Об обтекании дужки при больших числах Рейнольдса с образованием локальных зон отрыва

Том XXXVII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 06

№ 1 — 2

УДК 532.526.5

ОБ ОБТЕКАНИИ ДУЖКИ ПРИ БОЛЬШИХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА С ОБРАЗОВАНИЕМ ЛОКАЛЬНЫХ ЗОН ОТРЫВА

Вик. В. СЫЧЕВ

Методом сращиваемых асимптотических разложений применительно к системе уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса исследовано плоское течение несжимаемой жидкости около дужки с малой стрелкой прогиба, установленной под нулевым углом атаки к однородному набегающему потоку. Рассмотрен режим, когда вблизи передней кромки возникает зона отрыва малых размеров. Описан процесс перехода к полностью безотрывному обтеканию. Для параметра длины зоны отрыва, коэффициентов подъемной силы и сопротивления получены зависимости от величины стрелки прогиба дужки и числа Рейнольдса.

В работе [1] было рассмотрено плоское течение около дужки с малой стрелкой прогиба, установленной под нулевым углом атаки к однородному набегающему потоку несжимаемой жидкости при больших значениях числа Рейнольдса (Яе ^да). Были изучены два следующих

режима обтекания: по схеме Кирхгофа — с расширяющейся вниз по потоку (в масштабах тела) областью медленного возвратного течения и по схеме Чаплыгина, согласно которой эта область имеет продольный размер порядка длины хорды дужки. Данная работа посвящена рассмотрению еще одного режима обтекания, когда зона отрыва вблизи передней кромки мала, а вблизи задней

— локализована в пограничном слое. Таким образом продолжено исследование отрывных течений около тонких тел при Яе ^ да на основе асимптотического анализа системы уравнений Навье — Стокса, начатое в [2] и получившее развитие в [3, 4]. (О других работах в этом направлении

см. библиографию в [5].) Эти исследования в свою очередь основываются на результатах асимптотической теории [6 — 8] отрывного обтекания тел с конечной относительной толщиной и

1. Рассмотрим плоское течение вязкой несжимаемой жидкости около дужки, помещенной

в однородный набегающий поток под нулевым углом атаки к хорде, имеющей длину /*. Пусть ида, Рда — скорость и давление в набегающем потоке; р — плотность жидкости; V —

коэффициент кинематической вязкости; I*х, I*у — оси прямоугольной системы координат с началом в передней кромке и осью Ох, направленной вдоль хорды (рис. 1); идаи, идау —

V

Рис. 1. Схема обтекания дужки с зоной отрыва вблизи передней кромки

* 2 соответствующие проекции вектора скорости; ида1 у — функция тока; рда + рида р — давление;

Яе = ида1 * /V — число Рейнольдса. Все величины с размерностью силы обезразмериваются путем их отнесения

к ридаI*/2.

Форму обтекаемой дужки представим в виде

у = Уw = ¥0

Здесь Н — положительная постоянная и к — малый параметр: к = к(Яе) ^0 при Яе ^да. Таким образом, к^/4 — стрелка прогиба дужки.

В работе [2] впервые было установлено, что для гладких тел переход от обтекания по схеме Кирхгофа к обтеканию по схеме Чаплыгина происходит при значениях относительной толщины

тела порядка Яе-116, что связано с характером течения в окрестности точки отрыва пограничного слоя [7]. Поэтому и для дужки это имеет место, когда

к = г1/2, г = Яе-1/8, Н0 =Я0* = 0.0871

и коэффициент сопротивления в главном приближении обращается в нуль.

Вместе с тем, согласно [10], зарождение отрыва вблизи задней острой кромки также

1/2

начинается при значениях величины стрелки прогиба дужки порядка г' (см. [9], гл. 3). Поэтому 1/2

при к = г ' возможна схема обтекания дужки, когда с передней кромки происходит срыв потока с образованием области медленного возвратного течения (см. рис. 1), а вблизи задней кромки зона отрыва на верхней стороне если и появляется, то находится внутри пограничного слоя.

Обозначим через I продольную координату точки смыкания зоны отрыва на нижней стороне вблизи передней кромки дужки (см. рис. 1). Будем полагать пока, что I = О(1) при Яе ^да,

а движение в этой зоне в соответствии с [6] является медленным и обусловлено эжектирующим действием слоя смешения, который развивается вдоль свободной линии тока 01. Поскольку

112

к = г' ^ 0 (см. (1.1), (1.2)), то течение в целом в масштабах тела при Яе ^да описывается на основе теории малых возмущений (см. [11, 12]):

(и -1, ^ p, у3, Су ) = г1/2 (и, V, Р, , С°у ) + о (г12 );

^1.3)

Р = -и, и -IV = ю(г), г = х + 1у.

