О классах функций трехзначной логики, порожденных монотонными симметрическими функциями

Автор выражает признательность научному руководителю Г. М. Кобелькову за постановку задачи и полезные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988.

2. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. М.: Наука, 2001.

3. Prohl A. Projection and Quasi-Compressibility Methods for Solving the Incompressible Navier-Stokes Equations. Stuttgart: B.G. Teubner, 1997.

4. Rannacher R. On Chorin's projection method for the incompressible Navier-Stokes Equations // Navier-Stokes Equations II — Theory and Numerical Methods. Lect. Notes Math. Vol. 1530. Berlin: Springer, 1992. 167-183.

5. Марчук Г.И., Саркисян А.С. Математическое моделирование циркуляции океана. М.: Наука, 1988.

6. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

7. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса: теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

8. Kobelkov G. Existence of a solution "in the large" for the 3D large-scale ocean dynamics equations // C. r. Acad. sci. Paris. Ser. 1. 2006. 343. 283-286.

9. Ольшанский М.А. О задаче Стокса с модельными краевыми условиями // Матем. сб. 1997. 188, № 4. 127-144.

Поступила в редакцию 21.01.2008

УДК 519.716

О КЛАССАХ ФУНКЦИЙ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, ПОРОЖДЕННЫХ МОНОТОННЫМИ СИММЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

А. В. Михайлович

В работе рассматривается задача о существовании базисов для замкнутых классов функций трехзначной логики. В [1,2] показано, что все замкнутые (относительно операции суперпозиции) классы булевых функций имеют конечный базис. На случай к-значных логик при к ^ 3 этот результат не распространяется. В [3] показано, что при к ^ 3 в Р^ существуют замкнутые классы как со счетным базисом, так и без базиса. Следует отметить, что порождающие системы замкнутых классов из работы [3] состоят из симметрических функций, которые принимают значения из множества {0,1}; при этом ненулевые значения принимаются лишь на наборах, не содержащих нулевых компонент. В [4, 5] рассмотрены некоторые семейства замкнутых классов, порожденные немонотонными симметрическими функциями. В данной работе изучаются классы монотонных относительно порядка 0 < 1 < 2 функций трехзначной логики, порождающие системы которых обладают вышеперечисленными свойствами (см. также [6]). Все необходимые определения можно найти в [4-7].

Пусть Е = {0,1, 2}. Обозначим через Еп множество всех наборов а = (а\,а2 ,...,ап), таких, что а\,а.2,...,ап € Е, п ^ 1. Число единиц в наборе а обозначим через \а\. Набор из Еп, все компоненты которого равны а, будем обозначать через ап. Пусть а € 0>. Обозначим через ]а[ наименьшее целое число, не меньшее а. Положим Z+ = N и {0}.

Будем обозначать через Ф(х1,...,хп) такую формулу, которая содержит символы переменных ж1,...,жп и не содержит символов других переменных. Значение формулы Ф на наборе а = (а.1,..., ап) обозначается через Ф(а). Символы переменных будем называть тривиальными формулами. Пусть А С Р3. Формулу Ф над А будем называть простой, если она имеет вид д(х^,... ), где д € А, а хг1,... ,хгп — символы переменных, п ^ 1. Пусть Ф(х1,... ,хп), С1, ...,Сп — формулы над А. Будем обозначать через Ф(С1,... ,Сп) формулу, полученную из Ф подстановкой на место каждого вхождения переменных х1,..., хп формул С1,..., Сп соответственно. Пусть Ф(х^,... ,хтп) — некоторая формула над А, {х¿1,... ,хтп } С {х1,... ,хп}, а а = (а1,... ,ап) € Еп. Положим Ф(<3) = Ф(а»1,... ,агт).

Положим Оп = {1, 2}п\1п, п ^ 1. Обозначим через Р множество всех функций / (х1,...,хп) трехзначной логики, таких, что /(а) € {0,1} для любого а € Еп и /(3) = 0 для любого (3 € Еп\Вп, п ^ 1. Легко видеть, что выполняется следующее свойство.

(*) Пусть Ф — некоторая формула над Р, Ф1 — произвольная нетривиальная подформула формулы Ф, а, 3 — произвольные наборы из Еп, такие, что Ф^й) = 0, Ф(3) = 1. Тогда Ф(с3) =0 и Ф1(3) = 1.

