Тензорные аналогии сетевых моделей систем горной промышленности. Часть i

- © А.Е. Петров, 2014

УДК 338.26.015:658.5

А.Е. Петров

ТЕНЗОРНЫЕ АНАЛОГИИ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ГОРНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ. ЧАСТЬ I

Рассмотрено моделирование систем горной промышленности, основанное на тензорном методе двойственных сетей, используются аналогии с электрической цепью; применение показано на примере балансовых задач нефтепереработки и производства продуктов.

Ключевые слова: двойственные сети, аналогии процессов и структуры, тензорный анализ, сетевые модели систем, нефтепереработка, межотраслевой баланс.

Л ля представления систем различных предметных областей, например, горной промышленности, используются математические модели. Модель должна отражать те свойства, которые позволят провести исследование, расчет, проектирование на модели, а затем перенести результаты на состояние реальной системы.

Системы состоят из элементов, материю которых характеризуют свойства данной предметной области. Например, масса, вязкость, упругость, электрическое сопротивление или магнитная проницаемость, и т.д. Связи элементов между собой образуют структуру. При изменении связей меняется структура. Возникают новые

подсистемы, исчезают старые, возможны аварийные отключения некоторых элементов.

Когда на систему оказано воздействие, то в ней возникают процессы. В месторождении, например, это давление пластов, давление нагнетаемой жидкости, давление насосов, которые приводят к возникновению потоков, и обеспечивают извлечение полезных ископаемых. В открытых месторождениях это взрывные работы, механическая работа экскаваторов, гидравлическая работа струи размывающей жидкости, поток руды на транспортерах, самосвалах, трубопроводах. В электрической цепи источники напряжения и тока вызывают потоки

Рис. 1. Воздействия и отклики в месторождении углеводородов

электрической энергии, которые производят тепловые, световые и другие эффекты.

Воздействия и отклики, например, в месторождении углеводородов можно представить измеримыми величинами, которые при изменении конфигурации, структуры системы, меняются по разным законам.

Процессы и структура систем

В системе протекают процессы -потоки, характеризуемые откликами на приложенные к системе воздействия. Материя элементов оказывает сопротивление протеканию потоков, и это описывают уравнения поведения данной системы. При изменении структуры связей системы меняются уравнения поведения, характеристики отдельных элементов и системы в целом, что требует изменения расчета поведения системы.

В системе есть структура элементов, и есть процессы в виде потоков в структуре. Математические модели описывают либо процессы в виде уравнений поведения, либо структуру в виде графов, сетей, логических схем и т.д. Постоянное усложнение технических, экономических систем по числу элементов, количеству связей требует применения методов расчета, анализа систем с переменной структурой.

Тензорный метод позволяет рассматривать разные виды структуры системы как проекции обобщенной системы в разные системы координат.

Метод создания сетевых моделей предметных областей (а также целый ряд примеров) с использованием аналогий процессов и структуры, и расчета систем по частям под общим названием «диакоптика» разработал в 40-60-х гг. Г. Крон [4, 5]. Диакоптика включена в образовательный стандарт специальности САПР под названием «Моделирование больших систем на основе методов диакоптики».

Сеть - совокупность протяженных элементов, обладающих границами и ориентацией. Элементами сети могут быть отрезки линий (ветви), их границы точки (узлы). Элементами могут быть также поверхности, границами которых являются линии и точки; и т.д.

Пути играют роль координат в пространстве сети. Путь - это маршрут по ветвям сети; он задан узлом начала, узлом окончания и ветвями, через которые он проходит. Если начальный и конечный узлы пути совпадают, то путь замкнутый (контур), иначе - разомкнутый. Ориентацию пути определяет порядок прохождения ветвей от одной границы к другой. Ориентация пути и ветвей может совпадать или быть противоположной; т.е. ветвь входит в состав пути со знаком плюс или минус. При размыкании контура появляется разомкнутый путь; при замыкании разомкнутого пути появляется контур.

Вес ветви - метрическая характеристика ее «масштаба», по аналогии с массой, электрическим сопротивлением, теплоемкостью в физике или коэффициентом прямых затрат, ставками привлечения и размещения денежных средств в экономике и т.д. Вес ветви задается изначально и может быть целым числом, рациональным, действительным или комплексным числом, функцией. Эти величины определяют пропорции между воздействиями и откликами. Материя ветви преобразует воздействие в отклик. Если метрика единичная, то значения воздействия и отклика численно равны.

