Частотный адаптивный ПИДД-регулятор

М нализ и синтез систем управления

УДК 681.5

ЧАСТОТНЫЙ АДАПТИВНЫЙ ПИДД-РЕГУЛЯТПР

М.В. Паленов

Предложен частотный адаптивный ПИДД-регулятор для управления изменяющимся во времени объектом. Параметры объекта неизвестны и могут изменяться через некоторые промежутки времени; на объект действует внешнее возмущение, которое является неизвестной функцией времени. Объект управления представлен моделью второго порядка с запаздыванием, для определения параметров которой метод конечно-частотной идентификации доработан; предложен алгоритм идентификации запаздывания.

Ключевые слова: ПИДД-регулятор, частотная идентификация, неизвестное внешнее возмущение, адаптивное управление.

ВВЕДЕНИЕ

На протяжении последнего полувека в промышленности для управления различными техническими процессами широко применяются ПИ- и ПИД-регуляторы, позволяющие добиться необходимого качества управления при достаточно простой реализации. Методы синтеза таких регуляторов предполагают наличие модели объекта управления, параметры которой известны. Зачастую параметры могут быть не только неизвестны, но и меняться с течением времени, как правило, внутри некоторых известных интервалов. Поэтому возникает задача адаптации ПИ- или ПИД -регулятора к изменяющейся модели объекта. Для определения параметров модели объекта применяют различные методы идентификации. Если внешние возмущения, действующие на объект управления, достаточно малы или вообще отсутствуют, для идентификации используют переходную характеристику объекта [1]. При интенсивных внешних возмущениях типа «белый шум» применяют метод наименьших квадратов [2], а в более общем случае (когда неизвестны статические характеристики возмущения) — метод конечно-частотной идентификации (КЧИ) [3], в котором используется испытательный (пробный) сигнал, представляющий собой сумму двух гармоник. Часто используют испытательный сигнал в виде одной гармоники [4, 5], что позволяет идентифицировать два параметра модели объекта. Однако какое число гармоник не содержал бы испытательный сигнал, необходимо настраивать их амплитуды и частоты так, чтобы вносимые искажения в выход системы управления были в пределах допустимого уровня.

В работе [6] метод КЧИ применяется для определения параметров модели объекта первого порядка с запаздыванием. Но не дается никаких способов настройки испытательного сигнала, а запаздывание может быть идентифицировано только при выполнении условия, которое не может быть проверено при адаптации и можно лишь предполагать, что оно выполняется.

В настоящей статье предлагается частотный адаптивный ПИДД-регулятор, ориентированный на модель объекта второго порядка с запаздыванием. Для определения параметров модели объекта применяется метод КЧИ, обобщенный на объекты второго порядка. Предлагается алгоритм идентификации запаздывания. Амплитуды испытательного сигнала настраиваются так, чтобы обеспечить желаемое искажение выхода системы.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Объект управления описывается уравнением 41 ] У (?) + 41] у (?) + у(?) = К[г]и(? - т[г]) + /(?),

{м т {т {[/+и, I = 1, ..., м,

где у(?) — измеряемый выход объекта, м(?) — управление, /(?) — неизмеряемое внешнее возмущение, описываемое неизвестной ограниченной функцией

(!/(?)! т /*) времени ?. Значения параметров К[г],

А г] А г] [г]

, а[ и т неизвестны, изменяются в моменты

времени ?[1], ?[2], ..., ?[Л] и постоянны внутри интервалов

?[г] т ?[г+ 1], I = 1, 2, ..., N

где / — номер режима работы объекта.

Моменты времени ?[1], ?[2], ..., ?[Ж] для простоты полагаются известными.

