О классификации паркетных многоугольников

О КЛАССИФИКАЦИИ ПАРКЕТНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

CONCERNING CLASSIFICATION OF PARQUET POLYGONS

А.В, Тимофеенко, O.A. Табинова A.V. Timofeenko, O.A. Tabinova

Паркетный многоугольник, система компьютерной алгебры, выпуклый многогранник.

Несколько лет назад были классифицированы выпуклые правильногранники. Остаётся открытой проблемой описание выпуклых многогранников с паркетными гранями. Подтверждена гипотеза Ю.А. Пряхина (1974) о возможных типах паркетных многоугольников. Типы паркетных многоугольников найдены в виде решений системы уравнений. Выяснено, для каких типов паркетных многоугольников не существует прямой, делящей паркетный многоугольник на два паркетных. Приведены компьютерные программы, по которым вычислены эти решения.

Parquet polygon, computer algebra system, convex polyhedron.

Convex regularhedra were classified a few years ago. The problem of description of convex polyhedra with parquet faces still remains open. The hypothesis of Yu. Pryakhin (1974) on the possible types of parquet polygons is confirmed in the article. The types of parquet polygons are found in the form of solving a system of equations. It is found out for which types of parquet polygons there is no the right line dividing one parquet polygon into two. The computer programs which helped to calculate these solutions are given.

Все выпуклые правильногранные многогранники состоят из тел Платона, Архимеда, призм, антипризм и еще 92 фигур, которые называют телами Джонсона. Доказательство полноты списка выпуклых правильногранных многогранников завершено только в 2009 г. [Гурин, Зал-галлер, 2008, с. 215; Тимофеенко, 2009, с. 454]. Теорема о классификации выпуклых правильногранных многогранников является частью результата, перечисляющего выпуклые правильногранники.

Правильногранником называется такой многогранник Р, что каждая его грань составлена из одного или нескольких правильных многоугольников, причём если F - множество этих многоугольников, то, во-первых, общая вершина многоугольников из /• не лежит внутри ребра одного из них; во-вторых, сумма углов многоугольников из .F в каждой их обш,ей вершине меньше 2к [Тимофеенко, 2011, с. 148].

Кроме призм Пя и антипризм А ,п = 3, 4, существуют ровно 186 выпуклых правильногранников, из которых 78 обладают условными рёбрами.

До сих пор не были построены все выпуклые многогранники, грани которых составлены из правильных многоугольников, причём некоторые из них допускают наличие фиктивных вершин и рё-

бер, однако ещё в 1974 г. Ю.А. Пряхин рассмотрел типы граней, которыми могут обладать такие многогранники, и сформулировал без доказательства лемму, в которой перечислил эти типы.

Определение. Паркетным называется выпуклый многоугольник, который составлен более чем из одного равноугольного выпуклого многоугольника.

Тип паркетного ^-угольника характеризуется набором чисел (пЛ, &3. Каждое число приписано вершине и означает, что угол многоугольника с вершиной ». равен углу правильного и-угольника. Например, квадрат имеет тип , (4,4,4,4) = (44), а тип ромба, составленного из двух правильных треугольников, равен (3,6,3,6).

Ткорема (Ю.А. Пряхин [Пряхин, 1974, с. 111]). Каждый паркетный многоугольник обладает одним из следующих типов:

Зм(.У):

4с/(3':.6 ). 4/>(3.6.3.6).4г(4:):

5«(3.б‘).5Л(3.12.4.12):

6я(ЗД22,ЗЛ22),6й(3,30,53;30),6с(42;12,63Д2),6^(6е); 7«(3.12 .6-. 12'). 7/>(3.30.5.30.3.30'). 7г(4.12.6.12.4.12 ). 7</(53,'30.б\30):

8й(3,30,5,30,6\ 303),8&(4Л22,4Л24),8с(6гЛ22,6%122); 9<7(5,30,62,302.62.30),%(6Л22,6Л22.6Л22);

10(7(6 Л 22,6 Л 2)., 10й(6 Л 24, б Л 24);

11<7(6Л210);

12<7

Доказательство. Прежде всего заметим, что справедлива

Лемма 2. Угол паркетного многоугольника может быть только таким, как угол правильного т-угольника при т=3,4,5,6,12,30.

