Исследование плазмон-поляритонного резонанса методом трансфер-матриц

УДК 539.21

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАЗМОН-ПОЛЯРИТОННОГО РЕЗОНАНСА МЕТОДОМ ТРАНСФЕР-МАТРИЦ

© 2012 С.В. Чехонина

Самарский государственный университет

Поступила в редакцию 25.01.2012

В рамках метода трансфер-матриц построена математическая модель локализованного плазмонного резонанса в структуре диэлектрик-металл-диэлектрик. Получена зависимость коэффициента отражения света слоистой наноструктурой от частоты падающего излучения. Проведено исследование изменения коэффициента отражения в зависимости от толщины металлической пленки. Установлена чувствительность слоистой структуры к добавлению тонкого слоя протеинов. Ключевые слова: поверхностный плазмон.

1.ВВЕДЕНИЕ

Интенсивное развитие современных технологий сопровождается большим количеством экспериментальных и теоретических исследований поверхностных плазмон-поляритонов и их использованием в различных устройствах [1-3].

Так, например, "микроскоп на поверхностных плазмонах" имеет и на сегодняшний день широкий спектр применимости в различных сферах наук: физики, химии, биологии и др. На практике было проверено и установлено, что этот микроскоп может служить сенсором, способным быстро и надежно детектировать наличие тех или иных химических веществ в исследуемой среде благодаря своей высокой разрешающей способности и чувствительности [4]. Кроме того, плазмоны можно рассматривать как средство передачи информации в компьютерных чипах [5]. Разработке новых конфигураций устройств на основе плазмонного резонанса посвящены статьи [6-8].

Целью работы является исследование особенностей прохождения света в слоистых наноструктурах и расчет коэффициента отражения. В настоящей работе были решены следующие задачи:

1) построить трансфер-матрицы для описания прохождения света в 3-слойной и 4-слойной наноструктурах;

2) применить построенные матрицы для расчета коэффициента отражения в структурах воздух-золото-стекло и воздух-протеиновая пленка-золото-стекло.

Новизна исследования: проведен расчет электромагнитного отклика золотой нанопленки методом трансфер-матриц с использованием веще-

Чехонина Светлана Владимировна, физический факультет. E-mail: ruzelpina@bk.ru

ственнои диэлектрическом проницаемости золота, взятой из теории Друде-Зоммерфельда. В рамках этого формализма найдена зависимость коэффициента отражения от частоты падающего излучения и толщины пленки в слоистых структурах: стекло-золотая нанопленка-воздух и воз-дух-протеины-золотая нанопленка-стекло.

2.УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ПЛАЗМОНОВ

Рассмотрим задачу о прохождении электромагнитной волны через границу двух сред: 1-металл, с характеристиками^ и ^ , 2- диэлектрик, с характеристиками е2 и /л2.

Z L ^

Л X

Рис. 1. Прохождение электромагнитной волны через границу раздела двух сред металл-диэлектрик

При прохождении границы раздела сред электромагнитная волна описывается решением однородного уравнения Максвелла:

- а>2 -

УхУх Е (г,а>) —- е(г,а>) Е (т,ю) = 0. (1) с

Обозначим Ех, Е2 — напряженность электрического поля в 1 и во 2 среде соответственно.

Решение можно представить в виде [2]:

Е

С Е Л

Е], х

0

Е

V Ез ,. У

е'к'*-шв'к^, ] = 1,2,

к2 + к2 = ек2,

х л. 1 '

2я

т'

Так как поля электрической индукции в обоих полупространствах не имеют источников, т.е. у. в = 0, приходим к равенству:

к Е + к. Е. = 0, / = 1,2.

Теперь с учетом и решение можно записать в форме:

Е1 = Е,х

Л

\ / = 1,2.

1

0

-к _X

к

V 1, г У

Волна поляризована в плоскости падения и удовлетворяет граничному условию:

0, е,Е, -еЕ. = 0.

е1,х е2,х

Уравнения и образуют однородную систему. Условием существования решения такой системы является дисперсионное уравнение [2]:

е1к2,. -е2к1,. = 0.

