Волновые процессы в системе сыпучая среда жидкость газ во вращающемся горизонтальном цилиндре

Конвективные течения..., 2013

ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕ СЫПУЧАЯ СРЕДА - ЖИДКОСТЬ - ГАЗ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ЦИЛИНДРЕ

В.В. Дьякова, Д.А. Полежаев

Лаборатория вибрационной гидромеханики, Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Экспериментально исследуется поведение системы сыпучая среда - жидкость - газ во вращающемся горизонтальном цилиндре. Изучается быстрое вращение полости, когда жидкость и тяжелый песок центрифугируются. Обнаружено, что изначально плоская поверхность жидкости под действием силы тяжести становится возмущенной, и на ней возбуждаются бегущие азимутальные инерционные волны. В зависимости от скорости вращения полости, количества и вязкости жидкости волновое азимутальное число варьируется в пределах 1-5. Определены пороги возбуждения инерционных волн и частоты колебаний жидкости в надкритической области. Описан гидродинамический эффект - образование рельефа на поверхности песка в виде вытянутых вдоль оси вращения холмов и впадин.

Ключевые слова: жидкость, вращение, сыпучая среда, инерционные волны.

ВВЕДЕНИЕ

Экспериментально изучается динамика жидкости и тяжелой сыпучей среды в частично заполненном горизонтальном цилиндре. Рассматривается быстрое вращение, когда жидкость и сыпучая среда под действием центробежной силы инерции образуют кольцевой слой на цилиндрической стенке полости. В экспериментах [1] обнаружено, что под действием силы тяжести в чистой жидкости воз-

© Дьякова В.В., Полежаев Д.А., 2013

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Волновые процессы в системе сыпучая среда

буждаются инерционные волны. В зависимости от количества и вязкости жидкости, геометрических размеров полости и скорости вращения могут возбуждаться волны с различными осевыми и азимутальными волновыми числами. В [1] изучены стоячие вдоль оси вращения инерционные волны и обнаружено хорошее согласие результатов с предсказаниями теории [2]. Важным является то, что возбуждаемые инерционные волны генерируют в жидкости осред-ненные потоки. Для изучения структуры этих потоков в жидкость добавляли визуализатор - сыпучую среду, например мел, алюминиевую пудру или частицы полистирола. Генерируемые инерционными волнами течения приводят к пространственному распределению сыпучей среды. Например, в случае возбуждения стоячих осевых волн в жидкости генерируются вихревые потоки и, как следствие, вдоль оси вращения образуются равноотстоящие друг от друга кольцевые структуры с высокой концентрацией тяжелых частиц, разделенные чистой жидкостью [1]. В [3] также обнаружено, что добавление во вращающуюся жидкость даже небольшого количества визуализатора в виде тяжелых гранул может существенно изменить динамику нецентрифугированной жидкости.

Влияние вращения на динамику многофазных сред является интересным объектом для изучения, так как проявляется в промышленных процессах, например, при перемешивании компонентов при изготовлении лекарственных средств.

В обзоре [4] приведены результаты исследований динамики сыпучей среды в жидкости, в том числе структурообразования, во вращающихся полостях. Наиболее интригующим результатом исследований является обнаружение осевой сегрегации тяжелых твердых включений в жидкости в медленно вращающемся цилиндре [3]. Практически одновременно эффект был обнаружен и при добавлении в жидкость легких частиц [5] и частиц нейтральной плавучести [6]. Существующая модель [7, 8] объясняет сегрегацию частиц нейтральной плавучести флуктуацией эффективной вязкости жидкости вдоль оси вращения. Впрочем, сами авторы признают, что модель не объясняет всех особенностей феномена.

В приведенном примере рассмотрена динамика многофазной системы сыпучая среда - жидкость - газ в медленно вращающемся цилиндре, когда центробежная сила инерции недостаточна для центрифугирования жидкости. В предлагаемой работе рассматривается случай, когда жидкость и сыпучая среда образуют кольцевой слой на цилиндрической стенке вращающейся полости. Внимание уде-

156

Конвективные течения..., 2013

ляется волновым процессам на свободной поверхности жидкости и процессам на границе раздела жидкость - сыпучая среда.

1. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯЭКСПЕРИМЕНТА

Цилиндрическая кювета 1 устанавливается на платформу 2 и приводится во вращение при помощи шагового двигателя 3 типа FL86STH80-4208A с блоком управления SMD-40M (рис.1). Скорость вращения кюветы регулируется генератором электрических сигналов Gw Instek GAG-810. В эксперименте скорость вращения варьируется в диапазоне f = 0 -15 об/с.

Кювета представляет собой полый прозрачный цилиндр кругового сечения из плексигласа длиной L = 8.0 см и внутренним диаметром D = 12.6 см, отношение L/D = 0.63. В центре одного из торцов кюветы имеется отверстие для заполнения жидкостью и сыпучей средой. После заполнения кювета закрепляется на платформе, при этом особое внимание уделяется горизонтальности оси вращения.

Рис.1. Схема экспериментальной установки

Наблюдения проводятся при естественном или стробоскопическом освещении через торцевую стенку кюветы. В зависимости от цели эксперимента частота вспышек стробоскопической лампы 4 согласуется со скоростью вращения полости или частотой колебаний жидкости. Управление стробоскопической лампой осуществляется с помощью ЦАП ZETLab с точностью 0.01 Гц. Фоторегистрация проводится фотокамерой Nikon D40 5, установленной вдоль оси вращения полости.

157

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Волновые процессы в системе сыпучая среда

В качестве рабочей жидкости используются водоглицериновые смеси различной концентрации (v = 1 - 30 сСт). Вязкость измеряется вискозиметром типа ВПЖ-2 до и после проведения эксперимента. Количество жидкости характеризуется величиной относительного наполнения q = V/V0, где V - объем жидкости, V0 - объем полости. В экспериментах наполнение варьируется в диапазоне q = 0.10 - 0.60.

Сыпучая среда представляет собой калиброванные сферические стеклянные частицы диаметром 150 - 250 мкм. В экспериментах масса сыпучей среды m варьируется в пределах 125 - 360 г. Плотность сыпучей среды с учетом имеющихся в песке пор измерена методом гидростатического взвешивания и составляет р = 2.53 г/см3. Пористость песка P = (1 -р0/р)х 100% = 40 %, где r0 - плотность сыпучей среды без учета имеющихся в ней пустот.

2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Динамика жидкости и тяжелого песка во вращающейся горизонтальной полости определяется соотношением силы тяжести и центробежной силы инерции

Г =

g

W2 a

Здесь W - угловая скорость вращения цилиндра, a - радиус свободной поверхности жидкости, g - ускорение свободного па-

дения.

При медленном вращении жидкость и сыпучая среда под действием силы тяжести остаются в нижней части полости, лишь их малая часть увлекается стенкой цилиндра. С увеличением скорости вращения количество увлекаемых стенкой жидкости и песка возрастает до тех пор, пока вся жидкость и песок пороговым образом не перейдут в центрифугированное состояние.

При быстром вращении (Г << 1) жидкость и тяжелая сыпучая среда под действием центробежной силы инерции равномерным слоем покрывают цилиндрическую стенку кюветы и совершают твердотельное вращение. При уменьшении скорости вращения полости на свободной поверхности жидкости пороговым образом возбуждаются бегущие азимутальные волны.

Волны с азимутальными числами l = 1 и 2 возбуждаются, как правило, при малых и умеренных значениях q (q < 0.4). Форма

158

Конвективные течения..., 2013

таких волн зависит от азимутальной координаты: максимальное отклонение поверхности от равновесного положения наблюдается в верхней части полости, когда сила тяжести и центробежная сила инерции действуют в противоположных направлениях, минимальное - в нижней части полости (рис.2а и б).

а

в

д

б

г

Рис.2. Бегущие инерционные волны с азимутальными волновыми числами l = 1 - 5

159

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Волновые процессы в системе сыпучая среда

Волны с числами I = 3 , 4 и 5 генерируются, как правило, при больших q и имеют симметричную форму (рис.2в-д).

