Управление производственной мощностью предприятия на основе методов математического программирования

УДК 338.5

УПРАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ МОЩНОСТЬЮ ПРЕДПРИЯТИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Аннотация. Авторами статьи сформулирована задача оптимального управления производственной мощностью предприятия. Решение данной задачи показано через соотношения, выражающие необходимые условия сильного экстремума для неклассической вариационной задачи оптимального управления. С помощью представленной методики можно оценить объем производства технологически подобной продукции для достижения максимальной прибыли при условии определенных технико-экономических ограничений иучете изменения во времени цен и себестоимости выпускаемой продукции.

Ключевые слова: задача оптимального управления, производственная мощность, методы математического программирования.

MANAGEMENT OF THE PRODUCTION CAPACITY OF THE ENTERPRISE ON THE BASIS OF METHODS OF MATHEMATICAL PROGRAMMING

Annotation. Authors of article have formulated a problem of optimum control of the production capacity of the enterprise. The solution of this task is shown through the ratios expressing necessary conditions of a strong extremum for a nonclassical variation problem of optimum control. By means of the presented technique it is possible to estimate the output of technologically similar production for achievement of the maximum profit on condition of certain technical and economic restrictions and the accounting of change in time of the prices and prime cost ofproducts. Keywords: problem of optimum control, production capacity, methods of mathematical programming.

Задачи оптимального управления, благодаря их типичности, часто встречаются в литературе, посвященной теории оптимальных процессов и относятся к различным областям: технике, экономике, экологииидр. Постановка задачи оптимизации управления производственной мощностью предприятия во времени заключается в определении объемов производства технологически подобной продукции для достижения максимальной прибыли при условии определенных технико-экономических ограничений и учете изменения во времени цен и себестоимости выпускаемой продукции [3]. Пусть предприятие на своей производственной мощности может выпускать товары двух видов i (i=1,2) с объемами Ni и N2 в течение времени Т. Полную производственную мощность предприятия будем характеризовать относительным показателем а=1. Тогда доли мощности, отводимых в момент времени t на выпуск различных товаров обозначим как a1(t) и a2(t) в качестве управляющих параметров, удовлетворяющих неравенству: a1(t)+a2(t)<1.

Максимальные доли мощности, используемые для выпуска товаров определенного вида? обозначим a¡ max . Тогда, если за время Т, всей мощности а=1 соответствует Tmax нормо-часов, то максимальное число нормо-часов, соответствующее товару i составит ai maxxTmax при при ai(t)=aimax=const. При известных нормо-часах для выпуска единицы изделия вида i-T0i , определить максимальный объем выпуска товаров вида i: Nimax=aimaxxTmax/T0i.

Минимальное календарное время Т1 , необходимое для выпуска единицы продукции вида i,

Л.М. Путятина Н.В. Тарасова Ю.М. Богатов

Ludmila Putyatina Natalya Tarasova Yury Bogatov

© Путятина Л.М., Тарасова H.B., Богатов Ю.М., 2017

Вестник университета№ 1, 2017

определенное при условии, что на предприятии задействованы все производственные мощности, предназначенные для выпуска этого товара, будем рассматривать в качестве показателя, отражающего условную длительность технологического процесса: Ti=T/Nimax. Параметр назовем календарной длительностью технологического процесса. Производственный процесс будем характеризовать выпуском товаров N^1) и т.е. количеством (в шт.) произведенных товаров к моменту времени t.

а N

Очевидно, что скорости выпуска товаров

а ;

прямо пропорциональны долям производст-

венных мощностей ^ и обратно пропорциональны календарным длительностям технологического цикла, т.е.

а N аДО

а ; а N а ;

Т1 а2(0

т

Приведенные дифференциальные уравнения должны решаться при нулевых начальных условиях (; = 0, N1=0 и N2=0).

Управление производственными мощностями должно осуществляться таким образом, чтобы интегральная прибыль на рассматриваемом отрезке времени Т была бы максимальной. Прибыль предприятия П(;) определяется как разность между доходом от реализации товаров Q(t) и суммарной себестоимостью товаров С(;), т.е.

п(;) = Е ^(О-с^)]

В свою очередь себестоимость производства товаров содержит постоянную 301 составляющую, не зависящую от объемов выпуска и переменную, которая зависит от объемов выпуска. Если цену товара рассматривать как функцию времени Ц(;) , то доход к текущему моменту времени 1 определяется в виде:

4 2

Q(t) = /Е ц.(;) •

0 1=1

или с учетом уравнений, описывающих изменение выпуска товаров во времени:

4 2

Q(t) = /Ё Ц 1(4) • ;

0 1=1

т

Общие постоянные затраты 30 разделим по различным видам продукции пропорционально календарным длительностям технологического процесса.

