Дискурсивный подход к обучению математике: обоснование и некоторые положения

УДК 372.851 ББК 74.202

Мугаллимова Светлана Ринатовна

кандидат педагогических наук, доцент

кафедра экономических дисциплин Сургутский институт экономики, управления и права Тюменский государственный университет г. Сургут Mugallimova Svetlana Rinatovna PhD in Pedagogy, Associate Professor Chair of Economic Disciplines Surgut Institute of Economics, Management and Law Tyumen State University Surgut globustm@rambler.ru

Дискурсивный подход к обучению математике: обоснование и некоторые положения Justification and some positions of the discursive approach

to teaching maths

В статье проанализированы подходы к формулировке целей и содержания математического образования, на этой основе делается вывод о целесообразности применения дискурсивного подхода. Автор предлагает ввести термин «учебный математический дискурс», раскрывает суть этого термина и на примере затруднений обучающихся показывает проявления особенностей учебного математического дискурса в процессе обучения.

The approaches to the formulation of objectives and content of mathematics education are analysed, it is concluded feasibility of discursive approach. The author proposes to introduce the term " math training discourse", reveals the essence of the term and displays it on a particular examples of the student's difficulties.

Ключевые слова: обучение математике, математическая речь, учебный математический дискурс.

Key words: teaching mathematics, mathematical language, math training discourse.

Процессы трансформации современного общества, вызвавшие интенсивные поиски новых подходов в образовании, привели к кризису отечественного математического образования. Поиск новых методик, технологий, продолжав-

шийся в отечественной педагогической науке в течение последних десятилетий, углубился и развился в поиск новых смыслов в обучении математике. Можно констатировать, что противоречия, характеризующие кризис математического образования, обусловлены отсутствием или недостаточной проработанностью антропологической, культуросообразной и коммуникативной составляющих в его парадигме, а также изолированным и самодостаточным предметоцентиро-ванным подходом в практике обучения предмету.

Поэтому в настоящее время ведутся активные поиски в области методики обучения математике, ориентирующиеся на основополагающие положения философии и методологии математики, психологию обучающегося, аксиологию и эстетику процесса обучения. Однако методологическая основа, объединяющая эти направления, остается недостаточно проработанной. Анализ исследований ([2]), проводимых в области методики обучения математике, позволяет выделить несколько направлений, определяющих цели математического образования: предметного, утилитарно-прикладного, психолого-педагогического, философско-культурного, познавательно-эстетического.

1. Предметное направление определяется внутренней логикой самой математики, ее методами, философией, а именно: овладение понятийным аппаратом математики; усвоение алгоритмов решения определенных классов математических задач; приобщение к методам доказательств и опровержений; изучение элементов истории математики и знакомство с персоналиями выдающихся ученых-математиков.

Большим достижением методики обучения математике следует считать разработку содержательных линий школьного курса (числовой, функциональной, геометрической и т.д.). Предметное направление обучения математике было систематизировано, обобщено в виде частных методик обучения в работах Ю.М. Колягина, Г.Л. Луканкина, З.А. Скопеца, А.А. Столяра, Р.С. Черкасова, М.И. Ягодовского и других.

2. Утилитарно-прикладное направление определено ролью математики в жизни общества и индивидуума, предполагает реализацию внутри- и межпредметных связей математики: способность к решению бытовых, житейских задач, выражающаяся в применении вычислительного аспекта математики; использование информационных технологий в решении задач, например, статистических; способность к применению математического аппарата в различных областях науки, которая находит отражение в математическом моделировании.

Отметим, здесь речь идет о непрерывном двустороннем процессе взаимного обогащения математики и других наук. Реализация этого направления, заметим, была бы более эффективной, если включать в изучение отдельных тем разные задачи: не только физические, экономические, но и, возможно, задачи из лингвистики, криптографии, психологии, других отраслей.

Реализации внутри- и межпредметных связей, моделированию в процессе решения математических задач и другим вопросам прикладной направленности обучения математике посвящены работы М.И. Башмакова, В.А. Далингера, А.Г. Мордковича, П.И. Соверткова и других авторов.