Скорость распространения волны зависит от скорости вращения полости и определяется азимутальным волновым числом; амплитуда волны возрастает при уменьшении скорости вращения. Бегущие волны генерируют на поверхности сыпучей среды пространственно-периодический рельеф, представляющий собой вытянутые вдоль оси вращения чередующиеся холмы и впадины (рис.3), впервые обнаруженный и описанный в [9]. Пространственный период рельефа изменяется в зависимости от количества и вязкости жидкости, скорости вращения полости и от количества сыпучей среды. При дальнейшем понижении скорости вращения центрифугированный слой жидкости теряет устойчивость, и происходит обрушение.

а

б

Рис.3. Дюны на поверхности песка: регулярный рельеф в начале формирования (а) и через 60 минут (б); q = 0.25, m = 250 г, n= 3.2 сСт, П = 33.0 с-1

Скорость вращения полости в пороге центрифугирования монотонно возрастает с увеличением объема жидкости во всем изученном диапазоне относительного наполнения q (рис.4, точки 1). Рельеф образуется только при наличии волн на поверхности жидкости: на плоскости управляющих параметров q, Г граница устойчивости к появлению рельефа (точки 3) лежит выше порога возбуждения инерционных азимутальных волн (точки 4) или совпадает с ним.

Для появления рельефа необходимы интенсивные колебания жидкости, когда волны приобретают выраженную форму, подобную изображенной на рис.2. Интенсивные волновые процессы в

160

Конвективные течения..., 2013

жидкости являются обязательным, но недостаточным условием для образования рельефа: при q > 0.35 пространственные структуры на поверхности песка отсутствуют в изученном диапазоне амплитуды колебаний жидкости (рис.4).

0 0.35 q 0.7

Рис.4. Зависимость безразмерного ускорения Г от относительного наполнения полости в пороге центрифугирования жидкости (1), обрушения центрифугированного слоя (2), формирования рельефа (3) и возбуждения инерционных азимутальных волн (4); m = 125 г, v = 1 сСт

В пороге возникновения рельеф появляется сразу на всей поверхности песка или только на ее части. В надкритической области рельеф распространяется на всю поверхность песка и становится регулярным; пространственный период 1 не зависит от азимутальной координаты (рис.3а). При значительной надкритичности рельеф остается пространственно-периодическим только в течение нескольких минут после формирования; по мере развития, через несколько десятков минут, рельеф становится нерегулярным (рис.3б).

161

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Волновые процессы в системе сыпучая среда

При дальнейшем уменьшении скорости вращения центрифугированный слой жидкости теряет устойчивость, жидкость обрушает-ся на дно полости и рельеф разрушается. Граница устойчивости центрифугированного слоя жидкости немонотонная. Интересно, что минимум устойчивости центрифугированного слоя (минимум Г на плоскости q, Г) наблюдается при наличии интенсивных инерционных волн (рис.4). И наоборот, устойчивость центрифугированного слоя жидкости высока, если инерционные волны возбуждаются при медленном вращении полости и их интенсивность сравнительно невысока. В экспериментах с водой и различным количеством песка [10] показано, что зависимость T(q) в пороге образования кольцевого слоя жидкости и песка и его обрушения остается неизменной в пределах m = 125 - 360 г и 0.1 < q < 0.4.

Штриховая линия на рис.4 соответствует теоретическому значению Г = 1/3 в пороге устойчивости тонкого центрифугированного слоя маловязкой жидкости, полученному в [2]. В указанном приближении не учитывается возможность генерации инерционных волн, экспериментальные и теоретические данные хорошо согласуются только в том случае, если колебания жидкости незначительны. Отметим также, что теория [2] соответствует случаю, когда полость заполнена только жидкостью.

3. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

В системе отсчета полости поле силы тяжести совершает вращение в направлении, противоположном вращению полости, и вызывает колебания жидкости. В быстровращающейся полости относительное влияние силы тяжести по сравнению с центробежной силой инерции мало ( Г велико), жидкость и песок совершают твердотельное движение вместе с полостью. При понижении скорости вращения относительное влияние гравитационной силы возрастает, и жидкость начинает совершать колебания относительно полости. При совпадении собственной частоты колебаний жидкости с частотой вынуждающей силы тяжести в жидкости резонансным образом возбуждаются азимутальные инерционные волны [1].

