Асимптотическая форма нижней ветви нейтральной кривой в трансзвуковом пограничном слое

____УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXI 19 99

Мб

УДК 532.526.5

МЕТОД РАСЧЕТА ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО КОНУСА С УЧЁТОМ ВЯЗКО-НЕВЯЗКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

А. М. Гайфуллин, С. Б. Захаров

Разработан метод совместного решения уравнений Лапласа для потенциала скорости и уравнений пограничного слоя, позволяющий учесть вязко-невязкое взаимодействие при глобальном отрыве с гладкой поверхности. Выполнен расчет симметричного отрывного обтекания тонкого кругового конуса.

Одной из основных проблем, возникающих при расчете отрывного обтекания гладких тел потоком жидкости при больших числах Ие, является проблема определения местоположений линий отрыва. Эта проблема может решаться либо с помощью использования эмпирических данных, либо, как в данной работе, в результате совместного решения уравнений, описывающих невязкое глобальное отрывное обтекание, и уравнений пограничного слоя вблизи поверхности тела.

В работе [1] было получено однопараметрическое (при фиксированном угле атаки) семейство невязких решений симметричного отрывного обтекания тонкого кругового конуса. В настоящей работе решается задача о выделении из этого семейства единственного решения для заданного числа Рейнольдса, т. е. задача о получении расчетной зависимости положения линий отрыва на конусе от числа Ие.

Из решения уравнений Лапласа следует, что на линии невязкого отрыва (линии схода вихревой пелены в модели отрывного обтекания конуса потоком невязкой жидкости) градиент давления бесконечен. Поэтому при фиксированном местоположении невязкого отрыва расчет уравнений пограничного слоя по наведенному невязким отрывом градиенту давления неминуемо приводит к более раннему местоположению (по сравнению с невязким) линии отрыва пограничного слоя. Исключение составляет случай, когда на линии невязкого отрыва выполняется условие Бриллюэна—Билля: кривизна вихревой пелены на линии схода конечна и равна кривизне тела. Под линией отрыва пограничного слоя здесь и далее будем понимать линию, на которой нормальная к ней составляющая трения обращается в нуль.

Используя предположение, что предельным состоянием при бесконечном числе Рейнольдса (1?е-»-оо) будет невязкое течение, удовлетворяющее условию Бриллюэна—Билля, а при достаточно больших числах Ие течение будет слабо отличаться от предельного, в работе [2] была построена асимптотическая теория самоиндуцированного ламинарного отрыва. Основываясь на результатах этой теории с использованием универсальной константы из работы [3], в работе [4] была получена зависимость положения линий отрыва от числа Рейнольдса для кругового конуса при тех же предположениях, что и в настоящей работе. Как следует из асимптотических оценок [2], точность определения координаты ламинарного отрыва по асимптотической теории имеет порядок О (,Ке_1/ 8).

Из многочисленного числа работ, посвященных численному расчету вязко-невязкого взаимодействия, отметим работу [5]. В ней дан обзор различных численных методов, позволяющих, в частности, рассчитывать плоские замкнутые стационарные срывные зоны, и предложен оригинальный метод совместного решенйя уравнений внешнего невязкого течения и уравнений пограничного слоя. В основе метода — проведение расчета уравнений пограничного слоя при заданном распределе--нии некоторой линейной комбинации давления и толщины вытеснения. Решение ищется с помощью итерационной процедуры. При этом распределение скорости вдоль внешней границы пограничного слоя ие(х) представляется в виде

ие(х) — ие0(х) -\-иег{х),

где иео(х)—скорость, рассчитанная в первом приближении без учета влияния вязкости и считающаяся неизменной в процессе решения, иео(х)— поправка для учета вытесняющего воздействия пограничного слоя на внешнее течение.

Аналогичная процедура совместного решения невязких уравнений и уравнений пограничного слоя принята и в описываемом в настоящей статье методе расчета глобального незамкнутого отрывного течения. Однако в этом случае величина ие0 уже не является неизменной в процессе решения. Она зависит от характеристик невязкого отрывного обтекания. Кроме того, ввиду глобальности отрывного течения потребовалась иная процедура расчета уравнений пограничного слоя за линией отрыва.

1. Рассмотрим симметричное обтекание несжимаемой жидкостью со скоростью «со кругового конуса с полууглом при вершине е<1 под углом атаки а~6. Тем самым выполнены условия применимости теорий удлиненных тел. Согласно этой теории трехмерная стационарная задача отрывного обтекания удлиненного тела заменой продольной координаты х на время по формуле і = х/их, сводится к двумерной нестационарной задаче отрывного обтекания расширяющегося по некоторому закону плоского контура, имеющего форму поперечного сечения тела (метод плоских сечений [6]). В случае кругового конуса— это автомодельная задача об отрывном обтекании расширяющейся с постоянной скоростью окружности [1].

