К вопросу синтеза двумерных адаптивных фильтров на основе гладких функций

Телевидение и обработка изображений

УДК 681.323:621.391.837

И. В. Разин

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

К вопросу синтеза двумерных адаптивных фильтров на основе гладких функций

Синтезирован ряд двумерных адаптивных фильтров на основе гладких функций, осуществляющих формирование контурного сигнала объектов на изображении путем дифференцирования исходного сигнала в направлении градиента перепада яркости и накопления его в ортогональном направлении, что позволило компенсировать потерю в отношении "сигнал/шум" контурного сигнала фильтра, неизбежную при выполнении операции дифференцирования. Определены параметры фильтров и аналитические выражения для их весовых функций. Параметрами адаптации анизотропного фильтра служат локальные статистики, получаемые выполнением последовательности операций, состоящей из оценки сглаженных производных изображения по его осям, формирования ковариационной матрицы производных изображения, ее диагонализации и нахождения собственных векторов характеристического уравнения определителя матрицы.

Контурный сигнал изображения, адаптивный фильтр, гладкая функция, весовая функция, оператор производной, ковариационная матрица, собственный вектор, модуль градиента, Лапласиан, производная по направлению, инвариантность

Известно [1]-[3], что основная информация об отображаемых объектах изображения заключена в перепадах его яркости (контурах). Поэтому вполне естественен переход от яркостного описания исходного изображения объекта к контурному, которое используется в дальнейшем при решении широкого круга задач обработки и анализа изображений. В качестве примера можно привести задачу сегментации изображения.

Методы контурного описания. Задача получения контурного описания изображения (далее "контурное изображение") далеко не тривиальна. Анализ выполненных ранее работ позволяет выделить три метода формирования контурного сигнала: пространственного дифференцирования, аппроксимации и высокочастотной фильтрации в спектральной области. Наиболее распространен метод пространственного дифференцирования, в основу которого положен анализ скорости изменения функции яркости. Используемые при этом методы численного программирования дают хорошие результаты при условии, если применяемые операторы сочетают в себе операции сглаживания и дифференцирования функции яркости. Такое сочетание операций реализовано в классических операторах Превитта и Собе-ла [2], применение которых позволяет оценить частные производные по координатным осям. Следствием фиксации направления оценивания производных является неинвариантность получаемых оценок к повороту системы координат. Аналогичный недостаток имеют операторы, оценивающие производные по направлениям диагоналей координатной сетки и имеющие по этой причине название сторон света, в том числе и оператор Розенфельда [1].

© Разин И. В., 2009

Этот недостаток устранен в инвариантном к преобразованию вращения градиентном операторе У = 1 (д/дk) + j (д/дп), где 1, j - орты координатных осей; k, п - целочисленные аргументы осей. Результатом применения этого оператора к изображению является векторное поле, каждый элемент которого оценивается модулем

и направлением градиента

дф( k, п )/дп

а( k, п) = агС£

дф( k, п )/дk

где ф( k, п) - функция яркости изображения.

Одинаковый интерес представляют и модуль градиента перепада яркости, оценивающий скорость изменения яркости в каждой точке изображения, и направление, в котором эта скорость максимальна. Однако в основе оценок модуля и направления градиента лежат частные производные, формируемые с помощью упомянутых дифференциальных операторов. Вследствие разрывности весовых функций этих операторов их действие может приводить к появлению на изображении нежелательных артефактов и существенным ошибкам в оценках (1) и (2).

