Исследование задачи линейного программирования с нечеткими параметрами

УДК 519.81

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ М.А. Артемов, М.Г. Матвеев, И.Ю. Стародубцев

Для задач нечеткого линейного программирования с нечеткими параметрами целевой функции и ограничений предлагается метод решения, основанный на дефаззификации целевой функции. Метод позволяет получать четкие оптимальные решения при нечетком критерии и четких ограничениях и решение в виде нечетких чисел при нечетких параметрах целевой функции и ограничений

Ключевые слова: задача нечеткого линейного программирования, нечеткие числа, управление рисками, интервальные ограничения

1. Введение

Задачи нечеткого математического программирования (ЗНМП) во многих приложениях рассматриваются как удобное и адекватное описание выбора в условиях неполной определенности. Математический аппарат решения задач нечеткого математического программирования (НМП) достаточно разнообразен и соответствует вариантам трактовки понятия оптимальности в различных условиях нечеткости. Обзор некоторых вариантов описания нечеткости, понятия оптимальности в условиях нечеткости и методов решения соответствующих ЗНМП приведен в работах [1,2]. Так при нечеткой целевой зависимости и нечетких отношениях при формулировке ограничений используется принцип Беллмана-Заде, в соответствии с которым решением ЗНМП является нечеткое множество - пересечение нечетких множеств целевой функции и ограничений. Если источником нечеткости являются параметры целевой функции или параметры ограничений, то исходная задача НМП может рассматриваться как задача многокритериальной оптимизации с применением соответствующего математического аппарата, в том числе методов нечеткой логики [3,4]. Часто решение задач с нечеткими параметрами сводится к задачам интервального программирования с соответствующими методами решения [1]. В работе [5] рассматривается подход к получению точного решения задачи НЛП, при нечетких параметрах целевой функции и четких ограничениях.

Будем рассматривать линейные модели принятия оптимальных решений в случае, когда целевая функция и ограничения содержат нечеткие параметры.

2. Решение ЗНЛП при нечетких параметрах целевой функции и ограничений

Пусть нечеткие параметры присутствуют как в целевой функции, так и в ограничениях

~ = 2 РгХ — max

Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 246-32-85

Матвеев Михаил Григорьевич — ВГУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 2208-470

Стародубцев Игорь Юрьевич — ВГУ, преподаватель, тел. (473) 2208-337

2] У Л], "У =

г

Коэффициенты целевой функции представляют собой нечеткие числа - рр е [рЬ; рК ], здесь и далее индексы Ь и К означают левую и правую границы носителя нечеткого числа. Знак у читается как «не хуже», то есть надо выбрать такой вектор х, который одновременно с условием (1) обеспечит левую часть выражения (2) «не хуже», чем правая часть. Такая интерпретация нечетких ограничений заключается в том, что точно описанное множество ограничений (допустимых альтернатив) оказывается лишь приближением реальности в том смысле, что в реальной задаче альтернативы вне множества точных ограничений могут быть не недопустимыми, а лишь в той или иной степени менее желательными для ЛПР, чем альтернативы внутри этого множества. Отношение « А не хуже В » можно определить как «А содержится в В», то есть "хе X т~(х) £ М~(х). Другими словами выражение « А содержится в В » можно рассматривать как А с В. В принятой интерпретации точно описанное множество ограничений (допустимых альтернатив) оказывается лишь приближением реальности в том смысле, что в реальной задаче альтернативы вне множества точных ограничений могут быть не недопустимыми, а лишь в той или иной степени менее желательными для ЛПР, чем альтернативы внутри этого множества. Как правило, левую часть (2) задает эксперт в рассматриваемой предметной области, а правую часть формулирует ЛПР. В такой интерпретации корректная запись неравенства (2) будет иметь вид

2 ~]Хг с , "] = 1„И

г

Предлагаются следующие подходы для решения задачи (1-2).

1. В соответствии с методом, описанным в работе [6], вводятся дискретные а - уровни, критерий и ограничения (3) рассматриваются применительно к каждому уровню ак (к е К — число а -уровней). На уровне ак максимизируется соответствующее слагаемое критерия (1):

4 k (x) = qk (a, x) + qf (ak, x) — max

Тогда критерий (1) записывается в виде четкой функции цели вида

q

k x

Ограничения (3) записываются в виде системы интервальных ограничений на каждом ak - уровне:

2[hL

г

Приведение системы (5) к системе обычных линейных неравенств осуществляется записью отдельных неравенств с соответствующим отношением для левой и правой границ интервалов:

2 hL (ak)x > dj (akX

i

2 hf (ak)xt < dj (ak).

i

Т аким образом, на каждом a - уровне формируется обычная ЗЛП, решению которой приписывается соответствующее значение степени принадлежности, т.е. a - уровня. Окончательно формируется дискретное нечеткое множество решений исходной задачи. Решение в виде нечеткого множества само по себе достаточно информативно. Однако традиционный практический подход может потребовать четкого решения в виде обычного вектора х. В этом случае четкое решение можно получить, применяя один из известных методов дефаззифика-ции, например, решение с максимальной функцией принадлежности или решение, взвешенное по методу «центра тяжести».

