О циклических подгруппах полной линейной группы третьей степени над полем нулевой характеристики

Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 2, С. 62-68

УДК 512.6

DOI 10.23671 /VNC.2018.2.14722

О ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОДГРУППАХ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ НАД ПОЛЕМ НУЛЕВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

У. М. Пачев, М. М. Исакова

К 65-летию Анатолия Георгиевича Кусраева

Аннотация. В работе с помощью понятия спектра матрицы дается явный вид элементов любой циклической подгруппы полной линейной группы GL3 (F) третьей степени над полем F нулевой характеристики. В отличие от итерационных методов возведения матриц в степень каждый элемент циклической подгруппы (M) группы GL3 (F) выражен в виде линейной комбинации матриц M0, M, M , коэффициенты которых вычисляются через определители третьего порядка, составленные

M

ход, основанный на одном свойстве характеристических корней многочлена от матрицы. Отметим также, что излагаемый метод предполагает заранее известными собственные значения матрицы. Это требование, например, всегда выполняется для матриц треугольного вида, при этом вопрос об отыскании собственных значений матриц, которому посвящена довольно обширная литература, в нашу задачу не входит. Наконец, опираясь на результат о явном виде элементов любой циклической подгруппы группы GL^(F), выводится также формула для числа циклических подгрупп простого порядка p полной линеинои группы GLs(K(p)) p K(p) нулевой характеристики,

что представляет самостоятельный интерес в теории бесконечных групп.

Ключевые слова: полная линейная группа, спектр матрицы, диагонализируемая матрица, га-круговое поле, алгебраическое замыкание поля.

В работе дается явный вид любого элемента каждой циклической подгруппы полной линейной группы GL3 (F) третьей степени над произвольным полем F нулевой характеристики. При этом, опираясь на такой результат, в группе GL^(F) над пол ем F одного специального вида выделяются некоторые конечные циклические подгруппы. Первые исследования циклических подгрупп полной линейной группы GLn(F) над пол ем F при n = 2 и n = 3 по спектру ее матриц были начаты в [1, 2].

Как и в работе [3] мы даем усиление результатов из [2], относящихся только к случаю алгебраически замкнутого поля. При этом мы используем несколько иной подход, основанный на свойствах характеристических корней многочлена от матрицы (см. [4, с. 60], [5, с. 65]).

Следующий результат, основанный на свойствах спектра многочленной матрицы, позволяет вычислять любой элемент циклической подгруппы полной линейной группы GL3(F) в случае char F = 0 (предварительное сообщение дано в [6]). Отметим, что вычисление высоких степеней матрицы используется при определении наибольшего по модулю собственного значения матрицы (см. [7, с. 354-355]).

© 2018 Пачев У. М., Исакова М. М.

Теорема 1. Если а, в 7 _ характеристические корни матрицы M G GL3

Л/» —А /" ^ ^Д/ • — А/".

www

при различных а, в 1]

а2 а 1 w = в2 в 1 Y2 7 1

А» — определитель, полученный заменой i-ro столбца определителя w столбцом 2)

Г =--——т м2--——т м--——т м°,

(а - в)2 (а - в)2 (а - в)2

где a — двукратный корень; в — простой корень; А» — определитель, полученный заменой i-ro столбца определителя

а2 а 1

2а 1 0

в2 в 1

столбцом 4(а",па" 1, вп);

3)

М™ = ^ ап~2М2 + (2п - п2) ага_1М + ^ (п - 1) (п - 2) агаМ°,

где а — трехкратный характеристический корень матрицы М.

< 1): Пусть М £ СЬз (^) и а, в 7 — различные характеристические корни матрицы М, вообще говоря, принадлежащие кубическому расширению поля Е. По теореме Гамильтона - Кэли (см., например, [5, с. 120]) и по формулам Виета при п = 3, справедливым и для многочленов над любым полем Е имеем

М3 =

Из равенства (1) следует, что М4 тоже можно выразит ь через М 2, Ми М умножая для этого обе части (1) на М и заменяя появляющуюся в левой части матрицу М3 правой частью (1), и вообще, повторяя последовательно этот процесс нужное число раз, мы получим равенство

Мп = рпМ2 + дпМ + ГпМ0,

при некоторых рп,^п,гп £ ^ п ^ 3 М0 = Е — единичная матрица третьего порядка.

