Применение канонических представлений случайных функций при оценке вероятности наступления рискового события

10. Попов Г. В., Игнатьев Е. Б. Определение индекса технического состояния силовых трансформаторов в процессе их эксплуатации // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. - 2014. - № 4. - С. 25-32.

11. Аноп М.Ф. Геометрический подход к прогнозированию показателя опасности объектов ответственного назначения в условиях недостатка информации // Труды14-й международной научной школы «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах (МАБР — 2016)». — Санкт-Петербург: СПИИ РАН, 2016. — С. 70-75.

12. Аноп М.Ф., Катуева Я.В. Управление техногенной безопасностью региона на основе индексов опасности, уязвимости и защищенности // Информатика и системы управления. — 2014. — № 3(41). — С. 140-147.

УДК 681.51

Диго Г.Б., Диго Н.Б.

ФГБУН «Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской Академии наук» (ИАПУ ДВО РАН), Владивосток, Россия

ПРИМЕНЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ОЦЕНКЕ ВЕРОЯТНОСТИ НАСТУПЛЕНИЯ РИСКОВОГО СОБЫТИЯ

Анализируются проблемы, возникающие в процессе прогнозирования наступления рискового события при управлении и эксплуатации сложных систем ответственного назначения на основе функционально-параметрического подхода теории надежности. Описывается алгоритм прогнозирования вероятности наступления рискового события при каноническом представлении случайных функций.

Ключевые слова:

ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ РИСКОВОГО СОБЫТИЯ, ОРТОГОНАЛЬНОЕ КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ, МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ, ОБЛАСТЬ РАБОТОСПОСОБНОСТИ

Введение. При планировании эксплуатации технических устройств и систем важную роль играет прогнозирование их технического состояния. Для объектов ответственного назначения, потеря работоспособности которых связана с большими материальными потерями или катастрофическими последствиями, очень важно уметь предсказывать возможный момент отказа, уменьшать возможности отказов и техногенных рисков, используя, в частности, прогноз динамики изменения их технического состояния на основе мониторинга.

Некоторые подходы к решению задачи оценки и управления техногенными рисками, базирующиеся на идеях функционально-параметрического направления теории рисков [1], изложены в работах [1-3]. В соответствии с этой методологией процесс функционирования системы и ее техническое состояние в любой момент времени определяются конечным набором параметров системы, их отклонения от исходных (номинальных, расчетных) значений приводят к отказам (являются рисковыми событиями), формой проявления которых является выход параметров за пределы области работоспособности. Поскольку отклонения параметров образуются под влиянием различных факторов, действующих в процессе производства, хранения и эксплуатации, и имеют случайный характер, параметры технических систем рассматриваются как некоторые случайные функции времени. Для некоторых известных их закономерностей (известных моделей случайных процессов изменения параметров) в [1, 4, 5] изложены рекомендации по оценке вероятности наступления рискового события. Однако в предлагаемых методах прогноза предполагаются известными структура случайного процесса изменения параметров состояния либо свойства класса, которому принадлежит реальный процесс. А это означает, что для прогнозирования должны быть заданы модели процессов изменения параметров. В большинстве реальных задач при прогнозировании приходится сталкиваться с неопределенностью, вызываемой недостаточной теоретической изученностью объектов исследования, подверженностью их влиянию неконтролируемых возмущений с неизвестными характеристиками, свойствами окружающей их внешней среды. Из-за отсутствия, недостаточности или недостоверности исходных данных требуются новые подходы, учитывающие вероятностный характер воздействий и параметров. Приходится рассматривать один или несколько альтернативных вариантов с учетом возможных ситуаций и использовать аппарат теории принятия решений, обеспечивающий поиск наилучшего решения и преодоление вычислительной трудоемкости методов и алгоритмов нахождения таких решений. При различных видах неопределенности эти проблемы могут быть преодолены с помощью многометодных и многовариантных технологий с использованием параллельных вычислений.

В докладе проанализированы проблемы, возникающие при прогнозировании технического состояния сложных систем ответственного назначения на основе функционально-параметрического подхода, и предложен алгоритм оценки вероятности наступления рискового события, использующий каноническое представление случайных функций.

Проблемы использования функционально-параметрического подхода теории надежности при оценке вероятности наступления рискового события

В основе методологии функционально-параметрического подхода лежат следующие основные принципы:

- процесс функционирования технической системы и ее техническое состояние в любой момент времени определяются конечным набором некоторых переменных - параметров системы;

- все отказы (наступления рисковых событий) являются следствием отклонений параметров от их исходных (номинальных, расчетных) значений, а формой проявления отказа является выход параметров системы за пределы области допустимых значений (области работоспособности).

