Математические модели безынерционных, в виде степенных стохастических полиномов, фильтров асимметрично-эксцессного II типа 1-го вида полезного сигнала на фоне гауссовской помехи

ных объектов, а также в повышении быстродействия и возможности работы в реальном масштабе времени.

Литература: І.Справочник по радиолокации: в 4 т /Под ред. М.Скольника; пер. с англ. М.: Сов. радио, 1976. 376 с. 2. Бакулев П.А., Степин В.Н. Методы и устройства селекции движущихся целей. М.: Радио и связь, 1986. 288 с. 3. Кузьмин С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки РЛИ. М.: Радио и связь, 1986. 323 с. 4.Жирнов В.В., Литвинов В.В., Филюшкин И.П. Обнаружитель движущихся целей на основе картинных методов обработки. // Судостроительная промышленность. Сер. РЛ. 1991. Вып. 29.С. 78-83. 5.Жирнов В.В., Дохов А.И. Картинные методы извлечения и анализа радиолокационной информации в обзорных РЛС// Прикладная радиоэлектроника. 2004. Том 3, №1. С.29-34. бЖирнов В.В., Лебедев О.Г. Радиолокационные мешающие отражения от неоднородностей приземной окружающей среды. Экспериментальные характеристики и статистическая модель // Радиотехника. 2001. Вып. 121. С. 69-73.7. Шабанов-Кушна-ренко Ю.П. Теория интеллекта. Математические сред-

ства. Х.: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1984. 144 с. 8Жирнов В.В., Солонская С.В. Интеллектуальная система радиолокационного обнаружения малозаметных воздушных объектов // Радиоэлектроника и информатика. 2005. Вып. 3. С.134-138.

Поступила в редколлегию 09.08.2007

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шабанов-Кушнаренко С.Ю.

Жирнов Владимир Витальевич, канд. техн. наук, вед. научн. сотрудник НИЦ ИИРЭСТ ХНУРЭ. Научные интересы: обработка радиолокационной информации, распознавание амплитудных и спектральных радиолокационных изображений Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина 14, тел.: (057)702-11-38, e-mail: vzh@kture.kharkov.ua

Солонская Светлана Владимировна, инженер НИЦ ИИРЭСТ ХНУРЭ. Научные интересы: интеллектуальные системы обработки и распознавания изображений, теория информации. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (057)702-11-38, e-mail:

svsol @kture. kharkov .ua.

УДК519.218:82:621.37

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ, В ВИДЕ СТЕПЕННЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ, ФИЛЬТРОВ АСИММЕТРИЧНО-ЭКСЦЕССНОГО II ТИПА 1-ГО ВИДА ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ ГАУССОВСКОЙ ПОМЕХИ

КОВАЛЬ Е.А._____________________________

Описывается проблема выделения одного из множества шумовых сигналов в условиях его аддитивного взаимодействия с гауссовской помехой. В качестве шумового выступает асимметрично-эксцессный II типа 1-го вида, из класса близких к гауссовским, случайный процесс. К рассмотрению предлагаются математические модели полиномиальных безынерционных фильтров, представляющих собой стохастические полиномы в виде степенных преобразований от суммы полезного шумового сигнала и помехи. Отклик подобных фильтров приближается к полезному сигналу.

Введение

Проблема обеспечения высокой помехоустойчивости систем передачи информации была и остается одной из основных проблем радиотехники. Существует несколько путей ее решения, среди которых: поиск новых видов радиосигналов и устройств для обработки, которые выделяют сигнал из его смеси с помехой наилучшим образом. Одним из направлений развития на пути совершенствования радиосигналов является использование в работе систем связи шумовых сигналов. Перспективным направлением развития подо бных систем связи является использование в качестве шумового сигнала какого-либо из близких

к гауссовским сигналов [1, 2]. Стремление максимально упростить процедуру фильтрации подобных сигналов приводит к рассмотрению возможности использования нелинейных полиномиальных безынерционных фильтров, впервые предложенных в работе [3]. Алгоритм синтеза подобных фильтров для случая аддитивного взаимодействия полезного сигнала и помехи детально рассмотрен в работе [4]. Ранее были приведены математические модели полиномиальных безынерционных фильтров для случаев, когда полезный сигнал представлял со бой один из асимметричных [5, 6] либо эксцессных [7, 8] случайных процессов. В качестве искажающего рассматривался гауссовский случайный процесс. Целью данной работы является исследование процесса фильтрации близких к гауссовским сигналов на фоне их аддитивного взаимодействия с гауссовской помехой, в основу которого положено использование математических моделей полиномиальных безынерционных фильтров. Для достижения поставленной цели нужно решить следующие задачи: синтезировать математические модели полиномиальных безынерционных фильтров степени s = 1,2, 3, 4 асимметрично-эксцессного сигнала II типа 1 -го вида; исследовать эффективность синтезированных математических моделей фильтров.

