Точность комплекса Герстена для алгебр Адзумая в равнохарактеристическом случае

УДК 517.95

ТОЧНОСТЬ КОМПЛЕКСА ГЕРСТЕНА ДЛЯ АЛГЕБР АДЗУМАЯ В РАВНОХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОМ

СЛУЧАЕ

© 2014 А.А. Мингазов1

Одной из хорошо известных задач в алгебраической ^-теории является гипотеза Герстена. В статье доказывается вариант гипотезы Герстена для алгебр Адзумая в равнохарактеристическом случае. Геометрический случай этого утверждения доказан в статье И. Панина и А. Суслина.

Ключевые слова: K-теория, гипотеза Герстена, равнохарактеристическое кольцо, алгебра Адзумая.

Введение

Гипотеза Герстена в классической формулировке утверждает, что для любого регулярного локального кольца R имеет место точная последовательность

0 ^ KP(R) ^ Kp(K) ^ 0 Kp-1(k(p)) ^ 0 Kp-2(k(q)) ^ ....

ht(p) = 1 ht(q) = 2

Определение комплекса Герстена и доказательство гипотезы Герстена для локального кольца неособой точки многообразия над полем можно найти в статье Квил-лена [8], и для равнохарактеристического кольца в статье Панина [4] (напомним, что локальное кольцо называется равнохарактеристическим, если оно нетерово и характеристика его поля вычетов совпадает с характеристикой его поля частных). В статье [1] был выдвинут и доказан некоторый аналог гипотезы Герстена, а именно для локального кольца O гладкой точки многообразия над полем k и центральной простой алгебры D над полем k утверждалась точность последовательности

0 ^ Kn(D O) ^ Kn(D  K) ^ 0 Kn-i(D  k(p)) ^ ...

k k ^^ k ht(p) = 1

В статье [11] было доказано более общее утверждение, а именно точность последовательности

0 ^ Kn(D) ^ Kn(D  K) ^ 0 Kn-i (D  k(p)) ^ ... , о у? о

ht(p)=1

где O — полулокальное кольцо, а D — алгебра Адзумая над O (про алгебры Адзумая можно прочитать в [10]). В данной работе мы доказываем гипотезу Герстена

1 Мингазов Альберт Айдарович (mingazov88@gmail.com), лаборатория алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова, 191023, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27.

для случая произвольной алгебры Адзумая над регулярным равнохарактеристиче-ским кольцом. Мы используем методы статьи [4], в которой данное утверждение было высказано в качестве гипотезы.

Основной результат. Пусть R — равнохарактеристическое регулярное кольцо, A — алгебра Адзумая над R. Тогда комплекс Герстена

0 ^ Kn(A K) ^ 0 Kn--i(A k(p)) ^ ...

O ht(p)=1 O

точен во всех членах кроме нулевого, а нулевые когомологии равны Kn(A).

1. Некоторые обозначения

Пусть А — алгебра Адзумая над Я, с помощью обратного образа ее можно рассматривать как пучок на категории Я-схем, будем обозначать его А- Обозначим КА — пучок, ассоциированный с предпучком, ставящим в соответствие открытому аффинному и = Брвс(Б) группу К*(А(и)) = К*(А Б)-

К

Будем обозначать дА(Х) — комплекс Герстена для алгебры Адзумая А на схеме X - Пучковую версию комплекса Герстена для алгебры Адзумая А на схеме X будем обозначать д^(Х). Если применить к пучковому комплексу функтор

глобальных сечений, получим обычный комплекс Герстена, то есть Г(Х,дА(Х)) =

= дА(х)- =

2. Теорема Попеску и спуск алгебры Адзумая

Теорема 2.1 (Попеску). Пусть R — регулярное равнохарактеристическое локальное кольцо. Тогда существует совершенное поле к, содержащееся в R, и для каждого такого поля к кольцо R представимо в виде индуктивного предела R = = lim Ra, где Ra — гладкие конечнопорожденные к-алгебры.

Доказательство. Доказано в [5; 6; 7].

Пусть R = lim Sa — представление равнохарактеристического кольца в виде

индуктивного предела конечнопорожденных гладких к-алгебр, фaß: Sa ^ Sß — связывающие гомоморфизмы, фа: Sa ^ R — проекции в предел.

Замечание 1. Из определения индуктивного предела для любого ао предел lim Sa тоже равен R.

