Сравнение мп- и ММ-оценок длительности непродлевающегося мертвого времени в модулированном обобщенном полусинхронном потоке событий

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2016 Управление, вычислительная техника и информатика № 3

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 519.21

DOI: 10.17223/19988605/36/2

М.А. Бахолдина, А.М. Горцев

СРАВНЕНИЕ МП- И ММ-ОЦЕНОК ДЛИТЕЛЬНОСТИ НЕПРОДЛЕВАЮЩЕГОСЯ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ В МОДУЛИРОВАННОМ ОБОБЩЕННОМ ПОЛУСИНХРОННОМ ПОТОКЕ СОБЫТИЙ

Рассматривается модулированный обобщенный полусинхронный поток событий, являющийся одной из математических моделей информационных потоков заявок, функционирующих в телекоммуникационных и информационно-вычислительных сетях связи, и относящийся к классу дважды стохастических потоков событий (DSPPs). Функционирование потока рассматривается в условиях непродлевающегося мертвого времени. Проводится сравнение качества получаемых по наблюдениям за моментами наступления событий потока оценок длительности мертвого времени методом максимального правдоподобия (МП-оценки) и методом моментов (ММ-оценки). Ключевые слова: модулированный обобщенный полусинхронный поток событий; дважды стохастический поток событий (DSPP); MAP (Markovian Arrival Process)-поток событий; непродлевающееся мертвое время; оценка максимального правдоподобия; оценка методом моментов; длительность мертвого времени.

Условия функционирования реальных систем массового обслуживания таковы, что если в отношении параметров обслуживающих устройств, как правило, можно утверждать, что они известны и с течением времени не меняются, то в отношении интенсивностей входящих потоков этого сказать во многих случаях нельзя. Более того, интенсивности входящих потоков заявок обычно меняются со временем, часто эти изменения носят случайный характер, что приводит к рассмотрению математических моделей дважды стохастических потоков событий (DSPPs) [1-9]. Интерес к рассмотрению дважды стохастических потоков событий проявляется неслучайно. Все это находит широкое применение в различных отраслях науки и техники, таких как теория сетей, P2P^ra и адаптивное вещание видео, системы оптической связи, статистическое моделирование, финансовая математика и др. [10-16]. В реальных ситуациях параметры, задающие входящий поток событий, известны либо частично, либо вообще неизвестны, либо, что еще более ухудшает ситуацию, изменяются со временем случайным образом. Поэтому при реализации адаптивного управления системой массового обслуживания возникают, в частности, следующие задачи: 1) задача фильтрации интенсивности потока (или задача оценивания состояний потока по наблюдениям за моментами наступления событий) [17-26]; 2) задача оценивания параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [27-33].

Одним из искажающих факторов при оценке состояний и параметров потока выступает мертвое время регистрирующих приборов. Необходимость рассмотрения случая мертвого времени вызвана тем, что на практике любое регистрирующее устройство затрачивает на измерение и регистрацию события некоторое конечное время, в течение которого оно не способно правильно обработать следующее событие, т.е. событие, поступившее на обслуживающий прибор, порождает период так называемого мертвого времени [34-42], в течение которого другие наступившие события потока недоступны наблюдению (теряются). Можно считать, что этот период продолжается некоторое фиксированное время (непродле-вающееся мертвое время). В частности, подобные ситуации встречаются в компьютерных сетях, например, при использовании протокола случайного множественного доступа с обнаружением конфликта (протокол CSMA/CD). В момент регистрации (обнаружения) конфликта на входе некоторого узла сети по сети рассылается сигнал «заглушки»; в течение времени рассылки сигнала «заглушки» заявки, поступившие в данный узел сети, получают отказ в обслуживании и направляются в источник повторных

вызовов. Здесь время, в течение которого узел сети закрыт для обслуживания заявок, поступающих в него после обнаружения конфликта, можно трактовать как мертвое время прибора, регистрирующего конфликт в узле сети.

В настоящей работе рассматривается модулированный обобщенный полусинхронный поток событий, являющийся обобщением полусинхронного потока [43-46] и обобщенного полусинхронного потока событий [47-49] и относящийся к классу дважды стохастических потоков событий с кусочно-постоянной интенсивностью. Достаточно обширная литература по исследованию подобных потоков событий (асинхронных, синхронных и полусинхронных) приведена в [21, 22, 50, 51], при этом в [50] показано, что данные потоки могут быть представлены в виде моделей МАР-потоков событий. В настоящей статье, являющейся непосредственным развитием работ [51-54], проводится сравнение оценок длительности мертвого времени в модулированном обобщенном полусинхронном потоке событий, полученных методом максимального правдоподобия (МП-оценки) и методом моментов (ММ-оценки) по наблюдениям за моментами наступления событий в потоке.

1. Постановка задачи

Рассматривается модулированный обобщенный полусинхронный поток событий (далее - поток или поток событий), интенсивность которого является кусочно-постоянным стационарным случайным процессом ) с двумя состояниями Х1 и Х2 > Х2 > 0). Будем говорить, что имеет место первое состояние процесса (потока), если Х(?) = Х1, и второе состояние процесса (потока), если Х([) = Х 2. В течение временного интервала случайной длительности, когда процесс Х^) находится в состоянии XI (Х(?) = Хг-), имеет место пуассоновский поток событий с интенсивностью X^, I = 1,2. Переход из первого состояния процесса Х^) во второе возможен в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности Х1, при этом переход осуществляется с вероятностью р (0 < р < 1); с вероятностью 1 - р процесс Х^) остается в первом состоянии. Переход из первого состояния процесса Х(() во второе также возможен в произвольный момент времени, не совпадающий с моментом наступления события, при этом длительность пребывания процесса Х^) в первом состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром р: ^(т) = 1 - е-рт, т > 0 . Тогда длительность пребывания процесса Х^) в первом состоянии есть случайная величина с экспоненциальной функцией распределения ^](т) = 1 - е-(рХ+р)т, т > 0 . Переход из второго состояния процесса Х(^) в первое в момент наступления события пуассоновского потока интенсивности Х 2 невозможен и может осуществляться только в произвольный момент времени. При этом длительность пребывания процесса Х(^) во втором состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром а : ^2(т) = 1 - е-ат, т > 0 . В момент окончания второго состояния процесса Х(^) при его переходе из второго состояния в первое инициируется с вероятностью 5 (0 < 5 < 1) дополнительное событие. Отметим, что события пуассоновских потоков и дополнительные события неразличимы для наблюдателя. В сделанных предпосылках Х(^) - скрытый марковский процесс. При этом матрицы инфинитезимальных характеристик принимают вид

»0 =

А =

(1 - р)Х1 рХ а5 Х 2

-

Элементами матрицы О^ являются интенсивности переходов процесса Х(^) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы О0 - это интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы О0 - это интенсивности выхода процесса Х(^) из своих состояний, взятые с противоположным знаком.

После каждого зарегистрированного в момент времени события наступает период мертвого времени фиксированной длительности Т , в течение которого другие события потока недоступны

наблюдению. По окончании периода мертвого времени первое наступившее событие снова создает период мертвого времени длительности Т и т.д. (непродлевающееся мертвое время). Вариант возникающей ситуации приведен на рис.1, где 1, 2 - состояния процесса ); дополнительные события, которые могут наступать при переходе процесса ) из второго состояния в первое, помечены буквами 5; периоды мертвого времени длительности Т помечены штриховкой; ненаблюдаемые события отображены черными кружками, наблюдаемые 11, ¿2,... - белыми.

Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий, поэтому переходными процессами на полуинтервале наблюдения (¿0,1], где t0 - начало наблюдений, t -окончание наблюдений (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить 10 = 0 . Поскольку процесс Х^) является принципиально ненаблюдаемым, то говорить о состоянии потока можно только в вероятностном смысле. Вся доступная информация о потоке - это моменты наступления событий ¿1,¿2,...^к с начала наблюдения 10 до момента t.

Наблюдаемый поток событий

Рис. 1. Формирование наблюдаемого потока событий

Параметры потока А,1, ^2, р , Р, а , 5 полагаются известными, длительность мертвого времени Т неизвестна. Необходимо в момент окончания наблюдений (в момент времени t) на основании выборки ¿1,¿2,...,наблюденных моментов наступления событий потока осуществить методом максимального правдоподобия и методом моментов оценки Т длительности мертвого времени и произвести сравнение получаемых оценок.

2. Оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени

Обозначим через тк = ¿к+1 - ¿к , к = 1,2,..., значение длительности к-го интервала между соседними событиями наблюдаемого потока (тк > 0 ). Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятности значений длительности к-го интервала есть рт (тк) = Рт (т), т > 0 , для любого к (индекс Т подчеркивает, что плотность вероятности зависит от длительности мертвого времени). В силу этого момент времени ¿к без потери общности можно положить равным нулю, т.е. момент наступления события есть т = 0 . Тогда одномерная плотность вероятности Рт(т), т > 0 , примет вид [51, 53]: |0, 0 <т< Т,

Рт (т) = <

¿2 ¿1

1

г9 --

Р1 +Р:

-/

¿1 (т Т) .

¿2 ¿1

1

-"

Р1 +Р:

-/

-г2

т> Т,

г

г

2

е

е

g"(ßl + Р2)Г

f (T) = ^a + (pX + ß)(X2 + a5) + a(X - X2 - a5){{^^ + ß)[ (1 - p + p5) - X2 + 5ß]- p^a} ,

F

F(T) = z^2 - qe-(ßl+ß2)T, ß1 = pX1 +ß , ß2 =a , q = X1[X2 - p(X2 + a5)], z12 = 2 +X 2 +a+ß + -yj (X1 -X 2 - a + ß)2 + 4aß(1 -5) JJ, 0 < z1 < z2.

Пусть x1 = t2 -11, x2 = t3 -t2, ..., xk = tk+1 - tk, x1 > 0, x2 > 0, ..., тк > 0, - последовательность измеренных в результате наблюдения за потоком в течение интервала наблюдения (0, t ] значений длительностей интервалов между соседними событиями потока. Упорядочим величины х1, ..., хк по возрастанию: xmm = х(1) < х(2) <... < х(к). В силу предпосылок последовательность моментов наступления событий t1, t2,..., tk,... образует вложенную цепь Маркова {X(tk)}, т.е. поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с момента наступления события tk, к = 1,2,.... Тогда функция правдоподобия с учетом (1) запишется в виде

L(T | х(1),..., х(к)) = Прт (х( 1)), 0 < T <хт1п; L( T | х(1),..., х(к)) = 0, T >хтШ.

j=1

Поскольку задача заключается в построении оценки T длительности мертвого времени в предположении, что все параметры потока X1, X2, р, ß, a , 5 известны, то согласно методу максимального правдоподобия [55] ее реализация есть решение оптимизационной задачи

L

1=1 T

где pT(х( 1)) определена в (1) для х = х1. Значение T , при котором функция правдоподобия (2) достигает своего глобального максимума, есть оценка максимального правдоподобия ТМП длительности мертвого времени.

В [54] аналитически строго решена оптимизационная задача (2): показано, что функции PT (х( j)), 1 = 2, к , являются возрастающими функциями переменной T , 0 < T < х( 1 \ 0 <х(1 ^ <<х>, j = 2, к , при любых значениях параметров X1, X2, р , ß, a , 5 и, следовательно, функция правдоподобия L(T | х(1),...,х(к-1) достигает своего глобального максимума в точке ТМП = хmb, т.е. решением оптимизационной задачи (2) является оценка длительности мертвого времени ТМП = х mb. Таким образом, в процессе наблюдения за потоком событий (в течение временного интервала (0, t ]) вычисляются величины х к, к = 1, n , после чего находится х^п = min хк, к = 1, n , и полагается ТМП = х m1n .

3. ММ-оценка длительности мертвого времени

В [51, 53] показано, что модулированный обобщенный полусинхронный поток событий, функционирующий в условиях непродлевающегося мертвого времени, в общем случае является коррелированным потоком. Только в частных случаях поток становится рекуррентным.

Пусть теперь ,^+1), (^+1,tk+2) - два смежных интервала с соответствующими значениями длительностей хк = - tk, хк+1 = - , хк > 0 , хк+1 > 0 . Их расположение на временной оси, в силу стационарности потока, произвольно. Тогда можно положить к = 1 и рассматривать соседние интервалы (t1, t2), (t2, t3) с соответствующими значениями длительностей х1 = t2 -11, х2 = t3 -12 ; х1 > 0, х2 > 0 , при этом х1 = 0 соответствует моменту t1 наступления события наблюдаемого потока; х2 = 0 соответствует моменту t2 наступления события наблюдаемого потока. Соответствующая совместная плотность вероятностей при этом есть рТ(х1,х2), х1 > 0, х2 > 0 [51, 53]:

Рт(т1,т2) = 0, 0<т1 <Т, 0<т2 <Т,

Рт (т„ т2) = Рт (т^Т (т2) + С - 22в-^-Т) ^е^2^ - 22е-22(т2-Т) ], т, > Т, т2 > Т ,

C = -(Рг + Р2)Т (Я-! - - а5) [а + (+ Р)(^2 + а5)][(+ Р>1(0) - аЛ2 (0)] Ст —qe 2 ^

[([ ^(Р +Р2)^(Т)]2

х{ ^ - [2 72 - (Р! + Р2)( + 22)]в~(р1+р2)Т + [ ^ - (^ + Р2) (А-1(1 - p) + ^ )] е^1+р2)Т} ,

где , Р1, Р2, q , ^(Т) определены в (1), рт(тк) определены в (1) для т = тк, к = 1,2.

Теоретическая ковариация значений т1 и т2 запишется в виде [56]:

да да да

еоу(т1,т2)= Цт1т2рт(т1,т2)^т1^т2 - |трТ(т)^т

Т Т \_Т

Подставляя (1), (3) в (4), находим явный вид теоретической ковариации

еоу1

( т2 ) =

V У

где Ст определена в (3).

Пусть за время наблюдения за потоком (в течение временного интервала (0, t ]) реализовалось п интервалов , tk+1) длительности тк , к = 1, п . Введем статистику:

1 П-1 / 1 п

«Ц^ т2) =-7Етктк+1 -1 -Е'

п-1 к=1 V Пк=1

являющуюся оценкой теоретической ковариации (5). Тогда, согласно методу моментов [55], уравнение моментов, учитывающее коррелированность потоков событий, запишется в виде

V 2\22

Ст = С(0у(т1, т2).

