Асимметричное магнитное пересоединение: сравнение результатов МГД-моделирования с аналитическим решением

Ю. Л. Сасунов, В. С. Семёнов, Н. В. Еркаев, М. Ф. Хейн, Х. К. Бирнат

АСИММЕТРИЧНОЕ МАГНИТНОЕ ПЕРЕСОЕДИНЕНИЕ:

СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ МГД-МОДЕЛИРОВАНИЯ С АНАЛИТИЧЕСКИМ РЕШЕНИЕМ*

Введение. В космической физике довольно часто наблюдаются процессы преобразования энергии, связанные с динамикой различных космических объектов — звёзд, звёздных ветров, магнитосфер планет и др. Реализация перехода магнитной энергии в кинетическую энергию плазмы и в тепло может осуществляться посредством универсального механизма магнитного пересоединения, которое, как известно [1], возможно только при наличии токового слоя. Его формирование может происходить, например, вдоль сепаратрисных поверхностей, разделяющих поля разных направлений. Примером также может служить магнитопауза — токовый слой, разделяющий магнитное поле Земли и магнитное поле солнечного ветра [1, 2]. Магнитное пересоединение приводит к распаду токового слоя, к топологической перестройке магнитного поля, к ускорению и нагреву плазмы. В космической плазме токовые слои, как правило, являются асимметричными в том смысле, что магнитные поля и параметры плазмы по разные стороны токового слоя могут сильно различаться. Поэтому несомненный интерес представляет исследование магнитного пересоединения именно в асимметричных токовых слоях.

Пересоединение может инициироваться, например, вследствие локального падения проводимости в малой части токового слоя, в так называемой диффузионной области, что приводит к появлению потоков плазмы, ускоренных до альфвеновских скоростей Уд = Во/л/4лр, где В о — характерное значение магнитного поля; р — характерная плотность плазмы [3-5]. Как показывают наблюдения [1, 2, 6], скорость пересоединения, определяемая отношением скорости втекания плазмы в диффузионную область к альфвеновской скорости, мала и составляет примерно 0,1—0,2. С математической точки зрения это отношение может быть использовано как малый параметр задачи, по которому удаётся построить асимптотическое решение [3, 5, 7]. Учесть в нём все реально наблюдаемые свойства токовых слоёв (неоднородную структуру слоя, плазменную турбулентность, приводящую к аномальному сопротивлению и т. п.) не удаётся и приходится делать ряд упрощающих предположений. Предполагается, в частности, что токовый слой и все разрывы являются бесконечно тонкими. В связи с этим, прежде чем переходить к применению аналитического решения для анализа экспериментальных данных, необходимо провести специальное исследование о пределах применимости полученного решения. С этой целью можно численно моделировать процесс магнитного пересоединения и сравнить результаты МГД-симуляции с аналитикой.

Аналитическая модель. Рассмотрим бесконечно тонкий токовый слой, разделяющий антипараллельные (но в общем случае разные по значению) магнитные поля и две плазмы, также имеющие разные параметры (скорость, плотность, температуру). В такой конфигурации токовый слой можно считать тангенциальным разрывом, поперёк которого отсутствуют нормальные компоненты магнитного поля и потока массы.

* Работа выполнена при поддержке гранта Правительства Санкт-Петербурга для студентов и аспирантов вузов 2010, гранта СПбГУ, гранта Austrian Science Fund under project I193-N16 и гранта РФФИ № 09-05-91000_АНФ_а.

© Ю.Л.Сасунов, В.С.Семёнов, Н.В.Еркаев, М.Ф.Хейн, Х.К.Бирнат, 2011

Предположим, что в малой части токового слоя происходит локальное падение проводимости о. Вследствие этого появляется аномальное, тангенциальное к токовому слою, электрическое поле Е* = у/о.

причём Е* ^ Еа, где Еа = 0

= УАВ0/с, что нарушает за- ж А 1

]

т

+ Вп | = -----------------------------1--------------------------------------------------- С

ад —--------------------------------------------1--------------------------------

коны сохранения для тангенциального разрыва. С появлением электрического поля возникает также нормальная компонента 0

магнитного поля, что приводит рис. 1. Схема распада токового слоя

к расслоению тангенциального

разрыва (токового слоя) Т на систему разрывов — альфвеновских разрывов А, ударных волн Б или медленных волн разрежения К, контактных разрывов С. На рис. 1 видно, что образуются новые области, ограниченные разрывами и имеющие, вообще говоря, другие параметры плазмы и магнитного поля. На каждом из возникающих разрывов должны выполняться законы сохранения, известные как условия Рэнкина—Гюгонио [8]:

