О построении рейтинговых оценок на основе лингвистических переменных

рамках традиционных математических формализмов информации. Появление и развитие теории нечетких множеств обеспечило возможность формализации такой информации в рамках основных понятий этой теории с последующим применением ее аппарата для обработки и анализа.

Методы теории нечетких множеств нашли многочисленные применения в ряде областей деятельности человека и должны занять свое достойное место среди методов обработки информации образовательного процесса.

Литература

1. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. - М.: Диалог-МГУ, 1998.-116 с.

2. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун, и др. - М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. - 312 с.

3. Полещук О.М. О применении нечетких множеств в задачах построения уровневых градаций // Лесной вестник. - 2000. - № 4(13). - С.142 - 146.

4. Полещук О.М., Полещук И.А. Нечеткая кластеризация элементов множества полных ортогональ-

ных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса -Лесной вестник. - 2003. - № 1 (26). - С. 117 - 127.

5. Полещук О.М. О развитии систем обработки нечеткой информации на базе полных ортогональных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса -Лесной вестник. - 2003. - № 1(26). - С. 112 - 117.

6. Полещук О.М. Некоторые подходы к моделированию системы управления образовательным процессом // Телекоммуникации и информатизация образования. - 2002. - № 3(10). - С. 54 - 72.

7. Домрачев В.Г., Полещук О.М. Повышение качества образовательных услуг на основе системы индивидуального подхода к подготовке специалиста / Материалы научной конференции «Качество и ИПИ-технологии». - М.: Фонд «Качество», 2002.-С. 68-70.

8. Домрачев В.Г., Полещук О.М. О нечетком кластер-анализе на основе полных ортогональных семантических пространств // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. С.П.Королева. - 2002. - Вып. 6. - С. 52 - 53.

9. Полещук О.М. Нечеткая регрессионная модель прогноза успеваемости обучающихся // Обозрение прикладной и промышленной математики. -2002. - Т.9, Вып. 2. - С. 435 - 436.

10. Zadeh L. A. Fuzzy sets // Inform. And Control. 1965. №8. P. 338-352.

О ПОСТРОЕНИИ РЕЙТИНГОВЫХ ОЦЕНОК НА ОСНОВЕ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

О.М. ПОЛЕЩУК, к. ф.-м. н., доцент каф. высшей математики

Задачи нахождения рейтинговых оценок в рамках одного или нескольких качественных признаков возникают в различных областях деятельности человека. Решения этих задач позволяют получать доступную и своевременную информацию в виде некого интегрального показателя, который используется для принятия ряда управленческих решений. Сложность нахождения рейтинговых оценок в рамках качественных признаков вытекает из общей сложности количественного оценивания этих признаков. Связана она с особенностью их измерения, состоящей в необходимости учета свойств или суждений лиц, измеряющих качественные признаки и принимающих на основе этого субъективного измерения решения.

Качественные признаки, как правило, измеряются в порядковой шкале и до развития теории нечетких множеств [13] значения этих признаков считались значениями неких случайных величин. Однако следует отметить, что взаимоотношение явления и его вероятностной модели обнаруживается при повторных наблюдениях за явлением. Частоты исходов в длинном ряду испытаний стабилизируются, их колебания с ростом числа испытаний уменьшаются. Выходя за пределы реального опыта, полагают, что при его неограниченном повторении частоты стремятся к пределам, которые и принимают за вероятности соответствующих исходов или событий. Поэтому теория вероятностей базируется на ряде требований, выполнение которых необ-

ходимо для адекватности выводов, полученных в рамках анализа информации [4].

Задача нахождения рейтинговых оценок по ряду частных критериев в технических системах [5] сводится к преобразованию вектора частных количественных оценок в скалярный интегральный показатель. Применение такого подхода к оценке качественных признаков имеет ряд ограничений, связанных с особенностями шкал и методов экспертного оценивания.

Рассмотрим известные шкалы и допустимые преобразования значений признаков, измеренных в этих шкалах. Допустимым преобразованием значений измеренного признака, как известно [6], называется преобразование, которое сохраняет содержательный смысл данного вида измерения. Для измерения количественных признаков используются шкалы:

Абсолютная шкала. Имеет начало отсчета и единичный масштаб. Применяется для измерения числа элементов некоторого конечного множества.

