Динамика гидромеханических процессов в центробежных насосах

УДК 531.3+532.542

Г.В. Русецкая, Л.В. Смирнов

ДИНАМИКА ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАСОСАХ

Волжская государственная академия водного транспорта, Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Исследовано динамическое поведение содержащих насосы гидросистем при нестационарных процессах. Получена математическая модель динамики насоса, предназначеная для использования на ранних стадиях проектирования при выборе геометрических и физических параметров, позволяющих удовлетворить проектным требованиям характеристик насоса и его динамическому поведению в составе создаваемой или заданной гидравлической системы.

Ключевые слова: центробежные насосы, вращение ротора, гидросистема, надежность, безопасность, математическое моделирование.

В центробежных насосах протекают взаимосвязанные процессы различной физической природы: механические, связанные с вращением ротора, и гидродинамические, обусловленные течением жидкости в проточных каналах.

Теоретические и экспериментальные исследования характеристик для содержащих насосы гидросистем представляют значительный интерес при решении задач обеспечения эффективной работы, надежности и безопасности большого числа современных технических систем и объектов.

Практическая необходимость при проектировании центробежных насосов и сложность протекающих в них физических процессов стимулируют разработку различных теоретических и экспериментальных подходов с целью обеспечения оптимальных проектных решений и эксплуатационных требований. Особенно сложным является изучение динамического поведения содержащих насосы гидросистем при нестационарных процессах, когда неизбежен выход за пределы обычно рассматриваемой узкой области работы насосного агрегата. Важную роль при этом играет математическое моделирование.

При изучении динамики гидросистем решается два типа задач. Наиболее часто рассматриваются относительно медленные процессы, когда оказывается возможным использование модели несжимаемой жидкости. Значительно реже рассматриваются быстрые волновые процессы типа гидравлического удара и акустических колебаний, когда сжимаемость жидкости существенна. Примером постановки и решения обеих типов задач могут служить исследования динамики систем циркуляции теплоносителя ядерных реакторов, так как требования к обеспечению их надежности и безопасности особенно велики [2, 3].

Во всех случаях из-за отсутствия более адекватных подходов и моделей, как это принято в прикладной гидромеханике [6], используются статические характеристики в виде зависимости перепада давления от расхода жидкости через элементы гидросистем, включая насос. При этом используется так называемый гидравлический подход, когда в общем случае трехмерное турбулентное течение заменяется квазиодномерным, осредненным по живому сечению потока и турбулентными пульсациями. В случае напорного течения и медленных процессов в качестве уравнений нестационарного течения жидкости используется уравнение Бернулли [6]. При этом математические модели нестационарных процессов в гидросистеме представляют собой систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений для участков и уравнений неразрывности для узлов соединения и разделения потоков. Насос, подобно местному сопротивлению, представляется в виде сосредоточенного элемента с гид-

© Русецкая Г.В., Смирнов Л.В., 2010.

равлической характеристикой, которая при необходимости должна быть задана не только в узком диапазоне, соответствующем стационарной работе, но иногда и при обратном течении жидкости через насос.

Для получения характеристики гидравлической системы при нестационарных процессах в настоящее время разрабатывается и используется при исследованиях подход, основанный на методах аналитической механики [1]. Этот подход разработан для математического моделирования динамики сложных гидравлических систем и назван прикладной аналитической гидромеханикой [2, 4]. Уравнения для участков между узлами представляются в виде уравнений Лагранжа 2-го рода в обобщенной на случай переменного состава форме, то есть с учетом дополнительных сил, обусловленных потоком массы через границы. Уравнения вращения рабочего колеса каждого из входящих в состав гидросистемы насосов также являются уравнениями Лагранжа, а связи механических и гидродинамических процессов выражаются в гидравлических характеристиках насосов и в зависимости момента сопротивления на валу насоса от расхода перекачиваемой жидкости. При исследованиях предполагается, что характеристика насоса может быть представлена в виде полиномов относительно расхода и угловой скорости рабочего колеса. Такое нетрадиционное представление математической модели гидросистемы позволило получить новые, важные с теоретической и практической точек зрения результаты [2, 3].

Проблема, решению которой посвящена настоящая работа, состоит в разработке упрощенной инженерной методики построения этой характеристики для стационарного режима, то есть для различных, но фиксированных значениях расхода и угловой скорости ротора насоса, а также в исследовании поведения взаимодействующих механических и гидродинамических процессов в центробежных насосах на переходных режимах. С этой целью выполнено обобщение прикладной аналитической гидромеханики.

