О возможности моделирования процесса градообразования с помощью клеточных автоматов

есть K = 1 - о промахе известно на этапе retirement, в конце конвейера.

В эксперименте 2 рассматривался смешанный случай, демонстрирующий взаимосвязь компонент конвейера. Очень большое количество вполне предсказуемых прямых переходов привело к задержкам front-end, т. к. количество логических инструкций между переходами было недостаточным, чтобы «скрыть» фоновую загрузку инструкций, вызванную промахом. Про-

махи здесь являлись следствием ограниченной ассоциативности кеша инструкций, и связанные с ними задержки составили около 90 % времени исполнения.

Формула [6] используется в предложенной методике пересчета затрат на исполнение задачи на другом процессоре. Эксперименты показали, что ошибка от неучета данных эффектов может составлять до 90 % процессорного времени.

список литературы

1. Антышев, Е.П. Моделирование распределения ресурсов процессора с помощью уравнений переноса [Текст] / Е.П. Антышев // Тр. 52 науч. конф. МФТИ Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Ч. VII. Управление и прикладная математика; Т. 3. -М.: Изд-во МФТИ, 2009. -С. 4-6.

2. Антышев, Е.П. Модель распределения ресурсов процессора и сетевого устройства в многозадачной операционной системе [Текст] / Е.П. Антышев // Математические методы и задачи управления: Сб. науч. тр. -М.: Изд-во МФТИ, 2011. -С. 186-197.

3. Intel 64 and IA-32 Architectures Optimization Reference Manual [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.intel.com/content/dam/doc/manual/ 64-ia-32-architectures-optimization-manual.pdf

4. Agner, Fog. The microarchitecture of Intel, AMD

and VIA CPUs. An optimization guide for assembly programmers and compiler makers [Электронный ресурс] / Fog Agner // Режим доступа: http://www.agner. org/optimize/microarchitecture.pdf

5. Тормасов, А.Г. Модель потребления ресурсов вычислительной системой [Текст] / А.Г. Тормасов // Вестник НГУ. Сер. Информационные технологии. -2006. -Т. 4. -Вып. 1.

6. Тименков, Ю.В. Кинематическая модель исполнения процесса [Текст] / Ю.В. Тименков, Д.В. Тимен-кова // Математические модели и задачи управления. -2011. -С. 177-186.

7. Press, William H. Flannery Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing Text/ William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling [et al.]; 3rd ed. -NY: Cambridge University Press, 2007. -1256 p.

УДК 51-77

Т.П. Васильева, Б.И. Мызникова, С.В. Русаков

о возможности моделирования процесса градообразования с помощью клеточных автоматов

В данной статье представлены результаты, полученные с помощью модели клеточного автомата. Этот подход получил в последнее время достаточно широкое распространение в виду своей простоты, прозрачности и разнообразных приложений в динамическом пространственном моделировании.

Как известно [1], клеточный автомат - это дискретная динамическая система, представляющая собой совокупность одинаковых клеток, организация которой подчиняется набору правил, по которому любая клетка на каждом шаге по

времени вычисляет свое новое состояние по состояниям ее близких соседей.

Моделированию процесса развития современных территориальных образований методом клеточных автоматов посвящен ряд исследований [2-4]. В [2], в отличие от классического клеточного автомата, рассмотрена его модификация, использующая динамические весовые коэффициенты, позволяющие более точно интерпретировать временные процессы в эволюции города. В [3] для планирования развития городской территории использован метод клеточного автомата в

сочетании с оптимизационным подходом, где на первом этапе рассматриваемая территория классифицирована на зоны с помощью оптимизационной модели, а затем с помощью модели клеточного автомата выполнен прогноз распределения населения в каждой зоне.

Клеточные автоматы с успехом применяются в решении задач моделирования различных наук - математики, физики, биологии, социологии, экономики и др., тем самым подтверждая возможность единого подхода к изучению социальных и естественнонаучных проблем.

Закон Ципфа: применение закона к городам РФ

Города во всем мире, несмотря на имеющиеся различия, демонстрируют общие черты, которые можно объяснить существованием единых, универсальных законов городского роста и структурной организации. Один из них - закон Ципфа, утверждающий, что существует степенная зависимость вида /(и) ж и-г между численностью городского населения п и долей /(и) таких городов в общем их списке, причем г « 2 [5].

Ниже показано, что данная степенная зависимость может быть получена с помощью модели клеточного автомата.

