Продольная устойчивость ребристой оболочки в разномодульной упругой среде

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 2 (35). С. 89—95

УДК 539.311

ПРОДОЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕБРИСТОЙ ОБОЛОЧКИ

V __ V

В РАЗНОМОДУЛЬНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

А. Ю. Кораблев, Е. И. Михайловский ,

Е. В. Тулубенская, Н. А. Беляева

Сыктывкарский государственный университет,

Россия, 167000, Сыктывкар, Октябрьский проспект, 55.

Рассматривается задача об устойчивости продольно сжимаемой шарнирно опёртой цилиндрической оболочки, подкреплённой стрингерами и расположенной на границе двух упругих сред различной жёсткости. Вывод уравнений производился при следующих допущениях: применяется упрощённая теория Доннела-Власова, деформация осесимметрична, стрингеры изгибаются в нормальной плоскости как гибкие стержни, на оболочку действует лишь нормальная нагрузка. Решение задачи ищется с помощью комбинированного алгоритма перебора вариантов. Суть метода заключается в последовательном применении алгоритмов полного и локального перебора вариантов. Алгоритм полного перебора вариантов предназначен для построения качественно адекватной формы, после чего для уточнения значения критической силы применяется локальный метод перебора вблизи корней приближения к искомой собственной форме. В результате проведенного численного эксперимента выяснено, что при увеличении количества стрингеров прочность оболочки повышается. Полученные результаты согласуются с результатами, полученными к настоящему времени в других работах.

Ключевые слова: устойчивость, шарнирно-опёртая цилиндрическая оболочка, комбинированный алгоритм перебора вариантов.

Введение. В работе [1] описана так называемая деформационная теория ребристых оболочек, главная особенность которой заключается в том, что в ней впервые наряду с реактивной силой учтён реактивный момент от ребра жёсткости. Названная теория подробно изложена в монографии [2]. В частности, уравнения статики конструктивно ортотропной цилиндрической оболочки, получаемые путём «размазывания» регулярной системы стрингеров,

Е. И. Михайловский

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1278 © 2014 Самарский государственный технический университет.

Образец цитирования: А. Ю. Кораблев, Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, Н. А. Беляева, “Продольная устойчивость ребристой оболочки в разномодульной упругой среде” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 2 (35). С. 89-95. doi: 10.14498/vsgtu1278.

Сведения об авторах: Кораблев Анатолий Юрьевич, аспирант, каф. математического моделирования и кибернетики. Евгений Ильич Михайловский (12.07.1937-11.07.2013) (д.ф.-м.н., проф.). Елена Владимировна Тулубенская (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. математического моделирования и кибернетики. Надежда Александровна Беляева (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. математического моделирования и кибернетики.

E-mail addresses: astroori@mail.ru

89

А. Ю. Кораблев, Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, Н. А. Беляева

имеют вид

c0Lu

R2q+1

Kv д4w

R2 +

-Ct

д 2u1

Ж

Kt д 4w

R2 дё2 д^2 K„ д4и2

R2 дё4

Kt д3и2 R2 дё2др

Здесь первая строка уравнения представляет собой матричную запись уравнений статики цилиндрической оболочки в смещениях; Kv, Kn — жёсткости стрингера при изгибе соответственно в нормальной плоскости и из этой плоскости; Kt — жёсткость при кручении; Ct — жёсткость стрингера при растяжении (сжатии); qi, q2, qn — нагрузка; l — расстояние между соседними стрингерами по дуге поперечного сечения; ё = x/R; p = y/R; R — радиус оболочки.

Будем рассматривать оболочку, расположенную на границе двух винкле-ровских сред различной жёсткости. Примем следующие допущения:

i) для расчёта оболочек без рёбер допустимо использовать упрощённую теорию Доннела—Власова [3, табл. 13.2, форм. (13.18с)];

ii) конструктивно ортотропная оболочка испытывает осесимметричную деформацию, т. е. ()f /др = 0 для любой функции f;

iii) стрингеры изгибаются в нормальной плоскости как гибкие стержни, т. е.

C д2ui = Kn д4U2 = 0

Ct дё2 = r2 дё4 =0;

iv) на оболочку действует лишь нормальная нагрузка, т. е. q1 = q2 = 0.