[рУп] =0,

в2 в

[рКУ + п

у2 В2 В2 В

[рК

[

[Вп] = о,

где скобки [ ] — обозначают разность параметров до и после разрыва; Уп — нормальная компонента скорости плазмы; Вп — нормальная компонента магнитного поля; У — тангенциальный к разрыву вектор скорости плазмы; в — тангенциальный вектор магнитного поля; р — газовое давление; р — плотность плазмы; е = р(у-1) — внутренняя

энергия плазмы на единицу массы. Уравнение (1) выражает закон сохранения потока массы поперёк разрыва; уравнение (2) представляет собой закон сохранения плотности потока импульса; уравнение (3) выражает закон сохранения плотности потока энергии; уравнение (4) — непрерывность тангенциальной компоненты электрического поля и уравнение (5) представляет собой непрерывность нормальной компоненты магнитного поля. Малость аномального электрического поля Е* ^ Еа приводит к тому, что нормальные компоненты поля и скорости плазмы малы по сравнению с тангенциальными компонентами Уп/Уг ^ 1 и Вп/В1 ^ 1. Задаваясь начальными значениями токового слоя в областях 0 и 0, необходимо найти все неизвестные МГД-параметры во всех областях 1, 1, 2, 2 между разрывами. Подробное решение можно найти, например, в работе [5]. Заметим только, что в двумерном случае альфвеновский разрыв находится только с одной стороны слоя пересоединения.

На альфвеновском разрыве, как известно [8], магнитное поле только поворачивается сохраняя модуль, одновременно происходит ускорение плазмы до некоторой конечной скорости без сжатия и нагрева плазмы. Для описания поворота магнитного поля введём единичный вектор Ъх, который предстоит определить в дальнейшем:

В1 = Ъх Во.

Скорость плазмы в области 1 (1) зависит от Ьі следующим образом:

Уі = Ус ± (ЬіУде - УА)).

Плотность и давление плазмы, как уже говорилось, не меняются поперёк альфвенов-ского разрыва:

Р1 = Ре;

Р1 = Ре.

Знак ± определяется знаком произведения (ВпУп).

На медленных ударных волнах направление вектора магнитного поля более не меняется, но происходит согласование модуля магнитного поля и скорости плазмы в областях 2 и 2. Введём параметр п, характеризующий изменение модуля магнитного поля при переходе через медленную волну:

В2 = Ьі пВе.

Скорость плазмы в области 2 (2) можно записать в виде

У2 = Ус Т (Уао - ЬіУлоОД),

где функция С(п) определяется по-разному, в зависимости от значения п. При п < 1, функция С(п) равна (медленная ударная волна):

С(л) = 1-^(1-л)(1-Ні).

Плазма на медленной ударной волне сжимается:

1 — п2

Р2 = Р1 1 +

Ру +

где в есть отношение газового давления плазмы к магнитному давлению. Полное давление поперёк ударной волны сохраняется, что позволяет найти газовое давление:

(1 - п2 )в2

При п ^ 1 вместо медленной ударной волны распространяется медленная волна разрежения, и для неё функция

-1+/'Іші1+

г*2 УР

где Сз = — квадрат скорости звука при постоянной энтропии; = 4л.р2^) — квад-

рат альфвеновской скорости.

Энтропия в волне разрежения является постоянной и, как следствие, для вычисления плотностей можно использовать уравнение

Р2 = Р1 -------

V Р0

Волна разрежения возникает только в слоях с сильно асимметричными распределениями скоростей плазмы или магнитных полей.

На контактном разрыве терпят скачок только газовое давление и плотность плазмы, а все остальные параметры остаются неизменными, т. е. ни магнитное поле, ни скорость плазмы не меняют ни направления, ни значения

пЪхВо = пЪ1Во,

Уо Т

где, напомним, знак ~ показывает, что параметры относятся к среде, находящейся под токовым слоем.

Из уравнения (6) можно получить соотношение п = пВо/Во, а из уравнения (7) составить вектор Ь:

Ь = ±(Уо - Уо) + Уао + Уао,

который задаёт направление поворота вектора магнитного поля

ь Ь

Параметр п, определяющий МГД-величины в областях 2 и 2, можно найти из решения трансцендентного уравнения

|Ь| = Уао С(п)+УаоО(пВо/Во).

Полученные уравнения позволяют найти все неизвестные МГД-величины во всех областях между возникающими разрывами. В случае Е* ^ Еа тангенциальные компоненты скорости и магнитного поля, а также плотность и давление не зависят от скорости пе-ресоединения. Малые нормальные компоненты скорости и магнитного поля находятся в дальнейшем по теории возмущений [7].

