ОЦЕНКА ФИНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕАЛИЗАЦИИ УГРОЗ В СФЕРЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

УДК 338.24. ББК 65.054 © К. К. Логинов, В. В. Карпов, А. А. Кораблева DOI: 10.24412/2225-8264-2021-1-67-75

К. К. Логинов, В. В. Карпов, А. А. Кораблева ОЦЕНКА ФИНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ РЕАЛИЗАЦИИ УГРОЗ В СФЕРЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ БЕЗОПАСНОСТИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИМИТАЦИОННОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ

В статье предложен один из возможных подходов к оценке вероятностей реализации угроз экономической безопасности региона, основанный на марковском случайном процессе. В системе индикаторов, характеризующей некоторую сферу экономической безопасности, выделяются стабильное состояние, при котором значения всех индикаторов лежат в пределах приемлемых значений, и несколько нестабильных состояний, при которых часть индикаторов выходят за границы допустимых значений. Постулируются переходы системы между состояниями под воздействием набора угроз экономической безопасности в форме неоднородного марковского процесса. Особенностью модели является то, что интенсивности переходов зависят от объема бюджетных денежных средств, выделяемых структурами, ответственными за мониторинг уровня экономической безопасности, на ликвидацию потенциальных угроз или на ослабление их действия. Показано, что при некоторых ограничениях на параметры модели в системе устанавливается стационарный режим, при котором вероятности пребывания системы в отдельных состояниях не зависят от времени. На основе метода Монте-Карло описан алгоритм моделирования процесса смены состояний системы на некотором конечном промежутке времени и вычисления финальных вероятностей состояний. Разработана моделирующая программа и приведен простейший пример, в котором бюджетные средства выделяются равными долями через равные промежутки времени вне зависимости от состояния, в котором пребывает система. Показано, что результаты имитационного моделирования хорошо согласуются с аналитическим финальным распределением, полученным из уравнений Колмогорова. Предложенная модель и ее программная реализация могут служить полезным инструментом для региональных органов исполнительной власти, занимающихся вопросами мониторинга экономической безопасности и сценарного прогнозирования социально-экономического развития региона.

Ключевые слова: экономическая безопасность, индикаторы, угрозы, марковский случайный процесс, стационарное распределение, метод Монте-Карло.

Работа выполнена в рамках государственного задания Омского научного центра СО РАН (номер госрегистрации проекта 121022000112-2).

азработка методик мониторинга уровня экономической безопасности и определения тенденций

Р социально-экономического развития регионов остается актуальной задачей, о чем свидетельствуют публикации различных отечественных авторов [7; 10]. Традиционно оценка уровня экономической безопасности основана на сравнении индикаторов в различных сферах экономической деятельности региона с их пороговыми значениями или составлении интегрального индекса, дающего комплексное представление об экономической ситуации в регионе [5; 15]. Немало работ посвящено прогнозированию отдельных индикаторов с использованием моделей авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (ARIMA) и ее частных случаев на основе ретроспективных данных официальной статистики (временного ряда) по индикаторам за некоторый промежуток времени [6; 8], однако, например, в [6] показано, что их применение не всегда обосновано, если тренд временного ряда значительно отличается от линейного. Учитывая постоянное воздействие на региональную экономическую систему многочисленных угроз, снижающих уровень безопасности, актуальной является задача построения методик расчета вероятностей наступления этих угроз. Эти вопросы рассмотрены, в частности, в работах [9; 12], однако в них в определении вероятностей реализации угроз в большей мере используются экспертные оценки. В статье [4] используются официальные статистические данные, но рассматриваются лишь вероятности роста/снижения конкретных угроз. В настоящей работе представлен подход, частично лишенный указанных недостатков.

Рассматривается система Я = характеризующая какую-либо сферу экономической безопасности, например, сферу реальной экономики, представленную некоторым набором индикаторов (валовой региональный продукт на душу населения, объем промышленного производства на душу населения, индекс потребительских цен и др.). Пусть 5 = {¿"о,^.,... ,5,,} - множество состояний системы где ^ - стабильное (желательное, приемлемое) состояние, - нестабильные (опасные) состояния, ¿= 1,...,п. Под ^ можно понимать состояние, при котором значения всех индикаторов рассматриваемой сферы находятся в заранее известных приемлемых пределах (например, из стратегии социально-экономического развития региона), в качестве можно взять состояния, при которых значения любых индикаторов (при условии их равнозначности с точки зрения оценки уровня экономической безопасности) выходят за границы допустимых интервалов, ¿= 1 ,...,п (тогда п - количество индикаторов в сфере экономической безопасности региона). Также можно рассматривать неприемлемые значения всевозможных комбинаций индикаторов сферы (при этом

подмножества располагать, например, по возрастанию мощности), тогда число состояний г' Ф 0. будет равно 71 = (2т — 1), где ш - число индикаторов.

