Исследование теплопереноса в активном элементе электромагнита

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 536.24

В. Е. Юхнов, А. В. Крайнов

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В АКТИВНОМ ЭЛЕМЕНТЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТА

Приведено описание приближенного способа определения тепловых потерь в плоском активном элементе конечных размеров при симметричных условиях охлаждения. Характеристика тепловых потерь определяется числом Био. Проведено исследование нестационарного теплового состояния в шихтованном пакете магнитопровода с равномерно распределенными источниками тепла на основе конечно-разностного метода. Приведены результаты численного моделирования процесса нестационарной двумерной теплопроводности, протекающего в поперечном сечении активного элемента электромагнита.

Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, тепловые потери, избыточная температура, температурное поле, моделирование, активный элемент, электромагнит.

V. E. Yukhnov, A. V Krainov

Heat transfer investigation in electromagnet active element

The paper includes an approximate method description of the heat loss determination in the flat active element of a finite size under symmetric refrigeration conditions. Heat loss characteristic is determined by number Bio. On the base of a finite-difference method an investigation of unstable thermal condition in a magnetic core-lamination stack with uniformly distributed heat sources on the finite-difference method base was conducted. There are numerical simulation results of unstable two-dimensional heat conduction process, which occurs in a cross section of electromagnet active element.

Key words: unstable heat conduction, heat loss, excess temperature, temperature field, simulation, active element, electromagnet.

Тепло, выделяющееся в результате потерь энергии от гистерезиса, вихревых токов в магнитопроводе при работе электрического аппарата, рассеивается в окружающую среду. Осуществляющийся при этом теплоперенос путем теплопроводности происходит главным образом внутри твердых тел: меди, стали,

ЮХНОВ Вячеслав Евгеньевич - к. т. н., доцент кафедры теоретической и промышленной теплотехники Энергетического института Национального исследовательского Томского политехнического университета.

E-mail: mag@tpu.ru

КРАЙНОВ Александр Валерьевич - к. ф.-м. н., доцент кафедры теоретической и промышленной теплотехники Энергетического института Национального исследовательского Томского политехнического университета.

E-mail: tiger@tpu.ru

изоляции. Ввиду того что магнитопровод представляет структуру, состоящую из чередующихся слоев электротехнической стали и диэлектрической изоляции с различными теплопроводящими свойствами, перепады температуры в изоляции активных элементов электрических машин получаются значительными [1], что затрудняет охлаждение активных элементов и ограничивает величину линейной нагрузки и плотности тока. Например, снижение массы и габаритов электромагнитных устройств при повышении электрических нагрузок связано с проблемой отвода тепла от наружных поверхностей активных элементов - сердечников силовых трансформаторов, фланцев турбогенераторов, ярем магнито-проводов ускорительной техники, а также искусственного перераспределения источников тепловыделения.

Рис. 1. Общая схема расчета температурного поля в шихтованном пакете магнитопровода

х, у - направление осей в декартовой системе координат;

Ь, Н, I - геометрические размеры в направлении осей координат, м;

Хх, X - коэффициенты теплопроводности в направлении осей координат, Вт/(м^К);

а1, а2, а3, а4 - коэффициенты теплоотдачи на соответствующих поверхностях, Вт/(м2^К).

Ввиду сложности эффектов [1], их многообразия и взаимного влияния перед разработчиками новых электромагнитных устройств ставится задача по физическому и математическому моделированию тепловых процессов в анизотропной тепловыделяющей области. Известно, что тепловое состояние активных элементов зависит от коэффициента теплоотдачи между нагретыми поверхностями магнитопровода, катушки электромагнита и окружающей средой. Поэтому на практике интенсивность теплообмена оценивается единственным параметром - максимальным перегревом электромагнита, т. е. превышением его температуры над температурой окружающей среды.

Целью работы является разработка экспресс-метода определения интенсивности охлаждения анизотропного твердого тела с внутренним источником тепла окружающей среды и величины тепловых потоков на ограничивающих поверхностях с известными теплофизическими свойствами.

Покажем возможность определения условий теплообмена тела с окружающей средой. Для этого рассмотрим приближенный способ вычисления отношения термических сопротивлений теплопроводности к теплообмену в неустановившемся режиме по известным из опыта температурам на поверхности тепловыделяющего элемента (твэла).

