Об одном подходе к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов

Краткие сообщения

УДК 519.622

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ

О. Б. Арушанян1, Н. И. Волченскова2, С. Ф. Залёткин3

Предложен численно-аналитический метод решения задачи Коши для линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на приближении решения и его производной частичными суммами смещенных рядов Чебышёва. Коэффициенты рядов вычисляются с помощью итерационного процесса путем применения формулы численного интегрирования Маркова с одним или двумя фиксированными узлами. Метод дает аналитическое представление решения и его производной и обладает более высокой точностью и более крупным шагом дискретизации, чем методы типа Рунге-Кутты, Адамса и Гира.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы, численные методы, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышёва, квадратурные формулы Маркова.

A numerical analytic method of solving a Cauchy problem for linear and nonlinear systems of ordinary differential equations is proposed. The method is based on the approximation of the solution and its derivative by partial sums of shifted Chebyshev series. The coefficients of the series are determined by an iterative process using Markov quadrature formulas with one or two fixed nodes. The method allows one to obtain an analytical representation of the solution and its derivative and can be used to solve ordinary differential equations with a higher accuracy and with a larger discretization step compared to the known Runge-Kutta, Adams, and Gear methods.

Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods, numerical methods, orthogonal expansions, shifted Chebyshev polynomials, Markov quadrature formulas.

Рассматривается приближенный аналитический метод решения задачи Коши для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций:

у' = f

В основу метода положено разложение решения y(x) и его производной y'(x) = f{x,y(x)) на частичном сегменте [xo,xo + h], h ^ X, в ряды Фурье по смещенным многочленам Чебышёва первого рода T*(a), т.е. в смещенные ряды Чебышёва

те те

y

i=o i=o

где Ф(а) = F(xo + ah) = f(xo + ah, y(xo + ah)) ,0 ^ a ^ 1 и

1 1 2 fy

aj\y\ = - f Ур±ЩТ*

J Ja

(штрих у знака суммы означает, что слагаемое с индексом 0 берется с дополнительным множителем 1/2). Частичные суммы этих рядов используются для аппроксимации правой части системы (1) и аналитического приближения решения на данном частичном сегменте.

Арушанян Олег Багратпович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arushQsrcc. msu .ru.

2 Волченскова Надежда Ивановна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: nadl946Qmail.ru.

3 Залёткин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: irazQsrcc.msu.ru.

Как известно, на основе степенных разложений строятся одношаговые методы типа Рунге-Кутты и многошаговые методы типа Адамса для решения задачи Коши (1). Приближенное решение уь, вычисляемое на одном шаге [хо,Хо + Ь] методом Рунге-Кутты порядка и, имеет такой же порядок точности, как и увеличенная на единицу степень многочлена Рп(х) в разложении точного решения у(х) задачи (1) по формуле Тейлора на сегменте [хо,Хо + Ь]:

у{х) =уо + (х- хо)у'о + УХ+ . . . + у™ + {Х{п ^ У{п+1) (О = Рп{х) +0{{х- Жо)га+1).

Здесь уО?^ = у(\хо) и хо < ^ < Хо + Ь. Другими словами, это приближенное значение, по существу, является с точностью до 0(Ьп+1) значением многочлена Рп(хо + Ь) в конце частичного сегмента [хо,хо + Ь]. Однако многочлен Рп(х) не есть многочлен наилучшего равномерного приближения для у(х) на данном

у

у

шее равномерное приближение. Тем самым аппроксимация дифференциального уравнения, основанная на частичных суммах ряда Чебышёва, позволяет существенно повысить точность его интегрирования по сравнению с методами типа Рунге-Кутты и при этом значительно увеличить длину частичного сегмента. Это же относится и к многошаговым методам типа Адамса. Можно сказать, что интегрирование дифференциальных уравнений выполняется с помощью многочленов, близких к многочленам наилучшего равномерного приближения. Приведенный ниже пример подтверждает это заключение.

Метод рядов Чебышёва применяется в [1] для частного случая линейных дифференциальных уравнений, когда коэффициенты уравнений имеют уже известные коэффициенты Чебышёва. В предлагаемом нами подходе расширена область применимости метода рядов Чебышёва.

В настоящей статье рассматривается новый численно-аналитический метод решения задачи Коши для линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, принципиально отличающийся от традиционных методов типа Рунге-Кутты и Адамса. Для его практического применения достаточно иметь только подпрограмму вычисления правой части f (х,у) системы (1). Предполагается, что f (х,у) обладает достаточным числом непрерывных частных производных в области определения системы (1), гарантирующих верность приводимой ниже оценки и равномерную сходимость рядов (2).

