КАТУШКИ ГЕЛЬМГОЛЬЦА-ИШКОВА
HELMHOLTZ-ISHKOV COILS

Предлагаемое изобретение относится к электротехнике и может быть использовано для создания устройств с однородным магнитным полем, протяженность которого сравнима с радиусом возбуждающих обмоток. Технический результат состоит в повышении однородности магнитного поля и эффективности его создания. Устройство состоит из катушек Гельмгольца и внешнего магнитопровода. Катушки Гельмгольца типичные круглые. Внешний магнитопровод состоит из двух частей цилиндрической формы с цилиндрическими выемками для размещения катушек Гельмгольца и  глухими торцовыми частями. Внешний магнитопровод уменьшает магнитное сопротивление внешней части магнитной цепи, благодаря чему повышается и  уровень или однородность магнитного поля между его полосами.
Предлагаемое изобретение относится к области техники магнитных полей и может быть применено для создания эталонных магнитных полей заданного уровня однородности и величины.
Аналогом предлагаемого изобретения являются сами катушки Гельмгольца, которые представляют собой систему двух идентичных круглых катушек, которые размещены соосно на расстоянии радиуса катушек и включены согласно так, что образуются единые магнитные линии магнитного поля и величина магнитного поля на оси системы катушек между плоскостями катушек получается достаточно однородной.
Недостаток аналога состоит в ограниченности однородности поля и эффективности его создания. Для улучшения однородности магнитного поля в рабочей области  применяют еще дополнительные пары катушек большого размера со встречным включением дополнительного поля. Это увеличивает габариты лабораторного оборудования и снижает эффективность энергетических затрат на питание, которое должно быть  стабильным.
Прототипом предлагаемого изобретения является соленоид Ишкова по патенту RU 2364000. Он состоит из обмотки возбуждения прямоугольного сечения и вешнего магнитопровода в форме цилиндрической оболочки и двух торцевых фланцев, внутренние поверхности которых являются полюсами. Внутри соленоида между полюсами при пропускании электрического тока по обмотке возбуждения создается магнитное поле повышенной однородности.
Недостаток прототипа в свете поставленной цели предлагаемого изобретения состоит в том, что доступ во внутреннее пространство соленоида сопряжен с необходимостью демонтажа фланцев при аксиальном доступе в рабочее пространство соленоида. Особенно сложна проблема радиального доступа в рабочее пространство соленоида.
Техническим решением проблемы свободного доступа в область однородного магнитного поля по оси  и радиусу является магнитопровод из двух цилиндрических половинок, из которых нижняя закреплена, а верхняя является съемной частью так, что при поднятой верхней части открывается доступ в рабочее пространство катушек Гельмгольца и по оси, и по радиусу. В качестве примера устройство показано на фиг.1.
Устройство состоит из катушек Гельмгольца 1 и внешнего магнитного провода цилиндрической формы 2, который сам состоит из верхней  части 3 и нижней части 4. Торцы магниторовода 2 закреплены по радиусу катушек Гельмгольца 1. По периферии неявных полюсов 5 закреплены обмотки катушек Гельмгольца 1. Исследуемый объект 6 помещается в  центральной части устройства. Конструктивно магнитопровод состоит из двух идентичных цилиндрических частей с цилиндрическими выемками для катушек Гельмгольца 1, которые стыкуются плоскими торцами. Отличие верхней подъемной части 3  состоит в наличии конической юбочки 7, которая сопрягается с коническим срезом 8 на нижней неподвижной части магнитопровода 4.
Подъем верхней части 3 и ее фиксация к нижней части 4 осуществляется известными способами.
Действует устройство следующим образом.
При поднятой верхней части 3 в центральную часть устройства помещается исследуемый объект 6, соединительные коммуникации с ним осуществляются через нижнюю часть 4 известными способами. При опускании верхней части 3 она однозначно фиксируется к нижней части 4 посредством конической юбочки  7 и конического среза 8.
При пропускании электрического тока по обмоткам катушек Гельмгольца 1 между полюсами 5 возникает необходимое магнитное поле 9. Величина магнитного поля определяется магнитодвижущей силой катушек, а однородность поля обеспечивается специфическим перераспределением структуры линий магнитного поля во внешнем магнитопроводе 2.
