Параметрическая идентификация стохастических линейных непрерывно-дискретных систем на основе робастной фильтрации

УДК 519.24

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ РОБАСТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

В.М. Чубич, Е.В. Филиппова

Для моделей стохастических линейных непрерывно-дискретных систем разработано программно-математическое обеспечение решения задачи параметрического оценивания при наличии аномальных наблюдений в измерительных данных методом максимального правдоподобия на основе робастного фильтра Изанлу (Izanloo) - Фей-куриана (Fakoorian) - Джазди (Yazdi) - Саймона (Simon). На примере модели системы управления положением двигателя постоянного тока показано, что применение ро-бастной фильтрации позволяет существенно повышать качество параметрической идентификации.

Ключевые слова: стохастическая система, оценивание параметров, метод максимального правдоподобия, робастная фильтрация, аномальные наблюдения.

Введение. Разработка информационных технологий идентификации сложных динамических систем стохастической природы является одним из перспективных развивающихся научных направлений. При этом особое внимание исследователей сосредоточено на разработке методов, наиболее полно учитывающих специфику объектов исследований.

При решении реальных задач (например, задач радиолокации, связи, навигации и управления) экспериментальные данные зачастую содержат аномальные наблюдения, не содержащие достоверной информации об исследуемой системе. Это может быть обусловлено отклонением распределения шумов системы и измерений от гауссовского. Использование алгоритмов, не принимающих во внимание появление таких наблюдений, может привести к смещению оценок параметров и некорректному решению задачи параметрической идентификации.

Традиционно для решения указанной задачи используется метод максимального правдоподобия, обладающий при выполнении условий регулярности такими важными для практики свойствами, как асимптотическая несмещенность, состоятельность и асимптотическая эффективность [1,2]. В случае использования динамических моделей с гауссовскими шумами в уравнениях состояния и наблюдения соответствующий критерий идентификации записывается на основе уравнений классического фильтра Калмана [3-5], который не является устойчивым к аномальным данным.

В [6] авторами был проведен сравнительный анализ эффективности некоторых современных робастных фильтров для нестационарных линейных непрерывно-дискретных систем. При этом наилучшие и вполне сопоставимые между собой результаты показали коррентропийные фильтры Изанлу (Izanloo) - Фейкуриана (Fakoorian) - Джазди (Yazdi) - Саймона

219

(Simon) [7] и Чена (Chen) - Лю (Liu) - Чжао (Zhao) - Принципэ (Principe) [8]. С точки зрения организации вычислений и, как следствие, программной реализации первый из указанных фильтров заметно проще. В связи с этим представляется целесообразным применение фильтра Изанлу - Фей-куриана - Джазди - Саймона при оценивании параметров моделей стохастических линейных непрерывно-дискретных систем при наличии аномальных наблюдений.

Постановка задачи. Рассмотрим следующую управляемую, наблюдаемую, идентифицируемую модель динамической системы в пространстве состояний:

d-x

y

Здесь x(t) - n - вектор состояния; u(t) - детерминированный r - вектор управления (входа); w(t) - p - вектор возмущения; y(+i) - m - вектор измерения (выхода); v (+i) - m - вектор ошибки измерения. Предположим, что:

случайные векторы w(t)и v(+i) образуют белые гауссовские шумы, для которых

Е[w(t)] = Q, Е[w(t)wT (т)] = Q(t)8(t-t) ,

Е[v(tk+1)] = Q, Е[v(tk+i )vT (+i)] = R(tk+i )Skj,

v(tk+i )wT (t)] = q, где Е[ ] - оператор математического ожидания; 8(t -т) - дельта-функция; 5ki - символ Кронекера;

начальное состояние x (íq ) имеет нормальное распределение с параметрами

Е [ X

и не коррелирует с w(í) и v(+i);

неизвестные параметры сведены в s - вектор 0 , включающий в себя элементы вектора x (íq) и матриц F(í),¥(í), Г(í), H(ík+i), Q(í),

R (tk+i), P(íq ) в различных комбинациях.

Необходимо для моделей (i), (2) с учетом высказанных априорных предположений разработать на основе фильтра Изанлу - Фейкуриана -Джазди - Саймона программно-математическое обеспечение для решения

22Q

задачи параметрического оценивания при наличии аномальных наблюдений в измерительных данных и провести численное исследование эффективности соответствующей вычислительной процедуры.

Фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона. Данный фильтр основывается на критерии максимальной коррентропии [9,10] и методе взвешенных наименьших квадратов. Приведем адаптированный на непрерывно-дискретный случай алгоритм фильтра с использованием эквивалентных форм представления матричного коэффициента усиления K(¿к+1) и ковариационной матрицы ошибок фильтрации P(¿к+11¿к+1) из [11].

