Дифракция Гауссового пучка на спиральном аксиконе

ДИФРАКЦИЯ ГАУССОВОГО ПУЧКА НА СПИРАЛЬНОМ АКСИКОНЕ

В.В. Котляр1, А.А. Ковалев2, Д. Коджек3, В. Гарбини3, Е. Феррари3 1 Институт систем обработки изображений Российской академии наук, 2 Самарский государственный аэрокосмический университет 3 Национальная нанолитографическая лаборатория, Триест, Италия

Аннотация

Получены аналитические соотношения, описывающие дифракцию Френеля и Фраунгофера Гауссового пучка на спиральном аксиконе (СА). Выражения выведены в форме рядов гипергеометрических функций. Выражение для СА переходит в выражение для спиральной фазовой пластинки (СФП), если параметр аксикона принять равным нулю. Функциональность таких оптических элементов проверена как численным моделированием, так и физическими экспериментами с использованием пространственного модулятора света.

Введение

Спиральный аксикон (СА) и спиральная фазовая пластинка (СФП) были изготовлены по технологии фотолитографии и экспериментально исследованы в 1992 году [1, 2]. СА используется для формирования бездифракционных лазерных пучков Бесселя, а СФП используется для формирования оптических вихрей [1], фазовой микроскопии [2-4] и астрономии [5]. В последнее время возрос интерес к СА и СФП [6-19]. Это связано с тем, что улучшилось качество изготовления пространственных модуляторов света (ПМС), с помощью которых можно теперь формировать дифракционные оптические элементы, в том числе СА и СФП. Так, в [6] с помощью ПМС сформированы СФП высоких порядков (п > 30) и исследовались оптические вихри высоких порядков. С помощью ПМС можно сформировать составную СФП, которая будет генерировать лазерный пучок, состоящий из нескольких соосных оптических вихрей [7]. Также с помощью ПМС были сформированы бездифракционные пучки Бесселя [8], эллиптические пучки Бесселя [9], пучки Гаусса-Айнса [10] и полые (трубчатые) пучки [11]. ПМС используется для динамического преобразования лазерных пучков, устранения аберраций, выравнивания интенсивности [12-16].

С другой стороны продолжаются исследования СА и СФП, которые изготавливаются по традиционной технологии электронной литографии [17-21]. В [18, 19] экспериментально исследовалась дифракция плоской волны на СФП второго и третьего порядков. В [20] исследовался СА пятого порядка, а в [21] был изготовлен двойной аксикон, который формирует два конических световых пучка, интерферирующих между собой и образующих нулевую интенсивность на оптической оси.

Теоретическое исследование параксиальной дифракции Френеля и Фраунгофера на СФП было проведено для падающих гауссового пучка [22], не-

ограниченной плоской волны [2, 18], ограниченной плоской волны [6, 19], эллиптического пучка [23].

Теоретическое исследование дифракции на СА проводилось для неограниченной плоской волны [20]. В [24] исследуется дифракция полихроматического света на СФП. Интерес к исследованию СА и СФП связан также с их применением для манипулирования микрочастицами [6, 14, 20, 25,26].

В данной работе проведены теоретические исследования параксиальной дифракции Фраунго-фера и Френеля Гауссового пучка на СА и СФП. Получены новые аналитические выражения для комплексной амплитуды света в виде ряда гипергеометрических функций. Функциональность таких оптических элементов проверена как численным моделированием, так и физическими экспериментами с использованием пространственного модулятора света.

2. Аналитические выражения

Рассмотрим скалярную параксиальную дифракцию коллимированного Гауссового пучка с комплексной амплитудой

Е0 (г )= exp

( „2 Л

на СА, который в приближении тонкого транспаранта описывается функцией пропускания вида

тп

где w - радиус перетяжки Гауссового пучка, (г, ср) -полярные координаты в плоскости СА при г = 0, ъ -оптическая ось, а - параметр аксикона, п = 0,±1,±2,... - номер СФП.

