Метод решения многопараметрических задач аэроупругости на основе теории подобия

Том ХЬН

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011

№ 4

УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.422

МЕТОД РЕШЕНИЯ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ АЭРОУПРУГОСТИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

В. В. ЛЫЩИНСКИЙ, В. А. МОСУНОВ, А. А. РЫБАКОВ

Рассматриваются метод решения многопараметрических задач на основе принципов теории подобия, применение метода при исследовании фюзеляжных форм флаттера, обоснование допустимости применения стендов для исследования фюзеляжных форм флаттера, снижение трудоемкости работ при моделировании флаттера в аэродинамических трубах.

Ключевые слова: флаттер, многопараметрические исследования, фюзеляжная форма флаттера, стенд, теория подобия.

Целью исследований во многих областях естествознания является выяснение функциональных связей между параметрами, определяющими изучаемое явление. Полученные результаты -функции многих переменных — обычно представляют в виде функции одной переменной (аргумента) при различных фиксированных значениях других переменных (параметров). Таким образом получают несколько семейств функций с различными значениями того или иного параметра. Разделение переменных на аргумент и параметры, конечно, является условным. Роль аргумента и параметра может играть любая переменная. Выбор в каждом случае обусловлен исключительно особенностями решаемой задачи.

В данной работе на примерах из области флаттера исследуется вопрос о возможности применения теории подобия при решении экспериментальными методами многопараметрических задач. Представлены особенности решений, начиная с самых простых случаев.

ЛЫЩИНСКИЙ МОСУНОВ РЫБАКОВ

Вячеслав Владимирович Валерий Аркадьевич Анатолий Алексеевич

кандидат технических наук, кандидат технических наук, кандидат технических наук,

ведущий научный старший научный ведущий научный

сотрудник ЦАГИ сотрудник ЦАГИ сотрудник ЦАГИ

Рассмотрим вопрос о консольных формах флаттера управляемого стабилизатора в предположении, что жесткость его плана относительно велика. В этом случае достаточно учесть только жесткость проводки управления с и жесткость на изгиб узлов крепления стабилизатора к фюзеляжу сизг («полужесткая» схема).

Результаты исследований флаттера управляемого стабилизатора обычно представляют в форме зависимости критической скорости флаттера Укр от парциальной частоты его колебаний вокруг

оси вращения пвр :

V = У п

г Кр г кр '*вр •

Выбор Пр в качестве аргумента обусловлен требованиями практики, поскольку хорошо известно, что пвр наиболее сильно влияет на Укр. Параметром в этой задаче является парциальная частота изгибных колебаний пизг за счет деформации узлов крепления стабилизатора к фюзеляжу.

В традиционной постановке при исследовании флаттера стабилизатора по «полужесткой» схеме как расчетными, так и экспериментальными методами получают графики зависимостей

Укр пвр для нескольких значений пизг (рис. 1). Изображенное семейство кривых оказывается

довольно сложным, и отыскать закономерности в представленных результатах нелегко. Однако применение теории подобия позволяет решить задачу более просто. С этой целью изобразим

графики рис. 1 в трехмерном пространстве V, пвр, пизг (рис. 2).

В плоскости пвр, пизг на каждом луче, выходящем из начала координат, отношение

п\>,р/пи-,\ =аг имеет постоянную величину. В этом случае график зависимости Укр пвр, пшт , согласно теории подобия [1], будет изображаться прямой, проходящей через начало координат. Поэтому все точки Укр пвр, пизг будут находиться на конической поверхности с вершиной в начале координат. Обнаруженный результат позволяет сделать важный вывод о том, что для исследования флаттера управляемого стабилизатора (при допустимости применения «полужесткой» схемы) нет необходимости получать семейство кривых (рис. 1). Для построения конической

45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 -

О 2 4 6 8 10 12 лвр>Гц

Рис. 1. Зависимость критической скорости флаттера ¥кр от парциальной частоты вращения пвр при различных значениях парциальной частоты изгиба

Рис. 2. Геометрическая интерпретация флаттерных характеристик управляемого стабилизатора

поверхности достаточно знать одну пространственную или плоскую (при $ = var) кривую. Все остальные точки поверхности при любых сочетаниях , иизг могут быть получены на основе

геометрии.

ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Рассмотрим вопрос о консольной форме флаттера управляемого стабилизатора в случаях, когда нельзя пренебрегать деформациями элементов его конструкции и применять «полужест-кую» схему.

Жесткостные свойства стабилизатора будем характеризовать коэффициентом КЕ, показывающим, во сколько раз жесткость конструкции больше или меньше исходного значения.

