Исследование формы и положения областей, задающих допустимые значения вектора обобщенных скоростей мобильного робота в многомерном пространстве

УДК 004.896

Ф.Н. ПРИТЫКИН Р.Н. ЕСКЕНИН

Омский государственный технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ И ПОЛОЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ, ЗАДАЮЩИХ ДОПУСТИМЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕКТОРА ОБОБЩЕННЫХ СКОРОСТЕЙ МОБИЛЬНОГО РОБОТА В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Исследованы области, которые задают допустимые значения вектора обобщенных скоростей мобильного робота в многомерном пространстве. Указанная область определена при наличии ограничений на изменение обобщенных скоростей в приводах. Предложен метод определения вектора обобщенных скоростей, позволяющий увеличить производительность интеллектуальной адаптивной системы управления мобильного робота.

Проблеме создания интеллектуальных роботов посвящено достаточно большое количество исследований. В решении данной задачи компьютерное виртуальное моделирование движений мехатронных объектов в организованных средах является важным средством анализа и проверки работоспособности предлагаемых алгоритмов автоматического управления. Одной из первоочередных задач при разработке интеллектуальных адаптивных систем управления роботами является вычисление вектора обобщенных скоростей, удовлетворяющего заданным требованиям. Указанные требования определяют заданная точность позиционирования центра выходного звена (ВЗ) на траектории, ограничения скоростей в приводах и др. [ 1 ]. В данной работе приведены результаты исследований, связанных с определением области допустимых значений вектора обобщенных скоростей мобильного робота, осуществляющего перемещение ВЗ по заданному ему вектору скоростей. Данные области, которые обозначим О8, определяют многообразие точек многомерного пространства обобщенных скоростей О, удовлетворяющих заданным погрешностям реализации мгновенных состояний 5 [2,3]. Система управления мобильным роботом должна содержать базу данных об областях 05 для различных параллелепипедов, совокупность которых задает конфигурационное пространство. Эту базу данных, которая характеризует собственные свойства механизма мобильного робота, вначале необходимо создать, а затем использовать при синтезе движений по вектору скоростей в организованных средах. Определение областей О8 необходимо для поиска конфигураций, не пересекающих запретные зоны. Создание указанной базы данных является достаточно трудоемкой задачей, так как она получается в результате обработки большого массива точек в многомерном пространстве обобщенных скоростей с учетом технических и геометрических параметров исследуемого механизма робота.

В работах [2,3] была осуществлена попытка определения областей для мобильных и стационарных роботов. Погрешность реализации мгновенных состояний 5 составляла 3 мм. Указанная погрешность необходима при проектировании технологических процессов, связанных с обработкой

поверхностей или нанесением покрытий, когда перемещение ВЗ и инструмента должно происходить с определенной ориентацией и на заданном расстоянии от обрабатываемых поверхностей. Необходимо заметить, что при реализации двигательных задач, связанных с перемещением объектов манипулирования из начального в конечное положение, значение параметра 8 может быть большим. Это значение зависит от конкретной решаемой двигательной задачи, и определяется минимальным удалением 16 (рис. 1) при перемещении объекта манипулирования по заданной траектории до ближайшей запретной зоны. Не исследовалось ранее и влияние ограничения скоростей в приводах на форму и расположение области 05 в многомерном пространстве для различных конфигураций мобильного робота. Не отображались многомерные области 0на чертеже Радищева с целью более полного их наглядного представления. В настоящей работе предприняты попытки решения этих ранее не исследованных задач.

Пусть задан мобильный робот, состоящий из транспортной тележки и закрепленного на ней механизма манипулятора. Кинематическая схема мобильного робота приведена на рис. 1, а его наглядный вид представлен на рис. 2. Окружностью Ь на рис. 1 и 2 условно обозначена мобильная платформа робота. Мобильная платформа позволяет отслеживать произвольную траекторию движения базовой точки От принадлежащей ей при перемещении робота относительно осей хо и уо неподвижной системы координат (см. рис. 2). Движение транспортной тележки осуществляется вдоль горизонтальной плоскости, положение относительно оси го при этом не изменяется. Исходное положение транспортной тележки определяется координатами х = з, и у = «2и углом ат наклона оси От хт транспортной тележки к неподвижной оси координат Ои хо (система Отхгп ут гт связана с транспортной тележкой). Ориентацию транспортной тележки или угол а тпри синтезе движений в тестовых заданиях далее учитывать не будем. В совокупности перемещение транспортной тележки и механизма манипулятора будут задавать движение ВЗ (системы Оп хп уп г^) и объекта

Таблица

Параметры и^ и пксЛ, определяющие три конфигурации и модель кинематической цепи механизма мобильного робота

Обобщенные координаты Ч> 1 <Р 2 <Р 4 <Р 5 -(р.

