Расширенный десятичный номенклатурный код dncm описания произвольного конечного элемента

УДК 621

DOI: 10.12737/article_59353e29d22508.11477409

О.Н. Дмитроченко

РАСШИРЕННЫЙ ДЕСЯТИЧНЫЙ НОМЕНКЛАТУРНЫЙ КОД БМСИ ОПИСАНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

Рассмотрена модификация ранее разработанного десятичного номенклатурного кода БЫСИ для описания и классификации произвольного конечного элемента. Предложена новая система классификации, описывающая неохваченные ранее

большие группы элементов сложной геометрии и кинематики.

Ключевые слова: конечный элемент, классификация, номенклатура, десятичный код.

O.N. Dmitrochenko

EXTENDED DECIMAL NOMENCLATURE DNCM CODE FOR DESCRIPTION OF ARBITRARY FINITE ELEMENT

The purpose of the work - extension of a systematic classification of finite elements offered earlier by the author with the purpose of inclusion in it new types of elements with a complex kinematic structure.

There is offered a modification of a decimal nomenclature dncmkot code of finite elements. The code is based on the presentation of geometry and structure of unit coordinates by a set of integral parameters: d - dimensionality, n - unit number, c - structure and number of coordinates in a unit, m - polynomial number. It is emphasized that there is a wide class of elements which does not fall under this classification. In these elements there is first introduced an intermediate element and then a linear transformation between them.

It is offered to designate for some wide groups of elements one or some parameters - n, c, m and others having a clear sense which modify a procedure of the formation of functions of an element form. There are shown examples of the description of elements with a complex kinematic structure on the basis of the offered modification of a decimal code.

The offered modified decimal nomenclature code of finite elements allows describing the existing and creating new finite elements of a wide class according to the specified dncmkot code.

Key words: finite element, classification nomenclature, decimal code .

Введение

Данная статья посвящена новому способу построения универсальной классификации конечных элементов и является продолжением и обобщением работы [1]. Идея введения десятичного номенклатурного кода в виде 1пст с произвольными положительными разрядами 1, п, с, т и т.д. была впервые предложена в работе [7]. В сформированном и законченном виде этот материал был сформулирован как формальный алгоритм в работе [1]. Однако конечные элементы настолько разнообразны, что эта процедура требует модификации для учёта всех особенностей, возникающих в приложениях.

В работе [9] ранее были рассмотрены более сложные элементы. Их общая особенность такова: они обладают неким набором узловых координат Z, который

формально соответствует некоторому коду йпст. Однако кинематика такого элемента требует, чтобы сперва был создан вспомогательный элемент с использованием другого числа узлов щ и кинематических параметров обладающий другим набором узловых координат X. После этого некоторое линейное преобразование Т над координатами приводит к элементу, который можно систематически обозначить йпст (1щр){Х = Т^} и назвать расширенным десятичным кодом, как было предложено в работе [9]. Эта нотация значительно расширяет круг охватываемых элементов, но получает также и недостаток в виде потери лаконичности записи в отличие от исходной йпст.

В данной статье впервые делается попытка вернуть расширенному коду ла-

коничность исходного кода ¿пет, а именно: для обозначения специальных групп элементов, имеющих широкое применение в приложениях, параметрам п, е, т и т.д. разрешается принимать также и отрица-

тельные значения, которые имеют четко определённый смысл и влияют определенным образом на формальную процедуру построения элементов.

1. Базовые элементы вида йпет

Большинство примеров, используемых в данной статье, связаны с двухмерными элементами. Поэтому идея десятичного кода ¿пет будет приведена только для них, без ущерба для общности в других случаях, описанных в предшествующей статье [1].

Для обозначения конечных элементов вводится базовая трехразрядная номенклатура ¿пе, содержащая следующие целые параметры:

й - размерность элемента, здесь й = 2; п - число узлов элемента; е - параметр, описывающий число и структуру координат в каждом узле.

Код ¿пе описывает элемент с п узлами, в которых введено е координат в узле. Данное обозначение может быть расширено до V, если добавлены щ узлов на

сторонах элемента, каждый из которых имеет £ узловых координат. Также исполь-

п с п с

зуются расширения ¿Жд и даже ¿Р^ для

жа

2пе О-1

2IV а21 а22 а21 ,

2 ж (х, у) = 2]%+1ха°к уа°к = {ха°0 / к=0

21 22 где О», О»

£ а01 у аО

двух- и трехмерных элементов, в которых введены дополнительные п узлов на гранях элемента и V узлов в объёме трёхмерного элемента; о и С - параметры, определяющие узловые координаты в соответствующих группах узлов. Обозначение ¿пе позволяет непосредственно определить число степеней свободы элемента о согласно следующему правилу: О = |п| С

Числа узлов в формуле (1) взяты по модулю, потому что в общем случае они могут быть отрицательными (для обозначения специальных случаев). Функция С(с) задана ниже соотношениями (5) и показывает, сколько узловых координат соответствует коду е.

