Одномерные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в гибких трубках

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2

Полученные в данной работе приближенные системы уравнений могут быть использованы при исследовании длинноволновых колебаний и процессов распространения нестационарных волн в многослойных оболочках. В последнем случае они применимы вдали от фронтов волн.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11 -01-00545-а).

Библиографический список

1. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego : Academic Press, 1998. 226 p.

2. Коссович Л. Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1986. 176 с.

3. Коссович Л. Ю., Каплунов Ю. Д. Асимптотический анализ нестационарных упругих волн в тонких оболочках вращения при ударных торцевых воздействиях // Изв. Сарат. ун-та. 2001. Т. 1, вып. 2. С. 111-131.

4. Каплунов Ю. Д., Кириллова И. В., Коссович Л. Ю.

Асимптотическое интегрирование динамических уравнений теории упругости для случая тонких оболочек // ПММ. 1993. Т. 57, вып. 1. С. 83-91.

5. Коссович Л. Ю., Шевцова Ю. В. Асимптотические приближения трехмерных динамических уравнений теории упругости в случае двухслойных пластин // Проблемы прочности и пластичности : межвуз. сб. Н. Новгород : Изд-во Нижегород. ун-та, 2005. Вып. 76. С. 102-111.

6. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М. : Наука, 1971. 446 с.

УДК 539.3

ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ГИБКИХ ТРУБКАХ

Ю. П. Гуляев

Саратовский государственный университет E-mail: gulvis@yandex.ru

В статье описан новый вариант осреднения уравнений Навье-Стокса для осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости при минимальном числе упрощающих гипотез. Приведена полная система пространственно одномерных дифференциальных уравнений, описывающая динамику кровотока в системе крупных артериальных сосудов.

Ключевые слова: линеаризация, одномерные уравнения, осесимметричные колебания, закон Пуазейля.

One-Dimensional Equations of Motion of a Viscous Incompressible Fluid in Flexible Tubes

Yu. P. Gulyaev

This paper describes a new variant of the averaging of the Navier-Stokes equations for axisymmetric flow of a viscous incompressible fluid with a minimum number of simplifying hypotheses. The complete system is spatially one-dimensional differential equations describing the dynamics of blood flow in the large arteries.

Key words: linearized, one-dimensional equation, axisymmetric oscillations, Poiseuille law.

Одномерные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости [1] применяются для моделирования динамики кровотока в крупных артериях. Эти уравнения положены в основу создания быстродействующих многопараметрических моделей артериальных систем, которые достаточно быстро и точно могут численно описывать динамику кровотока в соответствующей части артериальной системы применительно к конкретному индивидууму. Используемый в настоящее время вариант уравнений, полученный с помощью осреднения уравнений Навье-Стокса для осесимметричного течения вязкой несжимаемой жидкости и некоторых упрощающих предположениях [2], на наш взгляд, не полностью отражает характер течения жидкости в случае осевой симметрии потока и когда осевая скорость существенно больше радиальной скорости течения.

В данной работе предлагается новый, более строгий математический подход к выводу одномерных уравнений осесимметричных движений вязкой жидкости. При этом существенно сокращается число дополнительных гипотез. В частности, непосредственно закон Пуазейля, справедливый только для установившихся течений в тонких жестких трубках, здесь не используется.

Предположим, что происходит осесимметричное нестационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в предварительно натянутой гибкой цилиндрической трубке. В цилиндрической системе

© Гуляев Ю. П., 2012

Ю. П. Гуляев. Одномерные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в трубках

координат, где ось г направлена по оси потока, уравнения Навье-Стокса имеют вид [3]:

дуг + дуг + дуг) др + ! 1 д ( дуг ^ + д2 у ^

р(~аГ + "г~д7 + Уі~дІ) - -Ш + р [ГэГ ^ дг

(д"г д"г дуг\ др ( д (д"г Р\— + у — + "*—) _ - - + р (- -д?

