Класс правильных неравенств для задачи упаковки вершин ациклического орграфа в полосу заданной ширины

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 2. С. 44-48.

УДК 510 И. В. Уразова

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

КЛАСС ПРАВИЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ ДЛЯ ЗАДАЧИ УПАКОВКИ ВЕРШИН АЦИКЛИЧЕСКОГО ОРГРАФА В ПОЛОСУ ЗАДАННОЙ ШИРИНЫ

В статье [1] был получен класс правильных неравенств для задачи упаковки вершин ациклического ориентированного графа в полосу заданной ширины, доказана полиномиальная разрешимость задачи идентификации неравенств построенного класса. В настоящей работе получен новый класс правильных неравенств для многогранника рассматриваемой задачи, проведено сравнение неравенств, показано, что новые неравенства могут служить отсечениями.

Ключевые слова: теория расписаний, правильные неравенства.

Постановка задачи и ЦЛП модель

При анализе и решении задач комбинаторной оптимизации в последние годы хорошо зарекомендовал себя полиэдральный подход. Однако количество работ, посвященных применению этого подхода к задачам теории расписаний, невелико. Следует отметить работы [2; 3], в которых рассматривались задачи, смежные с задачей, рассматриваемой в этой статье. Задача минимизации общего времени обслуживания параллельными приборами единичных требований с предшествованиями на сегодняшний день является открытой в смысле теории сложности [4; 5]. В данной работе эта задача рассматривается в графовой постановке. Количеству параллельных приборов соответствует ширина полосы, единичным требованиям - вершины орграфа.

Дан ациклический ориентированный граф G с множеством вершин V , | V |= п . Множество дуг орграфа G будем обозначать Е(0~). Дуга (/', у') называется транзитивной, если существует путь из / в ], отличный от дуги (/', ]). Будем полагать, что орграф G не имеет транзитивных дуг. Через / < ] обозначим предшествование вершины /

вершине ]. Упаковкой вершин орграфа G в полосу ширины т назовем функцию о : V ^ П = {1,...,d}, удовлетворяющую требованиям: соотношение / < ] влечет неравенство

°) <о

для любого к е П имеется не более т вершин / е V, таких что

о

Множество упаковок, определенных условиями (1)-(2), обозначим через X. Заметим, что значение величины d должно быть достаточ-

© И.В. Уразова, 2011

но велико, иначе множество X может оказаться пустым. Целесообразно значение d брать не превосходящим п, так как в случае, когда d = п, всегда существует размещение вершин орграфа G в полосе шириной т.

В настоящей статье рассматривается полиэдральная структура множества X безотносительно к целевым функциям, а именно: множеству X сопоставляется полиэдр, целочисленные вершины которого взаимно-однозначно соответствуют упаковкам; строится класс неравенств, правильных относительно выпуклой оболочки целочисленных точек (упаковок) этого полиэдра; приводится пример, показывающий, что полученные неравенства обладают свойствами отсечений.

Пример 1. Пусть G - ациклический орграф, V = {1,2,3,4,5}, d = 5. Требуется разместить вершины орграфа G в полосе шириной т = 3 так, чтобы выполнялось условие: если / < ], то вершина / не может стоять в столбце правее вершины у . На рис. 1 показана одна из возможных упаковок вершин орграфа G в полосе ширины 3.

2 4

о

т=3

3 5

С

Рис. 1

Конец примера.

1 2 5 4

3

Упаковке

сопоставим (0,1)-

х° =

вектор Xа = (хО, і єV, к є Б) є Яп по правилу

"1, а( і) = к; 0, иначе.

Построенный таким образом вектор

Xатакже будем называть упаковкой.

Вершинной базой ациклического орграфа G называется такое множество вершин В с V, что полустепень захода каждой из них равна нулю. Вершинной антибазой называется такое множество

вершин В с V, что полустепень исхода каждой из них равна нулю. Всякий ациклический орграф имеет вершинную базу

и антибазу, причем по одной [7]. Для каждой вершины / е V обозначим через Р1 - максимальный по числу дуг путь из вершинной базы орграфа G в вершину /, а через Qi - максимальный по числу дуг путь из вершины / в вершинную антибазу орграфа G. Если о - упаковка, то в силу условия (1) имеем х°к = 0 для всех к = 1,2,..., |р | и для всех к = d - |Qг. | +

+2, d - |й| + 3,---:> d.

Для вершины / е V обозначим множество всех предков через и\ = {у е V | у < /}, а множество всех потомков через Щ = {у е V | / < у}. Положим,

и qг = тах{| дг \ +1,

т

\щ_

т

+1}

+1}.

Определим для каждой і єV множество Бі = {рг,рг +1,...,й - ql}. Для к є Б определим множество Vk = {і єV | к є Б і}.

Многогранником будем называть выпуклую оболочку конечного числа точек в конечномерном пространстве, полиэдром - множество решений конечной системы линейных уравнений и неравенств, если оно ограничено.

