Аналитический метод кинематического анализа рычажных механизмов

05.02.18

ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Тащилин Лев Николаевич, канд. техн. наук, доцент, профессор Военно-космической академии им. А.Ф. Можайского. Санкт-Петербург, Россия. E-mail: taschilin.lev@yandex.ru

Аннотация. Статья посвящена исследованию особенностей использования аналитического метода кинематического анализа рычажных механизмов. Для математического моделирования многозвенных рычажных механизмов используется ряд аналитических методов, основанных на получении формальных математических выражений, описывающих функции положения в виде функций углов поворота подвижных звеньев или в виде функций перемещения характерных точек механизма. Для примера в статье проведен анализ многозвенного шарнирно-рычажного механизма вязальной машины с использованием вычислительного блока «Given-Find» прикладной компьютерной программы MathCAD.

Ключевые слова: рычажный механизм, анализ, кинематика, аналитика.

ANALYTICAL METHOD OF KINEMATIC ANALYSIS LEVER MECHANISMS

Taschilin Lev N., candidate of technical Sciences, professor, professor of Military space Academy named after A.F. Mozhaisky. St.-Petersburg, Russia.

Abstract. The article is devoted to the study of the peculiarities of using the analytical method of kinematic analysis of lever mechanisms. For mathematical modeling of multi-link lever mechanisms, a number of analytical methods are used, based on obtaining formal mathematical expressions describing position functions in the form of rotation angles of moving links or as functions of moving characteristic points of the mechanism. For example, the article analyzes the multi-link articulated mechanism of the knitting machine with the «Given-Find» computing unit of the applied computer program MathCAD.

Keywords: lever mechanism, analysis, kinematics, analytics.

На сегодняшний день рычажные механизмы приобретают широкое распространение. Они используются не только для вертикального перемещения грузов в подъемниках, а также как механизмы манипуляторов и автооператоров, трансформированные мачты мобильных комплексов связи [1]. В большинстве своем рычажные механизмы отличаются компактностью в сложенном состоянии и большим диапазоном перемещений, имеют шарнирно-рычажные механизмы с идентичными напластованными двухзвенными группами Асура с приводом поступательного движения.

В процессе проектирования таких механизмов перед инженером встает вопрос о работоспособности механизма в целом, причем с точки зрения не только обеспечения прочности отдельных его частей, но и взаимодействия частей и узлов в процессе работы, для чего зачастую используется кинематический анализ.

Кинематический анализ - необходимый этап при разработке новых машин и улучшении работы уже существующих. Величины кинематических характеристик механизма (перемещение, скорость, ускорение) нужны как для определения положения механизма, так и для последующего динамического исследования [2].

В технической литературе опубликовано большое количество работ посвященных кинематическому анализу рычажных механизмов. Однако, если рассмотреть общие методы

решения этих задач, в качестве универсальных для любого механизма, можно выделить две их разновидности [3]:

• метод замкнутых векторных контуров, который предложил В.А. Зиновьев;

• метод преобразования координат, который предложил Ю.Ф. Морошкин.

Первый метод более удобный для кинематического исследования плоских механизмов, второй - для пространственных.

Содержание задачи кинематического анализа рычажных механизмов состоит в определении функций положений первых и вторых передаточных функций звеньев (их обобщенных координат) в виде функции от обобщенной координаты входного звена, движение которого считается заданным.

Независимо от класса рычажного механизма определение первой и второй передаточной функций обычно сводится к решению системы линейных уравнений и, как правило, не вызывает затруднений. Описание методов решения подобных систем уравнений можно найти в любой справочной литературе по математике. Решение задачи о положении звеньев механизма зависит от класса рычажного механизма: для механизма второго класса, независимо от числа звеньев, эта задача решается в явном виде, для рычажных механизмов более высоких классов - существенно усложняется.

Сегодня на помощь инженеру приходят новые, более совершенные инструменты проведения кинематического анализа рычажных механизмов. К наиболее часто используемым модулям можно отнести программу КОМПАС, которая имеет библиотеку анимации, модуль Dynamic Simulation, подключаемый к программе Autodesk Inventor, модуль Cosmos Motion программы SolidWorks, пакет расширения Simulink системы MATLAB, программы T-Flex CAD 3D и 3ds Max и др.