Пусть А — собственное значение матрицы М. Тогда, как известно (см., например, [5, с. 61]), если /(М) — многочлен от матрицы М, то собственное значение матрицы /(М) равно f (А). Поэтому ввиду (2) элементы рпА2 + дпА + гп и Ап являются собственными

Мп

Тогда, учитывая, что ап, вп> 7п — собственные значения матрицы Мп получаем систему уравнений

Рпа2 + ^па + Гп = ап,

Рпв 2 + 9пв + Гп = вп,

Рп72 + 9п7 + Гп = 7п-

Определитель этой системы

а2 а 1

т= в2 в 1 = (а - в) (а - 7) (в - 7) = 0

т2 7 1

— есть определитель Вандермонда третьего порядка. Решая систему (3) по правилу Крамера, находим коэффициенты рп, дп, гп:

Рп

— д = —

т

т

Аз

т

ап а 1 а2 ап 1 а2 а ап

Д1 = вп в 1 , Д2 = в2 вп 1 , Дя = в2 в вп

у п 7 1 72 ^ п 1 7 2 7

где

тем самым п. 1 доказан.

2): Случай двукратного корня. Пусть а, в 7 — характеристические корни матрицы М, причем а — двукратный, в — простой корень и, значит, 7 = а.

Пусть М удовлетворяет уравнению (2). Тогда рассматриваем многочлен

/ (ж) = жп - РпХ2 - дпХ - Гп

а

производной многочлена /(ж), т. е.

Тогда получаем систему

пап 1 — 2рпа - дп = 0.

Рпа2 + дпа + Гп = ап

2рпа + дп = пап-1, [Рпв2 + д пв + Гп = вп

Так как по условию а = в т0 определитель этой системы —(а — в)2 = 0, и решая Рп дп Гп

Д1

Д2

Дя

Рп

где Дг — определитель, полученный заменой ¿-го столбца определителя

а2 а 1 2а 1 0

в2 в 1

столбцом г(ап,пап-1, вп) и тем самым формула для Мп в рассматриваемом случае доказана.

3): Случай трехкратного характеристического корня: а = в = 7. Тогда корень а является корнем многочлена (4) и его первой и второй производной. Поэтому для коэффициентов равенства (2) получаем

Рп = п(п~ а"-2, дп=(2п-п2)ап-\ гп = ± (п - 1) (п - 2) а™. >

п —

Г

п

Доказанная теорема 1 позволяет исследовать вопрос о конечных циклических подгруппах полной линейной группы (К(га)) над п-круговым полем К(п) являющемся полем разложения двучлена ж" — 1 над пол ем К нулевой характеристики (свойства таких

св

Е (") множество корней многочлена ж" — 1. Введем также обозначение N3 (К(п)) для числа циклических подгрупп порядка п в группе СЬз (К(п)). Тогда имеет место следующая

Теорема 2. Для любого простого числа р количество циклических подгрупп порядке р, ворождаемых диагонализируемыми матрицами в полной линейной группе СЬз (К(р)) р нулевой характеристики задается формулой

N3 (К(р)) = р2 + р +1.

р

< Сначала бедем вассматривать случай матриц с простым спектром, т. е. пусть матрица М £ СЬз (К(р)) имеет различные характеристические корни а, в 7) принадлежащие, вообще говоря, алгеВраическому замыканию поля К(р). Построим циклическую подгруппу (М) < СЬз (К(р)) простого порядка р, порожденную матрицей М. Для этого в теореме 1 положим п = р и потребуем, чтобы |(М)| = р, Мр = Е, Мк = Е при 1 ^ к ^ р, вде Е — единичная матрица третьего порядка.

В силу теоремы 1 это требование равносильно тому, что

Д1 =0, Д2 = 0, Дз = ад.

При этом заметим, что для получения равенства Мр = Е другое требование ^-М = 0, где 0 — нулевая матрица, не будет иметь места. Тогда в силу теоремы 1 имеем систему уравнений

а" а 1 а2 а" 1 а2 а а"

в" в 1 = 0, в2 в" 1 = 0, в2 в в"

7 1 7 2 1 7 2 7

Решив эту систему относительно а", в" 7": их в третье равенство системы (6), будем иметь

ш.

