К расчету прямоугольных плит на упругом основании

АРХИТЕКТУРА И СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 539.3

К РАСЧЕТУ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛИТ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Докт. техн. наук, проф. БОСАКОВ С. В.

Белорусский национальный технический университет

Задача расчета прямоугольной плиты на упругом основании не имеет точного решения до настоящего времени [1]. Даже для простейшей местно-деформируемой модели упругого основания (модели Винклера) не удалось получить точного решения [2]. Основную трудность при его поиске составляет удовлетворение статических граничных условий на гранях плиты. Ранее [3] предложено решение задачи осесимметричного изгиба круглых плит на упругом основании с помощью представления осадок плиты в виде собственных функций дифференциального оператора осесимметричных колебаний круглой пластинки со свободными гранями. Позднее [4] эта идея реализована при решении контактных задач для стержня и кольцевых плит. История поиска таких функций для прямоугольной плиты со свободными гранями довольно поучительна и не завершена до настоящего времени.

В качестве примера эффективности своего метода в 1908 г. В. Ритц [5] рассмотрел задачу о колебаниях прямоугольной пластинки со свободными гранями. За координатные функции он принял нормальные функции колебаний для стержня. Позднее Л. Конторович и В. Крылов [6] также использовали эти функции для решения подобной задачи. В более поздних руководствах [7, 8] также не приводится точное решение этой задачи.

Поэтому автор ниже приводит решение рассматриваемой задачи, дающее точные величины частот и приближенные формы собственных колебаний прямоугольной пластинки, а также частное приложение полученных результатов к расчету пластинок на двух моделях упругого основания.

1. В рамках линейной технической теории изгиба пластинок [9] рассмотрим изгибные собственные колебания прямоугольной пластинки (-а < х < а; - Ь < у < Ь ) со свободными гранями постоянной цилиндрической жесткости В и коэффициентом Пуассона материала V . Уравнение изгибных колебаний имеет вид

(А2 - Х)Щ = 0, Х =

тю

В

статические граничные условия:

д 2Щ

д2Щ д3Щ

дх

д 2Щ

ду2

дх3 х = ±а;

д2Щ д3Щ

д 3Щ дхду2

д 3Щ

ду2

дх2

ду3

У = ±Ь,

(2 ^) дх 2ду

= 0;

= 0,

где Щ(х, у) - прогибы пластинки, м; т - распределенная масса, кг/м2; ю - круговая частота собственных колебаний, с-1.

Не нарушая общности рассуждений, рассмотрим симметричные относительно двух осей Ох и Оу колебания прямоугольной пластинки. Для этого случая представим ее прогибы в виде суммы двух частных решений [10] уравнения ААЩ -ХЩ = 0

Щ (х, у) = С1 008 а х 008 Р— + С2оЬа х оЬр—. (3) а Ь а Ь

Подставляя (3) в граничные условия (2) и раскрывая определитель, получаем известные из теории балочных функций [11] трансцендентные уравнения для определения а и в:

tha+tga=0; thp+tgp = 0.

После подстановки решений (4) в уравнение колебаний (1) можно записать для собственных частот, симметричных относительно двух осей координат колебаний прямоугольной пластинки, в известной из справочников форме [7, 8]

ю =

Для определения форм колебаний воспользуемся условием, что в углах прямоугольной пластинки со свободными гранями крутящие моменты равны нулю [12], т. е. при х = ± а;

х = ± Ь

д 2Щ

дхду

= 0.

При условии (3) это приводит к выражению

Сі

8Ш а 8ІИ р shashp

что позволяет представить ік-ю форму симметричных относительно двух осей координат собственных колебаний прямоугольной пластинки со свободными гранями в виде выражения

Щк(х У) = Сі| cos а і - сої5 РкТ -

а Ь

sin аі sin Рк shaishpk

х

сЬаі — сЬрк —

Л

Частоты и формы собственных колебаний, соответствующие симметричным и антисимметричным относительно одной и двух осей координат, можно получить аналогично. В табл. 1 приведены выражения для форм собственных колебаний и трансцендентных уравнений для определения частот собственных колебаний, определяемых формулой (5). На рис. 1 приведены три формы собственных изгибных колебаний прямоугольной пластинки. Надо иметь в виду, что первые собственные формы колебаний прямоугольной пластинки со свободными гранями соответствуют значениям а = р = 0 и перемещениям пластинки как жесткого тела. В табл. 2 приводится сопоставление полученных автором результатов для частот собственных колебаний квадратной пластинки с результатами Ритца [5], а также Конторовича и Крылова [6].

