Математическое моделирование и обратные задачи

УДК 518.6 : 517.9 ББК 22.181 Ц 32

Р. Цей, М.М. Шумафов

Математическое моделирование и обратные задачи

Аннотация:

В работе выделяется значимость применения обратных задач при математическом моделировании. Приводятся примеры применения обратных задач в разных областях науки. Упоминаются основные труды отечественных и зарубежных ученых, внесших наиболее весомый вклад в развитие теории обратных задач.

Ключевые слова:

Математическое моделирование, идентификация, дифференциальные уравнения, обратная задача.

Введение

Для изучения объектов или процессов, протекающих в окружающем нас мире, широко используются методы математического моделирования. Математические модели являются мощным средством познания окружающего мира. При этом следует заметить, что построенная математическая модель (какая бы сложная она не была) не может отразить все многообразные и сложные черты изучаемого явления. Обычно исследователь изучает только какую-нибудь сторону того или иного процесса или явления. При моделировании что-то является главным, а что-то - второстепенным, чем можно пренебречь. Поэтому исследователь сознательно огрубляет изучаемый процесс и идет на сознательное упрощение изучаемого явления. В результате, он имеет дело с идеализированным математическим образом реального процесса, происходящего в окружающем мире. Такая идеализация мотивируется тем, что наиболее часто оказывается, что фундаментальные законы природы получаются именно при максимальной идеализации (что с первого взгляда может оказаться удивительным). Например, первый закон Ньютона (один из самых основных законов физики) получен в предположении, что тело движется в пространстве, где нет других тел. Или, скажем, уравнение газодинамики или уравнение распространения тепла - они выведены тоже как раз в предположении идеальности газа и абсолютной однородности бруса, в котором распространяется тепло. Эти уравнения, как известно, хорошо описывают в приемлемом для практики приближении реальные процессы.

Одним из эффективных способов изучения математическими методами процессов, протекающих в окружающем нас мире, является моделирование этих процессов в виде дифференциальных уравнений. Для их составления нужно знать только локальные связи и не нужна информация обо всем явлении в целом. Это существенно упрощает задачу, так как в малом - все линейно. Например, при составлении уравнения колебаний струны:

32и_ 23 и 3 ¿2 3 х2

Т

(где а _ — , Т - натяжение струны, постоянное в рамках приближения малых колебаний; р -

\р

плотность струны) мы априори не знаем, что струна в целом будет совершать колебательные движения. Мы используем лишь упругий характер сил сцепления отдельных элементов струны. В результате, полученное с использованием лишь локальных свойств струны, уравнение определяет решение, которое носит колебательный характер. С помощью этого решения можно провести качественный и количественный анализ движения струны в целом, что хорошо соответствует реально происходящему явлению. В данном случае вся информация о поведении объекта в целом заложена в информации о его локальном поведении. На основе этой информации строится математическая модель, которая дает возможность изучать явление в целом.

Как правило, получаемые при математическом моделировании дифференциальные уравнения содержат коэффициенты, связанные с физическими характеристиками среды, в которой протекают эти процессы. (Например, в вышеупомянутом уравнении колебаний струны

Т

- это а _ „ — . Или в хорошо известном уравнении маятника

Р

dj- + 0 2 sin j = 0 - это о = — , где l - длина маятника, m - масса материальной точки).

dt V m

Весьма часто на практике встречаются такие ситуации, когда объект исследования бывает труднодоступным или недоступным вовсе, вследствие чего коэффициенты, присутствующие в конкретной математической модели, являются неизвестными функциями. Так, например, при поиске полезных ископаемых необходима информация о внутреннем строении Земли; при разработке и эксплуатации нефтегазовых месторождений необходима информация о

параметрах нефтегазоносного пласта; при диагностике различных заболеваний в медицине нужна информация о внутренних органах человека и т.д.

Непосредственное изучение внутреннего строения Земли с помощью бурения ограничено. Поэтому главную роль здесь играют геофизические методы, основанные на изучении на земной поверхности какого-либо физического поля, которое несет информацию о глубинном строении Земли. Таким полем, в частности, является электромагнитное поле, создаваемое с помощью специального источника электромагнитных колебаний. Другими словами, по измеренному электромагнитному полю на поверхности Земли, требуется определить электромагнитные параметры внутри Земли.

