УСТРОЙСТВО ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СВОЙСТВ ЛЕНТЫ МЕБИУСА

Полезная модель относится к области изучения элементарных свойств топологических объектов, более конкретно, к наглядному учебному пособию для моделирования свойств ленты Мебиуса и может найти применение при изучении математики в системе среднего и высшего образования.
Лента Мебиуса - это топологический объект, представляющий собой простейшую трехмерную неориентируемую одностороннюю поверхность с границей, состоящей из одной замкнутой кривой. С другой стороны - это поверхность в пространстве, на которой невозможно выделить одну сторону, а также сторону, ей противоположную и, если взять в точке ее поверхности нормальный вектор и непрерывно вести его вдоль замкнутого пути, придем к исходной точке с нормальным вектором, противоположным начальному (см., например, https://ru.wikipedia.org/wiki/, а также М. Гарднер. Математические чудеса и тайны. - М.: Наука, 1978).
Модель ленты Мебиуса можно легко сделать: надо взять достаточно длинную бумажную полоску и склеить противоположные концы полоски в кольцо, предварительно перевернув один из них. В трехмерном евклидовом пространстве существуют два типа лент Мебиуса в зависимости от направления закручивания - правые и левые. Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудаленной от краев, получится одна длинная двусторонняя (закрученная на полный оборот) лента. Если получившуюся ленту разрезать вдоль посередине, получаются две такие ленты, намотанные друг на друга. Если разрезать ленту Мебиуса, отступая от края приблизительно на треть ее ширины, то получаются две ленты, одна более короткая, в виде ленты Мебиуса, другая - более длинная лента с двумя полуоборотами.
Перечислим более подробно основные свойства ленты Мебиуса:
- свойство трехмерности, заключается в том, что все части ленты Мебиуса могут быть отображены в декартовой системе координат;
- свойство односторонности и отсутствия ориентированности состоит в том, что если взять ленту Мебиуса и начать закрашивать в любом ее месте и направлении, то постепенно вся фигура будет закрашена целиком без пересечения краев ленты;
- свойство непрерывности заключается в том, что каждую точку ленты Мебиуса можно соединить с другой ее точкой, не пересекая краев ленты;
- свойство границы ленты Мебиуса - граница состоит из одной замкнутой кривой;
- свойство связности заключается в том, что лента Мебиуса остается цельной, если резать ее вдоль, и теряет свои свойства, если разрезать ее полностью поперек.
Наиболее близким из известных можно считать устройство для моделирования свойств ленты Мебиуса, содержащее гибкую материальную ленту и средства для соединения и разъединения частей ленты в поперечном и/или продольном направлении (см. https://infourok.ru/lenta-myobiusa-i-eyo-svoystva-issledovatelskaya-rabota-3132215.html - прототип).
Особенностью известного технического решения является использование простейших технических средств для изготовления, соединения и отделения частей ленты Мебиуса с целью моделирования ее свойств. При этом выявляют топологические свойства ленты Мебиуса на примере опытов с бумажной лентой (трехмерность, односторонность, непрерывность и др.). Для того, чтобы сделать ленту Мебиуса, нужно взять ленту с пограничными углами ABCD и свернуть ее так, чтобы совместить точки А и D, В и С и механически соединить концы ленты. При этом использовались средства для склеивания концов бумажных лент и механического разрезания ножницами односторонней бумажной ленты Мебиуса. Для сравнения изготавливали и исследовали топологические свойства обычного двухстороннего бумажного кольца. Их разрезание осуществлялось вдоль лент пополам, по линии параллельной краям, а также отступив от края на 1/3 их ширины. Кроме того, для сравнения и наглядности выполнялось закрашивание различным цветом сторон обычного кольца и ленты Мебиуса, а также осуществлялось повторное продольное разрезание ножницами полученных топологических фигур.
К недостаткам известного технического решения следует отнести несовершенство технических средств для соединения и разъединения частей ленты в поперечном и/или продольном направлении, при которых рассматриваемый в учебном процессе объект изучения каждый раз необходимо изготавливать заново, причем процесс склеивания концов ленты Мебиуса и ее продольного разрезания ножницами неудобен и архаичен.
