О разрешимости одного класса нелинейных интегральных уравнений в p-адической теории струн

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 4 (2018). С. 12-23.

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В р-АДИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТРУН

С.М. АНДРИЯН, А.К. КРОЯН, Х.А. ХАЧАТРЯН

Аннотация. Исследован один класс интегральных уравнений со степенной нелинейностью на всей прямой. Указанный класс уравнений возникает в р-адической теории открыто-замкнутых струн. С применением метода последовательных приближений и с обоснованием их сходимости доказано существование нетривиального непрерывного нечетного и ограниченного решения на всей числовой прямой. Изучено асимптотическое поведение решения при неограниченном возрастании аргумента. Получены интегральные оценки и ряд свойств аппроксимаций решения рассматриваемого уравнения. При некоторых дополнительных ограничениях устанавливается также единственность построенного решения в определенном классе непрерывных функций. Приведены примеры интегральных ядер уравнения, удовлетворяющих всем условиям сформулированных теорем. Когда ядерная функция - гауссовское распределение из доказанных результатов, как частный случай, получена теорема B.C. Владимирова - Я.И. Воло-вича.

Ключевые слова: последовательные приближения, предел решения, поточечная сходимость, непрерывность.

Mathematics Subject Classification: 47Н10, 47Н30

1. Введение

Настоящая работа посвящена исследованию следующего нелинейного интегрального уравнения на всей прямой:

со

рр

—о

относительно искомой нечетной и непрерывной па R фупкции р(х). Здесь р > 2 — произвольное нечетное число, а функции А и К обладают следующими свойствами:

(a) А е С(R+ х R+); К е С(R), R+ = [0, те);

со

(b) К е Li(R)f| LX(R); К(т) > 0, г е R; / К(т) dr = 1;

—о

о

(c) К(-Т) = К(т), т е R+; / t2K(t) dt < +те; К(т) | по т на R+;

—о

со

(d) 0 ^ \(x,t) ^ 1, (x,t) е R+ х R+; ft sup (1 - \(x,t)) dt < +те.

о eR+

S.M. Andriyan, A.K. Kroyan, Kh.A. Khachatryan, On solvability of a class of nonlinear

integral equations in p-adic string theory.

© Хачатрян X.A., Андриян C.M., Кроян A.K. 2018. Поступила 15 июля 2017 г.

Уравнение (1.1) возникает в р-адической теории струн и описывает динамику тахионов открыто-замкнутых р-адичееких струн (см. [1]-[3]), Рассматриваемое уравнение является в некотором смысле дальнейшим обобщением уравнения с X(x,t) = 1 и с ядром вида

1 2

К (х) = —= е , л/к

изученного академиком B.C. Владимировым и Я. И. Воловичем в работе [2]. В работе [4] одного из авторов это уравнение (и соответствующее двухмерное уравнение) исследовалось также в случае X(x,t) = 1, то с ядром К, удовлетворяющим только условиям (а) — (с). В настоящей работе доказывается существование нетривиального непрерывного нечетного и ограниченного решения на всей числовой оси. Вычислены пределы построенного решения в При некоторых дополнительных ограничениях устанавливается и единственность построенного решения в определенном классе непрерывных функций. В конце работы приводятся примеры функций А(ж, t) и К(х), удовлетворяющих всем условиям сформулированных теорем.

2. Существование нетривиального нечетного непрерывного

и ограниченного решения на всей числовой оси

Сначала докажем ключевую лемму, которая будет использована при доказательстве теоремы существования нетривиального решения уравнения (1.1) на всей числовой оси. С этой целью рассмотрим следующее вспомогательное линейное однородное уравнение Вольтерра:

те

в

X

относительно функции В(х), где

V

Лемма 2.1. При выполнении условий (а) — (с1) уравнение (2.1) обладает неотрицательным нетривиальным непрерывным и ограниченным на, полуоси, Ш+ решением В(х) с асимптотикой в бесконечности,: Иш В(х) = 1.

