Задачи управления для уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором при наличии возмущений

УДК 517.98

Задачи управления для уравнений со спектральным параметром и разрывным оператором при наличии возмущений

Дмитрий К. Потапов*

Санкт-Петербургский государственный университет, Факультет прикладной математики — процессов управления, Университетский пр., 35, Санкт-Петербург, 198504

Россия

Получена 17.07.2011, окончательный вариант 01.10.2011, принята к печати 10.01.2012 В банаховых пространствах рассматриваются задачи управления системами со спектральным параметром, внешним возмущением и разрывным оператором. Получена теорема о разрешимости для исследуемых задач. Общие результаты применяются к задачам управления распределенными системами эллиптического типа со спектральным параметром и разрывной нелинейностью при наличии внешнего возмущения. Устанавливаются предложения о разрешимости для таких задач. В качестве приложения рассматривается задача управления с возмущением в математической модели М.А.Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости.

Ключевые слова: задачи управления, спектральный параметр, разрывный оператор, внешнее возмущение, тройка "возмущение - управление - состояние", вариационный метод, модель Гольд-штика.

1. Постановка задачи. Общие результаты

В работах [1-5] исследовались спектральные задачи для уравнений с разрывными операторами в банаховых пространствах. В работе [6] изучалась задача оптимального управления нелинейной системой со спектральным параметром и разрывным оператором в банаховом пространстве. В данной работе, являющейся продолжением этих исследований, рассмотрим вопрос управления такими системами при наличии внешнего возмущения.

Пусть Е — вещественное рефлексивное банахово пространство, Е* — сопряженное с Е пространство. Управляемая система в пространстве Е описывается уравнением состояния, содержащим возмущение, вида

Аи - ЛГи = Бу + Бт,

где А — линейный самосопряженный оператор из Е в Е*, Л — положительный параметр, Г : Е ^ Е* разрывное, компактное или антимонотонное отображение, ограниченное на Е, оператор Б : и ^ Е* линейный и ограниченный, и — банахово пространство управлений, управление у € иа^ С и, иа^ — множество всех допустимых управлений для системы (1), оператор Б : Ш ^ Е* линейный и ограниченный, Ш — банахово пространство возмущений, возмущение т € Ш. Через (х, х) будем обозначать значение функционала г € Е* на элементе х € Е, дадим определения, используемые в данной работе.

Определение 1. Отображение T : E ^ E* ствует постоянная M > 0 такая, что ||Tx||

*potapov@apmath.spbu.ru, dkpotapov@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

называется ограниченным на E, если суще-< M v x e E.

Определение 2. Отображение T : E ^ E* называется компактным на E, если оно ограниченные множества из E переводит в предкомпактные в E*.

Определение 3. Отображение T : E ^ E* называется монотонным на E, если (Tx — Ty, x — y) ^ 0 V x,y £ E. Отображение T : E ^ E* называют антимонотонным, если отображение —T монотонно.

Определение 4. Отображение T : E ^ E* называется квазипотенциальным, если существует функционал f : E ^ R, для которого верно 'равенство f (x + h) — f (x) = 1

f(T(x + th),h) dt V x,h £ E (интеграл понимается в смысле Лебега). При этом f на-

0

зывают квазипотенциалом оператора T.

Определение 5. Элемент x £ E называется точкой разрыва оператора T : E ^ E*, если найдется h £ E, для которого либо lim(T(x+th), h) не существует, либо lim(T(x+th), h) =

(Tx, h).

Определение 6. Элемент x £ E называется регулярной точкой для оператора T : E ^ E*, если для некоторого h £ E справедливо ^lirn^T(h + t(x — h)), x — h) < 0.

Определение 7. Отображение T : E ^ E* называется радиально непрерывным в точке x £ E, если для любого h £ E выполнено lmo(T(x + th), h) = (Tx, h).