Множество всех наборов из Еп, которые получаются друг из друга перестановкой компонент, будем называть слоем. Слой из Бп, содержащий е единиц и с! двоек, обозначим через С < е,! >, где 0 ^ е < п, 0 < ! ^ п, е + с! = п. Функция /(х1,...,хп) из Р называется симметрической, если для любого слоя С<е,!> из Оп и для любых наборов а,, 3 € С<е,!> выполняется равенство /(<3) = /(3). Будем называть функцию монотонной, если она монотонна относительно порядка 0 < 1 < 2. Множество всех симметрических монотонных функций из Р обозначим через МБут. Пусть /(х1,... ,хп) € МБут, ef — наибольшее число, такое, что для любого набора а € С< ef,п — ef > выполняется равенство /(а) = 1, 0 ^ ef < п. Типом функции / будем называть число • Пусть С С МБут, к € . Будем называть множество С ^-ограниченным, если для любой функции / € С имеет место неравенство ef ^ к и найдется функция д € С, такая, что ед = к. Пусть С — к-ограниченное множество. Функцию д € С, для которой выполняется равенство ед = к, будем называть максимальной функцией множества С. Обозначим множество всех максимальных функций множества С через К(С). Функции /(х1,..., хп) и д(у1,..., уп) из Р называются конгруэнтными, если одна из них получается из другой переименованием переменных без отождествления (обозначение / = д). Пусть А, В С Р. Будем говорить, что А = В, если для любой функции / € А существует функция д € В, такая, что / = д, и наоборот, для любой функции д € В существует функция / € А, такая, что д = /. Пусть Т — разбиение множества МБут на классы, состоящие из конгруэнтных функций. Положим Т(/) = {д € МБут | д = /}. Пусть /,д € МБут. Легко видеть, что если / = д, то Т(/) = Т(д). Будем говорить, что Т(д) ^ Т(/), если и только если / € [{д}]. В этом случае будем также писать д ^ /, сравнивая / и д как представителей классов Т(/) и Т(д) соответственно. Очевидно, что отношение ^ транзитивно и рефлексивно. Ниже будет показано, что отношение ^ антисимметрично (следствие 1). Таким образом, ^ является отношением частичного порядка на множестве Т. Будем говорить, что д У /, если д ^ / и д = /.

Пусть Н С МБут, Н — множество попарно неконгруэнтных функций. Множество Н называется цепью, если любые два элемента множества Н сравнимы относительно порядка Пусть Н С С С МБут, где Н — цепь, а С — множество попарно неконгруэнтных функций. Цепь Н называется максимальной цепью множества С, если для любой цепи Н1 С МБут, такой, что Н С Н1, Н = Н1, цепь Н1 не является подмножеством множества С. Функция / € Н называется верхней гранью цепи Н, если для любой функции д € Н выполняется соотношение / ^ д. Очевидно, что если / является верхней гранью цепи Н, то Н С [{/}]. Цепь называется ограниченной, если она имеет верхнюю грань.

Утверждение 1. Пусть А С МБут, /(х1,... ,хп) € МБут, Ф — некоторая формула над А, реализующая функцию /, Ф1 — подформула формулы Ф, имеющая вид д(В1,... ,Вт), где д(х1,... ,хт) € А, а В1,..., Вт — формулы на А. Тогда выполняются следующие соотношения:

^ < ед,

в/ < в9

п — ef т — ед

т — е,

п — ^

<

При этом если Ф1 не является простой формулой, то

^ < ед

<

п — ef т — ед

те

п — ^

<

Доказательство. Пусть Ф(х1,... ,хп) — формула над А С Р, реализующая функцию /(х1,... ,хп), а Ф1 — некоторая подформула формулы Ф, имеющая вид д(В1,...,Вт), д € А. Пусть среди формул В1,..., Вт символы переменных х1,...,хп встречаются ц1,...,цп раз соответственно, ц1,...,цп ^ 0, а формулы, не являющиеся символами переменных, встречаются г раз, г ^ 0. Будем считать, что ^

д2 ^......^ дп ^ 0. Рассмотрим набор а =

выполняется равенство Ф1(с3) = 1. Так как д монотонна, то, сравнивая значения формул Ф и Ф1 на наборе а, легко получить следующие соотношения: ед ^ ef + г ^ ef и т — ед ^ +1 (п — ef). Поэтому

^ < ед

п — ef т — ед

те

п — ^

<

Если Ф1 не является простой подформулой, то г ^ 1 и, следовательно,

^ < ед

<

п — ef т — ед

те

п — ^

<

е

д

е

е

д

д

е

д

е

е

д

д

Следствие 1. Если /,д е МБуш, д У / и / У д, то / = д. Cледствие 2. Если /,д е МБуш и д У /, то ед > .

