Исследование условий накопления микроповреждений в биокомпозите на основе пористого титана

Исследование условий накопления микроповреждений в биокомпозите на основе пористого титана

Ю.Н. Сидоренко, Ю.П. Вознюк

Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

В работе на примере биокомпозита “титан - костная ткань” рассматривается влияние существенно неоднородной структуры материала на формирование условий развития процесса накопления микроповреждений. Задача решается с использованием техники имитационного моделирования. В основу численной методики положен принцип локальности формирования механических свойств структурно-неоднородных материалов. В рамках вычислительного эксперимента рассматриваются характерные особенности распределения зон повышенной концентрации напряжений для различных объемных соотношений компонентов биокомпозита. Приведены результаты численных расчетов, позволяющие оценить влияние параметров структуры на условия накопления микроповреждений.

1. Введение

В настоящее время все большее применение находят такие технологии изготовления материалов, как порошковая металлургия и скоростной высокотемпературный синтез. Возросший интерес к данным технологиям обусловлен среди прочего тем, что они позволяют получать из исходных порошковых материалов образцы с регулируемой пористостью. Одной из сфер применения пористых материалов является медицина. В частности, в хирургии такие материалы находят применение при изготовлении имплантатов для протезирования поврежденных костных тканей. После внедрения имплантата в организм происходит постепенное заполнение его пор живой костной тканью. Экспериментальные наблюдения показывают, что между поверхностью пор имплантата и костной тканью со временем формируется жесткая связь, что позволяет говорить об образовании специфического материала — биокомпозита [1]. Проблема прочности и надежности биометаллических композитов становится весьма важной в связи с необходимостью обеспечения нормального функционирования живого организма после внедрения имплантата. Желательно, чтобы вероятность повреждения пористого имплантата, внедренного в организм, могла быть оценена еще до проведения операции.

Экспериментальное исследование прочностных характеристик биокомпозитов является сложным, дорогостоящим и длительным процессом. В связи с этим развитие численных методов моделирования процесса зарождения и накопления повреждений в структурнонеоднородных системах, к которым могут быть отнесены биокомпозиты, является актуальной задачей. Данная задача чрезвычайно важна не только в связи с необходимостью оценки надежности изделий, изготавливаемых из рассматриваемых материалов по уже отработанным технологиям, но и для выявления новых возможностей и путей повышения их эксплуатационных качеств.

Одним из наиболее широко применяемых при изготовлении имплантатов материалом является порошковый титан. В связи с этим целью работы является численное исследование влияния объемного содержания компонентов биокомпозита “титан - костная ткань” на формирование условий для развития процесса накопления микроповреждений. Полагается, что способность биокомпозита, обладающего ярко выраженной нерегулярной структурой, сохранять свои прочностные свойства определяется скоростью накопления микроповреждений. Интенсивность этого процесса зависит от мощности концентраторов напряжений, существова-

© Сидоренко Ю.Н., Вознюк Ю.П., 2001

ние которых обусловлено структурной неоднородностью среды. Предлагается проводить оценку условий, в которых развивается процесс накопления микроповреждений в биокомпозите, на основе анализа параметров, характеризующих распределение зон концентрации напряжений при явном учете нерегулярного (стохастического) характера его структуры. Рассматривается случай жесткого статического нагружения, моделирующий условия проведения обычного эксперимента по определению упругих свойств материалов.

При анализе напряженно-деформированного состояния структурно-неоднородного материала (биокомпозита “титан - костная ткань”) используется имитационная модель его структуры [2, 3]. Использование имитационной модели позволяет учесть при численном моделировании основные особенности структуры реального материала (объемное соотношение компонентов, геометрию армирующих элементов, степень их упорядоченности) и одновременно максимально упростить ее описание путем замены реальных элементов структуры (включений) их идеализированными аналогами — простейшими геометрическим объектами. Основным критерием, которому должна удовлетворять имитационная модель, является ее геометрическая представительность [4]. Исходя из опыта экспериментального материаловедения можно полагать, что такой представительностью будут обладать модели, линейные размеры которых в 15-30 раз превышают линейные размеры включений. При формировании геометрической модели имитация случайного характера реальной структуры обеспечивалась с помощью генераторов случайных чисел, которые использовались при размещении включений в пределах имитационной модели.

