Самостоятельная исследовательская деятельность студентов младших курсов как неотъемлемая часть учебно-воспитательного процесса, направленная на повышение качества подготовки бакалавров инженерного профиля

УДК 378

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ СТУДЕНТОВ МЛАДШИХ КУРСОВ КАК НЕОТЪЕМЛЕМАЯ ЧАСТЬ УЧЕБНО-ВОСПИТАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА, НАПРАВЛЕННАЯ НА ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ ИНЖЕНЕРНОГО ПРОФИЛЯ

© 2013

Е.А. Энбом, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики В.А. Иванова, студентка второго курса факультета информационных систем и технологий

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Самара

Аннотация: В данной статье рассматривается важный и перспективный вид учебной деятельности студентов младших курсов - выполнение, оформление и представление самостоятельной исследовательской работы под руководством преподавателя.

Ключевые слова: учебно-исследовательская деятельность студентов, научная работа студентов младших курсов.

Учебно-исследовательская работа студентов - одна из важнейших форм учебного процесса, для которой характерно удачное сочетание обучения и практики. В рамках этой работы студент приобретает сначала основные навыки исследовательской работы, а затем начинает воплощать теоретические знания при решении практических задач. В процессе исследовательской работы студенты развивают творческие способности, вырабатывают умение анализировать полученные результаты, приобретают практические навыки работы на компьютере с прикладными пакетами для оформления работы.

Наиболее важен постепенный переход от простых форм учебно-исследовательской работы к более сложным. Этот процесс позволяет студенту гармонично развиваться и совершенствовать свои умения и навыки. Поэтому необходимо привлекать студентов к исследовательской деятельности с младших курсов. Это помогает преподавателю выявить динамику научных предпочтений учащихся, а студентам - выбрать научное направление их дальнейшей работы.

В процессе выполнения исследовательской работы студенты младших курсов должны научиться применять теоретические знания на практике, работать с научной литературой, самостоятельно решать учебные задачи, докладывать результаты своих исследований на конференциях. Проведение студенческих научных конференций является эффективной формой исследовательской работы. Цель подобных конференций - углубленное изучение программного материала, приобретение навыков публичных выступлений с научными сообщениями. При оценке доклада учитывается содержательная ценность сообщения, умение преподнести материал, участие в дискуссии. Такие выступления развивают у студентов математически грамотную устную речь, формируют культуру публичного выступления, что является очень значимым в будущей профессиональной деятельности.

В настоящей статье приведена исследовательская работа студентки второго курса Ивановой Виктории «Применение несобственных интегралов при решении геометрических задач», которая была представлена на научной студенческой конференции.

В учебной работе по математическому анализу, при изучении раздела «Интегральное исчисление», мы ограничивались только исследованием на сходимость несобственных интегралов первого и второго рода. Заметим, что на изучение сложной и важной темы «Несобственные интегралы первого и второго рода и их приложения» учебным планом бакалавров инженерного профиля отводится два аудиторных часа.

Основной целью данной исследовательской работы является поиск и исследование геометрических задач, которые решаются с помощью несобственных интегралов. Работа состоит из двух параграфов: первый посвящен несобственным интегралам с бесконечными пределами, а второй - несобственным интегралам от неограниченных функций. Оба параграфа построены по следующему принципу: после теоретической части следует изучение несобственных интегралов на сходимость,

далее приведены геометрические задачи, при решении которых использовались несобственные интегралы ([1], [2]). Проиллюстрируем основное содержание работы на конкретных задачах.

Задача 1. Исследовать на сходимость интеграл

+ ™ х . е arctgx

(1 + x2 )4

d x

1 + x2

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям:

| x  earc,gx I --:-, dx =

(1 + X2 1 + X2

и =

X

du =

d х

dv =

+ X

еагс^х dx; 1 + х2 '

( 1 + X 2) 41 + X 2

+ X

I

1 ( 1 + X 2 )-у] 1 + X 2

d X.

