Сравнительный анализ дифференциально-сглаживающих и классических операторов с использованием относительных метрик

Телевидение и обработка изображений

УДК 681.323:621.391.837

И. В. Разин

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

п

Сравнительный анализ дифференциально-сглаживающих и классических операторов с использованием относительных метрик

Проведен сравнительный анализ дифференциально-сглаживающих и классических операторов. В качестве входного воздействия на дифференциальные операторы использованы тестовый сигнал и аддитивная смесь его с шумом. Тестовый сигнал представляет собой последовательность профилей трех моделей перепада яркости, которые можно определить терминами "ступенчатый", "трапециевидный" и "колоколооб-разный". Для сравнительной оценки операторов введены две относительные метрики, оценивающие меру превосходства по помехозащищенности и по близости формы откликов дифференциально-сглаживающих операторов к откликам классических операторов.

Весовая функция, дифференциально-сглаживающий оператор, модель перепада яркости, отклик оператора, эталонный сигнал, эвклидова метрика, метрика помехозащищенности, метрика близости по форме, относительная метрика

Одним из важнейших этапов анализа регистрируемой информации является идентификация одномерных или многомерных сигналов [1], [2]. Этот процесс неразрывно связан с измерением разнообразных характеристик регистрируемых сигналов [3], [4]. Следовательно, собственно идентификации должен предшествовать этап разработки или выбора методов измерения анализируемой информации, а также технических или программных средств их реализации [5]. Оценка качества методов и средств измерения невозможна без метрологического анализа, который, в свою очередь, невозможен без выбора подходящей модели перепада сигнала (яркости изображения), выступающей в качестве объекта исследования. Для решения этого взаимоувязанного между собой комплекса возникающих задач разработаны математические модели пространственного перепада яркости и их профилей, пространственных дифференциально-сглаживающих операторов, а также система для экспресс-анализа исследуемых сигналов и полутоновых изображений, позволяющая синтезировать программные средства измерения, задавать тестовые сигналы (изображения) и получать необходимые количественные оценки их описания [6].

Одной из фундаментальных составляющих изображения, играющих существенную роль в его осмыслении, являются "перепады яркости" - разрывы воспринимаемой яркостной картины. В литературных источниках по анализу изображений, как правило, ограничиваются рассмотрением неоднородности (discontinuity) изображения первого и второго родов. В качестве неоднородности первого рода используют простейшую модель ступенчатого перепада (step edge) или более реалистичную модель наклонного перепада (ramp edge) яркости [7], а для неоднородности второго рода - модель "крышеобразного" перепада (roof edge) [8].

Пространственные модели перепада яркости. Настоящая статья посвящена вопро-© Разин И. В., 2010

Ф1

Ф2

А

С

d1

d2

А ' 1 \ 1 \ 1 N 1

1 ' № ! 1 1 Л \Д2

1 1 1 -

0 &

С 0

Ф1(П)=

а б в

Рис. 1

сам метрологического анализа дифференциально-сглаживающих операторов, предложенных в работе [9], и классических дифференциальных операторов Собела и Превитта [1]. Метрологический анализ применяемых к изображению дифференциально-сглаживающих операторов выполнен с использованием ряда пространственных моделей перепада яркости, изменяемые параметры которых позволяют отразить многообразие его проявления на реальном изображении. Без существенного ограничения общности перепады представлены одномерными моделями изменения яркости в направлении градиента: рис. 1, а - ступенчатый перепад, рис. 1, б - трапециевидный перепад и рис. 1, в - колоколообразный перепад.

Традиционно для количественного анализа работы классических операторов использовались простейшие модели ступенчатого либо наклонного перепада яркости [2]. Положение и ориентацию ступенчатого перепада относительно начала координат изображения задают в виде пятипараметрической модели (рис. 1, а):

С, п <

С + А, & < п < &2; С, п > &2,

где С - уровень фонового сигнала; п - координата вдоль направления градиента яркости;

и &2 - позиции положительного и отрицательного фронтов перепада яркости относительно начала координат; А - величина перепада.

