Температурное поле на полусферических поверхностях контактных устройств

Вестник Челябинского государственного университета. 2010. № 12 (193). Физика. Вып. 7. С. 57-63.

ТЕПЛОФИЗИКА

А. В. Уланов, Л. Д. Загребин

ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ НА ПОЛУСФЕРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ КОНТАКТНЫХ УСТРОЙСТВ

В статье рассмотрены конструкции различных видов контактных устройств, тепловые явления, возникающие при контактировании. Исследуется температурное поле на полусферических поверхностях контактных устройств, так как во многих контактных устройствах присутствуют полусферические поверхности.

Ключевые слова: температурное поле, контактные устройства, полусферическая поверхность.

Соединение контакт-деталей можно осуществить двумя различными способами. При первом происходит прижатие контактов (стыковой контакт — рис. 1) и внешняя сила, управляющая перемещением упругих элементов, создающих нажатие, должна несколько превышать контактное нажатие. При втором — соединение происходит в результате бокового или продольного движения контактов (врубной или вставной

Он, = 0

контакт). В этом случае внешняя сила вызывает деформацию упругих элементов в результате движения штыря или ножа. На рис. 2 представлены конструкции различных видов контактных устройств. Как видно из рисунков, во многих контактных устройствах присутствуют полусферические поверхности.

Тепловые явления при контактировании. При протекании тока через контактное

к

и

н:

дв

і

к

к 2

за3

к

2

2.

а) б)

Рис. 2. Конструкции различных видов контактных устройств

устройство в месте контакта происходит выделение тепловой энергии и перегрев контакта по сравнению с температурой окружающей среды [1; 2].

Общая температура перегрева зависит от потерь в точках контактирования и в теле контакта при прохождении по нему тока, а также от температуры окружающей среды. Для иллюстрации на рис. 3 показана идеализированная конструкция контактного устройства, состоящего из двух цилиндрических контактов, соприкасающихся торцами. На рисунке видны две зоны перегрева, имеющие температуры перегрева АТК в точках контактирования и АТТ в теле контакта. Температуру перегрева тела контакта АТТ относительно температуры

окружающей среды АТокр можно представить как сумму

атт =ат;+ат; ,

где АТТ и АТТ" — температура перегрева

тела контакта, обусловленная мощностью, выделяемой на переходном сопротивлении

(/2ЯП), и мощностью, выделяемой на сопротивлении тела контакта при прохождении по нему тока, соответственно. Вывод

формулы для определения АТТ сложен.

Поэтому, опуская его, приведем выражение, полученное Хольмом [3]:

АТт =

Г_

4р

лкгкг ^ л * кт Ок )

где кТ — коэффициент теплопередачи с поверхности цилиндра длиной 1 см; БК — диаметр тела контакта; р — удельное электрическое сопротивление материала контакта; ХТ — его теплопроводность.

Расчет температуры перегрева АТК

также вызывает много трудностей ввиду сложной конфигурации поверхности контактирования. Выражение для определения АТК по Хольму:

АТК = 12К2п/8р'кТ . Результирующая температура в точках контактирования

АТК = Токр + АТТ + АТК ,

а в теле контакта

АТт = Токр +АТт .

Пользуясь приведенными выше выражениями, можно рассчитать температуры ТК и Тт . Во многих случаях, особенно для

Рис. 3. Идеализированная конструкция контактного устройства

контактных устройств сложной конфигурации, ТТ и Тк определяются экспериментально.

Температуры ТК и Тт определяются током, протекающим по контактному устройству. Эти температуры не могут превышать определенных значений, что приводит к ограничению допустимого тока [4]. Температура ТК ограничена тем, что при ее повышении активизируется процесс образования пленок. Допустимая температура тела контакта ограничена допустимой температурой для диэлектриков, используемых в конструкции, например: для пластмассы ТТ < 80 °С, для керамики ТТ < 200 °С. В зависимости от конструкции контактного устройства и используемых материалов максимальный ток ограничивается ТК или ТТ .

Температурное поле на поверхности полушара (полусферы). Теоретическое решение уравнения теплопроводности для полушара (полусферы) в общем виде достаточно сложно, поэтому в первом приближении рассмотрим теплоизолированную полусферу [5]. Пусть в полусфере 0 < г < Я в момент времени ^ = 0 в точке с координатами (0,0,0) происходит мгновенное выделение тепла ц.

