Перспективы научного осмысления «Невозможного» в контексте взаимосвязи философских и математических понятий

II, —

ФИЛОСОФИЯ

И МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ

Вестник Челябинского государственного университета. 2018. № 11 (421).

Философские науки. Вып. 50. С. 54—62.

УДК 165.19 ВОТ 10.24411/1994-2796-2018-11110

ББК 87.25

ПЕРСПЕКТИВЫ НАУЧНОГО ОСМЫСЛЕНИЯ «НЕВОЗМОЖНОГО»

В КОНТЕКСТЕ ВЗАИМОСВЯЗИ ФИЛОСОФСКИХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

Е. И. Арепьев, Д. Н. Букин

1 Курский государственный университет, Курск, Россия 2 Филиал Московского энергетического института в г. Волжском, Волжский, Россия

Раскрывается взаимосвязь и взаимодополняемость базисного понятийного аппарата математики и философских категорий в процессе постижения мира. На примере сущностного истолкования геометрической составляющей основ математического знания аргументируется приемлемость реалистической версии оснований математики. Рассматриваются перспективы сущностного осмысления «невозможных» понятий, определения которых предполагают отсутствие подпадающих под них объектов в рамках современной науки.

Ключевые слова: действительность, возможность, существование математических объектов и истин, направленность, конечное и бесконечное, дискретное и непрерывное, «невозможные» объекты и понятия.

Применение философских категорий в процессе описания действительности во многом аналогично использованию для той же цели математических понятий и абстракций. Причём философское осмысление самой математики нередко использует категории и понятия, имеющие весьма строго определённые аналоги в математическом знании. К таким примерам можно отнести категории дискретного и непрерывного, а также категории конечного и бесконечного.

Традиционным является представление о вышеперечисленных категориях, как о предельных основаниях нашего познания мира. Однако расширение областей познанного неизбежно влечёт и увеличение границы между познанным и непознанным. На этой границе возникает множество новых вопросов, входящих в проблемное поле не только конкретных научных дисциплин, но и философии, а именно — в поле философии науки.

Вполне допустимо под этим углом зрения рассмотреть взаимопроникновение представлений о конечном и бесконечном, о дискретном и непрерывном в математическом знании и философии математики.

Итак, категория бесконечного выражает пространственную и временную неограниченность мира, его количественную и качественную неисчерпаемость. Вообще говоря, содержание категорий «конечное» и «бесконечное» не выражается через прочие философские категории. При этом с позиций диалектики анализ данной пары оказывается менее тривиальным, чем для других онтологических категорий. Поясним это.

Так как бесконечное есть нечто, не имеющее ни конца, ни начала, его противоположностью как раз и должно стать конечное. Но в этом случае рассматриваемые противоположности не обладают единством. Другим, более подходящим в этом

аспекте вариантом противоположности бесконечному выступает ничто, так же, как и бесконечное лишённое границ, но никак не подразумевающее выражение количества, тогда как бесконечное выступает способом выражения количественных отношений. При этом речь не идёт и о гегелевском «ничто», ибо рассматриваемое «ничто» более соответствует категории «нисколько», поскольку отрицает не всякое бытие вообще, но лишь всякое количество. Что касается математики, данное «нисколько» для всех отдельных отрицаний количества будет выражаться с помощью понятия «нуль», далеко не лишённого содержания (о чём говорил ещё Ф. Энгельс).

Уже начиная с древнегреческих, математики пытаются более или менее точно определить категории бесконечного и предела. Так, в Средние века оформляется потенциальная бесконечность как величина, принимающая значение, большее всякого изначально заданного предела. Однако это хотя и переменная, но всё-таки ещё конечная величина.

Вопросы актуальной бесконечности начинают активно обсуждаться примерно в XVI - XVIII вв. Позже потенциальная и актуальная бесконечность различаются в работах Г. Кантора: «Несмотря на существенное различие понятий потенциальной и актуальной бесконечности, — причём первая означает переменную конечную величину, растущую сверх всяких конечных границ, а последняя— некоторое замкнутое в себе, постоянное, но лежащее по ту сторону всех конечных величин количество, — к сожалению, слишком часто встречаются случаи смешения этих понятий» [12. С. 265-266].