Техническим результатом полезной модели является устранение указанных недостатков известных технических решений, повышение удобства, наглядности и сокращения времени на подготовку повторных демонстраций при изучении топологических свойств ленты Мебиуса. Дополнительным результатом является повышение эффективности обучения и уровня восприятия тонких вопросов топологии.
Указанный технический результат достигается тем, что в устройстве для моделирования свойств ленты Мебиуса, содержащем гибкую материальную основу в виде протяженной ленты и средства для соединения и разъединения ее частей в поперечном и/или продольном направлении, согласно полезной модели, гибкая материальная основа содержит одну базовую и, по меньшей мере, одну или две вспомогательные полосы, равной длины и ширины, средства для соединения и разъединения которых в поперечном направлении содержат поперечные разъемы концов для каждой из полос с использованием плоских постоянных магнитов, соединений типа штырь-углубление или текстильных застежек, а средства для соединения и разъединения базовой и вспомогательных полос материальной основы в продольном направлении содержат, соответственно, один или два продольных разъема с использованием одного из видов текстильной застежки или контактной ленты.
Кроме того, по крайней мере, у одной из полос гибкой материальной основы ее края и/или середина могут иметь различную графическую или цветовую идентификацию для наглядного отображения топологического состояния устройства при различных способах соединения и разъединения частей основы в поперечном и/или продольном направлении.
Кроме того, по крайней мере, у одной из полос гибкой материальной основы вдоль ее краев могут быть размещены светодиоды с различной цветовой окраской, которые соединены в электрическую цепь и подключены к миниатюрному блоку питания, расположенному в одной из частей поперечного разъема, для наглядного отображения топологического состояния устройства при различных способах соединения и разъединения частей материальной основы в поперечном и/или продольном направлении.
Такое выполнение полезной модели обеспечивает достижение технического результата, связанного с устранением недостатков известных технических решений, повышением удобства и наглядности при изучении топологических свойств ленты Мебиуса, а также значительном сокращении времени преподавателей на подготовку и демонстрацию свойств ленты Мебиуса. Предложенное устройство является наглядным учебным пособием, обеспечивающим для обучающихся высокий уровень восприятия тонких вопросов топологии. Устройство обладает свойством неоднократного и удобного использования на учебных демонстрациях в течение нескольких лет. Это современный образовательный инструмент, способствующий творческому усвоению свойств топологического объекта - ленты Мебиуса и стимулирующий наше внимание к естественным наукам.
Достижение технического результата обеспечивается новым выполнением средств для временного соединения и разъединения в кольцо противоположных концов базовой и вспомогательных полос материальной основы посредством поперечных разъемов с использованием плоских постоянных магнитов, соединений типа штырь-углубление, текстильных застежек или подобного рода механических зажимов. Средства для временного соединения и разъединения базовой и вспомогательных полос составной материальной основы в продольном направлении содержат, соответственно, один или два продольных разъема, преимущественно, с использованием одного из видов текстильной застежки типа репейник, липкой контактной ленты или других средств подобного рода. Части поперечного разъема базовой и вспомогательных полос материальной основы могут быть выполнены также в форме контактного соединения внахлест или встык. Края и/или середина одной из полос гибкой материальной основы могут иметь различную графическую или цветовую идентификацию для наглядного отображения топологического состояния при различных способах соединения и разъединения частей основы в поперечном и/или продольном направлении. Кроме того, полосы материальной основы могут иметь различную цветовую идентификационную окраску для наглядного наблюдения свойств ленты Мебиуса при различных способах соединения и разъединения частей ленты. С этой же целью края полос гибкой материальной основы могут быть снабжены множеством светодиодов, соединенных в электрическую цепь и подключенных к миниатюрному блоку питания в одной из частей поперечного разъема.
На прилагаемом чертеже фиг. 1 показана развертка материальной основы в виде протяженной ленты, включающей две полосы, совмещенные по продольному разъему и снабженные элементами поперечных разъемов; на фиг. 2 приведен в сборе общий вид ленты Мебиуса с одним продольным и двумя поперечными разъемами; на фиг. 3 и фиг. 4 даны видоизмененные изображения лево- и правосторонней однополосной ленты Мебиуса, а на фиг. 5 - схема необходимых для этого поперечных надрезов.
