Математическая модель движения твердого ядра Земли

УДК 51-72

С. И. Исаева, В. В. Шайдуров

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ЯДРА ЗЕМЛИ

Аннотация. Предлагается новая математическая модель движения твердого внутреннего ядра Земли, основанная на гравитационном взаимодействии Солнца, Луны, Земли и ядра, как отдельного небесного тела. На ядро также действуют дополнительные силы, обусловленные взаимодействием твердого ядра с другими слоями Земли. Полученная система обыкновенных дифференциальных уравнений решена методом Мерсона с контролем точности и устойчивости вычислительной схемы.

Ключевые слова: внутреннее ядро Земли, математическая модель, метод Мер-сона, устойчивость.

Abstract. The authors suggest a new mathematic model of the Earth’s inner solid core movement. This model is based on the gravitational interaction of the Sun, Moon, Earth and the core as a separate celestial body. The core is induced by extra force resulting from the interaction between the core and other Earth layers. The authors solve the obtained ordinary differential equations by applying the Merson method with computational scheme accuracy and stability control.

Key words: the Earth’s inner core, mathematic model, Merson method, stability.

Введение

Функционирование отечественной спутниковой радионавигационной системы ГЛОНАСС, интенсивное развитие которой происходит в настоящее время, невозможно без детальной информации о гравитационных аномалиях Земли, одним из источников которых является земное ядро.

В 1936 г. было установлено, что в центре Земли находится твердое внутреннее ядро, окруженное жидким расплавом. А в 1996 г. была опубликована первая работа [1], где сообщалось о сейсмологическом доказательстве существования явления дифференциального вращения твердого внутреннего ядра Земли. То есть установлено отличие вращения твердого ядра от вращения Земли в целом.

Внешнее жидкое ядро начинается на глубине 2900 км и заканчивается на глубине 5150 км [2]. Дальше находится твердое внутреннее ядро. На сегодня изучение движения внутреннего ядра Земли осуществляется тремя способами. Первый способ основан на обработке сейсмических данных, второй -на анализе результатов лабораторных экспериментов, а третий базируется на методах математического моделирования.

Существующие математические модели рассматривают движение внутреннего ядра Земли в поле тяготения твердой оболочки Земли и жидкого внешнего ядра [3-5]. Решается гидродинамическая задача взаимодействия твердого внутреннего ядра и жидкого внешнего ядра. Влияние Солнца и Луны учитывается лишь исходя из аналитических приближений.

В данной работе рассматривается движение внутреннего ядра Земли как отдельного небесного тела, взаимодействующего как с Солнцем и Луной, так и с другими слоями Земли. Целью работы является математиче-

ское моделирование движения твердого внутреннего ядра Земли и выбор метода для численного решения полученной дифференциальной задачи Коши.

1. Математическая модель

Наиболее простая физическая модель движения твердого ядра включает в себя четыре объекта - Солнце, Луну, Землю в целом и отдельно твердое внутреннее ядро Земли. Поскольку расчеты ведутся в гелиоцентрической системе координат, то Солнце считается неподвижной точкой с массой msun , оказывающей гравитационное воздействие на три остальные объекта.

В предлагаемой модели Луна представляет собой точку с массой ттС1С1П , двигающуюся в поле тяготения Солнца и Земли.

Предполагается, что Земля в целом имеет массу теаггь и вращается с постоянной угловой скоростью, а положение ее центра масс в пространстве совпадает с положением материальной точки массой теаг1:ь, двигающейся в поле тяготения Солнца и Луны.

Твердое внутреннее ядро рассматривается как отдельное небесное тело, находящееся внутри шара из вращающейся вязкой жидкости с плотностью Рцди^ . Ядро моделируется шаром фиксированного радиуса Ксоге со сферически симметричным распределением плотности рсоге и массой тсоге . Его вращение вокруг собственной оси в обсуждаемой модели во внимание не принимается. Допускается его текущее смещение от центра Земли в целом, точнее, от центра условной сферы, ограничивающей поверхность Земли. Поэтому учитывается вращение его центра вокруг текущей оси суточного вращения Земли. Поскольку движение твердого ядра осуществляется в жидкой среде, то учитывается также сопротивление жидкости, пропорциональное скорости перемещения твердого ядра относительно окружающей среды.

В итоге на твердое внутреннее ядро Земли в настоящей модели действуют следующие силы.

