Учет упругой деформации крыла в своей плоскости при расчете антисимметричных колебаний самолета с крылом малого удлинения

____УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том IV 1973

№ 6

УДК 629.735.33.015.4:533.6.013.422

УЧЕТ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ КРЫЛА В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ АНТИСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ САМОЛЕТА С КРЫЛОМ МАЛОГО УДЛИНЕНИЯ

В. А. Мосунов

При антисимметричных колебаниях самолета с крылом малого удлинения крыло не только изгибается, но и деформируется в своей плоскости. Вклад от упругой деформации крыла в своей плоскости в общую податливость конструкции довольно велик и обязательно должен учитываться в расчетах. Плоская деформация крыла имеет место и при симметричных колебаниях самолета, если упругая линия фюзеляжа не лежит в плоскости крыла. В настоящее время предложен метод расчета, учитывающий растяжение — сжатие крыла при вертикальном изгибе фюзеляжа.

В случае антисимметричных колебаний картина усложняется. Крыло деформируется в своей плоскости при боковом изгибе фюзеляжа, а в случае, если ось жесткости фюзеляжа не лежит в плоскости крыла, и при кручении фюзеляжа. Предлагаемая методика расчета позволяет учесть жесткость крыла на деформацию в своей плоскости в общей жесткости конструкции при антисимметричных колебаниях самолета.

1. Жесткость крыла на деформацию в своей плоскости вычисляется следующим способом: крыло разбивается прямоугольной сеткой на прямоугольные и треугольные элементы (фиг. 1). Узлы сетки нумеруются в следующем порядке: гЬ+\^гк1 хк+\^>хк ПРИ гъ+1 — гк- Это означает, что нумерация начинается с узлов, расположенных ближе других к корню крыла, а затем продолжается последовательно на хордах, отстоящих все дальше по размаху крыла. На каждой хорде номера узлов возрастают в направлении оси Ох. Деформацию крыла в своей плоскости будем описывать перемещениями п узлов крыла в направлении осей Ох и Ог. Предположим также, что в пределах каждого прямоугольного (или треугольного) элемента смещение любой точки крыла линейно зависит от ее координат х и г. В частности, для прямоугольной панели с номерами узлов /, / + 1, У, /+ 1 и началом координат, помещенным в узел г, перемещения запишутся следующим образом: в направлении оси Ох

и(х, г)= щ + (и1+1 —щ) х + (му — щ) г + (и/ -и,—и/+1 + «/+1)-* г\

в направлении оси Ог

V (х, г) = ь1 + (о/+1 — VI) х + (1/у — I/,-) ~г + (ь1- иг+1 - + 1>у+,) * 7,

где

х = х/а, 2 = г1Ь," а = х1+1~х1, Ь = Х] — 27.

Принимая во внимание выражение для упругой энергии панели толщиной при деформации ее в своей плоскости

Ппл= 2(1 // (4+ В1 + 2',гх гг) ахйг + ^-$$-(*е1х йг

' ' е с

Фиг. 1

и соотношения ех = ди1дх, е2 = дк/дг, = д^дг + дv|дx, представим энергию деформации панели в виде квадратичной формы вектора

У8 <=(«,, И< + „ иу, и)+1, Vи 1>г+1, V}, оу+1)',

Ппл = 1/2 У'808У.

Аналогично энергия Ппл вычисляется дря каждого элемента крыла. Общая энергия плоской деформации крыла получается суммированием по всем элементам:

П„л=1/2ГСалК

Здесь

и1 щ

Чп

V!

1/2

— вектор перемещений,

бап = 1|£«Ц- матрица жесткости плосконапряженного состояния крыла. 132

При расчете методом заданных форм энергия изгибных деформаций записывается так:

Пизг= 1/2 и'Ои.

Здесь и — вектор обобщенных перемещений, С? — матрица жесткости конструкции. В работе использован метод многочленов [1], когда формы изгибных деформаций задаются в виде полинома, коэффициенты которого да* являются координатами вектора II:

№ (х, г) = ^

. К=1

и =

№

N

Полная энергия П0 упругих деформаций конструкции является суммой Пизг и Ппл. Чтобы остаться в рамках метода заданных форм, необходимо представить Ппл в виде Ппл = 1/2 V Опл и. Тогда

П0 = 1/2 и'ви+ 1/2 V' „V = \12 V вУ + 1/2 О' Опл V = 1 /2 £/' (О + б™) П.

Фиг. 2

Для этого необходимо найти V как функцию от и.

