Аркфункции в заданиях единого государственного экзамена по математике

АРКФУНКЦИИ В ЗАДАНИЯХ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

2012 Камаева С.Ц.

Дагестанский государственный педагогический университет

В статье рассматриваются конкретные примеры из заданий ЕГЭ, содержащие аркфункции, предлагавшиеся в разные годы на выпускных экзаменах в школах страны. Приводятся решения некоторых заданий второй части. Подчеркивается необходимость изучения аркфункции не только в классах с углубленным изучением математики, но и на базовом уровне обучения.

The author gives the concrete examples of the USE tasks containing the arcus functions, offered during the different years at the final examinations in schools of the country, suggests the solutions for several tasks from the second part and concludes that the arcus functions must be studied not only in the forms with the advanced study of mathematics, but at the basic study level as well.

Ключевые слова: аркфункция, задания ЕГЭ, уравнения, неравенства, задачи, решение, ответы, обратные тригонометрические функции.

Keywords: arcus function, USE tasks, equations, inequalities, problems, solution, solving, inverse trigonometric functions.

Для глубокого и прочного усвоения знаний по предметам школьного курса, в том числе математике, надо осознанно и непрерывно трудиться в годы учебы, внимательно выслушивать объяснения учителей на уроках, самостоятельно выполнять домашние задания. Так, все теоремы нужно понять и уметь изложить, а доказательство теоремы воспроизвести самостоятельно, затем решать задачи на данную тему. Только после такой работы можно утверждать, что тема не только понята, но и усвоена [2].

Изучение опыта работы учителей в ходе нашего исследования показало, что учащиеся плохо усваивают две темы школьного курса алгебры и начал анализа:

-уравнения, неравенства и их системы, содержащие параметры,

-уравнения, неравенства, содержащие аркфункции [5].

Одной из причин слабого усвоения, например, второй темы заключается в том, что эта тема не включена в программы по математике и рабочие планы базового уровня обучения. Только в классах профильного обучения и с углубленным обучением математики на тему «Обратные тригонометрические функции» отводится 3-5 часов. Кроме того, эта тема с точки зрения методики преподавания слабо разработана [4]. А ЕГЭ сдают все выпускники школ - и те, кто изучал математику на базовом уровне, и те, кто изучал на профильном уровне, и те, кто учился в классах или школах с углубленным изучением математики.

Задания ЕГЭ включают уравнения, неравенства и задачи, явно содержащие аркфункции или ответы, которые надо записать в терминах аркфункций [4]. В подтверждение приведем конкретные примеры из заданий

- Вычислить:

5 arcsin ( cos 1 л/з cosf arcsin j, ^ s^n

arccos

л/2

1 arctg ^3

arctg —

S . л/2

^ arctg — arcsin---------arccos

— arcctg (cos 7Г), arcsin 1 - arccos — arctg^b

(  1 0 • f 1 0

cos arcsin — + arccos — L sin arccos — arccos — ;

I 3 4/ { 3 4/

- Найдите наименьший корень уравнения 6

(log2(x2 - Зх)- 2)- arcsin = 0

j

- Найдите среднее арифметическое корней уравнения:

(log3(l2x-x2 -2б)-2)-arccos (0,5 х - 4) = О

j

- Найдите сумму наименьшего и наибольшего корней уравнения:

log 2 (5х 2х2 -1) • arccos(3x - 2) = 0 .

j

- Найдите наименьший корень уравнения:

(log3(6x-8x2 + 2б)-з)-arcsin(3 - Зх) = 0.

Во все приведенные примеры аркфункции входят явно. При решении большинства уравнений и неравенств, содержащих тригонометрические функции, и при решении некоторых геометрических задач ответы часто приходится писать в терминах аркфункций. Приведем несколько примеров из заданий ЕГЭ 2011 и 2012 годов части второй:

1. Решите уравнение 2sin2.x + cosх + 4sin х +1 = 0. укажите корни,

5п 1п

2 ’ 2

принадлежащие отрезку L

2. Решите уравнение 3sin2x-3cosx + 2sinx-l = 0. укажите корни,

принадлежащие отрезку [-2тг,-7г]

3. Решите уравнение 3 sin 2.x - 4 cos х + 3 sin .х - 2 = 0. укажите корни,

п Зп

2 ’ 2

принадлежащие отрезку L

4. Решите уравнение 2 sin 2.x - 4 cos х + 3 sin .х - 3 = 0. укажите корни,

Г 571 П’ 2

принадлежащие отрезку L

fj-cosx = 0,

с d 1 (l - 5л/cos х)- (Зу - 8) = 0.

5. Решите систему у 7 !

6. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых чисел, входящих в

у = arcsin ~ 2х + 4 +

область определения функции ^ ' .

7. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны

ребра АВ=24^ , SC=25. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и ВС.

8. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ЛВС известны

ребра АВ= ^, SC=2. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN, где М - середина ребра AS, а точка N делит ребро ВС в отношении 1:2.

Приведем решения некоторых из выше перечисленных заданий.

Решение задания 2.