Наклонный перепад представляет собой частный случай более сложного трапециевидного перепада (рис. 1, б):

С, п < ;

С + (п -&з) tgУ1, &з < п < &4; С + (&4 - &з ) tg У1, &4 < п < ; С + (&4 -&з)tgУ!-(п-)tgу2, п > &5; С, (&4 - &з ) tg У1 <-(п - &5 ) ШУ2, где &з, &4 - позиции начала и конца положительного фронта перепада соответственно;

У1 = arctg [А/(&4 - &з )] и у2 - углы, задающие крутизну положительного и отрицательного

фронтов перепада соответственно; &5 - позиция начала отрицательного фронта перепада.

Определению "крышеобразного" перепада удовлетворяет модель колоколообразного перепада яркости (рис. 1, в):

Ф2(п)=

Фз (п) = фз (п) = С + АЦ + ехр [-«1 (п - d6 )]} - АЦ + ехр [-а2 (п - d7 )]}, где а1 и а2 - параметры, задающие крутизну положительного и отрицательного фронтов перепада соответственно; d6 и d7 - позиции, при которых фз (п) = С + А/2.

Классические дифференциальные операторы первого порядка. Поскольку основная информация об отображаемых объектах изображения заключена в перепадах его яркости, вполне естественен переход от исходного изображения объекта к его контурному описанию, которое используется в дальнейшем при решении широкого круга задач обработки и анализа изображений [1], [2], [9]. Анализ этих работ позволяет выделить три метода формирования контурного сигнала: пространственное дифференцирование, аппроксимацию и высокочастотную фильтрацию в спектральной области. Наиболее распространенным является метод пространственного дифференцирования, в основу которого положен анализ скорости изменения функции яркости. Используемые при этом методы численного программирования дают хорошие результаты при условии, если применяемые операторы сочетают в себе операции сглаживания и дифференцирования функции яркости [7].

Указанное сочетание операций реализовано в классических дифференциальных операторах Превитта и Собела, имеющих апертуры с размерами 3 х 3 элемента изображения (пикселя). Весовая функция пространственного дифференцирующего по оси k оператора

Л(1+0)( k, п) может быть представлена произведением двух одномерных операторов: дифференцирующего Л(1)(k) = {1 0 -1} и сглаживающего в перпендикулярном направлении

Л(0) (п) = {1 7 1} : Л(1+0)(k, п) = Л(1)(k) Л(0)(п) (рис. 2, а). Весовая функция оператора, дифференцирующего по оси п и сглаживающего по оси k, описывается как Л(0+1)(k,п) = Л(0)(k)Л(1)(п), Л(0)(k) = {1 7 1}; Л(1)(п) = {1 0 -1} (рис. 2, б). Операторы Превитта и Собела различаются значениями коэффициента при центральном элементе сглаживающей составляющей: для оператора Превитта 7 = 1, для оператора Собела 7 = 2.

В рассмотренных классических операторах сглаживание осуществляется только в направлении, ортогональном направлению дифференцирования. Таким образом, существует

потенциальная возможность повышения помехозащищенно-

~ а б

сти этих операторов введением дополнительной операции р

сглаживания сигнала в направлении его дифференцирования.

Модели дифференциально-сглаживающих операторов на основе гладких функций.

Методика синтеза пространственных дифференциально-сглаживающих операторов на основе гладких функций подробно изложена в [9]. Гладкая функция выполняет сглаживание в направлении одной из координатных осей, а ее производная - дифференцирование и дополнительное сглаживание в направлении другой оси. Такое сочетание операций, выполняемых гладкой функцией и ее производной, позволяет повысить помехозащищенность синтезируемых операторов по сравнению с классическими операторами и устранить возникновение артефактов на изображении. При этом гладкая функция должна удовлетворять следующим условиям:

1 0 -1

7 0 -7

1 0 -1

-1 -7 -1

0 0 0

1 7 1

• симметрии относительно оси ординат;

• непрерывности (дважды дифференцируемости) и наличия максимума в начале координат;

• асимптотического стремления функции и ее производных к нулевому уровню при увеличении по модулю ее аргумента.

В качестве исходных базовых функций для синтеза дифференциально-сглаживающих операторов в настоящей статье использованы "гладкие" функции:

• Гаусса: (k) = ехр (^2/2а2с);

• Лоренца: /[0)( k ) = \/ 1 + (k 2/ а0Ь )Ь

• Моффата: /^0)(k) = (1 + k 2/а°°м) Ь ;

• Баттерворта: /В0) (k) = 1 + (k| аов / где Ь и ао* - задаваемые параметры гладкой функции*.