Сеть отличается от графа тем, что при изменении структуры меняется число узлов; но сеть определяется набором ветвей. При изменении числа узлов меняется число независимых контуров и разомкнутых путей. Т.е. меняется размерность соответствующих подпространств. Переход от одной сети к другой обеспечивают

матрицы преобразования путей, которые показывают, как изменился состав путей в новой сети. При этом воздействия, отклики, метрика получаются линейно, умножением на матрицы преобразования путей. Это соответствует преобразованиям геометрических объектов в тензорном анализе, отсюда название метода.

Отличие в том, что при изменении структуры меняется размерность подпространств замкнутых и разомкнутых путей. Тогда матрицы преобразования прямоугольные, т.е. не имеют обратных матриц, следовательно, эти матрицы не образуют группу. А в геометрии преобразования координат образуют группу. Кроме того, для получения тензорных формул преобразования напряжения и сопротивления, Крон принял постулат об инварианте мощности при соединении свободных ветвей в цепь. Мощность не остается постоянной при изменении соединений, что доказано в теории графов теоремой Волавера о не усилении мощности при изменении соединений в электрической цепи [6]. Согласно этой теореме, токи, которые являются откликами в электрической цепи, не превышают воздействия (по рассеиваемой ими мощности). Эти противоречия тензорного анализа сетей многие годы вызывали критику.

При этом метод дает правильные результаты.

Разрешение этого противоречия автор нашел в соответствии с принципами диалектики благодаря выходу в «другое измерение» [1, 3]. Противоречия разрешаются, если рассматривается не одна сеть, а две сети с двойственной структурой. Каждому разомкнутому пути в сети соответствует контур в двойственной сети, и наоборот.

Простейшая сеть состоит из одной ветви. Рассмотрим двойственность ветви. На рис. 2 представлена ветвь, которая состоит из двух частей - замкнутой и разомкнутой. Эти две части ветви расположены в двойственных подпространствах, ортогональных и дополняющих друг друга до полного пространства сети.

Все величины, индексы, относящиеся к двойственной сети, будем обозначать теми же буквами, что и в заданной сети, но с подчеркиванием.

Обозначим количество ветвей в сети через п, узлов - J, подсетей - э, независимых замкнутых путей - т, а разомкнутых путей - ] (ранг графа). Для каждой сети из ветвей эти пять параметров имеют значения, определяемые известными топологическими соотношениями:

] = J - 5,

Рис. 2. Двойственная структура одной ветви

Данная сеть

Рис. 3. Две двойственные сети из 6 ветвей

п = т + ).

Ветвь из двух двойственных частей в простейшем виде представляет преобразования структуры. Например, размыкание замкнутой линии в одной части приводит к замыканию разомкнутой линии в двойственной части ветви. И наоборот. Одна ветвь не может представить всю структуру связей с другими ветвями и преобразования, которые происходят в сети при изменении структуры. Для преобразования структуры минимальной ячейкой сети следует считать сеть из двух ветвей.

При соединении двух ветвей два узла из четырех сливаются в один. На один узел и на одну подсеть становится меньше. Если присоединять ветви одним узлом к узлам сети, то каждый раз на один узел станет меньше. Когда все свободные ветви подсоединены, то последующие соединения узлов создадут контуры вместо разомкнутых путей.

Процессы в сети представим как векторы (или другие объекты), которые воздействуют на сеть, т.е. наложены на нее извне. Источники воздействия могут располагаться как вне сети, так и внутри ветвей сети. Это соответствует аналогии с процессами и структурой реальных систем.

Сетевые модели. Сеть может применяться для моделирования слож-

ных технических, экономических, биологических систем. Для этого используют аналогии между математическими понятиями сети (ветви, структура, векторы) и физическими процессами в элементах реальных систем. Связи элементов системы могут изменяться. В элементах происходят физические процессы в виде потоков в структуре системы (например, потоков энергии или материальных потоков).

Задача расчета сети состоит в определении значений откликов на приложенные воздействия, а также изменения значений параметров потоков (процессов) при изменении структуры. Например, при соединении сложной системы из отдельных элементов, при разделении системы на элементы или подсистемы, состоящие из ряда элементов или отсоединении (выходе из строя) отдельных подсистем и т.д. Для повышения эффективности вычислений целесообразно результаты расчета одной из структур системы преобразовать тензорными формулами в результаты расчета для других структур, не делая весь расчет заново.

Пример двойственных сетей и матриц преобразования

В матрице преобразования двойственной сети замкнутые и разомкнутые пути меняются местами. Рассмотрим матрицы преобразования для сети и двойственной к ней сети, которые представлены на рис. 3. Здесь двойственная сеть представлена жирными линиями, а исходная - тонкими линиями.

