Закономерности взаимодействия встречных световых волн из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах

2

ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА

УДК 535.1

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ СВЕТОВЫХ ВОЛН ИЗ МАЛОГО ЧИСЛА КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДАХ

Е.М. Буяновская, С.А. Козлов

Теоретически рассмотрены закономерности взаимодействия встречных световых волн из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах. Получено аналитическое решение уравнений динамики поля встречных световых волн из малого числа колебаний, взаимодействующих в диэлектрической среде с безынерционной кубичной по полю нелинейностью. Приведены изменения временной и спектральной структуры светового импульса при его взаимодействии со встречным импульсом. Показано, что эффективность этих явлений определяется энергией встречного импульса и не зависит от его длительности и спектральной структуры.

Ключевые слова: импульсы из малого числа колебаний, взаимодействие встречных волн, нелинейные диэлектрические среды.

Оптика импульсов из малого числа колебаний светового поля интересна как с фундаментальной, так и с практической точки зрения. Для таких импульсов теряет свое физическое содержание понятие огибающей, поэтому при теоретическом изучении особенностей их распространения в различных оптических средах обычно анализируют динамику непосредственно поля излучения [1-3].

К настоящему времени изучены многие явления нелинейной оптики таких предельно коротких (по числу колебаний) импульсов: их временное и спектральное уши-рение и сжатие, самофокусировка, нелинейное отражение, взаимодействие при попутном распространении [4-10]. В работе [11], по-видимому, впервые были выведены уравнения динамики поля световых импульсов из малого числа колебаний при их встречном распространении в нелинейной среде. В настоящей работе приведены аналитические интегральные решения этих уравнений. На их основе рассмотрены основные закономерности взаимодействия в нелинейных диэлектрических средах встречных оптических импульсов, содержащих лишь несколько колебаний светового поля.

В работе [11] нами были выведены уравнения, описывающие динамику полей встречных плоских световых волн из малого числа колебаний при их взаимодействии в диэлектрических средах с безынерционной кубической нелинейностью вида

Введение

Уравнения динамики поля плоских встречных световых волн из малого числа колебаний и их решения

где Е+(г,1 ) - поле волны, распространяющейся в положительном направлении оси 2, Е_ (т ,Х) - поле волны, распространяющейся ей навстречу; ^ - время, с - скорость света в

вакууме; N0,а,Ь - параметры, характеризующие типичную нерезонансную зависимость показателя преломления диэлектрической среды в диапазоне ее прозрачности [12],

,г 2 Ь

п = N0 + сао - с—.

о

от частоты о, g =

4пх

описывает нелинейность ее поляризационного отклика

Рнл = %Е3 [1, 9], х - нелинейная восприимчивость среды.

Для получения решений уравнений (1) их удобно нормировать, вводя новые без-

размерные переменные Е' =

Е

Е

г =

+0

г ' = -

Т2

где Е+0 - максимальное значение на

границе нелинейной среды поля излучения, например, прямой волны Е+ ; Т+ с - ее цен-

тральный период колебаний на той же границе, Х+с =

сТ+с

N0

центральная длина волны.

В новых переменных уравнения (1) запишутся как

ад л

В | Е+ ёг' +О—(( + 3Е+2Е_ + 3Е+ Е2_ ) = 0,

дЕ+ дЕ+ . д3 Е+

+ —--А—г+ + ,

дг дЕ

дг

дЕ

+ А

дг3 д3 Е+

дг дг дгъ

где безразмерные коэффициенты А =

В Г Е+ ёг' - О — (Е3 + 3Е2Е+ + 3Е Е+2) = 0,

* + дЛ 2 2 + 2

ас

N Т

1У01+с

В =

Ьст+2 N

О =

с2gE2+o_ 2щЕ_

В уравне-

% ' 2N2 N0 ниях (3) и ниже значок «'» для краткости не пишем.

