О регулярности решения в задаче о равновесии пластины Тимошенко, содержащей наклонную трещину

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1

УДК 517.972

О РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О РАВНОВЕСИИ ПЛАСТИНЫ ТИМОШЕНКО, СОДЕРЖАЩЕЙ НАКЛОННУЮ ТРЕЩИНУ

Н. П. Лазарев, Х. Итоу, П. В. Сивцев, И. М. Тихонова

Аннотация. Исследуется задача о равновесии упругой трансверсально-изотропной пластины (модели Тимошенко), содержащей сквозную наклонную трещину. Считается что трещина не выходит на внешнюю границу. В исходном состоянии предполагается, что противоположные берега трещин соприкасаются друг с другом. При этом трещина описывается с помощью поверхности, которая удовлетворят определенным предположениям. На кривой, задающей трещину в срединной плоскости, ставится краевое условие в виде неравенства, описывающее непроникание противоположных берегов трещины. На внешней границе заданы однородные условия Дирихле. Установлена локальная дополнительная гладкость решения по сравнению с заданной в вариационной формулировке при определенных условиях на поверхность, задающую трещину. Доказана бесконечная дифференцируемость функции решения при дополнительных предположениях на функцию, задающую внешние нагрузки, а также на значения функций перемещений вблизи кривой, описывающей трещину.

Б01: 10.25587/SVFU.2018.1.12767 Ключевые слова: вариационное неравенство, пластина Тимошенко, трещина, условия непроникания, регулярность решения.

Введение

При исследовании задач механики деформирования пластин и оболочек часто используют модели Кирхгофа — Лява и Тимошенко. Для пластин (оболочек), содержащих трещину, классический подход предполагает задание краевых условий в виде равенств на кривой, описывающей разрез (трещину) [1—5]. В настоящее время для моделей пластин и оболочек с трещинами получен широкий круг результатов для нелинейных задач с краевыми условиями в виде системы равенств и неравенств [6-19] и др. Эти условия налагаются на значения функций, которые описывают перемещения точек срединной поверхности пластины (оболочки). С механической точки зрения они описывают непроникание противоположных берегов трещины. В работах [6, 7,14] исследованы нелинейные задачи о равновесии пластины модели Кирхгофа — Лява с условиями непроникания для наклонной трещины. При этом в [6] условие непроникания приведено для трещин, заданных гладкой поверхностью г = ^(^1,^2), где

© 2018 Лазарев Н. П., Итоу Х., Сивцев П. В., Тихонова И. М.

F(x1;x2) — функция, определенная в (срединной) плоскости (x1;x2). В [7] приводится вывод условия непроникания для трещины, которая мало отличается от вертикальной. Кроме того, в [6, 7,14] используются дополнительные (относительно модели Кирхгофа — Лява) предположения о том, что перемещения во всех точках берегов трещины можно задать с помощью перемещений точек, лежащих в срединной плоскости пластины. В работе [16] для математической модели о равновесии пластины Тимошенко, содержащей наклонную трещину, обоснована корректность, найдены соответствующие эквивалентные вариационные и дифференциальные постановки. Кроме того, для одномерного случая (балка с наклонным разрезом) получено аналитическое решение и исследованы его качественные свойства.

В данной работе исследуется задача о равновесии упругой трансверсально-изотропной пластины Тимошенко (см. [16]), содержащей наклонную трещину, с условиями типа неравенств на внутренней границе. Доказана локальная принадлежность решения классу H2 вблизи прямолинейного разреза. Заметим, что вариационная постановка предполагает решение класса H1. Показана бесконечная дифференцируемость решения при дополнительных условиях «нулевого» раскрытия трещины и бесконечной дифференцируемости функции внешних нагрузок. Данная работа обобщает полученные ранее результаты о регулярности решений в задаче о равновесии пластины Тимошенко с вертикальной трещиной [11].

