О размерностях контрпримеров к гипотезе Борсука на сферах малого радиуса

УДК 514.174.5

О размерностях контрпримеров к гипотезе Борсука на сферах малого радиуса

Л. Л. Иванов

Кафедра нелинейного анализа и оптимизации Российский университет дружбы народов улица Миклухо-Маклая, 6, Москва, 117198, Россия

В данной статье воспроизведены конструкции различных контрпримеров к гипотезе Борсука, которые представляют собой множества, лежащие на сфере малого радиуса. В работе отражено, как зависит размерность контрпримера от радиуса сферы, на которой он построен.

Ключевые слова: гипотеза Борсука.

1. Введение

Настоящая работа посвящена классической проблеме Борсука в комбинаторной геометрии. В 1933 году в своей работе [1] Борсук сформулировал гипотезу о том, что всякое множество конечного ненулевого диаметра в пространстве К может быть разбито на ё +1 часть меньшего диаметра. Впоследствии гипотеза была доказана при <1 ^ 3 (см. [2,3]), а при <1 ^ 298 были найдены контрпримеры (см. [3,4]). Отметим, что гипотеза была опровергнута лишь спустя 60 лет после её постановки. Подробности истории возникновения и решения задачи Борсука можно найти в книгах [5-8] и статьях [2,3,9-11].

Числом Борсука f (й) назовём минимальное количество частей меньшего диаметра, на которые разбивается произвольное множество диаметра 1 в пространстве К (величина диаметра исходного множества в данном случае не влияет на число Борсука, поэтому мы принимаем её равной 1). В этих терминах в гипотезе Борсука утверждается, что f (й) = д, + 1. Как было указано выше, это равенство доказано только при d ^ 3, а при д, ^ 298 выполнено неравенство f (й) > д, + 1. Также числом Борсука множества будем называть то минимальное количество частей, которое необходимо непосредственно для правильного разбиения этого множества.

Известны асимптотические оценки для величины f (й):

(1, 2255... + о(1))'^ < f (0) < (1, 224... + о(1))*.

Подробнее про нижнюю оценку см. [12], про верхнюю см. [13].

Практически все конструкции контрпримеров к гипотезе Борсука, которые были получены до настоящего времени, представляют собой конечные множества (0,1)- или (-1, 0,1)-векторов и лежат на сферах некоторого радиуса. При соответствующей нормировке можно добиться того, чтобы диаметр каждого множества был равен 1. Радиусы соответствующих сфер при этом станут асимптотически

равными . Известно также, что всякое множество диаметра 1 в К покры-

V 2 _

вается шаром радиуса ^2^+2 ~ ^ (см. [14]). Таким образом, существующие

контрпримеры представляют собой множества, имеющие максимально большой радиус шаров, в которые их можно поместить.

Однако условие максимальности радиуса не является обязательным. В рабо-

г3

те [15] было доказано, что для любого радиуса г > у ^ существует контрпример

к гипотезе Борсука, лежащий на сфере радиуса г. Более того, недавно появилась работа, в которой доказано то же самое для г > ^, но эта работа ещё не опубликована.

Ввиду сказанного выше, осмысленно ввести следующую величину. Числом Борсука /г (ё) для радиуса г назовём минимальное количество частей меньшего диаметра, на которые разбивается произвольное множество диаметра 1 в М^, лежащее на сфере радиуса г. В новых терминах результат работы [15] состоит в

/г (&) > <1 + 1. Это разрешает вопрос о существовании контрпримеров к гипотезе

//31!

Борсука, лежащих на сфере любого радиуса г € I у ^, ^^ . Однако в работе [15]

не получена явная зависимость величины ёо от г. Основная цель данной работы состоит в отыскании оценок для минимальной размерности контрпримера в зависимости от величины радиуса сферы, на которой он лежит.

