Определение массогеометрических характеристик элементов баллистических летательных аппаратов

УДК 681.518.5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАССОГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

В.Б. Федоров, И.Ф. Юрин

DETERMINATION OF MASS-GEOMETRIC CHARACTERISTICS OF BALLISTIC AIRCRAFT

V.B. Fyodorov, I.F. Yurin

Предложен подход к определению маесогеометричееких характеристик элементов баллистического летательного аппарата. Показано, что для определения всех массогеометрических характеристик двух элементов необходимы максимум три цикла измерения массогеометрических характеристик баллистического летательного аппарата в целом. Поставлена задача вычисления такой пространственной ориентации элементов баллистического летательного аппарата, которая удовлетворяет требованиям конструкторской документации к массогеометрическим характеристикам всего аппарата. Предложен подход к ее решению.

Ключевые слова: баллистический летательный аппарат, массогеометрические характеристики, тензор инерции, центр масс.

An approach to determine the mass-geometric characteristics of the elements of the ballistic flight vehicle. It is shown that for the determination of all mass-geometric characteristics of the two elements are needed maximum of three cycles of measuring the massgeometric characteristics of the ballistic flight vehicle as a whole. Proposed the problem of calculating the orientation of the elements of the ballistic flight vehicle that meets the requirements of the design documentation to the massgeometric characteristics of the flight vehicle. An approach to its solution.

Keywords: ballistic flight vehicle, massgeometric characteristics, inertia tensor, center of mass.

Существует способ изменения (коррекции) массогеометрических характеристик объектов путем перераспределения массы. Под массогеометрическими характеристиками (МГХ) понимаем три осевых и три центробежных момента инерции, массу, координаты центра масс. Применительно к баллистическим летательным аппаратам (БЛА) данный способ изменения МГХ может быть реализован за счет перемещения внутри БЛА какого-либо одного массивного тела (элемента) с собственным эллипсоидом инерции, соизмеримым с эллипсоидом инерции всего БЛА (см. рисунок). В качестве такого перемещаемого тела может выступать полезный груз БЛА.

Для осуществления коррекции МГХ БЛА подобным способом необходимо решить две задачи:

1. Определение МГХ элементов (полезного груза и корпуса) БЛА.

2. Определение пространственной ориентации элементов БЛА, удовлетворяющей нормируемым в конструкторской документации номинальным параметрам МГХ всего БЛА.

Вопросы контроля МГХ для баллистических аппаратов с постоянными МГХ подробно рассмотрены в работах [1-4]. Поэтому предлагается, осуществлять контроль МГХ БЛА с изменяемыми МГХ с использованием способов определения МГХ БЛА с постоянными МГХ. Предлагаемый подход по сути своей является параметрической идентификацией системы и заключается в том, что для сбора информации о МГХ элементов нужно провести несколько циклов полного определения МГХ для БЛА с зафиксированными элементами, при этом на каждом цикле измерения в положение элементов вносится изменение. БЛА с зафиксированными элементами предлагается рассматривать как твердое тело с соответствующими МГХ. По завершению измерений производится вычисление значений МГХ элементов по предложенной авторами в данной статье методике.

Подобная задача в похожей постановке решалась Ивановым И.И., Тверским М.М. [2, с. 168— 175] в контексте получения дополнительной информации на балансировочном стенде о теле мето-

дом последовательного вращения вокруг трех осей. Методика Иванова и Тверского позволяет определять моменты инерции ^ 7^ и продольную координату центра масс (ЦМ) х перемещаемо-

го элемента (в текущей постановке задачи это полезный груз, перемещаемым элементом был сам БЛА, а вместо корпуса выступала дополнительная оснастка). Авторы данной статьи используют подобный подход при несколько иной и более общей постановке задачи.

Полагаем, что на измерительном стенде за один цикл измерений можно определить координаты центра масс БЛА и тензор инерции БЛА в конструкторской системе координат, масса БЛА определяется заранее. Кроме того, заранее возможно определить массу корпуса и тензор инерции корпуса БЛА, массу перемещаемого груза. Определение же тензора инерции перемещаемого груза, в виду отсутствия у него удобных для базирования поверхностей, в условиях производства будет затруднено. Считаем, что взаимное положение элементов БЛА может устанавливаться с большой точностью.

