Теневые зоны орбит искусственного спутника Луны

КОСМОНАВТИКА

УДК 629.783.015:523.3

В. Е. Чеботарев

ОАО «Информационные спутниковые системы» им. акад. М. Ф. Решетнёва»,

г. Железногорск, Красноярский край, Россия

ТЕНЕВЫЕ ЗОНЫ ОРБИТ ИСКУССТВЕННОГО

СПУТНИКА ЛУНЫ

Проведено моделирование полутеневых и теневых зон от Земли и Луны и их прохождения искусственным спутником Луны (ИСЛ). Определены периодичность появления теневых (полутеневых) зон от Земли и Луны

и одновременность их совпадения. На основании разработанных моделей осуществлена оценка длительности теневых (полутеневых) зон на орбите ИСЛ и их изменения в процессе орбитального движения Земли и Луны для двух вариантов размещения

плоскостей орбит ИСЛ и двух типов орбит по периоду обращения. Сформулированы рекомендации по формированию требований к ИСЛ в части его пребывания в теневой (полутеневой) зоне от Земли и Луны.

Ключевые слова: теневая (полутеневая) зона, Земля, Луна, искусственный спутник Луны.

V. E. Chtebotarev

JSC «Academician M. F. Reshetnev»Information Satellite Systems», Zheleznogorsk, Krasnoyarsk region, Russia

ON-ORBIT ECLIPSE PERIODS FOR ARTIFICIAL

LUNAR SATELLITE

Modeling ofpenumbra and umbraperiods by Earth and Moon as well as modeling of performances of artificial lunar satellite (ALS) during eclipse periods were performed in frames of this study. Periodicity of umbra (penumbra) by Earth

and Moon and periods of their coincidence were assessed. Assessment of penumbra and umbra periods duration was performed based on developed models for two variants of ALS orbit planes depending on orbital period, and as well assessment of orbit variations as a result of Earth and Moon

motion was made.

Recommendations are formulated concerning requirements for ALS operation during periods ofpenumbra and umbra by Earth and Moon.

Keywords: eclipse, umbra (penumbra), Earth, Moon, artificial lunar satellite.

Вследствие движения Луны вокруг Земли и Земли вокруг Солнца положение Солнца относительно плоскости орбиты искусственного спутника Луны (ИСЛ) в течение года меняется, что приводит к необходимости расчета периодов появления теневых орбит, длительности теневых участков от Земли и Луны на отдельном витке и их взаимного положения [1].

© Чеботарев В. Е., 2014

1. Общая модель образования теневых орбит

Рассмотрим упрощенную модель разворота инерционной системы координат, связанной с восходящим узлом орбиты ИСЛ относительно линий «Солнце - Земля», «Земля - Луна» [2]. При этом полагаем движение Земли и Луны в плоскости эклиптики равномерным, круговым, а прецессией орбит пренебрегаем. В этом случае возможны

две схемы затенения орбит ИСЛ: наложения только теневых зон от Луны на орбиту ИСЛ (рис. 1, а) или одновременного наложения теневых зон от Луны и Земли на орбиту ИСЛ (рис. 1, б).

Повторяемость ситуации наложения только теневых зон от Луны на орбиту ИСЛ (рис. 1, а) - каждый синодический месяц, а одновременного наложения теневых зон от Луны и Земли на орбиту ИСЛ (рис. 1, б) -со сдвигом на половину месяца тоже каждый синодиче ский месяц.

Однако за счет наклонения орбиты Луны к плоскости эклиптики (около 5 град) одновременное наложение теневых зон от Луны и Земли на орбиту ИСЛ может происходить не всегда, поэтому вместо 13 критичных случаев в первом варианте (рис. 1, б) за год возможно 1-2 в году с перерывами в несколько лет [1].

