Метод Б. Г. Галёркина в задачах гарантированного разрушения пластин взрывом

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 110-119

Механика

УДК 539.375.5: 69.058.8

Метод Б.Г. Галёркина в задачах гарантированного разрушения пластин взрывом

Г. Т. Володин, Чан Тхань Тунг

Аннотация. Приближенным методом Б.Г. Галеркина найдено решение начально-краевой задачи о гарантированном разрушении пластин взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ. Использован критерий разрушения материалов, предложенный П.П. Баландиным и модифицированный для динамических нагрузок. Показано, что разрушение пластины происходит после снятия взрывной нагрузки в процессе свободных упругих колебаний пластины. Результаты выполненных исследований могут быть применены в инженерных расчетах конструкций на действие взрывных нагрузок.

Ключевые слова: взрывная нагрузка, гарантированное

разрушение, пластина, метод Б.Г. Галёркина.

В отличие от работы [1], где для решения задачи о гарантированном разрушении пластин взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ (ВВ) применен энергетический метод, в предлагаемом исследовании рассматриваются свободные колебания тонкой пластины в упругом режиме под действием начального импульса, созданного взрывом неконтакного сферического заряда конденсированного ВВ. В процессе колебаний возникает нестационарная зона разрушения, определяемая в каждый момент времени поверхностью разрушения, которая находится из принятого критерия разрушения. Это позволяет проследить за движением зоны разрушения от начала ее возникновения до завершения движения, определив тем самым масштаб разрушения.

Постановка задачи

1. Физическая модель

1. Рассматривается взрыв сферического заряда конденсированного ВВ радиуса го с известными физическими характеристиками в ближней зоне

действия взрыва [2], вследствие чего давлением окружающей среды можно пренебречь по сравнению с давлением в ударной волне и продуктах взрыва.

2. Взрыв происходит в воздухе на некотором фиксированном расстоянии г* от срединной плоскости пластины.

3. Рассматривается пластина прямоугольной формы с размерами а х Ь

постоянной толщины Л, малой по сравнению с величинами а и Ь.

4. Пластина свободно оперта по всему контуру на идеальные

(недеформируемые) опоры.

5. Прогибы пластины предполагаются малыми, в процессе ее

деформирования материал пластины ведет себя упруго вплоть до

разрушения.

6. Вследствие кратковременности действия взрывной нагрузки (время её действия не превышает 2.10-4с) начальными смещениями точек пластины за время действия нагрузки можно пренебречь [3]. Начальные скорости точек пластины находятся из интегрального соотношения, полученного из уравнения движения пластины под действием импульсной взрывной нагрузки.

2. Математическая модель

Используем прямоугольную декартову систему координат, оси Ох и Оу поместим в срединной плоскости пластины параллельно ее сторонам с размерами а и Ь соответственно. Ось прогибов Ог направим вертикально вниз (рис. 1). Согласно исследованиям Т.М. Саламахина [2,3], величина удельного импульса г, действующего на преграду, от взрыва неконтактного заряда конденсированного ВВ в ближней зоне, определяется соотношением

. А0С 2 /п

г = —^ соэ а,

где а — угол падения потока в точку М преграды, г — расстояние от центра

заряда до точки М, Ао — обобщенный параметр, характеризующий ВВ

данного типа, С — масса заряда (рис. 1).

Предполагая, что заряд расположен над пластиной в точке С*(х*, у*, г*), формулу (1) преобразуем к виду

• < \ АоСг*2

г = г

[(х - х*) +(у - у*) + г2]

В соответствии с допущением 6 пластина деформируется после действия импульсной нагрузки в течение свободных колебаний, которые описываются уравнением

^ = о.

где w = w(x,y,t) — прогиб точки M(x, у) пластины толщиной h в момент времени t, р = const — плотность материала пластины, D = —

цилиндрическая жесткость пластины, E — модуль упругости материала, ^

— коэффициент Пуассона.