1. Постановка задачи

Пусть О С R2 — ограниченная односвязная область с гладкой границей д£1, Гс — гладкая кривая без самопересечений такая, что Гс С О, <9ГС ф Гс. Обозначим через v = v(x) = (v1;v2), x = (x1 , x2) G Гс, вектор нормали к Гс. Как и в работах [7,16], определим поверхность

S = {(xi, x2, z) | |z| < h, x = (xi, x2), x = x — zv(x) tg a(x), x G Гс},

где a(x), |a(x)| < n/2, x G Гс — функция двух переменных (рис. 1).

Предположим, что нормаль n(x, z) к поверхности S при фиксированном x G Гс остается неизменной, т. е.

n(x, z) = n(x, 0) = (v(x) cos a(x), sin a(x)) Vx = x — zv(x) tg a(x), |z| < h.

Заметим, что этим свойством обладают, например, поверхности S, образованные с помощью плоскости или конической поверхности.

Предположим, что в исходном недеформированном состоянии пластина, содержащая наклонную трещину, задается в трехмерном пространстве R3 множеством iî x [—h, h] \ S. При этом поверхность S соответствует трещине (разрезу) нулевой ширины. В срединной плоскости z = 0 имеем негладкую область = 0\ГС. В соответствии с направлением нормали v выберем положительные Г+, S+ и отрицательные Г-, S- берега кривой Гс и поверхности S.

Обозначим через х = x(x) = (W,w), x G , вектор перемещений точек срединной поверхности, где W = (w1, w2) и w горизонтальные (вдоль плоскости (xi, x2)) и вертикальные перемещения соответственно. Углы поворота нормальных сечений обозначим через ф = ф (x) = (ф1 ,ф2), x G Qc.

Приведем известные тензорные соотношения теории упругости, справедливые для упругих трансверсально-изотропных пластин [20]. Тензоры, описывающие деформацию пластины, определяются по формулам

//ч 1(d^i дфЛ ,ТТЛЧ 1(dwi dwj\

Тензоры моментов и усилий вычисляются по формулам

mij

(по повторяющимся индексам проводится суммирование), где ненулевые постоянные коэффициенты тензора cijkl определяются соотношениями

Ciiii = D, Ciijj = Dk, Cijij = Cijji = D(1 - к)/2, i,j = 1, 2, i = j,

D — цилиндрическая жесткость пластины, к — коэффициент Пуассона. Для вектора поперечных сил q = (q1 ,q2) выполняются следующие равенства [20]:

/ dv \

qi

где Л = , к' — коэффициент сдвига, — модуль сдвига в площадках, перпендикулярных срединной плоскости пластины. Предполагаем, что все коэффициенты, описывающие упругие свойства пластины, постоянны.

Пусть H1 (Qc) — пространство Соболева, H1,0(Qc) — его подпространство, состоящее из всех функций, которые обращаются в нуль на внешней границе dQ. Введем следующие обозначения:

H (Qc ) = H1,0 (Qc )5, II • || = Н1н (пс).

Пусть r¡ = (W,w,4fj) £ Н(ПС), r¡ = (W,w,ip) £ Н(ПС). Определим билинейную форму

B(r¡, fj) = J{alj{W)elj{W)+mlj{^)elj{^)+k{w,l+ÍJl){w,l +фг)). па

Заметим, что для билинейной формы справедлива оценка

> сУпУя

c не зависящей от п постоянной c > 0 [11]. Функционал потенциальной энергии деформированной пластины имеет вид

п

oc

где F = (fi, /з,МъМ2) е L2(Oc)5 — вектор заданных внешних нагрузок.

На внешней границе дО зададим краевые условия жесткого защемления:

П = 0 на дО, где п =

Как известно, в модели Тимошенко перемещения х(ж, z) = (W(ж, z), г(ж, z)) для точек пластины, отстоящих от срединной поверхности на расстояние |z | < h, выражаются с помощью перемещений в срединной поверхности х(ж, 0) = х(ж) = (W, w) и углов поворота нормальных сечений ф = ф(ж). При этом справедливы следующие формулы [20]:

W(ж, z) = W(ж) + zф(ж), г(ж, z) = w(x), |z| < h, ж е Ос.