Замена рядов (2) для Ф(а) и у(хо+аЬ) соответственно к-й и (к+1)-й частичными суммами, замещение интеграла для а* [Ф] в (3) формулой численного интегрирования Маркова [2-5] с одним или двумя фиксированными узлами и использование соотношений, которые связывают коэффициенты Чебышёва а* [у] решения у(хо + аЬ) с коэффициентами Чебышёва правой части а* [Ф], приводит к следующей системе уравнений для приближенных значений а*[,1к] коэффициентов Чебышёва функции Ф(а):

a*[Jk] = <fi(a0[Jk],a1 [Jk], • • • ,a*k[Jk]), i = 0,1, ... ,k, Jk(a) = ^'a*[Jk]T*{a).

к

\ /

ai

i=0

Эта система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом последовательных приближений. Итерационная схема решения системы, доказательство ее сходимости, способы выбора начального приближения для a* [Jk] и соотношения, связывающие между собой коэффициенты Чебышёва решения a* [y] и производной a*[$], приведены в [6-11].

По найденным значениям коэффициентов a* [y(xo + ah)~\ строится аналитическое приближение к решению задачи Коши на сегменте [жо,Xo + h]:

k+l

y(x0 + ah) 'a*[y]T*(a), 0 ^ a ^ 1.

i=0

Погрешность приближенного значения решения y(xo + h) имеет порядок O(hk+2).

Пример. Интегрируется нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений [12]

y'i = 2хУ^ЪУ4, y2 = 10xe5(y3 y4, y'3 = 2xy4, y'4 = -2x Ы yi, yi(0) = 1, i = 1, 2, 3, 4, 0 < x < xf, xf = 3. Решение системы имеет вид

yi(x) = esin ж2, У2(х) = e5sinx2, Уз(х) = sin x2 + 1, yA(x) = cos x2.

Все компоненты решения колеблющиеся. Компонента y2 характеризуется тем, что имеет большую скорость изменения вблизи окрестности своих экстремальных значений. Задавалось разбиение отрезка интегрирования на несколько частичных сегментов длиной h; на каждом таком сегменте решение представлялось в виде (к + 1)-й частичной суммы ряда Чебышёва. Вычисления проводились с 15-16 значащими цифрами.

В таблице приведены: число частичных сегментов, на которые разбивался отрезок интегрирования (т.е. число шагов N^)', значения h и к; количество верных десятичных знаков в компонентах решения yi (xf), вычисленных в конце промежутка интегрирования Xf (столбцы 4-7).

Метод рядов Чебышёва сравнивался с методом Гира переменного порядка, в котором используется автоматический выбор шага интегрирования (вариант для нежестких систем, максимальный допустимый порядок равен 7) [13]. Метод Гира основан на многошаговом предсказывающе-исправляющем методе Адамса, в котором фронт многошагового метода запоминается в виде вектора производных и в котором предсказание и исправление имеют один и тот же порядок. При интегрировании задачи (4) методом Гира 7-го максимального допустимого порядка количество верных десятичных знаков, отвеча-

y(xf) xf

yi(xf), y2(xf), y^(xf), y4(xf) соответственно равно 11, 10, 11, 12. Дальнейшие попытки увеличить точность приводят к столь малым размерам шага интегрирования, что эти шаги выходят за границу реальной области асимптотики метода [14]. Для достижения указанной точности в методе Гира требуется выполнить 2213 шагов интегрирования. В методе рядов решение получено с более высокой точностью за значительно меньшее число шагов (параметр N^). Аналогичные сравнительные результаты получены и в других многочисленных вычислительных экспериментах.

Из приведенных результатов можно сделать следующий вывод. Представление решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в виде частичной суммы смещенного ряда Чебышёва дает возможность интегрировать системы с высокой точностью, причем такая высокая точность может оказаться недостижимой для метода Гира решения нежестких задач с автоматическим выбором шага и переменным порядком (с максимальным допустимым порядком, равным 7) при той же разрядной сетке, поскольку для этой точности требуются столь малые шаги интегрирования, что они выходят за границу реальной области асимптотики этого метода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пашковекий С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышёва. М.: Наука, 1983.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

3. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

4. Арушанян О.Б., Залёт,кип С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 18-22.

5. Залёткин С. Ф. Формула численного интегрирования Маркова с двумя фиксированными узлами и ее применение в ортогональных разложениях // Вычислительные методы и программирование. 2005. 6, № 1. 141-157.

6. Залёткин С. Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений // Матем. моделирование. 2010. 22, № 1. 69-85.

7. Арушанян О.Б., Волченекова Н.И., Залёткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 4. 40-43.

