Поляризационная томография внутренних напряжений в прозрачных осесимметричных структурах

УДК 620.171.5

Д.Д. Каров, А.Э. Пуро

ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ ТОМОГРАФИЯ ВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИИ В ПРОЗРАЧНЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СТРУКТУРАХ

В последнее время резко возрос интерес исследователей к реконструкции физических полей методами поляризационной тензорной томографии [1, 2]. Метод интегральной фотоупругости — одно из направлений экспериментальной механики, в котором впервые начали применяться томографические методы реконструкции векторных и тензорных полей в прозрачных материалах. Под эффектом фотоупругости понимается изменение тензора диэлектрической проницаемости (оптической анизотропии) среды под воздействием физических полей. Измерение параметров поляризованного света, прошедшего через изучаемый образец [3], составляет основу этого вида тензорной томографии. Уже прямая задача распространения поляризованного света через неоднородную анизотропную среду довольно сложна, поэтому в интегральной фотоупругости она решается в упрощенной постановке квазиизотропного приближения [4] без учета раздвоения и отклонения лучей [5]. Но даже в этом случае полная реконструкция тензорного поля напряжений путем просвечивания в системе параллельных плоскостей возможна только с привлечением дополнительной информации (уравнений равновесия, закона состояния среды) и в исключительных случаях — деформации (состояние плоской деформации, осесимметричное распределение напряжений).

Вследствие этого интенсивно исследуются такие случаи напряженного состояния, которые позволяют уже разработанными методами проводить полное определение компонент тензора напряжений. Несомненный интерес в этом случае представляет обобщение методов реконструкции остаточных напряжений, разработанных для световодов и заготовок для них, на образцы с плавным изменением напряжений вдоль осевой координаты (см. ссылки на эти исследования в статье [13]).

Цель настоящей работы — показать возможности такого обобщения.

Оптическая томография напряженной среды при слабом двулучепреломлении

Реконструкция напряжений в интегральной фотоупругости фактически разделяется на задачу оптической поляризационной томографии и обратную задачу упругости реконструкции напряжений по полученным томографическим данным. В условиях очень слабого двулучепре-ломления исходными данными являются значения лучевых интегралов А, Н::

СА = 5 cos(a0 + а») = 5 cos(2ф) =

= СI ~акшк)Л;

2СН = 5 sin(a0 + О.» ) = 5 sin(2ф) =

= 2С / (azk к № >

линейных относительно напряжений а--. Здесь

у

8 — разность хода; а0, а* — углы, отвечающие первичному и вторичному характеристическим направлениям соответственно; ф — параметр изоклины; С — фотоупругая постоянная; га = (cos 9,sin 0) — вектор, ортогональный направлению просвечивания и оси Z (см., например, работу [5]).

В случае очень слабого двулучепреломления полусумма углов для характеристических направлений равна параметру изоклины. Измеряя оптическую разность хода и значения характеристических углов на каждом из множества «лучей», получаем исходную информацию для реконструкции напряжений.

Трудность реконструкции напряжений заключается в том, что лучевой интеграл А является преобразованием Радона двумерного тензора второго ранга, а лучевой интеграл Н — преобразованием Радона двумерного вектора. Не вдаваясь в подробности общей теории обращения векторных и тензорных полей, воспользуемся уравнениями равновесия теории упругости для редукции тензорных интегралов к скалярным. В типичном случае определения

остаточных напряжений боковая поверхность модели не загружена и лучевые интегралы А, Н пропорциональны результирующим значениям напряжений, действующих в сечении ортогонально лучу. Так, в случае просвечивания вдоль оси Улучевые интегралы равны соответствующим значениям результирующих напряжений двумерной теории упругости:

= ^(х,г); \ъххйу = а0х(х,г); А(х, г) = 4 (х, г) ~°Хх (х, г);

Н (х, г) = < (х, г) = \ъхгйу.

