Погружение множества решений системы булевых уравнений в выпуклый многогранник как одно из перспективных направлений реализации метода разделяющих плоскостей

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

Библиографический список

1. Айфичер, Э. С. Цифровая обработка сигналов: практический подход / Э.С. Айфичер, Б. У Джервис / 2-e издание. : Пер. с англ. М.: Изд. дом «Вильяме», 2004. - 992 с.

2. Бондарев, В.Н. Цифровая обработка сигналов: методы и средства : уч. пос. для ВУЗов / В.Н. Бондарев, Г. Трес-тер, В.С. Чернега; 2-e издание. : Харьков: Конус, 2001.

- 398 с.

3. Куприянов, М.С. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования / М.С. Куприянов, Б.Д. Матюшкин; 2-e издание. : СПб.: Политехника, 1999. - 592 с.

4. Лэй, Э. Цифровая обработка сигналов для инженеров и технических специалистов: практическое руководство: Пер. с англ. / Э. Лэй. - М.: ООО «Группа ИДТ», 2007.

- 336 с.

5. Тропченко, А Ю. Цифровая обработка сигналов. Методы предварительной обработки : Уч. пос. / А Ю. Тропченко, А.А. Тропченко. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009.

- 100 с.

6. Браун, С. Visual Basic 6 : Пер. с англ. / С. Браун. - СПб.: Питер, 2001. - 576 с.

7. Сергеев, В. Visual Basic 6.0. Наиболее полное руководство для профессиональной работы в среде Visual Basic 6.0. / В. Сергеев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

- 992 с.

8. Зубков, С.В. Assembler. Язык неограниченных возможностей / С.В. Зубков. - М.: ДМК-пресс, 2002.

- 640 с.

9. Магда, Ю.С. Ассемблер для процессоров Intel Pentium / Ю.С. Магда. - СПб.: Питер, 2006. - 410 с.

10. Безруков, В.А. WIN32 API программирование / В.А. Безруков. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. - 90 с.

PROGRAM STAND FOR THE STUDY OF DIGITAL FILTERS

Pastukhov A.Ye., MSFU; Tarasenko P.A., Prof. MSFU, Ph.D

tarasenko@mgul.ac.ru; batyrev@mgul.ac.ru Moscow state forest university (MSFU) 1st 1 Institutskaya st., 1, 141005, Mytischi, Moscow reg., Russia

Currently for the design of digital filters, which have become widely spread with the introduction of high-speed signal processors, there is a sufficient number of software tools to choose the type of the filter that is optimal for the task. It is also possible to synthesize the desired filter parameters - bandwidth and fences, flatness and others. To test the efficiency of filters with the given coefficients, there has been developed a program that allows to check filter functioning visually when it receives a signal from a programmable signal generator. The article describes the operation of the program with the descriptions of individual modules and functions they perform, the article shows input and output effects, as well as certain additional parameters that determine the quality of work of the digital filter.

Keywords: digital filtering, bandwidth, filter coefficients, Q-factor, computer program, the visualization of the filter

work.

References

1. Ayficher E.S., Dzhervis B.U. Tsifrovaya obrabotka signalov: prakticheskiy podkhod [Digital signal processing: a practical approach]. Moscow: Publ. «Vil’yame», 2004. 992 p.

2. Bondarev V.N., Trester G., Chernega V.S. Tsifrovaya obrabotka signalov: metody i sredstva [Digital Signal Processing: Methods and tools]. Kharkiv: Konus, 2001. 398 p.

3. Kupriyanov M.S., Matyushkin B.D. Tsifrovaya obrabotka signalov: protsessory, algoritmy, sredstva proektirovaniya [Digital signal processing: processors, algorithms, design tools]. SPb.: Politekhnika, 1999. 592 p.

4. Ley E. Tsifrovaya obrabotka signalov dlya inzhenerov i tekhnicheskikh spetsialistov: prakticheskoe rukovodstvo [Digital Signal Processing for Engineers and Technicians: A Practical Guide]. Moscow: OOO «Gruppa IDT», 2007. 336 p.

5. Tropchenko A Yu., Tropchenko A.A. Tsifrovaya obrabotka signalov. Metodypredvaritel’noy obrabotki [Digital signal processing. Pretreatment methods]. Saint Petersburg: SPbGU ITMO, 2009. 100 p.

6. Braun S. Visual Basic 6. SPb.: Piter, 2001. 576 p.

7. Sergeev V Visual Basic 6.0. Naibolee polnoe rukovodstvo dlya professional’noy raboty v srede Visual Basic 6.0 [The most complete guide for professional work environment Visual Basic 6.0.]. Saint Petersburg: BKhV-Peterburg, 2004. 992 p.

8. Zubkov S.V. Assembler. Yazyk neogranichennykh vozmozhnostey [Assembler. Language of unlimited possibilities]. Moscow: DMK-press, 2002. 640 p.

9. Magda Yu.S. Assembler dlya protsessorov Intel Pentium [Assembler for processors Intel Pentium]. Saint Petersburg: Piter, 2006. 410 p.

