О локализации для кратных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации

чить диаграмму с меньшим числом клеток, при этом меняется степень s • V\g,f]• Таким образом, применяя индукцию, можно считать, что в А нет Д-клеток и сопряжение имеет место в ранге 0.

Это означает, что в свободной группе коммутатор равен достаточно большой степени слова [a, b][g, f], что в свободной группе невозможно. Невозможность остальных равенств доказывается аналогично. Лемма 8 доказана.

В итоге мы получили, что произвольный автоморфизм группы H = С(ж) является внутренним (в силу леммы 7), центр тривиален, что доказывает основную теорему.

Автор выражает благодарность А.Ю. Ольшанскому и А. A. Клячко за ряд полезных советов и замечаний.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нерешенные задачи топологической алгебры/ Под ред. В.И. Арнаутова, А.В. Архангельского, П.И. Кирку и др. Кишинев: Штиинца, 1985.

2. Марков А.А. О безусловно замкнутых множествах // Матем. сб. 1946. 18, № 1. 3-28.

3. Адян С.И. О некоторых группах без кручения // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1971. 35, № 3. 459-468.

4. Ольшанский А.Ю. Замечание о счетной нетопологизируемой группе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1980. № 3. 103.

5. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989.

6. Morris S.A., Obraztsov V.N. Nondiscrete topological groups with many discrete subgroups // Topol. Appl. 1998. 84. 105-120.

7. Трофимов А.В. Теорема вложения в нетопологизируемую группу // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 3. 60-62.

8. Klyachko A.A., Trofimov A. V. The number of non-solutions to an equation in a group //J. Group Theory. 2005. 8, N 6. 747-754.

9. Nielsen J. Die Isomorphismen der allgemeinen, unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden // Math. Ann. 1918. 78. 385-397.

10. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

Поступила в редакцию 01.02.2006

УДК 517.518

О ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЛЯ КРАТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ

ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИИ

А. Н. Бахвалов

Введем вначале необходимые обозначения и определения. Положим Т = [—п; п). Для промежутка I на прямой через 0,(1) обозначим множество всех конечных систем попарно непересекающихся интервалов {/„}, таких, что 1п С I, а через Х/(£) — индикатор I.

Пусть 1к = (ак, Ьк). Рассмотрим функцию f (х) на Мт. При т = 1 положим f (I= f (Ь1) — f (а1); если для любой функции т — 1 переменной уже определено выражение f (11 х ••• х 1т-1), то для функции т переменных положим

f(11 х^^х1т) = f(11 х ••• х Гп-1,Ьт) — f(11 х ••• х 1т-1 ,ат).

Гармонической вариацией функции f (х1,..., хт) относительно переменных х1,..., хт по параллелепипеду А = А1 х ••• х Дт называется величина

1 .. -............— 1Д4, х ••• х т )|

Ун '-'жт(/;Д) = V£(/; Д) = sup £

{Ij}en(Aj) къ..,кт kl km

Разобьем множество {1,... , m} на два непересекающихся множества а и ß, где а = {ji,... ,jp}. Если

m

x = (x1,..., xm), то xa — элемент Rp, состоящий из компонент xj, j £ а. Для параллелепипеда I = (£) Ij

j=i

положим Ia = Ij. Если ß = {k}, т.е. ß состоит из одного элемента, то обозначим а = к.

jEa

Через V£а (f; (Aa,xß)) обозначим гармоническую вариацию f как функции переменных xj1,..., xjp по р-мерному параллелепипеду Да = Aj1 х ••• х Ajp при фиксированных значениях xß остальных переменных (если ß не пусто). Далее, гармонической вариацией функции f (xl,... ,xm) относительно переменных xa по параллелепипеду Д = Д1 х ••• х Am называется величина

VXa (f; A) = sup VXa (f ;(Aa ,xß)).

xß eAß

Определение. Величина

Vh

aQ{i,...,m}

а=г

называется полной гармонической вариацией функции f(xl,...,xm) по параллелепипеду A. Множество функций, для которых она конечна, называется классом ограниченной гармонической вариации на A и обозначается HBV(A).

Классы HBV были определены в одномерном случае Д. Ватерманом [1], в двумерном А. А. Саа-кяном [2], а для случая более высоких размерностей — А. И. Саблиным [3, 4]. В этих работах, а также в работах автора [5, 6] получен ряд результатов о сходимости прямоугольных частичных сумм тригонометрических рядов Фурье для функций из этих классов, а также из более общих классов Ватермана.

