Линейные а-квазигруппы

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №10_

МАТЕМАТИКА

УДК 512.548

Член-корреспендент АН Республики Таджикистан А.Хабибулло, А.А.Давлатбеков

ЛИНЕЙНЫЕ А-КВАЗИГРУППЫ

Кулябский государственный университет им. А.Рудаки

В статье найдены соотношения, определяющие класс линейных А- квазигрупп, также выявлена связь линейных квазигрупп с А-квазигруппами.

Ключевые слова: линейная квазигруппа, А-квазигруппа, трансляция, примитивная квазигруппа, внутренняя подстановка.

Известно [1], что квазигруппу можно определить как алгебру (Q, • ,/,\) с тремя бинарными операциями (•) , ( / ) и ( \ ), в которой выполняются следующие тождества:

x•

x\

В литературе квазигруппу (Q, • ,/,\) называют примитивной квазигруппой (см. [l]).

Определение 1. Квазигруппа (Q, • ) называется линейной над группой (Q, +), если она имеет вид xy = px + c + y, где р, ^ e Aut (Q, +), c - фиксированный элемент из множества Q [2].

Линейные квазигруппы впервые введены и исследованы В.Д.Белоусовым в связи с изучением уравновешенных тождеств в работе [2]. Далее Г.Б.Белявская и А.Х.Табаров в работах [3,4] изучали различные обобщения линейных квазигрупп, а именно: полулинейные, алинейные, смешанные типы линейности квазигрупп.

Автоморфизм р группы (Q, +) называется внутренним автоморфизмом относительно элемента а e Q , если ра (х) = а + х — а . Все внутренние автоморфизмы группы (Q, +) образуют группу относительно операции умножения автоморфизмов, которая обозначается через Int (Q, +). Очевидно, Int (Q, +)< АШ (Q, +), где Äut(Q, +) - группа автоморфизмов группы (Q, +) . Если группа (Q, +) - коммутативная, то Int (Q, +)= АШ (Q, +) .

Определение 2. Подстановка а множества Q называется внутренней подстановкой относительно элемента h e Q, если а(h) = h .

Адрес для корреспонденции: Хабибулло Абдулло, Давлатбеков Акимбек Авалбекович. 735360, Республика Таджикистан, г.Куляб, ул. С.Сафарова, 16, Кулябский государственный университет. E-mail: tabarov2010@mail.com

Очевидно, что все внутренние подстановки квазигруппы ^, •) образуют группу, которую обозначим через 1И (^, •).

Определение 3. Квазигруппа ^, •) называется А-квазигруппой, если 1Ь ^, •)<Ли(Q, •), то есть все внутренние подстановки являются автоморфизмами •).

В [5] доказано, что группа 1п (^, •) порождается следующими подстановками Rx у, Lx у и Т где Яху = R:1yRyRx, = Ь-х\уЬхЬу, Тх = Ц}ХЯХ, х^ = Ь-Ц (Нх  у), х оу = К—1 (х  уН), 5 = Як, Яах = ха, Ьау = ау, то есть

1н

Имеет место следующая:

Теорема 1. Квазигруппа (^, •) является А-квазигруппой, если в примитивной квазигруппе

• ,/,\) выполняются следующие соотношения:

Доказательство. По определению 1И (Q, • ) = (Rxy , Ьху, Тх ) < Ли (^, •). Другими словами

ЯХу

Ьху

Тх

где —произвольные элементы квазигруппы (Q, •) . Поэтапно, раскрывая равенства (7), (8) и

(9), получим:

Кх,у ( ^2 )= Rxgy RyRx ( ¿1^2 )= К-^у ((( ^2 ) Х ) у ) = (((^2 ) Х ) у ) / (х»> ) =

= (((^)х) у)/ Ь—1 (Нх • у) = (((^)х) у)/ (Н \ (Нх • у)).

Кх,у (¿1 )• Кх,у (¿2) = К^уК(¿1 )• •К^) = (гх-у)- к;(¿2х• у) =

= (( • у) / (х^у ))• ((• у) / ( )) = (( ¿1х • у )/ ЬН 1 (Нх • у )) • (( ¿2х • у)/ ЬН 1 (Их • у )) =

= [(• у) / (h \ (hx • у))] • [(X • у) / (h \ (hx • у))] .

Из равенства (8) имеем:

4,у ( 7172 ) = 4оу К Ку ( 7172 ) = 4оу (Х (У (7172 ))) =(Х О У ) \ (Х (У (7172 ))) = = Щ 1 (X • ук) \ (X (у (7^2 ))) =((X • ук) / И) \ (X (у (7^2 ))) .

