Пространственный изгиб нелинейно упругого полого цилиндра при наличии внутреннего давления

УДК 539.3

ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ИЗГИБ НЕЛИНЕЙНО УПРУГОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ

© 2008 г. А.В. Соколов

Within the framework of the large deformation theory the problem of spatial bending the tube, which is loaded by the inner pressure, is developed. The material is assumed to be incompressible. Spatial bending deformation is specified in the form of the two-parameter class of deformation, proposed by Professor L.M. Zubov.

В рамках теории больших деформаций разработана постановка задачи о пространственном изгибе полого цилиндра, нагруженного внутренним давлением. Материал цилиндра предполагается несжимаемым. Деформация, описывающая пространственный изгиб цилиндра, задается в виде двупараметрического семейства, предложенного ранее [1]. Доказывается, что реализация указанной деформации цилиндра с внутренним давлением требует приложения к торцам цилиндра внешней силы и внешнего момента, векторы которых ортогональны оси цилиндра. Исследуемая пространственная задача нелинейной теории упругости сведена к системе дифференциальных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций от двух независимых переменных.

Двупараметрическое семейство деформаций

Пусть упругое тело в отсчетной конфигурации имеет форму полого кругового цилиндра (цилиндрической трубы) с внутренним радиусом Го и внешним

г\. Введем базис цилиндрических координат 4 <р, z , где ось Oz параллельна образующей цилиндра.

Рассмотрим двупараметрическое семейство деформаций, описывающее пространственный изгиб цилиндрического тела [1] : Ху =Ui(r,<p)+lz ,

Х2 = u2

Здесь uk(r, <р) k = 1, 2, 3 - неизвестные функции;

со , l - некоторые заданные параметры.

При деформации такого вида каждая материальная прямая, параллельная в отсчетной конфигурации оси цилиндра, после деформации превращается в простую винтовую линию, осью которой является прямая Х2 =Х3 = 0.

В данном случае тензор градиента деформации C может быть представлен в виде

С(г ,ср,т) = Csk(r, cp)e,s\k, где s ,к = 1, 2, 3;

jj = cos^ej -sin<pe2;

j2 = (sin^ej + cos^e2)cos z+ez sin coz-, (2) j3 = -(sin^er +cos^ef/,)sin z + ez cosoz;

_ 1 дщ _ 1 ди2 _ 1 ди3

C21 -—— > с22 ---— > c23 -—:r-

-- - -- r dcp

C3i=/ =

г дер г дер

С32=-сои3, С33 =сои2. Здесь е £ - орты базиса цилиндрических координат в отсчетной конфигурации; \к - орты базиса декартовых координат в текущей конфигурации. Очевидно, что мера деформации Коши С

не зависит от координаты г .

Постановка краевой задачи

Определяющие соотношения для нелинейно упругого несжимаемого материала имеют вид СШ _1

Р =--рС , где Р - тензор напряжений Кирхгофа; р - функция гидростатического давления в несжимаемом материале.

Из (2) и (3) следует, что если упругое тело однородно по координате г , то тензор напряжений Кирхгофа, а следовательно, и тензор напряжений Пиолы О = Р • С будут функциями только координат (г, ер) поперечного сечения цилиндрической трубы. Под однородностью тела по координате г понимается то,

что удельная упругая энергия IV может явно зависеть от координат г и ср. но не зависит явно от г: 1У = г, ер).

Таким образом, предположения (1) о виде деформации цилиндрического тела приводят исходную пространственную задачу нелинейной эластостатики к двумерной нелинейной краевой задаче для сечения цилиндрического бруса.

В этом случае уравнение равновесия можно представить в следующем инвариантном виде [2]: У2 • Б* + со е3 • Б*

•е = 0,

где Б* =Б-(31 01 = + ^2е2 + ]3е3 -

собственно ортогональный тензор; с = -К (со$срсг -

515 - «

-эт ср&ф ; У2 = С]--ье2---двумерный набла-

дг г дер

Q i =

5м i

дг

С-12 -

ÖMo

дг

Сп =

дш

дг

оператор в плоскости поперечного сечения цилиндра.

Из (4) получаем систему трех скалярных уравнений относительно трех функций двух переменных

ик(г,ер) £ = 1,2,3:

д£и_+1др21

dr r д(р дРп | 1 дР22 dr r d(p здз + 1_ао2 з

-coD33ътср = 0.

- соD33cos<p = О.

- co(D32costp-£>3isinср) = О .

дг г дер

Рассмотрим случай, когда внешняя поверхность цилиндрической трубы свободна от нагрузок, а внутренняя загружена равномерно распределенным гидростатическим давлением.

В этом случае граничные условия записываются в виде:

на внешней поверхности пЦ =егЦ = 0

'То '/о

или

Ail =A2I =Аз1 =°;

YO YO Y0

на внутренней

= -t = - fe-b[

n1 D

ft

ft

или

Ai|n =~ß\\ A2|n =~ßx2

D

13

n

ft

n

n

В (6), (7) п1 - вектор нормали к внутреннему граничному контуру у\ , направленный внутрь полости; В - тензор, обратный градиенту деформации; / -величина (интенсивность) внутреннего гидростатического давления; /о, - внешний и внутренний граничные контуры поперечного сечения.

Легко проверить, что функции

и\=и, + L.

и2 =и2 cos(К)-и^ sin(ÄT),

и3 = и0 8т(К) + и0 х х соъ(К), где К и /, - произвольные действительные постоянные, также удовлетворяют уравнениям равновесия (5) и граничным условиям (6), (7).

Следовательно, положение упругого тела после деформации определяется с точностью до поворота вокруг оси Хц и поступательного смещения вдоль той же оси. Такую неоднозначность решения можно устранить, наложив на неизвестные функции дополнительные условия, исключающие возможность произвольного поворота вокруг оси Х^ и смещения

вдоль этой же оси.

