Компьютерное моделирование методом Монте-Карло электронных траекторий в полярных диэлектриках при воздействии электронными пучками средних энергий

ЭЛЕКТРОНИКА И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ

УДК 537.533.9:537.226.4:51-73: 519.245

А.Г. Масловская, А.В. Сивунов КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО ЭЛЕКТРОННЫХ ТРАЕКТОРИЙ В ПОЛЯРНЫХ ДИЭЛЕКТРИКАХ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЭЛЕКТРОННЫМИ ПУЧКАМИ СРЕДНИХ ЭНЕРГИЙ

Представлено имитационное моделирование транспорта электронов в полярных диэлектриках, облученных в растровом электронном микроскопе. Программная реализация компьютерной 3D-модели проведена методом Монте-Карло в Matlab с учетом упругих и неупругих процессов взаимодействия электронов средних энергий с твердым телом. Результаты модельных расчетов приведены на примере сегнетоэлектрического кристалла для различных значений параметров эксперимента.

Растровая электронная микроскопия, траектория движения электрона, средний пробег электрона, упругое взаимодействие, неупругое взаимодействие, компьютерное моделирование, метод Монте-Карло

A.G. Maslovskaya, A.V. Sivunov MONTE-CARLO SIMULATION OF ELECTRON TRAJECTORIES IN POLAR DIELECTRICS IRRADIATED BY MIDDLE LEVEL ENERGY ELECTRON BUNCHES

The article presents the simulation of electron transport in polar dielectrics under the electron irradiation in the scanning electron microscope. The 3D animation is based on random walk of electrons according to elastic and inelastic energy losses by the Monte-Carlo method. The simulation model is designed provided Matlab programming. The results of middle level energy electron trajectories simulation in ferroelectric crystal for the various initial parameters are proposed.

Scanning electron microscopy, electron trajectory, mean electron range, elastic interaction, inelastic interaction, simulation, Monte-Carlo method

Введение

Растровый электронный микроскоп является исследовательским прибором, который широко используется во многих областях науки и техники для изучения свойств и структуры твердых тел. В растровой электронной микроскопии изображение объекта является результатом взаимодействия электронного пучка с поверхностью образца и формируется последова-

тельно по точкам. При взаимодействии электронного пучка с твердой мишенью возникает большое число явлений, которые служат основой для формирования различного рода сигналов. К ним можно отнести вторичные и отраженные электроны, характеристическое и тормозное рентгеновское излучение, оже-электроны и фононы различных энергий [1]. Подробную информацию о процессе рассеяния электронов можно получить, проводя расчеты по методу Монте-Карло [1, 2].

Компьютерное моделирование процессов рассеяния электронов в твердых телах методом статистических испытаний имеет давнюю предысторию [1] и началось практически с появлением первых ЭВМ. В современном высокотехнологичном мире развитие средств обработки, передачи и хранения информации обусловливает научный интерес к применению методов компьютерного анализа алгоритмов случайных блужданий для разработки систем имитационного моделирования электронных траекторий в твердых телах. Известен широкий ряд научных работ, посвященных разработкам, программным реализациям и практическому применению метода Монте-Карло для моделирования транспорта электронов в конденсированных средах c учетом специфики исследуемых сред, аспектов экспериментального наблюдения, симметрии и размерности задачи, теоретических основ, лежащих в основе физической модели процесса [3-6]. Кроме того, различные варианты реализации метода случайных блужданий предлагаются как в коммерческих, так и в свободно-доступных программных продуктах, позволяющих изучать поведение электронного пучка в твёрдом теле (Casino [7], NISTMonte, WinXRay, Penelope, David Joy’s, NBSMonte, Electron Flight Simulation и др.).

Распространение методик растровой электронной микроскопии на полярные диэлектрики позволяет всесторонне исследовать сегнетоэлектрические материалы, обладающие высокой чувствительностью к внешним воздействиям. Необходимость исследования различных аспектов взаимодействия электронных пучков с поверхностью сегнетоэлектриков возникает в задачах электронной литографии, формирования изображения геометрического рельефа, а также визуализации доменных структур образцов. Широкий спектр эффектов, возникающих при воздействии электронных пучков на полярные диэлектрики, а также высокая чувствительность полярных материалов к электрическим и тепловым воздействиям электронного зонда, позволяют получать отклик и создавать способы формирования изображения и исследования электрических свойств образцов. Однако в подобных исследованиях, для построения карты сопутствующих тепловых, инжекционных, зарядовых, радиационно-стимулированных и иных эффектов, требуется учитывать изменения, которые могут происходить в исследуемых образцах при воздействии электронного пучка, что требует дополнительных знаний относительно характеристик локальной области взаимодействия пучка электронов с образцом [8-10].

