Существование и единственность решения нелокального уравнения источника ионизации в тлеющем разряде и полом катоде

УДК 51-74

В.В. Горин

Киевский национальный университет им. Т.Г. Шевченко Московский физико-технический институт

Существование и единственность решения нелокального уравнения источника ионизации в тлеющем разряде и полом катоде

Работа посвящена доказательству теоремы единственности решения уравнения нелокального источника ионизации в стационарном тлеющем разряде и полом катоде, полученного автором в предыдущей работе. С помощью этого уравнения в рамках единого подхода автору удалось впервые смоделировать две различные вольт-амперные характеристики для простого тлеющего разряда и разряда в полом катоде. До появления уравнения это не было возможным ввиду отсутствия теоретической модели для нелокальной ионизации в тлеющем разряде. Различие вольт-амперных характеристик продемонстрировало возможность математического описания эффекта полого катода, которая отсутствовала в классической локальной теории ионизации.

Ключевые слова: интегродифференциальный оператор, уравнение Фредгольма 2-го рода, теорема единственности, нильпотентность, тлеющий разряд, полый катод, нелокальная ионизация, нелокальная кинетика.

I. Введение

Проблема создания теории полого катода — устройства тлеющего разряда в газах, изобретённого Пашеном уже почти сто лет назад [1], дающего аномально большие токи при тех же напряжениях разряда по сравнению с такими же устройствами тлеющего разряда, но не имеющими геометрии полого катода, — в значительной степени обусловлена нелокальностью ионизации. Классическая модель катодного слоя Энгеля и Штеенбе-ка [2] для тлеющего разряда в простой геометрии использовала для источника ионизации формулу Таунсенда [3], которая подразумевала локальную зависимость ионизации от электрического поля. Локальные (или двухжидкостные, гидродинамические) модели тлеющего разряда [4] давали качественно правильное описание распределений электрического поля и плотностей токов электронов и ионов в пределах катодного слоя тлеющего разряда в плоском конденсаторе при низких плотностях тока и не слишком малых давлениях. Однако они не могли отразить правильно особенности области отрицательного свечения, в которой ионизация в условиях низкого электрического поля производится электронами, набравшими энергию в другом месте, — в области сильного поля катодного слоя. Поэтому область отрицательного свечения в локальной модели нельзя получить в принципе, и к катодному слою здесь всегда прилегает положительный столб — область равновесия процессов ионизации и рекомбинации (либо выноса заряженных частиц на боковую стенку). Для полого катода модель с локальной ионизацией оказалась неприемлемой вовсе, поскольку здесь и катодный слой, и плазма разряда обладают существенно нелокальными свойствами.

На пути к теории нелокальной ионизации вместо двухжидкостных были разработаны гибридные модели, в которых электроны, производящие ионизацию, рассматривались отдельно от медленных электронов, обеспечивающих баланс тока и электрического заряда [5]. В гибридной модели ионы и медленные электроны описываются на языке дрейфа и диффузии, в то время как быстрые электроны рассматриваются с помощью кинетических уравнений или моделируются методами Монте-Карло [6-8]. Было показано [9], что гибридные модели намного лучше описывают плотность плазмы в разряде, хоть и являются более сложными.

Гибридные модели поставили проблему описания нелокального источника ионизации, для которого формула Таунсенда не годится. Кинетическое уравнение для быстрых электронов является многомерным, что затрудняет его применение в расчётах; метод Монте-Карло является, по существу, вычислительным экспериментом, поставляющим эмпирические данные численного моделирования источника ионизации без понимания причин результатов.

Автору настоящей работы удалось ранее упростить эту проблему путём оригинального (не гиль-бертовского [10]) усреднения кинетического уравнения для быстрых электронов, в результате которого им было получено нелокальное уравнение для источника ионизации в тлеющем разряде и полом катоде [11, 12]:

з

3 г'Со(г,г')]и(г') +

3г'О0(г,г' )э(г').

дП

Здесь в(г) — плотность источника ионизации, ]п — плотность потока электронов с катода (участка границы дО области тлеющего разряда О, кото-

П

рый является внешним источником электронов), определение функции Со (г,г') дано ниже. Первое слагаемое в правой части описывает ионизацию катодными электронами, второе — вторичными электронами от ударной ионизации внутри разряда. Нелокальное уравнение источника имеет математический тип интегрального уравнения Фред-гольма 2-го рода. Оно не противоречит в абсолютном смысле локальной модели источника ионизации Таунсенда, а является, скорее, его нетривиальным и далеко идущим обобщением. А именно: если переписать нелокальное уравнение в терминах одномерной пространственной модели плоского конденсатора (без конфигурации полого катода), и при этом упростить кинетику электронов, отказавшись от упругого рассеяния и дискретности потерь энергии в неупругих процессах, уравнение приобретёт тип интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода [13, 14]. В случае, когда нелокальными эффектами можно пренебречь, ядро уравнения перестаёт зависеть от второго аргумента; это вырождение ядра уравнения позволяет преобразовать интегральное уравнение к дифференциальному уравнению, которое в точности совпадает с уравнением Таунсенда: вде/3х = а(х)де.

