Об одном механизме зародышеобразования при спин-переориентационном фазовом переходе II рода в реальных магнетиках

Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 7 (222). Физика. Вып. 9. С. 22-27.

ФИЗИКА МАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Р. М. Вахитов, Е. Р. Гареева, Е. Б. Магадеев, А. Р. Юмагузин

ОБ ОДНОМ МЕХАНИЗМЕ ЗАРОДЫШЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ СПИН-ПЕРЕОРИЕНТАЦИОННОМ ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ II РОДА

В РЕАЛЬНЫХ МАГНЕТИКАХ

Теоретически исследуются процессы зародышеобразования при фазовых переходах типа спиновой переориентации в реальных магнетиках. Показано, что на дефектах кристалла определённого типа возникают магнитные неоднородности со структурой, подобной 0-градусной доменной границе. Эти неоднородности рассматриваются в качестве модельного представления зародышей новой фазы, закрепляющихся на дефектах. В результате численной реализации соответствующей вариационной задачи для пластины конечной толщины найдены устойчивые состояния 0-градусных доменных границ и показано, что их структура и свойства в основном зависят от параметров дефекта и фактора качества образца. Найденные зависимости позволяют описать поведение зародышей новой фазы в окрестности спин-переориентационного фазового перехода II рода, которое качественно согласуется с экспериментальными данными.

Ключевые слова: спин-переориентационный фазовый переход, 0-градусная доменная граница, зародышеобразование, реалистическая модель, дефект, размагничивающие поля.

Исследования показывают [1], что феноменологический подход при анализе спин-переориентационного фазового перехода (СПФП) I рода позволяет в рамках единой схемы рассмотреть два механизма зародышеобразования в ферромагнетиках. Первый механизм (условно его можно назвать «стеночным») связан с возникновением в окрестности СПФП перетяжек в структуре доменных границ (ДГ), которые являются зародышами новой фазы и характеризуются наличием в профиле ДГ трёх точек перегиба [2]. Второй механизм — флукту-ационный; он обусловлен появлением в области СПФП флуктуаций намагниченности (отклонение вектора намагниченности М от равновесного состояния в направлении ориентации М0, соответствующего метастабильной фазе), которые быстро исчезают. Однако при приближении к точке СПФП их интенсивность резко возрастает (радиус корреляции также увеличивается), а при наличии в образце дефектов флуктуации «конденсируются» на них, образуя зародыши новой фазы. В феноменологической теории им отвечают магнитные неоднородности типа 0-градусных ДГ, которые возникают в качестве решений уравнений Эйлера—Лагранжа и, согласно расчётам [1; 3], в действительности являются крупномасштабными флуктуациями намагниченности М. Качественное согласие результатов, полученных при моделировании процессов зародышеобразования в области СПФП I

рода, с экспериментальными данными [4], позволяет использовать данное приближение и в других сценариях перемагничивания реальных кристаллов. Однако при изучении СПФП II рода ситуация существенно усложняется, так как в идеализированной модели в окрестности перехода отсутствуют причины для возникновения решений, соответствующих 0° ДГ. В то же время из общих соображений следует (и в дальнейшем будет показано), что магнитные неоднородности, возникающие в области дефектов, имеют структуру, схожую с 0° ДГ. Последнее означает, что при рассмотрении СПФП II рода их также можно использовать в качестве модельного представления зародышей новой фазы.

Исследуем процессы спиновой переориентации в идеализированной модели неограниченного кубического ферромагнетика, с наведённой вдоль [011] одноосной анизотропией. Образец рассматривается в виде бесконечно протяжённой пластины конечной толщины (П), которая в то же время предполагается достаточно толстой, чтобы пренебречь влиянием размагничивающих полей поверхностных зарядов на структуру и свойства ДГ. Энергию магнитных неоднородностей (термодинамический потенциал) такого магнетика с учётом обменного взаимодействия (А), перпендикулярной (Ки), ромбической (К) и кубической (Кх) анизотропий, а также размагничивающих полей объёмных зарядов, локализованных в ДГ, возьмём в виде [1]

E = L,Dj {^[(0')a + einJ0(q>')3] +

+ К"sin10 + Крsin’ Gsitr (q> - у) +

a .......... - - - 'ф   '

4

.... : : 1'. I ф 1'

+ 3вт4(ф-1|г))]+-4- 2тгМг2 (sin 0 sin ф — sin 6И sin ф„)2 }dy, ^

где 0 и ф — полярный и азимутальный углы вектора M; 0' и ф' — их производные по y; 0т и фт — значение углов в доменах (у ^ ±да); Ms — намагниченность насыщения; Lx — размер пластины вдоль оси 0х (Lx ^ да). Предполагается, что 0z || [011], а 0х лежит в плоскости ДГ и составляет угол у с осью [100].