Пусть угол а(ж) достаточно мал при всех ж е Гс. Предположим, что перемещения в точках (ж, z) е Е± (на берегах трещины) можно выразить с помощью следов функций W(ж), г(ж), ф(ж) на кривой Гс следующими равенствами:

W±

где ж = ж — z^(ж) tg а(ж).

Условие непроникания берегов трещины заключается в том, что разность перемещений х(ж, z)+ на положительном берегу S+ и х(ж, z)- на S- в проекции на нормаль п(ж, z) должна быть неотрицательной (см. [16]):

(х(ж, z)+ — х(ж, z)-)) • (^(ж) cos а(ж), sin а(ж)) > 0, (ж, z) е S.

С учетом (6), подставляя экстремальные значения z = h, z = —h, находим

[Wv] cos a — h|[ф^] | cos a + [w] sin a > 0, ж е Гс,

где ф^ = фiVi, Wv = Wi^i, [v] = v|r+ — v|r-. Поделив последнее соотношение на cos a, выведем условие непроникания для наклонной трещины

[Wv] + [w]tga > h|^v]|, ж е Гс.

Заметим, что при а = 0 неравенство (7) обращается в известное условие непроникания для вертикальных трещин, содержащихся в пластинах модели Тимошенко [17,18]. Если же для углов поворота вблизи трещины выполняются соотношения гипотезы «прямых нормалей» Кирхгофа — Лява: фi + w,i = 0, i = 1, 2, то (7) принимает вид условия непроникания для наклонной трещины в пластине Кирхгофа — Лява [7,14].

Задача о равновесии пластины, содержащей наклонную трещину, формулируется в виде минимизации функционала энергии [16]

Inf П

r/EK

где

K = {n G H(üc) | п = (W,w,ф) удовлетворяет (7)} — множество допустимых функций. Известно, что задача (8) имеет единственное решение £ = (U, u, ф) и эквивалентна следующему вариационному неравенству:

С G K, B

na

Кроме того, при условии достаточной гладкости решения £ вариационной задачи (8) функция удовлетворяет следующей дифференциальной постановке, состоящей из уравнений равновесия (10)—(12) и граничных условий (13)—(17):

aij,j(U) = -fi, в üc, i = 1, 2, mij,j(ф) - qi(u, Ф) = -Mi, в üc i = 1, 2,

qi,i (u, ф) = -fs в üc, U = ф = 0, u = 0 на dü, \ov] = [mv] = 0, [uT] = [mT] =0, gv tg а = qv на Гс, <jT = mT = 0, [Uv] + [u] tg а > h|^v]|, -hav > |mv | на Гс

<т„ + {WA + N tga + h[(j>v]) = 0 на Гс,

<Jv - + [и] tga - ЩфА) = 0 на Гс.

10) 11) 12)

13)

14)

15)

16) 17)

И наоборот, достаточно гладкая функция £ = (и, и, ф), удовлетворяющая (10)— (17), является решением вариационной задачи (8) (см. [16]).

2. Гладкость решения в случае нулевого раскрытия трещины

В этом разделе рассматривается вопрос о регулярности решений. До сих пор предполагалось, что берега трещины могут расходиться. Пусть теперь раскрытие трещины в некоторой окрестности точки х0 = (х0,х2) € Гс является нулевым. Это условие можно записать в виде

[£] = 0 на #(х°) П Гс.

Докажем, что в этом случае при дополнительном условии бесконечной диф-ференцируемости функции Е в этой же окрестности #(х°) решение £ также состоит из бесконечно гладких функций в #(х°). Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть Е € Сто(#(х0))5 и [£] = 0 на б(х0) П Гс. Тогда £ € С то(#(х°))5.

Доказательство. По условию теоремы имеют место соотношения [и] = [ф] =

и,ф € Н^(х0))2, и € НХ(#(х0)).

Для начала рассмотрим уравнение (10) и установим, что оно выполняется также в области #(х°). Из вариационного неравенства (9) подстановкой пробных функций вида г] = £±т/, удовлетворяющих ту = (\¥, Тй, ф), ф = 0, гй = 0, получим

J (Тц{иУШг^ = J ¡гШг УШг € г = 1,2.