Развертка (см. фиг. 1) гибкой материальной основы 1 устройства для моделирования свойств ленты Мебиуса выполнена в виде прямолинейной протяженной ленты, включающей одну базовую и одну вспомогательную полосы 2, 3 из полимерного материала, которые имеют равные ширину и длину, например, в диапазоне 1-5 см и 15-50 см. При этом полосы 2, 3 совмещены между собой по продольному разъему 4, а на концах каждой из полос размещены части двух поперечных разъемов 5, 6, 7, 8. Продольный разъем 4 может быть выполнен в виде соединенных внахлест двухсторонних контактных лент - липучек, закрепленных на краях базовой и вспомогательной полос 2 и 3. В качестве альтернативы продольный разъем 4 может быть выполнен для полос 2, 3 из полимерного материала так, чтобы края указанных полос изначально были выполнены с дорожками разъемного соединения типа репейник. Это позволяет легко совмещать края полос 2 и 3 для их временного соединения и разъединения по продольному разъему 4 при демонстрации свойств ленты Мебиуса. Продольное соединение полос становится более удобным, если площадки для соединения в виде контактных лент - липучек, репейник или более современных протяженных пластиковых разъемов будут выполнены с разных сторон полос 2 и 3. Указанные части 5, 6, 7, 8. поперечных разъемов для полос 2 и 3 выполнены в виде четырех плоских магнитных вставок, которые, преимущественно, имеют форму миниатюрных плоских дисковых или прямоугольных магнитов с высокой остаточной намагниченностью. Такие магниты могут быть приклеены или размещены внутри материальной основы на противоположных концах полос 2 и 3. С целью обеспечения удобства эксплуатации устройства для моделирования свойств ленты Мебиуса между частями поперечных разъемов 5 и 6, а также между 7 и 8 имеются технологические зазоры (см. фиг. 1 и 2), позволяющие беспрепятственно соединять и разъединять в поперечном и продольном направлении базовую и вспомогательные полосы 2, 3.
В соответствии с изобретательским замыслом указанные конкретные виды продольных разъемов 4 для соединения базовой и вспомогательной полос 2, 3, без нарушения единства и общности предложенного технического решения, могут быть выполнены в виде контактного соединения внахлест или встык в форме одного из указанных и известных видов текстильной застежки типа молния, репейник, контактной ленты липучки или их комбинаций. Для самоклеящейся ленты в виде липучки одна из сторон обычно покрыта петлями из полиамидных мононитей, а ответная сторона ленты липучки снабжена петлями иной конфигурации или крючками. При временном соединении двух лент крючки входят в петли и происходит быстрое и прочное сцепление лент. Такое соединение является полноценным средством крепления, рассчитанным на множество циклов соединения-разъединения базовой и вспомогательной полос 2, 3. Для поперечных разъемов соединение концов базовой и вспомогательной полос 2, 3 в замкнутое кольцо разъемы могут быть выполнены также в виде известных плоских механических замковых соединений, зажимов типа штырь-углубление или в виде различного рода соединений внахлест с использованием упомянутых видов текстильной застежки или контактной ленты.
Как понятно из указанных и последующих пояснений, гибкая материальная основа 1 может быть выполнена составной также из трех одинаковых полос равной ширины, одна из которых является базовой, а две - вспомогательные. При этом каждая из трех полос материальной основы снабжена поперечным разъемом, включающим по две магнитные вставки на ее концах, что в сумме дает шесть вставок на устройство для моделирования свойств ленты Мебиуса (не показаны).
На фиг. 1 показаны варианты графической идентификации краев ленты Мебиуса, составленной из двух полос 2, 3. Для наглядного отображения топологического состояния устройства, при различных способах соединения и разъединения частей основы в поперечном и/или продольном направлении, применены два идентификатора по сторонам полос 2, 3, первый из которых выполнен в виде штриховой линии 9, а второй - в виде штрих-пунктирной линии 10. Идентификация возможна также и в случае цветового раскрашивания лент 1, 2 вдоль их края или середины (не показаны). В соответствии с изобретательским замыслом роль таких идентификаторов могут выполнять светодиодные ленты (не показаны) с различной цветовой окраской светодиодов, которые располагают, преимущественно, по краям полос 2, 3 гибкой материальной основы 1. Одна или две из частей поперечного разъема может быть снабжена, по меньшей мере, миниатюрным блоком питания (не показан) для подключения к нему одной или нескольких светодиодных лент с целью наглядного визуального наблюдения топологических свойств ленты Мебиуса при различных способах соединения и разъединения ее частей в поперечном и/или продольном направлении.
