Аспределение продольных скоростей в ламинарном течении с противоположно вращающимися коаксиальными слоями

УдК 532.517.2/ 626.01 DOI: 10.22227/1997-0935.2017.9.1027-1038

распределение продольных скоростей в ламинарном течении с противоположно вращающимися коаксиальными слоями

А.Л. Зуйков

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУМГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26

АН НОТАцИЯ. Предмет исследования: статья относится к области гидродинамики, в частности к научным основам гидротехнического строительства, и посвящена ламинарному течению несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе, в котором спутные коаксиальные слои вращаются в противоположных направлениях. Это называемое «контрвихревым» течение, имеет структуру, способствующую интенсивной диффузии движущейся среды и диссипации ее механической энергии. Диффузия многофазных и неоднородных сред используется в микробиологии, химии, экологии, теплотехнике, энергетике, двигателе- и ракетостроении, диссипация энергии потока требуется в глубинных водосбросах высоконапорных гидроузлов.

цели: разработка и анализ теоретической модели течения, позволяющие выявить общие физические закономерности его гидродинамики.

Методы: в основу разработки теоретической модели положены метод линеаризации дифференциальных уравнений Навье—Стокса с использованием традиционных допущений и метод их решения путем разложения в ряды Фурье— Бесселя.

Результаты: получены теоретические функции радиально-продольного распределения азимутальных и аксиальных скоростей в исследуемом течении. Приведены графики этих распределений при характерных закрутках взаимодействующих слоев и числе Рейнольдса, равном Re = 500.

Выводы: анализ полученной модели показал, что изменение вязкости среды сказывается обратно пропорционально на протяженности зоны интенсивной вязкой диффузии закрутки взаимодействующих слоев, в пределах которой контрвихревое течение трансформируется в продольно-осевое без закрутки. При снижении вязкости среды процесс взаимодействия противоположно вращающихся слоев растягивается по длине, при повышении вязкости — сокращается. В приосевой области контрвихревого потока наблюдается сильное возвратное течение. Это явление может использоваться для эффективного дожигания топлива в камерах сгорания теплоэнергетических установок и реактивных двигателей.

КЛЮчЕВыЕ СЛОВА: контрвихревое течение, ламинарное течение, несжимаемая жидкость, уравнения Навье— Стокса, разложение Фурье—Бесселя

ДЛЯ цИТИРОВАНИЯ: Зуйков А.Л. Распределение продольных скоростей в ламинарном течении с противоположно вращающимися коаксиальными слоями // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12. Вып. 9 (108). С. 1027-1038.

DISTRIBUTION OF AXIAL VELOCITIES н

IN A LAMINAR FLOW WITH COUNTER-ROTATING ¡

COAXIAL LAYERS М

У

A.L. Zuikov ^

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), °

26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation S

IS3

ABSTRACT. Subject: the article is related to the field of hydrodynamics, in particular, to scientific foundations of hydraulic engineering construction, and is devoted to the laminar flow of an incompressible fluid in a cylindrical tube, where moving together coaxial layers rotate in opposite directions. This is so-called "counter-vortex" flow. This flow has a structure that promotes intensive diffusion of the moving medium and dissipation of its mechanical energy. Diffusion of multiphase and »< heterogeneous media is used in microbiology, chemistry, ecology, heat engineering, power engineering, engine and rocket Q engineering, and energy dissipation is required in deep water spillways of high-pressure waterworks. Goals: the goal of this research is development and analysis of the theoretical model of the flow, which makes it possible to reveal the general physical laws of its hydrodynamics.

Materials and methods: the theoretical model is based on the method of linearization of the Navier—Stokes's differential © equations using standard assumptions and method of their solution by expansion into Fourier—Bessel's series.

DO

IT

* 9

© А.Л. Зуйков

1027

Results: theoretical functions for the radial and longitudinal distributions of tangential and axial velocities in the investigated flow are obtained. The graphs of these distributions are given for characteristic swirls of interacting layers and the Reynolds number equal to Re = 500.

Conclusions: analysis of the obtained model showed that the change of medium viscosity affects inversely proportionally the length of the zone of intense viscous diffusion of the swirl of interacting layers, where counter-vortex flow is transformed into longitudinal-axial flow with no swirling. With a decrease in the viscosity of the medium, the process of interaction of oppositely rotating layers is stretched along the length, but with increasing viscosity, it shortens. In the near-axial region of counter-vortex flow a strong return current is observed. This phenomenon can be used for efficient afterburning of fuel in combustion chambers of thermal power plants and jet engines.

KEY WORDS: flow with counter-rotating coaxial layers, laminar flow, incompressible fluid, the Navier—Stokes's equations, Fourier—Bessel's decomposition

FOR CITATION: Zuikov A.L. Raspredelenie prodol'nykh skorostey v laminarnom techenii s protivopolozhno vrashchay-ushchimisya koaksial'nymi sloyami [Distribution of Axial Velocities in a Laminar Flow with Counter-Rotating Coaxial Layers]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2017, vol. 12, issue 9 (108), pp. 1027-1038.