Производные первого порядка этих функций при Ь = 2 имеют вид**:

(k) = (k)]' = -k ехр (-k72аОс); /£) (k) = -k3/(а^ + k4 )2;

/М(k) = - k|(а°м + k2 )3; /В1) (k) = - ^(а2в + k2)°.

В [9] определены значения параметров а^*, при которых экстремумы производных приходятся на значения аргумента | = 1:

°1Ь = = 1.136; стш = 45 = 2.236; ою = 1; аш = 73 = 1.732.

Задание значений а^* согласно (1) обеспечивает наибольший отклик (чувствительность дифференциального оператора) на перепад яркости малоразмерного объекта на изображении. Весовые функции дифференциально-сглаживающих операторов определяются

/к

^ /(1) (k), где К - количество эле-

k =0

ментов апертуры в направлении суммирования (рис. 3, а). Для |&з| = 1 р = 6. Задание удвоенных в сравнении с (1) значений а^* :

а1Ь = 24^3 = 2.272; а1М = 275 = 4.472; а1С = 2; а1в = 2л/3 = 3.464

обеспечивает положение экстремумов производных в точках |&з| = 2 (рис. 3, б, К = 9) и используется для подчеркивания более пологих и протяженных перепадов яркости. Дальнейшее пропорциональное увеличение а1* приводит к удалению экстремумов весовых функций операторов от центральных элементов.

* Здесь и далее обобщающий символ "*" для операторов Гаусса, Лоренца, Моффата, Баттерворта и Превитта заменяются символами в, Ь, М, В, Р соответственно.

** Параметры а1* в необходимых степенях в качестве сомножителей в формулах играют роль масштабирующих коэффициентов и в дальнейшем анализе опущены.

К

0.25

0

-0.25 -0.5

а б

Рис. 3

Производные являются нечетными функциями и имеют выраженные экстремумы при значениях аргумента, задаваемых |&э|. Все производные асимптотически (хотя и с

разной скоростью) стремятся к нулю при увеличении (по модулю) целочисленного значения аргумента. Тем самым такие операторы по-разному учитывают вклад разноудаленных от центра их апертур элементов изображения. Суммы положительных и отрицательных весовых коэффициентов для приведенных на рис. 3 нормированных весовых функций операторов по модулю равны единице.

Модель тестового сигнала на основе профилей пространственных перепадов яркости. В настоящей статье использованы три функции, моделирующие представленные на рис. 1 перепады яркости [10]. Сравнительной метрологической оценке подвергнуты одномерные дифференциально-сглаживающие операторы Лоренца, Моффата, Гаусса, Баттерворта и классический оператор Превитта (оператор Собела в этом случае не отличается от оператора Превитта). Входным воздействием для операторов являлись тестовый сигнал Г (п) и аддитивная смесь тестового сигнала с шумом

Гш

Тестовый сигнал Г (п) описан математической моделью (рис. 4, а):

С, п < dl;

С + А, d1 < п < d2;

С , d2 < п < dз; С + (п-dз) tgУ1, dз < п < d4; С + (d4 - dз ) tg У1, d4 < п < d5;

С + (d4 -dз)tgУ1 +(п-d5)tgу2, п > d5;

С, (d4 -^)tgУ1 <(^ -п)tgУ2;

С + в/Ц + ехр [-^1 (п - d7 ) Л - ВЦ + ехр [-а2 (п - d8 )]}, п > d6 с параметрами: С = 10, А = 8, d1 = 25, d2 = 50, d3 = 75, d4 = 85, d5 = 95, у: = 75°, у 2 = 120°, d6 = 155 (определяет начало переднего фронта колоколообразного перепада), d7 = 170, d8 = 210, а: = 0.4, а2 = 0.2, В = 48.

Г ( п ) =

F

100 150 а

100 150

б

Рис. 4

Этот сигнал представляет собой последовательность перепадов ф^(п), ф2 (п) и Фз (п) (см. рис. 1). Длительность тестового сигнала 250 пикселей. На рис. 4, б показан

тестовый сигнал, искаженный аддитивным гауссовским шумом с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением 0.156.

