Кальциевые колебания в астроцитах. Часть 2. Динамика взаимодействующих кальциевых генераторов

Нелинейная

динамика и неиронаука

Изв. вузов «ПНД», т. 20, № 3, 2012 УДК 621.391.01

КАЛЬЦИЕВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В АСТРОЦИТАХ Часть 2

Динамика взаимодействующих кальциевых генераторов

В.В. Матросов, С.Ю. Гордлеева, В.Б. Казанцев

В статье рассматриваются бифуркационные механизмы возникновения колебаний в биофизической модели ансамбля химически возбудимых клеток мозга - ансамбля аст-роцитов. В системе трех взаимодействующих клеток исследуются бифуркационные переходы, приводящие к генерации кальциевых колебаний за счет диффузии, изучаются основные механизмы разрушения соответствующих им предельных циклов и перехода системы в режим генерации хаотических кальциевых колебаний.

Ключевые слова: Кальциевый генератор, бифуркация, синхронизация, астроцит.

Введение

Данная статья продолжает исследования, связанные с изучением колебаний в глиальных клетках мозга - астроцитах. В [1] представлены результаты анализа механизмов возникновения колебаний в модели парциального элемента при отсутствии внешних возмущений, а также отклика астроцита на импульсные воздействия. Показано, что потеря устойчивости равновесного значения кальциевой концентрации может происходить как мягко, так и жестко. При увеличении концентрации внутриклеточного фермента инозитолтрифосфата (ИТФ; англ. 1Р3) переход астроцита в автоколебательный режим осуществляется мягко, через надкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа. При высоких концентрациях ИТФ автоколебания исчезают в результате бифуркации двухкратного предельного цикла, значение кальциевой концентрации стабилизируется на повышенном уровне. Снижение концентрации кальция возможно за счет снижения высоких концентраций ИТФ, однако этот процесс на определенном уровне прерывается жестким возбуждением автоколебаний через субкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа.

Анализ вынужденных колебаний астроцита при импульсной химической стимуляции свидетельствует, что, в отличие от динамических характеристик нейронных

генераторов, амплитуда кальциевых импульсов монотонно возрастает при увеличении интенсивности воздействия. Воздействие на астроцит периодической последовательностью импульсов приводит к возникновению сложной динамики, механизмы которой связаны с возникновением и разрушением в расширенном фазовом пространстве инвариантных торов.

Подобно нейронам, астроциты в мозге также формируют сети [2]. Согласно исследованиям нейрофизиологов, связь между клетками осуществляется преимущественно локально (с ближайшими соседями) через щелевые контакты (в англ. gap junctions) [3]. Эти контакты формируются специфическими белками - коннексина-ми CX43, проницаемыми избирательно для молекул ИТФ [4]. Поток ИТФ между соседними клетками пропорционален градиенту концентраций. Таким образом, взаимодействие между астроцитами имеет диффузионный характер и описывается моделями типа «реакция-диффузия».

В настоящей работе детально изучаются механизмы возникновения кальциевых колебаний в ансамбле связанных астроцитов, а также свойства этих колебаний, обусловленные параметрами связей. В моделях сетей взаимодействующих клеток установлено, что увеличение коэффициента связи между клетками может привести к потере устойчивости однородного состояния и возникновению спонтанных квазисинусоидальных колебаний [5,6]. Возможность синхронизации колебаний астроцитов показана как экспериментально, так и теоретически [4,7]. Показано, в частности, что в зависимости от значений контрольных параметров в системе реализуются мульти-стабильные режимы, связанные с сосуществованием в фазовом пространстве устойчивых предельных циклов, инвариантных торов и хаотических аттракторов различной структуры, соответствующих в исходной модели различным режимам синхронизации между кальциевыми колебаниями в астроцитах.

