Параметрический анализ в задачах математического программирования

УДК 519.65

Е. А. Умное, А. Е. Умное

Московский физико-технический институт

Параметрический анализ в задачах математического

программирования

Рассматривается метод решения задач выпуклого программирования, основанный на свойствах гладких штрафных функций, позволяющий представлять зависимости решений этих задач от параметров в функциональном виде, а также использовать их как в постановках, так и процедурах решения различных оптимизационных задач в пространстве параметров. Детально исследуется проблема получения решений параметрических задач с заранее заданной точностью.

Ключевые слова: задача параметрического программирования, метод гладких штрафных функций, двойственная пара задач линейного программирования, экстра-поляционная оценка решений задач параметрического программирования.

Введение

Вполне очевидно, что возможность исследования зависимости решения задачи математического программирования от значений ее параметров представляет собой важный инструментальный компонент математического моделирования. Хотя сложность такого исследования, обусловленная практической невозможностью непосредственного использования аналитических методов, равно как и специфическими особенностями объекта исследования: определенностью не на всем множестве допустимых значений параметров, а также возможным отсутствием функциональности и гладкости на этом множестве, является существенным фактором, ограничивающим его применение.

Статья [1] содержит описание и теоретическое обоснование метода анализа зависимости решения задач линейного программирования от параметров, основанного на построении ее функциональной (однозначной) сглаженной аппроксимации, близкой по своим значениям к исследуемой зависимости при тех параметрах, для которых последняя существует. В статье [2] исследуются вычислительные аспекты предложенного алгоритма. В настоящей статье рассматривается расширение этого подхода на случай выпуклого нелинейного программирования, а также анализируется проблема получения решений с достаточно высокой точностью.

Описание подхода

Рассматриваемый подход основан на нестандартном использовании метода гладких штрафных функций [3], точнее, на некоторых специфических свойствах специального класса функций штрафа, описанных ниже.

Введем обозначения ж € Еп, Л £ Ет, и € Ек с координатными представлениями вида 1М1 = 1166 ...£п||т, ||Л|| = ЦА1А2 ... Ат||т, ||и|| = ||^2 ...Ук ||т, приче м и € П С Ек.

В настоящей статье предлагаемый метод используется для анализа зависимости от параметров решения следующей нелинейной задачи математического программирования: при фиксированном и € П С Ек максимизировать по {£1, £2,..., С™} выпуклую вверх по ж € Еп и достаточно гладкую 1 целевую функцию Е(х,и) при условиях: ^ ^ 0 V] = [1, п] и /¿(ж, и) ^ 0 V г = [1, т], где функции /¿(ж, и) V г = [1, т] достаточно гладкие и такие, что множество, определяемое данными условиями, выпукло по ж € Еп, во всех случаях, когда оно не пусто.

1Под «достаточной гладкостью» здесь и ниже мы будем понимать возможность построения у рассматриваемой функции локальной тейлоровской аппроксимации требуемого порядка.

Эту задачу для краткости будем именовать «М-задачей» и обозначать как М, а ее решение при фиксированном u £ Q обозначать х* (и). Анализ зависимости х*(и) от вектора параметров и £ Q Ц Ек и составляет основной предмет исследования настоящей статьи.

Вначале кратко изложим схему предлагаемого подхода для пары линейных взаимодвойственных задач, записанных в следующей симметричной форме. Пусть прямая задача линейного программирования имеет вид: максимизировать по {£i, £2,..., F(х, и) = aj(u)Cj

при условиях: ^ 0 V j = [1,п]ж fi(x,u) = -ßi(u) + /=1 av(u)Cj ^ 0 Vг = [1,m\. Эту задачу для краткости будем именовать «Р-задачей» и обозначать как Р, а ее решение при фиксированном и £ Q обозначать х*(и).