Гскп

Баллистический летательный аппарат с изменяемыми массогеометрическими характеристиками

Рассмотрим задачу определения МГХ элементов БЛА в трех различных случаях:

1. Производится необходимое число циклов измерения полного комплекса МГХ БЛА.

2. Производится необходимое число циклов измерения полного комплекса МГХ БЛА и заранее проведены измерения массы перемещаемого груза (либо массы корпуса).

3. Производится необходимое число циклов измерения полного комплекса МГХ БЛА, заранее проведены измерения тензора инерции корпуса, положения центра масс корпуса и массы корпуса.

Введем системы координат:

• Охуг - конструкторская система координат (КСК), связанная с корпусом БЛА. Ось Ох в общем случае не параллельна оси приведения, а начало координат в общем случае не совпадает с центром масс корпуса или БЛА;

• ОкХкУ&к - система координат, оси которой параллельны осям Охуг, начало координат совпадает с центром масс корпуса БЛА;

• ОцХцу^п - конструкторская система координат, связанная с полезным грузом. Начало координат Ои в общем случае не совпадает с центром масс полезного груза;

• OrXryrZr ~ система координат, оси которой параллельны осям Оп-ХдУпЗгь начало координат совпадает с центром масс полезного груза;

• OcxcycZc - система координат, ось Осхс которой связана с осью приведения, две другие оси дополняют систему до правой тройки, начало координат Ос совпадает с номинальным положением ЦМ БЛА.

Положение начала <9П СК ОгйхУп^п в СК Oxyz определяется вектором гскп .

Взаимное положение элементов БЛА (корпуса и полезного груза) определяется матрицей поворота А1 и вектором переноса гскп и является преобразованием из СК OnXuynZn в СК Oxyz.

Преобразование из Oxyz в ОсхсУс%с определяется матрицей поворота А2 и вектором переноса гБЛА .

Положение координаты ЦМ БЛА в целом и положение ЦМ корпуса задается соответственно векторами гБЛА, г в Oxyz, положение координаты центра масс полезного груза задается векто-

ром гпгр в OuxuynZu (СМ. рисунок).

Из условия равенства статических моментов элементов БЛА можно записать выражения:

Мкор гкор + Мп гр А1 гпгр + Мп гр гскп = гБЛА МБЛА ,

где Мкор - масса корпуса БЛА; Мп гр - масса перемещаемого полезного груза БЛА; МБда - масса БЛА в целом:

^БЛА ^кор ^п.гр '

Положение координат полезного груза исходя из нормируемых координат ЦМ БЛА и известных координатах ЦМ корпуса:

/а-i . \ ^ББ ГББ “ ^кор Гкор

М п.гр

В равенстве (1) МБЛА - величина известная и постоянная, гскп - величина известная и варьируемая, А1 - матрица поворота известная и варьируемая, гБЛА - величина известная и измеряемая, гкор, гпгр, Мкор, Мп гр - искомые величины.

Проводя несколько измерений гБЛА на стенде и при этом каждый раз изменяя взаимное расположение элементов БЛА, определяемое матрицей поворота А1 и вектором переноса гскп , возможно определить искомые величины. Полученные или измененные в процессе каждого измерения величины будем обозначать нижним индексом, соответствующим номеру измерения ( гбла1’ гскш и Т-Д-). Тогда, после трех измерений можно записать выражения:

^кор *кор ^п.гр ^^1 ^п.гр ^п.гр ^СКП1 “ *БЛА1 ^БЛА ’

Мкор гкор + ^п.гр ^2 Гп.гр + ^п.гр ГСКП2 = ГБЛА2 ^БЛА ’

^кор ^кор ^п.гр ^^3 Гп.гр ^п.гр *СКПЗ ~~ %ЛАЗ ^БЛА'

