Погружающие операции и их применение

И.А. Карпенко

ПОГРУЖАЮЩИЕ ОПЕРАЦИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Abstract. Known definitions of translations between logic systems are considered and compared. Examples of embeddings of classical logic into intuition-istic logic are resulted. Embedding of classical propositional logic into a number of paraconsistent logics is constructed.

В современной логике все чаще применяются различного рода переводы для изучения логических систем. Использование специального вида переводов - погружающих операций - позволяет устанавливать разрешимость и неразрешимость логических систем, проводить доказательства отделимости фрагментов логических исчислений, интерпретировать одно логическое исчисление в семантике другого логического исчисления, выявлять дедуктивные возможности формальных теорий.

Если в лингвистике теория перевода начала разрабатываться еще в XVI веке, то в логике к ее формированию приступили только в середине XX века [1]. Естественно, первые логические переводы были предприняты намного раньше [2]. Хотя до сих пор не существует завершенной логической теории перевода, появление большого количества работ, посвященных данной проблеме, свидетельствует о ее актуальности.

В логике перевод одного исчисления в другое осуществляется посредством отображения, сопоставляющего формулам языка первого исчисления формулы языка второго исчисления. Это отображение, вслед за Н.А. Шаниным, принято называть "погружающей операцией", хотя отображение далеко не всегда является операцией (погружающие операции строят также для исчислений, сформулированных в разных языках). Кроме того, вслед за В.А. Смирновым, различают перевод и погружающую операцию.

Применение погружающих операций для изучения логических систем оправдывается некоторыми свойствами логических систем, которые возможно устанавливать посредством погружающих операций. Имеет смысл рассматривать эти свойства в философском и техническом аспектах.

В философском плане, погружение позволяет изображать одну теорию в терминах другой. Погружение неинтерпретированного исчисления в исчисление, наделенное семантикой, решает про-

блему семантической осмысленности формул первого из этих исчислений и способствует тем самым пониманию того, какова природа логических отношений, формализованных в этом исчислении.

Встает вопрос о роли отрицания в языке: погружая исчисление, язык которого содержит негацию, в другое позитивное исчисление или собственную позитивную часть, мы получаем возможность формулировать истины первого исчисления только утвердительными выражениями, то есть не говоря "не".

В техническом аспекте, как уже говорилось, следует обратить внимание на проблему разрешимости. Так, в результате погружения какого-либо исчисления в какое-либо разрешимое исчисление положительно решается вопрос о разрешимости первого, в результате погружения какого-либо неразрешимого исчисления С в какое-либо исчисление С2 устанавливается неразрешимость исчисления С2, погружение исчисления С в его фрагмент, язык которого не содержит некоторых логических констант, имеющихся в языке Ь исчисления С, позволяет изображать теоремы исчисления С теоремами этого же исчисления, записанными на языке, число логических констант которого меньше, чем в Ь. Например, В.М. Попов [3] погружает исчисление, аксиоматизирующее классическую пропозициональную логику, в его имплика-тивный фрагмент, а также в импликативный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики. С использованием погружающих операций доказывается отделимость фрагментов в исчислениях, что так же было показано В.М. Поповым [3].

Указанные здесь свойства имеют большое значение для понимания логических систем, и, как становится ясно в современной логике, аппарат погружающих операций удобен для доказательства наличия этих свойств.

Определением погружающих операций и систематизацией погружений интересовались Д. Правиц и П. Малмнас [5], В. Кар-ниэлли и Д'Оттавиано [6], Р. Эпштейн [7]. Последний предложил определение перевода, претендующее на универсальность.

Впервые погружающая операция была введена, как утверждает В.А. Смирнов [8, с.120], А.Н. Колмогоровым [2] в 1925 году. В [2] строится погружение классической арифметики в интуиционистскую арифметику.

Рассмотрим и сравним самые важные, на наш взгляд, определения погружающей операции. Для этого приведем определение погружающей операции, принадлежащее В.А. Смирнову [8], и осуществим реконструкции принадлежащих Р. Вуйцицкому [9] и Р. Эпштейну [7] определений погружающей операции.

Определение В.А. Смирнова из [8]:

Пусть Т1 и Т2 теории, сформулированные соответственно в языках Ь1 и Ь2 с соответствующими логиками. Пусть ф - рекурсивная функция, сопоставляющая формулам языка Ь1 формулы языка Ь2 для всякой Ь1-формулы А. Функция ф называется переводом теории Т1 в Т2, если выполняется условие: если АеТ1, то ф(А)еТ2. Если выполняется дополнительное условие: если ф(А)еТ2, то АеТ1, то рекурсивная функция ф называется погружающей операцией теории Т1 в теорию Т2. Теория Т1 погружаема в теорию Т2, если и только если существует рекурсивная функция, погружающая Т1 в Т2.