Доказательство. Указанные в лемме 2 углы можно получить, соединяя правильные 3-, 4- и 5-угольники. Другие соединения приводят к углам, не меньшим развёрнутого.

Лемма 3. Пусть М={3,4,5,6,12,30} и паркетный к-угольник обладает ж углами такими, как углы правильного т-угольника. Тогда справедливо равенство

10 х} +15дг4 +18 л'у + 20 х6 +25 х13 +28 хю = 30 (к - 2%

Доказательство. Каждую вершину выпуклого к-угольника соединим отрезками с некоторой точкой, поставленной внутри этого к-угольника. Полученное так разбиение на треугольники показывает, что сумма углов выпуклого к-угольника равна жк - 2ж = ж(к - 2). Учитывая введённые в лемме 2 обозначения, приходим к равенству

V. = п

шелА т У

Тождественные преобразования и деление обеих частей на ж показывают, что

Приводя к общему знаменателю, получаем справедливость равенства из леммы 2.

Очевидно, что каждый тип паркетного многоугольника можно записать в виде решения системы уравнений:

10х3 + 15х4 + 18х5 + 20х6 + 25хг + 28х30 = 30(к -2),

= к-2

y = к лзо /v-

Решения этой системы для каждого к = 3, 4,..., 30 найдём прямым перебором шестёрок натуральных чисел. В настоящей работе этот перебор осуществлён с помощью системы компьютерной алгебры GAP (Приложение 1). Получилось 149 решений. Однако некоторым из них не соответствует ни один паркетный многоугольник, потому что они удовлетворяют условиям расположенных ниже лемм 3-9. Некоторые из них снабжены доказательствами, а справедливость оставшихся утверждений устанавливается схожими рассуждениями.

Лемма 3. Если в решении есть число 30 и отсутствует число 5, то этому решению не соответствует ни один тип.

Доказательство. Все вершины паркетного многоугольника не могут быть такими, как у правильного 30-угольника, поскольку сам этот 30-угольник паркетным не является. Поэтому угол правильного 30-угольника получен соединением углов правильных многоугольников с меньшим числом сторон. Очевидно, что эти числа равны 3 и 5. Допустим, у паркетного многоугольника есть такой угол, как у правильного 30-угольника, и такой угол, как у правильного 5-угольника (рис. 1).

К соседнему углу пристраиваем угол правильного треугольника. Тогда следующий (по часо-

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

S

X

н

и

ш

PQ

вой стрелке) угол не может быть таким, как угол правильного 5-угольника. Получили, что к двум смежным вершинам 5-угольника достроены углы правильного треугольника (рис. 2).

В данном построении остаются три вершины, такие как у равноугольного 5-угольника, и два ребра этого 5-угольника, по которым можно соединять с равноугольным треугольником, оставляя соединение паркетным. Присоединив так ещё один треугольник, получаем, что у паркетного многоугольника осталась одна вершина, как у правильного 5-угольника, причём эта вершина рёбрами соединена с вершинами углов, таких как у правильного 30-угольника (рис. 3).

Поэтому соединение по каждому из этих рёбер с любым правильным многоугольником не приведёт к паркетному. Противоречие с условием леммы.

Лемма 4. Если решение содержит число 30 и в нём отсутствуют числа 3 или 6, то этому решению не соответствует ни один тип.

Лемма 5. Если решение содержит число 5, то оно не имеет чисел 4 и 12.

Лемма 6. Если решение содержит число 5, то оно не имеет числа 4.

Лемма 7. Если решение содержит число 5, то оно не имеет числа 12.

Лемма 8. Если решение содержит число 4 и число 3, то оно не имеет числа 6.

Лемма 9. Если решение содержит число 4 и число 6, то оно не имеет числа 3.