Автор считает нужным отметить следующее:

• полученные собственные частоты и формы колебаний не зависят от коэффициента Пуассона материала пластинки V р ;

Таблица 1

Характеристика колебаний Собственные функции Т рансцендентные уравнения и корни

Симметричные относительно двух осей а х ^ р/ - ^ аі ^ рк сИаі х ЛРкУ 'а к Ь shaishpk і а к Ь Ша' + tgaі = 0; ШРк + tgPk = 0; а1 = 0,0 = Р1; а2 = 2,36502 = Р2; а3 = 5,497804 = Р3

Симметричные относительно оси Оу х у ЗІП аі соє рк х У соз а,—8іп Рк — + ' — Ла ,—shp^ — 'а к Ь shaichpk 'а к Ь Ша; + tgaі = 0; ШРк - tgPk = 0; Рі = 0,0; Р2 = 3,926602; Р3 = 7,068583

Симметричные относительно оси Ох х у с08 а, 8ІП Рк х у 8іп а ' —со8 р. — + ' — sha, —Лр. — 'а к Ь chaіshpk 'а к Ь Ша'. - tgaі. = 0; ЛРк + tgPk = 0

Асимметричные относительно двух осей х . а у с08 аі со$ Рк х , у 8іп а '—8іп п,- ' — sha ,—shpk — 'а к Ь chaі.chpk 'а к Ь Ша; - tgaі = 0; *Рк - tgPk = 0

1,0

0,5

0

-0,5

-1,0

х 0,5

1,0 -2,0 6,9917 ІВ

2 ~ 2

а V т

1,0

-2,0

9,4479 В

1,0 -2,0 19,2728 ІВ

„2

а

Рис. 1. Первые три формы собственных изгибных колебаний прямоугольной пластинки

• наблюдается нарушение свойств ортогональности полученных форм собственных колебаний, причем величина погрешности уменьшается с увеличением частоты, соответствующей этой форме. В подтверждение этого автор

приводит данные табл. 3, где для симметричных форм собственных колебаний квадратной пластинки приводятся величины погрешности свойства ортогональности форм собственных колебаний;

Таблица 2

Номер

частоты

Характеристика частоты

Симметричная относительно осей Ох и Оу

По Ритцу [5]

По Конторо-вичу и Крылову [6]

По автору

та

~В

14,10

12,43

11,19

та

~В

Симметричная относительно Оу и асимметричная относительно Ох

20,56

21,91

та

~В

Асимметричная относительно осей Ох и Оу

23,91

30,83

Таблица 3

і 1 2 3

к 4 3 2 4 3 4

а Ь | | WIWkdxdy -а -Ь 0 0 0 0,017812 0,0044 0,00821

• частоты собственных колебаний прямоугольной пластинки со свободными гранями, определяемые (5), по-видимому, найдены точно. Однако автор считает, что в рамках технической теории изгиба пластинок невозможно точно определить формы собственных колебаний для прямоугольной пластинки со свободными гранями.

2. Рассмотрим приложение полученных результатов для расчета прямоугольной пластинки на основании Винклера под действием центрально приложенной сосредоточенной силы. Дифференциальное уравнение ее равновесия имеет вид [1]

В

Д 2 +1 V = 9( * У >

В

где q(x, у) - вертикальная нагрузка на пластинку; к - коэффициент постели основания Винклера [1].

Зададимся уравнением осадок пластинки в форме (7):

ад ад

Ж(х у) = Си +^0^(х у);

і=2 к=2

2

3

4

2

а V т

Ж,к (x у) = C,k І соэ а, X СОЇ Р,.у -

" . Ь

їіп а, їіп Рк 8Ьа,-8Ьрк

х

сЬа, — сЬрк —

После подстановки (9) в (8) и выполнения операции дифференцирования получаем

7 4 ад ад

В с.. +11

и і=2 к =2

а

ка4 В

х С,кЖ,к(x, у) = q( x, у ^.