Функция ф называется погружением исчисления С1, язык которого есть Ь1, в исчисление С2, язык которого есть Ь2, если для всякой Ь1-формулы а выполняется следующее условие: (сА т.т.т. ^С2ф(А).

Реконструкция определения Р. Вуйцицкого погружающей операции.

Пусть языки Ь1 и Ь2 - стандартно определяемые пропозициональные языки и множество {рьр2,р3,...} всех пропозициональных переменных языка Ь1 равно множеству всех пропозициональных переменных языка Ь2, С1 есть пропозициональное исчисление, язык которого есть Ь1, С2 есть пропозициональное исчисление, язык которого есть Ь2, Т1 есть С1-теория и Т2 есть С2-теория. 1-по-гружением (1 - натуральное число) языка Ь1 в язык Ь2 называется отображение ф множества всех Ь1-формул во множество всех Ь2-формул, если выполняется следующее условие:

(1) существует формула ф в Ь2 от одной пропозициональной переменной р1 такая, что для всякой пропозициональной переменной р, ф(р)=[р1/р]ф, где [р/р]ф есть результат подстановки р вместо р1 в ф,

(2) для всякой к-местной (к>0) связки г1 языка Ь1 существует формула ф1 языка Ь2 такая, что для всяких формул а1,.,ак языка Ь1

ф(г1(а1,.,ак))=[р1/ф(а1),.,рк/ф(ак)]ф1, где [р1/ф(а1),.,рк/ф(ак)]ф1 есть результат подстановки ф(а1) вместо р1, ., ф(ак) вместо рк в ф.

Погружающей операцией теории Т1 в теорию Т2 называется любое 1-погружение языка Ь1 в язык Ь2 такое, что для всякой формулы а языка Ь1 верно следующее:

аеТ1 т.т.т. ф(а)еТ2.

Погружающей операцией исчисления С1 в исчисление С2 называется 1-погружение языка Ь1 в язык Ь2 такое, что для всякой формулы а языка Ь1 верно следующее:

("ста, т.т.т. ^С2ф(а). Реконструкция определения Р. Эпштейна погружающей операции:

Пусть Ьз— есть стандартно определяемый пропозициональный язык, множество всех логических констант которого есть {з,—}, при этом з - бинарная, а —I — унарная логические связки языка Ьз—. Пусть Ц и Ь2 — стандартно определяемые языки, С есть пропозициональное исчисление, язык которого есть Ьь С2 есть пропозициональное исчисление, язык которого есть Ь2.

Погружением исчисления С в исчисление С2 назовем отображение ф множества всех Ц-формул во множество всех Ь2-формул такое, что для всякой Ц-формулы а и всякого множества Г Ц-формул выполняется следующее условие:

где ф(Г)={ф(а):аеГ).

Пусть А, В и С есть ^-формулы. ¡-грамматическим А-В-С отображением (1 — натуральное число) языка Ьз— в язык Ц такой, что множество всех пропозициональных переменных языка Ьз— равно множеству всех пропозициональных переменных языка Ьь по Эпштейну, называется отображение * множества всех Ьз—-формул во множество всех Ц-формул, удовлетворяющее следующим условиям:

1) ф(р)=[р^р]А, где [р1/р]А есть результат подстановки р вместо р1 в формулу А,

2) ф(азР)=[р1/ф(а),р2/ф(Р)]В, где а и р есть формулы языка Ьз—, а [р1/ф(а), р2/ф(Р)]В есть результат подстановки ф(а) вместо р1 и ф(Р) вместо р2 в формулу В,

3) ф(—а)=[р1/ф(а)]С, где а есть формула языка Ьз—, а [р1/ф(а)]С есть результат подстановки ф(а) вместо р1 в формулу С.

Грамматическим погружением исчисления С1, язык которого есть Ьз— в исчисление С2, языку которого принадлежат все те и только те пропозициональные переменные, которые принадлежат языку Ьз—, по Эпштейну, называется погружение ф исчисления С1 в исчисление С2 такое, что для некоторых Ь1-формул А, В и С и некоторого натурального числа 1 ф есть 1-грамматическое А-В-С-отображение языка Ьз— в язык исчисления С2.

