Потери помехоустойчивости корреляционного приёма для сигнала с фазовыми флуктуациями в виде диффузионного процесса

ПОТЕРИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ КОРРЕЛЯЦИОННОГО ПРИЁМА ДЛЯ СИГНАЛА С ФАЗОВЫМИ ФЛУКТУАЦИЯМИ В ВИДЕ ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА

Работа посвящена анализу потерь помехоустойчивости байесовского обнаружителя радиосигнала, обусловленных фазовой нестабильностью несущей. Математическая модель фазовых флуктуаций - марковский диффузионный процесс. Статистика, вычисляемая обнаружителем сигнала определялась в соответствии с байесовским правилом принятия решений (выходной сигнал обнаружителя) как взаимная корреляция принимаемой реализации и образца обнаруживаемого сигнала. Частота дискретизации отсчётов принимаемой реализации для вычисления статистики обнаружения была выбрана по теореме Котельникова, что позволило считать эти отсчёты независимыми. В качестве критерия оценки помехоустойчивости использовалось отношение математического ожидания и среднеквадратического отклонения статистики решающего правила. Это отношение величин регулярной и флуктуационной составляющих выходного сигнала корреляционного приёмника связанно монотонной зависимостью с отношением правдоподобия и с вероятностью обнаружения сигнала. Получена формула для функции отношения параметров распределения статистики обнаружения от длительности обрабатываемого блока отсчётов оцифрованной реализации. Показано, что данная функция имеет максимум, абсцисса которого определяется и параметрами диффузионного процесса фазовой нестабильности. Физическая интерпретация этого максимума состоит в следующем. С увеличением времени обработки отношение сигнал/шум на выходе коррелятора возрастает, что объясняется накоплением энергии принимаемого сигнала. При стабильном опорном сигнале это увеличение могло бы продолжаться без ограничений. При нестабильном сигнале фазовое рассогласование принимаемого и опорного сигнала возрастает во времени. Поэтому, начиная с некоторой величины времени накопления, кривая отношения сигнал/шум на выходе коррелятора не возрастает, а начинает убывать из-за того, что опорный и принимаемый сигнал стали противофазными. На основе уравнения для максимума исследуемой функции была установлена аналитическая связь между величиной нестабильности несущей и длительностью обрабатываемой реализации, при которых обеспечивается максимальное отношение сигнал/шум на выходе корреляционного приёмника и, следовательно, максимальная вероятность обнаружения сигнала. Полученное соотношение дисперсии фазы и длительности реализации позволяет выбрать оптимальные параметры многоканального обнаружителя сигнала с фазовыми флуктуациями. Данный результат имеет также приложение в разработке систем связи с фазовой манипуляцией, поскольку позволяет определить максимально достижимую длительность элементарной посылки нестабильного передатчика. Подобная проблема особенно актуальна в случае разработки портативных радиосредств с минимально возможной мощностью.

Для цитирования:

Русанов В.Э. Потери помехоустойчивости корреляционного приёма для сигнала с фазовыми флуктуациями в виде диффузионного процесса // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2016. - Том 10. - №3. - С. 11-14.

For citation:

Rusanov V.E. The loss of noise immunity for the correlational receiving of the signal with phase fluctuations represented as diffusion process. T-Comm. 2016. Vol. 10. No.3, рр. 11-14.

Русанов Владимир Эдуардович,

к.т.н., доцент МТУСИ, Москва, Россия, rvvred52@rambler.ru

Ключевые слова: цифровой обнаружитель, диффузионный процесс, отношение правдоподобия, помехоустойчивость, флуктуации фазы.

