Плоские задачи упругости для полулинейного материала

УДК 539.3, 517.5

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3

ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА*

В. М. Мальков1, Ю. В. Малькова2

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, vmmalkov@apmath.spbu.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, jmalkova@list.ru

Введение. Теоретическому анализу нелинейных плоских задач для областей с трещинами, в том числе межфазными, посвящено несколько десятков статей, в то же время, количество работ по линейным задачам о трещинах неизмеримо больше и достигает нескольких тысяч. Отсюда можно сделать вывод, что нелинейные задачи до сих пор исследованы недостаточно. Причина состоит в том, что эти задачи чрезвычайно сложны с математической точки зрения, точные глобальные решения практически отсутствуют. Почти во всех работах применялись асимптотические методы и полученные решения ограничивались анализом напряжений и деформаций в окрестностях концов трещины. Важность решений задач о трещинах на основе полностью нелинейных уравнений теории упругости вытекает из того обстоятельства, что линейная теория, вообще говоря, не применима для решения сингулярных задач о трещинах.

К числу первых работ, где рассматривались нелинейные задачи упругости о трещинах, относится статья [1] (Wong F.S., Shield R. Т.). В ней методом последовательных приближений получено приближенное глобальное решение для бесконечной плоскости с трещиной для несжимаемого неогуковского материала при всестороннем растяжении. Использовалось предположение, что кратность удлинения по нормали к пластине мала по сравнению с единицей. Фундаментальное изучение нелинейных задач о трещинах в рамках плоского напряженного состояния было выполнено в работах [2-9] (Knowles J. K. и Sternberg E.). Асимптотическими методами были найдены главные сингулярные члены разложений напряжений и деформаций в окрестности конца трещины. В статье [9], где рассмотрен случай межфазной трещины на границе раздела двух полуплоскостей из материалов неогуковского типа, установлено, что напряжения не имеют осцилляции в области конца трещины, как это имеет место в линейной задаче о межфазной трещине. Асимптотика напряжений у конца межфазной трещины изучалась также в работах [10-11] (Herrmann J.M.) для обобщенного неогуковского материала, приведены результаты большого числа расчетов. Stephenson R. A. [12] обнаружил интересный результат, что в задаче сдвига плоскости (II мода) из несжимаемого материала Муни—Ривлина берега трещины раскрываются симметрично относительно трещины. Другими словами, глобальная нелинейная антисимметричная задача не имеет антисимметричного решения, вопреки известному факту линейной теории. Нелинейные задачи о трещине для сжимаемого материала изучались в работе [13] (Carroll M. M.).

В серии работ Gao Y. C. (с соавторами) [14-25] выполнен анализ напряжений в окрестности конца трещины в резиноподобном материале. Исследовались обе плоские

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00656).

© В. М. Мальков, Ю. В. Малькова, 2012

задачи — плоское напряженное состояние и плоская деформация для разных моделей нелинейно-упругого материала. Получено, что характер сингулярности напряжений зависит от параметров упругости материала. Рассмотрены трещины в однородном и неоднородном материале. Практически все указанные работы используют основополагающую гипотезу о том, что поле деформаций в окрестности конца трещины можно разделить на расширяющуюся и сужающуюся области (сектора), в этих областях напряжения и деформации имеют разные асимптотики. Отмечается, что при учете больших деформаций отсутствует осцилляция напряжений у конца межфазной трещины. Еще один результат состоит в том, что при растяжении пластины её толщина у конца трещины стремится к нулю. В работах [26, 27] (Le K. Ch. и Stampf H.) асимптотическим методом изучалось напряженное состояние плоскости с трещиной для моделей материала Адамара и Огдена—Болла. В статьях [28-31] (Geubelle P. H. и Knauss W. G.) рассмотрены следующие задачи для однородной и двухкомпонентной плоскости: трещина в однородной плоскости; трещина на границе соединения полуплоскости с жестким элементом; межфазная трещина. Во всех случая использовалась модель обобщенного неогуковского материала. Сделаны сравнения с результатами численного решения задач методом конечных элементов.

