Эквивалентная гауссовская модель распределения амплитуд

УДК 681.33

О.А.Голосовский

ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ГАУССОВСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АМПЛИТУД

При количественном анализе распределений световых и звуковых полей распространенной практикой является выбор модели равномерного исходного распределения [1]. Этот выбор не всегда оправдан: 1) практическое получение сопряжено со значительными энергетическими потерями исходного излучения и усложнением конструкции источника; 2) приводит к неудобным алгоритмам численного анализа, что связано с наличием разрывов в исходном распределении. С другой стороны, существует большой класс задач, в которых главный интерес представляет область пространства излучения, где сосредоточена основная доля энергии поля: энергетические расчеты световых и акустических устройств, анализ их точностных характеристик, разрешающей способности и многие другие.

Для названного типа задач представляется целесообразным использовать исходное распределение, свободное от недостатков ограниченных моделей-гауссовскую модель:

1) когерентные источники светового излучения имеют распределение, хорошо аппроксимируемое гауссовским законом;

2) модель позволяет получать эффективные алгоритмы численного анализа, так как закон просто дифференцируется, имеет разработанные аппроксимации интегралов (интеграл вероятности, функция ошибок и др.), инвариантен к преобразованию Фурье.

Методика построения эквивалентной гауссовской модели состоит в следующем: находится частное решение дифракционной задачи в интересующей плоскости пространства излучения, определяется параметр гауссовского закона а, аппроксимирующего реальное распределение в соответствии с выбранным критерием, с помощью обратного преобразования Фурье или Френеля находится эквивалентное гауссовское распределение, которое далее используется в качестве апертурной функции.

Рассмотрим построение эквивалентной гауссовской модели для равномерного ограниченного исходного распределения., если основным требованием к аппроксимации является согласование ее ширины с шириной распределения в дальней зоне по уровню половинной интенсивности. Пусть реальное исходное распределение задается функцией

D Б

= <

А; хо е[-у;у! 0. х0 «[-уф

где А- амплитуда в апертуре; Б- размер апертуры. Распределение нормированной интенсивности поля в дальней зоне при этом имеет вид

• /— я \ • 2 /П £ 0 * Х1 \

£0) =8ШС

где ^ -нормированная координата в плоскости z=zi, x1 = x1 / D; £0 - параметр преобразования £ 2 =2 • D/(Л• 11); - нормированная продольная координата

z1 = z1/D. Ширина основного лепестка этого распределения по уровню 0.5 приближенно равна 1.8/ £ 2. Отсюда легко получить значение параметра соответствующей гауссовской аппроксимации а = 1/(0 • V 1п2.4) . Наконец, с помощью обратного преобразования Фурье получаем эквивалентное гауссовское распределение в плоскости апертуры

A • у/ж 2•л/ 1п2.4 а0

wg

где а0- параметр распределения

а0 = 2 • V 1п2.4 • D / п.

1\

0.9

0.8

0.7

0.Й

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

N.

\

\

V

ч 1_

-0.9 -0.4 0.1 0.Й 1.1 1.1! 2.1 2.6 3.1 З.й К

На рис. кривая 1 соответствует распределению интенсивности поля в дальней зоне для заданного равномерного апертурного распределения, а кривая 2 -

распределению для эквивалентной гауссовской модели. Рис. демонстрирует хорошее совпадение гауссовской модели с заданным распределением на интервале, соответствующем ширине главного лепестка по уровню половинной интенсивности. Выбор других критериев аппроксимации позволяет гибко изменять гауссовскую модель для решения конкретных практических задач.

1.Балакший В.И., Парыгин В.Н., Чирков Л.Е. Физические основы акустооптики-М.:Радио и связь, 1985