Принципы построения и реализации обучающих систем по численным методам

Educational Technology & Society 9(1) 2006 ISSN1436-4522

Принципы построения и реализации обучающих систем по численным методам

В. С. Ижуткин, В. И. Токтарова кафедра прикладной математики и информатики,

ГОУВПО “Марийский государственный университет”, Йошкар-Ола, Россия izhutkin@yandex.ru, toktarova@y andex.ru

АННОТАЦИЯ

В данной статье предложены принципы построения и реализации обучающих систем по численным методам, психолого-педагогические и организационнометодические условия их эффективного применения, c учетом которых реализован программно-методический комплекс по курсу “Методы оптимизации”.

This paper describes the principles of construction and realization of learning systems for numerical methods, psychological, pedagogical and methodical conditions of their effective application. Using these principles the programme-methodical complex for the course "Optimization Methods" is implemented.

Ключевые слова

обучающие системы, психологические механизмы усвоения знаний, численные методы

Введение

В последнее время немалая роль в обучении отводится компьютерным технологиям, так как с их помощью можно по-новому представить содержание учебного материала. При этом информационные технологии выступают как новые интерактивные средства обучения, обладающие целым рядом дидактических достоинств и позволяющие качественно изменить методы, формы и содержание обучения.

Е.И. Машбиц обращает внимание на то, что «использование компьютера преобразует деятельность как учителя, так и учащихся, изменяя ее содержание, операциональную структуру, оказывая значительное влияние на мотивы участников этой деятельности, в значительной мере перестраивая систему взаимоотношений между ними. Передача части обучающих функций техническому устройству, анализ проблем обучения с учетом возможностей компьютера не просто выдвигают новые психологические проблемы, они требуют критического пересмотра фундаментальных положений педагогической и психологической теорий обучения. Это обусловлено тем, что данные теории, становясь методологическим средством проектирования программ, не могут ограничиться функцией объяснения, но должны стать предписывающими, причем предписания должны относиться ко всем основным аспектам взаимодействия обучающего и учащихся и допускать технологизацию» [Машбиц Е.И., 1988].

При разработке дидактических методов, применение которых в компьютерных технологиях обучения формировало бы профессиональную компетентность при подготовке специалистов для различных сфер деятельности, требуется разрабатывать подходы, учитывающие специфику требований к профессиональной деятельности [Кожевников Ю.В., Медведева С.Н., 2000]. Так, при подготовке специалистов по прикладной математике и информатике, одним из главных квалификационных требований являются знание и умение применять методы математических дисциплин, в частности, численные методы решения различных задач. Эффективным средством

поддержки изучения этих дисциплин являются обучающие системы, учитывающие специфику предметов [Ижуткин В. С., Токтарова В. И., 2005].

На основании вышеизложенного становится очевидной актуальность разработки принципов психолого-педагогических требований, предъявляемых к обучающим системам по численным методам для дальнейшего их применения в процессе построения.

Структурирование учебного материала

При проектировании программно-методического комплекса согласно теории инструкций Дж.Брунера [Bruner, J., 1966], следует учитывать, прежде всего, четыре важнейших момента:

1. необходимые условия возможности обучения (стартовый уровень знаний, уровень и структура мотивации);

2. способы структурирования материала, которые облегчали бы его целостное понимание обучаемым;

3. способы предоставления материала;

4. способы оценки результатов, подкрепления и наказания.

Учет этих важных сторон организации учебного процесса помогает обучаемому упрощать материал и генерировать новые предположения, а также увеличивает динамичность работы с информацией.

Таким образом, на начальном этапе проектирования программно-методического комплекса по численным методам планируемый для изучения учебный материал разбивается на отдельные учебные элементы (УЭ) [Соловов А.В., 1995]. Под учебным элементом будем понимать объекты - конкретные методы, отобранные соответственно программе учебной дисциплины. Совокупность УЭ представляют в виде структурной схемы - древовидного графа, который называется графом содержания учебного материала и строится по иерархическому принципу. Узлами (вершинами) графа являются УЭ, ребрами - иерархические связи между ними.