Подставляя в (7) выражение для Ст из (3), вводя новую переменную х = е при этом необходимые преобразования, находим (7) в виде

3 2

а0 х + а1 х + а2 х + а3 = 0,

= е-(Р1+Р2)Т

и проделывая

к =-

[72(Р1 + Р2)]"

-Я,2 -а5)[1а + (рЯ,1 + р)(^2 + а5)][(рА,1 +Р)л1(0) -ал2(0)],

а=

к{{ " (Р1 + Р2 )[^1 (1 - р) + ^2 ]; ^^ ^ -{к[2¿1 ¿2 - (Р1 + Р2)(^1 + ^)] + q2 С0у(т1, т2 )},

а2 = 2

{к + 2q С0У(т1 ,т2 )}; а3 =-(г1г2 )2 е0у(т1 ,т2 ),

где г1, г2, Р1, Р2, q определены в (1).

Решение уравнения (8) определяет три корня х1, х2, х3, которые, в свою очередь, определяют три ММ-оценки длительности мертвого времени

ТМм =-РгЧг1п х, * = 1,2,3.

Р1 + Р2

Сформулируем алгоритм нахождения единственной оценки Тмм длительности мертвого времени:

1) Для определенного набора параметров Я1, А,2, р , Р, а , 5, Т осуществляется имитационное моделирование наблюдаемого потока событий в течение времени моделирования Тт .

2) Результатом работы имитационной модели является выборка т1, т2, ..., тп длительностей интервалов между соседними событиями наблюдаемого потока, где п принимает одно из целых значений (п > 2). По данной выборке строится оценка теоретической ковариации (6).

1

2

21

2

2

¿2

3) Решается кубическое уравнение (8) [57], т.е. находятся корни х1, х2, х3; рассматривается слу-

чай a0 Ф 0.

4) Далее возможны три случая:

4.1) Вещественный корень один - х1, при этом x2, x3 - комплексно сопряженные корни, тогда:

а) если xi < 0 , то Тмм = х min ;

б) если х1 > 0, то: б.1) если ТМММ > хmin , то 7ММ = Хmin ; б.2) если 0 < 7МММ < Хmin , то 7ММ = 7МММ \

б.3) если TMMM < 0, то 7ММ = Хmin .

4.2) Вещественных корня три, при этом х2 = х3, т.е. вещественных различных корней два - х1, х2 (х1 < х2), тогда:

а) если х1 < х2 < 0, то TMM = х min ;

б) если х1 < 0 < х2, то: б.1) если 7МММ >х min , то 7ММ =Х min; б.2) если 0 < 7МММ <Х min , то

7ММ = 7МмМ ; б3) если 7Мм < 0 , то 7ММ = Хmin ;

в) если 0 < х1 < х2 , то: в.1) если хmin < 7МММ < 7МММ , то 7ММ = Хmin ; в.2) если 0 < 7ММММ < Хmin < 7МММ ,

то 7мм = 7ММ; в.3) если 0 < 7ММ < 7ММ <хmin, то 7мм = (7ММ + 7ММ )/2; в.4) если

7ММ < 0 < Хmin < 7MM , то 7ММ = Хmin ; в.5) если 7ММ < 0 < 7ММ < Хmin , то 7ММ = 7ММ ; в.6) если 7^(2) < 7W < 0 то 7 = х

1ММ ^ 1ММ — u ' 1и ММ _ min •

4.3) Вещественных корня три - х1, х2, х3 (х1 < х2 < х3), тогда:

а) если х1 < х2 < х3 < 0 , то 7мм = Х min ;

б) если х1 < х2 < 0 < х3 , то: б.1) если TMM > хmin , то 7ММ = Хmin ; б.2) если 0 < 7ММ < Хmin , то 7ММ = 7Мм ; б.3) если ТМММ < 0 , то 7ММ = Хmin ;

в) если х1 < 0 < х2 < х3 , то: в.1) если х min < 7ММ < 7MMf, то 7ММ =Х min; в.2) если

то 7А4А4 = TMM, ; в.

0 < 7МмМ < Хmin < 7МмМ , то 7ММ = 7МмМ ; в.3) если 0 < 7МмМ < 7МмМ < Хmin , то 7ММ = (7МмМ + 7МмМ )/ 2 ; в.4) если TmMM < 0 < хmin < 7МММ , то 7ММ = Хmin ; в.5) если 7ММ < 0 < 7МММ < Хmin , то 7ММ = 7МММ

в.б) если тМММ < 7МММ <0, то 7мм =хmin;

г) если 0 < х1 < х2 < х3 , то: г.1) если х min < 7МММ < 7МММ < TMMм, то 7ММ =х min; г.2) если

0 < 7ММ <хmin < 7МмМ < TMMj, то 7ММ = 7Мм); г.3) если 0 < ТМмМ < 7МмМ <Хmin < TMMj, то

7мм = (7ММ + tMmM )/ 2; г.4) если 0 < 7ММ < тМмМ < 7МмМ < xmin, то 7мм = (7ММ + 7ММ + 7ММ)/ 3;

г5) если TMMM < 0 < Хmin < TMMM < 7МММ , то 7ММ = Хmin ; г.6) если TMMM < 0 < 7МММ < Хmin < 7МММ

7ММ = 7МмМ ; г7) если 7МмМ < 0 < 7МмМ < 7ММ < Xmin , то 7ММ = 7ММ + 7МмМ )/2; г8) 7МмМ < 7МмМм < 0 < Хmin < 7МмМ , то 7ММ = Хmin ; г9) если 7МмМ < 7МмММ < 0 < 7МмМ < Xmin , то 7ММ = 7ММсМ ;

г.10) если 7ММ) < 7ММММ < 7ММм < 0, то 7ММ = Хmin .

В результате работы алгоритма осуществляется один из описанных вариантов, тем самым определяется единственная ММ-оценка длительности мертвого времени 7^мм .

4. Численное сравнение МП- и ММ-оценок длительности мертвого времени

В настоящем разделе приводятся результаты статистических экспериментов по вычислению оценок длительности мертвого времени методом моментов и методом максимального правдоподобия для

то

если

различных значений параметров модулированного обобщенного полусинхронного потока событий. Приведенный в разделе 3 алгоритм нахождения единственной оценки TMM длительности мертвого времени положен в основу реализации программы расчета. Программа расчета реализована на языке программирования C# в интегрированной среде разработки Microsoft Visual Studio 2015 в виде пользовательского приложения и интерфейса командной строки.

Эксперимент заключается в следующем: 1) при заданных значениях параметров потока , А,2, р, ß, а , ô, Т и заданном времени моделирования Tm осуществляется имитационное моделирование потока и как результат - получение истинной траектории интенсивности процесса X(t ) и последовательности значений длительностей временных интервалов т1, т2, ..., х„ (n = 2,3,...); описание алгоритма имитационного моделирования здесь не приводится, так как никаких принципиальных трудностей алгоритм не содержит; 2) находится оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени ТМП =тmin (xmin = min тк, k = 1, n ); 3) вычисляется статистика (6), решается уравнение (8) и осуществляется реализация алгоритма нахождения единственной оценки TMM длительности мертвого времени методом моментов; 4) осуществляется повторение N раз ( j = 1, N ) шагов 1-3 для получения выборок достаточного объема.

Результатом выполнения описанного алгоритма являются две выборки: (ТМя,ТМя,-.,Тмп ),

,TMMMm ,. .,TMMMM ), на основании которых вычисляются выборочные средние

ММ > ММ мм ,

^ 1 N ., ^ 1 N „ , ..

