Основные принципы построения объяснения доказательства теоремы школьного курса математики

А.А. Бузнякова, М.Г. Макарченко, В.В. Сидорякина

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБЪЯСНЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

Аннотация. В данной статье представлены основные принципы построения объяснения доказательства теоремы. Они сгруппированы с учетом структуры информации в тексте учебника. Приведены примеры.

Ключевые слова: Теорема, доказательство теоремы, объяснение доказательства теоремы, идея доказательства теоремы, основные принципы построения доказательства теоремы.

A. А. Buznyakova, M.G. Macarchenko, V.V. Sidoryakina

BASIC PRINCIPLES OF CONSTRUCTION OF EXPLANATION OF THEOREMS PROOF IN THE SCHOOLS MATHEMATICS

Abstract. The basic principles of construction of explanation proof of theorem are presented in the article. Its are formed groups. Examples are given.

Key words: theorem, proof of theorem, explanation proof of theorem, idea of proof of theorem, basic principles of construction of explanation proof of theorem.

Учить рассуждать значит способствовать обучению решению задач.

В основе обучения решению математических задач лежит не только знание теоретического материала, действия по его применению, но и умение рассуждать, грамотно строить математическую речь. Не слыша «образца» рассуждения от учителя, школьники вряд ли смогут построить собственное математическое рассуждение. В связи с этим учитель должен сам уметь грамотно стоить собственное рассуждение. Сущность объяснения состоит в том, что оно должно вскрывать мыслительный процесс и передавать способ нахождения пути к новым знаниям, а, значит, и сами знания [6, 5]. Теоремы школьного курса математики, их «прописанная» в тексте учебника «математика» требуют осуществления молодым педагогом перестройки текста учебника в текст объяснения. Начинающий учитель математики всегда опирается на текст доказательства теоремы в школьном учебнике. Очевидно, что текст объяснения доказательства отличается от текста учебника, поскольку последний лаконичен и как правило построен на синтетическом рассуждении в виде готового доказательства, не вскрывая путей к его нахождению.

Обратимся теперь к построению объяснения в «деталях», а именно, сформулируем принципы построения, позволяющие усовершенствовать его.

Прежде чем это сделать выясним, что такое объяснение? Согласно «толковому словарю русского языка» С.И.Ожегова родовым понятием для понятия «объяснение» следует считать «письменное или устное изложение» [3, 429]. Нас, прежде всего, интересует, то что объяснение является «изложением» и непосредственно связано устной или письменной речью, а, значит, оно должно подчиниться требованиям грамотной речи.

В книге «Основы искусства речи» Поль Л. Сопер утверждает, что любая речь состоит из трех основных частей, а значит, из этих же частей будет состоять и объяснение:

1. Введение.

2. Главная часть.

3. Заключение.

Охарактеризуем каждую из них.

1.ВВЕДЕНИЕ.

Оно имеет цель «... сформировать и пояснить ваши намерения» [4, 21], (т.е. намерения учителя), т. е. прежде чем раскрыть суть, необходимо формализовать данные теоремы и требование. Затем указать подходы к доказательству и определить идею.

На примере рассмотрим, как будет реализовываться данная рекомендация.

Для этого рассмотрим несколько примеров возможного «введения» при объяснении теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм»,

LA^D - четырехугольник, AE^D, ВС=АD.

2. Дано: A^D, Ab^D, ВС=ДБ.

Требуется доказать, что A^D - параллелограмм (см. рисунок).

А

В

З.Дано АВСD - четырехугольник, АВ=СD, ВС=АD.

Требуется доказать, что АВСD - параллелограмм (рис.).

Для того, чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом, достаточно доказать параллельность какой-нибудь одной пары сторон, например АВ и СD.

Возникает вопрос: какой из приведенных выше текстов можно считать «введением»? Для того, чтобы ответить на этот вопрос проанализируем их кратко на основе рекомендации Л. Сопе-ра.

В первом случае были указаны только данные, при этом требование отсутствует так же как отсутствует и сама идея доказательства. Поэтому данный текст нельзя считать введением, так как он не соответствует рекомендации Л. Сопера.

Во втором и третьем текстах указаны: «дано», «требование», а также в соответствие с данным чертежом. Так, что эти тексты в большей мере соответствуют рекомендации. Но наиболее удачным, «приближающим» учащихся к доказательству, более информационным, является введение, предложенное в третьем случае. Так как здесь частично намерения учителя в виде части идеи доказательства.

