Теория макросистем с точки зрения стохастической химической кинетики

УДК 519.217.2

Д. Р. Баймурзина, А. В. Гасников, Е. В. Гасникова

Московский физико-технический институт

Теория макросистем с точки зрения стохастической

химической кинетики

Статья приурочена к 60-летию А.А. Шананина

В статье изучается эволюция конкретных макросистем: люди в городе, обменивающиеся монетками; буквы, случайно появляющиеся и формирующие текст большой длины; люди, блуждающие по web-графу. Изучение эволюции этих макросистем, позволяет глубже проинтерпретировать соответственно: закон Парето распределения населения по богатству; закон Ципфа о ранговом распределении частот встречаемости слов в словаре; закон Брина-Пейджа (PageRank) ранжирования web-страниц. Все эти три сюжета собраны в данной работе не случайно. Мы посмотрим на них с единой позиции. А именно с позиции современной стохастической химической кинетики. Будет показано, что все три закона имеют одну суть, изложение которой и составляет предмет данной статьи.

Ключевые слова: равновесие макросистемы, концентрация меры, марковская динамика, условие детального баланса, скейлинг.

D. R. Baymurzina, A. V. Gasnikov, E. V. Gasnikova

Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University) Stochastic chemical kinetic approach to macrosystem theory

In this paper, we investigate the evolution of the known macrosystems (Pareto, Zipf-Mandelbrot, Brin-Page). We show that the evolution of these macrosystems can be described as a special Markov process with detailed balance condition. The stationary measure of this process has a multinomial form. We use modern versions of Sanov's theorem to estimate the concentration of this measure. At the end of the paper we give a general conception of the macrosystem and formulate total results of their equilibrium.

Key words: macrosystem, equilibrium, measure concentration, Markov process, detailed balance condition.

1. Введение

В данной статье мы постараемся пояснить важность формализма стохастической химической кинетики в изучении равновесий макросистем. Под макросистемой мы понимаем систему большого количества случайно взаимодействующих агентов. Мы будем интересоваться поведением такой системы на больших временах, в частности, необходимыми и достаточными условиями, при которых на больших временах такая система сходится к равновесию. При этом под равновесием будем понимать такое макросостояние, в малой окрестности которого концентрируется стационарная мера (динамику считаем марковской). Имеется большое количество конкретных примеров макросистем [1-11], встречающихся в самых разнообразных предметных областях (физика, биология, экономика, транспортное моделирование и т.д.). Однако в подавляющем большинстве случаев, при описании макросистемы не описывается ее эволюция (считается, что система уже находится в стационарном состоянии), не исследуется концентрация в окрестности равновесия. В данной статье будет изучаться эволюция макросистем и концентрация, возникающих при

этом стационарных мер. В отличие от подавляющего большинства работ, мы будем допускать, что макросистема характеризуется вектором чисел заполнений, размерность которого может зависеть от числа агентов.

Структура статьи следующая. В п. 2 мы приведем три игрушечных примера макросистем, изучение равновесий в которых может быть единообразно осуществлено, согласно технике, описанной в п. 3. Пункт г) теоремы п. 3 является оригинальным и представляющим наибольший интерес в статье.

2. Примеры макросистем

Далее мы рассматриваем три хорошо известных примера макросистем. Однако способ преподнесения материала представляется оригинальным. Также отметим, что приводимые ниже количественные оценки мы ранее не встречали в литературе. Эти оценки получаются исходя из формализма, описанного в п. 3, применимого к большому количеству макросистем.

Пример 1 (Кинетика социального неравенства и предельные формы). В некотором городе живет N ^ 1 жителей (четное число). В начальный момент у каждого жителя имеется по в монеток. Каждый день жители случайно разбиваются на пары. В каждой паре жители скидываются по монетке (если один или оба участника банкроты, то банкрот не скидывается, в то время, как не банкрот, в любом случае, обязан скинуть монетку). Далее в каждой паре случайно разыгрывается победитель, который и забирает «призовой фонд». Обозначим через с8 (¿) - долю жителей города, у которых ровно в, в = 0, ...,вМ, монеток на ¿-й день. Имеют место следующие оценки:

