Дискретная многоканальная система массового обслуживания с отказами и групповым поступлением заявок

ДИСКРЕТНАЯ МНОГОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ И ГРУППОВЫМ ПОСТУПЛЕНИЕМ ЗАЯВОК

Рассматриваются многоканальные системы массового обслуживания в дискретном времени. Число заявок в поступающих группах распределено по закону Пуассона.

Первая исследуемая система - многоканальная система без ожидания и геометрическим распределением времени обслуживания заявки. В отличие от классической системы И|И|п|0 для которой вероятность одновременного поступления заявки равна нулю, группа заявок, число которых распределено по закону Пуассона, поступает в рассматриваемую систему в каждый дискретный момент времени. Исследование такой системы массового обслуживания полезно с практической точки зрения, так как результаты могут использоваться при анализе функционирования инфоком-муникационных систем, в частности, систем, в которых доступ к ресурсам осуществляется в режиме разделения времени. Для этой системы обслуживания получена система уравнений для стационарных вероятностей состояний, что позволяет вычислить значение основной характеристики эффективности работы системы - стационарной вероятности потери заявки. Второй исследуемой в настоящей работе системой массового обслуживания является система, являющаяся дискретным аналогом системы М|С|* Доказано, что в исследуемой системе стационарное распределение числа заявок, как и в системе М|С|* имеет распределение Пуассона со средним значением, равным поступающей нагрузке, и, таким образом, это распределение инвариантно относительно распределения времени обслуживания при фиксированным временем. Аналогичная инвариантность доказана также для системы М|в|п|0 в которой при отсутствии свободных приборов теряются заявки с наименьшим остаточным временем обслуживания. Для этой системы также получены формулы для стационарных вероятностей состояний и вероятности потери, причем формулы для стационарных вероятностей получены в результате сравнения процессов функционирования данной системы и второй из рассматриваемых в настоящей работе систем. С практической точки зрения полученная формула для вероятности потери заявки в этой системе интересна тем, что она дает верхнюю оценку вероятности потери заявки с произвольным правилом выбора заявок, которые получают отказ в обслуживании, при отсутствии возможности принять на обслуживание все заявки из-за недостаточного количества свободных приборов.

Информация об авторах:

Таташев Александр Геннадьевич, д.ф.-м.н., профессор кафедры Математической кибернетики и информационных технологий (МКиИТ) Московского Технического Университета Связи и Информатики (МТУСИ), Москва, Россия Ахильгова Мария, студентка магистратуры Московского Технического Университета Связи и Информатики (МТУСИ), Москва, Россия Щебуняев Сергей Александрович, студент магистратуры Московского Технического Университета Связи и Информатики (МТУСИ), Москва, Россия

Для цитирования:

Таташев А.Г., Ахильгова М., Щебуняев С.А. Дискретная многоканальная система массового обслуживания с отказами и групповым поступлением заявок // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2017. Том 11. №7. С. 23-26.

For citation:

Tatashev A.G., Akhilgova M., Shchebunyaev S.A.

Таташев Александр Геннадьевич,

МТУСИ, Москва, Россия, a-tatashev@yandex.ru

Ахильгова Мария,

МТУСИ, Москва, Россия, kotova.marie@yandex.ru

Ключевые слова: многоканальные системы обслуживания, дискретное время, Марковские процессы, стационарные вероятности, вероятность потери.

Щебуняев Сергей Александрович,

МТУСИ, Москва, Россия, sergey.alexandr.24@gmail.com

T-Comm Vol. 1 1. #7-201 7

МАТЕМАТИКА

Введение

В настоящей работе рассматривается многоканальная система массового обслуживания без мест ожидания. В каждый дискретный момент времени в систему поступает число заявок, имеющее распределение Пуассона. Краткий обзор известных результатов по теории систем и сетей массового обслуживания и сведения о практических приложениях этой теории при разработке и анализе инфокоммуникапионных систем приводятся в [11. Одной из областей этих приложений являются системы коллективного пользования, работающие в режиме разделения времени.

