СТЕНД ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА ИСПЫТАНИЙ

Полезная модель относится к вычислительной технике и может быть применена для проведения сокращенных испытаний объектов на основе использования математических моделей.
Известен способ коррекции математической модели жидкостного ракетного двигателя [RU 2749497 от 28.02.2020 г.], который основан на использовании математической модели конкретного экземпляра ракетного двигателя, построенной на основе измеренных в процессе натурных (огневых) испытаний значений параметров, содержащих определенное количество различных режимов. Сущность способа состоит в следующем.
В математическую модель вводят измеренные значения параметров и дополнительные параметры - коэффициенты, каждый из которых в отдельности входит в одно из уравнений, описывающих характеристики агрегатов двигателя, полученные при автономных испытаниях, гидравлические характеристики магистралей и характеристики рабочих процессов. Количество измеренных и дополнительных параметров должно совпадать с количеством измеряемых параметров модели, помимо шести параметров на входе в двигатель: положений приводов агрегатов управления тягой и соотношением компонентов топлива, давлений и температур компонентов топлива. При этом, если количество измеряемых параметров двигателя равно N, то количество корректируемых параметров должно быть равно N - М, где М - количество параметров, измеряемых на входе в двигатель. Решив на каждом режиме натурных (огневых) испытаний полученную систему уравнений математической модели, определяют расчетные значения коэффициентов коррекции, аппроксимируют эти значения по всем режимам в виде зависимостей от параметров на входе в двигатель, и аппроксимационные зависимости заносят в математическую модель, что позволяет заменить часть натурных испытаний расчетными исследованиями.
Известен способ параметрической идентификации математической модели судна [RU 2444043 от 11.10.2010 г.], включающий в себя определение входных и выходных сигналов судна, осуществляемое с шагом дискретизации Δt, определение параметров математической модели судна и, на их основе, построение прогнозирующей модели, в которой математическая модель судна представляет собой систему дифференциальных уравнений, входные сигналы рассчитывают, а выходные сигналы измеряют. При этом измеряют продольное, поперечное, и угловое ускорения судна N раз за цикл обработки продолжительностью Т. По измеренным значениям ускорений находят соответствующие значения линейных и угловой скоростей, рассчитывают невязки (разности) между левой и правой частями дифференциальных уравнений, определяют взвешенную сумму квадратов невязок, и осуществляют минимизацию последней, находят значения параметров математической модели судна и осуществляют повторение цикла измерений и идентификации.
Общим недостатком известных способов является их ограниченная область применения.
Наиболее близким заявляемой полезной модели, взятым за прототип, является способ непараметрической идентификации нелинейных аэродинамических характеристик летательного аппарата по результатам летных исследований [RU 2560244 от 30.06.2014 г.], в котором идентификация нелинейной модели, зависящей от двух переменных, производится на тестовом сигнале и без априорных предположений относительно характера нелинейности идентифицируемых однозначных аэродинамических характеристик. Исключение ошибок априорных предположений о характере нелинейностей идентифицируемых зависимостей обеспечивает повышение достоверности определения при летных испытаниях нелинейных аэродинамических характеристик.
Недостатком прототипа является то, что он предусматривает восстановление нелинейной модели, зависящей только от двух переменных, и непригоден для идентификации динамических систем, входные и выходные сигналы которых имеют вероятностный характер.
Задачей полезной модели является повышение достоверности идентификации параметров модели объекта испытаний.
Техническим результатом, обеспечивающим решение данной задачи, является создание испытательного стенда, который позволяет в ходе натурных экспериментов реального объекта испытаний получать математическую зависимость выходного сигнала от произвольных, в том числе критических, значений входных сигналов, изменяющихся во всем динамическом диапазоне, по измеренным значениям выходного и нескольких входных сигналов различной физической природы ограниченного диапазона.
Стенд для идентификации параметров модели объекта испытаний включает в себя функционально связанные: блок вычисления законов распределения N входных и выходного сигнала, блок вычисления математических ожиданий сигналов, блок вычисления среднеквадратичных отклонений сигналов, блок вычисления автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций сигналов, блок смещения автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций сигналов в положительную область значения, блок определения коэффициентов, блок вычисления аналогов функций распределения автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций, блок вычисления плотностей распределения, блок вычисления функций распределения, блок вычисления весовых функций, блок моделирования и оценки выходного сигнала.