ВВЕДЕНИЕ

обзор литературы

00 О

№

О >

с

tû

<N

S о

H >

о

Течения жидкостей в трубах, где спутные коаксиальные слои вращаются в противоположных направлениях, имеют сложную пространственную структуру, формирующуюся в результате их вязкого взаимодействия. Характерные профили азимутальных и6 и аксиальных их скоростей в таких двухслойных течениях показаны на рис. 1. Начало их исследования было связано с разработкой методов гашения механической энергии потоков воды в глубинных гидротехнических водосбросах [1]. В процессе исследований сформированы нормативные термины «контрвихревой водосброс» и «контрвихревое течение»1. Впоследствии круг применения контрвихревых течений расширился [2-6], поскольку противоположное вращение взаимодействующих слоев позволяет получить ряд эффектов, среди которых следует отметить интенсивное перемешивание среды. Этот эффект имеет широкий практический выход в технологиях, включающих смешивание многофазных и неоднородных сред в микробиологии, химии, экологии, теплотехнике, энергетике, двигателе- и ракетостроении.

Рис. 1. Кинематическая структура двухслойного контрвихревого течения

Развитие этих технологий требует знаний гидродинамики контрвихревых течений, изучение которой ранее выполнялось методами физического [7-13] и численного [10, 14-17] моделирования. В статье изложены результаты теоретического исследования структуры ламинарных контрвихревых течений, основой которого стали работы [14, 18-22], опубликованные в последнее время. Теоретическое изучение ламинарных контрвихревых течений важно тем, что позволяет выявить общие физические закономерности их гидродинамики.

МЕТОДЫ

Относясь к области теоретической гидромеханики, статья развивает результаты последних работ, где в цилиндрической системе координат г - 6 - х (см. рис. 1) установившееся неравномерное симметричное относительно оси цилиндрического канала течение несжимаемой жидкости в ламинарном диапазоне описывается уравнениями Навье— Стокса [23]

ди

- —+ их

дг

ô

гдг дих дг

дд.г дх

д

^ = П + -

дие дх

P

Р

дди

гдг

дди

-Щп+-

дх дх

д их дд2

дХ дд2 д2ие дх2

дих ддд

диг ддд

д их дх2

д2иг дх2

где и — радиальная скорость; П и Р — потенциал внешних массовых сил и давление; р и V — плотность и кинематическая вязкость жидкости.

X S I h О Ф tû

1 СО 34.21.308-2005. Гидротехника. Основные понятия.

Термины и определения

результаты исследовании

Полагая радиальные скорости много меньше азимутальных (и г << и6) и осевых (и г << и) и при-

нимая озееновское приближение [24], уравнения (1) приводятся к нормированной по радиусу канала R и средней скорости потока V = Q/кR2 (где < — расход жидкости) замкнутой системе двух линейных дифференциальных уравнений параболического типа с двумя неизвестными нормированными скоростями ы и ых [20]

5ме дх

д_ дх

_1_ ^е

д ы„ ды„

дг гдг г

ыв + д ыа

д V

1 д

дхдг Re дг

дх2

д2ых дых д2ых дг2 г дг дх2

где Re — число Рейнольдса, Re = УЯ/п.

Система уравнений (2) с граничными условиями

и0 (г, х, Яе) = 2% ) ехр

п=1 V0

(

-2Х2 х

Л

+ 4Х

тельные нули функции Бесселя 11(Хп) = 0; Gn — постоянная п-го частного решения

а = гг

1

о

-1

Рассмотрим радиально-продольное распределение в контрвихревом течении аксиальных скоростей. Представим аксиальную скорость в виде суммы

ых (г, хДе) = и + Д,

где и — аксиальная скорость в течении, не имеющем азимутальных скоростей (и = 0); Д — дефицит аксиальной скорости вследствие закрутки слоев

(ив Ф 0).

Согласно (6), второе уравнение системы (2) при и0 = 0 примет вид

д2и 1 д | д2и ди д2и

-=---1 —г +-+ —г

дхдг Re дг ( дг гдг дх

Решение уравнения (7) с граничными условиями (3) показано в работе [20]

и (г, л,Ке) =

= 2

i=1 х,

"1 "

ехр

) ]

-2X2 х

Ке+у! Яе2 + 4Х,2

включающими условия на стенках цилиндрического канала (при г = 1), его оси (г = 0), на входе (х = 0) в зону взаимодействия коаксиальных слоев с противоположным вращением (активную зону), на бесконечном удалении от входа, (х = да) и интеграл сохранения объемного расхода и записанными в виде системы (3), решается последовательно: сначала первое уравнение системы (2), из которого находится радиально-продольное распределение азимутальных скоростей, затем зависимое от распределения ы0, второе уравнение системы (2), из которого определяется радиально-продольное распределение аксиальных скоростей. В граничных условиях Ц и Г0 — нормированные коэффициенты (константы) профиля Куэтта, задающие распределение азимутальных скоростей на входе в активную зону. Для двухслойного контрвихревого течения (см. рис. 1) Ц и Г0 следует положить с обратными знаками.

Решение первого уравнения системы (2) с граничными условиями (3) найдено в виде быстросхо-дящегося ряда Фурье—Бесселя [21, 23]

где X. — нули функции Бесселя первого рода второго порядка 12(Х) = 0.

В публикациях [20] и [23] показано, что при Re2 >> (2Х.)2 решение (8) сводится к известному распределению Тарга [26]

и

¡=1 Х.

