Исследование возможности использования дельта-преобразований для определения координат летательного аппарата в задаче локальной навигаци

Раздел IV. Вычислительная техника и электроника

УДК 621.376.57 DOI 10.18522/2311-3103-2016-7-137148

П.П. Кравченко, Л.В. Пирская

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ЗАДАЧЕ ЛОКАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ*

Рассматриваются возможности решения задачи локальной навигации бортовым специализированным вычислительным устройством. В постановке задачи локальной навигации: определение координат летательного аппарата на основе координат расположенных на относительно близком расстоянии от начала локальной системы координат групп четверок маяков и дальности от летательного аппарата до маяков. На основании имеющихся данных для каждой группы формируется в стандартном для дальномерной навигации система четырех уравнений, которая преобразовывается к СЛАУ третьего порядка. Решение данной СЛАУ с непрерывными переменными свободными членами определяет координаты летательного аппарата. Полученные теоретические положения решения поставленной задачи, обладающие научной новизной, позволяют построить высокопроизводительный экономичный по аппаратным ресурсам специализированный вычислитель для одновременного решения большого количества СЛАУ на основе дельта-преобразований, соответствующих задаче локальной навигации на четыре маяка. В работе рассмотрены особенности алгоритмизации решения задачи локальной навигации при наземной подготовке предложенного задания, включающая в себя отличающийся от известных способ формирования СЛАУ третьего порядка на основе групп маяков по четыре, и особенности решения задачи на борту летательного аппарата в режиме реального времени. Проведено исследование возможности использования дельта-преобразований второго порядка для решения СЛАУ в поставленной задаче на различных примерах размещения маяков. Полученные результаты экспериментов с использованием компьютерного моделирования подтверждают возможность получения решения СЛАУ за одну итерацию в установившемся процессе с временным шагом, представляющим практический интерес, а начало установившего процесса обеспечивается на достаточно большой удаленности от начала координат.

Определение координат летательного аппарата; решение СЛАУ; дельта-преобразование второго порядка; бортовое специализированное вычислительное устройство.

P.P. Kravchenko, L.V. Pirskaya

RESEARCH OF POSSOBILITY OF USING THE DELTA-TRANSFORMATION FOR DETERMINING THE COORDINATES OF AIRCRAFT IN THE TASK

OF LOCAL NAVIGATION

In this paper it is considered the possibility of solving the task of local navigation by dint of a specialized onboard computing device. The problem statement of the local navigation (determining the coordinates of the aircraft) based on the coordinates of groups offour beacons located at a relatively close distance from the local coordinate system and range of the aircraft to the beacons. Based on available data, a system of four equations is formed in the standard representation for ranging navigation systems and then converted to a third-order linear systems. The solution of this linear systems with

*

Работа выполнена в рамках выполнения базовой части государственного задания (проект № 3442).

continuous variables constant terms define the coordinates of the aircraft. The theoretical position to solve this problem, have the scientific novelty, allow to design issues of special-purpose computers of high performance and low cost hardware resources intended to simultaneous solution of a large number of linear systems based on the delta-transformations, matched to the local navigation problem on four beacons. In this paper it is discussed the features of the solution algorithmization the task of local navigation while preparing the terrestrial part of the proposed tasks, which includes different from the known method of forming a third-order linear systems based on groups of four beacons, and the features of solving problems on the aircraft board in real time. It is carried out the research of the possibility of using the second-order delta-transformations for solving linear systems in the task at different examples of beacons placement. The results of experiments using computer simulations confirm the possibility of solving the linear system at one iteration in a steady process with time-step having practical interest (~ 0,005 + 0,025) and the beginning of the established process is provided at a sufficiently large distance from the origin of coordinates.

Determining the coordinates of the aircraft; the solution of leaner systems; the second order delta transformation; the specialized onboard computing device.

Введение. В настоящее время задача проектирования бортовых высокоточных интегрированных систем управления и навигации беспилотными летательными аппаратами (БПЛА) является одной из современных перспективных задач научно-исследовательского и инженерно-технического характера. Решение бортовой задачи локальной навигации, в частности, определение координат БПЛА, осуществляется в режиме реального времени в условиях одновременного выполнения других бортовых задач при определенном временном шаге дискретизации процессов управления [1, 2]. В связи с этим весьма актуальной является проблема минимизации временных и аппаратных затрат для решения поставленной задачи в пределах временного шага, а также обеспечение минимальной задержки решения относительно начала временного шага, что связано с ограничением влияния задержки на ошибку управления. Для решения задач с ограничениями отмеченного характера возможности применения высокопроизводительных вычислителей общего назначения ограничены.

