Математические модели фрикционных соединений на высокопрочных болтах

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФРИКЦИОННЫХ СОЕДИНЕНИЙ НА ВЫСОКОПРОЧНЫХ БОЛТАХ

A.A. Шейнин, А.Ю.Клюкин

МГУПС

В статье дан расчёт узлов с учётом жёсткости болтовых соединений. Предлагаются модели распределения усилий по рядам болтов в стадии предварительного трения.

The article is given the calculation nodes, taking into account the rigidity of bolts. The model of the distribution efforts for rows of bolts in the preliminary stages offriction.

В современных методах расчёта болтовые соединения принимаются как абсолютно жёсткие. То есть перемещения соединяемых листов относительно друг друга предполагаются равными нулю. Вместе с тем при расчёте самих соединений рассматривается стадия после макросдвига, когда, исчерпав фрикционные силы, сдвинулись все ряды болтов. В действительности для фрикционных соединений существует область предварительного сдвига, которая характеризуется упругим взаимодействием шероховатостей соприкасающихся листов. Для анализа сложных соединений на высокопрочных болтах нами было предложено несколько моделей, описывающих поведение этих систем. Модели продолжают и развивают направление предшествующих исследований болтовых соединений [1-2], рассматривая работу соединений в упругой стадии. C их помощью стало возможным решить многие задачи по конструированию и расчёту соединений [3]. В ходе экспериментов нами была установлена жёсткость предварительного сдвига. Она зависит в первую очередь от способа обработки соединения. Так для пескоструйной обработки она составила в среднем 3,39'10-6см/кг; верхний предел (с обеспеченностью 0,95) - 3,96'10-6см/кг; нижний предел - 2,20'10-6см/кг.

Для создания моделей заменим взаимодействие поверхностей в стадии предварительного сдвига упругой связью с заданной жёсткостью.

В этой статье рассматриваются две математические модели, моделирующие поведение болтового соединения и приближённый расчёт соединения методом конечных элементов в стадии предварительного сдвига. Модели различаются расположением упругих связей, заменяющих болтовые соединения. В первой модели каждый ряд болтов заменяется одной упругой связью. Во второй упругие связи «размазываются» по всей плоскости контакта, как слой клея.

Податливость здесь и далее будем определять как отношение перемещения в системе к усилию, вызвавшее это перемещение, жесткость же как величину обратную податливости. Тогда податливость С будет равна -

С — —  С F'

Где ö - перемещение, F - усилие.

Рассмотрим модель со связями, сосредоточенными в одной точке по оси рядов болтов.

Допущения в расчёте:

1). Все ряды болтов заменяются упругими связями, расположенными в соответствующей точке по оси ряда;

2/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

2). Ослабления отверстиями в листе не учитываются (или ширина листа усредняется по длине);

3). Жёсткости рядов прямо пропорциональны количеству расположенных в них болтов.

Такую модель можно видеть на рис. 1.

_та та та та та

Рис. 1. Болтовое соединение и его модель

Модель с двухплоскостными соединениями может быть представлена как условная одноплоскостная, состоящая из двух листов вместо трёх. В этом случае толщины объемлющих листов суммируются, а податливость болтоконтакта принимается как для двухплоскостного соединения. Для вывода уравнения, описывающего работу системы можно обратиться к методу сил, разорвав некоторые связи в системе. Выведем общую формулу для соединения двух податливых листов с любым количеством болтов по рядам. Ш - реакции в рядах болтов, будут равны -К-1 = х1; ^ = Х1 - х2; — = 1-хп-1;

Где х - неизвестные усилия в листах между рядами, определяются из следующего матричного уравнения -(г( + ь! + С1 + с2) - С 2

- С2

(4 + + с2 + с3) - с

00 х1 Ы + С1

- С3 0 X х2 = г" ь2

_ С„-1 (¿1-1 + Ьп-1 + Сп-1 + Сп , хп-1 гп-1

;

В матричное уравнение входят следующие величины

Ь, - податливости листов между рядами болтов, верхний индекс указывает на то верхний лист или нижний (I и II соответственно), нижний на номер участка между рядами (на один меньше количества рядов болтов) = 1;/ЕА, С; - податливость ь того ряда, индекс указывает на номер ряда.

