Оценки минимума выпуклых функции на классах комбинаторных множеств перестановок

пов голосования не приводит к усложнению обработки. Рассмотренный спектр подходов к корреляционному голосованию позволяет провести качественный анализ и сделать выводы по применению в практических задачах.

Научная новизна предложенного метода на основе голосования фрагментов состоит в обосновании моделей иерархической меры для сопоставления изображений, которая нацелена на повышение эффективности процедур распознавания в условиях неполной информации об анализируемых объектах.

Практическая значимость подхода заключается в повышенной устойчивости к локальным помехам по сравнению с классическими подходами при сохранении достаточной помехозащищенности к шуму, что подтверждается экспериментами на реальных полутоновых изображениях.

Несомненным достоинством подхода являются его универсальность в плане учета разнообразия возможных условий, возникающих при распознавании визуальных объектов.

Дальнейшие исследования будут направлены на теоретическое обоснование правил принятия решений по множеству отношений фрагментов.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Гороховатский В, А, Распознавание изображений в условиях неполной информации / Гороховатский В. А. -Харьков : ХНУРЭ, 2003. - 112 с.

2. Баклицкий В, К, Методы фильтрации сигналов в корреляционно-экстремальных системах навигации / Баклицкий В. К., Бочкарев А. М., Мусьяков М. П. -Москва : Радио и связь, 1986. - 216 с.

3. Гороховатский В. А. Структурно-иерархические методы определения сходства изображений объектов // АСУ и приборы автоматики. - 2005. - Вып. 131. -С. 55-62.

4. Шапиро Л. Компьютерное зрение : пер. с англ. / Шапиро Л., Стокман Дж. - М. : Бином. 2006. - 752 с.

5. Гороховатский В. А. Применение процедур голосования в структурных методах распознавания визуальных объектов / Гороховатский В. А. // Вестник НТУ ХПИ. Системный анализ, управление и информационные технологии. - 2006. - № 39. - С. 132-140.

6. Kim S. Biologically motivated perceptual feature: generalized robust invariant feature / Kim S., Kweon I.-S. // Asian Conference of Computer Vision (ACCV-06), 2006. -P. 305-314.

7. Путятин E. П. Распознавание изображений в пространстве инвариантных локальных признаков / Путятин Е. П., Гороховатский В. А., Кузьмин С. В. // Радиоэлектроника и информатика. - 2006. - № 1(32). -С. 69-73.

8. Путятин E. П. Обработка изображений в робототехнике / Путятин Е. П., Аверин С. И. - М. : Машиностроение, 1990. - 320 с.

Надшшла 16.05.2008

Наведено результати досл1джень i3 застосування процедур голосування у кореляцшних методах розтзна-вання зображень. Вивчено способи формування систем фрагментiв, формалiзована постановка задачi розтзна-вання, проаналiзовано рiзноманiтнi варiанти голосування, шляхи вибору ознак фрагментiв та встановлення вiдповiдностi мiж ними. Експериментальт результати пiдтверджують ефективтсть застосування тдходу.

The results of application of voting procedures in correlation methods of image recognition are shown. The ways of systems of fragments construction are studied. The recognition problem is formalized. The variety of voting procedures, the ways of choosing fragment characteristics and the estab-lishment of the conformity between them are analyzed. The efficiency of the suggested approach is experimentally.

УДК 519.85

И. В. Гребенник, А. В. Баранов

ОЦЕНКИ МИНИМУМА ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ НА КЛАССАХ КОМБИНАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ ПЕРЕСТАНОВОК

Исследуются задачи оптимизации выпуклых функций на комбинаторных множествах. Строятся оценки минимума выпуклых функций для классов комбинаторных множеств перестановок, при наличии или отсутствии линейных ограничений на переменные. Построение оценок включает в себя дополнительную процедуру оптимизации. Приводятся примеры, анализируются результаты вычислительных экспериментов.

ВВЕДЕНИЕ

При математическом моделировании классические комбинаторные множества часто с избытком описыва-© Гребенник И. В., Баранов А. В., 2009

ют область допустимых решений комбинаторных оптимизационных задач [1]. В работе [2] введен новый класс комбинаторных множеств - композиционные образы комбинаторных множеств, которые позволяют более адекватно описывать области допустимых решений сложных задач комбинаторной оптимизации. Для решения задач оптимизации на композиционных образах комбинаторных множеств необходимо применять методы комбинаторной оптимизации, которые бы учитывали особенности введенного класса комбинаторных множеств.

