Параллельный вычислительный алгоритм для описания термомеханического поведения жидких кристаллов

Кривая плотности распределения (рис. 3) имеет три выраженных пика, свидетельствующих о наличии трёх классов.

Анализ задачи диагностики ЭРИ показывает, что среди годных изделий возможно наличие групп, классов. Это обусловлено, прежде всего, отличающимися технологическими цепочками их изготовления в рамках технологического регламента. Причины этого -различные приобретенные партии, различия во времени их изготовления различными поставщиками. Рассматривается предварительная обработка диагностических параметров с последующей группировкой изделий по данным диагностических испытаний.

Рис. 3. Плотность распределения

Проводя диагностику параметров партии ЭРИ, мы можем выделить отчётливые группы, формируемые теми или иными факторами. Факторы могут быть самые различные.

К примеру: технология производства ЭРИ, соблюдение или несоблюдение этой технологии, качество исходных материалов для создания ЭРИ и даже такой

фактор, как период времени, в который ЭРИ были изготовлены.

Таким образом, проводя разделение партии на группы со сходными характеристиками, возможно появленипе групп (изделий), сильно отличающихся (так называемый выброс). И именно эти сильно отличающиеся изделия требуют особого внимания, поскольку могут по сути являться теми самыми ЭРИ с уникальными свойствами и показателями надёжности [3].

Библиографические ссылки

1. Загоруйко Н. Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. Новосибирск : Ин-т математики, 1999. 270 с.

2. Коплярова Н. В., Орлов В. И., Сергеева Н. А., Федосов В. В. О непараметрических моделях в задаче диагностики электрорадиоизделий // Заводская лаборатория. 2014. № 7.

3. Орлов В. И., Сергеева Н. А., Чжан Е. А. Техническая диагностика электрорадиоизделий // XII Все-рос. совещание по проблемам управления ВСПУ-2014 (16-19 июня, г. Москва). 2014. С. 7676-7682.

References

1. Zagoruiko N. G. Prikladnye methody analiza dannih I znaniy. Novosibirsk: In-t mathematiki, 1999. 270 s.

2. Kopljarova N. V., Orlov V. I., Sergeeva N. A., Fedosov V. V. About nonparametric models in a task of diagnostics ERC. Magazine Factory laboratory. № 7, 2014.

3. Orlov V. I., Sergeeva N. A., Chzhan E. A. Technical diagnostics ERC // XII All-Russia meeting on problems of management VSPU-2014: works of the All-Russia meeting. Moscow, 16-19, on June, 2014. Р. 7676-7682.

© Скворцов Д. В., 2014

УДК 519.688

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ*

И. В. Смолехо, О. В. Садовская

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: iro4ka_17_93@mail.ru; o_sadov@icm.krasn.ru

В рамках акустического приближения математической модели жидкого кристалла разработан параллельный алгоритм для вычислительных систем на графических ускорителях. Проведена серия методических расчетов динамического деформирования жидких кристаллов при слабых механических и температурных воздействиях, демонстрирующих работу программы.

Ключевые слова: жидкий кристалл, динамика, упругость, теплопроводность, двуциклическое расщепление, параллельный алгоритм, технология CUDA.

*Работа поддержана грантом РФФИ 14-01-00130.

Решетневскуе чтения. 2014

PARALLEL COMPUTATIONAL ALGORITHM FOR THE DESCRIPTION OF THERMOMECHANICAL BEHAVIOUR OF LIQUID CRYSTALS

I. V. Smolekho, O. V. Sadovskaya

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: iro4ka_17_93@mail.ru; o_sadov@icm.krasn.ru

In the framework of acoustic approximation of mathematical model of a liquid crystal, the parallel computational algorithm is developed for computing systems with graphics accelerators. A series of methodical computations of dynamic deformation of liquid crystals under weak mechanical and thermal perturbations, demonstrating the operability of the program, was performed.

Keywords: liquid crystal, dynamics, elasticity, heat conduction, two-cyclic splitting, parallel algorithm, CUDA technology.

Жидкие кристаллы являются уникальными веществами благодаря необычному сочетанию анизотропных свойств, присущих кристаллам, и текучести, свойственной жидкостям. В [1] построена упрощенная модель нематиматического жидкого кристалла как акустической микронеоднородной среды с вращающимися частицами. Основная система уравнений этой модели в двумерном случае выглядит следующим образом:

Р Ut =- Px - 4y, Р Vt = 4x - Py, j Ю = 2 Ч Фt = Ю Pt = -к(ux +vy) + PTt, 4t = a(vx-uy -2юХ

cTt = (K11Tx + K12Ty)x + (K12Tx + K22Ty)y -

-PT

где u и v - компоненты вектора скорости; ю - угловая скорость; ф - угол поворота молекул кристалла;

P - гидростатическое давление; q - касательное напряжение; T - абсолютная температура; р - плотность; j - момент инерции; к - модуль объемного сжатия; а - модуль упругого сопротивления вращению; Р - коэффициент теплового расширения; c - удельная теплоемкость; k11 , к12 и к22 - компоненты тензора теплопроводности:

к11 = K1cos2 ф + к2 sin2 ф, к12 = (к -K2)sinфcos ф, к22 = к1 sin2 ф + к2 cos2 ф,

здесь к1 и к2 - коэффициенты теплопроводности в направлении ориентации молекул жидкого кристалла и в поперечном направлении; индексы x, y и t означают частные производные по пространственным переменным и времени. В систему (1) входят уравнения поступательного и вращательного движения, уравнение для угла поворота, уравнения состояния для давления и касательного напряжения, уравнение анизотропной теплопроводности с переменными коэффициентами.

