Нахождение значений сумм функциональных рядов Релея - Шредингера возмущенных самосопряженных операторов

УДК 519.624.3 Б01: 10.14529/ттр160312

НАХОЖДЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ СУММ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ РЕЛЕЯ - ШРЕДИНГЕРА ВОЗМУЩЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

С. И. Кадченко, С.Н. Какушкин

Авторами статьи был разработан неитерационный метод вычисления значений собственных функций возмущенных самосопряженных операторов, названный методом регуляризованных следов (РС). Он позволяет найти значения собственных функций возмущенных операторов, зная спектральные характеристики невозмущенного оператора и собственные числа возмущенного оператора. В отличие от известных методов нахождения собственных функций, метод РС не использует матрицы и значения собственных функций находятся по линейным формулам. Это значительно увеличивает его вычислительную эффективность по сравнению с классическими методами. Для применения метода РС на практике необходимо уметь суммировать функциональные ряды Релея - Шредингера возмущенных дискретных операторов. Ранее были получены формулы нахождения «взвешенных» поправок теории возмущений, что позволяло приближенно находить суммы функциональных рядов Релея - Шредингера, заменяя их частичными суммами, состоящими из этих поправок. В статье впервые получены формулы нахождения значений сумм функциональных рядов Релея - Шредингера возмущенных дискретных операторов в узловых точках. Проведены вычислительные эксперименты по нахождению значений собственных функций возмущенного одномерного оператора Лапласа. Результаты эксперимента показали высокую вычислительную эффективность разработанного метода суммирования рядов Релея - Шредингера.

Ключевые слова: возмущенные операторы; собственные числа; собственные функции; кратный спектр; суммы функциональных рядов Релея - Шредингера, «взвешенные» поправки теории возмущений.

Введение

Рассмотрим дискретный полуограниченный снизу оператор Т и ограниченный оператор Р, Заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Н с областью определения в Д. Предположим, что известны собственные числа {Ага}^с=1 опера-Т

собственные функции {Уп{х)}с^=1 (х Е Б), отвечающие этим собственным числам

Н через Vп кратность собственного числа Ап, а

количество всех неравных друг другу Ап, лежащих внутри окружности Тп0 радиу-

|Апо+1 + /хпо I

са рпо = -^- с центром в начале координат комплексной плоскости, через

по- Пусть {^п}%=1 - собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке неубывания их действительных частей, а {ип(х)}с^=1 (х Е Б) соответствующие им собственные функции.

В работах [1-3] была получена система уравнений:

то то те

3=1 3 = 1 к=1

Здесь ак\т0,х,у) = (2П / \Р[КТ(х,гк,Х) о РХк]к ◦ Кт,у,Х)й\ - к-тые поправ-

тпо

ки теории возмущений к «взвешенной:» спектр^ьной функции оператора Т + Р целого порядка р. Операция <о> вводится по правилу (К о Р о Q)(x,y,X) = / К(х,г,Х)РгQ(z,y, \)dz, где Кт(х, у, X) - ядро резольвенты Я\(Т) оператора Т.

Б

Система уравнений (1) позволяет найти собственные функции и^ (х) возмущенного оператора Т+Р, используя спектральные характеристики невозмущенного оператора Т и собственные числа оператора Т + Р. Ранее авторами были доказаны теоремы, в которых получены формулы для нахождения «взвешенных> поправок теории возмущений ак\т0,х,у) дискретных операторов, найдены оценки их погрешностей, доказана сходимость соответствующих функциональных рядов Релея - Шредингера [4]. В ряде случаев суммы функциональных рядов Релея - Шредингера

го , .

Е акр>(т0,х,у) удается приблизить, с необходимой степенью точности, первы-к=1

ми «взвешенными> поправками теории возмущений. Однако, при нахождении к-ой «взвешенной> поправки ак\т0,х,у) по этим формулам, необходимо вычислять к + 1 кратные числовые ряды, что значительно осложняет их вычисление. Поэтому возникла необходимость построить алгоритм нахождения сумм функциональных рядов Релея - Шредингера.

1. Нахождение сумм функциональных рядов «взвешенных» поправок теории возмущений

В следующей теореме получены формулы, удобные для нахождения сумм функциональных рядов Релея - Шредингера.

