ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ТИПОВ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА $\rho\in(01)$ С НУЛЯМИ НА ЛУЧЕ

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 1 (2012). С. 29-37.

УДК 517.547.22

ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ТИПОВ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА р е (0; 1) С НУЛЯМИ НА ЛУЧЕ

Г.Г. БРАЙЧЕВ

Аннотация. Работа представляет собой развернутое изложение доклада автора на VI Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", посвященой 70-летию чл.-корр. РАН В.В. Напалкова. Приводятся точные оценки снизу величины типа целой функции конечного порядка по таким известным характеристикам распределения ее нулей, как плотности (обычные и усредненные), шаг, а также индекс лакунарности. В статью включено и решение одной новой экстремальной задачи.

Ключевые слова: тип целой функции, нижняя и верхняя (усредненная) плотность последовательности нулей, шаг и индекс лакунарности последовательности нулей.

1. Введение

Успех в исследовании многих вопросов анализа зависит от того, насколько точно может быть охарактеризован рост целой функции в зависимости от распределения ее нулей на плоскости. К таким вопросам относятся, например, проблема нахождения радиуса полноты системы экспонент, количественные аспекты аналитического продолжения сумм рядов Тейлора и Дирихле за границу области сходимости и др.. Поэтому выяснение степени влияния роста целой функции на поведение ее нулей, и наоборот, определяет одно из важных направлений развития теории целых функций.

В работе подробно обсуждаются оценки снизу величины типа целой функции конечного порядка по таким характеристикам распределения ее нулей, как обычные и усредненные плотности, шаг и индекс лакунарности. Сразу же приведем эти характеристики.

Пусть f (z) — целая функция. Величина типа f (z) при порядке р определяется равенством ap(f) = lim R~p lnmax | f (z) | .

Пусть далее Л = (Ara}^=1 — последовательность комплексных чисел, упорядоченная по возрастанию модуля, 0 < |An| ^ n\(t) = Y1 1 _ считающая функция этой

Г ,р л

последовательности и N\(r) = f-dt — ее усредненная считающая функция (функция

о t

Неванлинны),

Верхней плотностью Л при показателе р (р-плотностью) называют

-х- /ач т~-— Пл

дДЛ)= lim ,

G.G. Braichev, The exact bounds of the types of entire functions of order less than unity

with the zeros located on the ray. © брайчев Г.Г. 2012.

Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00225-а). Поступила 20 декабря 2011 г.

а верхней усредненной р-плотпостыо — величину

А „(Л) = lim м ;.

Замена в этих равенствах верхних пределов на нижние приводит к определениям нижней и усредненной нижней р-плотпост ей Ар (Л) и А „(Л).

Назовем р-шагом последовательности Л характеристику

^р(Л):= lim (|Ara+i|P — |Ara|P),

га^+те

а индексом лакунарности — величину

/(Л) := um .

через введенные характеристики ее нулевого множества Л = Л f. При этом мы считаем, что 0 ф Л f, поскольку это условие не изменяет ни одну из рассматриваемых здесь асимптотических характеристик.

Хорошо известно установленное Ж. Валироном [1] для любого р > 0 и Л С C неравенство

^

Построенная Б.Я. Левиным в [2] целая функция порядка р > 0

й

/

реализует равенство в соотношении (1),

Р.П, Боас в своей книге [3] приводит оценку типа целой функции f в случае, когда известна не только верхняя, но и нижняя р-плотпость последовательности ее пулей Л = Л/ :

аД/) > ехр {А*

Очевидно, при Ар(Л) = 0 (3) сводится к (1),

Привлечение верхней усредненной р-плотноети и формулы Йенеена

2тг

^а(Г) = 2^У 1П |/(гегв)№

о

позволяет установить более простую оценку

*„

усиливающую (1) благодаря известному неравенству

— * 1 — Л*(Л) > ¡рАр(Л).

