Деформации магистрального трубопровода, вызванные смещением основания в горизонтальной плоскости

Расчет строительных конструкций

ДЕФОРМАЦИИ МАГИСТРАЛЬНОГО ТРУБОПРОВОДА, ВЫЗВАННЫЕ СМЕЩЕНИЕМ ОСНОВАНИЯ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Р.Г. ЯКУПОВ, д-р техн. наук, профессор Д.М. ЗАРИПОВ, канд. ф-м.н.

Институт механики Уфимского научного центра РАН

Геофизические исследования в области структурной геологии показывают, что тектоническая активность и развитие структурных форм продолжается и в современный период [1-3]. Тектонические движения имеют различную пространственную ориентацию, происходят с преобладающей вертикальной или горизонтальной компонентой, причем смещения происходят либо плавно, либо импульсивно или же временно прекращаются. В результате изменяется рельеф местности. Сказанное подтверждается визуальными наблюдениями и другими материалами: районы выхода на дневную поверхность фронтальных частей нарушений земной коры подвержены оврагообразованию, развитию карста и суффозии, усилению оползневых явлений, деформации асфальтового покрытия автодорог и т.д. Ниже рассматриваем деформации и напряженное состояние магистрального трубопровода после его прокладки в результате сдвигов его основания на отдельных участках.

1. Трубопровод расположен перпендикулярно к линии сдвига.

Блоки 1 и 2 (см. на рис.1), смещаются один относительно другого в горизонтальной плоскости в направлении, показанном стрелками. След плоскости, в которой происходит сдвиг, отмечен на рисунке зигзагообразной линией. Трубопровод расположен перпендикулярно к линии сдвига, деформированное положение его показано жирной линией.

Поместим начало координат xOy в точке О недеформированного положения трубопровода, направив ось х влево вдоль его оси, ось у - вниз,

как показано на рисунке. В точке B на расстоянии !0 от линии сдвига трубопровод отрывается от грунта. В области x < 0 трубопровод остается параллельным оси x и совершает совместное движение с грунтом. Слева от линии сдвига упругая линия кососимметрична по отношению к оси х и точку, аналогичную точке В, обозначим В\. Длина !0 определяется в процессе решения. В точках В и В1 возникает сосредоточенная сила RB [4].

В трубопроводе находится жидкость под давлением p. Под действием давления жидкости и в результате разности температур АТ в момент строительства и в рассматриваемый момент времени в нем возникает продольная сила

N = ^lR2p ± 2лRha (Д Т) Е,

где R и Ь - радиус срединной поверхности и толщина стенки трубы, а* и Е -коэффициент температурного расширения и модуль упругости материала трубы. Смещение точки В обозначим через Д.

Диаграмма сопротивления грунта поперечным смещениям трубы в горизонтальной плоскости совпадает с диаграммой деформирования упругоидеаль-нопластического тела [5]. При малых перемещениях трубы сопротивление грунта пропорционально перемещению

q = ау,

где а = 0.12Егр 1 - Игр), Егр, Игр - модуль деформации и коэффициент

Пуассона грунта, О - диаметр трубы, I» - единичная длина, у - смещение трубы (прогиб). Соотношение (1) справедливо в диапазоне перемещений от 1 до 6 см. При больших смещениях трубы сопротивление грунта постоянно, не зависит от перемещения и равно

92 = RгрD ,

Здесь Rгр - условная несущая способность грунта [5].

Принимаем, что отношение Д /10 << 1 и нагрузка на единицу длины проекции искривленного трубопровода на его первоначальное направление также равна q. Рассекаем трубопровод в точках В и Вь прикладываем силы RB. Из уравнения равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки А находим

Rв = т ¥ <3>

2 '0

Здесь и ниже в выражениях, имеющих слагаемые с двойным знаком, верхний знак берем, если сила N растягивающая (положительная), нижний знак - если сила N сжимающая (отрицательная). Изгибающий момент в сечении на произвольном расстоянии х равен

2

М

Дифференциальное уравнение упругой линии трубопровода имеет вид

У = ± EJ

9x2 ± Nд(X-1Л

2 2

V 'о

± Ny

где штрих означает производную по х. Пусть смещения трубы малы и реакция грунта определяется выражением (1). Подставляя в (5) вместо q выражение (1), получим дифференциальное уравнение с переменным коэффициентами