Сущность

Согласно поставленной задаче, на входе фильтра действует некоторый случайный процесс, представляющий собой аддитивную смесь полезного сигнала

и помехи, т.е. |(t) = s(t) + n(t), где s(t) - асимметрично эксцессный II типа 1 -го вида полезный случайный процесс, а n(t) - помеха в виде гауссовского случайного процесса. В качестве априорно известных статистических характеристик обоих сигналов выступает моментно-кумулянтное описание. Отметим, что решение данной задачи проводится в предположении о стационарности в узком смысле, независимости и равенстве нулю моментов первого порядка обоих

РИ, 2007, № 3

13

случайных процессов. Следовательно, полезный сигнал описывается такими параметрами, как: дисперсия (X2), кумулянтный коэффициент 3-го (уз) и 4-го (у 4) порядков, а помеха описывается лишь дисперсией (л 2). В дальнейшем, для упрощения результатов, будет введено отношение q = % 2 /п 2.

Синтез полиномиального безынерционного фильтра, согласно [4], заключается в определении его коэффициентов hi(s){sk2i,G}(q,Уз>У4), которые, в свою очередь, в данном случае позволяют минимизировать среднеквадратическую ошибку приближения отклика фильтра к полезному асимметрично-эксцессному II типа 1 -го вида сигналу.

Введем следующие обозначения в виде нижних индексов у коэффициентов или их составляющих: i -номер коэффициента; s (в круглых скобках) - степень полиномиального безынерционного фильтра; sk (в фигурных ско бках) - полезный сигнал, который является асимметрично-эксцессным (skewness-kurtosis) случайным процессом; следующие две цифры определяют соответственно тип и вид близкого к гауссовскому случайного процесса; G (в фигурных скобках) - помеха в виде гауссовского (Gaussian) случайного процесса.

Математическая модель подобного фильтра выглядит следующим образом:

_ s .

S(s){sk21,G}(t;h) = h0 +Еhi(s){sk21,G}(q,Уз>У4)^(t) . i=1

Все коэффициенты, в зависимости от степени полиномиального безынерционного фильтра, можно представить в следующем виде:

hi(s){sk21,G} (q У3, У4) =

= Д (1){sk21,G} (q У3 > У4 ){Ai(s){s11,G} (q) +

+ У3 Bi(s){s11,G} (q У3) + У 4 Bi(s){k11,G} (q У4) +

+ У3 У4 Vi(s){sk21,G}(q> У3> У4)}

где коэффициент A(s){sk21,G}(q> У3> У4) можно представить следующим образом:

A (s){sk21,G}(q> У 3> У 4) =

= C(s){s11,G}(q) + У3 D(s){s11,G}(q,У3) +

+ У4 D(s){k11,G}(q>У4) + У3 У4 W(s){sk21,G}(q>У3>У4)-

Качественные характеристики синтезированных математических моделей фильтров будем оценивать коэффициентом уменьшения коэффициента приближения (КУКП) отклика фильтра s-й степени (s > 2) по сравнению с первой [4].

КУКП отклика полиномиального безынерционного фильтра можно представить в следующем виде:

e(s,1){sk21,G} (q У 3 > У 4) =

= A(s){sk21,G} (q У 3> У 4 ) {a(s,1){s11,G} (q) +

+ У 3 b(s,1){s11,G} (q У 3) + У 4 b (s,1){k11,G} (q У 4 ) +

+ У3 У4 v(s,1){sk21,G}(q,У3,У4)}.

Отметим, что составляющие:

Ai(s){s11,G} (q) , Bi(s){s11,G} (q, У 3) , C(s){s11,G} (q) ,

D

равны соответствующим составляющим коэффициентов полиномиального безынерционного фильтра асимметричного I типа 1-го вида полезного сигнала

[5, 9].

Составляющие Bi(s){k11,G}(q>У4) , D(s){k11,G}(q>У4) ,

b(s,1){k11,G} (q, У4) равны соответствующим составляющим коэффициентов фильтра эксцессного I типа 1го вида полезного сигнала [7].

