Оптимальное управление размером жесткого включения в задаче о равновесии неоднородного трехмерного тела с трещиной

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, №2

УДК 539.371; 517.977

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РАЗМЕРОМ ЖЕСТКОГО ВКЛЮЧЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ НЕОДНОРОДНОГО ТРЕХМЕРНОГО ТЕЛА С ТРЕЩИНОЙ Н. П. Лазарев

Аннотация. Рассматриваются задачи о равновесии для неоднородных трехмерных тел с трещиной, расположенной на границе жесткого включения. Матрица пластины предполагается упругой. Граничное условие на кривой трещины имеет вид неравенства и описывает взаимное непроникание берегов трещины. Анализируется зависимость решений от размера жесткого включения. Показано, что при стремлении размера жесткого включения к нулю решения соответствующих задач о равновесии сходятся к решению задачи о равновесии тела, содержащего тонкое жесткое включение. Доказана разрешимость задачи оптимального управления. Для этой задачи параметр размер жесткого включения выбирается в качестве функции управления, а функционал качества задается произвольным непрерывным функционалом.

Ключевые слова: трещина, жесткое включение, вариационное неравенство, функционал энергии, нелинейные краевые условия.

Введение

Интерес к изучению математических моделей тел, содержащих жесткие включения, обусловлен широким применением композитных материалов. В [1-5] рассматривались некоторые задачи теории упругости для тел с трещинами и жесткими включениями. С помощью методов вариационного исчисления [6-21] успешно исследован широкий круг задач, описывающих деформирование упругих тел с жесткими включениями. В частности, теория двумерных задач теории упругости с тонкими жесткими включениями и возможным отслоением предложена в [6]. Трехмерный случай рассмотрен в [9]. Для двумерной задачи с трещиной вдоль тонкого жесткого включения найдена производная функционала энергии [11]. Для двумерного случая в [21] доказано существование оптимального жесткого включения. В этой работе функционал качества определен формулой Гриффитса.

В данной работе устанавливается качественная связь между задачами о равновесии трехмерных тел с трещиной вдоль разных видов жестких включений: тонкого, которое задается поверхностью, и объемного, соответствующего трехмерной области. При этом на поверхности, описывающей трещину, ставятся условия непроникания в виде неравенств. Доказана разрешимость задачи

© 2016 Лазарев Н. П.

оптимального управления, в которой параметр управления задается размером жесткого включения, а функционал качества — произвольным непрерывным функционалом, определенным в пространстве Соболева.

Постановка задачи. Пусть О С R3 — область с гладкой границей Г. Пусть поверхность 7, содержащаяся в области О, задается соотношениями

Y = {(жх, Ж2, Хз) € R3 | Хз = Ж2), (xi, Ж2) € Щ,

где g € С0'х(^), Ф — односвязная ограниченная область в R3. Будем считать, что область О можно разбить продолжением поверхности 7 на две подобласти ill и О2 с липшицевыми границами dil 1, ¿Ю2 соответственно так, чтобы П = Til Ufi2,TC <901 п дп2, тез(<90г П Г) > 0, i = 1, 2. Предположим, что при t € (0,to] области

wt = {(жх,Ж2,жз) € R3 | g(xi,Ж2) — t < Ж3 < g(xi,Ж2), (жх,Ж2) € Щ

имеют липшицевы границы и содержатся строго внутри области О. Кроме того, предположим, что существует область S с границей dS такая, что 7 С dS, ujt С <?, § С О границы областей S\pt липшицевы для всех t £ (0, io]-

Далее с помощью поверхности 7 будем описывать трещину в трехмерном теле. Через v = (vx,v2,V3) обозначим нормаль к 7. Введем область с разрезом О7 = О\7. В качестве области, соответствующей жесткому включению, выступает криволинейный прямоугольник wt ширины t. Обозначим через W = (wx,w2,w3) вектор перемещений. Тензоры, описывающие напряженно-деформирование состояние тела, введем формулами

£ij(W) = ^(wij +wjji), i,j = 1,2,3,

Vj (W) = cljkl £ij (W), i,j = 1, 2, 3,

где cijki € LTO(0), i, j, k, l =1, 2, 3, — тензор коэффициентов упругости, удовлетворяющий свойствам положительной определенности

Cijki£ki > co|C|2 = j i, j = 1, 2, 3, co = const > 0.