Полагаем, что на систему 5 непрерывно воздействует множество угроз (в том числе агрегация «элементарных» угроз) {^¡}р=.ь которые приводят к изменению значений индикаторов, и, соответственно, переводят систему из стабильного состояния 50 в одно из неприемлемых состояний 5,-, £ = 1 ,—,п. Далее предполагаем наличие некоторого административного ресурса со стороны органов исполнительной власти, направленного на борьбу с последствиями реализованной угрозы и способствующего возврату системы в безопасное состояние £0 из состояний г Ф 0. Также возможны «спонтанные» переходы между опасными состояниями, вызванные внешними причинами, не зависящими от действий властей. В данном контексте под органами исполнительной власти будем понимать некоторые структуры, осуществляющие мониторинг индикаторов и распоряжающихся ресурсами, направленными на борьбу с угрозами. На рис. 1 представлена схема переходов системы Л" между состояниями (граф состояний).

>т J

Рис. 1. Граф состояний системы

Обозначения на рис. 1:

• = > 0 - интенсивность перехода из состояния £0 в ;

• = /?,-((:) > 0 - интенсивность возврата из состояния 5,- в стабильное состояние £0;

• Ау > 0 - интенсивность «спонтанного» перехода из в (неотрицательные константы, при этом для каждого I существует такое /, что А,-; > 0);

где I.) = 1,... I Ф ], I > 0.

Вещественная переменная t означает время, выраженное в заданных единицах измерения. Интенсивности ¡т,-. /?,-. А,- , имеют размерность Далее при описании примеров считаем, что время вьфажено в годах. Принимаем, что за бесконечно малый промежуток времени (Ы + О). Л+0, вероятности переходов системы между состояниями таковы:

переход из состояния SD в Sh i = 1, ...,n,

P(S(t + ti)= St | 5(t) = = a, (t)h + o(h). P(S(t + h) = S0 I S(t) = So) = 1 - er,- (t)h + o(h); переход из состояния S,- в S0. i = 1, ...,n,

P(£(t +h)= S0 | 5(t) = S.) = ß,(t)fi + o(h). переход из S,- в Sj. i,j = 1,... ,n. i Ф j.

P(S(t + h) = Sj 15(t) = Si) = Ävh+ o{7i), P(S(t + h) = Sj | S(t) = Sf) = 1 - (ß(t) + + o(h).

Вероятности двух и более событий, перечисленных в соотношениях (1)-(3), имеют порядок о(К).

Далее под ресурсом (элементом управления), влияющим на переходы системы £ между стабильным и нестабильными состояниями, будем понимать общий объем бюджетных средств, выделяемых на «профилактику» (стремление оставить систему в состоянии 50) и ликвидацию последствий реализации угрозы

О, (стремление перевести систему из состояния 5, в £0). Обозначим через М(1) - нормированный (приведенный к безразмерному виду) объем бюджетных средств, имеющихся в момент времени I; М(£0) = М(0) = М0 > С -заданный начальный объем. В качестве нормировки можно выбрать простое преобразование ЛЯ'0 = М^^ф/М^Я, где - фактический объем денежных средств в момент времени М-

усредненный исходя из практики мониторинга сферы экономической безопасности объем денежных средств за некоторый период (например, за пять лет), выделяемых на борьбу с угрозами. Полагаем, что «пополнение» происходит в детерминированные моменты времени

(p0 = i-o = 0. Ч>\ = <Pi-i + v M(_cpj) = M(cpj)_D + Ам. 1=1.....

где Д^ > 0 (размерность £), Ам > 0 (безразмерная величина) - заданные положительные константы. Например, при Дф = 1, вьфажение (4) означает, что в начале каждого года бюджет будет пополняться на величину Ам. вьщеляемую на устранение дестабилизирующих событий. Помимо этого для каждого полуинтервала (р^).