Из условия равновесия следуют уравнения для лучевых интегралов, аналогичные уравнениям равновесия двумерной теории упругости:

— а0 + —а0 = 0; —а0 +—а0 = 0

дг гг дх хг ' дх хх дг хг

Как следствие вышеприведенных соотношений получаем уравнение для измеренных лучевых интегралов:

д2

дг дх

-А +

í д2

•22 \

дх1 дг1

Н = 0

логичность оптических картин просвечивания объемной и плоской моделей, во-вторых, возможность применения методов двумерной теории фотоупругости [7] для исследования свойств трехмерных моделей. Частным следствием этой аналогии являются соотношения (4), (5), сводящие задачу тензорной томографии к скалярной.

Остальные компоненты тензора напряжений в ряде случаев могут быть определены из соответствующей задачи термоупругости (обратная задача термоупругости оптической томографии [7]). Традиционная задача термоупругости подразумевает расчет напряжений в исследуемом образце по заданному в нем распределению температуры и граничным условиям на поверхности. Определение остаточных напряжений, обусловленных дисторсией, — это качественно более сложная проблема. Для композиций из стекла она несколько облегчается тем фактом, что в нем тензор остаточных деформаций является шаровым и может характеризоваться одним параметром Т — эффективной температурой остаточных деформаций [8, 9].

Для решения обратной задачи воспользуемся представлением разыскиваемых напряжений посредством потенциалов Ф, т, N [7, 10]:

и лучевые интегралы, позволяющие определить значение нормальной составляющей компоненты тензора напряжений агг и ее частной

производной —ст.. [6]; они имеют вид

дг

д

¡°гг.ЛУ = 4 = А-¡^°хг (х^ г)(1х1 =

О

= А--[ Н (х,, г )йхл;

дг

г д д 0 ^ 0 д

I—<5„йу = — СТО. =--<5х. =--Н

1 дг ^ дх дх хг дх

Таким образом, задача обращения тензорных лучевых интегралов свелась к обращению двух скалярных интегралов, позволяющих определить нормальную составляющую тензора напряжений ст.. и ее нормальную производную д

дг гг

Подчеркнем, что следствиями слабого дву-лучепреломления являются, во-первых, ана-

д2 5 „ д2

—- ф--т + 2-

ду2 дг дхду

Ж;

2

°ху =-

дх ду

-ф-

Л

32 ^

а уу =

= —т +

дх ду

д2 д . д2

ф--х-2-

2 дг дхду

К

дх

К;

д2 1Г д д2

-ст =—х--

дгду ду дгдх

дх

N.

Уравнения относительно потенциалов разделяются на две группы: на уравнение Лапласа

= 0,

описывающее деформацию нормального вращения (кручение вокруг оси I), и систему

Е. дг2

ДФ = —-Ф + Д,Ф = ст--т;

- .2 + * о.

+ дг гг

Д+Ф = а -

д »

--1 + Т

дг

связанную с квазиплоской деформацией. Здесь

,2 Л

,2

дх ду

— двумерный оператор Лапласа; у — коэффициент Пуассона; Т * — функция, учитывающая как температурное влияние на напряжения, так и остаточные деформации [7].

Отметим основные свойства используемого решения. Уравнение (9) в этой системе — уравнение равновесия, уравнения (7), (8), (10) — следствие уравнений совместности. Другим интересным свойством является справедливость уравнения при значениях коэффициента Пуассона V = 0,5 (для несжимаемого материала, когда модуль объемного сжатия обращается в бесконечность).

Нулевым значениям компонент напряжений в рассматриваемом представлении, помимо нулевых значений потенциалов, соответствуют значения

агг = 0, ^о(х, У),

ф = Фо! = Ф0 (х, у) + 0>! (х, у)г,

N = N01 = Nо(x, у) + ^(х, у)г,

причем пары т0, N и Ф01, 2Ы01 являются соответственно мнимыми и действительными частями двух аналитических функций:

д лт д

т0 =^гь ^ =1ГЧ

дх

ду

Ф01 ^^

ду

2N01 ; А+Л = А+Л1 = 0 .

дх

Поэтому без потери общности решения можно считать, например, что N = N = 0.

Исключая потенциал Ф из системы (8), (10), получаем уравнение, связывающее нормальное напряжение с температурой:

д »

а,,--т + Т

гг дг

= 0.

Таким образом, содержащееся в уравнении (10) выражение в квадратных скобках является гармонической функцией.