3. Психолого-педагогическое направление является наиболее активно разрабатываемым в современной науке. Это направление предполагает отношение к обучающемуся как к субъекту образовательного процесса, обеспечение его развития как процесса приращения личностных характеристик и психических процессов: формирование способов мышления; развитие устной и письменной речи; формирование компонентов творческого мышления; формирование навыков учебной деятельности; развитие мыслительных операций; развитие компонентов мышления и восприятия, необходимых в практической жизнедеятельности.

Это направление представлено в действующих стандартах общего образования в виде метапредметных результатов обучения. В настоящее время в этом направлении работают Э.К. Брейтигам, В.А. Гусев, И.Г. Липатникова, Н.С. Подходова, Р.А. Утеева и другие.

4. Философско-культурное направление: формирование мировоззрения через систему математических понятий (бесконечное, невозможное, протяженность, мера, истинное и ложное и т.п.); проблемы семантики (структура определений (дефиниций), формулировка утверждений, построение логических выводов) и семиотики (приобщение к языку формул и обозначений, к графическим моделям), которые тесно связаны с проблемой понимания; воспитание средствами математики морально-этических норм (честность, объективность, настойчивость, трудолюбие) и общечеловеческих культурных ценностей (место математики в общечеловеческой культуре и ее значение в развитии знания, эстетика математических рассуждений); формирование эвристических представлений о закономерностях окружающего мира.

Заметим, что реализация этого направления остается наиболее сложной методической проблемой. О философии математического образования можно прочитать в работах Е.М. Вечтомова, А.Л. Жохова, С.Р. Когаловского В.А. Тестова, В.А. Успенского и др.

5. Познавательно-эстетическое направление реализуется в основном во внеурочной деятельности, в работе с одаренными детьми: решение нестандартных задач; изучение вопросов элементарной математики, не вошедших в курс общеобразовательной школы; привлечение учащихся к участию в мероприятиях математического содержания; исследовательская и проектная деятельность учащихся.

Следует заметить, что отечественное образование имеет хорошие традиции в этом направлении. В настоящее время познавательно-эстетическое направление отражено и продолжает развиваться в работах Н.Б. Васильева, В.А. Далингера, А.Ж. Жафярова, Б.А. Кордемского, А.В. Фаркова, А.Я. Цукаря, И.В. Ященко и др.

Отметим, что в условиях предметно-центрированной парадигмы образования акцент в обучении делается на предметном направлении. Компетентност-ный подход актуализирует утилитарно-прикладное направление. Деятельност-

ный подход рассматривает преимущественно психолого-педагогическое направление. Видимо, философско-культурное направление должно превалировать с позиций культуросообразного обучения, аксиологического подхода. Автор считает своим долгом отметить, что пренебрежение каким-либо из описанных направлений приводит к неполноценному образованию, неправильному пониманию значения предмета математики в образовании личности.

Стремление отразить в процессе обучения разные направления, не игнорировать разноплановый потенциал математики как образовательной дисциплины приводит к необходимости построения моделей, выходящих за рамки сложившейся традиции методики обучения. Исходя из этого, предлагается ввести в методическую практику термин «учебный математический дискурс», который подразумевает совокупность средств коммуникации в учебной ситуации, концентрирующуюся вокруг математических текстов и субъектного опыта обучающегося в их взаимном смысловом наполнении. Заметим, что математический текст содержит компоненты (понятия, символы, определения, отношения, аксиомы, теоремы, доказательства, задачи), перекликающиеся с элементами субъектного опыта обучающихся (концепты, связи, эвристики, метафоры, способы действий, проблемы).

Таким образом, рассматриваются процессы порождения и понимания речи, а также фон, на котором выстраивается учебное взаимодействие в процессе обучения математике, с учётом индивидуальных особенностей восприятия, понимания и передачи учебной информации. Речь, как устная и письменная коммуникация, насыщенная математическими терминами, построенная по определенным правилам, обусловленными требованиями дедуктивности и сжатости, активным использованием символики. Это речь обучающего и речь обучающегося, конечно, отличающиеся в силу отличия их субъектного опыта. Это семантические факторы, сопровождающие нашу речь. Это те речевые обороты, клише, которые мы используем для того, чтобы обеспечить более глубокое понимание и более эффективную коммуникацию в процессе обучения математике и

в процессе изучения математики, а также недосказанности, подтекст, метафоры, характерные для любого диалога.

