Анализ напряженно-деформируемого состояния неоднородного основания с применением модели на базе уравнений Навье

УДК 624.044

О.В. Иноземцева, М.О.Фролов АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРУЕМОГО СОСТОЯНИЯ НЕОДНОРОДНОГО ОСНОВАНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ МОДЕЛИ НА БАЗЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ

Рассматривается проблема расчета оснований зданий и сооружений с учетом неоднородности деформационных свойств оснований. На примере двухслойного основания строится расчетная модель основания и производится качественный анализ напряженно-деформированного состояния основания в рамках упругой задачи.

Грунт, математическая модель, неоднородное основание, напряженно-деформируемое состояние

O.V. Inozemtseva, M.O. Frolov

ANALYSIS OF THE STRESS AND STRAIN STATE OF A NONHOMOGENEOUS FOUNDATION USING A MODEL BASED ON THE NAVIER EQUATIONS

The article considers the problem related with calculating the foundation parameters for buildings and constructions taking into account the heterogeneity of deformation properties offoundations. A two-layer footing is used as an example for the design model of the foundation, and the qualitative analysis is applied for the stress and strain state of the foundation as part of solving the problem of elasticity.

Soil, a mathematical model, heterogeneous footing, stress and strain state

Распространенной задачей при расчетах фундаментов зданий и сооружений является расчет балок и плит, лежащих на грунтовом основании. Численный анализ системы «фундаментная конструкция - основание обычно базируется на моделях оснований, которые по-разному распределяют контактные напряжения между массивом грунта и фундаментными конструкциями конечной жесткости. Наибольшее распространение при инженерных расчетах фундаментных конструкций конечной жесткости получила модель местных деформаций (модель Винклера) и модель упругого полупространства. Гипотезы, принимаемые при построении моделей оснований в целях упрощения практических расчетов, зачастую приводят к расхождениям с опытными результатами и некоторым искажениям физической стороны задач. Например, главным недостатком модели местных деформаций является невозможность учета распределительных свойств грунта. Модель упругого полупространства,

17

напротив, завышает осадки за пределами нагрузки на основание [1]. Тем не менее эти и другие модели грунтового основания, такие как модель П.Л. Пастернака, модель Синицына, модель И.И. Черкасова и Г.К. Клейна, Модель Филоненко-Бородича, модель В.З. Власова и другие, широко применяются в инженерных расчетах оснований сооружений.

В целях более полного описания напряженного состояния неоднородной грунтовой среды целесообразно рассматривать основание в виде области грунтового массива конечных размеров. Размеры этой области должны ограничиваться таким образом, чтобы краевые эффекты на границах не сказывались на напряжениях в основании непосредственно под фундаментной конструкцией [2]. Такой подход позволяет рассматривать систему «фундаментная конструкция - неоднородное основание» в рамках единой модели, которая описывается фундаментальными соотношениями механики. При этом для вычислений можно использовать известные численные математические методы в зависимости от характера задачи. Учет нелинейных процессов деформирования основания, а также нелинейных процессов изменения его свойств во времени при такой постановке возможен при использовании уравнений НДС, записанных в инкрементальной форме [3, 4].

Неоднородность оснований чаще всего представлена в виде напластований слоев грунтов с различными физико-механическими характеристиками. При взаимодействии с сооружением такое основание переходит в сложное напряженно-деформируемое состояние. Попробуем в рамках линейно-упругой задачи выполнить численный анализ системы «фундаментная конструкция - неоднородное основание» применительно к многослойным основаниям. В качестве модельного примера рассмотрим прямоугольную фундаментную плиту, расположенную на двухслойном основании, под которым находится несжимаемый грунт (рис. 1). Плита с соотношением сторон /'&> 10 нагружена равномерно распределенной нагрузкой. Это условие позволяет перейти к решению плоской симметричной задачи.

а б

Рис. 1. Расчетные схемы конструкции на упругом основании: а - для двухслойного основания; б - для однослойного основания.

Модель будем строить для двухслойного основания в приращениях относительно искомых функций вертикальных и горизонтальных перемещений, что позволит изучать изменение напряженно-деформированного состояния при изменении соотношения толщин слоев основания. Это возможно при развитии в основании фундаментной конструкции неоднородности, обусловленной природными или техногенными воздействиями. Так, например, подъем грунтовых вод и изменение физико-механических характеристик грунта основания в связи с изменением его влажности увеличивает толщину увлажненного слоя (слой 1 на рис. 1а). Процессы такого рода обычно являются нелинейными.

Для линейно упругого основания иллюстрацией такого подхода будет модель, объединяющая уравнения Ляме для плоской задачи и уравнения изгиба фундаментной конструкции (балки):

'дА

Эх дА

- + 1У 2 ли = 0

Ъ2 Э2 Э2

где у +а?

, эи эж

л=—+------.