10. Bezrukov V.A. WIN32 API programmirovanie [WIN32 API Programming]. Saint Petersburg: SPbGU ITMO, 2009. 90 p.

172

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

М.П. ТУМАНОВ, проф. МИЭМНИУВШЭ, канд. техн. наук,

С.Р. АБДУЛЛИН, доц. каф. высшей математики МГУЛ

miketum@yandex.ru, mai-sal@yandex.ru Московский институт электроники и математики Высшей школы экономики,

123458, Москва, ул. Таллинская, д. 34 ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет леса» 141005, Московская обл., г. Мытищи-5, ул. 1-я Институтская, д. 1, МГУЛ

Показано, что в типовой системе автоматического управления возможно значительное падение точности регулирования за счет того, что частотная характеристика разомкнутой системы имеет ряд нулей (частот, на которых модуль этой характеристики мал). Модуль частотной характеристики разомкнутой системы автоматического управления позволяет эффективно исследовать точность замкнутой системы при любом виде задающего воздействия, поэтому является часто применяемым объектом в инженерной практике. В статье рассмотрен случай компенсации запаздывания с помощью неточной модели запаздывания в случае, когда модель самого объекта управления считается достаточно точной. Показано, что (даже в случае, когда система без компенсирующей модели запаздывания имеет частотную характеристику без существенных провалов) возможно появление таких провалов при компенсации. Но главный интерес в статье представляет связь между частотами этих провалов и соизмеримостью времен запаздывания. При соизмеримых временах появляются нули частотной характеристики, а при несоизмеримых - сколь угодно глубокие провалы, положение которых на оси частот определяется соотношением запаздываний.

Ключевые слова: распределенные системы управления, временное запаздывание, маршрутизатор, буферирование, компенсация запаздывания, передаточные функции, ЛАЧХ, обмотка тора.

Временное запаздывание в современных распределенных системах управления [6] является практически неизбежным злом, с которым приходится считаться и бороться. Основная причина наличия такого запаздывания - передача информации через сеть. Особенно значительных величин это запаздывание достигает при использовании большого числа маршрутизаторов и связанного с этим буферирования.

Такое запаздывание обычно является переменным [7, 8], но в данной статье рассмотрен эффект, не связанный с переменностью времени запаздывания, а возникающий при плохо определенном (недостаточно точно известном) времени запаздывания.

В таком контексте обычно либо используют экстраполятор функций на время запаздывания либо встроенную модель объекта управления с запаздыванием [3]. Причем оба этих подхода плохо работают при плохо известном запаздывании.

Кроме того, наличие помех вообще делает систему управления [1] с компенсацией запаздывания плохо реализуемой при сложных (широкополосных и интенсивных) помехах. Рассмотрим типовую систему замкну-

тую управления [2] с запаздыванием в цепи обратной связи и с помехой, действующей на объект управления. Будем предполагать (это реалистично), что выход объекта без запаздывания и без помехи физически получен быть не может, поэтому будем предполагать наличие в системе компенсации запаздывания.

Ограничимся случаем линейной системы с постоянными коэффициентами, так как даже в такой системе рассмотренный ниже эффект проявляется в полной мере. Пусть Ж(р)рег, W(p)o и W(p)oc - соответственно передаточные функции регулятора, объекта управления и обратной связи [1].

Передаточная функция разомкнутой системы

W

(и соответствующая частотная характеристика W(jro)pc определяет величину ошибки слежения в системе по формуле [2]

е(р) =

1 чтту—

1 + W (р)рс

В частотной области получим оценку спектральных составляющих ошибки, поэтому стремятся к тому, чтобы | W(jro)pc|-1 < s - требуемой точности системы. Будем предполагать, что это требование выполнено, если отсутствует

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

173

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

Рис. 1. Типовая распределенная система автоматического управления Fig. 1. A typical distributed system of automatic control

Рис. 2. ЛАЧХ разомкнутой системы без запаздывания и с последующей неточной компенсацией запаздывания Fig. 2. LAFC of an open system without delay and with subsequent inaccurate delay compensation

Рис. 3. Компенсация запаздывания Fig. 3. Delay compensation

174

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

Рис. 4. Случай соизмеримых запаздываний: годографы А(ю) и соответствующие ЛАЧХ Fig. 4. The case of commensurate delays: hodographs F(ra) and corresponding LAFC

(поэтому и не учитывается) запаздывание. Типичный вид логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) [1, 2] такой системы (в разомкнутом виде) приведен на рис. 2.

ЛАЧХ, проходя на достаточно высоком уровне, обеспечивает малую ошибку.

Теперь введем компенсацию запаздывания, для чего добавим в систему модели объекта помехи и, наконец, запаздывания, которые входят в виде программных модулей в ПО регулятора. Мы не можем заранее предполагать, что все эти модели точны, кроме того, помеха может иметь стохастическую природу. Будем для определенности считать, что модель объекта достаточно точна, а вот модель запаздывания отличается от реального запаздывания (рис. 3).

