Математическая модель ядро современной философии математики

V.S. Danilova, N.N. Kozhevnikov The philosophy of history in the formation of a historical picture of the world

The authors consider basic concepts as well as non-classical and postnonclassical methodology of philosophy of history. Particular attention is drawn to the approaches in contemporary philosophy of history: a synergetic, epistemological, civilization and noospheric approaches. There are no serious obstacles against the possible existence of a historical picture of the world so that research in this direction should be continued.

Key words: history, philosophy, history, world system, noosphere, nonclassical and postnonclassical methodology of philosophy of history, synergetics, bifurcation, disciplinary ontology, epistemology, civilization, ethnic group, planetary cultural and civilizational network.

----------- ---------------------------

УДК 1:51

Н.М. Охлопков

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ - ЯДРО СОВРЕМЕННОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ

Рассмотрены философско-методологические особенности моделирования в теоретической и прикладной математике. Обращено особое внимание на проблемы: моделирование в абстрактной и прикладной математике; структурная и параметрическая идентификации; метод проб; математическая модель - ядро современной философии математики.

Разработана общая схема взаимодействия между ними, в центре которой находится математическая модель.

Ключевые слова: прямая задача, обратная задача, математическая модель, алгоритм, ядро математики, математическая структура, изоморфизм, гомоморфизм, параметрическая идентификация, структурная идентификация, вычислительный эксперимент.

Моделирование в абстрактной математике

Довольно часто под математическим моделированием понимают только моделирование в прикладной математике. Однако прежде чем интерпретировать абстрактные модели теоретической математики, их надо иметь, необходимо их наличие, существование. Применение математических структур в конкретных науках является реализацией методологической сущности математического знания, его абстрактных моделей. «Модельность» математических структур коренится в самой природе математического знания. Еще античные математики и философы отмечали сам принцип соответствия мира реального миру математическому (Фалес, Пифагор, Демокрит, Аристотель, Евклид, Архимед и другие). Сама природа математического знания определяет функцию описания как образа (модели) реального мира. Конечно, отсюда еще не следует утверждение о том, что некоторая математическая структура является непосредственно определенной моделью конкретного фрагмента реальной действительности. Однако любая абстрактная

ОхЛОПКОВ Николай Михайлович - к.ф.-м.н., доцент ИМИ ЯГУ

E-mail: Math_jsu@mail.ru

математическая структура является возможной моделью вполне определенного фрагмента реального мира, только она носит неявный характер. Такие модели находятся внутри математического знания, связаны с его природой, с его онтологическим базисом.

В теоретической математике с семиотической точки зрения язык математики изучают синтаксическими (чисто формальными) средствами, обращая внимание только на структуру и комбинации символов или формул, не обращая внимания на смысловую сторону вопроса. Математика в своем онтологическом смысле представлена как совокупность потенциальных моделей, заготовленных на будущее. Абстрактные модели теоретической математики являются моделями «абстрактных» качеств вообще, а не конкретного качества определенной реальности. Применение той или иной математической структуры в познании конкретных качественных характеристик объектов конкретных наук означает переход от теоретической математики к прикладной математике. Математическое моделирование внутренне присуще конкретным наукам. Между образом (моделью) и оригиналом существуют определенные (модельные) отношения. Эти отношения в терминах математики выражаются с помощью понятий изоморфизма и гомоморфизма.

Система объектов называется изоморфной, если существует взаимно однозначное соответствие между

их объектами и отношениями: моделью и оригиналом. При гомоморфизме имеет место лишь однозначное соответствие между отношениями, которые связывают объекты двух систем. При определении моделирования понятие гомоморфизма играет фундаментальную роль (представляет оригинал с помощью модели и одну модель - с помощью другой).

Для построения математических моделей в естествознании существенным является изоморфизм количественной структуры, который выражается с помощью дифференциального уравнения. Для того, чтобы использовать математическую структуру (уравнение или модель М) ее необходимо предварительно соответствующим образом интерпретировать, т.е. установить определенное семантическое (смысловое) отношение между математическими объектами (понятиями) и конкретными свойствами (величинами) исследуемых процессов.

