Математическое моделирование процесса получения цилиндрических спаев стекла с металлом

УДК 536.416

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СПАЕВ СТЕКЛА С МЕТАЛЛОМ

© 2016 С.А. Дрюк, О.Н. Любимова Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

Статья поступила в редакцию 25.03.2016

В статье предлагается математическая модель для определения параметров технологического режима изготовления длинных стеклометаллокомпозитных стержней. При постановке задача разделяется на две: стационарного течения вязкой жидкости по трубе круглого сечения и определения термических напряжений и деформаций в экспериментальном образце стеклометаллокомпозита в процессе остывания.

Ключевые слова: математическое моделирование, вязкая жидкость, термические напряжения, термические деформации

Развитие многих отраслей современного производства, в том числе строительной индустрии, связано с разработкой новых материалов, обладающих высоким комплексом механических свойств при экономической целесообразности. Предварительные теоретические и экспериментальные исследования свидетельствуют о перспективности разработки многослойных конструкционных материалов на основе стекла и металла (стали, алюминия и титана) - стеклометаллоком-позитов (СМК) [1, 2]. Материалы такого типа могут эффективно применяться в судостроении, химическом машиностроении и строительной индустрии. На текущем этапе материал находится в стадии экспериментальной разработки, исследуются технологические параметры получения экспериментальных образцов на основе стекла и стали, стекла и алюминия, и их физико-механические свойства. Смоделированы технологические режимы изготовления коротких СМК стержней до 250 мм и трехслойной цилиндрической оболочки - алюминий-стекло-алюминий. Стержни состоят из стальной оболочки (толщиной 0,8-2 мм) и стеклянного сердечника (диаметром 8-16 мм), технологический режим их изготовления предполагает прессование стеклянного сердечника при температуре размягчения стекла. Трехслойные цилиндрические оболочки изготавливаются при высоких температурах методом цен-трефугирования (послойного нанесения слоев из расплавов материалов).

Цель работы: построение математической модели для определения параметров технологического режима изготовления длинных СМК стержней методом протяжки расплава стекломассы в стальную трубку.

Постановка задачи. Основная идея получения длинных СМК стержней заключается в заполнении стекломассой металлического цилиндра при температуре размягчения (точки Литтлтона) стекла с последующим созданием спая сжатия при остывании образца. Для изготовления длинных стержней требуется создать особые условия ввиду технологической сложности равномерного наполнения металлического цилиндра вязкой стекломассой: при вертикальном заполнении сверху образуются воздушные прослойки, а при горизонтальном положении образца вероятно неравномерное распределение остаточных напряжений. В качестве оптимального способа наполнения металлического цилиндра расплавом стекла был выбран способ, схематично приведенный на рис. 1. В камеру

Дрюк Сергей Андреевич, аспирант. E-mail: druk92@mail.ru Любимова Ольга Николаевна, кандидат физико-математических наук, профессор. E-mail: berms@mail.ru

термической печи 1 устанавливается тигель 2 со стеклянной шихтой. При определенном температурном режиме шихта расплавляется, образуя вязкую однородную стекломассу 3. Через поршень 5 с отверстием для образца 4 передается давление Р1, которое позволяет выдавить вязкую стекломассу внутрь образца (рис. 1б). После заполнения стекломассой определенного объема начинается охлаждение экспериментального образца, в процессе которого на его верхний торец, с целью создания определенного уровня напряжений, подается давление P2.

В данном технологическом режиме моделированию подлежат следующие параметры: Tw - температура размягчения стекла, при достижении которой начинает подаваться давление; Р - давление; п - вязкость стекла при температуре Tw; V - свободный объем внутри образца до эксперимента; t1 - время, за которое при данных параметрах стекломасса заполнит весь свободный объем, эволюция напряженно-деформируемого состояния экспериментального образца в

процессе охлаждения при ^ - ]•

Математическая модель. Для определения параметров технологического режима разделим задачу на две несвязанные:

- стационарного течения вязкой жидкости по трубе круглого сечения (одинакового вдоль всей длины трубы), t е [0-£i],Tv = const (рис. 2);

- определения термических напряжений и деформаций в экспериментальном образце стеклометаллокомпозита в процессе остывания, ^ температура зависит от времени T(t) (рис. 2).

