Разрушение хрупких и вязких кристаллов при обобщенном напряженном состоянии. Силовые и деформационные критерии разрушения

УДК 539.3

Разрушение хрупких и вязких кристаллов при обобщенном напряженном состоянии. Силовые и деформационные критерии разрушения

В.М. Корнев

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

Изучаются рост и ветвление острых трещин в идеальных монокристаллах (I и II моды разрушения). Силовые критерии разрушения описывают обрыв межатомных связей в окрестности вершин трещин, а деформационные критерии разрушения — испускание дислокаций из вершин трещин. Для внутренних трещин получены простые соотношения, описывающие ветвление трещин, когда известны кривые теоретической прочности монокристалла типа Кулона-Мора. Установлено, что для идеальных монокристаллов выполняется принцип локальной симметрии в окрестности вершины трещины нормального отрыва. Когда имеются несимметричные возмущения атомной решетки в окрестности вершины трещины или когда ось симметрии монокристалла не совпадает с осью трещины, принцип локальной симметрии нарушается, в том числе и для трещин нормального отрыва.

Изучается развитие трещин при совместном действии нагрузок, соответствующих I и II модам разрушения. Получены соотношения, описывающие угол излома траектории трещины при произвольном обобщенном напряженном состоянии, когда известны кривые теоретической прочности монокристалла типа Кулона-Мора. Трещина развивается: 1) перпендикулярно направлению максимального растяжения при отсутствии сдвигающих напряжений в окрестности ее вершины (гипотеза Эрдогана-Си), когда материал разрушается хрупко; 2) вдоль направления максимального сдвига при отсутствии нормальных напряжений в окрестности ее вершины, когда материал разрушается вязко (имеет место испускание дислокации); 3) вдоль некоторого направления, соответствующего обобщенному напряженному состоянию, когда материал разрушается квазихрупко или квазивязко (имеет место либо обрыв межатомных связей, либо испускание дислокаций при обобщенном напряженном состоянии).

Ключевые слова: хрупкое разрушение, вязкое разрушение, критерии разрушения, ветвление и излом трещин, принцип локальной симметрии

Fracture of brittle and ductile crystals for the generalized stress state. Strength and strain criteria of fracture

V.M. Kornev

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

We study propagation and branching of sharp cracks in perfect single crystals (fracture modes I and II). Strength criteria of fracture describe interatomic bond rupture in the vicinity of crack tips while strain criteria characterize dislocation emission from crack tips. Given theoretical strength curves for a single crystal of Coulomb-Mohr type, we derive simple relations for the description of branching of internal cracks. It is revealed that perfect crystals meet the principle of local symmetry in the vicinity of the opening mode crack tip. At asymmetric disturbances of the atomic lattice in the vicinity of the crack tip or at noncoincident crystal symmetry and crack axes, the principle of local symmetry is violated including for opening mode cracks.

The paper studies crack propagation under combined loads corresponding to fracture modes I and II. Knowing theoretical strength curves of Coulomb-Mohr type we obtained relations for a kink angle of the crack path at an arbitrary generalized stress state. The crack propagates: 1) perpendicular to the maximum tension direction without shear stresses in the vicinity of the crack (Ergodan-Sih hypothesis) for the case of brittle fracture; 2) along the maximum shear direction without normal stresses in the vicinity of the tip for ductile fracture (dislocation emission); 3) along a certain direction corresponding to the generalized stress state for the case of quasi-brittle or quasi-ductile fracture (interatomic bond rupture or dislocation emission at the generalized stress state).

Keywords: brittle fracture, ductile fracture, fracture criteria, branching and kinking of cracks, principle of local symmetry

1. Введение

Вопросы устойчивого роста или ветвления острых трещин простейших типов при некотором нагружении тела с прямолинейной острой трещиной представляют

несомненный интерес. В окрестности вершин острых трещин простейших типов (нормального отрыва и поперечного сдвига) возникают сложные поля напряжений и деформаций. При определенных условиях острые

© Корнев В.М., 2008

трещины могут распространяться как прямолинейно, так и с изломом из-за больших напряжений и деформаций, и могут затупляться из-за больших деформаций и напряжений. Только прямолинейное распространение острых трещин можно отождествить с устойчивым распространением трещин.

Являются ли острые трещины нормального отрыва, поперечного сдвига устойчивыми в идеальной кристаллической решетке Браве из-за наличия сдвиговых и нормальных напряжений или сдвиговых и нормальных деформаций в окрестности вершины трещины? Как эта устойчивость связана с идеальной прочностью монокристалла на растяжение, поперечный сдвиг или предельной деформируемостью кристаллической решетки при поперечном сдвиге? Келли с соавторами [1] рассмотрели условия устойчивого распространения трещин нормального отрыва в форме силового критерия разрушения в виде (см. обзоры [2, 3]):

Т1шах /СТImax <Тг/

Здесь Т1 и ст1 — сдвиговые и растягивающие напряжения, возникающие в окрестности вершины трещины нормального отрыва, а т1шах и ст1шах — их максимальные значения; т( и ст( — теоретические (идеальные) прочности монокристалла на сдвиг и растяжение [4]. Качественные рассуждения в работе [1] сводились к следующему: межатомная связь в вершине острой трещины должна растягиваться почти до критического состояния, но тогда в окрестности вершины трещины эти растягивающие напряжения будут преобразовываться (возможно только частично) в высокие сдвиговые напряжения, а так как теоретическая прочность на растяжение ст( больше теоретической прочности на сдвиг т(, то возникает условие (1). Это условие — типичный силовой критерий разрушения.

Райс и Томсон [5] предложили другое условие устойчивости для трещины отрыва в виде приближенного соотношения, если пренебречь реальной геометрией атомной решетки (см. обзоры [2, 3]):

GЪ| у> 10.

Здесь G—модуль сдвига; Ь — модуль вектора Бюргерса дислокации; у — поверхностная энергия материала. Критерий разрушения (2) получен из классических представлений физики твердого тела: острая на атомном уровне трещина затупляется, когда из вершины трещины испускается дислокация. В отличие от силового критерия разрушения (1) критерий (2) — типичный деформационный критерий разрушения. Подчеркнем, что затупление трещин по этим критериям происходит в разных местах относительно вершины трещины. Если силовой критерий (1) реализуется в толще монокристалла, то деформационный критерий (2) имеет место, как правило, на берегах трещины. Возникновение дислокаций и устойчивость трещин обсуждаются в работе [6].

В работах [7, 8] приведено описание ветвления трещин отрыва, когда используются силовые и деформационные критерии разрушения. В работе [9] обсуждается излом траекторий трещин отрыва, когда вершина исходной трещины попадает на прямолинейную границу раздела двух монокристаллов. В упомянутых трех последних работах использовались нелокальные условия прочности и нелокальные критерии разрушения [10, 11].

Ниже обсуждаются устойчивость распространения, ветвление и излом траекторий прямолинейных острых трещин нормального отрыва и поперечного сдвига в кристаллической решетке Браве. Кроме того, исследуется вопрос излома траекторий прямолинейных острых трещин при обобщенном напряженном состоянии [12].

