О возможности применения фрактальных моделей при построении систем защиты информации

6. ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ

6.1. О ВОЗМОЖНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ПОСТРОЕНИИ СИСТЕМ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

Никонов Владимир Глебович, доктор технических наук, профессор, член Президиума Российской академии естественных наук

Зобов Антон Игоревич, сотрудник НИИ «Квант», e-mail: zobowai@gmail.com

Аннотация: В данной работе рассматриваются принципы построения объектов фрактальной природы и анализируются возможности их применения для генерации длинных последовательностей. Интерес к фракталам в настоящее время обуславливается разработкой новых принципов построения и реализации систем защиты информации.

Ключевые слова: фрактал, защита информации, функция усложнения, пороговая функция.

ABOUT POSSIBILITY OF USING FRACTAL MODELS IN DATA SECURITY SYSTEM CONSTRUCTION

Nikonov Vladimir Glebovich, Doctor of Sciences in Engineering, Full Professor, member of presidium of Russian Academy of Natural Sciences

Zobov Anton Igorevich, research officer of NII «Kvant», e-mail: zobowai@gmail.com

Abstract: This paper describes construction principles of objects that have fractal nature and analyzes possibilities of its using for generation long sequences. The interest to fractals nowadays is caused by engineering new principles of construction and implementation of data security.

Index terms: Index terms: data security, function complication, threshold function, fractal.

1. Введение

Развитие систем защиты информации объективно приводит к поиску новых принципов их построения и реализации, включая заимствование тех или иных идей из наблюдаемых явлений живой и неживой природы. В данной работе внимание будет сосредоточено на так называемых фракталах, носителями которых могут быть живые организмы, структурируемые определенным образом объекты физической, химической, геологической и даже географической природы, а также отвлеченные математические модели. Все эти фрактальные проявления объединяют свойства определенной упорядоченности составляющих элементов, а также свойства масштабируемого самоподобия формирующих фрактал образов.

Представляя собой объекты сложной организации, фракталы, тем не менее, могут обладать простым формальным заданием или образовываться в естественных природных условиях. Так или иначе, сами фракталы или извлекаемые из них последовательности могут иметь весьма сложную информационную природу и богатство, в частности, за счет наращивания элементов самоподобия, сколь угодно большую длину. Такие свойства фракталов делают их привлекательными для использования в системах защиты информации в качестве генераторов длинных последовательностей. Более широкий взгляд на данную проблематику позволяет заключить, что и многим уже известным генераторам можно придать фрактальное толкование.

Внимание в данной работе будет сосредоточено в первую очередь на конструктивных принципах формирования последовательностей фрактальной природы без глубокого анализа

их криптографических свойств, что потребует проведения дальнейших исследований в указанном направлении.

2 Фрактал 2.1. История появления

Фрактальная геометрия изучает закономерности, проявляемые в структуре природных объектов, процессов и явлений, обладающих явно выраженной фрагментарностью, изломанностью, искривлённостью и структурностью. Понятия фрактала и фрактальной геометрии предложил Бенуа Мандельброт в 1975 году (см. [4]) для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта 'The Fractal Geometry of Nature' (см. [4]). В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Фату (см. [1]), Жюлиа (см. [2]), Кантор, Пуанкаре, Хаусдорф).

Появление фракталов в естественных науках принято связывать с математическими курьёзами и парадоксами, такими как исследование береговой линии или границ немецких княжеств XVII века, появление непрерывных, но не равномерно непрерывных функций и т.п. Подробнее можно посмотреть в [4]. Ключевой же является следующая история. В Северной Америке в начале 70-х гг. любопытные туристы своими шагами измеряли периметр озер. Выяснилось любопытное обстоятельство - у различных людей периметр оказался разным. С этим фактом они обратились к местным математикам и им повезло, что среди них оказался Бенуа Мандельброт, который выяснил, что это произошло из-за точности при измерении, так как при измерении изрезанных участков берега, чем меньше

длина шага, тем больше точность измерения и тем больше периметр. С этого началось становление нового языка науки, где основными понятиями являются фрактал, фрактальная размерность, фрактальная геометрия, фрактальное исчисление.

2.2. Определение

Под фракталом понимают математический объект (структуру), обладающий некоторыми свойствами, в частности:

- его можно разбить на части по определённому признаку;

- весь объект в некотором смысле подобен одной или нескольким своим частям.

Прежде чем сделать попытку определить понятие фрактал приведем некоторые определения и формулировки утверждений из [13].

Пусть X - компактное подмножество в Rn с классической метрикой р .

