Кусочно-нелинейная интерполяция цифровой модели рельефа

первой группы факторов, вторая - имеет незначительный вес. В этом случае, несмотря на устойчивость системы, она может резко изменить свои характеристики под воздействием техногенных нагрузок. Модель третьего типа определяется достаточно сложными природными условиями, при этом весьма ощутимое значение приобретает вторая группа факторов. Устойчивость системы в значительной мере снижена и продолжает меняться под влиянием техногенных факторов. Модель четвертого типа характеризуется весьма сложными природными условиями, измененными под влиянием техногенных воздействий различной направленности, т.е. 1 и 2 группы факторов имеют крайне неоднородное строение. Система находится на грани неустойчивого состояния и дальнейшие нерегулируемые техногенные нагрузки могут привести к ее разрушению.

Следующий этап - это построение эколого-гидрогеологических карт в соответствии с выделенными типами природно-техногенных систем, которые позволят разработать комплексы природоохранных мероприятий для конкретных природно-техногенных условий.

Библиографический список

1. Лузина ЛИ. Принципы геоэкологического районирования

подземной гидросферы техногенно-нагруженных терри-

торий II Инженерно-геологические проблемы урбанизированных территорий, - Екатеринбург, 2001. - Т, 2, - С, 439-445.

2. Вернадский В,И. Избранные сочинения. - М.: Изд-во АН СССР, 1960. - Т. IV, кн. 2.

3. Гаврилова Т.А., Хорошевский В.Ф. базы знаний интеллектуальных систем, - СПб.: Питер, 2000. - 384 с,

4. Демографический ежегодник России (электронная версия) - ГК РФ по статистике, Филиал ГМЦ «Информатика», 1997,

5. Геоинформационная модель гидрогеологических условий Восточного Приаралья, Институт гидрогеологии и гидрофизики Министерства образования и науки Республики Казахстан, http://www.araimodel.unesco.kz

6. Интернет-школа. География, http://teleschool.demo.metric.ru

7. Коптюг В А Конференция ООН по окружающей среде и развитию (Рио-де-Жанейро, июнь 1992 г.). - Новосибирск, 1992,

8. Пиннекер Е.В, Экологические проблемы гидрогеологии. -Новосибирск: Наука, 1999.

9. Сашурин А,Д., Панжин А.А, Техногенные катастрофы, Предотвратить или превратить в оружие массового поражения XXI века? - УрОРАН, Екатеринбург, Научный проект. Геомеханика Оп-Ппе, 2002,

10. Трофимов В.Т., Зилинг Д.Г., Красилова Н.С. Концептуальные основы эколого-геологического картографирования II Вестн. Моск,ун-та.-Сер,4. Геология, - 1998, - № 5,

11. Шварцев С.Л Общая гидрогеология, - М,: Недра, 1996,

Д.И.Чернова, И.С.Кошечкин

Кусочно-нелинейная интерполяция цифровой модели рельефа

Настоящая статья посвящена вопросу кусочно-нелинейной интерполяции цифровой модели рельефа (ЦМР). Предполагается, что линейная интерполяция цифровой модели выполняется на основе применения триангуляции Делоне, а кусочно-нелинейная - выполняется функцией 3-го порядка для каждого треугольника. Для «гладкого склеивания» нелинейных функций 3-го порядка на уровне касательных (первых производных) необходимо иметь значения этих производных в узлах интерполяции. Значение первой производной для нелинейной функции поверхности в точке р определяет положение нормали к поверхности в этой точке. Поэтому в целом кусочно-нелинейная интерполяция ЦМР включает следующие этапы:

1. Формирование триангуляция Делоне по высотным пикетам топографической съемки (кусочно-линейная интерполяция). На данном этапе выполняется декомпозиция топографической поверхности на элементарные линейные «кусочки» - треугольники.

2. Определение нормалей (касательных, первых производных) нелинейной топографической поверхно-

сти для каждого высотного пикета съемки (узла интерполяции).