Таким образом, при решении задачи управления техногенными рисками на основе функционально-параметрического подхода необходимо уметь оценивать текущее техническое состояние системы, прогнозировать изменения технического состояния (момент перехода в предельное состояние), определять соответствующие суммарные и единовременные эксплуатационные расходы, связанные с мониторингом состояния, проведением профилактических мероприятий и с ущербом, возникающим при наступлении рискового события.

Пусть У(Ь) - случайный процесс (в общем случае векторный) изменения некоторого параметра состояния технической системы, статистические характеристики которого полагаются известными и задана его область работоспособности. Рисковое событие Я в таком случае наступает в момент выхода случайного процесса У(Ь) за пределы области работоспособности.

При оценке вероятности наступления рискового события согласно [1] могут использоваться два подхода. Один из них основан на определении плотности распределения времени безотказной работы (времени нахождения процесса изменения выходных параметров У(1) в области работоспособности). Вероятность наступления рискового события (отказа системы) в течение времени Т описывается для этого случая в виде:

т

Р(КТ) = | ,

где q(t) - плотность распределения времени безотказной работы. Предполагается, что случайный процесс У(Ь) изменения определяющего параметра

технической системы имеет односторонний (возрастание или убывание) монотонный характер и условия работоспособности задаются в виде одностороннего ограничения Y(t) > a или Y(t) < a , где а -уровень допустимого увеличения (или уменьшения) параметра. Кроме того, как это следует из формулы (1), вероятность нахождения параметра в допустимых пределах в момент времени t = 0 считают равной единице.

Во втором подходе предполагается, что процесс Y(t) монотонный, одномерная плотность распределения случайного процесса Y(t) в момент времени t = T известна, вероятность нахождения параметра в допустимых пределах в начальный момент Р(0)=1. Условия работоспособности при этом могут быть как односторонними, так и двусторонними, т.е.

a < Y

где аг b - нижнее и верхнее допустимые значения параметра соответственно. Вероятность невыхода случайного процесса за пределы области допустимых значений в течение времени Т совпадает в этом случае с вероятностью

P(T) = ffr (y)dy ,

где /Т

в момент времени / = Т .

Эти подходы мало приспособлены для решения задач управления рисками в реальных условиях, поскольку изменения параметра У(Ь) и допустимые пределы изменения параметров предполагаются жестко фиксированными друг относительно друга, и сам процесс У(Ь) считается неуправляемым [3].

Основные трудности, возникающие при использовании функционально-параметрического подхода теории надежности для оценки вероятности наступления рискового события, связаны с тем, что большинство систем ответственного назначения слабо формализованы, а информации о закономерностях параметрических возмущений недостаточно. В таких условиях для моделирования процессов изменения параметров затруднительно использовать функциональные модели, а результат существенно зависит от возможности мониторинга и прогнозирования их технического состояния.

В соответствии с методологией функционально-параметрического подхода процесс функционирования системы и ее техническое состояние в любой момент времени определяются конечным набором параметров системы, а наступление рискового события является следствием отклонений параметров от их исходных (номинальных) значений. Формой проявления отказа является выход параметров за пределы области работоспособности. Отклонения параметров образуются под влиянием различных факторов, действующих в процессе производства, хранения и эксплуатации, и имеют случайный характер. Поэтому параметры технических систем рассматриваются как некоторые случайные функции времени, закономерности изменения которых (модели случайных процессов изменения параметров) считаются известными.

Поскольку во многих случаях для принятия той или иной гипотезы о предпочтительности модели априорной информации недостаточно, а выборка результатов мониторинга (апостериорных данных) для статистических выводов слишком мала, возникает необходимость в разработке метода выбора структуры этих моделей.

Применительно к системам ответственного назначения, согласно [6, 7], должна рассматриваться индивидуальная стратегия, учитывающая индивидуальные особенности конкретной технической системы и условий ее эксплуатации. Эффект от использования индивидуальной стратегии управления рисками определяется, главным образом, возможностью в наибольшей степени использовать ресурс каждой конкретной системы и возможностью предотвращения наступления рисковых событий (отказов), вызываемых выходом определяющих параметров системы за пределы области работоспособности.

