Статические распределения материи в пятимерном пространстве-времени с неметричностью

УДК 539.1

А. С. Киселёв, В. Г. Кречет

Статические распределения материи в пятимерном пространстве-времени с неметричностью

Данная поисковая научно-исследовательская работа проведена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

В работе в рамках пятимерной геометрической теории получен ряд решений для модели, описывающей самогравитирующую идеальную жидкость в пятимерном пространстве с неметричностью вейлевского типа.

Ключевые слова: пятимерие, гравитация, идеальная жидкость, скалярное поле, геометрическая теория.

А. S. Kiseliov, V. G. Krechet

Static Distributions of Substance in Five-Measured Time Space with Non-Metricity

In this work within the five-measured geometrical theory a number of solutions for the model which describes self- gravitating ideal liquid in a five-measured space with non-metricity of Weyl's type is received.

Keywords: five-dimention, gravitation, ideal liquid, a scalar field, a geometrical theory.

Рассмотрим проблемы гравитационного взаимодействия идеальной жидкости в пространстве Римана - Вейля. В таком пространстве неметричность определяется следующей формулой:

VAgBC = 2WA$BC ,

где Wa - вектор Вейля.

В качестве материального источника гравитационного поля рассмотрим идеальную жидкость, описываемую лагранжианом

Lm = -p[c2 + П

Здесь Vl - ковариантная производная пространства W4, р - плотность массы, П(р) -внутренняя энергия, pUl - плотность потока массы, k, ki - лагранжевы множители, обеспечивающие выполнение закона сохранения массы Vl(pUl) = 0, нормировки скорости UjU1 =1 и сохранения нумерации частиц U1 дlx = 0 (здесь x - лагранжевы координаты частиц), c

- скорость света.

Гравитационный лагранжиан представим в виде:

Lg = - 2k Д

где а, в - некоторые константы, к - эйнштейновская гравитационная постоянная, R(r) -скалярная кривизна данного аффинно-метрического пространства. Без учета дивергентных членов R(r) имеет вид:

Я

R({}) - скалярная кривизна риманова пространства, n - размерность пространства-времени, а QAB есть сегментарная кривизна:

QAB = R<ABC = П

© Киселёв А. С., Кречет В. Г., 2012

При варьировании лагранжиана рассматриваемой системы полей Ь = + Ьт по независимым

переменным gAB ,ЖА, р, к, к1, к2, получаем систему уравнений Эйнштейна - Вейля для самогравитирующей идеальной жидкости, которая после исключения лагранжевых множителей к, кх, к2 примет вид:

1 ~ ^лВС г^

= 2ß(— QßCQBCgAB -QacQC) + n

+ [(n - 1)(n - 2) - a](WAWB - 2 WcWCgAB) + k[(p + z)UaUb - PgAB ];

!AcC

ßQAc - [(n - 1)(n - 2) -a]WA = -nKkpUA.

Здесь ; обозначает ковариантное дифференцирование по римановой связности, 0АВ - тензор

Эйнштейна ( Сав = ЯАВ - 2 ^АВ )•

Из последнего уравнения видно, что источником неметричности, описываемой вектором Вейля, является плотность потока массы идеальной жидкости.

Рассмотрим статические распределения вещества в пятимерном пространстве Римана - Вейля. Для решения данной задачи будем считать, что вектор Вейля является градиентом некоторой скалярной функции Жк = у к , тогда система (6) примет следующий вид:

1 с

САВ =(12-а)(УЖв - gAB ) + ККР + £)иАив - Pg АВ

-г- («4-1

л/- g

5к

12-а

(p + s).

Таким образом, в этом случае мы получаем два геометрических скалярных поля: метрический коэффициент g44(x) и потенциал неметричности у(х) . Кроме того, из последнего уравнения системы (7) видно, что источником неметричности пространства-времени является плотность энтальпии (р + 8) .

Решения будем искать в сопутствующей системе отсчета иА =(и и,0,0,0,0), иАиА =1.

Вначале исследуем случай сферической симметрии пространства-времени. Соответствующую метрику выберем в виде:

сЬ2 = ; сИ2 - ^

После наложения гармонического координатного условия Х = 2у, + у + ф система (7) можно записать следующим образом:

12-а

г

e

-2j-v-p

-2j-v-p

U

V2

,, р" ju'2 jUp ju'v' v'p'^

+

2 4

+

2

+

2

+

4

+ e~u =

4

jUP ju'v' v'(

V

/ tt

2

2

4

e =

J

J

12-а 2

2

У2е ~2u-v-P + ks + Л

^'2e~2u-v-P + Kp -Л

e

-2j-v-p

j V"P" j UP jv v(

н---1---

2 2 2

4

2

2

4

у

i2-^ ' 2e-2u~v-p + Kp -Л

e

r , v" j иФ jUV уул

li л----------

2 4 2 2 4 j

- e~u = - '2e~2u-v-ip +кр -Л

¥'' = ^£~( Р + & 2"+У+(Р 12-а

Здесь Л - космологическая постоянная.

