Графы на диаграммах вороного

4

А.В. Бирюков

ного класса арифметических графов (вершины смежны, если их сумма есть простое число) сформулируем следующие недоказанные гипотезы:

1) диаметр всех графов при

п>5 равен трем;

2) графы четных порядков являются гамильтоновыми;

3) графы нечетных порядков содержат гамильтонову

цепь;

4) множество вершин графа можно разбить на пары смежных.

Автор статьи:

Бирюков Альберт Васильевич

- докт. техн. наук, проф., зав. каф. высшей математики

УДК 519.21

К.И. Гурьянов ГРАФЫ НА ДИАГРАММАХ ВОРОНОГО

Пусть на плоскости задано случайное множество точек F. Требуется для точки A этого множества найти область, все точки которой являются ближайшими к точке A по сравнению с другими точками множества F. Эта область является пересечением полуплоскостей, т.е. выпуклым многоугольником, а точка А - его центром. Совокупность таких многоугольников, число которых равно числу точек множества F, и представляет собой диаграмму Вороного. Отметим, что некоторые из областей диаграммы могут быть незамкнутыми.

При компьютерном моделировании диаграмм вороного случайным образом выбирались N точек с координатами, принадлежащими единичному квадрату.

Вершины и ребра полигонов (за исключением границы квадрата) образуют односвязный граф. Рассмотрим следующие его характеристики: п -число вершин; m - число ребер;

Таблица 1

H - энтропия графа, характеризующая алгоритмическую

сложность его описания.

Для определения энтропии графа рассмотрим все его подграфы третьего порядка, число которых равно А=п(п-1)(п-

2)/6. Среди них неизоморфными являются лишь 4 подграфа: цикл, цепь из двух звеньев, ребро и вершина (несмежная с концами ребра), три попарно несмежные вершины. Обозначим через Ai (\=1, 2, 3, 4) число подграфов каждого из этих типов и найдем отношение Pi=A/A. При этом энтропию графа определим неотрицательным числом

Г 4 Л

H = -

'2.

I Р11^2Р1

VI=1 J

Из определения энтропии следует, что Не[0;1]. Наибольшее её значение H=1 соответствует случаю, когда все числа Pi одинаковы и равны 1/4. Нулевой энтропией обладает граф, для которого одно из чи-

сел Pi равно единице, а остальные - нулю. Отметим, что при Pi=0 соответствующее слагаемое суммы в определении энтропии также равно нулю, что следует из предельного перехода. В частности, H=0 для полного и для пустого (без ребер) графов.

Компьютерное моделирование диаграммы вороного, выполнено для N=(20, 40, 60, 80,100, 150, 200,300). Результаты вычислений приведены в табл. 1.

Из приведенных данных видно, что с увеличением числа

Таблица 2

N Р1 Р2 Р3 Р4

20 0,03 0 0,33 0,63

40 0 0 0,14 0,86

60 0 0 0,09 0,91

80 0 0 0,06 0,93

100 0 0 0,05 0,95

150 0 0 0,03 0,97

200 0 0 0,02 0,98

300 0 0 0,02 0,98

Таблица 3

N п M И

20 19 23 0,56

40 55 74 0,31

60 91 126 0,23

80 126 175 0,18

100 164 231 0,15

150 247 349 0,11

200 345 494 0,08

300 541 784 0,05

N 3 4 5 6 7 8 9 10 11

20 1 2 2

40 2 7 8 3

60 7 8 11 7 1 1

80 2 4 14 17 9 4

100 1 4 16 29 6 7 2

150 10 30 31 22 9

200 3 13 45 44 27 13 3 1

300 1 32 69 59 55 18 10

Прикладная математика

5

полигонов энтропия, характеризующая геометрический хаос разбиения, монотонно убывает. Этот факт иллюстрируют данные табл. 2, из которой видно, что одна из частот Ри а именно Р4, стремится к единице, т.е. возрастает относительное количество трёх попарно несмежных вершин.

Этот факт также подтверждает табл. 3, в которой приведено распределение многогранников по числу вершин. Относительно небольшое количество ребер графа т~1,4п и значительное число пяти и шестиугольников порождают преобладание трех попарно несмежных вершин.

Для N=40 были проведены 10 параллельных испытаний:

Таблица 4

п т Н

58 79 0,31

59 79 0,30

61 83 0,29

57 77 0,30

55 76 0,32

57 55 0,31

60 83 0,30

55 72 0,31

59 80 0,30

52 71 0,33

дисперсия, Ж - коэффициент вариации случайной величины.

Отсюда видно, что случайная вариация энтропии графа

М(п) =57,3;Б(п) =6,61;

Ж(п)=0,04;

М(т) = 75,5;О(т) =61,25; Ж(т) =

0,1; М(Н)=0,31; 0(Н)=0,0001; Ж(Н)=0,03, где М - математическое ожидание случайной величины, О -

практически равна нулю.

На рисунке приведена диаграмма вороного с параметрами N=60, п= 91, т=126, Н= 0,22.

Автор статьи:

Гурьянов Кирилл Иванович

- аспирант каф. высщей математики

УДК 519.6

В. А. Ковалевская, В. М. Кубрак

ЛОГИЧЕСКИМ ПОДХОД К ВЕРОЯТНОСТНО-АЛЬТЕРНАТИВНОМУ ПРОГНОЗУ МНОГОФАКТОРНЫХ ПРОЦЕССОВ

Методы распознавания образов позволяют эффективно решать задачи классификации, прогноза и управления многофакторными процессами и принятия в заданных условиях наиболее рационального решения, в тех случаях, когда есть опыт прошлого (обучающая выборка). К таким задачам относятся: прогноз безопасности технологического процесса; состояния, надежности и долговечности приборов и систем; техникоэкономических показателей работы предприятия; прогноз качества продукции; распознавания звуковых образов и изображений; задачи социологии, военного дела, теории связи и др.[1- 7].

Подавляющее большинство известных алгоритмов теории распознавания образов [1-3]

базируются на гипотетическом

или экспериментально-

статистическом факте независимости факторов. Но реальные процессы и системы характеризуются сложными взаимосвязями влияющих на выходной показатель факторов. Поэтому разработка алгоритмов распознавания и многофакторного прогноза по комплексу зависимых факторов является актуальной научно-практической задачей, позволяющей повысить надёжность и экономическую эффективность методов многофакторного прогноза и принятия решений.

Решающей функцией в логических алгоритмах является конъюнкция: сочетание значений факторов или интервалов значений факторов. Так, например, в медицине широко известны под понятием “синдром”, сочетания двух, трех и

более факторов при диагностике какого-либо заболевания или при дифференциализации одного заболевания от другого. Аналогичные сочетания можно рассчитать в распознаваемых классах объектов любой природы.

При этом ищутся и используются только такие сочетания (г-номер сочетания) , которые встречаются максимальное число раз в своем классе и минимальное число раз- в “чужом . Примером диагностического сочетания в медицинской диагностике может служить “возраст” (Хх) более 50 лет при

нижней величине артериального давления (Х2 ) менее 80.

Математически это сочетание значений двух факторов опишется конъюнкцией: Хх> 50 л Х2 < 80. Можно перейти к булевым переменным, задав