Метод гармонического элемента и дискретно-континуальные динамические модели

В.И.Соболев

Метод гармонического элемента и дискретно континуальные динамические модели

Основой многих технологий в порошковой металлургии, рудоподготовке и обогащении полезных ископаемых являются вибрационные процессы. Специфика такого производства требует размещения виброактивного оборудования на верхних этажах, что исключает возможность использования технологических фундаментов и приводит к непосредственной передаче динамических нагрузок на здание.

Обследования конструкций ряда предприятий Сибири, проведенные с участием автора, показали, что соответствие уровней вибраций санитарным нормам и нормам безопасности сооружений на таких предприятиях является скорее исключением, чем правилом. Наиболее интенсивно проявляются вертикальные составляющие колебаний балок, перекрытий и рабочих площадок, чему способствует крайний износ технологического оборудования, свойственный состоянию отечественного производства.

Такое состояние делает насущно необходимой разработку эффективных способов вибрационной защиты конструкций и пригодных для этого методов моделирования, позволяющих описывать процессы динамического взаимодействия виброактивного технологического оборудования и конструкций здания.

Несущие конструкции промышленных зданий в преобладающем большинстве представляют собой системы стержневых элементов. Наиболее распространенные частоты воздействий виброактивного оборудования не выходят за пределы нижних границ интервалов частот собственных колебаний промышленных зданий [1]. Это обстоятельство чревато проявлением резонансных эффектов на низших колебательных формах. С другой стороны, динамические свойства, определенные в процессе моделирования, могут дать возможность максимального снижения вибраций путем выбора конструктивных вариантов или использования специальных систем виброзащиты (СВ).

Известно, что при циклических воздействиях гармонического характера упруго деформируемая система переходит в стационарное динамическое состояние, характеризующееся периодическим изменением полей напряжений и деформаций, которое охватывает большую часть срока ее эксплуатации. Поэтому большой интерес представляет прямой расчет стационарного состояния, минующий последовательный динамический анализ переходного периода. Такой расчет, в большинстве случаев, дает достаточную информацию для анализа колебательного процесса и широко применим в дискретных вариантах малой размерности при конструировании устройств виброизоляции технологического оборудования [2].

Модели рассчитываемых объектов в задачах виброизоляции достаточно обоснованно ограничиваются твердыми телами или системами материальных точек, а основания считаются абсолютно жесткими или упруго опертыми твердыми телами [3,4]. Включение таких объектов в динамическую модель здания сопровождается проблемами выбора методов и алгоритмов, совмещающих в решениях кроме элементов с непрерывными параметрами масс и жесткостей дискретные элементы - сосредоточенные массы, пружины и твердые тела [3].

Нерегулярность расположения, неоднородность типов и краевых условий элементов несущих конструкций, свойственная промышленным сооружениям, не позволяет непосредственно использовать аналитические методы динамического расчета таких систем и оставляет возможность применения довольно небольшого количества численных методов механики конструкций, основанных преимущественно на дискретизации областей [5].

В подавляющем большинстве дискретизация технологических объектов представляет собой достаточно трудоемкий процесс (например, конечноэлементная аппроксимация корпуса электродвигателя), совершенно неоправданный по результатам в задачах определения параметров динамического воздействия на основание.

Такие модели отличаются большими параметрами жесткости и включение их в систему элементов конструкций здания приводит к формированию динамической задачи «жесткого типа», связанной с возникновением дополнительных проблем математического характера [6].

При этом системы разрешающих линейных уравнений имеют большие порядки, обусловленные нанесением достаточно густой узловой сетки, необходимой для достижения требуемой точности дискретной аппроксимации [7]. Получаемые численные результаты лишены возможностей непосредственного аналитического восприятия, что за-трудняет последующее принятие решений, необходимое в частности в задачах виброзащиты [2].

Предлагаемые решения основываются на использовании и развитии известных методов динамической податливости, имеющих в своей основе аналитические описания параметров стационарных колебаний элементов [8]. Такой подход значительно упрощает процедуры анализа и обобщения результатов решения и позволяет включать в

модель также дискретные массы, упругие элементы и упруго опертые твердые тела, традиционные в решении задач виброизоляции.

Решение осуществляется путем декомпозиции исходной динамической системы на элементы, для которых производится построение аналитического базиса для произвольных, конструктивно допустимых вариантов краевых условий гармонических перемещений, заданных в узлах сочленения элементов, Вектору амплитуд обобщенных узловых перемещений ставится во взаимооднозначное соответствие аналитическое выражение, определяющее вынужденную межузловую колебательную форму бесконечномерного элемента и некоторый вектор амплитуд узловых динамических реакций, позволяющий производить операцию формирования ансамбля элементов на формализованном уровне - в виде системы линейных разрешающих уравнений.

Для любого балочного элемента, выделенного в процессе декомпозиции, решение ищется в предположении, что колебания осуществляются под воздействием сосредоточенных гармонических сил и моментов, приложенных в некоторых краевых точках (узлах) балки.

