Смещение оси светового пучка, наклонно падающего на границу анизотропно рассеивающей среды

СМЕЩЕНИЕ ОСИ СВЕТОВОГО ПУЧКА, НАКЛОННО ПАДАЮЩЕГО НА ГРАНИЦУ АНИЗОТРОПНО РАССЕИВАЮЩЕЙ

СРЕДЫ Е.И. Задорожная, М.Е. Кононенко Научный руководитель - к.ф.-м.н., доцент Ю.И. Копилевич

В приближении малоуглового рассеяния для уравнения переноса излучения в поглощающей и рассе-вающей среде исследовано распределение освещенности в поперечном сечении светового пучка, наклонно падающего на границу заполненного средой полупространства. Показано, что несимметричность ослабления относительно геометрической оси пучка в среде приводит к смещению энергетического центра пучка. Изучено изменение величины смещения с глубиной, проанализирована зависимость эффекта от оптических характеристик среды, угла падения и параметров исходного пучка.

Введение

С наклонным падением светового пучка на границу поглощающей и/или рассеивающей среды приходится сталкиваться в различных областях применения лазеров - от лазерной обработки материалов до дистанционного зондирования океана, причем зачастую важно учитывать изменение распределения освещенности по поперечному сечению пучка с глубиной проникновения в среду [1, 2]. Сущность рассматриваемого здесь явления состоит в смещении максимума поперечного распределения освещенности в пучке относительно его геометрической оси, соответствующей закону преломления на границе среды.

Проведенный теоретический анализ основывается на применении уравнения переноса излучения (УПИ) [3, 4]. Предполагается, что падающий пучок имеет достаточно малую расходимость, а индикатриса рассеяния в среде является сильно вытянутой вперед, что позволяет использовать малоугловое диффузионное приближение для решения УПИ [4, 5].

Формулировка задачи

Пусть в декартовых координатах {2, х}, х = {х, у} плоскость г = 0 является границей поглощающей и рассеивающей среды с показателем преломления п2, заполняющей полупространство 2 > 0; контактирующая среда с показателем преломления п1 в области г < 0 предполагается прозрачной. Ось монохроматического светового пучка (ОС на рис. 1), падающего на границу раздела из прозрачной среды, составляет угол $1 с осью О2.

В декартовых координатах {£, обозначим через

I (, к ) = I , к) лучевую яркость падающего пучка в направлении

{1, к } = {., К , К }, причем предполагается, что к2 << 1.

Ограничимся для простоты рассмотрением двумерной задачи; начальное распределение яркости на плоскости £ = 0 зададим в виде

I (0, к) = I (0, £//,£±, к) = ехр

лЯагу

а ^

V Я2,

ехр

( 2 ^ К/

V а/у2 J

8К±),

где Я - начальный радиус пучка, - его расходимость (й1\ << 1) в плоскости падения, 5(к) - дельта-функция Дирака.

О'

О

А  А \

\ > \ 1 V

\

V-

А

п.1

\ \\ \ \

V

П2

У

Рис. 1. Геометрия задачи: плоскость г = 0 является границей раздела прозрачной (при г < 0) и рассеивающей (при г > 0) сред; 0£- ось падающего пучка, ОС,'- ось

преломленного пучка

Решение задачи распространения пучка в прозрачной среде и преломления на границе раздела

Решение УПИ в однородной среде имеет вид

I

Используя (2), для распределения яркости I+ (г = 0, X, К) пучка вида (1) на плоскости г = 0 находим:

I+ (0,X, К) = I(С, + XБША, X008 А,У, к) =

= I

= —1—ехр<!- —Г[хооба -к„(с0 + хэшА)]2 1хехщ-^-т15(к,) тЯСИУ 1 Я21 1 /А 0 1Л1 1 [ С1У2 } 1

где С0 - расстояние вдоль оси пучка, проходимое светом в прозрачной среде.

