Копула на основе многомерного t-распределения с вектором степеней свободы

А. И. Балаев

Копула на основе многомерного ¿-распределения с вектором степеней свободы1

Построена копула, основанная на многомерном t-распределении с вектором степеней свободы, обладающая весомыми преимуществами перед копулой, основанной на обычном многомерном t-распределении. Выведена стандартизованная версия данной копулы, более удобная с вычислительной точки зрения. Рассмотрено применение стандартизованной t-копулы с вектором степеней свободы в VAR-MGARCHмоделях, используемых для многомерного моделирования на финансовых рынках. Предложен алгоритм численного моделирования случайных векторов, имеющих многомерное t-распределение или t-копулу с вектором степеней свободы.

ключевые слова: копула; многомерное f-распределение; вектор степеней свободы; хвостовая зависимость; численное моделирование.

JEL classification: C14; C16; C32.

1. введение

Многомерное ¿-распределение находит широкое применение в исследованиях, посвященных моделированию совместного распределения доходностей нескольких активов. Как известно, в одномерном случае использование ¿-распределения при моделировании шоков позволяет учитывать эмпирический факт о так называемых «тяжелых хвостах» распределения финансовых доходностей. В многомерном же случае при моделировании совместного распределения нескольких доходностей эмпирический факт о «тяжелых хвостах», которые в данном случае также становятся многомерными, можно учесть, применяя многомерное ¿-распределение. Кроме того, копула, построенная на основе многомерного ¿-распределения, называемая ¿-копулой, позволяет учитывать наличие хвостовой зависимости между доходностями различных активов, т. е. зависимости этих доходностей в областях, где они принимают экстремальные положительные или отрицательные значения. Способность учитывать хвостовую зависимость — не менее важное свойство многомерного ¿-распределения, чем возможность учета тяжелых хвостов маржинальных распределений.

Как правило, в эконометрической литературе в качестве многомерного ¿-распределения рассматривается распределение, параметр степеней свободы которого является скаляром, как и в одномерном случае (теория данного распределения подробно рассмотрена в книге (Kotz, Nadarajah, 2004)). Таким образом, различия в формах маржинальных распределений компонент случайного вектора возникают только в силу несовпадения дисперсий, поскольку параметр степеней свободы является общим для всех компонент вектора. В финансовых приложениях это означает, что скалярный параметр степеней свободы определяет некую

1 Автор выражает благодарность своему научному руководителю д-ру физ.-мат. наук А. С. Шведову за ценные обсуждения в ходе подготовки статьи.

общую для всех активов меру «толщины хвостов» распределения доходностей, а специфи- °

СВ

ка формы распределений для различных активов определяется только дисперсиями доход- § ностей. Поскольку на практике одномерные распределения доходностей активов различа- ^ ются не только вторыми моментами, параметров дисперсий может быть недостаточно для учета различий в формах распределений. Кроме того, хвостовые зависимости между компонентами случайного вектора с классической ¿-копулой определяются одним общим для всех активов скалярным параметром степеней свободы и параметрами корреляций, которые определяют различия хвостовых зависимостей. Однако на практике хвостовые зависимости могут достаточно сильно разниться для различных пар активов, и параметров корреляции может быть недостаточно для учета этих различий. Таким образом, классическое многомерное ¿-распределение и ¿-копула со скалярным параметром степеней свободы являются недостаточно гибкими для практического применения.

В работе (Шведов, 2009) предложено обобщение многомерного ¿-распределения со скалярным параметром степеней свободы на случай вектора степеней свободы (см. также (Шведов, 2010б, 2011, 2012)). Такое распределение дает больше гибкости при учете различий в распределениях доходностей активов, чем распределение со скалярным параметром степеней свободы, поскольку появляется возможность моделировать эксцесс распределения отдельно для каждой доходности. Отметим, что ¿-распределение с вектором степеней свободы является новым, и его теоретические свойства еще недостаточно изучены (см., например, (Бадаев, 2012)). В настоящей работе предложена копула на основе данного распределения, называемая ¿-копулой с вектором степеней свободы. Данная копула представляет интерес, поскольку дает возможность более гибко моделировать различия хвостовых зависимостей за счет векторного параметра степеней свободы.

Работа построена следующим образом. В разделе 2 приведен обзор литературы, посвященной свойствам ¿-копулы и ее приложениям. В разделе 3 рассмотрена ¿-копула с вектором степеней свободы. Раздел 4 посвящен построению стандартизованной ¿-копулы с вектором степеней свободы, где, в частности, для нее выведена формула маржинальных функций плотности. Именно в этом разделе представлены основные результаты работы. В разделе 5 рассмотрено возможное применение построенной копулы в многомерных моделях вида VAR-MGARCH. Преимущества ¿-копулы, основанной на многомерном ¿-распределении с вектором степеней свободы, перед классической, основанной на обычном многомерном ¿-распределении, объясняются в конце раздела 5. Наконец, в разделе 6 предложен алгоритм численного моделирования случайных векторов, имеющих ¿-распределение или ¿-копулу с вектором степеней свободы.

2. Обзор литературы о классической ¿-копуле

Исследованию теоретических свойств ¿-копулы, а также ее эмпирическим приложениям посвящено достаточно много работ. При этом в эмпирических работах в основном рассматривается применение ¿-копулы к многомерному моделированию финансовых данных и составлению оптимальных портфелей, однако имеются и другие приложения.

Так называемые коэффициенты хвостовой зависимости (см., например, (Фантаццини, 2011б)) многомерного распределения показывают меру зависимости между компонентами случайного вектора в «правом верхнем» и «левом нижнем» многомерных хвостах распре-

деления. Они используются для анализа зависимости случайных величин, с некоторой вероятностью принимающих экстремальные значения. В статье (Chan, Li, 2008) анализируется хвостовая зависимость для многомерного ¿-распределения, копула которого не может быть записана в явном виде. В указанной работе представлены формулы коэффициентов хвостовой зависимости, которые содержат совместные моменты многомерного нормального распределения, лежащего в основе многомерного ¿-распределения. Авторы анализируют влияние параметров распределения на коэффициенты хвостовой зависимости и рассматривают некоторые примеры численного моделирования.

В работе (Frahm et al., 2003) анализируются копулы, построенные на основе эллиптических многомерных распределений, в частности ¿-копула. В работе показано, что коэффициенты хвостовой зависимости эллиптических распределений могут быть вычислены при известных коэффициентах ранговой корреляции Кендала и «индексе хвоста» (порядке затухания хвоста распределения по гиперболическому закону). При этом в работе установлено, что соответствующая формула коэффициентов хвостовой зависимости для ¿-распределения может использоваться и для любого другого эллиптического распределения. Используя этот результат, авторы показывают, что семейство копул, построенных на основе субгауссовского a-стабильного распределения (см., например, (Ortobelli et al., 2002)), не способно в полной мере учитывать хвостовую зависимость, наблюдающуюся в финансовых данных.