На фиг. 2 приведен общий вид составной ленты Мебиуса, развертка которой показана на фиг. 1. Материальная основа 1 ленты Мебиуса в этом случае имеет вид составной протяженной ленты, включающей одинаковые по размерам базовую 2 и вспомогательную 3 полосы, соединенные посредством продольного разъема 4. Данные полосы соединены в кольцо Мебиуса двумя поперечными разъемами с помощью четырех плоских магнитных вставок 5, 6, 7, 8, расположенных на концах каждой из полос 2, 3. При этом части поперечных разъемов в виде магнитных вставок 5 и 7 базовой полосы 2 и, соответственно, магнитных вставок 6 и 8 вспомогательной полосы 3 соединены на фиг. 2 в кольцо Мебиуса в другом порядке - вставка 5 соединена с вставкой 8, а вставка 6 - с вставкой 7.
Представленные на фиг. 3 и фиг. 4 замкнутые кольца 11 и 12 являются трансформированными или видоизмененными изображениями лево- и правосторонней однополосной базовой ленты 2 в виде кольца Мебиуса. В известных литературных источниках отмечается, что лево- и правосторонняя ленты Мебиуса визуально неразличимы. Представленные на фиг. 3 и фиг. 4 замкнутые кольца 11 и 12, соединенные по поперечному разъему двумя магнитными вставками, свидетельствуют о возможности визуальной идентификации лево- и правосторонней лент Мебиуса. Для решения задачи визуализации видоизмененных лево- и правостороннего изображений стандартной ленты Мебиуса необходимо предварительно выполнить на ее свободной части, по меньшей мере, три неполных поперечных надреза 13, 14, 15, как это показано на фиг. 5. Два из них 13 и 14 выполнены от одного из краев к середине ленты и один надрез 15 - между указанными двумя надрезами, но от второго края к середине ленты. Указанные надрезы, а также большее их количество, обеспечивают возможность разворота одной ближайшей к разрезам части ленты 2 на -180° против часовой стрелки или на +180° по часовой стрелке без нарушения топологии и целостности ленты или кольца Мебиуса, как это показано стрелками на фиг. 3 и фиг. 4. Такой разворот части ленты 2 обеспечивает получение его видоизмененных изображений, внешне напоминающих форму обыкновенного кольца за исключением зоны надрезов 13, 14, 15. Такое топологическое преобразование ленты Мебиуса 2 сопровождается появлением на ее поверхности право- или левостороннего топологических мостиков 16 и 17, соответственно, обращенных наружу и внутрь замкнутых колец 2, как это указано на фиг. 3 и фиг. 4. В этом и состоит сущность вновь выявленного свойства, связанного с возможностью наглядного отображения лево- и правосторонней ленты Мебиуса, при котором части ленты в зоне надрезов соединены указанными топологическими мостиками 16, 17 в виде вертикально расположенных прямоугольных выступов или флажков. Именно их наличие обеспечивает сохранение топологических свойств исходной ленты Мебиуса, соответствующей схемам ее лево- или правосторонней ориентации.
При демонстрации свойств ленты Мебиуса в учебном процессе предложенное устройство используется следующим образом.
Для полного моделирования свойств ленты Мебиуса, с помощью предложенного устройства, предварительно изготавливают три равные по размерам протяженные полосы, одна из которых является базовой 2, а другие вспомогательными. Каждая из этих полос представляет собой гибкую материальную основу в виде ленты из доступного материала. В качестве такой полосы возможно использование гибких тканых или нетканых материалов, например, полимерных материалов толщиной 0,1-2 мм, шириной 2-10 см и длиной 10-70 см и более. Прочность на разрыв и износ используемых материалов должны быть достаточными для их многократного кручения, изгиба и растяжения. Этим условиям соответствуют, в том числе, тканые материалы из естественного или искусственного волокна, материалы из кожи, нетканые полимерные материалы, тканые материалы из металлических волокон и др. Концы каждой из трех протяженных полос снабжаются средствами для независимого соединения и разъединения в поперечном направлении, а также упомянутыми выше средствами для соединения и разъединения полос вдоль их длинных сторон или краев в продольном направлении.
