Анализ теплодинамики мерзлого грунта методом гармонической линеаризации

И. Г. Соловьев, А. В. Васькевич

АНАЛИЗ ТЕПЛОДИНАМИКИ МЕРЗЛОГО ГРУНТА МЕТОДОМ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Рассмотрен способ моделирования распределения температур в мерзлых грунтах при помощи метода гармонической линеаризации. Приведены результаты численного анализа.

В основе моделирования теплодинамики массивов мерзлых грунтов (ММГ) лежит классическая задача Стефана [1], имитирующая движение границ раздела фаз. Последующее развитие вопросов моделирования связано с уточнением классической схемы на основе детализации механизмов фазовых переходов, учитывающих объемное содержание остаточной незамерзшей влаги [2, 3]. Наличие солей и иных компонентов водных растворов переводят точку фазовых превращений в температурный интервал, параметры которого, как и теплофизические параметры ММГ, эволюционируют вследствие миграции влаги, солей [4], температурных и механических возмущений [5]. Специфика задач типа Стефана потребовала развития адекватных вычислительных процедур [6, 7], обеспечивающих надлежащие условия точности и экономичности счета.

Совершенствование криогенных технологий строительства и эксплуатации промышленных и гражданских сооружений заставляет искать новые подходы к описанию теплофизических процессов в массивах мерзлых грунтов, ориентированные на применение развитых методов теории управления с последующей постановкой и решением задачи оптимальной автоматической стабилизации мерзлотных условий грунтов.

Задача эта особенно актуальна для реализации стратегий искусственного замораживания при строительстве тоннелей и иных подземных путепроводов.

В статье изучается техника приближенного анализа одномерной задачи типа Стефана [1] на основе классического в теории автоматического регулирования [8] метода гармонической линеаризации [9]. В отличие от типового спектрального анализа метод гармонической линеаризации позволяет явно учитывать нелинейные особенности решений, вносимые диссипацией энергии фазовых переходов.

Конечномерная аппроксимация термодинамики ММГ (одномерная задача типа Стефана [10]) может быть представлена системой уравнений:

ДН1 С1 (©1) = Хо(©о) - 2^1(01) + ^2(2),

ДН2 ^(©2) = ^1<©1) - 2^2(02) + М©3),

'

ДН„-|с„ (©„) = х„-1(©я-1) - 2Х „ (©„) + Х„+1(©я+1),

Рис. 1. Структурная схема конечномерной модели ММГ

Рис. 2. Типовые графики функций теплопередачи и теплоемкости

где, согласно рис. 1, смещенный ©, = ©, -©ф относительно точки фазового перехода ©ф вектор состояния температур ММГ по вертикали 0 = оо![©1 ... ©п];

/ -1

ДН, — толщина /-го слоя в интервале [[, Н1-1 + ДН, ], Н 1-1 = '^ДН];

1=1

(ф-Д©ф, ©ф +Д©ф) — температурный интервал фазовых превращений; X,(©,), с,(©,)— функции теплопередачи и теплоемкости ММГ в условиях фазовых переходов (рис. 2):

X,. (©) =

|Хм,©, при ©< 0, ІХт,©, при © > 0,

о, (©) =

см/©-д©с,, при © < -Д©ф, ом,©, при ©є(-Д©ф, 0], о;©, при © є (0, Д©ф ],

От,© + Д©о,, при © > Д©ф.

Здесь параметры теплопередачи и теплоемкости /-го слоя вычисляются отдельно для мерзлого «м» и талого «т» состояния по формулам:

где Хг/, сг/, Хв, св, Хл, сл — теплофизические параметры компонент ММГ, а именно: грунта «г», воды «в» и льда «л»; №/ е (0,1) — объемная влажность массива грунта для /-го слоя. Условная теплоемкость фазовых превращений кратно возрастает за счет энергии реакций на формирование и разрушение кристаллической решетки льда, поэтому

где Оф — удельная теплота фазового перехода. В рамках введенных обозначений имеем Д©^ = №-Оф Д©ф. Краевые условия, приведенные к точке ©ф, задаются выражениями:

Решение задачи (1) ищется в приближенном виде

, (t) = qi + A sin(rot + ф,) = q + b, sin at + ai cos rot,

b, = A, cosф,, a, = A, sin ф,.

Гармоническая линеаризация нелинейностей (2), (3) дает приближенные равенства

h(,(t))« qw + Qyj(b,sin a+acos a x

С (i (t)) и qci + Qa (b sin at + ai cos rot), где параметры введенного разложения ряда Фурье [9] вычисляются по выра-

©0 =©0 -©ф = q0 + b0 sin at, a = 2n/T, T = 365 дней,

©n+1 ©n+1 ©ф qn+1.

жениям

qu (q,, At) = — j Х, (q, + At sin y)dy,

Qa (q/, A,) = — j c, (q, + Ai sin у) cos ydy,

nA, n

Подставив (5) в систему (1), с учетом (6) приходим к искомому

гармоническому балансу

9л /-1 2Ял/ + /+1 °>

• Ол /-1^,-1 - 20иь, + Ол,+А+1 = -Он&, Ой, = ДН,0,, / = Та

Ол /-1 а,-1 - 2Ол/а/ + ОЛ /+1а/+1 = Он/Ь1,

с краевыми значениями

Ло(©о) = Ло(9о + Ь0Б1п Ы),

л п+1(п+1) = Лп +19п+1-

Перейдя к векторно-матричным обозначениям, с учетом (7) получаем ЧЧл А) = EоЧо,

•Ол

^Ой (я, А)Ь - Ол (я, А)а = о.

