Численно-аналитическое исследование модели экономического роста Лукаса

№ 1 (43) 2013

Ю. А. Кузнецов, докт. физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой Математического моделирования экономических систем Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского

О. В. Мичасова, канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель Нижегородского государственного

университета им. Н. И. Лобачевского

Численно-аналитическое исследование модели экономического роста Лукаса

Математические модели экономического роста с учетом эффекта накопления человеческого капитала помимо теоретического имеют также и практическое значение. Однако ихуспеш-ное использование на практике должно строиться на методике численно-аналитического исследования.

Введение

Проблема выявления основных факторов экономического роста и анализа механизмов их влияния на развитие национальных экономик является одной из наиболее актуальных проблем в современной экономической теории. Опыт про-мышленно развитых стран показывает, что научно-технологический прогресс и инновации — один из важнейших факторов экономического роста, а человеческий капитал (human capital) служит источником социально-экономического развития и одной из ключевых составляющих инновационного производства.

Современные процессы информатизации общества и развитие технологий привели к усилению роли человеческого капитала, так как только благодаря интеллектуальным способностям и высокой квалификации рабочей силы становится возможным быстрое и результативное внедрение тех инноваций, которые позволяют обеспечить эффективное функционирование экономики в современных условиях. Мировой финансовый кризис лишь подчеркнул важность изучения этих факторов [9].

В настоящее время общепризнано, что построение экономики, основанной на знаниях, невозможно без развития человеческого капитала, поэтому влияние указанно-

го фактора на экономическое развитие — актуальная проблема современной теории экономического роста.

Впервые человеческий капитал был включен в неоклассическую модель экономического роста в знаменитой (и теперь уже классической) работе Р. Лукаса [17]. В его модели человеческий капитал играет приблизительно ту же роль, что и научно-технологический прогресс. Это сближает модель Лукаса с известной моделью Х. Узавы [19], однако имеются и принципиальные отличия. Лукас впервые ввел в рассмотрение концепцию своеобразного «дуализма» человеческого капитала. Важнейшей чертой его модели является явное выделение двух путей (каналов) влияния человеческого капитала на экономический рост. Эти два типа воздействия могут быть обозначены как внутренние (описывающие непосредственное повышение эффективности производства, связанное с ростом квалификации работников) и внешние эффекты (экстерналии). Внешние эффекты человеческого капитала характеризуются некоторым средним значением человеческого капитала в экономической системе в целом.

Эта концепция, а также механизм взаимодействия процессов накопления физического и человеческого капиталов были положены в основу построенной Лукасом эндогенной математической модели экономиче-

№ 1 (43) 2013

ского роста с учетом эффекта накопления человеческого капитала. Механизм накопления предполагает обучение с «отрывом от производства» (в отличие от известной модели К. Эрроу [12] «learning-by-doing»), которое происходит в рамках своеобразного «образовательного сектора экономики» — именно там работники осуществляют накопление и развитие своего человеческого капитала. Модель Лукаса позволила, в частности, объяснить ряд эмпирических фактов, касающихся различий в темпах экономического роста. Дальнейшее развитие этого направления исследований привело как к более подробному изучению модели Лукаса, так и к построению ряда ее уточнений и обобщений. Подробный обзор литературы по указанной теме выходит далеко за рамки настоящей работы. Отметим в связи с этим лишь некоторые работы — [4, 7, 13, 14, 16].

В данной статье на примере модели Лукаса описывается общая методика численно-аналитического исследования подобного рода моделей, позволяющая дать общую глобальную картину их фазового пространства. Наряду с этим полученные результаты вносят ряд существенных уточнений и дополнений и в теорию самой эндогенной математической модели Лукаса экономического роста с учетом эффекта накопления человеческого капитала: в работе дается подробное глобальное описание фазового пространства модели Лукаса. Таким образом, статья является своеобразным связующим звеном между классическими результатами [17, 14, 13] и результатами авторов, изложенными в [7].