4,у ()• 4,у (72 )= КОЛК () •уКА (72 )= 4Оу (X • ^ ) (X  у72 ) =

= (( X о у) \ (X • ъ )) • ((X о у) \ (X • у72 )) = (Щ 1 ( X • ук) \ ( X • уг, ))• (Щ 1 ( X • ук) \ (X • у72)) =

= ((( X • ук) / И) \ (X • у^ ))•((( X • ук) / И) \ (X • у72 ))•

Аналогично из равенства (9) получим:

Тx (7172 ) = Щ (7172 ) = ^ (7172 ) X = ^X \ ((7172 ) X) = Щ ^ \ ((7172 ) X) =

= к; (к*) \ (( 7172 ) X) = , / к) \ (( 7172 ) X) .

Тx (71 )• 4 (72 ) = 4х Щ (71 )• 4^ Щ (72 ) = (^ • (72^ = ^ \ (^) \ (72X) =

= ЩXX \ (ZlX) • RA14x \ (7^)= Щ1 (Иx) \ (ZlX) • •1 (^) \ (72X) =

= ((Ы / и) \ (7^)) • ((^ / и) \ (72X)) .

В.А.Щербаковым (см.[6]) найдена другая система порождающих для группы 1п (0, •), а

именно: 1п (0, 0=<4,у , 4,у , рх,у > , где 4,у = LXОyLxLy , 4, у = К1уЩКу , 4,у = К1уЩКу ,

X оу = К,Г1 (X • уИ), X * у = Щ1 (уИ • X), X • у = Щ1 (X / уИ).

Исходя из этого, теорему 1 можно интерпретировать в следующием виде:

Теорема 2. Квазигруппа (0, •) является А-квазигруппой, если в примитивной квазигруппе

(0, • ,/,\) выполняются следующие соотношения:

[

((X / ук) / И) \ (X / у (77 )) = (((X / уИ) / И) \ (X / у71)) • (((X / уИ) / И) \ (X / у72)) . (12) Связь А-квазигрупп и линейных квазигрупп определяет следующая:

Теорема 3. Пусть линейная квазигруппа ^, • ) является А-квазигруппой относительно элемента Н, где Н = 0 - ноль группы (^, +). Тогда (^, •) имеет вид ху = рх + уу, ру = ур.

Доказательство. Пусть линейная квазигруппа (£, •) является А-квазигруппой. Очевидно,

что

Яух = %рх, Ьху = , К\х =р- 1Кух, Ь 'ху = у 1 Ь/у,

где трансляции группы ^, +).

По определению Кх у , Ьх у, Тх е Ли (^, •) . Тогда

Кх,у ( гlг2 )= К. у ( ¿1 )• ^ у ( г2).

Раскрывая левые и правые части последного равенства, получим:

(¿1 ¿2) = К?у КуК (гlг2) = р 1К—у^ ) =

= 1—у( Х. у) Щу/(/2 ¿1 + PWг2 + Ух) = 1К—Х. у) (р3 ¿1 + /"УЧ + РУХ + У у) =

= р—1 (р3 ¿1 + р2уг2 + рух + уу — у (х • у)) = = р~1 (р3+ р1уг2 + рух + уу — уЬЬ^ (Их • у)) = = р—1 (р3¿1 + р2уг2 + рух + уу — уу~ рН (р2Н + рух + уу)) = = р~1 (р3 + р2уг2 + рух + уу — (—рН + р2Н + рух + уу)) = = р—1 (р3+ р2уг2 + рух + уу — у у — рух — р2И + рН) = = р2 + руг2 + ух + р~ :уу — р ~1уу — ух — рН + И. К,у (¿1 )• Кх,у (¿2 ) = рКх,у (¿1) + уКх,у () = рКх^у ^^ (¿1) у ^^ () :

= рр~ ^ х.у) ^ур^А ¿1) + ур ^ х.у) ^р^А ¿2 ) =

= Кух.у) (р2¿1 + рух + уу) +ур~1Кух.у) (р2¿2 + рух + уу) =

= (р2 ¿1 + рух + уу — у( х • у ))+ ур—1 (р2 ¿2 + рух + уу — у( х • у )) = = (р2 + рух + у у — уЬН (Их • у)) + ур~1 (р2 + рух + уу — уЩ (Их • у)) = = (р2 ¿1 + рух + уу — уу—1Ь—И (р2Н + рух + уу)) +

+yp~1 (p2z2 + pyx + yy - yy' 1%фк (p2h + (pyx + yy)) =

= (p2Zj + pyx + yy - yy - pyx - p2h + ph) +

+yp-1 (p2 z2 + pyx + yy - yy - pyx- p2h + ph ) = p2 zj + pyx + yy - yy -

-pyx -p2h + ph + ypz2 + y2 x + yp~ lyy - yp~ lyy - y2 x - yph + yh. Из полученных равенств имеем:

p2zj + pyz2 + yx + p~lyy - p~:yy - yx - ph + h = p2zj + pyx + yy - yy -

-pyx -p2h + ph + ypz2 + y2x + yp~lyy - yp~lyy - y2x - yph + yh.