2. Формулировки

Ниже мы приводим список результатов этой статьи в табличной форме (табл. 1, 2). В первой колонке табл. 1, 2 указан радиус сферы г, на которой лежит конструкция контрпримера. Во второй колонке указывается минимальная размерность, в которой строится контрпример в данной работе. В последней колонке указывается разница между нижней оценкой числа Борсука /г (й), которую мы получили, и размерностью й. В трёх промежуточных колонках также указываются некоторые вспомогательные величины п, а и р. Эти параметры будут участвовать при доказательстве оценок, мы приводим их здесь только для того, чтобы не выписывать таблицу два раза. Ввиду определённого роста размерности конструк-

~ при —и рад,„а к Д „И„ы„ „ здесь только

часть результатов, в пределах размерности около миллиона.

Теорема 1. При всех г > ... и всех й > ... выполнено неравенство /г(^ — й > ... > 11.

Ниже мы приводим схематичное изображение графика зависимости размерности построенного нами контрпримера от радиуса сферы, на которой он лежит (рис. 1).

d

250000

СЛСЛСЛСЛСЛСЛСЛСЛСЛСЛСЛСЛ050>0>0>0>0>0>0>^1^1^1^1^1^1^1^1^1^1СЮСЮСЮСЮСЮСЮСЮСЮСЮСЮС0С0С0С0С0С0С0С0С0С0 ооооооо М СО 01 О! сю со м со 01 О! сю со м со сл сю со М СО СЛ О! СЮ СО М СО СЛ О! СЮ СО М СО СЛ О!

Рис. 1. Зависимость размерности контрпримера от радиуса

*^Под многоточием следует подразумевать соответствующее число в табл. 1.

150000

100000

0

Таблица 1

Результаты для г ^ 0, 67

г й п а Р /г - (1

0.707106 561 36 0 9 197

0.704502 1830 60 8 17 5604

0.700876 2080 64 12 19 2327

0.698671 2926 76 16 23 5363

0.695221 3240 80 20 25 2221

0.691832 3570 84 24 27 183

0.690955 4656 96 28 31 2907

0.68773 6328 112 36 37 4807

0.68743 7750 124 40 41 14925

0.685234 8256 128 44 43 8758

0.681118 9316 136 52 47 780

0.679633 11628 152 60 53 4698

0.678422 14196 168 68 59 12443

0.676902 14878 172 72 61 6604

0.676042 17766 188 80 67 17798

0.673439 19306 196 88 71 4820

0.672208 20100 200 92 73 8

0.671799 23436 216 100 79 10461

0.670705 24310 220 104 81 4248

Таблица 2

Результаты для г < 0, 67

г й п а Р /г (0 - ^

0.669448 28920 240 116 89 12119

0.668382 33930 260 128 97 25569

0.666674 36046 268 136 101 8170

0.665857 37128 272 140 103 1242

0.664417 43956 296 156 113 5802

0.663854 50086 316 168 121 24153

0.662546 52650 324 176 125 5166

0.660971 62128 352 196 137 6695

0.659627 72390 380 216 149 11082

0.659118 73920 384 220 151 1131

0.658004 85078 412 240 163 7794

0.650972 205120 640 412 263 78119

0.650236 212878 652 424 269 17011

0.649928 231540 680 444 281 72584

0.6497 234270 684 448 283 50238

0.649645 250986 708 464 293 151852

0.640499 914628 1352 996 587 299276

0.640243 930930 1364 1008 593 154725

0.639992 947376 1376 1020 599 25456

0.639966 991936 1408 1044 613 269280

3. Доказательство теоремы

В этом разделе приводится общее доказательство для всех оценок кроме первой из табл. 1, 2. Конструкция контрпримера для первой оценки получена в работе [16]. Она несколько отличается от остальных. Подробнее об этом сказано в последнем разделе этой статьи. Все остальные оценки получены одинаковым образом и зависят лишь от выбора различных значений параметров п, а и р.

3.1. Общий план доказательства

Для доказательства каждой оценки мы приводим соответствующую конструкцию некоторого множества Е* в пространстве размерности d. Множество Е* лежит на сфере радиуса г, имеет диаметр 1, и его нельзя разбить на d + 1 часть меньшего диаметра. Такая конструкция является контрпримером к гипотезе Бор-сука. Как следствие, получается нижняя оценка числа Борсука fr(d), которая представлена в табл. 1, 2, из формулировки теоремы в виде разности fr(d) — d.