В начале XX века немецкими геофизиками Г. Герглотцем и Е. Вихертом была рассмотрена следующая задача: нельзя ли, располагая картиной движения фронтов сейсмических волн по поверхности Земли, порожденных землетрясениями, найти скорость распространения сейсмических волн внутри Земли? Поставленная задача (и подобные им задачи), по сути дела, является задачей определения неизвестной функции (скорости распространения сейсмических волн) из соответствующего дифференциального уравнения по известной частичной информации о решении этого уравнения. Подобные задачи тоже, по своей сути, являются задачами определения неизвестных коэффициентов, входящих в дифференциальное уравнение.

Таким образом, потребности практики часто приводят к задачам определения коэффициентов дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных), правой части, начальных условий по некоторым известным функционалам его решения. Такие задачи, в отличие от обычных для дифференциальных уравнений, когда уравнение задано, а требуется отыскать его решение (прямые задачи), получили название обратных задач математической физики. Термин «обратная задача» был введен выдающимися российскими математиками М.М. Лаврентьевым и В.Г. Романовым [1-5].

Деление задач на прямые и обратные обусловлено причинно-следственной связью. Проиллюстрируем это на примере.

Пусть на какую-нибудь физическую систему оказывается внешнее воздействие. Если известны параметры системы и характер воздействия, то можно ставить задачи об описании отклика системы на него. Это прямые задачи. Эти задачи представляют собой задачи отыскания следствий по известным причинам. Иными словами, в этих задачах по заданным локальным законам (физическим, химическим, биологическим, экономическим и т.д.), действующим внутри исследуемой системы, нужно ответить на вопрос: как будет вести себя система в целом? В этом случае все параметры исследуемой системы известны и изучается ее эволюция во времени.

Представим теперь ситуацию, когда наблюдатель изучает систему по ее отклику на внешнее воздействие и ставит целью восстановить параметры системы. Подобные задачи относятся к обратным и связаны они с обращением причинно-следственной связи -отысканием неизвестных причин по известным следствиям. При этом, как правило, «причины» конкретизируются в виде неизвестных коэффициентов, правой части, начальных условий дифференциального уравнения. В качестве же «следствий» выступают функционалы от решения дифференциального уравнения. Примерами обратных задач являются задачи:

1) определения характеристик источников поля в некоторых точках или областях пространства по результатам измерения параметров поля,

2) восстановления входного сигнала по реакции на выходе прибора,

3) определения параметров нефтегазоносного пласта по натурным наблюдениям (через определенные периоды времени) значений давления, насыщенности и др. контрольных скважин.

В этих и подобных им задачах реальные процессы, протекающие в исследуемом объекте, неизвестны, но имеются косвенные наблюдения. По результатам этих наблюдений пытаются найти определяющие параметры модели, управляющие поведением объекта.

Таким образом, обратные задачи - это определение параметров модели путем сопоставления наблюдаемых данных и результатов моделирования. Эту процедуру называют идентификацией математической модели.

Обратные задачи возникают не только в математике и физике, но и в других областях науки (геофизика, астрофизика, инженерные науки, теоретическая физика, медицина и др.) и в различных сферах человеческого бытия. Например, в археологии исследователи сталкиваются с решением обратных задач, направленных на восстановление исторических событий на основе ограниченного объема зарегистрированных «следствий». В медицине все задачи диагностики также относятся к обратным задачам. Например, наблюдая те или иные параметры состояния человека, требуется определить причины этого состояния (болезни).

Основы теории и практики исследования обратных задач математической физики были заложены и развиты в фундаментальных работах выдающихся ученых современности:

A.Н. Тихонова [11-14], А.С. Алексеева [10], М.М. Лаврентьева [1-3], В.Г. Романова [1, 2, 4, 5],

B.А. Амбарцумяна [15], Г. Борга [16], И.М. Гельфанда [17], Б.М. Левитана [17], М.Г. Крейна [18] и др.

В дальнейшем, развитая ими методика исследования обратных задач была применена в исследованиях широкого круга обратных задач их учениками и последователями: Ю.Е. Аниконовым, А.В. Баевым, А.С. Барашковым, С.П. Белинским, А.С. Благовещенским, Б.А. Бубновым, А.Л. Бухгеймом, Н.П. Волковым, В.И. Дмитриевым, А.Д. Искендеровым,

C.И. Кабанихиным, А.Л. Карчевским, В.С. Корниловым, М.В. Клибановым, С.В. Мартаковым, Б.С. Парийским, В.И. Прийменко, А.И. Прилепко, Т.П. Пухначевой, М.Г. Савиным, А.М. Федотовым, В.А. Чевердой, В.Г. Чередниченко, В.Г. Яхно и др. Целый ряд результатов в этом направлении получили в последние десятилетия зарубежные авторы, такие как Д.Г. Берриман, М. Грацелли, Р.Р. Грин, Р. Барридж, И.М. Ген, А. Лоренци, Д.К. Лиу, А. Ракеш, П. Сакс, В.В. Саймз, Ф. Сантоза и др. [1-21].

