Математическая модель механизма формирования опорной поверхности движения колесом перекатывающегося типа

Выводы

1. На пути от разработчика до эксплуатационника точность деталей и их сопряжений в дизеле не является постоянной и изменяется вследствие формирования погрешностей в процессе проектирования, разработки технологических процессов и осуществления подготовки производства, изготовления деталей и их сборки, испытания дизеля, транспортировки и монтажа на объекте и обкатки для ввода в эксплуатацию.

2. Вскрытие механизма образования и наследования погрешностей позволяет установить, что запас точности деталей и их количество, не укладывающиеся в поля допусков на размеры, а также вклад в это конструкторских, технологических, производственных, сбороч-но-монтажных, испытательных, транспортно- монтажных и обкаточных операций- с целью разработки научно обоснованных рекомендаций для достижения заданного или оптимального уровня точности деталей и сопряжений ДВС.

3. Закономерности изменения заданной точности деталей в ходе реализации технологических и производственных циклов изготовления, а также при вводе в эксплуатацию формирует исходную эксплуатационную точность, от которой начинается отчет срока службы деталей и зависит характер и динамика износа поверхностей трения дизеля и его узлов.

Математическая модель механизма формирования опорной поверхности движения колесом перекатывающегося типа

К.т.н., доц. Сергеев А.И., к.ф-м.н., доц. Черный И.В.

МГТУ "МАМИ", БГИТА

Механизм формирования опорной поверхности с точки зрения механики можно представить трансформацией голономной нестационарной связи в стационарную и удерживающую с формированием при этом траектории деформации контактирующих поверхностей (обод колеса и поверхность движения).

, г2 - 2(Ъ - р)г + Ъ2 - гк = 0

Траектория деформации, 4 к , являющаяся уравнением свя-

зи и представляющая реакцию опорной поверхности системы "колесо - опорная поверхность" К (далее просто системы), полученную двумя пересекающимися поверхностями,

х2 + (7 - Ъ)2 - г2 = 0 Т (рис. 1) цилиндрической ' к (т ) и параболическим цилиндром:

х2 - рг = 0 (ц

, (тт ) где интервалы определения функции по координатам х и 2 выражают смещение системы:

2I2 < х < Р(Ъ - р) + 2д/(Ъ - р) + р1 т1

2(Ъ-р)+ ъ[(Ь-р)2 + р2г1 < х < ^2(Ъ -р) + р)2 + р2Г

Ъ - р - д/р2 - 2Ър + гк < г < Ъ - р + д/р2 - 2Ър + гк

гк < 2 < Ъ - р + д/р2 - 2Ър + гк . Определим работу силы по формированию траектории деформации и выберем на ней

точку М, определяющую положение мгновенного центра вращения во внешнем потенциальном силовом поле.

Проекции действующего на точку М внешнего силового фактора ^^ на координатные оси в каждой точке поля можно определить по формулам

^ =ди / дх; ^ =ди / дг П

х 2 , где ^ является силовой функцией, зависящей от коорди-

М и

нат точки 1У1 4 ' 7 .

Элементарная работа силы в этом случае на элементарном участке траектории деформации в окрестности точки М (рис. 2) определяется как скалярное произведение векторов

^ и йт

Рис. 1. Схема взаимодействия контактирующих поверхностей

Рис. 2. Расчетная схема формирования опорной поверхности движения колесом

перекатывающегося типа

Просуммировав (1) по всем элементарным участкам траектории деформации запишем:

ди J ди Л

ах +--аг

А = ММ о

ММ 0

дх

дг

В общем случае значение криволинейного интеграла (2) может зависеть или не зависеть от конкретного вида траектории деформации поверхности движения.

В рассматриваемом случае траектория деформации определяет характеристики взаимодействующих поверхностей и не влияет на величину работы деформации, которую можно

Раздел 1. Наземные транспортные средства, энергетические установки и двигатели. представить в виде полного дифференциала силовой функции в общем случае зависящей от координат начального и конечного положения точки М :

Ёйт = -йи

В этом случае работа силы Г по конечному перемещению точки из положения М в

М о б

положение 0 будет равна:

М о

А = -\ dи

и2)- и^ г0)

или

А = U - Uo

0

тт г М, М0

Из (4) видно, что полная работа силы на перемещении 0 равна разности значе-

ний силовой функции U в конечной и начальной точке и от формы траектории деформации не зависит при условии, что силовая функция является однозначной.