Заметим, что современный уровень математического моделирования экономических проблем предполагает использование различных программных средств как для построения их компьютерных моделей, так и для существенного упрощения процесса их анализа. Выбор программного средства (из большого числа имеющихся) осуществляется, в первую очередь, в соответствии с целями исследования и ожидаемыми ре-

зультатами, а также с учетом применяемой § для исследования методологии: исследо- | вание моделей экономического роста так- § же может опираться на использование как ^ систем компьютерной математики [6], так и пакетов имитационного моделирования Ц [1] и других специализированных программ. В работе [8] представлен сравнительный < анализ возможностей различных программ- 52 ных средств, используемых в настоящее время для моделирования экономического роста (правда, на основе рассмотрения более простых — по сравнению с предложенной Лукасом — моделей). В данной работе для моделирования экономического роста применялся пакет Ма^аЬ, поскольку он имеет большой набор встроенных средств для численного моделирования систем дифференциальных уравнений и визуализации полученных результатов.

Модель экономического роста Лукаса

Эндогенная математическая модель Р. Лукаса экономического роста двухсек-торной экономической системы включает в себя «производственный сектор» и «сектор знаний» (или «образовательный сектор»), формирующий человеческий капитал репрезентативного экономического агента.

Внешний эффект человеческого капитала учитывается только в сфере производства, в котором репрезентативный экономический агент занят в течение доли и^) е[0,1] своего активного времени, причем воздействие данного эффекта определяется уровнем «среднего» значения ha (0 человеческого капитала на рынке труда. Динамика накопления физического капитала К^) описывается в модели Лукаса стандартным неоклассическим образом на основе использования производственной функции Кобба — Дугласа, в которой явно учитываются как «внешний», обусловленный величиной ^ (0, так и «внутренний» (обусловленный эффективной рабочей силой u(t)h(t)N(t), где N(0 — численность рабочей

-ч ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 1 (43) 2013 ' -

силы, изменяющаяся с постоянным темпом, так что N(t) = N0ent, n=const) эффекты человеческого капитала:

dK

dt

= A(t)K(tf[u(t )h(t)N(t)]1-|i • ha (t)Y-|K(t) - c(t)N(t),

<0 I

u о

Si

Si £

IE

0

Si

та

1

§

S

0

1

I

<3

!

0

где А(0 — функция, описывающая воздействие экзогенно заданных технологических изменений (А(0=А0еа', темп технологического прогресса постоянен а=const); и(0 — доля активного времени индивида, посвященная производственной деятельности (остальное активное время [1-и(0] посвящено накоплению человеческого капитала); ^0 — уровень человеческого капитала репрезентативного экономического агента; с(0 — удельное потребление; р — доля физического капитала в производстве; у — положительный коэффициент эластичности конечного производства по среднему уровню человеческого капитала; ц — норма амортизации физического капитала.

Динамика накопления человеческого капитала или образовательный сектор модели Лукаса описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

dh

dt

-=8h(t)[1-u(t)]

где 5>0 — технологический параметр (описывающий эффективность сектора образования).

Предполагается, что репрезентативный экономический агент выбирает потребление с(0 >0 и уровень «трудовых усилий» и(0е[0,1] таким образом, чтобы максимизировать функцию полной дисконтированной полезности:

J = \e-ptN(t)C^-d ^max,

I 1-о

где ое£=(0,1)u(1,+«>), 1/ о — межвременная эластичность замещения потребления.

Таким образом, оптимизационная задача, связанная с моделью Р. Лукаса экономического развития с учетом накопления человеческого капитала состоит в выборе таких управляющих параметров (уровня потребления c(t) > 0 и доли активного времени, посвященного производственной деятельности u(t)е[0,1]), которые максимизировали бы функционал (3) на допустимых траекториях {K(t),h(t)}, tе[0,<») динамической системы (1), (2) при выполнении условия h(t)=ha (t), Vte[0,«>).

При рассмотрении внешнего эффекта человеческого капитала в модели возникает два типа оптимальных траекторий, связанных с экономической трактовкой условия h(t)=ha (t), Vt e[0,~).

В первом варианте предполагается оптимальный, с точки зрения всего общества в целом, рост (так называемая «задача социального планировщика»). В этом случае считается, что существует гипотетический «социальный планировщик» (social planner), обладающий полной информацией о развитии экономической системы и способный воздействовать на все ее составные части, который выбирает (в интересах общества в целом) оптимальную траекторию. Поэтому при решении поставленной выше оптимизационной задачи сразу полагается h(t)=ha (t), Vt e[0,~).