Объектом (1) управляет ПИДД-регулятор, описываемый уравнением

&2г] и (?) + £1г] и (?) + и(?) =

= К[І]

КС

г

є+А- г

Т[і] ^

[І] ^є СІІ

[ г] /є

йй 2 Л2

/ = 1, 2, N

є(') = Ур(') - У(') + КО,

где и(і)— управление, подаваемое на объект (1), ур(і)— задающее воздействие, у(і)— испытательный (идентифицирующий) сигнал, который является известной функцией времени, є(і) — ошибка

слежения, і.|Д] — время адаптации ПИДД-регуля-тора на /-м режиме. Коэффициенты регулятора

(К

[ І] т[ І]

гр[ /] Тй :

гр[І]

М ]

Яі[ ] , &2 ] ) обновляются в мо-

менты времени 'ад на каждом режиме работы

объекта.

Кроме того, предполагается:

1) длина интервалов (2) такова, что і[і + 1] — і[і] > > і [ І] / = 1 N - 1 •

ад

2) известны параметры модели (1) объекта, работающего в первом режиме;

3) параметры объекта мало изменяются при переходе объекта с режима на режим, и регулятор, построенный для /-го режима работы объекта, не нарушает устойчивости системы управления в (/ + 1)-м режиме работы объекта;

4) передаточная функция (ПФ) объекта, в случае двух действительных полюсов, принимает вид

=

К

[ І]

где

причем

т$ = 2 4І] ± 7(4‘]/2)2 - ^І];

Т|І] 1 Т2[ І] > т[І],

5) передаточная функция объекта, в случае двух комплексно-сопряженных полюсов, принимает вид

К[г ]

Ир(5) =

где

(Т[ І] )252 + 2^[І ] Т[ І] 5 + 1

0 < ^[І] < 1

Т[І] =

^[І] =

4[І]

причем

Т[ І] > т[ І].

Задача состоит в том, чтобы адаптировать коэффициенты уравнения (3) к изменяющимся параметрам объекта так, чтобы ошибка слежения, после завершения адаптации на каждом интервале, удовлетворяла условию

£[ г]

где е[ г]*(?) — «идеальная» ошибка слежения в системе (1), (3) на г-м режиме, ^(?) — достаточно малое положительное число. «Идеальная» ошибка слежения Е[г]*(?) достигается в том случае, если регулятор, описываемый уравнением, (3), синтезирован по точно известным параметрам модели (1) объекта.

2. ПОСТРОЕНИЕ РЕГУЛЯТОРА ПРИ ИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРАХ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА

Пусть параметры модели (1) объекта известны. Для этого случая разработан ряд методов определения параметров кс, 7], 7^ и Тм уравнения (3) регулятора, различающихся целями управления, чувствительностью к внешним возмущениям и др.

При синтезе ПИДД-регулятора за основу взят широко известный принцип внутренней модели [7]. В работе [8] этот принцип используется для синтеза ПИД-регулятора, рассчитанного на модель первого порядка с запаздыванием. Преимущество метода в том, что полученный регулятор способен обеспечить апериодический переходный процесс в системе с запаздыванием, при этом для синтеза используется всего один параметр, уменьшение которого способствует увеличению быстродействия системы, а увеличение — увеличению запасов устойчивости.

Получим формулы синтеза ПИДД-регулятора. Для этого преобразуем уравнение (3) регулятора по Лапласу при нулевых начальных условиях и запишем его ПФ, опустив индекс [г]:

[ І]

Ис(5) = Кс 1 1 + Т5 + Тй5 + Т

1

.

£2* + £і 5 + 1

Согласно работе [7] ПФ регулятора можно определить следующим образом:

ИС

1 - И+

где (^) и ^^+(^) — инвертируемая и не инверти-

руемая части ПФ объекта соответственно, му(я) — ПФ фильтра.

Запишем ПФ объекта управления при /(?) = 0, используя Паде-аппроксимацию первого порядка

0

Є

2

и выделяя инвертируемую и не инвертируемую части:

КЄ-

4

К

= И+

Разложение ПФ объекта (11) дает минимум квадратичного функционала [6, 7].