I = 1,...,¿, введем детерминированную последовательность моментов времени ['/'д.'' | , в которые происходит

мониторинг уровня экономической безопасности (значений индикаторов рассматриваемой сферы экономической безопасности) и принимается решение, сколько средств из бюджета выделять на борьбу с угрозами в зависимости от состояния, в котором находится система 5:

, ГО -

где Аф = ^ > 0 (размерность (;). Например, при А^ = 1 и К = 4, вьфажение (5) означает, что в начале каждого квартала (включая первый квартал после пополнения бюджета), исходя из результатов мониторинга будет приниматься решение о выделении средств из имеющегося на момент мониторинга объема направляемых на перевод системы в безопасное состояние ^ (или поддержание состояния Объем бюджетных средств М(£) в интервале <рг) меняется следующим образом:

м(£) = - t е

Jf (t) - - t е Ф^). к = 2.....К - 1

Af(0 = Af(^J-ff( C^f). t е [ф; <рг). 1=1.....L,

где 0 < й;(£) < А/(Е)_0 - объем бюджетных средств, вьщеляемых для стабилизации системы в зависимости от состояния I = ОД, ...,п.

Рассмотрим возможный способ задания интенсивностей ¿ = 1,... д. при условии нахождения

системы в состоянии ¿'о. Считаем, что интенсивности перехода в нестабильные состояния уменьшаются при выделении денежных средств о0 (£) из имеющегося бюджета М(£), направленных на поддержание системы в состоянии 50. т.е.

aÉ

где п, > 0 - константа, которую можно интерпретировать как интенсивность реализации угрозы D, в отсутствии каких-либо мер со стороны властей (я,- имеет размерность t~L), величина S0(t) может быть детерминированной или случайной при фиксированном значении M(t). Основная идея заключается в следующем. Угрозы присутствуют всегда, воздействуют на систему постоянно, и когда-нибудь система выйдет из состояния S0. Но с помощью выделения денежных средств мы организуем мероприятия и снижаем общую интенсивность А = £"=1 я,- выхода системы из S0 (среднее время до выхода из SD увеличивается). При условии нахождения системы в состоянии SD в интервале (fi-i! Vi) и с учетом (6), интенсивность «¡-(t) описывается следующей кусочно-постоянной функцией (7):

aÉ(t) =

«¿(О =

t е Р,), ¿=1.....1=1.....П.

При нахождении системы в опасных состояниях . г Ф 0. напротив, считаем, что интенсивности $-(£) возврата в стабильное состояние 50 увеличиваются при выделении (О («стимулирование» системы к возврату в состояние 50):

где > 0 - неотрицательная константа (размерность интерпретируемая как интенсивность «спонтанного» возврата системы в безопасное состояние под влиянием экзогенных случайных факторов, с, > С - некоторый коэффициент пропорциональности (размерность выражающий эффект от вложения денежных средств,

(. = 1,...,тт. Предполагая достаточную разработанность методики распределения средств при отклонении индикаторов от приемлемых значений, предлагается определять величину &{£) детерминированным образом:

где > 0 - заданные константы, I = 1,..., л. Например, в простейшем случае можно положить = Таким образом, чем больше индикаторов находятся в нежелательных интервалах, тем больше денежных средств выделяют для устранения этой ситуации. Интенсивность /?,- (О при условии нахождения системы в состоянии в интервале (<Рг-х; <Рг) также описывается кусочно-постоянной функцией (8):

Ш = ь,

сАОРкУ tetф<p,<ply

*е т - * = *.....к—

I = 1, ...,Ь, I = 1, ...,п.

На практике значения интенсивностей я,-. bi обычно считают равными частотам возникновения соответствующих событий. Например, выражение л,- = 2 год~1 означает, что угроза О,-, способствующая переводу системы £ из состояния в состояниег' Ф 0, реализуется в среднем 2 раза в год (при этом среднее

время до реализации угрозы О, составляет — = 0.5 года).

а[

Обозначим > 0 - вероятность пребывания системы в состоянии в момент времени £ > 0,

£Г=оР;(0 = 1 Для графа состояний, представленного на рис. 1, вероятности рДА) удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений Колмогорова [14]:

ДРоС)

- Роймш+~ рКЖАШ + 2?= 1. -Д

Лг

¡±14

). I = .

Система (9) дополняется начальными условиями ^¡(О) = р^0' > 0. £"=оР,'0'= 1. Например, если рС1':'' = 1.

