Об извлечении трансвекций в надгруппах нерасщепимого максимального тора

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 1, С. 14-17

УДК 519.46

ОБ ИЗВЛЕЧЕНИИ ТРАНСВЕКЦИЙ В НАДГРУППАХ НЕРАСЩЕПИМОГО МАКСИМАЛЬНОГО ТОРА

Н. А. Джусоева

Анатолию Георгиевичу Кусраеву к его шестидесятилетию

Устанавливается, что TE (ста), где Е(ста) — подгруппа, порожденная всеми трансвекциями из сетевой группы, является группой. Кроме того, доказывается, что эта группа порождается тором и корневыми подгруппами позиции первого столбца элементарной группы Е(ста).

Ключевые слова: надгруппы, промежуточные подгруппы, элементарная группа, нерасщепимый максимальный тор, трансвекция.

1. Введение

Данная работа примыкает к направлению, связанному с описанием подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих тор. Наиболее значительные результаты в этом направлении были получены в работах З. И. Боревича, Н. А. Вавилова и их учеников. Настоящая статья продолжает работы З. И. Боревича и В. А. Койбаева и посвящена исследованию трансвекций в подгруппах полной линейной группы GL(n,k) степени n над полем k, содержащих нерасщепимый максимальный тор, связанный с радикальным расширением k( nd) степени n основного поля k нечетной характеристики.

Мы предполагаем, что рассматриваемые подгруппы содержат одномерное преобразование, а потому в силу [4] все такие подгруппы содержат элементарные трансвекции на всех позициях (для радикального расширения поля k).

Сформулируем основной результат работы. Элементы матриц тора T = T(d) порождают некоторое подкольцо R(d) (см. [3]) поля k. Пусть R — промежуточное подкольцо, R(d) С R С k,d £ R, A — идеал кольца R. Через a a обозначим сеть, у которой на главной диагонали и выше стоит идеал dA, а ниже диагонали — A. Пусть, далее, E(aa) — подгруппа, порожденная всеми (общими) трансвекциями из сетевой группы G(aa).

Теорема. Произведение TE (a a) является группой, причем эта группа порождается тором T и корневыми подгруппами:

TE (a) = (T,tn(A) : 2 < i < n). Более точно, всякая трансвекция из E(a) имеет вид

ct 21 («2 )t31 (аз )  tul (ttn)c-1

для некоторых c £ T, а% £ A.

© 2013 Джусоева Н. А.

В работе приняты следующие обозначения: е — единичная матрица порядка п; еу — матрица, у которой на позиции (г, 3) стоит 1 £ к, а на остальных местах нули; ¿у (£) = е + — элементарная трансвекция £ £ к *, г = 3; трансвекция — это матрица

п

вида (¿у + а»вп), где ^ а»в» = 0 (¿у — символ Кронекера); [ж, у] = жуж-1 у-1 — ком-

¿=1

мутатор элементов ж, у (соответственно [X, К] — коммутант); через (5)у обозначается элемент 5 у матрицы 5 = (в у), стоящий на позиции (г, 3); 5 у — элементы обратной матрицы 5-1 = (вП); с каждым вектором ж = (ж1 ,ж2,..., жп) £ кп \ 0 связана невырожденная матрица С (ж), элементы которой вычисляются по формулам

(С(ж)) =] ж»+1-п' 3 ^г; у \^жп+г+1-п, 3 ^ г + 1.

С каждой матрицей С = С (ж) = (су) связана обратная матрица С-1 = С (у) = (сП), у = (у1,..., уп) £ кп, где у» = ), причем С1» — алгебраическое дополнение элемента с1» матрицы С = С (ж).

В работе рассматривается унитальное подкольцо К0 = К(й) поля к, порожденное элементами , йжгу5,

К0 = К(й) = (ж»уп, йжг у5 : г + 3 ^ п + 1, г + 5 > п +1, ж £ кп \ 0).

На протяжении всей статьи К — промежуточное подкольцо, Ко К к, й £ К.

2. Элементарная сетевая группа

Пусть жп—й — неприводимый многочлен степени п над полем к, й £ к. Тогда е» = 0»-1, 1 ^ г ^ п, образует базис радикального расширения К = к( ), 0 = , поля К = к(0) над к. Мы рассматриваем нерасщепимый максимальный тор Т = Т(й), который является образом мультипликативной группы поля К = к( ) при регулярном вложении в С = С£(п, к). В выбранном базисе тор Т = Т(й) определяется как матричная группа

Т = Т(й) = {С(ж) : ж £ кп \ 0}.

Пусть К — унитальное подкольцо поля к, содержащее кольцо К0 = К(^), й £ К. Пусть, далее, А — идеал кольца К, причем через ста обозначим сеть, у которой на главной диагонали и выше стоит идеал йА, а ниже диагонали — А. Пусть, далее, Е(ста) — подгруппа, порожденная всеми (общими) трансвекциями из сетевой группы С(ста) [1]. Подгруппу Е(ста) мы называем элементарной сетевой подгруппой, соответствующей сети ста.