ТР ниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом, пространстве Н с областью определения в Б. Если функции {^п(х)}гГО'=1 (х € Б) образуют орто-

Н

находятся по формулам

ж . . mo

аП'(то,х,у) = J2 »k Vm(x)Vm(y) - XPk Vk (x)Vk (y)-

n=1

k=1

г-1 с у. A

,--I v rm.1 .

V A

rm

E \==k Vm(x)vj (y)+\™A (k) Vj (x)vm(y)\ +

det A

i(x)Vm(y)y

m_ 1 V V A(k) A(k) ]

E ^ Vh (x)Vj2 (y)] + 6m\rn ,x,y).

3i,32,ri,r2=1 det A

Здесь

mo

k=1

5m)(mo,x,y) \p 2\CM4m)l5>$k)| +

j=1

(k) I | I (m) 12

1

m1

x

det A l = 1m - 1;

1, l = m.

C = max \vi

i=1,m

uk (x) — ukm\x), um)(x) - приближение

собственной функции пк(х), А(к = (а^т Е N = + (^г — ¡к)8^, = (Руг,ь^), 8^ - символ Кронеккера, Л\к^ - алгебраические дополнения к элементам матрицы А(к). Черта означает комплексное сопряжение.

Доказательство. Пусть система собственных функций {гп(х) оператора Т образуют ортонормированный базис в И. Тогда собственные функции пк(х) оператора Т + Р можно представить в виде

uк(x) = cik)vi(x).

i=1

Обозначим em = uk(x) — иГ(x), где U™'(x) - m-ная частичная сумма функционального ряда (3).

Преобразуем элементы матрицы Amxm = (aj)mj =i) где aij — (T + P )vi,vj .

В силу уравнений Tvn = Xnvn и ортонормированности системы функций {vn}'^'=1 запишем цепочку равенств:

aij = [(T + P )vi,vj) = (Tvi ,vj) + (Pvi,vj) =

= (Kvi,vj) + (Pvi,vj) = Xi(vi ,vj) + (Pvi,vj) = XiSij + Vij,

Jv — ! = jj - символ Кронекера, i,j = l,m, m E N.

Собственный вектор X^k — (xi , x2 ,..., xm ) матрицы Amxm (k — l, m)^ COOT~ ветствующий собственному числу Uk, должен удовлетворять матричному уравнению:

,М

где ^i

{

(A mm Uk E)X

-

(m) k

0.

Так как собственный вектор Хк задается с точностью до множителя, то положим комппаненту Хт! вектор а Хт равной единице. Отбросим последнее из уравнений системы (4), при этом оставшиеся уравнения будут линейно независимы. Полученную систему уравнений перепишем в матричной форме:

( aii — Uk a12 a21 a22 — Uk

\ am-1,1

am-1,2

A (k)Xm) :

a1,m-1 a2,m 1

am 1,m 1

B

x

x

nk) \ xm-1 у

-a1m -a2m

\ am-1,m J

Из вида матрицы Amxm — nkE следует, что aim = Vim, i = l,m — 1.

Неоднородную систему уравнений (5) решим методом обратной матрицы:

(

(x

1

x

2

, xmhr=[A (k)]-1B

l

det A

m- 1

-TV A

/ VimAi1 i=1 m- 1

-TV A

/ VimAi2

i=1

\

m1

-TV A

- VimAi,m-1

i=1

2

Здесь Aj - алгебраические дополнения к элементам матрицы A(k) {i ,j = 1,m - 1).

Таким образом, компаненты вектора X(kn) (k = 1,m) примут вид

1

m1

x(k) = xl =

Ш A kg^ l = 1m - 1;

1 , l = m.

Разрешим систему уравнений

k=1

mo

£afc

k=1

k=1

mo mo

£ [»i um (x)ukm) (y) - к Vk (x)Vk (y)} +£»k [4m) urn x+e^um y+e^m

k=1

k=1

mo

£ [»pk ukkn) (x)ukkn) (y) - xiVk (x)Vk (y) + sm)(mo,x,y).

k=1

Разложим компоненты собственного вектора по элементам ортонормирован-ного базиса {ъ^х)}™=1 (х € Б), с учетом формул (6):

т— 1 т— 1

ukn)(x) = £ j^j (x) = Vm (x) - Д (k) £ £ VrmAAijk Vj (x).