Подводя итог сказанному выше, приведем общую математическую постановку обратной задачи.

Пусть некоторый объект (явление или процесс в окружающем мире) подлежит изучению. Для этого ставится эксперимент. При этом типичной является ситуация, когда интересующие исследователя количественные характеристики объекта x(s) недоступны для

непосредственного наблюдения и имеется лишь некоторая косвенная информация y(t) о них.

Математически обратная задача состоит в отыскании функции x

(получаемой из эксперимента или наблюдений) из уравнения вида:

y

где A есть некоторый оператор, устанавливающий причинно-следственную связь между x(s) и y(t) (y(t) - «следствие», x(s) - «причина»). Здесь A определяется природой изучаемого объекта и используемым при этом арсеналом экспериментальных методов и приемов. В (1) y(t) есть следствие, причинно обусловленное заданием оператора A и модели x(s). Требуется определить количественные характеристики объекта x(s) по результатам наблюдений y(t).

Другими словами, требуется решить операторное уравнение (1) относительно x(s) при известном y(t).

Примеры обратных задач

1. Простейшей обратной задачей является «школьная» задача об определении коэффициентов квадратного уравнения по известным его корням. И, вообще, если известны корни алгебраического уравнения n-ой степени, то коэффициенты (=решение обратной задачи) этого уравнения определяются по формулам Виета.

2. Движение материальной точки массы т в соответствии с законом Ньютона описывается дифференциальным уравнением:

Ж2 х ¥

т—- _ ¥ и) .

Ж2

Здесь х(1) - положение точки в момент времени I, ¥(^ - сила, действующая на точку. Будем считать, что начальное положение точки и ее скорость известны. Предположим, что известно положение точки х(1) как функция времени. Обратная задача состоит в определении зависимости ¥=¥(1) по известному закону х().

3. Обратной задачей является также задача об определении коэффициентов системы линейных дифференциальных уравнений по известным его линейно-независимым решениям [22, с. 131].

4. На поверхности исследуемого объекта имеются источник колебаний и их приемник, который регистрирует волны как непосредственно пришедшие от источника, так и отраженные от дефекта (полость, трещина и т.д.). Обратная задача состоит в определении по известным амплитуде и фазе регистрируемого сигнала геометрической границы дефекта и выявлении его структуры (рис. 1).

Рис. 1.

5. Предположим, что в пространстве расположено недоступное для непосредственного наблюдения тело. Однако его можно облучать с различных сторон и регистрировать тень на некоторой плоскости а, перпендикулярной направлению облучения (рис. 2). Обратная задача состоит в определении формы тела по семейству его теней.

Математическая модель рассматриваемого процесса выгладит так:

/ N

I,

¥

ехр

- ¡ / (х)^

Здесь ¥ - начальная интенсивность прямолинейного луча L, а 11 - интенсивность после прохождения тела, Д.х) - коэффициент поглощения рентгеновских лучей в точке х.

Таким образом, в результате облучения по разным направлениям мы знаем интегралы от функции Д.х) по всевозможным прямым L. Обратная задача состоит в определении функции Д(х) по совокупности этих интегралов. Решение этой математической проблемы составляет фундамент современной компьютерной томографии.

Основополагающая работа, в которой была получена формула, позволяющая восстанавливать функцию по набору ее проекций, была получена в 1917 году австрийским математиком И. Радоном, а практическое ее использование началось лишь полвека спустя.

6. Простейшая линейная модель прибора, регистрирующего какие-либо физические поля (электромагнитные, тепловые), может быть описана следующим образом.

На вход прибора поступает сигнал и@), на выходе регистрируется сигнал Д(1), которые связаны зависимостью:

0

где К(% s) - известная функция. Обратная задача состоит в определении входного сигнала и($ по регистрируемой прибором функции (), то есть в нахождении решения интегрального уравнения (2).

