Модель рассеяния долговечности элемента конструкции при нерегулярном нагружении

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ НАГИ

Т о м XV

198 4

№ 3

УДК 539.43

МОДЕЛЬ РАССЕЯНИЯ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ ПРИ НЕРЕГУЛЯРНОМ НАГРУЖЕНИИ

Ранее разработанная модель рассеяния долговечности при регулярном нагружении [1] распространяется на случай нерегулярного нагружения. С использованием понятия индивидуальных кривых усталостных повреждений для истинных напряжений в наиболее нагруженной точке получено рассеяние долговечности в случаях, когда значение относитель-

не равно единице.

Построенная модель позволяет объяснить ряд особенностей рассеяния долговечности при нерегулярном нагружении. Возможности модели иллюстрируются примерами.

Долговечность элемента конструкции при нерегулярном нагружении определяется тремя факторами:

— процессом изменения напряжений, определяющих долговечность элемента;

— характеристикой сопротивления усталости элемента (кривая усталости);

— механизмом накопления усталостного повреждения в элементе при нерегулярном нагружении.

В соответствии с сформулированным в работе [1] принципом соответствия модели рассеяния общей детерминированной схеме определения усталостной долговечности, эта модель состоит из трех элементов:

1. Модель нагружения — эргодический стационарный случайный процесс, состоящий из суммы последовательных циклов функционирования и более высокочастотных наложений.

2. Модель характеристик сопротивления усталости при регулярном нагружении — генеральная совокупность индивидуальных кривых усталости, включающих сопротивление однократному и циклическому деформированию [1].

3. Модель суммирования усталостного повреждения. Здесь следует отметить, что существуют два принципиально возможных подхода к решению этой задачи: вероятностный и детерминированный. Первый

А. Ф. Селихов

ного числа циклов

расчете по номинальным напряжениям

был предложен С. В. Серенсеном и в наиболее простой* форме заключается в представлении гипотезы суммирования в виде:

N

2д=е,

і = 1

где £>г — повреждения, вносимые і-м циклом нагружения и определяемые по некоторой гипотезе суммирования повреждений для средних характеристик сопротивления усталости; % — случайная величина с. ожиданием, равным 1, и заданным законом распределения.

Второй способ [2] заключается в использовании понятия индивидуальных кривых усталости при детерминированном законе суммирования повреждений. В качестве закона суммирования до настоящего времени в статистических моделях второго типа принималась линейная или спектральная гипотеза суммирования повреждений при расчете по номинальному уровню переменных напряжений.

С целью описания рассеяния долговечности с учетом влияния редких нагрузок большой величины, характерных для авиационных конструкций, в настоящей работе предлагается дальнейшее развитие второго направления. Оно заключается в использовании гипотезы линейного суммирования усталостных повреждений для истинных значений полных циклов переменных напряжений или деформаций в максимально нагруженной точке элемента. Таким образом, модель суммирования усталостных повреждений принимает вид:

где Nij — долговечность до разрушения, соответствующая /-му полному циклу истинного нагружения (деформирования) а1}, (е^) для /-й индивидуальной кривой усталости; <з-ф (еопределяются ПО индивидуальным МОНОТОННЫМ кривым (Зу—— £у)м0н и циклическим

Выражение (1) является условием для определения долговечности Ы) у-го элемента при заданном процессе номинального нагружения (случайном или программном).

Общая блок-схема модели рассеяния долговечности при нерегулярном нагружении представлена на рис. 1.

Формирование индивидуальных характеристик сопротивления усталости и расчет статистических характеристик долговечности при нестационарном нагружении в наиболее общем случае нагружения удобнее всего осуществлять методом статистических испытаний [3—5].

Общие блок-схемы формирования характеристик и определения рассеяния долговечности показаны на рис. 2 и 3 соответственно.

Построенная таким образом модель позволяет объяснить ряд экспериментально обнаруженных особенностей при нерегулярном нагружении.

Рассмотрим ряд частных случаев, иллюстрирующих возможности модели, опираясь на результаты работы [1].

. * В данной статье условные обозначения приняты в соответствии с работой {!]•

С3; —еД

і *

'цикл •

Номинальные

напряжения

НОМІ

[\т ш Ы1

ІІШШЩалшіе

характеристика

сопротивления

усталости

Модель рассеяния регулярной долговечности

N

Истинное НДС

б 6 Ґ\ л

и Уе. ' ^

Метод расчета НДС

&

Определение

единичного

повреждения

(Г) ё^ёс

Г.