2. Критерий (1) записывается в виде четкой функции цели вида (4).

Ограничения (3) записываются в виде системы интервальных ограничений по всем ak - уровням (k е K - число a - уровней):

2 [h- (a); hR (a Ж- С [dk (a), dR (aK)], г (6) "j = 1..n

Приведение системы (6) к системе обычных линейных неравенств осуществляется записью отдельных неравенств с соответствующим отношением для левой и правой границ интервалов:

2 hik (ak)xi > dj (ak X

i

2 hf (ak)xi < df (ak).

i

k е K - число a - уровней

В этом случае формируется обычная ЗЛП, в результате решения которой мы сразу получаем четкое решение исходной задачи.

3. Критерий (1) записывается в виде четкой функции цели вида (4). Не умоляя общности, рассмотрим случай для i, j = 2 . Ограничения (3) записываются в виде

~11 х1 + ~21 х2 у й1,

~12 х1 + а22х2 у ~2 .

Для каждого нечеткого числа ~ поставим в соответствие следующую сумму (среднее взвешенное значение):

2 (аЬ а)+ак а ))Ок

22ak

k

Аналогичную сумму распишем для d :

2 (Л (ак) + Л (ак )а ~ ^. 22 ак

к

Тем самым мы смогли избавиться от нечеткости в системе (7) и теперь можем заменить знак « у » на «>». Мы получили обычную ЗЛП.

вид

Таким образом, система (7) примет следующий

2 (a11 (ak )X1 + a11 (ak )x2 )ak

22ak

k

2 (aL1 (ak)X1 + aR1 (ak )X2 )ak

22 a k

k

2 (dL (ak)X1 + dR (ak)X1 )ak

22 a k

k

2 (au (ak )X1 + a12 (ak )X2 )ak

22 a k

k

2 (a22 (ak )X1 + a22 (ak )x2 )ak

22

ak

X ((а)Х1 + Л2 (ак)X! )ак

к________________________

2Хак ’

к

х1 > 0, х2 > 0.

В результате решения системы (8) мы получаем четкое решение исходной задачи.1

Рассмотрим применение приведенных методик на следующем примере.

Будем рассматривать задачу начального распределения инвестиционных средств между несколькими предприятиями для получения прибыли в течение ряда последующих лет. Распределение прибыли по времени можно представить линейной мо-

1 Приведенные результаты будут справедливы для любых нечетких чисел Ь-Я типа.

k

k

k

+

k

k

+

k

k

делью у = Ах, А = | ~ , где у - экспертные оценки

прибыли с единицы инвестиционных вложений в I-е предприятие в ]-м году, задаваемые в виде треугольных нечетких чисел; х - четкий размер инвестиций в 1-е предприятие (/ = 1,...,и). Пусть инвесторов интересуют ближайшие два года и экспертные оценки прибыли у с единицы инвестиционных

средств в 1-е предприятие имеют вид: у11 = (1; 3; 5), у12 = (1; 4; 6), у21 = (2; 3; 4), у22 = (0; 3; 6). Цель инвесторов - необходимо минимизировать суммарные инвестиции в оба предприятия, обозначив при этом нечеткие ограничения на ежегодную прибыль.

Критерий оптимальности при этом принимает четкий вид:

Р(хи х2) = х1 + х 2 —— тп что не мешает применять рассматриваемые методики, так как на каждом а - уровне его выражение просто останется без изменений. Ограничения примут вид

у11 х1 + у21 х2 с ё1,

х1 > 0,

х2 > °.

Пусть ЛПР обозначил свои ограничения на прибыль первого и второго года в виде треугольных нечетких чисел « = (2; 30; 60) и у2 = (2; 30; 60). Зададим следующие а - уровни: 0,2; 0,4; 0,6;, 0,8; 1,0.

Рассмотрим результаты, полученные после применения каждой из указанных методик.

1. Первый подход позволил получить опти-

*

мальные решения X по а - уровням, которые показаны в таблице 1. Следует обратить внимание, что все ограничения согласно принятой интерпретации строго выполняются.

Четкие ожидаемые оптимальные решения можно получить, используя методы дефаззифика-ции:

5

X Х *как

X =

к=1

5

Хак

к=1

і = 1, 2.

«12Х1 + «22Х2 Є Л2,

Характеристики оптимальных решений по а - уровням

Т аблица 1

ак а111х1 + а121х2 > йь1, 12Х1 + аЬ22Х2 > ЛЬ2 аК11х1 + а221х2 < Л21, а212 Х1 + а2 22 Х2 < йК 2 * Х1 опт * Х2 опт * * Р

0,2 7,6 =7,6 23,0 < 54,0 4,5 0,6 5,1

7,6 =7,6 28,5 < 54,0

0,4 13,2 = 13,2 27,4 < 48,0 5,1 1,7 6,8

13,2 = 13,2 34,5 < 48,0

0,6 18,8 = 18,8 28,8 < 42,0 4,5 3,4 7,9

18,8 = 18,8 36,0 < 42,0

0,8 24,4 = 24,4 29,2 < 36,0 3,0 6,0 9,0

24,4 = 24,4 34,5 < 36,0

1,0 30 = 30 30 = 30 30 = 30 30 = 30 0 10,0 10,0

Здесь а111х1 + а121х2 > йь1 и

аК11х1 + аК21х2 < ёК1 представляют собой ограничения на получаемую прибыль за 1-ый год, а аь12х + а122х2 > ёь2 и аК12х1 + аК22х2 < йК2 огра-

*

ничения на получаемую прибыль за 2-ой год. х1 — оптимальный размер инвестиций в первое предпри-*

ятие, х2 — оптимальный размер инвестиций во второе предприятие.