3 а> 0: V 0, t ^ aN ln N ^ P ( ||с (t) - с*||2 ^ + —^ ^ ^

2^2 +Vln(g-1)N

Vn

'ln2 N + ln

3 b,D> 0: V a> 0, t ^ bN ln N ^ P | ||c (t) - c*|1 ^ D\j-+ ) | < a,

li >

sN

где c*s ~ Сexp(-s/s), а С ~ 1/s находится из условия нормировки ^ Сexp(-s/s) = 1.

s=0

Таким образом, кривая (предельная форма [6], равновесие макросистемы [7]) Сexp(-s/s) характеризует распределение населения по богатству на больших временах. Этот результат восходит к работам итальянского экономиста Вильфредо Парето (см., например, [7]), пытавшегося объяснить расслоение населения по богатству. Насколько нам известно, ранее в таком контексте не приводились оценки скорости сходимости и плотности концентрации.

Для объяснения этого результата полезно рассмотреть схожий процесс, в котором каждой паре жителей приписан свой (независимый) «пуассоновский будильник» (звонки происходят в случайные моменты времени, соответствующие скачкам пуассоновского процесса; параметр интенсивность этого пуассоновского процесса называют интенсивностью/параметром будильника). Все будильники «приготовлены» одинаково: у всех у них одна и та же интенсивность XN-1. Далее следует погрузить задачу в модель стохастической химической кинетики с бинарными реакциями и воспользоваться результатом, приведенным в п. 3. Наиболее технически сложными моментами является оценка с помощью неравенства Чигера mixing time ~ N ln N [8] и получение поправки под корнем ln2 N.

К такой же предельной форме можно было бы прийти и по-другому (подход Булгакова-Маслова «разбрасывание червонцев в Варьете»). В некотором городе живет N ^ 1 жителей (изначально банкротов). Каждый день одному из жителей (случайно выбранному в этот

день) дается одна монетка. Тогда {с, (s^)}^N0 N—{Сexp (—s/s)}^N0.

Пример 2 (обезьянка и печатная машинка; закон Ципфа—Мандельброта). На

печатной машинке п + 1 символ, один из символов пробел. Обезьянка на каждом шаге случайно (независимо и равновероятно) нажимает один из символов. Прожив долгую жизнь,

обезьянка сгенерировала текст огромной длины. По этому тексту составили словарь. Этот словарь упорядочили по частоте встречаемости слова (слова - это всевозможный набор букв без пробелов, которые хотя бы раз встречались в тексте обезьянки между какими-то двумя пробелами). Так на первом месте в словаре поставили самое часто встречаемое слово, на второе поставили второе по частоте встречаемости и т.д. Номер слова в таком словаре называется рангом и обозначается буквой г. Предельная форма кривой, описывающей распределение частот встречаемости слов от рангов, имеет вид

г ^ С частота (г) ~ +в ,

где

log(n +1) п п"-1 а = —:-;—г-, в = -- , С =

log (п) ' п — 1' (п — 1)" '

Такой вывод закона Ципфа (с поправкой) был одним из двух, предложенных Бенуа Мандельбротом [9]. В работе [10] была предложена довольно общая схема, приводящая к закону Ципфа, в которую можно погрузить и обезьянку с печатной машинкой. А именно, предположим, что динамика (порождения слов в большом тексте) такова, что вероятность того, что в тексте из N ^ 1 слов слово Х\ (первое по порядку слово в ранговом словаре) встречалось Ni раз, х2 (второе по порядку слово в ранговом словаре) встречалось N2 раза и т.д., есть

N!

exp

N1!N2!...

i—г] Y,NkEk) ,

\ ken J

где Ек - число букв в слове с рангом к. Часто считают, что г] = 0, но зато динамика такова,

что число слов и число букв становятся асимптотически (по размеру текста) связанными

(закон больших чисел). Таким образом, к закону сохранения ^ = N добавляется при-

кем

ближенный закон сохранения ^ NкЕк — ЕN (Е - число букв в слове). Поиск предельной

кем

формы приводит к задаче

V [Щ 1п N + \Е^к} ^ тах ,

N^0, £ Nк=N кем кеN

где Л - либо равняется либо является множителем Лагранжа к ограничению NкЕк — ЕN. Стоит отметить, что к аналогичной задаче (с Ек = к) приводит поиск

кем

предельной формы в модели примера 1. Решение нашей задачи дает Nк = ехр (—ц — ЛЕк),

где у - множитель Лагранжа к ограничению ^ Nк = N. Далее, считают, что г (Е) - число

кем

различных используемых слов с числом букв, не большим Е, приближенно представимо в виде г (Е) — аЕ. Тогда Nк ~ к-1, где 7 = Л/1па.

