Математическое моделирование как средство обучения

педагогические науки

Абдуразаков Магомед Мусаевич, Доржпалам Оюунтуяа МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК СРЕДСТВО ...

УДК 372.02

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ

© 2017

Абдуразаков Магомед Мусаевич, доктор педагогических наук, ведущий научный сотрудник центра теории и методики обучения математике и информатике Институт стратегии развития образования Российской академии образования

Аннотация. Математическое моделирование с успехом применяется для решения многообразных и важных задач из различных областей, какпрактических, так и научных. При обучении математике в техническом вузе математические модели прикладных задач выступают не как объект обучения, а как эффективное средство обучения, позволяющее реализовать прикладную ориентацию курса математики. Таким образом, задача стоит более сложная- необходимо овладеть методом математического моделирования, который является ключом к решении прикладных задач из профессиональной области. Наиболее эффективным применение математических методов стало в сочетании с использованием компьютерных математических программ и обозначается более ёмким понятием - информационное моделирование. Для нашего исследование важен другой аспект проблемы - как использование построения и анализа математической модели для решения прикладной задачи, связанной с профессиональной областью деятельности, влияет на формирование профессиональной компетентности.

Ключевые слова: математическое моделирование, обучение, математическая модель, прикладная задача.

MATHEMATICAL MODELING AS A MEANS OFEDUCATING

© 2017

Abdurazakov Magomed Musaevich, doctor of pedagogical Sciences, associate Professor, leading researcher of the Center of theory and methods of teaching mathematics and computer science Institute of education development strategy of the Russian Academy of education

Abstract. Mathematical modeling is successfully applied to solve diverse problems and important tasks from various fields, both practical and scientific. When training in mathematics in technical college mathematical models of application-oriented tasks appear not as object of training, and as the effective remedy of training allowing to realize application-oriented orientation of course of mathematics. Thus, the task costs more difficult - it is necessary to seize method of mathematical simulation which is a key to the decision of application-oriented tasks from professional area. The most effective application of mathematical methods became in combination with the use of computer mathematical programs and it is designated by more capacious concept - information modeling.Other aspect of a problem is important for ours research - as use of construction and the analysis of mathematical modeling for the solution of applications connected with professional sphere of activity influences formation of professional competence.

Keywords: mathematical modeling, education, mathematical model, application.

Введение. Изучение трудов Е. С. Муравьева, Л. Г. Пе-терсон,А. С. Симоноваи другихисследователей,вкоторых обсуждалась проблема моделирования в обучении учащихся, позволила нам осознать необходимость учета особенностей применения метода моделирования в обучении в отличие от его первоначального места возникновения в научных исследованиях, а затем распространения на производство и другие сферы человеческой деятельности.

Мы рассмотрели различные подходы к описанию, построению и анализу математических моделей. С этой точки зрения математические модели выступают как объект изучения. Несомненно, что знание основных этапов математического моделирования совершенно необходимо, чтобы использовать математическое моделирование как средство обучения и формирования профессиональной компетентности студентов, в том числе обучающихся в системе ВТО Монголии.

Постановка проблемы. Анализ современных требований к результатам обучения современного инженера позволяет сделать вывод, что цель обучения гораздо более важная, чем просто научить пользоваться несколькими известными математическими моделями. Специалист с такой профессиональной подготовкой мало приспособлен к современным быстро меняющимся условиям. Задача стоит более амбициозная - сформировать профессиональные компетенции, которые позволяют самостоятельно находить средства для решения возникающих новых профессиональных задач. Такой специалист является более ценным и пригодным развивать современное производство.

Поэтому при обучении математике в техническом

вузе математические модели прикладных задач выступают не как объект обучения, а как эффективное средство обучения, позволяющее реализовать прикладную ориентацию курса математики. Таким образом, задача стоит более сложная- необходимо овладеть методом математического моделирования, которыйявляется ключом к решении прикладных задач из профессиональной области.