Рис. 1. Схема расположения заряда над пластиной Начальные условия для уравнения (3) имеют вид

1) w(x, у, 0) = 0,

2) dw I = i(x,y) 2) dt lt=0 = ph

Покажем справедливость начального условия 2) в (4). Уравнение вынужденных колебаний пластины имеет вид [8, 9]

ph д 2w

~D~dW

v4w + тг = q(x,y,t),

где q(x, у, () — интенсивность внешней нагрузки. Уравнение (5) можно записать в виде

д2-ш 1 ^ 4

8(2 - Рл9(х'у'() = -РЛУ’"'

или

д ( dw

1

дЦж - ph Уо «(x-y>i)d^ =- phv4,w

D

Интегрируя уравнение (6) по времени ( в пределах от 0 до т (времени приложения взрывной нагрузки), получим

dw 1 [t , .,\

at- Ph I q

D

=------- I V4wdt,

о Ph Jо

t

T

T

или

dw \ ~dt )

t=T

í dw\

V ~dt)

t=0

1 í'T D í'T

----- q(x,y,t)dt =--------------- V4 wdt.

ph J o ph J o

Скорость точек пластины при подходе к ней фронта ударной волны равна нулю, поэтому

= 0, / q(x,y,t)dt = г(х,у).

í dw\ \~ді)

t=0

Учитывая, что

lim

t ——0

V4wdt = 0,

из (7) получим доказываемое соотношение

dw

~ді

t=0

i

ph

Это равенство означает, что в момент окончания действия импульсной (взрывной) нагрузки (т ^ 0) элементы пластины имеют начальные скорости, пропорциональные действующему импульсу, и не зависят от действия соседних элементов, то есть ведут себя как свободные тела под действием приложенного внешнего импульса.

Граничные условия соответствуют способу закрепления пластины по её контуру; для шарнирного опирания по всему контуру получим [4]

w = 0, + V= 0 при x = 0, x = a,

w = 0, дуг + vdxW =0 при y = 0, y = b.

Условия (8) соответствуют отсутствию прогибов и изгибающих моментов в шарнирно-опертом контуре пластины.

0

0

3. Решение задачи

Для нахождения решения задачи (3)—(4), (8) применим приближенный метод Б.Г. Галёркина [5]. Решение w(x,y,t) будем искать в виде w(x,y,t) к к Wn(x,y,t), где

n

. . ! Л inx jny

Wn(x, y,t) = aij(t) sin — sin ~b~

i,j=l

Оно в любой момент времени t удовлетворяет граничным условиям (8). Положим n = 2. Получим

, nx ny nx 2ny

w2 (x, y, t) = an(t) sin — sin ——+ ai2(t) sin — sin —-—+

a b a b

, . 2пх ny , . 2пх 2ny

+021 (t) sin ------- sin —--+ a22(t) sin ------ sin ——.

a b a b

Согласно методу Б.Г. Галёркина после подстановки (9) в уравнение (3) получим невязку Ri (x,y,t) в виде

^ , ч , .. ч . nx . ny . .. . . nx . 2ny

R1(x, y, t) = (m1a11 + n1a11) sin — sin ——+ (m2a12 + n1 a12) sin — sin ——+

a b a b

/ .. n . 2nx . ny , .. . . 2nx . 2ny

+

где

m1 = п

m3 = п

a2 + b2

m2 = п

a2 + b2

b2

1« Ph

m4 = 16m1, n1 =

Запишем координатные функции в виде

гпх

Jny

фіі(х, у) = sin--------sin - , i,j = 1,2.

,yiJ

ab

Полагая невязку R1(x,y,t) (10) ортогональной каждой координатной функции в области, занимаемой пластиной, получим систему уравнений для искомых функций aij (t) в виде

a b

J J R1 sin ПХ sin Пт dxdy = 0,

0 0

a b

f f R1 sin ПХ sin dxdy = 0, 0 0

a b

// R1 sin sin ПУ dxdy = 0, 0 0 a b a b

2_nx sin 2^, a

00

// R1 sin sin dxdy = 0.