2. Поля напряжений и деформаций в окрестности вершин трещин

В изотропном материале рассматривается внутренняя плоская трещина с прямолинейным фронтом, которая является острой на атомном уровне. Внутренняя прямолинейная трещина моделируется двусторонним разрезом длиной 21. Пусть на бесконечности заданы: напряжения для трещин нормального отрыва, напряжения для трещин поперечного сдвига, напряже-

ния и для трещин при обобщенном напряженном состоянии. Будем рассматривать устойчивость роста острых трещин, подразумевая под этим проблему их ветвления.

На рис. 1 изображена сплошной линией правая вершина такой трещины, а штриховая линия — предполагаемое новое положение трещины при изломе и ветвлении, где точки О и 01 соответствуют исходному и новому положению вершин трещины при элементарном акте продвижения вершины трещины, ±0* — углы излома траектории трещины и ветвления для симметричного относительно исходной трещины кристалла (-п < 0* < п). Ниже это ограничение, требующее наличия определенной симметрии кристалла относительно трещины-разреза, будет снято. Расположение полярной системы координат Or0 и прямоугольной системы координат Oxy согласовано с правой вершиной трещины (рис. 1). Ось Oz направлена вдоль прямолинейного фронта трещины.

При 0* = 0 трещина распространяется устойчиво, оставаясь прямолинейной; при 0* ^ 0 она имеет излом или ветвится, меняя свое направление. При хрупком разрушении материала трещина отрыва распространяется прямолинейно, 0* = 0; при вязком разрушении материала из вершины трещины отрыва испускаются две дислокации, что приводит к весьма эффективному затуплению вершины трещины, так как 0* = ±п [1-3, 5, 7-9, 12]. Ниже будет показано, что возможно и квази-

Рис. 1. Ветвление трещины

хрупкое (0* ~±0) или квазивязкое (0* ~±п) поведение материала. Подчеркнем, что заранее никакие ограничения, кроме симметрии, на поведение системы не накладываются (в отличие от существующих подходов) [1, 2]. Поэтому, вообще говоря, возможны смешанные режимы разрушения, когда происходит множественное ветвление, например 021 Ф 022 Ф 023 (нижние индексы соответствуют номеру материала и типу нагружения). Множественное ветвление связано как со сложностью полей напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины, так и с прочностными характеристиками изотропного материала (монокристалла) при сложном напряженном состоянии [7-9].

При описании ветвления трещин необходима информация о поле напряжений в цилиндрической системе координат Ог 0 для силового критерия, а для деформационного критерия при описании испускания дислокаций из вершин трещин надо знать смещения берегов трещины в прямоугольной системе координат Оху в окрестности вершины трещины. Поля напряжений и смещения берегов трещины в окрестности правой вершины внутренних трещин двух типов можно записать в виде [13]:

ае (r, 6) =

Ki з 6 K ii , . 6

-----1—cos3-------.—11— 3 sm—cos

2 V2nr 2

Tr6 (r, 6) =

K ii

\l2nr

KI .6 26

sin—cos — + V2nr 2 2

2 6 + O(r0),

K

V2nr = а00л/П/,

1 - 3sin‘

6

cos -2 + O (r0),

K

2 v( x, 0) =K+1 Ky „ / K + 1

2u (x,0) = —— K T

т^л/П/,

+ O (| x\),

2n

x < 0,

G -Пп+ ^ Х 4 °' <5>

Здесь ст0 (г, 0) и тг0 (г, 0) — нормальные и сдвиговые напряжения; К1, Кп — коэффициенты интенсивности напряжений I и II мод разрушения соответственно; 2у(х, 0) — раскрытие берегов трещины I моды разруше-

ния; 2u (x,0) — смещение берегов трещины II моды разрушения; G—модуль сдвига; к = 3 - 4v для плоской деформации, к = (3 - v)/(1 + v) для плоского напряженного состояния, где v — коэффициент Пуассона. Для кристаллов целесообразно рассматривать плоскую деформацию. Поле напряжений (см. (3) и рис. 1) определено внутри монокристалла (ср. с (1)), а раскрытие или смещение берегов трещины (см. (4), (5) и рис. 1) определено на границе тела монокристалла (ср. с (2)).

Изучим хрупковязкий переход при разрушении монокристаллов для достаточно длинных трещин, точнее, для трещин длиной l > 10re, где re — постоянная атомной решетки. При таких ограничениях соотношения (3)-(5) можно упростить: в (3) опускаются члены порядка O (r0), а в (4), (5) — члены порядка 0(1 х|). Далее будет использоваться подход Нейбера-Новожилова для материалов со структурой, в качестве характерного линейного размера изотропного монокристалла выбирается постоянная атомной решетки re [10, 11]. Интервал осреднения при использовании этого подхода для идеального монокристалла равен re или 2re и совпадает с длиной отрезка OO1 на рис. 1.

3. Силовой критерий

3.1. Кривые теоретической прочности монокристалла

При постепенном возрастании напряжений ато или тто имеем пропорциональное нагружение при сложном напряженном состоянии в окрестности вершины трещины, возможны излом или ветвление трещин, а также испускание дислокаций из вершин трещин. Выбор системой того или иного пути продвижения вершины трещины связан с прочностными характеристиками материала.

На рис. 2 приведены на воображаемой плоскости а-т кривые теоретической прочности монокристалла типа Кулона-Мора для двух разных материалов и указан путь пропорционального нагружения [14]. На рисунке использованы следующие обозначения: а и т — нормальные и сдвигающие напряжения на рассматриваемой площадке при сложном напряженном состоянии, когда ось симметрии монокристалла совпадает с трещиной-разрезом; кривые 1 и 2 — кривые теоретической прочности симметричных относительно трещины двух разных монокристаллов, такие, что аt = аt1 = аt2 — теоретические (идеальные) прочности монокристаллов на растяжение, а Tt1 Фт t2 — теоретические (идеальные) прочности монокристаллов на сдвиг (если теоретические прочности материалов на растяжение совпадают, то теоретические прочности материалов на сдвиг существенно различаются, см. обзор [4]); цифрой 3 около стрелки показан пропорциональный путь нагружения. Путь нагружения 3 характеризуется соотношением а*3/т*3 = а23/т23 = С3 = const (обозначения а*, т* ис-

Рис. 2. Кривые теоретических прочностей типа Кулона-Мора двух материалов

пользуются для напряжений критических состояний с индексами, соответствующими номеру материала и типу нагружения); кроме постоянной С3 путь нагружения можно задать углом ф. Если а<а*, т< т*, то отсутствует разрушение материала; если а = а*, т = т*, то имеет место разрушение материала. Эта постоянная С3 или угол ф определяют тип нагружения, тип нагружения не зависит от прочностных характеристик материалов. Воображаемая плоскость а-т имеет разрез вдоль луча ф = ±п, поскольку при а < 0, т = 0 отсутствуют и раскрытие, и смещение берегов трещины. Таким образом, из рассмотрения исключается следующий случай нагружения: а < 0, т = 0.