Накладывая условия лемм 3-9 на полученные выше 149 решений систем 1, уменьшаем число решений до 49 шестёрок, расположенных в приложении. Таким образом, для каждого из оставшихся 28 решений надо доказать отсутствие соответствующего типа паркетного многоугольника.

Лемма 11. Решению {Ъ2^\21) не соответствует ни один тип.

Доказательство. Так как тип содержит вершину 4, то смежные с ней вершины должны быть такими, как вершины правильного «-угольника при т > 4. Выбранный тип оставляет для т только значение 12, причём такими должны быть обе смежные вершины. Противоречие с единственностью числа 12 в заданном типе. Лемма доказана.

Поскольку отсеивание каждого из 27 оставшихся решений принципиально не отличается от продемонстрированного в доказательстве леммы 10 рассуждений, то приводить их здесь не будем. Оказалось, что только двум решениям системы систем 1 соответствует по два типа паркетных многоугольников. Например, решению (2,0,0,2,0,0) соответствуют паркетные многоугольники типов: (3,6,3,6) и.

Теорема. Лишь 21 решению системы (1) соответствуют все 23 типа паркетных многоугольников, причём не существует прямой, делящей паркетный многоугольник на два паркетных, тогда и только тогда, когда он обладает одним из следующих типов: (6,12ш), (6,122,6,122), (6,124,6,124), (6,122,6,12\6,12-,б,12~), (4,122,4,124),

(4,122,4,12,6,12), (1212).

Разделение правильногранных выпуклых многогранников на составные и несоставные в зависимости от существования плоскости, рассекающей многогранник на два правильногранных, стало ключом к доказательству классификационной теоремы и её обобщений. Применение систем компьютерной алгебры и графики позволяет существенно упростить доказательство и приступить к обобщению найденных почти полвека назад теорем.

Библиографический список

1. Турин А.М., Залгаллер В.А. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями и гранями, составленными из правильных // Труды математического общества Санкт-Петербурга. 2008. 14. С. 215 - 294.

2. Пряхин Ю.А. Выпуклые многорганники, грани которых равноугольны или сложены из равноугольных // Зап. научн. семинаров ЛОМИ. М.; Л.: Наука, 1974. С. 111-112.

3. Тимофеенко А.В. Выпуклые многогранники с паркетными гранями // АН. 2009. № 4. 428. С. 454-457.

4. Тимофеенко А.В. К перечню выпуклых пра-вильногранников // Современные проблемы математики и механики. Т. VI: Математика. Вып. 3: К 100-летию со дня рождения Н.В. Ефимова / под ред. И.Х. Сабитова и В.Н. Чубарикова. М.: Изд-во МГУ, 2011. С. 148-163.

о

>

сл

>

Ь-ь

О4)

>

со

о

>

сп

>

ио

о

>

Ь-ь

<Х)

1—1 1—1 1 1 1—1

со СП -рь со

> > > >

Ь-ь со Ь-ь Ь-ь

СП О4) О4) О4)

> > > >

Ь-ь Ь-ь ь-ь ь-ь

О4) со ь-ь ь-ь

> о м

Ь-ь > > >

СО ^1 ^1 О4)

О ^—1

1—1 1—1 1—1

иэ со со со

^—1 > > >

Ь-ь Ь-ь Ь-ь

СП ь-ь СП

СП > >

> Ь-ь м со > 00 Ь-ь О4)

О4) о ^—1 >

со > ,—, м

со о > <Х) 00 1—ь О4) > м ь-ь со о > -рь

м м ^—1

> > ,

, ь-ь 00 О4) >

СП

> ^—1 ,—, СО

м -рь ь-ь

О4) СП >

> ь-ь >

Ь-ь > м ь-ь О4)

со м 1 1

о > Ь-ь О4) > м > <Х) СП

со со

о 1—1 1—ь

> О4) О4)

00 > >

1—1 ь-ь -рь

О4)

>

-рь

Ь-ь

>

-рь

СП

>

С7>

>

со

со

>

Ь-ь

О4)

>

м

ь-ь

>

-рь

СО

>

О4) -Р>

> > СП со Ь-ь 1-^ > > кл со

СП со > > со ь-^ О4) сг» > > м со

СТ) -Р^ п

> > II

О4) СО 1—1

со СП со ь-ь . 1 О4)

о > о м >

> м > > 1 1 -р=>

со О4) м м -рь >4, .—1

> 1 ь ^—1 ь-ь .—.