Центробежный насос рассматривается как связанная с внешней средой система, представляющая собой совокупность взаимосвязанных четырех элементов, динамически взаимодействующих с потоком рабочей жидкости: подводящий канал, рабочее колесо, отводящий канал, диффузор.

В рамках прикладной аналитической гидромеханики (ПАГМ) система этих элементов рассматривается, аналогично гидравлической системе, как совокупность соединенных последовательно четырех участков. При этом поток, протекающий через эти участки, рассматривается как одно неразрывное целое.

Однако, в отличие от гидравлической системы, состоящей из неподвижных участков, в системе «Центробежный насос» имеется вращающийся участок - рабочее колесо. Этот участок представляется в виде К одинаковых, соединенных параллельно каналов, через которые движется жидкость, динамически взаимодействуя со стенками этих каналов.

Наличие участка с вращающимися границами потока обусловливает в центробежных насосах протекание взаимосвязанных процессов различной физической природы: механических и гидродинамических. Необходимость исследования этих процессов требует выделения в рассматриваемой системе двух взаимодействующих подсистем:

• механической подсистемы, связанной с вращением ротора насоса и с учетом динамического взаимодействия рабочего колеса ротора с потоком;

• гидродинамической подсистемы, связанной с движением жидкости в г = 1,2,3,4 участках и с учетом динамического взаимодействия потока с рабочим колесом ротора (участок г = 2 ).

Механическая подсистема представлена ротором, включающим рабочее колесо с внутренним потом жидкости в К проточных каналах колеса, вал и вращающиеся элементы привода. Геометрическими характеристиками механической подсистемы является 3 - суммарный момент инерции элементов ротора насоса. Состояние механической подсистемы описывается переменной ф - угловой скоростью ротора.

Гидродинамическая подсистема состоит из проточной части насоса, включающей подводящий канал, проточные каналы рабочего колеса, отводящий канал, диффузор, г = 1,2,3,4

соответственно. Состояние гидродинамической подсистемы описывается переменной Q -расходом жидкости. Геометрическими характеристиками гидродинамической подсистемы являются: Д = Д (/) - радиус-вектор точек оси потока /; площадь поперечного сечения потока Б = Б (/ ) . Эти параметры на входе в канал и на выходе из него: (Д ^ , (Д )г; (/ ^, (/,)2; (Я,), (Б,)2.

Рис. 1. Структурная схема системы «Центробежный насос»:

1 - подводящий канал; 2 - рабочее колесо; к - проточные каналы рабочего колеса;

3 - отводящий канал; 4 - диффузор

При описании движения механической подсистемы движение ротора рассматривается как вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Описание движения гидродинамической подсистемы, согласно ПАГМ, выполняется в гидравлическом приближении: поток считается одномерным; сжимаемость жидкости и упругость стенок проточных каналов пренебрегаются; гидравлические потери на участках определяются с использованием обобщенных экспериментальных данных, эмпирических и полуэмпирических зависимостей, обычно получаемых для стационарных режимов течения [6]. Участки г = 1,2,3,4 подсистемы рассматриваются как тела переменного состава, поскольку имеется поток массы через границы этих участков.

Рис. 2. Схема течения в проточных каналах рабочего колеса:

1 - рабочее колесо; 2 - проточные каналы рабочего колеса

Рис. 3. Схема течения жидкости в отводящем канале

Рис. 4. Общая схема течения жидкости в подводящем канале и диффузоре

Движение жидкости на участке отводящего канала (г = 3) гидродинамической подсистемы происходит при переменном вдоль потока расходе (рис. 3). Изменение расхода вдоль канала определяется в соответствии с принятой в практике расчета насосов зависимостью [5]:

Яз =

ОУз(!з) 2ж

Движение жидкости в подводящем канале, рабочем колесе и диффузоре происходит при постоянном вдоль потока расходе.

Для описания с позиции ПАГМ движения системы «Центробежный насос» используется уравнение Лагранжа:

й дТ дТ

й дд у д1 у

= Ф,

у = 1,... У.

где # - обобщенная координата системы; Т - полная кинетическая энергия системы, обусловленная вращением канала и движением жидкости в канале; Фу - обобщенные силы, соответствующие обобщенной координате # , включающие, кроме обобщенных внешних сил, и обобщенные дополнительные силы, обусловленные переменным составом; ду - обобщенные скорости системы.

Кинетическая энергия системы Т определяется суммой кинетических энергий механи-

— 2 ^

ческой подсистемы Тм = —-— и гидродинамической подсистемы Тщ = ^ Тг :

г =1

-ф 2 ^

Т=т

2 г=1

где - - момент инерции ротора насоса, включающего рабочее колесо, приводной вал и вращающиеся элементы передаточного механизма; где Т - кинетическая энергия жидкости в участках гидродинамической подсистемы:

T -

ре , i = 1,4;

Je'

2 Д S

Кр 2

(¿2)2 J

(l 2 )1

ф2 R2 + - 2

K2 S.