В работе [32] (Tarantino A. M.) рассмотрена задача плоского напряженного состояния о трещине для материала Муни—Ривлина. Решение уравнений равновесия было записано через функции напряжений Эри, приближенные значения которых были найдены асимптотическим методом.

Представляют интерес работы [33-35] (RuC.Q.). В первой из них проведен асимптотический анализ напряжений и деформаций у конца свободной трещины в двухкомпонентной плоскости. Трещина расположена внутри одной полуплоскости, но конец её находится на линии раздела. Использована модель гармонического материала Джона. Отмечается отсутствие осцилляций в окрестности конца. Показатели сингулярности напряжений зависят от параметров материала и угла наклона трещины. Более детально анализируются два частных случая — межфазная трещина и трещина, ортогональная линии раздела. Статья [34] относится к числу немногих работ, где получено глобальное решение плоской задачи о трещине. Здесь также рассматривался гармонический материал Джона, что позволило применить теорию комплексных функций. Получены общие уравнения для межфазной трещины, однако решение доведено до конца только для трещины в однородной плоскости. В работе [35] дан асимптотический анализ деформаций в окрестности конца трещины в однородной плоскости для той же модели материала. Целью работы было показать, что существует область, где материал теряет свойство эллиптичности при больших деформациях. Получены уравнения границ области потери эллиптичности.

В работе [36] (Abeyaratne R., Yang J. S.) изучались поля напряжений и деформаций около конца трещины при одноосном растяжении для модели несжимаемого материала специального вида. Получено, что для этой модели система нелинейных дифференциальных уравнений может терять свойство эллиптичности при достаточно больших деформациях. Анализ, основанный на прямых асимптотических вычислениях, показал, что потеря эллиптичности приводит к существованию двух кривых, исходящих из каждого конца трещины, на которых градиенты деформации и напряжения терпят разрыв.

Точное глобальное решение нелинейной задачи плоской деформации о межфазной трещине для материала Джона было получено в нашей работе [37]. Использовался метод комплексных потенциалов Колосова—Мусхелишвили.

Обобщенная плоская деформация. Для обобщенной плоской деформации декартовы координаты точек тела отсчетной ai и текущей xi конфигураций удовлетворяют соотношениям

Xi = Xi

где Л3 = const — кратность удлинения в поперечном направлении аз.

Градиент деформации G = gaß eaeß и обратный к нему тензор имеют вид

G = giieiei + gi2eie2 + g2ie2ei + д22в2в2 + Лз взвз,

JG i = Лз(д22eiei - gi2eie2 - g2ie2ei + giie2e2) + K3e3e3,

где gij = dxi/daj, i, j = 1, 2, 3, кз = giig22 - gi2g2i, J = det G = Л3Х3.

На параллельных плоскостях аз = const отсутствуют поперечные сдвиги, координатная ось аз является главным направлением деформации.

Уравнения равновесия (при отсутствии объемных сил) для тензора номинальных напряжений S = saßeaeß и уравнения совместности деформаций для градиента деформации имеют вид

div S = 0, rot GT = 0.

Граничные условия будут рассмотрены позже для конкретных задач. Запишем уравнения (3) в декартовых координатах:

штрих и индекс внизу означают частные производные по декартовым координатам отсчетной конфигурации (а1 , а2 ) .

Плоское напряженное состояние. Уравнения плоского напряженного состояния строят для пластины малой толщины h. Координаты точек текущей конфигурации задают в виде (1), где параметр Лз не константа, а неизвестная функция Лз = Лз(а!,а2). Формулы (1) в случае плоского напряженного состояния являются приближенными и приводят к противоречиям с уравнениями теории упругости. В частности, условия отсутствия касательных напряжений на лицевых поверхностях пластины не выполняются. Однако касательные напряжения равны нулю на срединной поверхности, и для тонкой пластины эти напряжения будут малыми величинами всюду, по сравнению с нормальными напряжениями.

