О решении одной задачи оптимизации, порожденной простейшим уравнением теплопроводности

Известия Института математики и информатики УдГУ

2014. Вып. 1

УДК 519.651 + 517.518.823 © В. И. Родионов

О РЕШЕНИИ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ, ПОРОЖДЕННОЙ ПРОСТЕЙШИМ УРАВНЕНИЕМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Решение краевой задачи для простейшего уравнения теплопроводности, заданной в прямоугольнике, допускает представление в виде суммы двух слагаемых, которые являются решениями двух краевых задач: в первом случае граничные функции линейны, а во втором — начальная функция равна нулю. Эта специфика позволяет применять для численного решения обеих задач двумерные сплайны. Первая задача исследована в предыдущих работах, где получен экономичный алгоритм ее численного решения, имеющий линейную сложность вычислений. Данное обстоятельство послужило основанием для аналогичных построений при решении второй задачи. Здесь также определено конечномерное пространство сплайнов лагранжевого типа, а в качестве решения предложен оптимальный сплайн, дающий наименьшую невязку. Для коэффициентов этого сплайна и для его невязки получены точные формулы. Формула для коэффициентов сплайна представляет собой линейную форму от исходных конечных разностей, заданных на границе. Формула для невязки представляет собой сумму пяти простых слагаемых и отрицательно определенной квадратичной формы от новых конечных разностей, заданных на границе. Элементы матрицы формы выражаются через многочлены Чебышёва, матрица обратима и такова, что обратная матрица имеет трехдиагональный вид. Эта особенность позволяет получить для спектра матрицы верхние и нижние оценки и показать, что невязка ограничена константой, не зависящей от размерности N. Показано, что союзная невязка стремится к нулю с ростом N. Таким образом, полученный оптимальный сплайн следует считать псевдорешением второй задачи.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, интерполяция, аппроксимирующий сплайн, трехдиаго-нальная матрица, многочлены Чебышёва.

Введение

Работа развивает авторский метод построения разностных схем для решения простейших задач математической физики и продолжает цикл публикаций [1-7].

Уравнение и = си^, заданное в прямоугольнике, заменой переменных приводится к виду а и = Ьи^ (в терминах новых переменных из квадрата П= [0,1]2), Пусть числа а, Ь — положительные, а непрерывные функции ф, ро, р1: [0,1] ^ К таковы, что ф(0) = ро(0), ф(1) = р1(0) и существуют производные р0(0), р1(0). Решение и = и(г, £) задачи

- к„ . . ,,/п ^ - А(С\ С г- гп 11

и(2) (г,£) — это решения

задач

а,и = Ьи^, п(0. £) = 0, £ р [0, 1].

и

а иг = Ьи? , и(0, £) = ф(£), £ Р [0,1],

и(г, 0) = ро(г), и(г, 1) = р1(г), г р [0,1],

= и(1) + и(2), где и(1) = и(1) (г,£) и(2) = и

аиг = Ьи^, и(0, £) = 0, £ р [0,1],

и(г, 0) = Ро(г), и(г, 1) = Р1(г), г р [0,1],

аиг = Ьи^, и(0, £) = ф(£), £ Р [0,1],

и(г, 0) = го (г), и(г, 1) = Г1(г), г р [0,1],

соответственно. Использованы обозначения

го (*) = ро (0) + р0 (0) г, Г1 (г) = р1 (0) + р1 (0) г,

ро(г) = ро (г) - го (г), р1 (г) = р1 (г) - г 1 (г).

Задача (II) исследована в работах [2, 3] (получен экономичный алгоритм численного решения), а в настоящей работе (по аналогии с этими работами) в качестве решения (псевдорешения) задачи (I) предлагается использовать оптимальный сплайн задачи

II 11 2

|| aut — bugg || Ьз(П) — min, u G а(П).

Через а(П) обозначено конечномерное пространство, состоящее из сплайнов (см, ниже), зависящих от коэффициентов ul, i = 1,..., 2N (где N — это параметр, отвечающий

П.

n = N— 1, т= Q = = а точки iji^hj) G П таковы, что ъ = гт, г =

0,1, 2N, hj = jh, j = 0,1,2.

§ 1. Постановка задачи построения оптимального аппроксимирующего сплайна

Массив (uj ), i = 0,1,..., 2N, j = 0,1, 2, называется допустимым для задачи (I), если:

1) u0 = ро(т), u2 = Pi(Tj) для всех i = 0,1,..., 2N;

2) u0 = 0 для j = 0,1, 2.

Одномерные интерполяционные многочлены Лагранжа

2 z —

= > /i = 0'1'2 (L1) -LJ- к — а

а = 0 а=к

(такие, что wre(ß) = для всех к, ß = 0,1,2), и допустимый массив (uj), i = 0, 1, . . . , 2N, j = 0, 1, 2,

22

(s, v)=^Y. u?fc-2+i ^i(s) ^ (n), s, n G R, k = 1,..., N. i=0 j=0

Пусть, далее, Pk(t,^) = Qk(s,r]), где s = | — 2fc + 2, ?? = | = 2£, то есть

Очевидно, для всех k = 1,..., N и I, ß = 0,1, 2 справедлива цепочка равенств

f) = EE nlrf П|г| = ЕЕ «Tw * =

i=0 j=0 а=0 ß=0 j в i=0 j=0

a = i ß=j

следовательно, Рк(т2к-2+ г, ^) = Рк ((2к — 2 + г = (г,^) = и2к-2+г Для всех

к = г,^ = 0,1, 2, то есть полином Рк является двумерным интерполяцион-

ным многочленом Лагранжа, определенным в 9 узлах полосы Пк = {(*,£) € П: т2к-2 ^ * ^ Т2к, 0 ^ £ ^ 1}:

и0к •..........................«I.........................• и2к

* • *

и2к-2 •..........................•.........................• и2к-2.

Таким образом, определена непрерывная функция и: П — М такая, что и(*, £) = Рк(*, £), если (*, £) € Пк. Другими словами, допустимый массив (и ), г = 0,1,..., ] = 0,1, 2,

порождает сплайн, который мы называем аппроксимирующим. Разнообразие таких сплайнов определяется лишь наборами чисел u1, i = 1,..., 2N. Это означает, что аппроксимирующие сплайны образуют конечномерное пространство размерности 2N. Обозначим его а(П) = aN (П).

Определим оператор D: а(П) — Ь2(П) следующим образом, Сплайн u G а(П) имеет

П,

меры нуль:

s = п n{): t = r2^n=1.

