Физика и социофизика. Ч. 2. Сети социальных взаимодействий. Эконофизика

бзоры

УДК 53.03;303.09;550.2;538.93

ФИЗИКА И СОЦИПФИЗИКА1 Ч. 2. Сети социальный взаимодействии.

Эконофизика

Ю.Л. Словохотов

Рассмотрены зарубежные и российские работы, относящиеся к социофизике (новому разделу физики, изучающему процессы в обществе) и к смежным областям численного и имитационного моделирования разнообразных социальных явлений. В первой части были кратко рассмотрены влияние климата и солнечной активности на исторические процессы и динамика систем «живых» частиц, включая автомобильное и пешеходное движение. В настоящей части обсуждаются сети социальных взаимодействий (структурная основа всех общественных систем), а также физические подходы к описанию процессов в экономике: эконофизика. В третьей, заключительной части обзора, будут представлены некоторые формальные модели социологии, политологии, лингвистики и математической истории.

Ключевые слова: междисциплинарные физические исследования, моделирование социальных систем, социофизика.

ВВЕДЕНИЕ

Общей тенденцией развития наук в ХХ в., перешедшей и в новое столетие, является постепенное проникновение идей и методов физики как в естественные, так и в традиционно гуманитарные дисциплины. Начиная с 1970-х гг., методы математического, а затем и физического моделирования все шире используются в таких науках как демография, социология, лингвистика, а экономика начала пользоваться математическим аппаратом значительно раньше. Помимо академических задач, эти же методы активно применяются в прикладных областях планирования и управления. В последние десятилетия физические и квазифизические аргументы проникают в историю и политологию. Во всех перечисленных дисциплинах усиливается стремление к объективному и, желательно, количественному описанию разнообразных социальных и экономических явлений.

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00887-а).

С середины 1990-х гг. работы физиков, вначале посвященные анализу динамики биржи, а затем и более широкому кругу явлений в экономике, объединяются под общим названием эконофизика. Разработка количественных моделей в социологии, политологии, теории транспортных потоков и других направлениях исследования человеческого общества также постепенно перемещает соответствующие задачи из гуманитарных и инженерных наук в междисциплинарные приложения математики и физики. В литературе последних лет за всеми такими направлениями закрепляется термин социофизика, или «физика общества». Главная задача этой новой области естествознания заключается в поиске объективно измеряемых и формализуемых закономерностей, которыми определяются различные социальные процессы.

Настоящий обзор посвящен состоянию и перспективам физических исследований общества, представленных в текущей литературе. В его первой части [1] были кратко рассмотрены проявления общефизических принципов, порождающих «законы природы», в динамике социальных систем — прежде всего диссипативный и мультиаген-тный характер таких систем, позволяющий приме-

нять к ним формализм статистической физики. Обсуждались такие направления исследований, как влияние солнечной активности на процессы в человеческом обществе, расчетное моделирование систем самодвижущихся «живых частиц» (автомобильное и пешеходное движение, стаи птиц и рыб, группы мобильных аппаратов) и некоторые прикладные аспекты «управления толпой». В настоящей части обзора рассматриваются работы по сетевым структурам социальных систем и процессам в таких сетях, а также по физической интерпретации процессов в экономике. Агентные модели социологии и политологии (в том числе заимствованные из физики) будут представлены в последней, третьей части. Там же будут кратко перечислены некоторые результаты, полученные в других сильно формализованных «общественных» дисциплинах: математической и компьютерной лингвистике, демографии, математических моделях истории.

Во всех частях обзора используется единая сквозная нумерация разделов (поэтому 2-я часть начинается с § 3). Однако список литературы, формулы и рисунки в каждой части пронумерованы отдельно: в них непосредственно включены «перекрестные» ссылки на работы, уже процитированные в ранее вышедших частях.

Социальной системой будем называть совокупность большого числа (И. 1) взаимодействующих агентов, подверженных также воздействиям некоторой внешней среды. Разным типам взаимодействия «живых частиц» с внешней средой и друг с другом отвечают различные типы социальных систем: экономических, политических, транспортных и др. Подобно многим общественным дисциплинам, социофизика анализирует измеряемые параметры социальных систем, но применяет для этого методы, перенесенные из статистической физики и физики стохастических процессов в сложных «неживых» системах. Однако социальные системы, строго говоря, не относятся к тем макроскопическим совокупностям термодинамически

20 25

большого числа частиц (И ~ 10 -1025), которые составляют главную область приложений статистической физики в неживой природе. Их аналогами скорее являются мезоскопические (N ~ 104—1010) и даже микроскопические системы (от десятков и сотен до 1—2 тыс. частиц), имеющие целый ряд качественных отличий [2]. Применимость к подобным системам таких «предельных» (И— да) физических понятий, как фазовые состояния и фазовые переходы, энтропия, температура и т. д., не всегда очевидна, но в литературе по «физике общества» используется именно эта терминология. Несколько более подробно данный вопрос был за-

тронут в первой части обзора, где, с приведенными оговорками, обсуждались «фазовые состояния» транспортного потока или совокупности участников массовых мероприятий с верхней оценкой численности N ~ 104. В социофизической литературе среднюю интенсивность стохастических возмущений часто называют температурой, аналитическую форму для стратегий агентов выражают энергоподобным потенциалом взаимодействия, а медленные изменения внешних условий, сопровождаемые более быстрой релаксацией социальной системы, относят к адиабатическим процессам [1].

3. ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ С0ЦИ0ФИЗИКИ

3.2. Сети социальных взаимодействий2

Микроструктуру социальных систем отражают сети: конечные и бесконечные графы, вершины которых соответствуют агентам, а ребра — взаимодействиям между агентами. Далее мы будем называть такую конструкцию сетью социальных взаимодействий (ССВ). В большинстве социальных систем взаимодействия положительны, т. е. выгодны связанным агентам, и могут условно рассматриваться как аналоги химических связей с определенными величинами «энергии диссоциации» (проигрыша агентов или всей системы от разрыва взаимодействия). Примерами конечных фрагментов сети («социальных молекул») служат группы в толпе пешеходов [3], а также «графы коммуникаций» в стаях и формациях движущихся аппаратов [4], упомянутые в предыдущей части обзора.

Сети социальных взаимодействий дают наиболее адекватную модель структуры человеческого общества. Исследованию сетей и процессов в них посвящена огромная литература в ряде научных и практических дисциплин, включая многочисленные работы физиков (так, из 180 статей и кратких сообщений, опубликованных в разделе «Interdisciplinary physics» журнала «Physical Review Е» за 2009 г., две трети посвящены данной тематике). Вопросы строения и динамики сетей в социальных системах рассмотрены в целом ряде книг [5—16] и обзоров [17—21]. Строение таких сетей будет кратко охарактеризовано в п. 3.2.1. Далее мы перечислим некоторые работы в одном из наиболее актуальных направлений современной «сетевой» физики: исследования процессов на сетях фиксированной структуры, а также условий существования и перестройки ССВ.

2 Пункт 3.1 см. в первой части обзора [1].

3.2.1. Принципы строения сетей

Сети, возникающие в результате человеческой деятельности, имеют сложную структуру (complex networks). Их фрагментами могут быть регулярные графы-решетки (рис. 1, а — например, система шоссейных дорог в США), полные графы (рис. 1, б) и случайные графы (рис. 1, в, г). Последний тип структур можно получить, удаляя случайным образом некоторые ребра в исходном регулярном графе (графы Эрдеша—Реньи) либо перераспределяя ребра между его вершинами (rewiring; графы Уоттса—Строгаца [22]). В последнее десятилетие физиками-теоретиками активно исследуются «растущие» безмасштабные сети (scale-free networks), или сети Барабаши — Альберт (рис. 1, д). На каждом шаге их построения к уже имеющимся узлам графа присоединяются новые узлы с вероятностью

pi = k Г /2 kj, где kt —порядок i-го узла (число сходящихся в нем ребер), а — эмпирический параметр [17]. Порядки узлов в таких сетях распределены по степенному закону; к ним, как и к современным сетям телекоммуникаций, в ряде случаев применима статистика экстремальных событий (см. далее).

В простейших графах и сетях (например, отражающих знакомства людей) все связи между узлами равноценны и изотропны (направления ребер i ^ j и j ^ i не различаются). Структуру такого графа задает матрица смежности ||А{.|| с элементами Aj = 1 для всех пар связанных и А{. = 0 для не

Рис. 1. Фрагменты сетей в социальных системах: а — регулярный граф; б — полный граф; в, г — реализации случайных графов; д — реализация безмасштабного графа [17]

связанных друг с другом вершин. Графы с направленными ребрами («входящие» и «выходящие» вызовы для телефонных контактов, сети влияния [16], научного цитирования и др.) называют ориентированными; ребра таких графов также называются дугами. Если «силам» связей между узлами отвечают различные веса Aj = wj е [0, 1], граф называется взвешенным (электрическая схема, сеть дорог разной пропускной способности и т. д.; для взвешенных ориентированных графов wij е [—1, 1]) [23]. Спектры собственных значений матриц || Aj || и спектральные распределения P(X) = (1/N)Z5(X - Xj) для сетей (где 8(X - хр = 1 при X = Xj и 0 в противоположном случае) отражают их топологию и могут определять динамику протекающих в них процессов [17—19].

Особыми фрагментами сетевых структур являются когнитивные карты: взвешенные ориентированные графы, которыми задается образ некоторой сложной, обычно социальной, системы в сознании ее исследователей. Вершины такого графа соответствуют компонентам системы (или же факторам, оказывающим влияние на исследуемый процесс), а дуги — взаимной зависимости компонентов (факторов). Весовые множители {wij}, отражающие направления и «силы» зависимостей, обычно устанавливают по экспертным оценкам (рис. 2). Построение и верификация когнитивных карт с помощью специального программного обеспечения используются в анализе слабо определенных, или «нечетких» (fuzzy), систем и процессов, а также для управления такими процессами. Данная быстро растущая область математического моделирования выходит за рамки нашего обзора (для ознакомления с ней см. работы [24—27] и цитированную в них литературу).

Интегральными характеристиками графов и сетей служат функция распределения вершин по порядку P(k) = (N(k))/N (где <N(k)> — среднее число вершин порядка k, N — общее число вершин) и среднее кратчайшее расстояние (I) между парой связанных вершин, т. е. длина пути, равная минимальному числу соединяющих их ребер. (Порядки

ki+) и ki ) i-й вершины ориентированного графа соответственно равны числам входящих и выходящих ребер — так, на рис. 2 k\+) = 3, k[ ) = 2). Важной структурной характеристикой сети служит степень кластеризации C = 3MA/M3: доля треугольных циклов в общем числе связных цепочек из трех вершин. В полном графе С = 1, в плотной гексагональной («треугольной») сетке С = 2/3, тогда как для линейной цепи, квадратной решетки и любых других структур без треугольных циклов С = 0. В некотором смысле «антиподами» полных графов

Рис. 2. Когнитивная карта (а) компонентов энергопотребления ([24], цит. по работе [27]): — потребление электроэнергии; — стоимость электроэнергии; ^ — энергетические мощности; — число предприятий; — число рабочих мест; — население; ¥7 — загрязнение окружающей среды выбросами электростанций. Взвешенный ориентированный граф (б) данной карты, задающий линейные приращения компонентов: А¥х = + + — (^12 + А^2 = + ^32^3 — А^3 = + ^32^3 —

- (^34 + ^37)^3; А¥, = ^34^3 - (^41 + ^45)^4; А^5 = ^45^4 - ^56^5; А^6 = ^56^5 - ^76^7 - ^61^6; А^7 = ^37^3 - ^76^7. Показана петля положительной обратной связи ¥1 ^ ¥ъ ^ (^

являются разреженные случайные сети с небольшим средним порядком вершин (к). При (к) > 1 и N ^ ад такие сети остаются в значительной степени связными: в них можно выделить гигантский связный кластер, объединяющий большинство узлов, и множество меньших связных фрагментов с экспоненциально убывающими размерами [18, 21].

В решетках и в полных графах все вершины имеют одинаковый порядок (в полном графе равный N — 1); среднее расстояние (I) в решетке с увеличением N возрастает как где й — размерность, а в полном графе (I) = I = 1. Для случайных сетей Эрдеша—Реньи с большим N

(I) - 1пД С = (к)/^

Р(к) - ((к)к/к)в-{к\

где (к) — средний порядок вершины, зависящий от алгоритма построения сети. Распределение порядков узлов в таких графах асимптотически подчиняется закону Пуассона, т. е. доля узлов быстро падает с увеличением порядка. В то же время в сетях Барабаши—Альберт, по сравнению со случайной сетью, среднее расстояние между узлами меньше, и коэффициент кластеризации уменьшается с ростом N медленнее, а порядки узлов распределены в очень широком интервале по обратному степенному закону:

ln N ln ( ln N),

С - N a (a < 1), P(k) - k

где показатель степени у определяется алгоритмом роста сети pi = tf /2 kj; при линейной (a = 1) зависимости вероятности присоединения нового ребра от порядка вершины у = 3 [17]. Таким образом, доля вершин порядка k в бесконечно растущей сети с возрастанием k убывает гораздо медленнее, чем у «классических» случайных сетей, и предпочтительного порядка вершин в них не существует, отчего такие сети и называют безмасштабными.

Каждый из идеализированных типов сетей лишь частично воспроизводит характеристики сложной структуры социальных взаимодействий. В ряде реальных сетей, включая Интернет и WWW, были обнаружены масштабно-инвариантные распределения по связности P(k) - k-Y, однако им подчиняется лишь небольшая доля узлов-«концентрато-ров» (hubs) с высоким k (рис. 3, а). Для ряда структур, обсуждавшихся в работе [17] как примеры «безмасштабных» сетей, Эмерел и соавт. [28] обнаружили экспоненциальное падение частотности узлов с большими k (рис. 3, б). Авторы воспроизвели экспоненциальный «хвост» распределения в модели растущей сети с реалистическими допущениями конечности максимального порядка узлов и времени жизни связей, а также интерпретировали

гиперболическую зависимость P(k) - k- Y при быстром росте как известную динамику критических показателей вблизи фазового перехода [29]. В ци-

Y

Рис. 3. Кумулятивные распределения узлов по порядку к: а —

WWW, двойной логарифмический масштаб; точки выше штриховой горизонтальной линий (более 95 % узлов) не соответствуют зависимости P(k) ~ kY [17]; б — «сеть киноактеров» (ребро — совместное участие актеров в фильме) в полулогарифмическом и двойном логарифмическом масштабах (в), сплошная линия — экспоненциальное падение; г — модель, двойной логарифмический масштаб: переход от (обратных) степенной к экспоненциальной зависимости при росте «затрат» на образования ребер; зависимость P(k) ~ kY при нулевых затратах [28]

тируемой статье 2000 г., которую физики явно недооценили, была предложена и общая классификация всех социальных структур, подразделяемых на масштабируемые (single-scale), безмасштабные (scale-free) и наиболее общие мультимасштабные

(broad-scale) сети с распределением P(k) - k- Y в некотором интервале k [28]. Впоследствии сильную зависимость топологии растущих сетей от динамики «старения» связей анализировали Доро-говцев и соавт. [30].