К последнему интегралу вновь применим метод интегрирования по частям, взяв

_ 1 , earc,gx , тогда " = dv =-- dx

+ X

1 + X 2

- X d X

ф + X 2 (1 + X 2) Полу

arctgx

X  е 8 -, dx = -

ч " и м

X е arctg X earctgx

. 2 к + 2

+ X 1 V1 + X

1

1 ( 1 + X 2 1 + X 2 И т

d X

I

1 ( 1 + X 2) 41 + X3

да агс,р X

1

^ X =

а

X

к

е ^^^^

1 ( 1 + X 2 1 + X2 »Т

d X

2 1

arctgx

1 ( 1 + X 2)  71 + X 2

г

dx =

,arctgx

Л

+ X

от-

X!

arctg X

е

X

arctg X

е

куда

i

1 ( 1 + X 2 ) • yJT+X

lim earc,g:

dx =

(x - 1)2

1 + X 2

Вычислив предел, получим ответ: интеграл сходится и равен 1 п .

— • е 2 2

Задача 2. Найти все значения параметра а, при ко-

0

торых сходится интеграл | е а 1 dx .

Решение. Воспользуемся определением несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом:

0 0 1 о 1

f e а Xdx = lim f e а Xdx = lim- e а x = lim- (1 - e а b ) =

J b^-ад J b^-ад n b ^-ад ni * '

0, а > 0

+ ад, а < 0 .

0

Итак, j eаx dx сходится при а > 0 , и расходится

при а < 0 .

В этой части работы так же исследованы на сходимость следующие несобственные интегралы первого рода:

f dx ' j

1 + x 2 -ад

x2 ex dx

j

d x

-ад

f

d x

2 3 x lnа x

"TW + ед 1 U

j x cos xdx' j xe dx' j x2 exdx' j

x2 + 9

d x

j

d x

(x2 + 1)2

i

xdx

i

xdx

V2 (x2 + 1)3' 0 Ijx5 + 2

а так

1

+™ 1 + arcsin

x

- ------x lnx dx . ln(! +

I -=— d x I j — I —

1 1 + xVx 1 x^x2 - 1 0 Jx +

ln

-v/x

d x

же проведено исследование, при каких значениях параметров а и р сходится интеграл +» 1па х dx .

( 1

У

-г oj b

S = j edx = lim je

J b ^+ед J

d x

Рис. 1.

В определенном интеграле выполним сначала замену переменной х _ t2, а затем в полученном интеграле

проинтегрируем по частям. Окончательно получим, что данная фигура, неограниченно простирающаяся вправо, квадрируема и ее площадь равна 2 .

Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у _ 1 , х = 1, у _ 0. Найти объем, полученный

от вращения данной фигуры вокруг оси О х.

1,4 -12 -10 -01 -ОС -0 * <2 0 02104 1.6 И 1,0 12 1.4 1.6 1.В i.O 22 ¡4 2.С !.S 10

I V

Я-»

-1.1 12-1.0-0.1 -Ot-m -02 О 0.2 O.i i.J 0Л 11 12 Н 1.Е 1.S i.O 22 Л 2.( 3.1 SO

Рис. 2

-u-V-u-oB-ae-M-u о о; 0.4 o.t чя i.o u 14 1.6. и г.о и г* г.« и з.в Т V

ex2 - 1

Задача 3. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями у _ е-4~х и у _ 0.

У ^

Решение. Необходимо построить график функции, провести для этого полное исследование ее поведения с помощью производной первого и второго порядка. Для графического изображения фигуры в работе использовался пакет Mathcad (Рис. 1).

Вычислим площадь п ¡\ лученной неограниченной фигуры по формуле: ^ у (х) dx. В нашем случае,

0.5 1.0 "15

0.5 1.0 1.S

-14-12-И-0.6-04-О? О 0.2 0.1 Об 0.1 1Д 12 14 1.6 1.8 2.0 22 2.1 2.6 2.Е ЗЛ

Рис. 3

В ходе проведенных исследований было доказано, что данная плоская фигура не имеет площади, так как несобственный интеграл, который выражает эту площадь, расходится.

