Исследование фазовых переходов в антиферромагнитной модели Гейзенберга

УДК 239.2

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ВАНТИФЕРРОМАГНИТНОЙ МОДЕЛИ ГЕЙЗЕНБЕРГА

© 2012 Рамазанов М.К.*, Амиралиев А.Д., Касимов А.К., ДжамаеваН.М.

Дагестанский государственный педагогическийуниверситет

*Институт физики ДНЦ РАН

Гистограммным методом Монте-Карло выполнены исследования фазовых переходов и критических свойств трехмерной антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с учетом взаимодействий первых (J) и вторых ближайших соседей (J1). Изучены фазовые переходы этой модели в диапазоне значений величины взаимодействия вторых ближайших соседей от 0.0 до 1.0. С помощью теории конечно-размерного скейлинга рассчитаны все основные статические критические индексы в интервале значений R=\J/J\=0.0+0.115.

The authors of the article studied the phase transitions and critical properties in the threedimensional antiferromagnetic Heisenberg model on a layered triangular lattice with the nearest (J) and next-nearest neighbors (J1) interactions by the histogram Monte Carlo method. They studied the phase transitions in this model in the range of the next-nearest neighbor interactions from 0.0 to 1.0. The static critical exponents were calculated in the range of values R=\J1/J\ =0.0+0.115 by means of the finite-size scaling theory.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, фрустрации, класс универсальности, фазовые переходы, критические явления.

Keywords: Monte-Carlo method, frustrations, universality class, phase transitions, critical properties.

Введение

В последнее время особое внимание уделяется исследованию магнитных состояний, фазовых переходов (ФП) и критических явлений в

антиферромагнитных системах на треугольной решетке, где имеет место геометрическая фрустрация. Это связано с тем, что эти системы зачастую проявляют поведение, отличающееся от поведения соответствующих

нефрустрированных систем на других типах решеток. Причина такого поведения заключается в сильном вырождении в спиновой подсистеме, эффективном ослаблении связи, и, как следствие, высокой чувствительности к различным возмущающим факторам -дополнительным взаимодействиям, слабым полям, тепловым и квантовым флуктуациям, анизотропии, дефектам и деформациям [1-3].

В последние годы в физике фазовых переходов активно развивалось самостоятельное направление

теоретических исследований - подход, основанный на численном

моделировании спиновых решеточных моделей [4-7].

Одним из наиболее интенсивно исследуемых в последние годы фрустрированных моделей является антиферромагнитная модель

Гейзенберга на слоистой треугольной (гексагональной) решетке с

взаимодействиями ближайших соседей [3, 7-9]. Эта модель является частным случаем модели, рассматриваемой в данной работе, в которой учитываются взаимодействия ближайших (Г) и вторых ближайшихсоседей (Г1), когда Г1=0.

В данной работе нами предпринята попытка исследовать фазовые переходы и определить значения критических

параметров трехмерной

фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с учетом взаимодействий ближайших и вторых ближайших соседей.

Интерес к этой модели обусловлен тем, что многие физические свойства фрустрированных систем (ФС) сильно зависят от величины взаимодействия вторых ближайших соседей.

Антиферромагнитная модель

Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с учетом взаимодействия вторых ближайших соседей до сих пор является малоизученной. Исследование этой модели на основе современных методов и идей позволит получить ответ на ряд вопросов, связанных с природой ФП и критическими свойствами фрустрированных спиновых систем.

Модель и метод исследования

Гамильтониан фрустрированной

трехмерной модели Гейзенберга на треугольной слоистой решетке может быть представлен в следующем виде [17]:

н = -г£

{а) {у}

где 3, - трехкомпонентный единичный

вектор 3, =(3*, 3,', 3* ), Г<0 и Г1<0 -константы антиферромагнитного

обменного взаимодействия. Первый член в формуле (1) характеризует взаимодействие всех ближайших соседей, которое берется одинаковой как внутри слоев, так и между слоями. Второй член характеризует

взаимодействие вторых ближайших соседей, находящихся в том же слое. Я=Г1/Г - величина взаимодействия вторых ближайших соседей.

