Синхронизация мод твердотельных лазеров с помощью запаздывающей отрицательной обратной связи

СИНХРОНИЗАЦИЯ МОД ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ЛАЗЕРОВ С ПОМОЩЬЮ ЗАПАЗДЫВАЮЩЕЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ

ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

М.В. Иночкин, А.И. Павлишин

Теоретически и экспериментально показана возможность стабильной синхронизации мод твердотельного лазера с помощью малоинерционной системы отрицательной обратной связи с запаздыванием. Данный метод синхронизации мод не требует нелинейных элементов внутри резонатора и внешних стабильных генераторов радиоимпульсов в системе управления затвором.

Твердотельные лазеры с синхронизацией мод нашли широкое применение в лазерной спектроскопии как одни из самых доступных и удобных источников мощных коротких импульсов света. В этих лазерах фотоны концентрируются на отрезках времени много короче времени обхода светом резонатора (аксиального периода). Такой, так называемый сверхкороткий, импульс (СКИ) после каждого обхода резонатора частично отражается и частично выходит через полупрозрачное зеркало. В результате выходное излучение лазера с синхронизацией мод представляет собой последовательность (цуг) СКИ, следующих друг за другом через аксиальный период.

Согласно традиционной классификации все устройства для синхронизации мод (СМ) лазеров разделяют на пассивные и активные. В лазерах с пассивной СМ в резонатор вводят нелинейный элемент, пропускание которого растет с увеличением интенсивности излучения. В результате возникающей положительной обратной связи происходит селекция наиболее интенсивных импульсов начального люминесцентного шума, и при определенных условиях на аксиальном периоде можно получить всего один СКИ (хотя, на самом деле, обычно остаются и другие СКИ - сателлиты - меньшей интенсивности). Платой за простоту и относительно малую длительность СКИ в лазерах с пассивной СМ является принципиально вероятностный характер этих импульсов [1] и, как следствие, нестабильность их параметров. Для стабилизации параметров СКИ в лазер с пассивной СМ вводят систему отрицательной обратной связи (ООС) [2]. В лазер с активной СМ в резонатор вводят модулятор, пропускание которого периодически изменяется сигналом внешнего СВЧ генератора. Реализация преимуществ активной СМ (точность временной привязки и стабильности параметров СКИ) требует очень точного согласования периода колебаний внешнего СВЧ генератора с аксиальным периодом резонатора лазера. Для стабилизации генерации в лазер с активной СМ также вводят ООС, осуществляющие автоподстройку частоты и фазы внешнего СВЧ генератора под аксиальный период резонатора [3].

Таким образом, как при пассивной, так и при активной СМ для стабилизации параметров СКИ в твердотельных лазерах приходится применять различные системы ООС. В результате грань между различными типами СМ становится условной, а сами системы существенно усложняются. В то же время существует достаточно простой метод получения стабильных пикосекундных импульсов света с помощью одной только оптико-электронной отрицательной обратной связи. При этом система ООС управляется самим лазерным излучением, и стабильные СКИ могут быть получены без использования высокостабильных СВЧ генераторов. Этим данный метод напоминает обычную пассивную СМ, однако в отличие от последней позволяет получать одиночные СКИ на аксиальном периоде без сателлитов. Особенность системы состоит в специально подобранной характеристике радиочастотного контура цепи ООС и небольшом запаздывании отрицательной обратной связи относительно циркулирующего в резонаторе излучения.

Хорошо известно, что многие физические системы с запаздывающей ООС склонны к самоосцилляции. Различные режимы самоосцилляций при генерации лазеров с запаздывающей ООС ранее исследовались на основе анализа системы

дифференциальных уравнений для потока фотонов и инверсии [4, 5]. В то же время установление режима СМ в импульсных твердотельных лазерах все чаще изучается с применением более наглядного и интуитивно понятного подхода, основанного на дискретных преобразованиях отдельных флуктуационных пичков излучения последовательно в активном элементе, насыщающемся фильтре, системе ООС [6, 7]. В настоящей работе на основе анализа эволюции отдельных флуктуационных пичков в лазере с запаздывающей ООС найдены общие условия генерации одиночного на аксиальном периоде СКИ со стопроцентной воспроизводимостью.

