Центральная предельная теорема для положительно ассоциированных стационарных случайных полей

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО АССОЦИИРОВАННЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ*

А. В. Булинский

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, д-р физ.-мат. наук, профессор, bulinski@mech.math.msu.su

1. Введение. Изучение асимптотического поведения (нормированных) сумм случайных величин — обширная область исследований в теории вероятностей, имеющая разнообразные приложения. Классическое ядро здесь составляют предельные теоремы, установленные для сумм независимых слагаемых. Достаточно указать на монографии [5-7] и [14], где даются обширные библиографические указания.

Еще в начале прошлого века возникли модели, описываемые семействами зависимых случайных величин. В результате были введены гауссовские и марковские процессы, мартингалы, решения стохастических дифференциальных уравнений, процессы с перемешиванием и другие (см., например, [4, 10]). Кроме того, большое внимание стало уделяться изучению случайных полей.

С 60-х годов XX века в связи с задачами математической статистики, теории надежности, перколяции и статистической физики возникли стохастические модели, основанные на семействах величин, обладающих различными формами положительной или отрицательной зависимости (см., например, [3]). Ключевую роль в этих моделях играет понятие ассоциированности (в статистической физике хорошо известны FKG-неравенства, влекущие ассоциированность). В этой работе мы будем использовать следующее

Определение 1 [13]. Действительное случайное поле X = {Хг,Ь € Т} называется положительно ассоциированным1 (пишем X € РА), если для любых конечных непере-секающихся множеств I = {в1,...,8т}с Т, J = {11,...,1п}с Т и всех ограниченных покоординатно неубывающих липшицевых функций / : Мт ^ М, д : Мп ^ М справедливо неравенство

ссу

Напомним, что поле Х называется ассоциированным, если данное определение выполняется без предположения IП .1 = 0. Очевидно, ассоциированность влечет положительную ассоциированность. Заметим, что любое семейство независимых случайных величин будет автоматически ассоциированно. Множество других важных примеров можно найти в [3].

Для случайного поля Х = {Хг,Ь € Т} и конечного множества и С Т положим

Б(и ) = £ Хг.

геи

Далее мы будем рассматривать поля, определенные на решетке Т = Zd и некотором вероятностном пространстве (П, Т, Р). В выдающейся работе Ньюмена [12] центральная

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00397).

1или слабо ассоциированным

© А.В.Булинский, 2011

предельная теорема (ЦПТ) доказана для ассоциированного стационарного поля Х = {Xj,] € 2с}, имеющего суммируемую ковариационную функцию, т. е.

а2 := cov

jеzd

Указанные простые достаточные условия влекут для поля X соотношение

” ------ 1—> Z ~ Л/"

У/(п}

здесь Бп = Б([0,п] П 2с), [0,п] = [0,п]_] х ... х [0,пс], (п} = п1 ...пс, а обозначает слабую сходимость распределений.

Цель работы — получить критерий выполнения ЦПТ для положительно ассоциированных стационарных случайных полей, обладающих конечным вторым моментом.

2. Формулировка основных результатов. Нам потребуется напомнить еще несколько определений.

Определение 2. Функция Ь : М+ ^ М \ {0} называется медленно меняющейся (на бесконечности), если для любого вектора а = (а1, ..., ас)т с положительными компонентами

Ь(а1х1, ..., аСхС) / л \

------------> 1 при х ^ то,

Ь

т. е. когда Х1 ^то, ...,хс ^то. Для таких функций пишем Ь € £(М+).

Мы оперируем векторами-столбцами и используем знак Т для транспонирования. Функция Ь : N ^ М \ {0} называется медленно меняющейся (на бесконечности), если для любого а = (а1,..., а<с)т € N соотношение (4) выполнено с дополнительным предположением х € N. Тогда используем обозначение Ь € £(Мс).

Например, функция П^=1 log(xfc V 1), где х € М+, очевидно, входит в £(М+).

Замечание 1. Известно, что не любая функция из £(Мс) допускает продолжение до функции из класса £(М+) даже при ё = 1. Однако нетрудно убедиться, что если покоординатно неубывающая функция Ь € £(Мс), то Н(х) := Ь([Х]) входит в класс £(М+). Здесь Х = (х1 V 1,...,хс V 1) для х € Мс, а [х] = ([х1 ],..., [хс])т, т. е. берутся целые части всех компонент х.