В

Умножим

обе

части

на

і. - 4, - у;

dxdy и проинтегрируем по х от

. а" V Ь

-а до +а и по у от -Ь до +Ь (Т2т(г) - полином Чебышева 1-го рода [13]). При этом сосредоточенная сила распределяется по площади бесконечно малого прямоугольника в начале координат. Получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных С ік, которую решаем способом усечения [6].

Для примера рассмотрим железобетонную прямоугольную плиту с а = 1 м и Ь = 2 м толщиной 0,4 м на основании Винклера с коэф-

7 н

фициентом постели к = 2 -10 —-. Получаем

м

ка4

(рис. 2) ----= 0,121528;

В

Ра

ЬВ

1,0 -

Рис. 2. Поверхность осадок прямоугольной пластинки на упругом основании Винклера

Ра

с.. = 73,9961—------;

11 п2ЬВ

Ра

С22 = -10,9069—-------;

22 п2ЬВ

3

Ра

С23 =-6,3887 2

С32 =-1,105 3 2 2

п ЬВ

Ра3

п2ЬБ Ра3

С33 = -1,4041—------

л2ЬО

3. Рассмотрим интегральное уравнение контактной задачи для симметрично нагруженной сосредоточенной силой прямоугольной плиты, лежащей на упругом однородном изотропном полупространстве с упругими постоянными Е0

и Vo [1]:

1 2 1 1 Ж (x, у) = —V Ь {{-= пЕ0 -1-1 {(

Р

\2 , ~.2/_ _\2

x-£) +а

хd ^d п, а = —.

а

Представим:

Ж(x, у) = ^,0Ф00 + 4іФі.;

Ф00 = .;

x у їіп а. їіп Р.

Ф,, = сої а,—сої р,----------1к х

11 1 а 1 Ь їЬа.їЬр.

х сЬа.X сЬр. —; а. =р. = 2,36502; а Ь

Р (x, у) =

у

'Х[В00 + В20Т2

+

+ В22Т2 (X)Т2 (у) + В02Т2 (у)] ;

_________1________=

7(^ -^)2 +а2(у -п)2

ад ад ад ад

= ЕЕЦст: (а)Тт (x)Tn (у)Гг (Ж (п).

т=0 п=0 г=0 5=0

После подстановки (12) в (11) и интегрирования с учетом ортогональности принятых полиномов Чебышева получаем равенство, обе час-

Т2к

ти которого умножаем на

/і 2 і 1 2

\1 - у 1-у

dxdy

1

и интегрируем по приведенной площади прямоугольной плиты. Получаем систему из четырех линейных алгебраических уравнений, выражающих связь между коэффициентами Въ 2к

и А2т,2п • Решая ее, получаем:

B00 =

лЕп

-[ Дооа11 + А11 х

Х(а11^00 +а12 F20 +а13 F22 +а14 -^02)];

(1 -V2) а'

B20 = '

тсЕ„

-[ Д00а 21 + А11 Х

(1 -V0) а

х(а21^00 +а22 ^20 +а23 ^22 + а24 ^02)]’

B22 =

тсЕ„

-[ Д00аз1 + A11 х

х(а31^00 +а32 F20 +а33 F22 + а34 F02)];

(1 — v°°) а'

B02 = '

тсЕ„

[ А00а41 + А11 Х

F2v,2n = (—1)"+”•/2» (а1)^п (Р1) —

_I2т (а1) 12n (в1);

sin а1 sin Р1

shа1shpl

а =

C0

'—-Пі

1C 00

2 20

1

1C 02

2 00

1C 02 4 C°° 1

1C 22

о C20

1C 20

1 c 20

4 C20

1

22

-1- y^00 -1- y^02 -1- s~i

~C22 22 T7C

16

1C

'—-I

22

1C

22

1 с00

'—-no

1 с02

'—-no

1 ^22

1C 20

'—-no

(1 — v0) а

х(а41^00 +а42 F20 +а43 ^22 + а44 ^02)]’