Этого можно достичь уменьшением числа преждевременных вмешательств в ее работу и своевременным прекращением эксплуатации системы или проведением профилактических мероприятий.

Индивидуальное управление рисками возможно при условии получения текущей информации о действительном техническом состоянии каждой системы, т.е. реализация индивидуального подхода требует непрерывного или дискретного контроля и анализа ее состояния.

В основе индивидуального подхода лежит прогнозирование изменений параметров технического состояния системы, осуществляемое по результатам контроля. Однако прогнозирование состояния по наблюдениям за одной конкретной системой может проводиться только при наличии известных априорных характеристик процессов, протекающих в аналогичных системах (модели случайного процесса дрейфа параметров), и данных о характеристиках ошибок контроля и помех. В [8] как весьма перспективное предлагается описание процессов изменения параметров в виде ортогональных канонических разложений [9].

Применение канонического представления случайной функции. Пусть Х(Ь) - случайный процесс (в общем случае векторный), характеризующий изменения некоторого параметра состояния технического объекта, статистические характеристики которого известны в интервале времени эксплуатации [^] , и задана область работоспособности О, определяющая множество значений вектора Х(Ь), соответствующих исправному состоянию объекта.

Предположим, что в результате контроля за одним объектом, принадлежащим выбранному классу объектов, в дискретные моменты времени ,

(</г) , получены значения реализации случайного процесса:

.х

где Ьв - момент проведения последнего контроля. Пусть, кроме того, рисковым событием является момент Т первого достижения границы области О (потери его работоспособности) апостериорным

случайным процессом Хр: , возникающим из априорного при учете результатов контроля (2). Требуется по результатам контроля определить вероятность наступления рискового события за время эксплуатации.

Согласно [9, 10] для этого необходимо найти первый по времени корень стохастического уравнения

Xps (t) - a = 0, t > ^ ,

где а — векторная форма задания поверхности области О.

Аналитическое решение уравнения (5) в общем случае связано с непреодолимыми трудностями, а результаты, полученные для частных видов случайных процессов, очень сложны для практического применения. Решение этого уравнения ищется методом Монте-Карло, при этом используются возможности компьютерного моделирования, алгоритм преобразования априорного случайного процесса в апостериорный. Кроме того, учитывается информация, полученная в процессе контроля.

Ортогональные канонические представления являются математическим аппаратом, позволяющим описывать широкий класс случайных процессов. Их суть заключается в том, что любой случайный процесс может быть представлен в виде ряда, состоящего из комбинации неслучайных функций времени и некоторых некоррелированных случайных величин:

Х

к=0

где тК(Ь) - математическое ожидание процесса в момент времени Ьг Ук - некоррелированные случайные величины, математические ожидания которых равны нулю, Кк (Ь) - неслучайные функции времени, называемые координатными.

Для описания процесса изменения параметров технического объекта выражением (6) должны быть

определены или заданы коэффициенты Ук и координатные функции хк(1). При их нахождении использованы результаты, приведенные в [9, 10], и описанная в [11] технология полиномиального прогнозирующего контроля безотказной работы технических объектов. Она включает следующие этапы:

-построение на основе известной априорной информации канонического разложения вида (6);

- определение значений условного математического ожидания исследуемой случайной последовательности в области прогноза по известным значениям:

- многократное моделирование значений случайных коэффициентов и формирование множества возможных продолжений реализации исследуемой случайной последовательности в области прогноза;

- проверка условия непересечения полученными траекториями границ допустимой области изменения контролируемого параметра X и определение оценки вероятности безотказной работы технического объекта как отношения числа успехов к общему количеству проведенных экспериментов.

Не ограничивая общности, предположим, что состояние некоторого технического объекта исчерпывающим образом определяется скалярным параметром X, изменение значений которого в дискретном ряде точек 1=1,2,..., I, описывается случайной

последовательностью (4).

Технология прогнозирования безотказной работы технических объектов на основе [11] охватывает достаточно широкий класс случайных последовательностей (немарковские, нестационарные, немонотонные и т.д.), однако получаемое представление апостериорной случайной последовательности является оптимальным только в рамках линейных стохастических свойств, что существенно снижает достоверность прогноза для случайных последовательностей, которые обладают нелинейными связями. Устранение данного недостатка возможно пу-

тем использования в основе способа оценки вероятности безотказной работы технического устройства нелинейного канонического разложения [12] исследуемой случайной последовательности изменения значений контролируемого параметра:

Заключение

Проанализированы проблемы, возникающие при прогнозировании технического состояния и управлении эксплуатацией сложных систем ответственного назначения на основе функционально-параметрического подхода. Среди них дефицит априорной информации о случайных процессах вариации параметров исследуемых систем и высокая вычислительная трудоемкость поиска решения.