Отсюда можно получить явные выражения для вторых производных искомых функций:

2К 4

,, = 2е^у+р + (р -£)е2м+у+р -^Ле2ц+у+Р

3 3

4К 4

V '' = —

2К 4

Р' = Р -£)е2ц+У+Р - 3 Ле2^+Р

¥'' = -5К-(Р + 8)е2л+^р 12-а

Далее, продифференцировав уравнение первого порядка системы (9) и подставив в него соотношения (10), получим уравнение движения:

V Л

р + (р + £) — + V

= 0

V ^ ;

Рассматривая полученную систему в случае отсутствия материи (р = 8 = 0 ),получаем:

V = с1 х; р = с2х; ¥ = с3х; л = 2е 12

Откуда видно, что общее решение предстанет в виде:

2, тх ч 4

% (^г-С4) + т

ел =-2-•

4m2e(ci+c2)x '

V c1x Ф c^X

e = e 1 ; e^ = e 2; y = c3 x;

cl5 c2, c3, m = const

Или если константа интегрирования m — 0, то:

1

eu =

2 ( c1+c2) x x e 12

v c1x ф cx

e = e 1 ; e^ = e 2; y = c3 x

с^х

¥ = С3

В данном решении отсутствует плоская асимптотика.

п оЛ

Далее, из (14) видно, что при С1 + С2 <0 область определения функции е разбивается на две

изолированные области: 1) -да < х <0 и 2) 0 < х < да .

В первой области при х ^ 0 имеем пространственную бесконечность, а ось симметрии находится при х ^ -да .

Во второй области (0 < х < да) при х ^ 0 и при х ^ да имеем две пространственные

бесконечности. При этом функция еи нигде в этой области не обращается в нуль, а это есть условия, определяющие геометрию «кротовой норы». Следовательно, рассматриваемая конфигурация двух скалярных полей может образовывать «кротовые норы».

Если обратиться к уранению состояния пыли (р = 0), то мы придем к таким же результатам и при

этом получим, что 8 = 0, откуда можно сделать вывод, что в рамках этой теории в пятимерном пространстве-времени не существует пылевых равновесных самогравитирующих конфигураций так же, как и в ОТО.

Теперь перейдем к рассмотрению цилиндрической симметрии пространства-времени. Для удобства снова будем использовать экспоненциальный вид метрических коэффициентов:

йз2 = х)сИ2 - еА

Система (7) для данной метрики запишется следующим образом:

^вР+^+ир+ив+в+Р+ЁР.=12а 2+(к8+Л)е^+в+Р.

222444444 2 '

^ + + ^ + ^ + = 2 + к-л)е^,

444444 2

У^вР-^-Р-в-в-Р-РР = - 12-аУ 2 + (кр-Л)е^+в+Р.

2 2 2 4 4 4 4 4 4 2

= - 12-ау 2 + (кр-Л)е^+в+Р. 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2

=- 12-ау 2+(кр-л)е^+в+Ф. 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2

У' ' = ^К-<< р +

12-а

Здесь также наложено гармоническое координатное условие Х = ц + у + в + р, а Л -космологическая постоянная.

Как и в предыдущем случае, из этой системы можно получить явные выражения для вторых производных и уравнение движения:

V ' ' = - квец+у+в+р+ 8 крец+у+в+р - 4 Ле^+в+р; 3 3 3

2 2 4

и'' = в'' = Р' = 2 крец+у+в+р - 2 кве^+в+р - 3 Леи+у+в+р;

у' ' = ~5К-( р + 8)е^+в+р 12-а

Для предельно жесткого состояния (р = 8) имеем следующее: если параметр а>12

еи = еа1х ; ев = еа2х ; еР = еа3х ;

у = —— 1п 10

Г Ж' Л

2

(а-12)^ 2( — - с2) + т4

200к80 т

2

а, + а2 + а3 + —-2-3 х;

10

ev =

^ 1 mx л ^ 24-2a

(a- 12)tg 2( m- - c2) + m4

e1 =

200ks0 mz

,mx

48k-4ka+a +a, + aQ

-1 2 3 x

48-4a

24-2a

S = Sr

(a-12) tg 2(— - c2) + m« 200ks0 m2

' a- 12)tg2( m - c2) + m - ^

200ks0 m2

48-4a

+ a1 + a2 + a3

( a!+a2 +a3) x

—

<x> < x < œ;

если параметр a<12

u

a1x. „ß

a2x. „Ф

a3x

e = e 1 ; e" = e " ; e" = e J ;

/ Л

y = —— ln 10

l

h

200ks0ch2(— - c3) 2 j

5

a1 + a2 + a3

+ —-2-3 x;

10

ev =

л

I

Ix

200Ks0ch 2

2 j

24-2a

48k-4ka+a1 + a2+a3 , 48-4a

x

5

e1 =

l

lx

200KS0ch2

24- 2a

1-2-3+ k+a + a, +a, Ix

48-4a 1 2 3

S = S0

l

lx

200ksQch2

(a1 + a2 + a3 )x

— ад < x < ад; a2, a3, c2, c3, k, l, m,£0 = const.

В обоих случаях, поскольку eM ^ 0 при x ^ —ад, ось симметрии будет находиться в — ад . В этом

решении отсутствует плоская асимптотика.