При отрывном обтекании тонкого конуса возмущенное течение в первом приближении является коническим (всюду кроме окрестностей носика и донного среза), что подтверждается прямолинейностью линий первичного отрыва.

В настоящей работе используется упрощенная математическая модель отрывного обтекания конуса с двумя симметричными вихревыми

пеленами, сходящими в поток с линий пер- *---------N '>—4.

винного отрыва. Тем , самым игнорируются /.— ) { _\

вторичные отрывы и возникающая на боль- 1\_ У

ших углах атаки асимметрия течения. / ^'"\ч \

Ограничимся рассмотрением случая / / \\

отрывного обтекания конуса со всюду ла- '!/ \\

минарным пограничным слоем (ламинар- V Ч

ный отрыв). г——^-4

2. Используемый метод расчета невязко- ~~~~------

го отрывного обтекания тонкого кругового \ I

конуса усовершенствованной модификацией \ /

метода установления работы [1]. Метод учи- \ /

тывает в явном виде асимптотику вихревых \. У .

пелен в окрестности линий отрыва. В каче- ______

стве модели ядра вихревой пелены используется известная модель «вихрь—разрез» Рис. 1

с выполнением интегрального условия об

отсутствии силы, действующей на систему «вихрь—разрез». Непрерывные вихревые пелены в расчетах моделируются большим числом (обычно 40 и более) дискретных, вихрей. На расстояниях, меньших шага дискретизации, применяются формулы для вычисления индуцированных скоростей от вихревых панелей с непрерывным распределением завихренности. Численное интегрирование уравнений движения дискретных вихрей производится по схеме типа «предиктор—корректор» [7].

В симметричном случае в плоской автомодельной задаче имеется один определяющий параметр — относительный угол атаки а=а/0. Для каждого значения этого параметра в диапазоне а>0,5 теоретически можно построить однопараметрическое семейство невязких решений с угловой координатой линии отрыва т]0 (а) < 7]0 < тс, отсчитываемой от нижней (наветренной) образующей конуса. Здесь ^(й) — угловая координата линии отрыва, при которой выполняются условия Бриллюэна—Билля.

На рис. 1 приведен типичный результат метода — расчетная конфигурация вихревых пелен при а = 3, г1о= 100°.

3. Следуя работе [8], выберем систему координат на поверхности конуса следующим образом: I — расстояние вдоль образующей конуса, *1 — угол, отсчитываемый от нижней образующей конуса, | — расстояние по нормали к поверхности, г(£)—текущий радиус конуса. Составляющие скорости в системе координат (£, £, г)) обозначим {и, V, ш). Пусть рр — статическое давление, р — плотность жидкости.

Уравнения пограничного слоя запишутся следующим образом:

да* . дт . да дю , вш 0

1 др , д2чи)

Т "и ''Не? ’

д(иг) , _ дv , ди> А + ^==а

Граничные условия:

u = v = w — 0 при С = 0,

и -* ие

Решения ищутся в виде:

«-=и.Лп)Е(,п> *•).

«' — «.('4)6(4. *).

В этом случае уравнения (1) — (4) преобразуются в следующие:

+ВНШЧ)

Ж'=К-Ж- + с(°!“1) + В0-1+В0^-' <*>

г*е ВЫ)=-^г~О0), С(,)=^-~0( 1).

Граничные условия (5) и (6) примут вид:

£ за* У =3 б = 0 При }.— О,

Е-* 1, б1 при Х->оо.

В предположении теории удлиненных тел величины Е, V, б, В, С можно представить в виде асимптотического разложения по 0: £= = Ei+W^Eг-\— и т. д. В первом приближении уравнения

д3Е ж* дЕ , «уI дЕ ..п!

ж=уж + т~д^' <12>

д^^У^г + с{а*-\) + Ео~-\+во^,

Г Е-С°-В-^ ,

™ 8(1) = ^?Г. СЫ*--^-

Для решения уравнений (12) — (14), кроме граничных условий (10) — (11), необходимо также условие при -п=0. В плоскости симметрии величина В обращается в нуль. Поэтому при т] = 0 получаем:

д2Е дЕ /1КЧ

ж=у-ж-> <15>

^-У^г + С

ТТ"—И“СЙ'

Численная схема расчета уравнений (12) — (14) и (15) — (17) имеет второй порядок точности.

