Структурно-скейлинговые переходы и автомодельные закономерности развития землетрясений

УДК 550.34

Структурно-скейлинговые переходы и автомодельные закономерности развития землетрясений

О.Б. Наймарк

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия

Автомодельные закономерности сейсмических событий анализируются на основе развиваемой концепции структурно-скейлинговых переходов в ансамблях мезодефектов. С использованием оригинальных исследований динамики трещин предложена интерпретация модельных экспериментов по распространению трещин сдвига по границам раздела с трением, имитирующим волновую динамику разрушения по нарушениям земной коры.

Ключевые слова: землетрясения, законы скейлинга, автомодельность

Structural-scaling transitions and self-similar features of earthquake development

O.B. Naimark

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm, 614013, Russia

Self-similar features of seismic events are analyzed within the conception of structural-scaling transitions in mesodefect ensembles. Original investigations of crack dynamics are used to interpret model experiments on shear crack propagation along frictional interfaces for the simulation of wave dynamics of failure along the existing faults in the Earth's crust.

Keywords: earthquake, scaling laws, self-similarity

1. Введение

До настоящего времени открытым остается вопрос о фундаментальных основах физики и механики землетрясений. Несмотря на расширение сетей по регистрации сейсмической активности, огромный объем данных о феноменологических закономерностях землетрясений это явление остается одним из наиболее катастрофических и недостаточно прогнозируемых природных событий. Значимость исследования природы землетрясений возрастает в связи с ростом заселенности в окрестности активных разломов [1, 2].

Одной из ключевых проблем в сейсмологии является трудность разделения процессов, отвечающих за большие и малые землетрясения. Существует ряд подтверждений тому, что пространственно-временная организация землетрясений соответствует ситуации, когда единичные (конечно-амплитудные) возмущения инициируют возникновение форшоков, главного удара и афтер-

шоков, а также мультиплетных образований, что послужило основой для введения концепции триггерности в сейсмичности.

Механизм триггерности землетрясений связывается с различными реологическими представлениями о свойствах сейсмических систем и описывается с использованием «моделей нарастающих последовательностей», которые основаны на концепции множественных самовозбуждаемых точечных процессов [3].

Проблемы сейсмологии связаны с решением ряда ключевых проблем в физике и механике разрушения. Значительный интерес вызывает в последнее десятилетие разработка подходов, которые отражают нелинейные особенности процесса разрушения, обусловленные коллективными свойствами ансамблей мезодефектов и связанными с ними проявлениями «критичности», пространственно-временной инвариантности. При этом принципиально важным является ответ на вопрос, в чем

в Наймарк О.Б., 2008

заключается принципиальная разница между вязким (пластическим) и хрупким поведением [4]. Характерно, что до настоящего времени нет фундаментального понимания различия этих двух типов поведения. Более того, хрупкость или пластичность, зависящие от скорости нагружения, указывают на необходимость описания пластичности и разрушения как динамического процесса, что должно быть отражено в соответствующей форме уравнений движения в противоположность подходам феноменологического характера, основанным на критериях пороговой природы.

Развиваемый подход основан на результатах физики неравновесных систем с мезоскопическими дефектами [5, 6]. Принципиальной особенностью подхода является описание коллективных эффектов, основанное на результатах статистического описания коллективного поведения дефектов и которое установило качественно новые черты процесса разрушения как критического явления нового типа—структурно-скейлингового перехода. Для понимания природы пластической деформации и разрушения ключевой проблемой является описание статистических и термодинамических свойств ансамблей типичных мезодефектов. Эта проблема естественным образом связана с описанием поведения неравновесных систем, содержащих дефекты, взаимодействие которых на больших масштабах приводит к формированию коллективных мод и, как следствие, пространственно-временному скейлингу, связанному со свойствами аттракторов, степенями свободы которых являются коллективные моды дефектов. Этот подход позволил предложить описание механизмов структурной релаксации, пластичности, дисперсной поврежден-ности, переходов к макроскопическому разрушению, связанных с нелинейной динамикой дефектов. Установленные определяющие уравнения, описывающие кинетику введенных структурных переменных (тензора плотности дефектов и параметра структурного скейлин-га), применимы для описания квазихрупкого и пластического поведения и, таким образом, позволяют установить различия между данными состояниями в терминах коллективных мод (автоволновых структур волн для пластического обострения и диссипативных структур для квазихрупкого). Развитые представления о роли коллективных мод были применены для объяснения релаксационных механизмов при динамическом и ударно-волновом нагружениях, однако, в настоящее время становится очевидным, что возможная область приложений является более широкой. Установлена потенциальная возможность использования данного подхода в широком диапазоне характерных времен и интен-сивностей нагрузок — от квазистатического до высокоскоростных режимов нагружения, для широкого класса материалов, включая горные породы, и, как следствие, применение для предсказания явлений сейсмического характера.

2. Статистическая механика землетрясений

Многие основные признаки землетрясений известны начиная со средних веков, но только в последнее столетие развитие землетрясений связывается с механизмами структурной релаксации, обусловленными освобождением латентной упругой энергии вдоль существующих разрывов земной коры [7].

Анализ физики землетрясений с позиций статистической механики и теории фазовых переходов был предпринят в [8-12] для объяснения широко известных скей-линговых соотношений Гутенберга-Рихтера, описывающих частотные распределения магнитуд, и закона Омори для затухания афтершоков. Данные скейлинго-вые соотношения, имеющие вид степенных зависимостей, могут быть ассоциированы с переходами второго рода в критических системах, которые происходят при изменении контролирующих параметров. Одновременно характерные землетрясения, которые вовлекают весь объем множественных сдвиговых разрывов, обнаруживают признаки переходов первого рода и сопровождаются резкими изменениями физического состояния всей системы.

Современные исследования указывают, что землетрясения обнаруживают признаки динамических сложных систем, включая пространственно-временную локализацию событий, автомодельность, пространственно-временную миграцию активности по системам нарушений земной коры.

Исследование закономерностей сейсмических событий представляет известную трудность вследствие больших временных масштабов событий, составляющих десятки и сотни лет между большими или характерными землетрясениями, а также вследствие сложности пространственно-временной регистрации сейсмических событий.

Известные к настоящему времени модели могут быть отнесены к двум классам:

- динамические модели, описывающие перенос импульса (напряжений, массовых скоростей) на разломах на основе детерминистического описания [13, 14];

- статистические модели, описывающие вероятность сдвиговых нарушений на основе статистических данных о сейсмических событиях [11, 12].

В [11] отмечается необходимость разработки объединяющего начала между указанными подходами, каковым может быть статистическая механика множественных нарушений (локализованных сдвигов), определяющая эволюцию рассматриваемых систем на основе моделей, учитывающих как основные детерминированные механизмы, так и случайные факторы, влияющие на развитие нарушений в земной коре.

Закономерности сейсмических событий, сопровождающие землетрясения, характерны для сложных систем, поведение которых определяется факторами, в об-

щем случае, неконтролируемой физической приоды. В связи с этим возникает вопрос о механизмах, лежащих в основе феноменологических законов сейсмической активности, обнаруживающих автомодельные признаки и которые могут быть следствием процессов самоорганизации или динамических механизмов, вызывающих масштабно-инвариантные распределения повреждений земной коры.

Попытка построения статистической механики сейсмических явлений была предпринята в [8, 9, 11] при рассмотрении системы локализованных сдвигов s(x, t) по нарушениям в земной коре с заданной реологией последней и подвергнутой нагружению некоторым полем напряжений. Статическое равновесие такой системы определяется соотношением

tfe

где CTe( x, t) — упругие напряжения, определяемые смещением основания исходного нарушения земной коры, а также напряжениями, возникающими от сдвигов на нарушениях с координатами (x , t'); CTf (x, t) — напряжения трения на нарушениях земной коры, ассоциированные со сдвигами s(x, t). Перенос напряжений в земной коре обусловлен как динамическими эффектами, возникающими при распространении сейсмических волн, так и статическими, возникающими после их прохождения. Вопрос о природе фрикционных эффектов является одним из центральных и интенсивно обсуждается применительно к различным модельным представлениям. К основным из них можно отнести:

- Модели клеточных автоматов [15], основанные на введении статических порогов разрушения, при которых реализуется скачкообразный сдвиг, уменьшающий значения напряжений до некоторого остаточного уровня. Различные сценарии эволюции нарушений связываются с условиями синхронного и асинхронного скачков для различных пространственно-распределенных нарушений, в том числе при различных масштабах временного запаздывания. Для рассматриваемых моделей установлено проявление длинно-корреляционных взаимодействий (модели «среднего поля») и наличие флук-туаций больцмановского типа.

- Модели сдвигового, скоростного разупрочнения, а также модели, учитывающие чувствительность фрикционного закона к скорости деформации, являются феноменологическим приближением к описанию физических механизмов, лежащих в основе явлений сдвига на нарушениях земной коры [16-19]. Кинетические особенности формирования сдвига отражены в представлениях о «бегущей волне плотности», отражающих результаты наблюдений о волновых закономерностях переноса импульса в системах с трением.

- Иерархические статистические модели [20-22], отражающие увеличение вероятности разрушения при

росте внешних напряжений, позволяющие описать автомодельные закономерности как основных сейсмических событий (главных ударов), так и сопутствующих явлений (фор- и афтершоков). Принципиально важной проблемой для данного подхода является выбор и обоснование закона для вероятности разрушения.

Статистические аспекты сейсмических событий обсуждаются в [11, 12] при рассмотрении моделей «блочного сдвига или решеточного сдвига» и роли флуктуа-ций в эволюции нарушений земной коры. Обсуждаются различные варианты распределений р(Е^) больцма-новского типа для состояний с энергиями Еч для моделей решеточного сдвига: р(Е^) <х ехр[-ЕЧ/Т;Ь], где Т;Ь — усредненная энергия (эффективная температура), приходящаяся на характерные степени свободы в системе межблочных сдвигов. Для ансамбля распределенных сдвигов обсуждаются нормированные распределения вида:

1 Г Е,

P(Ea) =— exp

Л

которые приводят к кумулятивному статистическому распределению

Е

р(Е') = / ехр(-Е)&Е = 1 - (1 + Е) ехр(-Е), (3) о

Е' = Е/Т;ь.