Очевидно, если модель запаздывания точна, то происходит его (запаздывания) полная компенсация [9] и ЛАЧХ разомкнутой скомпенсированной системы не отличается от ЛАЧХ системы вообще без запаздывания. Но, к сожалению, точная компенсация невозможна.

Этот эффект хорошо виден на рис. 2, где приведены несколько случаев неточной компенсации запаздывания. В некоторых случаях провалы ЛАЧХ достигают 60 дб, но это наблюдается далеко не всегда. Точными нулями будут частоты, удовлетворяющие уравнению

FM = 1 + e- зтх = о

Наличие или отсутствие корней этого уравнения связано с соотношением между т

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

175

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

Рис. 5. Случай несоизмеримых запаздываний Fig. 5. The case of incommensurate delays

и тм. Если эти числа рационально соизмеримы (wx = т^хм), то (3), являясь в этом случае периодической функцией, может иметь решение, но может и не иметь. Примеры приведены на рис. 4. Здесь отображен годограф F(q) [2] при неотрицательных частотах на комплексной плоскости. Обращать внимание следует на прохождение годографа вблизи точки 0. Также приведены графики ЛАЧХ этой функции (по оси ординат - децибелы).

Но если времена запаздывания рационально несоизмеримы, то привлечение теории почти периодических функций позволяет сформулировать следующее утверждение: При неточной компенсации ЛАЧХ имеет набор частот, на которых модуль падает до величин сколь угодно малых.

Доказательство: свяжем с (3) двухмерный тор T , тогда при изменении ш от 0 до го образуется обмотка тора, если рассматривать входящие в (3) экспоненты как циклы - образующие тора. Известно [5], что при несоизмеримости частот вращения такая обмотка всюду плотна на торе. Осталось лиша заметить симметрию при изменении знака частоты, из чего вытекает достаточность рассмотрения только неотрицательных частот.

Итак Ve>0;3co*: |f(cd*)|<s.

Возможно, что такие частоты окажутся слишком большими, чтобы иметь практическое значение, но рассмотренные примеры из практики показывают, что это чаще всего не так.

График всюду плотен на двухмерном торе, проходит сколь угодно близко от точки 0.

Можно дать оценки расстояния по частоте между точками провалов ЛАЧХ . В случае соизмеримых запаздываний такая оценка равна периоду функции (3). Хотя, как видно из рис. 4, внутри периода могут наблюдаться множественные нули, расположенные гораздо ближе друг к другу, чем на соответствующую долю периода.

В случае несоизмеримости запаздываний для получения такой оценки необходимо знать порядок приближения иррационального отношения периодов (возможно, сами периоды трансцендентный) рациональными числами [10]. Имеется следующая известная оценка скорости приближения иррациональных чисел рациональными [5]

|ц - m/n |< 0,447214

где ц - рационально приближаемое дробью

m/n.

Если в качестве ц взять отношение запаздываний ц = х/хм ,то эту оценку можно использовать для получения оценки сверху для периода почти повторения квазипериодической функции F(q). Действительно, из (4) можно получить оценку n, обеспечивающую нужную точность приближения пт - шх .

м

При этом периодом почти повторения естественно считать величину T = 2п/пх.

176

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

Заметим, что в случае соизмеримых запаздываний по этой формуле получается истинный период периодической функции.

Библиографический список

1. Цыпкин, Я.З. Основы теории автоматических систем / Я.З. Цыпкин; курс лекций. - М.: Наука, 1970. -560 с.

2. Красовский, А.А. Основы автоматики и технической кибернетики / А.А. Красовский, Г.С. Поспелов. - М.: ГОСЭНЕРГОИЗДАТ, 1962. - 600 с.

3. Колмановский, В.Б. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием / В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 448 с.

4. Емельянов, С.В. Новые типы обратной связи / С.В. Емельянов, С. К. Коровин. - М.: Наука, Физматлит, 1997.

5. Арнольд, В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. - М.: МЦНМО, 2012.

6. Эльсгольц, А.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / А.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971. - 296 с.

7. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений /Дж. Хейл. - М.: Мир, 1984.

8. Пинни, Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения /Э. Пинни. - М.: ИЛ, 1961.

9. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К.Л. Кук. - М.: Мир, 1967. - 548 с.

10. Нивен, А. Числа рациональные и иррациональные / А. Нивен. - М: Мир, 1966. - 200 с.

FREQUENCY METHODS THAT ENSURE THE ACCURACY OF MANAGEMENT SYSTEMS AND ERGODIC THEORY

Tumanov M.P., Prof. MIEM HSE, Ph.D. (Tech.); Abdullin S.R., Assoc. Prof. MSFU

miketum@yandex.ru, mai-sal@yandex.ru Moscow State Institute of Electronics and Mathematics Higher School of Economics, 123458, Moscow, st. Tallinn, 34 Moscow State Forest University (MSFU), 1st Institutskaya st., 1, 141005, Mytischi, Moscow reg., Russia

The article shows that in a typical automatic control system there may be a significant decrease in the accuracy of regulation due to the fact that frequency response of the open-loop system has a number of zeros (frequencies at which the module of this characteristic is small). The frequency characteristic module of the open-loop automatic control system allows to effectively study the accuracy of the closed-loop system with any type of master control, therefore, it is frequently used in engineering. The article describes a case of a delay compensation using an inaccurate delay model in case when the model of the controlled object is considered to be sufficiently accurate. It is shown that (even in case when the system without compensating delay model has a frequency response with no significant lapses) the emergence of such lapses in compensation is possible. But the main interest of the article is the connection between the frequency of such lapses and the commensurability of time delays. At commensurate times there appear zeros of the frequency response, and at incommensurate ones there appear lapses, the position of which on the frequency axis is determined by the ratio of the delay.

