Показатели эффективности функционирования системы массового обслуживания с неординарным входным потоком заявок в нестационарном режиме работы

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Прикладная математика. Информатика

УДК 629.7.519.2

ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОРДИНАРНЫМ ВХОДНЫМ ПОТОКОМ ЗАЯВОК В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ РАБОТЫ

В.Б. МОНСИК, А.А. СКРЫННИКОВ, А.Ю. ФЕДОТОВ Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым В.Л.

Проведен анализ функционирования многоканальной системы массового обслуживания одиночных и парных заявок. Получены расчетные формулы для показателей эффективности функционировании системы массового обслуживания одиночных и парных заявок для произвольного момента времени.

Ключевые слова: теория массового обслуживания, неординарный поток заявок, нестационарный режим, эффективность функционирования.

В последние десятилетия теория массового обслуживания (ТМО) перешла из разряда составных частей теории вероятностей в самостоятельную науку. В первую очередь это обусловлено важностью решаемых с ее помощью практических задач в различных сферах человеческой деятельности. Примерами могут служить задачи анализа функционирования аэродрома, систем эксплуатации и ремонта авиационной и иной техники, предприятий промышленности, систем управления запасами и т.д. [1-4]. Однако одно из основных допущений ТМО о том, что потоки заявок, поступающих в систему массового обслуживания (СМО), должны быть пуассоновски-ми, не позволяет использовать имеющиеся модели для систем с неординарными входными потоками, необходимость исследования которых диктует практика. Примерами неординарных входных потоков могут быть: поток пассажиров в маршрутное такси (пассажиры могут ехать по одному, группами - семья, компания), поток автоколонн, выполняющих рейсы в составе одной, двух и более автомашин, поток самолетов, выполняющих задание в составе пары, звена, эскадрильи.

Рассмотрим (рис. 1) функционирование и-канальной системы массового обслуживания. В случайные моменты времени в нее поступают групповые заявки, максимальный состав группы равен к. Время между поступлениями групповых заявок одного состава распределено по показательному закону:

/і () = 1ге~1, 1 = 1 к.

Если в момент поступления очередной групповой заявки имеется достаточное число свободных каналов, то групповая заявка принимается на обслуживание. Принципиальное отличие рассматриваемой СМО с групповым обслуживанием от уже изученных в том, что все заявки группы обслуживаются одновременно и по окончании об-

служивания одновременно покидают систему. Обслуживание заявки состава / длится в течение случайного времени Т с математическим ожиданием ^ :

x (t) = me~mit •

i = 1, k.

Если все каналы заняты или их число меньше размера группы, то групповая заявка покидает систему необслуженной. Таким образом, исследуемая СМО есть СМО с отказами. Получим формулы для расчета вероятностных характеристик ее функционирования.

Рассмотрим для примера простейший случай, когда на вход двухканальной системы поступают только одиночные и парные заявки. Размеченный граф состояний Sl}. (l - число обслуживаемых парных заявок; j - число обслуживаемых одиночных заявок) для двухканальной системы представлен на рис. 1.

Состояния рассматриваемой двухканальной системы включают:

500 - все каналы свободны, ни одна заявка не обслуживается;

501 - занят один канал, обслуживается одна одиночная заявка;

502 - занято два канала, обслуживаются две одиночные заявки;

S10 - занято два канала, обслуживается одна парная заявка.

Система дифференциальных уравнений, описывающих распределение вероятностей состояний, имеет вид:

^=mPo1 (t)+m2 Р10 (t)— Р00 (t ) (Л +1),

Ф01

dt dp 02 (t) dt

1p00 (t) + 2mp02 (t) p01 (t )(m1 + 1 ) ,

= 1p01 (t) — 2Ap02 (t) ,

d)]dp(' ) = 1 p00 (t)—m2 pW (t) •

Уравнения интегрируются при следующих начальных условиях:

t = 0 p00 ( 0)= 1 p01 ( 0 ) = 0, p02 ( 0) = 0, pW ( 0)= 0.

Численное решение системы (1) при 1=1 = m=m2 = 1 представлено на рис. 2.

По графикам, представленным на рис. 2, видно, что примерно через 4 -5 единиц времени наступает стационарный режим функционирования системы. В ряде случаев есть необходимость оценить эффективность функционирования СМО в нестационарном режиме.

Получим расчетные формулы для определения вероятностных характеристик функционирования СМО для произвольного момента времени.

Вероятность отказа в обслуживании

групповой заявки со случайным составом группы определяется из следующих соображений. Отказ в обслуживании возможен в двух случаях: во-первых, если заняты все каналы обслуживания и поступает одиночная или парная заявка; во-вторых, если свободен только один канал обслуживания и поступает парная заявка.

Вероятность занятости всех каналов

Р2Ц) = Ро2(*) + Ао(* ^

а вероятность того, что останется свободным только один из них

) = РоїО).

1

Учитывая, что вероятность поступления в систему именно парной заявки равна

для

вероятности отказа в обслуживании получаем Ротк (t) = (Po2(t) + Pl0(t)) +

1 +1

Pl0(t) = P2(t) +

І2

-P(t).

1 + 12

Соответственно вероятность обслуживания равна

Робс ) = 1 - Ротк ).

На рис. 3 приведены результаты расчета вероятностей отказа ротк (V) и обслуживания робс (V) при тех же параметрах СМО.

