Дифракция плоской Б-волны на гауссовой диафрагме

УДК 535.42

М. К. Лебедев, Ю. А. Толмачев

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2003, вып. 3

ДИФРАКЦИЯ ПЛОСКОЙ ¿-волны НА ГАУССОВОЙ ДИАФРАГМЕ

В развитии современной оптики наблюдается очень интересный и многообещающий процесс: появление фемтосекундных импульсов. Уже созданы импульсы длительностью 1СГ16-10~15 с [1], а в конце ноября 2002 г. появилось сообщение о генерации 40-аттосекундного импульса [2]. Реальностью стал и новый физический объект — предельно короткий световой импульс, содержащий всего одно-два колебания электромагнитного поля. Понятия частоты и фазы колебаний, периода и длины волны излучения не могут применяться для адекватного описания подобных оптических сигналов. Основными становятся такие характеристики, как форма и длительность импульса, момент его появления в оптической системе. Для описания среды распространения вместо показателя преломления должны использоваться поляризация и ее инерционные свойства. В научном эксперименте впервые появилась возможность постановки опыта в световом диапазоне частот с классическим упорядоченным (и в этом смысле — когерентным) волновым пакетом. На некоторые открывающиеся при этом нетривиальные возможности указывалось в работах [3, 4]. Применение нелинейных оптических процессов дополнительно расширяет поле использования предельно коротких импульсных сигналов [5], но не меньший интерес представляют внешне более простые линейные физические задачи, решение которых позволяет сделать некоторые обобщающие выводы об особенностях распространения таких импульсов в оптических системах. Оказывается, что предельно короткие импульсы обладают неожиданными свойствами.

Естественно, что описанию процессов распространения импульсов уделяется большое внимание, и с этой целью применяются разнообразные теоретические методы [6-8], использующие представление формы импульсов гладкими функциями. Нами был предложен иной подход к описанию взаимодействия ультракоротких импульсов с оптическими системами [9-11]. С использованием классического приближения Кирхгофа был изучен отклик на импульсную волну вида 5 (t — z/с) произвольной точки пространства за поглощающим экраном, содержащим отверстие с замкнутым контуром.

Основу метода составляет возможность рассматривать в приближении Кирхгофа поле дифракции V(r, t) падающей на экран волны f(t) как результат линейного преобразования, которое описывается оператором L\ V(r,t) = L (f(t)). Чтобы можно было воспользоваться преобразованием Кирхгофа, функция f(t) должна удовлетворять стандартному набору условий, из которых самым важным считается следующее: в спектре /(£) не должны содержаться составляющие, длина волны которых сравнима или превосходит минимальные характерные размеры отверстия.

Для решения линейных задач часто оказывается удобным применить к функции f(t) преобразование Дирака

fit) = J f(r)5(r — t)dr = J f(r)5(t — r)dr = f(t)  <5(i).

Тогда

L[№] = L[f(t)]  S(t) = f(t)  L[ö(t)].

© M. К. Лебедев, Ю. А. Толмачев, 2003

Таким образом, задача о дифракции волнового процесса, удовлетворяющего условиям Кирхгофа, сводится к формальному преобразованию ¿-образного сигнала с помощью оператора Ь и последующему вычислению соответствующей свертки. Физический смысл имеет только результат последней операции. По своему смыслу реакция отверстия на ¿(£)-образный импульс должна рассматриваться как аппаратная функция этого отверстия.

С помощью подобной процедуры в рассмотрение вводится новый физический объект — световая 5(£)-образная волна. Она представляет собой идеализацию того же уровня, что и такие повсеместно используемые в оптике понятия, как точечный источник света или монохроматическая волна. Пока этот объект представляется странным, но это, с нашей точки зрения, — вопрос привычки. Как показывают результаты проведенных нами исследований, подобный идеальный объект оказывается весьма удобным при решении задач нестационарной дифракции (в приближении Кирхгофа) и делает предельно ясными некоторые особенности данного сложного процесса. Так, например, полученное общее решение [11] для ¿(¿)-образного импульса соответствует строгим выводам теории дифракции Зоммерфельда: поле за экраном содержит два компонента, один из которых можно интерпретировать как прошедший через отверстие элемент падающей волны, пространственно «обрезанный» им, а второй — как волну, излученную краем отверстия. Выведенные нами соотношения показывают, что амплитуды таких волн имеют одинаковый порядок величины, становясь равными в пределе больших расстояний от экрана. При этом прошедшая и краевая волны имеют противоположный знак. Основным же выводом мы считаем то обстоятельство, что уже имеющиеся результаты дают возможность качественного анализа и точного расчета изменения формы ультракоротких лазерных импульсов при их распространении в линейных оптических системах, фокусировке, дифракции и интерференции.