Пусть h = 0, где 0 - ноль группы (Q, +). Тогда

2 -j -j 2 p zj +pyz2 + yx + p yy-p yy-yx =p zj +pyx + yy-yy- pyx +

2 -1 -1 2 +ypz2 + y x + yp yy - yp yy - y x .

Положим в последнем равенстве x = 0:

2 —j —j 2 -1 -1 p Zj +pyz2 +p yy-p yy =p Zj + yy-yy + ypz2 + yp yy-yp yy.

Аналогично, при y = 0, имеем:

2 2 p zj +pyz2 = p zj + ypz2, pyz2 = ypz2, то есть

<py=yp, Vz e(Q, •) .

Аналогичным образом раскрывая Lx (z:z2) = Lxy (Zj )• Lxy (z2), получим, что py = yp. Из соотношения Тх (zxz2) = Tx (zx )• Tx (z2) имеем:

T (ZjZ2 ) = L- Rx (Z:Z2 ) = y Ryfxp(ZjZ2 ) = y 1L%x (p2zj + pyZ2 + y) =

= y-j (-pSx + p2zj + pyz2 + yx) = y-j (-pRh lLhx + p2zj + pyz2 + yx) =

= y~1 (-p p~ lR\hL/°hyx+p2 zj+pyz2+yx) = y~1 (-R%L/hyx+p2 zj + pyz2 + yx) =

= y~1 (yh - yx - ph + p2 zj + pyz2 + yx) = h-x- y ~lph + y ~Ap2 zx + y ~lpyz2 + x . Tx (z ) • Tx (Z2 ) = pTx (Zj) + yTx (z2 ) = pL-x Rx (Zj)+ yL-x Rx (Z2) = = py lL/°p,xRyxp( Zj ) +yy lLc'p— R/yxp( Z2 )= pylL/0p-x (pZj +yx) +L/p-x (pZ2 +yx) =

= py 1 (-px + (pzx + yx) + (-px + (pz2 + yx) = py 1 (-p p XR_ lwh%hyx + (pzx + yx) +

+ (-p p ~lR%-yhL%hyx + pz2 + yx) = py1 (yh -yx -ph + pz^ + yx) + yh - yx - ph + pz2 + yx =

= ph -px- py~lph + py_1pzj + px + yh - yx - ph + pz2 + yx. Из полученных равенств имеем:

h-x-y~lph + y~lp2zx + y-1pyz2 + x = ph -px-py~lph + py lpzx +px +

+ yh-yx-ph + pz2 + yx.

Пусть h = 0, где 0 - ноль группы (^, +). Тогда

-1 2 -1 -1 x + y p z1 + y pyz2 + x =-px + py pz1 +px —yx + pz2 +yx.

Положим в последнем равенстве x = 0:

y~lp2z1 + y~lpyz2 = py~1pz1 + pz2.

Аналогично, если z1 = 0 , то имеем:

-i -i y pyz2 = pz2, y py = p, py = yp.

Теорема доказана.

Поступило 01.08.2017 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мальцев А.И. Алгебраические системы. - М.: Наука, 1970, 392 с.

2. Белоусов В.Д. Уравновешенные тождества в квазигруппах. - Мат. сборник, 1966, 70 (112):1, с. 5597.

3. Белявская Г.Б., Табаров А.Х. Характеристика линейных и алинейных квазигрупп. - Дискретная математика, РАН, 1992, т.4, вып.2, с.142-147.

4. Табаров А.Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп. - Дискретная математика, РАН, 2007, т. 19, вып.2, с.63-73. (Translation in Discrete Math.Appl.17(2007), №3, pp. 253-260).

5. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. - М.: Наука, 1967.

6. Shcherbacov V. Elemеnts of Quasigroup Theory and Applications. - Moldova, 2017.

А.Дабибулло, А.А.Давлатбеков

А-КВАЗИГУРУДДОИ ХАТТЙ

Донишгохи Давлатии Кулоб ба номи А.Рудаки

Дар макола синфи А-квазигурухдои хаттй тавсиф дода шудаанд, инчунин алокаи квазигурухдои хаттй бо А-квазигурухдо ёфта шудааст.

Калима^ои калиди: квазигурууои хаттй, А-квазигуру%%о, трансилятсия, квазигуруууои примитивы, гузоришуои дохилй.

A.Khabibullo, A.A.Davlatbekov LINEAR A-QUASIGROUPS

A.Rudaki Kulob State University

In the article the ability to define class ratio linear A-quasigroups were found also the relationship linear quasigroups with A-quasigroups is revealed.

Key words: linear quasigroups, linear А-quasigroups, translations, primitive quasigroup, inward productions.