Заряженная частица в электромагнитном поле (природа сил инерции)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 530.1

Б.С. Курнышев

д-р техн. наук, профессор, кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок, ФГБОУ ВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина»

ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Аннотация. Рассмотрено ускоренное движение заряженной частицы под воздействием одновременно электрического и магнитного полей. Показано, что ньютонова сила инерции, возникающая при указанных условиях, может быть обусловлена асимметрией компонент фундаментального метрического тензора. Получены уравнения, связывающие между собой физически наблюдаемые величины. Формулы для определения ньютоновой силы инерции и силы Лоренца оказываются совпадающими по своей структуре.

Ключевые слова: ньютонова сила инерции, сила Лоренца, волновые уравнения, заряженная частица, электрический заряд, фундаментальный метрический тензор.

B.S. Kurnyshev, Ivanovo State Power University

CHARGD PARTICLE IN ELECTROMAGNETIC FIELD

Abstract. Considered the accelerated motion of a charged particle under the influence of both electric and magnetic fields. It is shown that the Newtonian force of inertia arising under these conditions may be due to the asymmetry of the fundamental metric tensor components of the space-time metric. Equation relating the physically observable quantities are obtained. Formula for determining the Newtonian force of inertia and the Lorentz force are coincident in its structure.

Keywords: newtonian force of inertia, Lorentz force, wave equations, charged particle, electric charge, fundamental metric tensor.

На ускоренно движущуюся точечную заряженную частицу (например, протон), находящуюся одновременно в электрическом и магнитном полях, действует сила Лоренца. Под действием силы Лоренца возникает ньютонова сила инерции. Можно предположить, что ньютонова сила инерции является следствием воздействия ускоренно движущейся частицы на пространственно-временную метрику. При этом нужно принять во внимание, что фундаментальный метрический тензор ранга 2 возможно представить в виде суммы симметричной и антисимметричной составляющих.

В общем случае пространственно-временной интервал можно задать фундаментальной квадратичной формой следующего вида:

ds2 = g kdxidxk = g kdxidxk + gkdxidxk,

где gkk - компоненты фундаментального метрического тензора в общем случае, gkk = g'k + gki

2

д ~ 9

обычная риманова симметричная

0 12 3

составляющие тензора дкк, х - временная, х1, х , х - пространственные координаты.

Чтобы интервал отвечал требованию релятивистской инвариантности, достаточно выполнения одного из следующих условий:

д00 dx0dx0 > 0, апёё д kdxidxk < 0;1 д00 dx0dx0 < 0, апёё д кк dxidxk > 0.| Из (1), после несложных вычислений, получаем:

ds2 = 9*-2-+ 9 к-2-

Из (3) видно, что в частном случае, то есть при условии

dxidxk = dxkdxi,

второе слагаемое исчезает вместе с 9кк  В результате имеем интервал, определяющий геометрию риманова пространства-времени. Если же

dxidxk ф dxkdxi Где i ф к ,

то тензор 9к и, вместе с ним, антисимметричная составляющая интервала сохраняются.

Действительно, произведения дифференциалов координат не обязательно должны коммутировать. Физика этого факта достаточно прозрачна: при движении по замкнутой трёхмерной пространственной кривой (например, в окрестности локальной ИСО) возможно вернуться в исходную пространственную точку, но при таком движении пространственно-временные точки неизбежно расходятся.

Непосредственно из определения интервала ds по (1) возникает представление о векторном поле (и) как функции времени и пространственных координат:

- - . dxk - -к  dxi -к i- dxi - k - dxk - ...

й = й е' = 9, -е' = и,ек = 9 , —ек ^ йе = — е ^ ике, =-е, ,

' 9к ds к 9jk ds ' ds ' kdsk ^

где э' , еk, е!, ёк - локальные системы базисных векторов. Связь между базисными векторами определяется через 9кк, например, е! = 9ккек, ек = 9^ -

Векторное поле й само по себе не имеет физического смысла, так как поле й определено неоднозначно. Действительно, согласно (1) и (6),

ds = и0Х .

При подстановке в (7) и - д¡а вместо и (а - произвольное скалярное поле) в выражении для ds появится полный дифференциал (-ба = -дjаdx'), который, как известно, не повлияет на уравнения движения. Это означает, что вектор й ни в одной пространственно-временной точке не имеет определенного направления. Следовательно, поле й не является силовым - в отличие, например, от напряженностей электрического и магнитного полей, и потому не может быть физической характеристикой.

Итак, для вывода уравнений движения у нас нет никаких математических конструкций, кроме (1) и (7), поэтому нет другого варианта представить вариационное уравнение, кроме как в виде:

ь ь ь _

55 = ^ds = ^

а а а

где бв = и, вместе с тем, ds = й jdx', А - произвольная константа.

