ЧИСЛЕННОЕ УСРЕДНЕНИЕ ДЛЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В УСЛОВИЯХ КРИОЛИТОЗОНЫ

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2020. Том 27, № 2

УДК 519.63

ЧИСЛЕННОЕ УСРЕДНЕНИЕ

ДЛЯ ЗАДАЧ ТЕПЛОПЕРЕНОСА

В УСЛОВИЯХ КРИОЛИТОЗОНЫ

В. Н. Алексеев, А. А. Тырылгин, М. В. Васильева, В. И. Васильев

Аннотация. В работе рассматриваются задачи теплопереноса с учетом фазовых переходов влаги в промерзающем/протаивающем грунте. Математическая модель процессов теплопереноса с фазовым переходом описывается классической моделью Стефана и представляет собой нелинейное параболическое уравнение. Для решения задачи предложен метод численного усреднения для нелинейной задачи с использованием эффективных коэффициентов теплопроводности и объемной теплоемкости для талой и мерзлой зон. Вычисления эффективного тензора теплопроводности проводится в локальных областях (ячейки грубой сетки) и используются при построении аппроксимации на грубой сетке методом конечных элементов. Численная реализация конечно-элементной аппроксимации проведена с помощью вычислительной библиотеки РЕшС8. Представлены численные результаты для двумерной и трехмерной модельных задач.

Б01: 10.25587/8УРи.2020.47.81.005

Ключевые слова: математическое моделирование, теплоперенос, фазовый переход, задача Стефана, численное усреднение, метод конечных элементов, РЕшОЭ.

Введение

Задачи теплопереноса с фазовым переходом играют важную роль в районах распространения многолетнемерзлых грунтов, которые занимают большую часть территории России. Исследование изменений температурного режима грунтов является необходимым элементом инженерно-геологического обоснования строительства инженерных объектов в районах распространения многолетнемерзлых грунтов. Тепловые процессы в грунтах учитываются при проектировании зданий и инженерных сооружений, строительстве автомобильных и железных дорог [1—8].

Процессы, происходящие в криолитозоне, характеризуются многомасштабной природой. Более того, современные строительные материалы обладают существенной неоднородностью свойств, которые могут существенно сказываться

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 19-11-00230).

© 2020 Алексеев В. Н., Тырылгин А. А., Васильева М. В., Васильев В. И.

на возникающих тепловых потоках. С учетом мелкомасштабных неоднородно-стей аппроксимация таких задач может привести к задачам очень большой размерности, обладающим высокой вычислительной сложностью. Для эффективного численного решения таких задач разработаны методы численного усреднения [9-13] и различные многомасштабные методы [14-17].

В данной работе для задачи теплопереноса с фазовым переходом в непериодических неоднородных средах представлен метод численного усреднения. В предлагаемом методе вычисляются эффективные теплофизические характеристики грунтов с использованием независимых локальных задач для каждой грубой ячейки. Решение глобальной задачи на грубой сетке осуществляется с использованием макроскопических тензорных коэффициентов.

Работа состоит из четырех частей. В первой части рассмотрена математическая модель теплопереноса с фазовыми переходами поровой влаги. Математическая модель описывается задачей Стефана для теплопереноса. Во второй части проводится конечно-элементная аппроксимация рассматриваемого уравнения на мелкой сетке. В третьей части описывается метод численного усреднения задачи на грубой сетке. В четвертой части представлены результаты численного решения задачи в двумерной и трехмерной постановках для двух тестовых случаев. В конце работы приведено заключение.

Рассмотрим математическую модель, описывающую распределение температуры с учетом промерзания/протаивания поровой влаги/льда и наоборот, в котором фазовый переход происходит при заданной температуре фазового перехода Т* в области О = О- и 0+ и 5 (р ис. 1). Здесь 0+ — область, занятая талым грунтом (талая зона), где температура превышает температуру фазового перехода:

Б — граница фазового перехода.