Пусть ось симметрии монокристалла совпадает с трещиной-разрезом. Тогда предельная кривая прочности монокристалла типа Кулона-Мора на плоскости ат описывается функцией р(ф) = р(-ф) =/(ф) = (-ф), симметричной относительно оси а (см. рис. 2), что можно связать с принципом локальной симметрии Гольдштей-на-Салганика [15] при некотором типе нагружения. Теоретические прочности монокристалла на разрыв и сдвиг соответственно равны а 1 = /(0), т = f (±п/2). Пусть теперь функция /(ф) симметрична относительно оси т за исключением точки т = 0, тогда принцип локальной симметрии [15] при некотором типе нагружения может нарушаться из-за разреза вдоль луча ф = ±п на плоскости а-т.

3.2. Силовой критерий разрушения

Пусть монокристалл, содержащий трещину, симметричен относительно трещины и не имеет других дефектов, например вакансий. Рассмотрим силовой дискретно-интегральный критерий разрушения типа Нейбера-Новожилова подрастания трещин по выбранному направлению 0 (см. рис. 1 и [16, 17]):

(ае (0)) <а*, (тГ0 (0)) <т*,

1 пге

пге 0

1 пге

(Гг0 (0Л =— I тг0 (г, 0^г, п = 1, 2.

пге 0

Здесь ^а0 (0)), (тг0 (0)) — осредненные нормальные и сдвигающие напряжения на выбранном направлении 0 в идеальном монокристалле; пге — интервал осреднения. При ^а0 (0)) < а*, ^тг0 (0)) < т* трещина не продвигается. Когда осредненные напряжения ^а0 (0)), (тг0 (0)) совпадают с напряжениями критических состояний а*, т*, выполняется критерий (6) для критического угла 0*. На выбранном критическом направлении 0* (см. рис. 1) происходит: продвижение прямолинейной трещины на интервал осреднения, если 0* = 0; излом траектории трещины, если 0* Ф 0 (вершина трещины из точки O квазистатически перемещается в точку

Ol); ветвление внутренней трещины длиной 21, если 0* = |-0*| Ф 0 (вершина трещины из точки O квазистатически перемещается в точки Ох и симметричную ей). Когда происходит продвижение трещины при 0* = 0, критерий (6) применяется повторно к прямолинейной трещине длиной 2(1 + nre) для оценки возможности ветвления новой трещины. Когда имеет место ветвление при 0* Ф 0, необходимо уточнить напряженное и деформированное состояния для трещины со сложным изломом (см. [13, 18], а также библиографию к ним), а затем повторить процедуру оценки возможности ветвления трещины с изломами. Однако при 0* Ф 0 для трещины со сложным изломом поле напряжений в окрестности вершин существенно усложняется. Даже для исходной трещины нормального отрыва после ее ветвления кроме I моды появляется II мода деформирования в окрестности вершин отростков ветвления.

3.3. Трещина нормального отрыва

Оценим тип напряженного состояния в окрестности вершины трещины в зависимости от угла 0 (- п < 0 < п). На рис. 3 изображено распределение напряжений а0 , тг0 в соответствии с упрощенными формулами (3), когда члены О (г0) опущены. Все величины отнесены к КгД/2ПГ;, где г0 = const, т.е. а0=а0/(Кj/^TOq), тr0 = тг0/(Кj/.y/2nr0). Для некоторого угла 0 на физической плоскости Or0 выполняется соотношение

Тг0 (Г, 0)/а0 (г, 0) =

=

-п < 0 < п.

Легко выяснить, что имеют место три типа поля напряжений в окрестности вершины трещины: 1) на продолжении трещины 0 = 0 в окрестности ее вершины реализуется чистое растяжение: а0 > 0, тг0 = 0; 2) в малой окрестности берегов трещины при 0^±п в окрестности ее вершины реализуется преимущественно сдвиговой характер напряженного состояния; 3) при произвольных углах -п < 0 < п, 0 Ф 0, имеет место обобщенное напряженное состояние: а0 Ф 0, тг0 Ф 0.

Рассмотрим некоторый кристаллический материал, поля напряжений и деформаций которого после о сред-

GJ LT

у о.в\

04

-3^\ -2 -1 / 0 1 2 3 0

-0.4

Рис. 3. Распределение напряжений в окрестности вершины трещины

нения хорошо описываются уравнениями изотропной теории упругости (3)-(5). Напряжения критических состояний на воображаемой плоскости а-т определяются следующим образом (см. рис. 2):

а* = f

Сравнивая соотношения (7) и (8), получим для трещины нормального отрыва:

ф = 0/2, -п/2 <ф< П2.

Таким образом, очень легко перейти от типа нагружения в окрестности вершины трещины нормального отрыва на физической плоскости Ог0 к типу нагружения на воображаемой плоскости а-т: при ф = 0/ 2 = 0 реализуется чистое растяжение: а0 > 0, тг0 = 0; в малой окрестности берегов трещины при 2ф = 0 —— ±71 в окрестности ее вершины реализуется преимущественно сдвиговой характер напряженного состояния; при произвольных углах -п < 2ф = 0 < п, 0 Ф 0 имеет место обобщенное напряженное состояние: а0 Ф 0, тг0 Ф 0. Для трещины нормального отрыва напряженные состояния, реализуемые на плоскости а-т, занимают только первый и четвертый квадранты. Принцип локальной симметрии [15] выполняется, когда /(ф) = /(-ф).

3.4. Трещина поперечного сдвига

Оценим тип напряженного состояния в окрестности вершины трещины в зависимости от угла 0 (- П < 0 < п).

а 1 ^ X X 1.0 / / 0 5 У / \ т \ 2

V3 -2 /-1 0 \ 2

\ч У -0.5

-1.0

На рис. 4 изображено распределение напряжений а0, тг0 в соответствии с упрощенными формулами (3), когда члены O (г °) опущены. Все величины отнесены к KпД/2пг°, где г° = const, т.е. <%0=ст^(KпД/2пг°),

тг0 = тг0/(K11/yj2nr°). Для некоторого угла 0 на физической плоскости Or 0 выполняется соотношение

т,.0

о0 (г, 0) (ст0 (0)) 3sin(0/ 2)cos(0/ 2)’

-п < 0 < п.

Итак, на продолжении трещины 0 = 0 в окрестности ее вершины реализуется чистый сдвиг: а0 = °, тГ0Ф °; при

0 = -2 arcsin (А/э) в окрестности ее вершины реализуется чистое растяжение: а0 > °, тг0 = °; в малой окрестности берегов трещины при 0^±п в окрестности ее вершины реализуется преимущественно сдвиговой характер напряженного состояния; при произвольных углах -п < 0 < п, 0 Ф 0, 0Ф-2 arcsin(l/V3) имеет место обобщенное напряженное состояние. Из рассмотрения исключается угол 0 = -2 arcsin(l/V3 ), так как этому углу соответствует чистое сжатие на воображаемой плоскости а-т, т.е. а0 < °, тг0 = °.