у +

где к° = а/(2EJ), к2 = N1(EJ). Однородное уравнение (6) совпадает с уравнением 2.55 (стр.379) в [6], если в последнем принять а = Ь = 0. Следуя [6], принимаем у = и( х)е3><2, где 5 - корень уравнения 4s2 - к^ = 0 и равен 5 ¡2, однородное уравнение (6) приводим к виду

и + 2^[к°хи +

Здесь использовано положительное значение 5. Заменой

-А'ох], (х-2

(

и( х) = Г|© ехр

/

уравнение (7) сводится к уравнению

ц" + |ц" + Ьц = 0,

2

где b = ^l0 + ^^ , у = ^ (х - I . Уравнение (8) совпадает с 2.273 (10) в

1 Г (

[6] и имеет решение

ц = C 2e 4 ц

b -11 -C

2 4' 4- ~2

2

Используем обозначение k = Ь -1 , m = 1 и выражение (9) записываем так

k,m:

ц = C 2e 4 ц

2

где ц(к'Щ- - функции Уиттекера; в [7] они обозначены через Mkm (C) и

M

k'-m

и представляют собой линейно-независимые частные решения одно-

родного уравнения Уиттекера. Общим решением (8) будет

ц = Wk,m (C) + C2Mk,-m (C) >

1 C

-+m

где M-k m (C) = C2 e 2F- + m - k, 2m + 1,C

. .  a (a +1)... (a + n -1) xn

1F (a, b,x) = 1 + > —--—-----ряд Похгаммера; в [8] его называют

v 7 n=1 b(b + 1)...(b + n - 1)n/

вырожденной гипергеометрической функцией и обозначают Ф( a, c, x) , где a = 1/2 + m - k, b = 2m +1. Для функции Ф( a, c, x) справедливо правило дифференцирования

dn Ф Г (a + n )r(c) v dФ a , . ч

-= —7-г—+ n,c + n, x): — = — Ф^ +1, c +1, x).

dxn Г(с + n)r(a) v ' dx c v '

После перехода к исходной функции y общее решение однородного уравнения (6) запишется в виде

У

где У1 = |me

2 Л

- + m - k, 2m +1,— 22

5 (

У2 = C-me 21F

2 Л

— m - k, -2m +1,—

2

2

Производные функции y1 и y2 по C имеют вид

cm \ (

y"=|mr-1 -^j e 21F

2 Л

v

C Л

1 Г о и C

— + m - k, 2m +1,— 22

Cme 2F

/

.2 Л

- + m - k, 2m + 2,— 22

me 2

У2 =

C-me

(1 + 2ml1) _~ 1F1

(1 - |2Л

— m - k, -2m +1,— 22

me 2 (1 -2m-2k

^ ^ 1F1

2

Зависимость C от x приведена в уравнении (8).

in _

--m - k, -2m + 2,— 22

c

+

c

+

Частное решение V неоднородного уравнения (6) находим методом неопределенных коэффициентов в форме V = С, (5)у1 (5) + С (5)у2 (5), где

С (5) = /

f (5) d5

У1 (5) 1п

У2

; С (5) = /

f (5) d5

к2Д

У2 (5)1п

У2

; f (5) = ^

'п

5

л/2/кГ

У1

Постоянные интегрирования в (11) определяем с помощью граничных условий

у = Д, у' = 0 при х = 0, 5 = -50; 50 =

л/2/кГ'о

Имеем

где

у (5) = Д У1 (5) у2 (-5о)-У1 (-5о) У2 (5) _ У' У1 (-5о) У2 (-5о)-У1 (-5о) У2 (-5о) +С (5) у, (5)± С2У2 (5),

5

С (5)=/

f (5) d5

-5о

у, (5)'п

У2

5

; С (5)=/

f (5) d5

У,

Длину 1о находим из (13), используя условие у = о при х = 1о (5 = 5о). Выражение для изгибающего момента имеет вид

у2 (5)'п

у2 (5)'

М (х ) = М ('о - X) Т N

у - Д

х

1 -х 'оу

Координату опасного сечения х„ находим из условия О (х) = о по формуле

2 Ц'о

Из (14) видно, что при N = о наибольший изгибающий момент возникает в сечении х„ = 'о/2. Более точное значение х„ следует из условия dM/dх = о .