Для случая, когда распределение времени имеет геометрическое распределение, получены уравнения для стационарного распределения числа заявок в системе и формула, выражающая вероятность потери заявки через стационарные вероятности состояний системы.

Для случая произвольного распределения времени обслуживания заявки найдена верхняя оценка для вероятности потери заявки. Эта оценка была получена следующим образом. Доказано, что стационарное распределение в соответствующей системе с бесконечным числом приборов распределено по закону Пуассона с параметром равным нагрузке. Заметим, что аналогичный факт имеет место для системы M|G|со [2]. Формулу для вероятности потери в соответствующей многоканальной системе обслуживания с потерей заявок с наименьшей остаточной длиной, получаем, сравнивая поведение этой системы и системы с бесконечным числом приборов. Аналогичным образом в [3] получена формула для вероятности потери заявки в системе M|G|n с потерей заявки с наименьшей остаточной длиной. Ясно, что вероятность потери в исходной системе со случайным выбором теряющихся заявок не превышает вероятность потери в соответствующей системе с потерей заявок с наименьшей остаточной длиной, что и дает искомую верхнюю оценку для вероятности потери.

Некоторые дискретные системы массового обслуживания с различными дисциплинами рассматривались в [4-7J.

1. Многоканальная система с геометрическим

распределением времени обслуживании

Пусть в «-канальную систему массового обслуживания в каждый дискретный момент t = 0,1,2,... поступают заявки, число которых имеет распределение Пуассона с параметром с, а именно, вероятность того, что в фиксированный момент поступает ровно i заявок, равна

Ле~л

Обслуживание заявки длится в течение / единиц времени с вероятностью

Это равносильно тому, что в текущий момент обслуживание заявки заканчивается с вероятностью //. Уход заявок происходит перед поступлением заявок, т.е. заявки уходят в момент ¡-0, а поступают в момент 1+0. Если число поступивших заявок не превышает числа поступивших заявок, то принимаются все заявки. Если число поступивших заявок превышает число свободных приборов, то принимается па обслуживание число заявок, равное числу приборов, а остальные теряются.

Пусть - случайный процесс, представляющий собой число приборов, занятых в момент времени Т. Этот случайный процесс является цепью Маркова, Имеется п+1 состояние 0,1,...,» цепи, образующие единственный непериодический класс сообщающихся существенных состояний. В соответствии с этим существуют стационарные вероятности состояний рассматриваемой пепи Маркова. Обозначим через р, стационарную вероятность состояния /, /=0,1,...,«. Состояние системы регистрируется после поступления заявки.

Стационарные вероятности состояний цепи удовлетворяют системе уравнений

j=0

к=о

_,. /Г-'+Ул (i-j+ky.

е

; t1 k=j-i

(i-j+k)ï !' n-î+k-]

,i = 0,1,...,«,

A=5>,I<>*a-/«)" i- I

M

k=0

s!

5>,= i-

f=i

Обозначим через к среднее число заявок, принимаемое па обслуживание в единицу времени. В соответствии с формулой полной вероятности имеем

^ZaZc^O-^X

i=(

Л'ё

I-о *=0

я-i+k 1 ! „-Л

{

h »i

Так как среднее число заявок, поступающих в единицу времени, равно X, то для стационарной вероятности потери с имеем

Л-И

с--.

Л

2. Система с бесконечным числом приборов

Назовем систему массового обслуживания, рассматривавшейся в разделе 2, системой 8].

В разделах 3 и 4 рассмотрим системы массового обслуживания, исследование которых, помимо самостоятельного интереса дает верхнюю опенку для вероятности потери в системе 5/, а также в аналогичных системах с произвольным распределением времени обслуживания и с произвольным правилом выбора принимаемых па обслуживания заявок.

Назовем системой систему массового, отличающуюся от системы тем, что число приборов бесконечно, а длина (время, требующееся для обслуживания) заявки имеет произвольное распределение, причем с вероятностью Ь1 длина заявки равна г, г=1,2,...

