Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости

УДК 539.3

Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости

С.О. Саркисян

Гюмрийский государственный педагогический институт, Гюмри, 377501, Армения

В зависимости от значений физических безразмерные параметров материала построены прикладные одномерные теории микрополярных тонких балок со свободным вращением, со стесненным вращением и теории «с малой сдвиговой жесткостью». Ключевые слова: прикладные теории балок, несимметричная упругость

Applied one-dimensional theories of bars on the basis of the asymmetric theory of elasticity

S.H. Sargsyan Gyumri State Pedagogical Institute, Gyumri, 377501, Armenia

Depending on physical dimensionless parameters of the material we develop one-dimensional applied theories of micropolar thin bars with free and constraint rotation and theories with “low shear rigidity”.

Keywords: applied theories of bars, asymmetric elasticity

1. Введение

Большинство современных материалов относятся к классу сред со структурой. В монографии [1] показано, что микрополярная несимметричная моментная теория — это строгий математический аппарат полевых уравнений как для упругих сред со структурой, так и в случае континуального описания дефектов. В работе [2] обсуждаются современные проблемы структурной механики в целом. В работах [3-5] показано, что если учесть на микро- и наноуровнях моментное взаимодействие между частицами тел (или его структурными элементами), то на макроуровне получаются известные уравнения несимметричной теории упругости (среды Коссера). В настоящее время несимметричная теория упругости бурно развивается как в теоретическом, так и в прикладном направлениях [6-16].

Одним из актуальных вопросов несимметричной теории упругости является построение прикладных теорий тонких балок, пластин и оболочек [17-26].

В работах [27-30] на основе асимптотического метода с пограничным слоем в зависимости от значений безразмерных физических параметров материала построены общие статические и динамические теории микрополярных пластин и оболочек с независимыми полями перемещений и вращений, со стесненным вращением и теории «с малой сдвиговой жесткостью».

В данной работе развивается асимптотический подход работ [27-3 0] и на основе граничной задачи плоской несимметричной теории упругости в тонкой прямоугольной области в зависимости от значений безразмерных физических параметров построены одномерные статические теории изгиба микрополярных тонких балок со свободным вращением, со стесненным вращением и теории «с малой сдвиговой жесткостью». Рассмотрены конкретные задачи статического изгиба мик-рополярной балки на двух опорах под действием равномерно распределенной нормальной к оси балки силовой нагрузки. Обсуждены роль и особенности построенных

© Саркисян С.О., 2008

прикладных одномерных теорий микрополярных балок, выявлено влияние микрополярного материала балки на его прочностные и жесткостные характеристики.

2. Постановка задачи обобщенного плоского напряженного состояния несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений

Рассмотрим изотропный параллелепипед постоянной высоты 2h, длины а и постоянной толщины 2й1. Координатную плоскость Ох1 х2 разместим в срединной плоскости параллелепипеда, которая разделит толщину 2Н1 на две равные части. Ось Ох2 направим по высоте параллелепипеда, ось Ох1 — по длине параллелепипеда, так что она делит высоту 2h пополам. Будем считать, что в параллелепипеде по направлению оси Ох3 (по направлению толщины 2Н1) осуществляется обобщенное плоское напряженное состояние [27, 30, 31] и задача определения напряженно-деформированного состояния сводится к рассмотрению в срединной плоскости параллелепипеда Ох1 х2, т.е. к изучению задачи в прямоугольнике (0 < х1 < а, - Н < х2 < Н). Для дальнейшего рассмотрения примем, что 2Н1 = 1. Будем исходить из основных уравнений статической задачи обобщенного плоского напряженного состояния несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [27, 30, 31]:

- уравнения равновесия:

= 0,

д 1 + да21

1дх дх2

д 12 + да22

1дх дх2

дц13 + дц23

дх1 дх2

= 0,

+ а12 - а21 - °>

- физические соотношения:

а11 =-Ет (^11 + ^22 )’

1 -V 2

Е / ч

а22 = "-2 (У22 + ПпХ

1 -V 2

СТ12 = (ц+а) У12 + (ц-а)у 21, а 21 = (ц+а) у 21 + (ц-а)уп,

ц13 = Вх13 , ц 23 = Вх 23 ,

либо в обратной форме:

1 . ч 1 . ч

У11 = —(ап ^а22), у22 = — (а22 ^апХ

ц + а

У12 = “ а

4ца

ц+а

У 21 = “-------а

4ца

12

21

ц-а

4ца

ц-а

4ца

а

21 ,

а

12,

геометрические соотношения: дм.

дм, ди2

У11 = ^А У 22 =Ч-2

дх1 дх

У12 =

Х13 =

дм 2

дх1

дю3

дх1

--Ю

3,

У 21 =

дм1

дх2

3,

', X23 =

д(М3

дх

Здесь а11, а12, а21, а22 — силовые напряжения; ц13, Ц23 — моментные напряжения; м1, м2 — линейные перемещения; ю3 — независимый поворот точек прямоугольника вокруг оси х3; Е, V, ц = Е/(2(1 + V)), а, В = = 4уе/(у + е), у, е — упругие константы материала рассматриваемого тела (в данном случае имеем четыре независимые упругие постоянные E, ц, а, B или E, V, а, B).

На сторонах прямоугольника Х2 = ±Н считаются заданными силовые и моментные граничные условия:

21

= ±X±, а22 =±Y±, ц23 =±М2

На боковых кромках прямоугольника х1 = 0 и

х1 = а примем следующие варианты граничных условий несимметричной теории упругости:

а11 =Ф1

(задача 1),

а11 =Ф1

м1 = 0, м2 = 0, ю3 = 0

Решение поставленной краевой задачи в прямоугольной области складывается из суммы решений симметричной по х2 (растяжение-сжатие) и обратно-симметричной задач (изгиб). В симметричной задаче четными по х2 величинами будут а11, а22, ц23, м1, нечетными — а12, а21, м2, ц13, ю3, в обратно-симметричной задаче — наоборот. В дальнейшем будем рассматривать задачу изгиба.

Предполагается, что высота прямоугольника мала по сравнению с его длиной, т.е. 2К << а, 8 = Ка << 1 — основной малый геометрический параметр задачи.

Исходные уравнения и граничные условия (1)-(8) плоской несимметричной теории упругости не содержат малого параметра 8, но при введении надлежащих масштабов для координат эти уравнения принимают форму, в которой малый параметр будет стоять перед некоторыми производными. Поэтому излагаемый метод решения статической задачи микрополярного упругого тонкого прямоугольника будет относится к категории методов сингулярных возмущений.