Для моделирования процессов теплопереноса с фазовым переходом используется классическая модель Стефана:

где Ь — удельная теплота фазового перехода. Для коэффициентов уравнения имеем следующие соотношения объемной теплоемкости и теплопроводности:

1. Математическая модель

о+(г) = {х : х е о, т(х,г) > т*},

О-(г) — область занятая мерзлым грунтом (мерзлая зона): 0-(г) = {х : х е О, Т(х, г) < Т*},

а(ф) = с-р- + ф(с+ р+ - с-р-), А(ф) = А- + ф(Л+ - А-),

Рис. 1. Расчетная область

плотность и удельная теплоемкость талой и мерзлой

Здесь р+, с+ и р-, с зон соответственно, ф — функция Хэвисайда.

Для коэффициентов теплоемкости и теплопроводности в талой и мерзлой зонах используются следующие соотношения:

с-р- = (1 - m)cscРве + тед, с+ р+ = (1 - т)свсРве + тс№Р'Ш, А- = (1 — т)Лве + тЛг, А+ = (1 — т)Лве + , где т — пористость. Индексы йс, эд, г — обозначают собственно грунт, воду и лед. Отметим некоторые важные моменты. На практике фазовые превращения не происходят мгновенно, а могут происходить в малом интервале температуры [Т* — Д,Т* + А]. Вместо ф возьмем ее кусочно-линейное приближение фд следующего вида:

0,

Фд

Т-Т*+Л 2Д

т < Т* — А, Т* - А < Т < Т* + А,

<#д

0,

Т > Т * + Д Т < Т* - Д.

= ^ Т* - А <Т <Т* + А 0, Т > Т* + Д. Тогда получим следующее уравнение для температуры: , йфд\ дТ

<*

Уравнение (1.2) дополняется соответствующими начальным и граничными условиями:

Т(х, 0) = То, X е п,

Т(х,*) = д(х), X е Гх, * = (0,*тах],

дТ

-Л— =0, х е г2, ¿ = (о,*тах].

1

2. Конечно-элементная аппроксимация на мелкой сетке

Проведем аппроксимацию уравнения (1.2) на мелкой сетке с использованием метода конечных элементов. Умножим уравнение для температуры на функцию V и проинтегрируем с использованием формулы Грина:

/( \ дТ Г

( а(фл) + ) + / (КФл) gradг;) сЬс = 0,

о о

где V € Нх(0). Определим равномерную для простоты сетку по времени

¿п = ПТ, П =0, 1, . . . , N0; тЫ0 = ¿шах.

Для аппроксимации по времени уравнения для температуры на каждом временном слое применим стандартную чисто-неявную схему. Для линеаризации уравнения воспользуемся простейшей линеаризацией, когда коэффициенты зависят от значения функции с предыдущего временного слоя:

Лфд \ Тп+! — Тп

а(фА)+р+Ь^\ ---I (А(^>д) gradTrl+1, gradг^) сЬс = 0,

о о

где Тп = Т(¿п) € Нх(0). Таким образом, исходная задача на каждом временном слое сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

Ау = Ь.

Уравнение в более общем виде записывается так:

а(Т, V) = Ь(^),

где

а(Т, у) = J (^а(фА) + р+Ь^-^ + J(Х(фл) gradT'г+1,ёгааг;) с1х.,

оо

Ь

о

Для температуры использовались стандартные лагранжевы конечные элементы (СО) первого порядка.

3. Численное усреднение на грубой сетке

Для решения уравнения теплопроводности с фазовым переходом на грубой сетке используем метод численного усреднения. Метод заключается в нахождении эффективных коэффициентов на грубой сетке посредством решения независимых локальных задач для каждой ячейки грубой сетки.

Т

п

Рис. 2. Иллюстрация грубой сетки З^н, неоднородности и локальной области.

Пусть £?н — грубая сетка (рис. 2) и

где К — локальная область, N — число ячеек грубой сетки и г — индекс ячейки грубой сетки.

Для построения аппроксимации на грубой сетке отдельно вычисляем эффективную теплопроводность Л+ в талой и Л- мерзлой зонах для двумерного и трехмерного случаев:

(Л+г = Г(Л+ ,(Л+ )$1 (Л+ )12 1 (Л+)22. , (Л+ )* = Г(Л+)11 (Л+)21 _(Л+)31 (Л+ )12 (Л+)22 (Л+ )з2 (Л+ )1з1 (Л+)2з (Л+ )3з.