Численное исследование напряженно-деформированного состояния опиралось на представления о локальном характере формирования механических свойств структурно-неоднородных материалов [5]. Согласно этим представлениям, механическое поведение композита в произвольно выбранной точке в наибольшей степени определяется непосредственно окружающими ее элементами структуры. Данное обстоятельство, известное как принцип локальности, позволяет пренебречь влиянием удаленных элементов структуры на формирование механических свойств в окрестности выбранной точки материала. Это означает, что в окрестности рассматриваемой точки может быть выбран такой объем материала, который будет обладать свойством локальной представительности [2]. Прямой численный эксперимент над этим объемом структурно-неоднородного материала позволяет получить параметры, характеризующие эффективное локальное состояние среды, которые приписываются выбранной точке и могут быть использованы для оценки прочностных свойств структурно-неоднородного материала.

В данной работе в качестве параметра Р, характеризующего условия развития процесса накопления микроповреждений, используется доля локально-представительного объема, в пределах которой интенсивность напряжений ст1п превышает некоторое пороговое значение

1

Ут Vm Уь V.

н(¿V,)=|1,ПРИа”‘ 1 = щь,

ПРИ ст1й <ст^,

где Н(¿V,) — функция Хэвисайда; индексы т и Ь относятся соответственно к матрице и включениям; — пороговое значение интенсивности напряжений для того компонента биокомпозита, которому принадлежит элемент объема ¿V,. Параметр такого типа может характеризовать состояние биокомпозита в процессе накопления микроповреждений, когда в материале отсутствуют макроскопические дефекты, приводящие к нарушению его сплошности (в рамках используемой модели). Представительная выборка локальных параметров формируется с использованием технологии расчета локально-эффективных свойств [2]. Анализ свойств данных выборок для материалов с разным объемным содержанием компонентов позволяет сравнить условия протекания в них процесса накопления микроповреждений. По результатам такого сравнения может быть сделано качественное заключение о большей или меньшей склонности к разрушению биокомпозитов в зависимости от содержания костной ткани.

2. Математическая постановка

Задача определения напряженно-деформированного состояния выделенного фрагмента структурно-неоднородной среды решается в двумерной постановке в рамках теории малых деформаций. В общем случае система уравнений, описывающих поведение рассматриваемого объема материала, включает в себя уравнения равновесия

V у °у = а соотношения Коши

Еу = 1

и уравнения связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций

5у = ф( Луи Е и \ где <5у, Еу — компоненты тензоров напряжений и деформаций; и — вектор перемещений; — тензор упругих констант. При упругом деформировании в качестве этих соотношений используются уравнения обобщенного закона Гука, а в случае неупругого дефор-

мирования — соотношения теории течения. В рассматриваемом случае компоненты Лщ являются кусочнопостоянными случайными функциями координат:

А

А'иЫ1А

при хє Ут, при х є Уь,

где х — вектор координат. Используются смешанные граничные условия:

- ,

где Би, £а — граничные поверхности, на которых заданы соответственно перемещения и напряжения;

Т Т ^

V ^ — нормаль к границе; и — вектор перемещений, заданных на поверхности ; Fi — вектор поверхностных сил, действующих на £ а.

Поставленная задача решается методом конечных элементов для случая плоской деформации. Для моделирования условий нагружения, имеющих место во внутренних объемах структурно-неоднородной среды при действии нагрузок, приложенных к удаленным внешним границам, используется расчетная схема, построенная по аналогии с трехфазной моделью механики композитных материалов [2].

Результатом решения являются поля компонент вектора перемещений, которые позволяют вычислить поле значений интенсивности напряжений, используемое для сравнения с пороговыми величинами (1). В зависимости от выполнения этого условия элементарный объем относится либо к поврежденной, либо к неповрежденной доле объема. Величина представительного объема зависит от типа структуры и других факторов. В рассматриваемой задаче размеры представительного объема материала определялись с использованием статистических корреляционных критериев [6].