Пусть (Du)(t, £) = 0 во всех точках множества S, а в остальных точках квадрата П полагаем (Du)(t, £) =aut — bugg. Таким образом, в качестве приближенного решения задачи (I) можно принять оптимальный аппроксимирующий сплайн u G а(П) задачи

решение которой в конечном счете сводится к поиску чисел u1, i = 1,..., 2N, реализующих минимум J* функционала и порождающих оптимальное решение й G сг^ДП).

Заметим, что наряду с функционалом (1.2) в работе применяется союзный функционал

J' = kmaXN 11 Du 11222

Для функционала (1.2) справедлива цепочка равенств

» N N Г

J = [au — bu«] 2dt d£ = W [a Ptfc — b P*] 2dtd£ = W /2

где

fk(t, £) = aptk(t, £) - bP*(i, £) = а | Qfc(s, v) - b ^ Qfc(s, ??) =

= ; ЕЕ - ^ ¿E «Г'^км

i=0 j=0 i=0 j=0

22

a

и

T

i=0 j=0

Здесь и далее используем обозначение = (в, п) = ^¿(з) ^(п) —

§ 2. Безынтегральная формула для функционала невязок

Всякий допустимый массив (Ц ), г = 0,1,..., 2Ж, ] = 0,1, 2, порождает термы

X = «о — 2 Ц + «2, г = 0,1,..., 2Ж,

Xк = х2к-2 — 2 х2к-1 + х2к, к =1

и граничные элементы

ук—^(112к~2 112к А- 1 ¡2к 2 7,2М тк — К 1,2к~2 9ч,2к-14- 1<2к + ч,2к~2 , 2А; Л

— 20 V 0 ~~ М0 + М2 — М2 ^ ) — в V 0 ~ 1и0 + М0 + М2 ~ 1и2 ' и2 )>

7к — А. („2к~2 „2к 11^к-2, 2к\ 2к-2 сл 2к-1, 2к 2к-2 , 9 2к-1 2к\

~ 2в V и0 ~ и0 ~ и2 + и2 )> 1и1 — в V и0 ~ А110 + и0 ~ и2 + А112 ~ и2 ) >

к =1 , . . . , N.

Применяем также фиктивные элементы zN+1 =0 и wN+1 = 0- Очевидно, ж0 = 0. В силу (2,1) справедливо равенство и\ = \ (иг0 — хг+иг2), следовательно, формула (1.5) принимает вид

2 2 2 I fk(t, О = Е «Г2+г Оо + ± Е 2+г- x2fc-2+4 и2к~2+г} пг1 + J] «2fc"2+* а2 =

г=0 г=0 г=0

= ¿ u0fc-2+V0 + Е x2k-2+i ^ + ¿ u2fc-2+i^2,

г=0 г=0 г=0

где

— 2 уч | ^ j, — ,/ i^,/, w2VIJ — 2

следовательно, из определения функций П^ следует, что

= | (?72 —З77 + 2 ), ил(г]) = -Г]2 + 2Г], Ш2{Г]) = \ ( V2~V),

4'(n) = 1, ^i(n) = -2, 4'(п) = 1,

¥>о = [^о(^) + l^iC^)] - ^¿(s) + М'С^)] =

= ±a/(s) (2-V) = \u>l(l+u)(l-v), <p\ =-\ [u'iis) Ui(r]) - 9coi(s) ш'{(г]) ] =-|a;-(s)r/(2-r/) - tfu^s) =

= (1-w2) - 0Wi(l+u),

^2 = [i^iiv) +U2{v)] ~ &uJi{s) [\u)'{{rj) +ul{rj)] = = \<Ji{s)r) = \<Ji{l+u){l+v),

где и = s — 1, v = n — 1- Преобразуем первую и третью суммы формулы (2.4):

Е ^"2+Vo = | (I"-) Е =

г=0 г=0

(1-г;) (и2к~2-и2к)+и (ulk-2-1uf-l+ulk) = \e(l-v) [-zk-zk+u wk0+u wk ]

22 2fc—2+г г _ 1

E «r2-v2 = i E uf-2+4(i+u) =

г=0 г=0

= ±(1+г;) {и2к~2-и2к )+и(и2к-2-2и2к-1+и1к) = \в(1+ь) [-гк+гк+итк-итк].

Воспользовались формулами (2.3) и легко проверяемыми равенствами

Шо (1+м) = | ( и2 — и ), £^1(1+«) = 1— и2, Ш2 (1+м) = \ (и2 + и ),

ш0 (1+м) = и — (1+м) = — 2и, о;2(1+м) = и +

Таким образом, формула (2.4) принимает вид

2

lfk

г=0

Обозначим последнюю сумму через а. Поскольку ip\ = — |u4(l+tt) (1— v2) — 9 uji(l+u), то a = — \ (1 — v2) do — 9oi, где

2

a0=E х2к~2+гш'г (1+u) = (и - I) x2k~2 - и [ x2k~2 + x2k-Xk] + (u + \)x2k =

i=0

_ _ 1 2к-2 , 1 к

= -\х2к~2 + + иХк

<71 = Е х2к~2+гиг(1+и) = \ (и2-и)х2к~2 + \(1-и2) [х2к~2+х2к-Хк}+\(и2+и)х2к

г=о

= \{1-и)х2к~2+ \{1+и)х2к - \{1-и2)Хк. (Для исключения величин х2к-1 воспользовались формулой (2,2),) Следовательно, <7= \ [(1-у2)-2в(1-и)]х2к-2[(1-у2) + 2в(1 +и)]х2к-\ [и(1-у2)-в(1-и2)]хк, а формула (2,5) принимает вид /&(£,£) = ^ Рк(и,у), где

Рк(и,ь) = - \ в гк + \ виизк + \ вь - \ виьи}к1 + + I " Ъв{1-и)]х2к~2 - \ [(1-у2) + 20(1+«)] х2к - ± [и (1-у2) - 9(1 -и2)]Хк.

N

Таким образом, для функционала (1.4) справедливо равенство 7 = ^ 7к, где

к=1

Г а2 />2кт г-1 а2 г 1 г 1

/ О = / / Р2

</ Пк т2 ./(2к-2)тJо 2Т ./-1./-1

Имеет место представление

г») = | [ - ^(гх, г») + и Рк2(и, у) + V Ркз(и, у) - иь г») ],

где

-Н1"^) |>2*"2-^] (1-й2)Xй, = е [х2к-2 — х2к + ] — (1 — V2) Xк, = е^, Рк4М = .