Традиционно при решении этой задачи расчетными или экспериментальными методами получают два семейства зависимостей V /?|1р при нескольких значениях параметров: иизг = var,

КЕ = const; пи„л = const, Kh: = var.

Вследствие этого задача оказывается существенно более сложной, чем рассмотренная однопараметрическая задача. В этом случае получается уже не одна поверхность, а семейство поверхностей. Более того, только одна поверхность этого семейства окажется конической (КЕ — со «полужесткая» схема). Все остальные поверхности коническими не будут, вследствие чего не удастся воспользоваться преимуществами способа, которым была решена однопараметрическая задача.

Тем не менее двухпараметрическую задачу о флаттере управляемого стабилизатора удалось решить. Особенности решения изложены в [2]. Показано, что в двухпараметрической задаче для исследования влияния на Vp выбранного параметра нет необходимости варьировать именно его

величину. Интересующие сведения могут быть получены в результате изменения по определенным правилам другого, более «удобного» параметра и последующей обработки экспериментальных материалов по теории подобия.

Эта задача возникает в работах по исследованию фюзеляжных форм флаттера управляемого стабилизатора. При ее решении необходимо учитывать упругость фюзеляжа, жесткость на изгиб узлов крепления стабилизатора, податливость проводки управления и упругость элементов конструкции стабилизатора. При таком количестве параметров несостоятельность попытки решить задачу способом, примененным при решении однопараметрической задачи, очевидна. В четырехмерном пространстве невозможно наглядно интерпретировать результаты.

ОБЩИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Рассмотрим последовательность чисел, характеризующих величины определяющих параметров одинаковой размерности:

а, Ь, с, ... п.

Разделим одно из них (например а) на каждое из остальных чисел последовательности (1):

а_ о о т

Ъ’ с’ п 1 ’

Очевидно, что, умножив число а на постоянный коэффициент а или разделив числа Ь,с, ... п на тот же коэффициент а, получим одинаковый результат:

аа а а сил

~Ь’ V’ ( ’

Этот результат, конечно, не представляет интереса, если рассматривать его отдельно от конкретной задачи. Но в совокупности с основополагающими понятиями теории размерности и теории подобия он позволяет сделать важные для практики моделирования выводы.

Дело в том, что и теория размерностей, и теория подобия базируются на требовании равенства отношений величин одинаковой размерности, определяющих условия задачи, что отражено в формулировке «абсолютного значения относительных количеств» [3].

В теории подобия это является требованием, при выполнении которого обеспечивается подобие изучаемых систем друг другу [4]. Возможность получения (3) двумя способами является определяющей при решении методами моделирования задач, в которых трудно или невозможно варьировать тот параметр, влияние которого необходимо исследовать. Вместо этого можно про-варьировать другие параметры той же размерности. Затем следует преобразовать по теории подобия полученные результаты и оценить влияние интересующего параметра, варьирование которого во время опытов не проводилось.

Благодаря этому оказывается возможным решать методами моделирования задачи, ранее считавшиеся практически неразрешимыми. Процедура обработки материалов при этом также существенно упрощается.

Следует подчеркнуть, что в этом разделе не рассматривались физические особенности, характеризующие тот или иной конкретный случай. Поэтому полученный вывод должен быть справедлив при проведении экспериментальных исследований в различных областях.

Однако, необходимо отметить, что на практике не удается избежать всех трудностей.

Поскольку в задачах, решаемых методами моделирования, объектом исследований является физическая модель, то возможность изменения того или иного ее параметра, прежде всего, обусловлена особенностями ее конструкции.

Например, весьма затруднительно варьировать жесткости частей модели, имеющих распределенные упруго-массовые характеристики: крыло, фюзеляж, органы управления. Для каждого варианта нужно было бы изготавливать специальный экземпляр, что по многим причинам весьма нежелательно. Однако погрешности в экспериментальных результатах, полученных на разных экземплярах модели, неизбежно увеличатся из-за производственных допусков. Кроме этого, существенно возрастет общая трудоемкость эксперимента.

Рассматриваемые далее вопросы подтверждают справедливость сказанного.

СИММЕТРИЧНЫЕ ФЮЗЕЛЯЖНЫЕ ФОРМЫ ФЛАТТЕРА

Название «фюзеляжные формы» обусловлено тем, что при этих формах флаттера амплитуды колебаний фюзеляжа в вертикальной плоскости оказываются большими.

