О топологиях, порождаемых сходимостью

Математические структуры и моделирование 2005, вып. 15, с. 34-40

УДК 515.122 : 517.982

О ТОПОЛОГИЯХ, ПОРОЖДАЕМЫХ

сходимостью

А.А. Чемёркин

Показано, что произвольный класс направленностей на множестве порождает на этом множестве топологию. Также доказано, что секвенциальная топология, ассоциированная с локально выпуклой, может не быть линейной.

Хорошо известно, что понятия сходимости и топологии тесно связаны, например, в [1] вводится понятие класса сходимости, который порождает топологию. В первом предложении данной статьи показано, что по произвольному классу направленностей можно построить сильнейшую топологию, в которой все эти направленности будут сходиться, причем класс этот может не являться классом сходимости. Далее в статье рассматривается топология, порожденная сходящимися в некоторой исходной топологии последовательностями, приводятся основные свойства такой топологии (полученные автором ранее и опубликованные в статье [2]), а также доказываются два новых результата.

Основные понятия функционального анализа и общей топологии используются в статье без предварительных пояснений (см., например, [1,3-5]).

Для подмножества А векторного пространства X через l.h. А и absco А обозначим соответственно линейную и абсолютно выпуклую оболочку множества А, через О будем обозначать нулевой элемент векторного пространства X. Если (X, т) — топологическое пространство, то замыкание множества А С X в топологии т будем обозначать cl А (или с1т Д), через С1Х (или С1(Х, т)) обозначаем множество всех замкнутых подмножеств X, через Ох (или О*) — совокупность всех окрестностей точки X Є X.

1. Порождение ТОПОЛОГИИ произвольным классом направленностей

Пусть X — непустое множество, СР(Х) — множество всех подмножеств множества X.

Copyright © 2005 А.А. Чемёркин. Омский государственный университет. E-mail: archem-math@mail. ru

Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.

35

Определение 1. Пусть J ф 0, отношение а на J называется направлением, если выполнены условия:

1 )VjGJ

2) V г, j ,/с Є J (г, j) Є a, (j, k) Є а ^ (і, к) Є а;

3) Vi, j Є J З к Є J : (А;,г) Є <т, (A;, j) Є а.

Далее вместо (г, j) Є а будем писать і V j (или j =4 і). Множество J с заданным на нем направлением )>= называется направленным множеством.

Определение 2. Семейство элементов из X называется направленно-

стью, если его множество индексов J является направленным множеством.

Определение 3. Пусть X — топологическое пространство, {xj}jej — направленность в X, будем говорить, что направленность {xj}jej сходится к элементу х Є X или что х является пределом направленности {xj}jej (пишем Xj —> х и х = \imxj). если

MV Є Ох 3jv є J Mj V jv %j є V.

Пусть X — некоторое множество направленностей элементов из X. Пусть также определен оператор Л : X —> СР(Х), для любой направленности s Є X назовем A(s) С X множеством ее пределов.

Предложение 1. На X существует сильнейшая топология г, в которой направленности S Є X сходятся к элементам A (S'), причем эта топология однозначно определяется парой (X, А).

Доказательство. Определим класс подмножеств г множества X следующим образом:

А Є т <=г М х Є А V {xj}jeJ Є X ( £ Є A ({xj}) => 3 jo Є J : V j £= j0 Є A).

Покажем, что т является топологией. Очевидно, что X, 0 Є т. Пусть А Є т и В Є т. Возьмем х Є А П В и направленность Є X такую, что х Є

А({тД). Тогда найдется элемент Ja Є J (jв Є J) такой, что при j )>= j^ (j )>= js) имеем Tj Є A [xj Є Б). Далее зафиксируем j0 ^ JaHb и получим, что Є Д П В при j )>= j0, то есть Д П В Є т. Пусть теперь { ДД і Є І } С т.

Так как из принадлежности х Є (J Аі следует существование такого і Є /,

ієі

ЧТО £ Є Ді, ТО имеем ил Є т. Таким образом, т действительно является

ІЄІ

топологией. Остальные утверждения предложения вытекают непосредственно из определения топологии т. U

Замечание 1. В топологии т могут, вообще говоря, сходиться направленности, не лежащие в X, возможно также, что для направленности {xj}jej Є X найдется элемент х Є X \ А({тД) такой, что {xj}jej сходится к х в топологии т. То есть класс

б = { (S,s) | SgX, se\(S) }

не является в общем случае классом сходимости (см. [1, с. 107]). Следующий пример подтверждает сказанное.

36

А. А. Чемеркин О топологиях, порождаемых сходимостью

Пример 1. Пусть X = R, в X поместим все тождественные направленности. Для {xj}jej Є X существует х Є X такой, что Xj = х (j Є J), положим

Л({xj}) = {х — 1, т) U (т, т + 1).

Тогда в топологии т, построенной по (Х,А), открыты будут лишь X и 0, то есть т — антидискретная топология, однако в такой топологии произвольная направленность сходится к любой точке.