Определение эффективных температур Т;Ь связано с видом функционала энергии И^) взаимодействующих в ходе скольжения блоков:

Т;Ь = 1/2 {

где (Н^— усредненные на «решетке» блоков энергии, приходящиеся на единичный блок.

Выражение для функционала энергии И(у) отражает энергетический баланс при зарождении сдвигов при условии их взаимодействия:

Я = 1/2 % {

где ^ и К с — параметры модели.

Развиваемые представления соответствуют предположению о том, что система является «чувствительной к шуму» (аналогичному больцмановским флуктуациям), что обеспечивает возможность реализации всех состояний ее фазового пространства. Эти же флуктуации могут быть причиной масштабных пространственных корреляций, которые наблюдаются в системе нарушений земной коры.

Данные предположения анализировались в [23, 24] на основе моделей клеточных автоматов, учитывающих длинно-корреляционные взаимодействия для оценки возможности распространения представлений теории «среднего поля» при формулировке континуальных моделей, отражающих пространственно-временное по-

ведение системы взаимодействующих блоков. Рассмотрение установило существование двух критических точек, в которых «кластерный» скейлинг ассоциируется с критичностью, индуцированной флуктуациями. Критические состояния характеризуются переходами от неупорядоченного состояния при низких напряжениях к метастабильным упорядоченным состояниям с высоким уровнем напряжений, при этом существование и роль зародышей при формировании упорядоченных «фаз» является важной проблемой [8].

Проявления скейлинга в закономерностях трения и землетрясений имеют признаки, аналогичные таковым для критических систем, и соответствуют степенным зависимостям, которые характерны для потенциалов с «выполаживающимися» минимумами. Анализ развития флуктуаций для такого типа потенциалов связывается с закономерностями фрикционного скольжения, играющего решающую роль в развитии землетрясений. В [25] отмечается, что фрикционные напряжения определяются сдвигами t по существующим нарушениям, характеризуют поле упругих напряжений в окрестности нарушений сте (и связь последних с фрикционными напряжениями определяется волновой зависимостью вида:

°е

где V — скорость фронта волны напряжений.

Эта зависимость соответствует введенному в [24] фрикционному потенциалу и^) и решению кинетического уравнения в форме уравнения Ито-Ланжевена:

дs Ш

= + П(т), дт а?

где п(х, т) — «шум», отражающий флуктуации основания земной коры, которые предполагаются 8-коррели-рованными:

где 8(т-т') и 8(х - х') — функция Дирака в пространстве времени и координат соответственно; Р-1 характеризует интенсивность шума и имеет смысл «обратных эффективных температур».

Данная структура уравнения движения для параметра сдвига предполагает существование ассоциированного с (7) уравнения Фоккера-Планка для плотности функции распределения сдвигов s. Как известно, стационарное решение уравнения Фоккера-Планка имеет вид:

f

-7-1

где 2 играет роль нормирующего множителя, аналогичную таковой для функции распределения в статистической механике.

Анализ уравнения движения в предположении периодического закона для когезионных взаимодействий между поверхностями нарушений позволил установить переходы между состояниями системы, характеризую-

щимися глобальным минимумом энергии, к метаста-бильному состоянию при вариации безразмерного параметра, определяющего баланс соотношения энергий упругих возмущений в окрестности области сдвига, локализованного на нарушении земной коры, и длинно-коррелированных возмущений «эффективного сдвигового поля», инициирующего, наряду с упругой составляющей поля, локальный сдвиг на выделенном нарушении. Переходы между этими состояниями связаны с преодолением потенциальных барьеров, которые минимальны в критической точке (критическое значение введенного безразмерного параметра) и возрастают при переходе в область метастабильности, в которой эволюция системы определяется условиями формирования конечно-амплитудных возмущений, играющих роль критических зародышей при классическом определении в терминах теории спинодального распада или критических флуктуаций в статистической механике. С критическим значением безразмерного параметра связывается формирование неустойчивых конечно-амплитудных мод, которые ассоциируются с характерными сейсмическими событиями.

Описанный сценарий соответствует переходам первого рода в классической теории фазовых переходов.

Проявления скейлинга (или автомодельности) при переходах этого типа наблюдаются при «выполажи-вании» минимума потенциала, что сопровождается «расходимостью» временных и пространственных масштабов, характеризующих поведение систем с глобальным энергетическим минимумом, и степенными зависимостями для восприимчивости системы, определяющей закон роста возмущений сдвига при приращении напряжений в критической точке. Степенные зависимости для восприимчивости в системе сдвигов связываются в [10] с автомодельными закономерностями, отраженными в законах Омори и Гутенберга-Рихтера.

Закон Омори анализируется в терминах кинетики спинодального распада [11, 12] на масштабах времен тчр - т для форшоков и т-тЧр для афтершоков, где т —

ЧР

время до (или после для случая афтершока) инициирования главного удара; т8р — время формирования конечно-амплитудного возмущения, инициирующего спи-нодальный распад (время формирования критического зародыша в соответствии с теорией фазовых переходов первого рода) [26]. Универсальность автомодельных закономерностей для форшоков и афтершоков в терминах закона Омори связывается с возможностью модулированной метастабильности — вариацией глубины второго минимума (увеличением в случае форшоков и уменьшением для афтершоков). При этом отмечается, что природа автомодельности закона Гутенберга-Рихтера также может быть связана с метастабильностью специального вида — долгоживущим метастабильным состоянием в условиях уменьшения энергии системы [12].

3. Самоорганизованная критичность и эмпирические закономерности скейлинга в сейсмичности

Деформация земной коры на небольших глубинах осуществляется вследствие смещений на нарушениях земной коры на широком спектре масштабов. В [27] отмечается, что сейсмогенные зоны имеют характерный масштаб по глубине до 10 км. Ниже этой зоны деформация реализуется преимущественно за счет вязкого и пластического течения. В объеме сейсмогенных зон деформация, как правило, связана с землетрясениями.

Изучение последовательностей сейсмических событий (форшоки, главный удар и афтершоки) дает уникальную возможность исследования физики землетрясений. При этом важным является вопрос о фундаментальной природе трех широко известных в приложениях законах скейлинга [7, 10, 15]:

- закон Гутенберга-Рихтера, устанавливающий автомодельные закономерности для частотно-магнитуд-ных данных землетрясений, и существование характерного времени задержки для формирования скейлинга;

- закон Омори для затухания во времени скорости афтершоков, следующих за главным ударом;

- закон Бата для разницы амплитуд в магнитудах главного удара и афтершока с максимальной амплитудой.

Частотно-магнитудный скейлинг (закон Гутенберга-Рихтера) для последовательности афтершоков наблюдается в широком диапазоне параметров землетрясений, регистрируемых в некоторой области на масштабе времени с магнитудой т:

N

Это соотношение справедливо для землетрясений как регионального, так и глобального масштабов. Константа Ь соответствует диапазону 0.8 < Ь < 1.2, а константа а определяет логарифм числа землетрясений с магниту-дами большими нуля. В [27] отмечается, что соотношение (10) эквивалентно фрактальному распределению

N = СА~°!2,

где А — характерная область нарушений при землетрясении; С — константа; D — фрактальная размерность, при этом D = 2Ь. С учетом наблюдаемых значений Ь область изменения D лежит в интервале 1.3 < D < 2.1.

Последовательность афтершоков удовлетворяет скейлинговым соотношениям Гутенберга-Рихтера на относительно больших временах после регистрации главного удара [11]. Универсальность частотно-магни-тудной статистики, обнаруживающей фрактальность, является важным признаком самоорганизованной критичности в поведении верхней части земной коры. Землетрясения верхней части коры происходят на иерархически распределенных нарушениях, которые разделяют кору. В первом приближении все нарушения ассо-

циируются с характерными землетрясениями и, таким образом, фрактальные распределения землетрясений соответствуют фрактальному распределению нарушений в земной коре. Масштабный анализ нарушений земной коры свидетельствует о широком спектре масштабов от нескольких миллиметров до сотен километров. Таким образом, сейсмичность земной коры является следствием взаимодействия между блоками в очень широком диапазоне масштабов.

Сейсмические события при землетрясениях характеризуются затуханием афтершоков во времени по закону Омори [11]:

N = К/

где К ир — константы (р = 1.0 ± 0.1).

Существование систематических времен задержки (запаздывания) указывает на автомодельный характер динамики афтершоков. Установленные корреляции временной последовательности скоростей возникновения афтершоков в форме закона Омори включают два характерных времени т и с, при этом с играет роль характерного масштаба времени в законе Гутенберга-Рихтера.

В [28] рассмотрена модифицированная форма закона Омори, описывающая временное затухание активности афтершоков в виде:

1

. . dN г(т, т) =-= -

¿с Т;С[1 + т/ с( т)]р' где г(т, т) — скорость возникновения афтершоков с магнитудой, превышающей т; т;с и с(т) — некоторые характерные времена. Характерное время затухания с(т) относится к каскаду энергий, охватывающему диапазон от длинноволновых до коротковолновых мод. Параметр т;с характеризует среднее время до появления первого афтершока. В [28] установлено, что наибольший афтершок, оцениваемый на основе экстраполяции скейлинга в соотношениях Гутенберга-Рихтера, близок к М = 5.0. Устойчивые корреляции между ростом с и уменьшением т позволили в [29, 30] сделать вывод о том, что время задержки установления устойчивого распределения Гутенберга-Рихтера зависит от амплитуды афтершоков, для которых наблюдается рост времени задержки с уменьшением амплитуды афтер-шоков. Изменение с находится в соответствие с законом Гутенберга-Рихтера, что связывается с характерным (регулярным) поведением в каскаде напряжений (энергий) при переходе от больших масштабов (большие афтершоки) к малым масштабам (малые афтершоки). Наблюдаемые афтершоки характеризуются временами задержки между приложением напряжений (отсчитываемых от времени регистрации главного удара или предыдущего афтершока) и соответствующими фрикционными разрывами. Времена задержки определяются масштабами соответствующих разрывов, при этом открытым является вопрос о временах инициирования

разрывов. Закономерное возрастание этого времени наблюдается при уменьшении низшей магнитуды аф-тершока, так называемой «магнитуды отсечения».

Закон Бата для афтершоков [31] устанавливает разницу в магнитудах Ат между главным ударом с магни-тудой тШ8 и максимальным значением афтершока с магнитудой тт*:

Ат = тШ8 - та7х,

которая практически постоянна и не зависит от амплитуды главного удара, Ат ~ 1.2.