1 -

р

еХ^ I,

которое получают [19, 26], если вторую частную производную д2и/дх2 в правой части уравнения (7) принять пренебрежимо малой. Как показывают расчеты, значимыми с точностью до 1 • 10-3 являются первые восемь слагаемых ряда Фурье—Бесселя, при этом корень 12(Х) = 0 достигает значения X. = 27,421, следовательно, при Re > 250 распределение (8) можно заменить на (9), допуская

J_.iL

Ые дх2

дЦ дг

«

д(дЦ дх\дг

где /„(...) и ..) — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков [25]; X — действи-

00

Ф

0 т

1

*

О У

Т

0

1

м

тот же вывод в отношении формулы (4) позво ляет заменить ее на [18, 20] ы

ив(г,х,Яе) = 2%М^ехрГ-Х^ , (10) К

(8

а второе уравнение системы (2) дефицита скоро- 1 стей Д при и0 Ф 0 записать как 8

2

и6 ди6 д (дА^ 1

д2 (дА1+—(—!_(дА

дг2 I дг ) гдг \дг ) г2 I дг

г дх дх \дг) Re или, подставляя распределение (10), как

Яег^ 1„Л

в неоднородном уравнении положим равной нулю сумму в скобках, тогда

ф„ = 4л(^ „г),

где Ап и Вк — постоянные.

В итоге с учетом (15) и (16) во втором уравнении остается невязка

дх 1 дг ) Яе

д2 _!_(дА

дг2 [ дг ) г дг I дг ) г21 дг

2Ап 1 г)^ ^[¿.

где 1п и 1к — нули функции Бесселя первого рода первого порядка; Оп и Ок — вычисляемые по (5) постоянные соответственно п-го и к-го частных решений.

Разложим (11) на п * к уравнений, где слагаемые ряда п последовательно умножим на слагаемые ряда к, и рассмотрим произвольное пк-е уравнение

8ОпОк 1 ¿1

Яе г V о

, д ^8А„к 1 1

дх I дг

ехр| -12 + 12к)-^~

д2 ( дА

дг I дг

+ -

д ГдА„,

гдг^ дг в котором положим

1 ГдА„,

дг

дА

дг

пк~ 8О"Ок 12 Ф. ехрI -(1 +1)^-

1 nJо

х

Яе

где Фпк — функция от г, сводящая (12) к неоднородному уравнению Бесселя

д 2Ф„,, дФ

дг2

1

гГ + 11 +12 _Г2 Ф -

СО

о

№

о >

с во

N ^

2 о

н *

О

X 5 I н о ф ю

¿¿1 „г) ¿¿1 кг). г 1 ^ 0

фп

дф, дг

к I "к

гдг

12 _ 7

- о,

2

дУп дфк

д фп , дф.

+1 ф \-

г дг

дг дг " 1 дг2 ^

г1 кЛ

Решением первого (однородного) уравнения Бесселя при ф Ф 0 является

ф *=ад^ кг\

Представляется, что алгоритм решения, допускающий наличие невязок, не должен удовлетворять условиям исходной задачи (11). Однако ее строгое решение будет получено, если найти такие постоянные Ап и Вк, при которых сумма всех частных решений сводит общую сумму всех невязок к нулю

да да

Ъ^пк - 0,

п=1к-1

что отвечает равенству

2^ Ап X пЗх(\пг Вк- [ ^(Хкг )] =

п=1 к=1 дг

=Е пг )Е

МКг)

к=1 гХк-10(Хк )'

Положим Фпк = фпфк, где фп и фк — связанные с константами разделения 1п и 1к функции переменной г, и разложим (14) на два дифференциальных уравнения

Остановимся на этом подробнее. Можно видеть, что применяемый метод решения дифференциальных уравнений принципиально отличается от традиционных. В традиционном подходе каждое частное решение является решением исходного дифференциального уравнения, поэтому сумма частных решений также является его решением. В рассматриваемом подходе ни одно частное решение не является решением исходного дифференциального уравнения, но сумма всех частных решений является им при определенных условиях. Эти условия сводятся к поиску коэффициентов (постоянных) Ап и Вк, при которых тождественно выполняется равенство произведений бесконечных рядов в правой и левой частях выражения (17). И такие постоянные Ап и Вк найдены. Так, поскольку 1к — нули функции Бесселя первого рода первого порядка, то согласно рекуррентным соотношениям ¿¡(1/) = -¿2(1к), а сумма ряда по к в правой части выражения (17), являясь табличным рядом, содержащим нули функции Бесселя [27], равна константе

У ¿1(1 кг) = 1 у ¿1(1 кг) 1

к-1 г1кЛ

откуда непосредственно следует

1 да д

А ---и У Вк- [¿¿1 кг)]-1.

п 41 п к-1 к дг 1 к ]

+

г

п=1

Умножая второе равенство на dr и интегрируя в пределах от 0 до г, получим

да

X ВМКг) = г

к _1

и, вновь воспользовавшись суммой табличного ряда (18), находим

2

А(г, х,Яе) =

-2 1

ЛКЛ)

ехр-2Х- ^е

-V^

1 + з „

ехр I -К2 — IV О, ехр -К2 — I

1 п Re ¡к I к Re I

вк _-

1 к30

Вводя теперь значения полученных постоянных лишены недостатков. Можно видеть, что третий ряд Лп и Бк в (15) и (16), затем в Фпк = фпфк и (13), находим в (21) тождественно равен азимутальной скорости пк-е частное решение

Однако решения

дг

пк = ехр | -(XП + К1)^-

П к Кмку0

X

Яе

а сумма п х к частных решений, получаемая разделением рядов,

= ^Кг)е(_%1х

дг й Х2МХ„) Я Ке

ы МК)

Яе

^.^жС^) ехр | = Ме

£ К'оСК) Ч я Яе 1 е,

четвертый ряд равен х-осевой угловой скорости вращения жидкой частицы

ю.

= 1[ V 030 (1кГ) ехр [-К2

2 {дг г ] Тк 30(1 к) р I к

второй ряд — частной производной дю /дг с обратным знаком

дает точное решение исходного уравнения (11).

