Взаимодействие ударной волны с клином, движушимся со сверхзвуковой скоростью

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м II 1971

№ 2

УДК 533.6,011.72.011.55

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНОЙ ВОЛНЫ С КЛИНОМ, ДВИЖУЩИМСЯ СО СВЕРХЗВУКОВОЙ СКОРОСТЬЮ

Р. Я Тугазаков

Рассмотрена задача о падении ударной волны на клин конечной толщины, движущийся со сверхзвуковой скоростью. Из-за отсутствия характерных размеров задача автомодельна. При определенных углах падения, когда еще не реализуется маховское отражение, вычислены параметры газа в области взаимодействия волн. Расчеты проведены в конически-сверхзвуковых областях методом характеристик. Картина течения анализировалась в случае, когда давления в головном скачке уплотнения и в падающей ударной волне были одинаковы.

1. Задача о столкновении ударной волны с тонким клином, движущимся с большой сверхзвуковой скоростью, рассмотрена в работе [1], в которой теоретически исследовано течение газа в области дифракции волн в предположении о гиперзвуковом характере течения газа. В случае взаимодействия ударной волны с движущимся клином, имеющим конечный полуугол раствора, задачу можно решить лишь численно.

Автором рассматривается задача о нестационарном обтекании клина конечной толщины, движущегося со сверхзвуковой скоростью, в условиях, когда на него падает ударная волна. В случае клина бесконечных размеров картина течения является автомодельной. Аналитически условие автомодельности движения определяется в данной задаче тем, что можно найти определенные соотношения между независимыми переменными, которые играют роль новых независимых переменных. Если вместо координат х, у и времени ^ (в которых следовало рассматривать задачу в общем виде), ввести

р х У

новые конические переменные I = -у и т] = -^-, то в этих переменных основная система уравнений движений газа примет вид

(рЩь -I- (рУ)п -ь 2р = о, ии^Ат \zUt\-\-и=—а/р; 1 /ч 1ч VI/, + У=-рф\ 0, I

где р — давление; р -- плотность; 5 — энтропия; и и V компоненты вектора скорости в точке ?, у с физическими координатами скорости и, V, т. е. и =и — %, V=v — r|. ^—

Пусть клин с полууглом раствора ^ движется со сверхзвуковой скоростью <7 вдоль оси %. К носку клина примыкает присоединенный скачок. Угол наклона скачка к оси % равен ср3 (фиг. 1). Система координат связана с носком клина. В момент времени 1 = 0 к носку клина под углом (р0 к оси подходит ударная волна/. Для простоты положим, что интенсивности ударной волны и головного скачка одинаковы: р3 = ръ р0 = р0=1- В момент і— 1 ударная волна заняла положение II. Рассмотрим полученную картину течения.

После столкновения в точке С с головным скачком преломленная падающая волна отразится от поверхности клина и в точке В

Фиг. 1

догонит преломленный головной скачок. Анализ газодинамических параметров в точке В показывает, что в ней реализуется следующая модель течения: три ударные волны, контактный разрыв,проходящий через точку разветвления, и центрированная в точке В волна разрежения ВЕ [2, 3]. Эта волна разрежения движется в сторону носка клина (в системе координат, связанной с точкой В), взаимодействуя при этом с поверхностью клина, контактной поверхностью, ударной волной и т. д. Таким образом, наряду с областями 0, /, 2, 3, 4, 5, 5' и 6, где течение газа определяется постоянными параметрами, имеются области с переменными газодинамическими величинами. Это относится к течению в волне разрежения, сжатия и к конически-дозвуковой области 7, ограниченной слева и справа отрезками дуг конуса Маха. Для нахождения параметров газа в областях 1—4 использовались обычные соотношения для косого скачка. Зная эти параметры и координаты точки В, определяем их в областях 5 и 5'. Для этого используем уравнения, описывающие ударный переход АВ, контактную поверхность ВК и волну разрежения ВЕ. Расчет ведется в системе координат, связанной с точкой В. Для определения угла е из перечисленных соотношений справедливо уравнение е = (3 -{- а: — а5, где и а5 — углы наклона потока газа к оси $ в областях 1 и 5; е — угол наклона искомого скачка АВ к направлению потока в области 1. Для дальнейшего расчета течения газа использовался метод характеристик.

2. Рассмотрим падение волны разрежения на стенку. Течение в области отражения лгаоэнтропическое. Параметры газа рассчитываются в характеристическом четырехугольнике с помощью уравнений характеристик основной системы (1.1):

иУ + сУ№2 - с3 . ,0 п

ли + Ц2.1 аУ+ с2 {2 с2 - №*)=

где Ш2 = и2 + V*; с — скорость звука.

К уравнениям (2.1) и (2.2) надо добавить уравнение Лагранжа, которое для двух близких точек записывается в виде

С2 С1 —

1 1

С помощью уравнений (2.1) —(2.3) находятся координаты точки (I, т)) и параметры газа и, V, с в отраженной волне разрежения. Распространяясь по полю течения, отраженная от клина волна разрежения взаимодействует с контактной поверхностью. Течение в области взаимодействия и за контактной поверхностью определяется из системы (2.1) — (2.3) и двух условий на контактной поверхности:

_ К5' _ ^ <2 4^

Рь — Ры, и&1 ^

Прошедшая через контактный разрыв волна разрежения взаи-

модействует с ударной волной. В области взаимодействия волн течение газа вихревое. Соотношения вдоль характеристик в этом случае содержат члены, зависящие от энтропии:

А, + п, & - * иС^~С' <2'5>

где а-**-™-

Т—1 о аф р

Решая совместно уравнение эпициклоиды для данной точки ударной волны и соотношения вдоль характеристик, получаем скорости ив, ъв и угол <рв = аг^ ——-— в точке В, лежащей на ударив — <7 1

ной волне. Угол наклона ударной волны в точке В относительно

и . И

оси £ находится из уравнения ав = сра-|~а 1 — ~2~’ 3 величина энтропии из уравнения

1

где

2с?

