Об одной модели контакта гребня колеса и боковой поверхности рельса

УДК 621.3

об одной модели контакта гребня колеса

и боковой поверхности рельса © 2007 г. Г.А. Бузало, О.П. Зарифьян, М.В. Сорока

При движении рельсового экипажа устойчивое положение колесной пары на рельсовой колее обеспечивается возникновением второй точки контакта между гребнем колеса и боковой поверхностью рельса. К главным факторам, определяющим направление экипажа при прохождении кривых, относятся нормальное усилие и сила трения в боковом контакте, угол набегания колеса на рельс, величина «забегания» точки контакта относительно оси, угол наклона плоскости контакта к горизонту [1].

Задача об определении положения точки контакта между гребнем и рельсом является достаточно сложной, так как необходимо учитывать реальную форму поверхностей указанных тел и их взаимное расположение в пространстве при движении.

Будем рассматривать рельс как неподвижное тело, а его податливость учитывать с помощью комбинации силовых и диссипативных элементов, «установленных» между колесом и рельсом. Данное допущение значительно упрощает математическую модель и дает удовлетворительные результаты при моделировании. В такой постановке при фактическом отжа-тии рельса гребень колеса в модели оказывается «внедренным» в рельс, причем именно от величины и расположения точки максимального внедрения зависит силовое взаимодействие, возникающее в контакте. При решении задачи в данной работе главными критериями являлись универсальность полученного алгоритма и его разумная вычислительная сложность.

Параметризация поверхностей гребня колеса и боковой поверхности рельса

Рассмотрим левое относительно направления движения колесо и соответствующую ему левую рельсовую нить. Последующее решение задачи для правой стороны не составит трудностей.

Параметризацию выполним в локальных системах координат колесной пары [Х^] и левой рельсовой нити [Ж] [2]. Пусть профиль гребня бандажа задан некоторой регулярной параметризацией

У = /Ф1(4 г = grpi(i).

У = Угр1(г),

Г гр! (U rpiKгр1

(8 гр1(и гр1

) = /гр1

(8гр1(игр1) -Кк)С05(КГр1)_

где криволинейные координаты игр1 = t, ¥гр1 - угловая координата в плоскости 0x2 системы координат [ХР], Як - радиус колеса по кругу катания.

Параметризация поверхности гребня в векторной форме с учетом профиля (2) имеет вид

L Ipl)(U rpiKгр1

) =

У ipi

где криволинейные координаты игр1 = 2, ¥гр1 - угловая координата в плоскости 0x2 системы координат [ХР].

Перейдем к параметризации боковой поверхности левого рельса в собственной системе [Ж]. Профиль может быть задан явным образом

У = Урел1

тогда радиус-вектор точки на поверхности имеет вид

— рел1(ирел1,^рел1) = [^рел1 урел1(^рел1) ^рел1 ] , (5) где ирел1 = x, ^рел1 = 2.

Для дальнейших выкладок нам необходимо перевести параметризацию поверхности (3) в систему координат [Ж]:

L rpl = A

(г"" - Lf + ACPr (Pi))J

Простейшим выбором параметра является координата 2, в этом случае

однако для случая вогнутых изношенных профилей она не подходит.

Параметризация поверхности гребня в векторной форме с учетом профиля (1) имеет вид

—( ) =(0 q 2 Як + q3) - радиус-вектор центра масс колесной пары в системе координат [ХС]; — Н ) = (0 0 кС )Т - вектор возвышения центра рельсового пути.

Геометрическая модель контакта

Рассмотрим некоторую точку Р с координатами (Цгр1, Кгр1) на поверхности гребня. Уравнение нормали к поверхности в этой точке можно записать как

К(ь = — $ (и гриУр)$ (и т,Ут),

/ ё - единичный вектор

,

где n ipi =

нормали.

д г

дr rpl дГ rpl X-

dU ^i дК

rpl

Длина d вектора нормали вычисляется по формуле

d =

дг(L) д г(L) - ГР1 .х Г г?1

ди г

dV г

= U ^ - RA М + у Гр1 (U

гр1 гр1

Точку пересечения нормали и боковой поверхно-

сти рельса находим из уравнения

.(L) _а)_

,

Г рей = - Г?1 + КП гр1 •

Запишем уравнение

П рел1 = Ггр1)х (П гр1, Угр1 ) + Хп грэ!,х (П гр1, Угр1 ); У рел1 (Vрел1) = (П ф1, У^ ) + Хп $у (П ^, ^ );

Урел1 = Ггри (Uгр1' у гр1^т " гр1,z гр1' ^ гр1 >

+х«гйг

Очевидно, что первое уравнение из (7) и соответствующую ему криволинейную координату Прел1 можно исключить из рассмотрения. Подставляя выражение для Урел1 из третьего уравнения (7) во второе, получим

У

где

гр1' Vrp1 )

F (К, U г

" y рел1 ГГгр1^

(U гр1, Vгр1) + Кп $ z (U гр1, VГР1)1-

-Кп(L) (U V

А"гр1,y ^ гр1'к гр1

Vгр1) - г$у (U

гр1, V)*

K = K(Uгр1, Vгр1).

