Исследование двумерной напорной фильтрации грунтовых вод в неоднородном пласте

УЕБТЫНС

мвви

БЕЗОПАСНОСТЬ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ. ГЕОЭКОЛОГИЯ

УДК 624.131

В.А. Белов, В.И. Антонов

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВУМЕРНОЙ НАПОРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ГРУНТОВЫХ ВОД В НЕОДНОРОДНОМ ПЛАСТЕ

Рассмотрена стационарная напорная фильтрация несжимаемых грунтовых вод в неоднородном пласте, для которого произведение коэффициента проницаемости на толщину пласта представляется квадратом произвольной гармонической функции координат точек пласта. Исследование фильтрации грунтовых вод в неоднородном пласте «методом перехода» сведено к поиску соответствующих плоскопараллельных потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости с помощью суперпозиции точечных источников и мультиполей различного порядка. Применение «метода перехода» вместо обычного интегрирования дифференциального уравнения в рядах позволяет наиболее просто и наглядно обобщить известную формулу Дюпюи для дебита скважины в однородном пласте, расширив ее применение на все множество неоднородных пластов, для которых произведение коэффициента проницаемости грунта на толщину пласта представимо квадратом гармонической функции. При этом получается компактная формула для распределения давления в напорном пласте при круговом контуре питания грунтовых вод.

Ключевые слова: напорная фильтрация, водоприток, распределение давлений, дебит скважины, метод перехода, круговой контур питания.

1. Строительство промышленных и гражданских сооружений в сложных гидрогеологических условиях местности строительства сопряжено с дополнительными строительно-монтажными работами, направленными на защиту строительных котлованов от притока грунтовых вод. Вид этих дополнительных работ различен: обвалование и водоотведение; дренаж различного вида [1, 2]; замораживание грунтов [3]; возведение «стены в грунте»; водопонижение уровня (пьезометрической высоты) грунтовых вод иглофильтровыми установками или системой скважин-колодцев с погружными электрическими насосами и т.п.

Выбор оптимального варианта при проектировании этих строительно-монтажных работ в значительной мере определяется объемом ожидаемого водопритока к строительному котловану и допустимым установившимся уровнем (пьезометрической высотой) грунтовых вод в районе строительства.

Определение осадки песка, осадки грунта и деформации грунта также требуют исследования фильтрационного течения грунтовых вод при их высокопроизводительной откачке скважинами-колодцами [4—9].

2. Меженный период строительства позволяет гидрогеологические условия считать почти неизменными во времени. Рассмотрим стационарную напорную двумерную фильтрацию грунтовых вод в пласте на горизонтальном водоупоре.

Динамическим уравнением фильтрации грунтовых вод в большинстве практически важных случаев является закон Дарси:

Кф К V =--— grad Р или V =--grad Р,

Р И Н

вестник 11/2012

где V — скорость фильтрации грунтовых вод; Кф и К — коэффициенты соответственно фильтрации и проницаемости грунта; р и д — соответственно плотность и вязкость жидкости; Р — давление грунтовых вод. Считая плотность и вязкость постоянными и грунтовые воды несжимаемыми, имеем, на основе уравнения неразрывности, уравнение двумерной установившейся напорной фильтрации грунтовых вод в неоднородном пласте с горизонтальным водоупором [10]:

д ( д Р ^ д ( д Р ^

— \К-Н— | + —I К-Н— | = 0,

д х ^ д х ) д у ^ д у )

где коэффициент проницаемости К = К(х, у) грунта и мощность (толщина) пласта Н = Н(х, у) являются известными функциями координат точек (х, у) неоднородного напорного пласта.

Искомую функцию Р = Р(х,у) распределения давления в области О фильтрации грунтовых вод определяют по ее граничным условиям, обычно интегрируя уравнение (2) при разложении функции Р(х,у) в соответствующий ряд. Однако при таком методе трудно объединить в одно подмножество (класс) из всего множества неодно -родностей пластов, которое обладало бы некоторыми общими свойствами фильтрационных потоков грунтовых вод. Этот вопрос может решаться «методами перехода» [10]. Они состоят в том, что исследуемые двумерные течения жидкости при новых значениях коэффициентов неоднородностей К(х, у) и Н(х, у) слоя жидкости строятся на основе известных двумерных течений жидкости в слоях с другими значениями этих коэффициентов.

Согласно этому методу фильтрационные течения находят с помощью принципа суперпозиции точечных источников (стоков), вихрей и мультиполей различного порядка и определяют, каким граничным условиям эти течения удовлетворяют. При этом точечный источник (сток) представляется «фундаментальным решением» [10] дифференциального уравнения (2), т.е. решением Р(х, у), которое при неограниченном стягивании области фильтрации О к сколь угодно малой области, охватывающей точечный источник в точке (х0, у0), асимптотически стремится к функции

Р *ист = с1

где постоянные с1 и с2 определяются граничными условиями.

