Индуцированные представления группы sl2(r) и гиперкомплексные числа

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 512.815

ИНДУЦИРОВАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ SL2(R) И ГИПЕР-КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

в.в. кисиль

Факультет математики, Университет г. Лидс, Великобритания kisilv@maths.leeds.ac.uk

В работе рассматривается конструкция индуцированных представлений для группы G = SL2(R). Оказывается, что действие этой группы на однородном пространстве G/H, где H - произвольная однопараметрическая подгруппа SL2(R), является дробно-линейным преобразованием двумерной алгебры ги-перкомплексных чисел. Это наблюдение может быть распространено на дальнейшие соответствия между структурными компонентами SL2(R) и гиперком-плексными системами. Соответственно, мы рассматриваем вопрос о гиперком-плексных характерах подгруппы H. В частности, приводятся примеры индуцированных представлений группы SL2(R) в пространствах функций с гиперком-плексными значениями, которые являются унитарными в определенном смысле.

Ключевые слова: индуцированные представления, группа SL2(R), гиперком-плексные числа

V.V. KISIL. INDUCED REPRESENTATIONS OF THE GROUP SL2(R) AND HYPERCOMPLEX NUMBERS

We review the construction of induced representations of the group G = SL2(R). Firstly we note that G-action on the homogeneous space G/H, where H is any onedimensional subgroup of SL2(R), is a linear-fractional transformation on hypercomplex numbers. This observation can be extended to further correspondences between structural components of SL2(R) and hypercomplex systems. Thus we investigate various hypercomplex characters of subgroups H. In particular we give examples of induced representations of SL2(R) on spaces of hypercomplex valued functions, which are unitary in some sense.

Key words: induced representation, SL2(R) group, hypercomplex numbers

1. Группа SL2(R) и ее подгруппы

матриц с нулевым следом:

Группа ЯЬ2(Е) состоит из квадратных 2 х 2 матриц с действительными элементами и единичным определителем. Групповая операция задается матричным умножением. ЯЬ2(Е) является простейшей полупростой группой Ли. Произвольный элемент

i допускает единственное разложение вида [1,

ЯЬ2 Exer. I.14]

fa b\ _( a 0\/l v \ i cos ф sin ф\

dj ^0 a-1y ^0 ly sinф cosф)’ (

с некоторыми параметрами a e (0, то), v e (—то, то) и ф e (—П’П]. Эта формула (1), записанная в виде SL2(R) = ANK, известна как разложение Иваса-вы [2, § III.1] и допускает обобщение на произвольную полупростую группу Ли.

Семейства матриц каждого из трех видов в правой части (1) образуют однопараметрические подгруппы, обычно обозначаемые A, N и K. Они получаются экспоненциированием соответствующих

А = {(о e~t) = exp(0 -°í)’íeR} n4(0 0=exp(° о)>*er},

cos t sin t

— sin t cos t

K=<

Следующий простой результат имеет поучительное доказательство.

Предложение 1. Любая непрерывная однопараметрическая подгруппа ЯЬ2 (Е) матрично сопряжена с одной из подгрупп А, N или К.

Доказательство. Любая непрерывная однопараметрическая подгруппа получается экспоненцииро-ванием

го

tX t

e =

n!

.n

Ел x n

n!

элемента X алгебры Лив(2 группы £Ь2(Е). Такой элемент представим 2 х 2 матрицей с нулевым следом. Поведение ряда Тэйлора (5) зависит от свойств степеней X". Последние легко классифицируются непосредственным вычислением.

Лемма 1. Квадрат X2 матрицы X = ^ Ь^ с нулевым следом есть единичная матрица, умноженная на а2 + Ьс = - det X. Этот множитель может быть отрицательным, нулевым или положительным, что соответствует трем различным типам ряда Тэйлора (5) для е1Х.

Несложно видеть, что матричное подобие приводит элемент X к генератору:

• подгруппы К, если (- detX) < 0;

• подгруппы N, если (- det X) = 0;

• подгруппы А, если (- det X) > 0.

Так как матричное подобие не меняет определителя матрицы, то эти три случая не сводятся друг к другу

Пример 1. Следующие две подгруппы сопряжены с А и N, соответственно, посредством матричного сопряжения с фиксированной матрицей 0 1

1 0

A

j cosh t sinh A _ /0 t

I sinh t cosh t J 6Xp I t 0

(° 0)^£R}

exp

0t 00

, t £ R

В дальнейшем мы будем, как правило, рассматривать подгруппы N' и A вместо N и A, так как это приведет к более естественной геометрической картине.