Другое линейно независимое решение уравнения (11) получим, положив решением (12) функцию

дюх

°к1 кЧУ), 30

ехр1-1!^

ЗДпк

дг

Фпк ехр[-(1П + 1^

Л(1) пк Ч п Re

что приводит его к неоднородному уравнению Бесселя с 1 и 3 (1 ) в знаменателе

п 0х п

дг2 гдг { п к г2) * г 1„Л

На входе в активную зону (при х = 0) радиальное распределение азимутальных скоростей задано в граничных условиях (3) профилем Куэтта м0 = Ц г + Г0/г, при этом угловая скорость вращения жидкой частицы и ее производная будут соответственно равны юх = Ц и дю /дг = 0, отсюда

дД ^2 Ц0Г0

— _ м0юх _Ц2г + 0 0 дг г

Повторяя выполненный выше вывод, находим второе решение задачи

Вт ^КМК) Ч "ке^ МЮ " к^.

дг й

МК)

Яе

.

" Яе^ к-1 Л

Но на входе в активную зону задан равномерный профиль аксиальных скоростей (м = 1), при котором дД/дг = 0. Следовательно, распределение (21) необходимо откорректировать введением дополнительного однородного уравнения

Деля сумму двух независимых решений (19) и (20) на два, получаем общее решение дифференциального уравнения (11) в виде суммы произведений рядов Фурье—Бесселя

д[ дДо ^ 1 Гд2 'дДо

дг дг Яе дг2 у дг

д (дД„

гдг I дг

1 (дДо дг

которое при х = 0, удовлетворяя граничные условия (3), должно сводиться к

дДс

дг

0 _-Цг -

Ц Г0

Последующее интегрирование решения (21) по- т.е. к распределению обратному (23).

зволило получить следующее распределение дефицита скоростей в контрвихревом течении со встречной за-

Положим решением однородного уравнения (24) произведение дД0/дг = ф(г) • ф(х, Re), где один

круткой двух взаимодействующих концентрических из сомножителей ф(г) зависит только от текущего

слоев [14]

радиуса г, а другой ф(х, Re) — от продольной коор-

00

Ф

0 т

1

1(

О У

Т

0

1

м

В

г

3

у

о *

9

О 00

+

+

динаты х и числа Рейнольдса Яе, и, разделяя переменные, приведем его к виду

Re dj _ 1

j dx f l dr

d2 f df 2 r dr

f

Re dj _ 1

j dx f l dr

d 2f + df 2 rdr

f

и получить систему двух дифференциальных уравнений

dx Re

dr2 rdr l r2

CO О

№

О >

с

tt

<n

S о

н >

о

X S I h

О ф

Ю

0,

dx d2 f + df dr2 rdr

_ f _ 0,

r

откуда

dr2

r dr

dDo

dr

с решением

_ A,J(y)exp| -l,2 —

Равенство, в котором левая часть зависит от переменной х, а правая — от г, возможно в единственном случае, если обе его части одновременно не зависят ни от х, ни от г, а равны некой общей константе "л. Это позволяет записать

Используя теперь полную систему частных решений, находим общее решение (24) в виде ряда Фурье—Бесселя

IT=§ AJ(1r)exp HRe) <27>

или после интегрирования по радиусу от текущего значения r до единицы, и полагая согласно граничным условиям (3) Д0 = 0 при r = 1

» A ( x \

До Jo

Так как нормированный интеграл объемного расхода по (3) равен единице, а выполнение этого условия обеспечивается распределениями (8) или (9), то

J Д0rdr _ 0 .

где л может принимать три значения: "-12 > 0 , Л - 0 и Л - _1,2 < 0 .

При л-12 >0 вторая строка (26) обращается в модифицированное уравнение Бесселя, действительные корни которого являются линейными комбинациями модифицированных функций Бесселя первого и второго рода первого порядка /1(1.г) и К1(1.г), не удовлетворяющими граничные условия (3). Следовательно, случай "-12 >0 исключается из дальнейшего рассмотрения.

При л - 0 находим

Но это равенство при произвольных А. возможно лишь в случае, если

1

¡[J0(1,.) _ J0(1,г)]г*г - 0,

0

что в результате интегрирования позволяет записать

J0(1,) _^¿1(1,) - 0.

1

Полученная сумма согласно связывающим цилиндрические функции рекуррентным соотношениям равна -¿2(1). Следовательно, в распределениях (27) и (28) 1 . является одним из действительных нулей функции Бесселя первого рода второго порядка.

Положим в (27) х = 0, тогда с учетом (25) должно иметь место равенство

_Wr_-

AJi (l i r).

Я) Л

—0 -ф(г) ф(х,Яе) - Сг + С, дг г

где С и С0 — константы интегрирования.

Данное решение не может удовлетворять условиям поставленной задачи, ибо сохраняет свое значение постоянным и равным (25) не только при х = 0, но и при произвольных значениях х, в то время как с удалением от входа закрутка взаимодействующих слоев вырождается и дА0 /дг ^ 0 при х ^ да.