«D-задача», двойственная к Р, будет соответственно иметь вид: минимизировать по {Ai, \2,..., \m} С(Л, и) = ¿=1 ßi(u)\i

при условиях: Xi ^ 0 Vг = [1,т] и gj(Л,и) = —aj(и) + !=1 aij(u)^i ^ 0 Vj = [1,п]. Ее решение при фиксированном и £ Q будем обозначать Л*(и). Все функции aj(u),ßi(u) и aij (и) в условиях задач PhD предполагаются известными.

Определим штрафную функцию Р(т, s) так, чтобы она существовала и была непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно для всех s и любых т > 0, а также удовлетворяла условию

lim Р

т[ при S < 0.

Функция Р(т, s) может использоваться в качестве «штрафа» за нарушение связи вида s ^ 0 в экстремальных задачах с ограничениями-неравенствами, потребуем при этом, чтобы она удовлетворяла условиям

дР д2Р

а jj^ являлась функцией только одного аргумента то есть = Ф (^).

Как известно [4], стандартный метод гладких штрафных функций позволяет в случае однозначной разрешимости задачи Р находить ее решение в виде х*(и) = lim х(т,и), где

т ^+0

х(т, и) =argmax Ар(т, х, и), для Ар(т, х, и) = F(х, и) — ^ ^ 1 Р(т, (—fi,(х,и)).

х

Аналогично, решение задачи D может быть представлено в виде Л*(и) = lim Л(т,и), где

Л(т,и) =argmin Ad(r, Л, и), я Ad(r, Л, и) = С(Л,и) + YTi=1 р(т, (9j(Л, и)). л j

В этом случае, как показано в [5], для достаточно широкого класса функций штрафа (1) х(т,и) и Л(т,и) можно использовать в качестве аппроксимаций зависимостей х*(и) и Л*(и), поскольку они удовлетворяют условиям стационарности gradx Ар(т,х(т,и),и) = о и gra^ Ad(r, Л(т,и),и) = о, к которым применима теорема о неявных функциях [6]. Кроме того, в случае однозначной разрешимости задач PhD оказываются справедливыми равенства

дР

К(и) = — lim^т(т, —fi(x(r,u))) V i = [1,m}, ÖJi

е*(и) = — yimn—(T,93 (Л(т,и))) V j = [1,п],

дР ^

которые являются условиями, связывающими решения задач Р и О.

В рассматриваемом подходе в качестве аппроксимаций зависимостей х*(и)ж А* (и) предлагается использовать не х(т, и) и Л(т, и), а функции х(т, и) и А(т, и), определяемые системой условий

Xi(u) = — Щ-г (т, —fi(x(r,u))) V i = [1,m], W = — Щ (T,9j (Л(т,и))) V j = [1,n]

и для которых (как показано в [1]) также оказываются справедливыми равенства х*(и) = lim х(т,и) и Л* (и) = lim Л(т,и).

Наконец, систему (3) можно записать в более удобном (для совместного решения заО р

дач PhD) виде, если учесть, что функция jjsf (в силу условий (2)) имеет обратную

q( т, s)=ф-1 (s е s

п _ _

ßi(u) - £ «ij (и) = Q( T,\i) Vi = [1,т],

3Z1 _ _

-Oj(и) + £ oy(и)\i = q(t, Ci) Vj = [l,n\.

i=l

Теперь выясним, как будет выглядеть система вспомогательных уравнений (4) в случае нелинейной задачи М. Предположим, что х*(и) — оптимальное решение задачи М, существует, и построим линейную аппроксимацию условия этой задачи в некоторой, достаточно малой окрестности х*(и). Возможная негладкость х*(и),и £ Q, на данном этапе существенной роли не играет.

Результат этой линеаризации выглядит следующим образом. Целевая функция, подлежащая максимизации, имеет вид

Ör i \ I ÖF \ Ö F

f(x*(u),u)+j2 ^(б - $ы) = IWu^U) -£ ще*(и) j — ,

j=1 \ j = 1 l j=i

а ограничения-неравенства соответственно

1 f) f

u(x*(u),u) + £ - ç*(u)) < 0 Vi = [1,m]

3 = 1

или же

fi(x*(u),u) ^(u^ + £ < 0.