Для градиента деформации и обратного тензора получим следующие выражения, вычисленные по функциям (1), где Лз = Лз(а!, а2):

G = giieiei + gi2eie2 + g2ie2ei + g22e2e2 + Лзeзeз + азЛ3Ileзel + aзЛ3I2eзe2,

JG-i = Лз(g22eiei - gi2eie2 - g2ie2ei + giie2e2) + K3e3e3 +

+ a3^3,2g2i - Лз,^) e3ei + аз(Л3дgi2 - Лз^и) e3e2.

Для этих выражений выполняются важные тождества

div (J G-i) = 0, div GT = AR,

где И. = хаеа — вектор точки текущей конфигурации. Если использовать формулы (2), то тождества окажутся нарушенными.

Уравнения совместности (5) являются точными для обеих плоских задач. Уравнения равновесия (4) для плоского напряженного состояния в общем случае не верны. Однако для рассматриваемой модели материала напряжения «31 = «32 = 0, поэтому уравнения (4) применимы и в этой задаче.

Уравнения в комплексной форме. Запишем уравнения (4), (5) в комплексной форме:

(g22 - ¿012)i + ¿(gil + «02l)2 = О-

Введем комплексные переменные отсчетной и текущей конфигураций г = Я1+Ш2, £ = Х1 + ¿Х2 и комплексную функцию напряжений а = <1 + ¿<72. Положим

да да да да да да

«22 - ««21 = + = я-,

dz dz да\

su + «si2 = т;--= ~г-а ,

dz dz да2

д( ЗС

011 + «021 = -К- + -KZ

dz dz

К

да,1'

д( д( д( 022 - «012 = я--= •

dz dz о а,2

№

Уравнения (6), (7) тождественно удовлетворяются, если подставить в них выражения (8), (9). Комплексные функции а (г, г) и должны определяться с помощью соотношений упругости и граничных условий задачи. Учитывая формулу

021 - 012 «12 - «21

tg Ш =

011 + 022 «11 + «22

выражающую угол поворота ш главных осей в результате деформации через компоненты тензоров О и 8 [38], находим

д( дz

д( дz

da

дz

= sign

da

дz

e

e

Полулинейный материал. Модель гармонического полулинейного материала использовалась в работах А. И. Лурье [39], К. Ф. Черныха [40] и других авторов. Существенно, что она применима и к трехмерным задачам, а не только к двумерным, как материал Джона.

Закон упругости для тензора номинальных (условных) напряжений таков:

S = 2^ GT + [А

где Л — тензор кратностей удлинений, Q — ортогональный тензор, G = Q • Л,

Q = cos w(eiei + в2в2) - sin ш^^ - e2ei) + взвз.

В компонентах тензоров закон (12) имеет вид

sil = (А + 2^)gii + Аg22 + к cos ш, «22 = (А + 2^)022 + Agil + к cos ш,

« 12 = (А + 2^)021 - Agi2 + к sin ш, «2i = (А + 2^)012 - Ag2i - к sin ш,

si3 = 2^аз Л3д, S23 = 2^аз Л3,2, «31 = «32 = 0,

«33 = Л[(^11 + g22)cosШ + (g21 - gi2)sin w] + (Л + 2^)(Л3 - 1) - 2Л, k = Л(Л3 - 3) - 2^. Из (13) получим соотношения в комплексной форме:

«11 + ¿«12 = (Л + 2^)(g11 + ig21) + Л(#22 - ¿012) + k вш,

«22 - ¿«21 = (А + 2^)(^22 - ¿012) + А(дц + ¿521) + к в'

Выразим эти напряжения через функцию £(2,2):

дС 5С 8ц + ¿«12 = 2(Л + м) тт1 + 2/х +

¿72; аг

дС дС «22 - ¿«21 = 2(Л + М) ^ - 2М +

Соотношения (14) обратимы относительно деформаций:

2^(311 + ¿021) = (1 - V)(«ц + ¿«12) - ^(в22 - ¿«21) - (1 - 2^)квгш,

2^(022 - ¿312) = (1 - V)(«22 - ¿«21) - v(«ll + ¿«12) - (1 - 2v)keгш,

выражение вш здесь нужно рассматривать как функцию напряжений (10).