Систематизированный учебный материал, в котором четко обозначены структурно-функциональные связи между его фрагментами, лучше воспринимается и легче усваивается обучающимися. Располагая таким учебным материалом, студент имеет возможность многократного и легкого обращения к отдельным фрагментам и к системе в целом. При этом обращение к тому или иному фрагменту может осуществляться различными путями, что способствует лучшему пониманию и усвоению взаимных связей между отдельными понятиями, алгоритмами, методами и т.д.

Таким образом, программно-методический комплекс по численным методам представляет студенту учебный материал, структурированный в соответствии тематическим планом учебного курса, стандарты которого требуют выработку большого количества практических навыков, связанных с решением алгоритмических методов.

Реализация комплексов может быть осуществлена при помощи математических апплетов (написанных на языке программирования Java), которые дают студенту возможность с помощью визуализации наглядно представить процесс решения, построения, вывода.

Создание единого педагогического сценария обучения

Педагогический сценарий является одной из форм описания и представления технологии обучения обучающегося [Скибицкий Э.Г., 1993]. Он включает описание связей между его составными частями, текстами теоретического материала и практическими заданиями различного уровня трудностей, переходами между обучающими элементами и т.д. Содержание педагогического сценария определяется содержанием учебной дисциплины, формами, целями и задачами обучения.

В состав типового фрагмента программно-методического комплекса по численным методам, построенного по единой модели педагогического сценария, входят:

- идея метода;

- алгоритм;

- примеры;

- упражнения;

- тестовое упражнение с запланированными ошибками;

- сравнительный анализ;

- тест.

Кроме того, по необходимости могут быть поставлены дополнительные примеры и упражнения вспомогательного и исследовательского типов. Отметим, что в качестве учебной информации для конкретной реализации программно-методического комплекса по численным методам оптимизации использовались материалы курса “Методы оптимизации”, читаемые в Марийском государственном университете, а также и другие источники [Пантелеев А.В., Летова Т. А.,2002], [Аттетков А.В. и др., 2001].

Рассматриваемые далее примеры взяты из этого комплекса.

Рассмотрим данные учебные элементы подробнее.

Идея метода

Как известно, способы действий, необходимые для усвоения элементов учебного материала, образуют иерархическую структуру по вертикали [Атанов Г. А., Пустынникова И.Н., 2004]. Нижний уровень составляют действия, выполнение которых способствует возникновению представлений об изучаемом элементе учебного материала в сознании обучаемого. Поэтому на данном этапе (Рис.1) студенту предлагается изучить теоретический материал рассматриваемого учебного элемента на уровне абстракции, осмысленного восприятия новой для него информации.

Идея поиска максимума функции методом ветвей и границ

ЗЛП-0

х», ^х")

нецелочисленное

х*>[х«] + 1

ЗЛП -1 ЗЛП-2

х1, Т(х1) > Пх2) х2, Нх2)>!

нецелочисленное нецелочисленное

злп-з

X3, ^х3)<1 нецелочисленное

ЗИП -4

х4, Нх4)=1 целочисленное

7>[х"] + 1

ЗЛП-5

Х = 0

ЗЛП-6

Задача ЗЛП:

и

^х) = 2с хтах

М

при ограничениях

2а()-ху<Ь(., где >1

Ху >0 - целые,

' = 1..т,

)=1....п.

Х'={х4Л(х4)=и

18.Допустим задача ЗЛП -5 не имеет решения, так как множество допустимых решений пусто. Тогда задача ЗЛП -5 далее не рассматривается.

<== Обновить ==>

Рис. 1. Фрагмент рассмотрения идеи метода

Алгоритм

Данный фрагмент (Рис.2) содержит теоретический материал, который является основной частью учебного элемента-метода. Учебная информация подается одновременно в двух представлениях - словесном и символическом, в виде поэтапного построения блок-схемы. Это позволяет, согласно задачам обучения, уплотнить информацию об изучаемом элементе или расширить ее. Пошаговое описание алгоритма используется при реализации дальнейших фрагментов сценария, таких, как примеры и упражнения.

Алгоритм минимизации санкции методом дихотомии

1.Задать начальный интервал неопределенности = [а^Ь,],точность е > О и малое число £ > 0.

2.Вычислить точки уь и 1];.

3.Сравнить значения функции в найденных точках:

а) если Г(у1;) <Г(5д, то ак+1 =3^ \+1 = ^

б) если %1;) > %), то ак+1 =у1;, \+1 =

4.Вычислить | = [Ь^! - а^:

а) если процесс поиска завершается и к е Ц^ц = [а^Ъ^].

