Анализ структуры сигналов и функциональной организации биокаталитических систем с использованием математического аппарата интервальных статистик

Системы телекоммуникации, устройства передачи, приема и обработки сигналов

УДК 577.21; 577.29; 621.37

М. И. Богачев

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ" А. Р. Каюмов

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Е. О. Михайлова

Казанский государственный технологический университет

Анализ структуры сигналов и функциональной организации биокаталитических систем с использованием математического аппарата интервальных статистик*

Предложен новый подход к анализу структуры сигналов и функциональной организации систем на основе оценки основных статистических характеристик интервалов между различными компонентами сигнала. Показано, что предложенный подход позволяет осуществлять высокоспецифичный раздельный анализ вклада отдельных составляющих сигнала в нелинейную динамику и архитектуру биокаталитической системы для идентификации наиболее значимых составляющих. Подход также может быть использован для детализации интегральных характеристик, получаемых при помощи методов теории динамического хаоса, фрактального анализа и других методов анализа интегральной оценки нелинейной динамики сложных систем с использованием недавно выявленных взаимосвязей между интервальными статистиками и фрактальными свойствами. Главным преимуществом подхода является возможность перехода к главным компонентам, определяющим фрактальную структуру сигналов, без преобразования исходной системы координат.

Структура сигналов, статистический анализ, биокаталитическая система, интервальные статистики, главные компоненты

Изучение сигналов биологических систем на протяжении ряда лет является актуальной областью приложения методов статистического анализа случайных сигналов и мощным инструментом для решения проблем фундаментальной биологии и медицинской диагностики. Биологические системы относятся к сложным саморегулирующимся системам и характеризуются нетривиальной нелинейной динамикой, направленной на оперативную и многостороннюю реакцию на изменения множества внешних и внутренних факторов с целью сохранения внутреннего состояния системы в пределах заданного диапазона гомеостатиче-ских состояний. Физические основы функционирования таких систем, в силу многообразия влияющих внешних и внутренних факторов, до конца не изучены, что ограничивает воз-

* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (государственный контракт № П2151 от 05.11.2009).

8 © Богачев М. И., Каюмов А. Р., Михайлова Е. О., 2010

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 3======================================

можности построения детерминистических моделей их поведения. Указанные факторы обуславливают необходимость применения специализированных подходов к анализу биологических систем для адекватного описания происходящих в них процессов с учетом таких значимых факторов, как глубоко нелинейный характер взаимосвязи между различными показателями и даже между отсчетами одного биологического сигнала, значительная вариативность состояний и др. К таким подходам могут быть отнесены методы нелинейной динамики, теории динамического хаоса, фрактального анализа, анализа интервальных статистик, теории статистических решений и некоторые другие. Не являются исключением и задачи обработки генетической информации, где современные методы анализа случайных сигналов позволяют эффективно решать задачи максимально подробной аннотации функциональной организации генетического аппарата. Одним из индикаторов актуальности этого класса задач можно считать тот факт, что один из наиболее мощных современных методов анализа сигналов сложных систем различной природы с нелинейной динамикой и фрактальными свойствами, широко применяемый в различных сферах науки и техники - метод флуктуационного анализа с исключением тренда - был впервые предложен в контексте задачи анализа генетической информации [1]. Применение методов анализа случайных сигналов позволило выявить ряд важных статистических свойств ДНК, в частности, фрактальную [1], [2], а затем и мультифрактальную [3], [4] структуру ее организации.