Временная и пространственная структуры поля дифракции ¿(¿)-импульса внешне имеют мало общего с известными характеристиками поля монохроматических волн, но в конечном счете поле в дальней зоне дифракции описывается соотношениями, подкупающими своей простотой. В работах [12, 13] было показано полное соответствие полученных результатов выводам классической теории дифракции монохроматических волн как в дальней, так и в ближней зоне. Интересно, что одним из качественньгх следствий является переход от интерпретации процессов дифракции в рамках описания Гюйгенса—Френеля к модели Юнга [14].

Как уже отмечалось, предельно короткий импульс представляет собой упорядоченный волновой пакет. В оптике когерентного излучения особое значение имеют волны, распределение амплитуд которых в направлении, перпендикулярном направлению распространения, описывается функцией Гаусса (гауссовы пучки). В последних работах [15, 16] показано, что гауссовы пучки являются предельным случаем более общих точных решений волнового уравнения. Для того чтобы моделировать образование импульса с гауссовым радиальным распределением амплитуды, рассмотрим дифракцию волны вида 5 (£ — г/с) на установленной в плоскости г = 0 диафрагме, пропускание Т которой описывается соотношением

Т(р) = ехр(-р2/а2),

где р2 = х2 + у2 — расстояние рассматриваемой точки диафрагмы до начала координат в плоскости г = 0 (рис. 1).

Используя общие соотношения, приведенные в [11], получаем следующее сравнительно простое решение:

V [Р (р, г)Л} = с ехр(—/э2/а2)<5((й - г)+

с1) а

+ (1 + ^) ехр (— 2

Рис. 1. Цилиндрическая система координат, использованная при расчетах.

X

х У(с*)2 - г27о

2/УИ2 - г'

2

- рЛ

= сехр(—/э2/а2)6(& - г) + Уа{Р,г).

Обратим внимание на то, что оно содержит исходную <$(£)-волну (первое слагаемое), пространственное распределение амплитуды которой точно совпадает с произведением амплитуды падающей волны на коэффициент пропускания диафрагмы. Данный результат полностью соответствует всем ранее изученным нами случаям. Эта волна распространяется со скоростью с и подобна зоммерфельдовскому предвестнику, возникающему при распространении импульса с резким фронтом в среде с дисперсией [17]. Однако ее происхождение принципиально иное (более подробное обсуждение данного вопроса см. в [б]).

Следом за предвестником в точку наблюдения Р на приемник приходит дифрагированная волна Уа(Р,£). В момент I = г/с ее амплитуда равна нулю, затем сигнал меняется более Или менее сложным образом. Найденное решение иллюстрируют рис. 2, 3. Исходная ¿-волна на них не показана, дана только дифрагированная часть сигнала — «послеимпульс». Его форма существенно зависит как от времени, так и от расстояния до центра диафрагмы. Значения поля в этом импульсе отрицательны в области пространства вблизи оси г и имеют переменную полярность при р > а (см. пример на рис. 4).

Для более детального исследования формы и свойств дифрагированной составляющей сигнала изучим ее зависимость от расстояния точки наблюдения до начала координат г. На рис. 4 показано, как меняется структура импульса Уа (Р, £) при изменении г и угла д между осью я и направлением из начала координат в точку наблюдения. Используем при этом такую важную количественную характеристику импульсных сигналов, особенно в оптике когерентного взаимодействия излучения с веществом, как «площадь» импульса, т. е. величину

Рассмотрим сначала амплитудные характеристики дифрагированной волны. На оси симметрии послеимпульс всегда имеет отрицательную полярность, амплитуда его быстро нарастает с увеличением г, причем одновременно происходит сужение импульса во времени. На рис. 5 показана зависимость длительности интервала времени, на который приходится 90% площади импульса ( AtcЮ%). от координаты точки наблюдения, расположенной на оси. При достаточно большом удалении от диафрагмы эта длительность становится обратно пропорциональной г. Одновременно амплитуда импульса линейно возрастает с расстоянием (рис. 6).

оо

—оо

р

Рис. 2. Распределение интенсивности дифрагированной части импульсного отклика за гауссовой диафрагмой.

Амплитуда волны во внешней части отклика положительна, во внутренней — отрицательна. На оси симметрии (оси г) сигнал приобретает форму ¿-образного отрицательного импульса.