Исходя из вышеизложенного, проведем оценку значений параметров теневых зон от Луны и Земли для ИСЛ с круговой орбитой. 13

Зона полутени

Орбита Луны

Зона полутени

Орбита Луны

Зона тени / \ Орбита ИСЛ Зона тени

Рис. 1. Схема наложения теневых зон от Луны и Земли на орбиту ИСЛ

За счет разворота линии «Солнце -Земля» относительно инерциальной системы координат, связанной с восходящим узлом орбиты, за один год повторяемость ситуации сохраняется для любой орбиты ИСЛ вне зависимости от начального значения ее восходящего узла (рис. 2).

^ I 0°

Рис. 2. Конфигурация повторяемости теневых зон от Луны и Земли за год

Общая картина образования теневых зон от небесного тела (Земля, Луна...) показана на рис. 3.

Теневые участки от небесного тела образуют коническую поверхность, определяющую зону полной тени: сходящийся конус с угловыми размерами ат и зону полутени: сходящийся конус с угловыми размерами аПТ:

sm а Т = -

Я? — Я

нт

sm а ПТ = -

Я? — Я,

нт

нт

нт

где - радиус Солнца; RНТ - радиус небесного тела (для Земли ДНТ = ДЗ, для Луны ДНТ = ДЛ); гНТ - расстояние от небесного тела до Солнца; гНТ = гЗ - радиус орбиты Земли; гНТ = гЗ ± гЛ, где гЛ - радиус орбиты Луны.

Значения а ТУЗ и а ПТУЗ для тени от Земли и а ТУЛ и а ПТУЛ для тени от Луны приведены в табл. 1.

Угловые размеры зоны тени и полутени из центра небесного тела задаются углами пТ и пПТ, которые зависят от удаления от центра небесного тела гИ (см. рис. 3):

Д

нт

"%т = агат + аПт, пт = агат -

Д

нт

+ аТ.

б

а

ГРАДА

14

Орбита ИСЛ

Солнце

Рис. 3. Образование теневых зон

Таблица 1

Угловые разме ры теневых зон

Небесное тело Земля Луна

КНТ ЯЗ = 6371 км ЯЛ = 0,2726 ЯЗ

г НТ гЗ = 23455 ЯЗ г + г \з 'Л г — г \З Л

а ПТ 0,269° 0,2665° 0,2679°

аТ 0,264° 0,2652° 0,2666°

2. Расчет теневых зон от Луны

Рассмотрим условия прохождения ИСЛ теневых (ТУЛ) и полутеневых (ПТУЛ) зон от Луны для случая круговых орбит.

Угловые размеры теневых зон от Луны ПТУЛ и ППТУЛ рассчитываются по формуле (2) подстановкой RНТ = RЛ, гИ = гИСЛ (табл. 2).

Из сравнения данных по двум типам орбит, представленных в табл. 2, можно сделать заключение, что полутеневая зона не превышает 2,5 % от общей теневой зоны, поэтому

ею можно пренебречь и в расчете ТУЛ использовать цилиндрическую форму тени от Луны, для которой

ПТЛЦ _

а^т-

Ял

'ИСЛ

В этом случае в расчете ТУЛ также исключается влияние изменения расстояния от Луны до Солнца в процессе орбитального движения Луны вокруг Земли ввиду малости параметров а ТУЛ и аПТУЛ.

Таблица 2

Па] раметры прохождения теневых зон Луны

Тип орбиты ИСЛ Тип 1 Тип 2

ГИСЛ, км 3240 6000

Т ч 4,58 11,54

ППТУТ град 32,75 17,13

ПУЛ* град 32,22 16,60

ПТЛЦ град 32,48 16,86

t ч Члц' ^ 0,8244 1,0771

К ТЛЦ 0,180 0,0933

tЛЦ , сУт 65,9 34,2

Этот подход реализован для искусственных спутников Земли при расчете прохождения ими теневых зон от Земли [2; 3].

