О выборе оптимальной формы сверхзвукового летательного аппарата

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том XVIII 198 7

№ 1

УДК 629.782.015.3.025.1

О ВЫБОРЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ СВЕРХЗВУКОВОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

Г. И. Майкапар

С помощью волнолета, рассматриваемого как схематизированный летательный аппарат (ЛА), исследовано волновое сопротивление ЛА с заданными подъемной силой У и объемом V при различных связях. Форма, соответствующая минимальному волновому сопротивлению, зависит от

У1 У У У V „

безразмерных параметров — . • уЦз • ^ ^ ~ ШИРИ'

на, I— длина аппарата). Контур передней кромки особенно сильно влияет на волновое сопротивление при заданной длине. В случае заданных У, V, I, Ь контур передней кромки — трапеция, тем скорее переходящая в прямоугольник (прямой клин), чем больше безразмерный объем и чем меньше подъемная сила. Располагать объем над поверхностью с образующими, параллельными вектору скорости невозмущенного потока, проходящей через переднюю кромку, при заданных I, Ь, целесообразно только в том случае, если заданная подъемная сила меньше силы, соответствующей прямому клину.

Форма летательного аппарата (ЛА) должна выбираться из условия оптимального выполнения поставленной задачи, в которое входят различные характеристики ЛА на различных режимах его полета. В начале поиска оптимальной формы задача часто упрощается и в случае, например, ЛА, не использующих подъемную силу, ставится условие минимального сопротивления (или теплового потока) на основном режиме полета при заданных объеме, длине и максимальном поперечном размере, удлинении, относительном объеме У/53/2 (V — объем, 5 — характерная площадь) и т. д. В настоящее время имеется достаточно определенное представление об оптимальных формах ненесущих сверхзвуковых летательных аппаратов [1—3]. Значительно сложнее представляется выбор оптимальной формы летательного аппарата, использующего подъемную силу, так как если даже требования к аппарату можно свести к минимуму сопротивления на основном режиме полета, то добавляется условие заданной подъемной силы. Кроме того, часто увеличивается число дополнительных заданных параметров, в том числе учитывающих требования других режимов полета (объем или полезный объем, площади проекций, площадь крыла, основные размеры, положение центров тяжести и давления и пр.).

По сравнению с численными методами расчета аэродинамических характеристик* задача упрощается, если геометрическая схема аппарата определяется п параметрами, и аэродинамические характеристики могут быть представлены функциями этих параметров. Тогда если число заданных параметров N равно п, то форма аппарата и его аэродинамические характеристики определяются однозначно, если же п>Ы, то свободные геометрические параметры определяются из условия минимума сопротивления. Такой подход возможен, если в качестве схематизированного ЛА взять вол-нолет, поверхность которого образована плоскостями тока течений за плоскими скачками уплотнения и невозмущенного потока. В дальнейшем ограничимся анализом волнового сопротивления, на которое форма ЛА влияет больше всего; сопротивление трения, взаимодействие внешнего течения и пограничного слоя и сопротивление затупленных кромок могут быть учтены достаточно простыми формулами. Широкие возможности для выбора формы дает волнолет, наветренная поверхность которого является поверхностью тока за косым скачком уплотнения, а подветренная — поверхностью тока невозмущенного потока; геометрические параметры: длина /, ширина 2Ь, координаты угловых точек лгь х2, х3, ги показаны на рис. 1, восьмым параметром является угол б наклона потока за скачком. В волнолете такой формы для размещения заданного объема полностью используется пространство за наветренной стороной при нулевом волновом, сопротивлении подветренной стороны,

что при небольших б должно обеспечить близкое к максимально возможному аэродинамическое качество. Донное давление примем равным давлению невозмущенного потока.

Считая заданными объем V и подъемную силу У (отнесенную к скоростному напору), исследуем влияние геометрических параметров волнолета на волновое сопротивление при различных ограничениях. Рассмотрим сначала случай, когда форма проекции передней кромки волнолета на плоскость (х, г), х'(г'), х'==х/1, г' — г/Ь задана, и число

.* В предыдущих работах решались вариационные задачи о крыльях минимального сопротивления или максимального качества на основании формулы Ньютона для давления без выбора оптимального распределения заданного объема при заданной подъемой силе [4]. Но и при использовании формулы Ньютона для выбора параметров геометрическую схему ЛА необходимо задать.

Рис.

