Синтез контура магнитного управления плазмой токамака с учетом особенностей системы питания

УДК 519.711

0. И. Гончаров1

СИНТЕЗ КОНТУРА МАГНИТНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПЛАЗМОЙ ТОКАМАКА С УЧЕТОМ ОСОБЕННОСТЕЙ СИСТЕМЫ ПИТАНИЯ*

В статье рассматривается задача управления положением и формой плазмы в то-камаке. Хотя существует большое число работ, посвященных данной задаче, большинство из них при синтезе регулятора используют относительно простые модели системы питания, играющей роль исполнительного устройства. Даже при моделировании полная модель электропитания используется довольно редко. Предлагается математическая модель одного из основных элементов системы питания — тиристорного преобразователя — в виде системы с переключениями. Описывается алгоритм управления на основе прогнозирующей модели. Для модельной системы проводится численное моделирование его работы.

Ключевые слова: токамак, стабилизация плазмы, тиристорные преобразователи, гибридные системы, системы с переключениями, управление с прогнозирующей моделью.

1. Введение. В настоящее время токамаки являются наиболее перспективными установками для осуществления управляемой термоядерной реакции с положительным выходом энергии. С момента создания первой установки в 1956 г. токамаки претерпели значительную эволюцию. Непрерывно росли достигаемые температуры, время удержания плазмы. В современных установках отношения полученной на выходе энергии к поданной на вход достигает значений, близких к единице. Строящийся токамак ITER должен продемонстрировать техническую возможность поддержания длительных термоядерных реакций. Второй возможный путь применения токамаков состоит в использовании их в качестве источников нейтронов, что должно позволить решать задачи наработки ядерного топлива и переработки отходов для тепловых реакторов деления.

Конструктивно токамак представляет собой тороидальную вакуумную камеру, внутри которой находится разогретая плазма (водородная, дейтеривая или дейтерий-тритиевая). Плазма разогревается за счет текущего по ней кольцевого тока, сжатия ее магнитным полем, также применяются системы дополнительного нагрева за счет впрыска в плазму нейтральных частиц и использования высокочастотного электромагнитного излучения на различных резонансных частотах плазмы. Когда плазма касается стенок камеры, происходит потеря энергии, поэтому в работающей установке плазменный шнур должен быть отделен от них. Для обеспечения этого используется магнитная система, создающая поле сложной конфигурации, которое удерживает плазму в нужном положении.

Математическое моделирование работы такой системы — крайне сложная задача [1, с. 65-70; 2]. Поведение идеальной плазмы в магнитном поле описывается уравнениями магнитной гидродинамики, соответствующие процессы называются магнито-гидродинамическими, или МГД процессами. Характерное время их течения мало и составляет величины порядка 10~6-10~4 с. Посредством электромагнитного поля плазма взаимодействует с элементами камеры и магнитной системой токамака, представленной центральным соленоидом (создает ток в плазме), катушками тороидального поля (создают продольное магнитное поле) и катушками полоидального поля (участвуют в управлении формой и положением плазмы). Здесь процессы могут идти так же быстро, как в плазме (например, скин-эффект, возникающий в стенках камеры), так и относительно медленно (изменение силы тока в катушках) с характерными значениями времени 10-3-10-2 с.

Для построения реалистичных моделей поведения плазмы требуется учитывать различие масштабов времени для разных процессов, массу особенностей конструкции и неидеальностей. Проблема различия масштабов времени может быть преодолена путем перехода к моделям равновесия для быстрых процессов. Очевидно, что это можно сделать, только если они устойчивы. Для упрощения задачи используются различные симметрии, широко применяется усреднение. Для моделирования отдельных эффектов часто применяются эмпирические законы, полученные из анализа

1 Факультет ВМК МГУ, мл. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: goncharovoiQyandex.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке проектов РФФИ № 14-07-00483/14, РФФИ № 14-07-00912/14, НШ-4179.2014.9.

