Замечания к способу калибровки камер по разномасштабным снимкам плоского полигона

УДК 528.4Т И.Т. Антипов СГГ А, Новосибирск

ЗАМЕЧАНИЯ К СПОСОБУ КАЛИБРОВКИ КАМЕР ПО РАЗНОМАСШТАБНЫМ СНИМКАМ ПЛОСКОГО ПОЛИГОНА

I.T. Antipov

Siberian State Academy of Geodesy

10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, Russian Federation

COMMENTS ON THE METHODS OF CAMERA CALIBRATION AGAINST DIFFERENT-SCALES PICTURES OF A PLANE POLYGON

The paper analyzes a method of camera calibration that recently proposed by professor B. Maljavsky and others. The method is based on images of a flat test-object. These images must have different scales, and an increment of flight altitudes must be taken into account in a procedure of adjustment. The paper exposes an imperfection of the method that does not allow to find out the whole set of camera parameters. It is possible to improve the method with using not only a flight altitudes difference, but also locations of perspective centers or at least the differences of their plane locations. The tables are calculated. They show a ratio of accuracy from which it is possible to determine elements of camera interior orientation at different variants of use of the camera spatial positioning data.

На международном научном конгрессе «ГЕО-Сибирь-2006» группой специалистов во главе с профессором Б.К. Малявским был представлен доклад [1], в котором обосновывался вариант калибровки съемочных камер по снимкам плоского полигона, полученным с двух высот фотографирования, разность которых учитывается при вычислительной обработке. В 2007 году появилась журнальная статья на эту же тему [2], подготовленная В.Л. Быковым. Им также выполнены детальные исследования названного способа калибровки, и результаты их обобщены в кандидатской диссертации [3], успешно защищенной в СГГА в ноябре 2007 года.

Автору настоящей статьи довелось выступить в роли официального оппонента по диссертации В.Л. Быкова. Поддержав в целом последнего, автор, тем не менее, хотел бы довести до фотограмметрического сообщества пару замечаний по названному способу калибровки. Необходимость в этом вызвана тем, что в Западно-Сибирском филиале ФГУП «Госземкадастрсъемка» -ВИСХАГИ созданы лабораторная установка и испытательный полигон для практической реализации способа. Лабораторная установка предназначена для калибровки малоформатных, любительских цифровых камер, снимки которых находят применение в различных прикладных задачах, не требующих высокой точности. Следовательно, здесь вполне допустимы небольшие методические уклонения от принципиально строгих решений, если вызываемые этим погрешности лежат в пределах точности, в принципе достижимой с помощью малоформатных камер. Но по снимкам испытательного полигона планируется калибровать полноформатные съемочные камеры, на использовании которых в

серьезных производственных организациях базируются основные технологические процессы, связанные с получением цифровой информации о местности. Ясно, что при работе с полноформатными снимками желательно избегать отхода от строгой теории и каких-либо методических упрощений.

Работы [1] и [2] утверждают, что предлагаемый вариант обеспечивает «...полную калибровку фотокамер...» и дает «...параметры, характеризующие суммарное влияние факторов, отличающих реальный фотоснимок от идеальной центральной проекции сфотографированного объекта.». Эти формулировки не объясняют, что понимается под «суммарным влиянием факторов», а упоминания о «полной калибровке» и «идеальной центральной проекции» могут ввести в заблуждение.

Лишь автореферат диссертации [3] признает, что в условиях равнинного полигона съемка с двух ярусов при фиксации разности высот фотографирования не устраняет пропорциональность в коэффициентах уравнений поправок для плановых координат центров проектирования и соответственных координат главной точки снимка. Поэтому фактически «.приходится переходить к нестрогому решению, которое заключается в исключении координат главной точки из состава неизвестных., а влияние этих элементов придется учитывать совместно с дисторсией...».