Keywords: distributed control systems, time delay, router, buffering, delay compensation, transfer functions, LAFC, cable of torus.

References

1. Tsypkin, Ya.Z. Osnovy teorii avtomaticheskikh sistem [Bases of the theory automatic system] Moscow: Nauka, 1970. 560 p.

2. Krasovskiy A.A., Pospelov G.S. Osnovy avtomatiki i tekhnicheskoy kibernetiki [Bases of automatic equipment and technical cybernetics]. Moscow, GOSJeNERGOIZDAT, 1962, 600 p.

3. Kolmanovskiy V.B., Nosov V.R. Ustoychivost’iperiodicheskie rezhimy reguliruemykh sistem sposledeystviem [Stability and the periodic modes of adjustable systems with an after-effect]. Moscow: Nauka, 1981. 448 p.

4. Emel’yanov S.V., Korovin S.K. Novye tipy obratnoy svyazi [New types of feedback]. Moscow: Nauka, Fizmatlit, 1997.

5. Arnol’d, VI. Geometricheskie metody v teorii obyknovennykh differentsial’nykh uravneniy [Geometrical methods in the theory of the ordinary differential equations] Moscow: MCNMO, 2012.

6. El’sgol’ts A.E., Norkin S.B. Vvedenie v teoriyu differentsial’nykh uravneniy s otklonyayushchimsya argumentom [Introduction to the theory of the differential equations with the deviating argument]. Moscow: Nauka, 1971, 296 p.

7. Kheyl Dzh. Teoriya funktsional’no-differentsial’nykh uravneniy [Theory of the functional and differential equations] Moscow: Mir, 1977.

8. Pinni E. Obyknovennyedifferentsial’no-raznostnye uravneniya [Ordinary differential-difference equations]. Moscow: Inostrannaya literatura, 1961.

9. Bellman R., Kuk K.L. Differentsial’no-raznostnye uravneniya [Differential-difference equations]. Moscow: Mir, 1967. 548 p.

10. Niven A. Chisla ratsional’nye i irratsional’nye [Numbers rational and irrational], Moscow: Mir, 1966. 200 p.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

177

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

ПОГРУЖЕНИЕ МНОЖЕСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ БУЛЕВЫХ УРАВНЕНИЙ В ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННИК КАК ОДНО

из перспективных направлений реализации метода разделяющих плоскостей

Т.А. ЛАСКОВАЯ, ст. преп. МГТУ им. Н.Э.Баумана,

К.К. РЫБНИКОВ, директор ООО «Полиэдр», канд. физ.-мат. наук,

С.А. РЫБНИКОВ, магистратура МГИМО (У) МИД России,

О.К. ЧЕРНОБРОВИНА, доц. каф. МГУЛ

talaskovy@mail.ru, kkrybnikov@mail.ru, stepan.rybnikov@mail.ru, olga@mgul.ac.ru ФГБОУ ВПО «Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э. Баумана»

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1 ООО «Полиэдр» 107143, Москва, шоссе Открытое, д. 20, стр. 1 ФГОБУ ВПО «Московский государственный институт международных отношений (университет) Министерства иностранных дел Российской Федерации» 119454, г. Москва, проспект Вернадского, 76 ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет леса» 141005 Московская обл., г. Мытищи-5, ул. 1-я Институтская, д. 1, МГУЛ Проводится анализ одного из универсальных методов решения систем булевых уравнений - метода разделяющих плоскостей, заключающегося в погружении множества решений рассматриваемой системы в выпуклый многогранник, что дает возможность применить для определения этих решений методы бивалентного программирования. Наиболее эффективным такой подход оказывается для случая, когда решения системы являются вершинами построенного многогранника. В этом случае для определения этих решений достаточно использования методов линейного программирования. Впервые в истории исследования перспектив метода разделяющих плоскостей рассматривается обратная задача, то есть задача по выбранному выпуклому многограннику построить систему булевых уравнений, множество решений которой представляет собой подмножество множества всех точек выбранного многогранника, который может иметь, например, достаточно простую структуру (Быть целочисленным, иметь малое число вершин и т. д.). Результаты работы имеют непосредственное прикладное применение в теории анализ электронных схем, комплексов формальных нейронов и технических систем, основанных на использовании пороговой логики.

Ключевые слова: булевы функции, булевы уравнения, математическое программирование, линейные неравенства, полиэдральные модели, вершины.