Очень важно представить перед учащимися намерения учителя, связанные с доказательством теоремы. Но более важным является раскрыть последовательность намерений. Чтобы это сделать, необходимо четко представить всю их совокупность. А для этого надо видеть весь процесс решения, все основные его пункты. Для того, чтобы увидеть это необходимо четко представлять себе всю основную структуру доказательства, т. е., подробно на таком вопросе, как моделирование формулировки теоремы, Большинство понятий геометрии обладают наглядными образами. Они позволяют облегчить процесс формирования математических понятий в сознании учащихся. Поэтому создание модели теоремы является обязательным элементом доказательства теоремы, а так же ее объяснение «... прямо или косвенно всегда опирается на моделирование... и совершенствовании в сознании образов реальной действительности, а эти образы суть модели. Поэтому если рассматривать вопрос более широко, то любое познание и, следовательно, любое объяснение является моделированием» [5, 37]. Поэтому во введении целесообразно, наряду с формализацией данных и определением идеи, указать особенности выбора модели, в соответствие с которым строиться чертеж. Эти чертежи, соответствующие данной теореме, присутствуют во втором и третьем вышеуказанных текстах. Таким образом, введением при объяснении доказательства теоремы можно считать последние два текста, соответствующие следующей структуре: данные; требование; модель; идея доказательства (или ее части).

Итак, мы выяснили, что же из себя представляет в объяснении введение. Теперь перейдем ко второй части.

2.РАЗВИТИЕ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ.

Развить главную часть объяснения, можно опираясь на следующую рекомендацию Л.Сопера: «Организуйте главные идеи по мере ваших возможностей в виде простого конкретного плана» [5, 21].

Использование этой рекомендации в объяснении доказательства теорем предполагает составление плана доказательства. В плане может быть указана последовательность действий определяемых идей. Другими словами, очень важно понимать план именно как способ реализации идей.

Вернемся к приведенному выше примеру. Итак, нам дано: четырехугольник АВСD, у которого противоположные стороны попарно равны (АВ=СD, ВС=АD), требуется доказать, что АВСD является параллелограммом. В соответствие с требованием теоремы выделим идею доказательства.

Далее, на основании строим последовательность рассуждений приводящих к достижению поставленной цели. Такой последовательностью является план, который определяет внутреннюю структуру объяснения доказательства: линейную или разветвленную.

Линейная структура имеет следующую схему:

А >В ->С ->D -..., где А утверждение, из которого следует В и так далее. Разветвленная структура состоит из линейных «отрезков» рассуждения. Она может иметь, например, следующую схему:

А

В

С

Е

F

Например, доказательство теоремы: «в параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны» - обладает развернутой структурой. Это обусловлено тем, что формулировка теоремы, а точнее; ее заключение представляет собой конъюнкцию.

Параллелограмм

Противоположные стороны равны

Противоположные углы равны

При развернутой структуре план может выглядеть следующим образом: «Для доказательства данной теоремы надо доказать два утверждения:

1. Противоположные стороны равны;

2. Противоположные углы равны; Докажем первое.....

Докажем второе..

В параллелограмме противоположные

стороны равны

углы равны

и

параллелограмм противоположные стороны равны

треугольники равны

выв^д

параллелограмм противоположные углы равны

!

треугольники равны

части углов равны

!

параллельность прямых

заключение

Таким образом, получили схему отдельных частей рассуждения, в основе которой лежит взаимосвязанность идей. При этом, хотя идея и относится к введению, ее можно считать логическим переходом к непосредственному доказательству, т.е. к развитию главной части.

Обратим внимание на «переходы». Как отмечает Поль Л. Сопер «.....учащийся часто заканчивает раздел своих построений и незаметно «перелезает» в другой, не предупредив аудиторию хотя бы единым словом, паузой, изменением позы или тона» [5, 98]. При этом учащимся приходится «домысливать», что именно хотел сказать отвечающий. Такого рода мыслительная работа не под силу многим учащимся. Поэтому, чтобы облегчить работу учащимся, необходимо использовать «переходы». Например, при разветвленной структуре доказательства в момент развития желательно использовать «переходы» в виде слов - связок:

«Итак, нам надо доказать два утверждения:...»

«Докажем сперва первое утверждение.»

«Первое утверждение доказано».

«Перейдем к доказательству второго утверждения.»

«Итак, мы доказали второе утверждение».