Физическая постановка задачи. Дан шихтованный пакет активной стали электромагнитного устройства (рис. 1), выполненный в форме прямоугольного параллелепипеда толщиной Ь, высотой Н и длиной I, в котором слоевая структура может быть представ-

лена в виде сплошной среды с заданными свойствами. Толщина и высота пакета существенно превышают его длину. В начальный момент времени т = 0 температура пакета равна температуре окружающей среды и равна Т0. Тепловыделение в пакете не зависит от времени, пространственных координат и температуры. Теплообмен между поверхностями пакета и окружающей средой происходит по закону Ньютона. Температура охлаждающей среды для каждой поверхности известна.

Исходные данные: Ь=0,16 м, Н=0,48 м, 1=1 м, коэффициент поперечной теплопроводности X =1,16 Вт/(м^К), а вдоль листов Ху=45,37 Вт/(м^К), удельная объемная теплоемкость электротехнической стали рср=3,5^106 Дж/(м3^К), удельная мощность внутренних источников теплоты qV=3,024•104 Вт/м3, температура окружающей среды Тос=308,15 К.

При симметричных условиях охлаждения температурное поле симметрично относительно центра плоского твэла, что соответствует классической теории теплопроводности [2]. Таким образом, задача сводится к отысканию распределения температуры в охлаждаемом неограниченном прямоугольном анизотропном стержне, внутри которого действует постоянный по времени источник теплоты. Решить задачи возможно, зная распределение температуры на поверхности, коэффициент теплопроводности материала, установив связь между полем температур в твердом теле и условиями теплоотдачи на его поверхности.

Для получения информации о распределении температуры на поверхности шихтованного пакета установлены термоэлектрические преобразователи температуры (термопары). Ввиду симметричности температурного поля термопары расположены на двух смежных поверхностях при х=Ь и у=Н. На основе данных о локальных значениях превышения температуры на каждой поверхности исследуемой

области, полученных при проведении эксперимента,

и их дальнейшей обработке по методу наименьших квадратов определяются аппроксимирующие зависимости. Данный метод предполагает применение аппроксимирующих зависимостей безразмерной температуры

0

п4 ' п п п п п

где п=1, 2 - номера поверхности твэла;

0

п4 ' п п п п п

где п=3, 4. Используемые обозначения:

0(Х,У)=(Т(х,у)-Тос)/Тос - безразмерная температура; Т(х,у) - температура в конкретной точке с координатами

х, у, К; Х=х/Ь, У=у/Ь(Х /X )1/2 - безразмерные коорди-

Таблица 1

Коэффициенты аппроксимации на поверхностях при Жо=1

Поверхность Х=Хх Х*=0 у=у1 У*=0

п 1 2 3 4

а 0,0487 0,0487 0,049 0,049

Ь 0,066 0,066 0,4213 0,4213

с - 0,15 - 0,15 - 0,7627 - 0,7627

й 0,02 0,02 0,6827 0,6827

е 0,01 0,01 - 0,3413 - 0,3413

Таблица 2

Распределение температуры на поверхности X'=XL шихтованного пакета

У 0 0,12 0,24 0,36 0,48

в,(Х,У) 0,049 0,054 0,056 0,054 0,049

Т,(х,у), К 323,25 324,75 325,45 324,75 323,25

Таблица 3

Распределение температуры на поверхности Y'=YL шихтованного пакета

Х 0 0,25 0,5 0,75 1

е,(Х*,У) 0,049 0,116 0,133 0,116 0,049

Т,(х,у), К 323,25 343,85 349,15 343,85 323,25

наты; Х=1 и У1=И/Ь(Хх/Ху)12 - относительные размеры в направлении осей Х и У. Коэффициенты аппроксимации приведены в табл. 1. для координат, принадлежащих поверхностям твэла. Соотношение физических величин Ро=Хг/(рсрЬ2) - число Фурье, безразмерное время.

В табл. 2 приведены результаты измерения температуры и полученное в результате аппроксимации поле безразмерной температуры на поверхности Х‘=Х1 шихтованного пакета.

В табл. 3 приведены результаты измерения температуры и полученное в результате аппроксимации поле безразмерной температуры на поверхности У*=У1 шихтованного пакета.

Известные распределения температуры

на поверхности твэла позволяют установить связь между полем температур в твердом теле и условиями теплоотдачи на поверхности, которая представляет собой отношение термических сопротивлений теплопроводности к теплообмену. Это отношение термических сопротивлений есть число Био. Для определения условий теплообмена вычисление чисел Био необходимо проводить в соответствии с теорией подобия из закона теплообмена Ньютона.

