Динамическая неравновесная модель обмена потребительными стоимостями

М. И. Журавлёва, П. А. Лапина

ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕРАВНОВЕСНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА ПОТРЕБИТЕЛЬНЫМИ СТОИМОСТЯМИ

Аннотация

Актуальность работы, а также ее новизна в том, что неравновесные экономические модели, особенно в состоянии бифуркации, мало исследовались до конечного результата, а именно, до построения спектра фазовых портретов поведения экономических систем. Объектом исследования в данной работе является экономическая модель обмена.

Ключевые слова

Самоорганизация, бифуркация, фазовый портрет, диссипативность, динамический хаос, флуктуация, фокус, узел, положениеравновесия.

M. I. Zhuravliova, P. A. Lapina

DYNAMICAL NON EQUILIBRIUM MODEL OF EXCHANGE

OF USE VALUE

Annotation

The relevance of this paper and it's novelty is that non equilibrium economical models, bifurcation case especially, were not enough investigated in the sense of creating spectrum of phase-plane portrait of economical systems behavior. This paper covers an investigation of economical exchange model.

Keywords

Selforganization, bifurcation, phase-plane portrait, dissipation, dynamic chaos, fluctuation, focus, node, equilibrium.

В процессе самоорганизации большинство «реальных систем» проявляют сложные свойства и являются нелинейными,

неравновесными, открытыми,

диссипативными, сложноорганизованными. Экономические системы не являются исключением. Отметим также, что с научной точки зрения как в экономике, так и вдругих областях знаний важной проблемой являетсясоставление

прогноза поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе известной информации о начальном состоянии объекта.

Теория хаоса моделирует зависимость сложных систем от первоначальных условий. Небольшие изменения в окружающей среде могут приводить к непредсказуемым последствиям. При переходе через бифуркационные границы может меняться характер устойчивости особой точки. Например, устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус.

Рассмотрим систему обмена двумя различными товарами х и у двух разных производителей [2]. Первому производителю, который производит товар х , требуется товар у , и

наоборот, второму, который производит товар у, требуется товар х .

Математическая модель обмена может быть записана в виде:

йх

-т = 3\- 72хУ-7эх аХ

йу

Ж

и

= 74 " 75хУ"7бУ

количества

где х(:) и — это

имеющихся товаров у производителей в момент времени /. Выпуски в единицу времени товаров первого и второго типов соответственно обозначены 7 и

к-

Члены — 72ху и - ]5ху описывают обмен товаров, к и у5 — положительные эффективности обмена. Таким образом, слагаемое ~ ]гхУ показывает, сколько товара вида х убывает с рынка в результате его обмена на товар у в единицу времени.

Для - ]ъху все аналогично.

кху к

Величина

с =

75 хУ 75

называется меновой стоимостью обмена (продажи), которая показывает, что

единица товара вида у обменивается на С единиц товара вида х .

— Уз л; и — Уб У описывают убыль соответствующих товаров в результате «физического износа и морального старения» [3]. Долговечности этих товаров определяются следующим образом:

^ X ~ . ' ^ у ~ . •

7з 7 б

Применяем метод Ляпунова. Сначала определяем положения равновесия системы (1):

Л х-Л хУ~ 7 з х = 0 ]4~ 75 хУ _ 7б У = 0 .

Из первого уравнения выражаем: *= Л .

}гУ + }г

тогда второе уравнение принимает вид: к

74 -7з

кУ + 7'

— У~кУ = °.

з

ккУ + ./>./'I --./':./'.,»• -УбУзУ = 0»

У:У„Г - (./':./'I - УбУз - ЛУз- УзУ4 = 0 • Значит,

У =

7274 7б7з 7175— \\J2J4 7б7з -./к/'.О +472./' 3 7 4 7 б

27 2 7 б

Итак, система имеет два положения равновесия с координатами:

Уб7!

-

72Л + 76Уз - 7175 + л/ <2./4 - УбУз - У1У5 3 + ^кккк

У1 =

У2У4 УбУз У1У5 + V ^гУ4 УбУз У1У5 ^ + 4у2у3у4у6

27*27б

и

х2 —

2УбУ\

У 2

УгУ4+УбУз У1У5 УбУз У1У5 + ^УгУзУдУб

У 2У 4 _ У бУ 3 _ У\] 5 _ V ^ 2У 4 _ У 6У 3~ ]\] 5 ^ 4у 2У 3У 4 У 6

2У2Уб

Оценим значения полученных координат положений равновесия:

> 0 > 0. Поскольку

Л -,то^;>о у/Л >0.

У2^1 + Уз

<0 У/'д.>0.

А к

* А * J 5 * А

> " 5 если > — 9 и ^ з если

* / * /Л * /Л

< — Но у 2 < 0, значит, Х2 < 0.

У2

Итак,

**>о, у*' >о V/, >о,

¿;<о, >4<о у/А>о.

Линеаризуем систему в окрестности положений равновесия dx

Ж

dy

= {-У2У * -У 3)

— =

Матрица коэффициентов линеаризованной системы имеет вид:

Л =

(У2 У *+У 3) У 5 У *

У 2 х

* Л

-Озх *+Уб).

тогда

СГ = /Г (А) = -;2у * -Уз - /5х * -у6

А = с1е«А) = 42у* +у3* +у6 >у2х*у,г* = у()./:г* +./,./,-V* +у3у6

Корни характеристического уравнения принимают вид:

^ = кУ*+з з+У5-у*+Уб +

2

+

* +Уз + ./'.<** +Уб > 4<&„./..»• * +У5Узл:* +УзУб

4

Характер устойчивости и тип особой точки исследовать будем численно при определенных значениях параметров модели. Рассмотрим модель обмена (1). На рисунке 1 представлена вышеуказанная модель обмена, построенная в приложении Simulink.