Наряду с этим Гоффман, Ватерман [7] и Саблин [3, 4] рассматривали вопрос о локализации для кратных тригонометрических рядов в классах типа HBV. При этом ограниченность гармонической вариации понималась в следующем ослабленном смысле.

Определение. Для k = 1,...,m обозначим через Vjk(f;(xk,Ik)) полную гармоническую вариацию f как функции m — 1 переменной на (m — 1)-мерном параллелепипеде Ik при фиксированном значении tk = xk. Скажем, что f £ HBV (Tm), если она интегрируема по Лебегу на Tm и при k = 1,2,...,m

выполнено условие J Vjk(f ;(xk,Tm-i)) dxk < o, в частности подынтегральные функции в последнем T

выражении измеримы.

Теорема A (Гофман и Ватерман [2]). Пусть функция f £ L(T2) равна нулю в окрестности нуля (—5,5)2 и существует функция g £ HBV(T2)7 совпадающая с f п.в. Тогда двойной тригонометрический ряд Фурье функции f равномерно сходится к нулю по прямоугольникам на любом компакте K с (—5,5) .

Саблин [3] распространил этот результат на случай m > 3, но лишь для непрерывных функций, причем при m > 4 наложив дополнительное условие на локальное поведение вариации. Сформулируем его результат.

Теорема B. Пусть непрерывная функция f равна нулю на открытом множестве G С Tm и принадлежит классу HBV(Tm), а также равномерно по всем параллелепипедам Ik С Tm-i выполнено условие

lim [ Vk

diam Ik —>0 J T

Тогда кратный тригонометрический ряд Фурье этой функции 'равномерно сходится к нулю по прямоугольникам на любом замкнутом множестве K С G. При этом для m = 3 условие (1) следует из остальных условий теоремы.

В настоящей работе показано, что при m = 4, а тем более при m > 4 условие (1) нельзя отбросить. Теорема. Существует непрерывная на T4 и равная нулю при \xl\ <п/2 функция F, для которой

j Vk

T

при k = 1, 2, 3, 4, но 4-кратный тригонометрический ряд Фурье которой не сходится к нулю по кубам в точке 0.

Отметим прежде всего следующее свойство.

Лемма 1. Если функция f непрерывна на Тт, то функция фк(хк) = УН ^; (хк ,1к)) измерима на Т.

Доказательство. Заметим, что если дп(х) 5,(х) поточечно, то Ун(д,А) < Ит А). Отсюда

п—>оо

следует, что функция фк(Ь) полунепрерывна снизу, а тогда она измерима. Лемма доказана.

Нам понадобится следующая конструкция, рассмотренная в работе автора [5].

Пусть т > 3. Рассмотрим систему вложенных в Т интервалов }^=1 и системы попарно непересекающихся интервалов {Бк }£=1, д = 2,...,т, где Бк = (ак, Ьк) С Т.

Пусть fk(x) — функции на Т, удовлетворяющие условиям fk(Ь) = 0 при Ь < ак и fk(Ь) = 0 при Ь > Ьк, а Ьк(Ь) — функции, равные нулю при Ь < ак и Ь > Ьк, такие, что Н'к((ак + Ьк)/2) = ±1, ^к(Ь)| не убывает на [ак; (ак + Ьдк)/2] и не возрастает на [(адк + Ьдк)/2; Ьдк].

Назовем "диагональной" функцию на Тт, имеющую вид

<х / т \

f

к=1 \ д=2 )

Лемма 2. Пусть т > 3, при всех натуральных к выполнено условие ¡'к £ ИВУ(Т) и величины Ун ак; Т) ограничены в совокупности некоторым числом Со. Тогда "диагональная" функция f (х), определенная формулой (3), принадлежит ИВУ(Тт) и выполняется оценка

Ун и; Тт) < 24т-5 Со.

Это утверждение доказано в [5, лемма 6] в более общем виде. Последняя оценка не входит в данную там формулировку, но доказано, что Ун(f,Tm) < 23т—5Со, а из [5, лемма 4] получаем такую же оценку для остальных компонент вариации.

Нам понадобятся также два простых свойства функций ограниченной гармонической вариации.

1. Если д1(Ь),.. .,дт (Ь) £ ИВУ (Т), то f (х) = д^х1) х^^х дт (хт) £ ИВУ (Тт) и

Ун (г, Тт) < ^ п Ун д ,Т) п 8ир д I.