Определение 1. Назовем р-мерной мерой Хаусдорфа множества X, и обозначим через ¡р ( X ), значение предела:

и

Можно привести некоторые свойства меры Хаусдорфа.

Предложение 1. Пусть существует ¡р (X) - р-мерная мера множества X . Тогда верны следующие утверждения:

1. монотонность: если Y с X, то ¡^ (Y ) < ¡^ (X );

2. полуаддитивность: если г, , то , ,

X с Jy/ Up

П=1 n=1

3. аддитивность: если Xf ,1 < i < m, - компактные множества и Up (Xi n Xj ) = 0

. • m m

для i * j,то m(JXn) = ^тР(Xn):

n=1 n=1

4. однородность: если X с RП, то для любого X е R справедливо равенство /ир(Х- X) =| X |p m(X) .

Если р-мерная мера множества X конечна, то говорят что X имеет хаусдорфову размерность (обозначаемую dH (X) ) меньше или равную р. Если при этом эта мера положительна, то говорят, что X имеет хаусдорфову размерность р.

На практике, доказательство существования и нахождение предела 2.2.1 может представлять собой трудоемкую задачу, но чаще выполняется более слабое условие, которое легче проверить:

N

то есть 0 < c • е- < N(е) < C • е~р < да для достаточно малого е .

В этом случае также считается, что множество X имеет хаусдорфову размерность dH (X)=p .

Пусть (M, р) - метрическое пространство.

Определение 2. Замкнутое подмножество F с M называется перегородкой в M, если M \ F = Ul и U2 для некоторых непустых непересекающихся открытых подмножеств U, U2 с M. Если при этом для любых P P2 с M

выполняется, что р с П1 и Р2 с и2, то Е называется перегородкой между Р и Р2.

Далее введём определение большой индуктивной размерности. Она для метрических пространств совпадает с размерностью Лебега и называется топологической размерностью.

Определение 3. Обозначим через &Т (М) топологическую размерность множества М. Положим по определению если М = 0, то (М) = -1. Если М Ф0, то Сг (М) < п, если между двумя непересекающимися замкнутыми подмножествами Р1 и Р2 из М найдется перегородка Е, для которой dT (Е )< (П — 1) . Если таких п нет, то полагаем с1Т (М) = да.

Также стоит отметить, что топологическая размерность является топологическим инвариантом (то есть при гомеоморфном отображении множества размерность образа совпадает с размерностью прообраза). Следующее утверждение вплотную приближает нас к определению фрактала.

Предложение 2. В общем случае имеет место неравенство СТ < Сн .

Теперь можно ввести определение фрактала, которое дал Мандельброт в [4].

Определение 4. Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа которого строго больше его топологической размерности.

Ключевыми размерностями в понятии "фрактал" считаются топологическая размерность и размерность Хаусдорфа, но из-за того, что определение последней считается задачей не тривиальной, вводятся и другие размерности, например размерность кластера или размерность подобия, о которых будет говориться ниже.

При рассмотрении размерности Хаусдорфа размер, покрывающих фигуру отрезков, квадратов, кубов, устремлялся к нулю. Но реальные объекты, как правило, обладают минимальными предельными размерами, например, в физических системах это радиус атома или молекулы, в вычислительных -размер разрядной сетки. Таким образом, в соответствующих рассуждениях математическую линию необходимо заменить на цепочку мономеров (объектов, которые и обладают минимальным размером).

Число мономеров в цепи длиной 2Я равно

N = V,

/ г

где г-радиус мономера.

Далее, можно брать произвольное множество, выделять в нём участок размера, например Я х Я (для множеств на плоскости) и считать, сколько мономеров радиуса г потребуется для его покрытия. Если требуется покрывать мономерами ограниченное самоподобное множество, то возникает процесс экстраполяции. Например, если мы хотим расширить множество Кантора на всю действительную прямую, то на первом этапе получим множество на отрезке [0;3], состоящее из исходного канторового множества и его копии, перенесенной на отрезок [2;3], далее продолжаем аналогично.

На каждом этапе говорят, что фрактальное множество представляет собой кластер, а экстраполяция - рост кластера.

Определение 5. Размерностью кластера называется величина, определяемая следующей формулой:

D Ч R

где N - число мономеров внутри сферы радиуса R, покрывающих кластер, р - плотность упаковки мономеров.

Фрактальная размерность кластера служит количественной характеристикой того, как кластер заполняет занимаемое им пространство.

С другой стороны, поскольку масса всех мономеров одинакова, тогда число частиц N можно интерпретировать как массу, р - как плотность, а размерность кластера называть размерностью массы.

Также справедлив и другой подход к определению фракталов, описанный в [13].