Т — —— V т(. > Т __ . ' 1МП - Лт ыМП ' +мм - лт ымм > N .=1 N .=1

выборочные дисперсии

„ 1 N ( ..) -т Л2 - 1 N Т \2

Вмп = N -1 Ы11ч Тмп - Тмп у , В мм = N -1 Ы11ч Тмм - тмм J

и выборочные вариации получаемых оценок

- 1 N ( .) )2 - 1 N ( . )2

-мп = N Ы^Мп -т/ , -мм = N ЫТММ -Т/ .

Первый эксперимент проведен для большого числа параметров модулированного обобщенного полусинхронного потока событий при различных значениях длительности мертвого времени Т = 0,5,1,1,5,..., 7, 9 и времени моделирования Тт = 20, 30,..., 900,1000 ; объем выборки составляет N = 100 . В качестве иллюстрации в табл. 1, 2 приведены результаты численного эксперимента для потока в зависимости от времени моделирования Тт при значениях параметров Х1 = 1, X2 = 0,5, Р = 0,5, р = 0,2 , а = 0,5 , 5 = 0,2 и длительности мертвого времени Т = 0,5 . Время моделирования Тт изменяется от 20 до 1000.

Т а б л и ц а 1

Результаты статистического эксперимента

Т m 20 30 40 50 100 200 300

ТМП 0,63132 0,58855 0,57871 0,55004 0,52809 0,51379 0,50708

DMn 0,025561 0,006909 0,006602 0,003162 0,000805 0,000185 0,000036

^МП 0,04255 0,01468 0,01273 0,00563 0,00159 0,00037 0,00009

TMM 0,63132 0,58486 0,57069 0,54497 0,52809 0,51379 0,50666

DMM 0,025561 0,008502 0,010998 0,006104 0,000805 0,000185 0,000059

VMM 0,04255 0,01562 0,01589 0,00807 0,00159 0,00037 0,00010

Результаты статистического эксперимента

Т т 400 500 600 700 800 900 1000

ТМП 0,50539 0,50365 0,50415 0,50329 0,50304 0,50303 0,50263

ВМП 0,000029 0,000018 0,000017 0,000012 0,000008 0,000008 0,000006

-МП 0,00006 0,00003 0,00003 0,00002 0,00002 0,00002 0,00001

тмм 0,49601 0,49556 0,49990 0,50126 0,49666 0,49923 0,49473

Вмм 0,004414 0,002223 0,000958 0,000432 0,001628 0,000678 0,001648

-мм 0,00439 0,00222 0,00095 0,00043 0,00162 0,00067 0,00166

Пример результата численного эксперимента в зависимости от длительности мертвого времени Т приведен в табл. 3 при значениях параметров Х1 = 1, X2 = 0,5, Р = 0,5, р = 0,2 , а = 0,5 , 5 = 0,2 , в табл. 4 - при значениях параметров Х1 = 0,4 , X2 = 0,1, Р = 0,25, р = 0,2 , а = 0,25 , 5 = 0,2 ; время моделирования составляет Тт = 1000; объем выборки составляет N = 100. Длительность мертвого времени Т изменяется от 0,5 до 9.

Т а б л и ц а 3

Результаты статистического эксперимента

Т 0,5 1 1,5 2 3 5 7 9

ТМП 0,50236 1,00257 1,50395 2,00493 3,00532 5,00769 7,01127 9,01534

ВМП 0,000006 0,000006 0,000013 0,000021 0,000029 0,000047 0,000124 0,000178

-МП 0,00001 0,00001 0,00003 0,00005 0,00006 0,00011 0,00025 0,00041

тмм 0,49671 0,99757 1,47580 1,99349 2,86230 4,91269 6,87790 8,67282

Вмм 0,002051 0,002533 0,039199 0,012995 0,334228 0,445407 0,885099 2,849317

-мм 0,00204 0,00251 0,03939 0,01291 0,34985 0,44858 0,89116 2,92787

Т а б л и ц а 4

Результаты статистического эксперимента

Т 0,5 1 1,5 2 3 5 7 9

ТМП 0,51837 1,01873 1,52102 2,02484 3,02529 5,03875 7,04114 9,05422

ВМП 0,000257 0,000444 0,000463 0,000563 0,000631 0,001498 0,001451 0,002826

-МП 0,00059 0,00079 0,00090 0,00117 0,00126 0,00298 0,00313 0,00574

тмм 0,51206 1,00293 1,49634 2,00921 2,93991 4,91482 6,80174 8,88871

Вмм 0,002442 0,008810 0,025294 0,022826 0,189082 0,511574 1,456847 1,366464

-мм 0,00256 0,00873 0,02505 0,02268 0,19080 0,51371 1,48159 1,36518

Полученные результаты показывают, во-первых, достаточно высокое качество оценивания длительности мертвого времени; во-вторых, то, что при малом времени моделирования (Тт изменяется от 20 до 100) качество оценивания хуже по таким характеристикам, как выборочные средние, выборочные дисперсии и выборочные вариации, при этом по мере увеличения длительности времени моделирования (Тт изменяется от 100 до 1000) качество оценивания растет и при времени моделирования Тт от 500 и

выше наблюдается достаточная стабильность оценок (см. табл. 1, 2). В-третьих, при заданном значении времени моделирования Тт (Тт выбрано достаточно большим Тт = 1000 для обеспечения стабильности оценок) по мере увеличения длительности мертвого времени Т качество оценивания становится хуже по таким характеристикам, как выборочные дисперсии и выборочные вариации (см. табл. 3, 4). И, наконец, оценка максимального правдоподобия по таким характеристикам, как выборочные дисперсии и выборочные вариации, оказывается лучше оценки, полученной методом моментов, по мере увеличения длительности мертвого времени Т (Т изменяется от 2 и выше) при фиксированном значении времени моделирования Тт (Тт выбрано достаточно большим (Тт = 1000) для обеспечения стабильности оценок) (см. табл. 3, 4).

Результаты второго статистического эксперимента приведены в табл. 5-8. В первой строке таблиц указана длительность имитационного моделирования Тт (Тт = 10, 20, 30,..., 900,1000), во второй и третьей строках для каждой длительности имитационного моделирования Тт приведены численные значения выборочных вариаций УМП и Умм соответственно. В четвертой строке таблицы приведены численные значения разности выборочных вариаций УМП - Умм . Численные результаты для всех таблиц получены для N = 100 . Путем сравнения значений выборочных вариаций устанавливается, какая из оценок при заданных параметрах лучше, какая хуже: если УМП < Умм, то МП-оценка лучше ММ-оценки, если, наоборот, УМП > Умм, то ММ-оценка лучше МП-оценки. Отметим, что по определению оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени при конечных Тт будет всегда смещенная (тт;п > Т); ее несмещенность реализуется только в асимптотическом случае при Тт ^ да .

