Численное моделирование лазерной сварки стальных пластин

УДК 621.9.048.7:621.375.826

Численное моделирование лазерной сварки стальных пластин

В.П. Шапеев, В.И. Исаев, А.Н. Черепанов

Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Построена трехмерная модель теплофизических процессов при лазерной сварке металлов и сплавов. В ней теплоперенос в пластинах описывается уравнением теплопроводности с конвективными членами. В модели учитывается наличие парогазового канала в зоне воздействия лазерного луча на металл. При численном решении краевой задачи для трехмерного уравнения теплопроводности используется консервативный метод коллокаций и наименьших квадратов. Расчеты проведены на нерегулярных сетках, сгущающихся в окрестности парового канала. Сравнением с экспериментом показано, что предложенная модель адекватно описывает теплофизические процессы, протекающие в области сварки.

Ключевые слова: математическое моделирование, тепло- и массоперенос, лазерная сварка, сварка металлов, задача Стефана

Numerical simulation of laser welding of steel plates

V.P. Shapeev, V.I. Isaev and A.N. Cherepanov

Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia A three-dimensional model of thermophysical processes involved in laser welding of metals and alloys was developed taking into account the presence of a steam channel (a welding pool) in the vicinity of the laser beam. For description of heat transfer in the model, a heat conduction equation with convective terms was used. The 3D heat conduction equation was solved by the conservative collocation and least squares method. The computations were performed on irregular meshes with local refinement near the welding pool. The simulation results were compared with experimental data. It is shown that the proposed model provides adequate description of the thermophysical processes occurring in the welding zone.

Keywords: mathematical modeling, heat and mass transfer, laser welding, metal welding, Stefan problem

1. Введение

Технологии лазерной обработки материалов — резка, сварка, поверхностная обработка и другие — ввиду их достоинств находят все более широкое применение в промышленности. Отдельные недостатки этих технологий, использование в них новых материалов и поиск новых областей приложения требуют всестороннего теоретического и экспериментального исследования их физических основ. Во всем мире ведется неослабевающий научный поиск в области лазерной обработки материалов. Растет число экспериментальных и теоретических работ, создаются новые экспериментальные установки, вопросам лазерной обработки материалов посвящаются научные конференции, книги и обзоры публикаций. Одна из недавно выпущенных книг [1] посвящена различным аспектам теории лазерной обработки

материалов. В статье М. Гроса (M. Gross. Comprehensive Numerical Simulation of Laser Materials Processing), включенной в эту книгу, дается значительный по объему обзор работ в области численного моделирования лазерной обработки материалов. В нем делается систематизация работ по моделируемым процессам, сопровождающим лазерную обработку материалов, по их пространственной размерности. Отдельно выделен выборочный обзор пятнадцати работ по лазерной сварке. Более ранний обзор по этой теме имеется в статье [2].

В настоящей работе предложена трехмерная теплофизическая модель лазерной сварки металлических пластин, которая в значительной мере изложена в предшествующих публикациях [3-5]. Основной целью этой работы является верификация модели путем сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными

© Шапеев B.n., Исаев B.K, Черепанов A.H., 2011

по лазерной сварке стальных пластин, предоставленными авторам коллегами из ИТПМ СО PAH и ИMAШ УрО PAH.

При реализации модели для численного решения трехмерного уравнения теплопроводности в данном исследовании в отличие от [3-5] используется консервативный метод коллокаций и наименьших квадратов, предложенный авторами [6, 7]. Он позволяет проводить расчеты на нерегулярных сетках с локальным сгущением в окрестности особенностей решения. Благодаря применению таких сеток в данной работе удалось существенно сократить время расчета при той же точности приближенного решения, что была достигнута с использованием разностных схем и регулярных сеток в [3-5].