В постгеномную эру одной из важнейших задач является разработка алгоритмов и программ предсказания структурно-функциональных особенностей нуклеотидных последовательностей ДНК и РНК, а также транслированных из них последовательностей белков. Для решения этой задачи наравне с методами предсказания функциональных структур генов и пространственных координат атомов белка (трехмерной структуры) интенсивное развитие получили методы, результатом которых являются структурные характеристики молекул РНК и белков (вторичная и третичная структура, доступность аминокислот растворителю, стабильность, условия катализа и т. п.). Положение ключевых аминокислот в первичной структуре белка, участвующих в акте каталитической реакции, связывании и распознавании субстрата, а также участвующих в формировании и стабилизации пространственной структуры биокатализатора, можно рассматривать в качестве сигналов биокаталитической системы. С другой стороны, определенные комбинации аминокислот в белке формируют сайт узнавания биокатализатором, являясь тем самым триггерным сигналом для биокаталитической системы. Поэтому задача их идентификации, качественной и количественной характеристики является актуальной проблемой современной биоинформатики.

Многообразие свойств белков определяется способностью каждой индивидуальной аминокислотной последовательности принимать свою, уникальную пространственную конфигурацию. В отличие от ДНК или РНК, составленных всего из четырех стандартных азотистых оснований (А, С, G, Т), белки включают 20 стандартных аминокислотных остатков (А, С, D, Е, F, ^ Н, I, К, L, М, N. Р, Q, Я., S, Т, V, W, У), определяющих двадцатиричный алфавит сигналов биокаталитической системы. Это приводит к тому, что число возможных взаимодействий пар аминокислотных остатков в белках (как соседствующих, так и удаленных) оказывается на несколько порядков больше, чем для пар азотистых оснований в ДНК.

В пространстве одновременно могут взаимодействовать не два, а более остатков, в результате чего число возможных взаимодействующих единиц на много порядков больше. Поэтому в настоящее время задача моделирования вторичной и третичной структуры белка является трудновыполнимой ввиду огромного количества возможных комбинаций и пространственных взаимодействий. Несмотря на это, различные функциональные части белков, а также белки, относящиеся к различным функциональным группам, имеют закономерности в распределении аминокислот в аминокислотной последовательности.

Одним из основных недостатков фрактального анализа биологических сигналов является интегральный характер получаемых результатов, который не позволяет выявить основные компоненты сигнала, отражающие основной вклад нелинейной динамики биологической системы. Не менее серьезна и проблема высокой исходной размерности пространства состояний анализируемой системы, что резко ограничивает возможности традиционных методов анализа. Попытки снижения исходной размерности пространства состояний за счет упрощения структуры сигнала на основании известных общебиологических представлений на начальных этапах анализа нелинейной динамики биомолекул нередко приводили к существенной потере информации. Так, в первых работах в области исследования последовательностей ДНК методами флуктуационного анализа алфавит был упрощен до двоичного путем обобщения нуклеотидов с пуриновыми и пиримидиновыми основаниями, в результате чего не была выявлена зависимость между отсчетами в кодирующих сегментах генетического кода [5], показанная позднее [6]. Непосредственный анализ всех четырех оснований приводит к трехмерной модели [7].

При анализе сигналов биокаталитических систем последнее ограничение выражено особенно ярко и при попытке непосредственного анализа в двадцатимерном пространстве приводит к эффекту, называемому в математике "проклятием размерности". Известные из литературы примеры снижения размерности задачи включают кодирование каждой из аминокислот числовым значением, участвующим в формировании одномерного сигнала для нескольких вариантов расположения аминокислот согласно различным критериям [8]. Вызывает сомнение репрезентативность такого подхода, так как общее число возможных комбинаций определяется как число сочетаний и очень велико для анализа. Известны варианты разбиения на четыре подкласса (сведение к четверичному алфавиту): неполярные, отрицательно-полярные, незаряженные полярные и положительно-полярные [9], а также к шестиричному: ВЬ, ЬЬ, Л, 1Ь, НЬ [10]. Также известна классификация на основании данных о тех или иных численных показателях, например, связанных с гидрофобностью [10]. Среди формально-математических подходов к уменьшению размерности пространства состояний системы следует отметить работы, связанные с применением рекуррентного численного анализа с последующим формированием новой системы координат на основе метода выделения главных компонентов [11], [12].