Конфигурация №1 (см, град) 52 46 -115 78 -78 90 130 0 0

Конфигурация №2 (см, град) 75 51 -143 69 -38 70 160 0 -10

Конфигурация №3 (см, град) 50 50 -145 60 -90 90 100 0 0

Обозначение длин - ¡л -/- - /- -/- /, и /э и -/-

Значения - (см.) 0 0 0 75 60 60 35 0 30

Обозначение длин - /,„„• Н -

Значения - /1т (см.) 0 0 0 0 0 0 0 65 0

Обозначения - пы к\ к! В к4 к5 кб А7 ¿8 А9

Значения - пш 4 5 3 1 1 3 2 9 3

Рис.1.

Кинематическая схема мобильного робота и начальное и конечное положение объекта манипулирования Си С

Рис. 2.

Общий вид и геометрические параметры, характеризующие исполнительный механизм мобильного робота

Геометрические параметры, определяющие исследуемые гиперкубы, принадлежащие р-плоскости Г

манипулирования й вдоль заданной траектории при реализации двигательной задачи. Также на рисунке 1 показано положение запретных зон РмР/и отрезки прямых АтВт и ВТСТ, определяющих траекторию движения центра ВЗ.

Синтез малых движений мобильного робота осуществляется по вектору скоростей на основе решения линейной системы уравнений, отражающей зависимость

вектора обобщенных скоростей О (^..... 5 ¡р ,, ... ,

(р /) от вектора скоростей ВЗ \гг(\х V,, уг ,(ох соу аг) [4].

\ +,..+ JUl+ '<р , +...+ ^л+„> / = V, » « •

Л+и * +••+ л + <р, ++ „+/«» / = " • . . . Л+р., +•+ •}Г+РМ ¡¡И + ^„.Ш <Р , ++ /,+ / <Р к = °<

где J.¡ — компоненты матрицы частных передаточных отношений [4]. Компоненты J представляют собой передаточные отношения меж^у )-ой 0 = 1,2,..., Л + Л') обобщенной скоростью '¡р, ^ и 1-м компонентом вектора Vу Vсо

Вектор V определяет скорости простейших движений ВЗ; V х, V / V г - линейные скорости движения центра Оп ВЗ манипулятора в направлении осей хо, уо и ги неподвижной системы координат/ со ж, а г  г ~ мгновенные повороты вокруг осей проходящих через центр 0(1 системы Оп хп у г (рис. 2) и параллельных осям хо, уо и гп; т - размерность вектора V; Л — число линейных обобщенных скоростей я , необходимых для перемещения базовой точки От транспортной тележки (для рассматриваемого случая Л =2); Ъ / — число угловых обобщенных скоростей ^ механизма манипулятора (для заданного манипулятора Л ' =6).

Пространство обобщенных скоростей О для исследуемого механизма мобильного робота будет восьмимерным. В многомерном пространстве О первые г уравнений линейной системы (1) задают р-плоскость Г [5]. Остальные уравнения системы, число которых равно параметру р, определяют гиперплоскости £ , перпендикулярные р-плоскости Г, которые используются для построения движения по критерию минимизации объема движения [1]. Размерность р-плоскости Г заданная параметром р, вычисляется по формуле р= л - г, где число обобщенных координат л = Л + Л Л Решив данную систему уравнений, получим вектор обобщенных скоростей Ом, определяющий положение единственной точки, которую обозначим М е Г. Здесь и в дальнейшем индекс 0 обозначает принадлежность точек многомерному пространству обобщенных скоростей О. Отдельную точку принадлежащую р-плоскости Г, обозначим точкой N° Тогда точка /^определится векторным уравнением-

Уо

а)

Ьо ( ; ; .....;.....,;...-]...............>

[ 100 1

В)

Отображение областей О1 *'

-б - ко„ф„гурация № в.г . коНф„С;™дЛИжЧНЫХ ГФИГУРаЧИЙ;

урация № 2, д-ж - конфигурация № з

Рис. 3. Задание областей (Штрафом

\Г

0 161218&

б !&]218&.