2. Расчетная схема конструкции показана на фиг. 2. Фюзеляж схематизирован балкой, работающей на изгиб и кручение. В случае несовпадения оси жесткости фюзеляжа с плоскостью крыла предположим, что балка жестко соединена с крылом в г узлах крыла, лежащих на оси симметрии крыла, невесомыми абсолютно жесткими стержнями длиной //;. Такая схематизация предполагает, что при изгибно-крутильных деформациях поперечные сечения фюзеляжа не деформируются. Так как самолет симметричен относительно плоскости хОу, естественны следующие допущения: при антисимметричных деформациях фюзеляж не изгибается в вертикальной плоскости, и первые г узлов крыла, лежащие в плоскости симметрии самолета, не смещаются в направлении оси Ох, т. е. щ = 0 при 1 IС г.

Деформация самолета при антисимметричных колебаниях описывается N обобщенными координатами. Из них первые описывают изгиб киля и фюзе-

ляжа, последние N1 — изгибную деформацию крыла [2}. Вектор V, описывающий плоскую деформацию крыла, можно выразить через обобщенных координат:

Ш,

и(х, у)= 2 ™к^к У4*• к=\

Тогда перемещение /-го узла (из первых г узлов крыла) запишем (фиг. 3):

„ _ дг> (х’ у) щ —и (Х[, 0) Ні

у = 0

Величина Ні в формуле (1) положительна, если крыло расположено над фюзеляжем, и отрицательна, если крыло расположено под фюзеляжем.

Фиг. 3

Обозначим первые компонентов вектора и, которые описывают деформацию киля и фюзеляжа, как 1/а:

И)!

«/,=

VI

«3

кроме того, обозначим Уг —

Тогда в матричных обозначениях формулу (1) можно записать так:

уг=хиь

где

(П

*?' УЇ-. .х™’у9”‘ д1Н1х^у^‘ *.. ЧЫ'Нхх?я,у*Ъ-1

Х= Уг' ..хр»'учтн, + у=0 Я1Нгх?у‘>'-1 .. .1„,нг

у=0

Таким образом, г компонентов вектора V выражаются через £/3 (а значит, и через Ц). Для нахождения остальных компонентов V воспользуемся условием минимума Ппл при заданном V'. -

дПпл/ды/ = 0,

где

2л

Ппл = 5/2 2 Чік и1

I, к=1

Здесь ^=ил+г, д,* = 9*1 — коэффициенты матрицы 03я.

После дифференцирования по неизвестным компонентам подучим следующую систему уравнений:

я 2л я+г

2 £«•* “А + 2 В1к “* *= — 2 “*•

* = 7+1 *=Я+Г+1 * = я+1

где / принимает значения от г + 1 до п и от п + г 4-1 до 2и. Обозначая

“г+1 иг+2 £г+1, л+1 • • *г+1. Л+Г

Ия Н-1 г+а &п, я+1 •  • ^Л, я+г

У = ; /? = 8п+/+1. я + 1 • • 8п+Т+\, л+г

«л ^2л, п+1 • • • ^2я. Л+г

£*+1,г+1* • • £>+1, л £г+1, я+г+1 • • • *г+1. 2я

г*. 7+1 •  • ^я, л *я. л+г+1 • • 8п, 2 л

8п+Т + 1, г+1‘ • £л+г+1. л ^ л+2+1, л+г+1   • ^л+г+І, 2л

82п, г+1 • • • 82п, Я 8 2л, Л+/Ч-1 • • &2п, 2л

перепишем (2) в матричном виде:

РУ=-ЯУГ,

откуда Г&= — Р~1ЯУГ, причем матрица Т7-1 существует всегда. Обозначая К — — получим

У=КУГ

Найдены все компоненты вектора V. Для удобства изменим структуру матрицы К:

О

если К =

*1

КЇ

} п-г } п—г

, то Ко =

К,

£

ЇС™

Здесь О — нулевая матрица, Е — единичная матрица.

Тогда

У=К0УГ

и из (Г) и (3') получим

У-К0Хи2;

Ппл = 1 /2 и' 02 „ О = 1/2 X' Ко 02 л Ко А-£/а; О*; = К'0 „ *0

Дополняя б^ла нулями до размеров NXN, получим

/-} _ “ПЛ :  }

иПл —

?*»! 0

ПЛ :

о і 0

и Оо — О + 0Пл-

__________лг-лл,

_ ЛГ2 N—N2

Вычисленная таким способом матрица О0, учитывающая как изгибную, так и плоскую деформацию крыла, может быть использована при расчетах на флаттер и в других задачах аэроупругости.