дЬ

дт

дг

дт

+

дг2 )

д2уг

дг2

д(т"г) + д(туг) _ о

дт

дг

Для потоков жидкости с существенным преобладанием осевой скорости уравнения (1) легко линеаризуются и принимают более простой вид:

(д"г д"г

ЧаГ + 2"0 НІ

(д"г д"г

Ч~5ї+2"0 иг

др (1 д ( дуг\ д2уг

дг + ^ \ т дт \ дт / + дг2

д 2 уг

др ( д (дуг дт + ^ у дг\дт) + дг2 д(туг) + д(туг) _ о

дт

дг

Здесь у0 — средняя скорость преобладающего осевого течения. Из этих уравнений вытекает уравнение для давления р:

1 _д (гдр\ + &р г дг V дг ) дг2

Осредняя уравнение (3) по площади поперечного сечения круглой трубки номинального радиуса К и вводя среднее по сечению давление в потоке жидкости по формуле

Рс _

2

Я2

трйт,

получим следующее соотношение:

др

дт

г=В

Я д2рс 2 дг2 '

Осреднение первого уравнения системы (1) по радиусу трубки приводит к известному одномерному уравнению движения для объёмного расхода жидкости Q [2]:

д + 2о дЯ Р ^ дЬ пЯ2 дг

_ - пЯ2 5Рс + 2пЯ^ “г

дг

дуг

дт

г=В

д 2Я

дг2 ’

в

Я — 2п ! туг йт. 0

Здесь Qo — средний за период пульсации объёмный расход в направлении оси трубки.

Таким образом, в рамках линейной теории в данном случае учитывается конвективная часть ускорения частиц жидкости.

Аналогично преобразуется уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

уг I г —В _ -

1 д 2пЯ дг

Запишем второе уравнение системы (2) с учетом равенства (4) на границе контакта жидкости и стенки трубки:

Р

дуг

~дЬ

г=В

дуг

+ 2у0

дг

г—В ,

Я д2 рс І д Ґ дуг

2 дг2 + Р \ дг\дт

г=В

+

д 2уг

дг2

г —В ,

Легко показать, что уравнение (7) будет выполнено, если будет выполнено уравнение (4). Для этого нужно из уравнения (7) исключить с помощью уравнения неразрывности (6) радиальную скорость стенки трубы.

В

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2

Найдем давление на контактной поверхности. Для этого второе уравнение системы (2) умножим на г2 и проинтегрируем по частям в пределах от 0 до Я. После применения к соответствующим интегралам теоремы о среднем значении окончательно получим:

. Я ( дУт

р\т=Я = ре — р 2 I ^

т=Я

дуг

+ 2у0 —-

дг

т=Я

8п \дідг

дг2 )

дУг 2 Я д2 Ут 1 д3 Я]

дг + т; Ут\т=Я + т=Я Я 2 т2 я + т=я 8п дг3 _

Из уравнения неразрывности вытекает следующее равенство:

дуг

дг

т=Я

_ 1 і дуг

Я Уг 1т=Я дг

т=Я

Запишем уравнения осесимметричных колебаний круглой цилиндрической оболочки с учетом предварительного натяжения её стенок в продольном и поперечном направлениях [3]. Материал стенок предполагаем линейно упругим и изотропным. Деформации оболочки считаются малыми.

д2и де 50 — Т0 ди>

Рст п,2 = т;—I---------^----------+ т,

ді2

дг ' Я ЕН

в =

1 — V2

дг ди ю д~г + "Я

д2ю Т То д2 ю

Рст о,2 =-------^ + тргю + во „ 2 +

ді2 Я

ЕН

Т0 =

1 — V2

Я2 ю ди Я + "д~г

д 2

где Е — модуль Юнга материала, Н — толщина оболочки, V — коэффициент Пуассона, эо, Т0 — соответственно мембранные силы предварительного продольного и поперечного натяжений оболочки.

Для уравнений гидроупругости необходимо написать кинематические и статические контактные условия на поверхности контакта стенки оболочки с жидкостью.

1. Условие безотрывного обтекания и условия прилипания частиц [1] жидкости к внутренней стенке оболочки:

ди дт

ди дю

= Уг\т = Я , = Уг\т = 1

дЬ 2|г=л’ дЬ г|г=л'

2. Статические контактные условия, выражающие условие непрерывности нормальных и касательных напряжений на поверхности контакта:

4 = Р\т=я —

дУт ( дУт N

дг т=Я т = ЧаГ т=Я дг

т=1

Определенная трудность возникает при нахождении скорости деформации сдвига на стенке трубы

дУг/дг\г=я.