Модифицированная версия закона Бата, предложенная в [32], основана на экстраполяции скейлинга закона Гутенберга-Рихтера применительно к афтершокам.

Признаки модулированной метастабильности, степенные закономерности скейлинга основных феноменологических законов сейсмичности, роль «шума» в развитии сейсмических событий дают основания рассматривать связь сейсмических событий с критическими явлениями в неравновесных открытых системах, обнаруживающими свойства так называемой самоорганизованной критичности [33, 34]). В [27] отмечается, что верхняя часть земной коры, как правило, находится в состоянии самоорганизованной критичности. Применимость концепции самоорганизованной критичности к сейсмическим событиям обусловлена тем, что все землетрясения, включая наиболее мощные, характеризуются наличием «шума» на фоне основного уровня напряжений земной коры. Анализ циклов землетрясений установил последовательный рост напряжений в период между землетрясениями и падение напряжений в процессе землетрясений. Следствием этих наблюдений является вывод о том, что уровень региональной сейсмичности должен нарастать между землетрясениями. Однако вопрос о вариации временных масштабов в сейсмичности от первичных до максимальных землетрясений является предметом дискуссий, в том числе, в связи с попытками применения концепции самоорганизованной критичности. Наиболее распространенной точкой зрения является мнение о том, что уровень сейсмичности не является определяющим для будущих землетрясений.

В основе фрактальных закономерностей нарушений земной коры лежит динамика скольжения и фрагментации системы блоков. Самоорганизованная критичность сейсмических систем, обусловленная динамикой скольжения и фрагментации блоков, имеет отношение к пространственно-временной инвариантности статистических характеристик сейсмичности, обусловленных длинно-корреляционным взаимодействием коллективных мод сдвигов, формируемых в системе нарушений земной коры [35-39].

Закономерности распределенной сейсмичности соответствуют проявлениям самоорганизованной критичности, что является следствием непрерывного увеличе-

ния накапливаемой энергии упругих деформаций при относительном движении поверхностных плит в верхней части земной коры. При этом значительная часть энергии диссипирует в форме дискретных событий — землетрясений. Пространственно-временная статистика землетрясений обнаруживает черты масштабной инвариантности, типичные для критических состояний неравновесных открытых систем.

Анализ закономерностей скейлинга в сейсмичности, по-видимому, должен включать как изучение основных механизмов сдвига по нарушениям земной коры с учетом фактора фрикционности, так и статистические аспекты поведения ансамблей сдвигов в напряженной земной коре в условиях их взаимодействия и роли флук-туаций («шума»), имеющих решающее значение для рассматриваемой неравновесной системы с признаками критичности.

4. О некоторых закономерностях развития сдвигов по нарушениям земной коры

Землетрясения реализуются как динамические фрикционные сдвиги по существующим поверхностям раздела — нарушениям в земной коре. Данные инверсных измерений сейсмических (и других) полей имеют большое значение для понимания природы землетрясений. Однако в силу известной математической некорректности решений обратных задач, связанной с ограниченностью данных измерений и о структурных свойствах земной коры, все большее значение имеет моделирование сценариев землетрясений. Вместе с тем создание моделей предполагает использование ряда предположений феноменологического характера о свойствах и механизмах, верификация которых может быть достигнута на основе модельных (лабораторных) экспериментов. Ряд экспериментов [39-43] имеет своей целью имитацию наиболее распространенной схемы развития землетрясений вследствие распространения сдвиговых нарушений в земной коре. Один из классов этих экспериментов [39, 40] посвящен возможности распространения сдвигов, динамика которых характеризуется переходом от субрэлеевских к так называемым сверхсдвиговым скоростям. Аналогичная экспериментальная схема реализована в [41] для исследования условий перехода от пульсирующего распространения сдвиговых нарушений к сверхсдвиговым режимам.

Понимание закономерностей динамики сдвиговых трещин при переходе от субрэлеевского режима со скоростями, не превышающими скорость волны Рэлея и ассоциируемыми со скоростями волн сдвига С8 = = (С/ р)1/2, до скоростей суперсдвига, верхним пределом для которых является скорость волн упругой дилатансии Ср = (К/р)^2, представляет интерес в связи с доминирующим характером схемы плоского сдвига при развитии землетрясений. Таким образом, динамика

землетрясений может быть исследована при рассмотрении динамики сдвиговых трещин. Анализ скоростей развития землетрясений показывает преимущественно субрэлеевские режимы, однако, наряду с этим данные по ряду землетрясений указывают на сверхсдвиговые режимы развития последних.

Прямое наблюдение возможности развития спонтанных переходов от субрэлеевских к сверхсдвиговым режимам было установлено в лабораторных условиях [39-43] при анализе распространения сдвиговых трещин вдоль границы раздела двух однородных (или различных) тел. При этом контакт на границе раздела характеризовался различными условиями трения в условиях начального сжатия.

Изучение переходов между субрэлеевскими и сверхсдвиговыми режимами распространения трещин имеет большое практическое значение в связи с наблюдением сверхсдвигововых возмущений, порождаемых крупными землетрясениями. Важным является также понимание условий формирования и распространения сверхсдвиговых возмущений, в том числе на существующих разрывах. Интерес к этому эффекту обусловлен тем, что сверхсдвиговые разрывы вызывают значительно более сильные толчки вдали от разломов по сравнению с суб-рэлеевскими возмущениями. При этом возникает аналогия с фронтами Маха, которые в рассматриваемом случае генерируются сверхсдвиговыми модами разрушения, переносящими большие значения импульсов (напряжений, скоростей) на значительные удаления от разрывов.

Автомодельные закономерности формирования и распространения сверхсдвиговой моды разрушения исследованы в [44, 45] и установлено предельное значение скоростей распространения максимума сдвиговых напряжений и фронта трещины, не превышающее С;. Начиная с работ [44], значительное число исследований было связано с изучением переходов от субрэлеевского к сверхсдвиговым режимам, при этом важные результаты были получены для объяснения механизмов распространения трещин со скоростями, превышающими рэ-леевские.

Важным фактором для объяснения природы указанных переходов является введение закона трения на исходной поверхности раздела, отражающего падение усилия трения (фрикционной прочности) с ростом скорости сдвига от некоторого статического предела до его динамического значения.

Анализ, проведенный в [41], показал, что при достижении основной трещиной скорости, близкой к скорости волн Рэлея, максимум напряжений сдвига, распространяющийся со скоростью волн сдвига, достигает статической фрикционной прочности, что приводит к зарождению на некотором расстоянии от основной трещины дочерней трещины, распространяющейся со скоростью, превышающей скорость волны сдвига.

Развитие модели Барриджа-Эндрюса было предложено в [46], где введено предположение о «масштабе перехода» в модели Барриджа-Эндрюса, который определяется условием достижения дочерней трещиной критического размера, начиная с которого реализуется механизм сверхсдвигового распространения разрушения.

Систематический анализ закономерностей разрушения в соответствии с механизмом Барриджа-Эндрюса представлен в [47], где показана универсальность описанного сценария динамики трещин, находящихся в «сверхсдвиговых» полях напряжений.

Обсуждаемые теоретические подходы рассматривают связь сейсмических событий, сопровождающих землетрясения, с разрушениями, инициированными трещинами. Однако ряд данных в сейсмологии показывает, что разрушения, сопровождающие землетрясения, могут носить самозалечивающийся пульсирующий характер, что подтверждено также лабораторными экспериментами [41]. Схема эксперимента включала исследование динамики поля напряжений и массовых скоростей в оптически активном составном прямоугольном плоском образце, содержащем границу раздела, наклоненную под некоторым углом к направлению сжимающих усилий, приложенных к горизонтальным поверхностям образца. Возмущение, инициирующее локальный сдвиг на границе раздела, создавалось электровзрывом проводника. Рассмотренная конфигурация соответствует распространенным представлениям об инициировании больших сдвиговых землетрясений, для которых доминирующим фактором является скольжение плоскостей нарушений земной коры. Сейсмические наблюдения показывают, что разрывы на реальных несовершенствах земной коры могут распространяться как пульсирующие моды со значительно меньшими характерными временами по сравнению с общим временем формирования разрывов. Теоретические исследования и численный анализ показали, что проблема идентификации характерных мод, инициируемых разрывами, имеет большое значение для формулировки определяющих уравнений, учитывающих влияние разрушения на поведение нарушений, перераспределение энергетического баланса, включая диссипируемую часть энергии в процессе землетрясения, связь данных мод с автомодельными проявлениями, описываемыми рядом законов сейсмической активности, отражающими пространственно-временную организацию процессов сдвигового разрушения.

Модельные объяснения природы пульсирующих разрывов существенно основаны на законе скоростного фрикционного разупрочнения при сдвигах по плоскостям разрыва, который подтверждается многочисленными данными в сейсмическом диапазоне скоростей сдвига. При этом проявления различных мод разрушения, пульсирующей и инициируемой динамикой сдвиговых трещин, определяются напряженным состоянием исходного нарушения. Данный вывод подтвержден экс-

периментально в [41] в рамках выше описанной постановки задачи, когда при изменении угла наклона плоскости разреза наблюдался переход от динамики пульсирующих разрывов к динамике разрывов, инициируемых движением сдвиговой трещины. Экспериментально также было показано, что стадии, контролируемые модами пульсирующих разрывов и сдвиговых трещин, определяют переход к режиму сверхсдвиговой динамики разрывов. На основе сопоставления с данными экспериментов делается вывод о необходимости учета в модельных представлениях механизмов инициирования разрушения (критического размера дочерних трещин) и фрикционных свойств поверхностей раздела.

Предлагается ряд моделей, объясняющих возможные механизмы инициирования пульсирующего разрушения, которые основаны на учете скоростного разупрочнения в законе фрикционной прочности. Введенные в модели Барриджа-Эндрюса предположения о законе фрикционной прочности поверхности раздела и «масштабе перехода», связанном с достижением дочерней трещиной критического размера, явились стимулирующим фактором для анализа рассматриваемых переходных режимов на основе развиваемых представлений о роли коллективных эффектов в ансамблях микросдвигов.