Инициализация:

x(¿0^0) = х(¿0), P(¿0^0) = P(Го);

Выполнять в цикле по k = 0, N—1

(Г1Гк) = Р(Г)х(Г) + ^(Г)и(Г), Ге [¿к,tk+1] ; ^Р(ГI ¿к) = Р(Г)Р(Г|¿к) + Р(ГI ¿к)РТ() + Г(г)а(Г)ГТ(г), Ге\_гк,гк+1] ; еЦк+1) = У(Гк+1)— Н Цк+1) хЦк+11 ¿к);

' £Т

L (tk+1 ) = exp

2с1

B (tk+1 )=H (k+1 )P (tk+1\tk )L (k+1 )ht (+1 )+++1);

K (tk+1 )=P (tk+1 \ tk )L (tk+1 )hT (tk+1 )b~1 (tk+1);

* (tk+1 \ tk+1 )=* (tk+1 \ tk)+K (tk+1 )e(tk+1);

P (tk+1\ tk+1 )=\_I -K (tk+1)) (tk+1 ))P (tk+1 \ tk).

Конец цикла.

Оценивание неизвестных параметров. Оценивание параметров математической модели будем осуществлять по данным наблюдений Е в соответствии с критерием максимального правдоподобия х(@;Е).

В силу того, что измерительные данные содержат аномальные наблюдения, будем вычислять квазиправдоподобные оценки [12], решая следующую оптимизационную задачу:

в = arg min [х(б>;Е)], 221

где

Nm

х(в,Е] = -ln L(0;S) = — ln2^ +

2

1 т -1 1 +2 I £Т (киВ ЧкиЖки) + - I Ш^В(кц).

2 к=0 2 к=0

Здесь е{1к+1) и Б(?к+1) вычисляются по уравнениям фильтра Изанлу -Фейкуриана - Джазди - Саймона. Вычисление условного минимума будем осуществлять методом последовательного квадратичного

программирования [13], предполагающего вычисление градиента. Алгоритмы вычисления критерия максимального правдоподобия и его градиента на основе робастной фильтрации для линейных непрерывно-дискретных моделей представлены в [14].

Параметрическая идентификация системы управления положением. Будем считать, что выполнены все априорные предположения, высказанные при постановке задачи.

Следуя [15], рассмотрим систему управления положением, состоящую из антенны и двигателя постоянного тока. Пусть первая компонента вектора состояния отвечает за угловое положение антенны, вторая - за ее угловую скорость. Входным сигналом является напряжение на входе усилителя постоянного тока, управляющего двигателем. С помощью потенциометра измеряется угловое положение. Тогда модели состояния и наблюдения можно определить соотношениями:

d / ч

—х (t ) = dt v ;

"0 1 " / \ " 0 " / \ " 0"

0 -01 _ х (t 0+ _02 _ u (t 0+ 1 _

w

(t), t€[0,10];

У (k+1 ) = [! °] х (k+1) + v(tk+i) k = -1. Здесь 01,02 - неизвестные параметры и qq = {1 <01 < 10, 0 <02 < 1} .

Положим N = 100; u(t) = 12, t€ [0,10]; Q(t) = Q = 0.01;

R(tk+x) = R = 0.1; х(t0) = [0,0f; P(t0) = diag[0.01,0.01]. Примем, что измерения производятся равномерно через каждые At = 0.1 c и значение параметра фильтра Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона о0 = 10.

Для ослабления зависимости результатов оценивания от выборочных данных проведем M = 100 независимых запусков системы, а полученные оценки неизвестных параметров усредним. О качестве параметрической идентификации будем судить по значению относительной ошибки оценивания 8q , вычисляемой по следующей формуле:

(q*-«с

+ 10

0 ?

01) +(02

222

где

(е^. в ?) -

* * \

усредненная оценка неизвестных параметров, 1015 82 ) - ис

тинные значения параметров.

Смоделируем с помощью программной среды МайаЬ выборки с аномальными наблюдениями, задав коэффициент загрязнения выборки

А, = 0.1 и дисперсию шума аномальных наблюдений Яд = 1000Я, считая,

* *

что истинные значения параметров 81 = 4.6, 81 = 0.787 . Предположим, что обрабатываются данные со случайным характером аномальных измерений. Численные результаты расчетов представлены в таблице.

Фильтр 8^р 82р §8

Фильтр Калмана 2.025 1.145 0.557

Фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона 4.710 0.721 0.027

Приведем графическое представление результатов параметрической идентификации на основе фильтра Калмана и фильтра Изанлу - Фейкури-ана - Джазди - Саймона в пространстве откликов (на примере одной реализации входного сигнала) на рисунке, где у (+1) = Н (+1)х (+11 ^+1) и

х (+11 tfc+l) вычисляется по уравнениям соответствующего фильтра.