Придерживаясь основополагающего принципа асимптотического метода интегрирования сингулярно-вырождающихся систем дифференциальных уравнений [32-39], в основу рассуждений будет положено свойство напряженно-деформированных состояний, испытывающих статические воздействия, выражаемое структурной формулой

В этом равенстве краевое напряженно-деформированное состояние (НДС) прямоугольника возникает вблизи боковых граней прямоугольника х1 = 0, х1 = а и быстро (экспоненциально) затухает при удалении от них вглубь двумерной области прямоугольника. Что касается внутреннего напряженно-деформированного состояния, то оно в каждом асимптотическом приближении будет описываться дифференциальными уравнениями меньшей размерности (в данном случае обыкновенными дифференциальными уравнениями).

При определении внутреннего и краевого напряженно-деформированного состояния в прямоугольнике большую роль играют значения физических констант микрополярного материала прямоугольника. С этой точки зрения введем следующие безразмерные физические параметры:

- и

ц ца

во второй параметр входит масштабный фактор а.

3. Прикладная одномерная теория микрополярных тонких балок со свободным вращением

В уравнениях (1)-(4) плоской задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений перейдем к безразмерной системе координат и к безразмерным величинам по формулам:

^ = —1 Z = —2

a h

_ u, _ a,j

u, =-L, a,, = -j-

- Ц,3

Ц,3 = —. ац

ац

В итоге получим сингулярно-возмущенную с малым параметром 8 краевую задачу, решение которой складывается из суммы внутренней задачи (прикладной одномерной теории) и задач пограничного слоя (около боковых граней прямоугольника х1 = 0, х1 = а).

Решение внутренней задачи представим в виде асимптотического разложения

Q = 8-“ £ 8sQ

5=0

где Q — напряжения (силовые и моментные), перемещения и поворот; q — натуральное число, которое для различных величин разное и определяется из условия получения непротиворечивой рекуррентной системы уравнений в приближениях.

Для безразмерных физических параметров (10) примем значения:

ц

в

а2ц

1.

В этом случае при изучении задачи изгиба в выражении (13) будем иметь:

q =

0 ДЛЯ а11, a22> u1> ц23>

l^1 ДЛЯ СТ21, СТ12, u2, М-13> ^3*

Отметим, что уравнения граничной задачи (1)-(5) в асимптотических приближениях s легко интегрируются по координате Z- В итоге для описания внутреннего напряженно-деформированного состояния остается выяснить роль переменной задающей положение точки на средней линии прямоугольника.

С этой точки зрения целесообразно ввести вместо силовых и моментных напряжений статически им эквивалентные по высоте прямоугольника усилия, моменты и гипермоменты:

h h

N12 = }a12d—2> N21 = }a21dx2>

-h -h

hh

L13 = }ц13^—2, M11 = Ja11x2dx2,

-h -h

hh

M 22 = J a22 x2dx2, Л 23 = J ц23 x2dx2--h -h

Отметим, что на уровне асимптотического приближения s внутренний итерационный процесс приводится к одномерной системе дифференциальных уравнений относительно величин N^f, N21, L^, Г^, k^, W(s), Q(s). Важная сторона построенной асимптотики внутренней задачи состоит в том, что асимптотические приближения перемещения W(s) точек средней линии прямоугольника и повороты этих точек Q(s) вокруг оси х3, начиная с исходного приближения (s = 0), не связаны между собой. В связи с этим получаемую одномерную теорию при s = 0 на основе внутренней задачи будем называть теорией с независимыми полями перемещений и вращений.

Особо важное значение имеют результаты внутренней задачи в исходном асимптотическом приближении (при s = 0). Построение исходного приближения внутренней задачи будет идентично построению прикладной одномерной теории микрополярных балок с независимыми полями перемещений и вращений.

Приведем определяющую систему уравнений для исходного приближения внутренней задачи, т.е. для прикладной одномерной теории изгиба микрополярных тонких балок с независимыми полями перемещений и вращений:

- уравнения равновесия:

dN,

12

dx1

dL13

dx1

= -(7 ++ 7 -),

+ N12 - N21 = -(M ++ M-),

- физические соотношения:

4ца ^ ц-а N12 = 2h Г12 + N21 ,

ц + а L13 = 2hBk13,

ц+ а

- геометрические соотношения:

г _ dw _

М2 _^ к13 _

ёх1 ёх1

где Ы21 _ Л(X + — X-).

Систему уравнений (17) - (19) можно привести к одному разрешающему уравнению относительно прогиба W:

2Bh

ах*

(

_- X + -

ёх1

У + В

ц+а ах 4ца ёх1

Л

^ dW ц + а

& _-------+— х

ёх1 4ца

х

.d3W

1

(

В—т~ — —

ёх1 2h

У + В

ц+а ах 4ца ёх1

где 2Bh — жесткость микрополярной балки с независимыми полями перемещений и вращений;

X = -

У _—(м ++ М—) +

ц+а 2а

ёх1

h( X + — X—).

ц + а

Если будем решать систему уравнений (17)-(19) (или уравнение (20)) изгиба микрополярной балки с независимыми полями перемещений и вращений, то расчетные величины в области прямоугольника будут определяться по формулам для силовых и моментных напряжений, вертикального перемещения и независимого поворота:

1 „ 1 „ 3 _

2Н

~2к

где

м 11 _ —

+ V

-N12 , а21

'Аз , и 2 _

2 Eh3 а

3 ёх1

2Н

ц —а

ц+а

Г12 +&—

2Н3

X +— X— 2

h

Обратимся к изучению краевых упругих явлений с использованием несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений в тонком прямоугольнике. Краем прямоугольника, вблизи которого будем исследовать напряженное состояние пограничного слоя, пусть будет сторона прямоугольника х1 = 0.

Введем в уравнения плоской задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений (1) - (4) преобразования растяжения

г _ х1, С_ — ^ h

и перейдем к безразмерным величинам по формулам (12).

Решение преобразованной таким образом системы отыщем в виде асимптотического разложения:

R _ +sRм,

*_0

где R — любая из величин рассматриваемой задачи. Так как силовые и моментные неоднородные граничные условия (5), заданные на сторонах прямоугольника С = = ± 1, соответствовали решениям внутренней задачи, то решение (24) должно удовлетворять однородным граничным условиям:

°21 = °22 = 0 > ^23 = 0 при С = ±1.

После подстановки (24) в преобразованную систему уравнений (1)-(4) с учетом (14) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра 8 в правых и левых частях, начиная с наименьшей, получим непротиворечивую систему рекуррентных уравнений относительно величин Я , если

Ъ =8*28^ (/, ] = 1,2),

*_0

*_0

ц-3 _8Х£8^) (І _ 1,2), 3 _8Х+1 Е8

*

3,

*_0

*_0

где целое число х характеризует интенсивность пограничного слоя.

