Распределение специальных алгебраических точек в областях малой меры

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 1.

УДК 511.42

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ МАЛОЙ МЕРЫ

А. Г. Гусакова (г. Минск) Аннотация

Задачи о распределении алгебраических чисел и точек с алгебраически сопряженными координатами являются естественным продолжением задач о целых и рациональных точках в фигурах и телах евклидова пространства.

В данной статье мы исследуем вопрос о распределении специальных алгебраических точек а = (ai, 02), координаты которых являются алгебраически сопряженными числами ограниченной степени и высоты с дополнительным условием: производная их минимального многочлена принимает малые значения в точках ai и «2. Такие точки возникают в задачах, связанных с классификациями чисел Малера [1], предложенной в 1932 году, и Коксма [2], предложенной несколько позднее в 1939 году. Одной из таких задач является проблема существования Т-чисел в классификации Малера. Около 40 лет было неясно, существуют ли такие числа или этот класс пуст, и только в 1970 году в работе В. Шмидта [3] было показано, что класс Т-чисел непустой и предложена конструкция данных чисел. Другая проблема — это вопрос о различии классификаций Малера и Коксма. В 2003 году Я. Бюжо опубликовал работу [4], в которой доказано, что существуют числа, для которых характеристики Малера и Коксма различны. Для доказательства данных фактов используются специальные алгебраические точки а = (ai, «2), рассмотренные в статье.

Мы рассматриваем специальные алгебраические точки а = (0:1,0:2) такие, что высота алгебраических чисел ai и 02 не превосходит Q, а их степень не превосходит n и модуль производной их минимального члена P(t) принимает следующие значения: |P'(ai)| < Q1-V1 и |P'(a2)| < Q1-v2 при 0 < v1,v2 < 1. В работе найдены точные оценки сверху и снизу для количества специальных алгебраических точек в прямоугольниках, мера Лебега которых имеет порядок Q-1+V1+V2.

Ключевые слова: метрическая теория совместных диофантовых приближений, мера Лебега, алгебраически сопряженные числа.

Библиография: 22 названия.

DITRIBUTION OF SPECIAL ALGEBRAIC POINTS IN DOMAINS OF SMALL MEASURE

A. G. Gusakova (Minsk) Abstract

Problems related to the distribution of algebraic numbers and points with algebraically conjugate coordinates are a natural generalization of problems connected with estimating of number of integer and rational points in figures and bodies of a Euclidean space.

In this paper we consider a problem related to the distribution of special algebraic points а = (a1,a2) with algebraically conjugate coordinates a1 and a2 such that their height and degree are bounded and the absolute values of P'(a1) and P'(a1) where P(t) is a minimal polynomial of a1 and a2 are small. The sphere of application of this points is problems related to Mahler's classification of numbers [1] proposed in 1932 and Kosma's classification of numbers [2] proposed some years later. One of this is a question: do Mahler's T-numbers exist? This question has remained unanswered for nearly 40 years and only in 1970 W. Schmidt [3] showed

that the class of T-numbers is not empty and proposed the construction of this numbers. Another problem is a question about difference between Mahler's and Koksma's classifications. In 2003 Y. Bugeaud published a paper [4] where he proved that there are exist a numbers with different Mahler's and Koksma's characteristics. Special algebraic points a = (ai, a2) considered in this paper are used to prove this results.

We consider special algebraic points a = (a1,a2) such that the height of algebraically conjugate numbers a1 and a2 is bounded by Q, their degree is bounded by n and |P'(a1)| < < Q1-V1, |P'(a2)| < Q1-V2 for 0 < v1,v2 < 1 where P(t) is a minimal polynomial of this numbers. In this paper we obtained the lower and upper bound for the quantity of special algebraic numbers in rectangles with the size of Q-1+Vi+V2.

Keywords: metric theory of simultaneous Diophantine approximations, Lebesgue measure, conjugate algebraic numbers.

Bibliography: 22 titles.

1. Введение

Введем следующие обозначения. Точку а = (0:1,0:2) назовем алгебраической точкой, если а1 и а2 корни одного и того же неприводимого многочлена Р(¿) € со взаимно простыми коэффициентами. Многочлен Р(ж) является минимальным многочленом алгебраической точки а. Степенью и высотой алгебраической точки а будем называть соответственно степень и высоту ее минимального многочлена и обозначать, как deg(а) = deg Р и Н(а) = Н(Р).

Пусть д > 1 — некоторое натуральное число. Через А£(ф), п ^ 2 обозначим множество алгебраических точек ограниченной степени и высоты:

АП(ф) = {а : deg а < п, Н(а) < д},

а через Рп (д), п ^ 2 — множество многочленов с целыми коэффициентами ограниченной степени и высоты:

Рп(£) = {Р(*) € £[*],degР < п, Н(Р) < д}.

Введем в рассмотрение вектор V = (^1,^2), 0 < VI ,< 1 и определим следующее множество алгебраических точек, которые будем называть специальными алгебраическими точками:

АП(д, V) = {а € АП(д) : |Р'Ы| < д1--1, |Р'(а2)| < д1--2},п ^ 3, А2(д, V) = {а € А2(д) : |Р'(а1)| = |Р'Ы| < д1-^2}, и класс специальных многочленов:

Рп(д, V) = {Р(*) € Рп(д) : |Р'(а1)| < д1--1, |Р'(а2)| < д1--2},п ^ 3,

Р2(д, V) = {Р(*) € Рп(д): |Р'(а1)| = |Р'(а2)| < д1-^1}.

Кроме того, через АП(д, V, Б) = АП(д, V) П Б обозначим множество алгебраических точек из АП(д, V), которые содержатся в некоторой области Б с М2. Через #5 будем обозначать количество элементов конечного множества 5, а через ^5 — меру Лебега измеримого множества

5 с Мк.

Вопрос о распределени алгебраических чисел и точек, а также некоторых величин, связанных с алгебраическими числами, является важной проблемой в теории диофантовых приближений [5] — [13]. За последние несколько лет появился ряд статей, связанных с оценкой количества алгебраических чисел и алгебраических точек степени, не превосходящей п, и высоты, не превосходящей д, в областях, мера которых зависит от д. В частности в 2014 году

в статье В. И. Берника и Ф. Гетце [14] была получена оценка снизу для количества алгебраических чисел в коротких интервалах, а в статье В. И. Берника, Ф. Гетце и О. Куксо [15] оценки снизу для количества алгебраических точек в областях малой меры. В том же году вышла статья [16] в которой рассмотрены специальные алгебраические числа, а именно алгебраические числа а с минимальным многочленом Р(¿) таким, что |Р'(а)| < д1-^, 0 < V < 1. Были получены аналогичные результаты для количества специальных алгебраических чисел в коротких интревалах. В данной статье мы рассмотрим специальные алгебраические точки и получим оценки сверху и снизу для их количества в областях малой меры.

