Адаптивная компенсация квазигармонического возмущения для нелинейного объекта

АДАПТИВНАЯ КОМПЕНСАЦИЯ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА С.В. Арановский, А.А. Бобцов, А.С. Кремлев, В.О. Никифоров

Рассматривается задача синтеза адаптивного управления для компенсации конечномерного квазигармонического возмущения, действующего на нелинейный объект. Предполагается, что квазигармоническое возмущение не измеряется и имеет неизвестные амплитуды и частоты. По измерениям переменных состояния объекта синтезируется адаптивный регулятор, обеспечивающий асимптотическую устойчивость объекта управления.

Введение

Данная статья является развитием результата? опубликованного в [1]. В [1] рассматривался случай компенсации квазигармонического возмущения

n n

p(t) = Cq Aj sin о it + ^ Bj cos fâjt, действующего на линейный объект. При этом

i=1 i=1

предполагалось, что квазигармоническое возмущение имеет неизвестные параметры Cq , Ab..., An, Bb..., Bn и o>i ,..., on , но верхняя граница максимального значения частоты о полагалась известной. В отличие от [1], в данной статье будем полагать, что верхняя граница максимального значения частоты о может быть неизвестной. Также в

развитие результатов [1] будем рассматривать нелинейные объекты управления. Заметим, что проблема компенсации и оценивания квазигармонического возмущения с неизвестными параметрами является не новой, и ей посвящено достаточно много научных работ (см., например, монографию [2] и статьи [1, 3-6]). Однако в большинстве публикаций по данной тематике рассматриваются либо линейные объекты управления, либо измеряемые возмущения. Таким образом, развитие методов компенсации квазигармонических возмущений с неизвестными параметрами для нелинейных объектов является достаточно перспективной областью в современной теории управления (см., например, работы [5, 6]). В сравнение с наиболее известными аналогами предлагаемый в данной статье подход позволяет:

• как и в работах [5, 6] компенсировать с нулевой ошибкой квазигармонические

n n

возмущения вида p(t) = Cq Ajsin ot + ^Bjcosojt по косвенным, а не прямым

i=1 i=1

измерениям, что, в свою очередь, усиливает результаты? представленные в [1, 3, 4] (в работах [3, 4] предполагалось, что квазигармоническое возмущение измеряется, а в [1] был предложен подход для компенсации возмущения, действующего на линейный объект);

• синтезировать регуляторы и наблюдатели меньшей размерности, в сравнение с алгоритмами, представленными в работах [2, 5, 6].

Постановка задачи

Рассмотрим нелинейный стационарный объект, описываемый дифференциальным уравнением вида

* = f

где x = x(t) g Rp - вектор состояния, u - сигнал управления, f (x) и g(x) - гладкие вектор-функции ( f (0) = 0 ), p - неизвестное квазигармонические возмущения вида

p

i=i i=i

где Co,Ai,k,AnД,...,Bn, i,...,n - неизвестные постоянные параметры; n - известное натуральное число.

Цель управления заключается в синтезе гладкой обратной связи по состоянию, обеспечивающей в замкнутой системе при любых начальных состояниях x(to) = xo асимптотическую устойчивость положения равновесия x = 0. Определим класс нелинейных объектов, для которых указанная задача будет решена:

1) для номинальной модели

x = f

известны управление u = U (x) и функция Ляпунова V1( x) такие, что

I i2 i i2

^^

dx

2) существует вектор постоянных параметров r такой, что для вектор-функции g(x) выполнено

rTg

При этом предполагается, что положительные числа c, c2 и c3 могут быть неизвестны.

Модельные предпосылки

Как показано в работе [1], сигнал вида (2) может быть представлен как решение дифференциального уравнения вида

= Г^ =

0 1 ... 0"

где Rm - вектор переменных состояния; число m = (2n +1); Г0 = 0 0 ". 0

0 0 ... 0

qT =[0 0 ... 0 l], l = co\(0,0i,0,...,0,0n,0) - m -мерный вектор неизвестных параметров, компоненты которого при любом комплексном s удовлетворяют тождеству

s2n+l -Ons2n-l -On-is2n-3 -...O = s

T

а вектор постоянных коэффициентов h =[hi h2 ... hm-i hm] удовлетворяет усло-

виям:

невырожденности матрицы H = hlI + h2r + h3r2 +... + hmrm-l;

W

гурвицевости числителя передаточной функции

•.Т,„т Г ч-1„ _ ЬМ

a(s)'

где полином Ь(5), в силу структур матрицы Г0 и вектора q имеет вид

М —\,и г,т - 2

b(s) = hmsm-l + hm-lsm - 2 +... + h2 s + hl.

