Вычисление матричных элементов электромагнитного тока дейтрона в переменных светового конуса

чен только после окончания расчета коктейля электрон-позитронных пар и его вычитания из измеренного спектра. Существенное улучшение точности измерений ожидается в результате имплементации дополнительного отбора

электрон-позитронных пар с использованием данных детектора HBD.

Работа поддержана в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 — 2013 гг.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Adcox, K. Formation of dense partonic matter in relativistic nucleus-nucleus collisions at RHIC: Experimental evaluation by the PHENIX collaboration [Text] / K. Adcox, V. Riabov, Y. Riabov, Y. Berdnikov [et al.] // Nucl. Phys. A. - 2005. - Vol. 757. - P. 184-283.

2. Adare, A. Detailed measurement of the e+e- pair continuum in p+p and Au+Au collisions at 200 GeV and implications for direct photon production [Text] / A. Adare, V. Riabov, Y. Riabov, Y. Berdnikov // Phys. Rev. C. - 2010. - Vol. 81. - P. 034911-034967.

3. Matsui, T. J/Psi suppression by quark-gluon plasma formation [Text] /T. Matsui, H. Satz // Phys. Lett. B. -1986. - Vol. 178. - P. 416-422.

4. Porter, R. Dielectron cross section measurements in nucleus nucleus reactions at 1.0-A-GeV [Text] / R. Porter, J. Caroll, P. Kirk [et al.] //Phys. Rev. Lett. - 1997. -Vol. 79. - P. 1229-1232.

5. Agakichiev, G. Systematic study of low-mass electron pair production in p-Be and p-Au collisions at 450

GeV [Text] / G. Agakichiev, M. Appenheimer // Eur. Phys. J. C.—1998.—V01. 4. - P. 231-247.

6. Adcox, K. PHENIX detector overview [Text] / K. Adcox, V. Riabov, Y. Berdnikov [et al.] // Nucl. Instrum. Meth. A.-2003.-Vol. 499. - P. 469-479.

7. Baym, G. RHIC: From dreams to beams in two decades [Text] / G. Baym // Nucl. Phys. A. - 2002. - Vol. 698. - P. 23-32.

8. Makek, M. Measurements of low mass e+e- pairs in p+p and Au+Au collisions with the HBD upgrade of the PHENIX detector [Text] / M. Makek // Nuclear Physics A. -2011. -Vol. 855. -P. 265-268.

9. Kozlov, A. Development of a triple GEM UV-photon detector operated in pure CF4 for the PHENIX experiment [Text] / A. Kozlov, I. Tserruya, I. Ravinovich, [et al.] // Nucl. Instrum. Meth. A.- 2004.-Vol. 523. - P. 345-354.

10. Kopylov, G.I. Like particle correlations as a tool to study the multiple production mechanism [Text] / G.I. Kopylov // Phys. Lett. B.-1974.-Vol. 50. - P. 472-474.

УДК 539.128.2, 539.171.016

ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ТОКА ДЕЙТРОНА В ПЕРЕМЕННЫХ СВЕТОВОГО КОНУСА

Ф.Ф. Павлов

Одним из наиболее важных вопросов современной физики элементарных частиц и атомного ядра является развитие методов релятивистского описания дейтрона как составной системы. Наиболее актуальным вопросом является изучение релятивистских явлений в электромагнитной структуре дейтрона и построение оператора электромагнитного тока релятивистского дейтрона, удовлетворяющего

условию Лоренц-инвариантности и дискретным симметриям Р и Т. Для изучения данных явлений обычно проводятся эксперименты по упругому электрон-дейтронному рассеянию при больших переданных импульсах. Как известно, электромагнитные форм-факторы дейтрона (зарядовый, квадрупольный и магнитный) выражаются через матричные элементы электромагнитного тока дейтрона. Зная форм-

факторы дейтрона, можно оценить релятивистские поправки к магнитному и квадрупольному моментам дейтрона, зарядовому радиусу.

Целью данной работы является расчет матричных элементов плюсового компонента электромагнитного тока дейтрона в переменных светового конуса (судаковских переменных) и исследование поведения матричных элементов в зависимости от величины квадрата переданного импульса.

Для достижения результата используются развитые ранее методы релятивистской теории поля в переменных светового конуса. В данной работе волновая функция дейтрона будет аппроксимироваться только протон-нейтронным фоковским состоянием и дейтрон будет представляться как суперпозиция двухнуклонных фо-ковских состояний с инвариантной массой, зависящей от относительного импульса нуклонов.

Амплитуда однократного электрон-дейтронного рассеяния

Рассмотрим треугольную фейнмановскую диаграмму процесса однократного электрон-дейтронного рассеяния, в которой показана вершина поглощения дейтроном D виртуального фотона с импульсом Q (рис. 1).