Найдем теперь распределение яркости преломленного пучка ^ (г, х, у, к') на границе раздела (г = 0 + 0/ Учитывая предположение о малости отклонения вектора направления {1, к//,к1} для яркости падающего пучка от оси ОС, закон преломления Снел-лиуса приводит к равенствам:

этА = пэтА», = пк'±_, оо^АуКц = пОО8$2к'П , (4) п

причем п=

п

Из (3), с учетом (4), получаем:

Т

I_(0, х y, к0 = ——- ехР лЯагу

Я

х ооб А - к//п 008 А (0 + х эт А) ообА1

> х

х ехр

к

2 (

// ,„2

С1\

п

ООБа2 соба

5

х

2

2

где Т - коэффициент пропускания границы раздела для светового пучка:

Т = п 2(1 -|р|2), р- френелевский коэффициент отражения [3].

Эквивалентная задача для пучка в рассеивающей среде

Введем обозначения

ncos$2 т г cos^i „Г cos$2

R = R--, div = div-—, Zo =Con

cos¿¿ n cos^2

Y

cos$i

перепишем (5) в виде:

T

1 yK' ]=iRdivx

x exp-

R¿

x cos^2 -к'ц

Z0 + x sin ¿¿n

/ n \2 ^ ' cos¿2 ^

cos¿i

exp

div' 2

Ъ

Используя равенство а 5(ах) = 5(х) (а > 0) и условие  $ << 1, последнее выражение можно упростить:

I (0, x, y, к' )—T— expJ -V ^ ^ nR'div' И

R

[x cos ¿2 -к // (0 + x sin ¿2 )f

x exp^

2

k // div'2

•S(k 1).

Из сравнения полученной формулы с выражением (3) видно, что распределение яркости (8) совпадает в плоскости 2 = 0 с решением «эквивалентной задачи» в среде с постоянным показателем преломления для пучка, ось Окоторого составляет угол $2 с осью Ог (см. рис. 1). В декартовых координатах {£' ,\'}= {С',£'/,£[} исходное распределение яркости «эквивалентного» пучка в плоскости £' = 0 имеет вид

I' (0,^//,^1, к ') = —0^ exp nR div

R

1 ^//2 | exp

Г k ' 2 ^ k//

div'

S(k1 ),

а длина пути вдоль оси пучка до пересечения с плоскостью z = 0 равна величине Z'o, определяемой формулой (7).

Теперь задача сводится к решению эквивалентной задачи о распространении светового пучка с начальным распределением яркости вида (9) в двухслойной среде с постоянным показателем преломления п2 (рис. 2), причем в координатах {{,£//,£[} плоскость Z' = Z0 + £//tg¿2 является границей раздела прозрачной (в полупространстве Z' < Z0 + £'// ) и мутной сред.

Пусть a и b - показатели поглощения и рассеяния света мутной средой, соответственно. Индикатриса рассеяния X(y), где y - угол рассеяния, 0 < y < п, подчиняется

условию нормировки 11 X(y) sin y dy = 1 и определяет вероятность обратного рассея-

•Ю

2

1

ния bb = 11 X(у) sin у dy, так что показатель обратного рассеяния есть bb = bb

Jn/ 2 '

Предполагая выраженную анизотропию рассеяния, индикатрису зададим в виде X

где x(y) определяет рассеяние на малые углы, причем

0 x

O'

Рис. 2. Геометрия эквивалентной задачи в среде с постоянным показателем преломления. Наклонная пунктирная линия соответствует реальной границе раздела прозрачной и рассеивающей сред, горизонтальная - заданию локального положения границы для приближенного нахождения решении в точке [£'}

В силу малости углов рассеяния и исходной расходимости пучка, яркость пучка I'(^',^ !,, к' ) в произвольной точке ',£//,} рассеивающей среды (£' > С0 + %'// А2 ) приближенно совпадает с решением задачи распространения пучка с граничным условием (9) в стратифицированной среде с зависящими от £' показателями поглощения

а(С) и рассеяния Ь(С) вида

а(С') = |0, С ,<С0 + Ь(С') = {0, С '<С0 +^//tgА2

а(4) [а, С'>С0 + (4) \й, С>С0

Используя аналитическое решение уравнения переноса излучения в малоугловом приближении для пучка света в стратифицированной рассеивающей среде [6], яркость I' (С' , /, , к' ) находим из соотношений:

I'

T ' (|', k, p; %') = T ' (0, k, p + k| ') X

Z'-Z0

expj-

0

где T

<x¡ <x¡

- преобразование Фурье исходного распределения яркости (9) по поперечным координатам и углам,

а

- длина пути луча в прозрачной среде для точки наблюдения {^' ,0//,0|},

1 ж

~(р) = 2 J x(r)Jq( pr)rdr

- преобразование Фурье-Бесселя малоугловой части индикатрисы рассеяния из (10).

