Контекстное изучение частно-методических линий курса теории и методики обучения математике (на примере функциональной линии)

М.Г. Макарченко

КОНТЕКСТНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ЧАСТНО-МЕТОДИЧЕСКИХ ЛИНИЙ КУРСА ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Данная статья посвящена описанию основных положений контекстного обучения частно -методическим линиям: предпосылки изменения подхода к обучению частным методикам, сущность подхода; содержание знаниево-умениевой составляющей обучения частным методикам на примере линии функций; краткое описание состояния субъектного опыта студентов на момент изучения линии функций; описание и обоснование основных положений построения системы обучающих заданий.

1. Развитие содержания линии функций как предпосылка изменения методического подхода к обучению студентов частным методикам.

Описание частных методик по-разному раскрывается в содержании частно-методических линий в хорошо известных учебно-методических пособиях [2; 6; 7; 10 и др.].

Одной из основных частно-методических линий является линия функций. Ее содержание, как и любого другого методического объекта, не могло и не может оставаться одинаковым в разные исторические периоды: оно развивалось. Рассмотрим условия, повлиявшие на это изменение.

Одним из первых, приближенных к современным, описаний частных методик является учебное пособие под общей редакцией С.Е. Ляпина [8], появившееся в печати в середине 70-х годов XX века. В этот период развитие содержания линий функций, представленное в учебниках по методике математики [8, 377-423], осуществлялось с учетом учебно-математического материала в действующем в тот период школьном учебнике математики, например: учебник алгебры А.Н. Барсукова [1]. В пособии [8] вопросы функциональной линии рассматривались в тесной связи с последовательностью изучения материала в учебнике [1]. Причем, описание функциональной линии переплеталось с другими частными методиками - линией уравнений и неравенств. Единственный действующий учебник алгебры накладывал отпечаток на описание частных методик: они были просты, представлены авторами на уровне детализированных практических рекомендаций, соответствовали последовательности описания школьного математического материала. Наличие одного учебника алгебры позволило авторам частных методик тщательно разработать их содержание в направлении повышения уровня строгости изложения математического содержания и служило одним из условий, повлиявших на развитие линии функций.

Другим условием, влияющим на развитие линии функций, следует считать введение в конце 70-х годов в школьную практику обучения математике теоретико-множественного подхода. Новизна подхода требовала в описании частных методик больше внимания уделять разъяснению не только его сути, но и разъяснению основных математических понятий данной линии. Возникла проблема разработки методики введения понятия функции и других «функциональных» понятий. Методические рекомендации [7; 9], направленные на введение понятия функции, «отрывались» авторами частных методик от описания соответствующего математического материала в тексте действующего школьного учебника математики [4 и др.]. В содержание линии функций, кроме методических рекомендаций, проникли разного рода обобщения: историко-методологические сведения, этапы и схемы изучения функций в школе, методики изучения трансцендентных функций. Именно эти нововведения в 80-90-х годах ХХ века позволили выделить из совокупности методических рекомендаций их идеологическую часть - собственно «содержание линий функций».

Следующим параметром, внесшим новое в развитие содержание линии функций, является отказ в 90-х годах от использования в школе единственного учебника алгебры. С одной стороны, множественность учебников математики привела к необходимости углубленной теоретической разработки самого понятия «содержание линии функций», с другой стороны - к еще большему отрыву описания содержания данной линии от последовательности изучения данного понятия в действующих школьных учебниках [4 и др.]. В большинстве методических пособий предлагаются «абстрактные» методические рекомендации, которые можно использовать в учебном процессе,

искусственно их внедрив, но предварительно творчески обработав. Тем самым описанные в этих пособиях методики находятся как бы «над методикой» школьного учебника математики.

Период конца ХХ века начала XXI века ознаменовался изменениями в системе общего и профессионального образования России, возникли и стали развиваться разные направления модернизации системы образования. Процесс модернизации привел к разнообразию образовательных парадигм и усиления влияния их на развитие частно-методических линий.