«Переходы нужны между утверждениями главных тезисов и вспомогательными данными, между одним доводом и другим. Они необходимы не только для связности, но и для того, чтобы создать впечатление движения. В значительной мере они заставляют слушателя как бы ощущать взаимоотношения мыслей оператора» (4. , с.99).

Таким образом, можно сказать, что переходы являются неотъемлемой частью любого объяснения. Чтобы улучшить качество объяснения переходы лучше делать:

1. Между идеей доказательством и планом ее реализации.

2. Между всем планом и началом реализации каждого из пунктов.

3. Между окончанием доказательства и его началом.

Таким образом, видим, что чем сложнее план, тем больше внимание надо уделять переходам. При этом роль переходов между суждениями играют ключевые слова этих суждений. Поэтому желательно их располагать следующим образом: «конец» одного суждения должен сочетаться с «началом» другого суждения. Например: «чтобы доказать равенство двух дуг АВ и СD, достаточно доказать равенство хорд АВ и СD. Чтобы доказать равенство хорд, достаточно доказать равенство ДАВО и ДСDО».

При такой форме рассуждений используются повторения. П. Сопер такие повторения называет точными. По его мнению, предпочтение следует отдавать видоизмененным повторениям. Поэтому поводу он говорит следующее: «Повторения видоизмененные - более важный способ развития речи, чем принято думать. Большая часть содержания многих удачных речей состоит из видоизмененных повторений ведущих идей. Так оно и должно быть, ибо для многих, идей, если к ним подойти со всех сторон и дать слушателю возможность сосредоточится на их полном значении, не нужны будут ни какие доказательства» [4, 97].

Учитывая сказанное, можно сказать, что в приведенном выше примере повторное использование слов «хорд» менее уместно, чем слова «отрезков», так как понятие «отрезков» привычнее и ближе к терминологии известной идее, на которой основывается рассуждение.

Таким образом, при построении рассуждений желательно использовать форму словесных рассуждений, совпадающую с формой словесных рассуждений при восходящем анализе: «чтобы доказать А достаточно доказать В, чтобы доказать Вь достаточно доказать С, чтобы доказать Сьдостаточно доказать D и т. д.» Здесь В - условие, которое желательно формулировать в терминах доказываемой теоремы, а В1 -в терминах идеи или применяемых фактах, которые известны ученикам. Таким образом, В1 является видоизмененным повторением В, что позволяет учащихся приблизить к нахождению решения задач.

Продемонстрируем вышесказанное на примере.

Пример. «Около любого треугольника можно описать окружность».

Здесь будет приведен приблизительный текст объяснения доказательства теоремы, в которой соподчиненные слова-связки подчеркнуты одинаковыми линиями,

ВВЕДЕНИЕ. Рассмотрим произвольный Д АВС и докажем, что около него можно описать окружность (рис.).

РАЗВИТИЕ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ.

Для того чтобы доказать, что около треугольника можно описать окружность, достаточно доказать, что центр ее будет равноудален от вершин треугольника, и что окружность проходит через его вершины.

Чтобы точка была равноудалена от вершин треугольника, достаточно, чтобы она была точкой пересечения серединных перпендикуляров. Поэтому обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ДАВС. Так как эта точка будет равноудалена от вершин треугольника, следовательно, АО=ОС=ОВ. А эти отрезки являются радиусами окружности, т.е., получено, что окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, она является вершиной.

Подведем некоторые итоги проведенных выше рассуждений.

Итак, развитие главной части предполагает:

1.Составление конкретного плана, определяемого идеей.

2.Построение последовательности действий (или рассуждений) в соответствии с планом.

3.Получение требуемого результата.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Заканчивать речь, Л.Сопер рекомендует «кратким обобщением основных идей» [5, 23], т.е. необходимо подвести итоги, которые, прежде всего, были связаны с идеей доказательства теоремы.

Для вышерассмотренной теоремы заключение может выглядеть следующим образом:

«Итак, мы доказали, что около любого треугольника можно описать окружность».

Такого рода заключения подводят итог доказательства. Если в ходе доказательства была реализована новая идея, то ее необходимо сформулировать еще раз и сопроводить поясняющим планом.

В заключении должно быть:

1)подведение итога, связанного с полученным результатом;

2)формулировка идеи доказательства теоремы;

3)определение перспектив на будущее.

Все вышесказанное можно рассматривать в виде следующей схемы, представляющей собой структуру (внешнего и внутреннего) объяснения доказательства.