Долгое время не было ответа на гипотезу Ньюмена [12], относящуюся к ослаблению условия (2), фигурирующего в ЦПТ. А именно, рассматривая частные суммы по кубам, он предполагал, что вместо (2) достаточно потребовать (для стационарного ассоциированного поля X с ЕХ2 < то), чтобы функция

К

входила в класс £(М), где || • || —евклидова норма в Мс.

К сожалению, эта красивая гипотеза оказалась несправедливой уже при ё = 1. Первый контрпример был построен Херрндорфом [9], а общий ответ был дан Шашкиным [8], показавшим, что условие (2) носит в определенном смысле оптимальный характер.

Отметим также, что в статье [2] теорема Ньюмена была обобщена на частные суммы, берущиеся по регулярно растущим конечным подмножествам 2с. О дальнейших обобщениях см. главу 3 в [3].

Определение 3. Семейство X = {Xj,j G Nd} называется равномерно интегрируемым, если

jeNd

Для стационарного в широком смысле поля X = {Xj,j G Zd} введем функцию Kx(n) = Y, cov (Xo, Xj), n G Zd.

jEZd:-n<j<n

Если a = (a(1),..., a(d))T и b = (b(1),..., b(d))T — векторы в Rd, то запись a < b означает, что a(k < b(k при всех к = 1,...,d. Пишем a < b, когда a(k) < b(k) при любых к = 1,...,d.

Следующий результат расширяет теорему Льюиса [11], установленную для последовательности случайных величин.

Теорема 1. Пусть случайное поле X = {Xj,j G Zd} G PA и стационарно (в узком смысле), причем 0 < EX2 < то и Kx(•) G £(Nd). Тогда X удовлетворяет ЦПТ, т. е. выполнено соотношение

Sn ESn law

л/varS,

i семеистоо {(Sn — ESn^2

ется равномерно интегрируемым.

Z ~ N

в том и только том случае, когда семейство {(Sn — ESn)2/((n)Kx(n)),n G Nd} явля-

Рассмотрим теперь последовательность растущих «целочисленных кубов» Cr = (0, r]d П Zd, r G N.

Теорема 2. Пусть случайное поле X = {Xj,j Є Zd} Є PA и стационарно (в узком

2 o

S(Cr ) — ES(Cr ) law

смысле), причем 0 < EX0 < то и K(-) G £(N). Тогда соотношение

v/varS'

Z ~ N

справедливо в том и только том случае, когда равномерно интегрируема последова-

7Г))2/(гс К(г)))гек.

тельность ((S(Cr) — ES(Cr))2/(rd K(r)))r

Теорема 2 показывает, что именно надо дополнительно потребовать в классе положительно ассоциированных стационарных полей (кроме медленного изменения функции К(^)) для того, чтобы гипотеза Ньюмена оказалась справедливой при любом ! € N. В [12] при обсуждении упомянутой выше гипотезы было отмечено (без доказательства), что для частных сумм, берущимся по кубам Сг, «ослабленный вариант гипотезы» будет справедлив при дополнительном условии равномерной интегрируемости последовательности, указанной в теореме 2. Таким образом, теоремы 17 и 2 показывают, что речь идет не об ослаблении гипотезы, а о выявлении ее сути. Мы не затрагиваем разбиение пространства Мс на одинаковые кубы (см. [12]), но зато в теореме 17 рассматриваем частные суммы, берущиеся по произвольным растущим блокам.

3. Доказательство основных результатов. Мы начнем с простых вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Если функция L из £(Nd) является покоординатно неубывающей, то найдутся неслучайные векторы qn = (q(n^ ,...,ц^^ )T G Nd, где n = (ni,...,nd)T G Nd,

такие, что

q^* L

^ nk, ~-----> 0 для k = 1, ... ,d, qn —> oo и ——- —> 1 при n —> oo.

nu L

Доказательство. Согласно замечанию 1 функцию L мы можем считать продолженной до функции, входящей в класс £(М+). Для любого R = (R(1),..., R(d))T G Nd выберем N0(R) G Nd таким образом, чтобы

L(n1}...,nd) ^ 1

т

^Д<1> ’ ' ' ' ’ RW )

при всех n > No(R). Возьмем последовательность (R(r))r£N такую, что R(r) G Nd и R(r) < R(r + 1) при каждом r G N. Введем М0(1) = N0(R(1)) и M0(r + 1) = (M0(r) V N0(R(r + 1)) + 1 для r G N, где, как обычно, 1 = (1,..., 1)T G Rd и

(a(1),..., a(d)) V (b(1),..., b(d)) = (a(1) V b(1),..., a(d) V b(d)).