а)

б)

Рис. 6. Отображение пятимерных областей О6и О6* на чертеже Радищева для двух конфигураций заданных в таблице: а - для конфигураций № 1; б - конфигурации № 2

0=0м+.| к.то,,

где кгк2,..., координаты точки № в р-плоскости Г;т — длина единичного отрезка репера р-плоскости Г;

Оп, Ос.....О /р- орты, задающие направление осей

репера в подпространстве р-плоскости Г, которые определяются коэффициентами уравнений р гиперплоскостей I ,, Е г .., £ [1]. Каждая точка №, вычисленная по уравнению (2), удовлетворяет заданному движению ВЗ. Однако в р-плоскости Гне всеточки могут удовлетворять погрешностям реализации мгновенных состояний [2,3], Многообразие точек №е Г, которое удовлетворяет заданным погрешностям реализации значений векторов О, и будет определять область 0°е Г или совокупность возможных мгновенных состояний исполнительного механизма мобильного робота.

Определим вначале область О6 допустимых значений вектора обобщенных скоростей механизма

мобильного робота для трех различных конфигураций при § < 30 мм без учета ограничений на пределы изменения обобщенных скоростей в приводах механизма робота. Значение параметра 5 примем в соответствии с заданным кратчайшим расстоянием 15 от объекта манипулирования до запретных зон. Первые две конфигурации, которые заданы в таблице, являются промежуточными при синтезе движений по критерию минимизации объема движения по траектории центра ВЗ, обозначенной отрезками АТВТи ВТСТ (рис. 1). При этом первая соответствует положению центра ВЗ в точке От, а вторая в точке Вт заданной траектории (рис. 1). В качестве третьей конфигурации представлено особое положение кинематической цепи механизма мобильного робота, при котором область 05 состоит из трех различных подобластей. Значения геометрических параметров (1,,..., 15), определяющих длины звеньев механизма манипулятора, обозначены на рис. 2. Значения обобщенных координат ц (я|( я2, ср,, ..., <р6), задающих три указанные конфигурации, заданы в таблице. Кроме этого в таблице приведены другие значения геометрических параметров, задающих модель кинематической цепи механизма мобильного робота. I определяют смещения вдоль осей при задании преобразований систем координат, связанных с отдельными звеньями механизма. Соответственно пы определяют коды кинематических преобразователей [2]. Из таблицы видно, что при задании модели кинематической цепи мобильною робота используются девять систем координат Окхк ук гк и девять матриц Мк_ , к размерности 4x4, каждая из которых описывает положение последующей к-ой системы координат относительно предыдущей к- 1-ой [6].

Положение механизма мобильного робота в неподвижной системе координат Оо при этом определяется вектором 1п= (я,, я2, (р ,, ..., ср с>), задающим единственную точку в восьмимерном конфигурационном пространстве.

Для более точного определения области О в многомерном пространстве обобщенных скоростей и сокращения времени расчетов используем алгоритм частичного итерационного перебора точек №, принадлежащих р-плоскости Г. Основные этапы работы указанного алгоритма следующие:

1. На первом этапе объем исследуемого пространства задается р мерным гиперкубом. Размер стороны гиперкуба (рис. 3) определяется исходя из соотношения Рр = кШах'2, где параметр задается в соответствии с заданными размерами исследуемого пространства р-плоскости Г. Точки №, вычисленные в соответствии с уравнением (2) и принадлежащие заданному гиперкубом Рр пространству проверяются на условие принадлежности области О5. Данные точки на рисунке 3 обозначены окружностями. При этом определяется новое положение кинематической цепи и погрешность реализаций мгновенных состояний для каждой отдельной точки №. Новые положения кинематической цепи.определяются вектором

..... 5л+ - Ф,+ <Р , ..... Ф „ '<р / ). Здесь с

определенным допущением принимается равенство Д5Л я^ и Дер / « р /. Значения параметров к{ задающих точки № находятся по соотношениям к ' = к> '"'+длтм. где * .' - значения параметров к( 'на текущем шаге (расчета, ¿/'-значение параметров А на предыдущем шаге расчета, - максимальное первоначально принятое приращение изменение коэффициентов А (см. рис. 3).