5. Структурно-скейлинговые переходы. Коллективные моды дефектов в процессах деформации и разрушения твердых тел

Статистическая теория, описывающая роль коллективных мод ансамблей дефектов в процессах деформирования и разрушения, развита в [5, 6] и применена для описания процессов деформирования и разрушения при динамическом и ударно-волновом нагружениях. Данные коллективные моды — пространственно-временные структуры в ансамблях мезодефектов — обнаруживают длинно-корреляционные взаимодействия, и формирование этих структур сопровождается качественными изменениями в реакции материалов на деформирование и разрушение: «динамическая ветвь» при отколе, аномальная зависимость вязкости от скорости деформации, волны разрушения. Параметры, определяющие типичные мезоскопические дефекты (микросдвиги, микротрещины), были введены как локализация соответствующей группы симметрии тензора дисторсии и могут рассматриваться как флуктуации поля смещений. Дефекты сдвигового типа описываются симметричными тензорами вида ?1к = 1/2 ?(V ¿¡к + /¿Vк). Здесь V — единичный вектор нормали к поверхности сдвига; 1 — единичный вектор в направлении сдвига; s — интенсивность сдвига. Введенный тензорный параметр описывает как скалярные, так и тензорные (ориентацион-ные) изменения поля дисторсии, что является важным

при описании механизмов деформирования и разрушения при реализации сдвигов по существующим нарушениям земной коры.

Функция распределения сдвигов по размерам и ориентациям Ш^, V, I) в фазовом пространстве состояний определялась в соответствии с решением уравнения Фоккера-Планка:

д Ж = КЛЖ + 1 е^-^ Ж.

dt

dsik

2 dsikdsik

Здесь Q—коррелятор флуктуирующих сил — неравновесный потенциал, определяющий энергетический рельеф исходной структуры; Kik = дБ/dsik. Используя предположение о статистической автомодельности при формировании ансамблей дефектов различных масштабных уровней и обобщение статистики Больцмана-Гиббса для неравновесных систем, предложенной впервые в [48], функция распределения принималась в форме W = Z_1exp(-E/ß), где Z — нормирующий множитель; Q — потенциал, совпадающий по смыслу с Tsb.

В [6] показано, что лагранжиан для дефектов, развивающихся на существующих зародышах, может быть записан в форме E = E0 - Hiksik + asfk и включает член HtkStk, который отражает взаимодействие сдвигов с внешним (эффективным) полем, а также взаимодействие между дефектами. «Эффективное поле» Hik представлено в виде суммы внешнего поля и «среднего» поля, индуцированного дефектами: Hik = yaik + Xpik, где aik — макроскопический тензор напряжений; pik = nfak} — макроскопический тензор плотности дефектов; n — концентрация дефектов; X и у — параметры материала. Квадратичный член отражает флуктуацию энергии поля дисторсии, возникающей в окрестности зародыша дефекта (существующего нарушения земной коры) при реализации на нем сдвига под действием «эффективного поля» и флуктуаций «шума».

Макроскопическое значение тензора плотности дефектов pik (деформации, обусловленной дефектами) определяется усреднением в фазовом пространстве состояний ансамбля рассматриваемых дефектов:

Pik = 4 sikW

Переход к безразмерным переменным

pik = V n^RQPik,

sik=V^ßsik, °ik=агг/Ve«

позволяет представить соотношение (10) в виде уравнения самосогласования:

pik = J sikZ exp

которое включает единственный безразмерный параметр 8 = a/Xn. Размерностный анализ величин, входящих в (9), позволяет получить оценку:

а ~ G/V0, X ~ G, n ~ R"3, где G — эффективная характеристика «упругости» сре-

ды; У0 ~ г0 — характерный объем зародыша; Я — среднее расстояние между сдвигами. В результате получаем 8 ~ (Д/г0)3, что отражает «статистическую автомодель-ность» в поведении ансамбля сдвигов различных масштабных уровней.

Данный результат позволяет рассматривать параметр структурного скейлинга как дополнительную независимую переменную, характеризующую «структурную восприимчивость» материала к развитию сдвигов на различных стадиях деформирования, включая формирование коллективных мод.

С учетом физического смысла параметра структурного скейлинга представляется естественным введение обобщенной функции распределения, учитывающей «независимую» статистику для 8, связанную с вариацией структурных масштабов Я и г0 в исходном состоянии системы:

N

где /(8) — функция распределения значений начальной восприимчивости в терминах 8; Е = 8(0^% ) + +р ^ к. Процедура усреднения в этом случае будет включать интегрирование по всем параметрам порядка рассматриваемой системы: г г

1

р 1к = 1/ (8) I ^ "1ехр

1

01к Р(к

\\

81к 81к

d 8 к d8.

Представление функции распределения в форме (19) соответствует концепции «эффективного поля», предложенной Леонтовичем [48] для построения неравновесных термодинамических потенциалов (неравновесной свободной энергии), и представляет собой вариант обобщения статистики Больцмана-Гиббса для неравновесных состояний с так называемой «медленной динамикой» [49]. Определение «эффективного поля» предполагает введение вспомогательного, в общем случае многокомпонентного поля, сконструированного таким образом, что гамильтониан системы с учетом структуры эффективного поля соответствует условиям равновесия для данного текущего состояния. В соответствии с этим подходом произвольное неравновесное состояние термически однородной системы, которое описывается некоторыми параметрами порядка, может соответствовать этим же параметрам порядка в случае равновесия системы в присутствии эффективного силового поля. Обобщения статистики Больцмана-Гиббса (неэкстенсивная статистика Тсаллиса [50] и суперстатистика Бека [51]) основаны на аналогичных предположениях, в которых, однако, «коррекция» неравновесного состояния к «эффективно равновесному» осуществляется только с помощью одного параметра — эффективной температуры — и эвристически подобранной для нее функции распределения. Представление функции распределения в виде (19) соответствует основным идеям обобщения статистики Больцмана-Гиббса, развитым в [11] и изло-

женным выше для описания поведения ансамбля сдвигов применительно к сейсмическим событиям. Отметим, что зависимость статистического интеграла от единственного безразмерного комплекса 8, составленного из характерных масштабов, отражает фундаментальные свойства нелинейных неоднородных сред с дефектами, которые в соответствии с теорией калибровочных полей могут быть введены как локализованные дисторсии. Установленные в ходе статистического усреднения с данной функцией распределения типы нелинейностей, возможно, отражают универсальные свойства пространства с локальными нарушениями симметрии при зарождении локализованных взаимодействующих дисторсий. Типы нелинейностей дают возможность рассмотреть виды коллективных мод, которым может быть подчинено поведение всей системы в целом, что связано с группами симметрии уравнений движения, соответствующих установленным нелинейностям. На рис. 1 представлена зависимость рХ2 = р от величины приложенного напряжения о^ для случая сдвига для различных значений параметра структурного скейлинга 8 = 2а/Ая. Решение обсуждаемой статистической проблемы показало существование переходов от состояний с глобальной устойчивостью к метастабиль-ным состояниям различной природы при достижении параметром структурного скейлинга 8 критических значений 8* и 8С, являющихся точками бифуркации решения уравнения (20). Кривые на рис. 1 отражают характерные реакции материалов на рост коррелированных сдвигов на существующих нарушениях, и феноменологически это поведение может быть отражено в форме разложения для неравновесной свободной энергии F по аналогии с подходом Гинзбурга-Ландау в теории фазовых переходов:

F = 1/2 А -1/6 С

1 -8*

1 -А'

8с

рк+V4 вр4к -

Р6 -Оо1кр1к + V2Ц

Рис. 1. Типы структурно-скейлинговых переходов

где А, В, С и D — параметры разложения; квадратичный по градиенту р1к член отражает полярный характер и нелокальность взаимодействия дефектов в выражении для свободной энергии; ц — параметр нелокальности. Характер зависимости неравновесной свободной энергии от тензора плотности сдвигов р1к и параметра структурного скейлинга 5 отражает особенности критических явлений в данных системах, имеющих одновременно признаки переходов первого и второго рода.

Важная роль параметра структурного скейлинга заключается в «подчинении» ему поведения ансамбля сдвигов при качественном изменении вида неравновесного потенциала: от состояний с глобальной устойчивостью к состояниям с модулированной метастабиль-ностью двух различных типов — с конечной и бесконечной глубиной второго минимума потенциала при переходе через критическое значение параметра структурного скейлинга 5С. Существование качественно-различных классов метастабильности, разделенных критическим значением 5С второго параметра «порядка» (параметра структурного скейлинга), имеет своим следствием качественно различные сценарии спинодального распада при формировании коллективных мод ансамблей сдвигов, имеющих различную пространственно-временную динамику и обусловленный ею скейлинг. Анализ типов коллективных мод проведен в [52, 53] на основе решений кинетических уравнений для введенных параметров порядка:

dp

= -Гр( А(5,5*) р -Връ + +С(5,5С)р5 -(х^)),

Эх, дх,

— = -гг dt 5

1 дА 2-1 дС 6

2 д5 Р 6 д5 Р

5F дF & 5F .

*=э55^"0

где Гр и Г5 — кинетические коэффициенты.

Кинетические уравнения для тензора плотности дефектов и параметра структурного скейлинга замыкают систему определяющих уравнений, связывающих механизмы структурной и механической релаксации, обусловленные динамикой взаимодействующих сдвигов [5, 6].

Переходы через точки бифуркации 5С и 5* приводят к резкому изменению симметрии функции распределения как следствие возникновения некоторых ориента-ционно-выраженных макроскопических мод сдвига, имеющих различную пространственно-временную динамику. Качественные зависимости, соответствующие различным типам поведения, представлены на рис. 2 в виде соответствующих собственных форм, связанных с автомодельными решениями определенного вида. При 5^5* решения уравнения (18) изменяются от периодического типа к автоволновым модам S2 триггер-ного типа рх2 (5) = рх2 (х - ¥{), для которых амплитуда волны и ширина волнового фронта определяются параметрами неравновесного (ориентационного) перехода:

Рхг

= 1/2 ра [1 - 1Ь(51-1

I=±

И2

следующих из условия знакоопределенности эволюционного неравенства

Скорость фронта автоволновых мод определяется соотношением V = цА( Ра - р^Д2^ где Ра - Рт — величина скачка Рх2 в области метастабильности.