Напряжения критических состояний определяются соотношением (8) на воображаемой плоскости а-т. Сравнивая соотношения (8) и (10), получим уравнение, связывающее углы ф и 0 для трещины поперечного сдвига:

1 - 3sin2

^ф =

-п < 0 < п.

Збш

Решение уравнения (11) очевидно, если принять во внимание, что угол ф меняется в пределах -тс/2 < <ф<3 П 2, фФп:

Збш2(0/ 2) -1

ф = arctg

ф = п + arctg

3sin( 0/ 2)cos(0/ 2) 3sin2(0/ 2) -1

, -п < 0 < п,

-п < 0 < п,

Рис. 4. Распределение напряжений в окрестности вершины трещины

’3эт(0/ 2) cos(0/ 2)’

0 Ф 2arcsm(l/'^/з).

Подставив конкретное значение угла 0 на физической плоскости Ог0 в решение (11), получим значение угла ф на воображаемой плоскости а-т для пропорционального пути нагружения (см. рис. 2). Решение (12) изображено на рис. 5. Отметим, что для второй моды разрушения на воображаемой плоскости а-т используются все четыре квадранта, из рассмотрения исключается угол ф = п, так как этому углу соответствует чистое сжатие на воображаемой плоскости а-т. Укажем углы 0 на физической плоскости Ог0, которые соответствуют квадрантам воображаемой плоскости а-т (см. рис. 2, 4, 5): первый квадрант плоскости а-т соответствует углам -2arcsin(l/^/3) <0<0; второй —

0 <0 < 2 штат(і/л/з); третий — 2 а^іп(і/л/з) <0 < п; четвертый — —п < 0 < -2 ак^іп(і/л/3).

Полученное решение (12) для трещины поперечного сдвига существенно отличается от соотношения (9) для трещины нормального отрыва. Из-за того что из рассмотрения исключены углы 0 = 2 а^т(іД/3 ) или ф = ±п, принцип локальной симметрии [15] нарушен даже тогда, когда f (ф) = f (—ф).

3.5. Излом и ветвление трещин (I и IIмоды разрушения), принцип локальной симметрии

Проводятся необходимые преобразования в соотношениях (6)-(9) для трещин нормального отрыва или в соотношениях (6), (8), (10), (12) для трещин поперечного сдвига, когда в равенствах (3) члены О (г 0 ) опущены. Заметим, что использование соотношений для нормальных или сдвигающих напряжений из (6) при пропорциональном нагружении (8) приводит к одинаковым результатам [16, 17]. Уравнения, описывающие ветвление внутренних трещин, для трещин нормального отрыва имеют вид:

21

а00 cos4

-п < 0 < п,

21 (ф) _ nf2 ф

2 4 5

а0 cos ф

п п

— <ф<—, 2 2

для трещин поперечного сдвига: nf 2

21 (0).

ге т! ^2(0/ 2) [1 + 3вт(0/ 2)]

-п < 0 < п, 0^2 агсБт^/'/З).

В соотношении (14) для аргумента функции f (ф) используется построенное решение (12).

Приведем качественные рассуждения, поясняющие функциональные зависимости (13), (14) для достаточно гладких функций f (ф) (разрывы первого рода отсутствуют). Обсуждение возникающих проблем при наличии разрывов первого рода можно найти в работе [9]. Напомним (см. рис. 2), что при ф = 0 имеет место чистое растяжение и /(0) = а 1 > 0, при ф = п/2 — чистый

4

3

2

-3 0 1 2 3 0

1

Рис. 5. Соответствие между углами на физической и воображаемой плоскостях

сдвиг и f (п/ 2) = тt > 0. Для трещин нормального отрыва и поперечного сдвига чистое растяжение реализуется на физической плоскости, когда 0 = 0 и -2 arcsrn(l/V3) соответственно. Для трещины нормального отрыва в малой окрестности ее берегов при 2ф = 0 —> ±п реализуется преимущественно сдвиговой характер напряженного состояния. Для трещины поперечного сдвига чистый сдвиг реализуется на физической плоскости, когда 0 = 0, кроме того, в малой окрестности ее берегов при 0 — ±71 реализуется преимущественно сдвиговой характер напряженного состояния.

Далее анализируются функциональные зависимости 21 = 21(0) соотношений (13), (14). Очевидно, что 1(0) >0 и l(0) — ^ при 0 — ±71, причем l'(0) > 0 при 0 — п и

l'(0) < 0 при 0 — -71. Воспользуемся результатами, приведенными в обзоре [4]. Относительные оценки теоретических прочностей на растяжение a t и сдвиг тt в двух предельных случаях таковы [4]: 1) для кристаллов, склонных к раскалыванию и имеющих хрупкое и квазихрупкое поведение, at > тt, но at ~ тt; 2) для кристаллов, слабо сопротивляющихся испусканию дислокаций и имеющих вязкое и квазивязкое поведение, at >> тt. Кривую теоретической прочности в первом случае целесообразно аппроксимировать окружностью, а во втором — эллипсом, фокусы которого расположены на горизонтальной оси. Сдвиг этих фокусов в отрицательном направлении оси a позволяет описать поведение материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению-сжатию, когда at+ Ф| at- |, точнее at+ <| at- | (нижние значки плюс и минус относятся соответственно к растяжению и сжатию). Кроме того, чтобы описать множественное ветвление (растрескивание), целесообразно рассмотреть в обоих случаях некоторое искажение изучаемых кривых f (ф) быстро осциллирующими добавками малой амплитуды на плоскости a-т. Эти искажения кривых f (ф) на плоскости a-т моделируют возмущения или неправильности кристаллической решетки.

Оценим число экстремумов функций 1(0) на интервале (-п, п) для I и II мод разрушения в этих двух случаях, когда одна из плоскостей симметрии кристалла совпадает с плоскостью трещины. Если функция f (ф) является гладкой функцией, то экстремумы для I и II мод разрушения определяются так:

l'

где 0* — некоторый критический угол.

Сначала рассмотрим I моду разрушения (Kl > 0, Kjj = 0). Для первого случая при f (ф) ^ const имеем минимум в точке ф =0 = 0, т.е. трещина распространяется прямолинейно. Для второго случая at >> тt может появиться такой угол ±0*, при котором l'(±0*) = 0. Объединяя оба случая, получим соотношения, позволяющие сделать заключение о продвижении вершины трещины:

/(0*) = /(0) < /(0), когда 0Ф 0, трещина распространяется прямолинейно,

/(0*) = /(-0*) < /(0), когда 0 Ф ±0* Ф 0, двукратное симметричное ветвление трещины,

/(±0*) = /(±02) =когда все углы 0*(/ = 1,2,...) различны, множественное симметричное ветвление трещины.

Различия в поведении материалов связаны с характеристиками прочности f (ф) этих материалов. Материалы относятся к хрупким, если 0* = 0, или к квазивязким, если 0*=±п/2. Материалы, для которых 0* = 0 и

02 - ±п/2 (/(±0*) = /(±02)), трудно классифицировать, но симметричность ветвления для таких материалов не нарушается. Для I моды выполняется принцип локальной симметрии [15], если f (ф) = f (-ф). Даже для материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию, а 1+ Ф| а 1 - |, принцип локальной симметрии [15] работает, если f (ф) = f (-ф), так как на воображаемой плоскости а—т используются только первый и четвертый квадранты.