Здесь у3 (х) определяет форму свободной линии тока, су — коэффициент подъемной силы и ю(г) — аналитическая функция комплексного переменного. Согласно сказанному, решение должно удовлетворять следующим краевым условиям:

у = +0, й < х < 1 0, у = - 1: /Ьпх < ю; =-/0'

у = -0, 0 < х <1: Яеа1 ю = -р00.

Первое из них обеспечивает непротекание на всей верхней и части нижней сторон дужки.

Второе — определяет постоянство скорости на свободной линии тока 01, форма которой, как

12

и значение постоянной р00, заранее неизвестна. В результате преобразования ^ = (г/(1 - г)) (см. [13]) из (1.4) приходим к смешанной задаче в верхней полуплоскости:

.....................\1/2

= цс), С = (г/(1 - г)) , С = ^+т;

П = +0, £<-*, ^> 0: 1т 0 = -Ф0 (£); П = +0, - Ь <^< 0: Яеа1О = -р00;

Ф 0 = Л' = Н 0

< 1—_2 ^ 1 + ^2

ь =

1 -1

1/2

Общее решение этой задачи, с особенностью на задней кромке (г = 1, ^ = да) не более сильной, чем О = 0 (^), имеет вид [14]

0 = -

г-С

Г

г-С

а^2_+щ+с_ С

р00,

Ф0

/

где А, В, С — произвольные действительные постоянные. Производя с учетом (1.5) интегрирование в (1.6), получаем:

о=(1н|2) (9(й0+й1?)-( I1 -?2))+а^£1С - р0°;

Ч = (ь2 +1)/ , й0 =^0 +А,1, й =^0-А,1, .0 =(9 + *)12, ^1 =(9-*)1/2.

а^2 +б^+с

Таким образом, полученное решение содержит пять произвольных постоянных: А, Б, С, Р00, I. Обратимся к изучению возможности их определения.

Как известно [15, 16], при обтекании пластины, установленной под нулевым углом атаки, вблизи задней кромки лежит область взаимодействия течения в пограничном слое с внешним потенциальным потоком. Влияние локального угла атаки (как в рассматриваемом случае), приводящее уже в главном приближении к несимметрии течения и даже появлению отрыва в

112

этой области, согласно [10], проявляется при его значениях порядка г' . Условие Чаплыгина — Жуковского, которому соответствует А = 0 в

А = г3 А +о (г3 ), А =-2а05/4 Н0 У0 (а), а = 2 Н0 а0

9/8

Здесь а00 = 0.3321 — величина поверхностного трения при х ^ 1 - 0 (отнесенного к

рм2 ЯсГ1 2), которая дается автомодельным решением Блазиуса для уравнения пограничного слоя, который развивается на верхней стороне дужки. Функция у 0 (а),

определяющая характер отклонения от условия Чаплыгина — Жуковского, находится в результате численного решения задачи для области взаимодействия [17, 18], (см. также [9], гл. 3). График этой функции, заимствованный из [18], представлен на рис. 2. В этой работе

впервые были установлены неединственность решения и существование максимального значения параметра а = ак = 0.497, ограничивающего область

рис. 2. График фуншии у0

значению ак соответствует (см. (1.8)) Н0)к= Н = 0.072. Заметим также, что при а >0.47 или Н0 > 0.068 в тонком вязком подслое области взаимодействия имеется зона возвратных токов [18] и если двигаться по верхней ветви кривой у0 (а), то с уменьшением а размер этой зоны увеличивается. Минимальное значение а, до которого при этом удалось получить решение в [18], равно 0.492 (Н0 = 0.071).

Еще одно соотношение для неизвестных постоянных следует из условия в точке смыкания зоны отрыва (^ = -Ь). Свободная линия тока 01 должна приходить (главное приближение) на тело по касательной. Таким образом, из (1.7) (с учетом того, что в пределе в (1.8) А = 0) следует, что

- БЬ + С = 0.

Наконец в окрестности бесконечно удаленной точки

0

(см. [19]), где входящие сюда постоянные выражаются через постоянные из (1.7).

Р0 =Р1 =Р0 = 0.

Однако оказалось, что система соотношений (1.9), (1.11) вместе с условием А = 0 не имеет решения за исключением тривиального с Н0) = 0. Таким образом, единственным выходом из этой

ситуации может служить отказ от исходного предположения: / = О (1) при Яе — да. Покажем, что действительно длина зоны отрыва мала.