Грамматическое отображение называется гомофонным, если каждая связка отображается сама в себя. Грамматическое погружение есть грамматическое отображение, которое является погружением.

Легко заметить, что В. А. Смирнов определяет погружение для теорий и исчислений, Вуйцицкий — для языков, теорий и исчислений, Эпштейн для исчислений. Таким образом, и В.А. Смирнов и Вуйцицкий и Эпштейн определяют погружение исчисления в исчисление. Сравним эти определения. Определения Вуйцицкого и Эпштейна отличаются от определения В.А. Смирнова по существу

только наличием требования индуктивного определения погружающей операции. Поэтому всякое погружение в смысле Вуйциц-кого и всякое грамматическое погружение в смысле Эпштейна является погружением в смысле В. А. Смирнова. Эпштейн в определении погружающей операции ставит обязательным условием того, что отображение ф есть грамматическое погружение исчисления Ci в исчисление С2, более сильное требование, чем в соответствующем определении Вуйцицкий. Требование Эпштейна таково: для всякого множества Г формул языка исчисления C1 и всякой формулы а данного языка верно, что Г^С1а, т.т.т. ф(Г) ^С2ф(а). Согласно определению Вуйцицкого, погружение ф исчисления С1 в исчисление С2 удовлетворяет следующему условию: ^С1а, т.т.т. ^С2ф(а). В пункте (1) определения погружающей операции по Вуйцицкому требуется существование формулы ф от одной пропозициональной переменной p0 такой, что для всякой пропозициональной переменной p, ф(р)=[р£/р]ф, где [р£/р]ф есть результат подстановки р вместо р! в ф. Из текста Эпштейна не вполне ясна его позиция относительно аналогичного требования в пункте 1) определения погружающей операции, но если допустить, что он выдвигает такое же требование, то справедливо заключить, что всякое грамматическое погружение в смысле Эпштейна является погружением в смысле Вуйцицкого. В противном случае, если Эпштейн не выдвигает такое требование, можно предположить, что существуют исчисления, для которых имеет место погружение в смысле Вуйцицкого, но не имеет места грамматическое погружение в смысле Эпштейна, и существуют исчисления, для которых имеет место грамматическое погружение в смысле Эпштейна, но не имеет места погружение в смысле Вуйцицкого.

Рассмотрим примеры погружения классической логики в интуиционистскую логику.

Для этого зададим исчисления PC (классическое пропозициональное исчисление) и Int (интуиционистское пропозициональное исчисление), следуя [10].

Язык этих исчислений есть LAV3-. Исчисления PC и Int являются исчислениями гильбертовского типа со стандартно определяемым понятием доказательства, а множеству всех правил вывода каждого из этих исчислений принадлежит только одно правило -правило модус поненс в языке LAV3-. Поэтому для задания любого из этих исчислений остается определить множество всех его аксиом.

Множество всех аксиом исчисления PC есть множество всех L^^-формул, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов (А, В и С - L^^-формулы):

1.Аз(В=>А),

2.(А^>(В=€))=<(А^>В)=<А^>С)),

3.(ЛлБ)^Л,

4.(ЛлБ)^Б,

5.А^(В^(АлВ)),

6.A^(AvB),

8.(Л=С)=>((Б=С)=>(^Б)=>С)),

9.(ЛзВ)з((А^(—В))з(—Л)), 1ü.(—(—Л))зЛ.

Множество всех аксиом исчисления Int есть объединение множества всех формул, каждая из которых является формулой хотя бы одного из перечисленных выше видов 1.-8. c множеством всех формул вида: 9\(—А)з(АзВ).

Гливенко [11] в 1929 году предложил операцию, погружающую классическую пропозициональную логику в интуиционистскую логику, язык которых есть ЬЛЮ—. Эта погружающая операция сопоставляет каждой ЬЛЮ—-формуле А ЬЛЮ—-формулу —(—А). Используя введенную терминологию, результат Гливенко можно сформулировать в виде следующей теоремы:

T1. Г^рс Л т.т.т. —(—Г) hint —(—Л). Здесь —(—Г) = {—(—Б): БеГ}.

Любопытен факт, что аналог погружающей операции, предложенной Гливенко, не является операцией, погружающей классическую первопорядковую логику в интуиционистскую первопоряд-ковую логику.

Погружаюшщая операция Гливенко не является погружающей операцией в смыслах Р. Вуйцицкого и Р. Эпштейна.