Эта модель впервые была исследована в работе [16]. Авторы работы построили фазовую диаграмму зависимости температуры перехода ТМ от отношения обменных параметров Я. Обнаружили фазовый переход второго рода в интервале значений 0.0<Я<0.125 и рассчитали набор критических индексов для случая Я=0.0. Недавно нами в работе [13], используя гистограммный метод, было показано, что в этой модели в

интервале 0.0<Я<1 наблюдается двухпиковая структура распределения энергии для решеток больших размеров (Ь>60).

В данной работе нами рассмотрен интервал 0.0<Я<0.125, где для малых размеров решетки (Ь<60) наблюдается переход второго рода. В интервале Я>0.125 в работе [16] показана двухпиковая структура распределения по энергии даже для малых размеров решетки.

Нами в данной работе использовался репличный обменный алгоритм метода Монте-Карло (МК), который является наиболее мощным и эффективным в исследовании критических явлений в ФС. Более подробно этот алгоритм описан в работах [8, 10, 11].

Расчеты проводились для систем с периодическими граничными условиями. Для вывода системы в состояние термодинамического равновесия

отсекался неравновесный участок длиной т0=4.0*105 МКшагов/спин, что в несколько раз больше длины неравновесного участка. Усреднение термодинамических величин

проводилось вдоль марковской цепи длиной т=500т0. Для повышения точности проводили усреднение и по данным, полученным из двадцати различных начальных конфигураций. Полученные таким образом значения

термодинамических параметров

усреднялись по всем 20 конфигурациям. Эти данные затем использовались для построения графиков.

Результаты моделирования

Для наблюдения за температурным ходом поведения теплоемкости С и восприимчивости х нами

использовалисьвыражения [12, 14, 15]:

С =

V 2

х =

хк =

(Ж)(<У)-(И)2) т<т„

(Ж) И2 , Т > Т

N

(Ж)((Ик-)-{И,.|)2)Т < Т

к

(МКX Ик2), Т > Тк

,

к

где К = |г| / квТ, N - число частиц, и -

внутренняя энергия, т - магнитный параметр порядка, тк - киральный параметр порядка, %к - киральная

восприимчивость.

Параметр порядка системы т вычислялся по формуле [17]:

3

т = мУМ2 + М2 + М^/3,

где МА, Мв и МС - намагниченности трех подрешеток.

Намагниченность подрешетки

определялась следующим образом [17]:

М,

Для вычисления кирального параметра порядка системы тк использовались следующие выражения

[17]:

тк = N 2 ткР

М р

ткр - ]р

где р нумерует треугольные плакеты.

На рисунках 1 и 2 представлены температурные зависимости

теплоемкости и восприимчивости соответственно, полученные при одном значении Ь=30. Отметим, что рост значения Я сопровождается сдвигом максимумов в сторону более низких температур, одновременно с этим наблюдается рост абсолютных значений максимумов как теплоемкости, так и восприимчивости. Очевидно, что это связано с усилением конкурирующих взаимодействий вторых соседей, вследствие чего система становится более восприимчивой.

Рис. 1. Зависимость теплоемкости С/кв от температуры кБТ/\1\ для системы с Ь=30

Для определения магнитной критической температуры

использовался метод кумулянтов Биндера иь четвертого порядка, который имеет вид [14, 15]:

иь = 1 -

т

Согласно теории конечно-размерного скейлинга точка пересечения всех кривых иь в их температурной

Рис. 2. Зависимость восприимчивости X от температуры kBT/\J\ для системы с Ь=30

зависимости точкой [15].