Вычитанием второго выражения из первого (4) и третьего выражения из первого (4) получается:

^n.rp(^ll “^2)гп.гр + ^п.гр(гСКП1 “гСКП2) = ^БЛа(гБЛА1 ”ГБЛА2)’

^п.гр ~ ^3 ) Гп.гр + ^п.гр

Отсюда выражается гп гр :

_(A1i“A12) Мбла I \ ( n-t А1 \т/ \

Гп гр- — (ГБЛА1 *RJIA2) ~~ ( l 2) (ГСКП1 ГСКП2/’

* п.гр

т

_

Гп.гр - м ^ БЛА1 БЛАЗ} 1Л11 3 / \'СКП1 'СКПЗ/'

^ п.гр

Подстановкой гп гр в одно из выражений (4) получается:

^кор гкор + (Е- А1гА1^)мБЛА (гБЛА1 -гЪЛА2)“

”^п.гр (Е-А^АІІ )(гСКП1 -^сКП2) + ^п.гр ГСКП1 = ГБЛА1^БЛА’

^кор гкор + (Е - А1іА13Т)мБЛА (гБЛА1 - гБЛАЗ^ -

~^п.гр(Е-А^АІІ )(гскш -'скпз) + ^п.гр ГСКП1 = ГБЛА1^БЛА-

Вычитанием одно из другого получается:

Из равенства (6) определяется Мп :

Подстановкой полученного значения Мпгр в (5) вычисляется гп гр , аналогично вычисляется гкор из (4) с учетом (2).

Таким образом, для вычисления координат центров масс элементов БЛА и значения масс элементов БЛА, при известной массе БЛА в целом, а также при возможности точной взаимной ориентации элементов БЛА (или возможности точного определения взаимного положения элементов БЛА) достаточно трех циклов измерений положения координат центра масс БЛА с различной взаимной ориентацией элементов БЛА в каждом из циклов измерений. В случае если массы элементов БЛА определены заранее, то достаточно только двух циклов измерений координат центра масс БЛА, если же известно и положение центра масс одного из элементов, то достаточно одного цикла измерения координат центра масс БЛА.

Выражение для тензора инерции БЛА в Оху г с учетом теоремы Гюйгенса-Штейнера запишется следующим образом:

где ]кор - тензор инерции корпуса в СК Охуг\ 1п гр - тензор инерции перемещаемого груза в СК

ОпХпУ^п, Е - единичная матрица размерностью 3x3.

В равенстве (7) неизвестны лишь искомые 1кор, 1пгр.

Как и ранее в нижнем индексе обозначается номер проводимого цикла измерений. Тогда для каждого цикла измерений:

Вычитанием выражения (8) для второго цикла измерения из выражения для первого цикла измерений получается:

При переходе ] посредством матрицы-оператора линейного преобразования в из одного

где Сі - константа, составленная элементами матрицы в.

Тогда равенство (9) представляет собой квадратную систему из шести линейных уравнений, которая в общем случае не будет совместной:

Для нахождения компонентов тензора 1п гр воспользуемся подходом Иванова И.И., Тверского М.М., для этого будем осуществлять ориентацию полезного груза на каждом цикле измерений особым образом.

• На первом цикле измерения (8) полезный груз ориентируется таким образом, что оси СК ОцХиУт&п параллельны осям Охуг, матрица ориентации А1 является единичной, назовем это положение «начальным».

• На втором цикле измерений (8) полезный груз повернут из начального положения относительно оси Оиуи на определенный угол.

• На третьем цикле измерений (8) полезный груз повернут из начального положения относительно оси Опт на определенный угол (для удобства построения выражений угол предлагается использовать такой же, как и на втором цикле).

