Влияние дифференциальных планетных возмущений на критерии близости орбит

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №7-8_

АСТРОНОМИЯ

УДК 523.532

Г.И.Кохирова, Ю.В.Обрубов*, Н.Д.Влайков* ВЛИЯНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПЛАНЕТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ НА КРИТЕРИИ БЛИЗОСТИ ОРБИТ

Институт астрофизики АН Республики Таджикистан, Московский государственный технический университет им.Н.Э.Баумана, Калужский филиал

На основе исследования дифференциальной эволюции орбит комет 2Р/Энке, 96Р/Мачхолца и астероида 3200 Фаэтон мы оценили диапазоны изменений Te критерия Тиссерана относительно Земли, C, C2 -постоянных Лидова, DSH критерия Саутворта и Хокинса, Dd критерия Друммонда,

DH критерия Йопека, DR критерия Валсекки и др. под действием дифференциальных планетных

возмущений. При вычислениях по методу Эверхарта на интервале времени 30000 лет мы учитывали притяжение от всех восьми больших планет, включая и их взаимные возмущения. Показано, что наиболее сильно действию планетных возмущений подвержены критерии Саутворта и Хокинса, Друммонда и Йопека. Относительно небольшие изменения испытывают большие полуоси орбит, критерий Тиссерана, постоянные Q, C2 и DR критерий.

Ключевые слова: комета, астероид, орбита, эволюция, планетные возмущения, критерий схожести орбит.

Для выявления взаимосвязей малых тел Солнечной системы на начальном этапе используются различные критерии близости орбит. Исторически для каждой группы малых тел, а именно для комет, астероидов и метеорных частиц (метеороидов), были разработаны и применялись специфические критерии. Рассмотрим некоторые из этих критериев, которые применяются наиболее часто.

Для оценки близости орбит используются критерии, основанные на кеплеровских элементах орбит. К ним относятся D5ff критерий Саутворта и Хокинса [1], Dd критерий Друммонда [2] Dff критерий Йопека [3].

В отсутствие резонансов большие полуоси a орбит небесных тел не имеют вековых возмущений первого порядка и их можно считать постоянными:

a = const.

Проекция вектора кинетического момента астероида на нормаль к плоскости движения возмущающей планеты также постоянна:

— + a

a k

Адрес для корреспонденции: Кохирова Гулчехра Исроиловна. 734042, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Бухоро, 22, Институт астрофизики АН РТ. E-mail: kokhirova2004@mail.ru

В формуле (2) е, I - эксцентриситет и наклон орбиты астероида к плоскости орбиты планеты, п' - среднее движение планеты, к - постоянная Гаусса.

Критерий Тиссерана получен при решении ограниченной круговой задачи трех тел: Солнце, Юпитер, комета. Этот критерий связывает такие элементы орбиты кометы, как большая полуось, наклон и эксцентриситет. Значение этого критерия Т относительно планеты р вычисляется по формуле:

а„

Tp = al- + £

l а

v

а

а

где а - большая полуось орбиты возмущающей планеты (Юпитера или любой другой, которая оказывает наибольшее влияние). Критерий Тиссерана является следствием интеграла (2).

Исследуя гравитационные вековые возмущения искусственных спутников Земли от Солнца и Луны, в работах [4, 5] было получено аналитическое выражение для второго и третьего интегралов движения:

C = (l - е2) cos2 i = const.

2/2 2 4'

C2 = W(е, i, о) = е (0,4 - sin i sin с) = const.

со — аргумент перигелия орбиты спутника. Эти интегралы могут использоваться и в двукратно-осредненной задаче трех тел: Солнце, Юпитер, астероид, так как постановка и решение этой задачи эквивалентны задаче Земля, Солнце, спутник. Постоянство Q вытекает из критерия Тиссерана, так

как большие полуоси орбит не имеют вековых возмущений первого порядка.

Для выявления метеорных потоков из наблюдений по вычисленным орбитам метеороидов наиболее часто используется dsh критерий Саутворта и Хокинса [1]:

Dh = (е — е2)2 + (qi — q2)2 + 4sin2+

......2 , 2 • 2 у\

+4 sin\ sin/2 sin —1-2 +

^, - перигелийные расстояния, , О2 - долготы восходящих узлов и ж1=О1+ о, ж2 = О2 + о2 - долготы перигелиев двух сравниваемых орбит соответственно.