Определение 8. Секвенциальным замыканием локально ограниченного отображения T : E1 ^ E2 (E1, E2 — банаховы пространства) называется отображение ST из E1 в E2 (вообще говоря, многозначное), значение STx (x £ E1) которого совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества всех слабо предельных точек в E2 последовательностей вида (Txn), где xn ^ x в E1.

Определение 9. Обобщенным решением уравнения (1) при фиксированных управлении v и возмущении w называется элемент u £ E, удовлетворяющий включению Au—Bv—Dw £ XSTu, где ST — секвенциальное замыкание оператора T.

Определение 10. Классическим решением уравнения (1) при фиксированных управлении v и возмущении w называется элемент u £ E такой, что Au — Bv — Dw = XTu.

Допускается, что для некоторых v £ Uad, w £ W система (1) либо не имеет решений, либо имеет более одного решения, т. е. возможен сингулярный случай [7].

Определение 11. Упорядоченная тройка (W,v,U) называется допустимой тройкой "возмущение - управление - состояние" для системы (1), если W £ W, V £ Uad, а U — решение уравнения (1) при w = W и v = -V.

Основным результатом данного раздела является следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1) A — линейный самосопряженный оператор, действующий из вещественного рефлексивного банахова пространства E в сопряженное пространство E*; пространство E представляется в виде прямой суммы замкнутых подпространств E1 = ker A и E2, причем существует положительная постоянная а такая, что (Au, u) ^ а| |u112 для каждого u £ E2;

2) отображение T компактное или антимонотонное, квазипотенциальное (с квазипотенциалом f) и ограниченное на E; f (0) =0 и для некоторого u0 £ E значение f (u0) > 0; если E1 = {0}, то дополнительно предполагается, что lim f (u) = —ж;

3) если отображение T компактное, то предполагается, что ^lim^T(u+th)—Tu, h) ^ 0 для всех u,h £ E;

4) если отображение T антимонотонное, то предполагается, что любая точка разрыва оператора T при X > X0 > 0 регулярная для Au — XTu (X0 — величина, начиная с которой задача на собственные значения разрешима);

5) оператор B : U ^ E* линейный и ограниченный, пространство управлений U банахово, множество допустимых управлений Uad С U непусто;

6) оператор D : W ^ E* линейный и ограниченный, пространство возмущений W банахово.

Тогда для любых v £ Uad, w £ W существует классическое 'решение уравнения (1), являющееся точкой радиальной непрерывности оператора T.

Доказательство. Как и в работе [4], при сделанных предположениях и любых фиксированных управлении v, возмущении w устанавливается, что

0 £ S(Au — XTu — Bv — Dw) = Au — Bv — Dw — XSTu,

что равносильно Au — Bv — Dw £ XSTu. Данное включение означает, что найдется u £ E, которое является обобщенным решением уравнения (1). Таким образом, для любых v £ Uad, w £ W существует обобщенное решение уравнения (1).

В силу результатов из [8] условие 3) теоремы 1 влечет регулярность точек разрыва оператора A — XT (X > 0), а в силу условия 4) теоремы 1 любая точка разрыва оператора T при X > Хо > 0 также регулярная для Au — XTu. Поэтому согласно теореме 1 из работы [1] при любых фиксированных управлении v, возмущении w получаем, что u - точка радиальной непрерывности оператора T и Au — Bv — Dw = XTu.

Итак, для любых управления v £ Uad и возмущения w £ W существует классическое решение уравнения (1), являющееся точкой радиальной непрерывности оператора T. Достаточное условие непустоты множества всех допустимых троек "возмущение - управление -состояние" установлено.

2. Приложения

В ограниченной области i С Rn c границей Г класса С2,а (0 < а ^ 1) рассматривается управляемая распределенная система с внешним возмущением вида

n

Lu(x) = — ^^ (aj(x)uXi)x + c(x)u(x) = Xg(x,u(x)) + Bv(x) + Dw(x), x £ i, (2) i,j=1

Gu\r =0.