С учетом выражения (10) для R\(x,y,t) уравнения (12) примут вид йц + w^an = 0, а\2 + = 0, a2i + = 0, a22 + w^a22 = 0,

где

2m1

un = —

11 n1

2 m2

^12 = ---------

12 n1

2 m3

^1 = ---------

21 n1

2 m4

w22 = • 22 n1

Решение, определяющее функцию aii, запишем в виде ai1 = ci cos wi1t + c2 sin wiit.

Из начального условия 1) в (4) следует соотношение

aii(0) = 0,

2

2

2

a

поэтому согласно (12) получим ci = 0.

Следовательно,

aii = c2 sin wiit.

Для нахождения с2 используем второе начальное условие 2) в (4) Обозначим

dw \

R2

i(x,y) t=0 Ph

a ii

Подставив (9) при t = 0 в (17), получим невязку R2(x,y) в виде

^ nx ny nx 2пу

R2(x, у) = aii sin — sin ——+ ai2 sin — sin —-—+ a b a b

. 2nx . ny . 2nx . 2ny i

+a2i sin------sin ——+ a22 sin--------sin —-------------- .

a b a b ph

Полагая по методу Б.Г. Галеркина эту невязку ортогональной каждой координатной функции, получим систему уравнений относительно искомых величин:

a b

4 í í , \ inx jny , , -- , .

aij = ——- / / i

abph j j a b

0 0

В частности, c2 = —, где 2 ^11

a b

4

an =

a b

j J i(x,y) sin — sin nydxdy.

abph J J a b

00

Следовательно, искомые функции aij(t) получают вид

aij

шij

Таким образом, найдено приближенное решение (для случая n = 2) рассматриваемой задачи в виде

, a11 nx ny а 12 nx 2ny

w2 (x, y, t) = --sin u11t sin — sin ——|-------sin u12t sin — sin —-—+

u11 a b w12 a b

, a21 . , . 2nx . ny «22. , . 2nx . 2ny

+-------sin u21t sin---sin ——|-----sin w22t sin----sin —-—

U21 a b ш22 a b

Используя найденное решение, определим теперь зону разрушения пластины. С этой целью применим известный и хорошо зарекомендовавший

себя в различных испытаниях критерий разрушения материалов, предложенный П.П. Баландиным [6]:

- ахау + ЗтХу -

где а+ = К0*,3а+, а- = Ко*,3а—, Ко* — коэффициент однородности на гарантированное разрушение, введенный Т.М. Саламахиным [3] для различных материалов, ,3 — коэффициент динамичности, а+ и а0" — соответственно пределы прочности материала пластины при одноосном растяжении и сжатии [1].

Примененный здесь критерий разрушения [6], обобщен на случай динамических импульсных нагрузок введением коэффициента однородности на гарантированное разрушение и коэффициента динамичности [7].

Известно [4], что выражения для напряжений ах, ау, тху = тух, имеют

вид

а — Ег ( д2ш + , д2ш

х 1—у2 I дх2 + ^ ду2

а у = —

1—у2 ^ ду2 ^ дх2

_ Ег д2 ш

ху ух 1+удхду-

Подстановка выражений для напряжений (24) через W2 в выражение (23), определяющее критерий разрушения материала пластины по П.П. Баландину [6], приводит к соотношению

Ф

где функция Ф(х,у,х,£) определяет уравнение поверхности разрушения

Ф

Согласно (25) внутри и на границе области, ограниченной поверхностью разрушения, материал гарантированно разрушен, во внешней области материал не разрушен.

Введем обозначения

С Е (д2ш | ,, д2ш\

Сх = 1—у2 I дх2 + Г ду2 I ,

Су = -1—2 0 + , & , >

Сху — Сух —

Е д2

ш

ху ух 1+у дхду'

Тогда с учетом (27) соотношения для напряжений (24) примут вид

ах -- SxZ, ау --- Бу X, тху -- Бхух-

Подстановка (28) в критерий разрушения (23) приводит к возможности разрешить полученное квадратное уравнение относительно х:

х =2^1

где

= Й , ¿2 = ^, О = ¿1 + 4^1,

ш\ = БХ + 5^ — Бх Бу + 3 Бху,

^2 = {&+ — а*){Бх + Бу),

^3 = о'+о'-Г = свиві.

