Особенности расчета параметра Херста с использованием вейвлет функции

Особенности расчета параметра Херста с использованием вейвлет-функции

Ключевые слова: параметр Херста, вейвлет-функция, расчет, пошаговый алгоритм.

Эффективное функционирование современных промышленных предприятий и бизнес-структур в значительной степени зависит от наличия в их распоряжении современных средств связи, поскольку правильно организованная ведомственная (корпоративная, производственная) связь является одним из условий эффективного управления, а следовательно, и условием успешного функционирования самих структур (ведомств) и предприятий.

Современный этап развития корпоративных сетей характеризуется обязательным формированием информационной инфраструктуры, которая должна обеспечить максимальную экономическую эффективность производства. Доступ к этой инфраструктуре осуществляется на основе предоставления сотрудникам ведомства (корпорации) информационнокоммуникационных услуг.

В данной статье представлен расчет параметра Херста, основанный на методе оценки с применением вейвлет-функции. Метод, основанный на вейвлет-функции для временного ряда х(), связан с характером изменения дисперсии случайного процесса во временной и частотной областях. Вейвлет-оценка основывается на дискретном вейвлет-преобразовании (ДВП), которое имеет преимущество перед методами, основанными на объединении и оценке мак-симального правдоподобия, и не имеет их недостатков. Приведены необходимые формулы для расчета масштабных, вейвлет-коэффициентов и пошаговый алгоритм оценки параметра Херста потока трафика с помо-щью дискретного вейвлет-преобразования. В заключении говорится о проблемах, которые могут возникнуть при расчете параметра Херста.

Данилов А.Н.,

к.т.н., доцент кафедры АЭС МТУСИ, alexnicdanilov@yandex.iv

Петров ИА,

bigjoint@mail.iv

При проектировании современных мультисервиеных сетей доступа необходимо учитывать характер поступающей нагрузки. В настоящее время трафик мультисер-висных сетей доступа является самоподобным, поэтому при оценке пропускной способности сетей надо применять алгоритм моделирования самоподобного трафика. Основным параметром самоподобного трафика является параметр Херста. При оценке параметра Херста возникают определенные трудности. В данной работе предлагается модернизация существующего алгоритма оценки параметра Херста с использованием вейвлет-коэффициентов.

Успешная деятельность современного человеческого общества невозможна без научно организованного обмена сообщениями. Причем независимо от того, где приходится работать людям, каков результат их труда и в каком бы масштабе мы не рассматривали общество (страна, отрасль производства, предприятие и т.д.), обмен сообщениями между людьми остается основой организации их деятельности. Общение людей стало глобальным исключительно при помощи современных средств связи. Быстрое развитие телекоммуникационной техники позволило намного увеличить интенсивность общения людей, существенно увеличить объем передаваемых сообщений, а также многократно увеличить скорость их передачи.

Эффективное функционирование современных промышленных предприятий и бизнес-структур в значительной степени зависит от наличия в их распоряжении современных средств связи, поскольку правильно организованная ведомственная (корпоративная, производственная) связь является одним из условий эффективного управления, а следовательно, и условием успешного функционирования самих структур (ведомств) и предприятий.

Современный этап развития корпоративных сетей характеризуется обязательным формированием информационной инфраструктуры, которая должна обеспечить максимальную экономическую эффективность производства. Доступ к этой инфраструктуре осуществляется на основе предоставления сотрудникам ведомства (корпорации) информационно-коммуникационных услуг.

Одним из основополагающих моментов в возможности предоставления пользователям инфокоммуникаци-онных услуг, их постоянного расширения, модификации и т.д., является использование 1Р-технологий при построении сети связи, организации взаимоувязки сетевых сегментов.

Метод, основанный на вейвлет-функции для х(0, связан с характером изменения дисперсии случайного процесса во временной и частотной областях. Основные положения вейвлет-анализа приведены в [1, 2, 3,4].

