Численное моделирование фильтрации в трещиновато-пористой среде

УДК 539.3

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ В ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

О. А. Ходос1

Статья посвящена исследованию различных способов описания фильтрации в трещиновато-пористой среде. На примере осесимметричной фильтрации в проводящем слое сравниваются три подхода. Первый подход — это упругий режим фильтрации в слое с осреднен-ными свойствами. Во втором задача формулируется в терминах двух неизвестных функций — давлений, осредненных независимо в трещинах и порах. В третьем предложена модель двухмасштабной фильтрации, в которой фильтрация в порах ограничена размерами каждого блока.

Ключевые слова: трещиновато-пористая среда, модель двойной пористости.

Various approaches to study the filtration in a fractured porous medium are discussed. As an example, three approaches are compared using the axisymmetric filtration in a conducting layer. The first approach is the so-called elastic mode of filtration in a layer with homogenized properties. In the second approach, the problem is formulated in terms of two unknown functions of pressures averaged over cracks and pores. In the framework of the third approach, a two-scale filtration model in which the pore filtration is limited by the size of each porous block is proposed.

Key words: fractured porous medium, dual-porosity model.

Введение. Во многих месторождениях нефти в России горная порода относится к средам трещиновато-пористого типа, в которых флюиды находятся в двух связанных между собой системах — малопроницаемых пористых блоках, занимающих основную часть пласта, и трещинах, обладающих высокой проницаемостью. Особенностью этих пород является то, что трещины, занимающие незначительную долю общего порового пространства, оказывают существенное влияние на фильтрационные свойства.

Будем рассматривать осесимметричный слой. Такая модель соответствует слоистому пласту, в котором трещиновато-пористый объем граничит сверху и снизу с непроницаемыми для жидкости пластами. Обозначим через D суммарную толщину трещиновато-пористого пласта, содержащего магистральные трещины и поровые блоки, через y ^ 1 — относительную толщину трещиноватой части пласта. Параметры, относящиеся к трещиноватой среде, будем снабжать индексом 1, а к пористым блокам — индексом 2. Полагаем, что проницаемость ki ^ к2, а пористость Ш\ ^ Ш2, Ш = Ш\ + Ш2 — суммарная пористость.

Осредненная модель. В работах [1, 2] рассматривается так называемая модель упругого режима фильтрации, которая возникает из связанной модели фильтрации Био [3] при определенных допущениях [4, 5]. Уравнения движения жидкости в несжимаемом каркасе в случае неустановившейся плоскорадиальной фильтрации имеют вид

г = к — (г m

д t дг\дгJ'

где p — давление жидкости, r — радиальная координата, а к представляет собой осредненный в соответствии с правилом смеси по всему объему пласта толщины D коэффициент уравнения (1):

^ _ к\ mi к2 т2 [3\ т /?2 т '

Здесь и — упругоемкости трещиноватой части пласта и пористой среды: в = @c + @f mi, i = 1, 2, где вс — объемная сжимаемость каркаса, @f — сжимаемость жидкости.

На границе скважины с пластом задается поток жидкости Qo в виде

dp dr

Qo 2тг kD'

r=r

c

1 Ходос Ольга Александровна — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: hodos-olga@mail.ru.

а на контуре пласта, т.е на границе, находящейся на значительном расстоянии Ь от скважины, задается нулевое давление:

р\т=ь = 0.

Численное моделирование процесса фильтрации проводилось на основе неявной разностной схемы [6, 7].

Модель Баренблатта. Г.И. Баренблаттом и соавторами [1] предложена модель, описывающая движение жидкости в среде с двойной пористостью в предположении, что коллектор состоит из слабосжи-маемого каркаса пористых блоков и трещин. При этом фильтрация жидкости, как и в первой модели, подчиняется закону Дарси

, , дрп

и)1{г,г) =-к1———, Ь)2{г,Ц = -к2——•

Обмен жидкостью между блоками и трещинами предполагается пропорциональным разности давлений в блоках и трещинах. Система уравнений, описывающая фильтрацию по этой модели, имеет следующий вид:

др1 к1 д ( др А гЛ

др2 к2 д ( др2\ гЛ

где Л — параметр, зависящий от геометрических характеристик пористых блоков. В трещиновато-пористом пласте приток в скважину складывается из дебита жидкости ^1, притекающей из трещин, и из дебита жидкости Q2, поступающей из пористых блоков: Ql + Q2 = Qo. Таким образом, граничные условия на стенке скважины имеют нестандартный вид:

dp 1 дг

Qi др2

г

Ql+Q2=Qo, Pl=P2-

т=тс т=тс 2пк2(1 -

На удалении от скважины граничные условия аналогичны условию полностью осредненной модели:

Р1\т=Ь = 0, Р2\т=Ь = 0.

Отметим, что во второй модели жидкость и в трещинах, и в порах движется по всему пласту радиуса Ь. В третьем подходе фильтрация жидкости в блоках ограничена пределами каждого блока.

Двухмасштабная модель. Разобьем область на блоки, в поровой среде каждого из которых движение происходит только по вертикальному направлению, т.е. имеющаяся в поровом объеме жидкость перетекает в трещины. Движение жидкости в трещинах описывается следующим уравнением:

др1 д др1

с граничными условиями

dpi дг

^ I

Pl\r=L = 0.

r=rc

Интенсивность перетока q(r, t) определяется потоком из порового объема в трещину, величина которого находится из решения уравнения

др2 д2р2

Ж = к 0<г<7д

с граничными условиями

^ = 0, z = 0] P2=Pi, z = (l-i)D.

Задача для р2 решается отдельно для каждого r (каждого блока). Уравнения удобно обезразмерить:

r = r/L, pi = pi/po, t = t/T,

где L, po и T — характерные величины задачи. При этом размерные параметры, входящие в задачу, сгруппируем таким образом, чтобы сохранить общий вид уравнений и граничных условий моделей: в первой

модели на место к и Qо/2кJDpkl поставим величины к и <5о, во второй модели на место к\/@\, к2/в2 и комбинаций Q0/2пYDpkl, (1 — 7)к1 Ql/^к2 — величины к1, к2, (к 1, (к2, в третьей вместо к1, к2 и Q0/2пYDpkl — величины к1, к2, Qо. Знак тильды в дальнейшем опускаем. Безразмерные уравнения и граничные условия имеют тот же вид, что и система уравнений, приведенная выше. При этом коэффициенты заменяются на безразмерные, например к1 = Tkl/D2(1 — 7)^1, к2 = Тк2/D2(1 — 7)02, Л = Тк2/т(1 — 7)D2в2.

Характерные величины безразмерных параметров для трех моделей приведены в таблице.

Осредненная Модель Двухма.сштабная

модель Баренблатта модель

к Я к Аз Ах Аз <¿1 <¿2 к Аз А Я

1СГ6 ю2 1СГ3 ю-9 ю-4 1СГ6 102 10 10~3 ю-7 10~2 ю2

Сравнение моделей. В качестве начальных данных для всех моделей использовалось однородное невозмущенное состояние пласта. На начальном этапе расчета в пласте происходит перераспределение давления, после чего решение выходит на стационарный режим. Максимальная проницаемость слоистого пласта достигается при к1 = к2. Естественно, что при близких значениях к1 и к2 первые две модели дают идентичные результаты, а третья модель дает неадекватное описание. Уменьшение проницаемости пор приводит к тому, что основной приток жидкости в скважину будет осуществляться за счет работы трещин. На рис. 1 представлены кривые распределения установившегося безразмерного давления в пласте для к2/к1 = 10"4. Сплошной линией обозначено решение, полученное из первой модели. Штрихпунктир-ная линия соответствует решению второй модели, пунктирная линия — решению третьей модели. Кривые на графиках, полученные по модели упругого режима и модели Баренблатта соответственно, практически совпадают. Похоже, что при уменьшении отношения проницаемостей до 10_4 модель с полностью осредненными параметрами дает все еще адекватное описание, о чем свидетельствует совпадение графика давления с аналогичным графиком, полученным по модели Баренблатта. Третья же модель все еще дает отличные результаты. Однако при уменьшении отношения проницаемостей картина меняется. На рис. 2 представлена зависимость давления на стенке скважины для к2/к1 = 10_6 (обозначение кривых то же, что на рис. 1). Можно заметить, что теперь совпадают графики давлений, рассчитанных по второй и третьей моделям. Представляется, что ограничение фильтрации в поровом пространстве каждого блока соответствует столь малому отношению проницаемостей.

