2018. 02. 005. Мартыненко Г. Я. История математико-гармонических представлений: от Пифагора до наших дней. - СПб. : лайка, 2016. - 264 с

ческая регуляция определяет и процесс, и результат принятия решений в медицине. «В связи с этим целесообразно провести теоретическую ревизию методологии доказательной медицины с позиций аксиологизации ее требований и структуры доказательств» (3, с. 15).

Список литературы

1. Михель Д.В. Персонализированное лекарство как культурный продукт: Медико-антропологический анализ // Философские проблемы биологии и медицины. - Тверь, 2017. - Вып. 11. - С. 9-12.

2. Моисеев В.И. Трансматериализм как основание интеграции социального и витального // Философские проблемы биологии и медицины. - Тверь, 2017. -Вып. 11. - С. 3-9.

3. Седова Н.Н., Навроцкий Б.А. Биоэтические критерии принятия решений в медицине // Философские проблемы биологии и медицины. - Тверь, 2017. -Вып. 11. - С. 12-15.

2018.02.005. МАРТЫНЕНКО Г.Я. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКО-ГАРМОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ: ОТ ПИФАГОРА ДО НАШИХ ДНЕЙ. - СПб.: Лайка, 2016. - 264 с.

Ключевые слова: гармония; философия; история науки; математика; искусство; история; эстетика; естественные науки; гуманитарные науки; симметрия; ритм; гармонические пропорции; соразмерность; рекуррентные последовательности; рекуррентные формулы; золотое сечение; числа Фибоначчи.

Григорий Яковлевич Мартыненко - доктор филологических наук, профессор кафедры математической лингвистики Санкт-Петербургского государственного университета, автор более 230 публикаций, в том числе семи монографий («Основы стиле-метрии», «Семиотика описательных текстов», «Введение в теорию числовой гармонии текста», «Последовательности типа Фибоначчи. Теория и прикладные аспекты» и др.).

В книге рассматривается история возникновения и становления математико-гармонических идей (математики гармонии) от Античности до конца XX в. История представлена последовательностью очерков, в которых в доступной для массового читателя форме обсуждаются основные идеи, касающиеся интерпретации гармонии в философии, математике, естественных и гуманитарных

науках, об осмыслении этой категории в различных искусствах: архитектуре, музыке, живописи, дизайне, художественной литературе. В центре внимания автора - математические и эстетические проблемы. Основной объект исследования - гармонические пропорции, рекуррентные последовательности, симметрийные структуры.

Книга состоит из предисловия, введения, семи глав, заключения, списка литературы и именного указателя.

В предисловии отмечается, что в последние годы в научной литературе и средствах массовой информации много пишется о золотом сечении и связанных с ним числах Фибоначчи. Нет, наверное, ни одной области человеческой деятельности, где бы не обсуждались проблема гармонии и способы ее измерения. Этим заняты различные научные дисциплины: гуманитарные, естественные и, конечно же, царица наук - математика. Не остаются в стороне и почти все виды искусства: архитектура, живопись, музыка, поэзия, театр, дизайн, кинематограф.

Золотое сечение и то, что с ним связано, стало неотъемлемым и важным элементом современной культуры. В этой сфере много от философии, математики, эстетики. Много рационального и иррационального, серьезного и ироничного, игрового и мистического, научного и фантастического. В книге хронологически рассматриваются сведения, имеющие прямое отношение к тематическому пространству, в центре которого находится золотое сечение. В последние годы эту область научного знания часто называют «математикой гармонии».

Во введении («Статус математики гармонии в науке и искусстве») читатель знакомится с новой научной дисциплиной - математикой гармонии, представляющей собой междисциплинарную область, в которой реализуются множество дисциплин естественно-научного и гуманитарного профиля.