Принцип создания стенда для идентификации параметров модели объекта испытаний основан на использовании положений теории вероятностей, методе гипердельтной аппроксимации, прямого и обратного преобразованиях Лапласа.
Основные элементы стенда представлены функциональной блок-схемой на фиг. 1, на которой использованы следующие обозначения: 1 - блок вычисления законов распределения; 2 - блок вычисления математических ожиданий сигналов; 3 - блок вычисления среднеквадратических отклонений сигналов; 4 - блок вычисления автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций сигналов; 5 - блок смещения автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций сигналов в положительную область значения; 6 - блок определения коэффициентов; 7 - блок вычисления аналогов функций распределения автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций; 8 - блок вычисления плотностей вероятностей распределения; 9 - блок вычисления функций распределения; 10 - блок вычисления весовой функции; 11 - блок моделирования и оценки выходного сигнала.
N
При этом на вход блока вычисления законов распределения подаются измеренные в ходе натурного эксперимента значения N входных сигналов x(t) и выходного сигнала y(t), а также величина τ - момент подачи входного x(t) сигнала относительно начала отсчета, а выход которого является входом блока вычисления математических ожиданий сигналов, выход которого соединен со входом блока вычисления среднеквадратических отклонений сигналов, выход их которого соединен со входом блока вычисления автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций сигналов, выход которого соединен со входом блока смещения автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций сигналов в положительную область значения, выход которого является входом в блок вычисления аналогов функций распределения автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций, выход которого соединен с первым входом блока вычисления плотностей вероятностей распределения, а второй вход соединен с выходом блока определения коэффициентов, входом которого является выход блока ввода входных и выходного сигналов; выход блока вычисления плотностей вероятностей распределения является входом блока вычисления функций распределения, выход которого является входом блока вычисления весовой функции, выход которого является первым входом блока моделирования и оценки выходного сигнала, а вторым является моделируемый набор входных сигналов объекта испытаний, выходом которого является выходной сигнал объекта испытаний.
1
2
3
i
Стенд для идентификации параметров модели объекта испытаний работает следующим образом. В ходе проведения натурных испытаний реального объекта, ограниченных условиями проведения по объему испытаний, выполняются измерения N входных сигналов x(t), x(t), x(t), …xN(t) различной физической природы и выходного сигнала y(t) через какой-либо наперед заданный промежуток времени. Измеренные сигналы подаются на вход стенда через блок ввода 1, в котором определяются функции распределения каждого из сигналов и по этим функциям в блоках 2 и 3 вычисляются математические ожидания и среднеквадратические отклонения сигналов. На основании полученных значений в блоке 4 вычисляются автокорреляционная и взаимно-корреляционная функции сигналов. Для представления автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций в вероятностной форме обе функции в блоке 5 смещаются в положительную область значения, после чего в блоке 7 вычисляются аналоги их функций распределения, которые поступают в блок 8, в котором с учетом коэффициентов, зависящих от функций распределения N входных и выходного сигналов и поступающих из блока 6, вычисляются плотности вероятностей этих функций. После чего сигналы с выхода блока 8 поступают на вход блока 9, в котором вычисляются функции распределения. На основе функций распределения с помощью изображений Лапласа в блоке 10 определяются весовые функции h(t), которые являются передаточными функциями между выходным и каждым из N входных сигналов объекта испытаний (исследований). Весовые функции используются в блоке 11 для определения величин выходного сигнала в зависимости от входных сигналов во всех возможных диапазонах их значений.
Сущность полезной модели и теоретическое доказательство наличия причинно-следственной связи между заявляемыми признаками и достигаемым техническим результатом приведено ниже.
В общем случае задача непараметрической идентификации заключается в наилучшей аппроксимации характеристик системы (идентификация) по экспериментально полученных входных и выходному сигналов.
При этом под непараметрической идентификацией будем понимать оценку временных характеристик динамических систем без параметризации модели.
Непараметрическая идентификация направлена на построение модели весовой (импульсной передаточной) функции, которая позволяет вычислять реакцию объекта испытаний при произвольных значениях входных воздействий.