Рассмотрим лазер с системой ООС, которая обладает небольшой задержкой отклика А1 по отношению к излучению, циркулирующему в резонаторе. При достаточно малой амплитуде колебаний пропускание системы ООС можно считать линейным и в общем виде описать выражением

t-Аt

Т

—ад

где То - начальное пропускание модулятора, I(/) - интенсивность лазерного излучения, к(р) - импульсный отклик системы ООС (отклик системы на 5-образное воздействие). Из (1) видно, что селективные свойства системы ООС при малой глубине модуляции определяются исключительно видом ее импульсного отклика к((). Далее мы докажем, что система ООС с монотонно спадающим откликом Ъ(р) на временах порядка аксиального периода обладает свойством устойчиво селектировать один-единственный СКИ на аксиальном периоде резонатора. Параметры этого СКИ стабильны, если задержка отклика системы ООС достаточно мала.

Пусть к(() - неотрицательная функция, монотонно убывающая от максимального значения к(0) до существенно меньших значений на временах порядка аксиального периода Тах-

Г к > к > 0, t1 < t2

[к

Предположим также, что задержка отклика системы ООС Аt порядка длительности одиночного СКИ. Ниже показано, что при выполнении этих условий в лазере с ООС происходит устойчивая селекция одиночного СКИ с фиксированными параметрами практически независимо от начального распределения шумов.

Если на аксиальном периоде находится один СКИ с длительностью Аt и интенсивностью I;, то, согласно (2), пропускание модулятора системы ООС для этого импульса максимально и равно:

Ттах = Т0 - IlАt • к

Обозначим эффективный коэффициент усиления активной среды (с учетом потерь резонатора) К0, тогда стационарный уровень интенсивности определяется выражением

Т - К ^

11 = То Ко .

1 к(Тт) -А

При отклонении по каким-либо причинам интенсивности СКИ от стационарного уровня пропускание модулятора системы ООС (1) изменится в противоположную сторону (пропускание увеличивается при уменьшении интенсивности и наоборот), восстанавливая стационарный уровень интенсивности (4). Следовательно, стационарное решение в виде одиночного на аксиальном периоде СКИ с интенсивностью (4) устойчиво к флуктуациям его амплитуды. Пропускание модулятора системы ООС максимально в момент прохождения этого импульса. Сразу после прохождения импульсом модулятора системы ООС последний закрывается, и его пропускание падает до минимального уровня:

Ттт = То - !ХМ • А(0),

а затем релаксирует в соответствии с поведением импульсного отклика Ъ(() к максимальному уровню (3) к моменту следующего прохождения СКИ через модулятор а=Т(а), после чего весь процесс повторяется (рис. 1).

I

Т

1

Ттах

Ттт

1

Рис. 1. Динамика импульсного отклика системы ООС при одном СКИ

на аксиальном периоде

Другими словами, пропускание модулятора системы ООС, обладающей свойствами (2), максимально во время прохождения через него одиночного на аксиальном периоде стационарного СКИ. Для всех прочих возмущений стационарного решения в виде дополнительных флуктуационных пичков на аксиальном периоде пропускание модулятора системы ООС меньше, чем для основного импульса. Это приводит к эффективному подавлению возмущений стационарного режима, обеспечивая его стабильность. Похожее поведение пропускания нелинейного затвора во времени наблюдается и в лазерах с пассивной СМ. Однако на этом аналогия между пассивной СМ и СМ с помощью запаздывающей ООС заканчивается. При появлении на аксиальном периоде других более-менее интенсивных СКИ селекция одиночного СКИ в лазерах с запаздывающей ООС происходит по совершенно иным законам, чем в лазерах с пассивной СМ. В частности, в лазерах с запаздывающей ООС селектируется не максимальный по интенсивности световой выброс, а тот, для которого средняя добротность резонатора за достаточно большой промежуток времени максимальна.