получим а" = в" = 7"- Подставляя а2 а а"

в2 в а" = ш, откуда а" = 1, но 72 7 а"

тогда и в" = 1 7" = 1, и значит, а, в, 7 £ К(р), точнее а в 7 £ Е(р). Но так как матри-М она

приводится к диагональному виду. Поэтому не нарушая общности рассуждений можно а00

считать М = I 0 в 0 I , вде а, в, 7 £ Е(р). V 0 0 7 /

М

ав

НИК) ПОЛЯ

К(р).

до

/ а ж у \

привести к треугольному виду, то сразу можем считать, что М = I 0 а г I , где ж,

00в

у г — некоторые элементы из алгебраического замыкания поля

К(р). Тогда имеем

/ ар рар 1

Мр = 0 ар

V 0 0

ж

\

«Р-ДО

/

Требуя теперь, чтобы Мр = Е, будем иметь, что рар 1ж = 0 откуда ж = 0, поскольку поле К(р) имеет нулевую характеристику.

( а 0 у

Учитывая еще при этом, что ар = вр = 1, получаем Мр = Е, гДе М = I 0 а г

\ 0 0 в а00

Если у = 0 г = 0 то Мр = Е и М = I 0 а 0 1и значит, циклические подгруппы

00в

порядка р, порождаемые такими матрицами будут включены в конечную совокупность из N3 (К(р)) циклических подгрупп группы (К(р)).

а

(ар 0 рар-1 у 0 ар рар-1г 0 0 ар

МР только тогда, когда ар = 1 и у = 0 г = 0, т. е .а £ Е(р).

Таким образом, нами установлено, что порождающая матрица М = Е циклической подгруппы порядка р группы (К(р)) должна иметь диагональный вид, причем ее диагональные элементы принадлежат Е(р).

Перейдем теперь к подсчету числа циклических подгрупп порядка р в (К(р)).

М

вторениями Ар = ря. Выберем произвольную матрицу М1, порождающую циклическую подгруппу (М1) порядка р в группе СЬя (К(р)). Строим вторую циклическую подгруп-( М2 ) р (К(р)) так, чтобы (М1) П (М2) = {Е}. Продолжая этот процесс,

на последнем шаге строим циклическую подгруппу (М5), где з = N3 (К(р)), при этом каждой циклической подгруппе (Мг) взаимно однозначно сопоставляется упорядоченный набор трех элементов из Е(р), вообще говоря, с повторениями таких элементов. Так

Е

щийся р раз, то из общего поличества матриц, входящих во все циклические подгруппы нужно исключить N3 (К(р)) - 1 единичных матриц Е и в результате получим ря матриц. Поэтому имеем pNя (К(р)) - (N3 (К(р)) - 1) = ря, откуда ^ (К(п)) = р2 + р + 1. >

Литература

1. Пачев У. М., Шокуев В. Н. Циклические подгруппы группы ОЬ2 (-Р) // Изв. КВНЦ РАН.—2001.— Т. 7, № 2.-С. 72-74.

2. Шокуев В. Н. Циклические подгруппы группы ОЬз(Р) // Изв. КВНЦ РАН.—2001.—Т. 7, № 2.— С. 75-77.

3. Жемухова М. 3., Пачев У. М. Циклические подгруппы полной линейной группы второй степени над полем нулевой характеристикой // Владикавк. мат. журн.—2011.—Т. 13, № 3.—С. 17-21.

4. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления.—М.: Наука, 1984.—320 с.

5. Ланкастер П. Теория матриц.—М.: Наука, 1973.^280 с.

6. Пачев У. М. Циклические подгруппы группы ОЬ3 (Е) над полем нулевой характеристики // Материалы Междунар. научной конф. «Актуальные проблемы прикладной математики и физики» (Нальчик-Терскол, 17-21 мая 2017 г.).--Нальчик: Изд-во ИПМА КВНЦ РАН, 2017.-С. 167-168.

7. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. П. Вычислительные методы линейной алгебры.—М.: Физматгиз, 1963.-736 с.

8. Лидп Р., Пндеррантер Г: Конечные поля. Т. 1,—М.: Мир, 1988.—430 с.

