Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов второго порядка во всем пространстве

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №11-12_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.957

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан С.А.Исхоков, Б.А.Рахмонов

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА ВО ВСЕМ ПРОСТРАНСТВЕ

Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан

В работе исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле и обобщенной задачи на собственные значения для одного класса вырождающихся эллиптических операторов второго порядка во всем п-мерном евклидовом пространстве. Постановка исследуемых задач связана с интегро-дифференциальными полуторалинейными формами, которые могут не удовлетворять условию коэрцитивности.

Ключевые слова: вариационная задача Дирихле, дискретный спектр, эллиптический оператор, степенное вырождение, некоэрцитивная форма.

1. Разрешимость вариационной задачи Дирихле для различных классов вырождающихся эллиптических операторов хорошо изучена в случае, когда полуторалинейные формы, связанные с исследуемыми операторами, удовлетворяют условию коэрцитивности (см. [1-7] и имеющуюся в них библиографию). Случай эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными полуторалинейными формами, является технически сложным и сравнительно мало изучен. Этот случай впервые был рассмотрен К.Х.Бойматовым в работе [8] и позже в работах [9-17]. В этих работах (за исключением [12,17]) исследовались операторы, заданные в ограниченной области, а операторы, рассмотренные в работах [12,17], заданы в неограниченных областях, которые очень близки к ограниченным (предельно-цилиндрическая область с нулевым диаметром в бесконечности). В отличие от вышеперечисленных работ, здесь мы впервые рассмотрим случай вырождающихся эллиптических операторов, заданных во всем п -мерном евклидовом пространстве Rn и ассоциированных с некоэрцитивными полуторалинейными формами.

2. Пусть К1 - п -мерное евклидово пространство точек х = (х:,х2,К ,хп) , k = (£г, £2,Ь , kn) -мультииндекс, | k |= £ + £2 + Ь + kn - длина мультииндекса £ . Обозначим через

и

дх£ дх£2Ь 5хкпп

обобщенную в смысле С.Л.Соболева производную функции и(х) мультииндекса £ . Пусть г -натуральное, а, р - вещественные числа и 1 < р < да . Символом Vra(К) обозначим пространство

Адрес для корреспонденции: Исхоков Сулаймон Абунасрович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: sulaimon@mail.ru

функций и (х), определенных во всем пространстве Я", имеющих все обобщенные в смысле С.Л.Соболева производные порядка г с конечной нормой

л 1/р

и-Угр.а(Е )|| = | Е^ра(х) I и {к\х) |р dx + \ар(а+г )(х) | и(х) |р dx\ ,

где d(х) = (1+ | х | ) . Здесь и далее в этой работе все интегралы берутся по всему пространству Я".

Символом У—_а (Я"), где ^ = р /(р — 1), обозначим пространство антилинейных непрерывных функционалов ¥ над пространством Ура(Я") с нормой

\¥; у—-Ж)|1 = яФ к ¥>|

-0 V; У;а(Е"

где символ < ¥,у > обозначает действие функционала ¥ е У—Г_а (Я") на функцию V(х).

Пространство Угра( Я") хорошо изучено в монографии [18]. Оно является частным случаем пространства Угр (О;^,^), введенного и изученного в работах [2,19]. Согласно результатам этих работ, для любого натурального числа г и вещественных чисел а, р , причем 1 < р < да , множество С0°(Я") (множество бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями в К") плотно в пространстве Уг (Я") и для любого мультииндекса к :| к| < г и всех и еУгра(Я") выполняется неравенство

Кdа+г—|к|(х)\и(к)(х)\)Р dx <М01|и;У2Га(К")||,

где число М0 > 0 не зависит от и (х) .

3. На функциях и^ е С0°(Е") рассмотрим интегро-дифференциальную полуторалинейную

форму

Щи, v] = £ / d 2а

г', 1 =1

ди

дх дх,

dx,

коэффициенты а^ (х) которой являются ограниченными комплекснозначными функциями. Применяя неравенство Коши-Буняковского, имеем

Щи, v]\ < 2а

ди

дх,

dx

1/2

" 2а

дv

дх.

dx

1/2

<

< M,

и; VUR") v; VUR")

для всех и^ е С0 (Яп ) . Следовательно, полуторалинейная форма (1) по непрерывности определяется для всех и,у е V а (Я").

Наряду с формой (1) вводим следующую функцию

A( x, С) = J (x)CtCj,

i, j =1

определенную для всех x е Rn и любого набора комплексных чисел С = (С1,С2,...,Сn) е Cn. Предположим, что для всех x е Rn , Се Cn выполнены условия

С\2 < M Re {r

где р - некоторое число из интервала (0, я) и отличная от нуля комплекснозначная функция у(x) всюду непрерывна и для любого числа v >0 существует число R >0 такое, что

|Kx ) -/

для всех x,y е Rn таких, что | x |> R, | y |> R .

Здесь и далее считается, что функция arg z принимает значения на отрезке (-я,я].

Задача DÄ . Для заданного функционала F еУ2-^( Rn) требуется найти решение и (x) уравнения

B[u,v] + 2{a+1)

принадлежащее пространству V^a(Rn) .

Теорема 1. Пусть выполнены все сформулированные выше условия.

