Асимптотический метод получения уравнений теории пластин Рейсснера-Миндлина

УДК 531

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИН РЕЙССНЕРА-МИНДЛИНА

К. А. Скопцов1, С. В. Шешенин2

В статье предлагается вывод уравнений теории пластин Кирхгофа-Лява и теории пластин Рейсснера-Миндлина при помощи асимптотического метода осреднения.

Ключевые слова: асимптотические методы, метод осреднения, теория пластин.

The paper deals with obtaining the equations of the Kirchhoff-Love and Reissner-Mindlin plate theories using the asymptotic averaging method.

Key words: asymptotic methods, averaging method, theory of plates.

Развитие сопротивления материалов идет как по пути совершенствования расчетных методов, так и по пути расширения физических основ [1]. Благодаря асимптотическому анализу получает развитие и дополнительное обоснование теория изгиба. Работа [2], где рассмотрен изгиб однородной пластины с периодически повторяющимися неровностями на поверхности, дала начало использованию метода осреднения [3, 4] для асимптотического анализа пластин. Достаточно подробный асимптотический анализ упругих периодических в плане пластин представлен в [5, 6]. Там рассмотрены три асимптотических приближения, для которых получены локальные задачи на ячейке периодичности, и доказана разрешимость этих задач. Асимптотическое исследование слоистых симметричных изотропных пластин было проведено также в работе [6].

При асимптотическом анализе однородной пластины в первом приближении получается теория Кирхгофа-Лява. В работе дается развитие этих результатов для случая третьего приближения, в котором уравнения аналогичны уравнениям теории пластин Рейсснера-Миндлина [7, 8]. Исследование поведения пластины основывается на методике осреднения трехмерной задачи линейной теории упругости, и при этом не используются дополнительные гипотезы.

1. Асимптотический анализ слоистой симметричной пластины. В декартовой системе координат ОХ1Х2Х3 рассматривается пластина постоянной толщины Ь, срединная плоскость которой имеет уравнение г = 0 (хз = г). На верхней поверхности г = Ь/2 задано давление р(х1,х2). Нижняя поверхность пластины г = -Ь/2 свободна от нагрузок. Определяющее соотношение пластины имеет вид

аг] = Сцк1ик,Ь

где компоненты тензора упругих модулей С^кг = С^кг(хз) — четные функции вертикальной координаты Х3. Ввиду указанной симметрии среднее перемещение вертикального отрезка не имеет горизонтальных составляющих. Его вертикальную компоненту (прогиб пластины) обозначим буквой w.

Решение уравнения равновесия

(СЪ]к1ик,1)= 0 ищется как асимптотический ряд по степеням Ь вида

щ(х 1,Х2,Хз) = 5г^(Х1,Х2) + (у) 10

к=1

где Ь^ — символ Кронекера и суммирование производится по повторяющимся индексам: верхние индексы указывают на порядок локальных функций, нижние соответствуют компонентам механических величин. Удобно ввести локальные функции Р"!"."'(£), связанные с функциями N формулами

Р**"3' (0=СгзШ (К Щ1""' (£ )+Сщз№ у,

(рК"1....1' у = _р31..."'

V ъ3 ) ъК

1 Скопцов Кирилл Александрович — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: arbrk1@gmail.com.

2 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

sergey.sheshenin@mail.ru.

Эти соотношения в совокупности с условиями

Р31...3В (_1/2) = о, (Рй )' = 0, N1 = §13

позволяют найти все локальные функции Р и N. Удобство заключается в том, что поле напряжений записывается в виде ряда

^ = Е ь3-1Ри...'3 , 8=1

коэффициентами при производных ш в котором служат как раз РИУ..'"'

3 .

2. Соотношения для локальных функций. Введем следующие интегральные операторы:

1/2 5

</ ($ > = 1/(с) <, /(*)]=/ /(с) ¿с, л[/(0] = 1[/(0] _ < /(0] >• -1/2 -1/2

Функции NKL можно представить в виде

NгKL = Л[м- 1С33КЬ£],

где матрица М имеет компоненты Мгз = С г 333, что приводит к равенствам

РК = СЫрК^ + СЫр3(^У = (CIJp3M-q1Cq3KL _ CIJLK)C•

Из первого приближения асимптотического ряда находятся формулы для компонент тензора напряжений в плане пластины иц, 022, 012.