Развитие содержания линии функций также подвержено влиянию действующих образовательных парадигм. В школьных учебниках алгебры развитие линии функций выражено естественно и представлено программно рассредоточенным и локально концентрированными описаниями в текстах учебников. В современных школьных учебниках математики [3; 11 и др.], соответствующих разным образовательным концепциям, одновременно и наиболее ярко проявляются и образовательная концепция, и авторская концепция построения самого учебника. Естественно, осмысление рассредоточенного, а, значит, и контекстно скрытого, методического материала линии функций требует соответствующих разъяснений в учебных пособиях по теории и методике обучения математике (ТМОМ). Однако очень трудно осветить содержание линии функций в свете различных взглядов и образовательных подходов в очень небольшом объеме учебных пособий по курсу ТМОМ. Еще более проблематично раскрыть взаимосвязи внутри функционального содержания между авторской и образовательной концепциями. В этих условиях само содержание линии функций излагается концентрированно концептуально, причем теоретическая составляющая линии функций поглощает и подчиняет ее практико-методическую составляющую. Рекомендации и советы в учебных пособиях по ТМОМ современного периода [6, 256-267; 7, 113-136] направлены, прежде всего, на понимание текстового материала, в них содержащегося, и в значительной меньшей мере, на их реальное применение в условиях образовательного процесса по математике в школе. Сказанное позволяет утверждать зависимость развития линии функций и от такого условия, как разнообразие действующих образовательных парадигм.

Итак, изменение методологических подходов к изложению школьного курса математики, множественность школьных учебников математики и разнообразие образовательных парадигм -эти факторы активно влияют на развитие содержания линии функций и приводят к целесообразности внесения концептуальных обобщений в соответствующих методологических и методических исследованиях. В учебных пособиях по ТМОМ содержание линии функций перестало носить практико-рекомендательный характер, а стало теоретико-демонстрационным.

Проведенный анализ указанных методических пособий позволяет сделать следующие выводы.

1. В разных пособиях по курсу ТМОМ описание линии функций имеет разные структуры и частично разное содержание. Нет единого общепринятого взгляда на учебное содержание линии функций.

2. В содержании линии функций авторами частных методик выделяются две ее составляющие: историко-методологическая и содержательно-методическая. Первая составляющая представлена, например, историческими сведениями, описанием различных подходов к определению понятия функция, целями изучения функций в школьном курсе математики [6, 256-267]. Вторая составляющая в том же пособии содержит описание уровней формирования понятия «функция», описание некоторых приемов изучения функций с учетом когнитивных стилей учащихся, примеры реализации межпредметных связей и связи с жизнью при изучении функций. В современных учебных пособиях по ТМОМ в описании частных методик лишь затрагиваются некоторые вопросы, связанные с авторскими концепциями построения школьных учебников, практическая взаимосвязь частных методик с их реализацией в школьных учебниках не представлена на уровне действий. Естественно, что в рамках традиционного подхода изучение частных методик предполагается осуществлять от абстрактного для студентов содержания линии функций к конкретному эпизодическому изучению соответствующих текстов школьных учебников математики. Такое направление в изучении частной методики, во-первых, затрудняет осмысление студентами его содержания и путей его реализации в школьном учебнике математики. Во-вторых, раскрытие взаимосвязи между описанием частной методики и текстами учебников математики требует осмысления другой

взаимосвязи - между авторской концепцией построения учебника и ее воплощением в текстах самого учебника. В связи с этим, мы говорим о необходимости введения в содержание линии функций третьей составляющей, назовем ее концептуально-практической, которая призвана раскрыть взаимосвязи между образовательной парадигмой, соответствующей ей технологией, авторской концепцией построения учебника и практической реализацией этой концепции в описании теоретического материала школьного курса математики и конструировании соответствующего задачно-го материала. Предлагаем следующую структуру содержания частно-методической линии.

