Оценка эффективности пространственно-временного кодирования в райсовском канале

Список литературы

1. Пермяков В. А., Корюкин А. Н. О прямом пространственно-временном описании плоских электромагнитных импульсных волн произвольной поляризации // Вестн. МЭИ. 2008. № 2. С. 68-73.

2. Козлов Н. И., Логвин А. И., Сарычев В. А. Поляризация радиоволн. Поляризационная структура радиолокационных сигналов. М.: Радиотехника, 2005. 704 с.

3. Татаринов В. Н. Введение в современную теорию поляризации радиолокационных сигналов. Т. 1: Поляризация плоских электромагнитных волн и ее преобразования. Томск: Изд-во Томского университета, 2006. 379 с.

4. Вайнштейн Л. А., Вакман Д. Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. М.: Наука, 1983. 288 с.

O. S. Mironov

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Method for definition of pulse signals polarization parameters

A method for calculating ofphase polarization parameters ofpulse signals, depending on the time, through the definition of the envelope and phase of the pulse signal is considered. The graphical and analytical examples are considered.

Polarization, Hilbert transform, pulse signals

Статья поступила в редакцию 15 февраля 2010 г.

УДК 621.391.82.016.35

В. П. Ипатов, А. Б. Смирнова

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

Оценка эффективности пространственно-временного кодирования в райсовском канале*

Для модели райсовских замираний с произвольным соотношением незамирающего и диффузного компонентов получены оценки выигрыша от пространственного разнесения, реализуемые с применением ряда пространственно-временных кодовых конструкций. Показано, что разнесение на передаче остается эффективным даже при подавляющем преобладании прямого компонента над замирающим.

Райсовский канал, пространственное разнесение, выигрыш от разнесения, MIMO, пространственно-временное кодирование

В системах наземной связи сигнал передатчика может доходить до приемной антенны по нескольким путям. Это явление, называемое многолучевым распространением, служит причиной флуктуаций амплитуды, фазы и угла прибытия суммарного сигнала, вызывая многолучевые замирания (многолучевой фединг) [1]. Статистика огибающей таких замираний во многих случаях приемлемо аппроксимируется законом Рэлея-Райса:

W (A)=Í2 (K +1) A exp [-(K +1) A2 - K ] I0 [2^ K (K +1) A] , A > 0;

I 0, A < 0,

* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (Государственный контракт № П480 от 04.08.2009). 14

где A - амплитуда результирующего принятого сигнала; K - параметр канала, определяемый как отношение мощностей сигнала прямой видимости и суммарного сигнала остальных путей распространения (замирающего или диффузного компонента); Iq (•) - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Основным инструментом борьбы с деструктивными последствиями многолучевого распространения служит разнесение. Этот метод подразумевает разбиение канала передачи на несколько независимых субканалов - ветвей. Каждая из них по-прежнему подвержена замираниям, однако вероятность неблагоприятного состояния канала в целом - как произведение соответствующих вероятностей для отдельных ветвей - окажется существенно меньшей, чем в системе без разнесения.

Одним из наиболее действенных вариантов разнесения является пространственное (антенное): использование антенных решеток из элементов, разделенных промежутком в несколько длин волн, достаточным для обеспечения независимости их многолучевых профилей.

Обратимся вначале к системе типа MISO (multiple input - single output, т. е. множественный вход - один выход) [2], обеспечивающей разнесение только на передаче. В такой системе имеется единственная приемная и передающих антенн, следовательно, параллельных субканалов "передача-прием" с коэффициентами затухания Ну, H2, ..., Hn .

С точки зрения утилизации ресурса наиболее ценны методы разнесения, предусматривающие одновременную передачу потоков сигнальных символов разными антеннами. При такой параллельной передаче возникает необходимость разделять сигналы, интерферирующие между собой в приемной антенне, с целью их адекватного комбинирования, обеспечивающего выигрыш от разнесения. Поиск методов параллельной передачи, реализующих преимущества разнесения с приемлемой спектральной эффективностью, и составляет проблематику пространственно-временного кодирования (space-time coding) [1]. Идеология MIMO (multiple input - multiple output, т. е. множественный вход - множественный выход), предусматривающая наряду с передающими применение и параллельных приемных антенн. Она позволяет добиться дополнительного энергетического выигрыша за счет как наличия пространственно разнесенных приемных ветвей, так и увеличения результирующего усиления приемной антенны [1]-[3].