Эх Эг

Эг

і і-т -

1 = —=; т

- + 1У 2лж = 0

1+т 1-т

Граничные значения для функций перемещений за исключением границы поверхности основания принимаем равными нулю по всему контуру области (рис. 1 а).

К2

На поверхности основания задаются граничные условия для касательных и нормальных напряжений. На части поверхности основания, взаимодействующей с нагруженной фундаментной балкой, силы трения определяют реактивный отпор Ях(х), а величина вертикального давления, передаваемого на поверхность основания со стороны балки, будет равна вертикальному отпору Я2(х). Вертикальный отпор связан условием равновесия балки с величиной ее изгибной жесткости (Б1) и характером нагрузки д(х):

,Э4Щх) Эх4

В данном случае будем пренебрегать трением, и считать поверхность контакта балки и основания гладкой, а реакции контакта направленными по нормали к этой поверхности. Полагаем также, что вертикальные перемещения поверхности основания и нижней поверхности балки происходят совместно без отрыва. Тогда функция вертикальных перемещений поверхности основания и линия прогиба оси балки тождественны и решение задачи находится на основе совместного решения системы уравнений Ляме с уравнением изгиба балки, входящим в систему уравнений через граничные условия, записанные для участка поверхности основания, контактирующего с балкой. В итоге модель системы «основание - балка» представлена системой дифференциальных уравнений в частных производных и отпадает необходимость во введении аппроксимирующих функций. Принимая в качестве дискретизации такой модели метод «сеток» можно определить вертикальные и горизонтальные компоненты (W(x,z), и(х^)) вектора перемещений.

Проведем сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния однослойного однородного основания (рис. 1 б) и двухслойного основания со слоями отличающимися значениями модуля деформаций (Ео - для верхнего слоя, Е1 - для нижнего слоя, рис. 1а). Расчетная схема и граничные условия представлены на рис. 1.

В случае плоской задачи математическую модель задачи для системы «фундаментная плита -среда основания» будем строить на основе уравнений равновесия Навье:

Эа„ Э^„

Эх Эг

= 0;

Эаа Э&2 —— + —- = 0.

Эх Эг

Уравнения статики основания рассматриваются совместно с уравнениями изгиба балки (рис. 2). Величина вертикального давления, передаваемого на поверхность основания со стороны балки, будет равна вертикальному отпору Я2(х):

Э4Ж(х) , ~дх4

Яг

Кроме того, размеры области интегрирования в рассматриваемой задаче выбираем в соответствии с условием затухания компонент вектора перемещений на ее границах. Таким образом, граничные значения для перемещений принимаем равными нулю по всему контуру области за исключением границы поверхности основания. В такой постановке рассматривалась математическая модель в работах [3-5]. На линии контакта слоев выполняются условия, наложенные на компоненты вектора напряжений (рис. 1).

Принимая в качестве дискретизации такой модели метод сеток можно определить вертикальные и горизонтальные компоненты вектора перемещений {Ж (г, х), и (г, х)}.

В итоге модель системы «фундаментная конструкция - основание» на базе уравнений равновесия Навье представляет собой совокупность уравнений равновесия (3), физических соотношений для плоской задачи (закон Гука) и граничных условий на поверхности контакта основания и балки (2) и соотношений Коши (3):

Эи ЭЖ 1, ЭЖ Эи.

Єх Л ’ Є2 ’ ЄХ2 = ~

Эх Эг 2 Эх Эг

Здесь следует заметить, что записанное граничное условие на поверхности контакта балки и основания (4) является дифференциальным уравнением четвертого порядка, следовательно, требует введения дополнительных граничных условий. Такими условиями являются выражения для внутренних усилий по краям балки, свободно лежащей на основании (рис. 1):

М

= 0.

х=Ь-а;Ь+а '“'э х=Ь-а;Ь+а

В итоге получаем замкнутую систему определяющих уравнений задачи.

На рис. 2(а) представлена эпюра вертикальных перемещений по толщине однослойного основания. Соответствующая эпюра вертикальных перемещений по длине слоя основания представлена на рис. 2б. Здесь следует отметить график вертикальных перемещений, полученный для поверхности несущего слоя основания и для линии контакта поверхности слоя основания и фундаментной балки. Полученные результаты предполагают значительную неоднородность (концентрацию) поля деформаций X (напряжений) в угловой точке под торцом фундаментной балки (рис. 4а).

а б

Рис. 2. Эпюра вертикальных перемещений однослойного основания

Горизонтальные перемещения по объему слоя основания и(х,г)*103[м] представлены на рис. 3а. График горизонтальных перемещений по поверхности слоя основания и по линии контакта слоя основания и подошвы фундаментной балки (2=0) представлен на рис. 3б. Здесь очевидно, что в узкой приповерхностной зоне основания смена знака и возрастание значений горизонтальных перемещений.

