Сыпучая среда в вязкой жидкости при горизонтальных вибрациях

СЫПУЧАЯ СРЕДА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ВИБРАЦИЯХ

А. А. Иванова, А.Ф. Кузаев

Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Экспериментально исследуется формирование рельефа на поверхности песка в вибрирующей полости с вязкой жидкостью в зависимости от размера частиц. Обнаружено немонотонное изменение характеристик рельефа с повышением интенсивности вибраций, что связано с процессом постепенного ожижения сыпучей среды. В области низких безразмерных частот задача осложняется наличием гистерезиса в переходах сыпучей среды в ожиженное и квазитвердое состояния.

ВВЕДЕНИЕ

Горизонтальная кювета прямоугольного сечения, заполненная жидкостью и частично сыпучей средой (рис. 1), совершает горизонтальные поступательные колебания по гармоническому закону х = Ь соз(0/), где Ь и О - амплитуда и циклическая частота вибраций. В поле силы тяжести g в отсутствие вибраций сыпучая среда располагается ровным горизонтальным слоем на дне полости. При умеренном вибрационном воздействии песок и жидкость совершают твердотельное движение вместе с кюветой. По достижении критической интенсивности вибраций частицы на границе с чистой жидкостью приобретают подвижность - происходит ожижение верхнего слоя сыпучей среды. Порог ожижения характеризуется критическим значением вибрационного ускорения

Г = ЬО2/ g , экспериментальное значение которого составляет Г ~ 0.5 - 0.7 и слабо зависит от плотности окружающей среды: в воздухе и воде границы ожижения оказываются близкими [1, 2]. При дальнейшем повышении вибрационного ускорения толщина

© Иванова А. А., Кузаев А.Ф., 2003

ожиженного слоя песка постепенно нарастает [1], пока весь слой сыпучей среды не перейдет в ожиженное состояние.

I9

<-------------->

x=b cos Wt

Рис. 1. Схема слоя с песком (плотность р1) и жидкостью, h - высота рабочей полости, h1 - толщина слоя сыпучей среды в отсутствие вибраций

Рис. 2. Зависимость безразмерного волнового числа рельефа к = 2лк /1 от вибрационного параметра Ж = Ь202 /gh для некалиброванного кварцевого песка в воде

В системе отсчета колеблющейся полости слой ожиженного песка и слой чистой жидкости над ним совершают колебания в проти-вофазе под действием тангенциальной силы инерции. На границе раздела на поверхности песка формируется квазистационарный рельеф в виде регулярной пространственной системы двумерных холмов, ориентированных перпендикулярно оси вибраций [3]. Об-

разование рельефа связано с развитием неустойчивости Кельвина -Гельмгольца на границе встречных, в данном случае осциллирующих потоков.

Эффективным оказывается описание сыпучей среды как жидкости, которая характеризуется средней плотностью и не имеет поверхностного натяжения на границе с чистой жидкостью [3]. Ос-редненная динамика границы раздела такой "двухжидкостной" системы (длина волны рельефа, его высота) определяется параметром

Ж = Ь202 / gL (Ь - характерный размер полости), который имеет смысл энергии вибрационного воздействия на систему и является аналогом критерия Фруда.

Квазистационарный рельеф имеет динамическую природу: песок находится в полностью ожиженном состоянии, при отключении вибраций рельеф исчезает. Осредненная вибрационная динамика системы песок - жидкость аналогична динамике двух реальных жидкостей [4].

В [2, 3, 5] динамика сыпучей среды изучается в жидкости малой вязкости. В области умеренных Ж экспериментальные точки скользят вдоль теоретической нейтральной кривой (рис. 2), полученной из двухжидкостного описания осредненной динамики границы раздела [3]; длина волны рельефа монотонно возрастает с увеличением Ж . Экспериментальные точки на рис. 2 получены с частицами неправильной формы средним размером ё ~ 0.5 мм; сплошная линия - теоретическая пороговая кривая, ниже которой находится область устойчивости. Отсутствие минимума на пороговой кривой соответствует абсолютной неустойчивости тангенциальных разрывов [6].

