К вопросу об автомодельности течений в продольно-однородных турбулентных потоках

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 2(10), 2013 г., [130-156] УДК 532.542

Л. И. Высоцкий

К ВОПРОСУ ОБ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ ТЕЧЕНИЙ В ПРОДОЛЬНО-ОДНОРОДНЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПОТОКАХ

В статье показано, что вопреки общепринятому мнению продольно-однородные турбулентные потоки наилучшим образом удовлетворяют принципу кусочной автомодельности. Выявлено, что в пределах каждой из пяти условных зон, на которые делятся указанные потоки, распределение осредненных скоростей является автомодельным. В то же время оказалось, что границы условных зон определяются значениями глобального числа Рейнольдса и относительной шероховатости. Указанные утверждения проверены с привлечением результатов обширных численных экспериментов. Диапа-

3 11

зон чисел Рейнольдса составлял от 4*10 до10 . Относительная шероховатость при этом менялась от 0 до 0,1.

Ключевые слова: турбулентность, продольно-однородные потоки, осредненная скорость, автомодельность, относительная шероховатость.

L. I. Vysotsky

ON THE ISSUE OF SELF-SIMILAR STREAMS IN THE LONGITUDINALLY UNIFORM TURBULENT FLOWS

The paper shows that longitudinally uniform turbulence flows give the best fit to the principle of piecewise self-similarity contrary to popular belief. It is revealed that the flows can be divided into five conventional zones. The averaged velocity distribution is self-similar within each of the zone. At the same time, it was found that the boundaries of the conditional zones are defined by values of global Reynolds number and by relative roughness. The specified statements are proved by a lot of numerical simulations. Range of Reynolds numbers was from 4*103 to 1011. Herewith the relative roughness changed from 0 to 0.1.

Keywords: turbulence, longitudinally uniform flows, averaged speed, self-similarity, relative roughness.

Введение.

На протяжении прошлого столетия многие исследователи в области гидродинамики интенсивно развивали теоретические обоснования проблемы турбулентности. Были предложены модели строения простейших турбулентных течений в связи с необходимостью выполнения массовых их расчетов при решении прикладных задач. Поначалу они представлялись весьма удачными. Под напором большого количества все более совершенных экспериментальных данных простые модели постепенно усложнялись, а полученные на их основе формулы совершенствовались. В первую очередь это относится к формулам для расчета распределения осредненных

скоростей в продольно-однородных потоках. В силу аналогии О. Рейнольдса полученные результаты переносились в область тепломассообмена (распределение температуры, концентрации примесей и т. п.).

Тем не менее, экспериментальные данные вскрывали все новые недостатки предлагаемых зависимостей, что вынуждало исследователей вводить в них поправки. Как бы то не было, но достаточно прочно утвердилась в качестве как бы оптимальной трехслойная модель, в которой толщины условных зон турбулентного потока приняты фиксированными и в единицах внутреннего масштаба составляют 5у/и*, 30у/и* и 70у/и*. Причем в области значений расстояния от твердой стенки 2 > 70 у / и* распределение осредненных скоростей считается автомодельным, то есть не зависящим от числа Рейнольдса. Опять-таки и это положение не выдержало экспериментальной проверки.

В данной статье автор вновь возвращается к изложенной проблеме, пытается на базе уточненного представления о процессах, происходящих вблизи твердой стенки на очень малых расстояниях от нее, предложить принципиально иное строение модели продольно-однородного турбулентного потока и иной взгляд на проблему автомодельности, во многом противоречащий современным представлениям. Автор надеется, что новая модель позволяет получить более надежные расчетные зависимости (для распределения осредненных скоростей, температуры и др.).

Исторические аспекты развития проблемы анализа распределения осредненных скоростей в турбулентных потоках излагались неоднократно. Существуют прекрасные обзоры в таких широко известных капитальных трудах, как «Механика жидкости и газа» Л. Г. Лойцянского [1], «Теория ламинарного пограничного слоя» Г. Шлихтинга [2], «Турбулентность, ее механизм и теория» И. О. Хинце [3] и многих других. С течением времени в подобного рода обзорах, которые чаще всего являются введением к изложению оригинального материала, появляются новые сведения, более со-

временные трактовки, новые точки зрения, дополнительные критические замечания, новые данные, полученные с помощью ультрасовременных измерительных средств. К их числу можно отнести оценки Г. И. Баренблат-та [4], Д. Остерлунда [5], М. Загаролы [6], И. Незу [7], В. Роди [8] и др. Здесь автор не преследует цель расширения оценки имеющихся в этой области достижений, однако предпослание основной части некоторого краткого введения считает необходимым.

Известно, что заметное поступательное движение в изучении турбулентности началось после обоснования и введения ряда основополагающих понятий. К ним относятся:

- разделение действительной скорости на осредненные (их, иу, иг) и

пульсационные {их, и у, и2) составляющие;

- введение понятий о турбулентных (кажущихся) касательных и нормальных напряжениях [9];

- введение удачной (по крайней мере, для продольно-однородных турбулентных течений) связи касательных турбулентных напряжений -

puxuz с градиентом осредненной скорости через коэффициент турбулентной вязкости [10];

- разработка представления о структуре турбулентного потока в виде иерархической (каскадной) схемы непрерывно распадающихся крупных вихрей вплоть до достижения ими самых малых значений, в которых происходит диссипация энергии;

- получение О. Рейнольдсом осредненных по времени уравнений На-вье-Стокса, описывающих турбулентные течения;

- обоснование «энергоснабжения» турбулентных течений за счет отбора энергии у осредненного течения.

