Устойчивость форм равновесия нелинейно деформируемых гибких пологих оболочек

Устойчивость форм равновесия нелинейно деформируемых гибких пологих оболочек

В.В. Петров, И.В. Кривошеин

Тонкостенные оболочки являются эффективными конструкциями, которые находят широкое применение в различных областях техники, в том числе и в строительстве. Эффективность оболочек объясняется, с одной стороны, тем, что их материал работает в основном на сжатие, а распределение напряжений по толщине оболочки почти равномерное. Это позволяет применять для изготовления оболочек материалы,хорошо работающие на сжатие. Переход в область повышенных деформаций материала позволяет использовать дополнительные прочностные резервы материала оболочек и сделать оболочку более тонкой. При этом снижается такой вид поперечной нагрузки, как собственный вес. Вследствие повышенных деформаций материал работает в нелинейной зоне диаграммы деформирования, и необходимо привлекать физически нелинейную постановку задачи.

Оболочка - это тонкостенная пространственная конструкция, работающая под действием нагрузки преимущественно на сжатие, а сжатые элементы могут внезапно менять устойчивую форму равновесия. Поэтому необходимо иметь методику расчета оболочек на устойчивость.

Относительно подъемистые пологие оболочки под действием поперечной нагрузки могут потерять устойчивость, как принято говорить [1], «в малом» с сохранением несущей способности. Потеря устойчивости сопровождается появлением прогибов, сравнимых с толщиной оболочки, и образованием волнообразных перемещений срединной поверхности, что сопровождается появлением больших углов поворота нормалей к срединной поверхности оболочки и появлением усилий моментной группы. Вследствие этого распределение нормальных напряжений по толщине оболочки уже не будет равномерным. При дальнейшем повышении нагрузки происходит потеря устойчивости оболочки «в большом», что приводит к ее разрушению. Таким образом, расчет такой оболочки на устойчивость и определение критических нагрузок требует одновременного привлечения двух видов нелинейности - геометрической и физической.

Формы потери устойчивости могут быть различными. Известно, например, что арка под действием поперечной нагрузки в условиях полной симметрии теряет устойчивость по несимметричной форме. Аналогичным образом ведут себя и пологие оболочки. Сувеличением стрелы подъема пологих оболочек их потеря устойчивости может происходить также по несимметричной и симметричной форме, поэтому из двух или более критических нагрузок необходимо ориенти ровать-ся на наименьшую из них. Решение этой проблемы связано

с определением на кривых «нагрузка - прогиб», помимо предельных точек еще и точек бифуркации, то есть точек ветвления кривых, соответствующих симметричным и несимметричным равновесным состояниям. Следующей проблемой является исследованиеустойчивости состояний равновесия гибких физически нелинейных оболочек на закритических ветвях зависимости «нагрузка - прогиб».

В статье будут частично исследованы перечисленные выше вопросы. Проведено исследование влияния физической нелинейности материала оболочки на ее напряженно деформированное состояние. Разработана методика определения точек бифуркации, являющихся пересечением кривых, определяющих симметричные и несимметричные формы потери устойчивости. Предложена методика построения ветвей закритического состояния, соответствующих несимметричным формам потери устойчивости пологих оболочек, выполненных из материала с нелинейной диаграммой деформирования,то есть обладающего повышенной деформативностью.

Перечисленные выше проблемы требуют рассмотрения сложных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для решения поставленной задачи используем инкрементальный подход [2], позволяющий заменить решение нелинейных уравнений последовательным решением линейных уравнений и проанализировать поведение оболочек при последовательном увеличении поперечной нагрузки. Кроме того, инкрементальный подход позволит определить точки бифуркации и построить ветви равновесных состояний при несимметричной форме потери устойчивости оболочки.

Инкрементальные уравнения изгиба пологих оболочек с учетом как геометрической, так и физической нелинейности в смешанной форме были получены в [3]. Эти уравнения имеют вид:

Здесь Ди>.+1 - приращение прогиба срединной поверхности оболочки, Аф- приращение функции усилий на у + 1 этапе возмущения ведущего параметра (этапа на-гружения), Д<7у+1 - приращение поперечной нагрузки. Полученная рекуррентная относительно индекса] система линейных дифференциальных уравнений кососимметрична относительно дифференциальных операторов что является следствием теоремы Бетти.