Дальнейшее развитие идея использования инвариантного дифференциального оператора, но более высокого порядка, получила в работе [4]. Марр и Хилдрет предложили сочетание дифференциального оператора Лапласа с двумерной сглаживающей функцией Гаусса. В основу процесса обнаружения перепада яркости положена фиксация точек пересечения выходным сигналом фильтра нулевого уровня. Такое пересечение авторы назвали "нулем" контурного сигнала. Для обнаружения нулей предложено использовать фильтр, реализующий инвариантную двумерную оценку второй производной изображения - так

2 2 2 12 2 12 называемый V Ьз -фильтр, где V = д / дk+д/ дп - оператор Лапласа, а Ьз (k, п) =

= ехр -(k2 + п2 У 2а2 _ - двумерная функция Гаусса. Весовая функция фильтра Марра-

Хилдрета Ь(2) (k, п) есть результат применения оператора Лапласа к двумерной функции Гаусса:

Ь

Результат свертки функции яркости изображения ф(k, п) с весовой функцией Ь( 2)( k, п) эквивалентен результату от свертки функции яркости ф( k, п) с функцией Гаусса Ьз (k, п) с последующим применением к "размытому" гауссоидой изображению

оператора Лапласа. По этой причине фильтр с весовой функцией (3) называют еще лапласианом гауссоиды. Его двумерный график представлен на рис. 1, а.

Использование функции Гаусса позволило устранить недостаток градиентного оператора, связанный с разрывностью весовых функций классических дифференциальных

К

'а

о

- 0.5 - 1

- 1.5

- 2

6 8 9

Рис. 1

операторов. Выбор функции Гаусса в качестве "размывающей" объясняется ее гладкостью как в пространственной, так и в частотной областях анализа - она не вносит каких-либо артефактов в процесс формирования контурного сигнала. И, наконец, предварительное "размывание" изображения объясняется желанием сохранения, хотя бы и частичного, отношения "сигнал/шум", неизбежное снижение которого связано с последующим применением к размытому изображению двумерного дифференциального оператора второго порядка. Заметим, что задача помехозащищенности контурного описания объектов изображения продолжает оставаться весьма актуальной. Например, чем меньше задаваемое в (3) значение ст, тем более высокочастотную структуру изображения можно потенциально сохранить, но и тем большими потерями отношения "сигнал/шум" приходится "платить" за использование дифференциального оператора второго порядка [4].

В несомненно положительном свойстве инвариантности фильтра Марра-Хилдрета заключен и свой минус - для любого фиксированного направления инвариантный оператор дает весьма грубую оценку второй производной именно в этом направлении. Это видно из графиков сечений фильтра. На рис.1, б приведены сечения фильтра по оси п при нескольких значениях второго его аргумента k = 0, 2, 4, 6, 8, 9 и ст = 3 . Видно, как они далеки от должной формы дифференциального оператора второго порядка. Это также следует из того, что суммы весовых коэффициентов в указанных сечениях (см. таблицу) отличны от нуля (что является необходимым условием для фильтра, выделяющего производную яркости), и с увеличением ст это отличие возрастает.

Как следует из рис. 1, б, сечения, удаленные от центра, не выполняют функцию дифференцирования, поскольку все их весовые коэффициенты положительны. Это следствие изотропной природы фильтра. Отлична от нуля и двойная сумма весовых коэффициентов,

3ст 3ст

составляющая для рассмотренного примера величину § § И^ (k, п) =-1.835, что

£=-3ст п=-3ст

объясняется урезанием "хвостов" фильтра вследствие ограничения пространственных размеров апертуры до величины ±3ст.

п § ка2)(£, п) £=-3ст

0 - 7.631

2 - 3.438

4 2.351

6 3.032

8 1.307

9 0.293

п

б

а

0.22

0.11

- 6

- 3

0

Рис. 2

k

Явное предпочтение, отдаваемое инвариантным операторам, объясняется отсутствием априорной информации о возможной ориентации локальных перепадов яркости объектов изображения и желанием адекватного реагирования на перепад независимо от его ориентации. Это приводит к необходимости выполнения дифференцирования в двух ортогональных направлениях, что обязательно для классических инвариантных фильтров на основе операторов градиента и лапласиана и, как следствие, уменьшает их помехозащищенность. Обладание информацией об ориентации перепадов позволило бы решить задачу синтеза анизотропных дифференциальных фильтров первого и второго порядков, отказавшись при этом от операции дифференцирования в одном из направлений. Такой подход, естественно, усложняет задачу: она становится двухэтапной - это плата за возможность синтеза фильтра с лучшими характеристиками. Успешность такого синтеза зависит от точности оценивания направления градиента на первом этапе, что вполне достижимо при использовании для оценки частных производных изображения в выражениях (1), (2) гладких функций взамен традиционно используемых дифференциальных операторов.