Выделение полных циклод

Щ,

Распределение

долговечности

К Ы] N1

Рис. 1

1

Выработка нормальных псевдослучайных чисел

£ і.і • ^г.і^з.і

Расчет криВой усталости а надр

I

Модель рессеми#;-

&побі6ЛСРі&ДЄФ < ГОВ

ФлсфЛ&а М) ср

Расчет характеристик првч пости и концентрации напря -

Выбор кривых , дефсрмиробания •

Р~£Ъ «и*-*

Расчет криВых усталости (ба-Ю^.^-Юугу,

Поверочный расчет криВой усталости

(бе ~Ы); наЛр

I

Расчетреализации характеристик іепротидления усталости.

Формирование J-u реалюаииа процесса нагружения

Статистическая обработка ряда /V,1.

Рис. 3

Рис. 2

Еанк

данных

В этом случае следует положить

°ПОВ ~ ^1 1} у — == £ ] •

Тогда из работы [1] имеем

^8 °о ~ °а (^0 ~Ь ^ [°пер “Ь °деф Фдеф(^)]

и уравнениями для определения параметров модели будут:

Эта система не только дает возможность определить опер и здеф

но и накладывает ограничения на соотношение между и

Если известна зависимость оік„(/У), то (2) однозначно определяет

Поскольку для заданной вероятности р | = ир, где иР — квантиль нормального распределения, то модель (3) эквивалентна системе кривых усталости, соответствующих фиксированной вероятности разрушения:

18«в

Схематически этот случай представлен в работе [1] на рис. 4.

Если на элемент конструкции действует такой спектр нагружения, при котором справедлива линейная гипотеза при расчете по номинальным напряжениям, то для каждой (индивидуальной) кривой

аа(р< М) или М(°а» р) имеем уСЛОВИе ДЛЯ ОПреДвЛеНИЯ ДОЛГОВвЧ-ности №(р)‘.

здесь ал» — заданная последовательность переменных напряжений (приведенных к рассматриваемому коэффициенту асимметрии /?).

яь — °пер і аъ> ~ °пер деф!

а1« *л, — а"еР °деФ ^деФ №).

пер — іг а*

°деф — °ів аіг °ь>

^деФ(А^)==

°1£ V “ аЬ

°1встге> °1в

4*дЄф(Л0-

Окончательно:

а)

2<5а1,МПа 150 100 50 30 го

1 ¥ го 100 гоо

О,5 бьднг

„ Точное "значение для модели I ’ по формуле (1) 1 -алюминиедыи cnлaf

для модели П 2-сталь

Рис. 4

Для периодической (программной) последовательности число программных блоков А^бл определится из (5):

Мбя{р)~—------------,

2П1

Р)

1 = 1

где п1 — ——, п1 — число циклов в программном блоке с уров-

2 п1

1=1

нем напряжений ва1.

Зависимость N (ааи р) определяется выражением (4).

Формула (6) в явном виде решает задачу о распределении долговечности для программного нагружения при сделанных допущениях.

Из (6) можно также получить приближенную формулу для определения а1гЛ,2 при программном нагружении.

Полагая случайные отклонения ^ N от среднего значения малыми и учитывая только первые члены в разложениях, из (6) можно получить:

П -

Е*

*ср(Ч> '* Л’ср

1 _ ________________ £ —1 /07\

Мф = -----1---- и в1е^) =---------------г--------,

V п* V П1

л^ср

г=1 1=1 г

где ^ср

рассеяние долгове на уровне оа = ой(..

а 3|гА?гг>(ог) — рассеяние долговечности при регулярном нагружении

ср

Ш

Физический смысл формул (7) и (8) ясен: в первом приближении долговечность при нерегулярном нагружении определяется по средней кривой выносливости, а рассеяние равно средневзвешенному зна-

чению среднеквадратических отклонений при регулярном нагружении с весами, равными относительной повреждаемости на каждом уровне нагружения. Эти выводы и формулы (7) и (8) распространяются и для стационарного случайного процесса с заданным распределением полных циклов. По сравнению с точным решением (6) формула (7) дает приемлемые результаты (с точностью до 10%) до значений =0,3-5-0,4 (см., например, рис. 4).

2. Рассмотрим случай симметричной относительно точки зависимости о18лг или от N в ограниченном диапазоне долговечности 103 < N < 106.

В этом диапазоне можно принять

а%Ц~С = о1яМ*.

В силу принятых ограничений:

°1в ПРИ — =

л?» < % .

