Упругие колебания тросовой системы

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. № 6

УДК 531.36: 534.1

85

УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ1

© 2009 Б.В Иванов2

Рассматривается движение вокруг центра масс упругой тросовой системой, состоящей из двух концевых тел и невесомого упругого троса, а также находящейся в развернутом положении. Центр масс системы движется по эллиптической траектории. С помощью уравнения Лагранжа второго рода построены уравнения движения упругой тросовой системы, в качестве независимой переменной выбран угол истинной аномалии. Найдено аналитическое решение, описывающее упругие колебания растянутого троса.

Ключевые слова: тросовая система, упругие колебания, гравитационный момент, хаос.

1. Формулировка проблемы

Анализу космических тросовых систем (ТС) посвящены многочисленные научные работы, например [1-8], в которых объектами исследований являлись трос, полезный груз и КА. Орбитальные тросовые системы могут применяться для различных задач перемещения полезной нагрузки в космическом пространстве, в том числе и для доставки полезной нагрузки на поверхность Земли. В работах [1-5] изучается движение тросовой системы, в работах [6, 7] рассматривается поведение КА относительно центра масс под действием гравитационного момента [8] и момента от силы натяжения троса. В монографии [1] отмечаются упругие свойства троса, в настоящей статье рассматривается поведение тросовой системы под действием гравитационного момента и сил упругости троса. Будем полагать, что тросовая система состоит из двух концевых материальных точек массой Ш\ и т2 , упругого троса, который всегда находится в растянутом положении. Построим с помощью уравнения Лагранжа второго рода математическую модель системы, весьма простую, легко интерпретируемую, сохраняющую

хРабота выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00384-а).

2Иванов Борис Всеволодович (boris063@mail.ru), кафедра теоретической механики Самарского государственного аэрокосмического университета им. акад. С.П. Королева, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, 34.

основные особенности физической модели и отражающую основные закономерности движения. Это позволит проверить основные предположения по поведению системы.

2. Уравнения Лагранжа второго рода

При выводе уравнений движения будем пренебрегать массой троса, аэродинамическими силами и солнечным давлением. Полная масса системы

т = т1 + т2

Кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии центра масс Тс и кинетической энергии двух материальных точек Ті и Т2 относительно поступательно движущейся системы координат СХсУс с началом в центре масс

Т = Тс + Ті + Т2

В качестве обобщенных координат примем:

9і = г,д2 = 1,9з = $,94 = V,

где г = ОС — расстояние между центром Земли и центром масс системы С,

I — длина троса, $ — угол истинной аномалии центра масс системы (система координат Оху располагается в плоскости орбиты, ось Ох направлена

на перигей), ^ — угол отклонения троса относительно местной вертикали (см. рисунок).

Рис. Тросовая система

Кинетическая энергия центра масс соответствует абсолютному движению центра масс системы по орбите и включает в себя радиальную и транс-

версальную скорости:

Тс = 2 шт2 + г2 і)2

Кинетическая энергия относительного движения материальных точек определяется формулами

ті = 2 тУ2,

где УгГ — скорости концевых точек тросовой системы относительно центра масс системы О (г = 1, 2). Относительные скорости точек 1 и 2 в системе координат ОХс Ус имеют вид

УгГ = {х1 + у2)1,

где

Х\ = /1 008($ + ф), у1 = /1 8т($ + ф),

Х2 = -12 0О8

11 = ^1,12 = ^1. т т

Дифференцируя координаты (2.6) по времени и подставляя производные в (2.5), а также имея в виду формулы (2.3) и (2.4), запишем кинетическую энергию системы (2.1) следующим образом:

Т = 1 т

где т = (т1т2)/т, /* = т^2 + т2/| = т*/2 — момент инерции.

Потенциальная энергия системы состоит из потенциала центрального поля силы тяжести [8] и потенциальной энергии силы упругости троса

^ = А" + +2

где - — гравитационный параметр, с — коэффициент упругости, /о — длина ненапряженного троса, п, Г2 — расстояние между центром Земли и точками 1 и 2. Выразим п и Г2 в выражении

™ = - - ( , т1 + , т = I +2(/ - 1оУ

Г \ ^1 + Г2 +2 Г 008 ф ^1 + П - 2 Г 008 ф/ 2

и упростим это выражение, имея в виду, что длина троса существенно меньше расстояния от центра масс тросовой системы до центра Земли

!«1.

Г

В результате имеем

^Ш | /л!* м 0 2 С п \2

^ ~ + 2Гз

С учетом (2.7) и (2.9) для лагранжиана

1 т(Г2 , Г2#2) , т* /2 + I! (ф + ^ 2 -т

~ Г

Ь = Т - W = 1 т

уравнения Лагранжа второго рода примут вид

к

М qj

Т+—-- = Яз ’

где Qj — силы управления, демпфирования, аэродинамические и иные непотенциальные силы, j = 1, 4, qi = r, q2 = l, q3 = $, q4 = ф.

Для лагранжиана (2.10) уравнения Лагранжа (2.11) имеют вид

r — r$2 + Г2 - 2mr4

l +-----

m* r3 4 ' \ /

I* ^$ + <rj + 2mll (ф + $j + -Tp sin ф cos ф = Qv.

