Внезапное изменение положения равновесия и квантовые переходы осциллятора в томографическом представлении

УДК 530.145

ВНЕЗАПНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И КВАНТОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ОСЦИЛЛЯТОРА В ТОМОГРАФИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Е.Д. Жебрак1, В. И. Манько2

В настоящей работе получены вероятности переходов при мгновенном изменении положения, равновесия, квантового осциллятора в томографическом представлении. Проведено сравнение с известными факторами Франка Кондона, получаемыми вычислением интегралов перекрытия, вол,новых функций. Получены явные выражения, для, силтлектической и оптической томограмм, и производящая, функция, для, интегралов перекрытия, симплек-тических томограмм, определяющих вероятности переходов в осцилляторе, возбуждаемом, вынуждающей силой.

Ключевые слова: вероятности квантовых переходов в осцилляторе, факторы Франка Кондона. симплектическая томограмма, оптическая томограмма.

1. Введение. Задача о вероятностях переходов в осцилляторе с вынуждающей силой является одной из наиболее важных задач квантовой механики как с теоретической, так и с практической точки зрения. Этим объясняется богатая библиография, существующая по данному вопросу. Впервые эту задачу рассмотрел Р. Фейнман. Так в статье [1] описано взаимодействие гармонического осциллятора с частицей или системой частиц. Принималось, что вынуждающая сила в такой системе зависит от времени, а осцилляторная частота постоянна. В терминах лагранжевой механики в данной работе впервые было получено выражение для вероятностей переходов между собственными состояниями осциллятора, представленное в виде ряда. Несколько позднее К). Швингер опубликовал работу [2]. в которой вероятности переходов в осцилляторе с переменной силои и постоянной частотой были выражены через полиномы Лагерра.

1 Московский физико-технический институт (государственный университет), 141701 Московская область, г. Долгопрудный, Институтский переулок, 9; e-mail: ellholstein@phystech.edu.

2 ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: manko@sci.lebedev.ru.

В [3] дан подробный обзор работ, в которых рассматривалось параметрическое возбуждение осциллятора, и обобщающих подход^ предложенный в [1. 21. В частности, рассматривалась ситуация, при которой вынуждающая сила остается постоянной, а со временем изменяется сооственная частота колебаний осциллятора. В этом частном случае вероятности переходов между собственными состояниями в такой системе выражаются через полиномы Лежандра. Более общий случай, в котором как вынуждающая сила, так и частота являются функциями времени, исследовал К. Хусими [4]. Им была получена производящая функция для вероятностей переходов в такой системе. В работе вероятность квантовых переходов в адиабатическом приближении обсуждалась с точки зрения изменения адиабатического инварианта, которое, как было показано, осциллирует со временем, убывая при этом обратно пропорционально времени. Задача о переходах между собственными уровнями энергии осциллятора рассматривалась также в [6] и [7]. Среди последних исследований по этой тематике в работе [8] найдена новая производящая функция для вероятности перехода в осцилляторе с постоянной частотой и переменной силой. Общее рассмотрение нестационарных решений уравнения Шредингера для осциллятора приведено в [9] и [10]. Во всех упомянутых исследованиях вероятности переходов были представлены к&к интеграл от перекрытия волновых функций. Этим методом решалась задача о переходах между уровнями энергии гармонического осциллятора и при вычислении вероятностей переходов в многоатомных молекулах (см.. напр.. [11] и [12]). где интегралы перекрытия волновых функций, называемые факторами Франка Кондона. исследовались с помощью производящих функ-

В то же время, в последние годы новое развитие получил вероятностный подход к квантовой механике, называемый вероятностным томографическим представлением квантовых состояний. Данный подход имеет ряд преимуществ, которые будут вкратце рассмотрены в разделе 2. О возможности применения томографического ПОДХОДА для нахождения вероятностей квантовых переходов было упомянуто в статье [13]. Позднее описанный метод применялся при рассмотрении квантовых переходов в различных физических системах, в частности, в [14] с его помощью были получены вероятности переходов между уровнями Ландау. В то же время подробное рассмотрение задачи о гармоническом осцилляторе, возбуждаемом внешней силои5 в томографическом представлении не проводилось.

Целью дшшои работы является получение явных выражений для симплектической и оптической томограмм возбужденного вынуждающей силой гармонического осцилля-

тора и вероятностей квантовых переходов между уровнями энергии такого осциллятора в томографическом представлении квантовой механики.