Эз

Ь3 + 2с3 X + 3Р3 X 2 + 4е3 X3 , = А + К X + с X2 + ± X 3 + е X 4

Вь =

де / дХ

0з

Ш. = -

= —3

ех

Эе,/ ЭУ

- Ьг + 2с1У + 3й1У2 + 4егУ3 , _ а1 + Ь1У + с1У2 + ё1У3 + е1У 4

е,

В результате расчета по уравнениям (3) определяются числа Био, характеризующие условия теплообмена между тепловыделяющим элементом электротехнического устройства и окружающей средой по известному локальному распределению нестационарной избыточной температуры

на его поверхности: В112=8,6, В134=1,36. Для

анизотропного твердого тела коэффициенты теплоотдачи определяются по уравнениям а12=В^ 2Хх/Ь, а34=В134(ХхХу)1/2/Ь [1]. Тогда коэффициенты теплоотдачи от нагретых поверхностей тела к окружающей среде составят соответственно а12=62,35 Вт/(м2^К), 0^=61,65 Вт/(м2^К). Данный метод позволяет определить среднее по поверхности значение коэффициента теплоотдачи. Соответствующая ему средняя температура поверхности Тп = впТ0С + Тос , здесь средняя безразмерная температура поверхности е„= Х|ехх*,ххху , где п=1, 2; 5„ = — {е,,(х,у*ук , где п=3, 4. Средние температу-

а

X =1

ры поверхностей шихтованного пакета магнитопровода Т ,2 =324,69 К, ГЗА =341,38 К.

Составляющие тепловых потерь определяются экспериментально по закону конвективного теплообмена

О = а (Т - Т )^ , Вт.

пу- п ос' п ’

Здесь площадь поверхности теплообмена ^ = Н  I , где п=1, ¥п = Ъ  I, где п=3, 4. Величины тепловых потоков от нагретых поверхностей тела к окружающей среде составляют соответственно Р12=495 Вт, Р34=328

4

Вт, а полные теплопотери б = X =1646 Вт.

п=1

Для проверки полученного решения проводится исследование нестационарного теплового режима твэла на численной модели. Система уравнений, описывающая процесс нестационарной теплопроводности, имеет вид

Э0 д 20 д 2е „

- + —-г + Ро ,

дБо дХ2 дУ2

0 <Х < 1 , 0 < У < Я , Fo>0; Э6

дХ

- + В116(1, У ,Бо) = 0 ;

д 9(0, У ,Бо) дХ

д 6 ( X , Уь ,Ро) дя

- Б129(0,У ,Бо) = 0 ;

+ Б136( X ,УЬ ,Ро) = 0

Э6( X ,0,Ро) ЭЯ

- Б1.0( X ,0,Ро) = 0.

моделирования нестационарного температурного режима, изображенного на рис. 2, определяются координаты и величина максимального безразмерного перегрева в прямоугольном активном элементе электромагнита, знание которых представляет практический интерес. Как видно, при существующих условиях теплообмена между поверхностями пакета и окружающей средой максимальная безразмерная температура в стационарном температурном режиме достигает 0 =0,228 (Т =378,4 К) в

А шах 7 4 тах 7 '

центре шихтованного пакета Х=0,5, 7=0,24. Проведенный анализ показал, что при Fo>0,01 (более 12 минут) активный элемент следует рассматривать как термически массивное тело и перепадом температур по различным направлениям пренебречь нельзя. Следовательно, температура и тепловые потоки на смежных поверхностях шихтованного пакета магнитопровода различны.

Распределение безразмерной температуры 0(Х, 7, Fo) в исследуемой области активного элемента электромагнита представлено на рис. 3.

Для определения условий теплообмена вычисление чисел Био необходимо проводить в соответствии с теорией подобия из закона теплообмена Ньютона в конечно-разностном виде.

N1=1

'м, ]

_ 1 -у (02,- - 61,-) /

2 мод 01, -

В- _ 1 ( ,N-1 - N ) ! Нг .

13 мод _ М £ е. N

Начальное условие 00,7,0)= 00(Х,7).

Здесь 0О=(ТО-Тос)/Тос - начальная безразмерная температура; Т0 - начальная температура твэла, К; Po=qVb2/(kT0) - число Померанцева.