Один из подходов к решению комбинаторных оптимизационных задач основан на декомпозиции множества допустимых решений с дальнейшей оценкой минимума функции цели на подмножествах [3, 4]. Условием применения такого подхода является наличие эффективных оценок минимума функций на множестве допустимых решений и его подмножествах. Исследование оценок минимума проведем для класса выпуклых функций.

Целью работы является построение эффективных оценок минимума выпуклых функций на классах ком--бинаторных множеств перестановок с учетом линейных ограничений на переменные.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается следующая задача оптимизации: к(а) ^ ех1г,

ае A с M,

где M - комбинаторное множество, k:M ^ R1.

В качестве M могут выступать различные комбинаторные множества [5] в том числе и множества с более сложной структурой - композиционные образы комбинаторных множеств [2, 6]. В работе рассматриваются два представителя класса композиционных образов комбинаторных множеств: композиция перестановок и перестановки кортежей. Результаты исследования данных множеств представлены в работах [2, 6, 7]. Приведем основные результаты.

ПЕРЕСТАНОВКИ КОРТЕЖЕЙ И КОМПОЗИЦИЯ ПЕРЕСТАНОВОК

Обозначим композиционный образ комбинаторных множеств Pnk, Т1, Т2, ..., Tn, порожденный множе-

г 1 1 1^,22 2л , п П 2

ствами { г: 1, ..., , { zl, z2, ..., zm} , { z1, г^ ..., Zm}. Здесь Т{ = {(г\, :2, ..., ггт)} - кортеж, составленный из элементов множества {г1, г2, ..., г1т}, г^ е R, г е ]п = = {1, 2,., п}, ] е /т. При этом среди 2 множеств Тг являются различными. Обозначим это множество через РТпк(Т1, Т2, ..., Т2) или РТ'тк и назовем множеством перестановок кортежей. Множество РТ^ представляет собой множество перестановок кортежей

г / г г г \ ✓

г = (г1, г2, ..., гт), то есть упорядоченных наборов

п^т , г1 г2 гпл , г1 г1 г1 г2

вида т е Р1пк, т = (г , г , ..., г ) = (г1, г2, ..., гт, г1,

г2 г2 г2 г2 гпл г   г

г2 , •••> гт, •••> г1 , г2 , •••> гт ), где е ^ п, * Л, 5 е ^ п.

Элементы множества РТ'тк отличаются друг от друга

только порядком следования кортежей гг в наборах.

Рассмотрим композиционный образ комбинаторных множеств Рпк, Рт1к1, Рт2к2, ., Рт2к2 порожден-

,11 1л , 2 2 2 ,

ныи множествами |а1, a2,..., am<}, {a1, a2,..., am^}, ...,

{a", a^,___, anm }. Здесь Pnk - множество перестановок

из n элементов, из которых являются различными, aj е R1, i е Jm , j е Jn. Такое множество назовем композицией перестановок и обозначим PWN. Множество PWN состоит из элементов вида (e^, e^ , _, ei ),

ГДе (i1, i2, _, in) е ei = (aS j' aS2' aSm ), i е Jn. В на-

i

боре (ei,, ei, _, ) k элементов являются различными, среди элементов a!s,, , _, ajs ровно kj различных. Таким образом, элементы множества PWN будут различаться порядком следования кортежеИ ei и элементов внутри кортежеИ.

Произведем поГружение комбинаторноГо множества M в евклидово пространство [8]. В результате поГружения каждому элементу комбинаторноГо множества ставится во взаимно однозначное соответствие точка пространства R :

f:M ^ RN, Va = (ab a2, _, aN) е M, x = f(a) = (x1, x2, _, xN)е E с RN, Xi = a^, i е Jn = {1, 2, 3, _, N}.

Сформулируем следующую эквивалентную задачу оптимизации в евклидовом пространстве:

Ф

где x = f(a), ф(х) = K(a) Va е M, X = f(A), Ez = = f(M). В качестве множества M могут выступать множество Pnk перестановок из n элементов, k из которых различны, множество перестановок кортежеИ PTmk или композиция перестановок PWN и другие комбинаторные множества. Обозначим Enk = f( Pnk), ETmnk = f(PTmnk), EWn = f(PWN).

Используя известные методы [9, 10], построим выпуклое (сильно выпуклое с параметром р) продолжение ф( x) функции цели Ф( x) задачи (2) на выпуклое множество V  convEz, где convEz - выпуклая оболочка множества Ez. В результате такого построения получим выпуклую или сильно выпуклую функцию 9(x), которая в точках комбинаторного множества Ez принимает те же значения, что и исходная функция Ф^), т. е.ф^) = Ф^) для Vx е Ez. В ряде случаев множество допустимых решениИ X с Ez можно описать с помощью системы линеИных неравенств.