Пример бесконечного произведения (2) доставляет равенство не только в оценку (1), но и в оценку (4), Подсчет нижних р-плотноетей в этом примере дает А*(Л) = Л*(Л) = 0. Не ясно, однако, может ли условие А * (Л) > 0 усилить оценку (4) подобно тому, как (3) улучшает (1), если А*(Л) > 0. К тому же, до недавнего времени и точность оценки (3) не была известна, В готовящемся к публикации обзоре А.Ю. Попов построил примеры

целых функций, на которых достигаются равенства в соотношениях (3) и (4), Кроме того,

р

от случая обычных р-плотноетей. Именно, какова бы ни была величина А * € [0; А ],

существует целая функция с нулевым множеством Л = А/ С C заданных усредненных р-плотностей А ДА) = А и А*, (А) = А*, для которой в (4) реализуется знак равенства. Эта информация помещена здесь с любезного разрешения А.Ю. Попова.

Доказанная точность классических оценок (1), (3) и (4) позволяет трактовать приведенные выше результаты как решение следующих экстремальных задач I — IV:

I. Для фиксированных чисел ß > 0, р > 0 найти

Sc(ß; р) := inf {ap(f) : А/ = А С C, А ДА) = ß} .

II. Для фиксированных чисел ß > 0, а Е [0; ß], р > 0 найти

Sc(a ,ß; р) := inf {ap(f) : А, = А С C, А ДА) > а, А,(А) = ß} .

III. Для фиксированных чисел ß * > 0, р > 0 вычислить

S*(ß *; р) := inf [ap(f) : А, = А С C, А *(А) = ß *} .

IV. Для фиксированных чисел ß * > 0, а * Е [0; ß *], р > 0 вычислить

S£(a* ,ß*; р) := inf [ap(f) : А, = А С C, А*,(А) > а*, А*(А) = ß*} .

В силу вышеизложенного нам известно наименьшее возможное значение типа в каждой из экстремальных задач I — IV. Именно,

Sc

ер

Sc

ер

S*

В связи с приложениями отдельный интерес представляет случай расположения нулей целой функции на одном луче, приводящий к постановке следующих экстремальных задач.

I+. Для фиксированных чисел ß > 0, р > 0 найти

SR+ (ß; р) := inf {а,(/) : А, = А С R+, АДА) = ß} . 11+. Для фиксированных чисел ß > 0, а Е [0; ß], р > 0 найти

(a,ß; р) := inf (/) : А/ = А С R+, А ДА) > а, А ДА) = ß} . III+. Для фиксированных чисел ß * > 0, р > 0 вычислить

SR+ (ß*; р) := inf {а,(/) : А7 = А С R+, А*(А) = ß*} . IV+. Для фиксированных чисел ß* > 0, а* Е [0; ß*], р > 0 вычислить

SR+ (а * ,ß *; р) := inf [ар(/) : А, = А С R+, А *ДА) > а *, А *(А) = ß *} .

К настоящему времени эти задачи решены для значений р Е (0; 1). Этот случай и рассматривается всюду ниже. +

SR+ (ß; р) = ß С(р) , где С(р) = max ln(1 + . + «>о ар

Сформулированная им же задача 11+ была решена В,Б, Шеретюковым в 2009 году [5]:

а

na f f CL~P — aT

SR+ (a , f ; p) =--+ max -dT.

+ sin np a>0 J T+1

a( 1 )1 /Р

Задача III+ получила свое решение в недавней работе Г.Г, Брайчева [6]:

SR+ (f * ;p) = C(p)peff *,

где С(p) — функция А.Ю.Попова задачи I.

Решение задачи IV+ было вначале найдено для достаточно широкого класса целых функций с дискретно измеримыми нулями, выделяемого условием существования предела

lim —(I "В из работы [7]. Полное решение этой задачи приведено в [6]: п^ж \Хп\Р

sr+ (a *,f * ;p) = p

( Ьа1/ \

na * 1 f *b-p — a *t-p ,

--+ max -dT

sin np b>0 J T+1

\ Ч^ )

Здесь а1 и а2 являются корнями уравнения

a *

aln- = —, 0 ^ 1 ^ а2 ^ е.

а f *

Как и в экстремальных задачах I — IV, в задачах 1+ — IV+ точные нижние грани достигаются на некоторых весьма сложно устроенных последовательностях нулей целых функций.

Следует указать на существенное различие экстремальных задач для случаев Лf с Си Лf с R+. Как видно из приведенных формул, в задачах для функций с нулями на луче зависимость экстремального типа от параметров задачи более сложная, чем с нулями во всей плоскости. Поэтому в цитированных выше работах даны двусторонние оценки соответствующих величин через элементарные функции и некоторые изученные ранее величины.