В вышеприведенных формулах все частные производные вычислены при x = x*(u). Заметим также, что при использовании обозначений

dF df' п df'

= °з

эти соотношения являются формулировкой задачи, эквивалентной задаче Р.

Теперь для линеаризованной задачи M записываем формулировку вспомогательной системы уравнений (3):

-Pi + £ Шз = -Q(TÂ:) Vi = [1,m] ,

3 = 1 д £>3

öf_ f, оfi-l Щ - i=l Wj

= -Q(r, tj ) Vj = [1,n] .

Здесь оказываются существенными следующие два обстоятельства. Во-первых, левые части первой группы уравнений в этой системе, являющиеся линейными аппроксимациями функций /г(х,и), следует заменить самими этими функциями, поскольку при построении системы (4) вид первой группы ее уравнений не зависит от того, являются ли функции /г(х,и) линейными или нет. Значит, в системе, обобщающей условия (4) на нелинейный случай, первая группа уравнений будет иметь вид /г(х,и) = —Q( т, Хг) У г = [1,ш].

Во-вторых, можно заметить, что левые части второй группы уравнений суть координаты градиента (взятого по компонентам х) функции Лагранжа для задачи М.

Это в своей совокупности позволяет заключить, что обобщением системы уравнений (4) на случай задачи М будет система уравнений вида

/г(х,и) = —(^(т,\г) V г = [1,т],

д

^ (р(х,и) — £ Шх,и)^ = -Я(Т,^) Vз = [1,п]

или же, учитывая, что стандратная функция Лагранжа для нелинейной задачи М имеет

т

вид Ь(х(и), Л(и)) = Е(х,и) — £ \г^(х,и) , в более компактной форме

4=1

дЬ - -

— (х, Л) = Я(т,\г) V г = [1,т] ,

ОЛг

^ (х, Л) = — Я(т,1]) V з = [1,п] .

Еще раз обратим внимание, что значения функций и производных в этой системе вычисляются на элементах х £ Еп и Л £ Ет, которые являются неизвестными. Отыскание значений этих неизвестных как функций коэффициента штрафа т и вектора параметров и является основной задачей, решаемой в рамках предлагаемого подхода.

Аналогично тому, как для системы уравнений (4) в [1] рассматривалась вспомогательная функция, представляющая собой сумму стандартной функции Лагранжа для пары

п т

задач Р и Б и корректирующего слагаемого вида £ Щт, ^) — £ Р(т, \г) , для системы

з=1 г=1

уравнений (5) введем вспомогательную функцию вида

т п т

и

г=1 з=1 г=1

дП

где — (т,в) = Я(т,в).

Исследуем теперь свойства функции (6).

Теорема 1. Если х(т,и) и А(т, и) решения системы (5), то {х(т,и), Л(т,и)} - стационарный вектор функции и(т, х, Л, и) в Еп  Ет.

Доказательство.

Дифференцируя функцию (6) по {1, £2, ... Сп и А1, А2, ... \т, получаем

ди дЬ

— Я(тАг) = —/г(х,и) — Я(т,Х.) Vг = [1,т] ,

олг олг дЬ

Щ; = щ + Я(г,Сз) V3 = [1,п] ,

что в силу соотношений

ди -

— = —¡г(х,и) — Я(т,Хг) = 0 Vг = [1,т] ,

олг

ди дЬ -

щ=ж.—<*Т^ = 0 ^ = [1-ч-

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть точка {х*(и); Л*(и)} ограниченная, тогда найдется А > 0 такое, что Vt : 0 <т < А в Еп  Ет существует окрестность элемента {х(т ,и), Л(т ,и)} такая, что этот элемент - седловая точка функции U(т, х, Л, и).

Доказательство.

Согласно лемме 1 в [1], доказанной без каких-либо предположений о линейности исходной задачи, lim R(т, s) = 0 V s > 0 .