На фиг.2 представлен  ход линий магнитного поля в предлагаемом изобретении. Самая длинная линия магнитного поля проходит в центральной части  полюсов и имеет длину 2πR+2R(π+1).
Самая короткая линия поля проходит по периферии полюсов и имеет длину 2R, где R - радиус катушек Гельмгольца.
<mrow><mfrac bevelled="true"><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><mi>π</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow>
<mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac></mrow>
Для центральной линии магнитного поля отношение длин межполюсной части к магнитопроводной составляет величину
≃
,
для периферийной линии магнитного поля это отношение будет
<mrow><mfrac><mi>R</mi><mrow><mn>2</mn><mi>R</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>></mo><mfrac><mn>1</mn><mn>8</mn></mfrac></mrow>
.
Из приведенных соотношений следует, что для центральных магнитных линий только восьмая часть проходит между полюсами, а для периферийных магнитных линий только половина. Следовательно, применение внешнего магнититопровода для катушек Гельмгольца деформирует линии магнитного поля так, что уменьшает магнитное сопротивление. Для центральных магнитных линий многократно, а для периферийных магнитных линий - лишь двукратно. Это существенно повысит однородность магнитного поля в предлагаемом изобретении и повысит его уровень при том же токе в катушках Гельмгольца.
F
В Табл.1 представлена радиальная зависимость отношений длины магнитной линии в магнитопроводе к длине магнитной линии между полюсами магнитопровода l, которая определена по вышеприведенной методике. Для простоты записи принято R=1, а r - радиальное удлинение от центра полюсов. Это нелинейная зависимость.
Табл.1
r
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
<maths num="4"><math display="block"><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>ℓ</mi><mi>F</mi></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>π</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>r</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mi>ℓ</mi><mi>o</mi></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></math><img file="00000004.tif" he="11" wi="40" img-content="undefined" img-format="tif" /></maths>
7,28
6,024
4,768
3,512
2,256
1,0
Аналитический расчет магнитиных полей, создаваемых тонким проводником с током, основывается на законе Био-Савара-Лапласа, см. Савельев В.И. «Курс общей физики», т. 2, М., Наука, 1970 с.132.
<mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mi>o</mi></msub></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>i</mi><mi>d</mi><mi>ℓ</mi></mrow><mrow><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>ℓ</mi><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext></mrow><mo stretchy="true">^</mo></mover><mover accent="true"><mi>r</mi><mo>⇀</mo></mover></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
о
,
-7
где µ=4·10 Гн/м - магнитная постоянная;
i - сила электрического тока, А;
dl - элементарный участок с током I;
<mover accent="true"><mi>r</mi><mo>⇀</mo></mover>
-
радиус-вектор из исследуемой точки к элементарному току;
<mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>ℓ</mi><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext></mrow><mo stretchy="true">^</mo></mover><mover accent="true"><mi>r</mi><mo>⇀</mo></mover></mrow>
<mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>ℓ</mi><mo>→</mo></mover></mrow>
<mover accent="true"><mi>r</mi><mo>⇀</mo></mover>
,
- угол между элементарным током
и радиус-вектором фиг.3.
Дифференциал магнитного поля в центре кругового тока на его оси,
<mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mi>o</mi></msub></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mo>⋅</mo><mfrac><mrow><mi>i</mi><mi>d</mi><mi>ℓ</mi></mrow><mrow><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow>
где
R - радиус кругового тока, м.
<mrow><mi>В</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mi>o</mi></msub></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfrac><mi>i</mi><mrow><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mtext> </mtext><mstyle displaystyle="true"><mrow><mo>∫</mo><mrow><mi>d</mi><mi>ℓ</mi><mo>=</mo></mrow></mrow></mstyle><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mi>o</mi></msub></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mo>⋅</mo><mfrac><mi>i</mi><mrow><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mtext> </mtext><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mo>∫</mo><mi>o</mi><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></munderover><mrow><mi>d</mi><mi>φ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mi>o</mi></msub></mrow><mn>2</mn></mfrac><mfrac><mi>i</mi><mrow><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mrow></mstyle><mrow><mo>[</mo><mrow><mi>Т</mi><mi>л</mi></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>,</mo></mrow>
Величина магнитного поля в центре кругового тока определяется интегралом
где dl=Rdφ.