Рис. 1. Поперечный разрез камеры строящейся установки Т15М, черными прямоугольниками показаны полоидальные катушки РГ1-РГ6 и секции центрального соленоида С81-С83, стенки камеры, играющие роль пассивной части магнитной системы, изображены черными линиями

накопленных экспериментальных данных. Разработаны специализированные пакеты программного обеспечения, предназначенного для моделирования процессов в токамаках, например DINA [3], PET (Россия) [4], CREATE (Италия) [5] и др. Одно из основных предназначений этих пакетов — расчет сценария разряда.

Сценарий разряда плазмы в токамаке описывает, как для достижения заданных характеристик плазмы должны меняться во времени различные параметры работы токамака. Этот сценарий определяет, как изменяется ток в катушках магнитной системы, устанавливает моменты включения и режимы работы систем дополнительного нагрева, задает прочие параметры работы установки. Выполнению сценария на реальной установке препятствуют различные неустойчивости и неопределенные факторы. Часть из этих неустойчивостей подавляется за счет конструкции камеры и конфигурации магнитных полей (в первую очередь это неустойчивости МГД процессов, которые не могут быть стабилизированы иным способом), другая часть неустойчивостей (вертикальное и горизонтальное смещение плазмы, ее форма, возмущения малого срыва) может быть стабилизирована за счет активных обратных связей в системе управления токами катушек магнитной системы токамака.

Магнитная система не может рассматриваться полностью независимо от системы питания токамака, которая сама по себе достаточно сложна [6]. Это обусловлено необходимостью подводить к установке значительную мощность. Так, энергия, накопленная в магнитной системе, достигает величин в несколько ГДж (планируется 40 ГДж для ITER), мощность, потребляемая от сети, составляет сотни МВт. Система питания обычно включает несколько электрических трансформаторов, накопители энергии, модуляторы различных типов (на тиристорных ключах, на мощных транзисторах и т. п.), системы коммутации и защиты и т. п.

Данная работа посвящена исследованию задачи управления положением (формой) плазмы и токами в катушках магнитной системы. Хотя существует значительное число работ по этой тематике, в большинстве из них при синтезе регуляторов используются относительно простые, как правило, непрерывные модели исполнительного устройства, подающего напряжение на катушки магнитной системы. В этой работе предлагается алгоритм формирования управления для одного из вариантов такого исполнительного устройства — 6-пульсного тиристорного преобразователя.

2. Математическая модель магнитной системы токамака. Если предположить, что плазма находится в равновесии (переходные МГД процессы завершились) и магнитные поля аксиально симметричны, то можно перейти к модели, в которой токамак рассматривается как набор

замкнутых проводящих контуров. Один из них представляет кольцевой ток плазмы, остальные — катушки магнитной системы и кольцевые токи в элементах конструкции камеры. Такая система после линеаризации может быть описана при помощи матрицы взаимных индуктивностей и значений сопротивлений отдельных контуров. Рассмотрим так называемую стационарную (основную) стадию разряда, когда все основные параметры плазмы (ток, температура, плотность и др.) достигают максимума и меняются слабо. При исследовании этой стадии допустимо предположить, что ток плазмы постоянен, а форма неизменна. Для разрядов с вытянутым сечением шнура (токамаки с большим аспектным отношением, например ITER) наиболее опасным является сдвиг плазмы по вертикали как единого целого. Такое смещение описывается моделью твердого сдвига [7, 8]:

L

R

= -W(t)i-

С = -W

т

где /„ и /, — векторы токов в активных (управляемых катушках) и пассивных (корпус) элементах, £ — вертикальное смещение плазмы относительно желаемого положения, L — симметричная матрица взаимных индуктивностей, R — диагональная матрица сопротивлений, W(t) — вектор параметров, определяющих, как магнитное поле, создаваемое токами, влияет на положение плазмы (отметим, что W(t) зависит от сценария). Обычно размерность такой системы составляет 30120 уравнений, размерность управления U равна числу независимо управляемых активных проводников (катушек полоидального поля магнитной системы токамака), которых обычно не больше 10. Характерные значения времени течения процессов составляют 10~3-10-1 с.