Гармония - сложная эстетическая категория, имеющая широкую сферу приложения. Например, можно говорить о гармоническом устройстве Вселенной, природы и ее отдельных элементов, о гармонии человеческого тела, произведений искусства, о гармонии как определенном эстетическом идеале, о гармонически развитой личности (с. 14). Гармония тесно связана с рядом других важных эстетических понятий, такими как симметрия, ритм, стиль,

композиция и др. По отношению к этим терминам гармония выступает как категория более общего порядка. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия.

Под «математикой гармонии» можно понимать междисциплинарную область, занимающуюся изучением соразмерности частей и целого в различных проявлениях бытия. Такое понимание гармонии восходит к космизму древнегреческой философии, сформировавшемуся в школе Пифагора. Для пифагорейцев гармония -это организованность («порядок», «красота») космоса в его противостоянии хаосу.

Во введении обсуждаются терминологические проблемы математики гармонии, в том числе обосновывается правомерность использования этого термина, рассматриваются тонкости взаимодействия математических и предметно ориентированных смыслов. Здесь же рассматриваются математическое наполнение этой дисциплины, ее игровое начало, а также соотношение сознательного и бессознательного. В заключение автор интерпретирует математику гармонии как искусство.

В первой главе «Древняя Греция и Рим» рассматриваются условия, способствовавшие возникновению математико-гармони-ческих идей.

Математика возникла в Древнем Египте и древнем Вавилоне. Жители этих стран уже обладали многими математическими сведениями. Они, по-видимому, знали арифметическую и геометрическую прогрессию, кубические и квадратные уравнения, формулу, связанную с именем Пифагора, и мн. др. Но математики в современном понимании еще не было, хотя египтяне и вавилоняне успешно пользовались набором арифметических и геометрических средств на практике.

И только в Древней Греции математика превратилась в науку. Это превращение часто называют «греческим чудом». По до конца не понятным причинам произошел какой-то внезапный интеллектуальный взрыв.

В Греции впервые в истории, благодаря, может быть, досугу, которым были обеспечены все свободные граждане, получили поддержку все виды творчества без оглядки на практическую пользу. Приоритет отдавался общественному благу и эстетическому совершенству.

Греческая математика со времен Пифагора до Аристотеля и Евклида развивалась преимущественно как абстрактная, выводная, доказательная дисциплина. Для греческих математиков было характерно пренебрежительное отношение к применению математических идей на практике (с. 54).

Высочайшим среди искусств в эпоху античности считалась музыка, которую греки относили, как и математику, к умопости-гающим дисциплинам. Именно поэтому греки говорили о музыке сфер.

В большинстве случаев идеи абстрактных математиков реа-лизовывались на практике без их участия. Для абстрактных математиков, живших в мире идей, эмпирика была занятием второго сорта, занятием, не достойным высокого звания математика и геометра. Прикладными делами занимались люди, привязанные к материалу, в основном ваятели и зодчие или конструкторы музыкальных инструментов. Интересно, что многие абстрактные идеи эллинов были реализованы спустя столетия, если не тысячелетия.

Идеи греческой математики простирались преимущественно на статические, неподвижные безвременные структуры (с. 54), которые соответствовали замедленному течению жизни эллинов.

В греческой математике были заложены основы теории пропорций, выявлены основные типы пропорций и изучены их свойства. Евклидом было сформулировано правило деления отрезка в среднем и крайнем отношении, которое в последующие времена стало считаться важнейшим законом формообразования в природе и искусстве. Но Евклид не связывал это правило с гармонией. Это случилось позднее. Для греческого ученого это правило было только теоремой.

Платон построил свою гармоничную космогонию на основе системы пяти правильных многогранников, которая в последующие столетия рассматривалась как основа мироздания.

Ценным завоеванием греческих математиков является идея самоподобия (гномонности), которая предвосхитила теорию фракталов, тесно связанную с математико-гармоническими представлениями.