Работа (Demarta, McNeil, 2005) также посвящена теоретическим свойствам ¿-копулы, в особенности вопросам хвостовой зависимости. Используя представление многомерного ¿-распределения как смеси многомерных нормальных распределений, авторы строят две модификации ¿-копулы: скошенную ¿-копулу и сгруппированную ¿-копулу, которые дают больше гибкости при моделировании зависимостей случайных величин. В работе также предложена ¿-копула экстремальных значений — предельная копула вектора покомпонентных максимумов для последовательности случайных векторов с многомерным ¿-распреде-лением, и двумерная ¿-копула отрицательного хвоста — предельная копула вектора с двумерным ¿-распределением при условии, что оба компонента вектора не превосходят некоторый общий последовательно снижающийся пороговый уровень. Авторы также показывают, что для практического применения эти копулы могут быть приближены копулами Гумбела и Клейтона соответственно.

Известно, что использование метода максимального правдоподобия при оценке моделей, основанных на ¿-распределении, сопряжено с вычислительными проблемами. По этой причине в литературе также рассматриваются и технические аспекты максимизации функции правдоподобия на основе ¿-копулы. Например, существует достаточно эффективный алгоритм применения метода максимального правдоподобия — максимизация по частям, при которой функция правдоподобия разбивается на два слагаемых, максимизируемых итеративно посредством решения уравнений, получаемых из условий первого порядка. Данный алгоритм относительно недавно начал применяться для оценки моделей на основе гауссов-ской копулы, а в работе (Zhang et al., 2011) он применяется к многомерным мета ¿-распреде-лениям, основанным на ¿-копулах. Проводя численное моделирование, авторы показывают, что применительно к ¿-копуле алгоритм максимизации по частям превосходит некоторые стандартные алгоритмы по качеству полученных оценок.

Отметим, что если вычислительные проблемы осложняют применение метода максимального правдоподобия, параметры модели можно оценить в рамках байесовского подхода на основе методов Монте-Карло с цепями Маркова (см., например, (Шведов, 2010а)).

С помощью этих методов можно генерировать многомерные случайные величины, кото- <8 рые не обладают представлением, удобным для численного моделирования. Для генерации § случайного вектора с помощью методов Монте-Карло с цепями Маркова достаточно знать jj многомерную функцию плотности этого вектора. Методы Монте-Карло с цепями Маркова часто применяются в рамках байесовского подхода к оценке параметров многомерных эко-нометрических моделей. В рамках данного подхода эти методы используются для численного моделирования апостериорного распределения параметров. Активное развитие методов Монте-Карло с цепями Маркова в последние два десятилетия расширило возможности генерации многомерных случайных величин и упростило применение байесовского подхода к оценке параметров. Поэтому байесовский подход является привлекательной альтернативой в ситуации, когда применение метода максимального правдоподобия наталкивается на вычислительные проблемы, как, например, в случае многомерного ¿-распределения.

Вопросу модификации ¿-копулы посвящена работа (Smith et al., 2012), в которой предложен вариант копулы на основе скошенного многомерного ¿-распределения. Данная копула, так же как и предложенная в (Demarta, McNeil, 2005), позволяет моделировать зависимость экстремальных значений с учетом асимметрии. Среди копул, обладающих этим достоинством, скошенная ¿-копула является одной из немногих спецификаций, которые могут эффективно применяться на практике в многомерном случае. Оценка моделей на основе копул методом максимального правдоподобия может быть сопряжена с вычислительными проблемами, если модель имеет большую размерность, маржинальные распределения являются дискретными или параметры копулы и маржинальных распределений оцениваются совместно. Для решения этих проблем в (Smith et al., 2012) применяется байесовский подход. Используя представление многомерного скошенного ¿-распределения как условно-нормального распределения, авторы применяют метод Монте-Карло с цепями Маркова для генерации случайных векторов. Применение байесовского подхода в работе (Smith et al., 2012) продемонстрировано в двух эмпирических приложениях. В первом из них рассмотрено моделирование региональных спотовых цен на электроэнергию в Австралии: эмпирический анализ выявляет наличие негауссовских маржинальных распределений и нелинейной межрегиональной зависимости между ценами. Во втором приложении авторы анализируют зависимость между посещаемостью некоторых популярных веб-сайтов, в этом примере маржинальные распределения являются дискретными. В обоих приложениях скошенная ¿-копула показывает значительно более качественное соответствие данным, чем альтернативные симметричные эллиптические копулы, что говорит об эффективности использования скошенной ¿-копулы вместе с байесовским подходом к оценке параметров.

В статье (Hormann, Sak, 2010) рассматривается задача численного моделирования случайных векторов, распределение которых построено на основе ¿-копулы, с целью оценки какой-либо величины методом Монте-Карло. Если маржинальные распределения компонент случайного вектора не сильно отличаются от нормального, а параметр степеней свободы ¿-копулы не слишком мал, то соответствующее многомерное распределение может быть приближено нормальным. Использование многомерного нормального распределения в задаче оценки какой-либо величины удобно, поскольку позволяет получить аналитическое или достаточно точное численное решение. По этой причине переменную с нормальным распределением удобно использовать в качестве контрольной случайной величины для понижения дисперсии оценки при использовании метода Монте-Карло. Однако в (Hormann, Sak, 2010) продемонстрировано, что использование такой контрольной переменной для модели с ¿-ко-

пулой дает относительно небольшое понижение дисперсии оценки методом Монте-Карло. Как показывают авторы, причина заключается в несовершенстве стандартного алгоритма численного моделирования случайных векторов с многомерным ¿-распределением. В работе предложен альтернативный алгоритм численного моделирования многомерного ¿-распределения и показано, что его использование дает существенно большее понижение дисперсии оценок различных величин, чем использование стандартного алгоритма.

В работе (Diks et al., 2010) предложен тест на сравнение предсказательной способности двух конкурирующих копул в задаче многомерного прогнозирования (вопросы эмпирического подбора копулы рассматриваются также в (Фантаццини, 2011в)). Предложенный тест основан на информационном критерии Кульбака-Лейблера и может использоваться при достаточно общих предположениях, в том числе для невложенных копул. Применяя тест на данных о динамике обменного курса доллара США по отношению к другим мировым валютам, авторы показывают, что ¿-копула является более предпочтительной спецификацией по сравнению с гауссовской копулой, а также копулами Гумбела и Клейтона.

Работа (Acar et al., 2011) содержит другой метод сравнения конкурирующих копул, основанный на кросс-валидации (перекрестной проверке). Параметры копулы оцениваются с использованием всех наблюдений в выборке, за исключением первого. С помощью построенной копулы рассчитывается прогноз случайного вектора для первого наблюдения, а затем вычисляется вектор ошибок этого прогноза и сумма квадратов его компонент. Далее описанная процедура повторяется с исключением уже второго наблюдения, затем третьего и т. д. Среднее значение полученных сумм квадратов ошибок представляет собой кросс-валидатив-ную ошибку прогноза (cross-validated prediction error). Эта величина лежит в основе метода выбора копулы, предложенного в (Acar et al., 2011). Из некоторого набора копул предлагается выбирать ту, которая имеет минимальную кросс-валидативную ошибку прогноза.