(Л- Г = [(Л" )11 .(Л" )21 (Л- )12_ (Л- )22. , (Л-Г = Г (Л- )11 (Л- )21 (Л- )31 (Л- )12 (Л- )22 (Л- )з2 (Л- )1з" (Л- )2з (Л- )3з

Далее определяем эффективные коэффициенты для непериодической неоднородной среды в каждой ячейке грубой сетки {(Л+ (Л-}для К е ^н. Для достижения этой цели решаем следующие локальные задачи в Кг для талой и мерзлой зон соответственно:

- аЦ(Л+ )к grad(^ + )К4) =0,

(^+)К = х

к е Кг, х е дКг,

- div((Л-)к grad(^-)*<) =0, х е Кг,

(^- )К4 = х,-, х е дКг,

где (Л-)к^ = (Л-)к,[ (х) и (Л+ )к,[ = (Л+ )к^ (х) — ограничение неоднородного коэффициента Л- и Л+ на локальную область Кг, х = (х1 , х2) для двухмерного случая и х = (х1 , х2 , х3) для трехмерного случая. Поэтому для двухмерной задачи мы решаем две локальные задачи, а для трехмерной задачи у нас есть три локальные задачи. Отметим, что для локальной задачи могут быть применены и другие граничные условия.

Далее можно найти элементы тензора эффективной теплопроводности талой и мерзлой зон для текущего К^:

К;

К;

где d — размерность задачи, d равно 2 или 3.

Наконец, решаем задачу теплопереноса на грубой сетке с эффективной теплопроводностью

а

где

А*(ф) = (А-)* + ф((А+ )* - (А-)*).

Используя метод конечных элементов на грубой сетке , запишем ее аппроксимацию:

ТП+1 _ ТП

а(фА ) + Р ь—— | -V I

У Т"+1т + J (А*(<М)§гааТп+1,§гасЬ)(гх = 0.

о о

4. Численные результаты в двумерной и трехмерной постановках

В этом разделе представлены результаты численного решения задачи теп-лопереноса в двумерной и трехмерной областях с использованием метода численного усреднения. Вычисления производились на структурированной вычислительной области О = [0, х [0, Ьу] с Ьх = 1 м, Ьу = 1 м для двумерной сетки и О = [0, х [0, Ьу] х [0, Ьх] с Ьх = 0.5 м, Ьу = 0.5 м, Ьх = 1.0 м в трехмерном случае. Мы рассмотрели две грубые сетки с размерами 10 х 10 и 20 х 20 и мелкую сетку с размерами 320 х 320 для двумерной области (рис. 3) и две грубые сетки с размерами 5х5х 10и 10х 10х20и мелкую сетку с размерами 30х30х60 для трехмерной области (рис. 4). Для построения вычислительных областей и сеток используется программное обеспечение СМ8И [18]. Численная реализация задачи основана на аппроксимации конечных элементов с использованием вычислительной платформы ЕЕшС8 [19].

Расчеты проводились при следующих значениях теплофизических характеристик грунта, размеров области, длительности процесса по времени: т = 0.2, с-р- = 1886400 Дж/м3, с+р+ = 2397600 Дж/м3, р+Ь = 73000000 Дж, рг = 916.8кг/м3, Аш = 0.556 Вт/(м-°С), Аг- = 2.33 Вт/(м-°С), А = 2°С, Т* = 0°С, dí = 30 с, ¿тах = 100000 с.

11111111111111111111111 м 11111111111111

Г ШШШ [ЯМНШ

Рис. 3. Расчетные сетки и неоднородная область. Слева направо: мелкая сетка 320 х 320; грубая сетка 10 X 10; грубая сетка 20 X 20; неоднородная область для коэффициента Л5С.

Рис. 4. Расчетные сетки и неоднородная область. Слева: мелкая сетка 30 X

30 X 60; в центре: грубая сетка 10 X 10 X 20; Справа: неоднородная область для

коэффициента Л5С.