Заметим сразу, что для уравнения (8) можно указать частное решение

,

Ф^х, у, г) = Ф0

г0

приводящее уравнение к однородному. Здесь функция Ф0(х, у, г0) определяется из решения двумерного уравнения Пуассона

А+Ф0( х, у, ,0) = °гг (х, у, ,0),

при этом т(х, у,,) удовлетворяет уравнению (10).

Таким образом, значение потенциала Ф(х, у, г) можно представить в виде суммы частного решения Фх(х, у, г) и гармонической функции Ф+(х, у, г):

Ф

Задача относительно потенциалов, представленная уравнениями (7) — (10), дополняется граничными условиями на свободной поверхности п а у = 0 (п1 — компоненты вектора внешней нормали к поверхности).

При плоской деформации (отсутствие градиента напряжений вдоль оси Т) напряженное состояние описывается потенциалом Ф, совпадающим с функцией Эйри. Поэтому деформации, описываемые уравнениями (8) — (10), будем называть квазиплоскими. Из приведенных выше уравнений следует, что квазиплоская деформация непосредственно связана с температурой, в то время как деформация нормального вращения является следствием выполнения граничных условий.

Как было показано ранее, на основе томографических измерений определяется нормальная составляющая тензора напряжений и д

ее производная —о„ , а также потенциала

д,

т(х, у,,). Таким образом, обратная задача сводится к определению потенциалов из системы уравнений (7) — (10) и соответствующих граничных условий.

В заключение общей постановки задачи остановимся на вопросе однозначности ее решения, т. е. возможности существования температурных напряжений, при которых оба лучевых интеграла равны нулю, а следовательно

и кроме того,

=—агг = 0, я дг гг

х

зависит только от продольной координаты

Из уравнений (9), (11) следует необходимое условие существования таких напряженных состояний:

д3

Д Т =— т(г).

дг3

рг

аРР =

Зр

1 д

--+ -

рЗф дг

1 52 1

р др р2 5ф2

Ф-

Зг 3

--+ 2—

Зг ф

аРФ = "

Зр

д_ др

1А

Р Ф

1А р 5Ф.

1А р 5Ф.

1

N;

Ф-

22 Р гФ

>N.

В отсутствие нормального напряжения потенциалы Ф, N — гармонические функции и могут быть представлены в виде суперпозиции двух типов решений уравнения Лапласа:

гкш = еХР(±РкгУт (РкР)[Ат СМ^ + + Вт яп(тф)];

^т = [Ск со^а^ +

+Бк ¡ол^г)]1т («кр) [Ат С08(тф) +

+ Вт яп(тч>)],

Ранее это соотношение было получено в качестве необходимого условия существования плоского напряженного состояния в образце (= = = 0) [11] и отличается от

*

более строгого условия АТ = 0, представленного в монографии [12]. Отметим также, что условие (15) является необходимым, но не достаточным. Распределение напряжений зависит также и от граничных условий. Рассмотрим этот вопрос на практически важном примере длинного кругового цилиндра.

Однозначность определения температурных напряжений в круговом цилиндре

Рассмотрим температурные напряжения в круговом цилиндре единичного радиуса при условии, что равно нулю, а потенциал т(г) зависит только от продольной координаты Компоненты тензора напряжений будем разыскивать в цилиндрической системе координат р, ф, г . На боковой поверхности цилиндра следующие компоненты тензора напряжений равны нулю:

где Jm (Рк) - функция Бесселя; 1т (ак) - модифицированная функция Бесселя.

Значения постоянных ак, рк в этих выражениях определяются из граничных условий. Первый тип решений, 2кт, описывает напряжения, сосредоточенные у торцов цилиндра, второй, Укт, — напряжения, распределенные по его длине. При т > 0 фактически имеем три уравнения относительно коэффициентов двух функций: Ф и N.

Исследуем возможность существования этих двух видов решения. Из граничного условия (16) следует, что относительно нормального вращения возможно только решение, со-

средоточенное у торцов N

кт

= ^

кт

коэффициент рк равен корню уравнения Jm(Рк) = 0. Относительно коэффициентов функции Фкт = Скт1кт имеем систему двух уравнений (17), (18), которая совместна только при т = 1. Найденное решение экспоненциально затухает при удалении от концов цилиндра и носит краевой характер (изгибы концов цилиндра). Для распределенного вдоль цилиндра решения Фкт = Nт = 0 имеем Те же Два граничных условия, которые сводятся к условиям относительно корней модифицированной функции Бесселя при т > 0:

рр

(1) =

= ~т

1А р др

д_ др

т

7 1

1т («к) = 0;

1т («к ) = 0 .