Используя принципы написания дисперсионных интегралов и стандартные правила Фейнмана, вершинную часть амплитуды процесса, соответствующего рис. 1, в импульсном приближении можно представить в виде интеграла по 4-импульсу нуклона-спектатора [1 — 4]:

xi

Fk = ("1)J

d4Р3 Sp{lM'')'

(2л)4i (p32 - m2 + is)>

i (-Рз + т )• / (Г ¿у^)»

2 2 х(р2 - т + /е) х

х/(р2 + т) • /Ок • /(рх + т

2 2 ' х

где р1, р2 — 4-векторы импульсов протонов; интегрирование ведется по 4-вектору импульса нейтрона р3, где контур интегрирования замкнут вокруг полюса нейтронного пропагатора (массы всех нуклонов равны т); под импульсом со «шляпкой» подразумевается выражение

Р = РЛ (^ - 4-матрицы Дирака); Гр - полная вершинная функция распада дейтрона на конституенты в начальном состоянии, а Г а — полная вершинная функция дейтрона в конечном состоянии; и ^ — 4-векторы поляризаций дейтрона в начальном и конечном состояниях; р = ±1, 0 — спиральность дейтрона; по дважды повторяющимся тензорным индексам а и Р всегда подразумевается суммирование. Вершина взаимодействия нуклонов с фотоном Ок имеет вид

fS

Ok = FS(Q2)yk °k.vQv ,

где Qv — 4-вектор импульса виртуального фото-

СО V О

на; Ff (Q ), F2S (Q ) - изоскалярные электромагнитные форм-факторы нуклона Дирака и Паули, соответственно, причем F¡s(0) = 1 и

Fs (0) = -0,12, tfk v= | (У k Yv"YvY k )•

Двухчастичное состояние в переменных светового конуса

При высоких энергиях удобно использовать параметризацию для 4-импульсов в переменных светового конуса. Современная техника светового конуса, берущая начало в работе В.В. Судакова [5], подробно рассмотрена в работах [2 — 8]. Напомним, что в формализме светового конуса любой 4-вектор имеет компоненты

где

Рис. 1. Фейнмановская диаграмма для дейтрона

(a+, a-, a i ^ 1

=—(ao ±a^),

л'

а поперечный компонент a± = (а^ а2) лежит в плоскости (х, у). Для упрощения формул часто будем опускать 4-тензорный индекс над 4-век-торами. Скалярное произведение имеет вид

аЬ = а+Ь_ + а_Ь+ - a ± Ьх .

Для частицы на массовой поверхности квадрат 4-вектора импульса равен

2 2 2 р2 = т2 = 2 р+ р_- pi

Р- =

т2 + p2 2 Р+

В представлении светового конуса будут использоваться у -матрицы Дирака:

у± =^2(Уо ±уз).

М2 = Р2 = (р + Р3)2 = 2 2 2 2

+_ ^ pз1 )2.

г 1 - г

pLL = k + гP1; Pзl=-k + (1 - г) P1.

М2 =

k2 + т2

г

В данной работе дейтрон будет рассматриваться как суперпозиция двухнуклонных фо-ковских состояний с инвариантной массой М, зависящей от относительного импульса конституэнтов.

4-вектор импульса двухнуклонных фоков-ских состояний с инвариантной массой Мв переменных светового конуса имеет компоненты

и минусовый компонент 4-вектора импульса равен

(

Р = ( Р+, Р_, P1) =

М2 + p

' 2Р. ' J

л

Спиральные состояния для двухнуклонных фоковских состояний с инвариантной массой М в переменных светового конуса будут описываться продольным (р = 0) 4-вектором поляризации [4, 6, 7]:

у (р=°)= _!_ М

-М2 + P2 2Р,

P1

Рассмотрим двухчастичное состояние в переменных светового конуса с внутренними 4-импульсами р1 и р3 (см. рис. 1). Так как полный 4-импульс такого двухчастичного состояния равен

Р = Р1 + Рз,

то удобно ввести г = р1+ / Р+ и 1 - г = р3+ / Р+ — доли импульса системы, которые несут частицы 1 и 3.

Квадрат инвариантной массы такой системы следует выражению

и поперечным (р = ±1) 4-вектором поляризации в переменных светового конуса [4, 6, 7]:

у(р=±1) =

0,

.

где поперечные циркулярные орты имеют привычный вид

1

^ (±в1 + *2 ),

Определим относительный поперечный импульс k для двух начальных нуклонов соотношениями

Из соотношений (9) — (11) при т1 = т3 = т следует, что

в1, в2 — единичные орты вдоль осей х и у, соответственно.

