О возможности применения формализма Гамильтона для канонического преобразования систем координат при моделировании динамических физических процессов в «Цепях»

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 21, 2011.

-I-

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 621.3.011.719

Т.А. Исмаилов, А.А. Тамаев

О ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ФОРМАЛИЗМА ГАМИЛЬТОНА ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМ КООРДИНАТ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В «ЦЕПЯХ»

Осуществлено математическое преобразование системы координат применительно к традиционной исходной модели, описывающей физический динамический процесс в «цепях» (электронных схем приборостроения, электрических и радиотехнических схем) на примере колебательного контура LC. При этом в новой модели переменные динамического процесса разделены друг от друга (т.е. не связаны между собой), что является принципиально важным как с теоретической, так и с практической точки зрения.

Ключевые слова: моделирование, формализм Гамильтона, канонические преобразования, система координат, уравнения движения.

T.A.Ismailov, A.A. Tamaev.

ABOUT THE POSSIBILITY OF THE APPLICATION OF HAMILTON'S FORMALISM FOR CANONICAL TRANSFORMATION OF COORDINATE SYSTEM WHILE MODELING THE DYNAMIC PHYSICAL PROCESSES IN "CIRCUITS"

Mathematic transformation of coordinate system is applied to traditional starting model describing physical and dynamic processes in "circuits" (electronic schemes of instrument -making, electrical and radio and technical schemes) with the oscillatory contour LC taken as a model. At which, variable quantities of dynamic process are separated from each other in a new model (that is they are not connected to each other), and this fact is crucially important from theoretical as well as from practical point of view.

Keywords: modeling, Hamilton's formalism, canonical (canon) transformations, coordinate system, equation of motion.

1. Введение. Из литературы известно, что для любых «систем» (включая «цепи») уравнения движения переменных, т.е. модели динамического процесса, могут иметь более простую форму записи в преобразованной системе координат по сравнению с записью в исходной системе координат. Отмеченный фактор является существенным для практики по ряду причин, в частности: а) позволяет устранить некоторые трудности при расчетах сложных «цепей»; б) позволяет разработать более эффективные вычислительные программы для ЭВМ и пр.

Но в подавляющее число математических моделей динамических процессов в «цепях», представленных в обширной литературе по ним [1,2], не позволяют осуществлять на строгих принципах соответствующие преобразования координат. Более того, почти нигде не оговаривается то, что предлагаемая модель расписана в некоторой исходной системе координат (хотя это и подразумевается). И это не случайно. Почти все отмеченные модели по «цепям» хоть и разнообразны по форме, но имеют общую для них научную концепцию (формализм), в рамках которой трудно разработать эффективную строгую математическую теорию преобразования координат. Но существуют в науке и

А-

иные концепции, (формализмы) в рамках которых разработаны добротные теории

преобразования координат. Так в данной работе применяется формализм Гамильтона, который широко используется в теоретической физике, аналитической и квантовой механике и иных теориях, например [4].

В большинстве представленных в литературе моделей динамики в «цепях» [1,2] используется в качестве независимых переменных в моделях любых систем лишь одна группа (вектор) величин. Например, в теории «цепей» используется вектор токов или напряжений. Совершенно иная ситуация в формализме Гамильтона, в котором в качестве независимых переменных вводятся две группы (векторов), так называемых канонически-сопряженных величин. В частности благодаря этому в рамках формализма Гамильтона и была разработана математиками теория канонических преобразований координат. 2. Канонические преобразования координат. а) Уравнения Гамильтона.

Основой формализма Гамильтона являются уравнения Гамильтона. После некоторых авторских выкладок и преобразований (опущенных здесь) выпишем их в матричной форме применительно к «цепям»

дН' ~Ке '

ч = Е дч + Е д ч +Е

с дН с Ж с

_ р_ др д р _ист _

где и «р»-подматрицы (вектора) канонически сопряженных переменных (для «цепей» это например соответственно независимые электрические заряды и магнитные потокосцепления); Н-функция Гамильтона; Ес-симплектичная (единичная антисимметричная) матрица; е-подматрица ЭДС; К-главная контурная матрица; Ш-функция Релея.

Попутно отметим, что из выражения (1), были выведены, после ряда преобразований, расчетные, сравнительно простые выражения, описывающие уравнения Гамильтона для «цепей», удобные для использования в практике. Одно из них приведено

в [3].

