Перепутывание в двухатомной вырожденной двухфотонной модели

УДК 535.39

ПЕРЕПУТЫВАНИЕ В ДВУХАТОМНОЙ ВЫРОЖДЕННОЙ ДВУХФОТОННОЙ МОДЕЛИ

© 2010 Е.К.Башкиров, Е.Ю. Сочкова Самарский государственный университет Поступила в редакцию 11.01.2010

Представлено точное решение модели двух двухуровневых атомов с двухфотонными вырожденными переходами, взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля в идеальном резонаторе. В предельном случае сильного начального когерентного поля найдено асимптотическое поведение волнового вектора всей системы. С использованием редуцированной атомной энтропии исследовано атом-полевое перепутывание. Показано возможность распутывание состояний атомов и поля в процессе эволюции. Проведена оценка условий и возможных времен распутывания. Ключевые слова: атом-полевое перепутывание, двухфотонные вынужденные переходы, линейная атомная энтропия

Квантовые перепутанные состояния играют ключевую роль в квантовой теории информации, физике квантовых вычислений, квантовой связи и квантовой криптографии [1]. В последнее время было опубликовано большое количество работ, в которых исследовались свойства перепутанных состояний, их возможные применения в квантовой информатике, а также различные схемы получения перепутанных состояний [2]. Простейшая система, в которой возможна генерация атом-полевых перепутанных состояний, является модель Джейнса-Каммингса, описывающая взаимодействие двухуровневого атома с модой квантового электромагнитного поля в идеальном резонаторе [3]. Модель Джейнса-Каммингса играет фундаментальную роль в квантовой оптике, поскольку позволяет описать все основные квантовые эффекты взаимодействия излучения с веществом. В последнее время атом-полевые перепутанные состояния были получены в экспериментах с одноатомными мазерами [4,5]. Исследования атом-полевых перепутанных состояний в модели Джейнса-Камминса (МДК) и ее простейших обобщениях были инициированы Фениксом и Найтом [6], а также Геа-Банаклоче [7]. Исследуя динамику фон-неймановской редуцированной атомной энтропии, Феникс и Найт впервые показали, что двухуровневый атом, взаимодействующий с модой квантового электромагнитного поля и приготовленный в чистом состоянии, вновь оказывается в чистом состоянии на половине периода затухания осцилляций Раби населенностей атомных уровней, причем в этот момент времени состояния атома и поля распу-

Башкиров Евгений Константинович, доктор физико математических наук, профессор, профессор кафедры общей и теоретической физики E-mail: bash@ssu.samara.ru. Сочкова Елена Юрьевна, магистр физического факультета E-mail: SochkovaElena@mail.ru.

тываются. Аналогичные результаты независимо были получены Геа-Банаклоче при изучении временного поведения атомной линейной энтропии. Результаты Геа-Банаклоче были позднее обобщены на случай одноатомной модели с двухфотонными вырожденными переходами [8] и двухатомной модели с однофотонными [9] и нерожденными двухфотонными переходами [10].

В настоящей работе мы исследуем атом-полевое перепутывание для двухатомной вырожденной двухфотонной модели. Рассматриваемая модель описывает взаимодействие двух идентичных двухуровневых атомов с частотой перехода а>0, резонансно взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля частоты а> = о0 / 2 в идеальном резонаторе посредством вырожденных двухфотонных переходов. Гамильтониан взаимодействия такой модели имеет вид

Нт, = й £ я

I=1

где а+ (а) - оператор рождения (уничтожения) фотона резонаторной моды, Я+ (Я7) - повышающий (понижающий) оператор в I -ом двухуровневом атоме (г = 1,2 ), Я - константа атом-полевого взаимодействия.

Предположим, что атомы в начальный момент времени приготовлены в чистой суперпозиции возбужденных и основного состояний, а поле в когерентном состоянии. Тогда волновая функция системы в начальный момент времен есть

где а, в,у и § - произвольные комплексные величины, удовлетворяющие условию

а

- двухатомные базисные состояния. Здесь | —)

- основное, и |+) - возбужденное состояние в одиночном двухуровневом атоме. Начальное состояние поля

да

|и) = Е „ Iп)

п = 0

- одномодовое когерентное состояние с коэффициентами а>п равными

_ —п/ 2

(оп = ехр(-п/2) * , л/п!