Переход через точку бифуркации 5С сопровождается трансформацией автоволновых коллективных мод в пространственно-временны е структуры качественно нового типа, характеризующиеся взрывообразным ростом плотности сдвигов на спектре пространственных масштабов (диссипативные структуры в режиме с «обострением» ¿3). В [54] показано, что развитая стадия кинетики р в пределе характерных времен т^тС (тС — параметр автомодельного решения нового типа) описывается автомодельным решением типа ра(х, т) =

Рис. 2. Характеристические собственные формы — коллективные моды дефектов

= § (т) f (х), в котором функция/(х) определяется решением соответствующей задачи на собственные значения. Автомодельное решение уравнения (22) имеет вид: р(х, т) = (т - тс )-1 в /(х/Ц), где в — степенной показатель, характеризующий темп уменьшения свободной энергии при р > рс; масштаб так называемая фундаментальная длина, имеет смысл пространственного периода решения. Вид функции /(£) определяется решением соответствующей проблемы на собственные формы и собственные значения для качественно нового типа неравновесного потенциала с неограниченной глубиной второго минимума. Соответствующее автомодельное решение описывает кинетику роста плотности сдвигов на спектре пространственных масштабов Ья = = кЬ{ (к = 1, 2, ..., К), на которых развиваются сложные диссипативные структуры обострения, представляющие каскады простых диссипативных структур этого типа (рис. 2). Численный анализ показывает, что объединение простых структур в сложные происходит при расстояниях между простыми структурами Ьс порядка [54].

6. О механизме перехода от субрэлеевского к сверхсдвиговому режимам распространения трещин

Исследования распространения сдвиговых трещин по границе фрикционного контакта, обнаружившее переход от субрэлеевского к сверхсдвиговому режимам распространения последних, находится в соответствии с ранее полученными в [55-57] результатами, установившими связь динамики трещин с формированием коллективных мод в ансамблях мезодефектов (микротрещин, микросдвигов).

На рис. 3 представлены результаты эксперимента по прямой регистрации динамики трещины в предварительно растянутой пластине полиметилметакрилата (ПММА), иллюстрирующие сценарии переходов от устойчивого режима распространения трещин (аналогичного субрэлеевскому) к режиму с ветвлением, включаю-

щему две стадии в зависимости от интенсивности на-гружения. Скоростная съемка в поляризованном свете с использованием камеры REMIX (разрешение — 107 кадров в секунду) позволила установить в предварительно нагруженной пластине полиметилметакрилата переходы от устойчивого режима к режиму с ветвлением при скоростях Vc ~ 0.4 VR и впервые определить второй критический режим, соответствующий скорости трещины VB, определяющей подчинение динамики основной трещины динамике роста дочерних трещин [5, 6, 58, 59]. Ветвь V > VB (рис. 3) с выраженными признаками автомодельности практически параллельна оси напряжений и аналогична «динамической ветви» в условиях откола, когда закономерности разрушения определяются возбуждением множественных очагов разрушения. В [58, 59] показано, что три обсуждаемых режима динамики трещины являются следствием существования автомодельных режимов для динамических переменных: режим, определяемый автомодельным распределением поля напряжений в окрестности вершины трещины (V < Vc), и режим, соответствующий автомодельному решению, определяющему генерацию множественных обостряющихся коллективных мод в ансамбле дефектов при V > VB.

Регистрация динамики поля напряжений (поляризация лазерного луча в окрестности вершины динамически распространяющейся трещины) подтвердила существование двух типов аттракторов (рис. 4). Для рассматриваемых режимов фазовыми переменными являются фурье-спектр поля напряжений, определяющий промежуточно-асимптотическое автомодельное решение для распределения напряжений в вершине трещины (коэффициент интенсивности напряжений), и спектр коллективных мод дефектов — диссипативных структур обострения. «Притяжение» динамики системы к первому аттрактору (рис. 5, а) приводит к формированию дочерней трещины (диссипативной структуры обострения) на траектории основной трещины непосредственно в продолжении последней. Режим ветвления соответ-

Рис. 3. Схема эксперимента по высокоскоростной регистрации динамики трещины

Рис. 4. Экспериментальная схема записи фазового портрета напряжений

ствует влиянию на динамику трещины второго аттрактора (рис. 5, б) и сопровождается зарождением дочерних трещин (диссипативных структур обострения) в зоне, примыкающей к вершине трещины. При этом размер зоны (масштаб ветвления) определяется как детерминированными (уровнем приложенных напряжений), так и случайными факторами (уровнем «шума», индуцированного структурой и нагружением). Координатами второго аттрактора являются диссипативные структуры обострения, формирующие дочерние трещины на пространственных масштабах, являющихся соответствующей частью полного спектра масштабов Ья = кЬ{ ^ = 1, 2, ..., К) в зависимости от уровня приложенных напряжений. Промежуточная ветвь на рис 3, б является следствием влияния на динамическую систему обоих аттракторов, обеспечивающих стохастический режим ветвления трещины относительно основного направления с амплитудой, определяемой внешним напряжением и уровнем шума.

Третья ветвь (рис. 3, б), обнаруживающая явные признаки автомодельности (слабую зависимость скорости трещины от величины приложенных напряжений), соответствует динамике системы, контролируемой вторым аттрактором, когда динамика зарождения и роста дочерних трещин не контролируется приложенными напряжениями и охватывает весь спектр масштабов локализации разрушения при зарождении диссипатив-

ных структур обострения различной сложности. Особенностью данных режимов разрушения является возможность резонансного возбуждения этого типа коллективных мод при формировании автомодельного профиля поврежденности на соответствующем пространственном масштабе локализации LH. С резонансным возбуждением диссипативных структур обострения связывается в [5, 6] возбуждение «волн разрушения» при ударно-волновом нагружении стекол. Экспериментальное подтверждение связи феномена «волн разрушения» с формированием коллективных мод «обострения» получено в [60] при реализации ударно-волнового нагру-жения по схеме Тейлора для цилиндрического образца из плавленного кварца. Обработка данных высокоскоростной съемки с использованием камеры REMIX при скорости образца 534 м/c, представленная на рис. 6, позволила установить три затемненные зоны, соответствующие образу поверхности соударения, волне разрушения и волновому фронту.

Начальный наклон зависимости скорости фронта волны разрушения равен Vfw ~ 1.57 км/с и близок к традиционно измеряемой величине в экспериментах по плоскому соударению пластин. Однако проведенный анализ обнаружил увеличение скорости фронта волны разрушения до значений Vfw ~ 4 км/с, которые сохраняются постоянными при последующем распространении волны. Этот эксперимент подтвердил теоретический результат о природе волны разрушения как диссипа-тивной структуре со временем обострения, определяющим время задержки разрушения тс.

Экспериментальные результаты по нелинейной динамике трещин и связи последней с типами автомодельных режимов, контролируемых промежуточно-асимптотическим распределением поля напряжений в окрестности вершины трещины и коллективными модами в ансамбле дефектов (автоволновыми структурами и дис-сипативными структурами обострения), позволяют предложить интерпретацию некоторых экспериментальных закономерностей распространения сдвиговых трещин по границам фрикционного контакта (пульсирующих мод разрушения, переходов от субрэлеевских к

а, МПа/мкс 2-

о--2-

0

».г

» •

ф i

—г~ 10

—г~ 20

-

ст. МПа

а, МПа/мкс 5

-5

ш

I

••••• * • §•• ' I

—г~ 20

40 а, МПа

Рис. 5. Фазовые портреты напряжений а ~ а, соответствующие различным режимам динамики трещины: V = 200

30

25

^20

5-ю

5 0

О 1 2 3 4

Расстояние, мм

Рис. 6. Скоростная запись теста Тейлора для образца плавленного кварца

сверхсдвиговым режимам), которые, в свою очередь, могут быть связаны с динамикой сейсмических событий.

Кинетика распространения сдвиговых трещин в пульсирующем режиме, а также переходы от субрэ-леевского к сверхсдвиговым режимам в составных образцах с фрикционными поверхностями раздела могут быть связаны с обсуждаемыми переходами при динамике трещин в условиях растяжения монолитных образцов с той существенной разницей, что зона предразрушения в последнем случае ограничена областью фрикционного контакта, в которой и реализуются сценарии струк-турно-скейлингового перехода в ансамбле сдвигов различных масштабных уровней. Пространственная лока-лизованность процессов разрушения имеет своим следствием перераспределение энергии упругого поля в работу разрушения в области фрикционного контакта и существенное увеличение скорости распространения сдвиговых трещин по границам контакта, имитирующим нарушения земной коры.

Пульсирующие режимы распространения сдвиговых трещин могут быть связаны с выраженной автоволновой стадией развития коллективных мод в ансамблях сдвигов в области фрикционного контакта. Переход автосолитонной динамики развития сдвиговой деформации (автосолитонных мод) к динамике «обострения» приводит к продвижению сдвиговой трещины со скоростью V, близкой к скорости фронта автоволновой моды, которая преобразуется в диссипативную структуру обострения (дочернюю сдвиговую трещину) при достижении параметром структурного скейлинга критического значения 5С. При выраженной автоволновой стадии динамики развития сдвигов формирование до-

черней трещины может привести к локальной разгрузке, остановке трещины сдвига и последующего развития «автоволнового» сценария формирования нового очага дочерней трещины сдвига. Таким образом, динамика трещины сдвига по границе фрикционного контакта определяется динамикой перехода автоволновых мод в «обостряющиеся», при этом характерная длительность перехода зависит от интенсивности нагружения образца. Автоволновые моды, определяющие кинетику спи-нодального распада для значений параметра структурного скейлинга в диапазоне 5С <5 <5*, играют роль «зародышей» очагов разрушения, развивающихся в дочерние трещины при возбуждении мод «обострения» при переходе через критическое значение 5С. Характерное время формирования автоволновых мод т8 в условиях модулированной метастабильности при изменении (уменьшении) 5 в соответствии с кинетическим уравнением (23) определяет индукционный интервал (время индукции) т{, предшествующий режиму с обострением. Продолжительность индукционного интервала определяется как сумма т{ =т8 +тс. Увеличение уровня нагрузки (или существование соответствующих «критических» зародышей) может привести к резкому уменьшению периода индукции до значений, близких к времени обострения: т{ ~ тс. Этим режимам может соответствовать переход к сверхсдвиговой динамике трещин, аналогичный распространению волн разрушения.