Шкала отношений. Имеет начало отсчета, но не имеет фиксированной единицы измерения. Применяется для измерения таких количественных признаков, как вес, длина, величина тока и т. д.

Шкала интервалов. Не имеет начала отсчета и единицы измерения. Применяется для измерения величин разностей между значениями признака. Например, для измерения температуры.

Шкала разностей - частный случай шкалы интервалов. Не имеет начала отсчета, но имеет единицу измерения. Применяется, например, в летоисчислении.

Для измерения качественных признаков используются шкалы:

Шкала наименований - номинальная или классификационная шкала. Числа этой шкалы являются обозначениями, именами классов рассматриваемых объектов. Целью измерения в этой шкале является установление принадлежности объекта к определенному классу эквивалентности. В шкале наименований измерены, например, идентифи-

кационные номера налогоплательщиков, номера телефонов, почтовые индексы.

Порядковая (ранговая) шкала. Шкала применяется для разбиения объектов на классы эквивалентности и для упорядочивания этих объектов по интенсивности проявления рассматриваемого качественного признака. После упорядочивания классы эквивалентности занимают определенные порядковые места (ранги). В общем случае порядковая шкала не имеет начала отсчета и масштаба. В порядковой шкале оцениваются знания учащихся, их психофизические и характерологические показатели, выступления спортсменов на соревнованиях, твердость минералов и т. д.

Полученные в результате исследования выводы могут быть адекватны реальности тогда и только тогда, когда они не зависят от того, какую единицу измерения предпочитает исследователь, то есть эти выводы должны быть инвариантны относительно допустимого преобразования значений измеренного в той или иной шкале признака.

Приведем допустимые преобразования Ф(*) значения х признака, измеренного в ниже перечисленных шкалах [6, 7]:

Абсолютная шкала. Ф(х) = х.

Шкала отношений. Ф(*) = ах,а > 0.

Шкала интервалов.

Ф(д:) = ах + Ь,а >0,&е /?

Шкала разностей. Ф{х) = х+ь,ьея.

Шкала наименований. Ф(х) - все взаимно однозначные преобразования.

Порядковая (ранговая) шкала. Ф(х) -все строго возрастающие преобразования. Допустимость монотонного преобразования значений признака, измеренных в порядковой шкале, означает, что эти значения можно произвольно изменять при условии сохранения установленного ими порядка следования объектов или классов эквивалентности этих объектов.

Когда эксперты измеряют в порядковой шкале некий качественный признак, то для нахождения агрегирующих показателей достаточно часто используют средние значе-

ния балльных экспертных оценок [1-3, 4-7]. Есть несколько способов вычисления средних значений: среднее арифметическое,

среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое, мода, медиана.

Рассмотрим применение в порядковой шкале среднего арифметического, как наиболее часто используемого. Предположим, что два абитуриента по одному вступительному экзамену получили соответственно оценки 4, 3, а по другому вступительному экзамену соответственно оценки 4, 5. Суммы баллов и средние арифметические баллов по результатам двух экзаменов у них одинаковые и равны соответственно 8 и 4. Отсюда делается вывод, что они имеют равные шансы на зачисление.

Поскольку при выставлении оценок на экзаменах мы имеем дело с порядковой шкалой, то применим строго возрастающее преобразование этой шкалы Ф: Ф(3)=3,Ф(4)=4,Ф(5)=7. В соответствии с проведенным преобразованием, которое является допустимым, сумма баллов и среднее арифметическое баллов одного абитуриента остались прежними, а у второго абитуриента стали равняться соответственно 10 и 5.

Таким образом, шансы на зачисление второго абитуриента больше, чем первого. Устойчивость результатов после преобразования нарушается, что говорит о том, что использование числовых баллов для оценивания качественных признаков должно быть, по-видимому, обосновано в рамках каждой конкретной задачи по причине не совсем корректного применения арифметических операций в порядковых и номинальных шкалах [8].

Поскольку применение средних в различных шкалах достаточно распространено, то нас интересует поиск средних значений, результаты сравнения которых устойчивы относительно допустимых преобразований значений признаков, измеренных в конкретной шкале. Дадим определения средних по Колмогорову и по Коши.