Пользуясь полученным уравнением можно получить распределение усилий по рядам болтов в зависимости от податливости. Как видно на рис. 2, при абсолютно жестких связях всё усилие приходится на крайние ряды болтов, при абсолютно податливых же связях распределение усилий становится равномерным между всеми рядами не зависимо от конструкции соединения. Все промежуточные результаты находятся между этими двумя крайностями.

Далее рассмотрим модель со связями равномерно распределёнными по всей плоскости контакта.

1). В этой модели все ряды болтов заменяются равномерно распределёнными связями;

2). Ослабления не учитываются;

3). Жесткость ряда прямо пропорциональна количеству болтов и является постоянной по всей площади контакта.

Вторая модель отличается от первой «размазыванием» упругих связей по всей плоскости контакта. Это достигается дроблением участков до пренебрежительно ма-

0

0

лых величин. Математически это получено при делении участков листа на мелкие участки и установкой на каждый участок упругой связи. Таким образом, жёсткость связи определяется как жёсткость болта, разделённая на количество приходящихся на него участков (рис. 3.).

Рис. 2. Распределение усилий между рядами болтов в зависимости от податливости соединений

ггп ггп гт

1

1

[ I

ЮГ

Рис. 3. Разбиение соединения на участки и вид модели

Жёсткости для связей «собираются» с участков, на которые разбиваются листы. В таком случае жесткость связей, расположенных на краю должна быть в два раза меньше (податливость соответственно больше в 2 раза).

Тогда матричное уравнение (1) модели примет вид -

- + 3  с

-+ 2  с

Г1 + Г11

ьп-1 + ьп-1

+3  Сп

-+ 2  с

;

ь! + ь1!

0

0

ь

с  х

2

п

X

п

ь

0

X.

с-X

с-X

2

3

п

X

ь

п—1

п—1

0

0

с

п—1

п

п

2/2010 ВЕСТНИК _2/20™_МГСУ

С  п

Где с - податливость связей; с !

пб

Где х также неизвестные усилия в листах между рядами, п - количество участков разбиения, пб - количество болтов

Реакции в связях находятся также, но с учётом разбивки -

2 • Ь Ь 2 • Ь

Я: =--X]; Я2 = — (Х] - Х2); ... Яп =--(1-Хп-1);

п п п

При рассмотрении модели были выяснены следующие моменты

- влияние разбивки на результат несущественно. При большем количестве участков получаем те же кривые, но с большим количеством точек.

- поведение системы при крайних случаях отношения жесткостей листов и связей таково, что при абсолютной контактной жёсткости соединения распределение по листам будет равномерным с резким скачком у обрыва листа. Усилие в связях же равно нулю по всей длине соединения за исключением участков у обрыва листов, там они должны в пределе иметь бесконечно большое значение, как у функции не имеющей длины, но имеющей определённую площадь. При абсолютно податливых связях перетекание усилий с одного листа на другой будет линейным.

- в случае если в системе находятся листы с разной толщиной, более нагруженным является лист с большей толщиной (речь идёт не о напряжениях, а об усилии). Большая же интенсивность усилий в связях наблюдается у обрыва более толстого листа 4. При увеличении жёсткости большего листа до бесконечности получим решение для прикрепления листа к абсолютно жёсткому основанию.

Рис. 4. распределение усилий в соединении с разной толщиной листов. На рисунке изображены два соединяемых листа. Верхний график - усилия в связях, два нижних графика - усилия в листах в верхнем и нижнем соответственно

Модель с распределёнными связями ведёт себя аналогично первой при рассмотрении всех крайних случаев соотношения жёсткости листов и связей. Распределение же усилий в ней происходит более плавно, сглажено. Если рассматривать, к примеру, во второй модели соединение с четырьмя рядами и разбить лист на три участка - получим решение для первой модели.