Неоднородный коэффициент Л5с представлен на рис. 3 для двумерной области и рис. 4 для трехмерной области.

Температура верхней стенки поддерживается при Ти = —20оС.

Для первого тестового случая начальная температура равна То = — 1оС.

Для второго тестового случая начальная температура равна Т0 = 1оС.

Далее представлены результаты для первого и второго тестовых случаев (рис. 5-9) в двумерной области с использованием грубой сетки 20 х 20 и в трехмерной области с использованием грубой сетки 10 х 10 х 20. Белой линией обозначена граница фазового перехода. Сверху представлены результаты решения на мелкой сетке с использованием метода конечных элементов, снизу приведены результаты решения на грубой сетке с применением метода численного усреднения.

Рис. 5. Тест 1: Распределение температуры в разные моменты времени £ = 3330 с, £ = 33330 с, £ = 66660 с, £ = 100000 с соответственно, сверху решение на мелкой сетке, снизу решение на грубой сетке.

Рис. 6. Тест 2: Распределение температуры в разные моменты времени £ = 3330 с, £ = 33330 с, £ = 66660 с, £ = 100000 с соответственно, сверху решение на мелкой сетке, снизу решение на грубой сетке.

Рис. 7. Тест 1: Распределение температуры в разные моменты времени £ = 1660 с, £ = 16660 с, £ = 33330 с, £ = 50000 с соответственно, сверху решение на мелкой сетке, снизу решение на грубой сетке.

Рис. 8. Тест 2: Распределение температуры в разные моменты времени £ = 1660 с, £ = 16660 с, £ = 33330 с, £ = 50000 с соответственно, сверху решение на мелкой сетке, снизу решение на грубой сетке.

Рис. 9. Относительная ¿2 (%) и И\ (%) погрешность для двухмерной области в разные моменты времени (сек.). Сверху: Первый тестовый случай. Снизу: второй тестовый случай. Красный цвет: для грубой сетки 10 X 10, синий цвет: для грубой сетки 20 X 20.

Таблица 1. Относительная Ь2 (%) и И (%) погрешность в конечный момент времени 4 = 50000 с

Тест ь2

сетка 10 х 10

Тест 1 0.587 5.576

Тест 2 2.254 7.672

сетка 20 х 20

Тест 1 0.255 2.1

Тест 2 0.426 2.456

сетка 10 х 10 х 20

Тест 1 1.732 17.449

Тест 2 4.975 18.564

Рис. 10. Относительная Ь2 (%) и И\ (%) погрешности для трехмерной области в разные моменты времени (сек.). Сверху: первый тестовый случай. Снизу: второй тестовый случай.

Для сходимости приближенного решения с использованием метода численного усреднения решены несколько задач на разных сетках, где в качестве эталонного решения использовано решение задачи на сетке 320 х 320 для двумерного случая и 30 х 30 х 60 для трехмерного случая с использованием метода конечных элементов. Затем вычислены относительные Ь2- и И-погрешности между эталонным решением и решениями на грубых сетках с использованием метода численного усреднения. На рис. 9, 10 представлены относительные Ь2-и И-погрешности для двумерной и трехмерной областей. В табл. 1 приведены относительные Ь2 и И погрешности в конечный момент времени для первого и второго тестовых случаев в двумерной и трехмерной областях.

Заключение

В работе предложен численный метод решения задачи теплопереноса с фазовым переходом с помощью метода численного усреднения. Эффективные коэффициенты теплопроводности вычисляются с помощью локальных решений на грубой сетке. Представлены численные результаты решения двумерных и трехмерных задач. Проведено сравнение метода численного усреднения для решения задачи на грубых сетках с методом конечных элементов на мелкой сетке в двумерной и трехмерной постановках. Полученные результаты показывают,

что предлагаемый метод на грубой сетке может обеспечить точные приближения решений на мелкой сетке, следовательно, результаты могут эффективно использоваться для решения поставленной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вабищевич П. Н., Варламов С. П., Васильев В. И., Васильева М. В., Степанов С. П. Численное моделирование температурного поля многолетнемерзлого грунтового основания железной дороги // Мат. моделирование. 2016. Т. 28, № 10. С. 110—124.