Для построения множества Е* рассматривается вспомогательное множество Е, которое представляет собой подмножество вершин куба { — 1,1}". При некотором отображении x о x*, которое мы определим специальным образом, образ множества Е даёт искомое множество Е*.

При доказательстве оценки числа Борсука fr (d) будет получена верхняя оценка ш мощности произвольного подмножества П* из Е*, не содержащего диаметра.

Число Борсука будет оценено снизу величиной -. При этом будет использо-

ш

вана лемма о мощности подмножества П из Е, в котором установлены некоторые запреты. Эти запреты, а также конструкция множества Е, позволяют применять линейно-алгебраический метод для получения оценки мощности П (см. [17]). Отображение x о x* будет взаимно однозначно, поэтому мощности множеств при переходе к их образам не изменятся. При этом наличие запретов в П будет равносильно отсутствию в П* точек на расстоянии диаметра.

3.2. Конструкция множества Е

В заданной размерности п определим множество Е как подмножество вершин куба { — 1,1}", удовлетворяющих условию х1  ...  хп = 1 для координат вершин Мощность множества Е равна 2п .

В дальнейшем мы будем работать с размерностью п, кратной 4. С учётом этого скалярное произведение любых двух векторов x, y из Е кратно 4, или (x, y) = 0 (mod 4).

3.3. Отображение x о x*

Для каждого вектора x = (х\, ...,хп) из множества Е определим отображение x ^ x* следующим образом:

x —

где а — некоторая положительная константа, которую мы будем задавать позже. Это отображение переводит множество Е векторов из пространства размерности п в некоторое множество Е* векторов из пространства размерности п2 +п. Однако размерность самого множества Е* можно оценить величиной

d — Cl + п,

Очевидно, что отображение x ^ x* является взаимно однозначным. Поэтому мощность множества Е при отображении не меняется, т.е. |Е*| — |Е| — 2"-1.

Скалярное произведение между векторами из Е* можно выразить через скалярное произведение векторов из Е:

Расстояние между элементами множества Е* будет максимальным (т.е. будет

достигаться диаметр), если их скалярное произведение будет наименьшим. Это

2 2 — О —О

происходит в случае (х, у) = . В наших рассуждениях величина будет

кратна 2, но не кратна 4. Поскольку в рассматриваемом множестве Е значение (х,у) всегда кратно 4, то минимум (х*,у*) в этом случае достигается при двух значениях

—а2

Диаметр множества Е*, возведённый в квадрат, равен

4

тах

Для того, чтобы построенное множество Е* имело единичный диаметр, рассмотрим отображение х о Ах* с коэффициентом сжатия А:

А2 =-1-4-.

2п2 + 2Оп + - 8

Радиус сферы, описанной вокруг множества Е*, при отображении без сжатия,

2

это радиус сферы, описанной вокруг параллелепипеда {-1,1}" х {-а,а}п, т.е.

гм = ™2 + «2 п.

Радиус сферы, описанной вокруг множества Е*, при отображении со сжатием:

2 , 2

г2 = д2г2 = п +ап

оЫ 2п2 + 2 Оп + ^ - 8' У ;

Отметим, что с ростом величины п значение радиуса г стремится к —р.

2

Итак, при помощи отображения х о х* с соответствующим коэффициентом сжатия, мы получили из множества Е некоторое множество Е* единичного диаметра на сфере с радиусом, который определяется величинами п и а. В дальнейшем мы покажем, что при надлежащем выборе величин п и а это множество является контрпримером к гипотезе Борсука, т.е. его нельзя разбить на й+1 часть меньшего диаметра.

Прежде чем привести заключительные рассуждения, сформулируем лемму, которая нам понадобится.

3.4. Лемма о мощности подмножества П с запретами

Лемма 1. Пусть величины п и а связаны соотношением п = —a(mod р), где р — нечётное простое или степень нечётного простого числа. Тогда мощность подмножества П из Е, в котором для любых х, у выполнено условие (х, у) ф —а, —а + 4(mod р), может быть оценена следующим образом:

р-2

г=0

Доказательство. Представим число р в виде степени простого числа р = д1 (здесь 7 может быть равно 1). Каждому вектору с из множества £ сопоставим многочлен:

С О ^е

4 ш

где I = {0, ...,р — 1} \ ({—а(шоё р)} и {—а + 4(шоё р)}), а Р есть максимальная степень делителя д в произведении (р — 1)!.