Подчеркнем, что в формуле (14) М ф Мв . В релятивизме вектор поляризации продольного состояния неизбежно зависит от инвариантной массы протон-нейтронной пары (12). Такой «бегущий» продольный вектор поляризации в ранних оценках релятивистских эффектов не использовался.

Система отсчета Брейта

При рассмотрении различных задач рассеяния удобно пользоваться системой отсчета с

нулевой передачей энергии или системой Брей-та, в которой плюсовые компоненты 4-импуль-са не меняются до и после рассеяния, а поперечные импульсы равны по значению и противоположны по направлению. В такой системе поперечные импульсы протон-нейтронной пары в начальном и конечном состо-янияхвыбираются в виде P1 = -О / 2 и Р± = Q / 2 соответственно, и плюсовые компоненты не меняются: Р+= Р+ . Тогда плюсовый компонент переданного 4-импульса 0 будет равен 0+ = Р+- Р+ = 0 , а поперечные компоненты Q = (0Х, 0У) выберем в виде 0Х = 0, 0у = 0 , то есть направим Q вдоль оси х.

Тогда с учетом соотношений (10), (11) получим удобное представление для 4-векторов импульсов нуклонов в начальном состоянии р1 и р3 на массовой поверхности:

( 2 /,_ ~ ,„ч2

Р1 =

т +

(к-гО/2) 2гР,

к - г 11;

Рз =

(1 - г) р+,

2

т +

(-к-(1 - г) Q| 2 )2 2 (1 - г) Р+

"к "(1 - г) 0-|,

Рз =

(1 - г) Р.

т2 +(-к + (1 - г) О/2)2 2 (1 - г) Р+

"к +

где относительный поперечный импульс к для конечного состояния двух нуклонов равен

к = к + (1 - г) О;

Кх = кх +!1 - г

К у ~ ку'

причем квадрат инвариантной массы конечной пары нуклонов с 4-импульсами р2 и Р3 на массовой поверхности будет иметь вид

М2 =( Р2 + Рз) =

22 2 к2 + т

г I1 - г )•

Таким образом, начальное состояние протон-нейтронной пары с инвариантной массой Мв системе Брейта будет описываться 4-векто-ром импульса в переменных светового конуса:

р = {р М2 + о2/4 _ 0 0

+ ' 2Р^ '2'

V "Г /

продольным (р = 0) 4-вектором поляризации начального состояния

причем квадрат инвариантной массы начальной пары нуклонов с 4-векторами импульсов Рх и Р3 на массовой поверхности имеет вид

у (р=°)= _!_ М

гр _М2 + 02/4 _ 0 ^

2Р,

2

и поперечным (р = ±1) 4-вектором поляризации начального состояния

М =( Р1 + Рз) =

22 2 к2 + т

г I1 - г )

Для 4-векторов импульсов в конечном состоянии р2 и Рз:

(

Р2 =

т2 +(к + г О/2)2 2гР1

к+г !|;

(

у (р=±1) =

0, -

л

2Р^

, е

.

Аналогично конечное состояние протон-нейтронной пары будет описываться 4-векто-ром импульса и 4-векторами поляризации в переменных светового конуса:

р = ( р+, р., Рх) =

( р М2 + 02/4 0 0 ^

+, 2Р^ , 2,

M

V(р-=о)= X P -M2 +Q2/4 Q

P+,

2Р

V (р'=±1) =

о,

2P^

, e

, —, о 2

,

;

(Pi " Рз),

Р .

_d M2 - 4m

гр =—4— +

2

M + 2m M + m

2

ф s ,d (m 2) =

2Ч Gs,d

M2 - mDD '

fe (p2 -p3)0

a ia VV о

M + 2m

M + m

~d = Mm2 - 4m2 _

^a 4 Уa^

2

V У

«Волна» над буквой обозначает конечное состояние.

Соотношение между вершинной и радиальной волновыми функциями дейтрона

Полная вершинная функция перехода дейтрона в протон-нейтронную пару в начальном состоянии имеет вид [2, 4, 9, 10]:

Гр=Г^

где вершинные функции начального состояния протон-нейтронной пары с инвариантной массой Мдля и ^-волновых состояний следуют выражениям [2, 4, 9, 10]:

Условие нормировки радиальных волновых функций двухнуклонных фоковских состояний для и ^-волн по отдельности приведены в работах [2, 4]. В нерелятивистском случае используются волновые функции дейтрона ^ (р) и Тв(р). Соответствие между радиальными волновыми функциями в (М ) и нерелятивистскими волновыми функциями (р) будет иметь следующий вид [2, 4]:

Фs (м2)(Р);

2M

Фв (M2) = ,

4Mp'

(Р).

