Математическая модель процесса функционирования элемента сети тактовой сетевой синхронизации для определения стационарных характеристик его надёжности

ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ПУТИ ИХ РЕШЕНИЯ

УДК 621.39

А. К. Канаев, Е. В. Опарин

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТА СЕТИ ТАКТОВОЙ СЕТЕВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЕГО НАДЁЖНОСТИ

Дата поступления: 20.08.201 5 Решение о публикации: 26.08.201 5

Цель: Представить обоснованную оценку показателей надёжности элементов сети тактовой сетевой синхронизации (ТСС), отражающую их реальное техническое состояние. Методы: В статье использованы как теоретические, так и экспериментальные методы исследования. Теоретические методы исследования основаны на положениях теории систем, теории вероятностей, теории сетей и графов, теории надёжности. Экспериментальные методы исследования основаны на использовании методов математической статистики. Результаты: Разработана математическая модель процесса функционирования элемента сети ТСС, позволяющая использовать статистику технической эксплуатации оборудования сети ТСС для обоснованной оценки надежности её элементов и отличающаяся полнотой учета состояний генераторного оборудования. Приведенную модель можно применить к любому источнику сигналов синхронизации. Она позволяет определять вероятностно-временные характеристики каждого состояния исследуемого генераторного оборудования, что дает возможность при наложении нормативных требований на вероятностно-временные характеристики формировать множество стратегий их достижения путём управления вероятностно-временными характеристиками отдельных состояний. Практическая значимость: Разработанная математическая модель процесса функционирования элемента сети ТСС позволяет операторам связи на основе статистики технической эксплуатации оборудования сети ТСС обоснованно оценивать показатели их надежности, а следовательно, делать выводы о целесообразности дальнейшего использования отдельной аппаратуры или её замены для последующего ремонта.

Надёжность, полумарковская модель, тактовая сетевая синхронизация, телекоммуникационная система.

82

*Andrey K. Kanayev, D. Eng., associate professor, department chairman, kanaevak@mail. ru; Yevgeniy V. Oparin, engineer, OnapuH@mail.ru (Petersburg State Transport University) MATHEMATICAL SIMULATION OF THE PROCESS OF FUNCTIONING OF A NETWORK ELEMENT OF BIT NETWORK SYNCHRONISATION FOR ESTABLISHING STEADY-STATE CHARACTERISTICS OF ITS RELIABILITY

Objective: To present a meaningful estimate of reliability indicators of network elements of bit network synchronisation which reflects their actual technical condition. Methods: The paper utilises both theoretical and experimental research methods. Theoretical research methods are based on provisions of system theory, probability theory, networks and graph theory, reliability theory. Experimental methods of research are based on utilisation of mathematical statistics methods. Results: Mathematical simulation of the process of functioning of a network element of bit network synchronisation was developed, allowing use of statistics of technical operation of network equipment of bit network synchronisation to obtain a meaningful estimate of reliability of its elements and notable for completeness of status accounting of generator equipment. The simulation can be applied to every source of synchronisation signals. It allows determining probabilistic and temporal characteristics of every condition of generating equipment being studied, which provides an opportunity to form multiple strategies for reaching normative requirements when they are imposed on probabilistic and temporal characteristics by managing probabilistic and temporal characteristics of individual conditions. Practical importance: The simulation model of the process of functioning of a network element of bit network synchronisation lets communcation service providers have meaningful estimate of their reliability indicators based on statistics of technical operation of network equipment of bit network synchronisation, and thus reach conclusions regarding practicability of further operation of individual pieces of equipment or its replacement to be repaired later.

Reliability, semi-Markovian model, bit network synchronisation, telecommunications system.

Основной задачей сети ТСС является поддержание согласованного взаимодействия цифрового оборудования телекоммуникационной системы (ТКС). Данное согласованное взаимодействие обеспечивается путём формирования и распространения сигналов синхронизации, необходимых для обеспечения и поддержания синхронной работы всей цифровой аппаратуры ТКС [1].

Возникновение отказов в сети ТСС и отклонение характеристик сигналов синхронизации способно привести к значительному ухудшению качества передаваемой информации вплоть до полного отказа в предоставлении телекоммуникационных услуг. В силу указанной особенности ТСС важную роль приобретает процесс обеспечения заданной надежности элементов сети ТСС, а также оценки и прогнозирования надёжности.

Существует ряд подходов к оценке надёжности элементов ТКС и всей ТКС в целом, среди которых особое место занимают полумарковские методы расчёта надёжности. Достоинством применения полумарковских методов расчёта надёжности является способность производить моделирование в случаях, когда закон распределения возникновения отказов отличен от экс-

83

поненциального, причём даже в условиях, когда имеет место независимость вероятностей перехода из одного состояния в другое от всего предыдущего развития состояний ТКС, а также когда закон распределения времени пребывания в состояниях не зависит от предыдущих этапов функционирования ТКС [2,3].