и симметричности cjki = ckiij = jki, i,j, k,l = 1, 2, 3. Перемещения в области жесткого включения имеют определенную структуру [19]

R

612, 613, 623, ci, c2, c3 € R, ж € wt}.

Пусть подпространство Hх'0(О7) пространства Соболева Hx(Oy) состоит из функций, обращающихся в нуль на 7. Введем обозначение

H (О7) = H х'0(о7 )3.

Далее пригодится следующее неравенство Корна:

Vij

с постоянной с > 0, не зависящей от Ш € Н(07) [19].

Замечание. В силу неравенства (1) стандартная норма в пространстве Н(07) эквивалентна норме, определяемой с помощью выражения

Г \1/2

(Ш)еу- (Ш) ¿х! .

Условие на поверхности 7, описывающее непроникание противоположных берегов трещины, имеет вид [19]

[Ш]^ > 0 на 7.

Функционал энергии тела с трещиной имеет вид

= ^ J ! РШйх,

где .Р = (/1;/2,/э) € Ь2(07)3 — функция заданных внешних нагрузок [19]. Задача о равновесии трехмерного тела формулируется в виде минимизации функционала энергии: требуется найти функцию Щ € такую, что

П

где ^ = {Ш € Н(07) | [Ш]^ > 0 на 7, Ш= р, р € Д(ш4)}. Известно, что задача (2) имеет единственное решение Щ € Kt и эквивалентна вариационному неравенству [17]

Щ € Щ, У а,-

Заметим, что в силу соотношений, выполненных в области ш^, имеют место равенства е^ (Ш) = 0, = 1, 2, 3, для всех Ш € Kt. Значит, (4) можно представить в виде

Щ € Щ, У

Наряду с задачей о равновесии тела с объемным жестким включением рассмотрим также задачу о равновесии тела с тонким отслоившимся включением. При этом предполагаем, что тонкое жесткое включение описывается с помощью поверхности 7, а трещина расположена вдоль 7+. Введем обозначения

Я(т) = {р = р(х) | р = (612X2+613X3+С1, -&12Ж1 +623X3+С2, -613X1 -623X2 +сз),

612,613,623,С1,С2,С3 € М, X € 7}.

Ko = {Ш € Н(П7) | [Ш]^ > 0 на 7, Ш|„- = р, р € Д(7)}.

Рассмотрим вариационную формулировку этой задачи: требуется найти функцию Uo £ Ко такую, что

П

W eKo

Однозначная разрешимость этой задачи известна [6], кроме того, она эквивалентна следующему вариационному неравенству:

Uo £ Ко, J

С целью формулировки задачи об оптимальном управлении рассмотрим произвольный непрерывный функционал G(W) : H(07) ^ R. Например, в качестве такого функционала могут быть взяты следующие функционалы:

7

где G1 характеризует отклонение от заданных перемещений W, G2 — величину раскрытия трещины.

Задачу оптимального управления сформулируем в следующем виде. Требуется найти t* £ [0, to] такое, что

G

te[o,to]

а Ut — решение задачи (3) при t > 0 и Uo — решение задачи (6).

Теорема. Задача оптимального управления (8) имеет по крайней мере одно решение.

Доказательство. Пусть {tn} — максимизирующая последовательность. Ввиду ограниченности сегмента [0, to] можно извлечь сходящуюся последовательность {tnk} С {tn} такую, что

tnk ^ t* при k ^ го, t* £ [0, to].

Не нарушая общности, предположим, что tnk = t* для достаточно больших k, поскольку в противном случае должна найтись подпоследовательность {tni} такая, что tni = t* и, следовательно, G(Ut*) — решение задачи (8). Итак, рассмотрим случай подпоследовательности {tnk}, удовлетворяющей tnk = t* для достаточно больших k. Принимая во внимание доказанную ниже лемму 2, выводим, что решения Uk задач (3), соответствующие параметрам tnk, сходятся сильно к Ut* в пространстве H(07) при k ^ го. Это позволяет установить сходимость

G(Uk) ^ G(Ut*),

поэтому

G(Ut*)= sup G(Ut). te[o,to]

Теорема доказана.