7. Структурно-скейлинговые переходы, роль коллективных мод и закономерности скейлинга в сейсмичности

Приведенные результаты дают основание предположить, что предшествующие главному удару сейсмические события (форшоки) реализуются по сценарию, начальная стадия которого включает структурно-скейлинговые переходы в области метастабильности, сопровождающиеся автоволновой динамикой переноса деформации сдвига. Волна деформации сдвига может инициировать возбуждение структур «обострения» за существенно большие времена индукции, по сравнению со временем обострения тс. Основной вклад при этом будет составлять время спинодального распада метастабиль-ного состояния в диапазоне значений параметра структурного скейлинга 5С <5<5*. Распространение волн сдвига сопровождается инициированием диссипатив-ных структур обострения при переходе через критическое значение параметра структурного скейлинга 5С. Инициируемые при этом поверхностные или объемные сейсмические волны классифицируются как форшоки, характерные времена следования которых определяются временами индукции при формировании диссипатив-ных структур обострения. Количество сейсмических событий, соответствующих форшокам, при магнитудах, превышающих некоторую заданную величину, опреде-

ляется количеством структур обострения, возбуждаемых распространяющимся импульсом на спектре пространственных масштабов Ьн = к^ (к = 1, 2, ..., К). Переходы по параметру структурного скейлинга в области метастабильности, имеющие характер самоорганизованной критичности, приводят при некоторой амплитуде волны сдвига к возбуждению диссипативной структуры обострения при достижении предельного скачка по параметру плотности сдвигов в области мета-стабильности, за которым следует качественная смена асимптотики при 5 = 5С. Последовательность инициирования структур обострения при трансформации автоволновых структур может рассматриваться как сценарий, соответствующий последовательности форшоков. Перенос импульса автоволновыми структурами может инициировать возбуждение структуры обострения за минимальные, близкие к т ~ тС, времена (резонансное возбуждение) на соответствующем «критическом» зародыше. Резонансное возбуждение структуры обострения за минимальные времена т ~ тС может идентифицироваться с главным ударом.

Инициирование главного удара формирует сейсмическую волну напряжений, способную при своем распространении реализовать обратный, наблюдаемый для форшоков, сценарий формирования диссипативных структур обострения, классифицируемый как последовательность афтершоков. Таким образом, скейлинг в соотношениях Гутенберга-Рихтера может отражать последовательность возбуждения диссипативных структур обострения в ходе структурно-скейлингового перехода, сопровождающегося формированием автоволновых мод деформации сдвига, трансформирующихся в структуры обострения на некоторых пространственных масштабах.

Описанный сценарий скейлинга при формировании последовательностей сейсмических событий, основанный на установленных классах автомодельных решений, позволяет предложить интерпретацию характерных временных масштабов в законе Омори, определяющем временное затухание афтершоков, и связь этих масштабов с характерным масштабом времени в законе Гутенберга-Рихтера. Оценкой для параметра т8С может быть значение времени обострения тС, превышение которого в случае афтершоков соответствует переходу от абсолютно-неустойчивой ветви 5<5С к мета-стабильной 5>5С, но в ближайшей окрестности 5С (5>5С). Характерное время затухания определяется кинетикой спинодального распада, сопровождающегося формированием автоволновыхх структур, амплитуда и скорость распространения которых определяются маг-нитудой m.

Постоянная разница в магнитудах главного удара тШ8 и максимального значения афтершока с магниту-дой та7х (закон Бата) определяется величиной прира-

щения напряжений, необходимых для перехода от автоволновой кинетики (при реализации структурно-скей-лингового перехода в области метастабильности) к резонансному возбуждению структуры обострения. Качественный переход между этими режимами, связанный с наличием различных асимптотик, переход между которыми реализуется по сценарию самоорганизованной критичности, объясняет независимость в разнице маг-нитуд от амплитуды главного удара.

8. Обсуждение результатов

Последовательности сейсмических событий, сопровождающих землетрясения, обнаруживают эффекты самоорганизованной критичности, «кластеризации» в пространстве и во времени, иерархичность динамики пространственных структур, когда каждое предшествующее (первичное) событие инициирует последующие. Несмотря на сложность процессов, сопровождающих землетрясения, последовательности афтершоков обнаруживают соответствие ряду эмпирических законов [61]. Установлено, что частоты и магнитуды афтер-шоков удовлетворяют закономерностям скейлинга в законе Гутенберга-Рихтера. Другими важными эмпирическими законами, определяющими тип статистики для афтершоков с большими амплитудами в спектре сигналов и временное затухание афтершоков, являются соответственно закон Бата и модифицированный закон Омори.

Закон Гутенберга-Рихтера отражает автомодельный характер числа последовательных афтершоков с магни-тудой, превышающей заданную. Эта закономерность оказывается справедливой как для региональных, так и глобальных землетрясений. Вторая автомодельная закономерность установлена Батом для разности маг-нитуд между главным ударом и последующим афтершо-ком с максимальной магнитудой, которая равна ~1.2. Анализу статистических распределений данной величины посвящено значительное количество работ [62-64]. Модифицированная версия закона Бата была предложена в [32], в которой «наибольший афтершок» устанавливался на основе экстраполяции соответствующих автомодельных закономерностей соотношений Гутенберга-Рихтера на выбранной последовательности сигналов. Третий тип автомодельных зависимостей характеризует затухание последовательности афтершоков и соответствует модифицированному закону Омори [65]. Анализ четырех последовательностей афтершоков в Калифорнийском регионе [66] позволил объединить обсуждаемые автомодельные закономерности в единую форму для скорости затухания.

Интенсивно развиваемым подходом является концепция «времен возвращения», используемая для оценки рисков в сейсмологии [67]. Среднее время возвраще-

ния землетрясений обычно определяется как число лет между происходящими землетрясениями данной магни-туды в данной области. На основе установленных по аналогии с физикой критических явлений автомодельных закономерностей развития сейсмических событий [33, 34, 68] развиваются подходы, связанные с установлением универсальных законов скейлинга, объединяющих законы Гутенберга-Рихтера, Омори и фрактальные закономерности распределения эпицентров землетрясений с целью описания распределений «времен возвращения» между последовательными землетрясениями в иерархически организованных пространственных доменах. Развитие данного подхода [36-38, 69, 70] установило существование универсального скейлинга для плотности функции вероятности времен возвращения, позволило развить представления о «триггерной сейсмичности», предложить унифицированные интерпретации закономерностей скейлинга (ETAS-модель), провести анализ сейсмических событий в различных регионах. Общей характеристикой моделей данного класса является рассмотрение всех сейсмических событий с единых позиций, когда не предполагается различия между основными, предшествующими и последующими ударами и когда каждое землетрясение рассматривается как следствие включения другим землетрясением в соответствии с тремя основными законами, рассмотренными выше.

Статистические распределения времен следования сейсмических событий являются важным аспектом проявления сейсмичности, обнаруживающим автомодель-ность в распределении времен между сейсмическими событиями. В [33, 34] впервые предложен универсальный закон скейлинга для временных распределений землетрясений на основе анализа сейсмической активности в Калифорнийском регионе. Распределение времен между последовательными событиями было получено с использованием автомодельных зависимостей, включающих параметры скейлинга, характеризующие как пространственный размер ячеек, на которые разбивается исследуемый регион, так и «масштаб обрезания» для низшей магнитуды. Были установлены два характерных режима: на малых временах афтершоки следуют автомодельным статистическим закономерностям, отражающим затухание в соответствии с модифицированным законом Омори; для главного удара — автомодельный режим, который ассоциировался с возникновением основных ударов.

Принимая во внимание пространственную неоднородность сейсмической активности, в [35] установлена степенная автомодельность для второго типа режимов. Другой подход, отражающий автомодельность в следовании землетрясений, был предложен в [36], в котором статистические распределения вычислялись для различных пространственных областей и диапазоны магнитуд

вводились в соответствии с масштабами, которым сопоставлялась скорость сейсмической активности. Анализ изменений в поведении этих областей проведен в [71, 72] и основан на использовании нестационарных пуас-соновских распределений изучаемых событий. Статистические распределения времен между событиями представляют естественную основу для исследования связи между поведением форшоков, главных ударов, афтершоков и фундаментальными закономерностями, лежащими в основе сейсмических событий.

Пространственно-временные корреляции играют большую роль в сейсмических событиях. Роль корреляций обусловлена механизмами переноса поля напряжений, возбуждаемых в окрестности основного удара. С этих позиций проблема возникновения землетрясений и афтершоков была проанализирована в [73, 74] на основе построения двух- и трехточечных корреляционных функций, а также в [75] на основе определения корреляционных масштабов временной эволюции сейсмических сигналов в Калифорнийском регионе. Данные результаты позволили сделать вывод, что на больших масштабах двухточечная корреляционная функция обнаруживает мультифрактальный скейлинг, обладающий спектром корреляционных размерностей. Одновременно, на малых масштабах порядка 25-50 км наблюдается простой скейлинг. Этот результат дает возможность предположить, что сильная неоднородность распределения сейсмичности развивается на фрактальной сетке нарушений, обнаруживающих сложное поведение.

Приложения механики разрушения для описания поведения горных пород и геологических процессов, происходящих в земной коре, являются областью интенсивных исследований. Основным направлением в теоретической геодинамике является попытка учета реологических особенностей, включая разрушение, в моделях поведения материалов и деформационных процессов, происходящих в земной коре. Горные породы обнаруживают разнообразное реологическое поведение, включающее накопление повреждений, нарушения сплошности и связанные с ними механизмы деформации и трения. В моделях, основанных на термодинамических подходах и отражающих основные черты деформирования и разрушения данного класса материалов, описываются механизмы накопления повреждений, реологии горных пород с целью учета многомасштабных эффектов [14, 76-79]. Наиболее важные аспекты механического поведения, сопровождающие разрушение горных пород и сейсмические события, обусловлены уменьшением прочности, развитием зон локализованного разрушения, ветвлением трещин и разломов, локализацией деформации, проявлениями хрупкого разрушения [19, 45, 78, 80]. Различные подходы, основанные на рассмотрении поведения структурных ансамблей (блоков) горных пород и областей земной коры, связываются

с анализом статического, квазистатического и динамических процессов скольжения и разрушения, с моделированием общей картины развития нарушений, разработкой численных подходов для анализа поведения множественных трещин и верификации моделей на основе лабораторных экспериментов in situ, установивших связь распределения зон разрушения с фрагментацией образцов из горных пород [20, 79]. Реологические модели процессов разрушения, описывающие докритичес-кий рост трещин на основе скалярных и тензорных параметров поврежденности, развивают подход Качано-ва [79, 81], позволяют моделировать разнообразные лабораторные тесты и являются, как правило, хорошим приближением для моделирования деформационных процессов в рассматриваемых системах.

