Адаптивное управление по выходу линейными нестационарными объектами в условиях возмущения и запаздывания

АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ЛИНЕЙНЫМИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ОБЪЕКТАМИ В УСЛОВИЯХ ВОЗМУЩЕНИЯ И ЗАПАЗДЫВАНИЯ

А.А. Бобцов, А.Г. Наговицина

В статье рассматривается задача управления по выходу линейными нестационарными объектами с неизвестными параметрами в условиях возмущений и запаздывания. В предположении, что параметры и внешнее возмущения - ограниченные функции времени, представлен подход, обеспечивающий решение задачи слежения выхода за командным сигналом с заданной точностью.

Введение

Данная работа посвящена проблеме анализа и синтеза алгоритмов адаптивного управления неопределенными нестационарными линейными объектами по выходу (т.е. без измерения производных выходной переменной или вектора переменных состояния). Среди методов управления в условиях неопределенности, как правило, преобладают алгоритмы, обеспечивающие заданное поведение системы для класса математических моделей определенной структуры. К таким подходам, в частности, можно отнести схемы адаптивного и робастного управления, позволяющие решать задачи стабилизации и слежения для нестационарных объектов, в которых неопределенность согласована с управляющим входом [1]. В 80-90 годах в зарубежных изданиях появилась серия публикаций, посвященных разработке адаптивных регуляторов для линейных нестационарных систем. Эти результаты были основаны на предположении, что параметры объекта управления медленно изменяются и действуют на систему как внешнее возмущение. Позднее анализ моделей изменения параметров и наличие некоторой априорной информации об изменение параметров привели к разработке новых алгоритмов адаптации, позволяющих управлять системами с быстрыми изменениями параметров. Однако эти алгоритмы не смогли гарантировать хорошее качество переходных процессов и в общем случае не могут быть расширены на нелинейные системы с переменными параметрами. В [2] указанные проблемы были решены с использованием итеративной процедуры синтеза закона управления. Однако процедура синтеза закона управления, предложенная в [2], отличается достаточной сложностью, а сам регулятор обладает высокой размерностью. Также следует заметить, что особую сложность представляют задачи управления, в которых объект управления подвержен влиянию неизвестных возмущений. Проблема управления нестационарным объектом в условиях действия возмущений не рассматривалась авторами [2]. В данной статье будет рассмотрен подход, позволяющий решать задачу управления по выходу линейными нестационарными системами с неизвестными ограниченными параметрами. Усиливая результат, представленный в [2], будем полагать, что объект управления функционирует в условиях неизвестных возмущения и запаздывания. Также следует отметить, что данная схема управления позволяет синтезировать адаптивный регулятор фиксированной размерности, которая в свою очередь, не зависит от числа неизвестных параметров, как в [2]. Подход, предлагаемый в рамках данной статьи, будет базироваться на результатах, опубликованных в [3], что, в свою очередь, показывает возможность распространения результатов как на нелинейные (в работе [3] рассматривалась проблема стабилизации нелинейной системы), так и на линейные нестационарные системы.

Постановка задачи

Рассмотрим линейную нестационарную систему

г = Ег + 1

У = >$2,

где г(г) е Яп - вектор переменных состояния модели (1), (2); ¥, Ь и Б - п х п, п х 1 и 1 х п неизвестные постоянные матрицы; в(г) е Я" - вектор неизвестных переменных параметров; у(г) е Я - выходная переменная; н(г) е Я - ограниченное неизвестное возмущение; т - неизвестное постоянное число.

Будем полагать, что измеряется только выходная переменная системы (1), (2), параметры вектора в(г) - гладкие и ограниченные функции, а передаточная функция

Н(р) = Б(р1 -¥)-1 Ь = Ь(р) минимально фазовая, т.е. полином Ь(р) - гурвицев.

а

Наряду с объектом управления рассмотрим командный сигнал у *, доступный измерению и удовлетворяющий условию

а1 у *

йг1

< С <Ю,

где 1 = 0, р, а число р - относительная степень передаточной функции Н(р) .

Целью управления является решение задачи синтеза регулятора, обеспечивающего для любых начальных условий выполнение целевого условия

Кг) <А

для некоторого г > г1, где е = у - у * - ошибка слежения, А - некоторое число, которое может быть уменьшено за счет выбора закона управления.

Синтез алгоритма управления

Запишем систему (1), (2) следующим образом:

Г = ¥г+Ь

1=1

У = Б2,

где Д =[1 0 0  0]т, Б2 =[0 1 0  0]т, ..., Бп = [0 0 — 0 1]т - векторы размерности (пх 1); 0Х, в2, ..., дп - компоненты вектора неизвестных переменных параметров в(г) = [ в2 — вп-1 вп ]т.