2. Tpeхмepнaя математическая модель нpoцecca

.'1:^1511011 cBapKii

Paссмoтpим установившийся процесс лазерной сварки встык двух металлических пластин, которые имеют форму прямоугольных параллелепипедов одинаковой толщины. Ось луча лазера в процессе сварки лежит в плоскости стыка пластин и направлена перпендикулярно к их верхней поверхности. B рассматриваемой области введем декартову систему координат, в которой лазерный луч неподвижен, а пластины перемещаются со скоростью сварки Vw = (Vw,0, 0). Ось z направлена вниз вдоль оси луча, ось x — вдоль стыка в направлении перемещения пластин, а ось у — перпендикулярно стыку. Шчало координат находится на оси луча на верхних границах пластин. Ha рис. 1 изображена схема области сварки, расположенной в полупространстве у < 0. Другая симметричная половина области для наглядности опущена.

Поверхности пластин для защиты жидкого металла от окислительных процессов обдуваются инертным газом. Bвиду сложности и недостаточной изученности термо- и гидродинамических процессов в зоне сварки исследование процесса сварки проведем при некоторых упрощающих допущениях. Считая, что двухфазная зона тонкая, затвердевание расплава (плавление металла) опишем в приближении Стефана. Далее полагаем, что скорость сварки (скорость перемещения луча лазера) постоянная, а поле температур и положения фазовых границ квазистационарные.

B настоящее время многие исследователи ввиду сложности численного моделирования свободных поверхностей на границах между жидкостью и газом полагают фиксированной поверхность парового канала при расчете поля температур [8]. Как и в [5], для упрощения модели стенка парового канала ищется в данной работе в виде поверхности вращения из выбранного параметрического семейства. Среди параметров — глубина канала, угол наклона стенки к оси z в точке наиболее

интенсивного лазерного излучения и другие. Выбор значений параметров — выбор поверхности из этого семейства — делается на основе экспериментальных данных и требования, чтобы на большей части поверхности в окрестности оси луча температура была близка к температуре кипения металла, немного превосходя ее в лазерном пятне. При этом радиус выходного отверстия канала считается фиксированным и равным 2^, где Г — радиус луча лазера в фокальной плоскости. Канал строится автоматически. В ходе итерационного процесса программа подбирает параметры его поверхности одновременно с расчетом температурных полей во всей расчетной области. Более подробно алгоритм построения канала описан в [5].

2.1. Определяющие уравнения

Квазистационарный процесс теплопереноса в сварочной ванне и твердом металле опишем уравнением

(

ciPi

дТ дТ дТ # и—+ v— + w— дх ду дz

дТ # д (. дТ

Лi--------

г ду

дх І 1 дх I ду

+^Ч л, —

дz І дz

где с, , рг- — удельная теплоемкость, коэффициент

теплопроводности и плотность г-й фазы (г = 1 — твердая, i = 2 — жидкая фаза); и, V, w — компоненты скорости движения вещества по осям х, у, z (компоненты скорости относительно системы координат, в которой луч лазера неподвижен).

В выбранной системе координат пластины движутся в направлении оси хсо скоростью сварки Уда. Поэтому в области твердой фазы и = Уда, V = 0 м/с, № = 0м/с.Для описания течения жидкого металла в [9] используются полуэмпирические формулы и оценки. В работе [7] компоненты скорости движения расплава находятся путем численного решения краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в криволинейной области. Расчет течения жидкого металла требует существенных затрат вычислительных ресурсов. В [7, 9] показано, что кар-

Рис. 1. Схема области сварки: 1 —луч лазера; 2 — парогазовый канал; 3 — жидкая фаза (сварочная ванна); 4 — двухфазная зона; 5 — твердая фаза

тина течения расплава в сварочной ванне влияет на ее форму. Для упрощения будем приближенно считать, что компоненты скорости частиц вещества равны и = = У№ Р1/Р2, V = 0 м/с, w = 0 м/с в области жидкой фазы. Таким образом, в рассматриваемой модели процесса лазерной сварки учитывается конвективный перенос в направлении оси х, который имеет место в пластинах. Множитель рр2 здесь появился вследствие требования выполнения закона сохранения массы на границе фазового перехода.

С учетом сделанных предположений уравнение (1) в области твердой и жидкой фаз примет вид:

„ дт

д_

дх

дх

дТ

К

д (, дТ# д

дх * дуI ду

К

дт

+—і к

дz I дz

На поверхности фазового перехода запишем условие Стефана

К

дТ

дп

- К!

