Определение эффективных упругих свойств поликристаллов методом вычислительного эксперимента

УДК 539.3

В.Н. Ашихмин

Пермский государственный технический университет

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ СВОЙСТВ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ МЕТОДОМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Рассмотрена методика определения эффективных упругих свойств поликристаллов, построенная на базе серии из 6 вычислительных экспериментов. Полученные оценки упругих свойств поликристалла сравниваются с результатами оценок по Фойгту, Рейсу и Хиллу, а также с результатами натурных экспериментов. Предложенная методика использована для оценки эффективных упругих свойств поликристаллов при наличии аксиальной текстуры.

Ключевые слова: упругие эффективные свойства, поликристалл, текстура.

Даже однофазный поликристалл в силу анизотропии упругих свойств и различной ориентации главных осей симметрии материала отдельных кристаллитов является структурно-неоднородным материалом. В математических моделях при исследовании напряженно-деформированного состояния (НДС) различных конструкций и деталей, как правило, поликристалл заменяется модельным однородным материалом с эффективными упругими свойствами, упругое поведение которого эквивалентно заменяемому неоднородному материалу [4]. Эквивалентность здесь подразумевает одинаковую деформацию (в среднем) образцов из поликристалла и модельного однородного материала при одинаковом нагружении. При этом размеры образца должны быть не менее размеров представительного объема для поликристалла.

Использование на макроуровне (масштаб конструкции) однородного материала существенно упрощает применение традиционных вычислительных процедур (например, метода конечных элементов), исключая необходимость привязывать шаг расчетной сетки к размерам зерна. На мезоуровне (масштаб зерна) даже для однофазных поликристаллов из-за наличия анизотропии упругих свойств зерен и различной ориентации главных осей материала в них поля напряжений а и деформаций е в кристаллитах будут неоднородными. В этом случае напряжения и деформации обычно раскладывают на средние и осциллирующие составляющие [4]:

а = <а> + а', е = < е > + е'.

При этом для средних и осциллирующих составляющих выполняются следующие условия:

V Г

°)=V1 Г , ^=V1 ^Г ,

Г V Г V

где V - представительный объем поликристалла.

Напряжения а и деформации е относятся к масштабному уровню зерна поликристалла (мезоуровень), а средние напряжения <а> и деформации <е> будут соответствовать напряжениям Е и деформациям е на уровне конструкции (макроуровень), обычно измеряемым в эксперименте (Е=< а >, г =< г >). Размер представительного объема V зависит от размера структурных элементов (зерен) и от степени анизотропии их упругих свойств, количественной мерой которой является параметр анизотропии материала монокристалла [4]

А =

С - С С1111 122

2С

2С1212

где С1111? С1122 и С1212 - компоненты тензора модулей упругости кристалла с кубической решеткой в главных осях материала. Для материала с изотропными свойствами параметр анизотропии равен единице. Среди металлов только кристалл вольфрама имеет практически изотропные упругие свойства. Учитывая, что для материала с изотропными свойствами С1и2з12 = (СШ1 - С1212)/2, получаем

Г и

'-'-Г

А =

-'1212

С

С1212

т.е. параметр анизотропии характеризует отклонение от изотропии упругих свойств через отношение модулей сдвига.

В работе [1] в результате решения краевой задачи были исследованы статистические характеристики полей мезонапряжений а в однофазных поликристаллах. Анализ полученных результатов показал, что с уровнем значимости не менее 90 % мезонапряжения подчиняются нормальному закону распределения. На основании исследования корреляционной зависимости было установлено, что на расстоянии 4-5 средних диаметров зерна для алюминия и 6-7 средних диаметров для меди

НДС практически нескоррелированно. Полученные результаты для корреляции близки к экспериментальным данным исследования НДС в поликристаллах, полученных в работе [2]. В литературе [2, 4] размер представительного объема однофазного поликристалла при упругом нагружении рекомендуется принимать не менее 10 средних диаметров зерена.

С учетом формул (1) и (2) обобщенный закон Гука для макроуровня можно записать с использованием эффективных характеристик

а) Е = Сэф : е или б) е = 8эф : Е,

где Сэф - тензор эффективных модулей упругости; 8эф - тензор эффективных модулей податливости (8эф = (Сэф)-1). Таким образом, эффективные модули упругости связывают осредненные по представительному объему мезонапряжения и мезодеформации.

