Модели возникновения и роста усталостных трещин и вероятностные распределения их размеров

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVIII 1997

№3-4

УДК 629.735.33.015.4:539.43 539.219.2

МОДЕЛИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РОСТА УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИХ РАЗМЕРОВ

А. В. Нестеров, В. Л. Райхер

Предложены вероятностные математические модели процесса исчерпания усталостной долговечности для совокупности номинально идентичных экземпляров. Получены необходимые соотношения, определяющие реализации процесса с точностью до малого числа независимых случайных параметров. На основе результатов анализа экспериментальных данных и некоторых обобщений проведена оценка числовых характеристик распределений этих параметров. Разработана программа для ЭВМ и выполнено статистическое моделирование, по результатам которого получен ряд практически важных оценок.

Определение вероятностных характеристик размеров усталостных трещин является весьма актуальным в связи с развитием и совершенствованием подходов к обеспечению безопасности длительной эксплуатации конструкции самолетов. Наличие такой информации позволит, в частности, уточнить фактический уровень надежности выявления трещин у парка самолетов с учетом как множественности идентичных единичных критических мест на многих экземплярах, так и в условиях этой множественности (многоочаговости) при независимом развитии трещин на одном экземпляре. Знание распределения размеров единичных трещин может использоваться для описания процесса развития многоочагового повреждения и оценки соответствующей остаточной прочности при независимости появления и развития трещин, т. е. при отсутствии их взаимовлияния.

Для улучшения этих оценок в условиях «зависимого» многоочагового повреждения, когда начиная с какого-то состояния на развитии множественных единичных трещин в ряду достаточно близко расположенных идентичных критических мест и на остаточной прочности поврежденной конструкции может сказываться неблагоприятное взаим-

*аре9

ное влияние очагов, следует принять во внимание еще одно немаловажное обстоятельство — взаимное расположение трещин различной длины. Однако эффективное количественное описание и учет такой «геометрии» являются весьма непростой задачей. По-видимому, могут оказаться возможными и полезными и многие другие пути использования данных о распределении размеров единичных трещин. Перейдем в связи с этим к рассмотрению некоторых методов получения такой информации.

Принятые в тексте обозначения приведены на рис. 1. В тексте чертой сверху обозначается среднее значение.

Модель «начального дефекта»

(НД). Эта модель основана на следующих допущениях:

— исчерпание долговечности

происходит только за счет роста имеющейся начальной трещины; начальный размер представляет собой некоторое условное, экстраполированное из области реальных длин трещин значение ^нан 1 рассматриваемое как количе- рис. 1, Принятые обозначения

ственное обозначение исходного состояния, влияющего на дальнейший ход процесса;

— коэффициент интенсивности напряжений определяется как к = срст-ч/7, где ф — константа, не зависящая от /; это допущение справедливо лишь при достаточно больших размерах трещины, в связи с чем еще раз подчеркнем сугубую условность величины /нач.

Интегрирование уравнения ;

"от

*. "о * ( V- >

t

N

с11

(¡И

= л

(О

приводит к соотношению

1 =

'нач

1-

N

N

гран у

в которое, помимо параметра /нач, входят еще два: показатель степени 2

1 IЧ------2 и Д°лговечность Легран> соответствующая положению на

оси долговечностей вертикальной асимптоты соотношения (2). Параметры формул (1) и (2) связаны соотношением

N ап = ^гран°

1

А((>П<211ч

В.

После осреднения случайных параметров и и В, характеризующих каждый отдельный экземпляр номинально одной и Той же конструкции, получим зависимость

Nan =В,

т. е. традиционную степенную форму представления средней кривой сопротивления усталости. Отсюда следует, что при принятых допущениях среднее значение п параметра уравнения Пэриса должно приближенно совпадать со средним значением показателя степени зависимости, описывающей кривую сопротивления усталости. Как известно, экспериментальные данные действительно подтверждают их достаточную близость, что является косвенным аргументом в пользу рассматриваемой модели.

10?