Рассмотрим распределение населения горо-

дов Российской Федерации. В таблице указана численность населения по городам РФ по данным Госкомстата на 1 января 2010 г. [6].

В таблице значения столбца, в котором указана доля городов каждой группы, рассчитаны относительно общего числа рассматриваемых городов и поселков городского типа. Средняя численность населения города для каждой группы рассчитана как отношение значения суммарного населения группы к количеству городов в группе.

Далее представим полученные данные в виде графика зависимости доли городов от численности населения в логарифмическом масштабе по обеим осям (рис. 1). Как видим на графике, представленная зависимость соответствует степенной зависимости /(и) ж п. Приближение МНК показывает, что для распределения городов РФ г = 1,9.

Теперь сравним полученные данные для РФ с уже известными распределениями численности городов других стран мира. На рис. 1 продемонстрированы графики распределения в логарифмическом масштабе по обеим осям для 100 крупнейших городов мира, 1300 административных делений Швейцарии и 10 стран Южной Европы [7]. Для наглядности на график также были добавлены прямые линии с коэффициентом наклона -2. Мы видим, что показатель г зависимо-

Группировка городов РФ по численности населения на 1 января 2010 г.

Группа городов Население, тыс. человек Количество городов в группе Доля городов в данной группе Суммарное население, тыс. человек Средняя численность населения города группы

Мегаполисы Свыше 10000 1 0,0004 10 563,0 10 563,0

Города-миллионники 1000-10000 10 0,0042 15 197,1 1 519,7

Крупнейшие города 500-1000 24 0,0100 15 429,6 642,9

Крупные города 250-500 38 0,0159 12 960,9 341,1

Большие города 155-250 40 0,0167 7 992,9 199,8

100-155 51 0,0213 6 131,2 120,2

Средние города 65-100 77 0,0322 6 283,1 81,6

50-65 80 0,0334 4 644,8 58,1

Малые города и поселки Менее 50 2073 0,8659 24 503,0 11,820

городского типа

Рис. 1. Графики распределения населения городов мира, Южной Европы, Швейцарии и РФ в логарифмическом масштабе по обеим осям

сти f (n) гс n-r чрезвычайно однороден r « 2. Как свидетельствуют результаты выполненного сопоставления, представленные на рисунке, данная степенная зависимость справедлива на протяжении нескольких десятилетий, несмотря на существующие различия в демографических, социальных и экономических условиях развития.

Описание модели клеточного автомата

Рассмотрим модель клеточного автомата, динамика которой строится на основе двух процессов - реакции и распространения (диффузии). Данная модель введена S.C. Manrubia и D.H. Zanette [7, 8]. Эта модель дискретна по времени и рассматривается в пространстве квадратной решетки размера L*L. Каждая ячейка решетки (i, j) в момент времени t представляет собой величину населения m(i, j, t). В качестве начального состояния будем рассматривать однородное распределение по всем ячейкам области, в нашем случае полагалось m(i, j, 0) = 1 для всех ячеек (i, j). Развитие модели состоит из двух этапов:

1. Распространение. Процесс распространения описывается следующим уравнением: m(i, j, t +1/2) = (1 - a)m(i, j, t) +

а

+—(m(i -1, j, t) + m(i +1, j, t) +

+ЧI, у -1, X) + т(i, у +1, X)), где 0 < а < 1

Здесь на каждом временном шаге ячейка теряет часть своего содержания а, которое равномерно распределяется между четырьмя ее соседними ячейками.

Если текущая клетка находится на границе области, то соседней с ней является соответствующая клетка на противоположной стороне квадрата. Таким образом реализуется замыкание расчетной области.

Основной смысл этого процесса заключается в перераспределении населения из высоко заселенных участков в низко заселенные, тогда как на участках с умеренной численностью населения значение т остается практически неизменным.

Реакция. Далее, чтобы закончить формулировку нашей модели, к процессу распространения добавляем процесс реакции, который описывается уравнением:

тЦ, у, X +1) = р _1т(7, у, X +1/2) с вероятностью р,

т{и у, X +1) = 0 с вероятностью (1 - р),

где X < Х+1/2 < X + 1, 0 < р <1.