В работе (Scaillet, Fermanian, 2005) предложен тест на качество подгонки копулы к данным (goodness-of-fit test), основанный на непараметрических методах. На основе имеющихся данных строится непараметрическая ядерная оценка копулы, которая представляет собой сглаженный аналог эмпирической копулы. Далее проводится оценка параметрической копулы, качество подгонки которой требуется оценить, и измеряется ее близость к полученной ранее непараметрической копуле. Чем ближе оцененная параметрическая копула к сглаженной эмпирической копуле, тем выше качество ее соответствия данным. Тест может быть проведен неформально путем сравнения «на глаз» графиков параметрической и непараметрической копул. Однако эта процедура носит приближенный характер и доступна только в двумерном случае. По этой причине авторами также доказаны некоторые асимптотические результаты, позволяющие проводить формальное тестирование в случае произвольной размерности.

Статья (Huard et al., 2006) посвящена байесовскому подходу к выбору оптимальной копулы. В данном подходе параметры копулы рассматриваются как случайные величины, и поэтому их не нужно оценивать для выбора наилучшей спецификации. Авторы переходят от исходной формы копулы к ее параметризации через коэффициент ранговой корреляции Кендалла (рассмотрен двумерный случай). Этот коэффициент является более информативной величиной, чем исходный параметр копулы, и для него проще определить априорное распределение. На основе заданного априорного распределения коэффициента ранговой корреляции Кендалла для каждой из сравниваемых копул по формуле Байеса вычисляется условная вероятность того, что данная копула является истинной (в качестве условия высту-

пает имеющийся массив данных). Наилучшей объявляется копула, имеющая максимальное <8 значение рассчитанной таким образом условной вероятности. На основе результатов чис-  ленного моделирования в работе показано, что частота корректного выбора копулы (таким jj методом) стремится к 100% с ростом размера выборки. При этом для корректного выбора копулы в случае слабой корреляции между случайными величинами необходим больший размер выборки, чем при более выраженной корреляции.

В работе (Jondeau, Rockinger, 2006) с помощью копул исследуются зависимости между дневными доходностями фондовых индексов S&P 500, FTSE 100, DAX и CAC 40 в рамках периода 1980-2000 гг. В качестве одномерной модели для доходностей индексов авторы используют скошенное ¿-распределение, предложенное в (Hansen, 1994), вместе с динамическими уравнениями для условного среднего, дисперсии, асимметрии и эксцесса. Это позволяет учитывать изменение условного распределения доходностей каждого индекса во времени. Авторы объединяют построенные одномерные распределения доходностей с помощью гауссовской копулы и ¿-копулы, причем параметры копул также предполагаются зависимыми от времени. По результатам тестов, проведенных в (Jondeau, Rockinger, 2006), ¿-копула является более предпочтительной спецификацией для рассматриваемых данных, чем гауссовская копула, вследствие наличия хвостовых зависимостей между доходностями фондовых индексов. С помощью построенных моделей авторы показывают, что зависимость между европейскими фондовыми индексами усиливается после того, как эти индексы совершают резкое движение в одном направлении. В работе также показано, что зависимость между европейскими индексами существенно выросла с 1980 г. по 2000 г., чего нельзя сказать о зависимости европейских индексов и американского индекса S&P 500.

Также ¿-копула находит применение в задачах, связанных с построением оптимальных финансовых портфелей. Например, в работе (Sak et al., 2010) рассматривается задача вычисления вероятностей экстремальных значений доходностей портфелей (так называемых хвостовых вероятностей). В качестве спецификации для маржинальных распределений авторы используют обобщенное гиперболическое распределение, а структура зависимости моделируется при помощи ¿-копулы. Точный расчет хвостовых вероятностей для такой модели представляется затруднительным, а использование стандартных методов численного моделирования сопряжено с вычислительными проблемами. В работе предлагается альтернативный алгоритм, включающий новый метод обращения функции при численном моделировании маржинальных распределений, а также некоторые другие элементы. Авторы показывают, что для рассматриваемой модели на основе ¿-копулы предложенный алгоритм численного моделирования дает ощутимую прибавку к точности вычисления хвостовых вероятностей.

Применение ¿-копулы для анализа рисков финансового портфеля рассмотрено также в работе (Kole et al., 2007). Авторы рассматривают некоторые тесты на качество подгонки, которые основаны на прямом сопоставлении копулы с имеющимися данными и могут применяться к копулам произвольной структуры и размерности. С помощью данных тестов авторы проводят эмпирические сравнения различных копул для портфелей, состоящих из акций, облигаций и недвижимости. В работе продемонстрировано, что модель на основе ¿-копулы лучше соответствует рассматриваемым данным, чем гауссовская копула и копула Гумбела. Показано, что по сравнению с ¿-копулой гауссовская копула занижает вероятность одновременного экстремального падения цен активов, а копула Гумбела завышает ее. При этом гауссовская копула переоценивает выгоду от диверсификации финансового портфеля, а копула Гумбела — недооценивает.

Работа (Chan, Kroese, 2010) посвящена задаче оценки кредитного риска портфеля, состоящего из ссуд, облигаций и других финансовых активов. В качестве меры риска в работе рассматривается вероятность большой потери в стоимости портфеля на фиксированном временном промежутке. Для учета хвостовых зависимостей, которые отражают возможность наступления дефолта по нескольким активам одновременно, в работе используется ¿-копу-ла. Авторы предлагают два алгоритма численного моделирования с ¿-копулой для оценки вероятности больших потерь в стоимости портфеля и показывают, что данные алгоритмы превосходят существующие по качеству получаемых оценок. В работе также рассмотрена модель с асимметричной ¿-копулой и предложены методы ее оценивания.

В работе (Reboredo, 2011) показано, что ¿-копула может успешно использоваться для многомерного моделирования не только на финансовых, но и на товарных рынках. Автор применяет ¿-копулу для анализа зависимости между мировыми ценами на нефть различных марок. В данной работе ¿-копула также превосходит копулы Гаусса, Гумбела, Клейтона и некоторые их модификации с точки зрения качества соответствия данным. Анализируя построенные модели зависимости цен на нефть на основе ¿-копул, автор оценивает степень глобализации мирового нефтяного рынка.

Статья (Trottini et al., 2011) посвящена применению ¿-копулы в другой области — защите данных. Использование гауссовской копулы предполагает отсутствие зависимости экстремальных значений. Однако на практике информация о хвостовой зависимости между переменными может быть ценной, и при работе с данными желательно ее сохранить. В (Trottini et al., 2011) предлагается метод перестановки, основанный на ¿-копуле, которая учитывает хвостовую зависимость переменных и позволяет сохранить больше информации.

3. Многомерное ¿-распределение и ¿-копула с вектором степеней свободы

Будем следовать определению многомерного ¿-распределения с вектором степеней свободы, приведенному в работе (Шведов, 2009). Примем следующие обозначения.

Для матрицы М = {щ3}, 1< Т,3 < й и к = 1,...,й обозначим подматрицы М1к] ={шу }, 1< т 3 < к и Мт={шу }, й - к + 1<Т, 3 < й.