Получим теперь формулу для распределения освещенности E' (Z' ,¿,¿1)по поперечному сечению пучка Z' = const в рассеивающей среде,

E{£¿,¿1) = JJI

ж

заметим, что в рассматриваемом «малоугловом» случае освещенность совпадает с облученностью [3, 4]. Из (13)-(15) следует выражение

E(Z',¿/',¿1) = (2п)2 х

~ Г Z'-ZQ

х JJ I ' (0, k, kZ ') expr ikl ' -(a + b-[ - ZQft ')] + (b - 2bb) J I (| kZ|) dZ j> d 2k'

ж j Q J

Z '>ZQ(^ ') = ZQ + #/tg*2,

в котором I' (Q, k, p) по-прежнему дается формулой (14).

Полученный результат существенно упрощается в малоугловом диффузионном приближении, которое эквивалентно замене в (18) Фурье-образа ~ малоугловой части индикатрисы двумя первыми членами его разложения в ряд Тейлора:

,2^

1 ^ 1 ^

1

1 -

( pyY 2

ydy = 1 - pг

Y

2

причем параметр ^у у равен среднему квадрату угла рассеяния на малые углы. С учетом (19) из (18) получаем:

Е(С'аа ) = (2п)2 X

JJ I ' (0, k, kZ ' ) exp j zk§ ' - ae [ - ZQG ')] + bf k- (/) [ - ZQG ')] J d 2k

с^як)=^0+0^2,

где введены обозначения ае = а + 2Ъъ для эффективного показателя поглощения (учитывающего ослабление пучка за счет поглощения и рассеяния света на большие углы) и Ъf = Ъ - 2ЪЪ для показателя рассеяния на малые углы [5, 6].

Подстановка начального распределения (9) в (14) дает

I ' (0, k, kZ ') = (2п)-3Г 5(к± )exp

к 2

4

и из (20) получаем окончательный результат:

E (Z ', £ //, £ 1) = exp{- ae [[-£ QG ' )]}>

y^Reff

х exp

£ //2

Rf

X

ж

z '>С№') = Zo + #/tg^,

где Щ'„) = С'-СоЮ,

- длина трассы распространения в рассеивающем среде для луча, приходящего в точку наблюдения {,£//,£[} (см. рис. 2), и

- ' ' 2 , 2 3'

R^ff (¿'¿'и) = R2 +Z' 2 + -3 bf (r2}h3(Z//).

Анализ результатов

Ограничимся здесь рассмотрением случая, когда вкладом малоугловой части рассеяния, определяемым параметром bf, в распределение яркости можно пренебречь. Тогда

Riff (z'¿/) - Riff (z') = R'2 + z'2div'2, причем Reff является эффективным радиусом пучка в плоскости z' = const, и выражение (21) можно переписать в виде

exp[- ae (С '-С 0)].

E (z ', £ //, £ 1) =

л/ЛReff

x exp

ae2Rf (z')tg2 S;

exp

[[// - S (z ')f

Rtff

где S(C) = aeReff (f)tg^2 = Oit^ (r2 +z'2div'2 ).

Формула (25) справедлива при условии (22), означающем, что точка наблюдения {Z',Z'/,Z[} находится в рассеивающей среде; это условие можно переписать в виде

Z'„ < D(Z'), причем

D

- расстояние в плоскости Z' = const от оси пучка до границы рассеивающей среды.