Топологические параметры этих двойственных сетей одинаковые.

• В данной сети: п = 6, J = 4, Э = 1, ] = 3, т = 3.

а)

Рг

Р1

рЗ

С 0 = о '

р5 р6

1 -1 -1

-1 -1 -1

1 -1 -1

1

-1

1

т т т

) ) )

б)

Рис. 4. Выбор путей в исходной сети из 6 ветвей

• В двойственной сети: п = 6, й = 4, э = 1, j = 3, т = 3.

Ориентация ветвей в исходной сети дана на рис. 4. Взаимная ориентация ветвей в двойственных сетях задается еще до введения координат-путей. После этого в двойственной сети можно выбрать пути и получить матрицу преобразования путей.

Но можно поступить наоборот и использовать матрицу преобразования путей в двойственной сети. Она равна транспонированной матрице обратного преобразования путей в исходной сети, и ортогональна матрице преобразования путей от свободных ветвей к связанным ветвям в исходной сети. Ортогональность обеспечивает единственность, т.е. соединяя ветви в соответствии с составом ненулевых элементов в путях-столбцах матрицы преобразования можно построить структуру двойственной сети. Исходная сеть с выбранными замкнутыми и разомкнутыми путями, составляющими базисы соответствующих подпространств, представлена на рис. 4, б.

Матрица преобразования Сх0 путей свободных ветвей в пути связанных ветвей сети на рис. 4, б имеет вид (рис. 4, а).

Индексы справа показывают, какие пути являются замкнутыми, а какие разомкнутыми. Если выразим пути в сети свободных ветвей через пути базисов связанных ветвей, то получим матрицу обратного преобразования, которую обозначим Д0Х. При этом:

• Сх0 преобразует пути свободных ветвей в пути связанных ветвей;

• Д0Х преобразует пути связанных ветвей в пути свободных ветвей.

Оказалось, что матрица А0Х является матрицей преобразования базиса путей свободных ветвей в пути связанных ветвей двойственной сети С 0

—(Х

(рис. 5, а).

Сама двойственная сеть соответственно имеет вид (рис. 5, б).

Суть двойственности состоит в том, что она дополняет две части со свойствами противоположности до целого.

Изменения структуры двойственных сетей имеют следующие особенности. При разъединении одного узла на два в одной сети происходит слияние двух узлов в двойственной сети. При связывании замкнутых свободных ветвей в сеть часть контуров размыкается, в двойственной сети соединяются разомкнутые ветви и столько же разомкнутых путей замыкается. Если в одной сети происходит разъединение узла, связывающего ветви, и контур размыкается, то в двойственной сети происходит слияние узлов тех же ветвей, а соответствующий разомкнутый путь замыкается.

0

0

0

0

0

р

р

р

р

р

2

3

4

5

6

а)

С0 _ А° =

—а —0

Рз

£0 Рз° Ё4° £5° е*0

-1 -1 1

1 -1 1 1

-1 1

1 1 1 т

-1 1 -1 -1 т

1 -1 1 т

б)

&

Рис. 5. Выбор путей в двойственной сети из 6 ветвей

Инвариант двойственности структуры

Число вершин графа в сети меняется, но существует другой инвариант, который обеспечивает преобразования сети, как математического объекта. Он связывает матрицы преобразования путей в двух двойственных сетях и представляет собой фундаментальную закономерность. При единичной метрике инвариант связывает «матрицы решения», или метрические тензоры двойственных сетей, которые дополняют друг друга до «целого», до единичной матрицы: тС (тС( тС)-1 тС( +

+ тС

где тС - матрица преобразования контуров в данной сети; тС - матрица преобразования контуров в двойственной сети; I - единичная матрица.

В это выражение входят только матрицы преобразования, т.е. это свойство самих сетей, без метрики, без потоков, процессов.

Инвариант двойственности обеспечивает расчет при изменении струк-

туры сетей (соединении, разъединении, разделении на части или соединении из частей целого). Эта закономерность связывает процессы и структуру в сетях, сетевых моделях сложных систем в их взаимодействии и взаимном изменении.

Если ветвям приписаны веса (собственные и/или взаимные), которые отличаются от единиц, то их можно выразить матрицей 7 7 _ У1). Тогда инвариант двойственности примет вид:

В данном случае инвариант представляет связь формул расчета сетей.