Таким образом, возникает необходимость в создании специализированного вычислительного устройства, в частности, на основе ПЛИС [3-4], которое должно обеспечивать высокопроизводительное и экономичное по аппаратным затратам решение задачи локальной навигации: определение координат летательного аппарата на основе решения СЛАУ в реальном масштабе времени. В рамках данной работы рассматривается возможность построения специализированного вычислительного устройства на основе использования дельта-преобразований, позволяющих при использовании итерационного метода решения СЛАУ организовывать вычислительный процесс с исключением операций многоразрядного умножения и с получением результата за одну итерацию установившегося процесса [5-9].

С точки зрения эффективного использования ресурсов бортовых вычислительных средств представляет интерес такая организация вычислительного процесса, когда обработка информации на уровне одной итерации выполняется с достаточной точностью, высоким быстродействием и с предельно большим временным шагом. В таких условиях возможно предъявление наиболее низких требований по частоте формирования данных, характеризующих изменяющиеся свободные члены СЛАУ (например, частоте формирования расстояний от летательного аппарата до маяков локальной системы навигации [1-2, 11]), а также к производительности вычислительных средств с учетом возможности одновременной реализации других алгоритмов и программ. Актуальность эффективного решения СЛАУ даже невысоких порядков в рассматриваемых условиях резко возрастает, когда необходимо одновременно решать большое количество СЛАУ, что имеет место при использовании маяковой системы локальной навигации с одновременным решением задачи обеспечения целостности [12-14].

В настоящей работе рассматриваются вопросы построения высокопроизводительных экономичных по аппаратным ресурсам специализированных вычислителей для одновременного решения большого количества СЛАУ на основе дельта-преобразований второго порядка, соответствующих задаче локальной навигации на четыре маяка.

1. Постановка задачи локальной навигации. Одна из задач определения местоположения БПЛА базируется на использовании нескольких разнесенных в пространстве маяков, расположенных на относительно близком расстоянии от начала локальной системы координат. Бортовой вычислитель получает значения дальностей от БПЛА до маяков. На основании имеющихся координат маяков и полученных дальностей можно сформировать навигационные определения в стандартном для дальномерных навигационных систем виде [15]:

где X, у, г - координаты БПЛА; (х,, у,, г^) - координаты ьго маяка в выбранной системе координат; Di - дальность до ьго маяка. Решение системы уравнений для всех маяков позволяет определить местоположения БПЛА (х, у, г) в пространстве.

Решение данной задачи локальной навигации на борту БПЛА включает 2 этапа.

Первым этапом является определение текущих координат БПЛА путем решения систем уравнений, каждое из которых базируется на данных размещения соответствующих этой системе четырех маяков и дальностей БПЛА до этих маяков.

Вторым этапом является решение задачи целостности, обеспечивающей достоверность получаемых результатов с учетом возможных нарушений в работе маяков. Исходными данными для задачи целостности являются формируемые множественные значения координаты БПЛА, полученные на первом этапе. Для успешного решения данной задачи необходимо использование большого количества групп маяков, позволяющих независимо формировать по каждой группе координаты БПЛА. В работе, собственно, решение задачи целостности не рассматривалось.

1.1. Задача локальной навигации на четыре маяка. В постановке задачи рассматриваются:

♦ координаты четырех маяков в декартовой системе координат: (Хг,71, Хг), (Х2,У2,Z2), (Хз,Уз,Хз) (Х4,У4,Х4); данные координаты формируются при установке маяков путем выполнения измерений на местности;

♦ расстояния от каждого маяка до БПЛА: Б1 , Б? , Бз, Б4 ; данные координаты формируются в полете с использованием специальной бортовой аппаратуры.

Необходимо определить координаты Хр, Ур, Хр БПЛА.

В соответствии с (1) квадраты расстояний от 4-х маяков до БПЛА имеют вид:

(Xр - Хх)2 + (Ур - У])2 + (Хр - Хх)2 = Б?