Однако набор перечисленных и разработка других понятий и представлений долгое время не позволяли решить даже простейшие практиче-

ские задачи, связанные с турбулентным течением жидкостей и газов. Пожалуй, основной из них являлась задача о распределении осредненных скоростей по сечению труб и каналов.

Первоначально были предложены эмпирические формулы для распределения осредненных скоростей - знаменитая парабола Х. Базена [10] для широких каналов и формула Дарси [11] для расчета распределения осредненных скоростей в круглых трубах.

Приведенные формулы были получены экспериментальным путем с помощью примитивных по современным представлениям измерительных средств. Применение их на практике не могло дать надежного ответа

о значении скоростей в пристенной области, наиболее важной с точки зрения происходящих здесь процессов (размыв грунта, теплообмен и т. п.).

Тем не менее, по мере совершенствования измерительных средств и лавинообразного накопления экспериментальных данных появилась возможность сделать некоторые существенные выводы, разработать феноменологические модели строения турбулентного потока и предложить на их основе инженерные методы расчета турбулентных потоков в наиболее простых случаях, так называемых продольно-однородных течениях (течениях в круглых трубах и широких каналах). Эти случаи до сих пор продолжают оставаться важными объектами для изучения как с прикладной точки зрения, так и с научной, выступая в качестве своеобразного оселка для оттачивания новейших идей.

Большое значение имело установление того факта, что влияние твердых поверхностей, ограничивающих турбулентный поток, простирается лишь на сравнительно тонкий пристенный слой.

Такую гипотезу в 1930 г. высказал Т. Карман [12]. Он показал, что вне вязкого подслоя влиянием вязкости на распределение осредненных скоростей можно пренебречь. Это предположение дало ему возможность описать закон распределения скоростей простой формулой:

ф=—1п ц+В,

k

и zu

*

где Ф=—; п =

и* V

В - постоянная интегрирования;

т

и* =

— - динамическая скорость; Р

р и V - плотность и кинематическая вязкость жидкости; то - касательное напряжение на стенке; ф - безразмерная скорость;

П = Re ^ - число Рейнольдса;

z - расстояние от стенки; k - константа Кармана.

По Т. Карману, получалось, что закон (1) является универсальным для всего потока, кроме вязкого подслоя. Это означает, что входящие в не-

Vі? V •1

го параметры не зависят от числа ке й = - (или ке Ь =-------в других

V V

случаях), где V - средняя скорость; й - диаметр трубы; Ь - характерная длина для других потоков (Ь = Н для продольно однородного потока со свободной поверхностью, например).

Исходя из других положений, в 1932 г. Л. Прандтль [13] получил тот же закон. В «Механике сплошных сред» приведен вывод этого же закона на основе анализа размерностей, выполненного Л. Д. Ландау [14].

Сказанное позволило условно разделить весь турбулентный поток на основную его часть, свободную от влияния вязкости и называемую турбулентным ядром, и пограничный слой, где влияние вязкости велико.

Х. Людвиг и В. Тильман [15] подтвердили существование «закона стенки», который является универсальным, то есть независящим от изменения числа Рейнольдса и других параметров турбулентности. Универ-

сальными масштабами при этом являются и* и —.

и*

И. О. Хинце и Теннекес обнаруживали в своих опытах отклонение k от универсального значения. Г. И. Баренблатт усомнился в полной автомодельности турбулентных течений и развил оригинальную теорию неполной автомодельности, что, в известном смысле, эквивалентно утверждению о влиянии вязкости жидкости при больших числах Рейнольдса. Последнее объясняется тем, что «турбулентный поток представляет собой совокупность громадного множества вихрей, пронизывающих движущуюся жидкость. С ростом числа Рейнольдса количество вихрей возрастает. Как бы велико не было число Рейнольдса, вязкость остается существенной вблизи «ядер» вихрей, и таким образом, ее динамическое воздействие на поток не исчезает». К этому можно добавить, что сам процесс каскадного дробления вихрей не является идеально организованным процессом. На границе соприкасающихся больших вихреобразований возникает множество мелких (вплоть до колмогоровских) вихорьков, что приводит к некоторой диссипации энергии турбулентности (сравнительно малой) и в толще турбулентного потока.

Далее при рассмотрении проблем теплопроводности и турбулентности Л. Прандтлем и Т. Карманом были введены понятия о «длине смешения» и даны формулы для ее вычисления. Эта идея оказалась настолько заразительной, что, несмотря на жесточайшую (уничтожающую) критику этого понятия, оно продолжает существовать, а сама формула для ее расчета снабжается все новыми уточнениями.