8. Арушанян О.Б., Волченекова Н.И., Залёткин С.Ф. О вычислении коэффициентов рядов Чебышёва для решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. электронные матем. известия. 2011. 8. 273-283.

9. Арушанян О.Б., Волченекова Н.И., Залёткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 24-30.

10. Арушанян О.Б., Волченекова Н.И., Залёткин С.Ф. Об одном приближенном методе интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 43-46.

11. Арушанян О.Б., Волченекова Н.И., Залёткин С.Ф. Метод решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышёва // Вычислительные методы и программирование. 2013. 14, № 1. 203-214.

12. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.

Nh h k yi О/) г/2

75 0,04 7 и и 11 12

75 0,04 8 12 10 12 13

75 0,04 9 14 и 13 13

38 0,08 10 12 10 12 12

38 0,08 12 13 11 13 13

38 0,08 15 11 10 12 12

30 0,1 16 11 10 12 13

30 0,1 18 12 10 12 12

20 0,15 14 11 10 11 12

15 0,2 16 11 10 12 12

13. Gear C.W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1971.

14. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990.

Поступила в редакцию 25.12.2013

УДК 517.986.22

МЕТРИЧЕСКИ ПРОЕКТИВНЫЕ КВАНТОВЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА, ПРЕДДВОЙСТВЕННЫЕ К АЛГЕБРАМ ФОН НЕЙМАНА

С. М. Штейнер1

В статье приводится полное описание метрически проективных квантовых нормированных пространств, преддвойственных к алгебрам фон Неймана.

Ключевые слова: квантовое нормированное пространство, метрическая проективность, преддвойственное пространство алгебры фон Неймана.

Metrically projective quantum von Neumann algebra preduals are characterized.

Key words: quantum normed space, metric projectivity, von Neumann algebra predual.

Экстремально проективные банаховы пространства описаны А. Гротендиком [1], который показал, что с точностью до изометрического изоморфизма они совпадают с l\(Л), где Л — произвольное индексное множество. Понятие метрически проективного пространства введено А. Я. Хелемским [2, определение

1.4]. В случае банаховых пространств метрическая проективность совпадает с экстремальной [2, предложение 3.2]. Метрически проективные нормированные пространства — это с точностью до изометрического изоморфизма пространства вида l0(Л) (нормированное подпространство 1\(Л), состоящее из финитных последовательностей) [2, теорема 3.4], в то же время полное описание экстремально проективных нормированных пространств неизвестно.

Экстремально проективные квантовые банаховы пространства (см. [3, определение 3.3]), преддвой-ственные к алгебрам фон Неймана с естественным квантованием, описаны Д. Блечером и представляют собой (с точностью до полного изометрического изоморфизма) квантовые li-суммы (см. [3]) конечномерных пространств ядерных операторов с естественным квантованием дуального квантового пространства [3, следствие 3.14]. Условимся li-сумму семейства квантовых пространств Xa обозначать через (J)i Xa. Аналогично 10-cvmmv квантовых пространств Xa, представляющую собой квантовое подпространство е i Xa, состоящее го всех финитных последовательностей векторов ха Е Xa, будем обозначать 0i Xa. Заметим, что требование преддвойственности к алгебре фон Неймана в классическом случае (как нормированном, так и банаховом) выполнено автоматически в силу отождествлений ^(Л)* = li(Л)* = 1^(Л) (более того, оно выполнено для всех метрически плоских пространств).

Возникает естественный вопрос об описании преддвойственных к алгебрам фон Неймана метрически проективных квантовых нормированных пространств (см. [2, определение 5.1]) в духе результата Хелем-ского в классическом случае. Оказывается, справедлива

Теорема. Метрически проективные квантовые нормированные пространства, преддвойственные к алгебрам фон Неймана, — это с точностью до полного изометрического изоморфизма квантовая

l0-cyMMa конечномерных пространств ядерных операторов (с ест,ест,венным, квантованием, дуального

)

Доказательство. Рассмотрим произвольное метрически проективное квантовое нормированное пространство Е, преддвойственное к некоторой алгебре фон Неймана Л. Легко проверить, что его пополнение Е является метрически проективным квантовым банаховым пространством (см. [2, предложение

1.5]). Метрически проективные квантовые банаховы пространства — это ретракты метрически свободных квантовых банаховых пространств [2, следствие 5.10], тогда как экстремально проективные квантовые банаховы пространства — это почти ретракты метрически свободных квантовых банаховых пространств [3, теорема 3.10]. Ясно, что всякий ретракт метрически свободного квантового банахова пространства является его почти ретрактом. Поэтому пополнение E является экстремально проективным квантовым

1 Штейнер Сергей Михайлович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shteynersergQyandex .ru.