Равновесные состояния исследуемого магнетика (пластина (011) [1]) находятся из минимума (1), которые сводятся к уравнениям Эйлера— Лагранжа вида

5^

50

= 0.

5E

= 0,

5E

= 0

при выполнении неравенства 52К > 0.

Из анализа полученных соотношений следует [1; 5], что в области устойчивости магнитной фазы М0 11 [011], определяемой неравенствами

Ки > 0, 1 < к< 4 = К / \Ки\, кр = К / \Кр1), суще-

ствуют решения вида

гф = ±а сЩ%), ф = 0, п, у = 0, п,

/= l(4 ki). b' = Jk~-\;

V 4(ki -1) Vl

S = y/A A0 =JaTku,

которым отвечают 0° ДГ блоховского типа с М0 || [100] в доменах. Кроме того, в области Ки > 0, кх > 4 (кр > 3), в которой устойчива фаза М0 || [100], существуют решения аналогичного вида

С§0 = ±а"сЬ

а"= I -4) , Ь" = ^ 1 + кхП .

V 2

Им соответствуют блоховские 0° ДГ с М0 || [011] в доменах. Эти неоднородности, описываемые выражениями (4) и (5), представляют собой не-

кое возмущение однородного состояния (соответствующее метастабильной фазе) с колоколообразной формой распределения магнитных моментов в «возмущённом» слое. Они по структуре и условиям возникновения являются зародышами новой фазы и дают в идеализированной модели схематическую картину СПФП I рода, которая имеет место при к^ = 4 (кр > 3) между фазами М0 || [011] и М0 || [100]. Однако более полное представление о процессах зародышеобразования при СПФП I рода можно получить, если рассмотреть реалистическую модель исследуемого магнетика, в которой учитываются и наличие в нём дефектов, и его конечность [1; 3].

Согласно ориентационной фазовой диаграмме пластины (011) [5] при кх = -2 имеет место СПФП II рода между фазами М0 || [011] и М0 || [иУУ]

(угловая фаза с 0 = arcsin

+

2 + k1 I 3k

ф = 0, п).

Однако уравнения (2) в окрестности точки к = 2 не допускают решений, соответствующих 0° ДГ. Это вполне объяснимо, так как в области СПФП II рода невозможно сосуществование двух фаз, одна из которой является устойчивой, а вторая метастабильной. Последняя, как известно [1; 3], и порождает 0° ДГ.

В то же время существует и другой механизм возникновения 0° ДГ, связанный с наличием в кристаллах, ограниченных по размерам дефектов. Он реализуется практически всегда, в том числе и при СПФП любого типа. В этом случае в области дефектов образуются магнитные неоднородности со структурой, подобной 0° ДГ. Покажем это на примере дефекта с 5-образным характером изменения параметров материала, для которого распределение намагниченности в общем случае рассмотрено в приложении. Здесь приведём расчеты для конкретных типов кристалла.

1. Одноосный кристалл. Уравнение плотности энергии магнитных неоднородностей в этом случае имеет вид

£ = Л

где AKu — величина скачка одноосной анизотропии на дефекте; 5(y) — 5-функция Дирака, K > 0.

U

Тогда уравнения (2) для термодинамического потенциала

E = LxD |еф

сведутся к виду

20" = 28т0 оо80[1 + оКм5

где ёКи = АКи/ Ки. Решение уравнения (8), отвечающее 180° ДГ, есть

sin60 =

1

ch

В соответствии с теорией (см. приложение) решение для 0° ДГ определяется выражением (П5), в котором ^ равен

г 1, dK - 2

=- in—----------,

2 dK + 2

Оно выполняется при условии \йК \ > 2К .

