К вопросу автоматизации построения имитационных моделей

Оригинальная статья / Original article УДК: 519.233.5

DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-9-101-110

К ВОПРОСУ АВТОМАТИЗАЦИИ ПОСТРОЕНИЯ ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ © А.В. Петров1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬЮ исследования является сравнение программных средств автоматизированного построения имитационных моделей. МЕТОДЫ. Основными методами исследования являются системный анализ и методы и технологии обогащения полезных ископаемых. РЕЗУЛЬТАТЫ. Исследованы существующие программные средства автоматизированного синтеза имитационных моделей. Рассмотрены универсальные средства синтеза имитационных моделей, определены отличительные параметры продуктов, на примере обогащения полезных ископаемых проведен сравнительный анализ универсальных и уникальных программных средств с точки зрения их применения к сложным промышленным технологическим процессам. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Анализ существующих программных продуктов, решающих задачу автоматизации построения имитационной модели и способных моделировать технологические производственные процессы, позволяет сделать вывод, что универсальность не является ключевым параметром при выборе программного продукта. Главным является ориентация на требования и возможности пользователя имитационной модели.

Ключевые слова: синтез имитационных моделей, программные продукты, параметры сравнения, универсальность, предметная область, обогащение полезных ископаемых.

Информация о статье. Дата поступления 15 июля 2018 г.; дата принятия к печати 27 августа 2018 г.; дата онлайн-размещения 28 сентября 2018 г.

Формат цитирования. Петров А.В. К вопросу автоматизации построения имитационных моделей // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 9. С. 101-110. DOI: 10.21285/1814-35202018-9-101-110

TO THE PROBLEM OF SIMULATION MODELING AUTOMATION A.V. Petrov

Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russian Federation

ABSTRACT. The PURPOSE of the study is to compare the software tools for the computer-assisted construction of simulation models. METHODS. The main research methods include system analysis and methods and technologies for mineral processing. RESULTS. The study is given to the existing programming tools for the automated synthesis of simulation models. The universal means of simulation model synthesis are considered and the characteristic parameters of products are determined. The comparative analysis of universal and unique software tools is given in terms of their application in complex industrial technological processes on example of mineral processing. CONCLUSION. Having analyzed the existing software products engaged in solving the automation problem of simulation modeling and capable of technological production process modelling, we derived a conclusion that versatility is not a key parameter when choosing a software product. The focus should be on the requirements and capabilities of the simulation model user. Keywords: synthesis of simulation models, software products, comparison parameters, versatility, subject area, mineral processing

Information about the article. Received July 15, 2018; accepted for publication August 27, 2018; available online September 28, 2018.

Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, e-mail: petrov@istu.edu

Alexander V. Petrov, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, e-mail: petrov@istu.edu

For citation. Petrov A.V. To the problem of simulation modeling automation// Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol.22, no. 9, pp. 101-110. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-9-101-110

Введение

Любая деятельность, связанная с анализом и синтезом имитационных моделей, имеет целью повышение эффективности исследуемых систем. Очевидно, что качество исследований в существенной мере зависит от эффективности инструментальной базы создания и использования моделей. К этой базе, помимо различного технического инструментария, теоретических и прикладных методов и методик проведения анализа и синтеза и других общеизвестных элементов, следует отнести так называемые автоматизированные системы построения имитационных моделей [1]. В определенной степени автоматизированные системы построения имитационных моделей (АСПИМ) могут считаться частью автоматизированных систем научных исследований (АСНИ). Из наименования АСНИ ясно их назначение - повышение эффективности научной деятельности. Но, пожалуй, трудно найти примеры использования автоматизированных систем научных исследований (кроме аппаратурной, технической ее части) в производственной сфере. В основном в АСНИ используется для решения традиционных задач научных исследований (например, статистического анализа, визуализации и т.п.). Но речь не идет о применении АСНИ в изучении, проектировании, модернизации промышленных технологий.

Взрывной характер развития вычислительной техники и информационных технологий породили в последнее время понятие цифровой экономики. Но внедрение цифровых подходов в промышленности создало и относительно новые понятия -цифровой двойник и цифровая тень (например, [2-4]).