В общем случае зависимость между входным и выходным случайными сигналами можно представить в виде функции:
где x(t) - входной сигнал; y(t) - выходной сигнал; τ - момент подачи входного x(t) сигнала относительно начала отсчета; h(t) - весовая функция, позволяющая при произвольной x(t) определять y(t).
А уравнение непараметрической идентификации по одному входному и выходному случайным сигналам имеет следующий вид:
yx
xx
где K(t) - взаимно-корреляционная функция входного x(t) и выходного y(t) сигналов; K(t) - автокорреляционная функция входного x(t) сигнала.
Выражение (2) представляет собой частный вид интегрального уравнения Фредгольма первого рода
где λ - параметр; K(z,s) - ядро уравнения; f(z) - свободный член уравнения; ϕ(s) - искомая функция.
xx
В уравнении идентификации (2) λ=1, искомой функцией является весовая функция h(t), а ядром - автокорреляционная функция K(t) входного x(t) сигнала.
Для решения уравнения (2) можно использовать различные временные и частотные (спектральные) методы [1-6].
Вместе с тем, эти методы имеют ограниченные условия применения. Одни методы оказываются непригодными для идентификации динамических систем, входные и выходные сигналы которых имеют вероятностный характер. Другие методы требуют исчерпывающей информации о входных и выходных сигналах и существенных затрат вычислительных ресурсов.
В связи с этим в основу стенда для идентификации параметров модели объекта испытаний положен метод решения уравнения непараметрической идентификации динамической системы, который лишен указанных выше недостатков.
xx
yx
По сигналам x(t) и y(t) определяются их законы распределения, вычисляются их математические ожидания и среднеквадратичные отклонения, а также вычисляют автокорреляционную функцию K(t) входного x(t) сигнала и взаимно-корреляционную функцию K(t) входного x(t) и выходного y(t) сигналов.
xx
yx
Полученные значения K(t) и K(t) необходимо перенести на положительную ось, добавив для этого к каждой из функций ее минимальное абсолютное значение. В результате получим функции
Далее проводится нормирование функций  чтобы представить их в вероятностной форме. Для этого воспользуемся формулами:
xx
yx
где F(t) и F(t) - аналоги функций распределения.
xx
yx
Вычисляем для F(t) и F(t) приближенное представление плотностей распределения на основе гипердельтной аппроксимации, которую можно применять для произвольных функций распределений [7].
Сущность гипердельтной аппроксимации заключается в представлении произвольной плотности распределения, сосредоточенной на временной оси, приближенно в виде:
i
где C - вероятности, удовлетворяющие условию  - постоянные параметры; δ - дельта-функция Дирака.
i
i
i
i
В случае n>2, значения C и T определяются численно. Значения коэффициентов C и T в зависимости от законов распределения функций x(t) и y(t) могут быть определены с помощью таблиц, приведенных в [8].
Δxx
Δух
В результате подстановки в формулу (4) получим аппроксимированные плотности вероятностей распределения f(t) и f(t).
Δxx
Δyx
На основе плотностей вероятностей распределения f(t) и f(t) можно вычислить их функции распределения:
Δxx
Δyx
xx
yx
Δxx
Δyx
Аппроксимированные функции F(t) и F(t), в отличие от F(t) и F(t), удовлетворяют условию Липшица-Гельдера всюду на оси t>0 даже в точках, где имеются разрывы первого рода. Поэтому для F(t) и F(t) можно получить изображения Лапласа:
*
Следовательно, уравнение (2), используя изображения Лапласа  и h(s), можно представить как
*
где h(s) - изображение Лапласа весовой функции h(τ).
Откуда
*
Для получения выражения весовой функции h(τ) во временной области необходимо применить обратное преобразование Лапласа. Однако достичь ожидаемых результатов достаточно затруднительно из-за сложности прямого изображения Лапласа искомой весовой функции и вычислительных трудностей. Поэтому переход от изображений h(s) к оригиналу h(t) проведем, применяя приближенный способ обращения преобразования Лапласа с использованием формулы Алфрея. Эта формула вытекает из формулы Уайдера на основе свойства фильтрации преобразования Лапласа с помощью дельта-функции. Она имеет вид [9].