х^+те

Доказательство. Рассмотрим следующее линейное неоднородное уравнение Вольтерра:

те

ф

X

со специальным свободным членом

те те

д

X X

Из свойств (Ь) и (с) ядр а К легко следует, что

К

На основании (2.2), (2.5) и первого свойства (с) ядр а К имеем:

V

А с учетом свойств (с) и (¿) из (2,4) нетрудно убедиться, что свободный член обладает следующими свойствами:

те

д Е ¿1

о

Непосредственной проверкой убеждаемся, что ф0(х) = 1 — решение уравнения (2.3). Докажем, что, кроме указанного решения, оно обладает также и суммируемым ограниченным на решением ф1(х). С этой целью рассмотрим следующие последовательные приближения:

те

ф

X

с пулевым приближением ф(0\х) = 0, х Е К+.

Индукцией по п легко можно доказать, что поеледовательность функций {ф(п\х)}те= 0 для Ух Е возрастает по п :

ф

Ниже покажем, что эта последовательность функций также ограничена сверху некоторой суммируемой на функцией. Наряду с уравнением (2.3) рассмотрим следующее консервативное уравнение восстановления:

те

Ф

X

Учитывая результаты работы [5], заключаем, что уравнение (2.10) со свободным членом д структуры (2.4) и со свойствами (2.7), с ядром V структуры (2.2) и со свойетвами (а) - (с) обладает неотрицательным суммируемым ограниченным на решени ем ф(х). Индукцией по п докажем, что для Ух Е имеет место оценка:

ф

Действительно, в случае п = 0 неравенство (2.11) сразу следует из (2.10) в силу неотрицательности функций V и ф. Далее, пусть (2,11) выполняется при некотором п Е N. Тогда, имея в виду свойство (в), неравенство (2.6) и неотрицательность ядерной функции V, из (2.8) имеем:

те

Ф(п+1) (х) ^ д(х) + [ \(х, г) (V (г - х) - у (г + х)) Ф(г) м ^

X

те

^ д(х) + J v(t - х) ФИ) dt = ф(х).

X

Применив вновь метод индукции по п, легко убеждаемся, что

ф(п)(х) ^ 1, X Е R+ и ф(п) Е С (R+), п = 0,1, 2,....

Следовательно, на основании (2.9) и (2.11) заключаем, что последовательность непрерывных функций {ф^ (x)^= 0 имеет поточечный предел при п ^ те:

lim ф(п\х) = ф(х),

п^+те

более того, для предельной функции имеют место следующие оценки:

ф

Так как поточечный предел измеримых функций является измеримым (см. [6]), то предельная функция ф измерима. Поскольку ф е L^R+) П LTO(R+), то согласно неравенству (2.12) можем утверждать, что и

ф е L1

Очевидно, что функция

В

является нетривиальным решением однородного уравнения (2.1). Принимая во внимание, что Л е С(R+ х R+), V е С(R+), из (2.1), (2.13)"и (2.14) следует, что

B еС

а 1 - B е Li(R+) П L^(R+).

Убедимся, что lim В

те те

0 ^ 1-В(х) = [(1 - Л(х, t)) V(t -х)М + f V(т) dr ^

х 2х

те со

^ sup (1 — Х(х, t))V(t -x)dt + V(r)dr ^

J жек+ J

x 2x

о о

^C sup (1 — X(x, t)) dt+ V(t) dr -> 0,

J xeR+ J x

x 2x

где C = sup V(x). Таким образом, лемма доказана.

Теперь перейдем к формулировке и доказательству первого основного результата.

Теорема 2.1. Если выполнены условия (а) — (d), mo уравнение (1.1) обладает нетривиальным нечетным непрерывным и ограниченным решением на всей числовой оси R, причем,

lim '-р(х) = ±1.

Более того, если, для функции К имеет место строгое неравенство: К (т) > 0, те R то

1 — <р е Li (0, +ж), 1 + >£ е Li (—ж, 0).

