Комбинаторная модель фрактальной перколяции плоских структур

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

тельных систем. Возможности оценки приведенной жесткости // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2013. №1. С. 11-18.

8. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Методологические основы решения задач динамики. Мехатронные подходы Ч. I // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 4 (36). С. 1-20.

9. Хоменко А.П., Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Методологические основы решения задач динамики. Мехатронные подходы Ч. II // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 1 (37). С. 8-22.

10.Хоменко А.П., Елисеев С.В. Мехатроника виброзащитных систем. Некоторые вопросы обеспечения адекватности расчетных схем и структурные интерпретации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 1 (32). С. 8-13.

11. Елисеев С.В., Ковыршин С.В., Большаков Р.С. Особенности построения компактов упругих элементов в механических колебательных системах. Взаимодействия с элементами систем и формы соединения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. № 4 (36). С. 61-70.

12. Белокобыльский С.В., Елисеев С.В., Ситов И.С. Упругое звено в рычажных соединениях с устройством для преобразования движения // Системы. Методы. Технологии. 2013. №4 (20). С. 7-10.

13.Елисеев, С.В., Большаков Р.С. К вопросу об обратных связей механических колебательных систем // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2013. № 1. С. 2428.

14.Елисеев С.В., Артюнин А.И., Большаков Р.С. Некоторые обобщения в задачах определения динамических реакций во взаимодействиях элементов механических колебательных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 3 (39). С. 44-50.

15.Белокобыльский С.В., Елисеев С.В. Обоснование возможностей определения динамических реакций в виброзащитных системах в виде твердого тела // Системы. Методы. Технологии. 2013. № 2 (18). С. 7-15.

16.Хоменко А.П., Елисеев С.В. Защита от вибраций для объекта с двумя степенями свободы. Динамические реакции // Известия Транссиба. 2013. № 3 (15). С. 74-86.

17.Хоменко А.П., Елисеев С.В. Динамические реакции в механических колебательных системах. Структурные интерпретации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2013. № 3 (39). С. 8-22.

18.Елисеев С.В., Логунов А.С., Большаков Р.С. Некоторые формы динамических взаимодействий в пневмомеханических системах вибрационной защиты. Экспериментальные подходы // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2013. № 12. С. 12-17.

УДК 519.1 Кузьмин Олег Викторович,

д. ф.-м. н., профессор, заведующий кафедрой «Теория вероятностей и дискретная математика» ИМЭИИГУ, тел. (3952)242226, e-mail: quzminov@mail.ru

Малакичев Артем Олегович, магистрант ИМЭИ ИГУ, e-mail: malakichev-artem@mail.ru

КОМБИНАТОРНАЯ МОДЕЛЬ ФРАКТАЛЬНОЙ ПЕРКОЛЯЦИИ

ПЛОСКИХ СТРУКТУР

O. V. Kuzmin, A.O. Malakichev

COMBINATORIAL MODEL OF PLANAR STRUCTURES FRACTAL PERCOLATION

Аннотация. Теория разрушений сочетает в себе знания из различных областей, таких как математика, механика и физика. Одной из основных проблем теории разрушений является задача о распространении трещин. Широко применяемые решения указанной задачи построены в основном на численных методах, математического анализа, дифференциальных уравнений, теории графов, теории просачивания. В силу своей общности указанные подходы характеризовались большой трудоемкостью и не всегда гарантировали достаточную точность. Поэтому в последнее время интенсивно используются методы фрактальной геометрии, что обусловлено в первую очередь самоподобной структурой трещины. В данной работе авторами разрабатывается комбинаторный подход к решению одной из важных задач теории трещин, а именно моделирование процесса фрактальной перколя-ции плоских структур. Процесс построения модели разбивается на три этапа. Первый этап связан с построением фрактальных структур треугольника Паскаля, возникающих при рассмотрении вычетов по модулю заданного

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

простого числа составляющих его биномиальных коэффициентов. Второй этап связан с построениями нелинейных сечений треугольника Паскаля, в качестве которых в данной работе выступает семейство концентрических окружностей. В результате первого и второго этапов построения на плоскости получается решетка с запрещенными позициями и ограничениями на некоторые расположенные в ее узлах целые неотрицательные числа. Третий этап заключается в определении числа путей на этой решетке согласно заданным заранее ограничениям. Предложенный комбинаторный подход позволяет получать известные и новые интерпретации ряда числовых последовательностей.

Ключевые слова: перколяция, пути на решетках, теория трещин, треугольник Паскаля, фрактальные структуры.