Для чисел средним по Колмо-

горову называется величина ^'[(е(*,)+

+ ^(х,)+...^(д:„) )/п ]; F(л:) - строго монотонная функция; Г“'(х) - обратная к /^(х).

Если р(х)= х, то среднее по Колмогорову- это среднее арифметическое; если /г(х)= 1пх, то среднее геометрическое; если F(x)= 1/х, то среднее гармоническое.

В [7] доказано, что в шкале интервалов из всех средних по Колмогорову можно использовать только среднее арифметическое, а в шкале отношений из всех средних по Колмогорову только степенные средние и среднее геометрическое.

Функция /(х„х2........хя) называется

средним по Коши для чисел х,,х,,...,Х„, если

..Л,)< тах(х,,*2,

В [7] доказано, что в порядковой шкале из всех средних по Коши можно использовать только члены вариационного ряда, в частности, медиану. Применение членов вариационного ряда для нахождения агрегирующего показателя по ряду частных показателей часто неинформативно в силу очень грубой оценки. Например, в образовательном процессе, когда знания оцениваются в баллах от двух до пяти.

Для оценивания качественных признаков и для описания количественных признаков эксперты достаточно часто используют вербальные шкалы. Значениями вербальных шкал являются слова, выражающие степень интенсивности проявления признака. Эти слова называются уровнями или градациями вербальных шкал. Будем рассматривать только те вербальные шкалы, на которых можно определить линейный порядок, то есть отношение «меньше - больше». Например, «неудовлетворительно», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично» - вербальная шкала для оценивания знаний учащихся. Уровни этой вербальной шкалы можно упорядочить. Примером вербальной шкалы, элементы которой нельзя упорядочить, является, например, шкала «образованный», «интеллигентный», «коммуникабельный», «выдержанный», «порядочный».

Задача определения множества уровней вербальной шкалы и задача определения

количественных значений проявления качественного признака в рамках этих уровней являются одними из основных задач экспертного оценивания [6]. С целью применения известных математических моделей обработки информации, уровням вербальных шкал в соответствие ставятся числовые баллы [6]. В результате такой процедуры вербальная шкала отображается на вербальночисловую шкалу. Определение значений баллов, поставленных в соответствие уровням вербальных шкал, является отдельной задачей, от решения которой зависит устойчивость результатов, полученных в рамках той или иной математической модели, поэтому необходимо обоснование использования именно этих значений в рамках той или иной задачи. Например, оценки «2», «3», «4», «5», поставленные в соответствие вербальным значениям «неудовлетворительно», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично» образуют в совокупности вербальночисловую шкалу.

Конечно, не стоит забывать, что числа, поставленные в соответствие вербальным уровням качественного признака, являются элементами порядковой шкалы и на них распространяются все ограничения, связанные с порядковой шкалой, о которых говорилось ранее.

Однако даже если в рамках конкретной задачи обосновано использование определенной вербально-числовой шкалы, в реальных условиях ее использования эксперты испытывают существенные трудности в связи со скачкообразными переходами от одного уровня к другому, не позволяющими уловить и оценить промежуточные (межуровне-вые) состояния оцениваемого признака.

Ответной мерой против такой закре-пощенности является процесс искусственного размывания числовых баллов, соответствующих уровням вербальных шкал. Например, в учебном процессе при оценивании, без ограничения общности, «хороших» знаний учащихся нередко используется не только оценка 4, но и целый диапазон оценок 3,5-4,5. Подобный процесс размывания баллов моделирует плавность оценочной

деятельности экспертов, но не облегчает процесс описания реальных объектов с оценками, расположенными вблизи к границам размытых областей.

Устранить этот недостаток позволяет аппарат теории нечетких множеств [3]. С позиции этого аппарата вербальным уровням качественного признака в соответствие ставятся не четкие интервалы значений, а нечеткие множества. Полученная при этом вербально-нечеткая шкала получила название лингвистической шкалы, применяемой для оценивания (описания) качественных признаков. Если вербально-числовая шкала для качественных признаков представляет собой набор вербальных уровней с поставленным им в соответствие набором чисел (элементов порядковой шкалы), то лингвистическая шкала представляет собой набор вербальных уровней с поставленным им в соответствие набором нечетких множеств, заданных на некотором универсальном множестве.