В целом же простое и строгое определение бесконечного и конечного в итоге приводит Дедекинд. Рассуждая о свойствах множеств (в терминологии Дедекинда — «систем»), он определяет, что первое множество является правильной частью второго, если первое есть часть второго, но не совпадает с этим вторым. На основе этого определения он даёт определение бесконечного множества как множества, элементы которого взаимнооднозначно сопоставимы с элементами его правильной части, и говорит, что в противном случае множество является конечным [8. С. 51].

Взаимодополняющие категории дискретного и непрерывного также выражают свойства бытия, различие её элементов и систем, скачкообразность процессов, с одной стороны, и целостность систем, многообразие связей — с другой. Суть определения непрерывности Дедекиндом состоит

в следующем: «Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой на два куска» [7. С. 17]. Такое определение действительно отделяет непрерывную прямую от прямой, разорванной изъятием отрезка, или же от дискретного множества точек на прямой, соответствующих, например, рациональным числам. В этих случаях указанное разбиение на два класса не может быть осуществлено одной точкой, а либо двумя точками, либо же иным способом, не позволяющим указать на какие-то граничные точки этих классов. Отметим также, что как конечность и бесконечность, так и дискретность и непрерывность пространства-времени выступают, с одной стороны, как самостоятельные элементы рассмотрения и, с другой, как характеристики пространственно-временных отношений.

Мы определяем фундаментальные онтологические понятия с помощью исходных понятий математики. Однако сами эти понятия, очевидным образом, также нуждаются в онтологическом и гносеологическом обосновании, в сущностной интерпретации, раскрывающей их связь с действительностью и процессом познания. Рассмотрим некоторые элементы такой интерпретации, наглядно демонстрирующие взаимопроникновение философии и математики.

Работа над аргументацией перспективности реалистической трактовки природы математического знания предполагает рассмотрение следствий принимаемой гипотезы. А именно, если исходные объекты и утверждения этой науки объективны, они неизбежно связаны с характеристиками бытия, реальности, в том числе — материального мира. Важным контраргументом к позиции математического реализма выступают затруднительность создания и отсутствие признанных онто-гносео-логических моделей, представляющих эту позицию. То есть основная проблема математического реализма — отсутствие ответов на вопросы о способах существования базисных понятий и истин математики, отсутствие метатеоретического, эпистемологического и сущностно-бытийного обоснования, раскрывающего их место в объективной действительности?

Ответ на этот вопрос, по нашему мнению, не может быть получен без уточнения, а вернее, расширения понятия реальности, предполагающего

под этим понятием не только материю, но и идеальное бытие, а также снимающего противопоставление возможности и действительности. Конструктивный путь в разработке данной проблемы, как мы считаем, предполагает включение допустимого в реальность! Возможное — это неотъемлемая составляющая действительности, и между ними нет чёткой границы! При таком истолковании бытия мы можем утверждать, что объекты и положения математики—это отвлечённые выражения всеобщих принципов реализованных потенций и возможного как такового во всех его проявлениях.

Что же мы будем понимать под реальностью в случае принятия предложенного расширения её трактовки, предполагающего включение возможного в структуру бытия? Мы будем считать действительностью весь спектр возможного, начиная от невоплотимого (невозможного) и заканчивая необходимым. В этот спектр, очевидно, войдут нереализовавшиеся, мало-, средне-, высоковероятные и реализовавшиеся возможности [4. С. 231]. Поясним это.

1. Полагаем, что математический объект выступает элементом действительности. Отсюда вытекает следующее:

1.1. Он бытийствует с необходимостью или бы-тийствует в виде случайности.

1.2. Он бытийствует в роли возможного.

2. Если же объект математики не бытийствует (что соответствует модальности недействительности), то отсюда вытекает:

2.1. Он не может бытийствовать (что соответствует модальности невозможности).

2.2. Он может бытийствовать (что соответствует модальности возможности), но всё же пребывает в силу ряда причин в статусе небытия.

Приняв за исходную гипотезу расширенную трактовку бытия, попытаемся дать естественноязыковые определения исходных постулатов математики, а затем сформулировать в категориях онтологии то, что собственно выражают эти истины. Здесь мы приведём лишь часть данного построения, а именно — часть, относящуюся к геометрической составляющей оснований математики [2. С. 84].

Уяснение бытийных и познавательных основ геометрии вполне естественно начать с раскрытия сущности исходных объектов данного раздела математики, а именно — точки, прямой, плоскости и пространства. Кроме того, потребуется выявить онто-гносеологический смысл таких отношений, как принадлежность точки прямой, плоскости,

и расположение точки на прямой между двумя другими [18. С. 5].

