Обзор методов агрегирования производственных функций

Обзор методов агрегирования производственных функций Review of the methods of aggregation of production functions

Андрианов Дмитрий Леонидович д. физ.-мат. наук, профессор кафедрыИСММЭ ПГНИУ e-mail : andrianov@econ.psu.ru Andrianov Dmitriy Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor Department ISMME PSU e-mail : andrianov@econ.psu.ru Гребнев Михаил Игоревич

аспирант кафедры ИСММЭ ПГНИУ e-mail : grebnevm@prognoz.ru Grebnev Mikhail Postgraduate Student, Department of ISMME PSU e-mail : grebnevm@prognoz.ru

Аннотация: в статье рассмотрены основные методы агрегирования производственных функций. Показывается, что для существования агрегированной производственной функции необходимо выполнение строгих условий.

Abstract: The article reviews the main methods of aggregation of production functions. We show that conditions of existence of aggregate production functions are very strict.

Ключевые слова: агрегирование, производственная функция.

Key words: aggregation, production function.

Задача агрегирования производственных функций (ПФ) играет важную роль в поисках новой парадигмы экономической теории, преодолевающей противоречия между традиционными микро- и макроэкономическими теориями. Задача была поставлена ещё в первой половине ХХвека, однако, как отмечает член-корреспондент РАН И.Г.Поспелов, остается нерешенной до сих пор [7, с. 9]. В данной работе проведен обзор основных подходов к агрегированию ПФ.

Прежде всего отметим, что в современной литературе проблема агрегирования функциональных зависимостей имеет несколько аспектов. Во-первых, выделяется задача вывода макроэкономических закономерностей из закономерностей поведения микроэкономических единиц[6, с. 20]. Во-вторых, задачаагрегированияможет рассматриваться с точки зрения совместимости трех элементов: микроэкономических соотношений, метода агрегирования, макроэкономического соотношения [24, с. 1].

В 40-е проблема агрегирования была детально рассмотрена в работах нобелевского лауреата Л.Кляйна[17, 18]. Он свёл задачу агрегирования к установлению связей между переменными двух уровней с учетом ограничений.

Пусть МИПФ ¿-ой фирмы представлена в следующем виде:

где У1 - выпуск ¿-ой фирмы, 1и1 - объеми-говида труда, использованного для производства ¿-ой фирмой, ку ^ - объем у-говида капитала, использованного для производства ¿-ой фирмой.

Требуется определить функции-индексы:

где У - агрегированный показатель выпуска, Ь,К - агрегированные показатели объема капитала и труда соответственно. При этом индексы должны

У = О (у), ь = Н(0, к = ¡(к),

обеспечивать существование агрегированной ПФ, которая заранее известна и имеет следующую неявную форму:

Р

В своих работах Л.Кляйн использовал ПФ Кобба-Дугласа.

Микросоотношения:

I ¿3

и=1

Р=1

Макросоотношение:

У = АЬаКь

В качестве связующего индекса Л.Кляйн предложил использовать среднее геометрическое:

N

У =

Уь

1а =

къ =

П

¿=1

N г

пп

¿=1 и=1 г N Б

пп

ш

1 /И

1 /И

к

1-1 = 1 У=1

Л.Кляйном сформулированы следующие требования к процедуре агрегирования поведения индивидуальных фирм:

- если существует ПФ для индивидуальной фирмы, то должна существовать ПФ для экономики в целом или её частей;

- если прибыль максимизируется индивидуальными фирмами и выполняется условие равновесия производителя, то в условиях совершенной конкуренции это условие выполняется для агрегированных величин.

Л.Кляйн рассматривал агрегированную ПФ как чисто формальную зависимость, схожую с микроэкономической ПФ. При этом, по его мнению,

агрегированная ПФ не зависит от выполнения условий равновесия производителя [18, с. 303].

Если Л.Кляйн считает заданными микро- и макроэкономическое соотношение, то Ф.Дреш[12] отталкивается в своих построениях от микроэкономического уровня и использует индексыДивизиа.Кратко опишем идею метода.

Пусть на микроэкономическом уровне функционируют Мфирм, каждая из которых производит один вид товар.Пусть микроэкономическая производственная функция (МИПФ)г-ой фирмы представлена в следующем виде:

где У1 - выпуск ¿-ойфирмы, 1и1 - объем и-го вида труда, использованного для производства ¿-ойфирмой, ку ^ - объем у-го вида капитала, использованного для производства ¿-ойфирмой, £ = 1... N.

Тогда макроэкономическая производственная функция (МАПФ) является решением следующего дифференциального уравнения:

где Ь и т - моменты времени, сопоставляемые индексом Дивизиа.