Существуют более сложные модели, включающие ток плазмы, радиальное смещение шнура, параметры формы плазмы, но общая структура уравнений сохраняется. Могут быть добавлены дополнительные входы для имитации воздействия различных возмущений.

Параметры W(t) меняются медленно по сравнению со скоростью характерных процессов в системе (1), поэтому для "стационарной" стадии разряда их можно считать постоянными: W(t) = const, что позволяет привести систему (1) к стандартной форме

х — Ах ~f" BU, у — Сх^

где в качестве вектора состояния х берутся силы тока , , входом являются напряжения II. Выходной вектор у включает измеряемые величины: силу токов в активных проводниках 1а (измеряются непосредственно) и параметры, определяющие форму и смещение плазмы (оцениваются на основе измерений магнитного поля).

Для простоты дальнейшие рассуждения будут проводиться для модели со скалярным входом. В этом случае мы будем использовать для его обозначения строчную букву и.

3. Модель исполнительного устройства. Для непосредственной подачи напряжения на обмотки катушек полоидального поля могут использоваться два типа устройств [6, гл. 6-9]: выпрямитель в паре с инвертором на транзисторных ключах или запираемых тиристорах либо тири-сторный преобразователь.

Инверторы формируют сигнал с широтно-импульсной модуляцией, частота дискретизации может быть выбрана достаточно произвольно (она ограничена сверху временем переключения ключей). Такая система наиболее предпочтительна с точки зрения простоты решения задачи управления, так как при выборе малого периода дискретизации она обладает малыми задержками и может быть легко заменена линейной моделью. Однако инверторная система питания сложнее и дороже тиристорной, поэтому обычно ее используют для формирования напряжения только в одном канале управления, отвечающем за вертикальную стабилизацию плазмы, где необходимо максимальное быстродействие.

Тиристорный преобразователь формирует на выходе участки напряжения, меняющиеся по синусоидальному закону. Частота дискретизации жестко связана с частотой сети электропитания и составляет 300 Гц для 6-пульсной схемы. Также возникает ряд особенностей, связанных с несимметричностью преобразователя: задержки, ограничение на скорость уменьшения выходного напряжения.

Рассмотрим работу 6-пульсного тиристорного преобразователя (рис. 2). На входы А, В, С подается трехфазный переменный ток. Тогда значения напряжения между ними будут изменяться

'ас

Рис. 2. Принципиальная схема тиристорного преобразователя (6-пульсная схема): на вход подается трехфазный ток, на выходе — напряжение и

Рис. 3. Пример работы тиристорного преобразователя: вверху показаны открытые в каждом состоянии тиристоры, внизу — моменты естественного открывания

следующим образом:

UAb = Uo cos (wt + ^ , Uас = cos (wt + ^ - ^ , UBc = cos ^ut + ^ - ^pj ,

uba = -uab, t^ca = -uac, ucb = ~ubc-

где о; — круговая частота напряжения, t — время, сдвиг 7г/6 введен для удобства дальнейших выкладок. Также удобно будет ввести приведенное время р = out.

Работа тиристорного преобразователя достаточно подробно описана в [9]. Тиристор открывается, если на него подается управляющий импульс и напряжение на нем выше, чем напряжение на нагрузке U. Закрытие тиристора происходит, когда на него подается отрицательное напряжение либо ток через него падает до нуля. В токамаке из-за высокой индуктивности нагрузки тиристор-ные преобразователи работают в режиме непрерывного тока (в противовес режиму прерывистого тока) и ток никогда не становится нулевым, поэтому тиристор может закрыться только тогда, когда открывается другой, на плече которого напряжение больше. В любой момент открыта пара тиристоров: один в верхнем плече, другой — в нижнем (рис. 2).

