О почти аппроксимируемости конечными р-группами нисходящих HNN-расширений групп

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 1

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 512.543

О ПОЧТИ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОНЕЧНЫМИ Р-ГРУППАМИ НИСХОДЯЩИХ HNN-РАСШИРЕНИЙ групп

Д. Н. Азаров

Аннотация

Пусть G — группа конечного общего ранга, ф — инъективный эндоморфизм группы G, G(^) — нисходящее HNN-расширение группы G, соответствующее эндоморфизму ф. И пусть индекс подгруппы G/ф в группе G конечен и равен п. Доказано, что если для некоторого простого числа р, не делящего п, группа G почти аппроксимируема конечными ргруппами, то и группа G^) почти аппроксимируема конечными ргруппами. Это обобщает ряд известных результатов и в том числе теорему Д. Вайса и Т. Су о финитной аппроксимируемости произвольного нисходящего HNN-расширения почти полициклической группы.

ON THE VIRTUAL RESIDUALITY A FINITE P-GROUPS OF DESCENDING HNN-EXTENSION

D. N. Azarov

Аннотация

Let G be a group of finite general rank. And let H be a finite index subgroup in G. Let G(^) be a descending HNN-extension, corresponding to isomorphism ф : G ^ H. It is proved that if G is virtually residually a finite p-group for any prime p > [G : H], then G(^>) is virtually residually a finite p-group. As a corollary a new proof of the known theorems is obtained.

1 Введение

Пусть С — группа, порожденная элементами а1,а2,... и определяемая множеством соотношений Д. И пусть ф — инъективный эндоморфизм группы С. Тогда группа

С(ф) = (а1,а2,... ,Р, Я, Ь-1а1Ь = а1ф, 1-1а2Ь = а2ф,...) называется нисходящим ЕШМ-расширением группы С, соответствующим эндо-ф

группа Баумслага — Солитэра

Вп = (а, Ь; Ь-1 аЬ = ап),

где п — целое неотрицательное число.

Напомним, что группа С называется финитно аппроксимируемой, если для каждого неединичного элемента а группы С существует гомоморфизм группы С на некоторую конечную группу, при котором образ элемента а отличен от 1. Наряду с финитной аппроксимируемостью рассматривается также свойство аппроксимируемости конечными р-группами, где р — простое число, и свойство почти аппроксимируемости конечными ргруппами. Напомним, что группа С обладает каким-либо свойством почти, если она содержит подгруппу конечного индекса с этим свойством.

Вп

р

Вп

Вп р

рп

В 2003 году Д. Вайс и Т. Су [4] доказали следующий результат.

Теорема 2. . Нисходящее ЖУЖ-расширение почти полициклической группы, является финитно аппроксимируемой группой.

Заметим, что финитная аппроксимируемость нисходящего ! 1.\.\-распшре-ния полициклической группы является частным случаем следующего результата Г. Баумслага и Р. Бери, доказанного в работе [5] еще в 1976 году (см. также [6, п. 11.2.4]). Пусть К — наименьший класс разрешимых групп, содержащий единичную группу и замкнутый относительно нисходящих ! 1.\.\-рас1!шренпп и расширений с помощью конечных разрешимых групп. Тогда любая группа из класса К является финитно аппроксимируемой.

Существенным обобщением теоремы 2 является следующий результат А. Борисова и М. Сапира [7].

Теорема 3. . Нисходящее НЫЫ-расширение конечно порожденной линейной группы является финитно аппроксимируемой группой.

Еще одним обобщением теоремы 2 является следующий результат А. Рем-туллы и М. Ширвани [8].

Теорема 4. . Нисходящее НИИ-расширение редуцированной почти разрешимой минимаксной группы является финитно аппроксимируемой группой.