Измерения частоты колебаний жидкости в зависимости от скорости вращения полости показывают, что относительная частота колебаний n = Wosc / W (Wosc - циклическая частота колебаний жидкости в лабораторной системе отсчета, W - угловая скорость вращения полости) остается неизменной с момента возбуждения волн и до обрушения центрифугированного слоя жидкости. На рис.5

162

Конвективные течения..., 2013

представлены результаты измерений n в зависимости от относительного наполнения q для волн с различными волновыми числами l. Экспериментальные результаты хорошо согласуются с результатами расчета n из дисперсионного соотношения для плоских азимутальных волн в тонком слое маловязкой жидкости в бесконечно длинном горизонтальном цилиндре [2].

Рис.5. Зависимость безразмерной скорости распространения азимутальных волн от q; точки 1-5 соответствуют волнам с азимутальным числом l = 1 - 5 (m = 125 и 250 г, п= 1 - 30 сСт), кривые - предсказания теории [2]

В области умеренных наполнений 0.2 < q < 0.4 наблюдаются волны с l = 1 - 3 . Как правило, фотографии позволяют однозначно определить азимутальное волновое число. Исключение составляет окрестность точки q = 0.24 , где визуально вычислить волновое

число достаточно трудно. В таком случае можно воспользоваться сравнением экспериментальных данных с теоретическими расчетами, которые показывают, что при q > 0.24 в жидкости возбуждаются «двугорбые» волны, при q < 0.24 генерируются волны с l = 1.

Инерционные волны с l = 1 наблюдались также в экспериментах с частично заполненным жидкостью горизонтальным цилиндром,

163

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Волновые процессы в системе сыпучая среда

совершающим вертикальные поступательные колебания [11]. В таком случае жидкость испытывает внешнее силовое воздействие с частотой осцилляций полости. Результаты измерения безразмерной частоты n колебаний жидкости, возбуждаемых вибрациями и силой тяжести (как в рассматриваемой работе), хорошо согласуются, что свидетельствует о единой природе наблюдаемых в эксперименте волновых явлений.

В области больших наполнений q > 0.4 в жидкости возбуждаются волны с l = 3 - 5 (рис.2). Экспериментальные точки зависимости n(q) для волн с l = 4 и 5 смещены в область меньших значений n (рис.5, точки 4 и 5). Рассмотрим возможные причины данного рассогласования. Расчеты относительной частоты n °Wosc / W проведены по скорости вращения полости в предположении, что жидкость совершает твердотельное движение вместе с полостью и что Wl = W (Wl - скорость движения жидкости в лабораторной системе отсчета). Однако бегущие по поверхности жидкости волны генерируют осредненные течения в направлении своего распространения [12]. В таком случае скорость жидкости в лабораторной системе отсчета будет отлична от W , и относительную частоту следует рассчитывать по формуле n = Wosc / Wl.

Рассмотрим, к каким изменениям это может привести применительно к результатам, представленным на рис.5. Для начала определим скорость распространения азимутальных волн Ww . Фазовая скорость бегущей волны вычисляется по формуле

где k = 2рЛ - волновое число бегущей волны длиной Л .

С другой стороны, эта же скорость может быть выражена через угловую скорость Ww :

где a - радиус свободной поверхности жидкости.

Приравнивая правые части уравнений (2) и (3), получаем

U = Wosc / k ,

u = Wwa,

164

Конвективные течения..., 2013

где l - азимутальное волновое число. Окончательно представим Ww как функцию безразмерной частоты колебаний n :

n

Ww =w -

На рис.5 видно, что при возбуждении волн с l = 2 - 5 частота колебаний жидкости такова, что отношение n /1 в правой части уравнения (5) всегда меньше единицы. Следовательно, угловая скорость распространения волны Ww меньше скорости вращения полости W . Такие волны генерируют в жидкости отстающее (во вращающейся системе отсчета) осредненное течение [1]. Таким образом, в лабораторной системе отсчета жидкость вращается медленнее, чем полость (Wl < W), и на плоскости управляющих параметров q, Wosc/Wl экспериментальные результаты продемонстрируют лучшее согласие с теорией [2], чем на плоскости q,n (рис.5). Визуальные наблюдения подтверждают наличие в жидкости осред-ненных потоков, направленных против вращения полости, однако их скорость в экспериментах не измерялась.