++

в [4] неравенства С(p) > —, p Е (0; 1), позволяет заключить, что SR+ (f; p) > SC(f; p) и

SR+ (f*;p) >S*(f *; p). 96

+

p ^ +0 формулы, связанные с этими задачами. Так, например, справедливы равенства

SR+ (a,f ; p) = еа//3 — + О(е-¿, a ^ 0.2 f; SR+ (a * ,f * ;p) = f * + О (pa2-1/p) , p^ +0,

где а2 = а2(^г) по-прежнему является большим корнем уравнения (8).

Приведенные соотношения демонстрируют существенное влияние аргументов корней

влияние тем меньше,чем меньше р, исчезая в пределе при р ^ +0.

В теории тригонометрических рядов, рядов Дирихле часто используются понятия, подобные шагу последовательности и ее индексу лакунарности (см., например, [8], [9]), Мы покажем, как эти понятия влияют на величину экстремального типа целых функций. Сформулируем следующие экстремальные задачи, У+. Для фиксированных чисел ¡3 > 0, К € [0; ¡3-1] , р > 0 вычислить

(0, К; р) := 1п£ ) : Л / = Л С Е+, А,(Л) = ¡3, К,(Л) > К) . У1+. Для фиксированных чисел ¡3 > 0, а € [0; ¡3], К € [0; ¡3-1] , р > 0 вычислить

(а ,/3,К; р) := ар(/) : Л ; = Л С Е+, А ,(Л) > а, А,(Л) = ¡3, К,(Л) > К) . К

проверяемым неравенством Кр(Л)Ао(Л) ^ 1, связывающим р-шаг с верхней р-плотностыо последовательности Л С С (для р = 1 и Л С К+ это соотношение отмечено в [9]), Ответ к задаче У+ при р € (0; 1) найден в работе [10]:

{а.в-1/Р

а-р Ь —-+

(1 + ав-1/Р) ] т + 1

I о -ол „ \ 1 [ Т-Р - ва-Р 1

вир < /За о 1п(1 + а) + — / -ат

К I т + 1

а>0

а

где 5 = 1 — ¡ЗК. Из последней формы записи приведенного ответа легко усматривается

К>0:

Sr+ (ß ,h; р) > Sr+ (ß; p) = ßmax-—-= ßC(p).

ln

а> о ap

Однако, случай h = 0, задачи V+, рассматриваемый как предельный, дает равенство SR+ (ß , 0; р) = SR+ (ß; р), которое с очевидностью вытекает и из самой постановки задачи. Другой крайний случай, когда h = ß-1, понимаемый снова как предельный, при- " _ nß

водит к равенству SR+ (ß,ß-1; р) = -. Отсюда, в силу хорошо известной оценки

" + sin пр "

aß(f) ^ -~—~, Р ^ (0; 1) вытекает "чистое" равенство ap(f) = —для любой

sin -кр sin -кр

целой функции f, у которой — f С R+, Ap(—f) = ß и hp(—f) = ß-1. Ранее считалось, что

такое равенство возможно лишь для целой функции f с измеримой последовательностью

п

положительных нулей — f = (Ап)^1 ь т.е. такой, что существует предел lim = ß. Но,

" " " п^<х \п

разумеется, условие hp(—f) = 1/Ap(—f) те влечет измеримости последовательности — f (примеры таких последовательностей можно найти в диссертации [11]).

Мы ознакомили читателя с результатами по экстремальным задачам для целых функций с нулями на луче, полученными в последнее время и либо уже опубликованными, либо ждущими своего выхода в свет. Решение задачи VI + было получено ученицей автора О,В, Шерстюковой совсем недавно:

{av1/P av1/P

Г ßa-p - ат-p , 1 fr-p - a-p 1

-г-;-dr + T -г-;— dr

J T+1 h J т+1

a(f)1/P a

{а av1/P

[ ßa-p — ат-р s Г UT-р — а-р ,

-n—dr + г / -п— dr

J г+1 h J т+1

a(f)1/P а

1 - ah 1 ДА

где v =-—, s = 1 — ph.

1 — ph

И снова полезно сравнить ответы к экстремальным задачам 11+ и VI+: SR+ (а ,ß ,h; р) > SR+ (а , ß , р) при h > 0, а < ß.