Площадь дифрагированной составляющей импульса Уа на оси симметрии при увеличении расстояния от экрана остается практически постоянной:

оо

А(р = 0,г)= I = + [1 - Ег/

— оо

где Ег/( ) — функция ошибок (интеграл от функции Гаусса). Последнее выражение быстро стремится к —1 с ростом г. График, показывающий зависимость от г площади импульса, нормированной при бесконечно большом расстоянии на 4тт, приведен на рис. 7. Совокупность перечисленных свойств свидетельствует о том, что мы имеем дело с некоторой последовательностью функций, сходящейся к — с£) при г —> оо, но не обладающей, как обычные последовательности, свойством четности (т. е. относящейся к так называемым асимметричным импульсным функциям [18]).

При г —> оо на оси симметрии комбинация прошедшей и дифрагированной ¿(¿)-волн на оси 2 будет стремиться к первой производной от ¿-функции по времени, что соответствует выводам теории дифракции Зоммерфельда для сложных во времени сигналов и результатам проведенных нами исследований [9-11].

Обратимся теперь к изменению формы дифрагированной волны при распространении под конечным углом к оси г (см. рис. 4, б-г). В точку наблюдения, расположен-

Рис. 3. Пространственная структура отклика диафрагмы с гауссовым пропусканием на ¿-импульс при с1 = 4.

Показала только вторая составляющая импульса (послеимпульс), ¿-образный сигнал опущен.

ную вне оси 2, после предвестника со значительной задержкой приходит рассеянный диафрагмой (дифрагированный) импульс. Его форма обусловлена расстоянием г точки наблюдения от центра диафрагмы и углом дифракции. Видно, что при г —> оо она приближенно может быть описана производной от гауссовой функции. Амплитуда этой волны на больших расстояниях убывает обратно пропорционально расстоянию. Площадь импульса, которую в данном случае можно рассматривать как меру отличия формы импульса от производной функции Гаусса, с расстоянием стремится к нулю как 1/г2 (рис. 8). Протяженность сигнала при этом определяется длиной проекции диафрагмы на направление наблюдения. Данный результат совпадает с полученным ранее при исследовании дифракции плоской волны на круглом отверстии и щели. Там, впрочем, мы имели дело с разрывной функцией, описывающей пропускание отверстия. Принципиальное отличие полученных в настоящей работе результатов от предыдущих [9-11] состоит в том, что в первом случае сигнал был двусторонне ограничен во времени, в то время как для гауссовой диафрагмы он ограничен только началом — моментом прихода предвестника. С этой точки зрения, имеется аналогия с дифракцией на полубесконечном экране [13].

Еще одной особенностью пространственной структуры дифрагированной волны являются координаты геометрического места точек перегиба зависимости амплитуды от времени. При любом удалении от диафрагмы в плоскости г = сЬ на цилиндрической поверхности радиуса а амплитуда волны обращается в нуль (Р, ¿) = 0), а ее производная по координате положительна (дУл(Р, £)/<9р = 4г/(еа3) > 0). Отсюда следует, что в точках фронта, удаленных от оси на расстояние а, поле меняет знак: ближе к

Ряд

Колонка

-5 -10 -15 -20

0 5 10 0 5 10 0 5 10 0 5 10

О

-0,5 -1,0 -1,5

Г

V

Аг-

О 5 10 0 5 10 0 5 10 0 5 10

0,2 О -0,2 -0,4

V

V

О 5 10 0 5 10 0 5 10 0 5 10

-0,1 -0,2

V

V

г

О 5 10 0 5 10 0 5 10 0 5 10

Рис. 4- Изменение формы послеимпульса с расстоянием от центра гауссовой диафрагмы при разных углах дифракции.

Угол $ = 0; 0,5; 1 и 1,5 рад. для рядов А, Б, В и Г соответственно, а расстояние г = 1, 2, 4 и 8 (в единицах (Л) в колонках 1; 2; 3 и 4. Следует обратить внимание на качественное изменение формы сигнала для угла дифракции I? = 0, 5 рад., так как приблизительно при г = 2, 1 точка наблюдения выходит за границы цилиндра радиуса а.

оси Уа < 0, дальше — Уа > 0. Таким образом, в дифракции плоской волны на гауссовой диафрагме величина а играет ту же роль, что и цилиндрическая поверхность границы свет — тень при дифракции ¿-волны на круглой диафрагме.

Подведем итоги настоящего исследования. В пространстве за экраном, в котором помещена диафрагма, присутствуют две волны: ослабленная пропорционально пропусканию диафрагмы падающая плоская ¿-образная и дифрагированная, имеющая сложную временную структуру. Первая волна образует импульс предвестника и сохраняет свою форму при любых расстояниях от экрана, вторая — приближается по форме к сферической по мере удаления от экрана.

Амплитуда дифрагированной волны на больших расстояниях от экрана почти во всех точках пространства (исключение составляют точки на оси симметрии системы) убывает обратно пропорционально расстоянию от начала координат. Пространственно-временная структура сигнала дифрагированной волны хорошо описывается проекцией первой производной функции пропускания на направление наблюдения, задержанной на время распространения предвестника.