Перепишем модель вход-состояние-выход (5), (6) в виде вход-выход:

у =

+^ °п

а

где р = —, передаточная функция С

Прежде, чем приступать к синтезу управления, сформулируем вспомогательный результат, опубликованный в работе [3]. Рассмотрим линейную стационарную систему х' = А'х' + В'и',

у ' = С X ',

где х ' е Яп, у' е Я, и' е Я , а матрицы А', В' и С' имеют соответствующие размерности. Передаточная функция системы (8), (9) от и' к у' определяется выражением Х(р) = С '(р1 - А')-1 В'.

Лемма. Пусть %(p) = , где b'(p) = b'n-1 pn 1 +... + b0

и

Пусть система

где число k > 0 .

Поставим вопрос о существовании положительно определенной матрицы M = MT и числа k, удовлетворяющих соотношениям

M

MB' =

для некоторой положительно определенной матрицы G = GT .

b X Р) ___ Ь ' = U' „n-1

a'

a'(p) = a'npn +... + a'0 - соответственно, числитель и знаменатель передаточной функции х(р). Пусть полином b'(p) гурвицев и b'n-1 > 0, тогда существует такое число k0 > 0, для которого соотношения (11), (12) разрешимы для любого k > k0 . Выберем управление следующим образом

u = -4

где число k > 0 ; положительный параметр Я предназначен для компенсации неопреде-

n

ленностей t D^i(t )y(t -т) и w(t); ф( p) выбирается так, чтобы полином

¿=1

в(p) = ф(p)b(p) был гурвицев и имел n -1 порядок; функция ё(t) является оценкой сигнала e(t) = y(t) - y *(t), которая формируется алгоритмом вида

« ...

ip-1 = а(-М - k2^2 - ... - kp-1^p-1 + kiё),

ё =£,

где число а > k + Я, а коэффициенты kt рассчитываются из соображений асимптотической устойчивости модели (14) при нулевом входе e.

Подставляя (13) в уравнение e(t) = y(t) - y *(t), получаем

e = ^(p)(k + Я)) + w] + 9г (t) y(t - т) - У* =

a

= [-ф

a

где функция отклонений e(t) равна

е = e - ё .

Преобразуем уравнение (16) следующим образом: a( p)e + kф( p)b( p)e = b( p)[(k + Я)е - Яе] +

+ b(p)w +ttci(pWi(t)e(t-т) +ttci(pn(t)y*(t-т) -a(p)y*, i=1 i=1 где, в силу определения сигнала ошибки как e(t) = y(t) - y *(t), было использовано уравнение y(t - т) = e(t - т) + y *(t - т). Введем следующее обозначение:

f = w(t) - ^ y * +t дг (t) y *(t - т), J w b(p) ¿=1 b(p) v

где в силу гурвицевости Ь(р), ограниченности и гладкости параметров О1 (г), а также ограниченности сигнала у * и его производных с первой по р -ю включительно функция / ограничена.

Тогда для уравнения (16) имеем

в

е = •

-[-Ле + (к + Л)в] + -

а

Примем следующее обозначение:

Г( р) = а( р) + кв( р), / = /,

/ + 1

"1 а

О (г )е(г -т).

Ф( ру

тогда для (16) получаем

е = [-Ле + (к + Л)в + / ] + ¿-О1 (г )е(г - т),

. - V ,,, ^ V

Г

где в силу гурвицевости полинома ф(р) и ограниченности / (г) функция / (г) ограничена.

Перепишем модель вход-выход (18) в виде модели вход-состояние-выход

х =

Ах + Ъ(-Ле + (к + Л)в + /) + ^ qiОi (г )е(г - т),

1=1

т

е = с х.

где х е Яп - неизмеряемый вектор переменных состояния модели (19); А, Ъ , qi и с -

соответствующие матрицы перехода от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход.

Так как /3(р) - гурвицев полином степени п -1, то в силу представленной выше

леммы существует число к0 такое, что можно указать число к > к0 и симметрическую

положительно определенную матрицу Р, удовлетворяющую двум следующим матричным уравнениям:

АтР + РА = -&, РЪ = с,

где = Q1 положительно определенная матрица.