«Цифровым двойником называют виртуальный прототип реального физического изделия, группы изделий или процесса, суть которого заключается в сборе и повторном использовании цифровой ин-

формации. При этом цифровой двойник не ограничивается сбором данных, полученных на стадии разработки и изготовления продукта. Он продолжает агрегировать данные в течение всего жизненного цикла объекта. Это могут быть данные о состоянии изделия, показатели датчиков, история операций, заводская (as-build) и сервисная (as-maintained) конфигурация, версия программного обеспечения и многое другое. Цифровой двойник хранит всю историю рабочих данных. Это даёт дополнительные возможности для технического обслуживания и позволяет увидеть всю картину целиком» [5].

Одними из лидеров этого направления применения цифровых технологий являются европейские концерны - Siemens, Groupe Dassault и другие.

Внимательное изучение этих цифровых технологий показало, что их корни заложены в давно известном понятии имитационного моделирования. Преимуществами цифровых двойников называют возможность исследования проектируемых продуктов при аварийных значениях параметров или возможность обучения персонала. Но это есть давно известные положительные черты имитационного моделирования. Конечно, новые технические возможности обусловили существенный прорыв в развитии имитационного моделирования, которые и вылились в появление понятия цифровой двойник.

В этих условиях автоматизация построения имитационных моделей значительно опережает АСНИ. Существует достаточно много программных комплексов, обеспечивающих автоматизацию процесса имитационного моделирования. Обзору этого класса программных средств, их применимости для решения задач имитационного моделирования технологических производственных процессов посвящена настоящая статья.

Назначение и структура средств имитационного моделирования

В настоящее время разработано значительное количество программных средств, обеспечивающих построение имитационных моделей и экспериментирование с ними. Еще больше средств визуализации и статистической обработки результатов.

Мы будем рассматривать только специальные программные средства, ориентированные на имитационное моделирование. Их основной чертой является наличие:

- графического редактора;

- встроенного языка программирования;

- библиотеки предметно-ориентированных элементов;

- средств анимации.

Этот набор инструментов является базовым. Отсутствие какого-либо из компонентов значительно снижает функциональные возможности программного инструментария имитационного моделирования. Как правило, АСПИМ являются достаточно дорогим программным продуктом, некоторые из них имеют академические версии.

Рассматривая средства построения имитационных моделей, классифицируем их на АСПИМ, ориентированные на предметную область моделирования или базирующиеся на определенном математическим аппарате. Следует отметить, что исследуемая система может накладывать определенные ограничения на инструментарий построения имитационных моделей, например, потребовать создания специальных библиотек элементов.

На интернет-ресурсе (ИИр:/^ти!а-tion.su/static/de-soft.print) представлен обзор программных систем имитационного моде-

лирования, изучив которые несложно убедиться в справедливости указанного выше признака классификации.

Особо следует выделить в силу их универсальности и распространенности три АСПИМ: GPSS World (http://www.gpss.ru/), Arena (https://www.arenasimulation.com) и AnyLogic (https://www.anylogic.ru). Первая -это универсальная система имитационного моделирования, охватывающая весь цикл имитационных исследований, от постановки задачи до документирования результатов. Вторая позволяет создавать подвижные компьютерные модели, использование которых дает возможность адекватно представить очень многие реальные системы. Третья поддерживает следующие технологии создания имитационных моделей: про-цессно-ориентированную (дискретно-событийную), системно динамическую и агент-ную, а также любую их комбинацию. Универсальность обеспечивает возможности имитационного моделирования систем довольно разнообразного вида - экономических, транспортных, массового обслуживания и т.п. Но эта универсальность приводит к необходимости проведения дополнительных разработок, например, создания библиотек элементов исследуемых систем в случаях, когда разработчики не ориентированы на сложные в математическом, физическом или ином смысле объекты. Примеры построения имитационных моделей с помощью универсальных программных систем именно технологических производственных процессов достаточно трудно отыскать в литературе (только, например, в [6-8]). Одним из таких производственных процессов являются технологические процессы обогащения полезных ископаемых.