~ *7 и и

С учётом этого из (П7) находим

AE = -4Ku >0. AK..

Откуда следует, что АКи < 0. Таким образом, окончательно получаем

АК„ < -2К,

= “ln

1 AK + 2K

2 AK -2K

2. Кубический кристалл (пластина (011)). Исходя из выражения (1), рассмотрим функции /0(0) и /ДВ), фигурирующие в приложении, в виде

/с (e) =

Ґ k V 2Q 3k . 4

1 + -І 2

sin Є---------1 sin Є,

4

/

где йКх = АКХ / К АКХ — «скачок» константы кубической анизотропии в области дефекта, Ки > 0. Очевидно, соотношение (П4) для пластины (011) будет выполняться.

Рассмотрим область -2 < кх < 0. Тогда решение, соответствующее 180° ДГ, есть

0О = -arctg

4 - к.

-sh

2 + к

' 2

ч

Из условия (П6) следует

где г = sm20o(£,o), причём йКх имеет одинаковый знак с выражением (cos0o (£,0)(1 - 3г)). Из соотношения (14) следует необходимое условие:

|dKj| > 2^4 + 2^.

Условие (П?) приводится к виду 4 - k

AE =

arcsin

3k1 4 - k

-ddKl(3z2 - 6z + 2) > 0. 4

При dKx < 0 данное неравенство выполняется автоматически. Отсюда следует, что неравенство (15) является к тому же и достаточным условием.

43

При этом 0„ < arcsin—.

0 3

В случае dKx > 0 нахождение минимально допустимого значения dKx возможно только численно. Из расчётов следует, что в области -2 < кх < 0 пороговое значение dK1лежит в промежутке от 41,6 до 38,6 соответственно. При этом амплитуда 0° ДГ 0^ = 0(0) = 00(^0) меняется весьма незначительно: 37° < 0^ < 38°.

Необходимо отметить, что полученный результат для случая dKu > 0 (AK„ > 0) не противоречит условию зарождения 0° ДГ на дефекте, полученному ранее [см.: 7-8]. Согласно ему, 0° ДГ может локализоваться на дефекте типа пластинчатого магнитного включения только при AR < 0 (AR — скачок значения параметра материала R = {A, Ku, Kp Kx, M }в области дефекта), т. е. при отрицательном вкладе энергии дефекта в (1). Это объясняется тем, что при dKx > 0 лёгкими осями кубической анизотропии в области дефекта будут оси (100), в частности, ось [100] (0 = п / 2), а в этом случае /Дп / 2) < 0.

Отметим также, что положительные пороговые значения параметра dKx значительно превышают по модулю отрицательные, что связано с величиной максимального угла отклонения 0s вектора M от оси [011]; в случае dKx > 0 0s (а значит, и энергия еs 0° ДГ) значительно больше, чем в случае dKx < 0.

Как видно из рис. 1, распределение намагниченности в области дефекта характеризуется наличием острого пика, которое связано с выполнением условия (П6). Появление последнего, в свою очередь, обусловлено 5-образным характером вида дефекта. Очевидно, при более плав-

Рис. 1. График зависимости 0(£) в случаях: 1) одноосного кристалла с К0 = 1, К

2) кубического кристалла с kl= -1, р = -3;

3) кубического кристалла с k1 = -1, в= 45

ном изменении материальных параметров в области дефекта, функция 0'(у) будет также непрерывно изменяться в этой области, что естественно приведёт к исчезновению пика на графике зависимости 0 = 0(у).

Из приведённых расчётов следует, что 0° ДГ, задаваемая выражением (5), наиболее адекватно описывает распределение намагниченности М в окрестности дефектов рассматриваемого магнетика в области устойчивости магнитной фазы М0 || [011] (см. рис. 1), поэтому для изучения в нём СПФП II рода между фазами М0 || [011] и М0 || [иУУ] на линии к1 = -2 применим вариационный подход, развитый в [3], и в качестве пробной функции возьмём решение (5), в котором а" и Ь" будут считаться вариационными параметрами (в дальнейшем их обозначим через а и Ь). Кроме того, учтём в данной модели конечность образца и наличие в нём дефектов. Первый фактор приводит к необходимости учитывать размагничивающие поля от поверхностных зарядов, вклад которых в термодинамический потенциал (1) будет определяться выражением

| |[с08 0(у) 008 0(у) -

- С082

0» ] 1"

1+-

п2

(У - у')2

В качестве дефекта (второй фактор) рассмотрим пластинчатое магнитное включение [1; 3], в области которого (\у | < Ь / 2, где Ь — размер дефекта) скачком меняются параметры материала Я на величину ДЯ.

