Поле излучения и характеристики согласования плоского волновода с анизотропным импедансным фланцем

УДК 621.372.82

И.А. Лойко, П.М. Зацепин, В.В. Щербинин Поле излучения и характеристики согласования плоского волновода с анизотропным импедансным фланцем

Ключевые слова: плоский волновод, анизотропный поверхностный импеданс, интегральное уравнение, характеристики согласования, диаграмма направленности.

Key words: plane waveguide, anisotropic surface impedance, matching characteristics, polar pattern.

Введение. Невыступающие волноводные излучатели получили широкое применение в радиотехнике СВЧ-диапазона [1]. В последние годы существенно продвинулись вперед исследования, связанные с созданием новых материалов, обладающих уникальными механическими и электродинамическими свойствами. Это например, композитные материалы, которые применяются в качестве основы или покрытий при изготовлении корпусов и обшивок летательных аппаратов. Искусственные метаматериалы с весьма необычными отражательными и поглощающими свойствами для волн радиодиапазона начинают практически использоваться в антенной технике.

Развитая теория и результаты данной задачи могут быть использованы при проектировании невыступающих волноводных антенн СВЧ-диапазона. В частности, такую постановку можно применить для учета влияния неметаллического покрытия обшивки летательных аппаратов на характеристики бортовых антенн, а также при анализе влияния различных искусственных материалов с заранее заданными свойствами на параметры невыступающих антенн. Практический интерес при этом могут представлять коэффициент отражения первичной волны от раскрыва, генерация отраженных типов волн кроссовой поляризации, диаграмма направленности такой антенны, а также эффективность возбуждения поверхностной волны вдоль фланца.

1. Постановка задачи. Геометрия задачи изображена на рисунке 1. В координатной области г<0 находится плоский полубесконечный волновод шириной а, его центр совпадает с началом координат. Идеально проводящие стенки волновода находятся а а

в плоскостях x = — и x = —. Волновод заполнен 2 2

однородным изотропным магнитодиэлектриком с диэлектрической проницаемостью £ и магнитной г . Волновод возбуждается волной основного типа, набегающей на раскрыв вдоль оси г. Диссипативные потери энергии в волноводе отсутствуют. Волновой процесс является стационарным и гармоническим во времени с круговой частотой ю . Зависимость от времени определяется как e-W.

Рис. 1. Геометрия задачи при излучении из волновода

В плоскости г = 0 расположен бесконечный фланец с анизотропными свойствами. Фланец характеризуется постоянным сторонним анизотропным импедансом 2 , где 2 - тензор второго ранга [2]. В области г>0 находится среда, которая характеризуется диэлектрической проницаемостью є!і и магнитной проницаемостью . Решение задачи проводится в системе единиц СИ. Требуется найти характеристики согласования и диаграмму направленности волноводной антенны.

Задача является двумерной

ду

= 0

и рассмат-

ривается в координатах {x, z}. Граничные условия для плоского волновода:

ЕЛ±-,z I = 0.

Vz < 0.

Граничные условия импедансного типа на фланце вне раскрыва волновода:

Ё,

а а

2, 2

где z0 - орт оси z; S =

раскрыв волново-

да; Et , Ht - касательные к фланцу компоненты

полей; Z - тензор второго ранга:

Z =

-11

-21

-12

22 J

На раскрыве действуют условия сшивания касательных составляющих электромагнитного поля:

Ег (x, +0) = Ег (x, -0),

[Й , (x, +0) = Й t (x, -0).

2. Уравнения задачи. Для решения задачи рассмотрим поле в двух областях: в области г<0, в которой находится плоский волновод; и в области г>0, представляющей собой неограниченное полупространство. Поле в обеих областях подчиняется уравнениям Максвелла, хотя является различным по своей структуре из-за наличия стенок волновода (1) в области г<0. На поле в полупространстве г>0 накладываются условия излучения на бесконечности, а также граничные условия импедансного типа (2) на фланце вне раскрыва волновода. Граничные условия определяют структуру поля следующим образом: в верхнем полупространстве это будет интеграл по непрерывному спектру плоских волн [3], а для нижнего полупространства - ряд по собственным функциям волновода [4].