Здесь можно предложить следующий приближенный метод. Введем в рассмотрение среднее по сечению трубки скорость деформации частиц жидкости:

дУг

дг

ср

2

Я2

дУг

дг

2

Я

Уг \т=Я —

я

пЯ2

1 (ди

Я\~дЬ

_я_

пЯ2

В случае установившегося течения вязкой жидкости в круглых трубках с жесткими стенками (течение Пуазейля) отношение скорости деформации сдвига на стенке трубки к средней по сечению трубки скорости деформации сдвига близко к двум. Предположим, что такое же отношение справедливо и для гибких трубок в общем случае осесимметричного неустановившегося течения. Тогда будем иметь:

дУг

дг

т=Я

=< І

ср

4 / ди Я Я\~дЬ — пЯ2

Из формулы (14), как частный случай, следует известное выражение скорости деформации сдвига на жесткой стенке при установившемся течение (ди/дЬ = 0).

Я

66

Научный отдел

Ю. П. Гуляев. Одномерные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в трубках

Кроме того, можно получить простую формулу, связывающую скорость продольного перемещения стенки сосуда с объёмным расходом жидкости и осевой скоростью потока. Для этого определим среднюю скорость деформации сдвига частиц жидкости по-другому:

дуг

я

1 Ї дуг 1 . . , „ 1 (ди

'йт = ~Б ( Уг\т=Я - Ух(0)) = о "яГ — Уг 1г=(

дг Усо Д./ дт~' Иу гг=я <'х^" я\дь иг,г=0

ср

Вычитая почленно из формулы (13) формулу (15), окончательно получим

2Я

ди

д

пК2

— уг \

г\т=0

Измеряя методом допплерографии объёмный расход крови Р и максимальную осевую скорость потока, по формуле (16) можно найти скорость продольного перемещения стенки сосуда. Эта скорость в качестве дополнительной продольной составляющей может включать в себя скорость продольного реактивного сокращения мышц стенки сосуда при работе вторичного распределенного сердца.

Теперь запишем систему одномерных уравнений гидроупругости, которая может быть использована при моделировании пульсирующего кровотока в системе крупных артерий:

дЯ и2 дРс . 0 „ дуг

р—- = —пК —---------+ 2пКр ——

дЬ

дг

дт

г=Я

д2 Я

дг2 '

я

Я = 2п J туг йт,

0

дш

~дЬ

1

2пК дг ' д2ш

д2и де 50 — Т0 дш (д2ш дуг

Рст^ГТ = тг- + „ ^ + М 1

дЬ2

дг ' К д 2 ш

дг

\дгдЬ

дт

г=Я

дуг

Т Т0

Рст = — к + иш +80 ж? + р|г=я — 2р ~зт

г=Я

ЕН (ди ш 8 =1—ТП д~г + "И

1 (д2Я п

Р\г=я = Рс + Р— \ ^ТГТ + 2у0

Т=

ЕН

8п \дідг

д2 Я дг2

д2и 1 +

+

дуг

дт

дУг

дт

г=Я

1 дш

г=Я К Ж

4 1 Ґди Я

И 1 ,ді пК2

д2

дгдЬ 2пИ2 дг

!_ д3Я

дгдЬ ' пИ2 дг ' 4п дг3 1 дЯ д2 и

ди

д

дгдЬ

1 ( 2Я \

^\пИ2 Уг |г=0

Ух\

Система замкнута, так как для определения десяти искомых функций Я, и, ш, 8, Т, рс, р\г=я, дуг

имеем десять уравнений.

г=Я

х \г=0

дт

дУг

г=я дт

В классе периодических функций времени эта система решается точно, и её общее решение можно представить комплексными рядами Фурье.

Библиографический список

1. Педли Т. Гидродинамика к] судов. М. : Мир, 1983. 400 с.

1. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных со- студ. мех.-мат. фак. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та,

2001. 49 с.

3. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретиче-

2. Гуляев Ю П., К°ссовт ,Л. Ю. Математические мо- ^ая гидромеханика : в 2 ч. М. : Физматгиз, 1963. Ч. 2.

дели биомеханики в медицине / учеб. пособие для 728 с.