Пусть далее Y — топологическое пространство и $ — некоторое множество отображений X в Y. Определим

©5 = { (HjW, х) I V / Є £ f(xj) -> f(x) } .

Предложение 2. Класс является классом сходимости на X. То есть существует единственная топология т на X, в которой направленность S сходится к элементу s Є X тогда и только тогда, когда (S, s) Є ©#. Эта топология совпадает с инициальной топологией относительно отображений f Є $ (то есть со слабейшей топологией на X, при которой все отображения из $ непрерывны).

2. Секвенциальная топология

Определение 4. Подмножество А топологического пространства (X, г) называется секвенциально замкнутым, если оно содержит предел каждой своей сходящейся последовательности. Наименьшее секвенциально замкнутое множество, содержащее множество А (оно, очевидно, совпадает с пересечением всех секвенциально замкнутых множеств, содержащих А), называется его секвенциальным замыканием и обозначается scl А

Приведем основные свойства секвенциального замыкания в следующей лемме (см., например, [4, с. 14], [6, с.4]).

Лемма 1. Для любых А, В С X верно

1. scl0 = 0;

2. А С scl И С с1А;

3. А секвенциально замкнуто -Ф4> А = scl А;

4- scl(sclH) = sclH;

5. А С В scl И С scl Л;

6. scl(H U В) = scl A U scli?;

7. scl(H П В) С scl И П scl Л.

Из леммы 1 следует, что оператор, который каждому подмножеству X сопоставляет его секвенциальное замыкание, является оператором Куратовского, следовательно, на X существует единственная топология, операция замыкания в которой совпадает с операцией секвенциального замыкания в исходной топологии г (см., например, [1, с.68]). Эту топологию будем называть секвенциальной топологией, ассоциированной с т, и обозначим sr. Замкнутые множества в

Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.

37

топологии sr — это множества, секвенциально замкнутые в т, и для каждого А С X sclT А = clST А.

Топология st может быть порождена в смысле предложения 1 парой (X, Л), где класс X состоит из сходящихся в топологии т последовательностей, а оператор Л каждой такой последовательности ставит в соответствие множество ее пределов в топологии т.

Определение 5. Топологическое пространство (X, т) называется секвенциальным, если топологии т и st совпадают (см. также [7, с.94]).

Класс секвенциальных пространств достаточно широк. Например, любое топологическое пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности (тем более полуметризуемое пространство), является секвенциальным (см. [1, с. 105]). Однако наличие первой аксиомы счетности не является необходимым условием для секвенциальности пространства (см. [7, с.95]).

Многие свойства топологии st исследованы автором в статье [2], приведем здесь краткую сводку основных результатов:

1. Топология st мажорирует топологию т, а сходящиеся последовательности в этих топологиях одни и те же.

2. Если на множестве X заданы две топологии т и сг, сходящиеся последовательности в которых одни и те же, ТО ST = SG.

3. Отображение / : (X, т) —> (У, а) секвенциально непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно из (X, sr) в (У, sa).

4. Топологии т и st на X совпадают тогда и только тогда, когда каждое секвенциально непрерывное отображение (X, т) в любое пространство (У, а) непрерывно.

К моменту выхода вышеупомянутой статьи автору не удалось найти ответ на следующий вопрос: является ли секвенциальная топология, ассоциированная с линейной, сама линейной. Отрицательный ответ дается в следующем предложении. Напомним прежде несколько определений из функционального анализа (см. [5]).

Определение 6. Полное метризуемое локально выпуклое пространство называется пространством Фреше.

Определение 7. Пусть семейство топологических векторных пространств {Xj}jej таково, что все Xj (j Є J) являются векторными подпространствами некоторого пространства X,

* = 1.ь.и^,

JCJ

и при Хі С Xj вложение Х{ —> Xj непрерывно. Сильнейшая (локально выпуклая) линейная топология на X, при которой все вложения Xj —> X непрерывны, называется (локально выпуклой) индуктивной топологией на X относительно семейства {Xj}jGj, а само пространство X, наделенное этой топологией, называется (локально выпуклым) индуктивным пределом семейства ТВП

{Xj}jeJ (обозначается (X = l.c. indlimXj) X = indlimXA

jeJ jeJ

38

А.А. Чемёркин О топологиях, порождаемых сходимостью

Замечание 2. Если

то множества вида

X = 1с. ind lim X,-, jeJ

absco

j&J

X

где Uj Є 00J (j Є J), образуют базу окрестностей нуля в X (см. [5, с.36]).

Замечание 3. Индуктивный предел последовательности локально выпуклых пространств является локально выпуклым индуктивным пределом этих пространств (см. [5, с.36]).

Определение 8. Индуктивный предел

X = ind lim Ха

jeJ J

называется регулярным, если из ограниченности множества В в X следует, что В содержится и ограничено в некотором Xj.