критерий является метрикой в нелинейном и, на первый взгляд, пятимерном пространстве элементов орбит е,/, О, ж. Или же в пространстве а, е,/, О, о, так как ^ = а(1 — е), а ж = О + о . Однако на самом деле размерность пространства равна 4, так как в силу селективности наблюдений метеоров необходимо добавить условие пересечения орбит метеороида и Земли. Эти орбиты могут пересекаться только в узлах метеорной орбиты при условии, что радиус-вектор хотя бы

в одном из узлов равен расстоянию Земли от Солнца, то есть ~ 1 а.е. Радиусы-векторы восходящего Яа и нисходящего Ял узлов вычисляются по формулам:

а (1 - е2) а (1 - е2) Ка =—--— « 1а.е., Ка =—--— « 1а.е.

1 + е соб а

1 - е соб а

Эти условия устанавливают связь между а, е, а или е, q, а, так как параметр орбиты

р = а(1 — е ) = q(1 + е) . Таким образом, независимыми остаются только 4 элемента. Если же учесть взаимосвязь эксцентриситета, наклона и аргумента перигелия, вытекающую из интегралов (4), то останется всего лишь два независимых элемента а и а •

В дальнейшем были разработаны модификации 05Н критерия. Наиболее известными являются

Об критерий Друммонда [2] и Бн критерий Йопека [3]:

Б2 =

е1 — е2 V е1 + е2 У

2

+

ql- д2 я + q2

2

+

I

12

180°

е1 + е2

Я

12

180°

БН =

( л2 /

2 ql - q2 '

я+Я2

у

I лл2 ге +

112 I ,1 е1 ^

+

V 2

(

ЯЛЛ

В формулах (7, 8) 112 угол между плоскостями сравниваемых орбит, а Я12 - угол между направлениями линий апсид.

Критерии , Б0, Бн использовались, например, в работе [6] для выделения метеоров потока Геминид, возможно связанного с астероидом 3200 Фаэтон, из спорадического фона.

Валсекки и др. [7] предложили принципиально новый критерий близости орбит, основанный на известных интегралах движения в ограниченной круговой задаче трех тел. Этот критерий записывается в виде:

Б2 = (и - и)2 + Щ(СОБЯ - СОБЯ)2 + Щ )2.

тт- ГТ^т л _ 1 -и2 -1/а

В формуле (9) щ2 - весовые коэффициенты, и = у3 Те , а со§ я = .,

Те = + а (1 - е ) соб / - критерий Тиссерана относительно Земли. Физический смысл и заключается в том, что эта величина дает геоцентрическую скорость малого тела в момент его столкновения с Землей в единицах орбитальной гелиоцентрической скорости Земли (29.765 км/с). Угол 9 - это угол между векторами скорости малого тела и Земли (элонгация радианта от апекса).

Величина третьего слагаемого - характеризует различие в направлениях геоцентри-

ческих скоростей двух сравниваемых орбит в точках пересечения с орбитой Земли. Этот параметр можно вычислить только для орбит, пересекающих орбиту Земли в восходящем или нисходящем узле:

2

2

А£2 = min(w2Аф2 + wАЛ2, w2Аф2 + w3АЛ2) ;

2

180 + Л~Л

2

2

Здесь ^, , — весовые множители, которые можно положить равными единице, Л иф -

геоцентрические долгота и широта радианта для двух сравниваемых орбит.

Для орбит, не пересекающих орбиту Земли, используется усеченный критерий Ок, не содержащий слагаемое (А£) :

Так как считается, что критерий Тиссерана изменяется незначительно, то и величина Ок должна сохранять примерное постоянство. Этот критерий использует только три элемента орбиты и поэтому применяется на стадии подбора объектов для исследования их возможной взаимосвязи. При

Хороший обзор и обсуждение достоинств и недостатков современных критериев близости орбит приведен в работе [8]. В частности, в ней отмечается неоднозначность критерия Саутворта и Хокинса, так как он дает результаты, не всегда согласующиеся с наблюдениями. Устойчивость критериев исследовалась в работе [9], в которой все критерии были вычислены по элементам оскули-рующих орбит шести короткопериодических комет. Эти орбиты были получены из наблюдений за последние более чем 10 появлений каждой кометы. В результате показано, что изменения испытывают все критерии. Но сильнее всего изменяются критерии DSH, Dd, DH .