Поскольку качественные признаки не поддаются непосредственному измерению, то для них нельзя однозначно определить универсальные множества, как для количественных признаков. Определение универсального множества происходит в рамках каждого качественного признака и требований каждой конкретной задачи. Достаточно часто происходит словесное отождествление вербальных уровней (значений) признаков с нечеткими множествами, поставленными им в соответствие, в результате чего вербальные уровни и нечеткие множества называются лингвистическими значениями признака.

Определение лингвистических значений признаков обеспечивает возможность оперирования не со значениями самих признаков, несопоставимых между собой по сути и содержанию - измеренных в разных шкалах и имеющих разные размерности, а с безразмерными величинами - значениями функций принадлежности. Методы построения лингвистических шкал, которые обеспечивают экспертам максимум удобств при их использовании, приведены в [9,10].

Существует возможность построения математических моделей систем с использованием нечетких множеств и обычных арифметических операций [11, 14] и, как следствие этого, возможность использования методов регрессионного анализа, методов теории управления, методов многомерного шкалирования для анализа нечетких систем. Математической основой для построения таких моделей является алгебра нечетких чисел.

Нечетким числом А называется нечеткое подмножество множества действительных чисел /?, имеющее функцию принадлежности (1Л: Я -> [0,1].

Расширенная бинарная арифметическая операция, обозначаемая V, для нечетких чисел с функциями принадлежностей цА,цвФс определяется следующим образом:

С = А V;

В « Цс

Дадим общее определение операторов пересечения А и объединения V соответственно в классе треугольных норм (/-норм) и конорм (г-конорм).

Треугольной нормой называется действительная двухместная функция Т: [0,1]х[од]—»[од], удовлетворяющая следующим условиям:

1) т{0,0)=0,т(мл,1)=т(1,цл)=цА - ограниченность;

2) т{}1л,(хв)<т{}хс,цв\цА < 11с,цв 2-монотонность;

3) т(цА,цв)=т(цв,цл) - коммутативность;

4) т(цл,т(118,цс))=т(т(цл,цв),Ис) - ассоциативность.

Пара ([0,113") образует коммутативную полугруппу с единицей.

Примеры треугольных норм

1) т(цА,[1в)— >

2) Т(р.А, — " л^в ,

3) т{цл>цв)=тах(0,м„+Мв-1)-

Треугольной конормой называется

действительная двухместная функция

к: [од]х[од]—»[од], удовлетворяющая следующим условиям:

1) к(0,0)=0,к(мАЛ)=к(1,ил)=цл - ограниченность;

2) к{цА,^в)<к(цс,ц0),цА<^с,цв^цв -монотонность;

3) к{^А,цв)= к(^в,цА) - коммутативность;

4) к(р1А,к(цв,цс))= к{к(мА,и.\Ис) ~ ассоциативность.

Примеры треугольных конорм

1) К(цА,цв)=тм{цА,цв)\

2) *0иА,цв)=цА+^в-11лхцв;

3) К(цА,(1в)=тт(11ЛА+1Лв).

Согласно определению (1) арифметические операции, например, расширенного сложения и умножения можно интерпретировать следующим образом:

С = АВ<=> цс(г)= вир тт[^Л (а) цв (у)];

С = АВ <=> /*с(г)= Бирггпп[иЛ(л),^я(у)]-

Г*.ТУ

При решении различных задач математического моделирования часто используются нечеткие числа (L - /?)-типа (или нечеткие числа с функциями принадлежности (Ь - /?)-типа), для которых значительно упрощаются интерпретации расширенных бинарных операций. Функции Ь и Я удовлетворяют следующим свойствам:

1) Цо)=я(о)=1;

2) Ь и Я- невозрастающие функции на множестве неотрицательных действительных чисел.

Функция принадлежности нечеткого толерантного числа А (Ь- /?)-типа имеет вид

Л

а1

, х <1 а,, аь > 0;

, х > а,, а > 0.

V * У г 1

1, хе 1а,,аг\

Отрезок \а\, аг] называется интервалом толерантности, а а\ и а,- соответственно левым и правым коэффициентами нечетко-

сти. Если а, = а2, то нечеткое число А (Ь -/?)-типа называется унимодальным.