Очень часто в монографиях и учебниках приводят график зависимости ф от 1п ц в виде прямой, что, казалось бы, является наилучшим подтверждением справедливости формулы (1). Однако, по мере накопления экспериментальных данных, полученных с использованием все более совершенных средств измерения осредненных скоростей, стали появляться

свидетельства того, что влияние вязкости проявляется не только в пределах вязкого подслоя, толщину которого в единицах внутреннего масштаба V V

— часто оценивают значением 5 «70—, но и во внешней части потока

' ст 5

и* и*

(в трубе - в приосевой его части, в канале - вблизи свободной поверхности, а в погранслое - вблизи контакта его с внешним потенциальным течением).

Так как уравнение (1) не удовлетворяет граничным условиям ни на твердой границе (при 2 = 0), ни на оси потока (при 2 = L), пришлось выходить из этого положения остроумным и, казалось бы, логически обоснованным путем, а именно, введением предположения о разделении турбулентного потока в круглой трубе на две зоны: турбулентное ядро и ламинарный пограничный слой.

В тонком ламинарном пограничном слое (его толщина, была оценена в 11,6 V / и*, где соотношение V / и* играет роль внутреннего масштаба длины, а и* - динамическая скорость - масштаба скорости) существенно проявляется влияние вязкости. Обычно в гидроаэродинамике принято записывать получаемые соотношения в безразмерных координатах с нормировкой с помощью указанных масштабов длин и скоростей:

+ У •и* + 2 •и* 7+ 1 •и* + и

ц=У =------; 2 =-----; I =----; и =—=ф.

V V V и*

Л. Прандтль и многие другие полагали (и полагают), что в ламинарном пограничном слое распределение осредненных скоростей является линейным:

и+ = 2+ или ф = ц.

Важное значение имело установление универсального логарифмического закона распределения осредненных скоростей, совпадающего с достаточно надежными экспериментальными данными, полученными И. Ни-курадзе [16] в опытах с круглыми трубами в диапазоне чисел Рейнольдса

(Яеа = , где V - средняя скорость) от критического до 3,24-106. Этот

V

факт подтверждается графиком (рисунок 1), из которого следует, что опытные точки при всех числах Re й удовлетворительно размещаются в окрестности прямой, соответствующей зависимости:

—=и+ = 2,51п —+5,5=2,51п( г+)+5,5

—

V

или

т- и

Т'Ощ.

35

30

ь

25

16

Ю

О"

ф=2,51п ц+5,5.

. У і /

0)

л ✓ '’ОсО о /?е = т ~ о = 4,1-103' 2,3-10* 11 ш5

✓  = 4,0 105  = 1,1 10е в - ?п, 1п& > Ни ну реп Ье

& =  Рат 3,2-106] 'ардт

кривая (1) соответствует уравнению ф = ^, т. е. ламинарному течению; кривая (2) - переходу от ламинарной формы течения к турбулентной; кривая (3) - турбулентному течению при любых числах Рейнольдса; кривая (4) -турбулентному течению при Яе < 106, кривая (5) - уравнению ф = 11,5 ^1/10

Рисунок 1 - Универсальный логарифмический закон распределения скоростей в гладкой трубе

Обоснование универсальности логарифмического закона распределения осредненных скоростей сводилось к наличию ламинарного погра-

ничного слоя у гладких стенок и концентрации всего влияния вязкости жидкости на развитие турбулентных течений в этой области.

При изменении числа Рейнольдса, естественно, изменяются как профиль эпюры осредненных скоростей, так и размеры областей, занятых пограничным слоем и турбулентным ядром. Если г+ достаточно велико, то обычно считают взаимодействие между этими регионами пренебрежимо малым, но тогда в них должны существовать независимые решения [ 2, £ ]. По Л. Прандтлю около стенки профиль осредненных скоростей определяется лишь 2+:

и+=ип,

а в турбулентном ядре лишь отношением —, то есть:

Г0

и+ - и+ = f2

м л 2

А л 2

V г0 У

Х. Базен [10] в своих опытах установил фактически независимость закона распределения скоростей по сечению трубы от причин, обусловливающих касательное напряжение, выразив этот постулат формулой:

а л У

г

V 0 У

и*

где итах - скорость на оси трубы; и - скорость в текущей точке; и* - динамическая скорость; а - постоянный коэффициент; у - расстояние от стенки; г0 - радиус трубы.

По-видимому, этот вывод Х. Базена послужил толчком к получению «универсальных» формул для распределения осредненных скоростей.

Это функциональное соотношение было указано также Стантоном

в 1911 году [10] и известно как «закон дефицита скорости», а закон (6) известен под названием «закона стенки».

Таким образом, получается, что, если в обоих областях / и /2 ос-редненные скорости не зависят от числа Рейнольдса, то в них существует полное подобие, в противном случае существует неполное подобие.

С. В. Милликен в 1938 году предположил, что при достаточно больших числах Рейнольдса могут существовать перекрывающиеся области, где внутренний и внешний законы могут иметь место одновременно. Указанная область ограничивалась значениями 1 < 2 + < Г0+ . При использовании внутреннего масштабирования переменных, получим:

и += —1п

k

где В - аддитивная константа.

