О сопряженных пространствах к некоторым весовым пространствам аналитических функций

6. Качалов А.А. Деревья и кустарники / А.А. Качалов - М.: Лесная промышленность, 1970.- 407 с.

7. Колесников А.И. Декоративная дендрология / А.И. Колесников. - М.: Лесная промышленность, 1974. - 704 с.

8. Лапин П.И. Древесные растения Главного ботанического сада АНСССР / П.И. Лапин, М.С.Александрова, Н.А. Бородина. - М.: Наука, 1975. - 547 с.

9. Любимов В.Б. Интродукция древесных растений на полуострове Мангышлак / В.Б.Любимов, Т.Ф.Гурина, О.Н. Косарева. - Алма-Ата: Наука, 1985. - 137 с.

10. Любимов В.Б. Экологические законы и их практическая значимость при интродукции древесных растений / В.Б. Любимов // Сб. матер. науч. чтений Международной академии наук экол. и безопасности. - Петербург: МАНЭБ, 1999. С. 85-86.

11. Любимов, В.Б. Интродукции деревьев и кустарников в засушливые регионы / В.Б. Любимов, В.Г. Зиновьев. Воронеж Белгород: БГУ, 2002. 224 с.

12. Любимов В.Б. Интродукция растений (теория и практика) / В.Б. Любимов. Брянск: Курсив, 2009. 364 с.

13. Соколов С.Я. Ареалы деревьев и кустарников СССР / С.Я.Соколов, О.А. Связева, В.А. Кубли. - Л.: Наука, 1977. -T.I. - 162 с.

14. Соколов С.Я. Ареалы деревьев и кустарников СССР / С.Я.Соколов, О.А. Связева, В.А. Кубли. - Л.: Наука, 1980. -Т.П. - 142 с.

15. Соколов С.Я. Ареалы деревьев и кустарников СССР / С.Я.Соколов, О.А. Связева, В.А. Кубли. - Л.: Наука, 1986. -T.III. - 180 с.

16. Maur, H. Waldbau auf naturgeschichtlicher Grundlage / H. Maur. - Berlin, 1909. 319 s.

Об авторах

Любимов В.Б. - доктор биологических наук, профессор Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

Мельников И.В. - кандидат биологических наук, старший преподаватель Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

Мельников Е.В. - соискатель Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского

Солдатова В.В. - аспирант кафедры биологии и экологии Балашовского института(филиала) Саратовского государственного университета имени Н.Г. Чернышевского

УДК 517.53+517.54

О СОПРЯЖЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ К НЕКОТОРЫМ ВЕСОВЫМ ПРОСТРАНСТВАМ

АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ1

Н.М. Махина

В статье описываются линейные непрерывные функционалы в весовых пространствах аналитических функций произвольной ограниченной области, граница которой состоит из более чем одной точки.

Ключевые слова: сопряженные пространства, весовые пространства, линейные непрерывные функционалы

Пусть, стандартно, £ = ^ е С: < 1} - единичный круг на комплексной плоскости С, G - некоторая односвязная ограниченная область на С; dдG) - расстояние от точки ^ до границы дG.

Обозначим Ьр (О) - класс измеримых по Лебегу в области G функций / таких, что

Л/

о

где dm2 - плоская мера Лебега; Лр (О) - множество аналитических в О функций /, для которых справедливо условие (1); Ьр (О) = Ьр (О), Лр (О) = Ар (О).

Пусть, кроме того, Ьр (р, О) - класс измеримых по Лебегу функций, для которых

\\А\Ьр(Ро> = Л f(w)\Р (1 -кИ2)Р к»Г dm2(w) < +»,0 < р < +»,р > -1,

о

и Лр (р, О) - подпространство Ьр (р, О), состоящее из аналитических в О функций.

Вопросы представления линейных непрерывных функционалов в пространствах аналитических функций относятся к классическим вопросам комплексного и функционального анализа и имеют существенные приложения, например, в теории аппроксимации и интерполяции функций, теории операторов, теории дифференциальных уравнений, многие задачи которых сводятся к хорошо известным проблемам теории аналитических функций с помощью описания соответству-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект №1.1704.2014К) и Российского фонда фундаментальных

исследований

ющих сопряженных пространств. В связи с этим отметим работы В.П. Захарюта и В.И. Юдовича [3], П. Дьюрена, А. Шил-дса, Б. Ромберга [11], А. Фразье [12].