1. Модель

1.1. Динамическая система. Динамика ансамбля астроцитов с учетом диффузионной связи при отсутствии внешних возмущений описывается следующей системой уравнений [5,7]:

pj = (p* - Pj)AiP3 + Jplc + kiP3(pj-i - 2Pj + Pj+1),

qj = Jchannel Jpump + Jleak + Jin Jout,

где

^channel = CiVipp^q? - + ^ q^j /[(pj + di)(qj + d5)f

Jplc = V4(qj + (1 - a)ki)/(qj + k^),

J\eak = ClV2 ~ + qi Jpump = V3 q2 / (k2 + q2) Jin = V5 + V6p2/(k| + p2), Jout = k1 qj,

] = 1, 2,..., N - номер клетки, pj - концентрация ИТФ, Zj - доля неинактивиро-ванных каналов (0 < Zj < 1), qj - внутриклеточная концентрации кальция, к\рз -скорость диффузии ИТФ между клетками. Биофизический смысл констант и параметров можно найти в работах [4,8,9]. В соответствии с экспериментальными данными параметры (*) имеют следующие фиксированные значения: со =2.0 мкмоль, в\ = 0.185, VI = 6.0 с-1,1)2=0.11 с-1, г3=2.2 мкмоль  с-1, г5 = 0.025 мкмоль  с-1, г>б=0.2 мкмольс-1, к1 = 0.5 с-1, к2 = 1.0 мкмоль, к33 = 0.1 мкмоль, к4=1.1 мкмоль, й2 = 0.14 мкмоль  с-1, (1 = 0.13 мкмоль, (12=1.049 мкмоль, (3 = 0.9434 мкмоль, = 0.082 мкмоль, а = 0.8, хтр3 = 7.143 с-1, р* = 0.16 мкмоль. В качестве контрольных параметров выбраны 14 ~ 0.3...2.0 мкмоль  с-1 и коэффициент диффузии ИТФ к1рз ~ 0.01...1.00 с-1. Согласно экспериментальным данным [3], связь между астроцитами осуществляется преимущественно локально. Предполагаем, что каждый астроцит взаимодействует только с двумя ближайшими соседями, за исключением граничных элементов, имеющих одного соседа, р0=р1, рм+1=рм•

2. Эффекты диффузионного взаимодействия кальциевых генераторов

Рассмотрим динамику связанных кальциевых генераторов (*) при к1рз >0. Отметим, что, как следует из анализа динамики одиночного генератора, изменения концентрации ИТФ могут привести к возбуждению генератора и возникновению кальциевых импульсов. Диффузия ИТФ, с одной стороны, приводит к выравниванию концентраций в соседних клетках и, как следствие, может привести к синхронизации соседних генераторов. С другой стороны, этот механизм, как показано в работах [5,6], может привести к неустойчивости и возникновению спонтанных кальциевых колебаний в сети генераторов, не обладающих собственной колебательной активностью (находящихся в возбудимом режиме). Рассмотрим бифуркационные сценарии возникновения таких колебаний.

2.1. Структура пространства параметров и некоторые свойства автоколебательных режимов. На рис. 1 представлено разбиение плоскости параметров (к1рз,г4) модели (*) на области с различным динамическим поведением. Оно получено путем численного моделирования, основанного на методах качественной теории динамических систем [10, 11] с использованием программного комплекса

¡',г|:>— .......: : : : : »»

0.496!-0.495 Ь 0.494 • 0.493 -

а 0 0.2 ' 0.4 ' 0.6 ' 0.8 'кт б кт

Рис. 1. а - структура плоскости параметров (Аярз,^) модели (*) в случае N=3, б - качественное изображение фрагмента, ограниченного на рис. 1, а пунктирной линией

ДНС [12]. Границами выделенных областей являются бифуркационные кривые аттракторов.