В терминах других масштабов тех же переменных окажется, что:

1 2

и+ — и +=-1п-+В *,

м k Г0

где В * - также аддитивная константа.

Все три константы (k, В и В*) определяются экспериментально.

Часто используются их значения k = 0,41; В = 5,2; В * = 6,5. Обычно су-

ществование логарифмического закона распределения осредненных скоростей предполагается при значениях [17] в диапазоне:

V

50— < 2 < 0,15 г0.

и*

Позже Т. Карман [12] предложил трехслойную модель строения турбулентного потока. В ней примыкающий к гладкой стенке слой с линей-

«V

ным распределением осредненных скоростей имел толщину, равную 5—,

и*

а скорость распределялась по закону:

u = г • — .

V

Буферная часть пограничного слоя ограничивалась расстояниями V V

от стенки, равными 5------30—. В пределах нее осредненные скорости за-

и, и*

давались формулой:

—=51п—-3,05.

и, 5v

При > 30 (турбулентное ядро) распределение скоростей подчиня-

V

ется закону:

и _ и&2 _ _ /л .ч

—=2,51п—*—+5,5.

и, V

Из закона Дарси следует, что коэффициент Дарси X определяется соотношением:

X = 8 {иЛ )2,

где V - средняя скорость.

Для гладких труб Л. Прандтль получил (с учетом экспериментальных данных И. Никурадзе [16]) выражение:

=2^еТ1)- 0,8.

Оно известно как прандтлев универсальный закон трения для гладких

труб.

Л. Прандтль предполагал, что отклонения от логарифмического закона распределения скоростей как в пристенной области, так и в турбулентном ядре пренебрежимо малы.

Однако нараставший объем экспериментальных данных заставил усомниться в непререкаемости мнения Л. Прандтля как в области распространения логарифмического закона, так и в обоснованности его теории

«длины пути смешения».

Функциональное соотношение (7) называют законом дефекта ско-рост». Если f2 не зависит от числа Рейнольдса, то в этой области существует полное подобие.

Между этими двумя областями могут существовать промежуточные или пересекающиеся области, где расстояние от стенки является большим по сравнению с внутренним масштабом V/и,, но малым - по сравнению с другим масштабом длины г.

В дальнейшем гипотеза об универсальности закона распределения осредненных скоростей стала подвергаться все большей критике. Появились высказывания в пользу того факта, что нельзя представить себе условную границу между зонами, в которых влияние на движение стенки и вязкость оказывают, и в которой такое влияние отсутствует полностью. Появилось представление о взаимоперекрывающихся зонах, понятие о неполном подобии, о влиянии числа Рейнольдса в некоторых специфических районах эпюры скоростей.

Первым, кто исследовал эту проблему, был Г. И. Баренблатт [4]. Выполненный им анализ в предположении о неполной автомодельности течения по локальному числу Рейнольдса Rе*г =при отсутствии автомо-

дельности по глобальному числу Рейнольдса Rе,L =—^, привел его к вы, V

ражению для распределения осредненных скоростей в виде степенного закона:

где X - показатель степени, зависящий от глобального числа Рейнольдса;

L - характерный поперечный размер потока (диаметр трубы d или глубина потока Н, например).

В качестве подтверждения справедливости этого результата

V

иХ

Г. И. Баренблатт привлекает известные опытные данные И. Никурадзе, который получил хорошее соответствие в широком диапазоне чисел Рейнольдса

Re=— опытных данных со степенным законом (рисунок 2) V

Г ~ V и

, где

V и т у

п является функцией числа Re а и изменяется в диапазоне от 6 до 10 при Reа < 3,2106.

а ?

Известно, что степенные формулы описывают распределение осред-ненных скоростей ничуть не хуже, чем логарифмические [10]. Эти обстоятельства дали возможность Г. И. Баренблатту заключить, что теория неполной автомодельности является в такой же степени теоретическим обоснованием степенных формул, в какой для логарифмических - теория полной автомодельности.

В более поздних работах Г. И. Барентблатт и др. пришли к выводу, что при очень больших числах Рейнольдса степенной закон переходит в логарифмический.

и

Рисунок 2 - Графики зависимости —=f

с \ г

и

4 Г , V о у

по И. Никурадзе

При рассмотрении течения вблизи стенки Г. И. Баренблатт [4] вообще исключает область, в пределах которой вязкие и турбулентные касательные напряжения соизмеримы.

Еще раз напомним, что как логарифмический, так и степенные зако-

ны распределения осредненных скоростей не удовлетворяют граничным условиям ни на стенке, ни у оси потока и не могут описывать характер распределения скоростей вблизи стенки.

Г. И. Баренблатт [4] и другие, развивая теорию неполного динамического подобия, предложили ввести в формулу для распределения осредненных скоростей множитель C (Re) и экспоненту ( z+ )1 (Re), которые в виде асимптотического разложения по малой величине s представляются в виде:

где £=1/lnRe;

C. и у. - эмпирические константы.

В одной из работ Г. И. Баренблатт используется концепция неполного подобия для зон турбулентных течений, включающих вязкий подслой и внешнюю часть потока [17]. С использованием анализа размерностей градиент осредненных скоростей был представлен в следующем виде:

Это соотношение предполагается существующим при больших значениях ц в случае больших чисел Рейнольдса. При этом, если ц ^ да и Яе ^ да, то ф (ц ,Яе) ^ 1/k. То есть при очень больших значениях ц и Яе пределом введенной безразмерной функции является 1/ k, что соответствует гипотезе Кармана о полном подобии.