Отсюда, поменяв области интегрирования с на #(х°), можно легко получить равенства

(и)в,3 = I ч (и)в,3 = 1 /гв = У /гв

пс £?

для любых в € С0^^(х0)), г = 1, 2. Данные соотношения при г = 1, 2 и определяют выполнение равенства в (10) в смысле распределений в области #(х°). Аналогично из (9) получим

У тц

е

У дг

£?

для любой в € С^(<?(х0)). Последние соотношения означают, что уравнения (11), (12) выполняются в смысле распределений в области #(х°). Представим уравнения (10)—(12), выполненные в #(х°), следующим образом:

Ь

М

N

соответственно. Здесь Ь, М, N — эллиптические операторы.

Далее используем результаты о внутренней гладкости решений эллиптических уравнений (см. [22]). Из (21) следует, что и € С^°(б(х0))2. Покажем, что

ф € <с№°))2, и € <с№0))

для любого I = 1, 2,.... В самом деле, из (20) следует, что ф € Н12С(#(ж°))2, тогда правая часть в (22) принадлежит НоС(^>(ж°)). Отсюда, в свою очередь, вытекает, что и € ЯЮ^^ж0)). Аналогично, поскольку правая часть в (20) принадлежит Н2ОС(#(ж°)), имеем включение ф € НО^^ж0))2. Продолжая описанную схему, устанавливаем справедливость (23). Согласно теоремам вложения (см. [21]) заключаем, что

ф € Ск (#(ж° ))2, и € Ск (#(ж°)) V к =1, 2,..., откуда и следует утверждение теоремы.

3. Дополнительная гладкость решения

В данном разделе исследуется регулярность без дополнительных условий на решение £ и функцию .Р, описывающую внешние нагрузки. Докажем, что решение при дополнительном условии на поверхность трещины имеет локальную гладкость выше, чем гладкость, доставляемую вариационной постановкой.

Здесь снова обозначим через ж° = (ж°,ж2) € Гс некоторую фиксированную точку. Сформулируем следующее условие.

Предположение 1. Пусть локально поверхность трещины является частью некоторой плоскости, для которой пересечение Гс П С(ж°) границы Гс с некоторой окрестностью С(ж°) С К2 точки ж° параллельно оси Ож1 (рис. 2).

Заметим, что при выполнении предположения 1 в окрестности #(ж°) угол а, характеризующий наклон поверхности трещины, постоянен. Обозначим через Д (ж°) С К2 открытый шар радиуса 6 с центром в точке ж°. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть выполнены условия пред- Рис 2 Прям°линейный участок положения 1. Тогда имеет место включение

£ € РазРеза Гс с °кРестн°стью

Н2(Д,5(ж°) П Ос)5 для достаточно малых 6.

Доказательство. Выберем гладкую функцию ^ такую, что ^ = 1 в Дй (ж°), ^ = 0 вне Д3<5/2(ж°), 0 < ^ < 1 всюду. Включение Д2<5 (ж°) С #(ж°) предполагается выполненным.

Введем обозначения

^±лр(ж) = А-1(р(ж ± Ае) - р(ж)), ДА =

е — единичный вектор оси Ож1, 0 < |А| < 6/2. В этом случае функции А2 А2 А2

их = и+ = щ + Фг = фъ + -^^Ахфп г = 1,2,

определены в области Ос. В соответствии с вышеуказанными предположениями нормаль V имеет координаты (0,1) вблизи ж°, значит, условие непроникания (2) на Гс П #(ж°) имеет вид

Ы + [и]1я а > Л|[ф2]|.

--........-Р^)

| лггп тт г\ лтя/пя ЪТФР'ПТ/Т'ЗЛТ- I / \

'' гс

Легко проверить, что для введенной выше функции р отображение С : Н(0с) ^ Н(0с), определенное равенством

А2

С{р) = р + —<р2А\р, сохраняет неотрицательный знак на Гс П б (ж0), т. е. если р > 0 на Гс П б (ж0), то

С(р) > 0 на Гс Пб(ж0).