Целью работы, результаты которой представлены настоящей статьей, является повышение помехоустойчивости процедуры формирования контурного изображения.

Модель разделимого анизотропного фильтра на основе гладких функций. В качестве исходных базовых функций для синтезируемых дифференциальных фильтров будем использовать следующие "гладкие" функции:

Гаусса: (k) = exp (-k2/2aQG );

- Лоренца: h[0) (k) =

1 +

b

- Моффата: hM (k) =

(i+k V °0M )b

- Баттерворта: hg0) (k) =

1

\b '

1 +

Ограничимся их рассмотрением для случая b = 2 при равных значениях параметров a0G = a0L = a0M = a0B = 2. На рис. 2 показаны графики нормированных функций при выбранных значениях параметров.

Приведем выражения и графики для производных первого порядка этих функций (рис. 3):

1

1

hG

-4k3

4.

(l + k

+k 4i 4. )

2

hMM)( k ) =

-4k

; hB1)( k ) =

g2M'

-îk

Нормировка функций произведена на сумму положительных весовых коэффициентов производных.

Определим зависящее от значений Oig, Oïl, Oim, Ощ значение аргумента k, при котором производные на рис. 3 принимают экстремальные значения. Для этого запишем производные второго порядка:

î

h

( k ) = [( k

o2G VaÎG,

i H 2\ (2), ч 3îk6 - 1îk2a1T (l + k4/o2t ) exp (-k 7îg2g ) ; hL2)( k ) =-^-p^;

hM2)( k ) =

24k2 - 4o2M

(l + k

+ k V ^m ).

; hB2) ( k ) =

4

a2M

(l+k

+ k V ^m )

4

G2L 8k2 - 2g2B

+kV-4L)

(l (l + k

+kVo2B)

4

G2B

(l + k

+kV)

3

нули которых определяют положения экстремумов производных первого порядка:

= °Ю; % ^ш43'5; км =а1м/^5 ; % =°1вА/з .

Потребуем, чтобы экстремумы производных первого порядка у всех фильтров приходились на целочисленное значение аргумента | = | = ^м | = | = 1, т. е. отстояли

от центрального (нулевого) элемента на один дискрет разложения. Это позволит обеспечить наибольший отклик (чувствительность дифференциального оператора) на перепад яркости малоразмерного объекта на изображении. Выполнение данного требования с учетом (4) позволяет определить значения параметров для производных первого порядка:

= 1; = 4^3 = 1.136; см =75 = 2.236; аш =^3 = 1.732.

Графики производных базовых функций при указанных в (5) значениях параметров приведены на рис. 4. Все производные имеют выраженные экстремумы (хотя и в разной степени) при значениях аргумента, равных ±1, асимптотическое стремление к нулевому уровню при увеличении модуля целочисленного значения аргумента, а суммы положительных и модулей отрицательных весовых коэффициентов равны единице.

hl; 0.3

о

- 0.3

- 0.6

h(l) 0.6 0.3 0

- 0.3

- 0.6 - 0.9

Рис. 3

Y *g>

Рис. 4

2

Рассмотрим вопрос синтеза двумерного фильтра, осуществляющего численное дифференцирование изображения по направлению одной из координатных осей. Весовую функцию указанного фильтра представим в виде произведения одномерных функций:

И

И

На основе полученных выражений можно синтезировать ряд дифференциальных операторов, комбинируя в правой части (6), (7) различные базовые функции и производные от них. Рассмотрим два примера синтеза весовой функции дифференциального фильтра первого порядка.

Весовая функция первого фильтра синтезирована на основе функции Лоренца при

а^ = 2 и производной от функции Моффата при а1М =

ИЙ;0)

Сечения весовой функции фильтра Моффата-Лоренца (8) по оси k при п = 0, 1, 2, 3, 4 приведены на рис. 5, а, а по оси п при k = ±1, ± 2, ± 3 - на рис. 5, б.