На закате греко-римской цивилизации (Архимед, Витрувий, Герон) среди исследователей наметились а) смещение интереса от абстрактных структур к реальности, Ь) переход к изучению дина-

мических структур, с) формирование новой профессии - профессии инженера, архитектора, дизайнера, занятого конструированием прочных, полезных и гармоничных объектов.

Во второй главе «Средние века» говорится о том, что для этой эпохи характерны следующие основные тенденции, релевантные с точки зрения математики гармонии:

- распространение христианства в Европе привело к упадку математических знаний в Европе и перемещению центра математической мысли в исламский мир, где концентрировались знания не только античных математиков, но и математиков Индии и Китая;

- в средневековой религиозной практике представления греческих мыслителей (Пифагора и Платона) были трансформированы в христианские версии пифагореизма и платонизма;

- чрезвычайно плодотворной идеей Средневековья является идея трансмузыкального, распространявшая идею музыкальности не только на космос и духовный мир человека, но и на все виды искусств. Эта идея в том или ином виде воплощалась в те или иные представления последующих столетий вплоть до настоящего времени (с. 67-68);

- серьезным достижением Средневековья следует считать идеи, касающиеся «системных параметров искусства», такие как равенство, сходство, порядок, симметрия.

На фоне системного упадка европейской математики мрак Средневековья озаряется могучим интеллектом Леонардо Фибоначчи, который, с одной стороны, вернул Европе с помощью арабов и персов наследие античных математиков, обогащенное достижениями исламских, китайских и индийских ученых, а также достижениями самого Леонардо, а с другой - заложил основы теории рекуррентных последовательностей и ввел в научный оборот последовательность, которой впоследствии было присвоено его имя (с. 68).

Третья глава посвящена развитию математико-гармоничес-ких идей в эпоху Возрождения (Х1У-ХУ1 вв.).

Возрождение в истории культуры Европы - это эпоха перехода к Новому времени, эпоха поворота к живой человеческой мысли, прежде подавленной аскетизмом Средневековья. Этот период характеризуется глубокими и судьбоносными для Европы процессами: аграрным переворотом и переходом от ремесла к ма-

нуфактуре; великими географическими открытиями и началом мировой торговли. В это время феодальная раздробленность уступает централизованной власти и образуются современные национальные государства. Это время связано с началом книгопечатания, «открытием» античности, расцветом свободомыслия, возникновением протестантства и утратой церковью монополии в духовной жизни. В это время первые шаги делает естествознание, расцветают искусства и литература, стремительно развивается математика.

В отличие от Античности, ученые Возрождения не чурались сугубо практических задач. Чистых математиков-теоретиков фактически не было. Но даже те, кого можно считать теоретиками, занимались астрономией, военным делом, анатомией, механикой, медициной, картографией, оптикой и другими практическими делами.

В период Возрождения математика впервые вышла за пределы наследства, оставленного греками и математиками Востока:

- мощное развитие получили алгебра и арифметика, вырвавшиеся наконец за пределы геометрии. Впервые практически сложилось понятие действительного числа. Все «плохие» числа, например иррациональные, стали рассматриваться как естественные;

- существенно расширился круг представлений, связанных с гармонией. Концепция гармонии приобретала все более светский характер, становилась все более гуманистической, распространяясь не только на природу, но и на отдельного человека и человеческое общество в целом;

- понятие гармонии для творческого человека эпохи Возрождения находит воплощение в искусстве проекта, основанном на изучении множества реальных предметов с целью создания совершенного образца (с. 90);

- впервые со времен Евклида был возобновлен разговор о платоновых телах и правильных многогранниках. Была «обожествлена» пропорция Евклида, связанная с делением отрезка в среднем и крайнем отношении;

- в трудах Леонардо да Винчи, по-видимому, впервые ставится вопрос о различных видах симметрии архитектурных сооружений;

- серьезным математическим достижением эпохи было открытие методов решения уравнений третьей и четвертой степеней.

С одной стороны, это стало движущей силой для развития алгебры, а с другой - заложило основы алгебраической теории гармонии, важное место в которой занимают решения уравнения высоких степеней (с. 90).