Исходными данными для граничных условий (4) являются значения чисел Био, определенные экспериментально. Решение системы уравнений (4) получено численным методом конечных разностей. Разностные уравнения сводятся к трехдиагональному виду и решаются методом прогонки [3]. Применение неявной разностной схемы переменных направлений [3] позволило получить решение задачи абсолютно устойчивое. Погрешность аппроксимации схемы пропорциональна временному и пространственным шагам к^, (кХ)2 и (к7)2 , и равна соответственно 1,1» 10-4, 6,9»10-3 и 1,6^10-3. Расчет проводился на прямоугольной сетке М=13, Ж=13 узловых точек. Дальнейшее измельчение сетки не влечет за собой существенного отклонения в результатах вычислений. В результате численного

Ко

Рис. 2. Изменение безразмерной температуры шихтованного пакета активной стали в зависимости от числа Фурье в сечении Х=0,5

X - безразмерное зн ачд ние координаты в направлении оси х;

7 - безразмерное значмние координаты в направлении оси у;

Fo - безразмерное число Фурье;

0(Х 7, Fo) - безразмм°дая температура шихтованного пакета активной стали в сечении Х=0,5.

Рис. 3. Распределение 0(Х,У,То) в сечении шихтованного пакета магнитопровода при Бо=1; Ро=2,16 X - безразмерное значение координаты в направлении оси х; У - безразмерное значение координаты в направлении оси у; Бо - безразмерное число Фурье;

0(Х, 7, Бо) - безразмерная температура шихтованного пакета активной стали в сечении Х=0,5;

Ро - безразмерное число Померанцева.

4 мод

= ^ (6,2 -6ц) / кг

М ^ 6,!

В результате расчета по уравнениям (5) определяются средние значения чисел Био В112мод=8,53, В13 =1,35, характеризующие условия тепло-

обмена между тепловыделяющим элементом электротехнического устройства и окружающей средой, по нестационарному полю безразмерной температуры. Поле безразмерной температуры тепловыделяющего элемента, определенное численным методом конечных разностей, приведено на рис. 3. Коэффициенты теплоотдачи от нагретых поверхностей тела к окружающей среде составят соответственно а. =62,84 Вт/(м2^К),

а

3,4мод

=61,21 Вт/(м2^К). Соответствующие им средние температуры поверхностей твэла Т12мод =324,76 К, т =341 34 К

1 3,4 мод 341,34 К

Составляющие тепловых потерь для численной модели определяются по закону конвективного теплообмена

а

(Т

т V п

Т ) Г , Вт.

ОС/ п 9

Здесь площадь поверхности теплообмена ¥п = Н • I , где п=1, 2; Г = В • I, где п=3, 4. Величины тепловых

потоков от нагретых поверхностей тела к окружающей среде при численном моделировании составят соответственно 0,п =493 Вт, О, „ =325 Вт. Полные

^ 1,2мод 7 ^ 3,4мод

теплопотери в модели тепловыделяющего элемента

4

е= / О =1636 Вт, а опытная величина

МОД / ; мод ’

п= 1

0=1646 Вт. Вполне удовлетворительное соответствие результатов моделирования экспериментальным данным свидетельствует о правильном определении температурного поля и коэффициентов теплоотдачи, характеризующих интенсивность охлаждения шихтованного пакета магнитопровода.

Таким образом, в результате анализа теплового состояния активного элемента электротехнического устройства приходим к следующим выводам:

- решена задача расчета средних температур поверхностей шихтованного пакета магнитопровода;

- получены уравнения, которые позволяют вычислить соотношения между термическим сопротивлением теплопроводности и термическим сопротивлением теплоотдачи, по которым при известных коэффициентах теплопроводности можно найти средние эффективные (сумма конвективной и лучистой составляющих) значения коэффициентов теплоотдачи на поверхностях прямоугольного анизотропного активного элемента электромагнита с постоянными равномерно распределенными внутренними источниками теплоты при нестационарном тепловом состоянии;

- на основе численного моделирования тепло-переноса обоснована новая методика определения теплового потока, передаваемого окружающей среде в квазистационарном режиме с погрешностью менее

1 %, зная соотношение между термическим сопротивлением теплопроводности и термическим сопротивлением теплоотдачи - число Био.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации по федеральной целевой программе «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, проект № П2515.

Л и т е р а т у р а

1. Логинов В. С. Приближенные методы теплового расчета активных элементов электрофизических установок. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 272 с.

2. Лыков А. В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.

3. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. - М: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.