Оценка устойчивости решений задач многокритериального выбора в неметрических постановках

УДК 681.3

ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА В НЕМЕТРИЧЕСКИХ ПОСТАНОВКАХ

А.Б. Антиликаторов, В.В. Цветков

Рассматривается методика оценки устойчивости решений задач многокритериального выбора, с последующим анализом поведений различных постановок

Ключевые слова: оценка устойчивости, многокритериальный выбор, неметрические постановки, множества альтернатив

В практических задачах проектирования многокритериальный выбор альтернатив в неметрических постановках часто требует проверки устойчивости решений. Это связано с тем, что в неметрических постановках метрика не вводится, и отношения порядка как бы задаются в равномерной сетке порядковых шкал по показателям качества (ПК). В таких условиях даже малые реальные отклонения значений показателей качества могут приводить к существенным изменениям решений многокритериальных задач ввиду смены реальных отношений порядка между альтернативами, отсюда и возникает проблема оценки устойчивости решений для неметрических постановок.

Рассмотрим методику инженерных оценок устойчивости п-и ¿-постановок. Независимо от физики появления отклонений, каждый реальный вариант о еП, 1 = {1, N} может задаваться не

строго детерминированными и фиксированными значениями критериальных характеристик, а их оценками, распределение которых может подчиняться тому или иному закону распределения, либо характеристиками, описываемыми в терминах теории расплывчатых множеств. Значения ПК, в первом случае, описываются относительно наиболее вероятных состояний, но в реальных условиях, в силу стохастичности или расплывчатости эти значения имеют случайный разброс и расположены вокруг оценок номиналов т{ПК/},/ ={1,Ь}. Как правило, вероятность больших отклонений Д>|3с| достаточно мала и составляет Р<0.03 для нормального закона распределения.

Неустойчивость решений задач выбора в неметрических постановках может возникать так же и в случаях, когда критериальные оценки альтернатив задаются как сложные функции показателей качества, вычисление значений которых требует оценки точности и адекватности принятых моделей и ведет, к некоторым погрешностям, величины и знаки которых часто однозначно предсказать затруднительно.

Качественно задачу оценки устойчивости решений при выборе по совокупности ПК можно сформулировать таким образом. Пусть задано множество вариантов {ю1}=О, ¡={1N в

Антиликаторов Александр Борисович - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8-950-766-68-96 Цветков Владимир Владимирович - ВИ ФСИН России, преподаватель, E-mail: zwetkow_wladimir@mail.ru

пространстве показателей качества {ПК (т)}; ¡={1,Ь}; ¡={1,^, определяющееся множеством

оценок в пространстве Е\ Тогда при традиционном подходе для неметрических п- и Ь-постановок можно говорить, соответственно, о п-оптимальных Оп и Ь- оптимальных ОЬ, вариантах и оценках значений их показателей качества {ПЩО)} и {ПКОО} в пространстве ЕЬ.

Для некоторого другого множества альтернатив О* и показателей качества {ПК (т1*)} могут получиться другие множества решений и соответствующие им оценки {ПК (О*)} и {ПК (О*)} в пространстве ЕЬ. Анализ устойчивости в такой постановке сводится к выяснению условий, при которых из того, что {ПК} в каком-то смысле близко к {ПК*} следовало бы, что Оп*: и {ПК*(О*)} близки к Оп {ПК(О)} для п-постановки, а также ОЬ и {ПК (О*)} близки к ОЬ и {ПК (О*)} для Ь-постановки.

Зададим пространство устойчивых решений задач выбора путем формирования области е-оптимальности через совокупность допустимых отклонений е{а1, в1.}, 1 е Ь по показателям качества ПК

Тогда для п-постановок множество устойчивых решений Оп£ может быть определено как

П* = {к:{ПК, К.) ^ ПК,

л {З/о е Ь : пк,о) < пк,оК.) + в};

Уа1, в/ е ЕЬ}

В свою очередь, для Ь-постановок множество е-устойчивых решений определяется из выражения:

ПЬе = {К : {ПК/о ) < ПК/оК ) +

Ь

+ Р, о ; 1о = тш /}:а/,в/е Е}

|ПК(о)-ПКд К)|>а

Из анализа приведенных выражений (1) и (2) следует, что после введения ^-оптимальности, Опе и ОЬе включаются, соответственно, в Оп и ОЬ, являющиеся п и /-оптимальными множествами до введения 5- оптимальности, то есть П ^ П и

у пе — п

П с П А это означает, что введение е-

оптимальности приводит к усечению п- и Ь-оптимальных вариантов до множества устойчивых решений меньшей мощности, чем исходное в соответствии с принципом е-оптимальности. Проблему устойчивости оптимальных решений можно рассматривать и в случае, когда показатели качества задаются для совокупности показателей качества {ПК/} интервальными характеристиками

