Геометрически нелинейные математические модели термопластичности оболочек переменной толщины

со стороны смазочного слоя как на ротор, так и на втулку подшипника. Определено условие равновесия для движения шипа в положениях равновесия в подвижных осях. Согласно результатам проведенного исследования, положения равновесия шипа в подшипнике скольжения оказались неустойчивыми, причем траектория

автоколебания в одном случае есть окружность, а в другом — эллипс. Угловая скорость автоколебания шипа равна или чуть меньше половины суммы угловых скоростей ротора и втулки (см. [2]). Исследование устойчивости движения втулки с учетом влияния внутреннего и внешнего полей смазки может быть проведено по аналогии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нгуен Ван Тханг. Силы и моменты, действующие на ротор в упорном подшипнике скольжения, с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил [Текст] / Нгуен Ван Тханг // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011. - № 1(116). - С. 116-122.

2. Нгуен Ван Тханг. Определение скорости вращения втулки в упорном подшипнике скольжения с учетом гидродинамики смазки и центробежных сил [Текст] / Нгуен Ван Тханг, Д.Г. Арсеньев, А.К. Беляев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2012.- № 2(146). -С. 156-163.

3. Dubois, G.B. Analytical derivation and experimental evaluation of short-bearing approximation for full journal bearing [Text] / G.B. Dubois, F.W. Ocvirk // Cornell Univ. Report. -1953.- No. 1157. - P. 119-127.

4. Пешти, Ю.В. Проектирование подшипников скольжения с газовой смазкой [Текст] / Ю.В. Пешти. - М.: МВТУ им. Баумана, 1973. - 171 с.

5. Максимов, С.П. Автоколебания роторов, вызванные масляным слоем подшипников скольжения [Текст] / С.П. Максимов // Труды ЦКТИ. Котлотур-бостроение. - 1964. - № 44. - С. 87-96.

6. Коровчинский, М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения [Текст] / М.В. Коровчинский. - М.: Машгиз, 1959. - 405 с.

7. Belyaev, A.K. Forces and moments acting on the rapidly rotating floating bearing [Text] / A.K. Belyaev, Nguyen Van Thang // 36th International Summer School -Conference APM' 2008. Repino, Saint Petersburg, Russia. - P. 104-111.

8. Тондл, А. Динамика роторов турбогенераторов [Текст] / А. Тондл. - Л.: Энергия, 1971. - 390 с.

9. Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения [Текст] / Д.Р. Меркин. - М.: Наука, 1976. - 320 с.

10. Boyaci, A. Analytical bifurcation analysis of a rotor supported by floating ring bearings [Текст] / A. Boyaci, H. Hetzler, W. Seemann // Nonlinear Dynamics. Berlin: Springer, 2009. - Vol. 57. - P. 497-507.

11. Hatakenaka, K. A theoretical analysis of floating bush journal bearing with axial oil film ruptures being considered [Text] / K. Hatakenaka, M. Tanaka, K. Suzuki // Journal of Tribology. - 2002.- Vol. 124(3). - P. 494-505.

12. Гургвиц, А.Г. Устойчивость движения валов в подшипниках жидкостного трения [Текст] / А.Г Гургвиц, Г.А. Завьялов. - М.: Машиностроение, 1964. - 145 с.

УДК 539.3

В.М. Жгутов

ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Оболочки как элементы разного рода конструкций широко применяются в различных областях техники и строительства.

Тонкостенные элементы современных конструкций в виде оболочек предназначены для работы под воздействием механических нагру-

зок (как статических, так и динамических) и нередко температурного поля, обуславливающего появление чисто температурных деформаций.

Для придания в нужных местах большей жесткости профиль тонких оболочек может иметь плавные утолщения. С целью повышения

жесткости тонкостенная часть оболочки может быть подкреплена дискретно расположенными ребрами. В обоих случаях существенно повышается несущая способность конструкции при незначительном увеличении ее массы.

Таким образом, всю конструкцию следует рассматривать как конструкцию переменной толщины. В зависимости от характера изменения толщины будем различать оболочки гладко-переменной и, соответственно, ступенчато-переменной толщины (ребристые оболочки).

Известно, что тонкие оболочки могут допускать прогибы, соизмеримые с их толщиной (даже под воздействием нагрузок, далеких от критических значений).

Расчеты на прочность, устойчивость и колебания оболочечных конструкций играют важную роль при проектировании современных аппаратов, машин и сооружений. Тем не менее, поведение тонкостенных конструкций переменной толщины, при котором проявляются геометрическая нелинейность, поперечные сдвиги, нелинейная упругость (пластичность, или, точнее, упругопластичность), переменность профиля и возникают чисто температурные деформации, исследовано недостаточно. Причинами такого состояния дел являются сложность совместного учета упомянутых факторов и необходимость решения громоздких нелинейных краевых задач.

Физические основы теплопроводности и термоупругости изложены в энциклопедическом курсе Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [1]. Прикладные аспекты теории упругости и пластичности обстоятельно освещены в трудах Н.И. Безухова [2] и Н.Н. Малинина [3]. Вопросам расчетов различного рода конструкций на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур посвящена монография Н.И. Безухова и др. [4]. Анализ современного состояния теории оболочек, формулировка основополагающих принципов и построение модели термоупругих оболочек постоянной толщины приводится в весьма содержательной работе П.А. Жилина [5]. Разработке математических моделей термоупругости оболочек переменной толщины для задач статики посвящены публикации В.В. Карпова и др. [6, 7]. Однако в статье [7] не учитываются поперечные сдвиги (используется модель Кирхгофа — Лява) и

геометрическая нелинейность, а также не рассматриваются ребристые оболочки. В монографии [6] в задачах термоупругости (приведенных исключительно для ребристых оболочек) используется модель Кирхгофа-Лява при учете геометрической нелинейности. В работе В.М. Жгутова [8] построена математическая модель термоупругости оболочек (как гладко-, так и ступенчато-переменной толщины) для задач статики и динамики при учете поперечных сдвигов (модель типа Тимошенко — Рейсснера) и геометрической нелинейности. Тем не менее, в работе [8] не учитывается возможность проявления нелинейной упругости (пластичности) материала при достаточно больших нагрузках.

