Анализ оптимального закона управления возвращением гиперзвуковых летательных аппаратов

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VII 19 7 6 № 5

УДК 629.782.015

АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОГО ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ ВОЗВРАЩЕНИЕМ ГИПЕРЗВУКОВЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ

АППАРАТОВ

А. С. Филатьев

Рассмотрена в точной постановке задача о максимальном приближении возвращаемого гиперзвукового летательного аппарата к заданной точке земной поверхности при начальных условиях, обеспечивающих вылет из плотных слоев атмосферы. На основе анализа оптимального решения предложена приближенная программа управления углом атаки в виде функции текущих фазовых координат, указана область ее локальной оптимальности в классе кусочно-постоянных управлений с одним переключением.

Задача построения оптимального закона управления пассивным движением гиперзвукового летательного аппарата (ГЛА), возвращаемого к заданной точке земной поверхности, в предположении квазистационарности планирования рассмотрена ранее в работе [1]. Однако для возвращаемых аппаратов, вылетающих из плотных слоев атмосферы, начальный участок траектории существенно отличается от траектории квазистационарного планирования. Такого рода задачи могут возникнуть, например, при исследовании возвращения экспериментальных гиперзвуковых самолетов и спасения носителей разгонных систем, обладающих несущими свойствами, поскольку в этом случае начальный угол наклона траектории к горизонту—положительный.

В настоящей работе проводится исследование в точной постановке оптимальных траекторий возвращения ГЛА, вылетающих на начальном участке полета из плотных слоев атмосферы. На основе анализа структуры оптимального управления предложена простая для бортовой реализации приближенная программа управления и исследована область ее оптимальности в классе кусочнопостоянных функций.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Предполагая угол скольжения нулевым и массу постоянной, запишем уравнения пространственного движения летательного аппарата в безразмерном виде:

d%

lit

— = — u. e~$h V2 dt 'x

: py cosy-e~^k V + /1

dh

V2R

dt

d-n . e

-3F = ^smT-

-p ft у

COS I

da .

- tg <f cost; V cos 0

К cos I

V cos (

R

d\

dt

где

R — 1 + A; px =

R

COS ») V cos I

; 7Г-

io Po /?o .

COS

O/S

cy go Po Ro , G/S 2 :

V—скорость полета; h — высота полета; tj-

о —угол наклона траектории к горизонту; угол курса; <р, X — сферические координаты; t — время полета; в — вес аппарата; 5 — характерная площадь; Я0— средний радиус Земли; — гравитационное ускорение на поверхности Земли; р — плотность атмосферы, р = р0е~РЛ; у — угол крена; су = су (а) — коэффициент подъемной силы; сх = сх (а) — коэффициент аэродинамического сопротивления; а —угол атаки.

Безразмерные переменные связаны с размерными величинами (отмеченными индексом „р“) следующим образом:

V-.

Vgo Ro

P = M.-

Будем считать начальные значения параметров траектории полета ГЛА известными:

у=1/.; 0 = 0,.; А = А

Конец траектории определяется достижением заданного уровня энергии:

XI________!_ ш

2 R — Wf

при t-

Требуется определить закон изменения углов крена и атаки, минимизирующий недолет аппарата до некоторой заданной точки, в дальнейшем условно называемой точкой посадки, с учетом граничных условий (1.2) и ограничений, наложенных на управление:

amin а ^ Итах!

IТI < Т < -у •

Поместим начало координат (у, X) в точку посадки. Тогда величина недолета L выражается через координаты конечной точки следующим образом:

cosZ. = cos9/cosX/, и поэтому исходная задача эквивалентна задаче максимизации функционала Ф/ = cosZ. ^Z. < . -

В предположении квазистационарности планирования аппарата подобная задача рассмотрена в работе [1]. Ниже исследуется решение задачи в точной постановке.

В соответствии с принципом максимума Понтрягина оптимальное управление {•(, a)0pt определяется из условия минимума по 7 и

а гамильтониана e&'=(P,f), где Р*—сопряженный вектор, определяемый системой уравнений

dP__ двЖ

дх~ ’

при условиях на конце траектории

Pv=V7?8Pa, Pe = Pn = Pv = Px--=Q, = — 1, еЯГ =0 при 1.4)

x={V, 6, h, т), tp, X} — фазовый вектор.