Полное доказательство результата предполагается опубликовать в этом номере журнала,

В заключение работы дадим решение одной новой экстремальной задачи, учитывающей влияние индекса лакунарности последовательности нулей на величину типа целой функции, Задача состоит в нахождении наименьшего возможного р-типа целой функции f (z), если заданы индекс лакунарности и плотность последовательности ее нулей. Именно, для наперед заданных чисел ß > 0 ,1 > 1 ,р> 0 требуется вычислить величины

Sc(ß , I; р) := inf {ap(f) : Лf = Л С C, А,(Л) = ß, /(Л) = 1}

и

(ß,l; р) := inf {ap(f): Л / = Л С R+, А,(Л) = ß, /(Л) = 1}

Здесь, как и ранее, для Л / = |Ага} положено I := /

um |Ara+l1

Мы намерены использовать приведенные выше результаты, а также некоторые соотношения, связывающие индекс лакунароети последовательности с ее верхними и нижними р-плотностями, Выпишем интересующие нас связи, отказавшись для сокращения записи па указание зависимости от Л / = Л и р в обозначениях плотностей и индекса лакунарности, т.е. будем просто писать А, А, А*, А*, I.

Пусть Л = {Ап}^11 С С выписана в порядке неубывания модулей:

о < Ы

Считающая функция этой последовательности n\(t) = 0 при t е [0; |А^) и n\(t) = пк при t е [|Arafc|; |Arafc+i|), к =1,2,.

А = lim

п

Поэтому Пк

- lim ——-

|Arafc 1Р

и А = lim

п

Пк

Отсюда легко получаем

-л- т— пк |А

А = lim

\р IA \р

^ > А um |Arafe+i 1

|Anfc+i|Arafc \\Пк

lim

|^rafc+i 1

А 1Р, т.е.

А > А 1р.

Аналогично выводим А * ^ А 1Р, где А = А,(Л) := lim

есть верхняя усреднен-

ная дискретная р-плотность последовательности Л.

Л

ются неравенствами (см. [12, гл. 2, §2], [7]):

ра1А* ^ А ^ ра1А*, ра2Д * ^ А ^ ра2А

е А* _ _

Здесь, как и ранее, а\ъ а2 — корни уравпения а1п — = =5-, а а\ъ а2 — корни уравнения

~ " а А "

л е А „

а 1п - = , причем а1 ^ а1 ^ 1 ^ а2 ^ а2 . а А

Если А = А *, то, очевидно, 'а1 = а\ ъ а2 = а2. Поэтому из (10) вытекают для таких последовательностей равенства

А = рсц~Е\ А = ра2К*.

Как мы сейчас покажем, свойство А = А * обеспечивает равенство и в (9), Дискретно измеримыми как раз и называются последовательности, удовлетворяющие условию суще-

Г Н (1А"1) А АП " " "

ствовапия предела 11т ———.— = /л (т.е, /л = А ).

Класс дискретно измеримых последовательностей в действительности достаточно обширен: для произвольных чисел р > 0, 3 > 0 и а € [0; 3], как показано в [7], существуют дискретно измеримые последовательности Л с плотностями А ДЛ) = 3 и А ДЛ) = а.

Из общих результатов монографии [12, с,212, теорема 3] вытекает следующее утверждение.

Пусть /(г) — целая функция конечного порядка р > 0 с дискретно измеримой после-

Л Л.

1

А* ^ А *-—, где с = 1Р.

е1п сс-1

Опираясь на этот результат, докажем неравенство, противоположное (9), Для этого

найдем параметрическое представление корней а1, а2 уравнения а 1п — = 9. Обозначив

а

— = или а2 = да1 (д > 1), запишем а1

9 = а11п — = а21п — = да11п-= даЛ 1п--1п д ) = д9 — да11п д.

а1 а2 да1

1

Отсюда а1 = 9 —л—, а2 = 9 —-. Подставляя полученное выражение для а2 в равенство

1п 1п

л Iе л л<? — 1 п е 1п ^ ^ е\пд

9 = а2 1п—, находим 9 = 9—-1п —--, т.е. 1пдч-1 = 1п —--. Следовательно,

а2 1пд 9

1

1 е\пд е\пд 1п дч-1

дч-1 = —--, т.е. 9 = —1-= е-1—. Окончательно приходим к соотношениям

9(д — 1) (д — 1) д-^Г

1

а 1п Ч4-1 й9— 1 й9— 1

9 = е-1—, а1 = 9—— = е д1-ч, а2 = 9—-= е д1-ч .