Точку будем считать отвлечённым (абстрактным) выражением отдельного элемента материального мира, отличимого от других (сокращённо «дискретный объект»). Близкий термин используется в механике и других естественных науках, это материальная точка, параметрами которой служат масса и пространственно-временные координаты. Это понятие служит в физике для того, чтобы обозначать объекты, имеющие незначительные размеры, то есть размеры которых просто не учитываются. В отличие от материальной точки точка в геометрии характеризуется существованием внешних и несуществованием внутренних дискретных и протяжённо-непрерывных альтернатив [3. С. 7]. Из данного определения видно, что точка не имеет структуры, не включает в себя никакие элементы и допускает при этом существование внешних объектов. По сути все объекты для точки являются внешними, как дискретные, так и непрерывные. Следует отметить, что само понятие структуры также сильно взаимосвязано как с онтологическими категориями качества, количества, пространства и т. д., так и со многими фундаментальными понятиями — полем, лупой, группой, топологическими структурами, структурами порядка и т. д. Впрочем, в данном случае речь идёт об отсутствии таковой, и, следовательно, её упоминание не требует пока какого-либо отдельного анализа.

Определение прямой в нашем бытийно-позна-вательном рассмотрении состоит в трактовке её в качестве наиболее отвлечённого выражения непрерывной направленной протяжённости. Направленность в данном случае не соответствует аналогичному понятию непосредственно в геометрии, для которого в рамках настоящей интерпретации необходимо ввести требование упорядоченности расположения точек, когда в любой их паре можно выделить предшествующую и последующую. Прямая обладает структурными свойствами. Она включает в себя и допускает существование вне дискретных и непрерывных объектов [Там же].

Точка, не лежащая на прямой, вместе с этой прямой позволяет задать плоскость. Её сущностная трактовка может сводиться к выражению бесконечно направленной непрерывной протяжённости. Такая интерпретация должна быть дополнена допустимостью дискретных и непрерывных компонентов, как вне этой структуры, так и в её составе. Плоскость, как и прямая, имеет направленность,

но, в отличие от прямой, это бесконечно-направ-ленность, соответствующая неограниченному выбору направлений на плоскости.

И наконец, мы подходим к сущностной трактовке (трёхмерного) пространства. Пространство есть отвлечённое выражение ненаправленной и неограниченной непрерывной протяжённости. В ней предполагается существование дискретных и непрерывных элементов структуры и отсутствие аналогичных объектов вне её (напомним, что речь идёт о геометрической компоненте оснований математики, а не о возможностях алгебраического задания я-мерных пространств).

Из вышеприведённых сущностных трактовок прямой, плоскости и пространства следуют определения направленности и ненаправленности. Направленность характеризуется существованием непрерывных и дискретных элементов как внутри, так и вне структуры объекта, обладающего свойством направленности. И, наоборот, ненаправленность предполагает отсутствие дискретных и непрерывных элементов вне структуры ненаправленного объекта (плоскости) и существование оных в рамках данной структуры либо же отсутствие непрерывных и дискретных элементов в структуре объекта (то есть отсутствие самой структуры), но существование этих элементов вне данного объекта, когда таковым выступает точка.

Таким образом, мы получили онто-гносеологи-ческие интерпретации ряда базисных геометрических понятий [6. С. 56], перечень которых здесь представляется уместным дополнить. В частности, нам нужно для полноты картины истолковать такое понятие, как движение, а также интерпретировать отношения принадлежности точки прямой, плоскости и отношение трёх точек, одна из которых лежит между двумя другими [11. С. 205].

Наша бытийно-познавательная трактовка названного понятия следующая: движение выступает отвлечённым выражением всех допустимых преобразований материи, обладающих свойством равновеликости преобразующихся элементов в начале и конце преобразований. Геометрическое понятие движения выражает все возможные способы реального движения физического мира, но при этом абстрагируется от временной характеристики этого процесса.

