Моделирование плотности состояний в двумерной системе заряжен- ных примесей

10. Allen, M.P. Computer simulation of liquids [Text] / M.P. Allen, D.J. Tildesley. - Oxford: Clarendon Press, 1987. - 387 p.

11. Tersoff, J. Modeling solid-state chemistry: Interatomic potentials for multicomponent systems [Text] / J. Tersoff // Phys. Rev. B. -1989. -Vol. 39. -P. 5566-5568.; 1990. - Vol. 41 . - P. 3248.

12. Ziegler, J.F. The stopping and range of ions in solids [Text] / J.F. Ziegler, J.P. Biersack, U. Littmark // The Stopping and Range of Ions in Matter. - 1995. -Vol. 1. - New York : Pergamon Press, 1985. - 321 p.

13. Shulga, V.I. Pronounced nonlinear behavior of atomic collision sequences induced by keV-energy heavy ions in solids and molecules [Text] / V.I. Shul-

ga, M. Vicanek, P. Sigmund // Phys. Rev. A. - 1989. -Vol. 39. - P. 3360-3372.

14. Andersen, H.H. Gold-cluster ranges in aluminium, silicon and copper [Text]/ H.H. Andersen,

A. Johansen, M. Olsen [et al.] // Nucl. Instrum. and Meth. in Phys. Res. B. - 2003. - Vol. 212. - P. 56-62.

15. Peltola, J. Heat spike effect on the straggling of cluster implants [Text] / J. Peltola, K. Nordlund // Phys.Rev. B. - 2003. - Vol. 68. - P. 035419-035424.

16. Журкин, Е.Е. Пробеги имплантируемых атомов при бомбардировке поверхности Cu(111) многоатомными кластерами [Text] / Е.Е. Журкин,

B.Ф. Космач, А.С. Колесников. // Поверхность. -2007. - № 4. - C. 5-11.

УДК 625.855.3

Д. С. Смирнов, П. В. Петров

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОТНОСТИ СОСТОЯНИЙ В ДВУМЕРНОЙ СИСТЕМЕ

ЗАРЯЖЕННЫХ ПРИМЕСЕЙ

Важную роль в транспортных свойствах двумерных полупроводниковых легированных структур играют Б - и А+-центры, являющиеся состояниями в верхней зоне Хаббарда. Нижней и верхней зонами Хаббарда принято называть совокупности соответственно однократно и двукратно заполненных примесных центров в полупроводниках. Для получения таких равновесных центров необходимо одновременно легировать квантовую яму и ее барьеры. В таком случае при низких температурах носители заряда переходят в яму и захватываются нейтральными примесными центрами в результате дипольного взаимодействия. Полученная таким образом структура квантовых ям GaAs/AlGaAs с А+-центрами есть по сути двумерный аналог полупроводника с большой степенью компенсации. Легко показать [1], что в таких структурах в отсутствие делокализованных зарядов возникают неограниченно большие флуктуации потенциала, связанные со случайным пространственным распределением примеси в барьерах и квантовой яме. Таким образом, необходимо учитывать даже малые концентрации носителей в валентной зоне. Однако при исследовании энергетических, транспортных и оптических свойств квантовых ям [3] указанные флуктуации явным образом фактически

нигде не учитывались. Кроме состояния А+ и дело-кализованного состояния, в данном исследовании было учтено состояние А, которое образуется из дырок, связанных с ионизированными барьерными акцепторами. Электростатическое взаимодействие носителей заряда при низкой температуре изменяет плотность состояний в квантовой яме, исходно не зависящую от энергии, и приводит к появлению в ней кулоновской щели [1]. В данной работе для оценки влияния флуктуаций потенциала на энергетическую структуру квантовых ям были вычислены плотности всех состояний валентной зоны в зависимости от температуры для произвольных параметров квантовой ямы. При этом отдельно вычислялись плотности как заполненных, так и пустых состояний в зоне валентных связей и в примесных зонах А+ и А.