j=1

det AA

det A j=1 r=1

Подставим формулы (7) в выражение для ck(m0,x,y):

k=1

ж mo 1 m-1

J2ai\m0 ,x,y) = £ [»Pk(Vm(x) - A(VmA{jVj (x)) X

X

k=1

k=1

j,i=1

1

m1

det AA

£ VrmAi-Vj

j,r=1

m1

£ l»lVm(x)Vm(y)-K Vk(x)Vk (y)-»Pk £ {

V- A

rj

k=1

j,i=1

det A

Vm(x)Vj (y) +

rj

det A

>j (x)Vm(y)}

+

m1

V V- A

'rim V r2mAr1j1 Ar2j2

+»pk £ "im?2m 2 Vji (x)Vj2 (y) + 5m)(mo ,x,y).

j1,j2,r1,r2=1 det A

Оценим остатки \Sm)(mo ,x,y)\

mo

Smi)(mo ,x,y) < £ \»k\l \\Ceikn)Y^ xf\ + Ce^E j + ^ ^

mo [ m m

if"I Ce(m)\^ x(k)\ + I Ce(m)\^ x(k)\ i i Jm)-(m) i

k Z^ xj

k=1 j=1 j=1

<

mo

k=1

(k) j

<£>\l 2\C\^\e^)^\xf)\ + \ekkn^\

j=1

(k) (m) 2

C= max \Vr(x)\, a xj вычисляются no формудам (6).

r=1 ,m '

2. Вычислительный эксперимент

Для проверки формул (2) был проведен вычислительный эксперимент. В качестве

Т

деленный на отрезке 10,1\. Его собственные числа \п и собственные функции гп(х), как известно, имеют вид:

(ПП\2 /-

—) , Уп(х) = 8т(у/\пХ).

В качестве возмущающего оператора Р брался оператор умножения на функцию р(х).

Из системы уравнений (1), при т0 = и, вычтем ее же, но при т0 = и — 1. Полученное выражение разрешим относительно пп(х)пп(у):

пп

¡п

к=1

к=1

Используя формулы (8) и (2), были найдены значения пятой и шестой собственных

Т+Р

и правой частей уравнения (Т + Р)пп = ¡ппп.

Таблица 1

Значения (Т + Р)п5 и ¡5п5 для возмущенного оператора Лапласа, вычисленных при

I = 1 и р(х) = х2

х3 ( Т + Р )пъ ( Хз) МбМб(хз) |(Т + Р)пъ(хз) - №«б(хз)| (Т + Р )пъ(хз) - 115п5 (хз) X 100%

МбМб

0,142857 272,83735198766 273,18110548326 0, 34375 0,125834

0, 285714 340,30702671043 340,65126665861 0, 34424 0, 101053

0,428571 151,51348751144 151, 60407602055 0, 09059 0,059753

0,571429 151,60114526407 151, 60407602055 0, 00293 0, 001933

0,714286 340,89792225718 340,65126665861 0, 24666 0, 072407

0,857143 273,62712104909 273,18110548325 0, 44602 0,163267

Таблица 2

Значения (Т + Р)п6 и п6 для возмущенного оператора Лапласа, вычисленных при

х

I = 1 ж р(х) = вт — + 1

3

х3 (Т + Р )п6(хз) ^6Мб(Хз) |(Т + Р )иб (х з ) - Цбиб(Хз )| (Т + Р )Пб(Хз ) - ^6«6 (хз) X 100%

0,142857 218,65994242645 218,73206609730 0,0721237 0, 0329735

0, 285714 394,06411361875 394,14156393128 0,0774503 0, 0196504

0,428571 491,45509644760 491, 48649119961 0,0313948 0, 0063877

0,571429 491,51983562427 491, 48649119961 0,0333444 0, 0067844

0,714286 394,21974628211 394,14156393128 0,0781824 0, 0198361

0,857143 218,80367419419 218,73206609730 0,0716081 0, 0327378

В таблице 3 приведены значения невязки ||(Т + Р)пп — цппп\\ для первых 10 соб-пп Р

Таблица 3

Значения невязки ||(Т + Р)ип — цпип\\ для возмущенного оператора Лапласа,

вычисленных при I = 1, т = п

n x II (T + P)un - II при p(x) = sin - + 1 3 II (T + P)un - II при p(x) = x2

1 0, 05933175453013449 0,18486186946562712

2 0,08722167298850077 0, 26982226399384459

3 0,09141711850816346 0, 28555566913308841

4 0,09283781270256698 0, 29106235945347709

5 0,09348757188208574 0, 29361116877997433

6 0, 09383850642063260 0,29499570545892765

7 0,09404942961086482 0, 29583053561545063

8 0,09418605494412680 0,29637237064820354

9 0,09427960126060587 0,29674384907194357

10 0,09434645249551450 0,29700956347750404

Литература

1. Садовничий, В.А. Замечание об одном новом методе вычислений собственных значений и собственных функций дискретных операторов / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. - 1994. - Вып. 17. - С. 244-248.

