Контактно-гидродинамический расчет зубчатых муфт высокоскоростных турбомашин

УДК 621.51

В. А. Белков, В. А. Максимов, И. А. Шитиков

КОНТАКТНО-ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ЗУБЧАТЫХ МУФТ

ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ТУРБОМАШИН

Ключевые слова: зубчатая муфта, бочкообразный профиль зуба, математическая модель, метод расчета, численное исследование, характеристики, минимальная толщина

смазочного слоя.

Проведен обзор конструкций соединительных муфт компрессорных машин. Разработана математическая модель работы зубчатой соединительной муфты, выполнено параметрическое исследование характеристик муфты.

Key words: gear coupling, barrel type tooth profile, mathematical model, method of calculation, numerical study, characteristics, minimum thickness of lubricant layer.

Review of sleeve couplings designs has been carried out. Mathematical model of tooth-type sleeve coupling operation has been developed, parametrical study of the coupling characteristics has been performed.

Применяемые в современном машиностроении муфты приводов по назначению, принципу действия и конструкции весьма многочисленны и разнообразны. Для соединения валов высокоскоростных турбомашин (паровые и газовые турбины, центробежные и осевые компрессоры) применяются жесткие зубчатые, упругие втулочно-пальцевые, упругие мембранные муфты, позволяющие компенсировать возможную расцентровку осей соединяемых валов.

Зубчатые муфты (ЗМ) нашли широкое применение в современном машиностроении для соединения передающих вращающий момент элементов в различных механизмах и энергетических установках, в частности, в компрессорных, газоперекачивающих, судовых агрегатах, т.е. там, где затруднительна точная установка узлов.

В настоящее время применяется двойная зубчатая муфта, состоящая из двух зубчатых обойм с прямыми зубьями, двух полумуфт (шестерен) с бочкообразными зубьями и промежуточным валом. Применение бочкообразного зуба в муфтах позволило значительно снизить величину наименьшего гарантированного зазора, необходимого для компенсации перекоса осей, обеспечить более равномерное распределение нагрузки по зубьям муфты, что безусловно способствует повышению износостойкости муфты и создает более благоприятные условия работы с точки зрения долговечности [1].

В существующих конструкциях ЗМ увеличение их способности компенсировать погрешности сборки может быть достигнуто или уменьшением длины зуба или увеличением бокового зазора в зацеплении и длины промежуточного вала. Однако, все перечисленное приводит к уменьшению прочности зуба, ухудшению условий работы ЗМ и к увеличению ее габаритов. При перекосе осей валов может иметь место кромочный контакт зубьев, в которых при этом возникают большие напряжения.

Необходимым условием долговечности ЗМ, как показывает практика и опыт, является хорошо организованная смазка контактирующих поверхностей зубьев. Для устране-

ния прогрессирующего износа, контактной коррозии и других видов разрушения необходимо, чтобы между рабочими профилями зубьев стабильно сохранялась масляная пленка, обеспечивающая режим жидкостного трения.

Современная методика расчета зубчатых муфт [2] включает определение зазоров между зубьями, жесткостей зубьев, числа нагруженных зубьев при данном вращающемся моменте, распределения нагрузок по зубьям, максимальной нагрузки, напряжения в зубе, температурных деформаций и др. Таким образом, проблему определения нагрузок в муфтах с жесткими ободьями на сегодняшний день можно считать принципиально решенной. Вопросы же динамики и трибологии зубчатых муфт находятся пока в стадии разработок. В частности, не учитываются условия смазки и отвода тепла в зубчатом зацеплении, возможность абразивного износа, схватывания, микрозаедания и т.д. Как показали исследования А. П. Попова с соавторами [3], в этом случае не является приемлемым критерий - произведение среднего удельного давления на скорость скольжения с единичным показателем степени. Работоспособность такого соединения следует оценивать по величине минимальной толщины смазочного слоя в контакте между зубьями. Режим жидкостного трения при работе ЗМ полностью обеспечивает оптимальную работу муфт и любой требуемый гарантированный ресурс работы.

