Имитационное моделирование нестационарной системы массового обслуживания торгового предприятия

Предпринимательская деятельность

УДК330.4 ББК 65в6

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ТОРГОВОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

В.М. Дуплякин, Ю.В. Княжева

Статья посвящена развитию теории массового обслуживания применительно к нестационарным системам. Авторами представлены результаты исследований интенсивности входных и выходных потоков покупателей в системе массового обслуживания торгового предприятия. Предложена экономико-математическая модель, разработана методика и программное обеспечение численного статистического моделирования, которые обеспечивают оптимизацию системы массового обслуживания при нестационарном входном потоке и переменных характеристиках системы. Возможности предлагаемого инструментария демонстрируются на примере реального торгового предприятия.

Ключевые слова система массового обслуживания, имитационное численное статистическое моделирование, нестационарность, оптимизация, торговое предприятие.

Оптимизация нестационарных систем массового обслуживания, как и во многих других случаях, не имеющих аналитического решения, может быть реализована на основе численных методов статистического моделирования, предусматривающих имитацию на ЭВМ процессов, протекающих в исследуемой системе. Математические особенности решения при таком подходе обычно сводятся к описанию алгоритма численной процедуры расчёта. Моделирующий алгоритм многократно воспроизводит реализации случайного процесса, накапливает сведения о его динамике, и после обработки обеспечивает статистическую оценку показателей работы системы [1].

Известные аналитические решения задач массового обслуживания, широко используемые в различных приложениях, адекватны стационарному периоду работы системы и, кроме того, построены исключительно с использованием пуассо-новского потока событий. Однако анализ продолжительности переходных периодов во многих случаях показывает то, что они могут составлять существенную часть рабочего периода системы, поэтому, не учитывая период нестационарности, невозможно оптимизировать рабочие характеристики системы в целом, а в некоторых системах массового обслуживания, например, в торговых предприятиях, если рассматривать отдельный рабочий день, стационарный период обслуживания практически отсутствует.

В этой связи актуальность данной темы исследования определена необходимостью разработки методического обеспечения и инструментальных средств моделирования, анализа и оптимизации

нестационарных систем массового обслуживания, обеспечивающих повышение их эффективности с учётом реальных условий функционирования.

Рассматривая торговое предприятие в качестве объекта исследования, предлагается схема взаимодействия потоков заявок и обслуживаний, а также формирования финансовых потоков, представленная на рис. 1.

Моделирование СМО предваряется анализом входящего потока, представляющего собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании [2].

В классической теории массового обслуживания, дающей известные аналитические решения, распределение времени между моментами поступления заявок в систему принимается в соответствии с экспоненциальным законом

Гі - е~х‘, Ґ > 0 ^

0,

і £ 0,

имеющим интенсивность входного потока заявок X, которая не зависит от времени

1 = Vтвх ,

где твх - среднее значение интервала времени между поступлением очередных заявок [3].

Интенсивность входного потока торгового предприятия не является постоянной, она меняется в течение дня (утро, день, вечер, ночь), недели (выходные, будни) и месяца. Эти изменения связаны с занятостью работающего населения, с периодичностью поступления денежных средств, например, получение заработной платы, а в течение года с сезонными колебаниями. В данной работе

В

ы

Р

У

Ч

К

А

I ^ Поток покупателей Финансовый поток

Рис. 1. Схема формирования потоков в СМО торгового предприятия

рассматриваются изменения интенсивности в течение дня.

Для исследования интенсивности входного потока собрана статистическая информация, отражающая изменение интенсивности потока покупателей в течение дня конкретного торгового предприятия. На основании этих данных построена зависимость изменения интенсивности входного потока от времени (рис. 2). На этом рисунке линия, отражающая среднее значение, представляет собой теоретический эквивалентный стационарный входной поток, а линия, отражающая статистику, воспроизводит модельный нестационарный подход.

