Алгоритм объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации при обработке изображений

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

алгоритм сумісної фільтрації стану кодера Sk і інтерполяції інформаційних символів bJk на ковзаючому інтервалі А є рекурентним. Кількість гіпотез що потрібно перевіряти розраховуються по формулі M • La .

Для розглянутого прикладу використання інтерполяції дозволяє зменшити помилку декодування на порядок, а кількість гіпотез які перевіряються у порівнянні з алгоритмом на основі харківської моделі кодеру в 16 разів.

Подальшим напрямком роботи є розробка алгоритмів сумісного декодування згортальних кодів і для каналу з пам’яттю.

Література

1. Прокис Д. Цифровая связь. Пер. с англ. М.: Радио и связь. 2000. 800с.

2. Moon Todd K. Error correction coding: mathematical methods and algorithms. 2005 by John Wiley & Sons. ISBN 0-471-64800-0.

3. Жук С.Я. Методы оптимизации дискретных динамических систем со случайной

структурой / Монография. К.: НТУУ «КПИ», 2008. -232с.______________________

Шпилька О.О., Жук С.Я Інтерполяційно-фільтровий алгоритм декодування згортальних кодів. Синтезовано інтерполяційно-фільтровий алгоритм декодування згортальних кодів за критерієм максимуму апостеріорної ймовірності, в якому виконується сумісна фільтрація стану кодера і інтерполяція інформаційних символів на ковзаючому інтервалі.

Ключові слова: декодування згортальних кодів, марківська послідовність_____

Шпилька А.А., Жук С.Я. Интерполяционо-фильтровой алгоритм декодирование сверточных кодов. Синтезировано интерполяционо-фильтровой алгоритм декодирования сверточных кодов по критерию максимума апостериорной вероятности, в котором выполняется совместная фильтрация состояния кодера и интерполяция информационных символов на скользящем интервал.

Ключевые слова: декодирование сверточных кодов, марковская последовательность Shpylka O.O., Zhuk S.Y. Interpolating and filtering decoding algorithm for convolution codes. There has been synthesized interpolating and filtering decoding algorithm for convolution codes on maximum of a posteriori probability criterion, in which combined filtering coder state and interpolation of information signs on sliding interval are processed.

Key words: decoding ^ for convolution codes, Markov’s sequence_____________

УДК621.391

АЛГОРИТМ ОБЪЕДИНЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ОДНОМЕРНОЙ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ ОБРАБОТКЕ

ИЗОБРАЖЕНИЙ

Вишневый С.В., Жук С.Я.

Оптимальная фильтрация изображений является важным этапом их цифровой обработки во многих приложениях. Основной трудностью является отсутствие точного решения задачи оптимальной каузальной фильтрации изображений, даже для линейной гауссовской модели изображений. Оптимальные фильтры требуют бесконечной памяти и часто являются расходящимися [1]. Поэтому актуальной задачей является разработка практически реализуемых алгоритмов фильтрации, которые в целом учитывают двумерный характер изображения.

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40

55

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

В работе [2] предложен подход, основу которого составляет разбиение процедуры оптимальной фильтрации изображения на два этапа. Он основывается на предположении независимости вероятностных характеристик изображения по строкам и столбцам. На первом этапе выполняется оптимальная одномерная фильтрация изображения соответственно по строкам и столбцам. На втором производится объединение полученных одномерных оценок в каждой точке изображения. Применение такого подхода позволяет получить заметно лучшие результаты при незначительном увеличении вычислительных затрат по сравнению с результатами одномерной фильтрации изображений только по строкам или столбцам.

Однако, предложенный в работе [2] алгоритм объединения оптимальных одномерных оценок обладает избыточностью, которая заключается в необходимости дополнительного решения задачи одношаговой фильтрации в каждой рассматриваемой точке, что приводит к увеличению вычислительных затрат. Целью статьи является устранение отмеченного недостатка известного алгоритма.

Наиболее полное решение задачи оптимальной фильтрации заключается в вычислении апостериорной плотности вероятности фильтруемого процесса [3]. Поэтому вначале синтезируем алгоритм объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации в общем случае при описании изображения и механизма формирования наблюдений с помощью законов распределения вероятностей. На втором этапе конкретизируем полученный алгоритм объединения для модели изображения в виде гауссовского случайного поля.

1. Синтез нелинейного алгоритма объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации

Представим фильтруемое изображение в виде матрицы, состоящей из

элементов x(n, m), соответствующие им наблюдения - y(n, m), где n=1, N, m=\M. Введем векторы Xn =( x(n,1),..., x(n, m -1)), Xm =( x(1, m),..., x(n-1, m)). x(n, m) -текущий отсчет изображения. Далее для краткости опустим аргументы (n, m). Совместную плотность вероятности P( X) отсчетов изображения вдоль строки и столбца можно представить в виде

P

где x -элемент изображения, расположенный на пересечении строки и столбца; Xn - вектор, содержащий элементы изображения строки до элемента x, Xm - вектор, содержащий элементы изображения столбца до элемента x, X - вектор, который включает в себя элементы Xn, Xm, x.