Пусть (M, р) - метрическое пространство. Обозначим через K (M ) совокупность всех непустых компактных подмножеств

в M.

Определение 6. Расстоянием между точкой X £ M и непустым компактным множеством Y с K (M) назовем

р( X, Y ) :

р

y£Y

Расстоянием между двумя компактными непустыми множествами X, Y с K (M ) назовем R (X,Y ) :

R

xeX y£Y

Нетрудно проверить, что (K (M),R) также будет являться метрическим пространством.

Определение 7. Метрическое пространство (M, р) называется полным, если каждая фундаментальная последовательность в нем имеет предел.

Теорема 1. Если метрическое пространство M полно

тоже полно (соответственно компактно).

Пусть задано семейство сжимающих отображений {/,..., fk }, таких что

f : M ^ M для любого i £ 1, k . Определим отображение F : K (M) ^ K (M) с помощью формулы:

Р

Теорема 2. Отображение Р - сжимающее, и, следовательно существует единственное непустое компактное множество X с М, обладающее свойством р (X ) = X

Определение 8. Множество X из теоремы 2 называется однородным самоподобным фрактальным множеством или самоподобным фракталом. Семейство функций /1,...,/ называют порождающей системой функций, определяющей фрактал X

Иногда используется более общее определение. Вместо 2.2.6 зададим отображение Р формулой:

Р

где У - фиксированное компактное подмножество вМ . Это отображение также будет сжимающим. Следовательно для любого X е К (М) последовательность {X } ^, где

Xn = ¥п (X) = Р(Р(. Р(Р(X)) .) , сходится в К (М ) и ее предел является неподвижной точкой преобразования

Р в К (М).

Определение 9. Множество

X , определенное выше, называется неоднородным самоподобным фракталом.

2.3. Классификация фракталов

Существует общепринятая классификация фракталов, их делят на три класса:

- геометрические;

- алгебраические;

- стохастические.

Рассмотрим каждый из них более подробно.

Геометрические фракталы являются самыми показательными, на их примере легко увидеть свойство самоподобия. Их получают с помощью начального объекта - «затравки» и преобразователя - «генератора» (в двухмерном случае - ломаной или в трехмерном случае - поверхности). За один шаг алгоритма каждый из отрезков затравки, заменяется на масштабируемый генератор. Геометрический фрактал получается при бесконечном повторения этой процедуры.

Так же примерами геометрических фракталов могут служить, изображённые на рис.1: кривая дракона (рис.1а), кривая Леви (рис.1Ь), кривая Пеано (рис.1с), множество Кантора (рис.1ф, ковер Серпинского (рис.1е), дерево Пифагора (рис.!^.

Рисунок 1. а) кривая дракона, Ь) кривая Леви, с)кривая Пеано, ^множество Кантора, е)ковер Серпинского, ^дерево Пифагора.

Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов. Эти фракталы возникают при исследовании нелинейных динамических процессов и систем. Если нелинейный итерационный процесс рассматривать, как дискретную динамическую систему, то можно использовать терминологию теории этих систем, включая понятия фазового портрета, установившегося процесса, аттрактора и т.д. Нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями или аттракторами, которые характеризуются некоторой областью начальных состояний, из которых система после некоторого числа итераций обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Появилась возможность с помощью простых алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Классическим примером алгебраического фрактала является множество Мандельброта (см. рис.2).

Рисунок 2. Множество Мандельброта.

Стохастические фракталы. Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые образуются путем многократного изменения каких-либо параметров в случайном процессе. При этом получаются объекты очень похожие на природные - кристаллы, несимметричные деревья, кораллы, изрезанные береговые линии, кровеносная система, молнии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и по-

верхности моря. Примеры стохастических фракталов представлены на рис.3.

Рисунок 3. Примеры стохастических фракталов.

В зависимости от степени самоподобия фракталы можно разделить на следующие классы: 1. Самоповторяющиеся фракталы.

К этой категории относятся фракталы, которые не изменяются в зависимости от масштаба наблюдений. Примерами могут служить: канторово множество (рис.1ф, ковер Серпинского (рис.1е), кривая Пеано (рис.1с), губка Менгера (рис. 4).

Рисунок 4. Губка Менгера.

2. Линейные фракталы.

Эти фракталы строятся с помощью аффинных преобразований, т.е. фракталы этого типа содержат уменьшенные копии всей фигуры целиком, но видоизмененные с помощью аффинных функций, например, лист папоротника Барнсли (см. рис. 5).

Рисунок 5. Лист папоротника Барнсли.

3. Самоподобные фракталы.