Лемма 1 [2, предложение 2]. Справедливы следующие два утверждения:

(1) для любых а, в £ кпнайдется ж £ кп\0 такой, что С(ж)а = в;

(2) если а £ кп —произвольная строка (столбец), то для любого г, 1 ^ г ^ п, найдется ж £ кп такой, что г-я строка (столбец) матрицы С (ж) совпадает с а.

Лемма 2 [3, теорема 2.7.7]. Тор Т нормализует группы С(ст) и Е(ст). Следовательно, ТС(ст) и ТЕ(ст) — промежуточные подгруппы, содержащие тор Т.

Лемма 3 [4, лемма 3]. Пусть Ь = (¿у + а»вп) — трансвекция из ТС(ст). Тогда а»вп £

стп •

< Доказательство теоремы. Пусть Ь = (¿у + ау ву) — трансвекция из ТЕ (ст). Согласно лемме 3 имеем Ь £ Е(ст). Далее, согласно лемме 1 для некоторой матрицы с £ Т

16

Джусоева Н. А.

матрица с-16с отличается от единичной только первым столбцом, с другой стороны по лемме 2 с-16с £ С(а). Следовательно, матрица с-16с £ С(а) (а потому и матрица 6) принадлежит правой части доказываемого равенства. >

3. Сеть, ассоциированная с промежуточной подгруппой

С промежуточной подгруппой Н, Т ^ Н ^ С, содержащей трансвекцию, связаны модули трансвекций

Лц = Лц (Н) = {а £ к : ^ (а) £ Н, г = ^}

и их кольца множителей

Яи = Яц (Н) = (Ли) = {А £ к : АЛ^- С }•

Очевидно, что являются подгруппами аддитивной группы к + поля к (Я^и-модули). Положим Лг = Лг1, 2 ^ г ^ п. Тогда [3, лемма 2.7.1] справедлива формула

_ | Лг+1-и, ^ <

Лгд =

, ^ ^ г + 1.

Будем предполагать, далее, что все кольца Яи совпадают между собой и равны кольцу Я, Лг — целые идеалы кольца Я, Й £ Я, Я 5 Я0. Будем предполагать также, что

Л = Л 2 = Лз = • • • = Л„.

Положим Л1 = ЙЛ и рассмотрим сеть а = (ста) = ст(Л1, Л2, называем сетью ассоциированной с подгруппой Н. Из теоремы вытекает следующее утверждение.

Предложение 1. Группа ТЕ (ста ) содержится в группе Н. Рассмотрим матрицу

/ 1 0 0 ••• 0 \

А2 Аз

\ Ап

1 0

0 1

00

0

0 1

Лп), которую мы

а

Предложение 2 [4, лемма 4]. Если матрица а содержится в группе Н, то А г Л2 с Л^+1 для всех г, 2 ^ г ^ п — 1, и йАпЛп с Лп-1.

Лемма 4. Если матрица а содержится в группе Н, то Аг £ Я для всех г, 2 ^ г ^ п — 1, и йАп £ Я. Далее, если Л = Я, то Аг £ Я для всех г, 2 ^ г ^ п.

< Если п = 2, то А2 £ Л £ Я. Если же п ^ 3, то из предложения 2 следует, что Аг £ Я для всех г, 2 ^ г ^ п — 1. Далее, йАпЛ с Л, откуда йАп £ Я. Если при этом Л = Я, то по доказанному ¿л(Аг) £ Н для 2 ^ г ^ п — 1. Умножая матрицу а на ¿¿1 (—Аг), мы получим матрицу ¿п1 (Ап) £ Н, откуда Ап £ Я. >

Литература

1. Боревич З. И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап. науч. семин. ПОМИ РАН.—1976.—Т. 64.-С. 12-29.

2. Койбаев В. А. Трансвекции в подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор // Алгебра и анализ.—2009.—Т. 21, № 5.—С. 70-86.

3. Койбаев В. А. Подгруппы группы ОЬ(2, к), содержащие нерасщепимый тор.—Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А, 2009.—183 с.—(Итоги науки. ЮФО. Сер. мат. моногр.).

4. Койбаев В. А., Шилов А. В. О подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор // Зап. науч. семин. ПОМИ РАН.—2010.—Т. 375.—С. 130-139.

Статья поступила 9 апреля 2012 г.

ДжУСОЕВА НоННА АНАТОЛЬЕВНА Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, ассистент кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: djusoevanonna@rambler.ru

ON EXTRACTION OF TRANSVECTIONS IN OVERGROUPS OF A NON-SPLIT MAXIMAL TORUS

Dzhusoeva N. A.

Let E(ja) be a subgroup generated by all transvections of the net group G(ja). Then TE(ja) is also a group generated by the torus and the root subgroup items in the first column of the elementary group E(ja ).

Key words: overgroups, intermediate subgroups, elementary group, non-split maximal torus, trans-vection.