Тогда задача (2) может быть заменена следующеИ задачеИ оптимизации:

ф(x) ^ min, Cx < d, x e Ez,

где ф(х) - выпуклая (сильно выпуклая с параметром р> 0) на выпуклом множестве V з еопуЕг функция,

с = [Сч]шхп, с- е К, Л е

С целью разработки методов решения задачи (3) построим оценки минимума функции ф(х) на множестве Р = {х| х е Ег сКп, Сх < Л}, х е V. Рассмотрим случаи, когда Ег е {Епк, ЕТЦк, ЕШЫ}.

Воспользуемся оценками минимума выпуклых и сильно выпуклых функций на евклидовых комбинаторных множествах без дополнительных ограничений на переменные, полученными в работах [3, 14].

Пусть ф(х) - выпуклое дифференцируемое продолжение функции Ф(х) на выпуклое множество V з еопуЕг. Тогда для любого х е V справедливо:

min ф

У e P у e P

Для случая, когда ф(х) - сильно выпуклое с параметром р> 0 продолжение на V з еопуЕг, справедлива следующая оценка:

min ф

У e P у e P

где у* = arg min ф(у).

У e V

Если ф^) - сильно выпуклое дифференцируемое с параметром р> 0 продолжение, на выпуклое множество V з convEz, тогда

1 2 тифу)>ф(x) --г-||Уф(x-

у e P 4р

+ р min

у e P

1

у - x + 22

Для вычисления численных значений оценок (4)-(6) необходимо решить задачи двух типов в их правых частях. Первая задача представляет собой задачу оптимизации линейной функции:

2 N 2

g

у e P i = 1 "

где Л = (Л2, ..., Лм), Л е Кп.

Задачи (7)-(8) решаются по-разному в зависимости от наличия или отсутствия ограничений не переменные и в зависимости от типа комбинаторного множества Ег. Если в задаче (3) нет дополнительных ограничений на переменные (Р = Ег), тогда в этом случае решение можно выписать в явном виде [13].

Приведем решение задачи (7), когда Ег представляет собой множество EWN. Пусть множество РШх

порождено множествами {в\, е'2,..., егт}, г е /п. Согласно [13], решением задачи (7) будет точка у* =

= (У* у* у% )е EWN, где у*- - 1) т + г= 1е Jm, ] е Jn,

{ г1, Г2, Гт } и { % 5>>"-> 5т } таковы, что с(- - 1) т + ^ ^

^ с-- 1)т + 52 с-- 1)т + 5т и е- < е\ <•..< е- а после-

довательность {г1; г2, гт} удовлетворяет условию ег рег р...рег , при с = Уф(х). Здесь р - введенное

1 с 2 с с п с

отношение порядка:

ei, Р ek ej •••' em) P (e1' e2' •••> em) »

c c

ff m i- m i

^ I I У c(j - 1)m + stept + У c(к - 1)m + rteqt -^ t = 1 t = 1 m 4 m i- ^ ^

- У C(j - 1)m + ateYt _ У C(к - 1)m + ßte5t I < 0 I ,

где i e Jn, а последовательность индексов удовлетворяет условиям:

{ s1, s2, sm} :c( j - 1) m + s, > c( j - 1) m + s2 > • > c(j - 1) m + sm,

{p„ P2,-, Pm } : ej, < epj2 < • < ePjm ,

{qu q*-, qm} :e,k1 < e4k2 <•< eqkm,

{ r1, r2, rm } :c(k - 1) m + r{ > c(k - 1) m + r2 > ••• > c( к - 1) m + rm, {a1, a2, am} :c(j - 1)m + <xt > c(j - 1) m + a2 > ••• > c(j - 1)m + am ,

{Y1>Y2>->Ym} :ej < ej <•< em

N дф(x) .

У dxrУj ^ min, уe P.

j=1 '

Решению задачи (7) посвящены работы [11-12]. Однако ни один из предложенных в них методов не является универсальным.

Вторая задача - это задача нахождения минимума нормы разности:

{51,52, •..,5m } : e5k < e52 < •< e5km, {ß1, ß2, ßm} :c(к - 1)m + ßt > c(к - 1)m + ß2 > • • • > c(k - 1)m + ßm

Если область допустимых решений задачи (3) ограничена линейными ограничениями Р с Ег, тогда для решения задач (7)-(8) можно использовать известные методы комбинаторной оптимизации, описан-

t = 1

t = 1

2

ные в [1]. Однако эти методы при больших размерностях задачи требуют больших вычислительных и временных ресурсов. В [14] предложен подход к решению поставленных задач на основе случайного поиска.