Из работы [1] следует, что в этом случае сгДеф = 0, т. е. «деформация» отсутствует (\|5 = 0):

°пер — °!г ;

___ .. г 2 2

3пов — у 31£ ^ — 01к ^ •

Из работы [1] также следует, что:

< ;— /\т\ , г I г — \я,Ы /11Ч

За== 1§ °а (^) Н" °пер 4” ^2 °пов ^ дг* • 00

Решая уравнение (10) относительно величины Щсг<и) и учитывая (9) и (10), получим выражение для /-й реализации долговечности при г'-м уровне напряжения:

Ы МИ = ^ 1 люпер + 62; от°пов •

Учитывая, что при малых рассеяниях та^ = о!ед,, а также что мы рассматриваем ограниченный интервал долговечности (ЛГТО = Мпах), получим окончательно:

1КЫ„ -+ 5„«„+ Е,К»* «„„-«?,*> ,

где О « тан аЯ - минимальное рассеяние долговечности при регулярном нагружении* я1гЛг — рассеяние долговечности

при максимальной (средней) базе испытаний.

Из уравнения для программного нагружения имеем:

Sir-

#_•» *

Ж, . —

блУ г=і

где А^- определяется по (13), в котором ) и І2 і — независимые реализации нормальных случайных величин с а= 1 и а=0. Полученный результат полностью совпадает с моделью, предложенной В. Л. Райхе-ром [2] (модель II в работе [1]).

Для умеренных значений °ів.Ушах, производя операции определения математического ожидания и дисперсии в обоих частях уравнения (14), разлагая полученные выражения в ряды по степеням и & и ограничиваясь первыми членами разложений, можно получить следующие выражения для среднего значения и среднеквадратического отклонения усталостной долговечности при нерегулярном нагружении:

** "max IK'V

2 2

°lg N21-aig N* +

п

fa!

{\sNma-lgN*y V Jh-

Nt

Здесь ЛГ, = ЛГ*.(-^)*

При определенных условиях второй член формулы (15) может быть равен 0. При этом достигается минимальное значение рассеяния при нерегулярном нагружении:

min {°ig ян} = °lg N* •

Необходимое условие достижения минимума рассеяния

П —

2-#-(ig^-ig^*)=o

зависит от программы (nh за(), но обязательно предполагает:

min Nt < N* < max Nt.

При piin Ni>-N* рассеяние algNn для рассматриваемого случая практически не отличается от значений, определяемых для модели I (для кривых равной вероятности) — см. рис. 4. Следует отметить, что для обоих рассмотренных частных случаев существенно отли-

чается от рассеяния долговечности при регулярном нагружении, определенного при долговечности, равной суммарному числу циклов при нерегулярном нагружении:

П

Nl^n^Nz. i~ 1

8— «Ученые записки» № 3 43

^тах ном 2ба

Программа# испытаний

я=о

*'тах„ист" ^нок.иист'

Номинальные напряжения Истинная на контрольном Циклическое история ретине с учетом деформирование нагружения статподгрузки

у

ЦИк ЬдИ01дЫ

1уА

Изменения

долговечности

Вследствие

предварительного

перенапряжения

Рис. 5

Рис. 6

3. Первые два примера иллюстрировали тот факт, что ранее рассмотренные модели I а II являются частными случаями предлагаемой модели III. Рассмотрим теперь один из вариантов нерегулярного нагружения, при котором линейная гипотеза суммирования повреждений при расчете долговечности по номинальным напряжениям неприменима. Наиболее простым, но достаточно характерным является случай редких (или даже единичных начальных) перегрузок. Механизм влияния перегрузок на долговечность изучался в работах И, |[7] и ряда других исследователей. На рис. 5 представлена принятая для статистической модели упрощенная расчетная схема определения долговечности при перенапряжениях. Она основывается на следующих допущениях:

— изменение долговечности на контрольном режиме однозначно определяется остаточными напряжениями от перегрузок;

— упругопластическое напряженно-деформированное состояние в зоне концентрации определяется по правилу Нейбера [8];

— остаточные напряжения при разгрузке и максимальные напряжения на контрольном режиме находятся в упругой области;

— релаксация остаточных напряжений отсутствует;

— кривая усталости в диапазоне уровней напряжений контрольного режима может быть принята в степенном виде (для номинальных напряжений);

— влияние остаточных напряжений на долговечность соответствует формуле [9] для номинальных напряжений.

При заданных условиях нагружения рассеяние долговечности в рассматриваемом случае будет определяться как вариацией кривых усталости, так и различиями в уровнях остаточных напряжений из-за рассеяния характеристик статической прочности. Схематически модель рассеяния представлена на рис. 6.