Метрологический анализ откликов дифференциальных операторов на входное воздействие. Отклики дифференциально-сглаживающих операторов и оператора Превит-та на тестовый сигнал и аддитивную смесь тестового сигнала с шумом определяются сверткой с весовыми функциями операторов:

*( п ) = Ъ ( п ) #*°( п )= I Ъ ( п - k ) #*:)( k );

*ш ( п ) = ( п) #*°( п )= I ( п - k ) #*:)( k ).

k=-3ст

Указанные отклики приведены на рис. 5. Сплошными линиями показаны отклики операторов *ш (п) на зашумленный сигнал, пунктирными линиями - отклики * (п) на

Lш,L,P

10 5 0 -5 -10 -15

Gш,G,P 15 10 5 0 -5 -10 -15

0 50 100 150 200

G—Р

0 50 100 150 200

Мш,М,Р 15 10 5 0 -5 -10 -15

— Мш.....М-Р

Ь ш (лк

у II*'

. П. л дА|Л м М1 1,4.

Н V"" V

J_I_I_I_

0 50 100 150 200

Вш,В,Р 15 10 5 0 -5 -10 -15

— Вш-.-Б Р

I/

п

Рис. 5

411 и А,.

У4"

0 50 100 150 200

п

п

п

Р Р 1 ш' 1

15 10 5 0 -5 -10 -15

100 Рис. 6

150

200

сигнал в отсутствие шума, серыми линиями - эталонный отклик Р (п). Для сравнения на рис. 6 приведены отклик оператора Превитта на зашумленный сигнал Рш (п) (сплошная линия) и эталонный отклик Р (п) (серая линия). Для указанных откликов | = 1. Аналогичные отклики получены для дифференциально-сглаживающих операторов при |&э | = 2... 5.

Из сравнения графиков на рис. 5 следует существенное различие в откликах операторов: качественный вывод заключается в том, что дифференциально-сглаживающие операторы более чувствительны в сравнении с оператором Превитта, но больше "затягивают" перепады. Затягивание, подтвержденное результатами экспериментальных исследований [11], - следствие сглаживания сигнала в направлении его дифференцирования.

Для проведения сравнительного количественного анализа откликов дифференциально-сглаживающих операторов первого порядка и оператора Превитта на тестовый сигнал и его аддитивную смесь с шумом использованы две эвклидовые метрики, дающие абсолютные оценки их качества.

Первая метрика р^* = (п)-*(п)]2 оценивает меру близости между откликом

дифференциального оператора на тестовый сигнал * (п) и его же откликом на смесь тестового сигнала с шумом *ш (п). Чем меньше эта величина, тем меньше различие между откликами, и тем менее оператор подвержен действию шумовой составляющей сигнала. Тогда обратная величина 1/ р^* имеет смысл оценки помехозащищенности дифференциального оператора, и чем больше эта величина, тем большей помехозащищенностью обладает дифференциальный оператор.

Использовав свойство дистрибутивности свертки, с учетом (3) и (4) получим выражение для р!* в виде

Р1* =

I {[ F ( п) + 5 ( п)]  Н*1 (п ) - F ( п)  Н*1) ( п)}

V

I5

Подкоренное выражение представляет собой полную энергию шума на выходе оператора, т. е. величина метрики определяется только характеристиками данного дифференциального оператора и шума. Это означает, что величина метрики р^* инвариантна к тестовому

сигналу и не зависит от его формы. Она инвариантна также и к закону распределения шума, однако, как отмечено, зависит от его энергии.

Вторая метрика р2* = (п)-Р(п)]2 оценивает меру близости между откликом

дифференциального оператора на смесь тестового сигнала с шумом *ш (п) и откликом

2

п

п

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 6======================================

оператора Превитта Р (п) на тестовый сигнал. Приняв отклик классического оператора Превитта на любой тестовый сигнал за эталон, можно считать, что метрика Р2* оценивает

меру близости формы отклика дифференциального оператора к эталонному сигналу. Чем меньше эта величина, тем меньше различие между указанными откликами и тем ближе по форме отклик *ш (п) аттестуемого оператора на зашумленный сигнал (п) к эталонному сигналу Р(п). Обратная метрика 1/ Р2* с приближением отклика дифференциального оператора *ш (п) к эталонному сигналу возрастает.