Чтобы не повторяться, выражения для этих коэффициентов в дальнейшем не приводятся. Отметим, что в случае, если не приводятся какие-либо из коэффициентов:

Vi(s){sk21,G}(qУ3>У4) , W(s){sk21,G}(q.У3>У4) , v(s,1){sk2iG}(q> У3> У 4) , предполагается равенство их нулю.

Полученные результаты

При первой степени фильтра его математическая модель описывается единственным коэффициентом, который по своему виду совпадает с характерными для 1 -х степеней фильтров, рассмотренных в работах [5-8]. Соответственно, с основными особенностями качества данного фильтра можно ознакомиться в работе [9].

При степени фильтра s = 2 имеют место выражения, приведенные в [5, 7, 9]. Таким образом, в данной работе представляется целесообразным остановиться лишь на графиках, характеризующих качество фильтрации в зависимости от того или иного параметра.

На рис. 1 -3 приведены объемные и кошурные графики зависимости КУКП отклика фильтра при различных фиксированных значениях q в зависимости от значений кумулянтных коэффициентов { у 3, у 4}.

Отметим, что кумулянтные коэффициенты не могут принимать произвольные значения. C областями их допустимых значений (ОДЗ), в зависимости от степени фильтра, можно ознакомиться в работе [2].

Из приведенных графиков видно, что, как и в предыдущих работах, качество фильтрации улучшается по мере увеличения отношения q. Тем не менее, необходимо отметить значительное улучшение приближения отклика фильтра к полезному сигналу при превышении дисперсии помехи над дисперсией полезного сигнала в 10 раз. КУКП в данном случае приближается к 90 %. Это утверждение справедливо, поскольку на кумулянтный коэффициент у 4 не накладываются ограничения с точки зрения его максимально возможного значения при соответствующих этому зна-

14

РИ, 2007, № 3

чениях у з. При значениях q =1 и q = 10 КУКП отклика фильтра приближается к 100 %.

і

а

б

Рис. 1. Объемный (а) и контурный (б) графики зависимости КУКП отклика полиномиального безынерционного фильтра 2-й степени от { у 3, у 4} при q = 0,1

а

Рис. 2. Объемный (а) и контурный (б) графики зависимости КУКП отклика полиномиального безынерционного фильтра 2-й степени от { у 3, у 4} при q = 1

2,1

0.51

0.01

а

б

Рис. 3. Объемный (а) и контурный (б) графики зависимости КУКП отклика полиномиального безынерционного фильтра 2-й степени от { у 3, у 4} при q = 10

Эффект значительного приближения отклика фильтра к полезному сигналу наблюдается вдоль граничной линии ОДЗ кумулянтных коэффициентов при отдалении у 3 от своего центрального значения ОДЗ и, соответственно, у 4 - от своего минимально возможного значения из ОДЗ.

При s = 3 имеют место следующие оставшиеся составляющие коэффициентов, описывающих и характеризующих математическую модель полиномиального безынерционного фильтра:

V1(3){sk21,G}(q, У 3, У 4 ) =У 3 [3q5 (1 + 4q)];

V2(3){sk21,G}(q,У3,У4) = 3q4 (1 + q)X2°’5;

W(3){sk21,G}(qУ3>У4) = У3 [l2q5 (1 + q)];

42

v(3,1){sk21,G}(q.у3>у4) = y3[3q (1+5q+4q )]-Графики зависимости КУКП отклика фильтра к полезному сигналу в зависимости от { у 3, у 4} при трех фиксированных значениях q приведены на рис. 4-6.

Отметим, что в данном случае наблюдается ярко выраженное улучшение качества фильтрации по мере увеличения отношения q. Оптимальные значения коэффициентов { у 3, у 4} из условия минимума КУКП можно подобрать исходя из контурных графиков. Отметим, что наибольший возможный эффект в улучшении приближения наблюдается в области граничных значений коэффициента у 3. Увеличение значений коэффициента у 4 в положительную сторону так-

РИ, 2007, № 3

15

же позитивно влияет на поведение отклика фильтра. Тем не менее, по сравнению со второй степенью фильтра уже не наблюдается столь значительного максимально возможного уменьшения КУКП, что объясняется более жесткими условиями, налагаемыми на ОДЗ кумулянтных коэффициентов.