В области До единственным аттрактором модели является состояние равновесия 01 с координатами р*. ({'. г*. ] = 1, ТУ, которые определяют концентрации ИТФ, кальция и долю открытых кальциево-зависимых каналов эндоплазматического ретикулума, соответственно. В ансамбле идентичных элементов значения не зависят от А^рэ, поэтому они не меняются при вариациях Границей области До служит кривая г4 = г^А^рэ), соответствующая смене устойчивости 0\ через бифуркацию Андронова-Хопфа (линия 1). Первая ляпуновская величина на кривой г>4 отрицательна, поэтому граница области До является безопасной [13]. Заметим, что состояние равновесия О1 меняет свою устойчивость три раза. Первый раз это происходит при пересечении линии 1, здесь состояние равновесия О1 типа1 {9,0} -устойчивый фокус - становится седло-фокусом типа {7,2}. Эта смена устойчивости сопровождается мягким рождением устойчивого предельного цикла ¿о. Вторая смена устойчивости О1 меняет тип состояния равновесия {7,2} на {5,4}, третья -{5,4} на {3,6}. Вторая и третья бифуркации Андронова-Хопфа приводят к рождению седловых предельных циклов, которые принципиального влияния на динамику ансамбля не оказывают. Бифуркационные кривые второй и третьей смены устойчивости О1 на рис. 1, а не приведены, здесь лишь отмечена точка а, где состояние равновесия О1 имеет две пары чисто мнимых корней, динамические перестройки окрестности этой точки более сложные, чем в окрестности бифуркационной кривой с одной парой чисто мнимых корней.

Отметим, что цикл ¿о (как и другие устойчивые предельные циклы модели ансамбля) определяет режим регулярных периодических колебаний элементов ансамбля, в котором все элементы ансамбля колеблются на одной частоте - частоте предельного цикла. Что касается амплитуд и фаз колебаний элементов ансамбля, то они для различных элементов могут существенно отличаться друг от друга, поскольку эти характеристики определяются проекциями предельного цикла на соответствующие локальные подпространства фазовых переменных элементов ансамбля. Эти проекции для отдельных элементов ансамбля могут практически вырождаться в точку, что соответствует вырождению колебаний в отдельных элементах ансамбля.

Область Д1 существования аттрактора ¿о ограничена бифуркационными кривыми: г4 = г^ (&1рэ) - Андронова-Хопфа; г4 = г41(к1Рэ) и г4 = г42(к1рэ) - двухкратного и трехкратного предельных циклов (линия 2); г4 = гП(А1рэ) - Неймарка-Сакера (линия 3). Кривая г^ по А1рэ не всегда определена однозначно. Из рис. 1, а видно, что существует такой интервал по параметру г4, на котором при увеличении коэффициента диффузии А1рэ колебания сначала появляются, потом пропадают, далее вновь появляются и опять пропадают. Несмотря на то, что механизм возникновения автоколебаний в обоих случаях одинаков (бифуркация Андронова-Хопфа), свойства возникающих колебаний различны и зависят от участка бифуркационной кривой г^ на котором происходит смена устойчивости О1. В малой окрестности бифуркационной кривой г4 слева от точки а в автоколебательном режиме переменные р1 и рэ колеблются синфазно, а р2 по отношению к р1 (рэ) колеблется в противофазе, справа

1Состояние равновесия п-мерного фазового пространства имеет тип {р, д=п-р}, если соответствующее ему характеристическое уравнение имеет р корней в левой полуплоскости и д корней в правой полуплоскости, то есть значения р и д определяют размерности устойчивого и неустойчивого многообразий [14].

Рис. 2. Проекции предельных циклов Ь+ и Ь0 (а),

инвариантных торов Т+ и Т0

от точки а в автоколебательном режиме переменные р1 и рз колеблются в про-тивофазе, а рассогласование фаз колебаний переменных р2 и р1 (р3) не кратно п. По мере удаления от линии 1 амплитуда цикла Ь0 растет, при этом слева от точки а синхронность колебаний р1 и рз сохраняется, а справа от точки а противофазная синхронизация р2 и р1 (р3) нарушается.

В точках Ь и с цикл Ь0 имеет два мультипликатора, равных единице. Эти точки являются концевыми для бифуркационных кривых г™, г^1 и г^2. В точке d бифуркация двухкратного предельного цикла (касательная бифуркация) трансформируется в бифуркацию трехкратного предельного цикла (бифуркацию типа «вилка»). В этой же точке берет начало кривая = г™1 (&1Р3), отвечающая бифуркации Неймарка-Сакера (линия 7).