Здесь L — равномерно эллиптический формально самосопряженный дифференциальный оператор с коэффициентами aj £ Ci,a(l),c £ C0,a(l); X — положительный параметр; функция g : i х R ^ R суперпозиционно измеримая и для почти всех x £ i сечение g(x, ) имеет на R разрывы только первого рода, g(x,u) £ [g_(x,u), g+(x,u)] V u £ R,

__2n

g~(x, u) = lim g(x, n), g+(x, u) = lim g(x, n), \g(x, u)\ ^ a(x) Vu £ R, a £ Lq(i), q ^ --;

ri^u n^u n +2

оператор B : U ^ Lq(i) линейный и ограниченный, U — банахово пространство управлений, функция v(x) в уравнении (2) играет роль управления, управление v £ Uad С U, Uad — множество всех допустимых управлений для системы (2)-(3); оператор D : W ^ Lq(i) линейный и ограниченный, W — банахово пространство возмущений, функция w(x) в уравнении (2) играет роль возмущения, возмущение w £ W. Граничное условие (3) является либо

ди

условием Дирихле и(х)|г = 0, либо условием Неймана —— (х)|г =0 с конормальной произ-

дп^

ди п

водной —— (х) = аг] (х)иХ€ сов(п, х3), п — внешняя нормаль к границе Г, еов(п, х3) — над ПЬ 1,3 = 1

ди

правляющие косинусы нормали п, либо третьим краевым условием —— (х)+ а(х)и(х)|г = 0

дпь

с функцией а £ С1,а(Г), неотрицательной и не равной тождественно нулю на Г. Определение 12. Обобщенным 'решением задачи (2)-(3) при фиксированных управлении

v и возмущении w называется функция u £ W2(n) р| Wq(П), удовлетворяющая для почти

1

ывается функция u £ W;|(Q) р| W

всех x £ П включению

Lu(x) — Bv(x) — Dw(x) £ \[g-(x, u(x)), g+ (x, u(x))].

Определение 13. Сильным решением задачи (2)-(3) при фиксированных управлении v и возмущении w называется функция u £ W;(il), r > 1, которая удовлетворяет для почти всех x £ П уравнению (2) и для которой след Gu(x) на Г равен нулю.

Определение 14. Полуправильным решением задачи (2)-(3) при фиксированных управлении v и возмущении w называется такое сильное ее решение u, значение которого u(x) для почти всех x £ П является точкой непрерывности функции g(x, ).

Определение 15. Пусть f : R ^ R. Назовем u £ R прыгающим разрывом функции f, если f (u—) < f (u+), где f (u±) = lim f (s).

s—>u±

Как и ранее, допускается, что для некоторых v £ Uad, w £ W задача (2)-(3) либо не имеет решений, либо имеет более одного решения, т. е. также возможен сингулярный случай.

Пусть X = H1 (П), если (3) — граничное условие Дирихле, и X = H1(Q), если (3) — граничное условие Неймана или третье краевое условие. Положим

Ji(u) = 2 j aij(x)uXiuxjdx + 2 Jc(x)u2(x)dx ij=1n n

в случае граничного условия Дирихле или Неймана;

Ji(u) = 2 J aij (x)u,Xi uxj dx Jc(x)u2(x)dx + 2 Ja(s)u2(s)ds ij=1n n г

в случае третьего краевого условия. Имеют место следующие теоремы.

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

1) J1(u) > 0 yu £ X;

2) для почти всех x £ П функция g(x, ) имеет только прыгающие разрывы, g(x, 0) = 0

2п

и lg(x,u)l ^ a(x) yu £ R, где a £ Lq(П), q > —, фиксирована;

3) найдется uu £ X, для которого имеет место неравенство

uo

hl g(x,s)ds>0;

n

u

4) если пространство N(Ь) 'решений задачи

( Ьи = 0, х е 0, \ Ои\г = 0

ненулевое (резонансный случай), то дополнительно предполагается, что

Иш ¿х а(х.з)в,8 = —<х\

ием (ь),!!и!!^+то

П 0

5) оператор В : V ^ Ьд(0) линейный и ограниченный, пространство управлений V банахово, множество допустимых управлений иаа С V непусто;

6) оператор Б : Ш ^ Ьд(0) линейный и ограниченный, пространство возмущений Ш банахово.