Математическому моделированию деформирования ребристых оболочек и оболочек гладко-переменной толщины при учете различных свойств материала (нелинейная упругость, ползучесть) посвящены работы В.М. Жгутова [9 — 11] и другие, а также Р.А. Абдикаримова и В.М. Жгутова [12, 13]. Но в указанных работах не учитывается возможное влияние температурного поля на напряженно-деформированное состояние и устойчивость исследуемых оболочек.

Проектирование и последующее создание легких, но вместе с тем прочных и надежных, конструкций требует дальнейшего совершенствования механических моделей деформируемых тел, а также разработки новых интегральных методов их расчета.

В связи с этим разработка более совершенной математической модели термопластичности оболочек является актуальной и важной задачей.

В настоящей статье предложены математические модели термопластичности оболочек переменной толщины (для задач статики и динамики), основанные на модели типа Тимошенко — Рейсснера (учитывающей поперечные сдвиги).

В случае ребристых оболочек учитывается также дискретность расположения ребер, их ширина, сдвиговая и крутильная жесткости.

Постановка задачи

Рассматриваем оболочки общего вида с краем (пологие на прямоугольном плане и оболочки вращения, в частности цилиндрические,

конические, сферические, торообразные, а также многие другие).

Некоторую внутреннюю поверхность оболочки принимаем за отсчетную поверхность: x3 = 0 . Координатные линии x1 и x2 криволинейной ортогональной системы координат (-a/ 2<x1 <a/ 2и -b/ 2<x2 <b/ 2) направляем по линиям кривизны (по параллелям и меридианам в случае поверхности вращения), а ось x3 — по внутренней нормали отсчетной поверхности так, чтобы система координат xj, x2, x3 была правой. Полагаем, что определенная таким образом сеть координатных линий на отсчетной поверхности оболочки обеспечивает гладкость и регулярность ее параметризации.

Дифференциалы длин дуг координатных линий xj, x2 и оси x3 определяем по формулам

dl1 = Hldxl, dl2 = H2dx2 , dl3 = H3dx3 = dx3,

где H1 = H1(x1,x2), H2 = H2(x1,x2), H3 = 1 — метрические коэффициенты Лямэ.

При этом H1 и H2 зависят от вида оболочки. Например, H1 = H2 = 1 для пологих оболочек и пластин; H1 = const и H2 = H2(x1) в случае оболочек вращения.

Переменную толщину оболочки h = H(x1, x2) eCk задаем ограничивающими ее (в направлениях нормалей к отсчетной поверхности) гладкими (или ступенчато-гладкими) поверхностями гв = z^x^ x2) и гн = ^(x^ x2) так, что h = гн - гв и гв < x3 < гн . Следует отметить , что принадлежность функции f (x1, x2) классу гладкости Ck означает, что функция имеет непрерывные частные производные до порядка k > 1 включительно; запись f (x1, x2) е C0 требует только непрерывности по совокупности аргументов. Полагаем, что векторы (ковекторы) градиентов Угв и Угн отличны от нуля и коллинеарны, т. е.

rang

&в / ôx1 &в / ôx2 dzH / 3xj 3zH / 5x2

= 1

любой точке поверхности х3 = 0 .

Пусть Кх = Кх(хх,х2) и К2 = К2(х^х2) — главные кривизны отсчетной поверхности х3 = 0 оболочки в направлениях хх и х2 соот-

ветственно . Для любой точки отсчетной поверхности оболочки (как правило, не являющейся точкой уплощения), хотя бы одно из значений K1 и K2 отлично от нуля: (K1, K2) ф (0,0). В случае точки уплощения (редком в теории оболочек) (K1, K2) = (0, 0). Отметим, в частности, что для пластин K1 = K2 = 0 ; 0 ф K1 = K2 = const для сферических и K1 = 0 ф K2 = const для цилиндрических оболочек вращения.

По определению, главные радиусы кривизны отсчетной поверхности оболочки следуют выражениям

R1 = R1(x1, x2) = 1/K1, R2 = R1(x1, x2) = 1/K2.

Случаям K1 = 0 v K2 = 0 отвечают «бесконечно большие» значения R1 = да v R2 = да . Здесь v — оператор дизъюнкции предложений (логическое «или»).

Оболочки считаем тонкими, так что для любой точки отсчетной поверхности выполняется условие:

5 = max j R; h j< 1/20,

где R = min(R1, R2)— наименьший из главных радиусов кривизны отсчетной поверхности данной оболочки в рассматриваемой точке; l = min(l1, l2) — наименьшая из длин l1 и l2 координатных линий x1 и x2, проведенных в данной точке, при этом

a/2 b/2

l1 = \ H1  dx1 ; l2 = \ H2  dx2 .

-a/2 -b/2

Как известно, область возможного применения теории тонких оболочек весьма велика. При рассмотрении тонких оболочек пренебрегают всеми величинами, имеющими порядок малости h /R (и выше).

Для пластин имеем 5 = hi /1 (в силу очевидного равенства h /R = 0 ), где l — наименьший из размеров l1 = a и l2 = b пластины в плане.

В случае ребристой оболочки за отсчетную поверхность x3 = 0 принимаем срединную поверхность обшивки толщиной h. Ребра задаем с помощью ступенчато-гладкой функции H = H (x1, x2) eC0, характеризующей распределение ребер по оболочке (как правило, с внутренней стороны обшивки вдоль координатных

линий), их ширину и высоту [14, 15]. Таким образом, толщина ребристой оболочки равна к = к + Н, причем гв = -к / 2 и гн = к / 2 + Н .

Считаем, что оболочка находится в стационарном температурном поле Т = Т(х1,х2,х3) [К ] и под действием механической нагрузки (статической или динамической) при определенном закреплении ее края (контура).

Будем совместно учитывать геометрическую нелинейность, влияние температуры, нелинейную упругость (упругопластичность), поперечные сдвиги. В случае ребристых оболочек учитываем также дискретное расположение ребер, их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости.

Математическая модель термопластичности рассматриваемых оболочек

Как известно, математическая модель деформирования оболочки состоит из геометрических соотношений, физических соотношений и функционала полной энергии ее деформации (из условия минимума которого следуют уравнения равновесия или движения).