Если функция f (ф) не является гладкой функцией [9], то по силовому критерию критические длины трещин для таких материалов определяются как

/ * = шт /

Очевиден переход от критических длин внутренних трещин /* к критическим коэффициентам интенсивности напряжений:

К ;=амЛ/Пг.

Экспериментальные результаты [19] не противоречат принципу локальной симметрии [15] и приведенным рассуждениям. Авторы [19] представили на рис. 7 микрофотографию вершины ветвящейся трещины при множественном растрескивании керамики. Такое множественное ветвление, вероятнее всего, связано с наличием повреждений в телах со структурой. Ветвление трещин нормального отрыва в телах со структурой обсуждается

в [8].

Напомним, что критерий (6) связан с потерей устойчивости кристаллической решетки. Полученные функциональные зависимости (13) критических длин трещин 2//ге от угла ветвления 0 или вида напряженного состояния ф представлены на рис. 6. На этом рисунке приведены четыре кривые, характеризующие ветвление трещин нормального отрыва в различных материалах при заданном уровне нагружения а! (-п < 0 = 2ф < п, п = 1): кривая 1 построена для материала, где f2 (0)а! -1; 2 — для материала, где f 2(0)/а! = = 0.28т2(0/ 2) + со82(0/ 2) + 0.1со8(50); 3 — для материала, где f 2(0)/а! = 1 + 0Л8ш(50); 4 — для материала, где ^(0)/а! = 0.28т2(0/2) + [со8(0/2)-0.25]2 + + O.1cos(50). Малые быстро осциллирующие слагаемые второй, третьей и четвертой функций f (0/ 2) характеризуют повреждения монокристалла.

Переходим ко II моде разрушения (Kт = 0, Кп Ф 0). Для первого предельного случая при /(ф) = const имеем минимум в окрестности точки 0* = -2arcsm(l/\/3). При продвижении трещины имеет место излом траектории распространения трещины: трещина распространяется по нормали к наибольшим растягивающим напряжениям при отсутствии касательных напряжений. Такое поведение хрупких материалов при продвижении трещин описано в [12]. Принцип локальной симметрии [15] нарушается, так как в окрестности точки 0 = = 2arcsin(l/V3) реализуется чистое сжатие, а потому отсутствует продвижение трещины для этого угла. Для

0* i

(i= 1, 2, ...), при которых выполняются соотношения (15) или (16). Объединяя оба случая, получим, что возможна реализация соотношений, позволяющих сделать заключение о продвижении вершины трещины:

l(0*) = l(0) < l(0), когда 0Ф 0, трещина распространяется прямолинейно,

l(0*) < l(0), когда 0* Ф 0, 0Ф0*, имеется излом траектории трещины,

l(0*) = l(02), когда 0*Ф02, двукратное ветвление трещины под произвольными углами,

l(0*) = l(02) = l(03) =..., когда все углы 0* (i = 1,

2,...) различны, множественное ветвление трещины под произвольными углами.

Для II моды принцип локальной симметрии [15] нарушен, даже если f (ф) = f (-ф).

Полученные функциональные зависимости (14) критических длин трещин 2l/re от угла ветвления 0 или вида напряженного состояния ф представлены на рис. 7. На рисунке приведены три кривые, характеризующие ветвление трещин поперечного сдвига в различных материалах при заданном уровне нагружения a2 (-п/ 2 <ф< 3п/ 2, n = 1): кривая 1 построена для материала, где f 2(ф)/т2 =0.9; 2 — для материала, где f2 (ф)/т2 = 0.2 sin2 ф + cos2 ф; 3 — для материала, где f 2(ф)/т2 = 0.2 sin2 ф + (cos ф - 0.25)2 + 0.1 cos(5ф).

Малое быстро осциллирующее слагаемое третьей функции /(ф) характеризует повреждение монокристалла.

При получении силового критерия разрушения (1) авторы [1] привели качественные рассуждения при обосновании перехода от поля напряжений в окрестности вершины трещины нормального отрыва к теоретической прочности материала как на растяжение, так и на сдвиг. Очевидно, что напряжения а0 и тг0 для трещины нормального отрыва достигают экстремума в разных точках. В предложенном силовом критерии (6) используется информация о кривой теоретической прочности материала/(ф) типа Кулона-Мора.

3.6. Излом траектории трещины при обобщенном напряженном состоянии

Рассмотрим продвижение плоских трещин при совместном действии I и II мод разрушения. Оценим тип напряженного состояния в окрестности вершины трещины в зависимости от угла 0 (-п < 0 < п), когда в соотношении (3) опущены члены порядка О (г0). Для некоторого угла 0 на физической плоскости Ог0 выполняется соотношение

V0

(г, 0) _(тг0 (0)) _

a0

_ K sin (0/2) cos (0/2) + Kjj [1 - 3 sin (0/2)]

Kj cos2 (0/2) - 3Kjj sin(0/2)cos(0/2) ’

-n < 0 < n

Очевидно, что тип напряженного состояния зависит от отношения Kj/Kjj или a./т., см. (3). Уравнение, связывающее углы ф и 0, имеет вид:

^ _ Kj sin (0/2) cos (012) + Kjj [1 - 3 sin (0/2)]

Kj cos2 (0/2) - 3Kjj sin (0/2) cos (0/2) ,

-n < 0 < n

Далее проводится анализ обобщенного напряженного состояния (Kj > 0, Kjj Ф 0) в окрестности вершины трещины, используя соотношение (18). Из рассмот-

^ф_-

11

1 1 2.0

1 \ 15

3si

\\ \ 10

/ 2/ /

У

\ \0 5

-3 -2 -1 0 1 2 3 0

рения исключаются такие углы 0, для которых реализуется чистое сжатие, т.е. а0(0) < 0, тг0(0) = 0.

Уравнение, описывающее ветвление внутренних трещин при обобщенном напряженном состоянии, имеет вид:

2/

nf 2^)cos2 ф [a. cos3 (0/2) -3X2 sin(0/2)cos2 (0/2)]'

При построении решений уравнения (19) используется соотношение (18). Для анализа полученных решений уравнения (19) применяем условия экстремума (15) или (16). Какие-либо ограничения на функцию/(ф) не налагаются. Анализируются оба предельных случая кривых разрушения, как для хрупких и квазихрупких материалов (а 1 > т 1, но а1 - т), так и для вязких и квазивязких материалов (а 1 >> т 1). Окончательно получим для обобщенного напряженного состояния (К1 > 0, К1Т Ф 0) соотношения, позволяющие сделать заключение о продвижении вершины трещины:

/(0*) = /(0) < /(0), когда 0Ф 0, трещина распространяется прямолинейно,

/(0*) < /(0), когда 0* Ф 0, 0Ф0*, имеется излом траектории трещины,

/(0*) = /(02), когда 0*Ф0*2, двукратное ветвление трещины под произвольными углами,

/(0*) = /(02) = /(03) =..., когда все углы 0* (‘= 1,

2....) различны, множественное ветвление трещины под произвольными углами.

