О приложении форм выше второго порядка в задачах устойчивости движения

Новиков М.А. УДК 531.36

О ПРИЛОЖЕНИИ ФОРМ ВЫШЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ

Введение. Возможность применения форм выше второго порядка возникает в качественной теории дифференциальных уравнений в задачах различения особых точек ''центр-фокус'' [1, 2]. В теории устойчивости движения [3-6] обычно такие формы нужны в критических по Ляпунову случаях [4-6]. Хотя исследование таких форм часто затруднительно, но их применение позволяет получить достаточные условия устойчивости стационарных движений, довольно близкими к необходимым. Это хорошо видно на примерах модельных систем [7, 8] и на модельном примере [9].

Исследованию форм выше квадратичных посвящен ряд работ, в частности можно выделить наиболее характерные из них [1, 10-18]. В некоторых содержатся только достаточные условия знакоопределенности форм [11], в других используется прямой анализ корней относительно х/у [1, 16], в статьях [10, 17] используется условно-экстремальный подход, описанные в [13-15] способы опираются на теорему Штурма [19, 20] или ее модификации отделения вещественных корней полинома одной переменной. Последний метод успешно применяется для форм двух переменных. Число переменных существенно усложняет анализ, а повышение порядка формы в меньшей степени влияет на исследование знакоопределенности

[17].

Перспективным представляется подход, связанный со степенной заменой переменных [11, 17, 18]. Этот способ особенно алгоритмичен при использовании теоремы Финслера [18]. При таком подходе порядок и размерность формы в равной степени влияет на сложность исследования знакоопределенности форм.

Для наглядного изложения материалов статьи применим наиболее простые формы четвертого порядка двух переменных. Не уменьшая общности, будем рассматривать форму

V (х, у) = х4 + рх2у2 + gxy3 + г у4, (1) где х, у е Я ; р, g, г - имеют вещественные

значения (г >0).

1. Условия знакоопределенности

Кратко изложим получение необходимых и достаточных условий знакоопределенности формы (1), сводящийся к квадратичным. Пусть

V (х, у) = ^(х, у)V2 (х, у), где

V (х, у) = х2 + а1 ху + Ь1 у2, V2 (х, у) = х2 + а2 ху + Ь2у2. Формальным сравнением обеих частей равенства форм запишем а1 = а = -а2; Ь1 = (а2 + р - g/a)^2;

Ь2= (а2 + р + g|a)^2 . При этом параметр а определяется из уравнения а2 (а2 + р) -4аг -g2=0,

которое после обозначения а2 =2а (а > 0) обращается в резольвентное [16]:

ф

Очевидно, форма V (х, у) положительно определена только при положительно определенных формах V (х, у) и V2 (х, у) . Для знакоопределенности форм V (х, у) и V2 (х, у) необходимо и достаточно а12 < 4Ь1 ; а^ <4 Ь2, откуда, в частности, следует а2 + р >0; а2 <2 (а2 + р -| g¡a |) . Это

сводится к неравенству 2а (а + р)2 - g2 >0. В частности, здесь имеется ограничение р > - а2 /2 + | g|a | >-а2/2 = -а , коротко р > -а . Введем в рассмотрение функцию

у/

Для знакоопределенности V

необходимо и достаточно, чтобы хотя бы на одном из вещественных положительных корней уравнения (1) выполнялось

Исключая свободный член, можно составить неравенство \//(а)-4ф(а) = -а(3а2 + 2ра-4г) > 0 .

Для значений а = a2/2 > 0 здесь должно выполняться 3а2 + 2ра - 4r < 0 . Разрешая относительно

а , получим 0< а < (yj р2 +12 г - р) у/3. Далее составим оценку р > -а > (р -у]р2 + 12r), откуда

следует р2 + 12r + 2р > 0 . При р > 0 последнее неравенство выполняется всегда, а при р <0 получается условие р2 <4 r . Следовательно, для знакоопределенности форм V1( x, y) и V2 (x, y) существует первое необходимое условие

р > - 2 Vr .

Дальше рассматриваются ситуации в зависимости от числа вещественных корней уравнения (1). В случае единственного вещественного решения (1) должно выполняться Q(р,g,r)>0;

1//(а) >0 , где Q(р,g,r) - дискриминант кубического уравнения (1). При единственном действительном корне ф(а) = 0 легко установить [21]: , где A - число, выраженное через комплексно-сопряженные корни а1, а2; Res (ф,^) - результант полиномов ф(а), ^(а). Отметим, что sign(Res(ф,^)) = sign(^(а3)) . В этом случае система (3) приводится к виду:

JQ (р, g, r) >0,

I Res (ф,^)>0.

