Формирование компетентностей у студентов 1 курса при изучении математического анализа

Перькова Н.В.

ФОРМИРОВАНИЕ КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ У СТУДЕНТОВ 1 КУРСА ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Модернизация российского среднего и высшего образования, в частности, внедрение ком-петентностного подхода в обучение, предполагает не полную замену существующего содержания образования, а лишь смещение акцентов в оценке значимости тех или иных результатов массового образования в связи с современными требованиями.

Компетентным является человек, который способен практически разрешать нестандартные, значимые для себя ситуации, используя для этого знания, умения, способности, опыт и т.д. Главная ключевая компетентность - это умение решать проблемы. Как отмечают исследователи, ключевая компетентность обладает интегративной природой, так как вбирает в себя ряд однородных или родственных умений и знаний, соответствующих относительно широкой сфере культуры и деятельности [1].

Так, школьник и студент должны обладать высоким уровнем сформированное™ организаторских умений, позволяющих им самостоятельно действовать в различных ситуациях. Развитие самостоятельности у обучаемых заключается в том, чтобы, с одной стороны, научить их самостоятельно овладевать теоретическими знаниями о предмете изучения, формировать свое мировоззрение, а с другой, в том, чтобы научить их самостоятельно применять имеющиеся знания в учебных и практических (или близких к практическим) ситуациях. Это значит, что они должны владеть не только научными знаниями об объектах, с которыми они имеют дело, но и знаниями общих способов их изучения. Поэтому обучение математическим дисциплинам в школе и в вузе в контексте компетентностного подхода должно быть преобразовано так, чтобы создавались условия для превращения способов действия в средства действия.

Сравнение фундаментальных понятий математического анализа с точки зрения преемственности средней школы и вуза показало, что большинство понятий, сформированных в школе на разном уровне строгости, в вузовском курсе трактуются с тех же позиций, только углубляются, и расширяется спектр их приложения. Но анкетный опрос студентов показывает, что вплоть до 3 курса самым трудным предметом среди математических дисциплин в вузе является все-таки математический анализ.

Особенность усвоения математического анализа студентами 1 курса сопряжена с определенными трудностями. Идейное богатство содержания, новизна идей и методов предъявляют высокие требования к общности рассуждений и безупречности логических построений. Причина трудности понимания этой дисциплины кроется в исследовательском характере, который диктует аналитический вид деятельности. Уметь анализировать, как известно, значит обладать высоким уровнем математической культуры. А как показывает практика, первокурсники не располагают в достаточной мере “инструментами” для самостоятельного постижения фундаментальных основ математического анализа. Под “инструментом” понимаются те общие учебные действия, с помощью которых студент сможет самостоятельно постигать математический анализ.

Не случайно темы 1 семестра объединены названием “Введение в анализ” и включают в себя изучение основных понятий - действительные числа, функции, предел. Этот материал первокурсникам поверхностно известен. Именно поверхностно, т.к. изучение опыта преподавания начал анализа в школе показывает, что усвоение основных понятий математического анализа представляет особую трудность. Поэтому появляется тенденция к поверхностному изучению, при котором основное внимание уделяется выработке простейшей техники вычислений в ущерб их осмыслению.

Исходя из этого, цели изучения раздела “Введение в анализ” в вузе уточняются следующим образом:

1. Подготовить первичный аппарат математического анализа для успешного изучения дифференциального и интегрального исчисления функций одной переменной (1 курс), а также последующих тем математического анализа.

2. Создать условия для формирования у студентов определенных учебных действий, необходимых для изучения математического анализа.

3. Подготовить первокурсников к самостоятельной деятельности при изучении новых разделов математического анализа и постоянного совершенствования знаний.