Во всех реальных ССВ числа вершин и ребер конечны (и обычно не очень велики), а распределение P(k) частотности узлов по связности дискретно, что затрудняет строгий выбор адекватной модели. Структура таких сетей неоднородна: в них могут существовать локальные кластеры узлов, близкие к полным графам — «клики» (cliques), выделенные подграфы-«сообщества» (communities), где внутренних связей существенно больше, чем внешних, разреженные фрагменты случайных графов, иерархические «деревья» и безмасштабные «ядра» с узлами-концентраторами высокой связности. Эмпирическое описание «сетей реального мира» (real-world networks) в литературе развивается параллельно с теоретико-графовым исследованием их характерных фрагментов.

Для биологических и антропогенных сетей в литературе распространен термин «сети тесного мира» (small-world networks) [22], подразумевающий, что произвольно выбранную пару вершин связывает кратчайший путь с малым числом ребер. Первые социологические эксперименты (или, скорее, рекламные акции; см. [18, 21]) по организации цепочек почтового и электронного сообщения с незнакомыми адресатами, породившие этот термин, могли отражать не столько реальную топологию коммуникационных сетей, сколько умение участников пользоваться адресной книгой или браузером. Более строго проведенные поиски путей с (I) < lnN, характерных для безмасштабных сетей, примерно в половине случаев дали скорее отрицательный результат (I) « lnN (см. табл. 1 и 2 в работе [17]). Учитывая относительно небольшое

6 7

(до 10—10') число узлов N в большинстве ССВ, вряд ли следует ожидать универсальной применимости для них асимптотических соотношений (N ^ ад).

На практике сетями «тесного мира» обычно называют крупные неоднородные структуры с высокой (0,2—0,6) степенью кластеризации, где наряду с вершинами низкого порядка присутствуют узлы с большим и очень большим числом связей [21]. Этими свойствами обладает большинство сетей социальных взаимодействий (включая Интернет [13]), а также нейронные сети в живых организмах, сети транспорта (авиационное сообщение, газопроводы), энергопотребления и т. д. Поскольку су-

ществование всех таких конструкций невозможно без иерархически устроенного подмножества «управляющих» узлов, законность единого описания всей структуры (клиенты вместе с серверами) не вполне очевидна. Действительным объектом исследований сетей «реального мира» во многих случаях являются именно их управляющие структуры, в которые входит лишь небольшая часть всех вершин. Структуру произвольных ССВ удается воссоздать с заданной точностью на основе недавно предложенного обобщенного алгоритма роста, основанного на нелинейной зависимости вероятности присоединения ребер к вершинам: p{ = f(ki)/Ef(kj) [31].

3.2.2. Процессы в сети социальных взаимодействий

Одним из наиболее исследованных процессов в сетях «реального мира» является распространение инфекций и компьютерных вирусов [18, 21, 32]. Математические модели эпидемиологии, подробно рассмотренные в обзоре [18], основаны на «протекании» (percolation) инфекции на заданном сетевом графе, в котором зараженный узел с некоторой постоянной вероятностью 0 < X < 1 заражает один из связанных с ним узлов. Размеру эпидемии отвечает максимальный связный компонент на множестве инфицированных узлов, а меры борьбы (вакцинация) сводятся к удалению узлов из этого множества. Критический порог эпидемии Xc (выше которого доля зараженных узлов NH^/N не стремится к нулю («отделена от нуля»), а ниже (X < Xc) экспоненциально убывает на каждом следующем шаге распространения инфекции) для однородных случайных сетей определяется средним порядком вершины:

X

sir =

Xsis =

где символом (•) обозначено усреднение по сети [32]. В модели SIR (suspected — infected — recovered (removed), формула (1а)) инфицированный узел «умирает» или «выздоравливает», приобретая длительный иммунитет, т. е. в обоих случаях удаляется из множества потенциальных распространителей. В модели SIS (suspected — infected — suspected, формула (1б)) «выздоровевший» узел не приобретает иммунитета и может быть заново инфицирован. Первая модель описывает распространение инфекционных заболеваний в сети человеческих контактов, вторая лучше соответствует эндемическим заболеваниям и компьютерным

вирусам. Сходным образом моделируют квази-ин-фекционные процессы — такие как распространение слухов или коррупции в человеческом обществе (см. один из первых общих обзоров литературы по социофизике [33] и цитированные в нем работы).

Для бесконечных безмасштабных сетей с (k) ^ да (что достигается при показателе степени у < 3 в соотношениях P(k) ~ 1/kY) формулы (1а) и (1б) дают отсутствие порога распространения эпидемии [32]. В конечных сетях «тесного мира» эпидемический порог если и существует, то очень мал [21]. Таким образом, для ССВ, в согласии с эмпирическими данными, почти при любой вероятности X рано или поздно возникает гигантский связный кластер инфицированных узлов, т. е. заражение становится «хроническим». Стратегия борьбы с эпидемией в таких сетях сводится к контролю над узлами наибольшей связности (постоянному обновлению антивирусных программ на серверах или, например, выявлению и лечению активных распространителей ВИЧ-инфекции) и профилактической вакцинации наиболее уязвимых индивидуумов, снижающей общий уровень заболеваемости [18, 32].

Большую практическую важность также имеют исследования устойчивости сетей к случайным отказам узлов и к целенаправленным атакам. Мерой устойчивости (resilience) служит зависимость размера максимального связного компонента от доли отказавших узлов, а сам процесс распространения случайных отказов сводится к физической задаче о перколяции узлов в сети [18]. Компьютерное моделирование [17—21, 34] показало очень высокую устойчивость безмасштабных сетей к случайному удалению узлов: гигантский связный кластер в них сохраняется вплоть до 70—80 % повреждений. (Видимо, этим обстоятельством, закрепленным эволюцией, и объясняется «безмасштабный» вид управляющего ядра в биологических и социальных сетевых структурах). Однако такие сети уязвимы к атакам по узлам-концентраторам: для распада единой структуры достаточно убрать 1—3 % ее вершин наивысшего порядка (рис. 4). Различные аспекты этой эмпирически очевидной закономерности продолжают активно обсуждаться в литературе [21, 35—37].

Прикладные исследования сетей «реального мира», подобно исследованиям поведения толпы людей, нередко проводятся на эмпирическом уровне. Это направление представлено большим числом разработок эффективных алгоритмов поиска в Интернет и WWW [18] и быстрой «навигации» в произвольных сетях социальных взаимодействий (локализация клик, сообществ и концентраторов, определение интегральных параметров [38—41]), а также моделированием изменения сетевой структуры под действием внешних факторов (см. далее).

c

Тестовыми объектами в «навигационных» исследованиях обычно служат сети, для которых имеется доступная открытая информация (научные контакты, взаимное цитирование, клубы по интересам, телефонные звонки и др.; рис. 5), однако спектр их возможных приложений весьма широк. В последние годы большое внимание привлекает

Рис. 4. Устойчивость (а) безмасштабных (Барабаши—Альберт) и случайных сетей (Эрдеша—Реньи) к стохастическому удалению вершин («шум») и к удалению вершин максимального порядка («атака»): n — доля удаленных вершин; б, в — то же для Интернета и WWW (А — атака, Ш — шум) [34]; г — зависимость доли удаленных вершин максимального порядка, приводящей к распаду безмасштабной сети (P(k) ~ k Y), от показателя степени у [18]

б

Рис. 5. Строение фрагментов ССВ: а — общение в сети мобильных телефонов; б — научное соавторство по библиотеке АтХту электронных публикаций Корнельского университета (США) в социофизическом разделе [39]. Оттенками серого (в оригинале цветом) выделены подграфы-сообщества

взаимосвязь сетевых структур с несущим их «географическим ландшафтом» [42, 43] и описание конкретных видов сетей (городские коммуникации [44], мобильные телефоны [45, 46], газопроводы [47], сети мировой торговли [48] и глобального корпоративного управления [49]). Для более детального описания связей («ассортативные» и «диссортативные» сети [21], непрерывный параметр «силы» взаимодействия [46], «положительные» и «отрицательные» взаимодействия вершин [50]) используются ориентированные взвешенные графы — в том числе в задачах управления процессами в сетях (см. работы [16, 49] и цитированную в них литературу). Последнее направление пере-

плетается с моделированием мировои экономики (см. п. 3.3) и проблемами физической политологии, которые будут рассмотрены в третьей части обзора.

3.2.3. «Фазовые переходы» в сетях

Существенные изменения интегральных параметров сетевой структуры под воздействием внешних факторов в физической литературе обычно относят к критическим явлениям [19], часто называя их также «фазовыми переходами». Под этим термином объединяют самые разные процессы, включая рассмотренный выше рост модельных сетей [28] и «протекание» в них инфекции с образованием гигантского связного кластера зараженных узлов [32]. Среди подобных явлений большое внимание вызывает синхронизация динамики узлов в сети, для описания которой часто используют модель связанных стохастических осцилляторов Кура-мото:

N

de/dt = -ю. + j £ sin(ey. - ег), j = i

где е, — фаза /-го осциллятора, ю, — его частота, а J — сила связи (coupling) осцилляторов. «Бесструктурная» модель (2а) переносится на сеть введением в сумму множителей 0 или 1, равных элементам матрицы смежности || A.. || сетевого графа [21]:

N

de/dt = -ю. + J £ A..sin(en j = 1

е,).

Решениями системы уравнений (2б) задаются различные режимы синхронизации, которую отра-

N

£ ехр (19.) (г = 1

жает параметр порядка r =

для полной синхронизации и г = 0 для случайного набора фаз), в зависимости от силы связи /, структуры сети и дисперсии распределения частот ю;: шумового аналога «температуры». Моделирование синхронизации узлов на случайных и безмасштабных графах [51—54] используется в изучении как динамики нейронных сетей мозга, так и коопера-

3

ции агентов в социальных системах .

Серия социофизических работ посвящена исследованию каскадных процессов в сетевых структурах — таких как лавинообразное распростране-

Модель (2а), (2б) не только дает более строгое и точное описание для рассмотренной в первой части [1] системы связанных осцилляторов, генерировавших ритмические аплодисменты [55], но и поясняет причину такого парадоксального поведения участников политических акций в последние годы, как синхронные прыжки на месте.

ние повреждений в техногенных сетях [18, 21]. Распределение числа сбоев энергоснабжения в США по числу обесточенных потребителей N имеет степенной «хвост» Р(^) ~ N у, вообще весьма характерный для статистики социальных процессов [56]. Моделирование отказов в сетях [57—61] основано на такой структурной характеристике, как «важность» [16], или «нагрузка» узла [21]. Этот параметр, в англоязычной литературе называемый betweenness сеМгаШу («сосредоточенность связывания»), равен доле кратчайших путей между всеми парами узлов сети, проходящих через данный узел [58, 59]:

Bm = £ «.(«)/«. 0 < К

< 1,

где «..(«) — число кратчайших путей i

m -...j

через т-й узел, а п.. — общее число кратчайших путей I — ... — у. Превышение критической нагрузки т-го узла В^ = (1 + а)Вт (где Вт — его нагрузка в неповрежденной сети, а > 0 — параметр устойчивости) ведет к отказу и перераспределению нагрузки между оставшимися узлами сети, что может вызывать каскад повреждений. Не реализуемые на практике случайные сети Эрдеша—Реньи (см. п. 3.2.1) с а ^ 0 при любых таких повреждениях остаются связными, а устойчивость безмасштабных сетей растет с уширением распределения порядков вершин (т. е. уменьшением показателя у в обратном степенном распределении узлов по связности Р(к) ~ к-1). В недавней работе [61] было показано, что для пары взаимосвязанных безмасштабных сетей проявляется обратная тенденция: их уязвимость к случайным отказам растет с уменьшением у. Лавине отказов во взаимосвязанных сетях соответствуют, в частности, отключения электростанций, управляемых через Интернет [21, 61].

3.2.4. Условия распада сетей

В рассмотренных примерах «фазовых переходов» строение сети оставалось фиксированным, а изменениям микросостояний системы отвечали заражение или отказы узлов, происходившие в ней с некоторой наперед заданной вероятностью. В работе [62] авторы моделировали условия перестройки самой сетевой структуры методами статистической термодинамики. В рамках модели каждому ребру графа (либо его вершине порядка к) приписывали определенную отрицательную (стабилизирующую) энергию, а внешнее шумовое воздействие могло приводить к «диссоциации», т. е. разрыву ребер. Для совокупности всех возможных структур («топологий») с N вершинами и М ребрами при заданном уровне шума («температуры»), в

и

1

статистической термодинамике называемой каноническим ансамблем, находили сумму по состояниям

ЦТ) = X паехр(-Еа/Т) = X ехР(—^

где п — число топологически эквивалентных

^ а

структур с энергией Еа, Т — температура, £а = 1ппа (энтропия), Ра = Еа — Т^ (потенциал Гельмголь-ца) и суммирование проводилось по всем топо-

Рис. 6. Распад гигантского связного кластера (а) в графе Эрде-ша—Реньи (см. текст) при повышении «температуры» Т; «фазовые переходы» при изменении Т для совокупности кластеров с

«энергией» Е = 1^к1пк1 (ктах — максимальный порядок вершины в кластере) в полулогарифмическом масштабе (б): область I — полный граф, II — связанные «звезды», III — изолированные фрагменты; на врезке: распределение частотностей порядка вершин кластеров в двойном логарифмическом масштабе при Т = 0,84 [62]

логически различным реализациям графов в ансамбле. Вероятность реализации определенной топологии сети в этой упрощенной модели с единичной константой Больцмана была равна

Р а = Ц-1паеХР(—Еа/Т).

Авторы [62] выполнили расчетное моделирование перераспределения ребер в весьма разреженных случайных графах методом Монте-Карло при различной «температуре» Т. Рассчитанные отношения г = М1/М числа ребер получаемого гигантского связного кластера М1 к общему числу М ребер исходного графа, выбранные в качестве параметра порядка, показали «фазовый переход 1-го рода», т. е. разрушение модельной случайной сети при температуре выше критической (рис. 6). Поскольку отсутствие гигантского связного компонента в случайных графах со средним порядком вершин (к) < 1 было установлено Эрдешем и Реньи в конце 1950-х гг. [18, 62], этот результат прямо следовал из применения алгоритма Метрополиса, в рамках которого вероятность «энергетически невыгодного» уменьшения порядка вершины растет с увеличением Т [63].