В работах представителей школы комплексного анализа Брянского государственного университета вышеуказанные вопросы рассматривались для весовых пространств аналитических функций как одного, так и нескольких комплексных переменных. Выделим в качестве основных работы Ф.А. Шамояна [7]-[9]; Ф.А. Шамояна и соавторов О.В. Ярославцевой [10], О.Е. Антоненковой [1], [2], Е.В. Повприц [14]; Р.Ф. Шамояна [5]-[6].

В нашей работе мы получаем описание сопряженных пространств для весовых пространств Ар (Д G), 1 < р < -+», Д е 2 +, Д>—\, аналитических в произвольной ограниченной области, граница которой состоит из более чем одной точки, то есть описание линейных непрерывных функционалов в указанных областях.

Теорема 1 (см. [4]). Пусть G - односвязная область на комплексной плоскости С, граница которой содержит более одной точки; р(z) - функция Римана, отображающая S на G, р(0) = w0, w0 е G, р'(0) > 0, \ - обратная функция для р.

Тогда интегральный оператор

Р,(/)(М = F(м) =Ш I (1—\(и)1 /(и)\у'(ц)\2dm2(и) я G (1—у(иУу(м)У

непрерывно отображает пространство ?р (Д G) на Ар (Д G), 1 < р < -+», Д > — 1, )> Д при 1 < р < и ) > Д при р = 1, причем существует постоянная с( Д р) такая, что справедлива оценка

1ИАР с^ < с

Теорема 2. Пусть G - односвязная область на комплексной плоскости С, граница которой содержит более одной точки; р(z) - функция Римана, отображающая S на G, р(0) = м0, м0 е G, р(0) > 0, у - обратная функция для

1 1 1

р. Пусть также 1 < р <, —= 1; е (и) =-==-, Д> — 1.

р Я (1 — \(и)\(м))Р+2

Тогда

1) Если Фе (Ар (Д G))*, я(м) = Ф(ем), то

а) я е АЯ (Д G), при этом V/ е Ар (Д G) Ф(/) представим в виде

Ф

о

б) существуют константы с1 > 0, с2 > 0, такие, что справедливы оценки

Ни

2) Обратно, если я(м) - произвольная функция из АЯ (Д О), то по формуле (3) порождается линейный непрерывный функционал Ф(/) на Ар (Д О), для которого справедливы оценки (4).

Доказательство. Пусть Ф - линейный непрерывный функционал на Ар (Д О). Покажем, что существует функция я е АЯ (Д О), для которой справедливы оценки (4).

По теореме Хана-Банаха существует Ф1 - линейный непрерывный функционал на 1р (Д О) такой, что ||ф|| = ЦфЛ, при этом Ф1(/) = Ф(/), если / е Ар (Д О).

Далее, по теореме Ф. Рисса существует функция h е I? (Д О) такая, что Щ\?д(Д О) = ЦФ^ и

ФД/) = |/(М)й(моа — \\(М)|У \у'(м)|2 dm2(w).

Пусть е (м) = Д +1- 1-, Д> 2. Ясно, что е е Ар (Д О), Vи е О, так как

я (1 — у(u)у(w))Р+2

, , ч, Д +1 1 Д +1 1 « „ | е (м) |< —----< ---Д> 2

' и " я (1— |\(и)||\(м)|)Д+2 я (1—|\(и)|)Д+2 ^

Обозначим я(м) = Ф(ем) = Д+11 (1 — Ии)Ь-¿(и)\\'(и)Гdm2(u), где h е I (Д О), Д> 2.

я о (1—у(иУу(w))Р+2

По теореме 1 я е А" (Д причем я||А (ДО) <| Щ\?д (До у Д>— 1. Но если / е Ар (О), то

i f (w) g (w)(1 -\\(w)|V\'(w)|2 dm2 (w) =

g

Г- I 12 «I , 12 Д + 1f (1 -\\(W)|2)^ , , ,2

= fh(u)(1 -\\(u) )«\\(u) — Л — ^1+7f(w)\\(w) dm2(w)dm2(u) = G n g (i -\(w\(ju)y+2

= f f (u)h(U)(1 -\\(u)|V \\'(u)|2 dm2(u) =,(f) = (f).

g

Мы воспользовались интегральным представлением типа

f( ) — + if (1 -\\(и)\У f( )| ,( )|2d ( ) >«

f(w) =-1 „ f(u)\\ (u) dm2(u)—>P.

n g (i -\(u)\(w))—+2

функции из класса Лр (О), справедливым при р > 2 (см. подробно [13]).