является критическои

ь

2

ь

Рис. 3. Зависимость кумулянтов Биндера иь от температуры кБТ/\1\ для Е=0.05

На рисунке 3 представлена характерная зависимость кумулянта Биндера иь от температуры для системы с размерами Ь=12; 18; 24 и 30 при значении Я=0.05 (погрешность

данных не превышает размеры использованных на рисунках точек (для всех рисунков)). Можно отметить, что на рисунке наблюдается четко выраженная точка пересечения кривых. По нашей оценке эта точка приходится на температуру ТМ=0.824(1). Это значение ТМ и было нами использовано в дальнейшем в качестве критической температуры. Аналогичным образом были определены значения критических температур и при других значениях Я=0.0; 0.025; 0.075; 0.1 и 0.115. Все эти данные представлены в таблице. Использование аналогичной процедуры

для определения киральнои

критической температуры Tk дает существенно менее точные значения. Поэтому для определения Tk нами использовался метод пересечения кумулянтов (cumulant crossing), который считается более точным и надежным [18]. Используя этот метод, нами определены значения киральных критических температур Tk для значений R=0.0; 0.025; 0.075; 0.10 и

0.115. Эти данные представлены в таблице. Обращает на себя внимание тот факт, что значения магнитной TN и киральной критической температуры Tk для соответствующих значений R в пределах погрешности совпадают.

Для исследуемой модели была построена гистограмма распределения энергии для случая R=0.0. Более подробно эта процедура описана нами в работе [13]. Из рисунка 4 видно, что в зависимости вероятности P(U) от энергии U эффекты перехода первого рода (наличие двух пиков) наблюдаются уже для решеток с размерами L=90. Поэтому для исследования

псевдокритического поведения

использовались системы с линейными размерами L=12, 18, 21, 27, 36 и 42.

Для расчета статических магнитных и киральных критических индексов теплоемкости а, восприимчивости у, ук намагниченности Д рк, индекса Фишера щ, цк и радиуса корреляции v, vk применялись соотношения теории конечно-размерного скейлинга [19-21].

Таблица

Значения критических показателей для трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольнойрешетке

R Tn Tk а V Vk Р А У п п Цк

0.0 0.957 0.957 0.18 0.65 0.65 0.30 0.52 1.27 0.83 -0.06 0.70

0.025 0.893 0.893 0.20 0.65 0.65 0.28 0.49 1.27 0.89 -0.11 0.50

0.05 0.824 0.825 0.22 0.65 0.65 0.28 0.46 1.26 0.92 -0.15 0.44

0.075 0.747 0.747 0.22 0.65 0.65 0.25 0.43 1.28 0.98 -0.24 0.33

0.1 0.657 0.657 0.27 0.64 0.64 0.23 0.36 1.30 1.07 -0.30 0.11

0.115 0.588 0.588 0.46 0.50 0.50 0.20 0.35 1.21 1.26 -0.15 0.03

поведения. При значении Я>0.1 наблюдается довольно резкое изменение значений магнитных и киральных критических индексов. Особенности при Я>0.1, по-видимому, связаны с близостью к мультикритической точке, где сосуществуют геликоидальная, коллинеарная и парамагнитная фазы. Заключение

Исследование фрустрированной

антиферромагнитной модели

Гейзенберга с взаимодействием вторых ближайших соседей позволило обнаружить, что в интервале

0.0<Я<0.115 система проявляет псевдоуниверсальное критическое

поведение для решеток малого размера.

Для систем с большими линейными размерами показано, что в системе имеет место переход первого рода. Об этом свидетельствует как отрицательное значение индекса Фишера, так и двухпиковая структура распределения энергии. Рассчитаны значения всех основных статических магнитных и киральных критических индексов и установлены закономерности их изменения в пределах интервала 0.0<Я<0.115.

Примечания

I. Доценко В. С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // Успехи физических

наук. 1995. Т. 165. С. 481. 2. Коршунов С. Е. Фазовые переходы в двумерных спиновых

системах с непрерывным вырождением // Успехи физических наук. 2006. Т. 176. С. 233. 3. Лойсон Д., Соколов А. И., Деламотт Б., Антоненко С. А., Шотт К. Д., Дип X. Т. Critical behavior of frustrated systems: Monte Carlo simulations versus renormalization group // Письма в ЖЭТФ. 2000. Т. 72. С. 447. 4. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Рамазанов М. К. Статическое критическое поведение 3D фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке //

Физика низких температур. 2006. Т. 32. C. 323-328. 5. Муртазаев А. К., Камилов И. К.,