5

a + a

e

e

Для вырожденного вакуума (p + s = 0) получим:

s = So; p = -So; w = cx

cj +C4

5cj +c2 +C4

v

e = a-

e

lch( у - ^

e^ = a-

e

lch

Cj +5c2 +C4

5cj +C2 +5c^

eß = a-

e

lch

e9 = a

e

lch

e1 = a4

e

(3cj +2c2+2C4) x

ch 2( — - c3) 2 3

a =

f л v 32kso j

; c, cl5 c2, c3, c4, I, s0 = const;

ад < x < ад.

Здесь пространственная бесконечность находится при x — ад, а ось симметрии - при x — —ад . Рассмотрим вопрос об асимптотике данного решения. Как известно, условия плоской или струнной асимптотики на пространственной бесконечности следующие:

— м'2

ev — const; ев — const; ем я —-—> 1 — Е;

При Е = 0 получается плоская асимптотика, при 0 < Е < 1 имеется дефицит угла а, то есть струнная асимптотика.

Из решения видно, что если положить c2 = c3 = 0 и c1 + c4 = l, то метрические коэффициенты

ev — const и ев —^ const при x — ад, то есть они соответствуют условиям (20). В таком случае решения (19) примут вид:

ev = eß = a-

Ix

5Ix , 4

(4cj +I) x

eM = a

e

\ch

e = a

e9 = a-

\ch

e

(2I +cj) x

2 ,Ix

ch\—) v27

при этом третье условие из (20):

4

4

4

4

4

еЛ

—Я "

.'2

4

а

1 г окХ) 2

е 4

г 1х

4с +1 18к

2

4 „ , 4 4сН

2

1

при х >>1 в асимптотике ведет себя как функция —- с1е , и при х ^ да получается, что

а

-я "

е"--> 0, откуда Е ^ 1, то есть на пространственной бесконечности дефект угла а — 2п.

4

Следовательно, поверхности, перпендикулярные оси симметрии в точке пересечения с ней, на пространственной бесконечности переходят в цилиндрические поверхности, параллельные оси симметрии.

Имеется также интересный случай: если положить с1 — I и произвести замену х ^ —х, то решение примет вид:

71

еу — ев — а-

е

I

—х 4

е" — а-

е

ер — а-

е

51

--х

4

\сК \)

ея —

а

. 2 /1х

сН\-) 2

Тогда расстояние от оси симметрии до пространственной бесконечности определяется выражением:

да Я да } _ 2

£ — | е2 йх — а21

йх

1х

—да сК2>

2паг

то есть имеем конечное расстояние при х ^ да . Таким образом, получилась закрытая цилиндрически симметричная Вселенная.

Если же рассмотреть более общее баротропное уравнение состояния р — ке, к Ф — 1, к Ф 1, к Ф 0, то получим следующие соотношения:

в 8к + 4

р — " + ах; р — " + а1 х; V —-" + а2х;

2к — 2

я 14к — 2 , .

Я —-" + (а + а1 + а2) х;

¥

2к — 2

_ 3к

15

" + аз х;

здесь х в зависимости от знаков констант интегрирования принимает одно из значений:

х

1) х = 1п

2, mx N 4 tg (— - С2) + m4

2cm2

л

2) X = 1n

2c ch 2

V f

2

У

3) X =1n

2

л

V

c(c4 - x)2

10k2 - 8k - 2 25(k +1)2

c = —

3k

k

a, a1, a2, a3, c2, c3, c4, l, m = const;

»2,^3,^25^35^4 да < х < да.

Откуда можно получить решения почти для любого уравнения состояния (исключая, как сказано выше, р = ±е и р = 0).

Из выражений (17) получаем, что возникновение «кротовых нор» возможно только для экпиротической материи, то есть когда в уравнении состояния р = ке к > 1. При учете условий на константы интегрирования имеем более жесткие ограничения: к > 3 . Для такой материи скорость звука будет больше , где с - скорость света.

Далее рассмотрим случай, когда материя задается уравнением состояния 3 р + е = 0.

3к

Для упрощения положим--1, с3 = 0 . Далее, наложим следующие

15к + 3 -

ограничения на константы интегрирования:

l 1 31

a + a1 + a3=^; a + a2 + a3= -l; a + a1 + a2= —

Тогда решение соответствующих уравнений запишется в виде:

5

f V

eß =

m

a-l

2 r lx

ея =

ch 2(-) 2

m

lx

ch2( - ) 2 у

2

eß =

lx

ch

m lx. 2 .

e ; e =

2 Jx

ch 2(-) 2

4m

x

2

e

e

m

3a—l

^ =

2 Jx

e

m =

63l2 1568

ch 2(-) 2

— да < x< да

Здесь при x ^ да: ee ^ const, ev ^ const, то есть выполняются первые два условия из (20).

Далее при x ^ да выражение

e'

i—X V

л

4

^ m

r9l2

v

16

al +

a

2 Л

4

У

Выбором констант интегрирования можно сделать так, чтобы это выражение стремилось к единице или к 1 — Е , то есть здесь возможна плоская асимптотика, и также возможно возникновение космических струн.

х

2

3

2