Пусть цифровой обнаружитель обрабатывает реализацию сигнала длительностью Т, представленную N мгновенными значениями, частота дискретизации которых выбрана согласно теореме отсчётов [1]. При анализе помехоустойчивости обнаружителя будем полагать, что в каналах вычисляется отношение правдоподобия для радиосигнала с фазовыми флуктуация ми в виде диффузионного марковского процесса [2]. Согласно [3] статистика, вычисляемая обнаружителем сигнала в соответствии с байесовским правилом принятия решений {выходной сигнал обнаружителя) представляет собой взаимную корреляцию принимаемой реализации и образца обнаруживаемого сигнала, которая вычисляется по N независимым отсчётам принимаемой реализации

и эталонного сигнала .?(/) = А^ 5т[Т„(/)]

Для гармонического сигнала с фазовыми флуктуация ми в виде диффузионного случайного процесса дисперсия фазового рассогласования принимаемого и опорного сигналов пропорциональна времени анализа и определяется известным выражением

Здесь = - разность текущих фаз опор-

ного и принимаемого сигналов.

Кп - постоянный коэффициент.

Определим статистические характеристики выходного сигнала коррелятора.

+т.

Второе слагаемое равно нулю, так как опорный сигнал и шум - центрированные и независимые. Преобразовав произведение тригонометрических функций в сумму, получим:

созГВД-ЗД)] -

|£со5[ч\ ю+вд]

Здесь второе слагаемое суммарной частоты усредняется при определении математического ожидания и поэтому принимается равным нулю. Остаётся только составляющая разностной частоты: ЛЛ Д,

¡=1

Сумму можно представить как численное (приближённое) вычисление интеграла (в пределе при интервале между отсчётами Д? —>0 равенство будет точным).

Щ {ЦТ)} « С08[Д */(*,)] -а, )с05[Д

Т = N

Дг - период следования отсчётов сигнала

Усредним статистику ¿(7") по диффузионной разности

фаз:

,{ЦГ)} = ,

и ]сов[Д*(Г)]Л

м,

-1

2А1

]-

¿гЧр

Л

Воспользуемся приближением, разложив косинус в ряд Маклорена в окрестности т т

— , ограниченной пределами \К,.Т\<I• 2 2 11 Это допущение возможно, если учесть, что обнаружитель осуществляет квазикогерентный приём и дисперсия разности фаз опорного и принимаемого сигнала не превышает одного радиана. С учётом допущения

г г

П > 2Д/ 2Дс 1

ЛА0Т АА,

2Ы гы {

г

2А( 2А1 \ 11 ' Ш 2А/ 01

-47 --Ч-А

1, (-')-

М? А\Кй

2А1 2А! 2А} 8Д/

Дисперсия выходного сигнала определяется через дисперсии его отсчётов:

N ¿=1

Мг {Х(ЛГ)} = -4-|>т2рР0</,)] -

_А2АЦХ | а2^ _т А24+2а-4

4ДГ

Отношение сигнал/шум на выходе канала обнаружения оценим как частное от деления математического ожидания выходного сигнала на его среднеквадратическое отклонение:

УОЫ.Х

т,{ЦТ)}

4мг{ЦТ)} ^ А24+2а24 ^

,1 + 2а2А2

Т-Сотт Том 10. #3-2016

\АгА1+2а-А1

V 4Д?

М- 1 +

2<Г

Данное выражение имеет максимум по Т, определяемый

уравнением для его производной: ^ = ц

ОТ

ат

2а2) х

= 0

В результате решения уравнения ' 4

2 у/Т

4 ) 4

Т = (\ к«т)- 2 Т Ко I 4 ) Кл 2

2 Кп

Т =

3 кл

Г.шСп

получаем оптимальное значение длительности корреляционной обработки для сигнала с фазовой нестабильностью в виде диффузионного процесса:

10 -""-о

Полученное соотношение дисперсии фазы и длительности реализации позволяет выбрать оптимальные параметры многоканального обнаружителя сигнала с фазовыми флук-туациями. Данный результат имеет также приложение в разработке систем связи с фазовой манипуляцией, поскольку позволяет определить максимально достижимую длительность элементарной посылки нестабильного передатчика. Подобная проблема особенно актуальна в случае разработки портативных радиосредств с минимально возможной мощностью. Например, пусть несущая частота сигнала имеет

фазовую нестабильность % -10 Тогда максимальное

с

отношение сигнал/шум на выходе демодулятора будет обеспечиваться при Зависимость у (Г) для

рассматриваемого примера приведена на рис. 1.