В качестве приближенного значения

можно взять ередину последнего интер

вала х*= ‘Н:+1+ 4+1 2

б) если положить к = к + 1 и перейти к шагу 3.

С

начало

Ц, = [аТ1; ЪГ1], е^= 0,1 > О,/

^ ’ 4+1 Ч Ук ’ 4+1 Ч

ІЦ(к+і) І ІЧ+1" \4-il

С конец ~)

Обновить

Рис. 2. Фрагмент алгоритма

Примеры

При рассмотрении примеров (Рис.3) после постановки задачи и задания начальных данных студенту предлагается шаг за шагом с подробными пояснениями проследить процесс нахождения ответа. При этом желательно осуществлять связь элементов текста поэтапного решения не только с графической иллюстрацией, но и с помеченными данными и используемыми формулами, так как “наибольшая прочность освоения достигается при подаче учебной информации одновременно на четырех кодах: рисуночном, числовом, словесном и символическом” [Эрдниев П.М., 1975]. Применение таких технологий существенно активизирует учебную информацию, делает ее по сравнению с представлением на бумажном носителе более наглядной для восприятия и удобной для усвоения.

Рис. 3. Фрагмент примера

Упражнения

Учебная процедура, реализованная в упражнениях, включает информацию не только прямой, но и обратной связи, а также правила выполнения последовательных действий, т.е. каждый обучающий шаг упражнения состоит из трех взаимосвязанных компонентов: информации, операции с обратной связью, контроля.

Таким образом, упражнения (Рис.4) осуществляют как тренирующие, так и контролирующие функции. Тренирующие функции используются для осмысления и закрепления информации, с которой учащийся знакомится, они неразрывно связаны с комментариями, являющимися информацией обратной связи. В комплексе представлены упражнения трех видов сложности (легкий, средний, сложный), каждый из которых содержит двенадцать различных вариантов.

Контролирующие функции применяются при оценивании степени усвоения материала, ведется подсчет ошибок по следующим критериям: на знание, понимание, вычисление и применение, а также студенту предоставляется процентное соотношение правильности выполнения упражнения.

Рис. 4. Фрагмент упражнения

Тестовое упражнение с запланированными ошибками

Как известно, основной движущей силой учебного процесса является дидактическое противоречие между выдвигаемыми в ходе обучения новыми учебными задачами и достигнутым уровнем знаний, умений, т.е. создание обстановки интеллектуального затруднения, пробуждающей у студентов внутреннюю потребность в приобретении новых знаний.

Отличительной чертой тестовых упражнений с «ошибками» (Рис.5) является создание ситуаций, когда студенту предлагают к рассмотрению идеи, правила, формулы и вычисления с запланированными разработчиком упражнений различными ошибками, которые обучаемому необходимо найти [Ижуткин В.С. и др., 2004; Melis, E., 2005]. Например, при прохождении упражнения по теме «Градиентные методы минимизации» студенту предлагается вычислить следующую итерационную точку по формуле, в которой заложена ошибка. Обучаемый должен найти ее, указав на “неправильную” часть (вопрос «на знание»). Только после исправления позволяется дальнейшее использование

формулы. Далее происходит подстановка в формулу численных значений переменных, здесь студент должен указать на неверное использование или несоответствующее значение переменной, вписав правильное (вопрос «на понимание»). Затем, в ходе вычисления по формуле, обучаемому предлагается результат, который тоже может быть вычислен неверно (вопрос «на вычисление»). И, наконец, после исправления студент получает необходимое значение следующей итерационной точки. Теперь обучаемому предлагается ход последующего ее использования, в случае неверного - выбрать из списка предложенных вариантов правильный (вопрос «на применение»). Необходимо отметить, что ошибки можно генерировать не обязательно на каждом шаге выполнения упражнения, не исключены и верные ситуации. Вопросы с запланированными ошибками составляются с таким расчетом, чтобы студенты могли осознавать значимость изучаемого материала, учились рассуждать.

Необходимыми условиями для применения данных упражнений являются наличие у обучаемого определенного фундамента знаний и владение логическими операциями, позволяющими связывать между собой ранее изученные и новые элементы знания. Такая система построения упражнения служит не только средством объективного оценивания знаний, но, что самое главное, весьма активным средством привнесения элементов творчества в мыслительную деятельность.

