Оценка частот собственных колебаний и динамических напряжений в оболочке котла цистерны

УДК 629.463

П. С. Григорьев, К. Е. Суворова

ОЦЕНКА ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И ДИНАМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В ОБОЛОЧКЕ КОТЛА ЦИСТЕРНЫ

Дата поступления: 08.11.2017 Решение о публикации: 15.11.2017

Аннотация

Цель: Повышение уровня безопасности движения поездов играет большую роль как при проектировании нового подвижного состава, так и в процессе эксплуатации. В частности, большинство собственников вагонного парка имеют в своем распоряжении вагоны-цистерны, зачастую используемые для перевозок опасных грузов. В настоящее время техническим устройствам, участвующим в перевозке подобных грузов, со стороны надзорных органов уделяется пристальное внимание с целью обеспечения безопасности и предотвращения чрезвычайных ситуаций. Представляет интерес рассмотреть вопрос о влиянии собственных частот колебаний оболочки котла вагона-цистерны на ее напряженное состояние при динамических нагрузках. В качестве примера рассмотрена четырехосная цистерна для перевозки светлых нефтепродуктов. Методы: Вычисления основаны на полубезмоментной теории оболочек. Использованы уравнения, разработанные на кафедре «Вагоны и вагонное хозяйство» Московского государственного университета путей соб-щения. Для учета динамических нагрузок в уравнения были введены дополнительные слагаемые. Решение полученных уравнений выполнялись в двойных тригонометрических рядах. Результаты: Выведена формула для оценки квадрата круговой частоты собственных колебаний оболочки котла цистерны. Найдены частоты собственных колебаний оболочки без учета жидкого груза и с его учетом. Рассчитаны собственные частоты колебаний для различных толщин оболочки цистерны. Основываясь на работах, выполненных сотрудниками кафедры «Вагоны и вагонное хозяйство» Петербургского университета путей сообщения, проведен анализ полученных значений на возможность возникновения резонанса. Практическая значимость: Предложенный подход по решению поставленной задачи будет полезен специалистам, занимающимся разработкой новых моделей вагонов-цистерн. В связи с активной эксплуатацией подобных объектов в ракетно-космической отрасли такие задачи интересны для специалистов, работающих над решением вопросов, связанных с собственными частотами конструкций. Также статья будет представлять интерес для экспертов, выполняющих работы по обоснованию возможности эксплуатации вагонов-цистерн, перевозящих опасные грузы.

Ключевые слова: Подвижной состав, вагон-цистерна, котел цистерны, колебания котла цистерны, полубезмоментная теория оболочек, собственные частоты.

Pavel S. Grygoriyev, Cand. Sci. Eng., assistant, grigorev.p@gmail.com; *Kseniya E. Suvorova, postgraduate student, ya.ksuvorova@yandex.ru (Emperor Nicholas II Moscow State Transport University) THE ASSESSMENT OF FREE FREQUENCY AND DYNAMIC STRESS ENCASED IN A TANK SHELL

Summary

Objective: The improvement of train safety control level is prominent both for the construction and operation of a rolling stock. Particularly, the majority of car fleet owners have tank cars at their disposal, which are frequently used for transportation of dangerous goods. At present, supervisory bodies pay close attention to technical equipment used in transportation of such goods, in order to provide security

and prevent emergency situations. In view of the above-mentioned, the question of influence of natural oscillation frequencies of a tank shell on a stress state of a tank car during impact forces is worth considering. A bogie tank wagon built to transport light-oil products was analyzed as an example. Methods: The calculations were based on the theory of semi-momentless shells. The equations, developed at "Cars and rolling stock" chair of the Moscow State Transport University, were used. Additional summands were entered in equations for the purposes of dynamic load calculation. The solutions of the equations in question were performed in double trigonometric sequences. Results: A formula for the assessment of circular frequency square of natural oscillations of a tank shell was introduced. Natural oscillation frequencies of a shell were obtained without including liquid consignment and including it. Natural oscillation frequencies of varied tank shell thickness were calculated. The analysis of the obtained values, based on the studies conducted by chair members of "Cars and rolling stock" at Petersburg State Transport University, was carried out to assess the possibility of resonance initiation. Practical importance: The suggested approach to the solution of the given problem may be useful to experts in the development of new tank car models. Due to an active operation of such objects in aerospace field, the tasks may be of interest to experts working on the issues, related to natural oscillations of structures. The article may also be of concern to scientists working in the field of operation feasibility justification of tank cars, transporting dangerous goods.