Геометрические соотношения. Эти соотношения, т. е. зависимости деформаций от перемещений, в отсчетной поверхности х3 = 0 с учетом геометрической нелинейности и влияния температуры имеют вид

еп — Бц — в,

11'

В 22 — ^оо —

22

У12 - У12 - У21 - У21

счетной поверхности вдоль координатных ли-

D

ний х,, х2 и оси х3 соответственно; -,

123 Яа

1 < а < 3 — операторы ковариантного дифференцирования по направлениям 1а произвольных полей, в частности скалярного поля а = а(х1,х2,х3) , векторного поля а = аЧ (х1, х2, х3), 1 < 1 < 3, поля тензора второго ранга ак = ак(х1,х2,х3), 1 < ¡,к < 3 и т. д.

Операторы ковариантного

дифференцирования действуют по прави-

лам [16, 17]:

а ^

81,

Da 1 да

81„

На дха

Dai 1 да ^ „

а. = ак Г!ка

и, соответственно,

На ^ха к=1

Da1

а ^

1к д)

Чк

1 дал

~ к ' х ^ (а'к а + а11 а ) ,

I=1

где в11, в22 и у12 = у 21 — деформации растяжения или сжатия вдоль линий х1, х2 и сдвига в касательной плоскости ^х^х2) есть составляющие геометрических соотношений (1), обусловленные исключительно механической нагрузкой; в 0 — чисто температурные деформации («температурные» составляющие).

Здесь

где Г Чк а =Г Чк а (x1, x2, х3) - символы Кристоф-

феля (1-го рода), 1 < Ч,к,а< 3.

Как известно, данные символы симметричны по крайним индексам при к ф 1, к Фа (Г ¡ка =Гак1) и антисимметричны по первым двум индексам (Г 1ка = -Гк1а), а потому величины Г 1ка с разными значениями индексов равны нулю (Г 1ка = 0 при Чф к,ЧФа,к Фа). Это значит, что в ортогональной криволинейной системе координат из 27 величин Г 1ка ненулевыми могут быть не более 12: Г1кк = -Гк1к .

При этом

1кк к.к

1 Н

1 д 1п Н

к

дх1

ННк ^ н

а те 12 из 27 величин Г 1ка , которые в ортогональной криволинейной системе координат могут быть отличными от нуля, имеют вид

Du1 1

д1

+ — 2

Du

2

д1

У12 =У21 =

1 У

Du

Du2 1

2

DU^

Ыг

Du3

+ — 2

Du

Du3

2

3

ди 812 ди д1

2

где щ = u1(x1, х2), ^ = u2(x1, х2)и щ = щ(х1, х2) — компоненты вектора перемещений точек от-

^122 - "^212 -

^211 -"^121 -

1 Н ;

Н1Н2 дх-1 дНл

; Г133 - -Г313 - 0 ;

Н1Н2 дх2

1 ' ^233 - -Г323 - 0

г - г - 1 Н -к •

0

Г - Г - 1 H _ K

1 322 - 232 - Т7 ^ - ~K 2 •

2

5х

2

Таким образом,

Du1 1 du 1 dH1

8l1 H1 5x1 H1H2 8x2

Du1 1 du 1 dH2

dl2 H2 8x2 H1H2 8x1

Du2 1 Su2 | 1 8H1

8l1 H1 5x1 H1H2 8x2

Du2 1 du2 | 1 dH2

dl2 H2 8x2 H1H2 8x1

Du3 8l1 1 " H1 ' 8u3 + K u  — + K1  u1; ox1

Du3 dl2 1 H ' 8u3 + K u -T— + K2 • u2. dx2

1 • М2 _ K • U3;

• u

u1;

• u1 - K2 • u

23

Введем обозначения

^ ^ / ч Du3 1 8u3

©1 = ©1(x1, x2) = —3 =---3 + Ku

1 1 1 2 8l1 H1 cX1 1 1

Du3

1 5u3

©2 = ©2(x1,x2) ^^T3 = — -3 + K2u2

Öl2

H2 5x2

Sn =-

1 öu1 H1 Öx1 1 öu-

1

H1H2

SH1 „ 1 _ 2

• u2 - K1u3+-©i2;

öxt 2

s22

2

2

ÖH2

H2 5x2

H1H2

öx-

12

' u1 " K2u3 + 2 2;

Y12 = Y21 =

1 du.

1 öHi

1 öu9

H1 öx1 H1H2 öx-

u +

____1

H2 5x2

1

H1H2

.H

öx1

• u2 +1 -2.

1 ^u3 ---3 >> K1u1

H1 dx1

1 ^u3 ---3 >> K2u2,

H2 5x2

а значит

1 du

©1 «--

3

H1 dx1

©o

1 du3

H2 ^2

Для пластин К1 = К2 = 0 и Н1 = Н2 = 1 (как было отмечено выше), а потому операторы кова-

риантного дифференцирования , 1 < а < 3 ,

д1а

совпадают с операторами обычного дифферен-

8

цирования-и составляющие (2), (5) от ме-

8ха

ханической нагрузки геометрических соотношений (1) максимально упрощаются:

du 1

S11 =-

1 Sx1

+ — 2

du

л

2

dx1

du2 1

s22

12 dx>

+ — 2

du

Л

2

dx2

Тогда с учетом выражений (3) и (4) составляющие от механической нагрузки (2) геометрических соотношений (1) принимают следующий вид:

ды2 ди ды3 ды3 У12 = У 21 =-Х- + + —3---3. (6) дх1 ох2 дх1 ох2

В соотношениях (2), (5) и (6) квадратичные члены характеризуют геометрическую нелинейность, которую следует учитывать в случаях, когда поперечные перемещения и3 (прогибы) соизмеримы с толщиной оболочки И.

Деформации поперечных (также как и продольных) сдвигов не зависят от температуры [ 1, 8] и могут быть определены по формулам

713 = с/(Х3 )Ф1 ; 723 = с/(х3 )Ф2 •

Здесь / (х3) — функция, характеризующая распределение напряжений т13 и т23 в главных нормальных сечениях ^х1^х3) и ^х2^х3) обо-

лочки, такая, что

1

В ряде случаев можно полагать, что в процессе деформирования

/(2в) = /(2^) = 0, | /(Хз)dХз = 1,

2в

1 2н

т | /2(Хз)dХз = 1/с ¡1 2

Би3 Бщ

(с — константа); Ф1 = + —3 ; Ф2 = Т2 + —3 —

811 д\2

полные углы сдвигов, где = tgv1 и Т2 = tgv2; причем = у1(х1, х2), у2 = у2(х1, х2) — углы поворота отрезка нормали к отсчетной поверхности в соответствующих главных нормальных сечениях оболочки [8].