Действительно, для ж € Гс П б (ж0) имеем

А 2 р2(ж) р(ж) + — р2(х)А\р(х) = (1 — р2(х))р(х) Н---—[р(ж — Ае) + р(ж + Ае)] > 0.

Кроме того, можно заметить следующее свойство линейности:

С

для любых постоянных А, В € 1. Поскольку £ удовлетворяет на Гс П б (ж0) неравенству (24), функция £А = ( и^, иа, иА, фА, фА) в силу свойств отображения С : Н(Ос) ^ Н(Ос) также удовлетворяет неравенству

[иА] + [иА^ а > Л|[фА)| на Гс Пб (ж0).

Следовательно,

[(иА)^] + [иА] а > ^|[(фА)»]| на Гс.

Предыдущие рассуждения позволяют заключить, что £А € К. Подставим £а в вариационное неравенство в качестве пробной функции. В итоге получаем неравенство

(р2АаФ))с + к (и),£ц (р2Аа^)>с

+

где через (•, •) для удобства обозначено скалярное произведение в соответствующем пространстве Ь2(0,с) (для правой части в Ь2(&с)5). Можно проверить, что разность между выражениями

(<Гц (и ), £ij (р2ААи )>с и - (<7^ (вАри ), £ij (вАри )>с

может быть оценена сверху правой частью следующего далее неравенства (26) (см. [23]). Аналогично разность между

(т^(ф),е^ (р2АаФ))с и - (ш^(в,Арф),е^ (в,Арф))с

между

(и,г +фг, (р2ААи),г +р2ДАфг)с и - ((в,А(ри),г +в,А(рфг)), (в,А(ри),г +в,А(рфг)))с может быть также оценена сверху той же величиной.

Таким образом, соотношение (25) влечет следующее неравенство:

(dA (^U )))c

+ A

где A, B — положительные величины, не зависящие от Л. Применяя для левой части (26) неравенство (3), находим

C3||dAMH(nc) < (A + B||dA(v>OllH(nc)),

где постоянная C3 > 0 не зависит от Л. Отсюда получаем оценку

|dA(^£)|H(Oc) < С равномерно для всех Л £ (0, Ло]. Последнее означает (см. [21]), что

д

Следовательно, функции u^n, uij12, ф^п, фг,12, i = 1, 2; u,n, u,i2 принадлежат L2(Rä(x°) П Oc). Вместе с этим равенство (10) может быть представлено так:

U, 22 = Ф.

Функция Ф зависит от /1, /2, U,12, U,11 линейно. Ввиду установленных включений имеем Ф £ L2(R^(x0) П Qc). Таким образом, производные U до второго порядка включительно принадлежат L2(R^(ж°) П Oc). Рассмотрим теперь уравнение (11). Поскольку u, ф^, £ L2(Oc) при i = 1,2, его можно записать в виде ф,22 = S. Функция S является линейной комбинацией функций из L2(R^(x°) П Oc). Перепишем уравнение (12) в виде u,22 = — (фг,г + u,11) — Л-1/з. Очевидно, что правая часть последнего равенства принадлежит L2(R(ж°)ПОе). Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

2. Работнов Ю. И. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

3. Левин В. А., Морозов Е. М. Матвиенко Ю. Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004.

4. Слепян Л. И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981.

5. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

6. Хлуднев А. М. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину // Прикл. механика и техн. физика. 1997. T. 38, № 5. C. 117—121.

7. Ковтуненко В. А., Леонтьев А. Н., Хлуднев А. М. Задача о равновесии пластины с наклонным разрезом // Прикл. механика и техн. физика. 1998. Т. 39, № 2. C. 164—174.

8. Хлуднев A. M. Задачи теории упругости в негладких областях. М.: Физматлит, 2010.

9. Lazarev N. P., Rudoy E. M. Optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic plate on the outer edge // Z. Angew. Math. Mech. 2017. V. 97, N 9. P. 1120-1127.

10. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пологой оболочки Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. T. 15, № 3. C. 58-69.

11. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко, содержащей сквозную трещину // Сиб. журн. индустр. математики. 2011. T. 14, № 4. C. 32-43.

