Математическое моделирование: модель - алгоритм - программа

Математическое моделирование:

модель - алгоритм - программа

Сергей Лемешевский,

заместитель директора по научной и инновационной работе Института математики НАН Беларуси, кандидат физико-математических наук

Галина Громыко,

заведующая отделом вычислительной математики Института математики НАН Беларуси, кандидат физико-математических наук

Михаил Чуйко,

ведущий научный сотрудник отдела вычислительной математики Института математики НАН Беларуси, кандидат физико-математических наук

Под математикой обычно понимают объединение чистой (теоретической) и прикладной математик. Первая изучает логические структуры, у которых описаны определенные отношения между их элементами; вторая - реальные объекты с помощью математических методов. Прикладная математика состоит из моделирования, качественного и количественного исследования математических моделей, теории алгоритмов численных решений возникающих при этом задач, математического обеспечения ЭВМ, необходимого для проведения вычислений по указанным алгоритмам.

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность методологии состоит в замене исходного объекта его образом - математической моделью - и дальнейшем

ее изучении с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот третий метод познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента.

Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию в нужной полноте и точности обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в единственном экземпляре. Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока. Поэтому математическое (шире - информационное) моделирование - неизбежная составляющая научно-технического прогресса.

Сама постановка вопроса о математическом моделировании какого-либо объекта порождает четкий план действий. Условно его можно разбить на три этапа: модель - алгоритм - программа.

На первом этапе выбирается или строится эквивалент объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям. Математическая модель или ее фрагменты исследуются теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.

Второй этап - выбор или разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Она представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров. На третьем этапе создаются программы, переводящие модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним предъявляются те же требования. Эти программы можно назвать электронным эквивалентом изучаемого объекта, пригодным для непосредственного испытания на компьютере.

Создав триаду «модель - алгоритм - программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того как адекватность триады исходному объекту удостоверена, с моделью проводятся разнообразные и подробные опыты, дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением по мере необходимости всех звеньев триады.

Будучи методологией, математическое моделирование не подменяет собой математику, физику, биологию и другие научные дисциплины, не конкурирует с ними. Наоборот, трудно переоценить его синтезирующую роль. Создание и применение триады невозможно без опоры на качественный анализ нелинейных моделей и современных языков программирования. Это дает новые дополнительные стимулы самым разным направлениям науки.

В данной статье представлены основные результаты прикладных исследований,

основанных на методе математического моделирования и полученных в Институте математики в 2013-2016 гг.

Программно-моделирующий комплекс для отработки систем терморегулирования узлов космического аппарата

Одно из непременных условий надежного функционирования космического аппарата (КА) и его систем, а следовательно, и оправдания значительных затрат на его создание - обеспечение необходимого теплового режима всем его элементам.

Однако эта задача в условиях космического пространства имеет свою специфику: космический аппарат, находящийся вне пределов атмосферы планеты, сам является объектом, распределение температур в котором определяется полем внешних тепловых потоков, свойствами поверхности аппарата, ориентацией его в пространстве (в космосе одна и та же поверхность, по-разному расположенная относительно поля внешних тепловых потоков, будет иметь разную температуру), энергопотреблением бортовой аппаратуры, тепловыми связями в аппарате и рядом других факторов. Вместе с тем многие элементы и приборы аппарата работоспособны в строго определенных диапазонах температур. Поэтому современный КА немыслим без специальной бортовой системы обеспечения теплового режима (СОТР).

Создание СОТР конкретного аппарата идет по трем взаимно связанным стадиям:

расчетно-теоретический анализ процессов теплообмена в КА и теплового режима аппарата в целом, сравнение возможных схем решения задачи обеспечения теплового режима и окончательная расчетная проверка выбранного варианта СОТР;

экспериментальная проверка и отработка СОТР

в наземных условиях, главным образом на основе моделирования реальных тепловых условий функционирования КА;

окончательное тестирование СОТР с помощью результатов натурных испытаний.

Поскольку экспериментальная отработка требует создания уникальной экспериментальной базы, а потому, как и при натурных испытаниях, связана со значительными материальными затратами, расчетно-теоретиче-ские методы анализа и проверки теплового режима и эффективности СОТР играют весьма важную роль.

Рис. 1.