Целью настоящей работы является компьютерное моделирование транспорта электронов в полярных диэлектрических материалах при облучении электронными пучками средних энергий, а также разработка программного обеспечения для реализации системы динамического 3D-моделирования электронных траекторий в модельных образцах.

Схема метода Монте-Карло для задачи моделирования электронных траекторий

Применение метода Монте-Карло для моделирования транспорта электронов предполагает, что электрон с энергией E0 падает на поверхность образца в некоторую точку. Электрон может испытывать упругие или неупругие соударения и может быть отражен обратно из образца. Вид взаимодействия (упругое, либо неупругое) определяется не равновероятно с помощью встроенного генератора псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0, 1). Методика расчета предполагает, что каждый электрон после рассеяния в точке на углы юг., фг. (юг. - азимутальный угол, фг- - угол отклонения) проходит в образце

между случайными событиями рассеяния отрезок пути ASi по прямой линии с энергией Ei. При расчете определяются значения юг., фг., Ei в каждой последующей точке, расположен-

ной на расстоянии ASi по траектории. Новое значение энергии и направление движения

электрона после каждого атома рассеяния определяется из соответствующих распределений на основе случайных чисел.

Пусть электрон первоначально попадает в точку A, под углом 90° к осям x и у, и под углом 180° к оси z. В этой точке электрон сначала отклоняется на угол ф от первоначального направления, а затем поворачивается на азимутальный угол ю так, как это схематически показано на рис. 1. В результате электрон получит новое направление и окажется в точке B.

Упругое рассеяние происходит в результате столкновения электронов с ядрами атомов, частично экранированных связными электронами. Электрон отклоняется от направления падения на угол фY , который может принимать значения от 0° до 180°, но его типичное значение ~ 10°. Доказано, что для актов упругого соударения происходит отклонение на углы, большие 2°. Поэтому генерация углов в диапазоне [2°, 10°] проводится с большей вероятностью, а углов из промежутка (10°, 180°] - с меньшей.

Так как средняя длина свободного пробега и сечение рассеяния обратно пропорциональны друг другу, то средняя длина свободного пробега возрастает при уменьшении атомного номера и увеличении энергии электрона. Значение фу определяется генерацией случайного числа из диапазона

[п /90, п /6]. При неупругом взаимодействии происходит отклонение электрона на угол фN, причем ф^ << фу . Положим

0° < фn < 2°.

Азимутальный угол ю рассчитывается по формуле:

ю = 2nR,

где R - случайное число.

Расстояние, которое электрон проходит между двумя соседними взаимодействиями, равно длине пробега электрона:

s = —X ln

где £ е [0,1] - равномерно распределенная случайная величина; X - средняя длина свободного пробега (X = (A / N0 )ра); А - атомный вес, г/моль; N0 - число Авогадро (6,02 • 1023 моль-1); р - плотность, г/см ; о - сечение рассеяния.

В качестве сечения можно использовать сечение по модели Резерфорда:

о

где о(> ф0) - вероятность рассеяния на угол, превосходящий ф0; Z - атомный номер рассеивающего атома; Е - энергия электрона, кэВ.

Текущее положение электрона определено координатами (x, у, z), текущая траектория электрона - единичным вектором r , который характеризуется направляющими косинусами cos а = г • i ,cos в = r • j,cos y = r • k .

Первоначально положение электрона задается координатами (x0, у0, z0) и траектория определена значениями направляющих косинусов (0,0, — 1). Новое положение электрона (x1, у1, z1 ) рассчитывается по соотношению:

x1 = x0 + cos а-s, у1 = у0 + cos Р-s, z1 = z0 + cos у-s

Рис. 1. Схема изменения траектории электрона

где 5 - это путь, который электрон проходит между двумя соударениями, рассчитываемый по формуле (2).