Рассмотрим прямоугольники П = /1 х /2 € М2, где = с1(е1 , п)д-51 и =

= с2(е1, п)д-52, с условиями: + з2 = 1 — v1 — v2, с^(е1, п) ^ Со(е1, п), г = 1, 2 и П П {|х1 — ж2| < < е1} = 0, где е1 > 0 — достаточно малая величина, не зависящая от д.

Для специальных алгебраических точек степени п ^ 3 докажем следующую теорему:

Теорема 1. Для любого прямоугольника П — /1 х /2 с центром в точке й и условиями:

1. Ц,l/i = С , 81 + 82 = 1 — V! — V2, V! + V2 < вг < 1 — V! — V2;

2. П П {|ж1 — Ж2| < £1} = 0;

3. Сг(в1,п) ^ со(£1,п), г = 1,2

справедлива оценка:

26п2дга+1-2(^1+^2)-£2< #аП(д, v, п) < зп217дга+1-2(^2)№п,

при п ^ 3, д > д0(п, £1, £2, 8, V, й) и 0 < V1 + V2 <

4 •

Специальные алгебраические точки а = (а1,а2) второй степени определяются и ведут себя иначе по сравнению со специальными алгебраическими точками больших степеней. Эта особенность связана с тем, что модуль производной их минимального многочлена принимает одно и то же значение в точках а1 и а2. В связи с этим для специальных алгебраических точек второй степени справедлива следующая теорема:

Теорема 2. Для любого прямоугольника П = /1 х /2 с центром в точке й и условиями:

1. = С(£1)д-^, 81 + в2 = 1 — Vl — V2, Vl + V2 < в < 1 — Vl — V2;

2. П П {|Ж1 — Ж2| < £1} = 0;

3. Сг(£1) ^ со(£1), г = 1,2 справедлива оценка

2-50£?д3-3(^1+^2)№п < #А2(д, v, п) < 213д3-3(^2)№п,

при д > до(£1, 8 v, й) и 0 < Vl + V2 < 3.

2. Вспомогательные утверждения

Для доказательства теорем 1 и 2 нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения. Для многочлена Р(ж) с корнями а1, а2,..., а™ пусть

в(аг) = {ж € М : |ж — аг| = ш1п |ж — а^-1}. Лемма 1. Пусть ж € в(а1). Тогда справедливы оценки:

, , ^ |Р(ж)К , ^ 0™- 1 |Р(ж)1

Данное утверждение доказано в [5], [17].

Лемма 2. Пусть I — некоторый интервал, А С М — измеримое множество, А С I, ^А ^ 2• Если для всех х € А выполняется неравенство |Р(х)| < с3(п)Я-ад, -ш > 0, то для всех х € I справедливо неравенство

|Р(х)| < 6п(п + 1)га+1Сз(п)Я-ад

Лемма 2 доказана в [17].

Лемма 3. Пусть 5, К0, щ, п2 — действительные положительные числа, Р1(х),Р2(х) € € Я[х] — два неприводимых многочлена степени, не превосходящей п, с условием

шах(Я(Р^,Я(Р2)) < К,

где К > Ко (5). Пусть 71, 72 С М — некоторые интервалы, где = К-П1, = К-П2 • Если при некоторых т1,т2 > 0 для всех х € х 72 выполняются неравенства

шах(|Р (х1)|, |Р2(х1)|) < К-Т1, шах(|Р1(х2)|, |Р2Ы|) < К-Т2,

то

Т1 + Т2 + 2 + 2 шах

Лемма 3 доказана в [18].

3. Основные леммы

Лемма 4. Обозначим через Ь = Ь2(Я, 50, w, V, П) множество точек х € П, для которых существует многочлен Р(¿) € Р2(Я, V) такой, что справедливы неравенства

+ -ш2 = 1 — г1 — г2, г = 1,2.

Тогда для всех прямоугольников П = 11 х 12 С [— 1; 1] с условиями:

1. ^г = Сг, 81 + 82 = 1 — г1 — г2, г1 + г2 < вг < 1 — г1 — г2;

2. П П {|х1 — х21 < £1} = 0;

3. сг(£1) ^ со(£1), г = 1,2 справедлива оценка

^2Ь < 4^2П

при 50 < 2-22е|, Я > д0(в1, w, V, в) и 0 < г1 + г2 < 1.

Доказательство. Пусть Р(¿) = Ь2£2 + Ь1 £ + Ь0. Оценим величины |Р'(аг)|, г = 1, 2 сверху и снизу. Используя лемму 1 и условие 2 для прямоугольника П несложно видеть, что при Я > Яо(£1, w, V, в) корни а1 и а2 многочлена Р(¿) отделены друг от друга: 1 > |а1 — а2| > 4Ц, откуда следует:

С другой стороны, при разложении многочлена Р'(£) по формуле Тэйлора в окрестности точек х1 и х2 получим оценку:

из которой в частности следует, что

|b2| < 4£r1^cQ1"Vl"V2.

Используя оценки (3) и лемму 1 получаем, что множество L содержится в объединении прямоугольников U a(P), где P €P2(Q,v): ct(P )ПП=0

a(P) = {|хг - аг| < |&21— 1 = 1,2}.

Отметим также, что при подходящем выборе величины co(£1) мера множества будет

меньше меры прямоугольника П:

< 26е—2Q—1+v1+V2|b2|—2 < С1С2Q—1+v1+V2 < №П.

Оценим меру множества L следующим образом:

<

^ < ^ и СТ

РеРг^): РеР2(^):

ст(Р)ПП=0 ст(Р)ПП=0

< 26£-2д-1+^1+^2 Е |&21-2.

Ь>2 ,Ь1,Ьо:

р (*)=&2 ¿2 +&1 г+Ьо ер (д, v),

ст(Р )ПП=0

Сейчас оценим сверху количество многочленов Р € Р2(Ф, V), которые удовлетворяют системе (2) в некоторой точке х € П при фиксированном значении 62.