Полиномы Рк1 (и, V) и Рк2 (и, V) — четные функции по обеим переменным, следовательно,

— V) + и ^

11

Р/21(и, V) + и2Р/22(и, V) + ^2Р/23(и, V) + и2^2Р/24(и, V) _ | 02 [ ж2Л-2 + ^ + ^ ] ^ + ^ 0 [ ж2Л-2 _ ] + || 02 ] 2 ^ +

+ ( | 0 2 [ ж2к"2 - + ^ ]2 " т " х2к +и>к]Хк + §[Хк]2у

+ ^2К]2 + 1^2К]2-

N

Так как 7 = ^ 7к, то в итоге мы получили безынтегральное представление для функ-=1

ционала (1.4) (значит, и для функционала (1.2)). Теперь он является квадратичной формой от величин (2,1)-(2,3) (исключая величины вида х2к-1), Поскольку хо = 0, а термы (2.3), входящие в формулу (2,7), постоянны (как граничные элементы), то функционал в конечном счете является квадратичной функцией от переменных х2 к, X к, к = 1,..., N (определен в пространстве К2^), Для нахождения минимума функционала необходимо вычислить его частные производные.

-1 -1

¿и = ¿и

3. Частные производные функционала невязок

Для любого к = 1,..., N справедливо

- — д,]к - _16 Г 2Й-2 , 2 к, к],

а2 дХк а2 дХк 3 1 + + о] +

= 92 [х2к~2+х2к + гк} - f 9и,к + Л (1 + 302) Xй. (3.1) Для любого к = 1,..., п имеют место равенства 8 т д7 8 т

а2 дж2к а2

- д,1к д,1к+11 - дж2к дж2к

= 802[ж2;г"2+ж2Ч^] -¡9[х2к~2-х2к] +\е[х2к~2+х2к+гк] [х2к~2-х2к] -_ щ 02Хк _1лехк-1в2 [х2к~2-х2к+ и>к]+^ ехк +

+ 8в2[х2к+х2к+2+гк+1] -¡9[х2к-х2к+2] -¡9[х2к+х2к+2+гк+1] + [х2к-х2к+2] -_ | 02хк+1 + ^ вхк+1 + | в2 ^2к_ х2к+2+ тк+1 ] _ ^ 0Хк+1 =

= §0(1 + 30) гк- ¡9(1-39) гк+1 - ¡92гак + § -

- ^ (|-92) ж2*"2 +1 (| +292) х2к - | (|-92) х2к+2 - f 92Хк - f 92Хк+1. (3.2) Наконец,

8 т д 7 8 т д 7^

%^ = %^Г~ = 892 \х2п+ х^+г» 1 - | 0 Гж2га- ж2ЛГ 1 + | 0 Гж2га+ ж2ЛГ + 1 -а2 дж2^ а2 дж2^ 1 0 -1 3 1 3 0 J

- Щ [ х2п- ж2ЛГ ] - f 92Х* - f - § 02 [ х2п- ж2ЛГ+< ] + f 9Х" = = §0

§ 4. Система линейных алгебраических уравнений для коэффициентов оптимального аппроксимирующего сплайна

Далее полагаем, что 9 ^ то есть Л' Тогда определены числа

а+в . а+в + 2 9 а+в - 2 9

У=--а=--ь=--—,

а — в а — в а — в

где

а; = | + 02 > О, = | 02 + 207 > 0, 7=| 0/

Действительно, легко проверить, что а — /3 = ^ (4 — 802 + 1504)/(1 + 302) > 0. Справедливы равенства

Ш27 = 50-47, а+Ь = 2у, \

Первое равенство следует непосредственно из определения (4.2) числа 7, второе равенство очевидно, третье равенство носит элементарный характер, а что касается четвертого, то

(а /3 = (| + 92) (\ 92+291) = ± 92+ ± 04+§ 9 (1+302) 7 = 1 92+ ± 04+1 02 = 92+± 04.

Справедливы неравенства

аЬ > 1, а < у < — 1 <Ь< 0.

Действительно, первая оценка имеет место в силу (4,3), а для остальных выполнено

2е 2 в , е—в 2е

?/-« =-д>°> 1+У=--1 + & = 2 —тт = —7-о м^Лч >0-

а — в а — в а — в

Оценка Ь < 0 следует го неравенств аЬ > 1 и а < —1.

Приравняем производные (3,1) пулю, тогда для всех к = 1,..., N справедливо равенство

Xк = 7

Если /дж20 = 0, к = 1,..., п, то в силу (3.2) имеет место равенство

0 = е (1+з е) ¿к — е (1—з е) ¿о0+1 — е2шк + е2шо0+1 —

_ 2

Исключим из него величины X0 и Xк+1. В силу (4.5) и первого равенства (4.3) справед-

[]

2в2Хк = \в{Ъв-^) [х2к~2+х2к+ гк] +2в21юк, 292Хк+1 = \е(Ъ9-А1) [х2к+х2к+2+гк+1]+ 2927тк+\ поэтому после приведения подобных членов равенство (4.6) принимает вид

0 = (в + е) ¿к + (в — е) ¿о0+1 — е2(1+2 7) ™к + е2(1—2 7) ш00+1 —

— (а — в) ж20-2 + 2 (а+в) ж20 — (а — в) ж20+2.

Значит,

ж20-2 + 2у ж20 + ж20+2 = V0, к = 1,..., п.

Здесь и далее используем обозначения

у0 =

Если д7/дж2м = 0, то в силу (3.3), (4.5) и первого равенства (4.3) справедливо

в(1 + Щ - 02< - 2 (| -в2) х2п + 2 (| + в +2в2) х2ЛГ = 2в2Х" =

= ±в(5в-4у) [х2п+х2М+г*] +2027<, поэтому после приведения подобных членов равенство принимает вид

(а—в) х2п — (а+в+2 е) ж2м = (в + е) ^ — е2(1+2 7) <.

n+1

о

Значит, ж2п + аж2м = Vм. (Здесь мы используем фиктивные элементы ¿М+1 = 0 и и>( 0, определенные в (2.3), и величины Vм и Vм, определенные в (4.8).) Таким образом, последнее равенство и равенства (4.5), (4.7) порождают итоговую разностную схему

ж20-2 + 2уж20 + ж20+2 = V0, к = 1,..., п,

ж2п + аж2м = Vм,

X0 = 7 (3е [ж20-2 + ж20 + ¿к] + шк), к = 1,...,N.

