Статический расчет прямых замкнутых призматических оболочек методом Бубнова Галеркина с учетом двойной нелинейности

УДК 539.3

Н.В. Губарева

СТАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПРЯМЫХ ЗАМКНУТЫХ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА С УЧЕТОМ ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Рассматривается статический расчет прямых замкнутых призматических оболочек с учетом физической нелинейности при конечных перемещениях. При выводе разрешающих уравнений использован метод В.З. Власова. В результате линеаризации исходных нелинейных соотношений получена краевая задача для системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Для решения задачи использован метод Бубнова - Галеркина.

N.V. Gubareva OF THE DIRECT CLOSED PRISMATIC SHELLS STATIC CALCULATION BY BUBNOV - GALERKIN METHOD TAKING INTO CONSIDERATION DOUBLE NONLINEARITY

Static calculation of the direct closed prismatic shells is considered in this article taking into account the physical nonlinearity at final moving. At derivation of solving equations V.Z. Vlasova method is used. As a result of a linearization of initial nonlinear ratio the boundary value problem for a system of linear differential equations with variable factors is obtained. For the solution of a problem Bubnov - Galerkin method is used.

Рассматривается расчет прямых тонкостенных замкнутых призматических оболочек средней длины, принятых за расчетную схему конструкций, широко применяемых в различных областях техники и строительства. Например, несущие конструкции крыла самолета, транспортных машин и железнодорожных вагонов, телескопические стрелы подъемных кранов, пролетные строения стальных мостов. Конструкции такого типа обладают повышенной деформативностью. Поэтому их расчетная схема должна возможно более полно учитывать реальные условия эксплуатации.

Предполагается, что материал оболочки изготовлен из физически нелинейного материала. Расчет ведется с учетом геометрически нелинейных соотношений.

Цель исследований: разработать методику статического расчета оболочек

рассматриваемого типа, с учетом нелинейных соотношений удобную для использования на этапе вариантного проектирования конкретных конструкций.

Данная работа является продолжением исследований, выполненных в [1]-[3].

Продольные и поперечные перемещения точек контура, в соответствии с методом В.З. Власова, имеют вид

u

где фг. (^), уА (5) - безразмерные аппроксимирующие функции перемещения точек

контура, и (г), иА (г) - неизвестные, подлежащие определению. Угловые скобки < >

означают суммирование по соответствующему индексу.

Разрешающие уравнения расчета прямых замкнутых призматических оболочек с учетом физической нелинейности при конечных перемещениях получены на основе прямого применения принципа Лагранжа [4]. Вид используемых физических и геометрических соотношений приведен в [2]-[4]. В соответствии с методом Бубнова -Галеркина неизвестные обобщенные перемещения представим в виде

и

где х а (г), ^ аа (г) - аппроксимирующие функции; и“ (г), ид (2) - неизвестные

постоянные, подлежащие определению.

Разрешающая система линейных алгебраических уравнений оболочек с учетом физической и геометрической нелинейности при конечных перемещениях в форме метода Бубнова - Галеркина имеет вид [4]

І

П

уар

Ы- —

А.

Пі

ск —

у5Р

— (

„2 V У

А

Пі

В1 +

^к а5 ^

К

1іПі

Апі

ьЛ

Пі

к

уДр

F1к

Г V?

иД =-^ ДР

Е

к

. кД5 >іп2

1г

уР’

иД =-^- др

Е

-к5-

< А >, < а >, < /' >, < А >.

Вид коэффициентов системы (3) приведен в [4].

При использовании методов типа Бубнова - Галеркина важным этапом является выбор аппроксимирующих функций. При удачном выборе этих функций получаем решения при небольшом числе слагаемых разложения (2). Это позволяет сократить трудоемкость решения и на основе вида разложения (2) осуществлять некоторый анализ НДС оболочки без проведения непосредственных вычислений.