1—1 1—1 1—1 О4) со

-рь со -рь со > >

> о > > -рь Ь-ь

ь-ь О4) > > со ь-ь О4) > 1—ь СП > ь-ь > -рь >

1—1 со со ь-ь 1-^

1—^ со Ь-ь со 1—1

> о >

> Ь-ь > > 1 1 м

СП -рь со -рь 1

^—1 > ь-ь м О4) со

-рь > ь-ь м -рь > со > > м > м

м > сп м м ь-ь О4)

ь-ь О4) 1—ь м

> м > 1—^

> 1—1 Ь-ь > м 1—^

О4) со 1—^ 1 1

1 1 > м ^—1 >

м СП > Ь-ь > -рь м

со >

—ь —ь —ь —ь —ь —ь -0 —ь —ь —ь

~ч *11 73 ”2, ”4

О) СП со м. со П) 02 СП

А А А А А А I-^ + А А А

V V V V V V 1-^ О- V V V

о о о о о о о о о

г+ г+ г+ г+ г+ г+ п г+ г+ г+

=г =г =г =г =г =г II л =г =г =г

СО ,|у .К АДА V V V ООО

1—1 о

1_Д -т- и

г+ =г П) -т ш 3 о_ £и о_ ш о_

> о_ о г+ о о г+ о г+

о_ уГ 'х' СП 'х' -р=> ”>Г СП

СО X 4^ А V о ш А V о ш II о £и

о_ О-

ш и СП ^

о м > > >

> > V & &

& 3* ч ™1 д Д ^ ш ю

О) СП “ “ '

—1 —1 —1 —1 Н П)

о о о о О о

" 'л' о_

1 1 5*

о > > > > > >

о_ X X X X X X

4 • о р п р п п

> г+ г+ г+ г+ г+ г+ >

"О X X X X X X X

"О г+ г+ г+ г+ Г-}- г+ п

П) г+

5? 5? 5? 5? V X

о_ со 1-^ О4) СП -Р=> СО г+

—1 о > > > >

о > > и V V

“ч “2, 1 1

> О) СП со .IV .К

X р - £ £ ,А.

г+ х =Ь

г+ =ь л

о ^

V о о л ш ^2

з ш —' г+

ш о_ ш о_ о_ 1-^ о

о_ X о *

1—^ 3 * X

м о X 1-^

о г+ со +

г+ л ^ V + 1-^

V X 1—^ сп

X о со СП *

со II * X

л V о ш о_ о ш 3 X -рь + 1-^ + 1-^

ш 15 о г+ о_ X 00 * X * X со

о_ О4) СП +

X -р=> X -р=> II + м 1-^ о

л V о ш л V о ш о о_ о * X О4) + * X -рь + СП

X *

—) о_ о_ со о СП * X сп

X О4) X сп л X 1-^ +

л V з л V з V з + 00 * X СГ)

* X со

—ь о —н о —ь о —ь о —I СП

—I X СП X -рь X со 5‘ со о

5‘ 5‘ 5‘ о (3

'о р 7ч" 'о ,7Г к) о о

л .со. м. о_ о_ ! 1

о_ о 7Г о_ о 7Г со о 7Г м м о

*|[ м 7Г 1

7Г со 7Г м X со

1 X СП X

13 Т7 ПР Т Т Т/Г ТУ* красноярского государственного

ДТ л X ТГ1.1/ХА\. ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМ. В.П. АСТАФЬЕВА.

А.В. ТИМОФЕЕНКО, О.А. ТАБИНОВА. О КЛАССИФИКАЦИИ ПАРКЕТНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