На основании данных таблицы 1 по формуле (9) получаем четкое значение инвестиций за два

года: х1= 2,7; х2 = 5,9. При этом суммарное значение инвестиций составляет — 8,6. При полученных четких значениях инвестиций в первое и второе предприятие прибыль за первый и второй год будет равна 26,9 и 31,6 соответственно.

2. Методика, предложенная во втором подходе, не дает четкого решения задачи (1—2) при заданных ограничениях. Было получено решение, близкое к оптимуму, со следующими значениями (таблица 2).

Т аблица 2

ak Ограничение на прибыль

0,2 18,9 > 7,6 7,6 = 7,6 37,1 < 54 50,8 < 54

0,4 21.2 > 13,2 13.2 = 13,2 34,8 < 48 45,6 < 48

0,6 23,5 > 18,8 18,8 = 18,8 32,5 < 42 40,4 < 42 2 7,3 9,3

0,8 25,7 > 24,4 24,4 = 24,4 30,3 < 36 35,2 < 36

1,0 28 > 30 30 = 30 28 < 30 30 = 30

Как видно из таблицы 2 не выполняется ограничение при а = 1,0.

3. Третий подход позволил получить значения, которые представлены в таблице 3. Следует обратить внимание, что все ограничения согласно принятой интерпретации строго выполняются.

Т аблица 3

Характеристики точных решений по а - уровням

Выводы

1. Методика решения ЗНЛП, предложенная в первом подходе, позволяет получить оптимальное решение как в фаззифицированном, так и дефаззи-фицированном виде, хотя в последнем случае может возникать нарушение заданных нечетких ограничений. Если эти нарушения допустимы с точки зрения ЛПР и предложенная интерпретация оптимума критерия адекватна целям инвестора, то методика может применяться при решении задач нечеткого линейного программирования.

2. Сравнивая представленные выше методики, мы видим, что минимальный суммарный размер инвестиций позволяет получить методика № 1. Значение размера инвестиций составляет 8,6. Получаемая в этом случае прибыль за 1 -ый и 2-ой год будет составлять 29,9 и 31,6 соответственно. Вторая методика не дала четкого решения при заданных ограничениях, к тому же, значение инвестиций, полученное при нарушении ограничения, стала максимальной из всех трех методик. Значение суммарных инвестиций, полученных по третьей методике, немно-

го превышает значение из первого метода и составляет 8,9. Несмотря на это, прибыль, полученная за 1ый и 2-ой год, составляет 30,3 и 37,1 соответственно, что превосходит результаты первого метода.

Таким образом, можно сделать вывод, что методика № 3 дает лучшие результаты, несмотря на небольшой проигрыш в суммарных инвестициях.

Литература

1. Мелькумова Е.М. О решении некоторых задач нечеткого математического программирования / Е.М. Мелькумова - Вестник Воронежского государственного университета. Серия: «Системный анализ и информационные технологии», №2, 2009. — С. 19-24.

2. Батыршин И.З. Нечеткие гибридные системы. Теория и практика / И.З. Батыршин, А.О. Недосекин и др. Под ред. Н.Г. Ярушкиной. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 208 с.

3. Klir G. Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications / G. Klir, B. Yuan. — N.Y: Prentice Hall: Upper Saddle River, 1995. — 574p.

4. Семенов Б.А., Леденева Т.М. Многокритериальная оптимизация на основе нечеткой логики / Системы управления и информационные технологии. — М.; Воронеж: Науч. кн., 2009. — №1(35). — С.43-47.

5. Матвеев М.Г. Метод решения задачи нечеткого математического программирования. / Материалы XI международной научно-методической конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии» в 3 томах, том 2. Воронеж: ВГУ, 2011. — С. 24-26.

6. Яхъяева Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети.

— ИНТУИТ.Ш БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.

— 320 с.

Ограничение на прибыль на 1 -ый год Ограничение на прибыль на 2-ой год 1 *1 1 *2 F

30,3 > 30,3 37,1 > 30,3 0 8,9 8,9

Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет

RESEARCH PROBLEM LINEAR PROGRAMMING WITH THE FUZZY PARAMETERS M.A. Artemov, M.G. Matveev, I.Y. Starodubtsev

For problems of fuzzy linear programming with fuzzy parameters of objective function and constraints proposed solution method, based on defuzzification objective function. The method allows for crisp an optimal solution for the fuzzy criteria and constraints and clear solution in the form of fuzzy numbers by fuzzy parameters of objective function and constraints Key words: fuzzy linear programming problem, fuzzy numbers, risk management, interval limits