В результате проведенных вычислений с использованием Системы Аналитических Вычислений (САВ) на ПК получено

[27g4 + 4pg2 (р2 -36r)- 16r(р2 - 4r)2]

Q( р,g,r } =-4322-;

-g2[27g4 + 4 pg2 (р2 - 36r)- 16r(р2 - 4r)2]

Res (ф,ш) =----—

64

Так как Q и Res (ф, здесь имеют разные

знаки, то полученное противоречие исключает существование единственного вещественного корня уравнения (1) для знакоопределенности V ( x, y ) и V2 (x, y ). Поэтому полагаем

Q (р, g, r )< 0 и разрешаем относительно g2:

-рг -

р3 +

часть

)/( 2 + 12г) 3

очевидна,

< 0 < g2.

так как Действи-

Левая

_ 2 У _ 27

тельно, справедлива последовательность

(р2 + 12г)3 > р6 + 36р4г + 432р2г2 +123г3

-108г (р2 - 4г)2 = р6 - 72р4г + 36г2 = (р3 - 36рг).

Равенство в правой части (5) допускается в случае кратных корней а уравнения (1), но при этом знакопостоянна одна из форм: У1 (х, у) или

У2 (х, у) . В этом случае знакопостоянна и V (х, у) ,

что подлежит исключению.

Таким образом, вторым условием знакоопределенности форм х,у) и V2(х,у) является неравенство

g2 < 3рг + ^^

Объединяя условия (4) и (5'), получается Теорема 1. Необходимыми и достаточными условиями положительной определенности формы (1) является система неравенств

р > -2л/Т,

q < 3 рг -

-27

р

2. Примеры применения форм четвертого порядка

В качестве первого примера рассмотрим уравнения движения

xx x1 8 x1 x2 I b x2, I x2 I 3 x2 x2 .

Ставится задача определения вторым методом Ляпунова наибольшей области значений параметра Ь, чтобы тривиальное решение (6) было асимптотически устойчиво. При этом нужно оценить: насколько близки к границе устойчивости найденные значения параметра Ь .

С этой целью составим квадратичную функцию Ляпунова

V = -2

— рг 3 27

< — рг +--

3 27

^fр3 ^(р2 + 12г)3

)/( + 12г)3 -

< gz <

где параметр а >0 будем подбирать для нахождения наибольшей области параметрической задачи. Производная V в силу дифференциальных уравнений движения (6) примет вид

V = х4 + р х12х2 + g х1 х^ + 2а х^ ,

где р = 8-2а; g = -Ь-3а; г = 2а. Выразим а = (8-р))2, при этом р <8, тогда г = 8-р ; g = - Ь - 12 + 3 р/2. Второе условие теоремы 1 для положительной определенности V запишется

^ Ь - 32" + ^ < 227 [36р (8 - р)-р3 р2 -12 р + 96)3]

Отсюда можно получить верхнюю оценку значений параметра Ь :

^ (р) = 3р/2 -12 -^^А^ < Ь < < 3р/2 -12 + = ^ (р),

где X(р) = ^36 р(8 - р)- р3 + р2 -12р + 96)3 .

Для нахождения наибольших значений ц/2

простейшими преобразованиями сводится к рациональному

(р2 + 4 р - 32 )2 (4 р2 + 7 р - 200) = 0.

Решениями последнего уравнения являются р1 = - 8 ; р2 = 4; р3 = 25/4 = 6.25 .

Далее всюду применялась САВ. Проведенные вычисления дают следующие значения функции ц/2 (р): ,у/2 (р1 ) = - 24; (р2 ) = - 6 + 32^б/9 « « 2.7092968632290777 ; щ (р3) = 4.125 . Здесь наибольшее значение ц/2 (р3) соответствует локальному максимуму ц/2 ( р).

Так как \у1 (р) не позволяет сразу найти нижнюю границу интервала Ь , то вычислим наибольшую длину интервала изменения параметра, равную 2 \/б Атах/9 . Поэтому введем в рассмотрение величину Ь1=^2(Р3)-Атак/9. Другой характеристикой нижней границы может быть область допустимых значений (ОДЗ) функции ц/2 (р), чтобы нижняя грань интервала Ь не превосходила наименьшего значения у/2 (р), т.е. Ь2 = у2 (р1) - локальный минимум функции ц/2 (р). Так как допустимы обе введенные величины, то наибольшей областью значений параметра Ь следует выбрать меньшее из них.