Технологические процессы обогащения полезных ископаемых

Обогащение полезных ископаемых -совокупность процессов механической переработки минерального сырья с целью извлечения ценных компонентов и удаления пустой породы и вредных примесей,

которые не представляют практической ценности в данных технико-экономических условиях. Технологии разделения минерального сырья на полезное и бесполезное, пока не используемое, основаны на

полутора десятках физических свойств -гравитационные свойства, размеры, магнитная восприимчивость, гидрофильность и гидрофобность, светимость и т.д. Для этого минеральное сырье измельчается до размеров от 5 мм до десятков микронов и с помощью воды транспортируется от одного обогатительного агрегата к другому. Примером сложности описания физико-химических процессов обогащения является флотация. Эта технология весьма распространена при обогащении многих видов минерального сырья и основана на способности частицы сырья прикрепиться или не прикрепиться к пузырьку воздуха, поднимающегося, по очевидным причинам, к поверхности во флотационной камере. И это трехфазная среда (жидкость - твердое -газ), имеющая место не только в обогащении полезных ископаемых, но и в химической, пищевой, фармацевтической промышленности, достаточно сложно описывается на языке, позволяющем построить имитационные модели - языке математики и физики.

Особенно важен динамический характер протекающих в обогатительных процессах явлений. В настоящее время работа любого аппарата или механизма,

любой технологической цепи описывается в статике. Это существенно облегчает разработку и исследование различных математических моделей [9-13]. Изучение кинетики процессов или динамики работы оборудования распространяется на частные элементы обогатительной технологии. Очевидны достоинства такого подхода, но очевидно также и то, что отказ от учета динамических свойств делает все исследования и получаемые при этом результаты справедливыми для некоторого идеального случая. Имеет место потеря адекватности моделей реальным объектам, снижается ценность рекомендаций для практики, страдает эффективность и экономика обогатительной отрасли.

Таким образом, исследование динамических свойств технологических процессов обогащения полезных ископаемых и использование этих свойств для решения частных задач оптимального синтеза качественно-количественных схем, применение цифровых технологий и аппарата имитационного моделирования обусловливает переход к системам автоматизированного проектирования схем технологических процессов обогащения.

Автоматизированный синтез имитационных моделей обогатительных технологий

Использование методологии системного анализа обеспечивает возможность проведения обширных предпроект-ных исследований с автоматизированным выбором наиболее эффективных схем обогащения, изготовлением необходимой проектной документации, обучением персонала работе в рамках проектируемого технологического процесса и решение многих других сопутствующих задач.

Достижение указанных целей связано с решением целого комплекса задач, включающего:

- разработку новых и привязку известных методов декомпозиции технологических схем с целью выделения и стандартизации их фрагментов;

- новых и привязку известных в дру-

гих областях знаний методов анализа как в целом схем обогащения, так и их фрагментов;

- методов автоматизированного синтеза имитационных моделей технологических схем на основе ранее исследованных и имитируемых фрагментов;

- методологии использования методов декомпозиции, анализа, имитации технологических схем процессов обогащения полезных ископаемых в процессе проектирования и эксплуатации как самого горнообогатительного предприятия, так и автоматизированных систем управления различного типа.

В работе [1] представлены результаты теоретических исследований и описание автоматизированной системы построе-

ния имитационных моделей технологических обогатительных процессов. Там же приведено описание программного комплекса, реализующего данную систему, который подвергнут модернизации (http://www1.fips.rU/wps/portal/IPS_Ru#15343 00372357, пп. 7-19).

Целью автоматизированной системы построения имитационных моделей технологических схем процессов обогащения полезных ископаемых является повышение эффективности проектирования технологических процессов обогащения, основанное на использовании как известных, но нетрадиционных для данной отрасли, для анализа и синтеза технологических схем, повышение эффективности обогатительных процессов как таковых, обучение проектировщиков и эксплуатационников в тех или иных условиях, аналогичных как реальным, так и неким гипотетическим ситуациям.

Исходными данными для автоматизированного синтеза имитационных моделей технологических схем служат: структуры схемы, заданные в таблицах инциден-ции графа, описывающего имитируемую технологию; описания законов распределения вероятностей масс частиц в исходных продуктах; параметры имеющихся в схеме операций - длительность выполнения операций (время, затрачиваемой частицей продукта на прохождение пути от входа в аппарат до его выхода) и другие параметры, обеспечивающие вычисление вспомогательных величин (содержание, извлечение, выход продукта, экономические параметры и т.п.); сепарационные характеристики разделительных операций; описания законов распределения вероятностей физических свойств по меньшей мере для каждой разделительной операции, а также параметры, управляющие имитацией (длительность эксперимента и др.).

По структуре схемы и таблицам ин-циденции (созданным посредством специального построителя технологических схем [14]) составляются динамические соотношения, в которых используются длительности выполнения технологических операций.

Для реализации имитационной модели эти соотношения являются основными.