Из выражений (25) и (27) следует, что «энергетический центр» пучка, то есть максимум распределения освещенности в сечении Z' = const, сдвинут относительно «геометрического центра» Си = 0 (оси пучка) на величину A(Z),

A

Чтобы существовал интервал значений наклонной глубины ho = Z' - Zo проникновения света в рассеивающую среду, на котором энергетический центр распределения освещенности по поперечному сечению пучка находится внутри среды, необходимо и достаточно выполнения условия S(Z') < D(Z') для соответствующих значений Z'. Это условие, ввиду равенств (26) и (27), эквивалентно требованию существования вещественных корней квадратного уравнения S (Z') - D(Z') = 0, т.е. положительности его дискриминанта, и сводится к неравенству

1

ae < 2

Щ2$2ёЫ (( + Z'0div') В противоположном случае сильного эффективного поглощения, т.е. при 1

ae > 2

tg2 32div'

4

имеет место равенство ' ) = В (С,' ); это означает, что максимум освещенности в сечении

пучка при всех находится на границе рассеивающей среды (пучок «не проникает» в среду)-

щ в

о

а

с

н

н

о

8

м

8 Н

____

к0 = 0 м

\

к0 = 0,025 м

\

к0 = 0,05 м

V

\

к0 = 0,075 м

\

к0 = 0,1 м \

к0 = 0,125 м

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Расстояние от геометрической оси '/л м

Рис. 3. Распределения освещенности по поперечному сечению пучка на различных глубинах проникновения Ь0 в среду

На рис. 3 приведены результаты численных расчетов распределения освещенности по поперечному сечению пучка на различных глубинах проникновения к0 в рассеивающую среду со слабым эффективным поглощением, то есть при выполнении условия (29). Расчеты проводились при следующих значениях параметров эквивалентной задачи [см. равенства (7)]: Я' = 0,1 м; 32 = 45о; ^0 = 1 м; Шу' = 0,01рад; ае = 10 м-1. Наклонная пунктирная линия на рис. 3 соответствует границе рассеивающей среды; вертикальная пунктирная линия, соединяющая положения максимумов распределений освещенности, совпадает при к0 > 0,05 м с кривой £(£').

Заключение

В представленной работе теоретически исследована задача наклонного падения пучка света на границу мутной среды с выраженным поглощением и/или рассеянием; для простоты рассматривается двумерная задача, когда распределение яркости исходного пучка не зависит от координаты, перпендикулярной плоскости падения. Основой проведенного анализа служит уравнение переноса излучения в рассеивающей среде в приближении малоуглового рассеяния, что ограничивает область применимости результатов случаем малой расходимости падающего пучка и сильной анизотропии рассеяния (индикатриса рассеяния вытянута в направлении «вперед»). Показано, что максимум распределения освещенности по поперечному сечению пучка в рассеивающей среде оказывается смещенным относительно геометрической оси пучка в направлении границы раздела, причем величина смещения изменяется с глубиной проникновения света в рассеивающую среду. Детальный анализ, проведенный для ситуации, когда рассеяние вносит вклад только в эффективное ослабление пучка, позволил выделить два случая: при сильном поглощении максимум поперечного распределения освещенности сдвинут

к границе среды (пучок «не проникает» в среду); при слабом поглощении существует интервал значений глубин, для которых максимум распределения освещенности по поперечному сечению локализован внутри мутной среды. Выведено условие реализации того или иного случая в зависимости от геометрических параметров задачи (радиуса и расходимости пучка, угла падения и расстояния от источника до границы среды) и эффективного показателя поглощения в среде, учитывающего ослабление пучка за счет поглощения и рассеяния на большие углы.

Литература

1. Вейко В.П. Лазерная обработка пленочных элементов. - Л.: Машиностроение, 1986.

- 248 с.

2. Копилевич Ю.И., Сурков А.Г. Математическое моделирование входных сигналов океанологических лидаров // Оптический журнал. - 2008. - Т. 75. - № 5. - С. 45-51.

3. Апресян Л.А., Кравцов Ю.А. Теория переноса излучения: статистические и волновые аспекты. - М.: Наука, 1983. - 216 с.

4. Долин Л.С., Левин И.М. Справочник по теории подводного видения. - Л.: Гидроме-теоиздат, 1991. - 230 с.

5. Оптика океана /Под ред. А.С. Монина. - Т. 1. Физическая оптика океана. - М.: Наука, 1983. - 371 с.

6. Долин Л.С., Савельев В.А. К теории распространения узкого пучка света в стратифицированной рассеивающей среде // Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика. - 1979. - Т. 22.

- № 1. - С. 1310-1317.