Большие деформации и перемещения композитной цилиндрической оболочки

УДК 539.4:678.067

А. Х. Валиуллин

БОЛЬШИЕ ДЕФОРМАЦИИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ КОМПОЗИТНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Ключевые слова: композитная цилиндрическая оболочка, армированная нитями, полимерное связующее, большие деформации и перемещения, внутреннее давление, осевая сила.

Получены уравнения равновесия элемента тонкой цилиндрической оболочки, изготовленной намоткой высокопрочных нитей, пропитанных полимеризующимся связующим. Рассмотрена в нелинейной постановке задача о нагружении оболочки внутренним давлением и осевой силой. Перемещения являются немалыми, они соизмеримы с характерными размерами оболочки. Разработан алгоритм численного решения задачи и выполнен расчет, результаты которого позволяют обнаружить интересные эффекты и свойства пластмассовых изделий.

Key words: œmposite cylindrical shell, reinforced with filament, polymer binder, large deformation and displacement,

internal pressure, axial force.

We derive the equations of equilibrium of the element of a thin cylindrical shell reinforced with filament on a polymer binder. The calculation of the shell loaded by internal pressure and axial force. The problem is solved in a geometrically nonlinear formulation, displacement are considered large. Numerical results was given.

Вторая половина минувшего века ознаменовалась великими научными открытиями и могучим техническим и технологическим прогрессом, в котором большую роль сыграло применение композитных материалов. Зародившись в начале века в скромной роли «пластмасс - заменителей дорогостоящего металла», композиты быстро выбрались из этой уготованной им ниши и постепенно стали вытеснять традиционные материалы из таких отраслей, где применение «чужеродных» материалов трудно было даже представить. Высочайшей прочности и жесткости корпус подводной лодки, сверхлегкий и прочный корпус ракетного двигателя, сублимирующее покрытие космического корабля, несущий винт вертолета... Этот ряд бесконечен. Взглянув внимательно, например, на автомобиль - любимое дитя двадцатого века, мы и здесь обнаружим, что он уже наполовину пластмассовый.

Причина такого бурного расширения сферы применения заключается в главном свойстве композита: он является материалом будущего, он создается для конкретной детали, а вернее, одновременно с этой деталью, его компоненты подбираются с таким расчетом, чтобы материал имел свойства, обеспечивающие высокую надежность этой детали.

В данной работе будет показана еще одна возможность эффективного использования специфических свойств композитов.

В мягких композитных оболочках, получаемых намоткой высокопрочных армирующих волокон на эластичном связующем, возникают большие перемещения при малых деформациях армирующих нитей [1]. В настоящее время, в связи с расширением круга занимающихся и ростом интереса к таким задачам, появилась необходимость более подробного их описания и решения новых задач.

1. Постановка задачи. Основные уравнения

Рассматривается оболочка, полученная перекрестной намоткой высокопрочных нитей, пропитанных полимеризующимся эластичным связующим, на цилиндрическую оправку. Главная особенность полученной оболочки состоит в том, что нити очень жесткие - их деформация не превышает одного процента, а связующее очень податливое - деформация может достигать десятков процентов. Эта особенность и является причиной особенного поведения такой оболочки при нагружении и появления тех эффектов, о которых речь впереди.

Известно, что при нагружении цилиндрической оболочки внутренним давлением окружные напряжения больше меридиональных в два раза, поэтому при весьма большой податливости связующего нитяная оболочка будет равновесной, если

Ф0 = ±агс£дл/2 = ±54°45'

(рис. 1). В этом случае деформации оболочки - и окружные, и осевые - очень малы (порядка 1 %) и остаются пропорциональными величине давления. Если же угол намотки отличается от равновесного значения (ф ^ ф0), то при повышении внутреннего давления оболочка стремится перейти в равновесное состояние, изменяя угол наклона нитей к меридиану (в данном случае к образующей цилиндра): если, например, ф < ф0, сильно увеличивается диаметр и уменьшается длина оболочки, при ф > ф0, наоборот. Как видно, перемещения точек оболочки получаются большими, хотя деформации нитей незначительны, большие деформации возникают в податливом (резиноподобном) связующем.