Интегральные уравнения задачи получаются после применения условия сшивания касательных составляющих электрического и магнитного поля на раскрыве (3):

Е (an +вп )фп (x) = (D(x, x'), F(x')),

n=0

Е Yn (an -вп )фп (X) = (G(x, x ')F(x')),

n=0

a

+—

2

здесь ( ^ = J dx - оператор интегрирования по рас-

крыву волновода; фп (х) - нормированные поперечные волновые функции; ап - амплитуды падающей на раскрыв волны; вп - амплитуды отраженной от раскрыва волновода волны; Уп - характеристический адмитанс для п-ой моды волновода.

Ядра интегральных уравнений В (х, х') и

0( х, х') являются разностными и четными, для них выполняется равенство:

8

Они же: В (х, х') - функция Грина для электрического поля; &(х, х') - функция Грина для магнитного поля:

в

, у0 0 (?0 хУ)]

Zo

eXP(i^xX - i^xX ,)d%x ,

(5 (x, x') = ± +Г JrXoO (P x fo) +

2n_[ z0

+Ym %OV0XV ) exp(i£x - i^xX ')d£x, Zo(VxP) J

где о - операция тензорного умножения векторов.

Для упрощения записи вводят вспомогательные векторы V, P :

V ) = Хо + YeZx0,

P (£) = Уо + YmZyo.

Чтобы связать поля на апертуре с электромагнитным полем верхнего полупространства, вводят вспомогательную финитную функцию [5, 6] в форме импедансных граничных условий (2):

F(x) = {E (x, 0) - Z[?o х Ht (x, 0)], x 6 5,

[ 0, x g S.

Амплитуды {Д,} и вспомогательная функция F (x) представляют собой неизвестные величины. Амплитуды {вп} определяют характеристики согласования волновода с фланцем, F(x) - поле излучения невыступающего волноводного излучателя. Функция F(x) в данной ситуации рассматривается как независимая функция, так как ее определение заложено в систему интегральных уравнений.

3. Поле излучения в дальней зоне. Диаграмма направленности. Для удобства дальнейшего рассмотрения перейдем к полярной системе координат, по формулам x = р sin р , y = р cos р , и произведем оценку электромагнитного поля при условии ksp >> 1:

Ёе = A(p)fe (k s sin ф)е

Ф

H е = A(p)f tk-8і°Ф> yo,

Zs

Ёm = A(p) cos фfm (k s sin ф)Єф, ёm Лґ p fm (k s SІnф) ё

H = -A(p) cos ф---------Z.------yo,

^ с

здесь A(p) = I —— exp J iksp- iПI - вспомогательное К 2 J

ная величина; Ёе, He - вертикальная поляризация; Ёгп, Hm - горизонтальная поляризация; вф - единичный вектор угловой координаты ф.

Диаграмма направленности излучения волновода:

F =

Функции /е'т (£х) - спектральные плотности проекций касательного электрического поля в плоскости фланца на оси х и у.

4. Решение. Решение интегрального уравнения найдем с помощью метода моментов, в котором неизвестная функция разлагается в ряд по собственным функциям волновода [7]. Система собственных функций волновода является полной и замкнутой, поэтому функцию Р(х) полностью определяет ряд:

F(X) = Е ЛпФп (x),

где Ап - коэффициенты разложения неизвестной функции по собственным функциям фп (X) .

