Применение фильтров Савицкого-Голея для обработки вольтамперных характеристик зондов Ленгмюра

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 4. С. 72-76.

УДК 533.9.08

А.А. Ляхов, В.В. Шкуркин

ПРИМЕНЕНИЕ ФИЛЬТРОВ САВИЦКОГО-ГОЛЕЯ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ВОЛЬТАМПЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗОНДОВ ЛЕНГМЮРА

Рассмотрен вопрос об использовании дифференцирующих фильтров Савицкого-Голея для восстановления функции распределения электронов по энергии (ФРЭЭ) из вольтамперных характеристик (ВАХ) ленгмюровских зондов. На модельных зон-довых характеристиках исследуется точность восстановления ФРЭЭ с помощью данных фильтров. Проводится сравнение с результатами, полученными методом регуляризации А.Н. Тихонова. Обсуждается вопрос об определении потенциала пространства методом цифровой фильтрации.

Ключевые слова: электрические зонды, фильтры Савицкого-Голея, сглаживание данных, функция распределения электронов по энергии.

Введение

Среди различных способов контактной диагностики плазмы метод электрических зондов занимает особое место. Это практически единственный метод, который позволяет экспериментально определить локальную функцию распределения электронов по энергии (ФРЭЭ) в плазменном объеме. Особенно актуальным это является для газоразрядной плазмы пониженного давления, когда энергетическое распределение электронов в значительной степени отличается от равновесного. Развитие плазменных технологий делает этот способ востребованным не только при экспериментальном изучении отдельных плазменных сред, но и при изучении его как средства контроля в промышленных установках.

Обработка данных зондового эксперимента заключается в определении из вольтамперной характеристики (ВАХ) зонда концентраций заряженных частиц и энергетического распределения электронов. Связь между измеряемыми электрическими величинами и параметрами плазмы устанавливается на основе теорий электронного и ионного токов на зонд. Несмотря на идейную простоту самого метода, теория зондовой диагностики нетривиальна (особенно теория ионного тока). Различные аспекты зондовых измерений в плазме изложены в ряде монографий и обзоров, см., например, [1-5].

К настоящему времени на основании формулы Дрюйвестейна [1] предложены несколько аппаратных способов определения ФРЭЭ - модуляционные методы, метод дифференцирующих усилителей, и их разновидности [3]. Все они сводятся к нахождению второй производной зондо-вого тока.

Вместо аппаратных способов дифференцирования можно использовать алгоритмы численного (программного) нахождения второй производной по измеренной зондовой характеристике. Достоинством такого подхода является существенно более простая измерительная часть, которая в данном случае должна обеспечить только регистрацию ВАХ зонда.

Поскольку операция дифференцирования не точно заданных функций является некорректной задачей, то для восстановления ФРЭЭ из зон-довых характеристик используются специальные вычислительные методы. Один из них предполагает сведение задачи дифференцирования к эквивалентному интегральному уравнению, для решения которого применяются методы регуляризации (Тихонова, статистической и др.) В других методах используется определенная аппроксимация исходной функ-

© А.А. Ляхов, В.В. Шкуркин, 2012

ции, на основе которой находятся производные. К ним относится, в частности, метод цифровой фильтрации.

Кусочно-полиномиальные фильтры Са-вицкого-Голея [6] были предложены в 1964 г., и в настоящее время нашли широкое применение в оже-спектроскопии, рентгеновской спектроскопии, спектроскопии вторичных электронов для сглаживания зашумленных данных, выделения пиков спектров, а также для определения производных обрабатываемых спектров.

Одно из достоинств фильтров Савицко-го-Голея - простота. При известных коэффициентах фильтра результат получается через операцию свертки. Сами коэффициенты табулированы, могут быть вычислены по явным формулам или, в общем случае, по основному алгоритму метода (см. ниже). Свойства этих фильтров, разнообразные аспекты применения отражены в работах [6-8].

В данной работе рассматриваются возможности дифференцирующих фильтров Савицкого-Голея (СГ-фильтров) для восстановления ФРЭЭ их зондовых ВАХ.