Для получения наибольшего значения А (р) найдем корни уравнения А(р) = р2 + 24 р - 96 -

(р -12) р2 -12р + 96 = 0. Простейшими преобразованиями оно сводится к рациональному

7 р3 -12р2 -48 р -384 = 0.

Вещественным единственным решением его является р « 5.132626916358363. Вычислительные выкладки дают следующие значения: Ь1 «-11.913205562212681; Ь2 = - 24. Выбирая меньшее из них, найдем нижней границей значение Ь2 .

Первое условие теоремы 1 о знакоопределенности приводит к проверке неравенства:

р > - 2 ^8 - р , которое сводится к двум системам

Г р <0,

1) 1 2 4 32<0 2) {р < 6.25 р > 0.

[р + 4 р - 32 < 0,

Первая система имеет решение р е (-24; 0), вторая - р е[0;6.25). Окончательно в данной задаче область значений параметра Ь , при которых нулевое решение системы (6) асимптотически устойчиво, определяется интервалом (-24; 4.125) .

Конечно, использование функции Ляпунова выше четвертого порядка может давать и более точную оценку границ интервала. Но это приводит к трудности параметрического анализа, к тому же метод полиномиальных функций Ляпунова может не дать точную границу исследуемого параметра [14, 15].

Для исследования нелинейных систем двух переменных получил развитие способ Каменкова, опирающийся на теоремы Г.В. Каменкова [4-6] об асимптотической устойчивости и неустойчивости. Далее проведем оценку параметра Ь с помощью теоремы Каменкова [4-6] о неустойчивости. С этой целью составим вспомогательные функции Е ( х) = хХ2 - х2Х1 и Я (х) = хХ1 + х2Х2 для системы х = Х1 (х) ; х2 = Х2 (х) . При обозначении ? = х1 /х2 они сводятся к Е (х(?)) = 3?3 + 3?2 + 6t - Ь; Я (х(?)) = -?4 - 6?2 +(Ь + 3)? - 2.

Согласно теореме Каменкова о неустойчивости [5] (с. 80), [6] (с. 104), если на каком-либо вещественном решении Е(х), кроме тривиального х = х2 = 0 , выполнится Я (х) >0, то тривиальное решение х1 = х2 = 0 неустойчиво. Поэтому необходимо определить границу области парамет-

ра b , где R (x) = 0 при F (x) = 0. Для этого составим результант [21] полиномов F(x) и R(x), равный

Res (F,R) = (( + 6b +18) (8b2 + 159b - 792),

который в области устойчивости должен быть отрицательным. Вещественными решениями уравнения Res ( F, R ) = 0 являются только два: b11 = - 24; b21 =4.125.

Таким образом, по теореме Каменкова [4-6] в области b е (-да;b11 )u(b21; +да) нулевое решение системы (6) неустойчиво, а в области (b11 ; b21) = (-24;4.125) по теореме Каменкова об

асимптотической устойчивости [5] (с. 83) - нулевое решение системы (6) асимптотически устойчиво.

Учитывая то обстоятельство, что подход Каменкова для двух нулевых корней двух переменных дает необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости, заключаем о полном решении данной задачи.

Следующим примером рассмотрим уравнения движения:

{xCi xi 12 ^Ci x2 l b x3, • = 2 / 2 _ 2 3 (8) 2 xx^ 2 j ^2 l ^2 2 x2 .

Также ставится задача определения вторым методом Ляпунова наибольшей области значений параметра b , чтобы тривиальное решение (8) было асимптотически устойчиво.

Составим такую же квадратичную функцию Ляпунова

V = _ 1

где параметр а >0 будем подбирать для нахождения наибольшей области параметрической задачи, и повторим выкладки первого примера. Производная V в силу дифференциальных уравнений движения (8) примет вид

~\V i ^p x2 l ^g x3 l 2а x2 , где p = 12 - а/ 2; g = - b - 2а; r = 2а. Выразим а = 2(12- p), при этом p <12, и тогда g = - b - 48 + 4p; r = 4(12- p). Второе условие

теоремы 1 положительной определенности V здесь запишется

(b -4 p+48)2 < 27

*

144 p (12 - p )-p3 +^(p2 + 48 (12 - p ))3

Отсюда можно получить верхнюю оценку значений параметра b

где Ь (р) = ^123 р -144р2 - р3 + ^(р2 - 48р + 576)) .

Для нахождения наибольших значений ц/2 (р) решим уравнение (р)] = 0. Полученное иррациональное уравнение

4^61 (р) = (р - 24- 48р + 576)3 -(( + 96р - 576

простейшими преобразованиями сводится к рациональному

(р2 +16 р -192)2 (р2 + 48 р - 576) = 0.

