Математическая физика как теория математических моделей физических явлений

МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА ИННОВАЦИОННОМУ РАЗВИТИЮ СТРАНЫ

С. В. Базанова

Математическая физика

как теория математических моделей физических явлений

Математическая физика занимает пограничное положение как в математике, так и в физике, находясь на стыке этих наук. В математической физике рассматриваются модели физических явлений, которые исследуются математическими методами. Развитие математической физики отражает требования естественных наук, актуально в современной жизни и имеет немаловажное значение как инструмент решения практических задач.

Овладение основами исследовательской деятельности является обязательным условием подготовки современного специалиста. Реализации этой задачи способствует изучение уравнений математической физики. Курс «Уравнения математической физики» для студентов, обучающихся по специальности «Информатика» с дополнительной специальностью «Математика», является своеобразным завершением изучения математического анализа и дифференциальных уравнений. К данному моменту студенты овладели основами теории обыкновенных дифференциальных уравнений, имеют представление о простейших дифференциальных уравнениях с частными производными, освоили основные разделы курса общей физики. Данные факты позволяют говорить о том, что студенты обладают достаточным уровнем знаний математического аппарата: дифференцированием и интегрированием функции многих переменных, разложением функций в ряд Фурье, в том числе в тригонометрический ряд Фурье четных и нечетных функций. Предполагается также знакомство с интегральными преобразованиями Фурье, понятием об операционном методе решения. Таким образом, имеются все предпосылки для успешного усвоения данного курса.

Нужно отметить, что данный предмет не является базовым для последующего изучения других дисциплин. Анализ учебной литературы, в том числе содержащей курсы лекций по уравнениям математической физики, позволяет сделать вывод о большом разнообразии по содержанию и наполненности курса данной дисциплины. Таким образом, можно говорить о вариативности отбираемого материала для построения курса лекций и практических занятий. Кроме того, не стоит забывать о том, что студенты данной специальности получают педагогическое образование и в будущем

152

станут учителями средней школы, поэтому имеет смысл взять за основу некую практическую и прикладную направленность излагаемого материала. На основе вышесказанного сформулируем основные принципы отбора материала и построения курса лекций и практических занятий по дисциплине «Уравнения математической физики»:

• сформулировать основные цели и задачи курса, требования к зачету по дисциплине;

• на начальном этапе изучения дисциплины уделять внимание простейшим уравнениям с частными производными, их классификации и методам их решения;

• в курсе лекций осуществлять выводы всех основных уравнений математической физики;

• при изложении материала предлагать точную постановку различных краевых задач для уравнений математической физики;

• уделять большое внимание методам решения задач, получению формул для задач того или иного типа;

• упускать подробные исследования вопроса существования и единственности решения задачи, его непрерывности в зависимости от начальных и граничных условий;

• при подборе задач и упражнений для практических занятий руководствоваться принципом «разумности», не отягощая курс сложными математическими преобразованиями и выкладками;

• по возможности сопровождать изложение материала геометрическими интерпретациями, наглядными схемами и примерами, которые, возможно, могут быть полезны для дальнейшей профессиональной деятельности студентов;

• поддерживать и демонстрировать связи между различными дисциплинами учебного плана, поднимая общий профессиональный уровень будущих педагогов.

Несмотря на то что основные уравнения математической физики есть уравнения с частными производными второго порядка, на начальном этапе изучения дисциплины на практических занятиях имеет смысл обратиться к простейшим уравнениям с частными производными первого и второго порядка. Рассмотрение однородных уравнений поможет воспроизвести смысл понятия частных производных функции нескольких переменных. Простейшие уравнения второго порядка позволят вспомнить последовательное интегрирование функции двух переменных.

Кроме того, целесообразно рассмотреть вопрос приведения к каноническому виду линейных относительно старших производных уравнений второго порядка с двумя переменными, а также канонический вид уравнений гиперболического, параболического и эллип-

153

тического типов; привести примеры уравнений таких типов из уравнений математической физики.

