Контактно-стержневая модель пластического деформирования порошковых материалов

В.П. Радченко, П.И. Краснощеков, А. Ф. Федотов

КОНТАКТНО-СТЕРЖНЕВАЯ МОДЕЛЬ ПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОРОШКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ

Предложена структурная модель, учитывающая контактную природу пластического деформирования порошкового тела. Модель представляет собой хаотично ориентированную контактностержневую систему, которая испытывает однородную деформацию растяжения-сжатия. Контактно-стержневая модель удовлетворяет граничным условиям для состояния насыпной плотности и показывает хорошее соответствие с экспериментальными данными по изостатическому прессованию металлических порошков.

Континуальные теории пластического деформирования пористых и порошковых материалов строятся на результатах структурного моделирования. Макроскопические характеристики квазиоднородных несплошных тел получаются в результате осреднения локальных характеристик материала по принятому представительному объему. Поэтому способ осреднения в итоге определяет адекватность континуальных моделей механического поведения пористых и порошковых тел.

При конструировании механических моделей несплошных тел мощность диссипируемой энергии связывают только с пластической деформацией вещества (постулат В.В. Скорохода об однозначности диссипативной функции). Статистическое осреднение локальных напряжений и деформаций проводят по всему объему твердой фазы [1]. Объем, по которому выполнено осреднение силовых или кинематических параметров, находится в однородном напряженно-деформированном состоянии (НДС). Поэтому осреднение по всему объему вещества несплошного тела означает, что независимо от вида макроскопической деформации все вещество испытывает однородную деформацию растяжения-сжатия или сдвига [1, 2]. В рамках этой модели

диссипативные функции несплошного тела О и его вещества с однородным НДС будут

связаны зависимостью

О = рОо,

где р - объемная доля твердой фазы или относительная плотность. Из (1) следует эллиптическое условие пластичности для сжимаемых пористых тел с идеально-пластической твердой фазой [3]:

о2/2у + Г2/ф = рт2,

где о - среднее напряжение; Г - интенсивность касательных напряжений сдвига; х0 - предел текучести на сдвиг вещества твердой фазы; у, ф - функции относительной плотности р, равные: у = 2р3/3(1-р), ф = р2. В (2) интенсивность касательных напряжений сдвига Г определяется через компоненты девиатора напряжений соотношением Т = и отличается от используемой в [3] интенсивности касательных напряжений т = . Это приводит к появле-

нию множителя 2 перед функцией у. При допущении об однородности полей деформаций или напряжений во всем объеме твердой фазе условие пластичности, аналогичное условию (2), получается как в рамках стохастических моделей [4-7], так и при обобщении гипотезы Бельтрами на пористые тела [8, 9].

Условие пластичности (2) часто применяют для порошков при схемах деформирования в замкнутых объемах с преобладанием сжимающих нагрузок [9, 10]. В отличие от пористых тел пластическая деформация порошков в состоянии насыпной плотности, когда р = р0, начинается при произвольно малых нагрузках. Вместе с тем из (2) следует, что для состояния насыпной

плотности сопротивление порошка чистому сдвигу Г отлично от нуля: Г = Т0Л/р0ф . Следовательно, структурная модель с осреднением локальных напряжений и скоростей деформаций по всему объему вещества не удовлетворяет граничным условиям для начального (насыпного) состояния порошкового тела.

В ряде работ [11, 12] отсутствие сопротивления деформации порошков при насыпной плотности учитывается через функции пористости y, j. В этом случае проводят нормировку функций у и j: вместо относительной плотности р используется параметр вида

1 -Р о

который принимает нулевое значение при р = р0. При этом нормируется либо один [11], либо все аргументы р [12], входящие в функции у и j. Такой подход носит формальноматематический характер и не имеет физического обоснования. В настоящей работе предлага-

ется вариант структурной модели, учитывающий контактную природу пластического деформирования порошковых тел.

Пусть порошковое тело нагружено однородным полем макронапряжений Оу, скольжения частиц нет и уплотнение происходит за счет пластической деформации частиц. Выделим элементарную ячейку объемом V, в которую вписана деформированная частица порошка объемом V0. Мощность диссипации порошкового тела в ячейке при однородном поле макронапряжений будет равна:

D V = jo'Je'JdV,

Vo

ТЛ / / W

где D - удельная мощность диссипации порошкового тела; o j , eij - тензоры действительного неоднородного поля микроскопических напряжений и скоростей пластических деформаций в веществе ячейки. Вместо неоднородного поля напряжений oj и скоростей деформаций ej

введем эквивалентное ему однородное поле напряжений о° и скоростей деформаций e°. Пусть

новое поле силовых и кинематических параметров занимает в веществе ячейки объем Va, причем Va < V0. Условие эквивалентного перехода сформулируем в виде равенства мощности диссипации действительных неоднородных и эквивалентных им однородных полей напряжений и скоростей деформаций:

\o°,e°dV=jo;,e'dV.