Основы фильтров Савицкого-Голея

По существу фильтр Савицкого-Голея является развитием метода скользящего среднего. В нем вместо линейной аппроксимации в окрестности каждого измерения х.=х(Ь) по методу наименьших квадратов (МНК) строится аппроксимирующий полином 1-го порядка. Выборочное значение xi заменяется значением полинома у1 в этой точке:

у. = а0 + аЛ. + аЛ2 +... + аЛ1. .

^ I 0 1 I 2 I II

При этом на усредняющем интервале (окно сглаживания) используется по m соседних точек слева и справа от точки 1а.

Если исходные данные известны в равноотстоящих узлах с шагом А1, то выражение (1) можно записать в виде:

у< = Ъ + ъи + Ъ^2 +... + Ъо ,

так как замена % = Ь. + ]А% (/ = -т, -т+1,...,т-1, т) приводит просто к смене масштаба.

Фактически задача сводится к определению вектора коэффициентов Ъ={Ъо, Ъз,...,Ъг}. Для случая если погрешность одинакова для всех значений х. во всем интервале изменения аргумента, то коэффициенты фильтра Савицкого-Голея находятся по критерию минимума среднеквадратичной ошибки согласно выражению [6]:

Матрица А в (3) - матрица Вандермон-да размером (2т +1) х (I +1) .

Из (2) следует, что в центре окна ( = 0) сглаженное значение функции и её производных до 1-го порядка включительно, определяются коэффициентами полинома Ъп. Используя (3), можно найти Ъ п как ре-

зультат умножения п-ой строки матрицы -(АТА)-1АТ на вектор измерений х. Запишем выражение для сглаженного значения функции (п = 0) или её производных п-го порядка (п < I) в виде свертки:

У

,

0=0

= п!Ъ = п! V

П / /

здесь коэффициенты аь - компоненты п-ой строки матрицы -(АТА)-1АТ. Эти коэффициенты не зависят от результатов измерений, а определяются лишь порядком аппроксимирующего полинома I и шириной окна сглаживания т. Для малых порядков I коэффициенты вычисляются аналитически. Так при I = 2,3 имеем для п = 0 (обычное сглаживание):

а0 =

Щ2 - 5т

V0 :

V0 = т(т + 1)(4т2-1)(2т + 3) / 3 - общий

где

весовой множитель.

Для п=1 (первая производная):

О /

а\ = —, V = (2т + 1)(т + 1)т.

Для п=2

а2 =

V2

где V2 = т(2т + 3)(4т2 - 1)(т + 1)/30. Формулы, определяющие коэффициенты сглаживающих и дифференцирующих фильтров Савицкого-Голея при использовании аппроксимирующих полиномов более высоких степеней приведены в [7].

В общем случае коэффициенты фильтра определяются из системы (3), при решении которой применимы стандартные вычислительные процедуры линейной алгебры.

Использование фильтров Савицкого-Голея для обработки ВАХ зондов

Апробация алгоритмов дифференцирования зондовых характеристик часто проводится на тестовых функциях, которые имеют схожий с ними вид. Например, х)/2, ехр(-х2) и др. В нашем случае тестовая ВАХ составлялась из двух функций - одна аппроксимировала участок электронного отталкивания, другая - участок электронного насыщения. Такой вид ВАХ позволяет имитировать присутствие на кривой точки потенциала пространства и в большей степени приближен к задаче обработки экспериментальных характеристик. В реальных зондо-вых измерениях в формировании зондового тока при отрицательных потенциалах участвуют ионы. Присутствие ионного тока принципиально не изменяет методику дифференцирования, поэтому в этой работе он не учитывался. Вклад ионов может быть учтен при необходимости введением соответствующих корректирующих поправок [3].

Модельная ВАХ генерировалась на основе следующих соотношений для электронного тока на зонд:

/ =

Iо exp

T

i a

1 + -+

T

b(V - Vs)2 T2

(V - Vs > 0).

В (4) /о - электронный ток насыщения, ^ - потенциал пространства, Те - температура электронов. В таком виде участок ВАХ с отрицательными потенциалами зонда соответствует максвелловской ФРЭЭ. Константы а, Ь для участка насыщения электронного тока (У>Уу определяются исходя из условия гладкости ВАХ до 2-го порядка в точке V = ^5. Здесь п = 1, 2, 3 ... - знаменатель степени аппроксимирующей функции (далее в расчетах использовалось значение п = 4). К сшитой ВАХ добавлялся белый га-уссовский шум со значением о = 10-3 и нулевым средним.