Пусть й = (¿1,^2) — центр прямоугольника П. Оценим значения многочлена Р(¿), удовлетворяющего системе (2) в некоторой точке х € П, в точках ¿1 и ¿2. Запишем ряд Тэйлора для многочлена Р(¿) в окрестности точки Жг:

11 Р = Р (Жг) + - Р'(жг)(жг — к) + - Р''(жг)(жг — ^)2, г = 1,2. 2 6

Справедлива оценка

Не нарушая общности будем полагать, что /1 < ^1/2.

Рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными 62, 61, 60 € Ъ:

b2d2 + М1 + bo = ¿1(^1), + 61^2 + bo = ¿2(^2),

где |1г(жг)| < 2(1 + £1)шах{1, |Ь2|^1/г}, г = 1, 2. Ясно, что каждому решению системы (6) соответствует многочлен Р(¿) € Р2(д, V), для которого верны оценки (5), поэтому достаточно оценить количество возможных значений пары переменных (61,60) таких, что система неравенств (6) справедлива при фиксированном значении 62. Для этого рассмотрим систему (6) для двух различных наборов (62,60,1,60,0), (62,6^-,1,6^,0) и, взяв разность уравнений с такими неизвестными, получим следующую систему линейных уравнений

1 (60,1 — 6^,1)^2 + (60,0 — 6^,0) = 12(Ж0,2) — 12 (ж^,2) = К2(Ж0,2,Ж^-,2),

с двумя неизвестными 60,1 — Ъц и 60,0 — Ъ-,-,0. Так как модуль определителя данной системы |Д| = — 1 > £1 не равен 0, то мы можем применить метод Крамера для её решения. Используя неравенства |кг(х0,г, х^,г)| < 4(1 + £1) шах{1, |Ъ2|^11г}, г = 1, 2, оценим определитель Д1 следующим образом

|Д11 < 8(1+ £1) шах{1, |Ъ2ИЫ,

откуда получим

|Ъ0,1 — Ъ,-1| < 1Д1< 8(1+ £—1) шах{ 1, |Ъ2|^112>-

Данное неравенство означает, что все возможные значения коэффициента Ъ1 находятся в интервале Д, < 16(1 + £-1)шах{1, |Ъ2|^112} с центром в точке Ъ0,1 и, так как Ъ1 € Ъ, их количество не превосходит меры интервала 71.

Зафиксируем дополнительно одно из значений Ъ1 € 71 и рассмотрим два различных набора (Ъ2, Ъ1, Ъ0,0) и (Ъ2, Ъ1, Ъ^-,0). В таком случае систему (7) можно привести к следующему виду:

(|Ъ0,0 — Ъ^-,01 = |«1(х0,1,х^,1)| < 4(1 + £1) шах{ 1, |Ъ2|^111}, \|Ъ0,0 — Ъ^-,01 = |к2(х0,2,х^2)| < 4(1+ £1) шах{1, |Ъ2|^112},

откуда следует, что все возможные значения коэффициента Ъ0 находятся в интервале , 70 < 8(1 + £1) шах{1, |Ъ2|^111} с центром в точке Ъ0,0 и их количество не превосходит меры интервала 70.

Тогда при фиксированном значении Ъ2 справедлива оценка:

129£-1, |Ъ2| < (№Д)-1.

Воспользуемся оценками (4) и (8) и рассмотрим три случая, в каждом из которых будем оценивать меру множеств ¿1, ¿2 и Ьз соответственно, где Ь = = ¿1 и ¿2 и Ьз. Случай 1: (^Д)-1 < |Ъ21 < 4£-150Я1-^2 В данном случае справедлива первая оценка (8) и

< 217£-4Я-1+^2№П  50Я1-"1-"2 < 12^П,

при подходящем выборе величины 50 = 2-22£{. Случай 2: (^Д)-1 < |Ъ2| < (^Д )-1 В данном случае справедлива вторая оценка (8) и

^Ь2 < 217£-4Я-1^ №Д ^ |Ъ21-1 <

(М112)-1<|Ь2|<(М111)-1 < 218£-4(81 — 82)Я-1+"1+"2 1п Я^Д. откуда при £3 < 1 — г1 — г2 — и Я > Яо(£ъ w, V, в) следует, что

< 12С1(£1)Я-1+"1+"2+(1-"1 -"2-51 ^Д < 12^П. Случай 3: 1 < |Ъ2| < (^Д)-1

В данном случае справедлива третья оценка из (8) и

^Ьз < 217£-4Я-1+^2 £ |Ъ2|-2 < ^^П

1<|Ь2|<(М1/2)-1

при подходящем выборе С0(£1), что завершает доказательство леммы 4.

Лемма 5. Обозначим через Ь = ЬП(Я, V, П), п ^ 3 множество точек х € П, для которых существует многочлен Р(¿) € Р™(Я, V) такой, что справедливы неравенства

'|Р(Жг)| < >Vi,

+ -ш2 = п — 1 — v1 — v2, г = 1,2.

Тогда для всех прямоугольников П = /1 х /2 С [— 1; 1] с условиями:

1. ^1/г = Сг(£1,п)д-54, 81 + в2 = 1 — Vl — V2, Vl + V2 < вг < 1 — Vl — V2;

2. П П {|Ж1 — Ж21 < £1} = 0;

3. сг(£1,п) ^ С0(£1,п), г = 1,2 справедлива оценка

^2Ь < 4^2П

при д > ^0(п, £1, £2, V, 8) и 0 < Vl + V2 < ^.

Доказательство. Основная идея доказательства леммы 5 заключается в разбиении множеств Т возможных значений производных |Р'(жг)|, г = 1,2 на подмножества Тгд, Тг,2 и Тг,3 и нахождении оценки сверху для меры множества решений системы (9) в случае, когда |Р'(жг)| € Тг,к, к = 1, 2, 3. Проведем разбиение следующим образом:

Т = (0,Ж(Я,п,г)) = У Тг,к,

1<&<3

где

Тг,1 = (0;4п2д 2 -

„ 1 то,- +

Тг,2 = 4п2д1--2-; д 2 2

Тг,3 = (Я 2 2(п-1) ; ЖЯ,п,г) 2 , ли

Несложно убедиться, что при

и либо N(д,п, 1) = я1-^1-2£2, либо N(д,п, 2) = д1-^2-2£2.