Настоящая работа посвящена доказательству единственности решения нелокального уравнения, если оно существует. Несмотря на то, что в теории интегральных уравнений Фредгольма имеется ряд теорем существования и единственности решения [15-17], воспользоваться ими непосредственно здесь не удаётся, поскольку 1) ядро уравнения задаётся не явно, а через решение линейного кинетического уравнения с дифференциальным и интегральным операторами, коэффициенты которого обладают довольно общими физическими свойствами; 2) область определения ядра также задаётся неявно, её геометрия варьируется в пределах широкого класса устройств тлеющего разряда, полый катод произвольной формы — одна из возможностей; 3) интегральный член уравнения, как правило, не мал по сравнению со свободным членом (вторичные электроны зачастую вносят в ионизацию более весомый вклад, чем первичные, катодные, электроны); 4) ядро уравнения не является эрмитовым (или симметричным).

Вопрос о существовании решения уравнения связан с вопросом о существовании ядра уравнения, ответ на который в свою очередь зависит от существования фундаментальных решений краевой задачи для стационарного кинетического уравнения «быстрых» электронов. Не всякая конфигурация электрического поля и не любые граничные условия обеспечивают существование фундаментального решения стационарной задачи. Например, если электрическое поле в области ионизации равно нулю, то нельзя пренебречь начальной скоростью образующихся электронов, как это было сделано при выводе уравнения, поскольку электроны будут в этой области неогра-

ниченно накапливаться, и решение не будет стационарным. Необходимые условия существования фундаментального решения для дифференциального оператора задачи сводятся к альтернативам Фредгольма [15]. Исследование достаточных условий существования решения — непростая задача, и в работе сделано допущение о том, что требуемое фундаментальное решение для вспомогательного оператора существует. Ради простоты изложения доказательств конфигурация электрического поля ограничена условием одного максимума и одного минимума электростатического потенциала.

Доказательство разбито на пять лемм и заключительное доказательство теоремы. В лемме 1 доказывается единственность нулевого решения однородного дифференциального уравнения, образуемого вспомогательным дифференциальным оператором. Леммой 2 доказывается аналогичное утверждение для сопряжённого оператора. Из этих результатов следует единственность фундаментального решения для вспомогательного оператора, доказательству которого посвящена лемма 3. В лемме 4 фундаментальное решение кинетического уравнения и некоторые его свойства конструируются из решения и свойств фундаментального решения для вспомогательного оператора. На основе полученных свойств в лемме 5 обосновывается единственность определения и нильпотентность ядра интегрального уравнения. Именно свойство нильпотентности ядра (обращения в ноль некоторой степени соответствующего оператора) даёт здесь возможность утверждения о сходимости ряда Неймана и получения формулы решения интегрального уравнения, что является заключительной частью доказательства теоремы.

II. Определения и свойства физических величин

Рассматривается область 2 : (г,у), г € О, V € К3, 2 = О х К3, О С В3 шестимерного фазового пространства для механики движения электрона, О — его координатная область — открытое связное множество в К3, — граница которой дО состоит из кусочно-гладких поверхностей и определена геометрией устройства с тлеющим разрядом.

Шгоп('и) — средняя частота ионизации атомов газа электронным ударом при скорости электрона

V, неотрицательная непрерывная функция, имеющая энергетический порог:

9

игоп{ъ) = 0 При —---------- ^ £;оп,

2е

здесь е — элементарный заряд, е^оп — энергия ионизации атома электронным ударом, эВ, те — масса электрона.

Оператор упругого рассеяния

33

дд Lel{v) = LVPj(v) -K-^{SikV2 - ViVk) — ,

i=i k=i Vi vk

сохраняет число электронов и кинетическую энергию электронов т = т^2/(2е), эВ, здесь ше^) — средняя частота упругого рассеяния электрона на (почти) неподвижных атомах газа при скорости электрона V. Это непрерывная функция, положительная при всех V > 0.

Оператор неупругого рассеяния при возбуждении и ионизации атомов электронным ударом

Lin (v)f (v) =

d v/i(v,v/)f (v/) - u(v)f (v),

i

із v,v

сохраняет число электронов, вступивших в неупругое рассеяние на атомах (здесь речь идёт о первичных электронах, сюда не входят вторичные электроны, образовавшиеся при ионизации дополнительно):

u

= 2п

/2dv/

d v/i

de sin e^3

^ 0, в общем случае это — обобщённая функция, ядро линейного оператора ( :

С(Д3) ^ С(Д3), который по своему физическому смыслу средней частоты неупругих процессов переводит скорость электрона из Vі (второй аргумент) в малую окрестность V. Свойство диссипации энергии электронов при неупругих процессах накладывает ограничение

22 mev2 mev/

Mv,v ) = 0 при —-----------------1- єin >

2e

2e

£in > О:

£гп — наименьший из порогов по энергии для неупругих процессов, эВ. Из физических сообра-

жений £г

> £г

поскольку энергия ионизации

атома всегда превышает энергию возбуждения любого уровня из дискретного спектра энергий. Из ограничения (5) следует, что интегрирование в (4) можно сузить на шар

;(v) =

d v/i(v/,v) =

meVf 2 meV2

e -<—h------£i-

2e 2e

V

2n

v/2dv'

de sin e^3(v/,v, cos в),

У

2e

me

откуда следует, что средняя частота ш^) неупругих процессов для электрона со скоростью V имеет нижний порог по энергии егп, то есть

ш(г>) = 0 при <Г, е4п.

