Параметрическая оптимизация стохастических систем и их соединений на основе сетей Петри

УДК 681.5

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ

ОПТИМИЗАЦИЯ

СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ИХ СОЕДИНЕНИЙ НА ОСНОВЕ СЕТЕЙ ПЕТРИ

КАЧУР С.А._________________________

Рассматривается задача оптимального управления параметрами стохастических систем и их соединений по квадратичному критерию с ограничениями на управление. Предлагается модель объекта управления (в частности космического аппарата) в виде описания расширением сетей Петри. Приводятся алгоритмы решения задачи для двух вариантов управления: терминального и нетерминального.

1. Введение

Проблема оптимизации управления включает широкий круг задач, начиная с выбора критерия оптимизации, определения структуры и совокупности настраиваемых параметров системы управления и кончая задачами оценки заданных показателей функционирования и эффективности управления [1].

Цель исследования — разработка модели сложной стохастической системы, алгоритма адаптивного управления параметрами этих систем в условиях неопределенности, подходов с использованием аппарата сетей Петри.

Актуальность исследования. Методы решения задач управления во многом определяются моделью объекта управления (ОУ), ее сложностью, которая зависит не только от сложности ОУ, но и от требований, предъявляемых к описанию процесса его функционирования. В настоящее время в классе систем с дискретными моделями при решении задачи управления недетерминированной динамикой поведения, когда имеются случайные воздействия, используется многомодельный подход [2-4], который предполагает построение множества моделей и применение сложного критерия качества. Использование математического аппарата сетей Петри (СП) [5,6] для описания поведения сложных нелинейных объектов, функционирующих в условиях неопределенности, является попыткой естественным образом в процессе моделирования для текущего момента времени (ситуации) осуществить выбор модели, определить подмножество значимых управляемых параметров и сформировать критерий оптимизации. Выбор модели в текущий момент времени связан с определением множества активных переходов сети (ее структуры) и параметров моделей, сопоставленных этим переходам. Формирование критерия заключается в выполнении функций, сопоставленных переходам СП, которые могут задавать критерий каждой отдельной стохастической модели, сопоставленной пере-

ходу, а их совокупность — описывать обобщенный критерий.

В качестве примера ОУ, работа которого может быть описана СП, приведем космический аппарат (КА). Управление полетом КА требует целостного рассмотрения функционирования всего комплекса бортовых систем и представляет собой управление параметрами его состояния, которое заключается в изменении части из них по определенному закону и поддержании другой их части внутри заданного диапазона значений [7]. Например, к числу таких параметров относятся: 1) параметры состояния бортовых систем; 2) располагаемые ресурсы КА; 3) положение КА в пространстве; 4) ориентация осей КА.

Одной из проблем управления современными КА и КА будущего является повышение автономности их полета. В этом случае управление параметрами состояния КА выполняет бортовой комплекс автоматического управления. Схема такого управления приведена на рис. 1 [7].

Информация о параметрах состояния КА

Рис.1.Схема управления КА с использованием бортового комплекса средств автоматического управления

Целенаправленное изменение некоторых параметров состояния КА возможно только выполнением достаточно сложных операций. Изменение состояния КА описывается обычно на двух уровнях в виде: 1) циклограмм изменения режимов функционирования бортовых систем при выполнении операций; 2) циклограмм изменения работы отдельных блоков. Управляющее воздействие в случае автономного полета представляет собой команды, выдаваемые комплексом средств автоматического управления, и команды от других бортовых систем.

2. Принципы построения функциональноструктурной модели КА

Предложенное в работе [8] расширение сетей Петри (СП) может служить инструментарием для описания работы КА как на структурном, так и на

РИ, 2005, № 3

83

функциональном уровне. Назовем такое описание функционально-структурной моделью КА. Применение функционально-структурной модели позволяет:

1) снизить объем описания (следовательно, его сложность) КА;

2) рассматривать асинхронные процессы функционирования различных бортовых систем КА;

3) учитывать причинно-следственные зависимости: а) структурно — между бортовыми системами, б) функционально — при выполнении команд;

4) естественным образом моделировать параллельность работы бортовых систем КА;

5) рассматривать КА в целом, не выделяя отдельные бортовые системы при наличии потока собы-тий( изменения внешних воздействий и/или приходе множества команд).

Функционально-структурная модель — это синтез на базе СП циклограмм изменения состояния КА, описания структуры бортового комплекса и набора команд КА, позволяющий организовать оперативное реагирование на внешние воздействия за счет снижения сложности описания и его самообучаемости (т.е. изменения вероятностей связей между бортовыми системами и формирования сдерживающих событийных гипердуг) без нарушения целостности функционирования КА.