Интерполяционный полином произвольного двухмерного элемента с кодом 2 Щд зависит от двух локальных координат

жа

х и у и может быть записан таким образом:

д въ^Уа0,0-1}. Ц ^ ... ар }т =х

х

показатели степеней поли-

номиальных членов из матрицы, определённой в работе [1]; индекс к пробегает диапазон 0, ..., О - 1. В той же работе пока-

зано, что элементы этой матрицы могут быть вычислены согласно несложному алгоритму:

8 = |( V1 + 8( к + 1)-1)/2-1

ко = 8 (8 + 1У2; В = |_(ко + 8-к-кп)/2];

аЦ = (1 - М)В + М (8 - В);

Ок

„22

¿ = |( VI + 8О-1)/2-1 кп = {О = 12)1^ = 8};

М = ((к0 + £-к-к12)шосС2М1- {¿ = 8)№ = к +1});

аО2 = (1 - М)(8 - В) + МВ ° 8-а

21 Ок.

1.1. Граничные условия в узлах элемента Полиномиальные коэффициенты ак в формуле (2) определяются из граничных условий. Они формулируются в каждом узле элемента с индексом г; в каждом та-

ком узле может быть введено одно граничное условие (или более) с индексом / Каждое условие подразумевает, что значение производной определённого порядка

а

от полинома Z в данном узле должно быть равно узловой координате. Таким образом, в самом общем случае, рассматриваемом в данной работе, следующая система линейных уравнений может быть записана с ис-

пользованием предварительно подготовленных массивов Ец и В& (матрица перемешивания узловых координат, которая чаще всего равна единичной):

I=0

для г=1,...,N

для у=0,...,&т[ Ег ]-1 I =1+1

а21 +Я22

^Ъщ +аЪщ Z 2™

«21 «22 дх^ ду«*

В уравнении (3) массив целых чисел Еу содержит порядки производных, требуемых для выполнения граничных условий. Первый индекс г пробегает все узлы элемента: г = N = ё1т[Е]; диапазон изменения индекса у = 0, ..ё1т[Ег] - 1 может изменяться в зависимости от индекса узла г, т.е. значение ё1т[Ег] равно числу граничных условий в узле г.

Ниже в работе массив Еу представляется таким образом: Ец = [{(Ею), (Ец), ...}, {(Е20), ...}, ...]. Т.е. весь массив заключается в квадратные скобки, его часть, относящаяся к конкретному узлу, помещается в фигурные скобки, и, наконец, скалярные

Ъ N Лт[ Ег ]-1

х=хг у= Уг

к=1

г=1

элементы даются в круглых скобках. В большинстве случаев структура массива одинакова для всех узлов и достаточно указать только фигурные скобки для одного узла: Еу = {(Его), (Ец), ...}.

В уравнении (3) узловые координаты обозначаются двумя эквивалентными способами: с использованием двух индексов,

где индекс г соответствует номеру уз-

ла, а ' - индексу координаты в узле (начиная с 0); с использованием одного индекса, Zk, где к = 1, ...,Ъ - глобальный номер координаты в элементе. В разных частях работы одно из двух представлений оказывается более удобным, чем другое.

1.2. Параметр с для обозначения структуры узловых координат

Общая формула для вычисления значений Еу для разных типов представления параметра с может быть записана так:

Ч у=0.....с (с) -1, если с < 9 - цифра (с = 3): Еу = {(0), (1), (2)};

Еу

]=0,...,С (с) -1

* [I] у=0,...,с(с)-1, если с - двоичное (с = 1101): Еу = {(0), (2), (3)}.

Функция С(с), встречающаяся в формулах (4) и (1), возвращает число узловых коорди нат, соответствующих узловому коду с; эта функция определена так: Гс, если с < 9 - цифра : С(3) = 3;

С(с) =

число единиц в с, если с - двоичное : С(1101) = 3.

0

Л'

Параметр с в виде одной десятичной цифры, с < 9

В самом распространённом случае параметр с равен числу производных от переменной Z, использующихся как узловые степени свободы: Z, , Z, ...,

' ^ ' dх2 '

¿-гZ. Т.е. предполагается непрерывный

ряд производных, начиная с 0-й производной (сама переменная Z) и заканчивая (с -1)-й производной.