а^ао

Замечание 2. Обозначим максимальный идеал в R через m, и ра = (фа)-1 (m). Несложно проверить, что R = lim S^, то есть мы представили кольцо R в виде

предела локальных колец гладких многообразий, причем связующие гомоморфизмы локальны. Теперь всюду далее мы будем считать, что кольца Sa и гомоморфизмы фа локальны.

Замечание 3. Пусть f G R — локальный параметр, то есть f G тд, но f ф тД. Тогда можно выбрать индекс а так, что:

а) для любого ß ^ а у f существует прообраз fß, то есть элемент Sß такой,

что фß (fß) = f, фßY (fß) = fY;

б) каждое fß является локальным параметром в Sß.

Все сказанное можно переформулировать на языке аффинных схем, а именно мы имеем проективный предел X = limXa, где X = Spec(R), Xa = Spec(Sа) —

локальные схемы и связующие морфизмы Xa ^ Xß переводят замкнутые точки в замкнутые. Кроме того, выбрав локальные параметры fa £ Sa такие, что фаЦа) = f, получаем предел Xf = limXaja.

Для осуществления предельного перехода нам понадобится лемма.

Лемма 2.2 (о спуске алгебры Адзумая). Пусть А — это алгебра Адзумая над равнохарактеристическим кольцом R. Представим R как индуктивный предел локальных колец гладких многообразий R = lim Sa. Тогда существуют индекс а

и алгебра Адзумая Аа такие, что A = Аа  R.

Sa

Доказательство. Пусть ei,e2,...,en — система образующих алгебры А над кольцом R, а соотношения имеют вид

еге3 ^ ^ aijек 1 к=1

где ак € Я. Пусть индекс а такой, что все они имеют некоторый прообраз при гомоморфизме фа: Ба ^ Я (поскольку набор {ак} конечен, такой всегда можно выбрать). Тогда можем спустить алгебру А до $а-алгебры Аа с образующими в1,в2,...,еп и соотношениями

ег^ ^ ^ аkj ек1 к=1

где а^ таковы, что ) = а-. При этом, если для некоторого индекса а та-

кой спуск возможен, то то же верно и для любого в ^ а, причем Ав = Аа  $в.

Ба

Поскольку из теоремы Попеску следует, что Я = Иш Бв, можем считать, что алгебру А можно спустить на любой уровень. Нам достаточно доказать (по теореме ¡У.2.1 из [10]), что существует а такое, что отображение /а: Аа  Аа ^ ЕиЗ^* Аа

является изоморфизмом. Рассмотрим коммутативную диаграмму с точными строками:

- Kerfа

А  Aap -

-Ends* Аа

0-

-0-

- EnduA

->AAop-:

R

из которой заключаем, что lim Kerfa = 0. Из-за конечной порожденности

существует номер ß такой, что KerfY нулевое для любого y ^ ß, а потому fY инъективны для y ^ ß. Аналогичные рассуждения проводим для коядра и выбираем индекс, больший обоих.

0

3. Доказательство точности комплекса Герстена в равнохарактеристическом случае

Мы приведем доказательство, опустив технические подробности, поскольку доказательство с учетом леммы о спуске совершенно аналогично доказательству гипотезы Герстена для равнохарактеристического кольца [4].

Лемма 3.1. Пусть X = Spec(R), где R — регулярное локальное кольцо, A — алгебра Адзумая над R, f G R —локальный параметр, то есть f G m, но f G m2, а Z = V(f). Тогда имеет место расщепимая точная последовательность комплексов Герстена

0 ^ gti(Z)[—1] ^ gA(X) ^ gA(Xf) ^ 0, где [—1] означает сдвиг градуировки на единицу так, что для комплекса V* верно V [—1]¿ = V-i.

Доказательство. Утверждение сразу получается после выписывания соответствующих комплексов.

Лемма 3.2. Пусть S — локальное кольцо точки гладкого многообразия, A — алгебра Адзумая над S. Тогда имеет место точная последовательность

0 ^ K*(A) ^ K*(Af) ^ K*-i(A S/fS) ^ 0.

Доказательство. Пусть E — поле частных S. Из геометрического случая гипотезы Герстена для алгебр Адзумая в частности следует, что для локального кольца S гладкого многообразия K* (A) ^ K*(A<ÍS E). Значит, K*(A) ^ K*(Af).

Из-за этого точная последовательность локализации (о последовательности локализации для алгебраической К-теории можно прочитать в [8] или [9]) A по f расщепляется на точные тройки нужного нам вида.