Несмотря на довольно тривиальный характер полученных «фазовых переходов» (аналоги которых многократно отмечались в расчетном моделировании «неживых» многочастичных систем [63]), исследование [62], как одно из первых приложений термодинамических моделей к сетям, породило большое число публикаций. В последующей работе [64] был предложен алгоритм определения общей структуры сетевого графа, рассматриваемого как набор перекрывающихся субъединиц-сооб-ществ (в частности, к-вершинных клик), на основе фазового перехода «протекания» субъединиц в его подграфах. Ряд исследований этого направления посвящен устойчивости и разрушению сетевых структур при внешнем «шумовом» воздействии. Так, методом Монте-Карло было показано [65], что повышение «температуры» вызывает переход от сложной неоднородной к случайной сети с резким уменьшением коэффициента кластеризации. В отечественной литературе формализм теории информации и статистической физики также был использован для описания ССВ [16, 66].

В последние годы интерес исследователей вызывает совместное воздействие шума и структуры сетей на синхронизацию нелинейных стохастических осцилляторов [67], стохастический резонанс (возбуждение колебаний малой вынуждающей силой при определенном уровне шума) [50, 68] и иные динамические явления [69]. В частности, было показано, что в сетях неупорядоченной «аморфной» структуры динамические процессы замедляются, что приводит к образованию метастабильных

а

а

упорядоченных фрагментов: аналогов кластерных магнитных фаз Гриффитса [69]. С другой стороны, при наличии случайно распределенных дестабилизирующих взаимодействий с положительной энергией (взаимного отталкивания узлов) в решеточной модели Изинга [50] или в бесструктурной совокупности взаимосвязанных нелинейных осцилляторов [68], в системе усиливается стохастический резонанс. Обнаруженный в работах [50, 68] оптимум усиления при определенной концентрации дестабилизирующих взаимодействий может использоваться как в обработке слабых сигналов, так и в управлении социальными системами (статья [50] озаглавлена «Разделяй и властвуй: ...»).

3.2.5. «Диффузия инноваций»

Этот весьма широкий термин восходит к названию книги Эверета Роджерса, вышедшей в 1962 г. и затем четырежды переизданной [70]. Во второй половине ХХ в. так назывались исследования в теоретической экономике и маркетинге по выведению новых товаров на рынок (см. обзор [71] и цитированную в нем литературу). В рамках имитационного моделирования кумулятивный рост спроса бесструктурной массы покупателей на новый продукт описывали Б-образной кривой — в простейшем случае графиком логистической функции

N

dN/dt

-? ^- Early Late

Innovators Early Adopters Majority Majority- Laggards

20 15 10 5 0

1958

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 t а

£ 1 S — Laggards

¡2 Early Majority

t

о

<

в

Ы

1,2 1,0 -0,8 0,6 -0,4 к 2 о

1968

1978

1988 Годы

N = --- ,

1 + c exp

где N(t) — доля (или число) покупателей нового товара, t — время, a, b и c — эмпирические параметры (рис. 7, а). На графике производной dN/dt в соответствии с результатами исследований потребительской психологии выделялись различные категории покупателей: «новаторы» (2—3 % от общего числа), «первые последователи» (early adopters, 13—14 %), «раннее большинство» (34 %), «позднее большинство» (34 %) и инертные консерваторы, или «ретрограды» (laggards, 16 %). Хотя кумулятивное S-образное распределение (3) качественно согласуется с большим эмпирическим материалом, реальная динамика внедрения товаров и услуг в рыночной экономике не вполне соответствует его плавной унимодальной производной (рис. 7, б). Нередко (особенно при наличии конкуренции) новшества не принимаются рынком и процесс их внедрения затухает на начальной стадии, но даже динамика успешных нововведений трудно поддается прогнозированию [71].

С середины 1990-х гг. внедрение инноваций моделируют процессом диффузии на сетях социальных взаимодействий, близким к математическим моделям эпидемиологии [32, 33]. В этом более реалистическом приближении порог перколяции

Рис. 7. Динамика диффузии инноваций: а — логистическая кривая и ее производная (Ж — доля воспринявших нововведение), б — динамика телефонизации Англии (вверху — общее число абонентов, млн.; внизу — число новых абонентов в год, млн.) [71]

различен для разных категорий покупателей (увеличиваясь от новаторов к консерваторам) и существенно зависит как от их восприятия конкретных нововведений, так и от «несущей» сетевой структуры. Рассмотренные выше неоднородность и анизотропия ССВ на качественном уровне позволяет объяснить отклонения эмпирической динамики «диффузии инноваций» от идеализированных распределений [72, 73], однако для ее количественного расчета необходимо детально знать структуру «потребительской сети» (на уровне расположения покупателей всех категорий в ее узлах) и вводить большое число эмпирических коэффициентов. С другой стороны, успехи в качественном моделировании динамики сетей в последнее десятилетие позволили рассматривать внедрение новых товаров на рынок как частный случай «диффузии информации», понимая (иногда не совсем обоснованно) под этим термином почти любые динамические процессы в сетях [16].

Современные работы в области «диффузии инноваций», подобно другим приложениям социо-физики, фокусируются на определении структуры реальных сетей и инициировании в них самых разных динамических процессов (от рекламы товаров до навязывания населению страны определенной политической системы). Важным, хотя и не вполне определенным параметром в этой области служит критическая масса сторонников нововведений (на практике оцениваемая в 10—20 %), при достижении которой «диффузия» становится необратимой [74—76]. Для получения такого эффекта разработаны практические рекомендации — привлечение на сторону «инноваторов» популярных политиков и деятелей массовой культуры (т. е. заражение узлов высокой связности), образование множества новых связей (rewiring) благодаря пропаганде «инноваций» среди женщин, молодежи и этнических меньшинств [76], агитация в Интернет [77] и др. — явно рассчитанные на отсутствие эпидемического порога в безмасштабных сетях.

Объектами исследований распространения информации в последние годы становятся сети мобильных телефонных контактов и разрабатываемые в США «информационные сети» (Twitter, Facebook, YouTube), не имеющие надежных средств контроля в большинстве стран мира. Так, в работе [46] эпидемиологическими моделями описывали распространение информации во взвешенной сети мобильных телефонов с «силами» связей, пропорциональными суммарному времени контактов между каждой парой абонентов. Моделирование показало, что информация в такой сети распространяется медленнее, чем в сети той же структуры с единичными ребрами. Эмпирические данные по установке новых программ пользователями Facebook выявили порог распространения инноваций (аналог критической массы), выше которого возникает стимулирующее «социальное поле», поскольку новые программы становятся престижными [78].

В недавнем экспериментальном исследовании анализировались динамические результаты агитации (за здоровый образ жизни) в американских онлайновых сетях [79]. Еще одна характерная работа [80] посвящена «диффузии инноваций» с перераспределением связей, приводящем к распаду модельной сети. Хотя полученные результаты были изначально заложены авторами в модель («новаторы» предпочтительнее образовывали новые связи с «новаторами», чем с «консерваторами», и наоборот), сама постановка задачи представляется достаточно красноречивой. Родственные исследования в области политологии и политтехнологий будут обсуждаться в третьей части обзора.

3.3. ЗК0Н0ФИЗИКА

Математическое описание процессов в экономике складывалось во второй половине XIX в. параллельно с возникновением статистической физики. (Хрестоматийным примером может служить модель случайных блужданий, впервые предложенная Башелье в теории биржевых спекуляций [81] и лишь затем примененная к описанию броуновского движения [82]). «Классические» экономические теории ХХ в., нередко разработанные математиками и физиками, представили первую в истории естествознания систематическую формализацию общественных процессов, опирающихся на обмен. В ее основе лежала идея равновесия спроса и предложения, достижение которого при «идеальном», никем не регулируемом рынке с бес-

4

конечным числом конкурирующих агентов приводит к максимуму полезности (utility) Ъи. (ключевой, но слабо формализованной характеристики), просуммированной по всем участникам рынка, в оптимуме Парето, сдвиг из которого ухудшает положение хотя бы одного агента [83]. Многие особенности этих работ — стилизованный характер моделей, не допускающих прямой экспериментальной проверки, сведение сложных многопараметрических процессов к варьированию нескольких «агрегированных» переменных, использование предельных соотношений для явно немакроскопических систем и политическая ангажированность получаемых сугубо качественных теорий [84] — воспроизводились потом в теоретических конструкциях социологии, политологии, истории и других изначально гуманитарных наук (см. работы [85—87] и цитированную в них литературу).

Со второй половины ХХ в. в ряде разделов математической экономики все шире используется формализм, заимствованный из физики стохастических процессов [88—91]. Однако общие положения классической теории — такие как универсальный характер (статического) равновесия спроса и предложения или всюду выпуклая форма функции спроса — в современной неоклассической экономике принимаются как постулаты и не подлежат обсуждению. Этот явно политизированный консерватизм (открывающий дорогу для математического обоснования деструктивной «свободы рынка» во всем мире и единственности оптимума, найденного неоклассическими средствами) неод-

4 Исторически первым модельным агентом в экономической теории, вероятно, был т. н. homo economicus: индивидуум, стремящийся к максимуму собственной выгоды в каждом локальном акте социального процесса [83].

нократно критиковался в междисциплинарной литературе [84]. В конце ХХ в. для ряда процессов в экономике было предложено объективное и количественное, т. е. физическое описание, свободное от априорных ограничений.

Термин эконофизика, введенный в 1995 г. Юджином Стенли, вначале отвечал лишь применению стандартных физических методов обработки экспериментальных данных в количественном описании финансовых рынков [92, 93]. В настоящее время так называют раздел социофизики, посвященный анализу теоретических проблем экономики с помощью моделей и представлений, заимствованных из физики или восходящих к ней. Несмотря на критику эконофизики многими экономистами (в особенности представителями неоклассического «мейнстрима» [94]), к данному направлению приближаются такие собственно экономические дисциплины, как эконометрика [95], анализ состояния рынков [89], динамические [88] и теоретико-игровые [96] модели экономики, теория финансов и «финансовая инженерия» (см. далее). По эконофизике имеется большое число обзоров, учебников и монографий, включая публикации на русском языке [84, 97—104]. Работы последних лет рассмотрены в книгах [105, ч. 1] и [106, 107]; см. также обзорные статьи [108—110].

3.3.1. Биржевая динамика

Первой областью систематического применения методов статистической физики к экономике стал количественный анализ динамики покупок и продаж на главных мировых биржах, а также динамики биржевых индексов (Dow Jones, S&P, DAX, Nikkei, РТС и др.), отражающей «усредненные» изменения стоимости акций ключевых фирм в различных странах. Его основу составили компьютеризация бирж (которая сделала доступными большие массивы численных данных, или временные ряды, трактуемые как результаты количественных измерений) и понятное желание физиков преуспеть в биржевой игре с помощью строгих научных методов. Хотя прикладной аспект первых эконофизических исследований в целом не был реализован (что неудивительно, учитывая двухвековую историю технического анализа биржевых данных, преследующего ту же цель [89]), работы Стенли и соавторов ввели динамику биржи в область физики стохастических процессов и инициировали новые подходы к ее описанию и моделированию [93, 97, 98].

Главная особенность биржевой динамики заключается в весьма нерегулярном характере изменения доходности ценных бумаг и товаров во временных рядах. Мерой доходности (return) в

данной области часто служит логарифм отношения цены S

G (t, At) = AS(t, A t)/S(t) = [S(t + At) - S(t)]/S(t),

v = V((G- < G>)2>

(где угловые скобки означают усреднение по времени), корреляции и автокорреляции этих величин, а также объемы продаж и количество сделок по данному виду товаров или акций. Все динамические параметры биржи сильно зависят от выбранного масштаба времени; стандартными являются их средние и предельные значения за рабочий день. Аналогичные характеристики рассчитываются для биржевых индексов (взвешенных сумм курсов акций по определенному списку компаний) и для обменных курсов валют [97, 98].

Анализ рядов биржевых данных с различным шагом At позволил установить ряд качественных особенностей их статистики, не зависящих или слабо зависящих от конкретного предмета купли-продажи: быстрое (в течение минут) затухание автокорреляций доходности («короткую память» биржи), большие флуктуации цен и объемов сделок, асимметрию стратегий агентов при покупках и продажах и взаимозависимость их поведения — в частности, «кластеризацию волатиль-ности» [97, 111]. Вид распределений доходности акций во временных рядах при этом сильно зависит от длительности интервала At между «отсчетами»: для малых интервалов (минуты) они имеют негауссову «остроконечную» (leptocurtic) форму с

обратными степенными «хвостами» G ~ 1/rY. Похожей асимптотикой P(|X | > x) ^ x Y (где показатель степени часто, но не всегда лежит в интервале 2 < у < 3,5) обладают кумулятивные распределения доходности акций и флуктуаций биржевых индексов, в области малых х хорошо апроксимируемые гауссовой функцией (рис. 8). В позднейших исследованиях «тяжелые хвосты» (heavy tails) f(x) ^ x Y с другими показателями степени были найдены для распределений объемов сделок, волатильно-сти цен и стоимости крупнейших фирм-игроков [112—114].

Неклассические распределения «финансовых» переменных часто моделируют распределением Леви. Это распределение возникает в задаче о су-

Рис. 8. Особенности статистики биржевых данных [97, 98]: а — флуктуации гауссова процесса (вверху) и дневного количества продаж акций (внизу) при одинаковой дисперсии; б — типичный вид распределения логарифма доходности акций по единицам дисперсии (парабола — гауссово распределение); в — экспоненциальное падение доходности акций во времени в полулогарифмическом масштабе; г — кумулятивное распределение дневного числа транзакций (плотности продаж) для разных фирм в двойном логарифмическом масштабе, прямая линия — обратная степенная зависимость Р(х > N - N-в

пердиффузии, при которой коэффициент D в диффузионном уравнении

дp/дt = -vдp/дx + д2(Dp)/дx2

сам является стохастической переменной, увеличиваясь для «быстрых» частиц [1, п. 3.1.2]. В общем виде распределение Леви не имеет аналитической формы и выражается через фурье-образ плотности вероятности p(x), или характеристическую функцию

В простейшем одномерном случае распределение Леви, симметричное относительно начала координат, имеет вид

p(x) = —— Г соб^) e к|^ dq Дп *

с характеристической функцией ф^) = ехр

ф^) = \ eiqxp(x)dx.

