Зависимость между песочной группой графа и его матроидом

УДК 519.17

doi:10.15217/issn1684-8853.2015.3.23

ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЕСОЧНОЙ ГРУППОЙ ГРАФА И ЕГО МАТРОИДОМ

И. А. Крепкийа,1, аспирант

аСанкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, РФ

Постановка проблемы: определение структуры песочных групп графов представляет собой сложную вычислительную задачу. В попытке снизить сложность решения данной задачи для некоторых классов графов была обнаружена зависимость между песочной группой графа и его матроидом: структура песочной группы графа зависит только от его матроида. Целью статьи является доказательство данного утверждения. Методы: для доказательства изоморфности песочных групп 2-изоморфных графов были использованы элементарные операции с матрицами Лапласа этих графов. Основной результат статьи получен как следствие теоремы Уитни о 2-изоморфных графах. Результаты: доказано, что структура песочной группы графа полностью определяется структурой матроида этого графа.

Ключевые слова — песочные группы, графы, матроиды, нормальная форма Смита, 2-изоморфные графы.

Введение

Конструкция песочной группы впервые появилась в виде частного случая, описанного под названием BTW-модель Пером Баком, Чао Тангом и Куртом Вейзенфельдом [1]. Основной мотивацией для создания этой модели была попытка демонстрации и объяснения эффекта самоорганизованной критичности, возникающего в различных естественных процессах, таких как землетрясения, эпидемии, лесные пожары и т. д. Указанную модель обобщил Дипак Дхар [2], что и привело к появлению понятия песочной группы графа.

Песочная группа связного графа представляет собой подмножество множества так называемых редуцированных песочных куч графа (песочная куча — отображение из множества вершин графа в множество неотрицательных чисел), снабженным операцией сложения куч (сложение — поточечное суммирование песочных куч с последующим редуцированием результата при помощи процедуры, определяемой конструкцией графа). В песочную группу входят только так называемые рекуррентные песочные кучи, удовлетворяющие burning test [3]. Структурно песочная группа графа представляет собой конечную абе-леву группу.

Песочные группы обладают серией интересных свойств. Так, например, из матричной теоремы о деревьях [4] следует, что порядок песочной группы графа равен количеству его остовных деревьев. Явная биекция между элементами песочной груп-

1 Научный руководитель — старший научный сотрудник лаборатории теории представлений и динамических систем Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН Н. Н. Васильев.

пы и остовными деревьями была сконструирована в работе [5]. Также известно, что песочная группа связного планарного графа изоморфна песочной группе графа, дуального данному [6].

Песочные группы графов нередко упоминаются в довольно неожиданных контекстах. Так, например, в работе [7] граф рассматривается как дискретный аналог римановой поверхности и доказан аналог теоремы Римана — Роха. Если в классической теореме Римана — Роха дивизорами являются целочисленные линейные комбинации точек римановой поверхности, то в дискретном аналоге роль дивизоров играют элементы песочной группы графа. Также о связи песочных групп с алгебраической геометрией см. в работе [8].

Иногда совершенно неожиданно обнаруживаются изоморфизмы каких-либо серий групп с песочными группами определенных серий графов. Например, группы, изоморфные песочным группам, возникают в связи с вопросами замощения прямоугольной доски фигурами домино [9]. В работе [10] была установлена связь между некоторыми группами действий на множествах непериодических двухцветных ожерелий и песочными группами графов де Бройна.

Основной целью данной статьи является установление взаимосвязи между структурой песочных групп графов и структурой матроидов этих графов.

Определения

Будем считать, что две квадратные целочисленные матрицы эквивалентны, если одна из них может быть получена из другой применением конечного числа операций прибавления/вычитания одного столбца/строки к другому.

Определение 1. Любая квадратная целочисленная матрица М эквивалентна матрице М' вида

\f1 0 • • 0 • • 0'

0 f2 0 • 0

0 0 • fr • • 0

0 0 • 0 • 0

где fk\fk + 1, 1 < k < r - 1. Матрица M' называется нормальной формой Смита матрицы M [11].

Пусть M — квадратная целочисленная матрица. Будем обозначать как M мультимножество диагональных элементов нормальной формы Смита матрицы M.