Утверждение 2. Пусть /(х\,...,хп),д(х\,...,хт) е МБуш, п ^ т ^ 1. Тогда если ef < ед, то

д у /.

Доказательство. Пусть /(х\,...,хп),д(х\,...,хт) е МБуш и выполняются соотношения ед > ef и п ^ т ^ 1. Если т = 1, то из ef < ед < т следует, что ef < 0. Это противоречит тому, что 0 ^ ef. Поэтому т > 1. Построим формулу над {д}, реализующую функцию /(х\,..., хп). Пусть Х\,..., Хр — все подмножества множества {х\,... ,хп}, каждое из которых содержит т — 1 элементов, р = \

,1_1}, г = 1,.. .,р, ¿1 < ¿2 < ... < гт-1. Сопоставим множеству Xг упорядоченный

11,... , хгт-1

Пусть Хг = {х. набор хг = (х^1,... ,хгт_ 1), г = 1,...,р.

Обозначим через Н\{х\,... ,хп) такую функцию из МБут, тип которой равен га^9е !_1. Построим фор-

п-в„ + 1 •

мулу над {д}, реализующую функцию Ль Для этого построим последовательность формул Фо,..., Фр, таких, что Фг(а) = 1 на всех наборах а е Вп, удовлетворяющих соотношению \а\ ^ eg — 1, г = 0,...,р. Положим Фо(х1,...,хт-1) = д(х1,х2,...,хт-1 ,хт-1). Легко видеть, что для любого набора 7 е Ет-2 выполняются равенства

1, если 7 е {1, 2}т-2, Фо(7Лт-1 ) = { или 7 е{1, 2}т-2,

0 в остальных случаях.

\ ^ и 7т-1 = 2 ^ eg — 2 и 7т-1 = 1;

Очевидно, что Фо(а) = 1 на всех наборах а е Вп, таких, что \а\ ^ eg — 1.

Обозначим через Фг формулу вида д(Ф^1,7г), г = 1,...,р. Очевидно, что если Фг-1( 7) = 1 и д(1, аг) = 1, то Фг( 7) = 1. Поэтому

(1 7) = 11, если 7г е Бт-1 и \7г\ ^ вд — 1;

^ 0 в остальных случаях.

Легко показать, что Фг(а) = 1 при всех г = 1,...,р и для любых а е Оп, таких, что \а\ ^ eg — 1. Следовательно, Фр(а) = 1 для всех а е Вп, таких, что \а\ ^ eg — 1.

Пусть (3 е Вп, \7\ ^ eg. Покажем, что Фр(7) = 0. Без ограничения общности можно считать, что в = @2 = ... = ве3 = 1. Тогда найдется набор 77, 1 ^ ] ^ р, содержащий переменные х1,...,хед.

Поскольку д(1,7) = 0, то Ф-(7) = 0. Поэтому в силу свойства (*) имеем Фр(7) = 0. Таким образом, формула Фр реализует функцию Л (х1,..., хп), равную единице на всех наборах а е Оп, таких, что \а\ ^ eg — 1, и нулю на всех остальных наборах. Если eg — ef = 1, то Л(х1,..., хп) = /(х1,..., хп), и утверждение доказано. Если eg — ef = I > 1, то для каждого г = 2,...,1 рассмотрим функцию Лг(х1,..., хп), тип которой

Равен п-е +г~ Аналогичным образом построим формулы Ф2,. • • ,Ф 1 над {д}, реализующие функции Л-2,- • • соответственно. Очевидно, что /(х1,... ,хп) = Ь[(х1,... ,хп). Следовательно, / е [{д}].

Утверждение 3. Пусть А С МБуш, / е МБуш; Ф(х1,...,хп) — некоторая формула над А, реализующая функцию /, Ф1 — произвольная подформула формулы Ф, имеющая вид д(В1,...,Вт), где д(х1,..., хт) е А, В1,..., Вт — формулы над А, и при этом Ф1 не является простой формулой. Тогда д У /.

Доказательство. Пусть /(х1,... ,хп) е МБуш, Ф — некоторая формула над А, реализующая функцию /, Ф1 — произвольная подформула формулы Ф, имеющая вид д(В1,..., Вт), д е А, В1,..., Вт — формулы над А, при этом Ф1 не является простой формулой. Согласно утверждению 1, выполняются

неравенства е/ < ед и < Если п ^ т, то из неравенства е/ < ед и утверждения 2 следует,

что д У /. Пусть п < т. Покажем, что из неравенства обозначения:

e = ef, б, = п — ef, к =

т — e,

п — e

Ь = eg — ke, г =

< — следует соотношение д У /. Введем ef

— 1, в = Ьг = e, £ = кб — (т — eg).

