Прохождение магнитостатической волны через решётку на основе магнонного кристалла

ПРОХОЖДЕНИЕ МАГНИТОСТАТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ РЕШЁТКУ НА ОСНОВЕ МАГНОННОГО КРИСТАЛЛА

М. С. Ланина

В работе приводятся результаты построения модели на основе метода связанных волн для описания особенностей прохождения магнитостатических волн через структуру на основе одномерного магнонного кристалла при его различных геометрических параметрах и при конечных значениях входной мощности.

Ключевые слова: Магнонный кристалл, запрещённая зона, ферромагнитная плёнка, маг-нитостатическая волна.

Введение

В последние годы благодаря успехам в технологии выращивания пленочных магнитных материалов определенное внимание уделяется получению периодических и квазипериодических структур микронных и субмикронных размеров, подобных фотонным кристаллам [1], на основе магнитных материалов - магнонных кристаллов (МК) [2-6]. Этот интерес обусловлен, прежде всего, тем, что на основе таких структур возможно создание приборов, в которых управление магнонной запрещённой зоной осуществляется внешним магнитным полем. Размеры таких кристаллов в диапазоне сверхвысоких частот составляют всего несколько миллиметров, а нелинейные явления в них проявляются при небольших уровнях мощности. Для получения магнонных кристаллов широко используются планарные технологии и др. [3-6].

В настоящее время активно исследуются также сверхвысокочастотные свойства МК на основе ферромагнитных пленок [3-11], в которых распространяющимися волнами являются магнитостатические волны (МСВ). Интерес к периодическим структурам на основе ферромагнитных пленок возник давно (см., например, [12-13]) и связан был с тем, что на основе таких структур можно создавать высокодобротные резонаторы, полосно-пропускающие и режекторные фильтры, другие перестраиваемые магнитным полем устройства обработки информации в СВЧ-диапазоне [14,15]. Однако, несмотря на достаточно большое число работ в этом направлении, многие

вопросы, связанные с исследованием линейных и нелинейных характеристик таких структур, остаются не изученными.

Необходимо отметить, что для исследования широкого спектра характеристик фотонных кристаллов достаточно эффективно используется метод связанных волн [1,16]. Метод связанных волн основан на предположении, что в окрестности запрещенной зоны кристалла можно учитывать взаимодействие только двух пространственных гармоник для падающей и отраженной волн. Это предположение позволяет достаточно просто описать основные особенности линейных и нелинейных характеристик волн в периодической структуре вблизи запрещенной зоны [9,16].

В данной работе на основе модели одномерного МК, описанной в [9], рассмотрены основные особенности дисперсионных характеристик при распространении поверхностной магнитостатической волны (ПМСВ). Получено выражение для коэффициента связи для данного типа волны и рассчитана отражательная способность такой решётки в зависимости от геометрических параметров структуры. Проведена оценка влияния величины входной мощности на дисперсионную характеристику.

1. Модель исследуемой структуры и дисперсионные характеристики

Исследуемый одномерный магнонный кристалл (далее Ш-МК) представляет собой ферромагнитную плёнку толщиной на поверхность которой нанесена одномерная периодическая структура с периодом Л в виде системы выступов и канавок. Схема структуры и геометрические размеры показаны на рис. 1. Постоянное магнитное поле Но направлено вдоль оси з касательно к поверхности плёнки. В этом случае в структуре распространяется ПМСВ в направлении оси х [15]. В направлениях осей х и з структура считается бесконечной.

Решение волнового уравнения для магнитостатического потенциала ф в периодической структуре, согласно теореме Флоке, можно записать в виде суммы пространственных гармоник [15]:

ф =

£ а

э

где кп = к0 + (2пп)/Л, (п = ±1, ±2,...); к0 - постоянная распространения ПМСВ в однородной ферромагнитной плёнке, Ап - амплитуды пространственных гармоник, со - частота ПМСВ.