На каждом такте (шаге) имитационного эксперимента по описаниям законов распределения вероятностей входных процессов с использованием методов генерирования случайных чисел осуществляется воспроизведение текущего значения физического свойства и соответствующего ему значения массы частиц.

Затем реализуется вычисление масс частиц во внутренних и выходных процессах с использованием соответствующих и найденных ранее динамических соотношений. При этом осуществляется синхронизация процессов по времени с использованием длительностей выполнения технологических операций.

Если ведется вычисление процессов на выходах разделительных операций, то перед этим вычислением по соответствующей сепарационной характеристике [1] и прогенерированному ранее значению физического свойства вычисляется текущее значение разделительного коэффициента. Для этого используется линейная или нелинейная интерполяция, если сепарацион-ная характеристика задана таблично, или прямым счетом по формуле, если имеется такое задание сепарационной характеристики. Причем сама сепарационная характеристика задается конкретно для данного типа оборудования, так как конструктивные либо управляющие параметры оборудования заданы соответствующей зависимость.

Текущее значение разделительного коэффициента определяет долю масс частиц, направляемых в концентрат, оставшаяся масса частиц направляется в хвосты.

После вычисления значений всех процессов схемы реализуется расчет параметров схемы (при возможности и экономических [14]). При этом используются традиционные для обогащения полезных ископаемых формулы расчета показателей.

В завершении шага эксперимента осуществляется запоминание исходных и вычисленных значений для последующей их статистической обработки, визуализации

и интерпретации.

С тем чтобы расширить исследования схем на таким образом созданных имитационных моделях, необходимо предусмотреть возможность задания различных по своему характеру возмущений во входных процессах.

Построенная таким образом имитационная модель важна не только для специалистов-обогатителей, но и имеет особое значение для специалистов в области автоматизированных систем управления технологическими процессами. Связано это с тем, что таким образом созданная имитационная модель важна для исследования чувствительности, устойчивости и тому подобных свойств систем управления. При-

меры использования автоматизированной системы построения имитационных моделей технологических схем процессов обогащения полезных ископаемых приведены в работе [1].

Следует обратить внимание на возможности применения данного программного комплекса не только для построения имитационных моделей технологических процессов обогащения полезных ископаемых, но и в других предметных областях. Сложность будет состоять в возможности составления описания операции, разделяющей потоки, то есть в нахождении пропорции распределения потоков между выходами операции.

Пример имитационной модели фрагмента обогатительной технологии

В отличие от универсальных программных систем автоматизированная система построения имитационных моделей технологических схем процессов обогащения полезных ископаемых не требует от пользователя специальных знаний в сфере программирования. Необходимо только наличие знаний предметной моделируемой области. Очевидно, что для пользователя необходимость владения непрофессиональными для него знаниями является важным критерием выбора системы создания имитационной модели. Проиллюстрируем справедливость этого тезиса на примере имитационной модели фрагмента технологического процесса обогащения полезных ископаемых, созданной в среде AnyLogic (академическая версия).

Имитируемый фрагмент (рис. 1) часто используется в учебной литературе, предназначенной для использования при подготовке будущих обогатителей.

В данном фрагменте первая разделительная операция Р1 реализуется гидроциклоном ГЦ-500, а вторая операция, Р2 - магнитным сепаратором 209 ВП-СЭ. Для улучшения сепарационных свойств используется доизмельчение материала (опера-

ция И) на мельнице МШР 3600х5500.

Включенные в систему модули, реализующие расчет текущих значений сепа-рационных характеристик для всех существующих типов разделительных операций, обеспечивают отсутствие требований к знанию языков программирования.

Известно [1], что сепарационная характеристика гидроциклона при постоянной плотности разделения имеет вид:

ЕР1(1) =

2 ')+th

1 +

vcp а • (Po

Рср) • I

аг • D

где I - крупность материала; vcp - средняя радиальная скорость течения (оттока от стенки) пульпы; D - коэффициент макродиффузии минеральных частиц; a - напряженность поля центробежных сил; рср - плотность среды; р - плотность разделения; ас - коэффициент трения; h - толщина пристенного слоя.