Рис. 1 - Различные схемы намотки: ф = ф0 - равновесная, ф < ф0 и ф > ф0 -неравновесные

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние оболочки с заглушенными концами, на которую действуют внутреннее давление q, осевая сила P и скручивающий

момент M (рис. 2). Оболочка получена намоткой двух семейств нитей с углами намотки + ф1 и - ф2. Предполагается, что оба семейства нитей расположены в одном слое, то есть сдвига между слоями не происходит. Применяя метод сечений к деформированной оболочке, составим три уравнения равновесия: уравнение суммы проекций сил на продольную ось, уравнение Лапласа - уравнение суммы проекций сил на нормаль к срединной поверхности деформированной оболочки и уравнение суммы моментов относительно оси вращения

(т * -т- * о *м sin у*

(T1n1 cos ф1 + T2n2 cos ф2 + 2тсг Nx) ^ +

2 * 2 * * (2) [т sin2 ф* sin2 ф2 0 *К| 1 sin у 0 *

+ T1n1--Ч1 + T2n2--i-2 + 2лг Ny I—= 2roqr ;

v cos ф* cos ф2 J г

2%r *2S +

здесь n¡, Ti, ф* - число нитей, усилие в нити, угол намотки нитей i -го семейства, i = 1, 2 ;

у - угол между нормалью к срединной поверхности деформированной оболочки и осью

вращения, r - радиус параллели, NX, Ny, S - нормальные (погонные) силы в направлениях

меридиана и параллели и сдвигающая сила в связующем, звездочкой обозначены величины, относящиеся к деформированной метрике.

Рис. 2 - Схема нагружения и деформирования оболочки

Дадим некоторые пояснения к написанным уравнениям. Уравнение (1) очевидно: все нити проходят через поперечное сечение, учитывается наклон нитей к меридиану и самого меридиана к оси оболочки. Так же очевидно и третье уравнение. Поясним второе уравнение. Множитель первой скобки - это кривизна меридиана (первая главная кривизна деформированной срединной поверхности), множитель второй скобки - вторая главная кривизна, равная обратной величине длины образующей нормального конуса (рис. 3). Выражение во вторых скобках получается так. Через все поперечное сечение проходит п1

й й n й

нитей первого семейства, через единицу длины окружности сечения - —'-г нитей, а через

2 кг

элемент дуги параллели dsy - П * dsy нитей. Соответственно, через элемент продольного

2кг

сечения dsx проходит - п1^(фф dsx нитей первого семейства, так формируются слагаемые

2кг

Т:П: sin2 ф* тт „ 0 . _

——-. Что касается множителей 2кг , то они появляются при освобождении от

cos ф, *

знаменателя.

Получим соотношения между деформированной и исходной метриками. Введем следующие обозначения: sx, sy - сдвиг, меридиональная и окружная деформации

связующего, sHi - деформация нитей i -го семейства. Покажем элемент срединной поверхности оболочки (рис. 3) в исходном и деформированном состоянии. Первоначальные размеры di,, dx и dy получают приращения и становятся равными iHidi¡, exdx и eydy , где

iHi = 1 + sH¡, ex = 1 + sx, ey = 1 + s , возникает также сдвиг ^ . Как видно из рисунка, после деформации углы наклона нитей к меридиану изменяются:

. exdx ex n

cos ф. = —-= cos ф. cos B,

e dl e

. eydy + exdx sin B ey . e^ ^ sin ф. =-y-x-= sin ф. sin B cos ф..

eHidli

Аналогично для нитей второго семейства

. exdx ex cos ф2 = —-= —- cos ф2,

eH2dli eH2

. . eydy - exdx sin B e ex . .

sin ф2 = -y-x-= -L- sin ф2 —— sin B cos ф2.

eH2dl2 eH2 eH2

5)