и

геометрических параметров п = 3. В этом случае объем и подъемная сила

1

У=ЫНшЫ2, У = 2Ыср ^, гV = / (1 -х'уёг', (1>

о

здесь сР — коэффициент давления; волновое сопротивление X

Если заданы только У и У (N = 2), то из (1) получаем

/ = 2 — — — , Ь = — (2>

У н 12В 4У 1\ <*

Для плоского скачка уплотнения при отношении теплоемкостей у=7/5:

с, = -1-4, ^ = 2«в(1-4-'1).

^г = |/‘-|-Д18е(2-44), А — 51л3в

з1п ;а = М

М — число Маха полета, 0 — угол наклона скачка.

Волновое сопротивление тем меньше, чем меньше угол 6, при стремлении б->- +0 величина У1/У остается конечной, Ь-*- + °о, площадь поверхности волнолета неограниченно возрастает и предел уменьшению 6 ставит сопротивление трения. Когда передняя кромка состоит из двух прямых (х1=х2=г1=г2=0, х3 — 1), то волнолет геометрически представляет собой пирамиду (см. рис. 5, бг=0, ф1=<р),

откуда

ЛИ- = —<3/5)3___. т

9^ ср1й ’ ср*80 Ч»3  (6/5 —- Д)2 Д

Максимуму аэродинамического качества соответствует точка касания кривых <р (б) (3) и постоянного качества при заданном числе Рейнольдса [5].

Если заданы три параметра (N==3), например, кроме V, У дополнительно задана длина I, то угол б определяется из условия

У1 и

2

~~ 2У ’ если задана ширина Ь, — то из условия

Если же заданы V, I, Ь, то подъемную силу уже задать нельзя, она определяется углом б

Если заданная подъемная сила У<2сРЬИ1, то часть объема должна располагаться «сверху» — над поверхностью тока невозмущенного потока, проходящей через переднюю кромку.

Если переднюю кромку можно выбирать и, например, форма ее определяется одним параметром, то п = 4, и при N — 3 выбор четвертого параметра можно использовать для уменьшения сопротивления. В качестве примера возьмем

тогда т= 1 будет соответствовать пирамида, а т = О— прямой клин с боковыми шайбами. Отношение сопротивления волнолета X с передней кромкой, определяемой параметром т, к сопротивлению пирамиды Х0 при заданных / или b показано на рис. 2. Это отношение почти не зависит от объема, заданного углом отклонения потока бо для пирамиды, и особенно резко уменьшается в случае / = const при переходе от клина к пирамиде. В случае b — const минимальное сопротивление имеет прямой клин. Если задано отношение %=Ь/1, то при этом

и для рассматриваемой формы ЛА волновое сопротивление минимально при т= 1/2, изменяется же оно с т слабо (см. рис. 2).

Если заданы четыре параметра (N=4): V, У, I, Ь, то угол 6 и показатель т определяются однозначно

tg2'3 6 л,/3 У2'3 21,

tg8

V

1, т = 2— — 1,

у

V

Х/Хо

М=10

1

г

т.

Рис. 2

Когда n = N — 3, то остается возможность выбора формы поперечного сечения; в [6] с этой целью при заданных V, У, I сравнивались пирамида и волнолет, представляющий собой сектор круглого конуса. Такое же сравнение при заданной ширине 2Ь показало (рис. 3, X — сопротивление сектора, .Хо — сопротивление пирамиды), что различие сопротивлений значительна меньше. Качественно оно такое же, как и при заданной длине: сегмент имеет меньшее сопротивление, чем пирамида при малых объемах (малых углах раствора конуса б и <р). Волнолет, наветренная сторона которого образована плоскостями тока за несколькими скачками уплотнения, в случае заданной ширины имеет большее волновое сопротивление, чем пирамида, наветренная сторона которой образована плоскостями тока за одним скачком уплотнения, так же как и в случае заданной длины [5].

Перейдем теперь к формам ЛА, задаваемым четырьмя и большим числом параметров, к числу которых принадлежат, в частности, «двусторонние» прямой клин и пирамида с расположением части объема «сверху» над поверхностью с образующей, параллельной вектору скорости невозмущенного потока, проходящей через переднюю кромку.

Для двустороннего клина

V = ЬГ- ^ 8, + tg 82), У = Ш (ср, - ср 2),

X=2Ы(cpitgЪi + cp2tgЪ2).