Тензорные соотношения (3) можно представить в матричной форме:

{Е}=[С”ф]{е

В данном случае для симметричных тензоров Е и е переход

к матричной записи (4) осуществляется аналогично [4]. В результате

подобного перехода для описания упругих свойств материала получаем симметричные матрицы [5°ф] и [Сэф] размером 6 на 6 элементов. Требование симметрии матриц упругих свойств справедливо для всех материалов, для которых выполняется допущение о существовании упругого потенциала [4].

На практике кроме модулей упругости и податливости для описания упругих свойств материала часто используют так называемые технические постоянные: модули Юнга Е, коэффициенты Пуассона ц, модули сдвига С, а также коэффициенты взаимного влияния. В табл. 1 приведена запись компонент матрицы модулей податливости через технические упругие константы материала.

Таблица 1

Связь модулей податливости 5^ и технических констант

у \ Ы 11 22 33 12 23 13

11 1/Е1111 -ц1122/Е2222 -ц1133/Е3333 ^11,12/С1212 Уц,23/С2323 Уц,13/С1313

22 -Ц-2211/Е1111 1/Е2222 -Ц2233/Е3333 У22,12/С1212 ^22,23/С2323 ^22,13/С1313

33 -Ц-3311/Е1111 -Ц-3322/Е2222 1/Е3333 ^33,12/С1212 ^33,23/С2323 У33,13/С1313

12 У12,11/Е1111 У12,22/Е2222 У12,33/Е3333 1/С1212 Л12,23/С2323 Л12,13/С1313

23 У23,11/Е1111 У23,22/Е2222 У23,33/Е3333 ^23,12/С1212 1/С2323 Л23,13/С1313

13 У13,11/Е1ш У13,22/Е2222 У13,33/Е3333 Л 13,12/ С1212 Л13,23/С2323 1/С1313

Как можно видеть, технических констант в общем случае получается 36, так как, хотя матрица модулей податливости симметрична (5упт= 5пту), соответствующие коэффициенты влияния не равны друг другу (например, Ц1122 * Ц2211).

Экспериментально упругие свойства материала определяют как в опытах на простое нагружение (растяжение, сжатие, сдвиг, изгиб), так и с помощью измерения и анализа распространения звуковых волн. В вычислительных экспериментах для определения упругих свойств предпочтительнее использовать первый подход.

Рассмотрим определение эффективных модулей податливости [5°ф] материала с помощью серии вычислительных экспериментов на статическое («мягкое») нагружение представительного объема однородной нагрузкой (рис. 1). По физическому смыслу модуль податливости соответствует деформации материала при единичном напряжении. Осуществим одноосное растяжение материала вдоль оси Х1 единичной нагрузкой (Е11 = 1, Е22 = Е33 = Е12 = Е23 = Е13 = 0, рис. 1) и определим возникающие при этом средние деформации <е>. Из выражения (3, б) получаем 6 эффективных модулей податливости.

1) .

к

Й3-

ЙМ

э-

4)

%

п-

Х3

2)

Л>

Г

о-о-э-э-о-

*

й

й>

Е21

п

5) £ ) Я3"

г ы

£

п

Е32

X)

п

3)*

X

6) X1

X

к и

п

Х3

-

Е13 »—

Х2

п

Г

х3

-

Рис. 1. Серия из 6 экспериментов по определению эффективных упругих свойств материала

5ЭФ =< еЕ11 =' > 5эф =< оЕи = > 5эф =< оЕи =

51111 ^ Ь11 ^ , 52211 ^ о22 ^ , 53311 ^ о

-*33

>,

51э2ф11 =< Уп =' > , 52э3ф11 =< Уй =' > , 51э3ф11 =< Ув =' > .

33

11

12

31

С использованием соотношений табл. 1 получаем для технических констант:

,Е„ _1 ^ ..эф „Е„ _1 ^ 7-тэф ..эф „Е„ =1

Еэф = 1/ < „Е11 =1 > мэф _< „Е11 =1 > Еэф иэф =. „Е11 =1 > Еэф Е11 17 ^ Ь11 ', г^21 22 ^ Е11 , ^31 ^ Ь33 ^ Е11 ,

<1 _< у,2? _' > Е?. ^ _< уЕ? _' > Е-ф, V* _< тЕ;1 _' > в*.

В силу неоднородности и анизотропии свойств нагружаемого материала в общем случае все 6 оценок осредненных по объему компонент тензора деформаций не будут равны нулю.