В работе для практически важных случаев закрепления торцов оболочки, которая находится под действием равномерно распределенной нагрузки, предлагаются системы аппроксимирующих функций. Анализируется их сходимость к точному решению, за которое берется решение, полученное в результате численного интегрирования.

Рассматриваются следующие закрепления торцов оболочки (рис. 2).

П = 4; 6

Пі = -; 4; 6

Рис. 1

Рис. 2

Рассматривается оболочка с однозамкнутым контуром поперечного сечения (рис. 1). В этом случае в СЛАУ (3) имеем к, к = 0; 1, у = 1.

Рассматривается оболочка со следующими геометрическими и физическими параметрами:

v = 0.5 ; I, =•

1

1

2(1 + v) 3

= 7; ^(z) = 0 (Ro = const);

d.

l

Л = -^ = 2; 4; 6; щ — = 2; 4;6; 61 =62 = 1. dl d2

Правая часть СЛАУ (3), которая задает нагрузку, берется в виде

ПП2

l1 E

и

принимает следующие значения:

l1E

R0 = 0.0072 при п = 2.

ПП2

l1 E

R0 = 0.00192 при п = 4;

2

при П' П2 r0 =0.00104 при п = 6.

liE

Отметим, что аппроксимирующие функции зависят только от граничных условий и вида нагружения и не зависят от формы поперечного сечения оболочки, поэтому на этапе выбора аппроксимирующих функций выбирается самый простой вид поперечного сечения (рис. 1).

Жесткое закрепление торцов (рис. 2, а).

Геометрические граничные условия имеют вид:

г = 0; 1, ^(г) = 0, и0(г) = 0.

Для удовлетворения статических граничных условий должно выполняться условие при г = 0;1, и[(г) Ф 0, а также для оболочек такого типа полагается при г = 0;1, и0 (г) Ф 0.

Известно, что для рассматриваемых закреплений торцов оболочки и вида внешней нагрузки характер изменения вдоль оси оболочки для и1

Рис. 3

С учетом сказанного выше аппроксимирующие функции выбираем в виде: Xa(z) = sin2naz, (z) = sinп(25- 1)z; (a = 1,..., 5; 5 = 1,..., e).

Значения коэффициентов иа, и1 разложения (2) при п=4 А=1 для 5=2-100 приведены в табл. 1. Значения иа, и1 практически совпадают, начиная с 5=3.

На рис. 4 приведены графики исследуемых величин при п=4 (А=1 5=1, 2, 4, 100). Точное решение на рис. 4 обозначено сплошной линией [5]. Точному решению соответствует решение, полученное в результате численного интегрирования соответствующей краевой задачи. Пунктирные линии с номерами 1; 2; 4 соответствуют приближениям 5=1; 2; 4 е=1. На рис. 4, а, б приведены графики продольного перемещения щ(£) и её производной и[(г) угловой точки контура № 1 (рис. 1) вдоль оси оболочки; на рис. 4, в, г - изменения угла поворота поперечного сечения и0(г) и его производной и'0(г).

-2

»іС-')ю~

4 100 УЧ2 .

/' Л ;/\і_

і11 ' \ \

0 0 .2 0 4 \ ° .6 0 8 -І 4

- її / і /

• *л _ У—^

г'1

10

1» і

1

-\г 1-

і)г /-

%

0 'Ч V ,2 \ 0 .4 .6 / 0 У/!

? = 1,2:4; 100 е-1

1; 2;4; 100 е = 1

а)

б)

Ч о 00

я-1,2:4; 100 е 1 я = 1,2:4; 100 1

в) г)