Keywords: Rolling stock, tank car, tank shell, oscillations of a tank shell, theory of semi-momentless shells, natural oscillations.

Для решения поставленной задачи использовались расчетные уравнения полубезмо-ментной теории оболочек и расчетная схема котла, приведенные в книге [1]. Эти уравнения имеют вид

Eô3 Г д^ ^

12R

чдф дф у

+ T - P1R = О,

E Ö^R 2d ф-дф-PR = О, фдх дф

дТ д£ „ Eô3

- + — R + -

4

дф дх

12R

2.Л

д4 v д2v дф4 дф2

+P3R = О,

где Е - модуль упругости материала оболочки; 8 - толщина оболочки; Я - радиус оболочки; V - тангенциальное перемещение точек срединной поверхности оболочки; Т1 - нормальное окружное усилие; Р1 - распределенная по поверхности радиальная нагрузка; Р2 -распределенная по поверхности продольная нагрузка; Р3 - распределенная по поверхности тангенциальная нагрузка; 8 - сдвигающее усилие срединной поверхности оболочки.

Следует принимать во внимание, что уравнения (1) учитывают воздействия на оболочку котла статических нагрузок [2, 3]. В данной работе они дополнены слагаемыми, которые учитывают воздействия динамических нагрузок [3, 4]. При этом предполагалось, что основное влияние на динамическую нагруженность оказывают радиальные перемещения w точек срединной поверхности оболочки, которые будут зависеть от трех переменных: x - координата, ориентированная вдоль образующей цилиндра; R, ф - координаты, отчитываемые по дуге окружности поперечного сечения (цилиндрические координаты) и времени t.

Решение уравнений строилось в двойных тригонометрических рядах [5], в которых тангенциальное перемещение v представлялось как

от от

V = XZ Vmn sin Xx sin Пф sin Ю?,

m=1 n=2

здесь vmn - искомые коэффициенты ряда; X = mn / L; L - длина цилиндрической части котла; m - номер члена ряда радиального перемещения по длине образующей; n - номер члена ряда разложения по окружности попе-

речного сечения; ю - частота колебаний (собственных ю ) при отсутствии установившихся возмущающих воздействий, юв - частота вынужденных.

Необходимо иметь ввиду, что, согласно гипотезам полубезмоментной теории оболочек [6, 7], коэффициенты ряда радиального перемещения н> связаны с коэффициентами тангенциального перемещения соотношением

w = -nv ,

mn mn'

индекс тп указывает, что коэффициенты зависят от двух номеров. Эта зависимость вытекает из условия отсутствия удлинения контура поперечного сечения оболочки. Уравнения (1) трансформируются в уравнения динамики, если к ним добавить слагаемое, отражающее силы инерции Рин:

Д„ =

у8 d2w 7 ~dtr

3 3/ 2 у5юс2R n (n +1) + -—c— 0 1

E 8 3, 2

--n '

12R3 g

2л 3

E 8R 2X

n

E8 2/ 2 n

n

12R3

-n 0 XR n

V 0

mn

s = 0

тп

T tmn 0

где у - плотность материала оболочки котла цистерны; w - ряд разложения радиального переменщения; g - ускорение свободного падения.

Если сила Р представляет динамическую нагрузку, то в уравнениях (1) все искомые величины будут зависеть от перечисленных выше трех переменных. С учетом слагаемого (3) система уравнений будет отражать вынужденные колебания оболочки. При оценке частот собственных колебаний слагаемые, представляющие нагрузку, следует принять равными нулю. Тогда уравнения для отыскания коэффициентов ряда (2) и рядов усилий Т и £

Tt = ZTTmn sin Xx cos пф sin rot,

m=1 n=2

S =TTSmn cos Xx sin пф

m=1 n=2

(Ттп и 8тп - коэффициенты рядов соответствующих усилий) примут вид

Известно, что, для того чтобы однородная система алгебраических уравнений имела решение, необходимо, чтобы определитель коэффициентов данной системы уравнений был равен нулю.