Примечательно, что в математических областях, сформировавшихся к настоящему времени, как правило, отсутствует обращение к временному измерению тех или иных процессов. Как указывает В. Я. Перминов, трактовка Кантом чисел посред-

ством понятия времени выступает своего рода характеристикой, особенностью способа понимания математических последовательностей в XVIII в. [16. С. 22]. Очевидно, что временная интуиция имеет существенное значение в процессе эволюции рациональных представлений и сущностного истолкования свойств количественных отношений, однако это значение скорее связано со спецификой определённых областей и этапов развития математики, нежели носит универсальный характер. Тем не менее, временная компонента в онто-гно-сеологической трактовке основ математики не может не учитываться, поскольку время по сути есть абстрактное выражение перехода от потенциального к воплотившемуся.

Теперь мы переходим к базисным отношениям геометрии. Точка лежит между двумя другими, когда все эти точки являются внутренними элементами направленной непрерывной протяжённости (принадлежат прямой) и указанная точка обязательно предшествует какой-то из двух оставшихся точек при упорядочивании данной направленной непрерывной протяжённости.

И, наконец, точка лежит на прямой, когда является внутренним элементом её структуры. Точка лежит на плоскости, когда является внутренним элементом её структуры. Можно заметить из предложенных интерпретаций, что в сущностном плане приведённые отношения тождественны.

Отметим, что в предыдущих рассуждениях была задействована онтологическая категория отношения. Помимо того, что без неё невозможен онтологический анализ бытия таких математических объектов, как множество, равенство, неравенство, функция, тензор и т. д., это ещё один пример неразрывной связи базовых философских и математических понятий.

Итак, результатом данной части работы можно считать гипотезу о том, что геометрическая компонента бытийно-познавательного фундамента математического знания образована сочетанием отвлечённых выражений универсальных характеристик сущего, как воплощённого, так и потенциального: движения, конечности и бесконечности, протяжённости, случайности и необходимости, дискретности и непрерывности [3. С. 10].

Итак, признавая объективность математических истин, их реальность и априорность, мы продолжаем построение развёрнутого ответа на вопрос: как они существуют? С одной стороны, эту компоненту действительности можно описать как статичный, вечный мир идей, в котором математически

отражено всё, что только может быть. С другой стороны, мы можем истолковать эту сферу реальности как динамичное образование, и тогда её наиболее уместным будет сравнить с объективным разумом (Богом?), который выступает движущим идейным началом всего сущего и, таким образом, творит мир.

Скорее всего, если подобного рода предположения получат достаточно весомое обоснование, подтвердится вторая версия. На это нам указывает, например, то, что процесс реализации возможностей в материальном мире, оформления мыслей в сознании человека и превращение их в действия динамичен, и его динамика не может основываться лишь на статично зафиксированных идеях. Другими словами, само воплощение тех или иных возможностей в том или ином порядке должно зависеть от разума, воли, или же этот процесс придётся признать хаотичным, случайным.

Могут ли выступать основой данного процесса лишь разум и воля человека? На наш взгляд, это весьма сомнительно, хотя бы потому, что действительность не ограничивается во времени и пространстве обозримыми для человека пределами, то есть человек может воздействовать лишь на незначительную часть природы, материального мира, лишь на некоторую часть реальности. Мы привыкли считать, что инженер и конструктор являются изобретателями, но не правильнее ли будет сказать, что они не просто изобретатели, они открыватели математических возможностей, воплощаемых затем в материальном мире!

Кроме того, включая в понятие действительности все варианты возможного, в том числе необходимое и невозможное, мы неизбежно сталкиваемся с вопросом о том, целесообразны ли попытки научного описания невозможных структур, объектов, «миров»? Круглых квадратов, треугольных параллелограммов, правильных прямоугольных треугольников? Описание свойств и взаимодействий абстрактно-логических выражений, схем невозможного? Следствий ложных высказываний? Свойств чисел, соответствующих изменённой аксиоматике? Нужно ли, в конце концов, ставить перед человеком задачу постижения нематериальной действительности и, в том числе, проблему научного описания происходящего с разумом человека после его физической смерти?