Пусть ¡лЕ М и А — положительно определенная й X й матрица. Для вектора

а = (а1,...,ай)' предполагаем й: > 3-, 3 = 1,...,й. Также положим а0 = 0 и аа+1 =-.

2 1 2 Обозначим Ь = (Ь1 ,...,Ьл)' — вектор, такой, что Ьз. = aj +—, у = 1,...,й. Пусть также Ь0 = 0

й + 1 2

и ^+1 = —.

Определим следующую функцию:

. * / у-1

Гй (а) = р 4 ПГ(ау-1-где Г(-) — гамма-функция. 3

Определение 1. Случайный вектор X размерности й имеет многомерное ^распределение с вектором степеней свободы с параметрами л, а, А, если его функция плотности имеет вид

j d-l ( i Jbj-Vi О

fx(X) = C\A\-1 n(i+j(x-m)[d-j]'( a[d-j])-1 (x-m)[d-j] I , j

j=0 V 2 / "JO

-. s;

где (x - m)[d j] — вектор из первых d - j компонент вектора (x -m) и

- - Г*

C =

Г-

Очевидно, что данное многомерное распределение не является эллиптическим, и его копула также не принадлежит классу эллиптических копул (см., например, (Фантаццини, 2011а)). Построение копулы на основе многомерного ¿-распределения с вектором степеней свободы осуществляется стандартным путем с помощью теоремы Скляра (см., например, (Demarta, McNeil, 2005; Фантаццини, 2011а; Благовещенский, 2012)). Напомним, что ко-пулой C размерности d называется d-мерная функция распределения с равномерными на [0, 1] одномерными маржинальными распределениями. Согласно теореме Скляра, для любой многомерной функции распределения F с маржинальными функциями распределения F,. .,Fd существует копула C, такая, что

F

При этом копула Cединственна, если функции F,...,Fd абсолютно непрерывны. И обратно, на основе любой копулы C и маржинальных функций распределения F1,..., Fd по формуле (2) может быть построена некоторая многомерная функция распределения.

Если для некоторого многомерного распределения маржинальные функции распределения непрерывны и строго возрастают, можно построить копулу на его основе с помощью (2) следующим образом:

C (uj,..., u-) = F (F-1 (uj),..., F- (u-)),

где F-j — функции квантилей маржинальных распределений. Копула, построенная на основе многомерного ¿-распределения с вектором степеней свободы, запишется следующим образом:

j F- (u)F2-1 u) F- (u- ) d-j ( j - Jbj-j

CI,A

-W -W -W j=0 ^ '

где маржинальные функции распределения F определяются как

j +W+W +W t d-j ( j \bj-bj+j

F

По построению, если некоторый случайный вектор имеет t-копулу с вектором степеней свободы и маржинальные функции распределения Fi (t) из (4), то данный случайный вектор имеет многомерное ¿-распределение с вектором степеней свободы. Однако если использовать в формуле (2) другие наборы одномерных маржинальных функций распределения, получим многомерные функции распределения, которые можно назвать функциями мета t-распределений с вектором степеней свободы по аналогии со случаем классического многомерного ¿-распределения со скалярным параметром степеней свободы.

Использование ¿-копулы с вектором степеней свободы осложняется тем, что маржинальные функции распределения (4) представлены в виде кратных интегралов, которые должны определяться численно. В случае многомерного ¿-распределения со скаляром степеней свободы данные функции представлены в виде однократных (обычных) интегралов, поскольку маржинальные функции распределения могут быть записаны в явном виде. Вычисление маржинальные функций плотности для многомерного ¿-распределения с вектором степеней свободы общего вида представляется затруднительным. Однако для финансовых приложений достаточно использовать стандартизованную версию данного распределения, для которой вычисление маржинальных функций плотности проще.

4. стандартизованное распределение и его копула

Приведем многомерное ¿-распределение с вектором степеней свободы к стандартизованной форме. Положим X = Р—1 (X — т), где й X й матрица Р — нижняя треугольная и А = РР'. В работе (Шведов, 2010б) показано, что X = (X, ,..., X л) имеет ¿-распределение с вектором степеней свободы с параметрами т = 0, А = 1а и тем же а (и, соответственно, Ь), что и у вектора X = (Х1, Х2,..., Хй)', т. е. имеет функцию плотности

d-1 / i i i \bJ-Vi

fz

й—1

'1+ -1  2 1 2

Для построения копулы на основе многомерного ¿-распределения с вектором степеней свободы необходимо определить вид маржинальных распределений компонент вектора X. Для этого нам понадобится следующий простой результат.

с + 1

Лемма 1. Пусть а > 0 , с > — 1 и Ь +—— < 0, тогда

jr> + 2

. 2 b+c+ c-2 I c + 1 c + 1

— z2 I zcdz = a 2 2 2 B|-b

0 х 2 ) V 2 2

( 1 2Г

Доказательство. Используя замену переменных t = ala + — z j , имеем

J^a ±-z2) zcdz = a 2 2 2 J t 2 (1-1) 2 dt = a 2 2 2 B|-b--— ,—j .

Лемма 1 доказана.

При выводе одномерных маржинальных функций плотности также будут использоваться интегральные представления обобщенных гипергеометрических функций Fq(m,...,m ;n1,...,nq;y). Далее приведены интегральные представления этих функций для тех значений аргументов, которые будут встречаться при выводе маржинальных распределений. Леммы 2 и 3 могут быть найдены в книгах (Градштейн, Рыжик, 2011; Прудников и др., 2003).

- j-1 2

fZj(z}) = (2P)"--j П

rl k - 2

ГI a,r

V v 2 n

i Г| ad-J+i - 2 Г1 ad-^) r(a, -^VL -1-1

d - j -1 d -

X j Ji-1 I ad-j+1 2 ' ad-j+2 2"

X

d - 2 d - j -1 d - j d - 3 12

2 ' ad-j+2 2 ' ad-j+3 2 '"'' ad 2 2 Zj

d-2

4 И LQ

s;

Лемма 2. Пусть т1, т2,п, у £ М, п > т2 > 0 и у < 0 . Тогда

2^ (т1, т2;п;у) = Г(п)-- / Гт+п-1 (Х + 1Г-п (Х - у + 1)-т1 "Х. .

Г(т2 )Г(п - т2) "О «и

Лемма 3. Пусть д £ {2,3,...}, т,...,т^,п,...,п,у £ М, п^...,£ {0,-1,-2,...}, пд > тд+1 > 0 и у < 0 . Тогда

„+1 ^ (т1 ,...,тд+1;п1 ; у )= ^ ^ ^){ ^ (1-Х )"+'-1. ^ («1 п ,.,п-; ух й

Свойства обобщенной гипергеометрической функции, сформулированные в Леммах 4 и 5, приведены в книге (Прудников и др., 2003).

Лемма 4. Значение функции (т1,..., т ; п^..., пд; у) не зависит от порядка расположения параметров внутри групп т1,...,тр и п^...,пд.

Лемма 5. Имеет место следующая формула понижения порядка обобщенной гипергеометрической функции при совпадении значений параметров в первой и второй группах:

р ^ (т1 т-, тр-г+1 т р; п1 п-, тр-г+1 тр; у) = (т1,..., тр-г; п,..., п„-г; у).