Va Vo

Подынтегральное произведение в левой части (5) представляет собой диссипативную функцию пластического вещества D0 с однородным НДС. С учетом (5) тождественное равенство диссипативных функций ячейки порошкового тела D и вещества ячейки D0 запишется в виде

D = aD0,

где а = Va / V - объемная доля вещества ячейки с однородными полями напряжений и скоростей пластических деформаций.

Рассмотрим основное энергетическое уравнение для материального элемента объемом Va и поверхностью Sa:

Jo°-e°-dV =Jp°v°dSa ,

Va Sa

где p° - поверхностные напряжения; v° - скорости перемещения. Из (7) следует, что объем Va

будет ограничен контактными площадками, на которых р°ф 0. Для уточнения формы контактных объемов сечением А, параллельным контактной площадке и удаленным от нее на расстояние z = h, выделим элемент частицы (рис. 1). Напряжения р° на контактной площадке площадью Sk и нормалью n представим в виде суммы векторов нормальных о°п и касательных х°п напряжений, приложенных в центре тяжести площадки. Внутри сечения А находится область

площадью SAa с однородным НДС, которое характеризуется векторами нормальных о°а и ка-

сательных t°a напряжений. Векторы О Па и t°na приложены в центре тяжести площадки SAa. Для однородного НДС должны выполняться следующие условия:

ОП = ОПа = c0nst , < = С = c0nst.

Выясним, какой вид деформации частицы отвечает условиям однородности. С сечением А свяжем систему декартовых координат, направив ось 7 вдоль вектора а0, а ось у - параллельно вектору т°. Из уравнения равновесия элемента

Xтх = ^ х°«кк -|оиа= о

«а

следует, что касательные напряжения на контактной площадке х°„ вызывают изгиб и неоднородное распределение нормальных напряжений опа по области «Аа. Кроме того, напряжения изгиба опа возрастают пропорционально расстоянию к. Поэтому при однородном НДС контактные площадки должны быть свободны от касательных напряжений и элемент частицы испытывает центральное одноосное сжатие.

Р и с. 1. Схема деформирования частицы порошка

Р и с. 2. Схема одноосного сжатия частицы порошка

Для определения формы площадки ЯАа с контактной площадкой Я свяжем систему декартовых координат, направив ось 7 параллельно вектору а°„. Начало координат поместим в произвольную точку границы контактной площадки (рис. 2). Положение центров тяжести площадок в принятой системе координат определяют радиус-векторы гск и гса. Векторы г0к и г0а, равные и противоположные векторам гск и гса, в системе координат, связанной с центром тяжести, характеризуют форму площадок. Поэтому координаты центров тяжести, взятые с противоположным знаком, будут однозначно соответствовать координатам точек границ площадок. Координаты центра тяжести Са(хса, уса, Н) площадки БАа и центра тяжести Ск(хск, уск, 0) площадки Я определим из следующих уравнений равновесия:

X рь = 0; X тх = °;

X ту = °;

О°пЯк -ОПа^Аа= °;

О п Я к Уск — О па ЯАа Уса. = 0 ;

ОпЯкХск ОнаЯАаХса 0 .

Учитывая, что О па = Он

получим, центры тяжести площадок, имеющие одинаковые координаты х, у:

Хса = хск, Уса = Уск

и находящиеся на общей нормали к площадкам. Аналогичным образом будут расположены любые две точки границ площадок « и БАа и, следовательно, эти площадки имеют одинаковую форму. Поэтому вещество ячейки с однородным НДС будет находиться внутри прямого цилиндра с контактной площадкой в основании.

Таким образом, в связи с локальным нагружением частицы через контактную площадку единичный объем осреднения кинематических и силовых параметров представляет собой прямой цилиндр с контактной площадкой в основании. Суммарный объем осреднения ¥а будет состоять из совокупности цилиндров, построенных на всех контактных площадках частицы и имеющих общее ядро, образованное пересечением образующих цилиндров. В целом пластически деформируемое порошковое тело представляет собой хаотично ориентированную контакт-

но-стержневую систему, которая состоит из цилиндров, контактирующих своими основаниями, и испытывает однородную деформацию растяжения-сжатия.