В настоящей работе изучается поведение в вязкой жидкости сыпучей среды, состоящей из сферических калиброванных по размеру стеклянных частиц, при горизонтальных вибрациях кюветы.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Кювета изготовлена из плексигласа, рабочая полость прямоугольного сечения имеет размеры 4.0х 2.0х14.8 см3 (рис. 1). В качестве сыпучей среды используются сферические стеклянные частицы плотностью г = 2.6 г/см3 различного диаметра:

ё = 0.06 ± 0.01, 0.09 ± 0.01, 0.22 ± 0.02 и 0.36 ± 0.03 мм. Высота слоя сыпучей среды во всех опытах приблизительно одинакова и в отсутствие вибраций составляет hl / h = 0.46 ± 0.01 (h - высота полости). Опыты проводятся с водой и водоглицериновыми смеся-

ми вязкостью V »12 и 36 сСт. Средняя плотность сыпучей среды, насыщенной водой, вблизи порога ожижения составляет Г ~2 г/см3, по мере разрыхления песка плотность понижается.

Методика эксперимента соответствует [3] (см. также [4]). Слой заполняется сыпучей средой, дополняется жидкостью и в отсутствие воздушной фазы в горизонтальном положении укрепляется на вибраторе. Амплитуда и частота продольных вибраций варьируются в интервале / = 0 -100 Гц, Ь = 0 - 30 мм (частота измеряется с точностью 0.01 Гц, амплитуда измеряется с экрана монитора при обработке видеозаписи с точностью 0.1 мм).

Форма границы раздела изучается методом видеорегистрации, наблюдения проводятся в стробоскопическом освещении со стороны боковой и верхней границ полости. В ходе отдельного опыта при постоянной амплитуде вибраций повышается частота и определяется пороговое значение частоты, при которой появляется рельеф (появление рельефа фиксируется при визуальном наблюдении). Кроме того, в вязкой жидкости определяется критическое значение частоты, при которой сыпучая среда вновь переходит в квазитвердое состояние.

Опыты проводятся при различных значениях амплитуды вибраций, вся последовательность повторяется при изменении сыпучей среды или жидкости. В надкритической области регистрация рельефа осуществляется при пошаговом изменении частоты.

2. ПОРОГ ОЖИЖЕНИЯ

Как только верхний слой сыпучей среды приобретает подвижность, частицы начинают взаимодействовать друг с другом, образуя правильные регулярные двумерные структуры в виде холмов, ориентированных перпендикулярно оси вибраций. Поэтому порог ожижения может быть легко определен по первым признакам рельефа.

На рис. 3 приведены пороговые кривые, построенные для различных по размеру зерен сыпучих сред и разных жидкостей. В случае воды пороги появления рельефа для различных сыпучих сред совпадают (знаки 1-4). Линия I проведена по пороговым точкам и отмечает границу ожижения. С повышением вязкости жидкости (знаки 5) порог ожижения сыпучей среды повышается (линия II), в переходах наблюдается гистерезис; область гистерезиса находится между границами ожижения II и перехода сыпучей среды в "твердое" состояние при понижении интенсивности вибраций (II').

Рис. 3 Пороговые кривые для сыпучей среды ё = 0.06

Рис. 4. Зависимость порогового значения ускорения Г = ЬО2 / g от частоты вибраций (Ой = Оё2 / V ; обозначения 1-4 соответствуют рис. 3, 5 и 6 - V = 12 и 36 сСт: светлые знаки - ожижение сыпучей среды, темные - переход в твердое состояние; заштрихованы области гистерезиса

В рассмотренных выше случаях пороговые значения амплитуды и частоты связаны между собой соотношением / ~ Ь~2, т.е. граница ожижения определяется критическим значением безразмерного вибрационного ускорения Г ° ЬО2/ g (штриховая линия I соответствует значению Г » 0.7 ).

На рис. 4 пороговые точки представлены на плоскости безразмерной частоты вибраций (Ой = Оё2 /V и ускорения Г . При (Ой > 0.1 порог ожижения с частотой изменяется незначительно (кривая I) и составляет Г » 0.7 . В области частот (Ол < 0.1 с понижением частоты граница ожижения повышается (кривые II и III), возвращение сыпучей среды в квазитвердое состояние происходит с гистерезисом; область гистерезиса расширяется с увеличением вязкости. Нижняя граница гистерезиса (темные знаки) близка к кривой I, отмечающей границу ожижения песка в случае маловязких жидкостей.

3. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЙ РЕЛЬЕФ

При касательных к границе раздела сред вибрациях тонкий слой сыпучей среды вблизи границы раздела переходит в ожиженное состояние. Развивающийся при этом рельеф представляет собой регулярную систему холмов, ориентированных перпендикулярно оси вибраций, и имеет сравнительно большой период (рис. 5 а, е). С повышением интенсивности вибраций высота холмов повышается, период (длина волны) в зависимости от размера частиц изменяется по-разному. В случае мелкой сыпучей среды (ё ~ 0.1 мм) длина волны рельефа сначала понижается (рис. 5 б), затем нарастает (рис. 5 в, г). С увеличением высоты рельефа холмы объединяются в пары (рис. 5 д), т.е. наблюдается удвоение пространственного периода. В отличие от немонотонного изменения с интенсивностью вибраций длины волны в крупнозернистом песке (ё ~ 0.22 мм и более) также реализуется рельеф с достаточно большим периодом, который, однако, с повышением интенсивности вибраций нарастает (рис. 5 е-з).

Надкритическая осредненная динамика сыпучей среды претерпевает ряд изменений с понижением безразмерной частоты (напомним, что помимо вязкости жидкости частота определяется характерным размером сыпучей среды).

Рис. 5. Вид рельефа для сыпучей среды ё = 0.09

1.6

1.2

1,см

0.6

0.0

V 1

д 2

* Т О 3

$

/тШ * 5

а ^

0

40

25

0.8

0.0

1

А 2

V 3

. 0 4

0 5

б X 6

80

30

X 1  2 О 3 А 4 Ф 5

* 6

в

60

V 1 О 2 03 ^ Х4 А 5

г * 6 * 7

50

0

15 /Гц 30

Рис. 6. Зависимость длины волны от частоты (сыпучая среда в воде): (а) - ё = 0.06 мм, амплитуда вибраций Ь = 0.06, 1.75, 5.0 и 7.2 мм (знаки 1-4); (б) - ё = 0.09 мм, Ь = 1.6, 2.5, 5.6, 7.7, 9.3 и 11.1 мм (1-6); (в) - ё = 0.22 мм, Ь = 1.4, 3.3, 3.4, 5.9 и 7.6 мм (1-5); (г) - ё = 0.36 мм, Ь = 2.0 , 2.8, 3.5, 5.2, 8.8 и

11.5 мм (1-6). На фрагментах а, в и г точками 5, 6 и 7 отмечены пороги возникновения рельефа; другие темные знаки соответствуют случаю, когда рельеф достигает верхней границы полости

0

0

2

2

1

1

0

0

То, что в мелкозернистом песке непосредственно после появления рельефа (ожижения верхнего слоя сыпучей среды) длина волны сначала уменьшается с частотой вибраций (рис. 5 б), и лишь затем начинает нарастать (рис. 5 в—г), а с уменьшением размера частиц область первой фазы увеличивается, можно объяснить следующим. Данная фаза соответствует области постепенного увеличения толщины ожиженного слоя сыпучей среды (это предположение следует из наблюдений). Чем больше толщина слоя сыпучей среды в калибрах (чем меньше размер частиц в полости заданного размера),

тем большее ускорение необходимо для ожижения всей массы песка. В этом случае экстремум на кривых рис. 6 соответствует ожижению сыпучей среды по всей ее толщине.

1.2

a,см

0.6

0.0

X 1

А А 2

Г 0 3

V 4

./а

0

40

1.6

0.8

0.0 80 0

X 1

б

15 f Гц 30

Рис. 7. Зависимость высоты холмов а от частоты для сыпучей среды ё = 0.06

С повышением интенсивности вибраций размер холмов, длина волны и высота (рис. 7) продолжают монотонно увеличиваться до тех пор, пока вершины холмов не достигнут верхней границы полости (близкое к этому состояние показано на рис. 5 з). Это приводит к качественному изменению зависимости длины волны рельефа от вибрационного параметра (см. темные знаки на рис. 6). На рис. 7 видно, что высота холмов продолжает нарастать, но уже за счет увеличения глубины впадин между ними. В случае мелких частиц и вязких жидкостей возможно формирование разделенных слоями чистой жидкости холмов, полностью перекрывающих канал.

4. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

В соответствии с [3] анализ осредненной динамики сыпучей среды в жидкости проведем с позиции вибрационной динамики двух несмешивающихся жидкостей. Теоретическая граница устойчивости - нейтральная кривая, выше которой находится область опасных длин волн, отмечена кривой 2 (рис. 8), которая построена для случая, когда отношение плотностей ожиженной сыпучей среды и чистой жидкости составляет р° р8 / рь » 2 , слои имеют одинаковую толщину, поверхностное натяжение отсутствует. При этом порог устойчивости определяется формулой [2]:

Ж*=

2р(р-1) к '

Поскольку разрыхление сыпучей среды может зависеть от расстояния до границы раздела, кривая 2 имеет оценочный характер. Точки, полученные в опытах с мелкими частицами, при различных амплитудах хорошо согласуются между собой на нисходящих участках экспериментальных кривых и располагаются параллельно теоретической кривой 2 (рис. 8 а).