Таким образом, Л.В. Быков констатирует, что предлагаемая «полная калибровка фотокамер» не является строгой и что на снимке искусственно выбирается фиктивная главная точка, которой всегда присваиваются нулевые значения координат. Этот факт не повлиял бы на дальнейшую обработку снимков, если бы при калибровке для реальной главной точки были получены значения дисторсии, равные фактическим координатам ее хо, уо. Кроме того, хо, уо должны были бы войти в величины дисторсии всех прочих точек снимков. Однако сделать это невозможно, так как при решении обратной фотограмметрической засечки по снимку плоской местности погрешность положения реальной главной точки автоматически компенсируется смещением центра проектирования.

На практике отмеченная выше констатация означает, что по полученным при калибровке данным невозможно восстановить связку проектирующих лучей, существовавшую в момент фотографирования. Главный луч связки, который был перпендикулярен к плоскости снимка при фотосъемке, в восстановленной связке отклонится от перпендикуляра на углы <гх = ха//к и

аУ= УоНк , где /к - фокусное расстояние. На такие же углы отклонится от

вертикали надирный луч связки. Если известны координаты центров проектирования, то в сети пространственной фототриангуляции возникнут систематические расхождения в плановом положении общих точек в зонах поперечного перекрытия смежных маршрутов. Полностью исключается возможность ориентирования снимков по данным инерциальной и спутниковой навигационной систем. Параметры такой калибровки практически пригодны только при работе со снимками равнинных территорий. При значительном

рельефе контуры на ортофотоизображении получат смещения, являющиеся функциями превышений на местности.

Можно, конечно, доказывать, что перечисленные ошибки будут малы, но нельзя говорить о всеобъемлющей достоверности и универсальности такого доказательства.

Знакомство с публикациями [1, 2, 3] наводит на мысль, что способ калибровки по разномасштабным снимкам вначале разрабатывался применительно к лабораторной установке, на которой разность высот фотографирования элементарно отсчитывалась по шкале, закрепленной на вертикальной направляющей, несущей каретку с фотокамерой. В то же время доступные пути определения координат центров проектирования для лабораторной установки не просматривались. Затем решения, проверенные на лабораторной установке, адаптированы к калибровке по снимкам полевого полигона, причем для определения разностей высот фотографирования задействованы спутниковые навигационные системы. И хотя последние могут дать все три координаты центров проектирования, при полевой калибровке, как и на лабораторной установке, принимается во внимание только разность высот фотографирования. Никаких объяснений факту игнорирования координат центров, полученных из спутниковых измерений, в работах [1, 2, 3] нет. Но ясно, что причина кроется в сложностях точного определения взаимного положения объектива камеры и приемной антенны.

В этой связи интересно проследить, какие в принципе возможности для калибровки открывают известные координаты центров проектирования или, хотя бы, известные разности не только высот, но и плановых координат.

Коль скоро учет разностей высот обеспечивает определение фокусного расстояния, то естественно предположить, что включение в уравнивании также и известных разностей плановых координат центров позволит найти положение главной точки. Действительно, если калибровка осуществляется по двум плановым снимкам с высотами фотографирования относительно плоской местности соответственно !в и !н , то на основании математических

зависимостей, приведенных в [4], можно представить часть матрицы коэффициентов нормальных уравнений, относящуюся к плановым координатам центров проектирования и положению главной точки, как

п/2 . /+1 7 7 в 0 1 0 п/ 7в 0

0 п/2 л +1 7 7в 0 1 0 п/ 7в

1 0 т/2 +1 7 7Н 0 т/к 7н 0

0 1 0 т/к / +1 7 7Н 0 т/к 7н

п/ 7 в 0 т/к 7н 0 п + т 0

0 п/ 7 в 0 т/к 7н 0 п + т

В матрице N первые два столбца относятся к координатам центра

проектирования снимка верхнего яруса. Следующие две столбца - то же для нижнего снимка нижнего яруса Х5Я, Уш . Пара последних столбцов (строк) содержат коэффициенты для неизвестного положения главной точки хо, _уо . Выражение (1) справедливо, когда изображения точек калибровочного полигона размещены на снимках равномерно по всей площади, причем количество точек, попадающих на верхний и нижний снимок равно п и т соответственно.