Полученную систему уравнений в асимптотических приближениях ^ можно представить в следующем виде:

11 Эг +—— _ ЭС

Э^) 1

Эг 2

Э^ я) ЭС _ 1 4 а(*) °12

э^) 1

ЭС 2

Э Э ) =1 =4 а(і) °12

Эц1(3) Эц + — С*) 23 _

22

дг

эс

_ 0,

(ап) —уа22)) ,

+а

—-

а

— ю

,

-(а22) —

'+*« + ^

а

+ ю

,

Эг

ЭС

21

12 ,

Эю

Эю3*) а“д_

—— _—— ц1(3), —— _—— ц23) • Эг В Из ЭС В ^23

Отметим, что при любом ^ решения погранслойных уравнений (27), (28) обладают некоторыми важными свойствами, которые можно получить непосредственно из указанных уравнений, если к ним применить следующие интегральные операторы:

1 ^ 1 ^ 1 ^

/ас//сас//а;/ш.

+

+

В итоге будем иметь следующие интегральные соотношения, которые иначе называют условиями затухания решения задачи пограничного слоя (ниже приводятся условия затухания в случае задачи изгиба):

= 0)ёС = 0,

-1

/-«(г = 0)ёС = / ас/(

о:*-1) -а(^-1>

12

21

-1

-1 0

1 2 ^ 1

/ Щ3*)

-1 В 0 -1

/ са* (г = 0)ШС+— / ^(г = 0)ШС =

-1 - - а -1

/ ШС/ю3*-1)Шг.

--а-1

Интегральные соотношения (29) в дальнейшем будут играть большую роль при сращивании асимптотических разложений решений внутренней задачи и задачи пограничного слоя с целью разделения общих граничных условий (6)-(8) на кромках прямоугольника х1 = 0, х1 = а между внутренней задачей (прикладной одномерной теории) и задачей пограничного слоя (27), (28).

Система уравнений пограничного слоя (27), (28) при 5 = 0 распадается на две группы независимых систем уравнений. Затухающие при г решения систем уравнений, удовлетворяющих однородным граничным условиям (25) на С = ±1, будем называть функциями типа пограничных слоев. Затухающие решения каждой из задач пограничного слоя при 5 = 0 можем найти методом разделения переменных. Далее доказано свойство обобщенной ортогональности функций пограничных слоев:

1

Г

/ (а11т V1n а12п ^2т )Ш^ = 0 (Лп т ).

-1

Напомним, что выше было описано явление пограничного слоя вблизи х1 = 0. Пограничный слой вблизи противоположного торца х1 = а строится аналогичным образом. Если отсчет вести от торца х1 = 0, данные для пограничного слоя около торца х1 = а можем получить из изложенного выше формальной заменой t на г1 = = (а - х1)1 h.

Таким образом, построили два типа решений: решение внутренней задачи и решения для пограничных слоев. Их сумма

I = Q + Я + ЯР2)

является решением исходной сингулярно-возмущенной краевой задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений для тонкой прямоугольной области. Здесь Q — решение внутренней задачи; Яр1, Я^2) — решения задачи погра-

ничных слоев, построенные соответственно вблизи х1 = 0 и х1 = а.

Перейдем к изучению проблемы разделения двумерных граничных условий (6)-(8) несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений на граничных кромках прямоугольника х1 = 0 и х1 = а, в рамках которого необходимо выяснить вопрос о том, какие граничные условия надо приписывать к внутренним (к прикладной теории) и какие — к дифференциальным уравнениям пограничного слоя. Для удовлетворения граничных условий (6)-(8) на кромке х1 = 0 прямоугольника рассмотрим первую краевую задачу (6).

Подставляя (30) в (6) и учитывая (13) и (26), а также то, что при х1 = 0 проявляет себя (т.е. продольный размер а прямоугольника таков, что влиянием пограничного слоя ЛР2) при х1 = а на торце х1 = 0 можно пренебречь), выбирая Х = -1 (для получения непротиворечивого итерационного процесса удовлетворения граничным условиям), при 5 = 0 будем иметь: ап(0) =п аВН(0) + оп(0) =

-41

= 0, а™

где ф2 = 8- -ф2, ф3 = 8- а-ф3.

Здесь для величин погранслоев, принимая условия затухания (29), приходим к граничным условиям прикладной одномерной теории:

к к

^12 |Х[=0 = /ф2Шх2, ^3 |Х[=0 = /ф3Шх2.

-к -к

Таким образом, система уравнений (17)—(19) (или (20), (21)) и граничные условия (32) определяют математическую модель (прикладную одномерную теорию) микрополярной упругой тонкой балки со свободным вращением (в случае ее изгиба).

Отметим, что при рассмотрении граничных условий (7) и (8) на кромке прямоугольника х1 = 0 для прикладной одномерной теории микрополярной упругой тонкой балки со свободным вращением аналогичным образом получим соответствующие граничные условия.

При граничных условиях

1х, =0

0, х1 =0 = /ф3Шх2-

-к

При граничных условиях

= °, Щ х,.0 = 0

Имея ввиду (32) (или (33), (34)), из (31) получим краевые условия для микрополярных пограничных слоев (27), (28) при 5 = 0.

4. Прикладная одномерная теория микрополярных тонких балок со стесненным вращением

Теперь будем полагать, что безразмерные физические параметры (10) имеют следующие значения: а , В „2

-

1,

а-

• 8 В», где В* ~ 1.

Рассмотрим задачу изгиба.

Для построения внутренней задачи в выражении (13) для q получим:

0 ДЛЯ a22, ц23 ,

1 ДЛЯ а21, а12 , ц13 ,

2 ДЛЯ а11, u1,

3 ДЛЯ и2, Юз •

Особенностью этой асимптотики является то, что на средней линии балки нормальное перемещение (прогиб) и повороты взаимосвязаны, как в классической теории упругих тонких балок. В связи с этим получаемую одномерную теорию при ^ = 0 на основе внутренней задачи будем называть теорией со стесненным вращением.

В итоге как важный результат приведем разрешающую систему одномерных уравнений изгиба микропо-лярных упругих тонких балок со стесненным вращением:

- уравнения равновесия

—— _—(У + + у—), ах1

ам

11

d—1

— N 21 _— к( X +— X -),

13 + N12 — N 21 _ —(М ++ М ), - физические соотношения

м 11 _

2 ЕГ

K11, Ц13 _ 2 ВкК^

геометрические соотношения

К11 _

ав _ &_ — Р_ 6Ж

а*/ 13 а*1 ’ h а*

К разрешающей системе уравнений (37)-(39) необходимо добавить краевые условия в граничных точках х1 = 0, х1 = а (эти граничные условия получены ниже).

Уравнения (37)-(39) можно привести к следующему разрешающему уравнению относительно прогиба Ж (Х1):

( 2 Ек3

Л

+ 2 Вк

V 2у V _

_

а*

Если обозначить

D _

2Ек

+ 2Вк, D_

2Ек

тогда D* представляет собой жесткость микрополярной балки со стесненным вращением; D—жесткость балки по классической теории.