В четвертой главе «Эпоха рационализма» (XVII в.) представлена развернутая картина того, как в Европе с началом XVII в. феодальные устои постепенно разрушались под натиском молодого энергичного капитализма. Составной частью этого процесса была промышленная революция - переход от мануфактурного производства к фабричному - и серия изобретений, среди которых пальма первенства принадлежит паровой машине.

Новое время было вместе с тем эпохой революции в науке. Однако научная революция заявила о себе не сразу. Ее потенциал накапливался постепенно в недрах предыдущих столетий, и косное, консервативное мировоззрение с нарастающей скоростью отступало под натиском религиозных ересей, гуманистических идей Возрождения, изобретений, научных открытий, в том числе математических. В этой борьбе крепла вера в силу разума, рациональности, здравого смысла.

Великие рационалисты XVII в., и прежде всего Рене Декарт, искали в природе объективную логику и находили ее в универсальных причинных связях. Но они также были убеждены в том, что в человеческом обществе должны господствовать логика, разум, порядок, а следовательно, право и справедливость. Все иррациональное (слепую веру, нетерпимость, невежество, логику костра и плахи) они подвергали жесточайшей критике.

Рационализм Декарта положил начало новой эпохе в науке, культуре, в характере мышления. Разум устранил из мироустройства божественное начало, объяснив всю совокупность известных фактов законами движения и взаимодействия тел. При этом, по мнению Декарта, картина мира, логически сконструированная на основе небольшого числа исходных постулатов, является однозначным, абсолютно точным и в этом смысле окончательным отображением реального мира.

Новые веяния затронули все стороны жизни: философию, науку, искусство:

- в пределах духа и буквы рационализма были сформулированы требования поэтики французского классицизма: гармония и

соразмерность частей художественного произведения, логическая стройность композиции, простота сюжета, ясность, четкость и лаконичность языка;

- Кеплер впервые поставил вопрос о формообразовании в природе, рассматривая тела шестиугольной и пятиконечной формы. Многие ученые, например Вернадский, считают его основоположником кристаллографии. Кеплер является автором космогонической теории, согласно которой шесть сфер, соответствующих орбитам шести планет - Сатурна, Юпитера, Марса, Земли, Венеры и Меркурия, - разделяются многогранниками: кубом, тетраэдром, додекаэдром, октаэдром и икосаэдром. И хотя его гипотеза оказалась ошибочной, она, с одной стороны, способствовала развитию теории многогранников, а с другой - привела к построению тем же Кеплером новой, более естественной теории, а затем - теории всемирного тяготения Ньютона. Кеплер впервые связал структуру додекаэдра и икосаэдра с божественной пропорцией Луки Пачоли, а последнюю - с последовательностями Фибоначчи;

- как научная дисциплина конституировалась комбинаторика. Блезом Паскалем был заново открыт знаменитый треугольник, в котором Паскаль объединил алгебру и комбинаторику. Треугольник впоследствии был использован для интерпретации последовательности Фибоначчи и дочерних структур;

- Лейбницем была открыта двоичная система счисления, которая через два века выступила в качестве математической основы для создания вычислительных машин;

- Катальди открыл непрерывные дроби, которые вначале использовались для приближенного вычисления квадратных корней, а затем для представления чисел е и п. Впоследствии такие дроби использовались для представления золотого числа ф и других замечательных чисел;

- вышел первый учебник по теории вероятностей, написанный Гюйгенсом. В этой книге введены основные понятия этой теории, в частности понятие математического ожидания. Кеплер перевел это понятие в понятийную область статистики, назвав его средним арифметическим. Кроме того, обрабатывая большие массивы астрономических данных, накопленные Браге, Кеплер создал прецедент массового исследования, являющегося основой статистики.