Рис. 5

Синтез весовой функции второго дифференциального фильтра выполнен на основе функции Гаусса при 00£ = 2 и производной от функции Баттерворта при а^ =

И0+1)

Сечения весовой функции (9) фильтра Гаусса-Баттерворта по оси k при п = ±1, ± 2, ±3 приведены на рис. 6, а, а по оси п при k = 0, 1, 2, 3, 4 - на рис. 6, б. На рис. 7, а приведена двумерная весовая функция фильтра Моффата-Лоренца (8), а на рис. 7, б - аналогичная функция фильтра Гаусса-Баттерворта (9).

Аналогичным образом возможно формирование фильтров на основе комбинаций других указанных ранее гладких функций.

Для оценки частных производных функции яркости изображения 0) (/, j) и

Ф/>°+1) (г', j) по координатным осям / и j, соответственно, используем пространственно-

инвариантные операторы на основе гладких функций и их производных вида (6), (7). Оператор И называется пространственно-инвариантным, если для любой функции яркости 40

"об 0.06

0.03

0

- 0.03

- 0.06 - 0.09

п = -1

И

(0+1) об

0.06

k = 0

0.03 0

- 0.03

- 0.06 - 0.09

Рис. 6

б

а

а б

Рис. 7

изображения ф(г, j) и для любых целых k и п выполняется равенство g (г - k, j - п) =

= И {ф[( г - k), (j - п)]}, где g (-) - результат преобразования. В соответствии с данным

определением действие операторов (6), (7) в точке не зависит от положения ее в пространстве, и результат такого действия можно записать с помощью операции дискретной свертки: g(г, j) = ££ф(k, п)"(г -k, j -п) .

k п

Операторы, синтезированные в соответствии с (6), (7), обладают свойством разделимости. Учитывая данное свойство И(1+0)( k , п), сглаженную оценку первой производной изображения по оси г можно получить, вначале численно дифференцируя функцию яркости по этой оси, а затем суммируя продифференцированный сигнал по оси j:

Фг/+0)

k п п k

График двумерного оператора, используемого в (10), приведен на рис. 7, а.

Аналогичным образом определяют сглаженную оценку производной изображения по оси/ (график оператора представлен на рис. 7, б):

фг/°+1)

k п п k

- 0.5 -

- 1

Рис. 8

Комбинации используемых в (10) и

(11) функций Л(0) и Л(1) должны быть заранее определены и одинаковы.

Рассмотренная методика применима и для синтеза дифференциальных фильтров второго порядка. Не приводя громоздкие выражения производных третьего порядка, укажем значения параметров, для которых экстремумы производных второго порядка (нули производных третьего порядка) соответствуют значениям аргументов |k2G | = |к2м | = \ = 15:

^ = = 0.577; а2м = л/^3 = 1.291; С2В = 7^5 = 1.183.

На рис. 8 приведены графики нормированных вторых производных базовых функций при указанных значениях параметров.

По аналогии с (6), (7) можно синтезировать двумерную весовую функцию дифференцирующего по оси к и, соответственно, по оси п фильтра второго порядка:

2+0) (к, п) = 2) (к) 0) (п) ; Л(0+2) (к, п) = Л(0) (к) 2) (п) . Для фильтра Моффата-Лоренца

лМ+0)

при а0ь = 3 и ^2м = V5/3 на рис. 9, а приведены сечения весовой функции по оси к при п = 0, 1, 2, 3, 4, а на рис. 9, б - сечения оси п при к = 0, 1, 2, 3, 4.

42Г

0

- 0.04

- 0.08 - 0.12

п = 0

<м+01

0

- 0.04

- 0.08 - 0.12

± 1

± 2

V Л*

± 3

Рис. 9

Аналогичные построения выполнены для фильтра Моффата-Баттерворта

2)

_ /,(0),

Л2),

при а0м = 3 и 02в = >/7^5 на рис. 10.