Как уже упоминалось выше при фиксированной линии схода вихревой пелены, расчет уравнений пограничного слоя приводит к более раннему местоположению отрыва пограничного слоя. На рис. 2 представлена зависимость угла отрыва пограничного слоя т^, рассчитанного без учета вязко-невязкого взаимодействия, от угла невязкого отрыва 11о при а = 3. Угол ^о(З) =76°.

4. Вязко-невязкое взаимодействие можно учесть путем задания соответствующих граничных условий при А-*-оо. Представим ше(т]) в виде

Зис. 2

Зависимость шео(т]) представляет собой результат решения задачи, невязкого отрывного обтекания расширяющейся окружности, а Wei (л) — поправка для учета вытесняющего воздействия пограничного слоя на внешнее течение. Следует иметь в виду, что координата невязкого отрыва, от которой зависит we0(rj), зарание не известна.

При больших числах Re — вязкий пристеночный слой бу-

дет тонок. Вытесняющее действие пограничного слоя от точки Т)=0 до Ti = rji (координаты отрыва пограничного слоя с учетом вязко-невязкого взаимодействия) моделируется источниками. Из-за действия вязкости при Х-+оо меняется нормальная к конусу скорость на величину Veb iyi)- Плотность ИСТОЧНИКОВ q — 2Veb или в принятых выше обозначениях

V

Рассмотрим область, являющуюся малой окрестностью точки отрыва с характерным размером в«сг(|). Совместим начало локальной системы координат (а, ц) с точкой г) = т1о невязкого отрыва, вообще говоря не совпадающей с точкой т^. Так как размеры области малы, можно считать, что поверхность тела в этой области прямая и описывается уравнением ц = 0. В первом приближении уравнение вихревой пелены при малых 6 ^ =*= к (%) а3 [9]. Тогда скорость Дда, индуци-

руемая частью вихревой пелены 0<с«а*, в точке о0 из рассматриваемой окрестности определяется с помощью интеграла типа Коши

Дю— 1 ? Т (д) _______1_ ? 1 (я) &

2яг Л о + 1уц — о0 2яг ,) о — /рц — а0 ’

о о

где 7 ($) —плотность циркуляции, — длина элемента вихревой пелены, 7(0) = Разлагая в ряд при малых о, имеем

Формула (19) указывает, что вихревая пелена оказывает вытесняющее по отношению к поверхности тела действие, и в главном приближении индуктивное влияние части вихревой пелены 0<ст< а* можно выразить через распределенные по поверхности от о = 0 до ст=>а* источники с плотностью интенсивности

д=-*.3±ат

и сток интенсивности ~ аГ, расположенный в точке О*.

Как известно, на достаточно больших расстояниях от точки отрыва (согласно асимптотической теории на расстояниях, намного больше области взаимодействия) геометрия вихревой пелены и ее вклад в индуктивные скорости подчиняются невязким уравнениям. В окрестности точки отрыва, наоборот, вязкость играет первостепенную роль. Поэтому имеет смысл разбить вихревую поверхность за точкой отрыва пограничного слоя на три части:

а. В области от точки отрыва пограничного слоя т]1 до некоторой точки т] = т]2, наперед выбранной в достаточно удаленной от точки отрыва, принимается, что характеристики течения и формула нулевой линии тока определяются вязкими уравнениями. В области, где б(^)>0, расчет производится с помощью уравнений (12) — (14), с граничным уловием (М) при Я~>оо. В области возвратных течений б(Я)<0 для решения уравнений пограничного слоя необходимо задание граничных условий при л = т)2- Определение этих условий представляет собой трудную задачу. Однако известно, что в области возвратных течений окружные скорости малы (|б|<1). Поэтому, ограничиваясь в уравнениях (12) — (14) только членами одного порядка малости по й, получим уравнения, которые для своего решения не требуют задания граничных условий при Т] = Т12-'

д*Е _ „дЕ алз ~ И дХ ’

__17 дО , рг* 1

Ш=УЖ +ЕО-1-С,

___«?_ р

дА 2 ’

Е = 1/ = 0 = 0 при /. = 0.

На определяемой в процессе решения границе между областями б>0 и б<0 считается, что величины £ и V не терпят разрыва.

В области г)1<:т)<:т]2 располагаются источники с плотностью, значение которой определяется по формуле (18).