Из предположения о неполном подобии следует, что конечный предел функции ф не существует, а она может быть представлена в виде [4]:

В конечном счете зависимость для ф представляется в виде закона с масштабом, зависящим от числа Яе [10]:

C (Re)=C1/£+C2 + C3£ + C4£2 +...; y(Re) = Y1£ + Y2£2 + Y3£3 +...,

Ф=C (Re)nd (Re).

и

ф=—=

и*

где С0, С1 и С - универсальные константы.

С использованием данных Никурадзе для труб было определено:

С = 1,5; С0 = -^; С = 2,5; Re = Red.

При этих значениях формула (22) принимает вид:

' 1

Ф=

л/3

lnReJ + 2,5

Л1,5 <1

или

л/3 + 5а

Ф

Ла.

2а

\ /

По Г. И. Баренблатту [17] показательный закон имеет место для подавляющей части профиля скорости:

40 2

40 < 2+ < 0,85 г0+ или — < - < 0,85.

Г+ Г

Используя данные И. Никурадзе, Г. И. Баренблатт и В. М. Просто-китттин [18] нашли, что величины С1, С2 и у1 равны 0,577; 2,50 и 1,5 соответственно при пренебрежении всеми остальными. В этом случае показательный закон записывается следующим образом:

и + =

На рисунке 3 М. В. Загарола и другие представили сопоставление расчетов по формуле (26) с их экспериментальными данными. По мнению указанных авторов, согласование этих результатов достаточно плохое, особенно при больших числах Re. Ими же делается предположение, что это может быть обусловлено недостаточно большим диапазоном чисел Re в опытах И. Никурадзе (Яетах = 3,2-106).

Из зависимости (26) легко усмотреть влияние чисел Re на величину

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 2(10), 2013 г., [130-156] и+, что как бы подтверждает выводы Г. И. Баренблатта.

Рисунок 3 - Сравнение расчетных и опытных значений осредненных скоростей

Однако, использование более полных, а главное, более точных опытов позволили М. В. Загароле [19] не согласиться с этим выводом при признании существования перекрывающихся зон. М. В. Загарола и другие полагают, что результаты, выполненные в Принстонском университете на установке «Большая труба» в широком диапазоне чисел Рейнольдса (на порядок перекрывающем диапазон опытов И. Никурадзе) от 31103 до 35-106 экспериментов, тщательная подготовка к ним и обработка опытных данных, свидетельствуют о том, что при существенно больших числах Рейнольдса профили осредненных скоростей больше соответствуют логарифмическому закону их распределения, чем показательному. Это наводит авторов на мысль, что теория полного подобия предпочтительнее теории неполного подобия. По мнению авторов, результаты их опытов опровергают теории, с недавних пор развиваемые Г. И. Беренблаттом и другими1.

1 Известно, что уже в 1982 г. Г. И. Баренблатт опубликовал обобщение своих воззрений

[4].

Рассмотрим ту же проблему о масштабировании эпюр осредненных скоростей применительно к введенной нами модели строения продольнооднородного турбулентного потока, согласно которой он делится на две части, внутреннюю, называемую пристенным слоем, и внешнюю - турбулентное ядро.

Пристенный слой имеет толщину 5ст = а —, где а - параметр, зави-

ст и*

сящий в общем случае от числа Рейнольдса Reь и относительной шероховатости А / Ь:

а=а^е Ь ;А / Ь),

где Ь = d или Н (для круглой трубы или плоского потока).

В случае гладких стенок а=а^е Ь), а при шероховатых стенках а=а(А/Ь).

Пристенный слой при гладких стенках делится на три зоны:

—

- примыкающий к гладкой стенке слой, толщиной о(-) = с—, в преде-

и*

лах которого коэффициент турбулентной вязкости отрицателен, то есть

— < 0'

у Т 5

- среднюю часть пристенного слоя, ограниченного расстоянием меж——

ду с— и в— от стенки, в пределах которого —т увеличивается от нулевого и* и*

значения по зависимости —Т (г), обращенной выпуклостью вниз;

- внешнюю часть пристенного слоя, ограниченную расстоянием ме-

— —

жду в— и а— от стенки, в пределах которого —Т продолжает увеличи-и* и*

ваться по зависимости — Т (г), обращенной выпуклостью вверх.

Значения с и в также определяются параметрами ReЬ и А, то есть

с = с № ь ;А) и в = в (Re ь ;А )•

Принято, что соотношение с : в : а = 1,5 : 30 : 70.

Принятие нового строения трехслойной модели пограничного слоя допустимо рассматривать в качестве развития представлений Т. Кармана.