Фракталы этого типа содержат уменьшенные копии фигур целиком, видоизмененные с помощью нелинейных функций, как например, множество Жюлиа (см. рис. 6).

Рисунок 6. Множество Жюлиа.

4. Квазисамоподобные фракталы.

Фракталы этой группы более или менее идентичны в различном масштабе. Такие фракталы содержат уменьшенные и деформированные копии всей фигуры целиком. Как правило, к этой группе относят фракталы, определенные с помощью рекурсивных процедур, как например, множество Мандельб-рота (рис. 7Ь) или фрактал Ляпунова (рис. 7а).

а) Ь)

Рисунок 8. а) траектория Броуновского движения, Ь) полет Леви.

Также существуют и другие классификации фракталов.

1. Рукотворные и природные.

К рукотворным относят фракталы, которые были придуманы учеными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования, то есть на максимальный и минимальный размеры, при которых у объекта выполняются фрактальные свойства.

2. Детерминированные и недетерминированные.

К детерминированным относятся геометрические и алгебраические фракталы, а к недетерминированным - стохастические.

2.4. Примеры известных фракталов и их некоторые свойства Множество Кантора

Канторово множество, названное в честь Георга Кантора, открывшего его в 1883г., позволяет сформировать фрактальное

множество с размерностью 0 < ^ < 1.

Рисунок 7. а) фрактал Ляпунова, Ь) множество Мандельброта.

5. Статистически самоподобные фракталы.

Эти фракталы обладают минимальным уровнем самоподобия. В них присутствует какая-либо статистическая или числовая метрика, которая не изменяется в зависимости от масштаба. К этому типу фракталов относят случайные фракталы, например, траектория Броуновского движения (рис. 8а), полет Леви (рис. 8Ь), фрактальные пейзажи и броуновские деревья.

Рисунок 9. Множество Кантора. Пусть М = [0,1], /1 (х) = 1 х, /2 (х) = х + 2. Тогда множество

С, которое является неподвижной точкой для отображения Р(X) = ^^)и/.¿(X), называется множеством Кантора. Заметим, что оно приближается последовательностью множеств {Сп}, определенных рекуррентным соотношением

Сп+1 = Р(Сп).

1 2

Положим сначала С1 =[0, 1] .Тогда Сг = [0,—] и [—,1],

^ г 1 г2 1 г2 7Л г8 1П С3 = [0,-и[-,-]и[-,-|и[-,1] и т.д. 3 9 9 3 3 9 9

Последовательность Сп - убывающая последовательность

, а это значит, что С не-

множеств, следовательно

С = П Сп

п>1

пусто, как пересечение семейства непустых компактных множеств.

Предположим, что С имеет хаусдорфову размерность р и конечную ненулевую р-меру цн (С) . Множество С состоит

из двух частей подобных самому С с коэффициентом 1. Из

3

однородности р-меры (см. предложение 1) следует, что каждая из этих частей имеет р-меру ^ (С) . Теперь из аддитивности меры (см. предложение!) получаем уравнение 2. (1) р = 1, из которого следует, что р = 2 = 0..63093...

Топологическая мера множества Кантора dT (С) равна 0. Кривая Коха

Эту кривую описал в 1904 году шведский математик Хельге фон Кох. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины!. На следующем

3

шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д. Предельная кривая и есть кривая Коха.

Пусть

Рисунок 10. Кривая Коха.

M =[0, 1], fiix,y) = (3,y),

,, . ,х ул/3 1 хл/3 V х 2 у

/г{х, у) = (--+7), Мх У) = Ь + ~ ,

6 6 3 6 6 333

_ . . .х у\13 1 х>/3 у у/3.

/4(х,у) = (-+ --+ -,--+ —+-) .

4 6 6 2 6 6 6

Тогда множество К , которое является неподвижной точкой для отображения Р(X) = /(X)и/1(К)и/Ъ(К)и/4(X), называется кривой Коха.

Предположим, что К имеет хаусдорфову размерность р и конечную ненулевую р-меру цн (К) . Множество К состоит

из четырех частей подобных самому К с коэффициентом1. Из

3

однородности р-меры (см. предложение 1) следует, что каж-

дая из этих частей имеет р-меру _L(K)  Теперь из аддитивности меры (см. предложение 1) получаем уравнение

4. (A) p = 1, из которого следует, что р = log3 4 == 1,2618...

3

Топологическая мера кривой Коха dT (K) равна 1.