Abstract. The theory of destruction combines knowledge from various fields of science such as Mathematics, Mechanics and Physics. One of the major problems of the destruction theory is a crack problem. Popularly used solutions to this problem are mostly built on numerical methods, mathematical analysis, differential equations, graph theory, percolation theory. Due to its generality, these approaches were characterized by labor intensity and they did not always guarantee sufficient accuracy. Therefore, methods of fractal geometry have recently become widespread that is primarily determined by self-similar structure of the crack. The paper addresses a combinatorial approach to solving one of the most important problems in the crack theory, namely the modeling of fractal percolation of planar structures. The model building process is divided into three stages. The first stage involves the construction of Pascal's triangle fractal structures that arise when considering the set of residues a prime constituent modulo of binomial coefficients. The second stage comprises constructing nonlinear sections of Pascal's triangle presented by family of concentric circles. As a result, there is a lattice plane with forbidden positions and restrictions on some of the non-negative integers located in its sites. The third step is to determine the number of paths on this grid in accordance with pre-specified constraints. Proposed combinatorial approach allows to obtain known and new interpretations of numerical sequences.

Keywords: crack theory, fractal structures, lattice paths, percolation, Pascal's triangle.

Введение

Теория разрушения - один из примеров тесного переплетения таких наук, как математика, физика и механика, зародилась еще в 1921 году после появления критерия роста трещины, предложенного английским инженером Гриффитсом. Тем не менее, данная теория не утратила своей актуальности и по сей день. Это связано, в том числе, с обилием новых материалов, которые имеют непривычные и порой неожиданные механические свойства. Такие свойства требуют углубленного изучения процессов повреждения и, в том числе, процессов распространения трещин.

Современный уровень развития теории разрушений позволяет, опираясь на методы математического анализа, теории дифференциальных уравнений, численные методы, тензорный анализ, а также методы теории графов (см., например, [3]), получать достаточную точность результата при проведении технических расчетов. Тем не менее при изучении процессов распространения трещин на плоских поверхностях существует ряд проблем. Основная проблема заключается в том, что реальная трещина при ее детальном рассмотрении не похожа на гладкие кривые, а представляет собой фрактальный объект. В некоторых работах (см., например, [10-12]) трещины рассматриваются именно как фрактальные объекты.

В данной работе рассматривается возможность применения комбинаторных методов при моделировании распространения трещин на плоской поверхности. А именно, осуществляется моделирование распространения трещин с помощью

треугольника Паскаля, связанных с ним фрактальных структур и его сечений концентрическими окружностями с центром в начале координат. Обсуждается два этапа решения задачи. Первый заключается в моделировании фрактальных структур, возникающих из треугольника Паскаля (см., например, [1, 6]), как целочисленных решеток с ограничениями или запретами. Второй - в рассмотрении сечений треугольника Паскаля семейством концентрических кругов целочисленного радиуса с центром в начале координат и связанных с ними последовательностей комбинаторных чисел. Некоторым из последних удается придать новые перечислительные интерпретации.

1. Фрактальные структуры треугольника Паскаля

Для изучения свойств некоторых двумерных геометрических объектов целесообразно располагать их на координатной плоскости. Этот подход дает возможность использования не только методов аналитической геометрии, но и языка теории решеток [2], что позволяет отыскивать новые свойства изучаемого объекта. Не являются исключением и комбинаторные объекты, в частности данный подход применим для изучения свойств одной из самых известных арифметических таблиц - треугольника Паскаля, а также комбинаторных и геометрических структур, построенных на его основе.

Существуют различные формы представления треугольника Паскаля, в том числе и приведенное в одной из работ Никколо Тарталья (см.,

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

например, [4]) размещение элементов треугольника в виде прямоугольной таблицы.

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15 21

1 4 10 20 35 56

1 5 15 35 70 126

1 6 21 56 126 252

1 7 28 84 210 462

1 8 36 120 330 792

Рис. 1. Треугольник Паскаля в виде прямоугольной таблицы

На основе последнего представления в [13] было предложено расположение треугольника, при котором устанавливается взаимно однозначное соответствие его точек с точками целочисленной решетки первой четверти. При таком соответствии биномиальные коэффициенты можно переписать следующим образом:

(х + У)!

fn\

v к J

x! y!

Рис. 2. Треугольник Паскаля без четных коэффициентов В связи с этим, другим возможным подходом к представлению фрактала может быть представление его как целочисленной прямоугольной

решетки с запрещенными позициями. Запрет будем накладывать на те точки треугольника или графа, для которых выполняется соотношение

fn\ v к J

= 0 (mod 2). Зная, что n = x+y, к = y, пере-

(x + y)!

