Вычислительные особенности минимизации погрешности аппроксимаций функций по чебышевским узлам интерполяции

до 1 мин. 20 сек. Таким образом, полученный генетический алгоритм позволяет сократить время поиска наилучшего решения в рамках поставленной задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Осовский, С. Нейронные сети для обработки информации: пер. с польск. И.Д. Рудинского / С. Осовский. -М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

2. Панченко, Т.В. Генетические алгоритмы: учебно-метод. пособие / Т.В. Панченко; под ред. Ю.Ю. Тарасе-вича. - Астрахань, 2007.

УДК 519.613 ББК 22.193

С.А. Катрич

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ МИНИМИЗАЦИИ ПОГРЕШНОСТИ АППРОКСИМАЦИЙ ФУНКЦИЙ ПО ЧЕБЫШЕВСКИМ УЗЛАМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Аннотация. Рассматриваются интерполяционные полиномы Чебышева и вопросы использования их корней в качестве узлов интерполяции с целью минимизации погрешности интерполирования, с этой целью строится полином Лагранжа. Приводятся результаты численных экспериментов в системе MathCAD по интерполированию по чебышевским узлам.

Ключевые слова: интерполяция, полиномы Чебышева, Лагранжа, чебышевская система узлов интерполяции, численные эксперименты.

S.A. Katrich

COMPUTING FEATURES OF MINIMIZATION OF THE ERROR IN THE APPROXIMATION OF FUNCTIONS ON CHEBYSHEV INTERPOLATION UNITS

Abstract. Chebyshev interpolation polynomials and the use of their roots as the interpolation units in order to minimize the error of interpolation are considered, for this purpose Lagrange polynomial is built. The results of numerical experiments in MathCAD for interpolation on Chebyshev units are given.

Key words: interpolation, Chebyshev, Lagrange polynomials, Chebyshev system of interpolation units, numerical experiments.

Постановка вопроса. Ставится задача исследовать погрешность интерполяции достаточно гладких функций полиномом Лагранжа, построенным по корням полиномов Чебышева. С целью моделирования поведения погрешности полином Лагранжа строится по чебышевской системе узлов и близкой к ней системе узлов интерполяции. В качестве вычислительной среды используется система MathCAD, обсуждаются возможности использования для этих целей Delphi. Полученные результаты численных экспериментов анализируются исходя из того, что погрешность интерполирования достаточно гладкой функции на отрезке [ —1,1 ] многочленом n -ой степени будет минимальной, когда в качестве узлов интерполяции берутся корни полиномов Чебышева.

Интерполяционные полиномы Чебышева и их свойства. Как известно, полиномом Чебышева называется функция [4]

Tn

где n e N0, x e[—1, l]. Очевидно, при n = 0 и n = Соответственно получается T0 (x) = 1, T1(x) = x . Последовательность функций Tn (x), начинающихся с T0 (x) = 1, ?1(x) = x, рекуррентно определяется соотношением [4]

Tn+ 1(x) = 2 • x • Tn (x)— Tn—1(x) ,

где x e [— 1,1], как и в (1), n = 1,2,3,....

В частности, некоторые полиномы Чебышева имеют вид [4]:

T9 (x )= 256 • x9 — 576 • x7 + 432 • x5 —120 • x3 + 9 • x, T10 (x)= 512 • x10 —1280 • x8 +1120 • x6 — 400 • x4 + 50 • x2 — 1

и

Т21 (х) = 1048576 • x21 - 5505024 • x19 +12386304 • x17 --15597568 • x15 +12042240 • x13 - 5870592 • x11 +1793792 • x9 -- 329472 • x7 + 33264 • x5 -1540 • x3 + 21-x.

Графики некоторых полиномов Чебышева, полученные при помощи МаШСЛВ, представлены на рисунке 1.

и«

п<»

-I

1 1 \ 05

-1 V»} V-05 0 О Г

ТЯй

-1

Т*1)

-1

-I

Т*1>

-1

А Л 1

I \ ш

Т V5 1 » 0 А |1

V.! V

ТОД

-I

Л '

/ \и

! 'Л)\ 0/ «1 [

II [ " Т'

ГВД

1\ А' Л

/ А

11 "г с М

1 / "0)

" -I V V

-1

11(К1>

-1

-I

- 1

Рис. 1. Графики полиномов Чебышева

Т1

Общеизвестны следующие свойства рассматриваемых полиномов [4]:

1. Степени этих полиномов возрастают с увеличением п, причем старший коэффициент равен

2п-1• хп;

2. Полиномы Тп (х) при четных п выражаются через степенные функции только четных степеней, при нечетных - только нечетных;

3. Полиномы Чебышева Тп (х) имеют на отрезке [-1,1] ровно п различных действительных корней, которые задаются формулой

2 + 1 , П1 1

-••л , где к = 0,1,..., п-1.

