О потере устойчивости фермы Мизеса при наличии мартенситных превращений

УДК 539.3

О ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ ФЕРМЫ МИЗЕСА ПРИ НАЛИЧИИ МАРТЕНСИТНЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ

© 2006 г. В. А. Еремеев

The stability of Mises farm is investigated taking into account the phase transformations of martensate type in rods. For this system the loading diagram is constructed. It is shown that top and bottom critical loads depend on the characteristics of hysteresis loop for the material of farm.

В последнее время значительный интерес вызывают конструкции из материалов, испытывающих фазовые превращения мартенситного типа, которые ответственны за эффект памяти формы, наблюдаемый во многих сплавах [1]. Эффект памяти формы в тонкостенных элементах (стержнях, пластинках и пленках) применяется во многих технических устройствах [1]. При этом возможна, а зачастую и используется потеря устойчивости тонкостенных элементов при сжатии или изменении температуры. Это делает актуальным проблему изучения потери устойчивости тел с фазовыми переходами мартенситного типа.

В теории устойчивости упругих и вязкоупругих систем важное место занимает ферма Мизеса [2, 3], являясь своего рода пробным камнем для различных подходов к исследованию более сложных тонкостенных конструкций. Отметим в этой связи только работы [4-7].

Здесь изучена симметричная деформация фермы Мизеса (рис. 1), состоящей из двух стержней, испытывающих фазовые превращения мартенситного типа, и упругой пружины жесткости С ; определены точки бифуркации, соответствующие статической потере устойчивости фермы.

Заметим, что ранее исследования устойчивости упругих тел, испытывающих фазовые превращения, в рамках пространственной теории упругости рассматривались в [8-11], анализ выпучивания одно- и двумерных конструкций из материалов с памятью формы проводился в [12-15]. В них отмечено, что наличие фазовых превращений существенно влияет на потерю устойчивости, в частности, появляются точки бифуркации, отсутствующие в системах без фазовых переходов [9, 10].

Следуя [5, 7], рассмотрим равновесие фермы Мизеса. Обозначим длину стержней до деформации через 1о, а угол, образуемый ими с горизонтальной плоскостью, через «о. После приложения силы Р длины стержней и угол наклона обозначим через I и а соответственно (рис. 1). Зависимость силы Р от перемещения узла фермы и в равновесии дается формулой Р = 2аЕ Бта + Си , где а - напряжения в стержнях; Е - площадь поперечного сечения стержня. В случае стержней из обычного материала зависимость напряжения от деформации имеет вид закона Гука а = Ее, где Е - модуль Юнга, а деформация е вычисляется через угол а по формуле

е =

lo -1

lo

= 1 -

cosa.

o

i0 cosa

Выражая угол a через линейное перемещение u при помощи соотношения u = lo cos ao (tg ao - tg a),

получим формулу, отличающуюся от [4, 5] наличием

слагаемого, вызванного реакцией пружины

( \

1 1

P = 2EF(lo sinao - u) (a = locosao) •

^a2 +

l

+ Cu .

Рис. 1. Ферма Мизеса до и после деформации

Характерная диаграмма деформирования Р - и имеет вид, приведенный на рис. 2 а. Нагрузки, соответствующие минимуму и максиму на графике, являются нижней и верхней критическими нагрузками. Убывающий участок диаграммы Р - и при силовом нагружении фермы неустойчив и может быть реализован при задании перемещения и . Здесь использованы следующие безразмерные значения: ао = 30°; С/ ЕЕ = 0,1.

Для стержней из материала с памятью формы закон Гука, вообще говоря, не имеет места, а при температурах, близких к температуре перехода, диаграмма а - е имеет достаточно сложный вид с одной или несколькими петлями гистерезиса [1]. Не ограничивая общности, далее в работе будем использовать упрощенный вид петли гистерезиса в форме параллелограмма (см. левая часть рис. 2 б-г). Здесь стрелкой показано направление изменения деформации. Заме-

тим, что использование диаграммы растяжения-сжатия для реального сплава связано лишь с техническими сложностями. При помощи системы аналитических вычислений Maple построены диаграммы P - u для разных размеров петли гистерезиса (правая часть рис. 2 б-г). Здесь диаграммы строились при монотонном увеличении прогиба u . Для сравнения на

рис. 2 б-г приведена диаграмма для материала без фазового перехода. Видно, что увеличение петли гистерезиса от случая б к случаю г оказывает существенное влияние на диаграмму деформирования фермы Мизеса, в частности, приводит к понижению верхней и повышению нижней критических нагрузок.

U

Рис. 2. Диаграммы деформирования для стержня (а - s ) и фермы Мизеса (P -u ) при С/EF = 0,1

Влияние жесткости пружины на поведение фермы проиллюстрировано на рис. 3. Приведенные здесь диаграммы Р - и соответствуют тем же диаграммам а -в, что и на рис. 2. Относительно большая жесткость пружины приводит к малому влиянию фазового перехода. Отметим также, что здесь обнаружены случаи,

которые соответствует появлению третьей точки бифуркации и двух участков убывания (областей неустойчивости) (например, случай в первом столбце и втором ряду). В этих случаях возможна потеря устойчивости путем двух прощелкиваний (хлопков) фермы Мизеса.

Рис. 3. Диаграммы деформирования для фермы Мизеса при CEF = 0

Наличие петли гистерезиса на диаграмме а-в влечет за собой две петли гистерезиса на диаграмме Р - и (рис. 4). Здесь стрелками показано направление изменения и , а жесткость пружины принимает значения С = 0, 0,05£^, . В отсутствие пружины

(С = 0, рис. 4 а) диаграмма деформирования имеет симметричный вид, наличие пружины симметрию разрушает. С увеличением жесткости пружины петли гистерезиса уменьшаются, как, например, при С = 0,5 ЕГ (рис. 4 в).

Рис. 4. Петли гистерезиса на диаграмме нагружения для фермы Мизеса при разных значениях жесткости пружины: ^БЕ = 0

Заметим, что аналогично рассмотренной в работе задаче может быть исследована потеря устойчивости более сложных стержневых конструкций, материал которых претерпевает фазовые превращения мартен-ситного типа.

Автор благодарен Л.М. Зубову за внимание к работе и полезные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-01-00431).

Литература

1. Беляев С.П. и др. Материалы с эффектом памяти формы. Справочн. изд./Под ред. В.А. Лихачева: В 4х т. СПб., 1997, 1998.

2. Mises R. // ZAMM. 1923. S. 406-462.

3. Mises R. // ZAMM. 1925. S. 218-231.

4. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М., 1973.

5. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М., 1979.

6. Ворович И.И. и др. // Изв. АН. МТТ. 1979. № 4. С. 120132.

7. Еремеев В.А., Лебедев Л.П. // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.1991. № 3. C. 22-26.

8. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М., 1990.

9. Еремеев В.А., Зубов Л.М. // Изв. АН. МТТ. 1991. № 2. С. 56-65.

10. Еремеев В.А. и др. // Докл. РАН. 2003. Т. 391. № 2. С. 189-193.

11. Fu Y.B., Freidin A.B. // Proc. R. Soc. Lond. A. 2004. Vol. 460. P. 3065-3094.

12. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. // Мех. композ. материалов и констр. 2000. Т. 6. № 1. С. 89-102.

13. Мовчан А.А., Казарина С.А // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2002. № 6. С. 82-89.

14. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 3. С. 82-89.

15. ХусаиновМ.А. // ЖТФ. 1997. Т. 67. № 6. С. 118-120.

Ростовский государственный университет 20 апреля 200S г.