С целью определения функций колебательных форм и построения матрицы динамических жесткостей рассмотрим вынужденные моногармонические колебания поперечного изгиба с частотой О) балки с равномерно

распределенной погонной массой р, длиной (2, изгибной жесткостью EJУ при загружении ее постоянной продольной силой N. Как выяснено в [9], учет продольной силы N существенно влияет на характер вынужденной колебательной формы изгибаемого элемента и на аналитические выражения амплитуд динамических реакций,

Для определенности рассмотрим расчетную схему с краевыми условиями, обеспеченными связями с номерами 1,2,3 (рис.1,в). При отсутствии межузлового динамического воздействия уравнение динамического равновесия элементарного участка балки в пролёте между узлами описывается однородным уравнением Зйлера - Бернулли [8]

О, а)

рК

и + Е^Ухххх МУХХ

где V - поперечные перемещения участка в процессе колебаний.

+ У

N

т

N

-»К- £

I о й

I

а

а)

0

<Сь—о

СО ^

X * ¿о

.Л

л

Ы

N

О

Л' /

(О

М.")

0 Л

1о—оК

г)

0 $

'о-ОК

д)

00

е)

I -

У

4

X

л

X

Рис. 1. Расчетные схемы балок с различными вариантами закреплений: 1,2,3,4 - номера связей

При заданной частоте СО внешнего воздействия функция формы установившихся вынужденных колебаний балки (далее вынужденной колебательной формы) однозначно определяются вектором амплитуд узловых гармонических перемещений

Г = {У(0),Гх1о,Па),¥хх 1а)т,

в котором компоненты расположены по порядку нумерации соответствующих связей. Вектор У опре-

деляет краевые условия для уравнения (1).

Представим решение уравнения колебания балки в виде линейной комбинации вынужденных колебательных форм от единичных гармонических перемещений (с единичными амплитудами) связей, обеспечивающих закрепления узлов. Единичное гармоническое перемещение каждой связи с номером / по своему направлению вызывает реакции во всех наложенных связях. Упорядоченные по номерам связей значения этих реакций образуют некото-

рый вектор амплитуд гармонических реакций 8 связях. Поочерёдное гармоническое перемещение связей формирует матрицу динамических реакций

Расчетная схема рассматриваемого примера содержит три связи. В общем случае количество связей задачи плоских изгибных колебаний может быть равным от двух до четырех.

Для определения коэффициентов матрицы и функции амплитуд У(х) вынужденных колебаний балки

подставим искомое решение вида

в уравнение (1) и сократив полученное уравнение на

получаем обыкновенное дифференциальное

уравнение.

ЕЕ

Характеристическое уравнение для (3) имеет вид:

.4

ЕЕ

О

2

м

N 2 Ю'Р л

— и ------= 0.

ЕЕ ЕЕ

Определив //"12

N

+

N

2

2 ЕЕ \А(ЕЕ)2 ЕЕ

/Из — , /и^ = —/5, где I - мнимая единица,

со1 р

Н--, имеем /./] — С} , /Л^ — ~~С[ -

я

N

+

N

со р

.+ —— , 5

N

+

N

+

со2 р

2ЕЕ \\А(ЕЕ)2 ЕЕ ' рЕЕ р(ЕЕ)2 ЕЕ

Общее решение ¥(X) уравнения (3) может быть представлено в виде линейной комбинации

Г

четырех линейно независимых частных решений, образующих базисную вектор функцию

где С является вектором (столбцом) коэффициентов линейной комбинации (4).

Краевые условия для решения уравнения (3) могут быть заданы в виде вектора (2) амплитуд перемещений по

направлениям связей.

Для заданной схемы У

хх

х=а

= 0. Пронумерованная последовательность векторов С, соответствующих

решениям полученным при поочередном задании единичных амплитуд перемещений по направлениям связей в порядке их нумерации, образует матрицу С.

Векторы амплитуд единичных перемещений, упорядоченные по номерам активных связей, образуют матрицу Ь. Матрицы С VI Ь имеют вид:

с ~

с12 г ^ с13 Г г 0

с2\ с22 с23 \Ь = 0 1 0

СЪ\ с32 С 33 0 0 1

с42 сАъ) 1о 0 oJ

А

Элементы матрицы С определяются из решения систем уравнений:

С = А~>Ь,

где А - матрица, образованная из базисной вектор функции Н(х) следующим образом:

г Ж0) ^

Нх(х) 1х=0

Я

Матрица амплитуд реакций в связях при попеременных единичных гармонических перемещениях связей в порядке их нумерации (матрица амплитуд гармонических реакций) определяется в виде:

К = -ЕЗСХ Н,

где Н = {НТххх (х) \х=0, Нхх (х) |х=0, Н1ХХХ (X) ).

