Нелинейная волновая динамика обобщенных континуумов

Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1476-1477

УДК 539.3

НЕЛИНЕЙНАЯ ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА ОБОБЩЕННЫХ КОНТИНУУМОВ

© 2011 г. В.И. Ерофеев

Нижегородский филиал Института машиноведения им. А. А. Благонравова РАН

erf04@sinn.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Обсуждаются особенности распространения нелинейных волн в обобщенных континуумах, таких как градиентно-упругая среда, среды с дислокациями и точечными дефектами, твердые двухкомпонентные смеси, твердые проводящие среды, взаимодействующие с внешним магнитным полем.

Ключевые слова: обобщенный континуум, нелинейная волна.

Градиентно-упругая среда

Описаны различные типы волн в градиент-но-упругом пространстве, неограниченном и ограниченном поверхностями. В рамках градиентной теории упругости с поверхностной энергией показано существование БН-поверхностной волны, которую в классической теории упругости описать невозможно. Проанализировано влияние микроструктуры на волновые процессы, а также исследовано влияние геометрической нелинейности на продольные, сдвиговые и БН-поверхност-ные волны.

Среды с дислокациями и точечными дефектами

Изучается распространение продольной акустической волны в твердом теле с дислокациями. Проанализировано влияние плотности дислокаций на дисперсию фазовой скорости волны, величину и характер затухания. Произведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными по изучению характеристик распространения упругих волн в образцах с изменяющейся плотностью дислокаций (деформируемых и циклически нагружаемых образцах). Предложена нелинейная математическая модель динамики твердой среды с дислокациями. Рассматривается распространение ультразвуковых квазигармонических волн. Показано, что наличие дислокаций приводит к модуляционной неустойчивости квазигармоник и формированию стационарных волн огибающих (волновых пакетов), при этом их амплитуда и ширина определяются эффективной массой дислокаций и коэффициентом акустодис-локационного взаимодействия. Кроме того, в твердом теле с дислокациями может формироваться

нелинейная стационарная акустическая волна. Такая волна является периодической и движется быстрее, чем акустические сигналы в линейной среде. Волна имеет пилообразную форму, длина волны увеличивается с ростом ее амплитуды.

При воздействии на материал лазерного излучения или потока частиц (например, при ионной имплантации) в нем создаются точечные дефекты (вакансии, межузлия). Прохождение интенсивной продольной акустической волны способствует изменению, в областях растяжения и сжатия, энергии активации образования точечных дефектов, приводя к их пространственному перераспределению. Дефекты, мигрирующие по материалу, рекомбинируют на различного рода центрах. Роль таких центров могут играть дислокации, примеси внедрения и др.

Задача о распространении акустической волны в материале с дефектами рассматривается как самосогласованная, включающая в себя, наряду с динамическим уравнением теории упругости, кинетическое уравнение для плотности дефектов. Показано, что такая модель может быть сведена к нелинейному эволюционному уравнению, объединяющему в себе известные уравнения волновой динамики: Кортевега - де Вриза - Бюргерса и Клейна - Гордона.

Твердые двухкомпонентные смеси

Изложены основы теории распространения упругих волн в твердых смесях. Смесь представляет собой два взаимопроникающих континуума. Каждая точка области, заполненной смесью, одновременно занята обеими компонентами, между которыми происходит взаимное относительное движение. Деформированное состояние каждого континуума определяется парциальными тензо-

Нелинейная волновая динамика обобщенных континуумов

1477

рами деформаций и вращений. Однако при движении смеси происходит не только деформирование отдельных континуумов, но и их взаимное смещение. Кинематически такое смещение может однозначно определяться компонентами вектора относительных перемещений (сдвиговая модель смеси). Основное внимание уделяется обсуждению следующих вопросов: математические модели сдвиговых и инерционных смесей деформируемых твердых тел, учитывающие геометрическую и физическую нелинейности; дисперсионные свойства упругих продольных и сдвиговых волн, распространяющихся в указанных смесях; нелинейные эффекты при распространении упругих волн.

Магнитоупругие среды

Система динамических уравнений магнито-упругости для стержня, пластины и упругой трехмерной среды приведены к эволюционным уравнениям относительно продольной деформации, в частных случаях представляющих собой известные модельные уравнения нелинейной волновой динамики. В случае стержня система уравнений магнитопругости сводится к одному из уравнений: Кортевега - де Вриза - Бюргерса, Кортевега - де Вриза, Бюргерса и уравнению Римана в зависимости от учета проводимости материала и модели, описывающей упругие колебания стержня. Если рассматриваемым объектом является пластина, то система уравнений магнитоупругости сводится к уравнению, соединяющему в себе известные двумерные модельные уравнения Хохло-ва - Заболотской - Кузнецова и Кадомцева - Пет-виашвили. Для трехмерной упругой среды эволюционное уравнение представляет собой трехмерное уравнение Хохлова - Заболотской - Кузнецова.

Исследована эволюция магнитоупругой волны Римана в стержне. Показано, что внешнее магнитное поле стабилизирует простую волну, увеличивая время формирования резкого фронта.

В результате аналитических исследований и численного моделирования продемонстрирована возможность формирования интенсивных пространств енно -локализов анных магнитоупуругих волн: уединенные волны деформации в стержне; двумерные квазиплоские волновые пучки в пластине; трехмерные квазиплоские волновые пучки в упругой проводящей среде.

Установлены зависимости волновых параметров (амплитуда, скорость, ширина) от величины и пространственной ориентации внешнего магнитного поля, показывающие, что с помощью магнитного поля можно управлять характеристиками локализов анных волн.

Основное содержание настоящего исследования отражено в публикациях [1-7].

Список литературы

1. Багдоев А.Г, Ерофеев В.И., Шекоян А.В. Линейные и нелинейные волны в диспергирующих сплошных средах. М.: Физматлит, 2009. 320 с.

2. Altenbach H., Erofeev V, Maugin G. (eds.). Mechanics of Generalized Continua - from Micromechanical Basics to Engineering Applications. NY: Springer, 2011. 330 p.

3. Ерофеев В.И., Мальханов А.О. Влияние магнитного поля на локализацию волны деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. №1. С. 95-100.

4. Мальханов А.О., Ерофеев В .И. Магнитоупругая волна Римана в стержне // Нелинейный мир. 2009. Т. 7, №12. С. 933-936.

5. Ерофеев В.И., Землянухин А.И., Катсон В.М., Мальханов А. О. Нелинейные продольные локализованные волны в пластине, взаимодействующей с магнитным полем // Вычислительная механика сплошных сред. 2010. Т. 3, №4. С. 5-15.

6. Ерофеев В. И., Мальханов А. О., Морозов А. Н. Локализация волны деформации в нелинейно-упругой среде // Электронный журнал «Труды МАИ», 2010. Вып. 40.

7. Erofeyev VI., Malkhanov A.O. Localized mag-netoelastic waves formation // International Review of Mechanical Engineering. 2010. Vol. 4, No 5. P. 581-585.

NONLINEAR WAVE DYNAMICS OF THE GENERALIZED CONTINUA

V.I. Erofeyev

The features of nonlinear wave propagation in generalized continua, such as the gradient-elastic medium, medium with dislocations and point defects, solid two-component mixtures, the solid conductive medium interacting with an external magnetic field are discussed.

Keywords: generalized continuum, nonlinear wave.