дТ_

дп

= Рі к п • Vw

где п — единичная нормаль к границе раздела фаз; к — теплота плавления (кристаллизации); -(Х1дТ/дп)1 и -(Х2дТ/ дп)2 — потоки тепла, вычисленные со стороны твердой и жидкой фаз соответственно. Граница между твердой и жидкой фазами определяется здесь по изотерме кристаллизации (Т = Те).

2.2. Краевые условия для уравнения теплопроводности

Далее сформулируем краевую задачу для уравнения теплопроводности (2), из которой будет находиться распределение температуры в пластинах. Задача рассматривается здесь в криволинейной области

^ = {(х,у, z): - ^ < х/Н < тс,

-тс< у/Н <тс, 0< <1} \ ^сЬ,

где h — толщина пластин; ^сЬ — внутренность парового канала (рис. 2).

2.2.1. Условия на поверхности парового канала

В зоне действия лазерного излучения (на поверхности парового канала 7 = Zc (х, у), где (х - г£ )2 + у2 < < (2г£ )2) справедливо уравнение теплового баланса дТ

-К

2^~ = Ч •п + Яг + Яу + Я с + ЯЬ”

дп

где п = (пх, пу, п7) — единичная нормаль к поверхности канала, направленная внутрь области жидкой фазы; ч1 = ц1е 2 — поглощенный поток лазерного излучения без учета переотражения; е 7 — орт оси z; яг — поток тепла, возникающий в результате переотражений от стенок канала; — потери тепла за счет испарения металла; дс — слагаемое, которое моделирует конвективный поток тепла от передней стенки канала на заднюю; дь — поправка, о которой более подробно сказано ниже.

Сварка осуществляется излучением С02-лазера с длиной волны К0 = 10.6 мкм, интенсивность излучения которого описывается нормальным распределением Гаусса [10]. Плотность потока лазерного излучения задается формулой

( 2ЖЛ

Яі(х, у, 7(х, у)) = ——етр

(

ПГ7

-2

К =

2

г +

7 - 2$ Шг

-#1/2

где W — мощность лазера; 2$ — координата по оси z

Рис. 2. Фрагменты нерегулярной расчетной сетки, сгущающейся в окрестности парового канала. Сечения сетки плоскостями г = 0 мм (а) и

у = 0 мм

фокуса луча лазера; А — коэффициент поглощения лазерного излучения поверхностью парового канала. Для простоты будем считать, что остаток мощности луча после первого и последующих его отражений от стенок канала Wi = (1 -(г = 1, 2, ...) равномерно рассеивается по поверхности 5С, состоящей из боковой поверхности канала 5Ь и его выходного отверстия при г = 0 [8]. Тогда мощность многократно отраженного излучения, поглощаемого стенками канала, вычислим с помощью эффективного коэффициента поглощения

К дт

Эz

= (ак1 + «г)(т|2=0 -тв) - Яі

((1 - А) Я #

А(1 - А)5,

5 - (1 - А) 5Ь

по формуле Wa = AeW. Для плотности мощности отраженного излучения лазера, поглощаемого элементом поверхности парогазового канала, имеем выражение

Ж

Яг =

А (1 - А)Я

Я Я 5с - (1 - А) Я

В уравнении теплового баланса (4) учитывается потеря тепла за счет испарения металла. Для ее оценки в модели используется формула

Яу = -т.

Здесь Ь — удельная теплота испарения металла; т — массовая скорость испарения с единицы поверхности парового канала.

Как уже было сказано выше, компоненты скорости движения расплава в сварочной ванне полагаются равными и = V№ р1/р2, V = 0 м/с, w = 0 м/с. Это упрощающее допущение в модели приводит к тому, что через любой элемент поверхности канала dS имеется ненулевой поток тепла, равный пхс2т^р1 гі£. В действительности же этих потоков нет, поскольку жидкий металл не течет через поверхность канала (потерей массы металла при испарении пренебрегаем ввиду ее малости), а обтекает ее, перенося тепло от хорошо прогретой лазером передней стенки, расположенной в полупространстве х < г, в область, примыкающую к задней стенке. Для того чтобы компенсировать вклад этих фиктивных потоков тепла, «возникших» из-за упрощающих допущений модели, в уравнение (4) вносится слагаемое

