Ансамбли квазиортогональных многофазных последовательностей с идеальной периодической автокорреляционной функцией

мальной ДП с весом 1000 на компьютере средней производительности потребуется около четырех часов машинного времени.

Таким образом, предложенный алгоритм синтеза оптимальных по длине двоичных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" обладает достаточно высоким быстродействием и позволяет синтезировать последовательности с базой до 106 на компьютере средней производительности.

Список литературы

1. Свердлик М. Б., Мелешкович А. Н. Синтез оптимальных импульсных последовательностей со свойством "не более одного совпадения" // Радиотехника и электроника. 1974. № 4. С. 721-729.

2. Цирлер Н. Линейные возвратные последовательности // Кибернетический сборник. 1963. № 3. С. 55-79.

3. Гилл А. Линейные последовательностные машины. М.: Наука, 1974. 287 с.

4. Гантмахер В. Е., Захарин Ю. В. Таблицы неприводимых над GF (pn) полиномов / Новгородский гос. ун-т. Новгород, 1995. 465 с. Деп. в ВИНИТИ 10.11.95, №3006-В95.

5. Свердлик М. Б. Оптимальные дискретные сигналы. М.: Сов. радио, 1975. 200 с.

V. E. Gantmakher, S. M. Platonov

Novgorod state university n. а. Yaroslav-the-Wise

Optimal pulse sequences with the property "Not more than one coincidence" synthesis over extended Galois fields to the second and third power

Simplicity for computer realization methods of the synthesis of binary sequences having optimal length and the property "Not more than one coincidence " over extended Galois fields to the second and third power are presented. The synthesis results are resulted.

Synthesis, binary sequences with the property of "not more than one coincidence", Galois fields, optimal

Статья поступила в редакцию 30 июля 2009 г.

УДК 621.391

А. Н. Леухин, А. Ю. Тюкаев, Н. В. Парсаев, Л. Г. Корнилова

Марийский государственный технический университет

Ансамбли квазиортогональных многофазных последовательностей

V V VI V 5

с идеальной периодической автокорреляционной функцией5

Решена задача синтеза бесконечного множества ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической автокорреляционной функции. Предложен алгоритм формирования ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с идеальной периодической автокорреляционной функцией. Представлен пример синтеза ансамбля квазиортогональных многофазных последовательностей длины N = 25.

Синтез, многофазные последовательности, ансамбли, корреляционная функция, граница Вэлча

В современных системах связи множественного доступа с кодовым разделением широкое применение нашли ансамбли кодовых последовательностей, удовлетворяющих

5 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 09-07-00072-а.

36 © Леухин А. Н., Тюкаев А. Ю., Парсаев Н. В., Корнилова Л. Г., 2009

теоретической границе Вэлча [1], которая устанавливает связь между квадратом макси-

2

мума корреляционного выброса Rmax и объемом V ансамбля:

4ax -

где Rmax = max(|, \Rsm|) (\Кат\ - максимальный по ансамблю боковой лепесток нормированной периодической автокорреляционной функции (АКФ), |^вт| - максимум по

ансамблю выброса нормированной периодической взаимной корреляционной функции (ВКФ)); N - длина кодовой последовательности.

В настоящей статье разработан метод синтеза бесконечного множества ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей, каждая из которых обладает нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ.

Постановка задачи синтеза ансамбля квазиортогональных многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ. Многофазную последовательность Г = Ьп }q n-1 определим на основании выражения

Г = К }о, n-1 ={exp К )}о, n-1, п = 0 1, .-,N-1,

где модуль каждого кодового элемента |уп \ = 1; i - мнимая единица, фаза фп на каждом n-м кодовом интервале принимает любое вещественное значение из диапазона [ 0, 2л]. Периодическую АКФ rT определим на основании выражения

N-1

= Z W mod N )уП , т = 0, 1 ...,N -1,

rx

п=0

и*м

где т - циклический сдвиг кодовой последовательности; - символ комплексного со-

пряжения.

Периодическую ВКФ двух последовательностей Г( j) = {уп ^ N-1 и Г(1) = {уп}0^-

определим на основании выражения

N-1

,(l) JD*

= Z ^П+т( mod N )^П *, Т = 0, 1, N -1. п=0

Последовательности Г(j) = {yn }0^ N-1 и Г(1) = {yn }0l)N-1 считаем квазиортогональ

ными при выполнении условия

N-1

Z yп+т(mod N)yn

n=0

= с , i = 0, 1, ..., N -1, с « N .