1 2 2 p(x) = -к= e-x /2*

л/2 па

—х

и функция Лоренца, или распределение Коши, справедливое для отношения двух гауссовых случайных величин (а = 1):

Подобно лоренцевой функции, распределение Леви допускает большие флуктуации и при x ^ ад

Рис. 9. Распределение Леви (а) при а = 1/2 (жирная линия), асимптотически приближающие его гауссово распределение ехр(—ах2) (х ^ 0, тонкая линия) и обратная степенная зависимость Ьх-3/2 (х ад, штриховая линия); распределение значений индекса S&P в 1984—1989 гг. с М = 1 мин (точки) в полулогарифмических координатах (б): сравнение с гауссовой функцией (пунктир); сплошная линия — с распределением Леви при а = 1,40 [97]

асимптотически приближается к | x |-(а + т. е. имеет обратный степенной «хвост» (рис. 9, а); при а < 2 его дисперсия бесконечна. Как и все его частные формы, распределение Леви устойчиво: сумма случайных величин распределенных по (4) с одинаковыми степенями а, подчиняется аналогичному распределению (подробнее см. работы [97—100]). Однако для реальных распределений биржевых параметров «полет Леви» сильно (на 1—2 порядка) завышает вероятности больших флуктуаций (рис. 9, б). Эмпирические данные воспроизводят усеченным распределением Леви, непосредственно ограничивая «длину прыжка» xi [97] либо представляя его случайными блужданиями, распределенными по Коши, в возрастающем модельном потенциале U(x) [98]. Методы аппроксимации «остроконечных» эконофизических распределений f(x) с «тяжелыми хвостами» кратко рассмотрены в недавно изданном учебнике «Physics of stochastic processes» [115, с. 268—272] и более подробно в книгах [97, 98] и статьях [99, 100].

Заметим, что ключевые физические характеристики биржи как социальной системы — число игроков и их распределение по «энергоподобной» покупательной способности — составляют коммерческую тайну и в эконофизической литературе не обсуждаются. Тем не менее, оценочное число участников торгов на главных мировых биржах (от нескольких тысяч до десятков тысяч в день) и преобладание мелких сделок, не влияющих на стратегии крупных игроков, иллюстрируют как неоднородность, так и весьма немакроскопический характер этих систем несмотря на значительный объем доступных для них данных (миллионы точек). Возможно, именно этим обстоятельством обусловлены расхождения в параметрах и даже в характере распределений (нормальное и лог-нормальное, «полет Леви», усеченное распределение Леви, распределение Стьюдента и т. д.), используемых разными авторами. Наличие больших флук-туаций и обратных степенных «хвостов» для этих данных объяснялось, в частности, сильным влиянием на статистику биржи крупных (т. е. весьма немногочисленных) покупок и продаж [109, 114].

3.3.2. Фрактальная размерность биржевых рядов

Другой подход к анализу биржи основан на приближенной масштабной инвариантности временных рядов [102, 116]. «Самоподобие» графиков динамических данных, взятых в различных масштабах времени, позволяет рассматривать их как фрактальные геометрические объекты. Фрактальный характер биржевого ряда впервые отметил в

1963 г. Бенуа Мандельброт на примере динамики цены на хлопок [116]. Характеристикой таких графиков служит (хаусдорфова) фрактальная размерность Д оцениваемая по предельному соотношению N(5) - Ъ-в:

D = lim I* = -8^0 ln

lim [log8N(5)],

8^ 0 8

где N — число одинаковых элементов (например, кругов), покрывающих фрактальный объект, 5 — размер элемента (радиус круга, рис. 10, а). В реальных биржевых рядах последовательность покрытий ограничена снизу минимальным интервалом времени Лt между двумя «отсчетами» цен акций. Фрактальной размерностью D ряда данных определяется индекс Херста Н = 2 — Д отражающий способность стохастического процесса к сохранению определенной тенденции во времени:

Н> 0,5: персистентность (наличие тренда к повышению или понижению цены);

Н< 0,5: антиперсистентность (антикорреляция последовательных сдвигов цены);

Н « 0,5: отсутствие корреляций ценовых сдвигов (случайные блуждания).

Значениями отклонения Н от 0,5 характеризуются «интенсивности» тренда (к повышению или к понижению) либо антикорреляций (уплощенный участок графика) [102].

Определение состояния биржи (и связанных с ней отраслей экономики) и предсказание его вероятных изменений по свойствам имеющихся временных рядов, включая фрактальную размерность, составляет предмет технического анализа: прикладного направления в экономике и финансах, посвященного анализу данных, их динамике и оптимальным стратегиям игроков [89]. (Теоретическое описание биржи в этих терминах относят к фундаментальному анализу). Однако применимость для таких целей индекса Херста, вычисляемого из формулы (5), невелика ввиду медленной сходимости ряда N(5) с уменьшением размера составляющих элементов. В этих условиях среднюю фрактальную размерность можно определить лишь для длинных интервалов, на которых тенденции временного ряда успевают измениться. В работах Дубовикова и соавт. [102, 118] был предложен алгоритм минимального покрытия фрактального графика функции /(7, Л^ прямоугольниками А х 5, где А=Л£ — изменение значения/на /-м интервале Лt = 5 (рис. 10, б). С его помощью удалось построить быстро сходящиеся ряды площадей

покрытия графика Е(Аг. • 5) = у.(5)- - 5-и с новым индексом фрактальности ц = D — DT (где DT — топологическая размерность, равная 1 для функции

одной переменной, рис. 10, в). Использование индекса ц для оценки персистентности ряда на коротких интервалах (где оценка (5) по индексу Херста не работает) выявили локальные нарушения самоподобия на участках с выраженным

Рис. 10. Фрактальная размерность биржевых рядов: а — обычное

трендом: подавление мелкомасштабных флуктуаций при наличии крупномасштабных (сравн. график на рис. 10, б в интервалах 70—100 и 100—130 дней). Степень общности этого наблюдения обсуждается [102].

3.3.3. Экономические кризисы

Несмотря на длительное развитие технического анализа (среди его основателей был Чарльз Доу, в 1896 г. вместе с Эдвардом Джонсом предложивший один из наиболее известных биржевых индикаторов США Dow Jones Average (DJA) [117]; первое издание фундаментальной монографии Эд-вардса и Маджи «Технический анализ биржевых трендов» [89] вышло в 1948 г.), существующие методы не позволяют прогнозировать наиболее известные негативные явления экономики: финансовые и экономические кризисы (см. также работу [102]). Статьи, посвященные моделированию кризисов, появились в физических журналах с конца 1990-х гг. и к 2001 г. составили заметную долю работ по эконофизике [119—123]. Наиболее значимым среди них стало исследование Иохансена и Сорнета [121], рассмотревших аналогии как экономической, так и популяционной динамики с фазовыми переходами в «неживых» системах.

В основу анализа авторы [121] положили гиперболический рост населения Земли в историческом времени, впервые отмеченный в 1960 г. [124] и обсуждавшийся во многих работах второй половины ХХ в. (см. [125, 126] и цитированную там литературу):

ln

P - (t0 - t)-

где Р — численность населения, а « 1,5—2, а «критическая точка» ¿0 лежит в интервале 2030—2060 гг. Эту закономерность, установленную по данным переписей в последние столетия и оценкам для более раннего времени [125], авторы дополнили аналогичной эмпирической динамикой роста мирового ВВП и биржевых индексов (для которых получили а « 1). Расходящуюся зависимость (6), в соответствии с феноменологией критических явлений [29] указывающую на приближение к точке фазового перехода, при этом детализировали на основе теории Ландау [127] формальным разложением в комплекснозначный ряд по параметру порядка Дх) = /(¿0) — /(/), где I — измеряемая величина, х = и — t (несмотря на очевидное 1(^ = ад):

d(lnF)/d(lnx) = = (а + m)F(x) + (ß + k)F2(x) + ...

1800

ln

7,4 7,3 7,2 7Д 7 6,9 6,8 6,7 6,6

1850

1900

1950 t, годы

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006t, годы б

15,4 15,2 15 14,8 14,6 14,4 14,2 14 13,8 13,6 13,4

СГ

Date

Нулевому приближению d(lnF )/d(lnx) = const (ш = 0) отвечает гиперболическая асимптотика (6),

93,90 94,06 94,22 94,38 94,53 94,69 94,85 95,01 в

Рис. 11. Феноменология критических явлений: а — подгонка временного ряда индекса Доу—Джонса во втором приближении (7а) (см. текст) в полулогарифмическом, на врезке в линейном масштабе [121]; б — кризис 2001—2003 гг. как «обращенный пузырь» на фондовом рынке США [129]; в — зависимость концентраций ионов в термальных водах накануне землетрясения в Японии [130]

а

а первому — модулирующая логарифмически-синусоидальная («лог-периодическая») динамика

Рис. 12. Конденсация капитала при свободном расширении экономики: а — «снижение температуры»: число банкротств фирм в США с 1972 по 2008 г.

F(x) = A + B(t - t0) a + + C(t - t0)-acosMn(t0 - t) + ф]

(рис. 11, а). Подбором эмпирических параметров (A, B, C, а, ш, ф и т. д.) авторы в первом приближении уравнения (7) аппроксимировали демографическую динамику мира в I—XX вв., а

во втором приближении — динамику индекса DJA5 в 1790—1999 гг. На качественном уровне им удалось воспроизвести большинство наблюдаемых отклонений от гиперболического тренда, однако позднейший ход индекса в 2000—2001 гг., по нашим данным, не соответствовал предложенной модели.

В последующих работах Сорнета и соавт. [103, 128, 129] разложение по параметру порядка использовалось для детального моделирования биржевой динамики — в частности, трендов на повышение и понижение курсов акций, а также «пузырей»: периодов ажиотажного спроса на определенные товары с завышением и последующим резким падением их цены (рис. 11, б). Во втором и третьем порядках разложения (7) временные ряды воспроизводились количественно, однако обилие варьируемых параметров затрудняет их содержательную экстраполяцию. В противоположность обычно наблюдаемым лог-периодическим колебаниям сложной системы вблизи катастрофического события (формула (7а)), при которых осцилляции «сгущаются» с приближением к критической точке [130] (рис. 11, в), в цитируемых работах точка t0 предшествовала моделируемой динамике; авторы назвали такую теоретическую конструкцию «обращенным пузырем» (anti-bubble) [103].

Заметим, что работы данного направления не предсказали биржевой кризис 2001 г. в США (снижение индекса Доу—Джонса с конца мая и его «вертикальное» падение с 4 по 21 сентября) с последовавшей рецессией [117], хотя подобные явления прогнозировались в рамках обычных экономических теорий [131]. О предсказании кризиса 2008 г. эконофизическими методами в литературе также не сообщалось, но в последние годы отмечается новый всплеск интереса к этой проблеме [132—137]. В частности, в нашей работе [135] кризисы 2001 и 2008 гг. связывались с предшествовавшими им волнами слияний и поглощений (Mergers & Acquisitions, M&A [138]): неконтролируемой «конденсацией капитала», дезорганизующей уп-

Значения индекса до 1896 г. реконструировали по ценам составляющих его акций.

равление укрупненными фирмами [139] и, в свою очередь, вызванной ослаблением конкуренции при экономической экспансии США в 1990-е и 2000-е гг. (рис. 12). В интернет-публикации 2010 г. [137] из анализа динамики цен на золото в 2003—2010 гг. (гиперболический рост с лог-периодической модуляцией, формула (7а)) был предсказан крах «золотого пузыря» весной — летом 2011 г. В реальности цена золота на Лондонской бирже с августа 2010 г. к августу 2011 г. выросла на треть (до ~ 1600 долл. за унцию) и после ряда скачков (сентябрь 2011 г.: ~ 1900 долл.) снижается в марте 2012 г. с 1780 до 1650 долл. за унцию [140].

3.3.4. Физическое содержание экономических категорий

Установление связи между фундаментальными понятиями экономики и физики неоднократно декларировалось в литературе как очевидная «эко-нофизическая» задача [82, 84]. (Примером такой связи может служить идея равновесия спроса и предложения, лежащая в фундаменте классической экономической теории). Тем не менее, работы в этом направлении весьма фрагментарны. Основная часть эконофизической периодики посвящена довольно узкому кругу проблем: обработке количественных данных о состоянии экономики и финансов методами, развитыми в физике [93], и математическому моделированию получаемых закономерностей. Поскольку для социальных процессов обычно наблюдаются лишь косвенные аналогии с «неживыми» сложными системами, прямой перенос физической терминологии на экономику вряд ли обоснован.

Предположения о «физическом смысле» экономических понятий и явлений (в том числе весьма глубокие) возникают и внутри теоретической экономики. Так, в обзорной статье [141] детально сопоставлено описание равновесных состояний и путей достижения равновесия в классической термодинамике и в неоклассических экономических теориях. Ряд авторов анализирует так называемую «гравитационную зависимость» международных торговых потоков ¥.. от ВВП партнеров (М, М.) и

У 1 у

расстояния Яу между ними6: ¥. ~ Мга Мв /Щ (где

а, в и у — эмпирические коэффициенты), установленную в 1960-е гг. [142]. Возрастающее число ис-

следований посвящено влиянию сделок на состояние рынка (market impact), которое отражается количественным параметром R = AS./V. (отношением изменения цены товара до и после покупки (продажи) к объему сделки) и соответствует влиянию агента на «потенциал» мультиагентной системы [143]. В большинстве «экономико-физических» работ анализируют применимость понятия энтропии к экономическим процессам, взаимосвязь «деньги — энергия», распределения дохода и богатства (прежде всего закон Парето) и, в последние годы, сетевую структуру экономических отношений.

Поскольку временные ряды цен акций, биржевых индексов и курсов валют отличаются от динамики броуновской частицы нестационарностью стохастического процесса и корреляциями его характеристик (доходности, волатильности), стандартные статистические параметры — такие как моменты распределений — для них уже не существуют или не дают полного макроскопического описания [110, 111]. «Степень неопределенности» этих данных лучше характеризует шенноновская энтропия H, введенная в середине ХХ в. в теории информации [144]. Для величины X = [xv x2, ..., x , ...}, принимающей дискретные значения {x.} со значениями вероятности {pv p2, ..., pn, ...}, Ър1 = 1, она определяется как

H(X) = —Ер., logjp).