Рис, 1. Зависимость отношения сигнал/шум на выходе корреляционного обнаружителя сигнала с фазовой нестабильностью в виде диффузионного процесса

Таким образом, минимально достижимая скорость манипуляции нестабильного ФТ сигнала в рассмотренном примере составит:

В- — = 1,5 бод Т

Дальнейшее уменьшение скорости манипуляции к увеличению выходного отношения сигнал/шум не приведёт. Для этого потребуется более стабильный генератор несущей.

Литература

1. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. Изд. 2-е, испр. - М.: Техносфера, 2007. - 856 с,

2. Тихонов В.И., Кульман И.К, Нелинейная фильтрация и квазикогерентный приём сигналов. - М.: Сов. радио, 1975. - 704 с.

3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Книга первая. - М.: Сов. Радио, 1969. - 752 с.

4. Никольский С.М. Курс математического анализа. - М.: Физматлит, 2001. - 592 с.

5. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции, перевод с немецкого, 2 изд. - М.; Наука, 1968, - 344 с.

THE LOSS OF NOISE IMMUNITY FOR THE CORRELATIONAL RECEIVING OF THE SIGNAL WITH PHASE FLUCTUATIONS REPRESENTED AS DIFFUSION PROCESS

Rusanov Vladimir Eduardovich,

MTUCI, Moscow, Russia, rvvred52@rambler.ru

Abstract

This article presents the analysis of noise immunity loss of Bayes signal detector, conditioned by the instability of carrier phase. Mathematical model of phase fluctuations is markov diffusion process. Statistics of Bayes detector is crosscorrela-tion of received and reference signal. Sampling frequency is chosen in accordance with discretization theorem. Hence, signal samples are independent. Criterion of noise immunity is relation of mean to variance of statistics obtained by the detector. This relation of values of regular and fluctuating component of output signal of detector has monotonical dependence from likelihood ratio and the probability of signal detection. The formula of function for relation of parameters of detection statistics to the number of samples of received signal is gained. It is showed that given function has maximum. The diffusion process of phase instability defines coordinates of maximum. Physical interpretation of this maximum is following. With the increase of signal processing (integration) time increases signal-noise ratio of the output signal of correlator. It is due to accumulation of input signal energy. With a stable signal, this increase could go on without limitations. With unstable signal phase, the incoherence of received and reference signal is growing over time. Hence, the signal-noise ratio of correlator output starting from some value of integration time stops growing and starts decaying. It happens because of the growing phase difference signals become less correlated. Based on equation for the maximum of considered function, the analytical relation between the instability of carrier and integration time under which the maximal signal-noise ratio is gained is determined. Determined relation of phase dispersion and signal realization length allows to choose optimal parameters for the multichannel detector of signal with phase fluctuations. This formula also has application for phase shift keying transmission. Gained formula allows to determine the maximal length of symbol for phase unstable transmitter. It is especially important for the portable radiocommunication devices with low transmitting power.

Keywords: digital receiver, diffusion process, attitude of the plausibility, noise-immunity, phase fluctuation. References

1. Oppengeym A., Shafer R. Digital processing signal. Publishing. 2. Moscow. "Tehnosfera", 2007. 856 p.

2. Tihonov V.I., Cullman N.K. Nonlinear filtering and quasicoherent acceptance signal. Moscow. Sov. Radio, 1975. 704 p.

3. Levin B.R. The Theoretical bases statistical radiotechnics. Book 1. Moscow. "Sov. Radio", 1969. 752 p.

4. Nikoliskiy S.M. The Course of the mathematical analysis. M.,Fizmatlit, 2001. 592 p.

5. Yanke E., Emde F. Special functions.Translation with german, publishing 2. Moscow "Nauka", 1968. 344 p.