Для оценки вероятности наступления рискового события использовалась технология оценки вероятности безотказной работы технических объектов в будущие моменты времени при различном характере измерений [11], в основу которой положена модель полиномиального канонического разложения апостериорной случайной последовательности изменения значений контролируемого параметра. Она не накладывает существенных ограничений на класс исследуемых случайных последовательностей (линейность, стационарность, марковость, монотонность и т.д.). Единственным требованием, предъявляемым к исходному процессу, является требование конечности дисперсии, это обычно выполняется для реальных случайных процессов.

В существующих условиях неопределенности для достижения требуемого качества функционирования системы необходимо выбирать и реализовывать стратегию управления ее параметрами, учитывая дефицит информации о случайных закономерностях процессов их изменения, вероятностный характер критерия оптимальности и нелинейность целевой функции и ограничений на нее.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта ДВО РАН программы «Дальний Восток», проект №15-1-4-007 о (02 62-2 015-012 4).

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов О.В. Об оценке вероятности наступления рискового события: функционально-параметрический подход // Надежность и качество сложных систем. - 2016. - № 1. - С. 24-31.

2. Абрамов О.В. Алгоритм оценки и прогнозирования остаточного ресурса сложных технических систем // Труды международного симпозиума «Надежность и качество 2013». - 27 мая - 03 июня, г. Пенза. -Пенза: ПГУ, 2013. - T.I. - C. 5-6.

3. Абрамов О.В. Анализ и прогнозирование техногенных рисков // Информатика и системы управления.

- 2012. - № 3. - С. 97-105.

4. Абрамов О.В. Марковские модели техногенных рисков// Информатика и системы управления. - 2 013.

- № 2. - С. 73-81.

5. Абрамов О.В. Мониторинг и прогнозирование технического состояния систем ответственного назначения // Информатика и системы управления. - 2011. - № 2(28). - С. 4-15.

6. Абрамов О.В. Возможности и перспективы функционально-параметрического направления теории надежности // Информатика и системы управления. 2014. № 4(42). - С. 64-77.

7. Абрамов О.В. Анализ и прогнозирование техногенных рисков // Информатика и системы управления.

- 2012. - № 3. - С.97-105.

8. Абрамов О.В. об одной модели процесса изменения параметров в задаче анализа техногенных рисков // Труды Международного симпозиума «Надежность и качество»: в 2 т. Том 1. - Пенза: ПГУ, 2017. - С.111-112.

9. Кудрицкий В.Д. Прогнозирующий контроль радиоэлектронных устройств. - Киев: Техника,1982. -168 с.

10. Кудрицкий В.Д. Каноническое представление случайных функций в задачах прогнозирования надежности // АиТ. 1970. № 1. С. 170-175.

11. Атаманюк И.П., Кондратенко Ю.П. Информационная технология полиномиального прогнозирующего контроля безотказной работы технических систем // System Research & Information Technologies. 2013. № 1. С. 43-52.

УДК 623.593 Афанасьев В.А.

ФГБОУ ВО «Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова», Ижевск, Россия

РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ СИГНАЛА НА ВХОДЕ ОПТИЧЕСКОГО ДАТЧИКА СВЕТОВОГО ЭКРАНА

Проведены исследования, целью которых является выявление закономерности формы энергетического сигнала на входе оптического датчика при пролете метаемого элемента через световой экран от формы метаемого элемента, его положения в пространстве, наклона светового экрана и его весовой функции. В статье рассмотрены весовые функции светового экрана при различной траектории полета метаемого элемента, а также рассмотрена разработка модели сигнала на входе оптического датчика светового экрана с учетом входа элемента в световой экран. Получен сигнал на входе оптического датчика светового экрана как результат свертки функции веса светового экрана с величиной проекции на световой экран от доли длины изделия. Результаты исследований используются для решения задачи снижения погрешности при определении моментов времени пересечения метаемым элементом световых экранов. Ключевые слова:

СВЕТОВОЙ ЭКРАН, ОПТИЧЕСКИЙ ДАТЧИК, СИГНАЛ, ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