Гипотеза Коллатца, почти, еще чуть-чуть

Гипотеза Коллатца.

Это одна из нерешенных проблем математики. На протяжении 100 лет она не поддается решению. Получила широкую известность благодаря простоте формулировки:

– Берём любое натуральное число

n

. Далее, если оно чётное, разделим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3

n

+1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.

Какое бы начальное число

n

мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу, – так гласит гипотеза.

Преамбула.

Гипотеза является своего рода аксиомой натуральных чисел и её следует воспринимать не как гипотезу, а как саму суть натуральных чисел. Из гипотезы следует, что в обратном порядке (по схеме Коллатца) все натуральные числа могут быть получены из единицы до любого

n

.

Обратная схема.

Гипотеза Коллатца выполняет действия 3

n

+1 и

n

/2, тогда обратные действия: (

n

-1)/3 и

n

*2. Сформулируем это так:

– Если для числа

n

предшествующее ему число (

n

-1) делится на 3, тогда делим (

n

-1)/3. Полученный результат умножаем на 2. И вообще, всегда умножаем любое число

n

на 2. Тогда, начиная с единицы, выполнение всех этих действий породит (создаст, покроет, охватит) все натуральные числа в природе.

Последовательности.

Посмотрим на последовательности в гипотезе Коллатца (3

n

+1).

3,10,5,16,8,4,2,1

5,16,8,4,2,1

7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1

9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1

11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1

13,40,20,10,5,16,8,4,2,1

15,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1

17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1

19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1

21,64,32,16,8,4,2,1

23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16,8,4,2,1

25,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1

Обратная схема (

n

-1)/3.

1,2,4,8,16,5

1,2,4,8,16,5,10,3

1,2,4,8,16,5,10,20,40,13

1,2,4,8,16,5,10,20,40,13,26,52,17,34,11

1,2,4,8,16,5,10,20,40,13,26,52,17,34,11,22,7

1,2,4,8,16,5,10,20,40,13,26,52,17,34,11,22,7,14,28,9

1,2,4,8,16,5,10,20,40,13,26,52,17,34,11,22,44,88,29,58,19

1,2,4,8,16,5,10,20,40,13,26,52,17,34,11,22,44,88,29,58,19,38,76,25

1,2,4,8,16,5,10,20,40,80,160,53,106,35,70,23

1,2,4,8,16,5,10,20,40,80,160,53,106,35,70,23,46,15

Как мы видим, все последовательности зеркальны и идентичны.

Примеры.

Распишем всё это более подробно:

Выполним преобразование для 1.

Число 1. Умножаем на 2. Получаем 2.

Выполним преобразование для 2.

Число 2. Умножаем на 2. Получаем 4.

Выполним преобразование для 4.

Число 4. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (4-1)/3 = 1.

Число 4. Умножаем на 2. Получаем 8.

Выполним преобразование для 8.

Число 8. Умножаем на 2. Получаем 16.

Выполним преобразование для 16.

Число 16. Предшествующее ему делится на 3. Получаем: (16-1)/3 = 5.

Число 16. Умножаем на 2. Получаем 32.

Итак, мы на пороге первой развилки!

1,2,4,8,16 – здесь у нас развилка на 5 и 32.

1,2,4,8,16,5

1,2,4,8,16,32

Зайдем на развилку 32.

1,2,4,8,16,32,64,21

Не будем уходить в бесконечность, это утомит читателей, остановимся на 21.

Вернемся к числу 5.

1,2,4,8,16,5,10 – здесь у нас снова развилка на 3 и 20.

1,2,4,8,16,5,10,3

1,2,4,8,16,5,10,20

Пойдем по развилке 3.

1,2,4,8,16,5,10,3,6,12,24

Не будем уходить в бесконечность, остановимся на 24.

Вернемся к числу 20.

1,2,4,8,16,5,10,20,40 – здесь у нас опять развилка на 13 и 80.

1,2,4,8,16,5,10,20,40,13

1,2,4,8,16,5,10,20,40,80

Пойдем по развилке 13.

1,2,4,8,16,5,10,20,40,13,26,52,17,34,11,22

Число 22 даёт нам развилку 7 и 44.

Пойдем по развилке 7.

1,2,4,8,16,5,10,20,40,13,26,52,17,34,11,22,7,14,28,9,18

Не будем уходить в бесконечность, остановимся на 18.

Пойдем по развилке 44.

1,2,4,8,16,5,10,20,40,13,26,52,17,34,11,22,44,88,29,58,19,38,76,25

Не будем уходить в бесконечность, остановимся на 25.

Вернемся к числу 80.

1,2,4,8,16,5,10,20,40,80,160,53,106,35,70,23,46,15,30

Не будем уходить в бесконечность, остановимся на 30.

Итак, мы получили точно такие же последовательности, как в гипотезе Коллатца. Но двигались мы с единицы. Заодно мы получили ряд натуральных чисел от 1 до N:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25…

«Какую бы N мы не взяли, но рано или поздно мы получим последовательность с этим N до 1»,

– так звучит гипотеза Коллатца.

Но ведь это именно единица! рождает все эти последовательности. И надо это понимать.

Ряд чисел от 1 до N.

Как мы видим, в обратной схеме мы охватываем все варианты, которые только возможны. Мы охватываем сразу все последовательности. Тогда нас интересует вопрос, дает ли нам этот процесс весь ряд натуральных чисел от 1 до N?

Обратная схема выполняет следующие действия:

– деление нечётного числа на 3.

– сдвиг чётного на единицу.

– умножение на 2.

Выделим три множества.

Множество №1 – все нечётные числа.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35...

Множество №2 – все чётные числа, где предшествующее делится на 3.

4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70, 76, 82, 88, 94, 100...

Множество №3 – остальные чётные числа.

2, 6, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 26, 30, 32, 36, 38, 42, 44, 48, 50, 54...

Как не сложно догадаться, эти множества образуют весь ряд натуральных чисел от 1 до N.

И в то же время, эти множества и есть порождение формулы Коллатца, что нам предстоит еще доказать.

График.

Посмотрите на график.

Этот график демонстрирует как из единицы появляются новые числа. Каждая стрелка – это итерация, новое число, и переход по множествам. Мы начинаем шагать с единицы и так далее. Уже на нескольких итерациях мы видим как последовательность уходит в бесконечность.

Существуют так называемые числа "градины", за которыми нужно долго бегать. Но и они рано или поздно попадают под наш перекрестный огонь.

Также обратим внимание, что если стрелки развернуть в обратную сторону, то это как раз и будет фокус Коллатца, когда мы будем двигаться уже от N до единицы.

Доказательство.

Итак, доказательство гипотезы Коллатца сводится лишь к вопросу:

Почему деление/умножение на 2 и 3, и сдвиг на единицу порождает весь ряд натуральных чисел от 1 до N? И так ли это?

И вот здесь мне нужна ваша помощь. Расчеты на компьютере показывают, что это определенно так (см. проект «Collatz Conjecture»).

Я призываю всех неравнодушных довести это дело до конца и доказать гипотезу Коллатца.