дх

дг25у2 ду

4

Так как:

(^Ф00 , Ф00) = (^Ф00 , Ф11) = (^Ф11, Ф00) = 0;

(-^Ф11, Ф11) = 4 а1 + 2 Pi

22

Фи’

L%0,

q( х, у) ^ P

D

D

¿Ф00,

Р(х, у))_ П2ab

D

D

Бп,

^Ф11,

q (х, у) P ^1 sin а1sin Р1 ^

D

D

shа1shpl

^Ф11,

Р( х, у) D

п ab D

(B00 F00 + B20F20 + B22 F22 + B02 F02 ),

после подстановки (16) в (15) получаем систему уравнений для определения А00 и А11.

Дальнейшие выкладки проведем для alb = = 0,5 и показателя гибкости по Горбунову-

ПЕ l

Посадову [1] р= 0

D

= 20. Последова-

тельно получено

0,546068 0,077434 -0,310178 -0,193811

-0,193811 -0,52403 -3,13728 11,3529

-0,310178 -18,4137 182,323 -3,13728

0,077434 20,5447 -18,4137 -0,52403

Вектор свободных членов

а =

Формулы для С'т„ приведены в [4]. Составим систему уравнений в матричной форме для определения А00 и А1Ь используя подход К. Ректориса [14]:

А»

L%0,

-^Ф11,

q

D

q

D

ST =

P

пЬЕ„

Р Р

1 —

sin а1 sin Р1 shа1shpl

В результате решения получено:

Аю =

Ап =

3,34011 + 0,10076p P(1 — vH);

1.82393 + 0,00193Р пЬЕ0 ;

0,62181р P(1 — vp

1.82393 + 0,00193р пЬЕ0 .

На рис. 3 показаны осадки прямоугольной плиты при alb = 2; р = 20.

Для проверки полученных результатов примем в (17) в = 0 (случай прямоугольного штампа). Тогда:

А.. = 0; Ага = 0,58

Р

Е0Ь

В [1] получено для осадки прямоугольного штампа без выделения особенности в контактных напряжениях

А00 = 0 64

Р

ЕЬ

-1,0

-1,

1,0

- 2,0

Рис. 3. Осадки прямоугольной плиты на упругом по-

лупространстве в долях

Р

пЬЕп

В Ы В О Д Ы

1. Получены спектр и приближенные формы собственных колебаний прямоугольной пластинки со свободными гранями.

2. Показано применение данных результатов для расчетов прямоугольной плиты на упругом основании.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Маликова, В. И. Соломин. - М.: Стройиздат, 1984. - 679 с.

2. Палатников, Е. А. Прямоугольная плита на упругом основании / Е. А. Палатников. - М.: Стройиздат, 1964. - 236 с.

3. Цейтлин, А. И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики / А. И. Цейтлин. - М.: Стройиздат, 1984. - 334 с.

4. Босаков, С. В. Метод Ритца в контактных задачах теории упругости / С. В. Босаков. - Брест, 2006. - 108 с.

5. Тимошенко, С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко. - М.: ФМ., 1959. - 439 с.

6. Конторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Конторович, В. И. Крылов. - М.; Л.: ФМ., 1962. - 708 с.

7. Справочник по динамике сооружений / под ред. Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича. - М.: Стройиздат, 1972. - 511 с.

8. Вибрации в технике / под ред. В. В. Болотина. -М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.

9. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. - М.: Высш. шк., 1990. - 400 с.

10. Полянин, А. Д. Линейные уравнения математической физики: справ. / А. Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2001. - 575 с.

11. Фаддеева, В. Н. О фундаментальных функциях оператора X1г / В. Н. Фаддеева // Труды математического института АН СССР. - 1949. - Т. 28. - С. 157-159.

12. Киселев, В. А. Расчет пластин / В. А. Киселев. -М.: Стройиздат, 1973. - 149 с.

13. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М.: ФМ, 1963. - 1097 с.

14. Ректорис, К. Вариационные принципы в математической физике и технике / К. Ректорис. - М.: Мир, 1985. - 589 с.

Поступила 4.04.2007

0