ешение системы булевых уравнений

f

является весьма сложной задачей несмотря

на ее сугубо дискретный характер (п-мер-ных (0,1)-векторов (х1, х2, ..., хи), х. = 0 или 1,

(j = 1, 2,..., п) всего 2п).

Идеи использования псевдобулевых функций приближения, то есть непрерывных функций F(x х ., хп), таких что

^ ., хп) = f (хр ^ •, х) (i = 1 2 •, О на множестве (0,1)-векторов, появились с середины XX столетия в работах Иванеску (Хаммер) и Рудеану [1, 2, 4, 5]. В качестве примера развития этих идей может быть рассмотрен, так называемый метод фундаментальных произведений [7, гл.7].

Полиэдральный подход к анализу системы булевых уравнений

Другим направлением, истоки которого можно усмотреть как в вышеупомянутых работах Иванеску и его соавторов, так и в монографии Дертоузоса [12], является построение

системы линейных неравенств, которой удовлетворяют все решения системы булевых уравнений (1). Такой подход, предложенный Г.В. Балакиным и В.Г. Никоновым [3], дал возможность после построения соответствующей системы неравенств строить методы направленного перебора (0,1)-векторов принципиально близкие к аддитивному методу решения задачи бивалентного программирования Балаша [9].

В литературе этот подход получил название метода разделяющих плоскостей.

Остановимся на принципиальной возможности построения системы линейных неравенств в методе разделяющих плоскостей.

Систему булевых уравнений (1) можно представить в виде дизъюнктивной формы

v-vKi’ о=1,2,...,о.

где k (l = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., s) - многоместные конъюнкции, т. е.

klj - хjf1 & xf2 &... & xt r,J ,8 € {0, l},

2 rij

xl = xit’xl = e l1’2 (k = 1.2,...,r#).

178

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

Приведем простой пример.

Решение системы булевых уравнений

Г/(*.*2»*з) = 0

lg(*l>*2>*3) = 0»

где функции/^, x2, x3) и g(xp x2, x3) определяются следующими таблицами истинности

*1 x*2 x3 f g

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

1 0 0 0 0

1 0 1 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

сводится к решению уравнения вида (2), (3) JCj & х2 & хг V Xj & х2 & Х3 А

AXj& х2 & хг V х, & х2 & х3 = 0.

Ясно, что система уравнений (1) удовлетворяется тогда и только тогда, когда все конъюнкции, входящие в левые части соотношений (2), принимают значение 0.

В работе [7] отмечается, то условие

К. = 0

]

эквивалентно на множестве (0,1) - векторов условию

аЛ+... + а х <rhJ-riJ-\,

где

Ui ij

1, если 8; =1,

«* =\ . «.' n t = l,2,...,reJ,

1-1, если oi =0,

а rt . - число переменных, входящих в конъюнкцию k. с отрицанием.

В работах [7, 8] приводятся полиэдральные представления:

1. x = x, &x0&...&x, а множество

0 12 n

(0,1) - векторов, соответствующих этой функции, удовлетворяет условиям

0<Ух,.-(п-0,5)хо <п-1,

„ J=1

2. xn = x, vx,v...vx

0 12 n

а множество (0,1) - векторов, соответствующих этой функции, удовлетворяет условиям

П

-w + 1,5<У,х,- —

]=1

3. Операция «штрих Шеффера» x0=x1 |x2 соответствует (0,1) - векторам полиэдра

-1,5 < Xj + х2 + 1,5х0 < 2,5.

4. Операция «стрелка Пирса» x0 = x1ix2 соответствует (0,1) - векторам полиэдра

1 < Xj + х2 + 1,5х0 < 2.

5. Импликация x0 = x2^x1 соответствует (0,1) - векторам полиэдра

0,5 < -х1 + х2 + 1,5х0 < 1,5 и т. д.

Метод разделяющих плоскостей - прямая задача

Способы построения систем линейных неравенств, описанные в предыдущем разделе, посуществу, решают задачу погружения множества решений системы

G с M(A, B),

где M(A, b)= {x|Ax<b, x>0},

Ax < b — система линейных неравенств

«11*1 + «12*2 +- + «iA^i>

«21*1 «22*2 •" «2и*и — Ь2’

Лт\'

Xi+am2x2+... + amnxn<bm,

x, > 0, x, > 0,...,x„ > 0

Ц Л

v. i ' b ' ' n V

x > 0 <=> X; > 0 (i =x = *2 , b = b2

A,

В частном случае удается построить для булевой функцииfixv x2, ..., xn) = 0 п-мер-ную плоскость

n

^a,x, =b, , такую что

1, если > b,

f{xvx2,...,xn) = -

0, если

i=1 n

X«.*i < b>

L i=i

Число b называют пороговым значением, функцию fixv x2,..., xn) - пороговой функцией, а n-мерную плоскость

jrд.х. =ь, - разделяющей плоскостью.

/=1

Задачей определения общего решения системы (1), которую решает метод разделяющих плоскостей, является задача определения всех (0,1) - векторов множества M(A,b).