Предложенный авторами настоящей статьи подход на основе интервальных статистик является высокоспецифичным и позволяет выявить вклад отдельных компонентов сигналов в нелинейную динамику биокаталитической системы на основе анализа отклонения распределения интервалов между одинаковыми аминокислотами от экспоненциального

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 3======================================

распределения, характеризующего пуассоновский поток, сформированный независимыми отсчетами данных. При этом закономерности в распределении аминокислот в аминокислотной последовательности обусловлены теми составляющими, распределение которых отличается от экспоненциального. С другой стороны, полученные недавно результаты, касающиеся интервальных статистик для мультифрактальных данных [13], [14], позволяют связать полученные результаты с характеристиками сигналов биокаталитической системы в терминах фрактального анализа, но уже на более детализированном уровне, с учетом индивидуального вклада каждого из компонентов отдельно для каждого анализируемого класса сигналов, что способствует более подробной аннотации функциональной организации биокаталитической системы. Предыдущие примеры применения рассмотренного математического аппарата к анализу нелинейной динамики биологических систем показали устойчивость взаимосвязей его результатов с результатами фрактального анализа [15], а также высокую эффективность при допускаемой вариативности в структуре сигналов, характерной для многих биосистем [16], [17].

В таблице дана классификация и характеристики выборки анализируемых сигналов биокаталитических систем.

Классы сигналов биокаталитических систем Объем выборки

Сенсорные гистидин-киназы 52

Внутриклеточные ферменты 104

Внеклеточные ферменты (протеиназы) Сериновые протеиназы 63

Металлопротеиназы 105

Внеклеточные ферменты (целлюлазы) 90

Белки, ассоциированные с клеточной стенкой 78

Транспортные белки AB C -переносчики 110

Пермеазы 100

Всего 702

Далее приведены результаты анализа функциональных сигналов различных групп биокаталитических систем живого организма с использованием математического аппарата интервальных статистик. В качестве модельного объекта использованы белки сенной палочки (Bacillus subtillis), классифицированные по функциональным группам (см. таблицу), а также промышленные ферменты различных бактерий (протеиназы и целлюлазы). Поскольку длины каждой из анализируемых цепочек аминокислот невелики, результаты

анализа представлены в виде оценок C (r ) = 1 - C (r), где C (r) - кумулятивная функция распределения, вместо более традиционных оценок плотностей вероятности P (r) на основе гистограмм. Применение кумулятивных характеристик позволяет избежать ряда трудностей, связанных с аппроксимацией хвостов гистограмм при малых объемах выборок, обусловленных требованиями минимизации длин окон гистограмм. В то же время несложными алгебраическими преобразованиями легко показать, что основные функциональные зависимости при подобном переходе справедливы и для анализируемой функции C (r). Так, экспоненциально убывающей гистограмме P ( r ) ~ e r будет соответствовать экспоненциально убывающая функция C (r) ~ e~r. Аналогично нетрудно произвести подобные преобра-

у

зования для случаев растянутой экспоненциальной зависимости P (r ) ~ e-r , характерной

для монофрактальных данных, и степенной зависимости Р (г) ~ г "8, характерной для мультифрактальных данных.

На рис. 1 приведены результаты эмпирической оценки усредненной функции С(г) для сигналов шести различных классов биокаталитических систем, включающих более 700 различных биокатализаторов. Поскольку частота встречаемости, а следовательно, и средний интервал Яп для различных компонентов сигнала различны, сравнение формы проведено при нормированном представлении аргумента: г/Яп. Как видно из рис. 1, в большинстве случаев функция С (г) при г » Яп может быть удовлетворительно аппрок-

симирована растянутым экспоненциальным распределением С

, обычно приме-

няемым для монофрактальной модели сигнала с линейным характером взаимосвязи между отсчетами. В рассматриваемом случае, поскольку из литературы [8]-[10] известно, что процесс носит мультифрактальный характер, обусловленный, по всей видимости, также и нелинейной составляющей зависимости между отсчетами, следует рассматривать показатель степени у как некоторое эффективное значение у эф, учитывающее вклад как линейной, так и нелинейной зависимостей. Значение параметра уэф определяет степень взаимной зависимости отсчетов различных компонентов сигналов биокаталитической системы, а также их вклад во фрактальную структуру всего сигнала.