Из в сочетании с и получаем дисперсионное соотношение:

к2 =к2 «1+е

ехе2 о2

««2 е1 + «2

е+е2 с

Мы хотим найти распространяющиеся волны. Это значит, что компонента волнового вектора вдоль границы раздела должна быть действительной. С другой стороны, мы хотим найти локализованные вблизи поверхности раздела волны. Для этого нормальные к поверхности компоненты должны быть чисто мнимые. В этом случае будет наблюдаться экспоненциальное спадание полей при удалении от границы. Из и получаем условия существования локализованных поверхностных плазмонов:

«(о). е2(о) < 0, «(о) + е2 (о) < 0.

Следовательно, одна из диэлектрических функций должна быть отрицательной и по абсолютной величине превосходить другую [1, 2].

3.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПЛАЗМОНЫ В СЛОИСТЫХ СТРУКТУРАХ

Рассмотрим образование поверхностных плазмон-поляритонов при прохождении электромагнитной волны через слоистую структуру (рис. 2).

Рис. 2. Прохождение электромагнитной волны через слоистую структуру: 0

Волна в каждом слое описывается следующими выражениями [2]:

( \

Е = Е+

0 0

( \

1 1

0 еК'г + Е~ 0 -гк0 .г е

-кх кх

V к0,. У V к0,. У

( \

Е\ = Е+

( \

1 1

0 еК'г + Е- 0 е~ гк1,.

-К К.

V к1,.у V К.

Е2 = Е2

С \ 1 0 к

гк2.

V к2,г У

Здесь Е0+ — амплитуда падающей волны, Е0-— амплитуда отраженной от границы раздела воздух/золото волны, Е1+ — амплитуда прошед-

шей в золото волны, Е1 — амплитуда отраженной от границы раздела золото/стекло волны, Е+ — амплитуда прошедшей в стекло волны.

В случае золотой пленки существенная дисперсия имеет место только для £ = £ (ю), в то время как £0 и £2 (для диэлектриков) можно рассматривать как не зависящие от частоты положительные величины [6].

Будем предполагать, что металл (золото) описывается 2 2моделью Друде:

£ (ю) — 1 — 0)р1 / Ю , где Юр1 — частота колебаний электронной плазмы в золоте, а Ю — частота падающего излучения.

Запишем дисперсионные соотношения для каждой границы раздела сред. Для границы воздух / золото:

ю

к 0,* = —-

С V £ 0 + £ 1

ю

к1= —-

С у £1 + £0

Обозначим: К0 = к0,* / , Т]0 = £ / £0. Для границы золото/стекло:_

к,- -Ю^Р • к2-- =ЮЮ-££ К = ¥ "'-=-

С]] £1 + £2 С у £1 +£2 к2г £1

Используя условие непрерывности векторов В и £ на границе раздела, можно записать в матричном виде:

Ггг+Л

V Е 0 У

1 (1 + 1 — к%1 V1 0 ^

1 — к%1 1 + К1%1

0 е

•к1>г

( Т7+\

ЕГ

( Т7+\ ( „ —

Е—

0 ^ 1 (1 + К2%2 1 — к2%2 1 — к2%2 1 + К2%

Г 17+Л

24 2 У

V Е 0 У

Эти уравнения запишем в трансфер-матричном подходе [2]:

( Е + ^

0

Е

0 у

= Т ФТ

0,1 1 1,2

( Е + ^

V 0 у

Т = 1 (1 + К%1 1 — ^

Т 0,1 2

2 V" "1"/1-  -г'1 у

1 — 1 +К1%1

Ф1 =

( — ¿к:! **-й е 1

0

¿к, -,2-й

Т = 1 (1 + К2П2 1 — К2Пг ^

1,2 2 V1 — к2% 1 + К2% у

Коэффициент отражения определяется фор-

мулой: Д(Ю, кх ) :

В пакете Mathematica была получена и исследована зависимость коэффициента отражения от частоты падающего излучения. На рис. 3 показан 3D-график: по оси OZ отложен коэффициент R, по OY — толщина пленки d, по OX — частота падающей волны.