Таким образом, с учетом вышеизложенного, цель статьи заключается в уточнении особенностей применения аналитического метода кинематического анализа рычажных механизмов, основанных на применении вычислительного блока «Given-Find» современной прикладной компьютерной программы MathCAD.

Объектом исследования является многозвенный шар-нирно-рычажный механизм вязальной машины.

Звенья механизма движутся с некоторыми отклонениями или погрешностями от теоретически рассчитанного движения. Одна из причин возникновения погрешностей кроется в технологии изготовления звеньев механизма и обусловлена погрешностями измерительных и рабочих инструментов, погрешностями станочного оборудования, на котором обрабатываются звенья. Вторая причина - деформация звеньев механизмов под воздействием внешних нагрузок, износ деталей, появляющихся в процессе работы машин.

Исследуемый механизм является пространственным. Степень свободы механизма равна W = 1. В таких замкнутых

кинематических цепях на стадии их проектирования появляются дополнительные лишние связи. Какие связи являются лишними указать трудно, но можно их посчитать.

Q = W - 6n + 5p5 + 4p4 + 3p3 + 2p2 + px = 1 - 6 • 5 + 5 • 6 + 3 • 1 = 4,

где n - число подвижных звеньев в механизме; p-p5 - число кинематических пар соответственно 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 5-го классов.

Итак, в конструкцию многозвенного шарнирно-рычажно-го механизма вязальной машины заложено четыре лишние связи. Наличие лишних связей в механизме требует повышенной точности изготовления элементов кинематических пар для избежания дополнительных нагрузок на звенья механизма из-за их деформации. Эти деформации порождают дополнительные усилия в звеньях, увеличивая силы трения в кинематических парах.

При создании математической модели исследуемого механизма обозначение всех выходных и расчетных параметров примем согласно рекомендациям М.А. Мерко, А.В. Ко-лотова, М.В. Меснянкина [4].

Для расчета функции перемещения рабочей точки 51(ф1) моделирование механизма будем выполнять в правой декартовой системе координат с началом в точке Р± (рис. 1, 2).

Ось абсцисс X направим вдоль оси главного вала на наблюдателя (см. рис. 1), ось ординат Y - перпендикулярно к оси главного вала справа, ось аппликат Z - перпендикулярно к оси главного вала вверх. Таким образом, механизм размещается в плоскости Y 0Z.

Тащилин Л.Н.

Составим вектор-столбцы координат стояков механизма Р1, Р4 и Р8 (см. рис. 1):

P =

Запись вида

( X ^

V J

P4 =

( X >

V Z4 J

Г P "]

rX

( Xr A

V Z8 J

P =

V pz J

следует понимать как

P = e P + e P + e P

Г CXrX CYry CZrZ'

где e , eY и e - орты осей координат.

Определим матрицу ТХ(а) размером 3 • 3 2D-поворота вектора г вокруг оси Х согласно исследованиям Маркина Ю.С. [5]

TX (а) =

10 0

0 cos

( г.. \

Рх (r, а, Новая длина) = TX (а) =

Новая длина

Упростив это выражение, получим:

P1-2

.(Ф1X Л ' 2 (Ф1 X

2 (Ф1X J

L1-2 c0s

Вектор значений угла ф1 зададим в виде дискретной переменной:

Ф1 = Фo, Фо + ДФ1 ... Ф,™*

где ф0 - первое значение угла ф1 поворота кривошипа; Ф - конечное значение угла ф- ф = ф„ + Rotation • n • 360°

^max 1 ^max ^0

(где n - количество оборотов кривошипа); Дф1 - шаг значений угла ф1,

Лф,

ф

m

ф0

N

положений

(N

положений

- количество положений исследуемого механизма).

Функцию положения кинематической пары «кривошип 1-2» и «шатун 2-3» определим как вектор-точку Р2, то есть как сумму вектора точки Р1 и вектора-звена кривошипа Р :

РМ) = Р1 + Р1-2(Ф1).