Вейвлет-оценка основывается на дискретном вейвлет-преобразовании (ДВП), которое имеет преимущества перед методами, основанными на объединении и оценки максимального правдоподобия, и не имеет их недостатков. Принцип, положенный в основу ДВП - это многомасштабный анализ (ММА), который заключается в разложении последовательности х(0 на грубую (низкочастотную) аппроксимацию и мелкие (высокочастотные) детали:

х (1) = Xй ііА Л1)+X Уи (1 )>

к 3=^о к

(О

оо

ч.к=х’^.к - 1х(0Ск(0^

—со

Ло=0.

Ф,.

2"

к2‘ (к+1)2’ I

2*

к2‘ (к+1)2‘ 1

Ф(') =

О,

иначе

-1, 1/2<К1, О, иначе.

Масштабный и вейвлет-коэффициенты Хаара могут быть рекурсивно вычислены [7]:

иН.к = ^ (иі-2к иі.2к+І )'

W

Н.к ^ (иі,2к иі,2к+І )•

1. По оси ординат отложить значения левой части уравнения, т.е.

% к

Параметры {ф]Х (1) = 2 гфи(2 ^-к)} и

-1

{<|/ к (1) = 2 :\)/0(2"^-к)} образуют ортонормирован-ный базис из сдвинутых и расширенных масштабной функции фо и вейвлет-функции У|/Г| (см. рис. 1). Дискретное вейвлет-преобразование состоит в нахождении

коэффициентов {\у|Л^ = 1.....Ккег} И {и^к,кег},

определяемых скалярными произведениями:

2. По оси абсцисс отложить соответствующие значения масштабов і.

\л/2

3£

1д(о )=2 х Н-1

а) масштабная функция Фьі<(0 б) вейвлет-функция у

Рис. 1. Ортонормпрованный базис вейвлет-преобразования

системы Хаара

На практике работают с дискретным или конечным представлением х(0, заменяя полубесконечную сумму в (1) суммой на конечном числе масштабов 0<п — І, пє г.

При Хаар вейвлет-преобразовании (см. рис. 1) прототип масштабной и вейвлет-функций задаётся в виде:

1, 0 < / < 1 / 2,

1, 0</<1, ,

и ч/(0 = <

Показатель Херста Н можно оценить, подбирая прямую линию на логарифмическом графике

) = РН_1|) + С'Ч’

где Н - оценка Н; п«- объем данных и С\у - конечная константа.

В [6] доказано, что полученная оценка параметра Херста Н является несмещённой при достаточно произвольных условиях и эффективной при предположении гауссовской структуры данных.

Для графической интерпретации (рис. 2) метода получения оценки параметра Херста II необходимо выполнить следующее:

0 12 3-----J масштаб

Рис. 2. Графическая интерпретация метода оценки параметра Херста Н

Приведем пошаговой алгоритм оценки параметра Херста потока трафика с помощью дискретного вейвлет-преобразования [5].

Шаг I. Определение начатьных значений масштабных коэффициентов во.ь соответствующих масштабу j=0, которые равны значениям исходного временного ряда У(0:

а) установить ]=0;

б)50.0 = Г(/0),50.| =К(0,50.2 = К(/г),...,50.,ь.1 =

Шаг 2. Переход к масштабу 3+1: а) установить (=5+1; б) определить значения масштабных и вейвлет-коэффициентов вд, с!д на масштабе 3 с помощью рекуррентных формул:

5М [^/-1.2* “]• ^

где к =0,\...,к/-\-,к1 =/70/2у .

Шаг 3. Расчет начального момента 2-го порядка пъ<,) вейвлет-коэффициентов масштаба3, с помощью (6).

Шаг 4. Проверка условия ]<.!, где ,1=1о^(по). Если выполняется условие, то: возврат к шагу 2. Если условие не выполняется, то - переход к шагу 5.