Тогда параксиальная дифракция волны (1) на СА (2) описывается преобразованием Френеля:

Fn (лz )=-П- exp

2П

ikz +

ikp ~2z

2 Л

R 2п

\ \ exp

0 0

r ikr ik / л

—— + iar + тф+----pr cos

w 2 z z

rdrdp,

2

w

где (р, в) - полярные координаты в плоскости г, к = 2п/Я - волновое число. Используя справочный интеграл [27]

^ хл+1 ехр (-рх2) Jv (сх) dx

0

= 2 _/V + А + 2

2г+1 V! 1 1

V + Х+2

*1 Р

2

V + 1,-

2

с

24Р

вместо выражения (3) получим:

Рп 2 -к ехр

1пв + ¡кг +

¿кр 22

к_Р\п у-{п+2)>2 £ (аТг-т/2ГГт + п + 2 , (5) т! I 2

22 I 2п+1 п! т=0

1р

т + п + 2 2

п +1,-

^ кр ^ 2 ^д/х

где у = 1 м>2 - ¡к/(2г), 1р (а, Ь, х) - вырожденная или конфлуентная гипергеометрическая функция:

ж (а)тХт

1Р1 (а, Ь, х)= £

т=0 (ь)тт! '

(а )т = Г(а + т)/Г(а), (а)0 = 1, а Г(х) - гамма-функция.

Из выражения (5) следует, что картина дифракции представляет собой набор концентрических колец. При р = 0 в центре картины дифракции при любом п Ф 0 будет нулевая интенсивность. Так как комплексная амплитуда (5) зависит от комбинации

переменных кр/^ч^у), то радиусы р1 локальных

максимумов и минимумов картины дифракции должны удовлетворять выражению:

(

Р1

V

1+3-

,\1/4

У

где а1 - постоянные, зависящие только от номера кольца I = 1, 2,... картины дифракции и параметра а, 20 = км>2/2 - длина Рэлея.

При а = 0 (т.е. аксикон отсутствует), из (5) следует соотношение для комплексной амплитуды дифракции Френеля Гауссового пучка на СФП:

Р (р, в.

ч (- ¿Г1 к

2, а = 0) = ^-X

ехр

у-(и + 2)/2

2"+1 п!

¿(пв + кг) +

I к р2

2 2

кр 27

, п + 2,

П —

п + 2

, п + 1,-

2

к р

2 2^у

Учитывая связь между гипергеометрической и Бесселевой функциями:

J(п-1)2 (х) =

(п-1)2

ех

Р

Г

п -1 ) 1 Ч 2,п'2 ¿х I (9) ~2

и рекуррентное соотношение для гипергеометрических функций

1 п + №± + 2)рI п;2хI

мы можем вместо (8) получить хорошо известное соотношение для дифракции Френеля Гауссового пучка на СФП [18, 22]:

Еп (р, в, 2, а = 0) =

(-1)"+1л[л

1 + 1 2

"3/4

Хехр

.3, -Л 20) . крг .кр1

1 — Хаа \— I-.-+ .-

2 ^ 2 ) 2Д, (2) 22

2

- ¿пв + ¿к2

хи.

1

к

-I

^ (2) 2^0 (2) 1 к

V

где м>2 (2)= 2^2 [1 + (2/20)2 ], ^0 (2)= 22(1 + (2/20 )2 ], Iv (х) - функция Бесселя второго рода и V -го порядка.

При 2 ^ ж (2 >> 20), из выражения (5) следует соотношение для комплексной амплитуды дифракции Фраунгофера Гауссового пучка на СА

(У = 1/м'2):

Рп ( в 2 ^<*0 = (-¿)"+1 20

2пп! 2

-ехр

¿пв + ¿к2 +

¿к р

2 )

22

20 Р

1 (¿аw)m г /т + п + 2

Х1Р

т!

т + п + 2 / 20 р -, п + 1,-^-°^-

2 I 2^

При а = 0 (т.е. аксикон отсутствует) и 2 ^ ж (2 >> 20), из (5) следует выражение для комплексной амплитуды дифракции Фраунгофера Гаус-сового пучка на СФП:

Рп (р, в, 2 а = 0) =

=

2пп! 2 ^

п + 2

р

22 )\ 2W

/ 21

\

!п + 2 , ХГ| — 11 р

Интересно сравнить в^1ражение (13) с комплексной амплитудой дифракции Фраунгофера плоской

х

^2а

т=0

2

0

ограниченной волны радиуса R на СФП, когда фокусное расстояние сферической линзы равно f [19]:

^

( kR 2 ^

(n + 2)n!

