Математическая модель трехфазного асинхронного двигателя с учетом нелинейности магнитопровода

УДК 621.313.32

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТИ МАГНИТОПРОВОДА

А.Ю. АФАНАСЬЕВ *, В.Г. МАКАРОВ **

* Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева ** Казанский государственный технологический университет

Одним из основных допущений для обобщенной электрической машины является предположение об отсутствии насыщения магнитопровода. Предлагается методика формирования математической модели обобщенной электрической машины с учетом нелинейности магнитопровода. Проведено компьютерное моделирование процессов электромеханического преобразования энергии в трехфазном асинхронном двигателе. С помощью экспериментального исследования показано, что применение предлагаемой модели позволяет существенно повысить точность расчетов.

Ключевые слова: трехфазный асинхронный двигатель, обобщенная электрическая машина, математическая модель, нелинейность магнитопровода.

В системах частотного регулирования скорости асинхронного двигателя (АД) широко используются математические модели обобщенной электрической машины (ОЭМ). Одним из основных допущений при создании математической модели ОЭМ является предположение об отсутствии насыщения магнитопровода. В литературе [1-3] приводятся математические модели АД с учетом нелинейности магнитопровода, записанные с позиций теории ОЭМ. По существу в перечисленных работах используется линейная математическая модель ОЭМ с переменной индуктивностью, что не совсем корректно. Предлагается осуществлять переход к ОЭМ при сохранении амплитуды результирующей МДС и величины магнитного потока, приходящегося на один полюс. С помощью функции, аппроксимирующей кривую намагничивания, определяются дифференциальная и статическая магнитные проводимости, которые используются при записи уравнений магнитной цепи.

Методика исследования

На рис. 1, а представлена пространственная модель трехфазного АД с приведенной к статору обмоткой ротора, где оси фаз статора обозначены А1, В1, С, а оси фаз ротора - А2, В2, С2. Система координат ротора вращается относительно системы координат статора с угловой скоростью ю , их взаимное расположение характеризуется электрическим углом а между одноименными осями.

Для учета нелинейности магнитопровода предполагаем, что основной магнитный поток и результирующая МДС связаны нелинейной зависимостью -кривой намагничивания. Чтобы аналитически задать зависимость Ф = /(¥), можно воспользоваться выражением вида

Введение

© А.Ю. Афанасьев, В.Г. Макаров Проблемы энергетики, 2011, № 1-2

где а, Ь , с, ¥0 - эмпирические константы.

Согласно теории трансформатора предполагаем, что магнитный поток, сцепленный с каждой фазой, состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое - это проекция вектора основного магнитного потока на ось фазы, а второе -магнитный поток рассеяния, пропорциональный соответствующему току.

Рис. 1. Пространственные модели: а - трехфазного АД; б - обобщенной электрической машины

Переход к ОЭМ осуществляется при традиционных допущениях [1, 4].

Кроме того, при переходе к обобщенной машине условимся соблюдать следующие принципы:

1) эффективное число витков фазы обмотки обобщенной машины равно эффективному числу витков фазы обмотки трехфазного АД;

2) результирующая МДС, создаваемая двухфазной обмоткой ОЭМ, должна быть равна результирующей МДС, создаваемой трехфазной обмоткой АД;

3) ток нулевой последовательности обобщенной машины определяется как ток в нейтральном проводе трехфазной машины.

Пространственная модель обобщенной машины в осях й, q показана на рис. 1, б. Система координат й, q вращается с угловой скоростью ©1. Разность угловых скоростей ©1 и ш будем рассматривать как угловую скорость скольжения ш 2, а разность углов а1 и а - как угол скольжения а2 .

Система уравнений обобщенной электрической машины будет иметь вид

где u\d, иц - напряжения фаз статора; i\¿, , Í2d, ¿2q - токи фаз статора и ротора; Ф^, Ф^ - компоненты основного магнитного потока по осям d, q; Ri, R2 , Lia, ¿2a - активные сопротивления и индуктивности от потоков рассеяния фаз обмоток статора и ротора; - момент инерции подвижных частей; рп -число пар полюсов; Мэ - электромагнитный момент; Мс - статический момент; w3 - эффективное число витков фазы обмотки статора и приведенной обмотки ротора.

Для записи уравнений относительно МДС и основного магнитного потока рассмотрим схему замещения магнитной цепи ОЭМ, приведенную на рис. 2.

Рис. 2. Схема замещения магнитной цепи обобщенной машины: ВС - векторный сумматор;

МП - магнитопровод

По продольной и поперечной осям (на один воздушный зазор) действуют МДС, первые гармоники которых имеют следующие амплитудные значения:

рй = 2 ws

где ws - число витков фазы синусной обмотки статора или ротора обобщенной электрической машины.