Тогда для любых V е иаа, ш е Ш существует полуправильное решение задачи (2)-(3).

Теорема 3. Пусть выполнены условия 1), 3)-6) теоремы 2 и дополнительно условия:

1') для почти всех х е 0 функция д(х, •) невозрастающая на И и для некоторой а е 2п

Ьд(0), С1 = -^, справедливо неравенство 1д(х,и)1 ^ а(х) Уи е И;

2 ) для почти всех х е 0 точки разрыва функции д(х, •) лежат на плоскостях и = щ, г е I (I - не более чем счетно), и если д(х,щ—) > д(х,щ+), то д(х,щ-)д(х,щ+) > 0 для любого г е I.

Тогда справедливо утверждение теоремы 2.

Доказательство теорем 2, 3 сводится к проверке выполнения условий теоремы 1 данной работы. Факт выполнения условий 1)-4) теоремы 1 для соответствующих эллиптических краевых задач с разрывными нелинейностями установлен в работах [1,2,4]. Условия 5), 6) теоремы 1 идентичны условиям 5), 6) теоремы 2. Тем самым все условия теоремы 1 выполнены, поэтому справедливо утверждение теоремы 1, а, значит, и теорем 2, 3.

Аналогично получают результаты для задач управления распределенными системами эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью при наличии возмущений.

Положив в уравнении (2) v(x) = 0 и ш(х) = 0, т. е. исключив из рассмотрения управление и возмущение, получим результат о разрешимости задачи (2)-(3) — утверждение теорем 2, 3, что согласуется с результатами работ [1,2,4]. В отсутствие управления и возмущения (V = 0, ш = 0) результат о разрешимости задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа высокого порядка со спектральным параметром и разрывной нелинейностью ранее был получен в работе [9].

В заключение рассмотрим приложение полученных результатов к задаче об отрывных течениях несжимаемой жидкости М.А.Гольдштика [10]. Математическая постановка задачи Гольдштика состоит в определении непрерывно дифференцируемой функции тока ф = ф(х,у), удовлетворяющей уравнению

. . = ( ш, если ф < 0, Дф = \ 0, если ф > 0,

и краевому условию

Здесь Д — оператор Лапласа, ш > 0 — завихренность, Г — кусочно-гладкий контур плоской ограниченной области 0, р — непрерывная неотрицательная и отличная от нуля лишь на части контура функция. Данная задача также рассматривалась в работах [4,11-17].

Как показано в работах [4,14,15], математическая модель задачи Гольдштика сводится к следующей задаче:

—Аи = шд(х,и(х)), х € О,

где

g(x,u) -

функция ф0 удовлетворяет задаче

—1, если u < —фо(х), 0, если u > —фо(х),

Дфо = 0, фо|г =

Рассмотрим задачу управления с возмущением в такой модели:

—Аи = шд

где оператор Б : и ^ Ьд(О) линейный и ограниченный, и - банахово пространство управлений, д > 1, управление V € иа4 С и, иа4 - множество всех допустимых управлений для системы (4)-(5) непусто, оператор Б : Ш ^ Ьд(О) линейный и ограниченный, Ш - банахово пространство возмущений, возмущение т € Ш.

В работах [4,6,14,15,18] проверено выполнение условий 1)-3) теоремы 2 данной работы для задачи Гольдштика. Условие 4) теоремы 2 не требуется [6,18]. Условия 5), 6) теоремы 2 выполнены согласно сделанным выше предположениям в постановке задачи (4)-(5) относительно пространства управлений и, множества допустимых управлений иаоператора Б, пространства возмущений Ш, оператора Б. Итак, все условия теоремы 2 для задачи (4)-(5) выполнены. Поэтому для любых V € иа^, т € Ш существует полуправильное решение задачи (4)-(5). Отметим, что в работах [10-13,16,17] полуправильные решения не рассматривались.