Т а б л и ц а 5

Результаты статистического эксперимента

Т т 10 20 30 40 50

УмП 0,62307 0,05566 0,01911 0,00494 0,00542

^мм 0,61807 0,05541 0,01790 0,00494 0,00542

Умп - ^мм 0,00500 0,00025 0,00121 0 0

Т т 600 700 800 900 1000

УмП 0,00003 0,00001 0,00002 0,00001 0,00001

^мм 0,00163 0,00050 0,00183 0,00182 0,00168

У МП - Умм -0,00160 -0,00049 -0,00181 -0,00181 -0,00167

Т а б л и ц а 6

Результаты статистического эксперимента

Т т 10 20 30 40 50

УМП 0,40721 0,08531 0,04087 0,00871 0,00649

Умм 0,40235 0,08448 0,04007 0,00911 0,00671

Умп - Умм 0,00486 0,00083 0,00080 -0,00040 -0,00023

Т т 600 700 800 900 1000

УМП 0,00003 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001

Умм 0,00083 0,00121 0,00121 0,00161 0,00161

Умп - Умм -0,00080 -0,00120 -0,00120 -0,00160 -0,00160

Результаты статистического эксперимента

т т 10 20 30 40 50

-МП - 0,58607 0,28668 0,12089 0,06472

-мм - 0,58607 0,28668 0,12089 0,06472

-мп - -мм - 0 0 0 0

Т т 600 700 800 900 1000

-МП 0,00025 0,00016 0,00012 0,00010 0,00009

-мм 0,02417 0,07572 0,03765 0,00010 0,03319

-МП - -мм -0,02392 -0,07556 -0,03752 0 -0,03309

Т а б л и ц а 8

Результаты статистического эксперимента

Т т 10 20 30 40 50

-МП 0,00163 0,00027 0,00014 0,00004 0,00004

-мм 0,00387 0,00150 0,00255 0,00629 0,00338

-мп - -мм -0,00224 -0,00123 -0,00241 -0,00625 -0,00334

Т т 600 700 800 900 1000

-МП 0,00000019 0,00000015 0,00000013 0,00000012 0,00000010

-мм 0,01108566 0,00667453 0,01380863 0,01520267 0,01732796

-мп - -мм -0,01109 -0,00667 -0,01381 -0,01520 -0,01733

Анализ приведенных численных результатов показывает: 1) при малых временах наблюдения Тт за потоком (при малых Тт = 10, 20,..., 50) и малых значениях X1 < 1, X2 < X1 < 1 (в случае редкого потока) ММ-оценки лучше МП-оценок (когда разность ¥МП - ¥мм > 0) либо, по крайней мере, не хуже МП-оценок (когда разность УМП - -мм = 0), что является вполне естественным, так как при малых временах наблюдения оценка ТМП может быть достаточно сильно смещенной относительно Т (см. табл. 5-7); 2) при больших временах наблюдения за потоком (при больших Тт = 600, 700, ...,1000) МП-оценки лучше ММ-оценок (когда разность УМП - Умм < 0) либо, по крайней мере, не хуже ММ-оценок (когда разность УМП - -мм = 0), что также является вполне естественным, так как при больших временах наблюдения смещение оценки ТМП относительно Т уменьшается; 3) в остальных случаях оценка максимального правдоподобия ТМП оказывается лучше оценки Тмм, полученной методом моментов (см. табл. 5-8).

Заключение

По результатам проведенного исследования по сравнению оценок длительности мертвого времени методом моментов и методом максимального правдоподобия для различных значений параметров

модулированного обобщенного полусинхронного потока событий можно сделать вывод о том, что при малых временах наблюдения Tm за потоком и малых значениях X — 1, X2 < X — 1 (в случае редкого

потока) предпочтительнее применять оценку TMM, полученную методом моментов; при больших временах наблюдения и / или больших значениях X1 > X2 > 1 (в случае нередкого потока) - оценку ТМП, полученную методом максимального правдоподобия. Кроме того, оценка максимального правдоподобия ТМП по таким характеристикам, как выборочные дисперсии и выборочные вариации, оказывается лучше оценки TMM , полученной методом моментов, по мере увеличения длительности мертвого времени T при фиксированном значении времени моделирования Tm . Отдельно стоит отметить, что полученные результаты демонстрируют достаточно высокое качество оценивания длительности мертвого времени для обоих методов оценивания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cox D.R. Some Statistical Methods Connected with Series of Events // J. Royal Statistical Society B. 1955. V. 17. P. 129-164.

2. Kingman Y.F.C. On doubly stochastic Poisson process // Proceedings of Cambridge Phylosophical Society. 1964. V. 60, No 4.

P. 923-930.

3. Basharin G.P., Kokotushkin V.A., Naumov V.A. Method of equivalent substitutions for calculating fragments of communication

networks for digital computer // Engineering cybernetics. 1979. V. 17(6). P. 66-73.

4. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. О методе эквивалентных замен расчета фрагментов сетей связи // Изв. АН

СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 1. С. 55-61.

5. Neuts M.F. A versatile Markov point process // Journal of Applied Probability. 1979. V. 16. P. 764-779.

6. Cox D. R., Isham V. Point Processes. London : Chapman & Hall, 1980.

7. Bremaud P. Point Processes and Queues: Martingale Dynamics. New York : Springer-Verlag, 1981.

8. Last G., Brandt A. Marked Point Process on the Real Line: The Dynamic Approach. New York : Springer-Verlag, 1995.

9. Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A. An asynchronous double stochastic flow with initiation of superfluous events // Discrete Mathemat-

ics and Applications. 2011. V. 21, No. 3. P. 283-290.

10. Башарин Г.П., Гайдамака Ю.В., Самуйлов К.Е. Математическая теория телетрафика и ее приложения к анализу мультисер-висных сетей связи следующих поколений // Автоматика и вычислительная техника. 2013. № 2. С. 11-21.

11. Adamu A., Gaidamaka Y., Samuylov A. Discrete Markov Chain Model for Analyzing Probability Measures of P2P Streaming Network // Lecture Notes in Computer Science: Proc. of the 11-th International Conference on Next Generation Wired/Wireless Networking NEW2AN-2011 (August 23-25, 2011, St. Petersburg, Russia). 2011. P. 428-439.

12. Bouzas P.R., Valderrama M.J., Aguilera A.M., Ruiz-Fuentes N. Modelling the mean of a doubly stochastic Poisson process by functional data analysis // Computational Statistics and Data Analysis. 2006. V. 50(10). P. 2655-2667.

13. Centanni S., Minozzo M. A Monte Carlo approach to filtering for a class of marked doubly stochastic Poisson processes // Journal of the American Statistical Association. 2006. V. 101. P. 1582-1597.

14. Dubois J.-P. Traffic estimation in wireless networks using filtered doubly stochastic point processes (Conference Paper) // Proceedings - 2004 International Conference on Electrical, Electronic and Computer Engineering, ICEEC'04 2004. 2004. P. 116-119.

15. Hossain M.M., Lawson A.B. Approximate methods in Bayesian point process spatial models // Computational Statistics and Data Analysis. 2009. V. 53(8). P. 2831-2842.

16. Snyder D.L., Miller M.I. Random Point Processes in Time and Space. Springer-Verlag, Heidelberg, 1991.

17. Горцев А.М., Нежельская Л. А., Шевченко Т.И. Оценивание состояний MC-потока событий при наличии ошибок измерений // Известия вузов. Физика. 1993. № 12. С. 67-85.

18. Gortsev A.M., Shmyrin I.S. Optimal estimation of states of a double stochastic flow of events in the presence of measurement errors of time instants // Automation and Remote Control. 1999. V. 60, No. 1. P. 41-51.

19. Горцев А.М., Шмырин И.С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерениях моментов времени // Автоматика и телемеханика. 1999. № 1. С. 52-66.

20. Горцев А.М., Ниссенбаум О.В. Оптимальная оценка состояний асинхронного альтернирующего потока с инициированием лишних событий // Вестник ТюмГУ. 2008. № 6. С. 107-119.

21. Горцев А.М., Зуевич В. Л. Оптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2(11). С. 44-65.

22. Горцев А.М., Леонова М.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного асинхронного дважды стохастического потока // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 1(10). С. 33-47.

23. Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A., Solovev A.A. Optimal State Estimation in MAP Event Flows with Unextendable Dead Time // Automation and Remote Control. 2012. V. 73, No. 8. P. 1316-1326.

24. Бахолдина М.А. Оптимальная оценка состояний модулированного обобщенного полусинхронного потока событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 2(23). С. 10-21.

25. Бахолдина М.А., Горцев А.М. Оптимальная оценка состояний модулированного обобщенного полусинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 1(26). С. 13-24.

26. Bakholdina M.A., Gortsev A.M. Optimal estimation of the states of modulated semi-synchronous integrated flow of events in condition of its incomplete observability // Applied Mathematical Sciences. 2015. V. 9, No. 29. P. 1433-1451.

27. Горцев А.М., Завгородняя М.Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий при условии его частичной наблюдаемости // Оптика атмосферы и океана. 1997. Т. 10, № 3. С. 273-280.

28. Васильева Л.А., Горцев А.М. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий в условиях его неполной наблюдаемости // Автоматика и телемеханика. 2002. № 3. С. 179-184.

29. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание длительности «мертвого времени» и интенсивностей синхронного дважды стохастического потока событий // Радиотехника. 2004. № 10. С. 8-16.

30. Горцев А. М., Ниссенбаум О. В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий с инициированием лишнего события // Вестник Томского государственного университета. 2004. № 284. С. 137-145.

31. Горцев А.М., Зуевич В. Л. Оптимальная оценка параметров асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным числом состояний // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 4(17). С. 25-40.

32. Леонова М. А., Нежельская Л. А. Оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени в обобщенном асинхронном потоке событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 2(23). С. 54-63.

33. Горцев А. М., Соловьев А. А. Оценка максимального правдоподобия длительности непродлевающегося мертвого времени в потоке физических событий // Известия вузов. Физика. 2015. Т. 58, № 11. С. 141-149.

34. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М. : Мир, 1967. Т. 1.

35. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М. : Наука, 1969.

36. Апанасович В.В., Коляда А.А., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск : Университетское, 1988.

37. Normey-Rico J.E. Control of dead-time processes (Advanced textbooks in control and signal processing). London : Springer-Verlag, 2007.

38. Горцев А. М., Климов И. С. Оценка интенсивности пуассоновского потока событий в условиях частичной его ненаблюдаемости // Радиотехника. 1991. № 12. С. 3-7.

39. Горцев А. М., Климов И. С. Оценивание периода ненаблюдаемости и интенсивности пуассоновского потока событий // Радиотехника. 1996. № 2. С. 8-11.

40. Горцев А.М., Паршина М.Е. Оценивание параметров альтернирующего потока событий в условиях «мертвого времени» // Известия вузов. Физика. 1999. № 4. С. 8-13.

41. Горцев А. М., Ниссенбаум О. В. Оценивание длительности мертвого времени и параметров асинхронного альтернирующего потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Известия вузов. Физика. 2005. № 10. С. 35-49.

42. Gortsev A.M., Nissenbaum O.V. Estimation of the dead time period and parameters of an asynchronous alternative flow of events with unextendable dead time period. Russian Physics Journal. 2005. V. 48(10). P. 1039-1054.

43. Нежельская Л.А. Оптимальное оценивание состояний полусинхронного потока событий в условиях его частичной наблюдаемости // Вестник Томского государственного университета. 2000. № 269. С. 95-98.

44. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Оценивание параметров полусинхронного дважды стохастического потока событий методом моментов // Вестник Томского государственного университета. 2002. № 1. С. 18-23.

45. Gortsev A.M., Nezhelskaya L.A. Estimation of the dead-time period and parameters of a semi-synchronous double-stochastic stream of events // Measurement Techniques. 2003. V. 46, No. 6. P. 536-545.

46. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мертвом времени // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 1. С. 31-41.

47. Горцев А. М., Калягин А. А. Оптимальная оценка состояний обобщенного полусинхронного потока событий в условиях непродлевающегося мертвого времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 4(13). С. 50-60.

48. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного полусинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2014. № 2(27). С. 19-29.

49. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оценка максимального правдоподобия длительности мертвого времени в обобщенном полусинхронном потоке // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2015. № 1(30). С. 27-37.

50. Горцев А.М., Нежельская Л.А. О связи MC-потоков и MAP-потоков событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 1(14). С. 13-21.

51. Бахолдина М. А. Совместная плотность вероятностей длительности интервалов модулированного обобщенного полусинхронного потока событий при непродлевающемся мертвом времени и условия его рекуррентности // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2015. № 2(31). С. 4-17.

52. Bakholdina M., Gortsev A. Joint probability density of the intervals length of the modulated semi-synchronous integrated flow of events and its recurrence conditions // Communications in Computer and Information Science. 2014. V. 487. P. 18-25.

53. Bakholdina M., Gortsev A. Joint probability density of the intervals length of modulated semi-synchronous integrated flow of events in conditions of a constant dead time and the flow recurrence conditions // Communications in Computer and Information Science. 2015. V. 564. P. 13-27.

54. Бахолдина М.А., Горцев А.М. Оценка максимального правдоподобия длительности непродлевающегося мертвого времени в модулированном обобщенном полусинхронном потоке событий // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2016. № 2(35). P. 13-29.

55. Шуленин В.П. Математическая статистика. Ч. 1: Параметрическая статистика : учеб. Томск : Изд-во НТЛ, 2012.

56. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учеб. пособие. М. : Высшая школа, 2000.

57. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре : учеб. пособие для вузов. М. : Наука, 1984.

Бахолдина Мария Алексеевна. E-mail: maria.bakholdina@gmail.com

Горцев Александр Михайлович, д-р техн. наук, профессор. E-mail: gam@fpmk.tsu.ru

Томский государственный университет

Поступила в редакцию 24 марта 2016 г.

Bakholdina Maria A., Gortsev Alexander M. (Tomsk State University, Russian Federation).

Comparison of maximum likelihood method and moments method by estimating unextendable dead time period in the modulated semi-synchronous generalized flow of events.

Keywords: modulated semi-synchronous generalized flow of events; doubly stochastic Poisson process (DSPP); Markovian arrival process (MAP); unextendable dead time; maximum likelihood method; moments method; dead time period duration.

DOI: 10.17223/19988605/36/2

In this paper we consider the modulated semi-synchronous generalized flow of events, which is one of the mathematical models for incoming streams of events in computer communication networks and which is related to the class of doubly stochastic Poisson processes (DSPPs). The flow intensity process is a piecewise constant stationary random process X(t) with two states 1, 2 (first, second correspondingly). In the first state X(t) = X1 and in the second state X(t) = X2 (X1 > X2 > 0 ). During the time interval of a random duration when the process X(t) is in the state Xi (X(t) = Xi ), a Poisson flow of events with intensity Xi, i = 1,2, arrives. The transition of the process X(t ) from the first state to the second state is possible at any moment of a Poisson event occurrence in state, herewith the process X(t) can change its state to the second one with probability p (0 < p < 1) or can stay in state 1 with complementary probability 1 — p . The transition of the process X(t) from state 1 to state 2 is also possible at any moment that does not coincide with the moment of a Poisson event occurrence, herewith the duration of the process X(t) staying in the first state is distributed according to the exponential law with parameter P : F(t) = 1 — e—Pt, t > 0 . Then the duration of the process X(t) staying in the first state is distributed according to the exponential law with the distribution function F1 (t) = 1 — e—'+P't, t > 0 . The transition of the process X(t) from the second state to the first state at the moment of a Poisson event occurrence in state 2 is impossible and can be done only at a random moment. In this case the duration of the process X(t ) staying in state 2 is distributed according to the exponential law with parameter

a : F2 (t) = 1 — e—at, t > 0 . At the moment when the state changes from the second to the first one, an additional event is assumed to be initiated with probability 5 (0 < 8 < 1) .