Далее докажем две вспомогательные леммы.

Лемма 1. Пусть Ь* € [0,Ьо) — фиксированный параметр, последовательность чисел {Ьп} С [Ь*, Ьо] сходится к Ь* при п ^ то. Тогда для произвольной функции Ш € К4* существуют подпоследовательность } = {ЬПк} С {Ьп} и последовательность функций {Ш^} такие, что € К<к, к € М, и ^ слабо в Н(О7) при к ^ то.

Доказательство. Очевидно, что если существует подпоследовательность {ЬПк} такая, что Ьпк = Ь*, то утверждение леммы выполнено для = Ш, к € N. Поэтому далее предполагаем, что Ьп > Ь* для достаточно больших п. Обозначим через р* функцию, описывающую структуру Ш в для случая Ь* > 0, т. е.

р* = Ш = (&12ж2 + Ь13жэ + с1, -Ь12Ж1 + &2зжз + с2, —Ь13Ж1 - Ь*3Ж2 + с*) в ш4*.

В другом случае, когда Ь* = 0 и функция Ш имеет заданную структуру на 7-, применим такое же обозначение, т. е. р* = Ш на 7-. Доопределим функцию р* на всей области О с помощью равенства

р* = (Ь*2Х2 + Ь*3жз + с1, —&12Ж1 + Ь*3Ж3 + с*, — Ь*3Ж1 — Ь*3Ж2 + с*), х € О.

Зафиксируем произвольное значение Ь € (0, Ьо] и рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Требуется найти Ш € К такую, что

р

хек[

где

Р(Х) = ^ ^ (Х — Ш^ (Х — Ш) ^х.

г!

К[ = {х е Я (П7) I X = И^ на (ЗАтГ, хк = Р*, х\п\1 = Ж}. Легко видеть, что функционал р(х) коэрцитивен и слабо полунепрерывен снизу в пространстве Н(О7). Кроме того, легко проверить, что множество К выпукло и замкнуто в Н(О7). Эти свойства гарантируют существование единственного решения Ш задачи (9) [16]. Поскольку функционал р(х) выпуклый и дифференцируемый в пространстве Н(О7), задача (9) эквивалентна следующему вариационному неравенству:

Ш € К', I а13

Заметим, что решение задачи (10), соответствующее параметру Ь = Ьо, принадлежит множествам Кс любым параметром Ь' € (0, Ьо]. Подставляя Ш4о в качестве пробной функции в неравенство (10), получим

У (Шг—Ш(Шго) ¿х^ (Ш)еу- (Ш4) ¿х > ^ (Ш^- Ш ¿х, Ь € (0,Ьо].

Используя неравенство Корна, из последнего соотношения выводим следующую равномерную оценку:

М < с, Ь € (0,Ьо].

Это означает, что можно извлечь из } подпоследовательность } (ее

далее будем обозначать через {"к}) такую, что {"к} слабо сходится к некоторой функции " в Н(07). Пусть для удобства обозначение {¿к} означает следующую последовательность: ¿к = .

Покажем, что " = ". Далее мы должны различать два случая относительно значения Ь*, а именно случаи Ь* > 0 и Ь* =0. Пусть сначала Ь* > 0. Тогда по построению (И^ — \¥) £  Следовательно, ввиду слабой замкну-

тости ;4*)3 заключаем, что (IV — IV) £ Рассмотрим пробные

функции вида х± = "к ± а, где а — произвольная функция из пространства Сд°(<!>\с^*)3, продолженная нулем на область Г27.

Заметим, что х± € для достаточно больших к. Подставим далее функции х+ и х-, к = 1, 2,..., в качестве тестовых в вариационные неравенства (10), соответствующие значениям ¿к. В результате имеем

"к € , У сту

Переходя к пределу в (11) при к ^ го с фиксированной функцией а, получим ! (ТцфУ - УУ)ец(а)(1х= ^ -Цг)е^{а) ¿х = а £ С0°°(Л^*)3-

Плотность в влечет равенство IV — IV = 0 в

Наконец, по построению равенство " = " выполнено в областях и . Значит, " = " в Н(07). Таким образом, существует последовательность {"к} такая, что € для всех к € N и ^ " слабо в Н(07) при к ^ го.