Угловые зоны участка орбиты ИСЛ (угол уТЛЦ), охватывающие ТУЛ, и длительность ТУЛ (* ) зависят от положения центра ТУЛ относительно плоскости оибиты ИСЛ (угол 5ТЛЦ) (рис. 4) и определяются по формулам:

у тлц

со8

= агссо8-

нтлц

С08 5

ТЛЦ

?тлц = НТЛЦ ' ТИСЛ, НТЛЦ

= утлц = 180

Максимальные значения РеЛц и КТЛц, определяемые по формуле (4) подстановкой

Ц

ТЛЦ

ПТЛц, представлены в табл. 2.

Вследствие годичного движения системы «Земля - Луна» вокруг Солнца значение угла 5ТЛц изменяется по линейному закону (за начало отсчета принят момент прохождения центра тени через плоскость орбиты):

&ГЛЦ =360Т ~ПТЛЦ >

где Тг - тропический год, Тг = 32,25 сут.

График изменения длительности ТУЛ за цикл теневых орбит от Луны представлен на рис. 5, а максимальный интервал времени теневылх орбит от Луны определяется из формулы (5):

, _ ^Птлщ т _ 'Птлц т

' ЛЦ _ - - - - ' Т _----' .

360° 1 180° 1

Циклы теневых орбит от Луны повторяются два раза в год.

Для первого типа орбиты максимальная длительность цикла 65,9 сут при макеималь-ной длительности ТУЛ 0,8244 ч, а для второго типа орбиты максимальная длительность цикла 34,2 сут при максимальной длительности ТУЛ 1,0771 ч.

3. Расчет теневых зон от З емли

Рассмотрим условия прохождения ИСЛ полных теневых (ТУЗ) и полутеневых (ПТУЗ) зон от Земли для случая круговых орбит.

Параметры теневых зон Земли пТУЗ и ППТУЗ опнеделяются по формулам (1) и (2) полста-новкой Rш = RЗ, гИ = гЛ (табл. 3).

Длительность прохождения ИСЛ теневой зоны Земли определяется орбитальным движением Луны:

Л Зона тени

/ 1

Птлц

б тлц

Утл ц

Плоскость орбиты

Рис. 4. Положение зоны теневого участка от Луны относительно плоскости орбиты ИСЛ

ы-

--Г"" / --Г--1

/Г ! 1 Г" 1 1 ^ Ч

/ / \ \

-ь-е—

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5

I, сут

Рис. 5. Изменение длительности ТУЛ в цикле теневых орбит: 1 - первый тип орбиты; 2 - второй тип орбиты

. ППТУЗ

• ТЛ

, _ ЛтУЗ т 'туз _ , „„ ' 1Л>

180 ^ 180 ^ (7) где пТУЗ и ППТУЗ задаются в градусах; ТЛ - синодический период обращения Луны вокруг ЗемЬи, ТЛ = 29,7 сут (708,7 ч).

В табл. 3 также представлены данные по угловым р азм ерам Луны (пЛ) и двум типам орбит ИСЛ (пИСЛ), видимых из центра Земли.

Сравнение представленных данных позволяет сделать следующие выводы для случая совмещения центра ТУЗ, ПТУЗ с центром Луны:

1. Угловые еазмеры ПТУЗ превышают угловые размеры двух типов орбит (полное полутеневое затмение).

2. Угловые размеры ТУЗ превышают угловые размеры первого типа орбиты ИСЛ (полное

15

ГРАДА

Таблица 3

Параметры теневых зон Земли

16

г = г 'и ' Л 56 64

ПТУЗ, град 1,224 1,164

ЬПТ км 7615 8264

ПТУЗ, град 0,691 0,631

ХТ, км 4298 4480

t ч ПТУЗ' 4,46 4,24

t ч ТУЗ' 2,52 2,3

V град 0,279 0,244

ПислР град 0,520 0,455

ПИСЛ2, град 0,964 0,843

теневое затмение) и меньше угловых размеров второго типа орбиты ИСЛ (частичное теневое затмение).