Уравнение теплопроводности при отсутствии внутреннего тепловыделения имеет вид

— = аУ2Т, ді

где а =-

срР

— коэффициент температуро-

проводности.

Решая уравнение теплопроводности (5) [6] в сферических координатах

д [ гТ (г, і)] = а д 2[гТ (г, і)]

ді дг2 ’

с начальными і = 0; Т (г,0) = 0 и граничны-

дТ 0 дТ (

ми условиями — = 0; — = 0 (усло-

дг г=0 дг

г=Я

вие тепловой изоляции боковой поверхно-= 0 (условие отсутствия тепло-

, дТ сти); —

д0

вого потока на плоской поверхности) получим в безразмерных координатах относительную температуру [5]:

0-1

г п=0 Д п

Т

ЙЦ Д/ )ЄХр

где 0 = —рс кЯ — относительная темпе-Ч

т- аі гы ~ г

ратура, РО = — — число Фурье, г =--------------

Я Я

безразмерная координата, і — время, дп —

положительные корни характеристического уравнения:

Дпсі8Дп -1 = °.

Если источник тепла полусферический радиусом г1 < Я, то решение уравнения (7) в безразмерных координатах будет:

і да і . . . 2 о

01 = — X —2[п зт

гг1 п=0 Дп 2

где г1 =

Я

На рис. 4 показаны распределения относительных температур в зависимости от времени (Ро) для различных координат (г/Я) точечного и полусферического источников. Если относительный размер источника г < 0,1, то в рассматриваемых задачах полусферический тепловой импульс можно принять за точечный источник.

Исходя из выражений (7), (9), теплофизические свойства (ТФС) можно представить:

Р Я2

а = Ро1/2—; і1/2

с = 0тахЧо

р Т7

х =

Ттах КЯ-Р 0тах аЧ0

Ттах лЯ3р

В выражениях (10) входящие параметры (Роц2, 0шах) зависят от размера теплового источника (Г) и координаты (г). На рис. 4 также (вставка) представлены зависимости Ро1/2= У( Г) для точечного и полусферического источников. Отметим, что для точечного источника ¥о\п можно выразить как '-'2

Ро1/2 = 0,0726 Г в интервале координат г = 0,35^0,60.

к

Рис. 4. Распределение относительных температур в и вI в зависимости от ¥о для полусферического образца: сплошная кривая (в) — точечный источник; штриховая и точки (в;) — полусферический источник

В данной задаче длительность импульса не является бесконечно малой. Более точное решение уравнения теплопроводности в этом случае можно получить в виде разности решений для двух непрерывных точечных источников постоянной мощности, действующих с моментов г = 0 и г = г соответственно в точке г = 0 (г — длительность импульса). Для решения этой задачи положим, что поток подводимого тепла опреде-

ляется разностью двух ступенчатых функций ^(Г) и гьУ - г):

Ч

В случае, когда теплообменом на поверхности можно пренебречь (что достаточно легко достигается в экспериментальных условиях [8]), выражение, описывающее температурное поле от мгновенного полусферического источника радиусом г; и энергией Ц0 действующего в полушаре (полусфере) радиуса Я, имеет вид [8]:

т(г,г) =

_£с_

Рср

2 п2

лЯгг

I

1 п=0

д пя2

- ЙЦ д пГ) йп( д пГ1) ехр(-д ) +

2лЯ3

Интегрируя выражение (12) по времени, получим [9]:

Я = 7,000 мм, Г = 0,382; а = 0,18 см/с. Отметим, что при значениях 9 = 0,59тах и

Т(г,і) =

Ч0/ х рс кЯгг1

X

1+Д пЯ

2 Я2 вІП(Дпг) вІп(Дпг1 ) ЄХР [-Д2а(Тг - і)] + —ї

гі(і)Ш -

'і

-I

X

п=0

1+дпя2

2 г)2

дпя

вІп(Дпг) 8Іп(Дпг1) ехР [-Д2а(Х - і)] + -

^(і - х)^і} =

і — X1 + Д8Іп(Дпг) 8Іп(Дпг1) {ехР [-Д2а(і - х)] - ехР [-ДІаі]} -рсрКЯ I гг1 п=1 ДпЯ

3ах 2Я-

где Дп — положительные корни характеристического уравнения

ДпЯсг8ДпЯ -1 = °.