Рис. 5. Фрагмент тестового упражнения с запланированными ошибками

Сравнительный анализ

Целью данного фрагмента (Рис.6) сценария обучения является усвоение некоторых принципов деятельности и методов, в содержание которых должны включаться вопросы сравнительного анализа альтернатив решения типовых задач, самостоятельный выбор методики исследования изучаемых элементов и их построения.

Студенту предлагается возможность выявить недостатки и достоинства сравниваемых методов, в соответствии с этим провести анализ и получить более полную картину об изучаемом элементе.

Сравнение методов градиентного спуска с постоянным шагом и наискорейшего градиентного спуска

Сравнение методов: С постоянным шагом и наискорейшего спуска

Графическая иппюстрация: Фунщия:Цх) = х2 + 2x^2 + Зх^ + 2х2

Зададим величины:

Начальная точка:

х 0 = (-6.475; 5.6 }т

Малые числа для проверки критерия остановки:

£1 = 0.075, е2 = 0.26

Масштаб;

0130000

Формулы:  Результат:  Выбор варианта:

Метод спуска с постоянным шагом; 0*

Метод наискорейшего спуска; 0#

3. Следующая итерационная точка:

[0.064; -0.119]

И х7)-П х6 )| = 0.587 > е2,

И х*)-П х7 )| = 0.2Э4 > е2

х

8 III =

= 1.42 >£,,= 0.075

8. Следующая итерационная точка:

(0.331 ; -0.352 ]

ІП х7) - Т( х6 )| = 0.172 <е2,

|П х8Н( х7 )| = 0.068 <е2 т. х8 - приближение к т. минимума функции

Обновить

==>

Рис. 6. Фрагмент сравнительного анализа

Тест

В конце типового фрагмента программно-методического комплекса по численным методам, учитывая дробный характер пошаговой процедуры единой модели педагогического сценария обучения, занимает место обобщающий элемент - тест (Рис.7).

Тест обладает одновременно двумя функциями: самоконтроль и контроль знаний. Методология построения тестов для самоконтроля и контроля знаний в целом сходная.

Различие заключается в том, что задания для самоконтроля включают в себя элементы самообучения. Поэтому при выполнении предлагаемых в комплексе тестовых заданий обучаемому сообщаются правильные ответы и даются разъяснения в виде определенных фрагментов текста, для повторения в случае ошибочных ответов. А главной задачей контроля знаний является количественная оценка степени усвоения материала.

Таким образом, задача усвоения знаний с помощью теста заключается не только в том, чтобы поставить студенту ту или иную оценку, а также в том, чтобы помочь ему обнаружить пробелы в своих знаниях.

Тест

Вопрос 2: На каком рисунке правильно указано направление антиградиента?

Выбрав правильный ответ, щелкниіе мышкой по одному из рисунков

Неправильно, антиградиент направлен в сторону наискорейшего убывания функции

Обновить

Рис. 7. Фрагмент теста

Применение психологических механизмов усвоения знаний

Разрабатывая сценарии процесса обучения, необходимо учитывать

психологические закономерности усвоения знаний, установленные в педагогической психологии и позволяющие повысить эффективность процесса обучения.

При проектировании глобального сценария программно-методического комплекса по численным методам представляется целесообразным в начале учебной работы создание у обучаемых мотивации, знакомство с общей структурой учебного материала (теория алгоритмизации или поэтапного формирования умственных действий). В ходе изучения материала делаются напоминания, если это необходимо, ранее изученного материала (ассоциативно - рефлекторная теория). Кроме того, в конце типового фрагмента педагогического сценария студенту предоставляются сравнительный анализ и тест - учебные элементы, обобщающие пройденный материал (теория содержательного обобщения).

При разработке локальных сценариев (последовательности выполнения упражнений в ходе изучения отдельных учебных элементов) сначала планируются к выполнению более абстрактные упражнения, а следом за ними примеры и упражнения со схемами, чертежами и другими графическими иллюстрациями (материализованная форма деятельности).