Рассмотрим вначале случай, когда на аксиальном периоде находятся всего два импульса с интенсивностями 11 = 11(^1) и 12 = 12(^), разделенных интервалом времени ^21 = t2 - t1 (рис. 2). Представляя эти импульсы 5-функциями, в (1) пропускание модулятора для них можно записать как

Т(О = То - IМТх ) - 12 КТт - 12!) Т($г) = То -1№21) -12И(Тса) .

Из этих выражений следует, что для двух импульсов на аксиальном периоде существует некоторое критическое соотношение интенсивностей этих импульсов 12/1] при превышении которого пропускание Т^2) становится больше ТУказанное соотношение равно:

К121 ) - КТх )

А =

КТх -121) - к(Тах )•

Величина А соотношения интенсивностей импульсов, при котором пропускание модулятора системы ООС для обоих импульсов одинаково (Т^\)=Т^2)), зависит от взаимного расположения этих импульсов на аксиальном периоде. В частности, при ^21<<Тах, то есть когда "второй" импульс следует сразу за "первым", величина А>>1. Таким образом, даже относительно слабый импульс может с помощью системы запаздывающей ООС выиграть в конкурентной борьбе у существенно более сильного, если он расположен "впереди" на аксиальном периоде. Этим СМ с помощью запаздывающей ООС принципиально отличается от других методов самосинхронизации мод.

При точном равенстве

¡2 = А11

реализуется стационарная или "балансирующая" конфигурация двух импульсов, которая может существовать сколь угодно долго, пока выполняется равенство Т(^1)=Т(^2). Впрочем, достаточно малейшего отклонения от этой конфигурации, чтобы она распалась. Действительно, при отклонении интенсивности, скажем, "первого" импульса от равновесного соотношения (8) на величину А11 произойдут изменения пропускания модулятора ООС для этих импульсов: АТ (О = -А11к(Гах) АТ (2) = -А1М 21).

Из (9) с учетом (2) следует, что увеличение интенсивности "первого" импульса приводит к большему уменьшению пропускания модулятора для "второго" импульса, чем для "первого". При уменьшении интенсивности "первого" импульса ¡1 пропускание для него, наоборот, увеличивается, но пропускание для "второго" импульса увеличивается сильнее. Таким образом, малейшее отклонение интенсивности любого из импульсов от равновесного значения начинает увеличиваться проход за проходом. В результате "балансирующая" конфигурация оказывается неустойчивой.

I

Т

А

1 12

({ 1

}) 1 12 1 г

+ --Т,

л- - -т2

Рис. 2. Динамика импульсного отклика системы ООС при двух СКИ

на аксиальном периоде

В общем случае, когда на аксиальном периоде находится много импульсов спонтанного шума, селекция одиночного СКИ происходит аналогичным образом. Ниже мы покажем, что для любого п>2 существуют "балансирующие" конфигурации СКИ, но, как и для двух импульсов, все они оказываются неустойчивыми.

1

Для п импульсов на аксиальном периоде с интенсивностями Л^!^!), ^^(/гХ.-./^Д^), пропускание модулятора системы ООС можно записать по аналогии с (6) как

\Т

Т

Т

здесь Ц = и^у. Если ввести вектора Т=[Та-Т(Ь), Т0-Т(12),...,Т0-Т(1г)] и I =[11, 12, ..., !п], то эти выражения можно переписать в матричном виде:

М • I = Т,

где матрица М равна

'КТах ) И(Тах - 121) И(ТЖ - 131) ... И(Т^ -^ 21) И(Тах ) И(ТЖ - 132) ... И(Тах -

М =

Ь^31 ) Ь^32 )

И

И

.И(^) И(^) И(0 ... Ь(Тх ) Как известно, система уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы отличен от нуля. Покажем, что при выполнении

условий (2) ёй М^0, то есть для любого набора Т(^), Т(Ь), ..., Т(п существует единственная конфигурация интенсивностей импульсов II, ..., In, удовлетворяющая (10). Заметим прежде всего, что, пользуясь произвольностью п, без потери общности все импульсы спонтанного шума можно расположить эквидистантно на аксиальном периоде с интервалом Ы^са/п:

^ - tJ-l = У- = Ы .