'р 4 р ^ у р

(Хр -Х2)2 + (Ур -У2)2 + (Хр -Х2? = б22 (Хр - Хз)2 + (Ур - Уз)2 + (Хр - Хз)2 = Бз2

(Хр -Х4)2 + (Ур -У4)2 + (Хр -Х4)2 = Б2

Раскрываем скобки и получаем:

- 2+ X,2 + 12р - 2УрУ, + У,2 + 22р - 22 р2, + 2,2 = Д2

Хр - 2ХрХ2 + X2 +11 - 21р¥2 + У22 + 2^ - 22р22 + 22 = Д2

<

Х^ - 2ХрХз + Xз2 + 12р - 2ГрГ3 + У/ + 2гр - 22р2, + 22 = Д2

^Хгр - 2ХрХ4 + Х2 + Ур - 27р74 + У/ + 2^ - 22р24 + 22 = Д2

В рамках данной работы с целью создания более благоприятных условий для формирования нормы достаточной ограниченности переход к СЛАУ третьего порядка предлагается осуществлять путем следующей последовательности вычитаний: (2.1)-(2.2), (2.2)-(2.3), (2.3)-(2.4). В результате получаем:

2 Хр (Х 2 - Х,) + 2Ур (Г2 - У,) + 22 р (2 2 - 2,) = Д2 - Д2 + Х22 + Г22 + 222 - Х,2 - У,2 - 2,2

2 Хр

2Хр(Х4 -Х3) + 2Ур(У4 -У3) + 22р(24 - 23) = Д2 -Д2 + Х42 + У42 + 242 -Х32 -У32 -232

Сходимость итерационного решения СЛАУ обеспечивается в соответствии с условиями для метода простой итерации [16-19], которые формируются на основе данных о размещении маяков.

Преобразуем (3) к виду:

Далее для определения координат (ХР, УР, 2Р) БПЛА необходимо решать полученную систему уравнений (4) относительно ХР, УР, 2Р .

2. Особенности алгоритмизации решения задачи локальной навигации. В решении задачи локальной навигации имеет место два этапа:

♦ наземная подготовка предложенного задания: при этом выполняются все математические преобразования, которые могут минимизировать алгоритм по вычислительной трудоемкости при решении задачи на борту БПЛА, а также определяются те группы маяков по четыре, которые соответствуют условиям обеспечения сходимости [16-19];

♦ решение на борту подготовленной на земле задачи локальной навигации в обстановке реального времени.

В условиях наземной подготовки целесообразно устанавливать п>>4 маяков, что как было отмечено в разделе 1, связано в первую очередь с обеспечением эффективного решения задачи целостности.

Число сочетаний из п маяков по т вычисляется по формуле:

п!

£т _

п т!(п - т)!

Предположим, что установлено п=8 маяков, тогда число сочетаний данных маяков применительно к данному алгоритму будет составлять С = 70, но использование всех комбинации не обязательно.

В рамках данной работы рассматриваются возможности одновременного (параллельного) решения множества СЛАУ для 4-х маяков на основе специализированного вычислителя с алгоритмизацией решения на базе дельта-преобразований второго порядка [9-10].

На рис. 1 представлена укрупненная структурная схема специализированного бортового вычислителя, отражающая особенности возможной реализации решения задачи локальной навигации, где в виде заштрихованного блока представлена группа специализированных вычислителей для решения СЛАУ на основе дельта-преобразований второго порядка и переменного кванта, Бп - расстояния от каждого п-ого маяка до БПЛА.

Специализированный бортовой вычислитель

Координат! ЛА

Ч

« и

- о^)

процессор

Группа спец вычислителей для решения

СЛАУ

Вычислительные

средства решения задачи целостности

О

X Y

Z

Рис. 1. Укрупненная структурная схема специализированного бортового

вычислителя

В бортовой вычислитель при наземной подготовке загружаются разности координат маяков и значения известных сумм квадратов свободных членов системы (4). В полете в режиме реального времени на универсальный бортовой вычислитель (процессор на рис. 1) поступают значения дальностей О12, О, О32, , и далее в представленном на рис. 1 заштрихованном блоке осуществляется решение СЛАУ на основе алгоритма дельта-преобразований второго порядка [9-10].

3. Алгоритм параллельного решения СЛАУ с использованием дельта-преобразований второго порядка и переменного кванта. Рассмотрим решение СЛАУ, содержащую матрицу постоянных коэффициентов и в общем случае переменные свободные члены, удовлетворяющую условиям сходимости для метода простой итерации [16-19], и имеющую вид:

ву*

Преобразуем систему:

у* (г) = лу* (о + о(0 .