Аналитическое выражение рассеяния долговечности при сделанных выше допущениях может быть получено из уравнения кривой усталости (11) с учетом зависимости эквивалентных напряжений цикла от остаточных напряжений. В предположении малых вариаций индивидуальных кривых из (11) следует выражение для случайного значения долговечности без действия перегрузок:

1г М(аа) = 1ё М(аа) + Е, ОТапер + ?2 ,пов т

или

1ёЛг;

где

1ё ЛГ

При действии перегрузки величиной 0П в элементе конструкции возникнут остаточные напряжения А<ат, величина которых варьирует от образца к образцу вследствие различий в величинах оо^сгь). В первом приближении

= +

где До 0 — значение остаточных напряжений при среднем значении

(д^Л \ д°ь /

значение производной от ат но аь при аь = аь и задан-0 ной величине ап.

Эта производная может быть определена с помощью расчета упругопластического напряженно-деформированного состояния для двух близких значений <ты и аы около оь —а&:

дчт _____ Дат2 ДаШ!

д^ь о

где Дат, и Доот, определяются расчетом для двух кривых (о —г), соответствующих двум значениям <зь:

+

В силу сделанного допущения об отсутствии релаксации остаточных напряжений среднее напряжение цикла напряжений на контрольном режиме (Оак, Отк) УВЄЛИЧИТСЯ НЭ величину Дчто приведет к изменению эквивалентной амплитуды напряжений на этом режиме на Дїіо- При малых значениях Дот

л ' д°°

Д о„

дсэакв

где —^— определяется для начальных значений оа и ат.

т

При использовании формулы Одинга:

даа ___ 1 — Яр

дат < ’

где /?0 “ —-----коэффициент асимметрии эквивалентного цикла.

ашах

С помощью соотношений (18) и (20) из выражения (16) может быть получено семейство индивидуальных кривых усталости после действия однократной перегрузки. В предположении малости случайных приращений долговечности линейное приближение этого семейства удается получить в явном виде. Это может быть сделано с помощью приближенных зависимостей:

lg

Дой = вб; —Oft~3ftlnl0

Кроме того, из работы [1] следует

lg abj 1§ ==%l j nep j 3nOB Фпов (1 )>

где

T noBV1/ 2 2

°lg Nm - alg N*

В силу сделанных допущений долговечность после перегрузки

lgW

Подставив в правую часть (24) выражения (16) и (17), выполнив преобразования с учетом приближенных выражений (22), (23), а также ограничиваясь в разложениях по |t и \г линейными членами, можно получить выражение для lg N (аан, сгп) в следующем виде:

lg N (»«*. вп) - («„*) - т о +

+ Е,....". [♦«,. m -

Это выражение может быть представлено в более удобном виде, если ввести величину А, характеризующую отклонение суммарного усталостного повреждения от 1:

к

В рассматриваемом случае относительным повреждением на режиме перенапряжения можно пренебречь и величина А определяется

N(аак> °п) »

я («в*. 0) '

= 1еЛГ(ааЛ) оп)—^Лг(оаА, 0). Сравнивая (25) с (26), получим:

аак

До,

т 0

Отсюда

д

д<зт

т

вак

І д'т )

И

_1 д <|П А~> = 1 д

т д

№

С помощью (27) и (29) выражение (25) может быть представлено в окончательном виде:

18 V, («„ ,.„) = « А'К.) +18 Л + [і + -і- (

+

+ Ьу У~аїе лю °1к л* [+ПОВ

Величины и ("^^у-) могут определяться как по формулам (27), (29), (30), (19), так и прямым экспериментом.

Из выражения (30). легко получить приближенные формулы для среднего и среднеквадратического отклонения логарифма долговечности на контрольном режиме при перенапряжениях:

N

N (вв*> Зп) = N. [ 1 + — ( д і|СЬ )о. +

+К«. - т+(ІіійГ-

Как показывает качественное исследование формулы (31), при перенапряжениях может происходить как уменьшение, так и увеличение рассеяния. Наиболее очевидные случаи приведены в таблице.