где и = п112е *, п =| и |2 - среднее число фотонов и р ? фаза когерентного состояния. Точное решение уравнения Шредингера для временной волной функции с начальными условиями (2) имеет вид

Здесь использованы следующие обозначе-

ния:

А(г) = (2/"2)(( + £ сто0-п1)аС„ -(,£ /"2)(зт"г(в+гС* -

-(4ргл / ^2)81п2(^п/2)г^Сп+4, Я(г) = -(^£п /"^т^С +((("/2)^-31П2(Ц,/2)^) -

Рп /"п)31П°пг^Сп+4;

С(г) = -(.дя /"п)slпQnгaCn +((2(Ц,/2)гГ-зт2("„/2)^) -

ЧРп/ "п)81П "пг8Сп+4; Ц(г) = /"2)яп2(Ц/2)гаС -(/")Й1П"п^(в+г)Сп+2 -

+(2/"2)(£2 + Рп^"/)С4,

н

С = йg [

Собственные функции полуклассического гамильтониана есть:

| ф) ='2[е4(р | +,+)+| -,-)+е2р(| +,-)+1 -,+))],

| Ф2 )=-2 [е4р | +,+)+1 -,-)-е2р(| +-)+| -,+))],

|Фз)= ^[-е4(р |+,+)+|-,-)], |Ф4) = 1,->-|-,+)].

Если атомы в начальный момент времени приготовлены в одном из собственных состояний полуклассического гамильтониана, а поле в когерентном состоянии с большой интенсивностью, то волновые функции всей системы имеют следующие асимптотики:

|ф>|.*4 {е-85ге4гр|+,+)+|-,-)+е-^е-2гр( | +, -)+ | -, +))} х

да

х£ Сп\п)е"--4',

п = 0

| Ф) | и) ^{Л4* I +,+)+ | -,-)+е^е"2* +,-)- |-,+))}х

I" „

где

"п Чр2 + £, £ = >/(« +1)(и + 2), Ри = 7(и + 3)(п+4).

Используя точное решение (3), мы можем вычислить редуцированную атомную матрицу плотности, усредняя | г)}(*Р( г) | по полевым переменным, и с ее помощью исследовать временное поведение линейной атомной энтропии £ = 1 - Тг (ррАТ) .Покажем, что для определенных начальных состояний атомной подсистемы в определенные моменты времени полная волновая функция системы распадается на произведение атомной и полевой частей. Для того чтобы получить такой результат предположим, что поле в начальный момент находится в когерентном состоянии с большим средним числом фотонов, и исследуем временное поведение собственных состояний полуклассического гамильтониана взаимодействия. Полуклассический гамильтониан взаимодействия имеет вид

|Фз )|и)ЧФз )|и, |Ф4 )|и)ЧФ4 )|и), (7) Хорошо видно из выражений (5)-(7), что для рассматриваемых начальных состояний атомов и поля волновые векторы системы факторизуют-ся в любой момент времени. Это означает, что в случае, когда атомы приготовлены в одном из собственных состояний полуклассического гамильтониана, состояния атомов и поля не перепутываются с течением времени. При этом для начальных атомных состояний |Ф3) и |Ф 4) волновая функция всей системы вообще не эволюционирует с течением времени, а для начальных состояний | Ф1) и. |Ф2) эволюция системы происходит таким образом, что ни в один из моментов времени атомная подсистема не возвращается в исходное состояние. Однако, как видно из формул (5), (6), для выбранных начальных состояний атомные части полных волновых функций точно совпадают для моментов времен

Т

Т

г, = (4к +1)-^, г2 = (4к + 3)-^,

где к - целое число, а Тк - большой периодов восстановления осцилляций Раби населенностей атомных уровней для двухатомной вырожденной двухфотонной модели. Заметим, что для указанной модели имеются два периода восстановления осцилляций Раби, определяемые условиями:

|"п+1 | Т = 2пк, и 12"п+1 -2" |Тя=2П.

Для интенсивного когерентного поля п  1 из (9) имеем, что Тк = ж/g и Т'я = П2g . Для рассматриваемой модели в результате имеются две серии моментов времени, в которые атомная

п

п = 0

подсистема, приготовленная первоначально в состояниях | Ф1 > или | Ф2 >, оказывается в одном и том же чистом состоянии:

2{ | +,+>+ | -,-> -е22<р (| +,->+ | -,+>)}.

Таким образом, полное распутывание атомной и полевой подсистем для рассматриваемой модели имеет место в моменты времени и 12 только в том случае, если атомная система первоначально приготовлена в виде линейной суперпозиции состояний |Ф1 > и | Ф2 >. Обозначим такие атомные состояния как

| ^>1 =72

Кроме того, полевые части волновых функций (5) и (6) точно совпадают в случае

e ^ = e-Q-4t.

Для интенсивного резонаторного поля n  1 соотношение (12) выполняется для времен

t3 = krtg.

В результате для начальных атомных состояний системы вида | > или | > имеются три серии времен распутывании состояний атомов и поля. Заметим также, распутывание состояний атомов и поля имеет место для любого начального состояния при выполнении условий: 11 = 2жк,

Для интенсивного резонаторного поля n  1 уравнения (14) и (15) удовлетворяются для времен

tA =

где к - целое число.

Я-4 -^n-2

Я-2 "Я |t = 2пк.