При таком определении многочленов можно установить их следующие свойства:

1. Многочлен ^с(х) принимает целые значения на £.

2. ^с(х) = 0(шоё д) тогда и только тогда, когда (с, х) ф —а, —а + 4(шоё р).

3. ^с(с) ф 0(шоё д), поскольку (с, с) = п ф —а(шоё р) — см. п. 2.

Всякий многочлен на £ можно представить в виде линейной комбинации мономов. Затем, последовательно применяя соотношение х? = 1, можно получить новый многочлен Рс (х) с сохранением всех свойств.

Имеет место связь множества П = {сх,..., ст} и полиномов РС1 (х),..., РСт (х). А именно, если все векторы с» различны и (с^, с^) ф —а, —а + 4(шоё р), то соответствующие векторам полиномы FСi (х) будут независимы. Чтобы пояснить это, рассмотрим произвольную линейную комбинацию полиномов. Выберем некоторый коэффициент ф 0(шоё д) и подставим в полиномы соответствующий аргумент х = с^. Ввиду свойств 2 и 3, описанных выше, полученное выражение не может равняться нулю:

Х1Рс1

Следовательно, мощность множества П при заданных условиях не может превосходить размерность пространства полиномов _Рс(х), т.е. величину Сгп, что и требовалось доказать.

3.5. Завершение доказательства теоремы

Теперь мы представим все описанные этапы в виде доказательства искомых оценок.

Сначала мы возьмём некоторый радиус г из табл. 1, 2 результатов, а также соответствующие величины п, а и р, связанные равенством п = 4р — а. Числа п и а всегда кратны 4, число р — простое или степень простого.

Далее рассмотрим вспомогательное множество £, которое было определено выше.

Затем определим отображение х О х* со сжатием, описанное выше (см. (1), (6)). При этом положим а = \/2а — 4. И построим образ £* множества £ под действием этого отображения. Размерность множества £* определяется величиной (1 = С2 + п (см. (2)). Можно проверить, что множество £* будет лежать на сфере радиуса г (см. (8)). При этом диаметр между точками х* и у* достигается, когда соответствующие им векторы х, у удовлетворяют условию (х, у) = —а, —а + 4 (см. (4)). Отметим, что в заданных условиях на множество £ и величины п, а и P,

Таким образом, любому подмножеству П* из £*, не содержащему диаметра, взаимно однозначно соответствует прообраз П, в котором (х, у) ф —а, —а + 4(шоё р) для всех пар х, у. Это позволяет нам применить здесь лемму и оценить мощность П* величиной ш из (9).

Для завершения доказательства оценки достаточно рассмотреть неравенство:

1г

ы П=0^

4. Дополнительные замечания

Результаты, представленные в данной статье, были получены при помощи компьютерной программы. В программе перебирались значения параметров п, а и р, и выбирались те, при которых получались оптимальные значения г, <1 и оценки для /г (й).

В работе [16] представлено доказательство первой оценки в приведённых нами таблицах результатов. Конструкция контрпримера, приводимая в этой работе, отличается дополнительным накладываемым условием на множество Е: Х1 = Х2 = Хз = 1. Это позволяет использовать при доказательстве оценки величину а = 0, что без дополнительного условия не имеет смысла, так как не выполнено свойство (12). В случае а = 0 также имеются отличия в некоторых частях рассуждений, и в частности, число Борсука в расчётах получается несколько меньше. Однако всё же это позволило получить контрпример к гипотезе Борсука в размерности 561.

В завершение мы хотели бы предположить, что для уменьшения размерностей в приведённых оценках следует более избирательно строить множество Е, выбирая при этом его как подмножество куба { — 1,1}".