Отметим, что с одной стороны оценки (4)-(6) зависят от выбора точки х е V, с другой стороны конструктивные методы построения сильно выпуклых продолжений позволяют построить сильно выпуклое продолжение для любого р > 0. Это дает возможность проводить оптимизацию значений правых частей соотношений (4)-(6) по этим параметрам. Введем следующие обозначения:

в1

y e P

в2(Р) = Ф(У*) + P- minlly - yII

У e P

— 1 2 e3(x,P) = Ф(x) -4jllV9(x)ll -

+ p min

y e P

у - x + 2p V9

Эффективными оценками минимума будут являться такие оценки, которые максимально приближаются к решению задачи (3). Следовательно, необходимо стремиться к получению возможно больших по величине оценок (4)-(6). Исходя из этого, можно сформулировать следующие задачи оптимизации:

в1

в2

e3

Аналитическое решение задач (12)-(14) затруднено из-за сложности выражений (9)—(11). Поэтому эти задачи могут быть решены численно с использованием методов недифференцируемой оптимизации.

Для иллюстрации предложенного подхода проведены серии вычислительных экспериментов. Рассмотрим в качестве целевой функции задачи (3) квадратичную функцию вида

ф(x) = (Ax, x) + (B, x) — min,

где А = [аг]]тх 2 - положительно определенная симметричная матрица, а^ е R, В е R2, х е К2.

Сгенерируем случайным образом исходные данные задачи (3): матрицы А и В, элементы, порождающие перестановки множества Ег е {Епк, ЕТ'тк, ЕШМ}.

В первой серии экспериментов для задач небольшой размерности сравнивались значения оценок и точное решение задачи, полученное путем полного перебора.

Оценки (4)-(6) рассчитывались в случайно сгенерированной точке х е V. После этого решались задачи оптимизации оценок (12)-(14) с помощью метода деформируемого многогранника. Для решения задач (7)-(8) при Р с Ег использовался метод на основе случайного поиска, описанный в [14]. Для случая Р = Ег решение задач (7)-(8) приведено в [13].

Для каждой тестовой задачи вычислялась характеристика йI, характеризующая в долях единицы степень приближения оценки к точному решению задачи. Результаты экспериментов представлены в табл. 1 и 2. Здесь в1 - значение оценок в тестовой точке, в* - значение оценок при оптимальных значениях параметра р и точки х е V, - время, затраченное на вычисление в ¡, £ * - время, затраченное на решение задач (12)—(14), I = 1 соответствует оценке (4), I = 2 - оценке (5), I = 3 - оценке (6).

Отметим, что в результате оптимизации, оценки в1 и в3 удалось приблизить к точному решению в среднем на 70-80 процентов (см. рис. 1 и рис. 2). Оценка в2 оказалось неэффективной т. к. удалось ее усилить лишь незначительно. Отметим также, что с ростом размерности растет значение £ *. Для решения задачи размерностью 3 переменные требуется порядка 1 секунды. На решение задачи в 15 переменных уходит 35 секунд (для случая Р = Ег) и более 300 секунд для случая Р с Ег.

ВЫВОДЫ

В результате проведения вычислительных экспериментов можно сделать следующие выводы:

1. Предложенные в работе оценки минимума выпуклых функций на комбинаторных множествах с дополнительной оптимизацией могут быть использованы при разработке методов комбинаторной оптимизации.

2. Разработанная схема оптимизации оценок позволяет получить эффективные оценки минимума выпуклых функций на различных классах комбинаторных множеств перестановок.

3. Значения оценок на классах множеств перестановок в значительной мере зависят от выбора точки х е V. Изменяя параметр р, удалось достичь лишь незначительного улучшения оценок.

4. Для получения эффективных оценок необходимы значительные временные затраты, что ограничивает их применение при решении задач комбинаторной оптимизации.