Если на сеть оказано воздействие, то его компоненты принимают значения в базисе замкнутых (внутреннее воздействие) или разомкнутых (внешнее воздействие) путей. Тогда инвариант - это постоянство длины вектора: часть вектора в одной сети, часть в двойственной сети, но компоненты в двойственных связанных сетях в сумме дают компоненты полного вектора независимо от изменения соединений. Для вектора т6, заданного в замкнутых путях, формула преобразования компонент при изменении структуры имеет вид:

т^ а _ т^а + т^а _ (тС а) т^а +

0 с — с ^ а М

+

где т^са и т6са - компоненты вектора соответственно в данной сети и

двойственной сети. Для разомкнутых путей инвариант имеет такой же вид, а преобразования такой же смысл, но при двойственной замене величин.

Инвариант двойственности позволил построить алгоритмы расчета процессов сетей и сетевых моделей сложных технических, экономических систем с переменной структурой [1].

1. Петров А.Е. Тензорный метод двойственных сетей. - МГГУ, М.: Дополненное интернет-издание на сайте САПР МГГУ. - Режим доступа: http: //sapr. msmu. ru/lectmaterials/ tmdc.pdf, свободный, 2009.- 610 с.

2. Петров А.Е. Сетевые методы планирования производства: учебно-методическое пособие. - М.: МГГУ, 2010. - 148 с.

3. Петров А.Е. Тензорная методология в теории систем. - М.: Радио и связь, 1985. - 152 с.

Замыкаемые и разъединяемые пути составляют матрицу изменения путей -основу алгоритмов расчета при любых изменениях сетевой структуры (обобщенная диакоптика). Данный инвариант проявляется как закон сохранения потока энергии (постоянство мощности двойственных электрических цепях).

(Окончание в ГИАБ № 9).

_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

4. Крон Г. Исследование сложных систем по частям (диакоптика). - М.: Наука, 1972. -544 с.

5. Крон Г. Тензорный анализ сетей: Пер. с англ. / Под ред. Л.Т. Кузина, П.Г. Кузнецова. - М.: Сов. Радио, 1978. - 720 с.

6. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы: Пер. с англ. / Под ред. В.А. Горбатова. - М.: Мир, 1984. - 455 с. [ГШ

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ_

Петров Андрей Евгеньевич - доктор технических наук, профессор, e-mail: Helen_pet@mail.ru, МГИ НИТУ «МИСиС».

UDC 338.26.015:658.5

MINING INDUSTRY SYSTEMS NETWORK MODELS TENSORIAL ANALOGIES

Petrov A.E., Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: Helen_pet@mail.ru, Moscow Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS».

The article describes the mining industry systems modeling based on the tensor method of dual networks, provides the substantiation of this mechanism, gives an analogy with the electrical circuit; the use of this technology is illustrated on the examples of inter-branch balance economy.

Key words: dual network, structures and process analogies, tensor analysis, mining industry systems modeling, oil refining, inter-branch balance.

REFERENCES

1. Petrov A.E. Tenzornyj metod dvojstvennyh setej. MGGU, M.: Dopolnennoe internet-izdanie na sajte SAPR MGGU (Dual network tensor method. Moscow State Mining University, Moscow: Enlarged Internet Edition. Available on website of the Chair of Computer-Aided Design Engineering Systems of the Moscow State Mining University), available at: http://sapr.msmu.ru/lectmaterials/tmdc.pdf, 2009, 610 p.

2. Petrov A.E. Setevye metody planirovanija proizvodstva: uchebno-metodicheskoe posobie (Production network planning methods: guidance manual), Moscow, MGGU, 2010, 148 p.

3. Petrov A.E. Tenzornaja metodologija v teorii sistem (Tensor methodology in system theory), Moscow, Radio i svjaz', 1985, 152 p.

4. Kron G. Issledovanie slozhnyh sistem po chastjam (diakoptika) (Analysis of complex systems by piecemeals (diakoptics)), Moscow, Nauka, 1972, 544 p.

5. Kron G. Tenzornyj analiz setej. Per. s angl. Pod red. L.T. Kuzina, P.G. Kuznecova (Network tensor analysis, Kuzin L.T., Kuznecov P.G. (Eds.), English-Russian translation), Moscow, Sov. Radio, 1978, 720 p.

6. Svami M., Thulasiraman K. Grafy, seti i algoritmy. Per. s angl. Pod red. V.A. Gorbatova (Graphs, networks, algorithms, Gorbatov V.A. (Ed.), English-Russian translation), Moscow, Mir, 1984, 455 p.