Вне всякого сомнения, онтологическое и гносеологическое обоснование математики не может быть сведено лишь к трём составляющим — обоснованию арифметических, геометрических и ло-

гических компонент. Представляется весьма перспективной экспликация и сущностное истолкование исходных понятий, образующих базис новых для определённого этапа развития, становящихся областей и направлений математики. Зачастую данные понятия оказываются «невозможными» в рамках существовавших ранее математических представлений. Например, такими понятиями являются предел последовательности (функции), бесконечно малая величина, мнимая единица, нечёткое подмножество и пр. Поскольку в математике на определённых этапах вводятся различного рода онтологически и гносеологически значимые элементы, позволяющие создавать новые обширные, продуктивные и значимые области, можно предположить, что высока вероятность добиться существенных результатов путём введения новых понятий в математику и их апробации на онтологическую и гносеологическую значимость, а также на функциональность, пригодность этих понятий для создания новых математических теорий. Например, по аналогии с мнимой единицей в математике можно ввести и апробировать понятие числа, которое и в случае прибавления к нему единицы и в случае вычитания из него единицы даёт в результате ноль [20. С. 115-116]. Эти идеи, высказанные Фреге, приводятся им как аргументы объективности математических истин и понятий, как аргументы в пользу невозможности произвола в математике. Однако, соглашаясь с реалистической позицией Фреге, мы должны отметить, что аргументы эти не совсем удачны, так как они не демонстрируют совершенно невозможного способа развития математики. Напротив, объективность математических истин позволяет нам изобретать способы их получения и выражения и одновременно обладать надёжной гарантией, критерием истинности: если создаваемая теория вписывается в структуру математики и отвечает её критериям, значит, мы на верном пути—на пути наиболее абстрактного отображения универсальных свойств и возможностей действительности!

Если геометрическая составляющая входит в фундамент математики наравне с арифметической, то не будет ли возможной в арифметике ситуация, близкая с той, которая связана с разработкой неевклидовых геометрий, когда изменение аксиомы привело к построению новых систем, выразимых, однако, в евклидовой геометрии?

Если четвёртую аксиому арифметики натуральных чисел изменить, например, так: «существуют как минимум два различных натуральных числа Ь

и с, за которыми непосредственно следует в натуральном ряду число а», то не получится ли более сложная арифметика, заменяющая каждое натуральное число бесконечным множеством комплексных чисел (вертикальная ось вместо точки на декартовой плоскости), которая будет вполне выразима в традиционной арифметике? Если изменить четвёртую аксиому в обратную сторону, то есть сказать, что для любого натурального числа не существует предшествующего, то, возможно, такую систему удастся интерпретировать, заменив натуральные числа дробными рациональными (или бесконечным подмножеством дробных рациональных чисел — результатом дихотомии единичных отрезков)?

В завершение хотелось бы также поднять вопрос о тех проблемах, которые возникают сегодня в математическом образовании в свете сказанного выше. Так, например, знакомство учащегося с современной математикой начинается с употребления ряда понятий, хотя при этом зачастую не поясняется, что конкретно в мире требуется познать. Ясно, что в подобных случаях попросту упускается из виду взаимосвязь a priori данных субъекту математических способностей с тенденцией на вычленение из объективной реальности «раздражителей типа пространственных и числовых отношений» [13. С. 398]. Весьма часто авторы учебников ограничиваются в предисловиях краткими пояснениями сути предмета математики либо же обходятся вообще без оных.

Вместе с тем в учебных пособиях по математике для студентов-гуманитариев можно встретить и определение математики, и историю её возникновения. Так, например, М. В. Воронов и Г. П. Мещерякова, предваряя содержание курса, пишут: «Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. При этом в круг изучаемых математикой отношений входят отношения между элементами произвольной природы и все разнообразные формы пространств. Количественные отношения, в отличие от качественных, характеризуются своим безразличием к конкретной природе тех объектов, которые их связывают. Именно поэтому они могут быть совершенно отделены от их содержания как от чего-то безразличного для них < . > Таким образом, количественные отношения есть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, от которой они отвлечены, только то, что предусмотрено по их определению» [5. С. 7]. С нашей точки зрения, налицо весьма результатив-

ный способ подачи материала, полезный не только гуманитариям, но и будущим выпускникам математических и естественнонаучных факультетов.

Ещё одной проблемой сегодняшней математической педагогики выступает проблема определения ключевых понятий. Е. Е. Алексеева указывает, что любая дисциплина, и прежде всего математика, объекты и принципы которой имеют отвлечённый, абстрактный характер, оперирует большим числом сложных, тонких в определении понятий, неосторожность обращения с которыми педагогов приносит негативные последствия в виде снижения интереса к предмету [1. С. 80]. Думается, что сложности в данном вопросе порождаются прежде всего специфической сложностью определения исходных понятий арифметики и геометрии. В связи с этим Н. И. Жуков указывает, что математика не может строить свои базисные определения на более широких фундаментальных категориях в силу отсутствия таковых. Именно поэтому исходные понятия своих систем многие математики, начиная с Евклида, вводили описательным, интуитивным способом [10. С. 14-15].