Применим известный прием [1] и перейдем в уравнениях движения (2.12)—(2.15) к новой независимой переменной — углу истинной аномалии $. При этом будем полагать, что движение центра масс системы не зависит от относительного движения системы и центр масс движется по эллиптической траектории

r = j, $ = А/-3 к2 = nk2,

Р $ = 1-2 _ ^ 7„2

j у p3

где к = 1 + е cos 0, p — параметр орбиты, e — эксцентриситет орбиты. Для произвольной функции f (t) первая и вторая производные в силу (2.16) имеют вид

f = nk2f',

f = n2k3

где ()' = dL, ()'' = dip. Дифференцирование по времени t второй формулы из (2.16) дает следующий результат:

0 = —2n2k3e sin 0.

Перепишем уравнения относительного движения тросовой системы (2.13) и (2.15) с учетом (2.16)—(2.18) в виде

kl" — 2el' sin $ + n2j3m*

I* (кф" — 2еф sin 0) + 2km*ll' (1 + ф') — 2eI* sin 0 + 3I* sin ф cos ф = Q^3.

n2k3

3. Упругие колебания тросовой системы

Будем считать, что обобщенные силы Qi и Qv отсутствуют. Тогда уравнения (2.20) и (2.21) примут вид

С l о e

l' + т n2j4

l'

ф" + 2—

l k k

Отметим, что уравнение (3.2) является обобщением уравнения (39) из [2]

для упругого троса, а уравнение (3.1) - обобщением уравнения (8) из [3].

Рассмотрим случай, когда центр масс тросовой системы движется по

круговой орбите e = 0, тогда уравнения (3.1) и (3.2) примут вид

г" + —2

ш*п2

г

ф" + 3 8т ф еоэ ф = —2г

Предположим, что трос развернут по местной вертикали и не меняет своего углового положения (ф,ф',ф'' = 0), тогда уравнение (3.3) можно упростить

с

г'' + —2

ш*п2

Перейдем в уравнении (3.5) к безразмерной длине троса

т = V

в результате получим следующее линейное неоднородное уравнение второго порядка:

Ь'' + О2Ь = 3 + О2,

где

О = /^'

п\ ш*

Равновесное положение троса из уравнения (3.6) определяется формулой

3 + О2 Ь '

При начальных условиях: Ьо = 0 :

ь = ь1,ь' = ь0

решение уравнения (2.7) имеет вид

т'

Ь = Ь1 + "О°

Если рассматривать случаи движения, когда трос всегда находится в растянутом положении (Ь > 1), тогда начальная скорость груза не должна превышать следующего значения:

Ь0 < О'

Заключение

В статье получены уравнения движения упругой тросовой системы, которые обобщают известные математические модели, например [2, 3], и позволяют проводить исследование движения космической тросовой системы с учетом упругости троса. Очевидно, что уравнения (3.1) и (3.2), имея в виду колебательный характер движения концевых грузов (3.7), позволяют исследовать хаотическое поведение тросовой системы не только в силу малого эксцентриситета [3], но и в силу упругих колебаний троса.

Автор выражает благодарность за постановку задачи и постоянное внимание к работе профессору В.С. Асланову.

Литература

[1] Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990. 329 с.

[2] Williams P., Blanksby C., Trivailo P. Tethered planetary capture: controlled maneuvers // Acta Astronautica. 2003. V. 53. P. 681-708.

[3] Misra A.K. Dynamics and control of tethered satellite systems // Acta Astronautica. 2008. V. 63. P. 1169-1177.

[4] Сидоров И.М. Об использовании тросовых систем для создания постоянно действующего транспортного канала в космическом пространстве // Полет. 2000. № 8. С. 36-39.

[5] Асланов В.С., Ледков А.С., Стратилатов Н.Р. Пространственное движение космической тросовой системы, предназначенной для доставки груза на Землю // Полет. 2007. № 2. C. 28-33.

[6] Асланов В.С. Колебания тела с орбитальной тросовой системой // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 6. С. 1027-1033.

[7] Aslanov V.S. The oscillations of a spacecraft under the action of the tether tension moment and the gravitational moment // AIP. Conf. Proc. 2008. V. 1048. P. 56-59.

[8] Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 с.

Поступила в редакцию 18/VT/2009; в окончательном варианте — 18/VT/2009.

THE ELASTIC VIBRATIONS OF THE CABLE SYSTEM3

© 2009 B.V. Ivanov4

The motion of elastic cable system around the center of mass is considered. Cable system consists of two end objects and an imponderable elastic cable which is in an unrolled position. The center of mass of a system moves on an elliptical trajectory. By means of Lagrange’s equations of the second kind, the equations of motion of the elastic cable system are constructed, as an independent variable the angle of true anomaly is chosen. The analytical solution describing elastic vibrations of the stretched cable is found.

Key words: tethered system, elastic vibrations, gravitational moment, chaos.

Paper received 18/VI/2009. Paper accepted 18/VI/2009.

3This research was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project № 09-01-00384-a).

4Ivanov Boris Vsevolodovich (boris063@mail.ru), Dept. of Theoretical Mechanics, Samara State Aerospace University, Samara, 443086, Russia.