О характерных особенностях обратных задач

Обратные задачи обладают рядом неприятных с математической точки зрения особенностей.

Первое. Как правило, обратные задачи нелинейны, то есть неизвестная функция или неизвестный параметр входит в операторное или функциональное уравнение нелинейным образом.

Второе. Решения обратных задач обычно неединственны. Для обеспечения единственности часто необходимо требовать избыточности экспериментальной информации. Например, при определении формы полости в теле при помощи регистрации отраженных волн необходимо знание отраженного поля в некотором диапазоне изменения частоты  0 е [ г,ю 2]

. На практике же мы можем измерить отраженное поле в достаточно большом, но конечном наборе частот на отрезке [а\, ш2], что может привести к неединственности восстановления формы полости, появлению посторонних или, как называют их в ультразвуковой диагностике, «фантомных» решений.

Третье. Обратные задачи не являются корректными. Понятие корректной задачи, являющееся одним из важнейших понятий современной математики, было сформулировано французским математиком Ж. Адамаром (1923). Оно означает, что:

1) решение задачи существует,

2) решение единственно на некотором множестве,

3) решение непрерывно зависит от входных данных.

Смысл первого условия (существование решения) состоит в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, исключающих возможность решения задачи. Второе условие (единственность) означает, что данных достаточно для однозначной определенности решения задачи. Третье условие (непрерывная зависимость от исходных данных) означает, что малые изменения в данных приводят к малым изменениям в решении, то есть решение устойчиво по отношению к малым возмущениям (ошибкам) данных наблюдений.

Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному из условий корректности, называются

некорректными.

В обратных задачах, как правило, отсутствует непрерывная зависимость от исходных данных в отличие от прямых задач. Математические трудности решения обратных задач связаны с тем, что обратный оператор А"1 (А - оператор в (1)) не является непрерывным. Поскольку входной информацией в обратных задачах являются экспериментальные данные, определяемые с некоторой погрешностью, которую не всегда можно оценить, то решение обратной задачи с «испорченными» входными данными может сильно отличаться от точного решения. Математически это означает, что если данные наблюдений у(/) получены с некоторой ошибкой А, то соответствующее приближенное решение

хА (^ _ А ' 1 [ У А 0)]

будет сколь угодно сильно отличаться от решения, соответствующего идеально точным исходным данным. Здесь хА ^), уА (^) - приближенные данные, соответственно для х^) и

у(1). В этой ситуации на первый план выходят способы математической обработки входной информации.

Отметим, что методы решения некорректных задач получили интенсивное развитие в 60-е годы XX столетия. Определяющую роль здесь сыграли работы отечественных математиков А.Н. Тихонова, М.М. Лавретньева, В.К. Иванова и др. Академиком А.Н. Тихоновым [11-14] и его последователями были разработаны эффективные методы решения некорректно поставленных задач - регуляризирующие алгоритмы, состоящие в сведении исходной задачи решения некоторого операторного уравнения к проблеме отыскания минимума некоторого функционала.

Некорректность присуща обратным задачам почти всегда; в одних случаях она может быть преодолена весьма просто, в других вообще требует переосмысления понятия самого решения. Рассмотрим несколько примеров.

О некоторых современных областях приложения обратных задач

Обратные задачи математической физики сформировались в основном в последние 35-40 лет, хотя первые работы относятся к 30-м годам прошлого столетия. Всё большая часть математических моделей приобретает стройность и достоверность, как раз благодаря достижениям теории обратных задач. Так, с ее помощью достигнут впечатляющий прогресс в компьютерной томографии [14]. Стремительное распространение этого метода обусловлено его эффективным применением в медицине, биологии, диагностике плазмы.

Внедрение метода компьютерной томографии произвело революцию в медицинской диагностике и электронной микроскопии биологических макромолекул. Создание компьютерных томографов (А. Кормак и Г.Н. Хаунсфилд) и их применение в биохимии (А. Клуг) отмечены Нобелевскими премиями (1979 и 1982 гг.). Отметим, что основные математические задачи вычислительной диагностики плазмы сводятся к решению операторных уравнений 1-го рода. При нахождении их приближенных решений необходимо использовать методы регуляризации, позволяющие учитывать дополнительную информацию о решении.