В качестве /(х3) используем квадратичную зависимость [8]:

/ (х3) = - 72 (х3 " 2н) (х3 " 2в) = /о + /1Х3 + /2 х32,

z

1

где / ; / = ^^; / = ,

h

6

h2

6 h2

u(x3) = u1 + x3 • Ф1, = u2 + x3 • Ф2,

(x3) _ :

u3x3) = u3.

Отсюда для деформаций в слоях x3 = const получаем выражения

-(x3) _ -11

- sn + x3 -Xi -s((13) - s ;

S(x3) _i

^22 " ^22 + x3 ' ^2 " 4X23) ^ ; Yi23) =712 + X3 • 2Xi2,

где s — <xT, 8(1 ) —8ц + X3 • X1; s22 ) — ^22 ^ X3 * X2. Здесь a — коэффициент линейного тепло-

,(x3) _,

вого расширения материала K 1 пература оболочки в данной точке;

D Ф1 _ 1 5Ф

8l1 H1 8x1 H1H2 dx2

DФ2 1 <5Ф

T — тем-

X1 -

1 1 5H, 1 —Ф2;

X2 -

2 1 H

2 +--2 Ф,

Sl2 H2 CK2 H1H2 dx1

2X = Dii+Dii = 1 аф2

12 dl1 dl2 H1 dx1 SH

1 5Ф1 1

H2 5x2 H1H2

fdH1 Ф1 Ф2'

VSx2

8x-

1

T (x1, x2, x3 ) - To (x1, x2 ) + T1 (x1, x2 )' x3

+ Tl (x1, xl )• xL T _1.-x3-1 i=1

T ( x1,x2 ,x3 ) = To (x1 ,x2 ) +

и тогда с = 5 / 6.

Перемещения в слоях x3 = const вычисляем по формулам [8]:

+T1 ( x1 ,x2 )• x3 =TTi -

1 ' x3

i-1

i=1

где Т0 = Т0 (х1 ,х2) , Т1 = Т1 (х1 ,х2) ; Т2 =

= Т2 (х1 ,х2) — известные функции.

В ряде случаев можно предполагать (равномерное температурное поле):

Т (х1 ^х2 ,х3 ) = Т0 (х1 ;х2 ) .

Известно, что для многих материалов при достаточно высоких или низких температурах модуль упругости Е и коэффициент а заметно изменяются. В этом случае для вычисления их значений могут быть использованы аппроксимации [8]:

3

Е = Е

1=1

a

= a

j=1

где Е0 , а0 — некоторые «начальные» значения Е и а ; Е1 , Е2 , а1 — экспериментальные параметры.

Как правило, Е0 и а0 (и, соответственно, коэффициенты Е1 , Е2 и а1) отвечают значению Т = 20 °С.

В большинстве случаев коэффициент Пуассона ц материала не зависит от изменений температуры в достаточно обширной температурной области.

С учетом представления (9) аппроксимации (10) и (11) могут быть записаны для каждой точки Р = Р (х1, х2, х3) оболочки в виде [8]

Считаем, что температурное поле Т(х1 ,х2, х3) (определяемое из решения уравнения теплопроводности) задано и соответствует установившемуся тепловому режиму. Вдоль оси х3 оно может быть представлено с помощью квадратичного закона распределения [8]:

E = E(P) = E(x1, x2, x3) = E0 + Ё1 • x3 +

1.

+E • x3 + e • x3 + E • x3 =X E--1 • x3 ;

i=1

a = a(P) = a(x1, xl, x3) = a 0 + a 1 • x3 +

3

+ (X 2 • x3

i-

1 ' x3

i-1

i=1

или линейной зависимости, применимой для тонких оболочек:

Здесь Е0, Е1 — Е4 и а 0 , а 1, а2 — суть функции точки Р0 = Р0(х1, х2) отсчетной поверхности х3 = 0 оболочки, подробные выражения для которых приведены в основном тексте работы [8].

Для чисто температурных деформаций в = аТ с учетом выражений (12) и (13) будем иметь:

е = ё(Р) = а(Р )Т(Р) =

_ 2 ~ 3

8о + 8! • хз + 82 • хз + 83 • хз +

5

X

i=0

+ Ё4 ' х34 - X Ё/-1 ' х3

где

8к = ЁЛ

/=0

суть коэффициенты при 2к (функции точки Р0 = Р0(х1, х2)) в представлении (14) (считаем, что а/ = 0 при / > 2 и Тк_г- = 0 при к - / > 2).

В развернутом виде выражения (15) для функций ек в соотношении (14) приведены в приложении 1 работы [8].

Физические соотношения. Известно, что для многих материалов оболочек экспериментальные зависимости «напряжение ст — деформация е », получаемые при простейших видах напряженного состояния, даже при обычной температуре имеют ярко выраженный нелинейный характер, а модуль упругости является переменной величиной. В соответствии с этим для данного материала на основании опытной кривой « ст — е » находится аппроксимирующая ее кривая ст = а(е), которая при сложном напряженном состоянии заменяется (на основании первого положения теории пластичности) зависимостью а/ = f (е/), где а/ — интенсивность напряжений; — интенсивность деформаций, определяемая с помощью выражения [2, 7]:

" - ¥ й3' )2

,„(х3) _(X3) , 11 22

(-223) )2 + 4^ )2 + + ^23

12

растают пропорционально некоторому параметру (например, времени) или постоянны; тогда главные оси напряженного состояния сохраняют свои направления в процессе деформирования в каждой точке.

Опыт показывает, что с ростом температуры нелинейно-упругие (пластические) свойства материалов еще более усиливаются.

Для вычисления интенсивности деформаций ё/, сопровождаемых воздействием температурного поля, используем формулу (16), которая с учетом соотношений (8) обретает вид

- ^ {(8<, 13> )2

+ 8

(х3) . ~(х3).

11

22

-

22 + У13 +У23

12

Можно показать, что величина не зависит от изменения температуры Т и имеет место равенство

Ё/ =8/

при любых значениях Т и а . Необходимо отметить, что налогичный результат приведен в работе Н.И. Безухова и др. [14].

Как правило, функция Ильюшина га зависит не только от интенсивности деформаций е/ = е/, но и от температуры Т = Т (Р) в данной точке Р оболочки: га = га(ег-, Т) или га = га(ег-, Р). Зачастую зависимости га = га(ег-, Р) достаточно сложно устроены.