Динамика температуры в центральном столбце микрокомпозитов

3

т

Лик]

.iftHJ

NDt 1Ш юн

Кип

Cl.IHtXl Ü.IHtU !).<«» 4 a.INXVi ||.(№ч

Конструкция КА сложная для аналитического расчета теплового режима. Еще более затрудняют его особенности теплообмена внутри аппарата и с окружающим пространством. Отсюда ясна актуальность программных комплексов, которые позволили бы при минимальных трудовых затратах провести всю серию необходимых расчетов и получить достаточно полное представление о тепловом режиме КА.

Моделирование тепловых режимов космических аппаратов негерметичного исполнения в условиях орбитального полета вокруг Земли предполагает выполнение следующих видов работ:

выбор и разработка трехмерной геометрической модели КА;

определение угловых и разрешающих коэффициентов между поверхностями узлов;

расчет кондуктивных термических связей между узлами объекта;

установление внешних лучистых потоков;

задание или определение по заданным параметрам орбитальных и теплофизических данных, для СОТР;

задание начальных условий;

проведение моделирования тепловых режимов для созданного космического аппарата;

анализ и интерпретация результатов моделирования.

По итогу выполнения этих работ оценивается реализуемость технических требований по обеспечению теплового режима и вырабатывается техническое решение о приемлемости принятого варианта СОТР. Их точность сказывается на последующих этапах проектирования в виде затрат на корректировку конструкции космического аппарата и технической документации.

Решение этих задач возможно при использовании программного и математического обеспечения, унифицирующих построение космического аппарата, математических моделей, и создании на их основе программных средств, позволяющих оперативно вносить изменения в параметры моделируемого

объекта и макромодель космического аппарата. В связи с этим в рамках программы Союзного государства «Мониторинг - СГ» сотрудники отделов вычислительной математики и информационных технолигий Института математики совместно с лабораторией теории переноса Института тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова НАН Беларуси разработали опытный образец программно-моделирующего комплекса для отработки орбитальных систем терморегулирования космических аппаратов, обеспечивающий возможность расчета тепловых режимов узлов КА и теплового моделирования для полетных заданий по круговым и эллиптическим орбитам.

Программно-моделирующий комплекс содержит компоненты, позволяющие пользователю создавать геометрическую модель космического аппарата, определять разбивку ее на расчетные узлы и блоки, задавать их теплофизические свойства, показатели СОТР и бортового тепловыделяющего оборудования, параметры околоземной орбиты и ориентации, вычислить все необходимые данные тепловой математической модели, а затем на ее основе рассчитать нестационарный тепловой режим космического аппарата на орбите. Этот комплекс проходит опытную эксплуатацию на ОАО «Пеленг». В текущем году планируется также проведение его приемочных испытаний.

Разработка износостойких покрытий из композиционных порошков для неблагоприятных условий трения с исследованием и моделированием процессов их формирования и разрушения

На протяжении многих лет Институт математики сотрудничает с Институтом порошковой металлургии НАН Беларуси в области математического моделирования процессов газотермического напыления покрытий. Их формирование относится к сложной многодисциплинарной задаче, требующей одновременного моделирования различных физических процессов с учетом взаимного влияния. Данная проблема чрезвычайно важна, является комплексной и решается по настоящее время. Ввиду сложности математических моделей особую актуальность приобретает построение эффективных численных методов и разработка программных средств для проведения

компьютерных экспериментов, которые были использованы для отработки различных технологий нанесения покрытий, исследования их качества.

В частности, было проведено математическое моделирование самораспространяющегося высокотемпературного синтеза (СВС) при формировании износостойких композиционных покрытий типа «связующее звено - карбидная фаза». СВС относится к процессам, протекающим за счет внутренних энергетических ресурсов, обусловленных экзотермической реакцией между реагирующими веществами. При этом реакция локализована в некотором объеме, а выделяющееся тепло передается от слоя к слою, что обеспечивает распространение волны горения. Первый импульс должен инициировать экзотермическую реакцию в системе «титан -углерод» без разрушения обмазки, последующие - послойно оплавлять образующуюся на подложке спёку. Поэтому была разработана принципиальная схема моделирования, включающая в качестве основного математического описания в макроскопическом приближении модель тепловых процессов с учетом возможного плавления и горения предварительно механоак-тивированных СВС-реагентов. Математическая модель представлена системой дифференциальных уравнений теплового баланса и химической кинетики. Для ее решения построен численный метод и алгоритмы реализации. Целью численного моделирования являлось определение данных, при которых первый импульс инициирует СВС в верхних слоях покрытия и запускает эстафетный процесс химических реакций в зернах микрокомпозитов (с реагентами), расположенных по глубине всего покрытия (рис. 1), что прогнозирует равномерное формирование в обмазке упрочняющих зерен карбида титана (рис. 2).