В приведенной ниже Теореме 1 представлена общая формула одномерной маржинальной функций плотности для Х-распределения с вектором степеней свободы в стандартизованной форме. Заметим, что в случае векторного параметра степеней свободы все одномерные маржинальные распределения имеют разную функциональную форму, в то время как при скалярном параметре степеней свободы все они являются классическими Х-распределениями. Теорема 1. Пусть 2 имеет функцию плотности распределения (5). Тогда маржинальная

функция плотности распределения компоненты 2у, у = 1,..., й имеет вид

2

( й - 2 1 2 \ ( 1 2 Г""

где 1 \аа---—;;-^ I = 11 + ^ I (см. (Прудников и др., 2003)), т. е. 21 имеет

обычное Х-распределение.

Доказательство. С учетом (1) для маржинальной функции плотности распределения компоненты 2у имеем:

+ 01+0) + 0 d—1 /11 1 fzi z,) = С // ../П(1 + 2 ^ + 2 +...+ 2 z

+ o + o +o d—1 /11 1

=2d—1 c/j...jn(i+2 z2+2 z22+.••+2 z

2 d—j

^..MZ.j—Uij+1-..VU.d '

— О — О —o j = 0

+ o + o +o d—1

-( I - I I I

. ..dZj_1 dZj+1... d^z d.

0 0 0 j=0 ' ' ' ' На первом этапе интегрируем последовательно по zd, zd—1,..., zj+1, применяя Лемму 1:

d—1—I ( 11 I +0 +°( 1 2 1 2 Гь +2( 1 2 1 fz(zJ) = 2 2 BU —1, 11С / .../(1 +1 z2 +... +1 z2—1 I (1 +1 zf +...+1

22 1

м 1 2 1 2 \ J J L 1 2

00

bd—, —bd

2

bd—1—bd

\b2—bi

= 2d—1— 2J B(b —1,1 Wb — 1,11...Bl —

1 2' 2JT2 4 2J"'~l d—J 2 '2

-J 1

dz1 ...dZj—1 dzj+1... dZd—1

+ o +o (л 1

С/-Д1+2 z2 +...+2 z;

00

—bd—j+1

X

1 \bd—j+1 bd—j+2

1 2

X|1 + 2 z/ +... + 2 zjt1 I ...11 + 2 z/j dz1...dzj—1.

На втором этапе интегрируем последовательно по z/—1, z/—2,..., z1. Положим

D = 2

d—1—

d—j

11

1

' — J 1

2 2)

1 2 ( 1 2 1 2 1 Используем замену переменных t = — zj—1 11 + — z1 +... + — zj—2 J . Тогда

1 +o +0 1

fz

d—J+1 ud—j+2

1 +1 —

2zj

\

1 2 1 2 1 + -z12 +... + -z 2

2 1 2 J—2

d—J

¥--

2

L 1 2 1 2 |d2J—Vj+3+2/ 1 2 1 2

x| 1 +— z12 + ... + -z2 2 j 11 + -z1 + ... + -z2 3

l 2 1 2 J—2 J l 2 1 2 J—3

..|1+2 z1

bd— —bd

X

1 * J—21-

Применяя Лемму 2, имеем

fz,( Zj) = 2

1 Г| bd— ,+2 —

J 1 U

22

+ o +o

X/. J 2^

00

d—j+1

' d—j+2

d—j+2

'—J^-b

2 2' °d—+2

DX

j

- 1 z 2 2

2 ..L.2 2

1 + -z12 + ... + -z2 2

т 1 т J—2

X

Ь ,—b

d—1 "d

1

00

/

2

2

/

\

V

/

-bd-J+3+1 ( 1 1 )bd-j+3-bd-jT4 ( 1 )bd-1-bd

X(1+2 Z12+•••+2 zj-2) |1T2 z22 zj-31 -(1+2 Z12) dz1-dzj-2 •

1

1

1 2 1 2 )( 1 2 1 2

Далее произведем замену переменных s = | H— z1 T... T— z  3 ( H— z1 T... T— zj-

j-2

4 И LQ

si

Имеем:

fz, (zj) = 2 2 2

'-j 1 )J

1 1 Г( bd-j+2--2--2 2

rib

d-j+2

D X

1 T^1 "T^

Xff f 2 F

d-jT1

' d-jT2

- j -1: b

2 2

' d-jT2

2

- 2 Zj

X s

d-j ,

d-j-i-3 -1( л л -bd-jT4 T1

d-T3- 2 -2-2(1-s)-2|1T 1Z12 T...T 1 z2-3

, 1 2 1 2 1T-z1 T... T— z2 3

V 2 1 2 j-3) )

1 )bd-j"4 bd-jT5

1 2

X

1T-zf T...T-z2-4

2 1 2 j 4

...|1t j z.-

bd-1 -bd

Применяя Лемму 3, получаем

fz, (zj) = 2 2 2

I - I Г|^2 - d-tL - 2 |r|bd-jT3

j -1 -1 H 2 2 2

ribd- jT2 ^ )r|bd-T3 d - j 1

DX

Xf . f 3F2 (b(

2 2, - d-j -1 -1.

d-jT1 2 5 d-jT2 2 2' d-jT3 2 2 2'

-j 1,b

-1 2

b - ^ b - ^ -1._^

d-jT2 2 ' d-jT3 2 2' 1

1T— z1 T...T— z2 3

2 1 2 j-3

X

x(1t2z12T...T2z2-3)2 d-T4 V1T2z12T...T2z22-4

1

1

•d-jT4 bd-jT5 ( 1

...iiT 2 »f

-1

2

\

1

0 0 0

0 0

Используя аналогичную замену переменных вида

s=

последовательно для к = у — 3,..., 2 и 5 =-:-для г1 и интегрируя после замены каждый

1 +1 ^

21

раз по 5, имеем

(ж ) = 2— * ^,2 — ^ — 1 ^+3 — ^ — М — ^ — ^ о х

211 =2 ( И — У)М й — у 1) / й — у у — 2) °х

r|bd—j+2 — ^Jr(bd—+3 — ^ — 2j...^d 2 2

I d — j d — J 1 d — J J — 1

XJFJ—1 | d—j+1 2 , bd—j+2 2 2,.., "d 2 '

b — d—lh — d—l— 1 h — 1 z2

d—j+2 2 ' d—j+3 2 2'"'' d 2 2 ' 2J

1 2'

Г

Теперь из равенств (1), (6), Ьу = ау + —, 1 = 1,...,й и свойства бета-функции

В

получаем утверждение теоремы. Теорема 1 доказана.

В случае скалярного параметра степеней свободы, т. е. при а1 = а2 = ... = ай = а, порядок обобщенной гипергеометрической функции в формуле маржинальной функции плотности распределения 2 понижается на у — 1, поскольку у — 1 параметров первой группы совпадают с у — 1 параметрами второй группы (использованы Леммы 4 и 5). Имеем

— j — 1 d — J d — 2 d — J — 1 d — J d — 3 12

11 a--,a--,...,a--;a--,a--,...,a--; — z.