Весовые функции фильтров второго порядка (13) и (14) в аксонометрическом представлении показаны на рис. 11, а, б соответственно.

б

а

5 Получить аналитические выражения для нулей третьей производной функции Лоренца невозможно. 42

"мв

0

- 0.04

- 0.08 - 0.12

± 1

±2 3

0+2) "мв

к

0

- 0.04

- 0.08 - 0.12

Рис. 10

- 6

1 1

И ^ 1 3 п 4

А.(2+0) "мв

Рис. 11

Для фильтров второго порядка аналогично (10), (11) получим сглаженные оценки производной второго порядка по осям к и п соответственно:

к п

Ф

к п к п

Априори заданные направления дифференцирования в (10), (11), (15) и (16) позволяют усилить эффект сглаживания оценок производных заданием величины а для сглаживающего компонента, большей аналогичной величины а для дифференцирующих компонентов, определяемой выражениями (5) и (12).

Модель фильтрации, основанная на собственных векторах корреляционной матрицы производных изображения по координатным осям. Очевидно, что определяемые выражениями (10), (11), (15) и (16) оценки производных не инвариантны к преобразованию вращения. Переходя к задаче синтеза дифференциального фильтра, позволяющего получить инвариантную оценку производной, учтем, что в любой точке изображения производная функции яркости по направлению градиента принимает наибольшее по сравнению с другими направлениями значение, равное модулю градиента. Использование этого факта позволяет предложить альтернативный подход к формированию контурного описания, результатом которого являются оценки, эквивалентные выражениям (1) и (2). Их можно получить из решения уравнения для средней энергии производной функции яркости по направлению [5]:

б

а

б

а

E(i, j,a) = [u,V<p(i, j)]2 = j j[u,V<p(i,j)]2 W

jj,

где [u, V9(i, j)] = ф|1+0) (i, j) cos а + ф^0+1)(i, j) sin a - производная изображения по на-

'ij • vij

правлению единичного вектора u = i cos a + j sin a; W

фГ 0), фГ+1)

- совместная плот-

ность распределения производных изображения ф/1+и ф//0+1) по направлениям ортов 1 и

j соответственно; черта сверху обозначает усреднение.

Представив квадратичную форму под знаком интеграла (17) в матричном виде, найдем корни характеристического уравнения корреляционной матрицы, определяющие для каждого элемента изображения экстремальные значения средней энергии производной6:

Emax (i,j) = 2 min

j01

+

1

ф(1+

ф

+ 4

ф

Средняя энергия приобретает экстремальные значения Етах (/, j) , если производная

шт

определяется по направлению ортогональных собственных векторов матрицы, оцениваемых их углами поворота относительно оси 1:

а1,2 (U j) = arctg

j'

2

фГ

2

фГ

2

фГ

2

+ 4

фГЧ0+1)

2

2

фГ'фГ"

-.

Таким образом, результатом решения уравнения (17) является поле, каждому элементу которого ставится в соответствие два ортогональных собственных вектора матрицы преобразования. Величины векторов, определяемые (18), инвариантны к повороту в силу инвариантности характеристического уравнения к любым преобразованиям системы координат [6]. Важно отметить, что в (18), (19) используются сглаженные оценки производных, определяемые выражениями (10), (11).

Величина ^Етах (/~/) по определению представляет собой максимальную оценку производной изображения по направлению в среднеквадратичном смысле [7]. Такая оценка является оценкой модуля градиента в точке с координатами (/, /) [8]. Таким образом,

функция ^Етах (/~/) представляет собой изображение модуля градиента, а а^ (/, /) -

функцию оценки его направления, т. е. направления максимальной скорости изменения яркости изображения. Результаты экспериментальных исследований, приведенные в [9], показали высокую точность оценки направлений собственных векторов матрицы: макси-

2

2

2

2

2

2

2

6 Аргументы (/, /) производных в правой части выражений (18), (19) опущены. 44

мальное среднеквадратическое отклонение а^ (/, j) от задаваемого с шагом 5° направления пространственной синусоидальной волны не превысило 0.09°.