Во втором варианте рассматривается ситуация, когда экономика состоит из до-мохозяйств и фирм, которые не располагают исчерпывающей информацией об экономическом развитии системы и ожидают, что накопление человеческого капитала будет следовать экзогенно заданной функции ha(t), Vtе[0,<»), на которую они воздействовать не могут. Поэтому поставленная выше задача оптимизации решается ими в общем виде. В том случае, когда выбранная траектория h(t) совпадает с заданной ha (t) (т. е. совпадают ожидаемое и реальное поведение), можно говорить о том, что экономическая система находится в равновесии. Данная ситуация получила название «зада-

№ 1 (43) 2013

ча о конкурентном равновесии» (competitive equilibrium).

Следует отметить, что целью рассмотрения оптимизационных задач подобного вида является исследование траекторий сбалансированного роста (balanced growth path, BGP) — таких траекторий оптимизационной динамической задачи, для которой темпы роста всех переменных постоянны. Методика и основные результаты изучения траекторий сбалансированного роста в модели Лукаса подробно рассмотрены в работах [4, 5, 13, 14].

Для каждого из двух случаев с помощью принципа максимума Понтрягина решаются соответствующие оптимизационные задачи: выписываются функции Гамильтона — Понтрягина, сопряженные системы для теневых цен {0K(t),0H(t)}, условия трансверсальности. Далее в рамках подхода, сформулированного в работе [5], ставится обобщенная задача, объединяющая задачу социального планировщика и задачу о конкурентном равновесии. Для нее выполняется переход от теневых цен {0K(t),0H(t)} к переменным {c(t),p(t)}, где A(t) — удельное потребление, а p(t)=0H (t)/0K (t) — относительная «теневая цена» человеческого капитала, выраженная в единицах физического капитала. Затем осуществляется переход от дифференциального уравнения для относительной теневой цены p(t) к дифференциальному уравнению для функции доли времени, посвящаемого производственной деятельности, u(t). На этом этапе исследования выполняется также традиционный для неоклассических моделей переход к удельной (на душу населения) величине капитала k(t)=K(t)/N(t). В итоге получается следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая позволяет установить существование траекторий сбалансированного роста и изучить вопросы их устойчивости:

=A

dt

dh(t) dt

=Sh(t )(1—u(t)).

dA(t)_ dt

---At) [pA(t )k(t)e—1h(t)1-e+Y u(t )1—e—(р+|)],

du(t) = 1 dt =

=lu

где

P=a+(1—P)(n+|)+

S(1—p+A).

1—P .

Q=

1—P .

Если параметр Д=0, то рассматривается «задача о конкурентном равновесии», а если Д=у — «задача социального планировщика».

Размерность системы (4-6) может быть понижена на единицу путем введения инструментальных переменных:

1 1-в+у

q(t)=с(0/К(0, x(t)=k(t)A(t)в-1 ^^ в-1 .

Эти переменные на траекториях сбалансированного роста являются константами. Поэтому сбалансированные траектории в модели Лукаса могут быть определены как состояния равновесия системы дифференциальных уравнений:

dx(t) =

dt ~ (8) =x(tf u(t)1-в-q(t) x(t)+Ц1-u(t ))-Mx(t),

^=ф^-1 u

S

СО О U

s

со

0

1 £

119

№ 1 (43) 2013

где M=(^)(1-в)+а , ф=в-1,

д V 1-ß , (1-ß) , v о '

„ р-

^ = ^-/Т- , P = a+(1_ß)(n+|j)+_ \ У!

Q=

Система уравнений (8-11) обладает специфической структурой — уравнения (8-10) образуют замкнутую подсистему, поэтому целесообразно исследовать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений (8-10). Она обладает ненулевым состоянием равновесия:

X, = col

которое выступает решением системы нелинейных алгебраических уравнений:

u- xe+yx(1-u) - xq - Mx=0

фцН x e-1q-^q+q2 = о

[[+QS(1-u)-ßq]u=0

<0 I

u о

Si

Si Sä

ü

0 sc

Si

та

1

§

и

S

0

1

IS

§

!

0

Для изучения системы (8-10) в окрестности состояния равновесия (12) стандартным подходом является линеаризация системы в точке Xe и дальнейшее изучение линеаризованной системы:

dt

=лт

где ^X-X,,, £=col(Ъ¡х £u), а Л — матрица, полученная при линеаризации правых частей системы уравнений (8-10).