Рис. 1. Фрагмент технологической схемы Fig. 1. Fragment of the technological scheme

Сепарационная характеристика магнитного сепаратора при постоянной плотности сред имеет вид [1]:

^р2(Х) =

= ТИ + ф

У

h-а- уисх

a-D

где х- магнитная восприимчивость; Ф - функция распределения вероятностей нормального закона распределения вероятностей (интеграл вероятностей); Хр - магнитная восприимчивость; к - глубина постели, а=Я • дгай(Н); Н - напряженность магнитного поля; а • В - коэффициент диффузии; уисх(х) - распределение масс частиц по магнитной восприимчивости во входном потоке.

На рис. 2 представлена имитационная модель фрагмента технологической

схемы, построенной в среде AnyLogic.

Для моделирования задаются переменные и константы, используемые в модели. Результаты выводятся в графической форме.

На рис. 3 приведено описание свойств гидроциклона.

В части свойств «Действия» приведены записанные на языке Java (как предписывает AnyLogic) формулы для расчета текущего значения гидроциклона (Pgidro) и текущих значений на выходах гидроциклона, исчисленных с учетом рассчитанного значения сепарационной характеристики (QGhv и QGko).

Использование AnyLogic требует от пользователя знания языка программирования и навыков работы в этой программной среде. Это, очевидно, не приемлемо для специалиста-обогатителя, проектирующего технологический процесс обогащения полезных ископаемых.

>

Рис. 2. Имитационная модель фрагмента технологической схемы в среде AnyLogic Fig. 2. Simulation model of a technological scheme fragment in the AnyLogic environment

Рис. 3. Окно свойств гидроциклона Fig. Window of hydrocyclone properties

Выводы

Таким образом, анализ существующих программных продуктов, решающих задачу автоматизации построения имитационной модели и способных моделировать технологические производственные процессы, позволяет сделать вывод, что

универсальность не является ключевым параметром при выборе программного продукта. Главным является ориентация на требования и возможности пользователя имитационной модели.

Библиографический список

1. Леонов С.Б., Петров А.В. Имитационное моделирование технологических процессов обогащения полезных ископаемых. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 1996. 242 с.

2. Krouse J.K. What Every Engineer Should Know About Computer-Aided Design and Computer-Aided Manufacturing: The CAD/CAM Revolution. New York; Basel: Marcel Dekker, 1982.

3. Боровков А.И., Бурдаков С.Ф., Клявин О.И., Мельникова М.П., Михайлов А.А., Немов А.С., Пальмов В.А., Силина Е.Н. Компьютерный инжиниринг. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. 93 с.

4. Новая парадигма цифрового проектирования и моделирования глобально конкурентоспособной продукции нового поколения [Электронный ресурс] // CML (CompMechLab). Центр компьютерного инжиниринга СПбПУ.

URL: http://fea.ru/news/6721 (09.07.2018).

5. Что такое цифровой двойник и для чего он нужен? [Электронный ресурс] // Dassault Systemes в России и странах СНГ. Блог о технологиях и инновациях в промышленности. URL: http://blogs.3ds.com/russia/digital-twin (09.07.2018).

6. Боев В.Д. Концептуальное проектирование систем в AnyLogic и GPSS World. М.: Национальный Открытый Университет «ИНТУИТ», 2016, 543 с.

7. Рябов И.М., Гудков Д.В., Искаков А.К., Кашманов Р.Я. Анализ и сравнение программного обеспечения для моделирования транспортных процессов на предприятии [Электронный ресурс]. URL: http://euroasia-science.ru/tehnicheskie-nauki/analiz-i-sravnenie-programmnogo-obespecheniya-dlya-modelirovaniya-transportnyx-processov-na-predpriyatii

(09.07.2018).

8. Якимов И.М., Кирпичников А.П., Трусфус М.В., Мокшин В.В. Сравнение систем структурного и имитационного моделирования AnyLogic, Extendsim, Simulink // Вестник Технологического университета. 2017. Т. 20. № 15. С. 118-122.

9. Мальков М.В., Олейник А.Г., Федоров А.М. Моделирование технологических процессов: методы и опыт // Труды Кольского научного центра РАН. 2010. Вып. 3. С. 93-101.

10. Кандинская И.В., Удовицкий В.И., Сывороткин А.Н. Математическое моделирование технологических процессов на обогатительной фабрике «Рас-падская» // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). 2009. № S7. С. 96-100.

11. Ламберг П. Моделирование технологий обогащения с помощью программного продукта HSC Chemistry на основе данных о степени раскрытия минералов // Цветные металлы. 2011. № 10. С. 98-104.