Для расчета длительности прохождения ИСЛ зоны ПТУЗ и ТУЗ используем представление пятна теневой зоны в прямоугольной системе координат XY, связанной с центром пятна зоны (рис. 6):

Плоскость эклиптики

Зона полутени У от Земли

Рис. 6. Геометрические размеры теневых зон

Аггуз _ ГЛ ' ^ППТУЗ, АТУЗ _ ГЛ ' *£ЛтУЗ •

Параметры движения ИСЛ в прямоугольной системе координат рассмотрим для двух предельных положений плоскости орбиты ИСЛ на начальный момент t = 0: в плоскости 1 (плоскость орбиты перпендикулярна плоскости эклиптики и параллельна линии «Солнце - Земля - Луна») и в плоскости 2 (плоскость орбиты перпендикулярна плоскости эклиптики и перпендикулярна линии «Солнце - Земля - Луна») (рис. 7).

Положение центра Луны относительно центра теневой зоны (ПТУЗ, ТУЗ) задается двумя координатами х, у. Движение центра Луны задается равномерным и только вдоль плоскости эклиптики (у = у0). Начало движения отсчитывается от точки соприкосновения орбиты ИСЛ с зоной тени, для которой положение центра Луны равно:

Н1

= у]1} - (.у0 - гИСЛ )2 - для плоскости 1,

Н2

- V

а б

Рис. 7. Взаимное положение теневой зоны от Земли и орбиты ИСЛ: а - плоскость 1; б - плоскость 2

где Ь - радиус зоны тени, равный ЬПТУЗ

или

ТУЗ'

Полный выход из зоны тени характеризуется следующими параметрами положения центра Луны: хК1 = -хН1 (плоскость 1) и хК2 = (плоскость 2). Максимальное значение

-х

Н2

ХПШ ^ ^ИСЛ) , ХПК1 :

- для плоскости 1,

- X,

ПН1

ПН2

= 4

- для плоскости 2

2 2 _

у0 , ХПК 2 = - ХПН 2

?н — Ахн

2пгЛ Т

t — А Л П — П2ПГ

¡и ТТ

Ахн — хн АхК'

^"П — ХПН ^"ПК •

ДуН = 360°

[исл

ДУп = 360°-

исл

жет быть рассчитана на основании временной диаграммы прохождения ИСЛ теневых зон с помощью следующей системы уравнений:

t

7ИСЛ = ¥о - ГИСЛ • ^п(У + Ун X У = 2п

Т

ИСЛ

хН1 достигается при [у0| = гИСЛ, а хН2 при у0 = 0 и равно Ь.

Полное покрытие тенью (полутенью) Земли орбиты ИСЛ осуществляется при следующих условиях:

^ИСЛ ХН ГЛ •'

ИСЛ

\У\,

Длительность прохождения зоны тени (полутени) определяется как отношение интервала движения (Лх) к скорости движения Луны:

За время прохождения зоны ПТУЗ, ТУЗ в процессе орбитального движения ИСЛ переместится по аргументу широты на угол

где у - орбитальный угол ИСЛ (в радианах); уН - начальное значение у(7 = 0); ХН - положение центра Луны на момент касания орбитой ИСЛ теневой зоны (рассчитывается по формуле (9)).

За время пересечения ПТУЗ, ТУЗ ИСЛ вдоль орбиты переместится на угловое расстояние ЛуПТУЗ, ЛуТУЗ (см. табл. 4), которое может размещаться произвольно относительно зоны ТУЛ (с зазорами или наложением). Примеры симметричного расположения зон для орбит ИСЛ, размещенных в плоскости 1, приведены на рис. 8.

Для случая, приведенного на рис. 8, а

Результаты расчета представлены в табл. 4. В общем случае длительность затенения Землей орбиты ИСЛ находится в диапазоне (¿П..Н). Фактическая длительность мо-

КПТУЗ = 0,194.