Передаточную функцию фильтра выбираем в виде [7]:

1

И/ =

2

где X — положительное число, определяющее желаемое быстродействие системы.

Подставив выражения (11) и (12) в формулу (10), получим

ИС(5) =

( ^252 + ^15 + 1 )12 5 +

2

К5

Из сравнения выражений (13) и (9) имеем:

£2

X т

2

; £ = X ( X + т ); К = 2 ^

’ *1 .±. Т ’ С О иг/т

2 X + т ^1 + •

2 К( 2 X + т)5

_ ^2 Т

.

2 ^1 + т 2 ^1 + т

При таком регуляторе ПФ замкнутой системы приобретает следующий вид:

-Т5

Иуу (5) = —--------5.

УУгр ^ + 1 )2

Таким образом, решение поставленной задачи сводится к идентификации объекта, результатом которой служат оценки коэффициентов объекта

^[І] \ [І] \ [ І] ~[І] , - лт

К , и2 , д1 и т , / = 1, 2, ..., N которые ис-

пользуются для построения регулятора на основе выражений (14) на каждом режиме работы объекта.

3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Оценки коэффициентов модели объекта

Согласно методу КЧИ замкнутая система (1), (3) возбуждается испытательным сигналом следующего вида

У[і](І) = р1] БІПі + р2І] БІПю2І] І + -зІ] §ІП3] і,

/ = 1, 2, ..., N

где рк] и , К = 1, 2, 3, — положительные числа. Далее для ясности изложения опустим индекс [/]. Вход и(і) и выход у(і) объекта управления (1) подаются на фильтр Фурье

І-п + г

Оук = аук( І ) = — | у(і)БІПЮкІ^І,

г/ г Г + г

-к'

гГ + г

л _2 а „к = а„к( І) = — | м(і)8іпюкі^і,

-к'

л _2

Ь„к = Ьук( ?) = — Г и(?)со8юк?а?, к = 1, 2, 3, рк? ^

где ? — время фильтрации определяемое далее, — момент начала фильтрации, аук, Ьук, а „к и

Ь„к, к = 1, 2, 3, — выходы фильтра Фурье.

Набор чисел

ак = Ке^р

где

ир(5) = 2

Кє-

называется частотными параметрами объекта.

Утверждение 1. Частотные параметры (17) и коэффициенты уравнения (1) связаны соотношениями:

2

^2

,2 2Ч, 2 2 2 2,

( У 2 - У 1 ) ( ю 1 У 1 - ю 3 У 3 ) -, 4 2 4 2ч , 2 2 2 2 ч

(ю1У1 - ю2У2)(ю1 У1 - ю3Уз) -

,2 Ь 2 2 2 2Ч

-

, 4 2 4 2 ч , 2 2 2 2 ’

-

4 2 4 2 2 2

(ю1У1 - ю2У2)(Уз - У1) -

,2 =

1 42 4 2Ч/ 2 2 22

4 2 4 2 2 2 2 2

(ю1У1 - ю2У2)(ю1 У1 - юзУз) -

+ 2й,

4 2 4 2 2 2

-

4 2 4 2 2 2 2 2

-

где

К2 = у2 + ^ ю4 у? +

ук = а2 + вк, К = 1, 2, 3. ♦

Доказательство см. в Приложении.

Аналогично работе [3], выходы фильтра Фурье (16) и оценки частотных параметров (17) связаны

соотношениями

ак

2 = аук а „ к + Ьук Ь„ к „2 = - кЬ „ к + Ьук О „ к

к . ~ 2 , „к , ~ 2

К = 1, 2, 3.

Если выполняются условия Фурье-фильтруе-мости задающего воздействия и внешнего возмущения [9], то

Иш а к (? ) = ак, Иш в к (? ) = вк, к = 1, 2, 3.