МГД-моделирование. В реальности токовый слой не является тангенциальным разрывом, а обладает своей внутренней структурой. Такие толстые токовые слои с трудом поддаются аналитическому исследованию, но для их изучения вполне применим метод численного моделирования. В задачах о распаде произвольного разрыва особенно эффективным является метод Годунова, который и был использован в представляемой работе.

Начальные условия для расчёта двухмерного магнитного пересоединения выбраны следующим образом: плотности плазмы были одинаковые для всей области расчёта ро = ро = 1, асимметрия задачи задавалась различными значениями магнитных полей в областях 0 и 0. Конфигурация первоначального токового слоя описывалась слоем типа Харриса

Вх = 0,5(Во - Bо)th(z/Zl) + 0,5(Во + Во),

где Zl =0,1 — полуширина токового слоя.

Пересоединение инициировалось заданием локализованного сопротивления

ц = цо + 0,2е-х2/ьХ-х2/ь2(1 - в-4*),

где Ьг = 1/9,Ьх = 1/4. На рис. 2 представлено распределение скорости плазмы (оттенки серого) и силовые линии магнитного поля для варианта расчёта при асимметричном

Рис. 2. МГД-моделирование магнитного пересоединения:

оттенками серого обозначена скорость, сплошные линии — магнитные силовые линии, жирная прямая — профиль, вдоль которого производится сравнение результатов

первоначальном распределении магнитных полей В0 = 1,В0 = —4 для момента времени £ = 2 (полное давление поперёк слоя Р = 8). В расчётах моделирована область х = —10,, 10, г = —2,, 2 на сетке 200 х 200.

Сравнение результатов. Аналитическое решение проблемы Римана о распаде произвольного разрыва предполагается сравнить с результатами МГД-моделирования. Для этого нужно определить, каким образом выбрать профили, вдоль которых производится сравнение. Чтобы выявить все возникающие разрывы, профиль должен быть направлен вдоль магнитной силовой трубки. В симметричной геометрии пересоединив-шиеся силовые трубки в области вытекания ориентированы перпендикулярно к токовому слою. При наличии асимметрии параметров альфвеновские разрывы распространяются с разными скоростями по разные стороны токового слоя, и силовая трубка вытягивается вдоль токового слоя тем сильнее, чем сильнее асимметрия. Поэтому удобно выбрать профиль под малым углом к оси X. Такое положение среза можно объяснить и тем фактом, что для отчётливого разделения разрывов (так как они имеют внутреннее распределение параметров при численном моделировании) между ними должно быть расстояние, превышающее толщину разрывов. При срезе параметров под малым углом и времени, большем времени образования разрывов, это условие автоматически удовлетворяется.

На рис. 3 представлены распределения МГД-параметров вдоль профиля, показанного на рис. 2. Теоретически при выбранной асимметрии начальных МГД-параметров

Рис. 3. Распределения тангенциального магнитного поля к токовому слою Bx, тангенциальной компоненты скорости плазмы Vx, плотности плазмы р, температуры плазмы T, угла поворота тангенциального магнитного а: положение разрывов: S— — медленная ударная волна, C — контактный разрыв, R — волна разрежения, A — альфвеновский разрыв; сплошная линия — результат МГД-моделирования; пунктирная линия — аналитическое решение с учётом возмущений; штрихпунктирная линия — аналитическое решение для первоначальных параметров; вертикальные прямые показывают положение разрывов и обозначены соответствующими буквами

вариант распада должен соответствовать схеме ARCS. Действительно, видно, что со стороны меньшего поля стоит альфвеновский разрыв A (он хорошо виден на рис. 3 по углу поворота магнитного поля), затем идёт слой непрерывного изменения величин в волне разрежения R, на контактном разрыве C происходит согласование температуры и плотности, и, наконец, на медленной ударной волне S происходит ускорение и нагрев плазмы. В аналитическом решении МГД-разрывы имеют вид скачков, тогда как в численном моделировании фронты расплываются в слои. Их толщина зависит от длины диффузионной области, от толщины исходного токового слоя, в которой инициируется пересоединение, и от проводимости плазмы, реальной и численной. Вследствие всех этих причин фронты разрывов могут не только расплываться, но и накладываться друг на друга.

Качественно результаты аналитического решения и численного моделирования находятся в хорошем соответствии. Вместе с тем теоретический скачок плотности заметно превышает сжатие плазмы в численном моделировании. Итоги сопоставления можно значительно улучшить, если в качестве начальных данных для проблемы Римана брать не начальные параметры токового слоя, а МГД-величины, непосредственно примыкающие к области вытекания. Иными словами, при распаде разрыва необходимо учитывать возмущения, вносимые процессом пересоединения в окружающее пространство. Физически это понятно, так как процесс пересоединения существенно нелинеен, распад разрыва происходит на фоне тех величин, которые сложились к данному моменту времени. Вариант распада разрыва, основанный на использовании таких подправленных начальных данных, также показан на рисунке. Видно, что согласование плотности за фронтом медленной ударной волны стало гораздо лучше. Улучшилось и согласование скорости плазмы в зоне волны разрежения. Этот приём использования подправленных начальных данных во многих случаях позволяет повысить соответствие аналитических и численных результатов.