Деформации нитей и связующего должны подчиняться уравнениям совместности, которые легко получить, применив теорему косинусов:

e2H1 = e2x cos2 ф1 + e2y sin2 ф1 + 2exey sin В sin ф1 cos ф1,

eH2 = e2 cos2 ф2 + e2 sin2 ф2 - 2exey sin В sin ф2 cos ф2. В деформированном состоянии любая точка оболочки переходит в положение с радиусом г = eyr. Справедливо также следующее геометрическое соотношение между

формой оболочки (у ) и деформациями, которое можно получить из рассмотрения рис.3:

длина элемента меридиана dx после деформации становится равной exdx cos В, поэтому

. dr* d(eyr) г dey

cos у =—т = y =---,

dx dx ex cos В dx

где dx - элемент исходного меридиана - образующей цилиндрической оболочки.

Задача, как видно, сводится к решению системы алгебраических и дифференциальных уравнений (1) - (7).

Рис. 3 - К составлению уравнения Лапласа и уравнения совместности деформаций

2. Система разрешающих уравнений в безразмерном виде для общего случая Обычно при решении задач об оболочках вращения с криволинейным меридианом

* /„4 1 d sin у *

интегрируют по координате r , и у нас в уравнении (2) фигурирует производная -*—, в

dr

задаче о цилиндрической оболочке удобнее интегрировать по координате х, а указанную

производную заменить непосредственно на

dy

dx

воспользовавшись очевидном зависимостью

между ними:

d sin y *

1

dy*

d - a d

dr ex cos a dx

Такая замена позволяет в дальнейшем, при выполнении численного решения задачи, избежать особенностей, которые обычно возникают при sin y = 1.

После некоторых преобразований система уравнений приводится к следующим двум дифференциальным и четырем алгебраическим уравнениям, которые записаны здесь в безразмерном виде:

dy * = exsin У * {2qe I P2 [e ((e 1)s¡n4 С ey p

dX ( + P) {2qey^1 -P "[ex((eH1 " 1}"COs-

cos Ф1

V ex

tgФ1.

+

n2 / ич sin2 ф2 Сe

+ -2 ( 2 -1y 2

cos Ф2

V ex дФ2

^f + bey( - 1 + v(ex - 1))?]^};

deL = e^ dx

л/1-P

-cosy ;

[ej 1 -P2 (e„1 - 1)cosф1 + Пп2(eH2 - 1)cos

n1

'Ф2 1 +

+ bey (ex-1 + v(e -1))] sin y * = qe2y + P;

P =

M - e2 (eH1 - 1)sin ф1 - n (eH2 - 1)sin ф2 П1 _

ey gey + e, С n Y (eH1 - 1)cos ф1 + П2 (eH2 - 1)cos ф2 1 V n1 /_

ex = [e21 sin ф2 cos ф2 + eH 2 sin ф1 cos ф1 -

e2(sin2 ф1 sin ф2 cos ф2 + sin2 ф2 sin ф1 cos ф1 )]2 /

P =

1

/ (cos2 ф1 sin ф2 cos ф2 + cos2 ф2 sin ф1 cos ф1);

2 2 2 2 2^-2 2 -2 2 eH1 cos2 ф2 - eH2 cos2 ф1 - ey; (sin2 ф1 cos2 ф2 - sin2 ф2 cos2 ф1

)

2exey(sin ф1 cos ф1 cos2 ф2 + sin ф2 cos ф2 cos2

фТ

Для приведения к безразмерному виду все члены уравнений (1) и (2) разделены на жесткость нитей EHFHn1, а все члены уравнения (3) - на EHFHn1r. В уравнениях обозначено:

Р = sin S, x = x /l, r = r /l, l - длина оболочки, q =%qr2 l(EHFHn1), E, v, h - модуль упругости, коэффициент Пуассона и толщина слоя связующего, P = P /{EHFHni) M = M /{EHFHnir) b = 2nrEh /{EHFHm{l-v2)), g = nrEh /((1 + v)EhFh^>

Решение системы уравнений (9) - (14) должно удовлетворять следующим граничным условиям:

2

y

2

- при х = 0 еу = 1,

- при х = 0,5 у = л /2.