Если силовое поле удовлетворяет условиям (3) и (4), то оно является потенциальным и

действующий на систему главный вектор внешних сил F в этом случае трансформируется

f

через взаимодействующие поверхности 1 2 в градиент силовой функции т.е.

F = - gradU = -VU = ^,

дг

где: VU — векторный дифференциальный оператор набла.

Далее для обозначения градиента силовой функции gradU будем использовать запись в виде:dU / дг, под которой будем представлять вектор, в декартовых координатах равный:

dU dU, dU -г , ч

=-1 +-к.

дг дх dz

^^dr = dU

Так как дг , то есть существует взаимное, однозначное соответствие между

скалярным полем, определяемым функцией U(г ) и потенциальным силовым полем F (г), где в каждой точке поля вектор силы F всегда направлен по нормали к эквипотенциальной

UU (г) = const

поверхности в сторону убывания потенциальной энергии.

Если главный вектор внешних сил, действующих на систему F (г ), (рис.1), то его силовую функцию можно представить в виде:

U

Для определения скорости формирования опорной поверхности предварительно определим множители , в общем случае зависящие от траектории деформации, положения мгновенного центра вращения, а также градиентов скалярных функций и их модулей.

Из дифференциальной геометрии известно, что направление внешней нормали к поверхности совпадает с градиентом скалярной функции, и, следовательно, для нашего случая можем записать:

Л

х

Vх 2 + р2 V

р

2 2 X + р

к;

Л =

х

2 2 х +

+

г

-Ь

22 X +

Градиенты функций равны:

_ I 2 2 I 2 2

gradf1 =-у4х + 4р = 2д/ х + р ;

gradf2 = 2д/х2 + (г - Ь)2

Трансформация связи при формировании опорной поверхности и траектория деформации определяют характеристику скорости и общей реакции Я опорной поверхности при пе-

М и (X, 2) = С

реходе рассматриваемой точки м с одной поверхности уровня у ' 7 1 на дру-

гую

и (х, г) = С

2

Для определения общей реакции связи Я предварительно найдем производную по на-

правлению в момент времени

д/1

дЛ

' = 'о

'Ж

дх м о

X

V

х + р

2 дг

\\

р

х2 + р2

>) м,

д/2 [д/2

дЛ2 '0 дх V

х д/2 I - Ь

д/х2 +

г - Ь

м о

УМ о

Взаимодействие контактирующих поверхностей в рассматриваемом случае сопровождается возникновением нормальных и тангенциальных напряжений, определяющих траекторию деформации, соответственно нормальную Яп и тангенциальную Ят, которые являются

составляющими общей реакции опорной поверхности Я [3].

С учетом (9) определим нормальную реакцию формирования опорной поверхности исходя из уравнения вида:

Яп = СЛ

где:

: Л,Л2 -

х г /

коэффициенты, в общем случае зависящие от координат и времени ;

С С -

1' 2 коэффициенты, характеризующие трансформацию связи взаимодействующих

поверхностей

и (х, г) = С1

при переходе системы с поверхности уровня

и (х, г) = С2

на поверхность уровня Если считать, что (8) всегда ортогональна к контактирующим поверхностям и, следовательно, коллиенарна с градиентом соответствующей функции (9), определяющей характеристику возникающей между взаимодействующими поверхностями связи, то этом случае рабо-

та консервативной силы

& mg будет

равна разности

А

М1М2

С - С

21

независимо от

формы траектории деформации. В рассматриваемой схеме консервативная сила всегда на-

I

о

о

2

правлена в сторону возрастания силовой функции и (или в сторону убывания потенциальной энергии П).

Исходя из выше изложенного, можно записать для деформируемой поверхности

х ^)

X - р

(-

к)

N = ^га^/^х, 2) = ^х2 + р2 у1х2 + р2 х (2x1 - 2 рк); Для поверхности /2 (Х 2) нормальная реакция будет равна:

/ X ^ 2 - Ь Гч - - ( I 2 2 1 + / 2 2 к) _ _

М2 = Л2 ^гай/2

Я

Суммарная величина нормальной реакции п будет равна:

(

Я,

N1 + N 2 =

д/х2 + р2 д/х2 +

I +

р

+

2 - Ь

л/х2 + (2 - Ь)2

к;

Я

При этом модуль реакции п равен:

Яп

2 + 2

X - р

л/х2 + р27х2 + (г - Ь)2

= 42

1 +

X - р

^Х2 + р 2д/ X2 + (2 - Ь)2

Таким образом, мы получили математическую модель формирования опорной поверхности с идеальной связью (движение системы без учета сил трения). Для шероховатых поверхностей необходимо определить тангенциальную составляющую общей реакции.