При установлении количественной связи между диссипативными функциями порошкового тела D и вещества ячейки Da не требуется выполнять прямое вычисление объема Va. Для этого достаточно знать долю контактного объема а. Вероятностный анализ структурных характеристик порошковых материалов выполнен в [13, 14]. Согласно [13] доля контактного объема а для текущей относительной плотности р составляет:

2

а = р2

Ґ ль

р —р0

1 — р 0

Зависимость а(р), полученная в работе [14], имеет следующий вид:

Ґ - \Ь ^

2

а = р

1—

1п р

1п Ро

Здесь Ь - эмпирическая константа, которая для моносферических порошков равна Ь = 1. Уравнение, аналогичное уравнению (14) при Ь = 1, получено в [15] из модели уплотнения за счет роста радиусов сферических частиц вокруг фиксированных центров с дальнейшим перекрытием сфер и образованием шеек контакта. В состоянии насыпной плотности (Р = Ро) объемная доля пластически деформируемого вещества а и диссипативная функция D порошкового тела равны нулю. Тем самым обеспечивается выполнение граничных условий для насыпного состояния порошка.

Для решения краевых задач пластического деформирования порошковых тел необходимо знать определяющие соотношения между макроскопическими напряжениями о, и скоростями

деформации eij. Зависимость о у (е,) следует из определения диссипативной функции:

дО деу

С учетом (6) уравнение (16) запишется следующим образом:

дОр де,

О у- = —.

оу. =а^.

У

Чтобы воспользоваться соотношением (17), необходимо установить функциональную зависимость между диссипативной функцией вещества О0 и макроскопическими скоростями деформации порошкового тела е,, с различной реологией твердой фазы. Диссипативная функция

О0 выражается через интенсивность скоростей деформации сдвига несжимаемого вещества Ж и его реологические константы [15, 16]:

1 2

линейно-вязкое тело: О0 = 2Ц0Ж ;

идеально-пластическое тело: О0 = т 0Ж;

нелинейно-вязкое тело: О0 =—— АЖп+1.

п +1

В итоге задача сводится к определению зависимости интенсивности микроскопической скорости деформации сдвига Ж от макроскопических скоростей деформации е,. Для определения

искомой связи Ж( е,) воспользуемся теорией вязкого и пластического течения пористых тел,

изложенной в работах [3, 16, 17]. В основу теории положена следующая гипотеза: зависимость осредненной интенсивности скоростей деформации сдвига твердой фазы Ж от макроскопических скоростей деформаций е, инвариантна относительно реологических свойств твердой фазы. На основании этой гипотезы находится зависимость Ж( е,) для линейно-вязкого тела, а затем выполняется обобщение на тела другой реологии.

Для линейно-вязкого сжимаемого материала диссипативная функция имеет вид

D = 2

где е - макроскопическая скорость объемной деформации; Н - интенсивность макроскопических скоростей деформации сдвига; ^ - коэффициенты объемной и сдвиговой вязкости. Ко-

эффициенты вязкости £ и ^ пористого тела выражаются через коэффициент сдвиговой вязкости вещества % и функции пористости:

£ = 2УЛо, Л = ФЛс.

После подстановки в соотношение

для линейно-вязкого порошкового тела:

1

л/а

2уе2 +фЯ2

Определяющие уравнения порошковых тел с различной реологией твердой фазы получим из (17) с учетом зависимостей (18) - (21) и (23):

1

линейно-вязкое тело:

идеально-пластическое тело:

о и = 2%о

У--Ф Ии + Фе

о и =

2т0^а

2уе2 + фЯ2

У-зФ И и +Фе

нелинейно-вязкое тело:

о и = 2 А

а

2уе2 +фЯ2

У-1Ф Ии +Фе;

Из определяющих соотношений (25) несложно получить условие пластичности порошкового тела с идеально-пластической твердой фазой:

о2/2у + Г2/ф = ах2.

Следует отметить, что в определяющие уравнения для линейно-вязкого порошкового тела не входит параметр а, который характеризует количество вещества, диссипирующего механическую энергию. Определяющие уравнения (24) идентичны уравнениям, полученным в [3, 17] при осреднении по всему объему твердой фазы, количественной мерой которого служит относительная плотность р. Таким образом, линейно-вязкое сжимаемое тело оказалось инвариантно к способу осреднению локальных напряжений и скоростей деформаций по объему вещества. Этот результат следует связать с квадратичной формой диссипативной функции линейновязкого тела. Для идеально-пластического и нелинейно-вязкого порошка, находящегося в состоянии насыпной плотности, когда а = 0, деформирующие напряжения равны нулю. Так как для порошкового тела диссипация имеет место при а > 0, то уравнение (24) можно применять только при плотности, большей, чем насыпная плотность р0.

В качестве экспериментальной проверки предложенной структурной модели пластически деформируемого порошкового тела рассмотрим процесс изостатического прессования металлических порошков. На рис. 3 приведены опытные данные по уплотнению при изостати-ческом прессовании сферических порошков свинца и олова, взятые из работы [18]. На этом же рисунке представлены зависимости между относительной плотностью р порошка и относительным давлением р/2х0, рассчитанные по условиям пластичности (2) и (25).