Функции профилей (2) и (4) получены путем аппроксимации реальных профилей колеса и рельса (рис. 1). г е [-30.. - 2], уровень ъ = 0 соответствует уровню головки рельса на центральной линии (обратим внимание, что на рис. 1 ось г направлена вправо).

о.оц

-0.01

-0.02

0.775

у, м 0,770 0,765 0,760 0,755 0,750 0,745 0,740

-0,03

-0,02

-0,01

Уравнение (8) неявно задает расстояние от поверхности гребня до боковой поверхности рельса как функцию криволинейных координат

Рис. 1. Профили боковой поверхности рельса урел1

Исследуем вид функции (9) графически для ряда частных случаев.

1. Центральная установка. Как следует из рис. 2, при X < 0 контакта гребня и рельса нет, возрастание функции при г = Пгр1 > - 0,003 м соответствует приближению к основному контакту колеса и рельса.

2. Примем, что боковой относ колесной пары равен +0,013 м (^2 = 0,013 м) (рис. 3). В точке локального максимума X > 0 - гребень колеса «внедряется» в боковую поверхность рельса.

Точка максимального «внедрения» расположена на расстоянии Пгр1 = 0,012 м вниз от уровня круга катания и не имеет радиального смещения, Угр1 = 0. Более подробно этот случай иллюстрируется зависимостями, показанными на рис. 4.

3. Произведем расчет для угла виляния колесной

пары ф 3Р) =+0,03 рад, а затем ф 3Р) =-0,03 рад при постоянной величине бокового относа из предыдущего примера. Результаты представлены на рис. 5.

а б

Рис. 2. Центральная установка: а - взаимное расположение поверхностей гребня и рельса; б - расстояние от гребня до рельса как функция криволинейных координат

z, м

О'

г -0.01 -0.02

а б

Рис. 3. Смещение колесной пары: а - взаимное расположение поверхностей гребня и рельса; б - расстояние от гребня до рельса как функция криволинейных координат

а б

Рис. 4. Зависимость расстояние от гребня до рельса: а - как функция координаты Кгр1; б - как функция координаты и^

Ф 3р) = 0

ф 3р) = 0,03 pag = 0,03 pag = - 0,03 pag

Ф 3р) =-0,03 pag

-0.2

! / '

/V

/ / 0.002

f /

-0.002

-0.004 lambda, м

-0.006 -0.008

Рис. 5. Исследование зависимости положения точки контакта от угла виляния

Виляние колесной пары приводит к радиальному смещению точки максимального «внедрения», этот эффект обычно называют «предварением набегания» или «забегом» точки контакта. Виляние колесной пары не изменяет криволинейную координату игр1 точки максимального внедрения.

4. Рассмотрим случай движения в кривой с возвышением левой рельсовой нити 0,011 м (рис. 6). Боковой относ оставим неизменным, возвышение оси рельсового пути Нс = 0,055 м, угол у с = 0,07 рад, возвышение центра масс колесной пары q 3 = 0,0575 , угол боковой качки ) = 0,073 рад.

поиске экстремума неявной функции (9) применена комбинация численных методов, не требующих нахождения производных [3].

Представленная уточненная модель используется в составе разработанного при участии авторов «Пакета программ моделирования комплексной электромеханической системы электровозов». Она позволила получить адекватные результаты при исследовании движения по горным участкам пути [4]. Разумная вычислительная сложность модели и сопутствующего алгоритма позволяет проводить серии из большого числа расчетов по выбору оптимальных конструкционных параметров локомотива.

0.03

lambda, м, 0.02 0.01

0 -0.01

ф1 = 0,073 рад

^.025" -0.02 -0.015 -0.01 -0.005

, м

Угреб! = 0 рад

а б

Рис. 6. Исследование влияния возвышения рельса на положение точки контакта

Из рис. 6 следует, что при возвышении одной из рельсовых нитей происходит значительное вертикальное смещение точки контакта на поверхности гребня. Данный результат свидетельствует о неприменимости моделей контакта гребня и рельса, в которых вертикальное положение точки контакта считается фиксированным (обычно 10 мм от уровня головки рельса), при исследовании движения по пути с возвышениями рельсовых нитей. Представленная модель лишена указанного недостатка.

Нахождение точки максимального внедрения сводится к максимизации функции (9) при ограничениях на допустимые значения криволинейных координат

Литература

U

гр1 ? ^ гр!

Угр1. Если локальный максимум функции

меньше нуля, то контакта гребня с рельсом нет. При

1. Вериго М. Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава / Под ред. М.Ф. Вериго. М., 198б.

2. Сорин Л.Н., Бузало Г.А., Зарифьян А.А. Макрогеометрия оси рельсового пути // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2003. № 3. С. 83-88.

3. Numerical recipes in C: The art of scientific computing. ISBN 0-521-43108-5) / William H. Press ...: [et al.]. Cambridge university press: 2nd ed., 1992.

4. Бахвалов Ю.А., Бузало Г.А. и др. Динамические процессы в асинхронном тяговом приводе магистральных электровозов / Под ред. A.A. Зарифьяна. М., 200б.

Южно-Российский государственный технический университет

5 июля 200? г.