Таким образом, в работе рассмотрен практический пример (задача Гольдштика), иллюстрирующий общую теорию.

Список литературы

[1] В.Н.Павленко, Д.К.Потапов, О существовании луча собственных значений для уравнений с разрывными операторами, Сиб. мате.м. журн., 42(2001), № 4, 911-919.

[2] Д.К.Потапов, О существовании луча собственных значений для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями в критическом случае, Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления, (2004), вып. 4, 125-132.

[3] D.K.Potapov, Spectral problems for equations with discontinuous monotone operators, J. Math. Sciences, 144(2007), № 4, 4232-4233.

[4] Д.К.Потапов, Задачи со спектральным параметром и разрывной нелинейностью, СПб., Изд-во ИБП, 2008.

[5] Д.К.Потапов, Оценка бифуркационного параметра в спектральных задачах для уравнений с разрывными операторами, Уфимск. матем. журн., 3(2011), № 1, 43-46.

[6] Д.К.Потапов, Управление спектральными задачами для уравнений с разрывными операторами, Труды ИММ УрО РАН, 17(2011), № 1, 190-200.

[7] Ж.Л.Лионс, Управление сингулярными распределенными системами, М., Наука, 1987.

[8] В.Н.Павленко, Вариационный метод для уравнений с разрывными операторами, Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика, (1994), № 1(2), 87-95.

[9] Д.К.Потапов, О структуре множества собственных значений для уравнений эллиптического типа высокого порядка с разрывными нелинейностями, Дифференц. уравнения, 46(2010), № 1, 150-152.

10] М.А.Гольдштик, Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости, Докл. АН СССР, 147(1962), № 6, 1310-1313.

11] М.А.Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, М., Изд-во АН СССР, 1962.

12] И.И.Вайнштейн, В.К.Юровский, Об одной задаче сопряжения вихревых течений идеальной жидкости, Журн. прикл. мех. и техн. физ., 1976, № 5, 98-100.

13] О.В.Титов, Вариационный подход к плоским задачам о склейке потенциального и вихревого течения, Прикл. матем. и мех., 41(1977), вып. 2, 370-372.

14] Д.К.Потапов, Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости, Известия РАЕН. Сер. МММИУ, 8(2004), № 3-4, 163-170.

15] Д.К.Потапов, Непрерывные аппроксимации задачи Гольдштика, Матем. заметки, 87(2010), вып. 2, 262-266.

16] И.И.Вайнштейн, Дуальная задача к задаче М.А.Гольдштика с произвольной завихренностью, Журн. СФУ. Сер. матем. физ., 3(2010), № 4, 500-506.

17] И.И.Вайнштейн, Решение двух дуальных задач о склейке вихревых и потенциальных течений вариационным методом М.А.Гольдштика, Журн. СФУ. Сер. матем. физ., 4(2011), № 3, 320-331.

18] Д.К.Потапов, Бифуркационные задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями, Матем. заметки, 90(2011), вып. 2, 280-284.

Control Problems for Equations with a Spectral Parameter and a Discontinuous Operator under Perturbations

Dmitry K. Potapov

In Banach spaces control problems for systems with a spectral parameter, an external perturbation and a discontinuous operator are considered. The theorem on resolvability for investigated problems is proved. General results are applied, to control problems for distributed systems of the elliptic type with a spectral parameter and discontinuous nonlinearity under an external perturbation. Propositions on resolvability for such problems are established. Control problem with a perturbation in the Gol'dshtik mathematical model for separated flows of incompressible fluid is considered as an application.

Keywords: control problems, spectral parameter, discontinuous operator, external perturbation, "perturbation - control - state", variational method, Gol 'dshtik model.