выполняется соотношение: 2|Р'(жг)| > |Р'(аг)| > 1 |Р'(жг)|,г = 1, 2. Тогда если |Р'(жг)| € Тг,3, то |Р'(аг)|€ Тг,3 =( 2 2(п-1) ;2^Я,п,гЛ ,г = 1,2.

Рассмотрим случай |Р'(аг)| € Тг,3, г = 1, 2. При этом будем использовать метод математической индукции по степени многочлена п. Случай п = 2, доказательству которого посвящена лемма 4, является базой математической индукции.

При |Р'(аг)| € Тг,3, г = 1,2 имеем систему неравенств

"|Р(Жг)| < >Vi,

1 я 2 2

+ -ш2 = п — 1 — v1 — v2, г = 1,2.

Через Ьз,з обозначим множество точек х € П, для которых найдется многочлен РП(Я, V) такой, что выполняются неравенства (11). Из леммы 1 следует, что Ьз,з содержится в объединении прямоугольников У а(Р), где

Р е-Рп(д^): ст(Р )ПП=0

) = {|хг — < |Р'(аО|-1,г = 1,2}.

Наряду с прямоугольниками ) рассмотрим прямоугольники

а„-1

где

=

ига— 1,г — Уг

П — 1

и

^(р) < 16с4(та)2Я 2 < ^П

при Я > Я0(п, £1,£2, w, V, в). Отметим также, что меры прямоугольников а(Р) и стга-1(Р) соотносятся следующим образом:

^

Зафиксируем величину а и рассмотрим класс многочленов с одним и тем же значением старшего коэффициента ап = а: РП(Я, V, а). Количество таких классов можно оценить, как

#{а} < 3Я.

Воспользуемся методом существенных и несущественных областей, который ввел Сприн-джук [1].Прямоугольник ап-1(Р1), Р1 € РП(Я, V, а), будем называть существенным, если для любого другого прямоугольника стга-1(Р2), Р2 € РП(Я, V, а), выполняется неравенство

^2 (СТ„-1(Р1) П ап-1(^2)) < 1 ^2^п-1(^1).

В ином случае прямоугольник стга-1(Р1) будем называть несущественным. В случае существенных прямоугольников справедлива оценка

^ ^2^п-1(Р) < 2^П.

р ер„

Тогда из оценок (13) и (14) следует, что

^Ьз,з < ^ ^ ¿^

при С4(п) = 2П+6.

В случае несущественных прямоугольников для любого прямоугольника 0^1(^*1) найдется прямоугольник ап-1(Р2) такой, что

М^п-1(Р1) П СТ„-1(Р2)) > 1 ^2СТ„-1(Р1).

Рассмотрим многочлен Д = Р2 — Р^ deg Д < та — 1, Н(Д) < 2Я на множестве стга-1 (Р1)П 1 (Р2). Оценим величины |Д(х^)|, |Д'(х^)|, г = 1, 2. Для этого разложим многочлены и

Р2(^) по формуле Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа на интервале (Р1)П

ПстЖ;,„-1(Р2):

Р/с(жг) = Рк(аг)(жг — аг) + 2Рк(&)(жг — аг)2, {г € (жг, аг), г = 1,2, к = 1,2. Используя оценки (12) получим:

Р(аг)(жг — аг)| < С4(п)Я-ип—^,

^ -< ^ -<

|Р'(&)(ж — аг)2| < С4(п)Я1-2ип—-П—- < С4(п)Я-и"—

при Я > Я0(п,£1,£2, V, 8).

В таком случае справедлива оценка

Аналогично разложим многочлены Р1 (жг) и Р2 (жг) по формуле Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа на интервале стж,,га-1(Р1)Пстж,,га-1(Р2) и получим, что |Я'(жг)| < 2С4(п)|Р'(аг)|, г = 1, 2. Из леммы 2 следует, что с точностью до константы данные оценки выполняются на всем прямоугольнике ап-1 (Р1).

Поэтому мера решений системы (9) не превосходит меры решений следующей системы неравенств

'|й(жг)| < 2С5(п)Я-ип—,ип-1,г > 0,

чи„-1,1 + «п-1,2 = п — 2 — Vl — V2, г = 1,2.

По предположению индукции при п ^ 4 мера решений системы (16) не превосходит 72^П при Я > Я0(п,£1,£2,V, 8), что вместе с оценкой (15) означает, что Ь3,3 < 36№П.

Заметим, что при п = 3 система (16) не является системой вида (2), рассмотренной в лемме 4. В связи с этим рассмотрим случай п = 3 более подробно и опишем схему индукционного перехода в данном случае. Разобъем множество £3,3 на два непересекающихся подмножества: ¿3,3 = Ьд 3 и Ь2 3. Через Ьд 3 обозначим множество точек х € П, для которых найдется многочлен Р3(Я, V) такой, что выполняется следующая система неравенств:

Г|Р(Жг)| < 2Я-И3>4,и3,г > 0, |Р'(аг)| > 2Я, ш1п{|Р'(аг)|} <^Я1-"1-"2,

,«3,г + «3,г = 2 — Vl — V2, г = 1,2,

а через Ь33, соответственно, обозначим множество точек х € П, для которых найдется многочлен Р3(Я, V) такой, что выполняется система неравенств:

-)1-^2-2 £2

,

|Р(Жг)| < 2Я-и3'4,им > 0,

|Р'(а1)| < 2Я1-^1 -1 £2 или |Р'(а2)| < 2Я1

|Р'(аг)| >¿0Я1-"1-"2,

«3,г + «3,г = 2 — Vl — V2, г = 1,2.

Сперва оценим меру множества Ь3 3. Для этого используем схему, описанную выше. Из леммы 1 следует, что Ь3 3 содержится в объединении прямоугольников

и *(р),

р еРз(д^):

ст(Р )ПП=0

где

а(Р) = {|хг — аг| < 8Я-из'4|Р'(аг)|-1,г = 1,2}.

Наряду с прямоугольниками а(Р) рассмотрим прямоугольники

^2(Р) = {^,2 : |хг — аг| < СбЯ-"2'4|Р'(аг)|-1,г = 1,2},

где и2,г = из,"2-^г, (Р) < 16с6Я +21+ 2 < при Я > Я0(£1, £2, w, V, в) и меры прямоугольников а(Р) и 0г(Р) соотносятся как:

^а(Р) < с-226Я^2а2(Р).

Снова зафиксируем величину а и рассмотрим класс многочленов с одним и тем же значением старшего коэффициента аз = а: Рз(Я, V, а). Количество таких классов можно оценить, как

#{а} < 3Я.