Пример 3 (теорема Гордона—Ньюэлла и PageRank). Имеется N ^ 1 пользователей, которые случайно (независимо) блуждают в непрерывном времени по ориентированному графу (на т вершинах) с эргодической инфинитезимальной матрицей Л. Назовем вектор р (из единичного симплекса) Р^еИапк, если Лр = 0. Обозначим через щ (£) - число пользователей на г-й странице в момент времени £ ^ 0. Не сложно показать (теорема Гордона-Ньюэлла [13]), что п (¿) асимптотически имеет мультиномиальное распределение с вектором параметров Р^еИапк р, т.е.

N!

шлр (п (^=п) = щ, ...;.пт! р 11 ...  №.

Следовательно (неравенство Хефдинга в гильбертовом пространстве в форме [12]),

п

lim P

t—у^о

(п (!) ^ 2^2 +VM^A { ~ — р 2*-7N-

Этот же результат можно получить, рассмотрев соответствующую систему унарных химических реакций. Переход одного из пользователей из вершины г в вершину ] - означает превращение одной молекулы вещества г в одну молекулу вещества ], Пг (¿) - число молекул г-го типа в момент времени ¿. Каждое ребро графа соответствует определенной реакции (превращению). Интенсивность реакций определяется матрицей Л и числом молекул, вступающих в реакцию (закон действующих масс). Условие Лр = 0 в точности соответствует условию унитарности в стохастической химической кинетике (см. п. 3).

Отметим, что если воспользоваться теоремой Санова о больших уклонениях для мультиномиального распределения [14], то получим

N!

_/rtnl . /rtnm

Pi ... Рт

П1!  ...  П

exp ^—N ^ щ ln (щ/pi) +

где щ = ni/N, |Д| ^ т (lnN + 1). Однако последующее применение неравенства Пинскера не дает нам равномерной по т оценки в 1-норме. Как и ожидалось, выписанная в 2-норме оценка (правая часть неравенства под вероятностью) и так полученная оценка в 1-норме будут отличаться по порядку приблизительно в у/т раз, что соответствует типичному (по Б.С. Кашину) соотношению между 1 и 2 нормами. Слово «типично» здесь отвечает, грубо говоря, за ситуацию, когда компоненты вектора одного порядка. При этом важно отметить, что для многих приложений, где возникают предельные конфигурации (кривые), описывающиеся вектором с огромным числом компонент, имеет место быстрый закон убывания этих компонент (см., примеры 1, 2 и [4, 5]), т.е. такая ситуация «не типична» и можно ожидать лучшие оценки концентрации в 1-норме (см. пример 1).

3. Изучение динамики макросистемы с точки зрения стохастической химической кинетики

Предположим, что некоторая макросистема может находиться в различных состояниях, характеризуемых вектором п с неотрицательными целочисленными компонентами. Будем считать, что в системе происходят случайные превращения (химические реакции).

Пусть п ^ п — a + ß, (a, ß) £ J - все возможные типы реакций, где а и ß - вектора с неотрицательными целочисленными компонентами. Введем интенсивность реакции:

-ш—г

\a,ß) (п) = \«,ß) (п ^ П — а + ß) = N i K« Ц rn  ...  (rn — an + 1),

i: «¿>0

где Кß ^ 0 - константа реакции; при этом ^т 1 ni (t) = N ^ 1. Другими словами, X(a,ß) (п) - вероятность осуществления в единицу времени перехода п ^ п — а+ß. Здесь не предполагается, что число состояний т = dim п и число реакций | J| не зависят от числа агентов N. Тем не менее, если ничего не известно про равновесную конфигурацию с* (типа быстрого убывания компонент этого вектора), то дополнительно предполагается, что т ^ N - это нужно для обоснования возможности применения формулы Стирлинга при получении вариационного принципа (максимума энтропии) для описания равновесия макросистемы с* (в концентрационной форме). Однако часто априорно можно предполагать (апостериорно проверив), что компоненты вектора с* убывают быстро, тогда это условие можно отбросить. Так, например, обстоит дело в примере 1 п. 2. Описанный выше марковский процесс считается неразложимым. Имеет место

Теорема. а) {ß,n (t)) = {ß,n (0)) (inv) ^ вектор ß ортогонален каждому вектору семейства {а — ß}(aß)e j . Здесь { , ) - обычное евклидово скалярное произведение.