2. Действие SL2(R) приводит к гиперкомплексным числам

Пусть H является подгруппой группы G. Для соответствующего однородного пространства О = G/H определим гладкое сечение s : О ^ G [3, § 13.2], которое является левым обратным для естественной проекции p : G ^ О. Выбор такого сечения непринципиален в том смысле, что наши дальнейшие построения определяются с точностью до гладкого отображения О ^ О.

Каждый элемент g е G может быть представлен единственным образом в виде g = s(w)h, где ы = p(g) е О и h е H. Соответственно, на О определяется действие группы G

g : и ^ g  и = p(g * s (и)),

где * обозначает групповое произведение. Это действие может быть также проиллюстрировано коммутативной диаграммой

G

g*

О-

Для группы G = ЯЬ2(К), как и для остальных полупростых групп, принято рассматривать случай,

когда Нявляется максимальной компактной подгруппой К. Однако в данной работе мы изучим все три возможности для однопараметрической подгруппы Н, описанные в предложении 1 и примере 1, а именно, Н = К, N' или А'. В этом случае многообразие О является двумерным и для всех трех возможных подгрупп Н мы определим [4, Ех. 3.7(а)]

s :

Непосредственное вычисление или использование компьютерной программы [5] приводит к следующему результату

Предложение 2. Действие (8) группы ЯЬ2(К) определенное сечением в (9) есть

(С S):<-v> -(

(au + b)(cu + d> — aoav (cu + d)2 — a(cv>2

(cu + d)2 — a(cv)2

где а = -1, 0 или 1 для подгрупп К, N' или А', соответственно.

Выражение (10) не выглядит привлекательно, однако введение гиперкомплексных чисел существенно его улучшает

Предложение 3. Пусть единица I такова, что I2 = а, тогда действие группы ЯЬ2 (К) (10) может быть записано как дробно-линейное (мебиусово) преобразование:

ac db :

aw + b

, I : W ^ ---------------- ,

d I cw + d

где w = u + iv,

для всех трех возможных значений параметра а из предложения 2.

Замечание 1. Отметим что гиперкомплексные единицы не вводились нами умышленно, по произволу или из «чисто обобщательской попытки» [6, стр. 4]. Они естественно возникли из действия группы 5Ь2(Е).

Мнимая единица i2

—1 порождает хоро-

шо знакомые комплексные числа. Двумерная алгебра выражений х + \у с образующей ^ = 1 имеет много имен: гиперболические, двойные числа [7-9] и др., это один из простейших примеров гиперком-плексных чисел. Параболические гиперкомплексные числа, часто также называемые дуальными, имеют вид х + гу с нильпотентной единицей такой, что в2 = 0 [10-13]. Мы используем символ I для обозначения любой из трех единиц 1, г или ^

Замечание 2. К сожалению, не существует устоявшихся обозначений для образующих гиперкомплекс-ных алгебр. Более того, было бы затруднительно просто перечислить все многообразие использованных символов и мы упомянем лишь некоторые из них. Стоит отметить, что даже наиболее традиционная мнимая единица 1 обозначается как з во многих инженерных текстах. Символ \ для обозначения гиперболической единицы используется в многочисленных работах, начиная, по крайней мере, с основополагающего текста [14]; однако, другой символ е употребляется в замечательной книге [13]. Для

v

p

p

s

s

g

Рис. 1. Унитарные вращения, полученные алгебраическим способом, т.е. умножением на ви: эллиптические (Е), параболические (Р0) и гиперболические (Н). Все орбиты определяются уравнением х2 — 12у2 = г2. Прямые линии, проходящие из начала координат к точке на орбите, получаются вращением горизонтальной оси.

нильпотентной единицы часто используется греческая буква I [15,16], но наш выбор е позаимствован у Яглома [13] и его последователей. Нам это обозначение кажется удачным в силу следующего замечания. Замечание 3. Нильпотентная единица е близко связана с инфинитезимальным числом е, используемом в нестандартном анализе [17, 18]. Квадрат нильпо-тентной единицы в точности равен нулю, в то время как квадрат инфинитезимального числа есть «практически» ноль. Это сходство использовалось в работе [10] для вывода основных теорем дифференциального исчисления на основе нильпотентной единицы. Это же свойство стоит за построением классической механики из представлений группы Гейзенберга [19].