В качестве физической модели квантовая яма представлялась в виде параллельных плоскостей, соответствующих барьерам и самой квантовой яме. Поскольку последняя изучалась при низких температурах и малых концентрациях легирования, дырки считались точечными зарядами, для которых справедлив закон Кулона. Значения диэлектрической проницаемости квантовой ямы и ее барьеров могут несколько отличаться, но мы

пренебрегли этим различием в силу близости указанных значений материалов ямы и барьера в структурах ОаА8/АЮаА8. В такой системе барьерные заряженные центры считались неподвижными, а дырки в квантовой яме могли перемещаться в ее плоскости. Для того, чтобы программа выполнялась за конечное время, были использованы циклические граничные условия. Потенциальная энергия е. в плоскости квантовой ямы вычислялась (согласно принципу суперпозиции) как сумма взаимодействий со всеми положительными зарядами (и.+), с ионизированными барьерными акцепторами (и-) и энергии локализации в данной точке (Де.):

е-С^+С/г-Де,

Оценки для значений радиусов и энергий локализации Л+-центров и комплексов А были взяты из работы [3]. Для нахождения минимумов потенциала в плоскости квантовой ямы эта плоскость условно разбивалась на квадраты. Для простоты мы полагали, что дырки могут располагаться только в серединах квадратов. Весь расчет плотности состояний такой системы делился на два этапа. Первый заключался в нахождении локального минимума полной энергии системы при нулевой температуре. Для этого на очередном шаге вычислялись энергии во всех квадратах. Затем делалась попытка переноса наиболее энергичной дырки в квадрат с наименьшей энергией. В таком процессе изменение полной энергии системы выражалось как разность потенциальных энергий в конечной и начальной точках за вычетом добавки, связанной с кулоновским потенциалом самой переносимой дырки:

Де = £2 -8! -е2/кг.

Если изменение оказывалось меньше нуля, то производился перенос и процесс повторялся. В противном случае предпринимались попытки всех возможных оставшихся переносов дырок. Некоторые из них также могли понизить полную энергию системы в силу существования кулонов-ской добавки -е' В итоге система приводилась в локальный минимум полной энергии, что соответствовало ее состоянию при нулевой температуре.

На втором этапе программы вводился учет ненулевой температуры в системе, при этом для нахождения плотности состояний использовалась модификация алгоритма Метрополиса [4],

который в свою очередь представляет собой модификацию метода Монте-Карло. Система запускалась в случайные блуждания по фазовому пространству, что в данном случае соответствовало случайным перемещениям дырок как в плоскости квантовой ямы, так и в заданном нами диапазоне кинетических энергий 10 kT (от 0 до Emax). На очередном шаге программы перебирались последовательно все частицы системы, и для каждой из них генерировалось случайное перемещение (по координате и по энергии), и при выполнении условия перехода из текущего состояния в случайно сгенерированное совершался перенос дырки. Таким образом, реализовывался процесс перемещения системы в фазовом пространстве. Однако для приведения в соответствие результатов численного моделирования и реального физического процесса генерирование очередного положения частицы выполнялось следующим образом. Гео -метрически это состояние выбиралось как равновероятное в любом квадрате, находящемся на расстоянии не более a относительно прежнего положения. Величина этого параметра выбиралась произвольной согласно алгоритму Метрополиса, однако ее значение (как и константы Emax) влияет на скорость сходимости алгоритма. После определения координаты выбиралось отвечающее ей энергетическое состояние дырки. В наиболее общем случае в каком-либо из положений дырка могла оказаться в подзоне тяжелых или легких дырок, либо находиться в одном из двух локализованных состояний: на Л+-центре или на барьерном акцепторе (на комплексе А). Однако эти состояния уже нельзя считать равновероятными, и одно из них выбиралось согласно соотношению Pjb : Р + : где буквы P с нижними индексами -величины относительного веса соответствующего состояния (fh - free hole - свободные дырки). Если при разбиении исследуемой плоскости внутри Л+-центра (комплекса А) помещалось N + (АГ~) условных квадратов, то его относительный вес выражался как Р + = 1/ N + (Р~ =\IN^). Соглас-

А А А А

но формуле для плотности свободных состояний D(E) в верхней зоне Хаббарда [2], в диапазоне от 0 до E заключается

max

P/h=D(E)sEmaK

состояний свободной дырки. Здесь 5 - площадь квадрата, на которые условно разделена плоскость квантовой ямы.

Если выбранное энергетическое состояние оказывалось делокализованным, то в нем равновероятно генерировалась случайная кинетическая энергия дырки.

Далее, на очередной шаг в фазовом пространстве накладывалось следующее условие:

Де < 0, либо

^<ехр(-Дг/£Г), е (0; 1).