3. Методы построения фракталов 3.1. Метод систем итерируемых функций

Рассмотрим метод систем итерируемых функций (Iterated Function System - IFS). Его математическая основа была разработана Джоном Хатчинсоном, а широкую известность он приобрёл благодаря Майклу Барнсли. Этот метод является простым средством получения фрактальных структур (см. [9]), однако следует отметить, что результатом применения системы итерированных функций не всегда является фрактал, может получится любое компактное множество. Применение этого метода, для наглядности, продемонстрируем на примере построения губки Менгера (рис. 4). Нужно взять куб, разделить на 27 равных кубиков, затем удалить средние 7 кубиков, в результате чего получается 20 кубиков. С каждым из них мы проделываем ту же самую операцию и т.д. Это несколько наивное, но наглядное объяснение.

Рассмотрим метод более строго. Пусть имеется некоторая система сжимающих отображений S = SA,...,S , S : R" ^ R" (например, для губки Менгера отображения

имеют вид S (X) = 1 х + о , где О. - вершины куба,

' 3 '

i = 1,...,4 ). Затем выбираем некоторое компактное множество A в R (в нашем случае выбираем куб). И определяем по индукции последовательность множеств Ak :

Л+1 = S1(Ak)U...USm(Ak). Известно, что множества Ak с ростом k, всё лучше приближают искомый аттрактор системы

5.

3.2. Построение по точкам или вероятностный метод Этот метод является наиболее простым для реализации на компьютере. ПустьS={S1,...,Sm} - некоторая система аффинных сжатий. Отображения S. представимые в виде: S.. (x)=A.. (x-o..)+о.., где Af - фиксированная матрица размера 2x2 и О. - двумерный вектор столбец.

1. Пусть неподвижная точка первого отображения S1 будет начальной точкой: X := ОА. Это возможно, потому что все

неподвижные точки сжимающих отображений S1v..,Sm

принадлежат фракталу. В качестве начальной точки можно выбрать произвольную точку, и порожденная ею последовательность точек стянется к фракталу;

2. Отмечаем текущую точку X = (XA, X2 ) .

3. Выбираем случайным образом число У от 1 до m и пересчитаем координаты точки X : X := S  (X) ;

4. Переходим на шаг 2, либо, если сделали нужное число итераций, то останавливаемся.

J ( f ) ,

J (f);

2. lim f n)( z0) = да;

3. существует n0 E Г такое, что выполняется неравен-

Стоит отметить, что если коэффициенты сжатия отображений разные, то фрактал будет заполняться точками неравномерно. В случае если отображения являются подобиями,

этого можно избежать небольшим усложнением алгоритма. Для этого на 3-ем шаге алгоритма число] от 1 до т надо выбирать с вероятностями р1 = г*,..., рт = Г^ , где Г обозначают коэффициенты сжатия отображений , а число 5 (называемое размерностью подобия) находится из уравнения

Г1 + - + < = 1 .

4. Примеры применения фракталов для генерации длинных последовательностей

В этом разделе будут рассмотрены примеры возможного применения фрактальных отображения для порождения длинных непериодических последовательностей.

Все известные фракталы в той или иной степени можно трактовать как информационные источники длинных последовательностей объектов определенной природы, представляющих особый интерес при построении систем защиты информации. Для получения длинных последовательностей можно использовать уже известные фрактальные множества или строить специальные фрактальные структуры.

4.1. Функция усложнения на основе множества Жюлиа

В данном параграфе будут использованы определения и формулировки теорем взятые из [5]. Пусть /(2) = ап2п + ... + а17 + а0, полином степени п > 2 с комплексными коэффициентами.

Определение 10. Множеством Жюлиа функции /, обозна-

называется множество точек комплексной плоскости J(/) = д{2 | /(п) ^ да при П ^ да}, где д { А} - граница множества А.

Таким образом, множество Жюлиа функции / есть граница множества точек 2 , стремящихся к бесконечности при итерировании / ( 2 ) .

Далее будем рассматривать множества Жюлиа для квадратичных функций: ^ (г) = г2 + с, где С - константа из У. Этот подход не ограничивает общность, потому что произвольный квадратичный полином /(2) = а222 + а12 + а0 ,

может быть сведён к указанному выше заменой. Приведённая ниже теорема позволяет понять, когда точка не лежит в множестве J(.

Теорема 3. Обозначим ^ = 1 + У1 + 41 с I . Пуст г0 Е ]. Тогда

2

следующие условия эквивалентны: 1. точка 20 не лежит в множестве

В ходе проведенных экспериментов было установлено, что

оптимальное П0

для установления принадлежности точки множеству Жюлиа равно 20.

Приведём пример построения функции усложнения.

g : J ^ {0,1}

Алгоритм 1.