на некоторых отрезках, так например,

[ПК,К) -Дт>; ПК,К) + Д+ ]

[rnL(к) -Д(^; пкь(к) + д(- ]

Последнее приводит к отношению эквивалентности, задающему множество

квазиоптимальных альтернатив й0Л на МВА Q

Qод = {р :{ПК'(р) + Д+ >ПК'(р)>

> ПК,

l еL' р ё Q  я рО' Q = Q

I. ^ и, ы^о ^ а ‘о ’ "Л 1 “о П

Анализ выражений (4) дает возможность сделать вывод о том, что в случае интервальных оценок Ai(±) {ПК}, l ё L квазиоптимальные

множества альтернатив йкЛ и HLA включают в себя Q% и Ql соответственно. Из (4) следует, что:

°пД Э°Д,

Q LД 3° L •

Рассматривая совместно множества

квазиоптимальных йхЛ, п-оптимальных Qx и е-оптимальных Q%ß решений можно утверждать, что взаимные включения могут быть осуществлены в соответствии с выражением:

с Q

пД

Q

В свою очередь, каждое из указанных множеств может быть получено путем комбинаторных сравнений альтернатив в соответствии с выражениями (1)-(4).

Проведем анализ поведение Ь-постановки в условиях, приводящих к неустойчивости решений. Неустойчивость неизбыточных Ь-постановок рассматривается на примере двух Ь-постановок: Ь1<О/ПК1, ПК2> и Ь2<О/ПК2 , Пк1> - условных критериев (для минимизации показателей качества).

- Ь-постановка становится неустойчива при достаточно малых отрицательных отклонениях (е1<0, е2< 0) от области эквивалентности и концевых вершин ([, я) цепей лексикографии по Ь1<О/ПК1, ПК2> и Ь2<О/ПК2, ПК1>.

- при е1>0, е2>0 Ь-решения устойчивы, а в случае е1=0, е2=0 (для двух показателей качества) они еще и неизбыточны, так как при поиске решения используется полная цепь лексикографии (в данном случае последовательно два показателя качества) <ПК1, ПК2> или <ПК2, ПК1>, соответственно, для снятия неоднозначности

концевых решений.

Необходимо отметить, что введение понятия квазиоптимальности, задаваемое отношением эквивалентности на значениях показателей качества, а также введение понятия п-оптимальности для устойчивых решении, позволяет, соответственно, расширить или усечь множества п-оптимальных решений, или при условиях е<0 изменить Ь-оптимальные решения, что в свою очередь, помогает определиться в принятии конкретных инженерных решений для заданных технических условий.

Критерием оценки е-устойчивости решений задач многокритериального выбора в неметрических постановках при инженерных расчетах может служить отношение р, т. е. отклонения е к максимальной ошибке показателя качества

е

Р = Ъ8 ’

где 35 представляет собой максимальное отклонение значения показателя качества от номинала (для нормального закона

распределения). Учет вида закона распределения значений ПК может быть осуществлен с помощью введения относительных коэффициентов рассеивания Кы

КФ =-

X

A = Z'

а

где а - величина максимального абсолютного отклонения значения показателя качества, соответствующая достоверной вероятности появления такого события Рд = 0.997 (соответственно, для нормального закона распределения а=35). И, наоборот, выход за пределы допуска характеризуется вероятностью {1-Рд) =Р= 0,03 для нормального закона

распределения.

Для равновероятного закона

распределения Хр.з= 0,58, Кфрз=1,73. Для закона Симпсона, соответственно Хзс= 0,41, Кфзс =1,22.

Оценка устойчивости для любой пЬ-постановок может быть найдена при условии выбора порога в соответствии с выражениями

Литература

1. Пащенко Ф.Ф. Введение в состоятельные методы моделирования систем: Учебное пособие: в 2ч. - М.:Финансы и статистика, 2оо7. - 288 с.: с ил.

2. Черноруцкий И.Г. Методы принятия решения. - СПб.: БХВ-Петербург, 2оо5. 416 с.: с ил.

Воронежский государственный технический университет

Воронежский институт Федеральной службы исполнения и наказания России

THE MULTI-CRITERIA OBJECTIVE SOLUTION STABILITY ESTIMATION IN NON-METRIC

FORMULATIONS

A.B. Antilikatorov, V.V. Tsvetkov

The procedure of multi-criteria choice objective solution stability estimation in non-metric formulations with the following different formulations analysis is observed

Key words: stability, multi-criteria choice, non-metric formulations, set of alternatives