Проблема определения толщины масляного слоя между трущимися поверхностями решается методами контактно-гидродинамической теории смазки. Основная сложность этой проблемы обусловлена необходимостью совместного решения задачи гидродинамики для движущейся жидкости между трущимися поверхностями и контактной задачи теории упругости.

Для ЗМ используют эвольвентное зацепление с профильным углом а=200, числом зубьев 21=22=2 и коэффициентом высоты головки зуба Иа*=0,8. Расчетный диаметр зубчатого соединения муфты Срасч= т(2+2Х). Коэффициент смещения Х выбирают из условия равнопрочности на изгиб зубьев втулки и обоймы.

Центрирование обоймы относительно втулки, как правило, выполняют по диаметру Са, который равен Са= т(2+2Иа*+2Х), при этом поверхность Са обрабатывается по сфере (рис.1). В последнее время наблюдается тенденция производить центрирование обоймы муфты зубчатой относительно втулки этой же муфты по боковой поверхности зубьев.

Зубья с бочкообразным профилем нарезаются таким образом, что при движении подачи центр фрезы осуществляет перемещение по дуге окружности, образуя сферическую делительную окружность радиусом Ко:

Са=2хК0, где Р0«Ьхв1па/(4х1ду), где Ь=(6...10)*т- ширина венца зуба; т- модуль зацепления; у- угол перекоса осей соединяемых валов.

В сечении А-А зуб имеет радиус кривизны Кь (так называемый радиус бочкообраз-ности зуба):

КЬ=Ко/э1па, (см. рис.1).

Компенсационные свойства зубчатых муфт обеспечиваются осевой и угловой подвижностью обоих зубчатых зацеплений муфты. Угловые перемещения осей зубчатых венцов (в пределах у = 0,003.0,007 рад.) возможны благодаря:

- боковым зазорам между зубьями;

- сферической форме поверхности наружного венца;

- бочкообразной форме боковых поверхностей зубьев муфты.

В производстве ОАО "Казанькомпрессормаш" при изготовлении ЗМ с бочкообразным профилем зуба используется следующее технологическое упрощение. Вершина зуба,

обрабатываемая по диаметру da в целях снижения трудоемкости изготовления и обработки делается ломаной формы: а=6 мм, 6=3°±30' (см. рис.1). Это конструктивное упрощение при центрировании обоймы зубчатой муфты относительно втулки по боковым поверхностям зубьев (по бочке) не сказывается на работе зубчатого соединения.

Контролируется бочкообразность зуба величиной параметра ЛS, который находится в пределах 0,03.. .0,1 мм.

Рис. 1 - Геометрия бочкообразного зуба

ЗМ обладают высокой нагрузочной способностью и компактностью, обусловленные передачей нагрузки большим числом одновременно работающих пар зубьев, технологичностью и возможностью использования в практически неограниченных диапазонах угловых скоростей и передаваемых моментов.

При повороте вала муфты на угол л сопряженные зубья перемещаются один относительно другого на величину ydpac4 с относительной скоростью скольжения:

Vs=0,5odpac4 у совф, где ш- угловая скорость вращения муфты; ф- угловая координата рассматриваемо-го зуба.

Наряду с относительной скоростью скольжения при контакте двух зубьев имеет место и относительная скорость качения:

VK=Rbwsinysin(wt±a).

На рис.2 представлен закон изменения скорости качения пятна контакта зуба обоймы муфты VK и осевых и радиальных составляющих скорости скольжения Vs (соответственно Vos и Vr) за один полный оборот зубчатой муфты.

Как видно, за один оборот муфты эти скорости дважды достигают максимума и дважды проходят через так называемые "мертвые точки", которые для Vos и Vr по отно-

шению к Vk сдвинуты на 90°. Радиальная составляющая скорости скольжения Vr намного меньше осевой составляющей Vos . Скорость качения Vk примерно в 20.40 раз превышает осевую составляющую скорости скольжения Vos .