При равенстве объемов, подъемных сил и длин двустороннего и одностороннего клиньев

Ь == ь0, §2 = 0, 81 = 80> X = Х0, Ср = ср о,

ср 1 _ ср о 1 -}- ^ 81 с/)1 ч ср о

вл 1 — сра1ср1 ’ 1рГ tg 8о ’

Ср\>Срй, ,

следовательно,

X ___ tg 81 1 + СР 2 521ср 1 Ч?

*о *8 1 ср %1ср I

расположение объема сверху невыгодно. При заданных V, У, Ь,

ср г _ ср о 1/~1 + tg 8г/и? 51 СР1 ^ СР0 X > X

КйГ»1 1 — ср а1ср, ’ 5^ ’ 0

получаем тот же результат.

Рассмотрим теперь двустороннюю пирамиду (рис. 5; 02, 62 — углы наклона скачков и векторов скорости за ними на подветренной стороне). Для нее

V = -I- '8, Ъ У! ^5. + 1т ^1-а-Г].

У =/26,ср, (^х — Ср2),

& = / <Р! 0]; необходимый для расчета угол а определяется с по-

мощью зависимости вШа^-^у-соз?]. Сравнение двусторонней пирамиды с односторонней (62=0, Х~Х0) приводит к тому же выводу: при задании У, У и одного из размеров I, Ь (Ь}=3) расположение объема сверху приводит К увеличению ВОЛНОВОГО сопротивления.I

Когда заданы четыре параметра V, У, I, Ь, то углы 61, 62 определяются однозначно, и подъемная сила двусторонних клина и пирамиды будет меньше максимальной Ушах, соответствующей односторонним клину и пирамиде. Минимальное волновое сопротивление Хтш при задан-

га

Рис. 5

ных V, I, Ь будут иметь симметричные клин и пирамида (61 = 62, У=0). Соответствующие углы клиньев будут

а относительная подъемная сила, сопротивление и качество клина

У Ср1—Срі X + 2 К (Ср1 — С/>2)‘ё5тах

и от отношения Ь/1 не зависят. Результаты расчета приведены на рис. 4: относительное волновое сопротивление при УФО может значительно превосходить минимальное, от относительного объема оно зависит слабо. Аэродинамическое качество достигает максимума при У/Утах<1, когда часть объема расположена сверху. Для двусторонней пирамиды

2 8, = tg 8Шах 8ШІП,

тах

Ср тах

-^тіп сртіп^^тах 9 ^Стах ср 1 + Ср 2 52

1=3 8тах = З ^ 8Юі!

X

Ср 1 tg 8, + ср 2 tg 52/зіП (<?! — а) сРшах тах

тах

к

(ср і — 2) tg В]

тах

к,

тах

b i

на рис. 5 приведены результаты расчетов для Х== —= -3-, в общем сходные с полученными для клина.

Увеличим теперь число геометрических параметров до п —5 (zj = a, X2 — I, z2 — b, рис. 1), при этом

l/==J|L[a/

Считая заданными V, У, I, b, (N = 4) и исключая из (4) а, получим уравнение для определения угла б:

*L_(2_4_)J!_ + i _*L = 0. tgo \ I I Ср I

Производная 8 -ф 0 внутри промежутка 0<-у-<1, следовательно, минимум волнового сопротивления будет достигаться на краю промежутка ^=0. т. е. для трапециевидного в плане волно-лета.

Сравним при заданных V, Y, I, b две четырехпараметрические формы: трапециевидный волнолет и двустороннюю пирамиру, причем в качестве эталона используем опять одностороннюю пирамиду. Для трапециевидного волнолета

Л __ 1 /*§тах < ^ 41_ СР (1 | *8 ^тах ^

Ъ — 2 Hgft 1)> 2 V  tg 8 )

Зависимости alb и tg6/tg6max от У/УШаХ представлены на рис. 6. На эти относительные величины заданный объем (бтах) влияет сравнительно слабо, они сильно изменяются с изменением подъемной силы. Если заданная подъемная сила меньше соответствующей прямому одностороннему клину (а/Ь=1), то для ее получения нужен двусторонний клин. Волновое сопротивление трапециевидного волнолета X меньше, чем сопротивление двусторонней пирамиды Хй (рис. 7), следовательно, при

а/Ь

заданных Ь, I следует увеличивать объем за счет расширения передней части волнолета, оставляя «ненагруженной» подветренную сторону. Точками на рис. 7 показано отношение сопротивления прямого симметричного клина к сопротивлению пирамиды с равносторонним основанием.