б) Если существует lim п (0)/Ж = с (0), K« := K« (n/N), т и |J| не зависят от

N ^те ß ß

N, то для любого t > 0 с вероятностью 1 существует lim п (t)/N = с (t), где с (t) - не

N ^те

случайная вектор-функция, удовлетворяющая СОДУ Гульдберга-Вааге:

§ = Е

(а, 3 3

Гиперплоскость (ту) (с очевидной заменой п ^ с) инвариантна относительно этой динамики.1 Более того, случайный процесс п (t)/N слабо сходится при N ^ ж к с(£) на любом конечном отрезке времени.

в) Пусть выполняется условие унитарности2

3 £> 0: V Л ^ Е К? П &Г = Е Ка П

а: (а,[5)е3 ] а: (а,0)£3 ]

Тогда неотрицательный ортант М™ расслаивается гиперплоскостями (ту), так что в каждой гиперплоскости (ту) уравнение (и) (положительно) разрешимо, притом единственным образом. Следовательно, существует, притом единственная неподвижная точка с* € (гпу) у системы (ГВ), являющаяся при этом глобальным аттрактором.

т

Система (ГВ) имеет функцию Ляпунова КЬ (с, £) = ^ сг 1п (сг/{¿).

г=1

Стационарное распределение описанного марковского процесса имеет носителем множество (ту) и (с точностью до нормирующего множителя) имеет вид

п, N! п , (е оП1.....(Ыгат - ехр (—N  кь (с, о),

п1! .....пт!

где £ - произвольное 'решение (и), не важно какое именно (от этого, конечно, будет зависеть нормирующий множитель, но это ни на чем не сказывается). При этом условие унитарности (и) является обобщением условия детального равновесия:3 (баланса)4

3 £> 0: V (а, Л) € ] ^ К? П (60? = К? П ,

принимающего такой вид для мультиномиальной стационарной меры.

Существует такая зависимость а (т, с(0)) (во многих приложениях можно убрать второй аргумент в этой зависимости), что

3 а = а (т, с(0)) : Va> 0, t^аN lnN ^ Р

п (*) _ с*

N

где

^-7N-

с* = а^ тах — Е сг 1п

хМожно сказать, что «жизнь» нелинейной динамической системы определяется линейными законами сохранения, унаследованными ею при скейлинге (каноническом). Этот тезис имеет, по-видимому, более широкое применение [15].

2Иногда это условие называют «условием Штюкельберга-Батищевой-Пироговой». В частности, такое название, предлагает, В.В. Веденяпин, имеющий к этому условию самое непосредственное отношение. На наш взгляд, если все-таки делать это условие именным, то точнее было бы его тогда назвать «условие Штюкельберга-Батищевой-Веденяпина-Малышева-Пирогова-Рыбко». Из-за громоздкого вида последнего, было отдано предпочтение варианту, предложенному С.А. Пироговым: «условие унитарности».

3В терминах примера 3 условие унитарности просто означает, что в равновесии для любой вершины имеет место баланс числа пользователей, входящих в единицу времени в эту вершину, с числом пользователей, выходящих в единицу времени из этой вершины. В то время как условие детального равновесия означает, что в равновесии для любой пары вершин число пользователей, переходящих в единицу времени из одной вершину в другую, равно числу пользователей, переходящих в обратном направлении. Понятно, что второе условие является частным случаем первого.

4Много интересных примеров макросистем, в которых Кр := Кр (те/Ж), и имеет место детальный баланс, собрано в книге [3].

2

а £ - произвольное 'решение (U), причем с* определяется единственным образом, т.е. не зависит от выбора £. Геометрически с* - это KL-проекция произвольного удовлетворяющего (U), на гиперплоскость (inv), соответствующую начальным данным с (0). Независимость этой проекции от выбора £ из (U) просто означает, что кривая (U) проходит KL-перпендикулярно через множество (inv).

г) Верно и обратное утверждение, то есть условие (U) не только достаточное для того, чтобы равновесие находилось из приведенной выше задачи энтропийно-линейного программирования, но и, с небольшой оговоркой (для почти всех с (0)), необходимое. Также верно и более общее утверждение, связывающее понимание энтропии в смысле Больцмана (функция Ляпунова прошкалированной кинетической динамики) и Санова (функционал действия в неравенствах больших уклонений для стационарной меры): если стационарная мера асимптотически представима в виде ~ exp(-N  V (с)), то V (с) -функция Ляпунова (ГВ).