2. Если одна из точек N° изображенных на рисунке окружностями, окажется принадлежащей области Об (т. е. удовлетворяет заданным погрешностям

ш

реализации), пространство гиперкуба Рр разделяется на 2" л-мерных гиперкуба. Размеры новых исследуемых гиперкубов Рр/.г при этом уменьшаются соответственно в два раза (см. рис. 3), Далее исследуются только гиперкубы Рр/2, в которых были обнаружены точки №<= О6. Приращение Мшихпри этом уменьшается Ак11ш = Дктш / 2. Точки исследуемого гиперкуба Рр/2 на рисунке 3 обозначены указанием В трехмерном пространстве данные гиперкубы представляют октанты репера р-плоскости Г.

3. Разбиение на гиперкубы Р к и исследование их точек на предмет принадлежности области О" происходит до тех пор, пока Актах/к > АктШ. Где Л задается изначально. Далее строится граф связей гиперкубов, содержащих точки № е О6. Заметим, что если точки, располагающие на границах гиперкубов, принадлежат области О5, то исследуются также и точки граничных гиперкубов.

Достоинством предлагаемого способа вычисления областей О является минимизация временных затрат. Это достигается путем исключения из следующего шага расчетов гиперкубов, описывающих области пространства обобщенных скоростей, в которых на текущем шаге расчетов не были обнаружены точки № е о". В связи с этим данный метод расчетов позволяет исследовать области О при сравнительно больших значениях параметра 5.

Рис. 7.

Результаты виртуального моделирования движения мобильного робота при перемещении объекта манипулирования Б по траектории заданной отрезками АТВТи ВТСТ

На рис. 4 а, в, д представлены результаты расчетов, связанных с вычислением областей О для двух конфигураций, заданных в таблице, при г = 5 и л = 8. Значения указанных параметров г и л соответствуют синтезу малых движений с обеспечением заданной ориентации одной из осей системы координат Оп хл ул г Представленные на рисунке 4, с, б,в области О определены при значениях параметров Ак = 4, Ак . = 1 и к =

г г г шил /1И/1 //пал

100. Погрешности реализации приняты 5 < 30 мм. При решении системы линейных уравнений (1) значения компонент вектора V, определялись в соответствии с заданной траекторией центра ВЗ или заданными целевыми точками В7 и С7 (см. рис. 1). Указанные компоненты векторов соответственно равны V (0.6, -0.6, 5.98, 0, 0) и У(1.2, -1.8, 5.40, 0, 0). Ограничения на значения обобщенных скоростей при этом не учитывались.

Множество конфигураций, полученных реализацией мгновенных состояний заданных многообразием точек № е О, представлено на рисунке 4,6,г,ж. Совокупность указанных конфигураций образует область, которая в работе [3] обозначена От. Точки От и Оя на рис. 4 6, г, ж обозначают соответственно базовую точку транспортной тележки и центр ВЗ. На рисунке обозначения 0ш1,0ш210111.1 соответствуют проекциям области Бт на фронтальной, горизонтальной и профильной плоскостях проекции. Точка Оп определяет положение центра ВЗ (см. рис.2). На рисунке черным цветом изображены начальные заданные конфигурации.

Исследования областей О5 для различных конфигураций мобильного робота показали, что области (У могут состоять из отдельных подобластей. Одну из таких конфигураций задает конфигурация №3 представленная в таблице. На рис. 4д показаны три отдельные подобласти О61, О82и О". Заметим, что реализации мгновенных состояний, заданных точками областей О62 и 0м, характеризуются большими скоростями изменения обобщенных координат. Эти конфигурации не могут быть использованы при синтезе движений и представляют лишь теоретический интерес (их реализация невозможна вследствие заданных ограничений на изменения обобщенных скоростей в приводах мобильного робота).

На рис. 4 а, в, д черным цветом представлены изображения областей ОЧ полученных при учете заданных ограничений на изменения значений

обобщенных скоростей (- 10 рад./сек. <ip < 10 рад./ •

сек.) и (- 10 мм./сек. < s <10 мм./сек.). Значения указанных ограничений приняты в соответствии с заданными техническими характеристиками приводов, используемых в реальных конструкциях механизмов роботов. Как видно из рисунка, множество точек N" е (У, не удовлетворяющих ограничениям скоростей в приводах, может достигать от 70% и более.