Вход: fc

Предварительный этап: генерируем массив из M случайных точек из J не превосходящих по модулю 3, и проверяем, принадлежат они J (fc ) или нет. Пусть N точек принадлежат множеству Жюлиа J ( fc ) .

Основной этап: генерируем комплект из m случайных точек из J не превосходящих по модулю 3 и проверяем, принадлежат они J (f) или нет. Тогда

I 1, если количество точек принадлжащих J (f ) больше N m ; g (z) = • M

[ 0, в противном случае.

Повторяем процедуру необходимое количество раз. В результате описанных действий будет получена последовательность сколь угодно большой длины.

Изучение свойств этой последовательности представляет самостоятельную задачу, выходящую за рамки данной статьи. 4.2. Полноцикловое преобразование в пороговом базисе

Пусть Gn - таблица размера 2" X n , строки которой суть -

вектора размера n над полем GF (2) , записанные в следующем порядке:

(0

G1 =1° I, G2 =

0 1 1 1 1 0

...., G" =

0 Gn-,

1 G"-1

где G - таблица, полученная из таблицы G , инверти-

n—1 n—1

рованием всех элементов.

отображе-

Определим с помощью таблицы Gn = (stJ) ние g : GF(2)n ^ GF(2)n

по Правилу: g (s ..., Sn) = (s

'(i+1)1'

'(i+1) n

).

Ifc("0)(z0)|> R.

Пример 1. В качестве примера рассмотрим С2: ё(0,0)=(0,1), 8(0,1)=(1,1), 8(1,1)=(1,0), 8(1,0)=(0,0).

Предложение 3. Для любых X = (Х1,..., Хп), у = (у1;..., уп ) из Оп верно что если g(X) = у, то

g (х) = у, где X вектор, полученный из вектора X инвертированием координат.

Доказательство. Докажем это утверждение методом математической индукции по п. База индукции, очевидно, следует из задания (4.2.1).

Предположим, что утверждение верно для любого П < к . Докажем его для П = к . По предположению индукции, если в Ок-1, существуют

строки вида

( Л (

У 2 ••• Ук

, то существуют строки вида

\

X2 У2

V...

X

к Уь ... /

Тогда Ок принимает следующий вид:

Gk =

0 x2

0 У2

0 X2

0 У2

У2

У2

Ук

Ук

Ук

Ук

Далее утверждение следует из построения Ок (см.(4.2.2)):

если ^ (0, Д^. хк ) = (0, У 2,. • •, Ук ) ,

то g (1, x2,хк) =(1, у2,..., ук) , если g(1, х2, хк) = (1, У2, Ук) ,

то g (0, х2, . , хк ) = (0, У2 5 . • •, Ук ) .

Определение 11. Пусть А = (а..) матрица размера

V У /пхп

п х п над полем ОР (2). Тогда нейропреобразованием, порожденным матрицей А, назовем вектор-функцию

/ :ОР(2)п ^ОР(2)п, / = (/1,...,/),

где / : О¥(2)п ^ О¥(2) координатные функции, задаваемые каждой координатой ¡-ой строки матрицы А, для любого . е 1, п, такие что:

/(*,...,хп)Л1- если ^Ч^-4^!?>0;

[0, в противном случае. Предложение 4. Пусть

полняется тогда и только тогда,

вы-когда

Доказательство. Пусть п = 2к, тогда левая часть неравенства принимает вид:

-к 1 -к + + х2 х3 + ... + х^к,

и если перегруппировать слагаемые:

(-к + 1) + Х2 + х4+. + х2к - (х3 + х5 +. + х2 к-1) 2 >-«-'

к-штук

то утверждение становится очевидным. Для п = 2к + 1 доказательство проводится аналогично.

Предложение 5. Пусть А = (а ) матрица размера

V . ' пхп

п х п над полемОР(2) иПА : О¥(2)п ^ О¥(2)п -нейропреобразование, порождённое матрицей А . Тогда если ПА (х) = у, то Па (х) = у, где х - вектор, полученный из вектора X инвертированием координат. Доказательство.

Рассмотрим Па (х) = /(х) = (/1 (х), ., /п (х)) . Тогда достаточно показать, что если (х)=у., то /i(х) = у., для любого I е 1, п . Последнее следует из того, что если

ап( х - 2+.+ап(хп - 2 >0,

то ап(х-2 + . + ап(хп-2 =

= аа(1 - х1- 2+.+ап(1 - хп- ^ = -( аи( х1- 2+.+ап(хп- ^ < 0

Теорема 4. Таблица Оп задает полный цикл, который может быть задан нейропреобразованием, порожденным

матрицей

й An, где An строится по индукции:

A =(-1)' A2 =

0 1 -1 0

(

А+

n 1 -1 •..