Подставив в соотношения

Предыдущие соотношения (12)—(16) справедливы как для плоской деформации, так и для плоского напряженного состояния. Дальше эти случаи рассмотрим раздельно.

Для обобщенной плоской деформации параметр к —константа. Решение уравнений (16) имеет вид

а + 2К = V

*-2

где (р (г), ф (г) — аналитические функции комплексной переменной г. Функция / (г, г) является частным решением уравнения

% = ке-.

Продифференцируем (17) по переменной г:

М = 1Гг+2»Тг-

Преобразуем правую часть соотношения (20), используя равенства (11) и (16):

dZ

^'(z) = 2(А + 2М)-^ + /гег< dz

2

д( dz

+ k

e" = | ^'(z)| e". (21) 97

Из формулы (21) следует выражение для угла поворота через функцию у'(г):

= ^ = =

Формула (22) показывает, что угол ш является гармонической функцией, т. е. Д ш = 0. Функция 1п |у'(г)| будет сопряженной для ш.

Частное решение уравнения (19) возьмем в виде неопределенного интеграла

Разрешим уравнения (17), (18) относительно искомых функций:

1

< = 5

' = ^<'>+лТ2Ц[Ш+/

Подставим выражения (24), (25) в формулы (8), (9) для напряжений и деформаций:

, • Л + М // ч М (тп~\ , •

511 + "12 = Л + 2^ * & " лТ^ Г (г) + 1д<а2

А + М // ч . М /^ттгт ,

522 -г521 = лТ^ * (г) + ГР^ г(г) + ^

1

011 + «021 =

2

922 ~ 1912 = 2(лТад +Пг) +

Преобразованием формул (26), (27) получим полезные соотношения: «11 + ¿«12 + 2^(022 - ¿012) = у'(г), «22 - ¿«21 + 2^(011 + ¿021) = у'(г),

- а/

«И + ««12 - 2(А + /л) (022 - «012) = -ф'(г) - «а—,

ОЯ2

3/

«22 - ««21 - 2(Л + /х)(0и + ¿021) = 'ф'(г) + .

да1

Данные соотношения позволяют в постановке граничных условий и других случаях легко переходить от напряжений к деформациям и наоборот.

Производные по декартовым координатам функции /(2,2) в формулах (26)—(29) даются выражениями

+ д1 = г(д1_д£\ (30) да\ дг дИ1 да-2 \дг дг) '

дг у уф)' дх 2 У уф) ]/ уф)

Для плоского напряженного состояния параметры Аз и к являются неизвестными функциями. Из условия «зз =0 и формул (13) находим

1 + V 2v дС _. Аз = 1--1-7Ге

1 — V 1 — V дг

гш

к = -2ц---Л--— е

1 — V 1 — V дг

гш

Подставим это значение параметра к в уравнения (16):

Уравнения (31) решаются аналогично предыдущему случаю:

1 + 1/

а + 2цС = ф{г), а-2ц--С = Ф(г) + /(г, г),

1 — V

где у (г), ф (г) — аналитические функции комплексной переменной г, частное решение / (г, г) удовлетворяет уравнению

д/ 9 1 + ^ ,

я- = 1-е

дг 1 — V

гш

Формулы (21), (24), (25) заменяются следующими:

и \ 4/х

V (г) ~

1 + V

5С

дг

С = [у (» -Ф(г)-/ (г, г)], а = у (г) + ^ [ф (г) + / (г, *)].