Первые обратные задачи были решены в связи с проблемами геофизики и разведки полезных ископаемых. В настоящее время со все большим усложнением моделей, используемых в геофизике, совершенствуется и методика решений обратных задач. Метод акустической разведки полезных ископаемых несравнимо дешевле простого бурения пробных скважин. Вместе с тем геоакустика дает возможность получать более точную информацию о состоянии недр, а звуковые волны, как известно, являются, хорошо пригодным для локации недр видом возмущения. Отметим, что в последние годы интенсивно обсуждается проект глобального вибрационного просвечивания Земли с целью уточнения ее строения.

Задачи ультразвукового неразрушающего контроля также требуют совершенствования моделей в связи с широким внедрением в практику композиционных материалов, которые обладают различными механическими свойствами по различным направлениям (анизотропией), что влечет за собой усложнение алгоритмов решения обратных задач рассеяния. Для этого класса задач очень важен учет свободной границы (для обнаружения приповерхностных дефектов) и анизотропии материала модели. Обратные задачи об определении формы дефекта приводят к последовательному решению систем интегральных уравнений 1-го рода [20] либо к решению некоторого нелинейного дифференциального уравнения [21]. В последнее время задачи, возникающие в этой области, привлекают внимание математиков-теоретиков. Это связано как с новыми постановками и новыми моделями, так и с развитием методов их решения.

Наконец, отметим, что акустическое зондирование Мирового океана является уникальным и весьма эффективным методом, поскольку радиоволны плохо распространяются в морской воде из-за ее хорошей электропроводности. Например, свет мощного лазера проникает в океанские глубины на расстояние порядка сотен метров, тогда как звук даже не очень сильного

взрыва может быть зарегистрирован на расстоянии десятков тысяч километров. Процессы, происходящие в океане, оказывают определяющее влияние на климат многих районов Земли. Кроме того, океан, мало исследованный по существу, является чрезвычайно богатым источником различных сырьевых ресурсов. Спецификой обратных задач акустики океана является достаточно сильная зашумленность полезного сигнала, а также необходимость при их решении обрабатывать огромные массивы данных.

Отметим также, что очень важную в нефтегазовой науке задачу идентификации параметров нефтегазоносного пласта можно рассматривать также и как обратную задачу теории фильтрации [23, 24].

В заключение отметим, что теория обратных задач математической физики - это бурно развивающаяся в настоящее время область современной математики, которая находит многочисленные приложения. О некоторых из них мы рассказали вкратце в настоящей заметке.

Примечания:

1. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1969. 66 с.

2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., I Ниигатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М., 1980. 286 с.

3. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск, 1982. 88 с.

4. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1973. 252 с.

5. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М., 1984. 264 с.

6. Белишев М.И., Благовещенский А.С. Динамические обратные задачи теории волн. СПб., 1999. 266 с.

7. Бухгейм А.Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск, 1988. 181 с.

8. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск, 1988. 166 с.

9. Корнилов В.С. Некоторые обратные задачи для волновых уравнений. Новосибирск, 2000. 252 с.

10. Алексеев А.С. Некоторые обратные задачи теории распространения волн // Известия АН СССР. Сер. Геофизическая. 1962. № 11. С. 1514-1531.

11. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, № 5. С. 195-198.

12. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1986. 287 с.

13. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151, № 3. С. 501-504.

14. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М., 1987. 160 с.

15. Ambarzumiyan V.A. Uber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zeitschr. fur Phisik. 1929. Bd. 53. S. 690-695.

16. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvillschen Eigenwertaufgabe // Acta Math. 1946. Bd. 78, № 1. S. 196.

17. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР. Сер. Математическая. 1951. Т. 15, № 4. С. 309-360.

18. Крейн М.Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1954. Т. 94, № 6. С. 767-770.

19. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М., 1994. 207 с.

20. Ватульян А.О., Коренский С.А. О восстановлении формы приповерхностного дефекта в полупространстве // Докл. РАН. 1995. Т. 334, № 6. С. 753-755.

21. Боев Н.В., Ватульян А.О., Сумбатян М.А. Восстановление контура препятствия по характеристикам рассеянного акустического поля в коротковолновой области // Акуст. журнал. 1997. № 4. С. 458-462.

22. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1974. 332 с.

23. Георгиевский В.Б. Унифицированные алгоритмы для определения фильтрационных параметров: справочник. Киев, 1971. 328 с.

24. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтизин Р.Н. Моделирование процессов нефтегазодобычи. Нелинейность, неравновесность, неопределенность. М.; Ижевск, 2004. 368 с.