Действие (11) является групповым гомоморфизмом из 5Ь2(К) в преобразование «верхней полуплоскости» гиперкомплексной алгебры. Несмотря на то, что алгебраическая структура двойных и дуальных чисел достаточно вырождена, они интересны как однородные пространства для мебиусовых преобразований. Построение соответствующих геометрий в духе Эрлангенской программы Ф. Клейна ободряюще необычно [20] и приводит к новым результатам даже в хорошо изученном случае геометрии Лобачевского [21].

Из-за делителей нуля корректное изучение мебиусовых преобразований (11) должно рассматриваться на конформно пополненной плоскости [12, 22]. Физические приложения гиперкомплексных чисел простираются от классической механики [13] и специальной теории относительности [7, 9] до космологии [12,23] и квантовой механики [8,15,19].

Стандартный способ линеаризации действия (8) заключается в переходе к представлению, индуцированному представлением подгруппы Н [3, § 13.2; 4, § 3.1]. Для этого мы определим отображение г : О ^ Н, порожденное отображениями р и в, через соотношение

г(д) = (в(и)) д, где и = р(д) € О.

Пусть х является неприводимым представлением подгруппы Н в векторном пространстве V, тогда оно индуцирует представление О в смысле Макки [3, § 13.2]. Существует несколько реализаций индуцированного представления. Мы будем рассматривать представление рх в пространстве V-значных функций по формуле [3, § 13.2.(7)-(9)]

где д € О, и € О, к € Н, и г : О ^ Н, в : О ^ О есть отображения, определенные выше; * обозначает групповую операцию на О и • является действием (8) группы О на О.

Поскольку в нашем рассмотрении подгруппа Н всегда одномерна, то ее неприводимые представления обычно предполагаются комплексными характерами. Однако, если гиперкомплексные числа естественно появляются в действии группы ЯЬ2(К) на однородных пространствах (11), почему мы не должны также рассмотреть гиперкомплексные характеры?

3. Гиперкомплексные характеры -алгебраический подход

Как уже отмечалось, традиционно основное внимание при изучении представлений группы ЯЬ2(К) уделяется случаю Н = К и, соответственно, комплекснозначным характерам К. Линейное преобразование, определенное матрицами (4) из К, представляет собой вращение К2 на угол г. Идентификация К2 = С переводит это вращение в умножение на в11, где I2 = —1. Вращение является унитарным для эллиптической метрики

22 х + у

(х + 1у)(х — 1у).

Каждая орбита вращения является окружностью, и любая прямая, проходящая через начало координат, переходит в другую прямую, повернутую на угол г (см. рис.(Е)).

Для гиперкомплексных чисел наиболее прямолинейное применение этой модели для характеров выглядит так.

Предложение 4. Существует структурное сходство между тремя типами гиперкомплексных характеров. Алгебраическое соответствие представлено в таблице, а геометрическое подобие показано на рисунке.

Явным образом параболическое «вращение», порожденное умножением на е£1, действует на дуальные числа следующим образом

еЕХ : а + еЬ ^ а + е(ах + Ь).

\Рх(д)А(и) = х(г(д * в(и)))f (д •и),

Эта формула связывает параболический случай с галилеевыми симметриями классической механики [13], в которой время абсолютно и независимо от пространства. Такое кинематическое обоснование предлагает следующие соответствия для параболического случая [13,24]:

1

Р

о

Таблица 1

Эллиптический Параболический Гиперболический

Подгруппа K Подгруппа N' Подгруппа A'

i2 = —1 O 2 e j2 = 1

w = x + iy w = x + ey w = x + jy

iy 1 x >3 w = x — ey 1 x >3

elt = cos t + i sin t e£t = 1 + et ej = cosh t + j sinh t

i |2 - 2,2 \w\e = ww = x + y 1 |2 - 2 \w\p = ww = x 2 y - 2 x =w |w

arg w = arctan X arg w = X arg w = tanh 1 X

окружность \w\2 = 1 две прямые x = ±1 гипербола \w\2h = 1

параболическая тригонометрия тривиальна:

совр Ь = ±1, Бшр Ь = Ь;

параболическое расстояние (при ненулевом х) не зависит от у:

Тогда

X2 = (x + ey)(x — ey);

полярное разложение дуального числа [13, App. C(30')]:

, v

u + ev = u(1 + e —),

поэтому \и + еу\ = и, а^(и + еу) = —;

• параболические орбиты изображаются прямыми линиями (см. рис. (Р0)).