б

Рис. 3. Эпюры горизонтальных перемещений однослойного основания: перемещения по объему основания; б - перемещения приповерхностной зоны основания

а

а

В соответствии с эпюрой горизонтальных перемещений получим эпюру горизонтальных деформаций Хх *103[м] по объему слоя основания. На рис. 4 б показана эпюра горизонтальных деформаций по объему основания и в приповерхностной зоне. Здесь можно отметить зону концентрации деформаций под торцом фундаментной балки.

а б

Рис. 4. Эпюры деформаций однослойного основания: а - вертикальные деформации основания;

б - горизонтальные деформации основания

Приведем для сравнения аналогичные эпюры перемещений для двухслойного основания. Рассмотрим двухслойное основание с отношением модулей деформаций слоев Е1 / Е0 = 4. На рис. 5 а показана эпюра вертикальных перемещений.

б

Рис. 5. Эпюры вертикальных перемещений двухслойного основания: а - перемещения основания с соотношением модулей деформаций слоев Е1/Е0 = 4; б - перемещения основания с соотношением модулей

деформаций слоев Е1/ Е0 = 1/4

а

Для сравнения на рис. 5 б показана эпюра вертикальных перемещений для отношения модулей деформаций слоев Е1 / Е0 = 1/4. На этих рисунках можно видеть существенное влияние неоднородности модуля деформаций слоев основания на эпюры вертикальных перемещений по сравнению с эпюрами для однородного основания на рис. 2. При этом влияние неоднородности основания на эпюры вертикальных перемещений носит скорее количественный, чем качественный характер. Качественное влияние неоднородность основания оказывает на эпюры горизонтальных перемещений. На рис.6 показаны эпюры горизонтальных перемещений.

В отличие от эпюр горизонтальных перемещений для однородного основания (рис. 3), где можно видеть концентрацию перемещений в узкой приповерхностной зоне основания со сменой знака и резким возрастанием значений горизонтальных перемещений, для двухслойного основания этот эффект несколько сглажен. Так, для двухслойного основания при отношении модулей деформаций слоев Е1 / Е0 = 4 концентрация перемещений имеет место, и смена знака перемещений исчезает. Эпюра перемещений для приповерхностной зоны напоминает эпюру перемещений для однородного основания на рис. 3. Для двухслойного основания при отношении модулей деформаций слоев Е1 / Е0 = 1/4 концентрация перемещений в угловой точке под торцом балки имеет более сглаженный вид.

а б

Рис. 6. Эпюры вертикальных перемещений двухслойного основания: а - перемещения основания с соотношением модулей деформаций слоев Е1/ Е0 = 4; б - перемещения основания с соотношением модулей

деформаций слоев Е1 / Е0 = 1/4

Таким образом, модель основания на базе уравнений равновесия Навье позволяет проследить изменение НДС точек основания по его глубине. В рамках упругой задачи можно отметить существенное качественное влияние неоднородности основания на распределение перемещений по его толщине. Более точный учет характера влияния неоднородности на НДС основания возможен при учете нелинейного характера его деформирования, а также при учете специфических свойств грунта. Используемые соотношения расчетной модели позволяют в дальнейшем распространять ее на подобные классы задач.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горбунов-Посадов М.И. Расчет конструкций на упругом основании / М.И. Горбунов-Посадов, Т.А. Маликова, В.И. Соломин. М.: Стройиздат, 1984. 679 с.

2. Перельмутер А.В. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа / А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. Киев: Сталь, 2002. 600 с.

3. Иноземцева О.В. Инкрементальная модель для расчета осадок фундаментных конструкций в условиях наведенной неоднородности их оснований: сб. науч. тр. / О.В. Иноземцева, А.С. Зиновьев // Совершенствование методов расчета строительных конструкций и технологии строительства. Саратов: СГТУ, 2007.

4. Иноземцев В.К. Инкрементальная модель для исследования устойчивости высотного сооружения на неоднородном основании / В.К. Иноземцев, О.В. Иноземцева, Н.Ф. Синева // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Обзорно-аналитический и научнотехнический журнал. 2008. № 2. С. 41-46.

5. Иноземцев В.К. Расчет бифуркационной устойчивости системы «сооружение - слой основания» с учетом физической нелинейности основания / В.К. Иноземцев, О.В. Иноземцева, К.А. Стрельникова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Обзорноаналитический и научно-технический журнал. 2010. № 4. С. 51-55.

Иноземцева Ольга Вячеславовна -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Фролов Михаил Олегович -

аспирант кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.

Olga V. Inozemtseva -

Ph.D., Associate Professor,

Department of the Theory of Buildings Structures Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Mikhail O. Frolov -

Postgraduate

Department of the Theory of Buildings Structures Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 10.11.13, принята к опубликованию 15.12.13