Только в исключительном случае трещина распространяется прямолинейно для обобщенного напряженного состояния.

В отличие от силового критерия разрушения (1) (см. [1]) силовой критерий разрушения (6) позволяет анализировать излом и ветвление трещин при обобщенном напряженном состоянии. Только для хрупких материалов трещина распространяется по нормали к направлению максимальных растягивающих напряжений, когда отсутствуют сдвигающие напряжения в окрестности вершины трещины (гипотеза Эрдогана-Си [12]). Для обобщенного напряженного состояния (Кт > 0, К11 Ф 0) принцип локальной симметрии [15] нарушен, даже если / (ф)=/ (-ф).

4. Деформационный критерий разрушения

4.1. Критические смещения в обобщенных моделях дислокаций Френкеля-Конторовой и Пайерлса

В предыдущем разделе удалось реализовать идею авторов [1] по описанию ветвления трещин и излома траекторий трещин, основываясь на полях напряжений в окрестности вершин трещин в виде силового критерия. Теперь обратим внимание на идею Райса и Томсона [5] о связи деформационного критерия разрушения с испусканием дислокаций (2). Испускание дислокаций изучается для обобщенного напряженного состояния.

Рассмотрим обобщенные модели дислокаций Френ-келя-Конторовой [20] и Пайерлса [21]. Как и в классических моделях, рассматриваются два или более ряда атомов, один из крайних рядов закреплен, а другой крайний ряд может смещаться параллельно первому ряду атомов, но в отличие от классических моделей расстояние между рядами атомов определяется в том числе и нормальными напряжениями 2, действующими на площадках, параллельных рядам атомов. При обобщенном напряженном состоянии имеем 2Ф 0, причем возможно и 2> 0, и 2< 0 (для классических моделей

2 = 0).

Обобщенные модели и модель [21] характеризуются двумя геометрическими параметрами: критическим смещением Нг и расстоянием между двумя рядами атомов г *. Расстояние г * определяется как структурой монокристалла, так и нормальными напряжениями 2, оно чаще всего не совпадает с постоянной атомной решетки ге. При реализации критического смещения Нг рассматриваемые системы теряют устойчивость, так как на кривой сила-смещение /=/'(и) после точки и = Н1 имеется ниспадающий участок кривой. Величина критического смещения Нх зависит от действующих нормальных напряжений 2, т.е. Н { = Н 1(2). Очевидно, что критическое смещение Н{ стремится к нулю, когда растягивающие нормальные напряжения 2 стремятся к теоретической прочности а 1 монокристалла, т.е. Н1 ^ 0 при 2 ^ аг

В плотноупакованном слое атомов в работах [16, 22] были получены оценки критических смещений Н х = Н1(0) от 0.3ге до 0.4ге при 2 = 0; в классических моделях конкретные значения Н1 зависят только от потенциалов межатомного взаимодействия. Закритическое состояние систем после испускания двух дислокаций из вершин трещин нормального отрыва приведено на рис. 6 работы [7]: для докритического расположения атомов в узлах квадратной решетки и узлах плотноупакованного слоя атомов.

В обобщенных моделях конкретные значения Н = = Н (2) зависят от потенциалов межатомного взаимодействия и напряжений 2Ф 0. Для решения задачи о деформировании атомной решетки авторы работы [22, 23] использовали хорошо развитую технику решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов для плотноупакован-ного слоя атомов. Поскольку размер конечного элемента согласован с постоянной атомной решетки, решается задача механики деформируемого твердого тела со структурой, причем взаимодействие элементов структуры определяется действующими физическими потенциалами. Характер деформирования атомной решетки близок к характеру деформирования стержневой фермы: атомы решетки можно рассматривать как узлы фермы, а отрезки, соединяющие атомы, — как стержни с нели-

нейным поведением. От усилий / к напряжениям а перейдем, используя осреднение для гибридной модели в механике разрушения: а = //г^, где ге — характерный линейный размер (расстояние между атомами в положении равновесия). Тогда а 1 = /х/ге2, где / — максимум кривой сила-смещение для трехатомной ячейки. В численных расчетах для трехатомной ячейки было найдено значение а 1 = 3.621. Тогда, например, для значения 0.4а 1 по кривой деформирования можно найти соответствующее ему смещение Ли = 0.036. Увеличив (уменьшив) расстояние между слоями атомов на величину Ли в начальный момент, получим обобщенные модели, в которых слои атомов подвергнуты предварительному растяжению (сжатию). При моделировании краевой дислокации в условиях поперечного сдвига учет близкодействия явно недостаточен, поэтому принимались во внимание взаимодействия атомов с несколькими ближайшими соседями. Эти взаимодействия вычислялись как взаимодействия двух частиц, коллективными явлениями пренебрегали. На рис. 8 показаны зависимости сила-смещение / = /(и) в обобщенной модели Френкеля-Конторовой при сжатии атомной решетки на величину 2 = -0.4а1 (1), растяжении 2 = = 0.4а 1 (3), 2 = 0.8а1 (4) и 2 = 0.9а1 (5), где а 1— теоретическая прочность монокристалла при растяжении, которая определяется из решения задачи о деформировании и потере устойчивости трехатомной ячейки. Кривая 2 соответствует классической модели Френкеля-Конторовой. Все расчеты проводились при безразмерных значениях постоянных ге = 1, D = 1, а = 4 для потенциала Морзе в выражении центральных сил при взаимодействии двух частиц /(г) = 2Dа[e-а(г-ге) -

-е-2а (г-ге)].

В модели Пайерлса рассматривается взаимодействие трех рядов атомов в плоской плотноупакованной кристаллической решетке. В отличие от одномерной модели Френкеля-Конторовой модель Пайерлса является существенно двумерной. В обобщенной модели Пайерлса [23] атомная решетка кроме сдвига подвергается растяжению или сжатию в направлении, перпендику-

Рис. 8. Зависимости сила-смещение в обобщенной модели Френкеля-Конторовой

Таблица 1

a * ui fi* * U2 f2

-0.4a t 0.424 11.259 1.417 11.847

0 0.434 8.744 1.412 9.093

0.4at 0.443 6.790 1.411 6.857

0.8at 0.458 4.445 1.456 4.591

0.9at 0.478 3.590 1.479 3.798

Таблица 2

a u1 fi* u2 f2

-0.4a t 0.510 10.131 1.499 10.700

0 0.516 8.249 1.505 8.663

0.4at 0.522 6.710 1.515 7.036

0.8at 0.484 3.482 1.556 5.431

0.9at 0.445 2.297 1.616 4.862

лярном направлению распространения трещины. На рис. 9 показаны зависимости сила-смещение при сжатии атомной решетки на величину 2 = -0.4а1 (1), растяжении 2 = 0.4а1 (3), 2 = 0.8а1 (4) и 2 = 0.9а 1 (5). Кривая 2 соответствует классической модели Пайерлса. Первое принципиальное отличие модели Пайерлса от модели Френкеля-Конторовой заключается в появлении отрицательных значений силы движения дислокации, т.е. дислокационная структура сохраняется после снятия нагрузки. Второе отличие связано со смещением точек экстремумов кривых для предварительных растяжений, соответствующих 2 = 0.8а1 и 0.9аг Критические значения смещений и1 , и2 и соответствующие им максимумы нагрузки /1 , /2 для первых двух максимумов приведены в табл. 1 и 2 соответственно для обобщенных моделей Френкеля-Конторовой и Пайерлса. Критическое смещение Нх = Нх (2) отождествляется с критическим значением их , т.е. Н = НД2) = и1 .