Еще одна особенность асимптотики (36) состоит в том, что для определения моментного напряжения - 23 получаются отдельное дифференциальное уравнение

второго порядка типа обыкновенного (относительно координаты С, в котором координата х1 выступает как параметр) и соответствующие граничные условия:

Э 2 й

— к2 ц23) _С^(*1),

ЭС2

ц23) (С _ ±1) _±М ±, М ±ац_ М ±.

Здесь

Р (*1) _-

1

(

ц+а

Е — 2а

Л

а а*13

к_

4а 1

4ца к

ц + а В» у ц + а В

Если нам будет известно решение разрешающей системы уравнений (37)-(39) (или уравнения (40)), то расчетные величины в области прямоугольника определятся следующими формулами:

и2 _ V, ю3 _ &, и1 _ — в, к

3 1

Стц _ Т" *2М її, Д13 _ Цг 3 •

11 2к3 2 11 13 2к 13

Обратимся к изучению краевых микрополярных упругих явлений в случае (35). Для этой цели снова введем в уравнения исходной двумерной задачи (1) - (4) преобразования растяжения и перейдем к безразмерным величинам по формулам (12).

Решение преобразованной таким образом системы уравнений отыщем в виде (24). При условиях (35) для величин пограничного слоя получим следующую асимптотику:

О =8х28*а(*) (/, ] = 1, 2),

ц-3 _ 8Х+1 £8^ (і _ 1, 2),

*_0

и _ V _ 8Х+1 £ 8* v\°) (і _ 1, 2),

ю

_8Х£8" ю3*).

*_0

Полученную систему уравнений микрополярного пограничного слоя в асимптотических приближениях 5, а также условия затухания и обобщенную ортогональность (как свойства решения задачи пограничного слоя) можем представить в виде (в случае задачи изгиба):

- определяющие уравнения микрополярного пограничного слоя:

до11 _ | до21 = 0 до12 | до22 = 0

Эг ЭС ’ Эг ЭС

эц

Эг

Эц23) —аМ + а(") _ 0

Э^ °21 + °12 _ 0,

Эу^ _ _____________

Эг 2

Эу^ (*) 1

---!_ + ю3*) _ —

ЭС 3 4

1 (а(і) —

(ап ла22 ) ,

а^ + а(і) ——(а ^ — а1^) а12 + а21 — (а12 — а21 ) 12 21 а 12 21

1 (а22) —

ЭС 2

Эу2*) (*) 1

----^ — ю3*) _ —

Эг 3 4

Эю3*) _ 1 _

а1

21

Эг В

ц13

а

’ ас в.

_ ц23

условия затухания:

1

\и$(г _ 0)ас_ 0,

—1

}Са{;)(г _ 0)ас —}ц^(г _ 0)ас _ 0,

—1

/«”<>_ 0«—^7х

—1

2

х

1

1

_ 0,

в» } ю3*) (г _ 0)ас — у} С2 ^ (г _ 0)лс

—1 —1

- обобщенная ортогональность:

1 _п(0)п(0) _п(0)уп(0) + 1 м п(0)юп(0) I а г _ 0

Л а11т У1п — а12п У2т + _ц13тЮ3п I ^ _ 0

Срастим теперь решение прикладной одномерной теории (внутренней задачи) с решением микрополяр-ного пограничного слоя. Для этого необходимо подставить в (30) выражения (13) и (24) с учетом (36) и (44) и подставить затем (30) в выражения граничных условий (6) при * 1 _ 0. Для значения х на этот раз получим: х = = -2. В результате граничные условия (6) будем находить итерационным способом. При 5 = 0 получим:

авн(0) +а1п1(0) _ ф1, ап2(0) _ 0, ц3Н(0) + ц1п3(0) _~3,

где ф1 =8-2-ф1, ф3 = 8-1а—~3.

В (48) от величин задачи пограничного слоя потребуем условия затухания (46), тогда для прикладной одномерной теории получим следующие граничные условия:

кк

(М 11 - Мх =0 = /х2ф1Шх2 - /ф3Шх2>

1 -к -к

к

^121 х1 =0 = /ф2Шх2-

-к

В итоге система уравнений (37)-(39) (или (40)) и граничные условия (49) будут представлять математи-

ческую модель изгибной деформации микрополярной упругой тонкой балки со стесненным вращением. Отметим, что разрешающая система уравнений (37)-(39) (или (40)) микрополярной упругой тонкой балки со стесненным вращением на основе гипотез получена ранее в работе [40].

При рассмотрении граничных условий (7), (8) аналогичным образом для одномерной системы уравнений (37)-(39) получим следующие граничные условия:

- при граничных условиях (7):

(М11 Ц13)\* 1 _0 _Л*2Ф1а*2 ЛФ3а*2, 1 —к —к

V* .,0 _ 0,

- при граничных условиях (8):

, dW

V 0 _ 0 , —

'* 1 _0 И*

= 0.

=0

Для задачи пограничного слоя (45) при 5 = 0 на основе (49) (или (50), (51)) из (48) получим соответствующие граничные условия.

5. Прикладная одномерная теория микрополярных тонких балок «с малой сдвиговой жесткостью»

Пусть безразмерные физические параметры (10) имеют значения

а2 — ~ 82а ц

1,

где а* ~1.

Для внутренней задачи в этом случае в выражении (13) для q получим:

q = 0 для а22, q = 1 для а21, а12,

т ------------- 1 - -

q — 2 для 1, и1, —23, q — 3 для и2, —13, ^3 *

Отметим, что при этой асимптотике в одномерных уравнениях (получаемых на основе внутреннего итерационного процесса при 5 = 0) микрополярных упругих тонких балок величины чисто моментного происхождения отделяются и образуют отдельную систему уравнений (как убедимся далее, для этой системы получаются также отдельные граничные условия). Приведем эти отдельные группы уравнений.

Уравнения «моментной» части задачи:

- уравнение равновесия

_ —(М + + М _),

а*1

- соотношение упругости

Ц12 _ 2Вкк13,

- геометрическое соотношение

<ю

к13 _^ ;

а*1

уравнения «силовой» части задачи: - уравнения равновесия

ШМ

12

Шх1 ШМ 1:

Шх1

= -(Г ++ Г -),

- N21 =-к(X +- X-),

- физические соотношения N12 = 8каГ12 + N 21, М11 = -

2 Ек2

К

11,

геометрические соотношения ШЖ Щ г =ь-

- Щ, Кц = к-

Г12 =

Ш2Ж

Шх1

Определяющая система (54)-(56) «моментной» одномерной части задачи может быть сведена к одному разрешающему уравнению относительно Щ:

2Вк

Ш2Щ

Шх12

= -(М ++ М -).