2

Таблица 1 - Результаты для случая Р = Ег

|ммйжестай Н Решение пербаро*: е! 11 I тдщ а* ез и ег' а- -3 13 01'

Перестановки 3 48./43 27 751 0 43.438 0.90/ 11.613 0.031 13 3603/ 0.031 34 39268 0.016 44.07033 0.906

Перестановки 3 54 194 17 44В 0 47 431 0 812 20 139 0 22 43923 0,062 33 0004? 0 51.27632 0.39

Перестановки 3 276.953 37.002 0 271 39 0.39 52.661 с 55 15545 0.031 82 96092 0 270.93% 0.953

Перестановки 3 277 755 41 117 0 010 27/ 17 0 875 3.5 0 6 Л4044 0,032 44 44256 1 015 2/5 6175 0,89

Итого 0.29325 о.ом' 0 536 0.871 "0 203151 0 0078 ' 0.22/995 Л.039' 9.44352 0.0078' 0.955449 0.9090

Перестановки 5 142,714 40.234 0 133 39 5,76 10.584 0.016 18.93727 0,126 54 5 3409 0 132.3002 679/

Перестановки 5 221.73 57.017 0 20/ 07 5.541 70.434 0 71 08309 0.11 112.881/ 0 2*5.864 5.562

Перестановки 5 185.348 23.455 0 169 35 5.516 98.704 0 98.5419 011 112.0199 0,016 181,1090 5,650

Перестановки 5 _188.611 33 402 0.015 171 82 5.437 0 76.23711 0.180 95 98797 0 174./ги £.29/

Итсго 0.210/В 0.003761 0 9242 5.530 '0.338/11 0.004 ' 0,34/09 0.1ЭЗЭ '0 502454 0.004 0.951230 6.5/8

Перестановки 7 705.46/ >н 0 630 19.969 1 705 0 6 з;зз15 0.312 154 /837 3 015 а:; 3854 18 891

Перестановит ; 011.241 153,966 0 '80 72 18.516 110.430 0 113.8/06 0,312 252.9516 0 803,0331 17,516

Перестановки 7 1399.353 215 859 0 015 1391 3 1В.578 /768 0 13 6/716 030 224.0457 0 1393.625 19.843

Перестановки ; 359473В 327.006 0 3491 2 19.126 15 124 0 24.53423 0 290 345 1960 0.015 3470.351 16.39

Итого 0 162/5 9 0,004г 0 9/29 19 34575 '0 03/162 0 '0.041674 0 32 '0,196907 0 0075 ' 0 98022 18.66

Перестановки 9 1111.002 240 235 0 1102.4 44 537 2 694 0 16 33206 1.234 1/94312 0.015 1077.531 45.094

Пересановкл 9 1020.491 152,317 0,015 1043,2 48.25 63.778 0,016 63,59343 0.641 210.5034 0,015 1010.635 43453

Перестановки 0 1515 991 286.367 0 1435 7 48.537 247.70 0 24! :.-;- (-"-я ЕМ 432 0 --Й-154 66.75

Итого 0.1672 3 005' 0.9В72 40.15/69 ' 0.075142 0 004 333545 С. 7403 з23354 0 0094 ' 0.980395 43.439

<1 0.22235 0,9529 0.169435 0,130738 0.351476 0,905921

Перес-эчовня

Пересам овкп Порес-аиовки Итого

ПврОСТЗНОВКИ Перестановки ПереС'ОНОБГИ Итого

кортеж«! 6 кортежей 5 юртеоквй 5

кортежей 5 ко)ле+ей О кортежей_ 9

1093 47В 692.734 571.452

1349.911 2121.975 2971 78

Перестановки Перестановки Перестановки Итого:

Перес таноекн Перестановки Перестановки Итого'

кортежей 15 кортежей 15

кортежей 15

кортежей 21 кортежей 21 кортежей 2*

179.544

139 .иг

И0.22 0,203 ¿07-233 342.135 329,088 0.19123 1147,06 (01625 1353.97 0,1154= 3166 ВЕ 2589.4! 2180 47 0.07621

0 1009.0 О 059 01 0 540 41 0' 0.9615 0 1 290.1 0 2030 9 О 28494 0'0.9672

0 8871.5 0 9043 0 9424 6 О' 0.952 О 33050 0 33422 _0 32500 О ' 0.9622

0.530 С. И 0.525 0.651'

3.541 3460 3.313 3.47*' 25.937 36.781 27.125 29 61433' 114.547 110.51 102,328 111.151?'

