Моделирование двумерного процесса динамического разрушения упругопластических тел

раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

УДК 539.42 ББК 22.2

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУМЕРНОГО ПРОЦЕССА ДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРУШЕНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ Болотнова Р.Х.

Рассматривается двумерная модель повреждаемой упругопластической среды для описания процесса динамического разрушения, основанная на положениях механики многофазных сред. Состояние поврежденности характеризуется тензором повреждений. Исследуется динамика откольного разрушения с учетом влияния анизотропии скорости роста микропор и ориентации образующихся микро-и макротрещин на деформацию и напряженное состояние двумерных плоских образцов при ударном нагружении.

При описании поведения материалов при воздействии ударной нагрузки, сопровождающейся деформированием и разрушением, при решении пространственных задач используются различные критерии и модели, основанные на гипотезе линейного суммирования повреждений, учитывающие величину энергии формоизменения, процессы зарождения повреждений с релаксацией напряжений и изменением характеристик повреждающейся среды при возникновении и росте несплошностей [1,2]; исследуются особенности откольного разрушения тел с преимущественной ориентацией прочностных свойств [3] в рамках упруго-хрупкой модели без учета пластического течения. При моделировании процесса динамического разрушения твердых тел все более широко применяются методы молекулярной динамики [4], когда представление материала в виде совокупности взаимодействующих частиц позволяет описывать его механические свойства как на микро-, так и на макроуровне, что требует несоизмеримо больших затрат времени и памяти современных суперкомпьютеров. Действительно, в последние годы заметны достижения в исследовании природы процессов динамического разрушения, однако проблема разработки достаточно простых моделей с учетом анизотропии процесса откольного разрушения при упругопластическом деформировании все еще актуальна.

В настоящей работе рассматривается уточненная двумерная модель повреждаемой упругопластической среды, разработанная на основе модели одномерного разрушения [1,2]. Основываясь на положениях механики многофазных сред [1], повреждаемая среда представляется как двухфазная: первая фаза которой - материал матрицы несущей среды, занимаемый объем Ут ; вторая фаза - материал пор или пустот с объемом V^.

Возникающие микроповреждения характеризуются удельным объемным содержанием £ = V^jV , где

V = Vm + Vх — общий объем среды, и средняя плотность всей смеси определяется по формуле: р = рт (1 - X) .

Для описания роста и накопления повреждений вводится симметричный тензор повреждений второго

— 'Г Ы у-> у->

ранга х с компонентами X , определяемыми в каждой точке повреждаемой среды:

X Ы = £ X

V

где Х(п) — удельное объемное содержание микродефектов, характеризующееся направлением единичного вектора п (V), например, вектора нормали к плоскости V — ой микротрещины (для случая хрупкого типа разрушения) или вектора ориентации прочностных свойств анизотропного материала.

Рост микроповреждений задается кинетическим соотношением £(у) = /(о°,оь,х,У,^), зависящим от напряженного состояния матрицы повреждаемой среды и имеющихся повреждений. Накопление микроповреждений приводит к объемному макроразрушению в некоторой точке среды при достижении скалярным параметром X критического значения X*. При определении компонент осредненного тензора напряжений о, эффективного модуля сдвига т и предела текучести т при появлении пустот вводится тензор

ослабления напряжений в повреждаемой среде В (х):

Здесь Е — первый инвариант тензора ослабления напряжений. Следует отметить, что тензор

ослабления напряжений В(х) по физическому смыслу соответствует тензору поверхностной плотности

повреждений [5], а компоненты тензора ~Ы реализуют связь между объемным содержанием микродефектов X, их ориентацией в пространстве и поверхностной плотностью повреждений произвольной ориентированной площадки повреждаемой среды.

Т~) /1 \ -_°Ы/ °

В (1) компоненты истинного тензора напряжений о представляются в виде суммы давления р

*-> *-> о °к/ _°к °сЫ/ о °к

матрицы повреждаемой среды и тензора девиатора напряжений матрицы £ : о = -р о + £ .

Для повреждаемой среды будут справедливы законы сохранения массы, импульса и энергии в системе плоских эйлеровых координат х, у [6]:

• (• хх • уу) п .х Эохх Эоху .у Эоху Эоуу

р + р(£ +еуу)= 0, рух = ^ + —, руу = -— + —-,

дх ду ах ду

р& = охх •хх + оуу•уу + 2оху•ху , Vх = —, Уу = ^,

р а г а г

хх дух . уу дуу .ху п (дух дуу

е = ^—, еуу = ——, еху = °.5|— + —

дх ду ^ ду дх

Приведенная система (2) с учетом (1) замыкается уравнениями состояния для давления р°(р°, Т),

внутренней энергии е0(р0,Т), определяющими соотношениями для девиаторных напряжений £0хх , £0уу ,

£ оху , ^022 и кинетикой роста микропустот X. Уравнение состояния принимается в форме Ми-Грюнайзена.