К.Мэй [19, 20]придерживался альтернативного подхода, при котором считаются определенными микроэкономическое соотношение и метод агрегирования, задача заключается в получении макроэкономического соотношения между синтетическими показателями.К.Мей считал, что агрегированнаяПФ должна строиться с учетомвсех функциональных зависимостей на микроуровне, включая те, которые отражают выполнение условий равновесия производителя [19, с. 63]. При данном подходе

¿У _ ^¿^ у Р1У1'

Из уравнение следует:

агрегированная ПФ отражает не только производственные возможности совокупности фирм, действующих в экономике, но и учитывает степень использования фирмами своих производственных возможностей.

Другой нобелевский лауреат В.В.Леонтьев[22,23] также занимался проблемой агрегирования производственных функций. Он сформулировал теорему о необходимых и достаточных условиях агрегируемости дважды дифференцируемой производственной функции с неотрицательными аргументами. Согласно теореме, агрегирование возможно тогда и только тогда, когдапредельные нормы технического замещения агрегируемых переменных не зависят от остальных переменных [13, с. 223].

Функция трех переменных д(хг,х2,х3), согласно теореме В.В.Леонтьева, может быть записана как С[Н(х1,х2),х3] тогда и только тогда, когда д(д1/д2)/ дх3 = 0, где дг и д2 - частные производные функции д по х± и х2 соответственно, таким образом агрегирование возможно тогда и только тогда, когда предельная норма технического замещения между х± и х2 не зависит от х3.

Например, агрегирование капитала возможно тогда и только тогда, когда предельные нормы технической замены между любыми двумя типами капитала не зависят от труда. То есть, если задана ПФ Q _ Q(k1, ...,кп,Ь), то агрегированная ПФ будет иметь вид Q _ Q(K,L), где К _ ф(кг, ...,кп), тогда и

д (дQ/дki\ _ ^ . только тогда, когда - 1*1.

А.Натафв 1948 г.[21] показал, что использование метода агрегирования Л.Кляйна возможно тогда и только тогда, когда МИПФ является аддитивно-сепарабельной по капиталу и труду [13, с. 225].Предположим, что ПФ ¿-ой фирмы имеет вид У(1) _ /1(К(1),Ь(1)), фирмы производят однородную продукцию, используют одинаковые трудовые ресурсы, производственные фонды фирм неоднородны. А.Натаф показал, что МАПФ существует тогда и только тогда, когда МИПФ можно представить в следующем виде:

/чт ДО) _ ФЧК(0) + №(0).

В 50-е годы проблему агрегирования производственных функций преимущественно связывали с агрегированием капитала, которая рассматривалась в рамках «спора двух Кембриджей» [3]. В дискуссии принимали участие такие известные экономисты, как Джоан Робинсон, Пьеро Сраффа, Пол Самуэльсон, Роберт Солоу. Предметом спора был вопрос о неоднородности капитала и вопрос об изменении стоимости капитала вовремени.

Значительный интерес к проблеме агрегирования проявляли французские эконометристы, среди них особенно заметны результаты Г.Тейла (1954) [26].Г.Тейл так же, как и К.Мей считал точно определенными микросоотношения и метод агрегирования. Г.Тейл показал, что не при всех условиях удается добиться совместимости; вместо этого он использовал статистический критерий в своем «методе аналогии» [1, ^ 575].

Достаточно оригинальный метод агрегирования ПФ был предложен Х.Хаутаккером(1955) [16].

В том случае если технологические процессы производства на уровне фирмы представлены в виде ПФ Леонтьева и функция распределения мощностей по технологиям имеет следующий вид (функция Парето):

Q = C

тогда агрегированная ПФ будет иметь вид ПФКобба-Дугласа с убывающей отдачей от масштаба:

а-1 а.2

Q = ^¿«1 + 02 + 1^01 + 02 + 1.

К.Сато (1975) [25] усовершенствовал метод агрегирования Х.Хаутеккера, сняв требование нулевой эластичности замены и рассмотрев функции распределения мощностей отличные от функции Парето [13, ^ 240]. К.Саторазделил проблему агрегирования надва последовательных вопроса:

- пусть ПФ фирмы имеет вид: у = /(к±,..., к3,I). Тогда возникает вопрос: существует ли агрегированная величина капитала К =

и МАПФ ? Данный вопрос К.Сато определил, как проблему существования. - каким требованиям должна удовлетворять структура распределения мощностей по технологиям, для того, чтобы существовала функция ? Данный вопрос можно переформулировать следующим образом: Каким требованиям должна удовлетворять структура распределения мощностей, чтобы существовало однозначное соответствие между агрегированными величинами? Данный вопрос К.Сато определил, как проблему инвариантности. Общие требования логической непротиворечивости методов агрегирования были сформулированы Э.Фельсом и Т.Тинтером (1971) [8].