Функцию w(v) будем считать непрерывной.

Е(г) = -У^(г) — электростатическое поле, определённое в области О. Выберем уровень отсчёта потенциала так, чтобы электрический потенциал у>(г) принимал неположительные значения, и наибольшее значение потенциала на замыкании О было бы равно нулю. Наименьшее значение пш^^^г)} = —II, где и — напряжение разряда.

Локальным максимумом электрического потенциала на замыкании О назовём непустое замкнутое связное множество М: г € М, М С О такое, что если выбрана точка го € М, то 1) для всякой другой точки г € М выполнено у>(г) = ^(го), 2) существует 5-окрестность 5 м: ^' € 5 м, г' € М: Зг € М: |г' — г| < 5, в которой у>(г') < ^>(го).

Аналогично определяем локальный минимум электрического потенциала, изменив знак неравенства в 2) на противоположный: у>(г') > ^(го).

Для простоты изложения доказательств в данной работе положим:

1) для любого г € О : Е(г) = 0;

2) электрический потенциал имеет на О только один локальный минимум и один локальный максимум, причём они принадлежат границе дО области разряда О.

Поскольку локальный максимум потенциала — это локальный минимум потенциальной энергии электрона, а неупругие процессы происходят только при кинетической энергии электрона, превышающей пороговое значение егп, то в окрестности максимума потенциала при достаточно малой скорости электрона может возникнуть (замкнутая) область медленных электронов, не участвующих в неупругих процессах и сохраняющих поэтому свою полную механическую энергию.

Зоной медленных электронов назовём

£

2e

: П {£(r,v) < £in},

- ^(r).

Определим зону «быстрых» электронов как Ein = e\es. Ein является открытым связным множеством, то есть областью. Открытость очевидна, связность гарантируется неограниченностью энергии сверху на Ein.

Любые две точки (ri,Vi) е Ein,(r2,V2) е Ein можно соединить кусочно-гладкой кривой внутри Hin следующим образом: прямые Ci :

{(ri,Vit),1 < t < то}, С2 : {(r2,V2t),1 < t < то}

v2

£

vv

п

o

o

2

mv

e

п

o

o

принадлежат 2гп, поскольку увеличение кинетической энергии в данной точке «быстрый» электрон медленным сделать не может. Пусть и = тахге^{—<^(г)}; гиперповерхность е(г^) = шах{и + 2егп,е(г1^1),е(г2^2)} принадлежит 2гп при всех г € О, поскольку кинетическая энергия электрона на ней всюду не ниже 2егп. Связность этой энергетической гиперповерхности гарантирована связностью О. Прямые С\ и С2, очевидно, пересекают данную энергетическую гиперповерхность, вдоль которой, в силу её связности, их точки пересечения с гиперповерхностью можно соединить третьей кривой.

Наряду с 2гп будем рассматривать его подмножества Нгп+йе = 2\2а(^,егп + 5е), отличающиеся от 2гп лишь тем, что при определении 25 (и затем 2гп) мы используем завышенное значение порога егп + 5е, 5е > 0 вместо «настоящего» порога егп. В частности, область ионизующих электронов 2гоп = 2\2Я (^,егоп) мы определим аналогично области «быстрых» электронов, с тем лишь различием, что наименьшую энергию неупругих процессов егп в определении заменяем на энергию ионизации егоп. Очевидно, 2гоп С 2гп, 2*оп С 2*п. Кроме этого, подмножества 2.;п, ограниченные сверху по энергии, будем обозначать

как

"E

"‘in+бє

= Sin+йє П {£(r,v) < E}.

Определим оператор рассеяния электронов на атомах газа

L

а также оператор фазового потока

д e д

V • --------E r • —

дr me дv

бесстолкновительного движения электрона в электрическом поле. Все определённые операторы действуют на функции соответствующего класса дифференцируемости и интегрируемости. Обобщённую функцию

g(r,v; r/,v/), (r,v; r/,v/) Є Sin x Si„

определим как фундаментальное решение стационарного кинетического уравнения

д e д

v • ----------E r • -------L v

дr me дv

S3

в области (г^) Є 2іп с точечным источником в правой части и при условии поглощения на участке границы (дП х Д3) П 2іп области 2іп решения задачи:

г Є дії, V • пап ^ 0 : g

здесь пап — внешняя единичная нормаль на границе области П.

Физический смысл условия поглощения: граница дО области О поглощает все электроны, которые на неё падают. При этом подразумевается, что граница-эмиттер электронов (катод) моделируется сингулярным источником, расположенным внутри О, но сколь угодно близко к поглощающей стенке. Отражающую границу, если она нужна, можно смоделировать отталкивающим потенциальным полем, сосредоточенным у стенки.