3. Результаты численных расчетов

Исследовалась склонность к разрушению биокомпозита “титан - костная ткань”, в качестве механических свойств матрицы которого использовались характеристики титана [7], а свойства включений соответствовали характеристикам костной ткани [8]. В качестве пороговых значений интенсивности напряжений принимались значения, соответствующие пределу текучести титана (12 МПа) и пределу пропорциональности костной ткани (10 МПа). Содержание включений варьировалось от 10 до 50%. При построении имитационной модели структуры реальные включения заменялись эллипсами.

На рис. 1 показана плотность распределения удельных локальных объемов поврежденного биокомпозита V*/V. Видно, что с увеличением объемного содержания включений от 10до 50% наблюдается уменьшение размеров поврежденных зон биокомпозита: наиболее вероятное значение V */V изменяется от 30 до 5 %. При

Рис. 1. Плотность распределения удельных локальных объемов поврежденного биокомпозита V */V

этом вид кривых распределения V */V позволяет предположить, что в структуре с высоким содержанием включений образуется большое количество зон поврежденного материала примерно одинакового размера, а с уменьшением содержания включений размеры зон варьируются в более широких пределах. Функция плотности распределения удельных локальных объемов поврежденного материала для структуры с 30% содержанием включений в наибольшей степени среди рассмотренных обладает признаками гауссова распределения (симметрией и полнотой). Это позволяет предположить, что в структуре биокомпозита с таким составом имеются условия для формирования поврежденных зон любых размеров, обеспечивающих адекватную реакцию материала на особенности напряженно-деформированного состояния в каждой локальной области. Асимметрия кривых распределений для других рассмотренных структур, свидетельствующая о преобладании в материале зон накопления повреждений вполне определенных размеров, может, таким образом, рассматриваться как признак своего рода модулирующего влияния структуры на процесс накопления микроповреждений.

На рис. 2, 3 представлены зависимости средних значений (математических ожиданий) и доверительные интервалы для уровня значимости 0.05 величин поврежденных объемов костной ткани (рис. 2) и титановой матрицы (рис. 3). Видно, что эти зависимости имеют качественно различный характер. Из рис. 2 видно, что кривая, характеризующая среднюю величину поврежденного объема в костной ткани, имеет максимум, соответствующий V) = 30%. Это означает, что в структуре с содержанием включений 30 % реализуются наиболее благоприятные условия для разрушения костной ткани, что, видимо, делает данный материал наименее пригодным для имплантации. Величина объема, характеризую-

Рис. 2. Зависимость средней величины поврежденного объема включений < V* >/V от объемного содержания костной ткани

щего повреждения в матрице (рис. 3), на порядок превышает величину поврежденного объема костной ткани. В отличие от костной ткани в матрице наблюдается монотонное уменьшение среднего поврежденного объема с увеличением содержания включений. Как видно из графика, данная зависимость является практически линейной при содержании костной ткани более 20 %. Таким образом, согласно данным, приведенным на рис. 2, 3, наименьшую склонность к накоплению повреждений как в матрице, так и во включениях проявляет материал со структурой, содержание титановой матрицы в которой составляет 50%, что делает его (с точки зрения механики) наиболее удачным для изготовления имплантатов. Наибольшая среди рассмотренных пористость исходного материала должна также облегчать прорастание костной ткани в имплантате, что можно рассматривать как дополнительное положительное качество данного материала.