Представить же себя вторую модель можно как соединение со связями в виде клеевого слоя, соединяющие две поверхности. При том жёсткость листов значительно больше жёсткости клеевого слоя.

Рассмотрим решение задачи по методу конечных элементов. Несмотря на большой спектр различных видов трения и функций, позволяющих построить свои модели взаимодействия, моделировать предварительный сдвиг в современных комплексах можно только косвенно.

Задача заключается в создании упругих связей между узлами контактирующих тел. Такую задачу легко решить, соединив нужные узлы стержневыми элемента с заданной жёсткость.

Как и следовало ожидать, результаты расчёта по МКЭ заняли промежуточное положение между моделью с сосредоточенными связями и моделью с распределёнными связями.

При толстых листах, когда вся поверхность участвует в работе, работа реального соединения ближе к модели с распределёнными связями. Небольшие отклонения вызваны ослаблениями под отверстия, которые не только изменяют жёсткость листов, но и при разбивке на конечные элементы являются причиной неравномерной установки связей.

При тонких листах работа соединения больше соответствует модели с сосредоточенными связями. Отклонения от решения по модели тоже связанны с более точным учётом геометрии листов и помимо того с реальным расположением связей.

При сравнении моделей рассматривались средние значения напряжений по листам по МКЭ и напряжения, вычисленные по математическим моделям.

Рассмотрим решение о распределении усилий в 10-ти рядном соединении с помощью обеих моделей и решение по МКЭ (рис. 6.). Как показывает рисунок, разные модели дают совершенно одинаковый результат в точках между рядами. Как раз там, где обычно устанавливаются датчики при эксперименте. Таким образом, вторая модель даёт промежуточные результаты для первой модели, а расчёты в Магс-е эти результаты в промежуточных точках уточняют. Это уточнение показывает локальное колебание усилий непосредственно в зоне давления болта. Отклонения эти незначительны и тем меньше, чем больше толщина пакета, соединяемых листов. То есть, если нам необходимо только усилие между рядами, мы можем ограничиться первой моделью, для промежуточных значений нам необходима модель в зависимости от толщины листа.

2/2010 ВЕСТНИК

Исходя из полученной картины сравнения расчётов, можно сделать вывод о достаточности первой наиболее простой модели. Она даёт точное значения усилия в точках между рядами, наиболее проста и наглядна в применении.

Можно заключить, что по предложенным моделям допустимо рассчитывать практически все типы фрикционных соединений на высокопрочных болтах.

Список литературы:

1. Осипов, В.О. Долговечность заклёпочных и болтовых соединений мостов: автореф. дис. докт. техн.наук: 05.431: защищена 21.06.72: утв. 30. 08. 72 / Осипов Валентин Осипович. - М., 1972. - С. 36.

2. Вейнблат, Б. М. Расчёт болтовых соединений в стадии упругопластической работы / Б. М. Вейнблат, В. М. Фридкин, Г. И. Бунеев, Е. И. Емелин // Строительство и архитектура 1975 №12/Новосибирск, 1975, С. 30-33;

3. Клюкин, А.Ю. Расчёт узлов металлических мостов с учётом жесткости болтовых соединений /А. Ю. Клюкин //Вестник ТГАСУ№4 2009/ Томск, 2009, С. 186-192.

Ключевые слова: высокопрочные болты, металлические мосты, расчёт соединений, математические модели, эксперимент, узлы, металлические конструкции, расчёт.

Keywords: high-strength bolts, metal bridges, calculation nodes, mathematical models, experiment, nodes, metalware, calculation.

Рецензент: заслуженный деятель науки Российской Федерации, доктор технических наук, профессор В. М. Круглое

e-mail автора: aukmiit@smail.com