х, = cos-

2 • п

Для того чтобы какой-либо интерполяционный полином, например Лагранжа, Ньютона, в целом хорошо приближал функцию у = / (х) на отрезке [а, Ь] ставится вопрос: как расположить на нем п + 1узлов интерполяции х1, / = 0,1,...,п, чтобы при этом минимизировать на [а, Ь] погрешность интерполяции. При этом преобразование независимой переменной

а + Ь Ь - а

• t

2 2

осуществляет взаимнооднозначное соответствие между х е [а, Ь] и / е [-1,1].

Известно, что максимальная погрешность интерполирования достаточно гладкой функции на отрезке [-1,1] многочленом п -й степени будет минимальной, когда в качестве узлов интерполяции 10,11,...,tn е [-1,1] берутся корни полиномов Чебышева Тп[4], которые принято называть чебышевскими узлами интерполяции, или оптимальной в смысле наименьшей погрешности,

как отмечается в [1].

Описание методики интерполяции в среде MathCAD полиномами Чебышева. Ниже приводятся результаты расчета погрешности интерполяции полиномом Лагранжа для функции

/ (х ) =

1

2 ,

1 + 25•х2

которая является примером бесконечно дифференцируемой функции, максимальная погрешность интерполирования которой на отрезке [-1,1] по системе равноотстоящих узлов не стремится к нулю при п ^ да , что равносильно h ^ 0 [1, 4]. График данной функции представлен на рис. 2.

Рис. 2. График интерполируемой функции

Результаты численных экспериментов приводятся при использовании полинома Лагранжа 20-ой степени, который строится по чебышевским узлам интерполяции и системе узлов приближенных к чебышевским. Построение полинома Лагранжа 20-ой степени требует 21 узел интерполяции, которые берутся как корни полинома (2). В частности, эти корни, рассчитанные в МаШСАВ функцией polyroots () и округленные до пяти цифр после запятой, равны:

х0 = -0,99713; х1 = -0,97509 ; х2 = -0,93072 ; х3 = -0,86612 ;

х4 =-0,78179; х5 =-0,68018 ; х6 =-0,56332; х7 =-0,43388;

х8 =-0,29476 ; х9 =-0,14904; х 10 = 0; хп = 0,14904; х12 = 0,29476;

х13 = 0,43388; х14 = 0,56332 ; х15 = 0,68018; х16 = 0,7819;

х 17 = 0,86579; х18 = 0,93131; х 19 = 0,97447; х 20 = 0,9974;

при этом в вычислениях использовались семиразрядные значения этих корней. Данная система

узлов хг, I = 0,1,..., 20, используется как чебышевская система узлов интерполяции.

В качестве второй системы узлов интерполяции z i, г = 0,1,..., 20, произвольным образом

приближенных к чебышевским узлам, берутся точки:

z0 = -0,96 ; = -0,94 ; г2 = -0,89; z3 = -0,82 ; г4 = -0,74;

25 =-0,64 ; г6 =-0,52; г7 =-0,39; г8 = -0,26 ; г9 =-0,11; г 10 = 0 ; гп = 0,11; г 12 = 0,26; г 13 = 0,39; г 14 = 0,52; г 15 = 0,64 ; ¿16 = 0,74 ; г 17 = 0,82; г 18 = 0,89 ; г 19 = 0,94; г20 = 0,96 .

Фрагмент реализации в МаШСАВ полинома Лагранжа по чебышевским узлам интерполяции хг и по системе узлов г г имеет вид:

Щ) = Х

У •

п/

г = У, 1,

- ^3 )

м т=£

I

где I = 0,1,..., 20, ] = 0,1,., 20 , L1(t) - полином Лагранжа по чебышевским узлам интерполяции х 1, М1(?) - по системе узлов г 1, при этом в силу конструктивной особенности полинома Лагранжа была применена функция if, при помощи которой исключалось деление на ноль в знаменателях слагаемых полинома.

Результаты численных экспериментов по вычислению погрешности интерполяции в MathCAD.

Таблица 1

Погрешность интерполяции функции /({) из (3) при t = х

t /

-0.9 0.047 6.482е-3 9.162е-3 0.016

-0.8 0.059 4.249е-3 9.442е-3 5.193е-3

-0.7 0.075 4.429е-3 0.013 8.484е-3

-0.6 0.1 7.51е-3 0.014 6.039е-3

-0.5 0.138 0.011 7.437е-3 3.196е-3

-0.4 0.2 8.7е-3 3.542е-3 0.012

-0.3 0.308 1.638е-3 0.011 9.85е-3

-0.2 0.5 0.014 0.014 5.468е-4

-0.1 0.8 0.011 1.706е-3 8.918е-3

0 1 0 0 0

0.1 0.8 0.011 1.706е-3 8.918е-3

0.2 0.5 0.014 0.014 5.468е-4

0.3 0.308 1.638е-3 0.011 9.85е-3

0.4 0.2 8.7е-3 3.542е-3 0.012

0.5 0.138 0.011 7.437е-3 3.195е-3

0.6 0.1 7.51е-3 0.014 6.038е-3

0.7 0.075 4.434е-3 0.013 8.478е-3

0.8 0.059 4.213е-3 9.442е-3 5.229е-3

0.9 0.047 6.63е-3 9.162е-3 0.016

п*

I=], 1,

Полученные результаты погрешности интерполяции полиномом Лагранжа по двум системам узлов интерполяции xi и zi не показали минимизации погрешности в случае построения