Естественно, что переходя от более простых математических моделейк более сложным математическим моделям, удается сформировать у студентов представление о названном методе и соответствующую профессиональную компетенцию.

Содержание. Для наших целей вполне годится следующее определение математической модели, которое использовал А.С. Симонов [1, с.4]: математическими моделями «называют приближенные описания какого-либо явлениявнешнего мира, выраженные с помощью математической символики и заменяющие изучение этого явления исследованием и решением математических задач».

Далее желательно, чтобы студенты самостоятельно подобрали примеры того, что математика не изучает реальные явления, но является мощным, эффективным инструментом познания реального мира. Естественныеи технические науки изучают физические, химические, биологические, социальные явления, используя построение и исследование математическихмоделей этих явлений.

Видный советский и российский специалист по истории и методологииматематики К. А. Рыбников [2] подчеркивал, что задача математического моделирова-

Abdurazakov Magomed Musaevich, Dordjpalam Oyuntuya pedagogical

MATHEMATICAL MODELING AS A MEANS ... sciences

ния заключается в построении таких моделей объектов (предметов, процессов, явлений), которые давали бы информацию об их количественных характеристиках и пространственно-структурных особенностях. К этому можно добавить, что имеют право на существование и математические модели, дающие ответ на вопрос о качественном поведении моделируемого объекта или явления.

Студенты вполне могут самостоятельно ответить на вопрос о составных элементах математических моделей и установить, что составными элементами математической модели служат математические символы и знаки,а главное, математические понятия. При этом при описании математической модели могут использоваться схематические изображения (схемы,чертежи, графики, графы), совокупности числовых символов, элементы искусственных или естественных языков. Важно подчеркнуть исторический факт, что рассвет математического моделирования наступил, когда для составления математических моделей стали использовать уравнения (дифференциальные, алгебраические и интегральные), соотношения математической логики, геометрические конструкции и т. д, т. п.

Если поставить вопрос о том, когда надо применять математическое моделирование, то ответ здесь неоднозначный.

Во-первых, математическое моделирование проводится в связи с исследованием реально существующих объектов и выступает в соединении с экспериментом.

Во-вторых, оно необходимо в случае, когда моделируются абстрактные объекты и их системы.

В-третьих, математическое моделирование необходимо, когда надо осознать «слабые сигналы становящегося будущего» [3]. Скорее всего, это самый сложный случай применения метода математического моделирования.

Если судить по монографии И. Ансофф «Стратегическое управление», то для современных управленцев, которые, в частности, вырастают из специалистов с техническим образованием, владение методикой обработки слабых сигналов оказывается принципиально важным.

В-четвертых, математическое моделирование необходимо в учебных целях как средство обучения и развития учащихся.

Естественно, что использование математического моделирования в учебном процессе невозможно без использования классификации математических моделей. Таких классификаций достаточно много.

Обычно, прежде всего, выделяют линейные и нелинейные модели, стационарные и динамические.

Важным классом математических моделей, которые сейчас имеют особенно важное значение в экономике, являются детерминируемые модели, вся информация в которых является полностью определяемой, и стохастические модели, то есть зависящие от случайных величин и функций. Но и в технических вопросах такие понятия как временные ряды и случайные процессы играют существенную роль.

Можно и нужно классификацию математических моделей проводить и по их применению к различным отраслям науки и техники [4-10]. Естественно,что при отборе содержания математического образования в техническом вузе надо использовать те математические модели, которые играют существенную роль в профессиональной деятельности будущего специалиста.

Выдающийся советский и российский математик, академик В. И. Арнольд предложил в своих исследованиях по теории катастроф и дифференциальным уравнениям деление математических моделей на «жесткие»и «мягкие». В своей популярной работе [11], имеющей важное методологическое значение, В. И. Арнольд писал: «основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически иссле-224

довать явления реального мира ... Искусство составлять и исследовать мягкие математические модели является важнейшей составной частью этого умения».