Результаты п. а) взяты из [16], п. б) из [17, 18], п. в) из [16, 18], п. г) из [19]. Выписанная оценка скорости сходимости и плотности концентрации в п. в) ранее нам не встречалась. Также отметим, что ранее результаты п. г) были получены при дополнительном предположении Kp (n/N) = Kp.

К п. г) можно сделать следующее оригинальное пояснение. Обозначим через h (с) вектор-функцию, стоящую в правой части СОДУ (ГВ). Тогда (см., например, [2, 17]) при

N ^ 1 по теореме Т. Куртца п (t)/N O^log n/ Vn) - близко к xt = х (t) - решению стохастической системы дифференциальных уравнений (с начальным условием xq = с (0)) :

dxt = h (xt) dt + yj^^dWt.

N

где функция g (xt) > 0 рассчитывается по набору реакций и константам реакций (которые могут быть не постоянны и зависеть от концентраций), Wt - стандартный винеровский процесс. Стационарная мера т (х) = lim р (t,x) этого однородного марковского процесса

t—у^о

удовлетворяет уравнению:

V2 (g (х) т (х)) — div (h (х) т (х)) = 0,

поскольку плотность распределения р (t, х) процесса Xt подчиняется уравнению Колмогорова-Фоккера-Планка:

= —div (h (х) р (t, х)) + ^V2 (д (х) р (t, х)).

Здесь использовалось обозначение: V2/(х) = ^ d2f /dxidxj. Если известно, что

т (х) ~ const  exp (-N  V (х)), то из уравнения на т (х) имеем

N (h, VV) — div h — 1 (Vg, VV) + ^VV2g — 1 gV2V + ^9  (VV)2 - 0,

следовательно,

(h, vv ) - — 1 * (w)2+O ( -=-—2 ^ (w )2 ^0.

Эта выкладка поясняет, почему функция V (с) может быть функцией Ляпунова системы (ГВ) dc/dt = к (с). Более того, модель стохастической химической кинетики здесь может быть заменена и более общими шкалирующимися марковскими моделями [17].

4. Заключение

В основной части материалы данной статьи были получены в 2012-2014 гг. в развитие результатов кандидатской диссертации Е.В. Гасниковой. По сути, в статье представлена конспективная запись мини-курса, прочитанного А.В. Гасниковым в июле 2014 г. в ЛШСМ-2014 (г. Дубна). В статью также вошли результаты, полученные Д.Р. Баймурзиной в бакалаврской дипломной работе (МФТИ, 2015).

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 13-01-12007-офи_м, 15-31-70001

мол_а_мос.

Литература

1. Вильсон А.Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем. М.: Наука, 1978.

2. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986.

3. Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. М.: УРСС, 2010.

4. Mitzenmacher M. A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions // Internet Mathematics. 2003. V. 1, N 2. P. 226-251.

5. Newman М.Е.О. Power laws, Pareto distributions and Zipf's law // Contemporary physics. 2005. V. 46, N 5. P. 323-351.

6. Вершик А.М. Предельные формы типичных геометрических конфигураций и их приложения // Общематематический семинар «Глобус». Вып. 2. М.: МЦНМО, 2005. С. 103-125.

7. Dragulescu A., Yakovenko V.M. Statistical mechanics of money // The European Physical Journal B. 2000. V. 17. P. 723-729.

8. Levin D.A., Peres Y., Wilmer E.L. Markov chain and mixing times. AMS, 2009.

9. Wentian Li Random Text Exibit Zipf's-Law-Like Word Frequency Distribution // IEEE Transactions of Information Theory. 1992. V. 38(6). P. 1842-1845.

10. Шрейдер Ю.А. О возможности теоретического вывода статистических закономерностей текста (к обоснованию закона Ципфа) // Проблемы передачи информации. 1967. Т. 3, № 1. С. 57-63.

11. Гасников А.В., Дмитриев Д.Ю. Об эффективных рандомизированных алгоритмах поиска вектора PageRank // ЖВМиМФ. Т. 55, № 3. 2015. С. 355-371.

12. Гасников А.В., Гасникова Е.В., Мендель М.А., Чепурченко К.В. Эволюционные выводы энтропийной модели расчета матрицы корреспонденций // Математическое моделирование. 2016. Т. 28. arXiv:1508.01077 (принята к печати).