V f

kRp

1F

n + 2 n + 4 , I kRp -,-, n +1,-1 ——

2 2 V 2 f

где 1F2 (a,b,c,x) - гипергеометрическая функция:

/ \ œ j F2 (a, b, c, x)= Y

(a)m

(b)m(c)mm! '

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 p,мм

0,8

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 р,мм

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

p, мм

Рис. 1. Радиальный профиль картины дифракции Френеля

3. Численное моделирование

В этом разделе моделирование проводилось с помощью (3). На рис. 1 показано рассчитанное распределение амплитуды (р,в) в относительных

единицах как функции радиальной переменной. Эти кривые представляют собой радиальный профиль картины дифракции Френеля (г = 200 мм) Гауссова

пучка с радиусом перетяжки ^ = 1 мм и длиной волны 1 = 633 нм на СА (п = 8) с параметром а = 0 мм-1 (а), а = 20 мм-1 (б), а = 50 мм(в).

Из рисунка 1 видно, что радиус главного максимума модуля амплитуды увеличивается с ростом значения а .

На рис. 2 показаны две рассчитанных радиальных картины дифракции Френеля (амплитуды

(р,в)) для Гауссового пучка (w = 1 мм,

1 = 633 нм) на СА (п = 8) с параметром а = 20 мм-1 на расстояниях г = 400 мм (а) и г = 500 мм (б). Из рисунка 2 можно увидеть, что с ростом расстояния г радиус первого на дифракционной картине яркого кольца, характеризующегося максимальной амплитудой, также увеличивается. Сравнение рисунков 1 и 2 дает основание заключить, что радиус первого кольца может меняться либо путем изменения параметра аксикона а при неизменном расстоянии г , либо изменением расстояния г от аксикона до плоскости наблюдения. Отличие будет состоять в количестве периферийных колец (боковых лепестков) на дифракционной картине. Из рисунка 1в видно, что 13 периферийных дифракционных колец укладываются в радиальный интервал от 1,5 мм до 3 мм. В то же время, на рисунке 2а в тот же радиальный интервал от 1,5 мм до 3 мм укладываются только семь боковых лепестков, притом, что радиус первого кольца на обеих картинах одинаков.

Рис. 2. Радиальный профиль картины дифракции Френеля (амплитуда |Fn (p, в)) Гауссового пучка

На рисунке 3 показаны две рассчитанных радиальных картины дифракции Френеля (амплитуды \Fn (р,в) на расстоянии z = 200 мм) Гауссового пуч-

n

2

m

X

m=0

ка (м = 1 мм, 1 = 633 нм) на СА (а = 20 мм 1) разных порядков п : 40 (а) и 50 (б).

Из рисунка 3 видно, что радиус первого кольца на дифракционной картине может быть изменен как варьированием порядка СА п, так и параметра а. Заметим, однако, что в случае рисунка 3, вдобавок к увеличению радиуса первого кольца, увеличение порядка п приводит к утоньшению первого кольца, к большему количеству периферийных колец и к повышенному контрасту коле по сравнению с аналогичными картинами на рис. 1 и 2.

Рис. 3. Радиальный профиль картины дифракции Френеля

4. Результаты эксперимента Простейший способ одновременного генерирования нескольких оптических вихрей с помощью дифракционного оптического элемента (ДОЭ) составить его из двух частей. Центральный круг имеет функцию пропускания СА с дополнительной пространственной несущей частотой, в то время как периферийное кольцо имеет функцию пропускания СА с другой пространственной несущей частотой. Пропускание такого ДОЭ описывается соотношением:

/ ч Гехр[/'

[ехр[/'(а2г + т-вгсоб)],Я1 <г <Я2,

где в - несущая пространственная частота, Я2 - радиус ДОЭ, а Я1 - радиус внутреннего круга, который подбирается так, чтобы выполнить условие равных площадей круга и кольца (Я1 = Я2Д/2). Пропускание ДОЭ с радиальной пространственной

несущей частотой (вместо уравнения (16) описывается соотношением:

/ ч Гехр

[ехр(/а2г + т + 1@г),Я1 < г < Я2.