Таблица 1

Структура частно-методической линии

Составляющие частно-методической линии

Историко-методологическая Содержательно-методическая Конценптуально-практическая

Исторические сведения Общие понятия для данной линии Проявление концепции учебника математики

Цели обучения Внутренние для линии действия и преобразования Развитие понятий в текстах в соответствии с психологическим этапами формирования понятия

Научные подходы Внешние для линии действия и преобразования Выявление контекстов (учеб-но-матем., методико-матем. и др.) текстов в темах и разделах учебника математики

Трактовки основного понятия Хронологические этапы и уровни формирования основного понятия линии Выделение целостных методических объектов в текстах учебника математики

Сферы применения Методики и приемы работы с теоретическим материалом линии Соотнесение частных и общей методик с описанием их реализации в учебнике

Проявление и учет индивидуальных особенностей учащихся

Раскрытие возможностей реализации межпредметных и внутрипредметных связей

3. Описание содержания линии функций имеет для студентов высокую степень методической абстракции. В указанных пособиях направление обучения студентов задается от общего (в данном случае от описания частной методики) к частному (к выполнению конкретных заданий или изучению их смысла по отношению к текстам школьных учебников). Обращение авторов частных методик к текстам конкретных школьных учебников математики остается, как правило, за рамками описания содержания линии функций.

Оторванность теоретического материала частных методик от изучения соответствующего материала школьных учебников математики нейтрализует активность включения субъектного опыта студентов в понимание смыслов самих частных методик. Этот аргумент приводит к необходимости обеспечения локальной целостности содержания линии функций с описанием компонентов школьного математического образования (КШМО) этой линии в конкретном школьном учебнике.

2. Содержание знаниево-умениевой составляющей методики контекстного обучения частным методикам и состояние субъектного опыта студентов.

В связи со сказанным изучение линии функций должно строиться не от абстрактного к конкретному, а в обратном направлении: от изучения линии функций по конкретному школьному учебнику математики к теоретическому изучению содержания линии функций по учебнику ТМОМ. Идея, цель изучения и построения частной методики заключается в реализации взаимосвязей между: 1) формированием умений контекстуального анализа, 2) изучением содержания линии, 3) вооружением будущих учителей математики действенным методическим аппаратом по изучению данной частной методики и других частных методик с опорой на их субъектный опыт.

Субъектный опыт будущих учителей математики, приступающих к изучению частных методик, является далеко не пустым образованием, поскольку ими изучены основные вопросы общей методики обучения математике на действенном уровне. А вот в направлении поиска скрытой методической информации почти никто из студентов не может: 1) установить направленность учебного материала параграфа школьного учебника математики; 2) определить в полном объеме содержание необходимых актуализируемых знаний и умений; 3) спрогнозировать ближайшее математическое содержание по предоставленному учебному материалу. Эти данные говорят о том, что субъектный опыт студентов нуждается в пополнении смыслами взаимосвязей между скрытой методической информацией школьного учебника математики и содержанием частной методики, описанной в соответствующем учебнике по методике обучения математике.

Содержание знаниево-умениевой составляющей методики обучения частным методикам в курсе ТМОМ.

1. Содержание знаниевой составляющей контекстуального анализа: учебный материал параграфа, виды внешних структур учебного материала; взаимосвязи между внешними и внутренними структурами; типология контекстов; взаимосвязи между контекстами; содержание контекстуального анализа, возможности его применения.

Умения проводить контекстуальный анализ [5] учебного материала текста параграфа: 1) выделять учебный материал; 2) определять что «настраивается», и что «наращивается» в этом учебном материале; 3) выявлять различные контексты учебного материала; 4) устанавливать качества их представимости (соподчинение, вложенность, переносимость) в текстах школьных учебников математики.

2. Знания, связанные с изучением содержания линии функций: содержание линии функций в конкретном школьном учебнике математики; содержание линии функций, описанное в учебном пособии по ТМОМ; концепция построения школьного учебника математики; сущность образовательной парадигмы, в условиях которой используется данный школьный учебник математики.