При выходе из области через линию 2 между точками с и d, а также правее точки Ь цикл Ь0 исчезает, при этом в фазовом пространстве модели (*) появляется хаотический аттрактор. Если выходить из области через линию 2 слева от точки d, цикл Ьо теряет устойчивость, порождая пару устойчивых предельных циклов и Ь- (рис. 2, а). Синхронность колебаний переменных х1 ,у1 и х3 , у3 , ¿3, свойственная предельному циклу Ьо, на циклах и Ь- отсутствует. Предельные циклы Ь-(х-,у-,г-, Х2,У2,^2,х-, у-,£-) и (х+ ,у+ ,Х2,У2, ¿2, , у+, ) инвариантны относительно замены П1 : (х-, у-, , х-, у-, ) ^ (х+, у+, , х+, у+, ). Из рис. 2, а видно, что в проекции на плоскость (х1 , у1) размер предельного цикла больше, чем размер Ь-, однако в силу преобразования П1 этот эффект меняется на противоположный при проецировании циклов на плоскость (х3 , у3), в этой проекции размер предельного цикла Ь- больше, чем размер .

При выходе из области через линию 3 (см. рис. 1, а) цикл Ь0 теряет устойчивость, порождая устойчивый тор Т0 (рис. 3). Тор Т0 существует при значениях параметров из области 1 на рис. 1, а. Разрушение тора Т0 происходит при пересечении линии 9, оно сопровождается возникновением хаотического аттрактора с амплитудой колебаний, в несколько раз превышающей амплитуду колебаний на торе Т0, то есть в ансамбле возникают колебания, характеризующие высокую концентрацию ИТФ и, следовательно, кальция.

Рис. 3. Проекции фазового портрета и отображения Пуанкаре инвариантного тора Т0 при значениях параметров г>4 = 0.4931, ктрз = 0.450

Циклы Ь+ и Ь- существуют при значениях параметров из области Б2, ограниченной бифуркационными кривыми: ^С2 - трехкратного предельного цикла (линия 2 левее точки й на рис. 1, б); -и4 = ^С3 (&1Р3) - двухкратных предельных циклов (линия 4); = и™1 (&1Р3),^4 = ^42(^1Р3) - Неймарка-Сакера (линии 5,7). Кривая располагается между точками е и /, где выполняются условия нейтральности, при этом она содержит точки и д2, отвечающие бифуркации сборки. В результате бифуркаций сборки на плоскости параметров появляется область Б, где система (*) имеет четыре предельных цикла: Ь+, Ь-, Ь+ и Ь-. Циклы Ь+ и Ь- инвариантны относительно преобразования П1, по сравнению с циклами Ь+ и Ь- их размеры меньше.

При выходе из области Б2 через линию 4 циклы Ь+ и Ь- исчезают, фазовые траектории из их окрестности устремляются к одному из аттракторов, которые появляются в фазовом пространстве системы (*) при значениях параметров на штрих-пунктирной линии 8 еще до кризиса аттракторов Ь+ и Ь-. Таким образом, при выходе из области Б2 через линию 4 смена динамического режима осуществляется жестко, при этом могут возникать как хаотические колебания, синхронизированные по фазовым переменным первого и третьего элементов (р1 =р3,^1=^3, =г3), так и асинхронные колебания. В последнем случае колебания могут быть как регулярными, так и хаотическими. На рис. 4 приведены проекции фазовых портретов и осциллограммы автоколебательных режимов, которые определяют мультистабильное поведение ансамбля. Колебания на аттракторах Ь-, Ь+, £А13 инвариантны относительно преобразования П1, а движения по циклу Ь4 - неинвариантны.

При выходе из области Б2 через линии 5, 7 циклы Ь+ и Ь- теряют устойчивость, в результате возникают устойчивые торы Т0+ и Т- инвариантные относительно преобразования П1 (см. рис. 2, б). Линия 7 соединяет точки й и е, линия 5 начинается в точке, разделяющей автоколебательный и возбудимый режимы парциального элемента (бифуркация Анронова-Хопфа модели (*) при 3 = 0), и оканчивается в точке /. Торы Т+ и Т0- существуют при значениях параметров из областей Бт2. Область Бт2, примыкающая к линии 7, мала, поэтому на рис. 1 она не отмечена. Исчезновение торов Т0+ и Т0- происходит либо в результате слияния с неустойчивыми торами (на линии 6 ), либо в результате потери гладкости, при этом модель (*) переключается на регулярный или хаотический аттракторы.