Переходим к форме записи с введением невязки .г(?) и использованием итерационного метода:

х

В приведенных системах В = [Ь^ ], Л = [Ь^ / Ьгг ] - матрицы коэффициентов размерности п х п; 0(г), О(г*) - вектор-столбцы свободных членов системы (в частном случае для системы с постоянными свободными членами G(í) = G = [§г ], О(г) = О = / Ьгг ]); У () - вектор-столбец неизвестных системы; .г(?), У(/) - вектор-столбцы невязок и приближенных значений неизвестных; 1 - независимая переменная; ёй Л ф 0.

Алгоритм (7) параллельного решения СЛАУ (5) с использованием дельта-преобразования второго порядка и переменного кванта представим в следующей разностной форме для i-го шага при начальных условиях Yr01 = 0, VYr01 = 0,

^r01 = -Dr01, VZr0i = -VDr0i, r = [5, 9-10]:

♦ демодуляция:

9 *

V%/ = cAu;

VYnl =VYr

Yri/ = Yr

r = 1,n , i = 1,2,...,R/, / = 1,2,...P;

♦ формирование второй разности преобразуемой переменной:

n

V2Угй = XarjC*Ajii +V2Dnl;

j=1

♦ формирование значений невязок:

V2znl = V2Yri/ -V2yn¡;

Vzril =Vzr

zri/ = zr

♦ формирование значений переключающих функций и знаков квантов вторых разностей:

Fnl = zra + 1.5Vzn/ +

4

*

В алгоритме (7) с* - вес модуля кванта преобразования на / -ом итерацион-

*

ном цикле (с* > 0), Р - количество циклов, выполняемых при постоянных по модулю значениях квантов, R/ - количество итераций в цикле. Кроме того, для стыков участков соседних циклов при решении СЛАУ с переменными свободными членами используются соотношения: Yr 0/ = Yr-); zr0/ = zrR(/-1).

Сущность процесса решения системы (5) на основе алгоритма (7) состоит в том, что задаются начальные условия Yr0, VYr0, Dr0, VDr0 , r = 1, n (в частном случае, например, Yr 0 = 0, VYr0 = 0, тогда, соответственно, zr0 = -Dr0, Vzr0 = -VDr0, r = 1, n ) и организуется итерационный (переходный) процесс решения до вхождения в установившийся процесс, когда \zriP\ < zsteady, zsteady > 0 , r = 1, n , где zseeady- достаточно малые, соответствующие обеспечению заданной

точности решения системы величины. Дискретные значения Dri, r = 1, n , i = 1,2,... в алгоритме (7) предполагаются численно определенными на каждом шаге [5].

В работах [9-10] разработаны целочисленные оценки параметров алгоритма (7), определяющие способ задания последовательности значений переменных квантов в циклах. Предложены следующие соотношения для квантов соседних циклов (S - степень минимального кванта, s e N):

для Ят = 4 c = 22(l-1)-s, l = P¡nti,1;

для R¿nt,2 = 8 c^ - = 23(l-1)-s, l = Pnt,2,1.

В работах [9-10] введены и теоретически обоснованы эффективные условия окончания итерационного процесса в текущем цикле алгоритма (7):

sign( Zr(i t1)l) = -sign(Z*-) , Cl Cl

II II I I I I*

AZrilk  í\Zril\  í\Zrilk \zril\ \ .

Cl Cl Cl Cl - = in , i = 1,2,...R¡; l = 1,2,...p .

4. Исследование возможности использования дельта-преобразований второго порядка для решения СЛАУ в задаче локальной навигации. Проводилось исследование использования дельта-преобразований второго порядка для решения СЛАУ в задаче локальной маяковой навигации на различных примерах размещения маяков [20]. Особое внимание уделялось высоте расположения маяков, так как с уменьшением этих высот в большей мере проявляется влияние возмущений на ошибку итерационного процесса на каждом шаге.

Кроме того, исследование проводилось с учетом двух возможных способов организации вычислительного процесса:

1. Значения текущих дальностей поступают на каждом текущем шаге как переходного, так и установившегося процессов; длительность всех шагов (итераций) фиксирована.

2. Первый временной шаг решения используется для реализации переходного процесса при фиксированных, соответствующих этому шагу времени значениях дальностей (данный режим реализуется при наличии возможности передачи для данной задачи необходимых вычислительных ресурсов на шаге). После завершения данного переходного процесса продолжается решение на последующих временных шагах с реализацией одной итерации на каждом из этих шагов. Предполагается автоматическое выявление момента завершения переходного процесса и формирование соответствующего признака в решении задачи управления БПЛА по установлению наименьшего значения кванта преобразования.