Нетрудно видеть, что если 2В = 7я, то сумма первого и третьего столбцов пропорциональна пятому столбцу. Аналогичное заключение справедливо для второго, четвертого и шестого столбцов. Стало быть, матрица (1) вырождена. Поэтому обязательным условием является фотографирование полигона с разных высот, когда 7в ф 7н . При этом величины разностей плановых координат центров не имеют значения. В частном случае они могут быть нулевыми.

Последнее обстоятельство можно обыграть в лабораторной установке, если обеспечить перемещение каретки со съемочной камерой по прямолинейной направляющей, строго перпендикулярной плоскости тест-объекта.

При 7в = 7я задача разрешима, если учитывать не разности плановых координат центров, а непосредственно сами координаты. Тогда в матрице (1) на месте величин «-1» окажутся нули, и отмеченная здесь пропорциональность столбцов (и строк) исчезает. Естественно, что учет координат возможен и при 7в ф 7я. В этой связи интересно сопоставить точность определения элементов внутреннего ориентирования при включении в уравнивание либо координат центров, либо их разностей, а также проследить, как будет изменяться точность по мере увеличения разности высот фотографирования.

Численный анализ осуществлен с помощью небольшой программы, имитировавшей составление нормальных уравнений для калибровки по паре снимков и подсчет весовых коэффициентов определяемых неизвестных. Полученные весовые коэффициенты позволили объективно отобразить

закономерность, которой подчиняется точность определения элементов

внутреннего ориентирования камеры.

Результаты расчетов представлены в табл. 1 и 2. Они составлены

применительно к камере с размером кадра 230x230 мм и фокусными

расстояниями от 100 до 300 мм. Высота фотографирования для верхнего яруса выбиралась так, чтобы при любом фокусном расстоянии масштаб снимка был равен 1 : 10 000. Принято также, что точки на снимке размещались по схеме 15x15.

В левой колонке каждой таблицы указано отношение высот

фотографирования. Прочие колонки содержат коэффициенты относительной точности.

Для табл. 1 такие коэффициенты равны

С =

£д7

с2 =

&7 К

^7

Сз = С1 X С2.

^=7

В последних выражениях:

0^ - весовой коэффициент элемента внутреннего ориентирования /к при уравнивании с учетом разностей фотографировании;

- то же при уравнивании с учетом самих высот фотографирования;

02=2 - весовой коэффициент , для случая, когда оба снимка получены

из одного яруса.

Таким образом, коэффициент С показывает, во сколько раз снижается точность определения фокусного расстояния при учете в уравнивании разности высот фотографирования, а не самих высот. Как видим, даже при больших разностях высот потеря точности существенна.

Если при уравнивании использовать высоты фотографирования, а не их разности, то наиболее точное решение дает случай, когда оба снимка получены из одного яруса. В противном случае по мере возрастания превышения между ярусами наблюдается хотя и незначительное, но все же снижение точности определения фокусного расстояния. Коэффициент С отражает эту закономерность.

Наконец, коэффициент С характеризует общее ухудшение результата при уравнивании с разностями высот по сравнению с оптимальным вариантом, при котором 7 = 7 и именно эти величины участвуют в уравнивании.