Центральной проблемой здесь является специфика построения математических высказываний, языка математики, математической речи как устной и письменной коммуникации, насыщенной математическими терминами, построенной по определенным правилам, обусловленными требованиями дедуктивно-сти, прямолинейности и сжатости, активным использованием символики. Среди ряда факторов, влияющих на эффективность речевого взаимодействия в процессе обучения математике, выделим три группы.

Во-первых, факторы семиотического характера, обусловленные априорным характером математического текста, коммуникативными средствами которого служат символы. Приведем несколько примеров.

Установлено, что человек в состоянии адекватно прочитать даже неверно набранный текст («нервено набрный тсект»). Однако математическая формула, даже полностью соответствующая канонам, у многих вызывает полное непонимание и отторжение. Преподавателям хорошо известно, как сложно воспринимают студенты определение предела функции, сформулированное на языке "эпсилон-дельта".

Среди учителей и преподавателей математики расхожа анекдотическая история, когда по просьбе преподавателя написать «икс в квадрате», т.е. переменную во второй степени, студент нарисовал квадрат и поместил внутрь него букву икс.

А вот сложности восприятия записи десятичной дроби. Одна вторая (У) и ноль целых пять десятых (0,5) пишутся и произносятся по-разному, но обозначают одно и тоже число - половину какой-либо величины.

Во-вторых, факторы семантического характера, возникающие из-за неполного соответствия математической речи нормам естественного языка. Специфические математические термины стали широко употребляться в обыденной речи («любовный треугольник», «простая арифметика» и т.п. ([3]) при том, что

обыденное понимание текста отличается от математического. Так, В.А. Успенский ([4]) приводит следующий пример: в отличие от фразы «велосипед стоит рядом с гаражом» фраза «гараж стоит рядом с велосипедом» выглядит нелепо, хотя с точки зрения математика эти фразы эквиваленты, поскольку отношение «располагаться рядом» обладает свойством симметричности.

А ещё, одинаковы ли следующие выражения: —I3 и (—I)3? При прочтении - да, одинаковы. С точки зрения значения этих выражений - да, одинаковы. Почему же ученики допускают ошибку при сравнении следующих выражений: —I2 и (—I)2? Подобная ошибка в методической литературе обозначена как неверная аналогия. Нам представляется важным видеть истоки этой проблемы ещё и в особенностях языкового поведения учащихся.

Вообще, сложности с использованием знака «минус» известны всем. Если записать выражение 2 — х, то при подстановке, например, х = —5, ошибка будет допущена многими учащимися (работа со студентами-заочниками показывает, насколько глубоко укореняется эта ошибка и другие подобные). Дело в двойном предназначении знака «минус»: с одной стороны он обозначает действие вычитания, с другой - является частью записи отрицательного числа. Если не обсудить с учащимися этот факт вовремя, происходит «слияние» двух смыслов, часто учащиеся вместо «вычесть» говорят «минусовать».

Ещё один пример. Функция слова - обозначать предмет, свойство или действие. Рассмотрим понятие арифметического корня, точнее, термин, его обозначающий. Корень в записи VI - указывает на объект (как существительное) или на действие, обратное возведению в степень (тогда логично выражать его глаголом)? На самом деле, предназначение радикала здесь тоже двойное: этот знак обозначает как действие извлечение корня, так и результат этого действия. Тогда понятно стремление многих учащихся в решении иррациональных уравнений и неравенств «избавиться от корня».

Учителя, работающие в младших классах, сталкиваются с интересной ошибкой при изучении начальных геометрических сведений. Точка, лежащая на прямой, изображается часто так, как показано на рис. 1. Обращение к опыту обучающихся показывает, что ошибка возникает не случайно. Например, если человек лежит на кровати, он не становится частью этой кровати, в отличие от точки, являющейся частью прямой.

верно: неверно:

Рис. 1. Верное и неверное изображения отношения между точной и прямой.