При разработке двухэтапной процедуры обработки изображения используется свойство условной независимости отсчетов случайного поля по строке Xn и по столбцу Xm [2]. Поэтому формулу (1) можно представить в виде:

56

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

P

p{x) p

Функция правдоподобия для рассмотренной задачи имеет вид:

Q

где Y - массив наблюдений, который включает в себя наблюдения Yn, Ym, у; Y",Ym - векторы наблюдений, соответствующие X" и Xm; у - наблюдение, которое соответствует точке X .

Совместная апостериорная плотность вероятности отсчетов случайного поля Р( X / Y) с учетом (2), (3) описывается выражением:

Р

p

где P(Y) - совместная плотность вероятности наблюдений Y.

Применяя теорему умножения вероятностей, выражение (4) можно представить в виде:

Р( X / Y) =

1

1

Р

Р

Р

Р

Р(X", X / Yn, у )P(Yn, у )p(X / Xm )Р(Xm / Ym )Р(Ym ).

p

Апостериорная плотность вероятности p( x / Y) отсчета X определяется путем интегрирования выражения (5) по X" и Xm:

1

p(X /Y) = J J

p

P (X", X / Y", у) P (Yn, у) P (Ym) x

P

xp(X / Xm)P(Xm / Ym)dX"dXm = ( " ’ ^,1 m ) J P(X", X / Y", у)dX" x v '

xJ p ( X / Xm ) P ( Xm / Ym )dXm =

p

p

P

В алгоритме объединения одномерных оценок (6), в отличии от полученного в [2], для элемента изображения x вычисляются апостериорная плотность вероятности p( x / Y", у) по одной координате и экстраполированная плотность вероятности p( x / Ym) по другой координате. При этом отпадает необходимость вычисления одноточечной апостериорной плотности вероятности p( x / у) для каждого элемента изображения, что позволяет сокра-

тить вычислительные затраты.

2. Синтез линейного алгоритма объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации

Широкое применение при решении задачи оптимальной фильтрации изображений находят гауссовские случайные поля. Для решения задачи

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40

57

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

фильтрации по строкам и столбцам на первом этапе может быть применен алгоритм калмановской фильтрации [4, 5], который позволяет получить оптимальное ее решение по каждой координате.

При использовании гауссовских моделей, плотности вероятности

^ ^ *1* '2

р(х / Yn, у) = N(€ (£ ), p(x / Ym) = N(x ,a ), p(x) = N(x ,a ) также являются гауссовскими. Показатель экспоненты в выражении (6) имеет вторую и первую степени переменной x. Поэтому апостериорная плотность вероятности p( x / Y) является гауссовской вида

( x - x )2

p(x / Y) = C exp(-

2a

2

),

;2

где x, a - математическое ожидание и дисперсия апостериорной плотности вероятности p(x / Y); C - константа.

2

Приравнивая в (6), (7) коэффициенты при x и x получим алгоритм объединения результатов одномерной фильтрации в виде

=xa

x

a

x = x-a

a2

*4

a

n

*2

a -

a

a

-a2 -

OB2 + a a4

2

a

n

a2

Уравнения (8), (9) описывают алгоритм объединения апостериорной B и экстраполированной x* оценок, полученных при одномерной фильтрации по строкам и столбцам. С помощью формул (10), (11) рассчитывается дисперсия a2 ошибки полученной оценки x.

Результаты экспериментальных исследований В качестве примера рассмотрим гауссовскую модель изображения с разделимой корреляционная функция вида [6]:

2 А1 А 2

R(Ab А2) = a р1 11 р2

где А1, А2 - приращения в горизонтальном и вертикальном направлении соответственно; р1, р2 - коэффициенты корреляции элементов строк и столбцов соответственно; a2 - дисперсия случайного поля.

58

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

Анализ предложенного алгоритма фильтрации изображения и его сравнение с известными алгоритмами проведены с помощью статистического моделирования на ЭВМ. Размеры изображения N х M полагались N - M - 10.

На рис.1 показаны выведенные последовательно по строкам

зависимости СКО ошибки оценки d€, вычисленные с помощью одномерного фильтра Калмана при фильтрации по строкам (пунктирная линия); СКО ошибки оценки а, вычисленные полученным в статье алгоритмом

фильтрации (сплошная линия), а также СКО ошибки оценки а, вычисленные двумерным фильтром Калмана (штрих-пунктираня линия) [6], при параметрах случайного поля а —1, рх — 0.95, р2 — 0.95, аи - 0.5 .