Значит, исходя из вышеизложенных соображений, а именно, ||Ф|| = 1Ф1Ц, \Щ\ЬдрО) =||Л, и результата теоремы 1:

С1 I№1*(р,О) ^ I\к\*(ро) , имеем ^11(р,о) ^ 1Н = 11ф11 •

Для доказательства обратного неравенства покажем сначала справедливость пункта 2) теоремы. Пусть к (^) - произвольная функция из Л4 (р, О) и

Покажем, Ф - линейный непрерывный функционал на Лр (р, О), для которого справедливы оценки (4). Применим неравенство Гельдера, имеем:

I ^ /р (

0

V g

откуда, так как (1 - \\(w)| )«\\'(w)| < c1s Д> 2, то

Ф( f) < с.

( \/p ( \уч

f

V g J V g

или

а значит, |Ф(f ^ < сЛ f\\ap (G Jg\\Aq « g) или SUp |Ф( f )| < с2 ||g||Aq(«,G} , CЛеД0BатеЛЬH0, ||Ф|| < с2 ||g||Aq«g} , то еСтЬ Ф - ли' llfIAp (G)< ' '

нейный непрерывный функционал на Ap (G).

Кроме того, используя снова интегральное представление (5) функции из класса Ap (Д G), имеем:

Ф(^) = — L (1l\(u)l )Д h(u)\\(ufdm2(u) = gCw),

n g (1 -\(u\(w)y+2

где e (u) =-1 -, Д> 2

Д wW (1 -\(u)\(w))«+2' P~

Учитывая теперь первую часть доказательства теоремы, получаем: с11|g||A? ДД g < ||Ф||. Докажем единственность представления (3). Действительно, пусть gp g2 е Ap (Д G) и

Ф(f) = Л f (w)gT(w)(1 -\\(w)|2)« \\'(w)|2 dm2(w),

g

Ф(f) = f f (w)g2(w)(1 -\\(w)|2)« \\'(w)|2 dm2(w).

Но тогда по условию теоремы gj(w) = Ф(ew) и g2(w) = Ф(ew), откуда gj(w) = g2(w). Теорема доказана.

This article describes a linear continuous functionals in weighted spaces of analytic functions of arbitrary bounded domain whose boundary consists of more than one point.

Keywords: conjugate space, weighted spaces, linear continuous functional

Список литературы

1. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Описание линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических в шаре функций со смешанной нормой // Успехи математических наук.- 2005. - Т.60, Вып.4. - С. 217-218.

2. Антоненкова О.Е., Шамоян Ф.А. Преобразование Коши линейных непрерывных функционалов и проекторов в весовых пространствах аналитических функций // Сибирский математический журнал. - 2005. - Т.46, №6. - С. 1207-1234.

3. Захарюта В.П., Юдович В.И. Общий вид линейного функционала в H'p // УМН. - 1964. - Т. 19, Вып. 2(116). -С.139-142.

4. Ткаченко Н.М. Линейные непрерывные функционалы в Lp-пространствах аналитических функций / Н.М. Тка-ченко // Вестник Брянского государственного университета: Естественные и точные науки. - Брянск: РИО БГУ. - №4. -2009. — С. 100-105.

5. Шамоян Р.Ф. Непрерывные функционалы и мультипликаторы степенных рядов одного класса голоморфных в полидиске функций // Известия ВУЗов. Математика. - 2000. - №7. - С. 67-69.

6. Шамоян Р.Ф. О представлении линейных непрерывных функционалов в пространствах аналитических функций типа Харди-Соболева в поликруге // Украинский математический журнал. - 2003. - Т.55, №5. - С. 671-686.

7. Шамоян Ф.А. Об ограниченности одного класса операторов, связанных с делимостью аналитических функций // Известия АН СССР. Сер. Математика. - 1973. - Т.8, №6. - С. 474-490.

8. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и некоторые задачи представления в анизотропных пространствах голоморфных в поликруге функций // Доклады АН АрмССР. - 1987. - Т.85, №1. - С. 21-26.

9. Шамоян Ф.А. Диагональное отображение и вопросы представления в анизотропных пространствах голоморфных в полидиске функций // Сибирский математический журнал. - 1990. - Т.31, №2. - С. 197-215.

10. Шамоян Ф.А., Ярославцева О.В. Непрерывные проекторы, двойственность и диагональные отображения в некоторых пространствах голоморфных функций со смешанной нормой // Записки научных семинаров ПОМИ. - 1997. - Т.247.