Заметим, что влияние семиотических и семантических факторов на понимание математического материала преодолимо в процессе обучения. Как правило, опытные учителя, зная о типичных заблуждениях обучающихся, проговаривают детали ещё в процессе ознакомления с новым понятием и введения нового символа.

В-третьих, выделим факторы прагматического характера, которые определяются, видимо, степенью согласованности внешней и внутренней речи обучающегося, теми ассоциациями, перцептами, которые у него возникают при столкновении с каким-либо словом или символом; можно выделить следующие виды рассогласований: один термин - разные образы, либо термин не совпадает с образом, либо есть термин, но вообще отсутствуют образы.

К примеру, всем известны трудности восприятия термина синус угла. Для этого понятия и соответствующего ему термина, изучаемого на разных предметах в разных классах, характерно одно и то же обозначение, одно и то же основное тригонометрическое тождество, одни и те же значения для некоторых углов. А вот если обратиться к определениям, то это и отношение противолежащего катета к гипотенузе, и ордината точки на единичной окружности, и волна-синусоида. Конечно, в процессе обучения учитель старается показать связь между разными определениями, но какой образ «закрепляется в голове»

обучающегося? Чаще всего, как показывает практика, - в виде символической записи sina. Не поэтому ли многие учащиеся, не понимая функциональной связи между углом и его синусом, пытаются относиться к этой записи как произведению двух величин, что позволяет им делать неправомочные преобразования в виде сокращений, вынесений за скобки и т.п.?

Общеизвестны методические проблемы, связанные с построением высоты треугольника. Учащиеся без особых усилий проводят высоту в треугольнике (желательно, равнобедренном), если его основание начерчено горизонтально. Стоит повернуть треугольник - возникают сложности. Связано это, конечно, с особенностями восприятия горизонтальных и вертикальных линий в обыденной жизненной ситуации.

Наконец, такой пример. В учебниках для 10-11 классов нет образа, соответствующего понятию логарифма, кроме как собственно обозначение логарифма, к тому же и с частными случаями в виде логарифмов десятичного и натурального. Поэтому традиционное неприятие темы «Логарифмы» обучающимися вполне объяснимо.

В практике обучения возникает множество примеров, подобных приведенным. Мы выделили их в группы, имеющие семиотический, семантический либо прагматический характер, соответственно традиции изучения дискурсивного пространства ([1]). В связи с этим встает вопрос разработки методологии учебного математического дискурса, инструментария, который позволяет найти оптимальный текст, обеспечивающий понимание материала и включение его в субъектный опыт учащегося.

В этом ключе можно сформулировать несколько методических задач, которые в принципе разрешимы:

- задача увеличения объема речевой деятельности в обучении математики без ущерба для качества математической речи;

- проработка учебных математических текстов с позиций удобочитаемости, оптимального соотношения синтаксических единиц и т.п.; выявление механизмов, способствующих адекватной интерпретации текста;

- переориентация структуры урока от задач формирования ЗУН, УУД и т.п. на задачи формирования понятийного аппарата, математических действий и операций, системы обобщенных учебных действий, алгоритмов решения типовых задач;

- отражение указанных выше пяти направлений математического образования в каждой дидактической единице, в идеале - структуре каждого учебного занятия.

Вышесказанное позволяет выделить ряд методических требований к организации дискурсивного пространства в обучении математике:

1. Достижение договоренностей (проговаривание) в процессе введения новых обозначений, новых понятий. Формулировка эвристик-следствий из изученных теорем, свойств, определений. Характер таких договоренностей нужно доводить до сведения учителей, особенно начинающих.

2. Выполнение упражнений, направленных на формирование понимания математического текста и его контекста: математические диктанты, составление чертежа к предложенной задаче, составление задачи по данному чертежу, заполнение утверждения с пропущенными фрагментами, установление истинности/ложности утверждений и т.п.

3. Знакомство с образцами решения типовых задач. Совместная разработка алгоритмов их решения. Обучение развернутому оформлению решения задачи.

4. Более глубокая разработка методики организации диалога в учебном взаимодействии: типологии вопросов, задаваемых учителем, целесообразности используемых метафор, оценивания содержания математической речи обучающегося.

Наконец, хотелось бы выделить несколько проблемных вопросов.