2. Вабищевич П. Н., Варламов С. П., Васильев В. И., Васильева М. В., Степанов С. П. Математическое моделирование теплового режима железнодорожного полотна в условиях криолитозоны // Вестн. Северо-Вост. федер. ун-та им. М. К. Аммосова. 2013. T. 10, № 5. С. 5-11

3. Васильев В. И., Данилов Ю. Г., Еремеев И. С., Попов В. В., Цыпкин Г. Г., Юйжуй С., Яндун Ч. Сравнение математических моделей тепломассопереноса в почвогрунтах // Вестн. Северо-Вост. федер. ун-та им. М. К. Аммосова. 2013. T. 10, № 4. С. 5-10

4. Васильева М. В., Павлова Н. В. Конечно-элементная реализация задачи замораживания фильтрующих грунтов // Мат. заметки СВФУ. 2013, T. 20, № 1. С.195-205.

5. Павлов А. В., Перльштейн Г. З., Типенко Г. С. Актуальные аспекты моделирования и прогноза термического состояния криолитозоны в условиях меняющегося климата // Криосфера Земли. 2010. T. 14, № 1. C. 3-12.

6. Вабищевич П. Н., Васильева М. В., Павлова Н. В. Численное моделирование термостабилизации фильтрующих грунтов // Мат. моделирование. 2013. T. 26, № 9. C. 111-125.

7. Вабищевич П. Н., Илиев О. П. Численное решение сопряженных задач тепло- и мас-сопереноса с учетом фазового перехода // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 7. С. 1127-1132.

8 Stepanov S. P., Sirditov I. K., Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V., Vasilyev V. I., Tceeva A. N. Numerical simulation of heat transfer of the pile foundations with permafrost // Intern. Conf. Numer. Anal. Appl. 2016. P. 625-632.

9 Васильева М. В., Стальнов Д. А. Численное усреднение для задачи теплопроводности в неоднородных и перфорированных средах // Вестн. Северо-Восточного федерального ун-та им. М. К. Аммосова. 2017. T. 2, № 58. С. 49-59

10. Talonov A., Vasilyeva M. On numerical homogenization of shale gas transport //J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 301. P. 44-52.

11. Savatorova V. L., Talonov A. V., Vlasov A. N. Homogenization of thermoelasticity processes in composite materials with periodic structure of heterogeneities // Zeitschrift fiir Angewandte Mathematik und Mechanik. J. Appl. Math. Mech. 2013. V. 93, № 8. P. 575-596.

12. Tyrylgin A., Spiridonov D., Vasilyeva M. Numerical homogenization for poroelasticity problem in heterogeneous media // J. Physics: Conf. Ser. IOP Publishing. 2019. V. 1158, N 4. 042030.

13. Gavrilieva U., Alekseev V., Vasilyeva M. Numerical homogenization for wave propagation in fractured media // AIP Conf. Proc. AIP Publ. 2018. V. 2025, N 1. 100002.

14. Alekseev V., Gavrileva U., Spiridonov D., Tyrylgin A., Vasilyeva M. Numerical simulation of the transport and flow problems in perforated domains using generalized multiscale finite element method // AIP Conf. Proc. AIP Publ. 2018. V. 2025, N 1. 100001.

15. Stepanov S., Vasilyeva M., Vasil'ev V. I. Generalized multiscale discontinuous Galerkin method for solving the heat problem with phase change //J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 340. P. 645-652.

16. Chung E., Efendiev Y., Leung W., Ren J. Multiscale simulations for coupled flow and transport using the generalized multiscale finite element method // Computation. 2015. V. 3, N 4. P. 670-686.

17. Alekseev V., Tyrylgin A., Vasilyeva M. Generalized multiscale finite element method for elasticity problem in fractured media // Intern. Conf. Finite Difference Methods. Cham: Springer-Verl. 2015. P. 137-144.