На рисунке 4 показаны (а) рассчитанная фаза ДОЭ по формуле (16) и (б) картина дифракции Фра-унгофера Гауссового пучка на этом ДОЭ (м = 10 мм, 1 = 633 нм, п = -8, т = 12, число отсчетов

N х N = 512 х 512, в = 10 мм-1, а1 =а2 = 0 , Я2 = 10 мм, фокусное расстояние / = 150 мм).

Рис. 4. Фаза ДОЭ

Эксперименты по дифракции Фраунгофера Гаус-сового пучка на СА проводились с помощью программируемого только фазового жидко-кристаллического пространственного модулятора света (ПМС). Пропускание ПМС было пропорционально функции из формулы (16) для СА с п = -8 , т = 12 и а1 =а2 = 0 . На рисунке 5 показаны картины дифракции Фраунгофера Гауссового пучка на ДОЭ (16) (а) и ДОЭ (17) (б).

На рис. 5а видно, что в ±1 -ом порядке сформировались наиболее яркие кольца, причем, как и на рис. 4а, левое кольцо ярче, чем правое. Другие порядки дифракции на рис. 5а возникают из-за нелинейности при передаче фазы (16). На рис. 5б два со-осных кольца из-за взаимной интерференции видны с искажениями.

500 и m

со» а)

500 цт

Рис. 5. Картины дифракции Фраунгофера Гауссового пучка на ПМС с функцией пропускания

Заключение В работе получены аналитические соотношения для параксиальной дифракции Френеля и Фраунгофера Гауссового пучка на СА и СФП произвольного целого порядка n. Для СА комплексная амплитуда описывается рядом, состоящим из гипергеометрических функций (уравнения (5) и (12)). Для СФП комплексная амплитуда также описывается рядом из гипергеометрических функций (уравнения (5) и (13)). С помощью ПМС были сгенерированы картины дифракции Фраунгофера на составном ДОЭ, формирующем два осевых и неосевых оптических вихря.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» (грант CRDF REC SA-014-02), а также гранта РФФИ 05-08-50298.

Литература

1. Khonina S.N., Kotlyar V.V., V.A. Soifer, Shinkaryev M.V., Uspleniev G.V. Trochoson // Opt. Commun., V. 91. No. 3-4. P. 158-162 (1992).

2. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Shinkarev M.V., Soifer V.A., Uspleniev G.V. The phase rotor filter // J. Mod. Opt., V.39, No.5, Pp.1147-1154 (1992).

3. Furhapter S., Jesacher A., Bernet S., Ritsch-Marte M. Spiral interferometry // Opt. Lett., V. 30. No.5. P. 19531955

4. Bernet S., Jesacher A., Furhapter S., Maurer C., M. Ritsch-Marte Quantitative imaging of complex samples by spiral phase contrast microscopy // Opt. Express, V.14. No. 9. P.3792-3805

5. Foo G., Palecios D.M., Swartzlander G.A. Optical vortex coronograph // Opt. Lett., V. 30. № 24. P. 3308-3310

6. Curtis J.E., Grier D.G. Structure of optical vortices // Phys. Rev. Lett., V. 90. No. 13. P. 1.33901-1-3 (2003).

7. Lin J., Yuan X., Tao S.H., Burge R.E. Synthesis of multiple collinear helical modes generated by a phase-only element // J. Opt. Soc. Am. A., V. 23. No. 5. P. 1214-1218 (2006).

8. Hakola A., Shevchenko A., Buchter S.C., Kaivola, M. Tabiryan N.V. Creation of a narrow Bessel-like laser beam using a nematic liquid crystal // J. Opt. Soc. Am. B. V. 23 No. 4. P. 637-641 (2006).