А вот неограниченное тело, полученное от вращения указанной площади вокруг оси О х (Рис. 2), имеет объ-

arctgx

x

x

+ ед

ем,

1 1

г dx

равный п I —— = п кубических единиц.

3 -V

У =

1 + х2

'3.0 -Ъ5 -1.0

, ' т

1.5 -).о -и о 0.5 ив 1.5 г.о э.5 и

/

-3.0 -гд -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 1.0 3.6 30

Рис. 4

2,0 1.5 1.0 0 -од 1 V 0.5 1.0 1,5 2Л 3.5 3.» 16 <.0 50 5.5 6.9

1.5 1.0 05

/ 1 А > >

// / / / Г г г —1—

•М -1.0 1 0,5 -10 0

0 -0 5/ 0.5 1 У.-* 0 1.5 210 2.5 3.0 3.5 О 4.5 5.0 5,5 $

тонности, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба, асимптоты данной кривой (рис.4).

Искомая площадь неограниченно простирающейся вправо и влево фигуры равна: + » dx

Задача 5. Дуга кривой у = е_ х при х е [0; + ж],

вращается вокруг оси О х. Найти площадь полученной

поверхности. Найти объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции с основанием на оси О х,

ограниченной данной дугой, вокруг оси О х.

Решение. Для вычисления площади данной неограниченной поверхности вращения, воспользуемся форм ь у --л- о +ж й- :

Рх = 2п | f (х)^1 +[f'(х)] 2dx = 2п | е_х^1 + е_2xdx

а 0

. Данный несобственный интеграл сходится и

Рх = п(л/2 + 1п(1+72)). Объем указанного неограниченного тела вращения (рис. 3) существует и равен +ж _2 п кубических единиц.

п I е х dx = — 2

0

Задача 6. Найти площадь фигуры между линией 1 и ее горизонтальной асимптотой.

5 = [" 1

= п

+х

В этой части работы также найдена площадь фигуры, ограниченной линиями у = хе _х +1 и у = 0 на полуинтервале [ 0; + ж). Для построения кривой было

проведено исследование ее поведения с помощью первой и второй производной (Рис. 5). С помощью несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования была вычислена площадь фигуры, ограниченной графиком функции _х^ и ее горизонтальной у = х е 2

асимптотой при х > 0 .

Вторая часть исследования посвящена несобственным интегралам от неограниченных функций. Здесь исследованы на сходимость следующие интегралы:

0 arcsin х , 1 х3 аггаш х , 2

dx I

^л/Г^"

, г 5х3 г dx

dx \--dx -

-1 16 _ х4 {ех _ 1

d х

d х

г - dx

arcsin х

л

cos х

1 П 1

г х dx

11

г - dx,

1

о л^Ш х

d х

d х

1 х-\13 х2 _ 2х _ 1

»

п е N

В ходе исследования, где это необходимо, применялись метод замены переменных и метод интегрирования по частям.

Решены следующие геометрические задачи на применение несобственных интегралов второго рода:

1. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ох (Рис. 6) и вокруг оси О у (Рис. 7) плоской

фигуры, заключенной между кривой у = 1п х и у = 0

на полуинтервале (0, 1 ].

30 15 10 1 5 1.0 0 -1.5 -г.о -1 1 V ,5 -1.0 -0.5 05 1.0 1.5 2.0 15 33 1Г|

15 и

^ ^ _ — 1Л

1

0.5 ,1р V 1 05 -м

-а -н -25

ю -2.5 -го -1 5 -Т.0 -0.5 05 1.0 1.5 г.О 2

2 а

п

0 1

е

х

2

Рис. 5

Решение. Для построения данной кривой (кривой ^^ 6 ...