Подобно квазисилам отталкивания в моделях движения «живых частиц» (см. [1]), для торговых потоков между странами, понимаемых как «силы», не выполняется третий закон Ньютона: ф

При основании логарифма т = е = 2,71... энтропия выражается в «натуральных» единицах (наш), при т = 2 — в «информационных» единицах (бит). В том случае, если Xравномерно распределена между N дискретными значениями (р1 = р2 = = ... = рм = 1/^, энтропия (8) в «натуральных» единицах принимает вид Н(Х) = —lnN = Б/к, где Б — обычное определение энтропии в статистической физике, к — константа Больцмана. (В общем случае 0 < Н(Х) < Б/к). Для пары величин

X = {х.} и У = {у.}, распределенных с вероятностя-

1 у

ми {рх(х1)} и {РуОу)}, вводятся полная энтропия Н(Х, У), условная энтропия Н(Х |У) и общая информация 1(Х; У) > 0, характеризующая корреляцию между распределениями Х и У:

Н

У 1

Н(Х |У) = Н(Х, У) - Н(Х) =

= - £ £р

У г

или

H(Y|X) = H(X, Y) - H(Y) =

= - XX p(x, y^ogjp^, у)/р(у)],

j i

I(X; Y) = H(Y) - H(Y|X) = = H(X) + H(Y) - H(X, Y) =

= X Xp

ji

(для независимых X и Y I(X; Y) = 0). Соотношения (7) и (8) обобщаются на непрерывно распределенные случайные величины [144].

С помощью соотношений (8) и (9а)—(9в) выявляют корреляции и персистентность финансовых временных рядов [145, 146]. В частности, расчет энтропии собственных значений корреляционной матрицы для цен акций показал неустойчивость американского рынка к кризисам, сохраняющуюся с 2002 г. [147]. В работах Чена (см. [148, 149] и цитированную там литературу) обсуждаются перспективы «термодинамического» описания экономики, основанного на шенноновской энтропии неравновесных мультиагентных систем вместо обычной статистической (гиббсовой) энтропии. К этому направлению примыкает поведенческая теория финансов (behaviorial finance), где широко применяются агентные модели и формализм теории игр [105, 107, 110].

До выработки единой общепринятой терминологии формулами (8) и (9а)—(9в) пока задают как информационную энтропию системы из N состояний, занимаемых с вероятностью {pv p2, ..., pN},

так и количество информации, вмещаемое такой системой. Использованию информации для моделирования динамики биологических и социальных систем, включая экономику, посвящена книга Д.С. Чернавского [150]. На основе соотношений (9а)—(9в) в ней рассмотрен процесс рождения ценной информации в детерминистских системах, проходящих через состояние динамического хаоса. Динамику таких систем в синергетике (см. также книгу [85]) качественно воспроизводит фазовый портрет: в простейшем случае проекция всех многомерных траекторий системы на плоскость (q, q) одной из ее обобщенных координат q и ее производной по времени q = дq/дt. На такой проекции визуализируются точки устойчивых решений и предельные фазовые траектории q (q), показывающие асимптотическое поведение системы, точки и линии неустойчивой динамики, а также области хаоса, или странные аттракторы (рис. 13).

В хаотическом состоянии (которому в фазовом пространстве соответствует «перемешиваю-

15 -10 -5 0 5 X

Рис. 13. Фазовые траектории модели «солнечного динамо», описывающей медленные флуктуации солнечной постоянной (см. [1, п. 1.1]): ДО и 7(0 — соответственно токи в экваториальном и меридиональном контурах. «Восьмерка» из хаотически изменяющихся траекторий У(Х) — область странного аттрактора, в которую система переходит из внутренней и внешней областей параметров (X, 7) с течением времени t [151]

щий слой») решения дифференциальных уравнений, описывающих динамику системы, неустойчивы к малым возмущениям параметров. Внутри перемешивающего слоя траектория системы непредсказуемо изменяется, а на выходе из него (например, при завершении политического кризиса в стране) стабилизируется. Развивающиеся системы, способные в состоянии хаоса генерировать ценную информацию, имеют ряд обязательных признаков: диссипативность (потребление энергии от внешнего источника), нелинейность (с возможностью сильного отклика на слабое воздействие) и вытекающая из соотношений (8) и (9) мультиста-бильность: дискретный набор устойчивых состояний (1, 2, ..., N).

Попаданию системы в /-е состояние, т. е. «выбору» состояния, соответствует рождение информации, а случайному переходу в другое состояние под воздействием флуктуаций — потеря информации («забывание»). Новая информация оказывается ценной, если условная вероятность некоторого события в момент времени t — получения прибыли на бирже, закрепления нового слова в языке, выживания биологического вида и т. д. — при нахождении системы в выбранном состоянии Y = / выше его безусловной вероятности в тот же момент времени Р(Х = х е А| Y= /) > Р(Хе А), где А — «целевое» множество значений случайной величи-

ны Х, и Ye {1, 2, ..., N}. Новизну и универсальность «информационного» подхода к описанию биологических и социальных процессов иногда понимают как невозможность свести теорию развивающихся систем к одним лишь фундаментальным законам (современной) физики [150]. (При отсутствии ясного физического содержания у сегодняшних терминов «информация» и «информационная энтропия» это действительно нелегко сделать).

На основе теории информации Д.С. Чернавс-кий интерпретировал физическую функцию денег как средства, минимизирующего энтропию обмена в экономике [150, гл. 8]. Этот вывод можно иллюстрировать, поставив в соответствие N товарам вершины графа, возможным актам их обмена — ребра этого графа и определяя энтропию обычным образом как S = Kln W, где W — сумма состояний обмена (число ребер), K = const. «Бартерную» экономику с прямым обменом всех товаров в этом случае представляет полный граф с W = N(N — 1)/2 ребер (рис. 14, а), а экономику с деньгами — звезда c W = N (рис. 14, б), так что для больших N

S6apT = lnN + ln(N - 1) - ln2 « 2lnN = 2Sr

ден

(денежная экономика «вдвое эффективнее» бартерной). Моделированию спонтанного возникновения преобладающего предмета обмена (и, далее, всеобщего эквивалента) в товарной экономике посвящены многие теоретические работы [152, 153].

Расхожее словосочетание «энергия денег» в последнее десятилетие было детализировано в работах Яковенко и соавт. («кинетическая теория де-

Рис. 14. Возможности обмена товаров в бартерной экономике I

нег») [154—157], а также других исследователей, применивших методы статистической физики к анализу обмена в экономике [101, 157—159]. Эмпирической основой этого направления стали доступные через Интернет данные о благосостоянии населения ряда развитых стран (Англии и США [154], Австралии [155]), демонстрирующие обратное экспоненциальное распределение по доходам

-е-Аг для низкооплачиваемого большинства

и обратный степенной «хвост» распределения ~г-а для богатой части населения (рис. 15, а). «Больц-мановской» зависимостью плотности вероятности

дохода р(г) - е-Аг порождается также экспоненциальное кумулятивное распределение доли населения с доходами, меньшими заданной величины х:

N(r < x) = N JP(r)dr = Be

Ax

Экспоненциальное падение доходов воспроизводилось авторами в модели случайных столкновений частиц с обменом локально сохраняющейся «энергией», заимствованной из кинетической теории газа: m(t) + m(i) = m(t + At) + m(t + At), где {mk(t)} и {mk(t + At)} соответственно обозначают «энергии» агентов до и после столкновения, моделирующего экономическое взаимодействие, и Emk = const (глобальное сохранение «энергии»). Энергоподобная субстанция, сохраняющаяся в столкновениях, в работах Яковенко и соавт. была весьма неудачно названа «деньгами» [156] (фактически же моделировалось перераспределение богатства при обмене товаров и услуг, и разность Am. = m(t + At) — m(t) означала выигрыш либо проигрыш i-го агента в акте обмена). Ослабление условия EAm. = 0 до локального сохранения богатства в среднем при ряде дополнительных предположений (например, Am. - me [156]) позволяет воспроизвести обратную степенную асимптотику N(r > m) -m-a для больших m [159].

В классической экономической теории распределение благосостояния в обществе чаще характеризуется кривой Лоренца L(x < M) (кумулятивным дискретным распределением долей дохода 0 < M < 1 по равным долям населения) и коэффициентом Джини G e [0, 1]: отношению площади между ломаной линией L(x < M) и прямой L0 = M (отвечающей уравнительному распределению дохода p(x) = dL0/dM = const) к площади 1

треугольника JL0dx (рис. 16). Значения G = 0 и

x

0

Рис. 15. Кумулятивное распределение дохода в двойных логарифмических координатах: а — США, 1998 г., на врезке координаты полулогарифмические [101]; б — США (•) и Япония (+), 2000 г. [82]; в — показатель а распределения Парето ~1/га для богатой части населения США в XX в. [160]

С = 1 соответственно обозначают «полное равенство» и «крайнюю несправедливость»; в современных США С « 0,5 [98, 161]. На наш сторонний взгляд, оба эти инструмента скорее затушевывают, чем визуализируют имущественное неравенство, и реакция экономистов на объективный подход физиков к эмпирическим данным была довольно болезненной (см. далее). Само же кумулятивное распределение доходов населения в большинстве экономических теорий с середины ХХ в. полага-

ли логарифмически нормальным («лог-нормальным») [162]

Щ(г < х) = - е-ь(1пх) х

основываясь на гипотезе о случайных изменениях логарифма благосостояния экономических

агентов с течением времени:

1п *(' +1) = 1п +

Рис. 16. Стилизованное изображение кривой Лоренца Ь(х > М),

отражающей кумулятивное распределение дохода по 20%-м долям населения страны

где ^ — стохастическое изменение богатства /-го агента на (^ + 1)-м шаге случайного процесса [163].

Не следующая из выражения (10) обратная степенная асимптотика распределений больших

доходов (закон Парето Щ(г > х) - х-а) известна в экономике более 100 лет [160, 163]. К лог-нормальному виду с «хвостом Парето», в частности, приближается кумулятивное распределение доходов в современной Японии (рис. 15, б). Уменьшение показателя степени а соответствует повышению доходов богатейшей части общества, т. е. увеличению неравенства. Как эконофизические [156], так и эконометрические исследования [160] указывают на рост неравенства в США с 1970-х гг. (рис. 15, в).

Лог-нормальное распределение благосостояния и асимптотика Парето неоднократно воспроизводились в математических моделях, однако «экономический смысл» принятых допущений (включая логарифмические случайные блуждания (10а)) оставался невыясненным [163]. В частно-

сти, обратную степенную асимптотику распределения богатства Р^) в математической экономике (см. [160]) и, позднее, эконофизике [164] получали усложнением мультипликативного случайного процесса (10а), представляя благосостояние агента в виде w = ах + Ь, где коэффициенты а и Ь также являлись случайными величинами, причем а ^ 1 для больших х(/) и а ^ ад при w(t) ^ 0 («отталкивание от нуля»).

Применение кинетической теории газов к описанию рынка вызвало резкую критику профессиональных экономистов [165], справедливо указывавших на отсутствие глобального «сохранения денег» в экономике и на игнорирование фактора

производства в кинетических моделях . Однако сами модели этими возражениями не опровергаются, а от допущения только локального (или даже локального в среднем) сохранения «энергии» становятся лишь более гибкими. Более существенным представляется то обстоятельство, что «больц-мановские» 95 % населения в основном составляют наемные работники (живущие на зарплату, хранящие деньги в сберкассах, делающие основные покупки в супермаркетах и весьма редко участвующие в торге со свободно устанавливаемой ценой), которых вряд ли можно считать активными рыночными агентами. Как экспоненциальное падение, так и асимптотика Парето в распределении доходов могут объясняться совсем другой причиной: структурой социальных систем, которой в стационарных условиях отвечают экспоненциально масштабируемые сети с безмасштабным управляющим ядром [28]. В этом случае искомое распределение Р(м) непосредственно вытекает из гипотезы wi - к, где кг — порядок /-го узла в сети, хотя более естественной «обогащающей переменной» следовало бы считать важность, или нагрузку узла (см. п. 3.2.3).

Отметим, что различные формы локального «сохранения энергии в среднем» в кинетической модели обмена с N агентами как поставщиками товаров и услуг равнозначны симметричному распределению цены товара вокруг его стоимости, для чего требуется нереализуемое условие N ^ ад. В конечной совокупности агентов — в данном слу-

7 В цитируемой статье четырех известных теоретиков «Тревожные тенденции в эконофизике», помимо кинетических моделей, критиковались «предсказания конца света» по временным рядам и качественная визуализация асимптотики ~г~а в двойных логарифмических координатах без привлечения современных инструментов эконометрики. По нашему мнению, эта полемика действительно отражает «столкновение культур» [94]: развитая культура измерений в физике, по сравнению с общественными науками, выработала более простые и объективные формы анализа экспериментальных данных.

чае включающей в себя наемных работников — стремление индивидуумов к максимальной выгоде, по-видимому, должно порождать асимметричные распределения с тенденцией к завышению цены в каждой сделке. Подобным нарушением локального «сохранения денег» при отсутствии их глобального сохранения на качественном уровне можно объяснить явление инфляции.

В работах последних лет [166—172] учитывается и моделируется сетевая структура экономических отношений (см. также п. 3.2). В таких работах «энергия» (благосостояние) перераспределяется по априорно задаваемым правилам между узлами регулярной решетки или вершинами растущих сетей Барабаши—Альберт. В численном моделировании сети с «рождением» и «смертью» узлов, случайным образованием ребер и предпочтительным переходом энергии к «богатым» узлам с большей энергией или (и) более высокой связностью, аналогично моделям наследования в экономической теории [160], получено кумулятивное распределение дохода, промежуточное между экспоненциально убывающим и лог-нормальным, с обратным степенным «хвостом» [166]. Сам по себе «хвост Парето», являясь частным случаем обратного степенного закона Ципфа, справедливого для многих социальных систем [56, 109], воспроизводится и на бесструктурной совокупности агентов [173], однако модельные распределения в этом случае не имеют негиперболического «ядра» (см. рис. 15, ау б).

Методы статистической физики применялись к анализу сетей в бизнесе [48, 167, 172]; на сетях размещаются агенты в современных кинетических моделях обмена [171]. Также с помощью сетей описывают корреляции и кластеризацию ценных бумаг [168, 169] («топологию рынка», [98, гл. 8]) и структуру биржевых индексов [170]. В недавней работе [49] обсуждалась топология мировой сети глобального корпоративного управления, составленной из взаимозависимых транснациональных корпораций (ТНК). Структуру сети отражает ориентированный взвешенный граф, вершины которого соответствуют фирмам, ориентированные ребра (стрелки А ^ В) отражают нахождение части (WAB/WJ) активов фирмы А в собственности фирмы В, а доля фирмы В в управлении фирмой А определяется отношением (WAB/WA), стоимостью WB фирмы В, а также набором и ориентацией путей между А и В через другие вершины графа. Максимальный связный компонент сети, включающий в себя 94 % операционных доходов всех ТНК, имеет конфигурации асимметричного «галстука-бабочки» (bow-tie): он состоит из входящей и выходящей областей, соединенных ядром, и периферийных элементов («труб» и «усиков», рис. 17). В корпора-

Рис. 17. Основные части максимального связного компонента (МСК) в мировой сети транснациональных корпораций (ТНК):

I — входящий конус (0,6 %, 2,2 %), II — ядро (0,7 %, 18,7%), III — выходящий конус (15,1%, 59,8%), IV, V — «трубы» и «усики» (19,6%, 13,5%). Цифры в скобках: доля от общего числа ТНК (43 060, из них 15 491 в МСК) и доля операционных доходов всех ТНК, приходящиеся на каждую часть [49]

тивном ядре с высокой взаимосвязанностью узлов находится менее 300 корпораций (из них 3/4 — финансовые); 737 крупнейших держателей их акций контролируют около 80 % ТНК во всем мире [49].