При л - _12 < 0 система (26) приводится к виду

ф + ф - 0, дх Яе

Умножим его на г2dг и проинтегрируем от нуля до г. В результате получим

О2 О Г ™ А

г2 _О0Г1 -у ЛLJ г)

4 2 £ 2 '

Умножая этот результат последовательно на ¿2(11г)г^г, ¿2(12г)Мг, ..., З^туйг, ..., J2(1юг)гdг, и интегрируя по г от нуля до единицы, из условий ортогональности функций Бесселя для произвольного -го частного решения находим

7 3(1,)+ОГ. \ )+\-А. [, 2 (1, )]2 41, 3 ' 21, [ 1 ' 1121, ,п

Так как 1. — действительный корень уравнения ¿2(1,) = 0, то по рекуррентным соотношениям имеем

_ J3(1, ) - ¿1(1, ) - J 2 (1,) J0(1,),

i_1

ревое течение в пределах активной зоны трансформируется в продольно-осевое течение без закрутки или течение со слабым остаточным вращением в сторону слоя с более сильной закруткой. Длина активной зоны — зоны интенсивной вязкой диффузии закрутки взаимодействующих слоев при ламинарном режиме примерно равна 40 радиусам трубы. Факт интенсивной диффузии закрутки очевиден, ибо определяется взаимным вязким гашением азимутальных скоростей коаксиальных слоев со взаимно противоположным вращением. За пределами активной зоны вязкая диффузия остаточной закрутки сформировавшегося циркуляционно-продольного потока происходит медленно, поэтому за активной зоной следует участок пассивной трансформации структуры течения. Значительное влияние на протяженность активной зоны оказывает вязкость среды. Анализируя функцию распределения (10), где вязкость присутствует в числе Рейнольдса, нетрудно установить, что ее изменение сказывается обратно пропорционально на протяженности активной зоны: при возрастании вязкости протяженность зоны пропорционально сокращается, при снижении — пропорционально нарастает.

Относительно распределения аксиальных скоростей следует отметить, что несмотря на небольшое отличие входных параметров Г0 и Ц представленных на рис. 2 контрвихревых течений их профили аксиальных скоростей существенно разнятся. Причем это не связано со сменой направлений вращения коаксиальных слоев.

Таким образом, даже незначительное изменение входных параметров Г0 и Ц или их соотношения приводит к кардинальному изменению профилей аксиальных скоростей. Общим для двух представленных контрвихревых течений является наблюдаемое в приосевой области возвратное течение со значительными отрицательными скоростями в сечениях в начале активной зоны. Далее по длине О трубы обратные токи снижаются и исчезают, преобразуясь в «провал», характерный для течения за  плохообтекаемым телом. Аналогичный «провал» на-¡^ блюдается и в зоне между противоположно враща-^ ющимися коаксиальными слоями (см. рис. 2 — ре— жим 2). На режиме 1 в начале активной зоны можно 10 наблюдать слабые возвратные течения и в пристен-N ной области. Анализ (30) позволяет сделать вывод, что изменение числа Рейнольдса за счет вязкости Ц жидкости, скорости течения или радиуса канала пряН мо пропорционально отражается на протяженности ^ участка возвратного течения. За пределами возвратного приосевого течения скорости в толще потока 2 могут существенно превосходить среднерасходную ¥ (V = 1). Здесь в ближайших к области возвратного течения слоях жидкости наблюдается скачок скоро-¡^ стей, не успевающий распространиться на удален-Ф ные периферийные слои. Расчеты показывают, что  баланс масс в начале активной зоны поддерживается

за счет именно этого явления. В дальнейшем в процесс переформирования профиля аксиальных скоростей вовлекаются все более отдаленные от зоны возвратных токов слои, при этом по мере продвижения потока вдоль оси канала зона максимума скоростей в виде расширяющейся затухающей волны смещается к стенкам трубы. Далее по длине трубы смещение зоны максимальных осевых скоростей идет от периферии к центру канала, и в пределе, при вырождении циркуляции, аксиальные скорости достигают максимума на его оси. Параболический профиль Пуазейля формируется к створу на расстоянии 80R от входа в активную зону. Отметим, что закрутка приводит с кардинальному отличию профилей аксиальных скоростей в контрвихревом потоке от профилей в незакрученном течении. Профили аксиальных скоростей в контрвихревом течении в определяющей степени формируются закруткой потока, следовательно, продольное (расходное) течение приобретает свойства течения вторичного, зависимого от азимутальной компоненты скорости.

Анализ расчетных формул (10) и (30), где радиальное распределение скоростей определяется функциями Бесселя, а продольное — экспонентой, позволяет говорить о законе прямого пропорционального пересчета характеристик, согласно которому при увеличении числа Рейнольдса, например, в два раза (с Re = 500 до Re = 1000), профили скоростей, полученные при Re = 500 в створе х = 10.К, сместятся в створ х = 20R, и, наоборот, при снижении числа Рейнольдса полученный расчетный профиль, сохраняя свои значения, прямо пропорционально сместится к входному в активную зону створу.

ВЫВОДЫ

Подытожим результаты исследования.

1. Контрвихревое течение в пределах активной зоны трансформируется в продольно-осевое без закрутки. Длина активной зоны, зоны интенсивной вязкой диффузии закрутки взаимодействующих слоев при ламинарном режиме с числом Рейнольдса, равным Re = 500, ограничивается 40 радиусами трубы. Значительное влияние на протяженность активной зоны оказывает вязкость среды, ее изменение сказывается обратно пропорционально на протяженности активной зоны: при возрастании вязкости протяженность зоны пропорционально сокращается, при снижении — пропорционально нарастает.

2. Характерным для контрвихревых течений является наблюдаемое в приосевой области возвратное течение со значительными отрицательными скоростями в сечениях в начале активной зоны. Это явление может использоваться для эффективного дожигания топлива в камерах сгорания теплоэнергетических установок и реактивных двигателей. Изменение числа Рейнольдса за счет вязкости жидкости, скорости течения или радиуса канала прямо

пропорционально отражается на протяженности участка возвратного течения.