В самом деле, в том случае, когда какому-либо ^ не соответствует СКИ, его интенсивность можно просто приравнять нулю, а уравнение для Т(^) проигнорировать. При эквидистантном расположении СКИ матрица (12) примет вид:

ш1 ш2 ш3 . . шп

шп ш1 ш2 . . шп-1

М = шп-1 шп ш1 . . шп-2 ,

ш2 ш3 ш4 . . ш1

где Ш}=И[(п-]+\)Ъ{\. Каждая следующая строка матрицы (14) получается циклическим сдвигом предыдущей на одну позицию вправо. Свойства таких матриц, называемых циркулянтами, довольно подробно изучены [8]. В частности, известно, что циркулянты диагонализируются в п-мерном комплексифицированном пространстве, а их собственные числа представляются выражением

Xу = ш1 + ш2гу + ш3гу2 +... + шпгуп-1, у = 1,2, ...п,

где гу - различные комплексные корни уравнения гп=1. Покажем, что если условия (2) выполнены, все собственные числа Ху^0. Действительно, в этом случае

ш1<ш2<ш3<...<шп,

и последовательные слагаемые суммы (15) расположены на комплексной плоскости на раскручивающейся спирали (рис. 3).

1т

Рис. 3. Расположение слагаемых т^Н на комплексной плоскости в выражении

для собственных чисел матрицы

При п>2 каждому комплексному гу из верхней полуплоскости

п-к -к / ^

соответствует комплексно сопряженное число Гу =гу =(г7- )* из нижней полуплоскости, причем в силу условий (16) мнимые части произведений г}ктк+1, лежащих выше оси вещественных чисел, всегда меньше мнимых частей соответствующих им произведений из нижней полуплоскости. Таким образом, при п>2 по крайней мере 1т(Ау) строго меньше нуля, т.е. у рассматриваемой нами матрицы не существует нулевых собственных значений, и ее определитель никогда не обращается в ноль. Следовательно, исходная система (10) всегда имеет единственное решение для любых, в том числе одинаковых, Т(^), Т^2),...,Т^п). Отсюда вытекает, что для любого числа импульсов на аксиальном периоде существует единственная "балансирующая" конфигурация интенсивностей импульсов спонтанного шума, при которой пропускание модулятора ООС для всех СКИ одинаково. При строго эквидистантном расположении п импульсов на аксиальном периоде этой "балансирующей" конфигурацией, очевидно, является тривиальное решение /1=/2=...=/п. Однако, пользуясь произвольностью п и зануляя некоторые значения интенсивностей, из (10) можно получить нетривиальные " балансирующие" конфигурации СКИ с неравными интенсивностями и неравными промежутками между ними.

Как и в двумерном случае, при выполнении условий (2) все "балансирующие" конфигурации оказываются неустойчивыми. Действительно, аналогично (9), исходя из (10), можно записать, например, изменение пропускания при вариации интенсивности первого импульса (всегда можно начать отсчет таким образом, чтобы импульс, у которого произошло изменение интенсивности, был первым): ЛТ (О = -А/1 • к(Тса), ЛТ (О = л/1 • ИЦ21),

ЛТ

ЛТ (гп) = -Л/1 • Ъ(гпХ).

Из (17) с учетом (2) видно, что изменение интенсивности "первого" импульса приводит к большему изменению пропускания модулятора для всех остальных импульсов, причем с увеличением интенсивности /1 пропускание уменьшается, и наоборот. Таким образом, любая "балансирующая" конфигурация оказывается неустойчивой, и система ООС, удовлетворяющая условиям (2), всегда выделяет

одиночным импульс из начального спонтанного распределения шумов на аксиальном периоде.

Экспериментально синхронизация мод с помощью запаздывающей ООС нами была исследована в импульсном лазере на УЛО:Кё с ламповой накачкой, линейным резонатором и внутрирезонаторной ячейкой Поккельса, работающей по четвертьволновой схеме (рис. 4).