Необходимо отметить, что предельные минимальные значения критериев DSH, Dd , Dh , которые позволяют судить об общем происхождении объектов, являются эмпирическими. Критерии Тиссерана Te относительно Земли, постоянные Cl, С2 и критерий DR получены при существенных упрощениях задачи возмущенного движения, и их устойчивость требует исследования влияния дифференциальных планетных возмущений.

Дифференциальные планетные возмущения орбит

Исходные элементы орбит исследуемых объектов взяты нами из каталогов орбит астероидов группы Аполлона [10] и околоземных комет [11] NASA и даны в табл. 1.

вычислениях мы полагали также w1 = 1

Таблица 1

Элементы орбит комет 96Р/Мачхолца, 2Р/Энке и астероида 3200 Фаэтон

Объект 96P/Machholz 2P/Encke 3200 Фаэтон

Эпоха (г.м.д) 2013.09.06 2014.08.01 2014.12.09

М 0 77.99276 75.42995 293.7611

0 а у2000.0) 14.75775 186.5404 322.1437

(12000.0) 94.32324 334.5698 265.2144

,-0 1 (12000.0) 58.31221 11.77999 22.23995

е 0.9592118 0.8483682 0.8898360

а ^х.) 3.033930 2.215043 1.271171

В табл. 1М - средняя аномалия на указанную эпоху в градусах.

Для вычисления дифференциальных планетных возмущений мы применяли метод Эверхарта [12]. Программная реализация метода основана на подпрограмме RADA19 с автоматическим выбором шага интегрирования. При вычислениях использовался заранее созданный банк координат положений и скоростей всех восьми больших планет, которые вычислялись также по методу Эверхарта. Программа позволяет проводить вычисления на интервале времени 30 тысяч лет (от 15 000 г. до н.э. до 15 000 г. н.э).

Первоначально были вычислены оскулирующие орбиты всех объектов на 2000 г. Результаты вычислений дифференциальных возмущений наклона и эксцентриситета для кометы 96Р/Мачхолца представлены на рис. 1.

Вычисления показали, что большие полуоси испытывают только короткопериодические колебания. При этом амплитуда изменений для орбит комет 96Р/Мачхолца и 2Р/Энке не превышает 0.06 а.е., а для астероида 3200 Фаэтон - 0.007 а.е.

Долготы перигелиев кометы Энке и астероида Фаэтон изменяются практически линейно. Средняя скорость изменения долготы перигелия 2Р/Энке составляет примерно 7 градусов за тысячу лет, а для 3200 Фаэтона - 1 градус за тысячу лет. Долгота перигелия кометы Мачхолца либрирует между значениями 90-110 градусов с периодом около 4000 лет.

Рис. 1 показывает, что изменения наклона и эксцентриситета для кометы Мачхолца происходят в противофазе - максимум наклона достигается при минимуме эксцентриситета и наоборот. Аналогичный характер имеют изменения наклона и эксцентриситета для кометы Энке и астероида Фаэтон. Такой характер изменения вытекает из критерия Тиссерана, или из постоянства С1.

Рис. 1. Изменения наклона и эксцентриситета орбиты кометы 96Р/Мачхолца.

В изменениях наклона и эксцентриситета орбиты кометы Энке очень четко проявляется ко-роткопериодическая составляющая с периодом около 3 тысяч лет и долгопериодическая - с периодом около 60 тысяч лет. Периоды изменения наклона и эксцентриситета ровно в 2 раза короче одного цикла изменения аргумента перигелия от 0 до 360 градусов, который составляет 6 тысяч лет. А долгопериодическая компонента имеет период равный периоду изменения долготы перигелия. При этом амплитуда долгопериодической компоненты примерно в 5 раз больше чем для короткопериодической для эксцентриситета, тогда как для наклона амплитуда долгопериодической компоненты в 2 раза меньше короткопериодической.