Соответствующий характеристический полином матрицы Л имеет вид:

=det

где, как известно, коэффициенты с1 =-БрЛ (БрЛ — след матрицы Л), с3 =^е1Л, а Л, представляет собой сумму всех главных миноров второго порядка матрицы Л. Явное представление коэффициентов с1,с2,с3 и матрицы Л через параметры системы дос-

таточно громоздко, поэтому здесь не размещено.

Устойчивость состояния равновесия и структура фазового пространства системы (8-10) в окрестности состояния равновесия Xe (в зависимости от набора параметров) определяется количеством корней характеристического уравнения (15)в правой полуплоскости C+={eC:Re^>0} комплексной плоскости C [11]. В силу значительной сложности аналитических представлений коэффициентов и параметров полученной системы уравнений дальнейшее ее исследование выполнялось численно с помощью пакета MatLab.

Численное исследование модели экономического роста Лукаса с применением системы MatLab

Система MatLab представляет собой универсальное средство компьютерных расчетов с широким набором специализированных приложений [2, 3, 6, 10]. Данный программный пакет разработан и поставляется фирмой Math Works, Inc. Название MatLab появилось в 1980 г. и расшифровывается как матричная лаборатория (matrix laboratory). Такое название объясняется тем, что основным элементом данных является матрица (массив), что позволяет значительно уменьшить время решения задач для матриц и массивов, например, по сравнению с такими «скалярными» языками программирования, как Си. В пакет встроен язык программирования высокого уровня и набор специализированных инструментов Toolboxes, которые позволяют изучать и применять специализированные методы: обработка сигналов, системы управления, идентификация систем, построение и анализ нейронных сетей, поиск решений на основе нечеткой логики, решение нелинейных дифференциальных уравнений, финансовый и статистический анализ и т. д.

Компьютерное исследование данной модели выполнялось для следующих зна-

120

№ 1 (43) 2013

чений параметров1: A=1; а=0,0105; р=0,44; Y=0,01; ц=0,04; N=1; n=0,013; 5=0,05; р=0,024; о=0,975. Они достаточно характерны для реальных экономических систем типа экономики Германии или США (подробнее [7, 16, 17]).

Для численного исследования системы уравнений (8-10) был создан m-файл lucas.m (рис. 1), текст которого содержит описание правых частей системы дифференциальных уравнений (подробную инструкцию и шаблоны для описания систем дифференциальных уравнений можно найти в справочной системе MatLab в разделе odefile).

Оператор global позволяет сделать указанные переменные глобальными, т. е. задавать их значения в окне команд (Command Window), не включая во входные параметры функции. В данном случае такой способ задания набора параметров представляется более удобным, так как эти значения используются также и для других целей. Функция zeros (m, n) создает матрицу из нулевых элементов размерности m х n.

*

м ф Ф J4 fcj * е е % ш а ш \ д -

•ata - ¡IJO +1 ♦ |¡I * o.

t Z (fwietien йийт-ИмыСй**] i - alobal § fllía Ь { в [ n d re 9 ЯП« д - p»«ifeHl-W4Btei)4d4l*arl4-W/a-Mí 5 - ¡i» С НН*П) 'Il't]4](l|/(]'b)! t - pül-b/s-l; ? - ajrat-ren» ta, JJ Í 10 - indi <[») MI*)«)" tl-Ы ) -XÍJ)*JMi> +W* U-XI3I > •«) 11 - indi I2]-!U* [ í*11) > л tb-X)) * С Í*{J) )"(!-&) ] »1*13) )*3'С*Я(Л>; 13 - [3]-<!/&>*<3)-(Г**40*и-*{5П-Ь*иГЗП: -

llucu Ш 1 Ш 1 ICVR isf

Рис. 1. М-файл, описывающий систему дифференциальных уравнений для модели Лукаса

Применение т-файла lucas.m позволяет построить «положительную» полутраекторию системы для некоторого начального условия [х0 q0 u0]. Для того, чтобы восполнить

1 В командных файлах пакета MatLab

обозначения величин из математических выражений,

состоящие из букв греческого алфавита, заменены

обозначениями, состоящими из букв латинского алфавита: alfa (a); b (в); g (у); mu (|д); d (8); ro (p); s (a); delta (Д), phi (f), w (¥), e ©.