б) Некоторые положения из теории канонических преобразований.

Преобразования канонически-сопряженных переменных «д» и «р» называются каноническими, если эти преобразования сохраняют форму уравнений Гамильтона. Выпишем эти преобразования в общем виде.

0к=0к

Рк= Рк

к = 1, 2,..., п

где д, Р - старые канонически - сопряженные переменные;

Р, 0 - новые канонически - сопряженные переменные.

Имеются специальные условия и правила проверки корректности формул канонических преобразований. Мы, ниже, пока используем одно из них, основанное на понятии «скобок Пуассона». (Теория «скобок Пуассона» также является составной частью формализма Гамильтона). Из теории имеем, что преобразование переменных является каноническим, в случае если выполняются следующие условия для скобок Пуассона:

5г1 = 1, ] при г = I

В целом теория канонических преобразований является довольно сложной, а ее применение для практики («цепей») требует осуществления цепочки различных исследований применительно к сложным «цепям». Поскольку данная работа является одной из первых в этой цепочке исследований, то очевидно, что она не претендует на их

законченность. В работе лишь показывается возможность эффективного использования канонического преобразования координат на примере одного из самых распространенных простых физических устройств, а именно гармонического осциллятора.

в) Каноническое преобразование системы координат применительно к процессу динамики (в виде уравнений «движения») типового гармонического осциллятора.

Типовая модель гармонического осциллятора используется в теории колебаний, в теоретической физике и ее различных прикладных разделах. Например: в механике это колеблющийся маятник, а также закрепленная одним концом пружина, колеблющаяся около положения равновесия; в электронике, электротехнике и радиотехнике это контур из элементов «Ь» и «С»; в энергосистемах это «качания» электромеханических генераторов; и т.п.

г^п

L ? -Г C

•—I 1—•—

Рис.1 Рис.2

Для общности изображения гармонического осциллятора приведем его в виде схемы на рис.1, а на рис.2 - известный по литературе колебательный электрический контур «ЬС»:

Причем контур типа «ЬС», с параметрами «Ь» и «С» (рис.2) будем также условно считать как обобщенный гармонический осциллятор с обобщенными параметрами «Ь» и «С» (не обязательно электрическими), см. рис.1, конкретный физический смысл которых определяется конкретной задачей.

Характерной особенностью консервативного гармонического осциллятора является то, что он имеет внутреннюю энергию как сумму энергий кинетической (магнитной) и потенциальной (электрической). Возможны и дуальные соответствия энергий (кинетическая - электрическая, потенциальная - магнитная), что не имеет принципиального значения.

Обозначим условно кинетическую - магнитную энергию как <^м», а потенциальную - электрическую как «^Э». Учитывая вышеотмеченное, имеем:

W=Wм+Wэ

Согласно материалам из [3] для большинства «цепей»:

Н^

где Н- функция Гамильтона.

Итак, согласно формализму Гамильтона, «априори» имеем [3]:

WЭ = ; WM = р2,

Э 2С M 2 L

где«^» и «р» - канонически-сопряженные переменные.

Тогда из (6), (7), (8) следует:

2 2

H = W = W, + Ww = У— + ^.

Э м 2С 2L

Применительно к цепям:

Я=Яе, р=рь

где qc - электрический заряд; рЬ - потокосцепление (магнитное); С - емкость; Ь - индуктивность.

г) Вывод уравнений «движения» в исходной системе координат.

Осуществим вывод для типового обобщенного случая, т.е. для обобщенного гармонического осциллятора с условными параметрами L и С

Используем для вывода уравнений «движения» (динамики) - уравнения Гамильтона (1). Применительно к рассматриваемому примеру второе и третье слагаемое в (1) опускаем, а число п=1. Тогда выражение (1) с учетом (9) примет вид:

• дИ д ,я2 р\ р /ллл

Я =-= —

др др 2С 2Ь Ь

р = -дИ = -д

дя дя 2С 2Ь С

Выпишем результирующие выражения (11), (12):

Я = р , Р=-Я

Ь С

Хотя каждое из выражений (13) в отдельности косвенно известно из обычных теорий, но там они записываются «априори» (по определению), а выше (согласно формализму Гамильтона) они выводятся как одна пара.

д) Вывод новых уравнений «движения» переменных «^» и «Р» в преобразованной системе координат.

