О движении мелких частиц в газовом потоке

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том V 1974

№ 2

УДК 533.6.071.08:532.57

О ДВИЖЕНИИ МЕЛКИХ ЧАСТИЦ В ГАЗОВОМ ПОТОКЕ

Г. Л. Гродзовский

Рассмотрены основные закономерности движения в газовом потоке мелких частиц, используемых при лазерном допплеровском измерении скорости потока. Анализируется точность слежения частиц за скоростью потока. Указывается метод точного определения скорости газового потока по измеренным параметрам движения частиц в случаях, когда скорость частиц существенно отличается от скорости потока. Рассмотрен ряд модельных задач о движении мелких частиц в газовом потоке и приложение полученных решений к задачам лазерного допплеровского измерения скорости течения газа.

Работа посвящена исследованию закономерностей движения мелких частиц шаровой формы в газовом потоке при числах Рейнольдса их относительного движения Ие-<1. На основе анализа уравнений движения таких частиц в газовом потоке предложен метод экспериментального определения скорости газа по измерениям скорости и ускорения частиц применительно к лазерному допплеровскому измерению скорости потока.

Начиная с работы [1], лазерное допплеровское измерение скорости ЛДИС находит все большее применение в гидромеханике и аэрогазодинамике. ЛДИС основано на непосредственном измерении скорости движения рассеянных в потоке мелких частиц по измерению допплеровской частоты рассеиваемого частицами света от лазерного источника. Конкретные схемы реализации ЛДИС и обширная библиография приведены в работах [2 — 9] и др. При использовании ЛДИС обычно предполагается, что для достаточно малых размеров вводимых в поток частиц измеряемая скорость движения частиц практически совпадает со скоростью газового* потока. Однако отдельные примеры, рассмотренные в работах [3* 6], показывают, что в газовых потоках зачастую могут быть случаи, когда скорость даже малых частиц будет существенно отличаться от скорости газового потока (при прохождении через скачки уплотнения, при сильно искривленных линиях тока и т. п.). Кроме того чрезмерное уменьшение размеров используемых частиц резко повышает требования к чувствительности ЛДИС, так как для

малых частиц (меньших длины волны источника света) интенсивность рассеиваемого света падает пропорционально шестой степени диаметра частицы [10].

Ниже исследуются общие закономерности движения в газовом потоке используемых для ЛДИС мелких частиц шаровой формы и анализируется точность слежения частиц за скоростью потока. Указан метод точного определения скорости газового потока по измеренным параметрам движения частиц в случаях, когда скорость частиц существенно отличается от скорости потока. Рассмотрен ряд модельных задач, иллюстрирующих основные закономерности движения мелких частиц в газовом потоке: движение частиц при внезапном изменении скорости газового потока, течение с постоянным градиентом скорости, движение частиц в пульсирующем потоке газа, движение частиц в вихревых зонах газового потока. Показано приложение полученных решений к задачам ЛДИС: определение характерного времени для конкретных газовых потоков с частицами, предельные частоты измерения пульсаций скорости в газовом потоке, необходимость дополнительного ввода частиц в вихревые зоны газового потока с целью поддержания заданной концентрации частиц.

1. Рассмотрим движение в газовом потоке мелких шаровых частиц диаметром й, соизмеримым с длиной волны порядка долей мкм лазерных источников света.

Коэффициент аэродинамического сопротивления при обтекании таких частиц в сносящем их газовом потоке запишем в виде [11]:

и Акра! сх0’ 4 ’

где Дг> — скорость обтекания частицы в сносящем потоке; |х — вязкость газа; р — плотность; Ф, К и сх/сх0 — поправки к закону сопротивления Стокса, обусловленные влиянием числа Кнудсена Кп =

= 1,255 “[/хМ/Ие = — , числа Рейнольдса Ие — —— и чис-

лаМ= — ; а=У%ЯТ—скорость звука, Т — температура газа,

* — отношение теплоемкостей.

Поправка на свойства разреженного газа Ф приближенно может быть записана в виде [12, 13]

Ф, = ^------•; Нев = ^.

1 1 + 3,3 Кп 4,12У%+Яеа “ И- v

В диапазоне чисел Кп < 10,0 соотношение (1.2) хорошо согласуется с аппроксимационной формулой [14], полученной на основе анализа многочисленных экспериментальных данных (фиг. 1):

Ф„ =___________!___________ /1 о/л

" 1 + 2,58 Кп + 0,87 Кп е—1.85/кп • * ' >

Для диапазона чисел Яе<:200 известны два выражения для поправки К [6, 14], весьма близкие по абсолютным величинам (фиг. 2):

Кх = \ +0,15 Ие0-687; К.2 = Ие’'-|- 0,02 1^е•

6—Ученые записки ЦАГИ № 2

81

Из фиг. 2 видно, что при характерных для ЛДИС значениях Ие< 1 влияние поправки К невелико.