Рис. 4

Таблица 1

е = 1 иа-104 при п1 = рг = <1 = 4

а 5=2 5=3 5=4 5=7 5=10 5=20 5=30 5=100

1 4.5805 4.6248 4.6418 4.6557 4.6584 4.6598 4.6600 4.6601

2 1.3079 1.3206 1.3254 1.3294 1.3302 1.3306 1.3306 1.3307

Окончание табл. 1

е = 1 4 II II < 1 1 & с 0 3

а 5=2 5=3 5=4 5=7 5=10 5=20 5=30 5=100

3 - 0.5748 0.5769 0.5787 0.5790 0.5792 0.5792 0.5792

4 - - 0.2943 0.2952 0.2954 0.2955 0.2955 0.2955

5 - - - 0.1677 0.1678 0.1678 0.1678 0.1678

7 - - - 0.0676 0.0677 0.0677 0.0677 0.0677

10 - - - - 0.0246 0.0246 0.0246 0.0246

20 - - - - - 0.0032 0.0032 0.0032

30 - - - - - - 0.0009 0.0009

50 - - - - - - - 0.0002

100 - - - - - - - 0.00003

иг103 2.1147 2.1352 2.1430 2.1494 2.1507 2.1514 2.1515 2.1515

В табл. 2 приведены значения исследуемых компонентов напряженно-

деформированного состояния вдоль оси оболочки (г=0-0.5) при 8=2; 4; 100, е=1.

Таблица 2

П = 4 и1 (г) -104 и( (г)-103 и0(г)'103 и0(г)-103

5 5 5 5

7 2 4 100 2 4 100 2 4 100 2 4 100

0 0 0 0 4.52 6.41 9.6 0 0 0 6.6 6.7 6.8

0.1 3.94 4.71 4.57 2.84 1.94 1.38 0.65 0.66 0.66 6.32 6.40 6.43

0.2 5.13 4.57 4.69 0.44 -1.10 -0.73 1.24 1.13 1.13 5.37 5.45 5.47

0.3 3.59 3.58 3.54 -2.22 -1.14 -1.47 1.71 1.17 1.17 3.91 3.96 3.97

0.4 1.45 1.84 1.88 -1.82 -2.11 -1.81 2.01 2.04 2.05 2.05 2.08 2.09

0.5 0 0 0 -1.23 -1.60 -1.91 2.11 2.14 2.15 0 0 0

Шарнирное опирание торцов (рис. 2, б).

Геометрические граничные условия имеют вид:

2 = 0;1, и[( г) = и0(г) = 0.

Учитываем также, что из условий закрепления должны выполняться условия

2 = 0; 1, и (г) * 0; и0(г) * 0.

Характер изменения величин и1(г), и[(г), и0(г), и0(г) вдоль оси оболочки имеет вид (рис. 5).

Рис. б

Аппроксимирующие функции выбираем в виде:

Xa

На рис. б приведены графики изменения вдоль оси оболочки продольного перемещения угловой точки контура № 1 u1(z), u[(z) и изменения угла поворота

поперечного сечения u0(z) для n=4, A=1. Кривые на рис. б, а, б с номерами 2; 4 соответствуют приближениям s=2; 4 e=1, кривые на рис. б, в с номерами 1; 4 соответствуют приближениям s=1; 4 e=1.

Отметим, что расчет оболочки с данным закреплением торцов выполнялся методом Ритца - Тимошенко в [1], [3].

»,(--) Ю"4

ЇЧ

\ \ \ \

0.1 - і \ \°“ 1

0 0 2 0 4 \ 0 \ • 6 0 V 8 і

\ \ \ \

V Ч

Л \

s = 2,4, е = 1

('!1'-' — Z

0 V 10.1 о Л .2 0 .4 0.5 0 .6 0 8 У 1

\\ . \\ // //

1 \\д V. ,ч /А_4_

Ч її---:

2

s = 2:4, е = 1

б)

ъ0(г).1О"3

""Л г Д. Z

s'. ^ ч

У' X' / X \

0 0 .1 0 Ы* О. .3 0 .4 0 s = 1; .> 0 4, е = .6 0 1 .7 0 .8 0 .9 і

Рис. 6

Оболочка с жестким закреплением левого торца и шарнирным опиранием правого торца (рис. 2, в).

Граничные условия имеют вид:

z = 0, Wj(z) = 0, U0(z) = 0,

z = 1, m[(z) = 0, u0( z) = 0.

