Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами

10. Чигогидзе А.Ч. Об относительных размерностях // Общая топология. Пространства функций и размерность. М.: Изд-во МГУ, 1985. 67-118.

11. Steiner A.K., Steiner E.F. Wallman and z-compactifications // Duke Math. J. 1968. 35, N 2. 269-275.

12. Steiner A.K., Steiner E.F. Nest generated intersection rings in Tychonoff spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1970. 148, N 2. 589-601.

13. C'haralambous M., Chatyrko V. Some estimates of the inductive dimensions of the union of two sets // Topol. Appl. 2005. 146-147. 227-238.

14. Филиппов В.В. О поведении размерности при замкнутых отображениях // Тр. Семинара им. И. Г. Петровского. 1978. Вып. 3. 177-196.

15. Dowker C.H. Inductive dimension of completely normal spaces // Quart. J. Math. Ser. 2. 1953. 16, N 4. 267-281.

16. Terasawa J. Spaces N WR and their dimensions // Topol. Appl. 1980. 11. 93-102.

17. Pol E, Pol R. A hereditarily normal strongly zero-dimensional space containing subspaces of arbitrary large dimension // Fund. math. 1979. 102, N 2. 137-142.

18. Pasynkov B. On the dimension of rectangular products // Conf./Workshop Gen. Topology and Geom. Topology. University of Tsukuba 1991. Tsukuba, 1992. 67-76.

19. Pasynkov B., Tsuda K. Product theorems in dimension theory // Tsukuba J. Math. 1993. 17, N 1. 59-70.

20. Филиппов В.В. Об индуктивной размерности произведения бикомпактов // Докл. АН СССР. 1972. 202, № 5. 1016-1019.

21. Малыхин Д.В. Некоторые свойства топологических произведений: Канд. дис. М., 1999.

Поступила в редакцию 12.05.2008

УДК 517.5

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

С. И. Митрохин1

Рассматривается дифференциальный оператор четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами и некоторыми граничными условиями. Изучена асимптотика решений дифференциального уравнения четвертого порядка. Исследовано уравнение относительно собственных значений и получена асимптотика собственных значений рассматриваемой краевой задачи.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, суммируемые коэффициенты, асимптотика решений, асимптотика собственных значений, метод последовательных итераций.

A fourth order differential operator with summable coefficients and some boundary conditions is considered. Asymptotics of solutions to a fourth order differential equation is studied. The equation for eigenvalues is also studied and an asymptotics of the eigenvalues of the considered boundary value problem is obtained.

Key words: differential operator, summable coefficients, asymptotics of solutions, asymptotics of eigenvalues, method of successive iterations.

Будем рассматривать дифференциальный оператор, заданный дифференциальным уравнением четвертого порядка вида

y

где a E R, a > 0, A — спектральный параметр, с граничными условиями

2/

1 Митрохин Сергей Иванович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИВЦ МГУ, e-mail: mitrokhin@srcc.msu.ru.

вьсш. миск. ун-та. сер. 1, математика. механика. ¿UU9. л-о

В уравнении (1) функции p(x) и q(x) являются действительнозначными и суммируемыми: q(x) Е А[0,п] , p(x) Е Li[0,n], т.е.

q

/ ж \Jo Jx

почти всюду для всех x Е [0,п] .

Цель статьи — найти асимптотику решений дифференциального уравнения (1) и асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1), (2) с условиями (3). Аналогичные результаты для дифференциального оператора второго порядка с суммируемыми коэффициентами получены в работе2.

1. Основной результат. Положим Л = s4. Пусть s = — некоторая фиксированная ветвь корня (выбранная, например, условием \[\ = +1).

Теорема 1 (основная). Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1), (2) с условиями (3) при |s| — имеет вид

g _ k d2k dSk d^k d5k a ak2 ak3 ak4 ak5

sk,m = sk,i • im-1, m = 2,3,4, при этом коэффициенты dnk (n = 2, 3, 4,...) находятся по формулам

x

(hk = k), <pi(x, k) = Jp(t) sin(2kt) dt;

0

TV

d3k = ± {Mi-Ы7Г, k)), Mi= f q(t) dt, <p2(x, k)=J q(t) cos(2kt) dt;

0 0 ¿4fc = \d2k(M2 - <£>з(тг,k) + ±<р4(к,к)) + к) - <£>6(тг, к) - р7(тг, k) +

ж

+^8(n,k) - 2р9(ж,к) - 2^10(n,k)); M2=jjp(t) dt,

0

х х

^3(х, к) = /p(t) о«(2к^ М, ^4(х, к) = /tp(t) sin(2kt) М, о о

х / г \ х / * \

^б

х /г \ х /г \

^>7(х, к) = /p(t) cos(2ktH /p(z) sin(2kz) dt, щ(х, к) = /p(t) sin(2kt) I /p(z) cos(2kz) dt, о \о / о \о /

х / * \

^э(х, к) = /p(t)eкt sin(kt) I /p(z)e-kz cos(kz) dt, о \о /

^>1о(х,к) = /p(t)e-kt sin(kt) I /p(z)ekz cos(kz) dz 1 dt. оо

Замечание. Указанных коэффициентов достаточно для вычисления первого регуляризованного следа дифференциального оператора (1), (2) с условиями (3).