Влияние числа М на коэффициент сопротивления шаровой частицы (с учетом разреженности) по данным [14] может быть

учтено поправкой сх/сх 0 (фиг. 3):

0,427

сх/сх 0=1+* м4-63 ^

0,88

Максимальных значений чисел М при обтекании частиц можно ожидать при прохождении сверхзвукового потока Мх через прямой скачок; шкала Мх

Кп 10 \ о

->*2 1

/ '!

/

4

10

100 К е

Фиг. 1

Фиг. 2

приведена на фиг. 3. При характерных для ЛДИС значениях чисел Ие и М влияние поправки сх/сх0 также невелико.

Поэтому для большинства задач движения в газовом потоке мелких частиц, используемых в ЛДИС, коэффициент аэродинамического сопротивления частиц можно определять по соотношениям

~^-Ф(Кп).

В необходимых случаях следует учитывать поправки (1.3) и (1.4).

Проанализированный закон сопротивления позволяет рассмотреть основные закономерности движения в газовом потоке используемых в ЛДИС мелких частиц.

Если в заданной точке скорость потока V, а скорость частицы V, то приложенная к частице сила /? в соответствии с уравнением (1.5) будет равна

= 3 пЛу^Ф,

где Дк = V — V.

Соответственно уравнение движения запишем в виде

А2. А = .18 'ц,|>- Су

<й т й2р* ’ к 4

где т — р* — масса частицы, р* — плотность частицы.

Введя характерное время задачи т

т _ ^2Р*

18 ;аФ ’

уравнение (1.7) можно записать в следующем виде:

+

Анализ уравнений (1.8) и (1.9) позволяет уяснить существенное различие в приложениях ЛДИС для измерений скорости в жидкостных потоках и в газовых потоках. При измерениях скорости в потоках воды с помощью ЛДИС обычно используют рассеянные в воде шаровые частицы из полистирола (р* = 1050 кг/м3) диаметром й = 0,5 мкм [4]. Для таких течений при Ф = 1,0 и Т = 288°К характерное время составит

т^1,2.10-8с.

За время х гидродинамический поток с характерным значением скорости 1/щах ~ Ю м/с проходит путь не более 0,12 мкм. Вследствие малости полученного значения характерного времени < скорость частиц успевает достаточно точно следовать за скоростью гидродинамического потока. Иное положение складывается для воздушных потоков вследствие их малой вязкости, почти в 100 раз меньшей, чем у воды, а также из-за эффекта разреженности газа. Для воздушного потока при тех же условиях и атмосферном давлении величина характерного времени т составит

^1,М0-6с.

За время т газодинамический поток с характерным значением скорости 1/щах ~ 2000 м/с проходит путь до 2,2 мм. При таком значении характерного времени в ряде случаев скорость частиц будет существенно отличаться от скорости потока (см. ниже решение модельных задач). Поэтому при использовании ЛДИС в случае газового потока для достижения достаточно малых величин характерного времени х необходимо использовать значительно более мелкие частицы, чем при исследовании гидродинамических потоков, но этот путь ограничен чувствительностью ЛДИС и влиянием числа Кнудсена. ‘

Для точного определения скорости газового потока в случаях, когда скорость частиц существенно отличается от скорости Потока, можно непосредственно воспользоваться уравнением (1.9), опираясь на измеренные с помощью ЛДИС значения скорости час-

-* йу тч

тиц V и ускорения . В случае стационарного газового потока

уравнение (1.9) можно записать в проекциях на координатные оси в Следующем виде:

Vr

1 I dvx dx

Vv = vA\

dvy

'~dy

vr

v,

і і dvz

1 +x -17s-

dz

В этом случае для точного определения скорости газового потока достаточно определить с помощью ЛДИС проекции скорости частиц (vx, vy, vz) и производные этих проекций по координатным осям (dvjdx, dvy/dy, dvjdz).