Воспользуемся методом существенных и несущественных областей и в случае существенных прямоугольников получим оценку

^2Ьз,з < ^ ^ №а

а РеРз

при С6 = 210.

В случае несущественных прямоугольников а2(Р1) сводим систему неравенств (17) к следующей системе неравенств для многочленов второй степени:

|Я(хг)| < 2С7Я-И2'4,«2,г > 0,

«2,1 + «2,2 = 1 — У1 — У2, г = 1,2,

где Я € Р2(Я, V). Из леммы 4 следует, что при достаточно малом значении 50 и Я > Я0(п,£1,£2, w, V, в) мера множества решений системы (20) не превосходит ^2П, откуда следует, что Ь^з < 71^П.

Перейдем к оценке меры мнажества Ь2 з. Из леммы 1 следует, что Ьз з содержится в объединении прямоугольников У а(Р), где

Р еРз(З^): ст(Р )ПП=0

а(Р) = {|хг — аг| < 8Я-"3'4|Р'(аг)|-1,г = 1,2}.

Введем в рассмотрение класс многочленов Рз(Я, V, Л), который определим следующим образом:

Рз(Я, V, Л) = {Р € Рз(Я, V) : Я^-1 £2 < |Р'Ы| < ЯЛ}.

Количество таких классов оценим, как

#Л < 64

Используя неравенство (21), оценим меру множества Ь^:

^2Ь2,з <Е Е ^(Р) < С8^,£2)Я-2+^2 Е Я-Л1-Л2 +1

Л РеРз(^,Л): РеРз(^,Л):

ст(Р)ПП=0 ст(Р)ПП=0

Найдем оценку сверху для количества многочленов

Р(*) = + + М + 00 € Р3(Я, V, Л),

которые удовлетворяют системе (18) в некоторой точке х € П.

Для этого оценим значения многочлена Р(¿) и его производной Р'(£) в точках ,^2, где d = (^1,^2) центр прямоугольника П. Разложим многочлен Р(¿) в ряд Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа в окрестности точки аг:

Р №) = 1 Р(аг)(аг — й) + 1 Р"(&)(аг — ^)2, г = 1,2. 2 6

Так как Р(¿) € Р3(Я, V, Л) и Лг — 8£2 ^ 1 — v1 — v2, то справедливы неравенства:

|аг — ¿г| < |а» — Жг| + |жг — < 8Я-из^+8£2 + < 16^, и, так как в > v1 + v2, то

при Я > Я0(п, £1,£2,V, 8). В таком случае

Аналогично разложим многочлен Р'(£) по формуле Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа в окрестности точки аг:

Р '(¿г) = 1 Р'(аг) + 1 Р"(& )(аг — ¿г),г = 1,2. 26

Тогда, учитывая неравенство (22), получим:

Запишем оценки (23) и (24) в виде следующей системы неравенств:

М? + М? + Mi + bol < 2QAl^1/1,

|bsd! + b2d¡ + b?d2 + bo| < 2QA2^?/2,

|3bsd? + 2b2di + b?| < 2QAl, |3b3d2 + 2b2d2 + bi| < 2QA2.

Несложно убедиться, что

QAi > 1 и QAi> 1,i = 1, 2,

так как A¿ ^ 1 - v? - V2 + 8^2 > 4 + ?^2 и ^i/ > Q-i+v1+V2.

Множество точек, удовлетворяющих неравенствам (25), представляет собой четырехмерный параллелепипед. Его положение фиксировано, а длины сторон стремятся к бесконечности с ростом Q. Это означает, что количество целых точек, лежащих внутри данного параллелепипеда с точностью до константы равно его объему [20]. Тогда

#(b3,b2,bi,bo) < C9(£2)Q2(Al+A2)№П,

что означает, что количество многочленов P £ Рз(Ф,v, которые удовлетворяют системе (18) в некоторой точке x £ П, не превосходит Cg(e2)Q2(Al+A2V2n.

Оценка сверху для меры множества ^2^3,3 преобретает следующий вид:

< с10^,£2)д-2+"1+"2-Л1-Л2+4£2  д2(Л1+Л2)^2 п =

= С10^, £2)^-2+^1+^2+Л1+Л2 +1 £2^П, и, так как Л1 + Л2 < 2 — — -и2 — 1 е2, получаем:

№¿3,3 < Сю^,£2)Я-1 £2№П < т2^П

при Я > фо(п,£1,£2, w, V, 8).

Используя полученные оценки для мер множеств ¿3 3 и ¿3 3, оценим меру множества £3,3:

1 2 1

№¿3,3 < ^2^,3 + ^2^2,3 < ™

36

Рассмотрим случай подинтервалов Т 1,2, Т2,2. При |Р'(а^)| € Тг,2,г = 1, 2 имеем систему неравенств

V(ж»)1 < 2<3-^ > 0,

п2ЯI-^ < |Р'

+ -ш2 = п — 1 — г^ — -и2, г = 1, 2.

Из леммы 1 следует, что множества точек ¿2,2 для которых существует многочлен Р € (Я, V) такой, что неравенства (26) выполняются, содержится в объединении прямоугольников У а(Р), где Р еРп(З^): ст(Р )ПП=0

ТО.- + 1

а(Р) = {|ж — аг| < 2ПЯ-, г = 1,2}.

В данном случае индукционный переход становится невозможным в силу того, что мы не можем понизить степень многочленов. В связи с этим будем использовать другой метод для оценки меры множества ¿2,2.

Покроем прямоугольник П системой непересекающихся прямоугольников Щ = Д,к х Д,к,

ад^ + 1

где Д,к = Я 2 г£4>*, г = 1, 2 таких, что П С и П и Щ П П = 0. В таком случае количество

к

прямоугольников Пк оценим как

#Пк < <

4Я-£4>2^1/2, в1 ^ ,32 < ^.

Будем говорить, что многочлен Р(ж) принадлежит прямоугольнику Пк, если найдется такая точка х € Пк, что неравенства (26) выполняются для многочлена Р(¿) в данной точке.

Рассмотрим прямоугольники Пк, которым принадлежит не более одного многочлена Р(¿) € РП(Я, V). В этом случае меру множества ¿2,2 с помощью неравенств (27) можно оценить следующим образом:

№¿2,2 < Е ^(Р) < 22га+2д-£4>1 -£4>2^П < 72^П

при Q > Q0(n, £2,£;l,w, v, s) и s1 < W12+1, s2 < W22+1. В случае, если sj ^ , то рассмотрим вместо прямоугольников a(P) прямоугольники ct*(P) = a(P) П П и получим ту же оценку.