р,'= 0,1 = 1, ...,п. то система£ в начальный момент времени I = 0 находится в стабильном состоянии

Предположим, что существуют конечные пределы:

Если вероятности рГ не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний (стационарное распределение). Из теории случайных процессов известно [13], что при конечном множестве состояний случайного процесса и условии, что вероятность перехода из каждого состояния в любое другое за конечное число шагов положительна, то финальное распределение вероятностей (10) существует. Это означает, что при (: -> со в системе £ устанавливается предельный стационарный режим (причем достаточно быстро), в котором вероятности пребывания системы в определенных состояниях не зависят от времени. При Ь, > 0, I = 1, щ система £ не имеет поглощающих и периодических состояний, все состояния являются ненулевыми и возвратными, следовательно, процесс является эргодическим, т.е. стационарное распределение (10) существует [2].

Следует отметить, что в общем случае аналитическое решение системы (9), а также нахождение финальных вероятностей пребывания системы в различных состояниях (10), представляет собой достаточно сложную задачу. Поэтому для моделирования переходов системы Л" между состояниями можно применять метод Монте-Карло [3; 11]. Финальные вероятности р} оцениваются как отношение времени пребывания системы в состоянии к общему времени моделирования [1].

Для моделирования переходов системы 5 между состояниями необходимо моделировать время до ближайшего перехода. Пусть - случайная величина, означающая промежуток времени до ближайшего перехода системы из состояния в ^ = тшп{£ц} - промежуток времени до ближайшего перехода из в

какое-либо из состояний 5,. ¿,/ = ОД,... . п.Ф /.

Учитывая, что интенсивности «спонтанных» переходов между нестабильными состояниями являются постоянными и с учетом (3), получаем, что случайные величины (у при / Ф 0, Лу > 0, имеют экспоненциальный закон распределения (11) с параметром :

Выражение Е(:1 = — означает математическое ожидание случайной величины и интерпретируется как Àij

среднее время до перехода системы S из состояния S,- в Sr считая от некоторого фиксированного t. i,j = 1,... ,п.

Интенсивности ¡т,-((:) выхода системы из состояния S0 и /?,-(£) перехода в состояние S0 являются переменными, поэтому с учетом (1), (2) случайные величины и Ç,-0. i,j = 1,... , п. имеют при фиксированном ~ обобщенное экспоненциальное распределение (12), (13) соответственно:

Опишем алгоритм моделирования переходов системы S между состояниями. Обозначим промежуток моделирования

[0; r:>ïiDcf:']. Т(тогГ) > 0. Пусть у - Unif (0,1) - случайное число, т.е. выборочное значение случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0; 1). При этом на каждом шаге алгоритма будем считать, что используется новое случайное число у. Ниже приведено описание алгоритма моделирования одной траектории (процесса смены состояний) на промежутке [0; т1-"11"3 '].

1. Разыгрывание начального состояния системы 5(0) согласно начальному распределению 0,1 j:

S

2. Моделирование шага по времени до смены состояния (метод обратной функции распределения):

1 = ¿m + Îî- ™ = 0,1,2..... £ = где

i = 0

i = 1.....* - Si): £ = min^o,^1 },

Если tm+1 > 7":'"0ci J. то завершаем моделирование.

3. Разыгрывание следующего состояния S(tm+j) = Sj. в которое переходит система из Sh j Ф i. согласно

распределению f"jti:";~lJ] для состояния S, = SQ и распределению [—] для состояния i Ф 0, при условии ^О^гл-ц)-1 ^ÇÉ J

Îi ^ Ïîci (в противном случае Sj = S0):

Sf = 5&, S

St, i Ф 0, 5(tm+1) - Sj, j = 1.....n, ¡Ф1. ZÎZl^Ar <YQî< Ей,«Лг

Далее переход на шаг 2.

Соотношения (15), (16) основываются на том, что минимум экспоненциально распределенных случайных величин распределен также экспоненциально с параметром, равным сумме параметров отдельных случайных величин (для обобщенного экспоненциального распределения имеется аналогичная формулировка).

Заметим, что в общем случае решение уравнений на <f0. в (15) может быть сопряжено с определенными трудностями. В нашем случае интенсивности ^¡(Е), /?ДХ) являются кусочно-постоянными (см. (7), (8)), поэтому можно использовать экономичный алгоритм, представленный в [11].