В теории тиристорных преобразователей обычно рассматривают только так называемый естественный порядок переключений, при котором импульсы подаются на тиристоры в порядке VS1, VS2, VS3, ..., VS6, VS1, VS2 и т. д. Управление тиристорным преобразователем происходит за счет назначения угла задержки а (в приведенном времени р он численно совпадает с задержкой) между временем естественного открывания тиристора и управляющим импульсом. Время естественного открывания тиристора определяется моментом, когда напряжение на нем становится больше, чем на любом другом тиристоре в верхнем или нижнем плече преобразователя соответственно. Значение угла задержки не может превышать 7г, так как большие значения приводят к нарушению естественного порядка переключений.

Графически процесс работы тиристорного преобразователя изображен на рис. 3. Время естественного открывания здесь будет: pi = —тг/З (для тиристора VS1), р2 = О (VS2), р% = 7г/3 (VS3), ..., рб = 47г/3 (VS6), рг = 57г/3 (снова VS1), pg = 2тг (VS2) и т. д. Действительно, например, для тиристора VS2 в момент времени р2 (открыт VS1 на верхнем плече и VS6 на нижнем) напряжение UyS2 = Ujy — Uc = Uас~U стало больше, чем ?7vs6 = Un~Ub = Uab~U или ?7vs4 = Un — Ua = —U, поэтому, получив управляющий импульс, VS2 может открыться. На рис. 3 тиристор VS2 получил управляющий импульс в момент р2 = р2, соответствующий времени его естественного открытия. В результате он открылся, а тиристор VS6 закрылся. Управляющий импульс для тиристора VS3 пришел в момент времени р% с задержкой аз = Рз ~ Рз, произошло переключение с VS1 на VS3,

что соответствует на графике переходу с кривой Uac на Ubc, соответствующим образом меняется выходное напряжение преобразователя U. На рис. 3 также хорошо видно, что угол задержки а3 не мог превысить 7г, так как с момента времени 4тг/3 = рз + ж переключение с VS1 на VS3 станет невозможным (Uac станет больше Ubc) и естественный порядок переключений будет нарушен либо придется пропустить один период колебаний тока.

Если считать угол задержки постоянным (или меняющимся медленно по отношению к длительности периода дискретизации), то несложно провести усреднение по времени, среднее значение выходного напряжения

U = Uq cos

где Uq = Шо/тт [9, с. 14]. На основе этой формулы по желаемому напряжению на выходе преобразователя формируется значение угла задержки а. Очевидно, что такая модель не учитывает многие особенности преобразователя: дискретизацию по времени, импульсный характер управления, задержку при подаче импульса на длительность а, ограничения на скорость уменьшения значения на выходе. Поэтому при моделировании к уравнению (3) часто добавляют задержку и ограничения на скорость роста выходного сигнала [10, 11]. Указанные эффекты не вызывают проблем при управлении медленными процессами, однако в нашем случае скорость характерных процессов в токамаке сравнима с длительностью периода дискретизации.

На основе вышесказанного построим модель тиристорного преобразователя для естественного порядка переключений. Введем понятие дискретного состояния тиристорного преобразователя q как целого числа, принимающего значения от 0 до 5:

geQ = {0,l,...,5}.

Значение дискретного состояния системы q однозначно определяет пару открытых тиристоров. Будем считать, что состоянию q = 0 соответствует пара VS1 и VS2, состоянию q = 1 — пара VS3 и VS2 и т. д. в естественном порядке переключений. Тогда процесс эволюции дискретного состояния описывается выражением

Чк+i = Чк + 1

Значение напряжения на выходе в дискретном состоянии q будет

U

Пусть переключение между дискретными состояниями qk-\ и qк происходит в момент времени тк. Последовательность моментов переключений г = (ti, т2, т3, ...) должна удовлетворять условию

г G Т = {

где fk = Тк — моменты естественного открывания тиристоров, а Т = ^ — период дискретизации тиристорного преобразователя. Выражение тк ^ представляет условие монотонности последовательности моментов переключений, а условие тк G [fk,fk + ЗТ) отражает то, что угол задержки по отношению к моменту естественного открывания тиристора может меняться только в диапазоне от 0 до тт. Заметим также, что ограничение тк G [fk,fk + ЗТ) можно напрямую получить из неравенства /Як_1(тк) < /Як(тк), которое фактически является условием возможности переключения из состояния qk-\ в qk в момент времени тк.