GS в (М ) — скалярные вершинные функции для S- и ^-волновых состояний дейтрона, которые связаны с радиальными волновыми функциями дейтрона ФS в (М ) соотношением

В качестве нерелятивистских волновых функций TS D можно использовать ряд современных реалистических волновых функций, например CD-боннскую (CD-Bonn) [11], полную боннскую (Full Bonn) [12] и парижскую (Paris) [13]. Для таких нерелятивистских волновых функций дейтрона обычно используется параметризация вида

Р) = J-

I ?

C

p2 + m2

где Мв = 1875,6 МэВ/с2 — масса дейтрона.

Полная вершинная функция дейтрона в конечном состоянии имеет вид

г a=fSfe

где вершинные функции конечного состояния протон-нейтронной пары с инвариантной массой ММ для S- и ^-волновых состояний следуют выражениям:

где p — относительный 3 -импульс двух нуклонов в дейтроне; параметры С\ и т1 приводятся в работах [11 — 13].

На рис. 2 представлены зависимости CD-боннской, полной боннской и парижской волновых функций дейтрона от относительного импульса р.

Видно, что при большом относительном импульсе р протона и нейтрона в дейтроне волновые функции ^-волновых состояний дейтрона сравнимы по величине с волновыми функциями £-волновых состояний; последние проходят через нуль при р « 400 — 450 МэВ (в единицах с = 1). Поэтому область релятивистских импульсов, где доминирует ^-волновое состояние дейтрона, представляет особый интерес.

2

(

Рис. 2. Зависимость от величины относительного импульса р составляющих волновой функции дейтрона:

S-(I), В-(2) волновых состояний CD-боннской волновой функции; S-(3), Б-(4) волновых состояний полной боннской волновой функции; S-(5), Б-(6) волновых состояний парижской волновой функции

Параметризация электромагнитных форм-факторов нуклона

Как известно, изоскалярные электромагнитные форм-факторы нуклона Дирака и Паули F1S ^2) и F2S ^2) связаны с электрическим и магнитным форм-факторами Сакса GE и GM следующим образом:

^ —(Gе); 1 + ^

F2 ^М - ^ ) >

1 + л

где форм-факторы Сакса GE и GM равны сумме форм-факторов протона и нейтрона:

GE,М - GE,M + ^,М •

В данной работе для форм-факторов нейтрона будет использоваться следующая параметризация [14]:

1 + Ьц

где ц = Q¿/2т2; а = 0,888; Ь = 3,21; цп =-1,91 -магнитный момент нейтрона (в ядерных магнетонах);

GdiE -

2

1 ♦ % л2,

-2

л2 = 0,71 (ГэВ/с)2.

Для форм-факторов протона будет использоваться параметризация

GE = GdiE[1 -0,ВД2 -0,04)];

0Рм pGdip,

где ц р = 2,79 — магнитный момент протона (в ядерных магнетонах).

Матричные элементы плюсового компонента электромагнитного тока дейтрона

Как было показано в работах [15 — 19], использование плюсового компонента электромагнитного тока дейтрона J+ в системе бесконечного импульса в специальной системе Брейта (Q+= 0) дает правильное пространственно-временное описание релятивистских эффектов (невозможность рождения пар из вакуума и подавление вкладов так называемых Z-диаграмм).

Вычисление шпура в амплитуде (1) подробно рассматривается в работах [2, 3]. Не повторяя все этапы расчета однопетлевого интеграла, матричный элемент плюсового компонента дейтронного тока J+ = F+ в переменных светового конуса можно свести к следующему виду:

1

2

dгd k

2

V ( р„ *ЛР'К (р2, х

М2 - М2В х[й (р2, у.)0+ы (рь у)]х

и (р1>у)ГрУр(р)V(р3,Я.) М2 - М2В

где V = ±1, ц = ±1 — удвоенные спиральности протонов; Х = ±1 — удвоенная спиральность нейтрона; напомним, что под дважды повторяющимся индексом подразумевается суммирование и «волна» над буквой обозначает конечное состояние; и (р1, у) — спинор начального

протона с импульсом рх и спиральностью s = V / 2, V = +1 (входящий фермион с точки зрения фейнмановской диаграммы) [2, 4, 7, 8]; и ( р2, ц) — спинор конечного протона с импульсом р2 и спиральностью s = ц/ 2, ц = + 1 (выходящий фермион с точки зрения фейнмановской диаграммы); V (Рз, — спинор нейтрона (выходящий антифермион с точки зрения фейнмановской диаграммы) с импульсом —Рз и спиральностью -s = -Х /2, ^ = ±1 [2, 4, 7, 8].