Коэффициенты модели выбраны следующим образом: у1 = 15, у2 = 1,

Уз =3, у4 =20, у5 =3, у6 =1.

При указанных выше параметрах модели определим координаты

положений равновесия согласно (2) и

(3):

30

—

__ 30 _зо_3

20+ 3-45 + ^(20-3-45)2 +240 -22 + 32 10 '

„ _ 20-3-45 + д/(20-3-45)2 +240 _ -28 + 32 _ 4 _

Ух ~ 2 ~ 2 ~2~ '

30

х2 —

У з ='

-22-32 28-32

2

30

^54 -60

__5 = -30.

Рисунок 1 — Рабочее окно пакета Simulink

Отметим, что положение

равновесия с отрицательными

координатами не отвечает экономическому смыслу задачи.

Итак, интересующее нас

положение равновесия имеет координаты:

х* = 3, у* = 2.

Матрица коэффициентов

линеаризованной системы в

окрестности особой точки принимает вид:

Л

г-5 -3^ -6 -\0,

Вычислим собственные числа матрицы линеаризованной системы согласно (4) и (5):

<т =-2-3-9-1 =-15, Л = 2 + 27 + 3 = 32,

-15 ± л/97

1225-128

2

Таким образом,^ < О,Я, < 0,а точка (3;2) является устойчивым узлом.

На рисунке 2 представлен фазовый портрет для модели обмена. Параметры модели выбраны так же, как и ранее. График явно демонстрирует наличие особой точки — узла на фазовом портрете. Однако следует отметить, что один лишь фазовый портрет не дает возможность определить, является ли положение равновесия устойчивым.

Рисунок 2 — Фазовый портрет модели обмена с первым набором параметров

Теперь выберем другие параметры

модели:

у1=3<),у2=1<), Уз =3,./4 =40, 75 =12,76 =5

и вычислим положения равновесия.

Итак, особая точка имеет

координаты: X* =1.4156, _у* =1.8192

. Вторая особая точка также не удовлетворяет экономическому смыслу задачи.

Построим линеаризованную

систему в окрестности особой точки и вычислим собственные числа ее матрицы.

Тогда имеем, А^ = -4.0058 < 0, Лз = -39.1734 < 0. Следовательно, точка (\.4\56; \.8\92) является устойчивым узлом.

На рисунке 3 представлен фазовый портрет для модели обмена с параметрами /, = 30, 72 =10, j3=3,

/4 = 40, /5 = 12, /6 = 5. Начальные

условия для переменных xи у изменяются от 0 до 5 с шагом 0.5.

Теперь выберем параметры модели так, чтобы модель стала симметричной по переменным х и у:

Л=20> Л=5' Уз = 1' Л=20>

= 5, 76 = 1. Вычислим координаты

положений равновесия.

Положение равновесия имеет

координаты: Л* =1.9025, _у* =1.9025

. Вторая особая точка снова не

удовлетворяет экономическому смыслу задачи.

Тогда имеем, ^ =-20.0250 < О, = -1.0000 < 0 . Таким образом, точка (1.9025; 1.9025) является

устойчивым узлом.

На рисунке 4 представлен фазовый портрет для модели обмена с параметрами /\ = 20, /2 = 5, /3 = 1,

Л =20> Уз =5' к =!•

Рисунок 3

— Фазовый портрет модели обмена с вторым набором параметров

Рисунок 4

— Фазовый портрет модели обмена с третьим набором параметров

В работе на основе теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории устойчивости по Ляпунову проведен численно-аналитический анализ экономических моделей обмена потребительными стоимостями. Для указанных моделей исследованы положения равновесия и построены фазовые портреты.

Компьютерное моделирование осуществлено средствами программного пакета MatLAB и его графического инструмента Simulink.

Библиографический список

1. Братищев, А. В. Руководство к работе с пакетами MatLAB и Simulink. Элементы проектирования и анализа [Текст] / А. В. Братищев. — Ростов н/Д, 2012. — 87 с.

2. Милованов, В. П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика и самоорганизация [Текст] / В. П. Милованов. — М. : Эдиториал УРСС, 2001. — 264 с.

3. Милованов, В. П. Синергетика и самоорганизация: Социально-экономи-ческие системы [Текст] / В. П. Милованов. — М. : ЛИБРОКОМ, 2010. — 224 с.

4. Моисеев, Н. Н. Алгоритмы развития [Текст] / Н. Н. Моисеев. — М. : Наука, 1987.

— 302 с.

Bibliographic list

1. Bratichshev, A. V. MatLAB and Simulink Manual Elements of Design and Analysis [Text] / A. V. Bratichshev. — Rostov-on-Don, 2012. — 87 p.

2. Milovanov, V. P. Nonequilibrium Social-Economical Systems: Synergetics and Self-Organization [Text] / V. P. Milovanov. — M. : Editorial URSS, 2001. — 264 p.

3. Milovanov, V. P. Synergetics and Selforganization: Social-Economical Systems [Text] / V. P. Milovanov. — М. : LIBROKOM, 2010. — 224 p.

4. Moiseev, N. N. Development Algorithms [Text] / N. N. Moiseev. — М. : Nauka, 1987.

— 302 p.

№ 3