Выполняя аналогичные эксперименты на растяжение вдоль осей Х2 и Х3, а также простой сдвиг в плоскостях Х1Х2, Х2Х3 и ХХ3 (см. рис. 1), получаем 36 оценок эффективных модулей податливости:

эф ] _

ей"1) («21’ _1> _| « («Ег1) («п

«2! ) (* _1> («Е? _1) («22- _1> <«Е23") («е23

(*» _1> /«Е33 _1\ \ь33 / («232 _1) /«Е23 _1\ 33 («зЕ33

уЕГ1) (уе? ") (У1Е233 _1) (УЙ2 _1) (У2!3 _1) (УЕ^3

УГ) (г е32 ") (г е33 _1) (у 232 ") (г Е323 _1) (г I3

уЕГ1) (гй"") (г1Е333 _1) (г& _1) (У1Е323 _1) (у^

Аналогично можно провести серию экспериментов над представительным объемом по кинематическому («жесткому») нагружению, задавая перемещения границ. Макродеформации представительного объема в этом случае равны заданным, а макронапряжения получаем путем осреднения мезонапряжений. Проведя 6 экспериментов и получив 6 полей мезонапряжений, с использованием выражения (3, а) получаем систему из 36 уравнений, решив которую можно найти 36 элементов матрицы модулей упругости [С0ф]. Оба подхода (на «мягкое» и «жесткое» нагружение) эквивалентны, хотя первый менее трудоемок, так как не требует решения системы из 36 уравнений.

Матрицы [5°ф] и [С0ф] в классической теории упругости являются симметричными, поэтому информация, полученная в 6 экспериментах, является избыточной. Однако как в натурном (в силу ошибки измерения), так и в вычислительном эксперименте (в силу конечности выборки и в силу ошибок округления) симметрия [5°ф] будет выполняться с

некоторой погрешностью. Для удовлетворения симметрии [5°ф] можно потребовать выполнения следующих дополнительных условий:

Сэф _ Сэф

С1]пт Спту

< 8, г; Ф пт, г, ], п, т _ 1,2,3,

где 5 - допустимая погрешность на симметрию, 5 > 0.

Нарушение симметрии [Сф] может свидетельствовать о недостаточной величине представительного объема, неоднородности макронагружения или статистической неоднородности полученной выборки мезодеформаций. Последнее может быть вызвано краевыми эффектами вблизи поверхности образца. Поэтому в вычислительном эксперименте из выборки мезодеформаций или мезонапряжений следует исключить приграничные области. Основываясь на принципе Сен-Венана, можно предположить, что размер моделируемого поликристалла должен по крайней мере в три раза превышать размер представительного объема.

Как правило, для любого материала (в том числе и модельного) можно найти главные оси симметрии, в которых число ненулевых компонент матрицы [5°ф] минимально. Например, материал с орто-тропным типом симметрии в главных осях имеет только 12 элементов [5°ф], отличных от нуля. Причем из них в силу симметрии только 9 компонент будут независимыми.

Изложенные выше методики позволяют определять значения эффективных модулей упругости или податливости в некоторой лабораторной системе координат (ЛСК), привязанной к конструкции, процессу или образцу. В общем случае ориентация ЛСК может не совпадать с ориентаций главных осей получаемого модельного материала. Ориентация главных осей симметрии далеко не всегда очевидна. Например, в случае многофазного поликристалла или при образовании текстуры кристаллизации или деформационной текстуры определить ориентацию главных осей получаемого однородного модельного материала по форме и размерам зерен бывает затруднительно.

Пусть с помощью предложенных методик определены значения компонент тензора модулей упругости или податливости в ЛСК. Введем пространство О, содержащее все возможные ориентации материала. Для определения главных осей симметрии материала требуется

*

найти такую ориетацию ш , где число ненулевых компонент тензора модулей упругости С°ф минимально. Соответствующая задача оптимизации может быть записана следующим образом.

*

Найти ориентацию ш материала относительно ЛСК, доставляющую

3 3 3 3

НЕЕ н

г_1 у _1 к _11 _1 при ограничениях типа равенств

Ш рШрШ пШ рШ эф

^ук1 _ РшР]тркрр\д^птрд,

где Н(х) - функция Хевисайда, Н(х) = 1 при х > 0 и Н(х) = 0 при х < 0; Стш - минимально возможное отличное от нуля значение компоненты тензора модулей упругости, Ст 11П > 0; [Рш] - матрица косинусов поворота из ЛСК к ориентации ш.