г в/ Л = 100 мм Л = 150 мм /к = 300 мм

В 7 н с, С2 С3 с, С 2 С3 С, С 2 С3

1.0 со 1.00 СО со 1.00 га со 1.00 га

1.1 17.24 1.03 17.77 18.46 1.02 18.86 20.08 1.01 20.25

1.2 8.98 1.06 9.51 9.61 1.04 10.02 10.50 1.02 10.68

1.3 6.23 1.09 6.76 6.66 1.06 7.08 7.31 1.03 7.50

1.4 4.86 1.11 5.40 5.19 1.08 5.62 5.72 1.04 5.92

1.5 4.04 1.13 4.58 4.31 1.10 4.75 4.76 1.04 4.97

1.6 3.50 1.15 4.03 3.72 1.12 4.17 4.12 1.05 4.35

1.8 2.82 1.19 3.36 2.99 1.15 3.45 3.33 1.07 3.57

2.0 2.42 1.22 2.96 2.56 1.18 3.02 2.85 1.09 3.11

2.2 2.16 1.24 2.69 2.27 1.21 2.74 2.53 1.11 2.89

2.4 1.98 1.26 2.50 2.07 1.23 2.54 2.30 1.13 2.60

2.6 1.84 1.29 2.36 1.92 1.25 2.39 2.12 1.15 2.44

2.8 1.74 1.30 2.25 1.80 1.26 2.28 1.99 1.16 2.32

3.0 1.65 1.31 2.16 1.71 1.28 2.19 1.88 1.18 2.22

Таблица 2. Относительная точность определения главной точки

7 в/ Л = = 100 мм, 150 мм, 300 мм

н Сі С 2 Сз

1 2 3 4

1.0 СО 1.00 СО

1.1 16.86 1.04 17.42

1.2 8.78 1.06 9.35

1.3 6.10 1.09 6.66

1.4 4.76 1.12 5.32

1.5 3.96 1.14 4.52

1.6 3.43 1.16 3.99

1.8 2.78 1.20 3.33

2.0 2.39 1.23 2.94

2.2 2.13 1.25 2.67

2.4 1.95 1.27 2.49

2.6 1.82 1.29 2.35

2.8 1.72 1.30 2.24

3.0 1.64 1.32 2.16

Данные этой табл. 2 относятся как к хо, так и к уо. Коэффициенты Сг подсчитаны по формулам

С =

е

АХ

Є

с =

ХХ

е

хх

с = С х С.

Здесь 0^ весовой коэффициент главной точки при уравнивании с учетом разностей плановых координат центров проектирования, а 0^ -такой же коэффициент для случая, когда в вычислительные операции входят

сами плановые координаты, а не их разности. Наконец, 0 и 0 коэффициенты 0^ , относящиеся к случаям, когда 7в ф 7я и 7в = 7я соответственно.

Из табл. 2 следует, что точность определения положения главной точки не зависит от фокусного расстояния (при прочих одинаковых параметрах съемки, оговоренных выше). Таблица подтверждает, что общие тенденции, отражающие изменение точности определения положения главной точки, остаются такими же, что и для фокусного расстояния.

При других параметрах фотографирования значения, приведенные в табл. 1 и 2, слегка изменятся, но характерные особенности таблиц в целом сохранятся. Можно утверждать, что численный анализ выявил общую картину, отображающую изменение точности определения элементов внутреннего ориентирования при калибровке по снимкам плоского полигона.

Все изложенное выше можно обобщить в следующим образом.

1. Способ калибровки съемочных камер, предложенный в работах [1, 2,

3], не оптимален. Определения «полная калибровка» и «идеальная

центральная проекция» для этого способа неуместны.

2. Применительно к полевому полигону совершенствование способа связано с более полным использованием данных позиционирования снимков, получаемых средствами спутниковых навигационных систем.

3. Применительно к лабораторной установке совершенствование возможно за счет более тщательного изготовления и юстировки всего комплекта оборудования.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Малявский Б.К., Быков Л.В., Быков В.Л., Макаров А.П. Калибровка снимков по плоскому испытательному полигону / ГЕО-Сибирь-2006. Т. 3, ч. 1. Мониторинг окружающей среды, геоэкология, дистанционное зондирование Земли и фотограмметрия. Сб. материалов научного конгресса «Гео-Сибирь-2006». - Новосибирск: СГГА, 2006. С. 68-73.

2. Быков В.Л. Полевая калибровка снимков с использованием средств спутникового позиционирования / Г еодезия и картография. - 2007. № 8. - С. 39-43.

3. Быков В.Л. Разработка и исследование способов калибровки снимков с использованием средств спутникового позиционирования. Автореферат кандидатской диссертации / Новосибирск: СГГА, 2007, - 22 с.

4. Антипов, И.Т. Математические основы пространственной аналитической фототриангуляции / И.Т. Антипов. - М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 2003. - 296 с.

© И.Т. Антипов, 2008