Рассмотрим теперь второй случай. Пусть Ь* = 0. По построению имеем — ") € Н0(^)3 и, следовательно, соотношение (" — ") € Н0(^)3 выполнено. Выберем пробные функции вида х± = "к ± а, где а — произвольная функция из пространства С^(^?)3, продолженная нулем на область 07. Для достаточно больших к справедливо включение х± € . Подставляя эти функции в неравенства (10), соответствующие значениям ¿к, извлекаем

" € , У сту

§

Зафиксируем функцию а в (12) и перейдем к пределу при к ^ го. В итоге находим

У сту

§

Плотность С^ в Н|1(^?) позволяет получить из (13) равенство " — " = 0 в Н1(£)ъ. Кроме того, по построению IV — IV = 0 в области и на границе Это означает, что " = " в Н(07). Итак, и во втором случае имеем последовательность {"к}, удовлетворяющую соотношениям "к € , "к ^ " слабо в Н(07). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть Ь* € [0, Ьо] — фиксированное число. Тогда имеет место сильная сходимость Щ ^ иг* в пространстве Н(О7) при Ь ^ Ь*, где Щ — решение задачи (3), соответствующее параметру Ь € (0, Ьо], а Щ* является решением задачи (3) при Ь* > 0 и задачи (6) — при Ь* = 0.

Доказательство. Докажем от противного. Предположим, что существуют число бо > 0 и последовательность {Ьп} С (0,Ьо] такие, что Ьп ^ Ь*, ||ип — Щ* || > бо, где ип = игп, п € М, являются решениями задач (3), соответствующих параметрам Ьп.

Поскольку Шо = 0 € Кг для всех Ь € [0, Ьо], мы можем подставить Ш = Шо в (4) для любого фиксированного Ь € (0, Ьо] и в неравенство (7) при Ь = 0. Это влечет соотношение

Щ € Кг, У (Ц^-(Ц*) ¿х < ^ ¿х УЬ € [0,Ьо]. Отсюда, используя соотношение (1), выводим равномерную по Ь € [0, Ьо] оценку

М < с

с постоянной с > 0, не зависящей от Ь. Следовательно, заменяя ип ее подпоследовательностью в случае необходимости, можно считать, что ип сходится к некоторой функции И слабо в Н (О7).

Покажем, что и € Кг*. В самом деле, имеем ип|Ш(п = рп € ). В соот-

ветствии с теоремами вложения Соболева [22] находим

Ц"п|ш4* ^ и|ш4* сильно в ¿2

Щп|7 ^ и|7 сильно в Ь2

Выбирая при необходимости подпоследовательности, можно считать, что ип ^ И п. в. в шг* при п ^ то. Это позволяет заключить, что каждая из числовых последовательностей {&п2}, {^3}, {^3}, {сп}, {сп}, {сп}, определяющих структуру рп в областях , ограничена по абсолютной величине. Поэтому можем извлечь сходящиеся числовые подпоследовательности (с сохранением обозначений):

Ьп2 ^ Ь12, &п3 ^ Ь13, &п3 ^ Ь23, сп ^ сг, г = 1, 2, 3, при п ^ то.

Снова рассмотрим два случая: Ь* = 0 и Ь* > 0. В первом случае для последовательности {ип}, соответствующей выбранным числовым последовательностям {ьп2>, {%}, {ьп3>, {сп}, {сп}, {сп}, выполняется

Цп|7- ^ (Ь12х2 + Ь13х3 + с1, — Ь12х1 + Ь23х3 + с2, — — Ь23х2 + с3) сильно в Ь2(7)3 при п ^ то. Последнее вместе с (14) приводит к равенству

и = (Ь12х2 + &13х3 + с1, —Ь12х1 + Ь23х3 + с2, — &13х1 — Ь23х2 + с3) п. в. на 7-. Это означает, что и|7- € Д(7).

Исследуем второй случай. Для последовательности {Ьп} найдется либо подпоследовательность {Ьк} С {Ьп}, сходящаяся слева к Ь*, либо подпоследовательность {Ьк} С {Ьп} такая, что Ьк > Ь* для всех к € N.