3. Применим «метод перехода» к конкретному исследованию стационарной напорной фильтрации грунтовых вод в неоднородном пласте, когда неоднородность пласта выражается квадратом гармонической функции.

Для удобства дальнейшего изложения представим произведение коэффициента проницаемости и толщины пласта одним коэффициентом неоднородности пласта о(х, у):

К

и рассмотрим решение полученного уравнения

д ( д Р Л д ( д Р

— I о- +—I о-

д х ^ д х ^ д у ^ д у

= 0.

Переходим к новой искомой функции ф(х, у) по формуле

Р

Л/о

Новая искомая функция будет удовлетворять уравнению

Дф Ал/0 4 д2 д2 т

= ~Г~, где Л = ТТ + ТТ.

Ф л/о дх2 ду2

Как видим, коэффициент неоднородности пласта удовлетворяет тому же самому уравнению, что и новая искомая функция ф(х, у). Это свойство положено О.В. Голубевой [1] в основу одной из классификаций неоднородных пластов.

Рассмотрим класс неоднородных пластов, для которых неоднородность представляется гармонической функцией, т.е. удовлетворяющей уравнению Лапласа

^ ^ = 0.

д х 2 ду2

Тогда уравнение (7) для искомой функции ф(х,у) представится также уравнением Лапласа

М- «9»

Как видим, для всего множества (ряда) неоднородных пластов, коэффициент неоднородности о (х, у) которых представляется квадратом гармонической функции, распределение давления P (x, y ) в напорном пласте выражается через гармонические функции. Однако если рассматривать уравнение (9) как уравнение для потенциала скорости плоскопараллельного стационарного потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости, то произведен переход от исследования движения жидкости в неоднородном пласте к поиску соответствующих плоскопараллельных потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости. Эти течения хорошо изучены. Они представляются через потенциал скорости ф и функцию тока ф комплексным потенциалом ф + /ф = w(z), который является аналитической функцией комплексного переменного z = x+iy. При этом комплексный потенциал точечного источника (стока) в точке z0 = x0 + iy0 потока жидкости представляется комплексной функцией A-ln (z - z0 ), где A — действительная постоянная.

Распределение давления в неоднородном пласте представляем через действительную

p

Здесь W

Так как давление P(x,y) в области G фильтрации грунтовых вод должно быть ограниченной функцией, то аналитическая функция f (z) не должна иметь других особых точек, отличных от полюсов в бесконечности. Тогда она должна представляться рядом Лорана без отрицательных показателей степеней

f

Примечание. Саму гармоническую функцию V0 также легко задавать как действительную или мнимую часть члена комплексной функции вида (12).

Следует отметить, что равный нулю коэффициент неоднородности пласта K (x, у )H (х, у ) = о(х, у ) = 0 представляет физическую границу пласта — линию L выклинивания пласта. На линии L области фильтрации G должно быть выполнено условие отсутствия перетекания жидкости через границу L

((-H-gradP -n )L = 0,

где n — нормаль к линии L раздела неоднородного пласта.

4. Рассмотрим фильтрационное течение грунтовых вод к скважине-колодцу, расположенной в центре C (x0,y0 ) круговой области питания G, не содержащей линии L выклинивания пласта (рис.). Пусть на контуре питания при r=R давление грунтовых вод равно Pk ; на контуре скважины радиуса rc давление равно Pc. Определим

вестник

11/2012

распределение давления P (x, y) в области G фильтрации грунтовых вод и дебит Q скважины-колодца. 1

По формуле (6) имеем P (x, y) = —= ф (x, y).

V—

Моделируем скважину точечным источником. Согласно (11), искомую гармоническую функцию ф(х, у) представляем в виде

ф

Так как при r = R гармоническая функция ф должна равняться V— Pк, то для постоянных B и a0 получаем B = Pk , a0 = —4lnR . Следовательно, имеем

ф(х, у) = AlnR + V—Рк.

Для распределения давления получаем

P(x, у ) = ^ ln Г + Рк. VG R

Значение постоянной А определяем через дебит скважины Q. Имеем

Q = lim фKH d_PdS,

r^o * м дr

s г

где S — замкнутый круговой контур радиуса r с центром в точке (x0,y0),

Q = lim (6 — •—lnr I dS, где dS = rdф.

* -o f м дr [V— J ' V

Стягиваем контур S в точку. Учитывая непрерывность функции о и ее производной, а также ее значение g (x0, у0) = K0 H0, получаем

VKoHo ~ , - mQ

Q =--2nA, откуда следует A = -—, ,

M

2K^J Ko H o

и для распределения давления грунтовых вод в неоднородном пласте имеем

Р (х,у )=

м Q

1

,1п- + Рк.