Доказательство. Шаг I. Прямой проверкой легко убедиться, что если f(x) — непрерывное на R+ решение следующего нелинейного интегрального уравнения:

о

fp

то

ф) ч Цх\ ,хлах: 0' <2'1Г)

— j (—х), если х < 0

нечетное и непрерывное решение уравнения (1.1). Полагая

5

сведем изучение уравнения (2,16) к изучению нелинейного интегрального уравнения с суммарно-разностным ядром на полуоси относительно функции Б(х):

те

в

0

где

а = 1 Е

Шаг II. Для уравнения (2,19) рассмотрим следующие последовательные приближения:

те

Я+1^) = У Ч*,^ (К(X - г) - к(х + г)) ^ (г) сИ,

в0 (х) = 1, 0 п = 0,1, 2,..., X Е Е+. Используя (2,5) и условия (Ь) - (¿), индукцией по п можно несложно доказать, что

вп

Теперь докажем, что для любого п = 0,1, 2,... имеет место следующее неравенство:

8п

В случае п = 0 справедливость неравенства (2.23) непосредственно следует из (2.14). Предположим (2.23) выполняется при некотором п Е N. Тогда с учетом (2.5), (2.2), (2.14) и (2.1) из (2.21) имеем:

Sn+^x) > Q^ 1 "У X(x,t) (К (х - t) - К (х + t)) B a(t) dt > 0

а те

> Q^ 1 "У Х(х, t) (К (х - t) - К (х + t)) B(t) dt >

1

> Q)1 -"  2B<x) = (i)1 -" ад-

Индукцией по n можно также проверить, что

Sn Е С

Следовательно, на основании (2.22) и (2.23) последовательность функций {Sn(ж)}^0 имеет поточечный предел при п ^ те : lim Sn(x) = S(х), причем предельная функция согласно

п^-те

теореме Б. Леви (см. [6]) является решением уравнения (2.19) и удовлетворяет следующему

двойному неравенству:

" " i

1 \ 1 -"

+

, В

Принимая во внимание (а), из (2.19) и (2.24) приходим к тому, что

5 Е С

Тогда на основании (2.24), (2.26) и теоремы Дини сходимость последовательности функций |5'га(ж)}тете0 в каждом компакте из К+ равномерна.

Шаг III. Целью этого шага является доказательство дополнительного свойства построенного решения Б :

1 - Б Е 11

Сперва е учетом неравенства (2,23) заметим, что

1 2

1 2 p-1 /1\Р~ 1 1 /1\р-1 2 1 Р-1

(t) + SZ (t) + ••• + Snp (t) > Uj B 1 (t)+[2j B p (t) + ... + ^ (t). (2.28) Теперь воспользуемся леммой 2.1. Так как lim B(t) = 1, B(t) ^ 1 и B е С(R+), то

i^+те

при всяком е > 0 существует число г > 0 такое, что при t > г выполняется неравенство |1 — B(t)l ^ е. Тогда, в частности, для е = \ существует число г0 > 0 такое, что

0 ^ 1 - B(t) ^ 1 при t> го

или

1 ^ B

> о

1 2 p-1 1 + SZ (t) + S£ (t) + ••• + Snp (t) >

1 1 2 2 p-1 П\р-1 ( 1\ P (1\P-1 ( 1\ 2 1 (1\ P

> Ы +U) [i) + 2{2) =

(2p— 1 \ / 2p-1 \ —1 1 - (2Г1 1 - (2Г- - > L

Индукцией по п можно легко доказать, что

1 — Бп еЬг

Имея ввиду свойства (Ь) ядра К, перепишем итерации (2.21) в следующем виде:

те

1 — 8п+г(х)= [(1 — Х(х, Ь) К(х — ^ М+

о

+ у \(х, г) к(х + к(т)йт,

0 х

Бо(х) = 1, п = 0,1, 2,..., х е К+.

те

Так как / К(х)(1х = 1 и К(х) > 0, х е К, то имеет место неравенство

—те

го

Р0 = / К

—те

Учитывая (2.30), (2.31), (2.33) и условия (Ь) — (¿), из (2.32) па основании теоремы Фубини имеем:

те те те

! {1 — Бп+1 (х))(1х ^ ! (1 — Х(х, ^Б™(г)) К(х — Ь)сИ (Их+

0 0 0

те те те те

+ f fХ(х,г)к(х + г)в%(г)^¿х + ^ Jк(г)сИАх ^

0 0 0 х

I

00

те те те

к (х + г) бьЪдьх ^у г к (г) <и ^ ^(1 - Х(х,г)) к (х - г) <1х<и+

0 0 0

те

+ к (х - г) (1 - 8%(г)) АхАъ + 2 г к (г) сИ ^

+ к (х

0 0 0

те те те 4

^ / вир

0 0 0 -те

тете 4

+ 2 [ г к (г) ¿г ^ /-1-1 - -ш— / к (и) <ы<и+

0 0 1 + ж(г) + ва(1) + ••• + впр (г) -те

те те

+ вир (1 - \(х,г)) сИ + 2 г к (г) сИ =

00

го г

= I-1-1 - ^-^^ I К (и) йи(И+

0 1 + Ж(г) + ж(г) + ••• + ви" (г) -те

те 4

+ !-Г--__ [ к(и) ¿и(ц+

го 1 + Ж(г) + вл(г) + ••• + впр (г) -те

те те го те

+ вир (1 - Х(х,г)) сИ + 2 г к (г) сИ ^ р0 (1 - Бп(г)) м + — (1 - зп(г)) 3 жек+ 3 3 Р1 3

0 0 0 г0

тете те

^У вир (1 - Х(х,г)) (И + 2 J ьк(г) (И ^ тах (р0, —^ J (1 - Зп+1(г)) (И+

0 0 0

те те

+ вир (1 - Х(х,г)) сИ + 2 г к (г) 00

Откуда следует

Итак, с учетом (2,22), (2,34) и теоремы Б, Леви убеждаемся в справедливости (2,27), а также получаем следующую оценку сверху:

Ю 1 / оо ОО \

(1 — S(х)) dx ^ I 1 — max (*, ^^ If sup (1 — Х(х, t))dt + 2 J tK(t)dt J . (2.35) о \0 0 /

Шаг IV. На последнем шаге докажем последнее утверждение теоремы:

lim <р

Поэтому сперва покажем, что lim S(х) = 1. Действительно, с учетом (2.25), (2.27) и (b) — (d) из (2.19) следует, что

о о о

0 ^ 1—S (х) ^ J (1 — Х(х, t)) К (х — t)dt + j Х(х, t) К (х — t) (1 — Sa (t)) dt + 2 J К (и) du ^

0 0 x

о о о

^ sup (1 — X(x, t)) К (x — t)dt+ К (x — t) (1 — S (t)) dt + 2 К (и) du -> 0,

J хеж+ J J

0 0 x

поскольку свертка одновременно суммируемых и ограниченных функций стремится к нулю в бесконечности (см. [7]). Следовательно, lim S(x) = 1. Тогда из (2.18) получаем,

ж^+ю

что

lim f

Более того, из (2.18) с учетом (2.27) и следующего простого неравенства:

0 ^ 1 — f(x) ^ 1 — fp(x), х е R+

следует, что 1 — f е L (R+).

Наконец, принимая во внимание непрерывность функции f(x)na. R+, а также формулы (2.17) и (2.37), приходим к (2.36). Теорема доказана.

3. Единственность решения уравнения (1.1) в одном частном случае

Ниже докажем три вспомогательные леммы, используемые при дальнейшем изложении. Рассмотрим следующее интегральное уравнение Гаммерштейна-Вольтерра со степенной нелинейностью:

оо

h

X

относительно искомой функции h(x). Имеет место следующая

Лемма 3.1. При, выполнении условий теоремы, 2.1 уравнение (3.1) обладает неотрицательным непрерывным и ограниченным решением h(x).

Доказательство. Рассмотрим следующие последовательные приближения:

о

hn+i(x) = J Х(х, t) (К(t — х) — К(t + х)) han(t)dt;

х

i

'1\ i-°

h0(x)=(^j la ,п = 0,1, 2,..., х е R+.