Рис. 2. Индивидуальные кривые сопротивления усталости

Рис. 3. Зависимость рассеяния усталостной долговечности от ее среднего значения

Индивидуальные степенные кривые сопротивления усталости типа (3) в координатах loga - logTV образуют «веер» прямых линий с относительно узкой «шейкой» (рис. 2) при некотором характерном уровне напряжений ст* (или при соответствующем значении средней долговечности N*^aH) [1],

[2], в связи с чем зависимость рассеяния долговечности от ее среднего значения имеет типичный вид, показанный на рис. 3. На уровне напряжений ст* случайная долговечность Л^ран, соответствующая каждой

индивидуальной кривой выносливости, оказывается некоррелированной с показателем степени я для этой же кривой, однако, очевидно, зависящей от /нач. Введем новую случайную величину Л^ан, которая

определяет положение вертикальных асимптот кривых роста трещины, в случае если все трещины начинаются от «дефекта» одного и того же среднего размера 7нач, и поэтому от индивидуальных значений /нач не зависит. Тогда долговечность

или ее логарифм

1о§ Легран = а* -дЬ- (2# + 2)1о§-^-

ст

оказывается функцией трех независимых случайных величин: параметра д (или п) и параметров

распределения которых по совокупности имеющихся данных можно считать нормальными.

На основе (2) получим соотношение для определения логарифма случайной долговечности до достижения любого состояния, характеризуемого произвольной длиной трещины / > /нач, в виде

В частности, например, полную

/Пред — допустимый размер повреждения, /0 — надежно обнаруживаемая его величина (см. рис. 1). Две случайные величины / и ц, соответствующие одному и тому же экземпляру конструкции, в общем случае зависимы (ц «содержится» в /), так как определяются через характеризующую этот экземпляр единую совокупность случайных (хотя и независимых) параметров /наи, Л^ак и

В работе [3] в рамках рассматриваемой модели «начального дефекта» введен удобный упрощающий подход: с учетом того, что скорость роста трещины при ее больших значениях весьма велика, в качестве приемлемой оценки //(/пред) можно использовать величину Легран-  соответствии с этим получена полезная зависимость

а* = Іое Ы*

6 гран

и

ь = іовіт.,

Л*яи

нач

долговечность t будем определять как t = 7У(/Пред), а длительность роста обнаруживаемой трещины ц. как разность ц = А^(/пред)- N{1о), где

позволяющая вместо условной величины /нач, являющейся осреднен-ным результатом весьма спорной экстраполяции, использовать такие «осязаемые» характеристики, как надежно обнаруживаемый размер /0 единичной трещины и экспериментально достаточно просто оцениваемая величина среднего значения отношения t / ц. С учетом (8) с помощью соотношения (7) при выполнении условия

logN < а* - qb - {2q + 2)log-^-

а*

можно получить «обратное» соотношение, определяющее логарифм отно-

„ . I(N) „ Л.

сительнои длины трещины log—— для произвольной долговечности N,

In

в виде

KN)

log^- = ¿-¿log(//^i)--log

Iq Я я WJ

№ n

IQa-qb

Невыполнение условия (9) означает, что разрушение произошло до долговечности N (длине трещины I в этом случае можно приписать значение / = то).

Для определения конкрекгных количественных оценок в качестве примера рассмотрены характеристики тонкостенных конструкций из алюминиевого сплава Д16 при напряженном состоянии, соответствующем «шейке веера» индивидуальных кривых сопротивления усталости, Т; е. при ст = ст*. Используя традиционно применяемые для этого материала значения некоторых параметров, а также необходимые соотнот шения работы [3], при статистическом моделировании (моделирование проводилось по соотношению (7) с целью получения также и значений долговечности) были приняты следующие числовые характеристики используемых случайных величин:

¡7=1 (средний показатель степени кривых сопротивления усталости равен примерно четырем); интересно отметить, что в этом случае, как следует из (8), относительная доля времени роста обнаруживаемой трещины численно совпадает с отношением 7иач / /0;

а* = 4 (средняя долговечность, в качестве которой приближенно принимается величина -/Угран в «шейке веера» кривых сопротивления

усталости, равная примерно 104 циклов); b я 0 (по определению, см. (6));

D{q) = 0,16 (учитывая типовой угол раствора гиперболической зависимости типа рис. 3 [1]), где D — дисперсия параметра q\

2)(a*) + l,16Z>(6) я 0,01 (учитывая типовой уровень минимального

рассеяния Z>(log/*) «0,01 в «шейке веера» кривых сопротивления уста-

лости [1] и соотношение (46)). В частности, полагая примерно одинаковым «вклад» параметров а* и Ь в рассеяние полной долговечности, получаем о(а*) » Л(Ь) » 0,005 или значения среднего квадратического отклонения 51 этих параметров: ЛЧ «5^ » 0,07.