И, наконец, немаловажная проблема преподавания математики в наши дни обусловлена значительной ролью в формировании математического образа мысли различных видов модальности. В то же время Д. Я. Стройк утверждает, что «Большая часть математики, которой мы обучаем современных инженеров и техников, всё ещё строится по принципу "делай то-то и делай так-то", без большого стремления к строгости доказательств. Алгебру во многих средних школах всё ещё изучают не как дедуктивную науку, а, скорее, как набор правил» [19. С. 45]. На наш взгляд, уже на уровне школы следует уделить особое внимание аподиктической составляющей математического мышления. В особенности это относится к учащимся-гуманитариям. З. А. и А. С. Кузичевы пишут: «В последние десятилетия алгоритмическая компонента становится доминирующей, сменяя стиль, кульминацией которого можно считать стиль математических трактатов Н. Бурбаки < ..> По мнению тех, кто преподаёт математику студентам нематематических специальностей, именно в обучении умению доказывать, т. е. упорядочивать определённым образом свои мысли, и есть основная функция преподавания математики студентам гуманитарных специальностей, в полезности которой не могли отказать ей и самые яростные её противники. Жаль, что именно эта функция всё больше вымывается из школьных

и университетских программ, заменяясь всё больше алгоритмичностью» [14. С. 390].

Важное место в структурировании математического мышления учащихся занимает проблематическая модальность. Вместе с тем, как известно, элементы теории вероятностей входят в школьную программу (как и в программу ОГЭ и ЕГЭ) в довольно небольшом объёме. Если же говорить об истории преподавания стохастической математики, например, студентам-философам, то в ряде случаев мы можем столкнуться с довольно интересными обстоятельствами. А именно тем, что зачастую знакомство студентов с вероятностной

математикой происходит благодаря усилиям лишь отдельных педагогов, осознающих всю значимость и глубину данного процесса.

Также хочется отметить, что саму меру случайного не следует редуцировать к некоей абстрактной конструкции, дистанцированной от объективной реальности. Множество процессов реального мира имеет вероятностную природу. В таком случае вероятность есть свойство какого-либо сущего, тогда как возможное — это та часть мира, вернее сам мир, который вполне может быть описан посредством соответствующих онтологических и модальных категорий.

Список литературы

1. Алексеева, Е. Е. Реализация креативной развивающей функции обучения математике в вузе / Е. Е. Алексеева // Вестн. Рос. гос. ун-та им. И. Канта. — 2010. — Вып. 5. — С. 79-82.

2. Арепьев, Е. И. Домножественная реалистическая интерпретация онто-гносеологических основ математики / Е. И. Арепьев // Вопр. философии. — 2010. — № 7. — С. 82-92.

3. Арепьев, Е. И. О чём говорят аксиомы геометрии? / Е. И. Арепьев // Проблемы онто-гносеологи-ческого обоснования математических и естественных наук : сб. науч. тр. — Вып. 6. — Курск, 2014. — С. 5-16.

4. Арепьев, Е. И. Природа чисел в свете расширенной трактовки действительности / Е. И. Арепьев // Рос. гуманитар. журн. — 2010. — Т. 3, № 4. — С. 229-236.

5. Воронов, М. В. Математика для студентов гуманитарных факультетов : учебник / М. В. Воронов, Г. П. Мещерякова. — Ростов н/Д. : Феникс, 2002. — 384 с.

6. Гильберт, Д. Основания геометрии / Д. Гильберт. — М. ; Л. : ОГИЗ ГОСТЕХИЗДАТ, 1948. — 491 с.

7. Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа / Р. Дедекинд. — Одесса : Mathesis, 1923. — 44 с.

8. Дедекинд, Р. Что такое числа и для чего они служат? / Р. Дедекинд. — М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютер. исслед., 2015. — 98 с.

9. Дорофеева, А. В. Математика на философском факультете / А. В. Дорофеева // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. — М. : Центр стратег. конъюнктуры, 2003. — С. 235-239.

10. Жуков, Н. И. Философские основания математики / Н. И. Жуков. — Минск : Университетское, 1990. — 110 с.