Алгебраическая аналогия и кинематическое обоснование кажутся достаточно убедительными для единственно правильной параболической тригонометрии [13,24,25]. Однако геометрический подход и симметрии параболических уравнений математической физики предлагают менее вырожденную альтернативу изложенную в работе [26].

4. Индуцированные представления

Теперь мы можем применить гиперкомплекс-ные характеры, построенные выше, к индуцированным представлениям, заданным формулой (13). Заметим, что только компактная подгруппа К требует комплекснозначных характеров, так как для однозначности представления образ матрицы из (4) при Ь = 2п должен быть единицей. Для подгрупп М' и А' такого ограничения нет и мы можем рассмотреть характеры всех трех типов: эллиптические, параболические и гиперболические. Таким образом, мы имеем семь существенно разных типов индуцированных представлений.

Пример 2. Рассмотрим подгруппу Н = К. Как отмечено выше, в силу ее компактности, характер может быть только комплекснозначным. Тогда унитарный характер хк имеет вид

cost sinA -ikt rnQ , ^ ™ MQ4 Xk . „ . = e , где k £ Z.

í cos t sin A l — sin t cos t I

Используя явный вид (9) отображения s, вычисляем функцию r, заданную в (12),

r (a b) =_i___(d —cs) e k

Vе d) ^¿r+d2 Vе d) K

r(g 1 * s(u, v)) =

(cu + d)2 + (cv)2

¡cu + d -cv \

l cv cu + di

где g-

Подставляя это выражение в

pk

(cw + d)k \cw + dy

где g

-i

w = u + iv.

Это представление действует на комплекснозначных функциях в верхней полуплоскости К+ = ЯЬ2(Ж)/К и является унитарным из дискретной серии [2, § 1Х.2].

I "I к

Предложение 5. Пусть fк(ад) = !)к, при к = 2, 3,

.... Тогда

1. fк является собственным вектором операторов рк (к) для любого к £ К, с собственным значением хк(к) [2, § 1Х.2];

2. Функция К(г,у}) = рк (s(z))fк (ад), где в (г) определяется в (9), есть воспроизводящее ядро Бергмана в верхней полуплоскости [4, § 3.2],

I г — 1 I к

умноженное на 1 1 .

Сходным образом мы получаем ядро Коши, если рассмотрим предельный случай к = 1 ложной дискретной серии [2, С1г IX]. Существует много других связей представления (20) с комплексным анализом [4] и теорией операторов. К примеру преобразования Мебиуса операторов определяют функциональное исчисление Данфорда-Рисса и соответствующий спектр [27].

Пример 3. Для подгруппы М' возможен более широкий выбор характеров.

1. Традиционно рассматриваются комплекснозначные характеры подгруппы М', т.е.

с

Хт

где

£ R.

Непосредственные вычисления в этом случае показывают, что

£ N'

1

i

e

r

поэтому

где д

-1

г

( 1 °) I -|

\ d+cu /

Подставляя это значение в характер

рт (g)f (у) = ехр |

/. тсу \ / ау + б\

V си + й) усу + й )

где у = и + еу, д

'а Ь

,с

Соответствующее индуцированное представление действует в пространстве комплекснозначных функций в верхней полуплоскости К+, которая является подмножеством однородного пространства ЯЬ2(К)/М, состоящего из дуальных чисел. Соседство комплексных и дуальных чисел в одном выражении является непривычным.

2. Возьмем параболический характер хт алгебраического типа, заданный умножением дуальных чисел

хт

01)

= ветг = 1 + етЬ,

где

£ К.

По-прежнему подставляем в него значение (22) и получаем выражение

рт

1 + е

си + й,

где у, т и д те же, что и раньше.

Это индуцированное представление действует в пространстве функций, определенных на верхней полуплоскости, как подмножестве дуальных чисел, и со значениями в дуальных числах. То есть, оно использует только дуальные числа и обычные алгебраические операции над ними. Естественным образом это представление является линейным.