Тогда, приводя (8) для каждого цикла измерений к виду (11) и комбинируя определенным образом уравнения, можно выделить уравнения, из которых определятся все компоненты тензора 3 :

(^11 2 — ^)^п.гр;сс ~^~%1 2 .гргг — ^11 2 а31 2 ^п.грхг ~ ^п.гр 2хс—^п.гр1хяс’

Щз 2 ^п.грхх 2 ~ ^)^п.гргг — ^13 2 а33 2 ^л.трхг ~~ ^п.гр2гг ~~^п.гр 1и ’

(а12 2а212+аП2 а22 2 ~1)Лъгр ху +(а21 2 а32 2 + й22 2 а31 г)^п.грж =^п.гр1ху ~ ^п.гр2 ху’

[а\Ъ2а222 + а\2 2а2Ъг)-1 п.г-рху + (а23 2 а322 + й22 2 а33 2 “^п.гр« = ^п.гр1;к _^п.гр2хг’

3 — ^л.грхх^^2\ 3 ^п.груу — ^^11 3 ^21 3 ^п.грху — ^п.гр2хс—^п.гр1хс’

^12 3 ^п.грхх (^22 3 — ^п.груу ~ ^\2 3 ^22 3 ^п.грху — ^п.гр2уу ~^п.гр1уу >

(а13 3 а31 + а\\ 3 а33 3 “^Льгрж + (а21 3 а33 3 + а23 3 а31 з)-^п.гргу = ^п.гр1ж“^п.грЗж;

(а133а32 3 + а12 3аЗЗз)Лигрхг +(а23 3 а32 3 + а22 3 а33 3 =^п.гр1гу “^п.грЗгу’

где йу к - компоненты матрицы А1 на к цикле измерений, Ьи гркц - у компонент к цикла измерений результирующей матрицы В* выражения:

векторного пространства в другое 8Т1П будет получена матрица J п гр подобная 1п гр ментами вида:

•Лиру -' ^1 ^п.трхх ^2 ^п.груу с3 "^п.гргг ^4 ^п.грху

с эле-

В уравнениях (12) Зттрхх и Зтгрхг вычисляются два раза, за их значение можно принять среднее между двумя вычислениями.

После определения элементов тензора инерции 3, из равенства (7) вычисляется тензор

инерции .1кор.

Если Зкор был определен заранее, то Зп гр можно сразу вычислить из равенства (7).

Таким образом, для определения тензоров инерции элементов БЛА достаточно трех циклов измерений тензора инерции БЛА, при условии, что ранее были определены их массы и координаты центров масс. В случае если известен тензор инерции корпуса БЛА, то тензор инерции перемещаемого груза определяется за один цикл измерений.

Рассмотрим задачу определения пространственной ориентации элементов БЛА, удовлетворяющей нормируемым в конструкторской документации номинальным параметрам МГХ всего БЛА.

МГХ БЛА регулируются конструкторской документацией (КД) определенным образом, причем, нормируемые параметры не равны по своей значимости и влиянию на функциональность БЛА [4, с. 67-69]. Наибольшее влияние на функциональность БЛА оказывают отклонения положения центра масс и угловое отклонение главной центральной оси инерции (ГЦОИ) от нормируемого КД положения. В КД положение ЦМ и ГЦОИ БЛА, как правило, связывают с некоторой осью (далее будем называть «осью приведения»), которая в свою очередь каким-либо образом определяется параметрами наружной поверхности.

Под нормируемыми номинальными параметрами в данном случае подразумеваются три координаты центра масс в конструкторской системе координат, определяемые вектором гБЛА , и ось приведения, параллельно которой должна располагаться одна из главных центральных осей инерции БЛА. Пространственное положение оси приведения в КСК определяется матрицей поворота А2.

Полагаем, что определены все МГХ элементов БЛА (корпуса и полезного груза), а именно масса, положение ЦМ, тензор инерции.

Как отмечалось ранее, взаимное расположение элементов БЛА, а именно корпуса и полезного груза определяется вектором гскп и матрицей поворота А1.

Выражение для вычисления тензора инерции БЛА в СК ОсхсУс1с при известных тензорах инерции его элементов и взаимном расположении элементов с учетом теоремы Гюйгенса-Штейнера можно записать аналогично (7) в следующем виде:

^бла = А2т1блаА2 =

где 1Бла - тензор инерции БЛА в СК ОсхсУ&с\ 1п.гр ” тензор инерции полезного груза в СК ОпХпУп1п\ Зкор “ тензор инерции корпуса в СК Оху1.