траекторию для значений времени, пред- § шествующих начальному моменту времени | (т. е. построить «отрицательную» полутраек- § торию системы для того же начального усло- ^ вия [х0 q0 и0]), был использован «метод ин- §* тегрирования в обратном времени» (подроб- Ц ное его описание см., например, в работе [15]). Такой прием позволяет построить дос- < таточно представительный фрагмент тра- 52 ектории системы, проходящей через точку [х0 q0 и0], и таким образом получить более подробное («глобальное») описание структуры ее фазового пространства. На основе метода интегрирования в обратном времени был создан т-файл lucasobr.m, который позволяет построить «отрицательную» полутраекторию системы (8-10). Совместное применение этих файлов для одного и того же начального условия дает достаточно полное представление о поведении во времени фазовой траектории.

Для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданными начальными условиями в Ма^аЬ существует набор специальных функций — решателей, которые имеют одинаковый синтаксис и различаются по используемым в них численным методам. В рамках настоящего исследования используется функция ode23t, основанная на неявном методе трапеций с использованием «свободной» интерполяции и предназначенная для решения умеренно жестких задач, нахождения численного решения без численного демпфирования и решения систем ОДУ в неявной форме Коши.

При обращении к решателю без указания выходных параметров по умолчанию вызывается функция вывода odeplot для построения графика решения. В соответствии с целями исследования для построения фазового портрета системы (8-10) следует изменить исходные настройки работы функции решателя, задав в качестве функции вывода построение трехмерного фазового портрета, а также определить последовательность вывода переменных и допустимую относительную погрешность, например, следующим образом:

-ч ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА

№ 1 (43) 2013 ' -

«о

I

U

о

Si

о

i

0 SC

Si

та

1 §

S

0

1

IS

<3

!

0

options=odeset ('outputFcn','odephas3', 'OutputSel', [12 3],'RelTol',1e-10);

Прежде чем строить фазовый портрет в окрестности состояния равновесия, следует определить координаты ненулевого состояния равновесия — состояния равновесия с положительными координатами (которое и представляет основной прикладной интерес). Для этой цели была написана функция lucas_eq.m, позволяющая найти корни системы нелинейных алгебраических уравнений (13), используя функцию inv (), для расчета обратной матрицы.

Для определения типа состояния равновесия следует вычислить корни характеристического уравнения (15). Для этого используется функция eig, заполняющая вектор-столбец lam собственными числами матрицы L (lam = eig (L)). В рассматриваемом случае матрица L есть матрица Л линеаризованной системы (14). Для заполнения матрицы L была написана функция lucas_lin (x), в которой рассчитывались элементы матрицы Л через параметры системы в зависимости от состояния равновесия Xe. Подробную методику расчета значений можно найти в [5].

Вид рабочего листа программы MatLab и часть программного кода для построения фазового портрета модели Лукаса в окрестности «положительного состояния равновесия» (состояния равновесия с положительными координатами)приведен на рис. 2.

На рисунке 3 представлен фрагмент фазового портрета системы в окрестности «положительного» состояния равновесия, полученный в результате работы программы. Сплошными линиями показаны траектории, построенные для системы в прямом времени, пунктирными — в обратном. В работе [18] показано, что выбор решателя влияет на точность метода и затраты машинного времени незначительно (для состояний равновесия типа седло). Заметим, что построение фазового портрета системы в окрестности тривиального состояния равновесия проводится, в основном, по той же схеме. Применение цикла for при построении фазового портрета позволяет автоматизировать процесс выбора начальных условий в окрестности интересующей точки.

С целью исследования типов состояния равновесия при различных значениях параметров была создана программа, опре-деляеющая тип состояния равновесия в за-

Рис. 2. Построение фазового портрета для модели Лукаса в пакете MatLab

№ 1 (43) 2013

Рис. 3. Состояние равновесия типа седло

висимости от значении корней характеристического уравнения при варьировании параметров 8, у и а, которые описывают технологические особенности образовательного сектора, экстерналии в производственном секторе и межвременные предпочтения потребителей, соответственно. Для рассматриваемых значений параметров реализуются ситуации, когда в правой полуплоскости лежат один или два корня характеристического уравнения (рис. 4).

Множество 01 состоит из тех наборов параметров, для которых в правой полуплоскости находится только один корень

характеристического уравнения. Состояния равновесия в этом случае будут являться либо седлом, либо седло-фокусом, в зависимости от наличия комплексно-сопряженных собственных значений характеристического уравнения. Для множества 01 имеет место ситуация неопределенности (indeterminacy), когда не представляется возможным выделить единственную траекторию, сходящуюся к траектории сбалансированного роста [14].