114 655 4.862 0.397 0.037521 21/634 264 186 359 638

0.016 О О

0,00531

О

о

О

120.3526 20.65509 0.373202 0.350523 221.1199 268.2319 362,5342

О 13558

374.014 201 689 468.298 0.036685 2573 552 1929.594 1959 38 О 052239

О

О

0.016 00053'

О 016 0.015 С:

о.оюз'

429.1433 204 9972 529.2077 0,313392 2579.571 1930.703 1973 275 0.052431

0.010 0.015 0.015 С.0153' 0.063 0.070 0.062 0.0677' 9,031 0.231 5.637 4,9997' 0.719 0.703 0.82В О 76'

277 4025 143.5839 140 2894 О 235053 6717638 533 6559 853.7409 0.303842 1438 741 1071 802 1574 139 0.140985 5554.523 4413.172 4067 414 0.1349/5

3.016 О

О

0.0053'

О О О О'

0.018 О О

0.0053'

О

0.016 0 015 0.01

"065.765

655.10» 534 556! 0.950772 1323.31 206В.722 29*1.814 0 97034 90*1.462 9251.163 9535.955 0.970243 34055 26 34110.74 33468.6 0.ЭГ//4/

0,735 0.625 0,525 С '3617 3.359 3.934 3.734 3 6923 35.922 32.570 27.296 32.265 106.67 £7731 109 У1 101.»

<1 0.1454! 0.9582 0.008006 0,072816 0.205714 0,971275

Компо4нций перестановок 6 230.542 68.505 0 274 52 о.ив 8.216 0 17 4/516 0.423 75 78128 0 279.1113 0.853

Композита перестановок 5 336.853 00.145 0 366 *9 0.353 гезгз 0 П 93/64 0 123.3661 0 380 '094 0.93/

Кончи ппу«н Перес 1ановок 6 356155 /8 219 0 015 330 8 0 900 94 457 0 96 16537 0 15/017 0.016 340 2091 0,922

Итого 0,2065 0 005 0 5529 5 9 015396/ 0 0.17/886 С. 1407 0.34/569 0.0053 0 970001 0.906

Ксмпо энц.рч перестановок 9 905.338 190.465 0 033 50 5,813 32.445 0 015 30.92322 0,250 227,0009 0 9057570 4,/ОЭ

Композите перестановок 9 1145.609 224.962 0 1064.1 6.203 202 466 0 220 1,6 3987168 0.016 1098 249 4.938

Ксмпсзнцтч перестановок 9 164076/ 246.538 0 15/9.7 4.234 201.945 0 210,311 0 426.3045 0 1611.75 4.75

ИТОГО о 104ог 0 09412 5 091313 0.111131 0 005 0 11943 С 5687 0 281138 0 0053 0 980246 4 797

Композиции перестановок 15 5494.548 10/14 0 5429,4 40,13/ 113,17 0 032 132,33 0,031 1173,018 0 5341,474 31,137

Композита перестановок 15 4931.6« 837.634 0 4912.1 38.5 193.31 0 2С4 3262 1232 1011 951 0 4930.056 46.136

Композиты перестановок 15 10/38,339 1027 86 0 10165 35,359 1203 569 0 1207 652 0.078 2144 659 0 10491 11 30,219

Итсго 016362 0 0 9759 38.31533 0 05784 0.010/ 0 359306 С 463/ 0.206074 0 0 982974 35.865

0 0.18135 0.95/ 0,11098 0.11889 0,249934 0,98040/

СопгтииющийЛ

Рисунок 1 - Повышение эффективности оценок для случая Р = Ег

Таблица 2 - Результаты для случая Р с Ег

[Множество N Решение пербор-ом е1 а е1* 11* е2 12 е2л еЗ О еЗ" а*

Перестановки Перестановки Перестановки Итого Перестановки Перестановка Перестановки Итого

Перестановки Перестановки Перестановки Итого

130 5646 1664793 369.40/6

150.7268 256.7101 236.2387

460.0206 653.7575 4066576

27.07 47 623 66.465

огзогз

55.664 ¿7.222

65.7Я1

0 23561

1 ИЗ 175.545 156 599 0.29.16

0 031 0 032 0.016 з огбзэ

0 016 о

0.048 0.03133' 0 034 одаз 0.105 0.09367'

66 213 163.53 293.56 0 738

140.32 199.37 221.77

0.3332

493.33

635.34 Мб 27 0.9311

6.796 17 22 1.312 9.776' 11406 II 172 31 968 16 183" 145 552 112 844 46 667 101.62771

33.2226071 30 6016279 151 693554

0 43650378

2В 3037482 62.7102766 111.915318 О 3013161 51 3969731 36.6836532 57 9.146175 0 10122034

О 33.3742 0 80 54647 О 194 /629

яшш

0.016 32.34756 О 63.02255 £ 316 1144334 0,0107'0 314212 О 332 37296 О 37.27781 3 69 90977 0.0107'0.119367

0.234 0.236 0.236 0. 1.234 3.29 2 354 1.43=3' 11 39 0.312 п 969 4,ггз7"