В математизированных областях теории финансов и финансовой инженерии формализм физики стохастических процессов применялся задолго до возникновения эконофизики. В частности, дифференциальными уравнениями со случайными приращениями переменных описывают динамику цен на производные ценные бумаги (деривативы): форвардные и фьючерсные контракты на покупку высоколиквидных товаров в некоторый будущий момент времени по установленной цене, права на будущее приобретение определенных ценных бумаг (опционы), долговые обязательства правительств и корпораций и др. [97, 98]. В соответствии с названием, цены различных деривативов математически выражаются через производные цен акций и курсов валют и сильно изменяются во времени, делая «производные финансовые инструменты» привлекательными для спекуляций.

Поскольку производные стохастических величин трудно вычислить с приемлемой точностью по фрактальным рядам данных, в теории финансов цену дериватива С( У, 0 находят как функцию случайной переменной У(0 (цены акций) из дифференциальных уравнений вида С, У, Су , С/,

С у , ...) = 0 (где штрихами обозначены производные). Наиболее известно уравнение Блэка—Шо-улза (1973 г.) для «справедливой» цены опциона

C(Y, t) на идеальном финансовом рынке с гауссовыми флуктуациями логарифмической доходности акций вида (10а):

dC/dt = -1 а2Г2д2С/дГ2 - rYdC/dY + rC,

где r — ожидаемая доходность акций Y, ст2 — их (постоянная) волатильность. По своей форме оно относится к уравнениям математической физики и заменой переменных сводится к уравнению теплопроводности, т. е. решается точно (хотя решение имеет лишь ограниченную применимость к реальным финансовым рынкам [97, 98]). Дифференциальным уравнениям теории финансов посвящена обширная литература [174]. Благодаря быстрому росту в три последние десятилетия, суммарная номинальная стоимость производных ценных бумаг к 2008 г. достигла 600 трлн. долл., на порядок превысив общемировой ВВП [175] — что безусловно свидетельствует о нестабильности нынешней мировой экономической системы.

3.3.5. Квантовомеханический формализм в описании экономики и финансов

С начала 2000-х гг. к описанию экономики привлекают методы, заимствованные из квантовой механики. Состояние этого «горячего» раздела эко-нофизики характеризуют книги [104, 175—178] и журнальные публикации последних лет [179—183]. Фундаментальные проблемы «микро- и макромира» в таких исследованиях обычно не обсуждаются: мерой пригодности модели служат ее удобство

и логическая связность8. В одной из первых работ данного направления [179] покупки и продажи товара на рынке по некоторой цене Y(t), влияющие на его последующую рыночную цену Y(t + At) (market impact; см. выше), рассматривались как акты измерения «квантовой» переменной (цены), изменяющие состояние системы. Всем возможным состояниям рынка ставили в соответствие векторы \M) гильбертова пространства, а эволюцию состояний во времени задавали аналогом уравнения Шредингера id/dt\M)t = H(t)\M)t, где H — линейный оператор («гамильтониан»), построенный из операторов «рождения» и «уничтожения» для наличности и ценных бумаг. Этим методом получено лог-нормальное распределение измене-

«Пока нельзя сказать, насколько квантовое описание финансов лучше стохастического с фундаментальной точки зрения, но вполне возможно, что наблюдаемые корреляции проще и эффективнее анализировать методами квантовой теории» [179].

ний цены акций с дисперсией, пропорциональной интервалу времени между покупкой и продажей.

В серии работ Бааки и соавт. [175, 176] цена акций У(1) рассматривалась как случайная переменная, аналогичная координате q квантовой частицы, а цену опциона С(У, 1) получали как формальный аналог волновой функции у(д, 1) решением

уравнения дС/д1 = Н С(У, 1), где стохастическую зависимость С(У, 1) от стоимости акций описывал

оператор Гамильтона Н. Различные формы гамильтониана соответствовали как модели Блэка— Шоулза (правая часть уравнения (11)), так и другим моделям, используемым в теории финансов. В этом варианте «уравнения Шредингера» функции С( У, 1) были действительными, а собственные значения гамильтониана комплексными [176]. Доходность производных ценных бумаг в моделях с

нелинейным оператором Н оценивали методами квантовой теории поля [175], применяемыми в «финансовой инженерии» с 1990-х гг. [177]. Для оценки риска на финансовых рынках Пиотровский и соавт. предложили применять квантовую теорию игр, сформулировав «квантовый антроп-ный принцип»: эволюцию рынка от классической стохастической динамики к квантовой при увеличении доли спекулятивных финансовых инструментов [180]. Российские исследования в области квантовой экономики представлены работами В.П. Маслова [104].

Цитированные исследования примыкают к большому разделу теоретической физики, посвященному применению различных вариантов уравнений Гамильтона к описанию макроскопических систем (таких как нелинейное уравнение Шредингера в гидродинамике) [184]. В работах группы Хренникова в шведском университете Вексьо (Уах|б) высказывается значительно более сильное предположение о «квантовоподобном» характере процессов, протекающих в человеческом сознании, и обусловленной ими «квантовой» динамике поведения агентов в социальных системах, включая спекулятивный финансовый рынок [178]. В основу описания такой динамики положена концепция Дэвида Бома [185, 186], впервые сформулированная в 1950-е гг. и в отечественной литературе обычно называемая теорией скрытых параметров. В ее рамках квазиклассическое выражение для волновой функции у(д, 1) = Яехр[(//Н)Б(д, 1)] (где Я = 1)| и Б — действие), подставленное в одномерное уравнение Шредингера

2

ihdy/dt = -2m [d2/dq2 + V(q, t)]y,

стандартным путем преобразуется к соотношениям

dS/dt - 2m (dS/àq)1 +

= 0,

à(R2)/àt + 1 à/àq(R1àS/àq) = 0, (12б) m

первое из которых при i ^ 0 превращается в уравнение Гамильтона — Якоби для действия S(q, t) классической частицы (предельный переход к классической механике), а второе является уравнением непрерывности для плотности вероятности распределения квантовой частицы R2 = \y(t, q)\2 [187]. В рамках «бомовской» механики (12а) рассматривается как уравнение движения квантовой частицы под совокупным воздействием детерминистского потенциала V и «направляющей» волновой функции (pilot wave) R(q, t), заданной уравнением Шредингера (12б). Уравнение (12а), обобщаемое на пространство координат {дД любой размерности, в квадратных скобках содержит потенциал с детерминистской частью V(q, t) и «квантовыми» возмущениями, превращающими непрерывную траекторию частицы во фрактальное множество точек.

Формализм бомовской механики позволяет описать все известные квантовомеханические явления [185], допуская при этом наличие точного положения в пространстве и точного импульса у квантовой частицы в любой момент t (насколько эти термины можно перенести с гладких траекторий на фрактальные) [186]. Последнее обстоятельство ликвидирует многочисленные парадоксы, связанные с «буквальным» представлением дискретных частиц волнами вероятности, и подтверждается данными по рассеянию молекулярных пучков, полученными в 1990-е гг. в ходе экспериментальной проверки основных постулатов квантовой механики [188, 189]. Тем не менее, квантовоме-ханическая концепция Бома с середины ХХ в. остается предметом интенсивных дискуссий и до сих пор не является общепризнанной. В работах Хренникова и соавт. (см. [178] и цитированную литературу) бомовскими траекториями предлагается описывать эволюцию финансовых рынков под воздействием детерминистского «потенциала» V(Q, t) (где набору координат Q отвечают объективно действующие ценовые факторы) и направляющей волновой функции, которая отражает психологию участников рынка. В статье [181] выделяются «жесткий» и «мягкий» компоненты совокупного рыночного потенциала: «жесткий» детерминированный рынок реализуется при ограни-

ченных ресурсах, тогда как «мягкими» являются спекулятивные рынки, динамика которых сильно зависит от психологии игроков. Эмпирические аналогии экономических и иных социальных процессов с квантовыми явлениями обсуждаются в работах последних лет [182, 183, 190].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работы, рассмотренные в настоящей (второй) части обзора, выполнены в наиболее формализованных направлениях физики социальных систем; они хорошо иллюстрируют как достижения, так и ограничения всей области в целом. Физические исследования сетей «реального мира» по своей идеологии имеют много общего с рассмотренными в первой части исследованиями транспортных и пешеходных потоков [1]. В обеих областях точные решения, воспроизводящие на качественном уровне некоторые наблюдаемые черты социальных систем, удается получить лишь для весьма идеализированных моделей, которые довольно далеки как от реалистического описания системы, так и от исходных физических принципов. В частности, эпидемиологическая модель SIR, соответствующая задаче о перколяции связей в графе, имеет точное решение, тогда как формально более простая модель SIS точного решения не имеет. В «приближении среднего поля», позволяющего проинтегрировать дифференциальные уравнения распространения инфекции в сети, для всех ребер постулируется единая вероятность соединения не-инфицированного узла с инфицированным [18], так что суммарная вероятность заражения узлов достаточно высокого порядка оказывается больше 1. Нередко реальные сети (в лучшем случае относящиеся к мезоскопическим системам) анализируют на основе асимптотических соотношений, справедливых лишь для бесконечного числа узлов. Для численного же расчета процессов в конечных сетях социальных взаимодействий необходимо сначала установить их структуру — обычно априори неизвестную — и тесно связанный с ней механизм процесса (чаще всего заимствуемый из уже опубликованных работ). Все это привносит в область, официально называемую статистической физикой сетей [5—21], существенные черты имитационного моделирования.

Эконофизические исследования существенно отличаются от прочих направлений «физики общества» отсутствием единой теоретической модели, разнородностью решаемых задач и, в целом, применением более сложного и даже экзотического формального аппарата. Эти качества, вероят-

но, обусловлены особым местом количественных методов экономики в жизни людей. Среди всех социальных дисциплин экономические науки обладают наиболее развитой собственной теорией, определенная часть которой в разное время была заимствована из теоретической физики. Из полемики профессиональных экономистов с физиками [82, 94, 108, 165] в любом случае можно видеть, что нынешняя эконофизика не охватывает всех квазифизических представлений экономики и представляет лишь скромную долю ее моделей. Достижения эконофизики в прогнозировании и управлении также пока несравнимы с эффективностью традиционных экономических методов. Поэтому, за пределами динамики биржи, интерес физиков здесь остается в основном академическим. Тем не менее, физические идеи и подходы уже заметно изменили экономическую теорию.

Как и в других приложениях физики к социуму, большой положительный вклад в экономическую науку вносят объективные методы регистрации и обработки эмпирических данных. Помимо выявления новых закономерностей («биржевые» флуктуации [112], фрактальные графики [102], распределения доходов населения [154, 155]), такие работы повышают уровень требований к количественным измерениям, способствуя переходу от «стилизованного» описания к проверяемым моделям. (Заслуга эконофизики, в частности, состоит в опровержении гауссова характера рыночных случайных процессов, постулированного в ряде экономических теорий [81, 90, 91]). Эмпирически установленное подобие явлений в разных социальных системах («фазовый переход» [103, 121], «закон Ципфа» [56, 109] и др.) индуцирует их единое описание, снижая амбивалентность «классических» конструкций. Все это делает экономическую теорию более объективной, тем самым приближая ее к физике.

Встречное внедрение физического формализма наблюдается прежде всего в прикладных экономических задачах. Кроме частных примеров «экономической энтропии» и теории финансов (см. выше), следует упомянуть общие динамические модели экономики, где методы теоретической физики применяются очень широко [84, 88] — особенно в задачах прогнозирования и планирования [191]. В отдаленной перспективе можно ожидать соединения математических моделей экономики в единую физически обоснованную теорию, в которой усеченное распределение Леви, кластеризация волатильности и другие проблемы нынешней эконофизики вряд ли займут центральное место. В этом смысле большой интерес представ-

ляет «квантовая» феноменология явлений, обусловленных человеческим сознанием. Поскольку квантовоподобными моделями, помимо спекулятивного рынка, уже описывают динамику общественного мнения и некоторые задачи лингвистики (эти вопросы будут рассмотрены в третьей части), данное направление развития физики общества представляется весьма многообещающим.

ЛИТЕРАТУРА

1. Словохотов Ю.Л. Физика и социофизика. Ч. 1. Физические основы социальных явлений. Влияние солнечной активности на процессы в обществе. Движение в системе «живых частиц» // Проблемы управления. — 2012. — № 1. — С. 2—20.

2. Гусев А.И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехноло-гии. — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2009.

3. Moussaid M., et al. The walking behavoliour of pedestrian social groups and it's impact on crowd dynamics // PLoS ONE — 2010. — Vol. 5, N 4. e10047.

4. Ren W, Beard R.W. Distributed consensus in multi-vehicle cooperative control: theory and applications. — London: Springer, 2008. — 319 p.

5. The structure and dynamics of networks / M. Newman, Bara-basi, D.J. Watts (Eds.). — Princeton: Princeton Univ. Press, 2006. — 582 p.

6. Pastor-Satorras R., Vespignani A. Evolution and structure of the Internet: a statistical physics approach. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004. — 267 p.

7. Wu C.W. Synchronization in complex networks of nonlinear dynamical systems. — Singapore: World Scientific, 2007. — 162 p.

8. Cooperative control of distributed multi-agent systems / J.S. Shamma (Ed.). — London: Wiley, 2007. — 452 p.

9. Barrat A., Barthelemy M., Vespignani A. Dynamical processes on complex networks. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2008. — 368 p.

10. Jackson M.O. Social and economic networks. — Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 2008. — 520 p.

11. Newman M. Networks: an introduction. — Oxford: Oxford Univ. Press, 2010. — 720 p.

12. Dorogovtsev S.N. Lectures on complex networks. — Oxford: Oxford Univ. Press, 2010. — 144 p.

13. Mesbahi M., Egerstedt M. Graph theoretic methods in multiagent networks. — Princeton, N.J.: Princeton Univ. Press, 2010. — 424 p.

14. Ren W., Cao Y. Distributed Coordination of Multi-Agent Networks: Emergent Problems, Models, and Issues. — London: Springer, 2011. — 307 p.