В первой зоне Бриллюэна (0<кЛ<2п) волновой процесс можно представить в виде взаимодействия двух мод (нулевой гармоники прямой волны п=0 и первой гармоники отражённой волны п=-1) [15]. В этом случае, согласно (1), распределение магнитоста-тического потенциала (1) в окрестности запрещённой зоны можно записать в виде

ПМСВ

Рис. 1. Схема периодической ферромагнитной структуры: а - ширина выступа, А в - высота выступа

те

п=-те

ф

где ф/(х,Ь) и фь(х, Ь) - медленно меняющиеся амплитуды прямой и отражённой волн, соответственно; к в = ко = тд /Уф (кв - постоянная распространения ПМСВ, соответствующая первому брэгговскому резонансу к в Л = п, а тд - брэгговская частота, соответствующая центральной частоте полосы непропускания, Уф - фазовая скорость ПМСВ) [1].

С учётом (2) и в приближении слабой нелинейности волновые уравнения для огибающих прямой ф/ (х,Ь) и встречной волн фь (х,Ь) можно представить в виде следующей системы связанных уравнений [1,9]:

+ + +^ + у(|ф/|2 + о|ф6|2)ф/ = 0,

< 4

'Ф- ™ + ™ + * О*»'2 + =

где Уд - групповая скорость ПМСВ, в - коэффициент дисперсии, х - коэффициент связи, у - коэффициент нелинейности (характеризует фазовую автомодуляцию), о -коэффициент кросс-фазовой модуляции, п = (т — тд) - отстройка от брэгговской частоты.

Для вычисления коэффициента связи х между прямой и встречной волнами будем считать, что толщина плёнки в направлении распространения волны в одномерном МК описывается выражением

d

Ad, 0 < х < а,

где е(х) = е(х + Л), причём е(х) = , 0 а<х < Л

Раскладывая е(х) в ряд Фурье и ограничиваясь членами разложения с номерами п = 0, ±1, соотношение (4) можно представить в виде

d = d0

2nx

1 + Qd cos —— Л

где 6d = (2Ad)/(nd0) sin(rca^), d0 = d + Ada/Л.

С учётом последнего соотношения (5) для поперечно-однородной решётки первого порядка по аналогии с оптикой [1] при распространении ПМСВ для kd0 ^ 1 можно получить следующее выражение для коэффициента связи:

х =

где X - длина волны ПМСВ на частоте ю.

Полагая коэффициент дисперсии среды в = 0 и записывая систему (3) для спектральных компонент огибающих прямой Af и встречной волн Аь, в линейном случае получаем систему уравнений

= —¿8 (ю) Af + ixAb,

dAf

dx

—;— = —ib (оо) Аь + mAf, dx

где 8 = (к — кв) - отстройка от брэгговского волнового числа, к = х/Уд. Решение системы (7) ищем в виде Af,b ~ егдх (д - искомая постоянная распространения) и получаем следующее соотношение:

д2 = 82 — к2.

Из (8) следует, что если 82 > к2, то д - действительное число, а если 82 < к2, то д - мнимая величина (возникает полоса непропускания). Поскольку 8(ю) и к(ш) зависят от частоты, то в полосе пропускания в периодической структуре всегда есть дисперсия. Из (8) также следует, что ширина запрещённой зоны (полоса непропускания) определяется коэффициентом связи к.

Результаты решения (8) для определённых параметров структуры (Л = 100 мкм, Дй = 3 мкм, с! = 10 мкм, а/Л = 0.5) представлены на рис. 2.

Рассмотрим влияние уровня мощности на дисперсионную зависимость одномерного МК. Используя подход, описанный в [1], запишем систему связанных уравнений (3) для спектральных компонент огибающих прямой и встречной волн в виде

,дAf

дг .дАь

+ 8Af + кАь + у' (^А|2 + 2|АЬ|2) Af = 0,

+ ЬАь + «А/ + у' (\Аь\2 + 21А/12) Аь = 0,

где у' = у/Уд - коэффициент нелинейности, о = Уд = 2. Будем искать решение системы (9) в виде Af,b = , где амплитуды и^^ не меняются по длине решётки.

