О решениях уравнений Яно и Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры

ФИЗИКА

Вестник Омского университета, 2003. №3. С. 22-24. © Омский государственный университет

УДК 543.123

О РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИИ ЯНО И ЯНО-КИЛЛИНГА В ПРОСТРАНСТВЕ ДЕ СИТТЕРА ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИГНАТУРЫ

В.А. Тюменцев

Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр.Мира, 55А

Получена 20 января 2003 г.

The new solutions of the Yano and Killing-Yano equations in the de Sitter space of the arbitrary signature are found.

Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга играют важную роль в теоретической физике. В теории гравитации они определяют первые интегралы второго порядка для уравнений геодезических [1], по этим полям проводится построение спинорных операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака [2].

В данной работе получен следующий результат: в четырехмерном пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры найдены новые решения уравнений на векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга. С помощью этих полей можно провести построение новых спинорных операторов симметрии для уравнения Дирака.

1. Пространство де Ситтера

Пространство де Ситтера - это риманово пространство постоянной кривизны. Пространство де Ситтера всегда привлекало к себе особое внимание специалистов в области квантовой теории поля. Оно является единственным искривленным пространством с максимальной симметрией, обладает той же степенью симметрии, что и пространство Минковского (десять векторов Киллинга). Наличие кривизны и нетривиальных глобальных свойств обусловливает при этом ряд новых особенностей при квантовании полей в пространстве де Ситтера. Это пространство также используется в некоторых космологических моделях. Риманово пространство постоянной кривизны характеризуется условием

Rijki = '/,;.'/;/ -gugjk),

где Rijki - тензор Римана, К = const (риманова кривизна пространства).

В любом пространстве постоянной кривизны можно выбрать систему координат так, чтобы метрическая форма с1,82 = имела вид [3]:

ds2 = (Ai H-----\-Ап) 2 (dxi

где каждое равно +1 или —1 в соответствии с сигнатурой пространства, а Л; = е^а(х')2 + 26;.тг+С;), по г нет суммирования, причем постоянные коэффициенты а;, 6;, с; удовлетворяют условиям

I ^ - ь 2) = К.

Интервал (2) задает пространство de Ситтера. Каноническая форма интервала

ds2

1

Из формулы (3) становится очевидна связь пространства де Ситтера с плоским пространством, т. е. положив в (3) А = 0, метрика переходит в плоскую. Таким образом, плоское пространство есть предельный случай пространства (3). В дальнейшем мы будем рассматривать 4-мерное пространство, т. е. п = 4. Если специально не оговорено, везде по повторяющимся индексам идет суммирование, например, а;6г = aib1 + аоб2 + а.363 + аф4.

Четырехмерное пространство де Ситтера проще всего представить как гиперболоид [4]

•^П % А — ^

тензорные и векторные поля в пространстве де Ситтера.

23

в пятимерном пространстве Минковского с метрикой

¿в2 = (¿¿ц — б£г2 — (¿¿о — dz¡ — dz\.

Из формулы (4) ясно, что группой симметрии пространства де Ситтера является десятипара-метрическая группа 80(1,4) однородных «преобразований Лоренца» в пятимерном пространстве, известная как группа де Ситтера. Точно так же, как группа Пуанкаре играет центральную роль при квантовании полей в пространстве Минковского, группа де Ситтера важна при квантовании полей в пространстве де Ситтера.

Наиболее часто используемая система координат ,\,в,ф) вводится соотношениями

= Qsh(i/o^

Zi = ach

Z-2 = ach

= ach

= ach

2 2 2 2 2

~0 ~1 z.2 -Z3- z4 = -a

а соответствующий элемент длины принимает вид

ds2 = dt2 - cr ch2(t/o:)[d\2+ +sin2 (x)(d92 + sin2(e)d(t>2)}.

Если —ОС < t < СО, 0 < \ < 7Г, 0 < в < 7Г, О < ф < 2тг, то эти координаты покрывают все многообразие де Ситтера. Метрика (7) отвечает (замкнутому) пространству Робертсона-Уокера с К = +1.

/г = 4 + КгIX12 + Ке^х22 + Ке3хз2 + Ке4х42.

Также, решая данную систему уравнений, получим все векторы Яно - 5 векторов. В работе [5] приведено одно решение. В данной работе найдены еще 4. Они приведены ниже (верхний индекс в скобке нумерует векторы Яно, нижний индекс - компоненты вектора):

f

&

й1

/f

А2

А-2 J 3

J 4

if A3 J-2

/f

A3

J 4 f«

f

/i4

= 2I\£1x4x1/&2, = 2 К x2 x4 £2/в2, = 21<£3х4х3/в2, = (-4 - A'ti ж12 - Кe2 ,T22+

K£4X4'2 - I<£3X3'2)/&2,

= 2Ks1x2X1/&2, = (-4 - A'ti ,Tl2 + К£-2 X2'2-

I<£3X3'2 - К £4X4'2)/О2 = 2I\£3X2 х3/в2, = 2 К x4 x2 £4/в2, = 2Kx3£1x1/e2, = 2 К X2 Xs £2/в2, = (-4 - A'ti ж12 - к£2 Х2'2+ 1<£3Х3'2 - К£4Х4'2)/е2, = 2 К X4 Xs £4/в2, = (-4 + Atl ж12 - К£2 X2'2-

1<£4Х4'2 - 1<£3Х3'2)/&2, = 2Кх1 £2 х2/в2,

= 2Кх1£3х3/в2, = 2Кх1 £4х4/в2

Все 5 полей Яно можно представить в форме записи (общее решение):

2. Векторное поле Яно

Уравнение на векторное поле Яно в римановом пространстве имеет вид :

1

Г

/г;

где Д, - вектор Яно. Решение уравнения (8) ищем в виде

/г = и(х\х2,х3,х4)/в2.