Рис. 2 - Графики изменения составляющих скоростей

Поскольку в ЗМ одновременно контактируют ряд зубьев обоймы и втулки, обладающих в данный момент различными скоростями качения и скольжения, то наиболее целесообразным считается переход от этих скоростей к понятию относительной средней скорости УСР :

.. 2 п/20 . 2 • R • ш • sin y 2 • п • n VCP = — IR • ш • sin y • cos ф • аф =-L, где ш =-, R

TT j тт СП

z • m

П О п 60 20

^ .. z • m • n • sin y

Тогда имеем VCP =-, где n- частота вращения, об/мин.

300

При проектировании ЗМ важно знать не столько абсолютную величину толщины смазочного слоя, сколько то минимальное предельное ее значение, которое необходимо обеспечить и при котором зубчатая муфта будет работать удовлетворительно.

С целью определения искомой минимальной толщины смазочного слоя в зацеплении ЗМ разработана математическая модель на основе контактно-гидродинамической теории смазки. Производится приближенное решение системы, состоящей из уравнения Рей-нольдса и уравнения упругости, т. е. решается плоская стационарная контактно-гидродинамическая задача применительно к зубчатому зацеплению. Полное решение не представляется возможным по причине чрезвычайной сложности и громоздкости.

Приняты следующие допущения: течение смазки одномерное, стационарное, изо-термное; зависимость вязкости от давления описывается формулой Баруса; контакт бочкообразного и прямого зубьев рассматривается как контакт цилиндра с плоскостью. Минимальная толщина смазочного слоя находится из условия равенства внешней нагрузки и несущей способности масляного слоя.

Для решения поставленной задачи используется следующая система совместно решаемых уравнений:

1) упрощенное уравнение Навье-Стокса:

5р д . ду.

— = — (м—),

дх ду ду

граничные условия: у=0, У=и-|; у=И(Х), у=и2=0;

2) уравнение неразрывности (сплошности):

^ X

дх

= 0,

граничное условие: — = 0 при И=Ио дх

Из уравнений (1) и (2) получаем уравнение Рейнольдса:

др

- = 6 • м  V,Ср ^ И(Х) • дх н 2 СР и

1

2

3) уравнение формы зазора между зубьями до деформации: ,2

И(Х) = и0 +

х

2  К 2  К

4) уравнение упругости: ,2

- ^К -

^  (а2 + х2), где а = ^2  К  ^ ;

И(Х) - и0 =

х

2

Х2

2  К

п  Е

ПР Х1

где Wк - контактная деформация сопряженной пары зубьев.

Анализ формы зазора после деформации на основе исследования уравнения упругости показывает, что радиус кривизны увеличивается приблизительно в два раза, т.е. К1«2К (рис. 3).

5) Зависимость вязкости смазки от давления аппроксимируется формулой Баруса:

М = М0е °°Р,

где М0 - вязкость смазки на входе в зазор; а0- пьезокоэффициент вязкости;

6) относительная скорость перемещения зубьев:

2  ш  Yl

V

2 СР

п

-[Кь -г  (1 + ^па)], м/с,

где г- радиус делительной окружности.

Решая совместно систему уравнений (1-7), получаем следующую зависимость:

|е-а0рс1р = {- 96  К2  М0  V, Х2  Сх

(а2 + х2)3

проинтегрировав которую и несколько преобразовав, получим в итоге формулу распределения давления в зоне контакта

1 -----^2 х х

р =---1п({24-К2  М0  а0  у^р  [-

+-

+

а,

агс^д-

+_• Ь° 22__з/ЦЪй___]} + 1),

4 • (2 • Р • И0 + Ь2)2 16• Р• И0 • (2 • Р • И0 + Ь0) 16• Р • И0Л/Р• И0

где Ь0 - полуширина площадки контакта; Ь0 = 0,34 х 10"5 х VшР .

Несущая способность смазочного слоя определяется выражением:

Ь

0

Рис. 3 - Формы зазоров между зубьями и распределение давлений до и после деформации

Разработаны алгоритм и программа расчета, которая позволяет, исходя из конкретных условий работы ЗМ, подобрать ее геометрические параметры таким образом, чтобы обеспечить гидродинамический режим работы ЗМ с максимально допустимой величиной минимальной толщины смазочного слоя И^п.