J J—1' i "> 2 2 2 2 2 J

d 2

—2 1 2 w 1 s

= , а——;; — 2 ^ ] = (1 + ^ ^

где использовано представление функции 1 ^ из (Прудников и др., 2003). Получаем, что вид маржинальной функции плотности распределения 2 упрощается до

1 г(а — й^2)( 1 )—2

) =(2р) 2 ( й-1)(1+2^' 2 Г(а 2

^ 2а — й + 1

Таким образом, для любого у = 1,...,й случайная величина А---2 у имеет стандартное ¿-распределение с 2а — й + 1 степенями свободы, что является известным результатом для многомерного ¿-распределения со скалярным параметром степеней свободы.

1 «

Рассмотрим случай й = 3 при ограничениях на параметры а1 > 0, а2 > —, а3 > 1. Первая §

2 се

щ

компонента вектора 2 имеет обычное Х-распределение (нестандартно нормированное, по- ^ скольку для стандартизации распределения предполагается А = 13), а в силу Теоремы 1 это верно для любого й. Функция плотности 21 имеет вид:

(2р) 2Г| a.

fz, (Z) =

r

1

2/,1T 1 2

1Tz

2

Вторая и следующие за ней компоненты вектора 2 имеют функции плотности, которые уже не выражаются через элементарные функции при произвольных а. Функция плотности 22 определяется следующим образом:

fz, (Z2 ) =

1

2

2 F

2 3 2 2 2

Наконец, функция плотности 23 определяется как

fz, (Z3) =

) I 1 1 1 1 2)

FI a T—, a, a,--: a T —, a,:—z2 |.

21 1 2 3 2 2 2 2 3 )

На рисунке 1 приведены графики маржинальных функций плотности величин 21, 22, 23 с параметрами а1 =1, а2 = 2, а3 = 3. Заметны различия в толщине хвостов распределений, которые проистекают из несовпадения компонент вектора степеней свободы а.

fate)

-4-2 2 4

Рис. 1. Маржинальные функции плотности 21, 22, 23 при а1 =1, а2 = 2, а3 = 3

По аналогии с формулами (3) и (4), Х-копула на основе стандартизованного многомерного Х-распределения с вектором степеней свободы определяется как

Р—

-от -от -от ]=0 \ 2 2 2 /

Маржинальные функции распределения в данном случае определяются уже однократными интегралами, так же как и в случае скалярного параметра степеней свободы:

( й — ] — 1 й — ] й — 2

Р2]

й — ] — 1 й — ] й — 3 12

ай-]+2 2 ,а"-]+3 2 ,...,а" 2 ;—2Х

где

_1 Г( ad-jT1 - " "2" 1

cj=(2р)-'Л-d^ П

V( k - 2))2

Г1 а"-]+1 — г(" - МЫа. * 1

При оценке параметров моделей, содержащих стандартизованную Х-копулу с вектором степеней свободы, необходима многомерная функция плотности, построенная на основе этой копулы. Дифференцируя выражение (7), получаем, что данная функция плотности имеет вид

й-1

d ( 1 1 1 ) Сn(1T2(Fz-1 ("1 ))2 T1 (Fz-1 ("2))2 T...T1 (Fz->d-j))21

d

П fz,

<

5. применение построенной копулы в моделях VAR-MGARCH

Для моделирования многомерных распределений финансовых доходностей можно использовать непосредственно копулу общего вида (3). Однако это сопряжено с вычислительными трудностями, поскольку маржинальные функции распределения (4) заданы кратными интегралами. В то же время в финансовых приложениях часто прибегают к приему, состоящему в том, что моделирование распределения вектора центрированных и нормированных доходностей проводится отдельно от моделирования динамики вектора условных средних и условной ковариационной матрицы. В рамках этого подхода для моделирования распределения шоков можно использовать стандартизованную Х-копулу с вектором степеней свободы вида (7). Поскольку маржинальные функции распределения (8) определяются однократными интегралами, применение данной копулы не так проблематично, как копулы общего вида (3). Ниже будет показано, как стандартизованная Х-копула с вектором степеней свободы может применяться в многомерных GARCH-моделях.

d

1=1

Авторегрессионная компонента в динамике доходностей отдельных активов, в особенно- <8 „ й сти акций, зачастую является незначимой, и поэтому в одномерном случае условное среднее, §

как правило, можно игнорировать, зафиксировав его на нулевом уровне без существенной ^ потери предсказательной силы модели. В то же время при моделировании совместной динамики доходностей различных активов необходимо учитывать возможные перекрестные динамические связи, и поэтому в многомерном случае следует использовать нетривиальную спецификацию вектора условных средних. Например, в работе (Балаев, 2011б) показано, что между доходностями фондовых индексов различных стран существуют статистически значимые динамические связи, а в (Балаев, 2013) подобные связи выявлены для доходностей акций крупнейших российских компаний. Лагированная величина доходности одного актива может рассматриваться как информация, которая влияет на текущие доходности других активов. Для учета таких связей в качестве модели вектора условных средних можно использовать, например, простейшую векторную авторегрессию. Пусть г есть й-мерный вектор доходностей некоторых активов в момент ¿, причем

Г = Е—г ,

и динамика вектора условных средних задана в виде векторной авторегрессии первого порядка:

Е—1Г = с + ег—1.

Эффекты кластеризации волатильности часто наблюдаются на практике и включаются во многие модели финансовых доходностей. При этом не исключено, что если доходности различных активов или различных рынков связаны, то и их волатильности могут быть связаны. Вектор шоков ег можно представить в виде

в, = И'22,

где И — условная ковариационная матрица вектора е( (с точностью до умножения на некоторую положительно определенную матрицу), а условная ковариационная матрица вектора 2 постоянна (поэтому индекс ¿ опущен). Будем считать, что для моделирования динамики матрицы Иг используется любая из известных многомерных GARCH-моделей. Представительный обзор данных моделей содержится, например, в ^йуеппотеп, Terasvirta, 2008).

Для завершения построения модели необходимо определить распределение вектора 2. С учетом эмпирических свойств распределений финансовых доходностей желательно, чтобы условное распределение вектора 2 допускало наличие хвостовых зависимостей между его компонентами. При этом, поскольку каждый актив имеет свою специфику, желательно, чтобы для разных пар активов допускались различные меры хвостовых зависимостей. Классическая ¿-копула со скалярным параметром степеней свободы позволяет учитывать такие различия только за счет параметров корреляций между доходностями различных активов. Однако на практике этого может оказаться недостаточно. Копула, построенная на основе многомерного ¿-распределения с вектором степеней свободы, позволяет более гибко моделировать различия хвостовых зависимостей за счет наличия индивидуальных параметров степеней свободы у каждого компонента случайного вектора. Этим ¿-копула с вектором степеней свободы выгодно отличается от многих других копул, используемых при моделировании динамики финансовых доходностей. Поэтому для построения распределения вектора 2 можно использовать стандартизованную ¿-копулу с вектором степеней свободы, определенную в (7).