Учитывая специфику математического анализа, были выделены общие учебные действия:

• анализ (расчленение целого объекта (метода, идеи и т.п.) на части) внутренних существенных свойств математических объектов в их закономерной взаимосвязи и т.п.;

• синтез (обратный переход от абстрактных положений к мысленному восстановлению, т.е. к конкретному) на основе анализа и т.п.;

• сравнение (математических объектов, определений, формулировок теорем, идей доказательств, методов решения задач, алгоритмов решения класса задач и т.п.);

• подведение под понятие и выведение следствий;

• формулировка математических предложений на естественном языке;

• действия поиска решения задач, идеи доказательства;

• действия работы с теоремами разных видов и т. д.

Для того, чтобы студенты 1 курса могли осуществлять выделенные действия, необходимо запустить так называемый механизм опосредования, который осуществляется в 4 этапа.

На первом этапе осуществляется действие по заданному образцу. Студенты получают задачу и план ее решения. План выступает формой опосредования, а решение задачи по плану требует от студентов соответствующих знаний, как по содержанию, так и по действиям. Результатом этого этапа будет общая ориентировка на формирование определенных учебных действий, осознание цели учебной деятельности, т.е. студент ставит вопросы: “Что нужно сделать, чтобы решить данную задачу?”, “Чему научился, решая задачи определенного типа?”, и т.д.

На втором этапе анализ предшествующей самостоятельной мыслительной деятельности переходит во “внешнюю” речь и оформление решения задачи, ответы на вопросы к задаче. Механизм опосредования заключается в ориентации студентов на конструктивное мышление. Такая ориентация может осуществляться с помощью заданий типа: “Выдвини гипотезу и докажи...”, “Сконструируй пример, доказывающий...”, и.т.д.

На третьем этапе студенты делают выводы, как о содержании, так и о действиях.

На четвертом этапе на основе полученных выводов о действиях студенты выполняют следующее (аналогичное, исследовательское или новое) задание, формулируют задачи самостоятельно.

При такой поэтапной организации самостоятельной учебной деятельности действия приобретают характер исследовательский и конструктивный. Решая задачу, студент сначала должен выступать в роли исследователя, т. е. анализировать, сравнивать, конкретизировать и т.д. математические объекты, а затем построить новые объекты, обладающие наперед заданными свойствами. Так, например, первокурсники часто оказываются беспомощными в случае необходимости привести пример или контрпример функции, обладающей определенными свойствами. Они перебирают в памяти уже известные функции с известным аналитическим заданием, хотя в большинстве случаев проще задать функцию кусочно.

Рассмотрим некоторые примеры заданий по темам раздела “Введение в анализ”.

На первых практических занятиях по теме “Действительные числа” целесообразна коллективная форма организации учебной деятельности студентов. В этом случае каждому студенту предоставляется возможность высказать свое мнение, защитить свое решение, сравнить объекты, выбрав свои критерии сравнения. Задания, предложенные ниже, являются подготовительными для решения задач из сборников по математическому анализу по этой теме. Понятия студентам знакомы, поэтому акцент делается на деятельностной стороне. Предлагаются задания новые по форме, но объем школьных знаний позволяет найти ответы на вопросы.

Задание 1. Даны два множества:

М = •!—| т е 2, п е N }, Ь = •!—| т е 2, и е N, НОД (| т|, и) = 1 >.

Ответьте на вопросы:

а) Что общего и что различного у этих множеств?

б) Охарактеризуйте словесно каждое из множеств М и Ь.

в) Какое из высказываний является истинным? Ь С М М С Ь

г) Какое из этих множеств является множеством всех рациональных чисел?

Приведите свои примеры конкретных множеств М , Ь.

Задание 2. Для каждого из числовых множеств N 2, Р:

а) перечислите все операции, которые на них всегда выполняются;

б) укажите виды всегда разрешимых алгебраических уравнений;

в) укажите все арифметические действия, которые не являются всегда выполнимыми;

г) назовите виды алгебраических уравнений, которые не являются всегда разрешимыми;

д) сделайте вывод о расширении числовых множеств;

е) какая операция не выполняется ни на одном из этих множеств?

Задание 3. Задано отображение Q{M(х)}, где {М(х)} есть множество всех точек координатной прямой: каждому х е Q соответствует единственная точка М(х) координатной прямой с координатой х.

