re

Н.А. Вавилов, Jacobian Conjecture

В пятницу 21-го февраля 19.30 в ауд. 413 на 14 линии состоится первая
лекция полугодового спецкурса Н.А.Вавилова

JACOBIAN CONJECTURE

Спецкурс будет посвящен одной из самых старых и знаменитых нерешенных
проблем алгебры и алгебраической геометрии, проблеме якобиана,
сформулированной Келлером в 1939 году. Несмотря на многие сотни
посвященных ей работ, и рекордное число опубликованных ошибочных
решений, до сих пор открыт даже двумерный случай.
Двумерную проблему якобиана можно сформулировать в терминах
доступных ученику младших классов: доказать, что для любых двух
многочленов f,g из C[x,y] таких, что якобиева матрица, составленная из их
частных производных по x и y, обратима, имеет место равенство C[f,g]=C[x,y].
Напомним, что теорема о неявной функции утверждает, что в этом случае
отображение, переводящее (x,y) в (f(x,y),g(x,y)), обратимо формально.
Проблема якобиана состоит в том, чтобы доказать, что оно действительно
обратимо, причем обратное отображение также полиномиально.
Планируется рассказать (напоминая при этом все необходимые понятия
и факты) об общем контексте этой задачи и ее эквивалентных формах,
основных редукциях, известных частичных результатах, различных аналогах
и обобщениях. В частности, планируется рассказать результаты
Басса—Коннела—Райта и де Бондта—ван ден Эссена, сводящие проблему
к случаю кубических многочленов, теорему Абьянкара--Мо и т.д.
Несмотря на то, что сама задача допускает элементарную формулировку,
попытки ее решения служат поводом увидеть в действии многие разделы
алгебры и алгебраической геометрии (локально нильпотентные
дифференцирования, теорию Галуа, формальное обращение и т.д.).
В частности, будет рассказано о замечательных связях этой задачи с
алгебраической K-теорией.
Кроме того, это естественный контекст для обсуждения групп бирегулярных
и бирациональных автоморфизмов алгебраических многообразий. Мы
предполагаем обсудить (немногочисленные!) известные результаты о строении
таких групп и сформулировать основные нерешенные задачи. В этой связи
будет рассказано о ручных автоморфизмах (порожденная ими группа является
аналогом элементарной подгруппы в классических группах), подгруппах этих
групп, разложениях в амальгамированные произведения, инд-алгебраических
группах, и т.д.
Как обычно, планируется, что основная часть материала должна быть
понятна САМЫМ МАЛЕНЬКИМ, начиная со 2-го курса (а при некотором упорстве
и с 1-го курса), но большинство результатов, особенно недавние, будут
интересны и для специалистов.