В случаях, когда сизг имеет значительную величину, задача об исследовании этих форм флаттера оказывается двухпараметрической, аналогично задаче о консольной форме флаттера управляемого стабилизатора с учетом упругости его конструкции. Как и ранее, величина критической скорости флаттера ¥кр пвр кроме аргумента пвр будет определяться двумя параметрами: жесткостью фюзеляжа на изгиб Сф и жесткостью конструкции стабилизатора. Но воспользоваться, как сделано в [2], этим обстоятельством при модельных испытаниях практически невозможно, поскольку жесткостные характеристики конструкций фюзеляжа и стабилизатора, что уже отмечалось, являются распределенными. Поэтому еще в 50-х годах прошлого века возник вопрос о разработке новой схемы моделирования фюзеляжных форм флаттера. При его решении было принято, что можно ограничиться моделированием колебаний только хвостовой части фюзеляжа. В соответствии с этим предположением создавались специальные стенды [1].

СТЕНД ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФЮЗЕЛЯЖНЫХ ФОРМ ФЛАТТЕРА

На рис. 3 изображена форма 1-го тона колебаний при изгибе фюзеляжа в вертикальной плоскости. На этом рисунке в точке О, определяемой положением оси вращения стабилизатора, проведена касательная к упругой линии изогнутого фюзеляжа. В точке О2 касательная пересекает упругую линию фюзеляжа в недеформированном состоянии.

Расстоянием О — О полностью определяется кинематика движения хвостовой части фюзеляжа. Когда он колеблется, касательная поворачивается вокруг точки О2, в которой на стенде располагают шарнир. Поскольку при различных тонах колебаний фюзеляжа величина отрезка О — О неодинакова, конструкция стенда должна обеспечить возможность перемещения шарнира в положение, соответствующее тому или иному тону колебаний фюзеляжа (рис. 4).

Частота колебаний хвостовой части фюзеляжа на стенде определяется жесткостью пружины сст . Параметры пружины выбираются из условия совпадения (в соответствующем масштабе) частоты колебаний хвостовой части фюзеляжа на стенде пст с частотой моделируемого тона вертикального изгиба фюзеляжа. Момент инерции вокруг точки О2 хвостовой части фюзеляжа

Рис. 3. Форма собственных колебаний при вертикальном изгибе фюзеляжа

1-го тона

Хвостовой отсек

Рис. 4. Схема стенда для моделирования фюзеляжных форм флаттера

на стенде для каждого тона колебаний определяется из условия равенства (в соответствующем масштабе) кинетических энергий самолета и подвижных частей стенда при колебаниях с одинаковой частотой и амплитудой в точке О (выбранная точка нормировки).

Достоверность результатов, получаемых при исследовании флаттера на стендах описанной кинематической схемы, оценивалась путем сравнительных испытаний. Например, в аэродинамической трубе после летного происшествия были проведены модельные опыты для тяжелого самолета. Исследовался флаттер, происходивший с большими колебаниями триммера, руля высоты, стабилизатора и фюзеляжа. На стенде испытывалась крупномасштабная модель хвостовой части самолета, а на «плавающей» подвеске — модель всего самолета. Полученные результаты испытаний на стенде и на модели не имели качественных различий. Но при попытке провести их количественное сравнение возникли серьезные трудности из-за недостаточной точности воспроизведения на модели самолета упруго-массовых характеристик триммера и руля высоты при слишком малых их размерах.

В данной работе соответствующая оценка сделана расчетным способом и вопрос о «масштабном эффекте» не возникает. Поэтому сравнение расчетов модели и стенда является более строгим — изменяется лишь схема объекта исследования, а все остальные факторы остаются неизменными.

Материалы сравнительных расчетов представлены на рис. 5 — 7 для трех вариантов жесткости конструкции стабилизатора: уменьшенной в 2.25 раза К/,- =0.44 , исходной А'/исх = 1

Рис. 5. Сравнительные результаты расчетов критической скорости флаттера Укр пвр для свободной модели и стенда

0

Рис. 6

5 10 15 20

Сравнительные результаты расчетов критической скорости флаттера Укр пвр для свободной модели и стенда

„ м/с П изг= 10 Гц /? = 3,9 Гц

К Е = 2.25

- стенд

- модель

*

О 5 10 15 20 «вр.ГЦ

Рис. 7. Сравнительные результаты расчетов критической скорости флаттера Укр пвр для свободной модели и стенда

и увеличенной в 2.25 раза КЕ = 2.25 . Видно, что результаты исследования фюзеляжных форм