2 2011 91

С учетом результатов проведенных в [4] исследований пренебрегаем в тонких пологих оболочках влиянием приращений деформаций в срединной поверхности

Авх Ав А/ на величины приращений усилий мо-

ментной группы АМ" ,АМЛ,,АЛ/ и приращениями

х ^ ху

изгибных деформаций А, А%у ? ^Хху на величины приращений мембранныхусилий /^/У , АД^^5АТУ .Тогда,

х у ху

вводя жесткостные параметры 3в виде

-А/2

-А/2

получаем приращения внутренних усилии следующим образом:

длГМ^Г'+^Г').

да^Ц^Г'.

К ;

, . 1 , л

лу ^ А: ^/Сду

где Еу. — с1(71 / - касательный модуль, а СТ., 5• -интенсивности напряжений и деформаций соответственно. Дифференциальные операторы в (1) имеют вид:

52 ^

дхл

2 Л

ду2

( л2

г*) 4. дхду ^ } дхду

и) _ пи) - Ук+_

с\\п - о — А ¿21

аг а/

2ттл

+

еж е2 дж е

+-тг--ТГ-2 3-—

ду дх2 дхду дхду 11 п«)1г

аI

V

д2(

к ду1

ду2

°к дх2

-2-

дхду

иМ

[2 >

дхду

!ь\1 е2 аУ- е2 ау ё2' —+——»-2—--

гдеД

дх ду ду дх дхду дхду

. ^ -  -/с суммарный прогиб за все ]

предыдущие ступени нагружения оболочки.

При решении конкретных задач необходимо записать в каждой точке контура оболочки по четыре граничных условия, два из которых формулируются через ее прогиб у), а два - через функцию усилий (р (Х, у) .

В качестве примера рассмотрим пологую цилиндрическую оболочку с размерами в плане С1 X Ь, шарнирно опертую на гибкие из своей плоскости диафрагмы. Материал оболочки (полимербетон) имеет выраженную нелинейную диаграмму деформирования.

Граничные условия шарнирного опирания на гибкие из своей плоскости диафрагмы имеют вид:

X = ±¿2,

д™=о,

д2А<р

д2Аы

дх2

= 0,

дх

у = ±Ь, Аи> = 0

2 =0,

д2Ап ду2

=0,

Аср = О,

д2А <р

ду2

= 0.

Уравнения полезно привести к безразмерному виду, вводя безразмерные переменные, параметры и функции по формулам:

£ = х/а, т] = у/Ь, у = а!Ь, к;=кха2/)I, кч=куЪ2/к,

р = ца2Ъ2 /(ЕЬ*\ = А^ = А (р!{Екъ\

£ - начальный модуль нелинейно деформируемого материала.

Для решения уравнений (1) при граничных условиях (5) используем метод Бубнова-Галерки на в высоких приближениях. Искомые приращения прогиба и функции усилий берем в виде следующих разложений:

А(Р> = XX5™ 8т(тя£) &ш(п7Л]) +

»» я

где слагаемые с коэффициентами Д^> Втп соответствуют симметричным формам деформирования оболочек,

92

2011

Г I 1

СТРОИТЕЛЬНЫЕ НАУКИ

а слагаемые с фиксированными индексами коэффициентов - несимметричным. При проведении вычислений в разложениях (7) удерживалось по 25 членов ряда.

Применение вариационного метода Бубнова-Галерки на к решению уравнений (1) приводит к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения (7). В качестве ведущего параметра при решении этих алгебраических уравнений взят коэффициент А^ .Таким образом, искомыми являются все остальные коэффициенты разложений (7) и приращение нагрузки, соответствующие заданному приращению коэффициента А^ }, что позволяет без смены ведущего параметра обходить предельные точки кривых «нагрузка - прогиб». Для повышения точности решения использован алгоритм двухшагового метода последовательного возмущения параметров [5].

