Возникновение трехзначных логик: Логико-философский анализ

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2009. № 5

Н.Е. Томова*

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЛОГИК:

ЛОГИКО-ФИЛОСОФСКИЙ АНАЛИЗ

В статье представлен логико-философский анализ возникновения трехзначных логик. Рассматриваются основные мотивы введения в логику третьего истинностного значения. В трехзначной логике допускается, что некоторые высказывания не являются ни истинными, ни ложными. Высказывания о будущих событиях, парадоксальные высказывания, высказывания, в которых термины не имеют денотатов, высказывания о квантовомеханических свойствах не могут быть оценены ни как истинные, ни как ложные. Автор исследует проблему обоснования новых логических связок, возникающую c введением дополнительного истинностного значения, а также некоторые свойства трехзначных логических систем.

Ключевые слова: трехзначные логики, обоснование логических связок.

N.E. Tomova. The formation of three-value logics: the logic-philosophical analysis

The formation of three-value logic is analyzed in this article, as well as motivations of introduction of third value. Among the reasons for rejecting the assumption that every sentence is true or false are the belief that statements about the future, paradoxical statements, statements involving vague predicates or statements about quantum mechanical properties may not be true or false. Different motivations of introduction of third value led to different tables of connectives. In conclusion some properties of three-valued systems are examined.

Key words: three-value logics, tables of connectives.

Трехзначная логика возникла как одна из возможных альтернатив логике классической. Одним из главных принципов последней является принцип бивалентности: в классической интерпретации всякое высказывание является или истинным, или ложным. Трехзначная логика возникает, когда к двум классическим истинностным значениям добавляется третье промежуточное значение. В первую очередь возникает вопрос о мотивах введения в логику третьего истинностного значения. В § 1 будут рассмотрены некоторые из них. Однако далее с введением дополнительного истинностного значения возникает проблема обоснования новых логических связок. Этому будет посвящен § 2. В заключение рассмотрим некоторые свойства новых логических систем.

* Томова Наталья Евгеньевна — аспирант кафедры логики философского ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: 8-916-266-05-83; e-mail: natalya-tomova@ yandex.ru

§ 1. Обоснование введения в логику третьего истинностного значения

Итак, в трехзначной логике допускается, что некоторые высказывания не являются ни истинными, ни ложными. Высказывания о будущих событиях, парадоксальные высказывания, высказывания, в которых термины не имеют денотатов, высказывания о квантовомеханических свойствах и др. не могут быть оценены ни как истинные, ни как ложные. Рассмотрение этих классов предложений послужило причиной отказа от принципа двузначности и введения дополнительного значения.

Принцип двузначности был подвергнут сомнению уже в античности. В главе 9 работы «Об истолковании» Аристотель рассматривает проблему будущей случайности и ставит вопрос об истинностном статусе высказываний о будущих случайных событиях.

В XX в. Ян Лукасевич возрождает дискуссию о будущих случайных событиях в связи с проблемой детерминизма. Ян Лукасевич приходит к выводу, что к высказываниям о будущих случайных событиях принцип двузначности не применим, «этим высказываниям онтологически не соответствует ни бытие, ни небытие, но лишь возможность. Неопределенные высказывания, которым онтологически соответствует возможность, имеют третье логическое значение» [Я. Лукасевич, 1993, с. 190—205]. Таким образом, Лукасевич вводит в логику третье истинностное значение, которое в отличие от 1 (истина) и 0 (ложь) обозначается 1/2 и интерпретируется как «безразличность» или «неопределенность» и приписывается высказываниям о будущих случайных событиях.

Трехзначная логика Клини К3 возникла несколько позже логики Лукасевича, в 1938 г. В ^ третье истинностное значение вводиться по эпистемологическим соображениям, а не по онтологическим, как в Е3.

В своем обосновании Клини исходит из того, что существуют такие математические утверждения, которые хотя и являются истинными и ложными, но недоказуемы и неопровержимы. Поэтому третье истинностное значение может интерпретироваться как «неопределенно», «неизвестно», «неразрешимо» и функция этого значения может указывать на частичную нехватку информации.

