Применение МКЭ в смешанной формулировке для прочностных расчетов инженерных сооружений АПК

ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ В СМЕШАННОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ ДЛЯ ПРОЧНОСТНЫХ РАСЧЕТОВ ИНЖЕНЕРНЫХ СООРУЖЕНИЙ АПК

FINITE ELEMENTS METHODS APPLICATION IN MIXED WORDING FOR ENGINEERING CONSTRUCTIONS STRENGTHENING CALCULATIONS IN AGRICULTURAL INDUSTRIAL COMPLEX

Н.А. Гуреева, кандидат технических наук, доцент кафедры «Высшая математика»

Ю.В. Клочков, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Высшая математика»

А.П. Николаев, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Мелиоративное и

водохозяйственное строительство»

ФГОУВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия

N.A. Gureeva, Y.V. Klotchkov, A.P. Nikolaev

Volgograd state agricultural academy

Данная работа выполнена при финансовой поддержке администрации Волгоградской области, предоставившей государственный научный грант победителям конкурса в соответствии с Законом Волгоградской области от 4 марта 2005 г. № 1020-ОД «О государственных научных грантах Волгоградской области», постановлением Волгоградской областной Думы от 9 октября 2008 г. № 8/653 «О выделении государственных научных грантов Волгоградской области», согласно договору б/н от 27 октября 2008 г.

Для определения напряженно-деформированного состояния произвольно нагруженных тел в трехмерной постановке разработан восьмиугольный объемный конечный элемент (шестигранник) с узловыми неизвестными напряжениями и перемещениями. Для формирования модифицированной матрицы деформирования элемента использован функционал Рейсснера.

To determine the stress-strain state of an arbitrium loaded bodies in three-dimensional production octagonal volumetric finite element (hexahedron) with unknown nodal stresses and displacements was designed. In order to form a modified matrix deformation element the Reyssner’s functional was used.

Ключевые слова: аппроксимация, векторное поле, тензорное поле, смешанная формулировка, вариационный принцип.

Key words: approximation, a vector field, a tensor field, the mixedformulation, a variation principle.

Основные трудности на пути решения задач деформирования инженерных конструкций методом конечных элементов связаны с необходимостью выполнения определенных условий сходимости. Одним из таких условий является необходимость соблюдения непрерывности искомых функций, а иногда и их первых производных на границах смежных элементов. Для пластин и оболочек, расчет которых основан на классической теории при использовании гипотезы Кирхгофа-Лява, данное условие оказывается трудновыполнимым. Поэтому для расчета пластин и оболочек было создано множество конечных элементов, основанных на несогласованных аппроксимациях. Вообще говоря, при размельчении сетки несогласованность полей перемещений уменьшается и в пределе результат должен сходиться. Однако применение несогласованных конечных элементов не позволяет контролировать точность расчета. В классической теории оболочек существует также ряд дополнительных трудностей: формулировка граничных условий в острых углах, граничных условий при нелинейных деформациях и др. Кроме того, классическая теория не учитывает поперечные сдвиги и деформации в трансверсальном направлении, что важно для современных композитных материалов.

Иногда указанные проблемы удается решить путем выбора подходящего для метода конечных элементов варианта теории оболочек. Вариационные уравнения строятся

на базе соотношений теории оболочек типа Тимошенко. Такой выбор обеспечивает понижение порядка производных искомых функций в исходных функционалах от второго в классической теории оболочек к первому в теории оболочек типа Тимошенко. Этим значительно упрощается построение конечных элементов для произвольных оболочек. Кроме того, применение теории оболочек типа Тимошенко позволяет учитывать специфические особенности деформирования композитных материалов - низкие жесткость и прочность в трансверсальном направлении.

В настоящее время существует только два метода, с помощью которых можно проводить полностью автоматизированный расчет прочности сложных конструкций. Одним из них является метод конечных элементов.

Простота, экономичность и, главное, универсальность вычислительных алгоритмов для различных схем метода конечных элементов привели к тому, что в настоящее время этот метод является основным методом расчета разнообразных конструкций и сооружений. Созданные универсальные вычислительные комплексы позволяют решать многие выдвинутые практикой задачи.