Множество 02 состоит из тех наборов параметров, для которых два корня характеристического уравнения лежат в правой по-

CQ CS

sa

Рис. 4. Количество характеристических корней в левой полуплоскости в зависимости

от параметров у, а и 8

123

№ 1 (43) 2013

Рис. 5. Тип состояния равновесия в зависимости от параметров у, о и 8

луплоскости, причем в этом случае задание начального условия позволяет однозначно определить траекторию, сходящуюся к траектории сбалансированного роста. Таким образом, имеет место ситуация определенности (локальной). Тогда состояние равновесия также может быть либо седлом, либо седло-фокусом.

При данных значениях параметров воз-§ можно существование состояний равновесия двух типов: седло и седло-фокус. § Результаты расчетов представим в гра-

0

^ фическом виде как зависимость типа со-

§ стояния равновесия от параметров р, q и у (рис. 5).

1| В качестве примера приведем общий вид

| фазового портрета системы в окрестности

™ состояния равновесия типа седло-фокус

<3 с отрицательным действительным корнем

1 и парой комплексных корней с положитель-| ной действительной частью (у=0,97; о=1,94; | 5=0,55).

5 Для построения фазового портрета

8 системы (рис. 6) используется тот же ал-

<и горитм, что и ранее для состояния равно-

<5 весия типа седло. Но в данном случае не-

| обходимо определить вид устойчивых и не-

| устойчивых многообразий, поэтому для за-

<р дания начальных значений при построении

| фазовых траекторий внутри цикла удобно

Ц использовать сетку с циклической струк-

эг турой [15]:

' Х0(Ф) ^ ГХе (Ф) >

qo(Ф) = qe (Ф) + Е^п Ф)^ + e(cos Ф^

ч и0(Ф) 7 1 ие (Ф);

eeR, фе[0,2л),

где (x0,q0, и0) — набор начальных значений, (хе ,qe ,ие) — значения в состоянии равновесия, V и v2 — действительная и комплексная части соответствующих собственных векторов, е — окрестность.

Заключение

В настоящей работе представлено описание общей методики численно-аналитического исследования математических моделей теории экономического роста, позволяющей описать общую глобальную картину их фазового пространства. Применение методики демонстрируется на примере эндогенной модели Лукаса экономического роста с учетом эффекта накопления человеческого капитала. Полученные при этом результаты вносят также ряд существенных уточнений и дополнений и в математическую теорию модели Лукаса.

Во-первых, в статье дается подробное описание фазового пространства модели для широкого диапазона важнейших параметров системы. Во-вторых, впервые уста-

№ 1 (43) 2013

оо о и

со о

! &

Рис. 6. Состояние равновесия типа седло-фокус

новлено, что для достаточно представительного множества важнейших параметров системы состояние равновесия с положительными координатами является состоянием равновесия типа седло-фокус. Следует отметить, что в работах, посвященных изучению модели Лукаса, в качестве основной характеристики поведения траекторий в окрестности состояния равновесия с положительными координатами, указывается только факт его так называемой «седловой устойчивости», т. е. утверждается, что тип состояния равновесия — седло. Выявление указанного выше факта (означающего, в частности, возможность «колебательного» поведения траекторий системы) следует назвать одним из существенных результатов, отличающих данную работу от других. Наконец, в-третьих, показано, что при значениях параметров системы, достаточно близких к реальным значениям этих параметров для развитых экономик, в системе реализуется эффект неопределенности [14, 13].

Настоящая статья устанавливает связь между классическими результатами [17, 14, 13] и результатами авторов, изложенными в [7].

Отметим, что MatLab и ранее использовался для анализа подобного рода задач, однако обычно исследование проводилось для неких «абстрактных» значений параметров,

позволяющих проиллюстрировать предположения о «седловой» устойчивости. При этом результаты эконометрического моделирования экономического роста (см., например, [16]) часто служили лишь подтверждением существования статистических зависимостей между экономическим ростом и человеческим капиталом. Вопрос о существовании и структуре траекторий сбалансированного роста при эмпирически полученных значениях параметров оставался открытым. Численно-аналитическое исследование расширенной модели экономического роста модели [7] для значений параметров, близких к реальным, подтвердило существование состояний равновесия разного типа при различных значениях параметров. Аналогичный анализ неоклассической модели Лукаса, проведенный в статье, позволил проверить гипотезу о возможности существования предельных циклов, наличие которых в расширенной модели [7] было подтверждено результатами численного эксперимента.