Данный процесс является обобщением модели перемежаемости, введенной Зельдовичем [9]. Зельдович доказывал появление структурности в случайных средах, указывая, что случайность является основным механизмом возникновения структуры. Структуры, возникающие в случайной среде, имеют своеобразный характер - вид пиков, появляющихся в случайных местах и в случайные моменты времени. Промежутки между ними характеризуются малой интенсивностью и большой протяженностью. Общее название такой картины и есть «перемежаемость».

Самопроизвольное возникновение упорядоченных структур в беспорядке кажется удивитель-

ным и необъяснимым с точки зрения термодинамики. Ответ на вопрос об уменьшении энтропии в действительности прост. Увеличение энтропии системы в целом с учетом внутренних процессов во много раз превосходит уменьшение энтропии при образовании структур. Рассматриваемый здесь подход эффекта упорядочения заключается в объяснении спонтанного порядка игрой случая в ансамбле большого числа частиц.

Простейшее представление о беспорядке связано с предположением о равновероятности всех возможных элементарных событий, которое часто оказывается чрезмерно грубым для реальной действительности. Как правило, вероятность как мера на некотором множестве элементарных событий бывает неизвестна. Это представление о беспорядке связано с гауссовским, нормальным распределением. Гауссовский беспорядок обычно обусловлен суммой действий многих слабозависимых примерно одинаковых случайных причин, как это вытекает из центральной предельной теоремы. Это распределение полностью определяется двумя неслучайными параметрами: средним значением и дисперсией. Когда распределение вероятностей случайной величины убывает на бесконечности медленнее, чем гауссовское, то высоких пиков, естественно, больше, и расположены они чаще, т. е. элемент структурности, связанный с пиками, выражен в таком поле сильнее. Подобное усиление роли пиков может быть связано с разными причинами, но наиболее очевидная состоит в том, что теперь возмущение начинает формироваться не под воздействием многих независимых сравнимых по интенсивности причин, а на первый план выступает одна из них.

Таким образом, применяя данные выводы к процессам городского формирования, получаем, что при действии событий, определяемых нами как реакции - население в достаточно большой системе сохраняет свое среднее значение, но в некоторые моменты времени величина населения начинает резко отклоняться от среднего значения. Это отклонение объясняется перемежаемостью, связанной с формированием сильной неоднородности в населении. В действительности острые пики появляются там, где накапливаются благоприятные условия для развития городов, тогда как на оставшихся участках, число которых растет со временем, население быстро уменьшается. Следовательно, уравнение (2) представляет собой возрастающее с течением времени скопле-

ние населения в зарождающихся городах и может интерпретироваться, например, как перемещение населения из сельских районов в города.

Интерпретируя параметры модели, можно сказать, что они описывают различные социально-экономические условия территорий. Области, характеризующиеся значениями параметра р, близкими к единице, и значениями параметра а, близкими к нулю, соответствуют городам с длительной историей и устоявшимися традициями: например, в странах Западной Европы. Города, находящиеся в процессе формирования, характеризуются низкими значениями параметра р и высокими значениями параметра а - например, в странах Африки.

Особенности компьютерного моделирования

Введем следующее определение: городом будем называть большую группу связанных густозаселенных ячеек. Для определения числа городов, полученных в ходе имитационного моделирования, применялся кластерный анализ [10]. Использованный метод представляет собой иерархическую процедуру, суть которой заключается в последовательном присоединении ячеек с максимальным значением численности населения к наиболее схожим кластерам, где в качестве меры сходства используется евклидово расстояние. В двухмерном пространстве эта мера является реальным геометрическим расстоянием между к

объектами а(X, У) = (£ (х1 - у )2)1/2.

1=1

Метод представляет собой следующую последовательность шагов:

1. Задаем максимальный радиус города Я (по данному значению радиуса будем производить сравнение, т. е. если расстояние между ячейками < Я, то они принадлежат одному городу, если > Я, то разным городам).

2. Находим максимально заселенную ячейку (ячейку с максимальным значением т).

3. Определяем ее в первую группу.

4. Находим следующую по величине максимально заселенную ячейку.

5. Вычисляем расстояние г между ней и имеющимися группами.

6. Если г < Я, то присоединяем ячейку к близлежащей группе.

7. Иначе определяем ее в новую группу.

8. Повторяем шаги 4-7, пока не распределим все ячейки по группам.

а)

б)

*

-Л

4 : : ^

V.