Определяющую систему (57)-(59) «силовой» части задачи также можно свести к одному разрешающему уравнению относительно перемещения Ж (х1):

2Ек3 Ш4Ж 3 Шх!

- 8ка

^ ШЖ - ёЩ

Шх12 Шх1

А

= Г ++ Г -+ к Ш

Шх1

После решения «моментной» и далее «силовой» частей задачи все расчетные величины в двумерной области прямоугольника будут определяться по формулам:

Ю =Щ( х1),

—23 = х^

2к 2к

3х

и2 = Ж (а11 = —7 М11( х1).

2 1 11 2к3 11 1

Перейдем к изучению краевых упругих явлений в микрополярном прямоугольнике, когда для физических безразмерных параметров имеют место значения (52).

Решение системы уравнений (1)-(4) с учетом (12), (23), (52) представим в виде (24). В этом случае получим непротиворечивую систему рекуррентных уравнений

Г)

относительно величин Я , если а, =8*28(I, , = 1, 2),

—3 = 8х-3 28*—3) (; = 1, 2),

*=0

и = V = 8Х+1 £ 8*V? а = 1, 2), *=0

где целое число х характеризует интенсивность микро-полярного пограничного слоя.

Эту систему уравнений и условия затухания можем представить следующим образом (для задачи изгиба): - уравнения микрополярного пограничного слоя

-а

Э—1(3) + Э—<3) дг ЭС

Эю3*) 1 (Эю3*’ 1

(*-4) _

12

= 0,

Эг В»—13 ’ ЭС В,

Эа,

Эг ЭС ’ Эг ЭС

ЭVl(*’ _

1

(аи У°22 ) ,

Эг 2

Э7> (*’ Э7)(*’ 1

_Эv^ ,_Эт^ =

ЭС + Эг = 2(а12 21 ’

Э72*)

1

ЭС 2

^22)

Э7(*-2) Э7 (*-2) 2

Э71__________Э_2_+2ю(*) =- ^(а (*) -а (*)’

-ЛГ + 2ю3 = — (°12 °21 ),

ЭС Эг а

- условия затухания

1 ^ 1

/—1(3)(г = 0)ШС = /Ш /('

0 -1

12

- а

21

/

2 ^ 1

ю3*’(г = 0)ШС = -аВ—/гШг/(ст&-4) -^’Ж, В 0 -1

а12’ (г = 0)ШС = 0,

/с

-1

~г2

/ / (<

В

:

12

-а

21

’)ШС+/ 72*-2) (г = 0)ШС-

-1

-/ V*-2)(С = 1) - 71*-2)(С = -1)]Шг.

На основе изучения задачи сращивания прикладной одномерной теории (внутренней задачи) и задачи мик-рополярного пограничного слоя, имея общее решение в виде (30), для поставленной граничной задачи (1)-(5) можем итерационным способом удовлетворить граничным условиям на кромке прямоугольника х1 = 0. В этом случае для х получим: х = -2. Рассматривая граничные условия (6) в исходном асимптотическом приближении (5 = 0) и используя условия затухания решения пограничного слоя (65), получим граничные условия для одномерной системы уравнений:

- для «моментной» части задачи

-к

х

- для «силовои» части задачи

к к

^2 [1=0 = /ф2^2> М11 [1=0 = /ф1Х2а.Х2.

-к -к

Таким образом, уравнения (54)-(56) и граничное условие (67), а также уравнения (57)-(59) и граничные условия (68) представляют собоИ математическую модель микрополярных упругих балок «с малоИ сдвиговой жесткостью» (такое наименование обусловлено тем, что материальная константа а — своеобразный модуль сдвига для микрополярного материала — в рассматриваемом случае гораздо меньше, чем классический модуль сдвига |х).

Если двумерные исходные граничные условия имеют вид (7), (8), то аналогично для прикладной одномерной теории микрополярных упругих балок «с малоИ сдвиговой жесткостью» получим соответствующие одномерные граничные условия.

В случае граничных условиИ

- для «моментноИ» части задачи:

“IX,*, = 0

- для «сил

WU=°. M

- для «силовоИ» части задачи:

к

= }ф1х2^2

-h

В случае граничных условиИ

- для «моментноИ» части задачи:

“I „.0 = 0

- для «силовоИ» части задачи:

Wx

=0

= о,

dx,

= о.

=о

Отметим, что если моментные внешние воздеИствия полностью отсутствуют (как в уравнениях, так и в соответствующих граничных условиях), то решение «мо-ментноИ» части задачи становится нулевым. Весьма важен здесь тот факт, что уравнение (61) при “ = 0 не совпадает с классическоИ теориеИ упругоИ балки. Существенно при этом, что величина - 8ка й2ж/йх12 физически представляет собоИ растягивающую нагрузку, которая может повышать деформационную жесткость балки при ее изгибе.

6. Изгиб свободно опертой микрополярной упругой балки под воздействием равномерно распределенной нагрузки. Обсуждение и результаты

Рассмотрим задачу изгиба микрополярного стержня (длина а, высота 2h, толщина 2к1 = 1) со свободно опертыми концами под воздеИствием равномерно распре-деленноИ нагрузки интенсивностью q.

В предыдущих разделах работы в зависимости от значениИ безразмерных физических параметров материала (10), в которые входит также масштабныИ фактор,

построены прикладные теории микрополярных стерж-неИ со свободным вращением, со стесненным вращением и «с малоИ сдвиговоИ жесткостью». Построенные теории будем принимать за основу при решении постав-ленноИ задачи.

Предположим, что для материала стержня безразмерные физические параметры имеют значения (13), при которых имеет место прикладная одномерная теория со свободным вращением. Определяющая система уравнениИ при этом будет иметь вид (17)-(19) или уравнение (20) и граничные условия свободного опирания имеют вид (33):

2Bh

d4W

dx,4

= q,

^ dW пЕ + а d3W “ = + B

dx, 4уа dx,3

W

=о, =

x, =a

d“

dx,

= о.

x, =о,

Решение граничноИ задачи (73), (74) запишется как:

W=

2Bh 24

-2

- 3-

B

ya2

i+E l|xi

а

“=

+ [3 B2( \+£-)+1 x1

a) _ a

3 ' ґ \3 /

\ a 2 1x - 3 (l

2Bh 12

= qa 2

N12 - -q

N21 = о.

Приведем также максимальные значения некоторых величин из (75)-(79), а также максимальные значения моментного напряжения Ц13тах и силового напряжения

llmax •

Wmax = Wl x, =

qa

2Bh 96

ya

Mllmax = Mill x1 =

qa

xi =°a 2Bh 24

2

L і = qa

’ |L,3lmax о ’

qvh

D qa 2

2Bh 4

1 +Л ІЕ-1

ya

а

+

+

М-13

тах Аз 2h

_нб

qa

~ш ’

3

Л*2 = Н)| = 2^2 М11тах-

Теперь предположим, что безразмерные физические параметры микрополярной балки имеют значения (35), которые приводят к прикладной одномерной теории со стесненным вращением. Разрешающая система уравнений изгиба микрополярной балки при этом имеет вид (37)-(39) (или (40)), а граничные условия — (49). Для поставленной задачи имеем:

( 2еН

+ 2 ВН

V 2У ^ = д,

*Р|*!=0, =

d2W

ё*1

= 0.