СХЕМА 2 «Общая структура объяснения доказательства теорем»

Введение «дано», «доказать», идея доказательства

Г По Энтимема с Чтобы дока- Информационная

Л иск пропущенной зать А, достаточно насыщенность

А малой посыл- доказать В, чтобы

В кой доказать В I, доста-

Н точно доказать С и

А т. д.

Я

Ч Син Энтимема с произвольная

А тез пропущенной

С большой по-

Т сылкой

Ь

Заключение 1)итог

2)формулировка идеи доказательства

теоремы

3)перспектива на будущее

В качестве выводов сформулируем основные принципы построения объяснения доказательства теорем.

При этом выводы можно разделить на три группы:

1. Принципы, связанные с построением всего объяснения.

2. Принципы, связанные с построением элементов общей структуры объяснения.

3. Принципы, связывающие предложения объяснения внутри отдельного элемента структуры объяснения.

Итак, первая группа принципов:

1) Объяснение должно быть грамотно с точки зрения математики и отвечать причинно-следственной последовательности - последовательности доказательства.

2) Объяснение должно отвечать тому или иному методу поисковой деятельности.

3) Объяснение должно быть построено как демонстрация мыслительного процесса.

4) Объяснение следует вести до того момента, когда дальнейшее рассуждения хорошо понятны ученикам и не нуждаются в поиске.

Вторая группа принципов:

1) Раскрыть основную идею доказательства во введении в объяснение доказательства.

2) Представить объяснение в виде последовательности умозаключений.

3) При линейной структуре доказательства следует пользоваться схемой, подобной общей схеме рассуждений при восходящем анализе.

4) При развернутой структуре пользоваться планом.

5) В заключении целесообразно сформулировать вывод, в котором рассуждения увязывались бы с формулировкой теоремы.

Третья группа принципов:

1.Использование повторений точных и видоизмененных.

2.Использование слов-связок: «конец» одного предложения сочетается с «началом» другого. З.Переходы целесообразно использовать на всех этапах объяснения: во введении; при развитии доказательства и в заключении.

Общая структура объяснения:

- чтение формулировки теоремы;

- оформление краткой записи: дано, доказать, чертеж;

- идея доказательства;

- план доказательства как способ реализации идеи доказательства;

- реализация каждого пункта;

- выводы, другие способы доказательства.

БИБЛИОГРЛФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Геометрия: учеб. для 7-9кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Aтанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 5-е изд. - М. Просвещение, 1995, - 335с.

2. Зимняя, ^A. Педагогическая психология: учеб. пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 1997. - 480 с.

3. Ожегов, С.И. Словарь русского языка изд. 7-е, стереотип.. М.: Сов. энциклопедия, 1968. - 693 с.

4. Программы средней общеобразовательной школы. Математика.

5. Сопер, П. Основы искусства речи. - М.: Пресс; Прогресс- Aкадемия,1992.- 391 с.

6. Сохор, A^. Объяснения в процессе обучения: Элементы - дидактической концепции. - М.: Педагогика, 1988. - 128 с.

7. Столяр, A.A. Как мы рассуждаем? - Минск: Нар. асвета, 1968. - 86 с.

О.Ф. Бушнева, А.Д. Эзиева

АНАЛИЗ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОГО СОДЕРЖАНИЯ ИЗ ОТКРЫТОГО БАНКА ЗАДАНИЙ ЕГЭ 2017 ГОДА

Аннотация. Представлена классификация задач экономического содержания из открытого банка заданий ЕГЭ 2017 года и способы их решения.

Ключевые слова: задача, ЕГЭ, банк, кредит, сумма долга, процент, платеж.

O.F.Bushneva, A.D. Ezieva

TASK ANALYSIS OF THE ECONOMIC CONTENT OF THE OPEN BANK JOBS, EXAM 2017

Abstract. The classification task of the economic content of the open Bank jobs, exam 2017 and their solutions.

Key words: task, EGE, Bank, credit, debt, interest, payment.

В системе школьного обучения, важной составляющей является подготовка ученика к сдаче единого государственного экзамена. Структура экзамена не остается постоянной. Каждый год она претерпевает определенные изменения. Так в 2015 году, наряду с разделением экзамена по математике на базовый и профильный уровни, впервые была дана задача с экономическим содержанием. Задача эта была включена во вторую часть профильного уровня, в демоверсии 2015 года под номером 19, в демоверсиях 2016 и 2017 годов под номером 17.

Несмотря на рост выполнения заданий повышенного уровня сложности, немногие учащиеся берутся на экзамене за решение этой задачи. Подтверждением этому является информация, раз-