О коммутативности векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 4. С. 21-23.

УДК 512.5 А.В. Кислицин

О КОММУТАТИВНОСТИ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ, ВЛОЖЕННЫХ В АССОЦИАТИВНЫЕ АЛГЕБРЫ*

В работе найдены условия, влекущие коммутативность в векторном пространстве, вложенном в линейную ассоциативную алгебру. В качестве следствия получены условия конечной базируемости тождеств векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры.

Ключевые слова: мультипликативное векторное пространство, тождество векторного пространства, базис тождеств, (бес)конечно базируемое пространство, теоремы коммутативности.

Пусть F - некоторое поле, F[X] - свободная ассоциативная алгебра от множества свободных образующих X. Пусть далее V - векторное пространство над полем F, являющееся подпространством некоторой ассоциативной F-алгебры A. Будем называть пространство V мультипликативным векторным пространством, или векторным пространством, вложенным в алгебру A, а алгебру A - обертывающей для пространства V. Назовем многочлен f = f(x1,x2,... ,хп) Е F[X] тождеством векторного пространства V, если f(v1,v2,.,vn) = 0 в алгебре A при всех v1,v2,... ,vn Е V. Понятие тождества векторного пространства введено в работах [1; 2] по аналогии с понятием слабого тождества ассоциативно-лиевой пары, рассмотренного ранее Ю.П. Размысловым [3].

Совокупность многочленов G = {g1,g2,...} будем называть базисом тождеств пространства V, если все многочлены множества G являются тождествами V, и все тождества пространства V следуют из совокупности G.B случае существования конечного множества G пространство V называют конечно базируемым. (КБ-пространством). В противном случае говорят, что пространство V - бесконечно базируемо, или не конечно базируемо (НКБ-пространство).

Отметим, что понятие следования тождеств в случае мультипликативных векторных пространств имеет несколько иной смысл, нежели в случае линейных алгебр. А именно, под следствиями тождества f = f(x1,x2,... ,хп) линейной алгебры A понимается любой многочлен, полученный из f при помощи умножения справа и слева на элементы F[X], а также подстановок вместо переменных х1,х2,...,хп произвольных элементов F[^]. Если речь идет о тождестве f(x1,x2,... ,хп) мультипликативного векторного пространства V, то для получения следствий из него допускается умножение f на элементы F[X], а также подстановка вместо переменных х1,х2,... ,хп произвольных линейных комбинаций переменных множества X. Многочлен, полученный из тождества f пространства V при помощи замены переменной на произведение переменных, тождеством V, вообще говоря, не является.

Тождества векторных пространств изучались ранее И.М. Исаевым и автором настоящей работы. Построены примеры НКБ-пространств, существенно бесконечно базируемых и сильно бесконечно базируемых векторных пространств [2], описаны некоторые классы КБ-пространств [4], найдены условия, влекущие конечную базируемость тождеств векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры [5]. В частности дока* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 16-11-10002). © Кислицин А.В., 2016

22

А.В. Кислицин

зано, что произвольное векторное пространство V над полем К, вложенное в ассоциативную К-алгебру и удовлетворяющее тождеству коммутативности, имеет конечный базис тождеств [2, теорема 1.6]. В связи с этим результатом представляет интерес поиск условий, влекущих коммутативность в произвольном векторном пространстве, вложенном в ассоциативную алгебру, поскольку фактически такие условия немедленно повлекут конечную базируемость тождеств в таком пространстве. Вопрос о полном описании КБ-пространств (вложенных в ассоциативные алгебры) на данный момент остается открытым.

В работе [6] показано, что каждое из тождеств (ху)п = хпуп, (ху)п = (ух)п, где п >2 - фиксированное целое число, влечет коммутативность в произвольном ассоциативном кольце нулевой характеристики с единицей. В настоящей работе показано, что каждое из указанных тождеств влечет коммутативность векторного пространства, вложенного в ассоциативную алгебру. Векторное пространство будем называть коммутативным, если в нем выполнено тождество коммутативности [х,у] = 0.

Для доказательства этого утверждения нам понадобится следующая вспомогательная лемма.

Лемма. Пусть V - векторное пространство над бесконечным полем Р, вложенное в ассоциативную F-алгебру. Пусть далее / = [(х1,х2, — ,хп) = 0 - тождество пространства V, причем / = А + /2 + —+ /к, где -сумма одночленов имеющих степень I по фиксированной переменной хг. Тогда = 0, /2 = 0, ..., = 0 - также являются тождествами V.

Доказательство этой леммы проводится аналогично доказательству соответствующего утверждения для линейных ассоциативных алгебр [7].

Теорема 1. Пусть F - поле нулевой характеристики, V - векторное пространство над полем F, вложенное в ассоциативную F-алгебру А с единицей, причем единица алгебры А лежит в V. Если пространство V удовлетворяет тождеству (ху)п = хпуп для некоторого целого п >2, то V коммутативно.

Доказательство. Сделав в тождестве (ху)п — хпуп = 0 замену х ^ х + 1 (такая замена допустима, поскольку переменная не заменяется на произведение переменных), получим: (ху + у)п — (х + 1)пуп = 0. Поскольку поле К бесконечно, то, ввиду леммы, однородная компонента первой степени по х будет также являться тождеством пространства V. Подсчитаем эту компоненту: хуп + ухуп-1 + у2хуп-2 + —+ уп-1ху — пхуп = 0.