Рис. 2. Распределение населения: а - на решетке размером 65^65, р = 0,75; а = 0,25 по истечении 85 итераций; б - на решетке размером 180^180, р = 0,75; а = 0,25 по истечении 200 итераций; в - на решетке размером 100x100, р = 0,75; а = 0,1 по истечении 200 итераций

9. Из сформированных таким образом групп считаем «городом» те, население которых превосходит пороговое значение Р.

Иерархические процедуры по сравнению с другими кластерными процедурами дают более полный и тонкий анализ структуры исследуемого множества. Их привлекательная сторона - наглядность и возможность проследить за тем, объединение какой точки и кластера произошло и на каком шаге. Количество сформированных городов, полученное в результате применения описанного выше метода кластеризации, точно соответствует количеству, которое можно наблюдать на графическом представлении заселения территории, выводимом на экранной форме.

Описанная выше модель клеточного автомата и процедура кластеризации реализованы в виде программы, с помощью которой выполнено ими-

тационное моделирование развития городов при различных значениях параметров модели, в различных пространственных масштабах и на различных интервалах времени. На рис. 2 представлено несколько полученных вариантов развития города. Рисунки иллюстрируют распределение численности населения при различных значениях параметров модели. Основная часть населения сосредоточена в более темных по цвету областях. Эти части могут быть проинтерпретированы как зарождающиеся города, к которым стремится остальное население области.

Программа позволяет произвести анализ распределения численности населения, полученного в ходе моделирования. Формируется массив, разбивающий рассматриваемую территорию на равные по величине численности населения интервалы. Далее, для каждого интервала считается

Рис. 3. График распределения населения, полученного в ходе компьютерного моделирования Справа график представлен в логарифмическом масштабе по обеим осям

Рис. 4. Графики распределения населения по интервалам в серии из 15 испытаний

количество ячеек, численность населения которых соответствует данному промежутку. Полученные распределения в ходе компьютерного моделирования также абсолютно точно соответствуют степенной зависимости с показателем степени -2. Это мы можем видеть на рис. 3, где х, у -полученные данные распределения численности населения в ходе компьютерного моделирования на решетке размером 100*100, р = 0,55, а = 0,9 по истечении 75 итераций, при этом х - значение численности населения т, у - доля ячеек с данной численностью; (¿, - приближающая функция МНК с показателем степени -1,998.

С помощью критерия однородности X доказана гипотеза о том, что при определенном наборе параметров модели клеточного автомата в ходе компьютерного моделирования получается одинаковое распределение населения. Для этого проведена серия из 15 испытаний на решетке клеточного автомата размером 25*25, параметры модели при этом зафиксированы а = 0,25, р = 0,75. В ходе каждого испытания по истечении 40 итераций сформированы массивы распределения населения, состоящие из 7 интервалов,

определяющие, сколько ячеек попало в каждый интервал. Величина интервалов определяется как максимальное значение ячейки т на решетке клеточного автомата, деленное на 7. Графики распределения населения по интервалам в проведенной серии испытаний представлены на рис. 4.

Рассчитанное значение статистики критерия равно 71,44, что меньше квантили распределения X2 с 84 степенями свободы при уровне значимости а = 80 % равной 72,94. Число степеней свободы рассчитывается исходя из числа испытаний и числа интервалов (15-1)^(7-1) = 84. Следовательно, гипотеза верна при заданном уровне значимости, а, значит, распределения населения, полученные в ходе каждого испытания, однородны.

Использование модели клеточного автомата позволяет сделать следующие выводы.

Данная модель может быть применена как для изучения эволюции территории отдельного города, так и для иллюстрации развития территории, включающей несколько городов, т. е. на разных масштабах рассмотрения проблемы.

Установлено удовлетворительное согласие результатов моделирования с теоретическими положениями и реальными статистическими данными.

Так, показатель степенной зависимости в распределении численности населения, полученной в ходе компьютерного моделирования, согласуется с практическими данными. А изменение параметров модели практически не влияет на значение показателя степени, что свидетельствует об универсальности закона. Установленный характер возникающих пространственно-временных образований обусловлен накоплением эффектов случайных мультипликативных событий, порождающих «перемежаемость» в формировании структуры города.

список литературы

1. Тоффоли, Т. Машины клеточных автоматов [Текст] / Т. Тоффоли, Н. Марголус. -М.: Мир, 1991.

2. Cheng, J. Cellular Automata Based Temporal Process Understanding of Urban Growth [Text] / J. Cheng, I. Masser // Lecture Notes in Computer Science. -2002. -№ 2493. -P. 325-336.