49.65731 105 4669 . 35 -141 0,643537

75.53356 39.3339

150,3744

О 537558

151.7258 82.12836 197.51га

0.307177

3.316 38.1347394 5 696

3.314 163.789663 14 514

О 329.405453 2 292

0,01'3.66431766 7 826

0.04В 147 10201 21.5

0.343 216.11523 31454

3 2 35.4239 "'4 3 718

3.332' 3.93555693 17.991

3.3)4 501.5067-1 З;ОЕ;

О 643.529536 239.27

0.373 413 825349 И 644

0.0673' 0.96642782 233.39

0.26633

0.8669

0.27968034

0.288275

0.452758

0.9195674

Перестановки кврге.«ей Перестановки кортежей Перестановки *врте#ей Итого

Перестаноеш кортежей Перестановки кортежей итого

263.7551 95.779 0 269.58 4.812 12.0454933 0 15.92531 0.234 101,6113

573.4659 132.093 0 571 П 0 813 132950123 0 21.0292 0.296 112.3657

.<:.".<; = I г: о 3 .^6 14 1 -.!> 1)1™т?11 И 1111110 1.':1:

0,25453 0' 0,9534 2.197667 0.065312422 ' 0 0.072071 0.2513 ' 0.299243

1226.75Е-6 266 347 0 1*39 7 6 3 906 23 3750375 3 2642412  4£Э 2715677

1729.7176 415.565 О 1'ГЕ 1 Е 35 20" 5 О 210 Э11 0 1кЧ

В.230И 0'0.9729 34 57еШ06695324^НЮ№г)14 и.3595'0 336333

О 281.157689 2.11 3.316 573.304473 0 532 О 367177334 3 79/

0.305' 3.99671622 2.1553

3 1261.43327 63 734 О 1691.7377 1 6 141

6 0.250/3 0,9612 0.06575733 0.072209 0,302269 3.59363094

Ксипц эиц.ач перестановок 6 Композиция лересгансеок 6 Итого

Ксыпеэиция перестановок 9 Итого

316.955 96.994 333,6163 132.812 0.35106

1631.0/4 238.656 О 13633

0.032 238 36 13 197 23 3905556

О 336.77 4Е- '34 Г'ЗЕ'Е::!

0,016 " И9575 29.4605 ЧЙ 7496)72

1)26? 1471.2 635616 270.234325

0.265'.0,9335 596 515 ' 0,17095014

О 35.22979 0.469 116.514 3.331 297.436 11.57

О 23 77155 0 234 14С 3'37 0.316 343.350793 63 125

О'0.090947 0.3515' 0.392555 0.0235 ' 0.9753001 40 346

3.333 277 1/76 33 66 53 1 534 4 0.313 1612 06897 631.09

3.332' 0 17531 23.66' 0.329918 0.313 ' 3.37532372 591 38

0,9135

0.97797464

Рисунок 2 - Повышение эффективности оценок для случая Р с Ег

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Сергиенко И, В, Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации / Сергиенко И. В. - К. : Наук. думка, 1988. - 472 с.

2. Стоян Ю, Г, Композиционные образы комбинаторных множеств и некоторые их свойства / Стоян Ю. Г., Гребенник И. В. // Пробл. машиностроения. - 2005. -Т. 8, № 3. - С. 56-62.

3. Стоян Ю, Г, Теор1я \ методи евкл1довоТ комбшаторноТ оптим1заци / Стоян Ю. Г., бмець О. О. - К. : ¡СДО, 1993. - 188 с.

4. Яковлев С, В, О некоторых классах задач оптимизации на множествах размещений и их свойствах /

Яковлев С. В., Гребенник И. В. // Изв. вузов. Математика. - 1991. - № 11. - С. 74-86.

5. Айгнер М, Комбинаторная теория / Айгнер М. - М. : Мир, 1982. - 558 с.

6. Гребенник И, В, Классы композиционных образов комбинаторных множеств в математических моделях задач геометрического проектирования / Гребенник И. В. // Радиоэлектроника и информатика. -2005. - № 3. - С. 69-73.

7. Гребенник И, В, Оптимизация линейных функций на множестве композиций перестановок / Гребенник И. В., Баранов А. В. // Компьютерное моделирование и интеллектуальные системы : сборник научных трудов. - Запорожье : ЗНТУ, 2007. - С. 116-121.