The registration of the flow events is considered in conditions of a constant (unextendable) dead time. The dead time period of a constant duration T begins after every registered event at the moment tk , k > 1. During this period no other events are observed. When the dead time period is over, the first coming event causes the next interval of a dead time of duration T and so on.

We assume that the flow parameters X1 >X2 > 0, 0 < p < 1, P > 0, a> 0, 0 < 8 < 1, are known and the duration of the dead time

period T is not known. The main problems are to find the maximum likelihood and moments estimates of the dead time period duration on monitoring the time moments of the events occurrence in observable flow of events and further to compare the obtained estimates.

REFERENCES

1. Cox, D.R. (1955) Some Statistical Methods Connected with Series of Events. Journal of Royal Statistical Society B. 17. pp. 129-164.

DOI: 10.2307/2983950

2. Kingman, Y.F.C. (1964) On doubly stochastic Poisson process. Proceedings of Cambridge Phylosophical Society. 60(4). pp. 923-30.

3. Basharin, G.P., Kokotushkin, V.A. & Naumov, V.A. (1979) Method of equivalent substitutions for calculating fragments of commu-

nication networks for digital computer. Engineering cybernetics. 17(6). pp. 66-73. DOI: 10.1016/0166-5316(84)90009-9

4. Basharin, G.P., Kokotushkin, V.A. & Naumov, V.A. (1980) Method of equivalent substitutions for calculating fragments of commu-

nication networks for digital computer. Engineering cybernetics. 1. pp. 55-61.

5. Neuts, M.F. (1979) A versatile Markov point process. Journal of Applied Probability. 16. pp. 764-779. DOI: 10.2307/3213143

6. Cox, D. R. & Isham, V. (1980) Point Processes. London: Chapman & Hall.

7. Bremaud, P. (1981) Point Processes and Queues: Martingale Dynamics. New York: Springer-Verlag.

8. Last, G. & Brandt, A. (1995) Marked Point Process on the Real Line: The Dynamic Approach. New York: Springer-Verlag.

9. Gortsev, A.M. & Nezhelskaya, L.A. (2011) An asynchronous double stochastic flow with initiation of superfluous events. Discrete

Mathematics and Applications. 21(3). pp. 283-290. DOI: 10.1515/dma.2011.017

10. Basharin, G.P., Gaidamaka, Y.V. & Samouylov, K.E. (2013) Mathematical Theory of Teletraffic and Its Application to the Analysis of Multiservice Communication of Next Generation Networks. Automatic Control and Computer Sciences. 47(2). pp. 62-69. DOI: 10.3103/S0146411613020028

11. Adamu, A., Gaidamaka, Y. & Samuylov, A. (2011) Discrete Markov Chain Model for Analyzing Probability Measures of P2P Streaming Network. Lecture Notes in Computer Science. Proc. of the 11-th International Conference on Next Generation Wired/Wireless Networking NEW2AN-2011. August 23-25, 2011. St. Petersburg, Russia. pp. 428-439.

12. Bouzas, P.R., Valderrama, M.J., Aguilera, A.M. & Ruiz-Fuentes, N. (2006) Modelling the mean of a doubly stochastic Poisson process by functional data analysis. Computational Statistics and Data Analysis. 50(10). pp. 2655-2667. DOI: 10.1016/j.csda.2005.04.015

13. Centanni, S. & Minozzo, M. (2006) A Monte Carlo approach to filtering for a class of marked doubly stochastic Poisson processes. Journal of the American Statistical Association. 101. pp. 1582-1597. DOI: 10.1198/016214506000000276

14. Dubois, J.-P. (2004) Traffic estimation in wireless networks using filtered doubly stochastic point processes (Conference Paper). Proceedings - 2004 International Conference on Electrical, Electronic and Computer Engineering, ICEEC'04 2004. pp. 116-119.

15. Hossain, M.M. & Lawson, A.B. (2009) Approximate methods in Bayesian point process spatial models. Computational Statistics and Data Analysis. 53(8). pp. 2831-2842. . DOI: 10.1186/1471-2288-11-133

16. Snyder, D.L. & Miller, M.I. (1991) Random Point Processes in Time and Space. Heidelberg: Springer-Verlag.

17. Gortsev, A.M., Nezhelskaya, L.A. & Shevchenko, T.I.

18. Gortsev, A.M. & Shmyrin, I.S. (1999a) Optimal estimation of states of a double stochastic flow of events in the presence of measurement errors of time instants. Automation and Remote Control. 60(1). pp. 41-51.

19. Gortsev, A.M. & Shmyrin, I.S.

20. Gortsev, A.M. & Nissenbaum, O.V. (2008) Optimal'naya otsenka sostoyaniy asinkhronnogo al'terniruyushchego potoka s initsiiro-vaniem lishnikh sobytiy [Optimal estimation of the states of an asynchronous alternative flow of events with additional events initiation]. Vestnik Tyumenskogo gosudarstvennogo universiteta - The Bulletin of Tyumen State University. 6. pp. 107-119.

21. Gortsev, A.M. & Zuevich, V.L. (2010) Optimal states estimation of asynchronous doubly stochastic flow of events with arbitrary number of states. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(11). pp. 44-65. (In Russian).

22. Gortsev, A.M. & Leonova, M.A. (2010) Optimal state estimation of generic asynchronous doubly stochastic flow. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 1(10). pp. 33-47. (In Russian).

23. Gortsev, A.M., Nezhelskaya, L.A. & Solovev, A.A. (2012) Optimal State Estimation in MAP Event Flows with Unextendable Dead Time. Automation and Remote Control. 73(8). pp. 1316-1326. DOI: 10.1134/S000511791208005X

24. Bakholdina, M.A. (2013) Optimal states estimation of the modulated semi-synchronous integrated flow of events in conditions of constant dead time. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(23). pp. 10-21. (In Russian).

25. Bakholdina, M.A. & Gortsev, A.M. (2014) Optimal states estimation of the modulated semi-synchronous integrated flow of events in the condition of constant dead time. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 1(26). pp. 13-24. (In Russian).

26. Bakholdina, M.A. & Gortsev, A.M. (2015) Optimal estimation of the states of modulated semi-synchronous integrated flow of events in condition of its incomplete observability. Applied Mathematical Sciences. 9(29). pp. 1433-1451. DOI: 10.12988/ams.2015.5135

27. Gortsev, A.M. & Zavgorodnyaya, M.E. (1997) Otsenka parametrov al'terniruyushchego potoka sobytiy pri uslovii ego chastichnoy nablyudaemosti [Parameter estimation of alternating flow of events under conditions of particulate observabiity]. Optika atmosfery i okeana - Atmospheric and Oceanic Optics. 10(3). pp. 273-280.

28. Vasileva, L.A. & Gortsev, A.M. (2002) Estimation of parameters of a double-stochastic flow of events under conditions of its incomplete observability. Automation and Remote Control 63(3). pp. 511-515. DOI: 10.1023/A:1014718921138

29. Gortsev, A.M. & Nezhelskaya, L.A. (2004) Estimation of the dead time period and intensities of the synchronous double stochastic event flow. Radiotechnics. 10. pp. 8-16.

