Исследование наносистем в рамках модели Хаббарда

УДК 538.22

А. В. Силантьев

ИССЛЕДОВАНИЕ НАНОСИСТЕМ В РАМКАХ МОДЕЛИ ХАББАРДА

Аннотация. В рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций вычислены антикоммутаторные функции Грина для димера, фуллерена С24 и фуллерена С6о, а также некоторые физические характеристики фуллерена Сбо.

Ключевые слова: модель Хаббарда, функции Грина, энергетический спектр, наносистемы, димер, фуллерен С24, фуллерен С6о.

Abstract. In approximation of statical fluctuations in the frame work of Hubbard model the author calculates the anticommutator Green functions dimer, fullerene С24 and fullerene С60 and physical quantities of fullerene С60.

Key words: Hubbard model, Green functions, energy spectrum, nanosystems, dimer, fullerene С24, fullerene С60.

В настоящее время большое число теоретических исследований посвящено изучению наносистем в модели Хаббарда, которая была предложена и исследована Хаббардом в работах [1-6]. Отметим, что одновременно с Хаббардом данная модель была предложена Гутцвиллерем [7] и Канамори [8].

Целью данной работы является исследование наносистем в рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций (ПСФ), которое было предложено в [9] при исследовании модели Гейзенберга. В дальнейшем ПСФ было распространено на модель Хаббарда. Следует сказать, что в настоящее время имеется несколько разных подходов к вычислению функций Грина в ПСФ. В данной работе при вычислении функций Грина мы будем придерживаться метода, предложенного в [10].

В рамках модели Хаббарда [1, 7, 8] наносистема описывается гамильтонианом вида

H = X ^ + X f 2 X UinioL

°1 °1 ^ j °1 i

где cf, cia - операторы рождения и уничтожения электронов со спином а на узле i; nia - оператор числа частиц со спином а на узле i; ег- - собственная энергия электрона на узле i; tj - интеграл переноса, описывающий перескоки электронов с узла i на узел j; Ui - энергия кулоновского отталкивания двух электронов с разными спинами, находящимися на i-м узле; а = -а.

Запишем уравнение движения для оператора cfа (т), заданного в представлении Гейзенберга:

dT = Efcf а + X tifcia f Ufcf anfa,

i

где т = it.

Решение уравнения

на оператор п/а и учитывая, что (/а) = п/а, получим

^ 1 = (/а + и/ )с+/ап/а + X (і/сіап/а .

Аналогичным образом можно получить уравнения движения и для операторов с+п/а, с+ап/апёа, ... В результате можно получить замкнутую систему уравнений, решив которую, можно вычислить антикоммутаторные функции Грина для каждого узла наносистемы:

її,

],Ш

2п^ Е - Ет + іН

Наиболее простым вариантом ПСФ является случай, когда оператор числа электронов не зависит от номера узла п/а = пс. В этом случае, для того

чтобы получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, достаточно записать уравнения (2) и (3) для всех узлов наносистемы:

е1оС1 с + X ^і1сіа + иіс1 апа,

(е1о + и1 )с1 апа + X ^і1сіо па, і

йс

N а = гМ а сМ а + X tiNctс + и МсМа па, і

= (е N а + UN )СN а па + X ^і^сіа па,

где N - число узлов наносистемы.

Можно показать, что решение системы из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (ДУПП) (5) сводится к решению системы из N ДУПП, в то время как в методе, предложенном в [11, 12] для нахождения операторов

су^, необходимо решить систему из 2N ДУПП. Решив систему уравнений

(5), можно получить функции Грина:

']а

']а

і р =—• X

її

1 Е - Ет + іН

т=1 171

Ек е + ек, Ек+р/2 Ек+и, Е],т Ят 'б/,т;

где р - число энергетических состояний системы.