Таким образом, в большинстве случаев процессы функционирования подсистем ТКС можно рассматривать как полумарковские, для которых можно произвести оценку и прогнозирование показателей надёжности.

Обобщённая модель процесса функционирования элемента сети тактовой сетевой синхронизации

Для оценки показателей надёжности оборудования сети ТСС необходимо сформировать модель процесса функционирования элемента сети ТСС. Данная модель сформирована (см. рисунок) и отражает все основные режимы работы оборудования сети ТСС. Несмотря на широкое разнообразие видов аппаратуры синхронизации, многочисленных видов генераторов и аппаратуры распределения синхросигналов модель процесса функционирования каждого элемента сети ТСС обязательно включает в себя следующие состояния:

a - включение электропитания элемента сети ТСС;

а2 - инициализация программного обеспечения, прогрев и самотестирование элемента сети ТСС;

a3 - установление режима свободных колебаний с выбором сигнала внешней синхронизации;

Р53

Рис. 1. Модель процесса функционирования элемента сети тактовой сетевой синхронизации

84

a4 - установление режима синхронной работы с накоплением памяти для режима удержания;

а5 - установление режима удержания;

а6 - отказ элемента сети ТСС и его последующее восстановление.

Переход между состояниями процесса функционирования элемента сети ТСС происходит следующим образом. Начальным состоянием является состояние ау После включения электропитания устройства сети ТСС наступает режим инициализации, проверки программного обеспечения с одновременным прогревом устройства и самотестированием. Далее элемент сети ТСС входит в режим свободных колебаний с анализом и выбором сигнала внешней синхронизации. Режим свободных колебаний характеризуется тем, что в данном режиме работы отсутствует управление частотой внутреннего генератора элемента сети ТСС. Данный режим работы возникает по окончании инициализации элемента сети ТСС, когда не используются сигналы внешней синхронизации, а также при возникновении отказов цепях синхронизации, в результате которых качество сигналов внешней синхронизации становится недопустимым для использования, и при этом недостаточно данных для перехода в режим удержания.

При выборе сигнала внешней синхронизации оборудование сети ТСС начинает постепенно входить в режим синхронной работы с контролем сигналов внешней синхронизации. Режим синхронизации является основным режимом работы элемента сети ТСС. В данном режиме сигнал на выходе элемента сети ТСС с помощью системы фазовой автоподстройки частоты отслеживает с допустимой точностью изменения сигнала на входе внешней синхронизации, при этом накапливаются необходимые данные для обеспечения необходимой точности сигнала в режиме удержания. При наличии сигнала внешней синхронизации и накоплении памяти устройство ТСС полностью переходит в режим синхронной работы. В данном режиме работы при ухудшении качества сигналов или их пропадании оборудование сети ТСС переходит в режим удержания, причём возможен обратный переход в синхронный режим в случае восстановления требуемого качества сигналов синхронизации и накопления памяти. Режим удержания возникает после работы в режиме синхронизации в результате появления отказов в цепях синхронизации. В данном режиме сигнал на выходе элемента сети ТСС не зависит от сигнала на входе, а определяется запомненными значениями управляющего сигнала, которые в режиме синхронизации до отказа определяли частоту сигнала на выходе, а также точностью запоминания управляющих сигналов, обработкой запомненных значений сигналов и отклонениями частоты генератора из-за воздействия дестабилизирующих факторов.

Режим удержания возникает только в том случае, если до отказа в течение длительного времени элемент сети ТСС находился в режиме синхронной

85

работы и при этом было накоплено достаточно данных, чтобы в режиме удержания обеспечить требуемую начальную точность сигнала синхронизации.

Переход между режимами работы элемента сети ТСС может осуществляться директивным способом путём подачи соответствующих команд от обслуживающего персонала. Считается, что возникновение отказа может наступить в любой момент.

Оценка стационарных показателей надёжности элемента сети ТСС на основе разработанной полумарковской модели

Основными стационарными показателями надёжности процесса функционирования элемента сети ТСС как полумарковского процесса являются:

• стационарные вероятности (п.), i = 1, ..., 6; i е S пребывания элемента сети ТСС в произвольный момент времени в каждом из состояний а.;

• средняя наработка на отказ Т0 и среднее время простоя ТПР элемента сети ТСС.

