НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ - ВАЖНОСТЬ И ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ В ВОЕННОМ ВУЗЕ

МАТЕМАТИКА

УДК 510.2

Барабанова И.А.

преподаватель 206 кафедры математики Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»

Савкин А.Б.

курсант 1 курса Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ - ВАЖНОСТЬ И ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ В ВОЕННОМ ВУЗЕ

Аннотация: в работе представлены особенности изучения темы: «Непрерывность функции в точке», рассмотрены основные аспекты этого понятия. Ключевые особенности изучения непрерывности. Показана роль данной темы в дисциплине: «Математический анализ».

Ключевые слова: непрерывность, точка разрыва, предел.

Непрерывность - одно из основных свойств функций. Решение о том, непрерывна данная функция или нет, позволяет судить о других свойствах исследуемой функции. Поэтому, так важно исследовать функции на непрерывность. К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая, в

первую очередь, различные законы движения. Например, зависимость, пути от времени, выраженная законом s = f(t), даёт пример непрерывной функции f(t). Непрерывно изменяется и температура нагреваемой воды, она также является непрерывной функцией от времени T = f(t). Непрерывна и линия, если её можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги. Эта линия является графиком непрерывной функции. Важность изучения этого понятия велика, поскольку встречается на протяжении всего изучения дисциплины «Математический анализ». В данной статье представлены особенности изучения этой темы и показаны основные аспекты представления материала на занятиях в военном вузе.

Безусловно, необходимо начать с определения непрерывности, которых достаточно много. Рекомендуются следующие формулировки:

1) Функция f (х), определенная на интервале (a, b), называется непрерывной в точке х0 е (a, b), если lim f (х) = f (х0).

X —^ Xq

2) Функция f (х), определенная на интервале (a, b), называется непрерывной в точке х0 е(a,b), если для любой последовательности хй, n = 1,2,...,хи е (a,b), такой, что limхл = х0, последовательность {f (хп)}

П—»

сходится и lim f (хл) = f (х0). Эту форму определения непрерывности функции

n—t»

называют определением непрерывности функции на «языке последовательностей» или определением по Гейне.

3) Функция f (х), определенная на интервале (a, b), называется непрерывной в точке х0 е(a,b), если Ve>0, 35 = 5(s)>0, что для всех x , удовлетворяющих условию |х - х0| <5, выполняется неравенство |f (х) - f (х0)| <е. Данная формулировка называется определением непрерывности на «языке е - 5 » или определением по Коши.

4) Функция f(х) называется непрерывной в точке х0, если Vs > 0, 35 = 5(s) > 0, что Vх е O(х0,5): f (х) е O(f (х0),s). Данное определение называют определением непрерывности на языке окрестностей.

Важно, чтобы учащиеся отделяли основные условия непрерывности:

1) функция ^Л  должна быть определена в некоторой окрестности точки ;

2) должны существовать конечные односторонние

пределы -в ^ ^и

3) эти пределы должны быть одинаковы;

4) эти пределы должны быть равны  ).

Также, необходимо охарактеризовать непрерывность функции в точке справа и слева, желательно показать на графике.

1)Пусть функция f (х), определена на полуинтервале (а, Ъ] и х0 е (а, Ъ]. Функция f(х) называется непрерывной слева в точке х0, если lim f (х) = f (хо) (рис. 1).

х—^ хо -0

Рис. 1. Непрерывность слева Рис. 2. Непрерывность справа

2) Пусть функция f (х), определена на полуинтервале [а, Ъ) и х0 е [а, Ъ). Функция f (х) называется непрерывной справа в точке х0, если lim f(х) = f(хо) (рис. 2).

х—хо + 0

Очевидно, что функция, непрерывная в точке х0 справа и слева, непрерывна в этой точке; функция, непрерывная в точке, непрерывна в ней и слева, и справа.

Если в точке Ло нарушается хотя бы одно из условий непрерывности, то говорят, что эта точка есть точка разрыва функции . Здесь необходимо дать определение и рассмотреть виды точек разрыва.

При изучении непрерывности рекомендуется привести ряд теорем и

лемм.

1) Теорема (о свойствах арифметических операций с непрерывными функциями). Если функции f (х) и g (х) непрерывны в точке х0, то функции

c • f (х) (с - постоянная), f (х) + g(х), f (х) • g(х), а если, кроме того g(х0) ф 0,

А Ях)

то и функция--также непрерывны в точке х0.

g

2) Лемма. Пусть функция y = ф(х) непрерывна в точке х0, а функция f (y) непрерывна в точке y0 =ф( х0), тогда существует 5-окрестность O (х0, 5) такая, что при х е O( х0, 5) имеет смысл сложная функция f [ф( х)].

3) Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция y = ф( х) непрерывна в точке х0, а функция f (y) непрерывна в точке y0 =ф( х0), тогда сложная функция f [ф(х)] непрерывна в точке х0.

При отыскании пределов непрерывных функций теорему о непрерывности сложной функции удобно использовать еще в одном виде, в виде следующего правила. Правило замены переменных для пределов непрерывных функций lim f (y) = lim f [ф (х)].

y—уо х—хо

Итак, исследование функции на непрерывность сводится к следующему алгоритму:

1) найти область определения и точки, подозрительные на разрыв;

2) найти односторонние пределы для каждой подозрительной точки;

3) вычислить значение функции в этих точках;

4) проклассифицировать характер разрыва;

5) построить эскиз графика. Если необходимо вычислить пределы функции на бесконечностях.

При этом, важно понимать, что если в той или иной задаче речь идет о непрерывности функции, то она непрерывна либо в какой-то точке, либо на отрезке, интервале или полуинтервале. В любом случае, основополагающим принципом является ее непрерывность в точке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Морозова В.Д., Введение в анализ: Учебник для втузов - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005, с.322-335.

2. Паршин А.В., Панюшкин. В.Н., Математика. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учебное пособие - Воронеж, 2010, с.55-66.

3. Баумане К.И., Галкина В.Г., Жучева Е.Н., Сухомлин И.И., Якубсон М.Я. Математика. Базовый электронный учебник С. -П.: Михайловская военная артиллерийская академия, 2019.

Barabanova I.A.

Teacher 206 of the Department of Mathematics Military Training and Research Center of the Air Force Air Force Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin

Savkin A.B.

1st year cadet

Military Training and Research Center of the Air Force Air Force Academy named after Professor N.E. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin

CONTINUITY OF FUNCTION AT A POINT IS THE IMPORTANCE AND FEATURES OF STUDYING THE TOPIC AT A MILITARY UNIVERSITY

Abstract: the paper presents the features of the study of the topic: "Continuity of a function at a point", the main aspects of this concept are considered. Key features of the study in the study of continuity. The role of this topic in the discipline "Mathematical analysis" is shown.

Keywords: continuity, break point, limit.