В доступных публикациях по пространственно-временному кодированию внимание чаще всего концентрируется на сценарии рэлеевских замираний, для которых относительный уровень прямого компонента K в (1) равен нулю [3]-[6]. Однако для беспроводных соединений внутри помещений более характерно наличие прямого сигнала, заметно превышающего замирающий компонент. В подобных условиях действенность разнесения может быть поставлена под сомнение из-за незначительной доли флюктуирующей составляющей в полной энергии принимаемого сигнала. В связи с этим далее дается теоретическая оценка эффективности разнесения при райсовских замираниях, подкрепленная результатами моделирования с использованием конкретных пространственно-временных кодовых структур.

Аналитическая оценка выигрыша от разнесения в райсовском канале. В качестве модели возьмем систему, в которой бинарный ФМ-сигнал передается по L парал-

лельным независимо замирающим ветвям. При комбинировании по максимуму отношения "сигнал/шум" вероятность ошибки на бит для фиксированных значений амплитуд принятых сигналов А/, г = 1, 2, ..., L, в пространственно разнесенных ветвях составляет

Р

1 ( \

где Л = {А1, А2, ..., А^ - вектор амплитуд принятых сигналов; 0(х) = __| ехр (-12/2)dt -

л/2^

дополнительная функция ошибок;

q( Л ) = qo

I А/

г=1

причем qo - отношение "сигнал/шум" в отдельно взятой ветви, соответствующее единичной амплитуде А/ = 1.

В силу независимости сигналов в пространственно-разнесенных ветвях совместная плотность вероятности компонент вектора амплитуд последних факторизуется в произведение одномерных плотностей:

W (Л ) = П W (Аг).

г=1

Усреднив (2) по случайным амплитудам в ветвях с учетом (3) и (4), имеем

(

Ре = 1 ..I 0

0 0

qo

л

I А2

П V (А) щ.

/ =1 J / =1

Воспользуемся в этом выражении популярной оценкой функции 0 (•) сверху [2]:

- х2/21

0 ( х )<(1/2 ) ехр (-х2Д ).

Идентичность статистик замираний в индивидуальных ветвях позволяет положить V(Аг ) = V(А), Аг = А, г = 1, 2, ..., L, так что

11 г

Ре <1

е 2

| ехр (- A2qo /2)w(А)йА

1П ехр[-A2q2|(2L)]V(А)ёл\ ,

2

2 2

где q = Lqo - отношение "сигнал/шум" по мощности, соответствующее единичной амплитуде в отсутствие разнесения (т. е. когда вся доступная мощность сигнала концентрируется в единственной ветви).

Основным шагом в нахождении оценки (6) является вычисление интеграла

J (q)= { ехр [-Л2q2/(2L)] V (А) А.

0

При любой модели замираний средний квадрат амплитуды целесообразно положить равным единице

(А2 = 1), придав тем самым параметру qo смысл среднего отношения

00 00

"сигнал/шум" по мощности в отдельной ветви разнесения. Подставив плотность вероятности Рэлея-Райса (1) в (7), после ряда преобразований получим

.] ( д ) =

и согласно

р * 1

е 2

2 (К +1) L 2 (К +1) L + д2

_ т

2 (К +1) L

ехр

Кд2

2 (К +1) L + д

2 (К +1) L + д2

ехр

КЬд2

2 (К +1) Ь + д2

Рассмотрим некоторые предельные сценарии. Прежде всего обратимся к каналу без замираний, для которого следует принять К ^ да. При этом выигрыш от разнесения в принципе невозможен и ничего лучшего, чем сосредоточение всей доступной мощности сигнала в единственной ветви, предложить нельзя. Соответствующую этому случаю вероятность битовой ошибки Реда можно согласно (5) оценить сверху как

Реда = б

С другой стороны, при Ь ^ да и лю-

бом значении К (7) преобразуется к виду

Ре <(1/2) ехр (-д2Д), полностью совпадающему с (9). Таким образом, сколь бы глубокими ни были замирания, неограниченное наращивание числа ветвей разнесения всегда позволит скомпенсировать энергетические потери из-за флюктуаций интенсивности сигнала.