Доказательство следующей теоремы является целью настоящей работы:

Теорема. Решение интегрального уравнения

s(r) = a(r) + относительно s(r), где

d3r/Go

Go (г,Г

d3vuion

а(г) — произвольная функция, интегрируемая по Лебегу на О, при условии существования решения уравнения (7) с граничными условиями (8), существует и является единственным.

Доказательство.

Лемма 1. Единственным решением уравне-

д е д

V • --------Е(г) • ----Ье1{\) + ш(г>) /(г,у) = 0

дг те дv )

в области 2гп на классе непрерывных функций с необходимыми для уравнения непрерывными производными является f (г^) = 0.

Доказательство. Пусть выбрано Е > и. Построим область 2|п = 2гп П {е(г,v) < Е}. Умножим уравнение (11) на 2f (г^) и проинтегрируем

по

d rd3v2f (r,v) x

x fv ' T“ “ —E(r) • -гг" - Lei{w) + cj(v) ) /(r,v) = 0.

\ дr me дv 1

Произведём преобразования:

d3rd3v2f(r,v) ( v ~ - —E(r) • /(r,v)-

V дr me дv j

d3rd3 v2f (r,v)L el (v)f (r,v)+

+

d rd v2f2(r,v)u(v) = О,

d3rd3v ( • v-----E(r) ) /2(r,v)-

1 дr mP дv '

д

d3rci3v ud(v)(5ikv2 - vivk)—f(r,v)+

i=l i k=l

k

ния

E

E

g

E

E

E

E

+2

cf rcf v ^ Yj ^ei(v)(Mv2 - ViVk)jf{r,v)^-(r,v)+

Ovi On

i=l k=l

+2

d rd vf2(r,v)u(v) = О.

Первые два интеграла сводятся к интегрированию по границе дН?П, эта граница состоит из участков трёх типов: 1) участок, обусловленный границей пространственной области разряда Гап = (90 х В3)ПЕіп, (6-мерная) нормаль к границе ^п = (пап,0); 2) участок, обусловленный верхней границей энергии Ге = {е(г,у) = Е}П2ІП, нормаль МЕ = (§§,Ц)|є=е = (Е(г)^)иЕ; 3) У^-сток, обусловленный нижней границей энергий неупругих процессов Тіп = {є(г,у) = єіп} П Еіп, нормаль №;,п = (Е(г),^у)| . Первый из инте-

гралов обращается в ноль на участках Ге и Гіп в силу ортогональности фазового потока к нормали на гиперповерхности постоянной энергии, на участке Г ап он даёт выражение

сРгсРупац • V/2(г^), пап • V > 0,

Га^

которое в силу условия поглощения (8) является неотрицательным. Второй интеграл обращается в ноль на всех трёх участках границы ввиду ортогональности нормали границы к вектору плотности потока (подынтегральное выражение здесь — дивергенция 3-вектора, ортогонального к V). Итак, имеем

сРгсРьпап • V/2(г^)+

Га^

33

+2

d3rd3v ЕЕ Uel(v)(Sik v2 — vivk )x

i=l k=l

+2

Of , \ Of

x^— (r,v) — (r,v) + OVi дVk

d rd vf (r,v)u(v) = О.

Для того чтобы сумма трёх интегралов с непрерывными неотрицательными подынтегральными выражениями была равна нулю, необходимо, чтобы каждое из подынтегральных выражений было равно нулю во всех точках области интегрирования. С учётом условия поглощения в первом интеграле и положительности частоты упругих столкновений Ше1^) при ненулевой скорости получим

/2

£ = °.

г=1 к=1 г к

Ov (r,v) Є

SE

in,

/2

Равенство (12) означает, что /(г^) обращается в ноль на участке Гап при всех скоростях этого участка. Равенство (13) означает, что внутри НЕг функция / (г,V) не зависит от направления вектора скорости:

f (r,v) = f(r,v2).

Равенство (14) требует обращения в ноль /(г,v) всюду на 2|п, где частота неупругих столкновений Ш(^ = 0: /(г,v) = ° (г,v) € (2гЕп\{шН = 0}). Однако подмножество низких кинетических энергий (г,v) € (2е П{meV2/(2e) < еы}), где ш(и) = 0, является непустым и требует дальнейшего исследования (оно содержит «быстрые» электроны с малой кинетической энергией, но потенциальной энергией, достаточно большой для неупругих процессов). Подстановка представления (15) в уравнение (11) для указанного подмножества с ш^) = 0 даёт

А _ —Е

Or mP Ov 1

дю ,2вд~, 2 ,

+ ^:(г)—і^/(Г>гГ)) =°

Ov2

1) Положим сначала, что v = 0. Поскольку направление вектора v произвольное, имеем

дю . 2e д 2

+ ^:(г)—т^/(г>гг) =°-

Ov2 '

Выберем на О какую-либо точку r = ro и гладкую кривую на множестве Ф(и) : r е Ф(и) : <£>(r) = ^(ro) = —и, исходящую из этой точки. Множество Ф(и) является связным в силу единственности локального максимума и локального минимума потенциала — сделанного здесь допущения об упрощённой конфигурации электрического поля, — поэтому любые две точки в нём соединяются кривой.