Для дальнейшего расчета направляющих косинусов в программном приложении использованы следующие соотношения, полученные преобразованием системы координат в пространстве и определением значений направляющих косинусов нового вектора движения электрона относительно введенной

глобальной системы координат: если |cos Yi+l| > 0,9999, то cos ai+l = cos ю- sin ф,

cos в"+1 = sin ю - sin ф, cos Yi+l = cos ф - cos y" / <

cos Y

во всех остальных случаях:

cos a1+1 = sin y(cos a1 • cos y1 • cos ю- cos в • sin ю)+ cos a1 • cos ф/yjl -(cos y1 )2 ,

cos p1+1 = , sin ф (cos в • cos y1 • cos ю- cos a1 • sin ю)+ cos в • cos ф,

V1 -(cos Y1 )2

cos Y1+1 = - sin ф • cos ю ••у/1 -(cos Y1 )2 + cos Y1 • cos ф.

Неупругое рассеяние электронов в веществе обеспечивается следующими механизмами: неупругими взаимодействиями с ядрами атомов и неупругими взаимодействиями со связными электронами. В обоих случаях происходит изменение энергии падающего пучка электронов. Соотношение Бете для непрерывной потери энергии учитывает все процессы потерь энергии. Потеря энергии на единицу длины в твердом теле равна [1]:

dE

—m = -2ne4N0Zp/

dx

где e - заряд электрона, Кл; N - атомный номер; A - атомный вес, г/моль; p - плотность, г/см ; Em - средняя энергия электрона на пути, кэВ; J- средний потенциал ионизации, кэВ.

Средний потенциал ионизации, которым является средняя потеря энергии на взаимодействие при учете всех возможных процессов потери энергии, дается соотношением:

J =

Дополнение уравнения (5) начальным условием приводит к необходимости решения на каждом шаге задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, реализуемой

устойчивой предикт-корректорной схемой метода Адамса Ш порядка точности в ППП Matlab.

Расчет траектории и потерь энергии электроном на ее длине производится до тех пор, пока величина его энергии вследствие неупругого рассеяния не уменьшится до энергии электронов в твердом теле или до произвольной пороговой энергии, обычно выбираемой как энергия, при которой электрон не может больше вызывать ионизацию ~ 500 эВ. Расчет производится для траекторий большого числа электронов, пока не получится статистическое верное описание процесса рассеяния электронов при выбранных моделях рассеяния электронов и потерь ими энергии.

Реализация имитационной модели в виде программного приложения в программе Matlab. Анализ результатов моделирования

Программное приложение реализовано в ППП Matlab. Модуль является универсальным, обладает динамичным интерфейсом и содержит экранную форму, снабженную необходимыми теоретическими сведениями и пояснениями. Данная программа реализует имитационную модель распространения электронов в твердых облученных телах. Симулированы два классических взаимодействия электронного пучка с образцом - упругие и неупругие процессы. Активизация рабочего пространства требует загрузки программной среды и осуществляется запуском *.ш - файла, в результате на экране появляется окно - инициализации входных данных и вывода результатов. В качестве входных аргументов вводятся: количество электронов; время, равное одному итерационному шагу; значение начальной энергии электронного пучка; химический состав и размеры облучаемого материала. Для удобства просмотра предлагается выбор масштаба. Активизация клавиши запуска приводит к выполнению основных расчетов, непосредственно отвечающих за моделирование электронных траекторий, а 90

также к выводу ЭЭ-графика. Отдельная траектория, которая может быть точно рассчитана, не дает определенной информации о полном взаимодействии «электрон - твердое тело», и поэтому, для достижения статистической достоверности, должно быть рассчитано достаточно большое число траекторий (как правило, 500-10000). При вычерчивании большого количества траекторий визуализируется форма области взаимодействия пучка в твердом теле. Для анализа динамики числа оставшихся и покинувших образец электронов проводился подсчет нормированных по отношению к первоначальному числу электронов с течением времени.

Модельный расчет формы и размеров области электронного рассеяния в облучаемой мишени проведен на примере сегнетоэлектрического кристалла ниобата лития. Первоначальный угол падения электронного луча к поверхности мишени составлял 900. Ввод геометрических и физических параметров образца позволяет рассчитать электронные траектории, дающие визуализацию формы области взаимодействия пучка в твердом теле при различных значениях параметров экспериментального наблюдения. На рисунке приведен фрагмент имитационного моделирования распределения электронов методом Монте-Карло для кристалла ниобата лития (LiNbOЭ) при различных значениях стартовой энергии (рис. 2). Размер области взаимодействия значительно зависит от энергии падающих электронов. Сечение упругого рассеяния (Э) обратно пропорционально квадрату энергии. При увеличении значений энергии траектории электронов становятся более спрямленными вблизи поверхности, что обеспечивает более вероятное проникновение электронов в твердое тело, чем разворот части электронов и движение назад к поверхности за счет процессов многократного рассеяния. Как следует из уравнения Бете, скорость потерь энергии на проходимом пути обратно пропорциональна энергии. При более высоких энергиях электроны могут проникать на большие глубины, так как у них сохраняется большая доля начальной энергии после прохождения одного отрезка пути. Размер области взаимодействия по другим координатным направлениям образца изменяется с энергией аналогичным образом. Форма электронных траекторий существенно не меняется при изменении энергии пучка.