Для получения точечных оценок р* финального распределения по алгоритму (14)—(16) моделируется N » 1 траекторий, и для каждой траектории подсчитывается время пребывания системы S в каждом из состояний S,, i = 0,1,2,... ,п, на промежутке моделирования [0; 7"'moci l] в результате на выходе получаем матрицу времени пребывания системы в состояниях размера (р + 1) х Л':

= '1 T<s) 'il 02 T<s) 12 " 10ЛГ \ " 1 IN

r<AJ n2 " 1 nN /

где элемент ТУ ' означает пребывание системы 5 в состоянии при моделировании -ой траектории, ! = 0,1,2,...,п, / = 1, ...,ЛГ. Далее точечные оценки р^ финальных вероятностей состояний вычисляются по формуле (17):

= 1 = 0,1,2.....п.

Для реализации алгоритма (14)—(16), а также алгоритма моделирования кусочно-постоянной плотности, была разработана моделирующая программа, написанная на языке программирования С++. Для генерации возникающих в алгоритме случайных величин применялись надежные генераторы псевдослучайных чисел, описанные в [16; 17]. В качестве примера рассмотрим случай постоянных интенсивностей ¡т,-. /?,-. Для определенности рассмотрим следующие индикаторы экономического блока:

• /1 - Валовой региональный продукт на душу населения, руб.;

• /2 - Степень износа основных фондов, %;

• /3 - Оборот розничной торговли на душу населения, руб.;

• /4 - Индекс потребительских цен, %.

Определим список «элементарных» угроз (составлено на основе экспертного мнения научных сотрудников сектора методов исследования проблем развития регионов Омского научного центра СО РАН):

• Тг - снижение объемов производства в отраслях специализации региона;

• Т2 - снижение спроса населения и предприятий;

• Т3 - снижение инвестиций в основные фонды;

• Г4 - отсутствие прорывных проектов;

• 7*5 - низкое качество менеджмента;

• Т6 - снижение платежеспособного спроса и переориентация населения на сбережение;

• Т7 - снижение курса рубля.

Далее агрегируем угрозы в окончательный список:

£>4 = Тт

В результате получаем следующее множество состояний (количество нестабильных состояний п = 5):

• значения всех индикаторов ¡х -14 расположены в приемлемых границах;

• снижение значения индикатора /1 в результате реализации угрозы £>1;

• Бг - рост значения индикатора 12 в результате реализации угрозы 02:

• - снижение значения индикатора 1Ъ в результате реализации угрозы £>3;

• Ба - рост значения индикатора 14 в результате реализации угрозы 0А:

• £5 - снижение значений индикаторов 12 в результате реализации угрозы 05.

Положим Л^ = 1 год, К — 4. что означает выделение средств на борьбу с угрозами в начале каждого квартала

года. Далее будем рассматривать простейший случай, при котором бюджетные средства будут выделяться равными долями вне зависимости от состояния, в котором оказалась система на момент мониторинга уровня экономической безопасности, т.е. для всех I = 0,1, ...,5. выполнено

Тогда все интенсивности переходов системы 5 между состояниями не зависят от времени:

Из (18) следует, что уравнения Колмогорова (9) для финальных вероятностей состояний р* трансформируются в систему линейных алгебраических уравнений ^р- = о'):

Р^+^г^РГРт + 27=1 * - 1.....п

Поскольку каждое из уравнений в (19) является следствием остальных, то одно из уравнений можно исключить (например, первое), и с учетом нормировочного условия 2р=оРГ = 1- аналитические значения финальных вероятностей ищутся из системы уравнений (20):

Рон<гГ+27=и*гА;гр;=р,-0?[-+27=1,/*(^), 1.....п.

Для проведения вычислительного эксперимента зададим следующие значения параметров:

=1, а2 = 0.5, п3 = 2, а4 = 4, п5 = 1.5, (гой-1), b1 = 0.3, b2 = 0.1, Ь3 = 0.15, Ь4 = 0.02, b5 = 0.01, (год'1).

Интенсивности переходов системы S между нестабильными состояниями г Ф 0. зададим с помощью матри-

0 0 \ 0 0.03 1

.

0 0 I

о о /

( 0 0 0.01

0 0 0

0 0.01 0

0 0 0.05

\0.001 0 0

В этом случае решение системы уравнений (20):

Ра = 0.032, р± = 0.054, р2 = 0.05, р3 = 0.22, р\ = 0.426, р~5 = 0.218.

Наибольшее значение вероятности р4 = 0.426, это означает, что в среднем основную часть времени система 5 будет находиться в состоянии £4.

Вычисление точечных оценок финальных вероятностей с помощью моделирующей программы осуществлялось на промежутке [0; 7*(т0111], где Г1''"0'1 = 50 лет. Количество траекторий N = 104; начальное распределение ¡р.'0'| принято равновероятным, т.е. р.<0' = —I = ОД, ...д. Результаты вычислений таковы:

ра = 0.033, р± = 0.058, р2 = 0.05, р3 = 0.22, р\ = 0.421, Щ = 0.218.