Другой показательный предельный результат следует из (8) для случая К = 0, т. е. для рэлеевского канала:

Ре <(1/2)[1 + д21(2Ь)]-Ь , что следует и непосредственно из (6) при подстановке туда в качестве W (А) плотности вероятности закона Рэлея.

Таблица 1 иллюстрирует энергетиче-2

ский выигрыш Ад за счет увеличения числа ветвей разнесения с Ь = 1 (одноканальная система) до Ь = 2, 4, 8, да. Выигрыш определен как разность отношений "сигнал/шум" систем без разнесения (Ь = 1) и с пространственным разнесением (Ь > 1) при фиксированных значениях вероятности ошибки Ре (8).

Таблица 1

К Ре Ь

2 4 8 да

2 Ад , дБ

0 10-4 15.5 22.3 25.1 27.7

10-6 25.5 36.9 41.8 45.8

К Ре Ь

2 4 8 да

Ад2, дБ

1 10-4 15.4 21.8 24.3 26.3

10-6 25.5 36.8 41.3 44.5

К Ре Ь

2 4 8 да

Ад2, дБ

5 10-4 10.1 12.6 13.4 14.2

10-6 23.4 29 30.6 31.8

К Ре Ь

2 4 8 да

Ад2, дБ

10 10-4 3.3 4.4 4.9 5.3

10-6 10.5 12.6 13.3 14

К Ре Ь

2 4 8 да

2 Ад , дБ

50 10-4 0.4 0.6 0.7 0.8

10-6 0.7 1 1.2 1.3

При относительно небольших соотношениях интенсивностей незамирающего и замирающего компонентов выигрыши от разнесения мало отличаются от выигрышей для

рэлеевского канала. Так, для рэлеевских замираний при вероятности ошибки Ре = 10 6 две

ветви разнесения обеспечивают энергетический выигрыш 25.5 дБ. Увеличение К до пяти снижает эту цифру лишь примерно на 2 дБ. Эффективность разнесения остается неожиданно высокой даже тогда, когда незамирающий компонент, казалось бы, полностью доминирует над замирающим. Даже при К = 10 и прежней вероятности ошибки на бит две ветви разнесения обеспечивают выигрыш порядка 10.5 дБ. Физической причиной этого является сохранение ощутимой вероятности глубоких провалов интенсивности райсовской амплитуды вплоть до больших значений К. Тем самым даже в каналах, где прямой сигнал многократно превышает многолучевой (например, в линиях связи внутри помещений), использование разнесения, в частности пространственно-временного кодирования, может быть признано практически целесообразным. И только когда параметр К измеряется многими десятками, разнесение в райсовском канале утрачивает реальный смысл (см. табл. 1).

Пространственно-временнЫе кодовые конструкции. Пространственно-временное кодирование служит инструментом, с помощью которого разнесение на передаче удается совместить с эффективной утилизацией спектрального ресурса. Слово пространственно-временного кода удобно представить матрицей с размерами п1г х п, где п - длина кода, т. е. число символов, передаваемых каждой из антенн в пределах одного слова. Например, при п^ = 2 популярный пространственно-временной код Аламути имеет длину п = 2 и задается следующим образом [1], [3], [4]:

Х2 =

х1 - х2

*

[ х2 х1

где х/, г = 1, 2, - символы используемого модуляционного алфавита. Так, для бинарной ФМ X/ = ±1, для квадратурной ФМ х/ е (±1, ± j}, и т. д.

Если в рамках избранного модуляционного формата одним символом передается т бит информации, блок из k символов содержит кт информационных бит, преобразуемых пространственно-временным кодером в последовательностей по п модуляционных символов,

параллельно передаваемых антеннами. Закон построения этих сигнальных последовательностей должен выбираться так, чтобы обеспечить их разделимость на приемной стороне.

Спектральная эффективность пространственно-временного кода есть скорость передачи гь, приходящаяся на единицу используемой полосы В : ^ = г^/В = кт/п, где учтено,

что Гь = кт!(пТ5), В = 1/ ^ (^ - длительность модуляционного символа) [3]. Наиболее интересны пространственно-временные коды с максимальной спектральной эффективностью (^ = m), называемые полноскоростными [1].