Статья организована следующим образом. В разделе 2 дан краткий обзор вероятностного представления квантовой механики. В разделе 3 вероятности переходов в осцилляторе при мгновенном изменении положения равновесия получены в рамках томографического метода. Результаты работы просуммированы в разделе 4.

2. Вероятности переходов в томографическом представлении квантовой механики. С момента зарождения квантовой механики вопрос о переходе от комплекснознач-ньтх функций, описывающих квантовые состояния, к некоему классически подобному представлению поднимался неоднократно. Практическую актуальность этот вопрос получил с развитием квантовых вычислений, где важной является задача контроля и измерения квантовых состояний. В 1996 году в [15] была использована действительная функция распределения вероятностей, однозначно определяющая квантовое состояние и получившая название симплектической томограммы. Она принадлежит семейству функций на фазовой плоскости с тем лишь отличием, что симплектическая томограмма w ) отвечает распределению вероятностей в повернутой и сжатой системе координат и зависит от переменной X, имеющей физический смысл координаты на преобразованной фазовой плоскости, и от действительных параметров ц и и, являющихся характеристиками поворота и сжатия соответственно.

Симплектическая томограмма связана обратимым интегральным преобразованием Радона [16] с функцией Вигнера Ш(д,р) [17]:

В частном случае, когда f = cos 9 и v = sin 9, симплектическая томограмма, зависящая от трех переменных, переходит в функцию от двух переменных w (X, 9), называемую оптической томограммой.

Помимо важного свойства измеримости томограммы обладают другими практически значимыми особенностями. В частности, в терминах томографического представления могут быть заданы энтропийные и информационные характеристики квантовых состояний.

w (X, fi,v) = — i W (q,p) 5 (X — fiq — vp) dqdp 2n J

и5 соответственно, с волновой функцией:

Также томографический подход может быть полезен и при нахождении вероятностей квантовых переходов. Как известно, вероятность перехода Pnm из начального состояния n в конечное состояние m через функции Вигнера выражается как интеграл перекрытия:

Pnm = J Wn

Тогда, используя формулу (1). легко получить выражение для вероятностей переходов через симплектическую томограмму [13]:

Pnm = J Wn

и через оптическую томограмму [19]:

оо 2 оо

Pnm = 1J rdr J J j Wn

0 0 -о

S. Вероятности квантовых переходов в гармоническом осцилляторе при мгновенном изменении положения, равновесия. Рассмотрим гармонический осциллятор, который при t = 0 является свободным, а в момент времени t = t0, близкий к нулю, на него действует вынуждающая сила, приводящая к мгновенному сдвигу положения равновесия на величину 7. Для простоты положим, что h = m = и = 1.

n

в начальный момент времени равна:

x2

1 --

*Kx,t = 0)= e 2 Hn

2nn!

где Hn(x) - полином Эрмита. При мгновенном сдвиге положения равновесия волновая функция принимает следующий вид:

1 (x—Y)2

Фп

2nn!

Рассмотрим вероятность перехода с собственного состояния с энергией En — n + в состояние с энергией Em. Интеграл перекрытия соответствующих волновых функций, называемый фактором Франка Кондона, определяет вероятность возбуждения осциллятора при мгновенном сдвиге положения равновесия, равную:

Pnm = \ {n, 7, t = 0\m, 7, t > to)\2 =

1

v/n2n+mu\m\

х +

e 2 Hn (x) Hm (x - y) dx

Как показано в [2]. вероятность перехода между этими состояниями осциллятора следующим образом выражается через полиномы Лагерра:

Pnm = ехР (- l^l2) |^|2|m"n| Lnm-1 (|^|2))2 u>!

1 f"

где n< = min (u, m), n> = max (u, m) а к = _ f (t) e ^dt, оде f (t) - возбуждаю-

\j2u Jt/

тцая сила.

Теперь найдем вероятность переходов в осцилляторе с мгновенно сдвинутым положением равновесия, используя томографический П ОД ХОД •

В соответствии с формулой (2) симплектические томограммы начального и конечного состояний равны следующим выражениям, содержащим полиномы Эрмита:

Wn

1

2nuVп

e

Hn

X

y/V^Tß2

Wm

2mm\\Jп

-iX+mf

e v2+p2

Hm

X + Yß y/V^Tß2

Тогда вероятность переходов между начальным и конечным состояниями согласно (4) будет равна:

Pnm 2п

X2 (У-YV)2

2nn\\2mm\\П

Hn

X

y/V^Tß2

Hm

Y - Yß

Vv2 + ß2

X

e )dXdYdßdv.