Двоично-десятичный параметр с В узлах конечных элементов иногда некоторые из производных могут отсут-

ствовать в списке узловых переменных. В таких случаях может быть использовано двоично-десятичное представление параметра с. Например, на рис. 1 изображён треугольный элемент Морли [10]. Он имеет 3 узла в вершинах, в каждой из которых введена 1 координата - перемещение узла, и 3 узла на серединах сторон, в которых введена координата, являющаяся нормальной производной. Эта координата может быть закодирована двоично-десятичным кодом 10, где 0 означает отсутствие координаты-перемещения, а 1 - производную по нормали. Матрица Егу в этом случае

имеет

вид

Eij = [{(0)}, {(0)}, {(0)}, {(1)}, {(1)}, {(1)}]. В другом примере, приведенном в тексте ниже, использован код 110000, соответ-

(I шоё п) +1 = 3

п

<Рг

s ^Х

Zl

ствующий вторым производным Э2Z/Эх2

и Э2Z|Эу2 . Подробнее про двоичное кодирование координат можно почитать в [8].

2 = I

Рис. 1. Элемент Морли

1.3. Автоматическое формирование функций формы элемента

Подстановка полинома (1) в уравнение (3) приводит к системе линейных уравнений

О-1 „21 „21 „22 „22 О

СЪ^СОр.. аОк-апЕ--

I=0

для г=1, . .

для j=0, . . .,&ш[Е:]-1 I=1+1

Е О «к)

ВЕц

к=0

^ок'-а22 аОЕг

X:

у>

а

к+1

= Е Ва

к=1

Ц,

I ,к+1

которая имеет матричную форму W • а = В • г .

Величины (к -1)-j представляют собой падающий факториал Похгаммера:

а!

(а^г = а-(а-1)-...-(а-г +1) =(^г

если а > г; если а < г.

г сомножителей

Компоненты матрицы W определены в самом уравнении (6). После решения его относительно вектора а полином Z (х, у) принимает вид

X (х, у) = х(х, у) • W г = 8 (х,у) г.

82

Матрица W постоянна, вектор-строка х зависит от локальных координат х и у, вектор-столбец г содержит узловые коор-

2. Расширенный десятичный код элемента

В данном разделе впервые вводится расширенный десятичный код с целью охватить им гораздо больший круг элементов, имеющих сложную кинематику. Для обозначения специальных групп элементов, имеющих широкое применение в при-

2.1. Дополнительные функции формы

Известно, что билинейный элемент Q4, или 2412 в предложенной нотации, имеет избыточную сдвиговую жёсткость при изгибе [5]. Одна из возможностей исправить этот недостаток - использование дополнительных (внеузловых) функций

динаты, вектор-строка 82 ( х, у) содержит функции формы.

ложениях, параметрам п, е, т и т.д. предлагается назначать отрицательные значения, которые имеют чётко определённый смысл и влияют определённым образом на формальную процедуру построения элементов, описанную выше.

формы. Два дополнительных узла вводятся для исправленного элемента Q6 как показано на рис. 2, слева (иногда они вводятся внутри элемента).

3

1

дх^ 3

Г! Т^ + Г2) Г2 "1 2 ^^ X

Рис. 2. Элемент Q6 с дополнительными функциями формы; треугольник Оллмана; треугольник Базли

В работе [9] этот элемент был обозначен следующим расширенным кодом:

2212(2212) { г,- = ги г=1>._14 ; г{= г{ +± (г{-4 +г^). г=5,^}.

=1_____4

В данной работе этот элемент обозначается простым кодом 2-212 (рис. 2). Знак «минус» в числе узлов -2 отражает тот факт, что дополнительные узлы вводятся временно, т.е. значение -2 имеет смысл ±2. Кроме того, он ссылается на специфическое преобразование координат в формуле (8) и описанное ниже. И вообще, любой элемент, использующий допол-1п 1

Z -п1(х,У,.•) = ^,

нительные функции формы, будет обозначаться 1пц 1т.

Узловые координаты г5 и г6 временных узлов являются не просто их перемещениями, а трактуются как смещения этих узлов относительно середины отрезков (1, 2) и (2, 3) при смещённых узлах 1, 2 и 3. Уравнения (3) при этом принимают следующий явный вид:

1 = 1,..., п,

1 п 1

Z ^ (X , У= ^ + 2 С использованием матрицы В у в уравнении (3) это эквивалентно уравнению

¡ = 1,.,N,

+ 2(«-„+е тоа п)^ г = п +1., п + п.

г1 п 1,

N

I Я п л

ч х, у,...) = 2 в(-п ^

у =1

со следующим значением матрицы В у:

в(п = 4 +1 д;_

, +1

"у "у ' 2 г-я,у 2 (¡-п )тос1я+1,у-д( п+пп / 2 '

где ¿у - это символ Кронекера.