Локализация и усреднение оценок энергий производных

Vxy

Ф(°+1)' Vxy

и их взаим-

ной энергии

Ф

xy

Ф

xy

в (18), (19) также обеспечивается с помощью операции сверт-

ки выражения под знаком усреднения с оператором вида

h

Примеры такого рода сглаживающих операторов hML (k, n) и hg^ (k, n) при значениях параметров Gom = V5, Gol = 2 , Gob = 3, Gog = 1 приведены на рис. 12, а, б соответственно. Таким образом, за счет дополнительного усреднения энергий выражения (18), (19) определяют некоторую взвешенную по окрестности каждого элемента оценку градиента, что делает ее в сравнении с (1), (2) более помехозащищенной. Эффект сглаживания энергии в (18), (19) можно, как и раньше, усилить выбором в (20) большего значения параметра g для функции, осуществляющей сглаживание в направлении, ортогональном направлению производной.

Рис. 12

Модель адаптивной фильтрации, основанная на априорном знании ориентации перепада яркости. Основываясь на свойстве производной принимать максимальное значение в направлении градиента [8], можно предположить, что в ортогональном градиенту направлении скорость изменения яркости будет существенно меньше величины градиента. При таком предположении, что действительно характерно для перепада яркости, потребуем, чтобы синтезируемый фильтр выполнял дифференцирование сигнала только в направлении градиента функции яркости, а в ортогональном направлении сохранял бы сглаживающее действие исходной базовой функции. Таким образом, взамен необходимой при оценке градиента и лапласиана операции дифференцирования в ортогональном градиенту направлении предлагается обратная по своему качеству операция - накопления сиг-

2

2

б

а

нала. Тем самым за счет накопления сигнала в ортогональном градиенту направлении повышается помехозащищенность фильтра. Заметим, что при низком отношении "сигнал/шум" предпочтение следует отдать дифференциальному оператору, синтезированному на основе функции Баттерворта, имеющему вследствие меньшего по величине экстремума более плавное стремление к нулевому уровню.

Рассмотрим еще один подход к формированию контурного изображения. В основе его лежит задача синтеза дифференциального фильтра, весовая функция которого была бы адаптирована сообразно полученной оценке локальной ориентации перепада яркости ai (i, j). При такой постановке задачи весовая функция дифференциального фильтра должна быть пространственно-зависимой, адаптированной в каждой точке изображения к направлению градиента яркости в этой точке.

Для случая пространственно-зависимой весовой функции математическая модель фильтрации в аналоговой форме представима интегралом Фредгольма первого рода [1]:

ж ж

g

—ж —ж

Процедура адаптации означает, что для каждой точки изображения с координатами (i, j) необходимо осуществить поворот весовой функции (6) дифференциального фильтра

относительно начала координат на угол a^ (i, j). Используя известные соотношения, связывающие координаты исходной и повернутой на этот угол системы координат, весовые функции дифференциальных фильтров первого и второго порядков будут выражаться следующим образом:

h

h(2) (k, n, i, j) = h(2) [k cos a1 (i, j) + n sin a1 (i, j)] h(0) [—k sin a^ (i, j) + n cos a^ (i, j)] . (23) Выражения (22), (23) можно выразить по-другому:

h

h

Примеры повернутых на угол a^ (i, j) = 20° дифференциальных операторов первого (22) и второго (23) порядков приведены на рис. 13, а, б соответственно.

В дискретной форме выходной сигнал адаптивного дифференциального фильтра первого порядка с учетом (21), (24) выражается следующим образом:

.

= ^^ф (i—k, j—n) h(1) [k cos a^ (i, j)+n sin a^ (i, j)] h( 0) [k cos a2 (i, j)+n sin a2 (i, j)]

k n

Выходной сигнал адаптивного дифференциального фильтра второго порядка с учетом (21), (25) определяется выражением

Рис. 13

vMi, j ) =

= -k, j -n)h [kcosa^

k n

Выражения (26) и (27) в общем виде определяют математическую модель адаптивной фильтрации и позволяют получить инвариантные к повороту оценку модуля производной изображения первого порядка и оценку производной второго порядка соответственно, остается лишь выбрать гладкие функции h(0), h(1) и h(2), произведя в них необходимое доопределение переменных.