Умения устанавливать взаимосвязи между описаниями КШМО в текстах школьных учебников математики и описанием в учебных пособиях по ТМОМ: 1) взаимосвязи между авторской концепцией построения учебника и практической реализацией этой концепции в описании теоретического материала школьного курса математики, в задачном материале; 2) взаимосвязи между описанием теоретического материала в текстах школьного учебника математики, его задачного материала и описанием в учебном пособии по ТМОМ; 3) взаимосвязи между описанием соответствующих методических разъяснений в учебном пособии по ТМОМ и авторской концепцией построения учебника; 4) взаимосвязи между авторской концепцией построения учебника и образовательными парадигмами.

3. Умение реализовывать методический аппарат частной методики в условиях квазипрофессиональной или реальной учебной деятельностях. Проведение такой работы со студентами является важным обучающим элементом, направленным на интеграцию знаний и умений общей и частной методик в целостное действенное методическое образование - в профессиональный контекст будущего учителя математики.

Из трех приведенных выше умений ключевым является умение проводить контекстуальный анализ учебных материалов параграфов школьных учебников математики. Формируя это умение, студентов знакомят с элементами содержания линии функций по текстам школьных учебников: обучение контекстуальному анализу осуществляется преимущественно на текстах функционального содержания по учебнику А.Г. Мордковича. Остальные умения - умения вскрывать

различные взаимосвязи формируются различными традиционными и нетрадиционными приемами и методами.

Учитывая необходимость осуществления действенной методической подготовки будущих учителей математики, формирование указанных умений осуществляется через систему заданий. Основные принципы построения данной системы представлены ниже.

3. Основные принципы построения системы обучающих заданий, направленные на обучение студентов контекстуальному анализу.

Принцип единой сквозной смысловой основы заданий предполагает: а) изучение конкретной частно-методической линии осуществляется с помощью 1) контекстуального анализа текстов школьных учебников математики, 2) изучения авторской и образовательной концепций, 3) изучение текстов, описывающих частные методики; б) в систему заданий включены теоретические сведения; в) теория актуализируется, усваивается и развивается через систему заданий.

Принцип функциональной полноты системы заданий предполагает: а) освоение студентами в процессе выполнения заданий всех основных видов и типов контекстов и возможность их использования в реальном учебном процессе; б) основательность изучения особенностей текстов одного школьного учебника; в) получения максимума новых представлений о контекстах, их взаимосвязях при использовании минимума заданий; г) речь идет не о фактологической полноте изучения всех особенностей контекстов, а о полноте смыслового понимания изученных особенностей контекстов; д) освоение системы заданий должно вызывать ощущение знакомства с малой частью науки «ТМОМ»; е) расширение и сравнительное изучение контекстуального анализа на примерах текстов школьных учебников математики разных авторских коллективов.

Принцип опоры на субъектный опыт студента предполагает: а) «включение» профессиональной составляющей субъектного опыта студента в изучение текстов школьных учебников математики; б) целесообразную актуализацию субъектного опыта студента (обращение к субъектному опыту должно быть не только диагностическим, но и мотивационным и рефлексивно-оценочным средством); в) наращивание личностных смыслов образов (моделей) методических объектов, скрытых за текстами школьных учебников математики посредством неоднократного обращения к различным взаимосвязям контекстов текстов, наполненных разным математическим содержанием; г) обеспечение «наложения смыслов»: обучение должно вестись таким образом, чтобы контекстуальные смыслы текстов школьных учебников, текстов частных методик непосредственно влияли на совершенствование собственных умений студента, т.е. накладывались на личностный смысл студента; д) «приоритетность действия»: обучение контекстуальному анализу направлено на формирование действенных методических средств; е) обеспечение необходимой, но не избыточной помощи преподавателя

Принцип соблюдения закономерностей смыслового восприятия текста означает: а) целесообразность создания психолого-дидактических условий, позволяющих студентам воспринимать содержание текста, двигаясь в любом направлении; б) формирование умений контекстуального анализа осуществляется в направлении от понимания смысла методических деталей, входящих в контекст, к пониманию смысла самого контекстуального анализа; в) стратегическую значимость распознавания информации сразу в крупном блоке для ее последующего избирательного осмысления; г) создание методического образа «отдельной языковой единицы» должно предшествовать приданию ей значения и укрупнению; д) контекстуальный анализ направлен, во-первых, на выявление особенностей частных методик и концептуального авторского методического замысла в текстах школьных учебников математики, и во-вторых, - на формирование действенного уровня применения выявленного.