Замечание. Следует отметить, что для обеспечения невырожденности матрицы H достаточно выбрать коэффициенты вектора h, как коэффициенты любого гурвице-вого полинома степени m -1.

Таким образом, для удовлетворения указанных выше условий достаточно выбрать коэффициенты вектора h, как коэффициенты любого гурвицевого полинома, например, полинома Ньютона.

Основной результат

Временно полагая, что сигнал р измеряется, для оценки функции р воспользуемся алгоритмом [1]

£ = Г)| + qpT& + Щр, р = hT£,

где £ = col(£1,£2,.,£m) е Rm - оценка вектора £ модели (7); вектор ф = col£2,£4,к,£m_i)еRn; в = coI), в2,..., 6п)е R - оценка вектора неизвестных параметров в = col(61,62,K,6n) е Rn; число ju > 0 .

Вектор-столбец в) формируется алгоритмом адаптации

в = KßC)-р,

T

где Kß = Kß > 0 - n х n -матрица постоянных коэффициентов.

Теорема 1. Пусть для оценки функции р используется алгоритм (11), (12), тогда существует число ju> 0 такое, что оценка р асимптотически стремится к р . Доказательство. Рассмотрим функцию рассогласования вида

£ = £-£.

T T

Дифференцируя (13) в силу уравнений (7), (11) и учитывая равенство l £ = ф в, получаем

t = Го<~ + q^^p + q<pТв -ицр =

р = hT ~

где вектор-функция ф = ф-ф, а вектор параметрических ошибок в = в -в рассчитывается следующим образом:

в =в-в) = -^вф р.

Докажем асимптотическую устойчивость положения равновесия £ = 0. Для этого рассмотрим функцию Ляпунова вида

V = £TP£ +eTK-1e, P = PT > 0.

В работе [1] было показано, что для производной от функции Ляпунова вида (17) можно получить

V <-£ TQ£, Q = QT > 0. ~

Далее в статье [1] было показано, что lim £(t) = 0, откуда следует асимптотическая

t

сходимость оценки р к сигналу р, что и требовалось доказать.

Для компенсации возмущения выберем закон управления в виде

т

u = U

где функция р является оценкой сигнала р .

Теорема 2. Рассмотрим нелинейную систему (1) с выполненными относительно нее допущениями (3)-(5). Пусть для стабилизации системы (1) используется закон управления вида (18), (11), (12). Тогда положение равновесия х = 0 асимптотически устойчиво.

Доказательство. Рассмотрим функцию Ляпунова вида

V = V +

где число у > 0 (будет определено далее), а У2 = % +0 Кв 0 (см. (17)).

Дифференцируя уравнение (20), получаем

( , , чГЛ

V = У1 +ГУ2 = =

дЪ

дх

/

+ ^2,

где р = р - р .

Подставляя в последнее уравнение выражения (5) и (19), получаем:

( , ч чГЛ

V <-с3 х +

<-Сз\х -

2 д^

дх

'дVl( х) дх

8

дх

% < х) ] 2 + ^ % < х) ] 2

+р2

дV1 (х) р (дV1 (х) Л2 ~2 где в последнем неравенстве было использовано —(х)р < I —^^%(х) I + р .

дх

дх

Пусть число у> 0 такое, что р2 =%тккт% < -с4 % , где с4 > 0. То-

гда для неравенства (21) получаем V <-Сз х - С4 Л , откуда, в свою очередь, следует

асимптотическая устойчивость положения равновесия х = 0.

Теперь построим схему наблюдения возмущения р, считая его неизмеримым. Для этого выразим из уравнения (1) составляющую р. Умножим уравнение (1) слева

на вектор г (см. допущение (6)):

т

р = гтх - гт/(х) - и(х) + %(х)) .