Проанализируем закономерность изменения волнового числа с параметром Ж вблизи порога ожижения. Какова природа постепенного увеличения волнового числа с ростом Ж сразу после перехода верхней границы сыпучей среды в ожиженное состояние? В [7] получено выражение для пороговой кривой в горизонтальном канале с произвольным соотношением толщины слоев жидкостей (изучается осредненная динамика границы раздела двух реальных жидкостей). В применении к рассматриваемой задаче (отсутствие поверхностного натяжения на границе раздела "ожиженный песок -чистая жидкость") и в приближении больших к, когда длина волны мала по сравнению с толщиной слоев жидкости, нейтральная пороговая кривая имеет вид:

Ж =

2р(р-1)(1 + %)2 к '

Здесь % - отношение толщины ожиженного слоя песка к толщине слоя чистой жидкости над ним. Предельному случаю - самое начало процесса ожижения - соответствует % << 1, и выражение (4.2) преобразуется:

Ж =

2р(р-1) к

Пороговая кривая 1 (рис. 8) рассчитана по формуле (4.3), она находится ниже кривой 2, рассчитанной по (4.1) для % = 1.

Таким образом, при некотором заданном значении вибрационного параметра Ж волновое число, соответствующее границе устойчивости, монотонно нарастает по мере ожижения сыпучей среды. Это заключение хорошо согласуется с экспериментальными результатами, которые показывают, что:

а) непосредственно вблизи порога ожижения при малых амплитудах вибраций экспериментальные точки группируются вблизи кривой 1 (рис. 8);

1000

к

100

10

100

к

10

1

0.1 1 w

Рис. 8 г. Зависимость волнового числа к = 2лк /1 от вибрационного параметра Ж : кривые 1 и 2 - теоретические границы устойчивости, построенные по двухжидкостной модели для

С ° кх/ Н2 << 1 (1) и С = 1 ( - толщина слоя ожиженного

песка, Н2 - толщина слоя чистой жидкости), линия 3 - экспериментальный порог ожижения; обозначения точек соответствуют рис. 6 а, б

\2 г\ Ж  О > <|

N. \ /

а

100

к

10

1

100

к

10

1

0.1 1 W

Рис. 8 гг. Зависимость волнового числа от параметра Ж (см. рис.8 г), обозначения точек соответствуют рис. 6 в, г

б) с увеличением амплитуды вибраций, чему соответствует понижение вибрационного ускорения при заданном Ж и, как следствие, уменьшение толщины ожиженного слоя, происходит сдвиг кривых в область меньших значений к ;

в) в процессе постепенного ожижения с увеличением Ж волновое число уменьшается.

Из сказанного следует, что немонотонный характер зависимости длины волны рельефа от вибрационного параметра вблизи порога ожижения сыпучей среды объясняется постепенным увеличением толщины ожиженного слоя при повышении Ж . Экстремум на кри-

V N  1 О 2 + 3 А 4 О 5

в 2\

вых к (Ж) характеризует точку перехода в ожиженное состояние всей сыпучей среды. Длина участка (до экстремума), на котором период рельефа понижается, определяется толщиной слоя песка в калибрах. Этим объясняется отсутствие такого участка в случае крупных частиц [3, 2] и его увеличение с уменьшением размера частиц, обнаруженное в настоящей работе.

0 6 Г 12

Рис. 9. Зависимость высоты рельефа в единицах его периода от безразмерного ускорения для частиц ё = 0.22 (1) и 0.36 мм (2); амплитуды вибраций - различные

В надкритической области в случае мелких частиц ё < 0.1 кривые согласуются (рис. 8 а, б). В случае крупных (ё = 0.36 мм, рис. 8 г) в области больших Ж наблюдается расслоение кривых с амплитудой вибраций. Это может быть связано с изменением относительной толщины и плотности сыпучей среды вследствие ее разрыхления.

На рис. 9 показана относительная высота рельефа а /1 в зависимости от безразмерного ускорения. Построенные для различных

амплитуд вибраций кривые на данной плоскости согласуются между собой. Параметр а 1 характеризует тангенс угла наклона холма (его склона). Следовательно, вибрационное ускорение определяет не только порог ожижения, но и данную характеристику (крутизну склона) вибрационных структур. Возвращаясь к границе ожижения, отметим, что она может быть найдена по порогу возникновения рельефа методом экстраполяции кривой а 1 на ось Г .