Все характеры, использованные в предыдущих примерах, являются унитарными. Поэтому общая конструкция индуцированных представлений [3, § 13.2] гарантирует унитарность полученных представлений в соответствующих смыслах.

Теорема. Оба индуцированных представления рт и рт группы ЯЬ2 (К) из примера 3 являются унитарными в пространстве функций, заданных на верхней полуплоскости К+, как подмножестве дуальных чисел с внутренним произведением

^1^2) = / fl

у2

и мы используем сопряжение и умножение значений функций в алгебре комплексных и дуальных чисел для представлений ртт и рт, соответственно.

Внутреннее произведение (23) положительно определено для представления рт, но не для рт. Соответствующие пространства с вырожденным внутренним произведением являются параболическими

аналогами пространств Крейна [28]. Сами пространства Крейна в нашей классификации имеют гиперболический тип.

5. Принцип сходства и соответствия: операторы повышения

Приведенные выше наблюдения позволяют сформулировать следующий эмпирический принцип, который представляет эвристический интерес. Принцип (Сходство и соответствие).

1. Подгруппы К, М' и А' играют сходную роль в структуре группы ЯЬ2(Щ и ее представлений;

2. Замена подгруппы должна производится с одновременной соответствующей заменой гипер-комплексных единиц 1, е или ^

Безусловно, первая часть принципа (сходство) способна вызвать удивление у любого, кто знаком с группой ЯЬ2(К). Однако к настоящему моменту мы видели, что совместно со второй частью (соответствие) принцип уже проявился следующим образом:

• действие ЯЬ2(К) на однородном пространстве ЯЬ2 (К)/Н для Н = К, М' или А' задается дробно-линейными преобразованиями комплексных, дуальных или двойных чисел соответственно (предл. 3);

• подгруппы А', М' или К изоморфны группам унитарных вращений соответствующих единичных «окружностей» на плоскостях двойных, дуальных или комплексных чисел (предл. 4);

• представления, индуцированные представлениями подгрупп К, М' или А, являются унитарными, если скалярное произведение функций определяется посредством произведения и сопряжения значений функций, как комплексных, дуальных или двойных чисел (теорема).

Замечание 4. Принцип сходства и соответствия близок к суперсимметрии между бозонами и фермиона-ми в физике, но в нашем случае сходство устанавливается между тремя различными типами объектов. Приведем еще одну иллюстрацию принципа. Рассмотрим алгебру Ли в12 группы ^(К). Один из возможных базисов в в12 таков [29, § 8.1]

А =2

2(Го1 0• в=1(0 0)• г=(-1 0.

Тогда коммутационные соотношения будут следующими

[X, А] = 2В, №,Б] = -2А, [А, В] = -1 X.

Пусть у нас есть представление р группы ЯЬ2(К) в пространстве V. Рассмотрим производное представление йр алгебры б[2 [2, § VI.1] и будем использовать обозначение X = йр(Х) при X £ в(2. Для анализа представления р оказывается полезным разложить V по собственным векторам оператора XX для некоторого X £ б[2 (см. предл. 5 и ряд Тейлора в комплексном анализе).

Пример 4. Уже не должно быть удивительным, что мы собираемся рассмотреть три случая.

1. Пусть X = X будет генератором подгруппы К (4). Так как эта подгруппа компактна, то собственные вектора Xук = 1кук параметризованы дискретным пара-

а

с

метром k е Z. Особую роль играют операторы L± повышения/понижения [2, § VI.2; 29, § 8.2], определенные коммутационными соотношениями

[Z,L±] = \±L±.

Таким образом, L± являются собственными для операторов adZ присоединенного представления si2 [2, § VI.2]. Важно, что вектор L+vk также является собственным для Z

Z(L+ vk) = (L+ Z + \+L+)vk = L+( Zvk) + X+L+vk = ikL+vk + X+L+vk = (ik + A+)L+vk.

Полагая L+ = aÄ + bB + cZ, из коммутационного соотношений (24) и определяющего равенства (25) получаем систему уравнений

c = 0, 2a = A+b, -2b = A+a.

Эта система совместима тогда и только тогда, когда A+ + 4 = 0. В этом случае операторы повышения/понижения L± = ±iÄ + B действуют на одномерной цепочке собственных подпространств

L+ L+ L+ L+

. . . < > Vk-2^-- Vk< > Vk+2 . . .