В 1933 году Гёдель показал [12], что Int может рассматриваться как расширение классической пропозициональной логики, сформулированной в языке ЬЛ—. Уточним сказанное. Пусть РСЛ— = {Л: Л - формула в ЬЛ— и |-рСЛ}. Тогда результат Гёделя из [12] можно сформулировать в виде следующей теоремы Т2. T2. Для всякой ЬЛ—-формулы А верно, что ЛеРСЛ— т.т.т. h Int Л.

Доказательство этой теоремы справа налево очевидно, так как множество всех теорем Int включается во множество всех теорем PC. Докажем, что если ЛеРСЛ—, тоЬмЛ.

Доказательство проводится индукцией по построению ЬЛ—-формулы А.

Имеем три возможности: 1) А есть пропозициональная переменная, 2) А есть —В, 3) А есть В]ЛВ2.

Рассмотрим 1). В этом случае требуется доказать, что если р^РСЛ—, то^рь Но ни одна пропозициональная переменная не может быть теоремой исчисления PC. Поэтому, в силу известных свойств классической импликации, получаем, что, то^мр^

Рассмотрим 2). В этом случае требуется доказать, что если —ВеРСЛ—, то|и—В. Но это верно в силу результата Гливенко [11] о том, что для всякой формулы -формулы А ^PC—A

т.т.т. |-Int—A.

Рассмотрим 3). В этом случае требуется доказать, что если В^В^РС^, то^мВ^В^ В силу известных свойств РСЛ— верно, что а) если В^В^РС^, то В^РС^ и В2еРСЛ—.

По индуктивному допущению имеем: b) если В^РС^, то|иВ1 и если В2еРСЛ—, то|мВ2.

Известно, что с) ^мВ^В^В^В^). Из а), b) и с) по определению доказательства в Int получаем, что |м В1лВ2.

Таким образом, теорема T2 доказана.

Простота этого доказательства демонстрирует удобство использования одних результатов о погружениях для построения других погружений.

В 1952 году Я. Лукасевич [13] погрузил (нижеследующая теорема Т3) PC в Int посредством следующей погружающей операции *:

(р)*=р

(алв)*=(а)*л(в)*

(—А)*=—(А)*

(AvB)*=—((—(А)*)л(—(В)*)) (азв)*=—((а)*л(—(В)*)),

Т3: |pc A т.т.т. |Int(A)*.

Как утверждает Эпштейн (см. [7, р. 213]), погружение в смысле Т3 не сохраняет отношения присоединения следствий, так как следующее утверждение (♦) неверно: УГУА (если Г есть множество L^^-формул и А есть L^^-формула, то r|PC A т.т.т. Г* |INT A*.

Покажем, что утверждение (♦) неверно.

Допустим, что (♦). Тогда (i) ——р1 |рс р1 т.т.т. (——рО* МрО*.

(ii) (——р1)* = р1 - по определению операции *,

(iii) (р1)* = р1 - по определению операции *,

(iv) ——р1 |pc р1 т.т.т. ——р1 |]п1р1 - из (i), (ii) и (iii).

Известно, что (v) ——р1 |РС р1,

(vi) ——р1 |]п1р1 - из (iv) и (v),

(vii) |Int i ¡р1^р1 - из (vi) в силу теоремы дедукции для Int.

Однако известно, что |Int——ръ^рь

Таким образом, допущение (♦) неверно.

Еще одно погружение PC в Int, предложенное Генценом в 1936 году [14], сохраняет отношение присоединения следствий. Им строится определяемая ниже погружающая операция ° и доказывается нижеследующая теорема.

(p)°=——p

(алв)°=(а)°л(в)°

(—А)°=—(А)°

^В)°=—

(А^В)°=(А)°^(В)°,

Т4: гЬрс Л т.т.т. (Г)° |-м (Л)°.

В 2üüü году вышла работа [3] В.М. Попова, в которой классическая пропозициональная логика погружается в импликативный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики.

В [3] классическая пропозициональная логика представлена посредством исчисления Cl3f, язык которого есть L3f. Аксиомами исчисления Cl3f являются те и только те L^f-формулы, каждая из которых имеет вид А^(В^А) или (А^В)^((А^(В^С))^(А^С)) или ((А^^^^Л. Правило вывода: А, А^В/В в L3f.

Импликативный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики представлен в [3] исчислением Int3. Его аксиомами являются те и только те L^-формулы, каждая из которых имеет вид А^(В^А) или (А^В)^((А^(В^С))^(А^С)). Правило вывода: А, А^В/В в L3.