Следует обратить внимание на то, что в основе организации вычислительного процесса по второму способу реализуются переходные процессы, которые по критерию сходимости соответствуют рассмотренным в [16-19] положениям. В случае использования данного способа организации переходного процесса при работе с переменными свободными членами представляются возможности сокращения количества временных шагов решения (но не количества итераций).

Исследование использования дельта-преобразований второго порядка для решения СЛАУ в задаче локальной маяковой навигации будем рассматривать на отдельных группах маяков по четыре на двух типах задач. Первая задача - определение координат при большой начальной высоте БПЛА и большой скорости, вторая задача - при посадке БПЛА.

В первом типе задач рассмотрены три варианта расположения 4-х маяков:

1.

2.

3.

Вариант (8) отличается от варианта (9) значительным снижением высоты

расположения маков. Вариант (10) имеет отличный вариант расположения маяков в плоскости XOY, а также имеет предельно низкие высоты маяков.

Начальная высота БПЛА составляет Н0 = 17000 м., скорость V = 700 м/с и

V = 300 , угол к поверхности земли 60°.

Решение всех СЛАУ, соответствующих представленным выше координатам маяков и составленным по системе (4), осуществлялось при обеспечении одинаковой точности 214, характеризующейся значением 0,25 м.

В табл. 1, 2 представлены результаты, характеризующие временные шаги У?2 и высоту Н2 в метрах при использовании алгоритма на базе дельта-преобразований второго порядка [9-10]. Параметр Н2 отражает высоту, начиная с

которой обеспечивается решение СЛАУ за одну итерацию в установившемся процессе с заданной одинаковой максимальной точностью решения для трех вариантов расположения маяков (8), (9), (10). В табл. 1 организация вычислительного процесса осуществлялась на основе первого способа, в табл. 2 - на основе второго способа. В табл. 1, 2 в скобках обозначены номера описаний координат расположения маяков (8), (9), (10).

Таблица 1

Результаты экспериментов решения СЛАУ задачи локальной маяковой навигации на основе первого способа организации вычислительного процесса

V*2 Н Высота ЛА для дельта-преобразований второго порядка, 2

= 700 м/с = 300 м/с

0,005 16357 15877 15507 16845 16277 16510

0,01 15707 13559 14764 16600 16010 15628

0,025 14363 11018 9652 15397 13847 14342

0,05 10308 3249 - 14868 12218 11722

0,075 7723 - - 13610 6730 10322

0,1 - - - 12105 6084 4088

Анализ полученных в табл. 1, 2 данных показывает, что при решении СЛАУ на базе дельта-преобразований второго порядка обеспечивается установившийся процесс и решение СЛАУ за одну итерацию уже на достаточно большой высоте по отношению к начальной с представляющим интерес для практического использования временным шагом У^ . При этом предполагается, что получение результата для всех уравнений системы осуществляется в пределах ~10 тактов при реализации алгоритма в специализированном вычислителе на базе ПЛИС. Организация вычислительного процесса как первым, так и вторым способом показывает в значительной мере схожие результаты, однако наблюдается преимущество использования второго способа при расположении маяков в большей близости к поверхности земли.

Таблица 2

Результаты экспериментов решения СЛАУ задачи локальной маяковой навигации на основе второго способа организации вычислительного процесса

У/2 тт Высота ЛА для дельта-преобразований второго порядка, 2

V = 700 м/с V = 300 м/с

0,005 16705 16358 16632 16938 16843 16951

0,01 15868 12887 15644 16738 16615 16692

0,025 9914 6630 9494 15667 15446 15397

0,05 - - - 11790 9830 11332

0,075 - - - 5424 5705 4433

Для управления БПЛА могут быть взяты вычисляемые координаты после начала установившегося процесса, то есть, начиная с высоты Н2.

Во втором типе задач (при посадке БПЛА) рассмотрены следующие варианты расположения 4-х маяков:

1.

2. (100, -40, 5), (150, -100, 25), (10, 400, 0), (-15, 450, 25). (12) Принимаем также: начальная высота БПЛА Н0 = 200, скорость V = 20 м/с,

угол к поверхности земли 4°.