30. Gortsev, A.M. & Nissenbaum, O.V. (2004) Otsenivanie dlitel'nosti mertvogo vremeni i parametrov asinkhronnogo al'terniruyush-chego potoka sobytiy s initsiirovaniem lishnego sobytiya [Estimation of the dead time period and parameters of an asynchronous alternative flow of events with additional events initiation]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. 284. pp. 137-145.

31. Gortsev, A.M. & Zuevich, V.L. (2011) Optimal estimation of parameters of an asynchronous doubly stochastic flow of events with arbitrary number of the states. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 4(17). pp. 25-40. (In Russian).

32. Leonova, M.A. & Nezhelskaya, L.A. (2013) Maximum likelihood estimation of dead time value at a generalized asynchronous flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(23). pp. 54-63. (In Russian).

33. Gortsev, A.M. & Solovev, A.A. (2015) Otsenka maksimal'nogo pravdopodobiya dlitel'nosti neprodlevayushchegosya mertvogo vremeni v potoke fizicheskikh sobytiy [Maximum likelihood estimation of fixed dead time in physical flow of events]. Izvestiya vuzov. Fizika - Russian Physics Journal. 58(11). pp. 141-149.

34. Feller, W. (1950) Vvedenie v teoriyu veroyatnostey i eeprilozheniya [An introduction to probability theory and its applications]. Translated from English. Vol. I. New York-London-Sydney: John Wiley and Sons, Inc.

35. Bharucha-Reid, A.T. (1960) Elementy teorii markovskikh protsessov i ikh prilozheniya [Elements of the theory of Markov processes and their applications]. Translated from English by V. Kalashnikov, Yu. Krutovskiy, M. Epelman. Moscow: Nauka.

36. Apanasovich, V.V., Kolyada, A.A. & Chernyavskiy, A.F. (1988) Statisticheskiy analiz sluchaynykh potokov v fizicheskom eksperi-mente [The statistical analysis of series of random events in physical experiment]. Minsk: University Press.

37. Normey-Rico, J.E. (2007) Control ofdead-time processes. (Advanced textbooks in control and signal processing). London: Springer-Verlag.

38. Gortsev, A.M. & Klimov, I.S. (1991) Otsenka intensivnosti puassonovskogo potoka sobytiy v usloviyakh chastichnoy ego nena-blyudaemosti [Intensity estimation of the Poisson flow of events in condition of its incomplete observability]. Radiotekhnika - Ra-diotechnics. 12. pp. 3-7.

39. Gortsev, A.M. & Klimov, I.S. (1996) Otsenivanie perioda nenablyudaemosti i intensivnosti puassonovskogo potoka sobytiy [The estimation of intensity process and period of unobservability of the Poisson flow of events]. Radiotekhnika - Radiotechnics. 2. pp. 8-11.

40. Gortsev, A.M. & Parshina, M.E. (1999) Estimation of parameters of an alternate stream of events in "dead" time conditions. Russian Physics Journal. 4. pp. 8-13. DOI: 10.1007/BF02509672

41. Otsenivanie dlitel'nosti mertvogo vremeni i parametrov asinkhronnogo al'terniruyushchego potoka sobytiy pri neprodlevayushchem-sya mertvom vremeni [Estimation of the dead time period and parameters of an asynchronous alternative flow of events with unex-tendable dead time period]. Izvestiya vuzov. Fizika - Russian Physics Journal. 10. pp. 35-49.

42. Gortsev, A.M. & Nissenbaum, O.V. (2005) Estimation of the dead time period and parameters of an asynchronous alternative flow of events with unextendable dead time period. Russian Physics Journal. 48(10). pp. 1039-1054. DOI: 10.1007/s11182-006-0023-y

43. Nezhelskaya, L.A. (2000) Optimal'noe otsenivanie sostoyaniy polusinkhronnogo potoka sobytiy v usloviyakh ego chastichnoy na-blyudaemosti [Optimal state estimation of semi-synchronus flow in conditions of its incomplete observability]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. 269. pp. 95-98.

44. Gortsev, A.M. & Nezhelskaya, L.A. (2002) Otsenivanie parametrov polusinkhronnogo dvazhdy stokhasticheskogo potoka sobytiy metodom momentov [Parameters estimation of a semi-synchronous doubly stochastic flow of events using method of moments]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta - Tomsk State University Journal. 1. pp. 18-23.

45. Gortsev, A.M. & Nezhelskaya, L.A. (2003) Estimation of the dead-time period and parameters of a semi-synchronous double-stochasic stream of events. Measurement Techniques. 46(6). pp. 536-545. DOI: 10.1023/A:1025499509015

46. Gortsev, A.M. & Nezhelskaya, L.A. (2008) Semi-synchronous twice-stochastic event flow in conditions of prolonged dead time. Vychislitel'nye tekhnologii - Computational Technologies. 13(1). pp. 31-41. (In Russian).

47. Gortsev, A.M. & Kalyagin, A.A. (2010) Optimal states estimation of generalized semi-synchronous flow of events in conditions of constant dead time. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 4(13). pp. 50-60. (In Russian).

48. Gortsev, A.M., Kalyagin, A.A. & Nezhelskaya, L.A. (2014) The joint probability density of duration of the intervals in a generalized semi-synchronous flow of events with unprolonging dead time. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal ofControl and Computer Science. 2(27). pp. 19-29. (In Russian).

49. Gortsev, A.M., Kalyagin, A.A. & Nezhelskaya, L.A. (2015) Maximum likelihood estimation of dead time value at a generalized semi-synchronous flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i in-formatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 1(30). pp. 27-37. (In Russian).

50. Gortsev, A.M. & Nezhelskaya, L.A. (2011) About connectivity of MC-flows and MAP-flows of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 1(14). pp. 13-21. (In Russian).

51. Bakholdina, M.A. (2015) Joint probability density of the intervals length of the modulated semi-synchronous integrated flow of events in conditions of constant dead time and flow recurrence conditions. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal ofControl and Computer Science. 2(31). pp. 4-17. (In Russian).

52. Bakholdina, M. & Gortsev, A. (2014) Joint probability density of the intervals length of the modulated semi-synchronous integrated flow of events and its recurrence conditions. Communications in Computer and Information Science. 487. pp. 18-25. DOI: 10.1007/978-3-319-13671-4_3

53. Bakholdina, M. & Gortsev, A. (2015) Joint probability density of the intervals length of modulated semi-synchronous integrated flow of events in conditions of a constant dead time and the flow recurrence conditions. Communications in Computer and Information Science. 564. pp. 13-27. DOI: 10.1007/978-3-319-13671-4_3

54. Bakholdina, M.A. Gortsev, A.M. (2015) Maximum likelihood estimation of unextendable dead time period duration in the modulated semi-synchronous generalized flow of events. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(35). pp. 13-29. (In Russian).

55. Shulenin, V.P. (2012) Matematicheskaya statistika. Ch. 1. Parametricheskaya statistika [Mathematical statistics. P. 1. Parametric statistics]. Tomsk: NTL.

56. Ventsel, E.S. & Ovcharov, L.A. (2000) Teoriya veroyatnostey i ee inzhenernyeprilozheniya [Probability theory and its engineering applications]. Moscow: Vysshaya shkola.

57. Faddeev, D.K. (1984) Lektsii po algebra [Lectures on Algebra]. Moscow: Nauka.