Условие оптимальности управления можно записать в виде: для угла крена

, Рп Pj COS 0 lg fmax siSn Су

arctg-н——в , если ---------г-^5 :---1:

& Pe cos 0 ’ Р ^ ’

, ч я9 cos 6tgfmaxSign с„

Tmax Sign (PnCy), есЛИ --------------j-p-р--------> —1

n I

[подобная (1.5) запись для fopt впервые была использована в работе [2] для случая су>0]; для угла атаки

dcx («opt) _ r_ Pt cos 6 cos 7 + P4 sin t /1 е_ч

dcy PvV cos0 ’ U-Da'

d? Cy C^oot)

Pv------

dcy

Если aopt из (1.6) не удовлетворяет ограничениям (1.3), то Пусть

«opt

«min, еСЛИ ^"(otmin) ^"(«max)l

«max, еСЛИ ^^"(«min ^"(«max) •

С у

«

тогда условия оптимальности (1.6) и (1.7) можно записать в виде: если Pv^> 0

а • если (ашах) сх (amin) .

если ^>Cy(amax)_Cy(arain).

aopt = i

1“-- 1

если Ру<0

aopt из (1.6а), если ;

dcx (amin) •

*tnin. если ->!,

У

dCx (дшах) rfc„

-у

Фиг. 2

Геометрическая интерпретация условий оптимальности управления углом атаки (1.9) приведена на фиг. 1.

Подставляя условия трансверсальности (1.4) в (1.6), найдем при £ = ^

а _ | атш» если Ру/<С. 0‘,

Г 1 атах) если Рк/> 0. :

Для нахождения ту необходимо раскрыть неопределенность в (1.5) при \

Рй cos 0

р.

Sign Prt

Но

Pflcos 6

БШ 6

P.

«еФ tgc

где

есть угол между мгновенной плоскостью движения и плоскостью большого круга, проходящей через центр масс аппарата и точку

посадки (фиг. 2), а % = — аг^-^д — угол между мгновенной плоскостью движения и плоскостью, параллельной вектору скорости и проходящей через точку посадки и проекцию конечной точки траектории на земную сферу.

Подставляя (1.11) и (1.12) в (1.5), получим

Т/ =

V»

7шах фу, еСЛИ

Тшах

Ттах

2. АНАЛИЗ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ

Согласно условиям (1.4) и с учетом дополнительных интегралов движения, полученных в [1], число варьируемых параметров в краевой задаче, к которой свелась сформулированная выше вариационная задача Майера, равно четырем: Ры, Ры, <р/, X/-

//! / 1 А

К/ / / /// /// //У! / 1 \ у 1 СУ |

V 1 | цпрабл —

0 12 у,рад

Фиг. 3

При численном решении исходное приближение для сопряженных переменных определялось путем переноса условий трансверсальности (1 4) на левый конец вдоль опорной траектории (единственность при этом обеспечивается линейностью сопряженной системы). В качестре опорной принималась траектория, соответствующая управлению {у, а}пл, оптимальному при квазистационарном планировании [1].

На фиг. 3 приведена типичная программа оптимального управт ления углами атаки и крена в зависимости от текущего угла ф

(1.13), которая имеет следующие характерные особенности:

а) на значительном начальном участке траектории полета ГЛА реализуется граничное управление;

б) сход с ограничения происходит в окрестности точки максимального удаления аппарата от точки посадки;

в) на участке полета в направлении точки посадки зависимость угла крена от текущего угла ф (1-13) близка к линейной:

7ор4('Ю~7*('Ь) =

ф, если |Ф|<Лтах*,

.Тпэах, еСЛИ ] Ф ] Ттах-

Подобная (2.1) программа управления была предложена в работе [3] на основе анализе приближенного закона управления углом крена без сравнения с точным решением.]

Перечисленные особенности указывают на возможность построения простой программы управления, близкой по функционалу

0.9

Ктпаа:

у 70° 80°1° (777аз:

соо т бетстЗует цлра блению {

Фиг. 4

Н’я opt

3 у„,Рад

к оптимальной и использующей лишь текущие навигационные данные .

Сравнение оптимального закона управления {к, а}ор1 с программой управления {7, а{пл из [1], используемой при построении опорной траектории, показывает, что основное их отличие состоит в несоответствии моментов схода с ограничения по углу атаки (см. фиг. 3). Действительно, переключение по углу атаки в законе управления {7, происходит на начальном участке полета до точки максимального удаления от точки посадки, где условия движения существенно отличаются от условий квазистационарного планирования. На фиг. 4 приведены графики изменения величины недолета ГЛА в зависимости от выбора момента переключения угла атаки, задаваемого некоторым углом фп [см. (1.13)]:

а -

яюах, если ф>фп;

Я*тах> еСЛИ Ф < Фп»

из которых видно, что

ор*

~2

т. е. оптимальная точка переключения лежит в окрестности точки максимального удаления от точки посадки. Неизменность соотношения (2.3) при варьировании ограничения на угол крена тшах указывает на существование области параметров, в которой возможен синтез оптимального управления углом атаки в классе кусочно-постоянных функций (2.2).

Прежде чем исследовать область оптимальности программы управления (2.2)—(2.3), проанализируем характер изменения недолета ГЛА до точки посадки при варьировании аэродинамического качества.