Исходными данными для оценки показателей надёжности элемента сети ТСС являются [2]:

1. Матрица переходных вероятностей П = (р.);

2. Матрица функций распределения условных случайных времен пребывания элемента сети ТСС в каждом из а. состояний Fj(t);

Стационарную вероятность пребывания элемента сети ТСС в произвольный момент времени в каждом из состояний а. можно вычислить по следующей формуле [2]:

п =

PT

I I

v -0\j = ^...,6; UjеS; f = ^

L PjT j ieS

jeS

где P, P - стационарная вероятность пребывания вложенной однородной . j /—

марковской цепи в состоянии а. и aj, Т., Tj - математическое ожидание безусловного времени пребывания элемента сети ТСС в каждом состоянии, S -общее число состояний.

Для оценки математического ожидания безусловного времени пребывания элемента сети ТСС в каждом состоянии воспользуемся следующими выражениями [2] (2, 3):

Т = L РТ;

jeS

<Х) Tj

0

86

где Т - математическое ожидание условного времени пребывания элемента сети ТСС в каждом состоянии.

Для оценки стационарной вероятности пребывания вложенной однородной марковской цепи в состоянии а. воспользуемся следующими выражениями [2] (4, 5):

P = D

1 П

Z Dj

j=1

где D (D) - минор, получаемый вычеркиванием i(j) строки и i(j) столбца

. J

матрицы D.

"1 - P11 - P12 . . - Pin '

D = - P21 1 - P22 .. . - P2n

4-Pn1 - Pn 2 .. . 1 - Pnn у

Для оценки средней наработки на отказ Т0 и среднего времени простоя ТПР конечное множество состояний S процесса функционирования элемента сети ТСС разделим на два непересекающихся подмножества работоспособных состояний Sp с S и неработоспособных SP с S состояний, где SP u SP = 0. Работоспособными состояниями Sp будут являться: а1 - включение электропитания элемента сети ТСС; а2 - инициализация программного обеспечения, прогрев и самотестирование элемента сети ТСС;

а3 - установление режима свободных колебаний с выбором сигнала внешней синхронизации;

а4 - установление режима синхронной работы с накоплением памяти для режима удержания;

а5 - установление режима удержания.

Неработоспособным состоянием SP будет являться состояние а6 - отказ элемента сети ТСС и его последующее восстановление.

При наличии указанных исходных данных средняя наработка на отказ системы и среднее время простоя можно найти по следующим выражениям [2]:

Z PT

гр .sSp

Т0 =

Z P Z Pij'

ieS+ jeSP

87

IPT

rp ieSp

ТПР

i p i.

ieS jeSp

где S+ и S_ - подмножество граничных работоспособных и неработоспособных состояний, обуславливающих переход из подмножества Sp в подмножество Sp и наоборот.

Подмножеством граничных состояний S+ являются состояния:

а2 - инициализация программного обеспечения, прогрев и самотестирование элемента сети ТСС;

а3 - установление режима свободных колебаний с выбором сигнала внешней синхронизации;

а4 - установление режима синхронной работы с накоплением памяти для режима удержания;

а5 - установление режима удержания.

Подмножеством граничных состояний S- является состояние а6 - отказ элемента сети ТСС и его последующее восстановление.

Оценив стационарные вероятности пребывания элемента сети ТСС в произвольный момент времени в каждом из состояний а. можно определить коэффициенты готовности и простоя элемента сети ТСС по следующим выражениям:

II м -Г1

ieSp

а II |М II 1 $

ieSp

Пример оценки стационарных характеристик надёжности элемента сети ТСС

В качестве примера ниже приведена оценка стационарных характеристик надёжности блока сети ТСС оператора связи. В качестве исходных приняты следующие данные. Матрица переходных вероятностей имеет следующий вид (10):

П =

( 0 1 0 0 0 0

0 0 0.9 0 0 0.1

0 0 0 0.9 0 0.1

0 0 0.45 0 0.45 0.1

0 0 0.1 0.8 0 0.1

^1 0 0 0 0 0

88

В качестве распределения условных случайных времен пребывания элемента сети ТСС в каждом из а. состояний F.(f) принято экспоненциальное распределение со следующей матрицей интенсивностей переходов (11):

Л =

0 3 0 0 0 0

0 0 2 0 0 2

0 0 0 0.01 0 2

0 0 0.01 0 0.001 2

0 0 0.01 0.001 0 2

2 0 0 0 0 0

час-1

Таким образом, после последующего расчёта на основе предложенного подхода и разработанной модели процесса функционирования элемента сети ТСС были получены следующие результаты. Матрица математических ожиданий условных времен пребывания элемента сети ТСС в каждом состоянии примет следующий вид (12):

0 0.3 0 0 0 0

0 0 0.5 0 0 0.5

0 0 0 100 0 0.5

0 0 100 0 1000 0.5

0 0 100 1000 0 0.5

0.5 0 0 0 0 0

Вектор математических ожиданий безусловных времен пребывания элемента сети ТСС в каждом состоянии примет следующий вид (13):

T =

Вектор стационарных вероятностей пребывания вложенной однородной марковской цепи в состояниях а. примет следующий вид (14):

P =

Таким образом, будут получены следующие стационарные вероятности пребывания элемента сети ТСС в произвольный момент времени в каждом из состояний а. (15):

89

п =

Данные вероятности п показывают, что в любой случайный момент времени элемент сети ТСС находится в одном из а.