Очевидно, что точность изложенных подходов зависит от точности определения полей мезонапряжений и мезодеформаций в представительном объеме. Наиболее корректно это можно сделать, решив краевую задачу для представительного объема с учетом реальной геометрии и ориентации материала зерен, а также учитывая распределения фаз материала. При этом в процессе решения учитывается взаимодействие не только соседних, но и далеких друг от друга зерен поликристалла. К недостаткам подобного подхода следует отнести трудоемкость реализации метода, потребность в значительных вычислительных ресурсах и больших затратах машинного времени. Тем не менее методы прямого моделирования зачастую являются единственным средством исследования мезопараметров поликристалла. Кроме того, подобный подход может служить для обоснования гипотез и приближений, используемых для разработки более эффективных в вычислительном отношении методов.

Рассмотрим объем однофазного поликристалла в форме куба, размер которого более 10 средних размеров зерна. Математическая постановка краевой задачи для моделируемого объема выглядит следующим образом.

Требуется определить распределение полей мезоперемещений и, мезонапряжений ст и мезодеформаций « в объеме V поликристалла с границей Г (V _ V иГ), состоящим из N зерен объемом Vn

V _Е п,_^п |. Материал каждого зерна однороден и в общем случае имеет отличную от других зерен ориентацию главных осей симметрии

Сук1

_ Ст1П ) ^ тт,

материала. В каждой точке г зерна п НДС должно удовлетворять следующим соотношениям:

- уравнениям равновесия

V • о _ 0, У г е Vn,

- определяющим соотношениям

ст = С : е, Уг е Vn,

- и геометрическим соотношениям

£ _ 2^и + Vuг), Уге Vn.

Граничные условия 6 экспериментов приведены на рис. 1.

В данной работе численная реализация экспериментов проводилась с использованием метода конечных элементов [3]. При этом каждое зерно области разбивалось на 6 симплекс-элементов в форме тетраэдра.

Оценка эффективных упругих свойств проводилась для однофазного поликристалла меди, модули упругости и технические константы монокристалла которой в главных осях симметрии имеют следующие значения:

С1111 = 168,4 ГПа, С1122 = 121,4 ГПа, С1212 = £1212 = 75,4 ГПа,

-£1111 = 66,7 ГПа, Ц1122 = 0,419.

В поликристалле ориентацию ш главных осей симметрии материала отдельных зерен относительно ЛСК можно рассматривать как случайную величину. В этом случае, задавая ориентацию ш набором углов Эйлера (ф1, ф2, ф3}, можно величины последних рассматривать как случайные. В зависимости от закона распределения ориентаций зерен получается тот или иной вид текстуры поликристалла. При равномерном случайном законе распределения ориентаций текстура в поликристалле отсутствует, а эффективные упругие свойства должны быть близки к изотропным.

Исследование эффективных упругих свойств проводилось при разбиении объема V в форме куба на 15 зерен по стороне по выборкам из 3375 зерен. Полученные в результате 6 вычислительных экспериментов модули податливости приведены в табл. 2.

Т аблица 2

Эффективные модули податливости [ х-10 6]

у \ к1 11 22 33 12 23 13

11 7,20 -2,33 -2,41 0,03 -0,01 -0,03

22 -2,33 7,18 -2,40 0,01 0,08 0,03

33 -2,44 -2,42 7,24 -0,04 -0,08 -0,01

12 0,03 0,01 -0,04 19,26 0,06 -0,04

23 -0,01 0,08 -0,07 0,06 19,26 -0,07

13 -0,03 0,02 -0,02 -0,04 -0,07 19,45

Как было отмечено, в вычислительном эксперименте симметрия матрицы упругих свойств выполняется приближенно. В данном случае незначительное нарушение симметрии наблюдается для модулей

51эф22, 51эф33 и 5^^233 . Эффективные модули податливости определяются по математическому ожиданию случайного поля компонент тензора мезодеформаций, оценка величины которого в данном случае с вероятностью 95 % принадлежит интервалу ±0,0840-6. С учетом последнего замечания можно заключить, что нарушения как симметрии, так и изотропии упругих свойств не выходят за границы интервала статистической погрешности. Соответствующие табл. 2 значения технических констант приведены в табл. 3.

Таблица 3

Технические константы материала е$ , , щ, и

г; \ к1 11 22 33 12 23 13

11 140,1 ГПа 0,324 0,330 5 5 5

22 0,325 139,8 ГПа 0,331 5 5 5

33 0,337 0,337 139,3 ГПа 5 5 5

12 5 5 5 52,4 ГПа 5 5

23 5 5 5 5 52,6 ГПа 5

13 5 5 5 5 5 52,7 ГПа

Примечание: 5 - величины менее 0,01 по абсолютной величине.