В качестве таких условий можно использовать следующие интегральные соотношения [1]:

2л П

J J(w1 -г coscp)r dr dtp = 0 .

0 r0 2л h

J J (cos© -l)r dr dip = 0,

0 r0

cos© =

1 . 1

м21 cos^> - м2 2 ~~sm Ч> + мз 2 SU1V + M3 2 — cos^

Л

1 1 ч2

Л = (и2 j cos(p-u2 2 —sm <p + u3 2 sin <p + u32 —costp) +

' r ' ' r

1 1 ч2

+ (м3 J COS <p — Uj 2~sm(P~u2\sva(P + u2 2 —COStp) ,

' Г ' ' Г

диь. du i,

uk,l =-T~ > Mi,2 ="

¿ = 1,2,3.

dr ' <3^

Соотношения (5)-(9) представляют формулировку двумерной краевой задачи на поперечном сечении полого цилиндра.

Решение двумерной краевой задачи на сечении бруса позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия и совместности в объеме цилиндрической трубы и граничным условиям на ее боковых поверхностях. Но граничные условия на торцевых поверхностях цилиндра z = const могут быть выполнены лишь приближенно, за счет подбора постоянных параметров О) и / .

Краевые условия на торцах бруса

Вычислим главный вектор F и главный момент M сил, действующих в произвольном поперечном сечении цилиндрической трубы, испытывающей деформацию вида (1), в случае, когда внешняя ее поверхность свободна от нагрузок, а внутренняя загружена равномерно распределенным гидростатическим давлением.

В отсчетной конфигурации введем декартову систему координат, ось x3 которой параллельна оси цилиндрической трубы.

F = j|i3 • т<7 + fп1 • Шу = (Fj + Д)ij +

а п

4F2+P2)h+(F3+P3)i3,

где п1 - вектор положительной нормали к внутреннему граничному контуру !<)- = \\D3kda,

Pk = f \МВШ +n\B2k)_, к = 1,2,3.

где

гк

п

Используя необходимое условие равновесия F

где s2=coscob-coscoa, s3=smcob-smcoa.

Определитель системы (10) относительно величин F2+ Р2 и F3+ Р3 отличен от нуля, следовательно, р2+Р2=Рз+Рз=о.

Таким образом, главный вектор сил в сечении при деформации цилиндрической трубы под внутренним давлением вида (1) одинаков для всех сечений х3 = const и направлен вдоль оси А'| .

Вычислим главный момент М сил в сечении х3 — const относительно некоторой точки на оси Х2 = Х3 = 0. Так как главный вектор параллелен такой оси, момент не зависит от выбора точки приведения на оси Xi и может быть вычислен относительно точки JpХ2 = Х3 = 0.

Учитывая, что F2+P2 = F3+P3 = О , получаем

М(х3) = -jji3  D х Xda - jn1 D x Xdy =

a r\

= (Mi + 7i)ii + (M2 + T\2)h + (M3 + T3)j3 ,

где

Mi =-H(D32u3~ D33u2)da,

a

M2 =-JKD31u3 - D33ui)d°" ,

a

M3 = -\\(D3lu2 -D32U])da, a

Tl = \f\3

Г\

T2 = f / |l (n\F\ 3 + n2F23) - u3 (и}^ j + n2F2 j) ,

П

'/3 = f./'b("l^l1 + n2F2j) -щ(n\Fl2 + n2F22)oj;v .

П

Согласно (11), величины Mk,Tk ( £ = 1,2,3) постоянны. Из условия баланса моментов всех сил, приложенных к участку цилиндра, заключенному между плоскостями х3 = а и х3 = b, получаем

s2(M2+T2)-s3(M3+T3) = 0, s3(M2+T2)+s2(M3+T3) = 0, откуда следует, что М2 + Т2 - М3 +Т3 = 0.

Вариационная постановка двумерной задачи

Рассмотрим функционал типа Лагранжа следующего вида:

I luk\ = №<Mk)-p(J<Mk)-1)>-

v

Южный федеральный университет_

-/ЯС-Лил^-К-е^г^г,

О",

где р = р(г, <р) - функция гидростатического давления в несжимаемом материале; <т( - поверхность внутренней полости цилиндра; J = с!е1:С .

Функционал I (ик) определен на множестве дважды дифференцируемых в области <у1 функций двух переменных ик(г,<р) (£ = 1,2,3), задающих согласно соотношениям (1) поле перемещений упругого цилиндра. Удельная энергия деформации Ж(О) предполагается выраженной через функции ик(г,ср) при помощи (2). Условие стационарности функционала (12) <У =0 эквивалентно уравнениям равновесия (5) и граничным условиям (6), (7), в которых напряжения В,.к выражены через функции ик

Итак, реализация деформации (1) цилиндрической трубы под действием внутреннего давления требует приложения к ее торцам системы сил, статически эквивалентной силе ^ и моменту М^, действующим в точке оси винтовой линии, в которую превращается после деформации образующая цилиндра, и направленным вдоль этой оси.

Решение данной задачи представляет интерес в связи с приложениями к проблеме описания механического поведения крупных артериальных сосудов некоторых млекопитающих, в том числе человека, в физиологических условиях, а также при описании травматического разрушения трубчатых костей и анализе картины такого разрушения.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (05-0100638).

Литература

1. Зубов Л.М. // ПММ. 2004. Т. 68. Вып.3. С. 507 - 515.

2. Зубов Л.М., Губа А.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион.

Естеств. науки. 2003. Спецвыпуск. «Нелинейные проблемы механики сплошной среды».

11 апреля 2007 г.