Вектор столбец У амплитуд узловых перемещений, соответствующий вектору ¥ амплитуд гармонических воздействий по направлениям связей с частотой СО, определяется из решения системы уравнений:

1-1

\Т

/^или Н = Р

Функция амплитуд перемещений оси балки (функция формы вынужденных колебаний) при заданной узловой форме Р силового гармонического воздействия имеет вид

тТ/^Т т гТ\

7(х) = ГтСтЯт(х),

Единичное гармоническое перемещение каждой связи с номером / по своему направлению вызывает реакции во всех наложенных связях. Упорядоченные по номерам связей значения этих реакций образуют некоторый вектор

К; амплитуд гармонических реакций в связях. Поочерёдное гармоническое перемещение связей формирует

матрицу динамических реакций.

При наложении связей на перемещения центра масс упруго опертого твердого тела (рис. 2.) матрица амплитуд динамических реакций в связях тела может быть записана [9] в виде:

кт = -со1 М.

/=1

Здесь П - количество упругих опор, Г} - жесткость г-й опоры, М — м, т, т, 3 х, 3 у, 3 2), т — масса тела; 3х, 3у, 3^ - главные центральные моменты инерции тела, ^ (6 X 1)- вектор-функции величин углов ^ (разворота и наклона), определяющих направление /-ой оси опоры в пространстве.

Рис.2. Углы направляющих продольных осей упругих опор твердого тела: 1- направление оси опоры

Для неподвижного недеформируемого основания систему разрешающих уравнений для определения вектора амплитуд перемещении и по направлениям отброшенных связей в локальной системе координат (рис. 3.) твердого тела можно записать в виде:

Кти = ^,

где - вектор амплитуд силового гармонического воздействия с частотой СО по направлениям связей,

Если для фиксированных Qil 4*1 систему векторов У^, расположенных в порядке нумерации упругих опор, скомпоновать в виде матрицы

г = [Ъ • • • К}т.

то матрица динамических реакций твердого тела на деформируемом основании будет иметь вид:

к =

я. я

т

тк

Я

тк

где

Яс = (Иа%(г7.....гп) , Ятк = Яс • У.

Рис. 3. Вид и нумерация связей, налагаемых на перемещения центра масс твердого тела

19Я РРРТЧИК" ИпГТУ Мо"1

Таким образом, моделирование стационарных колебательных процессов осуществляется без применения процедур дискретизации с использованием бесконечномерных и дискретных элементов, позволяющих осуществлять гибкую аппроксимацию сложных границ областей и граничных условий, свойственную обычным конечным элементам.

Формирование матрицы амплитуд динамических реакций ансамбля дискретных и континуальных элементов в системе разрешающих уравнений динамического равновесия осуществляется путем суммирования соответствующих реакций, в процессе совмещения перемещений при ансамблировании элементов. Решение системы уравнений динамического равновесия определяет величины амплитуд узловых перемещений элементов.

Аналитические выражения вынужденных колебательных форм, полученных для изгибаемых элементов из узловых перемещений при помощи равенства (7), позволяют определять координаты точек колебательных узлов [8,9], и при их использовании эффективно решать проблему вибрационной защиты конструкций [10].

Изложенная методика сводит алгоритм к цепочке матричных преобразований, весьма технологичных в программных разработках. Алгоритм реализован в виде программного комплекса "VICON", осуществляющего выбор конструктивных параметров СВ в условиях заданных технологических ограничений.

Методика моделирования и варианты СВ, разработанные на основе патента [10] с использованием программного комплекса "VICON", опробованы и введены в техническую эксплуатацию на двух предприятиях компании "АЛРОСа". Свойства элементов модели, описание программного комплекса, технических характеристик СВ и результатов ее испытаний приведены в следующих публикациях журнала.

Библиографический список

1. Борджес Д. Ф„ Равара А. Проектирование железобетонных конструкций для сейсмических районов. - М,: Стройиздат,1978, -135 с.

2. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т./ Ред. совет: В41 В. Н. Челомей (пред.).- М,: Машиностроение, 1981. - Т. 6. Защита от вибрации и ударов / Под ред. К.В. Фролова. - 1981. - 456 с.

3. Ивович В,А., Онищенко В.Я, Защита от вибрации в машиностроении, - М.: Машиностроение, 1990, - 272 с.

4. Вайсберг В,А, Проектирование и расчет вибрационных грохотов. - М.: Недра, 1986. - 144 с. 23.

5. Клаф Р., Пензиен Д. Динамика сооружений. - М.: Стройиздат,1979. -319 с.

6. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М,: Наука, 1978, - 304 с.

7. Бате К„ Вильсон Е, Численные методы анализа и метод конечного элемента, - М,: Стройиздат, 1982. - 447 с.

8. Колоушек В. Динамика строительных конструкций. - М,: Издательство литературы по строительству, 1965. - 632 с,

9. Соболев В. И. Дискретно-континуальные динамические системы и виброизоляция промышленных грохотов. - Иркутск: ИрГТУ, 2002. - 202 с,

10. Патент СССР № 1790704 на способ виброизоляции от 22.09,92 г. Соболев В.И., Данзанов Е. Ю, Елисеев C.B. и др,