionalov s izvestnym konechnym naborom momentov cherez moduli nepreryvnosti i povedenie konstant v neravenstvah tipa Dzheksona (Estimates for functionals with a known, finite set of moments, in terms of moduli of continuity, and behavior of constants, in the Jackson-type inequalities). St. Peterburg Mathematical Journal, 2013, vol. 25 (5), pp. 691-721.

5. Zhuk V. V., Bure V. M. O konstantah v obobshhennoj teoreme Dzheksona (On the constants in the generalized Jackson theorem). Transactions of the International scientific conference "Modern problems of mathematics, mechanics, computer science" (Russia, Tula, 15-19 September 2014). Tula: Tula State University Publishing, 2014, pp. 48-49.

6. Zhuk V. V. Strukturnye svojstva funkcij i tochnost' approksimacii (Structural properties of functions and sharpness of approximation). Leningrad: Izd-vo Leningr. un-ta, 1984, 116 p.

7. Zhuk V. V. Neravenstva dlja nailuchshih priblizhenij tipa obobshhennoj teoremy Dzheksona (Inequalities of the type of the generalized Jackson theorem for the best approximations). Journal of Mathematical Sciences (United States), 2013, vol. 193 (1), pp. 75-88.

8. Zhuk V. V. Ocenki nailuchshih priblizhenij periodicheskih funkcij posredstvom linejnyh kombinacij znachenij samoj funkcii i ejo pervoobraznyh (Estimates for the best approximations of periodic functions by linear combinations of the functions and its primitives). Journal of Mathematical Sciences (United States), 2013, vol. 193 (1), pp. 89-99.

9. Zhuk V. V., Kuzutin V. F. Approksimacija funkcij i chislennoe integrirovanie (Approximation of functions and numerical integration). Leningrad: Izd-vo Leningr. university, 1995, 352 p.

10. Zhuk V. V., Puerov G. Yu. Sravnenie otklonenij obobshhennyh srednih V. A. Steklova v prostranstve L2 (Comparison of errors of approximation by generalized Steklov means in the space L2). Vestn. of St. Petersburg University. Serie 10: Applied mathematics, computer science, control processes, 2009, issue 1, pp. 56-62.

11. Zhuk V. V. Approksimacija periodicheskih funkcij (Approximations of periodic functions). Leningrad: Izd-vo Leningr. university, 1982, 366 p.

12. Zhuk V. V. O priblizhenii 2 n-periodicheskoj funkcii linejnym operatorom (Approximation of 2n-periodic function by linear operator). Researches on some problems of the constructive theory of functions. Transactions of Leningrad mechanical institute, 1965, no. 50, pp. 93-115.

Статья поступила в редакцию 13 ноября 2014 г.