Тогда уравнению (1) можно придать вид

где

A

A

ui

u2

w

R2

со

0

0

qn

со

Eh

^V2 ’

d2() йё2 0

-v-

йё

0

1 - vd2() 0

—v

d0

йё

0

a33

a33

1 h2 (1 - V2)J

12 R2 + lhR2

d40

йё4

+1,

I — тождественный оператор, J — момент инерции поперечного сечения стержня, h — толщина неподкреплённой оболочки, E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона материала ребристой оболочки.

Для получения из системы (2) соответствующего уравнения относительно функции прогиба воспользуемся операторным методом [4].

«Детерминант» матрицы A имеет вид

det A

1 - v

2 V12R2 + lhR2 ) йё8 + 2 (1 V ) йё4 '

90

Продольная устойчивость ребристой оболочки ...

Заменяя в матрице A последний столбец правой частью уравнения (2) и вычисляя «детерминант» так составленной матрицы, получим

det Aw

1 — v R2 d4qn 2 co d£4

Применяя формально правило Крамера, можно записать w = det Aw/det A или (det A)w = det Aw. Последнее равенство после элементарных преобразований представляет искомое уравнение в виде

где

1 +

EJ \ d4w

Tdo) W

+ 4b4w

R4

~rqn,

4b4

12

R2 h2,

do

Eh3

12

Представим нормальную нагрузку в виде суммы

qn = qn + qn.

В условиях наличия внутри и вне оболочки винклеровых сред различной жёсткости ci, c2 соответственно, следуя [5], можно записать q'n = —ciw+ — — C2w-. Кроме этого, при рассмотрении продольной устойчивости цилиндрической оболочки от действия сжимающих усилий To следует положить [3]

и T0 d2w

qn = — R2.

Выполним замену

£

nR

nR x ~L~R

nx

~L

e [0, ,

где L — длина оболочки, и подставим соотношения (4) в уравнение (3), сохранив за новой переменной £ прежнее обозначение £, окончательно получим

d4w

+ 4e4w + Л

d2w

d2

+ k1w+ + k2w.

0.

Здесь

а

EJ

Jdo,

Л

ToL2 n2d0 ,

4в4

12(1 — v 2)L4 = Eh3 . = c;L4

n4R2h2 , do = 12(1 — v2), ki =

где To — сжимающие усилия. Обратим внимание, что параметр Л зависит от сжимающих усилий To.

1. Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальное уравнение (5):

91

А. Ю. Кораблев, Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, Н. А. Беляева

и найдём минимальное значение Л, соответствующее минимальной нагрузке, при котором краевая задача с граничными условиями шарнирного опирания

w(0) = w(n) = 0; w"(0) = w"(n) = 0

имеет нетривиальное решение.

Проинтегрируем по частям функционал, образованный уравнением (7), умноженный на w(£). Имеем

/*П /*П /*П /*П

(1 + a) w"2d£ + I w2d£ + kW w+2d£ + k2 w-2d£ =

J 0 J 0 JO J 0

ГП

= Л w'2d£.

0

Заменим формулу (8) приближённой с использованием дискретного представления функции w, задаваемой её значениями на равномерной сетке, т. е. wi = w(xi), i = 0,1,... ,n.

Аппроксимируем производные конечно-разностными схемами

, wi+1 - wi-1 „ wi+1 - 2wi + wi-1

w- = ----------; w- = -----------------

г 2 h ; г h2 .

Интегралы будем вычислять по квадратурной формуле трапеций:

£ f

n 2 - 2

Значения срезок функции в узлах сетки представляем формулами

1, wi > 0,

w+(£i) = hwh w-(£i) = (1 - bi)wi, bi = j 0, wi ^ 0.

Граничные условия шарнирного опирания аппроксимируем формулами

w-1 = wn+1 = 0, wo = w1/2, wn = wn-1/2.

После преобразования уравнение (7) примет вид

Aw + Cw = ЛQW.

Таким образом, необходимое условие минимума функционала имеет вид

A =

h3

Aw + Cw \Qw = 0,

пятидиагональные:

Г 3.25 -3.5 1

-3.5 6 4 1

a 1 -4 6 -4 1

1 -4 6 -4 1

1 -4 6 -3.5

1 -3.5 3.25

92

Продольная устойчивость ребристой оболочки ...