Другой возможной причиной рассогласования результатов эксперимента и теории является то, что в жидкости одновременно существуют азимутальные волны и волны, распространяющиеся вдоль оси вращения, в то время как дисперсионное соотношение n(q) получено в приближении чисто азимутальных волн.

Рельеф на поверхности сыпучей среды генерируется колебаниями жидкости, вызываемыми бегущей волной [13]. Детальное обсуждение этого выходит за рамки данной работы.

Заключение. Экспериментально изучена динамика жидкости и сыпучей среды в быстро вращающемся горизонтальном цилиндре. Обнаружены и изучены новые виды инерционных волн - бегущие азимутальные волны с волновыми числами l = 1 - 5. Проведено сравнение экспериментальных результатов с данными других авторов, получено хорошее согласие с предсказаниями теории. Дано описание малоизученного гидродинамического эффекта - образования регулярного пространственно-периодического рельефа на границе жидкость - песок в виде вытянутых вдоль оси вращения холмов и впадин.

165

Дьякова В.В., Полежаев Д.А. Волновые процессы в системе сыпучая среда

Работа выполнена в рамках задания Минобрнауки № 1.2783.2011 и проекта № 043-М Программы стратегического развития ПГГПУ, при поддержке Министерства образования Пермского края (проект С-26/625).

СПИСОК ССЫЛОК

1. Иванова А.А., Козлов В.Г., Чиграков А.В. Динамика жидкости во вращающемся горизонтальном цилиндре // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 4. С. 98-111.

2. Phillips O.M. Centrifugal waves // J. Fluid Mech. 1960. Vol. 7. Р. 340-352.

3. Boote O.A.M, Thomas P.J. Effects of granular additives on transition boundaries between flow states of rimming flow // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11. P. 2020-2029.

4. Seiden G., Thomas P.J. Complexity, segregation, and pattern formation in rotating-drum flows // Rev. Modern Phys. 2011. Vol. 83. P. 1323-1365.

5. Thomas P.J. et al. Fine structure of granular banding in two-phase rimming flow // Phys. Fluids. 2001. Vol. 13. P. 2720-2723.

6. Tirumkudulu M., Tripathi A., Acrivos A. Particle segregation in monodisperse sheared suspensions // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11. P. 507-509.

7. Jin B., Acrivos A. Rimming flows with an axially varying viscosity // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16. P. 633-640.

8. Jin B, Acrivos A. Theory of particle segregation in rimming flows of suspensions containing neutrally buoyant particles // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16. P. 641-651.

9. Терентьев А.Б. Динамика трехслойной системы (песок -жидкость - воздух) во вращающемся цилиндре: выпускная квалификационная работа. Пермь: ПГПУ, 2005. 25 с.

10. Dyakovа V.V., Polezhaev D.A. Dynamics of granular medium in a rotating horizontal cylinder partially filled with liquid // Proc. Fluxes and Structures in Fluids. Russia. St. Petersburg: A. Ishlinsky Inst. Problems Mech. RAS. June 25-28 2013. P. 90-92.

11. Иванова А.А., Козлов В.Г., Полежаев Д.А. Вибрационная динамика центрифугированного слоя жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 2. С. 147-156.

166

Конвективные течения..., 2013

12. Бэтчелор Г.К. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 760 с.

13. Козлов В., Иванова А. Опыты по вибрационной механике. Гидродинамические системы с границей раздела. Palmarium academic publishing. Germany. Saarbrucken. 2013. 118 р.

WAVES IN THE SYSTEM OF GRANULAR MEDIUM - LIQUID - GAS IN A HORIZONTAL ROTATING CYLINDER

V.V. Dyakova, D.A. Polezhaev

Abstract. Dynamics of granular medium, liquid and gas in a horizontal rotating cylinder is studied. The focus is on the rapid rotation when liquid and solids are centrifuged. It is found, that initially flat free liquid surface becomes disturbed under gravity and progressive azimuth inertial waves are excited. Dependently on the rotation rate, quantity and viscosity of liquid, azimuth wave number varies in the range 1 - 5. The thresholds of inertial wave’s excitation and frequencies of liquid oscillations in overcritical domain are determined. The effect of pattern formation on the liquid - granular medium interface in the form of hills and troughs extended along the axis of rotation is described.

Key words: liquid, rotation, granular matter, inertial waves.

167