15. Estrada E. The structure of complex networks: theory and applications. — Oxford: Oxford Univ. Press, 2011. — 448 p.

16. Губанов Д.А., Новиков Д.А., Чхартишвили А.Г. Социальные сети: модели информационного влияния, управления и противоборства. — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 228 с.

17. Albert R., Barabasi A.-L. Statistical mechanics of complex networks // Rev. Mod. Phys. — 2002. — Vol. 74, N 1. — P. 47—97.

18. Newman M.E.J. The structure and function of complex networks // SIAM Review. — 2003. — Vol. 45, N 2. — P. 167—256.

19. Dorogovtsev S.N., Goltsev A.V., Mendes J.F.F. Critical phenomena in complex networks // Rev. Mod. Phys. — 2008. — Vol. 80, N 4. — P. 1275—1335.

20. Lu L., Zhou T. Link Prediction in Complex Networks: A Survey // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. — 2011. — Vol. 390. — P. 1150—1170.

21. Евин И.А. Введение в теорию сложных сетей // Компьютерные исследования и моделирование. — 2010. — Т. 2, № 2. — С. 121—141.

22. Watts D.J., Strogatz, S.H. Collective dynamics of 'small-world' networks // Nature. — 1998. — Vol. 393. — P. 440—442.

23. Харари Ф. Теория графов. — 3-е изд. — М.: КомКнига, 2006. — 296 с.

24. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. — М.: Наука, 1986. — 497 c.

25. Новиков Д.А. Теория управления организационными системами. — М.: Физматлит, 2007. — 228 с.

26. Кулинич А.А. Компьютерные системы анализа ситуаций и поддержки принятия решений на основе когнитивных карт: подходы и методы // Проблемы управления. — 2011. — № 4. — С. 31—45.

27. Абрамова Н.А., Коврига С.В. Некоторые критерии достоверности моделей на основе когнитивных карт // Там же. — 2008. — № 6. — С. 23—33.

28. Amaral L.A.N, Scala A., Barthelemy M., Stanley H.E. Classes of behavior of small-world networks // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2000. — Vol. 97, N. 21. — P. 11149—11152.

29. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. — М.: Мир, 1973. — 425 с.

30. Dorogovtsev S.N., Krapivsky P.L., Mendes J.F.F. Transition from small to large world in growing networks // Europhys. Letters. — 2008. — Vol. 81, 30004.

31. Задорожный В.Н. Случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания // Проблемы управления. — 2010. — № 6. — С. 2—11.

32. Boguna M., Pastor-Satorras R., Vespignani A. Epidemic spreading in complex networks with degree correlations // Lect. Notes Phys. — 2003, 650, 425, arXiv:cond-mat/0301149v1 (2003).

33. Castellano C, Fortunato S., Loreto V. Statistical physics of social dynamics // Rev. Mod. Phys. — 2009. — Vol. 81, N 2. — P. 591—646.

34. Albert R., Jeong H., Barabasi A.-L. Error and attack tolerance of complex networks // Nature. — 2000. — Vol. 406. — P. 378—381.

35. Draief M., Ganesh A., Massoulie L. Thresholds for virus spread on networks // Ann. Appl. Probability. — 2008. — Vol. 18, N. 2. — P. 359—378.

36. Hu H, Myers S, Colizza V, Vespignani A. WiFi networks and malware epidemiology // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2009. — Vol. 106, N 5. — P. 1318—1323.

37. Shiraki Y., Kabashima Y. Cavity analysis on the robustness of random networks against targeted attacks: Influences of degree-degree correlations // Phys. Rev. E. — 2010. — Vol. 82, N 3. 036101; avXiv:1002.4938v2 (2010).

38. Newman M.E.J. Detecting community structure in networks // Eur. Phys. J. B. — 2004. — Vol. 38, N 2. — P. 321—330.

39. Palla G, Barabasi A-L., Vicsek T. Quantifying social group evolution // Nature. — 2007. — Vol. 446. — P. 664—667.

40. Cajueiro D.O. Optimal navigation in complex networks // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 79, N 4. 046103.

41. Leung I.X.Y., Hui P., Lio P., Crowcroft J. Towards real-time community detection in large networks // Ibid. — 2009. — Vol. 79, N 6. 066107.

42. Bullock S., Geard N. Spatial embedding as an enabling constraint: Introduction to a special issue of complexity on the topic of «Spatial Organization» // Complexity. — 2010. — Vol. 16, N 2. — P. 8—10.

43. Evans A.J. Complex spatial networks in application // Ibid. — 2010, — Vol. 16, N 2. — P. 11—19.

44. De Martino D, Dall'Asta L, Bianconi G, Marsili M. Congestion phenomena on complex networks // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 79, N 1. 015101(R).

45. Candia J., et al. Uncovering individual and collective human dynamics from mobile phone records // J. Phys. A: Math. The-or. — 2008. — Vol. 41. 224015.

46. Onnela J.-P., et al. Structure and tie strengths in mobile communication networks // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2007. — Vol. 104, N 18. — P. 7332—7336.

47. Buzna L., et al. Robustness of trans-European gas networks // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 80, N 1. 016106.

48. Fagiolo G, Reyes J., Schiavo S. World-trade web: topological properties, dynamics, and evolution // Ibid. — 2009. — Vol. 79, N 3. 036115.

49. Vitali S, Glattfelder J.B., Battiston S. The network of global corporate control // PLoS ONE 6(10): e25995. URL: http:// dx.doi.org/10.1371/journal.pone.0025995 (дата обращения 30.01.2012).

50. Vaz Martins T, Toral R., Santos M.A. Divide and conquer: resonance induced by competitive interactions // Eur. Phys. J. B. — 2009. — Vol. 67, N 3. — P. 329—336.

51. Moreno Y., Pacheco A.F. Synchronization of Kuramoto oscillators in scale-free networks // Europhys. Lett. — 2004. — Vol. 68, N 4. — P. 603—609.

52. Gomez-Gardennes J., Moreno Y., Arenas A. Synchronizability determined by coupling strengths and topology on complex networks // Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 75, N 6. 066106.

53. Chen M., Shang Y, Zou Y, Kurths J. Synchronization in the Kuramoto model: a dynamical gradient network approach // Ibid. — 2008. — Vol. 77, N 2. 027101.

54. Kalloniatis A. From incoherence to synchronicity in the network Kuramoto model // Ibid. — 2010. — Vol. 82, N 6. 066202.

55. Neda Z, et al. Physics of the rhythmic applause // Phys. Rev. E. — 2000. — Vol. 61, N 6. — P. 6987—6992.

56. Newman M.E.J. Power laws, Pareto distributions and Zipfs law // Contemp. Phys. — 2005, — Vol. 46, N 5. — P. 323—351.

57. Watts D.J. A simple model of of global cascades on random networks // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2002. — Vol. 99, N 9. — P. 5766—5771.

58. Holme P., Kim B.J. Vertex overload breakdown in evolving networks // Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 65, N 6. 066109.

59. Motter A.E., Lai, Y.-C. Cascade-based attacks on complex networks // Ibid. — 2002. — Vol. 66, N 6. 065102.

60. Dobson I., Carreras B, Newman D. Complex systems analysis of series of blackouts: cascading failure, critical points, and self-organization // Chaos. — 2007. — Vol. 17, N 2. 026103.

61. Buldyrev S., et al. Catastrophic cascade of failures in interdependent networks // Nature. — 2010. — Vol. 464. — P. 1025— 1028.

62. Palla G, Derenyi I, Farkas I, Vicsek T. Statistical mechanics of topological phase transitions in networks // Phys. Rev. E. — 2004. — Vol. 69, N 4. 046117.

63. Метод молекулярной динамики в физической химии / Ред. Ю.К. Товбин. — М.: Наука, 1996. — 334 с.

64. Vicsek T. Phase transitions and overlapping modules in complex networks // Physica A. — 2007. — Vol. 378, N 1 — P. 20—32.

65. Kami N., Ikeda H. Topological transition in dynamic complex networks // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 79, N 5. 056112.

66. Бреер В.В. Стохастические модели социальных сетей // Управление большими системами. — 2009. — № 27. — С. 169—202.

67. Kaluza P., Strege C., Meyer-Ortmanns H. Noise as control parameter in networks of excitable media: role of the network topology // Phys. Rev. E. — 2010. — Vol. 82, N 3. 036104.

68. Vaz Martins T., Livina V.N., Majtey A.P., Toral R. Resonance induced by repulsive interactions in a model of globally-coupled bistable systems, arXiv:1001.2993v1 [cond-mat.stat-mech] 18 Jan. 2010.

69. Odor G., Juhasz R., Castellano C., Munoz M.A. Griffiths phases in the contact process on complex networks // AIP Conf. Proc. — 2011. — Vol. 1332. — N 1. — P. 172—178 arXiv: 1010.4413v1 [cond-matt.stat-mech] 21 Oct. 2010.

70. Rogers E.M. Diffusion of innovations. — 5th Ed. — N.-Y.: Free Press, 2003. — 512 p.

71. Meade N., Islam T. Modelling and forecasting the diffusion of innovation — A 25-year review // Int. J. of Forecasting. — 2006. — Vol. 22, N 3. — P. 519—545.

72. Valente T.W. Social network thresholds in the diffusion of innovations // Social Networks. — 1996. — Vol. 18, N 1. — P. 60—89.

73. Raynaud D. Why do diffusion data not fit the logistic model? A note on network discreteness, heterogeneity and anisotropy // From sociology to computing in social networks: theory, foundations and applications. Series: Lecture notes in social networks / N. Memon, R. Alhajj (Eds.). — 2010. — Vol. 1. — P. 81—96.

74. Van Slyke C, Ilie V., Lou H., Stafford T. Perceived critical mass and the adoption of a communication technology // Europ. J. Inform. Syst. — 2007. — Vol. 16, N 3. — P. 270—283.

75. Montanari A., Saberi A. The spread of innovations in social networks // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2010. — Vol. 107, N 47. — P. 20196—20201.

76. Wilson R. Diffusion theory applied to the current Mandaean diaspora. — URL: http://rickwilsondmd.typepad.com/mandae-ancrisis (дата обращения 7.02.2012).

77. Shirkey C. Here comes everybody. The power of organizing without organization. — Penguin, 2008. — 336 p.

78. Onnela J.-P., Reed-Tsochas F. Spontaneous emergence of social influence in online systems // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 2010. — Vol. 107, N 43. — P. 18375—18380.

79. Centola D. The spread of behavior in an online social network experiment // Science. — 2010. — Vol. 329. — P. 1194—1197.

80. Simoni M., Tatarynowicz A., Vagnani G. The complex dynamics of innovation diffusion and social structure: a simulation study // Proc. 1st Int. Conf. on Econ. Sciences with Heterogeneous Interacting Agents (WEHIA 2006). — URL: http:// www2.dse. unibo/it/wehia/paral_session.htm.

81. Bachelier L. Theorie de la speculation // Annales scientifiques de l/E,N,S. 3e serie. — 1900. —Vol. 17. — P. 21—86.

82. Farmer J.D., Shubik M., Smith E. Is economics the next physical science? // Phys. Today. — 2005. — Vol. 58, N 9. — P. 37—42; arXiv: physics/0506086 v1 9 June 2005.

83. Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Экономика: учебник для вузов. — М.: Инфра-М, 2000. — 269 с.

84. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики // Успехи физ. наук. — 2002. — Т. 172, № 9. — С. 1045—1066.

85. Вайдлих В., Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках: пер. с англ. — М: URSS, 2005. — 480 с.

86. Hanneman R. Computer-assisting theory building: modelling dynamic social systems. — Newsburry Park: Sage Publications, 1988. — 340 p.

87. Kollman K., Miller J.H., Page S.E. (Eds.), Computational models in political economy. — Cambridge: MIT Press, 2003. — 293 p.

88. Sargent T.J. Dynamic macroeconomic theory. — Cambridge: Harvard Univ. Press, 1987. — 369 p.

89. Edwards R.D., Magee J., Bassett W.H.C. Technical analysis of stock trend. — 9th Ed. — N.-Y.: CRC Press, 2007. — 752 р.

90. Atkinson A.B., Bourguignon F. (Eds.) Handbook of income distribution. — Amsterdam: Elsevier, 2000. — Vol. 1. — 958 р.

91. Tesfatsion L, Judd K.L. (Eds.) Handbook of computational economics. — Amsterdam: North-Holland, 2006. — 904 р.

92. Mantegna R.N, Stanley H.E. Scaling behavior in the dynamics of an economic index // Nature. — 1995. —Vol. 376. — P. 46—49.

93. Stanley H.E, et al. Similarities and differences between physics and economics // Physica A. — 2001. — Vol. 299, N 1. — P. 1—15.

94. Ball P. Econophysics: culture crash // Nature — 2006. — Vol. 441, — P. 686—688.

95. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник. — М.: Экзамен, 2002. — 576 с.

96. Myerson R.B. Game theory: analysis of conflict. — Harvard: Harvard Univ. Press. — 1997. — 600 p.

97. Мантенья Р.Н., Стенли Г.Ю. Введение в эконофизику. Корреляции и сложность в финансах: пер. с англ. — М.: URSS, 2009. — 192 с.

98. Романовский М.Ю., Романовский Ю.М. Введение в эконо-физику. Статистические и динамические модели. — М.: ИКИ, 2007. — 280 с.

99. Видов П.В., Романовский М.Ю. Аналитические представления негауссовых законов случайных блужданий // Тр. ИОФАН. — 2009. — Т. 65. — С. 3—19.

100. Романовский М.Ю. Функциональные блуждания Леви // Там же. — С. 20—28.

101. Галкин С.А. и др. Экспоненциальные распределения индивидуальных доходов и расходов граждан: наблюдения и модели // Там же. — С. 29—49.

102. Дубовиков М.М, Старченко Н.В. Эконофизика и фрактальный анализ финансовых временных рядов // Успехи физ. наук. — 2011. — Т. 181. — № 7. — С. 779—786.

103. Сорнетте Д. Как предсказывать крахи финансовых рынков — М.: И-Трейд, 2003. — 198 с.

104. Маслов В.П. Квантовая экономика. — 2-е изд. — М.: Наука, 2006. — 92 с.

105. Naldi G, Pareschi L, Toskani G. (Eds.) Mathematical modeling of collective behavior in socio-economic and life sciences. — Berlin: Springer, 2010. — 438 p.

106. Chakrabarti B.K., Chakraborti A., Chatterie A. (Eds.) Econo-physics and sociophysics: trends and perspectives. — Berlin: Wiley-VCH, 2006. — 622 p.

107. Basu B, Shakravarthy S.R., Chakrabarti B.K., Gangopadhaya K. (Eds.) Econophysics and economics of games, social choices and quantitative techniques. — Berlin: Springer, 2010. — 394 p.