Тогда M0

L(nb ...,nd) _ ^ < 1

t f A —

i)(r)’ • • • ’ д№(г) j

Определим неслучайные последовательности (ejU))jeN, где к = 1,...,d, положив ejfc) = 1/R(u)(r) для M(u)(r) < j < M0U)(r + 1).

Для любого £ > 0 выберем r0 G N таким образом, чтобы 1/{R(r0)) < £. Далее для всех n таких, что M0(r) < n < M0(r + 1), где r > r0, имеем

< L(nb...,nd) _ L(nb ...,nd) <

“ ... ,nd£idi) . . . , “

-1+ШУ-1+Ш) -1+е-

Теперь мы можем взять qn = ([п^П*], ..., [nd^J1]) V ([logn1],..., [lognd]) V 1, чтобы обеспечить (8).

Лемма 2. Пусть X = {Xj,j G Zd} — стационарное в широком смысле поле, имеющее неотрицательную ковариационную функцию и Un = {j G Zd : 1 < j < n}, n G Nd. Если Kx(•) G £(Nd), то

varS

Наоборот, если varS(Un) ~ {n) L(n) при n ^ то, где L G £(Nd), то L(n) ~ Kx(n), когда n ^то.

Доказательство. Пусть Кх(•) € £(Ма). Поскольку поле X стационарно, имеем соу(Х^,Х^) = [?(г — ]) для 1] € Zd. Тогда

уагй'(ип) = 53 соу(Х^,Х^) = 53 К(* — ]) =

г,0^ип г,]^ип

= 53 (П1 — |т11) •••(Пй —|т^|)К(т) —

тЕХ*: —(п —1)<т<п —1

—

тЕХ*: — (п- 1)<т<п —1

так как функция неотрицательная.

Возьмем произвольное с € (0,1)ип> т^с^- (т' е' сп — п—1) п € М^). Вновь учитывая неотрицательность [Р, можем записать

уаг^(Ц^п) =53 (п1 — |т11) •••(па — |та|)Р(т) >

тЕХ*: — (п-1) <т<п-1

> (1 — с)а(п) 53 Р(т) = (1 — с)а(п) Кх([сп])•

тЕХ*:—сп<т<сп

Принимая во внимание замечание 1, получаем, что

(1 — с)а(п) Кх ([сп]) ~ (1 — с)а(п) Кх(п), п ^ ж, п €

Следовательно, уагБ(ип) ~ (п) Кх(п) при п ^ ж, поскольку с может быть выбрано сколь угодно близким к нулю.

Теперь предположим, что уагБ(ип) ~ (п) Ь(п) при п ^ ж, где Ь € £(Ма). Тогда для любого £ > 0 и всех п достаточно больших (т. е. когда все компоненты п достаточно велики), применяя (10), приходим к неравенствам

Кх

Для фиксированного д € М, д > 1 и пг € М, тг € ^ таких, что тг | — пг при г = 1,^,й, имеем

д — 1 у пгд у д — 1 у пгду Следовательно, воспользовавшись условием Р > 0, получаем, что

к.*м * (^т)' Е

тЕХ*:—п<т<п г—1

/ч^/ах1 а

< ту) ПН ^ К(т)П(ПгЧ - \тг\) =

д \г — 1 / тЕХ*: —nq<m<nq г — 1

д \ уагБ (^п) ( д

— 1 ( п) — 1

Ь

Учитывая, что д может быть выбрано сколь угодно большим, а также комбинируя (11) и (12), устанавливаем требуемое утверждение.

Доказательство теоремы 1. Необходимость. Предположим, что (6) справедливо. Тогда

(Бп — ЕБп)2 1а

уагБп

Ьа,ш

Действительно, если случайные величины Уп —> У, то для любой непрерывной функ-

ции к : М ^ М имеем к(Уп) к(У) при п ^ ж. Очевидно,

(Бп - ЕБп)2 уагБп

0и

Е(Бп - ЕБпу уагБп

!•

Поэтому равномерная интегрируемость семейства {(Бп — ЕБп)2/уагБп, п € Ма} вытекает из аналога теоремы 1.5.4, установленной в [1] для последовательности случайных величин, индексированных точками N. Согласно лемме 2 выполнено (9). Следовательно, семейство {(Бп — ЕБп)2/((п)Кх(п)),п € Ма} также является равномерно интегрируемым.