На рис. 2 даны изменения критериев , и Он для кометы 96/Р Мачхолца. При вычислении этих критериев для всех объектов в качестве базовой орбиты сравнения брались вычисленные оскулирующие орбиты на 15000 год до н.э.

Рис. 2. Изменения критериев О5Д, и Он кометы 96Р/Мачхолца

Как видим, наибольшие изменения испытывают критерии Саутворта и Хокинса (до 1.86) и Друммонда (до 1.78). Амплитуда изменений критерия Йопека (до 1.22) в 1.5 раза меньше, но и она

достаточно велика. Это связано в первую очередь с большой амплитудой изменений наклона и эксцентриситета этой орбиты.

Для кометы Энке максимальные значения всех трех критериев не превышают 1.82, и при этом 08Н~00~0Н. Для Фаэтона <1.3, а Вв ~БН <0.5.

Рассмотрим теперь поведение динамических критериев С1, С2, Те и БК. В качестве примера на рис. 3 представлены их изменения для кометы Мачхолца, а на рис. 4 - для кометы Энке.

Время в годах

Рис. 3. Изменения динамических критериев С1, С2, Те и для кометы 2Р/ Энке.

Время в годах

Рис. 4. Изменения динамических критериев С!, С2, Те и Бк для кометы 96Р/Мачхолца.

В первую очередь отметим параллельный ход изменения критерия Тиссерана и постоянной С1, которая является его следствием. Различие определяется отношением больших полуосей ар / а в

критерии Тиссерана. Как видим диапазоны изменений Te, С\ и С2 относительно невелики по сравнению с изменением критерия DSH.

Основной вклад в изменение всех перечисленных критериев в случае кометы Мачхолца дают изменения эксцентриситета и наклона, для астероида Фаэтон - изменения наклона, эксцентриситета и долготы перигелия, а для кометы Энке - ротация долготы перигелия.

Заключение

Проведенное исследование показывает, что в случае регулярной эволюции качественные результаты, вытекающие из первых интегралов двукратно-осредненной задачи трех тел, хорошо отражают основные закономерности долгопериодической эволюции орбит. В частности максимальные наклоны и минимальные эксцентриситеты достигаются при аргументах перигелия близких к О0 или 1800, а минимальные наклоны и максимальные эксцентриситеты при 900 и 2700. Ни один из рассмотренных критериев не сохраняет постоянство, но при этом критерий Тиссерана Te, постоянные Q, C2

и критерий Dr изменяются в довольно узких пределах.

Аргумент перигелия определяет, какая часть орбиты небесного тела лежит над, а какая под плоскостью эклиптики. Кроме того, его значение определяет и текущее направление изменения наклона и эксцентриситета.

Большие значения критерия Саутворта и Хокинса возникают, в частности, при сравнении орбит, которые находятся в различных эволюционных положениях. Поэтому при использовании этого критерия необходимо ввести дополнительные условия. Например, в метеорной астрономии таким условием является пересечение орбиты метеороида с орбитой Земли. Вместо этого условия можно потребовать равенство аргументов перигелиев сравниваемых орбит. То есть перед сравнением привести орбиты в одинаковые эволюционные положения. Для решения этой задачи нужно использовать, например, результаты вычислений эволюции орбит.

В любом случае критерии близости орбит всегда дают только предварительный результат и позволяют отобрать объекты для дальнейшего исследования их возможной взаимосвязи на основе сравнения эволюции их орбит.

Поступило 20.06.2016г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Southworth R.B., Hawkins G.S. Statistics of meteor streams - Smith. Contrib. Astrophys., 1963, v.7, pp. 261-285.

2. Drummond J.D. A test of comet and meteor shower associations. - Icarus, 1981, v.45, pp. 545-553.

3. Jopek T.J. Remarks on the meteor orbital similarity D-criterions. - Icarus, 1993, v.106, pp. 603-607.

4. Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием возмущений внешних тел. - Искусст. спутн. Земли, 1961, №8, c. 5-45.