L- L- L- L-

2. Рассмотрим случай X = B генератора подгруппы Ä (6). Эта подгруппа некомпактна и собственные значения для B могут быть произвольным числом, однако операторы повышения/понижения по-прежнему могут играть важную роль [1, § II.1; 30, § 1.1]. Будем опять искать решение в форме L+ = aÄ+bB+cZ для коммутатора [B,L+] = AL+. Получаем систему

2c = Aa, b = 0, - = Ac.

Она совместима, если только A2 = 1. Очевидные значения A = ±1 приводят к операторам L± = ±Ä + Z/2, которые и используются в [1, § II.1; 30, § 1.1]. В этом случае неприводимый si2-модуль представляется одномерной цепочкой собственных значений.

Допуская двойные числа мы можем удовлетворить условие совместимости A2 = 1 дополнительными значениями A = ±j. Тогда возникает дополнительная пара операторов повышения/понижения L± = ±jÄ + Z/2, которая сдвигает собственные значения в «ортогональном» направлении к действию традиционных операторов L±. Следовательно, неприводимый s^-модуль может параметризоваться уже двумерной решеткой собственных значений на плоскости двойных чисел.

3. Рассмотрим, наконец, случай X = -B + Z/2 генератора подгруппы N' (7). По описанной ранее процедуре получаем систему

b + 2c = Aa, —a = Ab, a = Ac,

с условием совместимости A2 = 0. Если мы ограничимся действительным (комплексным) корнем A = 0, то соответствующие операторы L± = —B + Z/2 не будут менять собственные значения и будут бесполезны в таком контексте. Однако дуальные значения

A = ±е позволяют использовать операторы L± = ±eÄ — B + Z/2 для построения s^-модулей с одномерной цепочкой собственных значений в дуальных числах.

Замечание 5. Стоит отметить, что:

• введение комплексных чисел необходимо для существования операторов повышения/понижения в эллиптическом случае;

• в параболическом случае введение дуальных чисел необходимо для полезности этих операторов;

• в гиперболическом случае двойственные числа выглядят необязательными.

Подытожим рассмотренный пример, подчеркнув в нем роль принципа сходства и соответствия. Предложение 6. Пусть вектор X е si2 порождает подгруппу K, N' или Ä', т.е. векторами X = Z, B — Z/2, или B соответственно. Пусть i есть соответствующая гиперкомплексная единица. Тогда операторы повышения/понижения L±, удовлетворяющие коммутационным соотношениям

[X, L±] = ±iL±, [L-, L+] = 2iX,

имеют вид

L± = ±iÄ + Y.

Здесь Y е si2 является линейной комбинацией B и Z, а также удовлетворяет следующим условиям:

• Y = [Ä, X ];

• X = [Ä, y];

• форма Киллинга K(X,Y) [3, § 6.2] равна нулю. Любое из приведенных выше условий, совместно с Y е span{B, Z}, определяет Y с точностью до действительного множителя.

Кажется правдоподобным, что применение принципа сходства и соответствия не ограничивается приведенными здесь примерами.

6. Заключение

Введенные индуцированные представления заслуживают более пристального исследования. Среди важных вопросов можно отметить следующие:

• прояснение связи с тремя основными сериями (дискретной, непрерывной, дополнительной) представлений группы SL2(R) [2];

• связь со многими si2 модулями [1, 30] (включая новые возможности для их унитаризации);

• приложение к теории обобщенных аналитических функций [4] и уравнений в частных производных [31];

• соответствующие функциональные исчисления [27] и т.п.

Эти направления исследований являются частями Эрлангенской программы в широком смысле [21,32] и будут продолжены в последующих работах. Ожидается, что принцип сходства и соответствия окажет направляющую роль в поисках наиболее гармоничных конструкций.

Автор благодарен проф. Н.А. Гоомову за полезное обсуждение данной работы и многочисленные ценные замечания.

Литература

1. Howe R., Tan E.C. Non-abelian harmonic analysis: Applications of SL(2, R). New York: Springer-Verlag, 1992.

2. Lang S. SL2 (R) Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 1985. Vol. 105.

3. Кириллов AA. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978. 344с.

4. Kisil V.V. Analysis in R11 or the principal function theory // Complex Variables Theory Appl. 1999. Vol. 40. No. 2. P. 93-118.