Для частичного моделирования свойств ленты Мебиуса возможно использование одной гибкой протяженной базовой полосы 2 со средствами для соединения и разъединения ее концов с использованием поперечного разъема в форме плоских постоянных магнитов, соединений типа штырь-углубление или подобного рода механических зажимов. Для наблюдения свойств ленты Мебиуса используются указанный графический идентификатор в виде штриховой линии 9. Процесс демонстрации простейших свойств базовой 2 однополосной ленты Мебиуса заключается в следующем. Первоначально соединяют концы базовой 2 однополосной ленты Мебиуса по поперечному разъему посредством двух магнитных вставок 5 и 7 в простое цилиндрическое кольцо (не показано). При этом наблюдается, что указанный идентификатор 9 однополосной ленты 2 располагаются по одну сторону цилиндрического кольца, что свидетельствует о его свойстве как двухсторонней поверхности. Затем оператор или преподаватель размыкает магнитный поперечный разъем из двух магнитных вставок 5 и 7, перекручивает один из концов полосы на 180°, по или против часовой стрелки, и вновь смыкает магнитный поперечный разъем в новом положении. В этом случае наблюдается новое состояние базовой полосы 2, именно ее идентификатор 9 располагается изнутри и снаружи топологического кольца в виде ленты Мебиуса. Полученный объект обладает уже свойствами отсутствия ориентированности односторонней поверхности и наличием границы ленты в виде одной замкнутой кривой. При использовании в данном устройстве миниатюрного блока питания и светодиодных лент данные топологические свойства ленты Мебиуса наблюдаются особенно наглядно.
В случае однополосной ленты Мебиуса невозможно выявить другие ее свойства, заключающиеся в том, что лента Мебиуса остается в известном смысле цельной и преобразуется в новые формы топологических объектов, если разрезать материальную основу ленты вдоль ее длины. В соответствии с изобретательским замыслом, для отображения дополнительных свойств ленты Мебиуса кроме базовой полосы 2 используются одна или две вспомогательные полосы, равные по размерам с базовой. Указанные полосы также должны быть снабжены средствами для соединения и разъединения каждой из полос посредством упомянутых продольных разъемов (например, текстильных застежек) и поперечных разъемов (например, плоских постоянных магнитов). На фиг. 1 изображена гибкая материальная основа 1 в виде прямолинейной двухполосной протяженной ленты, которая включает одну базовую и одну вспомогательную полосы 2, 3 равной ширины и длины. Как указано выше, в исходном состоянии развертки они совмещены между собой по продольному разъему 4, а на концах каждой из полос размещены поперечные разъемы с магнитными вставками 5, 6, 7, 8.
Процесс демонстрации свойств двухполосной ленты Мебиуса (см. фиг. 1 и фиг. 2) заключается в следующем. Из состояния развертки первоначально соединяют концы полос 2, 3 в простое цилиндрическое кольцо (не показано) посредством четырех магнитных вставок 5, 6, 7, 8. При этом оператор или преподаватель соединяет магнитные вставки в порядке 5-7, 6-8. В результате наблюдается, что указанные идентификаторы 9, 10 двухполосной ленты располагаются по одну сторону цилиндрического кольца, что свидетельствует о его свойстве как двухсторонней поверхности. Затем оператор размыкает сдвоенный поперечный разъем цилиндрического кольца по магнитным вставкам 5, 6,7, 8, перекручивает один конец двухполосной ленты на 180°, по или против часовой стрелки, и вновь смыкает сдвоенный магнитный поперечный разъем уже в новом положении, в котором магнитные вставки соединены в другом порядке 5-8 и 6-7. В этом случае наблюдается новое состояние сдвоенной ленты, когда имеющиеся идентификаторы 9, 10 (или полосы, окраска, светодиодные ленты) располагаются изнутри и снаружи нового топологического объекта в виде сдвоенной ленты Мебиуса. Полученная двухполосная лента Мебиуса также обладает свойством отсутствия ориентированности односторонней поверхности и имеет границу в виде одной замкнутой кривой.