В [3] определяются следующие операции: Сд (впервые предложенная В.М. Поповым в [15]) и Т, где Сд есть отображение множества всех L^f-формул во множество всех L^-формул, а Т есть отображение множества всех L^f-формул во множества всех L3-формул. Сд(Э = Р1,

СдфО = Pi+1 (где ie {1,2,3,...}),

Сд(Л^Б) = Сд(Л)^Сд(Б).

Т(Р1) = Р1,

T(Pi) = (pi^pj)^p! (где ie {1,2,3,...}),

Т(Л^Б) = Т(Л)^Т(Б).

Далее доказывается теорема (в нашей нотации Т5). Т5: hcif - т.т.т. h nt3 Т(Сд(А)).

В качестве еще одного примера самостоятельно докажем теорему о погружении. Посредством описываемой ниже операции классическое пропозициональное исчисление из [10], обозначаемое PC, погружается в исчисления I0, Ib I2 и I3 из [16].

Все упомянутые выше исчисления являются исчислениями гильбертовского типа со стандартно определяемым понятием

доказательства. Множеству всех правил вывода каждого из этих исчислений принадлежит только одно правило - правило модус поненс в соответствующем языке.

Исчисление РС. Множество всех аксиом исчисления РС есть множество всех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов:

1. А^(В^А),

2. (А^(В=€))=>((А=>В)=<А^>С)),

3. (ЛлБ)^Л,

4. (ЛлБ)^Б,

5. А^(В^(АлВ)),

6. Л^^Б),

7. Б^(Л^Б),

8. (ЛзС)=<(Б=>С)=>(^Б)=>С)),

9. (Л^В)^((А^(-В))^(-Л)),

10. (-(-Л))=>Л.

Исчисления 10, 11, 12 и 13. Множество всех аксиом исчисления 10 есть объединение множества всех аксиом исчисления РС, не содержащих - , со множеством всех формул, каждая из которых имеет хотя бы один из следующих видов: 1\

Здесь А не является пропозициональной переменной. Множество всех аксиом исчисления 11 получаем из множества всех аксиом исчисления 10 за счет замены схем 2' и 3' на схемы 2''. (Б^(-(В^В)))^(-Б) и 3''. (Б^В)^((В^(-Б))^(-Б)) соответственно.

Множество всех аксиом исчисления 12 получаем из множества всех аксиом исчисления 10 за счет замены схем 4' и 5' на схемы 4''. 0=>((-0)=>(-(В=>В))) и 5''. ((В=Ю)=>0)=<(-0)=>В)) соответственно.

Множество всех аксиом исчисления 13 есть объединение множества всех аксиом исчисления 10 со множеством всех формул вида: 6'. Аз((-А)=>((Б=>(-В))=>(-В))).

Используя тот факт, что все рассматриваемые здесь логики1, соответствующие исчислениям 10, 11, 12, 13, являются конечнознач-

1 Логикой, соответствующей данному исчислению, называется множество всех теорем этого исчисления.

ными (см. [16], [17] и [18]), нетрудно доказать, что все они являются паралогиками в том смысле, что каждая из этих логик пара-непротиворечива или параполна. Например, простое доказательство того, что логика 12 является параполной, дано в [18, с. 61-62]. Можно доказать, что логика I является паранепротиворечивой и параполной; логика I] является паранепротиворечивой, но не является параполной; логика 12 является параполной, но не является паранепротиворечивой; логика 13 является паранепротиворечивой и параполной. Замечание: из определений исчислений 10, II, 12 и 13 следует, что множество всех теорем исчисления 10 включается во множество всех теорем каждого из исчислений II, 12 и 13. Определение операции у:

у(рО = —р! для всякой пропозициональной переменной р;, у(А^В) = у(А)^у(В), где ^{л^,^}, а А и В произвольные формулы,

у(—А) = —у(А), где А произвольная формула. Интересен тот факт, что погружение, осуществляемое посредством этой операции, является гомофонным в смысле Эпштейна.

Теорема (о погружении исчисления РС в исчисление I (! е {0,1,2,3}): для всякого ! из {0,1,2,3} и всякой формулы а верно,

Для доказательства теоремы 1 достаточно доказать следующие утверждение (I) и утверждение (II).

Утверждение (I): для всякого ! из {0,1,2,3} и всякой формулы а

Утверждение (II): для всякого ! из {0,1,2,3} и всякой формулы а верно, что если ^¡у(а), то ^РСа.

