Расчет бесконечно длинной составной балки, расположенной на упругом основании

4/2010 ВЕСТНИК _МГСУ

РАСЧЕТ БЕСКОНЕЧНО ДЛНННОН СОСТАВНОЙ БАЛКИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

ANALYSIS OF AN INFINITE COMPOSITE BEAM LOCATED ON

ELASTIC FOUNDATION

A.H. Леонтьев, И.Г. Леонтьева

A.N. Leontiev, I.G. Leontieva

ГОУ ВПО МГСУ

В настоящей статье рассмотрен алгоритм расчёта бесконечной составной балки, расположенной на винклеровском упругом основании и загруженной заданной вертикальной нагрузкой.

The algorithm of analysis of an infinite composite beam, located on Winkler elastic foundation and loaded with a given vertical load is considered in the distinctive paper.

Рассматривается балка, состоящая из двух горизонтальных брусьев, соединенных между собой вертикальными стойками и расположенная на упругом винклеровском основании (рис.1). Будем считать, что балка имеет горизонтальную ось симметрии и находится под действием заданной вертикальной нагрузки.

Для описания работы балки под нагрузкой воспользуемся теорией составных стержней А.Р.Ржаницына [1], с позиций которой рассматриваемая балка представляет собой двухветьевой составной стержень (рис.2,а). Поведение такого стержня описывается следующим дифференциальным уравнением:

T^T = 4.

EJ 0 W

Здесь T — сдвигающее усилие, передающееся на горизонтальные ветви от вертикальных стоек; M - изгибающий момент, возникающий от вертикальной нагрузки в основной системе, лишенной связей сдвига (рис.2,б); с - расстояние между центрами

тяжести ветвей; 2, - коэффициент жесткости на сдвиг; X2 — коэффициент, определяемый по формуле:

f о 2 Л

2 c ,

X2

EF EJ,

V и /

где F - площадь поперечного сечения каждой из ветвей; J0 - суммарный момент инерции сечения ветвей. В рассмотренном случае эти величины равны:

F = bhB , J0 = 2 bh3 = bh¿. B 0 12 6

Считая, что вертикальные стойки расположены регулярно (Bc = const), жестко связаны с горизонтальными брусьями и выполнены из того же материала, что и бру-

сья, для коэффициента жесткости на сдвиг 2, можно получить следующую формулу [1]:

24Е

Бс с2

Б,

\

2с

Л + ^,

Изгибающий момент вызывает искривление осей, составляющих основную систему стержней, по одинаковым кривым У0(х). В связи с тем, что рассматриваемая балка расположена на поверхности винклеровского упругого основания, эти кривые могут быть найдены из решения дифференциального уравнения:

.IV

к

Е7о

-Уп =

р Е1 о

где к = Ьк0, а к0 - коэффициент постели упругого основания.

Р(Х) ~ У.

¿г

О .«— х

у , Т*- Т^-Т--"- Бс

Рис. 1

Ь

И

с

И

ОМ

Р

1

У ' )у

Рис. 3

Рассмотрим бесконечную балку (рис.3), находящуюся под действием силы Р, приложенной в начале координат. Введем безразмерную переменную ^ = х / Ь0, где

Т0 = 0 ' И пРедставим Решение уравнения (4) для ^ > 0 в следующем виде (см.

[2]):

V о =

8EJf

(e л соб ^ + e л БШ .

Используя справедливое при малых прогибах соотношение

EJ о

для изгибающего момента, входящего в правую часть уравнения (1), можно получить выражение:

M0 =-

4

(е л соб e л б1п .

Общее решение дифференциального уравнения (1) для бесконечного составного стержня, загруженного сосредоточенной силой Р, может быть теперь получено в виде:

рт^ с

Т = С1е-ац -Ае^ соб ^ + Ве^ :

4EJ о

где

А =

2 + а2

В =

2-а2

а =

4+а4 4+а4

а С1 - постоянная интегрирования, подлежащая определению из граничного условия: при ^ = 0 Т' = 0.

Раскрывая это условие, получим:

2а

С =--

%

РТ0 с

4 + а 4 4EJ 0

после чего выражение (8) примет окончательную форму:

Т = £

РТ0с 4EJ 0

(Ае л соб ^ + Ве л Бт

2а

47а4

).

Заметив, что полный изгибающий момент в составной балке определяется выражением М = М - Тс и подставив сюда формулы (7) и (10), найдем:

М =

ГГс

4

2 2 Л

1

2

Т0 с EJ 0

А

е л соб

1 + ^

2 2 ^ ~ т2 2

е 81п л+-^¡5 — е^

4 + а 4 EJ 0

2

т 0с EJ0

В

.

Используя зависимость, аналогичную (6), и дважды интегрируя выражение (11), для функции прогибов составной балки получим формулу:

V =

РТ0

8EJ0

2 2 Л

1

2

т0с EJ 0

А

(

е 1 бш л +

2 2 Л

1 + ^

2

EJ 0

В

е л соб л -

4

а(4 + а 4) EJо

22 . тос е

.