а

б

Рис. 4. Объемный (а) и контурный (б) графики зависимости КУКП отклика полиномиального безынерционного фильтра 3-й степени от { у 3, у 4} при q = 0,1

а

б

Рис. 5. Объемный (а) и контурный (б) графики зависимости КУКП отклика полиномиального безынерционного фильтра 3-й степени от { у 3, у 4} при q = 1

Рис. 6. Объемный (а) и контурный (б) графики зависимости КУКП отклика полиномиального безынерционного фильтра 3-й степени от { у 3, у 4} при q = 10

Полиномиальный фильтр 4-й степени характеризуется следующими выражениями:

V1(4){sk21,G} (qУ3>У4) = У3 [_24q5 (1 + q)4 (13 + 30q) +

+ 180q8 (1 + q) (4 + 21q) у32] + у3 у4 {-24q7 (1 + q)2 (26 + + 85q) + y3 [270q10 у3] + y4 [-102q9 (3 + 10q)]};

V2(4){sk21,G}(q, У3,У4) = 1224q4(1 + q)5 X2^ +

+ у3 [-1404 q7 (1 + q)2 у 3] x~0,5 + у 4[1428 q6 (1 + q)3 +

+ 522q8 (1 + q)у4]x~0,5 + у3 у4 {у3 [-414q9]}X~0,5;

V3(4){sk21,G}(q>У3>У4) = У3 [144q6 (1 + q)3 +

+144q9 у32]X21 +У3 У4{84q8 (1 + q)}x21;

V4(4){sk21,G}(q, У3,У4) = “120q5 (1 + q)4 X2^ +

+ y3 [90q8 (1 + q)у3]%~1,5 +y4[-120q7 (1 + q)2 -- 30 q9 у 4] x 21,5;

W(4){sk21,G}(qУ3>У4) = У3 [“720q5 (1 + q)5 +

+ 3780q8 (1 + q)2 у2] + у3 у4 {-2040q7 (1 + q)3 +

+ y3 [270q10 у3] +y4 [-1020q9 (1 + q)]};

v(4,1){sk21,G}(qУ3>У4) = У3 [-360q4 (1 + q)5 (1 + 2q) +

+ 756q7 (1 + q)2 (2 + 5q)у32] + у3 у4 {-12q6 (1 + q)3 (71 + + 170q) + у3 [270 q9 (1 + q) у3] + у4 [-6q8 (71 + 241q +

+ 170q2)]}.

16

РИ, 2007, № 3

На рис. 7-9 приведены графики, показывающие количественные характеристики качества фильтрации при s = 4. Отметим, что в данном случае наблюдаются основные закономерности, отмеченные при анализе фильтров 3-й степени. Отличие состоит в дополнительных ограничениях, налагаемых на ОДЗ кумулян-тных коэффициентов, что повлекло за собой уменьшение минимально возможного значения Є4 д .

б

Рис. 7. Объемный (а) и контурный (б) графики зависимости КУКП отклика полиномиального безынерционного фильтра 4-й степени от { у 3, у 4} при q = 0,1

а

7з

б

Рис. 8. Объемный (а) и контурный (б) графики зависимости КУКП отклика полиномиального безынерционного фильтра 4-й степени от { у 3, у 4} при q = 1

РИ, 2007, № 3

а

б

Рис. 9. Объемный (а) и контурный (б) графики зависимости КУКП отклика полиномиального безынерционного фильтра 4-й степени от { у 3, у 4} при q = 10

Математические модели фильтров при s = 5 и s = 6, учитывая громоздкость описывающих и характеризующих их выражений, в данной статье не рассматриваются.

Выводы

Главная научная новизна работы заключается в том, что впервые синтезированы математические модели полиномиальных безынерционных фильтров асим-метрично-эксцессного II типа 1-го вида полезного случайного процесса. Рассмотрены фильтры степени s = 1, 2, 3, 4. Отклики синтезированных фильтров с ростом степени приближаются к асимметрично-экс-цессному II типа 1 -го вида полезному случайному процессу, о чем говорит неравенство нулю коэффициентов их математических моделей.