3. Для каждого треугольника («кусочка») определение на основе теории полюсов нелинейной гладко склеенной на уровне касательных с соседями функции 3-го порядка.

Для иллюстрации рассмотрим плоские кусочно-нелинейный кривые (двухмерный случай) и обобщим эти представления на соответствующие функции поверхности. Одним из распространенных подходов к кусочно-нелинейной интерполяции является подход, основанный на построении сплайнов (sp//'ne). С точки зрения механики сплайном является упругая балка с несколькими точками опоры, При формировании уравнения упругой балки кусочно-кубическими функциями учитываются не только значения первых производных, но и значения вторых производных, ответственных за «гладкое» изменение кривизны поверхности.

По нашему мнению, для топографических поверхностей достаточно «гладкого склеивания» на уровне касательных (первых производных), так как «функция

Рис. 1. Кубический сплайн

рельефа» в определенных значениях носит случайный характер, условно гладкая и не создает равномерно упругих форм, Возможно, с точки зрения определенных задач геомеханики или морфо-структурного геологического анализа рельефа такие свойства и могут иметь место, но с точки зрения топографии они не имеют под собой основания.

Для кубического сплайна (рис. 2) задача решается в два этапа. На первом этапе для каждой вершины сплайна определяются положения нормалей к кривой, А затем для каждого участка формируются кубические параболы (рис. 1).

Значения коэффициентов а, Ь, с и с/ уравнения кубической параболы у = ах' + Ьх2 + сх + с1 определяются из решения четырех уравнений - двух уравнений функции и двух уравнений касательных

у} = ах\ + Ьх,2 + схх л-й у 2 = ах 2 + Ьх 2 +сх2 +с1 tg(g[) = 3 ах] + 2 Ьхх + с §(ё2) ~ 3ах\ + 2Ьх2 + с

где

ду дх

- ~ Зях2 + 2Ьх + с - уравнение ка-

сательной, полученное в результате дифференцирования уравнения кубической параболы. Для известных значений хь уь х2, Уг и 1д(д1), ¡д (д2) получим

а =

1

(

-2

У 2 У]

ь =

1

(

У 2 У\

л

2 Л1

Для задачи сглаживания могут использоваться различные виды сплайнов - кубические, кривые Безье, рациональные и т.д, Отличительной особенностью этих подходов является то, что значения нормалей определяются автоматически, исходя из «похожих» упругих свойств сплайна,

Такой подход не учитывает специфики результатов топографических съемок и неупругий характер топо-

графических кривых. Необходимо учитывать, что выбор пикетов для формирования ЦМР определяется не случайным образом, а избирательно. В основе этой «избирательности» лежит правило, согласно которому в первую очередь снимаются характерные точки перегиба рельефа (точки экстремума), а остальные точки заполняют пространство между ними. Проиллюстрируем на следующем примере построения профильной линии рельефа (см, рис. 1, б). Кубический сплайн (см. рис. 1, а) неверно интерполирует результаты топографической съемки. Для данных топографической съемки очевидно, что пикет 3 - вершина, а пикет 4 - низина топографической кривой, Поэтому других точек экстремума в их окрестности быть не должно - они сами являются таковыми, а значения первой производной в этих точках должно равняться нулю (вертикальная нормаль), В кубическом сплайне в окрестности пикетов 3 и 4 формируются новые значения точек экстремума, отличных от этих пикетов,

Данный пример наглядно демонстрирует, что формальное использование сплайнов может приводить к ошибочным с точки зрения топографии результатам. Учитывая, во-первых, «избирательный», а не случайный характер распределения пикетов рельефа, а во-вторых, «неупругий» характер топографической кривой, более правильным будет назначить для пикетов 3 и 4 конкретное (вертикальное) положение нормали, а не определять их из уравнения «упругой балки», Пикет 2 является «точкой склона», для которого, следуя принципу равных влияний направлений, вполне допустимо назначение нормали вдоль биссектрисы угла 1-2-3,

-ф

Рис. 2. Кубическая парабола

Для формирования нормалей кусочно-нелинейной ЦМР предлагается формальный подход, основанный на анализе чередования знаков соседних превышений. Рассмотрим пикет р и связанные с ним на основании триангуляции Делоне съемочные пикеты 1-6.