2.75 —0.5 —1

—0.5 2 0 —1

Q = — Q 4h —1 0 2 0 —1

—1 0 2 0 —1

—1 0 2 —0.5

—1 —0.5 2.75

C = diag [kibi + k2(1 — bi) + 4в4] h.

2. Комбинированный алгоритм. Для решения задачи будем использовать комбинированный алгоритм, который включает в себя применение на первой стадии алгоритма полного перебора вариантов (ППВ), а на последующих — локального перебора вариантов (ЛПВ) [6].

Для построения части собственного спектра уравнения применяется алгоритм ППВ форм изгиба, который заключается в следующем:

i) перебираются все 2m-i возможных представления вектора формы

b = [bi,b2,...,bm-i]T;

ii) для каждого варианта вектора формы решается задача на собственные значения;

iii) запоминается собственная пара (число и форма), для которой форма изгиба согласуется с выбранным вектором формы.

В процессе применения алгоритма ППВ получаем качественно адекватную форму, то есть собственную форму, имеющую устойчивый с ростом m вид графика.

После этого будем применять алгоритм ЛПВ, используя в качестве приближения полученную качественно адекватную форму:

j) последовательно удваиваем число узлов сетки путём деления интервалов пополам;

jj) осуществляем перебор вариантов лишь вблизи корней последнего приближения к искомой собственной форме;

jjj) процесс продолжается до тех пор, пока соответствующее собственное значение не стабилизируется с требуемой точностью.

Проблема нахождения собственных пар для каждого вектора формы решалась с использованием QR-алгоритма, описанного в [8].

Исходная задача

Aw + Cw — AQw = 0

приводится к виду

Q-1(A + C )w = Aw.

Введём следующее обозначение у! = Q-1(A + C). Здесь у! — симметричная положительно определённая матрица, значит, она имеет вещественные собственные числа.

В соответствии с теоремами 3.2.20 и 3.2.46 из [7] реализуется следующий итерационный процесс:

1) A0 = A; 2) Q(fc)R(fc) = A(fc-1)A(fc) = R(fc)Q(fc).

93

А. Ю. Кораблев, Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, Н. А. Беляева

Все полученные матрицы Q(i) перемножаются. В результате столбцы полученной матрицы будут представлять собой собственные векторы, а на диагонали последней матрицы A(k) будут находиться собственные числа.

Таким образом с использованием QR-алгоритма на каждом шаге комбинированного алгоритма возможно эффективное отыскание собственных пар.

3. Численное решение. Применим комбинированный ««ППВ+ЛПВ»-алго-ритм (ППВ при n = 6, ЛПВ при n = 24) при ki = 16 и k2 = 18. Значения параметра а будем изменять в пределах от 0 до 90. Зафиксируем значение параметра 4в4 = 43.68 и согласно формуле (6) получим следующие значения.

а 0 10 30 50 70 90

Л 17.5 61.7 91.9 112.1 132.3 152.5

Из полученных значений видно, что при увеличении параметра а (а = 0 — оболочка, не подкреплённая стрингерами) прочность оболочки повышается, т. к. увеличивается значение Л, а значит, и значение первой критической силы.

Фиксируя значения L и v, получаем зависимость Л от h/R и а. На рисунке приведены графики зависимости Л от h/R при а = 10, 50 и 90 (L = 200 см, v = 0.3).

Заключение. В результате проведённого численного эксперимента видно, что при увеличении параметра а и при уменьшении h/R значение Л увеличивается, в результате чего повышается прочность оболочки. Полученные результаты согласуются с результатами, полученными в статье [6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ/ REFERENCES

1. Е. И. Михайловский, Математические модели механики упругих тел. Сыктывкар: Сыктывкарск. ун-т, 2007. 516 с. [E. I. Mikhailovsky, Matematicheskiye modeli mekhaniki uprugikh tel [Mathematical models of elastic bodies], Syktyvkar, Syktyvkar Univ. Press, 2007, 516 pp. (In Russian)]