12. Рудой Е. М. Формула Гриффитса и интеграл Черепанова — Райса для пластины с жестким включением и трещиной // Вестн. НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, № 2. С. 98-117.

13. Khludnev A. M. Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates // Europ. J. Mech. A Solids. 2012. V. 32, N 1. P. 69-75.

14. Неустроева Н. В. Задача о равновесии упругой пластины, содержащей наклонную трещину на границе жесткого включения // Сиб. журн. индустр. математики. 2015. T. 18, № 2. C. 74-84.

15. Shcherbakov V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks // Z. Angew. Math. Phys. 2016. V. 67, N 3. 71.

16. Лазарев Н. П. Задача о равновесии пластины Тимошенко с наклонной трещиной // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 4. С. 171-181.

17. Лазарев Н. П. Итерационный метод штрафа для нелинейной задачи о равновесии пластины Тимошенко, содержащей трещину // Сиб. журн. вычисл. математики. 2011. T. 14, № 4. C. 381-392.

18. Lazarev N. P., Rudoy E. M. Shape sensitivity analysis of Timoshenko's plate with a crack under the nonpenetration condition // Z. Angew. Math. Mech. 2014. V. 94, N 9. P. 730-739.

19. Lazarev N. P., Itou H., Neustroeva N. V. Fictitious domain method for an equilibrium problem of the Timoshenko-type plate with a crack crossing the external boundary at zero angle // Jpn. J. Ind. Appl. Math. 2016. V. 33, N 1. P. 63-80.

20. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук. думка, 1973.

21. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

22. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

23. Khludnev A. M., Sokolowski J. Modelling and control in solid mechanics. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser-Verl., 1997.

Статья поступила 18 января 2018 г. Лазарев Нюргун Петрович

Научно-исследовательский институт математики СВФУ, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000; nyurgunSngs.ru

Itou Hiromichi

Tokyo University of Science, Department of Mathematics, 1-3 Kagurazaka, Shinjuku-ku, Tokyo 162-8601; h-itouSrs.tus.ac.jp

Сивцев Петр Васильевич

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 42, Якутск 677000; sivkapetr@mail.ru Тихонова Ирина Михайловна

Научно-исследовательский институт математики СВФУ, ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000 IrinaMikh3007@mail.ru

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2018. Том 25, № 1

UDC 517.972

ON THE SOLUTION REGULARITY

OF AN EQUILIBRIUM PROBLEM

FOR THE TIMOSHENKO PLATE

HAVING AN INCLINED CRACK

N. P. Lazarev, H. Itou, P. V. Sivtsev, and I. M. Tikhonova

Abstract: The equilibrium problem for an transversely isotropic elastic plate (Timo-shenko model) with an inclined crack is studied. It is supposed that the crack does not touch the external boundary. For initial state, we assume that opposite crack faces are in contact with each other on a frictionless crack surface. Herewith, the crack is described with the use of a surface satisfying certain assumptions. On the crack curve defining the crack in the middle plane, we impose a nonlinear boundary condition as an inequality describing the nonpenetration of the opposite crack faces. It is assumed that on the exterior boundary of the cracked elastic plate the homogeneous Dirichlet boundary conditions are prescribed. We establish additional smoothness of the solution in comparison with that given in the variational statement. We prove that the solution functions are infinitely smooth under additional assumptions on the function of external loads and the functions of displacements near the curve describing the inclined crack.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.1.12767

Keywords: variational inequality, Timoshenko plate, crack, nonpenetration condition, solution regularity.

REFERENCES

1. Cherepanov G. P., Mechanics of Brittle Fracture [in Russian], Nauka, Moscow (1974); English transl.: McGraw-Hill, New York (1979).

2. Rabotnov Yu. N., Mechanics of a Deformable Rigid Body [in Russian], Nauka, Moscow (1988).

3. Levin V. A., Morozov E. M., and Matvienko Yu. G., Selected Nonlinear Problems in Mechanics of Fracture [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2004).