Однако существует ряд нерешенных проблем. Такой нерешенной проблемой является применение метода конечных элементов в расчетах оболочек. Как известно, классическая теория оболочек, основанная на гипотезе Кирхгофа-Лява, в выражениях для минимизируемых функционалов содержит вторые производные от искомой функции прогиба. Следовательно, главными граничными условиями вариационной задачи являются прогиб и первая производная, которые должны быть согласованы на межэлементных границах. Построение согласованных конечно-элементных двумерных аппроксимаций в этом случае затруднительно даже для плоских конечных элементов, а для оболочек произвольной формы является почти неразрешимой задачей. Построенные на базе теории Кирхгофа-Лява согласованные конечные элементы для пластин имеют высокий порядок аппроксимации, которая, кроме того, содержит неполные полиномы. Это ухудшает свойства конечных элементов, и их сходимость оказывается хуже, чем сходимость несогласованных конечных элементов.

Проблему несогласованных аппроксимаций можно решать различными способами. Можно, например, обобщить существующие вариационные принципы на несогласованные аппроксимации путем введения в функционалы дополнительных интегралов, минимизирующих межэлементную несогласованность. Но это связано с дополнительными вычислительными затратами, которые не всегда оправданы. Таким образом, в вариационных постановках задач деформирования оболочек классическая теория оказывается малопригодной. Она была создана для сведения трехмерной задачи к двумерной, но достигалось ценой повышения порядка производной в исходных функционалах. Отметим, что функционалы теории упругости содержат лишь первые производные от искомых функций. С точки зрения эффективности решения задач деформирования оболочек вариационными методами сведение трехмерной задачи к двумерной необходимо строить на базе соотношений теории оболочек, не повышающих порядок производной в исходных функционалах трехмерной теории упругости. Число искомых функций после приведения в данном случае имеет второстепенное значение, хотя желательно, чтобы оно было минимальным. Самой распространенной теорией, функционалы которой содержат только первые производные от перемещений, является теория оболочек и пластин типа Тимошенко. Она основана на гипотезе о независимом повороте нормали.

В настоящей работе для решения задач о деформировании оболочек любой толщины использованы соотношения теории упругости без ограничительных гипотез о деформировании нормали типа Кирхгофа-Лява и Тимошенко. Для аппроксимации искомых величин (перемещений и напряжений) использованы трилинейные функции формы.

1. Основные соотношения трехмерной теории упругости. Деформации произвольно нагруженного тела в декартовой системе координат определяются зависимостями [ 1]

ди . _ ди ду • _ ду •

дх Ух ду дх уу ду

ду ди . _ ди , ди ди /1 14

Ууг _& +1у ’ Ег _ дг ’ Угх _аХ +¥ ’

где Е.^ ,Еуу , Е г - линейные деформации; у , ухг ,Ууг - угловые деформации; и , V , И - составляющие вектора перемещения в направлении осей х , у , г соответственно.

Если ввести обозначения {е}7 _{ЕххЕууЕггухуухгууг} - вектор-строка деформации,

{и} _ {иуи} - вектор-строка перемещений, то зависимости (1.1) можно представить в матричном виде

{е}_ММГ ,

6x1 6x3 3x1

где и - матрица дифференциальных операций.

С другой стороны, деформации являются функциями напряжений и определяются выражениями [2]

_—

р \ хх уу иР/ху^ уу 77 V уу хх и Р И X! ^ ^ ’

1 ( ) а уг п Е

е _ — а — ус — уо ; у _^—; О

гг т-1 V, гг уу хх /’ / уг

гг т-г \ гг уу хх /’ / уг ^ ^ Л \ ,

Е О 2

где Схх, О, С г - осевые нормальные напряжения; Сху, Сгх, Суг - касательные напряжения; Е - модуль упругости; У - коэффициент Пуассона.

С использованием обозначения {о-}7 _{аххаууаггахуахгауг} - вектор- строка напряжений, зависимости (1.3) можно представить в матричном виде

{е}_[^]{о}Г ,

1x6 6x6 6x1

где [$ ] - матрица податливости.

Смешанная формулировка метода конечных элементов (при выборе в качестве узловых неизвестных перемещений и напряжений) основывается на функционале Рейсснера, который для отдельного конечного элемента можно представить в виде [2]

{сГ№}—1 {е}7{о} — 1 {<?*Г{и}& — |{о*}7

J Т ^ где V - объем конечного элемента; {/*} - заданные поверхностные силы; {и*} - заданные перемещения;Sа и Su

- поверхности деформированного конечного элемента с заданными силами и перемещениями.