Зная функции Грина, можно найти энергетический спектр Ет наносистемы, спектральную плотность энергетических состояний ^}т, а также можно определить целый ряд физических величин, характеризующих физические и химические свойства наносистемы, например: электроотрицательность по Малликену Хм, химический потенциал ц , энергию ионизации Е1, энергию сродства Ед, глобальную химическую жесткость л, глобальную химическую мягкость S, глобальную электрофильность ю и вероятность нахождения электрона / с энергией Е на узле у:

где Ещмй - энергия самой нижней незанятой молекулярной орбитали; ЕнОМО - энергия самой верхней занятой молекулярной орбитали; и - энергия, на которую смещаются ЕномО и ЕщмО при удалении и добавлении одного электрона, gi - степень вырождения /-го энергетического уровня, которую можно найти из спектральной плотности энергетических состояний ,/.

В качестве первого примера применения ПСФ рассмотрим димер, который в рамках модели Хаббарда используется в качестве модели двухатомных молекул. Например, в [13] димер используется в качестве модели как молекулы водорода, так и двухатомных гетерополярных молекул, таких как УН.

Для того чтобы получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, запишем уравнения движения для операторов с^, с25, с^«15, с^«25,

ЕА - ~ЕЬиМО Л - 2 {Еьимо ~ Еномо) + и1;

+

+

+

+

с2а«25 , с25«15 , с15«15«25, с25«15«25 :

а £15с15 ^ * с25 ^ * с1 5«15 ,

а т

ё х

ёс

ё х •

ё х

ё (с25«15 ) ё х

'(«25 «15

е15с1 о«2а + І ' с2о«2о + и ' С1 о«1о«2о ,

_ (£1<з + и)С1 5«15«25 + ^' с2с«15«25 , _ ^5^25 + ^ ' С1 с + и ' с2с«25 ,

_ + и)c2а«25 + ^' с+ 5«25 ,

25

ё х

єоc2о«15 + ^' С15«15 + и ' c2а«2а«15,

= ( + и )«25«15 + ' ' с'10«25«15 •

Решив систему уравнений (8), получим для операторов с' +5, с+5 следующие выражения:

с>5 (т)- “[/ (0) - /«/5 (0) - с+а«/5 (0) + с%«5«/5 (0) + с/5 (0) -— с/• 5«/5 (0) — с+5«у5 (0) + с+5«/5«у5 (0) * £хр(Е1т) + "2(су5«/5«/5 (0) —

- с/ 5 «/5 «/5 (0 )) * еХР (Е2 т) + 2 с/5 (0 ) — с+/5«]5 (0 ) — с/5«/5 (0 ) +

+ с+ 5 «у5 «/5

Xехр

с+ 5«/5

g1 \ /

1

+—

2

+2

Р"і '

'ехр(Езх)+

5 ( 0 ) + С + 5«/5 ( 0 ) 2С+0«/5«/5 ( 0 ) + ( С/5«/5 ( 0 ) + С+0«/5 ( 0 )) +

&1 ' '

І

+2 а ( 5(0) С/

1

' ехр

Е-у = £ + I, Е2 =£ — ^ + и, Е3 =£ — (, Е4 —£ + I и,

Е5 — 2

где / — 1,2;/ — 1,2;/ * / .

Для того чтобы найти энергетический спектр димера, прежде всего вычислим фурье-образ антикоммутаторных функций Грина:

6

где

1

F

/ат

j°/!E 2л E - Em/ih

m=1 171

F1o1 F1o3 F2o1 F2o3 2(1 («1о) («2а)/ («1о«2a)),

F1o 2

F1o5 = F2o6 1 r =2 r

F1o6 = F2o5 II

(«15 ) + («25 ) - 2 («15«25 ) + — [(«15 ) - («25 )]

g1

—

(«15 ) + («25 ) - 2(«15«25 )-------[(«15 ) - («25 )]

g1

Энергетический спектр димера определяется полюсами Е1 — Еб функций Грина (11). Для того чтобы найти спектральный вес каждого энергетического состояния, как видно из (12), необходимо вычислить средние (п1а п2а),