Система уравнений (20) при т > 1 не имеет решения. При т = 1 уравнения (19) совпадают и ак являются корнями уравнения /2(ак) = 0 , которое имеет только нулевое решение. При т = 0 решение Ф не зависит от угловой коор-

2

2

динаты и фактически имеется одно краевое условие:

°рр (1,,) =

1А

Р др.

уГехрС+Рк? У0<Рк )Ак к \[Ск С08

дх{,)

д,

- = 0.

Уравнение (21) определяет два типа решений:

носящее краевой характер и связанное с нулями функции /1 (Рк);

имеющее объемный характер и обусловленное распределением температуры вида

т'( Р,,) = Х[(Гкс/0(«к р) +

к

+хк )с0^к,)+(т£10 («к Р)+< ,

где а, = 2лк/к (к — высота цилиндра);

=±

(1 т („ )г, —— 11(«к )тк

а

к )1к .

к

К (р, ф,,) = X [(Ктп (р)^(тф) ) +

т,п

+ КтПп (р) sin(mф)cos(anг) + + КтПп (р) ^(тф^т^,) +

+КтИп

Таким образом, обратная задача термоупругости для кругового цилиндра в зависимости от углового распределения температуры может иметь бесконечное множество решений (т = 0), единственное (т > 1) или асимптотически единственное решение (т = 1) для срединной части цилиндра. Полученные результаты без труда обобщаются на тела более сложных форм.

Решение обратной задачи термоупругости оптической томографии

При решении обратной задачи можно выделить интегральный и локальный подходы: в первом случае значения (р, ф,,), т(р, ф,,) известны на достаточно большом интервале значений высоты цилиндра, во втором эти данные получены в узком интервале значений г.

Первоначально рассмотрим возможный алгоритм реконструкции всех компонент тензора напряжений в длинном круговом цилиндре при интегральной постановке задачи.

Исходные данные и разыскиваемые величины представим в виде разложения в ряд Фурье по высоте и по угловой переменной:

Под К здесь подразумеваются значения компонент напряжений и потенциалов, ап = 2ш / к, т > 0, п > 0. Значения коэффициентов Фурье потенциала (р) определяются из решения уравнения (9) с точностью до слагаемого ттпрт. Значения коэффициентов потенциала Ф^тп (р) определяются из двумерного уравнения Пуассона (10) с точностью до произвольной гармонической функции Ф'тпп1т (апр).

Значение гармонического потенциала N разыскиваем в виде такого же разложения

Н'ит Кр), а значения ПОСТОЯННЫХ т1п , фУтп , определяем из трех граничных условий (16) — (18). Можно показать, что определитель системы отличен от нуля и система имеет единственное решение. Напомним, что при т = 1 возможны температурные напряжения, сосредоточенные у поверхности торца цилиндра и не изменяющие компонент (р, ф,,).

Средние значения напряжений (п = 0) определяются из задачи плоской деформации цилиндра (= = т = N = 0). Значение потенциала Ф(х, у) определяется из уравнения (10):

А+Ф = а„ +¥(х,у).

Здесь Т(х,у), согласно уравнению (11), — гармоническая функция двух переменных. Наличие этой произвольной функции позволяет удовлетворить всем граничным условиям.

Отметим, что при линейном изменении температуры вдоль цилиндра

Т(х, у, г) = Т)(х, у) + Т(х, у) все напряжения, за исключением (х, у), линейно зависят от г, и решение задачи аналогично случаю плоской деформации [20].

При плавном изменении напряжений вдоль осевой координаты цилиндра решение можно разыскивать методом возмущений, и учет второй производной по г соответствует тому, что дг/д, ^ 0. В этом приближении граничные ус-

ловия полностью удовлетворяются при N = 0, а значение Ф(х, у) определяется из уравнения (24).