2

V

7

0,5

О

-0,5

' 0 0,5 ; 1,5 Л/Х£

Рис. 4. Реализации кривых исчерпания долговечности по модели «начального дефекта»

Моделирование проводилось для достаточно реального на практике случая ц = 0,2*. Это соотношение с учетом (8) эквивалентно соотношению /нач / А) =0.2. На рис. 4 приведены 100 случайных реализаций развития начальных дефектов. Видно, что с увеличением наработки N растет доля «не доживающих» до нее экземпляров. Это отчетливо иллюстрируется на рис. 5: по мере роста наработки функции распределения в области больших длин трещин асимптотически стремятся к значениям вероятности P¡ = 1 - р’х, где р'х — относительная доля экземпляров, для которых Nгp¡ш < N. Выберем такую наработку, чтобы оказалась весьма малой (например, р - 0,001) вероятность превышения трещиной допустимого размера /пред, при котором конструкция сохраняет требуемую остаточную прочность (принято, что /пред * Ю/о). Соответствующая «расчетная» функция распределения

длин независимых трещин реализуется при значении N / Ы* „»0,3

Гран

(см. рис. 5, кривая типа В). Обращает на себя внимание очень сильная «контрастность» распределения, т. е. его чрезвычайная затянутость в область больших трещин на фоне весьма узкого диапазона, в котором расположены длины относительно малых трещин, составляющих подавляющее большинство. Легко видеть влияние такого распределения на «геометрию» многоочагового повреждения при независимых трещи-

; р

0,995 0,975 0,9

0,7 ...

0,5 0,3

0,1 0,05

0,01

0,005

0,001

-7 -0,5 0 0,5 1,0 1о? [1/10) °

, Рис. 5. Зависимость функций распределения / от значений

долговечности N / НТран, равных 0 (кривые А), 0,3 (В) и

, . 0,8

нах: множество очагов будет характеризоваться близкими по размеру, но, очень малыми трещинами (или их практическим отсутствием), всего при одной-двух больших. Кстати, такое поведение многоочаговых трещин наблюдается на реальных конструкциях [4]. При меньших наработках распределение несколько «выравнивается», стремясь, естественно, при N -»0 к логарифмически нормальному распределению начальных дефектов (кривая типа А).

Модель «стартового дефекта» (СД). Трансформируем модель «начального дефекта», приблизив ее к привычным представлениям о накоплении усталости в виде двухстадийного процесса, когда первая стадия Характеризуется скрытной «работой» по подготовке материала к возникновению трещины, а вторая стадия — ростом этой трещины. Сформируем вариант двухстадийной модели —г модель «стартового дефекта» (см. рис. 1) на следующей основе:

— существует некоторый стартовый уровень длины трещицы /ст, с которого начинает развиваться («стартует») усталостная трещина; величина /ст является константой, связанной с характеристиками конструкции и материала и сохраняющей свое постоянное значение для всех экземпляров и для любых видов переменного нагружения;

— число циклов до старта трещины, а также параметры, связанные с соотношениями линейной механики разрушения и определяющие процесс роста трещины, являются случайными и изменяются от экземпляра к экземпляру;

— учитывая, что накопление усталости на «достартовом» участке и рост трещины регулируются существенно различающимися механиз-

мами, случайную величину 1\/ст можно считать статистически независимой от параметров, определяющих рост трещины.

Описание стадии роста трещины будем проводить полностью аналогично подходу, использованному для модели «начального дефекта», с той лишь разницей, что при интегрировании уравнения Пэриса вместо граничного условия / = /нач при N = 0 будем удовлетворять другое граничное условие: / = /ст при N = . Это приводит к зависимости

типа (2):

Эти формулы справедливы при N > Ncт; при N < Ncт длина трещины

степени кривой сопротивления усталости, а также понятие граничной долговечности Легран, соответствующей положению на оси долговечностей вертикальной асимптоты соотношения (11), полностью сохраняются прежними.