На рисунке 1 показаны результаты расчета цилиндрических панелей с параметрами кривизны К = 48, к = 64. Приведены зависимости между величиной нагрузки и прогибом в центре оболочки. Пунктиром показаны ветви симметричных равновесных состояний при учете лишь геометрической нелинейности. Кривая 3 соответствует симметричным равновесным состояниям сучетом двух видов нелинейности. Кривые 1 соответствуют несимметричным равновесным состояниям при учете лишь геометрической нелинейности, а кривые 2 - сучетом как геометрической, так и физической нелинейностей. Кружками показаны точки бифуркации, а звездочкой - нагрузка достижения материалом предела прочности при учете двух видов нелинейности (ниже этой нагрузки кривые практически совпали).

Нагрузку, соответствующую точке бифуркации, обозначим

Рбиф , а верхние предельные нагрузки, соответствующие

симметричным формам потери устойчивости - Р . Ветви несимметричных равновесных состояний соответствуют значениям индексов к = 1, / = 2 в формуле (7). Ниже в таблице приведены некоторые результаты расчетов.

Видно, что, что с ростом кривизны к^ разница между величиной , иР существенно возрастает.

К 48 64 80

Р !Р Г6иф/Г в 0,87 0,61 0,50

При учете также и физической нелинейности материала оказалось, что значения величинР^ и Р еуменьшаются по сравнению с решениями только геометрически нелинейной задачи. Так при к = 64 и относительной толщине оболочки а/А = 40 величина/ , .уменьшилась на 11,7 %.

Точки бифуркации решений определялись при движении по симметричной кривой деформирования оболочки из условия обращения в ноль определителя решаемой системы линейных алгебраических уравнений. При этом в (7) по крайней мере одно из целочисленных значений {к или /) должно быть четным. Если удерживать в (7) по несколько несимметричных слагаемых, то можно найти соответствующее число точек бифуркации, но при этом необходимы дополнительные исследования о типах ответвляющихся кривых.

Для построения ветвей несимметричных равновесных состояний использована следующая методика. В поперечную нагрузку или в первоначальные кривизны оболочки вносятся малые несимметричные возмущения с амплитудой менее 0,01 % от исходных величин, и затем исследуется чувствительность решения к этим малым несимметричным возмущениям. Оказалось, что наличие малых возмущений проявляет себя только в малой окрестности точки бифуркации. Это позволяет в окрестности точки бифуркации заменить бифуркационную задачу предельной и выходить в область несимметричных равновесных состояний. Далее внесенные несимметричные возмущения полагались равными нулю, и обратным ходом, то есть увеличивая нагрузку, можно получить ветви несимметричных равновесных состояний. Пересечение ветвей симметричных и несимметричных состояний совпадало с точкой бифуркации, где обращался в ноль определитель алгебраической системы уравнений метода Бубнова-Галерки на. Следует заметить, что в реальности малые несимметричные несовершенства присутствуют практически всегда.

Для выделения устойчивых ветвей равновесных состояний оболочек, нагруженных потенциальной системой сил, используем динамический критерий устойчивости [1]. Для этого исследуем малые собственные колебания деформированных оболочек с начальными внутренними усилиями методом Бубнова-Галерки на.

Численный анализ показал, что все восходящие симметричные кривые деформирования оболочек устойчивы к малым возмущениям по симметричной форме вплоть до величины/^, но неустойчивы к возмущениям по несимметричным формам при нагрузках, превышающих/*,^. Таким образом, и спользован ие ди нами ческого критерия потери устойч ивости свидетельствует о том, что точки бифуркации соответствуют нагрузкам потери устойчивости оболочек.

Оказалось, что в точках несимметричных равновесных состояний частотная характеристика СО = 0, если т и

2011

93

п соответствуют несимметричным гармоникам, что говорит о неустойчивости промежуточных равновесных состояний оболочек на ниспадающих кривых несимметричных равновесных состояний. После потери устойчивости при нагрузке Рбифустойчивое состояние равновесия оболочки возможно лишь на восходящей ветви зависимости «нагрузка-прогиб» симметричных равновесных состояний.

Так как цилиндрические пологие оболочки (панели) часто вытянуты вдоль образующей, исследуем потерю устойчивости при различных значениях параметра у = а / Ь >1 а - размер в направлении нулевой кривизны. При проведении численных экспериментов выявлена следующая закономерность: с ростом величины у отношение Р 6иф / Pg возрастает. В частности, для цилиндрической панели с кривизной кп = 64 имеем: Рбиф / Pg = 0,752, если f = 1,25; 0,949, если у = 1,5, а при у = 1,75 оболочка теряет устойчивость по симметричной форме при нагрузкеР .

