Допустимые исходы в играх с отношениями предпочтения

Теорема 2. Пусть A и B - вторичные идемпотенты частичной полугруппы (M(B), П). Тогда следующие условия эквивалентны:

1) уравнение A П X = B имеет решение;

2) уравнение X П A = B имеет решение;

3) A С B.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Поплавский В. Б. О приложениях ассоциативности дуальных произведений алгебры булевых матриц // Фундаментальная и прикладная математика, 2011/2012, Т. 17, вып. 4, С, 181-192 (Translation: Poplavski V.B. On applications of associativity of dual compositions in the algebra of Boolean matrix // J, of Mathematical Sciences, N. Y. Springer, 2013. Vol. 191, № 5. P. 718-725).

2. Поплавский В. Б. Об идемпотентах алгебры булевых матриц // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 2. С. 26-33.

3. Кум,а,ров В. Б. Решетка идемпотентных матриц над дистрибутивными решетками // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13, вып. 4. С. 121-144.

4. Щекатурова О. О., Ярошевич В. А. О свойствах булевых матриц // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4, ч. 2. С. 137-142.

УДК 519.8

В. В. Розен

ДОПУСТИМЫЕ ИСХОДЫ В ИГРАХ С ОТНОШЕНИЯМИ ПРЕДПОЧТЕНИЯ

Цель данной работы состоит в распространении принципа допустимости на класс игр с отношениями предпочтения. Основным результатом является теорема 1, дающая достаточные условия существования допустимых исходов в играх с отношениями предпочтения игроков [1, 2].

Основным теоретико-игровым принципом оптимальности является принцип равновесия по Нэшу. Однако поскольку принцип равновесия обладает универсальной реализуемостью только в смешанных стратегиях (представляющих собой вероятностные меры на множествах чистых стратегий игроков), в теории игр были предложены также другие принципы оптимальности, важнейшим из которых является принцип допустимости ситуации или исхода игры [3, 4].

Формально игра с отношениями предпочтения общего вида может быть задана в виде набора:

G =

где N = {1, 2,..., п} - множество игроков, X - множество стратегий игрока г € N А - множество исходов, - бинарное отношение на множестве А, выражающее предпочтения игрока ц F - функция реализации, определенная на множестве Х = Х\ х ... х Хп всех ситуаций игры и принимающая значения во множестве исходов А. Предполагается, что IX > 2 для всех г € N и |А| > 2. Отношения р^ считаются рефлексивными; никаких других свойств этих отношений в общем случае не предполагается.

Для игры (1) положим Х^\г = Ц • Ясно, что Х^\г может быть

зем 3 =

отождествлено с множеством всех стратегий дополнительной коалиции ^{г}. Пара (ж^ж^), где жi € Xi,xN\i € Х^, однозначно определяет исход игры, который обозначается через F(ж^ж^\i). Понятие возражения для игры с отношениями предпочтения выглядит следующим образом.

Определение 1. Скажем, что стратегия ж0 является возражением, игрока г па исход а, если для любой стратегии ж^\ € Х^\i допол-

п Р

пительпой коалиции имеет место F(ж0,ЖN\i) > а. Исход а называется

г

Исход а называется допустимым в игре С, если он допустим для всех игроков г € N.

Определенным усилением понятия допустимости исхода является понятие вполне допустимости.

а

ре С вида (1), если для каждого г € N существует такая стратегия € Х^ ^дополнительной коалиции N \ {г}, что при любой стратегии

Рг

жi € Х^ ^^^^мпепо — ^(ж^ж^) > а. Стратегию дополнительной

коалиции N\ {г}, которая удовлетворяет указанному условию, будем называть наказующей стратегией.

С

зывается допустимой, если исход в этой ситуации является допустимым С

в этой ситуации вполне допустим.

Из определений вытекает следующее

Утверждение 1. Ситуация общего равновесия является вполне допустимой (а, значит,, и допустимой).