При варьировании действия нужно принять во внимание следующее. Векторное поле й является тензором первого ранга. Дифференциал и вариация поля й , рассматриваемые в криволинейном пространстве-времени, должны быть тоже абсолютными векторами, то есть такими величинами, которые инвариантны к выбору координатной системы. Следовательно, нужно использовать формулы ковариантного дифференцирования и ковариантного варьирования:

дй дй

Du¡ = ^бхк - Г'йбх" , 8йк = 5х' - Г"и 5Х ,

j дх" к " k дх' * "

где Г'ы и Г" - коэффициенты связности (символы Кристоффеля). В общем случае Г'ы ф Г" .

Эти коэффициенты появляются при дифференцировании и при варьировании векторного поля й и представляют собой скалярные произведения вида:

Рк1=-%  ё, Г к = -дё-  ёк.

к' д хк ' 'к дх' к В результате, из (8) следует тензорное уравнение:

бй , , к 1

—'--Гкййк --ds ' 2

Тензор Бккк получается из разности Г'ы - Гк , поэтому представляет собой тензор кручения:

^-TJ--SikJu'uk = SikJu'uk +1 ikuk.

SjkJ = Su = ^ + Щ.

lkJ lk J dx' dxJ dxk Тензор I k имеет следующую структуру:

I. = ^ - Щг.

lk dx' dxk v '

Тензор SkkJ в данной задаче не может быть нулевым, так как равенство SkkJ = 0 соответствует только риманову пространству-времени.

Непосредственно из (1) и (6),

gik = uu.

Подставляя (14) в определение g kk и производя замены индексов, получаем полный набор величин, необходимых для вычисления структуры тензора SkkJ:

111

gjk = 2

Подстановка (15) в (12) дает

S = Pkju , - upkj - pjuk - ukpj +1 kkuj - uiI k (16) lk>j 2 2 2 '

где

duj duk duj du' , duk du,

P„i =-T +--, Pa =-L +-L, Ik =----T .

kJ dxk dxJ lJ dx' dxJ lk dx' dxk

Из (16) видно, что структура тензора SjkJ определяется тремя соотношениями, состоящими из некоммутирующих между собой тензорных величин:

J * uPkJ, Pu * ukP, 1 kkuJ * uJIkk.

Здесь уместно вспомнить, что в квантовой механике эрмитовы операторы, отвечающие наблюдаемым импульсу и положению (P и Q), тоже не коммутируют: PQ * QP . Но заметим, в отличие от квантовой механики, соотношения (18) возникают естественным образом в результате применения локального принципа.

Свертка тензоров Pkj и р на uJ даёт следующую систему:

Л

p.=1 ^+V.

0 с dt

... 1 dV -gmdV.

с ct

V

( л ~,сл

P = grad V + V.

... 1 dV

-gradV. --—

с dt

+ VxrotV ,

где V,, V - временная и пространственная компоненты поля й , Р0, Р - временная и пространственная компоненты поля р = Ркй^к = Рцй'ё',

с - скорость света. При свёртке тензора 1к на ик, получаем систему уравнений:

Fo = V

1 OV

-gmdVo --— c Ot

F = V

1 oV

-gradVo --— c ot

+ V x rotV ,

где F0, F - временная и пространственная компоненты поля f = 11кикё'.

В уравнениях (19) и (20) есть величины, инвариантные к градиентному преобразованию компонент поля и . Это два следующих векторных поля:

F wi/ 1 0V

i = -gmd V) ,

c ot

С = rotV .

Заметим, что поле й было введено изначально как некоторая допустимая математическая конструкция, не имеющая физического смысла, поэтому такое поле не должно иметь источников. Это значит, что дивергенция этого поля должна быть всегда тождественно равна нулю:

^ i ~ с, 1 0Vo дй = 0 или div V =---0

' c Ot

Применим векторные операции rot и div к каждому из полей i и С , определенных соотношениями (21), (22). В результате, из (21), (22), (23) получаем конечную систему уравнений:

rot С = —s + ——, rot i = -——, div С = 0, div i = 4ле, c c Ot c Ot

V2V - 4 = - Л, V2Vn - 4 = -4ле,

n2 Ot2

n2 Ot2

.. f 1 Oe

div e =---.

c Ot

Для сил инерции, так же как и для силы Лоренца, третий закон Ньютона не выполняется. Похоже, что эти силы имеют одинаковую природу и, следовательно, должны выражаться одинаковой по структуре формулой. Действительно, из полученных уравнений следует, что ньютонову силу инерции можно представить в виде

FN = т

где FN - ньютонова сила инерции, т и V - масса и скорость частицы или материального тела.

Выводы

1. В данном подходе сила Лоренца и ньютонова сила инерции имеют одинаковую природу, обусловленную свойствами четырёхмерного пространственно-временного многобразия с неримановой метрикой, и подчиняются одинаковым по структуре уравнениям.

2. Материальное тело, движущееся под воздействием внешних сил с постоянным ускорением, создаёт постоянную ньютонову силу инерции, а движущееся с переменным ускорением, создаёт волны пространственно-временной метрики, которые подчиняются волновым уравнениям.