Применительно к построению и анализу математических моделей наши формулировки можно представить и в таком виде:

1. Постановка и по возможности четкая формулировка прикладной задачи, для которой требуется построить математическую модель.

2. Нахождение основных переменных и постоянных величин, которые позволяют описать изучаемый процесс или явление. Четкое выяснение, какие величины получаются в результате измерений, а какие необходимо рассчитать и с какой точностью.

3. Определение различных соотношений (либо известных из теории, либо обнаруживаемых экспериментально) между этими переменными и параметрами, от которых зависит состояние процесса или явления.

4. Выработка и формулирование гипотезы (или гипотез) относительно характера изучаемых условий и возможных путей проверки их справедливости.

5. Проведение расчетов по построенной математической модели, анализ погрешностей и достоверности математических расчетов.

6. Построение различных моделей - компьютерных, физических, которые позволяют проверить выводы из математической модели.

7. Проведение контрольных экспериментов с реальным объектом.

8. Проверка справедливости гипотезы, принятой при построении моделей, и оценка эффективности математического моделирования в зависимости от исхода контрольных экспериментов.

Для дальнейшего нам удобно будет сделать следующее соглашение. Таккак математическое моделирование

- это эффективный инструмент познания и исследования действительности, то далее, описывая процесс математического моделирования, мы будем пользоваться словом исследователь, подразумевая под исследователем и практического инженера, и студента,коль скоро они заняты решением прикладной задачи, связанной с областью профессиональной деятельности. Данное соглашение, на наш взгляд, полезно и с точки зрения формирования профессиональной мотивации. Сам термин

- исследователь - подразумевает творческий подход, реализацию познавательных интересов, креативность в деятельности, а, как следствие,повышает внутреннюю самооценку субъекта деятельности.

Этапы решения проблемы. Предыдущие рассмотрения различных подходов к описанию процессапострое-ния и анализа математических моделей позволяет нам выделить следующие основные этапы математического моделирования для решения различных прикладных задач, связанных с областью профессиональной деятельности будущих специалистов, которыми должен руководствоваться исследователь:

I этап. Постановка прикладной проблемы. На этом этапе исследователь должен определить, какую задачу он решает. Идёт ли речь об уже известной задаче, либо это модификация известной задачи, либо принципиально новая задача.

II этап. Концептуальное моделирование. На этом этапе исследователь определяет области научных знаний, которые позволяют описать количественно и качественно рассматриваемую проблему. Далее, необходимо определить входные и выходные параметры. Уже на этапе концептуальной модели необходимо определение заданных параметров, и список всех параметров, которые надо определить в процессе проведения исследования.

III этап. «Существенные и несущественные» факторы. Очень важный этап, на котором исследователь переходит на новый уровень осознанияпроблемы. Ему необходимо выделить полный список «существенных» факторов, называемых аргументами, и список всех «не-

Baltic Humanitarian Journal. 2017. Т. 6. № 4

педагогические науки

Абдуразаков Магомед Мусаевич, Доржпалам Оюунтуяа МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК СРЕДСТВО ...

существенных» факторов, которыми он осознанно будет в дальнейшем рассмотрении пренебрегать, так как либо на данном уровне осознания проблемы их можно действительно считать несущественными, либо они вообще недоступны для исследования, хотя и есть подозрение, что они могут играть определенную роль.

IV этап. Построение математической модели. На этом этапе осознания проблемы исследователь располагает необходимым запасом сведенийи знаний, которые позволяют аргументы, входные и выходные параметры интерпретировать на языке непрерывной или дискретной математики. Таким образом именно на этом этапе происходит переформулировка содержательной прикладной задачи на язык чисел, различных функций, алгебраических или дифференциальных и интегральных уравнений, неравенств, систем, соотношений комбинаторики, логических схем, теории графов ит.д. и т.п.

V этап. Формализация конкретной проблемы: на математическом языке записываются конкретные связи между аргументами, входными и выходными параметрами. Уточняется конкретная математическая задача, которая должна быть решена. Исследование исходной (упрощенной) проблемы сводится к решению и исследованию возникших математических задач, которые и образуют конкретную математическую модель конкретной прикладной задачи.