В данном случае вариационная задача по определению устойчивых состояний 0° ДГ решается посредством нахождения минимума (1) (с учётом обоих факторов) относительно вариационных параметров а и Ь. Очевидно, значения этих параметров невозможно определить аналитически, и потому они находятся путём численной реализации поставленной задачи. Это, в свою очередь, позволяет определить характеристики 0° ДГ, а именно: её ширину Д , амплитуду 0 и энергию (е^ = Е / (КиЬхБД0)). Первые два параметра определяются выражениями

(1 Л

0^ = аг^

\а у

А =

2А0

Ь

-х

1п

лА + а2 + 41-

2а2 (

-------2аг^

41-

2а2

41-

Отметим, что рассматриваемый подход применим, если & >> > Д, Q > 1 [3].

Задача по нахождению устойчивых состояний 0° ДГ решается путём численной минимизации энергии е^ относительно вариационных параметров. При этом все параметры, имеющие размерность длины, приведены к величине Д0, а характеристики дефекта ДЯ — к величине Ки, т. е. йЯ = ДR/ Ки (за исключением йМ = ДМ/М, йА = ДА / А). Из полученных результатов следует, что 0° ДГ устойчива в определённом промежутке значений материальных параметров образца и характеристик дефекта (рис. 2). В частности, из рисунка следует, что нижняя граница её устойчивости по кх достигается при значениях этого параметра, меньших, чем к1= -2 (точка СПФП II рода в неограниченном кристалле [5]). Это связано с вкладом размагничивающих полей на точку СПФП, который в данном случае смещает её в сторону меньших значений. Причём чем меньше Q, тем больше смещение. Такое поведение обусловлено характером влияния размагничивающих полей на устойчивые состояния 0° ДГ; чем меньше Q, тем больше вклад Ет в термодинамический потенциал (1) и тем сильнее будет проявляться действие размагничивающих полей на спины, которые заставляют их повернуться в сторону плоскости пластины. В частности, это видно из рис. 2 а: с увеличением значения параметра качества материала величина 0^ уменьшается. Расчёты показывают, что свойства 0° ДГ в основном опре-

4

д

4 1

а

Рис. 2. Графики зависимости характеристик 0° ДГ в(а) и (Ъ) от величины а1 при следующих значениях параметров образца и дефекта: dA = 0,1; Ь = 3; D = 10; К„ = -1,5; К = 1,5; <ИК , = -1,5; dK = 0,2; = 0,3; kp = 4,0.

и 1 и р о р

Кривая 1 соответствует 0°ДГ (I) при Q = 3; 2 - Q = 6; 3 - Q = 9

деляются дефектами кристалла, на которых они закрепляются. В частности, из расчётов следует, что с возрастанием ширины дефекта размеры 0° ДГ увеличиваются, причём величина Д5 возрастает пропорционально Ь. Последнее ещё раз подтверждает известное свойство дефектов [3; 4; 7], заключающееся в следующем: магнитные неоднородности, образующиеся на дефектах, подстраиваются под их профиль.

При приближении к точке СПФП 0° ДГ расплывается: Д — да, 0 — 0 „, е —— -да. Это означает, что рассматриваемый магнетик перешёл в однородное состояние с М0 || [иУУ], т. е. в нём имеет место спиновая переориентация (СПФП II рода) из симметричной фазы в угловую, которая сопровождается разрастанием 0° ДГ по мере приближения магнетика к точке перехода и резким заполнением ею всего объёма образца в точке перехода. Это вполне согласуется с экспериментальными наблюдениями по кинетике СПФП в феррите-гранате Gd3Fe5O12, содержащем дислокации [2].