2. Итак, пусть / = а2^, где а = а(Яе) —0 при Яе — да и /0 — положительная постоянная. Во избежание противоречий, подобных описанным выше, необходимо также, чтобы в точке смыкания зоны отрыва (^ = -*) форма свободной линии тока уже в главном приближении имела

параболическое затупление.

Решения подобных задач в рамках идеальной жидкости (см. [11, 12, 19]) содержит произвольную постоянную (например р00). Замыкающее соотношение, согласно [8], может быть получено из условия баланса сил, действующих на жидкость, ограниченную свободной линией тока О/ и поверхностью тела у = у№ - 0, 0 < х < / (см. рис. 1). Такими силами (в проекции на ось Ох) являются [8]: интеграл сил трения (Т) вдоль разделительной линии тока внутри автомодельного слоя смешения, который развивается вдоль О/, и сосредоточенная сила (-Я), действующая

в точке смыкания (или присоединения) (см. [11, 19]). Соответствующие выражения имеют вид

Т - Я = 0, Т = Яе-1/24 /"

г-/1—>0

Здесь /"(0) — постоянная, определяющая величину трения на разделительной линии тока

в слое смешения (см., например, [9], гл. 6), а выражение для Я выписано с учетом исходного разложения (1.3).

Заметим, что концепция работ [6, 8], приводящая в частности к соотношениям вида (2.1), была использована А. Яо8Ько (1995) (см. [20]) при исследовании сверхзвуковых отрывных течений.

Вспоминая теперь, что I = с /0, осуществим в решении (1.7), (1.5), (1.8), (2.1) при соблюдении условий (1.11) в (1.10) предельный переход: ^ = О(1), с —о. В результате получаем:

О = Оо (С) + сЦ (С) + О (с2 ), С = 83 = Яе-3/8, I = с2/0,

В = Во + О

В = 2Г"(о)/п, ^ = Ао2, ^о =^^^2) (2С_/(1 "^2)) ’ Ц = Ао + ^

Из этого решения на основании (1.10) получаем также выражение для коэффициента подъемной силы (см. 1.3), (1.8)):

Су =812со

Итак, в главном приближении в (2.2) в масштабах тела имеет место безотрывное обтекание дужки с выполнением условия Чаплыгина — Жуковского на обеих кромках. (В силу симметрии формы дужки (1.1) относительно сечения х = 12.) Следующее приближение соответствует

отклонению от этого условия на задней кромке [10] и при этом функция ^ (^) в (2.2) имеет особенность на передней кромке (г = о, ^ = о). Для ее устранения необходимо рассмотреть малую область в окрестности точки г = о с размерами порядка длины зоны отрыва I = О (с2 ). В этой области асимптотическое разложение для О(^) из (2.2) теряет свою равномерную пригодность. Введем внутреннюю переменную г = с-2г и осуществим в (1.7), (1.5) с учетом выражений (1.8), (2.2) предельный переход: г = О(1), I = с2/о — о. В результате находим решение в этой области:

г = с2 г,

С = сС, С = ^г, г = х+/у, ю = ^о (с) +о (с), ^о =о (г),

ВоС + Со

Оо = Во Н о

При ^ —^ и ^ ——о асимптотические разложения (2.4) и (2.2) удовлетворяют условиям сращивания. Из (2.4) (с учетом (1.3)) при ^ = —ч/Х (нижняя сторона поверхности дужки) путем отделения мнимой части в Оо (С) находится форма свободной линии тока:

у =813/27,

о (4~Х —4~Х ))1

И тогда при подходе к точке присоединения , = Х — 1о — -о:

¥, — = 2 N (—, )12 + О ((—, )3/2);

N = с^о, N =72 (В^^^о — Со ) = ^2А, = Но1о + О (, ).

3о

Вдоль свободной линии тока развивается [6] автомодельный слой смешения [21 — 23] и здесь , = О (86 ), п = О (87 ), у = О (87 ), где ,, п — ортогональные криволинейные координаты,

связанные с этой линией. Своим эжектирующим действием слой смешения вызывает медленное возвратное течение в зоне отрыва. Согласно [6] в этой зоне у = О (87 ), х = О (86 ), у = О (8132 ),

(см. (2.5)). Поэтому и = О (812), переменная часть давления О (8) и течение здесь описывается

уравнениями идеальной жидкости для тонкого слоя [6], (см. также [9], гл. 6).