Видно, что модельные оценки финальных вероятностей хорошо согласуются с аналитическими значениями, что позволяет использовать имитационное моделирование при более сложном способе задания законов перехода системы между состояниями, т.е. в том случае, когда аналитическое исследование затруднено. В частности, численное исследование различных характеристик системы может быть успешно применено при переходе к полумарковским и немарковским процессам.

Библиографический список

1. Афанасьевский, Л. Б. Имитационное моделирование полумарковских процессов в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем / Л. Б. Афанасьевский, А. Н. Горин, М. А. Чурсин. - Текст : непосредственный // Вестник ВГУ, серия «Системный анализ и информационные технологии». - 2019. - № 3. -С. 42-52.

2. Боровков, А. А. Теория вероятностей / А. А. Боровков. - Москва : Наука, 1986. - 432 с. - Текст : непосредственный.

3. Ермаков, С. М. Курс статистического моделирования / С. М. Ермаков, Г. А. Михайлов. - Москва : Наука, 1976. - 320 с. - Текст : непосредственный.

4. Литвиненко, А. Н. Оценка вероятности роста угроз экономической безопасности на основе построения классификационных функций / А. Н. Литвиненко, А. В. Грачев, С. И. Тарашнина, И. И. Бритвина. - Текст : непосредственный // Известия Юго-Западного государственного университета. Серия Экономика. Социология. Менеджмент. - 2019. - Т. 9. - № 2 (31). - С. 129-147.

5. Логинов, К. К. Вычисление весовых коэффициентов в интегральном индексе экономической безопасности региона на примере Омской области / К. К. Логинов. - Текст : непосредственный // Наука о человеке: гуманитарные исследования. - 2020. - № 1 (39). - С. 186-194.

6. Логинов, К. К. Прогнозирование индикаторов экономической безопасности Омской области в среднесрочной перспективе / К. К. Логинов, А. А. Кораблева, В. В. Карпов. - Текст : непосредственный // Наука о человеке: гуманитарные исследования. - 2018. - № 4 (34). - С. 174-182.

7. Логинов, К. К. Экономическая безопасность регионов Сибирского федерального округа / К. К. Логинов, А. А. Кораблева, В. В. Карпов. - Текст : непосредственный // Наука о человеке: гуманитарные исследования. - 2018. - № 1 (31). - С. 141-150.

8. Митяков, Е. С. Использование алгоритмов адаптивной фильтрации для прогнозирования экономической динамики / Е. С. Митяков, В. А. Сазонтов. - Текст : непосредственный // Труды НГТУ им. Р. Е. Алексеева. - 2012. - № 2 (95). - С. 339-344.

9. Митяков, Е. С. Оценка рисков в задачах мониторинга угроз экономической безопасности / Е. С. Ми-тяков, С. Н. Митяков. - Текст : непосредственный // Труды НГТУ им. Р. Е. Алексеева. - 2018. - № 1 (120). - С. 44-51.

10. Митяков, С. Н. Экономическая безопасность регионов Приволжского федерального округа / С. Н. Митяков, Е. С. Митяков, Н. А. Романова. - Текст : непосредственный // Экономика региона. - 2013. - № 3 (35). - С. 81-91.

11. Михайлов, Г. А. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло / Г. А. Михайлов, А. В. Войтишек. - Москва : Академия, 2006. - 368 с. - Текст : непосредственный.

12. Наумова, О. А. Методика мониторинга финансовой безопасности экономического субъекта на основе оценки риска наступления финансовых угроз / О. А. Наумова, М. А. Тюгин. - Текст : непосредственный // Вектор науки ТГУ. Серия: Экономика и управление. - 2018. - № 2 (33). - С. 34-41.

13. Севастьянов, Б. А. Ветвящиеся процессы / Б. А. Севастьянов. - Москва : Наука, 1971. - 436 с. - Текст : непосредственный.

14. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, М. А. Миронов. - Москва : Советское радио, 1977. - 488 с. - Текст : непосредственный.

15. Френкель, А. А. Влияние весовых коэффициентов на рейтинг регионов по уровню инновационного потенциала / А. А. Френкель, Н. Н. Волкова, Э. И. Романюк. - Текст : непосредственный // Регион: экономика и социология. -2013. - № 1 (77). - С. 144-172.