Таким образом, выявлена область применимости двухмасштабной модели, которая ограничена весьма малым отношением проницаемостей. Здесь можно заметить, что эта модель допускает параллельное решение задачи фильтрации в каждом блоке. С другой стороны, кажется, что модель Баренблатта дает достоверное описание в широком диапазоне отношения проницаемостей при связанной системе трещин. Однако увеличение числа уравнений и необходимость получения дополнительных параметров с реального месторождения создает трудности в практической реализации этой модели. Поэтому для не слишком малого отношения проницаемостей может применяться простая полностью осредненная модель, требующая меньше входных параметров.

Р

Рис. 1. Распределение безразмерного давления в радиальном направлении для отношения проницаемостей 10~4

Рис. 2. Изменение безразмерного давления на стенке скважины во времени для отношения проницаемостей 10~6

Автор приносит благодарность научному руководителю С. В. Шешенину. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-01-92111).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в пористых средах. М.: Недра, 1984.

2. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидродинамика. М.: Недра, 1993.

3. Biot M.A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid // Appl. Phys. 1955. 26, N 2. 182-185.

4. Киселев Ф.Б., Шешенин С.В. Разностная схема для задачи нестационарной фильтрации в слоистых грунтах // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1996. № 3. 129-139.

5. Gambolati G. Numerical models in land subsidence control // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1975. N 5. 227-237.

6. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.

7. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.

Поступила в редакцию 19.06.2009

УДК 519.633+539.374

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗГОНА И ОСТАНОВКИ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ БИНГАМА-ИЛЬЮШИНА МЕЖДУ СООСНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ

Л. В. Муравлева1, Е. А. Муравлева2

Рассматривается задача о течении вязкопластической среды Бингама-Ильюшина в кольцевом зазоре между вращающимися цилиндрами (круговое течение Куэтта). Проведено численное моделирование процессов установления и остановки течения.

Ключевые слова: вязкопластичность, среда Бингама-Ильюшина, нестационарные течения, вариационные неравенства, течение Куэтта.

We consider flow of viscoplastic Bingham-Il'yushin medium in annulus between rotating coaxial cylinders. Start-up and stopping problems have been modelled numerically.

Key words: viscoplasticity, Bingham-Ilyushin medium, unsteady flows, variational inequalities, Couette flow.

Существует широкий круг материалов, для исследования которых необходимо учитывать свойства вязкости и пластичности одновременно. Такие материалы описываются, в частности, моделями вязкопла-стичности [1], вязкоупругопластичности [2], моделями пористых сред в случае протекания вязкопластической жидкости [3]. Решение нестационарных задач для вязкопластической среды представляет большой интерес даже в одномерном случае. Подробный обзор таких работ содержится в [4]. Среди недавних публикаций (после 2005 г.) отметим работы, посвященные задачам об остановке течения Пуазейля (плоского и осесимметричного) [5, 6], плоского течения Куэтта [5, 7], а также течения в каналах различного поперечного сечения [8, 9]. В работах [10, 11] проведено численное моделирование нестационарного течения в ротационном и крутильном вискозиметрах. Таким образом, моделирование одного режима любой из перечисленных одномерных задач является темой отдельной публикации в ведущих отечественных и международных журналах.

Задача Куэтта-Тэйлора, т.е. задача о стационарном течении вязкопластической среды между со-осными цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями, имеет аналитическое решение, построенное Рейнером и Ривлиным [4]. Будем считать, что внешний цилиндр (r = b) вращается с постоянной угловой скоростью, а внутренний цилиндр (r = a) удерживается в покое крутящим моментом M.

1 Муравлева Лариса Викторовна, — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lvmurav@gmail.com.

2 Муравлева Екатерина Анатольевна — асп. Ин-та вычислительной математики РАН, e-mail: catmurav@gmail.com.