Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде с неоднородным покрытием в присутствии подстилающей поверхности

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 64-75

Механика =

УДК 539.3:534.26

Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде с неоднородным покрытием в присутствии подстилающей

поверхности *

С. А. Скобельцын, Л. А. Толоконников

Аннотация. Методом конечных элементов решена задача дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде с неоднородным покрытием в присутствии подстилающей поверхности.

Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, упругий сфероид, неоднородное покрытие, метод конечных элементов.

Исследование дифракции звуковых волн на упругих сфероидальных телах представляет значительный интерес. Сфероидальной геометрией охватывается большое разнообразие форм. Многие реальные объекты хорошо аппроксимируются телами указанной формы. Дифракция звуковых волн на упругих однородных сфероидах изучалась в ряде работ, например, [1-6]. В [7] рассматривался упругий неоднородный сфероидальный рассеиватель.

Изменение характеристик рассеяния звука упругих тел можно осуществить с помощью покрытий в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя. Дифракция звуковых волн на цилиндрических, сферических и сфероидальных упругих однородных телах с непрерывно-неоднородными покрытиями исследовалась в [8-14]. При этом полагалось, что упругие тела находятся в безграничном пространстве.

В настоящей работе рассматривается задача дифракции плоской звуковой волны на упругом сфероиде с неоднородным покрытием в присутствии плоской подстилающей поверхности.

Пусть упругий однородный изотропный сфероид с полуосью вращения а и второй полуосью Ь произвольным образом располагается в идеальной сжимаемой жидкости вблизи плоской подстилающей поверхности П (акустически мягкой или абсолютно жесткой). Материал сфероида характеризуется плотностью р1 и упругими постоянными Сфероид имеет покрытие

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя толщиной к. Материал покрытия характеризуется плотностью р и модулями упругости А, д, являющимися непрерывными функциями координат. Окружающая сфероид жидкость имеет равновесную плотность ро и скорость звука сд.

Выберем основную прямоугольную систему координат х,у,г так, чтобы ось х лежала на поверхности П, а ось г была направлена вверх по нормали к плоскости. При этом центр сфероида находится на оси г, а ось вращения сфероида лежит в плоскости хх. Свяжем с прямоугольной системой х, ?/, 2: сферическую систему координат г, 0, (р.

Пусть из внешнего пространства на упругий сфероид падает плоская звуковая волна, распространяющаяся в направлении волнового вектора к1 (рис. 1).

идеальная жидкость

На рис. 1 показано осевое сечение сфероидального препятствия Т. Пунктиром обозначены граница однородного упругого сфероида и неоднородного покрытия, а также ось вращения сфероида.

Потенциал скоростей падающей волны в системе координат х, г/, 2: имеет вид

= А0 ехр[г(к • г - и*)],

где Ао — амплитуда волны; ш — круговая частота; £ — время; к1 =

ш

= (квтвосоБсро, кБтвоятфо, ксозОо)] г = (х,у, ¿)\ к =--волновое

Со

число внешней среды; и ^о — полярный и азимутальный углы волнового вектора падающей волны; в дальнейшем временной множитель е_га;* будем опускать.

Падающая плоская волна будет рассеиваться сфероидом и отражаться плоскостью. При этом будет иметь место многократное переотражение волн между плоскостью и телом.

Определим акустическое поле вне сфероида, а также найдем поля смещений в однородном сфероиде и неоднородном слое.

Поставленную задачу решим путем замены плоской границы на дополнительный рассеивающий объект Т', который представляет собой такой же сфероид, что и Т, но расположенный симметрично относительно плоскости г = 0. При такой замене приходим к задаче о дифракции звука на двух идентичных телах.