2. Матрица деформирования конечного элемента. Конечный элемент в декартовой системе координат х, у , г представляет собой произвольный шестигранник с узлами i, ] , k, I, т , п , р, h . Для выполнения численного интегрирования шестигранник отображается на куб с локальными координатами £,т,С (рис. 1 б.), изменяющимися в пределах - 1 <£,, Т}, £ < 1, трилинейными соотношениями

Л_{ f

1 /]k лт лп л р /]h I ~ л

_ ЛлЛЛ Л Лл Л у - вектор-строка узловых значении величины л .

Под символом Я понимаются глобальные координаты х, у , г .

Производные глобальных координат х, у, г в локальной системе координат £ , г, С определяются дифференцированием

Я,Р = \/,Р}К},

Производные локальных координат £ , г, С в глобальной системе х, у , г : £,х;г,х;С,х;£,у;г,у;С,у;£,г;г,г;С,* определяются после дифференцирования соотношений (2.1).

Компоненты вектора перемещения и, V, н и компоненты тензора напряжений охх,оуу,...оуг аппроксимируются также трилинейными соотношениями через их узловые значения

м = {/

где {иу }Г = {и‘УцУ } - Вект0р-стр0ка узлОВЫХ ЗНаЧеНИЙ ВелИЧИН^І Ц ; {уу } ={^‘дкд>’дтдпдрд>1} -

1x8

вектор-строка узловых значений величины q.

с

1У>

1x8

п

т Ь

А р А

і и- — —г*

/ Чг- '“у?

у

Рисунок 16

Под символом ц понимаются компоненты вектора перемещений и, V, н, а под символом я - компоненты тензора напряжений охх,оуу,...оуг.

Введем для внутренней точки конечного элемента обозначение неизвестных

величин

{о} ={о О О О _

I ) I хх уу гг ху 1x6

Охг Оуг }; {н}Г = ^™}.

1x3

С использованием аппроксимации (2.3) напряжения и перемещения внутренней точки конечного элемента выразим через узловые неизвестные в матричном виде

ы=№,} ; М=М{у , }•

. ..-у,-т

6x1 6x48 48x1 3x1 3x24 24x1

Уі

1x48

хху ) V угу ) 1x8 1x8

где 7 }т = I {т }т {ст }т [ - матрица-строка узловых напряжений конечного элемента; у }т = I }т {у }т {н }

1x8 1x8 1x8

- матрица-строка узловых перемещений конечного элемента.

С учетом аппроксимирующих выражений (2.3) деформации (1.2) можно представить в виде

{е}_ИМг _ИМК ЬМУ,}.

1x6 6x3 3x1 6x3 3x24 24x1 6x24 24x1

С учетом зависимостей (2.5) и (2.6) функционал Рейсснера (1.5) можно представить в матричном виде

П_тШ652{о,ГЯс]г[х][°]{о,}-{уу}7 1\4ы<

1x48 V 48x6 6x6 6x48 48x1 1x24 я 24x3 3x1

Минимизируя функционал (2.7) по узловым неизвестным } и {уу }7 , получим

систему уравнений

дСу ^ У {у )- \И]{7у,}_ 0 ; э [е]7 )-{/'} _ 0,

дТу) 48x24 24x1 48x48 48x1 д{уу } 24x48 48x1 48x1

где М_М \б]‘У; \Н]_1{о}7 И\с]<У; {/,}7 _ЯлП<?К

48x24 V 48x6 6x24 48x48 ' 48x6 6x6 6x48 24x1 5 24x3 3x1

Систему уравнений (2.8) можно представить в традиционной конечно-элементной формулировке

где [k ] = 72x72

R }= fR

72x72 72x1 72x1

[H ] Q]

48x48 48x24

[Q]T [o]

24x48 24x24

[k ]{ZR }={fR },

2x72 72x1 72x1

- матрица деформирования восьмиугольного конечного элемента; [zfl Мк }T к }Tt -

1x72 [ 1x48 1x24 J

вектор-строка узловых неизвестных конечного элемента; [fR ]" = j {o}T {f }T I - вектор-строка узловых усилий

1x72 Ux48 1x24 J

конечного элемента.

Матрица деформирования рассматриваемой конструкции формируется в соответствии с традиционной процедурой МКЭ [3].

Библиографический список

1. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль. - М.: Высш. шк., 1970. - 288 с.

2. Галлагер, Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер; пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 428 с.

3. Постнов, В.А. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций / В.А. Постнов, И.Я. Хархурим. - Л.: Судостроение, 1974. - 344 с.

E-mail: klotchkov@bk.ru