13. Serfozo R. Introduction to stochastic networks. Springer, 1999.

14. Санов И.Н. О вероятности больших отклонений случайных величин // Матем. сб. 1957. Т. 42(84):1. C. 11-44.

15. Веденяпин В.В., Аджиев С.З. Энтропия по Больцману и Пуанкаре // Успехи математических наук. 2014. Т. 69:6(420). С. 45-80.

16. Батищева Я.Г., Веденяпин В.В. II-й закон термодинамики для химической кинетики // Матем. Моделирование. 2005. Т. 17:8. С. 106-110.

17. Ethier N.S., Kurtz T.G. Markov processes. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Probability and Mathematical Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, 1986.

18. Малышев В.А., Пирогов С.А. Обратимость и необратимость в стохастической химической кинетике // Успехи мат. наук. 2008. Т. 63, вып. 1(379). С. 4-36.

19. Гасников А.В., Гасникова Е.В. Об энтропийно-подобных функционалах, возникающих в стохастической химической кинетике при концентрации инвариантной меры и в качестве функций Ляпунова динамики квазисредних // Математические заметки. 2013. Т. 94, № 6. С. 816-824.

References

1. Wilson A.G. Entropy in urban and regional modeling. Routledge, 2011.

2. Gardiner C. Stochastic methods. A Handbook for the Natural and Social Sciences. Springer, 2009.

3. Weidlich W. Sociodynamics: a System Approach to Mathematical Modellig in the Social Sciences. Amsterdam: Harwood Academic Publishers, 2000.

4. Mitzenmacher M. A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions. Internet Mathematics. 2003. V. 1, N 2. P. 226-251.

5. Newman M.E.O. Power laws, Pareto distributions and Zipf's law. Contemporary physics. 2005. V. 46, N 5. P. 323-351.

6. Vershik A.M. Limit forms of typical geometric configurations and their applications. Geometriya i topologiya. 7, Zap. nauchn. sem. POMI. 280. POMI. SPb., 2001. 73-100.

7. Dragulescu A., Yakovenko V.M. Statistical mechanics of money. The European Physical Journal B. 2000. V. 17. P. 723-729.

8. Levin D.A., Peres Y., Wilmer E.L. Markov chain and mixing times. AMS, 2009.

9. Wentian Li Random Text Exibit Zipf's-Law-Like Word Frequency Distribution.IEEE Transactions of Information Theory. 1992. V. 38(6). P. 1842-1845.

10. Shreider Yu.A. Theoretical Derivation of Text Statistical Features (A Possible Proof of Zipf's Law). Probl. Peredachi Inf. 3:1 (1967). 57-63.

11. Gasnikov V., Dmitriev D.Yu. Efficient randomized algorithms for PageRank problem. Comp. Math. and Math. Phys. 2015. V. 54, N 3. P. 355-371.

12. Gasnikov A.V., Gasnikova E.V., Mendel M.A., Chepurchenko K.V. Evolutionary inference of entropy model for traffic demand matrix calculation. Math. Mod. 2016. V. 28. arXiv:1508.01077.

13. Serfozo R. Introduction to stochastic networks. Springer, 1999.

14. Sanov I.N. On the probability of large deviations of random magnitudes. Mat. Sb. (N.S.). 42(84):1 (1957). 11-44.

15. Vedenyapin V.V., Adzhiev S.Z. Entropy in the sense of Boltzmann and PoincareM. Uspekhi Mat. Nauk. 69:6(420) (2014). 45-80.

16. Batishcheva Ya.G., Vedenyapin V.V. The 2-nd low of thermodynamics for chemical kinetics. Matem. Mod., 17:8.

17. Ethier N.S., Kurtz T.G. Markov processes. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Probability and Mathematical Statistics. John Wiley & Sons Inc. New York, 1986.

18. Malyshev V.A., Pirogov S.A. Reversibility and irreversibility in stochastic chemical kinetics. Uspekhi Mat. Nauk. 63:1(379) (2008). 3-36.

19. Gasnikov A.V., Gasnikova E.V. On Entropy-Type Functionals Arising in Stochastic Chemical Kinetics Related to the Concentration of the Invariant Measure and Playing the Role of Lyapunov Functions in the Dynamics of Quasiaverages. Mat. Zametki. 94:6 (2013). 819-827.

Поступила в редакцию 28.08.2015.