Для напряжений плоского напряженного состояния выполняются соотношения

1 + V (дС гшА дС 1 + V (дС гш А дС

Выразим напряжения и деформации через потенциалы у(г), ф(г):

! + ^ 1 -V (~тт>—г . д/ \

511 +г512 = — + ;'

«22-«21 = —У (*) + — и'(*) + — 1,

1~1/ ( Ч \ 77ГТ

0 11 + «021 = I Ч> (г) - ф'{г) - —

Из этих соотношений следуют равенства

«11 + ¿«12 + 2^(022 - ¿012) = у'(г), «22 - ¿«21 + 2^(011 + ¿021) = у'(г),

.д/

«11 + ¿«12 - 2/Х !— (022 - ¿012 ) = -ф'(г) - «я , 1 - V да2

1 + г/ . . —- дf

«22 - ««21 - 2/Х -- (011 + 2021) = ф'{г) + -—.

1 - V да1

Частные производные функции /(г, г) по декартовым координатам, входящие в выражения (32)—(35), вычисляются по формулам (30), где нужно положить к = -2М(1 + v)/(1 - V).

Дальше получим решение практической задачи для плоскости с разрезом (трещиной) в условиях плоской деформации и плоского напряженного состояния.

Плоскость с разрезом. Рассмотрим плоскость с трещиной, расположенной на оси а1 в промежутке (-с, +с). Берега трещины свободны. На бесконечности (при г ^ то) заданы напряжения , угол поворота што = 0. Функции, относящиеся к верхней $2 и нижней $1 полуплоскостям, отметим нижними индексами 2 и 1 соответственно.

Плоская деформация. Запишем условия на трещине с помощью выражений (26):

[«22 - ¿«21]+ = [«22 - ¿«21]

+ _ А + Ц

Л + 2^

А + ¡л Х + 2/л

у2 (г) + (1 - 2v) ^2 (г) +

(г) + (1 - 2v) и; (г) +

дЬ

да1

дк да1

Преобразуем эти уравнения к виду

[ср'2(г)]++ (1 - 2и) [ф'2(г) +/2(г)}- = 0,

Шг)]- + (1 - 2и) 1ф[(г) +7[(г)]+ = 0. Функции / (г) для соответствующей полуплоскости даны формулой

+

0

0

Введем две новые аналитические функции:

h(z) = <p'2{z)-{ 1 - 2v) (ф[(г) +7i(zj) , z G S2, h(z) = <p[(z) - (1 - 2v) + /2(*)) ,

r

+ 7'(z) = ^J—у [-/»(z) + ф)].

Складывая и вычитая уравнения

г+

1 — 2v

й+

Решения граничных задач (38), (39) таковы [41]:

•ф) Н---—Ыг) = Х(г)Аг, Ыг) = Ыоо),

1 - 2v

где 2

Vz2 - с2 ' 1-2г/ v ' 1 — 2г/

2 - c2 ^ _ ^ _

V ,, „ / d

h{00) = 4/х + (1 - г/)(s - d), r(oo) = -4ц--— + (1 - v) s +

1 - 2v ' V 1 - 2v

S = [(«22 - ¿S2l) + («11 + ÍS12)] d = [(«22 - i«2l) - («11 + ¿S12)] Найдем комплексные потенциалы y(z) и ^(z):

1 — 2v

^ =

V>(z) =

1 — 2v

y(z) - zh(oo) - y==y [ \Jv'(z) dz

Функции еш и /(г, г) вычисляются по формулам (22) и (23) соответственно, функции £ и а — по формулам (24), (25). Для производных функции £

dZ 1

dz 2

^-4=п

1

д

k f p''

2 J p'

построим асимптотические разложения в окрестности конца трещины. Положим г = с+ге0, где г — расстояние от конца трещины, в — полярный угол; при г ^ 0 получим

Разложения условных (номинальных) напряжений (26) и деформаций (27) имеют

вид

I , . ™ [с

sil + «12 = ^дЫ - «21 rsjl (e-i0/2 - ei0/2) + 0( 1), s22 - «21 = -^=(«22 - «21)°°\ f~ (f~i9/2 + ei0/2) + 0{ 1).

1 / r 011 + »021 = -p (*22 - «21)°°\¡ тг~ [(1 - 2^)e-i0/2 - ei0/2] + 0( 1), 4m y 2r

1 Hr~

022 - ¡912 = —(S22 - «21 )°°J— [(1 - 2v)e~ie!2 + ei0/2] + 0( 1). 4m y 2r

Напряжения линейной задачи также имеют корневую особенность в окрестности конца трещины, но отличаются коэффициентами.