Если существует подпоследовательность {Ьк} С {Ьп} такая, что Ьк > Ь* для всех к € М, то можно легко установить сильную сходимость

ЦкЦ* ^

в пространстве Ь2(шг*)3 при к ^ то. Таким образом, из (14) и (17) вытекает, что имеет место включение и|Ш(* € ).

Предположим теперь, что существует сходящаяся слева подпоследовательность {Ьк} С {Ьп}, т. е. Ьк < Ь* для всех к € N и Ьк ^ Ь* при к ^ то. В рамках этого предположения для фиксированного к ' € N и соответствующего значения Ь' = Ьк' имеем сильную сходимость

Цк^' ^

в пространстве Ь2(шг')3 при к ^ то. Определим функцию в равенством = Ь12х2 + Ь13х3 + с1. В силу (18) и1к ^ сильно в ) при к ^ то. Ввиду

абсолютной непрерывности интеграла Лебега для любого положительного б > 0 можно выбрать номер к ' € N и соответствующее число Ь' = Ьк' такие, что

11^11 < л/ё, Н^Нь2^*^') < л/1.

Используя дважды неравенство треугольника, получим

Следовательно, справедливы соотношения

<

Отсюда, поскольку для достаточно больших к имеют место неравенства I\и1к < л/ё, \\и1к Ь2(ш,,) < л/ё,

вытекает, что (19) меньше чем 10б. Таким образом, и1к ^ ^ сильно в Ь2(шг*). Принимая во внимание (14),

выводим г/1— в .

Аналогично

^Ц* = — Ь12х1 + Ь23х3 + с2 п. в. в Ш4* , г^Ц* = — Ь13х1 — Ь23х2 + с3 п. в. в ш4*.

Значит, справедливо включение и|Ш(* € Д(шг*). В итоге для всех возможных случаев имеем и|Ш(* € Д(шг*).

Остается показать, что U удовлетворяет неравенству [U]v > 0 на 7. Ввиду сходимости (15) мы можем извлечь еще раз подпоследовательности и считать, что Un|Y ^ U|7 п. в. на 7±. Этот факт позволяет перейти к пределу при n ^ го в следующих неравенствах:

[Un]v > 0 на 7.

В результате имеем [U\v > 0 на 7. Последнее обеспечивает включение U £ Kt*.

Целью последующих рассуждений является доказательство справедливости равенства U = Ut* и существования сильно сходящейся к Ut* в пространстве H(07) последовательности решений Un = Utn, n = 1, 2,.... Заметим, что для сходящейся к t* последовательности {tn} существует либо подпоследовательность {tni} такая, что tni < t* для всех l £ N, либо подпоследовательность {tnm}, удовлетворяющая tnm > t* для всех m £ N.

Для первого случая имеем подпоследовательность {tn} С (0, to] со свойством tni < t* для всех l £ N. Это означает, что t* > 0. Для удобства будем обозначать эту последовательность через {tn}. Поскольку tn < t* для всех n £ N, произвольная тестовая функция W из множества Kt* принадлежит также множеству Ktn. Это свойство позволяет перейти к пределу при n ^ го в следующих неравенствах с тестовой функцией W £ Kt*:

U„ £ Kt„, У сту (Un)e(W - U„) dx > J F(W - Un) dx, tn £ (0,t*].

С учетом слабой сходимости Un ^ U в H(07) предельное неравенство примет вид

У сту (U)e(W - U) dx > У F(W - U) dx, W £ Kt*.

Ввиду произвольности W £ Kt* последнее неравенство является вариационным. Поэтому из него вытекает, что U = Ut*. Чтобы завершить доказательство для первого случая, нужно установить сильную сходимость Un ^ Ut*. Подставив W = 2Ut и W = 0 в вариационные неравенства (4) для t £ (0, to], получим

Ut £ Kt, У сту

Последнее равенство вместе с (4) гарантируют, что неравенство

Ut £ Kt, У сту

выполнено для всех t £ (0, to]. В силу слабой сходимости Un ^ Ut* в H(07) при n ^ го и соотношения (20) находим

lim / сту(Un)ey(Un) dx = lim / FUn dx = FUt* dx = сту (Ut*)еу (Ut*) dx. n—J n—/ / /

Ввиду эквивалентности норм (см. замечание) последняя цепочка означает, что Un ^ Ut* сильно в H(07) при n ^ го. Таким образом, в первом случае получено противоречие с исходным предположением: ||Un - Ut* У > е для всех n £ N.