Приближенные вычисления с точностью 10-14 получают решения последнего уравнения р1 «-57.941125496954285; р2 = - 24; р3 = 8;. р4 «125496954282.

Проведенные вычисления дают следующие значения функции ц/2 (р ):

(Рх) ~ -170.50966799187808 ; (р2) = -144 ; (р3) = -16 + 128/373 « 8.63361148542403 ; у/2 (р4) « 10.509667991878086 .

Здесь наибольшее значение ц/2 (р4) соответствует локальному максимуму ц/2 (р).

Также определим значения Ь1, Ь2 . Для получения наибольшего значения Ь (р) найдем корни уравнения

Ь(р)' = -р2 + 96р - 576 + (р - 48)^р2 - 48р + 576 = 0 . Простейшими преобразованиями оно сводится к рациональному

(р2 +12 р + 288) (7 р - 72) = 0 .

Вещественным единственным решением его является р5 = 72/7 «10.285714285714285. Найденное число р5 не попадает в ОДЗ для функции у/2 (р), равную (-57.941125496954285; + 9.941125496954282). Поэтому наибольшим значением Ь (р) будет Ь (р4). Проведенные вычисления дают следующие значения: Ь1 «- 26.980664016243832 Ь2 « -170.50966799187808. Выбирая меньшее из них, получим нижней границей значение Ь2 .

Первое условие теоремы 1 приводит к проверке неравенства р > - 2 ^4 (12 - р), которое

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

сводится к двум системам

p <10.509667991878086,

IР <0,

1) 1 2 2) ,

[p2 +16 p -192 <0, [p > 0.

Первая система имеет решение p е (-170.50966799187808; 0), вторая

p е[0; 10.509667991878086). Окончательно в данной задаче область значений параметра b, при которых нулевое решение системы (8) асимптотически устойчиво, определяется интервалом (-170.50966799187808; 10.509667991878086) .

Проведем оценку параметра b с помощью теоремы Каменкова [4-6] о неустойчивости. Вспомогательные функции Каменкова приводят здесь к F (x(t)) = 3 t3 + 412 - 201 - 2b ;

R (x (t)) = -214 - 23 t2 + 2 (b + 2) t - 4.

Согласно теореме Каменкова о неустойчивости [5] (с. 80), [6] (с. 104), если на каком-либо вещественном решении F (x), кроме тривиального x =x2 = 0 , выполнится R (x) > 0, то тривиальное решение x = x2 = 0 неустойчиво. Поэтому необходимо определить границу области параметра b , где R (x) = 0 при F(x) = 0 . Для этого составим результант [21] полиномов F (x) и R (x), равный

Res (F,R) = (b2 + 4 b + 305/4) (b2 + 40 b - 448) ,

который в области устойчивости должен быть отрицательным. Вещественными решениями уравнения Res (F, R) = 0 являются только два:

b11 = - 20 - W54 и -170.50966799187808 ;

b21 = - 20 + W54 и 10.509667991878084 .

Таким образом, по теореме Каменкова [4-6] в области b е

по теореме Каменкова об асимптотической устойчивости [5] (с. 83) - нулевое решение системы (8) асимптотически устойчиво.

3. Заключение

Приведенные примеры дают возможность найти наиболее близкие границы достаточных и необходимых условий устойчивости, получаемых двумя разными способами: теоремой Ляпунова [3, 4] об асимптотической устойчивости с квадратичной функцией Ляпунова, и теоремой Каменкова о неустойчивости [4-6]. При этом как нижняя, так и верхняя границы условий асимптотической устойчивости совпадают.

Следовательно, получаемые вторым методом Ляпунова условия асимптотической устойчивости системы (6) достаточно приближены к границе устойчивости. Кроме того в рассматриваемой задаче эти условия решаются знакоопределенны-ми функциями Ляпунова не выше четвертого порядка. Конечно, при большем числе переменных анализ знакоопределенности форм будет значительно сложнее, но существуют задачи и системы, где вопрос об устойчивости стационарного движения успешно решают формы с двумя переменными. Формы двух переменных, даже четвертого порядка, позволяют получить вторым методом Ляпунова наиболее возможные достаточные условия устойчивости движения в некоторых нелинейных системах.

В заключение автор выражает благодарность В.Д. Иртегову за обсуждение статьи.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Садовский А. П. О проблеме центра и фокуса // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, № 5. С. 943-945.

2. Садовский А. П. О проблеме различения центра и фокуса для одного случая сложной особой точки // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 5. С. 789-794.