Достаточность. Если функция Кх ограничена, то справедливо (2) и в силу теоремы 3.1.12 из [4] соотношение (6) имеет место. Поэтому далее будем считать функцию Кх неограниченной. Положим Кх (£) := Кх (И V 1) для £ = (£!,••• ,^) € М+, где [£] = ([£1], • ••, [£а]). Это расширение исходной функции Кх принадлежит классу £(М+), так как Кх является покоординатно неубывающей на (поле X € РА, поэтому его ковариационная функция неотрицательна). Далее считаем, что функция Кх доопределена указанным способом на М+.

Пусть векторы дп, п € Ма, построены согласно лемме 1. Нетрудно найти неслучайное семейство векторов {рп,п € Ма}, где рп принимают значения в Ма, таких, что

дпк) — Рп ) — пь, дпк)/Рп) ^ 0 и р^/пк ^ 0 для к = 1,^^,й при п ^ж.

Далее мы применим метод секционирования Бернштейна. Для п, ] € и определенных выше рп, дп рассмотрим блоки

= {и € N : (]к — 1)(рпк) + дп)) < ик — ЗкР(к) + (]к — 1)дпк), к = 1,^^,с1},

где и = («!,•••, иа). Пусть Лп = {] € : и(з') С ип} и

Шп = и и(Л, Сп = ип \ Шп, п € М*

Иначе говоря, Шп состоит из «больших блоков» (имеющих «размер» рп вдоль к-ой координатной оси при к = 1,..., с?), разделенных «коридорами», принадлежащими множеству (?„. Положим уп = у/ (п)Кх(п). Тогда для каждого (еКивб получаем

Еехр <1 — Бп \ - е

<

3 Е п

+

+

ЕехР<1 ^ Е ^ипУ) \ ~ П ЕехР \^Б

jЕJn.

+

+

-п

е 2

=:53 Яг;

п

п

41

2

здесь i2 = —1 и Qr = Qr(n,t), a Sn = S(Un), как и ранее. Учитывая, что \eix — eiy \ < \x — y\ при всех x,y € R, а также используя неравенство Ляпунова, имеем

Ql < ME|S(Gn)| < M(E5(Gn)2)l/2^

Vn Vn

Поле X € PA, значит cov (Xj, Xu) > 0 при всех j, u € Nd. Поэтому, принимая во внимание, что X является стационарным и в широком смысле, приходим к соотношениям

ES(Gn)2 < 53 Е cov(Xj,Xu) < card Gn Kx(n) <

jGGn u:-n<u—j<n d

< Kx(n)Y(mik)q{nk) + pik) + q{nk)) П nh

k=1 1<l<d,l = k

где card G обозначает мощность множества G, = [n/(рП^ + )], к = 1,...,d. В

силу (8) и (13) получаем неравенство

ES(Gn)2 чА + ptt^ + ?nk) „

< >--------------------------> 0, п —> оо.

— ^ п,

(n) Kx (n) k=1 nk

Следовательно, Qi(n,t) ^ 0 для каждого t € R при n ^ж.

Для любого n € Nd семейство {S (Un^),j € Jn} € PA (см., например, теорему 1.1.8 в [3]). Перенумеруем элементы этого семейства и получим набор случайных величин {Yn,s, s = 1,..., Mn}, где Mn = card Jn. Нетрудно видеть, что

d

i[mk < Mn < П(mnk) + 1). k=1 k=1

Напомним, что для комплекснозначных величин У и V (квадрат модуля которых интегрируем) соу(У, V) := Е(У — ЕУ)(У — ЕУ), где черта обозначает сопряжение. Согласно теореме 1.5.3 из [3] имеем

Mn-l

Q2 <

cov( exp <! — УпЛ ,ехр 53 Yn,l

Vn J { Vn l=s+1

s=1

4t2 ^ _ 4 4t

<

<— 53 соч{Уп,з,Уп,1) < , ' К л 53 13 соv(Xj,Xu),

1<в,1<Мп,8=1 З^ип и£ип,\и-3\>дп

где |и| = maXk=lI...Id |ик|. Очевидно, для Л € Цп

{и € Цп, 1и — Л > Яп}с{и € : Л — п — и — Л + п}\{и € : 1и — Л | — дп}•

Следовательно,

53 53 соу

3^ип иеип,\и-3\>дп

и (13) влечет соотношение Я2(п, £) ^ 0 при п ^ ж для каждого £ € М.