Однократное дифференцирование выражений (10), (11) и (12) позволяет получить формулы соответственно для скалывающих напряжений т, поперечных сил 2 и углов поворота ф составной балки:

е

т = Т' =Е,

Р1\с

4Е3

е = м • =-

- Ае л (соб ^ + б1п + Ве л (соб Бт +

2а2

22 1 Л

Л

Е1{

о

(

е л (соб ^ + Бт +

22

1 + ^

Е1{

о

е л (соб Бт +

ф = V' =

рц2о

8Е3 0

22 1 1оС- А

л

ЕЗ.

о

е л (соб "л - Бт -

4

22 тос

1 2 т2 с2

2а ^ тос е

.4

а

ЕЗ,

о

1 + в

. ЕЗ0 у 4

е л (соб ^ + Бт +

4 + а4 J ЕЗо

Анализируя полученные выражения для перемещений и расчетных усилий бесконечно длинной составной балки, можно видеть, что при ^ ^ о мы приходим к формулам (5) и (7), описывающим работу балки, лишенной связей сдвига, а при -к формулам, характеризующим поведение монолитной балки, состоящей из двух горизонтальных ветвей:

22 . Ьос е-ал

V =

РЦ

8ЕЗ

о (е л соб "П + е л Бт ,

М =

РЦо 3о

4 Л,

(е л соб "л - е л Бт ,

Т = РЦ1 (е-ц

соб ^ - е л Бт .

4 Зм

Здесь: /м - момент инерции сечения монолитной балки, 5 - статический момент площади ¥ поперечного сечения одной из ветвей относительно центральной оси всего сечения, определяемые по формулам:

2

с с

3 = 3о + ¥у, 5 = ^

В качестве примера приведем результаты расчета бесконечно длинной составной балки, показанной на рис.1 при следующих исходных данных: Е = 3Ю4МПа, ко = 5-Ю4кН/м3, с = 1,о м, Ив = о,1м, Ь = 1,ом.

В таблице 1 показаны значения прогиба V(о), изгибающего момента М(о) и сдвигающего усилия Т(о) в начальном сечении балки при различных значениях коэффициента жесткости на сдвиг / Е , которые зависят от расстояний Вс между вертикальными стойками и от ширины стоек кс. Переход от этих безразмерных величин к искомым осуществляется по формулам:

Рт} _ рц __сЦ _

V (о) =-V (о), М (о) = —о М (о), Т (о) = Р—Т (о) -Ю" 4.

8Е3

о

4

4 3

о

е

4

4/2010

ВЕСТНИК

0,0 0,5

1 ------ -----

1 - х/Е = 10-3 2- х/Е = 10-4 3 - х/Е = 0

2 у / 3

— "" V = рт» ЦЬ) 8 EJa У '

1,0

0,0 0,5

1 - х/Е = 102- х/Е = 10-4 3 - х/Е = 0

рт _

М= р^- М

0,0 0,5

-2,0--

2

1 1 х/Е = 10-3

/ / 2 х/Е = 10-4

/ Т= РЬ]е 4 У„ 10-4-Т

Рис.4

Таблица 1.

1,0

1,5

0

П

0,5

2,5

1,0

1,5

2,0

П

0

0,5

1,0

1,0

0

П

0,5

1,0

\ / Е V

0 1,0 1,0 0,0

10-4 0,854 0,895 0,277

10-3 0,208 0,613 1,020

10-2 0,036 0,260 2,000

10-1 0,008 0,100 2,370

1,0 0,004 0,028 2,540

ВЕСТНИК 4/2010

На рис.4 для правой половины балки представлены эпюры v, Mи T для двух значений коэффициента жесткости на сдвиг: /E = 10" и \ / E = 10Л Для сравнения здесь приведены и соответствующие эпюры для балки, лишенной связей сдвига (при ^ = 0 ). Можно видеть, что уже малые значения коэффициента / E существенно влияют на величины перемещений и усилий составной балки. При / E > 1 работа составной балки приближается к работе монолитной балки.

Литература

1. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. М., Стройиздат, 1986.

2. Леонтьев Н.Н., Леонтьев А.Н., Анохин Н.Н., Соболев Д.Н. Основы теории балок и плит на деформируемом основании. М., МИСИ, 1982.

Literature

1. Rjanitsin A.R. Composite beams and plates. M., Stroyizdat, 1986.

2. Leontiev N.N., Leontiev A.N., Anohin N.N., Sobolev D.N. Basis of the theory of beams and plates located on the deformable foundation. M., MICE, 1982.

Ключевые слова: составная балка, теория А.Р.Ржаницына, бесконечно длинная балка, упругое основание Винклера, действие сосредоточенной силы, прогиб балки, внутренние усилия

Key words: composite beam, the theory by A.R.Rjanitsin, infinite beam, Winkler elastic foundation, action of vertical load, deflection of beam, internal forces

Тел.: 8-903-727-61-28. e-mail: an_leontiev@mail.ru

Рецензент: Купавцев Владимир Владимирович, к ф.-м.н., профессор кафедры Теоретической

механики ГОУ ВПО МГСУ