Рассмотрим второй случай, т. е. предположим, что элементы подпоследовательности {tnm } удовлетворяют tnm > t* для всех m £ N. Для удобства будем обозначать ее через {tn}. Итак, tn ^ t* и tn > t* для всех n £ N. Принимая во внимание результаты из начала доказательства, получим, что Un ^ U слабо в H(07) при n ^ го. Сначала докажем, что Un ^ U сильно в H(07) при n ^ го. Ввиду слабой сходимости Un ^ U в H(07) при n ^ го из (20) извлекаем

lim /сту

n—TO о о'

Затем для фиксированного t £ (0, t0], подставляя пробные функции вида W = Ut' £ Kf С Kt с произвольными числами t' £ (0,to], t' > t, в вариационное неравенство (21), соответствующее параметру t, получим

У сту (Ц^еу (^) ¿ж > I ¿ж.

Отсюда можно сделать заключение, что для всех и Ьт, удовлетворяющих < Ьт, выполнено неравенство

У сту

о

Зафиксируем произвольное значение т € N в (23) и перейдем к пределу при п ^ го в последнем неравенстве. В итоге получим

У сту

Затем, переходя к пределу в (24) при т ^ го, находим

У сту (Ц)еу (Ц) ¿ж >1 ¿ж.

Отсюда с помощью формулы (22) и слабой полунепрерывности функционала, определяемого билинейной формой ^ сту (")еу (") ¿ж, выводим соотношения

j сту(U)бу(U) dx >у FJ dx = lim j сту(Un)ejj(Un) dx >j сту(U)еу(U) dx. Значит,

У сту (U)£у (U) dx = nlirn^ У сту (Un)elj (Un) dx.

Снова используя эквивалентность норм (см. замечание), извлекаем, что Un ^ U сильно в H(07) при n ^ то.

В соответствии с леммой 1 для всех W £ Kt* найдутся подпоследовательность {tk} = {tnk} С {tn} и последовательность функций {Wk} такие, что Wk £ Ktk и Wk ^ W слабо в H(07) при k ^ то.

Свойства, установленные для сходящихся последовательностей {Wk} и {Un}, позволяют перейти к пределу при k ^ то в следующих неравенствах, полученных из (4) для tk и тестовых функций Wk:

У (Uk)ey (Wk - Uk) dx > J F(Wk - Uk) dx.

В результате находим

J CTij (U)£ij (W - U) dx > J F(W - U) dx, W £ Kt*.

Однозначная разрешимость данного вариационного неравенства влечет, что U = Ut*. Таким образом, во всех случаях существует подпоследовательность {tnk} С {tn} такая, что tk ^ t*, Uk ^ Ut* сильно в H(07); противоречие. Лемма доказана.

Леммы 1 и 2 устанавливают качественную связь между задачами о равновесии трехмерных с жесткими включениями разного размера.

В частности, доказано, что задача о равновесии пластины с тонким жестким включением является предельной для семейства задач о равновесии трехмерных тел с объемным жестким включением.

ЛИТЕРАТУРА

1. Maiti M. On the extension of a crack due to rigid inclusions // Int. J. Fracture. 1979. V. 15. P. 389-393.

2. Моссаковский В. И., Рыбка М. Т. Обобщение критерия Гриффитса — Снеддона на случай неоднородного тела // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28, № 6. С. 1061-1069.

3. Xiao Z. M., Chen B. J. Stress intensity factor for a Griffith crack interacting with a coated inclusion // Int. J. Fracture. 2001. V. 108. P. 193-205.

4. Erdogan F., Gupta G. D., Ratwani M. Interaction between a circular inclusion and an arbitrarily oriented crack // ASME J. Appl. Mech. 1974. V. 41. P. 1007-1013.

5. Sendeckyj G. P. Interaction of cracks with rigid inclusions in longitudinal shear deformation // Int. J. Fracture Mech. 1974. V. 101. P. 45-52.

