Экспериментальные исследования алгоритмов внутренних точек на нелинейных задачах потокораспределения

УДК 519.853+519.863

© Д.С. Медвежонков

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ АЛГОРИТМОВ ВНУТРЕННИХ ТОЧЕК НА НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Приводятся результаты экспериментальных исследований прямых и двойственных алгоритмов внутренних точек с различными способами задания весовых коэффициентов на нелинейных задачах потокораспределения. В экспериментах выявлено преимущество линейных весовых коэффициентов, деленных на множители Лагранжа, перед квадратичными. Установлено, что при использовании двойственного алгоритма требуемая точность решения достигается быстрее, чем при использовании прямого алгоритма.

Ключевые слова: прямые и двойственные алгоритмы внутренних точек, симметричная двойственность, весовые коэффициенты, задачи потокораспределения.

© D.S. Medvezhonkov

EXPERIMENTAL RESEARCHES OF INTERIOR-POINT ALGORITHMS FOR SOLUTION OF FLOW DISTRIBUTION NONLINEAR PROBLEMS

The results of experimental researches of direct and dual interior point algorithms with different methods of specifying weight coefficients in nonlinear problems of flow distribution are given. The experiments have revealed the advantage of linear weight coefficients, divided by the Lagrange multipliers, in comparison with the quadratic ones. It has been found out that the required accuracy of solution is attained faster when using the dual algorithm, than when using direct algorithm.

Keywords: direct and dual interior point algorithms, symmetric duality, weight coefficients, flow distribution problems.

Введение

Для описания функционирования различных технических и экономических транспортных систем, например, систем водо-, нефте-, газо-, электроснабжения, используют модели потокораспределения [1, 4, 7, 9, 10, 12]. При исследовании свойств этих моделей важную роль играет теория двойственности в оптимизации. Двойственные задачи применяются, в частности, для интерпретации моделей, для теоретического обоснования и разработки новых алгоритмов решения задач математического программирования.

В работах [9, 10, 12] формулируется двойственность для класса задач оптимизации с выпуклой сепарабельной целевой функцией и линейными ограничениями на базе преобразования Лежандра-Фенхеля. Для данного класса задач двойственная задача к двойственной задаче оптимизации совпадает с исходной. Такой случай назван симметричной двойственностью.

К эффективным методам решения задач оптимизации с ограничениями-неравенствами относятся алгоритмы метода внутренних точек. Приводятся результаты численных экспериментальных исследований алгоритмов внутренних точек специального типа. Пионерами в разработке алгоритмов этого типа были отечественные ученые С.М. Анциз, И.И. Дикин, Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Жадан, В.И. Зор-кальцев. Метод, который лежит в основе исследуемых здесь вариантов прямых и двойственных алгоритмов внутренних точек, предложен в [3].

В работах [5, 6, 11] обсуждаются правила задания весовых коэффициентов функций штрафа, при которых можно доказать сходимость алгоритмов внутренних точек. Наиболее известными являются квадратичные весовые коэффициенты. Алгоритм Дикина [2] использует данное правило задания весовых коэффициентов. Недостатком квадратичных весовых коэффициентов является то, что они очень чувствительны к неизбежным погрешностям в решении вспомогательной задачи.

В [5, 6] был введен способ определения весовых коэффициентов с использованием множителей Лагранжа, вычисляемых на предыдущей итерации. Алгоритмы с такими весовыми коэффициентами более устойчивы к погрешностям решения вспомогательной задачи. В работах [5, 6, 8] была экспе-

риментально подтверждена эффективность таких коэффициентов при решении задач линейного программирования .

Имеет место недостаток сравнительных экспериментальных исследований вариантов алгоритмов внутренних точек на задачах нелинейной оптимизации. Работа посвящена устранению этого пробела. Кроме выявления эффективных способов выбора весовых коэффициентов исследуются двойственные алгоритмы, которые могут обладать преимуществом в скорости перед прямыми алгоритмами, в них сразу со стартовой точки начинается процесс оптимизации в области допустимых решений.

1. Взаимно-двойственные задачи оптимизации на базе преобразования Лежандра-Фенхеля

Пусть задана матрица А размера тхп и множество индексов J = п) . Множества I.. Н являются некоторыми подмножествами J . Также заданы: вектор Ь е Я'". вектор .V е Я". величины х ,. /е! и х}, 7 е Н , при этом х] <х] , ] <=Ьг\Н .

Обозначим Ъ множество функций из Я в Я, которые равны нулю в нуле и имеют непрерывные возрастающие производные. Дополнительно предполагаем, что производные этих функций равны нулю в нуле и изменяются от -оо до +оо при изменении аргумента соответственно от -оо до +00.