Если подстилающая поверхность является абсолютно жесткой, то граничное условие на такой поверхности заключается в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости. Учитывая, что скорость частиц жидкости во внешней области V = gradФ, где Ф — потенциал скоростей полного акустического поля, будем иметь

дФ

dz

= 0.

z=0

Если подстилающая поверхность является акустически мягкой, то граничное условие на плоскости заключается в равенстве нулю акустического давления. Учитывая, что акустическое давление во внешней области p = гр0шФ, получаем

^(x,y,z)\z=0 = 0.

При этом Ф = Ф0 + Ф8, где Ф8 — потенциал скоростей рассеянной волны.

Исключим из рассмотрения плоскую границу, вводя второй рассеиватель, являющийся зеркальным отражением исходного, и вторую падающую плоскую волну, распространяющуюся в направлении волнового вектора k2. Причем вектор k2 является зеркальным отражением вектора k1 относительно плоскости (рис. 2).

В случае абсолютно жесткой плоскости потенциал скоростей второй падающей плоской волны должен быть

Ф2 = Л exp[i(k2 • r)],

где k2 = (к sin 90 cos <^0, k sin 90 sin —k cos 90).

В случае акустически мягкой плоскости потенциал скоростей второй падающей плоской волны должен быть

Ф2 = — ^0 exp[i(k2 • r)].

Тогда граничные условия на плоскости z = 0 будут удовлетворяться автоматически.

Таким образом, исходную задачу свели к задаче дифракции двух плоских волн на двух идентичных телах, находящихся в безграничном пространстве Ü0, заполненном однородной идеальной жидкостью.

В силу линейной постановки задачи следует найти решение задачи дифракции каждой из двух плоских волн на двух сфероидах, а затем полученные результаты просуммировать.

Рассмотрим математическую постановку задачи о дифракции плоской звуковой волны Ф0 на двух однородных упругих сфероидах с непрерывно-неоднородными покрытиями.

Введем локальные прямоугольные системы координат я+ь^+ь-2^! и связанные со сфероидами. Оси z+\ и являются осями вращения сфероидов. Центры локальных систем координат 0+1 и 0_i находятся на оси z основной системы координат. Плоскости rc+i^+i и x_i,2:_i совпадают с плоскостью х, z.

Свяжем с локальными прямоугольными системами сферические системы координат rq,6q,(pq (q = ±1). В этих координатных системах уравнения однородных сфероидов имеют вид

r(9q) = а{ 1 - esin20g)"1/2 (q = ±1).

е2 Ь2

Причем для вытянутого сфероида е = —-, £ = (1--~ )1//2, а для сплюс-

еа — 1 az

а2

ну того сфероида е = £2, е = (1 — то)1^2, где е —эксцентриситет сфероида.

Распространение малых возмущений в идеальной жидкости Оо в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [15]:

ДФ + к2Ф = 0, Ф = Ф0 + Ф5.

Уравнение Ламе, описывающее распространение малых возмущений в упругих однородных изотропных сфероидах при отсутствии массовых сил в случае установившегося режима движения, имеет вид [16]

А + щ^гаё ё1уи

где и(1) — вектор смещения в однородной части рассеивателя Т (в области П1). В однородной части рассеивателя Т (в области П2) уравнения движе-неия будут иметь аналогичный вид.

Распространение упругих волн в неоднородных покрытиях (областях Оз и О4) описывается общими уравнениями движения сплошной среды, которые в д-й локальной системе координат записываются в виде [16]

дац д02г , доззг . 1 2 3 /г.л --+ т;--+ т;— = -рищ, г = 1,2,3,

дХд дуя дХд

где иг и а^г — компоненты вектора смещения и и компоненты тензора напряжений в неоднородном слое (индексы 1, 2, 3 соответствуют координатам хд ,уд, Хд).