Полученная весовая функция h(τ) является одномерной моделью объекта испытаний, позволяющей определить реакцию объекта испытаний на произвольное входное воздействие. Для набора N входных сигналов весовая функция рассчитывается аналогично по каждому входному сигналу.
1
2
3
N
1
2
3
N
Выходной сигнал Y(t), получаемый в результате воздействия N входных сигналов X(t), Х(t), X(t), …, X(t) и набора весовых функций h(t), h(t), h(t), …, h(t), может быть представлен в следующем виде:
Таким образом, вычисленная с помощью устройства весовая функция на основе гипердельтной аппроксимации автокорреляционной и взаимно-корреляционных функций входного и выходного случайных сигналов с произвольными законами распределения, а также преобразования Лапласа обеспечивает выполнение непараметрической идентификации модели объекта испытаний в условиях наличия ограничений на вычислительные ресурсы. Это в свою очередь позволяет определять и оценивать с помощью моделирования параметры выходного сигнала объекта испытаний при подаче на вход его модели произвольные, в том числе критические, значения нескольких сигналов.
Для иллюстрации работы стенда на фиг. 2-7 приведены графики расчета весовой функции при воздействии на объект испытаний одного входного сигнала.
x
х
y
Измерения входного x(t) и выходного случайных сигналов y(t) проводились в течение десяти часов. При этом сигнал x(t) подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием m=1 и среднеквадратичным отклонением σ=0,5. В свою очередь, сигнал y(t) подчиняется показательному закону распределения с математическим ожиданием m=2 (фиг. 2).
xx
yx
Автокорреляционная функция K(t) входного x(t) сигнала и взаимно-корреляционная функция K(t) входного x(t) и выходного y(t) сигналов приведена на фиг. 3.
Графики зависимости смещенных автокорреляционной и взаимно-корреляционной функций сигналов в положительную область значения, полученные путем добавления к функциям их минимальных абсолютных значений, показаны на фиг. 4.
xx
yx
Δxx
Δyx
Графики аналогов функций распределения F(t) и F(t) и их аппроксимированных функций распределения F(t) и F(t) представлены на фиг. 5 и 6.
При заданных исходных данных график искомой весовой функции будет выглядеть как показано на фиг. 7.
Технический результат заключается в решении данной задачи полезной модели, а именно, в повышении достоверности идентификации параметров модели объекта испытаний.
Полезная модель является промышленно применимой при проведении сокращенных испытаний объектов на основе использования математических моделей.
Источники информации:
1. Антонова Т.В. Методы идентификации параметра в ядре уравнения первого рода типа свертки на классе функций с разрывами // Сибирский журнал вычислительной математики. 2015. Т. 18. №2. С. 107-120.
2. Воскобойников Ю.Е., Крысов Д.А. Непараметрическая идентификация динамической системы при неточном входном сигнале // Автоматика и программная инженерия. 2017. №4 (22). С. 86-93.
3. Гарькина И.А., Данилов A.M., Тюкалов Д.Е. Сложные системы: идентификация динамических характеристик, возмущений и помех // Современные проблемы науки и образования. 2015. №1-1. С. 88-93.
4. Корнеева А.А., Чернова С.С., Шишкина А.В. Непараметрические алгоритмы восстановления взаимно неоднозначных функций по наблюдениям // Сибирский журнал науки и технологий. 2017. Т. 18. №3. С. 510-519.
5. Шатов Д.В. Идентификация запаздывания одномерных линейных объектов конечно-частотным методом // Проблемы управления. 2015. №4. С. 2-8.
6. Ярещенко Д.И. О непараметрической идентификации частично-параметризованного дискретно-непрерывного процесса // Сибирский журнал науки и технологий. 2020. Т. 21. №1. С. 47-56.
7. Смагин В.А., Филимонихин Г.В. О моделировании случайных процессов на основе гипердельтного распределения // АВТ. 1990. №1. С. 25-31.
8. Смагин В.А. Основы теории надежности программного обеспечения. - СПб: ВКА им. Можайского, 2009. 336 с.
9. Смагин В.А. Немарковские задачи теории надежности. Л.: МО СССР, 1982. 268 с.