Ответьте на вопросы:

а) Каждое ли число х е Q имеет в отображении 9 своим образом точку координатной прямой?

б) Каждая ли точка координатной прямой имеет в отображении 9 прообраз в Р?

в) Приведите пример точки координатной прямой, координата которой не является рациональным числом.

г) Является ли отображение 9 обратимым? Объясните почему.

д) Какой вид имеет образ множества Р в отображении 9 ?

В заданиях 1-3 студенты обобщают школьный материал (то, что они знали для конкретных чисел, теперь перенесено на множества), анализируют и сравнивают множества, делают выводы относительно расширения понятия числа. В этих заданиях дается образец, - какие существенные вопросы надо задать и найти ответ, чтобы понять, в результате чего произошло расширение.

На вопрос задания 2 е) первокурсники отвечают - операция извлечения квадратного корня не выполняется на всех перечисленных множествах. Это связано с тем, что введению чисел, отличных от рациональных, в школе предшествует доказательство того факта, что среди рациональных чисел нет такого, квадрат которого был бы равен 2. Между тем, новая операция, выполняющаяся для фундаментальных последовательностей, всегда выполнимая на множестве Я и не всегда на множестве Р, есть операция предельного перехода. Я - полное метрическое пространство, Р - нет. Но в начале 1 курса студенты не могут самостоятельно увидеть этого факта и оценить важность взаимосвязи понятий действительного числа и предела, поэтому вопросы задания нацелены на формулирование такого вывода. После чего изучение теории пределов будет происходить с другой мотивацией.

При выполнении задания 3 устанавливается, что геометрический образ множества Р не совпадает с координатной прямой. Геометрические соображения приводят к необходимости пополнения множества Р такими числами, образы которых заполняли бы всю координатную прямую.

Задание 4. Найти ошибку в рассуждениях: “Пусть д ф 1, п е N, р е N, д е N

р р г-

- несократимая дробь (— е Q). Доказать, что д/и й Q.

д д

Г р р2

Доказательство: обозначим ып = —, тогда и = --, что невозможно, т.к. д ф 1, и е N не

д д

может равняться несократимой дроби р-, значит, л[и есть число иррациональное для любого

д

натурального п.

Ошибка заключается в следующем: не рассмотрен вариант у[й = к, к е N

В задании 4 студентам нужно проследить логическую последовательность доказательства с проверкой правомочности выполнения каждого шага. Задания такого типа учат самоконтролю. Задания 1- 4 соответствуют 1 этапу механизма опосредования.

Задание 5. Придумайте задачу, у которой было бы изложенное выше доказательство.

Примерный вариант условия задачи: “Доказать, что если л/п й N, то л/п - иррациональное число”.

Задание 5 соответствует 2 этапу.

/

Задание 6 . Задано отображение Я {М(х)}, где {М (х)} есть множество всех точек прямой: каждому х е Я соответствует единственная точка М(х) координатной прямой.

а) Запишите вопросы, аналогичные для Р (задание 3), и ответы к ним.

б) Сравните образы множества Р и множества Я.

в) Укажите область определения и множество значений в отображении /_1.

г) Укажите 2-3 способа получения иррационального числа из данного рационального.

В задании 6 студентам надо применить знания относительно учебных действий, полученные из предыдущих заданий, и установить внутренние связи между множествами. Это соответствует 3 этапу.

На примере заданий 1, 3, 6 студентами составляется правило-ориентир действия сравнения в виде алгоритма, что соответствует 4 этапу.

Правило-ориентир.

1. Определить цель сравнения.

2. Выделить признаки сравниваемых объектов.

3. Определить возможные линии сравнения в соответствии с поставленной целью и обнаруженными признаками.

4. Установить общие признаки.

5. Установить отличие в сравниваемых объектах

6. Сформулировать вывод о сходстве и различии данных объектов в соответствии с поставленной целью.

При изучении темы “Действительные числа” студенты повторяют понятие модуля числа и методы решения уравнений и неравенств с модулем. Но если поставить цель - обучить студентов анализу условий, то ее постановка должна облегчить процесс “разложения” задачи на подзадачи.