‘п > 0; ^А>0 дЪА <0 дій °ь *ак > зо; +пов(^)>1 І‘гЛ'пер<аіг «к

°ак °а і +«,<*>< 1 ">^пер^5.гл;й

п<0; < 0 д\ъ*ь °ак > °а "'^пер >аЪ*к

Л „ С яак<°а

Одним из наиболее интересных случаев является нагружение при Оаи<а*а, что для образцов с Дт = 3 соответствует долговечностям, большим 20 ООО—30 ООО циклов. На рис. 7 и 8 приведены результаты сравнения расчета с экспериментом, проведенным А. 3. Воробьевым. Условия испытаний даны на рис. 7. Там же показаны экспериментальные распределения долговечности на контрольном режиме без перенапряжения и после перенапряжения сжатием. Расчет проводился по формуле (31). Распределения оь и ог0,2 получены для этого типа труб [10]. Средняя кривая выносливости, семейство кривых а—е, распределения оо,2 и оь, а также величины остаточных напряжений при напряжениях предварительной перегрузки 0П=125 МПа приведены на рис. 8. В данном случае величина ±^Лср = 0,68 была взята непосредственно из

эксперимента. Значение производной определялось расчетно-экс-

периментальным способом из выражения:

/ист \ да6 /расч &ат о расч

Значение ДотИст определялось из формулы

Из (32), (33) и (29):

А_ ________ -^эксп аай

0 Т~л \ • \уЭ)

1 д Об ^ -^эксп \

т д(^еь) т Аст

0 расч \ дяь /расч

Для рассматриваемого случая эта величина составляет 1,85. Величина среднеквадратического отклонения логарифма долговечности определялась по формуле (30) при о,гЛ,« =0-^-0,07, аігл^ = 0,35,

Фи.0) = '--Г^ = 0,47, з„ ~ — 0,026, фпов(Л/А)= 1.

'*'ык ь Ъь

o,ss

0,90

OjO

0,10

0,01

б„ **-П5МПа ^tgN*mO 0$ 0Ж0,01 &п ~^

o', OS- //§/9,''

6п=+125 Mfla

і..,,,,. I

і і і

j___і

5ak=tfO МПа <5пк=65МПа б„ = 115 МПа

ios г s 10е г 5 юп г s w’n*

О-6п=0 И 1=2400^.000

и боот * ' 300000

— расчет

71

\в„=П5МПа "

эксперимент

iPak

Рис. 7

ё> 0=0,00114 ,К7 =3,14

О 0,002 0,004 0,006 0,008 є

б (б \У71 71=0,075

' Е U/ К=(0,002)~ПбОі2

200 400 <эог,<5ь,МПа

f~fB вв=26МПа вь=500МПа

=34МПа вп,=337МПа &ог °-2 '

Результаты расчета, приведенные на рас. 7 в виде распределений (пунктирные линии), показывают удовлетворительную сходимость с экспериментом и объясняют снижение рассеяния при предварительном перенапряжении сжатием и увеличение рассеяния при перенапряжении растяжением.

ЛИТЕРАТУРА

1. Селихов А. Ф. Общая модель рассеяния сопротивления уста-• лости при регулярном нагружении.—Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. XV,

№ 2.

2. Р а й х « р В. Л. О некоторых следствиях из двухпараметрической модели рассеяния долговечности. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII,

№ 1.

3. Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М., С р о-г о в и ч В. Г., Ш р е й д е р Ю. А. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). — М.: Физматгиз, 1962.

4. Селихов А. Ф., Шакиров А. С. Применение метода статистических испытаний к некотором задачам определения характеристик выносливости.— Труды ЦАГИ, 1974, вып. 930.

5. Селихов А. Ф., Сен и к В. Я., Шакиров А. С. Применение метода статистических проб (метода Монте-Карло) к задачам анализа и планирования усталостных испытаний./Материалы IV Всесоюзной конференции по применению математических машин в строительной механике.

Изд. ИК АН УССР, 1967.

6. М а р и н Н. И. Статическая выносливость элементов авиационных конструкций. — М.: Машиностроение, 1968.

7. Воробьев А. 3. Влияние периодически повторяющихся перегрузок на прочность дюралюминиевой трубы при повторном изгибе. — Труды ЦАГИ, 1960, вып. 809.

8. Н е й б е р Г. Теория концентрации напряжений в призматических стержнях, работающих в условиях сдвига для любого нелинейного закона, связывающего напряжения и деформации. — Механика, 1961, № 4.

9. О д и н г И. А. Теория пределов усталости металлов при несимметричных циклах и сложно-напряженном состоянии. — Заводская лаборатория, 1937, № 4.

10. Кузнецов А, А., Алифанов О. М., Ветров В. И., 3 о-лотов А. А., Т и т о в М. И. Вероятностные характеристики прочности авиационных материалов и размеров сортамента. Справочник. — М.: Машиностроение, 1970.

Рукопись поступила 22/ХИ 1982 г.