т—+0

п т

Поскольку U(т, х, Л, и) = L(x, Л,и) + £ R(t, ^) — £ R(t, \j) , а для функции Лагранжа

3 = 1 i=1

в условиях теоремы

lim L(X(t,u), Л(т,и),и) = L(x*(u), Л*(и), и) ,

т—+0

U( , х( , и), Л( , и), и) {х*(и); Л*(и)} — седловая для функции Лагранжа, следует утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть точка {х*(и); Л*(и)} ограниченная, тогда Vi = [1,т] справедливы, равенства — «условия дополняющей нежесткости»:

lim '\i(т,и)fi (х(т,и),и)) = 0 .

т—+0

Доказательство.

Из условия (2) = Ф (^) и определения функции Q(t, s) как обратной к — следует, что Q(t, s) = t^(s), где функции Ф(з) и Ф(з) взаимно обратные, причем ограниченные

.

,

lim '\i(т,и) fc (X(т,и),и)) =

т—+0

= — lim ХЛт,u)Q(r,Xi(т,и)) = — lim тХЛт,и)^ (\Лт,и))=0 .

т—^-+0 ' т—+0 v '

Теорема доказана.

Для доказательства аналогов теорем 3 и 4 из [1] линейность исходной задачи не требуется, поэтому их утверждения справедливы и для случая задачи М.

Использование рассматриваемого подхода проиллюстрируем следующим примером.

Пример 1. Максимизировать функцию F = —(£i — а)2 — (£2 — Ь)2

при условиях £1 ^ 0 ; £2 ^ 0 ; £1 + 2(2 ^ 3 и £2 — £2 ^ 0 . Решение. Вспомогательная система уравнений (5) (с учетом изменений, аналогичных сделанным при переходе от системы (15) к системе (17) в [2]) для данной задачи имеет вид

-3 + 161 +2| 61 = 1 (Ы —^т

2

К й

Задача имеет выпуклую вверх целевую функцию, определенную на выпуклом допустимом множестве при любых значениях параметров а и Ь. Ее решения, полученные при различных коэффициентах штрафа т, приведены в таблицах 1-5. Всего рассмотрено пять вариантов с различной структурой оптимального множества активных ограничений. Каждый вариант пронумерован арабскими цифрами в круглых скобках, предваренными символом ф. Соответствующая изолиния целевой функции показана штриховой линией и выделена определенным цветом.

В большинстве случаев решения задачи М очевидны (легко проверяются графически, см. рис. 1), но для некоторых значений параметров подобная проверка может представлять определенную проблему. Например, при а = 1 и Ь = 0 (см. табл. 4) точное оптимальное значение Л2 является корнем уравнения Л2(Л2 + 1)2 — 2 = 0 и равно

(^8+3^87 — 1)2^ / ^3328 + 3^^ и 0.69562077 .

Другой проблемой может являться медленная сходимость к решению системы (5), вызванная ухудшением обусловленности задачи при уменьшении значения коэффициента штрафа т (как, например, в варианте, приведенном в таблице 5) при т < 10-5. Стоит также отметить, что в варианте #(5) задача М оказывается переопределенной.