Девиаторные напряжения £0к (к,/ = х,у,г) в упругой области определяются законом Гука в дифференциальной форме [1,6]:

£ш = 2це°к/ +юк/, еш =• °к/ - 1/3 0°, 0° = 0____^.

В пластической области, при / 2 > 1/3 т2

девиаторные напряжения сохраняются на кривой текучести, т.е. нормируются на величину тх/-^3/2 ; в

слагаемое юк/ означает поправку на поворот [6]; а е01к — девиатор истинного тензора скоростей деформаций;

0 ° — объемная скорость деформации матрицы повреждаемой среды.

В экспериментах [7] при исследовании откольного разрушения алюминиевых пластин (вязкий тип разрушения) обнаружено, что в исходном материале субмикродефекты не имеющие определенной ориентации, деформируются вдоль направления прокатки, что вызывает изменение прочностных свойств образца в процессе динамического разрушения в зависимости от направления приложения ударной нагрузки [2].

Пусть VX и V^ — объемы микропустот, возникшие при действии растяжения вдоль и поперек прокатки

соответственно (V,: = V у + V^ — суммарный объем микроповреждений). В системе прямоугольных координат

(х^ , х2 ), связанной с рассматриваемым элементом объема (ось х1 совпадает с направлением прокатки V), для плоского двумерного случая построим диадное произведение единичных векторов п (1') и п (2') по следующей схеме:

х = ^

где каждый член этой суммы характеризует объемное содержание повреждений, возникающих и растущих при действии растяжения по выбранному направлению. Построенный таким образом тензор повреждений х (4) (симметричный тензор второго ранга [8]), в произвольно ориентированной прямоугольной системе координат

г к/

имеет следующие компоненты X :

Xk = ^хпк

Кинетика роста микропустот при моделировании вязкого типа разрушения алюминия задавалась в виде

[2,9], где была проведена оценка величин о°Ь“ и т“ по результатам исследований откола в одномерном варианте, проведенном для опытов [7] с ударом вдоль и поперек прокатки:

л _°/7 Ьи

а с. о —о

—- =—г—°тт—

а г тк о°

Кинетика X1 (6) записана в системе координат (х1 , х2) (4). В расчетах использованы следующие

постоянные для вязкого типа разрушения: о°Ь 11 = °.8 ГПа, о°Ь22 = °.5 ГПа, X* = °.1, т =12.8 мкс, тк1 = 2т^2 = 3т , = d = ^X*. Здесь учитывалось, что скорость роста повреждений вдоль прокатки XI меньше скорости роста повреждений поперек технологической прокатки X2. Так как распределение сферических микропор является

6

раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

изотропным, тензор ослабления напряжений является шаровым, и его компоненты ё" зависят только от скалярного параметра поврежденности X.

В случае хрупкого типа динамического разрушения возникающие трещины в основном имеют преимущественную ориентацию. Результаты металлографического анализа [10] подтверждают, что при ударном нагружении железных образцов микротрещины возникают фактически в любом месте структуры материала с преимущественным направлением растрескивания, параллельным образованию плоскости откола. При построении тензора повреждений в этом случае учитывалась ориентация возникающих микротрещин.

Относительный объем единичной у-микротрещины будем характеризовать величиной £(п) = V^(V)/V , ее

ориентацию определим единичным вектором нормали п (V), ортогональным к плоскости трещины. Построим симметричный тензор второго ранга х(п) с компонентами:

Хк1 (V) = Х(п)пк(V)п‘(V) ( к, I = 1,2).

Если в объеме V содержится N трещин, то сумма тензоров по всем V будет также симметричным тензором того же ранга:

Xй = У X» пк

^

V=1

Двумерная кинетика хрупкого разрушения исследовалась на примере разрушения железа “армко” для экспериментов [11] на основе кинетики, разработанной в одномерных расчетах [2]. Уравнение двумерной кинетики роста микроповреждений использовалось в виде:

1 г ' __0/ —I

% = ^ (, +Х),

' = 1,2 .

Аг тко0А ' '

Проверка условия достижения критического растягивающего напряжения разрушения проводилась для главных напряжений матрицы

несущей среды о0' > О . Модельные расчеты показали, что достаточно хорошо работает кинетика хрупкого разрушения (8) для "армко" железа при следующих значениях постоянных кинетики и компонент тензора ослабления напряжений,

записанная в системе его главных осей: X* = 0,075, о01 =1.8 ГПа, тк =0.07 мкс, к = 0.026, ё1 = ^Jx1 /X* + к^XVX* ,

~2 =VXW+^Vx7xг.

Построение вычислительного алгоритма представленной модели проводилось по методике [6], с учетом изменений, учитывающих полную систему уравнений двумерной плоской модели повреждаемой упругопластической среды.