В случае двухполосной ленты Мебиуса становится возможным наблюдать новое топологическое преобразование, заключающееся в возможности разделения оператором базовой и вспомогательной полос 2, 3 материальной основы 1 вдоль продольного разъема 4 с сохранением состояния поперечных разъемов - магнитных вставок 5, 6, 7, 8. В результате двухполосная лента Мебиуса из исходного состояния преобразуется в новую топологическую форму, представляющую собой дважды перекрученное кольцо, диаметр которого вдвое больше диаметра исходного (не показано). Однако получившееся дважды перекрученное кольцо, как известно, оказывается двухсторонним топологическим объектом. Таким образом, вышеупомянутые свойства однополосной ленты Мебиуса (свойство трехмерности, непрерывности, односторонности и отсутствия ориентированности) дополнены в двухполосной ленте Мебиуса новым свойством, заключающимся в том, что сдвоенная лента Мебиуса остается цельной, если ее разделять вдоль средней линии, и теряет свои свойства, если разделить ее полностью по поперечному разъему.
В соответствии с изобретательским замыслом, процесс демонстрации свойств трехполосной ленты Мебиуса (не показана) в целом аналогичен предыдущей демонстрации свойств двухполосной ленты Мебиуса. Свойства однополосной и двухполосной лент Мебиуса (трехмерность, непрерывность, односторонность и отсутствия ориентированности) для трехполосной ленты Мебиуса дополняются новым свойством. Оно заключается в том, что трехполосная лента Мебиуса претерпевает новое топологическое преобразование. Если оператор разделяет ее материальную основу вдоль продольного разъема на расстоянии трети от края трехполосной ленты, то образуются два новых топологических объекта - более узкое малое кольцо в виде однополосной базовой ленты Мебиуса и дважды перекрученное кольцо вдвое большего диаметра, сцепленное с малым кольцом (не показаны).
Следует также отметить другие геометрические, физические и топологические свойства объектов такого класса. Геометрические (размерные) характеристики ленты Мебиуса имеют особенности. Ее длина не имеет ограничения сверху, но не может быть меньше ее ширины. Материальная основа ленты Мебиуса может иметь сравнительно большую толщину, в этом случае данный объект больше напоминает тор различного сечения, часто используемый в архитектуре малых форм. Плоская гибкая или жесткая лента Мебиуса сохраняет указанные топологические свойства в случае наличия на ее поверхности множества регулярных и нерегулярных сечений, надрезов, обычных или фрактальных отверстий самых разнообразных видов, форм и размеров. Кроме того, свойства ленты Мебиуса не меняются, если ленту деформировать любым способом без ее разрыва, а если ее разрезать продольно с тремя или большим количествам полуоборотов, то получаются, так называемые, парадромные кольца.
Физические свойства материальной основы ленты Мебиуса предельно широкие - она может быть выполнена из металла, полимеров, тканых, нетканых или кристаллических материалов. Технологические свойства ленты Мебиуса используются в транспортной технике (конвейеры), металлообработке (абразивные ленты), электротехнике (магнитопроводы и обмотки), радиотехнике (резисторы и конденсаторы). Известно ее применение в звукозаписывающей аппаратуре и матричных принтерах для продления срока годности красящей ленты, в форме ленты Мебиуса сделан популярный аттракцион Американские горки. Эту геометрическую фигуру часто используют ювелиры при создании дизайна драгоценностей. Ленту Мебиуса упоминал в своих произведениях Артур Кларк, а художник Эшер создал ряд известных литографий с ее использованием.
Предложенное устройство позволяет эффективно моделировать основные топологические свойства ленты Мебиуса с достижением технического результата, связанного с повышением удобства, наглядности и сокращения времени на подготовку демонстраций при изучении ряда вопросов топологии. Кроме того, в результате исследований предложенного устройства для моделирования однополосной ленты Мебиуса, были выяснены дополнительные свойства, связанные с возможностью наглядного отображения ее лево- и правостороннего состояния. Полезная модель может найти применение в системе среднего и высшего образования, а также в различных областях прикладных и научных исследований.