Таким образом, функционально-структурная модель должна описывать не только функции бортовых систем, но и функции бортового комплекса средств управления КА, которые связаны с установкой режимов работы бортовых систем. Представляется целесообразным для бортового комплекса средств управления КА выделить блок локального управления и управления КА в целом (блок глобального управления (БГУ)), реализующий алгоритм управления вектором параметров UA (UA с X, X — множество всех параметров; X \ UA - множество параметров, оптимизируемых непосредственно бортовыми системами КА).

Такая модель может служить основой адаптивной САУ на базе СП, в качестве объекта управления которой выступают бортовые системы КА и блок локального управления бортового комплекса средств автоматического управления КА.

На рис. 2 приведена сетевая модель схемы управления КА рис. 1.

Переходу Т1 сопоставлен блок БГУ. Алгоритм параметрической оптимизации является функцией, сопоставленной данному переходу, а функционально-структурная модель КА представляет собой данные для этого алгоритма. Переходу Т2 соответствует система бортовых измерений, на которую подается вектор управляемых параметров UA' (UA'c X). На вход перехода Т1 подается вектор измеренных параметров а и вектор фазовых координат Y. При таком подходе переходу Т1 сопоставлено как УУ, так и ОУ.

Таким образом, в процессе управления необходимо осуществить выбор модели ОУ, т.е. произвести идентификацию параметров прогнозируемой модели. При таком подходе можно говорить о классе «непрямых» систем управления нестационарными объектами [9].

Моделирующие возможности предлагаемой модели КА определяются возможностями математического аппарата СП, в частности его расширения [8]. В основу данного расширения СП положены стохастические и функциональные СП [5]. Это позволяет описывать стохастические процессы, определять условия их преобразования, организовывать память и задавать любые функции, сопоставляя их переходам СП.

Вектор фазовых координат

а

в

84

Рис. 3. Схема функционально-структурной модели

РИ, 2005, № 3

При разработке модели будем использовать следующие представления:

1) команда (Kj) — совокупность операций, описываемая СП(операция сопоставлена переходу СП), предназначенная для установки параметра x в значение аі;

2) операция (ОП|) — последовательность действий (в виде функций, систем уравнений, программ), в результате которых определяется вектор управляющих сигналов, подаваемый на бортовые системы;

3) бортовая система (БСк) — стохастическая система, описываемая системой дифференциальных уравнений первого порядка; в результате ее работы могут вырабатываться сигналы, определяющие код команды, которая непосредственно передается либо на другие бортовые системы, либо на бортовой комплекс автоматизированного управления.

Функционально-структурная модель KA состоит из двух взаимосвязанных частей: функциональной и структурной. Функциональная часть модели содержит описание всего множества команд в виде единой, безизбыточной относительно операций СП. Сдерживающие событийные гипердуги отражают совместимость операций. Структурная модель включает СП, переходам которой сопоставлены бортовые системы, а дугам — связи между этими системами. Обобщенная схема модели приведена на рис. 3,а, а вид СП ее структурной и функциональной частей — соответственно на рис. 3, б и в. Помимо условий, связанных с логикой функционирования систем, переходам первой части модели сопоставлено условие подключения БС при определенных операциях, а переходам второй части модели — условие выполнения операции при определенных командах. Для наглядности представления связи между двумя частями модели KA управляющие сигналы (a, Y, X = U х;, K = U К ) подаются на один переход и алгоритмы их формирования не детализируются. Кроме того, дугам сопоставлены вероятности передачи сигналов.

Для определения вектора UA оптимальных параметров без управления структурой KA необходимо разработать алгоритм параметрической оптимизации, ориентированный на специфику описания объекта сетями Петри. Моделирование СП первой и второй части модели не имеет принципиальных различий. Отличие заключается в действиях, сопоставленных переходам.

3. Параметрическая оптимизация стохастических систем

Рассмотрим задачу оптимального управления параметрами стохастических систем и их соединений по квадратичному критерию с ограничениями на управление. Используя модель объекта на базе сетей Петри (СП) [8], приведем алгоритмы решения задачи для двух вариантов управления: терминального и нетерминального.

Исходя из предложенной модели, обобщенный подход к оцениванию и идентификации парамет-

ров заключается в описании как измерительного устройства, так и параметров фрагментами СП, т.е. рассмотрении обобщенной модели управляемого объекта и измерительных систем (датчиков).