С применением математического моделирования изучены процессы и установлены оптимальные технологические параметры формирования покрытий №Сг/БеСг + НС или нихром + карбид титана. По результатам работы была подана заявка на патент Республики Беларусь и получен патент «Способ нанесения износостойкого покрытия на поверхность стального образца».

Разработка численных методов и параллельных алгоритмов для задач гидродинамики и теплообмена

В 2016 г. Институт математики совместно с лабораторией турбулентности Института тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова

НАН Беларуси и НТЦ им. Короля Абдулазиза (Саудовская Аравия) разработали численный метод решения полной системы нестационарных уравнений Навье - Стокса и параллельную версию алгоритма с использованием технологии MPI. Создан программный комплекс, включающий последовательный и параллельный модули расчета внешнего обтекания тел, движущихся в турбулентных сжимаемых средах (рис. 3).

Продолжаются работы в области оптимизации и расширения программного комплекса для трехмерного моделирования на суперкомпьютерах с распределенной памятью задач внешнего обтекания различных тел, движущихся в турбулентном потоке сжимаемых сред. Комплекс предназначен для решения задач аэродинамики, гидродинамики, тепломассо-переноса и может использоваться для решения важных задач ведущих высокотехнологических отраслей промышленности.

Модель процесса быстрого пиролиза мелкодисперсных фракций растительного сырья

Получение из возобновляемого растительного сырья ценных химических компонентов, альтернативных продуктам нефтяного происхождения,- актуальная проблема для большинства стран. Основное направление исследований в данной области - быстрый пиролиз

Рис. 2.

Распределение температуры в нижней части обмазки с матрицей из нихрома для хорошего (А) и плохого (Б) режимов

S 1*1 мое

1?Я> 11НЫ| XWjG

Рис. 3. Температурное поле

турбулентного потока вокруг двух сферических тел, Т, °С

292

291,5

291

290,5

290

289,5

289

288,5

288

287,5

287

биомассы с получением бионефти, представляющей собой сложную смесь кислородсодержащих органических соединений, включающих карбоновые кислоты, спирты, альдегиды, эфиры, производные фенола, и перерабатываемой в моторное топливо в процессе парового риформинга и гидрокрекинга.

Сотрудники Института математики, Института химии новых материалов НАН Беларуси и Института тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова НАН Беларуси совместными усилиями построили физико-математическую модель быстрого пиролиза сосновых опилок, а также создали вычислительный алгоритм решения данной задачи, основанный на методе конечных разностей.

С помощью разработанного программного обеспечения проведено моделирование, цель которого - установление закономерностей протекания быстрого пиролиза в мелких древесных частицах (опилки с характерным размером 0,4 мм), свободно падающих (либо витающих в псевдоожиженном слое) в газовой атмосфере разогретого реактора от момента их загрузки в реактор до полной конверсии. Предполагалось, что загрузка частиц производится таким образом, что среднее расстояние между ними в атмосфере реактора много больше их радиуса, вследствие чего термогидродинамическое взаимодействие между отдельными частицами можно исключить. Это позволило при построении физико-математической модели рассматривать одну отдельную частицу.

При проведении вычислительного эксперимента есть возможность исследования изменения термогазодинамических параметров процесса быстрого пиролиза опилок во времени и их распределения по радиусу частицы. Так, расчеты показывают, что процесс ее нагрева до температуры реакции происходит при небольшом перепаде температуры между поверхностью и центром частицы, в то время как пиролиз осуществляется в виде сравнительно узкого фронта реакции, распространяющегося от периферии частицы к ее центру.