Вычислив определитель и выполнив необходимые преобразования, была получена формула для оценки квадрата круговой частоты собственных колебаний

,2 gE ГО =

yRn3

3ч 4

82n (n -1) + R3X

12R3

n

Для учета влияния жидкого груза на частоту собственных колебаний оболочки котла и динамические напряжения были приняты следующие допущения:

- жидкий груз полностью заполняет цилиндрическую емкость;

- люки-лазы цистерны обеспечивают свободную поверхность жидкости;

- на поверхности контакта груза с оболочкой скорости и ускорения частиц жидкости равны скоростям и ускорениям точек оболочки котла;

- в центре жидкой фазы скорость движения жидкости принята равной нулю.

Таким образом, аппроксимирующая функция для радиального перемещения жидкости, отвечающая граничным условиям и принятым допущениям, была выбрана в следующем виде:

учета жидкого груза и с его учетом. Варьировалось значение коэффициента п, который характеризует формы колебаний по окружности поперечного сечения оболочки. При этом коэффициент т принимался равным 1, так как известно, что первая форма колебаний ориентирована по образующей цилиндра, что соответствует наинизшей частоте [8]. Результаты расчета представлены в табл. 1.

Из табл. 1, где /т - техническая частота колебаний, равная / =ш/2л, видно, что наинизшая частота колебаний относится к случаю, когда, как отмечено выше, срединная поверхность оболочки по длине искривляется по одной волне синусоиды, т. е. т = 1, а по дуге имеет 3 волны, т. е. п = 3.

Также были построены графики частоты колебаний порожнего и груженого котлов в зависимости от толщины оболочки. Так как характер изменения частоты не меняется от загруженности котла, на рис. 1 приведен один график, а результаты расчета сведены в табл. 2.

Из рис. 1 и табл. 2 следует, что частота собственных колебаний оболочки вагона с жид-

ТАБЛИЦА 1. Частоты собственных колебаний оболочки без учета и с учетом жидкого груза

n Частота собственных колебаний оболочки, / '-'тех

порожнего вагона груженого вагона

2 26,538 10,96

3 23,473 9,7

4 37,443 15,475

5 57,89 23,95

5, мм

--1-1-1-1-1

./тех:' Гц

Рис. 1. Характер изменения частоты колебаний от толщины оболочки котла вагона

w =

^ ^ -nvmn sin Xx cos ф sin ((t

V m=1 n=2

'l - ^Л R у

где г - координата, ориентированная по радиусу от поверхности оболочки к центру жидкой фазы.

Учитывая последнее предположение, можно подсчитать равнодействующую коэффициента ряда силы инерции жидкости, воспользовавшись выражением

R

PUHm„ =ÎV (2nVmn I1 - R-l dZ = 0 S V R У

= I lî.nVmn, 2 S

Z

в котором Уж - плотность жидкого груза.

Эта сила инерции отражает давление колеблющейся жидкости на оболочку котла, и ее необходимо добавить к первому коэффициенту первого уравнения (4).

Используя уравнения (4), были рассчитаны частоты собственных колебаний оболочки без

ТАБЛИЦА 2. Значения собственной частоты колебаний при различных толщинах

котла цистерны

8, мм Частота колебаний оболочки, { '-'тех

порожнего вагона груженого вагона

8 30,188 11,355

9 33,809 13,37

10 37,443 15,475

11 41,088 17,66

12 44,74 19,918

ким грузом значительно ниже, чем у порожнего котла вагона. Так как к наиболее опасным относятся низкочастотные колебания [7, 8], необходимо проверить напряжения, возникающие в оболочке котла груженой цистерны, и возможность возникновения резонансных явлений при прохождении неровностей.

