Разбиение выпуклых многогранников класса c на подклассы

РАЗБИЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ КЛАССА С НА ПОДКЛАССЫ

Выпуклые многогранники, классификация, покрытие, гомотетия.

Настоящая работа посвящена разбиению выпуклых многогранников одного класса на подклассы. Принципом классификации является количество поверхностей переходного типа, принадлежащих границе многогранника. Рассматриваемая задача связана с проблемой Хадвигера о покрытии геометрических тел их образами при гомотетии.

В работе [НасЬ^ег, 1957, р. 121] Хадвигер сформулировал гипотезу, согласно которой для покрытия любого выпуклого тела в п-мерном евклидовом пространстве достаточно 2П тел меньших размеров, гомотетичных данному телу. В работах автора все выпуклые многогранники трехмерного евклидова пространства были разбиты на четыре класса: А, В, С, Б. В свою очередь, многогранники класса А были разбиты на подклассы. Далее автор рассмотрел покрытие многогранников класса А их меньшими копиями при гомотетии в трехмерном евклидовом пространстве. К классу В были отнесены выпуклые многогранники, поверхность которых содержит одну или несколько призматических частей. К классу С были отнесены выпуклые многогранники, граница которых содержит, по крайней мере, одну поверхность переходного типа и не содержит призматических частей. Настоящая статья посвящена разбиению всех многогранников класса С на подклассы. Классификация многогранников класса С необходима для того, чтобы решить задачу покрытия многогранников этого класса их образами при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы.

Пусть на плоскости заданы две окружности и; и и) \, центры и радиусы которых различны. Пусть эти окружности касаются внутренним образом в точке (5. Множество точек плоскости, заключенных между двумя окружностями, включая окружности и точку (5, обозначим \¥.

Определение 1. Рассмотрим выпуклый многогранник М. д — некоторая прямая в пространстве. Пусть имеется п граней многогранника М, параллельных прямой д (п> 3) и образующих одну компоненту связности, гомеоморфную множеству \¥. Компоненту связности границы многогранника, топологически эквивалентную множеству ]¥, назовем многогранной поверхностью переходного типа. Будем говорить, что в этом случае поверхность переходного типа состоит из одного звена.

Многогранная поверхность переходного типа, состоящая из одного звена, содержит п граней и представляет собой поверхность с краем, край которой является объединением двух замкнутых ломаных, имеющих одну общую точку. Эту точку назовем вырожденным ребром или особой вершиной поверхности переходного типа. Все грани (и ребра) поверхности переходного типа параллельны одной прямой в пространстве; эти грани и ребра назовем боковыми.

Если граница выпуклого многогранника М содержит поверхность переходного типа, состоящую из одного звена, и не содержит призматической части, то многогранник отнесем к классу С.

Поверхность переходного типа может состоять из двух и большего количества звеньев. Рассмотрим множество 11т, которое можно получить следующим образом. Пусть имеется окружность ШИ т окружностей Ю\, Юг, ..., Ют, каждая из которых касается окружности ю внутренним образом. Пусть окружности ю\, юг, ..., ют (.т > 2) таковы, что их пересечение не пусто. Обозначим 11т — множество, являющееся замыканием разности круга с границей ю и объединения кругов с границами

Ю\, Ю2, ..., Ют.

Определение 2. Пусть граница выпуклого многогранника М содержит компоненту связности, топологически эквивалентную множеству 11т, такую, что все грани этой компоненты параллельны некоторой прямой д пространства. Такую поверхность с краем также назовем поверхностью переходного типа. В этом случае поверхность переходного типа состоит из т звеньев.

Пусть имеется поверхность переходного типа, состоящая из т звеньев. Край такой поверхности состоит из двух пространственных ломаных, имеющих столько общих вершин, сколько звеньев содержится в поверхности переходного типа. Каждую такую вершину назовем вырожденным ребром или особой вершиной поверхности переходного типа. Все грани (и ребра) поверхности переходного типа параллельны одному направлению в пространстве.