г —— &

г —— &

Условие Фурье-фильтруемости означает, что функции у5р(?) и /(?) не содержат частот юк, к = 1, 2, 3. Это условие может быть проверено экспериментально и при его нарушении необходимо изменить частоты юк так, чтобы оно выполнялось.

3.2. Идентификация запаздывания

Идентификация запаздывания является ключевой проблемой, так как связана с рядом известных сложностей. Для объектов первого порядка с запаздыванием в работе [6] дано ограничение на частоту испытательного сигнала, при котором запаздывание может быть однозначано определено, но не дано каких-либо предложений на тот случай, если ограничение не выполняется. Восполним этот пробел.

Утверждение 2. Если для частоты юк, к = 1, 2, 3, выполняется условие

0 < «к1 < п/2,

то запаздывание

2

1 ак - ак^2юк - Вк^юк

т = — агссоБ —---------к 2 к—к 1 к .♦

к К

Доказательство см. в Приложении.

Для идентификации запаздывания в первую очередь необходимо определить оценки коэффициентов уравнения (1). Учитывая сделанные в постановке задачи предположения (5) и (7) о том, что значение запаздывания не превышает постоянной времени объекта, условие (23) можно записать в следующем виде:

для двух действительных полюсов

0 < ю,Т2 < п/2;

для двух комплексно-сопряженных полюсов

0 < кТ < п/2.

Таким образом, запаздывание идентифицируется по следующему алгоритму.

Алгоритм 1.

Шаг 1. Идентифицировать оценки коэффициентов уравнения (1) а2 и а1, подставляя в формулы (18)—(20) оценки частотных параметров (22).

Шаг 2. В зависимости от характера полюсов ПФ

объекта, используя оценки а2 и а1, вычислить Т2

по формулам (4) (или Т по формулам (6)) и проверить соответствующее условие (25) или (26) для полученных оценок.

Шаг 3. Если соответствующее условие (25) или (26) выполняется хоть при одном к, то вычислить

при этом к оценку запаздывания т, подставляя соответствующие оценки в формулу (24).

Шаг 4. Если соответствующее условие (25) или (26) не выполняется, то, выбирая ю1 = 1/Т2 (или ю1 = 1/Т) и полагая ю2 = 0 и ю3 = 0, произвести заново процесс фильтрации фильтром Фурье (16), получить оценки частотных параметров (22), а затем при к = 1 вычислить оценку запаздывания т, подставляя полученные оценки в формулу (24). ♦

3.3. Определение частот и амплитуд испытательного сигнала

В работе [9] показано, что частоты юк], к = 1,

2, 3, г = 2, 3, ..., N испытательного сигнала (15), следует выбирать как можно ближе к собственным, в противном случае, произвольный выбор частот может привести к длительному времени идентификации.

Учитывая, что коэффициены уравнения (1) от режима к режиму изменяются не слишком сильно (предположение 3 в постановке задачи), можно использовать данные текущего режима для формирования испытательного сигнала последующего режима. Для известных параметров модели (1) предыдущего режима, при двух действительных полюсах ПФ объекта, частоты выбираются следующим образом:

ю[І] -Ю1 —

= 1/ Т1[

[ І - 1]

ю2І] = 1/Т2

[ і -1]

ю[і ] = юз

= 1/т

[І-1]

Если объект содержит два комплексно-сопряженных полюса, то частоты определются как

= 1^70р, «2г] = 2/Т0Р,

«3г] = 1/т[г-1].

Настройка амплитуд рк], к = 1, 2, 3, испытательного сигнала (15) выполняется на основе данных предыдущего режима работы объекта таким образом, чтобы выход системы для уже определен-

ных, по соответствующим формулам (27) или (28), частот не превышал заданного числа у *:

-к

[ І] _ 1

у *

3 А[*-1] (юк])’

К = 1, 2, 3,

где А[і 1]( юк]) значение амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы (/ — 1)-го режима на частотах /-го режима. Вывод соотношения (29) см. в Приложении.