Пусть перемещение трубопровода больше предельного значения. Сопротивление грунта определяем по формуле (2). Тогда дифференциальное уравнение упругой линии (5) принимает вид

(„ \

у" Т к у = к1х (X - 1о) + к2Д

— -1 V 'о У

где к, = ф/(2EJ). В случае N > о решение уравнения (15), удовлетворяющее граничным условиям (12), запишется так

у = Д -

42 х , Ц

. , (сИкх-1)-02 2N к2^ ' к

42

(

Д

\

изгибающий момент равен М (х) = (1 - сИ кх) + —

2N

21 2

1 Г Ч2'о N Дл

(sh кх - кх), (16) sh кх.

_ 02 х2 02

При N < о имеем у = Д + + 2

. „ (coskх -1) + — 2N к2^ ' к

(

Д

о

\

2N 02'о

М (х ) = Ц- (cos кх -1) +1

к

д>'о +

V 2 'о у

sinкх.

Если N = о, то у = Д + Ц^Гх - 'о 1; Мтах = ; 'о =

12EJ V 2 о / тах 8 о V ц

'

'о

Координату опасного сечения находим из условия dM/dx = 0 по формуле

(

tg kx„ = k

0 + NA 2 qfel0

л

Если &х,<< 1, то, пользуясь известным разложением в ряд tgz = г + г3/3 + ... и оставляя в разложении первое слагаемое, для х, получим более простую фор-

мулу:

l0 _ N A

x„ = — +-

2 %lo

Используя условие у = 0 при х = 10, находим уравнение для определения ¡0:

(

N > 0:

N < 0:

1 - ch kl0 + k

l0 NA

л

sh kl0 = 0;

(

1 - cos kl0 - k

l0 N A

— +-

2 q^

Л

sin kl0 = 0.

2. Трубопровод расположен под углом в к линии сдвига. На рис. 2 показано деформированное положение трубопровода, направления смещения блоков, приведены геометрические и силовые параметры задачи. Проводим нормальное сечение трубопровода на расстоянии ¡\ слева и справа от линии сдвига. Из уравнения равенства нулю суммы моментов всех сил относительно точки 0\

(

N

определяем

Ro =

л

q20 + NA

sin8 .

Внутренний момент на произвольном расстоянии x равен 2

M (x) = -sin 8 - FOx + Ny.

Дифференциальное уравнение упругой линии трубопровода имеет вид 2

EJy" = -sin 8 + FOx + Ny . (19) Здесь штрих означает дифференцирова-

Рис. 2

ние по х. Используем обозначения

к2 = ^ = . к2 = Ъ

EJ ^ 2EJ 2 EJ

и уравнение

Пусть сила N растягивающая. Тогда решение уравнения (20), удовлетворяющее условию у = у" = 0 при х = 0 записываем так

У(х) =

q2 sin 8

N

1

_ - _ (ch kx -1) + k

/0 - NA

2 q^0

\

Изгибающий момент определяется по формуле

M (x) = q2 sin 8

/0 - NA

2 q^0

\

sh kx - —

Координату опасного сечения x„ по-прежнему определяем по формуле

(

tg kx„ = k

/о - NA

2 q^

Л

Используя условие у = Asinв при х = ¡0 из выражения (21) находим уравнение для определения ¡0:

y

2

(

1 - ^ к10 + к

- МД

Л

sh к10 = 0.

В случае N < 0 выражения для прогиба, изгибающего момента и уравнение для определения х„ и 10 имеют вид

У =

С sin 8

N

—- — (cos кх -1) + -

2 к

10 + 2 4210

л

^п кх - кх)

М (х) = -42 ап 8

х2 - (cos кх -1) +

1

+— к

10 N Д

— +-

2 с^10

\

(

2кх„ + sin кх„ + к

0 + ^Д

2 С210

л

(cos кх„ + 2) = 0;

2NД 1 , .. ,ч 1 Г10 NД , . ..

-+ к10 -1)—I — +-I sin к10.