На фиг. 4 приведены в качестве примера результаты измерения скорости Vx ВДОЛЬ оси сверхзвукового сопла Моо= 3,0 [6], выполненные ЛДИС при й?2р* = 10~9 кг/м (светлые кружочки). Эти

600

500

Ш

,м/с

М. £

(У

* / /

/ * / і/ о измерения, выполненные ЛДИС „ • уточнение измерении ЛДИС при d2p^r 10~3кг/м Д изменение тпибмой Лито

о

и /

/ AJ

/ У

4 '

/

0 К)

V

0,02 0,0¥ 0,06 Фиг. 4

0,06 х, м

результаты, уточненные по формуле (1Л2), хорошо совпадают с измерениями трубкой Пито (фиг. 4). В качестве другого примера на фиг. 5 приведены данные изменения скорости^ при обтекании сверхзвуковым потоком Моо = 2,9 клина с полууглом раствора 10° [6], выполненные ЛДИС при т = 9-10_6 с(светлые кружочки).

Уточненные по формуле (1.12) результаты измерений ЛДИС хорошо согласуются с теорией. На фиг. 6 приведены данные изменения скорости vx при обтекании гиперзвуковым потоком Моо = 5,0 сферы [16]. Приведенные примеры наглядно показывают возможность точного определения скорости газового потока методом ЛДИС даже при использовании достаточно крупных частиц (d—1 мкм в указанных примерах).

1 1 1 1 1

о измерения, выполненные ЛДИС • уточнение измерений, выполненных ЛДИС при Т-9-10~ес

-О—

иии " тз

7~*

Теория

'00 М-2,9

7Г777ТШ^} 0

О 0,01

Фиг. 5

0,02 х,м д

,м/с II II 1 1 1 1

* 0Wx(///A//. -

I 1

1

1

1 о измерения, выполненные ЛДИС _ • уточнение измерений лии dzo ~ 10~3кг/м

\

\

\

ч

Ч

о ч. о

•ц“ б**. ч

Теория' Г< Н! -V. •в

Тг

2-10'

Фиг. 6

10~3 х,/

2. В качестве первой модельной задачи рассмотрим движение частиц при внезапном изменении скорости газового потока в момент времени t = 0. При ?<0 частицы имели постоянную скорость г»0> равную скорости равномерного потока. При 0 скорость потока равна l/== const и совпадает по направлению с Такая постановка соответствует, например, задаче прохождения газового потока с частицами через скачок уплотнения (результаты численного расчета течения приведены в работе 16]). Ниже дано общее решение задачи.

Введем безразмерные значения времени, скорости и координаты частицы:

t = v — v/V', х = х/ V'z,

— dx

где v =— . dt

В соответствии с уравнением (1.9) интегралы уравнения движения легко получить в виде

v = 1 —

при ^ = 0, v = v0, л = 0.

Изменения относительной разницы скоростей потока и частицы 1 — v по координате х приведены на фиг. 7. Кривые‘&0 = Хю> 1,0 соответствуют прохождению через прямой скачок уплотнения сверх-

звукового потока с приведенной скоростью Х,». Аналогично могут быть определены параметры установления течения после прохождения газового потока с частицами через косые скачки уплотнения. В качестве^ иллюстрации на фиг. 7 приведена расчетная кривая (1—у)=/(х) для случая г;0= 1,093, соответствующая течению за косым скачком уплотнения, при Моо = 2,9 и угле скачка 28°. Там же нанесены экспериментальные точки по измерениям ЛДИС[6]. Данные фиг. 7 могут быть использованы для определения характерного времени т для конкретного газового потока с частицами. Так, для рассмотренного примера значение т оказалось равным 9-10-6с.

3. Рассмотрим движение газового потока с постоянным градиентом скорости вдоль оси л;:

Ул = к1(х — х0); АГ, = -^ = СО!^ при постоянном относительном отставании частиц от потока

(3.1>

vxjVx — v — const.

После преобразований с учетом уравнения (1.12) получаем

1 11

V =

1 + т-

dvx

dx

1+t/Ci •

Следовательно, для достижения, например, относительной ошибки в скорости частиц (1 — и)^0,1% необходимо выполнение условия Т = ^^0,001.

4. Рассмотрим движение частиц в пульсирующем потоке

1/=1/05т«>?,

О) == 2 тс/,

при заданном начальном значении скорости частицы в направ лении скорости потока.

Введем безразмерные значения скорости частицы и времени:

где

V

v/V0\ v0 = v0/V0; t = t/ т.

В соответствии с (1.9) запишем уравнение движения

с1у

= віп (<ін£) — V.

Решение уравнения (4.3) при свт<^тг/2 запишем в известной форме [15]:

V = ег ' + -~гг, ,:Я1п

\ 1 4- 0)2 -С3

Из приведенного решения видно, что начальная скорость частицы в пульсирующем потоке быстро затухает (пропорциональ-_

ное е т); движение частицы стремится к гармоническому с относительной амплитудой ............ — * (по отношению к амплитуде

у 1 о)2 т2

колебаний скорости потока 1/0) и сдвигом фаз колебаний — ап^оп. В качестве примера укажем, что при частоте /=10000 Гц и характерном времени -с = 10_6 с скорость движения частиц в колеблющемся потоке (^^>1) отличается от скорости потока менее чем на 0,2% при сдвиге фаз колебаний ~3,6°.