Пусть уравнение (модель М) интерпретировано идеализированными системами (уравнениями или моделями) М1, М2, М3, которые описывают реальные процессы R R2, R3 соответственно. Если перейти в этих уравнениях (моделях) М1, М2, М3 к безразмерным переменным (величинам), то они сводятся к одному уравнению М0. Таким образом, все три физически различные системы могут быть выражены при помощи одной знаковой системы М0. В результате получаем следующую схему моделирования в абстрактной математике (рис. 1).

Математическая структура

интерпретация

действительность R

гомоморфно

R2 Rз

изоморфно

М,

М2

М3

изоморфно

Мо

Рис. 1. Схема моделирования в абстрактной математике

Уравнение (модель) М0 дает нам схему действий по отысканию закономерностей. При этом в каждом конкретном случае - своя интерпретация. Имея определенную математическую структуру М, тем

самым мы обладаем программой познавательного процесса, определенных количественных соотношений. Реализация этой программы начинается с интерпретации модели М. При этом мы фиксируем количественные отношения определенного качества. Модель (уравнение) М есть форма для количества, а модели (уравнения) Мр М2, М3 - количественные качества, а модель М0 является идеализированной сущностью для моделей М1, М2, М3.

Моделирование в прикладной математике

Опираясь на результаты наблюдений (измерений), а также на общие законы и принципы наук, наблюдаемому (исследуемому) процессу можно сопоставить ту или иную математическую модель. Одному и тому же процессу может быть сопоставлено некоторое множество моделей, отличающихся, с одной стороны, полнотой и точностью описания процесса, с другой стороны - сложностью модели. Одним из основных требований к математическим моделям является необходимость учета в ней всех основных факторов и взаимосвязей рассматриваемого процесса и исключение второстепенных факторов и связей. Выбор модели диктуется целью проводимого исследования и стремления упростить модель в пределах требуемой точности.

Первый шаг формирования модели подразумевает конструирование структуры модели [1], т.е. качественного описания исследуемого процесса с помощью тех или иных операторов (структурная идентификация модели). Основы математических моделей определяют математические структуры. На практике часто используются алгебраические, дифференциальные, вероятностные, статистические и другие модели.

Второй шаг формирования модели заключается в наделении модели количественной информацией, т.е. в определении входящих в структурную математическую модель неизвестных параметров модели. Этот этап называется параметрической идентификацией [1].

Структурная и параметрическая идентификация реальных процессов тесно связана с решением прямых и обратных задач [1; 2].

Причинные характеристики (входные данные задачи) и следственные характеристики (состояния исследуемого объекта) связаны между собой однонаправленной причинно-следственной зависимостью, установление которой составляет цель прямой задачи. Если по некоторой информации о состоянии исследуемого объекта требуется восстановить некоторые причинные характеристики, то получаем ту или иную обратную задачу.

В обратных задачах происходит нарушение причинно-следственной связи, которое приводит к ее математической некорректности (неустойчивости решения). Поэтому обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач.

Структурная идентификация

Структурная идентификация предполагает наличие априорной информации об исследуемом процессе, которая позволяет постулировать тот или иной набор возможных математических моделей, теперь нужно решить вопрос о «принадлежности» процесса одной из них. Выбор структуры математических моделей основывается на общих законах (закономерностях) и принципах, справедливых для данного процесса, а также планировании условий протекания процессов. Постулируются различные гипотезы и производится их последовательная отбраковка. В результате определяется такая математиче скаямодель, которая наилучшим образом соответствует имеющейся априорной информации и результатам проведенных экспериментов. При выборе модели необходимо удовлетворить ограничениям на требуемую точность результатов, быстродействие алгоритмов и т.д. Представим идентифицируемую математическую модель в символической форме:

Ак(а к> Р к> у к-К = ^

§

где Ак - операторы модели, а вк, Ук>... _ параметры модели, некоторые из них неизвестны, надо их определить; Ї5 - исходные данные, представляющие собой некоторую информацию о моделируемых причинных величинах а к, вк, У к ,•••; ик - неизвестные следственные величины. Индекс к означает номер приближения к искомому оператору А и, соответственно, неизвестным величинам. В результате такого приближения будет наблюдаться приемлемая адекватность математической модели реальному процессу. Структура оператора (1) до конца не определена - неизвестно, следует ли включить в модель те или иные члены, учитывать нелинейность и т.д. На каждом приближении к искомой математической модели (1) операторы Ак и неизвестные величины формируются из условия выявления тех или иных качественных особенностей модели. Часто используется стратегия последовательного уточнения. В начале формулируется наиболее простая модель из числа прогнозируемых и проверяется ее адекватность в пределах заранее заданной точности. Если это условие не выполняется, то модель усложняется и опять производится проверка на адекватность. Этот процесс продолжается до получения желаемого результата. Процесс структурной идентификации схематически показан на рис. 2.

Рис. 2. Блок-схема структурной идентификации, где 5 - погрешность входных данных, Э - экспериментатор, ТПЭ - теория планирования эксперимента, СЭ - средства эксперимента, ТО - теория объекта, ТМ - теория модели, ИО - исследуемый объект, ИМ - идентифицируемая модель, ДИ - данные измерений, ПОЭИ - первичная обработка экспериментальной информации

В блок-схеме (рис. 2) МС означает математические структуры, например, алгебраические, дифференциальные уравнения, разностные уравнения,

интегральные уравнения, вероятностные, статистические и другие. В данном случае считаем, что все параметры модели найдены экспериментальным путем, поэтому решается прямая задача.

Параметрическая идентификация

Предположим, что структура математической модели

задана, но некоторые характеристики (параметры) модели требуют своего количественного определения, т.е. решить задачу параметрической идентификации. Эту задачу можно решить двумя методами. Во многих случаях она решается на основе эксперимента.

Другая форма параметрической идентификации основывается на эталонной математической модели. Как правило, если оцениванию подлежат причинные характеристики (параметры) реальных процессов, то параметрическая идентификация связана с решением обратных задач.

В точной постановке обратная задача имеет вид: найти и, решая уравнение:

Аи = f

при точно заданных исходных данных А и £ В качестве f часто принимаются значения переменной состояния процесса в некоторых точках области.

Вариационный подход к решению задачи (2) состоит

в минимизации функционала невязки J(u )= — -| |Аи - ^ |2.

Непосредственно такой метод решения задачи параметрической идентификации не представляется возможным, так как задача (2) неустойчива (обратный оператор А-1 оказывается неограниченным) и вместо точных входных данных А и f на практике известны приближения к ним А и ^ . Это связано с приближенным

характером проведения эксперимента (погрешности эксперимента). Кроме того, для численного решения задачи (2) строится соответствующий вычислительный алгоритм, в котором оператор А аппроксимируется конечномерным операторомАь, а функции и и f заменяются их дискретными аналогами. Тогда задача идентификации сводится к определению по совокупности {АьДб} некоторого приближения иь5 к искомому решению, которое при стремлении погрешностей входных данных и аппроксимации к нулю обеспечивало бы лучшие в некотором смысле приближения к точному решению задачи (2).

Процесс параметрической идентификации схематически показан на рис. 3, где некоторые параметры находятся экспериментально, а некоторые - решением обратной задачи. Структура модели известна.

Рис. 3. Блок-схема параметрической идентификации, где ИМ - идентифицируемая модель, АРОЗ - алгоритм решения обратных задач

Проверяетсяусловие согласования невязки Аь и - ^

с точностью входных данных (5), которая определяется ошибками измерений, регистрации и расшифровки экспериментальной информации, а также погрешностями линеаризации и аппроксимации при решении задачи. Сравнение ^ и результатов решения прямой задачи Аьи для заданного приближения к варьируемой величине и позволяет сделать вывод о количественной адекватности математической модели реальному процессу.