Здесь Ял (я, А) = со1 [^1 --- Ялп ], ь = со1 [Ь1 ... Ьп ], а = ео1[а1 ... ап ], а п-

мерные матрицы системы и векторы краевых условий имеют вид:

2ОХ1 -ОХ2 .о А Н1 Ос О

Ох №.а) = 2ОХ2 \ О, ^,а) = ю АН2Ос 2

о\ о \ АНпОсП

2 -1 р Хо 0

^0 = ^0 = 0 1 0 1 qо = д0 Ь0 = Ь0 0

О 2 0 Хп +1 д,+1

Итеративная процедура решения системы (9) иллюстрируется блок-схемой алгоритма, представленного на рис. 3, где а1, Ь1 — векторы начального

приближения искомого решения; я-1(.) — алгоритм вычисления вектора постоянного смещения q, получаемый из первого блока системы (9); є — параметр точности приближения. Под векторными записями А = V а2 + Ь2, Ф = агйд а/Ь понимаются их покомпонентные аналоги, || с || — обозначение

евклидовой нормы вектора с *).

Алгоритм вычисления коэффициентов гармонической линеаризации О, (д, А) и смещения qk (д, А), согласно (2), (7), удается выписать аналитически в виде:

’ Если с = сої [с., ... с,], то ||с ||2 = с2 +... + с,.

25

(б) ІЯ1ЛІ0ЮИО ьинэгпэс! BiAiindoJUB еілюхо-яоид '£ "эи^

^ їтанол ^

q/ю 8pjt: = 6 •_q+.»/v = V

©

3 > J q - 'ч + _ г _ 'ю

»хд;.д- = ч °ч °л1.Сд1н-дхд+нд)- = »

і

(L) (у ьУд I

(L) ‘(V‘b)Y6

I

,д+,рД = у

q= q

п = п

'q

0BhAuo lAioHaniodu a ‘пі , w , ... . = (\b\~V )+l

0 < \b\~V ndu Xj

atfj

‘

jz(v/b)-i^- £d)-|]^^-(l b I - v)\+ \ = (V‘b)b

‘[z(v/b)-i^v-i[t!b-^]jb\ly\y-(\b\-v)+i + b1x = (v‘b)'lb

0<b ьиУ

‘(y/6-)u!SOJB = 'cb

iz(v/b)-l^+ • (I b\-v)\+ "y = (V‘b)b

{z(v/b)-^v + {ld>-*)b]1^;-(\b\-v)\ + bnx = (v‘byb

0 > b ьиУ

Рис. 4. Особенности гармонического анализа с разными уровнями смещения и амплитуд

Алгоритм вычисления коэффициента линеаризации Ос А) имеет более

сложную логику построения, связанную с шестью типовыми диапазонами смещений д и четырьмя уровнями амплитуды А, например как на рис. 4.

(1

Алгоритм расчета Ос для пятого диапазона смещения д е1 _ Д@ф, Д@ф (см. рис. 4) иллюстрируется таблицей, где

Ос • (а1. а2) =

0,5л-а. +

ч + {д}± 2 -({д>-ч )7л2

Ос • (а1,а2) = —

0,5п - а3 -

ч + {Д}± 2 ^ ) У' -({д}- ч )7а2

а (Д} = {-Д©ф, 0, Д©ф}.

Алгоритм расчета Ос

А <-ч + Д©ф О, = (0,2п) = ст+,

-ч + Д©ф < А < ч Ос = О+ (0,2п) - О+т (Х11,Х21) + Ост (Х11 %21 ),

Ч < А < ч + Д©ф Ос = ОСт (0,2п) - ОСт (Х 12 , Х22 ) + Ост (%12 , Х22 ) - - Ост (Фэ2 , Ф42 ) + Осм (Фэ2 , Ф42 ),

ч + Д©ф < А Ос = О+

На рис. 5 приведен график коэффициента гармонической линеаризации для симметричной нелинейности (см. рис. 2) с параметрами см = ст = 1, см = c+ = 10,

Д0ф = 1.

Рис. 5. Коэффициент гармонической линеаризации Qc

ЛИТЕРАТУРА

1. Фельдман Г. М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов. — М.: Наука, 1973. — 254 с.

2. Колесников А. Г. К изменению математической формулировки задачи о промерзании грунта // Докл. АН СССР. — 1952. — Т. 32, № 6. — С. 889-891.

3. Ентов В. М., Максимов А. М., Цыпкин Г. Г. Образование двухфазных зон при промерзании пористой среды. — М., 1986. — 56 с. — (Предп./ ИПМ АН СССР, № 269).

4. Пермяков П. П., Амосов А. П. Математическое моделирование техногенного загрязнения в криолитозоне. — Новосибирск: Наука, 2003. — 224 с.

5. Изаксон В. Ю., Самохин А. В., Петров Е. Е, Слепцов В. И. Вопросы устойчивости обнажений многолетнемерзлых грунтовых пород. — Новосибирск: Наука, 1994. — 165 с.

6. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. — М.: Наука, 1979. — 320 с.

7. Самарский А. А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1983. — 616 с.

8. Алексеев А. А., Имаев Д. Х., Кузмин Н. Н., Яковлев В. Б. Теория управления: Учеб. — СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 1999. — 435 с.

9. Попов Е. П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. — М.: Наука, 1988. — 256 с.

10. Соловьев И. Г., Васькевич А. В. Модель теплодинамики грунтов в пространстве состояний // Вестн. кибернетики. — Тюмень: Изд-во ИПОС СО РАН, 2005. — № 4. — С. 53-59.

I. G. Soloviev, A. V. Vaskevich

ANALYSIS OF FROZEN GROUND HEATDYNAMICS BY THE METHOD OF HARMONIC LINEARIZATION

It is examined the way of modeling temperature distributions in frozen grounds using the method of harmonic linearization. The results of numeric analysis are given.