3. Незначительное изменение входных параметров закрутки контрвихревых течений приводит к кардинальному изменению профилей аксиальных скоростей. Таким образом, профили аксиальных скоростей в контрвихревом течении в значительной степени формируются закруткой потока, и продольное (расходное) течение приобретает свойства течения вторичного, зависимого от азимутальной компоненты скорости.

4. Полученные расчетные формулы, в которых радиальное распределение скоростей определяется функциями Бесселя, а продольное — экспонентой, позволяют производить прямой пропорциональный пересчет характеристик контрвихревых течений при изменении числа Рейнольдса. При снижении числа Рейнольдса радиальные расчетные профили, сохраняя свои значения, прямо пропорционально сместится к входному в активную зону створу, при увеличении числа Рейнольдса профили скоростей сместятся дальше по трубе.

литература

1. Кривченко Г.И., Квятковская Е.В., Мордасов А.П. и др. Высоконапорная водосбросная система с контрвихревым гасителем энергии потока воды // Гидротехническое строительство. 1981. № 10. С. 29-31.

2. Волшаник В.В., Орехов Г.В. Области применения взаимодействующих закрученных потоков жидкостей и газов // Вестник МГСУ. 2015. № 7. С. 87-104.

3. Мордасов А.П., Орехов Г.В., Волшаник В.В. и др. Руководство по проектированию и конструкторская документация вихревых аэраторов на донных водовыпусках плотин. М. : Изд-во МГСУ, 1992. 186 с.

4. Сажин Б.С., СажинаМ.Б., АпарушкинаМ.А. и др. Особенности гидродинамики и области применения вихревых аппаратов различных типов // Известия вузов. Технология текстильной промышленности. 2013. № 1 (343). С. 135-138.

5. Сажин Б.С., Сажина М.Б., Сажин В.Б. и др. Анализ гидродинамических особенностей вихревых аппаратов с целью уточнения области их рационального применения // Успехи в химии и в химической технологии. 2012. Т. 26. № 10 (130). С. 99-103.

6. Чурин П.С. Исследование возможности использования энергетических водоводов высоконапорных гидроэлектростанций для сброса холостых расходов : дис. ... канд. техн. наук. М., 2015. 159 с.

7. Белоусов А.С., Сажин Б.С., Лопаков А.В. и др. Модель гидродинамических течений в аппаратах с коаксиальными закрученными потоками // Успехи в химии и в химической технологии. 2011. Т. 25. № 10 (126). С. 110-113.

8. Белоусов А.С., Сажин Б.С., Сажин В.Б. и др. Гидродинамика течений плотной фазы в аппаратах с коаксиальными закрученными потоками // Успехи в химии и в химической технологии. 2011. Т. 26. № 1 (130). С. 131-134.

9. Капустин С.В., Орехов Г.В., Чурин П.С. Экспериментальные модельные исследования контрвихревых течений // Интернет-журнал «Науковедение».

2013. № 4. Режим доступа: http://naukovedenie.ru/ PDF/53tvn413.pdf.

10. Карелин В.Я., Кривченко Г.И., Мордасов А.П. и др. Физическое и математическое моделирование систем гашения энергии в вихревых водосбросах // Физическое и математическое моделирование гидравлических процессов при исследовании крупных гидроузлов комплексного назначения «МГ-89» : тез. науч.-техн. со-вещ. в г. Дивногорск в 1989 г. Л. : Изд-во ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева, 1989. С. 11-12.

11. Свириденков А.А., Третьяков В.В. Экспериментальное исследование смешения турбулентных противоположно закрученных струй на начальном участке в кольцевом канале // Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 44. № 2. С. 205-210.

12. Свириденков А.А., Третьяков В.В., Ягод-кин В.И. Об эффективности смешения коаксиальных потоков, закрученных в противоположные стороны // Инженерно-физический журнал. 1981. Т. 41. № 3. С. 407-413.

13. Churin Р., Kapustin S., Orehov G., Poddae-

va O. Experimental Studies Counter Vortex Flow Mod- ф eling // Applied Mechanics and Materials. 2015. Vol. Q 756. Pp. 331-335.

14. Ахметов В.К., Волшаник В.В., Зуйков А.Л., к Орехов Г.В. Моделирование и расчет контрвихревых § течений. М. : Изд-во МГСУ, 2012. 252 с.

15. Ахметов В.К. Шкадов В.Я. Взаимодействие у струи с кольцевым закрученным потоком // Изве- Н стия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1995. М № 2. С. 39-46. ^

16. Ахметов В.К., Шкадов В.Я. Численное М моделирование вязких вихревых течений для тех- И нических приложений. М. : Изд-во МГСУ. 2009. ^ 176 с.

17. Nan Gui. Numerical Study of Vortex Evolution <0 and Correlation between Twin Swirling Flows // 1 Advanced Materials Research. 2012. Vol. 516-517. g Pp. 976-979. w

18. Зуйков А.Л. Профили тангенциальных скоростей в циркуляционном течении в трубе // Вестник МГСУ. 2009. № 3. С. 195-199.

19. Зуйков А.Л. Распределение продольных скоростей в циркуляционном течении в трубе // Вестник МГСУ. 2009. № 3. С. 200-204.

20. Зуйков А.Л. Структура вязкого циркуля-ционно-продольного течения в цилиндрическом канале // International Journal of Computational Civil and Structural Engineering. 2012. Vol. 8. No. 2. Pp. 82-96.