В пятой главе «Эпоха просвещения» (XVIII в.) констатируется, что в XVIII в. в Европе наблюдалось дальнейшее укрепление капиталистических отношений и еще более бурное, чем в предшествующие эпохи, развитие науки и техники, расцвет искусства. «Просвещение» - идейное движение, отразившее борьбу буржуазной демократии против феодализма, абсолютистской монархии, церкви, религии. Апелляция к разуму, как и веком раньше, не утратила силы и энергии, но гимн разуму стал менее категоричным, менее фанатичным, более просветленным, вариативным и демократичным. В целом в XVIII столетии продолжалась без существенных перемен линия развития эпохи Декарта, Ферма, Ньютона и Лейбница. Но в конце этого периода наметились тенденции, которые привели к новым коренным изменениям в предмете и методах математических исследований.

Сильнее всего была буржуазия во Франции, где в течение многих лет вызревала, а в 1789 г. произошла Великая французская революция. Ее идеологической подготовкой была деятельность французских просветителей Вольтера, Руссо, Дидро и др. Крупнейшим событием в духовной жизни страны было издание «Энциклопедии, или Толкового словаря наук, искусств и ремесел» (1751-1772) в 28 томах.

Влияние французских идеологов эпохи Просвещения в той или иной мере распространялось на все страны континента. Абсолютизм во многих странах принимал форму «просвещенной монархии», а такие монархи, как прусский король Фридрих II и русская императрица Екатерина II, поддерживали образование, науку и искусство.

В эстетике Просвещения наблюдаются постепенный отход от жестких норм классицизма и концентрация внимания на разнообразии, богатстве и разноликости жизни. Именно в эпоху Просвещения эстетика приобрела статус самостоятельной науки благодаря Готлибу Баумгартену (1714-1762). Именно он дал определение эстетики как науки и стал основателем школы немецкой эстетики. Под эстетическим совершенством он понимал единство в многообразии, которое не доказывается аналитически, а схватывается и кристаллизуется художником в виде метафоры, в виде изящной словесной формулы.

В эстетике этого периода были популярны геометрические идеи, поиски «линий красоты». В качестве такой идеальной гармонической формы Хогарт предлагает кривую, состоящую из двух изгибов, направленных в разные стороны в форме буквы «8», а Винкельман спиралевидной форме предпочитает эллиптическую.

Учение Канта о вкусе имело целью отделить эстетическое от познавательного и нравственного, а также оградить искусство от утилитаризма. По Канту, «прекрасное есть форма целесообразности предмета, воспринимаемая в нем без представления о цели». Такую красоту Кант называет чистой.

Значение Гёте состоит в том, что в истории эстетики он сыграл двоякую роль, выступая одновременно и субъектом, и фактором развития этой науки. Природа для Гёте была источником и выражением вечного и видимого порядка, и он думал, что познание ее тайн может осуществляться не только путем ученых занятий, но и с помощью художественного творчества. При этом Гёте считал, что художник в не меньшей степени, чем метеоролог или ботаник, может быть исследователем природы, что поэзия порой опережает рациональное знание и предвосхищает его.

В эстетике Шиллера Человеку, достойному так называться, свойственна гармония разума и воображения, гармония слова и дела. Именно такое совершенство нашло воплощение в искусстве и гармоничном человеке древней Греции. Такая гармония была укоренена в личности и творчестве Гёте. На эту гармонию ориентировался и Шиллер.

В трудах Бернулли и де Муавра впервые появляется термин «рекуррентная последовательность» и дается его толкование. В качестве рекуррентных последовательностей Муавр рассматривал арифметическую и геометрическую прогрессии, а также последовательность Фибоначчи. Де Муавр предложил формулу для вычисления любого члена последовательности Фибоначчи, основанную на методе производящих функций, который играет большую роль в комбинаторике, теории вероятностей и теории чисел.

Благодаря Эйлеру «линия жизни» платоновых тел была существенно продлена. Более того, она получила ответвление в сторону теории симметрии (благодаря Кеплеру), теории уравнений (а затем теории групп Галуа) и топологии. Математику гармонии в

этих фундаментальных областях в ближайшее время ждут серьезные открытия.

