Многокритериальные оптимизационные задачи и методы их решения

УДК: 330.4

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

В.И. КОЛЕСНЁВ, кандидат экономических наук, доцент И.В. ШАФРАНСКАЯ, кандидат экономических наук, доцент УО «Белорусская государственная сельскохозяйственная академия»

MULTICRITERIAL OPTIMISING PROBLEMS AND METHODS OF THEIR DECISION

VI. KOLESNEV, Сandidate of Economics, associate professor I.V. SHAFRANSKAIA, Candidate of Economics, associate professor The Education Establishment «Belarusian State Agricultural Academy»

Применение разработанной типовой модели в доступном виде для специалистов сельскохозяйственных предприятий имеет большое значение, так как предполагает определение конкретных плановых показателей на базе современных методов моделирования и прогнозирования и основывается на применении распространенных стандартных программ и информационных технологий. При этом решение экономико-математических задач требует учета множества критериев, что ведет к обоснованию задач векторной оптимизации. Поэтому поиск такого решения, которое было бы наилучшим или компромиссным при выполнении всех критериев оптимальности, приведет к более обоснованным плановым расчетам в практической работе сельскохозяйственных организаций.

The application of the developed typical model in an accessible kind of great importance for experts of the agricultural enterprises, as assumes concrete planned targets on the basis of modern methods of modeling and forecasting and is based on application of widespread standard programs and information technology. Thus the decision of economic-mathematical problems demands the account of set of criteria that conducts to a substantiation of problems of vector optimization. Therefore search of such decision which would be the best or compromise at performance of all criteria of an optimality will lead to more well-founded planned calculations in practical work of the agricultural organizations.

Введение. В силу специфики своего развития сельскохозяйственное производство многокритериально, то есть коллектив сельскохозяйственной организации заинтересован в получении максимальной прибыли, росте выручки от реализации продукции, снижении денежных затрат. Поэтому возникает необходимость поиска решений экономико-математических 92

задач (ЭМЗ), отвечающих разным критериям оптимальности [8, с. 11]. Многокритериальные оптимизационные задачи требуют учета и соблюдения следующих условий:

а) обоснование набора (перечня) критериев, подлежащих рассмотрению в данной модели. Такой подход предполагает определение характера исследуемого процесса, где на основе логического анализа устанавливаются возможные показатели экономической эффективности. На практике редко встречаются задачи, когда необходимо одновременно рассматривать более трех-четырех критериев;

б) оценка относительной предпочтительности критериев или построение некоторой шкалы. Такая проблема решается на основе экспертных оценок, где условия предпочтительности могут быть выражены в баллах оценки каждого критерия или в виде некоторых весовых коэффициентов. В некоторых случаях (при экономической равнозначности критериев) их ранжирование не производится;

в) определение условий возможного компромисса и выбор схемы расчета обобщенного критерия. Условия возможного компромисса могут быть сформулированы по-разному: минимизация относительных отклонений от оптимальных значений по всем рассматриваемым критериям, фиксирование одного из критериев на некотором заданном уровне и оптимизация по следующему критерию. В соответствии с этим разработаны различные методы решения многокритериальных задач.

Основная часть. Выбор наилучшего варианта развития сельскохозяйственной организации из возможных альтернатив целесообразнее осуществлять с помощью оптимизационной экономико-математической модели [1, с. 76]. Наиболее приемлемые критерии оптимальности на нынешнем этапе развития экономики следующие: а) максимум прибыли; б) максимум выручки от реализации продукции; в) минимум материально--денежных затрат [4, с. 69].

Поэтому вначале была решена экономико-математическая задача для обоснования прогнозного развития РУП «Учхоз БГСХА» по каждому из представленных критериев в отдельности. ЭМЗ оптимизации специализации и сочетания отраслей сельскохозяйственного предприятия размерностью т х п = 55 х 80 имеет типичные ограничения.

Вариант решения задачи с целевой функцией «максимум прибыли от реализации продукции» показал следующие конечные результаты: прибыль в объеме 8026,5 млн руб., рентабельность 20,2 %. Вариант решения задачи с целевой функцией «максимум выручки от реализации продукции» показал наибольшее значение денежной выручки - в объеме

54569,3 млн руб. Вариант решения задачи с целевой функцией «минимум материально-денежных затрат» приводит к таким итоговым цифрам: издержки в сумме 36455,5 млн руб. с рентабельностью 10,5 %.