Рассмотрим систему линейных уравнений и неравенств

Е Хк = 1 і єV,

кєБі

Е Хк - m, к є D,

гєVk

Х- -Е ХА, & }) є Е^), к є А,

І >к

0 - хш - 1, і є V, к є Бі,

хік = 0, і єV, к є Б \ Бі.

В работе [1] было показано, что целочисленные вершины полиэдра (4)-(8) и только они являются упаковками. Кроме того, в нем были найдены вершины, отличные от целочисленных. Полиэдр, определяемый условиями (4)-(8), обозначим через М, а выпуклую оболочку упаковок - через М2.

Класс правильных неравенств

Неравенство ах < а0 называется правильным относительно М2, если для всех х е М2 выполнено ах < а0. Будем говорить, что неравенство ах < а0 отсекает точку X е М, если аХ > а0.

В [1; 6] описаны классы неравенств, правильных относительно многогранника М2 . Кроме того, получены условия, при

которых построенные неравенства являются опорными относительно многогранника М2.

В настоящей работе получен новый класс линейных неравенств, правильных относительно выпуклой оболочки упаковок М2 . Показано, что неравенства нового класса могут служить отсечениями.

Для описания результатов введем необходимые понятия и обозначения.

Орграф Н называется t - дольным, если существует такое разбиение множества его вершин V на t вершинно-непе-ресекающихся подмножеств V1, V2,..., V, что для любого у е {1,2,t-1} множество Vj VJ+1 индуцирует в Н двудольный орграф с началами дуг в V] и концами в VJ+1. Если в данном определении для любого у е {1,2,t -1} множество Vj VJ+1 индуцирует полный двудольный орграф, то граф Н называется полным t -дольным. Через Н (V!, V,,., V; Е(Н)) будем

обозначать полный t-дольный ациклический орграф.

Следующая теорема описывает класс правильных относительно М2 неравенств.

Теорема 1. Пусть Н(У1,...,V;Е(Н)) -полный t -дольный ациклический орграф в G , к е П . Тогда неравенство

X X ха +^ X х* + X X Х1 < т1=ах

1 =к геУ1 у=2 геУу 1=я ге1^ у ,

где г е{к,..., d} и е {1,..., к} является

правильным относительно М2 .

Доказательство. Пусть о еX . Случай, когда

X X хо=X X хо=]с X хо=0,

1=к г'е/>1 у=2 iеVj 1=я iеVt

является тривиальным, так как в левой части рассматриваемого неравенства будет ноль, отсюда получаем, что неравенство (9) правильное. Заметим, что в силу ограничений (4) и (6), вершины, принадлежащие разным долям Vl,..., Vt, не могут одновременно стоять в одном столбце полосы ширины т. То есть случай, когда любые два или все три блока слагаемых в неравенстве (9) одновременно не равны нулю, невозможен. Таким образом, рассмотрим следующие три случая: г t-1

а) XXхи *0. Тогда XXх* =0 и

1=к iеV1 у=2 iеVj

к

'X'Xxu = 0. В силу неотрицательности

1=Si iеVt

компонент вектора хо и ограничений (4), в левой части неравенства имеем

X X хГ, <\К\< тах (| V-1);

1=к iеV1 1 ,t

б) XXх« *0. Тогда XXx0 =0 и

1=iеVt 1=к iеV1

I-1

XX х° =0. Вн°в^ в силу неотрицатель-

у=2 iеVj

ности компонент вектора хо и ограничений (4), в левой части неравенства имеем

X X х° < ^ < т(| V1|);

1=я iеVt 1 ,t

t-1 Г

в) XXх° *0. Тогда XXх°=0 и

у=2 iеVj 1=к iеV1

к

XX хТ = 0 . Следовательно, в силу неот-

1=я iеVt

а

рицательности компонент вектора х и ограничений (6), в левой части неравен-

t-1

ства имеем XX х°к <т ^(| V1|).

у=2 iеVj 1 и

Теорема доказана.

Класс неравенств, описанных в теореме 1, обозначим через J.

Приведем пример нецелочисленной точки х е М, отсекаемой неравенством из теоремы 1 при п = d.

Пример 2. Рассмотрим орграф G с множеством вершин V = {1,2,... ,10},

¿/ = 10 (рис. 2).

Точку х удобно задавать с помощью таблицы 10*10, строки которой соответствуют множеству V, а столбцы - множеству П.

Пусть х имеет следующие координаты:

0 0,8 0 0 0,2 0 0 0 0 0

0,4 0 0,6 0 0 0 0 0 0 0

0 0,4 0 0,4 0,2 0 0 0 0 0

0 0 0,4 0,2 0,2 0,2 0 0 0 0

0 0 0 0,2 0,6 0 0,2 0 0 0

0 0 0 0 0 0,8 0 0,2 0 0

0 0 0 0,2 0,6 0 0 0,2 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0,8 0 0,2 0

0 0 0 0 0 0 0 0,8 0 0,2

Подставив х в ограничения (4)-(8), легко убедиться, что х е М. Возьмем двудольный орграф Н С G с множеством вершин Vl = {1,4}, V2 = {5,7} и множеством дуг Е(Н) = {15,17,45,47} . Взяв к = 5, получим неравенство х15 + х16 + х45 + х46 + х55 + х54 + х75 + х74 < 2.