Таким образом, полная модель условного распределения вектора финансовых доходно-стей г описывается уравнениями (10)-(12) вместе с некоторой многомерной GARCH-моде-лью для матрицы Н г и следующей функцией плотности распределения вектора 2:

СПИМ( (*^(Ж (^...^К((. ()))2)1 +1,

/(^ -5-ПЛ ^),

Пл(( К ^))) =

1=1

где /2 (Zj) и Е2 (zJ) для . = 1,...,5 определяются Теоремой 1 и соотношением (8) соответственно, а /2 (Zj) и Ё2 (Zj) для . = 1,...,5 — маржинальные функции плотности и функции распределения компонент вектора 2 соответственно. Функции /2 (zj) и Р2 (zj) задаются отдельно от копулы и могут учитывать любые особенности одномерных распределений доходностей активов.

Предложенная модель учитывает наличие динамических связей между доходностями различных активов за счет уравнения (11), а также кластеризацию волатильности и связи между различными волатильностями за счет многомерной GARCH-модели для матрицы Н.. Кроме того, за счет выбора функций /2 (zj) в модели могут учитываться асимметрия и тяжелые хвосты маржинальных распределений доходностей. Наконец, использование стандартизованной .-копулы с вектором степеней свободы С\ (и1,..., и5) вида (7) позволяет учитывать наличие хвостовой зависимости между доходностями различных активов. При этом за счет того, что параметр степеней свободы является вектором, имеется дополнительная гибкость для моделирования структуры хвостовой зависимости. В данной модели мера хвостовой зависимости для каждой пары активов определяется индивидуальной корреляцией и индивидуальным параметром степеней свободы, в то время как в случае классической .-копулы параметр степеней свободы является общим и влияет на все хвостовые зависимости одновременно.

6. численное моделирование ¿-распределения и ¿-копулы с вектором

степеней свободы

Пусть необходимо сгенерировать набор независимых случайных векторов X(1),...,X(Ы) £ М5, имеющих 5-мерное .-распределение с вектором степеней свободы с параметрами т, а, А, и набор и(1),...,и£ [0,1]5 независимых случайных векторов, имеющих 5-мерную .-копулу с вектором степеней свободы с теми же параметрами. Ниже предложен удобный способ решения этой задачи, который опирается на понятие матричного гамма-распределения Беллмана, лежащего в основе многомерного .-распределения с вектором степеней свободы.

Определение 2. Положительно определенная случайная 5 X 5 матрица Ж имеет гамма-распределение Беллмана с параметрами а и А, если ее функция плотности имеет вид

5

/ М = У а, Ае .Г (-А^)П|

.=1

ГДе Ya, A

d-1 х-1

j=0

Г (а)П| A[d-j]|aj-V1 И etr () = exp (r ()).

f

Теорема 2. Пусть Ь — нижняя треугольная матрица с положительными диагональными элементами, такая, что Ж = Ь'Ь имеет гамма-распределение Беллмана с параметрами а и А = . Тогда функция плотности матрицы Ь имеет вид

fL (i)=

/2ad-jT1 - d T j)

-1

l

))

)(

vp

) V ^jV p

имеем

вид J(Ж,Ь) = 2й П 1] (см., например, (Шведов, 2009)), для функции плотности матрицы Ь

]=1

А (I) = Р 4 П|Г(а]

j=1

)-1 ( d ) ( ) d

exp ^ exp -2lj 2dПlj-"' V j=1 ) V ) j=1

d

= P

exp

-2lj exp -Si.

v

\ j=1 )

2a )„(2a -1

2a3 - 2

\ / )... Г(

2ad - d T1

\)-1

X

))

X 12ad -d+1-112ad-l-(d-1)T1-1i2ad-2-(d-2)T1-1 i2^-1 = X dd =

d

P

exp

-Si.

v )

' (2a1 ))-1

\ V 2 )

li"1exp

j=1 V V

(

Г

V V

/2ad-j+1 - d T j )

2a - d T1)) 1

))

-1

l (

))

l1(12--dT1)-1 exp (-I2) )(

-1 exp

1Ф i V p

ЛЛ ) = 2

(

Г

\ V

2a

d-j+1

Tj

)-1

2

1( 2 Of-jT1-dTj'

jj

))

1 exp

соответствующую обобщенному гамма-распределению с параметрами а = 1, р = 2, й = 2ай-]+1 — й + ]. Элементы вне диагонали имеют функцию плотности

и LQ

S:

Доказательство. С учетом того, что модуль якобиана преобразования Ж = Ь'Ь имеет

Теорема 2 доказана.

Замечание. Теорема 2 неверна для верхней треугольной матрицы Ь с положительными диагональными элементами, поскольку в этом случае (Ь'Ь) .] ^ Ь^'.]Ь[.]. Элементы верхней треугольной матрицы Ь с положительными диагональными элементами, такой, что Ж = Ь'Ь, имеют существенно более сложное распределение. В частности, в функциях плотности диагональных элементов этой матрицы возникает вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометрическая функция второго рода (функция Трикоми).

Согласно Теореме 2, функция плотности распределения матрицы Ь распадается на произведение функций плотности ее элементов. Это означает, что элементы матрицы Ь распределены независимо. Диагональные элементы имеют функцию плотности

/

2

/

г

2

2

/

jj)=jp exp H

т. е. нормальное распределение N

Пусть матрица Ь удовлетворяет условиям Теоремы 2, а вектор V имеет нормальное распределение N (0,). В работе (Шведов, 2010б) показано, что в этом случае вектор 2 = Ь-У имеет .-распределение с вектором степеней свободы с параметрами т = 0, А = 1а, а. Следовательно, генерация вектора 2, а значит и вектора X с произвольными т и А, сводится к генерации матрицы Ь. А по Теореме 2 генерация матрицы Ь проводится поэлементно и независимо с функциями плотности (13) для диагональных элементов и (14) для внедиагональных. Это может быть легко реализовано на компьютере, поскольку численное моделирование обобщенного гамма-распределения (13) в настоящее время доступно во многих математических программных пакетах.

Таким образом, предлагается следующий способ генерации набора X(1),..., X(N) независимых случайных векторов, имеющих .-распределение с вектором степеней свободы с параметрами т, А, а. Для к = 1,..., N независимо осуществляется следующая процедура:

1. В соответствии с функциями плотности (13) и (14) производится независимая поэлементная генерация матрицы Ь, а также независимо генерируется стандартный нормальный вектор V.

2. Далее вектор X(к), имеющий .-распределение с вектором степеней свободы с параметрами т, А, а, вычисляется как X(к) = РЬ-1 V + т, где Р — нижняя треугольная матрица, такая, что А = РР'. Матрица Р может быть вычислена с помощью алгоритма разложения Холецкого.

При этом, если для каждого к = 1,...,N положить и(к) = (F1(X(lk)),...,¥й(Xf>)), где функции ^(х1) определяются из (4), то получим набор и(1),...,и(-1Г> £ [0,1]5 независимых случайных векторов, имеющих .-копулу с вектором степеней свободы с теми же параметрами, что и для векторов X(1),..., X(1Г).