аив=[1,..,т] Зва Зев Т

а=$

Это свойство вытекает из того, что вариационная сумма для компоненты вариации УН" (f,Tm) раскладывается в произведение вариационных сумм для дз, ] £ а, и значений дз, ] £ в.

2. Пусть к и I — натуральные числа, А — положительное вещественное число, причем к < I < А, и задана функция д(х) = атАхХ/Ь?. ¡11 (ж)- Тогда

^ А ' А '

2(1—к) 1

Ун(д-,Т)^2 - < 61п(2/-2/с).

j=i J

Это свойство следует из того, что наибольшая вариационная сумма получится, если взять в качестве Ij максимальные интервалы монотонности функции g.

Доказательство теоремы. Пусть k — натуральное. Положим Nk = 24 и определим числа ак =

^мк+1 > Ьк = ск = = V^fcCfc = 1vfc+l- Нетрудно видеть, что § < ак < Ък < тт и 0 < ск+1 <

dk+i < Ck при всех k Е N.

Определим на Т функции fk(t) = sin((Nk + ±)i) X(ck,dk)(t), gk(t) = sin((Nk + ±)i) X(ak,bk)(t), hk(t) = sin((Nk + X(ck,2ck)(t) Все эти функции непрерывны. Пусть на Т4

Fk

k=i n k

Поскольку -Ffc(x) непрерывны и ограничены единицей, а ряд ^ ьЩГ сходится, то функция F также будет

непрерывной. При этом она тождественно равна нулю на границе T4. Продолжим ее 2-^-периодически по каждой переменной.

Проверим, что F удовлетворяет всем условиям теоремы. Из определения gk(t) сразу следует, что -F(x) = 0 при (ж1] < Отметим, что в силу определений, а также свойства 2 выполнены оценки

о

VH{hk,T) = -, VH(gk,T) < 6\nNk, VH(fk,T) < Gln^1) = 3\nNk,

2

sup \fk(t)\ = sup \gk (t)\ = sup \hk (t)\ = 1.

ter, keN ter, keN ter, keN

При фиксированном xl функция F является либо тождественно нулевой (при х1 ^ (^,71")), либо "диагональной" функцией

^ f

Fx1(x2,x3,x4) = ^дк{х1)^^кк{х3)кк{ха). k=i n k

По лемме 2 с учетом (5) получаем, что величина (^;(ж1,Т3)) равномерно ограничена на Т, следовательно, при к = 1 условие (2) выполнено.

При фиксированном х2 функция F является тождественно нулевой при х2 € Ук(ек,йк), а при х2 € (ск ,йк) имеем

Рх2(х\х3,х4) = Ь{х2)д-^кк{х3)кк{хА).

Из приведенных свойств 1 и 2 сразу получаем, что (F; (х2,Т3)) равномерно ограничена на Т, следовательно, при к = 2 условие (2) выполнено.

При фиксированном х3

рх3(х\х2,х4) = Нк{х3)9-^их2)кк{хА).

Применяя свойство 1, получаем при х3 € (ск, 2ск) оценку

Ун(F; (х3,Т3)) < В 1пМк,

где В — абсолютная постоянная. Таким образом, ограниченности в данном случае нет, но поскольку

4к 1п 2

Е ц{{ск, 2ск)) 1п Ык = Е ^ < оо, к=1 к=1

то условие (2) выполнено при к = 3, 4.

Изучим теперь поведение кубических частичных сумм ряда Фурье. Мы будем рассматривать подпоследовательность частичных сумм с номерами Мр. Поскольку ряд во второй из формул (4) равномерно сходится, то

¿4(^,0) = Е 0) = Е ьпг^р^»О))2-

ln Nk ^ ln Nk k=i k k=i k

Пусть вначале k = p. Тогда, во-первых,

Q ,h Г" f^ sin2((jVfc + ±)t) ^ [2ж sin2 s SNk{hk, 0) = / -о  t —dt ^ / -7-— dt= / -ds = a0 > 0.

/Cfc 2 Sin 2 Jcfc £ Jit S

Во-вторых, при всех k G N имеет место оценка

к Jak 2sin| -Jak t Jak 2t Jak 21

lnbk - lnak rNk coss, ln2 1 /Nk + 2\ 2 ln2

ds > — - - ln -A-—--— >

2 .h{nk+2) 2 s 2 2 \ Nk J *Nk ±

В-третьих, при достаточно больших к с учетом второй теоремы о среднем имеем

'Ск

_ 1п 4 - 1п Ск 2

Перемножая эти оценки, получим

а0 1п2

Ск НТуГЩ

Ь

Ск

Ск

2Ь

(Ь =

есэ в

1 ,— 2 1 йз > -Н^Ик) - - > 2в 2 п 8

Бмк (Рк, 0) > а1 1П N,

— положительная абсолютная постоянная.