Согласно обобщенному закону Гука [16] имеем

а^ = 2це^ + А5^ е, е = еп + £22 + езз,

где е^ — компоненты тензора деформаций; 5^ — символ Кронекера; А, ц — модули упругости Ламе. При этом

ди1 ди2 ди3 1 (ди1 ди2 е11 = о—, е22 = т;—, езз = т;—, е12 = - I т;--+ т;—

дХд дуд дХд 2\ дуд дХд

1 / ди1 диз\ 1 / ди2 диз

1з 2 V дХд дХд) ' 23 2 \ дХд дуд

Граничные условия на внешней поверхности покрытия Гз (и Г4) заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений. На внутренней поверхности неоднородного слоя Г1 (и Г2) при переходе через границу раздела упругих сред должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения. Имеем

Гз, Г4 : -гиии = Уп, апп = —р, апт = 0, апу = 0,

Г1, Г2 : и = и

Здесь величины с верхним индексом д (д = ±1) относятся к однородным телам, а без индекса — к неоднородному покрытию.

Таким образом, в математической постановке задача о рассеянии плоской звуковой волны на двух телах состоит в нахождении решений уравнений (1), (2), (3), удовлетворяющих граничным условиям (5), (6). Кроме того, потенциал рассеянных скоростей в рассеянной волне Ф8 должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности.

Заметим, что в общем случае зависимостей р(г), А(г), ц(г) для неоднородного покрытия аналитическое решение поставленной задачи невозможно. Значительно осложняется поиск аналитического решения и тем, что граничные поверхности Гз, Г4 не являются координатными поверхностями ортогональных систем координат.

Будем решать сформулированную задачу численно с использованием метода конечных элементов (МКЭ) на основе подхода, предложенного в работах [14, 17, 18].

В соответствии с этим подходом в области жидкости, прилегающей к телам Т и Т, выделим сферическую поверхность Го радиуса К. Внутри этой поверхности будет заключена область жидкости О0 и содержаться упругие тела.

Тогда совокупность областей О0, Ок (к=1, 2, 3, 4) можно рассматривать как некоторое неоднородное сферическое препятствие для падающей волны

Фо.

Решение уравнений движения во всей области такого неоднородного препятствия будем выполнять с помощью МКЭ.

Потенциал скоростей в совокупном звуковом поле в области О0, удовлетворяющий уравнению

ДФ1 + к2Ф1 =0,

аналогичному (1), будем искать в виде

к

Ф1

к=1

где фк — узловые значения потенциала в области О0; /к (г) — координатные функции конечно-элементной модели; К — количество узлов.

На границе неоднородного сферического препятствия Г0 (граница двух идеальных жидкостей) должны выполняться условия совпадения давлений и нормальных скоростей, которые с учетом выражения через потенциалы могут быть записаны в виде:

Ф11Го = Ф0 + Ф*,

дФ1 д

Го дп

д п

где п — направление внешней нормали к границе Г0.

В форме, аналогичной (8), будем искать и смещение в упругой части препятствия (в областях Пх, ^з, ^4)'

к

и

к=1

При этом для всех упругих областей будем использовать как более общие уравнения вида (3), которые справедливы для любой упругой среды.

Схема разбиения области неоднородного препятствия = и Пх и и и Пз и представлена на рис. 3.

Рис. 3. Схема разбиения на конечные элементы области

В качестве конечных элементов использовались тетраэдры, на которые разбивались все подобласти В каждом таком тетраэдре V с вершинами (узлами) Ро,Рг, Р2, Рз вводится локальная система координат £х, £2, £з такая, что координаты вершин равны соответственно (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Тогда линейные координатные функции Л(СьС2,Сз) принимают вид:

/о = 1 - О - С2 - Сз, /1 = Сь /2 = С2, /з = Сз,

где индексы у / соответствуют локальной нумерации узлов в конечном элементе V, т.е. вершинам Ро, -Рь Лг, Рз-

Если в этом же конечном элементе V строятся координатные функции второй степени, то наряду с узлами Р^ (к = 0,..., 3) вводятся еще 6 промежуточных узлов Рк (к = 4,..., 9) с локальными координатами (0.5, 0, 0), (0, 0.5, 0), (0, 0, 0.5), (0, 0.5, 0.5), (0.5, 0, 0.5), (0.5, 0.5, 0) соответственно. Тогда квадратичные координатные функции имеют вид:

/с = 1 - 3(С1 + С2 + Сэ) + 2(С? + с! + Сэ2) + 4(С1<2 + С1С3 + (2(3), /1 = (1(2(1 - 1), /2 = (2(2(2 - 1), /э = (з(2(з - 1), /4 = 4(1(1 - (1 - (2 - (3), /5 = 4(2(1 - (1 - (2 - (з), /б = 4(з(1 - (1 - (2 - (з), /7 = 4(2(3, /8 = 4(1(3, /9 =4(1(2.

Во внешней области содержащей жидкости потенциал скоростей рассеянной волны будем искать в виде разложения по сферическим гармоникам с учетом условий излучения

те п

= 2 2 АптК

п=0 т=—п

где Нп(х) — сферическая функция Ганкеля первого рода порядка п; Р^(х) — присоединенный многочлен Лежандра степени п порядка т; Апт — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению из граничных условий.

Разложим также по сферическим гармоникам и потенциал скоростей в падающей плоской волне

те п

Ф0 = 2 2 1пшЗп

п=0 т=—п

где ,т = Ас ^(2П(+ ^ т)! РГ(сО« вс)в-^т.0 .

Подставляя (8), (12), (13) в граничное условие (9) и используя ортогональность сферических гармоник, получим выражения Апт через узловые значения фк на поверхности Го. Затем подставим выражение для Апт в граничное условие (10).

В результате граничные условия (5), (6), (10) будут содержать неизвестные узловые значения из ограниченной области О.

В соответствии с технологией МКЭ непрерывные уравнения (3) и (7) вместе с граничными условиями должны быть заменены дискретными аналогами для неизвестных и = (И1, и2,..., Ик) и Ф = (ф1, ф2,   , фк). Покажем, как выполняется эта замена на примере уравнений (3).

Представим закон Гука (4) в виде непосредственной связи между тензором напряжений а и вектором смещений и:

а = С • Уи,

где Уи — тензор ковариантной (полной) производной вектора и, а С — тензор 4-го ранга, составленный из модулей упругости Ламе так, чтобы

выполнялись связи (4). Например,

/ Л + 2^ 00 \ / 0 ц 0 \

(СПгз) = 0 Л 0 ; (Сшз) = Ц 0 0 . V 0 0 Л/ \000/

Тогда уравнения (3) для одной из упругих подобластей О могут быть записаны в векторной форме так:

V-

Граничные условия (5), (6) для границы Г области О также представим в векторной форме:

п • (С • Уи) =

Ни = г,

g,

где для условий (5):

а

1

8 = ап 2 а

а для (6

Н=

ап3

8

р*п,

1 0 0 \

0 10 , 001

Н = (П1 ,П2,Пз),

/ щ

г И и2 V П2

г =

п;

значком * помечены неизвестные величины из смежных с О подобластей препятствия.

Модифиицируем условие (17), введя в правую часть дополнительное слагаемое так:

п • (С • Уи) = 8 - НТЛ,

где Л — вектор дополнительных неизвестных на границе Г, которые в точном решении задачи должны обращаться в 0.

Узловые значения И в разложении вектора смещения по координатным функциям (11) будем искать в соответствии с методом Галеркина [19]. Для этого умножим уравнения (14), (17), (16) на координатную функцию /(г) и проинтегрируем по соответствующей области. Получим

У / [У • (С • Уи) + ри2и] (IV = 0,

Б

У / [п • (С • Уи) + НТЛ - 8] (Б = 0, г

У / [Ни - г] (1Б = 0,

где (V — элемент объема О, (Б — элемент поверхности Г. Используя формулу тензорного анализа

У • (/Е) = У/ • Е + /У • Е,

уравнение (18) приведем к виду

У V •

О О О

Первый интеграл в полученном уравнении на основе формулы Гаусса-Остроградского запишем в виде интеграла по поверхности от потока вектора ¡С Уи:

/ (¡С Уи)  п йБ, г

который, в свою очередь, на основе (19) представим в виде

^ - НТЛ) йБ.