VI этап. Решение и исследование математической задачи. Рассмотрение конкретной математической проблемы позволяет воспользоваться как многообразием математических методов, так и определить возможности использования современных компьютеров. Определение границ применимости построенных моделей. На этом этапе исследователь должен либо произвести необходимые теоретические исследования, либо, как правило, воспользоваться готовыми результатами ранних исследований по данной проблеме.

VII этап. Численные расчеты. Выбираются численные методы вычислений, реализующих теоретическое решение проблемы. Выбираются конкретные математические пакеты для решения задачи, либо разрабатываются специальные программы для выполнения расчетов по данной теоретической схеме. Проводятся вычисления.

VIII этап. Анализ результатов. Изучение полученных результатов, их сравнение с известными фактами. Проверка применимости выводов напрактике.

IX этап. Уточнение модели. На основе анализа полученных результатов определяется необходимость уточнения математической модели. Проводится дополнительный анализ части «несущественных» факторов исвойств, которые при необходимости переводятся в разряд «существенных». После принятия соответствующего обоснования и решения происходит переход к этапу I, на котором происходит уточнение решаемой прикладной задачи. Процесс циклически повторяется.

Таким образом, уже на студенческой скамье исследователь должен осознать, что, как правило, при решении прикладных задач естественна ситуация перехода к системе, иерархии моделей. Каждая следующая модель в этой иерархии описывает изучаемую проблему глубже, полнее, всестороннее, позволяя получить от математического моделирования всё больше полезной информации на благо развития научно-технического прогресса.

Например, инженеру-электротехнику для решения основных задач из своей профессиональной области необходимо произвести расчет параметров электрических цепей.

В данном случае мы используем пример прикладной задачи, в которой будут использоваться линейная алгебра и ее методы. Приведем решение сформулированной задачи в соответствие с этапами математического моделирования, выделенными нами выше.

I этап. Исследователь представляет, что сформулированная выше в тексте задача относится к числу известных задач.

II этап. Прошедший профессиональную подготовку исследователь знает, что концептуальная модель данной прикладной задачи относится к области электротехники. Параметры, которые заданы, представлены на следующем рисунке.

Рисунок 1 - Формализованная постановка прикладной задачи

Таким образом, дана электротехническая схема, известны сопротивления резисторов и электродвижущая сила источников. Требуется найти токи в ветвях.

III этап. Делается предположение, что электрическая схема работает в нормальных условиях, не подвергается внешним воздействиям. Таким образом, предполагается, что справедливы законы Кирхгофа для электроцепей.

IV этап. Составим математическую модель задачи.

Используем первый закон Кирхгофа: сумма токов,

сходящихся в узле, равна нулю.

IV этап. Составим математическую модель задачи.

Используем первый закон Кирхгофа: сумма токов, сходящихся в\ !лс. равна нулю.

/,-^-^ = 0

Второй закон: сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме электродвижущих сил в нем.

Уравнения для первого и второго контуров, соответственно, будут:

Я^ — Я3/г =

Я2 ¡^ — Я? = Е2

Vэтап. Сформулируем конкретную математическую задачу:

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

ё

1,-1.-1- = о

А Л+Яа

= Е,

где

Я, = 15 Ом, Я2 = 45 Ом, Яг = 45 Ом, Е1 = 60 В, Е: = 75 В требуется найти решение, то есть значения токов /]_., 12 и/,

VI этап. Решить полученную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными можно различными способами, например методом Гаусса или по правилу Крамера. Легко написать решение задачи в матричном виде:

ПЛ

М :=

15 О -1

О

45 -1

Ъ =

ЛГ1 ъ

VII этап. Численные расчеты. Применяем метод Гаусса. Выполняя расчеты с обыкновенными дробями, получаем точное решение:

Если воспользоваться решением в матричной форме и применить для численных расчетов математический

Abdurazakov Magomed Musaevich, Dordjpalam Oyuntuya MATHEMATICAL MODELING AS A MEANS ...

pedagogical sciences

пакет MATHCAD, то при обычной точности вычислений (три знака после запятой) получим:

И здесь мы сталкиваемся с типичной ситуацией при технических расчётах - ненулевая погрешность округления.