Для любых двух последовательностей Г'^ = {уп }0'N ^ и Г^^ = {уп -1 из квазиортогонального ансамбля выполняются условия:

1х =

N-1 j )

Z ^n +х(mod N n=0

N-1

(l )* n

V1 / •

Z exP1

n=0

Ф

N-1

Z exp

n=0

1фп+х

exp

Ф)

n +х(mod N) ^n

x j)

j = i;

c, j * i.

Принимая во внимание условие равенства нулю боковых лепестков периодической

АКФ последовательностей Г^^ и Г^^, получим следующее выражение для ансамбля квазиортогональных последовательностей с идеальной периодической АКФ:

' N, j = l, х = 0;

|лХ = |°, j = l, х = 1, ..., N -1; c, j * l.

Считая, что первые два условия выполнены, необходимо среди многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ найти такие, для которых справедливо третье условие.

Решение задачи синтеза ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ. В [2] разработан регулярный метод синтеза многофазных последовательностей вида (2) с идеальной периодической АКФ в случае, когда длина кодовых последовательностей N является квадратом некоторого це-

2

лого числа k, т. е. N = k . Согласно [2] значение фазы фп на каждом n-м кодовом интервале определяется выражением

ФП = Pn

где p° = 0 ; Pm e [°; 2л], m = 1, ..., k-1 - фазы, принимающие произвольные вещественные значения из указанного диапазона; И - целая часть числа; X - число, взаимно простое с k .

Запишем выражение для модуля нормированной периодической ВКФ |f х| двух многофазных последовательностей Г( j) и r(l), синтезированных в работе [2]:

f х =

1

N

х exp

= J_

= N

N-1

Z exp

n=0

f

-1

b( j) + ^

pn+х( modk) k

n + х

k

(n + х)( mod k )X

r(1 ) + ^

n( modk) k

nXi

N-1 Z exp

n=0

f

r( j ) + 2л

pn+х( modk) k

n + х

k

(n + х)( mod k )X  -

-P1

2л

(l) __

К mod k) k

n - >

nXl - у

k

х = 0, 1, ..., N -1.

х

Введя обозначения п = рк + q, р = 0, ..., к -1, q = 0, ..., к -1; т = ик + V, и = О, V = 0, ..., к -1, представим выражение (4) в виде

Г1 т =

к-1 к-1 Е Е ехР

q=0 р=0

Р0) + 2л

И рк+q+ик +v (mod к) к

>0)

рк + q + ик + V

2л

х(рк + q + ик + v)(тоёк)Х' -Р'рк+q(modк) + ^

к

рк + q

к

( рк + q )( тоё к

N

к-1 к-1 Г

Е Е ехР V

q=0 р =0 I

р(') + 2л

Иq+у (тоёк) к

(

р + и +

q + V

к

( q + V)( тоё к )Л, ; -

-в?>- у р?^

Перегруппировав слагаемые, получим

к-1

И т =

1

N

к-1

л—1 /

Е ехРг' (

q=0 ^ ^

РШ( „ к ^ )х

+v

хЕ ехР у

р=0 I к-1

2л

(

к

р + и +

q + V

к

2л

|(q + V)(тоёк)Х' - —рцК\

N

Е ехР[ ^ (тоёк)-Р? ^

к-1 I 2л

<Е ехР ут р=0 I к

р(q+v' +

и +

q + V

к

( q + v )Л, ' - р?^

N

к-1

Е ехР[^(тоёк)-Р? ^

к-1

хЕ ехР 1^р [(q+- ]

р=0 V к

к-1

+

и +

q + V

к

(q+v^

=

= N к-1

Е ехР[^(тоёк)-Р? ^

к-1 2л Е ехР [(?+v

р=0

=1 = N

к-1

ехр

2л

I — к

и +

? + V

к-1 [ I

Е ехр ' (^ (тоёк)-Р? ?=0

Л ' )

ехр

2л

к

? + V

к

?+v^' (? + v '

к-1 2л

<Е ехР {ур [(?+^

р=0

к-1,

х

х

х

х

X

Внутренняя сумма в этом выражении является полной рациональной суммой первой степени:

k-1 1 о_ ^ k-1

2л

k

pq(Xj -Xl) + pvXj ]J,

Ц ехР { ^Р [(Ч + ^/ - ]} = ехр

Р=0 1 k ' р=0 1

где р, ч, V = 0, ..., k -1. Эта сумма равна 1, если выполняется равенство [3]:

НОД[рч-Х1) + pvXj, k] = 1.