Заметим, что с учетом выражений (6) для компонент напряжений уравнение (24) можно представить в виде так называемого «закона суммы»:

5г

+ CTyy = CTzz - 2— У).

dz

В случае плоской деформации соотношение (25) является точным и при осесимметричных условиях (т = 0) позволяет полностью определить все компоненты напряжения. В случае изменения температуры вдоль круглого цилиндра осесимметричная задача не имеет единственного решения и поэтому задача реконструкции тангенциальных напряжений не имеет решения.

Таким образом, поляризационная тензорная томография внутренних напряжений в методе интегральной фотоупругости бази-

руется на измерении двух лучевых интегралов (1). Показано, что эти интегралы не являются полностью независимыми, а связаны уравнением в частных производных (3). На основе этих уравнений проводится более простой вывод редукции тензорных интегралов к скалярным, что в сочетании с уравнениями равновесия и совместности деформаций позволяет полностью проанализировать задачу определения остаточных напряжений.

Обратная задача термоупругости может иметь единственное решение, не иметь решения или иметь асимптотически точное решение в зависимости от формы тела и вида распределения в нем температуры. Для кругового цилиндра представлен алгоритм нахождения точного решения при интегральной постановке задачи и приближенного — при локальной.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ с использованием оборудования ЦКП «Гетероструктурная СВЧ-электроника и физика широкозонных полупроводников».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wijerathne, M.L.L. Tensor field tomography based on 3D photoelasticity [Text] / M.L.L. Wijerathne, K. Oguni, M. Hori// Mech. Materials. - 2002. -Vol. 34. -P. 533-545.

2. Defrse, M. 3D reconstruction of tensors and vectors [Электронный ресурс]/ M. Defrse, G.T. Gullberg // Lawrence Berkeley National Laboratory. -http://re-postoies.cdlib.org/lbnl/LBNL-54936. 2005. - P. 1-23.

3. Aben, H. Optical tomography of stress tensor field [Text] / H. Aben, S. Idnurm, J. Josepson, K.-J. Kell, A. Puro // Analytical methods for optical tomography; G. Levin, ed.; Proc. SPIE. -1991. - № 1843. - P. 220-229.

4. Кравцов, Ю.А. Волны в слабо анизотропных трехмерно-неоднородных средах: квазиизотропное приближение геометрической оптики [Текст] / Ю.А. Кравцов, О.Н. Найда, А.А. Фуки // УФН. -1996. - Т. 166. - № 2. - С. 141-167.

5. Келл, К-Ю.Э. Приближение очень слабой оптической анизотропии в теории интегральной фотоупругости [Текст] / К-Ю.Э. Келл, А.Э. Пуро // Оптика и спектроскопия. - 1991. - Т. 70. - № 2. - С. 390-393.

6. Пуро, А.Э. Томография при слабой оптической анизотропии [Текст] / А.Э. Пуро // Тез. докл. 4-го Всесоюз. симпоз. по выч. томографии, Ташкент,

1989. — Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1989. - Т.1. - С. 36-37.

7. Пуро, А.Э. К обратной задаче термоупругости оптической томографии [Текст] /А.Э. Пуро // Прикладная математика и механика. — 1993. — Т. 57. — № 1. - С. 123-127.

8. Puro, A. Complete determination of stress in fiber performs of arbitrary cross-section [Text] /A. Puro, K -J. Kell // J. of Light Wave Technology. -1992. - Vol. 10. - № 8. - P. 1-5.

9. Pagnotta, L. Measurement of residual internal stresses in optical fiber performs [Text] / L. Pagnotta, A. Poggialini // Exp. Mech. - 2003. - Vol. 43.-№ 1. -P. 69-76.

10. Пуро, А. Параметрическая томография внутренних напряжений [Текст] / А.Э. Пуро // Оптика и спектроскопия. - 2001. - Т. 90. - № 4. - С. 664-674.

11. Боли, Б. Теория температурных напряжений [Текст] / Б. Боли, Д. Уэйнер. - М.: Мир, 1964. - 517 с.

12. Лурье, А .И. Теория упругости [Текст] / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970. - 940 с.

13. Пуро, А.Э. Тензорная томография остаточных напряжений [Текст] /А.Э. Пуро, Д. Д. Каров // Оптика и спектроскопия. - 2007. - Т. 103. - № 4. - С. 698-703.