Данные требования можно представить в виде следующей диаграммы (Рисунок 1), где обозначает множество экзогенных микропеременных, -множество эндогенных микропеременных, - множество экзогенных макропеременных, - множествоэндогенных макропеременных, -

микроэкономическая вектор-функция, - макроэкономическая функция, -операторы агрегирования.

Рисунок 1. Требования логической непротиворечивости методов агрегирования

Для обеспечения требований непротиворечивости диаграмма должна быть коммутативной, два пути перехода от исходныхмикропоказателей (А) к макровыводам (О) должны давать одинаковые результаты:

Э.Фельс и Т.Тинтер на основании данной диаграммы сформулировали три проблемы агрегирования:

1. даны микротеория (А,/, В) и макротеория (С,Р,И), необходимо определить операторы агрегирования (д,К). Основное внимание при решении данной проблемы уделяется совместимости некоторого макросоотношения с заданными микросоотношениями;

2. даны микротеория и операторы агрегирования (А,/,В,д,к), ищется макротеория (С,Р,И). Решение данной проблемы основывается на статистическом подборе макросоотношения между заданными синтетическими переменными.

3. даны операторы агрегирования (д, К) и макротеория (С,Р,И), отыскивается микроэкономическая теория (А,/, В).

Ф.Фишер[14, 15] пересмотрел работы Л.Кляйна, В.В.Леонтьева и А.Натафа и обратил внимание на то, что ПФ должна отражать зависимость максимально возможного выпуска от ресурсов, введенных в производство.По замечанию Ф.Фишера, в теореме А.Натафа не учитываются условия эффективности [13, ^ 227]. В простейшем случае, когда труд и капитал однородны (К = Ь = £¿^(0), условия эффективности требуют, чтобы

агрегированный выпуск Убыл максимальным при заданных агрегированных объемах капитала (К) и труда(1).Условия агрегирования Ф.Фишера близки к тем, которые сформулировал в 40-е годы К.Мей.

Кроме этого, Ф.Фишер отметил, что проблема агрегирования капитала не является уникальной, соответствующая проблема имеет место и в отношении выпуска и труда [13, ^ 229].

Ф.Фишер сформулировал необходимые и достаточные условия существования агрегированного выпуска (7), капитала(^) и труда(1):

- агрегированный выпуск будут существовать тогда и только тогда, когда множество относительных цен выпускаемой продукции будет

стимулировать фирмы производить все виды продукции в одинаковой пропорции [13, с. 236];

- агрегированный капитал будет существовать тогда и только тогда, когда фирмы отличаются не более, чем технологическими различиями, выраженными в капитальных единицах [13, с. 233];

- агрегированная величина труда будет существовать тогда и только тогда, когда множество относительных доходов трудовых ресурсов будет стимулировать фирмы использовать различные трудовые ресурсы в одинаковых пропорциях [13 с. 236].

Хельсинский центр экономических исследований (2009) предложил метод декомпозиции агрегированных ПФ [24].

Пусть в экономической системе функционирует множество экономических агентов Н = [а1, ...,ап}. Поведение каждого экономического агента щ описано ПФ:

у

где У[ е Д,х(0 е е Ф(Дк ^ Я).

Тогда агрегированную ПФ можно представить в следующем виде:

п

у = Б(/,х) = = ЯВ(х) + ЫЬЕ(х) + НЕ(х),

¿=1

ЯВ(х) = Г(х),

^

ЫЬЕ(х) = п-^/ХО) - /(*)},

¿=1

п

яад^-^адха)),

¿=1

гдеИВ(х) - репрезентативноеповедение (representativebehavюr), ЫЬЕ(х) -

эффектнелинейности (nonlinearityeffect), НЕ(х) - эффект неоднородности

(heterogeneityeffect).

Весомый вклад в разработку методов агрегирования производственных

функций внесли отечественные исследователи.

9

Г.Б.Клейнер (1986) [2] сформулировал требования логической непротиворечивости методов агрегирования производственных функций и ввел фундаментальное понятие «агрегированная экономическая технология».

Агрегированная экономическая технология производственного процесса /^показателями g,h - отображение Fподмножества С с R+, в R1, удовлетворяющее условию д ° F = f ° h, где д - система показателей производственных ресурсов, h - показатель объема производства продукции [2, с. 29]. Как отмечает Г.Б.Клейнер, агрегированная экономическая технология - это «идеальная» модель производственного процесса, а производственная функция - это грубое, приближенное описание[2, с. 30].