- С. 268-275.

11. Duren P.L., Romberg B.W., Shields A.L. Linear functionals on spaces with 0 < p < 1 // J. reine and angew. Malh. - 1969.

- Bd. 238. - PP.32-60.

12. Frazier А.Р. The dual space of of the polydisc for 0< p < 1 // Duke Math. I. - 1972. - V. 39, №2. - PP. 369-379.

13. Tkachenko N.M., Shamoyan F.A. The Hardy-Littlewood theorem and the operator of harmonic conjugate in some classes of simply connected domains with rectifiable boundary // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2009. - Vol.5, No 2. - P. 192-210.

14. Shamoyan F.A., Povpritz E.V. Representation of continuous linear functionals in anisotropic weighted spaces of analytic functions in the polydisc with mixed norm // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2014. - V. 59, I. 4. - PP. 462-483.

Об авторе

Махина Н.М. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского; mahinanm@yandex.ru

УДК 635.21:631.531.01

БИОЛОГИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВА КАРТОФЕЛЯ

А.А. Молявко, А.В. Марухленко, Л.А. Еренкова, Н.П. Борисова

Сидеральные удобрения повышают продуктивность и качество клубней и могут заменить навоз в системе удобрения картофеля. В семеноводческих хозяйствах следует переходить к биологизированной технологии возделывания картофеля с использованием узколистного люпина. Ключевые слова. Картофель, сорт, урожайность, сидеральные удобрения.

Биологическое земледелие основывается на сокращении или полном отказе от синтетических минеральных удобрений, средств защиты растений и максимальном использовании биологических факторов повышения плодо-родия почвы, подавления болезней, вредителей и сорняков, и других меро-приятий, не оказывающих отрицательного влияния на природу, но улучшаю-щих условия формирования урожая. Основное условие биологизированных технологий - максимальное использование внутренних энергетических ресурсов, к которым относятся органические удобрения, в том числе сидераты.

Исследования проводили на Брянской опытной станции по картофелю в 2001-2004 гг. в условиях дерново-подзолистой супесчаной почвы с содержанием гумуса (по Тюрину) - 1,0-1,1%, подвижного фосфора (по Кирсанову) - 21,7-24,6 мг, обменного калия (по Масловой) - 10,3-11,8 мг на 100 г почвы, рНка 6,0-6,2. В звене севооборота "ячмень- картофель" изучали действие люпина узколистного и ярового рапса при использовании их на сидераты. Контролем служили варианты с посевом ячменя на зерно. Технология заделки сидеральной массы включала скашивание с измельчением и запашку люпина в фазу блестящих бобиков, рапса - в конце цветения. Эту работу проводили в третьей декаде июля.

В течение 2000-2005 гг. на серой лесной легкосуглинистой почве про-водили мелкоделяночные и производственные исследования по трем техно-логиям возделывания: традиционной, переходной и биологизированной. Агрохимические показатели почвы: содержание гумуса (по Тюрину) -1,77%,подвижного фосфора (по Кирсанову) - 20 мг, обменного калия (по Масловой) - 25 мг на 100 г почвы, рНКа - 5,1, гидролитическая кислотность ( по Каппену) - 2,12 мг. экв. на 100 г почвы.

Для опыта приняли три севооборота: обычный (люпин на зеленый корм, озимая пшеница, картофель, корнеплоды, ячмень), переходной (люпин на зеленый корм, озимая пшеница + озимая рожь, озимая рожь на удобрение + картофель, корнеплоды, ячмень) и биологизированный (озимая пшеница, люпин на удобрение, картофель, корнеплоды, зернобобовые).

В мелкоделяночном опыте использовали сорта картофеля: Брянский деликатес и Рождественский - среднеранние, Аспия - среднеспелый, репро-дукция - суперсуперэлита в 2002 г., суперэлита в 2003 г., а в 2004 г. - элита. При производственной проверке высаживали сорт Невский (суперэлита) скоростной сажалкой КСМ-4. Производственные испытания проводили на площади 38 га, из которых узколистный люпин заделывали под картофель на площади 19 га.

При традиционной технологии с 60 т/га навоза поступило в почву: N - 270, Р- 150, К - 360 кг/га, при переходной - с надземной и корневой массой озимой ржи: N - 60, Р -12,К - 75 кг/га, при биологизированной - с надземной и корневой