Естественно, что преподаватель в техническом вузе должен постоянно обращать на это внимание, чтобы сформировать культуру приближенных вычислений у будущих инженерах. При этом необходимо подчеркивать,что использование компьютерной техники не ликвидирует проблему приближенных вычислений, а делает её более закамуфлированной.

VIII этап. Даже анализ результатов такой простой задачи может бытьпоучительным. Самый простой вопрос для анализа результатов - это точность вычислений. Если задать студентам вопрос, а какую реальную точность измерений параметров электротехнической схемы можно реализовать, то мы создадим проблемную ситуацию, разрешение которой сыграет положительную роль в формировании профессиональной компетентности будущих инженеров электротехников.

IX этап. При первоначальном освоении метода математического моделирования на данном примере, скорее всего, данный этап преподавательопустит.

В данном случае целесообразно попросить студентов подготовить самостоятельно историческую справку о великих научных открытиях. Примеры уместны и из области физики, астрономии. Естественно, что такие примеры открытий, сделанных «чисто математически, путем вычислений, так сказать «на кончике пера» [4, стр.5], производят на студентов сильное эмоциональное воздействие. Именно такая информация служит развитию мотивационного компонента формирования компетенции. Таким образом и формируется способность применять математические модели для решения прикладных задач. Чем больше реальных математических моделей конкретных прикладных задач будущий инженер узнает в процессе обучения математике ввузе, тем более он будет профессионально подготовлен к своей будущейдеятельности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Симонов, А.С. Экономика на уроках математики. М.: Школа-Пресс, 1999. - 160 с.

2. Рыбников, К.А.Очерки методологии математики. М.: Знание, 1982. - 64 с.

3. Ансофф И. Стратегическое управление. М.: Экономика, 1989. 358 с.

4. Шабанова Л.Б., Кушниренко В.Н. Экономико-математические модели как инструмент решения практических задач // Актуальные проблемы экономики и права. 2013. № 1 (25). С. 157-160.

5. Зубков А.Ф., Деркаченко В.Н., Бармин М.А. Математические модели в обучении специальным дисциплинам // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2014. Т. 1. № 2 (18). С. 40-45.

6. Ольков С.Г. Юридико-математическая модель системы права, правоотношений и юридической ответственности // Актуальные проблемы экономики и права. 2014. № 4 (32). С. 279-285.

7. Мазелис Л.С., Лавренюк К.И., Терещенко Е.А. Экономико-математическая модель развития человеческого капитала организации // Азимут научных исследований: экономика и управление. 2016. Т. 5. № 4 (17). С. 262-265.

8. Прошин И.А., Прошин Д.И., Прошина Н.Н. Математическая модель образовательного процесса в пространстве вектора знаний // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2012. № 3 (07). С. 153160.

9. Павлова Е.С. Математическое моделирование технических объектов // Карельский научный журнал. 2014. № 4. С. 176-178.

10. Доронкин В.Г., Караченцев А.П., Колачева Н.В. Методы решения проблемы экономичного вождения на основе математического моделирования // Вестник НГИЭИ. 2015. № 11 (54). С. 32-37.

11. Арнольд В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели.М.:МЦНМО, 2000. - 32 с.

Работа выполнена в рамках государственного задания ФГБНУ «Институт стратегии развития образования Российской академии образования» на 2017-2019 годы (№27.6122.2017/БЧ. Приказ № 72 от 27.12.2016).

Статья поступила в редакцию 27.10.2017

Статья принята к публикации 26.12.2017

226

Baltic Humanitarian Journal. 2017. Т. 6. № 4