С учетом интервалов статистической погрешности

Еэф _ 139,8± 1,5ГПа, цэф _0,331 ±0,007, вэф _---------------------—.

2

Для однофазных поликристаллов в работе [4] приведены упрощенные соотношения оценки упругих эффективных характеристик по Фойгту, Рейсу и Хиллу. Для меди данные оценки, а также результаты натурного и вычислительного экспериментов сведены в табл. 4.

Таблица 4

Эффективные упругие свойства чистой меди

Модули Натурный эксперимент По Рейсу По Фойгту По Хиллу Вычислительный эксперимент

Оэф, ГПа 44-48 40 55 47 52,5

Еэф, ГПа 117-126 109 145 127 139,8

дэф 0,31-0,34 0,37 0,32 0,35 0,331

Результаты натурного эксперимента существенно зависят от чистоты и способа получения поликристаллической меди и имеют достаточно серьезный разброс. Сравнивая приведенные значения, можно заключить, что полученные при прямом моделировании результаты близки к значениям, наблюдаемым в натурном эксперименте, и расположены между приближением Хилла и Фойгта.

Применим приведенную выше методику для оценки эффективных упругих свойств для поликристалла при наличии аксиальной текстуры. Отсутствие текстуры достигается, если любое направление в кристаллической решетке равномерно распределено по пространству ориентаций О. При этом углы Эйлера изменяются в следующих пределах

0 < ф1 < 2л:, 0 < ф2 < л, 0 < ф3 < 2л, где ф1 задает поворот вокруг оси Х3, ф2 - оси X/ , ф3 - оси Х3".

Пусть угол ф2 равномерно изменяется в интервалах [0; Дф] и [л-Дф; л]. В этом случае получаем аксиальную текстуру, когда направление [100] кубического кристалла равномерно заполняет телесный угол Дф вокруг оси Х3 ЛСК. Соответствующие прямые полюсные

о

фигуры для случая Дф = 5 приведены на рис. 2.

В данном случае главные оси симметрии материала сопадают с ЛСК. В табл. 4 приведены величины эффективных технических констант поликристаллической меди при различных значениях интервала Дф.

[100] [110] [111]

а б в

Рис. 2. Прямые полюсные фигуры для аксиальной текстуры

Таблица 5

Технические константы меди с аксиальной текстурой

£ 3 < & -Ешь ГПа Е2222, ГПа Е3333, Гпа ГПа G2323, ГПа Gl3lз, ГПа Ц-1212 Ц-2323 Ц-1313

90 139,8 139,8 139,8 52,5 52,5 52,5 0,331 0,331 0,331

75 142,1 142,1 145,6 52,5 50,6 50,6 0,334 0,322 0,322

60 139,5 139,5 139,5 53,1 48,7 48,7 0,341 0,325 0,325

45 134,1 134,1 127,2 51,7 52,5 52,5 0,312 0,345 0,345

30 124,9 124,9 101,7 48,6 61,6 61,6 0,236 0,375 0,375

15 109,3 109,3 77,3 47,9 71,3 71,3 0,159 0,406 0,406

5 102,5 102,5 67,6 47,5 75,0 75,0 0,117 0,418 0,418

0 103,7 103,7 66,7 47,2 75,4 75,4 0,097 0,419 0,419

Как видно из приведенных в табл. 5 результатов, данному типу текстуры соответствует материал с трансверсально-изотропными свойствами. Плоскость изотропии совпадает с плоскостью Х1Х2 ЛСК.

с

Следует отметить, что на интервале для Дф от 90 до 45 анизотропия упругих свойств поликристалла незначительна. Более того, при

с

Дф = 45 поликристалл демонстрирует свойства, близкие к изотроп-

с

ным. В дальнейшем при стремлении Дф к 0 упругие свойства поликристалла в направлении оси Х3 стремятся к свойствам монокристалла.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ № 10-08-00156-а, № 10-08-96010-р_урал_а).

Библиографический список

1. Ашихмин В.Н., Повышев И.А. Статистические закономерности распределения напряжений в поликристаллах // Математическое моделирование систем и процессов: сб. науч. тр.; Перм. гос. техн. ун-т. -Пермь, 1995. - № 3. - С. 11-18.

2. Богачев И.Н., Вайнштейн А.А., Волков С.Д. Статистическое металловедение. - М.: Металлургия, 1984. - 176 с.

3. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. - 392 с.

4. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

Получено 22.11.2010