Напомним, что группа называется минимаксной, если в ней существует субнормальный ряд, каждый фактор которого удовлетворяет условию минимальности или условию максимальности для подгрупп. Полициклические группы являются минимаксными и могут быть охарактеризованы как разрешимые группы с условием максимальности. Группа называется редуцированной, если она не содержит нетривиальных полных подгрупп. Для разрешимых минимаксных групп условие редуцированности равносильно условию финитной аппроксимируемости (см., напр., [6, п. 5.3.2]).

Напомним, что группа С называется группой конечного общего ранга, если существует целое положительное число г такое, что любое конечное множество элементов группы С содержится в некоторой ее г-порожденной подгруппе. Условию конечности общего ранга удовлетворяют все конечно порожденные группы, все подгруппы аддитивной группы рациональных чисел, а также все разрешимые минимаксные группы.

Здесь доказан следующий результат, обобщающий теорему 1, усиливающий и обобщающий теоремы 2 и 4, и частично обобщающий теорему 3.

Теорема 5. . Пусть С — группа конечного общего ранга, ф — инъективный эндоморфизм, группы, С. Н пусть индекс подгруппы Сф в группе С конечен п

Если для, некоторого простого числа, р, не делящего п, группа С почти аппроксимируема конечными р-группами, то и группа С(ф) почти аппрокси-

р

Ср м,и для, всех достаточно больших простых р, то и группа С(ф) почти аппрок-

рр С(ф) С

конечного общего ранга не обязано быть финитно аппроксимируемой группой, даже если индекс [С : Сф] конечен. Действительно, если С — группа рациональных дробей, знаменатели которых взаимно просты с фиксированным простым числом р, и эндоморфизм ф ставит в соответствие каждому х из С число рх, то С — финитно аппроксимируемая группа ранга 1, индекс [С : Сф] конечен и равен р, то группа С(ф) не является финитно аппроксимируемой, поскольку содержит нетривиальные полные элементы.

Вп

НМЫ-расширение бесконечной циклической группы, то частным случаем тео-

р

п Вп

ргруппами. Если же р делит и, то группа Bn не является почти аппроксимируемой конечными ргруппами, поскольку она содержит группу p-ичных дробей,

p

этим свойством почти. Таким образом, теорема 1 является следствием теоремы 5.

А. Л. Шмелькин [9] доказал, что любая полициклическая группа почти

pp того, если ф — инъективный эдоморфизм почти полициклической группы G, то индекс подгруппы G<£ в группе G конечен (см., напр., [4, утв. 3.10]). Поэтому из теоремы 5 вытекает следующее утверждение, усиливающее теорему 2.

Следствие 1. . Пусть G — почти полициклическая группа, ф — инъективный эндоморфизм группы, G, и — индекс подгруппы G/ф в группе G. Тогда для, любого простого числа, р, не делящего и, группа, G(ф) почти аппроксими-p

Редуцированные разрешимые минимаксные группы почти аппроксимируе-pp Кроме того, по аналогии с упомянутым выше утверждением [4, утв. 3.10] может

ф

мой минимаксной группы G индекс подгруппы G<£ в группе G конечен. Поэтому непосредственным следствием теоремы 5 является следующее утверждение, усиливающее теорему 4.

Следствие 2. . Нисходящее HNN-расширение редуцированной почти разрешимой минимаксной группы, является, группой, почти аппроксимируемой pp Поскольку конечно порожденные линейные группы над полем нулевой ха-

p

p

из теоремы 5 является следующий результат, дополняющий и частично обобщающий теорему 3.

G

ф

группы, G. П пусть индекс подгруппы G/ф в группе G конечен и равен и. Тогда группа Gfy) почти аппроксимируема конечными р-группами для всех доста-

p

Отметим также, что класс всех групп конечного общего ранга, почти ап-

p

p

нулевой характеристики и редуцированными почти разрешимыми минимаксными группами. Этому классу принадлежат, например, конечные расширения конечно порожденных свободных разрешимых групп [11].

Для доказательства теоремы 5 нам потребуется ряд вспомогательных утверждений.