В табл. 3 представлены результаты, характеризующие временные шаги У/2 и высоту Н2 в метрах при использовании алгоритма на базе дельта-преобразований второго порядка [9-10] для первого и второго способов организации вычислительного процесса. Параметр Н2 отражает высоту, начиная с которой обеспечивается решение СЛАУ за одну итерацию в установившемся процессе с

заданной одинаковой максимальной точностью решения 2~13 (характеризующейся значением 0,12 м.) для двух вариантов размещения маяков (11), (12).

Таблица 3

Результаты экспериментов решения СЛАУ задачи локальной маяковой навигации (при посадке БПЛА).

У/2 Высота БПЛА для дельта-преобразований второго порядка, Н2

на основе первого способа организации вычислительного процесса на основе второго способа организации вычислительного процесса

0,005 155 169 192 196

0,01 115 124 183 194

0,025 30 17 148 191

0,05 103 159

0,75 111

0,1 20

Анализ полученных результатов, представленных в табл. 3, показывает, что при решении задачи локальной маяковой навигации, в частности, определения координат БПЛА при посадке, вычислительный процесс целесообразно организовать на основе второго способа. При этом первый временной шаг решения реализуется при фиксированных значениях дальностей. После завершения переходного процесса осуществляется решение на очередном временном шаге с реализацией одной итерации. Установившийся процесс начинается с момента использования наименьшего значения кванта преобразования. Для управления БПЛА могут быть использованы вычисляемые координаты после начала установившегося процесса, начиная с высоты Я2.

В исследованиях рассматривалось решение СЛАУ без учета ошибок в оценке координат расположения маяков и измерения дальностей, вопросы целостности не рассматривались.

Заключение. В работе рассмотрены особенности алгоритмизации решения задачи локальной навигации на четыре маяка при наземной подготовке представленного задания, которая описывает все математические преобразования, необходимые для применения итерационных методов в целом и, в частности, для использования методов и алгоритмов на основе дельта-преобразований. Кроме того, в статье представлены особенности решения задачи на борту ЛА в режиме реального времени, позволяющие построить высокопроизводительный экономичный по аппаратным ресурсам специализированный вычислитель для одновременного решения большого количества СЛАУ на основе дельта-преобразований второго порядка.

В работе проведено исследование использования дельта-преобразований второго порядка для решения СЛАУ в задаче локальной навигации: определения координат ЛА, которое показало, что использование оптимизированных дельта-преобразований второго порядка представляет возможность решения СЛАУ с переменными свободными членами на каждом временном шаге установившегося процесса за одну итерацию, и при этом отличительной особенностью использования дельта-преобразований является возможность организации вычислительного процесса в специализированном вычислителе без использования устройств умножения многоразрядных кодов. Полученные результаты экспериментов с использованием компьютерного моделирования подтверждают возможности оперирования с практически значимыми временными шагами работы системы при достаточно большой удаленности начала установившегося процесса от начала координат.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барабанов О.О., Барабанова Л.П. Математические задачи дальномерной навигации. - М.: Физматлит, 2007. - 272 с.

2. Скрыпник О.Н. Радионавигационные системы воздушных судов: учебник. - М.: ИНФРА-М, 2014. - 348 с.

3. Vanderbauwhede W., Benkrid K. High-Performance Computing Using FPGAs. Springer; 1st ed. 2013. Corr. 2nd printing 2014 edition (January 24, 2014). - 803 p.

4. Попович А. Перспективная платформа для построения бортовых вычислительно управляющих систем // Компоненты и технологии. - 2008. - № 8. - C. 168-170.

5. Кравченко П.П. Оптимизированные дельта-преобразования второго порядка. Теория и применение: монография. - М.: Радиотехника, 2010. - 288 с.

6. Кравченко П.П., Пирская Л.В Итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений, исключающий операцию многоразрядного умножения // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2014. - № 7 (156). - С. 214-224.

7. Pirskaya L. V. Iterative Algorithm for Solving of Linear Algebraic Equations Systems without Multi-bit Multiplication Operation // Engineering and Telecommunication (EnT), 2014 International Conference on. - IEEE, 2014. - P. 87-91.

8. Kravchenko P.P., Pirskaya L.V. The method of organizing the iterative process of the system of the linear algebraic equations solution excluding the multidigit multiplication operation// Biosciences Biotechnology Research Asia December. - 2014. - Vol. 11 (3). - P. 1831-1839.