С точки зрения экономии спектрального ресурса наиболее привлекательны сигнальные созвездия, соответствующие КФМ (QPSK), восьмеричной ФМ (PSK-8) и квадратурной АМ ^АМ), имеющие алфавит, представленный комплексными кодовыми символами. 18

Единственным полноскоростным пространственно-временным кодом комплексного алфавита является уже упомянутый код Аламути (10). Используя две предающие антенны, он не требует расширения полосы из-за кодирования и реализует максимально возможный для двух антенн выигрыш от разнесения Gd = п^ = 2. Пространственно-временные коды скорости К = к/п = 1/2 существуют для произвольных комплексных алфавитов. Для трех и четырех передающих антенн подобные коды описываются следующими матрицами [3], [5]:

"1 - "2 - "3 —"4 з "1 з - "2 з 3 4

Хз = "2 "1 "4 - "3 з "2 з "1 з "4 з -"3 5

_ "3 —"4 "1 "2 з "3 з —"4 з "i з "2 _

"i - "2 - "3 - "4 з "1 з - "2 з - "3 з - "4

X4 = "2 "1 "4 - "3 з "2 з з "1 з з "4 з з - "3 з .

"3 - "4 "1 "2 "3 - "4 "1 "2

"4 "3 - " 2 "1 з "4 з "3 з - "2 з "1 _

Скалярное произведение любых двух строк матриц (10)-(12) равно нулю при любых значениях входящих в них символов. Подобные матрицы называются ортогональными блок-схемами (orthogonal designs) [3], [5] и изучаются в соответствующих разделах комбинаторного анализа. Как можно видеть, оба последних кода передают четыре символа в течение восьми символьных интервалов, т. е. действительно имеют скорость R = 1/2 и, соответственно, спектральную эффективность ^ = т/ 2.

Интересны и пространственно-временные коды скорости R = 3/4, задаваемые для трех и четырех передающих антенн соответственно как

X3 =

"1 "2

"2

з

"1

X4 =

A/2

"3 A/2 0/2) (—"1 - x3 + "2 - A

) (1/2)( "i

- "i +.

"1 "2

"2

з

"1

- Xз7^/2

"з/Л - "зА/2

ъ/Я

С помощью прямой проверки можно убедиться, что эти два кода также основаны на ортогональных блок-схемах.

Помимо приведенных известны и другие привлекательные пространственно-временные кодовые конструкции, описание которых можно найти в [3], [5] и в других источниках. Максимально правдоподобное декодирование пространственно-временного кода в схеме MISO сводится к вычислению статистик, разделяющих ветви разнесения, и последующему их комбинированию по максимуму отношения "сигнал/шум" [1]. Если на приемной стороне используется несколько антенн (структура MIMO), итоговая статистика для

декодирования каждого из переданных символов формируется комбинированием МКО-статистик, выработанных по наблюдениям каждой из приемных антенн в отдельности.

Эффективность пространственно-временного кодирования. Для определения эффективности пространственно-временного кодирования методом Монте-Карло в среде МаШЬ построена модель со следующими исходными данными: количество передающих антенн = 2... 4; количество приемных антенн пг = 1...3; параметр среды К = 0, 0.5, 1, 3, 10; модуляционные созвездия - БФМ (BPSK), КФМ (QPSK), ФМ-8 ^К-8), КАМ-16 ^АМ-16). Результаты моделирования сгруппированы по показателю спектральной эффективности кода п = 1, 2, 3 бит/ (с • Гц).

На рис. 1 представлены графики экспериментальной зависимости вероятности ошибки на бит Ре от среднего отношения "сигнал/шум" для полноскоростного кода (10) в

комбинации с БФМ (кривая 1) и кодов половинной скорости (11), (12) в сочетании с КФМ (кривые 2 и 3 соответственно) при использовании одной приемной антенны и значении параметра среды К = 1, т. е. при равных мощностях незамирающего и замирающего компонентов принятого сигнала. Для сравнения здесь

же приведена зависимость для некодирован-ной системы с БФМ (кривая 4). В обоих случаях пространственно-временное кодирование характеризуется спектральной эффективностью 1 бит/ (с • Гц). Оценки энергетического выигрыша от применения пространственно-временных кодов для значений вероятности ошибки на бит 104 и 106 сведены в табл. 2. Данные машинного эксперимента вполне согласуются с приведенными выше аналитическими прогнозами (см. табл. 1).