Уравнения (4)-(6) описывают модель 6-пульсного тиристорного преобразователя в непрерывном режиме при естественном порядке переключений, управлением является последовательность моментов переключения г = (т\, тг, тз,...), множество допустимых управлений ограничено множеством Т из выражения (7). Если дополнить эту модель уравнениями, описывающими объект управления (2), то получим систему

х = Ах + Bfqk (t) при t G [тк; Tfc+i], Чк+i = Чк + 1 (mod6), г = (ti,t2, ...) G T, r0 = tQ,

где ¿о и д0 — начальный момент времени и начальное дискретное состояние преобразователя, соответственно. Для удобства будем записывать систему (8) в сокращенном виде

х = Ах + д

где <й0,«о(^т) = Як при г € [тк;тк+1].

Уравнение (8) (или (9)) описывает систему с переключениями с непрерывным вектором состояния х{Ь) и дискретным состоянием Системы с переключениями (или системы с переменной структурой) являются подтипом гибридных систем, отличающихся более простой динамикой дискретного состояния [12]. В нашем случае управление задает только моменты переключений между дискретными состояниями, но при этом сама последовательность состояний фиксирована, поэтому систему (8) можно классифицировать точнее как автономную аффинную нестационарную систему с управляемыми переключениями [12].

Построенная модель тиристорного преобразователя и его нагрузки не является абсолютно точной. Здесь не учитываются неидеальности работы тиристоров (падение напряжения, время переключения) и источника питания. Например, в качестве источника питания для схемы, приведенной на рис. 2, часто выступают трехфазные трансформаторы, индуктивность обмоток которых вызывает временные задержки при переключениях тиристоров. Применимость этой модели также ограничена предположением непрерывного режима работы преобразователя, т. е. ток через него не должен падать до нуля.

4. Управление с прогнозирующей моделью. При синтезе управления для модели с переменой структурой (9) возникают две основные проблемы.

• Сама по себе задача управления системы с переключениями достаточно сложна. Это во многом связано с ее нелинейностью, а применение метода усреднения для линеаризации (по аналогии с широтно-импульсной модуляцией [13]) затруднено из-за сложной формы импульсов.

• При синтезе управления для непрерывной системы (2) приходится учитывать массу различных дополнительных ограничений и требований (подавление постоянно действующих помех и импульсных возмущений, ограничения на амплитуду и энергию управления и т.п.). Существует большое число работ, посвященных управлению формой и положением плазмы, где модель магнитной системы имеет вид (2) (см., например, [10, 14]).

Предлагаемый подход позволяет обойти эти затруднения за счет применения управления с прогнозирующей моделью. Вторая проблема решается за счет возможности прямого использования существующих наработок по синтезу законов управления для системы (2), а первая — благодаря применению последних результатов по решению задач оптимального управления для систем с переключениями [15, 16].

Основная идея подхода состоит в следующем: для линейной системы (2) строится непрерывный регулятор, и замкнутая система используется в качестве эталонной модели. Управление г для системы с переключениями (9) выбирается так, чтобы ее фазовая траектория наилучшим образом приближала траекторию эталонной модели. Это достигается путем решения задачи оптимального управления на конечном интервале времени (горизонте планирования) с конечным (небольшим) числом переключений.

Опишем этот алгоритм подробнее.

1. Любым подходящим способом синтезируется регулятор для непрерывной модели (2). В общем случае этот регулятор должен решать задачу слежения за заданными токами, значениями зазоров и смещений плазменного шнура. Здесь мы будем предполагать, что используется линейная обратная связь по состоянию вида

и(1) = —кх^) +

где к — коэффициенты обратной связи, — нестационарная часть управления, завися-

щая от сценария. Второе предположение заключается в том, что вектор состояния объекта управления поддается прямому или косвенному (при помощи наблюдателя) измерению. Обобщение на случай регулятора более сложной структуры не представляет сложности. Замкнутая обратной связью эталонная система будет иметь вид

хг = Ах + Виг, иг = —кхг +

2. Задается фиксированный горизонт планирования тТ, где Т = ^ — длительность периода дискретизации тиристорного преобразователя, т — натуральное число. Разумным выбором будет т = 3, так как максимальная задержка переключения не может превышать 37" (соответствует углу задержки ж).