Средняя наработка на отказ Т0 и среднее время простоя ТПР элемента сети ТСС будут вычислены следующим образом (16, 17):

I PT

= PT + РгТ_ + P3T3 + P4T4 + P5T5 I р IPij

ieS+ jeSP

rri ieSp

T0 =

= 4017 ч.

I PTi

rp ieSp

ТПР =

Ip I Pn p6 p

PT = 0.5 ч.

61

ieS jeSp

Соответственно коэффициент готовности и коэффициент простоя примут следующие значения (18, 19):

КГ = I п = п + п2 + п3 + п4 + п5 = 0.9998805

ieSp

КПР = In = 1 - КГ = 1.195 •Ю-4

ieSp

Аналогичным образом на основе разработанной модели процесса функционирования элемента сети ТСС могут быть вычислены стационарные показатели надежности любого оборудования синхронизации.

Заключение

Сеть ТСС является важной подсистемой любой ТКС, непосредственно влияющей на качество предоставления услуг связи. Для своевременного предотвращения отказов в системе ТСС требуется обоснованная оценка надёжности оборудования синхронизации, с помощью которой обслуживающий персонал может превентивно производить замену и ремонт. В связи с чем в данной статье представлены результаты по оценке стационарных характеристик надежности элементов сети ТСС с использованием полумарковских моделей. Данные подходы позволят на основе статистики технической эксплуатации оборудования сетей синхронизации оценить показатели надежности, а, следовательно, сделать вывод о целесообразности дальнейшего использования отдельной аппаратуры или её замены для последующего ремонта. Предпола-

90

гается, что функции распределения условных случайных времен пребывания элемента сети ТСС в каждом из состояний будут определяться из практики эксплуатации сети ТСС, что позволит получить модель процесса функционирования элемента сети ТСС с реальными свойствами. Данная модель универсальна, отличается полнотой учёта состояний и может быть применена к любому источнику сигналов синхронизации, а также позволяет определять вероятностно-временные характеристики каждого состояния исследуемого генераторного оборудования, что позволяет при наложении нормативных требований на вероятностно-временные характеристики формировать множество стратегий их достижения путём управления вероятностно-временными характеристиками отдельных состояний.

Разработанная модель впоследствии станет элементом модели более высокого уровня, которая будет представлять либо цепь синхронизации, либо сеть синхронизации.

Библиографический список

1. Беляев Ю. К. Надежность технических систем : справ. / Ю. К. Беляев, В. А. Богатырев, В. В. Болотин и др. ; под ред. И. А. Ушакова. - М. : Радио и связь, 1985. - 608 с.

2. Давыдкин П. Н. Тактовая сетевая синхронизация / П. Н. Давыдкин, М. Н. Колтунов, А. В. Рыжков. - М. : Эко-Трендз, 2004. - 205 с.

3. Шубинский И. Б. Структурная надёжность информационных систем. Методы анализа / И. Б. Шубинский. - Ульяновск : Печатный двор, 2012. - 216 с.

References

1. Belyayev Yu. K., Bogatyrev V. A., Bolotin V. V. et al. Nadezhnost tekhnicheskikh sistem: spravochnik. [Reliability of engineering systems: book of reference]; ed. I.A. Ushakov. Moscow, Radio i svyaz, 1985. 608 p.

2. Davydkin P. N., Koltunov M. N. & Ryzhkov A. V. Taktovaya setevaya sinkhronizatsiya. [Bit network synchronisation]. Moscow, Eko-Trendz, 2004. 205 p.

3. Shubinskiy I. B. Strukturnaya nadezhnost informatsionnykh sistem. Metody analiza. [Structural reliability of information systems. Analysis methods]. Ulyanovsk, Pechatny dvor,

2012. 216 p.

*КАНАЕВ Андрей Константинович - д-р техн. наук, доцент, заведующий кафедрой, kanaevak@mail.ru; ОПАРИН Евгений Валерьевич - инженер, OnapuH@mail.ru (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).

© Канаев А. К., Опарин Е. В., 2015

91