Замечание 1. Как и ситуации равновесия, допустимые и вполне допустимые ситуации игры с отношениями предпочтения обладают определенной устойчивостью. А именно, если ситуация ж0 = (ж0)^я является

допустимой в игре С, то для каждого игрока г € N и любого его потенциального отклонения от первоначально выбранной стратегии имеется «наказание» со стороны дополнительной коалиции остальных игроков. Справедлив следующий результат.

Теорема 1. Пусть С - игра с отношениями предпочтения вида (1), в которой множества стратегий игроков являются конечными и для каждого г € N отношение предпочтения р ациклично. Тогда, в игре С существуют допустимые ситуации.

Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда множество исходов игры является конечным. Обозначим через Di множество всех исходов, на которые игрок г € N имеет возражение:

А = {а € А :

Так как по предположению множество А конечно и отношение предпочтения рг ациклично, в графе строгого предпочтения (А, р*) отсутству-

А

максимальный элемент. Зафиксируем в каждом непустом подмножестве Di максимальный элемент а* относительно отношения предпочтения рг. Учитывая, что Di получаем согласно (2), что при каждом г € N существует такая стратегия ж0 € Хг, для которой при любой стратегии жN\г дополнительной коалиции N\ {г} имеет место следующая формула:

0 Рг

^

Рассмотрим ситуацию ж0 = (0)г€ж- Так как г-я компонента этой ситуации есть стратегия ж0, то в ситуации ж0 соотношение (3) будет выполнено г

Учитывая, что элемент а0 является максимальным в подмножестве Di, получаем из (4), что при каждом г € N выполнено ^(ж0) € Di,

то есть исход ^(ж0) является допустимым для всех игроков г € N5 а ж0 С

казапо в предположении, что множество исходов игры конечно. Случай, когда множество исходов игры является бесконечным, сводится к уже рассмотренному переходом к игре С1, в которой оставлены только ре-

С

С1

С1

Легко проверить, что указанный исход будет также допустимым и в игре G.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Розен В. В. Допустимые исходы для веерных структур коалиций // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2009, Вып. 11, С, 54-57,

2, Розен В. В. Принятие решений по качественным критериям. Математические модели, Saarbrucken : Palmarium Academic Publishing, 2013, 284 с,

3, Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики : пер, с фр, М : Мир, 1985. 200 с.

4, Вилкас Э. И. Оптимальность в играх и решениях, М, : Наука, 1990, 256 с,

УДК 514.133

Л. Н. Ромакина

О ПЛОЩАДИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОРИЦИКЛИЧЕСКОГО АГ-РЕБЕРНИКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

В работе доказаны формулы площади эллиптического орицикличе-ского n-реберника гиперболической плоскости H положительной кривизны.

Учение о вписанных в окружность многоугольниках евклидовой плоскости имеет богатую историю. Пройдя путь становления как минимум от работ древнегреческих ученых, оно сохраняет свою актуальность и в наши дни (см., например, [1]). С развитием геометрии плоскости Лобачевского появился класс задач об исследовании вписанных многоугольников этой плоскости. С выходом исследований на идеальную область плоскости Лобачевского и развитием геометрии гиперболической плоскости H положительной кривизны круг задач о вписанных многоугольниках расширился принципиально. Это обусловлено следующим. Во-первых, плоскость H содержит прямые трех топологических типов, а все ее углы относятся к пятнадцати типам, инвариантным относительно фундаментальной группы [2]. Во-вторых, па H существуют циклы четырех типов [3] (в отличие от трех на плоскости Лобачевского). И, пожалуй, наиболее ярким отличием плоскости H от плоскости Лобачевского является то обстоятельство, что конечные замкнутые линии на H могут быть двух типов, односторонними, удаление которых из плоскости не нарушает ее связность, и двусторонними, разбивающими H на две связные части. Простую двустороннюю ломаную вместе с ограниченной