Изменения интенсивности рассматриваемого входного потока имеет характерные особенности: в

течение дня в работе магазина существует два пика: первый с 12 до 13.30, второй с 17.30 до 20. Это объясняется тем, что большинство людей в нашем городе имеют нормированный рабочий день, поэтому первый пик - обед, второй - окончание работы и возвращение домой «через магазин».

Флуктуация в районе 8 часов объясняется тем, что у многих людей рабочий день начинается в 910 часов и они заходят в магазин перед работой. Небольшой изгиб в районе 22-23 часов отражает поведение тех людей, которые вечером прогуливаются и по пути заходят в магазин.

Аппроксимация зависимости интенсивности входного потока на основе статистических данных осуществляется поэтапно. Сначала методом наименьших квадратов выделяется линейный тренд. Затем выделяются остатки линейного приближения. После этого выделенные остатки моделируются разложением в ряд Фурье по косинусам с обратным отсчётом времени. Далее вычисляются модельные значения искомой функции в первом приближении. Применяемая процедура аппроксимации не даёт достаточно точного результата, поэтому была дополнительно использована численная оптимизация найденных значений. В качестве меры расхождения между наблюдаемыми и расчётными значениями функции выбрана сумма мо-

дулей разностей, поскольку она обеспечивает повышенную робастность по сравнению с квадратичной мерой отклонений.

Для оптимизации использовалась процедура поиска минимума функции по методу Ньютона с квадратичной оценкой текущих координат решения (рис. 3). Как видно из приведенного рисунка, большая часть расчётных точек практически сливается с исходными данными.

Рис. 3. Результат уточнённой аппроксимации

В результате функция, описывающая изменение интенсивности входного потока в течение дня, имеет вид:

17

YO') = X Dj

І = 0

где /0 = 24, ^ = 0,24, а = 0,336846, Ь = -0,492154, а остальные параметры приведены ниже в табл. 1.

Далее вычисляется среднее значение полученной функции на промежутке от 0 до 24. В итоге средняя интенсивность входного потока составляет У = 3,8742 .

Чтобы постоянный покупатель отказался приходить в магазин, необходима систематическая неудовлетворённость обслуживанием в данном магазине, т. е. только в долгосрочной перспективе можно говорить о влиянии неудовлетворенности покупателя в обслуживании на его последующий приход в магазин.

Если говорить о кусочно-линейной интенсивности входного потока покупателей, то можно предложить формулу, связывающую отказы и интенсивность входного потока:

К + (1 -б) • (^ + о

Лі+і _

D

дующем периоде; в - доля заявок получивших отказ и не пришедших больше; Кп - число обслуженных заявок за время Б в текущее периоде; 8п -число отказов за время Б в текущем периоде; 8п' -число неявных отказов за время Б в текущее периоде; Б - время работы магазина.

Отсутствие отказов также влияет на интенсивность входного потока в следующем периоде, что предлагается учесть следующим образом:

Кп

D

где Лп+1 - интенсивность входного потока в сле-

где в - доля людей, привлеченных хорошим обслуживанием.

Формулу (5) можно объяснить тем, что если покупатель каждый раз приходя в магазин, будет удовлетворен обслуживанием, то через некоторое время не только он, но и его знакомые будут обслуживаться в этом магазине, конечно при условии, что уровень обслуживания останется прежним.

Специфика труда операторов СМО обуславливает особенности управления трудовым поведением работников и процессами стимулирования [4, 5].

Предлагается следующая модель стимулирования персонала.

1. Каждому работнику начисляется определенный оклад, который может изменяться в зависимости от проработанных лет.

2. Вводится коэффициент трудового участия (КТУ), который изменяется от 0,1 до 0,9. КТУ выставляется за каждый месяц (две недели). Таким образом, заработная плата каждого работника за месяц (две недели) определяется следующим образом:

ЗП = Оклад •

с учетом налога на доходы физических лиц

ЗП = Оклад •

3. Если чистая прибыль, полученная магазином за месяц, превышает плановую величину, то разница выплачивается в виде премии, причём 20 % от разницы выплачивается директору, а оставшаяся сумма делится между всеми работниками поровну, за исключением уборщиц - им премия не выплачивается.