Область существования аттракторов с большой амплитудой на рис. 1 выделена серым цветом, она ограничена линиями 2,8,9. Установлено, что область является областью мультистабильного поведения. Здесь одновременно можно наблюдать как хаотические аттракторы с различной топологией, так и регулярные

Рис. 4. Осциллограммы автоколебательных режимов модели (*) при = 0.4954, ктрз = 0.046

Рис. 5. Эволюция максимумов переменной и межимпульсных интервалов ДЬ при увеличении (а, б) и уменьшении (в, г) параметра связи к\рз в случае г>4=0.495

движения. Структуру области характеризуют однопараметрические бифуркационные диаграммы, приведенные на рис. 5. Диаграммы на рис. 5 а,в отражают эволюцию распределения концентрации кальция при изменении силы связи &1Р3, диаграммы на рис. 5 б,г - распределение межимпульсных интервалов. При построении диаграмм на рис. 5 а,б исходное состояние определял предельный цикл ¿0. При увеличении &1Р3 этот предельный цикл исчезает, порождая «симметричный» хаотический аттрактор (рис. 6, а). Этот аттрактор располагается на инвариантном многообразии синхронизации, Жя 13 = {р1 =Р3,41 =43 ,¿1 =¿3}. С ростом &1Р3 движения модели (*) становятся регулярными, а синхронное поведение нарушается, однако при дальнейшем увеличении силы связи синхронные хаотические колебания появляют-Рис. 6. Примеры хаотических аттракторов моде- ся вновь и сохраняются вплоть до рели (*) при значения параметр°в ш власти ^ гуляризации колебаний. Появляющиеся регулярные колебания также принадлежат многообразию 13. Диаграммы на рис. 5 в,г построены при уменьшении &!Р3. Здесь в качестве начального состояния системы (*) использовался «асимметричный» хаотический аттрактор $А2 (рис. 6, б), который при &1Р3 = 1 существует совместно с регулярным симметричным аттрактором. В интервале к1Р3 Е (0.05; 0.13) движения на рис. 6, б принадлежат многообразию Жя 13.

При значениях параметров из области В4 в фазовом пространстве модели (*) существует устойчивый предельный цикл Ь4 (рис. 7, а). Область В5 отвечает существованию устойчивого цикла Ь5 инвариантного относительно П1 (рис. 7, б). Циклы Ь4 и Ь5 появляются в результате касательной бифуркации, они могут трансформироваться в хаотические аттракторы по сценарию Фейгенбаума, а также терять устойчивость через бифуркацию Неймарка-Сакера. Характерной особенностью циклов Ь4 и Ь5, а также сформированных на их основе хаотических аттракторов, является то, что они имеют большие размеры, то есть определяют импульсы с высокими (надпо-роговыми) значениями концентрации кальция.

Примечательно, что циклы Ь4 и Ь5 могут появляться в фазовом пространстве модели (*) до бифуркации Андронова-Хопфа, то есть в ансамбле автоколебательные режимы могут существовать совместно со стационарным режимом, определяемым состоянием равновесия О1.

Из представленного выше бифуркационного анализа следует, что плоскость параметров (Й1рз,^4) модели (*) содержит две большие области: область Во, где концентрации ИТФ и кальция с течением времени не меняются, и область Дсь, в которой наблюдается кальциевая активность, то есть концентрация кальция не стационарна, на определенных интервалах времени она может достигать достаточно больших значений; эти изменения, как правило, имеют хаотический характер. Области Во и Вс^ разделены узкой полосой существования регулярных и квазирегулярных колебаний малой амплитуды. В этой полосе допускается неоднозначное поведение модели (*), обусловленное одновременным существованием нескольких устойчивых регулярных (квазирегулярных) движений. Неоднозначность поведения модели (*) в разделяющей полосе объясняет возможность существования различных сценариев возникновения кальциевой активности. Обратим внимание еще на один факт, выявленный в результате бифуркационного анализа модели (*), - это наличие областей В4 и В 5, где автоколебательные режимы являются жесткими, то есть их реализация возможна только при определенных начальных условиях. Жесткие автоколебательные режимы могут быть как регулярными, так и хаотическими.