полинома по узлам интерполяции, являющимися корнями полинома Чебышева. Значения погрешностей |/(t)-L1(t)| и |/(t)-M)| изменяются циклически относительно друг друга и не пре-

_ 2

восходят по порядку 10 . Этот факт графически иллюстрирует рис. 3, на котором интерполируемая функция (3) и полиномы Лагранжа практически не различимы. 1.2

Рис. 3. Графики интерполируемой функции и полиномов Лагранжа по системе узлов X ^ и z ^

Для наглядности на рис. 4 представлены графики поведения погрешностей | /(t)_L1(t) | и | / (t)_ М) | из табл. 1, в том числе и график отклонения по абсолютной величине значений полиномов Лагранжа друг от друга: величина t)_ М)|. Из графиков видно ограниченность всех погрешностей величиной 0,02 на всем промежутке интерполирования [-1,1] и циклический характер изменения относительно друг друга.

Дв-ш«! |и(1)-М1(1)|

1 - * % »

♦ I 1 .* 1 .* г «л : ч • *А ' /\ • / * л • / * ' V * IV ГШ * • 1Л /♦ • * Я • 1 * Я * 1  * 1 1*1 1*1 1*1 /: Д / : \ 1 • \ / • 1 1*1 1*1 V * 1 К* 7 • * • /\ : •• I : \л' • 1 V V \1

*• 1 \ - А N Л 1 : \ (: 1 Г| :1/ /1 1 * ♦ 11 ♦» • и • V х- / - Л

-ор -оз оз ор

I

Рис. 4. Графики погрешностей интерполяции полиномом Лагранжа по системе узлов X ^ и z ^

Заключение. Таким образом, проведенный численный эксперимент не подтверждает, что максимальная погрешность интерполирования достаточно гладкой функции на отрезке [-1, l] интерполяционным полиномом будет минимальной, когда в качестве узлов интерполяции берутся корни полиномов Чебышева, как утверждается в [4]. Аналогичный результат наблюдался при вариации различных степеней полиномов Чебышева от n = 3,4, .„,21 и достаточно гладких функций разного вида и класса. Более того, построение полинома Лагранжа по системе узлов x i и ко-нечноразностных полиномов Ньютона и Гаусса с соответствующим заданием системы узлов z i

не выявляло преимуществ в погрешности интерполирования полиномом Лагранжа по чебышев-ской системе узлов по сравнению с более простыми по построению и в вычислительном отношении полиномами Ньютона и Гаусса. Описанные факты сохраняются при использовании вместо системы MathCAD на порядок более высокопроизводительной среды Delphi.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - 4-е изд. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 636 с.

2. Бедарев, И.А. Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD: учеб. пособие / И.А. Бедарев, О.Н. Белоусова, Н.Н. Федорова. - Новосибирск: СИБСТРИН, 2005. - 96 с.

3. Березин, И.С. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П. Жидков. - М.: Наука, 1966. - Т. 1. - 632 с.

4. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов: учебник для вузов / В.М. Вержбицкий. - М.: Высш. шк., 2002. - 840 с.

5. Поршнев, С.В. Численные методы на базе MathCAD / С.В. Поршнев, И.В. Беленкова. - СПб.: БХВ - Петербург, 2005. - 464 с.

УДК 20.01.04 ББК 74.580.2

Н.И. Лященко

ОРГАНИЗАЦИЯ И СТРАТЕГИЯ ОБУЧЕНИЯ В АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЕ

Аннотация. Эффективный образовательный информационный процесс в автоматизированной информационной системе происходит при оптимальной организации учебного курса, учебных воздействий, предоставления информации. Рассмотрим подробно организацию и построение стратегии обучения.

Ключевые слова: компьютер, обучение, система, программа, модель, обучаемый, образование, сеть, алгоритм, граф.

N.I. Lyaschenko

ORGANISATION AND TEACHING STRATEGIES IN AUTOMATED INFORMATION SYSTEM

Abstract. Effective educational information process in an automated information system occurs when the optimal organization of a training course, training effects, the provision of information. Consider in detail the organization and construction of learning strategies.

Key words: computer, learning, system, software, model, student, education, net, algorithm, graph.

Стратегия обучения в автоматизированной информационной системе - это направление обучения, нацеленное на достижение поставленной цели и реализацию информационного процесса. Другими словами, стратегия обучения в АИС представляет собой подсистему, которая следит за тем, каким образом и как часто проводятся те или иные процедуры обучения, по каким критериям будут отбираться методы и технологии, как будет строиться взаимодействие обучаемого с системой, какие единицы учебного материала и в какой последовательности будут участвовать в обучении и т.д.

Стратегия обучения состоит в построении адаптивной последовательности обучения как метода адаптации, т.е. обеспечение обучаемому наиболее подходящей планируемой индивидуаль-