{п1а}, {п2а) . Используя (9), (11) и спектральную теорему [14], получим

К к

К1 — [2/¥ (Е5 )/¥ (Е6 ) + /¥ (Е2 ) + /¥ (Е4 ) — 2/¥ (Е2 )/¥ (Е4 )] х Х[/¥ (Е1 ) + /¥ (Е3 )],

К2 — /¥ (Е5 )/¥ (Е6 ) '[/¥ (Е1 ) + /¥ (Е3 )] ,

К — [1 — /¥ (Е2 ) + /¥ (Е3 ) + /¥ (Е1 ) — /¥ (Е5 ) — /¥ (Е6 (Е4 ) +

+ [1 + /¥ (Е3 ) + /¥ (Е1 ) — /¥ (Е5 ) — /¥ (Е6 )]/¥ (Е2 ) +

+2[/¥ (Е5 ) + /¥ (Е6 ) — /¥ (Е1 ) — /¥ (Е3 ^/¥ (Е4 ^ (Е2 ) +

+ [2 + /¥ (Е1 ) — /¥ (Е2 ) + /¥ (Е3 ) — /¥ (Е4 )]/¥ (Е5 ^ (Е6 ),

fF (E) =

,

/1

где ц - химический потенциал; к - постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура.

В случае, когда оператор числа частиц не зависит от номера узла, т.е. «Ш = п2а = па, можно показать, что антикоммутаторная функция Грина (11) примет следующий вид:

1 п 1 п п п

2------2 2 2 -----------1------- ----1-----------1----------->

Е - Е1 +1к Е - Е2 +1Н Е - Е3 + 1к Е - Е4 +1к

Е1 = £ +

Выражение (15) совпадает с результатом работы [10], в которой получена функция Грина димера в ПСФ при условии, что оператор числа частиц не зависит от номера узла, т.е. исходя из системы уравнений (5).

Как известно [13], димер в рамках модели Хаббарда имеет точное решение, при этом энергетический спектр димера имеет следующий вид:

Е1 = 1 (2£ + и - £0 ), Е2 = 1 (2£ + U + g0 ), Ез =£,

е4 =£+и, £0 — Vи2 + ш2.

Как видно из вышеприведенных вычислений, функция Грина (15) является частным случаем функции Грина (11), полученной в ПСФ, а именно в функции Грина (11) учтены корреляционные эффекты более высокого порядка, чем в функции Грина (15).

Вычислим энергетический спектр молекулы водорода в рамках модели Хаббарда в ПСФ. Как известно из квантовой химии [15], при образовании молекулы водорода атомные 18 уровни двух атомов водорода расщепляются на два уровня. Нижний уровень соответствует связывающей молекулярной орбитали (МО), а верхний уровень - разрыхляющей МО. Таким образом, при образовании молекулы водорода из двух атомных орбиталей образуются две МО. В случае димера два исходных энергетических уровня с энергией £ , как видно из (10) и (16), порождают больше двух энергетических уровней. Для того чтобы димер можно было рассматривать как модель молекулы водорода и иметь соответствие с методом МО, лишние энергетические уровни следует отбросить. В работе [13] при рассмотрении молекулы водорода энергетические уровни с энергиями Е3 и Е4 были отброшены, а энергетические уровни с энергией Е1 и Е2 были интерпретированы как энергетические уровни, которые соответствуют соответственно связывающей и разрыхляющей МО. Энергию этих МО обозначим соответственно через Еномо и Е^имо :

Еьимо = 2

где £ = -13,6 эВ - энергия электрона, находящегося на 18 орбитали атома водорода.

']Ъ

г

1

Как и в работе [13], отбросим в (10) четыре лишних энергетических уровня и оставим два энергетических уровня E5, Eg, которые по внешнему виду напоминают соответствующие выражения в (16), дадим им ту же самую интерпретацию. Тогда в ПСФ энергетические уровни Ещмо, EhOMO будут определяться следующим образом:

ELUMO = -J

Рассмотрим теперь молекулу водорода в ПСФ, когда оператор числа частиц не зависит от номера узла, т.е. «15 = njo = па . В этом случае, как видно из (11) и (15), энергетические состояния, которые выше были отождествлены с энергетическими состояниями связывающей и разрыхляющей МО, отсутствуют. Для того чтобы произвести отождествление энергетических состояний в (15) с энергиями связывающей и разрыхляющей МО, запишем (18) в виде

ELUMO = J(2е + U + g1 ) = £ + J(1 _ U) + U,

EHOMO = J

Сравнивая (15) с (19), мы видим, что в рассматриваемом приближении из четырех энергетических состояний димера в (15) следует принять за EhOMO энергетическое состояние с наименьшей энергией, а за ElumO следует принять энергетическое состояние с максимальной энергией:

EHOMO =е-| И|, ELUMO =е + И + U,

где учтено, что И < 0.