б. В области от точки г] = г)2 до точки т] = т]з принимается, что характеристики течения определяются невязкими уравнениями. Здесь также располагаются источники, но их плотность определяется по формуле (20). Роль этой зоны состоит в том, что влияние источников на граничные условия в области т)<т]2 выражается через главное значение интеграла типа Коши. Для правильного вычисления последнего необходимо равноудаленное задание особенностей как до точки, в которой вычисляется индуктивная скорость, так и после нее.

в. В области от точки 14 = 143 и далее принимается, что характеристики течения и форма нулевой линии тока определяются невязкими уравнениями. Поверхность вихревой пелены разбивается на дискретные вихри, от которых рассчитываются индуктивные скорости на поверхности конуса. В центре плоскости поперечного сечения конуса (окружности) располагается точечный сток с интенсивностью, равной половине суммы интенсивностей источников, распределенных по поверхности окружности. Он необходим для того, чтобы на поверхности конуса удовлетворялось условие равенства плотности источников удвоенной нормальной к поверхности скорости, которая возникает из-за роста толщины вытеснения пограничного слоя.

Таким образом, величина 1Юеь (»)) представляет собой поле скоростей от источников, расположенных на окружности в областях 0<г)<г]1 и т]1<т]<т]2. Интенсивность этих источников определяется по формуле (18). Величина ше0(т)) есть суперпозиция скорости безотрывного обтекания расширяющейся окружности, скорости от источников, расположенных на окружности в области т]2<т|<т|з (интенсивность определяется по формуле (20)), и скорости от части вихревой пелены, расположенной в области т]>т]з.

При решении уравнений пограничного слоя в любой точке Ос^ст^ неизвестными ЯВЛЯЮТСЯ ПЛОТНОСТЬ ИСТОЧНИКОВ <7(ri) и граничное условие в этой точке 0^(14) (от величины гг>е(т}) зависят B(ri) и С(14)). Известно только соотношение между величинами <?(г]) и аУеСп). процедура нахождения которого описана выше.

Задача о взаимодействии представляет собой эллиптическую задачу. Совместное решение уравнений Лапласа и пограничного слоя производится методом итераций. При заданном Re в процессе каждой итерации меняются зависимость <7(14) и точка невязкого отрыва 140. Задача считается решенной, если распределение источников, рассчитанное до точки г]2, гладко стыкуется с распределением источников до этой точки, рассчитанным по формуле (20), т. е. распределение источников, которое дают уравнения пограничного слоя, гладко выходит на невязкое распределение источников.

На рис. 3 представлена зависимость плотности источников q от угловой координаты ц. Рассчитывался случай а = 3, 03Re= 1,2 • 104.

5. На рис. 4 представлена зависимость угла отрыва пограничного слоя от величины 02Re при а = 3. Для сравнения приведены результаты экспериментальных исследований и асимптотических расчетов, взятых из работы [4]. Имеющиеся расхождения могут быть объяснены неадекватностью выбранной математической модели физической картине обтекания. В частности, учет вторичного отрыва должен привести к более позднему (по Г)) первичному отрыву.

На рис. 5 представлена зависимость угла отрыва пограничного слоя от относительного угла атаки а для двух значений 0aRe: 104 и 105.

ЛИТЕРАТУРА

1. Захаров С. Б. Расчет невязкого отрывного обтекания тонкого кругового конуса на больших углах атаки.—Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. VII, № 6.

2. С ыч е в В. В. О ламинарном отрыве. — Изв. АН СССР, МЖГ,

1972, № 3.

3. S m i t h F. T. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface. — Proc. Roy. Soc. London. Ser. A, 1977, vol. 356, N 1687.

4. F i d d e s S. P. A theory of the separated flow past a slender elliptic cone at incidence. — AGAJRD CP-291, 1980, paper 30,

5. Вельдман А. Э. П. Новый (квазиодновременный) метод расчета пограничных слоев с учетом вязко-невязкого взаимодействия. — РТК, 1981, т. 19, № 1.

6. Никольский А. А. Законы подобия для трехмерного стационарного обтекания тел идеальной жидкостью и газом. — Ученые запискщ ЦАГИ, 1970, т. 1, № 1.

7. 3 а х а р о в С. Б. Влияние разделительной пластины на симметричность отрывного обтекания треугольного крыла малого удлинения. — Ученые записки ЦАГИ, 1986, т. XVII, № 3.

8. Шевелев Ю. Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя.— М.: Наука, 1977.

9. Б е т я е в С. К. Эволюция вихревых пелен. — В сб. «Динамика сплошной среды со свободными поверхностями», Чебоксары, 1980.

Рукопись поступила 29J VIII 1989