9. Кравченко П.П., Пирская Л.В. Метод организации итерационного решения систем линейных алгебраических уравнений с использованием дельта-преобразований второго порядка // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2015. - № 6 (167). - С. 57-71.

10. Kravchenko P.P., Pirskaya L.V., Khusainov N.Sh. Algorithm of iterative solution of linear algebraic equations systems based on the second order delta-transformation for specialized computers of real-time systems // Biosciences Biotechnology Research Asia December. - 2015. - Vol. 11 (Spl. Edn. 2). - P. 279-289.

11. Хусаинов Н.Ш., Кравченко П.П., Салов В.В. Об исследовании бортовой интегрированной системы управления движением летательного аппарата с коррекцией координат // Инженерный вестник Дона. - 2013. - Т. 27, № 4. - С. 69.

12. Хусаинов Н.Ш. Подходы к решению задачи автономного контроля целостности системы радионавигации // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2008. - № 1 (78). - С. 64-65.

13. Хусаинов Н.Ш. Разработка алгоритма автономного контроля целостности для бортовой части системы радионавигации // Известия ТРТУ. - 2007. - № 1 (73). - С. 188-194.

14. Хусаинов Н.Ш., Кравченко П.П., Лутай В.Н., Тарасов С.А., Щербинин В.В. Системы радионавигации современных и перспективных летательных аппаратов. Ч. 1. Методы определения местоположения и автономный контроль целостности: монография. - Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2015. - 118 с.

15. Шебшаевич, В.С., Дмитриев П.П., Иванцевич Н.В. и др. Сетевые спутниковые радионавигационные системы. - М.: Радио и связь, 1993. - 408 с.

16. БерезинИ.С. Методы вычислений. Т. 2. - М.: Наука, 1966. - 632 с.

17. Самарский, А.А. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 432 с.

18. Фаддеев Д. К. Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - 4-е изд., стереотип. - СПб.: Лань, 2009. - 734 с.

19. Greenbaum A. Iterative Methods for Solving Linear Systems, Philadelphia, PA: SIAM, 1997.

20. Кравченко П.П., Пирская Л.В. Исследование использования алгоритмов решения СЛАУ на основе дельта-преобразований в задаче локальной навигации // Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития: материалы XXIII научной конференции. - Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2016. - С. 128-129.

REFERENCES

1. Barabanov O.O., Barabanova L.P. Matematicheskie zadachi dal'nomernoy navigatsii [Mathematical problems ranging navigation]. Moscow: Fizmatlit, 2007, 272 p.

2. Skrypnik O.N. Radionavigatsionnye sistemy vozdushnykh sudov: uchebnik [Radio navigation systems of aircraft: textbook]. Moscow: INFRA-M, 2014, 348 p.

3. Vanderbauwhede W., Benkrid K. High-Performance Computing Using FPGAs. Springer; 1st ed. 2013. Corr. 2nd printing 2014 edition (January 24, 2014). - 803 p.

4. Popovich A. Perspektivnaya platforma dlya postroeniya bortovykh vychislitel'no upravlyayushchikh sistem [A promising platform to build on-Board computer control systems], Komponenty i tekhnologii [Components and technologies], 2008, No. 8, pp. 168-170.

5. Kravchenko P.P. Optimizirovannye del'ta-preobrazovaniya vtorogo poryadka. Teoriya i primenenie: monografiya [Optimized Delta-transformations of the second order. Theory and applications: monograph]. Moscow: Radiotekhnika, 2010, 288 p.

6. Kravchenko P.P., Pirskaya L.V Iteratsionnyy metod resheniya sistem lineynykh algebraicheskikh uravneniy, isklyuchayushchiy operatsiyu mnogorazryadnogo umnozheniya [The iterative method for solving systems of linear algebraic equations, exclusive the multi-bit multiplication operation], Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences], 2014, No. 7 (156), pp. 214-224.

7. Pirskaya L. V. Iterative Algorithm for Solving of Linear Algebraic Equations Systems without Multi-bit Multiplication Operation, Engineering and Telecommunication (EnT), 2014 International Conference on. IEEE, 2014, pp. 87-91.

8. Kravchenko P.P., Pirskaya L.V. The method of organizing the iterative process of the system of the linear algebraic equations solution excluding the multidigit multiplication operation, Biosciences Biotechnology Research Asia December, 2014, Vol. 11 (3), pp. 1831-1839.