Лемма 3.3. Пусть S — конечно порожденное регулярное локальное кольцо, A — алгебра Адзумая над S, X = Spec(S), f G S — локальный параметр. Тогда

1) HpZar(Xf,KA) = 0 для p Z 1,

2) отображение пучковизации can: KA(Af) ^ K^(Xf) — изоморфизм.

Доказательство. В [11] доказано, что для любого локального кольца S геометрического типа и любой алгебры Адзумая B над S комплекс Герстена является резольвентой K*(B). Тогда, рассматривая пучок алгебр Адзумая A на категории S-схем, получаем, что пучковый комплекс Герстена является резольвентой пучка KA. В частности, комплекс gA(Xf) вычисляет когомологии HlZar (Xf, KA). Запишем для кольца S и локального параметра f точную тройку комплексов из предыдущей леммы. Переходя к длинной точной последовательности когомологий, сразу получаем первое утверждение леммы для p Z 1, поскольку в силу справедливости гипотезы Герстена для алгебры Адзумая старшие когомологии комплексов gA(X) и gAi(Z) равны нулю. Кроме того, получим точную последовательность вида

0 ^ K*(A) ^ KA(Xf) ^ K*-i(AS/fS) ^ 0.

— S

Второе утверждение леммы доказывается сравнением этой последовательности и последовательности из леммы 3.2. Это подробно сделано в [4] для классического случая, наш случай получается заменой в доказательстве К-теории схем на К-теорию алгебр Адзумая над ними.

В статье [4], методами которой мы пользуемся, далее с помощью теоремы Гро-тендика о предельном переходе доказывается аналог предыдущей леммы. В нашем случае здесь возникает некоторая сложность. Когда мы представим наше кольцо в виде R = limSa и рассмотрим алгебру A над Sa, то она, вообще говоря, не будет алгеброй Адзумая над Sa. Мы обойдем эту проблему следующим образом. Сначала спустим алгебру A до конечного уровня, то есть найдем индекс а и алгебру Адзумая Aa над Sa такие, что A = A а 
 R. Это можно сделать благодаря

Sa

лемме о спуске алгебры Адзумая. Всюду далее мы будем рассматривать схемы над кольцом Sa, где индекс а удовлетворяет условию предыдущей леммы. Алгебру Адзумая Aa мы можем поднять на любую Sa-схему. Алгебру Aa <g> Sß по

Sa

прежнему будем обозначать Aß. Рассмотрим пучок на категории схем, ставящий в соответствие аффинной схеме U = Spec(B) группу K*(Aa B) = K*(Aa(U)). Его

мы тоже будем обозначать KA, поскольку, ограничив его на категорию R-схем, получим как раз пучок, рассматривавшийся ранее.

Сформулируем нужную нам версию теоремы Гротендика.

Теорема 3.4 (Гротендика о предельном переходе). Пусть A — кольцо и Sch/A — категория нетеровых схем над A. Пусть F — это предпучок абеле-вых групп на Sch/A, перестановочный с проективными пределами нетеровых аффинных схем, то есть каноническое отображение limF(Sa) ^ F(limSa) является изоморфизмом для каждой индуктивной системы нетеровых A-алгебр с пределом S = lim Sa. Пусть F — пучок на сайте Зарисского, ассоциированный с

F. Тогда для любого индуктивного предела нетеровых A-алгебр Rß с нетеро-вым пределом R = lim Rß и любого целого p ^ 0 каноническое отображение

limHpZar(Spec(Sß),F) ^ HpZar(Spec(S),F) есть изоморфизм.

Доказательство. Можно найти в [3]. Набросок доказательства есть также в [4].

Лемма 3.5. Пусть R — регулярное локальное равнохарактеристическое кольцо, A — алгебра Адзумая над R, X = Spec(R), f — локальный параметр. Тогда каноническое отображение

can: K*

является изоморфизмом, то есть H0(Xf,Kt)= K*(Af).

Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму

lim KMß,fß)-- lim KA

ß^a ß^a —

КА)-^^ К АХ)

Левая вертикальная стрелка является изоморфизмом, поскольку тензорное произведение и К-функторы перестановочны с индуктивными пределами. Правая вертикальная стрелка является изоморфизмом в силу теоремы Гротендика о предельном переходе (используется частный случай, а именно перестановочность с пределом Н0). Верхняя стрелка — изоморфизм, поскольку имеем изоморфизм для каждого в.

Лемма 3.6. Пусть R — равнохарактеристическое регулярное локальное кольцо, A — алгебра Адзумая над R, f G R — локальный параметр. Тогда

Щаг (Xf ,к A) = 0

для любого p ^ 1.