Частное решение системы (1) может быть определено как решение задачи бивалентного (булевого) программирования на множестве допустимых решений M(A,b). Для решения этой задачи могут быть использованы B - алгоритм Ю.Ю.Финкельштейна (метод

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

179

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

правильных отсечений) и аддитивный метод Балаша (метод ветвей и границ) [9].

Рассмотрим простой пример, позволяющий проиллюстрировать метод погружения множества решений булева уравнения в выпуклый многогранник.

Пусть булева функция f(xv x2, x3) задана таблицей истинности

xj x2 x3 fx, x2, x3)

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) этой функции имеет

вид Axv ^ Хз) = усУ^У^

где у0 = х1&х2& х3

y1=xl&x2&x3; у2 = JCj &х2 &х3.

В работе одного из авторов [7] на основе использования полиэдральных представлений функций дизъюнкции и конъюнкции (6),(7) показано, что функция ftxv x2, x3) может быть определена множеством (0,1) - векторов (Xj, x2, x3, у0, у2, y3, f), удовлетворяющим системе неравенств

-3 < -х, - x2 - x3 - 2,5j>0 < -1,

_ -1 < -Xj + x2 + x3 - 2,5y1 < 1,

-1 < Xj + x2 - x3 - 2,5^2 < 1,

-1,5 < y0 + Ц + y2 - 2,5 f < 0,5.

При f = 1 последнее неравенство имеет вид 1 < у0 + у1 + у2 < 3 , а при f = 0 -1,5 <уо+yj + у2 < 0,5.

Таким образом, плоскость у0 + уг + у2 = = 0,75 является разделяющей плоскостью для

Ау0 , у1 , у2).

Решая булево уравнениеf(xj, x2, x3) = 0, равносильное условиям: у0 = у1 = у2 = 0, представим систему (6) в виде Xj + х2 + х3 < 3,

-х3 + х2 + х3 < 1,

_ х1 + х2-х3<1,

Xj + х2 + х3 > 1,

-х1 + х2 + х3 > -1 ши Х[ -х2 -х3 < 1, х1 + х2-х3> -1,5 ши - Xj - х2 + х3 < 1,5,

где xj, x2, x3 принимают значение 0 или 1.

Последнее неравенство не является существенным, так как оно выполняется для всех (0,1) - векторов (xj, x2, x3).

Вводя дополнительные неотрицательные переменные z z2, z3, w w можно свести систему неравенств (7) к системе уравнений

для

Xj + x2 + x3 + Zj = 3,

-Xj + x2 + x3 + z2 = 1,

Х\+Х2~ХЪ+2Ъ= 1>

Xj + x2 + X3 - Wj = 1,

Xj — x2 — x3 + w2 = 1.

Положив zj = x4, z2=

X5, V

x, w, = x.

6’

7 ’

w2 = x8 получаем систему Ax = в, где

0Л 0

A= 1 1 -1 0 0 1 0 0 , х =

0 1

1 1 1 1 0 0 0

-1 1 1 0 1 0 0

1 1 -1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 -1

1 -1 -1 0 0 0 0

1

1

1

кЬ

\х%)

Xj >0 (г = 1,2,...,8)<=> х > 0

Система Ax = в, x > 0 определяет выпуклый многогранник погружения

M*

множества решений булева уравнения

x2, x3) = °

G с M*

Из таблицы истинности функции f

К = (0,0,1), h2 = (0,1,0), h3=(1,0,0), h4 = (1,0,1) и К5 = (1,1,1). Эквивалентные преобразования системы уравнений (8) приводят к следующим системам:

1) A(1)x = в(1), где

Ат = 0

' 0 0 0 1 0 0 1 0" (l'

0 2 2 0 1 0 -1 0 2

0 0 2 -2 0 0 1 1 0 ,p(1)= 0

1 1 1 0 0 0 -1 0 1

, 0 -2 -2 0 0 0 1 к ,0,

180

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

Эта система определяет вершину многогранника (9) (1,0Д2,2,0Д0), которая соответствует решению булевого уравнения (1,0,0);

2) A(2)x = РД где

'0 0 0 1 0 0 1 (Г

0 2 0 0 1 1 0 0 2

0 0 2 0 0 -1 -1 0 ,р(2)= 0

2 0 0 0 -1 0 -1 0 0

0 0 0 1 0 0 к А

Эта система определяет вершину многогранника (9) (0,1,0,2,0,0Д2), которая соответствует решению булева уравнения (0,1,0);

3) А(3)х = р(3), где

0 0 0 1 0 0 1 0" '2'

0 2 0 0 1 1 0 0 2

0 2 2 0 1 0 -1 0 ,р(3)= 2

2 0 0 0 - 1 0 -1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 к А

Эта система определяет вершину многогранника (9) (0,0,1,2,0,2,0,2), которая соответствует решению булевого уравнения (0,0,1) и т. д.

Анализ приведенных примеров показывает, что h h2, h3 - оптимальные решения задачи линейного программирования

min

f(x1,x2,x3) = xl+x2+x3^> ,

где G с M

Оценка сверху числа базисов матрицы А дает и естественную оценку для числа вершин h - возможных оптимальных решений.