г

Заменяя выражение первого интеграла в (21) на (22), вместо уравнения (21) получим

У [V/

о г г

Подставляя в уравнения (23), (20) разложение неизвестных по координатным функциям и вычисляя соответствующие интегралы для всех координатных функций, получим систему линейных алгебраических уравнений:

М и + NТЛ = С, N И = К.

Заметим, если бы не были введены дополнительные неизвестные Л, то система (24) была бы переопределенной.

Уравнение и граничные условия для потенциала Ф1 в области также могут быть приведены к форме, соответствующей (14)-(16). Выполняя их преобразования, аналогичные проделанным выше, получим систему

М0 Ф + ^ТЛ0 = С0,

N0 Ф = Ко.

Объединяя уравнения вида (24) для всех подобластей с упругой средой и (25), получим замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, решение которой позволяет определить коэфиициенты фь и Иь в разложениях

(8), (11).

По найденным фь на Г0 определяются коэффициенты Апт и, следовательно, рассеянное акустическое поле вне поверхности Го, а по И^ согласно (11) находятся поля смещений в упругом препятствии и неоднородном покрытии.

Список литературы

1. Flax L., Dragonette L., Varadan V.K., Varadan V.V. Analisis and computation of the acoustic scattering by an elastic prolate spheroid obtained from the T-matrix formulation // J. Acoust. Soc. Amer. 1982. V.71. № 5. P.1077-1082.

2. Клещев А.А. Трехмерные и двумерные (осесимметричные) характеристики упругих сфероидальных рассеивателей // Акуст. журн. 1986. Т.32. Вып.2. С.268-271.

3. Hackman R.H., Sammelmann G.S., Williams K.L., Trivett D.H. A reamalysis of the acoustic scattering from elastic spheroids //J. Acoust. Soc. Amer. 1988. V.83. № 4. P.1255-1266.

4. Рождественский К.Н., Толоконников Л.А. О рассеянии звуковых волн на упругом сфероиде // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 5. С. 927-930.

5. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на упругом сфероиде с малым эксцентриситетом в вязкой среде // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 152-157.

6. Клещев А.А. Резонансное рассеяние звука на упругих сфероидальных телах и оболочках // Акуст. журн. 2014. Т. 60. № 3. С. 253-261.

7. Толоконников Л.А., Лобанов А.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 176-191.

8. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265-274.

9. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.

10. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып.3. С. 179-192.

11. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519-526.

12. Толоконников Л.А., Родионова Г.А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 131-137.

13. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 181-193.

14. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. О дифракции звука на упругом сфероиде с непрерывно-неоднородным покрытием // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. междунар. науч. конф. Тула: ТулГУ, 2013. С. 457-464.

15. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.

16. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

17. Скобельцын С.А. Подход к решению задач о рассеянии упругих волн с использованием МКЭ //Современные проблемы математики механики, информатики: матер. Междунар. науч. конф. Тула: ТулГУ, 2004. С. 135-136.

18. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 132-145.

19. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. 590 с.

Скобельцын Сергей Алексеевич (skbl@rambler.ru), к.ф.м.-н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный универси тет.

Diffraction of a plane sound wave by an elastic spheroid with a non-uniform covering in the presence of a spreading surface

S. A. Skobeltsyn, L.A. Tolokonnikov

Abstract. The problem about diffraction of a plane sound wave by an elastic spheroid with a inhomogeneous covering in the presence of a spreading surface is solved by a finite element method.

Keywords: diffraction, sound waves, elastic spheroid, non-uniform covering, finite element method.

Skobeltsyn Sergey (skbl@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 22.01.2015