Доказательство. Из теоремы Гротендика и замечаний после теоремы Попес-ку имеем

Hp(Xf ,KA)=lim Hp(XßJß,KA).

ß^a

Группы Hv(Xßjß, KA) равны нулю при p > 0 по лемме 3.3. Значит, правая часть равенства зануляется для p > 0.

Лемма 3.7. Пусть R — равнохарактеристическое регулярное кольцо, A — алгебра Адзумая над R. Тогда имеет место точная последовательность

0 ^ K*(A) ^ K*(Af) ^ K*-i(A R/fR) ^ 0.

R

Доказательство. Это утверждение будет следовать из последовательности локализации, если мы докажем, что K*(A) ^ K*(Af) инъективно. Для этого рассмотрим диаграмму:

lim K*

ß^a ß^a

К,

Вертикальные стрелки являются изоморфизмами, поскольку К-группы коммутируют с индуктивными пределами. Верхняя строчка является инъекцией, поскольку Ар — алгебры Адзумая над конечнопорожденными локальными кольцами, а значит, для них верна гипотеза Герстена, из которой следует инъективность К,(Ар) ^ К,(Ар^в).

Теорема 3.8. Пусть К — равнохарактеристическое регулярное локальное кольцо, А — алгебра Адзумая над К, X = Брее(К). Тогда комплекс Герстена для алгебры А

0 ^ К,(А к(Х)) ^ 0 К,--у(А к(р)) ^ 0 К—А к(я)) ^ ...

Я М( р) = 1 Я М(ц)=2 Я

является резольвентой К, (А) .

Доказательство. Доказательство проводится по индукции по круллевской размерности с! кольца К.

1. База индукции. Пусть ё1т(К) = 1, / € К — локальный параметр. В этом случае К = Кf — поле частных. Предыдущая лемма в этом случае утверждает ровно то, что мы хотим доказать.

2. Переход индукции. Пусть ё1т(К) ^ 2, и теорема выполняется для любого регулярного равнохарактеристического кольца размерности меньше, чем !.

Пусть, как обычно, / € т — локальный параметр, Z = V(/) — множество нулей, ёт^) = с! — 1. Размерность ) меньше !, поскольку любая цепочка

неприводимых подмногообразий X наибольшей длины заканчивалась точкой, соответствующей максимальному идеалу т, который не принадлежит X^. Лемма 3.1 дает нам точную последовательность

0 ^ д—^)[—1] ^ яА(Х) ^ дА(Х}) ^ 0.

Комплекс gA_ i(Z ) является резольвентой группы K (A( R/fR). Отсюда

R

H p(g*—i (Z )[—1]) =0 для p > 2 и H1 (gA-i(Z )[— 1]) = K*-i(A( R/fR). Так как

R

dim(Xf) < d, для всех локальных колец схемы Xf гипотеза Герстена верна. Значит, комплекс пучков gA(Xf) является резольвентой пучка KA. Комплекс

gA(Xf ) состоит из вялых пучков, а комплекс его глобальных сечений — это ~gA(Xf), потому заключаем Hp(gA(Xf)) = Hp(Xf,К£).

Из лемм 3.5 и 3.6 мы знаем, что когомологии пучка KA на Xf таковы: Hp(gA(Xf )) = 0 для p > 1 и H0(gA(Xf )) = K* (Xf ). Рассматривая длинную точную последовательность когомологий, получаем, что Hp(gA(X)) = 0 для всех p ^ 2, а группы H0(gA(X)) и H 1(gA(X)) связаны точной последовательностью

0 ^ H0(gA(X)) ^ KA(Xf ) ^ K*-i(A( R/fR) ^ H 1(gf(X)) ^ 0.

R

Равенства H0(gA(X)) = K*(A), H 1(gA(X)) =0 получаются сравнением этой точной последовательности с последовательностью 3.7. Это доказывает теорему.

Литература

[1] Colliot-Thélène J.-L., Ojanguren M. Espaces principaux homogènes localement triviaux // Inst. Hautes Etudes Sci.Publ.Math. 1992. № 75. P. 97-122.

[2] Grayson D. Higher algebraic K-theory. II (after D. Quillen), Algebraic K-Theore (Proc.Conf., Northwestern Univ., Evanston, IL, 1976) // Lecture Notes in Math. V. 551. Springer-verlag. № 176. P. 217-240.

[3] Grothendieck A., Artin M., Verdie J.-L. Theorie des topos et cohomologie etale des schemas. Berlin: Springer, 1972. (Lect. Notes Math.; V. 270).