16. Marchenko, M. A., Mikhailov, G. A. Parallel realization of statistical simulation and random number generators. - Тех!: unmediated//Russ. J. Numer. Anal. Math. Mod. 2002, vol. 17, pp. 113-124.

17. Marchenko, M. PARMONC - A Software Library for Massively Parallel Stochastic Simulation. - Тех!: un-mediated In: Parallel Computing Technologies, PaCT 2011. //Lecture Notes in Computer Science, Ed. Malyshkin V. Springer, Berlin, Heidelberg. 2011, vol. 6873, pp. 302-316.

References

1. Afanasievsky L. B., Gorin A. N., Chursin M. A. Imitatsionnoe modelirovanie polumarkovskikh protsessov v sistemakh s diskretnymi sostoyaniyami i nepreryvnym vremenem [Imitation modeling of semi-markov processes in systems with discrete states and continuous time]. Vestnik VGU, seriya Systemnyi analiz i informatsionnye tekhnologii [Voronezh state university bulletin, Series system analysis and information technologies]. 2019, no. 3, pp. 42-52.

2. Borovkov A. A. Teoriya veroyatnostei [Probability theory]. Moscow, Nauka, 1986, 432 p.

3. Ermakov S. M., Mikhailov G. A. Kurs statisticheskogo modelirovaniya [Statistical modeling course]. Moscow, Nauka, 1976, 320 p.

4. Litvinenko A. N., Grachev A. V., Tarashnina S. I., Britvina I. I. Otsenka veroyatnosti rosta ugroz ekonomicheskoi bezopasnosti na osnove postroeniya klassifikatsionnykh funktsii [Estimation of the probability of growth for the threats of economic security based on classification functions]. Izvestiya Yugo-Zapadnogo gosudar-stvennogo universiteta. Seriya ekonomika, sotsiologiya, menedzhment [Bulletin of South-West state university. Series economics, sociology, management]. 2019, vol. 9, no. 2 (31), pp. 129-147.

5. Loginov K. K. Vychislenie vesovykh koeffitsientov v integral'nom indekse ekonomicheskoi bezopasnosti re-giona na primere Omskoi oblasti [Calculation of weight coefficients in the integral index of economic security of the region in terms of Omsk region]. Nauka o cheloveke: gumanitarnye issledovaniya [Human science: humanitarian researches]. 2020, no. 1 (39), pp. 186-194.

6. Loginov K. K., Korableva A. A., Karpov V. V. Prognozirovanie indikatorov ekonomicheskoi bezopasnosti Omskoi oblasti v srednesrochnoi perspektive [Forecasting indicators of economic safety of the Omsk region in the medium-term perspective]. Nauka o cheloveke: gumanitarnye issledovaniya [Human science: humanitarian researches]. 2018, no. 4 (34), pp. 174-182.

7. Loginov K. K., Korableva A. A., Karpov V. V. Ekonomicheskaya bezopasnost' regionov Sibirskogo feder-al'nogo okruga [Economic security of the Siberian federal district regions]. Nauka o cheloveke: gumanitarnye issledovaniya [Human science: humanitarian researches]. 2018, no. 1 (31), pp. 141-150.

8. Mityakov E. S., Sazontov V. A. Ispol'zovanie algoritmov adaptivnoi fil'tratsii dlya prognozirovaniya ekonomicheskoi dinamiki [Application of adaptive filtration algorithms to forecast economic dynamics]. Trudy NGTU im. R. E. Alekseeva [Proceedings of Nizhny Novgorod state technical university n.a. R. E. Alekseev]. 2012, no. 2 (95), pp. 339-344.

9. Mityakov E. S., Mityakov S. N. Otsenka riskov v zadachakh monitoringa ugroz ekonomicheskoi bezopasnosti [Assessment of risks in problems of monitoring of threats of economic security]. Trudy NGTU im. R. E. Alekseeva [Proceedings of Nizhny Novgorod state technical university n.a. R. E. Alekseev]. 2018, no. 1 (120), pp. 44-51.

10. Mityakov S. N., Mityakov E. S., Romanova N. A. Ekonomicheskaya bezopasnost' regionov Privolzhskogo federal'nogo okruga [The economic security of the Volga federal district regions]. Ekonomika regiona [Economy of the region]. 2013, no. 3 (35), pp. 81-91.

11. Mikhailov G. A., Voitishek A. V. Chislennoe statisticheskoe modelirovanie. Metody Monte-Karlo [Numerical statistical modeling. Monte Carlo methods]. Moscow, Akademiya, 2006, 368 p.