Заметим, что значения матрицы Q1 зависят от параметра к и не зависят от Л . Перепишем модель (14), (15) в векторно-матричной форме: 4 = с(Г4 + йк1е),

е = Нт 4,

" 0 1 .. . 0 " "0" "1"

где Г = 0 0 .. . 0 , — = 0 и Н = 0

- кх - к2 .. . - кр-1 _ 1 0

Введем в рассмотрение новую переменную

П = Не - 4,

тогда в силу структуры матрицы Н невязка в примет вид

) т т т т

в = е - е = Н Не - Н 4 = Н (Не -4) = Н п.

Для производной от п получим

П = Не - <с(Г(Не - п) + —к1е) = Не + сГ п - с(—к1 + ГН)е.

Так как йк1 = -ГН (проверяется подстановкой), то

п = Не + сГп,

г = Ътц,

где матрица Г, в силу расчета коэффициентов к1 модели (14), имеет собственные числа с отрицательной вещественной частью и удовлетворяет уравнению Ляпунова:

Г ТК + Ж = -02,

где N = N и 02 = 02-, - положительно определенные матрицы.

Теорема. Существуют числа а > к + Л и Л> 0 такие, что все траектории системы (19), (20), (26), (27) ограничены и цель управления (4) выполнена.

При доказательстве теоремы следует использовать функцию Ляпунова вида

V = хтРх + v¡TNn + Л е

¡г-т

Замечание. Возможным вариантом настройки коэффициентов к,Л,а является их увеличение до тех пор, пока не будет выполнено целевое условие (4). Для реализации этой идеи воспользуемся алгоритмом настройки вида

к (г) = |^(т)й?т,

г0

~ , ^ ч при \е(г) > А,

где к = к + Л, а функция и(г) = < ,' .1 , чу * у | 0 при \е(г)\ < А,

Параметр а может быть настроен следующим образом: а = а0 к2, где число а0 > 0.

число и0 > 0.

Пример

Рассмотрим пример управления нестационарным объектом вида [2] {¿1 = г 2 +01 (г) ¿1 (г - т), г 2 = и + w + 02 (г) ¿1 (г - т),

У = ¿ь

Выберем закон управления в силу уравнений (13)—(15) и = -ф(р)(к + Л)е = -(р + 1)к^1 = -(к^1 + к|1) - к ^,

£ = а(-к1^1 + к1е) = а(-£ + е), где полином а(р) = р +1 и коэффициент к1 = 1.

Рис. 1. Переходные процессы в системе управления

Для настройки параметров к и а будем использовать подход, предложенный в данном разделе. Задавшись точностью А = 0,05 и приняв командный сигнал y *(t) = sint, промоделируем систему при /и0 = 15 и а0 = 2. Результаты моделирования для 01(t) = 2 + sin0,1t + sin10t, 02(t) = 2cost (значения параметров взяты из статьи [2]), w(t) = 2 + cos3t и т = 2 по переменным e(t) и u(t) представлены на рис. 1. Графики компьютерного моделирования при y(0) = 0, e (0) = 0 и к (0) = 5 демонстрируют достижение заданной цели управления.

Заключение

В работе была рассмотрена задача синтеза закона управления по выходу нестационарной системой вида (1), (2). Был синтезирован алгоритм адаптации вида (13)-(15), (29), (30), обеспечивающий выполнение цели управления (4). Основные отличия представленного подхода от представленных ранее аналогов состоят в следующем:

• рассматривается более общий, по сравнению с работой [1], вид нестационарной системы, а не частный случай структур матриц описания нестационарных моделей, когда нестационарная часть согласована с управляющим входом, как в [1];

• в отличие от работы [1], синтез алгоритма адаптивного управления произведен по выходу, а не по состоянию;

• усиливая результат, представленный в [2], было выдвинуто предположение о том, что объект управления подвержен влиянию внешнего неизвестного ограниченного возмущения и запаздывания;

• в отличие от алгоритма управления, представленного в [2], данная схема управления является проще в реализации, не требует использования дополнительных 5n - m фильтров и позволяет синтезировать адаптивный регулятор фиксированной размерности р, которая, в свою очередь, зависит только от относительной степени

передаточной функции H (p) = S(pI - F)-1L = b(p) , но не от числа неизвестных

а

параметров, как в работе [2].

Литература

1. Цыкунов А.М. Робастное управление нестационарными объектами // АиТ. 1996. № 2.

2. Zhang Y., Fidan B., Ioannou P.A. Backstepping control of linear time-varying systems with known and unknown parameters // IEEE Trans. Automat. Contr. 2003. V. 48. № 11. Р. 1908-1925.

3. Бобцов А.А., Николаев Н.А. Синтез управления нелинейными системами с функциональными и параметрическими неопределенностями на основе теоремы Фрад-кова // АиТ. 2005. №1.