Особо остро в XX в. встала проблема преодоления логических и семантических парадоксов. Определилось несколько методов элиминации антиномий. Некоторые исследователи пошли путем отказа от классической логики, пересмотрев принцип двузначности и поставив под вопрос возможность истинностной оценки для парадоксальных утверждений. Одним из первых такой способ преодоления парадоксов предложил русский логик Д.А. Бочвар. В 1938 г.

в связи с проблемой разрешения парадоксов классической математики им была построена трехзначная логика В3 [Д.А. Бочвар, 1938, с. 287—308]. В данной системе третье истинностное значение надо интерпретировать не столько как промежуточное между истиной и ложью, сколько как парадоксальное значение или даже как «бессмыслицу». Анализ логических и семантических парадоксов состоит в доказательстве бессмысленности парадоксальных высказываний. Поэтому логику Бочвара и называют логикой бессмысленности.

Независимо от Бочвара Холден построил трехзначную логику С

Hallden, 1949], которую он так же, как и Бочвар, использовал для анализа семантических парадоксов. Две упомянутые выше логики бессмысленности (В3 и С) положили начало целому направлению в области многозначных логик.

Стоит отметить, ряд исследователей допускает, что определенные высказывания могут вообще не иметь истинностной оценки, в то же время представляя собой осмысленные утверждения. Это относится к высказываниям, в которых термины не имеют денотатов. Например, высказывание «Круглый квадрат является красным». Приписывание таким высказываниям какого-то третьего истинностного значения указывает здесь не на то, что высказывание имеет промежуточное значение, а на то, что оно его вообще не имеет. Развитие такого подхода приводит к логикам с истинностнозначны-ми провалами. Это направление было развито такими логиками, как Б. ван Фраассен, С. Крипке, Р. Мартин, П. Вудруфф и др.

Некоторые исследователи пришли к идее трехзначной логики исходя из положения дел в квантовой механике. Построение теорий квантовой механики породило много вопросов в их понимании.

Первая попытка построить логику квантовой механики предпринимается уже в 30-х гг. XX в. американскими математиками Д. фон Нейманом и Д. Биркгофом. Однако сама теория появляется позже. Немецкий философ и логик Г. Рейхенбах [H. Reichenbach, 1944] предложил трехзначную логику с целью устранения «причинной аномалии», которая возникала при попытке применения классического причинного объяснения к квантовым явлениям.

Г. Рейхенбах третье истинностное значение, промежуточное между истиной и ложью, приписывает высказываниям, описывающим неопределенностные ситуации (например, высказывание, говорящее о положении частицы и ее импульсе, имеет истинностное значение «не определено»). В своей работе X. Патнэм [H. Putnam, 1957], соглашаясь с Г. Рейхенбахом о необходимости трехзначной логики для интерпретации квантовой механики, уточняет семантический статус дополнительного истинностного значения. Третье значение «не определено» вводится не для высказываний, истин-

ность которых нам просто не известна, а для высказываний, которые не могут быть верифицированы или фальсифицированы. Поэтому, например, необходимо четко различать оценку на истинность предложений, описывающих положение дел в квантовой механике, с оценкой на истинность предложения типа «На обратной стороне Луны есть горы» в момент, когда нам это было не известно.

Однако вопрос о том, действительно ли трехзначная логика есть логика квантовой механики, вызвал большую полемику.

Итак, были рассмотрены основные мотивы появления в логике дополнительного истинностного значения. С введением третьего истинностного значения возникает проблема определения трехзначных логических связок. Далее рассмотрим некоторые примеры обоснования новых трехзначных связок.

§ 2. Обоснование новых логических связок

Обратимся к логике Лукасевича. В своей системе трехзначной логики в качестве исходных логических связок он берет отрицание ~ и импликацию для которых сохраняются классические значения, когда аргументы оцениваются с точки зрения истинности или ложности1, для случаев, когда встречается третье истинностное значение, доопределение связок происходит следующим образом:

(1 ^ У) = (У ^ 0) = У,

(0 ^ У) = (У ^ У) = (У ^ 1) = 1,

~ У = У.