I. Проблема чисто математического характера заключается в необходимости разработке кластерных моделей, связывающих понятийный аппарат учебных курсов математики, в частности - математики школьной. Причем проблема эта углубляется, если попытаться в этих кластерах учесть связки «термин-концепт-перцепт».

II. Проблема лингвистического и психолингвистического характера в заключается в углублённом исследовании специфики математического текста (а такие исследования есть), учебного математического текста и особенно -текста, предназначенного для виртуального общения. В свое время была высказана идея о том, что учащиеся лучше воспринимают глаголы, нежели отглагольные существительные ([5]). Это позволяет выдвинуть следующую гипотезу: если определить и использовать принципы построения учебного математического текста, позволяющие сочетать специфику математической речи и семантико-синтаксические отношения, характерные для родного языка, то это будет способствовать как активизации языкового поведения и эффективной коммуникации, так и повышению качества усвоения математического материала обучающимися. Необходимость проверки этой гипотезы, по-видимому, потребует дополнительных исследований, связанных с психологической целесообразностью формулировок, содержащихся в учебных текстах.

III. Проблема, которая лежит на стыке теории информации, социологии, психолингвистики: отображение логических и интуитивных процедур, роли имплицитного знания в структуре коммуникации и языковом поведении в процессе обучения математике.

На наш взгляд, задача, направленная на разработку понятия учебного математического дискурса, существенно глубже задачи, связанной с развитием математической речи; она восходит к процессам понимания - восприятия и интерпретации - текста, требует исследования принципов коммуникации в математической деятельности, изучения роли языковых средств в приобщении к ма-

тематических понятиям, освоении терминов и символов, формировании способов действий.

Вопрос идентичности текстов, возникающий в качестве центрального в рассмотрении методологии учебного математического дискурса, требует интеграции сведений из философии математики, её истории, психологии, психолингвистики, теории информации в свете постнеклассической концепции информационного общества. Соответственно этот вопрос может стать предметом исследований в области теории и методики обучения математике.

Библиографический список

1. Григорьева В.С. Дискурс как элемент коммуникативного процесса: прагмалингвистический и когнитивный аспекты : монография [Текст] - Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007. - 288 с.

2. Мугаллимова С.Р. Проблема методологии учебного математического дискурса в контексте целей математического образования [Текст] //Проблемы и перспективы физико-математического и технического образования : сб. материалов Всероссийской научно -практической конф. (с международным участием) / отв. ред. Т.С. Мамонтова. - Ишим : Изд-во ИГПИ им. П.П. Ершова, 2014. - С. 136-143.

3. Смирнова Г.Ю. Математические термины в нематематических контекстах [Текст] // Вестник СПбГУ. Сер. 9. - 2012. - № 1. - С. 158-164.

4. Успенский В.А. Апология математики [Текст] - СПб.: Амфора, 2009. - 554 с.

5. Шохор-Троцкий С.И. Методика арифметики [Текст]. - М.: Учпедгиз, 1935. - 346 с.

Сведения об авторе: Мугаллимова С.Р., доцент кафедры экономических дисциплин

Сургутского института экономики, управления и права ФГБОУ ВПО Тюменский государственный университет

к.п.н., 13.00.02 (математика, уровень общего образования) e-mail: globustm@rambler.ru, тел. +79825197116

628433, ул. Островского, 2 кв. 14 п. Белый Яр Сургутского р-на Тюменской обл.

Biblioraphy

1. Grigorieva VS. Discourse as an element of the communication process: pragmalingvistic and cognitive aspects. - Tambov, Publishing House of Tambov State Technical University, 2007.

2. Mugallimova SR. The problem of methodology of educational mathematical discourse in the context of the goals of mathematics education / Problems and prospects of Physics and Mathematics and Technical Education - Ishym, 2014. - pp. 136-143.

3. Smirnova GY. Mathematical terms in non-mathematical contexts // Bulletin of St. Petersburg State University. - 2012, no. 1. pp. 158-164.

4. Uspensky VA. A Mathematic's Apology - St. Petersburg: Amphora Publ., 2009.

5. Shokhor-Trotsky SI. Arithmetic technique - Moscow, UtchPedGis Publ., 1935.