Таким образом, при решении одной и той же задачи по разным критериям (максимум прибыли от реализации продукции, максимум денежной выручки, минимум издержек) результаты существенно отличаются размером производства (интенсивностью), показателями эффективности. Поэтому требуется использование и других способов решения многокритериальных задач [3, с. 219].

Рассмотрим метод линейной свертки, суть которого заключается в сведении многокритериальной задачи к однокритериальной путем введения суперкритерия [7, с. 34]. Речь идет о свертывании критериев в единый, другими словами, это метод линейной комбинации частных критериев.

Формула аддитивной свертки критериев имеет следующий вид:

п

Ф =

1=1

где/. - локальный критерий вида 1, 1 = 1,п;

Vг - вес критерия вида 1, 1 = 1,п .

Таким образом, линейная скаляризованная функция представляет собой сумму частных критериев, умноженных на весовые коэффициенты. Далее покажем решение задачи, в которой целевая функция - сумма произведений прибыли и выручки от реализации продукции на соответствующие их веса.

Рассматривались два однонаправленных критерия - прибыль и выручка от реализации продукции. Вес каждого критерия определялся экспертным путем. Были сформированы три экспертные группы из руководителей сельскохозяйственных организаций Горецкого района, которые каждому критерию присвоили определенную оценку (балл) от 1 до 5. Балльные оценки были нормированы, для этого определили сумму оценок, выставленных каждой экспертной группой, по всем критериям, а затем каждая из оценок была поделена на полученную сумму. Далее нормированные оценки всех экспертных групп по каждому критерию были просуммированы, а полученная сумма поделена на число экспертных групп. В результате расчетов получили следующие веса: прибыль -0,62; выручка от реализации продукции - 0,38. Данный вариант позволит организации получить наивысшую прибыль, равную 13699,7 млн руб. При этом уровень рентабельности составит 33,6 % .

Рассмотрим метод ведущего критерия, суть которого сводится к тому, что все целевые функции, кроме одной, переводятся в разряд ограничений [6, с. 245]. Один из наиболее предпочтительных критериев, используемых в качестве целевой функции задачи, - прибыль организации. Его выберем в качестве ведущего.

Требования критериев выручки от реализации продукции и материально-денежных затрат запишем в виде ограничений экономико-математической задачи, задав им нижние границы, равные 51840,8 и 38278,3 млн руб. Далее вычислим итоговые показатели решения задачи, в которой целевая функция - максимум прибыли от реализации продукции с ограничениями на выручку от сбыта и материально-денежными затратами. Значение прибыли составит 13562,5 млн руб., рентабельность - 35,4 %.

Далее рассмотрим метод последовательных уступок [5, с. 137]. Его сущность состоит в замене многокритериальной задачи оптимизации последовательностью однокритериальных задач. Вначале исследуемые критерии ранжируются в порядке убывания их значимости. Задача решается с первым по значимости критерием/ и определяется его экстремальное значение /*. Затем назначается величина допустимого отклонения критерия от его оптимального значения, то есть уступка Д/, и решается задача еще раз, но уже со вторым по значимости критерием / при условии, что отклонение первого критерия от его оптимального значения не превзойдет величины уступки. Далее назначается уступка для второго критерия и задача решается с третьим критерием и т. д. Таким образом, решение каждой исследуемой задачи основано на решении предыдущей, так как оно содержит дополнительные ограничения, характеризующие величину уступки по критериям.

Возьмем первый по значимости критерий - прибыль от реализации продукции. Найдя оптимальное решение по данному критерию, устанавливаем по нему уступку - 2728,5 млн руб. прибыли, что предполагает прирост данного показателя к фактическому параметру как минимум в 1,16 раза. Далее решаем задачу по второму критерию - денежная выручка от реализации продукции - с учетом первого дополнительного ограничения по получению прибыли не ниже ранее установленного значения. Найдя экстремальное значение второй целевой функции, делаем уступку по второму критерию - денежная выручка - в размере 551,4 млн руб. Переходим к следующему этапу, то есть вводим в задачу еще одно дополнительное ограничение. Новую задачу с двумя дополнительными ограничениями (на размер прибыли и количество денежной выручки) будем решать по третьему критерию - минимум материально-денежных затрат. Таким образом, находим экстремальное значение наименее важного критерия при условии

гарантированных значений более важных критериев. Проанализируем итоги решения экономико-математической задачи с целевой функцией «минимум материально-денежных затрат», которая являлась третьим критерием при использовании метода последовательных уступок. Значение прибыли составит 7625,2 млн руб., рентабельность - 18,9 %.