Хотя интенсивность встречных световых волн, при которой не будет наблюдаться разрушение вещества, из-за их предельно коротких длительностей может быть весьма велика [13], но результаты их столкновения все-таки очень сильными быть не могут из-за скоротечности взаимодействия. Поэтому естественным методом решения уравнений (3) является метод последовательных приближений Пикара [14], в котором малым параметром является О .

Далее для простоты, но без ограничения общности, будем рассматривать среду без дисперсии линейного показателя преломления. Во-первых, это приближение выполняется при О >> А, В , а, во-вторых, из-за малости нерезонансной дисперсии показателя преломления диэлектриков (2) ее, при необходимости, в первом приближении несложно учитывать, включая в итерационное решение уравнений (3) аддитивно к нелинейным слагаемым.

В соответствии с техникой последовательных приближений [14] будем искать решение уравнений (3) в виде

= Е+0)+ 0Е1)+ О2 Е+2) +...,

[ Е2 = Е-0)+ 0Е-:) + О2 Е-2) +...,

в котором в данной работе и в (4а), и в (4б) ограничимся первыми двумя слагаемыми. Тогда в представлении (4) система уравнений (3) при А = В = 0 примет вид

[дЕ

2-—

дг дг

ж20) дЕ-0)

1 дг дг

= 0,

= 0,

2

с

дЕ« дЕ;1) д

+—— +—

д2 дг дг

дЕ« дЕ« д

1 д2 дг дг

+ А

ЯЛ + + - + - /

Решение системы (5) имеет вид [11, 15]:

' Е+0)(т, г ) = Е+0)(г - 2 ),

< Е

и определяется граничными условиями.

Каждое из уравнений системы (6) также несложно решить в квадратурах. Например, первое уравнение этой системы (6а) можно, как это сделано в [11], переписать в новых переменных , = 2, т = г - 2 . Тогда его решение примет вид:

Е

(1)(2', т) = -|дТ(Е+0)(т))3 '-3 } -дТ ((е+0) (т))2 Е-0)(т + 2,')) ¿2"

дт

'дт

Ь дт

где первое слагаемое в правой части соотношения характеризует самовоздействие светового импульса, распространяющегося от границы нелинейной среды т'0 в положительном направлении оси 2 , а второе и третье - взаимодействие встречных импульсов в нелинейной среде. Отметим, что соотношение (8) содержит как частный случай решение задачи о столкновении высоко- и низкоинтенсивной (Е-0) >> Е+0)) встречных волн, рассмотренной в [11].

Решение (8) можно привести к более удобному для дальнейшего анализа виду:

Е«(2', т) = -

д_ дт

(Е+0)(т))3

(2'-2')-3

д_ дт

-3-д-дт

Несложно показать, что аналогичным (8) и (9) будет выглядеть и решение уравнения (6б), но его следует решать в переменных 2 = 2, £ = г + 2 .

Закономерности взаимодействия плоских встречных световых волн

из малого числа колебаний

На рис. 1 приведена иллюстрация решения (7), которое получено в первой итерации метода Пикара для импульса вида:

Е+0)(т) = ехр( -^-)8т(2лт),

и встречной ему волны вида

Е-0)

2

+

Е Т

где у = Е+0, и Е_0 - исходные амплитуды взаимодействующих импульсов; 5 = ,

Е+0 Т-с

Т+ с ,Т_с - их центральные периоды колебаний, т+ = —+0, т_ т+0, т_0 - исходные

Т

Т

длительности импульсов.

Распространение встречных волн (10) и (11) представлено в системе координат г' и т, сопровождающей импульс (10), т.е. в той же системе, в которой получено и решение (9) в следующей второй итерации. Динамика полей встречных импульсов дана для случая у = 1, 5 = 2, т+ = 0.5, т_ = 1. Из рис. 1 видно, что форма импульсов, полученная

при расчете в первой итерации, при их распространении и столкновении не изменяется. Оптическая среда, как следует из уравнений (5), в этом приближении для встречных волн линейна.