Отметим также, что, как следует из результатов работы, применение программного пакета MatLab позволяет эффективно выполнять компьютерное моделирование в задачах теории экономического роста при широком диапазоне значений параметров моделей. Графические средства программы делают возможным визуальное и наглядное

125

№ 1 (43) 2013

<0 I

U

0

Si

е

Si Sä

1

0

Si

та

1

§

I

S 00

0

1

I §

!

0

представление результатов моделирования, а специальные команды для построения фазовых портретов существенно облегчают их построение для трехмерных систем. Написание подпрограмм на встроенном языке программирования MatLab уменьшает затраты времени, необходимого для построения компьютерных моделей.

Авторы выражают глубокую признательность профессору А. А. Емельянову за ряд ценных замечаний, учтенных при написании рукописи статьи.

Список литературы

1. Емельянов А. А., Власова Е. А., Дума Р. В. Имитационное моделирование экономических процессов. М.: Финансы и статистика, 2009.

2. Кетков Ю. Л., Кетков А. Ю, Шульц М. М. MatLab 6.х.: программирование численных методов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

3. Кетков Ю. Л., Кузнецов А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения MatLab versus MathCAD // Математика в высшем образовании. 2005. № 3.

4. Королев А. В., Матвеенко В. Д. О структуре равновесных нестационарных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса // Автоматика и телемеханика. 2006. № 4.

5. Кузнецов Ю. А. Оптимальное управление экономическими системами. Нижний Новгород: изд-во Нижегородского гос. ун-та, 2008.

6. Кузнецов Ю. А, Мичасова О. В. Использование системы MatLab для численно-аналитического исследования задач теории экономического роста // Прикладная информатика. 2006. № 6.

7. Кузнецов Ю. А., Мичасова О. В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала // Вестник Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование. Оптимальное управление. I. 2010. № 1; II. 2010. № 2; III. 2010. № 3 (1).

8. Кузнецов Ю. А., Мичасова О. В. Сравнительный анализ применения пакетов имитационного моделирования и систем компьютерной математики для анализа моделей теории экономического роста // Экономический анализ: теория и практика. 2007. № 5 (86).

9. Медведев Д. А. Выступление на XII Петербургском международном экономическом форуме // Стенограмма выступления Президента РФ Д. А. Медведева на XII Петербургском международном экономическом форуме (07.06.2008. г. Санкт-Петербург). URL: http://www.rost.ru/ official/2008/06/070000_14284.shtml.

10. Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчетов MatLab 5.х: в 2 т. Т. 2. М.: Диалог-МИФИ, 1999.

11. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

12. ArrowK. J. The Economic Implications of Learning by Doing // Review of Economic Studies. 1962. Vol. 29. № 1.

13. Barro R, Sala-i-Martin X. Economic Growth. 2nd Edition. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 2004.

14. Benhabib J., PerliR. Uniqueness and Indeterminacy: On the Dynamics of Endogenous Growth // Journal of Economic Theory. 1994. Vol. 63. № 1.

15. Brunner M., Strulik H. Solution of perfect foresight saddlepoint problems: a simple method and applications // Journal of Economic Dynamics & Control. 2002. Vol. 26.

16. Gong G, Greiner A., Semmler W. The Uzawa — Lucas model without scale effects: theory and empirical evidence // Structural change and economic dynamics. 2004. Vol. 15. № 4.

17. Lucas R. E., Jr. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. 1988. Vol. 22. № 1.

18. Stemp P. J., Herbert R. D. Solving non-linear models with saddle-path instabilities // Computational Economics. 2006. Vol. 28. № 2.

19. Uzawa H. Optimal technical change in an aggregate model of economic growth // International Economic Review. 1965. Vol. 6. № 1.

20. Турова Э. Ю. Значение интеллектуального капитала в достижении устойчивых конкурентных преимуществ современной компании // Современная конкуренция. 2010. № 6 (24).

21. Шацкая И. В. Модернизация экономики как фактор конкурентоспособности России // Современная конкуренция. 2012. № 5 (35).

126