В обсуждаемый период благодаря усилиям Фурье серьезный импульс получила теория гармонических колебаний, основы которой были заложены еще в школе Пифагора.

В шестой главе рассматриваются математико-гармонические изыскания Нового времени (XIX в.).

Темп общественного прогресса и научного развития в XIX в. заметно ускоряется. Под влиянием промышленного производства и запросов государства роль науки непрерывно возрастает. Если раньше математизации подвергалась прежде всего механика, то теперь математические методы охватывают практически всю физику и даже общественные науки: экономику, демографию, социологию, эстетику и даже лингвистику. Это была своего рода небольшая революция. Математика становится воистину междисциплинарной.

В методологическом отношении математика перешла на новую, более высокую ступень абстракции, предмет ее стал гораздо более общим, и поэтому вширь и вглубь выросли возможности ее приложений.

Революционный переворот в математике XIX в. заключался прежде всего в том, что этим метафизическим представлениям был нанесен сокрушительный удар. Это произошло благодаря открытию первой неевклидовой гиперболической геометрии, связанной с именами Н.И. Лобачевского (1829) и Я. Бояи (1831). Это великое открытие опровергло догму о единственности геометрии и указало пути построения других геометрических систем. Методологическое значение открытия Лобачевского и Бояи, в частности, состояло в том, что априорное убеждение в евклидовости реального мира уступило место чисто научной проблеме геометрических свойств Вселенной - проблеме, решение которой принадлежит физике и астрономии, опирающимся как на опыт, так и на математику.

В алгебре традиционные представления были поколеблены открытием кватернионов Гамильтона и чисел со многими единицами Гроссмана. Работы в этом направлении сыграли огромную роль в создании векторного и тензорного исчислений. Последнее вместе с теорией матриц и теорией групп широко применяется в различных разделах современной физики.

Другим событием величайшей значимости в алгебре явилась разработка теории групп Галуа (1830-1832), подготовленная работами Лагранжа, Гаусса и Абеля по проблеме решения в радикалах уравнений выше четвертой степени.

Сложная эстетическая жизнь столетия породила ряд интересных эстетико-гармонических концепций, среди которых были рассмотрены взгляды Новалиса, Гегеля и Ницше. На фоне этих будоражащих воображение математических и эстетических достижений XIX в. собственно математико-гармонические изыскания выглядят довольно скромно. Однако два достижения - последовательность Люка и формула Бине - заняли прочное место в истории математи-ко-гармонических исследований.

Недостаток теоретических изысканий с лихвой компенсируется обилием экспериментальных исследований. Особую важность имеют измерения Цейзинга, который возвел золотое сечение на пьедестал универсальности и всеобщности, а также работы Фехне-ра, который также поддержал эту идею сечения, но уже в рамках экспериментально-психологической теории. Существенные предпосылки для дальнейшего развития математико-гармонических представлений были заложены Бертильоном и Кетле (антропометрия), Гальтоном (биометрия), Фехнером (психометрика), Кетле (искусствометрия), Парето, Ульяновым-Лениным (эконометрия) и Диттенбергером (стилеметрия).

В течение XX в., которому посвящена заключительная шестая глава книги «Новейшее время», интенсивность математико-гармонических изысканий постепенно нарастает. Это обусловлено стремительным ростом науки в целом, ее превращением из малой науки в большую науку - науку, ставшую непосредственной производительной силой, подобно современной промышленности. Но важную роль играли и внутренние процессы в развитии золото-сеченских проблем, прошедших стадию «первичного накопления знаний». Эти знания постепенно превращались в фактор, ориентирующий в сторону систематической работы.