В работах Петрова А.А., Поспелова И.Г., Шананина А.А. [5, 9] развитие получили модели агрегированного описания отрасли на основе распределения мощностей по технологиям (модель Хаутаккера - Иохансена).

Активную разработку методов непротиворечивого описания микро- и макроуровней экономики ведет пермскаяшкола иерархического анализа профессора Ю.К.Перского[4]. В рамках школы разработан следующий метод агрегирования. Параметры МИПФ рассматриваются как реализация случайных величин, МАПФ рассматривается как усредненная по параметрам функция

F(x) = f f(a,x)g(a)da, где а - параметры ПФ, х - производственные

Уа

факторы[4, 10, 11].

На основании проведенного обзора можно сделать вывод о том, что условия существования агрегированной производственной функции являются достаточно строгими, агрегирование возможно лишь в очень частных случаях, в общем случае задача агрегирования является неразрешимой. В связи с этим на первый план выходят статистические и аппроксимирующие методы агрегирования.

Библиографический список

1. Аллен Р. Математическая экономика. - М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

2. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. - М.: Финансы и статистика, 1986. - 239 с.

3. Коэн А., Харкурт Дж. Судьба двух Кембриджей о теории капитала // Вопросы экономики №8, 2009, с. 4-27.

4. Перский Ю.К.Основания иерархического анализа экономических систем: учеб. пособие / Ю.К. Перский, Д.Н. Шульц. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. - 404 с.

5. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. 544 с.

6. Пирс Д.У. Словарь современной экономической теории Макмиллана. -М.: ИНФРА-М, 2003.

7. Поспелов И.Г., Экономические агенты и системы балансов: Преприш^2/2001/03 - М.: ГУ-ВШЭ, 2001. - 68 с.

8. Фельс Э., Тинтер Г. Методы экономических исследований. - М.: Прогресс, 1971. - 152 с.

9. Шананин А.А. Исследование одного класса производственных функций, возникающих при макроописании экономических систем // Журнал вычислительной математики и математической физики, том 24, 1984. с. 17991811.

10.Шульц Д.Н. Экономический анализ в многоуровневых системах // Проблемы современной науки: сб. науч. тр. Ставрополь: Центр научного знания «Логос», 2011. С. 24-27.

11.Шульц Д.Н., Агрегирование производственных функций // Экономическая кибернетика: математические и инструментальные методы анализа, прогнозирования и управления: Сб. ст. / Перм. ун-т. Пермь, 2004.

12.DreschF.W. Indexnumbersandthe general economic equilibrium. - Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 44, February 1938, pp. 134-141.

13.Felipe J., Fisher F.M. Aggregation in production functions: What Applied Economists should know; Metroeconomica, Vol. 54, №3, 2003, 208-262.

14.Fisher F.M. The existence of aggregate production functions // Econometrica, 37 (4), pp. 457-469, 1969.

15.Fisher F.M. Aggregation. Aggregate production functions and related topics // MIT Press, Cambridge, MA, 1993.

16.Houthakker H.S. The Pareto distribution and the Cobb-Douglas production function in activity analysis. - Rev. Econ. Studies, 1955-56, v. 23(1), № 60, p. 27-31.

17.Klein Lawrence R. Macroeconomics and the theory of rational behavior // Econometrica, Vol. 14, № 2, 1946.

18.Klein Lawrence R. Remarks on the theory of aggregation // Econometrica, Vol. 14, № 4, 1946.

19.May K. The aggregation problem for a one-industry model // Econometrica, Vol. 14, № 4, 1946.

20.May K. Technological change and aggregation // Econometrica, Vol. 15, №1, 1947.

21.Nataf A. Sur la possibilite de construction de certainsmacromodeles // Econometrica, 16 (3), pp. 232-244.

22.Leontief W.W. Introduction to a theory of the internal structure of functional relationships // Econometrica, 15 (4), pp. 361-373, 1947.

23.Leontief W.W. A note on the interrelationship of subsets of independent variables of a continuous function with continuous first derivatives // Bulletin of the American Mathematical Society, 53, pp. 343-350.

24.Lintunen J., Ropponen O., Vartia Y. Micro meets Macro via Aggregation // HECER Discussion Paper № 259, 2009.

25.Sato K. Production Functions and Aggregation, North-Holland, Amsterdam,

1975.

26.Theil H., Linear aggregation of economic relations, North-Holland, Amsterdam, 1954.