Таблица 1

Вариант #(1) при а = —1шЬ = 2

Значение коэфф. штрафа т ?1 ?2 А1 А2

0.1 0.019369832 1.457551752 0.540297817 0.034272627

0.01 1.993374914* 10 ~-3 1.495306682 0.504298833 3.343767165*10^-3

0.001 1.999333755* 10 "-4 1.499525574 0.500432983 3.334387665*10^-4

0.0001 1.999933338*10^-5 1.499952506 0.500043330 3.333438877* НГ-5

0.00001 1.999993333*10^-6 1.499995250 0.500004333 3.333343889*10^-6

0.000001 1.999999333* 10 "-7 1.499999525 0.500000433 3.333334389*10^-7

0.0000001 1.999999933* 10 "-8 1.499999953 0.500000043 3.333333439*10^-8

Таблица 2

а = 1 = 2

Значение коэфф. штрафа т ?1 ?2 А1 А2

0.1 0.583548042 1.198338239 0.821611165 0.058091273

0.01 0.598042642 1.199867650 0.802184510 5.936533717*10^-3

0.001 0.599800647 1.199987317 0.800218561 5.950774255*10 "-4

0.0001 0.599980028 1.199998737 0.800021857 5.952220054*10 "-5

0.00001 0.599998002 1.199999874 0.800002186 5.952364860*10 "-6

0.000001 0.599999800 1.199999987 0.800000219 5.952379343*10 "-7

0.0000001 0.599999980 1.199999999 0.800000022 5.952380791*10^-8

Таблица 3

Вариант #(3) при а = 2 и Ь = 1

Значение коэфф. штрафа т £1 £2 А1 А2

0.1 0.971069007 0.968103086 0.116271903 0.82551.3711

0.01 0.997017321 0.996.317696 0.1050957.35 0.802789972

0.001 0.999700182 0.999625692 0.10051531.3 0.800281696

0.0001 0.999970005 0.999962507 0.10005159.3 0.800028197

0.00001 0.999997000 0.999996250 0.100005160 0.800002820

0.000001 0.999999700 0.999999625 0.100000516 0.800000282

0.0000001 0.999999970 0.99999996.3 0.100000052 0.800000028

У / '5, У""" / 1 / \ / \ / 1 / 1

\ \ \т 1 к / 1 1 / / 7 1

\ \ \ \\ Л

-1 0 / / / 1 ! \ \ \ — \ \ \ \ V \ 1 / / / 1 / /

Рис. 1. Графическая интерпретация задачи М (из примера 1).

Таблица 4

Вариант #(4) при а = 1 и Ь = 0

Значение коэфф. штрафа т £1 £2 А1 А2

0.1 0.590.381707 0.38276.32.37 0.0.30.38.3906 0.711803.391

0.01 0.59002181.3 0.3518172.38 2.9.30221987*10 -3 0.697012081

0.001 0.589781721 0.31821678.3 2.917521171*10 "-1 0.695755291

0.0001 0.589757566 0.317851082 2.91623.36.32*10 -5 0.6956.31112

0.00001 0.589751818 0.317811155 2.916101.368*10 -6 0.695622106

0.000001 0.58975151.3 0.317810792 2.916091110*10 "-7 0.69562090.3

0.0000001 0.589751515 0.317810125 2.916090117*10 -8 0.69562078.3

Таблица 5

Вариант #(4) при а = 0и Ь = —1

Значение коэфф. штрафа т £1 £2 А1 А2

0.1 0.115087159 0.0.37662106 0.017790571 0.785205278

0.01 0.0.37.312698 1.029110057*10 -3 1.6922519-17*10"-3 0.770191011

0.001 0.0118622.37 1.059161908*10 -1 1.67.37.376 12* 10"-1 0.769.365117

0.0001 .3.756183220*10 -3 1.062681519*10 -5 1.66880117.3*10 -5 0.769100100

0.00001 1.188101667*10 -.3 1.06.3189120*10 -6 1.667.3.31671*10 -6 0.769151061

0.000001 X X X X

0.0000001 X X X X

Построение точного решения

Как показано выше, сглаженные зависимости х(т, и) и Л(т, и) обладают рядом свойств (таких, как существование во всем пространстве параметров, однозначность и гладкость), позволяющих эффективно их использовать в классических схемах решения параметрических задач. Однако их значения отклоняются от значений х*(и) и Л*(и), хотя и близки к

х*

Поэтому представляет практический интерес вопрос о том, как оценить при помощи х(т,и) и Л(т, и) значения зависимостей х* (и) ж Л*(и) для тех значений параметров и, при которых последние существуют.