2 Вспомогательные утверждения

Лемма 1. . Пусть К — конечная группа, Уагк — многообразие групп, задаваемое всем,и тождествами группы, К. Тогда любая, группа конечного общего ранга, из многообразия Уагк является, конечной.

Доказательство. Хорошо известно, что все конечно порожденные группы из многообразия У агк конечны (см., напр., [12, гл. 5, п. 2, упр. 8]). Обозначим через пг порядок свободной группы ранга г данного многообразия. Тогда порядки всех г-порожденных групп многообразия Уагк ограничены числом пг. Пусть теперь С — группа конечного общего ранга из многообразия Уагк. Тог

ство М элементов группы С содержится в некоторой г-порожденной подгруппе X группы С. Тогда \М\ < \Х\ < пг. Следовательно С — конечная группа и ее порядок ограничен числом пг. Лемма доказана. р

СМ

рС

СУ р-индекса) такая, что У С М.

Доказательство. Пусть

ШХ1,Х2, . . . ) = 1)ш

— система всех тождеств группы С/М Обозначим через У вербальную подгруппу группы С, порожденную всеми ее элементами ^ (Н1,Н2,...), где I Е

1,к1 Е С, Н2 Е С,_Тогда У С М и С/У Е У агс/м- Отсюда и из того, что

С/У С/М

С/У С/М р

полняется тождество хт = 1, где т — рчисло, и поскольку С/У Е У агс/м, то и в группе С/У выполняется тождество хт = 1, т.е. С/У — конечная р-группа. Лемма доказана.

Сф группы, С на ее подгруппу Н, причем, индекс подгруппы Н в группе С конечен и равен п. И пусть для некоторого простого числа, р, не делящего п, груп-Ср элемента а Е С в группе С существует вербальная подгруппа У конечного р-индекса, не содержащая элемент а и такая, что Уф = У П Н.

Ср а Е С С

М р а

силу леммы 2 в группе С существует вербальная подгруппа У конечного р-У С М а

У У Уф С У

Уф С Н Уф С У П Н

Уф = У П Н нам остается проверить, что индексы подгрупп Уф и У П Н конечны и совпадают между собой.

Так как индекс [С : У ] является рчислом и р те дел и т [С : Н ], то индексы [С : У] и [С : Н] взаимно просты. Поэтому

ф С Н [С :

У] = [Н : Уф] Уф С Н С С

[С : У П Н] [С : Уф]

между собой. Лемма доказана.

Сф группы, С на ее подгруппу Н. И пусть V — класс групп, замкнутый отноС

принадлежащую классу V, то в группе С существует нормальная подгруппа Р конечного индекса, принадлежащая классу V и такая, что Рф = Р П Н.

Ср

СР

р Рф = Р П Н

МС принадлежащая классу V. В силу леммы 2 в группе С существует вербальная подгруппа У конечного индекса такая, что У С М. Так как класс V замкнут относительно подгрупп, то подгруппа У принадлежит классу V. А поскольку У Уф С У

Для каждого целого неотрицательного числа г через Уг будем обозначать множество всех элементов х группы С таких, что Хфг Е У. Очевидно, что Уг —

С

[С : У П Н] = [С : У][С : Н].

[С : Уф] = [С : Н][Н : Уф] = [С : Н][С : У].

Уг+1ф = Уг П Н

и

Уг = Угф1 < У.

Так как У Е V и класс V замкнут относительно подгрупп, то в силу (4) Уг Е V

г Уф С У

У = Уо < У < У2 < ....

УС существует целое положительное число ] такое, что Уj = У]+ъ Тогда при г = ] равенство (3) принимает вид Уjф = Уj П Н. Таким образом, подгруппа Р = У1 удовлетворяет всем требуемым условиям. Лемма доказана.