Яь(х у) = ~пх с2 т(х у 2с(х у)) Vw Р Для учета переноса тепла с передней стенки канала на заднюю внесем в правую часть (4) слагаемое

Яс(х у) = “с2 Р1 Vw(т (х,у > 2 с(х >у)) -

-т(2г$ - х,у,2с(х,у)),

где (х,у, 2с(х,у)) и (2^ - х, у, 2с(х,у)) — симметричные относительно плоскости х = Г точки поверхности парового канала [5].

2.2.2. Условия на верхней и нижней поверхностях свариваемых пластин

На поверхности z = 0 в областях твердой и жидкой фаз граничное условие имеет вид:

0

у2 , 2 ^ Л1

где ак1 — конвективный коэффициент теплоотдачи [11], которая обусловлена обдувом зоны сварки инертным газом и зависит от характера его течения (ламинарное или турбулентное); ^ — температура газа. Здесь и далее г = 1, 2 для твердой и жидкой фаз соответственно. Второй коэффициент теплоотдачи аг в формуле (5) связан с радиационной теплоотдачей нагретого тела в окружающее пространство и определяется соотношением

аг = СТ0 (Т |2=0 + Т )(Т|г=0 + ТБ )’ г = 1, 2,

где Ei — приведенная степень черноты; ст0 — константа Стефана-Больцмана.

Условие, аналогичное (5), имеет место на нижней поверхности свариваемых пластин (г = Н):

-к -

дг

=

где ак2 — коэффициент теплоотдачи от нижней поверхности к монтажному столу. Температура среды (монтажного стола), контактирующей с нижней поверхностью пластин, здесь взята равной ^ (в принципе она может быть и другой). При контактном охлаждении через зазор, заполненный газом, ак2 =К^§й, где А^, 8Й — теплопроводность газа и толщина газового зазора между нижней поверхностью пластин и поверхностью монтажного стола соответственно. Если сварочная ванна достигает нижней поверхности пластин и выходит на поверхность монтажного стола, то в силу ее шероховатости и недостаточного смачивания, а также давления газа зазор остается. В случае когда нижняя поверхность пластин обдувается газом, значение ак2 выбирается в зависимости от характера его течения таким же образом, как и коэффициент ак1. Коэффициент конвективной теплоотдачи в случае ламинарного потока газа определяется согласно [11] формулой

а к1 = 0.664Рг13Яе12 К 8/і,

где Яе = Ugl/vg; Рг= vg|аg; и% — скорость течения инертного газа; I — характерная длина зоны охлаждения; V, ag, — кинематическая вязкость, температу-

ропроводность и теплопроводность газа.

2.2.3. Условия на периферии

На достаточно большом расстоянии от луча лазера температура по всей толщине пластин принимается равной температуре окружающей среды:

ти±тс= ^ ти±тс= тВ-

3. Численный метод

Для численного решения краевой задачи для трехмерного стационарного уравнения теплопроводности,

т., мм

Рис. 3. Сечение сварного шва:

сформулированной в п. 2, в настоящей работе используется консервативный метод коллокаций и наименьших квадратов [6] с полиномиальным базисом из многочленов второй степени, который в численных экспериментах на гладких решениях задач сходится со вторым порядком, а на решениях уравнений с разрывными коэффициентами сходится с первым порядком. Приближенное решение строится в нем с помощью итерационного процесса. Положение границы фазового перехода при этом последовательно уточняется на каждой итерации исходя из рассчитанных значений температуры.

Расчеты проведены на нерегулярных сетках, сгущающихся в окрестности парового канала. На рис. 3 приведено изображение расчетной сетки и показан способ ее сгущения. Для наглядности на рис. 3 показаны только ячейки сетки, находящиеся в области {-1 мм <

< х < 2 мм, -1 мм < у < 1 мм, 0 мм < z < 4 мм}. Ячейки, расположенные на периферии, опущены. Используемый здесь способ сгущения сетки позволяет избежать возникновения вытянутых ячеек, которые увеличивают погрешность дискретизации и численного решения задачи.