Первое условие означает отсутствие окружной деформации в крайнем левом сечении, а второе - наличие экстремума (максимума) радиального перемещения в среднем сечении оболочки. Это равносильно требованию симметричности деформированной оболочки относительно образовавшегося экватора. Поэтому численное решение можно ограничить рассмотрением половины оболочки.

Сформулированная таким образом краевая задача решается численно методом пристрелки. Алгоритм решения выглядит так. На левом краю (х = 0) точно удовлетворяется первое граничное условие: еу = 1. Угол у на левом краю принимается равным полусумме крайних значений его области существования [0, л /2]:

У0 ^ = 0±я/2 = л. 06)

Из системы алгебраических уравнений (11) - (14), предварительно сведенной к двум уравнениям с двумя неизвестными ен1 и ен2, итерационным методом Ньютона определяются значения ен1 и ен2. Выбор именно этих величин в качестве основных неизвестных не случаен. Так как деформации нитей вн( очень малы (около одного процента), то значения ен, = 1 + внI, в свою очередь, очень мало отличаются от единицы. Поэтому есть возможность удовлетворить главному требованию метода Ньютона - задать хорошее первое приближение ен1 = ен2 = 1. После определения деформаций нитей находятся значения ех и Р при х = 0 и выполняется переход к новому значению х . Из дифференциальных уравнений (11) и (12) определяются значения еу (Ах) и у (Ах). Дальше расчет повторяется до одного из двух исходов:

1) х < 0,5, у* > л/2,

2) х = 0,5.

Первый исход означает, что принятое на левом краю значение у должно быть уменьшено. Для этого вместо правой границы диапазона принимается у0 , левая сохраняется и

по той же формуле (16) определяется новое значение угла на левом краю. При втором исходе возможны, в свою очередь, два варианта. Если при х = 0 удовлетворяется и второе граничное условие (15), то расчет на этом заканчивается, задача решена, если же полученное значение угла у значительно отличается от л /2, надо вернуться к левому краю, увеличив у (0) делением пополам отрезка [л /4, л /2]. При таком приближении область определения угла постепенно сужается и некоторая попытка приводит к решению задачи с требуемой точностью. Следует отметить, что при расчете вариантов с отрицательной осевой силой требуется более тщательное задание граничного условия по углу на левом краю.

3. Численная реализация и результаты расчета

В упомянутой работе [1] были выполнены пробные расчеты, демонстрирующие справедливость и возможности предлагаемого метода расчета. Расчеты показали, что при соответствующей укладке нитей оболочка, нагруженная внутренним давлением, способна осуществлять дозированные осевые или угловые перемещения с преодолением значительной осевой силы или момента вокруг оси, то есть выполнять функции мышцы.

Следующая задача позволяет обнаружить еще одно замечательное свойство такой композитной оболочки. Пусть оболочка с малым углом намотки ± ф нагружена внутренним давлением Ц и осевой силой Р, причем, в отличие от [1], осевая сила может быть не только положительной, скручивающий момент отсутствует, задача является осесимметричной.

Система разрешающих уравнений в этом случае значительно упрощается, она сводится к одному алгебраическому и двум дифференциальным уравнениям (интегрирование ведется по длине дуги меридиана, поэтому в обозначении производной заменяем на ds ):

dy_ = ех sin у_ L- _

ds r(( + P) [ 4

2EH r vH

e _ Deee-^ + —

eHex cos ф ex

dey = ex cos у * ds r '

sin у

b

e _ 1)ex cos ф + —

- Я h 1 =-

где q =-rh---, P =

P

2EH nrhv H

ex

— = 4 ЕьЬ

3 Eh v H

sin у* = qey + P,

Здесь учтено, что коэффициент Пуассона связующего V = 0,5, то есть его объемная

vch

деформация равна нулю, поэтому hc = (vch) =

exey

В связи с отсутствием сдвига в этом случае упрощаются и остальные уравнения.

Например, уравнение совместности деформаций (остается одно) приходит к такому виду:

y y y y  y

ey = ey cosy ф + ey siny ф, а уравнения связи деформированной и исходной метрик становятся такими:

* * ex * ey

r = eyr, cos ф = —L cos ф, sin ф = — sin ф.