Если (ЧПфакт - ЧПтан ) = А > 0 , то премия директору

Параметры уточнённой аппроксимации

Таблица 1

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

D(i) 0,339 0,930 -0,545 -1,943 -1,767 -3,043 -1,043 0,021 1,609

m(i) 0,000 0,130 0,261 0,392 0,523 0,654 0,785 0,916 1,047

i 9 10 11 12 13 14 15 16 17

D(i) 1,635 0,716 -0,421 -0,808 -0,839 -0,736 -0,406 -0,075 0,026

m(i) 1,178 1,309 1,439 1,570 1,701 1,832 1,963 2,094 2,225

Пр

Премия остальным работникам (кроме уборщиц):

(1 - 0,2)-Д

Пр =

ЧС

где ЧС - число сотрудников, за исключением уборщиц.

Если при пересдаче выявляется недостача, то премии лишают всю смену.

Достоинством данной модели является то, что размер заработной платы не ограничен верхним пределом. Для определенного типа людей это является сильным стимулом. По данным исследований выявлено, что 85 % продавцов относятся к так называемому типу «У». А это значит, что им нужны дополнительные стимулы, чтобы стремиться к более высоким показателям в работе [4].

Среди недостатков данной модели оплаты следует отметить то, что она не учитывает квалификацию продавцов (хотя учитывает опыт работы), а потому и не стимулирует её повышение. Модель оплаты стимулирует повышение качества услуг торговли лишь косвенно. Поскольку в магазинах работают бригады продавцов, то естественно, что зарплата каждого зависит от поведения коллег, т. е. премия продавца зависит от результатов работы всего магазина. В этом случае большое значение приобретает коллектив, в котором работает конкретный продавец.

В состав издержек системы массового обслуживания входят:

1. Оплата работы персонала, учитывающая КТУ.

2. Хозяйственные нужды, коммунальные платежи.

3. Налоги.

В состав уплачиваемых налогов входят:

1. Отчисления в пенсионный фонд (ПФ) от фонда ЗП.

2. Отчисления в фонд социального страхования (ФСС) от фонда ЗП.

3. Единый налог на вмененный доход (ЕНВД) от

налогооблагаемой базы, НБ = (Базовая доход-

ность)*(Физический показатель характеризующий данный вид деятельности)*К1 *К2*(Торговая площадь).

Для розничной торговли, осуществляемой через объекты стационарной торговой сети, использующей торговые залы, физическим показателем является площадь торгового зала (в квадратных метрах) и базовая доходность, равная в исследуемом случае 1800 руб.

К1 - коэффициент-дефлятор, устанавливаемый на календарный год и учитывающий изменение потребительских цен на товары (работы, услуги) в предшествующем периоде. Определяется Правительством.

К2 - корректирующий коэффициент базовой доходности, учитывающий совокупность особенностей ведения предпринимательской деятельно-

сти (ассортимент, сезонность, режим работы, величину доходов и т. д.) Значения К2 определяются правовыми актами муниципальных районов, городских округов, городов для всех категорий налогоплательщиков в пределах от 0,005 до 1 включительно.

В итоге издержки моделируются следующим образом:

C = Z - (1 + p + f) + H + е - (w - g - К1-К2 - Q), (10) где C - величина издержек, Z - заработная плата; p - ставка налога по которой производятся отчисления в ПФ; f - ставка налога по которой производятся отчисления в ФСС; H - хозяйственные нужды; е - ставка единого налога на вмененный доход; w - базовая доходность, g - физический показатель; Q - торговая площадь.

Выручка моделируется как

V = K - Sum ,

где V - выручка от продаж, Sum - средняя сумма чека, К - число обслуженных заявок.