Вместо условий на бесконечности, описанных в п. 2.2.3, были использованы условия Дирихле, записанные на достаточно большом расстоянии от парового канала. За счет неравномерности сетки удалось рассчитать поле температуры в области значительных размеров. Такой подход позволил с хорошей точностью реализовать условие на бесконечности. Отметим здесь, что число ячеек сетки на единицу длины вблизи парового канала было существенно больше, чем в областях, удаленных от зоны сварки. В области больших градиентов

2, ММ " эксперимент

расчетных величин шаг сетки был мелкий, на периферии зоны сварки — на удалении от границ ванны, где градиенты температуры малы, — шаг сетки был относительно крупный. Кроме того, чем дальше отодвигалась граница расчетной области на периферию, тем меньше вблизи нее были градиенты температуры.

В настоящей работе производился контроль точности, с которой приближенное решение удовлетворяет интегральному уравнению теплового баланса, записанному для всей области ^. Для рассчитанного распределения температуры в ^ вычислялись суммарные потоки тепла через поверхность парового канала и через другие границы области ^ (потери тепла через верхнюю, нижнюю и боковые поверхности пластин). Производилась проверка равенства притока тепла в ^ и суммарных потерь. Такой контроль необходим для отладки программ и подтверждения того, что используемый численный метод позволяет получать приближенное решение, удовлетворяющее интегральному закону сохранения. Также эта проверка позволила сформулировать упрощающие допущения в модели таким образом, чтобы обеспечивалось выполнение теплового баланса. В расчетах, результаты которых приведены в данной статье, построенные приближенные решения удовлетворяют уравнению теплового баланса, записанному для области с относительной погрешностью, не превосходящей 1 %.

4. Результаты расчетов

В данном разделе представлены результаты численного моделирования процесса сварки встык двух стальных пластин. В численных экспериментах определялись

Таблица 1

Значения физических величин

Название Значение Источник

А Коэффициент поглощения излучения 0.6 -

С1 Теплоемкость твердой фазы 8600 Дж/(кг*К) [12]

с2 Теплоемкость жидкой фазы 8 825 Дж/(кг*К) [12]

С% Теплоемкость инертного газа (н.у.) 5200 Дж/(кг*К) [13]

L Удельная теплота испарения металла 627*104 Дж/кг [13]

гг Радиус луча лазера 10-4 м -

Ть Температура кипения металла 3145 К [13]

Т Температура кристаллизации металла 1760 К [14]

Температура инертного газа 8300 К -

ие Скорость инертного газа 1 м/с -

р6 Плотность инертного газа (н.у.) 1.785* 10-1 кг/м3 [13]

5е Толщина газового зазора 3*10-5 м -

^ Є2 Степень черноты жидкой и твердой фаз 0.5 -

К Теплота плавления 247 * 103 Дж/кг [13]

*1 Теплопроводность твердой фазы 25 Вт/(м*К) [12]

*2 Теплопроводность жидкой фазы 40 Вт/(м*К) [12]

Теплопроводность инертного газа 0.152 Вт/(м* К) [13]

Вязкость инертного газа 2* 10-5 кг/(м*с) [13]

р1 Плотность твердой фазы 7 500 кг/м3 [12]

Р2 Плотность жидкой фазы 7030 кг/м3 [12]

температурные поля в изделии, положение внутренних границ между фазами материала изделия, форма и глубина парового канала.

Здесь приведены результаты двух расчетов сварки стальных пластин и соответствующие экспериментальные данные. Значения физических параметров, использованные в расчетах, показаны в табл. 1 и в пп. 4.1 и

4.2. Отметим, что для некоторых параметров модели имеет место значительное расхождение значений, приведенных в различных источниках. Среди них, прежде всего, массовая скорость т испарения металла с единицы поверхности парового канала. Ее величина в проведенных расчетах варьировалась в пределах от 20 до 80 кг/(м2 - с) [8] таким образом, чтобы имело место хорошее согласование полученных результатов с экспери-

ментом. В расчетах установлено, что с ростом мощности лазерного излучения (при неизменных других параметрах сварки) значение скорости испарения т, при котором наблюдается хорошее согласие с экспериментом, увеличивается. В пп. 4.1 и 4.2 скорость испарения т полагалась равной 50 и 30 кг/(м2*с) соответственно.