Функции формы после решения уравнения (9) примут вид

/ -?1 = '1п1 ' г,0 _ 'г,0 ,

1 п1 - 1

г = 1,., п,

>п+г,0 ~ 1 г =1,., п,

Элементы, использующие дополнительные функции формы: упомянутый

2-412, объёмный одиннадцатиузловой

3-83 13 на основе шестигранника-кубика и

(¿1 = Х, X = п, X = 0-

семиузловой 3-61 13 на основе треугольной

1п 1

призмы. Явный вид матриц B -п для них следующий:

Г

4

2 41 В2-21 =

1 о о о о о о о о о о

о 1 о о о о о о о о о

1 о о о о о о о 1 о о о о о о о о

о 1 о о о о , В3-81 = о о о 1 о о о о о о о

о о 1 о о о о о о о 1 о о о о о о

о о о 1 о о о о о о о 1 о о о о о

о.5 о.5 о о 1 о о о о о о о 1 о о о о

о о.5 о.5 о о 1 о о о о о о о 1 о о о

о.5 о.5 о о о о о о 1 о о

о о.5 о.5 о о о о о о 1 о

о о о.5 о о о о.5 о о о 1

В

3-11

1 о о о о о о о

о 1 о о о о о о

о о 1 о о о о о

о о о 1 о о о о

о о о о 1 о о о

о о о о о 1 о о

о о о о о о 1 о

о.5 о о о.5 о о о 1

2.2. Геометрическая конденсация узлов В данном параграфе в качестве примера приводится элемент 5-узловой призмы, для построения которой применяется конденсация узлов, и объясняется, как

данная техника описывается с помощью расширенного кода йпеш. Узлы единичной призмы обычно заданы так:

{х^у^г^ = {±1, ±1,-1}, I = 1,...,4;

{Х5, У5, г5} = {0, 0, + 1}.

Интуитивно простой код 351 не может использоваться здесь, потому что он диктует полином

X351 (х, у, г) = ХГ=0 а^х" У"5 г"

к+1 , который не

= а1 + а2 х + а3 у + а4 г + а5 хуг

содержит квадратичных членов. Вместо

5 8 1 31 32 33

X 3 (х, у, г) = ^ ак+1х"8к у"8к г"8 к=о

Коэффициенты аь...,а8 получаются, как обычно, из системы линейных уравне-

-5 1 3 1

этого элемент пирамиды обозначается 3 или просто 3-53 1 (мотивация приведена ниже), и полином содержит О = 5 + 3 = 8 слагаемых, как для базового элемента единичного параллелепипеда:

аг + а2х+а3у + а4г + а5ху + а6хг + а7ууг + а^хуг.

которая в данном случае неквадратная, размером 5x8:

ний X 3(хI,уI,гг) = XI, г = 1,...,5, вида (3),

-1-1-1 11 1 -1

1 -1 -1 -11-11

1 1 -1 -1 -1 1 -1

-1 1 -1 1 -1 -1 1

о о 1 о о о о

или

[5x8] "8

^ =

Для нахождения решения такой системы для неизвестных а1,.,а8 можно применить псевдообратную матрицу Мора-Пенроуза для матрицы '[5х8]:

ая = '

[8 х5]

^ = '

[8 х5]

[5х8] ' ' [8х5]

]-1

=Л1а^[8,8,8,8,2]

Наконец, функции формы 5-узловой пирамиды вычисляются по формуле (7):

я

3-3 _ 1

г,о

= 1(1 ±£)(1 ±^)(1 -С), г = 1,.,4 (в данном случае £ = х, г] = у, С = г);

4о = |(1+С).

Таким образом, специальная комби-

-5 1 3 1

нация п < о и п > о используется в коде 3

для представления элементов, которые получаются из вспомогательного элемента с |п| + 1п1 узлами после конденсации его п узлов в соответствии с формулами (1о) и (11)(11). Число |п| показывает число узлов после конденсации.

Другие элементы этого типа - четырёхугольная пирамида 3^} и трёхгранная

7 1

призма 3-61 с дополнительными узлами на

51

серединах сторон. В обоих случаях интерполяционные полиномы базируются на 2о-членном полиноме параллелепипеда, так как 5 + 8 + 7 = 2о и 6 + 9 + 5 = 2о.