В процессе адаптивного управления для вычисления частот испытательного сигнала по соответствующим формулам (27) или (28) и амплитуд по формуле (29) вместо значений коэффициентов объекта используются их оценки.

3.4. Длительность процесса фильтрации

Фильтрация фильтром Фурье (16) заканчивается по истечении заданного времени І > І либо если выполняется условие

ак

р +1

< 0,

„к - „к

„к

< 0,

К = 1, 2, 3, р = 1, т ,

а далее, с помощью алгоритма 1, определить оценку запаздывания.

Шаг 6. По идентифицированным оценкам коэффициентов уравнения (1) заново синтезировать ПИД-регулятор (3), используя формулы (14), подключить его, вместо «старого», к объекту (1) и перейти к шагу 2.

Этот алгоритм обеспечивает достижение цели управления (8), если моменты времени (2) достаточно далеки друг от друга.

5. ПРИМЕР

Для подтверждения эффективности предлагаемого адаптивного регулятора рассмотрим численный пример.

Пусть объект управления может работать в четырех режимах и описывается уравнением (1), коэффициенты которого и запаздывание т приведены в таблице. При проектировании системы управления часто не учитываются некоторые постоянные времени, неидеальность датчиков и исполнительных механизмов. К примеру, это могут

быть две постоянные времени Т* = 0,1 ед. вр. и

Т2* = 0,2 ед. вр., с учетом которых передаточная функция объекта примет вид

где а к, в к — значения оценок частотных пара-

« > " +1 метров, найденных в момент времени ?Р, а к ,

о *р + 1

вк — значения оценок частотных параметров,

найденных в момент времени ?р+1 (?р < ?р+1 <...< ? ), т — необходимое число оценок, 0 — заданное положительное число, которое целесообразно выбирать в пределах 0,05+0,15.

4. АЛГОРИТМ АДАПТАЦИИ

Алгоритм адаптации состоит в следующем. Шаг 1. Используя известную априори информацию об объекте, синтезировать ПИД-регулятор (3) по формулам (14) и подключить к объекту (1).

Шаг 2. Дождаться смены режима объекта и сформировать испытательный сигнал (15) по формулам (27) (или (28)) и (29).

Шаг 3. Подать испытательный сигнал (15) на вход системы (1), (3), а вход и выход объекта (1) подать на вход фильтра Фурье (16).

Шаг 4. Дождаться истечения заданного времени

? либо выполнения условия (30) и вычислить оценки частотных параметров (22).

Шаг 5. Вычислить оценки коэффициентов

уравнения (1) К, а2 и а1 по формулам (18)—(20),

И„(5) =

Кє-

Длительность каждого режима 2000 ед. вр., внешнее возмущение, для упрощения, удовлетворяет условию строгой Фурье-фильтрации: /(?) = 58т(2/).

Если для управления объектом применить ПИДД-регулятор, описываемым уравнением (3),

настроенный по параметрам К[1], а2,1], а{1] и т[1] первого режима, при желаемом быстродействии

X = -7^2 ] /4, то система (1), (3) потеряет устойчивость уже на III режиме своей работы. Это видно из результатов моделирования, приведенных на рис. 1.

Отсюда вытекает необходимость адаптации. В идеальном случае параметры каждого режима работы объекта определяются мгновенно и точно, и по ним настраивается ПИДД-регулятор. Такой

Режимы работы объекта

Режим работы К (12 т, ед. вр.

I 1,5 100 20 2

II 3 49 7 2

III 4 36 3,6 3

IV 5 100 14 5

адаптивный регулятор называют «идеальным». Результаты моделирования идеального адаптивного регулятора приведены на рис. 2. Для наглядности эффективности, настройка на каждом режиме осуществляется по истечении 500 ед. вр., при

X = ^ /4.