Например, в работе Э.И. Старовойтова и др. [15] для алюминиевого сплава Д16Т принимается

га(8г-,Т) = <

0,

1 —

е/ + 8н "8т

, если г1 > 8н

В качестве переменного модуля упругости применяется величина

Es =0/ / Б/ = Е(1 "Ю(В/

где Е = Е0 ; га(8г-) = га — функция Ильюшина.

В данном случае предполагается простое нагружение, при котором внешние силы воз-

Здесь 8н — деформационный предел текучести при некоторой температуре Тн (ему отвечает предел текучести стн); а — экспериментальная

константа; ет (Т) =

н

Е

— деформационный

предел текучести при температуре Т , где

(

(Т) = ^неХР к

11

\

Т Тн

н

(к — экспериментальная константа).

если 8г- < 8н

н

а

Очевидно, что в задачах термопластичности «секущий» модуль упругости следует принять в виде

Е, = Е (1 -ш(8г-, Р)),

где Е = Е(Р).

В соответствии с деформационной теорией пластичности физические соотношения в случае нелинейно-упругого (пластичного) изотропного материала оболочки, находящейся в температурном поле, могут быть представлены в следующем виде (в предположении, что отсутствует разгрузка).

Напряжениярастяжения (или сжатия) в направлениях х1 и х2:

- ~ е

МЕ

«Гц — сг 11 -сг11 = |ст11 -а

11

11

11

МР 11

-|аТЕ-а-

Е ~ Р (МЕ МР\ (ТЕ ТР а22 — а22 22 =1а22 "а22 М^ -а

ТР

);

Здесь

«Гц , ст22 — (линейно) термоупругие составляющие напряжений растяжения или сжатия [8];

~ Е Е (Р ) а 11 ^-2

1 "Ц

~(х3) + 311 + 22

Е(Р) [811 + М^22 + х3(Х1 +М^2) "

1 -Ц

-

~ Е

22 =

1 "Ц

х(х3) + ... , 22 +М^11

где

Е

= "-2 [822 + ^£11 + Х3

1 -Ц

-(1 + ц)ё(Р )] = аМЕ-*ТЕ,

М = Щ[8ц + ^ + Х3(Х1 + цХ2)] ,

МЕ 22 =

1 -Ц" Е

1V

[822 + ЦВц + х3(Х2 +МХ1)]

ТЕ

- составляющая термоупругих напряжений растяжения, обусловленная чисто температурными деф ормациями (величину ст (Р) = Е (Р) • в(Р) вычисляем по формуле (25), приведенной ниже);

ст^, ст Р2 — нелинейно термоупругие (термопластические) составляющие напряжений растяжения

_ Р Е(Р)ш(8г., Р) СГ 11 =

1 V

Е

1V

~(х 3) + 311 + ^ 22

[вп + Ц£22 +

-Х3(Х1 + МХ2)-(1 + ц)ё(Р)] = <5М{ "О

ТР

22 =

Е

1 -ц

2

3).

822 ' + 1

Е(Р)Ю(8г., Р) ^ + М8ц + Х3(Х2 + мХ1) _

1 -Ц

— (1 + „ЖР)] = < -аТР,

где

< = Е(Р^, Р) [ВЦ + 1-22 + Х3 (Х1 + НХ2)] ,

МР 22 =-

1

Е

1V

[822 + ЦВц + х3(Х2 +МХ1)]

— составляющие термопластических напряжений растяжения, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке (с той разницей, что входящие в их выражения модуль упругости Е = Е(Р) и функция Ильюшина га = га(вг., Р) являются зависящими от температуры в точке Р величинами);

ТР а = -

1V

— составляющие термоупругих напряжений растяжения, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке (с той разницей, что входящий в их выражения модуль упругости Е = Е(Р) является зависящей от температуры в точке Р величиной);

— составляющая термопластических напряжений растяжения, обусловленная чисто температурными деформациями. В формулах

а (Р) = Е (Р) • ё(Р) =

2

3

= <Г о +СТ1Х3 + СТ 2 Х3 +СТ 3 Х3 + СТ 4 Х

13

23

33

МЛ3

5 х35 6 х36 + й 7 х37 + й 8 х38 = Xй /-1Х3 1,

.=1

4

где

5к = йк (Р0) = 5к ^ х2) = Ё Е/ • Ёк-/ ,

/=0

0 < к < 8;

(считаем, что = 0 при / > 4 , вк= 0 при к - / > 4) [8].

В развернутом виде выражения (26) для коэффициентов стк в соотношении (25) представлены в приложении 2 работы [8].

Напряжения сдвигов в плоскостях ^х1^х2) и ^х1^х3), ^х2^х3).

Они имеют тот же вид, что и при чисто механической нагрузке:

~ _ ~Е ~Р . ~ _ ~Е ~Р х12 х12 " х12 ; х13 х13 " х13

~ _ ~ Е ~ Р х 23 х 23 " х 23 .

напряжений сдвига [8]:

Е(Р) = ^1Г„«3-

2

х13 =-

2

У13 =

х 23

Е

2

У 23 =

2(1 + Ц)1

2

~Р ~р ~Р

х12 и х13, х23 — термопластические составляющие напряжений сдвига:

_Р _Е(Р)ю(8/, Р) (х3) _ Х12 2(1 + ц) 712 "

Е

~Е _ Е

Х13 " 2(1 + ц) 713"

Е (Р ^,Р) [е/(Х3)Ф1 ] = 2(1 + ц) 1 3 1

_ еФ1ю(в/, Р)х(Р);

2

_Е _Е(Р)ю(8/, Р) _ Х23 2(1 + ц) 723

= Е (Р )Ю(8',Р) [е/(х3)Фг ] =

2

т(Р) = Е (Р) • / (х3) =

23 х0 + х1х3 + х 2 х3 + х3 х3 +

4 ~ 5 ~

+Х4 х3 + X 5 х3 + X 6 х3 х/

1

13

/=1

где

хк = хк (Р0) = хк (x1, х2) = Ё ^ • /к-/,

Здесь

х^ и Xе,, хЕ3 — термоупругие составляющие

/=0

0 < к < 6

Е

(считаем, что Е1 = 0 при / > 4 и = 0 при к - / > 2) [8].