Принцип конструирования последовательности заданий предполагает: а) соблюдение преемственности заданий и построения их последовательности от простого к сложному; б) отражение в заданиях приемов контекстуального анализа, соответствующих различным структурам учебных текстов; в) мера доступности заданий предполагает приложение некоторых усилий со стороны студентов для их выполнения; г) баланс развернутости и свернутости операций, необходимых для овладения указанными умениями, регулируется субъектным опытом студента; д) минимально необходимое количество заданий; е) наличие структуры и типизации видов заданий: мотивационные

задания, проблемно-рассуждающие задания, теоретические сведения, ознакомительные задания, демонстрационные задания, рефлексивно-обобщающие задания и тексты, коммуникативные тексты.

Заметим, что, по мнению П.И. Пидкасистого [12, 90], основными методическими принципами, детерминирующими технологию разработки профессионально -ориентированных заданий-задач для самостоятельной работы студентов являются принципы: профессиональной результативности, продуктивности, конструктивности, когнитивности, самостоятельности. Содержание этих общих принципов согласуется с указанными выше.

Подведем итоги.

Необходимость изменения системы школьного образования вызвало закономерное развитие всех ее компонентов, особенно в предметной сфере, в частности, в области обучения математике. Совершенствование другой сферы - сферы «обслуживания» школьного образовательного процесса (профессиональной подготовки будущих учителей математики) - следует в своем развитии за «первой». Совершенствование частных методик «запаздывает» в своем развитии от прогрессивных нововведений, связанных с современными школьными учебниками математики, регулярно дополняемыми и перерабатываемыми. Целесообразность изменения обучения студентов частным методикам обусловлена необходимостью, регулярно возникающей перед авторами учебников, развивать содержание школьных учебников математики в лице КШМО.

Традиционно в содержании линии функций выделяются две составляющие: историко-методологическая и содержательно-методическая. Контекстный подход к методической подготовке будущих учителей математики требует включения профессиональной составляющей субъектного опыта студента в изучение частных методик на уровне дееспособных знаний и умений. В связи с этим мы выделяем третью составляющую в содержании частных методик - концептуально-практическую.

Традиционное обучение частным методикам осуществляется через раскрытие содержания историко-методологической и содержательно-методической составляющих. Его отличительные черты: 1) в большей мере такое обучение связано с изучением теории, чем с практическим профессиональным действием; 2) направленность изучения частных методик представляет собой «движение» от абстрактного к конкретному; 3) результат обучения - поверхностное знакомство с понятием «содержание частно-методической линии». Контекстное обучение частным методикам предполагает: 1) перенесение основного акцента обучения с теоретической на практическую составляющую субъектного опыта студента; 2) подчинение изучения теории частных методик требованиям и возможностям студента в практическом освоении частных методик; 3) направленность обучения от конкретного к абстрактному, к общему: от изучения линии функций по конкретному школьному учебнику математики к теоретическому изучению содержания линии функций по учебнику ТМОМ; 4) в качестве основной идеи контекстного обучения линии функций является обучение студентов контекстуальному анализу текстов школьных учебников одной авторской группы или одного автора, приводящее к осмыслению содержания линии функций и вооружающая студентов действенным методическим аппаратом.