С ростом значения параметра К эффективность кодирования падает, что объясняется уменьшением вклада замирающего компонента в отношение "сигнал/шум"

К = 1

^ = 1 бит/

Таблица 2

15 Рис. 1

К Ре П{г х пг

2x1 3x1 4x1

2 Лq , дБ

0 10"4 18.9 23.5 24.9

10"6 26.1 34.1 37.6

К Ре П{г х пг

2x1 3x1 4x1

Лq2, дБ

0.5 104 17.8 21.8 23.8

10"6 26.5 34.2 37.3

К Ре П{г х пг

2x1 3x1 4x1

Лq2, дБ

1 104 17.7 21.5 23.3

10"6 27.7 34.1 37.7

К Ре П{г х пг

2x1 3x1 4x1

2 Лq , дБ

3 10"4 16 18.5 19.5

10"6 26 33.4 35.5

К Ре П{г х пг

2x1 3x1 4x1

Лq2, дБ

10 104 6.2 6.5 6.8

10"6 12.5 13.5 13.9

- 5

5

15

25

?о> дБ

2

- 5

5

15

25

дБ

2

а

б

Рис. 2

после комбинирования. Разумеется, дробление суммарной мощности между несколькими передающими антеннами (как и любое разнесение) в отсутствие замираний (К > 50) никаких выгод дать не может. С возрастанием числа передающих антенн выигрыш пространственно-временного кодирования увеличивается, однако это увеличение замедляется с введением каждой дополнительной антенны.

На рис. 2, а представлены полученные на модели зависимости вероятности битовой ошибки от отношения "сигнал/шум" для показателя спектральной эффективности 2 бит/(с • Гц), реализуемого комбинациями "код Аламути - КФМ" (кривая 1) и "коды (11), (12) - КАМ-16" (кривые 2, 3 соответственно). Кривые 4, приведенные для сравнения, построены для некодированных систем с КФМ (рис. 2, а) и ФМ-8 (рис. 2, б). Из рисунка видно, что увеличение количества передающих антенн (с двух до трех-четырех) в области

_3

значений Ре > 10 снижает выигрыш от кодирования, что объясняется худшими дистанционными свойствами созвездия КАМ-16 по сравнению с КФМ. С повышением требований к достоверности выигрыш от разнесения начинает превалировать над потерями из-за сокращения расстояний в созвездии, и код (12) оказывается лучшим из трех рассмотренных. Аналогичное, хотя и не столь выраженное, поведение кривых наблюдается при прочих равных условиях для кодирования со спектральной эффективностью 3 бит/(с • Гц) (рис. 2, б), реализуемой сочетанием кода Аламути с ФМ-8 (кривая 1) либо кодов (13), (14) с КАМ-16 (кривые 2, 3 соответственно).

В ходе модельных испытаний верифицировались и выгоды разнесения на приеме. Понятно, что при этом выигрыш за счет добавления ветвей разнесения дополняется увеличением общей принятой энергии полезного сигнала. За иллюстрацией можно обратиться к рис. 3, на котором даны экспериментальные кривые вероятности ошибки на бит для кодов (10)-(12) при модуляции, удерживающей спектральную эффективность на уровне 1 бит/(с • Гц), параметре К = 1 и использовании двух (рис. 3, а) и трех (рис. 3, б) приемных антенн, а также, для сравнения, зависимость для некодированной системы с БФМ (кривая 4). Как видно из рис. 1, при фиксированной вероятности Ре = 10 4 система с двумя передающими и одной приемной антеннами обеспечивает энергетический выигрыш в пределах 17.. .23 дБ. Применение двух приемных антенн доводит этот показатель до 26.. .28 дБ, а

а б

Рис. 3

трех - до 29...30 дБ. Таблица 3 представляет выигрыш в отношении "сигнал/шум" для различного числа приемных антенн при фиксированном количестве передающих антенн ntr = 2 и ^ = 1 бит/ (с • Гц). Следует, однако, учитывать, что применение множественных

приемных антенн на практике возможно далеко не всегда, примером чему служат пользовательские терминалы сетей мобильной связи, коммуникаторы персонального сервиса и др.