1. Гравитационная сила Солнца, действующая на ядро, равна

К = -От т —соге

± 1 у-'"^т'псоге . ,з

где гсоге - радиус-вектор между Солнцем и центром тяжести ядра; О - гравитационная постоянная.

2. Гравитационное воздействие Луны на ядро задается соотношением

^2 = ~Оттооптсоге

где гтот - радиус-вектор между Солнцем и Луной.

3. Сумма гравитационных сил и сил гидростатического давления остальной части Земли, называемая силой Шлихтера, равна

F3 = —nGmc

ep liquid

1- -

P

J"core (center of earth

core у

где ?сепего/еанН - радиус-вектор от Солнца до геометрического центра Земли, вычисляемый по формуле

( 4 3

1 — _^П3

3'

rcenterof earth I mearthrearth 3 ^Rcore (pcore pliquid ')r'core /3 ^Rearthp liquid

4. Центробежная сила, действующая на ядро ввиду смещения его центра от оси вращения Земли в целом, равна

F4 = \_w,[ w, [core - rearth ] mcore = |w| (a(a, rcore - rearth ) - (rcore - rearth ))mcore ,

где a =

w

w

w = 2к / сутки - угловая скорость Земли относительно оси суточ-

ного вращения.

5. Экваториальная составляющая силы сопротивления перемещению твердого ядра относительно окружающей его жидкости равна

F5 =- Л

vcore vearth [w, [c

" rearth.

{

\

X(1 _ \rcore - rearth I) / ^-core ,

x

где Усоге , УеаНь - скорости ядра и центра масс Земли соответственно; ^ -некоторый коэффициент сопротивления окружающей жидкости.

Отметим, что

i і k

[w, [core rearth . = w [ fcore-rearth ]= w ax ay az

Arx Afy Afz

причем вектор а||# и \а\ = 1.

Итоговая система дифференциальных уравнений, описывающая в рамках предложенной модели орбитальное движение Земли, Луны и твердого внутреннего ядра Земли, выглядит следующим образом:

m d rearth = - Gm m , rearth - Gm , m rearth rmoon

,nearth , 2 KJ,nsun'nearth , i3 earth"lmoon

dt2

\rearth I

\rearth 1

m

dt

moon = -Gm m -

2 KJ,nsun"lmoon

Gmearthmmoon"

" rearth

,

" rearth

mcore—= Fi + F2 + F3 + F4 + F5. dt2

Далее систему дифференциальных уравнений второго порядка (1) сведем к системе дифференциальных уравнений первого порядка, обозначая ^еанИ , ^тооп , Усоге - скорости Земли, Луны и ядра соответственно:

earth

= vearth ,

earth _ rearth Gm rearth rmoon

1'*'*СИИ Л л

dt

\rearth I

|rearth 1

dm

dvmoon = -Gm rmoon - Gm rmoon rearth

sun . .з earth . ,з

dt

rearth

drc,

=v

dVconL = —( F1 + F2 + Fз + F4 + F5). dt m

Для задания движения Луны и Земли в целом необходимы 12 начальных условий: 3 координаты и 3 компоненты скорости для каждого объекта, которые взяты нами из астрономических данных. Для определения траектории движения ядра необходимы 6 начальных условий: 3 координаты и 3 компоненты скорости. В координатах задается начальное отклонение от центра Земли. Компоненты скорости должны учитывать как его орбитальное движение вокруг Солнца, так и составляющую от вращения твердого ядра вокруг оси суточного вращения Земли ввиду его отклонения от условного центра Земли, т.е. начальные скорости движения ядра и геометрического центра Земли связаны соотношением

vcore v earth + [ w, rc

" rearth \

2. Выбор численного метода

Устойчивость численного метода исследуется на линейном скалярном уравнении

у' = Ху, у(0) = Уо, г >0,

с комплексными Х,Яе(Х) < 0.

Применяя численную схему для решения данной задачи, получим

Уп+1 = 2(г) Уп,

где г = ИХ, И - шаг интегрирования; 2(г) - функция устойчивости.