Atgm 0,175 h 0,150 " 0,125  0,100 • 0,075 • 0,050  0,025 •

ot_^T . z

0 10 20 30 40 50

Рис. 5. Зависимость от расстояния ширины по-слеимпульса на оси z, измеренной так, что на неучтенную часть приходится не более 10% площади импульса.

Приведенная плавная кривая с точностью не хуже 1% совпадает с гиперболой 1/г.

-100

-200

0 20 40 60 80 100 120 140

Рис. 8. Площадь послеимпульса при наблюдении под углом к оси z. Величина Аг2 с ростом г выходит на константу, что свидетельствует об убывании площади пропорционально г-2.

А

Рис. 7. Изменение с расстоянием площади послеимпульса на оси z. Нормировка при г —> оо осуществлена на 4л.

-300

V

Рис. 6. Изменение на оси 2 амплитуды послеимпульса, измеренной на расстоянии 0,001 от предвестника, с расстоянием от диафрагмы.

На оси симметрии системы дифрагированная волна вырождается в одиночный импульс, знак которого противоположен знаку падающей волны. По мере удаления от экрана этот сигнал стремится к ¿-функции и приближается к предвестнику, формируя производную от ¿-функции по времени.

Применение полученных результатов к анализу дифракции монохроматической волны на гауссовой диафрагме показывает, что выведенные нами соотношения правильно описывают пространственное распределение амплитуд дифрагированной волны за экраном. Таким образом, импульсные методы можно использовать для исследования дифракции не только на отверстиях с однородным пропусканием, но и в более сложных случаях.

Summary

Lebedev M.К., Tolmachev Yu.A. Diffraction of plane ¿-wave from the Gaussian aperture.

The problem of plane ¿-wave diffraction from the Gaussian aperture was solved in the Kirchhof approximation. Two waves formation in the space behind the screen was shown. The first wave was

plane and corresponded to the incident one multiplied by the aperture transparency factor. The scattered wave becomes spherical at great distances, its amplitude is approximately proportional to the first derivative of Gaussian function projection to the direction of observation. At the axis, the scattered wave forms a single pulse which amplitude is of the opposite sign with respect to the incident one. The form of this pulse tends to the asymmetric ¿-pulse at large distances from the screen. General laws for the integral characteristics of the diffracted wave were revealed.

Литература

1. Papadogiannis N.A., Witzel В., Kalpouzos C., Charalambidis D. // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83, N 21. P. 4289-4292. 2. http://www.cnews.ru/cgi-bin/prep4print.cgi?src=topnews&news= 20021028120347. 3. Толмачев Ю. A. // Оптика и спектроскопия. 1994. Т. 76, № 6. С. 999-1004. 4. Lebedev М. К., Tolmachev Yu. А. // Proc. SPIE. 1998. Vol. 3403-31. P. 223-232. 5. Brabec Th., Krausz F. // Rev. Mod. Phys. 2000. Vol. 72, N 2. P. 545-591. 6. Horvath Z. L., Bor Zs. // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63. P. 026601-1—026601-11. 7. Оганесян Д. Л. // Оптика и спектроскопия. 1996. Т. 80, № 6. С. 974-978. 8. Михайлов Е. М., Головинский П. А. // Журн. экспер. и теор. физики. 2000. Т. 117, вып. 2. С. 275-285. 9. Сулейменов И.Э., Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. // Оптика и спектроскопия. 2000. Т. 88, № 1. С. 104-109. 10. Lebedev М.К., Tolmachev Yu. А. // Proc. SPIE. 2000. N 4071. P. 184-190. 11. Лебедев M.K., Толмачев Ю.А. // Оптика и спектроскопия. 2001. Т. 90, № 3. С. 457-463. 12. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А., Антипов А. Г., Разманова М.В. // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2002. Вып. 1 (№ 4). С. 46-55. 13. Лебедев М. К., Толмачев Ю. А. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2002. Вып. 4 (№ 28). С. 83-87. 14. Ландсберг Г. С. Оптика. М., 1976. 15. Киселев А. П., Перель М. В. 11 Оптика и спектроскопия. 1999. Т. 86, № 3. С. 357-359. 16. Kiselev А. P., Perel М. V. // J. math, physics. 2000. Vol. 41, N 4. P. 1934-1955. 17. Brillouin L., Sommerfeld A. Wave propagation and group velocity. New York, 1960. 18. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Пер. с англ.; Под ред. И. Г. Арамановича. М., 1969.

Статья поступила в редакцию 15 мая 2002 г.