Докажем теперь, что ни одному прямоугольнику Щ не может принадлежать два и более неприводимых многочлена. Пусть найдутся два многочлена Pi(t),P2(t) £ Щ и пусть для многочлена Pj (t) неравенства (26) выполняются в точке Xj £ Щ, j = 1, 2. В таком случае при Q > Q0(n,£2,£1, w, v, s) для любой точки x £ Щ справедливы оценки:

Wi + 1

Оценим величины |Pj(xi)| и |Pj(x2)|, x = (x1,x2) £ Щ. Разложим многочлен Pj(xj), i, j = 1, 2 в ряд Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа на интервале Jj,^:

Pj (xj) = Pj (a )(x - aj) + 1 Pj"({4)(x - a )2,^4 £ (xj,aj). Из оценок (26) и (28) получим, что

P(xj)| < 2Q-Wi+2(n-1)+£4^ + 4n3Q-Wi+2£4'i < 2Q-Wi++£4^,i = 1,2,

Wi+v

при £4,j < 2Wn=r) и Q > Qo(n,£2,£1, w, v, s).

Воспользуемся леммой 3 при n = --£4)j и Tj = wj - ^П-У) - £4,^ i = 1, 2. Тогда

11

T1 + T2 + 2 = (n - 1 - V1 - V2) - 2 - 2^4,2 + 2 = П + 2 - V1 - V2 - £4,1 - £4,2,

о/ , 1 \ 0/ Wj + Vj Wj + 1 Wj + Vj

2(Tj + 1 - nj) = 2(Wj - —--r - £4,j + 1--^--+ £4,j) = Wj + 1 -

имеем

2(п - 1) 4,4 2 4,4/ 4 п - 1'

Подставим данные выражения в (1) и получим:

п +2 - £4,1 - £4,2 - VI - -и2 + п - 1 - - + 2 - 1 = 2п - 2(г>1 + ^2) + 2 - £4,1 - £4,2 > 2п + £

при VI + г2 < 1, £4,4 = ^  1~2("з1+"2) и г = 1-2(^2). Получили противоречие.

Остальные случаи являются простым двумерным аналогом соответствующих случаев в [16].

Подводя итог получаем, что Ь С и Ь^- и тогда

1<4,^'<3

^2Ь < ^ ^¡Ь^ < 9  36^¡П = 1 ^П,

1<4,^'<3

что завершает доказательство леммы.

4. Доказательство теоремы 1

1 11 2 1 • 1 1 и

В ходе доказательства будем полагать, что П С [-2; 2]

ф > фо(п,£2,£1, w, V, я).

Данное ограничение упростит наши вычисления без нарушения общности, так как для любого прямоугольника [^1 - 2; + 2] х [^2 - 2; ^2 + 2] мы можем ввести замену переменных

У = Ж—^г, г = 1, 2, такую, что (у1, у2) € [— 2; 1 ]2. При этом коэффициенты новых многочленов возрастут в не более, чем с(п, ^ раз.

Оценка снизу. Доказательство проведем с использованием результатов леммы 5. Рассмотрим множество В1 = П\¿га(Я, V, П), п ^ 3 при ад = га-1-2г'1-^2, г = 1, 2. Из леммы 5 следует, что

3

^2^1 ^ 4^2П

при Я > фо(п,£2,£1, V, 8).

Используя принцип Дирихле несложно убедиться, что для любой точки х € П найдется многочлен Р € (Я, V) такой, что первые два неравенства системы (9) будут выполняться. Тогда для любой точки Х1 € В существует многочлен Р^) € РП(Я, V), удовлетворяющий системе неравенств

1>1(жм)| <я-

п — 1 — V1 — ^2 2

\|Р1 (Ж1,г)| >д1-^-2£2, г = 1, 2. Рассмотрим корни а1,а2 многочлена РР1 , такие, что Ж1,г € £(аг). По лемме 1 имеем

п + 1 — (VI +^2) , , 1

|ж1,г — аг| < пЯ--V1-2- 1£2, г = 1,2.

Докажем, что корни а1,а2 € М. Предположим обратное. Пусть а € С, тогда комплексно сопряженное с ним число а € С также является корнем многочлена Р1(*) и Ж1,г € £(а1). В таком случае из оценок (30) следует, что

п + 1 —(VI +^2 ) . . 1

|а — аг| < 2пЯ--^^ 2£2

и, так как корни многочлена Р^) ограничены, то

п —1 —(VI +^2 ) . . 1

С другой стороны, при разложении многочлена Р^) по формуле Тэйлора с остаточным членов в форме Лагранжа в окрестности точки Ж1,г получаем:

|Р'(аг)| > 2Я1-'1.

Данные неравенства противоречивы при + -и2 < 1 и Я > Я0(п, е1, е2, V, 8).

Выберем максимальную систему алгебраических точек Г = (71,..., %), удовлетворяющих условиям: Н(7к) < Я, deg(7к) < п и прямоугольники

1 п + 1 —(VI +V2) .

^(7к) = {|ж — 7к,г| < п^о-1Я--2-, г = 1, 2}

не пересекаются.

Рассмотрим расширенные прямоугольники

п + 1 — (V-|+V2) . . 1 _

и покажем, что

г

В С У {^1

к=1

Для этого докажем, что для любой точки Х1 £ В найдется такая точка € Г такая, что х1 € 01(7к). Так как х1 € В1, то найдется точка 7, для которой справедливы неравенства (30). В таком случае либо 7 € Г и х1 € од (7), либо существует 7к € Г такая, что

1ъ - 7м1 < 4пд--V1-2-1 , г = 1, 2,

откуда следует, что х1 € 01(7к).

В таком случае, из (29),(31) и (32) имеем: 3 4

3< < ^ ^201(7к) < г  26п2д-га-1+2(^1+^2)+£2, к=1

откуда получаем оценку

г = #АП(д, V, п) ^ 26п2дга+1-2(^2)-£2№п.

Оценка сверху. Предположим, что #АП(д, V, П) > эга217^га+1-2(^1+^2). Рассмотрим алгебраическую точку а € #АП(д, V, П). Пусть Р(г) ее минимальный многочлен. Оценим значение многочлена Р(г) и его производной Р'(г) в точке d. Для этого разложим многочлен Р(г) по формуле Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа на интервале /¿, г = 1, 2:

Р(й) = Р'(а)(й - аг) + 2Р''(&)№ - «г)2.