Поскольку X - число, взаимно простое с k, то НОД (X/, k) = 1 и НОД(X/, k) = 1. Тогда равенство (5) выполняется при условии [4] НОД (X/ -X/, k) = 1. Таким образом, модули отсчетов нормированной периодической ВКФ двух многофазных последовательностей Г( /) = {уп }0/" N- и Г(/) = {уп ^-1, определяемых выражением (3), равны:

k-1

f х =

1

N k-1

Z exp\i (j mod k )-Pql})_

q=0

exp

: Z exP {• pq (Xj -Xl) + PvXJ ]J

p=0 ^ k '

2л

1

VN:

q + v

k

(q+v )X

если х = 0, ..., N -1, а разность X j - Xi(mod k) - число, взаимно простое с k.

Синтезируем ансамбль квазиортогональных многофазных последовательностей дли-2

ны N = k объема V . Для этого из совокупности вычетов по модулю k, взаимно простых

с k

: {X,

0> ч

X1, ..., Xj

ф( k )-iJ ( Ф( k) - фи-функция Эйлера), необходимо отобрать такие, для

которых выполняется равенство

НОД(Xj-Xl, k) = 1, J, l = 0, ..., V-1, J *l.

2

В общем случае число N = k может быть представлено в виде произведения простых чисел Р1, Р2, ..., Рk, каждое из которых участвует в произведении V!, V2, ..., Vk

раз т. е. N = р^р2 ...рVk , 1 < Р1 < Р2 < ... <Рk .

Система вычетов по модулю k, удовлетворяющих условию (6), будет иметь вид 1X0, Xl, ..., Xpl-2} = {^1, 2, ..., р1}, так как полная система вычетов по модулю простого

числа р1 образует мультипликативную группу G (р1) поля Галуа GF (р1) [4]. Нулевой элемент этой группы не рассматривается, так как при вычислении периодической ВКФ / ФI. В любой другой группе G (р/ ), / > 1 всегда найдутся вычеты, кратные р1, для которых условие (6) не выполняется. Тогда в случае нечетного N объем ансамбля

V = р -1,

где р1 - наименьшее простое число в каноническом разложении числа N .

х

Из выражения (7) следует важный вывод: ансамбль квазиортогональных многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ может быть образован только для нечетных значений N, так как в случае четных N объем ансамбля V = р1 -1 = 2 -1 = 1.

Определим количество К ансамблей квазиортогональных многофазных последова-

2

тельностей с идеальной периодической АКФ нечетной длины N = к . Элементы вектора фаз В = {Рт }0 к-1 в выражении (3), определяющем значения фазы фп на каждом п-м кодовом интервале последовательности Г = {уп ^ N-1 = {ехр (/фп N 1, принимают произвольные вещественные значения из диапазона Р0 = 0, Рт е [0; 2л], т = 1, ..., к -1, по-

2

этому для нечетных значений N = к можно сформировать бесконечное множество ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ: К = да .

Алгоритм синтеза ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ. Алгоритм синтеза ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ в случае N = к2, к (тоё2) ^ 0, состоит в следующем:

1. Определить систему вычетов по модулю к , взаимно простых с к :

{^0, ^1, Ьф(к)-1}.

2. Определить наименьшее простое число р1 в каноническом разложении числа N

N = р^1 р? .рУгг , 1 < р1 <р2 <. <рг .

3. Среди всех Сф^)1 сочетаний по р1 -1 вычетов по модулю к, взаимно простых с

к, из ф(к) возможных вычетов отобрать ч-е сочетания вычетов , ч), , ^р-2} ,

для которых справедливо условие НОД ч), к ) = 1, ? ^ I, I = 0, 1, ..., ф( к)-1,

где ч = 0, 1, ..., Ж -1, Ж ^ да - количество формируемых ансамблей.

4. ч-й ансамбль квазиортогональных многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ будет иметь вид

г( Ч) г( Ч) г( Ч) г( Ч) \б /т

Г

где V = р1 -1, а '-я последовательность из ансамбля (8) описывается как

Г(^)) = {У(^{} = {ехР [' (Рп(тоё к)+ 2лк ]п/к[ п')]}, ' = 0, V -1, п = 0, 1, ..., N -1.

6 Нижний индекс в скобках введен для различения нумерации последовательностей в составе ансамбля от нумераций кодовых элементов в составе последовательности или элементов в составе вектора, которые даются без скобок.

В качестве примера на основе разработанного алгоритма синтезируем ансамбль квазиортогональных многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ длины N = 25. Запишем ансамбль квазиортогональных многофазных последовательностей в виде векторов фаз Ф(/) = { фП')} 0 N-1, ' = 0, --, 3. Объем ансамбля V = 4 . Максимум корреляционного выброса |^тах| = 1/>/25 = 0.2 .

Начальные условия для построения ансамбля:

Xo = 1, В0 =

0

0 р10) р

0 Р12) Р

X 2 = 3, В2 =

Синтезированный ансамбль имеет вид:

+

; Xl = 2, В1 =

; Xз = 4, В3 =

> Р11) р((1) Р31) р?