Учитываем также, что из условий закрепления должны выполняться условия

z = 0; п[ф 0; и0 Ф 0 ;

z = 1; u1 Ф 0; и0 Ф 0 .

Характер изменения вдоль оси оболочки u1(z), u[(z), u0(z), u'0(z) имеет вид

(рис. 7).

Аппроксимирующие функции выбираем в виде:

п

Ха

Рис. 7

Значения коэффициентов иа, Ui разложения (2) для п=4, А=1 приведены в табл. 3.

Таблица 3

e=1 иа-104 при п1 = 4 А=1, п = 4

а s=2 s=3 s=4 s=7 s=10 s=20 s=30 s=100

1 -2.6435 -2.7419 -2.7792 -2.8120 -2.8191 -2.8229 -2.8234 -2.8236

2 4.4206 4.5853 4.6475 4.7024 4.7143 4.7208 4.7215 4.7218

3 - 1.5934 1.6151 1.6341 1.6383 1.6405 1.6408 1.6409

4 - - 0.8894 0.8999 0.9022 0.9034 0.9036 0.9036

5 - - - 0.5591 0.5605 0.5612 0.5613 0.5614

7 - - - 0.2553 0.2559 0.2563 0.2563 0.2563

10 - - - - 0.1015 0.1016 0.1016 0.1016

20 - - - - - 0.0140 0.0140 0.140

30 - - - - - - 0.0042 0.0042

50 - - - - - - - 0.0009

100 - - - - - - - 0.0001

и1-103 2.1351 2.2147 2.2448 2.2712 2.2770 2.2801 2.2805 2.2806

На рис. 8 приведены графики изменения вдоль оси оболочки продольного перемещения и1(г) угловой точки контура №1 (рис. 1), её производной и[(г) и угла поворота поперечного сечения и0(г), его производной и0(г) для п=4, Л=1.

Точное решение [5] на рис. 8 обозначено сплошной линией. Пунктирные линии под номерами 2-4 (рис. 8, а, б), 1, 2, 4, 30 (рис. 8, в, г) соответствуют приближениям 5=1-4; 30, е=1.

В табл. 4 приведены значения исследуемых компонентов напряженно-

деформированного состояния вдоль оси оболочки ^=0-0.5) для п=4 при 5=2; 4; 7; 30. е=1.

Таблица 4

щ(г)104 - и'( г) -103 и0(г)-103 и0(г)-103

5 5 5 5

7 4 7 30 4 7 30 2 7 30 2 7 30

0 0 0 0 3.83 5.63 8.35 0 0 0 6.68 7.08 7.10

0.1 3.46 4.53 4.59 2.75 2.60 1.56 0.66 0.70 0.70 6.35 6.66 6.76

0.2 5.04 4.97 4.80 0.31 -1.19 -0.68 1.25 1.32 1.33 5.40 5.67 5.75

0.3 4.20 3.46 3.67 -1.81 -1.44 -1.5 1.72 1.82 1.83 3.93 4.12 4.18

0.4 1.91 2.04 1.95 -2.51 -1.63 -1.88 2.02 2.14 2.15 2.06 2.16 2.20

0.5 -0.41 0.02 0 -2.03 -2.27 -1.99 2.13 2.25 2.26 0 0 0

я=1;2;4;30 е=1

в) г)

Рис. 8

Рис. 9

Построенные системы аппроксимирующих функций используем для расчета оболочки с многозамкнутым контуром поперечного сечения (рис. 9).

В этом случае выражение (1) записываем в виде

и

где и1(г) - задает продольное перемещение т. № 1, и2(г) - т. № 2.

2=0

’////

2=1

п = 2; 4; 6 П1 = 2; 4; 6

»:(=) ю'

-4

4т.1 / У Ц

/ / /ЛЗт / // \ ч - V' 4 т.2 \

п ; А'0'

0 0.1 0.2 0.-1 —08 \\ ЧзтТ^^ ^

\^Ч \ 1 щ

N \ Ч ^ V-'

-.1

1— О 1 ио

4 т.] 4

л 'V - 4т.2\ 1 ^ и[

\ Зт.; _ 0 5 1 и!2(2) / , .