Методы оценки артериальной жесткости

С середины 1990-х гг. коронарная болезнь сердца и смертность от нее в экономически развитых странах приняли угрожающий характер. Для выявления причин такой ситуации в США было организовано Фремингемское исследование, направленное на выяснение факторов, ведущих к коронарной недостаточности. К их числу отнесены артериальная гипертензия, дислипидемия, курение, ожирение, сахарный диабет. Кроме того, важное значение в увеличении риска развития сердечно-сосудистых заболеваний имеет повышенная жесткость крупных артерий, являющаяся независимым предиктором таких болезней и обладающая высокой прогностической значимостью на доклинических стадиях болезни. В рекомендациях Европейских обществ по артериальной гипер-тензии и кардиологов сказано, что сосуды -один из главных органов-мишеней при артериальной гипертензии, а параметры их жесткости

включены в число тестируемых при поиске субклинического поражения.

В Институте математики совместно с сотрудниками БелМАПО и 1-й городской клинической больницы г. Минска предложены новые подходы к определению сосудистой жесткости, разработаны ее показатели, мало зависящие от артериального давления и учитывающие частоту сердечных сокращений. Это позволяет получить более адекватные оценки жесткости и тем самым улучшить прогноз риска развития заболеваний. Опубликована монография Е.И. Гайшун, И.В. Гайшун, А.М. Пристром «Демпфирующая функция артерий и неинвазивные методы ее оценки», получены 3 патента на изобретение.

Развитие методов решения некорректных задач математической физики и их применение для идентификации процессов переноса

Проводились исследования, связанные с развитием численных методов решения некорректных задач математической физики и их применением для идентификации процессов переноса. В основе исследований лежит подход функциональной идентификации, основанный на градиентном методе, не требующий предварительной аппроксимации искомых функций и позволяющий получить удобные для численных расчетов формулы значений сопряженного оператора. Ранее реализация указанного подхода была успешно применена для восстановления негладких коэффициентов, внутренних, граничных источников процесса теплопере-носа в многомерных квазилинейных уравнениях параболического и гиперболического типов. В данных исследованиях разработана численная процедура метода функциональной идентификации для задачи восстановления функциональной зависимости от времени коэффициента теплопроводности в двумерном квазистационарном уравнении переноса тепла. На основе метода матричной прогонки численно решены линейные и нелинейные начально-краевые задачи для уравнения Пуассона в цилиндрической системе координат с учетом осевой симметрии, являющиеся составной частью метода. Для ряда модельных примеров проведено численное восстановление эффективного коэффициента теплопроводности в условиях действия на входные

данные обратной задачи аддитивного белого гауссовского шума широкого диапазона.

Полученные результаты важны для общей теории некорректных задач математической физики, поскольку они развивают методы функциональной идентификации для квазистационарных многомерных систем и дают подходы для решения задач, связанных с восстановлением характеристик переноса в условиях неопределенности с возмущениями входных данных.

Практическая значимость результатов обусловлена приложениями к задачам диагностики и управления тепловыми процессами при использовании естественных источников тепла, а также задачам идентификации эквивалентных теплофизических свойств неоднородных объектов. Среди важных практических приложений можно выделить рациональное использование геотермальных ресурсов и обеспечение безопасности хранения отработанного ядерного топлива. В частности, была разработана методика определения функциональной зависимости от времени эквивалентной теплопроводности корзины хранения радиационных отходов и апробация этой методики. Проведено численное моделирование тепловых полей в корзине хранения на основе упрощенной двумерной квазистационарной модели переноса тепла.

Представленный анализ прикладных результатов, сравнение их с данными, обсуждаемыми на различных форумах и с публикациями в ведущих математических журналах, позволяет сделать вывод, что прикладные исследования в Институте математики проводятся на высоком уровне и в тесном сотрудничестве с академическими институтами. Это обусловлено наличием у сотрудников необходимых знаний в области математики, дающей удобные и плодотворные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и в этом смысле выполняющей функцию языка. Математизация - характерная черта современной науки и техники. Знание, во всяком случае в области естественных наук, делается точным только тогда, когда для его описания удается использовать математическую модель. В связи с этим институты НАН Беларуси могут более активно привлекать нас к своим разработкам, что позволит повысить их качество и снизить затраты, например на проведение натурных экспериментов. СИ

Фото Алеси КАСЬЯН

21