В основу этого подхода положено следующее утверждение: если при последовательном обходе (например, по часовой стрелке) связанных с р пикетов

отрицательные и положительные превышения

последовательно разделяются на две группы, то это «точка склона», а остальные точки являются точками экстремума.

Так, если нет чередования знаков превышений и все превышения И , положительны, то пикет р -

низина (точка экстремума). Если все превышения крЧ отрицательны, то пикет р - вершина (точка экстремума). Если в последовательности присутствует п -чередований знаков превышений, то это (я/2)-главая седловина. Вне зависимости от числа глав любая седловина является точкой экстремума, так как всегда можно выделить направления, в которых эта точка является минимумом и максимумом.

Более формально алгоритм можно определить, как подсчет п - числа чередования знаков превышения:

/7 = 0- низина или вершина, нормаль с координатами N(0,0,1)-,

п - 2 - «точка склона» с к смежными треуголь-

АГ п - чр«. никами, нормаль N = —,п- / ~ ;

ы ^

п > 2 - (п / 2) -главая седловина, нормаль с

координатами N(0,0,1).

Для «точек склона» логично определять нормаль как среднеарифметическое нормалей соседних с р

треугольников триангуляции. В случае, когда через пикет р проходит излом (структурная линия рельефа),

необходимо процедуру определения нормалей выполнять отдельно для каждой группы пикетов, разделяемых изломом.

Для формирования гладко склеенной на уровне касательных нелинейной функции удобно использовать результаты теории полюсов. Теория полюсов является законченной теорией интерполяции, которая является оригинальным обобщением точечной интерполяции Лагранжа, отличным от метода Эрмита. Основной задачей теории полюсов является математическое описание кривых и поверхностей.

Понятие полюса ввел Поль де Кастельжо в 1958 г. при разработке математических основ САПР автомобилестроительной фирмы «Ситроен». Однако использование этой теории для интерполяции и задач, связанных с сохранением непрерывности восстанавливаемых функций, относится к 1981 г. Первая монография по теории полюсов была представлена Академией Безансона (Франция) в 1983 г. В России эта теория опубликована 1988 г. в монографии [1].

В основании теории полюсов лежит понятие характеристической фигуры. Так, для кривой на участке АО (рис. 4) характеристической фигурой является ломаная АВСО с полюсами А, В, С и О.

Ребра АВ и СО в проекции на горизонтальную линию составляют треть длины отрезка АО и по направлению совпадают с касательными к кривой в точках А и О. Уравнение кривой ¡(1) задается параметрически, где значение параметра I изменяется от 0 до 1.

А --------' '

Рис. 5. Вычисление значения функции по характеристической фигуре

Значение функции ф) определяется за три шага рекурсивных модификаций характеристической фигуры (рис. 5). Так, для значения параметра который делит отрезок АО на две части пропорционально 1 и (14), выполняем определение точек е, 7 и д. Точка е -результат пропорционального деления (1,1-1) отрезка АВ, / - результат пропорционального деления ((,!-}) отрезка ВС, д - результат пропорционального деления (1,1-1) отрезка СО. На втором этапе выполняется определение точек Ь и / как результат пропорционального деления (1,1-1) отрезков е/ и {д. На последнем (третьем) этапе производится аналогичное деление отрезка Ы, в результате которого получаем точку с искомым значением функции /(/]. Отрезок N определяет положение касательной к функции {(¡) в точке I Так как крайние отрезки характеристической фигуры совпадают по направлению с соответствующими отрезками соседних характеристических фигур, то это обеспечивает гладкое склеивание кривых на уровне касательных.