Шаг 5. Определение уравнения аппроксимирующей прямой по методу взвешенных НК вида: Каждой точке по оси ординат, соответствующей значению к^Оп1-":), присваивается вес \^=К|.

Шаг 6. Определение точечной оценки параметра Херста I I из уравнения 2Н-1=а. Окончание расчета.

Соответственно, в случае проведения нескольких независимых измерений в течений I дней, когда для каждого 1-го дня была получена точечная оценка параметра Херста Н,, оценка среднего значения параметра Херста будет определяться по формуле

/7=-У//, ,1 = Г7.

I м

При расчете параметра Херста необходимо подобрать достаточно большой объем выборки для расчета масштабных коэффициентов. Для этого экспериментальным путем определяется оптимальное пороговое

значение от максимальной нагрузки в процентах. Это значение может варьироваться от 5% до 30%, в зависимости от типа трафика.

Для корректного подсчета параметра Херс га необходимо произвести ранжирование полученной выборки по убыванию.

При измерении трафика иногда происходят ситуации, когда производится зеркальная запись данных нагрузки в случае сбоя сетевого оборудования или программного обеспечения сбора данных. Это проявляется в виде единичных пиковых всплесков нагрузки. При анализе трафика не надо учитывать единичные пиковые всплески.

Для решения данных задач было разработано программное обеспечение на базе MS Access.

Литература

1. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. - М.: СОЛОН-Р, 2002. - 448 с.

2. Ершов В.А., Кузнецов Н.А. Метод расчета пропускной способности магистралей мультисервисных телекоммуникационных сетей //Труды Международной академии связи. - М., 1999. - № 1. - 325 с.

3. Переберин А.В. О систематизации вейвлет-преобразования// Вычислительные методы и программирование. -М., 2001.-Т.2.-258 с.

4. Полосухин М.Б., Столяр Н.Ф. Исследование влияния степени самоподобия потока сообщений реального времени на параметры качества обслуживания // Труды конфер. Международный форум информатизации. - М.: МТУСИ, 2005. - С.27-28.

5. Полосухин М.Б., Прокуланов Д.Д. Анализ фрактальных свойств трафика мультисервисной сети связи // Труды конфер. Международный форум информатизации. - М.: МТУСИ, 2005. - С.49-50.

6. Abry P., Veitch D. Wavelet analysis of long range dependent traffic. IEEE Transactions and Information Theory, Vol.44, No. I, January 1998.

7. Crovella M.E., Bestavros A. Self-similarity in world wide web traffic: evidence and possible causes.ln Proc. of the 1996 ACM SIGMET-RICS. International Conference on Measurement and Modeling of Computer Systems, May 1996.

FEATURES OF CALCULATION OF THE PARAMETER HERST USING WAVELET FUNCTION

Danilov AN., alexnicdanilov@yandex.ru,

Petrov IA, bigjoint@mail.ru.

Abstract: Effective functioning of industrial enterprises and businesses depends substantially on having modern communication facilities at their disposal because well-organised departmental (corporate, industrial) communication is one of the conditions of effective management and therefore a condition of effective functioning of the structures (departments) and businesses themselves.

The modern stage of functioning of corporate networks is defined by the compulsory formation of informational infrastructure that has to provide the maximum production efficiency. Access to the infrastructure is implemented on the basis of providing the department's (corporation's) employees with informational and communication services.

This article presents a calculation of Herst parameter based on the estimation method that uses wavelet function. A method based on wavelet functions for time series x (t), is associated with changes in the nature of the variance of the random process in time and frequency domains. Wavelet estimation is based on the discrete wavelet transform (DWT), which has an advantage over methods based on the union and the maximum likelihood estimation, and does not have their drawbacks. We present the necessary formulas for calculating the scale, the wavelet coefficients and step algorithm for estimating the Hurst parameter of traffic flow using the discrete wavelet transform. Finally, problems are mentioned that may arise from the calculation of Herst parameter.

Keywords: the parameter Herst, wavelet function, calculation, step by step algorithm.