В частности, в предлагаемой модели слой жидкости толщиной 5— с лии*

нейным распределением осредненных скоростей заменен слоем жидкости

с переменной толщиной с—, в котором существует отрицательная турбу-

и*

лентная вязкость. Следующий слой, ограниченный по Т. Карману расстоянием от стенки в 30—, заменен слоем с границей, отстоящей от стенки

и*

на в —. Г раница всего пограничного слоя, часто определяемая его толщи-

и*

V V (_ ЛЛ

ной в 70—, заменена на a—, при a=a u„ ы„

Re,;-

v

l,L

В отличие от модели Т. Кармана и других в данной модели толщины слоев пограничного слоя не являются фиксированными с помощью постоянных коэффициентов 5, 30, 70, а являются переменными, зависящими в общем случае от числа Рейнольдса и относительной шероховатости, и определяемыми переменными параметрами с, в, a, которые подлежат отысканию.

Пристенный слой заполняет всю область, занятую турбулентным потоком в предельном случае, когда параметр a равен максимальному значению:

L-u*

a =------,

max “ V /

v

L -u*

где------= К - число Кармана.

v

Можно записать, что:

L-u V V

*--=Re L/—=K

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 2(10), 2013 г., [130-156] и получить отсюда соотношение:

V

a = K=Re L /—.

max L

Что касается турбулентного ядра, то оно делится на две части: нижнюю с логарифмическим и верхнюю с параболическим распределением осредненных скоростей.

Это означает, что для нижней части коэффициент турбулентной вязкости принят в интервале 5ст <z< A-L изменяющимся по линейному закону vT = k - z -u*, а для верхней - постоянной величиной, то есть при L > z^ A - L принято, что:

v T = k - A-L-u* = const.

Описание предлагаемой модели приведено выше. Для удобства выпишем полученные универсальные формулы для распределения осреднен-ных скоростей. Они имеют вид:

- для 0 < z < 5cm - — задается в табличной форме;

cm —*

- для гладких стенок:

при 5 <z<A-L :

г ст

U U ст ^ —

—=--------------+2,5

u* u*

ln

z z-8

5

L

при A - L < z < L

u u ст ^ —

—=------------+2,5

AL

v 5~

ст

A 8 1 2,5 z (1 z 1 , A 1

A + ст 1-0,5- - A+—

L J A _ L V L J 2 _

- для шероховатых стенок: при A < z < A - L:

u = 8,5 + 2,5

u*

ln

AL . A

--A + —

AL

1 2,5 z (1 с z 1 л A2"

+ ’ 1-0,5- - A+—

J A _ L V L J 2 _

“ А 2 2-ДЛ

—=8,5+2,5

и

1п—

Д L

х у

где §ст = я—; и*

Д - высота эквивалентной шероховатости.

Для предлагаемых формул, определяющих значения осредненных скоростей, был выполнен численный эксперимент с целью выявления их универсальности по участкам: пристенный слой 0 < 2 < 5ст, внутренняя часть турбулентного ядра 5ст <2 < А • L и внешняя часть турбулентного ядра А • L < 2 < L. С этой целью были вычислены в соответствии с изложенной методикой параметры для продольно-однородных плоских турбулентных потоков в плоских каналах при широком диапазоне чисел Рейнольдса Reн = (от 3000 до 106) при относительных шероховатостях Д / Н = 10-2-10-6.

После получения всех параметров, входящих в формулу для распределения осредненных скоростей, были рассчитаны по приведенным выше

" ЛЛ

V Н у

не приводятся из-за громоздкости.

Затем была произведена выборка значений осредненных скоростей сначала по зонам пристенного слоя 0 < 2 < 5(-); 5(-) < 2 < 5 в; 5 в < 2 <

5 а = 5ст, которые для каждой из них были нанесены на график в координатах соответственно (рисунки 4 а, б, в):

+ + + о + +

л и 2 , 2 . ив —и 2 — 2 иа —и Ост — 2

1-=- и 1----(или 1----); =—=-и—-; =—^и —-------------;

\ + + + ? ~ + + ?

ис 2 2 ив — ис 2 — 2 иа —ив О_ — 2

формулам их значения —=— Reн ;— . Здесь соответствующие таблицы

и* и* V Н

вс“™ ст в

1 А . -1п^— А+2

и А и 2 и тах и

и_А------------------; ~ _~ и

и А и а 1п А + а и тах и А

а

1 — 2

V1 — 2а у

0.6

0.4

03

ІгМг и -  *

с Н

у + Д !И= 0,0 х Д !Н= 0,0000001 * Д !Н= 0,000001 • Д !Н= 0,00001 + Д ІИ- 0,0001 - Д!Н= 0,001 - Д >Н= 0,01

Н *  1

♦

♦

1 -

0..(

0.4

а)

0:8

ОН

0.4

03

иг-и

ие-ш

+ А-ҐН = 0:0 х Д/Н= 0.0000001

* Д/Н=0;000001

* Д/Н = 0,00001 | Д/Н = 0,0001

- Д/Н = 0,001

- ДЖ = 0;01

03

0.4

р

б)

иа~и * *

І:-Ел

-

$ ДШ=:0,0 X Д/^У— 0,0000001 * ІІ.ІН— 0,000001 * ІЛ.ІН— 0,00001 + ІЛ.ІН— 0,0001 - Д ІН — 0,001 — ДШ^О.ОІ Iі і

і і

£

2+-2+ £ С

г+-г+

а. е

в)