флаттера на стенде и на модели, рассчитанной с учетом требований воспроизведения условий свободного полета, близки.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ УПРУГОСТИ СТАБИЛИЗАТОРА НА ФЮЗЕЛЯЖНЫЙ ФЛАТТЕР

У описанного стенда роль распределенных жесткостных характеристик фюзеляжа играет пружина с жесткостью сст, работающая при повороте корпуса стенда вокруг точки O2. Поэтому становится возможным исследовать влияние жесткостных характеристик конструкции стабилизатора, изменяя, в соответствии с (3), не КЕ, а жесткость пружин cCT (парциальную частоту колебаний пст при повороте корпуса стенда вокруг точки O2) и сизг (парциальную частоту изгиб-

ных колебаний стабилизатора пизг ). Отношение пст/пизг должно оставаться постоянным:

«ст/«изг = const.

Выберем вариант, который назовем исходным: и^х, = 1. Построим семейство

кривых 1, характеризующее зависимость V пвр при нескольких значениях КЕ (рис. 8).

Построим, выполняя условие (4), семейство кривых 2, характеризующее зависимость

V пвр при нескольких значениях пст и пизг (рис. 9).

В соответствии с (3) потребуем, чтобы выполнялись равенства:

= а^Г,

J^HCX

исх

п

изг

П = "изг

9G

К, = 2.25; 4; «тг= Ю ГЦ ист =3.9 Ги

\ К£ = 1 0.44

__ —

ч . ** ч." ч. — \ " 0.25

0.11

п вр, Гц

Т---------------------1---------------------1--------------------1---------------------1--------------------1--------------------1---------------------r

0123456789 Рис. 8. Зависимость >;вр при нст и п1ВТ = const

); 7.8 ^ ИЗГ> ^ с г = 30; 11.7 Гц ts ИСХ КЕ = 1

2 ч ч

' ''« 15: 5.8 ч ч ч ч^

Ч. ^ ^ .

10; 3.9 ’* ,т

6.7; 2.6

5;_2 3.3; 1.3

"ер, Гц

0123456789 10

Рис. 9. Зависимость I' ?;вр при ;/ст = var; лют = var ;;ст/;;изг = const , АГ|СХ = 1

Представим формулы (5) — (7) в более удобном для практического применения виде:

яисх

= 1^

\] К'/сх "ст

ГР „исх У Е _ птт

пшт '

Подчеркнем, что формулы (8), (9) выражают требования теории подобия. Следовательно, если семейство 2 преобразовать по формулам (8), (9) для выбранных значений а, то должно быть получено семейство 1.

Представленные на рис. 10 результаты подтверждают сделанный вывод. Полученные путем преобразования семейства 2 по формулам (8), (9) точки V располагаются на кривых семейства 1.

м/с КЕ = 2.25; 4; 9 п иаг п ст = 10 Гц = 3.9 Гц

ч 4 + Е ~ _ж0.67

ж. — — —

\ ' ь. ''А ''-4 с.--” С— -1 г - " 1 "  Ч).5

* - J 0.33

я вр, Гц

0123456789

Рис. 10. Семейство кривых 1 с нанесенными точками, полученными преобразованием семейства 2

по теории подобия

В заключение подчеркнем, что предложенный метод решения многопараметрических задач может применяться не только при моделировании флаттера, но и в других областях. Так же, как в приведенном примере, его целесообразно использовать в тех случаях, когда необходимо изучить влияние параметра, варьировать который трудно или невозможно. Тогда по разработанным правилам следует вместо исследуемого параметра изменить другие параметры той же размерности и преобразовать полученные результаты в соответствии с теорией подобия.

Ограничением применимости метода является условие, что варьирование необходимых параметров может быть выполнимо.

Отметим также, что рассмотренный случай многопараметрической системы подтвердил целесообразность применения теории подобия: существенно облегчается обобщение материалов, а процедура анализа становится более простой и наглядной.

Применение теории подобия при разработке методики экспериментальных исследований флаттера позволило найти способ решения класса задач, прежде считавшихся практически неразрешимыми.

ЛИТЕРАТУРА

1. Альхимович Н. В., Попов Л. С. Моделирование флаттера самолета в аэродинамических трубах // Труды ЦАГИ. 1947, вып. 623, с. 6.

2. Лыщинский В. В., Рыбаков А. А. Применение преобразований подобия при параметрических исследованиях флаттера // Ученые записки ЦАГИ. 2009. Т. ХХХL, № 4, с. 71 — 77.

3. Бриджмен П. В. Анализ размерностей. — ОНТИ. 1934, с. 25 — 26.

4. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1987, с. 59.

Рукопись поступила 2/У12010 г.