X

X

2

X

3

X

4

X

5

г

5

2.3. Треугольник Оллмана с вращательными узловыми координатами

Треугольник Оллмана с вращательными узловыми координатами 2] является важной составной частью многих элементов пластин. Он имеет три узла с тремя координатами в каждом: перемещения Хп, Уп и угол поворота Оп, п = 1,...,3 (рис. 2, в центре). Такой набор координат формаль-

но соответствует коду 2313. Однако его кинематика определяется вспомогательным 6-узловым элементом с линейными деформациями (2612) с двумя координатами в узлах -Хп, Уп, п = 1,...,6. В работе 8] он был обозначен так:

2313

о/тпм 7т >7т т 1 / т т . т т \ . / л\т / 3-т 3-т

(2612){ги = гп, гп+ъ=гп+ гптоа3+1>+(-1) (х„ -х

73 - 73) т=1.2 } шоа3+1)8(Л птоа 3+1 Уn Л п=1.....3}

Выражения в фигурных скобках в формуле (12) определяют преобразования между наборами координат упомянутых элементов 2313 и 2612. В них для кратко-

сти принято, что

71 — У

^п ~ Лп

У2 = У

^п 1п

и

Z1 = Хп-

У2 = У

Уn Уп

Z„ = Оп . Величи-

ны х\ = хп и х1 = Уп

обозначают декартовы координаты узлов треугольника. В виде матриц это преобразование выглядит так:

Х6 У6

1 0 0 1

10 01

1г. У1-У2 2 0 8 0 1 х2-х1

2

8

1г. У2- У1

2 0 8

0 1 х1-х2 2

1 п У2- У3

2 0 8

0 1 х3-х2

2 Т"

10 01

2 0

0 1

2

1 0 л-и

2 0 8 0 1 х3-х1

У3-У2 8

х2-х3 8

У3-У1

2

1 0 8 0 1 х1-х3

8

01

Х2 У2

02

или

2 2612 гр,

Z = X

2313

12x9

Интерполяционные полиномы и матрица функций формы 8 получаются такими:

2313

г

82612(х,у)-

*2612=

8 2313

2313 _ 82313

.2313

Можно видеть, что расширенная нотация в форме (12), которая представляет уравнения (13) и (14), слишком неудобна и длинна. В данной работе этот элемент обо-

значается 2-3 | -3 . В данном обозначении

-3 1

отрицательный знак в значении т = -3 подчёркивает, что этот элемент не является

элементом с дополнительными функциями формы 2-3 | (параграф 2.1) у которого 3 одинаковых полинома, а вместо этого ссылается на специфические преобразования в формулах (12-14). Обозначение 2-3 | -3 можно сократить до 231-3.

2.4. Треугольник Базли

Изгибный треугольный элемент пластины обычно имеет три узла с тремя координатами в узле: перемещение Zi в узле г и две производные (повороты) Jд¡¿Zi = Zl ,1 и

-ддуZ¡ = ZI.2 (рис. 2, справа). Формально

элемент с такими узловыми координатами может обозначаться 2331, и он существует. К сожалению, такой простой элемент имеет дефект интерполяционного полинома, который приводит к вырождению матрицы W, если треугольник становится прямо-

угольным [5]. Причина этого в том, что данный полином является неполным, так как насчитывает лишь 3x3 = 9 членов, в то время как полный кубический полином должен содержать 10. Базли в работе [4] ввёл вспомогательный узел с номером 7 в центре (а не на сторонах) треугольника. Данный элемент может быть обозначен

2 3 31 (=Baz - обозначение, принятое в

-1 1

данном параграфе для краткости). Отрица-

Х

2

2

3

3

4

4

Х

5

3

3

5

О

3

8

тельное значение -1 может пониматься как ±1, так как этот узел вводится временно для увеличения порядка полинома до 1о членов. Его перемещение Z7 не входит в

число координат, так как его заменяют на средневзвешенное значение перемещений шести узлов, показанных на рисунке.

1 4

X Вж(х7, у7)=- + Z2+X,)+9X4+Xз + Z6),

(15) 1

где перемещения X4, X5, X6 в дополнительных узлах на сторонах также вычисляются через средневзвешенные узловые переме-1 „ .1 8

За исключением граничного условия (15), которое соответствует строке -1 1 в коде элемента, применяются обычные

щения и наклоны в узлах 1, 2 и 3 (г = 1,...,3):

^Ъ+г = 2(Xг' + ^гт(х13+1) о ^^гтоёЗ+и )(хгтсх13+1 х/) + ^¡тоёЗ+и )(у'тоёЗ+1 у1)) •

условия для кода нением (3):

3 3

в соответствии с урав-

г^ч^у^ = г^ = г ^7^,3;.) = ¿ = 1,2,з.

Г Ваг

Ваг,

Эу'

Таким образом, в этом случае матрица перемешивания узловых координат В в уравнении (3) имеет размер Шх9 и являет-

тВаг

ся почти единичной (кроме последней, 1о-й строки):

В

1о,3г - 2

1, -1 = ^ х, - 2х + хк), В»о%

1

(у, - 2 у/ + ук), (г,1, к) = 0 (1,2,3).

18 ^1

Функции формы в явном выглядят следующим образом:

4а2( х, у) = ь2 (Ц + 3Ь1 + 3Ьк) + Ц, {г, 1, к} = 0(1,2,3),

^Г(х,у ) = !?((у,-У^ , - (у I- Ук)Ьк )-2(2у ^^ -у,. )А ЦЦ.