Раскроем выражение для второй метрики аналогично (5):

Р2* =

I {[F (п) + 5 (п)]  я!1) (п) - F (п)  Н (п)}

I

п

F ( п )  Н^1) ( п ) - F ( п )  Н ( п ) + 5 ( п )  ( п ^ 2

Подкоренное выражение для оператора Превитта также определяет полную энергию шума на его выходе. Для любого дифференциально-сглаживающего оператора подкоренное выражение определяет полную энергию суммы двух составляющих: F ( п ) Н1 ( п )-

-F ( п ) НР1)( п ) и 5 ( п ) Н°( п ). Первая составляющая представляет собой разность

между откликом дифференциально-сглаживающего оператора и откликом оператора Пре-витта на тестовый сигнал, а вторая - отклик оператора на шумовую составляющую сигнала. Для операторов с |кэ| = 1...5 получены оценки обратных метрик 1/Р1* и 1/Р2* (табл. 1).

Анализ обратной метрики 1/Р1* показывает, что наиболее помехозащищенным является оператор Баттерворта, а далее помехозащищенность уменьшается в следующей последовательности: операторы Моффата, Гаусса и Лоренца. Наименее помехозащищен оператор Превитта. Как видно из данных табл. 1, по мере увеличения |кэ| возрастают и значения обратной метрики 1/Р1*, т. е. помехозащищенность дифференциально-сглаживающих операторов.

Для обратной метрики 1/ Р2* аналогичной тенденции не наблюдается. С ростом |кэ | значения обратной метрики 1/ Р2* для всех дифференциально-сглаживающих операторов уменьшаются, что говорит о возрастающих отличиях форм их откликов от эталонного сигнала. Для оператора Превитта рассмотренные метрики равны между собой и для ана-

2

Таблица 1

кэ 1РШ 1 Рю 1Р1М 1Р1В 1/р^ -103 1Р2G •103 1Р2М •103 1/р2в -103

1 0.022 0.025 0.032 0.036 21 23 22 20

2 0.036 0.042 0.049 0.052 15 15 12 11

3 0.043 0.052 0.056 0.057 9.9 9.77 8.6 8.22

4 0.048 0.056 0.058 0.058 7.54 7.67 7.33 7.21

5 0.050 0.057 0.057 0.057 6.34 6.80 6.70 6.68

лизируемой смеси тестового сигнала с шумом =Р2Р = /Х[Рш(п)-Р(п)]2 =55.754.

Соответствующие обратные метрики равны 1/ р^Р = 1/ Р2Р = 0.018.

Значения обратных метрик дают весьма важные оценки качественных параметров операторов, но, поскольку являются абсолютными, не обеспечивают сравнительную оценку дифференциально-сглаживающих операторов с классическим оператором Превитта. Для получения сравнительных оценок введены две относительные меры. Первая из них получила название меры превосходства дифференциально-сглаживающего оператора над оператором Превитта по помехозащищенности, а вторая - меры превосходства по близости отклика к эталону - отклику оператора Превитта на тестовый сигнал.

Мера превосходства по помехозащищенности выражена отношением метрик Л}* = р^Р /р1* (рис. 7, а). С учетом (5) эта мера определяется как

Л1* = Р1Р /Р1* =

I

5

I

5

Изменение интенсивности шума в А раз в силу линейности операции свертки приводит к одинаковому изменению числителя и знаменателя подкоренного выражения:

Л1* = Р1Р / Р1* =

2

2

А21 [ 5

' V п / п

т. е. значение меры остается неизменным. Таким образом, мера превосходства дифференциально-сглаживающего оператора над оператором Превитта по помехозащищенности Лц* инвариантна к энергетическому масштабу шума.

Из рис. 7, а следует, что по мере роста |кэ| относительная мера превосходства по помехозащищенности дифференциально-сглаживающих операторов растет, что подтверждается сравнением приведенных на рис. 8 кривых для |кэ| = 5 с графиками на рис. 5.