Полученные выше результаты отличаются от тех, что были найдены ранее для времен распутывания двухатомной однофотонной модели [8] и одноатомной вырожденной двухфотонной модели [7]. В первом случае времена распутывания составляют половину периода восстановления осцилляций Раби для состояний типа (10), (11). Для вырожденной двухфотонной одноатомной модели времена распутывания составляют 1/4 и 3/4 от периода восстановления осцилляций Раби атомных населенностей, причем независимо от выбора начального атомного состояния.

Значения времен атом-полевого распутывания, полученные на основе анализа асимптотического поведения вектора состояния, могут быть проверены путем численного моделирования редуцированной атомной энтропии исследуемой системы. В случае двухатомной модели линейная атомная энтропия 5 = 0 для полностью распутанного состояния атомов и поля и 8=3/4 для максимально запутанного атом-полевого состояния.

Результаты численного моделирования линейной редуцированной атомной энтропии представлены на рис. 1-2. При этом выбирались различные начальные состояния атомов, а среднее число фотонов для когерентного резонаторного поля равнялось п = 30 . На рис.1 показано временное поведение линейной атомной энтропии для начального атомного состояния вида (10). Из рисунка хорошо видно, что в рассматриваемом случае имеют место три серии времен распутывания, полностью описывающиеся формулами (8) и (12), полученными на основе анализа асимптотического поведения волновой функции полной системы. В течение одного периода восстановления осцилляций Раби ТК распутывание наблюдается в моменты времени, составляющие 1/8, 3/8, 1/2, 5/8 и 7/8 от большого периода ос-цилляций Раби. На рис. 2 показано временное поведение линейной атомной энтропии для на-

Рис. 1. Временная зависимость линейной атомной энтропии для начального атомного состояния > и среднего числа фотонов в резонаторной моде п = 30 .

и

Рис. 2. Временная зависимость линейной атомной энтропии для начального атомного состояния |+, +) и среднего числа фотонов в резонаторной моде п = 30 .

чального атомного состояния вида | +, +). В этом случае, как и предсказывалось формулой (16) имеется всего одна серия времен распутывания.

Таким образом, результаты численного моделирования полностью подтверждают выводы, сделанные выше на основе анализа асимптотического поведения полной временной волновой функции атом-полевой системы. При этом полученные в работе результаты не являются тривиальным обобщением результатов для двухатомной модели с однофотонными переходами и одноатомной двухфотонной модели.

СПИСОК ЛИТЕРАРУРЫ

1. Nielsen M.A., Chuang I.L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 823 p.

2. BouwmeesterD, Ekert A., Zeilinger A. (Eds.). The Physics of Quantum Information. Berlin: Springer, 2000. 334 p.

3. Shore B.W., Knight P.L. On the Jaynes-Cummings model // J.Mod.Opt. 1993. V.40. P. 1195-1238.

4. Haroche S., Raimond J.-M. Exploring the Quantum. Atoms, Cavities and Photons. New York: Oxford University Press, 2006. 606 p.

5. Cavity quantum electrodynamics/H. Walther, B.T.H. Varcoe, B. -G. Englert, T. Becker//Rep. Prog. Phys. 2006. V.69. P. 1325-1382.

6. Phoenix S.J.D., KnightP.L. Fluctuations and Entropy in models of quantum optical resonance //Ann. Phys. 1988. V.186. P. 381-407.

7. Gea-Banacloche J. Collapse and revival of the state vector in the Jaynes-Cummings model: an example of state preparation by a quantum apparatus // Phys. Rev. Lett. 1990. V.65. P.72-76.

8. DungH.T., Huyen N.D. State evolution in the two-photon atom-field interaction with large initial fields // Phys. Rev. 1994. V.A49. P. 473-480.

9. Dung H. T, Huyen N.D. Two-atom-single mode radiation field interaction. State evolution, level occupation probabilities and emission spectra //J. Mod. Opt. 1994. V.41. P. 453-469.

10. Bashkirov E.K., Rusakova M.S. Atom-field entanglement in two-atom Jaynes-Cummings model with nondegenerate two-photon transitions //Opt. Comm. 2008. Vol. 281. P. 4380-4386.

ENTANGLEMENT IN TWO-ATOM DEGENERATE TWO-PHOTON MODEL

© 2010 E.K. Bashkirov, E. Yu. Sochkova Samara State University

An exact solution of the problem of two two-level atoms with degenerate two-photon transitions interacting with one-mode coherent radiation field is presented. Asymptotic solutions for system state vectors are obtained in the approximation of large initial coherent fields. The atom-field entanglement is investigated on the basis of the reduced atomic entropy dynamics. The possibility of the system being initially in a pure disentangled state to revive into this state during the evolution process for model considered is shown. Conditions and times of disentanglement are derived.

Keywords: atom-field entanglement, degenerate two-photon transitions, linear atomic entropy

Eugene Bashkirov, Doctor of Physics and Mathematics, Professor at General and Theoretical Physics Department. E-mail: kipdla@ssau.ru.

Elena Sochkova, Master of Physical Department. E-mail: SochkovaElena@mail.ru