Из (12) следует формула

по которой может быть определена долговечность N для любого / > /ст. В частности, при I -» оо долговечность N -* Ытраи; как и в модели «начального дефекта», будем приближенно использовать Л^,, в качестве полной долговечности. '

Введем случайную величину

которая, как уже отмечалось, «по физике», скорее всего, независима от ]УСТ. При этом, используя соотношение (13) для характеристик

долговечности при напряжении ст*, соответствующем «шейке веера» индивидуальных кривых сопротивления усталости (будем их, как и ранее, помечать звездочкой), переход к другим уровням нагружения будем проводить пропорционально п-й степени отношения напряжений. Принимаемое при этом допущение о том, что такая степенная зависи-

или эквивалентной ей «обратной» зависимости

/ = 0. Смысл показателя степени 1 / о =-------

п-2

и его связи с показателем

мость «работает» для величины 1^трли в целом, состоящей из двух частей — и ЛЛ^рран, «управляемых» различными механизмами исчерпания сопротивления усталости, представляется достаточно правдоподобным, учитывая отмечавшуюся близость «пэрисовскрго» и «усталостного» показателей степени.

Итак, формула для определения зависимости долговечности N от длины трещины / будет иметь вид

( \ 2{q+l) f 1

N

) ^ 1 )

где , AiV^aH и q — независимые случайные величины, «индивидуальные» для каждого отдельного экземпляра конструкции.

Для случайной величины -Л^,ан = + AiV^,aH естественно сохра-

нить допущение о ее логарифмически нормальном распределении. Примем допущение, что N^. и ЛЖ^ан также распределены логарифмически нормально: при типовых умеренных значениях средних квадратических отклонений слагаемых это допущение не приведет к противоречию с логарифмически нормальным распределением их суммы. На основе известных положений теории вероятностей можно получить следующие соотношения:

log Л^ан * log + log

B

где к — отношение математических ожиданий случайных величин AN* и N* .

гран сг

Проведем теперь количественную оценку основных вероятностных характеристик этих случайных величин для конструкций из алюминиевого сплава Д16.

Типовые значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения логарифма полной долговечности равны соответственно log iv|paH * 4 и ¿'(log -N^paJ ~ 0,1.

Что касается параметра q, то естественно сохранить оценки, использованные при рассмотрении модели «начального дефекта»: случайная величина q принимается распределенной нормально, причем типовые значения математического ожидания и коэффициента вариации ¡этого параметра для элементов конструкций из алюминиевого сплава Д16 равны соответственно q-\K^q=Sq = 0,4.

Целесообразно учесть широко распространенную практику примерно полуторакратного снижения коэффициента надежности на стадии роста трещины [5], [6] в связи с некоторыми свидетельствами и

соображениями об относительно меньшем рассеянии долговечности на этой стадии. Легко показать, что такое снижение реализуется, если средние квадратические отклонения логарифма соответствующих долговечностей также различаются примерно в полтора раза, т. е.

Обобщение всех рассмотренных количественных оценок с учетом соотношений (16) и (17) приводит к следующим характеристикам распределений случайных величин ТУ* и ДАТ*:

1°8^сг =4-1од

1о£ДЛ^ран =4-1о8

5

,1+* ,  у2,25 + к

Оценка параметра к, определяющего соотношение между длительностями двух фаз усталости, является очень трудной задачей, поскольку имеющиеся (кстати, достаточно скудные) данные, на основе которых такую оценку можно было бы сделать, сильно «привязаны» к принимаемым, но, как правило, не формулируемым правилам определения границы между фазами. По-видимому, в первую очередь, именно поэтому существующие оценки имеют столь большой разброс, что «ходячая» цифра ка 1 из-за ее «срединности» часто выступает в качестве вполне правдоподобной. Что же касается величины /ст, то она вообще является условной и ее прямое определение весьма проблематично. «Зыбкость» ситуации заставила в настоящей работе отдать предпочтение формальному, однако достаточно естественному критерию выбора параметров к и /ст / /д из условия близости (в зоне больших обнаруживаемых трещин) результатов по модели «стартового дефекта» к полученным выше результатам по модели «начального дефекта». Интересно, что при таком подходе были получены весьма правдоподобные значения к = 2,5 и /ст / /о = 0,37, при которых и проведено моделирование.