Ф(и) является поверхностью раздела двух тел: {^(r) < —и} и {y>(r) > —и}. При указанных допущениях таких геометрических тел именно два, а не больше.

Зафиксируем v2 = const. Умножая уравнение (17) на вектор l = l(r), касательный к кривой на Ф(—y>(ro)) в данной точке r, получим, что производная вдоль кривой l • (df /dr) = 0, поэтому f (r,v2) имеет одно и то же значение на множестве Ф(—y>(ro)). Это означает, что функция f (r,v2) представима в виде

f

2e

2e

то есть на фазовом пространстве функция /(г^) является функцией не шести, а двух скалярных

E

E

v

или

v

e

E

E

2

2

mv

mv

e

e

переменных. Этими переменными являются потенциальная и кинетическая энергии «быстрого» электрона. Уравнение (15) переписывается в виде

Й(г) (^/(^”) + ;йЛ'л”))=0'

Поскольку сделано допущение о том, что электрическое поле нигде не обращается в ноль, имеем

0,

/(^,т) = Х(т — ^), где х — произвольная дифференцируемая функция. Используя (15), при v = 0 получим

/ (г^) = / (гУ) = х

2е

— ^(г)^ = хОФ^.

Для некоторого значения полной энергии е1 : Е > е1 > егп рассмотрим множество {е(г^) = е1}. В точке го минимума потенциальной энергии электрона, которая в этой точке равна нулю,

е

mev2/(2е) > егп, поэтому здесь

ш(v) > 0. В силу непрерывности ш^) на рассматриваемой энергетической гиперповерхности есть окрестность точки го, в которой всюду ш^) > 0, и поэтому /(г^) = 0 (ввиду (14)). Объединение всех таких окрестностей точки го граничит с множеством, на котором ш^) = 0, где справедливо представление (19). Непрерывность / на этой границе означает, что х(е1) = 0. Таким образом, представление (19) распространяет условие леммы на множество низких кинетических энергий (г^) € (2Еп П {т^2/(2е) < егп}), где ш(и) = 0, поскольку это множество достижимо вдоль гиперповерхности постоянной энергии из точек с достаточно высокой кинетической энергией. Итак, условие леммы справедливо на 2Е1 \^ = 0}.

2) Множество 2Щ П{ = 0} является предельным для открытого множества 2Щ\^ = 0}. Поскольку решение уравнения (11) ищется на классе непрерывных функций, то представление (19) продолжается на нулевые значения скорости предельным переходом, в результате которого условие леммы распространяется на всё множество 2Е .

гп

3) Поскольку выбор верхней границы энергии е(г,v) = Е для множества 2Щ сверху ничем не ограничен, для любой точки (г^) € 2гп найдётся такое Е, что эта точка будет принадлежать и множеству 2Ег, поэтому условие леммы распространяется на всё множество 2гп.

Лемма доказана.

Замечание. Область единственности нулевого решения однородного уравнения (11) может быть продлена и в зону 2Я медленных электронов вдоль гиперповерхностей постоянной энергии, поскольку все они пересекаются с участком границы д2, по крайней мере, в области максимума потенциала (минимума потенциальной энергии

электрона), который здесь в силу принятых допущений лежит на границе дО. Это следует из того, что (12) можно было бы получить, производя интегрирование и по 2Я. Поэтому условие поглощения делает нулевое решение здесь единственным на всём фазовом пространстве 2. При более сложной конфигурации электрического поля (с многими локальными максимумами потенциала) могли бы возникать потенциальные ямы, изолированные от стенок, с накоплением медленных электронов. Однако зона 2Я медленных электронов требует другого кинетического уравнения, что выходит за рамки рассматриваемой задачи.

III. Сопряжённое уравнение

Умножим неоднородное уравнение

V • - — Е

дг те дv

= «1

на произвольную функцию Ь(г^) и проинтегрируем по области 2Щ:

в гв ^(г^)х

х ( V • ^---------—Е(г) • - Ье1(\) + ш(у) ) /(г,у) =

1 дг те дv '

d3rd3vh(г,v)s1 (г,v).

Производя интегрирования по частям в левой части равенства, получим

в2гв vnап • vh(г,v)/(г^) +

+

в гв 'и/(г^) х

d3rd3vh(г,v)s1 (г,v).

Введём обозначения:

д е д

£>1 = у-----------Е

дг те дv

д е д

= -V • — + —Е

дг те дv

Из полученного равенства (21) видно, что если функция Ь удовлетворяет сопряжённому однородному уравнению

В *h(г,v) = 0,

2

Е

Е

Г

Е

Е

а также «сопряжённому» условию поглощения:

г € дО, v • пап ^ 0 : h

(в котором знак скалярного произведения скорости на нормаль — противоположный тому, что в

(8)), то левая часть равенства обращается в ноль, и, следовательно, необходимым условием разрешимости уравнения (20) становится условие ортогональности правой части (20) ко всем решениям однородной задачи (24), (25) (условие Фредголь-ма). Однако для этой задачи справедлива

Лемма 2. Единственным решением сопряжённого однородного уравнения (24) при «сопряжённом» условии поглощения (25) на классе непрерывных функций с необходимыми для уравнения непрерывными производными является Ь(г^) = 0.