_Рв ____________Ь_____________.

р! 1 + ТГ ’

<7, — скорость в области 1 относительно системы координат, связанной с точкой В; а1 — угол вектора скорости ^ к оси £.

При расчете внутренней точки для нахождения значения энтропии применялась интерполяция по заданным значениям ее в двух точках. В процессе счета параметров задачи в каждой текущей

Точке осуществлялся пересчет с осредйенными значениями Коэффициентов « уравнениях характеристик.

3. Рассмотрим область течения газа на носке клина. Здесь образуется новый присоединенный скачок уплотнения. Для нахождения наклона скачка <р имеем соотношение

1

2

~~2 вІП2 (?+«,) С\

Ї+ 1 tg

1

где а! — угол вектора скорости с осью «; ^ — угол клина.

Используя найденное значение угла ср, параметры газа в области 6 определяем через соотношения для косого скачка. Область 6 является конически-сверхзвуковой и граничит с конически-дозвуко-вой областью 7. Уравнение, определяющее закон движения фронта характеристической поверхности в конических переменных, имеет вид

(5-

координаты

«)2 + (т) точки,

-г>)3 = с2,

имеющей компоненты скорости

где 5 и

и И V.

Используя данное уравнение, можно построить границу областей 6 и 7. Природа течения газа области 7 аналогична природе течения конического потока в центральной части треугольного плоского крыла при обтекании его нижней поверхности. Границей области 7 являются дуги конуса Маха, определяемые уравнением (3.2).

4. Поле течения рассчитывалось на ЭЦВМ при заданных величинах М0, ч, ?1, ?о- На фиг. 1 представлена общая картина обтекания клина с полууглом раствора 6° и числом М0= 17,3, а на фиг. 2 —

М0-=6. Комбинация параметров М0,

с полууглом раствора 18^, срц ср0 определяет картину течения и местоположение дозвуковой зоны. Если скорость точек С и В мала, то предельная звуковая характеристика близко подходит к точке В и ожидаемой области взаимодействия волн не получается.

При малых значениях угла ср0 и больших скоростях движения клина отраженная от его поверхности волна разрежения проходит через контактную поверхность и отражается от

ударной волны в виде слабой волны сжатия (см. фиг. 1).

Следующие области взаимодействия волн не рассматривались, так как их влияние на дальнейшую картину течения мало. Параметры газа в конически-дозвуковой зоне 7 не рассчитывались, и поэтому определить правую ее границу не просто. По-видимому, волна сжатия в основном определяет формы этой границы (см. фиг. 1). Объяснение этому следующее: если волна сжатия появилась, то она обязательно дойдет до крайней предельной характеристики, превратившись в ее огибающую, или пересечет предельную характеристику под углом, войдя в дозвуковую зону. ^

Фиг. 2

Это

говорит о том, что правой границей области 7, вероятнее всего, является слабый внутренний скачок или часть скачка вместе с предельной характеристикой.

Расчеты, проведенные для клиньев с полууглом раствора от 3° до 30° (шаг 3°), показывают, что для величины давления в области 4 с точностью до 1—2% выполняется закон подобия по числу ДГ = М0з1а <р3. На фиг. 3 представлена зависимость отношения величины давления р6 к /?4 от числа К при малых углах <р0 и 1=1,4 и 1,1, где ра — установившееся значение давления на носке клина.

О 2 4 К £

Фиг. 3

Фиг. 4

Из графиков видно, как сильно влияет параметр к на картину течения, когда в задаче реализуется относительно большое число скачков уплотнения.

Зависимость коэффициентов отражения от числа М на поверхности клина (г,), контактной поверхности (г3) и ударной волне (г2) представлена на фиг. 4. Число М определялось по формуле

л, ~ &)2 + (V ~ ''О2 м *

М= —----------!. Из данного графика видно, что основное

влияние на распределение газодинамических параметров оказывает отражение первой волны разрежения от стенки. Изменение величины давления и плотности в отраженной волне достигает 15—50%. В волне, отраженной от контактной поверхности и от ударной волны, эта величина составляет 1—4%. Здесь же представлена зависимость г от параметра 7.

/<=2,7

1! £

. —и -и—

' ) / / / 1 1

0,0 20 30 м ж §

Фиг. 5

Интересен случай, когда угол падения <]> ударной волны на - стенку большой (приближается к предельному) и волна разрежения, начинающаяся в точке В, довольно сильная. Результирующая величина давления на стенке после отраженной волны разрежения значительно меньше, чем на носке клина. В этом случае волна, отраженная от стенки, сразу подходит к области дозвуковых течений газа. Таким образом, при достаточно больших углах падения ударной волны возможны такие режимы течения (если не реализуется схема течения с внутренним скачком), в которых значения давления слева и справа от области 7 сильно различаются. На фиг. 5 для ср0 = 51° отношение величин давлений составляет 1,83. Распределение величины давления для 7=1,4 и 1,1 вдоль поверхности клина дано на фиг. 5 и 2. Такое распределение давления характерно для всех режимов, кроме указанного на фиг. 5 для =р0=51°.

ЛИТЕРАТУРА

1. Inge г G. R. Blast wave impingement on a slender wedge moving at hypersonic speeds. A1AA. vol. 1, No 3, 1966.

2. Курант P., Фридрихе К. О. Сверхзвуковое течение и ударные волны М., Изд. иностр. лит., 1961.

3. М и з е с Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М , Изд. иностр. лит., 1951.

Рукопись поступила 29jV 1970 г.