2.5. Треугольные пластины с дискретными

В строительной механике известен треугольный элемент пластины с дискретными условиями Кирхгофа (ЭКТ в англоязычной литературе) [5]. В каждом узле г он имеет три узловые координаты, как и в предыдущем случае, Xi, ЭxXi = X'xi и ЭЭyXi = X'у1, что формально соответствует коду 2331. Однако из-за наличия дефекта,

условиями Кирхгофа

описанного выше, элемент ЭКТ основан на вспомогательном элементе (2612), который имеет два полных полинома второго порядка с 6 членами. Вспомогательными координатами в каждом узле являются

^ и ЭЭу^ = X'У1. В работе [9] этот

-Э- X

Эх Zi

элемент имел обозначение

2331

(^^Н^г = ^хг; ^^'уг ='уг; X!;+3=г^Г + Xi'mod3+1); Xi+з=2г7^гшоёэ+1 -Xi)-1(X!,t + ^'тоёв-!); г=1,2,3}

Преобразование между наборами координат 2 и X в формуле (17) означает, что нормальные п и тангенциальные 1 производные от перемещений 2, вычисленные во вспомогательном элементе 2612, равны соответствующим производным от перемещений X в искомом элементе в вершинах и серединах сторон треугольника, т.е.

в дискретном наборе точек (отсюда и название). Поскольку упомянутые производные в серединах сторон отсутствуют в наборе X, они интерполируются через узловые значения, как указано в формуле. Матричный вид данного преобразования таков:

1 о о о о о о о о о о о

о 1 о о о о о о о о о о

о о 1 о о о о о о о о о

о о о 1 о о о о о о о о

о о о о 1 о о о о о о о

о о о о о 1 о о о о о о

о о о о о о £1 Ч1 о о о о

о о о о о о - Ч1 С1 о о о о

о о о о о о о о с2 Ч2 о о

о о о о о о о о -Ч2 с2 о о

о о о о о о о о о о с3 Ч3

о о о о о о о о о о -Ч3 £3

о 1 о

Z У1 о о 1

Х 2 о о о о о о

Z У 2 о о о

Z Х3 о о о

Z У 3 о ч 2 2

Z Х 4 -3 2 ь1 4 -£1 4

Z У 4 о о о

* х5 о о о

Z У 5 о 3 с3 Ч3

Z Х 6 2 Ч3 2 -£3

Z У 6 213 4 4

Ь • ж2612 = т* т12х9 ж2331.

о о о о о о

о

3

2 Ь[

о

-3 2 ¿2

о о

о

0

1

о

о

о

£1 2

4 £2 2

Ч2 4

о о

о о

0

1

о о Ч.

2

13. 4

Ч2 2 -32 4

о о

о

3 2 ¿2

о

-3 2 Ь3

о о о

0

1 о

о о

32 2

42 4

£3 2

43 4

о о о о

0

1

о о

42 2

-£2 4

43 2

-с3 4

Z Х1

Z У1

Z 2

Z Х 2

Z У 2

z 3

2 Х3

Z У3

Интерполяционные полиномы и матрица функций формы полученного элемента:

2331

г

Ж2612 = 8 2612 (х, у) • Ь-1

112х9

52331 = 82331(261^^(Х,У). ж

2331

8

2331

Систематическое обозначение этого элемента следующее: 2-3110 - 3 . Значение -3 вновь означает ±3, т.е. временное введение узлов на серединах сторон, а параметр

110 - это двоичный код производных в

31

этих узлах. 2-3110 -3 можно сократить до 233-1.

2.6. Интегральные узловые координаты при с < 0

Элемент Вильсона. Существует класс элементов, в которых узловые координаты могут зависеть от интегралов по площади

(или граням) элемента. Простой пример это элемент Вильсона (рис. 3, слева).

*

Поле перемещений элемента Z(X' у), согласно формулам (1) и (5), содержит 6 полиномиальных членов и 6 узловых координат. Четыре из них - это узловые пе-

ремещения Z1, ..., Z4, а оставшиеся две -усреднённые по площади элемента значения вторых производных от перемещения по локальным направлениям х и у:

Z(Х1, У1) = Zl, Z(Х2, У2) = Z2, Z(Х3, У3) = Zз, Z(Х4, У4) = Z4

± 1113 2 Z

0 V 0

3у2

А 7 1 г ГгЛ

0 V 0

3х2

ёХ = Z6.