Задача заключается в том, чтобы предлагаемый адаптивный регулятор максимально приблизился к идеальному, что указано условием (8) в постановке задачи. Для сравнения с идеальным регулятором адаптация на каждом режиме начинается по истечении 500 ед. вр. Параметры фильтра Фурье:

ю[і] Ю1 ,

Рис. 1. Неустойчивость при отсутствии адаптации

Рис. 2. Результаты моделирования «идеального» адаптивного регулятора

Рис. 3. Результаты моделирования предлагаемого адаптивного регулятора

І = 40 ю1]. Фильтрация заканчивается преждевременно при 0 = 0,1; ПИДД-регулятор наМ

страивается для X = л/а2' /4. Результаты моделирования приведены на рис. 3. Из результатов видно, что после окончания адаптации поведения идеального и предлагаемого адаптивного регуляторов аналогичны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенный частотный адаптивный ПИДД-регулятор предназначен для управления изменяющимися во времени объектами, которые описываются моделью второго порядка с запаздыванием. Предложенный адаптивный регулятор эффективен в условиях действия ограниченных неизвестных внешних возмущений, постоянно и интенсивно воздействующих на систему управления. Для идентификации объекта управления применяется метод конечно-частотной идентификации, модифицированный в данной работе. Впервые отдельно предложен алгоритм идентификации запаздывания. Благодаря применению алгоритма выбора частот и настройке амплитуд гармоник испытательного сигнала обеспечивается заданное искажение выхода системы управления. Приведенные примеры продемонстрировали высокую эффективность предложенного частотного адаптивного ПИДД-регулятора.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Вывод соотношения (29). Рассмотрим установившийся режим работы системы (1), (3) при ур = 0 и /(?) = 0. Если на вход системы подать испытательный сигнал

у(^ = р^пш^, то амплитуда выхода системы

у1 = Дш^рр

где А(ш1) — значение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы на частоте ш1.

Нетрудно видеть, что для обеспечения амплитуды выхода системы, равной у1, амплитуда испытательного сигнала должна определяться как

Рі

_ У1

А

Сказанное справедливо и для частот ш2 и ш3.

В соответствии с принципом суперпозиции, при испытательном сигнале (15) выход системы

У * = Уі + У2 + Уз.

Пусть

У1 = У2 = У3 = У */3. тогда «вклад» каждой гармоники будет одинаковым.

В таком случае из выражения (П.1) следует формула (29), если АЧХ замкнутой системы определять по коэффициентам (г — 1)-го режима на частотах г-го режима, которая принимает следующий вид

Л[М]

d[i 1](/ki] )g[i 1] 0'^) + k[' 1] (Jmki] )r[' 1] (Jmki]) k = 1, 2, З,

,v[i-1] m

где k[i -1](j«) = K[i-1] e-JT “k ,

d ['-11(J ki]) = - d2i-1] (ki] )2 + j'd1!-1] ki] + 1, r[i-1]^rn^] ) = j/-1] Tdd-1] (»^] )3- Є1] T\i-1] (« )2 +

, Jk[i-1] [<] , + Jkc k +

Ji-1] c, г [ і - 1 ] ,

[і -11/. [<К • [і- 1] / Мч3 [і- 1] , [і] ч2 ,  ш „

к 0) = -/^2 (к ) - К1 (к ) + /к . ♦

Доказательство утверждения 1. Запишем амплитудно-фазовую характеристику модели (1) объекта, опустив индекс [і], для>к и —/к, к = 1, 2, 3:

m

=

Ke

-J'“kT

d2(/Qk) + d^_/Qk + 1

= ak + J P*

= ak - J P.

K JkT

wp(-J'k) = -—;—2_-~-—:---------------: ^

d2 (-Jk) + d1 (-Jk) + 1

k = 1, 2, З.

k

Перемножив wp(Jk) и wp(—Jk), имеем

p(Jk)wp(-Jk) =

K2

22 = ak + Pk,

р р d22шk+(^ - 2^2 )ш| +1

к = 1, 2, 3.