Индукцией нетрудно доказать, что функции последовательности {hn(ж)}те=0 обладают следующими свойствами:

hn

i

hn

hn Е С

где B(x) — решение однородного уравнения (2.1) с асимптотикой в бесконечности: lim B(x) = 1. Следовательно, последовательность непрерывных функций {hn(ж)}те=0

ж^+те

имеет поточечный предел, когда п ^ +те: lim hn(х) = h(x). Согласно теоремы Б. Ле-

га^+те

ви предельная функция h(x) удовлетворяет уравнению (3.1), причем имеют место оценки сверху и снизу:

1 " B

Тогда, имея ввиду (3.6) и непрерывность функций А и X, го (3,1) следует, что h Е С(R+). Лемма доказана.

Теперь убедимся, что если А — монотонно неубывающая функция по совокупности переменных (x,t), т.е.

при (xi,ti) Е R+ х R+, г = 1, 2 и xl > х2, tl > t2 справедливо неравенство

X(xi,ti) > X(x2,t2),

то построенное решение также является монотонно неубывающим. А именно, справедлива

Лемма 3.2. Если выполнены условия леммы 3.1 и функция X — монотонно неубывающая по совокупности, переменных, то построенное решение h(x) уравнения (3.1) — также монотонно неубывающее, причем, имеет .место следующее неравенство снизу:

h^

где

те

Q

т

Доказательство. Итерации (3.2) перепишем в следующем виде:

hn+l(x)= Х(х,х + т)(К(т) - К(2х + т)) h^(x + т) dr,

0

1

ho(x)=(^j 1 " , п = 0,1, 2,..., х Е R+.

Монотонность нулевого приближения сразу следует из (3.9). Предположим, что кп(х) I по х при некотором фиксированном п Е N. Тогда, если х1) х2 Е К+ и х1 > х2„ то, имея

ввиду свойство монотонности по совокупности переменных функции А, свойства (Ь), (с) ядра К и индукционное предположение, из (3,9) имеем:

оо

— h , 1 () = I А(т, т-. + т)( К (г)- К (',.;, + / I II /1 —I— / III -

hn+i(x\) - hn+i(x2) = I \(xi,xi + т) [к(t) - К(2xi + r)j han(xi + т) dr

)

\(x2,x2 + т) (к(t) - К(2x2 + r)^ h^(x2 + r)d

0

0

> I (\(xi,xi + t) - A(x2,x2 + т)^ (к(t) - К(2x2 + t)^ K(x2 + r)dr > 0,

0

т. е, Нп+1{х]) > кп+\{х2). Таким образом, монотонность по х каждой функции последовательности {кп{х)}"=0 установлена. Тогда и предельная функция к является монотонно неубывающей, С учетом и монотонности по совокупности переменных функции А из (3,1) получаем

к{х) > ка{х) J А(х, г) (К^ -х) - К^ + х)) ¿г > Иа{х)А{х, х) - я(2х)^ ,

X

'

ибо / К{^¿Ь = 2. Из последнего неравенства приходим к (3,7), Лемма доказана,

02

А

купноети переменных, то построенное посредством последовательных приближений (2,21) решение Б{х) снизу удовлетворяет следующему неравенству:

р

S

Имеет место

Лемма 3.3. При условиях леммы, 3.2 для, решения S(x) уравнения (2.19), построенного при помощи итераций (2.21), имеет место оценка (3.10).

Доказательство. Рассмотрим итерации (2.21). Индукцией по п легко можно доказать, что

Sn

Следовательно, для предельной функции S(x) = lim Sn(x) имеет место неравенство:

Jn\

Б{х) > к{х), х е Е+.

Учитывая (3.12) и (3.7), приходим к завершению доказательства.

Теперь можем перейти к доказательству теоремы единственности решения, являющейся вторым основным результатом данной работы.

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия леммы 3.2. Тогда, если

А{х, х)

то решение уравнения (2.16) единственно в следующие классе непрерывных на функций:

^f

M = f

Доказательство. Предположим, что уравнение (2,16) имеет два решения /ь/г € М, Тогда согласно теоремы Лагранжа о конечных приращениях и (3,14) из (2,16) имеем:

те

рХ

о

Из (3.14) непосредственно следует, что /1 - /2 € ¿1(К+), Интегрируя обе части (3.15) по х в пределах от 0 до при этом учитывая условия (Ь) - (¿) и теорему Фубини, получаем

(2 - «Ц

PI А^^

dx С

fi

dt,

о 0

откуда в силу условия р > 2 приходим к неравенству:

fi

Учитывая (3.13), из (3.16) получим, что f\(x) = f2(x) п. в. в R+. Теорема доказана.