пишем это условие в виде

x! y!

= 0 (mod 2):

где п = х + у, к = у, х, у е 2+ и {0}.

Как известно (см., например, [1]), геометрический фрактал, так называемая «салфетка Сер-пинского», может быть получен из треугольника Паскаля удалением из него всех четных чисел (построением по модулю два). Можно показать, что элементы построенного таким образом треугольника совпадают с вершинами фрактального графа, соответствующего «салфетке Серпинского», алгоритм построения которого предложен авторами данной статьи в [6, 7]. При размещении такого треугольника в решетке ее точки будут также соответствовать вершинам рассмотренного графа, значит, не все точки решетки будут принадлежать построенному объекту.

т. е. будем рассматривать только нечетные биномиальные коэффициенты.

2. Количество биномиальных коэффициентов в заданной строке с ограничениями

В [1] рассмотрен вопрос о количестве биномиальных коэффициентов в строке с номером n, которые не делятся на простое число p, т. е. не являются запрещенными точками построенной решетки. Пусть g(n,p) — число таких коэффициентов, а п = (а1, а1х,..., ал, аи) - запись числа п в системе счисления с основанием p. Тогда справедлива приведенная в [1]

Теорема. Пусть n - номер строки треугольника Паскаля и р- простое число. Тогда:

g{n,p) = (al +1)(ам +1)---(а1 +1)(а0 +1). (2) Рассмотрим частный случай Теоремы для n = 2t —1, где t = 0, 1, 2, ... и p = 2. Методом математической индукции установлено, что в двоичной системе счисления 2' —1 = (1... 1)2. Подстав-

t

ляя значения a^a^,...,^^ в (2), получаем, что g (2' -1,2) = 2t, то есть равно числу биномиальных коэффициентов строки с номером n = 2t — 1.

Это означает, что

^2t — к

= 1 ( mod 2 ) . Посколь-

ку для каждой точки решетки (х,у) справедливо равенство (1), то с учетом соотношений п = х + у и к = у получаем доказательство следующего предложения.

Утверждение. Если х, у, X е {0,1, 2,...} такие, что справедливо равенство х + у = 2х -1, то

= 1(тсё2).

I у )

Замечание. Отметим тот факт, что точки, находящиеся в треугольнике в строках с номерами

0, 1, 3, 7,..., 2х — 1,..., все остаются в такой решетке, т. е. биномиальные коэффициенты, находящиеся в данных строчках, являются нечетными числами.

Кроме того, данная последовательность представляет собой гауссовы биномиальные коэффициенты (см., например, [4]) г

5

п

дг+1 -1

я' -1

где я = 2.

Рассмотрим сечения построенной решетки семейством прямых у + х = 2' — 1, где I = 0, 1, 2,____ Сумма чисел в точках решетки, лежащих на каждой из данных прямых, совпадает с суммой биномиальных коэффициентов, принадлежащих соответствующей строке треугольника Паскаля.

3. Сечения треугольника Паскаля концентрическими кругами

В ряде работ (см., например, [4, 9]) рассматриваются различные линейные сечения треугольника Паскаля и плоские сечения пирамиды Паскаля. Изучаются числовые последовательности, возникающие в результате таких сечений, и их свойства. Выводятся формулы, задающие элементы последовательностей. Дается ряд интерпретаций как к уже известным, так и к новым последовательностям.

Не менее интересным представляется изучение нелинейных сечений треугольника Паскаля. Рассмотрим один из таких примеров, а именно -сечение концентрическими окружностями с центром в начале координат и целочисленным радиусом. Предложенное сечение можно рассматривать, например, как предел распространения ударной волны при попадании камня в стекло.

На рис. 3 показан пример сечения треугольника семейством концентрических окружностей с

центром в точке (0, 0) и радиусом г = 0,5.

1—1— 1 1 / 1 1 |1

1 |2 / 3 / 4 5 7;

1 ]3 \(у 15/ ;

Г ;4 \у 20 / 35

1 |5 \ъ У 35

расположим элементы треугольника Паскаля. Предположим, что ударная волна распространилась в круге радиуса г = 3. Рассмотрим пути распространения трещины по поверхности. Считаем, что между двумя точками решетки двигаться можно только вправо по горизонтали и вниз по вертикали. Запрещено движение вверх и влево, а также по диагонали. Биномиальный коэффициент, соответствующий точке решетки, будем считать весом точки и обозначим за р(х ). Рассмотрим пути, которые пройдут через точки с наибольшим весом. Из точки (0, 0) с р(0 0^ = 1 существуют два