Мощность в структуре представим в виде Р0 = и2 + и2 и введём параметр / = ub/uf, который показывает, как мощность делится между прямой и встречной волнами. С учётом последних соотношений запишем связь между амплитудами прямой и встречной волн

Ро

1 + /2

иь = /

Ро

1 + /2

Рис. 2. Дисперсионная характеристика связанных волн вблизи запрещённой зоны

Из (10) видно, что при |/1 > 1 доминирует встречная волна, а при | /| < 1 - прямая. На основе системы уравнений (9) с учётом (10) можно получить параметри-

ческие зависимости от Ро и / отстройки 8 и постоянной распространения д, которые будут иметь следующий вид:

д = —

(I-/2) /Ро(1-/2) 2 / 2 (1 + р) '

8 = —

(1 + /2) Зу'Ро

2/

2

Как следует из (11), при у' = 0, когда нелинейными эффектами можно пренебречь, исключая параметр / из (11), приходим к дисперсионному соотношению (8). Результаты расчёта дисперсионных зависимостей при различных уровнях мощности Ро на

Рис. 3. Дисперсионные характеристики Ш-МК при у'Р0 = 0, а именно: а - 40 см 1; б - 90 см 1

основе соотношений (11) представлены на рис. 3 (сплошные кривые). Для сравнения на этом же рисунке приведены дисперсионные кривые на основе соотношения (8) (штриховые кривые) при тех же параметрах структуры, что и на рис. 2. Из результатов расчёта видно, что наличие нелинейных слагаемых в (11) приводит к сдвигу запрещённой зоны в область меньших частот и к искажению её вида. Причём, чем больше мощность, тем ниже по частоте сдвигается дисперсионная характеристика и тем сильнее она искажается.

2. Коэффициенты отражения и прохождения

Предположим, что мощность падающей ПМСВ мала и нелинейными эффектами можно пренебречь. Рассмотрим коэффициенты отражения и прохождения для каждой спектральной компоненты волны, распространяющейся в структуре Ш-МК. В этом случае общее решение системы (7) с учётом (8) можно представить в виде

( Лг(х) = Л^х + Л2е-^х, < (12) [ Ль(х) = В 1е^х + В2е-^х,

где постоянные Л1, Л2, В1, В2 определяются из граничных условий при г = 0 и г = I (I - длина структуры).

С учётом соотношений (8) и (12), используя граничные условия Л^(0) = гдЛ/(0) при г = 0, Ль(0) = 0 при г = I, можно получить выражение для коэффициента отражения гд на входе структуры в виде

„ ш вт

^ сов(д1) — ¿8

Отметим, что зависимость гд от частоты (параметра 8) будет характеризовать частотные свойства периодической структуры как фильтра.

Введём коэффициент, характеризующий отражательную способность МК, в виде К = |гд|2. Тогда коэффициент пропускания Т = 1 — К.

На рис. 4 приведены результаты расчёта коэффициента К на основе соотношения (13) для т = тд (8 = 0) при различных геометрических параметрах структуры для I = 700 мкм, Л = 100 мкм, do = 10 мкм, Йм = тм/тн = 2

ЯА

а 0 0.2 0.4 0.6 0.8 а/А ^ 0 1.0 2.0 3.0 4.0 Да?,мкм

Рис. 4. а - зависимость отражательной способности Я от значений а/Л при различных значениях Лй: 4 мкм

ш ч:

К

(шн = уНо, шм = 4луМо, Мо - намагниченность насыщения, у - гиромагнитное отношение [15]).

Как следует из кривых рис. 4, а, величина коэффициента отражения увеличивается с ростом глубины канавки Лй. Причём при малых значениях Лй (пунктирная кривая на рис. 4, а) максимум К достигается при а/А = 0.5 (ширина выступа равна половине длины периода структуры). При больших значениях Лй (см. сплошную кривую на рис. 4, а) максимум коэффициента отражения К ~ 1 соответствует более широкому интервалу изменения величины Лй. На рис. 4, б представлены результаты, демонстрирующие зависимость отражательной способности магнонного кристалла от высоты выступа Лй. При Лй ~ 4 мкм максимальное значение К ~ 1 достигается при а/А > 0.3 (сплошная и штриховая кривые) и при дальнейшем увеличении Лй отражательная способность К практически не изменяется.