Для расчета объемной доли пластически деформируемого вещества а в (25) использовалась зависимость (14). Насыпная плотность р0 принималась равной р0 = 0,5 (получено экстраполяцией опытных данных для олова) и значение показателя степени Ь = 1. Из рис. 3 видно, что наилучшее соответствие расчетных и экспериментальных данных во всем диапазоне изменения плотности показывает контактностержневая модель и связанное с ней условие пластичности (27). Расхождение расчетных и экспериментальных данных для порошка свинца следует связать с более низкой, чем р0 = 0,5, 106

Р и с. 3. Зависимость относительного давления изостатического прессования от относительной плотности порошков:

1 - расчет по (2); 2 - расчет по (27); эксперимент: • - олово; о - свинец

1-п

насыпной плотностью этого материала. Величина давления при уплотнении порошкового тела пропорциональна объемной доле пластически деформируемого вещества. Структурные модели, из которых следуют уравнения (2) и (27), не учитывают локализацию пластического течения при контактном взаимодействии частиц и предполагают пластическое деформирование всего объема вещества. Поэтому расчет по уравнениям (2) и (27) показывает более высокие значения относительного давления по сравнению с экспериментом. Соответственно осреднение микроскопических параметров по всему объему твердой фазы дает верхнюю оценку, а осреднение в пределах контактных объемов частиц - нижнюю оценку макроскопических свойств порошкового материала.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Скороход В.В. Реологические основы теории спекания. К.: Наукова думка, 1972. 152 с.

2. КовальченкоМ.С. Теоретические основы горячей обработки пористых материалов давлением. К.: Наукова думка, 1980. 240 с.

3. Скороход В.В., ШтернМ.Б., МартыноваИ.Ф. Теория нелинейно-вязкого и пластического поведения пористых материалов // Порошковая металлургия. 1987. № 8. С. 23-30.

4. Смыслов А.Ю. К теории пластичности пористых сред // Изв. вузов. Машиностроение. 1980. № 4. С. 107-110.

5. Механика композитных материалов и элементов конструкций. Т. 1. Механика материалов. К.: Наукова думка,

1982. 368 с.

6. Сараев Л.А. Моделирование макроскопических пластических свойств многокомпонентных композиционных материалов. Самара: Самар. гос. ун-т, 2000. 183 с.

7. Буряченко В.А., Липанов А.М., Кожевникова Ю.Г. Уравнения вязкопластического деформирования упрочняющихся пористых сред. // Формирование и свойства высокодисперсных систем. Межвуз. сб. науч. трудов. Л.: ЛТИ им. Ленсовета, 1989. С. 140-149.

8. Скороход В.В., Тучинский Л.И. Условие пластичности пористых тел // Порошковая металлургия. 1978. № 11.

С. 83-87.

9. ГригорьевА.К., РудскойА.И. Деформация и уплотнение порошковых материалов. М.: Металлургия, 1992. 192 с.

10. Власов А.В. Моделирование процессов прессования порошков в капсулах с учетом проскальзывания на границах сред // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. 1998. № 3. С. 87-92.

11. Каташинский В.Л., Штерн М.Б. Напряженно-деформированное состояние прокатываемого порошка в зоне уплотнения // Порошковая металлургия. 1983. № 11. С. 17-21.

12. Гун Г.Я., Стебунов С.А., Ганелин Д.Ю., Фролов А.А. Моделирование на ЭВМ и исследование процесса прокатки пористых материалов // Порошковая металлургия. 1983. № 11. С. 21-26.

13. Бальшин М.Ю. Научные основы порошковой металлургии и металлургии волокна. М.: Металлургия, 1972. 336 с.

14. Жданович Г.Н. Теория прессования металлических порошков. М.: Металлургия, 1969. 262 с.

15. Стоев П.И., Папиров И.И., Тихинский Г.Ф., Васильев А.А. Диаграммы изостатического прессования бериллия // Физика металлов и металловедение. 1994. Т. 78. Вып. 1. С. 9-19.

16. Штерн М.Б. Эквивалентные деформации и напряжения порошковых материалов. II. Связь эквивалентной деформации пористых тел с макроскопическими деформациями // Порошковая металлургия. 1987. № 2. С. 13-18.

17. Скороход В.В., Олевский Е.А., Штерн М.Б. Континуальная теория спекания. I. Феноменологическая модель. Анализ влияния внешних силовых воздействий на кинетику спекания. // Порошковая металлургия. 1993. № 1. С. 22-27.

18. Лаптев А.М., Подлесный С.В. Расчет силовых характеристик процесса уплотнения сферических порошков // Порошковая металлургия. 1985. № 12. С. 11-17.

Поступила 14.01.2004 г.