Посредством исходных связок определяются другие логические связки.

х л у = ~~ V ~у) x = у =

Почему доопределение осуществляется именно так, Лукасевич не объясняет ни в одной из своих работ. К сожалению, можно только предполагать, из каких мотивов исходил Лукасевич, определяя свою импликацию. В связи с этим возникли трудности с интуитивным пониманием Е3. Однако определение импликации именно таким образом обусловило особенности Е3, о которых будет сказано позже.

Таким образом, к 1920 г. относят появление первой законченной системы трехзначной логики.

Рассмотрим, как Клини обосновывает логические связки для своей логики. Напомним, Клини интерпретирует третье истин-

1 Таким образом, полученные трехзначные связки являются обобщением классических связок.

ностное значение как «не определено», «не известно», т.е. как значение, которое может быть как «истиной», так и «ложью», но, какое оно именно, не известно. Проблему определения трехзначных логических функций Клини решает, предложив регулярные таблицы для них. В работе «Введение в математику» [см.: С.К. Клини, 1957] он подробно разбирает, с чем это связано.

Клини пишет о существовании разрешающей процедуры для любого примитивно- или обще-рекурсивного предиката, однако если Q (к) — частично-рекурсивный предикат, то может не существовать алгоритм для решения, определено ли Q (к) при данном х. Логические связки в К3 должны моделировать частично-рекурсивные функции, вычисление значения которых никогда не заканчивается. Поэтому необходимо, чтобы логические связки определялись регулярными таблицами в следующем смысле: «...данный столбец (строка) содержит 1 в строке (столбце) для У только при условии, что этот столбец (строка) состоит целиком из 1; аналогично для 0» [там же].

Сохранение значений «истина» и «ложь» на всех уровнях алгоритма, последующих за уровнем, на котором были определены эти значения, — основная цель, которой служит регулярность таблиц Клини. Если в классической двузначной логике значения 1 и 0 равноправны, поскольку отрицание 1 есть 0, и, наоборот, отрицание 0 есть 1, то в К3 данные таблицы позволяют установить принципиальную неравноправность значения У со значениями 1 и 0, поскольку в отличие от 1 и 0, У не несет никакой информации, или, иначе, выражает факт отсутствия информации.

Кроме сильных регулярных таблиц (для логики Клини приводит также слабые. Они составлены в соответствии с требованием сохранения значения «не определено» на всех последующих уровнях алгоритма. Таблицы истинности можно найти в упомянутой работе Клини [там же].

Эти связки играют особую роль в трехзначной логике Бочвара.

Язык логики Бочвара имеет два уровня и состоит из внутренних логических связок и внешних. Таблицы для внутренних связок строятся в соответствии со следующим правилом: приписывание хотя бы одному из аргументов значения У оказывается достаточным для того, чтобы вся формула имела значение У. Такое свойство внутренних связок является следствием интерпретации У как «бессмысленности», т.е. бессмысленность влечет за собой бессмысленность. Таким образом, внутренние связки логики Бочвара совпадают со связками слабой логики Клини.

Внешние связки необходимы для описания отношений между истинностными значениями высказываний. Особенностью таблиц истинности для этих связок является то, что внутри них имеются

только истинностные значения 1 и 0, причем сохраняются классические значения, когда аргументы принимают значение из множества {0,1} [см.: Д.А. Бочвар, 1938]. Таким образом, внешняя логика Бочвара представляет собой трехзначную версию классической логики.

В соответствии с этой идеей парадоксальная формула принадлежит внутреннему языку, а утверждение ее бессмысленности — внешнему. Анализ парадокса состоит в доказательстве бессмысленности парадоксальной формулы, т.е. утверждения, что данная формула бессмысленна.