3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Собр. соч. М.-Л., 1956. Т. 2. С. 7263.

4. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М. : Наука, 1966. 530 с.

5. Каменков Г. В. Устойчивость движения, колебания, аэродинамика. М. : Наука, 1971. Т. 1. 255 с.

6. Каменков Г. В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М. : Наука, 1972. Т. 2. 213 с.

7. Хазин Л. Г., Шноль Э. Э. Условия устойчивости равновесия при резонансе 1:3. // Прикладная математика и механика. 1980. Т. 44, вып. 4. С. 229-237.

8. Хазин Л. Г., Шноль Э. Э. Об устойчивости положений равновесия в критических случаях и в случаях, близких к критическим // Прикладная математика и механика. 1981. Т. 45, вып. 4. С. 595-604.

9. Новиков М. А. О знакоопределенности аналитических функций // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Новосибирск : Наука, 1988. С. 256-261.

10. Вейссенберг А. Н. Критерии знакоопределенности форм высшего порядка // Прикладная математика и механика. 1974. Т. 38, вып. 3.

С. 571-574.

11. Аминов А. Б., Сиразетдинов Т. К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивости в целом нелинейных однородных систем // Прикладная математика и механика. 1984. Т. 48, вып. 3. С. 339-347.

12. Раппопорт Л. Б. Знакоопределенность квадратичной формы при квадратичных ограничениях и абсолютная устойчивость нелинейных систем // Докл. акад. наук. 1988. Т. 298, № 4. С. 822-826.

13. Чернятин В. А. О знакоопределенности произвольных форм четного порядка // Докл. акад. наук БССР. 1966. Т. 10, № 11. С. 821-823.

14. Утешев А. Ю. Использование однородных форм в качестве функций Ляпунова / Ленингр. гос. ун-т. 1987. № 2942-В87. Серия: Математика, механика, астрономия. С. 13.

15. Утешев А. Ю., Шуляк С. Г. Критерий асимптотической устойчивости системы двух дифференциальных уравнений с однородными пра-

выми частями // Дифференциальные уравнения. 1987. № 6. С. 1009-1014.

16. Иртегов В. Д., Новиков М. А. Знакоопределенность форм четвертого порядка от двух переменных // Метод Ляпунова и его приложения. Новосибирск, 1984. - С. 87-93.

17. Новиков М. А. О знакоопределенности форм двух переменных // Методы оптимизации и их приложения : тр. XIV Байкал. междунар. шк.-семинара, Иркутск - Северобайкальск, 2-8 июля 2008. Иркутск, 2008. Т. 3. С. 134-141.

18. Новиков М. А. Знакоопределенность и теорема Финслера // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. Спец. вып. С. 126-132.

19. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.

20. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. М., 1960. Т. 2. 620 с.

21. Ван дер Варден. Современная алгебра. М.-Л., 1937. Т. 2. 210 с.

Антошкин С.Б., Мухопад Ю.Ф., Пунсык-Намжилов Д.Ц. УДК 004.3

СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ

Микроконтроллеры со встроенными аналого-цифровыми преобразователями (АЦП) позволяют создавать автономные экономичные устройства сбора данных, причем частичную обработку результатов преобразования могут выполнять сами микроконтроллеры или специализированные аналого-цифровые преобразователи информации. Обычно встроенные АЦП имеют относительно невысокую разрядность - от 8 до 12 двоичных разрядов. Еще меньшую разрядность имеют АЦП, обладающие способностью работать в СВЧ диапазоне [10-12]. Одним из способов увеличения разрядности в случаях, когда допустимо снижение скорости преобразования, является применение статистических методов [1-4]. При этом к входному сигналу примешивается шум с дисперсией порядка единиц шага квантования так, чтобы распределение уровней шума перекрывало не менее двух интервалов квантования [5]. При снятии дос-

таточно большого количества отсчетов и усреднении результата получается более точное значение измеряемого уровня. Погрешность в этом случае будет меньше, чем величина шага квантования и при большом количестве выборок составит 3 = а/^/2 , где о - дисперсия подмешанного шума. Такой метод применим для медленно меняющихся сигналов. Для сигналов, скорость изменения которых достаточно велика, между входом АЦП и источником сигнала устанавливают устройство выборки и хранения (УВХ), а шум подмешивают к выходному сигналу УВХ. Данный метод увеличения точности преобразования подразумевает то, что АЦП имеет практически идеальную функцию преобразования.

Для реальных АЦП [6] имеются допуски на дифференциальную нелинейность, обычно достигающие половины младшего значащего разряда (МЗР), а полная нелинейность может достигать