Если граница выпуклого многогранника содержит поверхность переходного типа с т звеньями и не содержит призматической части, то его отнесем к многогранникам класса С.

Итак, выпуклый многогранник отнесем к классу С, если граница этого многогранника содержит хотя бы одну поверхность переходного типа, состоящую из одного или нескольких звеньев, и не содержит призматической части.

1. Классификация многогранников класса С

Все многогранники класса С разобьем на три подкласса: С1, С2, СЗ.

Многогранник класса С, граница которого содержит одну поверхность переходного типа, отнесем к классу С1. Каждая грань поверхности переходного типа многогранника класса С1 параллельна одному направлению в пространстве.

Многогранник класса С, граница которого содержит две поверхности переходного типа, отнесем к классу С2. Грани первой поверхности переходного типа параллельны одному направлению в пространстве, а грани второй — другому.

Многогранник класса С, граница которого содержит три или более поверхностей переходного типа, отнесем к классу СЗ.

Все многогранники класса С1 разобьем на три подкласса:

а) почтипризмы;

б) почтипризмы с одним однолистником или одной шапочкой;

в) почтипризмы с двумя однолистниками или шапочками.

Введем понятие почтипризмы.

Определение 3. Рассмотрим выпуклую призму. Пусть точка (5 — внутренняя точка бокового ребра. Проведем через точку (5 две плоскости а и 6, каждая из которых пересечет остальные боковые ребра призмы во внутренних точках. Многогранник, полученный из призмы отсечениями плоскостями а и 6 и заключенный между этими плоскостями, назовем почтипризмой.

По аналогии с призмой многоугольники, лежащие в плоскостях а и 6, назовем основаниями почтипризмы. Грани и ребра, параллельные одному направлению, назовем боковыми гранями и ребрами почтипризмы. Боковые грани и ребра поч-

типризмы образуют боковую поверхность почтипризмы. Точку (^> назовем вырожденным ребром пли особой вершиной почтипризмы. Очевидно, что боковая поверхность почтипризмы является поверхностью переходного типа, состоящей из одного звена.

Определение 4. Пусть имеется почтипризма. Выберем какую-либо вершину почтипризмы, кроме особой вершины, и проведем плоскость, пересекающую все ребра, исходящие из этой вершины, во внутренних точках. Эта плоскость отсекает от почтипризмы треугольную пирамиду. Полученный новый многогранник (без треугольной пирамиды) назовем почтипризмой с отсечением. Отсечение, которое было выполнено, назовем отсечением первого вида.

Определение 5. Пусть имеется некоторая почтипризма. К одному из оснований почтипризмы «приклеим» обычный однолистник, основание которого равно основанию почтипризмы. Выпуклый многогранник, полученный «склеиванием» почтипризмы с обычным однолистником, назовем почтипризмой с одним однолистни-ком.

Определение 6. Рассмотрим многогранную поверхность с краем — шапочку; замкнутая пространственная ломаная Ь — граница шапочки. К каждой грани шапочки проведем единичный вектор внешней нормали. Выберем представителей этих векторов так, чтобы начало каждого направленного отрезка совпало с центром единичной сферы. Тогда, по определению шапочки, существует такая полусфера с границей и), что концы всех представителей векторов будут внутренними точками этой полусферы. Пусть прямая д не параллельна ни одному из ребер ломаной Ь и не параллельна плоскости а, в которой лежит граница полусферы. Рассмотрим цилиндрическую поверхность, для которой ломаная Ь является направляющей, а образующие цилиндрической поверхности параллельны прямой д. Обозначим V — выпуклое неограниченное тело, поверхность которого состоит из шапочки и части цилиндрической поверхности. Пусть 6 — опорная плоскость шапочки, которая имеет с границей шапочки только одну общую точку — вершину ломаной Ь — и отсекает от неограниченного тела V выпуклый многогранник М. В пересечении плоскости 6 и цилиндрической поверхности получилась плоская замкнутая ломаная; обозначим ее Р. Ломаные Ь и^ пересекаются в точке (5 и составляют край поверхности переходного типа. Выпуклый многогранник М, ограниченный шапочкой, поверхностью переходного типа и многоугольником с границей Р, назовем почтипризмой с одной шапочкой. Многоугольник с границей Р назовем основанием почтипризмы с одной шапочкой.