*1=0, Хі =а

Решая граничную задачу (81), (82), для расчетных величин получим:

4

w=д- о-

В* 24

д = -Р=_^°.

Н В* 24

а]4 - 2 {а I3 + а

а

4| Х! I3 -6{ Х!

+1

Ьу3 =

2ВН да

в

М іі = -

В да

В

N12 = -да

Приведем максимальные значения для некоторых из величин (83)-(87), а также для силовых и моментных напряжений:

4

W =

" тах

а | д 5а Х1 = "2 I = ~Б* 24 • 16 ’

О =

тах

М

= 1О( М *1=0,

2ВН да 2

В ~~8~~

д 5а

~В* ІА

= і/ і = а ) = В да

11 тах = М111 *1 = ^ 1 = '

В

1

М13 тах ~ 1 ^13 г 2Н

нб

с( *2 = = 2Й2"М111

Рассмотрим теперь случай, когда безразмерные физические параметры имеют значения (52), т.е. необходимо применить для поставленной задачи прикладную од-

номерную теорию балки «с малой сдвиговой жесткостью» (уравнения (54)-(56) и (57)-(59) или уравнения (60) и (61) с граничными условиями (67)—(71)). В данном случае решение систем уравнений «моментной» части задачи нулевое. Определяющее уравнение микрополярной балки «с малой сдвиговой жесткостью» имеет вид:

2ЕН3 d4W

- 8На

d2W

= д,

3 dx14

а граничные условия выражаются как

W 0 = 0,

* =0, а

d2W

ё*12

= 0.

1=0,

Решение граничной задачи (90), (91) имеет вид: Я

W =

8На^2

1 - Л

7 2 2 Г Ґ \2)

^ а -1 + -1 *1 _| *11

2 а а

- /

+

sh

N12 = -да | — _ — I ’

М11 = -

k^

-1 + 1 ^№а) sh

Здесь k12 =-

V

8На

В

sh

Для максимальных значений получим:

Ках = W *1 = - 1 =

-1 +-

8На^2

Л(^а/ 2) 8

М 11тах = М11

нб

x^ = — I =

1-

Л

и11шах _ |а11шах(Х2 _ Щ “ТТТМ11шах-

2п

Полученные выше формулы позволяют выполнять численные расчеты и анализировать построенные теории микрополярных балок со свободным вращением, со стесненным вращением и теории «с малой сдвиговой жесткостью». Хотя в настоящее время существуют некоторые композиты, для которых определены упругие константы материала по несимметричной теории упругости [10, 14, 15], но для полного выявления эффектов микрополярности материала, которые, на наш взгляд,

Таблица 1

Константы материала, интенсивность нагрузки, параметр тонкостенности балки для первого расчета

а, ГПа М, ГПа Я, ГПа у = є, кН В, кН q, МПа 8

1.6 2 3 1 2 0.1 0.025

Таблица 2

Теория микрополярных балок со свободным вращением

а, мм Н, мм 2ВН, Н • мм D, Н • мм Гтах.Ю 3 мм шкл мм ш тах, 1у±1у±

0.2 0.005 20 0.00043 0.01417 0.0048

0.5 0.0125 50 0.00677 0.0367838 0.012019

0.8 0.02 80 0.02773 0.0629167 0.0192307

2 0.05 200 0.43333 0.2447916 0.0480769

2.75 0.0688 275 1.126497 0.464152 0.0661057

3.5 0.0875 350 2.322396 0.8043619 0.0841346

4.4 0.11 440 4.614133 1.4185416 0.1057692

5 0.125 500 6.770833 1.97916 0.1201923

5.6 0.14 560 9.512533 2.6804166 0.13461538

Таблица 3

Теория микрополярных балок со стесненным вращением

а, мм Н, мм 2ВН, Н • м D, Н • м ч •Н м Гтах. мм шкл мм ш тах, 1у±1у±

6 0.15 0.6 0.0117 0.6117 0.0027587 0.1442307

12 0.3 1.2 0.0936 1.2936 0.0208719 0.2884615

18 0.45 1.8 0.3159 2.1159 0.06460017 0.432692

24 0.6 2.4 0.7488 3.1488 0.137195 0.576923

36 0.9 3.6 2.5272 6.1272 0.356933 0.865384

42 1.05 4.2 4.0131 8.2131 0.49332 1.009615

48 1.2 4.8 5.9904 10.7904 0.640569 1.153846

54 1.35 5.4 8.5293 13.9293 0.794848 1.298076

66 1.65 6.6 15.5727 22.1727 1.114284 1.586538

78 1.95 7.8 25.7049 33.5049 1.438496 1.875

90 2.25 9 39.4875 48.4875 1.761891 2.163461

108 2.7 10.8 68.2344 79.0344 2.241391 2.596154

120 3 12 93.6 105.6 2.556818 2.884615

150 3.75 15 182.8125 197.8125 3.332345 3.605769

могут представлять научный и прикладной интерес, физические параметры материала будем варьировать, не имея ввиду конкретный, существующий материал.

Если задавать конкретные физические константы материала микрополярной балки, то из формул (14) и (35) следует, что, для того чтобы выбрать, какую применять теорию (со свободным вращением или со стесненным вращением), необходимо из этих же формул определить область изменения длины балки а, а высоту тонкой балки (прямоугольника) определить при помощи заданного параметра тонкостенности балки 8 = Н/а.

Константы материалов и результаты четырех расчетов представлены в табличной форме (табл. 1—10).

Как видно из табл. 2 и 5, как для материальных констант из табл. 1, так и для материальных констант из табл. 4, микрополярная жесткость балки со свободным вращением 2Bh несравнимо больше, чем классическая жесткость балки D (при этом вычисленный по классической теории максимальный прогиб Жшах получается

настолько большой, что применимость классической теории становится сомнительной Wmax/(2h) < 0.3-0.4).