KS,

^^ , Ï - 2 ;

/-)2 (l2)2 2

pQ J ^ ^, i - 3

8^2 (¿2 )l S3

p 2

(¿i )2

J= т " масса жидкости в участке; Q - расход жидкости в гидродинамической под-

(¿, )i

системе; V = [v22e + -2V2,ÊV2,r cos(r2,Êfrг)]1,5 ; V2e =(R2

V%r =

КБ.,

- абсолютная, пере-

носная и относительная скорость жидкости в каждом канале рабочего колеса, соответственно; К - количество каналов рабочего колеса; х2г, т2 - единичные векторы направлений переносной и относительной скоростей соответственно.

Интегрирование ведется по длине каналов от входного до выходного сечения. Выражение для кинетической энергии (4) позволяет выбрать вид обобщенных координат системы. Входящие в выражение (4) физические величины: угловая скорость ротора насоса ф и расход жидкости в каналах насоса Q могут рассматриваться как обобщенные скорости, равные угловой скорости ротора для механической подсистемы, ф = с, и расходу жидкости для гидродинамической подсистемы Q = с2.

Обобщенные координаты имеют простой физический смысл и являются скрытыми.

г

При вариации обобщенной координаты с у = с1 = ^фdt +сг. (0), где с1(0) - значение обоб-

0

щенной координаты в начальный момент времени г = 0, система получает виртуальное перемещение 8ф.

Левая часть соответствующего уравнения Лагранжа (2) запишется в виде

d дТ дТ

dt di/1 dq

= ф

(¿2)2

(¿2)2

J + pK JRlS2dl2 -pQ JR2 cos(-r2,е€x2)d/2.

(¿2)1 J (¿2)1

Входящая в правую часть уравнения Лагранжа обобщенная сила ф определяется из выражения:

8А1 = Ф15с1,

где 8А1 - виртуальная работа обобщенной силы ф на виртуальном перемещении 8ф.

Работу 8А1 на виртуальном перемещении 8ф выполняют: движущий момент на валу насоса М0; момент сопротивления вращению ротора насоса Мс, связанный с трением в подшипниках, уплотнениях вала и дисковым трением (трением жидкости с дисками на внешней стороне колеса); момент Мр, обусловленный гидродинамическим давлением в поперечных сечениях потока ^ и на поверхности контакта жидкости с ограничивающими по-

ток стенками канала Б"

5Д = Мв5ф - Мс5ф + Мр8ф ,

где Мд является заданной функцией времени Мд = М0 (г), Мс определяется на основании специальной уточненной методики определения внутренних механических потерь [9], М р определяется как результирующий момент относительно оси вращения сил гидродинамического давления в сечениях Б1 и Б" :

МР = К[

Используя (6) и (7), получим

Ф = Мп - Мс + Мр .

С учетом (5), (6) и (7) получим уравнение Лагранжа, описывающее движение механической подсистемы,

'

V (/2)1 , (/2)1

г

Г * + <

о

нием системы является перемещение жидкой среды в г = 1,.. .4 элементах гидродинамической подсистемы тг 5/г.

В этом случае левая часть уравнения Лагранжа (2) для гидродинамической подсистемы примет вид

При вариации обобщенной координаты ^ = д2 = |+ виртуальным перемеще-

< Л)2рЯ(/2г)2^ РЯ (/зг)2У!

рЯ г +РЯ г </2 +Р4 г ъ -< дд2 д^2 Я¿ъ Бп К (/2)1 Б2 ^ Б3

(/2)2

р ГЯ2Б2ф^

(/2)1

Для обобщенной силы Ф2 имеем выражение

8А2 = Ф2&72 ,

где 5А2 - виртуальная работа обобщенной силы Ф2 на виртуальном перемещении 5ф.

Виртуальную работу 5А2 на вариации обобщенной координаты д2 выполняют: обобщенная сила Ф2, обусловленная ускорением свободного падения g во всех элементах гидродинамической подсистемы, центробежным ускорением а^е = ф2 в каждом сечении каналов рабочего колеса, гидродинамическим давлением ^ и касательным напряжением т " на поверхности Б". Считая расположение оси вращения ротора вертикальным, имеем работу составляющей обобщенной силы, связанной с ускорением g, равную нулю.

Обобщенная сила Ф2 определяется с учетом дополнительной обобщенной силы Р2, связанной с изменением материального состава участков гидродинамической подсистемы, и функции Ар'" (Я; Л), описывающей гидравлические потери при движении жидкости в гидродинамической подсистеме.