На рис. 5 представлены результаты сравнения экспериментальных данных (кривая 1) с теоритически рассчитанным (кривая 2) коэффициентом пропускания Т при конкретных параметрах структуры. Кривая 1 представляет собой амплитудно-частотную характеристику линии передачи в полосе возбуждения ПМСВ в структуре Ш-МК, взятую из работы [17]. Структура была выполнена методом скрай-бирования поверхности плёнки железо-иттриевого граната. Как видно из экспериментальных данных, в полосе возбуждения ПМСВ отчётливо наблюдаются две зоны, обусловленные брэгговскими резонансами, центральная частота первой запрещённой зоны /0 « 2.6 ГГц. Теори-тическая зависимость Т от / была получена при тех же параметрах структуры для первой запрещённой зоны при кв = п/А. Как видно из рис. 5, наблюдается хорошее качественное совпадение кривых в окрестности первой запрещённой зоны.

-10

-20 -30 -40 -50 -60 -70

1Г".......

1

2.2

2.8 3.0

2.4 2.6 Частота, ГГц

Рис. 5. Экспериментальная (кривая 1 [17]) и теоретическая (кривая 2) зависимости коэффициента пропускания МК от частоты. Параметры структуры: й = 4 мкм, Лй = 0.7 мкм, а/А = 0.7, А = 100 мкм, I = 4 мм, Qм = 2

Заключение

С использованием метода связанных мод построена простая модель, описывающая распространение поверхностной магнитостатической волны в окрестности первого брэгговского резонанса в одномерном магнонном кристалле. На основе этой модели проведён анализ отражательной способности такой структуры и рассчитаны зависимости коэффициента отражения от геометрических размеров магнонного кристалла. В частности, показано, что уже при небольшом числе периодов решётки (1/Л > 7) достигается коэффициент отражения R ~ 1.

Проведена оценка влияния уровня входной мощности на дисперсионные характеристики поверхностной магнитостатической волны и показано, что с увеличением уровня входной мощности полоса запрещённой зоны сдвигается в область более низких частот.

Получено достаточно хорошее качественное совпадение результатов расчёта с имеющимися в литературе экспериментальными данными.

Выражаю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Шараевскому Юрию Павловичу за помощь в выполнении данной работы.

Работа выполнена в рамках гранта Правительства РФ (№ 11.G34.31.0030) и гранта РФФИ (№ 12-073-31009).

Библиографический список

1. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам. Физматлит, 2005.

2. Nikitov S.A., Taihades Ph., Tsai C.S. Spin waves in periodic magnetic structures // J. Magn. Magn. Mater. 2001. Vol. 236, № 3. P. 320.

3. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Животовский Л.В., Климов А.А., Тайад Ф., Пресма-нес Л., Бонин К., Цай Ч.С., Высоцкий С.Л., Филимонов Ю.А. Ферромагнитные пленки с периодическими структурами с магнонной запрещенной зоной - маг-нонные кристаллы // Письма в ЖЭТФ. 2003. Т. 77, вып. 10. С. 670.

4. Chumak A.V., Serga A.A., Hillebrands B. and Kostylev M.P. Scattering of backward spin waves in a one-dimensional magnonic crystal // Applied Physics Letters. 2008. Vol. 93. 022508.

5. Serga A.A., Chumak A. V. and Hillebrands B. YIG magnonics // J. Phys. D: Appl. Phys. 2010. Vol. 43. 264002.

6. Kruglyak V.V., Demokritov S.O. and Grundler D. Magnonics // Journal of Physics D. 2010. Vol. 43. 264001.

7. Chumak A.V., Serga A.A., Wolff S., Hillebrands B. and Kostylev M.P. Scattering of surface and volume waves in a magnonic crystal // Applied Physics Letters. 2009. Vol. 94. 172511.

8. Высоцкий С.Л., Никитов С.А., Новицкий Н.Н, Стогний А.И., Филимонов Ю.А. Спектр и потери поверхностных магнитостатических волн в одномерном маг-нонном кристалле // ЖТФ. 2011. Т. 81, № 2. С. 150.