3. Выбирается норма, характеризующая близость траекторий системы с переключениями (9) и эталонной модели (10) на отрезке [пТ; (п + т)Т], в виде

(п+т)Т

\х - жг||[пГ;(п+то)Г] = J e(t)TQe(t)dt,

пТ

где Q = QT >0 — симметричная положительно определенная матрица. Цикл управления выглядит следующим образом.

1. В момент времени t = пТ известно значение непрерывного фазового вектора х(пТ) и дискретное состояние тиристорного преобразователя q(nT), а также значение поправки еп, вычисленное на предыдущем цикле управления при решении задачи оптимизации. В начальный момент используется значение ёо = 0.

2. На отрезке [пТ; (п + т)Т] моделируется эталонная система (10) с начальным состоянием Хг(пТ) = х(пТ) - еп, вычисляется эталонное управление ur(t). Поправка еп вводится, чтобы скомпенсировать неточность приближения решения системы (10) системой с переключениями (8) в момент времени пТ.

3. Решается задача оптимизации для системы в отклонениях е = х — хг между моделью с переключениями (9) и эталонной моделью (10) на отрезке [пТ; (n + т)Т]:

е = Ае + B(fnTMnT)(t;f) - ur(t)), е(пТ) = ёп,

Т = Ы-k, • • • ,fn+m-i) G Tm(n,q(nT)), где к = п - (q(nT) - q0) (mod 6),

(n+m)T

J{f) = l|e||[nT;(n+m)T] = J e(t)TQe(t) dt ->• min.

пТ

Размерность вектора переключений т зависит от дискретного состояния тиристорного преобразователя q(nT). Анализируя уравнение (5) и ограничения (7), несложно понять, что в момент времени пТ тиристорный преобразователь может оказаться в состоянии qn-l, цп-2 или qn-з. Поэтому соответствующие переключения тп_ 1 и гп_2 могут входит или не входить в вектор т. Область допустимых значений Тт(п^(пТ)) для т получается пересечением условий (7) и отрезка [пТ; (п + т)Т] с учетом того, входят ли т„ 1 и тп_2 в оптимизируемые параметры.

В качестве нового значения поправки берется величина ёп+\ = е((п + 1 )Т), где е(1) — решение задачи (11). Поправка равна ожидаемому отклонению между решением системы (9) и (11) в начале следующего цикла управления.

4. Полученное управление применяется на отрезке [пТ; (п + 1)Т], число п увеличивается на единицу и происходит переход к пункту 1.

Очевидно, что наиболее сложным этапом является решение оптимизационной задачи (11). Ее решение не может быть построено аналитически, поэтому предлагается использовать для нахождения минимума итерационный численный метод Гаусса-Ньютона или метод Ньютона в соответствии с работами [15, 16]. В этих работах получены выражения для градиента и гессиана для заданных моментов переключений т. Для их нахождения требуется решать систему дифференциальных уравнений из задачи (11) и сопряженную систему.

5. Результаты численного моделирования. Указанный алгоритм управления был реализован на языке GNU Octave/MATLAB для случая одного тиристорного преобразователя. Его работа была проверена на модельной системе, состоящей из одного пассивного и одного активного

элемента. Коэффициенты системы соответствуют геометрии реальной установки КТМ и рассчитаны кодом ТОКБСЕМ [17, 18]:

И

= А

+ Ви,

А =

'О 9.615 О -5403

В =

' 3.275- 1(Г5 -4.515- 10~4

С = сгЬ + с212 + сз/зй, С1 = -404.6, с2 = -7.286, с3 = 404.6,

где /1 и /2 — значения тока в пассивном и активном элементе соответственно, ток 1з(£) имитирует работу сценарных катушек и растет линейно с постоянной скоростью (предполагается, что сценарная катушка отрабатывает ток идеально и не связана магнитно с моделируемой), выход £ — вертикальное смещение плазмы, которое требуется удержать в нуле. Используется обратная связь

к = -3.012- 104,

и = — + (I.