Планирование сценариев каждого примера и упражнения осуществляется в соответствии с универсальной бихевиористской теорией обучения (Рис.8), согласно которой материал разбивается на части и подается поэтапно [Скиннер Б.Ф., 1968]. Применение универсальной схемы этой теории (ситуация-^реакци^-^подкрепление) в

ее линейной или разветвленной форме является стержневым фрагментом программнометодического комплекса по численным методам.

Решение:

1.1. Найдем начальное базисное решение. Базисными переменными

к нули (0;0;0; 1.2. Заполняем Таблицу 1 согласно алгоритму симплекс-метода.

1.3. Вычисляем относительные оценки Ду, 1,5 : Д Л= 1 - [ (-МП-1) + 0*3 ] = -М + 1; А 2 = -1 - [ (-М)*2 + 0*2 ] » 2М - 1; Д 3= 0 - [ (-МП-1) + 0*0 ] = -М; Д 4 = 0 - [ (-М)*0 + 0*1 ] = 0; Д = -М - [ <-М)*1 + 0*0 ] = 0.

<* Оьиопить >

Рис. 8. Фрагменты поэтапного представления решения задачи симплекс-методом

Необходимо отметить, что при этом имеют место закон тренировки (чем чаще повторяется определенная реакция на ситуацию, тем прочнее усвоение предоставленного материала) и закон эффекта (если связь между ситуацией и реакцией сопровождается состоянием удовлетворенности и понимания, то прочность этой связи возрастает). Весь учебный материал разбит на мелкие дозы, каждая из которых содержат одну типовую ситуацию. Чем проще ситуации (что почти автоматически обеспечивается малостью доз учебного материала), тем реакция на них чаще может быть верной, что само по себе уже является положительным подкреплением и приводит обучающегося в состояние удовлетворенности.

Работа обучаемого может вестись индивидуально, со скоростью, наиболее благоприятной для его познавательных сил (принцип индивидуального темпа и управления в обучении).

Визуальная организация информации в обучающих системах по численным методам

Использование средств визуализации открывает для сферы обучения новые графические возможности, благодаря которым обучающиеся могут в процессе анализа изображений динамически управлять их содержанием, формой и размерами, добиваясь наибольшей наглядности.

Как известно, человеческое сознание использует два механизма мышления. Один из них позволяет работать с абстрактными цепочками символов, с текстами и т.п. и обычно называют алгебраическим или логическим; второй - обеспечивает работу с чувственными образами и представлениями об этих образах, его называют образным или геометрическим. Физиологически логическое мышление связано с левым полушарием человеческого мозга, а образное мышление - с правым полушарием. Фундаментальные различия между лево- и правополушарной стратегией переработки информации имеют прямое отношение к формированию различных способностей [Поспелов Д. А., 1982].

Психолого-педагогические исследования показывают, что наглядность в компьютерных обучающих системах не только способствует более успешному восприятию и запоминанию учебного материала, но и позволяет проникнуть глубже в существо познавательных явлений. Это происходит за счет работы обоих полушарий, не одного левого, логического, привычно работающего при освоении точных наук. Правое полушарие, отвечающее за образно-эмоциональное восприятие предъявляемой информации, начинает активно работать именно при ее визуализации.

Воздействие наглядности на интуитивное, образное мышление привело к возникновению нового направления в проблематике искусственного интеллекта, названного в работе [Зенкин А.А., 1991] когнитивной (т.е. способствующей познанию) компьютерной графикой, которая не только представляет знания в виде образов-картинок и текста, а также позволяет визуализировать те человеческие знания, для которых еще не найдены текстовые описания. Когнитивная функция проявляется в ситуациях, когда учащиеся добывают знания с помощью исследований на

математических моделях изучаемых объектов и процессов, причем, поскольку этот процесс опирается на интуитивный правополушарный механизм мышления, сами эти знания в существенной мере носят личностный характер.

Например, студенту предоставляется (Рис.9) исследование линий уровня трехмерных тел, векторов градиента и антиградиента, уравнения касательных. Перемещая точку А на линиях уровня, обучающийся может наблюдать построение уравнения касательной в этой точке, векторов градиента и/или антиградиента, их направление и длину, и соответственно, исследовать их поведение в точках экстремума и др.