Первая задача в случае параллельного течения вязкой жидкости между неподвижными стенками носит название пуазейлевого течения и при определенных допущениях имеет аналитическое решение [3]. Для трубы кругового сечения аналитическая зависимость скорости течения в зависимости от давления, характерного размера и вязкости имеет вид:

где и - скорость течения жидкости; АР - разница давлений между верхним и нижним торцами образца; l -длина образца; R - внутренний радиус образца; г - текущий радиус.

Масса Q вязкого стекла, протекающего в 1 секунду через поперечное сечение образца равна

где О - масса вязкого стекла; р - плотность стекломассы, тогда время заполнения свободного объема V стекломассой вычисляется по формуле:

V _ кЯ21 _ Йг1

9 2пр ГР сЕг ЗГ^г-иеЕг

Задача может быть существенно усложнена предположением, что при заполнении стекломассой металлического цилиндра ее вязкость изменяется по высоте.

в)

Рис. 1. Схематичное изображение установки для создания экспериментальных образцов СМК стержней:

а) принципиальная схема установки - 1 - корпус печи; 2 - тигель; 3 - стекломасса; 4 - образец; 5 - поршень; б) процесс постепенного заполнения образца; в) полностью заполненный стекломассой образец, с установленным на стеклянном торце поршнем 6 для передачи давления Р2

Рис. 2. Режим изменения температуры и давления: Тш - температура размягчения стекла; Tg -температура стеклования; Те - температура среды

Исследование термических напряжений СМК заключается в определении напряженно-деформируемого состояния в составном цилиндре при изменении температуры. Предположение, что напряжения не оказывают существенного влияния на температуру, позволяет решать последовательно следующие задачи: задачу определения температурных полей в материале; краевую задачу определения напряженно-деформируемого состояния для слоистого материала с температурными и структурными неоднородностями.

104.84

104.83

104.;

104.81

104.80

т.°с

\

1 = 260 мин \

\

\

\

____

4 4,8 г, 10 м

а)

540 530 520 510 500 190 480

\

\

1 =260 \ мин V

\

\

0

4 4.5 ! Ю м

б)

Рис. 3. Пример распределения температурных полей в СМК в фиксированный момент времени: а) при а < 80-10-3 м; б) при а > 80-10-3 м

Определение полей температуры для слоистых материалов заключается в постановке краевой задачи теплопроводности, с учетом изменяющихся теплофи-зических характеристик и условием идеального контакта на границе разных материалов и равномерного нагрева вдоль образующей [5]. Результатом решения

температурной задачи являются пространственно-временные поля распределения температуры ^г, £), с учетом которых далее решается задача определения напряжений и деформаций. Решение температурной задачи показало, что для диаметров образцов d < 80-103 м температура незначительно изменяется по диаметру композиционного стержня и ее можно считать не зависящей от радиуса (рис. 3), что позволяет сделать предположение о том, что в целом температура внутри стержня может быть задана как температура режима, т.е. Т = Тф.

Математическое моделирование охваты-вает временной период от момента перехода стекломассы в стеклообразное состояние Tg до полного остывания стеклометаллокомпозита (см. рис. 2). Считаем, что стекло находится в упругом состоянии, а металлическая оболочка при достижении определен-ного уровня напряжений - в состоянии упругопластичес-кого деформирования. Деформирование двуслойного цилиндра в процессе остывания является следствием разницы механических характеристик материалов и давления на стеклянный сердечник распределенного по верхнему торцу (рис. 1в). Геометрия цилиндра позволяет сделать предположение о осесимметричной деформации цилиндра. Поэтому краевая задача механики в упругой области состоит из уравнений равновесия записанных в цилиндрической системе координат

сг„„ — сг__

= О,

(4) ди^ dz'