Указанные в (18) вторые производные соответствуют двоичному коду 11оооо, но поскольку эти величины стоят под знаком интеграла, им соответствует отрицательное значение - 11оооо. Мнемоника данного обозначения ясна: отрицательная производная означает интегрирование. Наконец, поскольку интегрирование

ведётся по площади, а не по сторонам элемента, этот код помещён в третью строку кода (в соответствии с п. 1). В итоге код

элемента выглядит так: 2 4 о = ^Ц.

1 -11оооо

Функции формы имеют вид

„ Wil si,0

= 4(1±#)(1±h), i = 1.....4;

s Wil s5,0

1),

s Wil

s6,0

-1).

Треугольный элемент Шпехта [11] (рис. 3, справа) в работе [9] обозначен так:

23 3(23_Xn ; Zxn = Xxn ; Zуп = Xyn ; ÍLnZdt~ 2 (Xn + ^+1

Элемент имеет 3  3 = 9 узловых координат, как типичный элемент пластины. Однако его интерполяционный полином X(x, у) соответствует вспомогательному

элементу (232) и поэтому содержит

3  3 + 3  2 = 15 членов с неопределёнными коэффициентами, согласно формуле (1), т.е. является полным полиномом четвёртой степени по х и у. Девять граничных условий для нахождения коэффициентов соответствуют девяти узловым степеням свободы, как в уравнении (16). Дополнительные 6 условий накладываются в соответствии с так называемым «тестом заплатки» [11]: интегралы от перемещения 2 и его нормальной производной 2 вдоль каждой стороны должны определяться координатами в узлах этой стороны.

)+'f (z'n - Z;'+i); ÍlJ 'ndt= Lf (zn+1 - zn); л=1_,з|

Краткая, но исчерпывающая нотация для этого элемента: 2^ -2 . Минус в показателе производных от координат -2 показывает два интегрирования в формуле (19) как обратные операции для дифференцирования. Знак «минус» в числе узлов -3 означает, что соответствующие интегральные степени свободы не вводятся в качестве новых координат, как в элементе Вильсона, а, напротив, исключаются путём интерполирования, как указано выше.

Элемент Вёбеке - это непрямоугольный конформный элемент пластины, предложенный в работе [6], один из самых удачных в своём роде; обозначается

2 4 3 3 2-4 1о 3 .

3. Неполиномиальные функции формы

Выше в тексте функции формы для элемента с О степенями свободы содержали только полиномиальные члены. Например, для одномерного случая: № = 1, щ = х, № = х2, ..., №О-1 = хО-1. Все они являются решениями дифференциального уравнения

= о . Коэффициенты этого уравнения можно свести в вектор {1, о, о, ..., о}, используемый по умолчанию. Вообще, встречаются обобщения этого уравнения с произвольным набором коэффициентов:

d Dw

d D-1w

dxD + CD-1dxD-1 + ^ +

d2 w dw

+ c--+ cw = 0.

Тогда элемент может быть обозначен так: ¿пет {1, сО-1,..., с2, с1, со}. Примеры: 122 = {1, х, х2, х3} - обычный балочный элемент;

122{ 1, 0, 0, 0, -ti4}

wk = {cosbx, sinbx, ebx, e bx}; wk = {cosbx, sinbx, coshbx, sinhbx} -

гиперболические функции формы;

wk = {cosh bx + cosbx, sinh bx + sin bx, cosh bx - cos bx, sinh bx - sin bx} - функции Крылова;

122{ 1, 0, -b¿, 0, 0}

w

bx -bx

= {1, x, e , e

}; wk 164

: {1, x, cosh bx, sinh bx};

122{ 1, 0, a, 0, b} wk = {coshkxcoslx, coshkxsinlx, sinhkxcoslx, sinhkxsinlx}

модифицированные функции Крылова, встречающиеся, например, в работе [2]. Заключение

В данной статье продолжена разработка десятичного номенклатурного кода dncm, созданного для систематического однозначного и конструктивного обозначения произвольного конечного элемента, учитывающего его геометрию, структуру

это

узлов, узловых координат и других параметров. Значительно расширен круг конечных элементов, который может быть описан с помощью предложенного подхода. Приведены примеры конкретных элементов, используемых на практике.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дмитроченко, О.Н. Десятичный номенклатурный код dncmkot для идентификации существующих и автоматической генерации новых конечных элементов / О.Н. Дмитроченко // Вестник Брянского государственного технического университета. - 2017. - № 1. - С. 207-217.

2. Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З. Власов, Н.Н. Леонтьев. -М.: Физматлит, 1960. - 491 с.

3. Allman, D.J. A compatible triangular element including vertex rotations for plane elasticity analysis / D.J. Allman // Computers and Structures. -1984. - № 19 (1). - P. 1-8.

4. Bazeley, G.P. Triangular Elements in Bending -Conforming and Nonconforming Solutions / G.P. Bazeley, Y.K. Cheung, B.M. Irons, O.C. Zienkie-wicz // Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech. - Air Force Inst. Of Tech., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1965.