Первые шесть корней уравнения (14) табулированы, а остальные 30 корней вычислены при помощи специальной программы на ЭВМ РС. При г^ 0 решения (13) для распределения температуры при использовании импульса конечной длительности переходит в (12). Для точечного источника (г; ^ 0) выражение (13) запишется в следующем виде (15) [9]:

Ц0 / г |Я I 1 + д пЯ РСр лЯа [ г п=1

1

г = 0,382 измеряемое значение времени (15) отличаются не более чем на 2 %, а увеличение длительности импульса до 0,01с приводит к поправке, превышающей 15 % измеряемой величины. Для удобства вычисления ТФС по формуле (10) выразим (13) и (15) в относительных координатах и получим (16)-(17).

На рис. 5, а, б (вставки) показаны изменения ¥о\/2 от соотношения г/г1/2 при вышеуказанных параметрах мгновенного и сферического источников, исходящие из вы-

Т =

Д пя3

вІп(Д пг ) {ехР [-Д2 а(і - х) ] - ехР [-Д2 аі ]} -

3ах

2Я2

1 да 1 + д 2 Я 2

0(г, ро) = {— X —Я- вІп( Д пЯг ) вІп( Д пЯг1 )[ехР(-Д пя 2 ( Ро - Рох )) -

РОх гг1 п=1 ДпЯ

- ехР(-д2 я2 ро)]+2 Рох}

0(г, Ро) =

_Ь1 X 1+д2 Я2

Рох {г Д3пЯ

3 вІп

ах

где Рох = — число Фурье теплового импульса.

Расчет зависимости температуры от времени в соответствии с (13), (15) представлены на рис. 5. При расчете полагалось: г = 0,2 с; г1 = 4 мм; г/Я = 0,5; а = 0,15 см2/с; Я = 25 мм (рис. 5, а). Сравнение данной зависимости с соответствующей зависимостью для случая мгновенного источника показало, что использование последней приводит к ошибке примерно в 5 % при значениях температуропроводности, не превышающих 0,07 см2/с. На рис. 5, б представлены результаты для г = 0; 0,001; 0,01 с;

ражений (16), (17). Отметим, 9тах при этом не изменяется, а происходит только временное смещение его величины.

Предложенные термодинамические расчетные схемы позволяют моделировать процессы перегрева деталей контактных устройств, зависящие, в частности, от тока, протекающего по контактному устройству. Таким образом, с помощью представленных моделей можно рассчитывать допустимые и рабочие значения теплофизических и электрических параметров контактных устройств.

Рис. 5. Зависимость температуры от времени полусферического образца для случая, когда опорный сигнал имеет форму импульса конечной длительности

Список литературы

1. Бутковский, А. Г. Оптимальное управление электро механическими устройствами постоянного тока / А. Г. Бутковский, А. Ю. Чер-кашин. М. : Энергия, 1972. 112 с.

2. Разработка технических средств для неразрушающего контроля деталей и материалов контактных соединений / А. В. Уланов, В. Е. Лялин. Ижевск : ИжГТУ, 2006. Деп. в ВИНИТИ 28.02.06 № 198-В2006. 41 с.

3. Herrman, L. R. FEM Analysis of Contact Problems, J. of Eng. / L. R. Herrman Mech. Div. 1978. Vol. 104, Nr. 5. P. 1043-1057.

4. Ашавский, А. М. Силовые импульсные системы / А. М. Ашавский, А. Я. Вольперт,

В. С. Шейнбаум. М. : Машиностроение, 1978. 199 с.

5. Зиновьев, В. Е. Температуропроводность и теплопроводность твердого и жидкого олова / В. Е. Зиновьев, А. А. Баскакова, Л. Д. Загребин [и др.] // ИФЖ. 1973. Т. 25, № 3. С. 490-494.

6. Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков М. : Высш. шк., 1967. 599 с.

7. Лыков, А. В. Тепломассообмен : справочник / А. В. Лыков. М. : Энергия, 1978. 480 с.

8. Филиппов, Л. П. Измерение тепловых свойств твердых и жидких металлов при высоких температурах / Л. П. Филиппов. М. : Изд-во МГУ, 1967. 325 с.

9. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. М. : Наука, 1964. 488 с.

10. Загребин, Л. Д. Определение импульсным методом температуропроводности и теплопроводности полусферических образцов. Никель / Л. Д. Загребин, В. Е. Зиновьев,

B. А. Сипайлов // ИФЖ. 1981. Т. 40, № 5.

C. 864-869.