На орбитах ИСЛ, размещенных в плоскости 2, при появлении ПТУЗ (ТУЗ) теневые зоны от Луны отсутствуют. При этом для первого типа орбиты ИСЛ длительность ТУЗ может быть равна витку (¿НТУЗ > ТИСЛ), а длительность ПТУЗ совместно с ТУЗ охватывает зону чуть меньше двух витков (¿НТУЗ < 2ТИСЛ).

17

Таблица 4

Л

Г,™ км 4260 6000

Ьптyз, км 7650 8264 7650 8264

Положение орбиты Пл. 1 Пл. 2 Пл. 1 Пл. 2 Пл. 1 Пл. 2 Пл. 1 Пл. 2

хН, км 7650 11910 8264 12524 7650 13650 8264 14264

хП, км 6354 3390 7081 4004 4746 1650 5683 2264

^ ч 4,5 7,0 4,9 7,4 4,5 8,05 4,9 8,4

^ ч 3,75 2,0 4,2 2,36 2,8 0,97 3,35 1,33

ЛуН, град 354 550 385 582 140 251 153 262

км 4298 4480 4298 4480

хН, км 4298 8558 4480 8740 4298 10298 4480 10480

хП, км 570 38 1387 220 - - - -

^ ч 2,53 5,05 2,64 5,16 2,53 6,08 2,64 6,2

^ ч 0,33 0,02 0,82 0,13 - - - -

ЛуН, град 199 370 208 406 79 190 82 193

ГРАДА

18

а б

Рис. 8. Теневые зоны на орбите ИСЛ: а - тип 1; б - тип 2

Для второго типа орбит КТУЗ < 0,54, К

0,19, К < 0,73.

<

ПТУЗ —

В заключение данной статьи можно сделать следующие выводы:

1. ИСЛ за один год функционирования проходит через два продолжительных цикла, содержащих теневые участки орбиты от Луны с возможными наложениями на одном-двух витках теневых участков орбиты от Земли.

2. Теневая зона имеет форму сходящего конуса (полная тень) и расходящегося конуса (полутень) с малым углом при вершине. Теневая зона от Луны для ИСЛ может быть представлена цилиндрической формой ввиду малого различия угловых размеров полной тени и полутени на орбите ИСЛ.

3. Полутеневая и теневая зоны от Земли в районе Луны имеют существенные различия по размерам и могут быть представлены в виде двух концентрических окружностей с радиусами, зависящими от расстояния между Землей и Луной: 7650-8264 км и 4298-4480 км соответственно.

4. Для круговых орбит ИСЛ с радиус-вектором меньше радиуса теневой зоны от Земли (тип 1) при появлении теневой зоны от Земли (возможно на двух витках подряд) одновременно с теневыми участками от

Луны виток орбиты ИСЛ может быть затенен полностью, а соседний виток частично.

5. Для круговых орбит ИСЛ с радиус-вектором больше радиуса теневой зоны от Земли (тип 2) при появлении одновременно теневых (полутеневых) зон от Земли (возможно на одном витке) и от Луны суммарное затенение будет частичным (часть витка ИСЛ будет освещена Солнцем).

6. В многоплоскостной орбитальной группировке, содержащей по несколько ИСЛ в одной плоскости, длительности их затенения имеют различия, обусловленные их фазовой расстановкой в плоскости орбиты.

Чтобы учесть эти особенности, необходимо моделирование динамического процесса прохождения всех ИСЛ одновременно через теневые зоны от Земли и Луны.

Библиографические ссылки

1. Астрономический календарь - постоянная часть. Изд. 7. М. : Наука, 1981. 728 с.

2. Чеботарев В. Е., Косенко В. Е. Основы проектирования космических аппаратов информационного обеспечения : учеб. пособие / Сиб. гос. аэрокосм. ун-т. Красноярск, 2011. 488 с.

3. Чернявский Г. М., Бартенев В. А. Орбиты спутников связи. М. : Связь, 1978. 240 с.

Статья поступила в редакцию 09.01.2014 г.