Первая совокупность уравнений (4,9) имеет самостоятельный характер: ее уравнения связывают между собой лишь переменные вида ж2т, причем жо = 0. Матрица системы имеет трехдиагональный вид с доминирующей диагональю (так как | у | > 1и | а | > 1, см, (4,4)), следовательно, система имеет единственное решение, которое легко найти методом прогонки. После этого из второй совокупности уравнений (4,9) явно вычисляются все значения X0. Полученные значения позволяют в конечном счете найти искомые величины г = 1,..., 2N (см, (2,1)-(2,2)), Ниже мы установим, что для решений первой системы (4,9) справедливы явные формулы (5,6),

Метод прогонки имеет линейную сложность вычислений и, безусловно, наиболее эффективен в прикладной реализации. Однако явная формула (5,6) имеет важное теоретическое значение: она позволяет в явном виде получить минимальное значение 7* функционала (1.2) и показать, что в случае гладких граничных функций величина 7* ограничена константой, не зависящей от размерности N а невязка союзного функционала (1.3) стремится к нулю с ростом N. Эти исследования и составляют оставшуюся часть настоящей работы.

§ 5. Вспомогательные утверждения о многочленах Чебышёва

Совокупность { ип(ж), ж € К }пеа, состоящую из многочленов Чебышёва 2-го рода, определяем рекурсивно: и-1(ж) = 0, ио(ж) = 1, ип-1(ж) + ип+1(ж) = 2жип(ж). Числа а, Ь, ж € К такие, что а + Ь = 2ж, порождают числа

Рп = Рп

и матрицы А(х) = и В(х) = (¿»¿¡¿(ж)), к, г = 0,1,...,п, порядка N такие, что

А

0Л ' \ йм+1 + 2ж4г + 8о,;-1, если (к,г) = (0, 0),

В (ж) = (—-П0+*/ р0(ж) ип-г(ж^ если к ^ г, В0;(Ж) ( 1) \ Цп-0(ж) Р(ж), еслик ^ г.

Теорема 1 (см. [3], теорема 2). Имеют место равенства

А(х) В(х) = Рм (ж) Е^ = В(х) А(х), где Е° — единичная матрица порядка N с элементами (Е,°)= 80;, к, г = 0,1,..., п.

Если 80; символ Кронекера такой, что 80; = 0 ПРИ к < г и = 1 при к ^ г, то,

[]

В;

В;

Заметим еще, что в силу (5.1) имеет место равенство

Рп-1

Справедливы формулы

Ро

Действительно, так как a + b = 2x, то Pk(x) = Uk(x) — bUk-i(x) = aUk_i(x) — Uk-2(x),

aPk(x) — Pfc+i(x) = а Uk(x) — abUk_i(x) — Uk+i(x) + bUfc(x) =

= ( а+b) Uk (x) — ab Uk-i(x) — 2xUk (x) + Uk-i(x) = (1 — ab) Uk-i(x),

Pk (x) — bPfc+i(x) = aUk_i(x) — Uk_2 (x) — abUk (x) + bUfc_i (x) =

= ( a+b) Uk-i(x) — ab Uk (x) — 2 xUk-i(x) + Uk (x) = (1 — ab) Uk (x).

Для решения первой системы (4,9) введем в рассмотрение вспомогательные переменные xk = x2N-2k, k = 0,1,..., N, vk = vN-k, k = 0,1,..., n, тогда

axo + xi = v0,

xk_i + 2 yxk + xk+i = Vk, k =1,...,n — 1,

xn_i + 2 yxn vn

(воспользовались тем, что xN = x0 = 0). Пусть X = col (x0,..., xn), V = col (v0,..., vn), тогда система принимает вид A(y)X = V. В силу теоремы 1 имеет место равенство PN(y)X = B(y)V, а так как b G [—1,1] (см, (4,4)), то в силу следствия 3 [3] справедливо PN(y) = 0, следовательно,

1 п —

Хк = в ( \ У2 Bki{y)vi, к = 0,1,..., п.

Pn (y) t0

Возвраящась к исходным переменным, получаем итоговую формулу

1 N -

х2к = IT £ k=l,...,N.

Pn i=i

Здесь и далее мы применяем обозначения Um = Um(y), Pm = Pm(y), Bki = Bki(y).

§ 6. Точная формула для невязки оптимального аппроксимирующего сплайна

Пусть J* — значение функционала J на решении системы (4.9). Другими словами, J* — это минимальное значение функционала (1.2) в пространстве аппроксимирующих сплайнов ст(П). Зафиксируем это решение и подставим его в формулу (2.7). Тогда

N

r = Y,Jk, у jk = ik+io + ji + %,

k=i

где

Ik = ¡ в2 [zk]2 + ¡ в2 [wk]2, Ik = Щв2[Хк]2 + §[Хк]2,

Ik = - f в2 [ x2k~2+ x2k + zk ] Xk + f в [ x2k~2 -x2k]Xk-fe[x2k~2-x2k+ wk ] Xk, Ik =4в2 [ x2k~2+ x2k + zk ]2 - | в [ x2k~2+ x2k + zk ] [ x2k~2 - x2k ] + ¿ [ x2k~2 - x2k ]2 +

+ ¡e2[x2k~2-x2k+wk]2.

Легко убедиться, что Ik = -f в2 [x2fc"2+ x2fc+ zk} Xk - § 9wkXk = -f в ( 39 [x2k~2+x2k+ zk }+wk^jXk,

Ik = 492 [x2k~2+ х2к]2 + 8в2 [x2k~2+ x2k ] zk + A92 [zk]2 - § в [x2k~2+ x2k ] [x2k~2-x2k ] -

-!кО[х2к-2-х2к]гЬ + ± [х2к-2-х2к]2Цв2[х2к-2-х2к]2 + 1е2[х2к-2-х2к]ШкЦе2 К]2

В силу (4,9) и третьей формулы (4,2) справедливы равенства

тк _ 32 10 — 45

(1+з е2) Xк

X

к _ 32

45

(1+зе2)7 зе[ж20-2 + ж20 + ¿0] +

X0

= | 0 ( 30 [ х2к~2+ х2к +гк]+ ъок ) , а следующая цепочка равенств завершается ссылкой на первую формулу (4,3):

1о+1г = -¡0

—8 е37[ж20-2+ж20]2 —16 е

ж

'-+ ж20] ¿о0 — 8е37^о°]2 —

- | 027 [х2к~2+ х2к }и>к-^ 92/угкгак - § 07 [и>к0У = -¡в(5в-^)[х2к-2+х2к]2-1в(5в-^)[х2к-2+х2к]гк-1в(5в-^)[гк]2-

- f 027 [х2к~2+ х2к] и>к - f 027^о " | НУ-Следовательно, для суммы I,0 + 7° + 7° имеет место равенетво 7° ++ 7° = с0 + +

^ = - ^ 027^о + И30-27)К]2>

где

ак = § /3 [ х2к~2+ х2к ] гк -1 0 [ х2к~2-х2к ] гк +1 02 [ х2к~2- х2к ]wk-fв2-[ ~2к~2 ' ~2к 1

ж

2+ ж20]

а

^-2 + ^ ^ _ | £ [ ж2Л-2 + ] [ ^-2 _ ^ ] + | ^ [ ^-2 _ ^ ^

а для функционала (6,1) имеет место представление

8 т

N

N

N

N

а0.