5. Рассмотрим движение частиц в вихревых зонах газового потока. Уравнения движения (1.12) в цилиндрических координатах запишем в виде

1 г I / йи,

' '1>Г '' Лг г 1 _

[2г;г + г

Пусть поток движется по закону свободного вихря

^ = 7/П Уг = 0.

__Характерной скоростью такого движения является величина

т/х, характерной длиной — величина У . Соответственно вводим безразмерные параметры задачи:

— - V"

V =

Г = --.

V т

С учетом соотношений (5.1), (5.2), (5.3) уравнения движения частиц в .свободном вихре запишем в виде

1

При достаточно больших значениях г, когда 1/г4<<^1, система уравнений (5.4) имеет асимптотическое решение

или в размерном виде

и»

1/г; ъг—\ /г3

V,

гз

* Численные значения относительной амплитуды колебания частиц в потоке приведены в работе [6].

Фиг. 8

На фиг. 8, а и б приведены результаты точного расчета параметров движения частиц в вихревом потоке (5.4) при следующих начальных условиях: при 1 = 0; г0 = 1,0; 2,0; 3,0; у20 = 0; V,р0 = 0 или г>то= 1/дополученное решение показывает, что при достаточно малых

рость движения частиц V? приближается к скорости вихревого потока Однако следует подчеркнуть, что в вихревом потоке частицы имеют положительную радиальную скорость (5.6), которая уносит частицы из вихревого потока. Поэтому для поддержания заданной концентрации частиц п в вихревой поток необходимо подавать расход частиц <2 (на единицу длины), равный

В заключение автор выражает благодарность Т. А. Адамову за проведенные вычисления на ЭЦВМ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Yeh Y, Cummins Н. Z. Localized flow measurements with an He-Ne laser spectrometer. Appl. Phys. Letter, vol. 4, No 10, 1964.

2. Дубнищев Ю. H., Коронкевич В. П., Соболев В. С., Столповский А. А., Уткин Е. Н., Шмойлов Н. Ф. Измерение скорости в потоке жидкости с использованием эффекта Допплера. „Автометрия", СО АН СССР, 1969, № 6.

3. Huffaker К. М., Fuller С. Е., Lawrence Т. R. Application of laser doppler velocity instrumetation to the measurement of jet turbulence. SAE Preprint No 690266, 1969.

значениях характерного времени

тангенциальная ско-

Q = 2 Krvr п = 2 тс п.

4. Ринкевичюс Б. С. Измерения локальных скоростей в потоках жидкости и газа по эффекту Допплера. ТВТ, т. 8, № 5, 1970.

5. АристовЕ. М., Павловский Б. А., Смотрицкий Ф. Л., Тараторкин Б. С. Измерение скоростей потоков с помощью оптических квантовых генераторов. ЛДНТП, Л., „Знание", 1970.

6. Y a nt a W. J., Gates D. F., В г о w п F. W. The use of a laser doppler velocimeter in supersonic flow. A1AA Paper No 71—287, 1971.

7. DISA Type 55L laser doppler anemometry. DISA Information No 12, 1971.

8. Durst F., M e 11 i n g A., W h i t e 1 a w J. H. Laser anemometry: a report on Euroinech 36. J. Fluid Mech., vol. 56, part 1, 1972.

9. Ринкевичюс Б. С., Толкачев А. В., Харченко В. Н. Определение скорости гиперзвукового потока по эффекту Допплера. „Ученые записки ЦАГИ", т. IV, № 1, 1973.

10. Ш и ф р и н К. С. Рассеяние света в мутной среде. ГМТТЛ,

1951.

11. Крайко А. Н., Нигматулин Р. И., Старков В. К., Стернин Л. Е. Механика многофазных сред. Итоги науки и техники. Гидромеханика, т. 6, М., ВИНИТИ, 1972.

12. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука",

1967.

13. Cercignani С. Mathematical methods in kinetic theory. Plenum Press, N. Y., 1969.

14. Carlson D. J., Hoglund R. F. Particle drag and heat transfer in rocket nozzles. AIAA J., vol. 2, No 11, 1964.

15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., „Наука",,1971.

16. Ринкевичюс Б. С., Толкачев А. В., Харченко В. Н. Измерение полей скорости гиперзвукового потока лазерным допплеровским анемометром. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1974, № 3.

Рукопись поступила 15/IV 1973