_ У

Приведенные на рис. 1 точечные линии, соответствующие функциям е г , у = 1, 0.8, 0.7, условно подразделяют анализируемые компоненты сигналов шести указанных в таблице классов биокаталитических систем на три группы. В первую группу входят компоненты (А, G, I, К, L, S, Т, V), распределение интервалов которых слабо отличается от экспоненциального (0.8 < у < 1) (рис. 1, I), а, следовательно, их взаимное положение слабо отличается от независимого. Во вторую группу входят компоненты (р, F, М, N Р, Q, У), распределение интервалов для которых характеризуется параметром 0.7 < у < 0.8, что свидетельствует о несколько более выраженной зависимости (рис. 1, II). Наконец, в третью группу отнесены компоненты сигналов (С, Е, Н, Я, W), вклад которых является наибольшим и для которых у < 0.7 : для С уэф = 0.45 ; для W уэф = 0.47 ; для Н уэф = 0.57 ; для Е и Я уэф = 0.63 (рис. 1).

Из биохимического анализа следует, что аминокислоты цистеин С и триптофан W, как правило, участвуют в формировании и стабилизации прочной третичной структуры. Поэтому расположение С должно быть строго определено в последовательности белка. Гистидин Н, аргинин Я и глутамино-вая кислота Е, как правило, входят в состав активного центра фермента, который и осуществляет каталитический акт, и их рас-

С

10

_2

10

_3

- W

- Я

у = 1 0.8

0.7

0.63-

Ч ..........

-

'"-V. 0*57

-Ч

10 Рис. 1

_ г

е

положение также критично для правильного функционирования биокатализатора [18]-[20]. Компоненты, входящие в первую и вторую группы, также участвуют в формировании трехмерной структуры биокатализатора, однако они, по всей видимости, не являются настолько критическими [19]. Таким образом, подход на основе анализа интервальных статистик позволяет выделить главные компоненты (аминокислоты), положение которых не является случайным, и которые имеют определяющее влияние на формирование фрактального характера анализируемых сигналов и функциональной активности биосистемы.

На рис. 2 приведены результаты анализа для сигналов отдельных классов биокаталитических систем: а - сенсорные гистидин-киназы, б - внутриклеточные ферменты, в - внеклеточные ферменты (протеиназы), г - транспортные белки, д - белки, ассоциированные с клеточной стенкой, е - внеклеточные ферменты (целлюлазы). Точечными линиями приведены у ~

функции e~r , у = 1, 0.7, 0.6, 0.5, 0.4. Отображены распределения С (r) только для тех компонентов, которые для каждого из анализируемых классов сигналов можно отнести к третьей группе, характеризуемой параметром распределения интервалов у < 0.7 . Из рис. 2 видно, что в сигналах всех рассмотренных классов биокаталитических систем имеются компоненты, характеризующиеся широкими распределениями интервалов между позициями, т. е. демонстрирующие выраженную зависимость между отсчетами. Так, для класса гистидин-киназ к этой группе относятся только компоненты C (цистеин) и W (триптофан), необходимые для стабилизации пространственной структуры [18], для которых 0.6 <у< 0.7 (рис. 2, а). Для класса

внутриклеточных ферментов уже для трех компонентов С, Н и W уэф ~ 0.6 (рис. 2, б), что

объясняется участием гистидина Н в формировании активного центра биокатализатора [19]. В классе протеиназ для компонентов С уэф ~ 0.4, для W уэф ~ 0.5, для фенилаланина F

уэф ~ 0.6. Неслучайное расположение этих компонентов объясняется, вероятно, необходимостью формирования прочной структуры биомолекулы, устойчивой в агрессивных условиях. Для гистидина Н и аспарагина К, формирующих активный центр фермента [20], 0 6 < уэф < 0.7 (рис. 2, в). Для сигналов транспортных белков, кроме С, W, 0.4 < уэф < 0.5;