параметр (I выбирается так, чтобы компенсировать скоростную ошибку, вызванную присутствием 1з(£). Напряжение между фазами полагается С/0 = 1000 В.

Результаты моделирования приведены на рис. 4, 5, штрихпунктирная линия соответствует линейной модели (2) и закону управления (12), пунктирная — нелинейной модели (9) и линейному закону управления (12), угол запаздывания а рассчитывается из формулы (3), графики, выполненный сплошной линией, демонстрируют работу закона управления с предсказывающей моделью. При моделировании скорость роста тока /з(£) выбиралась так, чтобы установившийся угол задержки тиристорного преобразователя принимал заданное значение.

-0.002

Рис. 4. Вертикальное отклонение плазмы, установившийся угол задержки тиристорного преобразователя 0.157т

На рис. 4 видно, что управление с предсказывающей моделью и линейное управление дают практически одинаковый (по форме) установившийся режим и одинаково хорошо реагируют на импульсное возмущение в середине временного отрезка. Однако заметно, что установивший режим для линейного управления смещен по отношению к нулю. Это типичная ситуация для дискретных систем, управление для которых синтезировалось методами, предназначенными для непрерывных. Более того, смещение зависит от установившегося значения угла задержки.

На рис. 5 приведены результаты моделирования для установившегося угла задержки 0.457г. Отчетливо видно, что состояние системы (9), замкнутой линейным законом (12), выходит на периодический режим с колебаниями достаточно большой амплитуды. Причина, скорее всего, в появившейся задержке в контуре управления (угол задержки открытия тиристора назначается в соответствующий момент естественного открывания, т. е. задержка в данном случае равна 0.45 • 3Т = 1.35Т, где Т = 3.3 мс — длительность периода дискретизации тиристорного преобразователя). Это означает, что управление (12) негодно, и коэффициент к должен быть уменьшен для повышения запаса устойчивости, что приведет к ухудшению быстродействия и способности подавлять помехи. В тех же условиях закон управления с предсказывающей моделью учитывает задержку и обеспечивает устойчивость системы.

л

U.U1 - I \ к

\ I /

-0.01 л Jsj \J

-0.02-1-1-

0 0.01 0.02

Рис. 5. Вертикальное отклоне держки тиристорь

5. Заключение. На основе модельной системы исследовался вопрос влияния исполнительного устройства (тиристорного преобразователя) на работу системы управления формы и положения плазмы в токамаке. Была построена математическая модель тиристорного преобразователя в виде системы с переключениями. При моделировании было выявлено, что определенное влияние имеет место, однако для лучшей физической интерпретации результатов и оценки значимости наблюдаемых явлений требуется использование более точной модели магнитной системы.

Предложен алгоритм управления, учитывающий модель тиристорного преобразователя. Потенциально этот алгоритм обеспечивает лучшее качество регулирования и позволяет при синтезе закона управления по непрерывной модели магнитной системы не учитывать неидеальности исполнительного устройства (задержку, эффект смещения среднего значения). В приведенной форме предлагаемый закон управления не может быть использован в системах реального времени из-за вычислительной сложности. Однако эта проблема может быть устранена либо за счет ускорения вычислений градиента и гессиана в процедуре оптимизации (использование предварительно сохраненных значений матричных экспонент для решения линейных дифференциальных уравнений), либо за счет перехода к усредненной модели тиристорного преобразователя.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Глухих В. А., Беляков В. А., Минеев А.Б. Физико-технические основы управляемого термоядерного синтеза: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2006.

2. Костомаров Д.П., Медведев С.Ю., Сычугов Д.Ю. Математическое моделирование МГД равновесия плазмы // Математическое моделирование. 2008. 20. № 5. С. 3-34.