Зондовые характеристики генерировались на равномерной сетке с числом узлов к = 350 в диапазоне напряжений -15 В ... +30 В относительно плавающего потенциала зонда. ВАХ обрабатывались с помощью дифференцирующего фильтра Савицкого-

Голея с аппроксимирующим полиномом второй степени.

На рис. 1 изображены зашумленные зондовые характеристики для Те = 3 эВ и ^^ = 15 эВ и их вторые производные, найденные с помощью СГ-фильтров порядка т = 19, 29, 41, 51. Вертикальной линией отмечено значение потенциала плазмы У^.

Видно, что увеличение порядка фильтра приводит, как и следует ожидать, к более гладкой второй производной. Однако при больших параметрах т наблюдается искажение вблизи потенциала пространства, вызванное растягиванием переходного участка. Этот факт хорошо известен для фильтров СГ в спектроскопии - при больших порядках фильтра сглаживание лучше, но при этом высота пиков уменьшается, а их ширина увеличивается. Иными словами, компромиссное значение параметра т должно обеспечить нужный уровень фильтрации высокочастотных шумов при сохранении тонкой структуры спектра. Для второй производной зондовой характеристики растяжение в области потенциала пространства по возможности должно быть сведено к минимуму, поскольку может приводить к значительному искажению ФРЭЭ в области малых энергий.

SG гп-29........ 1 ideal /!—

V 1 Ч Л, ДА / :

«V W t* т у vm Ц N>  \J

5 ю

V,voltS

а)

5 10

VrVQltS

0 08 0,07 0 ОС 0.05

0.04 Л

та

0.03 £

о.ог 0.01 о -0 01

SG m=41--- i Meal

С j\ í

i / У/ / У \

v.

5 10

V,volts

в)

ooe 05

0.07 04

o.oe 03

0.05

0.04 э xi л 02

00Í £ _a g '_ 0.1

003 0

0 0!

0 -0.1

-0.01 25 -02

6)

SG m=S1........ / / le ideal / —

/ 7\ /

.. j V

V;-

V, tT

0 05 0.04

0 03

-5 0 5 10 15 го

V, volts

Г)

Рис. 1. Модельная ВАХ электрического зонда Ie(V) с аддитивным белым гауссовским шумом (а = 10-3) и её вторая производная Ie'(V), полученная симметричным фильтром Савицкого-Голея с параметрами m

(полуширина окна); а) 19, б) 29, в) 41, г) 51

Полностью этот эффект неустраним, так как в процессе вычисления свертки вклад во вторую производную, соответствующую ФРЭЭ вблизи потенциала пространства, вносят значения ВАХ из участка электронного насыщения. Однако информация о ФРРЭ содержится только на участке электронного отталкивания.

Искажения такого рода в алгоритмах фильтрации можно снизить, используя специальные адаптивные методы сглаживания с переменой шириной окна. Из примера графика зондовой характеристики (рис. 1) видно, что на тех участках, где функция меняется медленно, влияние шума проявляется сильно и поэтому применимы широкие окна для фильтрации. В областях, где функция претерпевает сильные изменения - имеются пики, ступеньки и т. п., шум выражен слабее, и для сохранения структуры функции в этих областях целесообразно использовать узкие окна. Алгоритмы, в которых ширина окна динамически меняется в зависимости от вида кривой, предложены в [9].

На рис. 2 приведены ФРЭЭ К(е) для параметров фильтра т = 41, 51 (соответствующие рис. 1с, М), а также т = 65. Уши-рение переходного участка на второй производной ВАХ (см. рис. 1) приводит к тому, что ФРЭЭ в области малых энергий существенно занижается, в области средних энергий, наоборот, завышается.

Дополнительно на рис. 2 изображена ФРЭЭ, восстановленная из той же самой модельной ВАХ методом регуляризации Тихонова [10]. Использовался адаптированный алгоритм из [11] для решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Отметим хорошее качество восстановления ФРЭЭ по методу регуляризации Тихонова (см. рис. 2), который свободен от указанного выше недостатка, поскольку в нем задача восстановления изначально ставится на интервале формирования ФРЭЭ. Рис. 3 демонстрирует, что сопоставимый с регуляризацией Тихонова результат по методу фильтрации достигается только при уменьшении шумовой компоненты на 2 порядка по параметру о.