МДС ¥^ и создают продольный Ф^ и поперечный Ф, магнитные

потоки, которые преодолевают сопротивление воздушного зазора Л5. На расточке статора по осям d, q создаются, соответственно, амплитуды магнитного напряжения стали и^, ис,. Благодаря синусоидальному распределению

магнитной индукции вдоль воздушного зазора, амплитуда магнитного напряжения стали, величина основного магнитного потока и амплитуда результирующей МДС определяются равенствами:

и =y¡Uc2d+Uc2q; +ф2; F = JFd+F?

Основной магнитный поток Ф имеет направление, совпадающее с направлением вектора магнитного напряжения стали Цс, и величину, являющуюся нелинейной функцией от ис . Компоненты магнитного потока Ф по осям d, q определяются равенствами:

Фd = Ф ; ф, = ф .

d ¥ , ¥

Полная МДС определяется равенством ¥ = й1 + ЛбФ + й2 = йс + ЯдФ ,

где й^ , й2 - векторы магнитных напряжений статора и ротора.

На рис. 3 показана пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков. Условимся, что вектор основного магнитного потока Ф имеет направление под углом р по отношению к оси фазы Л\ статора. Ось й

находится под углом а^ по отношению к оси Л^. Поэтому положение вектора Ф относительно оси й можно характеризовать углом у , который представляет собой разность углов р и а^. Предполагается, что магнитные сопротивления зазора по осям й и q равны. Видно, что направления векторов Ф , ¥ и йс совпадают.

Рис. 3. Пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков Рассматривая векторную диаграмму (рис. 3), запишем равенства

Фй =ф* йс; ^ йс•

дФа дФа 5фq а^ Записав выражения частных производных -, -, -, -,

* 1 7 ^«тч 7 гг 7 ч-т 7

д¥й Щ д^ д^

получим выражения производных по времени от компонент магнитного потока Ф . Продифференцируем равенства (3) и обозначим через Лс и Лд статическую и дифференциальную магнитные проводимости, приходящиеся на один воздушный зазор:

* Ф * йФ

Л с=т; Л д=.

Окончательно получим уравнения вида: йФй (А „:_2„,а 2..)(. й12й

л =(Л с»1п2 Г + Лд с2 ^ +1

+

+

зт 2у

(Л д-Л с

й1

- +

йг йг

йг

зт 2у

(Л д-Л с ) ^ (

йг1й + йг2й У

+

(лс С082 у + Лд зт2 у

йг

йг

+

2ч

йг

Подставляя (5), (6) в уравнения системы (2), получаем систему дифференциальных уравнений относительно токов г^, , ¿2й, l2q • Видно, что в

каждое уравнение входят производные от всех четырех токов. При численном решении их можно найти из системы (2), (5), (6), рассматривая ее сначала как систему линейных алгебраических уравнений относительно этих производных.

Таким образом, система уравнений (2) в совокупности с (1), (4) - (6), представляют собой математическую модель ОЭМ с учетом нелинейности магнитопровода. Выполняя обратное преобразование координат, получим фазные токи и напряжения трехфазного АД.

Основные результаты

С использованием предлагаемой математической модели проведено компьютерное моделирование электромагнитных и электромеханических процессов, а также расчет рабочих характеристик обобщенной машины на базе двигателя АИР80А6У2. Аппроксимация экспериментальной кривой Ф = /

осуществлялась функцией

показаны на рис. 4.

Ф10л Вб

3 2,5 2 1,5 1

0,5 (I

Лс-10"\ ЛгЮЛ

Вб/А Вб/А

3 3

2,5 2,5

2 2

1,5 1,5

1 1

0,5 0,5

0 0

Ф

\ V \лс

1800 3600

Рис. 4. Зависимости Ф= /

2

2

+

Pi ЗА

об/мин 1250 1000 750 500 250 0

Рис. 5. Прямой пуск двигателя АИР80А6 с номинальной нагрузкой: а - фазный ток статора; б - мгновенная потребляемая мощность, частота вращения ротора

Результаты компьютерного моделирования и экспериментального исследования электромагнитных и электромеханических процессов приводятся на рис. 5. Цифрой 1 обозначены кривые, полученные с помощью компьютерного моделирования, цифрой 2 - кривые, полученные экспериментально.

На рис. 6 приводятся рабочие характеристики, полученные с помощью компьютерного моделирования и экспериментального исследования. При этом цифрой 1 на рис. 6 обозначены характеристики, полученные с помощью математической модели АД в фазных осях без учета насыщения [1, 5 - 7], цифрой 2 - характеристики, полученные с помощью предлагаемой математической модели, а цифрой 3 - экспериментальные характеристики. Отметим, что при моделировании использовались параметры двигателя АИР80А6У2, представленные изготовителем. Экспериментальные исследования проводились с использованием пакета Power Craph 3.3.