Обратимся к логикам с истинностнозначными провалами. Пример такой логики можем найти у Б. ван Фраассена [B. van Fraassen, 1966]. Как осуществляется работа с высказываниями, которые содержат термины, не имеющие денотата? Фраассен говорит, что подобным высказываниям приписывание истинностного значения осуществляется произвольно, такому высказыванию может быть приписана в равной степени как «истина», так и «ложь». Такая семантика получила название семантики супероценок. Здесь не идет речи о третьем истинностном значении. Заполнение таблиц истинности для подобной логики осуществляется по аналогии с классической логикой, однако допускаются случаи, когда не приписано никакое истинностное значение, т.е. имеют место так называемые истинностнозначные провалы. Таблицы истинности для связок логики с истинностнозначными провалами можно найти также в работе П. Вудруффа [P.W. Woodruff, 1970].

§ 3. Новые логические системы

Рассмотрим те последствия, к которым привело введение в логику третьего значения, укажем некоторые особенности новых систем.

Появление трехзначных систем привело к пересмотру статуса законов классической логики: не все законы классической логики

имеют место в трехзначных системах. В L3, например, не имеют

3 2 места ни закон исключенного третьего, ни закон непротиворечия2.

Таким образом, класс тавтологий трехзначных логик и логики классической не совпадают3. С другой стороны, стоит обратить внимание на особенность рассмотренных нами таблиц истинности: на классическом множестве истинностных значений значения связок совпадают с определением связок классической двузначной

2 В связи с этим возник вопрос об адекватности системы, построенной Лукасе-вичем, для экспликации аристотелевской проблемы об истинностном статусе высказываний о будущих случайных событиях.

3 Заметим, в логиках с «истинностно-значными провалами» класс логических истин совпадает с классом тавтологий классической двузначной логики, в то время как принцип бивалентности отбрасывается.

логики. Отсюда следует, что любая тавтология рассмотренных трехзначных логик есть тавтология С2. Обратное же неверно. Другое свойство новых семантик — это то, что некоторые классически противоречивые формулы не являются более таковыми. Так, например, в L3 больше не является противоречивой формула р = —p при приписывании значения У.

Более того, в некоторых трехзначных системах отсутствует класс тавтологий: например, в трехзначной логике Клини К3 (при одном выделенном значении 1). Заметим, что отличие К3 от L3 только в таблице для импликации: в K3 У ^ У = У, L3 У ^ У = 1. В трехзначной логике появляется возможность по-разному обобщать свойства классических связок. Кроме того, мы можем моделировать новые связки, не существующие в классической логике. Так, например, в рамках своей логики Лукасевич определяет модальные операторы.

Таким образом, очевидно, что, возникнув из различных предпосылок, трехзначная логика обнаружила фундаментальные отличия от классической логики. В то же время некоторые исследователи склонны рассматривать системы трехзначной логики скорее как расширение и обогащение классических систем, поскольку оказалось, что некоторые трехзначные логики можно аксиоматизировать как расширение С2. См., например, аксиоматизацию трехзначной логики Бочвара В3 [V.K. Finn, R. Grigolia, 1993]. Это ставит серьезную проблему взаимоотношения классической логики С2 многозначными логиками.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Матем. сб. 1938. № 2. Т. 4.

2. Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957. § 64.

3. Лукасевич Я. О детерминизме // Логические исследования. Вып. 2. М., 1993.

4. Hallden S. The logic of Nonsense. Uppsala. 1949.

5. Putnam H. Three-valued logic // Philosophical studies (Minneapolis). 1957. Vol. 8.

6. Reichenbach H. Philosophic foundationa on quantum mechanics. Los-Angeles, 1944.

7. Finn V.K., Griloglia R. Nonsense logics and their algebraic properties // Theoria. 1993. Vol. LIX. P. 1—3.

8. Fraassen B. van. Singular terms, truth-value gaps, and free logic // The journal of philosophy. 1966. Vol. 63. N 17. Sep. 15.

9. WoodruffP.W. Logic and truth value gaps / Ed. by K. Lanbert. Dordrecht, 1970.