Развиваемый в настоящей работе подход основан на результатах статистического описания, установивших аналогию в поведении ансамбля мезодефектов с явлениями в неравновесных открытых системах, проявляющих самоорганизованную критичность [5, 6, 57]. Показано, что самоорганизованная критичность характерна для неравновесных систем, динамика которых обнаруживает структурно-скейлинговые переходы в ансамблях мезодефектов. Особенностью структурно-скейлинго-вых переходов является существование двух параметров порядка — тензора плотности дефектов и параметра структурного скейлинга. Неравновесный термодинамический потенциал, вид которого установлен на основе статистического описания, отражает особенности структурно-скейлингового перехода как критического явления, обнаруживающего признаки фазового перехода первого и второго рода. Скейлинг, соответствующий данным переходам, обусловлен резким изменением симметрийных свойств среды с дефектами при зарождении коллективных мод, являющихся автомодельными решениями полученных уравнений движения для установленных параметров порядка. С подчинением динамического поведения сред с дефектами коллективным модам связывается статистическая и масштабно-временная инвариантность сейсмических событий, а также эффекты, наблюдаемые в модельных экспериментах по развитию трещин сдвига на фрикционных границах раздела. Особенности критических состояний при структурно-скейлинговых переходах в материалах с дефектами позволили установить связь закономерностей трения по границам фрикционного контакта с мета-стабильностью неравновесного потенциала среды с дефектами сдвига и динамикой развития индуцированного ими макроскопического сдвига в форме автоволновых структур. Зарождение и развитие автоволновых структур, имеющих природу автомодельных решений, соответствует представлениям о механизмах «триггер-ности» в сейсмичности. При этом собственно «удары» (форшоки, главный удар, афтершоки) связываются с

трансформацией автоволновых структур в диссипатив-ные структуры обострения. Последние, являясь автомодельными решениями нового типа, возникают при качественной смене типа метастабильности при критическом значении параметра структурного скейлинга и описывают взрывообразный рост плотности дефектов сдвига на спектре пространственных масштабов. Особенностью диссипативных структур обострения является резонансная природа их возбуждения при формировании автомодельного распределения плотности дефектов сдвига на характерных пространственных масштабах за некоторые характерные времена (времена обострения). Вторым характерным временем, зависящим от величины магнитуды, является время «индукции», определяемое динамикой развития автоволновых структур в области метастабильности до смены асимптотики последней при переходе к режимам обострения. Два обсуждаемых характерных времени могут рассматриваться в качестве временных масштабов т8С и с(т) в модифицированном законе Омори.

С переходом от одного класса автомодельных режимов (автоволновых структур) к другим (диссипативным структурам обострения) связывается универсальность приращения магнитуды при переходе от афтершока с максимальной амплитудой к главному удару (закон Ба-та). Независимость данного приращения от магнитуды главного удара является следствием кинетики развития режимов обострения по отношению к плотности сдвигов, которая характеризуется независимостью от условий нагружения после «выхода» распределения плотности сдвигов на автомодельное распределение режима с обострением. Величина приращения магнитуды может рассматриваться как критическая величина конечно-амплитудного возмущения, обеспечивающая смену асимптотик метастабильности (от автоволнового режима к диссипативным структурам обострения) с учетом особенности режима с обострением — независимости кинетики режима с обострением от магнитуды после формирования автомодельного профиля плотности сдвигов на масштабах локализации.

Частотно-магнитудный скейлинг (закон Гутенберга-Рихтера) для последовательности афтершоков, может быть связан с количеством автоволновых структур, инициируемых нагружением с магнитудами, превышающими т и трансформирующимися в диссипативные структуры обострения при структурно-скейлинговом переходе. С учетом кинетики формирования автоволновых структур, определяемой метастабильностью потенциала, значение магнитуды т определяет «глубину проникновения» в область метастабильности, что в сочетании со статистическим разбросом значений параметра структурного скейлинга определяет количество автоволновых структур, способных трансформироваться в дис-сипативные структуры обострения на разных простран-

ственных масштабах. Различие в пространственных масштабах связано с шириной фронта автоволновых структур, соответствующих различным амплитудам скачка в области метастабильности, и близости этих пространственных масштабов к масштабам формирования структур обострения при смене асимптотик. Таким образом, частота сейсмических событий в законе Гутенберга-Рихтера может быть связана с количеством дис-сипативных структур обострения, возбуждаемых на спектре пространственных масштабов.

Частотный и временной скейлинг, отраженный в законах Гутенберга-Рихтера и Омори, является следствием коллективного поведения ансамблей сдвигов и формирования коллективных мод различной сложности, локализованных на определенных пространственных масштабах. С последними могут быть связаны фрактальные закономерности частоты сейсмических событий с масштабами исследуемой области (аналог закона Гутенберга-Рихтера).

Автор благодарит О.А. Плехова, И.А. Пантелеева и Р. Щербакова за содержательное обсуждение результатов исследований, представленных в статье.

Исследования проводились при поддержке РФФИ и CRDF (грант № 01-91100-АФГИР).

Литература

1. Kagan Y. Y. Observational evidence for earthquakes as nonlinear dynamic process // Physica D. - 1994. - V. 77. - No. 4. - P. 160-192.

2. Голицын Г.С. Землетрясения с точки зрения теории подобия // Доклады АН. - 1996. - Т. 346. - № 4. - С. 536-539.

3. Sornette D., Werner M.J. Constraints on the size of the smallest triggering earthquake from the ETAS model, Bath's law and observed aftershock sequences // J. Geophys. Res. B. - 2005. - V. 110. - No. 8. -P. B08304.

4. Langer J.S., Pechnik L. Dynamics of shear transformation zones in amorphous plasticity: Energetic constraints in a minimal theory // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 68. - P. 061507.

5. Наймарк О.Б. Коллективные свойства ансамблей дефектов и неко-

торые нелинейные проблемы пластичности и разрушения // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - С. 45-72.

6. Naimark O.B. Defect induced transitions as mechanisms of plasticity and failure in multifield continua // Advances in Multifield Theories of Continua with Substructure / Ed. by G. Capriz, P. Mariano. - Boston: Birkhauser, 2004. - P. 75-114.

7. Scholz C.H. The mechanics of earthquakes and faulting. - Cambridge: Cambridge University Press, 1990. - 439 p.

8. Rundle J.B. A physical model for earthquakes. 1. Fluctuation and interactions // J. Geophys. Res. - 1988. - V. 93. - P. 6237-6254.

9. Rundle J.B. A physical model for earthquakes. 3. Thermodynamic approach and its relation to nonclassical theories of nucleation // J. Geophys. Res. - 1989. - V. 94. - P. 2839-2855.

10. Rundle J.B. Magnitude-frequency relations for earthquakes using a statistical mechanical approach // J. Geophys. Res. - 1993. - V. 98. -P. 21943-21949.

11. Rundle J.B., Gross S., Klein W., Ferguson C., Turcotte D.L. The statistical mechanics of earthquakes // Tectonophysics. - 1997. -V. 277. - P. 147-164.

12. Rundle J.B., Turcotte D.L., Shcherbakov R., Klein W., Sammis C. Statistical physics approach to understanding the multiscale dynamics of earthquakes fault systems // Rev. Geophys. - 2003. - V. 41. -P. 1019.

13. Kostrov B. V. Self-similar problems of propagation of shear cracks // J. Appl. Mech. - 1964. - V. 28. - P. 1077-1087.

14. Rice J.R. Spatio-temporal complexity of slip on a fault // J. Geophys. Res. - 1993. - V. 98. - P. 9885-9907.

15. Rundle J.B., Klein W. Scaling and critical phenomena in a cellular automaton slider block model for earthquakes // J. Stat. Sol. - 1993. -V. 72. - P. 405-412.

16. Dieterich J.H. Time dependent friction in rocks // J. Geophys. Res. -1972. - V. 77. - P. 790-806.

17. Carlson J.M., Langer J.S. Properties of earthquakes generated by fault dynamics // Phys. Rev. Lett. - 1989. - V. 62. - P. 2632-2635.

18. Fisher D. Sliding charge density waves as a dynamic critical phenomenon // Phys. Rev. B. - 1985. - V. 31. - P. 1396-1427.

19. Ruina A.L. Slip instability and state variable friction laws // J. Geophys. Res. - 1983. - V. 88. - P. 10359-10370.

20. TurcotteD.L., Newman W. I., ShcherbakovR. Micro and macroscopic models of rock fracture // J. Geophys. Int. - 2003. - V. 152(3). -P. 718-728.

21. Saichev A., Sornette D. Distribution of the largest aftershocks in branching models of triggered seismicity: Theory of the universal Bath's law // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 71. - P. 056127.

22. Saichev A., Sornette D. Power law distribution of seismic rates: Theory and data // Eur. J. Phys. B. - 2006. - V. 49. - P. 377-401.

23. Klein W., Unger C. Pseudospinodals, spinodals and nucleation // Phys. Rev. B. - 1983. - V. 28. - P. 445-448.

24. Klein W., Rundle J.B., Ferguson C.D. Scaling and nucleation in models of earthquake faults // Phys. Rev. Lett. - 1997. - V. 78. - No. 19. -P. 3793-3796.

25. Rundle J.B., Klein W., Gross S. Dynamics of traveling density wave model for earthquakes // Phys. Rev. Lett. - 1996. - V. 76. - P. 42854288.

26. Rundle J.B., Klein W., Gross S., Turcotte D.L. Boltzmann fluctuations in numerical simulatios of nonequilibrium lattice threshold systems // Phys. Rev. Lett. - 1995. - V. 75. - P. 1658-1661.

27. Barriere B., Turcotte D.L. Seismicity and self-organized criticality // Phys. Rev. - 1994. - V. 49. - No. 2. - P. 1151-1162.

28. Shcherbakov R., Turcotte D.L., Rundle J.R. Scaling properties of the Parkfield aftershock sequence // Bull. Seism. Soc. Am. - 2006. -V. 96. - No. 4B. - P. S376-S384.

29. Shcherbakov R., Turcotte R.D., Rundle J.B. Aftershock statistics // Pure Appl. Geophys. - 2005. - V. 162. - P. 1051-1076.