В связи с тем, что в данной работе целью является лишь использование некоторого частного канонического преобразования, то мы естественно изберем и частный путь подбора нужного нам канонического преобразования в виде метода «проб и ошибок», т.е. осуществим интуитивный подбор необходимых преобразований, с последующей их проверкой на каноничность с помощью скобок Пуассона (2), (3). Подобный путь подбора канонических преобразований вполне допустим, и имеет определенное распространение в практике, которая применяет теорию формализма Гамильтона, в виду сложности общего подхода, использование которого с общих позиций применительно к простым задачам может выглядеть как «стрельба из пушек по воробьям».

Итак, введем следующие канонические преобразования:

^i7k->^lcPC!

(

чл/2Ь '} Т2С

Введем следующие обозначения:

"1

Р = +

= а ЬС

Тогда выражения (14), (15) примут вид:

Q

и!! 72С)

Р = }{н= + }~Я= V

Проверим скобки Пуассона (согласно их содержательной стороне, из литературы) по переменным Q и Р, с учетом выражений (4), (5). Проведем одну из этих проверок.

дР дQ дР } -} }} 1

(р ^Л) = ^ ^^ = J_____м__= 1 поч

( ' )рч др дя дя др л/2Ь л/2Са ^2Са ^2Ьа

Т.е. условие скобок Пуассона, с учетом выражения (5) удовлетворено. Аналогично проверено и условие по выражению (4). Таким образом, делаем вывод, что преобразования (17), (18) являются каноническими. Осуществим далее некоторые преобразования.

Первоначально перемножим Q на Р . Тогда учитывая (17), (18) получим

(

PQ

Р

чл/2! ^л/2С\yj2L 3 42С)4т Выражение (20) с учетом (9) примет вид:

PQ = —— Н

Ч

\

1

(

Р

+ У

Ч

\

1

а

''Р \ Ч ^

2L 2С

'р!+£л

2L 2С

Из выражения (21) следует:

Н = -уаРЗ

Теперь мы уже подготовлены к применению уравнений Гамильтона с новыми канонически-сопряженными переменным Q и Р. Запишем эти уравнения

' дН

Q = ^7

Р =

дР

дН

дё

Выражения (24) и (25) с учетом (23) примут соответственно вид:

Q = -у аз

Р = уаР

где Q и Р - преобразованные электрический заряд и магнитное потокосцепление соответственно.

Отметим, что в литературе по аналитической динамике (механике) также приводятся, в какой-то степени подобные преобразования, записанные в указанной форме. Отметим также (что весьма существенно) следующее:

1) величина «ю» есть просто один из сомножителей из выражения (17), (18);

2) величина «ю» (в нашем случае) не есть результат решения уравнений «движения» (динамики), подобно традиционным методам.

Из выражений (25) и (26) очевидно, что их решение имеет следующий вид:

з = Зо^- а

Р = Р0 вт

где ^ и Р0 начальные значения переменных Q и Р.

^ и Р определяются с помощью исходных выражений (17), (18) через начальные значения переменных q и р.

После определения «движения» новых переменных Q и Р, «движение» в старых переменных q и р, определяют через обратные преобразования от преобразований (17), (18).

3. Заключение. Выражения

представляли из себя «связанные» по переменным движения, т.е. переменная « 4 »

зависела от переменной «р», а переменная « р » зависела от переменной Ныне же в

новых «уравнениях движения» переменная «З » зависит только от переменной «З », а

переменная «Р» зависит только от переменной «Р», т.е. движения разделены друг от друга.

А-

Иными словами «движение» (динамический процесс) новых канонически-

сопряженных переменных Q и Р независимы друг от друга в преобразованной системе координат, что является существенным и принципиальным как с теоретической так и с практической позиций.

Библиографический список:

1. Попов В. П. Основы теории цепей. М.: Высш. шк., 2005. 574 с.

2. Данилов П. В., Матханов П. Н., Филиппов Е. С. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 251 с.

3. Исмаилов Т.А., Тамаев А.Г., Тамаев А.А. Математическое моделирование, построение теории и исследования динамических и переходных процессов в электрических цепях на основе формализма Гамильтона // Вестн. ДГТУ. Технические науки. 2005. №7. с.66- с.70

4. тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики М.: Наука, 1974. 223 с.