2. Дубровский, В.В. Оценка разности спектральных функций самосопряженных операторов / В.В. Дубровский, А.И. Седов // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2000. - Т. 5, № 5. - С. 10-13.

3. Дубровский, В.В. Теория возмущений и следы операторов: дисс. докт. физ.-мат. наук / В.В. Дубровский. - Москва: МГУ, 1992.

4. Кадченко, С.И. Численные методы регуляризованных следов спектрального анализа: монография / С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин. - Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2015. - 206 с.

Сергей Иванович Кадченко, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Прикладная математика и информатика:», Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова (г. Магнитогорск, Российская Федерация); кафедра «Уравнения математической физики», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), kadchenko@masu.ru.

Сергей Николаевич Какушкин, кандидат физико-математических наук, кафедра «Прикладная математика и информатика», Магнитогорский гос уд аре тве н н ы и технический университет им. Г.И. Носова (г. Магнитогорск, Российская Федерация), kakushkin-sergei@mail.ru.

Поступила в редакцию 28 января 2016 г.

MSC 47A10 DOI: 10.14529/mmpl60312

FINDING OF VALUES FOR SUMS OF FUNCTIONAL RAYLEIGH - SCHREDINGER SERIES FOR PERTURBED SELF-ADJOINT OPERATORS

S.I. Kadchenko, Nosov Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk; South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, kadchenko@masu.ru, S.N. Kakushkin, Nosov Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk, Russian Federation, kakushkin-sergei@mail.ru

Authors of the article developed non-iteration method for calculating the values of eigenfunctions for perturbed self-adjoint operators, namely the method of regularized traces (RT). It allows to find the values of eigenfunctions of perturbed operators aware the spectral characteristics of unperturbed operator and the eigenvalues of the perturbed operator. In contrast to the known methods of finding the eigenfunctions, the RT method does not use the matrix, and the values of eigenfunctions are searched by linear formulas. This greatly increases its computational efficiency compared with classical methods. For application of the RT method in practice one should be able to summarize the functional Rayleigh -Schrodinger series of perturbed discrete operators. Previously authors obtained formulas for finding the "weighted" corrections of the perturbation theory, that allowed to approximate the sum of functional Rayleigh - Schrodinger series, by partial sums consisting of these corrections. In the article formulas for finding the values of sums of functional Rayleigh -Schrodinger series of perturbed discrete operators in the the nodal points were obtained. Computational experiments for finding the values of the eigenfunctions of the perturbed one-dimensional Laplace operator were conducted. The results of the experiment showed the high computational efficiency of this method of summation of the Rayleigh - Schrodinger series.

Keywords: perturbed operators; eigenvalues, eigenfunctions; multiple spectrum; the sum of functional Rayleigh - Schrodinger series, "weighted" corrections of the perturbation theory.

References

1. Sadovnichiy V.A., Dubrovskiy V.V. Remark on a New Method of Calculation of Eigenvalues and Eigenfunction For Discrete Operators. Journal of Mathematical Sciences, 1995, vol. 75, no. 3, pp. 1770-1772. DOI: 10.1007/BF02368675

2. Dubrovskiy V.V., Sedov A.I. An Estimate for the Difference of Spectral Functions of the Selfadjoint Operator. Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy [Electromagnetic Waves and Electronic Systems], 2000, vol. 5, no. 5, pp. 10-13.

3. Dubrovskiy V.V. Teoriya vozmushcheniy i sledy operatorov [Perturbation Theory and Traces of Operators. Dissertation of the Doctor of Physical and Mathematical Sciences]. Moscow, 1992.

4. Kadchenko S.I., Kakushkin S.N. Chislennye metody regulyarizovannyh sledov spektral'nogo analiza [Numerical Methods of Regularized Traces of Spectral Analysis]. Chelyabinsk, Publishing Center of the South Ural State University, 2015. 206 p.

Received January 28, 2016