Прибыль торгового предприятия моделируется в зависимости от наценки на товары, минуя прямой расчет себестоимости товара с использованием закупочных цен:

N1 N2

- +

P = V - (d -

1 + N1 ' ' 1 + N2'

где Р - прибыль от реализации, d - доля товаров первой необходимости, N1, N2- наценка на товары первой необходимости и на остальные товары.

Деление на товары первой необходимости и остальные товары вызвано тем, что на определенные товары должны устанавливаться определенные наценки. Законодательством определена максимальная величина наценки на товары первой необходимости равная 25 %. Существуют также ограничения на величину наценки других групп товаров, но они мало отличаются от обычной величины наценки на нерегламентированные товары, поэтому деление товаров производится только на две группы: товары первой необходимости и остальные товары.

Недополученная прибыль рассчитывается следующим образом:

N1 N2

NP = S - Sum -

1 + N1 1 + N2

где NP - недополученная прибыль, S - число отказов (с учётом неявных отказов).

Чистая прибыль определяется как разность между прибылью и издержками.

Для численного анализа и максимизации прибыли торгового предприятия при управлении характеристиками системы расчётно-кассового обслуживания в среде MATLAB 7.0 создана программа «Оптимизация деятельности торгового предприятия»1.

Программа является зарегистрированным программным продуктом. Номер государственной регистрации 50200801789 от 19.08.2008_________________

Для выяснения соотношений характеристик СМО, работающих в стационарных и нестационарных условиях, выполнен численный эксперимент с использованием созданной программы. При прочих равных условиях, соответствующих характеристикам небольшого торгового предприятия, рассматриваются различные случаи, при которых интенсивность входного потока 1 изменяется от

0,1 до 2,0, а интенсивность обслуживания имеет фиксированные значения: т1 = 0,2, л2 = 0,5

(рис. 4 и 5).

На графиках рис. 4 и 5 линия «мод» отражает значения, моделируемые численно, при условии, что интенсивность входного потока и потока об-служиваний в течение дня не изменяются, т. е. равны средним значениям нестационарного случая. Наблюдаемая здесь нестационарность объясняется наличием переходного периода, обусловленным включением и выключением СМО.

Линия «теор» соответствует установившемуся режиму при стационарном воздействии, здесь используется аналитическое решение.

Линия «моді» отражает значения, моделируемые программой при нестационарной интенсивности входного потока описываемой зависимостью

и, безусловно, с учётом переходного периода. Результат получен при использовании процедуры статистического имитационного моделирования и разработанного программного обеспечения.

Анализируя полученные результаты, можно

сделать вывод о том, что формулы, приведенные в теории массового обслуживания, описывают исследуемую систему с достаточной точностью только до того момента, пока отношение интенсивности входящего потока к интенсивности обслуживания меньше либо равно количеству каналов. Если это условие нарушается, то теоретические формулы дают сильно завышенные значения. Но и когда это условие выполняется, теоретические значения совпадают только с теми модельными значениями, которые рассчитаны при условии, что интенсивность входного потока в течение дня остается постоянной.

В качестве примера апробации предлагаемой методики и программного обеспечения рассматривается торговое предприятие ООО «Ястреб», являющееся магазином самообслуживания. В магазине работает 20 человек, а именно: 6 кассиров, 8 продавцов-консультантов, 2 менеджера, 2 уборщицы, 1 директор, 1 бухгалтер. Кассиры, продавцы-консультанты и менеджеры работают в две смены.

Оплата труда. Оклад: кассир - 8500 руб./мес, продавец-консультант - 6500 руб./мес, менеджер -16 000 руб./мес, уборщица - 7500 руб./мес, директор - 25 000 руб./мес, бухгалтер - 23 000 руб./мес.

Начисление заработка за месяц соответствует рассмотренной ранее модели стимулирования сотрудников торгового предприятия (7), (8), (9).