Однако с ростом |кэ| дифференциально-сглаживающие операторы теряют свое превосходство над оператором Превитта по близости формы отклика к эталону. Относительная мера этого превосходства оценивалась отношением обратных метрик близости к эталонному

п

2

2

п

п

Л1* 3

2.5

2 I

1.5

I

1

Л1М -

- Л1В

' „О" Л1Ь / /

/ / /

3 а

Л

1G

Л 2**.

1.1

0.9

0.7

0.5 0.3

\

Л 2G

ХУ Л2Ь

Ч чХ

Л2В

V

Л 2М _1_1_

1

2

3

б

Рис. 7

к

2

4

к

4

Рис. 8

сигналу: Л2* =р2Р /Р 2*. Поскольку Д2Р = 1, то выполнение неравенства Л2* > 1 означает,

что метрика 1/Р2*, обратная метрике близости отклика дифференциально-сглаживающего оператора к эталону, больше аналогичной обратной метрики 1/Р2р для оператора Превитта.

Снижение относительной меры Л2* до уровня, меньшего единицы, происходит уже при |кэ | = 2 (см. рис. 7, Ь). Этот факт объясняется возрастающим отличием откликов дифференциально-сглаживающих операторов на смесь сигнала с шумом от эталона по мере удаления позиции экстремумов от центра апертуры, подтверждение чему можно найти, сравнив приведенные

на рис. 8 графики откликов (| кэ | = 5) с соответствующими графиками на рис. 6 (| кэ | = 1).

Необходимо добиться сближения формы откликов дифференциально-сглаживающих операторов на аддитивную смесь с эталоном, т. е. желательно, чтобы для любых |кэ| выполнялось неравенство Л2* > 1, показывающее превосходство дифференциально-

сглаживающих операторов над оператором Превитта в смысле близости формы отклика к эталону.

Предложение по сближению формы откликов дифференциально-сглаживающих операторов на аддитивную смесь и оператора Превитта на тестовый сигнал. Сблизить формы откликов дифференциально-сглаживающих операторов на аддитивную смесь и оператора Превитта на тестовый сигнал можно, если весовые функции Н*1 (к) дополнительно

нормировать на "базы" операторов, т. е. на интервал, на котором посредством оператора оценивается в конечных разностях величина анализируемого сигнала. Этот интервал определяется удвоенной величиной момента первого порядка для положительно определенного лепестка нормированной весовой функции дифференциально-сглаживающего оператора

Рис. 9

я* = -1 k).

k=0

Значения первых моментов при = 1 составили: RL = 1.223; RQ = 1.374; RM = 1.807; RB = 2.106,, а при = 2 RL = 2.491; RG = 2.561; RM = 3.240; RB = 3.587.

Весовые функции операторов с нормировкой на базу k) = Н^Чk)/2R* представлены для значений параметров О}*, заданных согласно (1), на рис. 9, а, заданных согласно (2) - на рис. 9, б. В сравнении с функциями операторов на рис. 3, а, Ь, данные весовые функции имеют менее выраженный перепад между экстремумами и, вследствие этого, более плавное стремление к оси абсцисс по мере увеличения модуля аргумента. Этим достигается поставленная цель сближения формы откликов дифференциально-сглаживающих операторов на аддитивную смесь и оператора Превитта на тестовый сигнал. Об этом, в

первую очередь, говорит сравнение откликов операторов с весовыми функциями

на тестовый сигнал F (п) (рис. 10). Заметим, что для всех операторов они практически идентичны по форме. Это объясняется тем, что добавочная нормировка весовых функций операторов привела к выравниванию последних по чувствительности.

Выполнен аналогичный описанному ранее цикл экспериментальных исследований для операторов с нормированными весовыми функциями. На рис. 11 представлены отклики операторов Лоренца, Гаусса, Моффата и Баттерворта, весовые функции которых дополнительно нормированы на их базы. На них сплошными линиями показаны отклики на зашумленный сигнал, пунктирными - на сигнал без шума, а серыми линиями - отклик оператора Превитта на незашумленный сигнал. На рис. 12 приведен отклик оператора Превитта на эталонный и зашумленный сигналы при указанной нормировке. Рис. 11 и 12 получены для |&з| = 2. Приведение операторов к одинаковому уровню чувствительности позволило корректно провести сопоставительный анализ дифференциально-сглаживающих операторов и оператора Превитта.