Метод разделяющих плоскостей -обратная задача

Построив систему линейных неравенств вида (5), мы, разумеется, можем создать булево уравнение (или систему булевых уравнений в виде (2)). Специальный выбор матрицы А для соответствующего выпуклого многогранника M(A,b) может определить свойства этого многогранника (например, целочислен-ность, малое число вершин и т. д.). В этом случае исследование соответствующих систем булевых уравнений на основании использования методов линейного программирования может оказаться весьма эффективным [13].

Рассмотрим некоторые случаи, когда многогранник M(A,b) является целочислен-

ным, то есть все его вершины - целочисленные векторы [10].

1. M(A,b) - целочисленный многогранник, если А и b - целочисленны и А - абсолютно унимодулярная матрица (то есть все ее миноры равны либо 0, либо ±1).

2. M(A,b) - целочисленный многогранник, если матрица А с элементами 0,±1 удовлетворяет условиям

а) каждый столбец А содержит не более двух ненулевых элементов;

б) строки А можно разбить на два непересекающихся класса (множества) R1 и R2 таких, что

1) два ненулевых элемента в любом столбце, знаки которых совпадают, не входят в одно и то же множество R.;

2) оба ненулевых элемента в любом столбце, знаки которых не совпадают, входят в одно и то же множество R

Все эти результаты были получены в 50-х годах XX столетия Данцигом, Вейноттом, Хеллером и Томпкинсом. Аналогичные результаты в теоретико-графической трактовке были получены Бержем (1955-1959), Анастасяном (1975), Падбергом и Балашем (1976) [10]).

одной из наиболее важных задач при анализе прямой и обратной задач метода разделяющих полоскостей остается задача определения свойств матрицы А и вектора b, при которых МД^является не только целочисленным многогранником, но и многогранником все (0,1) - точки (векторы) которого являются его вершинами (аналог многогранника условий линейной задачи о назначениях).

В заключение авторы хотели бы отметить важность рассмотренной задачи (прямой и обратной) в исследованиях, связанных с синтезом и анализом узлов электронных схем, а также в решении задач анализа и настройки формальных нейронов и комплексов элементов нейросетей [6, 7, 11].

Библиографический список

1. Ivanescu P.L. Pseudo-boolean programming andapplications. Lecture notes in mathematics, 9, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1965

2. Invanescu P.L., Rudeanu S. Boolean methods in operations research. Econ.-mat.obzor, 1967, 3, № 4, 422-445

3. Балакин, Г.В. Методы сведения булевых уравнений к системам пороговых соотношений / Г.В. Балакин,

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015

181

системный анализ, управление и обработка информации в космической отрасли

В.Г Никонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Т. 1. - Вып. 3. - 1994. - С. 389-401.

4. Hammer P.L. Boolean Elements in Combinatorial Optimization//Combinatorial Programming: Methods and Applications. - Dordrecht-Boston, 1968

5. Granot F., Hammer P.L. On the Use ofBoolean Functions in 01 Programming. Technion Mimeograph Series of Operations Research, Statistics and Economics. - № 70 - August, 1970.

6. Никонов, В.Г Применение полиэдральных методов в прикладных математических задачах, сводящихся к анализу и решению систем линейных неравенств / В.Г Никонов, К.К. Рыбников // Вестник МГУЛ - Лесной вестник, 2003. №1. С. 69-73.

7. Рыбников, К.К. Введение в дискретную математику и теорию решения экстремальных задач на конечных множествах / К.К. Рыбников. - М.: Гелиос АРВ, 2010. - 320 с.

8. Головин, Б.А. Машинное распознавание и линейное программирование / Б.А. Головин. - М.: Советское радио, 1973.

9. Корбут, А.А. Дискретное программирование / А.А. Корбут, Ю.Ю. Финкельштейн. - М.: Наука, ГРФМЛ, 1969.

- 368 с.

10. Дискретная оптимизация (целочисленное программирование) / М.М. Ковалев. - Минск: БГУ, 1977. - 192 с.

11. Рыбников, К.К. Полиэдральные модели узлов преобразований в нейросетях / К.К. Рыбников, Т.А. Ласковая // обозрение прикладной и промышленной математики.

- Т 14. - Вып. 1. - 2007. - С. 144-145.

12. Дертоузос, М. Пороговая логика / М. Дертоузос. - М.: Мир. - 1960. - 350 с.

13. Ласковая, Т.А., Рыбников К.К., Чернобровина О.К. Основные этапы развития теории структурного анализа п-мерных выпуклых многогранников и ее приложения для априорной оценки эффективности метода разделяющих плоскостей / Т.А. Ласковая, К.К. Рыбников, О.К. Чернобровина // Обозрение прикладной и промышленной математики. - Т 21. - Вып. 4. - 2014. - С. 375-377.