Вычислительную модель представим в абстрактной форме:

АЬ Ї5,

где w и и - некоторые совокупности величин. Вектор ^ обычно составлен из дискретных по времени измерений для выбранных точек пространства. В задаче (3) некоторые величины из совокупности (а, в, у,...) являются искомыми параметрами. Процесс выбора приближения к ним организуется так, чтобы согласовать невязку с точностью входных данных.

Меру адекватности математической модели реальному процессу в простейшем случае можно представить в виде невязки, записанной в равномерной метрике

Д= тах^ь -fяLгдеzь (хД)= Аь и.

X ^1 а I а а

Структурная и параметрическая идентификация

Во многих случаях структурная идентификация включает в себя параметрическую идентификацию. В этом случае происходит и выбор алгоритмов параметрической идентификации, в первую очередь алгоритмов решения обратных задач.

Пусть для некоторого приближения к структурным особенностям модели, характеризуемого определяемым параметром, получена экспериментальная информация ^. Рассматривая их как входную информацию, решаем обратные задачи с целью восстановления из эксперимента числовых значений неизвестного параметра. По этим данным рассчитывается невязка:

Если Д > 5, где 5 - погрешность входных данных необходимости перехода к другой структурной модели. ^ в метрике пространства F, то можно сразу сделать В противном случае, т.е. при Д > 5 модель считается вывод о неудовлетворительном выборе приближения и адекватной процессу (см. рис. 4).

Рис. 4. Блок-схема структурной и параметрической идентификации

Метод проб

Метод проб является первым методом любой эмпирической науки. К решению обратных задач можно использовать два подхода [2]. Первый из них состоит в редуцировании обратной задачи Аи = £ f = ? к прямой задаче А-1ґ = и, и = ? Второй подход использует метод подбора (проб), где оператор задачи не обращается, а та же задача редуцируется к прямой задаче Аи = £ f = ? Вычисленное f по заданному и сравнивается с измеренным или априорно заданным ґ Уточнение и проводится до тех пор, пока вычисленное ґ и измеренное (заданное) ґ не будут удовлетворять внетеоретическому критерию отождествления. По мере развития науки метод проб так усовершенствовали, что с его помощью решаются сложные математические задачи.

Для решения обратных, некорректных и плохо обусловленных задач используются эффективные разновидности метода проб, такие как: метод

итерационной регуляризации; метод регуляризации Тихонова; машинный эксперимент. В машинном эксперименте метод проб реализуется наиболее полно - машина решает прямую задачу, проводя отдельные пробы, а человек решает методом проб обратную задачу, определяя насколько была удачной машинная проба или неудачной. Эта процедура продолжается до достижения желаемой цели. При этом предполагается, что оператор задачи не обратим, т.е. решение обратной задачи не может быть получено из ее постановки прямым методом. Со стороны теоретической математики приближенное решение вообще не является решением, поэтому метод

проб со стороны теоретической математики является софистическим (сознательно вводящим в заблуждение).

Синтетический (численный) метод сводит решение обратной задачи A-1f = u, u = ? к многократному решению прямой задачи, которую мы запишем в виде:

Auk = f, f = ?, k = 1,2,...

Решив задачу (4), субъект синтетического метода согласно своего сугубо практического критерия выясняет, достигнуто ли приближенное равенство, в пределах заданной точности, fk ~ f, если оно не достигнуто, выбираем новое значение uk в качестве входного данного для прямой задачи, повторяем эту процедуру до тех пор, пока приближенное равенство fk ~ f не будет достигнуто. Последнее значение uk, которое соответствует

последнему значению fk, выдается за приближенное решение исходной обратной задачи. Логической схемой рассматриваемого метода является схема известного в логике гипотетического силлогизма «модус толленс», которая имеет вид [3]:

H ^ F, —F —H

(если из суждения H логически следует ложь —F, то оно само ложно).

Для нашего случая итерационной регуляризации эта схема приобретает вид:

uk = u ^ Auk = Au ^ fk = f; fk * f uk * u

Это и есть логическая схема «модус-толленс» для метода проб.