Уравнения канала наблюдения записываются в

П

виде m -мерного вектора Z(t)(m < пь щ = 2 k , где

i=1

k; — количество выходов i -го элемента):

Z

здесь C(t) — (m x Пі )-матрица измерения фазовых координат Y(t); N(t) — m -мерный вектор центрированного гауссовского белого шума.

Параметры в случае отсутствия управления описываются уравнением

a

где а — вектор случайных параметров; V'(t) — вектор центрированного белого шума.

В терминах СП каждому датчику и параметру сопоставляется переход, реализующий функции, описанные соответственно уравнением (1) и уравнением (2). Векторы N(t) и V'(t) сопоставлены входным позициям соответствующих переходов. Вероятности передачи шумов N(t) и V'(t) по каналам как на датчики, так и на фиктивные блоки формирования параметров равны 1. Распределения шумов заданы.

Задача нетерминального управления параметрами стохастических систем на базе СП состоит в определении вектора UA значений параметров на

интервале времени Д1Д2], удовлетворяющего заданному критерию оптимальности при наличии ограничения на управление.

Элементы r -мерного вектора UA могут принимать значения из множества {ua(i), x}, где ua(i) — конкретное значение i -го параметра, x — неопределенное значение.

Критерий минимума среднего квадрата ошибки для наиболее вероятной структуры при заданных ограничениях имеет вид:

1о = min M[(Y (t2) - YT (t2))T(Y(t2) - YT(t2)),

UA

UA(t2),Z(t1),SA,l(t2),t1 < t2],

где YT(t2) — прогнозируемый теоретический требуемый вектор состояний для структуры l(t 2) ; Y(t2) — прогнозируемый вектор состояний для структуры l(t2); Z(ti) — вектор наблюдений; UA(t2) — прогнозируемый вектор параметров; SA - система ограничений на параметры.

Необходимо определить для структуры, вероятность появления которой в момент t2 максималь-

РИ, 2005, № 3

85

на, вектор параметров UAonT, отвечающий заданному критерию.

Исходными данными для алгоритма параметрической оптимизации являются:

1) результаты идентификации значений параметров a'(a' с а), внешних случайных воздействий V"(V"c V'), структуры 10 ;

2) полученные в результате прогноза значения

V" •

v прог;

3) требуемый теоретический вектор YT(t2).

Предполагается, что значение вектора V"np0r на интервале [tj, 12 ] постоянно и (т = t2 - tj) >> At, где At — такт моделирования.

Рассмотрим основные этапы адаптивного алгоритма параметрической оптимизации.

ров в соответствии с моделью [8], т.е. при большой априорной неопределенности распределения описываются вектором средних значений Y ср и разбросом значений сигналов.

5) С учетом параметрических блоков выбираются наиболее вероятные структуры с некоторым разбросом вероятностей д.

6) Анализируя матрицу маркировки по всем выходным значениям вектора YCp из множества структур, определенных в п.5, выбираем структуру, дающую минимум квадрата отклонения YCp от Yt .

7) Для выбранной структуры осуществляется идентификация вектора параметров UA .

8) UA 0пт := UA .

1) Используя результаты идентификации и прогнозирования, осуществляем моделирование на

интервале [tj, 12] сетью Петри. Для наиболее вероятной структуры 1(t2) по заданным значениям YtД2) осуществляем идентификацию вектора параметров UA(t2).

2) Если все параметры удовлетворяют системе ограничений, то п.8, иначе принимаем вероятности передачи информации по всем дугам выбранной

структуры 1(t2) равными 1 и переходим к п.3.

3) Выполняем моделирование сетью Петри на интервале [tj, 12 ] с шагом At при значениях управляемых параметров, не превышающих граничных ан < ua < ав , где ан иав - соответственно нижняя и верхняя допустимая граница значений параметров. Для проверки ограничений в структурной части модели используют параметрические переходы, являющиеся основой фиктивного параметрического блока[10], представленного на рис. 4, т.е. управляемые параметры рассматриваются как случайные и описываются уравнением (2), причем

для i —го параметра а0 = ua(l), а случайные параметры фиксируются в соответствии со значениями

вектора V"npor .

4) По результатам моделирования определяются плотности распределения всех сигналов и парамет-

Предложенный алгоритм нетерминального управления параметрами может быть использован в качестве основы алгоритма терминального управления.

Задача терминального управления заключается в определении последовательности векторов UA опт (t)(t0 < t < t^) на интервале времени [to;tK] с переменным шагом h , удовлетворяющей критерию оптимальности.