Формула (46) допускает простую кванто-вомеханическую интерпретацию: дейтрон в спиновом состоянии, описываемый вектором

поляризации со спиральностью р, представляется как система протон-нейтрон со спиральностями V и X; после рассеяния система протон-нейтрон проецируется на дейтрон в спиновом состоянии, описываемом вектором

поляризации ^, со спиральностью р'; по всем промежуточным спиральностям V, X идет суммирование, и оно по спиральностям заменяет вычисление фейнмановских следов. Другими словами, мы рассматриваем переход составной системы с массой М в составную систему с массой М. Следует отметить, что спиноры в формализме светового конуса отличаются от привычных спиноров Дирака только спиновым вращением, которое есть известное преобразование Вигнера — Мелоша [4, 20].

Плюсовый компонент вершины (2) имеет

вид

М1 = М + 2т ; М2 = М + 2т .

°+= Р1У++ ~2т/ .

Матричные элементы электрон-дейтронно-го рассеяния (46) в зависимости от спиральных состояний поляризаций дейтрона в начальном (р = ± 1, 0) и конечном (р' = ± 1, 0) состояниях (для S-' D- и SD- интерференционного волновых частей) после элементарного, хотя и довольно громоздкого вычисления, будут иметь весьма компактный аналитический вид, который будет приведен ниже.

Для удобства введем следующие обозначения:

р2 =1М2 - т2; s2 =1 ММ2 - т2;

4 4

+1 JJ+1) 5 =

-I-

dzd2 к

(2л) г2(1 - г)2 М1М2

ФS (ММ 2)Ф5 (М 2) х

X ({м1м2 [(к - к) + 2т2] + 2тМ2к2 + + 2тМ1к2 + 4(к • к)2 + (к • к)(1 - 2г )2 МММ} + (49) + 20 {2[(к-к) + т2](1 - 2г )(к хМ - кхМ) -

-2(1 - г)0к)(Мх + М2) --2(1 - г)2 0тМ1М2 + 4(1 - г)(1 - 2г)0т3});

I

+11 J+\+1) ь = dzd2 к

2 ФЬ (ММ 2)ФВ (М2) х

х (F1 {2m2p2s2 - т(М + m)s2к2 -

22

- т(М + т)р2 к2 +

2

+ (М + т)(М + т)(к -к)2 + + (к -к)рр2 + (1 - 2г )2 |^2р2 +

22 + (М + m)ms + (М + т)тр +

+т2(М + т)(М + т) || +

р20\ 2 + |-тр2

2s2(1 - г) +

2т

+ (ММ + т)т(1 - 2г)] кх + + ms2[2p2(1 - г) + (М + т)т(1 - 2г)]кх + +(к • к) (1 - 2г) {(М + m)[s2 + (ММ + т)т]кх

-(ММ + т) [р2 + (М + т)т]кх | +

+ ку; (1 -

(1 - г№2(М + т) + р2(М + т)]Ц;

+1" =

Р+ г dzd 2к (2^ -1 г2(1 - г)2 М2

ФS (ММ 2)фв (М2) х

<({2т2М2р2 - тМ2(М + т)к2 +

+2тк2p2 -2(М + m)(k-к)2 +

+(k •к){p2M2 +

+(1 - 2г )2 ММ [p2 + (М + т)т]ц +

+{-2mp2[(1 - г)ММ + т]кх + 2т

+тМ2 (1 - г)+(М + т)т(1 - 2г)]кх + +(1 - 2г )(k • к) {(М + т)ММкх + +2[p2 + т(М + т)]к х | +

+ку(1 -

+1Л+1

DS

ф*в (ММ ^ф^. (М2) х

Р+ г dгd2 k (2л)3 -1 г2(1 - г)2 М х(¥х {2т2М^2 - тМ1(ММ + т)к2 +

+2mk2s2 -2(ММ + m)(k-к)2 + +(k -к^М +

+(1 - 2г )2 М [s2 + (М + т)т]ц +

+F2Q {2ms2 [(1 - г)М + т]кх -2т

-тМ1 [2s2(1 - г) + (ММ + т)т(1 - 2г)]кх --(1 - 2г )(k - к) {(М + т)М к х +

+2[s2 + т

+11 А 0 г

ч/2Р+

dгd2 k

(2л) г2(1 - г)2 МХМ2

ФS (ММ 2)ФS (М2) х

X (^ {(1 - 2г)М [-тМ2 (1 - г)Q +

+2кх (т2 + ^ - к) - г(1 - г)ММ)]} -

Щ 2т

{М [-(2г(1 - г)М + т) х

х(тМ2 + 2кХ) - кх кх (1 - 2г )2 ММ +

+ку Ку

+ 11 ^ 0 D =

-^з фD (ММ 2)ФD (М2) х

8 (г2(1 - г)2

<( ^(1 - 2г){

-4т

М(М + т^2кх -

^2М (ММ + 4т)кх -(k - к) [(М + 4т)М(ММ + 4т)кх -

-4М (М + т)(ММ + т)кх ] -ку2 (1 - г) Q(M + 4т)ММ(ММ + 4т)} -

{4[4mp2 -(М + 4т^2]х

2т

22 x[ms2 - (М + т)к2] +

+(k • к)(1 - 2г )2 М (М + т)М (М + 4т) -

-8к2уМ(1 - г) |~2г(М + m)p2 +

+(1 - 2г )(М + т^2 ]});