0=1 0=1

Преобразуем третье слагаемое формулы (6,4):

N N

0=1

з

0=1

N

= (/3 - 0) + (/3 + 0) £ЛоЧ

0=1 0=1 0=1

N N

+е2 (1 — 2 7) ^ ж20-Ч° — е2 (1 + 27) ^ ж20щ0 = 0=1 0=1

п N

= (в — е) ^ ж20 ¿0+1 + (в + е ж20 + о=о 0=1

п N

+е2(1 — 2 7 )£ ж20 Щ+1 — е2(1 + 2 7

ж20 .

0=о

0=1

В первой и третьей суммах заменили индекс к на к +1. Поскольку жо = 0, щМ+1 = 0, т0 все суммирования можно вести от 1 до N следовательно,

n+1

N

о

N

8

N

0=1

0=1

0=1

2

(см, определения (4,8)), Преобразуем четвертое слагаемое формулы (6,4):

з N N N N

\ = (/3 -2в + а) Е [х2к~2]2 + 2 (/?-«) ^^ + (/3 +20+а) ^ [х2*]2

NN N

= -Ь (а-^ |х2к-2]2 - 2 (а-- а (а-^ |х2к]2. к=1 *=1 *=1

Воспользовались определением (4,1) чисел а и Ь. Тогда

NN N N

-47^=ЙТ £ ^ =6 ^ ^ + 2 - + а - =

га N N га N

= Ь £ |х2к]2 + 2 ^х2к-2х2к + а ^ |х2к]2 = 2у ^ |х2к]2 + 2 Ех2к-2х2к + а [х-]2. к=0 *=1 *=1 *=1 *=1

Сначала мы заменили в первой сумме индекс к па к +1, а затем воспользовались равенствами ж0 = 0 и а + Ь = 2у (см, (4,3)), Значит, в соответствии с (4,9) имеет место цепочка равенств

NN п п

4( а в ) *=1 поэтому

1 V -х - х 1 | х

*=1 *=1 *=1

3 N п N

Е ак-а [х2ЛГ]2-Е^^ = 2 Ех^хы-^х2к-2х2к-^х2к+2х2к = Л2ЛГ

4( а - ^) ^

*=1 *=1 *=1 *=1

к к -1,

х0 = 0.

„ N п п N

= Гх2га+ах2^1х^=У^ + Л2^=^- УУкх2к,

4 (а - в) ^ 2 ^ 1 ] ^ а - в ^

N 4 N

поэтому = — '^^Укх2к. Значит, формула (6,4) принимает вид

8 NN . N 6 3 N 3 NN

= + - или £1= £ + 7 У/ЧУ^/.

а2 А^ А^ 3 ^ a2 4^4^^

В силу (5,6) и (4,8) справедливы равенства

N 1 N N

*=1 ^ *=1 г=1

„ N N „ п п

^ *=1 г=1 ^ *=0 г=0

Определим в RN вектор ы v = col(vN , vn,..., v1), z0 = col(z¿,..., zf),

w0 = col (w0,..., wf), z1 = col(zj,..., zf), w1 = col (w|;,..., wf).

(См, определения (2,3) для чисел z0k, , , wf и определение (4,8), согласно которому величины vk также зависят от граничных элементов (2,3),) Тогда в соответствии с определением чисел т, в и определениями (6,3), (6,2) чисел яk, Ik справедливы итоговые формулы

т* 4b2 J -

3N

+ {Zi,Zi)+ з {Wi,Wi) +

4b2

3N

к (zo, zo) - 4Y (zo, wo) + £ (wo, wo)+

a-P 1 /-ñ/ ч

— tm(b{v)v-v

к (zo, zo) - 4y (zo, wo) + £ (wo, wo)+ a — P

+ <Zi,Zi) + o <Wi,Wi) +

02

A

где х = в~ ¡3, ^ = 1 — з в~ 7. Применили запись через скалярное произведение в указали зависимость от параметра у и воспользовались теоремой 1, Таким образом, в терминах введенных обозначений справедлива

Теорема 2, Минимум 3* функционала (1,2) достигается на, решении, системы, уравнений (4,9), и для, него имеют место представления (6,5) через граничные элементы, (2,3).

§ 7. Поведение невязки 3* при N ^ то в случае гладких граничных условий

Пусть { 3^ } — это последовательность, в которой 3^ = 3* — минимальное значение функционала (1.2), вычисленное при заданном N.

В силу следствия 2 [3] спектры матриц А (у) и А~х(у) вещественные и справедливо

-2 (1-у) < Ло < Л1 < ... < Ап < 2(1-Н/) < 0, щ^у < Л;1 < ... < Л^1 < -^у < О

(здесь мы находимся в условиях, когда переменные с, х и в из следствия 2 [3] таковы, что с> 0, х < 0и в ^ [-1,1]: в нашем случае с =1, х— это у, а это Ь). Значит, (А — отрицательно определенная квадратичная форма ( ( А (у) V, V ) < 0 для

всех V = 0), поэтому

т _ 7* 4Ь2

JN — J ^ з N

x(z0,z0) - 47 (z0, Wo) + q(wo,wo) + (zi,Zi) + I

Полагаем далее, что po,Pi £ C2[0,1], тогда po,p1 £ C2[0,1], а в силу (2.3) и формулы Тейлора при N ^ то справедливо z^ = O(1), w^ = O(N-1), = O(1), = O(N-1). Заметим, что эти оценки равномерны по k = 1,..., N. Например,

ко I ^ i ( max I ро'(-) | + max | p/(-) |), | wk \ ^ ¿m ( max | p0"(-) | + max | p/'(-) |).

(Аналогично для | z \ | и | w f |.) Легко убедиться, что к = O(1), 7 = O(N- 1), q = O(1), поэтому слагаемые, расположенные в квадратных скобках (7.1), равны O(N), O(N- 1), O(N- 1), O(N), O(N- 1) соответственно, Значпт, = O(1), то есть последовательность { JN } ограничена.

Замечание 1. В (7.1) мы исключили отрицательно определенную квадратичную форму, и есть основание полагать, что порядок аппроксимации для последовательности { JN } может быть улучшен. Однако это не так. Например, если р0(£) = -р1(£) = t, то 2к = -шк = -шк = 0, г1 = Ш>> поэтому ук = 0, а формула (6.5) принимает вид = (21, 21) = | а2 (для всех И).