5. Лидов М.Л., Ярская М.В. Интегрируемые случаи в задаче об эволюции орбиты спутника поля планеты. - Косм. иссл., 1974, т.12 (№2), c. 155-170.

6. Webster A.R., Jones J. Multi-Year CMOR Observations of the Geminid Meteor Shower - In Meteoroids: The Smallest Solar System Bodies, W.J. Cooke et. al., 2011, pp. 48-57, URL: https://www2. sti.nasa.gov/login/wt.

7. Valsecchi G. B., Jopek T. J., Froeschle Cl. Meteoroid stream identification: a new approach. - I. Theory - MNRAS, 1999, v.304, pp.743-750.

8. Klaska J. Meteor streams and parent bodies - arXiv:astro-ph/9910044v1 4 Oct 1999, GPL Ghostscript SVN PRE-RELEASE 8.62, pp. 1-10.

9. Калинин Д.А. О критериях общности в кометных метеороидных комплексах - Изв. ВУЗов, Астрон., гравим. и косм. геод., 2013, №5, с.3-9.

10. APO orbital elements // http://neo.jpl.nasa.gov/cgi-bin/neo_elem.

11. NEC orbital elements // http://neo.jpl.nasa.gov/cgi-bin/nec_elem.

12. Everhart E. Implicit single sequence method for integrating orbit - Celest. Mech., 1974, v.10, №1, pp.35-55.

Г.ИДохирова, Ю.В.Обрубов*, Н.Д.Влайков*

ТАЪСИРИ ОШУБХРИ ДИФЕРЕНСИАЛ САЙЁРАФ БА МЕЪЁР^ОИ

МОНАНДИИ МАДОРХР

Институти астрофизикаи АИ Цумхурии Тоцикистон, *Донишгохи давлатии техники Москва ба номи Н.Э.Бауман, филиали Калуга

Дар асоси тадкикоти дифференсиалии тадаввули мадори кометадои 2Р/Энке, 96Р/Мачхолс ва астероиди 3200 Фаэтон тагйирёбии фосиладои Те критерияи Тиссеранро нисба-ти Замин, доимидои Ci , С2 -и Лидов, Dsh критерияи Саутворт ва Хокинс, Dd критерияи Дру-монд, Dh критерияи Йопек, Dr критерияи Валсекки ва дигаронро дар зери таъсири ошуби дифференсиалии сайёрадо бадо дода шудааст. Х,ангоми дисоб намудан бо усули Эверхарт дар фоси-лаи вакти 30000 сол чозибаи дамаи дашт сайёрадои бузург аз чумла ошубдои мутакобилаи ондо низ ба назар гирифта шудааст. Нишон дода шудааст, ки аз дама бештар ба таъсири даракатдои ошубноки сайёрадо критериядои Саутворт ва Хокинс, Друмонд ва Йопек гирифтор мешаванд. Нисбатан бештар тагйирёбиро нимтирдои калони мадор, дар критерияи Тиссеран, доимии Ci , С2 ва Dr дис мекунанд.

Калима^ои калиди: комета, астероид, мадор, тауаввул, цозибаи сайё'равй, меъёри монандии мадоруо.

G.I.Kokhirova, Yu.V.Obrubov*, N.D.Vlaykov* ON THE INFLUENCE OF DIFFERENTIAL PLANETARY PERTURBATIONS ON THE CRITERIA OF ORBITAL CLOSENESS

Institute of Astrophysics of the Ac.Sci. of the Republic of Tajikistan, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Kaluga branch

On the base of differential evolution of orbits of comet 2P/Encke, comet 96P/Machholz and asteroid 3200 Phaethon the limits of long-term variations of Tisserand's constants Te, along with Lidov's constants

Q , C2 and D5ff criterion of Southworth and Hawkins, Dd criterion of Drummond, DH criterion of Jopek and Dr criterion of Valseccki et al. were evaluated. The perturbations from all eight major planets were taken into account. It was shown that DSH , Dd and Dff criteria have the most significant deviations. Criteria Te, C , C and Dr undergoing much less deviations.

Key words: comet, asteroid, orbit, evolution, planetary perturbations, criterion of orbital similarity.