Тогда существует число Л0 > 0 такое, что если Л> Я0, то для любого заданного функционала F е V-« (Rn ) задача DÄ имеет единственное решение и при этом справедлива оценка

u; V'

где число М >0 не зависит от Я е [Я0,+ да) и функционала ¥ .

Теорема 2. Пусть выполнены все сформулированные выше условия и вещественное число а такое, что —да<а<—1. Тогда задача Ол при ¥ = 0 имеет нетривиальные решения лишь для

счетного числа значений параметра Х = , ] = 1,2,... . При этом ^ да (] ^ да) и каждое

собственное значение Х^ имеет конечную корневую кратность.

Поступило 04.10.2017 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М., Лирозкин П.И., Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. -Известия вузов. Математика. 1988, №8, с. 4-30.

2. Исхоков С.А. О гладкости решения вырождающихся эллиптических уравнений. -Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, №4, с. 641-653.

3. Мирошин Н.В. Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением. - Труды математического института РАН, 1992, т. 194, с. 179-195.

4. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Я. О вариационной задаче Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов. - Доклады Академии наук России, 2005, т. 403, №2, с. 165-168.

5. Исхоков С.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением. -Математические заметки, 2010, т. 87, №2, с. 201-216.

6. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением и его приложения. - Уфимский математический журнал, 2016, т. 8, №1, с. 54-71.

7. Исхоков С.А., Нематуллоев О.А. О разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями для вырождающихся эллиптических операторов в ограниченной области. - ДАН РТ, 2013, т. 56, №5, с. 352-358.

8. Бойматов К.Х. Обобщенная задача Дирихле для систем дифференциальных уравнений второго порядка. - Доклады Академии наук России, 1992, т. 327, №1, с. 9-15.

9. Бойматов К.Х. Обобщенная задача Дирихле, связанная с некоэрцитивной билинейной формой. -Доклады Академии наук России, 1993, т. 330, №3, с. 285-290.

10. Бойматов К.Х. Матричные дифференциальные операторы, порожденные некоэрцитивными билинейными формами. - Доклады Академии наук России, 1994, т. 339, №1, с. 5-10.

11. Бойматов К.Х., Исхоков С.А. О разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле, связанной с некоэрцитивной билинейной формой. - Труды Математического института им. В.А.Стеклова РАН, 1997, т. 214, с. 107-134.

12. Исхоков С.А. Вариационная задача Дирихле для эллиптических операторов с нестепенным вырождением, порожденных некоэрцитивными формами. - Доклады Академии наук России, 2003, т. 392, №5, с. 606-609.

13. Исхоков С.А., Каримов А.Г. О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами. - ДАН РТ, 2004, т. 47, №4, с. 68-74.

14. Бойматов К.Х. О базисности по Абелю системы корневых вектор-функций вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов с сингулярными матричными коэффициентами. -Сибирский математический журнал, 2006, т. 47, №1, с. 46-57.

15. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Константинова Т.П. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, порожденных некоэрцитивными билинейними формами. - Доклады Академии наук России, 2015, т. 462, №1, с. 7-10.

16. Гадоев М.Г., Константинова Т.П. О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов. - Математические заметки СВФУ, 2014, т. 21, №2, с. 8-21.

17. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Петрова М.Н. О некоторых спектральных свойствах одного класса вырожденно-эллиптических дифференциальных операторов. - Математические заметки СВФУ, 2016, т. 23, №2, с. 31-50.

18. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. - М.:Мир, 1980, 664 с.

19. Бойматов К.Х. О плотности финитных функций в весовых пространствах. - ДАН СССР, 1989, т. 307, №6, с. 1296-1299.

С.А.Исхоков, Б.А.Рахмонов

МАСЪАЛАИ ВАРИАТСИОНИИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ОПЕРАТОРНОЙ ТАНАЗЗУЛЁБАНДАИ ЭЛЛИПТИКИИ ТАРТИБИ ДУЮМ

ДАР ТАМОМИ ФАЗО

Институти математикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цумхурии Тоцикистон

Дар макола хдлшавандагии масъалаи вариатсионии Дирихле ва масъалаи умумикардашуда оиди кимматх,ои хос барои як синфи операторх,ои таназзулёбандаи эллиптикии тартиби дуюм дар тамоми фазои n-ченакаи евклидй тадкик карда шудааст. Гузориши масъалах,ои тадкикшаванда бо шаклх,ои интегро-дифференсиалии якнимхаттй вобастаанд, ки метавонанд шарти коэрситивиро каноат накунанд.

Калима^ои калиди: масъалаи вариатсионии Дирихле, спектри дискреты, оператори эллиптики, таназзулёбии дарацагй, шакли гайрикоэрситиви.

S.A.Iskhokov, B.A.Rahmonov VARIATIONAL DIRICHLET PROBLEM FOR SECOND-ORDER DEGENERATE ELLIPTIC OPERATORS IN THE WHOLE SPACE

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan

Solvability of the variational Dirichlet problem and a generalized eigenvalue problem for a class of second-order degenerate elliptic operators in the whole «-dimensional euclidian space is investigated. Formulation of the problems under consideration is connected with integro-differential sesquilinear forms that can not satisfy the coercitivity condition.

Key words: variational Dirichlet problem, discrete spectrum, elliptic operator, power degeneration, noncoercive form.