18 Geuzaine C., Remacle J. F. Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in pre-and post-processing facilities // Intern. J. Numer. Methods in Engineering. 2015. V. 79, N 11. P. 1309-1331.

19 Logg A., Kent-Andre M., Garth W., eds. Automated solution of differential equations by the finite element method: The FEniCS book. Vol. 84 // Berlin: Springer Sci.& Business Media, 2012.

Поступила в редакцию 5 декабря 2019 г. После доработки 6 февраля 2020 г. Принята к публикации 30 апреля 2020 г.

Алексеев Валентин Николаевич

Международная научно-исследовательская лаборатория

«Многомасштабное математическое моделирование и компьютерные вычисления». Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, ул. Кулаковского, 42, Якутск 677980 alekseev.valen@mail.ru

Тырылгин Алексей Афанасьевич

Международная научно-исследовательская лаборатория

«Многомасштабное математическое моделирование и компьютерные вычисления».

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова,

ул. Кулаковского, 42, Якутск 677980

koc9tk@mail.ru

Васильева Мария Васильевна

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова,

кафедра вычислительных технологий,

ул. Кулаковского, 42, Якутск 677980;

Institute for Scientific Computation,

Texas A&M University,

College Station, TX 77843-3368

vasilyevadotmdotv@gmail.com

Васильев Василий Иванович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, кафедра вычислительных технологий, ул. Кулаковского, 42, Якутск 677980 vasvasil@mail.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2020. Том 27, № 2

UDC 519.63

NUMERICAL HOMOGENIZATION

FOR HEAT TRANSFER PROBLEMS

IN THE PERMAFROST ZONE

V. N. Alekseev, A. A. Tyrylgin, M. V. Vasilyeva, and V. I. Vasilyev

Abstract: The work considers heat transfer problems taking into account phase transitions of moisture in the soil. The mathematical model of heat transfer processes with phase transition is described using the classical Stefan model and is a nonlinear parabolic equation. To solve the problem, a numerical homogenization method is proposed for the nonlinear problem using the effective thermal conductivity coefficient for thawed and frozen zones. The calculation of the effective thermal conductivity tensor is carried out in local domains (coarse mesh cells) and is used to construct the approximation on a coarse mesh by the finite element method. Numerical implementation was carried out using FEniCS computational library for finite element approximation. Numerical results are presented for the model problem in two-dimensional and three-dimensional formulations.

DOI: 10.25587/SVFU.2020.47.81.005 Keywords: mathematical modeling, heat transfer, phase transition, the Stefan problem, numerical homogenization, the finite element method, FEniCS.

REFERENCES

1. Vabishchevich P. V., Varlamov S. P., Vasilyev V. I., Vasilyeva M. V., and Stepanov S. P., "Numerical simulation of the temperature field of the permafrost soil base of the railway [in Russian]," Mat. Modelir., 28, No. 10, 110-124 (2016).

2. Vabishchevich P. V., Varlamov S. P., Vasilyev V. I., Vasilyeva M. V., and Stepanov S. P., "Mathematical modeling of the thermal regime of the railway in the conditions of cryolithozone [in Russian]," Vestn. Severo-Vostoch. Feder. Univ. im. M. K. Ammosova, 10, No. 5, 5-11 (2013).

3. Vasilyev V. I., Danilov Y. G., Eremeev I. S., Popov V. V., Tsypkin G. G., Yuyzhui S., and Yandong Z., "Comparison of mathematical models of heat and mass transfer in soils [in Russian]," Vestn. Severo-Vostoch. Feder. Univ. im. M. K. Ammosova, 10, No. 4, 5-10 (2013).

4. Vasilyeva M. V. and Pavlova N. V., "Finite-element implementation of the problem of freezing filter soils [in Russian]," Mat. Zamet. SVFU, 20, No. 1, 195-205 (2013).

5. Pavlov A. V., Perlstein G. Z., and Tipenko G. S., "Actual aspects of modeling and prediction of the thermal state of the permafrost zone in a changing climate [in Russian]," Kriosfera Zemli, 14, No. 1, 3-12 (2010).