Для определения тангенциальной составляющей общей реакции предварительно определим вектор Т вращательной составляющей плоского движения катка, для чего исходя из

схемы (рис.2) определим векторное произведение величин 1 2 .

Т = N х N2 = (2хГ - 2рк ) х (2XI + 2(2 - Ь)к) = 4х(х - Ь + р)],

при этом, по определению векторного произведения, вектор Т будет расположен перпендикулярно плоскости, образованной векторами Nl,N2.

Я

Определим тангенциальную составляющую т формирования опорной поверхности

т Я

движения из векторного произведения векторов 1 и п .

Ят= т х Я = [(с/ + С2к)х 4х(х - Ь + р)]] =

х

х

2

= 4х

( и >

р 2 - Ь

+

2 + р2 V"2 + ( - Ь )2

I -

+

V"2 + р2 л/х2 + (2 - Ь)2

к.

№= 4 х( 2 - Ь + р)\2

1 +

х

- р

у[х2~+ р 2д/ X 2 + ( 2-

Гд/х2 + (2 - Ь)2

х

х

Раздел 1. Наземные транспортные средства, энергетические установки и двигатели. Тангенциальная составляющая общей реакции представляет качественную характеристику взаимодействующих поверхностей.

Суммарную реакцию К, возникающую при формировании опорной поверхности движения после определения п и т можно представить в виде:

4рх{ - Ь + р) + х + 4х{ - Ь{ - Ь + р) + х)^

К =

^Хг+р2

т[ХХ2+ { - Ь 2

I +

+

4х2( - Ь + р) 4х2{ - Ь + р)-г + Ь

1

х2 + р 2

л/х2 + { - Ь)2

к,

Модуль реакции опорной поверхности равен:

К =

1

32х2 {г - Ь + р)2 + 2 +

+ 2 { - Ь + р)216х4 - р( - Ь) 6х2 {г - Ь + р) +1] +1

д/х2 + р2 Vх2 +

= 42

I

16 х2 {г - Ь + р )2 + {г - Ь + р)216х4 - р{г - Ь)[16х2 {г - Ь + р)2 +1] +1 ^х2 + р 2у1 х2 +{г - Ь)2

Разработанные математическая модель и метод представления характеристик контактирующих поверхностей [уравнение (10)] позволяет моделировать формирование опорных поверхностей движения практически для любых движителей транспортных средств.

Полученные выражения нормальной (11), (12), тангенциальной (13), (14), а также полной реакции связи (опорной поверхности) (15), (16) позволяет решать задачи, связанные с проектированием и расчетом колесных движителей разного конструктивного исполнения с определением их качественных и количественных характеристик при движении по разным поверхностям.

Литература

1. Сергеев А.И., Шарипов В.М. Транспортное средство. Патент РФ №2245259. Опубл. 27.01.2005. Бюл.№3.

2. Сергеев А. И. Определение общей характеристики формирования опорной поверхности движения и обоснование конструктивного исполнения движителя перекатывающегося типа. Межвузовский сборник научных трудов МГТУ" МАМИ", Вып.1, 2004.с.334.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М:. Наука, 1968. 479с.

Согласование показателей дизелей и трансмиссий тракторов

Титов А. И. "Промтрактор" г. Чебоксары. В настоящее время рабочие скорости тракторов по зарубежным литературным источникам составляют от 4 до 12 км/час. У нас узаконенных значений нет, ряд авторов называют эти скорости от 9 до 15км/час или другие значения.

Рабочие скорости должны обеспечивать работу трактора с имеющимся набором сельскохозяйственных машин при условии загрузки дизеля до номинальной мощности без перегрузки трактора больше максимальной силы тяги. С учётом реально существующих у отечественных серийных тракторов скоростей весь скоростной ряд обычно рассматривают со-