Как следует из физического смысла, выражения (9) и (11) равны, что дает условие на к:

М = Т

и новое выражение для вероятностей переходов между уровнями энергии параметрического осциллятора, зависящее от величины сдвига положения равновесия:

I / 2\m—n

= u [y! 4

Pnm = m\{ 2

exp[ -(WY2"2

2

2

2

X

2

1

2

1

где n < m. Теперь вычислим вероятность переходов при помощи оптических томограмм. Для начального и конечного состояний они примут вид:

Wn {Х)в) = -П—е-х2 \Hn (X)|2 , lnn\\J П

wm (Х,в) = 2mmL^e-{XCOS0)2 \Hm (X + 7cosв)\2 . lmm\\J n

Как следует из (5), вероятности переходов соответствует следующее интегральное выражение:

1 по р2п по f'

Pnm = rdrl U -(ГCOS" COS(r (X + Y)) X

x\Hn

которое также должно сводиться к выражениям (9) и (11).

Принимая во внимание (12). находим выражение для интеграла, содержащегося в правой части равенства (13):

о 2 оо

j rdr J J j e-x2-(Y-YCOS0)2 cos (r (X + Y)) \Hn (X) Hm (Y - 7 cos в)\2 dXdYdd =

0 0 -0

2 m- n 2 2 2

= 2m+n

Аналогичные интегралы, содержащие гауссовские экспоненты, одномерные и многомерные полиномы Эрмита и специальные функции, рассматривались в [20].

4 Заключение. В ДсШНОИ работе фактически предлагалось вычислить факторы Франка Кондона через томограммы состоянии двухатомных молекул. Интегральные выражения для вероятностей переходов между начальным состоянием до смещения положения равновесия и установившимся конечным состоянием были найдены как через симплектическую. так и оптическую томограммы. Эти новые соотношения выражаются формулами (11), (12); (14). Полученные выражения сравнивались с известными значениями интегралов перекрытия волновых функций. Рассмотрение вероятностей переходов в томографическом представлении можно использовать при изучении квантовых корреляций, в частности, запутанности, возникающих при электронных переходах в многоатомных молекулах.

ЛИТЕРАТУРА

[1] R. P. Feynman, Phys. Rev. 80, 440 (1950).

[2] J. Schwinger, Phys. Rev. 91, 728 (1953).

[3] В. С. Попов, УФН 177 (12), 1319 (2007).

[4] К. Husirni, Progress of Theoretical Physics 9 (4), 381 (1953).

[5] A. M. Дыхне, ЖЭТФ 38, 570 (1960).

[6] H. R. Lewis Jr., W. B. Riesenfeld, Journal of Mathematical Physics 10, 1458 (1969).

[7] И. Г. Малкин, В. И. Манько, Динамические симметрии и когерентные состояния, кватповых систем (М., Наука, 1979).

[8] V. S. Popov, М. A. Trusov, Physics Letters А 373 (22), 1925 (2009).

[9] S. I. Ivryuchkov, S. К. Suslov, J. M. Vega-Guzman, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46, 104007 (2013).

[10] P. B. Acosta-Humanez, S. I. Ivryuchkov, A. Mahalov, et al., Degenerate Parametric Amplification of Squeezed Photons: Explicit Solutions, Statistics, Means and Variances. arXiv: 1311.2479 [quant-ph].

[11] E. V. Doktorov, I. A. Malkin, V. I. Man'ko, J. Mol. Spectrosc. 64, 302 (1977).

[12] J. Huh, R. Berger, Journal of Physics: Conference Series 380, 012019 (2012).

[13] O. Man'ko, V. I. Man'ko, Journal of Russian Laser Research 18, 407 (1997).

[14] E. D. Zhebrak, Physica Scripta, T153, 014063 (2013).

[15] S. Mancini, V. I. Man'ko, P. Tombesi, Phys. Lett. A 213, 1 (1996).

[16] J. Radon, Ber. der Sachische Akademie der Wissenschaften Leipzig 69, 262 (1917).

[17] E. Wigner, Phys. Rev. 40, 759 (1932).

[18] V. I. Man'ko, R. Vilela Mendes, Physics Letters A 263 (1), 53 (1999).

[19] M. Bellini, A. S. Coelho, S. X. Filippov, et al., Phys. Rev. A 85, 052129 (2012). V. I. Man'ko, A. Wünsche, Quantum Sem. Optics 9, 381 (1997).

Поступила в редакцию 26 февраля 2014 г.