В развернутом виде выражения (35) для коэффициентов хк в соотношениях (34) представлены в приложении 3 работы [8].

Проинтегрируем напряжения (19), (20), (27) по переменной х3, гв < х3 < гн.. Получим следующие выражения для внутренних силовых факторов, приведенных к отсчетной поверхности оболочки (и приходящихся на единицу длины сечения, т. е. погонных).

Усилия растяжения или сжатия в направлениях хл и хо

12

*11 - =( <Е - <Р)-

_(МТЕ -МТР);

N¡22 " ^2Р2 =

=

, N22 — термоупругие составляющие

Здесь

усилий растяжения [8];

= 11 (вп +ЦВ22) +12 (Х1 +МХ2)-

—

N22 = I *E2dxз =

2в

= 11 (б22 + ЦЕП) +12 (Х2 +ЦХ1 )-

—

где

где

ЩТ = ¡1 (811 + ^22 ) + 12 (Х1 +ЦХ2 ) ,

= ¡1

— составляющие термоупругих усилий растяжения, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке. Величины

1 2н 1 2н

¡1 = 1 Е(РМХ3 , ¡2 = 1Е(Р^ 1 -и , 1 -и ,

н

= I Й П^3=

2в

= ¡1

Щ2Р2 = \ ЙР2^3=

2в

= 1\

ЩР = ![ (вп + МВ22 ) + ¡2Р (Х1 + МХ2 ) ,

КМ2Р = ^

— составляющие термопластических усилий растяжения, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке. В последних формулах

1 2н

¡Р =--^ | Е(Р)ш(8г., Р^3,

1 V 2

2в

1Р - 1

2 I Е(Р)ш(8г.,Р

1 V 2

Далее,

МТР =

вычисляем по формулам (57), (58), приведенным ниже.

Далее, ЩТЕ =

— составляющая термоупругих усилий растяжения, обусловленная чисто температурными деформациями. Величину

1 2н

NЕ(Р>) = 7"^ Iй(Р)dxз

1 -V к

вычисляем по формуле (59), приведенной ниже.

Также в выражениях (36), (37) ЩЦ , NN22 — термопластические составляющие усилий растяжения;

— составляющая термопластических усилий растяжения, обусловленная чисто температурными деформациями,

1 2н

NР(Р>) ^-2 \ Й(Р)(8..,Р^Х3.

1 -и ,

(0> , 2

Усилие сдвига в касательной плоскости ^х1, dx2). Оно имеет тот же вид, что и при чисто механической нагрузке:

N12 — ЙЕ - ЙР2.

Здесь N1E — термоупругая составляющая усилия сдвига [8];

2н

N1! = I Т&Х3 = Ц1

2в

где ц1 = (1 -ц)/2 ;

N^12 — термопластическая составляющая усилия сдвига

2н

N12 = \^ =Ц1

2в

Изгибающие моменты вдоль линий х1 и х2:

Мп — Мр1 - МЦ = = (ММЕ -ММР)-(МТЕ -МТР);

М22—М& - мР2= = ( м™ - М2МР)-(МТЕ - МТР).

в

в

в

Здесь М-Ц, Mf2 — термоупругие составляющие изгибающих моментов [8];

ZH

M1f = i 5 =

ZB

= h

ZH

ZB

= ¡2 (s22 +M£11) + ¡3 (X2 )-

-

где

= 12 (В11 + ^22 ) + 1з (Х1 + ЦХ2 ) ,

ММЕ = 12

— составляющие термоупругих изгибающих моментов, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке. Величину

1з =

1

1 V,

J E(P)x32dx3

M1

4Pq) = ¡a (P )x3dx3 1 V H

вычисляем по формуле (61), приведенной ниже.

Кроме того, мЦ, Мр — термопластические составляющие изгибающих моментов;

ZH

МП = í й 11x3dx3 =

= Ip

M22 = í й 11x3dx3 =

где

= Ip

MM = Ip (811 + MS22 ) + I3p (X1 + MX2 ) ,

М2Т = ^

— составляющие термопластических изгибающих моментов, имеющие тот же вид, что и при чисто механической нагрузке;

1 2н

/РР = IЕ(Р)ш(е/,Р)хз^хз; 1 Ц 2

МТР =

— составляющая изгибающих моментов, обусловленная чисто температурными деформациями, при этом

1 2н

МР (Р0 ) = --2 1 5(Р)(8/, Р^3 .

1 "К 2

Крутящий момент вдоль касательной плоскости ^х1^х2). Он имеет тот же вид, что и при чисто механической нагрузке:

вычисляем по формуле (60), приведенной ниже. Далее,

МТЕ =

— составляющая изгибающих моментов, обусловленная чисто температурными деформациями. Величину

M12 =ME2 - Mp .

Здесь Мр — термоупругая составляющая крутящего момента [8];

2н

М\2 = I ^12хз^з =

= Ц1 [/2ух, + 1з • 2X12 ];

М^ — термопластическая составляющая крутящего момента

М\2 = I ^2xзdxз = Ц1

2в

Поперечные усилия в главных нормальных сечениях (сх1, dx3), (dx2, dx3). Имеют тот же вид, что и при чисто механических деформациях:

£з _оЕз -$3; &2з _оЕз-йРз.

Здесь ¿13 и Q23 — термоупругие составляющие поперечных сил [8];

z

й!ъ = 1 = сФ1 -С?(Р));

2в 2н

где величина

1

2Е (Р0)= 1 ^ )dxз

2(1 + ц) 2

вычисляется по формуле (62), приведенной ниже.

Далее, ((13, О2з — термопластические составляющие поперечных сил;

2н

ОРз = \ ^Хз = сФ1 ОР (Р0);

X Ет-1 Ат+1

!3 =

т=1

1 V

= Е0 А2 + Е1А3 + Е2 А4 + Е3 А5 + Е4 А

1V

9

Xе5 т-1 4и ~ л ~ л

м Е (Р0)=——2—=ст 0 А1^

1 -ц 1 -ц

. 5 2 А3 + <* 3 А4 + <* 4 А5 ,

1 V

. 6 5 А6 6 А7 + <* 7 А8 + 5 8 А9 .

1 V ;

;

О2з = / *Pзdxз = сФ2 ОР

2в

1 2н

где ОР Р) = —-- \ т(Р)ш(8., РМхз.