Найдем разложения кратностей изменения площади к = |e¿ • JG-1|:

1 с

= 3V г ('22 + S2l)°°[(1" 2v)2 + 2(1" 2v)совв + 1] + '''' 1с

= 3V г {s"22 + S2l)0°[(1 ~ 2v)2 ~ 2(1 ~ 2v)совв +11 + ''''

К1 - у) /2 , 2 \оо с ,

"3 =--8¡j? г + - '

Отрицательное значение последнего выражения говорит о недостатках решения (точнее, модели материала), в линейной задаче такая же ситуация. Истинные напряжения Коши

, ., S11 + is 12 S22 - «21

111 + «12 = -, Í22 - «21 = -

K1 K2

не имеют особенности у концов трещины, это видно из формул (42) для условных напряжений и формул кратностей удлинений.

Учитывая, что на трещине напряжения S22 и S21 равны нулю, из (28) получаем 2^(011 +¿021) = p'(z). Тогда 2м Ag(t) = [p'(z)]+ — [p'(z)]-, раскрытие трещины (скачок перемещений) вычисляется по формуле

A-v

Д

Аналогичная формула раскрытия трещины имеет место в линейной задаче. Плоское напряженное состояние. Граничные условия на трещине

[«22 - ¿«21]+ = [«22 - ¿«21]- =

(1 + V) у2(г) + (1 - V) Ф2(г) +

(1 + гу)^1(г) + (1-гу) ф[(г) +

0/2 V

да1 у

аду

да1 у

0,

преобразуем к виду

1 - V

К ИГ + ЬР'Лг)+7[(г)}+ = 0.

1 + V

Введем новые неизвестные функции

Ф) = у2 (г) -

Ф) = у1(г) -

1 -V

1 + 1/ 1 -г/ 1 + 1/

Функция г(г) вводится по формулам (36). Из этих равенств следует

ф'(г)+7\г) = ^(1 + 1у) [~к(г) + г(г)]. Из граничных условий (44) получим уравнения для функций ^.(2) и г (г):

г+СЬ) + г~СЬ) н--— [/1+(г) + =0, £ € [-С, с],

1 - V

й+(г) - = о, г с [-с, с].

Решения этих граничных задач имеют вид

ф) + = Х{х)Ах, к{х) = к{оо),

1 — V

+ = г(оо) + —/1(00) = —Цф + «г), 1 - V 1 - V2

« — ! , ч V « !

/1(00) = 4/х + —;—, г(оо) = -4/х---Ь —--Ь

1 + V'

1 - V 1+ V 1 - V

Комплексные потенциалы у'(г) и ф(г) будут такими:

у(г) = -(1 — г/)Ау/22 — с2 -|—/1(00)2;

1

ф

1 + г/

1 - г/

(р(г) — гЫоо)--, ^ [ \/<&'(г) 3,г

уЩг)] ^

+

0

Асимптотические разложения производных функции Z имеют вид

д( dz

1 - v

Ч>'(z) -

д£

dz

1 1 -v 4/а, 1 + v

(S22 - 4S2l)C

= -¿0/2

+ O(1),

К

dz

1 - г/ 4 ¡i

ф' (z) +

df

dz

-~Г (s22 - «S2l)C 4^

ei0/2 + O(l). 2r

Асимптотические разложения условных напряжений имеют тот же вид (42), что и при плоской деформации. В разложениях деформаций множитель (1 — 2^) заменяется на (1 — V)/(1 + V). Истинные напряжения Коши не имеют особенности у конца трещины. Кратность изменения площади кз и кратность удлинения Аз отрицательны:

кз =

8М2 (1 + v)2

2 , 2 ^оо

s22 т S21)

+ .

Аз = —

1

2yU, 1 + v

(S22 — ¿S2l)C

I±e-i8/2 +

2r

Раскрытие трещины находится по формуле

A(ui + iu2)(i) = i

1

(1 + v )м

Vc2 -t2(s22 - ¿S2l)°°, t £ [—С, с].