После упрощения данное выражение равносильно такому выражению:

(P-2 (Ф1 )х ' f Xi J

P2

КP1-2

Затем определяем векторы Р , Р

и Р

16-8 которые соединяют соответствующие стойки механизма, указанные в их индексах, как разность векторов-точек Р4 и Р1, Р6 и Р4 и Р8 и Р6:

Р

: р - р -

41

Р - Р ;

Г6 4'

Р

- Р6-

Составим функцию пользователя рх 2D-поворота вектора r вокруг оси Х:

где «Новая длина» - длина вектора r после поворота его на угол а.

Векторы-звенья и векторы-точки механизма I класса I вида определим с учетом функции поворота вектора.

Вектор функции положения кривошипа (вектор-звено Р1-2) имеет следующий вид:

Р1-2(Ф1) = РхК Фl, L1—2),

где ey - орт оси координат Y; ф1 - угол поворота ведущего звена кривошипа 1-2; L1—2 - направление поворота угла ф1 по часовой стрелке, которое задается в MathCAD переменной Rotation = 1.

Согласно выше представленному выражению можно определить координаты точки Р2 в подвижной системе координат с началом в точке Р..

6-8 8

Механизм, который исследуется (см. рис. 1), можно разделить на три замкнутых векторных контура:

1) Р ^ Р ^ Р ^ Р -

±1 г1—2 ~ г2—3 ~ Г4—3 ~ Г1—4'

2) Р4—3 ^ Р3—5 ^ Р6-5 ^ Р4-6-

3) Р6-5 ^ Р5-7 ^ Р8-7 ^ Р6-8.

Первое число в индексе указывает на начало вектора, второе число после черточки «-» - на его конец.

Положение подвижных звеньев в механизме определяется функциями углов их поворота (см. рис. 1):

ф2—з(ф1); Фз—4(Ф1); Фз—5(Ф1); ф5-6(ф^; ф5-7(ф^; Ф7-8 (Ф1).

Составим векторные уравнения замкнутости векторных контуров в матричном виде, которые можно решить с помощью вычислительного блока «Given-Find» в MathCAD [6-8]. Для этого нужно задать начальные значения неизвестным

углам ф2—3, ф3—4, ф3—5, ф5-6, ф5-7 и ф7-8, после чего MathCAD

осуществит решение.

Given

Ф = 80°; ф :

2—3 3—4

-20°; ф3—5 = -20°;

Ф5-6=-9°°; Ф57 = 80°; Ф78=-50°;

( 0 1 ( 0 1 ( 0 1

L1-2C0s^l) + L2-3C0S

, L2-3Sin

¿3-4 C0S (3-4 L3-4Sin(V3-4

0

L5-6C0S

L3-5C0S

L5-?C0S

L5-6 C0S

L7-8C0S

,L7-8Sin

¿((ф2-3 )(ф^)((^3-4)(ф^)((^3-5 )(фl)¿)((^5-6)(фl)¿)((^5-7)(фl)¿)<^¿¿.

В представленных выше выражениях параметрами I являются длины звеньев механизма. Элементы вектора колонки в выражении - это функции углов поворота подвижных звеньев механизма от угла ф1 поворота ведущего звена. Следует отметить, что положительные углы отсчитываются от оси У против часовой стрелки.

1—4

г

Y

v rz У

0

0

0

Функция угла поворота ушной иглы определяется согласно следующему выражению:

Ф8-9(Ф1) = Ф7-8(Ф1) + U7-8-9

где U7-8-9 - угол установки ушной иглы.

В представленных выражениях начальные значения углов поворота звеньев выбираются согласно кинематической схеме механизма [9]. От выбора их значений зависят так называемые варианты составления двувидовых групп механизма и стабильность вычисления функций соответствующих углов поворота звеньев вычислительным блоком «Given-Find» в MathCAD.

Поэтому для контроля правильности расчета рекомендуется выполнить схемотехнические моделирование кинематической схемы механизма по полученным значениям функций углов поворота в MathCAD и совместить его с графиками функций положения характерных точек механизма.

Для схемотехнического моделирования кинематической схемы необходимо определить функции положения характерных точек механизма, а именно: Р^Ф^, Р^Ф^, Р^Ф^, Р7(Ф1) и Р9(ф1). Функции положения точек определим по такому обобщенному выражению:

Рк(Ф1) = ро(Ф1) + Рх (eY, Ф^Ф^ j

где Рк(Ф1) - вектор-столбец координат в неподвижной системе координат характерной точки механизма, функция положения которой определяется; Р0(ф1) - вектор-столбец начала координат подвижной системы координат; eY - орт оси Y неподвижной системы координат; ф (ф1) - функция угла поворота подвижного звена механизма; L - длина подвижного звена механизма.