К0 Н0 у[ки Л

По заданному давлению Рс на скважине-колодце определяем дебит скважины Q (или необходимое значение производительности Q опускного электрического насоса). При г = гс < Я имеем и из (17) получаем

2п К о Но

Q=-

ln

R

что представляет по внешнему виду известную формулу Дюпюи для расчета дебита скважины в случае однородного напорного пласта.

Формула (18) позволяет для рассмотренных неоднородных пластов определить в первом приближении суммарный водоприток к строительному котловану (или к системе скважин-колодцев) по известному способу «большого колодца», для чего следует заменить радиус скважины гс на приведенный радиус Япр строительного котлована (или на приведенный радиус системы скважин).

Приведем, к примеру, два конкретных вида неоднородного пласта из всего множества рассмотренных неоднородных пластов:

г.

а) имеем K (x,y)• H (x,y) = K0 H0 -I — I . В этом случае неоднородный пласт со-

V yo J

стоит из двух физически идентичных частей, расположенных в верхней y > 0 и нижней y<0 полуплоскостях, разделенных непроницаемой границей y = 0. Тогда при фильтрации грунтовых вод к скважине-колодцу в области G неоднородного пласта верхней полуплоскости при y > 0 , R < y0 по формуле (17) получаем распределение давления

P(*, у) = yiinjixzxo)2 +(у -yo)2 + Pk = ^ К-ыГ-+Pk;

2n K0H0 у R k 2n K0H0 у R

б) имеем K (x,y)• H (x,y) = K0 H01 xy I . В этом случае неоднородный пласт

V x0 y0 J

распался на четыре физически идентичных пласта, разделенных непроницаемыми границами x=0, y = 0. При фильтрации грунтовых вод к скважине-колодцу в точке C(x0 y0) области G неоднородного пласта в первой координатной четверти, при x, y > 0 , R < x0, y0, по формуле (17) получаем распределение давления

P(* у) = *о Уо *-*о)2 +(У-Уо)2

2п Ко Ho *у R

Дебит скважины определяем по формуле (18).

Применение «метода перехода» вместо обычного интегрирования дифференциального уравнения (2) в рядах позволяет наиболее просто и наглядно обобщить известную формулу Дюпюи для дебита скважины в однородном пласте, расширив ее применение на все множество неоднородных пластов, для которых произведение коэффициента проницаемости грунта на толщину пласта представимо квадратом гармонической функции. При этом получается компактная формула для распределения давления в напорном пласте при круговом контуре питания грунтовых вод.

Замечание. Изложенный материал может использоваться в учебном процессе и представляет студентам основу для участия в научной работе.

Библиографический список

1. Береславский Э.Н. Фильтрация грунтовых вод к системе дренажных каналов // Водные ресурсы. 2006. Т. 33. № 4. С. 455—458.

2. Эмих В.Н. Математические модели фильтрации с горизонтальным дренажем // Водные ресурсы. 2008. Т. 35. № 2. С. 216—222.

3. Шуплин М.Н., Борисенко В.Н. Технология искусственного замораживания грунтов с применением твердых криоагентов в подземном строительстве // Горный информационно-аналитический бюллетень. 2006. № 8. С. 381—384.

4. Батурин Ю.Е., Майер В.П. Учет прерывистого строения пласта в моделях фильтрации нефти, газа и воды // Вестник ЦКР Роснедра. 2009. № 3. С. 60—70.

5. Береславский Э.Н. Моделирование фильтрационных течений из каналов // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. № 5. С. 78—84.

6. Bachman R.C., Harding T.G., Settari A. and Walters D.A. Coupled Simulation of Reservoir Flow, Geomechanics and Formation Plugging With Application to High-Rate Produced Water Reinjection, paper SPE 79695, SPE Reservoir Simulation Symposium, Houston, TX. Feb. 3-5, 2007.

7. Settari A. Reservoir Geomechanics and Subsidence, Proc. 8th Int. Forum on Reservoir Simulation, Iles Borromees, Stresa, Italy, June 20-24, 2005.

8. Salehi Mojarad R. and Settar A. Coupled Numerical Modelling of Reservoir Flow with Formation Plugging // Journal of Canadian Petroleum Technology. V. 46, N. 3. P. 20—27, Mach 2007.

вестник 11/2012

9. Tang Y., Yildiz T., Ozkan E., Kelkar M. Effects of Formation Damage and High-Velocity Flow on the Productivity of Perforated Horizontal Wells, SPE Reservoir Evaluation and Engineering Journal, V.8, N 4, P. 315—324, Aug. 2005.

10. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М. : Высш. шк., 1972. 368 с.

Поступила в редакцию в сентябре 2012 г.