В работе [40] рассматривалась плоская деформация двуосного растяжения пластины с разрезом для полулинейного материала (напряжения сдвига на бесконечности полагались равными нулю). Метод решения также использовал комплексные функции, но был более сложным, чем в нашей работе. Применялись некоторые гипотезы, ограничивающие общность решения, в частности предполагалось, что отношение напряжений на бесконечности к модулю сдвига ц мало, по сравнению с единицей. Отметим, что напряжения в конструкциях из резиноподобных материалов обычно сравнимы с модулем сдвига и даже превосходят его. Сравнение результатов работ показало, что формула (40) для функции у>(.г) в работе [40] имеет другие коэффициенты, как и формулы (41), а выражения для напряжений (42) и раскрытия трещины (43) существенно отличаются от наших.

1

v

v

Литература

1. Wong F. S., Shield R. T. Large plane deformations of thin elastic sheets of Neo-Hookean material // ZAMP. 1969. Vol.20, N2. P. 176-199.

2. Knowles J. K., Sternberg E. An asymptotic finite deformation analysis of the elastostatic field near the tip of a crack// J. of Elasticity. 1973. Vol. 3, N2. P. 67-107.

3. Knowles J.K., Sternberg E. Finite — deformation analysis of the elastostatic field near the tip of a crack: reconsideration and higher-order results// J. of Elasticity. 1974. Vol.4, N3. P. 201-233.

4. Knowles J. K., Sternberg E. On the singularity induced by certain mixed boundary conditions in linearized and nonlinear elastostatics // Int. J. of Solids Structures. 1975. Vol. 11, N11. P. 1173-1201.

5. Knowles J. K. The finite anti-plane shear field near the tip of a crack for the class of incompressible elastic solids // Int. J. of Fracture. 1977. Vol.13, N5. P. 611-639.

6. Knowles J. K., Sternberg E. Discontinious deformation gradients near the tip of a crack in finite anti-plane shear: an example // J. of Elasticity. 1980. Vol. 10, N1. P. 81-110.

7. Knowles J. K. A nonlinear effect in mode-II crack problems// Eng. Fract. Mech. 1981. Vol. 15, N3-4. P. 469-476.

8. Knowles J. K., Sternberg E. Anti-plane shear fields with discontinuous gradients near the tip of a crack in finite elastostatics // J. of Elasticity. 1981. Vol. 11, N2. P. 129-164.

9. Knowles J. K., .Sternberg E. Large deformations near a tip of an interface — crack between two Neo-Hookean sheets // J. of Elasticity. 1983. Vol. 13, N3. P. 257-293.

10. Herrmann J. M. An asymptotic analysis of finite deformations near the tip of an interface-crack// J. of Elasticity. 1989. Vol.21, N3. P. 226-269.

11. Herrmann J. M. An asymptotic analysis of finite deformations near the tip of an interface-crack. Part II // J. of Elasticity. 1992. Vol.29, N3. P. 203-241.

12. Stephenson R. A. Equilibrium fields near the tip of a crack for finite plane strain of incompressible elastic materials // J. of Elasticity. 1982. Vol.12, N1. P. 65-99.

13. Carroll M. M. Finite strain solutions in compressible isotropic elasticity //J. of Elasticity. 1988. Vol. 19, N 1. P. 65-92.

14. Gao Y. C. Elastostatic crack tip behavior for a rubber-like material // Theoretical and Applied Fracture mechanics. 1990. Vol. 14, N3. P. 219-231.

15. Gao Y. C., Shi Z. F. Large strain field near an interface crack tip // Int. J. of Fracture. 1994. Vol. 69, N 3. P. 269-279.

16. Gao Y. C., Durban D. The crack tip field in a rubber sheet // European J. of Mech., A/Solids. 1995. Vol.14, N5. P. 665-677.