Символически унимодальное число (X - /?)-типа А может быть записано в виде А = (а,,а,,",,), а толерантное число {Ь - /?)-типа в виде А = {аиа„а2,ак). Нечеткие числа (1-Л’)-типа традиционно используются при построении лингвистических шкал.

Нечеткие числа (Ь - /?)-типа с Цх)= /?(д)= I - д: при а\ < аг называются Г-числами, а при а\-аг треугольными числами.

По определению расширенной операции сложения для толерантных (Ь - #)-чисел

^ = )> ^ ~ (^2 » ^1» ^2 ’^«2 ) С

функциями принадлежности соответственно цл(х) и л*в(лг) получаем толерантное (Ь - К)-

число [12] АВ с функцией принадлежности /Дг)= тах(тт/хл(х),^в(у)), которое символически записывается через свои параметры АВ = (ац +Ь^,а1+Ь1,а, + Ь2,аЯ1+Ь^). По определению расширенной операции умножения для толерантного (Ь - Л)-числа

А = (ац,а1,а7,а1<1) и обычного числа а получаем толерантное (1-/?)-число [11]

г ((а-ац,а-а1,а-а2,а-ай[).

Метод 1. Определение рейтинговых оценок объектов в рамках некоторого качественного признака и присвоение объектам квалификационных уровней из разряда принятых

Рассмотрим совокупность N объектов, у которых оценивается проявление некоторого качественного признака X. Будем считать процедуру оценивания этого признака сложной и состоящей из нескольких процедур оценивания в рамках к разделов. Минимальное количество баллов, которыми может быть оценен объект в рамках /-го раздела равно нулю, а максимальное количество баллов равно г,,; = 1 ,к. Предполагается, что процедуры оценивания объекта по каждому разделу не вызывают трудностей, так как достаточно четко описаны, например, в виде инструкций.

Обозначим г" балльную оценку, которая соответствует оценке проявления исследуемого признака у и-го объекта я = 1,лг в рамках /-го раздела / = Пронормируем эти оценки и представим результат оценивания п-го объекта п = 1, N в виде вектора

= ('< .

т

т

Пусть в рамках метода [9] построена лингвистическая шкала с т значениями для оценивания признака X. Построение опирается на информацию относительно субъективного представления эксперта о параметрах, необходимых для построения, или информацию из предыдущего опыта эксперта. Количество лингвистических значений шкалы определяется количеством принятых (или специально разработанных) вербальных уровней интенсивности проявления признака X. Пусть /*,(*)/= 1 ,т - функции принадлежности лингвистических значений Х„1 = 1,т признака X. Эти функции являются функциями принадлежности Г-чисел или треугольных чисел. Представим координаты

вектора оценок п-го объекта п = 1, N в виде

(т \ т _

5^. (т-") = (т“ = .

м ) м

Учитывая заложенную в процедуре оценивания нечеткость, заменим оценки т", I = 1, к, п = 1, N лингвистическими значениями признака X. Тогда координатами вектора оценок п-го объекта п = 1,Ы будут нечеткие числа

тл, =иХт") X, Ф... © ц, (ш;) X,. Параметры этих чисел определяются покомпонентным умножением параметров нечетких множеств Хп1 = 1,т на обычные

числа ц, (т") / = 1, т-, / = 1,к; л = 1, N и после-

дующим их сложением.

Получаем новый вектор нечетких

оценок п-го объекта п = 1, N :

Каждая из оценок должна внести свой вклад в итоговую рейтинговую оценку с некоторым весовым коэффициентом, который определяется исходя из важности соответствующего этой оценке раздела. Если система предпочтений отсутствует, то разделы и соответствующие им оценки счита-

1 • гг

ются равнозначными с весами со, =—,1 = 1,к-

К

Если система предпочтений присутствует, то проранжируем разделы, каждый из которых направлен на измерение одной из составляющих, в порядке убывания их значимости по вкладу в общую оценку. Воспользуемся шкалой Фишберна [12] и определим весовые коэффициенты следующим образом:

Итоговую нечеткую рейтинговую оценку проявления исследуемого признака у п-го объекта п = 1,Ы найдем по формуле А" = (0, т" Ф...@сок <8>т”.

