Интегрируемость предельной модели плоского вакуумного диода и решение сингулярной краевой задачи

Вопросы прикладной математики

УДК 517.968.23:621.326.71

интегрируемость предельной модели плоского вакуумного диода и решение сингулярной краевой задачи*

а. а. Косов, а. v. sinitsyn

Для модели вакуумного диода изучается сингулярная краевая задача. Обоснована интегрируемость рассматриваемой системы нелинейных дифференциальных уравнений и построена полная система первых интегралов. Разработан метод решения сингулярной краевой задачи, предложены формулы для приближенного решения в окрестности сингулярной точки.

1. Описание модели и постановка задачи. Предельная модель плоского вакуумного диода была получена в [2] группой математиков Тулузского университета. Эта модель представляет собой систему двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка следующего вида:

d2ф

dx2

= }

1 + Ф)2

»2

d а йх2

= ]

-¡(1 + ф)2 - а2 - 1

ф(0) = 0, а(0) = 0,

, ¿Ф п ф = — = 0,

¿х

ф(1) = ф1, а(1) = а1

а2 - 1 > 0

Здесь независимая переменная х е [0,1] означает относительное расстояние от катода, х = 1 соответствует аноду. Функция ф(х) описывает изменение потенциала электрического поля при перемещении от катода к аноду, соответственно функция а(х) —потенциал магнитного поля; ] — плотность тока через диод (единственный конструктивный параметр модели). Система (1) описывает электрическое и магнитное поля внутри диода и ее решение должно удовлетворять краевым условиям

Заметим, что краевая задача (1) — (3) является сингулярной, так как условия (2) при их подстановке в (1) приводят к нулевому знаменателю. Поэтому классическое определение решения как удовлетворяющей (2) и (3) пары функций (ф(х), а(х)), обращающих (1 ) в тождество на отрезке х е [0,1] (с пониманием производных как односторонних на концах отрезка), неприменимо к данной задаче и требуется определить, что понимать под решением (1) —(3).

Мы будем рассматривать систему (1) в области О = {(ф, а) : (1 + ф)2 "2

каждом компактном подмножестве которого правые части (1) имеют ограниченные частные производные и, следовательно, выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши для (1). Кроме того, в силу очевидной симметрии можно ограничиться изучением только решений с положительными 1 + ф(х) и а(х), т. е. вести все рассмотрения в области П+ = П I {(ф, а) : 1 + ф > 0, а > 0}.

Пусть на правом конце выполняются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши (т. е.

91 = (1 + ф1)2 - 1 - а2 >0).

Определение. Решением задачи

© Косов А. А., Sinitsyn А. V., 2012

* Работа выполнена при поддержке СО РАН (междисциплинарный проект № 80). 138 ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2

будем называть такую определенную на промежутке х е [0,1] и принимающую значения в множестве дважды дифференцируемую функцию (ф(х),а(х)) , которая:

1) удовлетворяет краевым условиям на правом конце (ф(1) = ф], а(1) = а^);

2) на каждом отрезке х е [е, 1], 0 < е < 1 обращает исходные уравнения (1) в тождества при подстановке (при этом на концах отрезка производные считаются односторонними);

3) существуют пределы lim j(s) = 0,

s—-+0

lim a(s) = 0, lim j '(s) = 0. В точке x = 0

s —^+0 s —^+0

эту функцию доопределяем по непрерывности с учетом первых двух равенств из ее третьего свойства.

Особенности данного определения:

а) оно не требует подстановки краевых условий с левого конца отрезка в систему, что позволяет уйти от необходимости делить на нуль;

б) оно не накладывает никаких ограничений на поведение на левом конце отрезка

первой производной а '(x) и вторых производных;

в) оно может быть очевидным образом модернизировано и на случай

q = (1 + ji)2 - 1 - a2 = 0, когда сингулярность имеется и на правом конце отрезка.

При этом в рамках данного определения допустима и такая ситуация, когда предел производной lim a '(e) не существует x—+0

либо является бесконечностью.

Основная цель данной работы — разработать способ построения решения сингулярной краевой задачи (1) —(3) в смысле приведенного выше определения. Для этого мы покажем, что система (1) интегрируется в квадратурах, и построим полную систему первых интегралов. Кроме того, будут получены явные формулы, аппроксимирующие решение краевой задачи вблизи левого конца отрезка.

2. Представление в гамильтоновой форме и интегрируемость. Введем новые обозначения для независимой и зависимых переменных: t = x, q1 = j(x), q2 = a(x),

p1 =-j '(x), p2 = a '(x),

q = соКц^ц ) е Я2, р = со1(р1 р-2 ) е Я2 и функцию Гамильтона

И(д, р) = 1 (-р2 + Р22 ) + ^(1 + ?1>2 - <72 - 1  Тогда систему (1) можно записать в каноническом виде:

• дИ  дИ

q = —> Р =

др' ' дц

Соответственно краевые условия в новых переменных перепишутся так:

ц1

Я\(1) = 01 = Ф1, ^2(1) = 02 = д1. (6) Новая краевая задача (4) — (6) полностью эквивалентна исходной (1) — (3) и отличается от нее только гамильтоновой формой записи системы дифференциальных уравнений, что позволяет воспользоваться методами интегрирования, разработанными для задач аналитической механики [1].