Определение 2. Пусть п вершин мультиграфа G пронумерованы от 1 до п. Пусть M — квадратная матрица размера пхп, устроенная следующим образом: элемент матрицы mц j) равен -deg(ui) при i = j, если же i Ф j, то элемент равен количеству ребер, соединяющих вершины i и j. Матрица M называется матрицей Лапласа графа G.

Мы будем использовать (как в работе [12]) определение песочной группы мультиграфа, построенное в терминах нормальной формы Смита матрицы Лапласа этого графа.

Определение 3. Песочная группа мультиграфа G — это группа S(G) @ 0 Ca, где M — матрица

aG(M\{0}) Лапласа мультиграфа G.

Операции с графами и песочные группы

Пусть P и Q — некоторые мультиграфы и p G V(P), q G V(Q). Пусть мультиграф F получен из P и Q через соединение ребром e вершин p и q, а мультиграф F получен из F стягиванием ребра pq. В таком случае будем говорить, что F получен из P и Q при помощи склеивания вершин p и q. Точно так же если p G P, q G P, мы можем построить новое ребро pq и стянуть его, говоря, что полученный мультиграф построен при помощи склеивания вершин p и q. В работе [13] данную операцию называют «vertex identification». Обратную ей операцию (т. е. нарушение связности графа F при помощи единичного разрезания в некоторой вершине на графы P и Q) называют «vertex splitting».

Пусть теперь P — мультиграф, состоящий из p + 2 вершин, пронумерованных от 1 до p + 2, где p > 0.

Пусть Q — мультиграф, состоящий из q + 2 вершин, пронумерованных от 1 до q + 2, где q > 0.

Пусть F+(P,Q) получен через склеивание (p + 1)-й вершины P с 1-й вершиной Q и склеивание (p + 2)-й вершины P со 2-й вершиной Q.

Пусть F-(P,Q) получен через склеивание (p + 1)-й вершины P со 2-й вершиной Q и склеивание (p + 2)-й вершины P с 1-й вершиной Q.

Говорят [13], что граф F+(P,Q) получен из F_ (P,Q) при помощи операции «twisting».

Теорема 1. S(F+(P,Q)) @ S(F-(P,Q)).

Пример. На рис. 1 и 2 изображены произвольно выбранные связные графы. Выбор пары вершин на каждом из этих графов дает нам конструкции соответствующих графов F+(P,Q) и F-(P,Q) (рис. 3 и 4). Здесь S(F+(P,Q)) @ Сз^о @ @ S(F-(P,Q)).

Доказательство: достаточно показать, что матрицы Лапласа мультиграфов F+ и F- эквивалентны в том смысле, что имеют общую нормальную форму Смита.

Пусть матрицы Лапласа мультиграфов P и Q выглядят следующим образом:

а1 bi

a1 bi -C Y Y -D c1 • cq d1 • dq

ap bp ci di

- A X Q

X -B Cq dq

Рис. 3. Граф F+

Рис. 4. Граф F_

где ]Р и ( — какие-то матрицы. Здесь справедливы равенства

A = а1 + ... + ap + X; B = Ь1 + ... + Ьр + X;

C = с1 + ... + cq + Y; D = d1 + ... + dq + У.

Сохранив введенные обозначения, опишем матрицы Лапласа мультиграфов F+ и F- (считаем, что склеивание происходит через (р + 1), (р + 2) вершины Р и 1, 2 вершины Q).

Матрица Лапласа мультиграфа F+

а-1

а-1

ь

- А - С X + У С1

р

X + У -В - Б ¿1

С1

((

Матрица Лапласа мультиграфа F-

а1

а1 ь

р

- А - Б X + У ¿1

р

X + У -В - С С1

((

Обозначим указанные матрицы соответственно как Р+ и Р_.

Легко видеть, что на нормальную форму Смита не влияют следующие действия:

1) прибавление/вычитание одной строки/ столбца матрицы к другой;

2) перемена местами произвольных двух строк или двух столбцов матрицы (следствие из п. 1);

3) умножение произвольной строки/столбца на -1 (следствие из п. 1).

Кроме того, полезно учесть, что столбцы и строки матрицы Лапласа Р произвольного мультиграфа линейно зависимы. Следовательно, 0 е Р, где Р — мультимножество элементов диагонали нормальной формы Смита матрицы Р. При этом для матрицы Р', полученной через удаление из Р столбца и строки, пересекающихся на диагонали, справедливо равенство Р ' = Р\{0}.

