Оперативно-вероятностный метод прогноза деформации тела грунтовой плотины

УДК 502/504:624.131.1:626/627

В. Я. Жарницкий, доктор техн. наук Н. Ф. Жарницкая, инженер

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет природообустройства»

ОПЕРАТИВНО-ВЕРОЯТНОСТНЫЙ МЕТОД ПРОГНОЗА ДЕФОРМАЦИИ ТЕЛА ГРУНТОВОЙ ПЛОТИНЫ

Имея характеристики эмпирического распределения коэффициентов уплотнения грунта в сооружении, представляется возможным определить величину осадки напорного грунтового сооружения и вероятность ожидаемого события.

Possessing characteristics of the empiric distribution of the ground density coefficients in the structure, there it becomes possible to determine a value of settlement of the pressurized ground structure and probability of the expected event.

Надежность и безопасность плотин из грунтовых материалов определяется степенью их устойчивости, прочностью и, конечно, деформированием тела и основания. Расчеты осадок (деформаций) плотин делают не только для прогнозирования их неравномерностей, определения требуемой величины строительного запаса (строительного подъема), уточнения общего количества грунта, уложенного в сооружение, но и для установления объективных причин «форсмажорных» ситуаций, которые возникают в ходе строительства напорных грунтовых сооружений или в период их эксплуатации.

Использование сложных и трудоемких универсальных методик, учитывающих особенности конструкций, воздействий и нюансы поведения грунтов тела плотин и оснований, часто оказывается неэффективным из-за большого разнообразия свойств используемых карьерных грунтов и невозможности спрогнозировать фактическую степень уплотнения тела плотины без строительства самого сооружения. Поэтому такие расчеты можно выполнять на основе решения линейного уравнения путем введения упрощающих предположений при схематизации свойств грунта и его деформации или вероятностных методов, не прибегая к трудоемким решениям нелинейных уравнений уплотнения

грунтов. При решении подобных практических задач следует рассматривать только такие характеристики грунтов, которые могут быть получены с достаточной степенью надежности.

Для предотвращения больших осадок тела грунтового сооружения устраивается послойное уплотнение грунта с помощью специальных машин (рис. 1, 2). Качество и достаточность выполненного уплотнения грунта на соответствие проектным требованиям при использовании методов и приемов геотехнического контроля позволяют объективно оценивать возможную деформацию самой насыпи.

Чтобы избежать недоуплотнения грунтов в насыпи, схему контроля качества послойной укладки грунтового материала выполняют по коэффициенту

Рис. 1. Плотина «Саура» (Сирия) на этапе завершения строительства: Н = 78 м

уплотнения или степени уплотнения (k > k , где k — коэффи-

v com i com проект7 ^ com проект A A

циент уплотнения, устанавливаемый проектом), т. е. степень уплотнения грунта в образце, слое и в сооружении в целом должна быть не меньше проектного требования.

Рис. 2. Плотина «Сахаби» (Сирия) на этапе строительства: Н = 68 м

Величина (1 - k ) показывает от-

com

носительное изменение объема грунта. Касте и Санглером получена зависимость, которая устанавливает связь между деформацией тела грунтовой насыпи и степенью уплотнения грунта в ней [1]:

S =

где S — деформация тела грунтового сооружения; H — высота плотины.

пл

Выражение (1) может служить прогнозным определением осадки грунтовой насыпи или ее элементов, подтверждая, что чем больше степень уплотнения грунта, тем меньше будет ожидаемая величина осадки сооружения. Оценка вероятности снижения деформации может быть установлена на основании выборки значений показателя k , полученной по результа-

com

там оценки послойного уплотнения грунта в теле сооружения.

При разработке и использовании вероятностных методов расчета неоднократно выяснялась необходимость в проверке ряда статистических гипотез (моделей), так как обоснование типа распределения случайной величины с позиции физической сущности модели рассматриваемого процесса является

значимым для объективной оценки вероятности такого события. Использование одной какой-то статистической модели может привести к неверным заключениям и выводам. Значение коэффициента уплотнения грунта kcom меняется в результате влияния на процесс уплотнения грунта множества случайных факторов, из-за чего распределение значений этого коэффициента, в силу указанных условий, не может соответствовать одной статистической модели, иначе говоря, значение kcom есть результат случайного процесса (случайная функция от независимых переменных).

Таким образом, представляется возможным следующее: получив выборочные характеристики эмпирического распределения kcom, установить распределение величины 4 (функционально связанной с kcom) и метод оценки вероятности ожидаемого значения 4.

Предлагается проверять гипотезы о нормальности распределения, о принадлежности выборки гамма-распределению, логарифмически-нормальному распределению, распределению Вейбул-ла и бэта-распределению [2-7].