Следовательно, полученное таким методом решение не является оптимальным по обеспечению экстремума ни по одному из вводимых в модель критериев, но одновременно учитывает их все. Однако проблема в том, что условной является величина принимаемой уступки. Хотя можно обосновать величину уступок, предварительно изучив размах варьирования значений каждого критерия.

Метод последовательных уступок обладает еще и тем недостатком, что степень приближения окончательного решения к каждому отдельному оптимуму, кроме первого, остается неопределенной, и решение может оказаться ближе к экстремуму по менее важному критерию.

Рассмотрим метод равных и наименьших относительных отклонений. Его суть состоит в том, что исходная задача решается по каждому критерию отдельно, вычисляя для них экстремальные значения. После этого ставится требование, чтобы компромиссному плану соответствовали равные и минимальные относительные отклонения всех критериев от своих экстремальных значений. Равенство отклонений обеспечивается дополнительными ограничениями, вводимыми в задачу.

Итак, нами была решена задача с тремя вариантами целевой функции: / - максимизация прибыли;/ - максимизация выручки;/ - минимизация издержек. Далее запишем дополнительные ограничения для ввода критериев / / /) в число неизвестных экономико-математической задачи и выполнения требования равных относительных отклонений значений критериев в компромиссном решении от их экстремальных значений с учетом, что:

1//* = 1/8026,5 = 0,000125;

1//2* = 1/54569,3 = 0,000018;

1//3* = 1/36455,5 = 0,000027.

Следовательно, вводим в задачу три ограничения (равенства), обозначающие значения каждого критерия оптимальности, и два ограничения:

0,000125/1 - 0,000018/2=0;

0,000125/1 + 0,000027/; = 2.

В качестве целевой функции расширенной задачи возьмем первый критерий:

F = f (max).

Полученное компромиссное решение характеризуется одинаковыми равными и наименьшими относительными отклонениями критериев:

(f* - fi )/f* = (f* - f2)/f* = (f* - /з)/f* = 0,386.

В процессе решения задачи была получена оптимальная программа, конечные результаты в которой следующие: прибыль в размере 4554,5 млн руб., а уровень рентабельности составит 9,8 %.

Для использования метода минимакса необходимо решить экономико-математическую задачу по каждому из критериев (f f f3); ввести в задачу дополнительные ограничения, соответствующие виду целевых функций; включить в число неизвестных экономико-математической задачи величину, отражающую максимальное относительное отклонение, которое будем минимизировать [2, с. 395].

Для нашей задачи были выписаны значения всех критериев (прибыль, выручка, издержки) в трех вариантах оптимальных решений. Для нахождения компромиссного решения методом минимакса к исходной системе ограничений добавляем ограничения по прибыли, выручке, издержкам с учетом новой неизвестной переменной (новый критерий оптимальности), значение которой в целевой функции будет минимизировано.

По данному варианту программы организация получит прибыль в размере 6816,0 млн руб., при этом уровень рентабельности составит 17,0 %. Таким образом, значения экономических показателей этого компромиссного решения следующие: выручка от реализации продукции - 46818,4 млн руб., или 85,8 % от ее максимального значения; материально-денежные затраты - 40002,4 млн руб., или 109,7 % от их минимального значения; прибыль - 6816,0 млн руб., или 84,9 % от ее максимального значения.