С учетом (1) и положив:

( ^п.гр + ГСКП ГБЛА ) ( ^п.гр + ?СКП “ ГБЛА

)Т^ А1А2,

Ь = (ГкоР-ГБЛа) (ГК0Р-ГБ

кор гБЛа)Е (гкор ГБЛА) (Гкор ГБЛА) ’

можно записать:

1бла-^2т 1кор+М

А1 А2.

Выражение (15) можно записать в виде:

1бла = А2т(м + А1тМА1)а2,

где 14, М, А2 - матрицы с элементами в виде констант.

Для обеспечения параллельности ГЦОИ БЛА и оси приведения необходимо, чтобы тензор инерции БЛА, записанный относительно координатных осей СК OcXcУcZc, имел диагональный вид:

То есть необходимо найти такое А1, при котором (16) будет иметь форму (17). Задачу можно поставить немного иначе: необходимо найти такое А1, при котором N + А1ТМ А1 будет иметь собственный вектор в виде орта Осхс базиса СК Осхсус1с- Задача в обеих постановках может быть решена итерационными методами. Существенно упрощает решение, ортогональность матрицы А1. После нахождения А1 вычисляется гскп из (1). В обеих постановках задача будет иметь несколько решений, поэтому можно ввести условия, обеспечивающие удовлетворение дополнительных требований к эксплуатационным характеристикам БЛА. Например, минимизация углов поворота полезного груза относительно корпуса, или минимизация абсолютной разницы значений поперечных главных центральных моментов инерции БЛА

ГП^П1^УУБЛА ~^БЛа| •

Таким образом, показано, что для определения всех массогеометрических характеристик элементов баллистического летательного аппарата (корпуса и полезного груза), а именно значения масс элементов, трех координат центра масс, трех осевых и трех центробежных моментов инерции достаточно максимум трех циклов измерения массогеометрических характеристик БЛА. При этом на каждом цикле измерений производится внесение изменений в пространственное положение элементов. Сформулирована задача определения взаимной пространственной ориентации элементов баллистического летательного аппарата, удовлетворяющей требованиям конструкторской документации к массогеометрическим характеристикам баллистического летательного аппарата. Предложен подход к ее решению.

1. Тверской, М.М. Автоматизированные стенды для контроля и расчёта коррекции распределения масс летательных аппаратов / М.М. Тверской // Динамика, прочность и износостойкость машин. - 1995. - Вып. 1. - С. 69-77.

2. Тверской, М.М. Автоматизированный контроль и коррекция распределения масс изделий машиностроения /М.М. Тверской. - Челябинск: Изд-во ЧГТУ, 1997. - 184 с.

3. Тверской, М.М. Контроль распределения массы летательного аппарата /М.М. Тверской // Вестник ЮУрГУ. Серия «Машиностроение». - 2001. - Вып. 1. - С. 121-133.

4. Фёдоров, В.Б. Контроль и коррекция массогеометрических характеристик летательных аппаратов: текст лекций /В.Б. Фёдоров. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004. — Ч. 1. - 116 с.

Литература

Поступила е редакцию 19 января 2010 г.

Фёдоров Виктор Борисович. Кандидат технических наук, доцент, начальник управления научных исследований ЮУрГУ. Область научных интересов - расчет и контроль массогеометрических характеристик изделий.

Victor В. Fyodorov. A candidate of engineering science, associate professor, a head of Research and Development department. The area of scientific interests - machine industry automation, massgeometrical characteristics of work-pieces account and monitoring.

Юрин Иван Фёдорович. Аспирант кафедры «Двигатели летательных аппаратов». Область научных интересов - расчет и контроль массогеометрических характеристик изделий.

Ivan F. Yurin. A postgraduate student for internal department of “Engine Of Flying Device”. The area of scientific interests - machine industry automation, massgeometrical characteristics of work-pieces account and monitoring.