Задание 7. Решить уравнение |х2 + 2 х - 2| = х +1

Решение этого уравнения по алгоритму не составит труда, если не считать, что корни этого уравнения иррациональные. Но механическое воспроизведение алгоритма не всегда ведет к пониманию вопросов “Почему именно так надо делать?” Поэтому изменим условие следующим образом:

Запишите, не используя знака модуля, аналитическое выражение для функции / (х) = |х2 + 2х - 2 - х -1. Сделайте чертеж.

Вопросы.

1.Запишите свое условие задачи, подметив связь между уравнением (*) и функцией Дх). Решите уравнение известным вам методом.

2.Решите геометрически уравнение ДХ) = 0, записав его в удобной форме. Укажите количество корней.

3. Справедлива ли равносильность уравнения и совокупности систем?

Г х2 + 2 х - 2 = х +1 [ х +1 > 0

I - (х2 + 2 х - 2) = х +1 [ х +1 > 0

Объясните почему?

3. Решите уравнение (*), используя совокупность систем, рассмотренную выше. Сравните это решение с тем, которое предложили вы.

4. Запишите уравнение |х2 + 2х - 2| = |х +1 и решите его известным вам методом.

5. Запишите в общем виде алгоритм решения уравнения /(х)| = (х)|.

Решению уравнений и неравенств с модулем в школе уделяется мало внимания, и студенты испытывают трудности, даже решая уравнение по алгоритму. Но чаще теоретические обоснования шагов алгоритма остаются непонятыми. При решении рассмотренных выше заданий студенты овладевают действиями:

- переноса аналитических рассуждений в план геометрических представлений;

- переформулирования задач;

- сравнения способов решения;

- установления внутренних связей внутри одного понятия и т. д.

В рамках темы “Функции” студенты повторяют известный материал из школы, касающейся основных видов функций, их свойств и графиков. Следующие задания необычны по содержанию, но объем школьных знаний позволяет их решить, и в результате решения приобрести полезные учебные действия: подведение понятия под определение, выделение существенных и несущественных свойств понятия, конструирование обратного утверждения, и др.

Задание 8. Пусть О - множество отрезков плоскости Р, П - множество прямых плоскости д

Р. Задано соответствие О  П : каждому отрезку плоскости Р ставится в соответствие прямая этой плоскости, являющаяся серединным перпендикуляром данного отрезка.

а) Является ли соответствие q функцией? Почему?

б) Укажите область определения и множество значений для д.

в) Составьте обратное соответствие д-1.

г) Является ли обратное соответствие функциональным?

Задание 9 . Пусть Я - множество ромбов на плоскости Р, Н - множество окружностей

/

плоскости Р. Задано соответствие Я  Н , каждому ромбу ставится в соответствие окружность описанная около ромба.

а) Является ли соответствие f функциональным или нет?

б) Придумайте свой вариант соответствия £ но чтобы оно было функциональным.

в) Составьте обратное соответствие / 1.

г) Является ли f-1 функцией?

Задание 10. Составьте задачу, аналогичную задаче 8, в которой использовались бы:

а) множество квадратов и множество точек плоскости;

б) множество равнобедренных треугольников и множество прямых плоскости;

в) множество углов и множество лучей плоскости.

Задание 11. Соответствие Б(х) задано формулой: р(х) = -у] 1 - х2 (хе [0;1], у е [—1;0]).

1. Постройте график соответствия Б(х).

2. Дополните график соответствия Б(х) таким образом, чтобы график полученного соответствия был:

• симметричным относительно прямой х=1 (1);

• симметричным относительно прямой у =-1 (§);

• центрально-симметричным относительно точки (1 ;0) (q).

3. Для каждого соответствия £ q, g укажите область определения и множество значений.

4. Какие из соответствий £ q, g являются функциональными? Докажите.

5. Функциональные соответствия задайте формулами.

6. Для каждого соответствия £ g, q постройте график обратного соответствия.