Выражаясь языком квантовой химии, можно сказать, что в качестве состояния HOMO мы выбрали связывающую МО из нижней подзоны и отбросили разрыхляющую МО из этой подзоны, а в качестве состояния LUMO мы выбрали разрыхляющую МО из верхней подзоны и отбросили связывающую МО из этой же подзоны

Отметим, что при рассмотрении молекулы водорода в ПСФ при условии, что оператор числа частиц не зависит от номера узла, мы фактически сформировали две Хаббардовские подзоны следующим образом. В нижней Хаббардовской подзоне мы оставили энергетические состояния, которые соответствуют связывающим МО, а отбросили энергетические состояния, которые соответствуют разрыхляющим МО. В верхней хаббардовской подзоне мы оставили энергетические состояния, которые соответствуют разрыхляющим МО, а отбросили энергетические состояния, которые соответствуют связывающим МО. При построении энергетических состояний для более сложных молекулярных систем, рассматриваемых в модели Хаббарда в ПСФ, когда оператор числа частиц не зависит от номера узла, можно использовать этот метод. Согласно этому методу нижнюю хаббардовской подзону будут составлять энергетические состояния, которые соответствуют связывающим МО, а верхнюю хаббардовскую подзону будут составлять энергетические состояния, которые соответствуют разрыхляющим МО.

В качестве еще одного примера рассмотрим фуллерен С24 с группой симметрии О*. При этом будем считать, что оператор числа электронов не зависит от номера узла пуд = пд. В этом случае, для того чтобы получить замкнутую систему дифференциальных уравнений, достаточно записать систему уравнений (5) для всех узлов фуллерена С24:

= Єдс1 о І ' с2д ^1 ' (бд с8 о ) ис1дпд, й^ = ( Єд и ) с1 д«д ^ ' с2дпд ^1 ' ( с6о«о с8 д«д ),

йс-

24 д

= Єдс24д + І ' с23д + Ь '(д + с19д ) + ис24дпд,

(Єд + и)с24дпд ^' с23дпд ^1 ' (с17дпд с1 9дпд ),

где ^ - интеграл переноса между атомами углерода на границе гексагон-гексагон; ^ - интеграл переноса между атомами углерода на границе гекса-гон-квадрат.

Система уравнений (21) является замкнутой и имеет точное аналитическое решение, используя которое мы можем найти фурье-образ антикоммутаторных функций Грина (6), где

в1 = -Ь - 2&1, ^2 = -Ь2 + Ь\ - Ьь ез = -Ь2 -2ЬЪ>1 + 4^12, 64 = -Ь,

^5 = Ь1 -^Ь2 + Ь>1, ^6 = -у/Ь2 + Ь^2 - Ь1, 67 = Ь, е8 = ^Ь2 - 2ЬЬ>1 + 4Ь2,

^9 = + л/ь2 + Ь12, ею = Ь + 2Ь1, р = 20, Ь = -^, Ь = -^1,

б/,1 = б/,10 = V24, б/,2 = ,4 = б/,5 = б/,6 = ,7 = б/,9 = V8,

в],3 = ] = 112.

Из (22) следует, что ез = 64, 67 = е8 при Ь1 = Ь/2. Это приводит к вырождению соответствующих энергетических уровней.