21. Зуйков А.Л. Уточненные азимутальные скорости в течении за локальным завихрителем // Вестник МГСУ. 2012. № 1. С. 51-56.

22. Зуйков А.Л., Орехов Г.В., Волшаник В.В. Распределение азимутальных скоростей в ламинарном контрвихревом течении // Вестник МГСУ. 2013. № 5. С. 150-161.

23. Зуйков А.Л. Гидравлика: в 2 т. Т. 1 : Основы механики жидкости. М. : Изд-во МИСИ — МГСУ, 2014. 518 с.

24. Batchelor G.K. Axial Flow in Trailing Line Vortices // Journal of Fluid Mechanics. 1964. Vol. 20. No. 4. Pp. 645-658.

25. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers : Definitions, Theorems and Formulas for Reference and Review. Publisher Dover Publications. 2000. 1151 p.

26. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений. М. ; Л. : Гостехтеориздат, 1951. 420 с.

27. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М. : Наука, 1983. 752 с.

Поступила в редакцию в феврале 2017 г. Принята в доработанном виде в апреле 2017 г. Одобрена для публикации в июле 2017 г.

Об авторе: Зуйков Андрей львович — доктор технических наук, профессор кафедры гидравлики и гидротехнического строительства, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, zuykov54@mail.ru.

references

1. Krivchenko G.I., Kvyatkovskaya E.V., Morda-sov A.P. et al. Vysokonapornaya vodosbrosnaya sistema s kontrvikhrevym gasitelem energii potoka vody [High-pressure Water-Discharge System with Counter-Vortex Absorber of Water-Flow Energy]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydro-engineering Construction]. 1981,

gj no. 10, pp. 29-31.

2. Volshanik V.V., Orekhov G.V. Oblasti primen-w eniya vzaimodeystvuyushchikh zakruchennykh potokov CB zhidkostey i gazov [Areas of Use of Interacting Swirl ¡^ Liquid and Gas Flows]. VestnikMGSU [Proceedings ^ of the Moscow State University of Civil Engineering]. ! 2015, no. 7, pp. 87-104.

3. Mordasov A.P., Orekhov G.V., Volshanik V.V. <N et al. Rukovodstvo po proektirovaniyu i kon-struktor-

skaya dokumentatsiya vikhrevykh aeratorov na don-q nykh vodovypuskakh plotin [Design Guide and Design H Documentation for Vortex Aerators on Bottom Outlets of Dams]. Moscow, Moscow State University of Civil l_ Engineering, 1992, 186 p. (In Russian) S 4. Sazhin B.S., Sazhina M.B., Aparushkina M.A. H et al. Osobennosti gidrodinamiki i oblasti primeneniya vikhrevykh apparatov razlichnykh tipov [Features of jj Hydrodynamics and the Field of Application of Vor-<D tex Devices of Various Types]. Izvestiya vuzov. Tekh- nologiya tekstil 'noy promyshlennosti [News of the Uni-

versities. Technology of the Textile Undustry]. 2013, no. 1

5. Sazhin B.S., Sazhina M.B., Sazhin V.B. et al. Analiz gidrodinamicheskikh osobennostey vikhrevykh apparatov s tsel'yu utochneniya oblasti ikh ratsio-nal'nogo primeneniya [Analysis of the Hydrodynamic Features of Vortex Devices for the Purpose of Clarifying the Field of Their Rational Application]. Uspekhi v khi-mii i v khimicheskoy tekhnologii [Advances in Chemistry and in Chemical Technology]. 2012, vol. 26, no. 10

6. Churin P.S. Issledovanie vozmozhnosti ispol'zovaniya energeticheskikh vodovodov vysoko-napornykh gidroelektrostantsiy dlya sbrosa kholostykh raskhodov : dissertatsiya ... kandidata tekhnicheskikh nauk [Study of the Possibility of Using Energy-Based Water High-Pressure Hydroelectric Power Stations for the Discharge of Idle Expenditure : Thesis of Candidate of Technical Sciences]. Moscow, 2015, 159 p.

7. Belousov A.S. Sazhin B.S., Lopakov A.V. et al. Model' gidrodinamicheskikh techeniy v apparatakh s koaksial'nymi zakruchennymi potokami [Model of Hydrodynamic Flows in Apparatus with Coaxial Swirling Flows]. Uspekhi v khimii i v khimicheskoy tekhnologii [Advances in Chemistry and in Chemical

Technology]. 2011, vol. 25, no. 10

8. Belousov A.S., Sazhin B.S., Sazhin V.B. et al. Gidrodinamika techeniy plotnoy fazy v appa-ratakh s koaksial'nymi zakruchennymi potokami [Hy-drodynamic Currents of the Dense Phase in Ap-Parates with Coaxial Swirling Flows]. Uspekhi v khimii i v khimicheskoy tekhnologii [Advances in Chemistry and in Chemical Technology]. 2011, vol. 26, no. 1

9. Kapustin S.V., Orekhov G.V., Chu-rin P.S. Eksperimental'nye model'nye issledovaniya kontrvikhrevykh techeniy [Experimental Model Studies Counter Vortex Currents]. Internet-zhurnal «Naukove-denie» [Online Journal "Science Studies"]. 2013, no. 4. Available at: http://naukovedenie.ru/PDF/53tvn413. pdf.