Лемма 5. . Пусть ф — изоморфизм группы, С на ее подгруппу Н, причем, Н С Р

индекса группы, С, удовлетворяющая равенству Рф = Р П Н. Тогда [С : Н] = [Р : Р П Н]

фС Н, то [С : Р] = [Н : Рф]. Отсюда и из того, что Рф = Р П Н следует, что [С : Р] = [Н : Р П Н] [С : Н]

[С : Н][С : Р] = [С : Н][Н : Р П Н] = [С : Р П Н] = [С : Р][Р : Р П Н].

[С : Р] [С : Н] =

[Р : Р П Н]

Сф группы, С на ее подгруппу Н, причем индекс подгруппы Н в группе С конечен и равен п. И пусть для некоторого простого числа, р, не делящего п, группа С

рС

Р

Рф = Р П Н а Е Р

Р существует вербальная, подгруппа У конечного р-индекса, не содержащая а Уф = У П Н

С

Рр Рф = Р П Н Н С Р

С Рф = Р П Н

[Р : Р П Н] = п

Р

группа конечного общего ранга. Так как Рф = Р П Н, то ограничение ф изо-ф Р Р

РПН

Таким образом, Р — группа конечного общего ранга, ф — изоморфизм группы Р на ее подгруппу Р П Н, индекс п = [Р : Р П Н] конечен и при этом для некоторого простого числа р, те делящего п, группа Р аппроксимируема конеч-р

а Е Р в группе Р существует вербальная подгруппа У конечного р-индекса, не содержащая элемент а и такая, что Уф = У П (Р П Н). Последнее равенство

Уф = У П Н

фС

С У С

Уф = У П Сф г

являются подгруппами группы, С(ф), У С Си для, каждого целого положи-г

УС У/ _ нормальная подгруппа конечного индекса группы, С и [С : У] = [С : V].

Доказательство. Так как

г-1Уг = Уф = у п Сф с у,

то для любого целого числа к

Гк-1 УЬк+1 С Гкугк,

С

Уг = ГгУ?,Сг = г%ы%.

Тогда, подмножества

У = и УгС^ Сг

V П с% = у%.

то есть

• • • С У1 С Уо С У-1 С ....

Поэтому

г<0

С

•••С С С Со С С-1 С ....

и поэтому (С — подгруппа группы С(ф). Очевидно также, что У С (С. Уф = У П Сф

Уф2 = Уф п Сф2 = у п Сф п Сф2 = у п Сф2,

п

Уфп = у п Сфп,

то есть

гпУГ = у п гпап,

откуда

У = гпУгп п С = У-п п С.

Отсюда и из (7) следует, что У = У П С и поэтому для любого целого числа г

Уг = г%уь% = г%У1% п г%С1% = У П с%.

Таким образом, равенство (5) доказано.

УС

г Уг Сг

условий (6) и (8) у — нормальная подгруппа группы (С. Предположим еще, что индекс подгруппы У в группе С конечен и равен в. Так как в силу (5) для

г

с%У/У = с%/с% п 9 = с%/у% = с/у,

то подгруппы СгУ/У конечны и имеют один и тот же порядок в. А поскольку объединение этих подгрупп совпадает с (С/у, то (С/У — конечная группа порядка в. Таким образом, [С : У] = в = [С : V] Лемма доказана.

3 Доказательство теоремы 5

Сф

С

С

С Сф

Сп

рп

С р С

р

СР Рф = Р П Сф а Е Р Р

У р а Уф = У П Сф

г

р% = г% Ргг,Сг = г%сь%.

По лемме 7 подмножества

р = у р%,с = у с%

%&Z

С(ф) Р

группа конечного индекса группы С, то в силу леммы 7 Р — нормальная подгруппа конечного индекса группы С и [С : Р] = [С : у].

Покажем, что группа у аппроксимируема конечными р-группами, то есть что для каждого неединичного элемента а группы у в группе у существует

ра элемент а очевидно сопряжен с некоторым элементом из подгруппы Р, то без потери общности можно считать, что а Е Р. Поэтому в группе Р существует

У р а

Уф = УПСф У

Р и р — нормальная подгуппа конечного индекса группы С, то У — нормальная

Сг

V = Г%У1%,У=\^ V.