+ 1^ 0 SD =

1 -ЪгЬ- ФS М ^ (М2) х

2(2я) г2(1 - г)2М2 х(^(1 - 2г){-т[М(М + т)М2кх -

^М к х ] --к)[(М + 4т)ММкх + 2М (М + т )к х ] -

-к^(1 - г)0(М + 4т)М} +

2° |[4тр2 - (М + 4т)к2 ] [тМ2 + 2к2] +

+

МА 0 Ь* = Ьгаг ФЬ (М 2)Ф* (М2) х

4 ( 2л) Г (1 - г г Мх х( ^(1 - 2г ){-т[ ММ (ММ + 4т)М1кх -

-4s2Mkx ] --2(к • к)[(М + 4т)Мкх + 2М (ММ + т)к х ] -—2ку2 (1 - г)0(М + 4т)М} +

+ р0 {4[-ms2 + (ММ + т)к2] [тМ1 + 2к2] -

-

Л , =

2Р,

Г

dzd2 к

ФS (М 2)Ф5 (М2) х

(2л) г2(1 - г)2 МХМг X (р {[(к - К) - 2ку2] [2г(1 - г)ММ - 2т2] -

-2к2 к2 + 4(к -к)к2 + +(1 - г)0 [кх (тМ2 - 2ку2) -

-к х (тМ1 - 2ку2)]} + р 0

{т\кх (гМ + т)М2 -

2т

-кх (гМ + т)М1 ] +

+(1 - 2г )(к -к)(кхМ -к хМ) +

+2(1 - г )к2у(кх + Кх )(М - ММ)+

+

+11 Ь =

dzd2 к

8 (2л) г2(1 - г)2

-I-

фЬ (ММ 2)Фь (М2) х

х( 2р {[(к-К) - 2ку2]х

х [г(1 - г)ММ(М + 4т)(М + 4т) --4т2(М + т)(М + т) -(1 - г)0 |кх (М + т) [4(М + тк + 4ms2] -

-к х (ММ + т)[4 (М + т) к2 + 4тр2]} --4(М + /и)(ЖГ + т)[к2к2 - 2к2 (к • к)]} +

\т (4s2 [4р2г - 2(М + т)т(1 - 2г)]кх -

2т

-4р2 [4s2z - 2(М + т)т(1 - 2г )]к х) --2(1 - 2г)(к • к)[(М + т)М(ММ + 4т)кх --М (М + 4т)(М + т)кх ] -

-4(1 - г)ку2(кх + Кх )(М - М) х

х[мМ + т(М + ММ) + 4т2 ] --2(1 - г)(1 - 2г)0к2 [(М + т)М(ММ + 4т) +

+

+1 JJ-1) =

Р+ | dгd2k

2(2л) г2(1 - г)2М2

ФS (ММ 2)Фь (М2) х

с (2Р1 {(к • к) [г(1 - г)ММ(М + 4т) + +2(М + т)(т2 - 2к2)] + 2(М + т)к2к2 -

2т

-2к2у [г(1 - г)ММ(М + 4т) + +2т (М + т) --(1 - г О {(М + т)(тМ2 - 2к2у)кх + +2[mp2 + к2у(М + т)]кх }} +

{2т {м2 [2p2г - (М + т)т(1 - 2г )]кх

-2p2(гMf + т)к х }--(1 - 2г )(k -к) [2(М + т)ММкх + +М (М + 4т)кх ] +

+4(1 - г)к? (кх + Кх) [2p2 + М2(М + т)] +

+2

+1

DS

Р+ ^ dгd2 k

/ \3 J 2Л ФD(ММ^(М2)X

2 (2л) г2(1 - г)2 М

с (2F1 {^ • к) [г(1 - г)ММ(ММ + 4т) -

+2(М + т)(т2 - 2к2)] + 2(М + m)k2к2 -

-2к2 [г

•у2)К х +

+2

22 ms2 + ку;