Если изменение Де полной энергии системы отрицательно, то такой шаг совершался. В противном случае генерировалось случайное число в диапазоне от 0 до 1, и если оно оказывалось меньше значения температурной экспоненты, то переход считался совершившимся. Это соответствовало совершению прыжка с указанной вероятностью. При таком алгоритме плотность состояний находилась как средняя величина по всей фазовой траектории.

Проведем анализ результатов численного моделирования (рис. 1). На графике представлены характерные плотности состояний при температуре 30 К. Расстояние между плоскостями составляет 150 А, концентрации легирования барьеров и ямы - 1,5-1010 см-2, энергии локализации и радиусы А+-центров и комплексов А равны 8,5 мэВ, 100 А и 7 мэВ, 60 А соответственно. Интересной особенностью данного результата является та, что при близких энергиях связи А+ и А, близких ра-

Энергия, эВ

Рис. 1. Результат численного моделирования характерных плотностей состояний при температуре 30 К: А+ (1), А (2), делокализованные дырки (3); 4 - суммарная плотность

диусах и равных концентрациях количества этих состояний очень сильно отличаются. Этот эффект связан с тем, что образование пары А +- и А --центров из комплекса А и А0-центра часто оказывается энергетически выгоднее благодаря добавочной энергии взаимодействия заряженных центров.

Проведем сравнение рассчитанных плотностей состояний с экспериментальными данными (рис. 2). На рис. 2, а представлены плотности состояний при различных температурах, полученные при помощи численного моделирования; на рис. 2, б -спектры фотолюминесценции квантовых ям ОаА8/ АЮаА8, содержащих А+-центры [5]. При низких температурах и малых интенсивностях накачки энергии всех электронов, участвующих в люминесценции, мы полагаем равными, а разностью сечений

Энергия, эВ

Энергия, эВ

Рис. 2. Сравнение результатов численного моделирования (а) с экспериментальными спектрами фотолюминесценции (ФЛ) (б). Температура образца, К: 6 (1), 9 (2), 15 (3), 25 (4), 30 (5), 40 (6), 55 (7); концентрация центров п(А+) = п(А) = 1,5-1010см-2, спейсер составляет 135 А; максимумы ФЛ связаны с переходами на А+ (I), на делокализованные тяжелые (II) и легкие (III) дырки

захвата различных центров пренебрегаем. Таким образом, интенсивность фотолюминесценции оказывается пропорциональной плотности состояний. Входные данные численного моделирования соответствуют параметрам исследуемого образца. Нулевая энергия на рис. 1 и 2 расположена на дне неискривленной флуктуациями валентной зоны. При низких температурах дырки локализованы на Л+-центрах, что соответствует переходу зона-примесь. При высоких температурах большинство дырок делокализовано, что в свою очередь соответствует переходу на подзону легких и тяжелых дырок. Особенность полученных результатов заключается в следующем. В спектрах рекомбинации обычных образцов с нейтральной примесью пики переходов зона-зона и зона-примесь отстоят друг от друга точно на значение энергии связи. В данном случае сильные электростатические флуктуации уменьшают расстояние между пиками и делают его зависимым от всех параметров системы. Кроме основного результата, в нашей работе было показано существование кулоновской щели в плотности состояний при низких температурах и исследовано ее исчезновение при повышении температуры (рис. 3). На графиках представлены плотности состояний в квантовой яме, однако здесь, в отличие от предыдущих (см. рис. 1 и 2) показаны не только заполненные, но и вообще все возможные состояния дырок (верхние кривые при каждой температуре). При абсолютном нуле температур ясно наблюдается кулоновская щель, имеющая форму модуля, так как структура двумерна. При повышении температуры видно плавное закрытие щели в области температур около 10 К.

Энергия, эВ

Рис. 3. Плотности различных состояний в квантовой яме при трех температурах T, К: 0 (1, 4); 8 (2, 5);

12

Такой результат хорошо согласуется с данными транспортных измерений подобных структур [6].

Итак, в данной работе получены плотности различных состояний в квантовых ямах ОаА8/ АЮаА8, что даст возможность в дальнейшем детальнее изучить механизм двумерной проводимости в квантовых ямах. В перспективе планируется введение в алгоритм программы учета кинетической энергии свободных носителей, возможности коррелированных прыжков и эффекта электронных поляронов.