Тогда

|Р№)| < д1-"4^1/г + п2д^1/2 <

при ¿г > г1 + г2.

Аналогично разложим многочлен Р'(г) по формуле Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа на интервале /¿, г = 1, 2:

Р'(й) = Р'Ы + 1 Р''(&)№ - аг),

и получим:

|Р'№)| < д1-"4 + п2I < ,

при > V! + г2.

Зафиксируем вектор Ь3 = (аи, ...,а4), где аи,...,а4 — коэффициенты многочленов Р(г) € Рп(д, V). Рассмотрим класс многочленов с одним и тем же вектором коэффициентов: Рга(д, V, Ьз). Количество таких классов можно оценить, как

и\

^игли—3

#{Ьз} < зиди

Исходя из нашего предположения и данной оценки, используя принцип Дирихле, можно сказать, что найдется вектор Ьз,о такой, что

#Ри

Оценим величину #Ри(д, V, Ьз,о) сверху. Для этого возьмем многочлен

Ро €Ри

и рассмотрим разность многочленов Ро и Р.,- € Ри(д, V, Ь3,о) в точках г = 1, 2. Из оценок (33) и (34) следует:

|Ро(^г) - Р,(¿г)| = |(ао,з - а,,з)й3 + (ао,2 - а,,2)й2 + (ао,1 - а.дН + (ао,о - а,,о)| <

|Р0№) — Р](^г)| = |3(ао,а — а,-э)йг2 + 2(ао,2 — а^К + (ао,1 — а^)| < .

Рассмотрим следующую систему неравенств:

|(а0,з — а^,з)^1 + (а0,2 — а^-,2+ (а0,1 — а-,д)Д + (а0,0 — а^-,0)| < 4Я1-'1 ^Д, |(а0,з — а^,з)^3 + (а0,2 — а^-,2+ (а0,1 — а-,д)Д + (а0,0 — а^-,0)| < 4Я1-'2^Д, |3(а0,з — а^-,з)^1 + 2(а0,2 — а^Н + (а0,1 — а^-,1>| < 4Я1-'1, ч |3(а0,з — а^,з)^2 + 2(а0,2 — а^)^ + (а0,1 — а^-,1>| < 4Я1-'2.

Так как Я1-'> 1, г = 1, 2, то из рассуждений, аналогичных проведенным при доказа-тельсте леммы 5, получаем:

1 < 216д4-2('1+'2)^2П.

Следовательно, V, Ь2,0) < 216Я4-2('1+'2) что противоречит неравенству (35). Это озна-

чает, что

V, п) < 3га217дга+1-2('1+'2^2П. 5. Доказательство теоремы 2

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, поэтому остановимся лишь на некоторых особенностях.

Оценка снизу. В данном случае будем использовать результаты леммы 4. Так же как и при доказательстве теоремы 1 рассмотрим множество

В =П \ ¿2

при ад = 1-'2-'2, г = 1,2 и ¿0 < 2-22^4. Из леммы 4 следует, что ^2В1 ^ |^2П при Я > Я0(п, е1, V, 8), а с помощью принципа Дирихле несложно убедиться, что для любой точки х € П найдется многочлен Р € Р2(Я, V) такой, что первые два неравенства системы 2 будут выполняться. Тогда для любой точки Х1 € В1 существует многочлен Р1(*) € Р2(Я, V), удовлетворяющий системе неравенств

1 — VI — ^2

|Р1(Ж1,г)| <Я--^Г-2 ,

|Р1 (Ж1,г)| >^д1-'1-'2,г = 1,2.

Дальнейшая схема доказательства совпадает со схемой доказательства теоремы 1.

Оценка сверху. Предположим, что #А2(Я, V, П) > 21зЯз-2('1+'2), рассмотрим алгебраическую точку а € #А2(Я, V, П) и оценим значения ее минимального многочлена Р(*) и его производной Р'(*) в точке ^ Получим оценки:

|Р№)|< 2Я1-'1-'2^Д

|Р'№)|< 2Я1-'1-'2,

при Зг > V! + ^2.

На основе оценок (36) и (37) запишем систему неравенств:

М? + а^ + а01 < 4Я1-'1-'2№Д, М2 + а^ + 001 < 4Я1-'2-'2№Д, |2а2^1 + а1| < 4Я1-'1-'2.

Так как Q1 V1 V2^1/j > 1, i = 1, 2, то из рассуждений, аналогичных проведенным при доказа-тельсте леммы 5 получаем:

#(a2,a1,ao) = #A2(Q, v, Щ) < 212Q3-3(V1+V2),

что противоречит неравенству (35). Это означает, что

#A2(Q, v, Щ) < 213Q3-3(V1+V2)^2П.

6. Заключение

Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для получения оценок сверху и снизу для количества точек множества An(Q, v) около гладких кривых, что является естественным обобщением проблем, связанных с распределением рациональных точек около гладких кривых [21, 22].

Благодарность. Автор выражают свою признательность В. И. Бернику за постановку задачи и ценные консультации.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. Teil I, II // J. reine und angew. Math. 1932. Vol. 166. P. 118-136, 137-150.

2. Koksma J.F. Uber die Mahlersche Klasseneinteilung der transzendenten Zahlen und die Approximation komplexer Zahlen durch algebraische Zahlen // Mh. Math. Physik. 1939. Vol.

48. P. 176-189.

3. Schmidt W. T-numbers do exist // Symposia Mathematica (INDAM, Rome, 1968/1969). 1970. Vol. IV. P. 3-26.

4. Bugeaud Y. Mahler's classification of numbers compared with Kosma's // Acta Arith. 2003. Vol. 110, №1. P. 89-105.

5. Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. Минск: Наука и техника, 1967. 184 c.

6. Mahler K. An inequality for the discriminant of a polynomial // Michigan Math. J. 1964. Vol. 11. P. 257-262.

7. Everst J.-H. Distance between the conjugates if an algebraic number // Publ. Math. Debrecen. 2004. Vol. 65, №3-4. P. 323-340.

8. Beresnevich V., Bernik V., Gotze F. The distribution of close conjugate algebraic numbers // Compos. Math. 2010. Vol. 146, №5. P. 1165-1179.