Вне плоскости витка магнитное поле имеет две компоненты, фиг.4. Аксиальная компонента магнитного поля зависит от угла β.
z
<mrow><mi>β</mi><mo>=</mo><mfrac><mi>R</mi><mrow><msqrt><mrow><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>z</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt></mrow></mfrac></mrow>
B=Bsinβ, где sinβ=
.
В конечном виде получается формула
<mrow><msub><mi>B</mi><mi>Z</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mi>o</mi></msub></mrow><mn>2</mn></mfrac><mfrac><mrow><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>Z</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow>
<mrow><mi>R</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>z</mi><mo>˙</mo></mover><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
где Z - аксиальное расстояние исследуемой точки от центра кругового тока на его оси. Для случая
формула упрощается
<mrow><msubsup><mi>B</mi><mi>z</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mi>o</mi></msub></mrow><mn>2</mn></mfrac><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>Z</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow>
Для второй катушки Гельмгольца эта формула примет вид
<mrow><msubsup><mi>B</mi><mi>Z</mi><mrow><mo>'</mo><mo>'</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mi>o</mi></msub></mrow><mn>2</mn></mfrac><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>Z</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow>
и в целом на оси катушек Гельмгольца будет
<mrow><msub><mi>B</mi><mi>Z</mi></msub><mo>=</mo><msubsup><mi>B</mi><mi>z</mi><mo>'</mo></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mi>B</mi><mi>Z</mi><mrow><mo>'</mo><mo>'</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mi>o</mi></msub></mrow><mn>2</mn></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>z</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>Z</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Расчеты по приведенным формулам представлены в табл.2.
Анализ табличных данных показывает, что аксиальное распределение уровня магнитной индукции представляется симметричной криволинейной зависимостью с прогрессивным спадом при удалении от центра кругового тока. Эта же зависимость для катушек Гельмгольца имеет максимум в центре системы катушек с пологим спадом при удалении от него. Поле в центре катушек превышает поля в центрах катушек на 5,3%.
-7
4
Абсолютный уровень магнитного поля даже во многовитковых катушках невелик, потому что множитель, представляющий магнитную постоянную, имеет порядок 10. Для полей с уровнем Iтл=10 Гс требуются катушки с количеством ампервитков, измеряемых тысячами. Поэтому применение внешнего магнитопровода существенно повышает эффективность питания катушек и снижает энергозатраты на питание и охлаждение электромагнитных установок.
Радиальное распределение магнитного поля в плоскости кругового витка с током можно исследовать по схеме на фиг.5,
где а - радиальное смещение исследуемой точки по диаметру кругового тока,
<mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>ℓ</mi><mo>→</mo></mover></mrow>
r - расстояние исследуемой точки от элемента тока
, произвольного,
R - радиус кругового тока,
<mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>ℓ</mi><mo>→</mo></mover></mrow>
φ - азимут элемента тока
.
Для произвольной точки, лежащей на диаметре кругового витка, можно записать
<mrow><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>B</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mi>o</mi></msub></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>i</mi><mi>d</mi><mi>ℓ</mi></mrow><mrow><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>ℓ</mi><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext></mrow><mo stretchy="true">^</mo></mover><mover accent="true"><mi>r</mi><mo>⇀</mo></mover></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>а</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>R</mi><mi>a</mi><mi>cos</mi><mi>φ</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow>
Действительно, h=a·sinφ, b=a·cosφ.
2
2
2
2
2
Следовательно, r=h+(R-b)=R+a-2Racosφ.
<mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>ℓ</mi><mo>→</mo></mover></mrow>
<mrow><mover accent="true"><mi>r</mi><mo stretchy="true">→</mo></mover></mrow>
<mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>ℓ</mi><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext></mrow><mo stretchy="true">^</mo></mover><mover accent="true"><mi>r</mi><mo>⇀</mo></mover><mo>=</mo><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>,</mo></mrow>
<mrow><mi>α</mi><mo>=</mo><mi>arc</mi><mtext> </mtext><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mfrac><mrow><mi>a</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>φ</mi></mrow><mi>r</mi></mfrac><mo>.</mo></mrow>
Поскольку угол между элементом тока
и вектором
то
В результате подстановки полученного выражения в исходную формулу закона БСЛ и последующего интегрирования получаем закон радиального распределения магнитной индукции по диаметру кругового тока
<mrow><mi>B</mi><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>i</mi><mi>R</mi><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mo>∫</mo><mi>o</mi><mi>π</mi></munderover><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>ϕ</mi></mrow><mi>r</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mstyle><mi>d</mi><mi>ϕ</mi></mrow>
Для случая R=i=1 интеграл упрощается
<mrow><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>B</mi><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mo>∫</mo><mi>o</mi><mi>π</mi></munderover><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>ϕ</mi></mrow><mi>r</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mstyle><mi>d</mi><mi>ϕ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>`</mo><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>ϕ</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow>
В табл. 3 представлены результаты числового интегрирования и экспериментального исследования радиального распределения магнитной индукции в плоскости кругового витка с током.
В авторском эксперименте использовался круглый виток диаметром 100 мм из медной проволоки диаметром 1 мм при токе 35 А. При токах большего значения виток нагревался докрасна. Поле измерялось измерительной катушкой диаметром 5 мм и миливольтметром. В последней графе приведены результаты исследования сверхпроводящего короткого соленоида диаметром 1,8 м, см. Хоукинс С.Р. "Сверхпроводящие соленоиды", изд Мир, 1965, с.238-258.
Анализ табличных данных показывает, что теоретический расчет автора верен и подтвержден экспериментально с достаточной точностью.
Главный вывод состоит в том, что радиальное распределение магнитной индукции в плоскости кругового витка с током неоднородно и его неоднородность растет прогрессивно по мере удаления к периферии витка, где оно возрастает многократно. Эта величина аксиально убывает, а радиально в плоскости витка растет и на центр витка приходится условный максимум типа седла.
Величину магнитной индукции вне плоскости кругового тока можно определить, если исследуемую точку поместить на плоскости, совмещенной с осью симметрии кругового тока, фиг. 6. Координаты этой точки будут: a, z, φ,
где a - расстояние исследуемой точки от оси симметрии кругового тока,
z - расстояние исследуемой точки от плоскости кругового тока,
φ - азимутальный угол.
<mrow><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>z</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>B</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>z</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>β</mi><mo>=</mo><mi>B</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>z</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mfrac><mi>r</mi><mi>ρ</mi></mfrac></mrow>
Теперь аксиальная составляющая магнитной индукции будет определяться углом β по формуле
,
2
2
2
где r=R+a-2Racosφ,
2
2
2
2
ρ=R+a+z-2Racosφ.
При R= i=1 расчетная формула примет вид
<mrow><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mi>B</mi><mi>z</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>z</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>μ</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mo>∫</mo><mi>o</mi><mi>π</mi></munderover><mrow><mfrac><mi>r</mi><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>z</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>/</mo><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>ϕ</mi></mrow><mi>r</mi></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mrow></mstyle><mi>d</mi><mi>ϕ</mi><mo>.</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>`</mo><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>c</mi><mi>o</mi><mi>s</mi><mi>ϕ</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow>
В табл. 4 представлены результаты расчета по этой интегральной формуле. По горизонтали представлены относительные значения величины магнитной индукции при радиальном переведении расчетной точки, а по вертикали соответственно при аксиальном ее перемещении. За 1 принято значение магнитной индукции в центре кругового тока.
Анализ содержания табл. 4 показывает, что при перемещении расчетной точки только по оси симметрии кругового тока или только по радиусу в плоскости кругового тока числовые значении магнитной индукции повторяются в соответствии с таблицами 2 и 3. Вне плоскости кругового тока радиальном перемещении расчетной точки величина магнитной индукции монотонно убывает.