30 1 = 30 —

Далее, будем полагать, что постоянные затраты во времени возрастают по линейному закону:

Т; 1

Зо 1(;) = Зо

т +т х 1 х 2

т •'

Если изменение во времени долей переменных затрат обозначить Зп1(1), то суммарная себестоимость к текущему моменту времени 1 определяется [1]:

с(;) = £

з о 1

ИЛИ С(1) = Ё

Г а,

3о 1(;) + \ зп а ;

Таким образом, прибыль предприятия, зависящая от управляемых производственных мощностей а^х) определяется выражением:

4 2

пю = /£Ц.(4)^ а 4 - £ з0 ,(1) +1зп ,(1)^ а х

т

«,

т

0 1=1 1=1 Прибыль будем рассматривать в качестве критерия оптимального управления производственной мощностью. Ограничения, накладываемые на управления долями мощности, определяются неравенством: а1(Х)+а2(Х)<1. При заданной доли мощности, например а1(Х), можно определить максимальное значение другой доли а2(1). В этом анализе может быть определена функциональная связь а2=^(а1), ограничивающая максимальные или предельные возможности предприятия и определяющая ограничения на управляющие воздействия (с учетом функциональной связи между ними). Предположим, что эта зависимость может быть аппроксимирована многочленом второй степени: а2(Х)=Ь0+Ь1 а1(Х)+Ь2[а1(Х)]2. Задача оптимального управления производственной мощностью формулируется следующим образом: для предприятия, выпуск товаров которых описывается дифференциальными уравнениями вида:

а N а1(Х) а х " т а N2 = аЖ) а х т

где N = N = 0 , при X = 0 ,

определить управления а1(Х) и а2(1), удовлетворяющие уравнению ограничения^ (а1, а2)=0 и доставляющие максимум критерию П(1). Решить задачу оптимального управления мощностью следующим образом [2]. Введем новую переменную: N3 (1)=П (X). Дополнительное уравнение:

а N ^ (х) 2

а х

1=1

т

1=1

а 3 0 1(х) а 1(х) 0 1 + Зп 1(х)-

а х

т

Начальное условие: х = 0 , N3(0) —^ 30 1(0) . Так как ограничения на конечные значения

1=1

выпуска продукции не накладываются, то критерий оптимальности: я=^(хк). В соответствии с принципом максимума вектор управления а [а1 (х), (Х2 (!)] будет оптимальным и критерий л(!) будет принимать максимальное значение на всем интервале управления [0,хк] при условии, что функция Гамильтона - Н [а , N на всем интервале управления будет принимать минимальное значение:

н = ^ = ^

1=1

« 1

т

а

т

(х) а 1 (х) 2

I=1

1=1

аз 0 1

0 1 + 3 п 1

а х

т

где f1 - правые части основных и дополнительного дифференциальных уравнений; ^ - присоединенные функции, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям вида:

• ^ а ^

ч = - > т. —1' .а N

.=1

уравнения решаются

Дифференциальные йж

х1 (х) = — ^^ , 1 = 1,... 3. Подставляя выражения для и п, получим:

, 1 = 1,2,3.

при заданных конечных условиях:

2

Вестник униеерситета№ 1, 2017

= - Т1 • 0  0 - ^з • 0 = 0

Ф2 = -"Т1 • 0 • 0 - ¥3 • 0 = 0 =0

Следовательно функции ^(1) принимают стационарные значения, которые могут быть определены из конечных условий: ^1(1к)=0, ^2(1к)=0, ^3(1к)=-1. С учетом выражения ^ (1=1, ... 3) функция Гамильтона преобразуется к виду:

H = Z

а i

3n ,(t)-^ + o iU

T

Подставляя выражения для 3o i (t) — Зс

d t 1

-Еч i

a i (t) T

T1 + T2 T

• t получим:

H — I

a ,

3 n +

3„ T

T (T1+T2) • T IT:

Л a ,

- Z цi (t)a^ = —Po+Pi(t)ai(t)+P2(t)a2(t) , где

T

Po —

(Ti+T2)T

3 ni(t) - Ц ,(t) . ; Pi(t) — , i — 1,2

Поскольку U,i(t)>3ni(t), то pi(t)<0 и функция Гамильтона принимает минимальные значения при max |н| . Определим условный экстремум H, при условии, что а удовлетворяет уравнению: ф(а1,а2)—0. Условный экстремум функции H соответствует безусловному экстремуму функции Ла-гранжа: L—p0+p1(t) a1(t)+p2(t)a2(t)+^9(a1,a2), где X - неопределенный множитель.

Значения переменных a1, а2, X доставляющих экстремум H определяются из условий равенства нулю частных производных:

d L

da 1 d L da ,,

= P i (t) + A

d^ da ,

= P 2 (t) + A

d^

da

= 0

= 0

d L dA

= Ф (a 1, a 2) = 0

Библиографический список

1. Мищенко, А. В. Динамическая задача определения оптимальной производственной программы / А. В. Мищенко, Е. В. Джамай // Менеджмент в России и за рубежом. - 2002. - № 2. - С. 86-90.

2. Путятин, А. Е. Оптимизация управления производственными мощностями предприятия на основе принципа максимума Понтрягина / А. Е. Путятин // Труды вольного экономического общества России. -2006. - Т. 74. - С. 279-285.

3. Путятина, Л. М. Основные аспекты разработки товарной политики машиностроительного предприятия как важного элемента его стратегии / Л. М. Путятина, Е. В. Джамай, Л. А. Лаврова // Вестник Московского государственного областного университета. - 2015. - № 1. - С. 58-61.