-1 n 1 •..

-1 -1

-1 -1 An + Bn

(-1)n (-1) n+1

A, =

n - 2 1 -1 -1 -1

(-1)n

V .

Доказательство. Обозначим g : ОР(2)п ^ ОР(2)п - отображение, полученное с помощью цикла Оп . Также пусть

пА : GF(2)" ^ GF(2)"

нейропреобразование, порож-

дённое матрицей Ап . Ранее доказано, что если п (х) = у, топ (х) = у (см. предложение 5), так же если g(х) = у, то g (х) = у (см. предложение 3).

Докажем, что эти отображения совпадают. Рассмотрим сначала первые две координаты.

Неравенство (п - 2)(х1 - 2) + (х2 - 2) + . > 0

при

х = 0

выполняется только

( п-1)-штук

при х =

из построения

а:

(0 0 ^

ап+2 =

0 0 0 1

0 1 1 1

1 1 1

1

а

о„

а

а

Таким образом, доказано, что при Х1 = 0 отображения g (Х) иПА (Х) совпадают по первым двум координатам. При Х1 = 1 утверждение доказывается аналогично. Рассмотрим координаты, начиная с третьей. Пусть

Ц+2( *,..., Хп+2) = О Х - 1) + О Х2 - |) + ...+ аЩп (Хп+2 - 2) - линейная форма, порождённая (/' + 2)-ой строкой матрицы

Ап+2 .

Таккак а%2 = а^,= а%2 + <,

то Д-++22( Х1, ..., Х„+2) = (-1)( Х1 - 2) +

+Ц'+1 (Х2,., Хп+2) + (Х3,., Хп+2) .

Индукцией по ' докажем, что ц(101 ) = -

1 .

^ = -(1- \) = - 2; 1

1

1

¿2(1,0) = 0(1 --) +1(0 —) = --;

1

1

1

Ц2(1,0) = -1(1 —) + 0(0 —) = —;

Ц++22(1,0,1,0,...) = 00,1,0,1,...)+Ц (1,0,1,0,...)-1(1 - 2) = -^;

¿^(1,0,1,...) =-(1-2) +(и-2)(0-2)+ 2 2 2 2 2

(см. предложение 4). То же самое наблюдается и в цикле

а( g (0,1,0,1,...,0,1) = (1,1,...,1)).

Аналогичное утверждение для второй координаты следует

Таким

образом, получаем

Ц (1,0,1,...) = -

1

Ц (0,1,0,.) = — .

2

Линейная форма£*++1(0,Х2,...,Хп) имеет один и тот же знак, что и линейная форма Ц(х2,...,Хп), кроме случая, когда (Х1,..., Хп ) = (0,1,0,1,...).

Аналогично доказывается совпадение знаков Ц22 и Ц11 , Ц33 и

¿3, Ц и Ц . Таким образом имеем, что

1

Ц+22(0,0, х3,..., хп+2) = - + Ц^, х3,..., хп+2) + Ц (х3,..., хп+2),

где знаки последних линейных форм совпадают на всех наборах (х3,...,хп) , за исключением набора (0,1,0,1,...) (по предположению индукции). Следовательно,

Ц+22(0,0, х3,..., хп+2) имеет тот же знак, что и

Ц+1 (0, Х3,. • •, Хп+2 ) .

В итоге, из сказанного выше и предложения 5, получаем, что п'А+1(0,х) = п'А (х) за исключением х = (1,0,1,0,...), и П (0101.) = 1. То же самое наблюдается и при построении ап+1 .

Пример 2. Приведем примеры матриц Ап : А1 = (-1);

( 1 1 -Л -1 1 1

А=|-0,01; А=

-1 -1 -1

А4 =

(2 1 -1 1 ^ -12 1 -1 -1 -11 2

( 5

А7 =

1 - 1 - -2 - и

-1 1 -1 1

1 -1 1 -1

7 2 -2 2

-2 8 3 -3

-2 -3 8 5

-2 -3 -5 5

-2 -3 -5 -8

-1 ^ 1 -2 3

-5 8

-5

ч у

Следствие 1. Существует не менее п 12" 3 матриц порождающих полный цикл.

Замечание 1. Цикл, порожденный матрицей Ап, будем обозначать .

В качестве замечания можно отметить, что последовательность, порожденная матрицей Ап, имеет существенный недостаток, а именно старшие знаки имеют малую вероятность знакоперемен. Можно предложить много способов устранения этой слабости путем усложнения исходной последовательности, в частности, используя преобразования в пороговом базисе, реализованные на базе квазиадамаровых матриц.