Численное решение краевых задач для системы (1) осуществляется с помощью метода двуциклического расщепления по пространственным переменным. В двумерном случае на каждом временном интервале

(t0,t0 + At) расщепление включает в себя 5 этапов: решение одномерных подсистем уравнений акустики жидкого кристалла и связанных уравнений теплопроводности в направлениях х и y на полуинтервале по времени (t0, t0 +At/2), пересчет величин q, ю и ф по схеме Кранка-Николсон, повторный пересчет в направлениях y и х на втором полуинтервале (t0 +At/2,t0 +At). На этапах расщепления одномерные задачи решаются с использованием конечно-разностной схемы типа «предиктор-корректор» в следующей последовательности: сначала реализуется шаг «предиктор» для подсистемы уравнений акустики, затем решается связное уравнение теплопроводности, и в заключение выполняется шаг «корректор» матричной системы, правая часть которой зависит от температуры. Конечно-разностная схема, построенная по принципу схемы С. К. Годунова, применяется при решении акустических уравнений, схема Г. В. Иванова с контролируемой диссипацией энергии - при решении уравнения теплопроводности. Температура в каждом направлении вычисляется с помощью трехточечной прогонки. Схема является неявной на шаге «предиктор» и явной на шаге «корректор».

Вычислительный алгоритм реализован в виде параллельной программы для компьютеров с графическими ускорителями. Программа написана на языке Си с применением технологии CUDA (Compute Unified Device Architecture). Распараллеливание вычислений производится на этапах метода расщепления. На GPU (Graphical Processing Unit) расчетная область разбивается на квадратные блоки, содержащие одинаковое число нитей. Благодаря идентификаторам, имеющимся в CUDA, каждой нити ставится в соответствие ячейка разностной сетки. В параллельном режиме нити графического устройства выполняют однотипные операции в ячейках по расчету решения на шаге «предиктор» и после этого - на шаге «корректор» схемы. В начале программы на CPU (Central Processing Unit) задаются размерности конечно-разностной сетки и все необходимые константы, а также описываются одномерные массивы и задаются начальные данные для основных величин - компонент вектора скорости, угловой скорости, угла поворота, давления, касательного напряжения и темпера-

туры. Одновременно на GPU выделяется память под массивы для этих величин и всех необходимых вспомогательных величин. Затем необходимые константы и массивы копируются с CPU на GPU. На каждом шаге по времени последовательно реализуются этапы метода расщепления. На этапах расщепления графическим устройством выполняются все необходимые ядра (процедуры) в параллельном режиме. Для анализа результатов счета в контрольных точках по времени решение передается с GPU на CPU, и по полученным файлам данных рисуются линии уровня искомых величин графическими средствами персонального компьютера.

Численно исследована эффективность работы программы: в методических расчетах зафиксировано ускорение работы параллельной программы примерно в 25 раз по сравнению с последовательной версией. Проведена серия расчетов на высокопроизводительном вычислительном сервере Flagman ИВМ СО РАН, демонстрирующих работу программы.

На рис. 1 показаны результаты счета для задачи о действии П-образных и Л-образных импульсов давления в нормальном направлении на части левой границы расчетной области в виде квадрата. Разностная сетка - 1024х 1024 ячеек.

1ПГ

а б

Рис. 1. П-образные

Далее представлены численные результаты для задачи с заданной внутри всей расчетной области температурой Т0 в начальный момент времени и нулевыми граничными условиями для всех величин. Расчеты проведены для разных коэффициентов теплопроводности: к1 = 5 к2, угол поворота молекул жидкого кристалла ф = л/ 4. На рис. 2 видно, что линии уровня температуры вытягиваются в направлении ориентации молекул. Рис. 3 показывает, как распространяются волны давления и как они отражаются друг от друга.

Рис. 2. Заданная начальная температура: линии уровня температуры Т

Рис. 3. Заданная начальная температура: линии уровня давленияp

Библиографическая ссылка

1. Садовский В. М., Садовская О. В. Об акустическом приближении термомеханической модели жидкого кристалла // Физическая мезомеханика. 2013. Т. 16, № 3. С. 55-62.

Reference

1. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. On the Acoustic Approximation of Thermomechanical Description of a Liquid Crystal // Physical Mesomechanics. 2013. V. 16, № 4. P. 312-318.

© Смолехо И. В., Садовская О. В., 2014