Удалим (р + 2)-й столбец из матриц Р+ и Р-, обозначив полученные матрицы как Р+ и Р-.

Матрица Р+: Р

а1

ар - А - С С1

((

Матрица Р-:

а1

р

-

¿1

ар - А - Б ¿1

((

Теперь нам достаточно показать, что матрицы Р+ и Р- эквивалентны. Проведем серию манипуляций с матрицей Р-.

Прибавим к (р + 1)-му столбцу все последующие за ним столбцы:

а1

ар - А - У ¿1 -С1

((

-с„

Прибавим к (р + 1)-й строке все последующие за ней строки:

а1

а1 • ар - А - С - С1 -С1

((

Домножим на -1 строки и столбцы с 1-й по (р + 1)-ю:

а1

ар - А - С С1 С1

((

Мы получили матрицу, равную матрице F+, т. е. F+ и F- эквивалентны, что равносильно S(F+ (P,Q)) @ S(F- (P,Q)), ч. т. д.

Кроме того, в работах [14, 15] были доказаны еще две теоремы подобного рода. Пусть p î V(P) и q î V(Q), где P и Q — какие-то мультиграфы. Мультиграф X(P,Q) получен посредством склеивания вершин p и q. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Структура S(X(P,Q)) не зависит от выбора вершин p и q. Кроме того, S(X(P,Q)) @ S(P)*S(Q) [14].

Так, например, песочная группа каждого из трех графов, изображенных на рис. 5, изоморфна (С3)7, так как песочная группа циклического графа из трех вершин изоморфна С3.

Для формулировки третьей теоремы определим конструкцию мультиграфа Hi. Пусть F и G — некоторые мультиграфы. Пусть f1 и f2 — неотрицательные целочисленные функции на множестве вершин F, а g1 и g2 — неотрицательные целочисленные функции на множестве вершин G. Обозначим как T циклический мультиграф, состоящий из n вершин. Пронумеруем вершины этих трех мультиграфов натуральными числами:

1) r вершин F пронумерованы от 1 до r;

2) n вершин T пронумерованы от r + 1 до r + n в порядке их следования в цикле;

3) s вершин G пронумерованы от r + n + 1 до r + n + s.

Теперь для i î Z, 0 < i < n - 2 построим мультиграф Hj.

1. Соединим каждую вершину v мультиграфа G с (r + n - 1)-й вершиной мультиграфа T при помощи g1(v) ребер.

2. Соединим каждую вершину v мультиграфа G с (r + п)-й вершиной мультиграфа T при помощи g2(v) ребер.

3. Соединим каждую вершину v мультиграфа F с (r + ^-й вершиной мультиграфа T при помощи f1(v) ребер (если 1 < i < n - 2) или же соединим каждую вершину v мультиграфа F с (r + п)-й вершиной мультиграфа T при помощи f1(v) ребер (если i = 0).

4. Соединим каждую вершину v мультиграфа F с (r + i + 1)-й вершиной мультиграфа T при помощи f2(v) ребер.

Теорема 3. Структура S(Hi) не зависит от выбора i [15].

AWvVA

Рис. 5. Графы с песочными группами, изоморфными (Сз)7

Рис. 6. Графы с песочными группами, изоморфными С248

Так, например, на рис. 6 изображены графы H1 и H2, для которых F — полный граф на двух вершинах, G — полный граф на одной вершине (вершина без ребер), а T — 6-цикл. Песочные группы обоих графов изоморфны С248.

Связь матроида графа с его песочной группой

Определение 4. Если граф G изоморфен некоторому графу, полученному из графа H через последовательность операций vertex identification, vertex splitting, twisting, то графы G и H называют 2-изоморфными [13].

В теореме 1 графы F+ и F- — это в точности такие графы, один из которых получен из другого при помощи операции twisting. Напротив, если какой-то связный граф построен из другого при помощи данной операции, то конструкции этих графов можно описать как F+(P,Q) и F-(P,Q) для каких-то P и Q.

В теореме 2 речь идет о графе X(P,Q), конструкция которого зависит от выбора одной вершины на графе P и одной вершины на графе Q. Каждый из графов X(P,Q) может быть получен из любого другого такого графа при помощи последовательного применения операций vertex splitting и vertex identification. И, напротив, если какой-то связный граф получен из другого связного графа при помощи данных операций, то конструкции обоих графов можно описать как X(P,Q) для каких-то P и Q. Соответственно, из теорем 1 и 2 следует лемма. Если связные графы G и H 2-изоморфны, то S(G) @ S(H).