а - для зоны 0 < г < 8(_); б - для зоны гс < г < гв; в - для зоны гв < г < 5ст

Рисунок 4 - Совмещенные эпюры распределения осредненных скоростей при диапазоне изменения чисел Reя = 3000^ 106 и относительных шероховатостей А /Н в интервале значений

Д/И = 10“2-™-6

Анализ полученных графических зависимостей позволил сделать вывод о том, что все опытные точки объединяются одной кривой. Это оз-

u

z-и,

начает, что для пристенной области существует связь — с 2 или 2+ =

и* V

то есть здесь существует масштаб скорости в виде и* и масштаб длины —

и*

(то, что называется внутренним масштабом).

Перейдем к внутренней зоне турбулентного ядра. Определим разность скоростей в точках с 2 > 8ст (при 8ст > А) и 2Л = AL, то есть его внешней границе. Получим:

U U cm ^ —

—=---------+2,5

\ AL л 5 Л ln------------A+

U* и*

v 5

\ ст

L

U U cm ^ —

—=----------+2,5

и* и*

, z z-5 ln----

Тогда получим:

Ua — U

И

=2,5

v 5 L

ст

і AL z

ln--A+—

zL

, UA — U

Нанесем опытные точки на график в координатах =----------------------=— и

UA — Ua

і AL z A -

ln-A H— ln-A+z

zL

z

ln——А +5cm ln—-А+5c 5„ L 8

5

в пределах от —^ до A (рисунок 5).

L

Поскольку все точки ложатся на одну кривую, то отсюда следует вывод о существовании масштаба скорости U* и линейного масштаба z/L.

Повторим тот же прием для случая шероховатых стенок, когда z > А:

UA=8.5+2,5

U„

ґ

AL ln—

v А

, А' —A+— L у

—=8.5+2,5

—

г

ln—

z z—А

V

А L

0,8

С.6

0,4

0,2

и А - и. U А~ Ua “

Li-АН +

* + Д/Н = 0,0 X Д/Н = 0.00С0001 * д;н = о;ооиоо1 • Д/Н- 0,00001 + Д/Н= 0,0001 - ДЖ = 0,001 - ДУН = 0.01

/-

4 * л.

Ш - Ig(.Aiz")- A+z VglAiZa.)- АЛ-Zs. 1

si

О*

0.6

ов

Рисунок 5 - Совмещенный график зависимости —А - и

AL z

ln-А н—

zL

U А — —

ln

AL

для всех значений Reя и Л/Н

В этом случае дефицит скорости также равен:

UА — U

—

=2,5

ln

AL . z

--А+—

zL

Результат совпадает с предыдущим, что логично, так как при А = 8 пристенный слой исчезает полностью.

ст г

Рассмотрим, наконец, внешнюю часть турбулентного ядра. Запишем выражения для и max и и при А ^ L < z < L:

Umax = —А + !,25(1 - А)2

—

—

U

U*

и а 2,5

—

А

А

r zЛ 1 — 0,5 -

V

L

Ах

2

8

Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 2(10), 2013 г., [130-156] Тогда дефицит скорости составит:

u m

u 2,5

u

A

0,5

z

L

1-0,5 -

2,5

A

0,5 - -

L

1-0,5-L

'V

1,25

L

, A2

+A--------

2

A

V

1--

L

1,25

'~A~

(1--+ )2.

Построим график в координатах =

U max U

Ґ, + \2

и

U max U A

1 - z

V1 - ^ A J

(рисунок 6).

Рисунок 6 - Совмещенные эпюры распределения осредненных скоростей во внешней зоне турбулентного ядра для данных в диапазоне изменения ReH = 3000^ 106 и относительной шероховатости

ын = м2-™-6

Зависимости кусочно универсальны как во внутренних, так и во внешних переменных в рассмотренных зонах турбулентного потока.

Полученный график наглядно демонстрирует наличие масштаба для осредненной скорости в виде и max U А и линейного масштаба L.

Итак, как же ответить на вопрос, влияет ли число Рейнольдса на масштабирование скорости и длины в проанализированном введении трех основных зон турбулентного продольно-однородного потока?

Можно отметить, что непосредственного (прямого) влияния числа

2

ReL и А /L на профиль осредненной скорости в каждой из введенных зон

не наблюдается. Однако, поскольку параметры а и А зависят как от числа Рейнольдса, так и относительной шероховатости, то приходится констатировать, что на размеры (толщины) упоминаемых зон оказывают влияние оба фактора.

Это означает, во-первых, что значения а и А влияют на расстояния от стенки, в пределах которых осредненные скорости подчиняются той или иной универсальной закономерности. Такое подобие турбулентных потоков логично назвать кусочно автомодельным.

Во-вторых, при сравнительно малых числах Рейнольдса, когда 8ст = А L, второй зоны не существует вообще. Если А = 1, то весь продольно-однородный поток представляется лишь пристенным слоем с 8ст = L.

По мере увеличения числа ReL параметр А уменьшается.