6. Лойгеринг Г., Хлуднев А. М. О равновесии упругих тел, содержащих тонкие жесткие включения // Докл. АН. 2010. Т. 43, № 1. С. 1-4.

7. Khludnev A. M., Faella L., Popova T. S. Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies // Math. Mech. Solids. 2015. DOI: 10.1177/1081286515594655

8. Попова Т. С. Задача о равновесии вязкоупругого тела с трещиной и тонким жестким включением // Мат. заметки СВФУ. 2014. Т. 21, № 2. С. 94-105.

9. Khludnev A. M., Novotny A. A., Sokolowski J., Zochowski A. Shape and topology sensitivity analysis for cracks in elastic bodies on boundaries of rigid inclusions //J. Mech. Phys. Solids. 2009. V. 57, N 10. P. 1718-1732.

10. Рудой Е. М. Анализ чувствительности решения задачи равновесия упругого тела с тонким жестким включением к изменению формы области // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2014. Т. 14, № 2. С. 69-87.

11. Rudoy E. M. Shape derivative of the energy functional in a problem for a thin rigid inclusion in an elastic body // Z. Angew. Math. Phys. 2015. V. 66, N 4. P. 1923-1937.

12. Неустроева Н. В. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину на границе жесткого включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. Т. 18, № 2. С. 74-84.

13. Щербаков В. В. Об одной задаче управления формой тонких включений в упругих телах // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, № 1. С. 138-147.

14. Ротанова Т. А. Контакт пластин, жесткие включения в которых выходят на границу // Вестн. ТГУ. Математика и механика. 2011. № 3. С. 99-107.

15. Хлуднев A. M. Задача о трещине на границе жесткого включения в упругой пластине // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2010. № 5. С. 98-110.

16. Khludnev A. M., Kovtunenko V. A. Analysis of cracks in solids. Southampton; Boston: WIT-Press, 2000.

17. Khludnev A. M. Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions // Eur. J. Mech., A, Solids. 2010. V. 29, N 3. P. 392-399.

18. Khludnev A. M. Shape control of thin rigid inclusions and cracks in elastic bodies // Arch. Appl. Mech. 2013. V. 83, N 10. P. 1493-1509.

19. Хлуднев А. М. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

20. Хлуднев А. М. Об изгибе упругой пластины с отслоившимся тонким жестким включением // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. Т. 14, № 1. С. 114-126.

21. Lazarev N. P. Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack // Z. Angew. Math. Mech. 2015. V. 96, N 4. P. 509-518.

22. Adams R. A., Fournier J. J. F. Sobolev spaces. New York: Acad. Press, 2003. (Pure Appl. Math.; V. 140).

Статья поступила 20 декабря 201-5 г. Лазарев Нюргун Петрович

Научно-исследовательский институт математики СВФУ, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000;

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, ул. Лаврентьева, 15, Новосибирск 630090 nyurgunSngs.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, №2

UDC 539.371; 517.977

OPTIMAL SIZE CONTROL OF A RIGID INCLUSION IN EQUILIBRIUM PROBLEMS FOR INHOMOGENEOUS THREE-DIMENSIONAL BODIES WITH A CRACK N. P. Lazarev

Abstract: We consider equilibrium problems for an inhomogeneous three-dimensional body with a crack at the inclusion-matrix interface. The matrix of the plate is assumed to be elastic. The boundary condition on the crack curve is given in the form of inequality and describes mutual nonpenetration of the crack faces. We analyze the dependence of solutions on the size of the rigid inclusion. It is shown that as the size of the rigid inclusion's volume tends to zero the solutions of the corresponding equilibrium problems converge to the solution of the equilibrium problem for a body containing a thin rigid delaminated inclusion. The existence of the solution to the optimal control problem is proved. For that problem, the size parameter of the rigid inclusion is chosen as the control function, while the cost functional is an arbitrary continuous functional. Keywords: crack, rigid inclusion, variational inequality, energy functional, nonlinear boundary conditions.

REFERENCES

1. Maiti M., "On the extension of a crack due to rigid inclusions," Int. J. Fracture, 15, 389—393 (1979).

2. Mossakowsky V. I. and Rybka M. T., "A generalization of Griffiths—Sneddon criterion in case of nonhomogeneous body," Prikl. Mat. Mekh., 28, No. 6, 1061-1069 (1964).