Математическая модель - ядро современной математики

Центральным ядром организации математического знания является построение математических моделей конкретных наук, соединяющих вместе различные ветви математического знания. Ядром современной математики становится математическая модель, вокруг которой разворачиваются и теоретические, и прикладные исследования [4]. Математические модели исследуются как теоретические конструкции аксиоматического типа. С 1920-х гг. небывалого расцвета достигла алгебра, произошла алгебраизация математики. Современный успех развития алгебры в большей степени определяется повсеместным использованием ЭВМ и компьютеризацией человеческой деятельности. Согласно этому подходу всякая математическая теория изучает определенную алгебраическую систему. Общая схема изучения многих математических объектов, порой очень далеких от алгебры, состоит в построении алгебраических систем, хорошо отражающих поведение изучаемых объектов. Любая числовая система есть некоторая алгебраическая система А=<А,0,Я>, где А - непустое множество, О -семейство алгебраических операций, а Я - семейство отношений, заданных на множестве А. Это и есть наиболее общая математическая структура.

Выявляются общие методы, заложенные в структуре математических моделей. Особое внимание уделяется разработке вычислительных алгоритмов, удовлетворяющих современным требованиям вычислительной математики [5]. Построение математических моделей соединяет вместе различные отрасли теоретической математики.

Математическая модель в то же время является для прикладной математики экспериментальным средством. На основе математических моделей проводится вычислительный эксперимент, который выступает как теоретико-практическая реализация метода математического моделирования, означающего нового способа описания реальности - вычислительного метода познания, конкурирующего с традиционными идеалами аксиоматически-дедуктивных методов построения теорий [6, 7].

Взаимодействия прикладной и теоретической математики можно представить в виде общей схемы (рис. 5).

Рис. 5. Математическая модель - ядро современной математики,

где (РО) - реальный объект, (КН) - конкретные науки, (ПМ) -прикладная математика, (ММ) - математическая модель, (АО) - абстрактный объект, (МС) - математичес-кие структуры, (ТМ) - теоретическая математика

Из рис. 5 видно, что математическая модель является связующим звеном прикладной и теоретической математики, т.е. она является ядром современной математики.

Л и т е р а т у р а

1. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1988. - 288 с.

2. Антаков С.М. Прямая и обратная задача в структуре научного исследования: Автореф. дис. канд. философ. наук. -Нижний Новгород, 1994 - 20 с.

3. Грядовой Д.И. Логика. Учебное пособие в структурнологических схемах. - М.: Издательство «Щит-М», 1998. - 178 с.

4. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания (закономерности эволюции способа систематизации). -М.: Изд-во МГУ, 1983. - 166 с.

5. Охлопков Н.М. Методологические и технологические вопросы прикладной и вычислительной математики: учебное пособие. - Якутск: Изд-во ЯГУ, 1991. - 203 с.

6. Охлопков Н.М. Вычислительный метод познания. 2-я Республиканская научно-практическая конференция. 25-28 ноября 2003 г.: сборник трудов. - Якутск, 2003. - С. 82-91.

7. Охлопков Н.М. Философско-методологические аспекты моделирования. 2-я Республиканская научно-практическая конференция. 25-28 ноября 2003 г.: сборник трудов. - Якутск, 2003. - С. 91-98.

N.M. Okhlopkov

A mathematical model - the core of modern philosophy of Mathematics

The author considers the philosophical and methodological features of modeling in theoretical and applied Mathematics. The special attention is paid to the following problems: modeling in the abstract and applied Mathematics; structural and parametric identification, the method samples; mathematical model is the core of modern philosophy of mathematics.

A general scheme of interaction between them with the mathematical model in centre was carried out.

Key words: direct problem, inverse problem, mathematical model, algorithm, the core of Mathematics, mathematical structure, isomorphism, homomorphism, parametric identification, structural identification, computer experiment.

---------- ÀtfÀtfÀtf ---------------