3 sin 2.x - 3 cos х + 2 sin х -1 = 0. Разложим левую часть на множители:

3 • 2 sin х cos х-3 cos x + 2sinx-l = 0 3cosx(2sin x-l) + 2sin x-1 = 0

j j (2sinx-1)(3cosx +1) = 0 Тогда шб0 2sinjf-l = 0i Либо 3cosx + l = 0 B

1 л _ , 5л „ ,

sin x = — x = —b 2kk x =---1- 2кк

первом случае 2 6 и 6 ; в0 втором случае

1 1 „ , 1

cos х = — х = 7г — arccos — + 2т х = arccos — + л + 2т

3 3 и 3 ,^е^.Из этих

решений выберем те, которые принадлежат отрезку [ ^ 71 ]. При к--1

из

я Ия

х =------2л: =------------> -271

первой серии ответов получим 6 6 ; из второй серии

57Г _ In

X =------Z7T =-------< -71

получим 6 6  из третьей серии -

х = arccos(-—) -2п > -2п х = arccos — + п - 2п > -я

3 ; из четвертой - 3

Я ~ 7 5тг „ , 1^7

х = —ь 271л х =-ь 2т х = п - arccos — + 2т

Ответ: 6 6 3

1 11л

X = arccos — + 7Г + 271л Г о 1 ------

3 , Отрезку Ь2^]

принадлежат корни

I 1 1 о 1п

arccos —\-2п,--------------------

3 J 6

j - cos х = 0,

п с 16- — 5>/cos х)- (3у - 8) = 0.

Решение задания 5. ’ v ^ ’

Сначала установим ОДЗ. Vcos>T имеет смысл, когда cosx - 0 . Из второго

8

уравнения системы имеем 3J_^-0 3 т0Гда учитывая, что из первого

8

_ COS X = —

уравнения У ~ cosx , получим 3 . Это уравнение не имеет корней, так

как

СОЭ X < 1

. Следовательно, ^У ^ф ^. Из второго уравнения получим

Из

/---- 1 1 1^7

і---- V соэ х = — соэ х = — х = ± агссоэ-1- 2т

1-5л/созх = 0. 5 25 25 к&1

У =

первого уравнения имеем 25 Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

х = ±агссоз — + 27хк, к є I 25

У =

25'

Решение задания 6. Найдем область определения данной функции. Учитывая, что функция У~ахс?>:тх определена на отрезке

то есть

1<3

-1<х<1, для данной функции

-1 < —д/(х-4)2 + -<1, -1 < —їх-4І + — < 1. 2 4 21 1 4

имеем:

х2-8х + 16 х

+ 451'

Решение последнего неравенства равносильно системе неравенств:

Г б|х - 4І + х > -4,

З, .і х ,

-х-4 + ->-1. 21 1 4

З, .і х , -х-4 + -<1

2 1 4

6 х - 4 + х < 4.

Далее рассмотрим два случая:

а)

х - 4 < О,

6(4 - х) + х > -4, <=>

6(4 - х) + х < 4

б)

х-4 > О

6(х-4) + х> -4, о 6(х-4) + х< 4

х > 4,

х < 4,

-5х > -28, <=> - 5х <-20

х>4

7х> 20, о 7х< 28

нет решении;

20

о<іх> — ^>х = 4.

7,

х < 4

Итак, область определения данной функции есть множество, состоящее из одного элемента {4}. Наибольшее целое число есть 4 и наименьшее целое число тоже 4. Их сумма 4+4=8.

Ответ: 8.

Решение задания 7.

Обозначим через М - середину ребра вЛ и через N - середину ребра ВС. Так как пирамида ЭАВС правильная, то в основании лежит равносторонний

ААВС и по условию задачи АВ=ВС=АС=24 ^ .

Боковые ребра 8А=8В=8С=25. АЫ1ВС ш проектируется в отрезок АО а АЫ _ Где о - точка пересечения медиан ААВС, то есть центр ААВС. Так

как М - середина ребра вД то М_ - средняя линия ^А$0{мь\80) тогда

ЬМ = АН--АО = -Ш ,ЛГ /,р2 рлг,

2 3 из ДАЛ/6: АИ-ЫАВ -BN

AN = д/(24л/з)2 -(12л/з)2 = 36 -36-24

2

• 36 = 24

, НО

ML = ^SO = ^SA2 - АО2 ML = \yAl =\

1

Из прямоугольного треугольника MLN имеем:

7

ML 2 1 7

/<га =---- Л-та = = — а = arete —

LN 24 48 48

1 1

7

а =arctg —

Ответ: 48 .

Из вышеизложенного заключим, что обратные тригонометрические функции надо изучать и на базовом уровне обучения.

Примечания

1. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / А. Н. Колмогоров и др. М. : Просвещение, 2004. 2. ЕГЭ - 2012. Математика: типовые экзаменационные варианты; 30 вариантов / под ред. А. П. Семенова, И. В. Ященко. М. : Национальное образование, 2011. 3. Камаева С. Ц. Об обратных тригонометрических функциях в курсе алгебры и начал анализа // Известия Южного федерального университета. Педагогические науки. 2012. № 7. 4.

Математика. Подготовка к ЕГЭ - 2011. Учебно-методическое пособие. Ростов н/Д., 2010. 5. Мехтиев М. Г., Камаева С. Ц. Обратные тригонометрические функции в школьном курсе алгебры и начал анализа. Пособие для учащихся и учителей математики. Махачкала, 2012.

Статья поступила в редакцию 09.09.2012 г.