2. Асимптотика решений дифференциального уравнения (1). Теорема 2. Решение у(х,в) дифференциального уравнения (1) является решением интегрального уравнения Вольтерра вида

4 ^ eawk sx

4 4 pawk sx г

y

k=1 k=1 k

где Ск (к = 1,2,3,4) — произвольные постоянные, Wk (к = 1,2,3,4) — различные корни четвертой степени из 1: w4 = 1 (к = 1, 2, 3, 4). Будем полагать, что Wl = 1, w2 = г, Wз = —1, W4 = —г.

Доказательство теоремы 2 осуществляется методом вариации постоянных с использованием формулы

4

= 0 при т = 1, 2, 3.

к=1

2См.: Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций

краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. 64, № 4. 47-108.

x

То, что у(х,в) из (4) действительно является решением дифференциального уравнения (1), можно проверить простой подстановкой у(х,в) в уравнение (1). При этом, используя формулы (3), получим

4 4 , ч х

4 4 ( ПИ о\траи>квх Г

у{т\х,з) = ^Ск{аык8)теа^ - ^ 1 ^^ I + дШЬ

к=1 к=1 к 0

т = 1, 2, 3; у(4)(х,в) + р(х)у'(х,в) + д(х)у(х,в) — \п4у(х,в) = 0 почти всюду для всех х из отрезка [0,^].

Далее асимптотику решений дифференциального уравнения (1) будем отыскивать методом последовательных приближений Пикара. Для этого из (4), (6) находим у(Ь,в), у'(Ь,в) и подставляем их в формулу (4) (и в дальнейшем так несколько раз). При этом мы получим

,зх ^ Г! 91т

ф, „ = Е - Е - £ ^ +

к=1 т=1 т=1

4 х

д1т(х, з) = V -^е™*ахд1тк(х, з), д1тк(х, з) = [ ,, Щ У

/ 1 Щ

к=1 к 0

4 1

_ аги^вх,

к=1 Ик

X

Я2ш{х, в) = \еа^хд2тк{х, в), д2тк(х, з) = [ к=1Ик 0

Здесь ф$(х,в) — сумма 16 слагаемых вида

г

_еа'Шк 8х ! р^у^т-'Шк Мрд (г,8)е-™т ^(^(И

к 0 0

а фб(х, в) — сумма 16 слагаемых вида

х г

11

геа'Шк8х У д(г)еа('шт-'ШкМря(г,в)е-аШт

к 0 0

т, к = 1,2,3,4, где Мт(г, в) = р(г)у'(г, в) + д(г)у(г, в). Подставив у'(Ь,в) из (6) в (7), получим

фъ

4

причем ф4(х,в) = ¿2 Скф4к(х, в), к=1

X

ф41(х,з) = • J р(г)еа(-Ш1-Ш1^ | J р(г)еа(-Ш1-Ш1>Чг \ М + ...

пи1 е

10

(в формуле (9) всего 16 слагаемых).

Из (7)—(9) видно, что общее решение дифференциального уравнения (1) с условиями (3) имеет вид

4

у

к=1

где у1(х,в), ..., у4(х,в) являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения (1), так как их определитель Вронского не равен нулю.

X

1

1

г

При этом мы получаем

tm,k

оо т=2

например: У1(х, з) = + ^А + + + ... >

4>21{х,8) = Е ^/рфе^-^М, фз1 (х,з) = £ ^¡д^е^-^М, к=1 к о к=1 к о

Мх,8) = £ -^г (е Фтк(х,8) = ]сИ.

к=1 т \к=1 к / о \о /

Остальные фтк(х,в) (при т,к = 1, 2, 3, 4) вычисляются аналогично. Из (10), учитывая формулы (5), будем иметь

y(n)(x,s) = ECky(n)(x,s), n = 1,2,3;

k=1

^ /i/Дп)/ ifc^

S'1

y^\x, s) = (awks)neaWkax + (aWfcS)ra £ ^Ц^, n = 1,2,3.

= + ^ + ^ + ^ + ^ +

т=2

3. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1), (2) с условиями (3). Подставляя найденные асимптотики в граничные условия (3), приходим к выводу, что справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Собственные значения краевой задачи (1), (2) с условиями (3) удовлетворяют уравнению /(в) = 0, где

ш + ш + ш + т в2 вз в4 в

/о

/2(в) = (ва^П — в-^1 ™ ){ф24 (п,в) — ф22 (П,в)+ф2^2 (п, в) — ф1А(п, в)) —

— ^ - — e-aW2SЖ ){ф2^

аналогично выписываются функции /з(в), /4(в), ....

Изучая индикаторную диаграмму функций /(в), /о(в) из (11)-(13), находим асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1), (2) с условиями (3) и получаем доказательство теоремы 1.

Поступила в редакцию 17.06.2008

УДК 517.5

О СООТНОШЕНИЯХ МЕЖДУ МОДУЛЯМИ ГЛАДКОСТИ В РАЗНЫХ МЕТРИКАХ

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2, С.Ю. Тихонов3

Доказаны два неравенства, уточняющие и обобщающие известное неравенство П. Л. Ульянова о соотношениях между модулями непрерывности в разных метриках.

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapov@mail.ru.

Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград. гос. техн. ун-та, e-mail: Дека-натXDT<htf212@vstu.ru>.

3 Тихонов Сергей Юрьевич — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. ЦМО МГУ, e-mail: ser_tikhonov@mail.ru.