12. Машевский Г.Н., Романенко С.А. Математическая модель процесса перечистного цикла флотации медных колчеданных руд // Обогащение руд. 2014. № 4 (352). С. 27-33.

13. Fandrich R., Gu Y., Burrows D., Moeller K. Modern SEM-based mineral liberation analysis // Int. J. Miner. Process. 2007. Vol. 84. P. 310-320.

14. Нгуен Ван Чи, Петров А.В. Экономическая модель технологических процессов обогащения полезных ископаемых // Вестник ИрГТУ. 2010. № 5 (45). С. 16-21.

References

1. Leonov S.B., Petrov A.V. Imitatsionnoe modeliro-vanie tekhnologicheskikh protsessov obogashcheniya poleznykh iskopaemykh [Simulation modeling of technological processes of mineral processing]. Irkutsk: IrGTU Publ., 1996, 242 p.

2. Krouse J.K. What Every Engineer Should Know About Computer-Aided Design and Computer-Aided Manufacturing: The CAD/CAM Revolution. New York; Basel: Marcel Dekker, 1982.

3. Borovkov A.I., Burdakov S.F., Klyavin O.I., Mel'niko-va M.P., Mikhailov A.A., Nemov A.S., Pal'mov V.A., Silina E.N. Komp'yuternyi inzhiniring [Computer engi-

neering] Saint-Petersburg: Politechnical university Publ., 2012, 93 p.

4. Novaya paradigma tsifrovogo proektirovaniya i mod-elirovaniya global'no konkurentosposobnoi produktsii novogo pokoleniya [A new paradigm for digital design and modeling of globally competitive products of the new generation]. Available at: http://fea.ru/news/6721 (accessed 9 July 2018).

5. Chto takoe tsifrovoi dvoinik i dlya chego on nuzhen? [What is a digital twin and what is it for?]. Available at: http://blogs.3ds.com/russia/digital-twin (accessed 9 July 2018).

6. Boev V.D. Kontseptua'noe proektirovanie sistem v AnyLogic i GPSS World [Conceptual design of systems in AnyLogic and GPSS World]. Moscow: National Open University "INTUIT" Publ., 2016, 543 p.

7. Ryabov I.M., Gudkov D.V., Iskakov A.K., Kashmanov R.Ya. Analiz i sravnenie programmnogo obespecheniya dlya modelirovaniya transportnykh protsessov na predpriyatii [Analysis and comparison of software for modeling of transportation processes at the enterprise]. Available at: http://euroasia-science.ru/tehnicheskie-nauki/analiz-i-sravnenie-programmnogo-obespecheniya-dlya-modelirovaniya-transportnyx-processov-na-predpriyatii

8. Yakimov I.M., Kirpichnikov A.P., Trusfus M.V., Mok-shin V.V. [Comparison of structural and simulation modeling systems AnyLogic, Extendsim, Simulink]. Vestnik Tekhnologicheskogo universiteta [Herald of Kazan Technological University]. 2017, vol. 20, no. 15, pp. 118-122.

9. Mal'kov M.V., Oleinik A.G., Fedorov A.M. Modeling of technological processes: methods and experience // Trudy Kol'skogo nauchnogo tsentra RAN [Proceedings of the Kola Science Center RAS]. 2010, issue 3,

Критерии авторства

Петров А.В. полностью подготовил статью и несет ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

pp. 93-101.

10. Kandinskaya I.V., Udovitskii V.I., Syvorotkin A.N. Mathematical simulation of technological processes at the concentrating plant "Raspadskaya". Gornyi infor-matsionno-analiticheskii byulleten'

11. Lamberg P. Beneficiation technologies simulation with the HSC chemistry software using data on the mineral liberation extent// Tsvetnye metally [Non-ferrous Metals]. 2011, no. 10, pp. 98-104. (In Russian).\

12. Mashevskii G.N., Romanenko S.A. Mathematical model of the cleaning cycle of flotation of copper pyrite ores. Obogashchenie rud [Ore Concentration]. \ 2014, no. 4

13. Fandrich R., Gu Y., Burrows D., Moeller K. Modern SEM-based mineral liberation analysis // Int. J. Miner. Process. 2007, vol. 84, pp. 310-320.

14. Nguen Van Chi, Petrov A.V. Economic model of the technological processes of mineral concentration/ Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2010, no. 5

Authorship criteria

Petrov A.V. has prepared the article for publication and bears the responsibility for plagiarism.

Conflict of interests

The author declares that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.