Абсолютная пропускная способность системы Q(t) (для примера с маршрутным такси - число обслуживаемых пассажиров в единицу времени) будет определяться абсолютными пропускными способностями обслуживания одиночных заявок 1обс1 (V) и парных заявок 1обс2 (V) , где

h(>)=4(i - P(t)). 1

/^(t) = 21,(1 - P,(t) - p(t)).}

Множитель в формуле для 1o6c2

определяется числом обслуживаемых пассажиров при поступлении одной парной заявки.

Тогда

0(1) = 1(1 - P2(t)) + 21(1 - P,(t) - Pi(t)). Результаты расчетов приведены на рис. 4.

Среднее число каналов. занятых обслуживанием. определяется следующим образом. Пусть X1. X1 - случайные числа обслуживаемых соответственно одиночных и парных заявок в

момент t. Мгновенные интенсивности потоков обслуживаемых пассажиров будут равны /11Х1

и 2m2Х2. Среднее число обслуженных пассажиров в единицу времени равно:

Рис. 4. Абсолютная пропускная способность системы

іобсі (1)=м [тХї ()]=тм [ х (г)]=тт ($), 1

1бс2(0 = м [2т ^2(0] = 2тм [ ^2(0] = 2т1т1(і),\

Рис. 5. Среднее число каналов, занятых обслуживанием

Рис. 6. Вероятность занятости наугад взятого канала

где да1( 1) и т2(1) - среднее число обслуживаемых одиночных и парных заявок.

Тогда на основании (2) и (3) получаем

т1(г) = аі(1 - р2(1));

т2(1) = а2(1 - Р2( г) - РіШ

где а = —, а2 = —.

т т

Среднее число каналов, занятых обслуживанием, будет равно

т(г) = т1 (г)+2т2 (г) =

= аі(1 - р(г))+2а2(1 - Р( г) - Р(г)).

Вероятность того, что взятый наугад канал занят

т

Рзк() =

Среднее время занятости канала обслуживанием одиночной заявки равно

і

а среднее время занятости обслуживанием парной заявки

і

Тогда среднее время занятости канала равно

1 т-

г л + г ~

з.к.1 з.к.2

1 -г +

2.

1 + Л 1 Л +12

На рис. 5-7 представлены результаты расчета этих показателей эффективности функционирования рассматриваемой двухканальной СМО.

Для эргодического дискретного марковского случайного процесса с непрерывным временем

Рис. 7. Среднее время простоя канала

і

Р„М) =^=

I + I

з.к. п.к.

тогда среднее время простоя канала определяется формулой

Т (¿) = Т 1 - Рзк().

Зк. Р,к.(0

На основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что для расчета вероятностных характеристик СМО до выхода в стационарный режим достаточно знать распределение вероятностей состояний системы. Формулы показателей эффективности для переходного режима сохраняют свой вид и для стационарного режима, единственное отличие в том, что в стационарном режиме показатели не будут зависеть от времени.

Для СМО групповых заявок с произвольным числом каналов показатели эффективности обслуживания одиночных и парных заявок рассчитываются аналогично. Так, для пятиканальной системы размеченный граф состояний будет иметь вид, приведенный на рис. 8.

0

Л

Л

>ос

>01

2

302

Л

3

>03

>10

>11

312

Л

і 1 т а

2т Л

V Л і г

2т

зт

Л

^04

4.

Л

5

>05

і 1 ті і і 2т і і зт і 1

т Л т2 Л т Л т

V Л і г Л і * Л Г

4т

5т

>13

2т

5

>20

>21

т

і

Рис. 8. Размеченный граф состояний пятиканальной системы

Система дифференциальных уравнений Колмогорова будет состоять из 12 уравнений (по числу состояний). Численное решение этой системы уравнений позволяет найти распределение вероятностей состояний и на основании этого рассчитать значения показателей эффективности в любой момент времени.

Заключение

Представленный подход к исследованию СМО неординарного потока заявок позволяет рассчитать показатели эффективности для произвольного момента времени, в том числе в неуста-новившемся режиме работы.

Рассмотренные частные случаи позволяют проиллюстрировать вывод формул для показателей эффективности СМО неординарного потока заявок и обобщить полученные результаты для произвольного числа каналов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. - М.: Изд-во РУДН, 1995.

2. Ганин М.П. Прикладные методы марковских случайных процессов. - Л.: Изд-во ВМА, 1974.

3. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. - М.: Высшая школа, 1982.

4. Монсик В.Б. Статистические основы авиационного вооружения. - М.: ВВИА им. профессора Н.Е. Жуковского, 2003.

INDICATORS OF EFFICIENCY OF FUNCTIONING A QUEUEING SYSTEMS WITH NOT ORDINARY ENTRANCE STREAM OF DEMANDS FOR A NON-STATIONARY

OPERATING MODE

Monsik V.B., Skrynnikov A.A., Fedotov A.U.

The analysis of functioning queuing systems of single and pair demands is carried out. Settlement formulas for indicators of efficiency of functioning queuing systems of single and pair demands for any moment of time are received.

Сведения об авторах

Монсик Владислав Борисович, 1936 г.р., окончил ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1964), кандидат технических наук, профессор ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, автор более 100 научных работ, область научных интересов - теория вероятностей, математическая статистика, вероятностные методы оценки эффективности авиационных комплексов.

Скрынников Андрей Александрович, 1962 г.р., окончил Даугавпилсское ВВАИУ (1984), кандидат технических наук, старший преподаватель ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, автор более 80 научных работ, область научных интересов - вероятностные методы оценки эффективности авиационных комплексов.

Федотов Александр Юрьевич, 1988 г.р., курсант ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, автор 2 научных работ, область научных интересов - теория массового обслуживания.