Графическое представление у (+1) и у (+1) при случайном характере

аномальных наблюдений: а - фильтр Калмана; б - фильтр Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона

Анализ содержимого таблицы показывает, что задача оценивания параметров при помощи традиционного фильтра Калмана решается плохо (относительная ошибка оценивания составляет 55,7 %). Применение фильтра Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона позволяет повысить качество оценивания на 53 %.

Заключение. Для стохастических линейных непрерывно-дискретных систем разработано программно-математическое обеспечение, позволяющее на основе метода максимального правдоподобия и коррен-тропийного фильтра Изанлу - Фейкуриана - Джазди - Саймона решать задачи параметрической идентификации при наличии аномальных наблюдений в измерительных данных. На примере модели системы управления положением двигателя постоянного тока продемонстрирована эффективность предложенной робастной процедуры оценивания и целесообразность ее применения на практике.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-31-00283.

Список литературы

1. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука, 1984. 472 с.

2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2014. 352 с.

3. Gupta N.K., Mehra R.K. Computational aspects of maximum likelihood estimation and reduction in sensitivity function calculations // IEEE transactions on automatic control, 1974. Vol. 19. № 6. P. 774-783.

4. Astrom K.J. Maximum likelihood and prediction errors methods // Automatica, 1980. Vol. 16. Р. 551 -574.

5. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователей / пер. с англ. М.: Наука, 1991. 432 с.

6. Чубич В.М., Филиппова Е.В. Исследование эффективности некоторых робастных фильтров для нестационарных линейных непрерывно-дискретных систем // Современные наукоемкие технологии, 2018. № 12. С. 153-161.

7. Izanloo R., Fakoorian S.A., Yazdi H.S., Simon D. Kalman filtering based on the maximum correntropy criterion in the presence of non- Gaussian noise // Annual Conference on Information Science and Systems (CISS), Princeton, USA: proccedings, 2016. P. 500-505.

8. Chen B., Liu X., Zhao H., Principe J. Maximum correntropy Kalman filter // Automatica, 2017. Vol. 76. P. 70 -77.

9. Liu W., Pokharel P., Principe J. Correntropy: properties and applications in non-Gaussian signal processing // IEEE Transactions on signal processing, 2007. Vol. 55. № 11. P. 5286-5298.

10. Liu W., Pokharel P., Xu J., Seth S., Principe J. Correntropy for random variables: properties and applications in statistical inference // Information theoretic learning: Renyi's entropy and kernel perspectives. New York: Springer, 2010. Vol. 10. P. 385-413.

11. Kulikova M.V. Square-root algorithms for maximum correntropy estimation of linear discrete-time systems in presence of non-Gaussian noise // Systems & Control Letters, 2017. Vol. 108. P. 8-15.

12. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений. Квазиправдоподобные оценки. М.: Радио и связь, 1983. 304 с.

13. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2008. 320 с.

14. Филиппова Е.В. Алгоритмы параметрической идентификации стохастических линейных непрерывно-дискретных систем на основе ро-бастной фильтрации // Евразийское Научное Объединение, 2018. № 11 (45). С. 86-90.

15. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления / пер. с англ. М.: Мир, 1977. 650 с.

Чубич Владимир Михайлович, д-р техн. наук, доцент, заведующий кафедрой, chubich@ami.nstu.ru, Россия, Новосибирск, Новосибирский государственный технический университет,

Филиппова Елена Владимировна, канд. техн. наук, доцент, e.filippova@corp.nstu.ru, Россия, Новосибирск, Новосибирский государственный технический университет

PARAMETRIC IDENTIFICATION OF STOCHASTIC LINEAR CONTINUOUS-DISCRETE

SYSTEMS BASED ON ROBUST FILTERING

V.M. Chubich, E.V. Filippova

For models of stochastic linear continuous-discrete systems, software for solving the problem ofparametric estimation in the presence of anomalous observations in the measurement data by the maximum likelihood method based on the robust Izanloo - Fakoorian -Yazdi - Simon filter is developed. On the example of a model of a DC motor position control system it is shown that the use of robust filtering can significantly improve the quality ofpar-ametric identification.

Key words: stochastic system, parameter estimation, maximum likelihood method, robust filtering, anomalous observations.

Chudich Vladimir Mikhalovich, doctor of technical sciences, docent, department head, chubich@ami.nstu.ru, Russia, Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University,

Filippova Elena Vladimirovna, candidate of technical sciences, docent, e.filippova@,corp.nstu.ru, Russia, Novosibirsk, Novosibirsk State Technical University