Легко видеть, что к > 0, Ь > 0, п — e > £ ^ 0, 0 < в ^ e, г ^ 0.

Пусть р = ; г .. ,ЛР — все различные разбиения множества {ж1,..., хп} на 2 непересекаю-

щихся подмножества, такие, что Аг = {Уг, иг}, а множества Уг и Цг содержат e + 1 и б — 1 переменных соответственно, г = 1,...,р. Обозначим через хг некоторый (упорядоченный) набор переменных (х-,... ,х-п),

такой, что {х-1,...,х-е+1} = Yг, {х-е+2,...,х7п} = Uг, г = 1,...,р.

т—е

д

пе

f

Рассмотрим функцию h следующего вида:

Н(х о, . . . , Хп) — !j(„%01 Х\, . .j ,Х\,    , Xs—i,    , Xs— 1, Xs i  -j i ^si

k+r+1 k+r+1 k+r

 i i  -j i Же ; %e-\-l i    i e+l ) • • • ) ^n—11    i ^n—i+1 ) • • • ) ^n—i+1 ) • • • ) ^ra; • -j i

k+r k k k-1 k-1

Отметим некоторые свойства функции h. Если к = 1, то h существенно зависит от n — t переменных. Функция h монотонна, h(1e+2, 2d-1 ) =0, и для любого набора a G Dn+1, \а\ ^ ef, справедливо равенство h(1, а) = 1, так как на соответствующие места функции g подставляется не более чем (к + r + 1)(s — 1) + (k + r)(ef — s + 1) + 1 = (k + r)ef + s = kef + b = eg единиц.

Положим Фо = h(xs

, X1, . '., Xn

). Обозначим через Фд формулу вида h^q-1,xq), q = 1,...,p. Нетрудно показать, что формула Фр реализует функцию f(x1,...,xn) (доказательство проводится аналогично доказательству утверждения 2). Таким образом, получаем, что g У f.

Утверждение 4. Пусть G — произвольное множество, состоящее из попарно неконгруэнтных функций .множества MSym, B — .множество всех верхних граней максимальных цепей множества G, F = [G], F имеет базис и A — базис класса F. Тогда выполняется соотношение B = A.

Доказательство. Пусть G — произвольное множество, состоящее из попарно неконгруэнтных функций множества MSym, F = [G], F имеет базис, A — базис класса F. Для любой функции f G A обозначим через Yf некоторую формулу над G, реализующую функцию f. Пусть Ф — произвольная формула над A. Заменим в формуле Ф каждую функцию f базиса A на соответствующую ей подформулу Y f. Полученную формулу над G обозначим через ^(Ф).

Пусть g(x1,... ,xm) G F и g — верхняя грань некоторой максимальной цепи множества G. Рассматривая произвольную формулу Ф над A, реализующую функцию g, и соответствующую ей формулу ^(Ф) над G, получаем, что формула Ф имеет вид g(xjl,... ,xjm). Поэтому g G A.

Пусть f G F и f не является верхней гранью никакой максимальной цепи множества G. Предположим, что f G A. Рассматривая произвольную формулу Yf над G, реализующую функцию f, получаем, что для любой подформулы Ф = g(^1,..., Bm) формулы Yf выполняются соотношения g G A\{f} Q [A\{f}]. Тогда f G [A\{f}], что противоречит тому, что A — базис класса F. Следовательно, A содержит все функции из F, которые являются верхними гранями некоторых максимальных цепей множества G или конгруэнтны им, и не содержит никаких других.

Теорема 1. Пусть G — произвольное множество, состоящее из попарно неконгруэнтных функций из MSym, F = [G]. Тогда класс F имеет базис в том и только в том случае, когда каждая функция из G содержится в некоторой ограниченной максимальной цепи множества G.