Однако применение методов регуляризации при обработке зондовых характеристик во многих случаях предполагает известным значение потенциала пространства

который является входным параметром для таких задач, и поэтому должен быть определен каким-либо независимым способом.

Важность вопроса нахождения потенциала пространства при обработке зондовых ВАХ диктуется, с одной стороны, тем, что все распределение электронов определяется относительно этого потенциала. С другой стороны, до сих пор нет однозначных и четких рекомендаций для его определения [2; 4].

На экспериментально полученных ВАХ локализация излома (определяющая положение Уу общеизвестными методами [2]

часто затруднена и сопровождается большими ошибками.

Рис. 2. ФРЭЭ восстановленные методом фильтрации СГ

(.(V

Рис. 3. Сравнение ФРЭЭ полученных при разных уровнях шума: а = 10-5

Распространенной является методика определения потенциала пространства по излому ВАХ (максимуму первой производной или нулю второй производной). Использование дифференцирующих фильтров Са-вицкого-Голея представляется наиболее простым решением в данном случае. При дифференцировании ВАХ с целью нахождения значения можно руководствоваться принципом поиска единственной точки и поэтому ограничиться фильтрами небольших порядков, которые минимально смещают её положение.

Ошибка определения потенциала пространства по нулю сглаженной второй производной для параметров рис. 1 составляет для т = 19, 29, 41, 51: 0,01 В (<0,1 %), 0,83 В (5,4 %), 1,17 В (7,6 %), 1,42 В (9,2 %) соответственно. Таким образом, несмотря на наличие больших осцилляций на второй производной зондового тока, положение нуля этой производной при небольших т определяется вполне точно.

Подводя итог можно отметить, что полиномиальные фильтры СГ позволяют прово-

дить, по крайней мере, предварительную обработку данных зондового эксперимента. При больших объемах выборки для ВАХ без особенностей подходящим выбором параметров фильтра можно выполнить сглаживание ВАХ. Также с их помощью можно оценить величину потенциала пространства.

Что же касается применения фильтров Савицкого-Голея для определения ФРЭЭ, то их возможности в этом смысле достаточно ограничены вследствие низкой помехоустойчивости. Однако использование автоматизированных схем сбора данных при зондовой диагностике, позволяющих увеличить отношение сигнал/шум, в определенной мере повышает точность восстановления ФРЭЭ данным методом. В качестве дополнительной возможности повышения точности может явиться также использование адаптивных алгоритмов фильтрации [9].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Каган Ю. М., Перель В. И. Зондовые методы исследования плазмы // УФН. Т. 81. С. 409452 (1963).

[2] Козлов О. В. Электрический зонд в плазме. М. : Атомиздат, 1969. 291 с.

[3] Иванов Ю. А., Лебедев Ю. А., Полак Л. С. Методы контактной диагностики в неравновесной плазмохимии. М. : Наука, 1981. 144 с.

[4] Иванов Ю. А., Полак Л. С. Энергетическое распределение электронов в низкотемпературной плазме // Химия плазмы. Вып. 2. М. : Атомиздат. 1975. С. 161-198.

[5] Demidov V. I., Ratynskaia S. V, Rypdal K. Electric probes for plasmas: the link between theory and instruments // Rev. Sci. Instrum. 2002. Vol. 73. Р. 3409-3439.

[6] Savitzky A., Golay M. J. Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures // Anal. Chem. 1964. Vol. 36. Р. 1627-1639.

[7] Madden H. Comments on the Savitzky-Golay convolution method for least squares fit smoothing and differentiation digital data // Anal. Chem. 1978. Vol. 50. Р. 1383-1386.

[8] Seah M. P., Dench W. A., Gale B., Groves T. E. Towards a single recommended optimal convolu-tional smoothing algorithm for electron and other spectroscopies // J. Phys. E. : Sci. Instrum. 1988. Vol. 21. Р. 351-363.

[9] Browne M., Mayer N., Cunmore T. A multiscale polynomial filter for adaptive smoothing. Digit. Signal Proc. 2007. Vol. 17. Р. 69-75.

[10] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М. : Наука, 1979. 288 с.

[11] Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М. : Наука, 1990. 232 с.