3. ВЛИЯНИЕ МАКСИМАЛЬНОГО АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО КАЧЕСТВА ГИПЕРЗВУКОВОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА НА НЕДОЛЕТ ДО ТОЧКИ ПОСАДКИ

Пусть программа управления углами крена и атаки задается соотношениями (2.1) —(2.3). Исследуем зависимость 1 = Ь(Кт^-Поскольку аэродинамические характеристики аппарата, входящие в уравнения движения (1.1), не определяются однозначно заданием ТОЛЬКО величины /Стах, ТО ВИД зависимости 1^ = 1, (/Стах) будет определяться, вообще говоря, и условиями, при которых варьируется аэродинамическое качество. Если принять уравнения поляры в виде

Сх = Сх 0 + А, э1п3 а sign а; су — А2 вШ2 а соэ а sign

:)

(соотношения (3.1) достаточно хорошо описывают поляру крылатого аппарата на гиперзвуковых режимах полета [4]), то кроме

максимального аэродинамического качества для определения коэффициентов, входящих в (3.1), необходимо задать два дополнительных условия. Выберем их следующим образом:

сУшах = с,

[0, «/21

сУКта^су

Варьирование максимального аэродинамического качества при фиксированных несущих свойствах (3.2) и (3.3) эквивалентно изменению только аэродинамического сопротивления аппарата.

Для качественного анализа зависимости I = /. (Ктах) рассмотрим предельные случаи: /Стах -* о (с* оо) И Ктах - ОО (*,-0).

При сх > 1 из уравнений движения (1.1) получаем

, 1 . С08 ТП» / СОвб V . V» , - / 1 \

/. = а, н------— ----гл— ^-7^4-0 --- ,

1 ^ Рх \<Г~Р /?/( У/ ^ \сх]

откуда

X

д1

ь\ 1

или

1 ктах-^О =

дЬ >0.

дКт,

При Сх —* 0 движение происходит без потери полной энергии (е_РЛ ) > и’ значит> достижима любая точка земной поверхности, т. е.

М*«ах-оо=0.

Так как 'к1 > 0, то из (3.4) —(3.6) следует, что существует хотя бы

одно значение Яшах € (0, оо) такое, что при фиксированных несущих

свойствах

£

Лтах€!°' «=)

(Заметим, что сделанный вывод справедлив для любого закона управления, обеспечивающего разворот ГЛА к точке посадки, при ограниченной подъемной силе).

Численные расчеты, проведенные при изменении параметров в диапазонах 0</Стах<С5; 100 Н/м2< в/Э < 10000 Н/м2; 2 км/с <

< 1^<3,5 км/с; 30 км •< к1 < 90 км; 30° < Утах< 90°; 1 < су —

-<10, показали, что имеется лишь один максимум

у шах

(фиг. 5), при этом величина /Стах изменяется в диапазоне Ктах~ ^1н-4, характерном для гиперзвуковых аппаратов рассматривае-

1,/ш 1С= 3000 м/с; Ь; = 70 дм

600

400

гоо

915=10000 Н/м‘

5000 Н/м 2500 Н/м2

500 Н/мг 250 Н/м*

100 Н/м2

4>л = гг/2 ----,У/7 = Д~

Фиг. 5

мого типа. Таким образом, всегда существует область значений максимального аэродинамического качества 0 </Стах <1/Стах, в которой увеличение аэродинамического сопротивления возвращаемого аппарата при фиксированных несущих свойствах (т. е. уменьшение аэродинамического качества), например, за счет установки дополнительных тормозных устройств, приводит к уменьшению недолета до точки посадки.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЛАСТИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПРОГРАММЫ УПРАВЛЕНИЯ

Разделим условно траекторию возвращения ГЛА на два участка (фиг, 2): 1) с начала траектории до точки максимального удаления от точки посадки (участок I) и 2) от точки максимального удаления до конца траектории (участок II).

Рассмотрим требования, которые должны предъявляться к управлению на каждом из них. На участке II управление углом атаки должно обеспечивать выполнение одного условия — максимизировать дальность планирования в направлении точки посадки —и поэтому в целом соответствует программе управления (2.2)—(2.3). На участке I требования к управлению, вообще говоря, противоречивы: минимизировать дальность первого участка 11, так как

I — Ьц,

и максимизировать скорость в конце участка I V\j, так как dZ.ii

dVif

> 0, — и оптимальным является некоторое компромиссное

решение. Поэтому для определения области оптимальности программы управления (2.2) — (2.3) рассмотрим изменение недолета при вариации угла атаки на участке I.

Условия локальной оптимальности

(2.2)—(2.3) имеют вид

дЬ

^>0;

Ф„=Пх

программы управления

да,

dL

= 0.