Приведем еще результаты вычислений для фуллерена С60. Фурье-образ антикоммутаторных функций Грина для фуллерена С60 можно представить в виде (6), где

е1 =-2Ь -Ь1, е2 = -( 3Ь + Ьл/5 + ^30Ь2 -8ЬЬ1 + 16 (Ь1 )2 + 8ЬЬ1^5 -10Ь2 45 ]/4,

е3 =

—Ъ — Ь + 2

10Ъ — 4ЪЪ1 + 4

¥2

Є4

= (— зь + Ъл/5—д/зоъ2 — 8ЪЪ1 + 16(ъ1 )2 — 8ЪЪ145 + 10Ъ245 | А

Є5 = ^Ъ — д/Ъ2 + 4(Ъ + Ъ1 )2 2, Є6 = |Ъ — ^5Ъ2 + 4(Ъ1 )2

Є7 = ^Ъ — ^5Ъ2 + 4(Ъ1 )2 — 4ЪЪ1

є8 = |—3Ъ — Ъу/5 + фоЪ2 — 8ЪЪ1 +16 (Ъ1 )2 +8ЪЬ1>/5 — 10Ъ2л/5 ^Д,

Г Г ~"|1/2

Є9 =

єп =| —3Ъ + ^л/5 + ^30Ъ2 — 8ЪЪ1 +16(Ъ1 )2 — 8ЪЪ1Л/5 + 10Ъ245 І,

2 — 4ЪЪ1 1/2, Є13 = ( Ъ + фъ2 + 4(Ъ1)2 | /2,

Є12 = |Ъ + >/5Ъ 2 +4

Є14 = ^ Ъ + ф2 + 4 (Ъ + Ъ1) ^ Є15 = (Ъ ( + •( ) + 2Ъ1 )2,

Є16 =

—Ъ — Ьі + 2

12

10Ъ2 — 4ЪЪ1 + 4 (Ь^)2 008 (ф — 2п)3Ш3

л/2 '(25Ъ3 + 12Ъ2Ъ1 — 24(Ъ1 )2Ъ + 16(Ъ1 )3

32

ф = ЯГС008

8

0і ,1 = йі ,17 = 160,

0і ,5 = йі ,6 = бу,13 = 0 і,14 = 0 і,21 = 0і,22 = йі ,29 = 0і ,30 = V15,

0і ,2 = 0 і ,4 = 0і ,8 = 0і ,9 = 0і ,11 = 0і ,15 = 0 і ,18 = 0і ,20 = 0 ] ,24 =

= 0і ,25 = 0і ,27 = 0 і ,31 = V20, 0 і,3 = 0 і,7 = 0і ,10 = 0 і,12 =

= 0і,16 = 0і,19 = 0і,23 = 0і,26 = 0і,28 = 0і,32 = V12, р = 32.

В (23) Ъ = —, Ь1 =—1, і - интеграл переноса между атомами углерода на границе гексагон-пентагон; І1 - интеграл переноса между атомами углерода на границе гексагон-гексагон. Из (23) следует, что Є4 = Є5 при Ъ = Ъ^л/^/3 . Отметим, что Є16 = Є6 при Ъ1 = Ъ и, кроме того, в этом случае Є3, Єю можно записать в виде

ез =-

Из спектральных весов энергетических состояний фуллеренов С24 и С60 получим степени вырождения энергетических уровней этих систем:

£1 = £10 = £11 = £20 = Ъ £3 = £8 = £13 = £18 = ^

£2 = £4 = £5 = £6 = £7 = £9 = £12 = £14 = £15 = £16 = £17 = £19 = 3 ;

£1 = £17 = 1,

£2 = £4 = £8 = £9 = £11 = £15 = £18 = £ 20 = £ 24 = £ 25 = £ 27 = £31 = 3,

£3 = £7 = £10 = £12 = £16 = £19 = £ 23 = £ 26 = £28 = £32 = 5,

£5 = £6 = £13 = £14 = £ 21 = £22 = £ 29 = £30 = 4.

Подставляя (22), (25) и (23), (26) в (7), получим

1 1

м>іі =—, ^іі =— .

], 24 ], 60

Таким образом, у фуллеренов С24 и С60 вероятность нахождения электрона с энергией Е на каждом узле одинакова. Это можно объяснить тем, что в данных системах все узлы эквивалентны.