Обозначим через стационарную вероятность того, что в момент сразу после ухода заявок перед поступлением новой группы в системе остается г заявок. Число таких заявок в

момент I представляет сумму ^ Х], где Х}~ число заявок,

поступивших в момент 1-],]-\,2,..., и остающихся в системе в момент Л Случайная величина X) распределена по закону Пуассона с параметром

T-Comm Том 1 1. #7-20 1 7

л,=л|>*. к=]* 1

Таким образом, случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром

М М м

где Ь = ^Ь] представляет собой среднее значе[ше длины

заявки, а р — ЛЬ - поступающая нагрузка. Таким образом,

4,=^— ,1=0,1,2,...

Заметим, что, как видно ю (1), вероятность ц, не зависят от распределения длины заявки при фиксированном среднем значении этого распределения.

Пусть - стационарная вероятность того, что после поступления заявок число заявок в системе равно /, /=0,1,.. Так как стационарное распределение числа заявок перед поступлением заявок, как выше было доказано, является распределением Пуассона с параметром Л=р-?., а число поступающих заявок распределено по закону Пуассона с параметром X, то

о'е~р

Р{—,¿-0,1,2,,,. г!

3. Система с потерей кратчайших заявок

Назовем системой систему массового обслуживания, отличающуюся от системы 5? тем, что в ней, как и в системе 5/ число приборов равно п, но в отличие от системы 5"; теряются не случайно выбранные заявки группы, а те заявки, которые имеют наименьшие остаточные длины (аналогичная система с непрерывным временем рассмотрена в [3]).

Пусть ц' имеет для системы тот же смысл, что и для системы $2.

>!-\

м

где ц. вычисляется по формуле (1).

Для среднего числа й заявок, принимаемых па обслуживание в фиксированный момент времени, имеем

и-1

о.

/-0

/-0

А = р-Л.

МАТЕМАТИКА

Для вероятности потери заявки имеем

Л-h

где h вычисляется по формуле (2).

Вероятность потери в системе S¡ меньше, чем в системе S¡

Таким образом, для вероятности потери заявки в системе S¡ получена верхняя оценка вероятности потери заявки.

Заключение

Рассмотрены системы массового обслуживания с входящим потоком следующего вида. В каждый дискретный момент поступает число заявок, имеющее распределение Пуассона. Для системы с бесконечным числом приборов установлено, что стационарное распределение числа заявок в системе имеет распределение Пуассона с параметром, равным нагрузке. Для /т-канальной системы с потерей заявок с наименьшей остаточной длиной вероятность потери заявки равна вероятности того, что в системе с бесконечным числом приборов находится не менее п заявок. Этот результат дает верхнюю оценку вероятности потери для системы с произвольным правилом выбора заявок, которые должны потеряться, в том числе для системы, в которой все заявки поступившей группы теряются равновероятно. Для последней системы получены также уравнения для стационарного распределения числа заявок в системе и для вероятности потери заявки.

Литература

1. Daduna И. Queuing networks with discrete time scale: explicit expression for the steady state behavior of discrete time stochastic networks. Springer-Verlag - Berlin, Heidelberg, 2001. 143 p.

2. Kelly F.P. Reversibility and Stochastic Networks. Jhon Wiley and Sons, Chichester - New York - Brisbane - Toronto, 1979. 238 p.

3. Tamciutee А.Г. Многоканальная система массового обслуживания с потерями кратчайших требований // Автомат, и телемех., №7, 1991. С. 187-189.

4. Печшкин A.B., Шоргин С.Я. Система Geo|G|l|<¡° с одной нестандартной дисциплиной обслуживания. Информатика и её применения, 2008, т. 2, вып. I, С, 55-62.

5. Касконе А., Манзо Р.. Печинкин A.B., Шоргин С.Я. Система Geo_m[Geo|l|n с дисциплиной LIFO. Автоматика и телемеханика, 2011,Nal. С. 107-120.