Вторым важным результатом является то, что в работе установлены количественные характеристики изменения эффективности математических моделей синтезированных фильтров с ростом их степени, а также в зависимости от параметров полезного и искажающего случайных процессов. Согласно этим характеристикам, негауссовость полезного сигнала начинает проявляться со 2-й степени фильтра. С точки зрения максимально возможного уменьшения КУКП именно фильтр при s = 2 представляет наибольшую ценность, особенно если учесть значительное уменьшение упомянутого коэффициента при q = 0,1. Подобное уменьшение было получено при рассмотрении в качестве полезного сигнала - эксцессного II типа 1-го вида, но оно имело место при q = 1 и q = 10. В общем, по

17

сравнению с ранее рассмотренными классами близких к гауссовским сигналов (асимметричные и экс-цессные), приведенные в этой работе математические модели фильтров позволяют получить максимально возможный выигрыш по приближению их отклика к полезному сигналу с точки зрения минимально возможного значения КУКП.

Необходимо отметить следующую особенность рассматриваемых фильтров: с одной стороны, увеличение степени фильтра при одинаковых значениях { q, щ, щ} приводит к улучшению качества фильтрации, с другой - при увеличении степени фильтра постепенно увеличивается минимальное граничное значение КУКП отклика фильтра, что в свою очередь говорит об уменьшении степени максимально возможного приближения. Последнее обстоятельство объясняется налагаемыми с ростом степени на кумулянтные коэффициенты высших порядков ограничениями.

Практическая значимость исследования состоит в возможности построения с существенно улучшенными характеристиками систем радиосвязи с шумовыми сигналами. С учетом физической реализуемости предположительно наибольшую практическую ценность будут представлять полиномиальные безынерционные фильтры второй и третьей степеней. Область применения подобных фильтров распространяется на системы связи, работающие с полезными сигналами с априорно известными статистическими характеристиками (нулевое математическое ожидание, определенные значения дисперсии и кумулянтных коэффициентов 3 -го и 4-го порядков) в условиях их аддитивного взаимодействия с гауссовской помехой, характеризующейся нулевым математическим ожиданием и определенным значением дисперсии.

Дальнейшие исследования будут направлены на изучение полиномиальных безынерционных фильтров асимметрично-эксцессных сигналов II типа 2-го, 3го и 4-го видов.

Литература: 1. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. М.: Сов. радио, 1978. 376 с. 2. Кунченко Ю.П. Полиномиальные оценки параметров близких к гауссовским случайных величин. Часть 1. Стохастические полиномы, их свойства и применение для нахождения оценок параметров. Черкассы: ЧИТИ, 2001. 133 с. 3. Кунченко Ю.П., Первунинский-С.М. Нелинейные полиномиальные безынерционные фильтры S-й степени / Тезисы докладов Украинской республиканской школы-семинара “Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей”. 1991. 1 с. 4. Кунченко Ю.П., Коваль Е.А., Клопотовский П.А. Синтез полиномиальных безынерционных фильтров и их свойства // Сборник научных трудов 2-го Международного радиоэлектронного форума “Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития”. Харьков, 2005. Т. 4. С. 220-223. 5. Кунченко Ю.П., Коваль Е.А. Полиномы приближения к полезной асимметричной 1-го типа 1-го вида случайной величине в пространстве с порождающей аддитивной смесью полезной и гауссовской искажающей случайной величиной // Вісник ЧДТУ. 2005. №2. С. 15-18. 6. Кунченко Ю. П., Коваль Е. А. Полиномиальная безынерционная фильтрация асимметричного ІІ типа 1-го вида полезного сигнала при гауссовской помехе // Вісник ЧДТУ. 2006. №2. С. 82-87. 7. Кунченко Ю.П., Коваль Е.А. Фильтрация эксцессного I типа 1-го вида полезного сигнала при гауссовской помехе с помощью полиномиальных безынерционных фильтров // Вісник ІАУ.2006. № 1. С. 62-71. 8.

Коваль Е.А. Математические модели полиномиальных безынерционных фильтров эксцессного II типа 1-го вида полезного сигнала при гауссовской помехе // Вісник ЧДТУ. 2006. № 4. 9. Кунченко Ю.П., Коваль Е.А. Анализ точности приближения полиномов к полезной асимметричной 1-го типа 1-го вида случайной величине в пространстве с порождающей аддитивной смесью полезной и гауссовской искажающей случайной величиной // Вісник ЧДТУ. 2005. №4. С. 106-110.

Поступила в редколлегию 22.03.2007

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Шарапов В.М.

Коваль Евгений Александрович, аспирант кафедры радиотехники Черкасского государственного технологического университета. Адрес: Украина, 18018, Черкассы, пер. Филатова, д. 10, E-mail: janito@ukr.net, тел.:

18

РИ, 2007, № 3