На функции ti(x1, х2, .т3, .т4) получаются дифференциальные уравнения, приведем некоторые:

fi

= (KaijkXjxk + aSijXj + /?;) /92,

в данном выражении есть 5 произвольных констант Q',/31,/?2 ,/?3 ,/?4 - const, aijh = = aijk{Pi, Р2, р3, р4), a,ijk = aikj, коэффициенты этой матрицы легко найти, сравнив общий вид с найденными решениями.

3. Векторное поле Яно-Киллинга

Поле Яно-Киллинга в римановом пространстве задается условиями

^(.т1, .т2, х3

1 h t4(x^, х~, х3

+

t"3 .T3 ^(.T1, X2 , Xs

£4 .Т4 К

X

¿4 Хч

g^T-^J t^X1 , х2, х3, .т4) = О дх\дх'* ti(x1' Х~ > *т3' *т4) = О Ох3 дх1 f'4(X ' Х~ ' Х

§^ + .,„1 „2 „3 =0

" +

fl3+fTl=Q,flr,k = el3ki-gl

где д1 - некоторый вектор; е^-г = •

£{}Ы 1 здесь еуы ~ абсолютно антисимметричный тензор. Решение уравнения (9) ищем в виде

= из(х\х2,х3,х4)/е3.

24

В.А. Тюменцев

На функции (.т1, х2, .т3, .т4) получаются дифференциальные уравнения, по виду подобные уравнениям на функции ti(.т1, х2, х3, .т4) из предыдущего раздела. И решая данную систему уравнений, получим все тензоры Яно-Киллинга - 10 тензоров. В работе [5] приведены 4 решения уравнения (9) в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. В данной работе найдены еще 6. Они приведены ниже (верхний индекс в скобке нумерует тензоры Яно-Киллинга, нижние индексы -компоненты тензора):

= -2Ке1х4х1/@3, = 0

= 2Ке1х2х1/в3, = 21<£3х4х3/в3, = (4 - К£3 х3'2 - Кг1 ,ti2+ К'£4х4'2 + К£2х2'2)/в3, = 2Ке3х'2х3/в3, = —2 Кх3 ti х1 /О3, = 2Ке1х2х1/в3, = 0,

= (4 + К £3 X3'2 - К £ 1 ,Tl2 +

К£2Х2'2 - К£4Х4'2)/е3, = 2 К х4 х3 £4/в3, = -2 К X4 X2 £4/в3, = 0,

= 21<£1Х4Х1/в3, = -2Кх3£1х1/в3, = 2 К X2 X4 £-2/в3 , = —2 К X2 х3 t о/в3, = (-4 - К£з X3'2 + К£i X1'2-

К£4х4'2 + К£2Х2'2)/03, = 2 К X2 X4 £о/в3 , = 21<£3Х4Х3/в3, = (4 - К £3 X3'2 + К £4 .Т42-К£2Х22 +К£ l.Tl2)/e3,

= 2Кх1 £2Х2/в3, = 2Кх1£ З.т3/е3, = 2 К X2 X3 £2/в3 , = (4 + К £3 X3'2 - К £4 .Т42-

К £2 X22 + К £\ ,Tl2)/e3, = 2A'.T4.T3t4/ö3, = 2Кх1£2х'2/в3, = 0,

= -2Kx1£ix4/03, = (4 - К £3 X3'2 + К £2 .Т22 +

1<£1Х1'2 - К £4Х4'2)/О3,

=2К£3Х2Х3/в3,

' f^ =2Кх4х2£4/в3, /2(з6) = -2 К хЧ3х3/в3, = -2Kx1£4x4/e3,

f(6) _ Q

J 34 - и'

Также все 10 тензорных полей Яно-Киллинга можно представить в форме записи (общее решение) :

fij = (Kaijkixkxl + tijkiakxl + /%) /93.

В данном выражении есть 10 произвольных констант ak,/3ij - const, aijki = a,ijki(ak, /%) aijki = O'ijlk , O'ijkl+O'jikl = 0,/%+/% = о, коэффициенты матрицы a>ijki легко найти, сравнив общий вид с найденными решениями.

4. Выводы

В данной работе приведены новые поля Яно и Яно-Киллинга. Также найдено, что данные поля образуют полное множество решений в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры, т. е. число полей Яно - 5, и число тензоров Яно-Киллинга - 10. Как уже упоминалось вначале, по этим полям строятся спинорные операторы симметрии 1-го порядка для уравнения Дирака. Тогда из полученных результатов для полей следует важное заключение, что найдено исчерпывающее колличество спинорных операторов симметрии 1-го порядка в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры.

[1] Шаповалов A.B. Симметрия уравнения Дирака-Фока // Изв. вузов. Физика. 1975. № 2. С.57-63.

[2] Шаповалов В.Н., Экле Г.Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака. Элиста: Калмыц. ун-т, 1972.

[3] Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

[4] Биррел. Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. М.: Мир, 1984.

[5] Клишевич В.В., Тюмепцев В.А. // Вести. Ом. унта. 2000. № 3. С. 20-21.