Дополнительные исследования показали, что если у — a ¡ Ъ < 1 до параметр уменьшается. В частности, для панели с к^ - 64 имеем:Рбшр/Ре=0,488,если у — 0,8 иРб#/Ре=0'40б'если Г = 0,67.

Во всех рассмотренных случаях нагрузки Р6иф для цилиндрических пологих панелей минимальны,если к — 1, 1 = 2 в (7), и являются нагрузками, при которых происходит потеря устойчивости панелей, так как в этих точках Cú\2 = 0, а при нагрузкахР > Рбиф величины квадратов частот малых колебаний вокруг состояния равновесия СО для

равновесных состояний оболочек на симметричной кривой зависимости «нагрузка-прогиб».

Литература

1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систе. М., «Наука», 1967.

2. Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. Саратов, 1975.

3. Петров В.В., Кривошеин И.В. Прочность и устойчивость нелинейно деформируемых пологих оболочек. «Academia», № 3, 2009. С. 83-86.

4. Петров В.В., Кривошеин И.В. Анализ вариантов нелинейных уравнений теории пологих оболочек. Фундаментальные и приоритетные прикладные исследования РААСН по научному обеспечению развития архитектуры, градостроительства и строительной отрасли Российской Федерации в 2007 году, т. 2. Москва-Белгород, 2008. С. 89-99.

5. Петров В.В. Двухшаговый метод последовательного возмущения параметров и его применение к решению нелинейных задач механики твердого деформируемого тела. Проблемы прочности элементов конструкций под действием

нагрузок и рабочих сред. Межвузовский научный сборник. Саратов, СГТУ, 2001.

Literatura

1. Volmir A.S. Ustoichivost deformiruemich sistern. M., «Nauka», 1967.

2. Petrov V.V. Metod posledovatelnich nagrugeniy v nelineynoy teorii plastinok i obolochek. Saratov, 1975.

3. Petrov V.V., Krivoshein I.V. Prochnost i ustoichivost nelineyno deformiruemich pologich obolochek. «Academia». № 3,2009. S. 83-86.

4. Petrov V.V., Krivoshein I.V. Analiz variantov nelineynich uravneniy teorii pologich obolochek. Fundamentalnie i prioritetnie pricladnie issledovania RAASN po nauchnomu obespecheniyu razvitiya architecture gradostroitelstva i stroitelnoy otrasli Rossiyskoy Federachii v 2007 godu, T. 2. Moskva-Belgorod. 2008. S. 89-99.

5. Petrov V.V. Dvuxchagoviy metod posledovatelnogo vozmutchenia parametrov i ego primenenie k recheniu nelineimch zadach mechanici tverdogo deformiruemogo tela. Problemi prochnosti elementov construkchiy pod deystviem nagruzok i rabochix sred: megvuz. nauch. sb. Saratov. S6TU. 2001. S. 6-12.

Stability of Forms of Balance of Nonlinear Deformed

Flexible Declivous Shells. By V.V. Petrov, I.V. Krivoshein

On the basis of a double-step method of successive indignation of parameters and Bubnov-Galerkin's method the algorithm of construction branch symmetric and asymmetrical equilibrium conditions flexible declivouss cylindrical panels from materials with raised deformativity is developed. By a dynamic method stability of a branch stability conditions of shells are investigated. With increase in curvature of panels reduction critical loadings of bifurcation takes place in comparison with maximum loads of loss of stability under the symmetric form. Decrease in critical loadings at the account physical non linen earity of material is revealed. The analysis of durability and stability of flexible panels from materials with raised deformativity has revealed that they collapse in the course of stability loss at values loadings of bifurcation.

Ключевые слова: пологие цилиндрические панели, нелинейно деформируемый материал, геометрическая и физическая нелинейности, двухшаговый метод последовательного возмущения параметров, метод Бубнова-Галеркина, динамический критерий потери устойчивости, точки бифуркации.

Keywords: Flat cylindrical panels, nonlinear-deformed material, geometrical and physical nonlinearity, a double-step method of successive indignation of parameters, Bubnov-Galerkin's method, dynamic criterion of loss of stability, points of bifurcation.

94

2011