11. Ильин, В. А. Аналитическая геометрия : учеб. для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — М. : ФИЗ-МАТЛИТ, 2004. — 224 с.

12. Кантор, Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор. — М. : Наука, 1985. — 430 с.

13. Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников / В. А. Крутецкий. — М. : Просвещение, 1968. — 432 с.

14. Кузичева, З. А. Вычислимость как стиль математических теорий / З. А. Кузичева, А. С. Кузичев // Стили в математике: социокультурная философия математики. — СПб. : Изд-во РХГИ, 1999. — С. 377390.

15. Матюшкин-Герке, А. А. О содержании и методике преподавания теории вероятностей и математической статистики (для технических специальностей) / А. А. Матюшкин-Герке // Методологические проблемы преподавания математики : сб. науч. тр. — М., 1987. — С. 53-62.

16. Перминов, В. Я. Деятельностная теория познания в философии арифметики / В. Я. Перминов // Число : сб. ст. — М., 2009. — С. 5-34.

17. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. Ч. 1 / Д. Т. Письменный. — М. : Айрис-пресс, 2004. — 288 с.

18. Позняк, Э. Г. Евклидова геометрия / Э. Г. Позняк // Большая советская энциклопедия : в 30 т. — М., 1972. — Т. 9. — 624 с.

19. Стройк, Д. Я. Краткий очерк истории математики / Д. Я. Стройк. — М. : Наука, 1990. — 256 с.

20. Фреге, Г. Основоположения арифметики / Г. Фреге. — Томск : Водолей, 2000. — 128 с.

Сведения об авторах

Арепьев Евгений Иванович — доктор философских наук, профессор кафедры философии, Курский государственный университет. Курск, Россия. arepiev@yandex.ru

Букин Дмитрий Николаевич — доктор философских наук, доцент кафедры социально-гуманитарных наук, филиал Московского энергетического института в г. Волжском. Волжский, Россия. hetfieldukin@mail.ru

Bulletin of Chelyabinsk State University. 2018. No. 11 (421). Philosophy Sciences. Iss. 50. Pp. 54-62.

PROSPECTS OF SCIENTIFIC COMPREHENSION OF "IMPOSSIBLE" IN THE CONTEXT OF NEXUS OF PHILOSOPHICAL CATEGORIES AND FUNDAMENTAL MATHEMATICAL CONCEPTS

E.I. Arepiev

Kursk State University, Kursk, Russia. arepiev@yandex.ru

D.N. Bukin

Moscow Power Engineering Institute, Branch in Volzhsky, Volzhsky, Russi. hetfieldukin@mail.ru

In the article interrelation and complementarity of a basic conceptual framework of mathematics and philosophical categories in the course of complete comprehension of the world reveals. On the example of intrinsic interpretation of a geometrical component of bases of mathematical knowledge the acceptability of the realistic version of the bases of mathematics is reasoned and also the functionality and efficiency of expanded interpretation of the reality assuming inclusion in it of all degrees of possible is shown. The prospects of intrinsic comprehension of "impossible" concepts which determination assume lack of the objects falling under them within modern science are considered. Also the question of existence of the objective mathematical truth, their realities and apriorities is brought up. On the one hand, this sphere of reality can be described as the static world of the ideas in which everything is reflected as mathematically possible. On the other hand, we can interpret this part of reality as dynamic object, and then it most appropriate will be to compare to the objective, driving ideological beginning of being at all.

Keywords: reality, opportunity, existence of mathematical objects and truth, orientation, final and infinite, discrete and continuous, "impossible" objects and concepts.

References

1. Alekseyeva E.E. Realizatsiya kreativnoy razvivayushchey funktsii obucheniya matematike v vuze [Realization of the creative developing function of training in mathematics in higher education institution]. Vestnik Rossiyskogo gosudarstvennogo universiteta imeni I. Kanta [Herald of the Russian State University named after I. Kant], 2010, iss. 5, pp. 79-82. (In Russ.).

2. Arepiev E.I. Domnozhestvennaya realisticheskaya interpretatsiya onto-gnoseologicheskikh osnov mate-matiki [Preset realistic interpretation of onto-gnoseological fundamentals of mathematics]. Voprosy filosofii [Questions of philosophy], 2010, no. 7, pp. 82-92. (In Russ.).