9. Бударина Н. В., Гетце Ф. Расстояние между сопряженными алгебраическими числами в кластерах // Мат. заметки. 2013. Т. 94, №5. С. 780-783.

10. Bugeaud Y., Mignotte M. Polynomials root separation // Int. J. Number Theory. 2010. Vol. 6, №3. P. 587-602.

11. Bugeaud Y., Mignotte M. On the distance between roots of integer polynomials // Proc. Edinb. Math. Soc. 2004. Vol. 47, №3. P. 553-556.

12. Schmidt W. M. Diophantine approximation // Lecture Notes in Math., 785, Springer, Berlin, 1980. x+299 p.

13. Bugeaud Y. Approximation by algebraic integers and Hausdorff dimension //J. London Math. Soc. 2002. Vol. 65, №2. P. 547-559.

14. Берник В.И., Гетце Ф. Распределение действительных алгебраических чисел произвольной степени в коротких интеревалах // Известия РАН. Серия математическая. 2015. Т. 79, №1. C. 21-42.

15. Bernik V., Gotze F., Kukso O. On algebraic points in the plane near smooth curves // Lithuanian Math. Journal. 2014. Vol. 54, №3. P. 231-251.

16. Гусакова А. Г., Берник В. И. Количество алгебраических чисел с малой производной их минимального многочлена в корне на коротких интервалах // Труды института математики. 2014. Т. 22б №2. C. 18-31.

17. Берник В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений // Acta Arithm. 1983. Vol. 42, №3. P. 219-253.

18. Берник В. И., Домбровский И.Р. Эффективные оценки меры множеств, определяемых диофантовыми условиями // Труды МИАН. 1994. Т. 207. C. 35-41.

19. Берник В. И. О точном порядке приближения нуля значениями целочисленных многочленов // Acta Arith. 1989. Vol. 53, №1. P. 17-28.

20. Davenport H. On a principle of Lipschitz //J. London Math. Soc. 1951. Vol. 26. P. 179 -183.

21. Huxley M. N. Area, lattice points, and exponential sums // London Mathematical Society Monographs, New Series. 1996. Vol. 13, Oxford University Press. New York.

22. Bugeaud Y. Approximation by algebraic numbers // Cambridge Tracts in Mathematics. 2004. Vol. 160. Cambridge University Press. Cambridge. 274 p.

REFERENCES

1. Beresnevich V., Bernik V. & Gotze F. 2010, „The distribution of close conjugate algebraic numbers", Compos. Math., vol. 146, no. 5, pp. 1165-1179.

2. Bernik V. I. 1983, „Bernik V.I. 1983, „Application of the Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximations", Acta Arith., vol. 42, no. 3, pp. 219-253.", Acta Arith., vol. 42, no. 3, pp. 219-253 (Russian).

3. Bernik V. I. 1989, „The exact order of approximating zero by values of integral polynomials", Acta Arith., vol. 53, no. 1, pp. 17-28 (Russian).

4. Bernik V. I. & Dombrovskii I.R. 1994, „Effective estimates for the measure of sets defined by Diophantine conditions", Trudy Mat. Inst. Steklov., vol. 207, pp. 35-41 (Russian); translation in Proc. Steklov Inst. Math. 1995, vol. 207, no. 6, pp. 35-40.

5. Bernik V., Gotze F. & Kukso O. 2014,"On algebraic points in the plane near smooth curves", Lithuanian Math. Journal, vol. 54, no. 3, pp. 231-251.

6. Bernik V. & Gotze F. 2015, „Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals", Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., vol. 79, no 1, pp. 21-42 (Russian); translation in Izv. Math., 2015, vol. 79, no. 1, pp. 18-39.

7. Budarina N. V. & Götze F. 2013,"Distance between conjugate algebraic numbers in clusters", Translation of Mat. Zametki, vol. 94, no. 5-6, pp. 816- 819.

8. Bugeaud Y. 2002,"Approximation by algebraic integers and Hausdorff dimension", J. London Math. Soc, vol. 65, no. 2, pp. 547-559.

9. Bugeaud Y. 2003, „Mahler's classification of numbers compared with Kosma's", Acta Arith., vol. 110, no. 1, pp. 89-105.

10. Bugeaud Y. 2004, „Approximation by algebraic numbers", Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 160. Cambridge University Press. Cambridge. 274 p.

11. Bugeaud Y. & Mignotte M. 2004, „On the distance between roots of integer polynomials", Proc. Edinb. Math. Soc., vol. 47, no. 3, pp. 553-556.

12. Bugeaud Y. & Mignotte M. 2010, „Polynomials root separation", Int. J. Number Theory, vol. 6, no. 3, pp. 587-602.

13. Davenport H. 1951, „On a principle of Lipschitz", J. London Math. Soc., vol. 26, pp. 179-183.

14. Everst J.-H. 2004, „Distance between the conjugates if an algebraic number", Publ. Math. Debrecen, vol. 65, no. 3-4, pp. 323-340.

15. Gusakova A. G. & Bernik V. I. 2014, „The quantity of algebraic numbers with small derivative of the minimal polynomial in a short intervals", Trudy Inst. Matematiki, vol. 22, no. 2, pp. 18-31.

16. Huxley M. N. 1996, „Area, lattice points, and exponential sums", London Mathematical Society Monographs, New Series, vol. 13, Oxford University Press, New York.

17. Koksma J. F. 1939, „"Uber die Mahlersche Klasseneinteilung der transzendenten Zahlen und die Approximation komplexer Zahlen durch algebraische Zahlen", Mh. Math. Physik., vol. 48, pp. 176-189.

18. Mahler K. 1932, „Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. Teil I, II", J. reine und angew. Math., vol. 166, pp. 118-136, 137-150.

19. Mahler K. 1964, „An inequality for the discriminant of a polynomial", Michigan Math. J., vol. 11, pp. 257-262.

20. Schmidt W. 1970, „T-numbers do exist", Symposia Mathematica, IV (INDAM, Rome, 1968/ 1969), pp. 3-26.

21. Schmidt W. M. 1980, „Diophantine approximation", Lecture Notes in Math., 785, Springer, Berlin, x+299 p.

22. Sprindzhuk V. G. 1967, „Problema Malera v metricheskoy toerii chisel" (Russian) [Mahlers's problem in metric number theory], Minsk: Nauka i tehnika, 184 pp.

Институт математики НАН Беларуси.

Получено 20.12.2015 г.

Принято в печать 11.03.2016 г.