Для элементарного линейного фрагмента поверхности - треугольника характеристическая фигура показана на рис. 6. Характеристическая фигура состоит из 6 треугольников и 10 полюсов. Причем во внимание принимаются только заштрихованные треугольники характеристической фигуры. В плане, каждый из шести треугольников характеристической фигуры подобен исходному треугольнику: длина проекции ребра со-

ставляет 1/3 от длины соответствующего ребра исходного треугольника. Каждый треугольник характеристической фигуры лежит в своей плоскости и отвечает за гладкое склеивание функции с соседними треугольниками, Так, треугольники характеристической фигуры, расположенные при вершинах исходного треугольника (в узлах интерполирования), отвечают за склеивание касательных в углах интерполяции. Три треугольника вдоль ребер исходного треугольника обеспечивают гладкость склеивания соседних треугольников вдоль смежных ребер, Функция поверхности задается параметрически /(/р/^з) > где параметры \2 и Ь -

барицентрические координаты точки р,

Для барицентрических координат точки р и треугольника с вершинами 1, 2 и 3 выполняются следующие соотношения:

и ='

р 23

5

5

ь =

р 13

5

/ч

р\2

123

с с

123 123

л/ р -—* t^ Х| ¿2 Ч ХЪ

+Г2 =1, у. =Цух + ^у2 +/3.У3

2р + /373

Здесь 8Р23, 5Р1з, 5Р12 и 5Ш - площади соответствующих треугольников, а 12 и - барицентрические координаты точки р,

Рис. 6. Поверхность 3-го порядка и ее характеристическая фигура

Рис. 7. Вычисления значений функции поверхности по характеристической фигуре

На первом этапе с помощью барицентрических координат /ь /2, Н для каждого треугольника характеристической фигуры (рис. 7, а) определяются вершины характеристической фигуры 2-го порядка (рис. 7, б). На втором этапе по /2, Ь и фигуры 2-го порядка (см. рис. 7, б) находим вершины фигуры 1-го порядка (рис. 7, в). На третьем этапе по /ь \ъ Н и треугольнику фигуры 1-го порядка (см. рис. 7, в) находим координаты точки р на поверхности 3-го порядка. Треугольник фигуры 1-го порядка (см. рис. 7, в) лежит в касательной плоскости к поверхности в точке р.

На рис. 8 представлены примеры практического использования интерполяции по «методу полюсов» ЦМР и одной грани, для которой построены сечения в различных плоскостях (вертикальной и горизонтальной). Представленный подход рассматривается как альтернатива методам, основанным на ломанных (линейных) сечениях с последующим их сглаживанием сплайнами. Сглаживание сечений сплайнами обладает следующими недостатками:

1. На крутых складках рельефа такие изолинии

могут пересекаться между собой, что является грубой ошибкой. Чтобы исключить такие ситуации, устанавливаются различные ограничения для сплайнов - «коридоры» и т.д. Затраты на реализацию таких ограничений имеют тот же порядок, что и затраты на реализацию «метода полюсов».

2. Выполненные в различных плоскостях сечения обычно плохо согласуются между собой - фактически точки пересечения в плане могут иметь различные высоты.

3. Не позволяют вычислять объемы по сглаженному рельефу, который обычно выполняется по способу трехгранных призм.

Представленный подход на основании «метода полюсов» не обладает перечисленными недостатками и позволяет качественно решать задачи топографии на ЦМР. При необходимости он может послужить основой для задачи сгущения ЦМР. Использование «метода полюсов» приводит к необходимости хранить значения нормалей в съемочных пикетах (если это не точка экстремума). С одной стороны, это дополнительные за-

траты по памяти, а с другой стороны, необходимо учитывать, что при пространственном отображении ЦМР на компьютерах (обычно такие программы для 3D визуализации используют OpenGL или Direct3D из состава DirectX) все равно необходимо формировать нормали в узлах триангуляции. При отсутствии информации нормали системы 3D визуализации определяют как среднее значение нормалей по граням, инцидент-

ным данному узлу. Непосредственный ввод значений нормалей позволяет более качественно выполнять 30 визуализацию ЦМР.