Дополнительная обобщенная сила Р2 = ^р определяется в соответствии с [4] из выражений:

i=1

Р

pQ

2 (

2

pQ

v

2

(S )2 (S )2

i = 1,4;

2K

1

1

(^2)1 (S2)2

i = 2;

pQ

22

4л2

(Уз)2 (Уэ)2

(S3)2 (S3)2

2

i = 3

Гидравлические потери на участках гидродинамической подсистемы описываются функцией вида

Ар'"0 Л) = АрТ

где Ар"т (0) - функции, описывающие гидравлические потери в неподвижных каналах [6]; Ар" (Л) - функция, описывающая потери во вращающихся каналах рабочего колеса; Л - безразмерный комплекс, учитывающей результирующее влияние режима движения жидкости, вращения и кривизны канала. Вид функции Ар" (Л) устанавливается в соответствии с методиками, разработанными на основе экспериментальных и теоретических исследований течения жидкости во вращающихся каналах произвольной геометрии [9]. С учетом (12) получим

(¿2)2

Ф =

(р,)1 -(рг)2 +рКр2 |я281п(-т2е€т2)п2 р -Арт,(б;Л) , г = 1,4 , (15) (¿2)1 г=! где (рг),(рг)2 - давление на входе и выходе г -го канала гидродинамической подсистемы

соответственно; (£г )г - площадь поперечного сечения потока на входе и выходе участков г = 1,.. .4 соответственно.

Используя выражения (11), (15), получим уравнения движения гидродинамической подсистемы, представленные в форме уравнения Лагранжа,

PQ

Г (in )2 dl 1(/2)2 dl

i

+- J ^

(ln)1 Sn K (l2)1 ^ 4л (l3)1 ^

(¿3)2 2 ^

dl

(l2)2

pcp J ^2cos(-

^2е €^2 )dl2

(l2)1

(l2)2

= (рi )1 - (р,- )2 + РФ2 J R2 sin( ^2,е €^2)dl2 + Z -A^QЛ) , n = 1;4 , i = 1,4 .

(l2)1

Уравнения Лагранжа (16) представляют собой систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно обобщенных скоростей р и 0 . Уравнения не содержат обобщенных координат. Эти координаты не представляют практического интереса и являются скрытыми. Состояние системы «Центробежный насос» описывается переменными р и 0.

Уравнения (10), (16) взаимосвязаны. Гидродинамические параметры: расход 0 и перепад давления на участках гидродинамической подсистемы Ар = (рг)2 -(рi)1, г = 1,...4, зави-

1

1

4

У

4

сят от угловой скорости ф ротора механической подсистемы. Эти параметры, в свою очередь, определяют нагрузку на приводящий двигательМ0.

Уравнение (10) является известным уравнением вращения твердого тела относительно закрепленной оси. Входящие в уравнение гидродинамические параметры 0, р позволяют учесть динамическое воздействие на механическую подсистему со стороны гидродинамической подсистемы.

Уравнения (16) являются известными уравнениями Бернулли для нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в г = 1,3,4 неподвижных и в г = 2 вращающемся элементах гидродинамической подсистемы. Входящий в уравнение параметр ф, позволяет учесть динамическое воздействие на гидродинамическую подсистему со стороны механической подсистемы.

Уравнения Лагранжа (10), (16) совместно с заданными начальными условиями, уравнениями неразрывности и условиями в концевых сечениях, через которые происходит обмен жидкостью между участками гидродинамической подсистемы и с внешними по отношению к рассматриваемой системе объектами, образует математическую модель динамики центробежного насоса.

Начальные условия определяют значения параметров механических и гидродинамических процессов в момент времени, соответствующий началу процесса г = г0:

ф

Условия неразрывности в узлах соединения участков гидродинамической подсистемы с позиции ПАГМ представляют собой интегрируемые связи обобщенных скоростей, которыми являются расходы жидкости в участках гидродинамической подсистемы:

01 = Кдк = 0з = 04 = Я.

Эти связи были учтены при составлении уравнений движения гидродинамической подсистемы в соответствии с расчетной схемой системы (рис.1), поэтому в явном виде в состав уравнений, замыкающих математическую модель, не входят.

Условия в концевых сечениях, через которые происходит обмен жидкостью между участками гидродинамической подсистемы, описываются уравнениями

Условия в концевых сечениях системы, через которые происходит обмен жидкостью между гидродинамической подсистемой и внешней по отношению к ней средой (гидравлической системой), определяются условиями работы гидравлической системы, включающей рассматриваемый насос:

где рвх., рвых - давление в узле соединения входного сечения насоса с всасывающим трубопроводом и выходного сечения насоса с нагнетательном трубопроводом гидравлической сети соответственно.