Рис. 3. 3D-график зависимости коэффициента

отражения от частоты падающей волны и толщины золотой пленки при проникновении волны из золота в стекло

Вывод: Как видно, в диапазоне волн 1015 — 5 -1015 Гц золотая пленка становится прозрачной. Это т.н. скин-эффект. Толщина пленки оказалась меньше величины скин-слоя (для золота скин-слой в рассматриваемых условиях равен 100 нм). На частотах, близких к Юр1 = 1.371-10 Гц, коэффициент отражения резко возрастает. Образование поверхностных плазмонных волн существенно зависит не только от частоты падающего света, но и от толщины слоя металла, расположенного между диэлектриками.

СО,С"

Рис. 4. Трехмерный график зависимости коэффициента отражения от частоты падающей волны и толщины золотой пленки, при добавлении слоя протеинов на золотую пленку

I Е

0

В рамках формализма трансфер-матриц в работе решена еще одна задача, аналогичная первой, но с добавлением между воздухом и золотой пленкой слоя протеинов (ё=5нм).

Вывод: При добавлении на золото слоя протеинов коэффициент отражения уменьшился на несколько порядков. Это видно из сравнения рис. 3 и 4. Т.о., слоистая структура оказалась очень чувствительной к добавлению даже одного тонкого слоя протеинов. Этот факт дает возможность использовать данную конструкцию в качестве биосенсора.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе рассмотрено возникновение плазмон-поляритонного резонанса в слоистых наноструктурах.

1. В рамках метода трансфер-матрицы построена математическая модель плазмонного резонанса в структуре диэлектрик-металл-диэлектрик.

2. Найдена зависимость коэффициента отражения от частоты падающего излучения в слоистой структуре: стекло-золотая нанопленка-воздух. Показано, что образование поверхностных плаз-монных волн существенно зависит не только от частоты падающего света, но и от толщины слоя металла, расположенного между диэлектриками.

3. Найдена зависимость коэффициента отражения от частоты падающего излучения и толщины золотой нанопленки в слоистой структу-

ре: воздух-протеины-золотая нанопленка-стек-ло. Показана сильная зависимость плазмонного резонанса от состава слоистой структуры.

Эти результаты позволяют применить метод трансфер матриц к описанию поверхностных плазмонных волн, возникающих в современных наноструктурных материалах. Полученные результаты соответствуют результатам других теоретических исследований, опубликованных в открытой печати.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Климов ВВ. Наноплазмоника. М.: Физматлит, 2010. 480 с.

2. Novotny L., Hecht B. Princuples of Nano-Optics, Cambridge University Press, 2006. 539 с.

3. Возинова А.В., Нерух А.Г. Всеукраинский межведомственный научно-технический сборник, выпуск 154, Харьков, 2008.

4. Гришина Н. В., Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Анализ рассеивающих свойств наноразмерной вставки в пленке на подложке // Оптика и спектроскопия. 2008. Т.105. № 6. С. 1039-1044.

5. Федянин Д.Ю., Арсенин А.В., Лейман В.Г., Гладун А.Д. Поверхностные плазмон-поляритоны с отрицательной и нулевой групповыми скоростями, распространяющиеся по тонким металлическим пленкам // Квантовая Электроника. 2009. Т.39. № 8. С. 745-750.

6. Abdulhalim А., Zourob M., Lakhtakia A. Surface Plasmon Resonance for Biosensing // Electromagnetics. 2008. Vol. 28. № 3. P. 214 - 242.

7. Этуотер Г. Информационные технологии. ПЛАЗ-МОНИКА //В мире науки. 2007. № 8. С. 96-100.

8. Stockman M.I. Nanofocusing of optical energy in tapered plasmonic waveguides// Phys. Rev. Lett. Vol. 93, 2004. P. 137-404.

RESEARCH PLASMON POLARITONS RESONANCES WITH USE METHOD OF TRANSFERS-MATRIXES

© 2012 S.V. Chekhonina

Samara State University

The mathematical model of a localized plasmon resonance in a dielectric-metal-dielectric structure is constructed by the transfer-matrix method. The frequency dependence and the metal film thickness dependence of a reflectance of light by the layered nanostructure are obtained. The sensitivity of a layered structure to a thin layer of proteins addition is de-termined. Key words: surface plasmon.

Svetlana Chekhonina, Physics Department. E-mail: ruzelpina@bk.ru