Определение 9. Индуктивный предел

X = ind lim Ха

XJ J

называется строгим, если {Xj}jGj является направленностью с отношением і =4 =4 j Xj С Xj и при і =4 j топология, индуцированная из Xj на Х^, совпадает

с исходной топологией на Xj.

Предложение 3. Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть (X, г) — регулярный индуктивный предел направленности секвенциальных локально выпуклых пространств {(Xj, Tj)}jGj; причем индуцированная из X на Xj топология совпадает с Tj, тогда sr является финальной топологией относительно вложений Xj С X (то есть сильнейшей топологией на X, при которой все вложения Xj С X непрерывны).

2. Пусть (X, г) — LF-пространство, то есть X — это строгий индуктивный предел возрастающей последовательности пространств Фреше {Xri}riGN; метрику на Хп обозначим dn и предположим, что выполнено следующее условие

\/п Є N Vt Є Хп dn(x, О) ^ dn+і(т, О).

Тогда топология sr не является линейной и sr ф г.

Доказательство. 1. Достаточно показать следующую эквивалентность

А є С1(Х, sr) Vj Є J AnXj є ClXj.

=4>) Так как STj = Tj, то достаточно показать, что А П Xj секвенциально замкнуто в Xj. Пусть последовательность {тгг}ггЄ^ С AnXj сходится в топологии Tj к элементу х Є Xj. Тогда хп —> х в топологии т (так как индуцированная

Математические структуры и моделирование. 2005. Вып. 15.

39

из X на Xj топология совпадает с Tj), откуда имеем, что хп —> х в sr. Таким образом, х Є А, кроме того, х Є X,-, следовательно, х Є AnXj и AnXj Є ClXj.

<^=) Пусть {xn}neN а А и xn —> x в топологии st (или в топологии т, что равносильно). Покажем, что х Є А. Множество

£> = {яДг|^Є^}и {х}

ограничено в X, следовательно, существует j Є J такой, что В С Xj, откуда получаем сходимость хп —> т в топологии т^. Так как

И П Xj є ClXj,

то х Є И П Xj, а значит, х Є А.

2. Из утверждения 1 следует, что если ТОПОЛОГИЯ ST линейна, ТО ST = т, поэтому достаточно показать, что st ф т. Топология зт — это финальная топология относительно вложений Xn С X, поэтому, как легко видеть, множество

B=(Jun,

ne N где

Un = | X є Xn I бЦж, 0) X } ,

является окрестностью нуля В ТОПОЛОГИИ ST; покажем, что это множество не окрестность нуля в т. Предположим противное, то есть существует множество

А = absco |^J Vn,

ne N

где Vn — окрестность нуля в Хп (п Є N), такое, что А С В. Покажем, что для любого п Є N верно включение V\ С Un. Пусть найдется п Є N такой, что V\ не содержится в Uni то есть существует х Є Vi, для которого

dn(x,0) >

П

Зафиксируем у eVn \ Хп_ х. Далее рассмотрим множество элементов

ay = tx +

и непрерывную числовую функцию /(£) = , О), тогда

ДО) = dn(y,0) < -

П

И

/(1) = dn(x,G) >

П

следовательно, по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции найдется значение s G (0,1) такое, что

/<А> >

П

40

откуда имеем xs ^ Un. Так как s ф 0, то xs ^ ёД (к = 1,..., п — 1), кроме того, xs ^ Um при т > п, так как

dm(xs,Q) > > - > —.

п т

Таким образом, xs В, однако Є А. Следовательно, наше предположение

неверно, и для любого п Є N выполнено включение Vi С !7П. Но тогда если х Є Vi, то для всякого п Є N имеем

di(x,0) ^ dn(x,Q) ^ -,

п

то есть £ = О. Однако множество Vi = {О} не является окрестностью нуля в Xl, откуда следует, что наше предположение о существовании множества А также неверно, то есть sr ф т, что и требовалось доказать.

Замечание 4. Условия 2-го утверждения предложения выполнены, например, для пространств К°° (где К — это М или С) и D(M) (пространство гладких финитных функций Л. Шварца, см., например, [3, с.414]).

Литература

1. Келли Дж.Л. Общая топология. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968. 384 с.

2. Чемёркин А.А. О некоторых свойствах секвенциального замыкания // Математические структуры и моделирование (Омск). 2003. Вып.11. С.21-27.

3. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1071с.

4. Мельников Е.В. Топологические векторные пространства: Методические указания. Омск: ОмГУ, 1990. 43 с.

5. Мельников Е.В. Локально выпуклые пространства: Методические указания. Омск: ОмГУ, 1991. 48 с.

6. Мельников Е.В. Векторнозначные распределения и обобщенная корректность абстрактной задачи Коши. - Омский гос. ун-т. Омск, 1988. Деп. ВИНИТИ 15.03.1988. М994-В88, 79 с.

7. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.