На основе представленной математической модели с помощью разработанного программного комплекса выполнен расчет установившихся значений расхода Я и перепада давления на насосе Ар (напора насоса Н) специальной конструкции, предназначенного для высоковязких сред, после его включения при различных сопротивлениях сети [7, 8]. Для расчета были заданы: необходимые геометрические параметры проточной части насоса, плотность и вязкость жидкой среды, момент инерции ротора насоса.

Для оценки степени достоверности математической модели проведено сравнение полученных результатов с данными эксперимента [8]. На рис. 5 представлен вид расчетной и экспериментальной гидравлической характеристики рассматриваемого насоса.

Совпадение можно считать удовлетворительным. Для более убедительного свидетельства справедливости представленного подхода и получения на его основе математической модели необходим более обширный экспериментальный результат.

Разрабатываемый инженерный, упрощенный подход необходим для получения математической модели динамики насоса и предназначен для использования на ранних стадиях проектирования при выборе геометрических и физических параметров, позволяющих удовлетворить проектным требованиям характеристики насоса и его динамическому поведению в составе создаваемой или заданной гидравлической системы.

Н, м 30

20 15

5 0

Рис.5. Гидравлическая характеристика Н = Н (0) насоса специальной конструкции:

1 - экспериментальная зависимость Нэ (0); 2 - расчетная зависимость Нр (0

Такая модель необходима для более адекватного подхода при расчете динамики гидравлических систем с насосами.

Имеющиеся в настоящее время и разрабатываемые расчетные модели течения жидкости в насосе при учете пространственных эффектов и, в частности, детерминированного вих-реобразования и турбулентности могут служить источником корректировки упрощенной модели и необходимых дополнений. Представленный метод получения математической модели динамики насоса аналогичен гидравлическому подходу, когда расчеты проводятся с использованием эмпирических и экспериментально обоснованных формул Дарси - Вейсбаха для гидравлических сопротивлений [6].

Работа выполнена в рамках ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.2 / 3863).

Библиографический список

1. Айзерман, М.А. Классическая механика: учеб. пособие / М.А. Айзерман. - М.: Наука, 1980. - 367 с.

2. Смирнов, Л.В. Математические модели динамики и устойчивости систем принудительной циркуляции теплоносителя / Л.В. Смирнов. - М.: Энергоиздат, 1992. - 127с.

3. Смирнов, Л.В. Динамика гидромеханических процессов в гидросистемах. Основы прикладной аналитической гидромеханики / Л.В. Смирнов // ICOVP - 2001: докл. 5 Междунар. конф. / ИМАШ. М., 2001. - С. 416-420.

2

1

1 2 3 4 5 6 7

Г! 3. -1

Q, м ч

4. Смирнов, Л.В. Основы прикладной аналитической гидромеханики напорного течения несжимаемой жидкости: учеб. пособие / Л.В. Смирнов. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2009. - 64 с.

5. Ломакин, А.А. Центробежные и осевые насосы / А.А. Ломакин. М.-Л.: Машиностроение, 1966. - 364 с.

6. Чугаев, Р.Р. Гидравлика / Р.Р. Чугаев. - Л.: Энергоиздат, 1982. - 672 с.

7. Лукин, Н.В. Новый насос для вязких жидкостей / Н.В. Лукин, Г.В. Русецкая // Материалы науч.-практ. конф., посв. 150-летию Волжского пароходства / ВГАВТ. - Н. Новгород. 1993. С. 71.

8. Русецкая, Г.В. Исследование и основы проектирования радиального насоса трения: дисс... канд. техн. наук. - Н. Новгород, 1996. - 155 с.

9. Шкарбуль, С.Н. Гидродинамика потока в рабочих колесах центробежных турбомашин / С.Н. Шкарбуль, А.А. Жарковский. - СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1996. - 356 с.

Дата поступления в редакцию 26.01.2010

G. Rusetskaya, L. Smirnov

DYNAMICS HYDRO-MECHANICAL PROCESSES IN CENTRIFUGAL PUMPS

Research the dynamic behavior of pumps hydraulic systems with non-stationary processes. A mathematical model of the dynamics of pumps them are found. This mathematical model are purpose for use in the early stages of design when selecting the geometrical and physical parameters that meet the design requirements of the pump characteristics and its dynamic behavior in the created or specified hydraulic system.

Key words: centrifugal pumps, rotor, hydraulic systems, reliability, safety, mathematical modeling.