В случае вращения неограниченной фигуры вокруг

кР^п! \ 1; * Т ;Л ТЧ \ 1 т т литтрпршша тп.ипгп Т Т,"11Т Т," Т; Ч 1 Т Т С I I I - I I -

оси О х, будем иметь:

Аньези) методами дифференциального исчисления были найдены экстремумы функции, интервалы моно-

V1 = п J ln2 xdx = lim n J ln2 xdx = lim l x ln2 x - 2 x ln x + 2 x)| 1 = 2 n

о s ^ s s ^ L

(кубических единиц).

Рис. 7

В случае вращения неограниченной фигуры вокруг оси Oy, будем иметь:

0 0 п

F2 = п j e2 y dy = lim п j e2 y d y = — (кубических

J а ^ -ад J 0

единиц).

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и у _0 при x е [ 0; 0,4 ].

y =

1

3. Найти ^лощадь фигуры, заключенной между кривой у _ —- и ее горизонтальной асимптотой, при

х + 2 х

х > 1.

4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох плоской фигуры, заключенной между

кривои y =

1

ее вертикальной асимптотои и

осью Ох на отрезке [ 2, 6 ].

Для построения графиков проводилось исследование поведения функций методами дифференциального ис-

числения, а для оформления работы использовался прикладной пакет MathCad.

В заключении хотелось бы отметить, что исследовательская работа выполнена студенткой математически грамотно, аккуратно оформлена, все необходимые в задачах графики сделаны самостоятельно с применением графического редактора, а все выкладки в решении задач приведены полно и подробно.

Научно-исследовательская работа студентов младших курсов - это многостороннее, полифункциональное явление, которое имеет не только учебное, но и личностное значение. Эта форма организации деятельности учащихся, осуществляемая под руководством преподавателя, способствует формированию познавательной самостоятельности, инициирует способность и потребность в самообразовании [3-6]. Ведь в современных условиях подготовка специалистов с высоким уровнем профессиональной компетентности и разносторонним личностным развитием, способных к непрерывному самосовершенствованию, постоянному пополнению и расширению спектра своих знаний и умений, то есть способных учиться всю жизнь, является одной из центральных задач современного высшего образования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учебное пособие для вузов. М.: ООО «Издательство Астрель», 2002. 553 с.

2.Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды: Учебное пособие/Под ред. Л. Д. Кудрявцева. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 504 с.

3.Самодурова Т.В. Научно-исследовательская работа студентов в условиях разноуровневой профессионально-педагогической подготовки в вузе // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. Серия: Педагогика, психология. 2011. № 4. С. 257-259.

4.Колодезникова С.И. Организационно-методические условия совершенствования научно-исследовательской работы студентов // Вектор науки ТГУ. Серия: Педагогика, психология. 2012. № 1. С. 184-186.

5.Матерова А.В. Мотивационный аспект совершенствования научно-исследовательской деятельности студентов технических специальностей // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. Серия: Педагогика, психология. 2010. № 2. С. 84-88.

6.Романова М.А., Афанасьева Д.О. Исследовательская деятельность студента как основа развития его психолого-педагогического потенциала // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. Серия: Педагогика, психология. 2011. № 3. С. 274-276.

INDEPENDENT RESEARCH ACTIVITIES OF JUNIOR STUDENTS AS THE ESSENTIAL PART OF THE EDUCATIONAL PROCESS AND MEANS OF QUALITY IMPROVEMENT WHEN TRAINING BACHELORS MAJORING IN ENGINEERING

© 2013

E.A. Enbom, the candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the Department of higher mathematics V.A. Ivanova, a second-year student of the faculty of information systems and technologies

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara

a

Annotation: The paper is dedicated to the important and challenging kind of junior students' activity - accomplishing, styling and presenting independent research work under the guidance of a teacher. Keywords: students' training and research activities, junior students' scientific work.