пути в точку (0,1) с р^д) =1 или (1, 0) с Р(1,0) =1. В независимости от выбора второй точки пути, третьей точкой будет точка (1,1) с р(1 ^ = 2, из которой опять существует два пути. Путь в точку (1,2) с р(12) = 3 или (2,1) с р(21 }= 3. Конечной

точкой рассматриваемого пути будет точка (2, 2) с р(2 2) = 6. Всего существует 4 такие траектории с

суммой 13. На рис. 4 показаны все такие возможные пути. Данный пример характеризует общий подход к подсчету количества путей в заданной области на решетке. Отметим, что точкам решетки можно придавать различные веса, строя треугольник типа Паскаля [5, 8] на базе разных числовых последовательностей, в этом случае под весом можно понимать и вероятность попадания в данную точку на следующем шаге. Отбрасывая пути с наименьшим весом, можно, например, проследить наиболее вероятные варианты распространения трещины на заданной поверхности.

Рис. 3. Сечения треугольника Паскаля концентрическими кругами Рассмотрим следующую модель распространения удара на плоскости. Эпицентр удара примем за начало координат и в первой четверти

Рис. 4. Пути с наибольшим весом на решетке

Рассмотрим еще один пример распространения трещины, вводя запреты на некоторые точки, а именно на точки, соответствующие четным биномиальным коэффициентам. В круге радиуса г = 3 таких точек будет две. Согласно Утвержде-

я

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

нию из пункта 3, это точки (1,1) с = 2 и (2, 2) с 2) = 6. Количество путей с наибольше

суммой весов при данных ограничениях но 2 (рис. 5).

Рис. 5. Пути с ограничениями

Данный подход позволяет получать новые и уже известные целочисленные последовательности с интересными свойствами. Рассмотрим одну из таких последовательностей. Отметим, что количество биномиальных коэффициентов, удовле-

2 2 2

творяющих условию: х + у < г , где г — радиус окружности, для г = 0 равно 1, для г = 1 равно 3 и т. д. Увеличивая значение г, получаем последовательность чисел 1,3,6,11,17,26,..., которая определяет количество неотрицательных целых решений неравенства х2 + у2 < п2 [14].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бондаренко Б.А. Обобщенные треугольники и пирамиды Паскаля, их фрактали, графы и приложения. Ташкент : ФАН, 1990. 192 с.

2. Гретцер Г. Общая теория решеток. М. : Мир, 1982.454 с.

3. Кестен Х. Теория просачивания для математиков. М. : Мир, 1986. 382 с.

4. Кузьмин О.В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения. Новосибирск. : Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 2000. 294 с.

5. Кузьмин О.В. Конструктивное перечисление элементов треугольника типа Паскаля / О.В. Кузьмин, А.Л. Баранчук // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ : межвуз. темат. сб. тр. СПб., 2003, Вып. 9. С. 179-183.

6. Кузьмин О. В. О некоторых алгоритмах построения фрактальных графов / О. В. Кузьмин, А. О. Малакичев // Дискретный анализ и информатика. Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2010. Вып. 4. Комбинаторные и вероятностные проблемы дискретной математики / под ред. О.В. Кузьмина. С. 64-70.

7. Кузьмин О.В. Моделирование геометрических фракталов с помощью бесконечных графов / О.В. Кузьмин, А.О. Малакичев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2012. Вып. 35. С 79-82.

8. Кузьмин О.В., Оркина К.П. Построение кодов, исправляющих ошибки, с помощью треугольника типа Паскаля // Вестник Бурятского университета. 2006. № 13. С. 32-39.

9. Кузьмин О.В., Серегина М.В. Плоские сечения обобщенной пирамиды Паскаля и их интерпретации // Дискретная математика. 2010 Т. 22, №3. С. 83-93.

10.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М. : Институт компьютерных исследований, 2002. 656 с.

11.Мосолов А.Б. Фрактальная Гриффитсова трещина // Журнал технической физики. 1991. Т. 61, № 7. С. 57-60.

12.Сметанкин В.А. Моделирование хрупкого удара по пластине во фрактальной постановке. [Электронный ресурс ] // URL: http://www.rusnauka.com/9_DN_2010/Matemathi cs/61723.doc.htm (Дата обращения: 05.02.2014).

13.Green T. M. Récurrent sequences and Pascal's triangle // Math. Mag., 1968. Vol. 41. N. 1. P. 13-21.

14.Sloane N.J., Plouffe S. The Encyclopedia of integer sequences / N.J. Sloane, S. Plouffe. London : Acad. Press, 1995. 587 p.