3. Arepiev E.I. O chyom govoryat aksiomy geometrii? [What do the geometry axioms tell about?]. Problemy onto-gnoseologicheskogo obosnovaniya matematicheskikh i estestvennykh nauk [Problems of onto-gnoseolog-ical foundation of mathematical and natural sciences. Iss. 6]. Kursk, 2014. Pp. 5-16. (In Russ.).

4. Arepiev E.I. Priroda chisel v svete rasshirennoy traktovki deystvitel'nosti [The nature of numbers in the light of expanded interpretation of reality]. Rossiyskiy gumanitarnyy zhurnal [Russian humanitarian journal], 2014, vol. 3, no. 4, pp. 229-236. (In Russ.).

5. Voronov M.V., Meshcheryakova G.P. Matematika dlya studentov gumanitarnykh fakul'tetov [Mathematics for students of humanitarian faculties]. Rostov on Don, 2002. 384 p. (In Russ.).

6. Gil'bert D. Osnovaniya geometrii [Geometry bases]. Moscow, Leningrad, 1948. 491 p. (In Russ.).

7. Dedekind R. Nepreryvnost' i irratsional'nyye chisla [Continuity and irrational numbers]. Odessa, 1923. 44 p. (In Russ.).

8. Dedekind R. Chto takoye chisla i dlya chego oni sluzhat? [What is numbers and what they serve for?]. Moscow, Izhevsk, 2015. 98 p. (In Russ.).

9. Dorofeyeva A.V. Matematika na filosofskom fakul'tete [Mathematics at philosophical faculty]. Filosofi-ya matematiki: aktual'nyye problemy. Matematika i real'nost' [Philosophy of mathematics: current problems. Mathematics and reality]. Moscow, 2003. Pp. 235-239. (In Russ.).

10. Zhukov N.I. Filosofskiye osnovaniya matematiki [Philosophical bases of mathematics]. Minsk, 1990. 110 p. (In Russ.).

11. Il'in V.A., Poznyak Eh.G. Analiticheskaya geometriya [Analytical geometry]. Moscow, 2004. 224 p. (In Russ.).

12. Kantor G. Trudy po teorii mnozhestv [Works according to the theory of sets]. Moscow, 1985. 430 p. (In Russ.).

13. Krutetskiy V.A. Psikhologiya matematicheskikh sposobnostey shkol 'nikov [Psychology of mathematical abilities of school students]. Moscow, 1968. 432 p. (In Russ.).

14. Kuzicheva Z.A., Kuzichev A.S. Vychislimost' kak stil' matematicheskikh teoriy [Calculability as a style of mathematical theories]. Stili v matematike: sotsiokul'turnayafilosofiya matematiki [Styles in mathematics: sociocultural philosophy of mathematics]. St. Petersburg, 1999. Pp. 377-390. (In Russ.).

15. Matyushkin-Gerke A.A. O soderzhanii i metodike prepodavaniya teorii veroyatnostey i matematiches-koy statistiki (dlya tekhnicheskikh spetsial'nostey) [About contents and a technique of probability theory and mathematical statistics teaching (for technical specialties)]. Metodologicheskiye problemy prepodavaniya matematiki [Methodological problems of mathematics teaching]. Moscow, 1987. Pp. 53-62. (In Russ.).

16. Perminov V.Ya. Deyatel'nostnaya teoriya poznaniya v filosofii arifmetiki [Activity theory of cognition in arithmetics philosophy]. Chislo [Number]. Moscow, 2009. Pp. 5-34. (In Russ.).

17. Pis'mennyy D.T. Konspekt lektsiy po vysshey matematike. Chast' 1 [Abstract of lectures on the higher mathematics. In 2 part. Part 1]. Moscow, 2004. 288 p. (In Russ.).

18. Poznyak Eh.G. Yevklidova geometriya [Euclidean geometry]. Bol'shaya sovetskaya ehntsiklopediya. Tom 9 [Big Soviet encyclopedia in 30 vol. Vol. 9]. Moscow, 1972. 624 p. (In Russ.).

19. Stroyk D.Ya. Kratkiy ocherk istorii matematiki [Epitome of history of mathematics]. Moscow, 1990. 256 p. (In Russ.).

20. Frege G. Osnovopolozheniya arifmetiki [Fundamentals of arithmetics]. Tomsk, 2000. 128 p. (In Russ.).