Пусть ~ функция принадлежности нечеткого множества Ап. Чтобы получить четкую итоговую рейтинговую оценку, дефаззифицируем Ап по методу центра тяжести:

I

---------,п = 1,и.

о

Нетрудно показать, что если

(-О = (я„ 1 > 2 >**„,,), ТО

1

§хт]п(х)(1х

2к2+0

Назовем эту оценку степенью интенсивности проявления признака X у п-го

объекта п = 1,Ы. Если п-му объекту необходимо присвоить один из квалификационных уровней (лингвистических значений призна-

ка), то можно использовать, не ограничивая общности, показатели

„ Площадь(т]а(х)пц,{х)) ,7—

Площадь{г)а (х)и [I, (а)) ’

ИЛИ

I

= | (*)- , 1 = 1т.

О

Если А' = шахЯ;,,(сг,; = шахсг' ), то п-му

/ /

объекту присваивается _/-й квалификационный уровень.

Метод 2. Определение рейтинговых оценок многочисленных объектов в рамках нескольких качественных признаков, измеренных в вербальных шкалах

Рассмотрим совокупность N объектов, у которых оценивается интенсивность проявления качественных признаков = 1 ,к. Оценивание производится в рамках

определенной для каждого из признаков вербальной (порядковой) шкалы. Пусть X 1,1 = 1т, - уровни вербальной шкалы признака = I, к, расположенные в порядке

возрастания интенсивности проявления этого признака.

Обозначим за а/, I = 1 ,т„ ] = 1,к - относительные содержания объектов в общей совокупности N объектов с уровнями А,*, 1 = 1,т„ у = 1Д ,

^а/ =1, 7 = 1 ,к.

Ы\

Опираясь на эти данные и метод [10] построим к лингвистических шкал со значениями соответственно хц =« а; »,

/ = 1, т, ,7 = 1,*: для оценивания признаков

к.,у = . Обозначим за цц(х\ I = 1,ш,, у = \,к -

функцию принадлежности I-го значения у-й лингвистической шкалы. Будем называть оценками объектов лингвистические значения X / = 1,т(, ] = \,к или их функции принадлежности Ц9(х),1 = 1,т1, 7 = 1Д. Обозначим за х1; и ^;(х)н(а;„а;2,а;,а;), п=Щ,]=йк, оценку я-го объекта в рамках ./-го признака.

Нечеткое число X" с функцией принадлежности ц"(х) равно одному из значений хи,1 = 1т, у -й лингвистической шкалы, Пусть весовые коэффициенты оцени-

______ «г

ваемых признаков равны = = 1.

У=*1

Рейтинговая оценка и-го объекта, п = 1Ы в рамках оцениваемых к признаков определяется в виде нечеткого числа Я" = й),х;е...Фй)1х;, функция принадлежности которого определяется в виде

, П = 1,лг.

Следует отметить, что, работая с разными качественными признаками, автор не складывает, образно выражаясь, красоту с характером, так как оперирует абстрактными понятиями - значениями функций принадлежности. Более того, не следует забывать, что применяемые для функций принадлежности операции определяются на основе минимаксных операторов и соответственно не являются привычными арифметическими операциями

Дефаззифицируя полученное нечеткое число по методу центра тяжести, получим число:

Е" = —

I

£ х{1" (х)1х

-,п = 1,ЛГ,

определяющее рейтинговую оценку п -го объекта, п = 1, N.

Назовем эту оценку средней степенью интенсивности проявления к признаков у п-го объекта, л = 1,м. Будем считать, что по результатам оценивания всех признаков объектам необходимо присвоить один из принятых квалификационных уровней д,/ = \,т. Уровни расположены в порядке возрастания их рейтинга. Построим лин-

гвистическую шкалу со значениями а:,=«д», 1-1,т по методу [9]. В качестве необходимых для построения параметров берутся априори заданные относительные содержания объектов (возможно, некой идеальной совокупности) в рамках каждого квалификационного уровня. Обозначим функции принадлежности значений хп1 = 1,т соответственно за I = 1,т. Чтобы присвоить л-му объекту один из квалификационных уровней А,,1 = 1,т, нужно идентифицировать нечеткое число с функцией принадлежности ^"(дс) п = 1,/У с одним из значений с функциями принадлежности ц,(х\ 1 = Ът. Для этого вычислим идентификационные показатели:

Идентифицируем нечеткое число с функцией принадлежности л = 1,# с тем из нечетких чисел с функцией принадлежности /*,(х)/ = 1,т, которому соответствует максимальный идентификационный коэффициент. Если ц"(х) идентифицируется с Му(*)> то п-ому объекту присваивается квалификационный уровень Д, у = 1т, п = йй .