Перейдем теперь к случаю п — 6: *1 = 0, г1 — а, х2 = с, = л:3==/,

остальные два параметра — Ь, 6. Объем и подъемная сила равны:

У=-^-1ас(3/ — с) + Ь(1 — с)* + У^ср\{Ь + с[)1-с(Ь-а)\.

Считая заданными V, У, I, Ь, (N=4) и исключая параметр с1, получим для определения б уравнение:

Зі/

в

: с' (1 + а') — 1 + (2 -От-. <*' = •

СР

Частные производные д^,Ь Ф 0, —4= 0, в промежутках 0<;а'-С1,

экстремальные величины 8 достигаются на краях промежутков, т. е. для передней кромки без излома (трапеция в плане). Когда задана только длина, излом передней кромки представляет возможность уменьшения волнового сопротивления [5].

В заключение рассмотрим упрощенную пятипараметрическую форму: хі — х2=а, Хі — 0, 22=с, Хз = 1. Обозначая для нее V' = У' ~ У

из (5) получим

а' = -±-[4у' — Зю' — 3±УЗ(2у' — Зг>'— 1) (2/ - V' — 3)],

Зу' — 2у' + 1 + УЗ (2уг —Зу' — 1) (2у'

3)

2

На плоскости (и', у') область допустимых значений 0<а'<1, 0<с'<1

ограничена прямой и'=у'/2, отрезком прямой V'-

(2у'—1) и пара-

болой и'=у'2/3; соответствующие этим границам величины а', с' показаны на рис. 8.

Когда а =0, с >0 и с =1, а а < 1, количество геометрических параметров п = 3 и все четыре условия (Ы — 4) не выполняются. Функция

V' (у') показана штриховой кривой на рис. 8, минимуму сопротивления (максимуму V') будет соответствовать точка пересечения ее с нижней границей, следовательно, оптимальной формой вообще будет трапециевидная в плане, в частности, пирамида (у'< 1) и клин (у' — 2).

Такой же результат получим, если задана площадь проекции вол-нолета на ось х, так как в этом случае зависимость г/ от у' линейная. Если же задана площадь проекции волнолета на ось у, т. е. величина у', то оптимальным будет прямой клин.

Когда задан объем центральной части волнолета («полезный» объем): v'в = Vrп/Ь/2tgб = a/, то область допустимых величин 0<с'<1 ограничена прямыми г>'п =у'/2 и у'—1. Результаты решения указанных выше задач будут аналогичны их решению в случае задания полного объема. Из проведенного анализа следует, что для сверхзвуковых ЛА, использующих подъемную силу, параметры формы, соответствующей минимальному волновому сопротивлению, зависят от безразмерных параметров У 1/У, У^ЬУ , У/У2/3, V/Ы2, У/Ы. Если кроме объема и подъемной силы задан один из размеров, то целесообразно весь объем располагать снизу. При задании обоих размеров для уменьшения волнового сопротивления объем следует увеличивать за счет расширения передней части аппарата. Расположение объема «сверху» целесообразно только, если заданная подъемная сила меньше соответствующей прямому одностороннему клину. Заметим, что волнолет — это схематизированный для расчета ЛА, действительная форма аппарата не должна иметь острые ребра, шайбы, но при больших числах М небольшое затупление кромок и удаление шайб не внесут существенного изменения в аэродинамические характеристики ЛА.

1. Ми еле А. Теория оптимальных аэродинамических форм. — М.: Мир, 1969.

2. Аэродинамические характеристики неосесимметричных тел при сверхзвуковых скоростях. — Труды ЦАГИ, вып. 841, 1961.

3. Майкапар Г. И. О волновом сопротивлении неосесимметричных тел в сверхзвуковом потоке. — ПММ, 1959, т. 23, вып. 2.

4. Пер м и н о в В. Д. Крыло с оптимальными характеристиками в гиперзвуковом потоке. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 6.

5. М а й к а п а р Г. И., П я т н о в а А. И. Выбор основных параметров крыла с Л-образным поперечным сечением.— Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 2.

6. Майкапар Г. И. Сравнение волнолетов различной формы. — Ученые записки ЦАГИ, 1985, т. 16, № 4.

монотонно возрастающая, при заданных Ь, I зависимость

ЛИТЕРАТУРА

Рукопись поступила 26III 1986 г.