У eH eH

Расчет выполняется по приведенному ранее алгоритму. Аналогичный алгоритм численного интегрирования - методом пристрелки с делением пополам области определения -был применен в работе [2]. Расчет выполнен на ПК с помощью программы «Toros», составленной на языке «Fortran-90», при следующих исходных данных: l = 1000 мм, r = y50 мм, h = y,5 мм, EH = 50 ГПа, Ec = 50 МПа, vH = 0,5, q = 1 МПа, значения угла

намотки варьировались в пределах от п/30 до п/6, значения отношения P / q - от 3,0 до -3,0. Результаты расчета для угла намотки ф = 6° приведены на рисунках 4 и 5. На рис. 4 показан меридиан оболочки в деформированном состоянии: в верхней части рисунка - при различных значениях осевой растягивающей силы P/q > 0, в нижней части - при сжимающей осевой силе, когда P/q < 0, а на рис. 5 приведены графики изменения деформаций sx, s , sн вдоль первоначального меридиана - образующей цилиндра - при различных значениях осевой растягивающей силы (sy - в долях единицы, sx и sH - в долях процента).

Расчеты показывают, что окружные деформации связующего и радиальные перемещения оболочки действительно очень велики при очень малых деформациях нитей. Деформация нитей всегда положительна и остается постоянной по всей длине нити. В рассмотренном случае она изменяется в зависимости от величины отношения P / q по следующему закону: в промежутке _ 3 < P / q < _1,5 линейно падает от 0,4% до 0,1%, а затем также линейно растет до 1% при P / q = 3 .

Отметим, что в рассмотренных случаях деформация связующего в направлении меридиана также очень мала, а угол ф от края оболочки до середины увеличивается приблизительно в полтора раза при положительных P / q и в два раза - при отрицательных.

H

Рис. 4 - Меридиан оболочки после нагружения

Рис. 5 - Деформации нитей и связующего

По результатам расчета можно сделать очень важные выводы. Например, при Р/ц = 1 осевая сила равна кг2ц = к • 0,252 • 106 « 200 кН. Если один край оболочки закрепить неподвижно, а другой край прикрепить к некоему объекту, то при подаче давления внутрь оболочки этот объект можно переместить в направлении неподвижного края оболочки с преодолением значительного сопротивления, которое может достигать десятков и сотен килоньютонов. Таким образом, описанная композитная оболочка может быть использована в качестве очень «сильной» искусственной мышцы.

Совместное действие внутреннего давления и осевой сжимающей силы также порождает очень интересный эффект. По мере увеличения сжимающей силы края оболочки

постепенно сближаются, и при некотором значении отношения P / q они смыкаются, и цилиндр превращается в тор. Этот эффект используется в технике изготовления резинокордных шин.

Можно указать и другие примеры технического применения этих эффектов. Так, укорочение оболочки при повышении внутреннего давления можно использовать при проектировании компенсаторов длинных трубопроводов. На базе эффекта трансформации цилиндра в тор можно создать технологию получения изогнутых элементов трубопроводной арматуры.

На немецком языке слово «пластмасса» звучит как Kunststoff, что в дословном переводе означает «искусственное вещество». Это точное и очень емкое название, действительно, создание пластмассы - это большое искусство, требующее не только глубоких и всесторонних знаний, но и напряжения всех творческих сил коллектива, объединяющего разработчиков и потребителей будущего нового материала.

Литература

1. Валиуллин, А.Х. Податливость цилиндрических эластичных оболочек, армированных нитями / А.Х. Валиуллин, С.Б. Черевацкий// Прикладная механика. -1990. - Т. 26, № 2. - С. 71 -75.

2. Валиуллин, А.Х. Упругопластический изгиб балки из материала с линейным упрочнением / А.Х. Валиуллин//Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. - № 9. - С. 453 - 458.

© А. Х. Валиуллин - канд. техн. наук, доц., проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ, tmsm@kstu.ru.