Таким образом, приведённые исследования показывают, что магнитные неоднородности, возникающие на дефектах, имеют распределение магнитных моментов, аналогичное с 0° ДГ. Моделирование поведения зародышей новой фазы с помощью 0° ДГ, осуществлённое в рамках вариационного подхода, вполне адекватно описывает процессы зародышеобразования, имеющее место при СПФП II рода, в ограниченных магнетиках, содержащих дефекты. Из приведённых результатов следует, что закономерности зародышеобразования, полученные ранее

при анализе СПФП I рода в реалистической модели, справедливы и для СПФП II рода и, следовательно, носят общий характер. Это позволяет применить рассмотренную модель магнитных неоднородностей и для изучения других процессов, в которых существенную роль играют дефекты кристалла, в частности, процессов намагничивания и перемагничивания реальных магнетиков.

Список литературы

1. Вахитов, Р. М. Моделирование процессов спиновой переориентации в кубических ферромагнетиках, содержащих дефекты / Р. М. Вахитов, Е. Р. Гареева, М. М. Вахитова, А. Р. Юмагузин // Журн. техн. физики. 2009. Т. 79, вып. 8. С. 50-55.

2. Белов, К. П. Ориентационные переходы в редкоземельных магнетиках / К. П. Белов, А. К. Звез-дин, А. М. Кадомцева, Р. З. Левитин. М. : Наука, 1979. 320 с.

3. Вахитов, Р. М. Об одном механизме зародышеобразования в кристаллах с комбинированной анизотропией / Р. М. Вахитов, А. Р. Юмагузин // Физика твёрдого тела. 2001. Т. 43, вып. 1. С. 65-71.

4. Власко-Власов, В. К. Диаграмма магнитных ориентационных фазовых переходов в монокристаллах гадолиниевого феррита-граната с внутренними напряжениями / В. К. Власко-Власов, М. В. Инденбом // Журн. эксперимент. и теорет. физики. 1984. Т. 86, № 3. С. 1084-1091.

5. Вахитов, Р. М. Магнитные фазовые диаграммы кубического ферромагнетика с наведённой одноосной анизотропией / Р. М. Вахитов // Физика металлов и материаловедения. 2000. Т. 89, вып. 6. С. 16-20.

6. Paul, D. J. General theory of the coercive force плёнках ферритов-гранатов в больших плоскост-

due to domain wall pinning / D. J. Paul // J. Appl. ных магнитных полях / М. В. Чёткин, Ю. Н. Кур-

Phys. 1982. Vol. 53, № 3. P. 1649-1654. батова, Т. Б. Шагаева // Физика твёрдого тела.

7. Чёткин, М. В. Динамика доменных границ в 2010. Т. 52, вып. 9. С. 1795-1797.

Приложение

Рассмотрим плотность энергии в виде

е = 9'2 + /0

где 8(4) — 5-функция Дирака.

Тогда уравнение Эйлера—Лагранжа (3) для (П1) примет вид

20' = /

Всюду, кроме 4 = 0, имеет место соотношение

20" = /0

Пусть среди решений (П3) имеется 0 = 0Q, отвечающее 180°ДГ, причём

0Q (^) + 0Q (Ч)=П .

Заметим, что 0 = 0О также является решением (П2) при условии

/1

Ищем решение для 0° ДГ на всей области в виде

Г0О ) ,

[п-0о

Интегрируя (П2) в окрестности 4 = 0, получаем

2

откуда

-49'

Полученные уравнения позволяют найти 40, что и решает задачу.

Осталось установить условия, при которых такая 0° ДГ оказывается более выгодной, чем соответствующая 180° ДГ.

Энергия 180° ДГ равна

E =JKo2+ /о (00)]d%+ / (П/2),

R

а энергия 0° ДГ

E, = 2 J[e02+ f (е0)] d 5+ f (e0 (5)).

5o

Поэтому 0° ДГ энергетически более выгодна при условии AE = Ex - E2 > 0, т. е.

AE = E-E2 =J[0'o2+ f0 (0О)] d 4 + f (n/2)-2j[0'o2+ f0 (0O)] d 4 +

R 4o

5o

+ f (e„ (4o )HK>2+ fo (0o)] d 5+ f (n/2)-f, (00 Ко ))> 0.

-5o

Это условие может быть проверено прямым вычислением.