Ситуацию меняет союзная невязка (1.3). Обозначим через ^ значение функционала (1.3), вычисленное для сплайна, порожденного решением системы (4.9), и покажем, что

§ 8. Поведение союзной невязки при N ^ то в случае гладких граничных условий

В соответствии с формулой (6.1) и определениями (1.3), (1.5), (2.6), (6.2), (6.3) справедливо

= ^тах^ Д |ик = 1к + 1к + 1к + 1к = 1к + як + ак + ак,

тах 1к = тах ( ± в2 \гк}2 + I в2 \гак}2) = ОШ-2), к=1,...^ к=1,...^ V 3 1 ^ 9 1 1А /

тах^ = т^ ( |/3 [г*]2 - | + |0(30-27) [тк]2) = 0(М~2),

а для того, чтобы оцепить величины а*, а*, зависящие от термов х2к-2+ х2к, х2к-2-х2к (см. формулы (6.3)), необходимо привести последние выражения к регулярному виду. Согласно формулам (5.2), (5.3) и (5.5) для всех к, г = 1,..., N имеют место равенства

£„+-, kN . = (-1)к+^-1 Г 8> Р„+_, к иг-1 + 8> ик-2 Р„ . 1 =

N+1^ ,N-1 V ) N-г , N+ 1-к N+1-к » 1 N-к , N-1 к 2 N-г]

-1 \А;+г-1 Г р Рг-1-ЬРг ^ аРк-1~Рк р

{ Ч г_аЬ + °гк х _ ^ ^ \

В„к „. = (-1)к+ Г 8> Р„ к иг-1 + 8> ик-1 Р„ . 1

N — k ^-г \ ; I N —г-1, ^к ^к г 1 ^к ,N-1 к 1 N-гj

(-1)*+* 8> Р Рг~1~ЬРг +8> Рк~1~ЬРк Р { Ч х_аЪ х_аЪ ^

(применили легко проверяемые равенства 8^-г N+1-fc = 8^-.-1 N-k = 8*11 ¿и 8^-к N-. = следовательно, в силу (5.6) для всех к = 1,..., N (в том числе для к = 1; в этом случае

х0 = 0

х2к 2 + х2к = — Е ВМ Vг = Е Скг'1?)

N ¿=1 ¿=1

ЛГ N

х2к~2 - х2к = ^ Е = £

р ^_^ у N+1 — k,N-г N-k,N-i ^ " 1 _аЬ

N ¿=1 ¿=1

где

с« = ту ( ем [ - ] [ Д-1- ЬД] + [ (1 - а) (1 -6) Р, ] Р^),

Утверждение 1. Длл любых к, г = 1,..., N справедлива оценка С° > 0. к > г, то Ск, > 0, о иначе С^ < 0.

Доказательство, Пусть О* = (—1)* Р*, к € Ъ, тогда легко убедиться, что

+ [ (1 - Ь) О - (1 - а) д*-! ] ,

Ь

+ [ (1+ь ) О + (1+а) О*-1 ] •

В силу (5,4) справедливо равенство Рк-1 — 2уР* + Рк+1 = 0, поэтому числа О* удовлетворяют линейному рекуррентному уравнению дк-1 + 2у + дк+1 = 0 с начальными условиями О0 = 1, д1 = — а (имеем О0 = Р0 = и0 — Ь и-1 = 1, д1 = —Р1 = —и1 + Ь и0 = —2у+Ь = — а), причем у < —1. Следовательно, непосредственной проверкой убеждаемся, что для всех к € Ъ

^¿(А^Ч^-Д-^-бА^), гДе \=-у + и.

Также легко проверить, что г = Л-1 = — у — V, 1 + 2уА + Л2 = 0 и 1 + 2уг + г2 = 0 (значит, 0 < г < 1 < Л), Таким образом,

для чисел О* имеет место альтернативное

представление

^ = с0А к+1+С1тк+\ где с0 = ^

Так как со + с\ = ^ (г —Л) = — Ъ > 0 и

0)С1 =

(см. оценки (4.4)), то с0 > 0, с1 > 0. Следовательно, О* > 0. Справедливы цепочки равенств

с0(а+Х) = ^ (а + аЬг + Х + Ь) = ^ (2у + аЬг + X) = ^ (2уХ + аЬ + X2) = ^(аЬ-1),

сг(а+г) = (а+аЪХ+г+Ъ) = (2у+аЪХ+г) = (2уг+аЪ+г2) = (аЬ-1), а поскольку Л > г и имеют место оценки (4.4), то для всех к € N

адк.г+дк = Со (а+А) Хк + С1 (а+г) = £ (аб -1) [ А*"1- г*"1 ] ^ 0,

— ЬОк = —Ь [ад*-1 + Ок] +

Значит, С^з > 0. Также легко проверить, что со(1 + ЬХ) = — ^ (аЬ —1), С\(1 + Ьг) = (аЪ — 1), поэтому

(1+ Ь) О + (1 + а) = [С0 (а + Л) + С0 (1 + ЬЛ)] Л* + [С1 (а+г) + 01(1 + Ьг)] г* =

2и

что и доказывает вторую часть утверждения.

Утверждение 2. Для любых к, г = 1,..., N справедливо ^ С^.

Доказательство, 1, В силу (8,3) для всех всех к = 1,..., п справедливо

— °у = ( 1 — Ь ) [°к:+1Ога-к: — °у-к ] + ( 1 — а ) [°к-1°у-к — •

Обозначим выражения, стоящие в квадратных скобках, через и . Тогда в силу (8,4) ^ = (Со Лк+2+ С1 гк+2 ) (Со Лга-к+1+ С1 гга-к+1) - (Со Лк+1 + С1 гк+1) (с0 Лу-к+1 + С1 г^) =

= СоС^ лк+2гга-к+1 + гк+2Лга-к+1 - Лк+1гу-к+1 - гк+1Лу= С0С1 (Л-г) [ гп-2к - Лп-2к], ^ = (Со Лк + С1 гк ) (Со Лу-к+1 + С1 гу-к+1) - (СоЛк+1 + С1 гк+1) (Со Лп-к+1 + С1 гп-к+1) =

= СоС^ Лк гу-к+1 + гк Лу-к+1 - Лк+1гга-к+1 - гк+1Лга-к+^ = СоС1 (Л - г) [ Лу-2к - гу-2к ]. Следовательно, в силу (8,5) и очевидного равенства Л - г = 2 V имеем

(С°+1;к+1 - С&) О = Со С1 ( Л - г ) ((1 - Ь) [ гп-2к - Лп-2к ] + (1 - а) [ Лу-2к - гу-2к ] ) =

= ±(аЬ-1) ([1-а-(1-6)г] А""2* + [ а-1 + ( 1 — 6)Л] г"~2к Так как а + Ь = 2у, Л + г = -2у, то а + Ь + Л + г = 0, поэтому

1 - а-(1 - Ь) г = Ь + Л + 1 + Ьг = (1 + Л) (1+Ьг) = 2 vc0 (1 + Л),

а -1 + (1 -Ь)Л = -Ь - г - 1 - ЬЛ = -(1+г) (1+ЬЛ) = 2vcl (1+г), (СЮ+1,^1 - С&) Оу = (аЬ -1) [ Со (1 + Л) Лу-2к + С1 (1+г) гу-2к ] > 0,

С?1 <С202 <...<Су.