108. Lillo F. Econophysics and the challenge of efficiency // Complexity. — 2008. — Vol. 14, N 3. — P. 39—54.

109. Gabaux X. Power laws in economics and finance // Ann. Rev. Econ. — 2009. — Vol. 1. — P. 225—293.

110. Chakraborti A, Muni Toke I.M., Patriarca M, Abergel F. Econophysics review: I. Empirical facts Quantitative Finance. — 2011. — Vol. 11, N 7. — P. 991—1012; II. Agent-based models // Ibid. — P. 1013—1041; arXiv:0909.1974v1.

111. Cont R. Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues // Quant. Finance. — 2001. — Vol. 1, N 2. — P. 223—236.

112. Stanley H.E., Plerou V. Scaling and universality in economics: empirical results and theoretical interpretation // Ibid. — 2001. — Vol. 1, N 6. — P. 563—567.

113. Wang F., Shieh S.-J., Havlin S., Stanley H. E. Statistical analysis of the overnight and daytime return // Phys. Rev. E. —

2009. — Vol. 79, N 5. 056109.

114. Gabaix X., Gopikrishnan P., Plerou V., Stanley E. A unified econophysics explanation for the power-law exponents of stock market activity // Physica A. — 2007. — Vol. 382 — N 1. — P. 81—88.

115. Mahnke R., Kaupuzs J., Lubashevsky I. Physics of stochastic processes. How randomness acts in time. — Berlin: Wi-ley-VCH, 2008. — 430 p.

116. Mandelbrot B. The fractal geometry of Nature. — San Francisco: Freeman, 1982. — 460 p.

117. URL: http://stockcharts.com/charts/historical/djia1900.html (дата обращения 7.02.2012).

118. Dubovikov M.M., Starchenko N.S., Dubovikov M.S. Dimension of the minimal cover and fractal analysis of time series // Physica A. — 2004. — Vol. 339, N 3—4. — P. 591—608.

119. Sornette D., Johansen A. A hierarchical model of financial crashes // Physica A. — 1998. — Vol. 261, N 3—4. — P. 581—598.

120. Ormerod P., Mounfield C. Power law distribution of the duration and magnitude of recession of capitalist economies: breakdown of scaling // Ibid. — 2001. — Vol. 293, N 3—4. — P. 573—582.

121. Johanssen A., Sornette D. Finite-time singularity in the dynamics of the world population, economic and financial indexes // Ibid. — 2001. — Vol. 294. — N 3—4. — P. 465—502.

122. Aleksiejuk A., Holyst J.A. A simple model of bank bankruptcies // Ibid. — 2001. — Vol. 299, N 1—2. — P. 198—204.

123. Kaizoji T. A model of international financial crises // Ibid. — 2001 — Vol. 299. — N 1—2. — P. 279—293.

124. Von Foerster H., Mora P., Arniot L. Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026 // Science. — 1960. — Vol. 132. — P. 1291—1295.

125. Kremer M. Population growth and technological change: one million B.C. to 1990 // Quart. J. Econ. — 1993. — Vol. 108, N 3. — P. 682—716.

126. Капица С.П. Общая теория роста человечества. — М.: Наука, 1999. — 117 c.

127. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5: Статистическая физика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1964. — С. 501—537.

128. Zhou W.-X., Sornette D. Testing the stability of the 2000 US stock market «antibubble» // Physica A. — 2005. — Vol. 348. — P. 429—452, arXiv:cond-mat/0310092v2.

129. Zhou W.-X, Sornette D. Fundamental factors versus herding in the 2000-2005 US stock market and prediction // Ibid. — 2006. — Vol. 360. — N 2. — P. 459—482, arXiv:phys-ics/0505079v1.

130. Подлазов А.В. Природа лог-периодических колебаний, возникающих при приближении к катастрофе // Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики. — М.,

2010. — С. 142—160.

131. Григорьев О.В., Хазин М.Л. Сценарий финансового кризиса // Метод. семинар ФИАН. — Вып. 2, ч. 2. — URL: http://www.netda.ru/fian/fian2b.htm#05 (дата обращения 7.07.2011).

132. Lillo F, Mantegna R.N. Dynamics of a financial market index after a crash // Physica A. — 2004 — Vol. 338, N 1—2. — P. 125—134.

133. Sornette D, Woodard R., Zhou W.-X. The 2006—2008 oil bubble: evidence of speculations and predictions // Ibid. — 2009. — Vol. 388, N 8. — P. 1571—1576.

134. Takayashi M, Watanabe T, Takayashi H. (Eds.) Econophys-ics approaches to large-scale business data and financial crisis: proceedings of Tokyo Tech-Hitotsubashi interdisciplinary conference +APFA7. — Berlin: Springer, 2010. — 342 p.

135. Словохотов Ю.Л. Аналоги фазовых переходов в экономике и демографии // Компьютерные исследования и моделирование. — 2010. — Т. 2, № 2. — С. 202—218.

136. Sandoval L. Jr., de Paula Franca I. Correlation of financial market in times of crisis, arXiv:1102.1339v.

137. Tsirel S.V., Akaev A., Fomin A., Korotayev A.V. Log-periodic oscillations analysis and possible burst of the «Gold Bubble» in April — June 2011, Structure and Dynamics // eJournal of Antropoligical and Related Science. — 2010. — Т. 4, N 3. — P. 1—11 [Полная версия: URL: http://arxiv.org/ftp/arxiv/ papers/1012/1012.4118.pdf (дата обращения 6.02.2012)].

138. Auerbach A. J. (Ed.) Mergers and acquisitions. — Chicago: Univ. Chicago Press, 1988. — 108 p.

139. Penrose E. The theory of the growth of the firm. — 3rd ed. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1995. — 296 p.

140. URL: http://www.kitco.com/charts//historicalgold.html (дата обращения 6.02.2012).

141. Smith E., Foley D.K. Classical thermodynamics and economic general equilibrium theory // J. Econ. Dynamics & Control. — 2008. — Vol. 32, N 1. — P. 7—65.

142. De Benedictis L., Taglioni D. The gravity model in international trade // The trade impact of European Union preferential policies / De L. Benedictis, L. Salvatici (eds.). — Berlin: Springer, 2011. — 250 p.

143. Moro R., et al. Market impact and trading profile of hidden orders in stock markets // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 80, N 6. 066102.

144. Габидулин Э. М., Пилипчук Н. И. Лекции по теории информации. — М.: МФТИ, 2007. — С. 16. — 214 с.

145. Darbellay G.A., Wuertz D. The entropy as a tool for analyzing statistical dependences in financial time series // Physica A. — 2000. — Vol. 287, N 3—4. — P. 429—439.

146. Dionisio A., Menezes R., Mendes D.A. Entropy and uncertainty analysis in financial markets, arXiv: 0709.0668v1 [q-fin.ST] 5 Sep 2007.

147. Kenett D.Y., et al. Index cohesive force analysis reveals that the US market became prone to systemic collapses since 2002 // PLoS ONE. — 2011. — Vol. 6, N 4. e19378.

148. Chen J. The physical foundation of economics: an analytical thermodynamic theory. — Singapure: World Scientific Publishing, 2005. — 132 p.

149. Chen J. The entropy theory of mind and behavioral finance // Social Science Research Network, 3.01.2011. — URL: http:// papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm (дата обращения 6.02.2012).

150. Чернавский Д.С. Синергетика и информация: динамическая теория информации. — 3-е изд. — М.: ЛКИ, 2009. — 304 с.

151. Volobuev D. «Toy» dynamo to describe the long-term solar activity cycles // Solar Physics. — 2006. — Vol. 238. — P. 421—430.

152. Stauffer D., Radomski J.P. Scaling in the Donangelo — Snep-pen model for evolution of money // Physica A. — 2001. — Vol. 291, N 1—4. — P. 583—586.

153. Shubik M., Smith E. Structure, clearinghouses and symmetry // Econ. Theory. — 2007. — Vol. 30, N 3. — P. 587—597.

154. Dragulescu A., Yakovenko V.M. Exponential and power-law probability distributions of wealth and income in the United Kingdom and the United States // Physica A. — 2001. — Vol. 299, N 1—2. — P. 213—221.

155. Banerjee A., Yakovenko V.M. Di Matteo T. A study of the personal income distribution in Australia, arXiv:physics/0601176v1 [physics.soc-ph] 22 Jan. 2006.

156. Banerjee A., Yakovenko V.M. Universal patterns of inequality // New J. Phys. — 2010. — Vol. 12. 075032.

157. Scafetta N., Picozzi S., West B.J. An out-of-equilibrium model of the distribution of wealth // Quant. Finance. — 2004. — Vol. 4, N 3. — P. 353—364.

158. Chatterjee A., Sen P. Agent dynamics in kinetic models of wealth exchange // Phys. Rev. E. — 2010. — Vol. 82, N 5. 056117.

159. Toscani G., Brugna C. Wealth redistribution in Boltzmann-like models of conservative economies // Econophysics and economics of games, social choices and quantitative techniques / B. Basu, S.R. Shakravarthy, B.K. Chakrabarti, K. Gangopad-haya (eds.). — Berlin: Springer, 2010. — Part I. — P. 71—82.

160. Nirei M. Pareto distributions in economic growth models / Hitotsubashi University IIR Working Paper 09-05. — URL: http://hdl.handle.net/10086/17503.

161. Kleiber C. The Lorenz curve in economics and econometrics / Working paper 09/07, Faculty of Business and Economics, University of Basel, 2007. — URL: http://wwz.unibas.ch/ uploads/tx_x4epublication/09_07.pdf (дата обращения 20.02.2012).

162. Gibrat R. Les Inegalites Economique / Librairie du Recueil Sirey. — Paris, 1931.

163. Davies J.B., Shorrocks A.F. The distribution of wealth // Handbook of Income Distribution / A.B. Atkinson, F. Bourguignon (eds.). — Amsterdam: Elsevier, 1999. — 938 p.

164. Sornette D. Multiplicative processes and power laws // Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 57. — P. 4811—4813.

165. Gallegati M, Keen S., Lux T., Ormerod P. Worrying trends in econophysics // Physica A. — 2006. — Vol. 370, N 1. — P. 1—6.

166. Coelho R., Neda Z, Ramasco J.J., Santos M.-A. A family-network model for wealth distribution in societies // Ibid. — 2005. — Vol. 353. — P. 515—528.

167. Ikeda Y., et al. Response of firm agent network to exogenous shock // Ibid. — 2007. — Vol. 382. — N 1. — P. 138—148.

168. Eom C, Oh G, Kim S. Deterministic factors of stock networks based on cross-correlation in financial market // Ibid. — 2007. — Vol. 383. — N 1. — P. 139—146.

169. Tabak B.M., Serra T.R., Cajueiro D.O. Topological properties of stock market networks: The case of Brazil // Ibid. — 2010. — Vol. 389, N 16. — P. 3240—3249.

170. Emmert-Streib F, Dehmer M. Identifying critical financial networks of the DJIA: toward a network-based index // Complexity. — 2010. — Vol. 16, N 1. — P. 24—33.

171. Chatteree A. On kinetic asset exchange models and beyond: microeconomic formulation, trade network, and all that // Mathematical modeling of collective behavior in socio-economic and life sciences / G. Naldi, L. Pareschi, G. Toskani (eds.). — Berlin: Springer, 2010. — P. 31—50.

172. Fronczak A., Fronczak P. Statistical mechanics of the international trade network. arXiv:1104.2606v1 [q-fin.GN] 13 Apr 201.

173. Подлазов А.В. Закон Ципфа и модели конкурентного роста // Новое в синергетике. Нелинейность в современном естествознании. Синергетика: от прошлого к будущему / Ред. Г.Г. Малинецкий. — М.: ЛИБРОКОМ, 2009. — С. 229—256.

174. Адамчук А.Н., Есипов С.Е. Коллективно флуктуирующие активы при наличии арбитражных возможностей и оценка

платежных обязательств // Успехи физ. наук. — 1997. — T. 167, № 12. — C. 1295—1306.

175. Baaquie B.E. Interest rates and coupon bonds in quantum finance. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009. — 490 p.

176. Baaquie B.E. Quantum finance. Path integrals and Hamiltoni-ans for options and interest rates. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004. — 316 p.

177. Kleinert H. Path integrals in quantum mechanics, statistics, polymer physics, and financial markets. — 3rd ed. — Singapur: World Scientific, 2003. — 1504 p.

178. Khrennikov A. Ubiquitous quantum structure. From psychology to finance. — Berlin: Springer, 2010. — 206 p.

179. Schaden M. Quantum finance // Physica A. — 2002. — Vol. 316, N 1—4. — P. 511—538.

180. Piotrowski W., Sladkowski J. Quantum auctions: facts and myths // Ibid. — 2008. — Vol. 387, N 15. — P. 3949—3953.

181. Choustova O. Quantum probability and financial market // Inform. Sci. — 2009. — Vol. 179, N 5. — P. 478—484.

182. Bagarello F. Stock markets and quantum dynamics: A second quantized descri ption // Physica A. — 2007. — Vol. 383, N 2. — P. 283—302.

183. Rosenblatt J, Martinas K. Inequality indicators and distinguish-ability in economics // Ibid. — 2008. — Vol. 387, N 8—9. — P. 2047—2054.

184. Вилази Г. Гамильтонова динамика. — М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2006. — 431 с.

185. Bohm D, Hiley B. The undivided universe: an ontological interpretation of quantum mechanics — London: Routledge, 1993. — 397 p.

186. Holland P. The quantum theory of motion: an account of the de Broglie — Bohm causal interpretation of quantum mechanics. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993. — 598 p.

187. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — 4-е изд. — М.: Наука, 1989. — C. 73.

188. Kurtsiefer C., Pfau T., Mlynek J. Measurement of the Wigner function of an ensemble of helium atoms // Nature. — 1997. — Vol. 386. — P. 150—153.

189. Albrecht A. Quantum ripples in chaos // Ibid. — 2001. — Vol. 412. — P. 687—688.

190. Schuster P. Free will, information, quantum mechanics, and biology // Complexity. — 2009. — Vol. 15, No 1. — P. 8—10.

191. Поспелов И.Г. Модели экономической динамики, основанные на равновесии прогнозов экономических агентов. — М.: ВЦ РАН, 2003. — 206 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии чл.-корр. РАНД.А. Новиковым.

Словохотов Юрий Леонидович — д-р хим. наук, зав. лабораторией, хим. факультет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,  (495) 939-54-34, И slov@phys.chem.msu.ru; вед. науч. сотрудник,

Институт элементоорганических соединений им. А.Н. Несмеянова РАН, г. Москва,  (499) 135-93-04.