Об авторах: Антонов Виктор Иванович — кандидат технических наук, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-01, theormech@mgsu.ru;

Белов Виктор Анатольевич — кандидат физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-01, theormech@mgsu.ru.

Для цитирования: Белов В.А., Антонов В.И. Исследование двумерной напорной фильтрации грунтовых вод в неоднородном пласте // Вестник МГСУ 2012. № 11. С. 191—197.

V.A. Belov, V.I. Antonov

RESEARCH INTO THE TWO-DIMENSIONAL PRESSURE FILTRATION OF THE GROUNDWATER WITHIN A HETEROGENEOUS BED

The subject of research is the steady pressure filtration of the unconfined groundwater in the heterogeneous bed, if the product of the transparency coefficient and bed thickness is represented as a square of an arbitrary harmonic function of coordinates of bed points. The study of the ground-water filtration within a heterogeneous bed using the «transition method» is reduced to the search for potential parallel-plane flows of the ideal incompressible fluid using the superposition of point sources and multipoles of different order. Application of the «transition method» instead of a regular integration of differential equations in the series is a simple and obvious method of generalizing the well-known Dupuis formula to identify the well capacity within a homogeneous bed by extending it to the whole variety of heterogeneous beds, if the product of the transparency coefficient and bed thickness is represented as a square of an arbitrary harmonic function of coordinates of bed points. The above sequence of operations produces a compact formula describing the pressure distribution within a pressure bed, if the external boundary of the groundwater is circular.

Key words: pressure filtration, inflow, pressure distribution, well capacity, transition method, circular external boundary.

References

1. Bereslavskiy E.N. Fil'tratsiya gruntovykh vod k sisteme drenazhnykh kanalov [Filtration of the Groundwater Incorporated into the System of Drainage Channels]. Vodnye resursy [Aquatic Resources]. 2006, no. 4, vol. 33, pp. 455—458.

2. Emikh V.N. Matematicheskie modeli fil'tratsii s gorizontal'nym drenazhem [Mathematical Models of Filtration with a Horizontal Drainage]. Vodnye resursy [Aquatic Resources]. 2008, no. 2, vol. 35, pp. 216—222.

3. Shuplin M.N, Borisenko V.N. Tekhnologiya iskusstvennogo zamorazhivaniya gruntov s primen-eniem tverdykh krioagentov v podzemnom stroitel'stve [Technology of Artificial Freezing of Soils Using Hard Refrigerants in Underground Construction]. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten' [Mining Bulletin of Information and Analysis]. 2006, no. 8, pp. 381—384.

4. Baturin Yu.E., Mayer V.P. Uchet preryvistogo stroeniya plasta v modelyakh fil'tratsii nefti, gaza i vody [Consideration of the Interrupted Structure of Bed in Models of Filtration of Crude Oil, Natural Gas and Water]. Vestnik TsKR Rosnedra [Bulletin of Central Commission for Development of Deposits of the Federal Agency for Recovery of Natural Resources]. 2009, no. 3, pp. 60—70.

5. Bereslavskiy E.N. Modelirovanie fil'tratsionnykh techeniy iz kanalov [Modeling of Filtration Channel Flows]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 2003, no. 5, vol. 67, pp. 78—84.

6. Bachman R.C., Harding T.G., Settari A. and Walters D.A. Coupled Simulation of Reservoir Flow, Geomechanics and Formation Plugging with Application to High-Rate Produced Water Reinjection. Paper SPE 79695, SPE Reservoir Simulation Symposium, Houston, TX, Feb. 3-5, 2007.

7. Settari A. Reservoir Geomechanics and Subsidence, Proc. 8th Int. Forum on Reservoir Simulation. Iles Borromees, Stresa, Italy, June 20-24, 2005.

8. Salehi Mojarad R. and Settar A. Coupled Numerical Modelling of Reservoir Flow with Formation Plugging. Journal of Canadian Petroleum Technology. No. 3, vol. 46, pp. 20—27, March 2007.

9. Tang Y., Yildiz T., Ozkan E., Kelkar M. Effects of Formation Damage and High-Velocity Flow on the Productivity of Perforated Horizontal Wells. SPE Reservoir Evaluation and Engineering Journal. No. 4, vol. 8, pp. 315—324, Aug. 2005.

10. Golubeva O.V. Kurs mekhaniki sploshnykh sred [Course of Continuum Mechanics]. Moscow, Vyssh. shk. publ., 1972, 368 p.

About the authors: Antonov Viktor Ivanovich — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; theormech@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-01;

Belov Viktor Anatol'evich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; theormech@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-01.

For citation: Belov V.A., Antonov V.I. Issledovanie dvumernoy napornoy fil'tratsii gruntovykh vod v neodnorodnom plaste [Research into the Two-Dimensional Pressure Filtration of the Groundwater within a Heterogeneous Bed]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 11, pp. 191—197.