Доказательство. Полностью аналогично доказательству леммы 1.

Лемма 3. Обобщённая функция д^г^; г'^'). (г^; г'^') € 2гп х 2гп, удовлетворяющая уравнениям

V * ------—Е(г) • - Ье1(\) + и (г) ) х

дг те дv 1

хд1

(“У' ^ + ^Е(Г,) ^7 - ^(у')+"(-')) х

хд^г^; г',v') = 53

и условиям поглощения:

(г € дО^ • пап ^ 0) V (г' € дО^' • пап ^ 0) :

д1

если она существует, является единственной. Носитель функции принадлежит множеству

(2гп х 2гп) П {е(г,v) = е(г'У)}.

Физический смысл леммы: электрон, появившийся в какой-либо точке г' со скоростью v', сохраняет при движении свою полную энергию, пока не уйдёт с энергетической гиперповерхности в результате акта неупругого столкновения либо поглощения стенкой.

Уравнение

слева на д1, получим: д1 В1/ = д^ = /. Поскольку / можно считать произвольной функцией (удовлетворяющей условиям дифференцируемости и

условиям поглощения на границе), из полученного следует д1 В1 = I, что эквивалентно (27). Следовательно, из (26) вытекает (27). И наоборот, из (27) следует: д1 В1 = I, д1 В1/ = /, далее с учётом

(20): д1в1 = /, В= В1/ = вь откуда, ввиду произвольности в1, Вд = I.

Доказательство. Для единственности решений неоднородных уравнений (26) и (27) необходимо и достаточно, чтобы однородные уравнения (11) и (24) имели единственное решение (нулевое). Это было установлено леммами 1 и 2.

Носитель д1. Доказательство леммы 1 (также и леммы 2) останется в силе и в том случае, если из множества 2гп исключить какой-либо слой {е 1 ^ е(гУ ^ е2}. При этом накладывать какое-либо граничное условие на границах слоя не требуется, поскольку векторное поле фазового потока является касательным к границе в любой точке, и поток через границу от соответствующих интегральных членов обращается в ноль. В результате опять же становятся справедливыми равенства (13) и (14), и доказательство леммы 1 и леммы 2 для множества 2гп\{е1 ^ е(гУ ^ е2} проводится аналогично предыдущему.

Пусть

П

Сп

С'1-1 ехР (?ззт) ,М < 1;

1

4^г2 ехр

1

вг

— нормированная «шапочка» [15]. Построим последовательность «шапочек», сходящихся к дельта-функции правой части (26) или (27):

г/п(гу; г'У) = п6п(п(г — г'))п(«У — v')).

(Здесь сходимость понимается в смысле слабой сходимости линейных функционалов, см. [16].) Носитель каждой «шапочки» сосредоточен на прямом произведении шаров:

вирр Пп

{|г — г'| ^ 1/п} х {^ — v'| ^ 1/п}.

При фиксированных значениях г',v' рассмотрим уравнение В 1/п = пп относительно неизвестной /п. В силу непрерывности функции е(гУ по своим переменным для любого 5е > 0 найдётся такой номер по, начиная с которого для энергии справедлива оценка:

|е(гУ — е(г'У)| < 5е, (г,v) € виррПп, п > по.

Если теперь выбрать е1 = е(г',v') — 5е,

е2 = е(г',v') + 5е, то мы получим, что уравнение д 1/п = пп на множестве 2гп\{е1 ^ е(г,v) ^ е2} является однородным: В 1/п = 0. В силу леммы 1 оно здесь имеет единственное решение — нулевое. Следовательно, носитель решения уравнения В 1/п = пп принадлежит множеству 2гп П{е1 ^ е(г,v) ^ е2}. Поскольку 5е может быть

1

1

2

г

о

выбрано сколь угодно малым, носитель (обобщённой) функции f = limn^TO fn (слабый предел) принадлежит пересечению всех таких множеств, то есть множеству Sin П {£(r,V) = £(r/,V/)} (при фиксированном r/, v/). Если теперь зафиксировать r,v и рассмотреть аналогичным образом сопряжённое уравнение D*hn = 'qn, то, используя лемму 2, придём к аналогичному результату по переменным r/, v/. Поэтому носитель обобщённой функции g1 принадлежит множеству (Sin x Sin) П {£(r,v) = £(r/,V/)}.

Лемма доказана.

Лемма 4. Решение g

v  і ~ ^еЩг)  ^ i

в классе обобщённых функций на (г^; г',v') € 2гп х! при граничных условиях поглощения (8), при условии существования функции д1(г^; г'У) — см. лемму 3, существует, единственно и обладает свойством:

д

Физический смысл леммы: электрон, образовавшийся в тлеющем разряде в фазовой точке г'^' при энергии е(г'У), не сможет в процессе движения с упругим и неупругим рассеянием на «неподвижных» атомах газа приобрести большей энергии, поскольку неупругие процессы делают его механику движения диссипативной.