При формулировке деформационного критерия используются представления (4) для раскрытия берегов трещины 2у(х, 0) и (5) для смещения берегов трещины 2и(х, 0). В соотношениях (4), (5) за точку отсчета выбирается вершина трещины (члены порядка О(х) в этих соотношениях опущены). Схема, поясняющая испускание дислокаций из вершины трещины по трем направлениям, приведена на рис. 10. На схеме имеет место рассогласование плоскости трещины с одной из осей симметрии кристалла. Два направления близки к нормалям к плоскости трещины, а третье направление совпадает с продолжением трещины. Пусть Р+, в- — углы между нормалью к плоскости трещины и плоскостями, по которым испускаются дислокации (ради простоты

примем, что | Р+ | _ | в- | _ в* << п/2); в0 — угол между плоскостью трещины и плоскостью, по которой испускается дислокация (в0 << п/ 2). При Р+ _в- _ 0 угол

0** _ ____

при испускании двух дислокаций равен ±П2: имеет место очень эффективное затупление трещины. При в0 _ 0 имеем устойчивый рост прямолинейной трещины за счет смещения берегов. Далее все рассуждения совпадают с рассуждениями работы [7].

4.2. Деформационные критерии разрушения

Раскрытие берегов трещины 2v(x, 0) оценивается на расстояниях х _ -г* cos Р+ или х _ -г* cos в- от ее вершины. Смещение берегов трещины 2u(x, 0) оценивается на расстоянии х _ -re cos в0 от ее вершины.

Для микроструктур предлагается использовать деформационные критерии разрушения, описывающие испускание дислокаций из вершины внутренней трещины:

2 v(-г * cos в* ,0) K j

г * cos в* . 2 ht

2п

cos в*

Kj _ a.Vn/,

2u (-^cos Рс,0) = K n = x00^/п,

П+1K Kecos ftp ^ ht

cos в0

где Н( — критическое смещение в атомной решетке при конкретной упаковке атомов такое, что при деформи-

Рис. 9. Зависимости сила-смещение в обобщенной модели Пайерлса

Рис. 10. Схема, поясняющая испускание дислокаций из вершины трещины по трем направлениям

ровании системы с учетом геометрической и физической нелинейности превышена теоретическая прочность на сдвиг Tt, когда по нормали к слоям атомов действуют напряжения 2.

При 2v(^ cos в*) < 2ht/cos в*, 2u(-recos в0,0) < < ht /cos в0 испускание дислокаций не происходит. Пусть выполнено ограничение (a9 (9)^ < a * (тг9(9)) <т* для силового критерия (6), тогда:

при выполнении деформационного критерия (20), когда 2'и(-г cos в*) < 2ht/cos в*, имеет место весьма эффективное затупление трещины из-за испускания двух дислокаций;

при выполнении деформационного критерия (21), когда 2u(-recosв0,0) < ht/cosв0, имеет место почти прямолинейное продвижение трещины за счет испускания дислокации.

Из деформационных критериев разрушения (20), (21) для критических коэффициентов интенсивности напряжений K**, K** и критических длин трещин /** /** получаются простые соотношения:

2ht G

K j _

cos в* П +1V г * cos в* ’

-гг** j** _ Kj a^ lj _

KII_

jj cos в0 П + 1V ге cos в0*

2n

1** _ Kjj T<*> hi _ •

Трудно классифицировать материал при множественном растрескивании, когда одновременно выполняются силовой (6) и деформационные критерии (20), (21).

Итак, реализована идея Райса и Томсона [5] о связи деформационного критерия с испусканием дислокаций (2).

Предлагаемые деформационные критерии (20), (21) и их следствия (22), (23) позволяют описать потерю устойчивости атомной решетки в окрестности вершины трещины при испускании дислокаций. Эти критерии (20), (21) принимают во внимание реальную геометрию атомной решетки. Введенный параметр критического смещения в атомной решетке \ = Н( (2) по физическому смыслу аналогичен энергетическому параметру, характеризующему потерю устойчивости атомной решетки [24]. Предлагаемый критерий, вероятно, проще, чем критерий из [24]; частично это связано с тем, что в критериях (20), (21) используются критические смещения Н обобщенных моделей дислокаций.

5. О распространении трещин

Сравнивая критические длины трещин Г, полученные по силовому критерию (6), с критическими длина-

£ , /[[, полученными по деформационным критериям (20), (21), устанавливаем, какой из этих критериев реализуется при ветвлении трещин или изломе траекторий трещин:

если /* < /**, /* < /**, то происходит ветвление или излом траекторий трещин по силовому критерию разрушения (6) без испускания дислокаций;

если /* > /**, /** < /**, то происходит испускание дислокаций по деформационному критерию разрушения (20) приблизительно по нормали к плоскости трещины;

если /* > /**, /** > /**, то происходит испускание дислокаций по деформационному критерию разрушения (21) приблизительно вдоль плоскости трещины;

если /* = /** или /* = /**, то имеет место как ветвление трещины по силовому критерию разрушения (6), так и испускание дислокаций по одному из деформационных критериев разрушения (20) или (21).

Как силовой (6), так и деформационные (20), (21) критерии разрушения желательно рассматривать с учетом возмущений кристаллической решетки монокристалла. Принципиальная возможность уточнения упомянутых критериев имеется, поскольку:

а) в силовом критерии (6) можно принять во внимание, что число действующих связей к меньше числа возможных связей на интервале осреднения пге в кристалле с вакансиями, т.е. к < п (для идеального монокристалла к = п),

б) в деформационных критериях (20), (21) для обобщенных моделей дислокаций Френкеля-Конторовой и Пайерлса можно рассматривать не идеальный монокристалл, а кристалл при наличии дефектов типа вакансий, дислокаций или примесных атомов, что существенно повлияет на величину критического смещения при наличии дефектов Н((2), причем, как правило, имеет место соотношение Н((2) < Н((2).

Подчеркнем, если монокристалл кроме трещины имеет дефекты типа вакансий, дислокаций или примесных атомов, которые расположены произвольно относительно вершины трещины, то принцип локальной симметрии [15], как правило, не работает даже для трещин нормального отрыва.