г,отн.ед

огн.ед.

т,отн.ед.

Рис. 1. Распространение встречных световых импульсов из малого числа колебаний в линейной оптической среде

На рис. 2, 3 приведены поправки (9) к решению (7), которые получены во второй итерации, учитывающей нелинейность среды. На них также дано общее решение (4а) исходной системы (3), описывающее самовоздействие импульса (10) и его взаимодействие с волной (11) в нелинейной среде.

На рис. 2 проиллюстрированы результаты самовоздействия импульса (10), описываемые первым слагаемым в правой части выведенного выражения (9). На рис. 2, а,

представлена рассчитанная во второй итерации поправка к полю Е+1, а на рис. 2, б - к

ад 1

модулю спектра ^ (ш) = | Е+1 (г)в1тёт при G(т.'-т') = —. Как видно из рис. 2, а, и 2,

—ад —

б, решение (9) описывает уширение спектра импульса и генерацию излучения на утроенных частотах. Отметим заметное смещение максимума уширяемого спектра импульса и излучения на утроенных частотах в высокочастотную область.

щ, отн.ед.

в)

Рис. 2. Изменение временной структуры светового импульса из малого числа колебаний из-за его самовоздействия в нелинейной оптической среде:

итерационная добавка к полю Е+1) (а) и спектру ^ (б), результирующее поле (в).

Пунктиром показана временная структура поля до самовоздействия импульса

На рис. 2, в, приведена сумма Е+0) и первого слагаемого в выражении GE+1), которая описывает результат самовоздействия импульса (10) в нелинейной среде, при

G (т'- .') = —. Пунктиром даны формы поля исходного импульса. Из рисунка видно,

что основные максимум и минимум «однопериодного» светового импульса из-за самовоздействия излучения в нелинейной среде во времени т начинают запаздывать. При сохранении положения нулей поля это приводит к искажению временной структуры импульса и описанному выше изменению его спектра.

На рис. 3 проиллюстрированы результаты воздействия на импульс (10) встречной волны (11), описываемые вторым и третьим слагаемым в правой части выражения (9).

На рис. 3, а, приведена добавка к полю импульса Е++1), полученная в результате взаимодействия. На рис. 3, б, представлен ее спектр g+1). На рис. 3, в, приведена временная структура электрического поля Е+ = Е+0) + GE+1) импульса до и после воздействия на

него встречного импульса.

Из рис. 3 видно, что временная структура поля импульса из-за взаимодействия со встречным импульсом изменяется так, что больше всего смещаются во времени «нули» поля и не смещаются его экстремумы. «Центр тяжести» спектральной плотности при этом смещается в коротковолновую область. Важно, что эффективность этих явлений определяется энергией встречного импульса и не зависит от его длительности и спектральной структуры. Последнее утверждение несложно обосновать, анализируя выра-

жение (9). При г' > 1 (см. рис. 1), т.е. по окончании взаимодействия встречных импульсов, интеграл во втором слагаемом соотношения (9) для оптических импульсов становится равным нулю [1, 11], а интеграл в третьем слагаемом принимает смысл энергии встречного импульса. Генерации комбинационных частот в таких условиях не происходит. Но при этом отметим, что, если вторая граница нелинейной среды окажется при г < 1, т.е., когда взаимодействие еще не заканчивается, то генерация на комбинационных и кратных частотах из-за взаимодействия встречных импульсов возможна [11].

отн.ед.

- 1

В)

-2

б)

- 1

1

отн.ед

отн. ед.

/ * V г" * 'ч / \ * / \ *

\ч }* \ч \ ъ }* \4 /' V ¿* т, отн.ед.

Рис. 3. Изменение временной структуры светового импульса из малого числа колебаний из-за воздействия встречного импульса в нелинейной оптической среде:

итерационная добавка к полю Е+1 (а) и спектру ^ (б), результирующее поле (в).