Гамильтонова система (4) имеет интеграл энергии /2 = Н(д, р) = — (-р2 + р2) +

+ /V

Легко убедиться, что другой первый интеграл системы (4) имеет вид:

q2

J = (1 + qt) р2 + q2 p = С2 = const.

Первые интегралы /1 и /2 не зависят явно от времени, являются независимыми (за исключением некоторого двумерного подмножества рассматриваемой области) и находятся в инволюции. Поэтому в соответствии с теоремой Лиувилля [1, § 121, с. 367, § 148, с. 417] модель диода (4) является интегрируемой. Чтобы построить два недостающих первых интеграла, выразим из равенств (7) и (8) импульсы через координаты

p - ^ +

Pi ---+

z2

Jc2 - 2z2

(1 + qi),

р _ с2(1 + ?1> ± р2 _-±

г2

^ - 2г2

где

х 92

использовано обозначение z

(10) 2 - (1 +

+ - 72-

де

Р1

ЗФ

д71

Р2 =

дФ д72

Ф(«1,«2, срс2) задается формулой:

Ф(<1, 72, С!, с2) = С21п

2 1 + <1 - <2

^

Л/(1+71)2-<2 г

¿г.

/3 = 11п 1 + 71 + 72

дс2 2 1 + 71 - 72

7(1+01 )2 -022

± I

С'2(1г

7(1+71 )2-72 ^С22 - 2г2 (с1 - /Vг2 - 1 = С3 = сош^

дФ

7(1+01 )2

/4 " д^т '

1 7

гйг

2 72

^С22 - 2г2

С4 = const.

: Ь + С4,

3. Решение сингулярной краевой задачи. Полагая в (12) Ь = 1 и используя условия (6) для правого конца отрезка, получаем С4 =-1. Аналогичным образом из (11) на-

ходим С3

1

1п

1 + 01 + 02 1 + 01 - 02

. Из условий

или (5) на левом конце отрезка и интегралов (7) и (8) следует, что ^1(0) = 0, Р2(0) - С2, с2 - 2<ф Введем в рассмотрение функции

Эти формулы можно представить в ви-

где функция

7(1+01 )2 -с>22 F(u,r, 01,02) = | 1

гйг

^и2 (1 - г2 ) + 2пгг4.

г2 -1

7(1+01 )2 -022 а(м,п, 01,02) _ |

Интеграл в (11) сводится к элементарным и эллиптическим функциям. В соответствии с теоремой Лиувилля недостающие два первых интеграла выражаются через функцию Ф(«1,72,с1,с2):

udz

г^и2 (1 - г2 ) + 2уг24,

г2 -1

Эти функции представимы в виде комбинаций элементарных и эллиптических функций своих аргументов. Из равенств (12) и (13) с учетом полученных из краевых условий соотношений между произвольными постоянными следует, что если с2 - и* и / - п* являются решением системы двух нелинейных уравнений

F(u,v, О1,02) _ 1,

С(и,п, 01,02 ) _ 11п

2 1 + 01 - О2

то решение краевой задачи (4) — (6) существует и является решением задачи Коши для (4) с начальными условиями на правом конце отрезка, задаваемыми вытекающими из (9) и (10) равенствами: 71(1) = О1,

Полученная полная система четырех первых интегралов (7), (8), (12) и (13) может использоваться в области И+ для решения начальных и краевых задач, в том числе задачи (4) —(6).

р

q2(1) = Q, p2(1) = +

-Q2.

дествам (17) и (18). Здесь S > 0 — некоторое положительное число. Из (17) имеем

(16) ©''(s) = 2e2 - 2c| + 2 j ÎV2e +

1

V27

(19),

под-

находим

где Z2 = (1 + Qt)2 - Q2.

Отметим, что если система (14) несовместна, то это еще не означает, что у краевой задачи (4) —(6) нет решения. Встречаются такие ситуации, в которых в выражениях (9), (10) импульсов через координаты на решении краевой задачи происходит смена знаков и тогда равенства (14) нарушаются.

4. Асимптотика на левом конце. Будем рассматривать функцию

Q(x) = (1 + j(x))2 - a(x)2 - 1. Продифференцируем эту функцию несколько раз полным образом, используя исходное уравнение (1), тогда получим следующие тождества:

©(x) = (1 + j(x))2 - a(x)2 - 1, ©'(x) = 2(1 + j(x))j'(x) - 2a(x)a'(x),

''(x) = 2(j'(x))2 - 2(a'(x))2 + (17) +2 j ( 1/2(x) + -1/2(x)),

©'''

Интегрируя дифференциальное уравнение (18), понизим его порядок на единицу:

©''

Произвольная постоянная в левой части (19) должна быть взята в соответствии с краевыми условиями (2) и (3). Для этого возьмем произвольное малое положительное число s > 0 и рассмотрим для (1) задачу Коши с условиями j(e) = e, j '(e) = e, a(s) = s, a'(s) = C2, где, как установлено выше, число С2 = p2(0) есть значение постоянной первого интеграла /2 на решении краевой задачи (1) —(3). Решение этой задачи Коши обозначим через ( j(x), a (x)), а функцию Q вдоль этого решения — через

©(x). Заметим, что при всех достаточно малых s > 0 начальная точка будет лежать в области W+, поэтому функция ©(x) определена по крайней мере на некотором промежутке [s, s + S) и удовлетворяет на нем тож-

с = 2с2 - 2е2 + 4/л/2е. Важно, что в представлении постоянной с присутствуют только положительные степени малого параметра.