Зная функцию Грина, можно найти энергетический спектр фуллерена С60. При построении энергетических состояний для фуллерена С60 воспользуемся методом, описанным выше. Согласно этому методу нижнюю хаббардов-скую подзону будут составлять энергетические состояния, которые соответствуют связывающим МО с энергиями Е-Е и Е6, а верхнюю хаббардовскую подзону будут составлять энергетические состояния, которые соответствуют разрыхляющим МО с энергиями Е4-Е1. Данные энергетические состояния можно классифицировать в соответствии с представлениями группы Е, как это сделано в [16]: Ех(а£), Е^и), Е(^), Е(^и), Е(?и), Е^^), Е6(££), Е7(Ни), ^24(^1 и), Е25(^1£), Е26(к£), Е27^2и), Е28(Ли), Е29(££), Е30(£и), Е3:(^). Из энергетического спектра фуллерена С60 получим выражения для Еномо и Ещмо

Еьимо =Є + и + 4І ~3Ъ —

ЕНОМО =е + ^^Ь-л1 5ь2 + 4(Ь1 )2 -4ЬЬ1 ^,

Ьл/5 + ^30Ь2-8ЬЬ1 +16

Среди большого числа работ, посвященных исследованию фуллерена С60, можно выделить целый ряд работ, посвященных изучению спектра оптического поглощения фуллерена С60. Экспериментальные исследования показывают, что в оптическом спектре поглощения фуллерена С60 наблюдаются три главные полосы поглощения с энергиями Е{ = 3,785 эВ, Е2 = 4,845 эВ и Е3 = 5,892 эВ [17]. В описанной выше модели фуллерена С60 три главные полосы поглощения можно интерпретировать следующим образом. Полосы, которые соответствуют энергиям Е{, Е2 и Е3, формируются переходами

между МО с энергиями Е6 £ )^ Е24 (?!„), Е7 (Ли )^ Е26 /) и

Е6 (££) ^ Е27 (^2и) соответственно. Для того чтобы найти численные значения и, Ь и Ь\, достаточно подставить экспериментальные значения энергий Е{, Е2 и Е3 в следующую систему уравнений и решить ее:

Е6

Е6 (££ )- Е27 (2и ) = Е3.

Подставляя Е{, Е2, Е3 из [17] в (29) получим и = 1,072 эВ, Ь = 1,838 эВ, Ь1 = 2,222 эВ.

Наличие кулоновского отталкивания на узле приводит к тому, что разность между энергией ионизации и энергией сродства получается больше, чем это следует при описании молекулы в простой одночастичной картине. Это можно объяснить тем, что при присоединении или удалении электрона энергетический спектр молекулы вследствие взаимодействия электронов изменяется. Связь между Е1, Ед и Еномо, Ещмо дана в (7). Подставив (28) в (7) и учитывая, что для фуллерена С60 Е1 = 7,6 эВ, Ед = 2,65 эВ [18] получим и = 0,975 эВ, е = -5,317 эВ . Таким образом, и = и . Отметим, что в [19] предполагается и = и . Подставив (28), а также найденные значения и, и1, £, в (7), получим для фуллерена С60:

Xм = 5,125 эВ; ц =-5,125 эВ; г| = 2,475 эВ, 5 = 0,404 эВ-1, ю = 5,306 эВ .

Из (6) и (23) следует, что ширина верхней Ди и нижней подзон Хаббарда, а также ширина запрещенной зоны Д в фуллерене С60 зависят от Ь, Ьг и и следующим образом:

Да = 2^5Ь + 2Ь1 -^5Ь2 + 4(Ь1 )2 - 4ЬЬ1 ^ ,

Ди = 2 (Ь + ^5Ь2 +4(Ь1)2 ] +

+1^3Ь + Ьл/5 -^30Ь2 - 8ЬЬ1 +16(Ь1 )2 +8ЬЬ1Л/5 - 10Ь2лВ ^,

д=1 ^-3Ь-ьТ5+^30Ь^10^75 j-

-2^ь -^5Ь2 + 4

Из (31) видно, что в случае фуллерена С60, ширина верхней подзоны не равна ширине нижней подзоны. Вычисления, проведенные для гексагона и

ряда нанотрубок, содержащих только одни гексагоны, показали, что в этих наноструктурах ширина обоих подзон Хаббарда одинакова. Кроме того, исследование ряда нанокластеров, имеющих форму многоугольников с нечетным числом сторон, показало, что в данных структурах ширина верхней подзоны Хаббарда не равна ширине нижней подзоны Хаббарда. Исследование же ряда нанокластеров, имеющих форму многоугольников с четным числом сторон, показало, что в данных структурах ширина обоих подзон Хаббарда одинакова. Поэтому можно предположить, что различие в ширинах подзон Хаббарда в фуллерене С6о связано с присутствием в фуллерене С6о пентагонов.