Библиографический список

1. Шенен П„ Коснар М„ Гардан И, др, Математика и САПР: в 2-х кн. Кн. 1. Пер. с франц. - М.: Мир, 1988, - 204 с,

Н.А.Архипов, Н.С.Груничев» А.Ю.Давыденко

Оценка использования жёстких зернистых фильтров Аля отчистки аспирационного воздуха от пыли

Жёсткие зернистые фильтры нашли применение на предприятиях химической и металлургической промышленности при улавливании мелких фракций пыли [1].

Нами изучалась возможность использования жёстких зернистых фильтров с фильтрующими элементами в виде плоских пластин в системах аспирации технологического оборудования (дробилок, грохотов и др.), занятого добычей и переработкой калийной соли и таких крепких горных пород, как мрамор. Такое решение обосновывается тем, что плоские фильтрующие пластины со скреплёнными между собой зёрнами хорошо компонуются в секции, обеспечивая простоту обслуживания зернистых фильтров и равномерное распределение запылённого воздуха по их фильтрующей площади, выдерживают большие механические нагрузки, возникающие при их регенерации, а для установки в фильтр не требуют подложки в виде часто забивающейся пылью мелкоячеистой сетки.

Исследования показали, что осаждение рассматриваемой пыли в упомянутых аппаратах подчиняется общим закономерностям, характерным для всех зернистых фильтров: эффективность отчистки воздуха повышается с увеличением толщины фильтруемого элемента (рис. 1), стабильность процесса обеспечивается при коэффициенте равномерности 0,8-1,2, а максимум осаждения пыли приходится на скорость фильтрации воздуха 0,35-0,6 м/с (рис. 2).

Как следует из приведённых данных (см. рис. 1, 2) эффективность осаждения пыли, образующейся при добыче и переработке соли, на 10-15% выше по сравнению с мраморной пылью. По-видимому, это объясняется тем, что пылевые частицы соли при трении о зёрна фильтрующего слоя частично размягчаются и в месте контакта с зёрнами слоя получают дополнительные адгезионно-когезионные силы, удерживающие их в фильтрующем слое.

Сравнение полученных данных с результатами исследований других авторов показывает, что эффектив-

ность осаждения пыли жёсткими зернистыми фильтрами по сравнению с насыпными выше в среднем на 10-20%. Данный факт, по-видимому, объясняется следующим. Фильтрующие зёрна насыпных зернистых фильтров свободны друг от друга и в большей степени зависят от аэродинамических сил потока очищаемого воздуха и вибрационных нагрузок, возникающих при работе механического привода систем аспирации. Зёрна, слагающие жёсткие фильтрующие пластины, наоборот, связаны между собой воедино. Они образуют жёсткую перегородку. Каждая из зёрен пластин в отдельности меньше подвержена указанному воздействию, Поэтому процессы осаждения пыли в жёстких зернистых фильтрах будут протекать более стабильно, а эффективность отчистки вследствие этого будет повышаться.

Установлено, что высокую эффективность очистки воздуха от пыли в зернистых фильтрах можно обеспечить, используя фильтрующие элементы с зёрнами крупностью менее 350 мкм [1]. Например, для улавливания пыли фракций менее 1 мкм практически на 100% в зернистых фильтрах достаточно использовать зёрна крупностью 75-150 мкм [1]. Однако эти действия неизбежно приведут к образованию в слое большого количества мелких пор с трудно разрушаемыми пылевыми отложениями и как следствие увеличению гидравлического сопротивления зернистых фильтров, причём во много раз, Зачастую полученные таким образом высокоэффективные фильтрующие элементы получаются неработоспособными и на производстве не находят применения.

При работе систем аспирации рассматриваемых технологических комплексов не требуется сверхтонкая очистка воздуха от пыли, Обеспечить достаточную эффективность очистки воздуха при относительно небольшом гидравлическом сопротивлении здесь возможно путем варьирования крупностью зёрен и толщиной их фильтрующих элементов при рациональной