Метод 3. Определение рейтинговых

оценок подмножеств совокупности объектов в рамках одного качественного признака.

Рассмотрим совокупность N объектов, у которых оценивается интенсивность проявления качественного признака X. Оценивание производится в рамках вербальной (порядковой) шкалы. Пусть Д, I = 1т -уровни вербальной шкалы признака X. Совокупность объектов разобьем на к подмножеств и для каждого из этих подмножеств определим рейтинговую оценку в рамках рассматриваемой совокупности.

Обозначим а/,/ = ’Гт,; = й - относительное количество объектов у- го подмножества, отнесенных к уровню дл = йп", а

а, ,1 = 1,т - относительное количество объектов всей совокупности, отнесенных к к уровню д, / = 1т качественного признака X.

Опираясь на данные а,,1 = \,т и метод [9] построим лингвистическую шкалу со значениями X, =«Д », 1 = 1,т и их функциями принадлежности цХх),1-1,т . Определим рейтинговую оценку ] -го подмножества совокупности объектов в рамках признака X в виде нечеткого числа с функцией принадлежности

А, =а;ц, И2 -< ,

Рейтинговую оценку для у-го подмножества объектов найдем по формуле

I

—,/=й.

о

Выводы

В работе на основе аппарата теории нечетких множеств описаны методы нахождения рейтинговых оценок реальных объектов в рамках одного или нескольких качественных признаков. Эти методы являются универсальным и могут применяться в различных областях деятельности человека.

Литература

1. Панин М. Морфология рейтинга // Высшее образование в России. - 1998. - № 1. - С. 90 - 94.

2. С. Ершиков, Т. Лобова, С. Филиппов, и др. Опыт использования рейтинговой системы // Высшее образование в России. - 1997. - № 4. - С. 97 - 102.

3. Кругликов В. Рейтинговая система диагностики учебного процесса в вузах И Высшее образование в России. - 1996. - № 2. - С. 100 - 102.

4. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. - М.: Финансы и статистика, 1987.

5. Хубка В. Теория технических систем. - М.: Мир, 1987.

6. Литвак Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. - М., Радио и связь, 1982, - 184 с.

7. Джини К. Средние величины. - М.: Статистика, 1970.

8. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. - М.: Диалог-МГУ, 1998.

9. Полещук О.М. Методы представления экспертной информации в виде совокупности терм-множеств полных ортогональных семантических пространств // Вестник Московского государственного университета леса - Лесной вестник. - 2002. -№5(25).-С. 198-216.

10. Полещук О.М. Некоторые подходы к моделированию системы управления образовательным процессом // Телекоммуникации и информатизация образования. - 2002. - № 3. - С. 54 - 72.

11. А.Н. Аверкин, И.З. Батыршин, А.Ф. Блишун, и др. - Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. - М.: Наука, 1986.

12. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. - М.: Наука, 1978.

13. Zadeh L.A., Fuzzy sets // Inform. And Control, 1965, №8. P. 338-352.

14. Dubois D., Prade H. Fuzzy real algebra: some results //Fuzzy Sets and Systems. 1979. № 4. P. 327 - 348.

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПАРАМЕТРОВ РЕГИОНАЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ РАЗВИТИЯ ЛЕСНОГО СЕКТОРА

Е.В. СИЛКИНА, асп. ВНИИЛМа

В данной работе экономико-математическое моделирование выполняется в системе территориально-экономического районирования по следующей схеме: потребности в лесных ресурсах многоцелевого назначения — источники ресурсов —> экологоэкономические возможности их освоения.

В соответствие с данной схемой территориально-экономический район использова-

ния и воспроизводства лесных ресурсов устанавливается с помощью системы показателей, характеризующих потребности экономики конкретного территориально-экономического района, или территориально-производственного комплекса, показатели количественного и качественного состава лесных ресурсов, технических и экономических возможностей удовлетворения выявленной потребности.