6. Печинкин A.B.. Соколов И.А., Шоргин С.Я. Ограничение на суммарный объем заявок в дискретной системе Geo|G|l |со. Информатика и её применения, 2012, т.6, вып. 3. С. 107-113,

7. Печинкин A.B., Разумник Р. В. Система Geo|Geo|l|R с гистерезисной политикой.

T-Comm Vol. 1 1. #7-201 7

MATHEMATICS

DISCRETE MULTI-CHANNEL LOSS SYSTEM WITH BATCH ARRIVAL

Alexander G. Tatashev, Moscow technical university of telecommunications and informatics, Moscow, Russia,

a-tatashev@yandex.ru

Maria Akhilgova, Moscow technical university of telecommunications and informatics, Moscow, Russia,

kotova.marie@yandex.ru

Sergey A. Shchebunyaev, Moscow technical university of telecommunications and informatics, Moscow, Russia,

sergey.alexandr.24@gmail.com

Abstract

The following paper reviews multi-channel queuing systems with discrete time scale. The bathes are distributed in accordance with the Poisson law. The system in the research is a multichannel loss system with geometric services. In contrast to the M|M|n|0 system, the probability of batch arrival is not equal to 0 but a Poisson distributed batch comes to the system at any discrete moment. The study of the system is interesting for applications. Results can be useful for analysis of computer and communications systems. In particular, the results can be useful in analysis of time sharing systems. The system of equations for state probabilities has been obtained. This allows to calculate the loss probability, which is the main characteristic of the system efficacy.

The second system is a discrete counterpart of the system M|G|~. We have proved that number of demands in the system is distributed in accordance with the Poisson law with the expectation equal to the load. Therefore the distribution does not depend on service distribution if the expectation of the distribution is fixed.

The similar invariability has been proved for the system M|G|n|0, such that the shortest demands lose in the absence of vacant servers. Formulas have been found for state probabilities and the loss probability. We obtain these formulas by comparing the behavior of this system and the behavior of the second system. The obtained formula is useful, because it provides the upper estimation of the loss probability in the system with an arbitrary choice of demands such that these demands if the number of vacant servers is not sufficient.

Keywords: multi-channel queuing systems, discrete time, Markov processes, stationary distribution, loss probability. References

1. Daduna H. (2001). Queuing networks with discrete time scale: explicit expression for the steady state behavior of discrete time stochastic networks. Heldelberg: Springer-Verlag.

2. Kelly F.P. (1979). Reversibility and Stochastic Networks, Chichester - New York - Brisbane - Toronto: Jhon Wiley and Sons.

3. Tatashev A.G. (1991). Multichannel queuing system with loss of the shortest requirements. Avtomat. i Telemekh., vol. 7, pp. 187-189.

4. Pechinkin, A.V. & Shorgin, S.Ya. (2008). Geo/G/1/infinity - queue with one "nonstandard" discipline of service. Inform. Primen., vol. 2, no. 1, pp. 55-62.

5. Cascone, A., Manzo, R., Pechinkin, A. V. & Shorgin, S. Ya. (2011). Geo_m/G/l/n system with LIFO discipline without interrupts and constrained total amount of customers. Avtomat. i Telemekh., vol. 1, pp. 107-120.

6. Pechinkin, A.V., Sokolov, I.A. & Shorgin S.Ya. (2012). A restriction on the total volume of demands in the discrete-time system Geo/G/l/infinity. Inform. Primen., vol. 6, no. 3, pp. 107-113.

7. Pechinkin, A.V. & Razumchik, R.V. (2014). Performance characteristics of Geo/Geo/l/R queue with hysteretic load control. Inform. Primen., vol. 8, no. 2, pp. 15-27.

Information about authors:

Alexander G. Tatashev, professor, Moscow technical university of telecommunications and informatics, Moscow, Russia Maria Akhilgova, student, Moscow technical university of telecommunications and informatics, Moscow, Russia