2. В. В. Новожилов, К. Ф. Черных, Е. И. Михайловский, Линейная теория тонких оболочек. Л.: Политехника, 1991. 656 с. [V. V. Novozhilov, K. F. Chernykh, E. I. Mikhailovsky, Lineynaya teoriya tonkikh obolochek [Linear Theory of Thin Shells], Leningrad, Politekhnika, 1991, 656 pp. (In Russian)]

3. А. С. Вольмир, Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1969. 984 с. [A. S. Vol’mir, Ustoychivost’ deformiruyemykh sistem [Stability of Deformable Systems], Moscow, Nauka, 1969, 984 pp. (In Russian)]

4. А. П. Филин, Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат, 1989. 384 с. [A. P. Filin, Elementy teorii obolochek [Elements of Shells Theory], Leningrad, Stroyizdat, 1989, 384 pp. (In Russian)]

5. Е. И. Михайловский, Элементы конструктивно-нелинейной механики. Сыктывкар: Сыктывкарск. ун-т, 2011. 201 с. [E. I. Mikhailovsky, Elementy konstruktivno-nelineynoy mekhaniki [Elements of constructive nonlinear mechanics], Syktyvkar, Syktyvkar Univ. Press, 2011, 201 pp. (In Russian)]

94

Продольная устойчивость ребристой оболочки ...

6. Е. И. Михайловский, Е. В. Тулубенская, “Алгоритм локального перебора вариантов в одной существенно нелинейной спектральной задаче”// ПММ, 2010. Т. 74, №2. С. 299310; Ye. I. Mikhailovskii, Yu. V. Tulubenskaya, “An algorithm for the local exhaustive search for alternatives in an essentially non-linear eigenvalue problem”, J. Appl. Math. Mech., 2010, vol. 74, no. 2, pp. 214-222 doi: 10.1016/j.jappmathmech.2010.05.012.

7. D. S. Watkins, Fundamentals of matrix computations, New York, John Wiley & Sons, 2002, xiii+620 pp. doi: 10.1002/0471249718.

8. M. Panju, “Iterative Methods for Computing Eigenvalues and Eigenvector”, The Waterloo Mathematics Review, 2011, vol. 1, pp. 9-19, arXiv: 1105.1185 [math.NA].

Поступила в редакцию 26/XI/2013; в окончательном варианте — 24/XII/2013; принята в печать — 19/III/2014.

MSC: 74B20; 74K25, 74K05

A LONGITUDINAL STABILITY OF A RIBBED COVER IN A MULTIMODULUS ELASTIC MEDIUM

A. Yu. Korablev, E. I. Mikhailovsky ,

E. V. Tulubenskaya, N. A. Belyaeva

Syktyvkar State University,

55, Oktyabr’skiy pr., Syktyvkar, 167001, Russian Federation.

The stability of a longitudinal compressed hinge-supported cylindrical cover stiffened by stringers and located on the border of two Winkler’s ambiences is considered. The derivation of the equations was carried out under the assumptions: using a simplified, theory of Donnell-Vlasov, axisymmetric deformation of a cover, only normal load acts on the shell. The problem is solved using a combined exhaustive search algorithm. This method includes full and local search of variants to search a form deflection and a critical force. Full search of variants is required to construct a form deflection of a shell. Local search of variants is necessary to clarify a critical force. As a result of numerical experiments we found out that increasing the number of stringers reinforces the shell. These results are consistent with the results obtained in the other works.

Keywords: stability, hinge-supported cylindrical cover, combined exhaustive search algorithm.

E. I. Mikhailovsky

Received 26/XI/2013;

received in revised form 24/XII/2013;

accepted 19/III/2014.

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1278 © 2014 Samara State Technical University.

Citation: A. Yu. Korablev, E. I. Mikhailovsky, E. V. Tulubenskaya, N. A. Belyaeva, “A Longitudinal Stability of a Ribbed Cover in a Multimodulus Elastic Medium”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 2

Author Details: Anatoly Yu. Korablev, Postgraduate Student, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics. Eugeny I. Mikhailovsky (12.07.1937-11.07.2013) (Dr. Phys. & Math. Sci.). Elena V. Tulubenskaya (Cand. Phys. & Math. Sci.), Associate Professor, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics. Nadezhda A. Belyaeva (Dr. Phys. & Math. Sci.), Professor, Dept. of Mathematical Modeling and Cybernetics.

E-mail addresses: astroori@mail.ru

95