2

Для любого п Є N введем вектор ^п,1,.Zn,мn)Т с независимыми компонентами такими, что распределение Zn,k совпадает с распределением Уп,и 1^п при к = 1,...,й. По лемме 2 для всех в = 1,..., Мп

vaгZn,s = vaгZn,l ~

Таким образом,

Мп

'''Y^vaгZn s = MnvaгZn,1 ^ 1, п ^ ж,

s = 1

так как Мп(рп) ~ Пк=1[пк/(рПк) + дПк))]рПк) ~ (п) и Кх (рп )/Кх (п) ^ 1 при п ^ ж. Далее, для произвольного е > 0, используя стационарность поля X, имеем Мп М

]Г Е^Д{|^,8| > £} = " ,ЕУП2Д1{УП2Д > е2(п) Кх(п)} =

s=1

Мп

(п)КХ(п) (рп)Кх(рп) \(Рп)КХ(Рп) £ (Рп)Кх(Рп)] ’ П 0°’

в силу

Y,Zn,slaW Z ~М(О,1), n ^ ж•

s=1

Таким образом,

Mn 2

Е ex\){itZn s} — е~~ —> 0, п —^ оо.

s=1

Остается заметить, что

N Mn

it n

it Mn

П Еехр —S(UW) = П Eexp{itZnyS}.

vn s=1

Vn

JEJn s —1

Итак, Qe(n, t) ^ 0 при n для каждого t € R. Теорема полностью доказана.

Доказательство теоремы 2. Для стационарного в широком смысле поля X = {Xj,j € Zd} определим функцию

Rx(r) = 53 cov(Xo, Xj), r € N.

jEZd:\j\<r

По своему смыслу функция Rx(•) близка к функции К(-), заданной в (5). Они совпадают при d =1. Очевидно,

К (г) < Rx(r) < К (rVd) при всех r € N.

Поэтому если К € £(N), то и Rx € £(N), а Rx € £(N) влечет К € £(N). Теперь для последовательности (Cr )r£N нетрудно получить требуемое утверждение, следуя схеме доказательства теоремы 17 и используя Rx вместо Кх.

Замечание 2. Лемма 2 показывает, что в теоремах 17 и 2 вместо нормировки частных сумм с помощью л/varSn и уА/ar~ЩС^) можно использовать соответственно \J (п) Кх{п) и rd/2 \]К (г).

Автор признателен профессору М. А.Лифшицу за обсуждение результатов данной работы.

Литература

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 352 с.

2. Булинский А. В., Вронский М. А. Статистический вариант центральной предельной теоремы для ассоциированных случайных полей // Фунд. и прикл. матем., 1996. Т. 2. Вып. 4. С. 999-1018.

3. Булинский А. В., Шашкин А. П. Предельные теоремы для ассоциированных случайных полей и родственных систем. ФИЗМАТЛИТ, 2008. 478 с.

4. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. ФИЗМАТЛИТ, 2005. 404 с.

5. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.; Л., ГИТТЛ, 1949. 264 с.

6. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986. 416 с.

7. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

8. Шашкин А. П. К центральной предельной теореме Ньюмена // Теория вероятн. и при-мен., 2005. Т. 50. Вып. 2. С. 382-390.

9. Herrndorf N. An example of the central limit theorem for asociated random sequences // Ann. Probab., 1984. Vol. 12. N3. P. 912-917.

10. Kallenberg O. Foundations of Modern Probability. New York: Springer, 2002. 523 p.

11. Lewis T. Limit theorems for partial sums of quasi-associated random variables / Szyszkow-icz B. (ed.) // Asymptotic methods in probability and statistics. Elsevier, 1998. P. 31-48.

12. Newman C.M. Normal fluctuations and the FKG inequalities // Commun. Math. Phys., 1980. Vol. 74. N 2. P. 119-128.

13. Newman C. M. Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively dependent random variables / Tong Y. L. (ed.) // Inequalities in Statist. and Probab. Hayward, 1984. P. 127-140.

14. Petrov V. V. Limit Theorems of Probability Theory: Sequences of Independent Random Variables. Oxford Studies in Probability. Vol. 4. Clarendon Press, Oxford, 1995. 292 p.

Статья поступила в редакцию 21 декабря 2010 г.