Полученная функция г = £(ж, у, £, С, ж*, у*, £*) определяет поверхность, внутри которой и вне которой материал пластины гарантированно разрушен. При этом полученная зависимость позволяет «следить» за перемещением поверхности (фронта) разрушения с изменением времени. Кроме того, фиксируя величину заряда С и его расположение в пространстве ближней зоны над пластиной, можно исследовать движение фронта и в целом зоны разрушения внутри пластины для случая этих выбранных величин.

С = 1,5 кг С = 2 кг

Рис. 2. Область разрушений. Бетон М400

Следовательно, задавая наперед массу заряда ВВ и его расположение над пластиной в ближней зоне действия взрыва, получаем картину изменения во времени зоны разрушения.

В качестве примера здесь приведены расчеты для бетонной плиты толщиной 0,1 м с размерами а = 2 м; b = 2 м, со значениями других параметров расчета: А0 = 400 м/с; ß = 0, 2; р = 2430 кг/м3; ж* = 1, у* = 1 (взрыв над центром симметрии пластины), z* = 0, 5 м; материал пластины

— бетон М400, E = 4.1010 Па; C = 1, 5 кг; K0* = 1, 85; ß3 = 1, 6; а+ = 2, 5.106 Па; а- = 2, 8.107 Па.

На рис. 2 изображены в качестве примера поверхности разрушения для момента времени t = 0, 001 с для различных величин зарядов тротила.

Из него видно, что с увеличением массы заряда при других фиксированных значениях параметров задачи зона разрушения увеличивается по ширине и объему.

Список литературы

1. Володин Г.Т. Моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 173-183.

2. Саламахин Т.М. Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. 255 с.

3. Саламахин Т.М. Разрушение взрывом элементов конструкций. М.: ВИА, 1961. 275 с.

4. Филоненно-Бородич М.М. Теория упругости. М.: ГИФМЛ, 1959. 364 с.

5. Галёркин Б.Г. Собрание сочинений. М.: Изд.-во АН СССР, 1952. Т. 1. 391 с; 1953. Т. 2. 438 с.

6. Баландин П.П. К вопросу о гипотезах прочности // Вестник инженеров и техников. 1937. № 1. С. 19-24.

7. Володин Г.Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидкой средах. Ч. 2. Врзывостойкость и гарантированное разрушение элементов конструкций. Тула: Левша, 2005. 160 с.

8. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

9. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972. 416 с.

Володин Геннадий Тимофеевич (g.volodin@yandex.ru), д.т.н., профессор, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

Чан Тхань Тунг (tungcvmeo@gmail.com), аспирант, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

Galerkin Method assured destruction in the problems of influence plates explosion

G. T. Volodin, Tran Thanh Tung

Abstract. This article gives an approximate solution for a guaranteed noncontact explosion destroyed the plates charge condensed explosives in the air. Because short during action of an explosive load, problem is reduced to the integration of equations of motion of the plate with non-uniform initial conditions determined by the momentum of the current load and boundary conditions corresponding to the type fastening plate. Thus obtained initial-boundary value problem is solved by the approximate method of Galerkin. In solving the problem of destruction of materials used criterion proposed by Balandin and modified for dynamic loads. Suggests that failure occurs in the wafer process of the elastic vibrations in a zone defined at each time point of the fracture surface on the basis of the criterion of failure. The results of the research can be applied in engineering to design or calculations for the action of an explosive loads.

Keywords: explosive load, the guaranteed destruction of the plate, Galerkin method.

Volodin Gennadiy (g.volodin@yandex.ru), doctor of technical sciences, professor, department of mathematical analysis, Tula State University.

Tran Thanh Tung (tungcvmeo@gmail.com), postgraduate student, department of mathematical analysis, Tula State University.

Поступила 10.07.2013