Режим работы с 9.00 до 22.00. Торговая площадь: 450 м2

Интенсивность входного потока, чел/мин

Рис. 4. Динамика обслуженных заявок, ¡л = 0,2

Интенсивность входного потока, чел/мин

Рис. 5. Динамика обслуженных заявок, ¡л = 0,5

Количество касс: 3 кассы. Хозяйственные нужды: 200 000 руб.

Средний чек: 270 руб. Количество покупателей в день: 4056 чел.

Стоимость одного кассового аппарата: 30 000

руб.

Доля товаров первой необходимости: 25 %.

Наценка на товары первой необходимости 20 %, а на остальные 45 %.

Кассир в среднем обслуживает одного покупателя за 30 секунд, а покупатель в среднем ожидает в очереди 6-9 минут.

Программным путём имитировалась работа данного магазина за период, равный 30 дням. Основные результаты статистического имитационного моделирования и оптимизации СМО ООО «Ястреб» приведены в табл. 2.

Оптимизация характе

ная прибыль не достигает своего глобального минимума из-за целочисленного характера рабочей переменной, т. е. числа каналов обслуживания. Численный эксперимент также показал, что целесообразно использовать дополнительную кассу, начиная с 18.00 и до 19.00, однако экономический эффект от этого мероприятия проявляется только в долгосрочной перспективе.

Литература

1. Шимко, П.Д. Оптимальное управление экономическими системами / П.Д. Шимко. - М.: Дело, 2004. - 215 с.

2. Гнеденко, Б.В. Введение в теорию массового обслуживания / Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко.

- М.: КомКнига, 2005. - 135 с.

3. Хинчин, А.Я. Работы по математической

Таблица 2

ик СМО ООО «Ястреб»

Состояние СМО Число каналов Прибыль, руб. Недополученная прибыль, руб.

Исходное 3 10 179 833 7 150 124

Оптимизированное (прогноз) 4 17 351 948 35 405

Численный эксперимент выявил значительный размер расчётной недополученной прибыли, что определяет потенциальные возможности оптимизации характеристик рассматриваемой системы расчётно-кассового обслуживания.

Выполненная оптимизация показала, что количество касс, при котором отказы будут отсутствовать, а, следовательно, и недополученная прибыль минимальна, равно четырём. Однако недополучен-

теории массового обслуживания / А.Я. Хинчин; под ред. Б.В. Гнеденко. - М.: УРСС, 2004. - 267 с.

4. Кибанова, А.Я. Управление персоналом организации / под ред. А.Я. Кибанова. - 2-е изд., доп. и перераб. - М.: ИНФРА-М, 2003. - 638 с.

5. Фомин, Г.П. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности / Г.П. Фомин. - М.: Финансы и статистика, 2000. -246 с.

Поступила в редакцию 19 мая 2009 г.

Дуплякин Вячеслав Митрофанович. Профессор кафедры экономики Самарского государственного аэрокосмического университета, доктор технических наук, г. Самара. Область научных интересов - математические и инструментальные методы экономики; статистическое имитационное моделирование. Контактный телефон: (сот.) +7 927 730 1439. E-mail: v_duplyakin@mail.ru

Duplyakin Vyacheslav Mitrofanovich is Professor of the Economics Department at Samara State Aerospace University, Dr. Sc. (Engineering), Samara, Russia. Area of expertise: mathematical and instrumental methods in economics, statistical simulation modeling. Tel: (mobile) +7 927 730 1439. Е-mail: v_duplyakin@mail.ru

Княжева Юлия Владимировна. Ассистент, аспирант очной формы обучения кафедры экономики Самарского аэрокосмического университета, г. Самара. Область научных интересов - математические и инструментальные методы экономики; статистическое имитационное моделирование. Контактный телефон: +7 927 696 5370.

Knyazheva Yulia Vladimirovna is Assistant, Postgraduate full-time Student of the Economics Department at Samara State Aerospace University, Samara. . Area of expertise: mathematical and instrumental methods in economics, statistical simulation modeling. Tel: +7 927 696 5370.