[4] Panin I.A. The Equicharacteristic Case of the Gersten Conjecture. Теория чисел, алгебра и алгебраическая геометрия: cборник статей к 80-летию со дня рождения академика Игоря Ростиславовича Шафаревича // Тр. МИАН. М.: Наука, 2003. T. 241. C. 169-178.

[5] Popesku D. General Neron Desingularization // Nagoya Math. J. 1985. V. 100. P. 97-126.

[6] Popesku D. General Neron Desingularization and Approximation // Nagoya Math. J. 1986. V. 104. P. 85-115.

[7] Popesku D. Letter to Editor; General Neron Desingularization and Approximation // Nagoya Math. J. 1990. V. 118. P. 45-53.

[8] Quillen D. Higher algebraic K-theory. I // Albebraic K-Theory. I: Higher K-Theories (Proc. Conf., Seattle Res. Center, Battelle Memorial Inst., 1972) // Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, Berlin, 1973. V. 341. P. 85-147.

[9] Swan R.G., Higher algebraic K-theory // Proceeding of Symposia in Pure Mathematics. 1995. V. 58.1. P. 247-292.

[10] Милн Дж. Этальные когомологии. М.: Мир, 1983. 392 с.

[11] Панин И.А., Суслин А.А. Об одной гипотезе Гротендика, касающейся алгебр Ад-зумая // Алгебра и анализ. 1997. № 9:4. C. 215-223.

References

[1] Colliot-Thelene J.-L., Ojanguren M. Espaces principaux homogenes localement triviaux // Inst. Hautes Etudes Sci.Publ.Math. 1992. № 75. P. 97-122.

[2] Grayson D. Higher algebraic K-theory. II (after D. Quillen), Algebraic K-Theore (Proc.Conf., Northwestern Univ., Evanston, IL, 1976) // Lecture Notes in Math. V. 551. Springer-verlag. № 176. P. 217-240.

[3] Grothendieck A., Artin M., Verdie J.-L. Theorie des topos et cohomologie etale des schemas. Berlin: Springer, 1972. (Lect. Notes Math.; V. 270).

[4] Panin I.A. The Equicharacteristic Case of the Gersten Conjecture, Theory of numbers, algebra and algebraic geometry. Collection of articles to the 80-th anniversary of the birth of Academician Igor Rostislavovich Shafarevich // Tr. MIAN. M.: Nauka, 2003. V. 241. P. 169-178.

[5] Popesku D. General Neron Desingularization // Nagoya Math. J. 1985. V. 100. P. 97-126.

[6] Popesku D. General Neron Desingularization and Approximation // Nagoya Math. J. 1986. V. 104. P. 85-115.

[7] Popesku D. Letter to Editor; General Neron Desingularization and Approximation // Nagoya Math. J. 1990. V. 118. P. 45-53.

[8] Quillen D. Higher algebraic K-theory. I // Albebraic K-Theory. I: Higher K-Theories (Proc. Conf., Seattle Res. Center, Battelle Memorial Inst., 1972) // Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, Berlin, 1973. V. 341. P. 85-147.

[9] Swan R.G., Higher algebraic K-theory // Proceeding of Symposia in Pure Mathematics. 1995. V. 58.1. P. 247-292.

[10] Milne J. Etale cohomology. M.: Mir, 1983. 392 p.

[11] Panin I.A., Suslin A.A. On one Grothendieck conjecture, concerning Adzumaya algebras // Algebra and analysis, № 9:4. 1997. P. 215-223

Поступила в редакцию 6/II/2014; в окончательном варианте — 6/II/2014.

THE EXACTNESS OF THE GERSTEN COMPLEX FOR ADZUMAYA ALGEBRAS IN EQUICHARACTERISTIC CASE

© 2014 A.A. Mingazov2

One of the well-known problems of algebraic K-theory is the Gersten conjecture. In this work we prove a variant of Gersten conjecture for Adzumaya algebras in equicharacteristic case. Geometrical case of this proposition was proved in the article by I. Panin and A. Suslin.

Key words: K-theory, Gersten conjecture, equicharacteristic ring, Adzumaya algebras.

Paper received 6/II/2014. Paper accepted 6/II/2014.

2Mingazov Al'bert Aidarovich (mingazov88@gmail.com), Laboratory of Algebra and Theory of Numbers, St. Petersburg Department of V.A. Steklov Institute of Mathematics of the Russian Academy of Sciences, St. Petersburg, 191023, Russian Federation.