где а 1 = 32

Перейдем к случаю к > р. Имеем

№мр (Ьк, 0)| =

Ск

<

п 2

2Ск

1им|8т((ЛГр +ТГ с*

^ - / 18Ш(№ + — ; < +1) <

п

Ск

у/Щ'

Далее,

Кроме того,

п

№мр (дк, 0)| =

Ь" + 1)4) 8Ш((Л?Р +

'«к

(Й

<

п

'«к

(А, 0)| =

^ + 1)4) 8Ш

Ск

£¿4

<а тг ь 2

7 ^ 2

<

г^к

< - I I 8Ш((^ + 1)4)Н-" Р 2/ /' Лк <

п

Ск

£ — - 2 4 р 2; ^ о^лг. I 1р ^ 2

Перемножая эти оценки, получим, что при к > р выполнено неравенство

С1

где С1 — положительная абсолютная постоянная.

Наконец, рассмотрим случай к < р. Отметим вначале, что при ^ <а<6^7ГИ7>0по второй теореме о среднем

есэ ^ 2эш |

(И

есэ в

' 7а

27 эт

(в

1 у/2 < 2-- < —.

27 эш ^ 7

Отсюда получаем

(дк, 0)| =

гЬк 81п

--— а4

<

ес8(Ык — Кр)Ь

'«к

(4

«к

+

«к

СОв^ + ДГр + 1)4 4 эш |

(Ь

<

<

2

<

4

N — Ык N

Затем заметим, что

(Ьк, 0)| =

г2с* 8-т((Мк + 1)4) 8Ш((ДГР + 1)4) м

Ск

<

тг Г2сЧ + 1)4)1

2 эт

1

4

<

ПСк,

1

Ск

I 8Ш((ЛГР + -)4)| £й < + -) < тг .

2

ь

2

2

Ь

Далее,

\Snp(fk, 0)\ =

rckVW. sin

'Ck

2 Sin ;

dt

<

<

2

Ck

t

2

(Nk + i) < 7Г2

Перемножив эти три оценки, приходим к неравенству

t

2

\SNp

где С2 — положительная абсолютная постоянная. Учитывая оценки (6)—(8), окончательно получим

¿4(^,0) > -Е 1^(^0)1 - Е 1^(^,0)1 >

ln Np

р— 1 ЛГГ" ОО

p k=l k=p+l

„ -г- ^ „ ^ 1 г (у-ЦУ^УТ „„1

при р ^то, т.е. сходимости к нулю нет. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 06-01-00268) и программ государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-4681.2006.1, МК-6085.2006.01).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation // Stud. math. 1972. 44, N 1. 107-117.

2. С'аакян А.А. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации // Изв. АН АрмССР. 1986. 21, № 6. 517-529.

3. Саблин А.И. Функции ограниченной Л-вариации и ряды Фурье: Канд. дис. М.: МГУ, 1987.

4. Саблин А.И. Л-вариация и ряды Фурье // Изв. вузов. Математика. 1987. № 10. 66-68.

5. Бахвалов А.Н. Непрерывность по Л-вариации функций многих переменных и сходимость кратных рядов Фурье // Матем. сб. 2002. 193, № 12. 3-20.

6. Бахвалов А.Н. Представление непериодических функций ограниченной Л-вариации интегралом Фурье в многомерном случае // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. 67, № 6. 3-22.

7. Goffman C, Waterman D. The localization principle for Fourier series // Stud. math. 1980. 99, N 1. 41-57.

Поступила в редакцию 06.02.2006

УДК 519.6

О ГЛУБИНЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ СХЕМАМИ НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ БАЗИСОМ

О. М. Касим-Заде

1. Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из функциональных элементов над произвольным фиксированным базисом В. Под базисом будем понимать любое функционально полное множество булевых функций, т.е. такое, что суперпозициями функций этого множества можно реализовать любую булеву функцию. Под глубиной схемы над базисом В понимается наибольшее число функциональных элементов, составляющих ориентированную цепь, ведущую от входов схемы к ее выходу. Наименьшая