Заключение. К настоящему времени получено большое число прямых доказательств магнитного пересоединения в солнечном ветре, на магнитопаузе, в хвосте магнитосферы и на Солнце [1, 9, 10]. В связи с этим в современной физике космической плазмы большое внимание уделяется оценкам таких характерных величин асимметричного магнитного пересоединения, как средняя скорость, плотность и температура плазмы в области вытекания [11]. Решенная задача о распаде произвольного разрыва может быть использована не только для получения этих оценок, но и для определения более точного распределения V, В, Т, р поперёк области вытекания. На основании результатов численного МГД-моделирования была выявлена область применимости аналитического решения задачи о распаде произвольного разрыва. Как показывает сравнение, параметры области вытекания можно вычислять, зная значения магнитного поля и параметры плазмы до и после области вытекания. Строго говоря, в качестве начальных значений для решения проблемы Римана следует брать параметры исходного токового слоя. Однако в процессе пересоединения возникают возмущения магнитного поля и скорости плазмы, которые можно учитывать либо в высших порядках теории возмущений [12], либо задавая в качестве начальных данных для распада уже возмущённые пересоединением значения МГД-величин. И для интерпретации численного моделирования процесса, и для сопоставления со спутниковыми данными предпочтительней оказывается второй способ, он даёт существенное улучшение результатов сравнения.

Сопоставляя аналитическое решение с результатами МГД-моделирования, можно сделать вывод о том, что аналитическое решение описывает распределение МГД-вели-чин в области вытекания с хорошей точностью, отрабатывая скачки всех МГД-величин, входящих в задачу о распаде. Вместе с тем следует отметить, что в численном моделировании все разрывы имеют конечную толщину фронтов, поскольку они расплываются из-за конечного размера диффузионной области и исходного токового слоя, а также физической и численной вязкости и проводимости. Важным обстоятельством является, что в расчётах очень трудно выделить отдельно альфвеновский разрыв и медленную ударную волну, они составляют единый конгломерат. По-видимому, это связано с тем, что разрывы имеют очень близкие скорости распространения и для их разделения должно пройти довольно большое время. В соответствии с предсказаниями аналитической модели Х-компоненты скорости и магнитного поля, а также значения плотности, температуры и давления слабо зависят от скорости пересоединения.

1. Priest E. R. Solar magnetohydrodynamics. London, 1982.

2. Пудовкин М. И., Семёнов В. С. Теория пересоединения и взаимодействие солнечного ветра с магнитосферой Земли. М., 1985. 150 с.

3. PetschekH.E. Magnetic field annihilation // Physics of solar flares / ed. by W. N. Hess. Washington, 1964. P. 425-439.

4. Parker E. N. Sweet’s mechanism for merging magnetic fields in conducting fluids // J. Geo-phys. Res. 1957. Vol. 62. N 4. P. 509-520.

5. HeynM.F., Semenov V. S. Rapid reconnection in compressible plasma // Phys. Plasmas. Vol. 3. N 7. P. 2725-2741.

6. Gosling J. T. Observations of Magnetic Reconnection in the Turbulent High-Speed Solar Wind // Astrophys. J. Lett. 2007. Vol. 671. P. L73-L76.

7. Semenov V. S., HeynM. F., Ivanov I. B. Magnetic reconnection with space and time varying reconnection rates in a compressible plasma // Physics of plasmas. 2004. Vol. 11. P. 62-70.

8. Электродинамика плазмы / под ред. А. И. Ахиезера. М., 1974.

9. Gosling J. T., Szabo A. Bifurcated current sheets produced by magnetic reconnection in the solar wind // J. Geophys. Res. 2008. Vol. 113. P. A10103-1-A10103-8.

10. Phan T. D., Gosling J. T., Davis M. S. et al. A magnetic reconnection X-line extendint more than 390 Earth radii in the solar wind // Nature. 2006. Vol. 439. N 12.

11. CassakP. A., Shay M. A. Scaling of asymmetric magnetic reconnection: General theory and collisional simulation // Phys. Plasmas. Vol. 14. 2007. P. 102114-1-102114-14.

12. Alexeev I. V., Semenov V. S., BiernatH. K. First order effects in time dependent Petschek-type reconnection // J. Plasma Physics. 2000. Vol. 64. P. 547-560.

Статья поступила в редакцию 30 декабря 2010 г.