Работа поддержана РФФИ (09-02-00904-а) и президентской программой «Ведущие научные школы» (НШ 3306.2010.2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шкловский, Б.И. Электронные свойства легированных полупроводников [Текст] / Б.И. Шкловский, А. Л. Эфрос. - М.: Наука, 1979. - 416 с.

2. Андо, Т. Электронные свойства двумерных систем [Текст] / Т. Андо, А. Фаулер, Ф. Стерн. -М.: Мир, 1985. - 416 с.

3. Agrinskaya, N.V. Photoluminescence and transport in selectively doped ^-GaAs/AlGaAs quantum wells: manifestation of the upper Hubbard band [Text] / N.V. Agrinskaya, Yu.L. Ivanov, P.A. Petrov

[et al.] // Solid State Comm. - 2003. - Vol. 126. -№ 7. - P. 369-372.

4. Metropolis, N. Equation of state calculations by fast computing machines [Text] / N. Metropolis, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A. Teller [et al.] // J. Chem. Phys. - 1953.

5. Petrov, P.V. Optical studies of ^4+-centers in GaAs/AlGaAs quantum wells. Energy structure of the isolated centers, and their collective behavior [Text] / P.V. Petrov, Yu.L. Ivanov, V.E. Sedov [et al.] //

Physica B: Condensed Matter. - 2009. - Vol. 404. -№ 23-24. - P. 5148.

6. Агринская, Н.В. Проявление кулоновской щели в двумерных структурах ^-GaAs-AlGaAs

в условиях заполнения верхней зоны Хаббарда [Текст] / Н.В. Агринская, В.И. Козуб, В.М. Устинов [и др.] // Письма в ЖЭТФ. - 2002. - Т. 76. -Вып. 6. - С. 420.

УДК 537.312.62

Е.Г. Апушкинский, Б. П. Попов, В. К. Соболевский

ФЛУКСОИДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ ВО ВНУТРЕННЕЙ ОБЛАСТИ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКОВ

Линейные электродинамические процессы, свойственные явлению сверхпроводимости, хорошо изучены к настоящему времени, однако в исследовании нелинейных процессов делаются только первые шаги. Несмотря на существование ряда фундаментальных теорий указанных процессов, пока отсутствует ясное физическое толкование многих экспериментальных явлений, в частности долгоживущего радиочастотного эха [1-5]. Оно представляет собой специфический отклик сверхпроводящего материала, помещенного в постоянное магнитное поле, на импульсное воздействие ортогональным переменным магнитным полем. Это явление подробно изучено экспериментально и характеризуется временами релаксации, составляющими десятки минут и более; однозначной теоретической трактовки оно пока не имеет.

Согласно предлагаемой нами модели этого явления главной причиной эхо-сигнала являются незатухающие флюксоидные колебания и волны, распространяющиеся во внутренней области сверхпроводника. Рассмотрим поликристаллический порошкообразный высокотемпературный сверхпроводник (ВТСП), в котором формируется эхо-сигнал. Постоянное магнитное поле проникает в объем отдельной крупинки (монокристалла) образца в виде флюксоидов (вихрей Абрикосова). Переменное магнитное поле способно проникнуть только в приповерхностную область монокристалла. Под внутренней областью сверхпроводника (СП) будем понимать пространство, ограниченное поверхностью, которое находится на значительно большем расстоянии от поверхности, чем глубина проникновения радиочастотного поля Кроме того, будем полагать, что сверхпроводник нахо-

дится в шубниковской фазе и расстояние между отдельными флюксоидами значительно больше

что вихревые нити удерживаются за счет сил пиннинга на кристаллической решетке и не могут свободно перемещаться, т. е. рассматривается СП третьего рода.

Возбуждение колебания сверхпроводящих пар, образующих флюксоид, в этом случае может произойти за счет акустических колебаний кристаллической решетки, идущих от поверхности. Если последние носят импульсный характер, то в интервале между импульсами происходит затухание колебаний центров пиннинга, удерживающих флюксоид. При условии, что задержка между импульсами настолько большая, что возбужденное акустической волной движение центров пиннинга прекращается задолго до прихода второго импульса, можно говорить о колебаниях СП, образующих флюксоид между соседними точками пиннинга.

Математическая модель флюксоидных колебаний

Запишем уравнение движения вихревого смещения:

д2\

+ Ь№хВ0]+Рг=т/

от

подобное приведенному в статье [4]. Все использованные в данной работе обозначения физических величин совпадают с использованными в статье [1].