2, В силу (8,3) и (8,6) для всех к = 1,..., п и г > к справедливо

(Скок - С&) Оу = [ (1 - Ь) Ок - (1 - а) Ок-1 ] [ Оу-к - ] > 0, со <Сок <СУу •

3, В силу (8,3) для всех к = 2,..., N справедливы равенства

Со,к-1 = [Фу-к + °у+1-ь] [- - /Оу = [°у-к + °у+1-ь] [а°к-1 + /Оу ,

поэтому

(со,к-1 - С& ) Оу = [Оу-к + Оу+1-к ] [а Ок-1] - [ (1 -Ь) Ок - (1-а ) Ок-1 ] Оу-к =

1-к + ОУ+1-к + Ь °у-к + =

= а (Со Лк + С1 гк ) (Со Лу-к+2 + С1 гу-к+2) + (Со Лк+1 + С1 гк+1) (Со Лу-к+2 + С1 гу-к+2) + + Ь (Со Лк+1 + С1 гк+1) (Со Лу-к+1 + С1 гу-к+1) + (Со Лк + С1 гк ) (Со Лу-к+1 + С1 гу-к+1) = = с2 Лу+^ 1 + 2уЛ + Л2} + СоС^ [2 + аЛ + Ьг] Лу-2к+1 + [2 + ЬЛ + аг] гу-2к+^ +

+с1 гу+^ 1 + 2 уг + г2}.

Выражения, стоящие в фигурных скобках, равны нулю. Обозначим коэффициенты, стоящие в квадратных скобках, через ко и к1. Тогда ко + к1 = 4+( а+Ь) ( Л+г) = 4-4у2 < 0 и

кок1 = 4 + 2 ( аЛ + Ьг + ЬЛ + аг ) + (аЛ + Ьг) ( ЬЛ + аг) =

= 4 + 2 ( a + b)( Л + r) + abA2 + b2 + a2 + ab r2 =

= 4 - 8 y2 + ab (A - r )2 + (a + b )2 = 4 - 8 y2 + 4 ab (y2 -1) + 4 y2 = 4( ab -1) (y2 -1) > 0,

следовательно, к0 < 0, к < 0. Таким образом, C0fc-1 < C£fc ^ CNN для всех k = 2,..., N.

4. В силу (8.3) и (8.6) для всех i = 2,..., n и k > i справедливо (C&-1 - Cfc0i-1) Qn = [ (Qn-í- QN-k) + (Qn+i-í- )] [ - Qi-2- bQi-1 ] > 0,

Cfc,í-1 < Cí,í-1 < Cw < CNN •

Утверждение 3. Для, любых k, i = 1,..., N справедливо | C^ | ^ - C^.

Доказательство. 1. Согласно утверждению 1 все числа C¿fc отрицательные, а в силу представления (8.3) для всех k = 1,..., n справедливо

)Qn = (1+b) [Qfc+1Q

ra-fc Qfc QN-k ] - ( 1 + a ) [Qfc-1QN-k - QfcQn-fc] .

Выражения, стоящие в квадратных скобках, — это числа íQ и íf из утверждения 2, поэтому

(C¿+1>fc+1 - C^) Qn = С0 С1 ( A - r) ((1+b) [ rn-2fc - An-2fc ] - (1+a) [ AN-2k - rN-2k ] ) =

= ± (ab -1) (-[l+a + (l + b)r] \N~2k + [ l + a+( 1 + 6) A] rN~2k

Воспользовались равенствами (8.5) и A - r = 2 v. Так как a + b + A + r = 0, то

1 + a + (1 + b)r = -b - A + 1 + br = (1 - A)(1 + br) = 2veo (1 - A),

1 + a + (1 + b) A = -b - r + 1 + bA = (1 - r) (1 + bA) = -2vc1 (1 - r),

(C+1;fc+1-C¿fc) Qn = (ab-1) [C0 (A-1) AN-2k -C1 (1-r) rN-2k ] = (ab-1) [Qn-Qn-2k].

Поскольку Q0 - Q-1 = Q0 + Q1 + 2yQ0 = 1 - a + 2y = 1 + b > 0, то Q-1 < Q0. В силу третьей оценки (8.6) имеем Q0 < Q1 < Q2 <..., поэтому при N - 2k ^ 0 справедливы неравенства Qn-2k < QN-2k и Сl+i к+\ > С1к• Другими словами, если т = , то

0 > Cm+1,m+1 > Cmm > . . . > Сц.

Зафиксируем k = m + 1,..., N, и пусть I = N + 1 - k. Очевидно, 1 £ { 1,..., N - m }, причем N - m ^ m + 1, поэтому СЦ ^ CjL1. С другой стороны,

( CL- C¿ ) Qn = [ ( 1+b ) Qfc + ( 1+a ) Qfc-1 ] Qn-k - [ ( 1+b ) Qn+i-k + ( 1+a ) Qn-k ] Qfc-1 =

= (1+b) [QfcQN-k - Qk-1QN+i-k ] = (1+b) ?0fc-1 = (1+b) соC1 ( A-r) [rn-2fc+2 - An-2fc+2].

Воспользовались определением и формулой для чисел íQ (см. первый пункт утверждения 2). Так как A > r и k ^ I, то

(CL - С1) Qn = (1+b) со С1 ( A - r) [ rl-fc - Al-fc ] =(1+b) cq C1 (A - r) [ Afc-1 - rfc-1 ] ^ 0.

Таким образом, 0 > C¿fc ^ ^ C^ для всex k = m +1,..., N.

2. В силу (8.3), (8.7), (8.6) и утверждения 1 для всех k =1,...,nni>k справедливо

( - CL ) Qn = [ (1+b ) Qfc + ( 1+a ) Qfc-1 ] [ Qn-- Qn-k ] > 0, 0 >C1i >C1fc ^ Oh.