Рис. 10. Зависимость высоты рельефа в единицах толщины слоя от вибрационного параметра Ж для ё = 0.06 (1), 0.09 (2), 0.22 (3) и 0.36 мм (4); амплитуды вибраций различные

На рис. 10 показана зависимость безразмерной высоты рельефа от вибрационного параметра Ж для различных по размеру зерен сыпучих сред и различных амплитуд вибраций (единицей измерения высоты рельефа служит высота полости). Результаты, полученные при разных параметрах, за исключением самых мелких частиц (знаки 1) вполне удовлетворительно согласуются между собой, демонстрируя линейную зависимость высоты рельефа от параметра

W . Линейный характер зависимости следует из определения вибрационного параметра W , который, как известно, характеризует отношение кинетической и потенциальной энергии системы.

Заключение. Изучена динамика сыпучей среды, состоящей из калиброванных сферических частиц, в вязкой жидкости при горизонтальных вибрациях полости. Показано, что в области безразмерных частот ú)d > 0.1 порог ожижения сыпучей среды наступает при ускорении Г » 0.7 . При частотах ú)d < 0.1 в переходах сыпучей среды в ожиженное состояние и обратно обнаружен гистерезис, глубина которого возрастает с понижением безразмерной частоты.

Показано, что в случае мелких частиц зависимость длины волны от вибрационного параметра W имеет немонотонный характер, уменьшение длины волны с повышением W вблизи порога ожижения связано с постепенным переходом сыпучей среды в ожиже-ное состояние по всей ее толщине. Характер зависимости изменяется по завершении процесса ожижения (1 возрастает с W ).

Обнаружено, что вибрационное взаимодействие частиц друг с другом в пределе низких безразмерных частот приводит к изменению формы квазистационарного динамического рельефа: наряду с основной длиной волны проявляется мода с вдвое большим пространственным периодом, при этом холмы разбиваются на пары.

Работа выполнена при частичной поддержке совместной программы CNRS-РФФИ (грант PICS № 1170 / РФФИ 01-01-22005 НЦНИ-а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Tennakoon S.G.K., Kondic L., Behringer R.P. Onset of flow in a horizontally vibrated granular bed: Convection by horizontal shearing // Europhys. Letters. 1999. V. 45. № 4. P. 470-475.

2. Иванова А А., Козлов В.Г. Граница раздела песок-жидкость при вибрационном воздействии // Изв. РАН, МЖГ. 2002. № 2. С. 120-138. (Переведено: Fluid Dynamics. 2002. V. 37. № 2. P. 277-293).

3. Kozlov V.G. Experimental investigation of vibrational convection in pseudoliquid layer // Proc. 1st Int. Symp. on Hydromech. and Heat/Mass Transfer in Microgravity. Perm-Moscow, Russia, 1991. Gordon & Breach science publishers, Amsterdam, 1992. P. 57-61.

4. Иванова А.А., Козлов В.Г., Эвеск П. Динамика границы раздела несмешивающихся жидкостей при горизонтальных вибрациях

// Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 3. С. 28-35. (Переведено: Fluid Dynamics. 2001. V. 36. № 3. P. 362-368).

5. Ivanova A., Kozlov V., Evesque P. Patterning of liquefied sand surface in a cylinder filled with liquid and subjected to horizontal vibrations // Europhys. Letters. 1996. V. 35. № 3. P. 159-164.

6. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

7. Иванова А А., Козлов В.Г., Ташкинов С.И. Динамика границы раздела несмешивающихся жидкостей при поляризованных по кругу вибрациях (эксперимент) // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 6. С. 21-30. (Переведено: Fluid Dynamics. 2001. V. 36. № 6. P. 871-879).

GRANULAR MATTER IN VISCOUS LIQUID AT HORIZONTAL VIBRATIONS

A.A. Ivanova, A.F. Kuzaev

Abstract. Formation of relief on the surface of granular matter in vibrating cavity with viscous fluid is explored experimentally depending on the size of particles. The non monotonous change of the relief characteristics with increase of vibration is revealed, that is bound to the process of gradual sand liquefaction. In the area of low dimensionless frequencies the problem is complicated by the presence of hysteresis in transitions of granular matter in liquefied state and solid one.