Расчет динамических напряжений осуществляется в предположении, что к опорному давлению, действующему на котел, добавлялись силы инерции, связанные с «подпрыгиванием» цистерны при проходе вертикальных неровностей, которые принимались синусоидальными, с длиной волны, равной длине рельсового звена. По длине волны и скорости движения

И м я м одел и: Дета л ь1

Название исследованиям астата Ц-По умолчанию-) Тип э пюр ы: Частотный ^ плитудаЗ Форма колебаний : 2 Значение = 25.209 Гц Шкала деформации: 39,43

определялась частота вынужденных колебаний юв, которая входила в расчетные формулы вместо юс. Предполагалось, что вынужденные колебания установившиеся.

Следует отметить, что при статических на-гружениях наибольшие напряжения в оболочке составляют (при 8 = 12 мм) а = 168 МПа, а при динамических - аэкв=190 МПа, что удовлетворяет требованиям «Норм...» [12].

Дополнительно к проведенному исследованию был выполнен расчет частот собственных колебаний методом конечных элементов [9] рассматриваемой оболочки котла цистерны. Граничные условия задавались отсутствием поперечных перемещений котла. При построе-

И м я м од ел и: Дета л ь1

Тип эпюры: Частотный /^плитудаЗ

Форма колебании : 2 Значение = 25.209 Гц

Шкала деформации: 39.43

Рис. 2. Результат расчета методом конечных элементов для второй формы колебаний: слева - вид справа, справа - общий вид

ТАБЛИЦА 3. Полученные значения частот собственных колебаний с использованием различных методов решения

n Частота колебаний оболочки, / , рассчитанная тех

по выражению (4) методом конечных элементов

2 26,538 25,209

3 23,473 20,317

4 37,443 33,951

5 57,89 51,498

нии сетки конечно-элементной модели было получено 28 079 узлов и 14 197 элементов. Результат расчета для второй формы колебаний представлен на рис. 2.

Результаты, полученные на основе зависимости (4) и с использованием численного метода решения, приведены в табл. 3. Как видно из нее, значения собственных частот удовлетворительно сходятся.

Выполненные расчеты показали, что реальные котлы цистерн имеют частоту собственных колебаний, существенно превышающую частоту возмущающих воздействий, что исключает возможность возникновения резонансных явлений.

Библиографический список

1. Лукин В. В. Конструирование и расчет вагонов : учебник / В. В. Лукин, П. С. Анисимов, В. Н. Котуранов, А. А. Хохлов, В. В. Кобищанов. -М. : Учеб.-метод. центр по образованию на ж.-д. транспорте, 2011. - 688 с.

2. Бояршинов С. В. Основы строительной механики машин / С. В. Бояршинов. - М. : Машиностроение, 1973. - 457 с.

3. Кармишин А. В. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций / А. В. Карми-шин, В. И. Мяченков, А. Н. Фролов. - М. : Машиностроение, 1975. - 376 с.

4. Вершинский С. В. Динамика вагона / С. В. Вер-шинский, В. Н. Данилов, В. Р. Хусидов. - М. : Транспорт, 1991. - 360 с.

5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. - М. : Физматиздат, 1960. - Т. III. - 656 с.

6. Власов В. З. Общая теория оболочек / В. З. Власов. - М. : Гостехтеориздат, 1949. - 456 с.

7. Третьяков А. В. Анализ динамических напряжений и выбор параметров элементов оборудования четырехосных цистерн : дисс. ... канд. техн. наук : специализация (05.22.07) / А. В. Третьяков. -Л. : ЛИИЖТ, 1986. - 160 с.

8. Третьяков А. В. Расчет спектра ударного отклика при проведении испытаний переносных цистерн и газовых контейнеров / А. В. Третьяков, О. А. Третьяков, М. В. Зимакова // Транспорт Российской Федерации. - 2015. - № 3 (58). - С. 60-65.

9. Секулович М. Метод конечных элементов / М. Секулович. - М. : Стройиздат, 1993. - 664 с.

10. Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике : монография / В. З. Власов. -М. ; Л. : Гостехиздат, 1949. - 784 с.

11. Филипов А. П. Колебания деформируемых систем / А. П. Филипов. - М. : Машиностроение, 1970. - 730 с.