Определение 12. Квазиадамаровой матрицей называется квадратная матрица над полем действительных чисел, состоящая из элементов {-1,0,1} с попарно ортогональными строками и имеющая четный размер, причем каждая строка и каждый столбец такой матрицы содержат хотя бы один нуль и хотя бы один отличный от нуля элемент.

Пусть В = (й ) - квазиадамарова матрица. Тогда бу-

V . 'пхп

дем говорить, что матрица В порождает преобразование ПВ : О¥(2)п ^ О¥(2)п , которое задается системой координатных функций (/1,., / ) , причем для любого натурального . / (х,,..., хп) = 1» х!1 + ...+ хььп..к

где

к

число ненулевых элементов в ¡-ой строке матрицы В :

х., если Ь.. = 1;

У У

1 - х,, если Ь. =-1;

x) =

0,

если b.. = 0.

и

Преобразование вектора (х1,...,хп) в вектор(у1,...,уп) ,

где у. = / (х1,..., хп), при некоторых «п», например п = 4,6,8,... порождает биекцию, с помощью которой можно усложнить последовательность .

Пример 3. Рассмотрим цикл, порожденный матрицей А4 :

C =

Г 0 0 0 01

0 0 0 1

0 0 1 1

0 0 1 0

0 1 1 1

0 1 1 0

0 1 0 0

0 1 0 1

1 1 1 1

1 1 1 0

1 1 0 0

1 1 0 1

1 0 0 0

1 0 0 1

1 0 1 1

V 1 0 1 0,

Пусть

B =

1 1 1 0 1

1 -1 0 1

1 0 -1 -1

0 1 -1 1,

- квазиадамарова матрица.

Если к каждому вектору цикла С применить преобразование ПВ, то получим:

C =

Г1 1 1 11

0 1 1 0

0 1 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 0 0

0 0 0 0

1 0 0 1

1 0 0 0

0 0 1 1

0 0 0 1

1 1 0 1

1 0 1 0

V 1 0 1 1,

Исследования, направленные на усложнения последовательности 7, могут быть продолжены.

Статья проверена системой Антиплагиат оценка оригинальности: 81.27%

Список литературы:

1. Fatou. Sur les equations fonctionnells. Bulltein de la Soc. Math.de France, 1919.

2. Julia G., Memoire sur l'iteration des fonctions rationnelles. - J. de Mathematiques pures et appliquees, 1918.

3. Федер Е. Фракталы./М.: Мир, 1991.

4. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы./Москва, 2002.

5. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории./М.: Постмаркет, 2002.

6. Божогин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы./Ижевск:

НИЦ «Регулярная и стохастическая динамика», 2001.

7. Гуревич В., Волмэн Г. Теория размерности./Москва: ИЛ, 1948.

8. Колмогоров А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа./Москва: Физматлит, 2004.

9. Бондаренко В.А., Дольников В.Л. Фрактальное сжатие изображений по Барнсли-Слоану./Автоматика и телемеханика. 1994.

10. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов./Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.

11. Бугримов А.Л., Бычкова Д.Д., Кузнецов М.В. Возможности вариации размерности фрактальных множеств./Вестник МГОУ, 2014.

12. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы, фракталы./Москва: Издатель Акимова, 2005.

13. Кириллов A.A. Повесть о двух фракталах./М.: МЦНМО, 2010.

РЕЦЕНЗИЯ

на статью Зобова А.И., Никонова В.Г. «О возможности применения фрактальных моделей при построении систем защиты информации» Одно из новых направлений развития методов построения дискретных узлов переработки информации связано с привлечением и использованием бионических и иных естественно-научных прототипов. В представленной статье в качестве таких прототипов рассмотрены фрактальные модели различной природы. Целью авторов стала генерация с помощью фракталов длинных последовательностей, представляющих интерес для построения систем защиты информации.

Обращение к фрактальной тематике потребовало проведения исследования основных видов фракталов с анализом их возможного применения для генерации длинных последовательностей. Наряду с

известными фракталами в статье построены и новые фрактальные конструкции, в том числе с использованием пороговых операций.

Данную статью можно расценивать как пионерскую в рассматриваемой научной области, а её основные положения - заслуживающими опубликования в журнале «COMPUTATIONAL NANOTECHNOLOGY».

Основными недостатками статьи следует признать отсутствие в ней оценок качества генерируемых с помощью фракталов последовательностей и сложностных оценок затрат на их реализацию.

Исследование в этой области могут стать основанием для написания последующих статей, развивающих данное научное направление.

Рецензент

канд. техн. наук, доцент

Шурупов А.Н.