Заключение. Для планирования оптимальной специализации сельскохозяйственного предприятия необходимо учитывать большое количество факторов: обеспеченность трудовыми и земельными ресурсами, рационы кормления животных, возможные объемы реализации и др. Расчет параметров при решении задачи для определения оптимального сочетания отраслей растениеводства и животноводства при четко заданных ограничениях и целевой функции неизбежно ведет к росту эффективности производства, то есть к высокому уровню рентабельности продаж и производительности труда, низкой себестоимости, максимально возможным объемам реализуемой продукции на внутреннем и внешних рынках. Поэтому составление наилучшего проекта - многоцелевая

задача, которая должна обеспечивать получение максимального количества прибыли и способствовать снижению (минимизации) издержек производства. Следовательно, качество бизнес-проекта, получаемого в результате решения экономико-математической задачи только по одному критерию, может оказаться не лучшим. Использование других критериев оптимальности в отдельности создает аналогичную ситуацию, так как в каждом оптимальном плане значение выбранного в качестве целевой функции показателя экстремальное, а значения других - хуже, чем могли бы быть. В связи с этим возникает задача поиска компромиссного или субоптимального решения, которое учитывает одновременно действие всех критериев оптимальности и отражает все реально поставленные условия.

Получение субоптимальных планов в экономике называют многоцелевой оптимизацией, или решением многокритериальных задач (то есть векторной оптимизацией). При многокритериальной оптимизации возникают три основные проблемы: 1) выбор самого принципа оптимальности, то есть что считать оптимальным решением и в каком смысле это оптимальное решение превосходит все остальные; 2) частные или локальные критерии оптимальности часто имеют различные единицы и масштабы измерения, что делает невозможным их непосредственное сравнение и ведет к поиску нужного решения; 3) во многих случаях необходимо учесть степень важности (приоритета) локальных критериев.

Поэтому была отработана практическая задача по установлению рационального оптимального сочетания отраслей на перспективу для сельскохозяйственной организации с учетом множества методов решения векторной оптимизации (линейной свертки, ведущего критерия, последовательных уступок, равных и наименьших относительных отклонений, минимакса). Полученные варианты решения экономико -математической задачи должны подвергаться тщательному анализу. Так как вычисления производятся на персональном компьютере, то экономист или менеджер, оценивая результаты, может ввести или изменить заданные ранее весовые коэффициенты или уступки по критериям, определить направление оптимизации. Эта информация служит основой для получения нового промежуточного решения. Интерактивный режим работы должен продолжаться до тех пор, пока решение не будет удовлетворять требованиям работника планово-экономической службы.

Список литературы

1. Колеснёв, В.И. Экономико-математические методы и модели для оптимизации в АПК на основе использования информационных технологий / В.И. Колеснёв,

И.В. Шафранская // Справочное пособие руководителя сельскохозяйственной организации: в 2 ч. - Минск: ИВЦ Минфина, 2012. - Ч. 1, раздел 11. - 352 с.

2. Костевич, Л.С. Математическое программирование: информационные технологии оптимальных решений: учеб. пособие / Л.С. Костевич. - Минск: Новое знание, 2003. - 424 с.

3. Леньков, И.И. Экономико-математическое моделирование систем и процессов в сельском хозяйстве: учеб. пособие / И.И. Леньков. - Минск: Дизайн ПРО, 1997. - 304 с.

4. Ленькова, Р.К. Модельная программа адаптации аграрных формирований районного АПК к рыночной системе хозяйствования: монография / Р.К. Ленькова. - Горки, 1998. - 113 с.

5. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве / А.М. Гатаулин [и др.]; под ред. А.М. Гатаулина. - М.: Агропромиз-дат, 1990. - 432 с.

6. Сакович, В.А. Оптимальные решения экономических задач / В.А. Сако -вич. - Минск: Выш. школа, 1982. - 272 с.

7. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / Н.И. Холод [и др.]; под общ. ред. А.В. Кузнецова. - 2-е изд. - Минск: БГЭУ, 2000. - 412 с.

8. Экономико-математические методы и модели: учеб. пособие / С.Ф. Миксюк [и др.]; под общ. ред. С.Ф. Миксюк, В.Н. Комкова. - Минск: БГЭУ, 2006. - 219 с.

Информация об авторах

Колеснёв Виктор Иванович - кандидат экономических наук, доцент, заведующий кафедрой математического моделирования экономических систем АПК УО «Белорусская государственная сельскохозяйственная академия». Информация для контактов: тел. (раб.) 8 (02233) 5-94-38.

Шафранская Ирина Викторовна - кандидат экономических наук, доцент, декан факультета экономики и права УО «Белорусская государственная сельскохозяйственная академия». Информация для контактов: тел. (раб.) 8 (02233) 5-94-34.

Материал поступил в редакцию 30.10.2012 г.