Пусть уравнения поляры заданы (фп = fix). Покажем, что управление (2.2) —(2.3) локально оптимально В области 0 < /Стах <С /Стах , где /Стах > /Стах, Э /Стах ОпреДвЛЯвТСЯ СООТНОШеНИвМ (3.7).

У "max

^Sy ~ су max'~ max ~0

3ftj Н(СС max')2 ft(^max)f~ (ЫтааГ )i~^ (9е max') 1

3 К max Кmax 2 ^max 1

Фиг. 6

Если условия (3.2) и (3.3) выполнены и

«I —— «max,

ТО

dL

дКп

= fix

dL ' 6К}

dK і

A"n=fix ^шах fltj —fix

+

dL

dK i.

Aj =fix

где К\ — К(о1), /Си =/Стах — значения аэродинамического качества при полете на участках I и II. Но вариация Ал возможна не только вследствие деформации поляры (/Стах = Уаг; СЦ = {1х), но и вследствие изменения угла атаки а-1 в окрестности а = ашах при фиксированной поляре (фиг. 6):

3/С, =

da

ц.

Таким образом, соотношение (4.5) можно записать в виде

dL

dL

<>К„

da

К„

dKі

v—fix d К пі г

eci =fix

dK («щах) , dL da (?/C||

К\ = fix

dK\ dK

где производные ^—>0, —< Q и определяются по урав-

dLu

нениям поляры.

Из (4.1) следует, что dL

дК,

К\ =fix

дКп

К\ —fix

Подставляя (4.7) в (4.6), найдем dL

да,

1 Г dL dLn

^тах— со2 ^Ктах «1 =ifx д^Стах К\ — f 1 х_

где ш2 = -

dK, I dK

dKn

da

Согласно

дL I ^

дКгаах |«[ =Их ^ ^/Стах

Выше (см. разд. 3) было показано, что зависимость I = /. (/Стах) имеет ОДИН максимум В точке /Стах = /Стах- ПОЭТОМУ ИЗ (4.9) НЭХО-дим область локальной оптимальности программы управления

0<Кт*х<К шах?

где /Стах определяется ИЗ УСЛОВИЯ

^

дКп

dL,

дК„

<о.

aj = fi х

Сравнивая (4.10) с (3.7), получаем искомый результат:

Ктах /Стах-

Согласно данным параметрического анализа

Атах ~ /Стах-

В то же время исследование влияния изменения момента переключения на недолет при a, = fix показало, что для 0</СШах<

<к тах ^Сшах

dL

fix

-г TL

' Т

= 0.

Таким образом, величина /Стах, введенная в рассмотрение в разд. 3 при анализе влияния аэродинамического качества возвращаемого гиперзвукового летательного аппарата на недолет до точки посадки, характеризует также и область локальной оптимальности программы управления (2.2) — (2.3).

Строгая оптимальность программы управления (2.2) —(2.3) в классе кусочно-постоянных функций с одним переключением проверялась на основе численных результатов. Получено, что программа (2.2)^—(2.3) строго оптимальна В области 0 </Стах </Стах ,

ГДе /Стах ~ К тах- ДЛЯ Ктах > /Стах + Д/Стах (Д/Стах 0) О-ПТИМаЛЬНЫМ 62

становится полет на максимальном аэродинамическом качестве без переключений:

аор1=а*шах

для любого ф, что соответствует (2.2) при фп = тс-

Величина ДК^,ах отлична от нуля лишь при больших начальных значениях скоростного напора. В области К*тлх < Ятах<К^1ах+ + ДАГ;ах некоторое уменьшение недолета носителя до точки посадки достигается путем использования программы управления вида (2.2), где и, в отличие от (4.11), фп<Стс- Однако практически

выигрыш в функционале по сравнению с (2.2) — (2.3) или (4.11) при этом незначителен, к тому же область, в которой оптимальная программа управления отличается от (2.2)—(2.3) или (4.11), довольно мала ( ----- > 1 ^ .

\ Кщах '

ЛИТЕРАТУРА

1. Шкадов Л. М., Буханова Р. С., Илларионов В. Ф., Плохих В. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М., .Машиностроение', 1972.

2. Пашинцев В. Т. Приближенное оптимальное управление углом крена в задаче возвращения гиперзвуковых аппаратов. .Ученые записки ЦАГИ“, т. 3, № 4, 1972.

3. Илларионов В. Ф., Пашинцев В. Т. Анализ траектории полета и законов управления движением возвращаемых ступеней разгонных систем. Труды ЦАГИ, вып. 1438, 1972.

4. Андреевский В. В. Динамика спуска космических аппаратов на землю. М., .Машиностроение', 1970.

Рукопись поступила 17/ХП 1975 г.