2(1 + ц) 2

Приведем для величин, входящих в формулы (36) — (39), (42), (43), (45) — (52), (54), (55) некоторые расчетные соотношения, полученные в работе [8]:

X Ет-1 Ат-1

X ^т-1 Ат-1

(2Е (Р0) = ^-=

1 0' 2

_ * 0 А0 + А1 + ^ 2 А2 + 2

+ Хз Аз + X 4 А4 + Х5 А5 + X б Аб

2(1 + Ц) '

Нам понадобится еще одно выражение, приведенное в статье [8]:

т _ т=1 ¡1 -

1 -Ц2

Е0 А0 + Е\ А1 + Е2 А2 + Е3 А3 + Е4 А4

5

X Ет-1 Ат

т _ т=1 12 " 1 2 -1 -Ц

12

1 2н X ™т-1 Ат-1

Е (Р0) = —2 1 й (Р ^Хз =

1 -и2 1-

-ц

[ П 0 А0 + Й1А1 + п 2 А2 + ... + %ц А11 + Й12 А12 ]

1 V

где

Е0 А1 + Е?1 А2 + Е2 А3 + Е3 А4 + Е4 А5

1V

9

X ^т-1 Ат-1

;

п (Р) = а (Р) • в(Р) = п 0 + п 1х3 +

13

X'

.=1

+ П 2 хз2 + ... + П 11хз11 + Й12 хз12 = X Я.-1хз' 1,

(5 0 А0 1А1

Е (Р0) = ^ 2 —^2

1 -Ц2

1 -Ц2

| а2А2 + <?3А3 4А4 +

1 -Ц2

5 5 А5 + <* 6 А6 + <* 7 А7 + 5 8 А8 ,

1 V ;

причем

к

Йк = Йк(Р0) = Йк(x1,х2) = Х6'/ •ёк-/ ,

.=0

0 < к < 12

(считаем, что ст. = 0 при [ > 8 и вк= 0 при к -1 > 4).

_

в

в

в

Выражения (65) для коэффициентов пк, входящих в соотношение (64), в развернутом виде приведены в приложении 4 работы [8].

2н

В формулах (57) - (63) Ат_1 = { х3т~^х3 ,

2в

1 < т < 12 — геометрические характеристики главных нормальных сечений оболочки [8]. Функционал W полной энергии деформации.

Указанный функционал рассматриваемых оболочек на данном отрезке ] времени t для задач динамики в соответствии с [4, 12] имеет вид

А

W = i(K-U + А)dt,

to

W = U - A . В соотношениях

K = 2 f

2 Q

H

dt

dtf3) I2 f +

H 12

dt

U = 2 Jn[i

2 Q

dujx 3) dt

d Q:

3) + * x3) , -11 +<J 22s 22 +

+ x12 Y (23) + X13Y13 + x 23 Y 23]d Q;

A = JJ(P1u1 + P2u2 + qu3 )dS .

П = [-а /2,а/2]х[-Ь /2, Ь/2]х[ 2в, 2н ]

— компакт в пространстве (х1, х2, х3); S = \-а / 2, а/2]х [—Ь / 2, Ь /2] — компакт на плоскости (х1, х2); dО. и dS — дифференциалы объема и отсчетной поверхности данной оболочки

^О. = H1H2dx1dx2dx3; dS = H1H2dx1dx2),

при этом координаты х1 , х2 , х3 считаются неподвижными.

С учетом соотношений (8), (19), (20), (27) выражение для потенциальной энергии (69) запишем в виде

где К и и — кинетическая и потенциальная энергии оболочки; А — работа внешних сил.

В задачах динамики подлежащие определению функции перемещений щ, и2 , и3 и углов , Т2 являются не только функциями координат х1,х2, но и времени t: и1 = и1(х1,x2,t), и2 = и2(х1, x2,t), и3 = и3(х1, x2,t )и =¥1(х, у^), Т 2 =^2(х, у^).

Для задач статики полная энергия деформации оболочки (функционал Лагранжа) может быть записана в следующем виде [1, 2, 4—12]:

U=2 Ш«5 f1 p1)g(13)+(* E2-5 P^'

2 Q

+ (Ч2 - Ч2 )Yl2 + (х 13 - % )Y13 + (х23 - х23 )Y23]d^ =

= 2ffi[(< -T)(^(13) -+ (°M-aT)(в

2 Q

- ё) + х12 Yl 23) + х13 Y13 + х 23 Y23]dQ =

= Uf-UP = UM-UT .

Здесь

2JJ№

2 Q

xi2y

^ = 2 JJJl5 ^ 13) 22 в223) +

2 Q

2

2 Q

+ ip2 Y

^ = 2 JJJl5 P1?((13) P2 +

2 Q

— суть термоупругая и термопластическая составляющие потенциальной энергии (69) деформирования оболочки;

Здесь p — плотность материала оболочки (p « const); P1, P2 и q = P3 — компонента: внешней механической нагрузки в направлениях x1, x2 и x3 (в задачах динамики — функции не только координат x1 и x2, но и времени t);

-_|||1ЯМ_(x3) М_(x3) ,

" 2 JJJ'a11 S11 22 s22 +

2 Q

um = 2 ж(<

2 Q

+ T12У((23) + T13У13 + T23У23 ) =

1 ffrr(^Mf MP ч (x3) , (M MP ч (x3) ,

2 JJJL(a11 11 )s11 (a22 "a11 )s22 +

2

+ (^2 - <2)т(1? + (^з - <3)Т13 + (* Ез - * Р2з)Ъз ] йП =

_ цМЕ _ цМР

является составляющей потенциальной энергии (69), имеющей тот же вид, что и при чисто механической нагрузке, а

иТ =-

2шк (<

в( 13' +в2?' 1 +

- 2 К (

+ („М +<гй) 8 - 2„Т 8

й п =

а -а

ТЕ -ТР) (в(( 13)+в2х23) )+[(<Е )+

+ (^22 — ^22 ) 8 + _)8/ йЬ2 =

= иТЕ-иТР

имеет смысл составляющей потенциальной энергии (69), обусловленной чисто температурными деформациями.