Подставляя уравнение (22) в выражения (11) и (12), получаем:

( ✓ , . \ тЛ

% = Г0% + Чф 0 + ЩЧ

гтх - гт/

(

<0 = КоФ

гтх - гт/

дх

Г ].

У

Введем в рассмотрение новые переменные д/ = % - щг х и X/ =< -К0фг х . Диффе-

ренцируя д / и х/ , получаем реализуемый адаптивный наблюдатель вида

д/ = Г0% + ЧФ 0 + ЩЧ

Р т

% = д/ +щчг х,

(- гт/(х) - и(х) + %(х)]т Л

X f = K0<p

- rTf (x) - U(X) +

fdV1( x) dx

T Л

g

Л /

- Ke(f) r x,

в = Х/ + Квфгтх.

Для иллюстрации предложенной в данном разделе схемы управления рассмотрим следующий числовой пример.

Пример. Пусть нелинейный объект управления имеет вид

xx\ = -x^ + x2 - x^ + x\(u + p), x2 = -x2 + u + p,

где f (x) =

x^ + x2 — x^

- x0

g ( x) =

x1 1

, для номинальной модели X = /(х) + g(х)и

2 2

управление и(х) = 0, а функция Ляпунова У1(х) = (х1 + х2)/2 обладает легко прове-

д¥х

ряемым свойством dVi

дх дх

В качестве вектора постоянных параметров Г, удовлетворяющего условию (6), выберем вектор гТ = [0 1]. Рассчитаем закон управления в соответствии с (18):

u = U (x)-i^ g (x) 1 -p = -( xi2 + x2)-pp,

где функция p является оценкой сигнала p.

Пусть квазигармоническое возмущение имеет две гармоники и ненулевой сдвиг p(t) = C0 + ^1sin1t + ^2sin2t, где неизвестные частоты а>1 и а>2 не кратны, а числа

Cq , и A имеют ненулевые значения. Выберем коэффициенты / = 1, И2 = 5, Из = 10, /4 = 10, /5 = 5 и промоделируем алгоритм наблюдения для ¡л = 5, к01 = 100, к@2 = 100, p(t) = -1 + 2sin t - 3sin3t. Результаты переходных процессов для сигналов x1 и x2 представлены на рис. 1. Компьютерное моделирование иллюстрирует работоспособность предложенной схемы управления.

2 1.5 1

0.5 0

-0.5

0 20 40 60 80 100

0.4 0.2 0 -0.2

l^yv

0 20 40 G0 80 100

Рис. 1. Переходные процессы в системе (27) - (29). Заключение

В работе рассматривался нелинейный объект управления (1), подверженный влиянию внешнего неизвестного возмущения вида (2). На базе результатов, получен-

ных в статье [1], представлен алгоритм управления вида (19), (23)-(26), обеспечивающий асимптотическую устойчивость нелинейного объекта (1). В отличие от [1], в данной статье было сделано предположение, что верхняя граница максимального значения частоты а>1 является неизвестной. По сравнению с результатами [2, 5, 6], данный подход позволяет строить регуляторы размерности 3n +1, что положительно отличается от размерностей регуляторов, рассмотренных в [2, 5, 6]. В частности в [2, 5, 6] предложены схемы синтеза регуляторов, имеющих размерность 4n + 2 .

Литература

1. Бобцов А.А., Кремлев А.С. Синтез наблюдателя в задаче компенсации конечномерного квазигармонического возмущения // Известия АН. Теория и системы управления. 2005. №3.

2. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб: Наука, 2003.

3. Marino R. and Tomei P. Global Estimation of n Unknown Frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. V. 47. P. 1324-1328.

4. Xia X. Global Frequency Estimation Using Adaptive Identifiers // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. V. 47. P. 1188-1193.

5. Никифоров В.О. Адаптивная стабилизация линейного объекта, подверженного внешним детерминированным возмущениям // Изв. РАН. ТиСУ. 1997. №2.

6. Marino R., Santosuosso G.L. Global Compensation of Unknown Sinusoidal Disturbances for a Class of Nonlinear Nonminimum Phase Systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2005. V. 50. P. 1816-1822.