Литература

1. Borsuk K. Drei Satze über die n-dimensionale euklidische Sphäre // Fundamenta Math. — 1933. — No 20. — Pp. 177-190.

2. Райгородский А. М. Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств // Успехи мат. наук. — 2001. — № 56. — С. 107-146. [Rayjgorodskiyj A. M. Problema Borsuka i khromaticheskie chisla metricheskikh prostranstv // Uspekhi mat. nauk. — 2001. — No 56. — S. 107-146.]

3. Райгородский А. М. Вокруг гипотезы Борсука // Итоги науки и техники. «Современная математика». — 2007. — № 23. — С. 147-164. [Rayjgorodskiyj A. M. Vokrug gipotezih Borsuka // Itogi nauki i tekhniki. «Sovremennaya matematika». — 2007. — No 23. — S. 147-164.]

4. Hinrichs A, Richter C. New sets with large Borsuk numbers // Discrete Math. — 2003. — No 270. — Pp. 137—-147.

5. В. Г. Болтянский И. Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1965. [V. G. Boltyanskiyj I. C. Gokhberg. Teoremih i zadachi kombinatornoyj geometrii. — M.: Nauka, 1965.]

6. Boltyanski V. G., Martini H., Soltan P. S. Excursions into Combinatorial Geometry. — Springer, 1997.

7. Brass P., Moser W, Pach J. Research Problems in Discrete Geometry. — Springer, 2005.

8. Райгородский А. М. Проблема Борсука. — М.: МЦНМО, 2006. — 56 с. [Rayjgorodskiyj A. M. Problema Borsuka. — M.: MCNMO, 2006. — 56 s.]

9. Grünbaum B. Borsuk's Problem and Related Questions // Proc. Symp. Pure Math. — 1963. — No 7. — Pp. 271-284.

10. Raigorodskii A. M. Three Lectures on the Borsuk Partition Problem // London Mathematical Society Lecture Note Series. — 2007. — No 347. — Pp. 202-248.

11. Raigorodskii A. M. The Borsuk Partition Problem: the Seventieth Anniversary // Mathematical Intelligencer. — 2004. — No 26. — Pp. 4-12.

12. Райгородский А. М. Об одной оценке в проблеме Борсука // Успехи мат. наук. — 1999. — № 54. — С. 1В5-1Вб. [Rayjgorodskiyj A. M. Ob odnoyj ocenke v probleme Borsuka // Uspekhi mat. nauk. — 1999. — No 54. — S. 1В5-1Вб.]

13. Schramm O. Illuminating Sets of Constant Width // Mathematika. — 19ВВ. — No З5. — Pp. 1В0-1В9.

14. Л. Данцер Б. Грюнбаум В. Кли. Теорема Хелли. — М.: Мир, 19бВ. [L. Dancer B. Gryunbaum V. Kli. Teorema Khelli. — M.: Mir, 19бВ.]

15. Райгородский А. М. Контрпримеры к гипотезе Борсука на сферах малого радиуса // Доклады Академии Наук. — 2010. — № 4З4. — С. 1б1-1бЗ. [Rayjgorodskiyj A. M. Kontrprimerih k gipoteze Borsuka na sferakh malogo radiusa // Dokladih Akademii Nauk. — 2010. — No 4З4. — S. 1б1-1бЗ.]

16. Райгородский А. M. О размерности в проблеме Борсука // Успехи мат. наук. — 1997. — № 52. — С. 1В1-1В2. [Rayjgorodskiyj A. M. O razmernosti v probleme Borsuka // Uspekhi mat. nauk. — 1997. — No 52. — S. 181-182.]

17. Райгородский А. M. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике. — М.: МЦНМО, 2007. [Rayjgorodskiyj A. M. Lineyjno-algebraicheskiyj metod v kombinatorike. — M.: MCNMO, 2007.]

UDC 514.174.5

On the Dimensions of Counterexamples to Borsuk's Conjecture On Spheres of Small Radii L. L. Ivanov

Nonlinear Analysis and Optimization Department

Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

In this article there are constructions of counterexamples to the Borsuk's conjecture defined, which are sets laying on spheres of small radii. This work shows how the dimension of a counterexample depends on the radius of the covering sphere.

Key words and phrases: Borsuk's conjecture.