Определение 5. Матроидом называется пара (X,I), где X — конечное множество, называемое носителем матроида, а I — некоторое множество подмножеств X, называемое семейством независимых множеств. При этом должны выполняться следующие условия:

1) 0 G I;

2) если A G I и B с A, то B G I;

3) если A, B G I и |A| > |B|, то существует x G A\B такой, что B U {x} G I.

Определение 6. Матроидом графа G называют матроид MG, чье базовое множество — V(G) — мно-

жество ребер графа в, а независимым множеством является лес, образованный какими-то из ребер множества У(в) [13].

Изоморфность матроидов двух графов в и Н без изолированных вершин влечет их 2-изоморф-ность. Этот факт составляет содержание следующей теоремы.

Теорема Уитни. Графы в и Н без изолированных вершин 2-изоморфны тогда и только тогда, когда их матроиды Мв и МН изоморфны [13].

Отсюда и из леммы сразу же следует теорема.

Теорема 4. Если для каких-то связных графов в и Н их матроиды Мв и МН изоморфны, то «(в) @ Б(Н).

Заключение

В данной работе были представлены теоремы о некоторых операциях над графами, сохраняющих структуру их песочных групп. Доказанные теоремы позволили получить в качестве следствия основной результат работы — утверждение

Литература

1. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized Criti-cality: an Explanation of 1/f noise// Physical Review Letters. 1987. N 59(4). P. 381-384.

2. Dhar D. Self-organized Critical State of Sandpile Automaton Models// Physical Review Letters. 1990. N 64(14). P. 1613-1616.

3. Pietronero L., Tartaglia P., Zhang Y. Theoretical Studies of Self-Organized Criticality. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1991. N 173(1). P. 22-44.

4. Kirchhoff G. Über die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der untersuchung der linearen Verteilung galvanischer Ströme geführt wird// Archives of Chemistry and Physics. 1847. N 72. P. 497-508.

5. Bernardi Olivier. Tutte Polynomial, Subgraphs, Orientations and Sandpile Model: New Connections via Embeddings//The Electronic Journal of Combinatorics. 2008. N 15(1). P. 109.

6. Cori Robert, Rossin Dominique. On the Sandpile Group of Dual Graphs//European Journal of Combinatorics. 2000. N 21(4). P. 447-459.

7. Baker M., Norine S. Riemann—Roch and Abel— Jacobi Theory on a Finite Graph/Advances in Mathematics. 2007. N 215(2). P. 766-788.

о том, что структура песочной группы графа зависит только от структуры матроида этого графа.

Стоит отметить, что операции Н1 из теоремы 3 сохраняют структуру песочной группы графа, но не структуру его матроида. Существуют ли другие элементарные операции, обладающие подобным свойством и не являющиеся композицией операций, уже указанных в работе, автору на данный момент неизвестно.

Благодарности

Автор выражает благодарность доктору физико-

математических наук Сергею Васильевичу Дужину

за научное руководство и череду интересных бесед, благодаря которым стало возможно написание данной статьи.

Автор также благодарит кандидата физико-математических наук Николая Николаевича Васильева за продолжение научного руководства, советы и замечания, которые помогли завершить работу.

8. Perkinson David, Perlman Jacob, Wilmes John.

Primer for the Algebraic Geometry of Sandpiles, Tropical and non-Archimedean Geometry//Contem-porary Mathematics. 2013. N 605. P. 211-256.

9. Florescu Laura, Morar Daniela, Perkinson David, Salter Nick, Xu Tianyuan. Sandpiles and Dominos. http://arxiv.org/abs/1406.0100 (дата обращения: 21.05.2015).

10. Duzhin S., Pasechnik D. Automorphisms of Necklaces and Sandpile Groups. http://arxiv.org/abs/1304.2563 (дата обращения: 21.05.2015).

11. Matthews K. R. Smith Normal Form. http://www. numbertheory.org/courses/MP274/smith.pdf (дата обращения: 21.05.2015).

12. Крепкий И. А. Песочные группы треугольных бинарных деревьев. http://www.pdmi.ras.ru/pre-print/2012/12-21.html (дата обращения: 21.05.2015).

13. Theory of Matroids/ Ed. by N. White. — Cambridge University Press, 1986. XVII. — 316 p. (Ser. Encyclopedia of Mathematics and its Application. Vol. 26).