Пример

О г = зіп(ху) Ог = х4+у1 Ог = х2+у2

О г = х2 - у2  г = віпМ + со5(у) О г = |х + сої(х)| + [у|

О г = |х - зіп(х)со$(х)| + (у - зім(у)соз(у) Ог = х2 + 2ху+Эу2 + 2у Ог = х*у

хто '/Л\\\ / , Л п \/ ( Ч\ ///У М(0 Л/ \\\Ч, /і Ч  I

•40 -40 ) 4^' V АЛ хю І0 21 II) п Аш\ I 1 л \ У/ / / ' УЧ //(У\ ]Х((( ) 4*/ \\\\ У ' / \ \ \ у -У У

Масштаб:

Фунщія: ^х)= 5Іп(х1) + со$(х2), ^А) = 1.0 Градиент ГВД: Т^х) = (С05(х1),-5Іп(х2)) — —

Координаты точки: А=(а1,а2) = (2.75,0.9) 0 Градиент: Tf(A) = (-0.92, -0.78) Щ Щ

Уравнение касательной: у = -1.171X +4.14 О Антиградитп: -Т^А) = (0.92, 0.78) |~^ Щ

Обновить

Рис. 9. Графическая иллюстрация построения линий уровня, градиента

Таким образом, применение визуализации при изучении численных методов:

- ориентирует на развитие пространственного мышления путем динамического представления информации;

- дает возможность наглядно иллюстрировать изучаемые теоретический и практический материалы, представить связь между аналитическими выражениями и геометрическими образами;

- увеличивает скорость передачи информации студенту, повышает уровень ее понимания.

Область применения обучающих систем по численным методам

Немаловажным вопросом является область применения обучающих систем по численным методам. Их логично использовать на лабораторных занятиях или для самостоятельной работы студентов, как дополнительное средство обучения.

Организация лабораторных занятий с использованием обучающих систем по численным методам обеспечивает определенные условия для работы студентов, а именно:

- реализует индивидуализированное обучение, опирающееся на модель обучаемого;

- освобождает студента от рутинных вычислений, за счет чего происходит существенная экономия времени;

- решает проблему визуализации, обобщая пространственный опыт студентов, сопоставляя теоретические вопросы с их реальным осуществлением;

- формирует навыки творческой деятельности за счет преобладания когнитивных подходов представления знаний

- является объективным и эффективным средством педагогического контроля, позволяющим дать количественную характеристику овладения обучающими знаниями и умениями.

Программно-методический комплекс по численным методам можно эффективно использовать при дистанционном обучении студентов, так как он обладает следующими качествами:

- развитой гипертекстовой структурой в понятийной части курса, а также в логической структуре изложения;

- удобной для пользователя системой управления структурой;

- наличием различных уровней сложности упражнений;

- наличием подсистемы контроля знаний;

- оказанием поддержки в ходе обучения.

Практическая значимость и эффективность программнометодического комплекса по численным методам оптимизации

Разработанный программно-методический комплекс по курсу “Методы оптимизации” [Ижуткин В.С., Мелис Э. и др., 2004] включен в электронную образовательную среду ActiveMath (разработка Немецкого Центра искусственного интеллекта при университете Саарбрюкена (Германия) в рамках проекта LeActiveMath (http://www.leactivemath.org) программы FP6-IST Европейского Союза) [Melis, E., and others, 2005]. Система ActiveMath дает возможность осуществить семантические связи с разделами математики, которые необходимы для изучения методов оптимизации, а также осуществить различные педагогические сценарии обучения в зависимости от специальности обучаемого, его уровня подготовки, целей обучения (например, подробное изучение, подготовка к экзамену, краткий обзор) и т. д. Применение разнообразных путей и приемов обучения, планирование индивидуальных педагогических сценариев увеличивает скорость передачи информации обучающимся и повышает уровень ее понимания, способствует развитию таких важных для специалиста любой отрасли качеств, как интуиция, образное мышление

Практическое использование в Марийском государственном университете показывает, что программно-методический комплекс по численным методам оптимизации является эффективным средством индивидуализации обучения и активизации самостоятельной деятельности студентов, а также оказывает существенную помощь в работе преподавателя. Одним из достоинств комплекса является достижение высокой степени наглядности за счет динамической визуализации. Кроме того, он обеспечивает оптимальную для каждого конкретного пользователя последовательность работы над курсом, состоящую в изучении алгоритмов, разборе примеров, отработке навыков решения типовых задач, проведении самостоятельных исследований, возможности самоконтроля качества приобретенных знаний.