Обучение контекстуальному анализу направлено на приобретение студентами навыков грамотного чтения текста школьного учебника математики с целью извлечения методической информации, связанной с описанием частно-методических аспектов математического содержания. Обучение этому анализу и обучение частной методике осуществляется одновременно в условиях смены приоритета цели обучения (цель - «линия» или цель - контекстуальный анализ). Изменение приоритета обусловлено необходимостью пополнения профессиональной составляющей субъектного опыта студента.

Содержание знаниево-умениевой составляющей методики обучения частным методикам в курсе ТМОМ включает: содержание знаниевой составляющей контекстуального анализа; знания, связанные с изучением содержания линии функций; умение реализовывать методический аппарат частной методики в условиях квазипрофессиональной или реальной учебной деятельностях.

Контекстное изучение частных методик, интегрируя все составляющие методической подготовки студента, максимально актуализирует ее аналитическую составляющую. Это закономерно, ведь в изучении частных методик реализуется весь субъектный опыт студента, окультуренный в процессе изучения общей методики обучения математике.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барсуков А.Н. Алгебра: учебник для 6-8 классов. М.: Учпедгиз, 1964.

2. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие. Ростов н/Д.: Феникс, 2005. 252 с.

3. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных: учебник для 8 кл. общеобр. учреждений / под ред. Г.В. Дорофеева. М.: Просвещение, 2005. 355 с.

4. Колмогоров А.Н. Алгебра и начало анализа: учеб. пособие для 9 и 10 классов средней школы. М.: Просвещение, 1985.

5. Макарченко М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике // Известия Российского государственного университета имени А.И. Герцена. № 11(71): Общественные и гуманитарные науки (философия, языкознание, литературоведение, культурология, экономика, право, история, социология, педагогика, психология). СПб., 2008. С. 268-275.

6. Методика и технология обучения математике: курс лекций / под науч. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подхо-довой. М.: Дрофа, 2005. 416с.: ил.

7. Методика и технология обучения математике: лабораторный практикум для студ. матем. факультетов пед. ун-тов / под науч. ред. В.В. Орлова. М.: Дрофа, 2007. 320 с.

8. Методика преподавания математики в восьмилетней школе / С.А Гастева и др.; под общ. ред. С.Е. Ляпина. М.: Просвещение, 1965. С. 377-423, 445-471.

9. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики: учеб. пособие для студ. физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов. М.: Просвещение, 1977. С. 111-145.

10. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: учеб. пособие для студ. пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. 416 с.

11. Мордкович, А.Г. Алгебра. 7 кл.: в 2 ч.: учебник для общеобразоват. учреждений. 8-е изд. М.: Мнемозина, 2005. Ч. 1. 160 с.

12. Пидкасистый П.И. Организация учебно-познавательной деятельности студентов: учеб. пособие. М.: Педагогическое общество России, 2004.

А. В. Тихоненко, С. Л. Налесная

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЯ «НЕРАВЕНСТВО» В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Основная роль рассмотрения элементов алгебры в курсе математики начальной школы состоит в формировании обобщенных представлений о числе, смысле арифметических действий. В частности, знакомство младших школьников с базовыми алгебраическими понятиями позитивно влияет на осознание учащимися соответствующих знаний и практических умений в старших классах.

Важно отметить, что включение заданий алгебраического характера в начальный курс математики является не самоцелью, а средством обучения, которое способствует:

- обсуждению найденного решения;

- поиску других способов решения;

- выявлению условий применения тех или иных приемов решения;

- закреплению в памяти ранее используемых приемов решения.

Работа с заданиями алгебраического характера создает предпосылки для формирования и развития предметных ключевых компетенций и является базой последующего обучения в школе.

Одним из ключевых алгебраических понятий, с которым знакомятся младшие школьники, является понятие «неравенство». Выполнение первых заданий в рамках данной темы ставит задачу формирования у младших школьников отношений «больше - меньше», что соответствует положениям теории математики о неравносильных множествах. Логика развертывания предложенного в начальной школе учебного материала заключается:

- в рассмотрении двух предметных множеств;

- в численном сравнении конкретных множеств;

- в осознании количественных характеристик каждого из предметных множеств;