В работе [12] проведен эксперимент, в котором генерация импульса растяжения осуществлялась ударником (у0 = 163 м/с), имеющим в сечении форму прямоугольной трапеции по пластине-мишени. Использование такого ударника давало возможность получить в одном эксперименте различную длительность импульса растяжения и различную степень повреждений в сечениях мишени, параллельных направлению удара. Моделировалось соударение алюминиевых пластин ортогонально технологической прокатке. На боковых поверхностях мишени использовалось условие фиксированной границы. Результаты расчетов показаны на рис. 1. Плотность микроповреждений XIX* в сечениях мишени качественно и по порядку величин совпадает с результатами работы [12], и подтверждает, что предлагаемая модель учитывает влияние длительности импульса растяжения на степень повреждений. Расчеты показали, что практически все микропоры в мишени образованы растягивающими напряжениями, действующими в направлении удара. Моделирование ударного нагружения той же системы при начальной скорости соударения у0/ = 220 м/с

привело к образованию макротрещины откола, сомкнутой на участке минимального уровня повреждений (рис. 1), что соответствует пороговому уровню разрушения алюминиевой пластины [2,7]. В результате расчетов этого эксперимента получено следующее соотношение между компонентами тензора повреждений в зоне разрушения: X2 = (З^1.

Существенное влияние краевых эффектов на местоположение зон разрушения показано на примере численного моделирования ударного нагружения компактных пластин из алюминия (ударник толщиной 2 мм) и железа (мишень - толщина 20 мм) равных поперечных размеров (20 мм), с начальной скоростью соударения у0 = 0.6 км/с. На рис. 2 показана деформация и зоны разрушения мишени в момент времени t = 10 мкс (0Х 1 -ось симметрии). Зона 1 образована микротрещинами, параллельными боковой свободной поверхности за счет взаимодействия волн разгрузки от боковой и лицевой свободных поверхностей в момент времени t = 1,6 мкс. Зона 2 (полное разрушение) возникает к моменту времени t = 4.8 мкс при встрече волн разгрузки с боковых и лицевой свободных поверхностей. Ориентация микроповреждений и макроразрушения на этом участке параллельны направлению удара. Начиная с момента времени t = 5.0 мкс до 5.6 мкс происходит отражение

импульса сжатия от тыльной свободной поверхности, приводящее к образованию зон разрушения 3 и 4. Интенсивность разрушения на этом участке определяется взаимодействием волн разгрузки со всех свободных поверхностей, в том числе свободных поверхностей, возникших при образовании макроразрушения в зоне 2. Зоны 3 и 4 характеризуются максимальным участком разрушения, образованным слиянием микротрещин, ориентированных параллельно тыльной свободной

поверхности. На рис. 2 заметно выпучивание тыльного слоя за счет расхождения берегов макротрещин откола. Образование здесь не скольких откольных макротрещин, в противоположность одной в подобных экспериментах, когда ударник и мишень имели протяженные поперечные размеры

[2,9], вызвано трансформацией

генерируемого импульса сжатия прямоугольной формы в треугольный при взаимодействии его с волной боковой разгрузки.

Таким образом, уточнение модели повреждаемой среды с помощью специальным образом построенного тензора повреждений позволило исследовать динамику процесса откольного разрушения с учетом влияния анизотропии скорости роста микропор и ориентации образующихся микро- и макротрещин на деформацию и напряженное состояние двумерных плоских образцов при ударном нагружении.

Рис. 2

ЛИТЕРАТУРА

1. Nigmatulin, R.I. Dynamics of Multiphase Media. V. 1. N.Y.: Hemisphere, 1991. - 507 pp.

2. Akhmadeev N.Kh. Two-Phase Media Model of Shock Compression with Chemical Reaction//High Pressure Shock Compression of Solids IV. New York. 1997. P. 83-104.

3. Радченко А.Б., Кобенко С.В.//ДАН. 2000. Т. 373, № 4. С. 479-482.

4. Кривцов А.М.//ФТТ. 2004. Т. 46, в. 6. С. 1025-1030.

5. Мураками.//Теоретические основы инженерных расчетов. 1983. Т. 105, № 2. С. 28-36.

6. Уилкинс М.Л.//Вычислительные методы в гидродинамике. М., 1967. С. 212- 263.

7. Тарасов Б.А.// ПП. 1974. № 3. С. 121 - 122.

8. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу М.: МГУ, 1974. - 206 с.

9. Ахмадеев Н.Х., Болотнова Р.Х.// Проблемы прочности. 1991. № 9. С. 55-57.

10. Seaman L., Curran D.R., Shockey D.A. // JAP. 1976. V. 47, № 11. P. 4814 - 4826.

11. Канель Г.И., Щербань В.В.// ФГВ. 1980. № 4. С. 93 - 103.

12. Numerical investigation in penetration mechanics / Sedgwick R.T., Hageman L.J., Herrmann R.G., Waddell J.L. // Int. J. Eng. Sci. 1978. V. 16, № 11. P. 859 - 869.

Поступила в редакцию 19.10.2006