На рис. 6 приведены 100 случайных реализаций, относящихся к различным экземплярам конструкции. Можно видеть, что с уменьшением наработки N растет доля экземпляров с еще «не стартовавшими» трещинами; наоборот, при больших наработках растет доля «недоживших» экземпляров. Функции распределения длин трещин для этого случая приведены на рис. 5 совместно с функциями распределения для модели НД. В области больших трещин они характеризуются

1ог

-0,5-

-I___________I_________I_________I________|

О 0,5 1 1,5 Л//А/гр

Рис. 6. Реализации кривых исчерпания долговечности по модели «стартового дефекта»

(как и в модели «начального дефекта») асимптотическим стремлением при / -» оо к значениям вероятности = 1 - р^, где р'т — относительная доля экземпляров, для которых Легран < N • При малых длинах трещин поведение кривых существенно другое, так как оно отражает скачок функции распределения на величину р'0 при 1 = 0, где р'0 — относительная доля экземпляров, для которых старт трещины еще не состоялся. В частности, при ^/МГрш = 0 функция распределения (кривая типа А) вырождается в вертикальную прямую, указывающую на то, что ни одна (!) из трещин еще не стартовала. При ран =0,3

(«расчетная» кривая типа В) функция распределения скачком берет свое начало при вероятности /?«0,5, т. е. при этой наработке около 50% трещин еще не стартовало. При N/Nгpш =0,8 (кривая типа С) этот скачок уже не заметен, так как при такой большой наработке практически все трещины стартовали.

В заключение напомним, что все полученные количественные характеристики относятся к «шейке веера», т. е. к уровню напряжений, соответствующему минимальному рассеянию долговечности. При изменении уровня на1руженности должна проводиться корректировка характеристик рассеяния в соответствии с соотношениями (10) и (15).

Предложенные модели и конкретные их параметры достаточно хорошо «вписались» в сложную среду имеющихся экспериментальных данных, правдоподобных предположений и, наконец, просто здравого смысла. Поэтому вполне оправдано их использование уже в настоящее время в обобщенных задачах нормирования. Вместе с тем следует при-

знать и заведомую грубость подхода, базирующегося на весьма условной экстраполяции поведения процесса роста трещин в область их малых значений. Правда, этот недостаток несколько компенсируется простотой математического аппарата и в связи с этим обозримостью полученных формул, имеющих достаточно «прозрачный» физический смысл.

Однако очевидно, что современный уровень разработки даже линейной механики разрушения позволяет провести заметные корректировки рассмотренных моделей. Несмотря на ожидаемое в этом случае кардинальное усложнение математического аппарата, развитие работы в этом направлении следует считать очень полезным. При этом одновременно необходимо расширить поиск, анализ и обобщение экспериментальных материалов, которые смогли бы (пусть хотя бы косвенно) способствовать выявлению надежности предлагаемых подходов. Результаты такого анализа могут явиться также веским стимулом для постановки специальных экспериментов, направленных на совершенствование моделей рассеяния долговечности как на альтернативу традиционному чисто эмпирическому подходу к этой, безусловно, важной проблеме. :

ЛИТЕРАТУРА

1. Райхер В. Л. О некоторых следствиях их двухпараметрической модели рассеяния долговечности//Ученые записки ЦАГИ,— 1982. Т. 13,

№ 1.

2. Райхер В. Л., Селихов А. Ф. Вероятностные модели усталостной прочности, использующие понятие индивидуальных кривых сопротивления усталости//Сб.: Механика и научно-технический npoipecc. Т. 4.— М.: Наука.— 1988.

3. Лучинская Е. Л., Райхер В. Л. Основы прикладной теории запасов в проблеме усталостной долговечности конструкций//Ученые записки ЦАГИ.—1997. Т. 28, № 2. См. также: Raikher V., LuchinskajaE. Principies of applied theory of safety margins in the structure fatigue Ufe problem. Fracture Mechanics: Successes and Problems, Eighth International1 Conference on Fracture (ICF-8), Collection of Abstracts, p. 503, Kiev.— 1993.

4. Nesterenko G. I. Múltiple site fatigue damages of aircraft structures//AGARD Symp., Rotterdam, Ñetheriands, May 10—11,— 1995.

. 5. Damage tolerance approach, Aiibus Industrie, Engineering Directorate,

D — Scatter Factors, compiled by J. J. Cuny. Blagnac, France.— 1991.

6. Обеспечение безопасности конструкции по условиям прочности при длительной эксплуатации//Руководство по методам определения соответствия (МОС) нормативным требованиям авиационных правил (АП 25.571, проект).— 1996.

Рукопись Поступила 8/Х 1996 г.