Разработанный методвычисления областей Очможет быть использован для создания базы данных указанных областей для различных параллелепипедов L Д(р,, совокупность которых задает конфигурационное пространство. Эта база данных может быть использована при синтезе малых движений при наличии запретных зон. Заметим, что обобщенные координаты s(i при задании параллелепипедов ¿Дер, не учитываются. Количество параллелепипедов LA<р, будет определяться заданными предельными значениями обобщенных координат механизма манипулятора и заданными размерами его сторон Лф(. Для задания областей 0s в базе данных используем граф (рис. 5). Выбор узлов данного графа, задающих гиперкубы на определенных уровнях, позволяет задавать только такие конфигурации из базы данных для соответствующих параллелепипедов ¿Дф., которые удовлетворяют заданным погрешностям реализации. Достоинством предлагаемого метода задания областей О*, по сравнению с известными [2,3], является возможность представления не только выпуклых, но и невыпуклых областей 0s.

При синтезе движений мобильного робота с обеспечением перемещения цен тра ВЗ по заданной траектории, когда ориентация системы Oxjz^ может быть какой угодно, значения параметров г и р соответственно равны г = 3 и р = 5. В этом случае теоретический интерес имеет наглядное представление пятимерной области 0sна чертеже Радищева [5]. На рисунке 6 представлены изображения пятимерных областей 0s для двух первых конфигураций, заданных в таблице. Данные области определяются при значении параметров Дk/im = 4, ДкШп = 1, kiwm - 64. Черным цветом на рис. 6 обозначены точки, полученные при расчете области 05 с учетом указанных ранее ограничений на изменения значений обобщенных скоростей.

На рис. 7 представлены результаты моделирования движения робота с учетом положения запретных зон. На рисунке отрезки Ат Вт и Вт Ст определяют траектории движения центра ВЗ, аРи Р'обозначают запретные зоны. На рис. 7 параметр q определяет заданное безопасное расстояние до запретных зон. В рассматриваемой тестовой задаче данный параметр былпринят 5 см.

В работе предложен метод определения и задания областей О" графом. Одним из достоинств

предлагаемого метода является возможность представления не только выпуклых, но и невыпуклых областей 0\ Данный метод также позволяет сократить временные затраты на определение областей О0. Результатами исследований доказано, что области О6 могут состоять также и из отдельных подобластей содержащих точки N", удовлетворяющие заданным погрешностям реализации мгновенных состояний. В работе выполнено отображение пятимерной области (У мобильного робота на чертеже Радищева, что позволяет получить более точное наглядное представление об исследуемой области. Результаты проведенных исследований могут повысить производительность вычислительных процессов при виртуальном компьютерном моделировании движений мобильных и стационарных роботов с учетом положения запретных зон. Приведенные исследования могут быть использованы при разработке интеллектуальных адаптивных систем управления движением мобильных роботов, функционирующих в сложноорганизованных средах.

Библиографический список

1. Кобринский A.A. Манипуляционные системы роботов / Кобринский, A.A. Кобринский А.Е.. М.: Наука, 1985.-344 с.

2. Притыкин Ф.Н. Геометрически обоснованные принципы построения адагггивной системы управления мобильного робота, функционирующего в сложноорганиэованных средах. Часть 1 // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2004. -№ 3. -С. 31 -35, Часть2 // Мехатроника, автоматизация, управление. -2004. №4.-С.2-8.

3. Притыкин Ф.Н. Графическое представление маневренности интеллектуального мобильного робота с помощью анализа многообразий точек пространства мгновенных скоростей изменения обобщенных координат // Тр. XII Международной конф. «ГрафиКон - 2002», 16 - 18 сентября 2002. - Н. Новгород. 2002. - С. 64 - 70.

4. КорендясевА.И., Саламандра Б.Л.,ТывесЛ.И. Определение числа степеней свободы исполнительного органа промышленного робота//Машиноведение. - 1985. - №6. - С. 44 - 53.

5 Иванов Г.С.Теоретические основыначертательной геометрии. Учебное пособие. - М.: Машиностроение, 1998.-157 с.

6. Зенкевич С Л. Управление роботами. Основы управления манипуляционными робототехническими системами / Зенкевич С Л., Ющенко A.C. М: МВТУ, 2000. - 400 с.

ПРИТЫКИН Федор Николаевич, доктор техн. наук, зав. кафедрой начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики. ЕСКЕНИН Ренат Нургалиевич, инженер, факультет автоматизации, кафедра начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

Дата поступления статьи в редакцию: 20.06.2006 г. © Притыкин Ф.Н., Ескенин Р.Н.