Во втором приближении локальные функции получаются из соотношений

г-1

= _Л[М- 1(С33РК+ ЩК])],

РиШ = (С'рК _ CIJq3Mqr^Cr3pK)NpR _ СIJp3MpqI[Pqк],

^:>KLR _ ^:>KLR _ п

Р13 = _1[Р1К ], Р33 = 0

В отличие от первого приближения второе хотя и дает те же уравнения для прогиба (соответствующие теории Кирхгофа-Лява), но позволяет найти компоненты тензора напряжений 013 и 023.

Для локальных функций в третьем приближении выполнены аналогичные соотношения:

ККШ8 = _ А [мг- 1(Сз 3рК + 3 ])],

рК'ШЯ = (СирК _ CIJq3Mq-r^Cr3pK)NpRS _ С1Ир3М—11[РдК3К

РК= _![рЦЯ ]•

С помощью третьего приближения можно найти компоненту 033 тензора напряжений, а также другие уравнения для прогиба (соответствующие теории Рейсснера-Миндлина).

3. Третье приближение для изотропной однородной пластины. Рассматривается третье приближение для изотропной однородной пластины с тензором упругих модулей

Сгзк1 = §к1 + К§гк §31 + §й§зк)^ Прогиб ш, вызываемый распределенной по верхней поверхности нагрузкой р(х,у), ищется в виде

ш = ш0 + Нш1 + Н2ш2, где функции шг удовлетворяют дифференциальным уравнениям

Г)КЬп,. Р

и и п)0>икь = —^, DfJLWl,IJKL + В^Шо^^ = 0, , IJKL + ,IJKLR + О^^-Шо ,IJKLRS = °

которые могут быть получены из граничного условия азз(х,у,Ь/2) = р(х,у). При этом функции О могут быть вычислены как средние значения моментов £Р:

О*!...*' = < £рК...К' > .

В случае изотропного однородного материала уравнения для функций Wo, Wl и W2 значительно упрощаются и принимают вид

V

А)ЛЛгио = —Нг,В0ААи)1 = 0, ДЛДгиг + ДзДДДгио = Ьз

В этих уравнениях Оо и О играют роль коэффициентов жесткости. Второе уравнение удовлетворяется для Wl = 0. Складывая первое уравнение с третьим, предварительно умноженным на Ь2, получаем

ПДД £>2 А'Р Р

Данное уравнение можно переписать в традиционном виде:

-ААи, =

Б £>

что соответствует уравнениям теории пластин Рейсснера-Миндлина.

4. Заключение. Метод осреднения позволяет получать теории изгиба пластин чисто математически без использования гипотез. Для изотропной однородной пластины последовательные приближения дают соотношения известных теорий пластин (Кирхгофа-Лява в первом приближении и Рейсснера-Миндлина в третьем).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1959.

2. Kohn R. V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness // Int. J. Solids and Struct. 1984. 20, N 4. 333-350.

3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.

4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

5. Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2006. № 6. 71-79.

6. Шешенин С.В. Применение метода осреднения к пластинам, периодическим в плане // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 1. 47-51.

7. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates // ASME J. Appl. Mech. 1951. 18. 31-38.

8. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // ASME J. Appl. Mech. 1945. 12. A68-77.

Поступила в редакцию 20.04.2012

УДК 531.8

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ЭКИПАЖА ПРИ ВКАТЫВАНИИ ГРЕБНЯ КОЛЕСА НА РЕЛЬС С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОДХОДА ДИРАКА

А. В. Влахова1

Построена математическая модель, позволяющая провести аналитическую оценку условий схода железнодорожного экипажа при вкатывании гребня его колеса на рельс в зависимости от параметров конструкции экипажа и условий его движения. Модель опреде-

1 Влахова Анастасия Владимировна, — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат.

ф-та МГУ, email: vlakhova@mail.ru.