Пунктиром показана временная структура поля до взаимодействия импульсов

Заключение

В работе теоретически исследованы закономерности взаимодействия встречных световых волн из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах. В результате проведенных исследований получено аналитическое решение уравнений динамики поля встречных световых волн из малого числа колебаний, взаимодействующих в диэлектрической среде с безынерционной кубичной по полю нелинейностью. Показано, что временная структура поля импульса из-за взаимодействия со встречным импульсом изменяется так, что больше всего смещаются во времени «нули» поля и не смещаются его экстремумы. «Центр тяжести» спектральной плотности при этом смещается в коротковолновую область, генерации комбинационных частот в таких условиях не происходит. Эффективность этих явлений определяется энергией встречного импульса и не зависит от его длительности и спектральной структуры.

Работа поддержана грантами РНП 2.1.1/4923 и РФФИ 08-02-00902-а.

Литература

1. Козлов С. А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах // ЖЭТФ. - 1997. - Т. 111. - В. 2. - С. 404-418.

2. Nazarkin A., Korn G. Raman self-conversion of femtosecond laser pulses and generation of single-cycle radiation // Phys. Rev. A. -1998. - V. 58. - № 1. -P. R61-R64.

3. Маймистов А.И. Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде // Квантовая электроника. - 2000. - Т. 30.

- № 4. - С. 287-304.

4. Казанцева Е.В., Маймистов А.И. Распространение предельно коротких импульсов в нерезонансной квадратично-нелинейной среде // Квантовая электроника. - 2000. -Т. 30. - № 7. - С. 623-628.

5. Shpolyanskiy Y.A., Belov D.L., Bakhtin M.A., Kozlov S.A. Analytic study of continuum spectrum pulse dynamics in optical waveguides // Applied Physics B. - 2003. - V. 77. -№ 2-3. - Р. 349-356.

6. Сазонов С.В., Халяпин В. А. О влиянии дифракции на нелинейное распространение оптических импульсов длительностью в несколько колебаний // Квантовая электроника. - 2004. - Т. 34. - № 11. - С.1057-1063.

7. Ястребова Н.В., Шполянский Ю.А., Козлов С.А. Нелинейное отражение импульсов из малого числа колебаний светового поля от просветленной границы раздела сред // Оптический журнал. - 2004. - Т. 71. - № 6. - С. 78-83.

8. Белов Д.Л., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. О самосжатии спектрального суперконтинуума // Известия РАН, серия физическая. - 2005. - Т. 69. - № 8. - С. 11281130.

9. Berkovsky A.N., Kozlov S.A., Shpolyanskiy Y.A. Self-focusing of few cycle light pulses in dielectric media // Physical. Review A72. - 2005. - 043821 (9 pages).

10. Бахтин М.А., Козлов С.А. Формирование последовательности сверхкоротких сигналов при столкновении импульсов из малого числа колебаний светового поля в нелинейных оптических средах // Оптика и спектроскопия. - 2005. - Т. 98. - № 3. -С.425-430.

11. Буяновская Е.М., Козлов С.А. Динамика полей встречных световых импульсов из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах // Письма в ЖЭТФ.

- 2007. - Т. 86. - В. 5-6. - С. 349-353.

12. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1973. - 720 с.

13. Brabec Th., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics // Rev. Mod. Phys. - 2000. - V. 72. - № 2. - P. 545-591.

14. Корн Г., Корн Т, Справочник по математике. - М.: Наука, 1977. - 831 с.

15. Буяновская Е.М, Козлов С.А. Взаимодействие встречных световых импульсов из малого числа колебаний в нелинейных диэлектрических средах // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2006. - № 30. - С. 97-101.

16. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. - М.: Мир, 1985. - 384 с.

Буяновская Елизавета Михайловна -

Козлов Сергей Аркадьевич -

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, lee.buyanovskaya@gmail.com

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор физ.-мат. наук, профессор, декан