Вполне очевидная возможность повышения точности сглаженных аппроксимаций х(т, и) и Л(т, и) за счет уменьшения значения т с практической точки зрения имеет ограниченную область применения, так как обусловленность системы уравнений (5) ухудшается по

го основное свойство штрафной функции. Поэтому для получения оценок значений х*

Предположим, что вектор {х*

и

имеют вид

дх __д Л

х(т + Ат, и) = х(т, и) + —Ат + о(Ат) и х(т + Ат, и) = Л(т, и) + —Ат + о(Ат) .

Если в этих соотношениях перейти к пределу при Ат ^ —т + 0 и учесть соотношения (7), то получаются следующие оценки для х*(и) и Л* (и) :

дх __д Л

х*

Значения производных ^ и могут быть найдены при помощи теоремы о неявных функциях [6], примененной к системе уравнений (5). Для их вычисления необходимо решить систему линейных уравнений

д2U Щ , т d2U дХг d2U

V д и -sj + ул д и олг = _ д и yf = и п] дт + =1 д^дХг дт = д^дт Vt =

дХгд^з дт + г=1 д\гд\г дт = д\гдт чг = [l,m]

Соотношения (8) позволяют построить итерационную процедуру (аналогичную предложенной в [7] процедуре «многошаговой экстраполяции») последовательного уточнения значений сглаженных оценок для зависимостей х(т, и) и Л(т, и), сходящуюся к значениям х*(и) и А*(и) там, где последние определены однозначно.

Уточнение сглаженного решения на первом шаге этой процедуры выполняется по очевидным формулам

дх __дЛ

х1(и) = х(т, и) — — т и Л1(и) = Л(т, и) — — т .

Геометрическая интерпретация процедуры линейной экстраполяции показана на рис.. 2а. Если коэффициент штрафа т достаточно мал, то в силу свойств тейлоровской аппроксимации отклонение {х\(и), А^-и)} от {х*(и), Л*(и)} будет меньше, чем отклонение {х(т,и), Л(т, и)} от {х* (и), Л* (и)}.

Рис. 2. Траектории сходимости метода экстраполяции {х(т,и), Л(т, и)} при т ^ 0 + 0

Если полученная точность оказывается неудовлетворительной, то возможно выполнение дополнительных шагов, аналогичных первому.

Предварительно, модифицируем функцию и(т,х, Л, и), не меняя ее основных свойств, так, чтобы точка {х\(и), Л1(и)} оказалась для нее стационарной. Уединим в функции и(т, х, Л, и) слагаемые, явно зависящие от т, и предположим, что этот параметр может иметь в выделенных слагаемых значения д^т и т, где дл{ ~ некоторые константы. Тогда модифицированная вспомогательная функция будет иметь вид

п т

и(T,X, Л,и) = Uo(x, Л,и) + п(9х1 т^з) — ^ К(9Лгг,Хг) ,

3=1 г=1

где и<з(х, Л, и) — сумма слагаемых в функции (6), не зависящих от т. Теперь подберем значения величин дх. и так, чтобы

gr&dxU (т,х1 (и), Л1(и),и) = о и Ега^ и (т,х1(и), Л1(и),и) = о.

Поскольку в силу условий (2) уравнения системы (5) линейны по т, то искомые значения д-х^ и дЛг будут равны

т

— &3 (и) + ^ (и)^1г

* =-Мд- у > = [1,п],

п

9Аг =-- V, = [!,ш].

В этом случае точка {х1(и), Л1(и)} оказывается принадлежащей другой траектории (рис. 2Ь), но также асимптотически приближающейся к {х*(и), Л*(и)} при т ^ 0 + 0. И в этой точке возможно повторение вычислений но формулам, аналогичным приведенным выше:

д Л.

&з(и) = (и) — Т1 Vз = [1,п] и Л2г(и) = Л1г(и)--^ Т1 Vг = [1,т].

Величина параметра ^соответствующая точке {х1(и), Л1(и)} на новой траектории, зависит от способа параметризации этой траектории и может выбираться достаточно произвольно, лишь бы сохранялась сходимость к {х*(и), Л*(и)} при т ^ 0 + 0. В данной статье

т\ полагается равным порядку модуля разности значений целевых функций задач Р и И в точке {х\(и), Л1 (и)}. Значения производных по параметру т находятся из системы (9), в которой функция и(т, х, Л, и) заменена на И(т, х, Л, и).