Шаг h определяется интервалами между изменениями значений параметров. Цикл использования алгоритма нетерминального управления имеет шаг т = t2 - tj. С шагом т осуществляется прогноз структуры, который является априорным для следующей итерации алгоритма. Кроме структуры, прогнозируются внешние случайные воздействия

v(ti) (ti = to + ix,i = 1,n,n = ——°,tK > tK), кото-

T

рые принимаются постоянными на интервале т . Полученный при каждой итерации вектор параметров UA(ti) является априорным для следующей итерации алгоритма терминального управления.

Схема адаптивной оптимальной САУ для варианта параметрической оптимизации приведена на рис. 5.

Критерий оптимальности представляет собой интегральный критерий минимума среднего квадрата ошибки для наиболее вероятной последовательности структур при заданных ограничениях на параметры.

Интегральный критерий имеет вид:

1ок = Z шахР^^АД^о) i=1 1

n = .

т

Рис. 4. Параметрический блок с ограничениями

86

РИ, 2005, № 3

4. Заключение

Научная новизна. Предложенный алгоритм позволяет выполнить изменения параметров при заданных ограничениях в условиях структурной неопределенности при наличии случайных внешних воздействий. Сложность алгоритма — это временные и емкостные затраты в наихудшем случае как функция от размерности задачи (модели) [ 5]. Сложность предлагаемой функционально-структурной модели КА значительно ниже сложности описания КА в виде циклограмм изменения работы двух уровней. При этом, снижение сложности модели не приводит к снижению точности отображения реальных процессов.

Практическая значимость. Применение СП наиболее эффективно при моделировании параллельных процессов. В этом случае параллельность моделируется естественным и удобным образом. Поскольку в основном временные затраты на использование предлагаемого алгоритма связаны с моделированием поведения объекта, использование многопроцессорных систем значительно снизит данные затраты, не нарушая целостности процесса функционирования КА.

Выводы

Предлагаемая модель и алгоритм оптимизации параметров требуют разработки сложного программного обеспечения, целесообразность применения которого связана с высоким уровнем сложности объекта управления. Однако он может быть использован в качестве основы для управления менее сложными объектами, чем КА. Например, при решении задачи управления измерительными системами в целях их быстрой адаптации к изменению поведения объекта.

Литература: 1. Казаков И.Е., Артемьев В.М. Оптимизация динамических систем случайной структуры. М: Наука, 1980, 384с. 2. Губарев В.Ф. Итеративный синтез управления с селективной идентификацией модели// Проблемы управления и информатики. 2004. №3. С. 515. 3. Губарев В.Ф., Аксенов Н.Н. Об одном подходе к идентификации динамических систем в условиях неопределенности / / Проблемы управления и информатики. 1997. №6. С.4І-51. 4. Туник А.А., Абрамович Е.А. Многомерный подход к параметрической робастной оптимизации цифровых систем управления полетом// Проблемы управления и информатики. 2004. №2. С. 3243. 5. Лескин А.А., Мальцев НА., Спиридонов А.Н. Сети Петри в моделировании и управлении. Л: Наука, 1989. 133с. 6. Питерсон Д. Теория сетей Петри и моделирование систем. М.:Мир, 1984, 264с. 7. Кравец В.Г., Любинский В.Е. Основы управления космическими полетами. М.:Машиностроение, 1983. 224с. 8. Качур С.А. Модель стохастических систем и их соединений на основе сетей Петри // Проблемы управления и информатики. 2002. №1. С. 93-98. 9. Кунцевич В.М. Синтез робастно-оптимальных адаптивных систем управления нестационарными объектами при ограниченных возмущениях / / Проблемы управления и информатики. 2004. №2. С. 19-31. 10. Качур С.А. Структурная и параметрическая идентификация стохастических систем и их соединений на основе сетей Петри // Проблемы управления и информатки. 2003. №3. С. 56-62.

Поступила в редколлегию 06.04.2005

Рецензент: д-р физ.-мат. наук Тимченко И.Е.

Качур Светлана Александровна, канд. техн. наук, доцент кафедры менеджмента и экономико-математических методов Севастопольского национального технического университета. Научные интересы: сети Петри, модели, моделирование, управление сложными техническими системами. Управление экономическими системами. Адрес: Украина, 99029, Севастополь, Пр. Острякова, 74, кв. 9, (0692) 57-09-92.

Рис.5. Схема оптимальной адаптивной САУ на основе СП для варианта параметрического управления

РИ, 2005, № 3

87