Доказательство утверждения (I) проводится возвратной индукцией по длине РС-доказательства формулы а.

Доказательству утверждения (II) предпосылаются лемма 1, лемма 2 и лемма 3.

Лемма 1: для всякого ! из {0,1,2,3} и всякой формулы а верно, что

Доказательство этой очевидной леммы, осуществляемое возвратной индукцией по длине доказательства в исчислении I (! е {0,1,2,3}) формулы а, здесь не приводится.

Доказательство нижеследующей леммы 2 имеет семантический характер, поэтому нам потребуются определения некоторых семантических понятий. Оценкой назовем любое отображение множества {рь р2, р3, ...} всех пропозициональных переменных в {0, 1}. Оценку V4 назовем обратной к оценке V , если для всякой пропозициональной переменной р! верно, что

верно, что если

v'(P) = > 1 если v(Pi ) = 0

0, если v(pt ) = 1.

Означиванием при оценке v назовем отображение | |v множества всех формул в {0, 1}, удовлетворяющее следующим условиям для всякой пропозициональной переменной pi и всяких формул A и B:

1) |pi|v=v(pi),

Лемма 2: для всякой оценки v и всякой формулы а верно, что |a|v = |y(a)|v\

Доказательство леммы 2 проводится индукцией по построению формулы а.

Лемма 3: для всякой формулы а верно, что если ^рСу(а), то ^а. Доказательство легко проводится методом от противного.

(1) |-рсУ(а) (условие),

(2) |рса (допущение),

(3) |а^ = 0 (из (2) по теореме о полноте для PC),

(4) |у(а)|^ = 0 (из (3) по лемме 2),

(5) |РСу(а) (из (4) по теореме о непротиворечивости PC),

(6) |РСа (противоречие (1) и (5)).

Лемма 3 доказана. Докажем утверждение (II).

(1) |-лу(а) (условие),

(2) |РСу(а) (из (1) и леммы 1),

(3) |РСа (из (2) и леммы 3). Утверждение (II) доказано.

Из утверждений (I) и (II) получаем теорему. Таким образом, теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шанин Н.А. О некоторых логических проблемах арифметики // Тр. мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1955. № 43.

2. Колмогоров А.Н. О принципе tertium non datur // Мат. сб. 1925. № 32.

3. Попов В.М. Погружение классической пропозициональной логики в ее импликативный фрагмент и в импликативный

фрагмент интуиционистской пропозициональной логики // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. М., 2000.

4. Попов В.М. Погружение интуиционистского пропозиционального исчисления в его позитивный фрагмент // Логические исследования. М.: Наука, 2001. Вып. 8. C.183-184.

5. Prawitz D. & Malmnes P.E. A survey of some connections between classical, intuitionistic and minimal logic. Amsterdam: North-Holland. 1968. P.215-229.

6. Carnielli W.A. &DOttaviano M.L. Translations between logical systems: A MANIFESTO // Logique et Analyse. 1977. N 157. P. 67-81.

7. Epstein R.L. The semantic foundations of logic. Vol.1: Prepositional logic. Dordrecht: Kluwer, 1990.

8. Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М., 2002.С. 119-129.

9. Wmjcicki R. Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence Operations. Dordrecht: Kluwer, 1988.

10. Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957. С. 77.

11. Glivenko M. Sur quelques points de la logique de M.Brouwer. Academie Royale de Belgique. Bulletins de la classe des sciences. Ser. 5. Vol. 15. P. 183-188.

12. Gцdel K. Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquims. 1933. Vol. 4. P. 3438.

13. Lukasiewicz J. On the intuitionistic theory of deduction. Konikl. Nederl. Akademie van Wetenschappen, Proceedings, Series A, no. 3. 1952. P. 202-212.

14. Gentzen G. Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie // Mathematische Annalen. 1936. Vol. 112. P.493-565.

15. Попов В. М. Погружение импликативного фрагмента классической логики в импликативный фрагмент интуиционистской // Логические исследования. М.: Наука, 2000. Вып. 7.

16. Popov V.M. On the Logics Related to A. Arruda's System V1 // Logic and Logical Philosophy. 1999. Vol.7. P.87-90.

17. Попов В.М. Об одной трехзначной паранепротиворечивой логике // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Санкт-Петербург, 2002.

18. Попов В.М. Об одной трехзначной параполной логике // Логические исследования. М.: Наука, 2002. Вып.9.