Дальнейшее увеличение числа Рейнольдса приводит к уменьшению толщины пристенного слоя 8ст пока она остается большей высоты выступов шероховатости 8ст > А. При условии равенства указанных значений зона сопротивлений становится квадратичной , а пристенный слой разрушается.

Выводы.

1 Анализ результатов численного эксперимента, выполненного в широком диапазоне значений числа Рейнольдса и относительной эквивалентной шероховатости показал, что в пределах различных зон пятислойной модели продольно-однородного турбулентного потока имеет место автомодельность в распределении осредненных скоростей. Этот вывод распространяется как на продольно-однородные потоки так и на погранслой-ные течения при нулевом градиенте давления.

2 Толщины указанных зон вопреки общепринятому мнению, напротив, оказываются зависимыми как от глобального числа Рейнольдса, так и от относительной шероховатости.

3 Представленную модель продольно-однородного потока предлагается назвать кусочно автомодельной.

Список использованных источников

1 Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. -М.: Наука, 1970. - 904 с.

2 Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. - М.: Наука, 1974. - 712 с.

3 Хинце, И. О. Турбулентность, ее механизм и теория / И. О. Хин-це. - М.: Физматгиз, 1963. - 612 с.

4 Баренблатт, Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика / Г. И. Баренблатт. - Л.: Гидрометеоиздат, 1982. - С. 256-612.

5 Osterlund, J [Электронный ресурс]. - Stockholm, 1999. -Режим доступа: http:www.mech.kth.se/~jens/zpg/.

6 Zagarola, M. V. Mean-flow sca1ing of turbu1ent pipe flow / M. V. Zagaro1a // Journal of F1uid Mechanics. - 1998. - Vol. 373. - Р. 33-79.

7 Nezu, I. Open channel flow measurements with a laser Doppler anemometer / I. Nezu, W. Rodi // Journal Hydr. Engrg. ASCE. - 1986. - № 112(5). -P. 335-355.

8 Роди, В. Модели турбулентности окружающей среды / В. Роди // Методы расчета турбулентных течений. - М.: Мир, 1984. - С. 227-322.

9 Lorentz, H. A. Uber die Enstehung turbulenter Flussigkeitsbewegungen und uber den Einflyss dieser Bewegungen bei der Stromung duren Rohren / H. A. Lorentz // Abh. Theor. Phys. - 1907. - Lgz. Bd 1. - P. 43-71.

10 Bazin, Х. Experiences nouvelles sur la distribution des des vitesses dans les tuyaux / Х. Bazin // Memoires d’Acad. des Sciences de l’Inst. de France. - 1902. - № 6.

11 Darcy H. Recherches expérimentales relatives aux movement de l’eau dans les tuyaux des conduits / H. Darcy. - Paris, 1858.

12 Karman, Т. Y. Mechanical similarity and turbulence (in German) /

Т. Y. Karman // Nachrichten von der Gesellschaften der Wissenschaften zu Giit-tingen. Mathematisch Physikalische Kiasse. - 1930. - Р. 56-76.

13 Prandtl, L. Nenere Ergebnisse der Turbulenzforschung / L. Prandtl // V. D. I. - 1933. - № 5. - P. 107-110.

14 Ландау, Л. Д. Механика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М.: Гостехтеориздат, 1953. - 736 с.

15 Tollmien, W. Ein allgemeines Kriterium der Instabilitat laminarer Geschwindigkeitsverteilung / W. Tollmien // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. Math. Phys. Klasse. Fachgruppe I. 1. - 1935. - P. 79-114.

16 Nikuradse, J. Strdmungsgeseize in rauhen Rohren / J. Nikuradse // Forsch. Geb. Ing.-Wes. Heft 361. - Berlin, 1933.

17 Barenblatt, G. I. Self-Similar Intermediate Structures in Turbulent Boundary Layers at Large Reynolds Numbers / G. I. Barenblatt, A. J. Chorin, V. M. Prostokishin // Journal Fluid Mech. - 2000. - № 410. - P. 263-283.

18 Barenblatt, G. I. Scailing laws in fully daveloped schear flows. Part 2. Processing of experimental data / G. I. Barenblatt, V. M. Prostokishin // Journal Fluid Mech. - 1993. - № 248. - P. 521-529.

19 Zagarola, M. V. A new mean velocity scaling for turbulent boundaru layers / M. V. Zagarola, A. J. Smits // Prouedings of FEDSM’98 DC. A. SME. FEDSM. -1998. - 4950.

Высоцкий Лев Ильич - доктор технических наук, профессор, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А.» (ФГБОУ ВПО «СГТУ им. Гагарина Ю. А.»), профессор, заслуженный деятель науки и техники РСФСР.

Контактный телефон: 8-845-228-89-38.

E-mail: vysotli@yandex.ru

Vysotskiy Lev Ilich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Federal State Budget Educational Establishment of Higher Professional Education “Saratov State Technical University of Gagarin” (FSBEE HPE “SSTU Gagarin”), Professor, Honored Scientist of the RSFSR.

Contact telephone number: 8-845-228-89-38.

E-mail: vysotli@yandex.ru