2т

(ММ + т)] кх}}

{2т ^2(гМ + т)кх

-М1

2s2г -

г - (М + т)т(1 - 2г) кх}+

+(1 - 2г )(k • к)[2(М + т)М кх

+М (ММ + 4т)кх ]-

-4(1 - г )ку2 (кх +кх) 2s2 + МХ{М + т) +2(1 - г)(1 - 2г)0к2 х

2s2 -

0 Л10) S =

2Р, г dгd2kMM , * , ~ 2.^ / цг2\

—±г I -2-(МГ2)Фе (М2) х

(2л)3 3 г 2(1 - г)2 М1М2 ^ ' ^ '

X (F1 {(1 - 2г)2 ^ - к) + (2Мг(1 - г) + т) х х(2Мг(1 - г) + т)} +

2т {(1 -2г)[2г(1 -г)(кхМ-кхМ)-

-

0 0 D =

2

Р. г- dгd kMM » , ~ 2

= 1ТуП^^(М ^(М >«

X (F1 {(1 - 2г )2 (М + т)(М + т)^ • к) + +[-М(М + 4т)г(1 - г) + т(М + т)] х х [-М(ММ + 4т)г(1 - г) + т(М + т)]} +

2т

{(1 - 2г ){(М + т)х

х [-М(ММ + 4т)г(1 - г) + т(М + т)] кх -

-(ММ + т)[-М(М + 4т)г(1 - г) +

+т

(°1 ^ 0 SD =

2

РI г- dгd^ММ ~ 2 /Ъ/Г2 . ]—-Г^Т фs (М (М 2) х

(2л) г2(1 - г)2 М2

<( F1 {-(1 - 2г )2(М + т)^ к)-

-[2Мг(1 - г) + т]х х[-М(М + 4т)г(1 - г) + т(М + т)]} -

{(1 - 2г ){-(М + ту

2т

х[2Мг(1 - г) + т] кх

+ [-М

200 Ds =

Р+ ФЬ (M^У)ФS (М2) х

(2пу г (1 - г Г М

X (р {-(1 - 2г )2 (М + т)(к - к) -

-[2Мг(1 - г) + т]х х [-М(М + 4т)г(1 - г) + т(М + т)]} +

+рт00 {(1 - 2г ){(М + т)[2Мг(1 - г) + т]кх -

- [-М

Кроме того,

(+1|1+\+1) = (-1|I+ |-1> =

= (+11+ Н S + Н1+И Ь +

+ (+111+НSD + (+117+ИDS ;

(0\I+|+1) = -( 0 I+ И) =

=-(+1\1+ И=Н 0=

=(01+И S+< 01+И ь + +(0 ^И SD+(01+И Ds;

(+1 /+|-1)=(-11+|+1)= = Н1+ Н S + Н1+ Н Ь + + Н1+ НSD +Н1+ НDS ;

6 7 8

0У'(ГэB/c)2

Рис. з. Зависимости матричных элементов /+ для спиральных состояний поляризаций дейтрона в начальном (р = ±1, 0) и конечном (р' = ±1, 0) состояниях:

(+1|/+|+1) (1), (+17+\-1) (2), (+17+ 0 (3), (00 (4) от величины квадрата переданного импульса Qу

{01+ 0=(о|1 + 0 s+(01+1°) ь+

+

На рис. з представлены зависимости матричных элементов /+|р) от величины квадрата переданного импульса 02, с использованием CD-боннскои волновой функции дейтрона.

Видно, что при больших значениях квадрата переданного импульса 02 матричный элемент 1+ 0 преобладает над всеми остальными, при увеличении 02 проявляет медленное снижение и становится сравнимым с другими матричными элементами; правда, такие большие значения 02 находятся, по-видимому, вне области применения двухнуклонного приближения. Характерно знакопеременное поведение матричных элементов, что связано с обращением в нуль волновых функций, причем

2

нули сдвинуты в сторону больших 0 .

Итак, в данной работе в аналитическом виде приведены результаты вычислений матричных элементов плюсового компонента дейтронного тока в переменных светового конуса, показано

поведение этих матричных элементов в зависимости от величины квадрата переданного импульса. Матричные элементы электромагнитного тока дейтрона необходимы в первую очередь для вычисления электромагнитных форм-факторов дейтрона (а они выражаются как раз через матричные элементы) и дальнейшей оценки релятивистских поправок к магнитному и квадрупольному моментам дейтрона.

В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Н.Н. Николаеву, сотруднику Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН и Института ядерной физики г. Юли-ха, Германия, за многочисленные обсуждения различных вопросов теоретической физики; профессорам Йозефу Шпету и Ульфу Мейснеру — за возможность работы в аспирантуре в Институте ядерной физики Исследовательского центра г. Юлиха, Германия; С.И. Манаенкову, сотруднику Петербургского института ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН — за критические замечания, независимый расчет и проверку матричных элементов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алхазов, Г.Д. Дифракционное взаимодействие адронов с ядрами при высоких энергиях [Текст] / Г.Д. Алхазов, В.В. Анисович, П.Э. Волковицкий. — Л.: Наука, 1991. - 223 с.