9. Кострикин А. И. Введение в алгебру.—М.: Наука, 1977.—497 с.

Статья поступила 2 февраля 2018 г. Пачев Урусби Мухамедович

Кабардино-Балкарский государственный университет РОССИЯ, 360000, Нальчик, ул. Чернышевского, д. 173 профессор кафедры алгебры и дифференц. уравнений E-mail: urusbi@rambler.ru

Исакова Мариана Малиловна

Кабардино-Балкарский государственный университет, РОССИЯ, 360000, Нальчик, ул. Чернышевского, д. 173 доцент кафедры алгебры и дифференц. уравнений E-mail: isakova2206@mail.ru

Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 2, P. 62-68

ON CYCLIC SUBGROUPS OF A FULL LINEAR GROUP OF THIRD DEGREE OVER A FIELD OF ZERO CHARACTERISTIC

Pachev U. M.1, Isakova M. M.1

1 Kabardino Balkarian State University

Abstract. In this paper, using the concept of the spectrum of a matrix, we give an explicit form for the elements of any cyclic subgroup in the full linear group GL3 (F) of the third degree over the field F of characteristic zero. In contrast to iterative methods, each element of the cyclic subgroup (M} of the group GL3 (F) is a linear combination of M0, M, M2, with coefficients easily computed using determinants

M

approach based on a property of the characteristic roots of the polynomial of the matrix. Note also that we present a method that involves the previously known eigenvalues of the matrix. Finally, basing on the

GL3

a formula for the cyclic subgroups of prime order p of linear group GL3 (K(p)) over a circular field K(p) of characteristic zero that is of interest in their own right in the theory of infinite groups.

Key words: complete linear group, cyclic subgroups, spectrum of a matrix, diagonalizable matrix, n-cir-cular field, algebraic closure of a field.

References

1. Pachev U. M., Shokuev V. N. Cyclic Subgroups of the Group GL2(F). Izv. KBNTs RAN [Izvestia KBSC of RAS], 2001, vol. 7, no. 2, pp. 72-74 (in Russian).

2. Shokuev V. N. Cyclic Subgroups of the Group GL3(F). Izv. KBNTs RAN [Izvestia KBSC of RAS], 2001, vol. 7, no. 2, pp. 75-77 (in Russian).

3. Zhemuhova M. Z., Pachev U. M. Cyclic Subgroups of Second Degree Full Linear Group Over a Field of the Zero Characteristic. Vladikavkazskij matematicheskij zhurnal [Vladikavkaz Math. J.], 2011, vol. 13, no. 3, pp. 17-21 (in Russian).

4. Voevodin V. V., Kuznecov Ju. A. Matricy i vychislenija [Matrices and Calculations], Moscow, Nauka, 1984 (in Russian).

5. Lancaster P. Teorija matric [Theory of Matrices], Moscow, Nauka, 1973 (in Russian).

6. Pachev U. M. Cyclic Subgroups of the Group GL3(F) over a Field of Characteristic Zero. Materialy Mezhdunar. nauchnoj konf. «Aktual'nye problemy prikladnoj matematiki i fiziki» [Proceedings of the International Scientific Conference «Actual Problems of Applied Mathematics and Physics»], Nalchik, Izd-vo IP MA KBNC RAN, 2017, pp. 167-168 (in Russian).

7. Faddeev D. K., Faddeeva V. N. Vychislitel'nye metody linejnoj algebry [Computational Methods of Linear Algebra], Moscow, Fizmatgiz, 1963 (in Russian).

8. Lidl R., Niederreiter H. Konechnye polja [Finite Fields], vol. 1, Moscow, Mir, 1988 (in Russian).

9. Kostrikin I. Vvedenie v algebru [Introduction to Algebra], Moscow, Nauka, 1977 (in Russian).

Received February 2, 2018

Urusbi M. Pachev

Kabardino Balkarian State University,

173 Chrnyshevskogo Str., Nalchik 360004, Russia

E-mail: urusbi@rambler.ru

Mariana M. Isakova

Kabardino Balkarian State University,

173 Chrnyshevskogo Str., Nalchik 360004, Russia

E-mail: isakova2206@mail.ru