3. Изложенная методика расчета матрицы жесткости, которая учитывает жесткость крыла на деформацию в своей плоскости, была проверена тремя примерами расчета.

Первый пример расчета является эталонным, имеющим точное решение, и служит тестом предложенной методики.

Консольная балка длиной 6 = 10 с изгибной жесткостью £/б0К = 2гс и крутильной жесткостью 0/Кр=я/(1 + -*) (при ч=0,3) связана с плоской прямоугольной панелью, находящейся на расстоянии //=0,5 от нее (фиг. 4). Панель имеет

строительную высоту Л = 0,566, толщйну верхней .обшивки 8 = 0,005, ширина

панели 21 = 8; модуль £ = 20. Эта же панель при рассмотрении ее в задаче

о плоско-напряженном состоянии разбивается на 20 квадратных клеток, образующих 33 узла (при расчете в силу

симметрии принимается во внимание

только половина конструкции при г> 0). Узлы Л и б закрепляются пружинами жесткостью с=104. Модуль сдвига 6=76,9.

Если исходить из гипотезы неизменяемости поперечного сечения образовавшейся таким образом Т-образной балки, то точное решение дало следующие результаты.

При приложении вертикальной единичной силы в точке 1 эта точка должна смещаться вверх на 8и = 63,6, а точка 2 на В21 = + 4,58 вправо. При единичной боковой силе в точке 2 точки 1 и 2 должны смещаться соответственно на величины 512 = 821= +4,58 (вверх) и 822 = 45,3 (вправо).

Решение, полученное с помощью предлагаемой методики с привлечением шести степеней свободы с координатными функциями X2, х3, .к4, ху, X2 у, X3 у 12 = 821 = -|-4,01; 822=46,9. От точных 8П и 822 отли-

Фиг. 4

показало, что Вп=63,0; чаются на 1 и 3,5%.

Ошибка для 812, отнесенная к главным прогибам (8П или 822), составляет также около 1%. Это соответствует ошибке в положении оси жесткости системы 0,036.

С помощью второго примера была проведена оценка области применимости предложенной схематизации конструкции. Рассчитывался тонкостенный стержень (фиг. 5). Расчет проводился по теории тонкостенных стержней и сравнивался

—т— подобранные жесткости (приведенные) Фиг. 6

с расчетом, где этот стержень схематизирован панелью и балкой (см. фиг. 4) при различных R и Н. При этом H/R = const = 0,5. Рассчитывались перемещения в точке 1 от боковой силы в точке 2 (на оси цилиндра). Ошибка Д в вычислении бца составила (в %):

Д>10% при /?//>0,40;

Д=4% при /?//= 0,35;

Д = 2% при R/l = 0,30;

Д-<1% при R/1 <0,20.

Третьим примером был расчет тяжелого сверхзвукового самолета схемы низкоплан, для которого R/l х: 0,15. Рассчитывались первые пять частот антисимметричных колебаний самолета в пустоте. Результаты приведены в таблице.

Номер тона Частоты собственных колебаний в герцах, полученные

расчетом по изложенной методике, с реальными жесткостями расчетом без учета плоской деформации крыла с реальными жесткостями расчетом с подобранными жесткостями фюзеляжа в эксперименте

1 167 (—9) 106 (-42) 182 (0) 183

2 198 (-8) 197 (-8) 201 (-7) 215

3 257 (8) 238 (0) 279 (17) 238

4 359 (1) 306 (—14) 394 (11) 355

5 401 (—5) 374 (—11) 406 (-4) 421

Ранее для учета влияния крыла на боковой изгиб фюзеляжа при расчетах искусственно завышали жесткости фюзеляжа в районе крыла. Этот подбор жесткостей проводился опытным путем (например, до совпадения частот первого тона с частотой, определяемой из эксперимента). Данные, приведенные в таблице, показывают, что предлагаемый метод расчета антисимметричных колебаний дает хорошие результаты без необходимости подбора жесткостей фюзеляжа. При расчете прежним способом жесткости фюзеляжа пришлось значительно завысить, как это видно из графика фиг. 6.

ЛИТЕРАТУРА

1. Буньков В. Г. Учет деформации сдвига при расчете колебаний крыла малого удлинения методом многочленов. „Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 4, 1972.

2. Б у н ь к о в В. Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач аэроупругости. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

Рукопись поступила J9jV 1973 г.