Поскольку значение k изменчи-

com

во в результате влияния на процесс случайных факторов, воздействие которых носит аддитивный характер, а в совокупности никакой из факторов нельзя считать ведущим, то распределение kcom в силу указанных условий можно описывать предельной теоремой, т. е. распределение асимптотически нормальное.

Гипотеза о гамма-расспределении имеет следующее логическое объяснение. Пусть характеристика некоторого технологического процесса k являет-

com

ся результатом я-кратного циклического воздействия, интенсивность воздействия каждого цикла описывается постоянной величиной X. Результат каждого j-го цикла описывается значением характеристики kjcom, функция которой имеет форму экспоненциального распределения. Таким образом, характеристика k = k1 + k2 +

com com com

+... kn будет иметь у-распределение

№ 4' 2008

(49

с параметрами X и п = n.

Логарифмически-нормальное распределение описывает закономерность, реализующуюся при возможности представить значение случайной величины k в виде k = k1 k2 ...kn , где

com ^ com com com com7 ^

k — характеристики случайных не-

com

зависимых факторов, распределения которых имеют конечные моменты и удовлетворяют некоторым условиям.

B математической теории надежности с помощью распределения Вей-булла описывают, например, длительность безотказной работы агрегата, интенсивность выхода из строя которого можно выразить формулой 1 •

я)

где t — время.

Так как в результате проведения мероприятий по уплотнению грунта показатель k может необратимо увели-

com

чиваться, как параметр t, то можно предположить, что интенсивность может рассматриваться как условная вероятность того, что окончание работ по уплотнению грунта

com com com

произошло при условии достижения значения k . Если такая условная ве-

com

роятность

описывается

1 - F{x)

Л ст

х - k

\ti-i

проект

как

где

F(x) — функция распределения случайной величины k , то распределение k

com com

описывается как распределение Вейбулла.

Выбор в-распределения оправдан тем, что оно описывает закономерности появления величин, которые не могут принимать значения вне некоторого ограниченного множества:

k < k < k .

com проект com com пред

Вторым этапом является построение плотности распределения S. Если случайная величина k имеет плот-

com

ность распределения f = f(x), случайную величину S определяют так:

5 = Щкоош), где Н(коот) строго монотонная функция.

Плотность распределения случайной величины 5

p(t) = /[Ä-1(i)]

dx

dt

Для разрешения задачи в классе элементарных функций выполнена линеаризация формулы (1) разложением ее в ряд Тейлора. В результате в окрестности точки k = k формулу S = h(k ) мож-

com com com

но представить в следующем виде: S

com пл 1 2 com

где

Л =1-0,7

Л=0,3 + -^

8/

Плотность распределения p(t) случайной величины S будет зависеть от плотности распределения случайной величины k f(x):

com

m = f

л

t

Л Л^пл,

По каждой гипотезе получена расчетная формула для нахождения вероятности достижения ожидаемых значений S. В этих формулах значения функций вычисляются с помощью программного обеспечения Microsoft Excel.

Если принимается статистическая гипотеза о нормальном распределении k с параметрами X, а, то

сот х х 77

Ч^пл - «2 -

P(0<S<s2)=l-<P

где Ф(х) — функция распределения стандартного нормального закона.

Если принимается статистическая гипотеза о у-распределении ксот с параметрами п, А, то

P(0<S<S2)=1-F

Н^А - S2 и

г> Л»

где -Р(я,г|Д) = —it111 eudt, T(ti)= [t^e'dt. rWS Jo

Если принимается статистическая гипотеза о распределении Вейбулла величины k с параметрами п, о, то

com

Р(0 < S < S,) = 1 - F

нп»А - s2 ъ

ц, а

где

А

F(z,rbcj)=J

Ш t

1-1

CTV CJ

exp

'O4

dt.

Если принимается статистическая гипотеза о логарифмически-нормальном распределении величины коош с параметрами а, г, то

P(0<S<s2)=1-F

л

, Ц, СГ, К

(1п«-8)-Ц)2 " 2а2

dt.

где FQc ц>СТ,в)=}^_ехр

Если принимается статистическая гипотеза о в-распределении величины kcom с параметрами а, в на отрезке (k ; k ), то

com проект com пред

Р(0 <S<Sz) = l- Fx

х

W

ншА2

, а, Р, fc

сош т Л/com

проект' пред

где F(x, a, ftfe»^, Аилред) =

1 Да + Р);

ча-1

- J

t~k

Onhpoei

1—

t-k,

>гЪроект

k.

dt.

Проверка соответствия статистических гипотез конкретной выборке коэффициентов уплотнения kcom, полученной по результатам послойной укладки грунта в тело сооружения, целесообразно выполнять путем численного решения оптимизационной задачи, где целевой функцией (мерой расхождения) является непараметрический критерий Пирсона [7; 8]. Использование параметрических критериев исключается, так как все данные рассматриваемой выборки случайных величин k должны

com

соответствовать нормальному закону. Непараметрические критерии проверяют свойства гипотетического распределения, которые не сводятся к значениям параметров идентичности и не требуют знания типа распределения

выборки случайных величин. Среди прочих непараметрических критериев критерий Пирсона предпочтителен тем, что не требует создания специальных подпрограмм и определяется простыми арифметическими операциями.