Преобразовав (П.3) и используя замену (21), получим систему уравнений

т/2 л2 42 /„/2 ^»\2 2 2

- - d2 шк У к - (d1 - 2d2) шк Ук = У к ,

к = 1, 2, 3.

Вычитая из второго и третьего уравнений первое, получим следующую систему:

»2 / 4 2 4 2 \ | / »2 ^ I \/ 2 2 2 2 \ _

^*2 (ш1 У1 — ш2 У2 ) + ( d1 — 2й*2)(ш1 У1 — ш2 У2 ) =

22 = У2 - У1 ,

»2 / 4 2 4 2 \ | / »2 ^ » \/ 2 2 2 2 \

d2 (ш1 У1 - ш3 Уз ) + (d1 - 2d2)(ш1 У1 - ш3 Уз ) =

22 = Уз - У1,

решение которой имеет вид (18) и (19).

Для определения коэффициента усиления в первом уравнении (П.4) перенесем слагаемые с найденными d2 и d1 в правую часть, после чего получим выражение (20). Утверждение доказано. ♦

Доказательство утверждения 2. Для определения запаздывания выделим в выражении (П.2) экспоненту и разложим ее по формуле Эйлера:

12

еоБш^т -/вшшкт = - ^2(/шк) + jd1шk + 1](ак + /Рк), 12

еовшкт + / Б1пшкт = — ^2Ок) + jd1шk + 1](ак - / Рк).

Сложив полученные соотношения, после упрощения получим уравнения

= — ак - а^ шк - Pkdlшk,

решение которого

т = -1 I arccos(Х k - akd2 k - I31 kdl  k + п І

k V K

k = 1, 2, З, І = 0, ±1, ±2, ...

Очевидно, что результат не зависит от к, однако каждому к может соответствовать свое значение I, которое неизвестно. Однако при выполнении ограничения (23) нетрудно увидеть, что будет I = 0 в решении (П.5). Таким образом, решение (П.5) примет вид (24) и запаздывание можно определить по формуле (24) для любого к, для которого выполнено ограничение (23). Утверждение доказано. ♦

ЛИТЕРАТУРА

1. Ziegler J.G., Nichols N.B. Optimum settings for automatic controllers // Trans. ASME. - 1942. -Vol. 64.

2. Astrom K.J., and Hagglund T. Advanced PID Control. — NC: ISA, 2006. — 460 p.

3. Александров А.Г. Частотное адаптивное управление устойчивым объектом при неизвестном ограниченном возмущении // Автоматика и телемеханика. — 2000 — № 4. — С. 106 —116.

4. Ротач В.Я. Теория автоматического управления: учебник для вузов / 2-е изд. — М.: Изд-во МЭИ, 2004.

5. Мазуров В.М., Литюга А.В., Спицын А.В. Развитие технологий адаптивного управления в SCADA системе TRACE MODE // Приборы и системы, управление, контроль, диагностика. — 2002. — № 1.

6. Александров А.Г. Адаптивное управление объектом с запаздыванием // Тр. IX междунар. Четаевской конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», посвященной 105-летию Н.Г. Четаева / Т. 3. Управление и оптимизация. — Иркутск, 2007. — C. 6—13.

7. Rivera D.E., Morar M.I., and Skogestad S. Internal model control — 4. PID controller design / Ind. Eng. Chem. Proc. Des. Dev., 1986, 25. — P. 252—265.

8. Visioli A. Improving the load disturbance rejection perfomance of IMC-tuned PID Controllers // Proc. of 15th Triennial World Congress / Preprints. — Barcelona, 2002.

9. Alexandrov A.G. Finite-frequency identification: selftuning of test signal. Preprints of the 16th IFAC World Congress, Prague, Czech Republic, 3—8 July 2005, CD-ROM.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Ю. Рутковским.

Паленов Максим Владимирович — ст. инженер,

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН,

г. Москва, S 334-76-41, И max_elek@mail.ru.