Пусть задан набор функций /', (х ,). / е./ . принадлежащих множеству Z . Введем обозначение:

Р ( х) = ХР (хJ) . Рассмотрим задачу выпуклой оптимизации с выпуклой сепарабельной целевой

функцией и линейными ограничениями, переменными которой являются компоненты вектора х е Я”:

Р

Ах = Ъ,

*,<*,, у е/,,

X. - .V.. /с//.

Назовем задачу (1)-(4) исходной задачей оптимизации. Расширенным решением исходной задачи назовем набор, состоящий из вектора исходных переменных х, вектора и е Ят множителей Лагранжа ограничений (2), векторов I ^Я" и /? е Я". содержащих множители Лагранжа ограничений (3) и

(4), причем /; = 0. / е./ \ /, и /?; = 0. / е./ \ Я. а также вектора у е Я" с компонентами у = (.(х.),

где /( - производная Р / е./ .

Обозначим Ф; функцию из Z, связанную с функцией ^ е7, / е./ преобразованием Лежандра-

Фенхеля, известным из выпуклого анализа. Введем обозначение: Ф( V’) = X(^\ О’,) • В [12] установле-

№

но, что двойственную задачу оптимизации к задаче (1)-(4) можно записать в виде:

ФОО - ЪТи - ^х^. + X -> пип ,

у + $-1 + И = Ати,

/,>0, ]еЬ, А >0, ]еН,

/,. =0, j&J, у е I,, hj =0, jeJ,j£H.

Здесь переменными являются векторы у е Яп, ие Я"’ и компоненты векторов I <е Я" и к&Я” соответственно при у е X и /е // .

Расширенным решением двойственной задачи назовем набор, состоящий из векторов ее переменных _у, м, /, /г, а также вектора хей" множителей Лагранжа ограничений (6).

Рассмотрим систему уравнений и неравенств с условиями (2)-(4), (8) и:

у + 8-1 + И = Ати,

^ =

13

А =

Здесь /; - производная функции /''(. / е./ . а («) = тах{0, а} .

В [12] обосновывается справедливость утверждений следующей теоремы, которая говорит о возможности восстановить решение исходной задачи по решению двойственной. Это дает право пользоваться двойственными алгоритмами внутренних точек для решения задач потокораспределения.

Теорема. Если ограничения исходной задачи (1)-(4) совместны, то решение этой задачи существует и единственно, решение двойственной задачи (5)-(8) существует и единственно по вектору у, решение системы уравнений и неравенств (2)-(4), (8), (9)—(12) существует, единственно по векторам х, у и совпадает с расширенными решениями исходной и двойственной задач. В противном случае решения исходной и двойственной задач не существуют, система уравнений и неравенств (2)-(4), (8), (9)—(12) несовместна.

Замечание. Условия (11), (12) заменяют известные в оптимизации ограничения дополняющей не-жесткости. Эти условия лучше в вычислительном отношении, чем билинейные ограничения дополняющей нежесткости.

2. Прямой и двойственный алгоритмы внутренних точек

Итерационный процесс прямых алгоритмов внутренних точек решения исходной задачи (1)-(4) заключается в последовательном построении нового приближения: х*11 = х* + лАх, где Ах - направление корректировки текущего приближения, Л - величина шага вдоль этого направления. Процесс начинается из точки х0, которая удовлетворяет ограничениям-неравенствам в строгой форме. В этом алгоритме выделяются два этапа вычислений. Сначала осуществляется ввод в область допустимых решений, в процессе которого уменьшаются невязки ограничений-равенств (2). На втором этапе осуществляется оптимизация в области допустимых решений.

Для двойственной задачи (5)-(8) несложно априори сформировать допустимое по ее ограничениям решение, для которого все ограничения-неравенства выполняются в строгой форме. Поэтому одним из преимуществ рассматриваемых двойственных алгоритмов внутренних точек является то, что в них со стартовой точки начинается процесс оптимизации в области допустимых решений.

Для выбора направления корректировки на каждой итерации как прямого, так и двойственного алгоритма решается вспомогательная задача минимизации выпуклой сепарабельной квадратичной функции при линейных ограничениях-равенствах. Целевая функция этой задачи содержит квадратичную аппроксимацию целевой функции решаемой задачи, а также функцию штрафа для учета ограничений-неравенств, представляемую для прямых алгоритмов в виде XI (Ах* )2/<з^ , где с1к - весо-

№

вые коэффициенты, меняющиеся по итерациям по заданным правилам. Рассматривались два вида весовых коэффициентов: квадратичные коэффициенты и линейные коэффициенты, деленные на приближения к множителям Лагранжа. Для прямого алгоритма в случае двусторонних ограничений-неравенств квадратичные коэффициенты представлялись в виде с1к = (тт(х* —х ,х. —хк. ))2, а линейные - в виде

б/; = тт(х; -х] )/тах(г>;. 1к~\ /г*-1), где д2 - малая константа.

Величина шага по направлению корректировки выбирается таким образом, чтобы новое приближение всегда находилось внутри области, задаваемой ограничениями-неравенствами. Для этого вычислялась величина Л = тт{уЛ1,Л2}, где у - константа из интервала (0, 1), Я, - величина шага вдоль направления корректировки до ближайшей границы ограничений-неравенств, Л^ - величина шага вдоль направления корректировки до минимума оптимизируемой целевой функции.