3, Согласно (8,3) для всех к = 2,..., N справедливы равенства

= [ОУ+1-к - ОУ-к ] [ - - /Оу = [°у+1-к - °у-к ] [а°к-1 + / °у ,

(ск,к-1 + с^) Оу = [Оу+1-к- Оу[аОк-1++ [(1+Ь) Ок + (1+а) Ок-1 ] Оу-к =

= а°к-1°у+1-к + °у+1-к + Ь °у-к + 1О У-к •

Последнее выражение совпадает с выражением (8,8), которое в силу третьего пункта утверждения 2 отрицательно, следовательно, + С^ < 0, поэтому 0 < <

- < - С11.

4, В силу (8,3), (4,4) и (8,6) для всех г = 1,..., п-1 и к > г справедливо

(Ск+1,г - Скг) °у = [( °у-к - °у-1-к ) - ( ОУ+1-к - ОУ-к ^ [ - °г-1 - Ь =

= [2Оу-к + 2уОу-к] [- дг_1 - ЬОг] = 2(1+у)Оу-к [- дг-1 - Ьдг] < 0.

Следовательно, 0 < Су. < ... < С1+2^ < < -С1+1^+1 < -С^ при всех г =

1,..., п — 1.

В силу определений (8,3) справедливы соотношения

-С1! = -[ (1 + Ь) О1 + (1 + а) Оо ] Оп/Оу = (аЬ -1) Оп/Оу < аЬ -1,

с°у = 1 - Ь - (1 - а) Оп/Оу < 1 - Ь +(1 - а )(1 + Ь) / (1 + а ) = 2(1 - аЬ) / (1 + а).

Воспользовались оценкой (8,7), согласно которой -/Оу < (1 + Ь) / (1 + а). Следовательно,

N о N р. N 1 N

I - 1 уу ^ 1 1 1+ а 1 й + в ^ 1 1 й + в^1 "

ab -1 1 1 + a 1 9 + в . .

! N N i N

Ix2*~2 - x21«тг^ с» E ii < E ii = ^ E i"" i

i=1 i=1 ^ i=1

Г = 9 (4 — Z+1)+ + в4+1 — 92( 1+2 Y) wi + 92(1—2 7) w^+1 = O(N-2), г =

N n

= (в + 9) — 92(1 + 2y) wN = O(N-1), ^ | Г | = X] I Г I + I | = O(N-1).

Итак, | x2k 2 + x2k | = O

дах^ = 0(N~2), Дах^ = 0(N~2), ff Jk = 0(N~2), = О(ЛП).

Таким образом, для любого е > 0 найдутся размерпость N и сплайн u G aN (П) (порожденный решением системы (4.9)) такие, что max || aut — bugg || L2(Пк) < е.

Список литературы

1. Родионов В.И. О применении специальных многомерных сплайнов произвольной степени в численном анализе // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 4. С. 146-153.

2. Родионов В.И., Родионова Н.В. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего уравнения теплопроводности // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. Вып. 4. С. 154-171.

3. Родионов В.И., Родионова Н.В. Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной простейшим уравнением теплопроводности // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 3. С. 141-156.

4. Родионова Н.В. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего волнового уравнения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 1. С. 144-154.

5. Родионова Н.В. Точное решение одной задачи оптимизации, порожденной простейшим волновым уравнением // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2014. Вып. 1. С. 141-152.

6. Родионов В.И. Об одном методе построения разностных схем // Вестник Тамбовского университета. Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. Вып. 5. С. 2656-2659.

7. Rodionov V.I. On exact solution of optimization problem generated by simplest transfer equation // Современные компьютерные и информационные технологии: сборник трудов международной научной Российско-Корейской конференции. УрФУ. Екатеринбург, 2011. С. 132-135.

Поступила в редакцию 17.10.2013

Родионов Виталий Иванович, к.ф.-м.н., декан факультета, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. E-mail: rodionov@uni.udm.ru

V. I. Rodionov

On solution of one optimization problem generated by simplest heat conduction equation

Keywords: heat conduction equation, interpolation, approximate spline, tridiagonal matrix, Chebyshev's polynomials.

MSC: 41A15

The solution of boundary value problem for the simplest heat conduction equation defined on a rectangle can be represented as the sum of two terms which are solutions of two boundary value problems: in the first case, the boundary functions are linear, while in the second case, the initial function is zero. This specificity allows us to apply two-dimensional splines for the numerical solution of both problems. The first problem was studied in previous papers where an economical algorithm was obtained for its numerical solution with linear computational complexity. This fact served as the basis for similar constructions in solving the second problem. Here we also define the finite-dimensional space of splines of Lagrangian type, and as a solution, we suggest the optimal spline giving the smallest residual. We have obtained exact formulas for the coefficients of this spline and its residual. The formula for the spline coefficients is a linear form of initial finite differences on the boundary. The formula for the residual is the sum of five simple terms and a negative definite quadratic form of new finite differences defined on the boundary. The entries of the matrix of the form are expressed through Chebyshev's polynomials, the matrix is invertible and is such that the inverse matrix has a tridiagonal form. This feature allows us to obtain upper and lower bounds for the spectrum of the matrix and to show that the residual is bounded by a constant independent of the dimension N. It is shown that the associated residual tends to zero with increasing N. Thus, the obtained optimal spline should be considered the pseudosolution of the second problem.

REFERENCES

1. Rodionov V.I. On application of special multivariate splines of any degree in the numerical analysis, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 2010, no. 4, pp. 146-153 (in Russian).

2. Rodionov V.I., Rodionova N.V. Exact formulas for coefficients and residual of optimal approximate spline of simplest heat conduction equation, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2010, no. 4, pp. 154-171 (in Russian).

3. Rodionov V.I., Rodionova N.V. Exact solution of optimization task generated by simplest heat conduction equation, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2012, no. 3, pp. 141156 (in Russian).

4. Rodionova N.V. Exact formulas for coefficients and residual of optimal approximate spline of simplest wave equation, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2012, no. 1, pp. 144-154 (in Russian).

5. Rodionova N.V. Exact solution of optimization task generated by simplest wave equation, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2014, no. 1, pp. 141-152 (in Russian).

6. Rodionov V.I. A method for constructing difference schemes, Vestnik Tambovskogo Universiteta. Estestvennye i Tekhnicheskie Nauki, 2013, vol. 18, no. 5, pp. 2656-2659 (in Russian).

7. Rodionov V.I. On exact solution of optimization problem generated by simplest transfer equation, Sovremennye Komp'yuternye i Informatsionnye Tekhnologii: Tez. Dokl. Mezhdunarodnoi Konferentsii (Advanced Computer and Information Technologies: Abstracts of Int. Conf.), Ural Federal University, Yekaterinburg, 2011, pp. 132-135.

Received 17.10.2013

Rodionov Vitalii Ivanovich, Candidate of Physics and Mathematics, Dean, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia. E-mail: rodionov@uni.udm.ru