Замечание 3.1. Так как в уравнении (1.1) искомая функция является нечетной и удовлетворяет граничным условиям lim ц>(х) = ±1, то на основании формулы (2.17) и теоремы 3.1 заключаем, что граничная задача для уравнения (1.1) относительно нечетной непрерывной на R функции у.

те

pp(x)=f X(|ж|, Щ) К(х - t)ip(t)dt, х е R,

— те

Р(±Ж) = ±1

имеет единственное решение в следующем классе нечетных непрерывных функций:

P =< Ф)

V е С(R); ф) = { J^

если х > 0, если х < 0;

f е M

Замечание 3.2. Отметим, что решение уравнения (1.1) принимает на неотрицательной полуоси неотрицательные значения.

Замечание 3.3. Примеры функций Х(х,{) и К(х), удовлетворяющих всем условиям сформулированных теорем:

А

1 - ee—xe—t, £ е ( 0,-

1

(x,t) е R+ х R+

К(х) = -е—|ж|, ж е R.

Очевидно, что ядро К(х) удовлетворяет условиям (а) - (с). Прямой проверкой можно убедиться, что А удовлетворяет уеловиям (а), (й) и условию монотонности по совокупности аргументов.

Ниже докажем, что когда функции А и К допускают представления (3.17) и (3.18), выполняется неравенство (3.13). Заметим, что в этом случае оценка (3.13) принимает следующий вид:

Это неравенство эквивалентно неравенству

ех + ее-2х >£ + 1, х > 0.

Рассмотрим функцию

С(х) = ех + ее-2х - (е + 1), ж > 0.

Очевидно, что

G(+0) = 0, G'(х) = ех - 2ее-2х = е-2х(е3х - 2е) > е-2х(1 - 2е) > 0 при х > 0 и £ Е ^0, . Итак, неравенство (3,20) имеет место, а, следовательно, и (3,19),

Замечание 3-4- В случае когда К(х) = е-3'2 и \(х, t) = 1, нетрудно заметить, что условие (3,13) также выполнено.

Выражаем благодарность рецензенту за полезные замечания,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Владимиров B.C. О нелинейных уравнениях р-адических открытых замкнутых и открыто-замкнутых cm,руны // Теор. матем. физика. 2006. Т. 149. № 3. С. 354-367.

2. V. Vladimirov, Ya. Volovich Nonlinear dynamics equation inp—adic string theory // Theoret. and Math. Phvs. 2004. V. 138. No. 3. P. 297-309.

3. V. Vladimirov The equation of the p—adic open string for the scalar tachyon field // Izv. Mathematics. 2005. V. 69. No. 3. P. 487-512.

4. Хачатрян X.A. О разрешимости одного класса двумерных интегральных уравнений Урысона на четверти плоскости // Матем. труды. 2017. Т. 20. № 2. С. 193-205.

5. Арабаджян Л.Г., Енгибарян Н.Б. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения //Итоги науки и техники, Мат. анализ. 1984. Т. 22. С. 175-242.

6. Колмогоров А.Н., Фомин B.C. Элементы теории функций и функционального анализа // М.: ФИЗМАТЛИТ. 2004. 572 с.

7. Арабаджян Л.Г., Хачатрян A.C. Об одном, классе интегральных уравнений типа свертки // Матем. сборник. 2007. Т. 198. № 7. С. 45-621.

Сильва Михайловна Андриян, Национальный аграрный университет Армении, ул. Теряна, 73,

0009, г. Ереван, Республика Армения E-mail: smandriyanShotmail. com

Арпеник Коляевна Кроян,

Национальный аграрный университет Армении, ул. Теряна, 73,

0009, г. Ереван, Республика Армения E-mail: arpi.kroyan.2013@mail.ru

Хачатур Агавардович Хачатрян, Институт математики HAH Армении, пр.-т Маршала Баграмяна, 24/5, 0009, г. Ереван, Республика Армения E-mail: Khach82@rambler. ru