в, G, Ь,

М,Р

2.5

0

-2.5 -5

-Ь.........G-М--В

п К

- п J Ч 1 п , /1,

]!|§Ю100\ 1 150 \200/'п

Lш,L,P

2.5

0

-2.5 -5

"Ьп А.....Ь —р

ь

11лл Я а: ^ л.ьКЛ ..I

~\Г иг\ПГУ ~ А /у*

|1 \ Л Ч 'V

1» \/К

мш,м,р

2.5

0

_1_

_1_

-2.5 -5

-Мш.....М —Р

л

J к

V1

V/

V

0

Gш,G,P

2.5

0

-2.5 -5

50 — G

100 ... G

150 Р

200

0

50

100

150

200

1,

ЬЛл

\Г У "1 \

л

I /

л А А М. . . >л/ ¿V (У*

V

Вш,В,Р

2.5

0

-2.5 -5

— Вш .....В Р

" V

J\

V

0

50

100

150

200

п

Рис. 11

0

50

100

150

200

Р Р 1ш' 1

_Р _Р

1 ттт А

-4 -8

100 150 Рис. 12

200

Оценки метрик 1/рр и 1/Р2* приведены в табл. 2. Анализ данных, касающихся метрики 1/ рр, подтверждает указанное ранее ранжирование операторов по уровню их помехозащищенности. Наименее помехоза-щищенным является оператор Превитта (значение р^Р = 27.877 (1 р1Р = 0.036) не зависит от |кэ |). Как видно из данных табл. 2,

помехозащищенность любого дифференциально-сглаживающего оператора увеличивается по мере удаления экстремумов оператора от центрального элемента (с ростом |кэ |).

Сравнительный анализ операторов с ненормированными (рис. 7, а) и нормированными (рис. 13, а) весовыми функциями показывает значительное увеличение меры превосходства по помехозащищенности в результате нормировки, возрастающее по мере увеличения |кэ|. Наряду с этим при превышении определенного значения |кэ| дифференциально-

сглаживающие операторы начинают терять превосходство по форме отклика (рис. 13, б).

Для каждого дифференциально-сглаживающего оператора существует своя величи-

Таблица 2

п

п

п

кэ 1 р1Ь 1 рЮ 1 р1М 1 р1В V р1Р 1 р2Ь 1 р20 1 р2М 1 р2В V р2Р

1 0.053 0.069 0.114 0.15 0.053 0.068 0.102 0.119

2 0.18 0.217 0.319 0.377 0.122 0.131 0.129 0.124

3 0.315 0.389 0.473 0.504 0.036 0.124 0.123 0.117 0.115 0.036

4 0.483 0.591 0.721 0.77 0.112 0.109 0.103 0.101

5 0.64 0.762 0.837 0.863 0.103 0.101 0.098 0.097

Др

Д1Б

V: ✓ /<

Д1М

Д1Г

20 15 10 5 0

Д 2* -----

Д1Л

¡Р55^" I I

//

/V Д1М Д1Б

// Д1Г

/

Д1Л

1 2 3 4 k 1 2 3

а б

Рис. 13

на |&з|, определяющая максимум метрики близости формы его отклика на аддитивную смесь эталонного сигнала с шумом к эталону. Для большинства дифференциально-сглаживающих операторов максимум достигается при ^ | = 2, для которого построены

рис. 11 и 12 (исключение составляет оператор Лоренца). При этом метрика превосходства дифференциально-сглаживающих операторов по помехозащищенности принимала значения в диапазоне Д^* = 5.030...10.498, а метрика близости откликов по форме к эталонному

сигналу - в диапазоне Д2* = 3.393.3.654.

Из проведенного анализа следует возможность обмена между мерами превосходств Д^* и Д2*. Так, при выборе дифференциально-сглаживающих операторов, экстремумы

весовых функций которых приходятся на значение аргумента ^ | = 3, происходит лишь незначительное снижение меры превосходства в близости по форме (Д 2* = 3.207. 3.446) при одновременном более значимом увеличении меры превосходства по помехозащищенности (Д^ = 8.772.14.062).