17. Gao Y. C., Gao T. S. Notch-tip fields in rubber-like materials under tension and shear mixed load // Int. J. of Fracture. 1996. Vol.78, N3-4. P. 283-298.

18. Gao Y. C., Liu B. Stress singularity near the notch tip of a rubber like specimen under tension // European J. of Mech., A/Solids. 1996. Vol. 15, N2. P. 199-211.

19. Gao Y. C. Large deformations field near a crack tip in a rubber-like material // Theoretical and Applied Fracture mechanics. 1997. Vol. 26, N3. P. 155-162.

20. Wang Z. Q., Gao Y. C. Large strain field near a notch tip under tension // Theor. and Appl. Fract. Mech. 1997. Vol. 26. P. 163-168.

21. Gao Y. C., Gao T. S. Mechanical behavior of two kinds of rubber materials // Int. J. of Solids and Structures. 1999. Vol.36, N36. P. 5545-5558.

22. Gao Y. C., Gao T. S. Analytical solution to a notch tip field in rubber-like materials under tension // Int. J. of Solids and Structures. 1999. Vol. 36, N36. P. 5559-5571.

23. Gao Y. C., Zhou L. M. Interface crack tip field in a kind of rubber materials // Int. J. of Solids and Structure. 2001. Vol.38, N34-35. P. 6227-6240.

24. Gao Y. C., Chen S. H. Large strain field near a crack tip in a rubber sheet // Mech. Res. Commun. 2001. Vol.28, N1. P. 71-78.

25. Gao Y. C. Analysis of the interface crack for rubber-like materials // J. of Elasticity. 2002. Vol. 66, N 1. P. 1-19.

26. Le K. Ch. On the singular elastostatic field induced by a crack in Hadamard material // Quart. J. of Mech. and Appl. Math. 1992. Vol.45, N1. P. 101-117.

27. Le K. Ch., Stumpf H. The singular elastostatic field due to a crack in rubber-like materials // J. of Elasticity. 1993. Vol.32, N3. P. 183-222.

28. Geubelle P. H., Knauss W. G. Finite strains at the tip of a crack in a sheet of hyperelastic material: I. Homogeneous case // J. of Elasticity. 1994. Vol.35, N1-3. P. 61-98.

29. Geubelle P. H., Knauss W. G. Finite strains at the tip of a crack in a sheet of hyperelastic material: II. Special bimaterial case // J. of Elasticity. 1994. Vol.35, N1-3. P. 99-138.

30. Geubelle P. H., Knauss W. G. Finite strains at the tip of a crack in a sheet of hyperelastic material: III. General bimaterial case // J. of Elasticity. 1994. Vol. 35, N1-3. P. 139-174.

31. Geubelle P. H. Finite deformation effects in homogeneous and interfacial fracture // Int. J. of Solids and Structures. 1995. Vol. 32, N6-7. P. 1003-1016.

32. Tarantino A. M. Thin Hyperelastic sheets of compressible material: Field equations, airy stress function and an application in fracture mechanics // J. of Elasticity. 1996. Vol.44, N1. P. 37-59.

33. Ru C. Q. Finite strain singular field near the tip of a crack terminated at material interface // Math. and Mech. of Solids. 1997. Vol.2, N1. P. 49-73.

34. Ru C. Q. On complex-variable formulation for finite plane elastostatics of harmonic materials // Acta Mechanica. 2002. Vol. 156, N 3-4. P. 219-234.

35. Ru C. Q. Non-elliptic deformation field near the tip of a mixed-mode crack in a compressible hyperelastic material // Int. J. of Non-Linear Mech. 2003. Vol.38, N4. P. 521-530.

36. Abeyaratne R., Yang J. S. Localized shear deformations near the tip of a mode-I crack // J. of Elasticity. 1987. Vol.17, N2. P. 93-112.

37. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Плоская задача нелинейной упругости для гармонического материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 3. С. 114-126.

38. Мальков В. М. Основы математической нелинейной теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 216 с.

39. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

40. Черных К. Ф., Литвиненкова З. Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. 256 с.

41. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2011 г.