Подставляя (12) в систему интегральных уравнений (5), домножая каждое из уравнений на фп *(х) и интегрируя по раскрыву волновода, с учетом ортогональности собственных функций, можно получить бесконечную систему линейных алгебраических уравнений. Ограничиваясь рассмотрением только п + 1 первых членов в бесконечном ряду, можно привести ее к виду:

а = -Д

Е Ajdij, j=0

i = (0,..,n),

УЛ = Уф, + Е A,

j=0

где йц, gij - интегральные коэффициенты, которые вычисляются по формулам:

йц = Ф * (х), ((х, х'), фц (х'})),

gij = (Фі *(х), (&(х, х'), фц (х .

Неоднородная система линейных уравнений (13) считается полной: она содержит 2п + 2 неизвестных и столько же уравнений. Неизвестными величинами являются комплексные амплитуды вп отраженной волны электрического поля и коэффициенты разложения Ап функции ¥ (х) по собственным функциям

плоского волновода. Смежные интегральные коэффициенты (14) обращаются в ноль для волновых функций плоского волновода из групп Е2п , Е2п+1, Н2п+1, Н2п при идеально проводящем и импеданс-

ном фланце и из групп {Е2п , Н2п+1 } , {Е2п+1, Н2п } -

при анизотропном фланце. Система (13) распадается на независимые системы линейных уравнений для соответствующих групп мод при указанных условиях. Моды из разных групп не влияют друг на друга.

5. Численные результаты. Для численных расчетов необходимо построить модель анизотропного импеданса. Примером поверхности, обладающей анизотропным импедансом, является ребристая структура, или «гребенка» (рис. 2). Эта структура представляет собой систему металлических ребер толщиной ї, укрепленных на идеально проводящей плоскости. Расстояния между ребрами одинаковы и равны Т. Между двумя соседними ребрами образуется прямоугольная канавка, имеющая глубину й и ширину Т - ї.

Тензор поверхностного импеданса ребристой структуры в заданных координатах имеет вид [3]:

^ 0Л 0,

Z =

E

0

т - г

где ХЕ = -[ (крй), эта формула будет верна

при выполнении следующих условий Т —г<<к, г<<Т.

Рис. 2. Плоская ребристая структура

Если ребра структуры образуют угол у с осью у, то тензор поверхностного импеданса ребристой структуры равен:

2

Z = zt

cos у

-sin Ycos Y sin2 Y

-sin Y cos Y

При численных расчетах полагалось, что волновод возбуждается волной основного типа, причем амплитуда электрического поля полагается равной единице. В плоском волноводе волной основного типа является TEM волна. Для расчетов выбран импеданс фланца, равный:

Z = i120n

0.4 -0.4

-0.4 0.4

Такой импеданс может быть практически реализован с помощью ребристой структуры. При расчете принимались во внимание 10 первых мод плоского волновода: Е0, Еь Нь Е2, Щ, Е3, Н3, Е4, Н4, Е5. В результате численного моделирования было обнаружено, что ТЕМ волна, кроме самой себя, возбуждает отраженную волну только на четырех модах из рассматриваемых: Е2, Е4, Н1, Н3. Этот результат подтверждается анализом расчетных формул. Характеристики согласования приводятся в зависимости от безразмерной ширины волновода ка, изменяющейся в пределах от 0.1 до 4п.

Рис. 3. Зависимость модуля коэффициента отражения волны основного типа от ка

n=0

На рисунке 3 изображена зависимость модуля коэффициента отражения волны основного типа от ка. Зависимость модуля коэффициента отражения волны основного типа в одномодовом приближении не имеет точек перегиба и изломов, а та же зависимость, рассчитанная в 10-модовом приближении, имеет точку излома при ка = 2п, что соответствует критической длине волны моды Е2. Это связано с перераспределением энергии в системе волновода, поэтому характеристический адмитанс для моды Е-типа стремится к бесконечности на критической длине волны.