10. Karelin V.Ya., Krivchenko G.I., Morda-sov A.P. et al. Fizicheskoe i matematicheskoe mode-lirovanie sistem gasheniya energii v vikhrevykh vo-dosbrosakh [Physical and Mathematical Modeling of Energy-Quenching Systems in Vortex Spillways]. Fizicheskoe i matematicheskoe modelirovanie gidrav-licheskikh protsessov pri issledovanii krupnykh gidrou-zlov kompleksnogo naznacheniya «MG-89» [Physical and Mathematical Modeling of Hydraulic Processes in the Study of Large Hydroelectric Complexes of Complex Designation "MG-89" : Abstracts of Scientific and Technical Meeting in Divnogorsk in 1989]. Leningrad, All-Russian Scientific Research Institute of Hydro-technics named after B.E. Vedeneev, 1989, pp. 11-12.

11. Sviridenkov A.A., Tret'yakov V.V. Eks-perimental'noe issledovanie smesheniya turbulentnykh protivopolozhno zakruchennykh struy na nachal'nom uchastke v kol'tsevom kanale [Experimental Study of the Mixing of Turbulent Opposite-Twisted Jets at the Initial Section in the Annular Channel]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal [Journal of Engineering Physics and Thermophysics]. 1983, vol. 44, no. 2, pp. 205-210.

12. Sviridenkov A.A., Tret'yakov V.V., Yagod-kin V.I. Ob effektivnosti smesheniya koaksial'nykh potokov, zakruchennykh v protivopolozhnye storony [On the Efficiency of Mixing Coaxial Flows Twisted in Opposite Directions]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal [Journal of Engineering Physics and Thermophysics]. 1981, vol. 41, no. 3, pp. 407-413.

13. Churin R., Kapustin S., Orehov G., Poddae-va O. Experimental Studies Counter Vortex Flow Modeling. Applied Mechanics and Materials. 2015, vol. 756, pp. 331-335.

14. Akhmetov V.K., Volshanik V.V., Zuy-kov A.L., Orekhov G.V. Modelirovanie i raschet kontrvikhrevykh techeniy [Simulation and Calculation of Countervortex Flows]. Moscow, Moscow State University of Civil Engineering, 2012, 252 p.

15. Akhmetov V.K., Shkadov V.Ya. Vzaimodeyst-vie strui s kol'tsevym zakruchennym potokom [Interaction of a Jet with a Circular Swirling Flow]. Izvestiya ANSSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza [Fluid Dynamics. a Journal of Russian Academy of Sciences]. 1995, no. 2, pp. 39-46.

16. Akhmetov V.K., Shkadov V.Ya. Chislen-noe modelirovanie vyazkikh vikhrevykh techeniy dlya tekhnicheskikh prilozheniy [Numerical Simulation of Viscous Eddy Currents for Technical Applications]. Moscow, Moscow State University of Civil Engineering, 2009, 176 p.

17. Nan Gui. Numerical Study of Vortex Evolution and Correlation between Twin Swirling Flows. Advanced Materials Research. 2012, vol. 516-517, pp. 976-979.

18. Zuykov A.L. Profili tangentsial'nykh skorostey v tsirkulyatsionnom techenii v trube [Profiles of Tangential Velocities in the Circulation Flow in a Pipe]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2009, no. 3, pp. 195-199.

19. Zuykov A.L. Raspredelenie prodol'nykh skorostey v tsirkulyatsionnom techenii v trube [Distribution of Longitudinal Velocities in the Circulation Flow in a Pipe]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2009, no. 3, pp.200-204.

20. Zuykov A.L. Struktura vyazkogo tsirkulyatsi-onno-prodol'nogo techeniya v tsilindricheskom kanale [Structure of the Viscous Circulatar-Longitudinal Flow in a Cylindrical Channel]. International Journal of Computational Civil and Structural Engineering. 2012, vol. 8, no. 2, pp. 82-96.

21. Zuykov A.L. Utochnennye azimutal'nye skorosti v techenii za lokal'nym zavikhritelem [Refinement of the Azimuthal Velocity in the Flow Behind Local Swirler]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 1, pp. 51-56.

22. Zuykov A.L., Orekhov G.V., Volshanik V.V. Raspredelenie azimutal'nykh skorostey v laminarnom kontrvikhrevom techenii [Distribution of Azimuthal Velocities in a Laminar Counter Vortex Flow]. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 150-161.

23. Zuykov A.L. Gidravlika [Hydraulics]: 2 vols. Vol. 1 : Osnovy mekhaniki zhidkosti [Fundamentals of Fluid Mechanics]. Moscow, Moscow State University of Civil Engineering, 2014, 518 p.

24. Batchelor G.K. Axial Flow in Trailing Line Vortices. Journal of Fluid Mechanics. 1964, vol. 20, no. 4, pp. 645-658.

25. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers : Definitions, Theorems and Formulas for Reference and Review. Publisher Dover Publications, 2000, 1151 p.

m

ф

0

Q

1

S

*

О о

Т

О

0

1 М

В

г

3 У

о о

9

О 00

26. Targ S.M. Osnovnye zadachi teorii lami-narnykh techeniy [Main Problems of the Theory of Laminar Flows]. Moscow-Leningrad, Gostekhteorizdat Publ., 1951, 420 p.

27. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Mar-ichev O.I. Integraly i ryady. Spetsial'nye funktsii [Integrals and Series. Special Functions]. Moscow, Nauka Publ., 1983, 752 p.

Received in February 2017. Adopted in revised form in April 2017. Approved for publication in July 2017.

About the author: Zuikov Andrey L'vovich — Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department of Hydraulics and Hydrotechnical Engineering, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; zuykov54@mail.ru.

00 О

№

О >

с

IQ

<N

s о

H >

о

X

s

I h О Ф 10