3. Khayrutdinov R. R., Lukash V.E. Studies of plasma equilibrium and transport in a tokamak fusion device with the inverse-variable technique //J. Comp. Physics. 1993. 109. P. 193 201.

4. Ivanov A.A., Galkin S.A., Drozdov V. V., Medvedev S.Yu., Poshekhonov Yu.Yu. Numerical simulation of free boundary tokamak plasma equilibrium evolution with flux conservation and self-consistent plasma surface current // Bull. Am. Phys. Soc. 1998. 43. P. 1749.

5. Albanese R., Villone F. The linearized CREATE plasma response model for the control of current position and shape in tokamaks // Nuclear Fusion. 1998. 38. P. 723 738.

6. Павлов В.M., Столяров А.H., Кудрявцев В. А., Качкин А. Г. Система цифрового управления источниками питания ТОКАМАКА КТМ: Учеб. пособие. Томск: Изд-во Томского политехи, ун-та, 2008.

7. Jardin S.С., Larrabee D.A. Feedback stabilization of rigid axisymmetric modes in tokamaks//Nuclear Fusion. 1982. 22. N 8. P. 1095 1098.

8. Сычугов Д.Ю., Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П., Амелин В.В., Гасилов H.A. Математические свойства модели вертикальной неустойчивости плазмы в токамаке / / Математическое моделирование. 2011. 23. № 4. С. 69 82.

9. Красовский А.Б. Исследование на модели режимов работы тиристорных преобразователей в электроприводе: Метод, указания. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012.

10. Митришкин Ю.В., Коростелев А.Я., Докука В.Н., Хайрутдинов P.P. Синтез и моделирование двухуровневой системы магнитного управления плазмой токамака-реактора // Физика плазмы. 2011. 37. № 4. С. 307-349.

11. Булгаков А. А. Новая теория управляемых выпрямителей. М.: Наука, 1970.

12. Zhu Feng, Antsaklis P.J. Optimal control of hybrid switched systems: A brief survey // Discrete Event Dynamic Systems. 2014. URL: http://dx.doi.org/10.1007/sl0626-014-0187-5.

13. Friedland B. Modelling linear systems for pulsewidth-modulated control // IEEE Trans, on AC. 1976. 21. N 5. P. 739-746.

14. Mitrishkin Y. V., Kartsev N. M. Hierarchical plasma shape, position, and current control system for ITER // Proc. IEEE Conf. Decis. Control. N.Y.: IEEE, 2010. P. 2620-2625.

15. Caldwell T.M., Murphey T. D. Single integration optimization of linear time-varying switched systems // IEEE Trans, on AC. 2012. 57. N 7. P. 1592-1597.

16. Caldwell T.M., Murphey T. D. An adjoint method for second-order switching time optimization // Proc. IEEE Conf. Decis. Control. N.Y.: IEEE, 2010. P. 2155-2162.

17. Сычугов Д.Ю., Шапавалов Г.В., Волынкина Ю.В., Садыков А.Д. и др. Численное моделирование омического сценария разряда плазмы в токамаке КТМ // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 2010. Вып. 1. С. 38-45.

18. Сычугов Д.Ю., Шапавалов Г.В., Садыков А.Д., Чектыбаев Б. и др. Расчетный код "TOKSCEN" моделирование сценария разряда в токамаке (модуль библиотеки "Виртуальный тока-мак") // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 2013. Вып. 4. С. 94-101.

Поступила в редакцию 10.12.14

POWER SUPPLY MODEL DEPENDENT TOKAMAK MAGNETIC SYSTEM CONTROL SYNTHESIS

Goncharov O. I.

The article considers the problem of synthesis of tokamak plasma shape and current controller. There are a number of publication devoted to this problem, but usually controller design is based on relatively simple models of power supply. Even during the simulation of closed-loop systems simplified models of actuators are used. In this paper thyristor converter, which is one of the main elements of tokamak power supply system, is modeled as a hybrid system. Model predictive control algorithm is proposed. The simulation results of the closed-loop system are also provided.

Keywords: tokamak, tokamak plasma shape control, thyristor converter, hybrid systems, switched systems, model predictive control.