Модель адаптивной фильтрации, основанная на априорном знании статистик второго порядка. Полученные априори оценки (18), (19) собственных векторов матрицы преобразования системы координат дают возможность адаптировать пространственные размеры весовой функции фильтра к частотным свойствам функции яркости. Известно, что корень из отношения средней энергии производной сигнала к средней энергии собственно сигнала позволяет получить оценку его среднеквадратической частоты [7], [10]. То-

гда выражение

определяет максимальное отношение локальных

среднеквадратических частот и дает оценку степени анизотропии перепада яркости. Чем больше величина этой оценки, тем более протяженную форму имеет перепад яркости, и тем большую величину параметра сглаживания Од^ можно задать, определив ее выраже-

нием Од(А, j) = о^^ЕтаХ^А/^ЕтП^А^ . Тем самым, изменяя пространственные размеры

апертуры фильтра, можно дополнительно адаптировать его весовую функцию к протяженности перепада яркости.

Анализ результатов проведенных исследований показал, что адаптивный фильтр обеспечивает по сравнению с фильтром Марра-Хилдрета меньшую вероятность пропуска контурного сигнала после его порогового ограничения при равных оценках вероятностей появления ложного сигнала [9]. Адаптивный фильтр при отношении "сигнал/шум", близ-

h

h

%

%

б

а

ком к единице, лучше разрешает близко расположенные контуры, что важно в задачах распознавания малоразмерных объектов.

Список литературы

1. Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений / пер. с англ.; под ред. П. А. Чочиа. М.: Техносфера, 2005. 1070 с.

2. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / пер. с англ.; под ред. Д. С. Лебедева. М.: Мир, 1982. Кн. 2. 790 с.

3. Розенфельд А. Распознавание и обработка изображений с помощью вычислительных машин / Пер. с англ.; под ред. Д. С. Лебедева. М.: Мир, 1972. 230 с.

4. Марр Д. Зрение. Информационный подход к изучению представления и обработки зрительных образов / пер. с англ.; под ред. И. Б. Гуревича. М.: Радио и связь, 1987. 399 с.

5. Разин И. В., Эмдин В. С. О системе инвариантов энергетического спектра градиентных изображений произвольного порядка применительно к анализу текстуры // Автометрия. 2003. Т. 39, № 4. С. 93-108.

6. Анго А. Математика для электро-и радиоинженеров. М.: Наука, 1967. 778 с.

7. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. радио, 1974. Кн. 1. 549 с.

8. Кожевников Н. И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интеграл Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. М.: Наука, 1964. 183 с.

9. Разин И. В., Попечителев Е. П. Математическая модель адаптивного фильтра для формирования контурного сигнала изображения // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 1. С. 24-36.

10. Разин И. В. Оценка спектральных характеристик изображений через статистики перепадов яркости // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2001. Вып. 1. С. 73-80.

I. V. Razin

Saunt-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

To a question of synthesis of two-dimensional adaptive filters on the basis of smooth functions

A number of two-dimensional adaptive filters based on continuously differentiable functions shaping contour signal of image objects by means of original signal differentiation in the direction of light gradient intensity and its further accumulation in orthogonal direction has been constructed. It enables to compensate losses in signal-to-noise ratio of image contour signal which are unavoidable for differentiation. Filters parameters and analytic expressions for their weight functions have been defined. Local statistics generated in operation sequences such as estimation of image smoothed derivatives in the direction of its axes, image covariance derivative matrix formation, its diagonalization and eigenvectors of secular equation of matrix determinant finding.

Image contour signal, adaptive filter, continuously differentiable function, weight function, derivative operator, covariance matrix, eigenvector, modulus of gradient, laplacian, directional derivative, invariance

Статья поступила в редакцию 17 мая 2009 г.