9. Kravchenko P.P., Pirskaya L. V. Metod organizatsii iteratsionnogo resheniya sistem li-neynykh algebraicheskikh uravneniy s ispol'zovaniem del'ta-preobrazovaniy vtorogo poryadka [Method of iteration solving of linear algebraic equations systems using the second order deltatransformations], Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences], 2015, No. 6 (167), pp. 57-71.

10. Kravchenko P.P., Pirskaya L.V., Khusainov N.Sh. Algorithm of iterative solution of linear algebraic equations systems based on the second order delta-transformation for specialized computers of real-time systems, Biosciences Biotechnology Research Asia December, 2015, Vol. 11 (Spl. Edn. 2), pp. 279-289.

11. Khusainov N.Sh., Kravchenko P.P., Salov V. V. Ob issledovanii bortovoy integrirovannoy sistemy upravleniya dvizheniem letatel'nogo apparata s korrektsiey koordinat [About the study the on-Board integrated systems management aircraft movement control coordinates], Inzhenernyy vestnikDona [Engineering journal of Don], 2013, Vol. 27, No. 4, pp. 69.

12. Khusainov N.Sh. Podkhody k resheniyu zadachi avtonomnogo kontrolya tselostnosti sistemy radionavigatsii [Approaches to solving the problem of the Autonomous integrity monitoring system radio navigation], Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences], 2008, No. 1 (78), pp. 64-65.

13. Khusainov N.Sh. Razrabotka algoritma avtonomnogo kontrolya tselostnosti dlya bortovoy chasti sistemy radionavigatsii [Development of algorithm for Autonomous integrity monitoring for side of the radio navigation system], Izvestiya TRTU [Izvestiya TSURE], 2007, No. 1 (73), pp. 188-194.

14. Khusainov N.Sh., Kravchenko P.P., Lutay V.N., Tarasov S.A., Shcherbinin V.V. Sistemy radionavigatsii sovremennykh i perspektivnykh letatel'nykh apparatov. Ch. 1. Metody opredeleniya mestopolozheniya i avtonomnyy kontrol' tselostnosti: monografiya [Radio navigation systems of modern and advanced aircraft. Part 1. Methods of location determination, and Autonomous integrity monitoring: a monograph]. Taganrog: Izd-vo YuFU, 2015, 118 p.

15. Shebshaevich, V.S., Dmitriev P.P., Ivantsevich N.V. i dr. Setevye sputnikovye radionavigatsionnye sistemy [Network satellite radio navigation system]. Moscow: Radio i svyaz', 1993, 408 p.

16. Berezin I.S. Metody vychisleniy [Methods of computation]. Vol. 2. Moscow: Nauka, 1966, 632 p.

17. SamarskiyA.A. Chislennye metody [Numerical methods]. Moscow: Nauka, 1989, 432 p.

18. Faddeev D. K. Faddeeva V.N. Vychislitel'nye metody lineynoy algebry [Computational methods of linear algebra]. 4 ed. St. Petersburg: Lan', 2009, 734 p.

19. Greenbaum A. Iterative Methods for Solving Linear Systems, Philadelphia, PA: SIAM, 1997.

20. Kravchenko P.P., Pirskaya L.V. Issledovanie ispol'zovaniya algoritmov resheniya SLAU na osnove del'ta-preobrazovaniy v zadache lokal'noy navigatsii [A study on the use of algorithms for solving linear algebraic equation on the basis of the Delta-transformation in the problem of local navigation], Sovremennye informatsionnye tekhnologii: tendentsii i perspektivy razvitiya: materialy XXIII nauchnoy konferentsii [Modern information technologies: trends and prospects of development: materials of the XXIII scientific conference]. Rostov-on-Don: Izd-vo YuFU, 2016, pp. 128-129.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.

Кравченко Павел Павлович - Южный федеральный университет; e-mail: kravchenkopp@sfedu.ru; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 88634371673; кафедра математического обеспечения и применения ЭВМ; д.т.н.; профессор.

Пирская Любовь Владимировна - e-mail: lyubov.pirskaya@gmail.com; кафедра математического обеспечения и применения ЭВМ; к.т.н.; ассистент.

Kravchenko Pavel Pavlovich - Southern Federal University; e-mail: kravchenkopp@sfedu.ru; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +78634371651; the department of software engineering; dr. of eng. sc.; professor.

Pirskaya Lyubov Vladimirovna - e-mail: lyubov.pirskaya@gmail.com; the department of software engineering; cand. of eng. sc.; assistant.