5. Cook, R.D. Concepts and Applications of Finite Element Analysis / R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, R.T. Witt. - Fourth edition. - John Wiley & Sons, Inc. - 2002.

6. Veubeke, B.F. Variational principles and the path test / B.F. Veubeke // Int. J. Num. Meth. Eng. -1974. - № 8(4). - P. 783-801.

7. Dmitrochenko, O. A formal procedure and invariants of a transition from conventional finite elements to the absolute nodal coordinate formulation / O. Dmitrochenko, A. Mikkola // Multibody System Dynamics. - 2009. - № 22 (4). - P. 323-339.

8. Dmitrochenko, O. Digital Nomenclature Code for Topology and Kinematics of Finite Elements based on the Absolute Nodal Coordinate Formulation / O. Dmitrochenko, A. Mikkola // Proc. of the Inst. of Mech. Eng. Part K: J. of Multi-Body Dyn. - 2011. - № 225(1). - P. 34-51.

9. Dmitrochenko, O. Extended digital nomenclature code for description of complex finite elements and generation of new elements / O. Dmi-trochenko, A. Mikkola // Mechanics Based Design of Structures and Machines. - 2011. - № 39 (2). -P. 229-252.

10. Morley, L.S.D. The constant-moment platebending element / L.S.D. Morley // J. of Strain Analysis for Engineering Purposes. - 1971. - № 6 (1). - P. 20-24.

11. Specht, B. Modified shape functions for the three node plate bending element passing the patch test / B. Specht // Int. J. of Numerical Methods in Engineering. - 1988. - № 26 (3). - P. 705-715.

1. Dmitrochenko, O.N. Decimal nomenclature code dncmkot for identification of existing finite elements and automatic generation of new finite elements / O.N. Dmitrochenko // Bulletin of Bryansk State Technical University - 2017. - № 1. - pp. 207-217.

2. Vlasov, V.Z. Elastic Based Beams, Plates and Casings / V.Z. Vlasov, N.N. Leontiev - M.: Phys-mathlit, 1960. - pp. 491 c.

3. Allman, D.J. A compatible triangular element including vertex rotations for plane elasticity analysis / D.J. Allman // Computers and Structures. -1984. - № 19 (1). - P. 1-8.

4. Bazeley, G.P. Triangular Elements in Bending -Conforming and Nonconforming Solutions / G.P. Bazeley, Y.K. Cheung, B.M. Irons, O.C. Zienkie-wicz // Proc. Conf. Matrix Methods in Struct. Mech. - Air Force Inst. Of Tech., Wright Patterson A. F. Base, Ohio, 1965.

5. Cook, R.D. Concepts and Applications of Finite Element Analysis / R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E.

Plesha, R.T. Witt. - Fourth edition. - John Wiley & Sons, Inc. - 2002.

6. Veubeke, B.F. Variational principles and the path test / B.F. Veubeke // Int. J. Num. Meth. Eng. -1974. - № 8(4). - P. 783-801.

7. Dmitrochenko, O. A formal procedure and invariants of a transition from conventional finite elements to the absolute nodal coordinate formulation / O. Dmitrochenko, A. Mikkola // Multibody System Dynamics. - 2009. - № 22 (4). - P. 323-339.

8. Dmitrochenko, O. Digital Nomenclature Code for Topology and Kinematics of Finite Elements based on the Absolute Nodal Coordinate Formulation / O. Dmitrochenko, A. Mikkola // Proc. of the Inst. of Mech. Eng. Part K: J. of Multi-Body Dyn. - 2011. - № 225(1). - P. 34-51.

9. Dmitrochenko, O. Extended digital nomenclature code for description of complex finite elements and generation of new elements / O. Dmi-trochenko, A. Mikkola // Mechanics Based De-

sign of Structures and Machines. - 2011. - № 39 (2). - P. 229-252.

10. Morley, L.S.D. The constant-moment platebending element / L.S.D. Morley // J. of Strain Analysis for Engineering Purposes. - 1971. - № 6 (1). - P. 20-24.

Статья поступила в редколлегию 27.01.17.

Рецензент: д.т.н., профессор Брянского государственного технического университета

Сакало В.И.

11. Specht, B. Modified shape functions for the three node plate bending element passing the patch test / B. Specht // Int. J. of Numerical Methods in Engineering. - 1988. - № 26 (3). - P. 705-715.

Сведения об авторах:

Дмитроченко Олег Николаевич, докторант Брянского государственного технического университета, e-mail: dmitroleg@rambler.ru.

Dmitrochenko Oleg Nikolayevich, Doctoral student of Bryansk State Technical University, е-mail: dmitro-leg@rambler.ru.