Для проведения расчетов в программе организованы несколько файлов, а именно:

- файл исходных данных - гет^ап.;

- файл обработки данных и вычислений - rzm.exe.;

- файл результатов вычислений - гzm.гez.;

- файл, в котором размещена справочная информация - гет.Ыр.

Запуск программы осуществляется с помощью командной строки - rzm.bat.

Исходные данные к программе расчета:

- z - число зубьев;

- т - модуль зацепления, мм;

- Р - радиус бочкообразности зубьев втулки муфты, м;

- а - угол зацепления, град;

- Кг - коэффициент головки зуба;

- Ь - ширина зубчатого венца, мм;

- п - частота вращения, об/мин;

- дср - средняя вязкость масла, Па-с;

- Р - мощность на валу, кВт;

- а0 - пьезометрический коэффициент вязкости смазки, 1/Па;

- Y - угол перекоса осей, град;

- Кн - коэффициент неравномерности нагрузки.

Суть метода расчета заключается в нахождении равенства несущей способности смазочного слоя и внешней нагрузки на зуб муфты. Несущая способность смазочного слоя Wсм определяется вычислением определенного интеграла с использованием формулы Ньютона-Котеса. Нелинейное уравнение (условие сравнения) решается методом Рыбакова [4]. В случае несоблюдения гидродинамического режима выдаются краткие сообщения о том, что муфта не работоспособна (имеется ошибка в исходных данных или наблюдается кромочный контакт). Если же муфта работоспособна - выдается сообщение об обеспечении гидродинамического режима работы и величины следующих параметров:

- минимальной толщины смазочного слоя;

- несущей способности смазочного слоя;

- максимального давления в зоне контакта;

- контактного напряжения, определяемого по формуле Герца.

Программа позволяет, исходя из конкретных условий работы ЗМ, подобрать геометрические параметры ЗМ таким образом, чтобы обеспечить гидродинамический режим работы с максимально допустимой величиной минимальной толщины смазочного слоя Ит;п.

Для иллюстрации на рис. 4 представлена зависимость минимальной толщины смазочного слоя от числа зубьев муфты, которая по своим геометрическим параметрам и эксплуатационным характеристикам соответствует муфтам, применяемым в ОАО "Казань-компрессормаш" [5]. Как видно из рисунка, с увеличением числа зубьев z при прочих постоянных условиях эксплуатации и геометрии ЗМ величина минимальной толщины смазочного слоя Ит1п незначительно снижается. При этом максимальное давление в смазочном слое приблизительно на 50% ниже контактных напряжений, что обеспечивает дополнительный запас прочности сопряжения.

Рис. 4 - Зависимость минимальном толщины смазочного слоя Итт от числа зубьев

Литература

1. Айрапетов, Э.Л. Зубчатые соединительные муфты/ Э.Л.Айрапетов.- М.: Наука, 1991.- 248 с.

2. Попов, А.П. Исследование нагрузочной способности зубчатых и упругих муфт в условиях перекоса осей агрегатов: автореф. дис. канд. техн. наук / Попов Алексей Павлович. - М.: ИМАШ, 1972.25 с.

3. Попов, А.П. Зубчатые муфты в судовых агрегатах/ А.П. Попов. - Л.: Судостроение, 1985.- 240 с.

4. Дьяконов, В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ: справочник / В.П.Дьяконов. - М.: Наука. Гл.ред. физ-мат. лит., 1987. -240с. 5.Максимов, В.А. Компрессорное и холодильное машиностроение на современном этапе / В.А.Максимов, А.А.Мифтахов, И.Г.Хисамеев // Вестник Казан. технол. ун-та. -1998. -№1. -С.104-113.

© В. А. Белков - вед. инженер-конструктор, отдела трансмиссий и зубчатых передач (отдел № 382) ЗАО "НИИтурбокомпрессор им. В.Б. Шнеппа"; В. А. Максимов - д-р техн. наук, проф., зав. каф. компрессорных машин и установок КГТУ, cmu@inbox.ru; И. А. Шитиков - канд. техн. наук, доц. той же кафедры.