При г — о решение (2.4), (2.5) ведет себя особым образом:

йо = Со1—1/4 г-1/4 + О

при Х — +о. (Заметим, что согласно (2.2) Со/—14 = —3В12 и не зависит от Н0) Поэтому асимптотическое разложение (1.3) становится несправедливым при г = О(82) или г = О(88).

Изменения скорости и давления здесь, т. е. при х = О(Яе—1), у = О(Яе—1), суть величины

порядка единицы и течение описывается решением системы полных уравнений Навье — Стокса с локальным числом Рейнольдса равным единице. Таким образом приходим к краевой задаче,

сформулированной в [5] (с. 91) с $о = Со/о 14 (см. (2.7)), но с той разницей, что в данном случае зона отрыва лежит на нижней стороне тела, а не на верхней.

Рассмотрим течение при малых значениях параметра Но из

/ = с2/о, /о = то Но4, то =

(о_2 ^2

2пУ 0

V

/"

с2 = Яе—3/4.

Если теперь Но мало, то при Но = О (Яе 116 ) длина / = О (Яе 1). (Это получено с учетом того, что согласно [10] Уо (о) принимает конечное значение, (см. также [17] и [9], гл. 3).) Из (2.5) и выражений для постоянных (2.2), (1.8) нетрудно установить, что при Но) = О (Яе—116 ) размеры

области возвратного течения становятся порядка Яе 1, а изменения скорости и давления здесь О (1). Это означает, что при х = О (Яе—1), у = О (Яе—1) течение описывается решением системы

полных уравнений Навье — Стокса с локальным числом Рейнольдса равным единице при краевых условиях, аналогичных приведенным в [5] (с. 101).

Таким образом, если величина стрелки прогиба (см. (1.1)) кНо = О (Яе—^8 ), то возвратное

течение локализовано в указанной области с размерами порядка Яе 1 и происходит переход к полностью безотрывному обтеканию дужки.

В заключение приведем выражение для коэффициента сопротивления. Как известно [11, 13, 19], при обтекании тел в рамках идеальной жидкости по схеме Тулина [11] величина сопротивления равна величине сосредоточенной силы, действующей в точке смыкания застойной зоны. Поэтому, используя выражения (2.1), (2.6). (1.8), находим:

сх = Яе—1/22с^ + Яе—7/8 (с,* + с;) + о (Яе—7/8 ), са = 1.328, ~са = ^Н2, ко = 8па—5'2 у°.

Здесь са определяется решением Блазиуса для пограничных слоев на верхней и нижней сторонах тела, с* — из полученного решения по схеме Тулина и коэффициент с;

Таким образом, течение в области с размерами порядка длины зоны отрыва / = О

во многом подобно течению вблизи передней кромки плоской пластины с / — о

3. Результаты данной работы и [1] дают полное представление о возможных режимах обтекания дужки, имеющей форму (1.1). Проследим за изменениями длины зоны отрыва / в

зависимости от параметра Но из (1.1) при к = Яе—116. Согласно [1] при Но > Но в масштабах тела имеет место течение по схеме Кирхгофа (/ = да), а при Но < Н; (см. (1.2)) — по схеме Чаплыгина. Поэтому / — да при Но — Н; — о. Это схематически изображено на рис. 3, кривая 1. (График этой кривой дан в [1].) Когда Но достигает некоторого значения Но = Н, <Н;, (точка А, рис. 3), то при значениях Но, близких к Н,, течение в одной из областей внутри зоны возвратных токов (см. [1]) описывается на основе теории кромочного отрыва (см. [9], гл. 4), так что при Но < Н, решение не существует и дальнейшее уменьшение Но становится невозможным. Это означает, что, как и в [2, 24], должен происходить скачкообразный нестационарный переход к течению

с другой структурой. В данном случае последняя описывается решением (2.2), (2.4) с / = Яе—^4 /0 (см. (2.8)) — кривая 2, т. е. на рис. 3 это переход из точки А в В. По мере дальнейшего уменьшения Но приходим, начиная с Но = О (Яе—116), к полностью безотрывному течению.

Если наоборот двигаться от значения параметра Но = о в сторону его увеличения (кривая 2), то согласно [18] решение существует до значения Нок= Н . Дальнейшее увеличение Но) невозможно и, следовательно, вновь происходит скачкообразный нестационарный переход [2, 24] к течению с / > 1 из [1] — переход из С в В (рис. 3). Представленная зависимость / от Но дает объяснение хорошо известному явлению гистерезиса при обтекании несущих тел.