неслучайное распределение имеют положительно заряженные аспарагиновая кислота D, глутаминовая кислота Е и гистидин Н, участвующие в формировании транспортного канала, для которых 0.6 < уэф < 0.7 (рис. 2, г). Для белков, ассоциированных с клеточной стенкой и имеющих очень жесткую структуру, характерно выделяются гидрофобные компоненты С, W с уэф < 0.4 и F, Н, М, Я, У с 0.6 < уэф < 0.7 (рис. 2, д). Наконец, для класса целлю-

лаз 0.6 < уэф < 0.7 только для С и Н (рис. 2, е).

На рис. 3 приведены результаты анализа сигналов различных подклассов протеиназ и транспортных белков. Из рис. 3, а-в видно, что в то время, как в подклассе металлопротеи-наз весь алфавит значимых компонентов класса протеиназ (С, F, Н, К, W) сохраняет свою значимость, в подклассе сериновых протеиназ только компоненты С и W характеризуются

значимо широким распределением интервалов. Возможным объяснением может служить жесткость трехмерных структур металлопротеиназ, в отличие от сериновых [3]. Аналогично в классе транспортных белков, в то время, как для его подкласса пермеаз весь алфавит исходного класса (C, D, E, H, W) является значимым, для подкласса ABC-переносчиков значимой зависимостью характеризуются только C, D, H, W.

Таким образом, предложенный подход к анализу сигналов биокаталитических систем на основе интервальных статистик позволяет выявлять основные компоненты сигнала, ответственные за формирование его (мульти)фрактальной динамики. При этом, в отличие от формально-математических методов выделения главных компонентов и минимизации размерности пространства состояний системы, предложенный подход не связан с переходом к новой системе координат, что делает его более удобным для применения в практике генной инженерии. Выявленные на основе предложенного подхода различия основных компонентов, характеризующихся неслучайным положением своих элементов, для разных классов сигналов биокаталитических систем согласуются с их биохимическими и структурно-функциональными особенностями. Этот факт позволяет утверждать, что данный подход может быть успешно использован для анализа функциональной организации биокаталитических систем.

Список литературы

1. Mosaic organization of DNA nucleotides / C.-K. Peng, S. V. Buldyrev, S. Havlin et al. // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 1685-1689.

2. Linguistic features of nonconding DNA sequences / R. N. Mantegna, S. V. Buldyrev, A. L. Goldberger et al. // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. P. 3169-3172.

3. Characterizing long-range correlations in DNA sequences from wavelet analysis / A. Arneodo, E. Bacry, P. V. Graves et al. // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 74. P. 3293-3296.

4. Rosas A., Nogueira E. J., Fontanari J. F. Multifractal analysis of DNA walks and trails // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. P. 061906(1-6).

5. Long-range correlations in nucleotide sequences / C.-K. Peng, S. V. Buldyrev, A. L. Goldberger et al. // Nature. 1992. Vol. 356. P. 168-170.

6. Chatzdimitriou-Dreismann C. A., Lahrammar D. Long-range correlations in DNA // Nature. 1993. Vol. 361. P. 212-213.

7. Statistical correlation of nucleotides in a DNA sequence / L. Luo, W. Lee, L. Jia et al. // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 861-871.

8. Yu Z.-G., Ahn V., Lau K.-S. Multifractal and correlation analyses of protein sequences from complete genomes. // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68. P. 021913 (1-10).

9. Yu Z.-G., Ahn V., Lau K.-S. Chaos game representation of protein sequences based on the detailed HP model and their multifractal and correlation analyses // J. of theoretical biology. 2004. Vol. 226. P. 341-348.

10. Yang J.-Y., Yu Z.-G., Ahn V. Clustering structures of large proteins using multifractal analyses based on a 6-letter model and hydrophobicity scale of amino acids // Chaos, Solitons and Fractals. 2009. Vol. 40. P. 607-620.