7. Какое из соответствий у — , g—, q— является функциональным? Докажите. Функциональные соответствия задайте формулами.

Задание 12. Соответствие в задано формулой 0(х) = х2 (х е (-¥,0],у е [0, ¥)).

1. Постройте график соответствия в(х).

2. Достройте график соответствия в(х) таким образом, чтобы график полученного соответствия был:

а) графиком нечетной функции (1);

б) графиком четной функции ^);

в) нефункциональным соответствием ^).

3. Задание, аналогичное заданию 11 (2).

4. Задание, аналогичное заданию 11 (5).

5. Все соответствия £ g, q задайте формулами, включая и обратные.

Задание 13. Построить график функции

cos

f(x) = — sin

p

— + x

p

— + x 4

-Sin

4

\

p

— + X

4

+cos

V

— + X

4

Вопросы:

1. Почему можно заменить f (х) на — tgx ?

2. На каких промежутках эти функции тождественно равны?

3. Как надо изменить функцию f (х) , чтобы f (х) = tgx ?

Задание 14. Построить график функции f (х) = tg2х — sin2 х(1 + tg2х) — cos х.

Задание 14 является аналогичным заданию 13, только вопросы из задания 13 студенты задают себе сами. Они должны найти ответы на них и построить график функции

y = — cos х, х Ф Л + лк, к е Z

2

В задачах 8-14 используются учебные действия, как общего, так и частного характера:

- перевод с языка аналитического на геометрический;

- конструирование задач с заданными условиями;

- конструирование прямых и обратных задач;

- умение заменить функцию тождественно равной и т.д.

Таким образом, каждое учебное задание может быть рассмотрено как действие, являющееся составной частью более широкой деятельности, например, в усвоении темы “Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной”. И вполне можно говорить о мотивации выполнения конкретного задания и изучения какого-то раздела в целом. Осознание необходимости, полезности, успешности выполнения отдельных действий для понимания отдельных разделов и всего курса математического анализа усиливает мотивацию этих действий.

Литература

1. Стефанова Н.Л. Компетентность современного учителя математики и пути ее формирования в процессе методической подготовки в вузе / Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию “56 Герценовские чтения” / Под ред. В.В. Орлова. - СПб: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2003.- С.16.

Хмылко О.Н.

ФОРМИРОВАНИЕ БАЗОВОЙ КОМПЕТЕНТНОСТИ В УСЛОВИЯХ КОМПЕТЕНТНОСТНОГО ПОДХОДА НА ПРИМЕРЕ ОБУЧЕНИЯ КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКЕ МАГИСТРОВ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Одно из определений компетентности: «Обладание знаниями, позволяющими судить о чем-либо. Обладание компетенцией; где компетенция - это область деятельности, значимая для эффективной работы организации в целом, в которой индивид должен проявить определенные знания, умения, поведенческие навыки, гибкие способности и профессионально-важные качества личности» [1].

Компетенция - это область ответственности и определенная область полномочий [2].

Под профессиональной компетентностью понимается интегральная характеристика, определяющая способность специалиста решать профессиональные проблемы и типичные профессиональные задачи, возникающие в реальных ситуациях профессиональной деятельности, с использованием знаний, профессионального и жизненного опыта, ценностей и наклонностей [3].

Исходя из определения компетентности, компетентность не имеет верхней границы своего развития, индивид имеет возможность повышать уровень своей компетентности практически бесконечно, ограничиваясь только свойствами личности.

Основной задачей при исследовании вопросов компетентности является необходимость выявить минимальный уровень требований к компетентности тех или иных специалистов в той или иной предметной области. Этот уровень и будет считаться базовым.

Базовый уровень при формировании компетенций для разных специальностей может быть различным, однако, в любом случае, формирование базовой компетентности происходит ступенчато и непрерывно. Этапы формирования базовой компетентности представлены на Рис.1.

На примере формирования базовой компетентности в области компьютерной графики (КГ) представленные этапы имеют следующие значение:

«Распознавание». На данном этапе происходит формирование навыка отличать изобра-