Как пример практического осуществления пространственно-временного кодирования можно упомянуть технологию стандарта WiMAX (IEEE 802.16), предусматривающую использование кода Аламути по схеме 2 х 2 [6]. В качестве приемного устройства может, например, служить модем-роутер Zyxel MAX-206M2 (с поддержкой системы множественных антенн). В стандарте также оговорена возможность увеличения числа передающих антенн на

базовых станциях до четырех. В этом варианте каждые первый и второй кодовые символы передаются одной парой антенн, а третий и четвертый - другой, причем в обеих подсистемах используются коды Аламути.

В результате проведенного исследования могут быть сделаны следующие выводы.

Выигрыш за счет пространственно-временного кодирования в райсовском канале снижается по мере снижения интенсивности диффузного компонента, что соответствует ожидаемым результатам. Тем не менее, разнесение остается достаточно эффективным даже при заметном доминировании незамирающего компонента (K = 10). Причиной этого является значительная вероятность глубоких провалов интенсивности райсовской амплитуды даже при весьма больших значениях K.

Отсутствие комплексных полноскоростных кодов при числе передающих антенн, 22

Таблица 3

ntr х nr

K Pe 2x1 2x2 2x3

2 Aq , дБ

0 ю-4 18.9 27.9 31.4

10-6 26.1 40.5 45.3

ntr х nr

K Pe 2x1 2x2 2x3

Aq2, дБ

0.5 10-4 17.8 26.8 30.2

10-6 26.5 40.8 45.3

ntr х nr

K Pe 2x1 2x2 2x3

Aq2, дБ

1 10-4 17.7 26.3 29.5

10-6 27.7 40.8 45.2

ntr х nr

K Pe 2x1 2x2 2x3

Aq2, дБ

3 10-4 16 22.5 25.7

10-6 26 38.8 43.3

большем двух, требует известной осмотрительности в попытках добиться энергетического выигрыша за счет наращивания числа передающих антенн. В стремлении удержаться в рамках постоянной спектральной эффективности при большем числе антенн приходится расширять алфавит модуляционного созвездия, жертвуя метрическими свойствами последнего. Как показало моделирование, в отдельных случаях последний эффект может перевесить выгоды от образования новых ветвей разнесения.

Увеличение числа приемных антенн, сопровождающееся безусловным энергетическим выигрышем, весьма привлекательно для реализации на базовых станциях мобильных сетей. В то же время применение его в мобильных терминалах, по крайней мере дециметрового диапазона, вряд ли возможно по соображениям удобства пользователя.

Список литературы

1. Ипатов В. П. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов: принципы и приложения. М.: Техносфера, 2007. 488 с.

2. Скляр Б. Цифровая связь. Технические основы и практическое применение / пер. с англ. 2-е изд.: М.: Вильямс, 2003. 1104 с.

3. Vucetic B., Yuan J. Space-time coding. Chichester: John Wiley & Sons Ltd., 2003. 352 p.

4. Alamouti S. M. A simple transmit diversity technique for wireless communications // IEEE J. select areas commun. 1998. Vol. 16, № 8. P. 1451-1458.

5. Tarokh V., Jafarkhani H., Calderbank A. R. Space-time block codes from orthogonal designs // IEEE Trans. inform. theory. 1999. Vol. IT-45, № 5. P. 1456-1467.

6. Andrews J. G., Ghosh A., Rias M. Fundamentals of WiMax: understanding broadband wireless networking. Upper saddle river, NJ, USA: Prentice Hall, 2007. 496 p.

V. P. Ipatov, A. B. Smirnova

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Assessment of space-time coding efficiency in the Rician channel

For the model of Rician fading with arbitrary ratio of the non-fading and scattered components the assessments of the diversity gain implemented by some space-time code structures are found. It is demonstrated that the transmit diversity keeps reasonable even with strongly dominating non-fading component over the scattered one.

Rician channel, diversity, diversity gain, MIMO, space-time coding

Статья поступила в редакцию 30 марта 2010 г.