Таким образом, предложенный в работе метод вычисления антикоммутаторных функций Грина и корреляционных функций позволяет определять энергетический спектр наносистем в рамках модели Хаббарда, а также вычислять целый ряд физических характеристик этих систем.

Список литературы

1. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands / J. Hubbard // Proceedings of the Royal Society A. - 1963. - V. 276. - P. 238-257.

2. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands II / J. Hubbard // Proceedings of the Royal Society A. - 1964. - V. 277. - P. 237-259.

3. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands III / J. Hubbard // Pro-

ceedings of the Royal Society A. - 1964. - V. 281. - P. 401-419.

4. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands IV / J. Hubbard // Pro-

ceedings of the Royal Society A. - 1965. - V. 285. - P. 542-560.

5. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands V / J. Hubbard // Pro-

ceedings of the Royal Society A. - 1967. - V. 296. - P. 82-99.

6. Hubbard, J. Electron correlations in narrow energy bands VI / J. Hubbard // Pro-

ceedings of the Royal Society A. - 1967. - V. 296. - P. 100-112.

7. Gutzwiller, M. C. Effect of correlation on the ferromagnetism of transition metals / M. C. Gutzwiller // Physical Review Letters. - 1963. - V. 10. - P. 159-162.

8. Kanamori, J. Electron correlations and ferromagnetism of transition metals / J. Kanamori // Progress of Theoretical Physics. - 1963. - V. 30. - P. 275-289.

9. Нигматуллин, Р. Р. Корреляционные функции для анизотропной модели Гейзенберга в нулевом магнитном поле / Р. Р. Нигматуллин, В. А. Тобоев // Теоретическая и математическая физика. - 1986. - Т. 68. - С. 88-97.

10. Силантьев, А. В. Модель Хаббарда в приближении статических флуктуаций / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (20). - С. 86-100.

11. Силантьев, А. В. Применение метода статических флуктуаций к модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 3 (19). - С. 151-163.

12. Силантьев, А. В. Исследование наносистем в модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Структура и динамика молекулярных систем. - 2011. - № 13A. - С. 96-112.

13. Meniry, E. J. Introduction to the Hubbard Model / E. J. Meniry. - Belfast : University of Belfast, 2005. - P. 93.

14. Тябликов, С. В. Методы квантовой теории магнетизма / С. В. Тябликов. - М. : Наука, 1975. - С. 527.

15. Маррел, Дж. Теория валентности / Дж. Маррел, С. Кетта, Дж Теддер. - М. : Мир, 1968. - С. 520.

16. Haddon, R. C. Electronic structure and bonding in icosahedral C60 / R. C. Haddon, L. E. Brus, K. Raghavachari // Chemical Physics Letters. - 1986. - V. 125. - P. 459.

17. Leach, S. Electronic spectra and transitions of the fullerene C60 / S. Leach, M. Vervolet, A. Despres et al. // Chemical Physics. - 1992. - V. 160. - P. 451-466.

18. Dresselhaus, M. S. Science of fullerenes and carbon nanotubes / M. S. Dressel-haus, G. Dresselhaus, P. C. Eklund. - San Diego : Academic Press, 1996. - P. 965.

19. Torrente, I. F. Spectroscopy of C60 single molecules: the role of screening on energy level alignment / I. F. Torrente, K. J. Franke, J. I. Pascual // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2008. - V. 20. - P. 1-11.

Силантьев Анатолий Владимирович старший преподаватель, кафедра общей и прикладной физики, Марийский государственный университет

Silantyev Anatoly Vladimirovich Senior lecturer, sub-department of general and applied physics, Mari State University

E-mail: kvvant@rambler.ru

УДК 538.22 Силантьев, А. В.

Исследование наносистем в рамках модели Хаббарда / А. В. Силантьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2012. - № 4 (24). - С. 214-226.