Переходя теперь к пределу при е ^ +0, получаем, что на решении краевой задачи (1) —(3) функция 0(х) удовлетворяет

уравнению (19) при с = 2с| и нулевому начальному условию 0(0) = 0.

Поэтому будем искать приближенное решение (19) в виде 0(х) = kxa, где положительные параметры, т. е. степень а и коэффициент k подлежат определению. Выделяя и приравнивая после подстановки в (19) главные члены в левой и правой частях,

найдем a = — и к = 3

¥)

2/3

Таким обра-

зом, на левом конце отрезка при малых значениях х > 0 функция 0(х) вдоль решения краевой задачи аппроксимируется формулой

Q(x) = f 9L f3 x4/3.

Подставляя (20) в (1), мы разделяем эту систему на два независимых скалярных уравнения, для которых совершенно аналогичным образом с учетом условий на левом конце отрезка получим приближенные решения

Ф( x ) =

2 / 3

...4/3

a(x) = C2x

1 + ± f j l2 7 3 x4 / 3 14 l 2

Из (21) и (22) следует, что на плоскости (ф, а) кривая, дающая решение краевой задачи, аппроксимируется вблизи начала координат следующей функцией:

-1 / 2

а = С223 / 4 [L j3/4

1 + 1 Ф|.

Задаваемая уравнением (23) кривая выходит изнутри области 0+ на ее границу в начале координат и имеет в этой точке вертикальную касательную, которая касается и границы области 0+. Отметим, что рассматривать задачу Коши для (1) с условиями

(2) и а '(0) = с2 некорректно, так как при этих начальных условиях нарушены условия теоремы существования и подстановка начальных условий в уравнение приводит к делению на нуль. Однако, используя (21) и (22), можно корректно ставить задачу Коши для сколь угодно малого положительного значения независимой переменной х = хо = е > 0.

5. Примеры. Рассмотрим задачу (1) —

(3) с единичными условиями на правом

конце, т. е. при ^(1) = д^(1) = 01 = 02 = 1 • Решая соответствующую систему уравнений (14) итерационным методом, найдем ее приближенное решение с2 = и* = 0,8798287042 и ] = V* = 0,5337203307. Ему соответствуют вычисленные по формулам (15) и (16) следующие значения импульсов на правом конце отрезка ^(1) =-1,444231410, р2( 1) = = 1,162030057. Ниже на рис. 1 — 7 представлены найденные численным интегрированием справа налево от Ь = 1 до Ь = 0 графики компонент решения краевой задачи (толстая линия) и вычисляемые в соответствии с формулами (20) —(23) асимптотики решения вблизи левого конца отрезка (тонкая линия).

Рис. 1. Решение краевой задачи по первой координате д^)

Асимптотика практически совпала с решением, кривые на рис. 2 сливаются.

1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис.2. Решение краевой задачи по второй координате

и его асимптотика по формуле

Рассмотрим теперь краевую задачу (1) — (3) с существенно различающимися по величине значениями на правом конце, а именно при д1(1) = 01 = 10, д2(1) = 02 = 1. Решая соответствующую систему уравнений (14) итерационным методом, найдем ее приближенное решение: С2 = и* = 0,5404932672 и у = V* = 12,14221503. Ему соответствуют вычисленные по формулам (15) и (16) следующие значения импульсов на пра-

вом конце отрезка р1(1) =-16,33935466, Р2 (1) = 1,534531629. Приведем только два графика изменения координат для данного варианта исходных данных.

В этом варианте кривые не сливаются полностью, как это было на рис. 2, но, как и на всех других графиках, наглядно проявляется высокая точность представления решения краевой задачи вблизи левого конца отрезка формулами (20) —(23).

1,15-;

1,11,051

0,950,9 0

0,2 0,4

0,6

0,8

Рис. 5. Решение краевой задачи по второму импульсу Р2

Р и с. 6. Решение краевой задачи по первой координате ^ (О (толстая линия) и его асимптотика по формуле (21) (тонкая линия) для ^(1) = 10, ^ (1) = 1

Рис.7. Решение краевой задачи по второй координате

и его асимптотика по формуле (22) (тонкая линия) для ^(1) = 10, ^(1) = 1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ben Abdallach N. Mathematical Models of Magnetic Insulation / N. Ben Abdallach, P. Degond, F. Mehats. Rapport interne № 97.20. 1997, MIP, Universite Paul Sabatier, Toulouse, France.

2. Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика / Э.Т. Уиттекер. Ижевск : Изд-во Удмурт. унта, 1999. 588 с.

Поступила 30.01.2012.