Доказательство. Перепишем уравнение (7) в виде

d3v//n(v,v//)g(r,v//; r/,v/) + S3(r — r^S^v — v/)^

В силу свойства (5), если точка (гУ € 2гп, то и точка (гУ) € 2гп (иначе множитель ц обращается в ноль). Используя принцип суперпозиции [15, с. 195], разложим решение уравнения (7) на сумму решений с элементарными источниками из (26). Это позволяет представить уравнение (7) в интегральной форме:

В силу свойства (5) порядок интегрирования по скоростям v'''^'' можно поменять местами:

g(r,v; r/,v/

dV d3v/,

d3v///gl(r,v; r//,v///)x

x^(v///,v//)g(r//,v//; r/,v/) + gl(r,v; r/,v/), Мы получили интегральное уравнение g(r,v; r/,v/) =

d3r//d3v//K(r,v; r//,v//)g(r//,v//; r/,v/) +

+gi(r,v; r/,v/),

где

K(r,v; r//,v/

g(r,v; r/,v/

d3r///d3v///gi(r,v; r///,v///) x

d3v//M

div///gi(r,v; r//,v///)M(v///У).

Используя (5), получим

K(r,v; r//,v//) =

d3v///gl(r,v; r//,v///)^(v///,v//)•

n/2 n2

Из леммы 3 для функции д1 и из свойства диссипации энергии (5) следует, что носитель функции К (по переменным гУ может быть расположен лишь при

е(гУ= е(г'',v''') <е(г'',v'') — егп,

откуда имеем

К(г^; г',v') = 0 при е(г,v) ^ е(г',v') — егп.

Физический смысл: оператор

Kf

dr'dv/K

понижает энергию электронов не менее чем на величину £in минимальной энергии среди всех неупругих процессов: если функция f (r,v) имеет ограниченный по энергии носитель, принадлежащий множеству Sin П {e(r,v) < £]_}, то носитель функции Kf(r,v) будет принадлежать множеству Sin П {e(r,v) < £1 — £in}.

Пусть Iin(r,v) = 1, (r,v) е Sin,

Iin (r,v) = 0, (r,v) е Sin — индикатор множества Sin. Оператор K можно представить как произведение двух операторов: K = gifa, где

f

d3 r/S3(r—r/) d3v/^(v,v/)f (r/,v/)•

g(r,v; r/,v/

d3r//d3v///gl (r,v; r",v///) x

d v//^(v///,v//)g(r//,v"; r/,v/) + gl(r,v; r/,v/)•

Индикатор множества 2гп введен для того, чтобы не рассматривать зону 2Я медленных электронов (процесс превращения «быстрых» электронов в медленные для поставленной задачи интереса не представляет). Поскольку функция

2

Q

X

/ финитна, её носитель ограничен по энергии величиной е(гУ < е 1, поэтому функция в2 (гУ = 1/(гУ также финитна, причём для её носителя е(гУ < е1 — егп.

Оператор К действует в то же пространство функций, на котором он определён, поэтому существуют повторные операторы К2 = КК,

К3 = К К К,... и т.д.

В операторной форме (где имена интегральных операторов соответствуют ядрам) уравнение (31) приобретает вид: д = Кд + д1, или (I — К)д = д1. Его формальным решением является ряд Неймана:

I = (I — K)-lgi

gi^

Однако поскольку энергия ограничена снизу, а каждое действие оператора К понижает энергию электрона не менее, чем на єіп, то Кпді обращается в ноль на функциях класса С(2^) при п > Е/єіп, то есть оператор К на функциях, носитель которых ограничен сверху энергией Е, является нильпотентным с показателем (индексом) нильпотентности п = [Е/єіп] + 1 (здесь квадратные скобки означают целую часть числа). Следовательно, ряд имеет конечное число элементов:

g=

N = [£

Существование и единственность g(r,v; r',v') являются следствием таковых для ядер gi и K, входящих в формулу операторов и однозначности конечного числа операций в ней. Поскольку в сумме нет слагаемых, которые повышали бы начальную энергию электрона e(r',v') (которой он обладал до первого акта неупругого рассеяния), то g(r,v; r',v') = 0 при e(r,v) > e(r',v').

Ввиду произвольности выбора верхней границы энергии в пределах области «быстрых» электронов утверждение леммы распространяется на все (r,v; r',v') е Sin х Sin.

Лемма доказана.

Лемма 5. Оператор

Go s(r) =

d3r/G0(r,r/)s(r/),

в котором ядро Со (г,г') выражается формулой

(10), определён однозначно и обладает свойствами:

а) Сжатие носителя: если носитель неотрицательной функции в(г) принадлежит множеству С1и = О П {—<р(г) ^ и}, то носитель неотрицательной функции в1(г) = Сов(г) принадлежит множеству

0 и — £ гоп - ^ П { ^ и ьгоп}?

б) Нильпотентность: поскольку потенциальная энергия ограничена сверху и снизу, существует натуральная степень М оператора Со, обращающая любую функцию в (г), г € О, интегрируемую на О, тождественно в ноль: (Со)мв(г) = 0.