3. Xiao Z. M. and Chen B. J., "Stress intensity factor for a Griffith crack interacting with a coated inclusion," Int. J. Fracture, 108, 193-205 (2001).

4. Erdogan F., Gupta G. D., and Ratwani M., "Interaction between a circular inclusion and an arbitrarily oriented crack," ASME J. Appl. Mech., 41, 1007-1013 (1974).

5. Sendeckyj G. P., "Interaction of cracks with rigid inclusions in longitudinal shear deformation," Int. J. Fracture Mech., 101, 45-52 (1974).

6. Loygering G. and Khludnev A. M., "On the equilibrium of elastic bodies containing thin rigid inclusions," Dokl. Math., 43, No. 1, 1-4 (2010).

7. Khludnev A. M., Faella L., and Popova T. S., "Junction problem for rigid and Timoshenko elastic inclusions in elastic bodies," Math. Mech. Solids (2015). DOI: 10.1177/1081286515594655

8. Popova T. S., "On the equilibrium of visco-elastic body with a crack and thin rigid inclusion," Mat. Zamet. SVFU, 21, No. 2, 94-105 (2014).

9. Khludnev A. M., Novotny A. A., Sokolowski J., and Zochowski A., "Shape and topology sensitivity analysis for cracks in elastic bodies on boundaries of rigid inclusions," J. Mech. Phys. Solids, 57, No. 10, 1718-1732 (2009).

10. Rudoy E. M., "Sensitivity analysis for the solution of the problem of equilibrium of elastic bodies with a thin rigid inclusion to change of the region shape," Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Inform., 14, No. 2, 69-87 (2014).

© 2016 N. P. Lazarev

11. Rudoy E. M., "Shape derivative of the energy functional in a problem for a thin rigid inclusion in an elastic body," Z. Angew. Math. Phys., 66, No. 4, 1923-1937 (2015).

12. Neustroeva N. V., "The problem on equilibrium of an elastic plate containing an inclined crack on the boundary of rigid inclutson," Sib. Zh. Ind. Mat., 18, No. 2, 74-84 (2015).

13. Shcherbakov V. V., "On the problem of shape control of thin inclusions in elastic bodies," Sib. Zh. Ind. Mat., 16, No. 1, 138-147 (2013).

14. Rotanova T. A., "The contact plates whose rigid inclusions overlook the border," Vestn. Tomsk. Gos. Univ., Mat. Mekh., No. 3, 99-107 (2011).

15. Khludnev A. M., "The problem of a crack on the boundary of a rigid inclusion in an elastic plate," Izv. Akad. Nauk, Mekh. Tverd. Tela, No. 5, 98-110 (2010).

16. Khludnev A. M. and Kovtunenko V. A., Analysis of cracks in solids, WIT-Press, Southampton; Boston (2000).

17. Khludnev A. M., "Optimal control of crack growth in elastic body with inclusions," Eur. J. Mech., A, Solids, 29, No. 3, 392-399 (2010).

18. Khludnev A. M., "Shape control of thin rigid inclusions and cracks in elastic bodies," Arch. Appl. Mech., 83, No. 10, 1493-1509 (2013).

19. Khludnev A. M., Problems of elasticity theory in nonsmooth domains [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2010).

20. Khludnev A. M., "On bending an elastic plate with a delaminated thin rigid inclusion," J. Appl. Ind. Math., 14, No. 1, 114-126 (2011).

21. Lazarev N. P. , "Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack," Z. Angew. Math. Mech., 96, No. 4, 509-518 (2015).

22. Adams R. A. and Fournier J. J. F., Sobolev spaces, Acad. Press, New York (2003) (Pure Appl. Math.; V. 140).

Submitted December 20, 201.5 Nyurgun Petrovich Lazarev

Research Institute of Mathematics of North-Eastern Federal University,

Kulakovskogo st., Yakutsk 677000, Russia;

Lavrent'ev Institute of Hydrodynamics,

Lavrentiev ave., 15, Novosibirsk 630090, Russia

nyurgunSngs.ru