9. Chakraborty R., Ghosh A. Generation of an elliptic Bessel beam // Opt. Lett., V.31, No.1, Pp. 38-40 (2006).

10. Bentley J.B., J.A. Davis, M.A. Bandres, J.C. Gutiérrez-Vega Generation of helical Ince-Gaussian beams with a liquid-crystal display // Opt. Lett., V. 31. No. 5. P. 649651 (2006).

11. Fatemi F.K., Bashkansky M. Generation of hollow beams by using a binary spatial light modulator // Opt. Lett., V. 31. No. 7. P. 864-866 (2006).

12. Whyte G., Courtial J. Experimental demonstration of holographic three-dimensional light shaping using a Ger-chberg-Saxton algorithm // New J.Phys.. V. 7. No.117, P. 1-12

13. Wang Q., Sun X.W., Shum P., Yin X.J. Dynamic switching of optical vortices with dynamic gamma-correction liquid-crystal spiral phase plate // Opt. Express, V.13, No.25. P.10285-10291

14. Lin J., Yuan X. , Tao S.H., Peng X., Nin H.B. Deterministic approach to the generation of modified helical beams for optical manipulation // Opt. Express, V.13, No.10, P.3862-3867

15. Hahn J., Kim H., Choi K., Lee B. Real-time digital holographic beam-shaping system with a genetic feedback tuning loop // Appl. Opt., V. 45, No. 5, P. 915-924

16. Courtial J., Whyte G., Bouchel Z., Wagner J. Iterative algorithm for holographic shaping of non-diffracting and self-imaging light beams // Opt. Express, V. 14, No. 6, P. 2108-2116 (2006).

17. Cojoc D., Di Fabrizio E., Businaro L., Carbini S., Romanato F., Vaccari L., Altissimo M. Design and fabrication of diffractive optical elements for optical tweezer arrays by means of e-beam lithography // Microelectr. Engineer, V. 61-62. P. 963-969

18. Kotlyar V.V., Almazov A.A., Khonina S.N., Soifer V.A., Elfstrom H., Turunen J. Generation of phase singularity through diffracting a plane or Gaussian beam by a spiral phase plate // J. Opt. Soc. Am. A., V. 22, No. 5. P. 849861 (2005).

19. Kotlyar V.V., Khonina S.N., Kovalev A.A., Soife r V.A., Elfstrom H., Turunen J., Diffraction of a plane, finite-radius wave by a spiral phase plate, Opt. Lett., V. 31, No. 11, P. 1597-1599 (2006).

20. Kotlyar V.V., Kovalev A.A., Khonina S.N., Skidanov R.V., Soifer V.A., Elfstrom H., Tossavainen N., Turunen J. Diffraction of conic and Gaussian beams by a spiral phase plate // Appl. Opt., V.45, No.12, P. 2656-2665 (2006).

21. Ahluwalia B.P.S., Cheong W.C., Yuan X.-C., Zhang L.-S., Tao S.-H., Bu J., Wang H. Design and fabrication of a

double-axicon for generation of tailorable self-imaged three-dimensional intensity voids // Opt. Lett., V.31, No.7, Pp. 987-989 (2006).

22. Rozas D., Law C.T., Swartzlander G.A. Propagation dynamics of optical vortices // J. Opt. Soc. Am. B, Vol.14, No.11, Pp.3054-3065 (1997).

23. Dennis M.R. Rows of optical vortices from elliptically perturbing a high-order beam, Opt. Lett., V.31, No.9, P. 1325-1327 (2006).

24. Swartzlander G.A. Broadband nulling of a vortex phase mask // Opt. Lett., V. 30, No. 21, P. 2876-2878

25. Cheong W.C., Lee W., Yuan X.-C., Zhang L.-S., Dholakia K., Wang H. Direct electron-beam writing of continuous spiral phase plates in negative resist with high power efficiency for optical manipulation // Appl. Phys. Lett., V. 85, No. 23, P. 5784-5786 (2004).

26. Polin M., Ladavac K., Lee S., Roichman Y., D.G. Gviev Optimized holographic optical traps, Opt. Express, V. 13, No.15, P. 5831-5845

27. Prudnikov A.P., Brichkov Y.A., Marichev O.I., Integrals and Series. Special Functions (Nauka, Moscow, 1983).