9. Морозова М.А., Шараевский Ю.П., Шешукова С.Е. Механизм формирования солитонов огибающей периодических ферромагнитных структурах // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, № 5. С. 113.

10. Дроздовский А.В., Черкасский М.А., Устинов А.Б. и др. Образование солитонов огибающей при распространении спин-волновых пакетов в тонкопленочных магнонных кристаллах // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 91, № 1. С. 17.

11. Beginin E.N., Filimonov Yu.A., Pavlov E.S., Vysotskii S.L. and Nikitov S.A. Bragg resonances of magnetostatic surface spin waves in a layered structure: Magnonic crystal-dielectric-metal // Appl. Phys. Lett. 2012. Vol. 100, 252412.

12. Chang N.S., Matsuo Y. Magnetostatic surfage wave propagation on a periodic YIC film layer // Appl. Phys. Lett. 1979. Vol. 35, № 4. P. 352.

13. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Плесский В.П. Брэгговское отражение поверхностных магнитостатических волн от периодической системы тонких проводящих полосок // ЖТФ. 1982. Т. 52, вып. 4. С. 799.

14. Анфиногенов В.Б., Высоцкий С.Л., Гуляев Ю.В. и др. Устройства на основе спиновых волн для обработки радиосигналов в диапазоне частот 50 МГц-20 ГГц // Радиотехника и электроника. 2000. № 8. С. 6.

15. Вашковский А.В., Стальмахов В.С., Шараевский Ю.П. Магнитостатические волны в электронике сверхвысоких частот. Саратов: Изд-во СГУ, 1993.

16. Маркузе Д. Оптические волноводы. Пер. с анг. М.: Изд-во «Мир»,1974.

17. Бегинин Е.Н., Гришин С.В., Шараевский Ю.П., Шешукова С.Е. Электродинамические характеристики периодических и фрактальных микроструктур на основе ферритовых плёнок // Гетеромагнитная микроэлектроника. 2011. № 9. С. 16.

18. Морозова М.А., Шараевский Ю.П. Программный комплекс для расчёта нелинейных волновых характеристик магнитостатических волн в слоистых и периодических ферромагнитных структурах. Свидетельство о гос. Регистрации программ для ЭВМ. РФ 2013612821. 14 марта 2013 г.

Саратовский государственный Поступила в редакцию 9.04.2013

университет им. Н.Г. Чернышевского После доработки 10.07.2013

PASSAGE OF THE MAGNETOSTATIC WAVE PROPAGATING THROUGH THE LATTICE ON THE BASIS OF THE MAGNON CRYSTAL

M. S. Lanina

The paper presents the results related to the construction of a model based on the coupled waves to describe the characteristics of magnetostatic waves passing through the structure on the basis of one-dimensional magnon crystal at various geometric parameters of the structure and at finite values of the input power.

Keywords: The magnon crystal, the band gap, the ferromagnetic film, the magnetostatic wave.

Ланина Мария Сергеевна - родилась в 1992 году в Саратове, окончила Лицей прикладных наук (Саратов) с золотой медалью в 2009 году. Окончила бакалавриат факультета нелинейных процессов Саратовского государственного университета с красным дипломом (2013), работает лаборантом в лаборатории «Метаматериалы» НИИМФ СГУ. Неоднократно участвовала в студенческих научных конференциях «Окно в науку», «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (СГУ им. Н.Г. Чернышевского). В 2012 году делала доклады на VII всероссийской конференции молодых учёных «Наноэлектроника, нанофо-тоника и нелинейная физика» (ИРЭ РАН, Саратов) и международной школе-конференции «Calculation for modern and future colliders» (ОИЯИ, Дубна). Награждена дипломом за лучший доклад на XIV Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн» (МГУ им. М.В. Ломоносова, 2013). Обладатель стипендии от Правительства РФ в 2011-2012 учебном году.

410012 Саратов, ул. Астраханская, 83

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского E-mail: laninmaria@gmail.com