В функционалах (74), (75) величины

иМЕ = 2 Ш(<Е в( 13)^ 82х23) +

о

+ ^2У(23) + *х3713 + *23723 ) й^

иМР = 2 ШКР 8(113) 82х23) +

2 а

+ ^у(23) + х1зУ1з + т23723 ) й"

можно трактовать как термоупругую и термопластическую составляющие энергии иМ, а величины

иТЕ =-

2 ш[°ТЕ (

Гх3) (х3)\ , 11 22

, („МЕ , „МЕ\ ~ 0 ТЕ~ + (^11 +ст22 ) 8 +8

й О,

иТР=2 шкР из)+822з) и

2 п

• )

, („МР , ~МР\ ~ о ТР~ + (^11 +ст22 ) 8 +£

й П

— как термоупругую и термопластическую составляющие энергии иТ .

Проинтегрируем по переменной х3, 2в < х3 < 2н выражения (68) и (69) в функционалах (66) и (67).

В результате получаем следующие выражения:

*=2 № А0

+2 А

Н1

ды1

+ 1 Н

22 ды2 ]

д1

Н1

2 дщ 5Ф1 + Н2 дщ2 5Ф2

+ А

дг дг 2

Н

<5Ф

дг

+1 н

<5Ф

дг дг 2

дг

и, в частности,

№ =

- А\-и1

>йБ

где

иМ - А =

2//[N1^^811 + N22822 + ^ У12 + ММХ1 +

+ М-Х2 + 2М12Х12 -2

иТ = 2Я|жТ (еп +822)-

+ 2МТ

В формулах

< = <Е - <Р; N22=N22E - ;

^ = <Е - <Р ; М^ = М1Е - М11Р:

м22 = М22е - М22р ; ^ = - ^Р

МТ = МТЕ - мТР-

^ =

где величина ^ (Р0) в^1числяется по формуле

1 2н

(63), а N2(Р0) = --- | й(Р)ш(8г.,Р)йхз .

1V 1

2

Уравнения движения или равновесия оболочки могут быть получены на основе фундаментальных принципов наименьшего действия (в форме Гамильтона — Остроградского) или минимума потенциальной энергии (в форме Лагранжа) [1, 5, 7 — 13, 15], согласно которым

ti

5W = 8Д К-Ü + А) dt = 0

или, соответственно,

5 W = 5(Ц/ - А) = 0, где 5 — символ вариации.

Таким образом, для задач статики и динамики построена математическая модель деформирования оболочек переменной толщины, находящихся под действием механической

нагрузки и температурного поля. Начальные и граничные условия, соответствующие тому или иному способу закрепления контура оболочки, предполагаются заданными.

Предложенная математическая модель термоупругости может быть обобщена на случаи различных свойств материалов рассматриваемых оболочек

В задачах статики для отыскания минимума функционала (67), записанного с учетом выражений (68) — (79), можно эффективно применять метод Ритца при разложении искомых функций перемещений и1, и2 , и3 и углов и Т2 в ряды.

В задачах динамики для решения системы уравнений движения оболочки, эквивалентной вариационному уравнению (80), целесообразно последовательно применять методы Власова — Канторовича и Рунге — Кутта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. В 10 т. Т. VII. Теория упругости [Текст]: учебное пособие / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — М.: Физматлит, 2007. — 264 с.

2. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести [Текст]: учебник для втузов / Н.И. Безухов. — М.: Высшая школа, 1968. — 512 с.

3. Малинин, Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести [Текст]: учебник для вузов / Н.Н. Малинин. — М.: Машиностроение, 1975. — 399 с.

4. Безухов, Н.Н. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур [Текст] / Н.Н. Безухов, В.Л. Бажанов, И.И. Гольден-блат [и др.]; под ред. И.И. Гольденблата. — М.: Машиностроение, 1965. — 566 с.

5. Жилин, П.А. Прикладная механика. Основы теории оболочек [Текст]: учебное пособие / П.А. Жилин. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. — 167 с.

6. Карпов, В.В. Математические модели термоупругости оболочек переменной толщины при учете различных свойств материала [Текст] / В.В. Карпов, В.Н. Филатов // Вестник гражданских инженеров. — 2006. - № 3. - С. 42-45.

7. Карпов, В.В. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования [Текст]: учебное пособие / В.В. Карпов, О.В. Игнатьев, А.Ю. Сальников. - М.: АСВ; СПб.: СПбГАСУ, 2002.- 420 с.

8. Жгутов, В.М. Геометрически нелинейные математические модели термоупругости оболочек переменной толщины [Текст] / В.М. Жгутов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011. - № 4. - С. 46-56.

9. Жгутов, В.М. Математическая модель, алгоритм исследования и анализ устойчивости нелинейно-упругих ребристых оболочек при больших перемещениях [Текст] / В.М. Жгутов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2009. — № 4. — С. 24—30.

10. Жгутов, В.М. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости ребристых оболочек с учетом ползучести материала при конечных прогибах [Текст] / В.М. Жгутов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2010. — № 2. — С. 53—59.

11. Жгутов, В.М. Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости упругих ребристых оболочек при конечных прогибах [Текст] / В.М. Жгутов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2011. — № 1. — С. 122 — 129.

12. Абдикаримов, Р.А. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек переменной толщины [Текст] / Р.А. Абдикаримов, В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2010. — № 6. — С. 38 — 47.

13. Абдикаримов, Р.А. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих изотропных пластин и оболочек гладко-переменной толщины (асимметричный случай) [Текст] / РА. Абдикаримов, В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2010. — № 8. — С. 47 — 55.

14. Жгутов, В.М. Метод конструктивной анизотропии для ортотропных и изотропных ребристых оболочек [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-стро-

0

ительный журнал. — 2009. — № 8. — С. 40 — 46.

15. Жгутов, В.М. Ответ профессору Карпову Владимиру Васильевичу (о научном приоритете в методе конструктивной анизотропии для ребристых оболочек и на функционал, описывающий ползучесть их материала) [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. — 2011. — № 3. — С. 75 — 80.

16. Кочин, Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления [Текст] / Н.Е. Кочин. — М.: Наука, 1965. — 428 с.

17. Акивис, М.А. Тензорное исчисление [Текст] / М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. — М.: Наука, Физматлит, 1969. — 352 с.

18. Старовойтов, Э.И. Деформирование трехслойных элементов конструкций на упругом основании [Текст] / Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая, Д.В. Лео-ненко. — М.: Физматлит, 2006. — 378 с.

19. Жилин, П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики [Текст]: учебное пособие / П.А. Жилин.. — СПб.: Изд-во СПбГТУ. — 339 с.