A D

~Ч

С

О Я, Як

Рис. 3. Схематическое изображение зависимости длины зоны отрыва l от параметра Н0

Проведенный анализ показал также, что именно отклонение от выполнения условия Чаплыгина — Жуковского вблизи задней кромки (установленное в [10] (см. (1.8), (2.3)) и определяемое взаимодействием течения в вязких подслоях с внешним потенциальным потоком [10, 15, 16]) приводит к появлению на конечном расстоянии от нее (вблизи передней кромки) локальной зоны отрыва.

В заключение заметим, что других решений, соответствующих обтеканию под нулевым углом атаки дужки вида (1.1), которые не содержали бы произвольных постоянных, как это имеет место в подобных задачах (см. [4]), обнаружить не удалось.

Работа выполнена при Государственной поддержке ведущих научных школ (номер гранта НШ-2001.2003.1) и поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта

1. Сычев Вик. В. Об отрывном обтекании дужки при больших числах Рейнольдса // Ученые записки ЦАГИ. — 2004. Т. XXXV, № 3 — 4.

2. Cheng H. K., Smith F. T. The influence of airfoil thickness and Reynolds number on separation // Z. angew. Math. Phys. — 1982. Vol. 33, N 2.

3. Храбр о в А. Н. Неединственность ламинарного отрывного обтекания профиля под углом атаки в схеме Кирхгофа // Ученые записки ЦАГИ. — 1985. Т. XVI, № 5.

4. Lee C. J., Cheng H. K. An airfoil theory of bifurcating laminar separation from thin obstacles // J. Fluid Mech. — 1990. Vol. 216.

5. Сычев Вик. В. О течении при больших числах Рейнольдса около пластины, установленной под малым углом атаки // Изв. РАН, МЖГ. — 2001, № 2.

6. Сычев В. В. Об установившемся ламинарном течении жидкости за тупым телом при большом числе Рейнольдса // Доклад на 8-м Симпозиуме по современным проблемам механики жидкостей и газов. — Тарда, Польша. — 1967.

7. Сычев В. В. О ламинарном отрыве // Изв. АН СССР, МЖГ. — 1972, № 3.

8. Сычев В. В. Асимптотическая теория отрывных течений // Изв. АН СССР, МЖГ. — 1982, № 2.

9. Sychev V. V., Rub an A. I., Syс hev Vic. V., Korolev G. L. Asymptotic theory of separated flows. — Cambridge: Cambridge University Press. — 1998.

10. Brown S. N., Stewartson K. Trailing — edge stall // J. Fluid Mech. — 1970. Vol. 42, pt. 3.

11. Tulin M. P. Supercavitating flows — small perturbation theory // J. Ship Res.— 1964. Vol. 7, N 3.

12. Г уревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. — М.: Наука. — 1979.

13. Geurst J. A. Linearized theory for partially cavitated hydrofoils // Int. Shipbuilding Progr. — 1959. Vol. 6, N 60.

04-01-007бЗ).

ЛИТЕРАТУРА

14. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука. — 1968.

15. Stewartson K. On the flow near the trailing edge of a flat plate II // Mathematika. — 1969. Vol. 16, N 31, pt. 1.

16. M e s s i t e r A. F. Boundary — layer flow near the trailing edge of a flat plate // SIAM J. Appl. Math. — 1970. Vol. 18, N 1.

17. Chow R., Melnik R. E. Numerical solutions of the triple — deck equations for laminar trailing — edge stall // Lecture Notes in Phys. — 1976. Vol. 59.

18. Королев Г. Л. К теории отрывного обтекания задней кромки тонкого профиля // Изв. АН СССР, МЖГ. — 1989, № 4.

19. W u T. Y. Cavity and wake flows // Ann. Rev. Fluid Mech. — 1972. Vol. 4.

20. Davis J.-P., Sturtevant B. Separation length in high-enthalpy shock/boundary-layer interaction // Phys. Fluids. — 2000. Vol. 12, N 10.

21. Keulegan G. H. Laminar flow at the interface of two liquids // J. Res. nat. Bur. Stand. — 1944. Vol. 32, N 6.

22. Lock R. C. The velocity distribution in the laminar boundary layer between parallel streams // Quart. J. Mech. Appl. Math. — 1951. Vol. 4, pt. 1.

23. Диесперов В. Н. О течении в слое смешения Чепмена // ДАН СССР. — 1985. Т. 284, № 2.

24. Rothmay er A. P., Smith F. T. Large — scale separation and hysteresis in cascades // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. — 1985. Vol. 402, N 1822.

Рукопись поступила 24/I2005 г.