THE IMMERSION OF A SET OF SOLUTIONS OF A SYSTEM OF BOOLEAN EQUATIONS IN A CONVEX POLYHEDRON AS ONE OF THE PROMISING DIRECTIONS OF IMPLEMENTATION OF THE METHOD OF SEPARATING PLANES

Laskovaia T.A., senior lecturer MSTU; Rybnikov K.K., POLIEDR, Ph.D. Sci. (Tech.); Rybnikov S.A., MGIMO; Chemobrovina O.K Assoc. MSFU

talaskovy@mail.ru, kkrybnikov@mail.ru, stepan.rybnikov@mail.ru, olga@mgul.ac.ru Bauman Moscow State Technical University, st. 2-Baumanskaya, 5, Moscow, «POLIEDR», Open Highway, 20, Moscow, 107143

MGIMO University, 76, Prospect Vernadskogo Moscow, Russia, 119454 Moscow State Forest University (MSFU) 1st Institutskaya st., 1, 141005, Mytischi, Moscow reg., Russia

The analysis of one of the universal methods for solving systems of Boolean equations has been conducted. It is a method of separating planes, which consists in the immersion of the set of solutions of a given system in a convex polyhedron, which gives the opportunity to apply the methods of bivalent programming to obtain these solutions. This approach is most effective in case when the solutions of a system are the vertices of the built polyhedron. In this case, to obtain these solutions the use of linear programming methods is enough. For the first time in history of study of the prospects of separating planes method, the inverse problem is considered, i.e. the problem in case of a selected convex polyhedron is to build a system of Boolean equations, where a set of solutions is a subset of the set of all the points of a selected polyhedron which may have, for example, a simple structure (it must be an integer, have a small number of vertices, etc.). The results have practical significance and can be applied in the theory of electronic schemes analysis, in the analysis of complexes of formal neurons and in the analysis of technical systems based on the use of threshold logic.

Keywords: Boolean functions, Boolean equations, mathematical programming, linear inequalities, polyhedral models,

vertices.

References

1. Ivanescu P.L. Pseudo-boolean programming and applications. Lecture notes in mathematics, 9, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1965.

2. Invanescu PL, Rudeanu S. Boolean methods in operations research. Economic and mathematical review, 1967, 3, No. 4, pp. 422-445.

3. Balakin G.V, Nikonov VG. Metody svedeniya bulevykh uravneniy k sistemam porogovykh sootnosheniy [Methods of information systems of Boolean equations threshold relations] Review ofApplied and Industrial Mathematics, 1994. Vol. 1. Is. 3. pp. 389-401.

4. Hammer P.L. Boolean Elements in Combinatorial Optimization. Combinatorial Programming: Methods and Applications. Dordrecht -Boston, 1968.

5. Granot F., Hammer P.L. On the Use of Boolean Functions in 0-1 Programming. Technion Mimeograph Series of Operations Research, Statistics and Economics, 1970. No. 70. August.

6. Nikonov V.G., Rybnikov K.K. Primeneniepoliedral’nykh metodov vprikladnykh matematicheskikh zadachakh, svodyashchikhsya k analizu i resheniyu sistem lineynykh neravenstv [The use of polyhedral methods in applied mathematical problems, reducing to analyze and solve systems of linear inequalities]. Moscow state forest university bulletin - Lesnoy vestnik, 2003. No. 1. pp. 69-73.

7. Rybnikov K.K. Vvedenie v diskretnuyu matematiku i teoriyu resheniya ekstremal ’nykh zadach na konechnykh mnozhestvakh [Introduction to discrete mathematics and the theory of solving extremal problems on finite sets]. Moscow: Gelios ARV, 2010. pp. 320.

8. Golovin B.A. Mashinnoe raspoznavanie i lineynoeprogrammirovanie [Machine recognition and linear programming]. Moscow: Soviet Radio, 1973.

9. Korbut A.A., Finkel’shteyn Yu.Yu. Diskretnoeprogrammirovanie [Discrete programming]. Moscow: Nauka, GRFML, 1969. pp. 368.

10. Kovalev M.M. Diskretnaya optimizatsiya (tselochislennoe programmirovanie) [Discrete optimization (integer programming)]. Minsk: BSU, 1977. pp. 192.

11. Rybnikov K.K., Laskovaya T.A. Poliedral’nye modeli uzlov preobrazovaniy v neyrosetyakh [Polyhedral model nodes changes in neural networks]. Review ofApplied and Industrial Mathematics, 2007. Vol. 14. Is. 1. pp. 144-145.

12. Dertouzos M. Porogovaya logika [Threshold logic]. Moscow: Mir, 1960. pp. 350.

13. Laskovaya T.A., Rybnikov K.K., Chernobrovina O.K. Osnovnye etapy razvitiya teorii strukturnogo analiza n-mernykh vypuklykh mnogogrannikov i ee prilozheniya dlya apriornoy otsenki effektivnosti metoda razdelyayushchikh ploskostey [The main stages of development of the theory of structural analysis of n-dimensional convex polyhedra and its application for the a priori evaluation of the effectiveness of the method of separating planes] Review ofApplied and Industrial Mathematics, 2014. Vol. 21. Is. 4. pp. 375-377.

182

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2015