Для проверки адекватности результатов компьютерного моделирования проводилось сравнение полученного распределения электронного пучка в твердом теле с полусферой (с центром в точке падения луча), аппроксимирующей огибающую линию траекторий электронов. С этой целью использовано значение полной длины пробега электрона, рассчитанное по известному соотношению Канайя и Окаяма [1].

Полученные пространственные распределения области взаимодействия электронных пучков с полярным диэлектриком и их количественные оценки могут быть использованы в дальнейшем для модификации алгоритмов решения задач по оценке теплового и зарядового воздействий электронного зонда на образцы полярных диэлектриков.

Рис. 2. Расчет области взаимодействия в иЫЬО3 методом Монте-Карло а - Е0 = 10 кэВ; б - Е0 = 20 кэВ

Заключение

В работе проведена реализация динамической статистической 3,0-модели взаимодействия сфокусированного зонда растрового электронного микроскопа с твердыми телами. В математической формулировке модели учтены упругие и неупругие процессы взаимодействия электронов с образцом, вызванные бомбардировкой мишени. Проведена численная реализация имитационной модели, основанная на алгоритмизации метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) в ППП Matlab. На основании предложенного алгоритма реализовано программное приложение по имитации электронных траекторий. Разработанное программное приложение позволяет наблюдать анимацию электронных траекторий для выбранного элементного состава материала, мощности падающего излучения, времени рассеяния, количества историй электронов, а также после каждой реализации вычислительного эксперимента контролировать динамику изменения оставшихся и покинувших электронов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гоулдстейн Дж., Ньюбери Д., Эчлин П. Растровая электронная микроскопия и рентгеновский микроанализ. М.: Мир, 1984. 348 с.

2. Napchan E. Monte Carlo Simulation of Electron Trajectory // European Microscopy and Analysis. 1992. V.2. P.21-23.

3. Борисов С.С., Грачев Е.А., Зайцев С.И. Вычисления распределений по глубине энергии и заряда выделенных при облучении мишени электронным пучком в приближении дискретных потерь // Прикладная физика. 2007. №1. С.50-54.

4. Akarsu M., Ozbas O. Monte Carlo simulation for electron dynamics in semiconductor devices // Mathematical and Computational Applications. 2005. V.10. No.1. P. 19-26.

5. Шейкин Е.Г. Модельное дифференциальное сечение упругого рассеяния электронов на атомах для моделирования прохождения электронов в веществе методом Монте-Карло // ЖТФ. 2010. Т.80. Вып.1. С. 3-11.

6. Кортов В.С., Звонарев С.В. Моделирование методом Монте-Карло транспорта электронов в заряженным при облучении кристаллических диэлектриках // Математическое моделирование. 2008. Т.20. №6. С.79-85.

7. Drouin D., Couture A.R., Joly D., Tastet X., Aimez V., Gauvin R. CASINO V2.42 - A fast and Easy-to-use modeling tool for scanning electron microscopy and microanalysis users // Scanning. 2007. V.29. P.92-101.

8. Масловская А.Г. Анализ тепловых эффектов, возникающих при взаимодействии электронных пучков с сегнетоэлектрическими кристаллами // Известия вузов. Физика. 2010. №1. С.34-40.

9. Cazaux J. Mechanisms of charging in electron spectroscopy // Journal of Electron and Related Phenomena. 1999. V.105. P.155-185.

10. Molina P., Ramirez M.O., Garcia-Sole J., Bausa L.E. Effect of electron beam writing parameters for ferroelectric domain structuring LiNbO3:Nd3+ // Optical Materials. 2009. V.31. P.1777-1780.

Масловская Анна Г еннадьевна -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математический анализ и моделирование» Амурского государственного университета

Сивунов Антон Валерьевич -

аспирант кафедры «Математический анализ и моделирование» Амурского государственного университета

Статья поступила в редакцию 20.02.12, принята к опубликованию 12.03.12