К концу века поток информации, связанный с золотым сечением и числами Фибоначчи, стал лавинообразным. Качественный перелом начался примерно в начале 70-х в процессе экспансии ма-тематико-гармонических представлений в сферу информационных технологий. С этого момента математико-гармоническое движение

стало набирать энергию как в области математических идей, так и в области многочисленных приложений, затрагивающих основы развития современной цивилизации.

XX век характеризуется беспрецедентно радикальными сдвигами в области научного и художественного творчества. Речь идет об отходе от классических схем, переоценке ценностей, декадансе, обновлении художественного и научного языка, становлении новых и даже экстравагантных научных парадигм, возникновении различных форм модернизма и авангардизма. В первой половине XX в. устойчиво развивались идея пропорционирования в музыке и архитектуре, преимущественно на основе золотого сечения (с. 234).

В музыке, прежде всего усилиями Розенова, Сабанеева, Май-зеля, была выдвинута гипотеза о динамической развертке музыкального текста от длительного периода нарастания через кульминацию к более короткому спаду. Причем точка кульминации, как правило, совпадает с золотым сечением. Аналогичные исследования были осуществлены и на материале вербального текста. Необходимо отметить, что закон золотого сечения был применен на таком материале впервые.

Принципиально важными являются первые попытки сознательного, «рабочего» применения принципа золотого сечения в архитектуре (Ле Корбюзье и большая группа советских архитекторов -Жолтовский, Гликин и др.). С. Эйзенштейн применил принцип золотого сечения в кинематографе.

Заметным событием в первой половине XX в. была книга немецкого математика Г. Тимердинга, в которой остро ставятся спорные проблемы корректного применения золотого сечения в искусстве.

В начале второго пятидесятилетия XX в. публикуются серьезные работы А. Маркушевича, В. Воробьева, А. Реньи, В. Хоггата и др., в которых излагается теория чисел Фибоначчи, рассматриваются их замечательные свойства, их место в теории чисел, комбинаторике, варианты их использования для решения прикладных задач.

Опубликована эпохальная книга Г. Вейля, позиционирующая числа Фибоначчи и золотое сечение в рамках теории симметрии и в системе космогонических гармонических представлений. Опубликована информация о двух замечательных достижениях. Первое -решение с помощью чисел Фибоначчи 10-й проблемы Гильберта

Ю. Матиясевичем, второе - создание новой системы счисления на основе золотого сечения Дж. Бергманом (с. 235).

Введен в математико-гармонический оборот закон Вебера -Фехнера, касающийся психологических экспериментов по схеме «стимул - реакция».

В техносфере серьезным успехом следует считать теорию электрических цепей на основе чисел Фибоначчи, развиваемую в трудах М.А. Бонч-Бруевича, В.Н. Листова и Н.Ф. Семенюты.

Фундаментальным достижением математико-гармонического направления второй половины XX в. является создание под руководством А.П. Стахова компьютеров Фибоначчи и их фронтальное патентование в технологически ведущих странах. Таким образом, идея Бергмана получила теоретическое и практическое подтверждение. Образовалась ось Бергман - Стахов, которая стала «обрастать деталями» в последующие десятилетия. Получила второе дыхание и знаменитая задача о взвешивании, которая также была введена, с одной стороны, в мир рекуррентных последовательностей (суммативное правило и уравнение А.П. Стахова), а с другой -в мир современных информационных технологий.

Перечисленные достижения создали предпосылки для формирования междисциплинарной сферы, которая уже в XXI в. конституировалась под знаменем математики гармонии.

В заключении подводятся итоги исторического развития математики гармонии. Сделано это посредством классификационной таблицы (с. 238-239), в которой размещены основные достижения математики гармонии с учетом содержания идей и хронологического фактора. Завершается книга кратким перечнем успехов, достигнутых в начале XXI в.

Книга выполнена в широком междисциплинарном аспекте и будет полезна для специалистов в самых разнообразных областях знания, творческой и практической деятельности: от математики и астрономии до музыковедения и литературоведения.

Т.Ю. Шерстинова