Заключение

В рамках данной статьи предложены и обоснованы принципы построения обучающих систем по численным методам, с учетом которых реализован программнометодический комплекс по методам оптимизации. Отметим, что прогресс в области информационных технологий требует постоянной переработки обучающих систем [Ижуткин В.С., Сушенцов А. А., 2002].

Литература

[Атанов Г. А., Пустынникова И.Н., 2004] Атанов Г. А., Пустынникова И.Н. Обучение и искусственный интеллект, или Основы современной дидактики высшей школы. -Донецк: Изд-во ДОУ, 2004. -504 с.

[Аттетков А.В. и др., 2001] Аттетков А. В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГПУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 440 с.

[Зенкин А.А., 1991] Зенкин А. А. Когнитивная компьютерная графика / Под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1991. 192с.

[Ижуткин В.С., Мелис Э. и др., 2004] Ижуткин В.С., Мелис Э., Токтарова В.И., Гогуадзе Г. Интерактивное изучение методов решения экстремальных задач с помощью обучающей системы ActiveMath // Тезисы докладов XI Всероссийской научнометодической конференции «Телематика'2004», Санкт-Петербург, 7-10 июня 2004 г., C.557.

[Ижуткин В.С. и др., 2004] Ижуткин В.С., Токтарова В.И., Мелис Э. Тестовое упражнение с запланированными ошибками как средство контроля и обучения // Сборник тезисов докладов Второй Международной научно-методической конференции «Новые образовательные технологии в вузе», Екатеринбург, 24-26 ноября 2004 г, С.325-327.

[Ижуткин В.С., Сушенцов А.А.,2002] Ижуткин В.С.,Сушенцов А.А. Интернет-технологии при изучении методов оптимизации // Educational Technology & Society 5(3) 2002, ISSN 1436-4522, С. 231-238.

[Ижуткин В.С., Токтарова В.И., 2005] Ижуткин В.С., Токтарова В.И. Компьютерное моделирование учебного процесса изучения математики // Труды 1-ой Международной конференции «Системный анализ и информационные технологии», Переславль-Залесский, 12-16 сентября 2005 г., С. 246-249.

[Кожевников Ю.В., Медведева С.Н., 2000] Кожевников Ю.В., Медведева С.Н. Дидактическое проектирование компьютерных технологий обучения для профессиональной математической подготовки по специальности "Прикладная математика и информатика" - Educational Technology & Society 3(4) 2000, ISSN 14364522, С.203-217.

[Машбиц Е.И., 1988] Машбиц Е.И. Психолого-педагогические проблемы

компьютеризации обучения. - М.: Педагогика, 1988. - 192с.

[Пантелеев А.В., Летова Т.А.,2002] Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы отимизации в примерах и задачах. -М.:Высш.шк.,2002. -544с.

[Поспелов Д.А., 1982] Поспелов Д.А. Фантазия или Наука. На пути к искусственному интеллекту. М.: Наука, 1982.

[Скибицкий Э.Г., 1993] Скибицкий Э.Г. К вопросу о разработке педагогического сценария компьютеризированных курсов. // Информационные технологии в образовании. -Новосибирск: ИПСО РАО. 1993. -Вып.10. -С.26-41.

[Скиннер Б.Ф., 1968] Скиннер Б.Ф. Наука об учении и искусство обучения // Программированное обучение за рубежом. Выс.школа М., 1968. 275 с.

[Соловов А.В., 1995] Соловов А.В. Проектирование компьютерных систем учебного назначения: Учебное пособие, СГАУ, Самара, 1995.

[Эрдниев П.М., 1975] Эрдниев П.М. Системность знаний и укрупнение дидактической единицы. //Сов. Педагогика. -1975. -N 4. -С. 72-80.

[Bruner, J., 1966] Bruner, J. Toward a Theory of Instruction. Cambridge, MA: Harvard University Press. 1966. 614 p.

[Melis, E., 2005] Melis, E. Design of Erroneous Examples for ActiveMath. International Conference on AI in Education. IOS Press, 2005.

[Melis, E., and others, 2005] Melis, E., Goguadze, G., Homik, M., Libbrecht, M., Ullrich

C.,Winterstein S., Semantic-Aware Components and Services of ActiveMath. -British Journal of Educational Technology. 2005.