соотношений Коши

IL

'99

2 \дг уравнений состояния

-xfi

дг " г

1 fduz 1 Эиг\ + 1

dz Г

гдн an, özz, афф, özr, en, ezz, ew, ezr, ur, ur - компоненты тензоров напряжений, деформаций и перемещений, соответственно, отличные от нуля вследствие предположения осесимметричной деформации и являются функциями от координат r (радиус), z (длина), t (время); а -коэффициент линейного температурного расширения,

X, р - параметры Ламе, зависящие от механических свойств материала. Поскольку в нашей задаче рассматривается двухслойный цилиндр, выполненный из различных материалов (см. рис. 1в), механические характеристики для СКг^/ имеют вид:

а А , = [ ^ г ^ п>

Краевые условия на границе сопряжения двух разных материалов записываем, предполагая, наличие идеального контакта:

атт(г1 ~ О-^О = «гг(*1 + иг{гг- 0,г, 0 =иг(г± + 0,г, с).

Краевые условия на внешней боковой поверхности и на торцах запишем, учитывая равномерно распределенное давление на стеклянный сердечник со стороны верхнего торца, и отсутствие нагрузки на внешней поверхности цилиндра и на нижнем торце

<г„.(г2,г,|) = 0, 0 <е<1,

: -  - : (8) Начиная с некоторого момента времени при охлаждении образца в нем формируются напряжения за счет разницы коэффициентов линейного температурного расширения и модулей упругости первого рода, которые приводят к процессу пластического течения в металлической оболочке. В таком случае уравнения равновесия (4) необходимо интегрировать отдельно в

области пластического течения г е [грг2] и в области обратимого деформирования г при условии

= 2 К.

где K -

предел текучести.

Отметим, что требование непрерывности этих параметров на границе области пластического течения приводит к необходимости определения поля перемещений не только в области обратимого деформирования, но и в области с накопленными необратимыми деформациями. Распределение предела текучести будем считать известной функцией, линейно зависящей от текущей температуры:

* = ^(1-5

где ^ - предел текучести при начальной температуре.

Выводы: при относительно простой постановке задачи (4) - (9) следует отметить сложность получения аналитических зависимостей и построения численного решения ввиду наличия разных материалов, их реологических свойств и различного типа деформирования. Используя методы численного интегрирования можно исследовать процесс накопления необратимых деформаций, пользуясь заданным распределением температур и определенного в зависимости от такого распределения предела текучести.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Пикуль, В.В. Эффективность стеклометаллокомпозита // Перспективные материалы. 2000. №6. С. 63-65.

2. Lyubimova, O.N. Structure and constitution of glass and steel compound in glass-metal composite / O.N. Lyubimova, A.V. Morkovin, S.A. Dryuk, P.A. Nikiforov // «Applied Mechanics and Materials», AIP Conference Proceedings. 2014. 1623. P. 379-382.

3. Ландау, Л.Д. Гидродинамика: Теоретическая физика: t.VI, 3-е изд., перераб. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 986. 736 с.

4. Смирнов, В.С. Теория прокатки и штамповки. - М.: Изд-во «Металлургия», 1967. 460 с.

5. Зарубин, В.С. Математические модели термомеханики / В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 168 с.

MATHEMATICAL MODELING THE PROCESS OF RECEIVING CYLINDRICAL SEALS OF GLASS WITH METAL

© 2016 S.A. Dryuk, O.N. Lyubimova

Far Eastern Federal University, Vladivostok

In article the mathematical model for determination the parameters of technological mode of production the long the glass-metal composite cores is offered. At statement the task is divided into two: a stationary current of viscous liquid on a round section pipe and determination of thermal stresses and deformations in experimental sample of glass-metal composite in the course of cooling.

Key words: mathematical modeling, viscous liquid, thermal stress, thermal deformations

Sergey Dryuk, Post-graduate Student. E-mail: druk92@mail.ru

Olga Lyubimova, Candidate of Physics and Mathematics, Professor. E-mail: berms@mail.ru