Е. О. Степанов "Некоторые задачи, связанные с гомологической теорией интегрирования" (с/к лаборатории им. П.Л. Чебышева СПбГУ)

Е. О. Степанов "Некоторые задачи, связанные с гомологической теорией интегрирования"

Евгений Олегович Степанов, СПбГУ и АУ

"Некоторые задачи, связанные с гомологической теорией интегрирования"

Аннотация.

Речь пойдет о некоторых задачах, естественным образом формулируемых в терминах потоков (транспортная задача, задача Плато).

Оказывается весьма естественным ставить эти задачи в произвольном метрическом пространстве, используя для этих целей понятие потоков

в метрическом пространстве. В отличие от классических потоков де Рама в евклидовом пространстве (объектов, двойственных дифференциальным формам),

это объекты, в каком-то смысле двойственные липшицевым функциям. Соответствующие конструкции оказываются весьма интересными и полезными для исследования структуры метрических пространств и пространств мер на них.

Курс должен быть в принципе доступен в т.ч. и студентам 2-3 курса, знакомым с основными понятиями теории меры и с элементарными основами функционального анализа.

Содержание курса

1. Дифференциальные формы и потоки де Рама в евклидовом пространстве. Масса потока. Нормальные потоки, спрямляемые потоки, плоские цепи Уитни. Функции ограниченной вариации.

2. Потоки в метрическом пространстве.

3. Структура одномерных нормальных потоков. Ациклические потоки и кривые. Циклические потоки и асимптотические циклы Шварцмана (соленоиды).

4. Транспортная задача в метрическом пространстве.

5. Минимальные меры Мезера.

[6. Метрические гомологии и структура пространства мер]

7. Обобщенная задача Плато в метрическом пространстве. Изопериметрическое неравенство и существование решений.