Гипотеза принимается в случае, если расчетное значение критерия Пирсона оказывается меньше, чем значение границы 100а-процентного множества возможных значений статистики, попадание в которое маловероятно.

Примеры использования разработанной методики подтверждают нетрудоемкость и простоту данного прогнозного определения. В ходе исследования выборки коош с плотины «Сахаби» (Сирия) для оценки вероятности ожидаемого значения 4 была принята гипотеза о принадлежности выборки бэта-распределению с уровнем значимости 0,95. Другие гипотезы были отвергнуты. В случае исследования данных плотины «Саура» (Сирия) с уровнем значимости 0,95 была принята гипотеза о принадлежности выборки &оот гамма-распределению. Остальные гипотезы были отвергнуты.

Ключевые слова: эмпирическое распределение коэффициентов, уплотнение грунта, величина осадки, напорные грунтовые сооружения, плотина «Сахаби», коэффициент уплотнения грунта, гамма-распределение, плотность распределения, распределение Вейбулла.

Список литературы

1. Косте, Ж. Механика грунтов: практический курс [Текст] / Ж. Косте, Г. Сан-глера ; пер. с франц. В. А. Барвашова ; под ред. Б. И. Кулачкина. — М. : Строй-издат, 1981. — 455 с.

2. Базовский, И. Надежность. Теория и практика [Текст] / И. Базовский. — М. : Мир, 1965. — 373 с.

3. Егоров, В. Н. Статистические проблемы моделирования надежности производственных систем [Текст] / В. Н. Егоров, Д. И. Коровин // Вестник ИГУ. — 2000. — Вып. 4. — С. 67-72.

4. Крамер, Г. Математические методы статистики [Текст] / Г. Крамер. — М. : Мир, 1975. — 648 с.

5. Севастьянов, Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики

№ 4' 2008

[Текст] / Б. А. Севастьянов. — М. : Наука, 1982. — С. 236-239.

6. Хан, Г. Статистические модели в инженерных задачах [Текст] / Г. Хан, Г. Шапиро. — М. : Мир, 1969. — 395 с.

7. Harter, H. L. New Tables of the Incomplete Gamma-Function Ratio and of Percentage

Points of the Chi-square and Beta Distributions [Text] / H. L. Harter. — Aerospace Research Laboratories, U. S. Air Force, 1964. — 245 p.

8. Pearson, K. Tables of the Incomplete T-Function, Biometrics Office [Text] / K. Pearson. — University College, London, 1957. — P. 164.

УДК 502/504:556.3.01

Ю. Г. Буркова, канд. техн. наук, доцент

С. Н. Карамбиров, доктор техн. наук, профессор

П. М. Уманский, аспирант

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет природообустройства»

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПОДЗЕМНОГО ВОДОЗАБОРА

Предложен метод выбора параметров скважинной системы, учитывающий случайный характер водопотребления для разных гидрогеологических показателей. Цель исследования — обоснованный выбор оптимального варианта параметров подземного водозабора при проектировании, а также проведение машинного эксперимента для выбранного проектного варианта. Оптимизируемым критерием является величина интегральных дисконтированных затрат на строительство и эксплуатацию исследуемой системы за расчетный срок службы.

The method of parameters choice of the well system is proposed which takes into consideration a random character of water consumption for different hydro-geologic indicators. The aim of the research is a proved choice of the optimal alternative of the underground intake parameters at designing as well as fulfillment of the machine experiment for the chosen projected variant. The optimized criterion is a size of integral discounted expenses on construction and operation of the system under study during the service life.

Подземный водозабор является сложной системой, обладающей всеми ее характерными признаками. Рассмотрим процесс ее функционирования, используя метод имитационного моделирования [1, 2].

Целью исследования является обоснованный выбор оптимального варианта параметров подземного водозабора при проектировании, а также проведение машинного эксперимента для выбранного проектного варианта. Оптимизируемый критерий — величина интегральных дисконтированных затрат на строительство и эксплуатацию исследуемой системы за расчетный срок службы.

Исходными данными при расчете системы являются следующие:

1) принципиальная схема водозабора, из которой определяется общее число скважин, узлов и участков сети, координаты и отметки узлов сети, положение резервуара, длина, начальный диаметр, материал труб и положение задвижек на участках (эти величины могут меняться при вариантном проектировании);

2) границы рабочей зоны и марка насосов в скважинах;

3) характеристики резервуара (высота и площадь дна бака, высота дна бака от земли);

4) общие параметры системы (общий требуемый расход, заданное общее