30. Shcherbakov R., Yakovlev G., Turcotte D.L., Rundle J.B. Model for the distribution of aftershock interoccurence times // Phys. Rev. Lett. -2005. - V. 95. - doi10.1103/PhysRevLett.95.218501.

31. Bath M. Lateral inhomogeneities in the upper mantle // Tectono-physics. - 1965. - V. 2. - P. 483-514.

32. Shcherbakov R., Turcotte D.L. A modified form of Bath's law // Bull. Seism. Soc. Am. - 2004. - V. 94. - P. 1968-1975.

33. BakP., Christensen K., Danon L., Scanlon T. Unified scaling law for earthquakes // Phys. Rev. Lett. - 2002. - V. 88. - P. 178501.

34. Christensen K., Danon L., Scanlon T., Bak P. Unified scaling law for earthquakes // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 2002. - V. 99. - P. 25092513.

35. Coral A. Local distributions and rate fluctuations in a unified scaling law for earthquakes // Phys. Rev. E. - 2003. - V. 68. - P. 035102 (R).

36. Coral A. Universal local versus unified global scaling laws in the statistics of seismicity // Physica A. - 2004. - V. 340. - P. 590-597.

37. Coral A. Long-term clustering, scaling, and universality in the temporal occurrence of earthquakes // Phys. Rev. Lett. - 2004. - V. 92. -P. 108501.

38. Coral A. Renormalization-group transformations and correlations of seismicity // Phys. Rev. Lett. - 2005. - V. 95. - P. 028501.

39. Rosakis A.J., Samudrala O., Coker D. Cracks faster than the shear wave speed // Science. - 1999. - V. 284(5418). - P. 1337-1340.

40. Rosakis A.J. Intersonic shear cracks and fault ruptures // Advances in Physics. - 2002. - V. 51(4). - P. 1189-1257.

41. Xiao Lu, Lapusta N., Rosakis A.J. Pulse-like and crack-like ruptures in experiments mimicking crustal earthquakes // Proc. Nat. Acad. Sci. -2007. - V. 104. - No. 48. - P. 18931-18936.

42. Xia Lu, Rosakis A.J., Kanamori H. Laboratory earthquakes: The sub-Rayleigh-to-supershear rupture transition // Science. - 2004. - V. 303.-P. 1859-1861.

43. Xia K., Rosakis A.J., Kanamori H., Rice J.R. Laboratory earthquakes along inhomogeneous faults: Directionality and supershear // Science. -2005. - V. 308. - P. 681-684.

44. Burridge R. Admissible speeds for plane-strain self-similar cracks with friction but lacking cohesion // Geophys. J. Int. - 1973. -V. 35(4). - P. 439-455.

45. Andrews D.J. Rupture velocity of plane strain shear cracks // J. Geophys. Res. - 1976. - V. 81. - P. 5679-5687.

46. Dunham M., Favreau P., Carlson J.M. A supershear transition mechanism for cracks // Science. - 2003. - V. 299. - P. 1557-1559.

47. Liu Yi, Lapusta N. Transition of mode II cracks from sub-Rayleigh to intersonic speeds in the presence of favorable heterogeneity // J. Mech. Phys. Solids. - 2008. - V. 56. - No. 1. - P. 25-50.

48. Леонтоеич M.A. О свободной энергии неравновесного состояния // ЖЭТФ. - 1938. - Т. 8. - № 7. - С. 844-854.

49. Cugliandolo L.F., Kurchan J., Peliti L. Energy flow, partial equilibration, and effective temperatures in systems with slow dynamics // Phys. Rev. E. - 1997. - V. 55. - No. 4. - P. 3898-3926.

50. Tsallis C. What should a statistical mechanics satisfy to reflect nature? // Physica D. - 2004. - V. 193. - P. 3-34.

51. BeckC., CohenE.C.D. Superstatistics // Physica A. - 2003. - V. 322. -P. 267-275.

52. Наймарк О.Б. Неустойчивости в конденсированных средах, обусловленные дефектами // Письма в ЖЭТФ. - 1998. - T. 67. -№9. - C. 751-757.

53. Наймарк О.Б. Неравновесные структурные переходы как механизм турбулентности // Письма в ЖТФ. - 1997. - Т. 23. - № 13. -С. 81-87.

54. Беляее В.В., Наймарк О.Б. Кинетика многоочагового разрушения при ударно-волновом разрушении // Докл. АН СССР. - 1990. -Т. 312. - № 2. - С. 289-293.

55. Naimark O.B., Davydova M.M. Crack initiation and crack growth as the problem of localized instability // J. de Physique III. - 1996. -V. 6. - P. 259-266.

56. Naimark O.B., Davydova M., Plekhov O.A., Uvarov S.V. Nonlinear and structural aspects of transitions from damage to fracture in composites and structures // Computers & Structures. - 2000. - V. 76. -Nos. 1-3. - P. 670-675.

57. Naimark O.B. Collective behavior of cracks and defects (plenary lecture) // EUROMAT 2000. Advances in Mechanical Behavior, Plasticity and Damage: Proc. Int. Symp. / Ed. by D. Miannay, P. Costa, D. Francois, A. Pineau. - Amsterdam: Elsevier, 2000. - V. 1. - P. 15-28.

58. Naimark O.B., Davydova M.M., Plekhov O.A. Failure scaling as multiscale instability in defect ensemble // Proceedings of NATO Workshop "Probamat - 21 Century" / Ed. by G. Frantziskonis. -Dordrecht: Kluwer, 1998. - P. 127-142.

59. Naimark O.B., Davydova M.M., Plekhov O.A., Uvarov S.V. Experimental and theoretical studies of dynamic stochasticity and scaling during crack propagation // Phys. Mesomech. - 1999. - V. 2. - No. 3. -P. 43-53.

60. Naimark O.B., Uvarov S. V., Radford D.D. et al. The failure front in silica glasses // Proc. of Fifth International Symposium on Behaviour of Dense Media under High Dynamic Pressures. - Saint Malo, France: Commisariat a l'Energie Atomique, 2003. - V. 2. - P. 65-74.

61. Kisslinger C. Aftershocks and fault-zone properties // Advances in Geophysics. - San Diego: Academic Press, 1996. - V. 38. - P. 1-36.

62. Console R., Lombardi A.M., Muru M., Rhoades D. Bath's law and the self-similarity of earthquakes // J. Geophys. Res. - 2003. - V. 108. -P. 2128-2136.

63. Console R., Murru M., Catalli F. Physical and stochastic models of earthquake clustering // Tectonophysics. - 2006. - V. 417. - P. 141153.

64. Helmstetter A., Sornette D. Bath's law derived from the Gutenberg-Richter law and from aftershock properties // Geophys. Res. Lett. -2003. - V. 30. - P. 2069-2074.

65. Utsu T., Ogata Y., Matsuura R.S. The centenary of the Omori formula for a decay law of aftershock activity // J. Phys. Earth. - 1995. -V. 43.- No. 1. - P. 1-33.

66. Shcherbakov R., Turcotte D.L., Rundle J.B. A generalized Omori's law for earthquake aftershock decay // Geophys. Res. Lett. - 2004. -V. 31. - P. L11613.

67. Wyss M., Schorlemmer D., Wiemer S. Mapping asperities by minima of local reccurence time: San Jacinto-Elsinore fault zones // J. Geophys. Res. - 2000. - V. 105(B4). - P. 7829-7844.

68. SaichevA., Sornette D. Andrade, Omori and time-to-failure laws from thermal noise to rupture // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 71. - P. 01608 (1-5).

69. Saichev A., Sornette D. Distribution of the largest aftershocks in branching models of triggered seismicity: Theory of the universal Bath's law // Phys. Rev. E. - 2005. - V. 71. - P. 056127.

70. Saichev A., Sornette D. Power law distribution of seismic rates: Theory and data // Eur. J. Phys. B. - 2006. - V. 49. - P. 377-401.

71. Carbone V., Sorriso-Valvo L., Harabaglia P., Guerra I. Unified scaling law for waiting times between seismic events // Europhys. Lett. -2005. - V. 71(6). - P. 1036-1042.

72. Lindman M., Jonsdottir K., Roberts R., Lund B., Bodvarsson R. Earthquakes descaled: On waiting time distributions and scaling laws // Phys. Rev. Lett. - 2005. - V. 94. - No. 10. - P. 108501.

73. Kagan Y.Y., KnopoffL. Spatial-distribution of earthquakes — the 2-point correlation function // Geophys. J. R. Astr. Soc. - 1980. - V. 62. -No. 2. - P. 303-320.

74. Kagan Y. Y. Spatial-distribution of earthquakes — the 3-point moment function // Geophys. J. R. Astr. Soc. - 1981. - V. 67. - No. 3. - P. 697717.

75. Shcherbakov R., Van Aalsburg J., Turcotte D.L., Rundle J.B. Correlations in aftershock and seismicity patterns // Tectonophysics. - 2005. -V. 413. - Nos. 1-2. - P. 53-62.

76. Carlson J.M., Langer J.S. Mechanical model of an earhquake // Phys. Rev. A. - 1989. - V. 40. - P. 6470-6484.

77. Ben-Zion Y., Rice J.R. Earthquake failure sequences along a cellular fault zone in a three dimensional elastic solid containing asperity and nonasperity regions // J. Geophys. Res. - 1993. - V. 98. - P. 14.10914.131.

78. Ben-Zion Y., Rice J.R. Slip patterns and earthquake population along different classes of faults in elastic solids // J. Geophys. Res. - 1995. -V. 100. - P. 12.959-12.983.

79. Lyakhovsky V., Ben-Zion Y., Agnon A. Distributed damage, faulting and friction // J. Geophys. Res. - 1997. - P. 27.635-27.649.

80. Dieterich J.H. Modeling of rock friction. 1. Experimental results and constitutive equations // J. Geophys. Res. - 1979. - V. 84. - P. 21612168.

81. Kachanov M. Elastic solids with many cracks and related problems // Advances in Applied Mechanics / Ed. by J. Hutchinson, T. Wu. -St. Louis, Missouri, USA: Academic Press, 1993. - V. 30. - P. 259445.

Поступила в редакцию 11.03.2008 г.

Сеедения об аеторе

Наймарк Олег Борисович, д.ф.-м.н., профессор, заведующий лабораторией ИМСС УрО РАН, naimark@icmm.ru