8. Стоян Ю, Г, Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования / Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. - К. : Наук. думка, 1986. - 268 с.

9. Яковлев С, В, Теория выпуклых продолжений функции на вершинах выпуклых многогранников... / Яковлев С. В. // ЖВМ и МФ. - 1994. - Т. 34, № 7. -С. 1112-1119.

10. Стоян Ю, Г, Построение выпуклых и вогнутых функций на перестановочном многограннике / Стоян Ю. Г., Яковлев С. В. // ДАН УССР, Сер А. - 1988. - № 5. -С. 68-70.

11. Яковлев С, В, О минимизации линейной функции на вершинах перестановочного многогранника с учетом линейных ограничений / Яковлев С. В., Валуйская О. А. // Доп. НАНУ. - 1999. - № 11. - С. 103-107.

12. Гребенник И, В, Решение некоторых задач условной оптимизации линейных функций на перестановочном многограннике / Гребенник И. В. // Радиоэлектроника и информатика. - 1999. - № 1. - С. 55-59.

13. Гребенник И, В, Экстремальные свойства функций на классах композиционных образов комбинаторных множеств / Гребенник И. В., Баранов А. В. // Бионика интеллекта. - 2007. - № 1(66). - С. 99-102.

14. Гребенник И, В, Оптимизация линейных функций с линейными ограничениями на комбинаторных мно-

жествах на основе случайного поиска / Гребенник И. В., Баранов А. В. // Искусственный интеллект. - 2007. - № 1. - С. 132-137.

Надшшла 16.09.2008

Дослiджуються задачi оптuмiзацi'i опуклих функцш на комбiнаторнuх множинах. Будуються ощнки мiнi-мумiв опуклих функцш для класiв комбiнаторнuх мно-жин перестановок, з урахуванням та без урахування лтшних обмежень на змтт. Побудова ощнок включае в себе додаткову процедуру оптuмiзацi'i. Наводяться приклади, аналiзуються результати обчислювальних експерuментiв.

The paper is devoted to the problem of convex functions optimization on combinatorial sets. Estimates of convex function minimum are constructed for different classes of combinatorial sets of permutations, with or without linear constraints on the variables. Estimates construction includes an addi-tional procedure of optimization. Examples are given; results of numerical experiments are analyzed.

УДК 681.3.06

В. И. Долгов, А. В. Неласая

МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЦЫ ХАССЕ - ВИТТА ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

В статье предложен метод вычисления элементов матрицы Хассе - Витта гиперэллиптических кривых специального вида, основанный на использовании формулы бинома Ньютона.

ВВЕДЕНИЕ

Двухключевая криптография основана на трудности решения определенных математических задач. На первых порах развития этого направления такими задачами рассматривались разложения большого числа на простые множители и дискретное логарифмирование в простом поле Галуа. Современные стандарты цифровой подписи и направленного шифрования основаны на использовании операций в группах точек эллиптических кривых. Они обеспечивают меньшие длины параметров и, соответственно, более высокое быстродействие при сохранении заданного уровня стойкости. В частности, ныне действующий в Украине стандарт электронной цифровой подписи ДСТУ 4145-2002 основан на преобразованиях в группе точек эллиптических кривых, определенных над расширенными конечными полями 2т).

Естественным теоретическим и практическим обобщением эллиптических кривых являются гиперэллиптические кривые. Источником абелевой группы в этом случае выступает группа классов дивизоров (якобиан) гиперэллиптической кривой. Теория диви© Долгов В. И., Неласая А. В., 2009

зоров гиперэллиптических кривых сегодня играет важную роль и при конструировании систем, основанных на спариваниях Вейля и Тейта, а также при решении задач дискретного логарифмирования на эллиптических кривых (метод спуска Вейля).

Основное преимущество при использовании гиперэллиптических кривых состоит в том, что размер основного поля, над которым определена кривая, уменьшается пропорционально роду кривой без потери стойкости, хотя сама формула группового сложения выглядит более громоздко.

Среди важных направлений совершенствования современных технологий применения гиперэллиптических кривых в криптографии можно выделить задачи, связанные с определением порядков якобианов кривых, которые и сегодня считаются вычислительно сложными [1, 2].

В этой работе предлагается метод вычисления элементов матрицы Хассе - Витта гиперэллиптической кривой, с использованием которой можно решить задачу определения порядка якобиана гиперэллиптической кривой [1, 2]. Этот метод требует для реализации существенно меньших вычислительных затрат по сравнению с известными. Он основан на использовании формулы бинома Ньютона и применим для кривых специального вида.