4.1. Пластины из стали 20 толщиной 15 мм

В данном пункте приведен расчет сварки стальных пластин лазером мощностью Ж= 5.2 кВт, скорость сварки V. = 0.6 м/мин, положение фокальной плоскости лазера Zf =0 мм. На рис. 3, а приведена фотография поперечного среза сварного шва, на рис. 3, б — форма сварного шва в поперечном сечении, полученная в рас-

Рис. 4. Распределение температуры в сечениях плоскостями у = 0 мм (а) и z = 0 мм (б). Изотермы: 2 100 (1), 1760 (Те) (2), 1 400 (5), 1100 (4) К

4-2 0 2 у, мм

Ю- ----------------------------------

г, мм '

Рис. 5. Распределение температуры в сечении плоскостью х = 3 мм. Изотермы: 2100 (1), 1760 (Те) (2), 1400 (3), 1100 (4) К

чете. Отметим, что поперечное сечение сварного шва представляет собой проекцию сварочной ванны на плоскость (у, z). На рис. 4 и 5 показаны распределения температуры в различных сечениях расчетной области: плоскостями у = 0 мм, z = 0 мм и х = 3 мм (в этом сечении сварочная ванна имеет наибольшую ширину).

Здесь и далее для наглядности показана лишь часть вычислительной области, содержащая рассматриваемые изотермы. Область черного цвета, содержащая точку (0 мм, 0 мм, 0 мм), на всех рисунках здесь и далее соответствует паровому каналу.

4.2. Пластины из стали 20 толщиной 4 мм

Сварка производилась лазером мощностью W = = 2.3 кВт, скорость сварки V„ =2 м/мин, 2,^ =0 мм. На рис. 6, а приведена фотография сварного шва, на рис. 6,6 — форма сварного шва, полученная в расчете. На рис. 7 и 8 показаны распределения температуры в сечениях расчетной области плоскостями у = 0 мм, z = = 0 мм, х = 1.5 мм (сечение, в котором сварочная ванна имеет наибольшую ширину).

4.3. Обсуждение результатов численного моделирования

На рис. 6, а в верхней части сварочной ванны имеется выступ, который в [9] назван «плечом». Он образовался под действием вихревого течения расплава в сва-

0 2 4 6 8 х, мм

г, мм

-? -1 0 1 у. г,-IV [а]

г, мм I

-1 0 1 у. мч- б

I .... I .... I I . .  ! .... I 1—1

г, мм 1

Рис. 6. Сечение сварного шва: эксперимент

рочной ванне [7, 9], а также некоторых других факторов. Поскольку в модели, которая используется в настоящей работе, влияние этих вихревых течений не учитывается, то рассчитанная форма сварного шва несколько отличается от полученной в эксперименте. Однако нужно заметить, что глубина зоны проплавления, средняя ширина шва и площадь его поперечного сечения, полученные в расчете, удовлетворительно согласуются с экспериментом.

На рис. 3, а «плечо» не наблюдается. По-видимому, влияние вихревых движений расплава здесь менее существенно, чем в эксперименте, результаты которого

2

у, мм

Рис. 7. Распределение температуры в сечениях плоскостями у = 0 мм (а) и 2 = § мм (б). Изотермы: 2 100 (1), 1760 (Те) (2), 1400 (3), 1100 (4) К

Pm. 8. Paспpeдeлeниe температуры в сечении плоскостью x = 1.5 мм. Изотермы: 2 100 (1), 1760 (Te) (2), 1 400 (3), 1100 (4) K

приведены на рис. 6, а. Из сравнения рис. 3, а и б видно, что в этом случае используемая модель позволяет более точно рассчитать форму и положение границы сварочного шва, чем в расчете из п. 4.2.

5. Заключение

В работе описана трехмерная модель процесса лазерной сварки металлических пластин и численный алгоритм ее реализации. Предложена поправка в краевое условие на поверхности парового канала, компенсирующая погрешность в тепловом балансе в расчетной области, которая возникает из-за упрощающих предположений модели.