Замечание 1. Поверхность переходного типа, о которой говорится в определении 6, состоит из одного звена. Точка (5 пересечения ломаных Ь и]? является особой точкой поверхности переходного типа. Поверхность переходного типа почтипризмы с одной шапочкой будем также называть боковой поверхностью этого многогранника.

Поверхность переходного типа почтипризмы с одной шапочкой может состоять из двух и более звеньев. Как построить такой многогранник?

Сначала выполним такие же построения, какие были выполнены для получения почтипризмы с одной шапочкой в том случае, когда поверхность переходного типа состояла из одного звена. Выбираем некоторую шапочку. Пусть край шапочки — это пространственная ломаная Ь. Рассмотрим полусферу, соответствующую шапочке. Прямая д не параллельна ни одной из граней шапочки и не параллельна плоскости а, в которой лежит граница полусферы. Рассмотрим цилиндрическую поверхность, направляющей которой является ломаная Ь, а образующая па-

раллельна прямой д. Пусть опорная плоскость 6 шапочки такова, что плоскость 6 имеет с границей шапочки в точности две общие точки (вершины ломаной Ь), причем эти точки не являются соседними вершинами ломаной Ь.

Если для выбранной шапочки такой опорной плоскости не существует, то заменим шапочку другой, которая обладает указанным свойством. Выпуклый многогранник, ограниченный шапочкой, цилиндрической поверхностью и многоугольником, который получен пересечением цилиндрической поверхности и плоскости 6, назовем почтипризмой с одной шапочкой. Многоугольник, который лежит в плоскости 6, назовем основанием почтипризмы с одной шапочкой. Поверхность переходного типа такой почтипризмы с шапочкой состоит из двух звеньев.

Аналогичными построениями можно получить почтипризму с одной шапочкой и поверхностью переходного типа, состоящей из трех и большего числа звеньев.

Определение 7. Рассмотрим почтипризму. К каждому из оснований этой почтипризмы «приклеим» два обычных однолистника с основаниями, равными основаниям почтипризмы, так, чтобы новый многогранник остался выпуклым. Полученный многогранник, являющийся объединением почтипризмы и двух обычных однолис-тников, назовем почтипризмой с двумя однолистниками.

Определение 8. Рассмотрим почтипризму с одной шапочкой. К основанию такой почтипризмы «приклеим» обычный однолистник так, чтобы полученный многогранник остался выпуклым. Новый многогранник назовем почтипризмой с одно-листником и шапочкой.

Замечание 2. Поверхность переходного типа почтипризмы с однолистником и шапочкой может состоять из одного звена, а может содержать любое конечное количество звеньев.

Более сложную конструкцию рассмотрим для введения понятия почтипризмы с двумя шапочками.

Определение 9. Рассмотрим плоскую замкнутую ломаную Ь. Обозначим вершины этой ломаной А\, Аг, ..., Ап. Пусть ломаная Ь является направляющей цилиндрической поверхности, а образующая цилиндрической поверхности параллельна некоторой прямой д. Прямая д не лежит в плоскости ломаной Ь. Пусть имеются две шапочки М\ и М%. Шапочка М\ обращена выпуклостью вверх, а граница шапочки проектируется в ломаную Ь в направлении прямой д. Пусть, кроме того, шапочка М\ имеет с ломаной Ь только одну общую точку, например, А\. Пусть шапочка Мг обладает теми же свойствами, что и шапочка М\. Граница шапочки М% проектируется в ломаную I/ в направлении прямой д и имеет с ломаной Ь только одну общую вершину — точку А\. Отличие шапочки М% от шапочки М\ состоит только в том, что шапочка М% обращена выпуклостью вниз. Многогранная цилиндрическая поверхность с краем, ограниченная сверху границей первой шапочки, а снизу границей второй шапочки, представляет собой поверхность переходного типа, состоящую из одного звена. Выпуклый многогранник, ограниченный двумя шапочками и поверхностью переходного типа, назовем почтипризмой с двумя шапочками.