Описанная процедура может итеративно повторяться до получения приемлемой точности решения. Ее сходимость в достаточно малой окрестности {х*(и), Л*(и)} доказана в [7]. Следует отметить, что применение этой процедуры в многоуровневых параметрических методах оправдано лишь после получения оптимального решения в пространстве параметров, поскольку уточнять промежуточные оценки данного решения заведомо нецелесообразно.

Продемонстрируем применение итерационной процедуры уточнения приближенного решения, полученного для параметрической задачи из примера 2 в [2] .

Пример 2. Максимизировать в Е4 функцию Е = 2¿ц + 3£2

при условиях

1 _ 6 1 _ 6 6 ^ 0 , 6 ^ 0 и - 2 < 6 < 5 , - 2 < £4 < 5 ,

6 + (26 + £4 -1)26 < 6 , (6 - 2^4 +1)26 + 6 < 6 ,

13

решение которой имеет вид: =6 , =6 , = ^ , = 3 , Е* = 30.

В качестве начального приближения примем приведенное в таблице 5а [2] решение этой задачи при т = 0.01:

р = 0.200000000, д = 0.600000000, |1 = 6.007316932, |2 = 6.013170760, А1 = 1.970795734, А2 = 2.970765654.

В данном примере для модифицированной вспомогательной функции и(т, х, Л, и) равенства, используемые для определения значений имеют вид

/ -1\=0

' 2-\г - (р - 2д + 1)2\2 - (б - ^

3 - (2р + д - 1)2 А - Л2 - ^ (б - ^)=0

2

N2р, д^г (\___1

6 -6- (2р + д - 1)26 + - =М =0

6 - (р - 2д + 1)2^- 6 + ^¡Т ( Л2 - ^ ) =0

^2 - *)

а расширенная матрица системы (9) для и(т, х, Л, и) будет отличаться лишь столбцом правых частей:

*

- Ж)

-^

Результаты расчетов приведены в таблице 6. Степень погрешности определялась по величине модуля разности значений целевых функций прямой и двойственной задач. Величина этой погрешности также использовалась для оценки текущего значения коэффициента т.

Таблица 6

Результаты вычислений по методу линейной экстраполяции

ii ет Ж IF - Gl Т 9h 9Ь 9\i 9\2

6.007316932 6.13170760 1.970795734 2.970765654 0.40477 1е—02 1.00 1.00 1.00 1.00

6.000183847 6.000163106 2.000036654 3.000066837 0.00023 1е—04 -0.13 -0.23 2.45 1.22

5.999999994 5.999999995 1.999999999 2.999999998 6.2е-09 1е—09 0.41 0.66 -7.49 -3.41

6 6 2 3 0 0 - - - -

Литература

1. Умное Е.А., Ум,нов А.Е. Метод параметрической линеаризации, использующий штрафные функции со всюду обратимой производной для решения пар двойственных задач // Труды МФТИ. - 2011. - Т. 3, №1(9). - С. 146-152.

2. Ум,нов Е.А., Ум,нов А.Е. Исследование зависимости решения задачи математического программирования от параметров: препринт / М. : МФТИ. — 2013. — № 1.

3. Fiacco А. V., McCormick G.P. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. — N.Y.: John Wiley and Sons, 1968.

4. Карманов В.Г. Математическое программирование. — М. : Наука, 1975.

5. Ум,нов А.Е. Метод штрафных функций в задачах большой размерности// ЖВМ-МФ. - 1975. - Т. 15, №6. - С. 1399-1411.

6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. — М. : Высшая школа, 1981.

7. Ум,нов А.Е. Многошаговая линейная экстраполяция в методе штрафных функций // ЖВМ-МФ. - 1974. - Т. 14, №6.

Поступила в редакцию 29.10.2013.