0 Р13) Р

Ф0 ={0 р10) р(0) Рз0) Р40) 0 Р10)+ 4%/5 р<0) + 8%5 Р30)+ 2%/5 Р40)+ 6%5

0 р10)+ 8%/5 р(0)+ 6%/5 Рз0)+ 4%/5 Р40)+ (V5 0 р10) + 2%5 р(0) + 4%/5 р30)+ 6%/5 р40)+ 8%/5 0 р10)+ 6%5 р(0)+ (V5 Рз0)+ 8%/5 р40) + 4%/5} ;

Ф1 ={0 р11) р(1) р31) Р41) 0 Р10)+ 8%/5 р(° + 6я/5 Р31)+ 4%/5 Р41)+ 2%/5 0 р11)+ 6%/5 р(° + (V5 Р31)+ 4%/5 Р41)+ 4%/5 0 р^ + 4%/5 р(° + 4%/5 Р31)+ 2%/5 Р41)+ 6%/5 0 р11)+ 2%/5 р(1)+ 4%/5 р3° + 6%/5 Р4') + 8%/5};

Ф2 ={0 р1() р(2) Р32) Р42) 0 р12)+ 2%/5 р(2) + 4%/5 Р32)+ 6%/5 Р42)+ 8%/5 0 р1()+ 4%/5 р(2)+ 8%/5 р32)+ 2%/5 р^ + 6%/5 0 р1() + 6%/5 р(2) + 2%/5 р3()+ 8%/5 р42)+ 4%15 0 р1()+ 8%5 р(2) + 6%/5 р3() + 4%/5 р^ + 2%/5}; Ф3 ={0 р13) р(3) р33) р43) 0 р13)+ 6%/5 р(3)+ 2%5 р33)+ 8%/5 р43)+ 4%5

0 р13)+ 2%5 р(3)+ 4%/5 р33)+ 6%5 р43)+ 8%/5 0 р13) + 8%/5 р(3) + 6%/5

р33)+ 4%5 р43)+ 2%/5 0 р13)+ 4%5 р(3) + 8%/5 р33) + 2%/5 р43) + 6%/5} .

В статье сформулирована задача синтеза ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с нулевым уровнем боковых лепестков периодической АКФ.

Доказано, что в случае N = k2, & Ф 0 (mod2), можно сформировать бесконечное множество ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ. При этом объем каждого формируемого ансамбля определяется как V = р1 -1, где р1 - наименьшее простое число в каноническом разложении числа N .

Разработан алгоритм формирования ансамблей квазиортогональных многофазных последовательностей с идеальной периодической АКФ. В качестве примера на основе предложенного алгоритма синтезирован ансамбль квазиортогональных многофазных последовательностей длины N = 25.

42

Ансамбли квазиортогональных последовательностей, полученные на основе разработанного алгоритма, удовлетворяют теоретической границе Вэлча (1), однако не являются оптимальными с позиции достижения максимально возможного объема, а также значительно уступают известным минимаксным ансамблям [1], [5], [6] двоичных и троичных и бинарных последовательностей с позиции их технической реализуемости.

Список литературы

1. Ипатов В. П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.

2. Парсаев Н. В., Леухин А. Н. Дискретные фазокодированные последовательности с нулевым уровнем боковых лепестков циклической автокорреляционной функции размерности квадратных чисел // Вест. Марийского гос. техн. ун-та. Сер. Радиотехнические и инфокоммуникационные системы. 2008. № 3. С. 36-45.

3. Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, 1989. 240 с.

4. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2 т. / пер. с англ.; под ред. В. И. Нечаева. М.: Мир, 1988. 820 с.

5. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов: принципы и приложения. М.: Техносфера, 2007. 488 с.

6. Гантмахер В. Е., Быстров Н. Е., Чеботарев Д. В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

A. N. Leukhin, A. Yu. Tyukaev, N. V. Parsaev, L. G. Kornilova Mari state technical university

Ensembles of quasiorthogonal polyphase sequences with ideal periodical autocorrelation function

The synthesis's problem of ensembles's infinite set of quasiorthogonal polyphase sequences with a zero level of side lobes of a periodic autocorrelation function is solved. The algorithm of creation of quasiorthogonal multiphase sequences's ensembles with an ideal periodic autocorrelation function is offered. The example of synthesis of quasiorthogonal multiphase sequences's ensemble for length N = 25 is presented.

Synthesis, polyphase sequences, ensembles, correlation function, Welch-bound

Статья поступила в редакцию 31 октября 2009 г.