3. Ward, D.P. Integrating spatial optimization and cellular automata for evaluating urban change [Text] / D.P. Ward, A.T. Murray, S.R. Phinn // Regional Science. -2003. -№ 37. -P. 131-148.

4. Batty, M. Modelling urban dynamics through GIS-

based cellular automata [Text] / M. Batty, Y. Xie, Z. Sun // Computers, Environment and Urban Systems. -1999. -P. 205-233.

5. Zipf, G.K. Human behavior and the principle of least effort [Text] / G.K. Zipf. -Addison-Wesley, Cambridge MA, 1949.

6. [Электронный ресурс] / Режим доступа: http:// www.gks.ru/doc_2010/bul_dr/chiSity10.zip

7. Manrubia, S.C. Transient dynamics and scaling phenomena in urban growth [Text] /S.C. Manrubia, D.H. Zanette // Fractals. -1999. -Vol. 7. -№ 1. -P. 1-8.

8. Manrubia, S.C. Role of Intermittency in Urban Development: A Model of Large-Scale City Formation [Text] / S.C. Manrubia, D.H. Zanette // Physical Review Letters. -1997. -Vol. 79. -№ 3. -P. 523-526.

9. Зельдович, Я.Б. Перемежаемость в случайной среде [Текст] / Я.Б. Зельдович, С.А. Молчанов

// Успехи физических наук. -1987. -Т. 152. -Вып. 1. -С. 3-31.

10. Айвазян, С.А. Прикладная статистика: классификация и снижение размерности [Текст] / С.А. Айвазян, В.М. Бухштабер, И.С. Енюков [и др.]. -М.: Финансы и статистика, 1989.

УДК 330.16

Т.А. Козелецкая, Е.А. Герман, А.Г. Дмитриев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КАРДИНАЛИСТСКОИ ПОЛЕЗНОСТИ

1. Предварительные замечания

Как известно, управление в социальных и экономических системах базируется, в т. ч. и на модельных представлениях о поведении покупателя. Рассматривая его, экономическая теория оказалась не в состоянии предложить количественную (кар-диналистскую) модель полезности - ключевой величины, характеризующей ощущения удовлетворения потребителя, связывая это с нерешенностью задачи ее измерения по шкале отношений. В результате получил распространение так называемый порядковый подход, непродуктивность которого обнаружилась в попытках моделировать наблюдаемый в разных странах и в разное время рост потребления ряда товаров, несмотря на рост их цен. Более того, в работе [1] показана несовместимость аксиом порядкового подхода.

В этой связи представляется целесообразным в свете современных знаний рассмотреть ряд методологических вопросов, касающихся опыта построения математических моделей физики и технических наук. Воспользоваться ими для построения модели кардиналистской полезности с тем, чтобы использовать ее в теоретических обоснованиях предложений для лиц, принимающих решения в социальной сфере экономики.

О теории измерений. Задача определения количества свойства той или иной эмпирической системы рассматривается, как известно, в теории измерений. Если ориентироваться на тип рассматриваемых величин1, получающихся в результате измерений, то можно выделить два подхода: ма-

1 Будем использовать этот термин, не претендуя на его безупречную точность в отображении существа вопроса.

тематический и физический (или метрологический).

В рамках математического подхода измерение рассматривается как операция гомоморфного отображения эмпирической системы с отношениями на числовую систему с отношениями [2, 3]. Естественно, в рамках математического подхода подразумевается числовая система, состоящая из абстрактных, математических чисел, лишенных каких бы то ни было наименований. При этом авторы [2, 3] используют числовую систему, состоящую только из вещественных чисел, в то время как свойства эмпирических систем описываются и комплексными числами (электродинамика), а объектами математических исследований могут быть и другие числа (кватерионные, октионные и т. д.).

Следует отметить, что в предметных областях всегда используются числа другого типа - именованные. Строго говоря, они не являются объектами математического изучения и не могут рассматриваться как частный случай математических величин. В этой связи не следует забывать о корректном использовании математики в предметных областях. Но это уже забота пользователей математики.

На существование проблемы использования именованных величин в математических выражениях указывали еще основоположники математической теории измерений [2, с. 8]. Приведем цитату: «... В большинстве случаев читатель сталкивается с набором противоречивых и сбивающих с толку догм, объявляющих допустимыми ... выполнение тех или иных правил. Обучая человека началам науки, мы предупреждаем его, что