Следует обратить внимание на постановку задач для уравнений математической физики. Дело в том, что дифференциальные уравнения в частных производных имеют, как правило, бесконечное множество решений, зависящих от некоторых произвольных функций. Для полного описания физического процесса недостаточно только дифференциального уравнения, нужно задание так называемых граничных (краевых) и начальных условий (условий Коши). Имеет смысл обратить внимание студентов на то, что задача Коши обычно ставится для уравнений гиперболического и параболического типов. Для уравнений эллиптического типа задача Коши может быть некорректной, поэтому для уравнений эллиптического типа обычно ставятся краевые задачи. Здесь также возникает классификация краевых задач математической физики в зависимости от способа задания граничных условий: краевая задача Дирихле, краевая задача Неймана, смешанная краевая задача. Все эти вопросы связаны с понятием «корректно поставленная задача», на которое также следует обратить внимание студентов. Необходимо сформулировать требования, которым должны удовлетворять корректно поставленные задачи, для наглядности привести альтернативный пример. Кажется разумным, именно «знакомство» с данным понятием, а не зацикливание на доказательстве корректности или некорректности той или иной задачи. Подробное рассмотрение данного вопроса будет отягощать теоретическую составляющую курса, что видится лишним для студентов педагогической специальности.

В ходе преподавания дисциплины обязательно рассматриваются выводы следующих уравнений математической физики: уравнение колебаний струны (уравнение малых вынужденных поперечных колебаний, уравнение малых свободных колебаний струны), уравнение теплопроводности, уравнение диффузии, уравнение Лапласа (распространения тепла в однородной пластинке). При выводе этих уравнений используются известные законы физики, формула конечных приращений Лагранжа из математического анализа. Рассматривая методы решений этих уравнений нужно обратить внимание на некоторые моменты. При решении уравнения колебаний струны требуется рассмотреть случаи неограниченной струны, полуограниченной струны и ограниченной струны. При решении задачи Коши для неограниченной струны используется метод Даламбера (метод замены переменной), с помощью которого волновое уравнение сводится к простейшему уравнению с частными производными второго порядка. Этот же метод применяется также для случая полуограниченной струны. При решении волнового уравнения свободных колебаний закрепленной конечной струны широко используется метод

154

разделения переменных или метод Фурье. Согласно методу Фурье частное решение задачи ищется в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Такая идея решения задач часто применяется в математике, метод Фурье является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Метод разделения переменных применим и для решения уравнения теплопроводности в случае ограниченного стержня и в случае бесконечного стержня. С помощью метода Фурье решается задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге, в данном случае - в полярных координатах. При этом нельзя сказать, что все упомянутые задачи решаются совершенно одинаково, решение каждого типа задач имеет свои особенности. Обобщая методы решения уравнений математической физики, нужно обратить внимание студентов на общность метода Фурье. Следует также указать, что при решении уравнений математической физики применяются также интегральные преобразования Фурье, косинус- и синус-преобразования Фурье (например, в решении задачи Коши о распространении тепла в неограниченном стержне или в полубесконечном стержне), операционный метод (например, при решении уравнения теплопроводности, волнового уравнения). Следует заметить, что в случае необходимости могут применяться приближенные методы решения уравнений. В частности, в курсе лекций можно рассказать студентам о приближенном решении задачи Дирихле методом сеток. Метод не является трудоемким, но способствует систематизации математических знаний и умений студентов, демонстрирует межпредметные связи изучаемых дисциплин.

К сожалению, в учебно-методической литературе ощущается дефицит задач для решения на практических занятиях. В связи с этим стоит больше внимания уделять задачам с формулировкой: «Найти решение данного уравнения, удовлетворяющее заданным условиям». Нужно обязательно обсуждать вопросы классификации этих уравнений и дополнительных условий, по каким критериям относится это уравнение или условие к тому или иному типу, как изменить условие, чтобы задача стала задачей Коши или краевой задачей. Стоит также обратить внимание на задачи построения профиля струны для различных моментов времени. Успешное решение задач позволит студентам систематизировать знания и умения, проверить уровень полученных навыков.

155