Составим в MathCAD вычислительный блок для определения функции положения характерных точек механизма:

Р3(Ф1) = Р2(Ф1) + Рх (eY, Ф2-3(Ф1Ь Ц-зЬ или по такому выражению:

Рз(Ф1) = Р4(Ф1) + Рх (eY, Фз-д(Ф1), L3-4);

Р5(Ф1) = Рз(Ф1) + Рх (eY, Фз-5(Фl), L3-5),

или по такому выражению:

Р5(Ф1) = Р6(Ф1) + Рх К Ф5-6(Фl), L5-6);

Р7(Ф1) = Р5(Ф1) + Рх (eY, Ф5-7(Ф^ L5_7),

или по такому выражению:

Р7(Ф1) = Р8(Ф1) + Рх К Ф7-8(Фl), L7-8);

Р9(Ф1) = Р8(Ф1) + Рх К Ф8-9(Фl), L8-9).

Функцию перемещения 51(ф1) рабочей точки ушной иглы определим из следующего выражения:

59(Ф1) = ^-9(Ф8-9(Ф^ - Ф8-9(Фо)) deg.

В данном выражении использован сомножитель в виде встроенной в MathCAD функции «deg» для перевода градусов в радианы.

Таким образом, подводя итоги проведенному исследованию можно делать следующие выводы.

Представленный в статье алгоритм проведения кинематического анализа рычажных механизмов позволяет выполнить компьютерное моделирование кинематических схем многозвенных шарнирно-рычажных механизмов вязальных машин численным методом с использованием вычислительного блока «Given-Find» в прикладной компьютерной программе MathCAD. Полученные результаты моделирования могут быть использованы при кинематическом исследовании подобных механизмов, а также адаптированы для других механизмов.

Дальнейшее развитие и использование на практике предложенного алгоритма позволит уменьшить дополнительные нагрузки на звенья механизма, вызванные упругими деформациями шатунов. Предотвратить такой вид разрушений шарниров шатунов можно устранением лишних связей в конструкции шарнирно-рычажных механизмов вязальных машин.

Литература

1. Халилов И.А., Керимов С.Х., Рзаева Г.М. Способ синтеза рычажного механизма, обеспечивающего заданный закон движения // Вестник машиностроения, 2017. № 3. С. 3-5.

2. Гебель Е.С. Кинематический анализ многозвенного рычажного механизма грейфера // Известия Самарского научного центра Российской академии наук, 2017. Т. 19, № 4-1. С. 55-59.

3. Гебель Е.С., Джомартов А.А. Кинематический анализ многозвенного рычажного грейферного механизма // Известия Самарского научного центра Российской академии наук, 2017. Т. 19, № 1-2. С. 216-219.

4. Теория механизмов и машин. Рычажные механизмы: практикум / Мерко М.А., Колотов А.В., Меснянкин М.В. и др. / М-во образования и науки Российской Федерации, Сибирский федеральный ун-т (Политехнический ин-т). Красноярск: СФУ, 2016. 239 с.

5. Маркин Ю.С. Справочник по механизмам теоретической механики с изменяемыми линейными параметрами. Т. 3: Шарнирно-рычажные механизмы. Казань: Отечество, 2015. 303 с.

6. Зиборов К.А. Решение векторных уравнений кинематики механизмов с помощью программы MathCAD // Теория механизмов и машин, 2008. № 1, т. 6. С. 64-70.

7. Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в MathCAD. СПб.: Питер, 2005. 448 с.

8. Мацюк И.Н. Кинематический анализ плоских рычажных механизмов высоких классов в программе MathCAD // Теория механизмов и машин, 2012. № 1, т. 10. С. 65-70.

9. Хохлов А.В. Моделирование рычажного механизма привода стола строгального станка в среде SIMMECHANICS/MATLAB // Тео -рия. Практика. Инновации, 2016. № 10 (10). С. 37-44.