Условие устойчивости имеет вид

2(г)| < 1.

moon

4з

Для выбора численного метода решения полученной задачи Коши (2) была исследована матрица Якоби системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Среди собственных чисел матрицы Якоби имеются отрицательные, положительные и мнимые собственные числа. Следовательно, метод интегрирования должен быть устойчивым в левой полуплоскости комплексной плоскости, причем модуль функции устойчивости должен быть равен единице на мнимой оси. Такими свойствами обладает известный пятистадийный метод Рунге - Кутта - Мерсона четвертого порядка точности [6], который имеет вид

1I 2, 1 ,

уп+1 = уп +— к1 +— к4 +— к5 ;

6 3 6

*1 = ¥ (Уп); к2 = ¥ ^ Уп + 3 *1 ^; к3 = ¥ ^ Уп + 6 к + 6 к2 ^;

к4 = ¥

Пятое вычисление правой части не дает увеличение порядка с четвертого до пятого, однако позволяет расширить интервал устойчивости до 3,5 [7]. Из анализа неравенства |2(г)| < 1 следует, что область устойчивости метода Мерсона достаточно велика как по вещественной, так и по мнимой оси комплексной плоскости г = ИХ . Это позволяет использовать этот метод при решении задач, в которых собственные числа матрицы Якоби имеют большую мнимую часть, как в нашем случае.

Для контроля точности метода применяется неравенство из работы [8]:

а для контроля устойчивости - из работы [7]:

1<г< N

Алгоритм реализован на языке С++.

Решения полученной системы отличаются сильной разномасштабно-стью. Поэтому при численном интегрировании этой системы дифференциальных уравнений необходима повышенная точность арифметических операций, что достигается применением QD-библиотеки [9].

Заключение

Проведенные численные эксперименты показали, что время выхода на стационарную орбиту твердого ядра относительно центра Земли сильно зависит от сопротивления окружающей его жидкости ^ . Один из примеров рассчитанной траектории движения ядра вокруг центра Земли представлен на рис. 1. Поэтому необходимо дальнейшее уточнение параметра сопротивления ^ либо из физических принципов, либо путем решения некоторых обратных

задач.

Рис. 1. Траектория движения внутреннего ядра Список литературы

1. Song, X. Seismological evidence for differential rotation of the Earth’s inner core / X. Song, P. G. Richard // Nature. - 1996. - V. 382. - P. 221-224.

2. Добрецов, Н. Л. Глубинная геодинамика / Н. Л. Добрецов, А. Г. Кирдяшкин, А. А. Кирдяшкин. - Новосибирск : Изд-во СО РАН. Филиал «ГЕО», 2001.

3. Пасынок, С. Л. О полярных колебаниях внутреннего ядра Земли в поле сил тяжести и гидростатического давления / С. Л. Пасынок // Труды ГАИШ. - М. : МГУ : ГАИШ, 1996. - Т. LXV. - С. 130-135.

4. Григорьев, Ю. М. О влиянии приливных деформаций на вращение внутреннего ядра Земли / Ю. М. Григорьев, О. Е. Скрябина // Тезисы докладов. - Новосибирск, 2009. - С. 56-67.

5. Баркин, Ю. В. К динамике твердого ядра Земли / Ю. В. Баркин // Труды ГАИШ. - М. : МГУ : ГАИШ, 1996. - Т. LXV. - С. 136-145.

6. Merson, R. H. An operational methods for integration processes / R. H. Merson // Proc. of Symp. on Data Processing. Weapons Research Establishment. - Salisbury, Australia, 1957.

7. Новиков, Е. А. Явные методы для жестких систем / Е. А. Новиков. - Новосибирск : Наука, 1997. - 197 с.

8. Демидов, Г. В. Об одном способе контроля точности при интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. В. Демидов, Е. А. Новиков // Теоретическая электроника. - 1984. - № 37. - С. 57-65.

9. Yozo Hida. Quad-double arithmetic: Algorithms, implementation, and application / Yozo Hida, Xiaoye S. Li, David H. Bailey. // Technical Report LBNL-46996 (Lawrence Berkeley National Laboratory, Berkeley, CA 94720, October 2000). - Berkeley, 2000.

Исаева Светлана Ивановна старший преподаватель, кафедра математического обеспечения дискретных устройств и систем, Сибирский федеральный университет

E-mail: sv.is@mail.ru

Шайдуров Владимир Викторович

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук

E-mail: shidurov@icm.krasn.ru

Isayeva Svetlana Ivanovna

Senior lecturer, sub-department of Software

for Discrete Devices and Systems,

Siberian Federal University

Shaydurov Vladimir Victorovich Doctor of physical and mathematical sciences, corresponding member of the Russian Academy of Sciences, Institute of computational SB RAS

УДК 51-72 Исаева, С. И.

Математическая модель движения твердого ядра Земли / С. И. Исаева, В. В. Шайдуров // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 1 (17). - С. 40-46.