%&Z

Уф = У П Сф У

С, то по лемме 7 у — подгруппа группы С(ф), для любого целого г выполняется равенство Сг П у = Уг (и, в частности, С П у = У), У — нормальная подгруппа конечного индекса группы С и [С : У] = [С : V]. Очевидно, что у С у С С. Поэтому [С : у] = [С : у][у : V]- Отсюда и из того, что [С : У] = [С : у] и [С : Р] = [С : у], следует, что [С : У] = [С : Р][Р : V]. Но, с другоий стороны, [С : У] = [С : Р][Р : У]. Из последних двух равенств получаем [Р : У] = [у : V]. А поскольку [Р : У] — степень чиела р, то и [ у : у] — степень чиела р. Таким образом, у — нормальная подгруппа конечного р-индекса группы Р. Так как а Е Р С С а Е У и СпУ = У,тоаЕ у • Мы видим, таким образом, что группа у аппроксимируема конечными и из того, что индекс [С : у]

конечен, следует, что группа С почти аппроксимируема конечными ргруппами.

Так как группа (С совпадает с объединением возрастающей последовательности подгрупп Сг, изоморфных группе С и группа С имеет конечний общий ранг, то и группа С также имеет конечный общий ранг. Легко также видеть, что группа С(ф) явдяется расщепляемым расширением группы С с помощью циклической группы, порожденной элементом Ь.

Таким образом, С(ф) — расщепляемое расширение группы (С конечного об-

р

конечной циклической группы. Поэтому почти аппроксимируемость конечными ргруппами группы С(ф) вытекает из следующего результата, доказанного в [13].

Расщепляемое расширение группы конечного ранга, почти аппроксимируе-р

нечными р-группами, само является группой, почти аппроксимируемой конечными р-группами.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Baumslag G., Solitar D. Some two-generator one-relator non-Hopfian groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1962. V. 68. P. 199-201.

[2] Молдаванский Д. И. Аппроксимируемость конечными р-группами HNN-расширений // Вестник Иван. гос. ун-та. 2000. Вып. 3. С. 129-140.

[3] Азаров Д. Н., Сергина Е. А. О почти аппроксимируемости конечными р-группами некоторых групп Баумслага — Солитэра // Научи, тр. Иван, гос ун-та. Математика. 2008. Вып. 6. С. 21-28.

[4] Hsu Т., Wise D. Ascending HNN-extensions of polycyclic groups are residually finite // J. Pure Appl. Algebra. 2003. V. 182:1 P. 65-78.

[5] Baumslag G., Bieri E. Constructable soluble groups // Math. Z. 1976. V. 151. P. 249-267.

[6] Lennox J., Robinson D. The theory of infinite soluble groups. Oxford.: Clarendon press. 2004.

[7] Borisov A., M. Sapir M. Polynomial maps over finite fields and residual finiteness of mapping tori of group endomorphisms // ArXiv math. 2003. 0309121VI [math. GR].

[8] Rhemtulla A. H., Shirvani M. The residual finiteness of ascending HNN-extensions of certain solyble groups // Illions J. of Math. 2003. V. 47. P. 477484.

[9] Шмелькин А. Л. I Io. imiiiк. шческпе группы // Сиб. мат. ж. 1968. Т. 9. С. 234-235.

[10] Lubotzky A., Segal D. Subgroup growth. Progress in Mathematics. V. 212. Birkhauser verlag.: Basel. 2003.

[11] Gruenberg K. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. V. 7. P. 29-62.

[12] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука. 1972.

[13] Азаров Д. Н. О почти аппроксимируемости конечными р-группами // Че-бышевский сборник. 2010. Т. 11. Вып. 3(35). С. 11-21.

Ивановский государственный университет.

Поступило 14.05.2012