С2 к 0 ^ к ^ 2 ^00

Если N = 0, то

С^х^т8Л х^ , схsin8,. ,

У = '^ШГ (10- 2); М (х ) = V" (10- х);

Наибольший изгибающий момент возникает в сечении х„ = 10/2, где 10 определяется из выражения 10 = 424ЕТД/с2 . На рис.3 приведена расчетная схема для движения блоков в направлении, противоположном рассмотренному выше. Здесь справедливы формулы (21)-(24).

3. Определение предельного значения смещения Д„.

Элемент трубы находится в плоском напряженном состоянии, на гранях

элемента возникают напряжения стх = СТц + стМ =

N М

pR

nDh

СТ*= h

Для определения Д^ используем энергетическую теорию прочности и запишем СТ2 - СТ^ + СТ2 = СТ^ , где СТ) = стх , ст2 = стф, стт - предел

текучести материала трубы. Если ДТ = 0 , то СТц = р^2h и из условия прочности находим предельное значение изгибающего момента

Рис. 3

Мпр

СТ2 3

Т - 4

4. Численный пример. В стальной трубе радиусом срединной поверхности R = 0,51м, толщиной стенки Л = 0,011м содержится жидкость под

давлением р = 50атм, Е = 2 • 105 МПа, стт = 300МПа, ДТ = 0 . Труба находится

в песчаном грунте с параметрами Егр = 30МПа, цгр = 0,25 , Rгр = 0,4МПа [5].

По результатам расчетов построены графики. На рис. 4 приведена кривая зависимости величины деформированного участка трубопровода 10 от смещения Д . На величину 10 не влияет угол в, а также давление жидкости и соответственно растягивающая сила N .

2

2

M(Х.),Н  м

_ / / /

/ /Мпр

Ж- ' 1 1

А, м

0.0518 \ А

А^м

А.,м

1.5

50 40

Рис. 6

Рис. 4 Рис. 5

На рис. 5 показаны графики изменения изгибающего момента в опасном сечении M (x„) в зависимости от А при 6 = 0 разных значениях смещения. Горизонтальные линии представляют предельный момент МПр. Сплошные линии соответствуют давлению p = 50атм, штриховые и штрихпунктирные линии -

давлению p = 30 и p = 10атм . В диапазоне 0 < 6 < л/2 влияние на А. давления жидкости в трубопроводе и соответственно растягивающей силы N не превышает 1 %. На рис. 6 дан график зависимости предельного смещения А. от углового положения трубопровода в. Из графика следует, что с увеличением в. величина предельного смещения А. уменьшается и наоборот. Как видно

из графика в диапазоне изменения 60° < 6 < 90° величина А. изменяется незначительно.

Л и т е р а т у р а

1. Казанцев Ю.В., Казанцева Т.Т. Структурная геология юго-востока ВосточноЕвропейской платформы. - Уфа: Гилем, 2001. - 232 с.

2. Современная тектоническая активность древних дислокаций земной коры / Ю.В. Казанцев, Т.Т. Казанцева // Уралэкология. Природные ресурсы - 2005: Сб. тр. Всеросс. научн.-техн. конференции - Уфа-Москва, 2005. - С. 126-127.

3. Современная геодинамика как фактор восполнения запасов углеводородного сырья / Ю.В. Казанцев, М.А. Камалетдинов // Уралэкология. Природные ресурсы - 2005: Сб. тр. Всеросс. научн.-техн. конференции - Уфа-Москва, 2005. - С. 128.

4. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. -М.: Гостехиздат, 1953. - 238 с.

5. Айнбиндер А.Б., Камерштейн А.Г. Расчет магистральных трубопроводов на прочность и устойчивость. - М.: Недра, 1982. - 342 с.

6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1971. - 576 с.

7. Бейтмэн Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрические функции и функции Лежандра. - М.: Наука, 1965.

8. Янке Е., Эмде Ф., Лещ Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы). -М.: Наука, 1968.

DEFORMATIONS OF THE MAIN PIPELINE CAUSED BY THE DISPLACEMENTS OF THE GROUND IN A HORIZONTAL PLANE

Yakupov R.G., Zaripov D.M.

lo, м

6

2.695- 10

6

2.69- 10

5

6

2.685- 10

0

0.0514

0

0.2

0.4

0.6

0.8