д1пд 1пд

А*

Полагая 9 := =* € (0; 1) и сравнивая (12) с (13), находим

1 1

1п д«-1 1п сс-1 9 = е-1— > е-1— , с = Iр.

дч- сс-1

1

1п х х-1

Это в силу убывания функции Р

__х х-1

А £¿2 _

извлекаем д^ — = 1 ^ с = Iр. Итак, А ^ АIр, что вместе с (9) приводит к требуемому

равенству А = А1Р (а также д = 1Р). Пользуясь этим, а также равенствами (11) и (13), для дискретно измеримой последовательности можем записать

А = 1-р А,

А А

А = — = — q 9-1, ра2 ре

А * = 0 А* = А 1П 9

Р Ч - 1

Удобно собрать полученную информацию в отдельное утверждение.

Предложение. Пусть Л — дискретно измеримая последовательность комплексных чисел, с плотностям,и А = 0, А = а, А* = а*, А = [3* и I — индекс лакунарности последовательности, Л. Тогда, справедливы, равенства,

а = Гр/3,

о* Р Л- * Р 1п Я р = — д «-1, а = —

4 1

pe р q — 1

q 1

а\ = eq, а2 = eq, где q = lp.

Основываясь на предложении и решенных экстремальных задачах II и IVполучаем следующий результат.

Теорема. Пусть @ > 0, I > 1, р е (0; 1). Пусть, далее, SR+ (0,1; р) и S¿(0,1; р) —

'точные нижние грани SR+ (0,1; р) и SC(P ,1; р) соответственно, взятые по дискретно измеримым последовательностям,. Тогда,

Ín í L-la-P — т—р I lnIP

--+ suP -г--dr\ , где L = -—- ,

sin np a>0 J т +1 I lp — 1

í -1

SC (P,l; P) > je exp {l—p} .

Замечание. Вопрос о точности последней оценки остается открытым. Что же касается первого утверждения теоремы, то выбор в качестве опорной задачи IV+ , вместо 11+, обусловлен тем, что экстремальная последовательность в 11+ не является дискретно измеримой, Поэтому, как показано в [7], привлечение этой задачи привело бы к заведомо неточному результату.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G. Valiron Sur les fonctions entieres d'ordre nul et d'ordre fini et en particulier des fonctions a correspondence regulier // Annales de la fac. de l'univ. Toulouse. V. 5. 1914. P. 117-257.

2. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций ГИТТЛ. М. 1956. 632 с.

3. R.P. Boas Entire functions Acad. Press. New-York. 1954. 276 p.

4. Попов А.Ю. Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р-плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Математика. Механика. № 1. 2005. С. 31-36.

5. Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка, p G (0; 1) с положительным,и нулями // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 75. Л*8 1. 2011. С. 3-28.

6. Брайчев Г.Г. Наименьший тип целой функции порядка, p G (0; 1) с положительными корням,и заданных усредненных плотностей // Матем. сб. 2012 (принята к печати).

7. Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. О росте целых функций с дискретно измеримыми нулями // Ма гс.м. заметки. Т. 91, вып. 5. 2012. С. 674-690.

8. Бари Н.К. Тригонометрические ряды, ГИФМЛ. М. 1961. 936 с.

9. Мандельбройт С. Ряды, Дирихле. Принципы, и методы Мир. М. 1973. 171 с.

10. Шерстюкова О.В. О влиянии шага последовательности нулей целой функции порядка, меньше единицы, на, величину ее типа // Наука в вузах: математика, информатика, физика, образование. МИГУ. М. 2010. С. 192-195.

11. Попов А.Ю. Экстремальные задачи в теории целых функций // Дисс. ... докт. физ.-матем. наук. МГУ. М. 2005. 221 с.

12. Брайчев Г.Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций Прометей. М. 2005.

Георгий Генрихович Брайчев,

Московский Педагогический Государственный Университет, ул. М, Пироговская, 1, 199296, Москва, Россия E-mail: Braichev@mail.ru