2. Ivanov, I.P. Diffractive production of Sand D wave vector mesons in deep inelastic scattering [Электронный ресурс] / I.P. Ivanov // arXiv: hep-ph/9909394.

3. Павлов, Ф.Ф. Оценка релятивистской поправки к средней спиральности протона в дейтроне [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.-2011.- № 3 (129).- С. 143-152.

4. Павлов, Ф.Ф. Расчет спин-зависимой структурной функции дейтрона в переменных светового конуса [Текст] / Ф.Ф. Павлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки.- 2012.- № 1 (141).- С. 118-128.

5. Судаков, В.В. Вершинные части для сверхвысоких энергий в квантовой электродинамике [Текст] / В.В. Судаков // Журнал экспериментальной и теоретической физики.- 1956.-Т 30.-С. 87-89.

6. Choi, H.-M. Electromagnetic structure of the p meson in the light-front quark model [Text] / Ho-Meoyng Choi, Chueng-Ryong Ji // Phys. Rev. D.- 2004.- Vol. 70.-P. 053015-1 - 053015-14.

7. Brodsky, S.J. Quantum chromodynamics and other field theories on the light cone original research article [Text] / S.J. Brodsky, P. Hans-Christian, S.S. Pinsky // Phys. Rep.- 1998.- Vol. 301.- P. 229-486.

8. Lepage, G.P. Exclusive processes in perturbative quantum chromodynamics [Text] / G.P. Lepage, S.J. Brodsky // Phys. Rev. D.- 1980.- Vol. 22.- P. 2157-2198.

9. Anisovich, V.V. The Bethe-Salpeter equation and the dispersion relation technique [Text] / V.V. Anisovich, D.I. Melikhov, B.Ch. Metsch [et al.] // Nuclear Physics A.- 1993.- Vol. 563.- Iss. 4.- P. 549-583.

10. Jaus, W. Semileptonic decays of B and D mesons in the light-front formalism [Text] / W. Jaus // Phys. Rev. D.-1990.- Vol. 41.- P. 3394-3404.

11. Machleidt, R. High-precision, charge-dependent Bonn nucleon-nucleon potential [Text] / R. Machleidt // Phys. Rev. С.- 2001.- Vol. 63.- P. 024001-1-024001-32.

12. Machleidt, R. The Bonn meson-exchange model for the nucleon-nucleon interaction [Text] / R. Machleidt, K. Holinde, Ch. Elster // Phys. Rep.- 1987.- Vol. 149.-P. 1-89.

13. Lacombe, M. Parametrization of the deuteron wave function of the Paris N-N potential [Text] / M. Lacombe, B. Loiseau, R. Vinh Mau [et al.] // Physics Letters

B.- 1981.-Vol. 101.- Iss. 3.-P. 139-140.

14. Madey, R. Measurements of GnE / GM from the 2h(e, e'n)1 h reaction to ß2=1.45 (GeV/c)2 [Text] / R. Madey, A.Yu. Semenov, S. Taylor [et al.] // Phys. Rev. Lett.- 2003.-Vol. 91.- P. 122002-1-122002-5.

15. Grach, I.L. Electromagnetic form-factor of deuteron in relativistic dynamics. Two nucleon and six quark components [Text] / I.L. Grach, L.A. Kondratyuk // Sov. J. Nucl. Phys.- 1984.- Vol. 39.- P. 198-205.

16. Kondratyuk, L.A. Relativistic correction to the deuteron magnetic moment and angular condition [Text] / L.A. Kondratyuk, M.I. Strikman // Nuclear Physics A.-1984.-Vol. 426.- P. 575-598.

17. Кондратюк, Л.А. Релятивизм нуклонов и многокварковые кластеры [Текст] / Л.А. Кондратюк, М.Ж. Шматиков // Матер. XVIII Зимней школы ЛИЯФ. Физика атомного ядра.- 1983.-Т. 18.-Ч. 3.-

C. 107-171.

18. Bakker, B.L.G. Frame dependence of spin-one angular conditions in light front dynamics [Text] / B.L.G. Bakker, Chueng-Ryong Ji // Phys. Rev. D.-2002.- Vol. 65.- P. 073002-1-073002-13.

19. Frankfurt, L.L. Deuteron form factors in the light-cone quantum mechanics «good» component approach [Text] / L. L. Frankfurt, T. Frederico, M. Strikman // Phys. Rev. C.- 1993.- Vol. 48.- P. 2182-2189.

20. Melosh, H.J. Quarks: currents and constituents [Text] / H.J. Melosh // Phys. Rev. D.- 1974.- Vol. 9.-P. 1095-1112.