Доказательство. Однозначность. По опреде-

лению

Go (r,r/

d3vuion

Несмотря на то, что однозначность определения функции g(г,v; г',0) при фиксированном г' гарантирована леммой 4 лишь в области (гУ € 2гп для «быстрых» электронов, интегрирование по скоростям в зоне 2Я медленных электронов не даёт вклада, поскольку первый множитель в интеграле, частота ионизации шгоп^), в зоне 2Я равен нулю (в силу (1)). Поэтому функция Со (г,г') определена однозначно.

а) Из леммы 4 следует, что д(г^; г',0) = 0 при

2

т------г) > —ф{г'), то есть ненулевые значе-

ния д возможны лишь при т^ ^(г) — Однако, согласно (1), для того, чтобы не обратился в ноль множитель шгопУ), необходимо выполнение условия е*оп < , откуда долж-

но быть £1оп < т^1 < <£>(г) - 1р(г'), ИЛИ

—у>(г) < —у>(г') — егоп. Это означает, что

Со (г,г') = 0 при — у>(г) > — у>(г') — егоп.

Поскольку носитель функции в (г') принадлежит множеству С1и = Пп{—(^(г') ^ и}, то из (36) следует, что ненулевые значения в1(г) возможны только при —у>(г) < — у>(г') — егоп < и — егоп, то есть носитель функции в! (г) принадлежит С1и—^оп. Вложение Ои-Е€оп С Ои очевидно в силу положительного значения порога ионизации егоп.

Утверждение а) доказано.

б) Поскольку электрический потенциал в устройстве газового разряда ограничен сверху и снизу, утверждение б) выполняется при М = [и/егоп] + 1, где и = шахгеп{— ¥>(г)} (напряжение разряда).

Лемма доказана.

Доказательство теоремы. Уравнение

(9) в операторной форме принимает вид: в(г) = а(г) + Сов(г), или (I — Со)в(г) = а(г). Формальное решение даётся рядом Неймана:

s (r) = (I — Go) a(r) =

EG™

m=0 /

l(r)-

причём Ои

с Ои.

Однако в силу нильпотентности оператора Со, доказанной в лемме 5, ряд имеет лишь конечное число слагаемых:

в

Полученная формула (37) однозначно определяет решение уравнения (9) и тем самым доказывает

£2

существование решения (при условии существования решения уравнения (26)) и его единственность.

Теорема доказана.

Автор выражает благодарность профессору математики Киевского национального университета А. П. Юрачковскому за плодотворное обсуждение работы, в результате которого удалось повысить строгость формулировок и качество полученных результатов. Благодарности также заслуживают усилия друзей и коллег из Киевского института ядерных исследований к.ф.-м.н. О. С. Бурдо и д.ф.-м.н. Ю. В. Яковенко, направленные на более ясное изложение работы.

Работа выполнена при поддержке гранта № 5499 Минобрнауки Российской Федерации.

Литература

1. Paschen F. // Ann der Phys. — 1916. — V. 50, P. 901.

2. Engel A., Shteenbeck M. Physics and technology of electric discharge in gases 2 / пер. с нем. под ред. Н.А. Капцова. — М.: ОНТИ, 1936.

3. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. — М.: Наука, 1987.

4. Москалёв Б И. Разряд с полым катодом. — М.: Энергия, 1969.

5. Kutasi K, Donko Z . Hybrid model of a plane-parallel hollow-cathode discharge // J. Phys. D: Appl. Phys. — 2000. — V. 33, P. 1081 — 1089.

6. Sigeneger F, Winkler R. Study of the electron kinetics in cylindrical hollow cathodes by a multiterm approach // Eur. Phys. J. AP. — 2002. — V. 19 — P. 211-223.

7. Baguer N., Bogaerts A., Gijbels R. Hollow cathode glow discharge in He: Monte Carlo-Fluid model combined with a transport model for

metastable atoms // J. Applied Physics. — 2003. — V. 93, N 1. — P. 47-55.

8. Sigeneger F., Donko Z, Loffhagen D. Boltzmann equation and particle-fluid hybrid modelling of a hollow cathode discharge // Eur. Phys. J. Appl. Phys. — 2007. — V. 38 — P. 161-167.

9. Derzsi A., Hartmann P., Korolov I., Karacsony J., Bano G. Donko Z. On the accuracy and limitations of fluid models of the cathode region of dc glow discharges // J. Phys. D: Appl. Phys. —

2009. — V. 42, 225204.

10. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. — B.G. Teubner, Leipzig, 1912.

11. Gorin V.V. Non-local source equation for linear stationary kinetic equation // International conference «Differential equations and topology». — Moscow: Russia, 2008. — P. 43-44.

12. Gorin V.V. Non-local model of hollow cathode and glow discharge — theory calculations and experiment comparison // Eur. Phys. J.D. —

2010. — V. 59.

P. 241-247, DOI: 10. 1140/ epjd /

e2010-00165-9.

13. Gorin V.V. A Mathematical Model of Plane Glow Discharge and Hollow Cathode Effect // Ukr. J. Phys. — 2008. — V. 53, N 4. — P. 366--372.

14. Gorin V.V. Integral equation for source of ionization in hollow cathode // Preprint of Cornell Univ. Lib.: http://arxiv.org 0902.2655.

15. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971.

16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

17. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984.

Поступила в редакцию 04.09.2010.