Доказательство. Необходимость. Пусть класс F имеет базис и A — некоторый базис класса F. Предположим, что существует функция h(x1,... ,xs) G G, которая не содержится ни в какой ограниченной максимальной цепи множества G. Рассмотрим некоторую формулу Ф^ над A, реализующую функцию h(x1,... ,xp). Если формула Ф^ не является простой, то по утверждению 3 существует функция f G A, такая, что в формуле Ф^ есть подформула вида f (B1,..., Bs) и f У h. Если формула Ф^ является простой, то она имеет вид g(xi1,... ,xis), g G A. Следовательно, g У h. Согласно утверждению 4, базис A состоит только из тех функций, которые являются верхними гранями максимальных цепей множества G. Следовательно, функции f и g также являются верхними гранями некоторых максимальных цепей множества G. Тогда функция h содержится в какой-то ограниченной максимальной цепи множества G. Получили противоречие. Следовательно, каждая функция множества G содержится в некоторой ограниченной максимальной цепи.

Достаточность. Пусть A — множество всех функций, которые являются верхними гранями максимальных цепей множества G. Очевидно, что все функции множества A попарно несравнимы и [A] = F. Предположим, что существует функция g(x1 ,...,xp) G A, для которой выполняется соотношение g G [A\{g}]. Пусть формула Ф над A\{g} реализует функцию g и имеет вид f (B1,..., Bn), где f G A, B1,..., Bn — формулы над A. Если Ф — простая формула, то g G [{f}]. Так как f Щ g, имеем f У g, что противоречит тому, что g — верхняя грань некоторой конечной максимальной цепи множества G. Если формула Ф не является простой, то по утверждению 3 выполняется неравенство f У g, что противоречит тому, что g — верхняя грань некоторой конечной максимальной цепи в G. Следовательно, g G [A\{g}]. Таким образом, A — базис класса F.

Теорема 2. Пусть G — произвольное множество, состоящее из попарно неконгруэнтных функций множества MSym, F = [G], F имеет базис и A — некоторый базис класса F. Тогда множество A конечно

в том и только в том случае, когда для некоторого k G Z+ множество G является k-ограниченным и множество K(G) конечно.

Доказательство. Необходимость. Пусть G — множество, состоящее из неконгруэнтных функций множества MSym, F = [G], F имеет конечный базис. Пусть A — некоторый базис класса F. Очевидно, что множество A конечно. Тогда по утверждению 4 имеем A Ç G. Поскольку множество A конечно, существует число k G Z+, такое, что множество A является k-ограниченным. Рассмотрим произвольную функцию g(xi,...,xn) G G. Пусть она реализуется некоторой формулой Ф над A, которая имеет вид h(Bi,..., Bm), h G A, Bi,..., Bm — формулы над A. По утверждению 1 выполняется неравенство eg ^ eh, причем если формула Ф не является простой, то eg < eh. Если формула Ф простая, то либо h = g, что противоречит условию теоремы, либо h У g и тогда, согласно следствию 2, выполняется неравенство eg < eh. Следовательно, для любой функции g G G\A справедливо неравенство eg < eh ^ k. Таким образом, множество G является k-ограниченным. Кроме того, K(G) Ç A. Поэтому множество K(G) конечно.

Достаточность. Пусть множество K(G) конечно, f(xi,...,xn) G K(G). Из утверждения 2 следует, что для любой функции g(xi,...,xm), такой, что eg < ef, m ^ n, выполняется соотношение g G [{f}]. Обозначим через B множество всех функций h(xi,... ,xm) G G, таких, что eh < ef, m < n. Очевидно, что множесто B конечно. Поскольку для любой функции g G G выполняется неравенство eg ^ ef, то либо g G [{f}], либо g G B, либо g G K(G). Следовательно, F = [BuK(G)]. Поскольку множество BuK(G) конечно, то класс F имеет конечный базис.

Автор выражает благодарность А. Б. Угольникову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863), программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-4470.2008.1) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Post E.L. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43, N 3. 163-185.

2. Post E.L. The two-valued iterative systems of mathematical logic // Ann. Math. Stud. Princeton Univ. Press, 1941. 5.

3. Янов Ю.И., Мучник А.А. О существовании k-значных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса // Докл. АН СССР. 1959. 127, № 1. 44-46.

4. Михайлович А.В. О замкнутых классах трехзначной логики, порожденных симметрическими функциями // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 4. 54-57.

5. Михайлович А.В. О некоторых свойствах симметрических функций трeхзначной логики // Мат-лы IX Между-нар. семинара "Дискретная математика и еe приложения" (М., МГУ, 18-23 июня 2007 г.). М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. 165-167.

6. Михайлович А.В. О замкнутых классах в P3, порожденных монотонными симметрическими функциями // Тез. докл. XV Междунар. конф. "Проблемы теоретической кибернетики" (Казань, 2-7 июня 2008 г.). Казань, 2008. 83.

7. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2001.

Поступила в редакцию 23.06.2008