14. Крепкий И. А. Склеивание графов и песочные группы//Записки научных семинаров ПОМИ. 2013. Т. 411. С. 119-124.

15. Krepkiy I. A. The Sandpile Groups of Chain-Cyclic GraphsZ/Записки научных семинаров ПОМИ. 2014. Т. 421. С. 94-112.

UDC 519.17

doi:10.15217/issn1684-8853.2015.3.23

Relation between the Sandpile Group of a Graph and its Matroid

Krepkiy I. A.a, Post-Graduate Student, feb418@gmail.com

aSaint-Petersburg State University, Saint-Petersburg, 7-9, Universitetskaya nab., Saint-Petersburg, 199034, Russian Federation

Purpose: Determining the structure of sandpile groups of graphs is a complex computational problem. When trying to reduce its solution complexity for some classes of graphs, a strong correspondence was found between the sandpile group of a graph and its matroid. Namely, the structure of the sandpile group depends only on the matroid. The purpose of this article is proving this statement. Methods: In order to prove that a 2-isomorphic graph has isomorphic sandpile groups, some elementary operations were used with Laplacian matrices of such a graph. The main result of the work was obtained as a corollary of Whitney's theorem about 2-isomorphic graphs. Results: It has been proved that the structure of the sandpile group of a graph is completely determined by the structure of its matroid.

Keywords —Sandpile Groups, Graphs, Matroids, Smith Normal Form, 2-Isomorphic Graphs.

References

1. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized Criticality: an Explanation of 1/f noise. Physical Review Letters, 1987, no. 59(4), pp. 381-384.

2. Dhar D. Self-organized Critical State of Sandpile Automaton Models. Physical Review Letters, 1990, no. 64(14), pp. 1613-1616.

3. Pietronero L., Tartaglia P., Zhang Y. Theoretical Studies of Self-Organized Criticality. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 1991, no. 173(1), pp. 22-44.

4. Kirchhoff G. Über die Auflösung der Gleichungen, auf welche man bei der untersuchung der linearen Verteilung galvanischer Ströme geführt wird. Archives of Chemistry and Physics, 1847, no. 72, pp. 497-508 (In German).

5. Bernardi Olivier. Tutte Polynomial, Subgraphs, Orientations and Sandpile Model: New Connections via Embeddings. The Electronic Journal of Combinatorics, 2008, no. 15(1), p. 109.

6. Cori Robert, Rossin Dominique. On the Sandpile Group of Dual Graphs. European Journal of Combinatorics, 2000, no. 21(4), pp. 447-459.

7. Baker M., Norine S. Riemann—Roch and Abel—Jacobi Theory on a Finite Graph. Advances in Mathematics, 2007, no. 215(2), pp. 766-788.

8. Perkinson David, Perlman Jacob, Wilmes John. Primer for the Algebraic Geometry of Sandpiles, Tropical and non-Ar-

chimedean Geometry. Contemporary Mathematics, 2013, no. 605, pp. 211-256.

9. Florescu Laura, Morar Daniela, Perkinson David, Salter Nick, Xu Tianyuan. Sandpiles and Dominos. Available at: http://arxiv.org/abs/1406.0100 (accessed 21 May 2015).

10. Duzhin S., Pasechnik D. Automorphisms of Necklaces and Sandpile Groups. Available at: http://arxiv.org/ abs/1304.2563 (accessed 21 May 2015).

11. Matthews K. R. Smith Normal Form. Available at: http:// www.numbertheory.org/courses/MP274/smith.pdf (accessed 21 May 2015).

12. Krepkiy I. A. Sandpile Groups of Triangular Binary Trees. Available at: http://www.pdmi.ras.ru/preprint/2012/12-21. html (accessed 21 May 2015).

13. White N. (ed.). Theory of Matroids. Cambridge University Press, 1986. XVII. 316 p. (Ser. Encyclopedia of Mathematics and its Application, vol. 26).

14. Krepkiy I. A. Sandpile Groups and the Join of Graphs. Zapiski nauchnykh seminarov POMI, 2013, vol. 411, pp. 119-124 (In Russian).

15. Krepkiy I. A. The Sandpile Groups of Chain-Cyclic Graphs. Zapiski nauchnykh seminarov POMI, 2014, vol. 421, pp. 94-112.