Следует отметить наличие корреляции между особенностями распределения зон накопления повреж-

Ш 0.9

0

1 О.з I--------'--------'--------'--------'--------'---------

о о 20 40 60

Объемное содержание костной ткани Уь, %

Рис. 4. Зависимость среднего значения эффективного модуля упругости биокомпозитов от объемного содержания костной ткани

Рис. 3. Зависимость средней величины поврежденного объема матрицы < V* >/V от объемного содержания костной ткани

дений в биокомпозите и его эффективными упругими свойствами. На рис. 4 представлена зависимость среднего значения эффективного модуля упругости биокомпозита (с доверительными интервалами для уровня значимости 0.05) от объемного соотношения компонентов материала. Характер этой зависимости качественно совпадает с зависимостью, приведенной на рис. 3. Эти зависимости свидетельствуют об одновременном уменьшении эффективного модуля упругости и удельного объема поврежденного материала при увеличении объемного содержании костной ткани. Как следствие, увеличение в объеме материала доли более жесткого по сравнению с костной тканью титана с 50 до 90 % приводит при равных макродеформациях к увеличению среднего уровня напряжений примерно в 2 раза (рис. 4).

Следует отметить также качественную схожесть функций распределения зон накопления повреждений (рис. 1) и локальных значений модуля упругости биокомпозита (рис. 5). Данное обстоятельство позволяет проводить первоначальный анализ условий протекания

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Относительный модуль упругости Е*/Ет

Рис. 5. Плотность распределения относительных локально-эффективных модулей упругости

процесса накопления микроповреждений в структурнонеоднородном материале на основе анализа функций распределения его локальных упругих свойств.

4. Выводы

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1. Наличие ярко выраженной структурной неоднородности биокомпозита “титан - костная ткань” в условиях статического нагружения приводит к появлению многочисленных зон повышенной концентрации напряжений, размеры которых варьируются в широких пределах. При этом объемное соотношение компонентов оказывает определенное модулирующее влияние на ширину интервала, в котором варьируются размеры зон.

2. Условия протекания процесса накопления микроповреждений в биокомпозите “титан - костная ткань” в значительной степени определяются механическими свойствами матрицы. Наличие корреляции между упругими свойствами биокомпозита и распределением зон повышенной концентрации напряжений (накопления повреждений) делает возможной оценку повреждаемости биокомпозита на основе анализа его локальных и макроскопических упругих свойств.

3. Полученные результаты позволяют предположить, что в рассмотренном диапазоне объемных соотношений компонентов (10-50 %) наименьшей склонностью к накоплению повреждений обладает биокомпозит с максимальным (50 %) содержанием костной ткани.

Вместе с тем, необходимо учитывать, что обеспечение механической прочности может не иметь ничего общего с обеспечением условий жизнеспособности костной ткани в составе имплантата.

Литература

1. Итин В.И., Гюнтер В.Э., Ходоренко В.Н. и др. Прочностные свойства пористых проницаемых материалов на основе титана для стоматологии // Порошковая металлургия. - 1997. - № 9-10. -

С. 29-33.

2. Лейцин В.Н., Сидоренко Ю.Н. Оценка механических свойств мно-

гокомпонентных материалов стохастической структуры // Письма в ЖТФ. - 1999. - Т. 25. - Вып. 12. - С. 89-94.

3. Сидоренко Ю.Н., Шевченко Н.А. Прогнозирование механических свойств биометаллического материала на основе многоуровневой математической модели // Физ. мезомех. - 1999. - Т. 2. - № 1-2. -С. 37-41.

4. Соколкин Ю.В., Чекалкин А.А., Бабушкин А.В. Прогнозирование физических и механических свойств порошковых и армированных высокопрочными волокнами металлических материалов // Изв. вузов. Цветная металлургия. - 1995. - № 2. - С. 53-57.

5. ВилъдеманВ.Э., СоколкинЮ.В., ТашкиновВ.В. Механика неупру-

гого деформирования и разрушения композиционных материалов. - М.: Наука, 1997. - С. 109-110.

6. Сидоренко Ю.Н., Вознюк Ю.П. Численный статистический подход к оценке эффективных упругих свойств структурно-неоднородных материалов // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Доклады конференции. - Томск: Изд-во ТГУ, 2000. - С. 89-90.

7. Матвеева А.И., Иванов А.Г., Гветадзе РЖ. и др. // Стоматология. -

1997. - Т. 76. - № 5. - С. 44-48.

8. Березовский В.А., Колотилов Н.Н. Биофизические характеристики

тканей человека: Справочник. - Киев: Наукова думка, 1990. -224 с.