Сравнивая результаты табл. 2 и 5, убеждаемся, что в зависимости от значений микрополярных упругих констант теория со свободным вращением применима при довольно малых размерах балки. Сравнивая последние строки табл. 2 и первые строки табл. 3, а также последние строки табл. 5 и первые строки табл. 6, видим, что при одном и том же материале и при одном и том же параметре тонкостенности балки 8 при увеличении размеров а и h балки налицо справедливость применения теории микрополярных балок со стесненным вращением. Данные в табл. 3 и 6 показывают, что микропо-

Таблица 4

Константы материала, интенсивность нагрузки, параметр тонкостенности балки для второго расчета

а, ГПа М, ГПа Я, ГПа у = є, МН В, МН q, МПа 8

1.6 2 3 1 2 0.1 0.025

Таблица 5

Теория микрополярных балок со свободным вращением

а, см Н, см 2ВН, Н • м Б, Н • м Гтах. мм шкл мм ш тах, 1у±1у±

0.5 0.0125 500 0.006771 0.000353 0.1201923

1.5 0.0375 1500 0.182813 0.0010986 0.3605769

2.5 0.0625 2 500 0.846354 0.0019612 0.6009615

5 0.125 5000 6.770833 0.0051432 1.201923

8 0.2 8000 27.7333 0.0122916 1.9230769

12 0.3 12 000 93.6 0.030937 2.884615

18 0.45 18 000 315.9 0.088593 4.326923

19 0.475 19000 371.5292 0.1026692 4.567307

Таблица 6

Теория микрополярных балок со стесненным вращением

а, м Н, м 2ВН, кН • м Б, кН • м D , кН•м Гтах. см штлх, см

0.2 0.005 20 0.433333 20.433333 0.0101957 0.480769

0.4 0.01 40 3.4666 43.46666 0.076687 0.961538

0.6 0.015 60 11.7 71.7 0.2353556 1.442307

0.8 0.02 80 27.7333 107.73333 0.4950495 1.923076

1.0 0.025 100 54.16667 154.16667 0.8445945 2.403846

1.2 0.03 120 93.6 213.6 1.264044 2.8846153

лярная жесткость D в 50-60 раз превышает классическую жесткость Б, и, следовательно, применимость мик-рополярного материала и в данном случае обоснована.

Отметим также, что, как видно из табл. 3 и 6, при одном и том же материале, при одном и том же параметре тонкостенности балки 8, если увеличивать размеры а и Н балки, то при довольно массивных ее размерах микрополярная жесткость D почти совпадает с классической жесткостью Б балки. Это говорит о том, что в указанных случаях уже можно применить классическую теорию изгиба упругой балки.

Теперь рассмотрим применимость прикладной теории микрополярных балок «с малой сдвигой жесткостью».

Из приведенных данных в табл. 8, 10 видно, что для указанных материалов необходимо использовать теорию микрополярных балок «с малой сдвиговой жесткостью». Как видим, за счет растягивающего эффекта, который вносит микрополярный материал в этой теории, жесткость балки увеличивается (а прогиб уменьшается) по сравнению с классической теорией почти на 30 %:

Таблица 7

Константы материала, интенсивность нагрузки, параметр тонкостенности балки для третьего расчета

а, МПа М, ГПа Я, ГПа у = є, ГН В, ГН q, МПа 8

1.5 2.15 3.23 0.225 0.45 0.1 0.025

Таблица 9

Константы материала, интенсивность нагрузки, параметр тонкостенности балки для четвертого расчета

а, МПа М, ГПа Я, ГПа у = є, МН В, МН q, МПа 8

1.5 2.15 3.23 22.5 45 0.1 0.025

Таблица 8

Теория микрополярных балок «с малой сдвиговой жесткостью»

а, м Н, м Б, кН • м Гтах. см шкл см штах, см

0.1 0.0025 0.058333 0.146501 0.223214

0.2 0.005 0.466667 0.293003 0.4464285

0.3 0.0075 1.575 0.439504 0.6696428

0.4 0.01 3.733333 0.586006 0.8928571

0.5 0.0125 7.291667 0.732507 1.116071

Таблица 10

Теория микрополярных балок «с малой сдвиговой жесткостью»

а, см Н, см Б, Н • м Гтах. см шкл см штах, см

3 0.075 1.575 0.04395 0.06696

7 0.175 20.0083 0.102551 0.15625

11 0.275 77.6416 0.161152 0.24553571

15 0.375 196.875 0.219752 0.3348214

Таблица 11

Теория микрополярных балок со свободным вращением

Я, ГПа |Х, ГПа а, ГПа Y = є, kH В, ки 2Bh, H • мм D, H • мм wmax,10 3 мм Wкл мм w max, iv±iv±

0.1 10 20 5000 3.444010417

100 200 50000 0.344401042

3 2 4 10 20 5000 6.770833 0.397135417 0.120192308

100 200 50000 0.039713542

20 10 20 5000 0.334635417

100 200 50000 0.033463542

Таблица 12

Теория микрополярных балок со стесненным вращением

Я, ГПа |Х, ГПа а, ГПа Y = є, kH В, ш 2Bh, H • мм D, H • мм D* H • мм wmax, мм W“x. мм

0.1 0.1 0.2 50 56.77083333 0.014334862

1 2 500 506.7708333 0.001605858

3 2 4 0.1 0.2 50 6.770833 56.77083333 0.014334862 0.120192308

1 2 500 506.7708333 0.001605858

20 0.1 0.2 50 56.77083333 0.014334862

1 2 500 506.7708333 0.001605858

Таблица 13

Теория микрополярных балок «с малой сдвиговой жесткостью»

Я, ГПа |Х, ГПа а, ГПа Y = є, kH D, H • мм wmax, мм W“x, мм

0.0004 0.104495019

3 2 0.002 10 6.770833 0.068590002 0.120192308

0.02 0.013978371

W - W

max max

І----------• 100 % = 30 %.

wкл

max

Приведенные результаты решения простейшей задачи об изгибе микрополярной балки по построенным прикладным теориям показывают важность учета эффектов микрополярности материала балок, которые, на наш взгляд, могут быть интересными с точки зрения конструировании физических моделей новых материалов.

Приведем также численные результаты для случая, когда для микрополярной балки геометрические размеры фиксированы (a = 5 мм, h = 0.125 мм) и меняются характеристики ее материала (табл. 11-13).

Сравнивая численные результаты, приведенные в табл. 11-13, убеждаемся, что при одних и тех же значениях геометрических размеров балки, при одной и той же интенсивности внешнего воздействия, если расчеты вести как в рамках теории со свободным вращением, так и в рамках теории со стесненным вращением, с увеличением значения материальных констант у и є, например в 10 раз, жесткость балки увеличивается также в 10 раз. Если же расчеты вести по теории «с малой

сдвиговой жесткостью», то с увеличением значения материальной константы а характеристика жесткости микрополярной балки увеличивается, а Wmax уменьшается.

Рассмотренные задачи имеют своей целью осветить специфические особенности микрополярных теорий балок и эффекты микрополярности материала, а сделанные выше выводы имеют достаточно общий характер (имеется в виду рассмотрение аналогичных задач для микрополярных прямоугольных и круглых пластин, а также для микрополярных цилиндрических оболочек).

Литература

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с.