© 2020 V. N. Alekseev, A. A. Tyrylgin, M. V. Vasilyeva, V. I. Vasilyev

6. Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V., and Pavlova N. V., "Numerical simulation of thermal stabilization of filtering soils [in Russian]," Mat. Modelir., 26, No. 9, 111-125 (2013).

7. Vabishchevich P. N. and Iliev O. P., "Chislennoe reshenie soprjazhennyh zadach teplo- i masso-perenosa s uchetom fazovogo perehoda [in Russian]," Differ. Uravn., 23, No. 7, 1127-1132 (1987).

8. Stepanov S. P., Sirditov I. K., Vabishchevich P. N., Vasilyeva M. V., Vasilyev V. I., and Tseeva A. N., "Numerical simulation of heat transfer of the pile foundations with permafrost," in: Int. Conf. Numerical Analysis and Its Applications, pp. 625-632 (2016).

9. Vasilyeva M. V. and Stalnov D. A.,, "Numerical averaging for the heat conduction problem in heterogeneus and perforated media [in Russian]," Vestn. Severo-Vostoch. Feder. Univ. im. M. K. Ammosova, 2, No. 58, 49-59 (2017).

10. Talonov A. and Vasilyeva M., "On numerical homogenization of shale gas transport," J. Com-put. Appl. Math., 301, 44-52 (2016).

11. Savatorova V. L., Talonov A. V., and Vlasov A. N. , "Homogenization of thermoelasticity processes in composite materials with periodic structure of heterogeneities," ZAMM, J. Appl. Math. Mech., Mechanik, 93, No. 8, 575-596 (2013).

12. Tyrylgin A., Spiridonov D., and Vasilyeva M., "Numerical homogenization for poroelasticity problem in heterogeneous media," in: J. Phys. Conf. Ser. IOP Publ., 1158, No. 4, 042030 (2019).

13. Gavrilieva U., Alekseev V., and Vasilyeva M., "Numerical homogenization for wave propagation in fractured media," in: AIP Conf. Proc., 2025, No. 1, 100002, AIP Publ. (2018).

14. Alekseev V., Gavrilieva U., Spiridonov D., Tyrylgin A., and Vasilyeva M., "Numerical simulation of the transport and flow problems in perforated domains using generalized multiscale finite element method," in: AIP Conf. Proc., 2025, No. 1, 100001, AIP Publ. (2018).

15. Stepanov S., Vasilyeva M., Vasil'ev V., "Generalized multiscale discontinuous Galerkin method for solving the heat problem with phase change," J. Comput. Appl. Math., 340, 645-652 (2018).

16. Chung E., Efendiev Y., Leung W., and Ren J., "Multiscale simulations for coupled flow and transport using the generalized multiscale finite element method," Computation, 3, No. 4, 670-686 (2015).

17. Alekseev V., Tyrylgin A., and Vasilyeva M., "Generalized multiscale Finite Element Method for elasticity problem in fractured media," in: Int. Conf. Finite Difference Methods, pp. 137144, Springer, Cham (2015).

18. Geuzaine C. and Remacle J. F., "Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in pre-and post-processing facilities," Int. J. Numer. Methods Eng., 79, No. 11, 1309-1331 (2015).

19. Logg A., Mardal K.-A., and Wells G., eds., Automated Solution of Differential Equations by

the Finite Element Method: The FEniCS book, vol. 84, Springer (2012).

Submitted December 5, 2019 Revised February 6, 2020 Accepted April 30, 2020

Valentin N. Alekseev

International Research Laboratory "Multiscale Model Reduction", Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677980, Russia alekseev.valen@mail.ru

Aleksei A. Tyrylgin

International Research Laboratory "Multiscale Model Reduction", Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677980, Russia koc9tk@mail.ru

Maria V. Vasilyeva

Department of Computational Technology, Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677980, Russia; Institute for Scientific Computation, Texas A&M University, College Station, TX 77843-3368 vasilyevadotmdotv@gmail.com Vasiliy I. Vasilyev

Department of Computational Technology, Ammosov North-Eastern Federal University, 42 Kulakovsky Street, Yakutsk 677980, Russia vasvasil@mail.ru