Аналитическое определение симметрии свойств квазикристаллов

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 81-88

Механика

УДК 539.3

Аналитическое определение симметрии свойств квазикристаллов *

Д. В. Христич

Аннотация. Рассматриваются термоупругие свойства квазикристаллов, обладающих поворотными осями 5-го, 7-го и более высоких порядков, не присущих кристаллическим телам. На основе группового анализа построены канонические представления тензоров второго и четвертого рангов, характеризующих свойства квазикристаллов.

Ключевые слова: квазикристаллы, термоупругость, анизотропия, свойства материалов.

Введение

В кристаллографии и теории анизотропной упругости известны различные подходы к представлению тензоров А и N в каноническом (простейшем) виде [1, 2]. Одним из возможных подходов является построение тензорных базисов, инвариантных относительно групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию физических свойств. В работах [3, 4] предложены инвариантные комбинации базисных тензоров, которые образуют каноническую структуру тензоров свойств материалов, относящихся к одной из семи кристаллографических систем. Метод построения таких комбинаций может быть применен для определения структуры тензоров А и N характеризующих свойства квазикристаллов.

1. Понятие о квазикристаллах

Многие деформируемые твёрдые тела имеют кристаллическую решетку, в узлах которой находятся атомы, ионы и молекулы. В идеальной кристаллической решётке может быть введена элементарная ячейка [1], определяющая расположение всех частиц в решётке. Вся кристаллическая решетка может быть получена посредством бесконечного числа трансляций (поступательных перемещений) элементарной ячейки в трёх направлениях, характерных для каждого кристалла. Каждая

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-97501-р_центр_а).

трансляция всей кристаллической решётки в одном из трёх направлений на расстояние, равное размеру элементарной ячейки в этом направлении, совмещает всю решетку саму с собой. Такое свойство кристаллов называется трансляционной симметрией [1].

Наряду с трансляционной симметрией кристаллы обладают поворотной симметрией — свойством совмещаться с самим собой при повороте на некоторый определённый угол вокруг оси симметрии. Каждая ось симметрии характеризуется порядком оси п. Ось п-го порядка — это ось поворота на угол, кратный 2п/п. Однако трансляционная симметрия кристаллов накладывает ограничения на значения порядков осей симметрии. Известно [1], что в кристаллах возможно наличие поворотных осей только 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков.

В настоящее время открыты материалы, которые не имеют периодической кристаллической структуры, но обладают дальним порядком апериодического типа. Такие материалы называются квазикристаллами. Квазикристаллы не обладают трансляционной симметрией, поэтому могут иметь поворотные оси симметрии 5, 7, 8, 10-го и более высоких порядков [5-7], недопустимые для периодически упорядоченных кристаллов.

Первый квазикристалл, открытый группой Д.Шехтмана и названный шехтманитом, имеет поворотную ось симметрии 5-го порядка. Шехтманит представляет собой металлический сплав А18бМп14, полученный быстрым охлаждением расплава со скоростью 106К/с. В работе [6], посвященной экспериментальному определению упругих свойств квазикристаллов, рассматриваются икосаэдрическая фаза А1-Мп-Рё, имеющая гранецентрированную икосаэдрическую решетку и обладающая высокой степенью структурного совершенства, и декагональная фаза А1-№-Со, упорядоченная периодически вдоль оси 10-го порядка и квазипериодическая в плоскости, перпендикулярной этой оси.

Целью настоящей работы является представление тензоров упругости квазикристаллов в каноническом виде, определение типа симметрии свойств, присущих квазикристаллам различных видов.

2. Общий подход к описанию симметрии свойств материалов

К наиболее общим случаям симметрии свойств относят наличие одной плоскости симметрии (моноклинный материал), трех плоскостей симметрии (ортотропный материал), наличие поворотной оси бесконечного порядка (трансверсально-изотропный материал). Кристаллы характеризуются также наличием поворотных осей 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков.

Введем систему декартовых координат так, что вектор е3 направлен вдоль главной поворотной оси симметрии (перпендикулярно плоскости симметрии), вектор е2 вдоль возможной боковой поворотной оси, а вектор е1 выберем таким образом, чтобы тройка векторов е1, е2, е3 была правой

и выполнялись условия е1  е? = 5г?, г] = 1, 2, 3. Выбранные таким образом векторы е1, е2, е3 определяют направление главных осей анизотропии [2]. Построим тензорный базис

I0 = ~^(ё1в1 + ё2ё2 + ё8ё8); I1 = -^(2ёвё8 - ё1ё1 - e2e2); \/3 V6

т3 1 f->1-й X -й->1\

I3 = —= (ё1ё2 + ё ё1) ^2

Iй = —.

I4 = —.(?¥’ + ё?); I5 = —— (в1?1 + ё3?1),

V2 ^2

который в дальнейшем будем называть каноническим. Подобным образом тензорные базисы вводились также в работах [2, 3, 4, 8].