Рис. 7. Проекции аттракторов из областей Б4 при к\р3 = 0.0069, г4 = 0.4965

2.2. Механизмы возникновения спонтанных кальциевых колебаний.

Из анализа движений модели (*) следует, что колебания кальциевой активности (большой амплитуды), как правило, являются хаотическими. Они возникают при увеличении параметра связи к\Р3, а механизмы их возникновения могут быть как мягкими (обратимыми), так и жесткими (с явлениями гистерезиса на границе возникновения).

Мягкий переход имеет место в интервале у4 Е (0.4927; 4.955) и осуществляется либо через перемежаемость I типа, либо в результате разрушения инвариантного тора. В обоих случаях колебаниям кальциевой активности предшествуют автоколебания малой амплитуды, которые возникают в результате потери устойчивости режима стационарной концентрации. Дальнейшее увеличение к1Р3 влечет за собой монотонное нарастание амплитуды колебаний, при этом регулярные колебания могут трансформироваться в квазирегулярные колебания, но этот переход не нарушает плавности нарастания амплитуды. Рост амплитуды регулярных (квазирегулярных) колебаний ограничивает хаотизация колебаний, которая проявляется в виде коротких временных интервалов хаотических блужданий фазовых переменных. На рис. 8, а представлена осциллограмма хаотического процесса, возникшего через перемежаемость I типа. Для этого процесса характерны длинные зоны «регулярных» колебаний, прерывающиеся короткими нерегулярными всплесками, при этом амплитуда

колебаний в зоне всплеска может в несколько раз превышать амплитуду «регулярных» колебаний. По мере удаления от границы возникновения хаоса длина зон регулярных колебаний уменьшается. На рис. 8, б представлена осциллограмма хаотического процесса типа тор-хаос, который появляется в результате разрушения квазирегулярных колебаний (инвариантного тора). Этот переход к хаотическим колебаниям является мягким, от перемежаемости I типа он отличается лишь тем, что зона «регулярных» колебаний здесь является зоной «квазирегулярных» колебаний.

При у4 > 0.4955 колебания кальциевой активности возникают жестко, через следующие бифуркационные механизмы: седло-узловая бифуркация предельного цикла, разрушение инвариантного тора (квазипериодического движения) как целого, в результате слияния его с неустойчивым тором, наконец, через потерю гладкости тора. При жестком режиме возбуждения характеристи-Рис. 9. Жесткий автоколебательный режим. Эволю- ки аттрактора, характеризующего кальция максимумов переменной д2 и межимпульсных циевую активность, не зависят от харак-

интервалов при вариациях кР3 в области на

уровне у4 = 0 4947 теристик предшествующих колебаний.

Рис. 8. Осциллограммы хаотических процессов модели (*) при =0.493, к!Рз=0.14368

Жесткие регулярные автоколебания, сосуществующие с режимами стационарной концентрации, возникают в результате «уплотнения» фазовых траекторий, через касательную бифуркацию. Выход на эти колебания возможен либо в результате кризиса других аттракторов, либо в результате внешних воздействий, изменяющих состояния системы. При вариациях параметров регулярные колебания могут трансформироваться в хаотические через каскад бифуркаций удвоения периода. Области существования жестких хаотических колебаний малы, а хаотическая последовательность импульсов кальциевой активности мало отличается от порождающей ее регулярной последовательности (рис. 9).

Заключение

Отметим в заключении характерные черты динамики кальциевой динамики связанных астроцитов, выявленных в результате бифуркационного анализа.