5. Kisil V.V. Erlangen program at large-2: Inventing a wheel. The parabolic one // Trans. Inst. Math. NAS Ukraine. 2010. Vol. 7. P. 89-98.

6. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел. М.: Наука, 1986. 120 с.

7. Catoni F., Boccaletti D., Cannata R. et al. The mathematics of Minkowski space-time and an introduction to commutative hypercomplex numbers. Basel: Birkhauser Verlag, 2008. 255 p.

8. Khrennikov A., Segre G. Hyperbolic quantization // Quantum probability and infinite dimensional analysis. Hackensack: World Sci. Publ., 2007. P. 282-287.

9. Ulrych S. Relativistic quantum physics with hyperbolic numbers // Phys. Lett. B. 2005. Vol. 625. No. 3-4. P. 313-323.

10. Catoni F., Cannata R., Nichelatti E. The parabolic analytic functions and the derivative of real functions // Advances in Applied Clifford algebras. 2004. Vol. 14. No. 2. P. 185190.

11. Громов HA. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. Сыктывкар, 1990. 220 с.

12. Herranz F., Santander M. Conformal compactification of spacetimes // J. Phys. A. 2002. Vol. 35. No. 31. P. 6619-6629.

13. Yaglom I.M. A simple non-Euclidean geometry and its physical basis. New York: Springer-Verlag, 1979. 307 p.

14. Vignaux J.C., Duranona y Vedia A. Sobre la teoraa de las funciones de una variable compleja hiperbylica // Univ. nac. La Plata. Publ. Fac. Ci. fis. mat. 1935. Vol. 104. P. 139-183.

15. Gromov NA, Kuratov V.V. Possible quantum kinematics // J. Math. Phys. 2006. Vol. 47. No. 1. P. 013502-9.

16. Pimenov R.I. Unified axiomatics of spaces with maximal movement group // Litov. Mat. Sb. 1965. Vol. 5. P. 457-486.

17. Davis M. Applied nonstandard analysis. New York: Wiley-Interscience, 1977. 181 p.

18. Успенский BA. Что такое нестандартный

анализ? М.: Наука, 1987. 128 с.

19. Kisil V.V. Erlangen Programme at Large 3.1: Hypercomplex representations of the Heisenberg group and mechanics // arXiv:1005.5057.

20. Kisil V.V. Erlangen program at large-1: Ge-

ometry of invariants // Symmetry Integrability Geom. Meth. Appl. 2010. Vol. 6. No. 076. P. 0-45.

21. Kisil V.V. Erlangen program at large-0: Starting with the group SL2(R) // Not. Amer. Math. Soc. 2007. Vol. 54. No. 11. P. 1458-1465.

22. Kisil V.V. Two-dimensional conformal models of space-time and their compactification // J. Math. Phys. 2007. Vol. 48. No. 7. P. 073506-

8.

23. Gromov NA, Kuratov V. V. Noncommutative space-time models//Czech. J. Phys. 2005. Vol. 55. No. 11. P. 1421-1426.

24. Herranz F., Ortega R., Santander M. Trigonometry of spacetimes: a new self-dual approach to a curvature/signature (in)dependent trigonometry // J. Phys. A. 2000. Vol. 33. No. 24. P. 4525-4551.

25. Лаврентьев MA, Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973. 416 с.

26. Kisil V.V. Erlangen program at large-2 1/2: Induced representations and hypercomplex numbers // arXiv:0909.4464.

27. Kisil V.V. Spectrum as the support of functional calculus // Functional analysis and its applications. Amsterdam: Elsevier, 2004. Vol. 197. P. 133-141.

28. Arov D.Z., Dym H. J-contractive matrix valued functions and related topics // Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2008. Vol. 116. 588 p.

29. Taylor M.E., Noncommutative harmonic analysis. Providence: Amer. Math. Soc., 1986. (Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 22).

30. Mazorchuk V. Lectures on s/2-modules. World Scientific, 2009. 276 p.

31. Konovenko N. Projective structures and algebras of their differential invariants // Acta Appl. Math. 2010. Vol. 109. No. 1. P. 87-99.

32. Kisil V.V. Erlangen Programme at Large: A brief outline // arXiv:1006.2115.

Статья поступила в редакцию 23.08.2010.

После доработки: 28.11.2010.