12. Naumova O. A., Tyugin M. A. Metodika monitoringa finansovoi bezopasnosti ekonomicheskogo subekta na osnove otsenki riska nastupleniya finansovykh ugroz [The technique of monitoring the financial security of the economic entity based on the assessment of financial threatening risk]. Vektor nauki TGU. Seriya ekonomika i upravlenie [Vector of science of Togliatti State University. Series economics and management]. 2018, no. 2 (33), pp. 34-41.

13. Sevastianov B. A. Vetvyashchiesyaprotsessy [Branching processes]. Moscow, Nauka, 1971, 436 p.

14. Tikhonov V. I., Mironov M. A. Markovskie protsessy [Markov processes]. Moscow, Sovetskoe radio, 1977,

488 p.

15. Frenkel A. A., Volkova N. N., Romanyuk E. I. Vliyanie vesovykh koeffitsientov na reiting regionovpo urov-nyu innovatsionnogopotentsiala [Weighing coefficients and innovation potential ratings in regions]. Region: ekonomika i sotsiologiya [Region: economics and sociology]. 2013, no. 1 (77), pp. 144-172.

16. Marchenko M. A., Mikhailov G. A. Parallel realization of statistical simulation and random number generators. Russ. J. Numer. Anal. Math. Mod. 2002, vol. 17, pp. 113-124.

17. Marchenko M. PARMONC - A Software Library for Massively Parallel Stochastic Simulation. In: Parallel Computing Technologies, PaCT 2011. Lecture Notes in Computer Science, Ed. Malyshkin V. Springer, Berlin, Heidelberg. 2011, vol. 6873, pp. 302-316.

ESTIMATION OF FINAL DISTRIBUTION OF PROBABILITIES OF THREATS REALIZATION IN THE SPHERE OF ECONOMIC SECURITY BASED ON SIMULATION MODELING

Konstantin K. Loginov

Candidate of physical and mathematical sciences, Researcher, Omsk scientific center of the SB RAS

Valery V. Karpov

Doctor of economic science, Chairman, Omsk scientific center of the SB RAS

Anna A. Korableva

Candidate of economic science, Branch manager, Omsk scientific center of the SB RAS

Abstract. An approach to assessing the probabilities of threats realization based on Markov random process is proposed in the article. In the system of indicators characterizing a certain area of economic safety, a stable state is distinguished, in which the values of all indicators are within the acceptable values, and several unstable states, in which some of the indicators are beyond the acceptable values. Transitions of the system between states are supposed under the influence of a certain set of threats to economic security in the form of an inhomogeneous Markov process. A feature of the model is that the rates of the transitions depends on the quantity of budgetary funds allocated by the structures responsible for monitoring the level of economic security, on eliminating potential threats or to weaken their action. It's shown that under certain constraints on the parameters of the model, a stationary regime is setting in the system, in which the probabilities of the system states don't depend on time. An algorithm for modeling the process of changing the states of the system at some finite time interval and calculating the final probabilities of states is described, based on the Monte Carlo method. A modeling program has been developed and the simplest example is given when budget funds are allocated in equal parts at regular intervals, regardless of the system state. It's shown that the results of imitation modeling are coincided with the analytical final distribution obtained from the Kolmogorov equations. The model and its program implementation can be useful tool for regional authorities dealing with the problems of monitoring economic safety and scenario forecasting of the socio-economic development of the region.

Keywords: economic security, indicators, threats, Markov random process, stationary distribution, Monte Carlo method.

This work was carried out within the governmental order for Omsk Scientific Center SB RAS (project registration number 121022000112-2).

Сведения об авторах:

Логинов Константин Константинович - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник сектора методов исследования проблем развития регионов, Омский научный центр СО РАН (644024, Российская Федерация, г. Омск, пр. Карла Маркса, д. 15, e-mail: kloginov85@mail.ru).

Карпов Валерий Васильевич - доктор экономических наук, профессор, председатель, Омский научный центр СО РАН (644024, Российская Федерация, г. Омск, пр. Карла Маркса, д. 15, e-mail: vvkarpov@oscsbras.ru).

Кораблева Анна Александровна - кандидат экономических наук, заведующий сектором методов исследования проблем развития регионов, Омский научный центр СО РАН (644024, Российская Федерация, г. Омск, пр. Карла Маркса, д. 15, e-mail: aakorableva@bk.ru).

Статья поступила в редакцию 10.12.2020