В настоящей работе предложена копула, основанная на многомерном .-распределении с вектором степеней свободы, которое является обобщением классического многомерного .-распределения со скалярным параметром степеней свободы. Эта копула дает возможность более гибко, чем классическая .-копула, моделировать различия хвостовых зависимостей между компонентами случайного вектора за счет наличия отдельного параметра степеней свободы у каждого компонента. В работе выведена стандартизованная версия .-копулы с вектором степеней свободы, которая является более удобной с вычислительной точки зрения, поскольку использованные для ее построения маржинальные функции плотности выражаются в явном виде. В качестве примера практического использования .-копулы с вектором степеней свободы рассмотрено применение ее стандартизованной версии в так называемой VAR-MGARCH модели, состоящей из векторной авторегрессии и многомерной GARCH-структуры. Данная конструкция может применяться для описания динамики многомерных финансовых временных рядов. При этом за счет использования .-копулы с вектором степе-

7. заключение

ней свободы в данной модели различия хвостовых зависимостей между доходностями акти- °

S

вов определяются не только корреляциями, но и индивидуальными параметрами степеней § свободы. В работе также предложен алгоритм численного моделирования случайных векто- ^ ров, имеющих многомерное .-распределение или .-копулу с вектором степеней свободы.

Возможным направлением дальнейших исследований является эмпирическая оценка предсказательной способности VAR-MGARCH моделей на основе .-копулы с вектором степеней свободы. В первую очередь, интерес представляет сравнение моделей с векторным и скалярным параметрами степеней свободы.

Работа также может быть продолжена в направлении модификации .-копулы с вектором степеней свободы, например, на основе скошенного многомерного .-распределения с вектором степеней свободы, предложенного в работе (Балаев, 2011а). Такая копула может допускать наличие асимметрии хвостовых зависимостей.

Список литературы

Бадаев А. И. (2011а). Многомерное скошенное .-распределение с вектором степеней свободы и его применение в моделях финансовых рынков. Прикладная эконометрика, 23 (3), 79-97.

Балаев А. И. (2011б). Моделирование многомерных параметрических плотностей финансовых доходностей. Квантиль, 9, 1-22.

Балаев А. И. (2012). Моменты многомерного .-распределения с вектором степеней свободы, одномерные маргинальные функции плотности и характеристические функции. Препринт WP2/2012/03. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ.

Балаев А. И. (2013). Моделирование доходностей и составление портфелей из акций российских компаний. Препринт WP2/2013/03. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ.

Благовещенский Ю. Н. (2012). Основные элементы теории копул. Прикладная эконометрика, 26 (2), 113-130.

Градштейн И. С., Рыжик И. М. (2011). Таблицы интегралов, рядов и произведений. 7-е изд. СПб.: БХВ-Петербург.

Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. (2003). Интегралы и ряды. Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы. 2-е изд. М.: Физматлит.

Фантаццини Д. (2011а). Моделирование многомерных распределений с использованием копула-функций. I. Прикладная эконометрика, 22 (2), 98-134.

Фантаццини Д. (2011б). Моделирование многомерных распределений с использованием копула-функций. II. Прикладная эконометрика, 23 (3), 98-132.

Фантаццини Д. (2011в). Моделирование многомерных распределений с использованием копула-функций. III. Прикладная эконометрика, 24 (4), 100-130.

Шведов А. С. (2009). Бета-распределение случайной матрицы и его применение в модели состояние-наблюдение. Препринт WP2/2009/01. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ.

Шведов А. С. (2010а). О методах Монте-Карло с цепями Маркова. Экономический журнал Высшей школы экономики, 14 (2), 227-243.

Шведов А. С. (2010б). .-распределение случайной матрицы и его применение в регрессионной модели. Препринт WP2/2010/01. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ.

Шведов А. С. (2011). Робастная регрессия с применением .-распределения и EM-алгоритма. Экономический журнал Высшей школы экономики, 15 (1), 68-87.

Шведов А. С. (2012). К байесовскому анализу матричной линейной модели состояние-наблюдение. Препринт WP2/2012/01. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ.

Acar E. F., Craiu R. V., Yao F. (2011). Dependence calibration in conditional copulas: A nonparametric approach. Biometrics, 67, 445-453.

Chan J. C. C., Kroese D. P. (2010). Efficient estimation of large portfolio loss probabilities in t-copula models. European Journal of Operational Research, 205, 361-367.

Chan Y., Li H. (2008). Tail dependence for multivariate t-copulas and its monotonicity. Insurance: Mathematics and Economics, 42, 763-770.

Demarta S., McNeil A. J. (2005). The t copula and related copulas. International Statistical Review, 73 (1), 111-129.

Diks C., Panchenko V, van Dijk D. (2010). Out-of-sample comparison of copula specifications in multivariate density forecasts. Journal of Economic Dynamics and Control, 34, 1596-1609.

Frahm G., Junker M., Szimayer A. (2003). Elliptical copulas: Applicability and limitations. Statistics and Probability Letters, 63, 275-286.

Hansen B. E. (1994). Autoregressive conditional density estimation. International Economic Review, 35 (3), 705-730.

Hormann W., Sak H. (2010). t-Copula generation for control variates. Mathematics and Computers in Simulation, 81, 782-790.

Huard D., Evin G., Favre A. C. (2006). Bayesian copula selection. Computational Statistics & Data Analysis, 51, 809-822.

Jondeau E., Rockinger M. (2006). The copula-GARCH model of conditional dependencies: An international stock market application. Journal of International Money and Finance, 25, 827-853.

Kole E., Koedijk K., Verbeek M. (2007). Selecting copulas for risk management. Journal of Banking and Finance, 31, 2405-2423.

Kotz S., Nadarajah S. (2004). Multivariate t distributions and their applications. Cambridge: Cambridge University Press.

Ortobelli S., Huber I., Schwartz E. (2002). Portfolio selection with stable distributed returns. Mathematical Methods of Operations Research, 55, 265-300.

Reboredo J. C. (2011). How do crude oil prices co-move? A copula approach. Energy Economics, 33, 948-955.

Sak H., Hormann W., Leydold J. (2010). Efficient risk simulations for linear asset portfolios in the t-copula model. European Journal of Operational Research, 202, 802-809.

Scaillet O., Fermanian J. D. (2005). Some statistical pitfalls in copula modeling for financial applications. Capital Formation, Governance and Banking. Nova Science Publishers, 57-72.

Silvennoinen A., Terasvirta T. (2008). Multivariate GARCH models. SSE/EFI Working Paper Series in Economics and Finance, 669.

Smith M. S., Gan Q., Kohn R. J. (2012). Modeling dependence using skew t copulas: Bayesian inference and applications. Journal of Applied Econometrics, 27, 500-522.

Trottini M., Muralidhar K., Sarathy R. (2011). Maintaining tail dependence in data shuffling using t copula. Statistics and Probability Letters, 81, 420-428.

Zhang R., Czado C., Min A. (2011). Efficient maximum likelihood estimation of copula based meta t-distributions. Computational Statistics and Data Analysis, 55, 1196-1214.