2. Морозов Н.Ф. Структурная механика материалов и элементов конструкций. Взаимодействие нано-, микро-, мезо- и макромасштабов при деформировании и разрушении // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2005. - № 4. - С. 188-189.

3. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н. Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток с учетом моментных взаимодействий на микроуровне // Прикладная математика и механика. - 2007. - Т. 71. - Вып. 4. -С. 595-615.

4. Suiker A.S.J., Metrikine A.V., De Borst R. Comparison of wave propaga-

tion characteristics of the Cosserat ^^muum model and corresponding discrete lattice models // Int. J. Solids Struct. - 2001. - V. 38. -No. 9. - P. 1563-1583.

5. Павлов И.С., Потапов А.И. Двумерная модель зернистой среды // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2007. - № 2. - С. 98-109.

6. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение аналитических решений некоторых двумерных задач моментной теории упругости // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2002. - № 5. -С. 69-82.

7. Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера // Акустический журнал. - 2006. - № 2. - С. 227-235.

8. Cemal E.A. Microcontinuum Field Theories. I. Foundations and Solids. - New York: Springer, 1998. - 325 p.

9. Лурье С.А., Белов П.А. Вариационная формулировка математичес-

ких моделей сред с микроструктурой // Математическое моделирование систем и процессов: Сб. науч. трудов. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2006. - № 14. - С. 114-132.

10. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 328 с.

11. Смолин И.Ю. Использование микрополярных моделей для описания пластического деформирования на мезоуровне // Математическое моделирование систем и процессов: Сб. науч. трудов. -Пермь: Изд-во ПГТУ, 2006. - № 14. - С. 189-205.

12. Бровко Г.Л., Иванова О.А. Моделирование свойств и движений неоднородного одномерного континуума сложной микроструктуры типа Коссера // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2008. -№ 1. - С. 22-36.

13. Введение в микромеханику / Под ред. М. Онами. - М.: Металлургия, 1987. - 271 с.

14. Anderson W.B., Lakes R.S. Size effects due to Cosserat elasticity and surface damage in closed cell polymethacrylimide foam // J. Materials Sci. - 1994. - V. 29. - No. 24. - P. 6413-6419.

15. Gauther R.D., Jahsman WE. A quest for micropolar constants. P. 2 // Arch. Mech. - 1981. - V. 33. - No. 5. - Р. 717-737.

16. Ostoja-Starzewski M., Jasiuk I. Stress invariance in planar Cosserat elasticity // Proc. Roy. Soc. London. A. - 1995. - V. 451. - No. 1942. -P. 453-470.

17. Амбарцумян С.А. Микрополярная теория оболочек и пластин. -Ереван: Изд-во НАН Армении, 1999. - 214 с.

18. Ambartsumian S.A. Nontraditional theories of shells and plates // Appl. Rev. - 2002. - V. 55. - No. 5. - P. R35-R44.

19. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Общая нелинейная теория упругих мик-рополярных оболочек // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Нелинейные проблемы сплошных сред. -

2003. - С. 124-169.

20. Ванин Г.А. Моментная механика тонких оболочек // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 2004. - № 4. - С. 116-138.

21. Шкутин А.И. Механика деформаций гибких тел. - Новосибирск: Наука, 1988. - 128 с.

22. Пальмов В.А. Простейшая непротиворечивая система уравнений теории тонких упругих оболочек // Механика деформируемого тела. - М.: Наука, 1986. - С. 106-112.

23. Birsan M. The solution of Saint-Venant’s problem in the theory of Cosserat shells // J. Elasticity. - 2004. - V. 74. - P. 185-214.

24. Palmov W.A., Altenbach H. Uber eine ^sseratsche theorie fur elas-tische platen // Techn. Mech. - 1982. - V. 3. - H. 3. - S. 5-9.

25. Жилин П.А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек // Динамика и прочность машин: Труды Ленингр. политех. ин-та. - 1982. - № 386. - С. 29-42.

26. Green A.E., Naghdi P.M. The linear elastic Cosserat surface and shell theory // Int. J. Solids Struct. - 1968. - V. 4. - No. 6. - P. 585-592.

27. Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // Прикладная математика и механика. - 2008. -Т. 72. - № 1. - С. 129-147.

28. Sargsyan S.H. Dynamic Problem of Thin Plates on the Basis of Asymmetric Theory of Elasticity // Proc. of XXXIV Summer School «Advanced Problems in Mechanics», APM’2006, Repino, Saint-Peterburg, Russia, 25 June - 1 July, 2006. - Saint-Peterburg: IPME RAS, 2006. -P. 447-458.

29. Саркисян С.О. Общая теория упругих тонких оболочек на основе несимметричной теории упругости // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т. 72. - Вып. 1. - С. 129-147.

30. Sargsyan S.H. On Some Interior and Boundary Effects in Thin Plates Based on the Asymmetric Theory of Elasticity // Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. V. 16. Theories of Plates and Shells. Critical Review and New Applications. - New York: Springer,

2004. - P. 201-210.

31. Nowacrn W Theory of Asymmetric Elasticity. - Oxford: Pergamon Press, 1986. - 383 p.

32. Friedrichs K.O., Dressier R.F.A. Boundary-layer theory for elastic plates // Comm. Pure Appl. Math. - 1961. - V. 14. - No. 1. - P. 1-33.

33. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Труды 2-го Всесоюз. съезда по теор. и прикл. механике. - М.: Наука, 1966. - Вып. 3. - С. 116-136.

34. ГольденвейзерА.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: Наука, 1976. - 512 с.

35. Green A. Boundary Layer Equations in the Linear Theory of Thin Elastic Shells // Proc. Soc. Ser. A. - 1962. - V. 269. - No. 1339. -P. 481-490.

36. УстиновЮ.А., ШленевМ.А. О некоторых направлениях развития асимптотического метода плит и оболочек // Межвуз. сб. «Расчет оболочек и пластин». - Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовск. инж.-строит. ин-та, 1978. - С. 3-27.

37. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. - М.: Наука, 1997. - 414 с.

38. Rogacheva N.N. The Theory of Piezoelectric Plates and Shells. -Boca Ration: SRS Press, 1994. - 260 p.

39. Саркисян С.О. Общая двумерная теория магнитоупругости тонких оболочек. - Ереван: Изд-во АН Армении, 1992. - 232 с.

40. Винокуров Л.П., Деревянко Н.И. Построение основных уравнений для расчета стержней (без кручения) с учетом моментных напряжений // Прикл. механика. - 1966. - Т. 2. - № 3. - С. 72-79.

Поступила в редакцию 16.01.2008 г.

Сведения об авторе

Саркисян Самвел Оганесович, д.ф.-м.н., проф., чл.-к. НАН Армении, зав. каф. математического анализа и дифференциальных уравнений Гюмрийского государственного педагогического института, afarmanyan@yahoo.com, slusin@yahoo.com