Тензорный базис (2.1) удовлетворяет условию Iа  -Iе = 5ав, а, в = 0,1,..., 5, на его основе строится базис полусимметричных тензоров четвертого ранга

Iaß = 1

который также является ортонормированным.

При ортогональном преобразовании Р = д?ё'ё? базиса декартовой системы координат (ё^)' = ц?е? тензорные базисы (2.1) и (2.2) изменяются по законам

(I")' = maß Iß, (Iaß)' = шаё I&1 mßY,

где компоненты maß связаны с компонентами qij соотношениями

maß = ßß ßki qik qij.

Матрица ß для базисов (2.1) и (2.2) имеет вид [3]

(ß) =

( 1Д/3 -1/V6 1 /V2 о о о \

1/л/3 -1/л/6 -1/уД 0 0 0

1/л/3 2/л/6 0 0 0 0

0 0 0 1/уД 0 0

0 0 0 0 1/л/2 0

V 0 0 0 0 0 1 /—2 /

Любой симметричный (Ау = А^і) тензор второго ранга однозначно представляется разложением по базису (2.1) в виде

A = АаГ

где A = Aj^e и Аа = ßjAij, а полусимметричный (Njki = Njiki = =

= Nkuj) тензор четвертого ранга — по базису (2.2) в виде

N = Naß Iaß,

где N = Nijkieiejeke И Naß = ßa .

Если при некотором преобразовании Q системы координат для каких-либо базисных тензоров выполняются условия

то они называются инвариантными относительно преобразования Q.

В случае, когда Q входит в группу симметрии некоторого физического свойства, характеризующие это свойство тензоры содержат в своих разложениях (2.5) или (2.6) только инвариантные базисные тензоры.

В работах [3, 4] на основе известных порождающих элементов для различных групп ортогональных преобразований, характеризующих симметрию свойств материалов, относящихся к различным кристаллографическим системам, получены наборы базисных тензоров Iа, Iaß, инвариантных относительно этих преобразований и входящих в канонические представления тензоров A и N для кристаллических материалов. Такие физические свойства, как теплопроводность или температурное расширение, характеризуются тензорами второго ранга A, имеющими канонические представления для изотропного и кубического материалов

A = AoI0,

для гексагонального, тригонального и тетрагонального материалов

A = AoI0 + A1I1,

для ортотропного материала

A = AoI0 + A1I1 + A2I2.

Тензоры упругости или податливости представляются каноническими разложениями по базисным тензорам (2.2) для изотропного материала

N = N00100 + N11

для кубического материала

N = N00I00 + N11 (I11 + I22) + N33 (I33 +I44 + I55) , для гексагонального материала

N = N00I00 + n01I01 + N11I11 + N22

для тригонального материала

N = Жсо100 + N01101 + Жи1п + N22

для тетрагонального материала

N = N00100 + N01101 + N11^ + N22І22 + N33133 + N44 (I44 + I55) , для ромбического материала

N = N00100 + Щ^01 + N02!^ + N11^ +

+ВД12 + N22I22 + N33I33 + N44I44 + N55I55.

3. Квазикристаллы с одной поворотной осью

Рассмотрим квазикристалл, имеющий поворотную ось симметрии 5-го порядка и плоскость изотропии, перпендикулярную этой оси. Порождающим элементом группы симметрии такого квазикристалла является ортогональный тензор поворота

2п

2п

/ ->1 ->1 , -ö-ö\ ,  / -1-2 -2->1\ , -3-3

= cos — [в e +eej + sin — (e e — e e ) + e e .

cos 5 v„ „ , „ „ , , 5

В соответствии с соотношениями (2.4) матрицу maß в виде

/10 0 0

0 10 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

(m) =

для поворота (3.1) \

получаем

4п

cos 4П

4п

sin 4г-

4п

— sin 4г-

4п

cos 4г-

0

0

0

0

cos — sin

0

0

0

0

sin 2П cos

Инвариантными относительно рассматриваемого преобразования являются базисные тензоры второго ранга I0, I1 и тензоры четвертого ранга I00, I01, I11. Можно показать, что при повороте (3.1) инвариантными являются и линейные комбинации базисных тензоров I22 + I33, I44 + I55. Тогда канонические представления тензоров А и N для квазикристалла, имеющего поворотную ось пятого порядка, могут быть записаны в виде (2.9) и (2.11), что указывает на то, что в отношении термоупругих свойств рассматриваемый материал ведет себя как кристаллы, относящиеся к гексагональной сингонии, или трансверсально-изотропный материал.