Для численного решения уравнения теплопроводности использован консервативный вариант метода кол-локаций и наименьших квадратов. Реализован контроль теплового баланса в расчетной области, который показал, что для приближенного решения требование равенства притока тепла в расчетную область и суммарных потерь выполняется с хорошей точностью (относительная погрешность не превосходит 1 % в расчетах, приведенных в данной работе).

Проведены расчеты лазерной сварки пластин из стали 20 и их сравнение с результатами физических экспериментов. Показано, что имеет место удовлетворительное совпадение расчетов с экспериментом по глубине зоны проплавления, средней ширине шва и площади

его поперечного сечения. Установлено, что в случае, когда влияние вихревых движений расплава в сварочной ванне несущественно, используемая модель позволяет также с приемлемой точностью рассчитать форму границы сварочного шва.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №№ 08-08-00249-а, 10-01-00575-а) и СО РАН (интеграционные проекты № 11.5, 26 и комплексный интеграционный проект № 140).

Литература

1. Dowden J. (Ed.) The Theory of Laser Materials Processing. Springer

Series in Materials Sciences. V. 119. - New York: Springer, 2009. -458 p.

2. Zhao H., White D.R., DebRoy T. Current issues and problems in laser welding of automotive aluminium alloys // Int. Mater. Rev. - 1999. -V. 44. - No. 6. - P. 238-266.

3. Черепанов A.H., Шапеев В.П., Фомин B.M., Семин Л.Г. Численное моделирование теплофизических процессов при лазернолучевой сварке с образованием парового канала // ПМТФ. - Т. 47. -№ 5. - С. 88-96.

4. Шапеев В.П., Черепанов A.H. Конечно-разностный алгоритм для численного моделирования процессов лазерной сварки металлических пластин // Вычислительные технологии. - 2006. - Т. 11. -№ 4. - C. 102-117.

5. Черепанов A.H., Шапеев В.П. Численное исследование процесса сварки тонких металлических пластин // Вычислительные технологии. - 2009. - Т. 14. - № 3. - C. 96-106.

6. Исаев В.И. Консервативный вариант метода коллокаций и наимень-

ших квадратов // Тр. 40-й конф. «Проблемы теор. и прикл. математики», Екатеринбург, 26-30 января 2009 г. - Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2009. - C. 141-144.

7. Исаев В.И., Шапеев В.П., Черепанов A.H. Численное моделирова-

ние лазерной сварки тонких металлических пластин с учетом конвекции в сварочной ванне // Теплофизика и аэромеханика. -2010. - № 3. - C. 451-466.

8. Судник В.А., Радаи Д., ЕрофеевВ.А. Компьютерное моделирование лазерно-лучевой сварки: модель и верификация // Сварочное производство. - 1997. - № 1. - C. 28-33.

9. Sudnik W., Radaj D., Breitschwerdt S., Erofeew W. Numerical simulation of weld pool geometry in laser beam welding // J. Phys. D: Appl. Phys. - 2000. - V. 33 - P. 662-671.

10. Ораевский A.H. Гауссовы пучки и оптические резонаторы // Труды ФИАН им. П.Н. Лебедева. - М.: Наука, 1988. - Т. 187. - C. 3-59.

11. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. - М.: Атомиздат, 1979. - 416 с.

12. Зиновьев В.Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах. - М.: Металлургия, 1989. - 384 с.

13. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

14. Нисковских В.М., Карлинский С.Е., Беренов A-Д. Машины непрерывного литья слябовых заготовок. - М.: Металлургия, 1991. -270 с.

Поступила в редакцию 25.01.2011 г.

Сведения об авторах

Шапеев Василий Павлович, д.ф.-м.н., проф., гнс ИТПМ СО РАН, shapeev@itam.nsc.ru, vshapeev@gmail.ru Исаев Вадим Исмаилович, к.ф.-м.н., лаб.-иссл. ИТПМ СО РАН, issaev.vadim@gmail.com Черепанов Анатолий Николаевич, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИТПМ СО РАН, ancher@itam.nsc.ru