В табл. 5 в относительных единицах представлено распределение магнитной индукции в диаметральной плоскости катушек Гельмгольца. Анализ содержания этой таблицы показывает, что это поле симметрично относительно плоскости z=0,5. В геометрическом центре катушек Гельмгольца поле имеет условный максимум типа седла, от которого отходят линии хребтов к центрам сечении токовозбуждающих проводников, при приближении к которым расчетная величина магнитной индукции возрастает многократно.
Неоднородность магнитного поля в центре катушек Гельмгольца зависит от размеров выбранной области. Для цилиндра высотой и диаметром 0,5 R неоднородность составляет 1,5%.
<mrow><mi>d</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mi>o</mi></mrow><mrow><mn>4</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>j</mi><mi>d</mi><mi>z</mi><mi>d</mi><mi>r</mi><mfrac><mrow><mi>d</mi><mi>l</mi></mrow><mrow><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>d</mi><mover accent="true"><mi>ℓ</mi><mo>→</mo></mover><mover accent="true"><mrow><mtext> </mtext><mtext> </mtext></mrow><mo stretchy="true">^</mo></mover><mover accent="true"><mi>r</mi><mo>⇀</mo></mover></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
В случае катушек конечного прямоугольного сечения закон БСЛ примет вид
где jdzdr - элемент тока в катушке.
Величина магнитной индукции в точке, отстоящей на а от оси симметрии катушки и на z от медианной плоскости катушки, определится тройным интегралом
<mrow><mi>B</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>z</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>μ</mi><mi>o</mi></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mi>j</mi><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mo>∫</mo><mrow><msub><mi>R</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow></munderover><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mo>∫</mo><mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></munderover><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><munderover><mo>∫</mo><mi>o</mi><mi>π</mi></munderover><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>r</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msubsup><mi>r</mi><mn>1</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>+</mo><msup><mi>z</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></msup></mrow></mfrac><mi>sin</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mi>π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>arcsin</mi><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>sin</mi><mi>ϕ</mi></mrow><mrow><msub><mi>r</mi><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>d</mi><mi>ϕ</mi><mi>d</mi><mi>z</mi><mi>d</mi><mi>r</mi></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow></mstyle></mrow></mrow></mstyle></mrow>
<mrow><msubsup><mi>r</mi><mn>1</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>=</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>cos</mi><mi>ϕ</mi></mrow>
где
1
R - внутренний радиус катушки,
2
R - внешний радиус катушки,
<mrow><mfrac><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow>
- половина толщины катушки.
1
2
В табл. 6 представлены результаты вычислений для R=1, R=1, 2, j=30.
Анализ содержании табл. 6 показывает, что в медианной плоскости катушки конечного сечения величина магнитной индукции тоже возрастает при удалении от центра катушки, но крутизна роста слабее, чем в тонкой одновитковой катушке. Аксиальный спад величины магнитной индукции сохраняется, но он тоже слабее.
В табл. 7 представлено диаметральное распределение величины магнитной индукции толстых катушек Гельмгольца.
В центре толстых катушек Гельмгольца магнитная индукция имеет по-прежнему максимум, но он на 15 % выше, чем в тонких при той же магнитодвижущей силе. Общий характер вариации распределения величины магнитной индукции сохраняется. Неоднородность же существенно ухудшилась и для цилиндра высотой и диаметром 0,5 R составила по высоте 3%, а по радиусу 9%.
В качестве общих выводов следует сделать следующее.
Катушки с диаметром сечения обмотки менее 0,1 диаметра катушки можно считать тонкими с достаточной инженерной точностью.
Для катушек конечного сечения обмотки получена универсальная интегральная формула для расчета величины магнитной индукции во внутреннем пространстве катушки.
При создании магнитной системы с однородным магнитным полем не следует увлекаться толстыми катушками.
У Говоркова В.А. "Электрические и магнитное поля", М., Энергия, 1968 на стр. 205-207 приведен приближенный расчет напряженности магнитного поля внутри кругового тока, на стр. 207-210 приведен расчет аксиального распределения напряженности магнитного поля тонкого соленоида.