Из рис.1 следует, что СКО ошибки оценки предложенного алгоритма меньше СКО ошибки измерения на 45%. Для рассмотренного примера алгоритм фильтрации с использованием объединения оценок (8)-(11) позволяет получить выигрыш в точности фильтрации по сравнению с одномерным фильтром Калмана на 17%, при этом предложенный алгоритм уступает в точности двумерному фильтру Калмана на 8%.

Рис.1.

<7,0.7 q> о сл

° 0.6 - a 0.45

0.5 0.4

0.4 0.35 _ N. _

/ s'

0.3 " 7 " 0.3 \ \

0.2 - /Г - 0.25 \ \ \  \ " \

0.1 f - 0.2 \ \ - \-

0.1 0.5 1 1.5 2 u-'g .1 0.3 0.5 0.7 0.9 1 РъР

Рис.2. Рис.3.

На рис.2 представлены графики зависимости СКО ошибки оценки а, вычисленные предложенным алгоримом фильтрации (сплошная линия), а также СКО ошибки оценки d£, вычисленные одномерным фильтром Калмана (пунктирная линия) в зависимости от значения СКО ошибки измерения аи.

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія - Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40

59

Пристрої та системи радіозв’язку, радіолокації, радіонавігації

На рис.3 показаны аналогичные характеристики в зависимости от значений коэффициентов корреляции случайного поля ръ р2. С увеличением СКО ошибки измерения <7и и уменьшением коэффициентов корреляции случайного поля ръ р2 выигрыш в точности фильтрации предложенным алгоримом увеличивается и достигает 15%-19%.

Выводы

Разработаны нелинейный и линейный алгоритмы объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации изображений, в которых не требуется дополнительное решение задачи одношаговой фильтрации. Предложенные алгоритмы по точности вычисляемых оценок занимают промежуточное положение между алгоритмами оптимальной одномерной и двумерной фильтрации изображений. Однако синтез оптимальных двумерных каузальных алгоритмов фильтрации встречает значительные трудности, а предложенный алгоритм (8)-(11) часто позволяет получить приемлемые точностные характеристики.

Литература

1. Методы компьютерной обработки изображений / Под ред. В.А. Сойфера. М.: Физматлит, 2003 - 780с.

2. Грузман И.С., Микерин В.И., Спектор А.А. Двухэтапная фильтрация изображений на основе использования ограниченных данных.//Радиотехника и электроника. 1995. вып.5. С.817-822.

3. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991 - 608с.

4. Жук С.Я. Методы оптимизации дискретных динамических систем со случайной структурой / Монография. К.: НТУУ «КПИ», 2008. - 232с.

5. Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении: Пер. с англ./Под ред. Б.Р.Левина. - М.:Связь, 1976 - 496с.

6. Вишневый С.В., Жук С.Я. Совместная фильтрация и сегментация неоднородных случайных полей с экспоненциально коррелированными текстурами.// Вісник НТУУ

"КПІ" Серія - Радіотехніка. Радіоапаратобудування. - 2009. - Вип. 39. С. 47-53._

Вишневый С.В., Жук С.Я. Алгоритм объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации при обработке изображений. Синтезирован нелинейный алгоритм объединения результатов одномерной оптимальной фильтрации, который описывает вид апостериорной плотности вероятности отсчетов изображения. Линейный алгоритм объединения получен для модели изображения в виде гауссовского случайного поля.

Ключевые слова: фильтрация изображения, объединение оценок, случайное поле._____

Вишневий С.В., Жук С.Я. Алгоритм об’єднання результатів одномірної оптимальної фільтрації при обробці зображень. Синтезовано нелінійний алгоритм об’єднання результатів одномірної оптимальної фільтрації, який описує вид апостеріорної густини імовірності відліків зображення. Лінійний алгоритм об’єднання отриманий для моделі зображення у вигляді гаусівського випадкового поля.

Ключові слова: фільтрація зображення, об ’єднання оцінок, випадкове поле________

Vishnevyy S.V., Zhuk S.Ya. Algorithm of uniting of optimal one-dimensional filtering outcomes for image processing. The nonlinear algorithm of uniting of one-dimensional optimal filtering outcomes which describes the form of a posteriori probability density of image pixel is synthesized. Linear algorithm of uniting is obtained for the Gaussian random field image model.

Key words: image _ filtering, estimations uniting, a posteriori probability density, random _ field.

60

Вісник Національного технічного університету України "КПІ" Серія — Радіотехніка. Радіоапаратобудування.-2010.-№40