Л, Вт

160U

1200

800

400

! j 3 уу

1 ;

/г, А

375

750

Р2, Вт

а)

375 750 Рг, Вт

б)

Рис. 6. Сравнительный анализ рабочих характеристик двигателя АИР80А6У2

Обсуждение результатов

Проведем анализ точности математической модели с учетом нелинейности магнитопровода. В качестве эталона рассматриваются результаты эксперимента.

Сравнительный анализ кривых переходных процессов (рис. 5) показывает, что наибольшие отклонения наблюдаются при переходе от начального этапа пуска к установившемуся режиму и составляют 1,5 % для фазного тока статора, 4,33 % для мгновенной потребляемой мощности и 3,72 % для частоты вращения ротора. После перехода в установившийся режим погрешность для фазного тока статора составляет 0,25 %, а для мгновенной потребляемой мощности и частоты вращения ротора не превышает десятых и сотых долей процента соответственно.

Результаты сравнительного анализа рабочих характеристик (рис. 6) показали, что при использовании математической модели с учетом нелинейности магнитопровода максимальная относительная погрешность по току статора, коэффициенту полезного действия и частоте вращения ротора не превышает 0,5%, а по коэффициенту мощности и потребляемой активной мощности - 1%. Относительная погрешность по моменту на валу равна нулю. Столь малые значения относительных погрешностей являются причиной того, что кривые, отмеченные цифрами 2 и 3 на рис. 6, практически совпадают. Полное совпадение трех кривых момента на валу наблюдается на рис. 6, г.

Таким образом, применение математической модели обобщенной электрической машины с учетом нелинейности магнитопровода позволило существенно повысить точность моделирования электромагнитных и электромеханических процессов в трехфазном асинхронном двигателе. Результаты компьютерного моделирования позволяют предположить, что использование предлагаемой математической модели позволит реализовать более эффективные, с точки зрения энергосбережения, алгоритмы управления частотно-регулируемого электропривода с асинхронными двигателями.

Выводы

1. Сохранение неизменными величины основного магнитного потока и результирующей МДС при переходе от трехфазного асинхронного двигателя к обобщенной электрической машине позволяет сохранить основные расчетные соотношения.

2. Для учета нелинейности магнитопровода целесообразно использовать зависимость магнитного потока от результирующей МДС.

3. Применение теории трансформатора является продуктивным при анализе многофазной электрической машины.

4. Схема замещения магнитной цепи обобщенной машины и пространственная векторная диаграмма МДС и магнитных потоков позволяют записать уравнения компонент магнитного потока по осям d, q.

5. Проведенный анализ результатов компьютерного моделирования и экспериментального исследования подтверждает высокую точность и возможность дальнейшего применения разработанной математической модели как при анализе процессов электромеханического преобразования энергии, так и при реализации более эффективных алгоритмов управления частотно-регулируемого электропривода с асинхронными двигателями.

Summary

One of the basic assumptions for the generalised electric machine is the assumption of absence of saturation magnetic system. The technique of formation of mathematical model of the generalised electric machine taking into account nonlinearity magnetic system is offered. Computer modelling of processes of electromechanical transformation of energy in the three-phase asynchronous motor is fulfilled. By means of experimental research it is shown that application of offered model allows to raise the accuracy of simulation.

Key words: asynchronous three-phase motor, generalised electrical machine, mathematical model, nonlinearity magnetic system.

Литература

1. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. М.: Высшая школа, 2001. 327 с.

2. Браславский И.Я. Энергосберегающий асинхронный электропривод/И.Я. Браславский, З.Ш. Ишматов, В.Н. Поляков. М.: Академия, 2004. 256 с.

3. Виноградов А.Б. Векторное управление электроприводами переменного тока. Иваново: ИГЭУ, 2008. 320 с.

4. Афанасьев А.Ю. Моментный электропривод. Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 1997. 250 с.

5. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. М.-Л.: Энергия, 1964. 528 с.

6. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. М.: Энергия, 1980. 928 с.

7. Макаров В.Г. Моделирование и исследование электроприводов. Ч.1. Разомкнутые системы электропривода. Казань: Казан. гос. технол. ун-т, 2005. 260 с.

Поступила в редакцию 13 октября 2009 г.

Афанасьев Анатолий Юрьевич - д-р техн. наук, профессор кафедры «Электрооборудование» Казанского государственного технического университета (КГТУ). Тел.: 8 (843) 236-56-53.

Макаров Валерий Геннадьевич - канд. техн. наук, доцент кафедры «Электропривод и электротехника» (ЭЭ) Казанского государственного технологического университета (КГТУ). Тел.: 8 (843) 231-41-27. E-mail: electroprivod@list.ru.