11. Recurrence quantification analysis in structure-function relationships of proteins: an overview of a general methodology applied to the case of TEM-1 p-lactamase / J. P. Zbilut, A. Giuliani, C. L. Webber et al. // Protein Engineering. 1998. Vol. 11, № 2. P. 87-93.

12. Nonlinear signal analysis methods in the elucidation of protein sequence-structure relationships / A. Giuliani, R. Benigni, J. P. Zbilut et al. // Chem. Rev. 2002. Vol. 102. P. 1471-1491.

13. Bogachev M. I., Eichner J. F., Bunde A. Effect of nonlinear correlations on the statistics of return intervals in multifractal data sets // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 240601(1-4).

14. Bogachev M. I., Eichner J. F., Bunde A. The effect of multifractality on the statistics of return intervals // Eur. Phys. J. Spec. topics. Vol. 181. P. 181-193.

15. Statistics of return intervals between long heartbeat intervals and their usability for online prediction of disorders / M. I. Bogachev, I. S. Kireenkov, E. M. Nifontov, A. Bunde // New J. phys. 2009. Vol. 11. P. 063036 (1-18).

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 3

16. Богачев М. И. К вопросу о прогнозируемости выбросов динамических рядов с фрактальными свойствами при использовании информации о линейной и нелинейной составляющих долговременной зависимости // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 5. С. 31-40.

17. Богачев М. И. Сравнительный анализ помехоустойчивости методов прогнозирования выбросов случайных сигналов с фрактальными свойствами при использовании информации о кратковременной и долговременной зависимостях // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2010. Вып. 1. С. 11-21.

18. Уайт А., Хендлер Ф. Основы биохимии: в 3 т. Т. 2. М.: Мир, 1981. 312 с.

19. Страйер Л. Биохимия. Т. 1. М.: Мир, 1984. 232 с.

20. Siezen R. J., Leunissen A. M. Subtilases: the superfamily of subtilisin-like serine proteinases // Protein science. 1997. Vol. 6. P. 501-523.

21. Hydrophobic interactions between the secondary structures on the molecular surface reinforce the alkaline stability of serine protease / Y. Oguchi, H. Maeda, K. Abe et al. // Biotechnol. lett. 2006. Vol. 28, № 17. P. 1383-1391.

M. I. Bogachev

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI" A. R. Kayumov

Kazan state university of architecture and engineering E. O. Mikhailova

Kazan state technological university

Analysis of the signal structure and functional organization of biocatalytic systems using intervals statistics

A new approach to analyze the signal structure and functional organization of a biocatalytic system based on the estimation of the major statistical characteristics of the intervals between different signal elements is proposed. The method is shown to be highly specific in the elucidation of the individual signal components contribution to the overall nonlinear dynamics of the biocatalytic system. The proposed method can be also used to extend the results of dynamic chaos theory tools, fractal analysis and other nonlinear systems analysis methods in the direction of detailed components analysis exploiting the recently shown relationship between interval statistics and fractal properties. The major advantage of the proposed approach is main components selection without changing the coordinate system of the original state space.

Signal structure, statistical analysis, biocatalytic system, interval statistics, main components

Статья поступила в редакцию 10 марта 2010 г.

УДК 62-50:519.216

Д. С. Вильмицкий, Г. Н. Девятков

Новосибирский государственный технический университет

| Математическая модель идеального устройства класса Е

Предложена математическая модель ключевого устройства класса Е, учитывающая протекание произвольного количества гармоник тока. На основании предложенной модели получены аналитические решения для ключа с потерями и для идеального ключа. Показана справедливость полученных соотношений.

Усилитель, умножитель частоты, класс Е, идеальный режим

Большая часть потребляемой энергии в передающих устройствах приходится на усилитель мощности. В связи с этим повышение КПД усилителя мощности позволит улучшить энергетические, тепловые и массогабаритные показатели всего передающего

16

© Вильмицкий Д. С., Девятков Г. Н., 2010