Аналогично можно получить почтипризму с двумя шапочками, поверхность переходного типа которой состоит из двух и более звеньев. В этом случае верхняя и нижняя шапочки имеют не одну общую вершину, а две и большее количество не соседних общих вершин.

Дадим определение многогранника класса С2.

Определение 10. Рассмотрим выпуклый многогранник М класса С. Пусть ди т — две непараллельные прямые в пространстве. Пусть выпуклый многогранник М обладает тем свойством, что его границе принадлежит поверхность переходного ти-

па, каждая грань которой параллельна прямой д. Пусть, кроме того, границе многогранника М принадлежит еще одна поверхность переходного типа, каждая грань которой параллельна прямой т. Многогранник М класса С, граница которого содержит две поверхности переходного типа, отнесем к классу С2.

Имеет место

Теорема 1. Две поверхности переходного типа многогранника класса С2 имеют непустое пересечение.

Доказательство. Докажем теорему методом от противного. Допустим, что две поверхности переходного типа имеют пустое пересечение. Будем сначала учитывать только первую поверхность переходного типа. Тогда граница многогранника класса С2 может быть представлена в виде объединения трех компонент связности: двух шапочек и поверхности переходного типа. Если допустить, что две поверхности переходного типа не имеют общих точек, то вторая поверхность переходного типа принадлежит одной из шапочек. Но это невозможно, так как нормали граней шапочки лежат внутри одной полусферы, а нормали всех граней поверхности переходного типа лежат на окружности большого круга единичной сферы. Этим и завершается доказательство теоремы 1.

Замечание 3. Очевидно, что пересечением двух поверхностей переходного типа, каждая из которых состоит из двух и более звеньев, являются либо две грани, либо грань и вершина, либо две вершины.

Имеет место

Теорема 2. Если пересечение двух поверхностей переходного типа многогранника класса С2 состоит из двух граней, то эти грани параллельны.

Доказательство. Пусть пересечение двух поверхностей переходного типа состоит из двух граней. Обозначим грани первой поверхности переходного типа а\, аг, ..., ап, а грани второй поверхности переходного типа 61, 62,..., Вп. Каждая грань первой поверхности переходного типа параллельна прямой д, а каждая грань второй поверхности переходного типа параллельна прямой т. Пусть ш = В8 и си = 6р. Так как ш принадлежит первой поверхности переходного типа, то существует такая прямая ф, которая параллельна д и лежит в плоскости грани ш. Аналогично, так как В8 принадлежит второй поверхности переходного типа, то В8 параллельна прямой т. Итак, в плоскости грани 68 (сц) лежит прямая пи, параллельная прямой т. Так как д и т не параллельны, то параллельные им прямые, лежащие в одной плоскости, д; и тБ, пересекаются. Точно так же найдем прямые фг и тР, лежащие в плоскости грани аь (6Р). По свойству транзитивности отношения параллельности д, параллельна прямой дн, а прямая т« параллельна прямой тР. Тогда плоскости граней ш и аи параллельны по признаку параллельности плоскостей. Этим и завершается доказательство теоремы.

Поверхности переходного типа могут состоять из одного, двух и большего количества звеньев. Возможны следующие варианты.

1. Каждая поверхность переходного типа состоит из одного звена.

2. Одна поверхность переходного типа состоит из одного звена, вторая — из большего количества звеньев.

3. Каждая поверхность переходного типа состоит из двух и более звеньев.

Рассмотрим более подробно первый случай. Пусть каждая поверхность переходного типа состоит из одного звена. Нетрудно убедиться в том, что пересечением двух таких поверхностей переходного типа могут быть:

- две параллельные грани;

— грань и точка — вершина многогранника.