6 7

" 2

1

Рис. 4. Схема экспериментальной установки. 1, 2 - зеркала резонатора;

3 - активный элемент; 4 - поляризационное зеркало; 5 - электрооптический затвор; 6 - фотодиод; 7 - система ООС

Обратная связь создавалась ячейкой Поккельса, управляемой излучением лазера с помощью кремниевого фотодиода. Задержка в контуре отрицательной обратной связи была порядка 7 нс, а параметры радиочастотного контура в цепи ООС были подобраны так, чтобы удовлетворялись условия (2). Настройкой ячейки Поккельса можно было изменять чувствительность системы обратной связи и реализовывать как отрицательную, так и положительную обратную связь. При настройке на отрицательную обратную связь в широкой области энергий ламповой накачки (7-15 Дж) наблюдалась устойчивая генерация стабильных цугов одиночных на аксиальном периоде СКИ (рис. 5).

Ц1Ш! ! III И 1 Н1 I I | ) ) п I П I I 11

Щ\\\\ ¡¡(¡]:|И|; I II I I ¡11 114 II! 1 I ! 11

;11! м ИI и 1 ' I 1 И I п

ЫП !ПЫШНЫ

щттпитпшлт?!!

Рис. 5. Генерируемый цуг СКИ, аксиальный период - 8.5 нс

Полная энергия цуга составляла 1-2 мДж, а полная длительность определялась длительностью ламповой накачки и была порядка 100 мкс. При правильной настройке системы ООС ни разу не было отмечено появления сателлитов основного СКИ на аксиальном периоде за все время наблюдения. Длительность одного СКИ была менее 0.5 нс.

Таким образом, в настоящей работе теоретически и экспериментально исследован процесс селекции одиночного СКИ из флуктуационного люминесцентного шума на аксиальном периоде лазера с малоинерционной (<10-8с) ООС с малым (<10-8с) запаздыванием отклика. Дано простое и физичное толкование различным режимам сложных осцилляций, обнаруженных ранее при численном анализе систем с запаздывающей ООС другими авторами. Этим режимам соответствуют конфигурации интенсивностей СКИ, названные нами "балансирующими", так как они реализуют равные коэффициенты пропускания друг для друга и могут существовать неограниченно долго в силу этого. Показано, что для каждой конкретной реализации расположения СКИ на аксиальном периоде существует своя единственная

"балансирующая" конфигурация интенсивностей. Мы привели также общие условия на импульсный отклик системы ООС, при которых все "балансирующие" конфигурации оказываются безусловно неустойчивыми и реализуется единственное устойчивое решение в виде цуга одиночных на аксиальном периоде СКИ. Теоретическое рассмотрение подтверждено результатами экспериментов с УЛО:Кё лазером с малоинерционной электрооптической ООС.

Литература

1. Кузнецова Т. И. К статистике возникновения сверхкоротких световых импульсов в лазере с просветляющимся фильтром // ЖЭТФ. 1969. Т. 57. С.1673.

2. Комаров К.П., Кучьянов А.С., Угожаев В.Д. Стационарные сверхкороткие импульсы при пассивной синхронизации мод твердотельного лазера с активной обратной связью // Квантовая электроника. 1986. Т. 13. С. 802.

3. Запорожченко В.А., Качинский А.В., Пилипович Н.В., Тылец Н.А. Стабилизация выходных параметров УКИ в импульсном ИАГ:Кё-лазере с активной синхронизацией мод и отрицательной обратной связью // Квантовая электроника. 1990. Т. 17. С. 56.

4. Самсон А.М. Высокочастотная автомодуляция излучения лазеров и генерация сверхкоротких импульсов // Препринт ИФ АН БССР, Минск. 1979. № 189.

5. Григорьева Е.В., Лойко Н.А., Самсон А.М. Динамика лазера с запаздывающей отрицательной обратной связью // Препринт ИФ АН БССР, Минск. 1989, № 548.

6. Макуха В.К., Смирнов В.С., Семибаламут В.М. Генерация ультракоротких импульсов в лазере с отрицательной обратной связью // Квантовая электроника. 1977. Т. 4. С. 1023.

7. Нилов Е.В., Русов В.А. Высокочастотная автомодуляция моноимпульсной генерации твердотельных лазеров // ЖТФ. 1985. Т. 55. С. 2413.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.