Подставив в неравенство координаты точки х е М, в его левой части получим значение 2,2. Точка х отсекается. Конец примера.

Из приведенного примера следует, что неравенства построенного класса могут служить отсечениями в соответствующих алгоритмах решения данной задачи.

Сравнение неравенств класса ^

Будем говорить, что неравенство ах < а0 не сильнее неравенства Ьх < Ь0 (относительно М), если выполнено условие {х е М | ах > а0} е {х е М | Ьх > Ь0}.

Следующий пример показывает, что в общем случае неравенства в классе J могут быть несравнимы друг с другом.

Пример 3. Пусть G - орграф из примера 2, d = 10, р, Р2 С G. Рассмотрим

точку х е М из примера 2. Заметим, что любой путь с t вершинами является полным t -дольным орграфом. Количество долей в нем равно числу вершин в пути, при этом мощность каждой доли равна 1.

Пусть Р С Р2. Возьмем путь Р с

V(Р) = {3,4} и к = 4 . Неравенство класса J, построенное на пути Р, имеет вид

10 2 3

XX хи+Xx х 4+Xx хп < 1

1=5 iеV1 у=1 iеVj 1 =1 iеV2

Подставив координаты точки х , в левой части неравенства получим значение 1,2. Точка отсекается. Возьмем путь Р2 с V (Р2) = {3,4,5} и к = 4.

Неравенство класса J, построенное на пути Р2 , имеет вид

10 3 3

XX хч +XX х 4+XX хч <1

1=5 iеV1 у=1 iеVj 1=1 iеV3

Подставив координаты точки х , в левой части неравенства получим 1. Точка не отсекается.

Пусть Р2 С Р. Возьмем путь Р с

V (Р) = {3,7} и к = 5. Неравенство класса J, построенное на пути Р , имеет вид

10 2 4

XX х +Xx х-з+Xx хч <1.

1=6 iеV1 у =1 iеVj 1 =1 iеV2

Подставив координаты точки х , в левой части неравенства получим 1. Точка не отсекается. Возьмем путь Р2 с

V (Р2) = {3,4,7} и к = 5.

Неравенство класса J, построенное на пути Р2 , имеет вид

10 3 4

XX х +Xx х-5+XXxl <1.

1=6 iеV1 у =1 iеVj 1 =1 iеV3

Подставив координаты точки х , в левой части неравенства получим значение 1,2. Точка отсекается. Конец примера.

Рассмотрим полный t -дольный орграф Н (У\,-.-,У{; Е (Н)). Дополним его до

орграфа Н следующим образом. К орграфу Н добавим q долей так, чтобы орграф Н был полным t + q -дольным орграфом. При этом тах(| V: |) = тах(| VI |) .

Vj С Н V С Н

j=Г,7 1=ц.+(1

Покажем, что неравенство

t

Е Е Xik — max(| Vj I) , построенное на орг-

j=1 t^V. VjCH

j j=1,t

рафе H, не сильнее неравенства

t +q

ЕЕxtk — max(|V I), построенного на ор-

l=1 i£V,

графе H. Для этого рассмотрим точку

t +q

x e M такую, что II xk > max(| Vt I).

l=1 i'eV

l i=1,t+q

Заметим, что орграф Н содержит доли

V1,...,Vt орграфа Н и еще добавленные q

долей. Тогда в силу неотрицательности компонент точки х будет верным нера-

t +q

венство IIxk ^II xik . Осталось за-

j=1 ieVj l=1 ieVi

метить, что по построению

max(| V- |) = max(| Vi |) . Таким образом,

Vj CH

j=V

t

l=1,t+q

XX хк > тах(| V. |), т. е. если точка

/=1 iеV- ^СН

х е М отсекается неравенством, построенным на орграфе Н , то она отсекается неравенством, построенным на орграфе Н.

В заключение заметим, что если первая и последняя доли в орграфах H и H совпадают, то неравенство (9), построенное на орграфе H, не сильнее неравенства (9), построенного на орграфе H. ЛИТЕРАТУРА

[1] Симанчев Р. Ю., Уразова И. В. Класс опорных неравенств для многогранника расписаний обслуживания единичных требований параллельными процессорами // Математическое программирование : труды XIV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2008. Т. 1. С. 530-536.

[2] Schulz A. S. Polytopes and Scheduling. Department of Mathematics, Technical University of Berlin, Berlin, Germany, 1996.

[3] Mokotoff E. An exact algorithm for the identical parallel machine scheduling problem // Europ. J. of Operation Research. 2004. V. 152. P. 758769.

[4] URL: http://www.mathematik.unisnabrueck.de/

reseach/OR/class.

[5] Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М. : Мир, 1982. 416 с.

[6] Симанчев Р. Ю., Уразова И. В. Целочисленная модель задачи минимизации общего времени обслуживания параллельными приборами единичных требований с предшествованиями // Автоматика и телемеханика. 2010. № 10. С. 100-106.

[7] Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М. : Мир, 1978. 431 с.