10 mode

----1 mode

----1--1---1----------1-1-1-1-1-1-1--1-------1-

О 2 4 6 8 10 12

ка

Рис. 4. Зависимость фазы коэффициента отражения от ка

На рисунке 4 показана зависимость фазы коэффициента отражения волны основного типа от ка. Зависимость фазы коэффициента отражения волны основного типа в одномодовом приближении также не имеет точек перегиба и изломов, а на зависимости, построенной в 10-модовом приближении, имеются две точки излома: при ка = 2п и ка = 4п,

что соответствует критическим длинам волн мод

Е2 и E4. Это связано с перераспределением энергии в системе волновода.

На рисунке 5 представлена зависимость модуля коэффициентов возбуждения мод Я-типа от ка. Модули коэффициентов возбуждения мод Я-типа стремятся к бесконечности в точках ка = 2п, ка = 4п, эти точки соответствуют критическим длинам волн этих мод. В этих критических точках адмитанс для мод Я-типа обращается в ноль на соответствующей моде, поэтому амплитуда электрического поля может принимать любые значения.

Таким образом, коэффициенты возбуждения мод Я-типа имеют ненулевые значения только в том случае, когда поверхностный импеданс фланца является анизотропным, т.е. недиагональные элементы тензора отличны от нуля.

На рисунке 6 изображена диаграмма направленности при ка = 1.0. Импеданс полагался таким же, что и в предыдущих расчетах, количество учтенных мод также равно десяти. В волновод отразилось 22% энергии, мощность, излученная в свободное

0,06

0,05

0,04

<и

О 0,03

z:

о.

Е

< 0,02

0,01

____і___I______і_I_____і_I_____і_I____і_I_____і_I_

0 2 4 6 8 10 12

ка

Рис. 5. Зависимость модуля коэффициентов возбуждения мод H-типа от ka

-90 -60 -30 О 30 60 90

ф=°

Рис. 6: Диаграмма направленности плоского

волновода с импедансным фланцем при ка = 1.0

пространство, составила 39% от мощности, поступающей к раскрыву волновода. Видно, что антенна принимает и излучает две различные поляризации.

Выводы. При выполнении работы были изучены характеристики согласования волновода с фланцем и поле излучения данной антенны. В результате проведенных исследований:

1. Получена система двух интегральных уравнений для невыступающего волновода с анизотропным импедансным фланцем. В предельном случае они сходятся к интегральным уравнениям для фланца со скалярным импедансом и для идеального проводящего фланца.

2. Приведены расчетные формулы для характеристик согласования, диаграммы направленности и энергии излучения вертикальной и горизонтальной поляризации невыступающего волновода с анизотропным фланцем.

3. Показано, что в плоском волноводе существуют группы мод, которые не влияют друг на друга при излучении из плоского волновода с фланцем: это группы Е2П, Е2п+1, Н2п+1, Нп - для идеально проводящего и импедансного фланца и две группы {Е2п, Н2п+1}, {Е2п+1, Н2п} - для анизотропного фланца.

13S

4. Обнаружено, что при возбуждении плоского зора поверхностного импеданса, на раскрыве воз-

волновода волной основного типа (ТЕМ-волна), никают моды магнитного типа И2„+1 и в поле излу-

если не равны нулю недиагональные элементы тен- чения присутствуют обе поляризации.

Библиографический список

1. Balanis, C.A. Antenna theory, analysis and design / C.A. Balanis. - 2 edition. - N.Y., 1997.

2. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Рашевский. - 3-е изд. - М., 1967.

3. Марков, Г.Т. Возбуждение электромагнитных волн / Г.Т. Марков, А.Ф. Чаплин. - М.; Л., 1967.

4. Вайнштейн, Л.А. Электромагнитные волны / Л. А. Вайнштейн. - 2-е изд. - М., 1990.

5. Комаров, С.А. Вариационный принцип в задачах излучения из полубесконечного волновода с импеданс-ным фланцем / С.А. Комаров // Изв. вузов. Радиоэлектроника. - 1985. - Т. 28, №3.

6. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. - 3-е изд. - М., 1976.

7. Миттра, Р. Аналитические методы в теории волноводов / Р. Миттра, С. Ли. - М., 1974.