0 0 10 г т—1 р !|=\ И 4 ;Ь‘-

у \ \ V у / -\3т.1

к = 3,4 е = 1

5 = 3; 4 е=1

а)

б)

Цйю-з

\

\\ 'л \\

0.1 \ \ 0.5

0 0 .2 0 .4 \ 0 Л .6 0 .8

\\ \ ' 1 . Г

4; 30Ч> \ч V' - -

в)

г = 1;2;4;30 е =1

Г)

Рис. 10

Разрешающая система линейных алгебраических уравнений получается из (3) при

I, у=2, к, к=0. Тогда имеем

1

ьЛ1

А1 -1 Я1

2 ^1ар П^Чар

"а +

_1

ьЛ1

А2 -1 Я2

2 -Л1ар 11 ар

"а - С° иА = -^ АРв = 0,

,а__________,

2 '“'180'“' 0

П1

Е

— А1 -1 Я1

2 Л2 ар 12 ар

шг 11

ма +

__ а2 -1 Я2

2 Л2 ар 12 ар

1_ЛГ

" а С0 пА — -Л-Т. АР = 0

" С28ри0 — г АР1Р — 0,

П1

Е

- (в; ("“ + Ц, а8 "2-) + ) — -П2 АЙ0,.

П1

П1 Е

< А >, < а >, < / >, < к >.

На рис. 10 приведены графики исследуемых величин при п=4 (5=3,4 А=1). На рис. 10, а, б - графики продольного перемещения "1(г), "2(г) и их производных " (г), "2( ^). Кривые с номерами 3; 4 на рис. 10, а, б соответствуют приближениям 5=3; 4 е=1. Символ «т» соответствует номеру угловых точек 1 и 2. На рис. 10, в, г - изменения угла поворота поперечного сечения и0(г) и его производной и'0(г). Кривые на рис. 10, в, г с

номерами 1; 2; 4; 30 соответствуют приближениям 5=1; 2; 4; 30 е=1.

Вывод

Предложены аппроксимирующие функции, которые для типовых закреплений торцов оболочки и внешней крутящей нагрузки обеспечивают быструю сходимость приближенного решения.

Предложенная методика обладает меньшей вычислительной трудоемкостью по сравнению с численным интегрированием и поэтому более удобна в практике вариантного проектирования соответствующих конструкций.

Предложенная методика апробирована на примере расчета оболочек с многозамкнутым контуром поперечного сечения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Губарева Н.В. Применение метода Ритца - Тимошенко при решении физически нелинейных задач статического расчета призматических оболочек / Н.В. Губарева // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2006. № 1 (11). Вып. 2. С. 5-13.

2. Губарева Н.В. Расчет прямых призматических оболочек с жестко заделанным одним торцом и шарнирно опертым другим с учетом физической нелинейности / Н. В. Губарева // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2006. С. 146-152.

3. Кузнецов О.Р. Сходимость метода Ритца-Тимошенко при расчёте замкнутых призматических оболочек с учетом физической нелинейности / О.Р. Кузнецов, Н. В. Губарева // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов: СГТУ, 2005. С. 138-146.

4. Кузнецов О.Р. Расчет прямых многострингерных призматических оболочек методом Бубнова - Галёркина с учётом физической нелинейности при конечных перемещениях / О. Р. Кузнецов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2006. № 3 (14). Вып. 1. С. 14-20.

5. Страшнова Н. А. Расчет прямых замкнутых призматических оболочек при конечных перемещениях с учетом физической нелинейности: дис. ... канд. техн. наук / Н.А. Страшнова. Саратов, 1996. 164 с.

Губарева Наталья Валентиновна -

ассистент кафедры «Механика деформируемого твердого тела»

Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 27.10.06, принята к опубликованию 26.12.06