Учет диффузионной связи по ИТФ между соседними астроцитами приводит к возможности генерации колебаний за счет межклеточного взаимодействия. Обнаружены следующие бифуркционные сценарии. Колебания могут возникать мягко в результате бифуркации Андронова-Хопфа или жестко через бифуркацию двухкратного цикла. Дальнейшее увеличение связи ведет к бифуркациям предельных циклов, возникновению и последующему разрушению (или потери устойчивости) инвариантных торов и перехода модели в режим хаотической генерации импульсов. Предельные циклы, движения на торе и хаотические аттракторы обладают определенными свойствами симметрии, что соответствует различным режимам синхронизации колебаний парциальных элементов. Отметим также, что хаотические колебания, возникающие по сценарию перемежаемости, имеют форму сранительно редких кальциевых импульсов на фоне длительных подпороговых флуктуаций, что качественно соответствует экспериментальным данным по спонтанной динамике астроцитов в мозге (см., например, [15]).

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МД-5096.2011.2, Программы МКБ РАН, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

Библиографический список

1. Гордлеева С.Ю., Казанцев В.Б., Матросов В.В. Кальциевые колебания в аст-роцитах. Часть 1. Астроцит как генератор кальциевых колебаний // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2012. Т. 20, № 3. C. 15.

2. Verkhratsky A., Butt A. Glial Neurobiology, Wiley, 2007.

3. Halassa M.M., Fellin T., Takano H., Dong J.-H., Haydon P.G. Synaptic islands defined by the territory of a single astrocyte //J. Neurosci. 2007. Vol. 27, № 24. P. 6473.

4. Ullah G., Jung P., Cornell-Bell A.H. Anti-phase calcium oscillations in astrocytes via inositol (1,4,5)-trisphosphate regeneration //Cell Calcium. 2006. Vol. 39. P. 197.

5. Kazantsev V.B. Spontaneous calcium signals induced by gap junctions in a network model of astrocytes // Phys. Rev. E 2009. Vol. 79. 010901(R).

6. Казанцев В.Б., Воробьев А.В. Осцилляторная неустойчивость и спонтанные

подпороговые колебания в сети диффузионно связанных кальциевых осцилляторов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17, № 2. C. 123.

7. Matrosov V.V., Kazantsev V.B. Bifurcation mechanisms of regular and chaotic network signaling in brain astrocytes // Chaos. 2011. Vol. 21, № 2. P. 023103.

8. De Young G.W., Keizer J. A single-pool inositol 1,4,5-trisphosphate-receptor-based model for agonist-stimulated oscillations in Ca2+ concentration //Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1992. Vol. 89, P. 9895.

9. Li Y., Rinzel J. Equations for IP3 receptor-mediated Ca2+ i oscillations derived from a detailed kinetic model: a Hodgkin-Huxley-like formalism // J. Theor. Biol. 1994. Vol. 166. P. 461.

10. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. Москва;Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

11. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. Москва;Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2009.

12. Матросов В.В. Динамика нелинейных систем. Программный комплекс для исследования нелинейных динамических систем с непрерывным временем. Н.Новгород: ННГУ, 2002.

13. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984.

14. Афраймович В.С., Лукьянов В.И., Шильников Л.П. Грубые состояния равновесия и периодические движения многомерных динамических систем. Часть 1. Методическое пособие по качественной теории дифференциальных уравнений: Горький: Изд-во ГГУ, 1985.

15. Nett W.J., OloffS.H., McCarthy K.D. Hippocampal astrocytes in situ exhibit calcium oscillations that occur independent of neuronal activity // J. Neurophysiol. 2002. Vol. 87. P. 528.

ННГУ им. НИ. Лобачевского Поступила в редакцию 29.03.2012

Институт прикладной физики РАН

CALCIUM OSCILLATIONS IN ASTROCYTES Part 2

Dynamics of interacting calcium oscillators

V.V. Matrosov, S.Yu. Gordleeva, V.B. Kazantsev

We investigated bifurcation mechanisms of oscillatory dynamics of interacting chemically excitable cells (astrocytes). In model of three interacting astrocytes we studied bifurcation transitions leading to generation of calcium oscillations induced by the intercellular diffusion. We analyzed basic mechanisms of limit cycle instabilities and destructions, typical transitions to chaotic oscillations and basic properties of intercellular synchronization.

Ключевые слова: Calcium oscillator, bifurcation, synchronization, astrocyte.