Таким образом, дополнительная нормировка весовой функции дифференциально-сглаживающих операторов на удвоенное значение момента первого порядка ее положительного лепестка приводит как к увеличению качества помехозащищенности операторов, так и к сближению формы их откликов с эталонным сигналом. Это превосходство дифференциально-сглаживающих операторов над оператором Превитта достигается за счет более эффективного подавления шумовой составляющей входного воздействия.

В настоящей статье изложена методика сравнительного метрологического анализа дифференциальных операторов, позволившая получить количественные оценки мер превосходства дифференциально-сглаживающих операторов над классическим оператором Превитта по уровню помехозащищенности и по близости формы их откликов к эталону, в качестве которого принят отклик оператора Превитта на незашумленный сигнал. Методика применима для широкого класса тестовых сигналов и шума с произвольно задаваемой плотностью распределения. Количественные оценки мер превосходства дифференциально-сглаживающих операторов над оператором Превитта определяются отношением абсолютных оценок качества этих операторов, основанных на эвклидовых метриках близости. Качество операторов оценивается по параметрам их помехозащищенности и близости форм их откликов к форме эталона.

3

2

k

4

Сравнительный количественный анализ операторов показал, что при положении экстремумов операторов в позициях | = 2 дифференциально-сглаживающие операторы

превосходят классический оператор Превитта по помехозащищенности в 5.030.. .10.498 раза, а по близости формы к эталону в - 3.36.3.66 раза и представляют серьезную альтернативу классическим операторам.

Список литературы

1. Дуда Р. , Харт П. Распознавание образов и анализ сцен / пер. с англ.; под ред. Г. Г. Вайнштейна и А. М. Васьковского. М.: Мир, 1976. 511 с.

2. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений / пер. с англ.; под ред. П. А. Чочиа, М.: Техносфера. 2005. 1070 с.

3. Разин И. В. Модель иерархической системы инвариантных характеристик описания изображения // Автометрия. 2009. Т. 45, № 6. С. 3-14.

4. Razin I. V. Model of a hierarchical system of invariant characteristics of image description // Optoelectronics, instrumentation and data processing. 2009. Vol. 45, № 6. P. 491-500.

5. Цветков Э. И. Основы математической метрологии. Т. II. Идентификация объектов и отношений. СПб.: ЗАО "КопиСервис", 2010. 62 с.

6. Свид. об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2003611758 / Разин И. В., Прудников А. М. Программа адаптивного анизотропного выделения контура объектов на изображении. Опубл. 20.12.2003. Бюл. 4(45).

7. Абду И. Э., Прэтт У. К. Количественный расчет детекторов контуров, основанных на подчеркивании перепадов яркости с последующим пороговым ограничением // ТИИЭР. 1979. Т. 67, № 5. С. 59-70.

8. Денисов Д. А., Низовкин В. А. Сегментация изображений на ЭВМ // Зарубежная радиоэлектроника, 1985. № 10. С. 5-30.

9. Разин И. В. К вопросу синтеза двумерных адаптивных фильтров на основе гладких функций // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып 3. С. 35-48.

10. Разин И. В. Сравнительный количественный анализ отклика дифференциальных операторов на перепад яркости // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 5. С. 57-63.

11. Разин И. В., Дьякова О. Г., Сугоняко Н. Ю. Оценка чувствительности дифференциального оператора Лоренца-Моффата // Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов (состояние, перспективы развития) (ИИИ'2009): Мат-лы междунар. конф., ноябрь 2009 г., Новосибирск. Новосибирск: КАНТ, 2009. С. 26-28.

I. V. Razin

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Comparative analysis of differentially-smoothing and classical operators using relative metrics

Comparative analysis of differential-smoothing and classical operators is performed. Test signal and the additive mixture of it with noise are used as an input action at the differential operators. Test signal represents is a sequence of profiles of three models of the brightness drops, which can define the terms "stageidal", "trapezoidal" and "bell-shaped". For comparative evaluation of the operators two relative metrics, estimated the measure of superiority on immunity and the response form on the proximity of magnitude differential differential-smoothing operators responses to the classical operators are introduced.

Weighting function, differential-smoothing operator, brightness drop model, operator response, reference signal, Euclidean metric, metric immunity, shape closeness metric, relative metric

Статья поступила в редакцию 6 июля 2010 г.