4. Slepyan L. I., Mechanics of Cracks [in Russian], Sudostroenie, Leningrad (1981).

5. Morozov N. F., Mathematical Problems of the Theory of Cracks [in Russian], Nauka, Moscow (1984).

6. Khludnev A. M., "Equilibrium problem of an elastic plate with an oblique crack," J. Appl. Mech. Tech. Phys., 38, No. 5, 757-761 (1997).

7. Kovtunenko V. A., Leont'ev A. N., and Khludnev A. M., "Equilibrium problem of a plate with an oblique cut," J. Appl. Mech. Tech. Phys., 39, No. 2, 302-311 (1998).

8. Khludnev A. M., Elasticity Problems in Nonsmooth Domains [in Russian], Fizmatlit, Moscow (2010).

9. Lazarev N. P. and Rudoy E. M., "Optimal size of a rigid thin stiffener reinforcing an elastic plate on the outer edge," Z. Angew. Math. Mech., 97, No. 9, 1120-1127 (2017).

10. Lazarev N. P., "The equilibrium problem for a Timoshenko-type shallow shell containing a through crack," J. Appl. Ind. Math., 7, No. 1, 78-88 (2013).

© 2018 N. P. Lazarev, H. Itou, P. V. Sivtsev, I. M. Tikhonova

On the solution regularity of an equilibrium problem

49

11. Lazarev N. P., "An equilibrium problem for a Timoshenko plate with a through crack [in Russian]," Sib. Zh. Ind. Mat., 14, No. 4, 32-43 (2011).

12. Rudoy E. M., "Griffith's formula and Cherepanov-Rice's integral for a plate with a rigid inclusion and a crack," J. Math. Sci., 186, No. 3, 511-529 (2012).

13. Khludnev A. M., "Thin rigid inclusions with delaminations in elastic plates," Eur. J. Mech., A, Solids, 32, No. 1, 69-75 (2012).

14. Neustroeva N. V., "An equilibrium problem for an elastic plate with an inclined crack on the boundary of a rigid inclusion," J. Appl. Ind. Math., 9, No. 3, 402-411 (2015).

15. Shcherbakov V., "Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks," Z. An-gew. Math. Phys., 67, No. 3, 71 (2016).

16. Lazarev N. P., "Equilibrium problem for a Timoshenko plate with an oblique crack," J. Appl. Mech. Tech. Phys., 54, No. 4, 662-671 (2013).

17. Lazarev N. P., "An iterative penalty method for a nonlinear problem of equilibrium of a Timo-shenko-type plate with a crack," Numer. Anal. Appl., 4, No. 4, 309-318 (2011).

18. Lazarev N. P. and Rudoy E. M., "Shape sensitivity analysis of Timoshenko's plate with a crack under the nonpenetration condition," Z. Angew. Math. Mech., 94, No. 9, 730-739 (2014).

19. Lazarev N. P., Itou H., and Neustroeva N. V., "Fictitious domain method for an equilibrium problem of the Timoshenko-type plate with a crack crossing the external boundary at zero angle," Japan. J. Ind. Appl. Math., 33, No. 1, 63-80 (2016).

20. Pelekh B. L., Shell Theory with Finite Shear Stiffness [in Russian], Naukova Dumka, Kiev

21. Mikhailov V. P., Partial Differential Equations, Mir, Moscow (1978).

22. Lions J. L. and Magenes E., Nonhomogeneous Boundary Value Problems and Applications, V. 1, Springer-Verlag, Berlin, New York (1972).

23. Khludnev A. M. and Sokolowski J., Modelling and Control in Solid Mechanics, Birkhauser-Verlag, Basel, Boston, Berlin (1997).

Submitted January 18, 2018 Nyurgun P. Lazarev

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia nyurgunSngs.ru

Hiromichi Itou

Tokyo University of Science,

Department of Mathematics,

1-3 Kagurazaka, Shinjuku-ku, Tokyo 162-8601

h-itouSrs.tus.ac.jp

Petr V. Sivtsev and Irina M. Tikhonova M. K. Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia sivkapetrSmail.ru, IrinaMikh3007Smail.ru