Обобщим полученный результат на случай квазикристаллов, имеющих ось симметрии порядка п > 6 и перпендикулярную ей плоскость изотропии. Порождающим элементом группы симметрии такого материала является поворот

Q2n /-4-4 , -а-а\ i • 2п / -i -й 42^i\ , ss

1 = cos — (ее +ee) +sm — (ee -eel + ee,

n n

которому соответствует матрица преобразования базисных тензоров тар в виде

(mi) =

/ 1 0 0 1 00 00 00 00

0

0

cos — • —

Sln — 0 0

0

0

4п

— sin —

4п coS — 0 0

0

0

0

0

cos —

—п — sin —

n

0

0

0

0

sln —

cos —

n

\

/

Инвариантными относительно преобразования (3.3) являются те же базисные тензоры и их линейные комбинации, что и для квазикристалла с поворотной осью симметрии 5-го порядка: I0, I1 и I00, I01, I11, I22 + I33, I44 + + I55. Поэтому для квазикристаллов, имеющих поворотную ось симметрии порядка п > 6 и перпендикулярную ей плоскость изотропии, канонические представления тензоров А и N также имеют вид (2.9) и (2.11).

Полученный результат полностью подтверждается экспериментальными данными по определению упругих свойств декагональных квазикристаллов, приведенных в работе [6].

Таким образом, для квазикристаллов, имеющих поворотную ось симметрии порядка п > 4, тензоры четвёртого ранга имеют одинаковый вид, совпадающий с представлением тензора четвёртого ранга для трансверсально-изотропного материала. Механические эксперименты по исследованию начальных упругих свойств и определению структуры тензора упругости не позволяют отделить квазикристаллы от кристаллов гексагональной сингонии и трансверсально-изотропного материала.

4. Свойства икосаэдрических квазикристаллов

Симметрия икосаэдрических квазикристаллов характеризуется наличием пересекающихся поворотных осей пятого и третьего порядка и инверсии. Группа симметрии таких материалов совпадает с группой симметрии правильных многогранников — икосаэдра и додекаэдра. Для икосаэдра ось пятого порядка проходит через центр многогранника и его вершину, ось третьего порядка проходит через центр многогранника и центр грани.

Выберем в икосаэдре декартову прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. При этом базисный вектор е3 определяет направление поворотной оси симметрии пятого порядка, базисный вектор е1 лежит в плоскости, содержащей оси пятого и третьего порядков, базисный вектор е2 перпендикулярен этой плоскости. В этом случае порождающими элементами группы симметрии икосаэдрического квазикристалла являются

2п

повороты Р, определяемый выражением (3.1), и Р2 = К • К33 , где тензор

R33 = — 2 {elel + e2e2) + (e1^2 — e2«?1) + eeee

2 2

задает поворот на угол ЩП вокруг поворотной оси третьего порядка, а тензор

R = cos а (в1 в1 + e3 e3) + sin а (в1e3 — e3«?1) + e2e2

задает ориентацию оси третьего порядка относительно выбранной декартовой системы координат, причем угол а определяется из

геометрических соображений так, что cos а = \J , sin а = л /10-2^

15

15

Оси симметрии икосаэдра

Тензору Q2 соотношение (2.4) ставит в соответствие матрицу maß, которая имеет только одну (первую) строку (столбец), содержащую единицу и нули. В связи с этим при таком преобразовании инвариантными остаются только базисные тензоры I0 и I00, а также линейная комбинация тензоров I11 + I22 + I33 + I44 + I55. Тензоры A и N для материалов, обладающих икосаэдрической симметрией свойств, имеют канонические представления (2.8) и (2.10).

Таким образом, икосаэдрические квазикристаллы в отношении термоупругих свойств ведут себя как изотропные материалы. Этот вывод полностью соответствует опубликованному в статье [6] экспериментальному доказательству изотропии икосаэдрических квазикристаллов в отношении упругих свойств, полученному методами резонансной ультразвуковой спектроскопии.

Полученные результаты могут являться основой исследования упругих свойств графена с такими дефектами кристаллической решётки, как образование в ней пятиугольников и семиугольников с одновременным выпучиванием из плоскости, и, в частности, фуллерена Сбо.

Список литературы

1. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики:учебное пособие. М.: Наука, 979. 640 с.

2. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука, 1998. 192 с.

3. Соколова М.Ю. Структурные тензоры анизотропии в пространстве А.А.Ильюшина // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. С. 141-148.

4. Соколова М.Ю. Вариант термомеханических соотношений конечного деформирования анизотропных материалов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2002. Т. 8. Вып. 2. С. 139-145.

5. Гратиа Д. Квазикристаллы // Успехи физических наук. 1988. Т. 156, № 2. С. 348-364.

6. Черников М.А. Упругие свойства икосаэдрических и декагональных кристаллов // Успехи физических наук. 2005. Т. 175, № 4. С. 437-443.

7. Векилов Ю.Х., Черников М.А. Квазикристаллы // Успехи физических наук. 2010. Т. 180, № 6. С. 561-586.

8. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

Христич Дмитрий Викторович (dmitro@tula.net), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Analytic definition of quasicrystals properties symmetry

D.V. Khristich

Abstract. Thermoelastic properties of quasicrystals, which have rotation axes of 5th, 7th and more high orders not inherent in crystal solids are considered. On the basis of group analysis canonic presentations of tensors of second and fourth ranks, which describe quasicrystals properties are constructed.

Keywords: quasicrystals, thermoelasticity, anisotropy, material properties.

Khristich Dmitry (dmitro@tula.net), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 07.02.2012