Если в каждом из этих случаев рассмотреть замыкание разности поверхности многогранника класса С2 и объединения поверхностей переходного типа, то максимальное число компонент связности оставшейся части — это четыре. Каждую из компонент связности оставшейся части многогранной поверхности назовем луночкой. Нетрудно убедиться в том, что по количеству луночек, принадлежащих границе многогранника, все многогранники рассматриваемого множества С2 можно подразделить на пять подклассов. Поверхность многогранника класса С2 может содержать четыре луночки, три луночки, две луночки, одну луночку, луночек может не быть.

Замечание 4. Выше мы рассмотрели выпуклые многогранники класса С2, каждая поверхность переходного типа которых состоит из одного звена. Аналогично можно рассмотреть и два оставшихся случая: 2) одна поверхность переходного типа состоит из одного звена, а вторая — из большего количества звеньев; 3) обе поверхности переходного типа состоят из двух и более звеньев. И в этих случаях граница многогранника может содержать четыре луночки, три луночки, две луночки, одну луночку, луночек может не быть.

Дадим определение многогранника класса СЗ.

Определение 11. Пусть М — выпуклый многогранник класса С, и g, т, д — некоторые прямые в пространстве, никакие две из которых не параллельны. Пусть выпуклый многогранник М обладает тем свойством, что границе этого многогранника принадлежат три поверхности переходного типа. Каждая грань первой поверхности переходного типа параллельна прямой g. Каждая грань второй поверхности переходного типа параллельна прямой т. Аналогичным свойством обладают грани третьей поверхности переходного типа: каждая из них параллельна прямой q. Такие выпуклые многогранники отнесем к классу СЗ.

Замечание 5. Если граница выпуклого многогранника класса С содержит более трех поверхностей переходного типа, то такой многогранник также отнесем к классу СЗ.

Имеет место

Теорема 3. Любые две поверхности переходного типа многогранника класса СЗ имеют непустое пересечение.

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 1.

Нетрудно убедиться в том, что для многогранников класса СЗ имеет место утверждение, аналогичное теореме 2.

Теорема 4. Если пересечение двух поверхностей переходного типа многогранника класса СЗ состоит из двух граней, то эти грани параллельны.

Разбиение многогранников класса СЗ на подклассы осуществим аналогично тому, как мы выделили подклассы класса С2.

Пусть М — выпуклый многогранник класса СЗ, дМ — его граница. П\ — поверхность переходного типа, каждая грань которой параллельная прямой д, Па — поверхность переходного типа, каждая грань которой параллельна прямой т, П>, — поверхность переходного типа, все грани которой параллельны прямой q. Рассмотрим замыкание множества М(П1 П2 П3). Максимальное число компонент

связности, на которые распадается это множество, — восемь. Каждая компонента связности — это луночка. Итак, поверхность выпуклого многогранника может состоять из трех поверхностей переходного типа, попарно пересекающихся, и восьми луночек.

Будем уменьшать количество луночек. Получим многогранники класса СЗ, содержащие семь луночек, шесть луночек и т. д., многогранники, не содержащие луночек.

Замечание 7. Может оказаться так, что пересечение всех трех поверхностей переходного типа не пусто. В этом случае максимальное число луночек — это шесть.

Классификацию многогранников класса СЗ, содержащих три поверхности переходного типа, мы осуществим по количеству луночек.

Замечание 8. Если многогранник класса СЗ содержит четыре и более поверхностей переходного типа, то классификацию таких многогранников осуществим аналогично.

Итак, все многогранники класса С можно представить в виде объединения трех непересекающихся подклассов: Cl, С2, СЗ. Разбиение на классы выполнено по количеству поверхностей переходного типа, принадлежащих границе многогранника. В свою очередь, класс С1 разбит на три подкласса: почтипризмы, почтипризмы с одним однолистником или одной шапочкой и почтипризмы с двумя однолистни-ками или шапочками.

Библиографический список

1. Hadwiger G. Ungeloste Probleme. //References Elem. der Math. 1957. № 20. P. 121.