3. Экспериментальные исследования алгоритмов внутренних точек

Была выполнена программная реализация прямого и двойственного алгоритмов внутренних точек на языке С++. Проведены экспериментальные исследования четырех вариантов прямого и двойственного алгоритмов внутренних точек на задачах потокораспределения. Использовались два вида весовых коэффициентов: квадратичные коэффициенты и линейные коэффициенты, деленные на при-

ближения к множителям Лагранжа. В таблице приводятся характеристики решенных в ходе эксперимента задач и результаты расчетов для них. Критерием остановки алгоритмов было выполнение условий (2)-(4), (8), (9)-(12) с точностью 0,1.

Таблица

Результаты расчетов задач потокораспределения с использованием четырех вариантов алгоритмов

внутренних точек

Характеристики задач Кол-во итераций для вар-тов алгоритма

узлов ветвей решен. задач Среднее число Прямой Двойств. Прямой Двойств.

двустор. огранич. активн. ог-ранич. Квадратичные весовые коэффиц. Линейные весовые коэффициенты

25 39 2 29,б 5,2 43,5 44,4 30,2 17,9

25 48 2 40,0 б,б 52,9 33,2 30,0 17,3

50 б0 2 35,4 7,5 б2,5 37,9 52,3 23,5

50 13б 2 93,8 27,2 90,9 4б,б 25,0 25,5

100 11б 2 40,2 8,4 бб,9 24,2 31,7 23,0

100 195 2 84,3 23,б 53,5 83,7 32,0 2б,5

200 300 2 150,0 1б,1 82,3 34,8 31,8 20,3

338 712 2 500,0 13,3 101,8 82,4 32,4 2б,7

среднее геометрическое: бб,7 44,4 32,5 22,3

Расчеты показывают, что прямой и двойственный алгоритмы с линейными весовыми коэффициентами в среднем в два раза быстрее (по числу итераций) своих аналогов с квадратичными коэффициентами. Двойственные алгоритмы в среднем в полтора раза быстрее своих прямых аналогов.

Заключение

На основе экспериментальных исследований вариантов прямых и двойственных алгоритмов внутренних точек для решения нелинейных задач потокораспределения выявлены наиболее эффективные способы выбора весовых коэффициентов. Показано преимущество линейных весовых коэффициентов, деленных на множители Лагранжа, над квадратичными. Установлено, что при использовании двойственного алгоритма требуемая точность решения достигается быстрее, чем при использовании прямого алгоритма.

Литература

1. Деннис Дж.Б. Математическое программирование и электрические цепи. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. - 216 с.

2. Дикин И.И. Итеративное решение задач линейного программирования // Доклады АН СССР. -Т. 174.- 1967.

3. Дикин И.И., Зоркальцев В.И. Итеративное решение задач математического программирования (алгоритмы метода внутренних точек). - Новосибирск: Наука, 1980. - 144 с.

4. Rockafellar R. Tyrrell: Network flows and monotropic optimization. - Pure and Applied Mathematics.

- New York: Wiley-Interscience, 1984. - 616 p.

5. Зоркальцев В.И. Методы прогнозирования и анализа эффективности функционирования системы топливоснабжения. - М.: Наука, 1988.

6. Зоркальцев В.И. Проективные алгоритмы оптимизации, использующие множители предыдущей итерации // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1994. - Т. 34, №7.

- С. 943-950.

7. Bertsekas D.P. Network Optimization: Continuous and Discrete Models. - Athena Scientific, Belmont, Massachusetts, 1998. - 608 p.

8. Войтов О.Н., Зоркальцев В.И., Филатов А.Ю. Определение допустимых режимов электроэнергетических систем алгоритмами внутренних точек // Сибирский журнал индустриальной математики, Т. 3, №1(5), 2000. - C. 57-б5.

9. Зоркальцев В.И. Симметричная двойственность в оптимизации и ее приложения // Известия высших учебных заведений. Математика, 2006. - №2. - С. 53-59.

10. Зоркальцев В.И., Хамисов О.В. Равновесные модели в экономике и энергетике. - Новосибирск: Наука, 2006. - 221 с.

11. Зоркальцев В.И. Класс алгоритмов внутренних точек // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2009. - № 12. - С. 3-28.

12. Епифанов С.П., Зоркальцев В.И., Медвежонков Д.С. Модель гидравлической сети с регуляторами расхода // Управление большими системами. Спец. вып. 30.1 «Сетевые модели в управлении». -М.: Изд-во ИПУ РАН, 2010. - С.286-299.

Медвежонков Дмитрий Сергеевич, младший научный сотрудник, Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, тел. (3952) 500б4б доп. 255, e-mail: dmitry@isem.sei.irk.ru

Medvezhonkov Dmitry Sergeevich, junior researcher, Melentiev Energy Systems Institute SB RAS, ph. (3952) 500б4б (255), e-mail: dmitry@isem.sei.irk.ru