6. Обсуждение

Изучены рост, излом траекторий и ветвление острых трещин в идеальных монокристаллах. Построены для упомянутых кристаллов силовой и деформационные критерии разрушения. Указаны пути модификации предлагаемых критериев разрушения для кристаллов с дефектами. При последовательном догружении тела с трещиной реализуются такие поля напряжений и деформаций, при которых выполняются либо силовой, либо деформационные критерии разрушения (возможно и одновременное выполнение этих критериев). При выполнении какого-либо критерия разрушения в окрест-

ности вершины трещины атомная решетка материала в окрестности вершины трещины теряет устойчивость. Имеет место конкуренция хрупкого и квазихрупкого поведения материалов с квазивязким и вязким поведением, что, вообще говоря, определяется отношением a J т t. Последнее отношение в реальных конструкционных материалах можно изменять, используя приемы металлофизики. Принцип локальной симметрии выполняется для симметричных систем и нарушается для систем с отсутствием симметрии.

В окрестности вершины трещины атомная решетка при деформировании может иметь кратные критические нагрузки, которым соответствуют разные собственные состояния. При кратных собственных состояниях имеет место множественное растрескивание материала. Для некоторых кристаллических решеток существует сгущение критических нагрузок собственных состояний в окрестности наименьшей критической нагрузки. Когда действуют возмущения, при кратных критических нагрузках и при их сгущении наблюдаются большие разбросы при натурных экспериментах и возникают определенные трудности при описании закритического поведения систем в численном эксперименте.

Атомистика разрушения обсуждалась в обзорах [2527]. Подчеркнем, что первый из обзоров посвящен численному эксперименту в микромеханике при наличии дефектов. Иногда при численных расчетах нарушается принцип локальной симметрии в симметричных системах из-за округлений при вычислениях. Второй обзор в основном посвящен хрупкому разрушению.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 07-01-00163) и интеграционных проектов РАН № 16.3, 4.12.3.

Литература

1. Kelly A., Tyson W.R., Cottrell A.H. Ductile and brittle crystals // Philos.

Mag. - 1967. - V. 15. - P. 567-586.

2. Thomson R. Physics of Fracture // Atomistics of Fracture / Ed. by R. Latanision, J.R. Pickens. - New York: Plenum Press, 1983. - P. 167204.

3. Knott J.F. Mechanics of Fracture // Atomistics of Fracture / Ed. by R. Latanision, J.R. Pickens. - New York: Plenum Press, 1983. - P. 209235.

4. Macmillan N.H. The Ideal Strength of Solids // Atomistics of Fracture / Ed. by R. Latanision, J.R. Pickens. - New York: Plenum Press, 1983. -P. 95-164.

5. Rice J., Thomson R. Ductile versus brittle behaviour of crystals // Philos.

Mag. - 1974. - V. 29. - P. 73-97.

6. Zhou S.J., Carlsson A.E., Thomson R. Dislocation nucleation and crack

stability: Lattice Green’s-function treatment of crack in a model hexagonal lattice // Phys. Rev. B. - 1974. - V. 47(13). - P. 7710-7719.

7. Корнев В.М. Разрушение хрупких и вязких кристаллов. Силовой и деформационный критерии // ПММ. - 2003. - Т. 67. - Вып. 6. -С. 901-910.

8. Kornev V.M. Rupture crack branching in solids with structural hierarchy

// Int. J. Fract. - 2004. - V. 128. - P. 205-214.

9. Корнев В.М. Ветвление и излом траекторий трещин отрыва в поликристаллах // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - N° 5. - С. 37-46.

10. Mikhailov S.E. A functional approach to non-local strength conditions and fracture criteria. I. Body and point fracture // Eng. Fract. Mech. -1995. - V. 52. - No. 4. - P. 731-743.

11. Mikhailov S.E. A functional approach to non-local strength conditions and fracture criteria. II. Discrete fracture // Eng. Fract. Mech. - 1995. -V. 52. - No. 4. - P. 745-754.

12. Erdogan F., Sih G.C. On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear // Trans. of the ASME, S.D. - 1963. -V. 85. - No. 4. - P. 519-525.

13. СаврукМ.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. - Киев: Наук. думка, 1988. - C. 15-17.

14. Paul B. Macroscopic criteria for plastic flow and brittle fracture // Fracture. An Avanced Treatise. Vol. II. Mathematical Fundamentals / Ed. by H. Liebowitz. - New York-London: Academic Press, 1968. -P. 313^96.

15. Goldstein R.V., SalganikR.L. Brittle fracture of solids with arbitrary crack // Int. J. Fract. - 1974. - V. 10. - P. 507-523.

16. Kornev V.M., Kurguzov V.D. A discrete-integral strength criterion for complicated stress states // Fatig. Fract. Engin. Mater. Struct. - 1999. -V. 22. - No. 11. - P. 989-995.

17. Корнев В.М., Кургузов ВД. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния // Изв. АН. МТТ. - 2000. - № 6. - С. 99-106.

18. Аргатов И.И., Назаров С.А. Высвобождение энергии при изломе трещины в плоском анизотропном теле // ПММ. - 2002. - Т. 66. -Вып. 3. - С. 502-514.

19. Rauchs G., Munz D., Fett T. Calculation of Crack Tip Phase Transformation Zones in TZP with the Weight Function Method // Fract. Mech. Ceramics. Vol. 13. Crack-Microstructure Interaction, R-Curve Behavior, Environmental Effects in Fracture, and Standardization / Ed. by R.C. Bradt et al. - New York-Boston-Dordrecht-London-Moscow: Kluwer Academic/Plenum Publishers, 2002. - P. 1-8.

20. Конторова Т.А., Френкель Я.И. К теории пластической деформации и двойникования. II // ЖЭТФ. - 1938.- Т. 8. - № 12. - С. 1340-1348.

21. Peierls R. The size of a dislocation // Proc. Phys. Soc. - 1940. -V. 52. - No. 1. - P. 34-37.

22. Корнев В.М., Кургузов ВД. Моделирование краевой дислокации и оценка ядра дислокации для плотноупакованного слоя атомов // ПМТФ. - 2000. - № 5. - С. 211-216.

23. Корнев В.М., Кургузов ВД. Моделирование краевой дислокации при обобщенном напряженном состоянии // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. - Новосибирск: Параллель, 2005. - С. 144-150.

24. Rice J.R. Dislocation nucleation from a crack tip: An analysis based on the Peierls concept // J. Mech. Phys. Solids. - 1992. - V. 40. -No. 2. - P. 239-271.

25. Ortiz M., Phillips R. Nanomechanics of Defects in Solids // Advances in Applied Mechanics. V. 36 / Ed. by E. van der Giessen, T.Y. Wu. -New York: Academic Press, 1999. - P. 1-79.

26. Gumbsch P. An atomistic study of brittle fracture: Toward explicit failure criteria from atomistic modeling // J. Mater. Res. - 1995. -V. 10. - No. 11. - P. 2897-2907.

27. Gumbsch P., Cannon R.M. Atomistic aspects of brittle fracture // Materials Research Society. Bulletin. - 2000. - P. 15-20.

Поступила в редакцию 08.10.2007 г.

Сведения об авторе

Корнев Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, kornev@hydro.nsc.ru