Теперь сделаем в последнем тождестве замену у^ у + 1. Получим:

х(у + 1)п + (у + 1)х(у + 1)п-1 + + (у + 1)2х(у + 1)п-2 +••• +

+(у + 1)п-1х(у + 1) — пх(у + 1)п = 0.

В полученном тождестве раскроем скобки, приведем подобные и выделим однородную компоненту первой степени по переменной у (по лемме она также будет являться тождеством V):

пху + ух + (п — 1)ху + 2ху + (п — 2)ху + —+ +(п — 1)ух + ху — п2ху = 0.

Подсчитаем коэффициенты при ху и ух:

(п+ (п—1) +-----+ 1 — п2)ху +

+ (1 + 2 + • + (п — 1))ух = 0.

Преобразовав суммы в каждой скобке, получим:

/п(п+1) \ п(п — 1) (-^--п2\ху +---ух = 0.

Упростив коэффициент при ху, будем

иметь:

п

2

-ху

2

ух = 0,

[х,у] = 0.

или, что то же самое, п

2

Поскольку поле К имеет нулевую характеристику, последнее равенство влечет тождество [х,у] =0 в пространстве V.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть F - поле нулевой характеристики, V - векторное пространство над полем Р, вложенное в ассоциативную F-алгебру А с единицей, причем единица алгебры А лежит в V. Если пространство Vудовлетворяет тождеству (ху)п = (ух)п для некоторого целого п >2, то V коммутативно.

Доказательство. Как и при доказательстве предыдущей теоремы, сделаем в тождестве (ху)п — (ух)п = 0 замены х ^ х + 1 и у ^ у + 1,после чего, пользуясь леммой, выделим однородную компоненту первой степени по х и по у. Получим: аху — Ъух = 0, где а,Ь Е F. Полагая теперь х = у = 1, получим, что а = Ь. Тогда в пространстве V выполняется тождество а[х,у] = 0. Поскольку поле К имеет нулевую характеристику, из последнего тождества следует, что [х,у] = 0 для всех х,у Е V.

Теорема доказана.

Как отмечено выше, любое коммутативное векторное пространство является КБ-пространством [2, теорема 1.6]. Из этого замечания, а также из доказанных теорем вытекает справедливость следующего утверждения.

Теорема 3. Пусть F - поле нулевой характеристики, V - векторное пространство над полем F, вложенное в ассоциативную К-алгебру А с единицей, причем единица алгебры А лежит в V. Если пространство V удовлетворяет одному из тождеств (ху)п = хпупили (ху)п = (ух)п для некоторого целого п>2, то V имеет конечный базис тождеств.

В работе [8] рассматриваются обобщения тождеств (ху)п = хпупи (ху)п = (ух)п для произвольного ассоциативного кольца нулевой характеристики, содержащего единицу. А

О коммуникативности векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры

23

именно, доказано, что кольцо с единицей, имеющее нулевую характеристику, в котором выполняется любое из тождеств /(ху) = = д(х)к(у), /(ху) = д(ху) (причем степень хотя бы одного из многочленов /, д, Н больше 1) будет коммутативным. Заметим, что, используя рассуждения, аналогичные доказательству теорем 1 и 2, можно показать коммутативность (а значит, и конечную базируемость тождеств) произвольного мультипликативного векторного пространства, содержащего единицу, над полем нулевой характеристики, удовлетворяющего одному из этих тождеств.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Кислицин А. В. О тождествах пространств линейных преобразований над бесконечным полем // Известия Алтайского государственного университета. 2010. № 1/2(65). С. 37-41.

[2] Исаев И. М., Кислицин А. В. Тождества векторных пространств и примеры конечномерных линейных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств // Алгебра и логика. 2013. Т. 52. № 4. С. 435-460.

[3] Размыслов Ю. П. О конечной базируемости тождеств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики нуль // Сибирский математический журнал. 1973. Т. 12. № 1. С. 83-113.

[4] Исаев И. М., Кислицин А. В. Тождества векторных пространств, вложенных в линейные алгебры // Сибирские электронные математические известия. 2015. Т. 12. С. 328-343.

[5] Кислицин А. В. О конечной базируемости тождеств некоторых классов векторных пространств // Мальцевские чтения : тезисы докладов международной конференции по математике (Новосибирск, 11-15 ноября, 2013 г.). URL: http://www.math.nsc.rU/conference/malmeet/13/ maltsev13.pdf.

[6] Andrzejewski P., Glane B. A note on the commuta-tivity of rings // Demonstratiomathematica. 2006. Vol. 39. № 2. P. 299-303.

[7] Speeht W. Gesetze in Ringen, I // Mathematishe-Zeitschrift. 1950. Vol. 52. № 5. P. 557-589.

[8] Мальцев Ю. Н., Кислицин А. В. О коммутативности ассоциативных колец, удовлетворяющих тождествам // Известия Алтайского государственного университета. 2009. № 1. С. 50-53.