12. Нормы расчета и проектирования вагонов железных дорог МПС колеи 1520 мм (несамоходных). - М. : ГосНИИ ВНИИЖТ, 1996. - 320 с.

13. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек : в 2-х ч. / К. Ф. Черных. - Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1962. - Ч. 1. - 274 с.

14. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле : монография / С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер ; пер с англ. Л. Г. Корнейчука ; под ред. Э. И. Григолюка. - М. : Машиностроение, 1985. -472 с.

15. Александров А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. - М. : Высшая школа, 1990. - 400 с.

References

1. Lukyn V. V., Anysymov P. S., Koturanov V. N., Khokhlov A.A. & Kobyshanov V. V. Konstruimvaniye i raschet vagonov [Car construction and calculation]. Moscow, Learning and teaching educational center of railway transport Publ., 2011, 688 p.

2. Boyarshynov S. V. Osnovy stroitelnoy mekha-nyky mashyn [The basics of machine structural engineering]. Moscow, Mechanical engineering Publ., 1973, 457 p.

3. Karmyshyn A. V., Myachenkov V. I. & Fro-lov A. N. Statyka i dynamyka tonkostennykh obolochen-nykh konstruktsiy [Statics and dynamics of thin-walled shell constructions]. Moscow, Mechanical engineering Publ., 1975, 376 p.

4. Vershynskiy S. V., Danylov V. N. & Khusy-dov V. R. Dynamyka vagona [Dynamics of a car]. Moscow, Transport Publ., 1991, 360 p.

5. Fykhtengoltz G. M. Kurs dyfferentsialnogo i in-tegralnogo ischysleniya [Calculus course]. In 3 vol. Moscow, Physmatizdat Publ., 1960, vol. 3, 656 p.

6. Vlasov V. Z. Obshaya teoriya obomlochek [General theory of shells]. Moscow, Gostekhteorizdat Publ., 1949, 456 p.

7. Tretiyakov A. V. Analyz dynamycheskykh naprya-zheniy i vybor parametrov elementov oborudovaniya chetyrekhosnykh tsystern [The analysis of dynamic parametres and parameter selection of equipment pieces of a bogie tank wagon]. Diss. Cand. Eng: concentration 05.22.07. Leningrad, LIIZhT Publ., 1986, 160 p.

8. Tretiyakov A. V., Tretiyakov O. A. & Zymako-va M. V. Raschet spectra udarnogo otklyka pry prove-denii ispytaniy perenosnykh tsystern i gazovykh kon-teynerov [Spectral analysis of shock response when performing the tests on portable tanks and gas vessels]. Transport of the Russian Federation, 2015, no. 3

9. Sekulovich M. Metod konechnykh elementov [Finite-element method]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1993, 664 p.

10. Vlasov V. Z. Obshaya teoriya obolochek i yeye prylozheniya v tekhnike [General theory of shells and its application in engineering]. Moscow, Leningrad, Gostekhizdat Publ., 1949, 784 p.

11. Phylypov A. P. Kolebaniya deformyruyemykh system [Oscillations of deformable systems]. Moscow, Mechanical engineering Publ., 1970, 730 p.

12. Normy rascheta i proyektyrovaniya vagonov zheleznykh dorog MPS kolei 1520 mm

13. Chernykh K. F. Lyneynaya teoriya obolochek [Linear theory of shells]. In 2 pt. Leningrad, Leningrad University Publ., 1962, 274 p.

14. Timoshenko S. P., Young D. H. & Weaver W. Kolebaniya v inzhenernom dele [Oscillations in engineering]; tr. from English by L. G. Korneychuk; ed. by E. I. Grygolyuk. Moscow, Mechanical engineering Publ., 1985, 472 p.

15. Aleksandrov A. v. & Potapov V. D. Osnovy teorii uprugosty i plastychnosty [The basics of elasticity and plasticity theory]. Moscow, Higher school Publ., 1990. - 400 p.

ГРИГОРЬЕВ Павел Сергеевич - канд. техн. наук, ассистент, grigorev.p@gmail.com; СУВОРОВА Ксения Евгеньевна - аспирант, ya.ksuvorova@yandex.ru (Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II).