Рамазанов М. К. Критические свойства трехмерной фрустрированной модели Изинга на

кубической решетке // Физика твердого тела. 2005. Т. 47. C. 1125-1129. 6. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К., Бадиев М. К. Критическое поведение и пространственный кроссовер во фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке // Известия РАН. Серия физическая. 2008. Т. 72. С. 1172-1175. 7. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К., Бадиев М. К. Исследование критических свойств трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке методами Монте-Карло // Физика низких температур. 2009. Т. 35. C. 663669. 8. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К., Бадиев М. К. Статическое критическое поведение трехмерной фрустрированной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с переменным межслойным обменным взаимодействием // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. С. 1152-1159. 9. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К., Бадиев М. К. Исследование критических свойств фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке методом Монте-Карло // Известия РАН. Серия физическая. 2009. Т. 73. С. 1059-1061. 10. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К. Исследование критических свойств фрустрированной антиферромагнитной модели Гейзенберга на треугольной решетке // Физика твердого тела. 2011. Т. 53. № 5. C. 1004-1008.

II. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К., Бадиев М. К. Критические свойства антиферромагнитной

Р

0.012

0.008 0.004 0.000

__I___I________I______• I • «_______I___________•

-1.20 -1.19 -1.18 -1.17 -1.16 -1.15

v

Рис. 4. Гистограммараспределения энергии для случая Я=0.0

Все значения магнитных и киральных критических индексов, полученные в данном исследовании, представлены в таблице. Отметим, что значения магнитных и киральных критических индексов для значений 0.0<Я<0.115 вычислены впервые.

Из данных, представленных в

таблице, следует, что трехмерная антиферромагнитная модель

Гейзенберга с взаимодействием вторых ближайших соседей в пределах значений Я=0.0^0.1 практически не меняет характер своего псевдокритического

модели Изинга на квадратной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей // Физика низких температур. 2011. Т. 37. № 12. C. 1258-1263. 12. Муртазаев А. К., Рамазанов М. К., Бадиев М. К. Исследование фазовых переходов фрустрированной модели Гейзенберга на треугольной решетке методами Монте-Карло // Физика твердого тела. 2010. Т. 52. № 8. C. 15571562. 13. Рамазанов М. К. Фазовые переходы в антиферромагнитной модели Гейзенберга на слоистой треугольной решетке с взаимодействиями вторых ближайших соседей // Письма в ЖЭТФ. 2011. Т. 94. № 4. С. 335-338. 14. Binder K. Z Thermodynamics of finite spin systems // Phys. B. 1981. № 43. P. 119. 15. Binder K., Wang J-Sh. Spin glass: Experimental facts, theoretical concepts, and open questions // J. Stat. Phys. 1989. №55. P.87. 16. Loison D., Diep H. T. Antiferromagnetic stacked triangular lattices with Heisenberg spins: phase transition and effect of nearest-neighbor interaction // Phys. Rev. B. 1994. № 50. P. 16453. 17. Kawamura H. Monte Carlo Study of Chiral Criticality - XY and Heisenberg Stacked - Triangular Antiferromagnets // J. Phys. Soc. Jap. 1992. № 61. P. 1299. 18. Mailhot A., Plumer M. L., Caille A. Tricritical behavior of the frustrated XY antiferromagnet // Phys. Rev. B. 1994-II. № 50. P. 6854. 19. Murtazaev A. K., Ramazanov M. K. Critical properties of the three-dimensional frustrated Heisenberg model on a layered-triangular lattice with variable interplane exchange interaction // Phys. Rev. B. 2007. № 76. P. 174421174426. 20. Peczak P., Ferrenberg A. M., Landau D. P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys. Rev. B. 1991. № 43. P. 6087. 21. Pelissetto A., Rossi P., Vicari E. Critical exponents in frustrated spin models with noncollinear order // Phys. Rev. B. 2001. № 65. P. 020403(R).

Статья поступила вредакцию 10.03.2012 г.

Работа поддержана грантом РФФИ (№ 10-02-00130).