Управление упругими колебаниями в трехмассовых мехатронных системах

Библиографический список

1. Бартеньев О.В. Visual Fortran: новые возможности: учеб. пособие. М.: Диалог-МИФИ, 1999.

2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975.

3. Значение минеральной плотности и показателей качества костной ткани в обеспечении её прочности при остеопорозе / С.С. Родионова, М.А. Макаров, А.Ф. Колондаев, Н.С. Гав-рюшенко, А.К. Морозов // Вестник травматологии и ортопедии им. Н.Н. Приорова. 2001. № 2. С. 76-80.

4. Исследование напряжённо-деформированного состояния эндопротезированного тазобедренного сустава / Ю.В. Аку-лич, Р.М. Подгаец, В.Л. Скрябин, А.В.Скрябин // Российский журнал биомеханики. 2007. Т. 11. № 4. С. 9-35.

5. Кнетс И.В., Пфафрод Г.О., Саулгозис Ю.Ж. Деформирование и разрушение твёрдых биологических тканей. Рига: Зинатне, 1980.

6. Пыхалов А. А., Высотский А. В. Расчёт сборных роторов турбомашин с применением неголономных контактных связей и метода конечных элементов // Компрессорная техника и пневматика. 2003. № 8. С. 25-33.

7. Пыхалов А. А., Милов А. Е. Контактная задача статического и динамического анализа сборных роторов турбомашин. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2007.

8. Шимкович Д.Г. Ретар & МаБ^ап. Инженерный анализ методом конечных элементов. М.: ДМК Пресс, 2008.

УДК 621.01:534

УПРАВЛЕНИЕ УПРУГИМИ КОЛЕБАНИЯМИ В ТРЕХМАССОВЫХ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМАХ

1 2 А.Ю. Перелыгина , Н.К. Кузнецов

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Приводятся результаты аналитических и численных исследований областей эффективного применения активного способа гашения упругих колебаний в трехмассовых мехатронных системах, основанные на использовании интегральных квадратичных критериев. Ил. 12. Библиогр. 2 назв.

Ключевые слова: трехмассовая мехатронная система; упругие колебания; активный способ гашения колебаний; интегральные оценки колебаний.

CONTROL OF ELASTIC VIBRATIONS IN THREE-MASS MECHANOTRONIC SYSTEMS A.Yu. Perelygina, N.K. Kuznetsov

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The article presents the results of analytical and numerical studies of the areas of efficient use of the active damping method of elastic vibrations in three-mass mechanotronic systems based on the application of integral quadratic criteria. 12 figures. 2 sources.

Key words: three-mass mechanotronic system; elastic vibrations; active vibration damping method; integral estimates of vibrations.

Создание современного мехатронного оборудования, характерной особенностью работы которого являются неустановившиеся режимы движения, приводящие к большим динамическим нагрузкам, подводит к необходимости учета упругой податливости конструкции и разработки методов и средств компенсации колебаний. Перспективным путем решения этой проблемы является использование активного способа компенсации упругих колебаний на основе следящих приводов [1]. В работе [2] на примере электромеханического промышленного робота путем численного моделирования показана высокая эффективность этого способа ограничения колебаний. Нами приводятся результаты аналитических исследований областей эффективного использования данного способа гаше-

ния колебаний в трехмассовых мехатронных систем.

Особенности динамики трехмассовых колебательных систем. Расчетная схема трехмассовой мехатронной системы приведена на рис. 1.

Дифференциальные уравнения движения трех-массовой системы в абсолютных координатах имеют

вид

mnq,+ bnq,+ bi(q,- qi) + . + ci(qqi) = Qn

miqi + bi(qi- q,) + ci(qi - q,) + . + b(qi- q2) + c(qi- q2) = 0 mq2 + b(q2- qi) + c(q2- qi) = 0

1Перелыгина Александра Юрьевна, кандидат технических наук, доцент, тел.: (3952) 405144, e-mail: alexlomova@mail.ru Perelygina Alexandra, Candidate of technical sciences, Associate Professor, tel.: (3952) 405144, e-mail: alexlomova@mail.ru 2Кузнецов Николай Константинович, доктор технических наук, профессор, тел.: (3952) 405146, e-mail: knik@istu.edu Kuznetsov Nikolay, Doctor of technical sciences, Professor, tel.: (3952) 405146, e-mail: knik@istu.edu

Рис. 1. Трехмассовая расчетная схема колебательной системы: д* - обобщенная координата программного движения; дп д2 - обобщенные координаты масс; тп, т1 - соответственно приведенные массы привода и механических передач движения; т - приведенная масса исполнительного механизма; Qn - приведенная движущая сила привода; с1 - приведенный коэффициент жесткости механических передач движения; с - приведенный коэффициент жесткости исполнительного механизма; Ъп,Ъ1,Ъ - коэффициенты вязкого трения

Структурная схема, полученная на основании преобразованных по Лапласу уравнений (1) - (3), приведена на рис. 2.

Исследования динамики трехмассовой мехатрон-ной системы будем проводить для колебательных движений. С этой целью движение разделим на программное, определяемое технологическим процессом, и колебательное, обусловленное упругими деформациями. Следует отметить, что такое разделение оказывается удобным не только в методологическом, но и в вычислительном аспекте при использовании математических моделей. В противном случае колебания механической системы выявляются как малые разности больших значений координат, что требует повышенной точности вычислений. Кроме того, существенно затрудняются упрощения, связанные с представлением о малости упругих колебаний. Тогда обозначим:

упругое отклонение передаточного (масса т1 ) от программного

Лд1 = д1 - д„;

упругое отклонение исполнительного (масса т ) от передаточного

Лд2 = д2 - д1;

абсолютное отклонение исполнительного механизма от программного движения Лд = д2 - д„.

По структурной схеме (рис. 2) найдем передаточную функцию для абсолютного отклонения исполни-

тельного механизма Aq Aq(p) _

W0(p) _

Q0

biP3 + b3p

5 4 3 2

a0p + a1p + a2p + a3p + a4p + a5

механизма движения

механизма механизма

где b1 _ m  m1; b3 _ m  (c + c1) + c  m1; a0 _ mn  m1  m ; a1 _ bn  m  m1;

a2 _ c1  m  (m1 + mn) + c  mn  (m + m1); a3 _ bn  [m  (c + c1) + c  m1] ; a4 _ c1  c  (m + m1 + mn);

a5 _ bn c  c1;

Q0 _ QJmn; p _ d/dt.

Для исследования трехмассовой колебательной системы помимо коэффициентов С _ c/m ; n _ mn/(mn + m) и /_ b/mn , обычно используемых при исследовании двухмассовых колебательных систем, введем частоту колебаний промежуточной массы со! _ c1/m1 и коэффициент соотношения

Рис. 2. Структурная схема трехмассовой системы

масс V = шп/ш

позволяющие учитывать упруго-

инерционные свойства механических передач движения.

Для исполнительных механизмов колебательных систем, описываемых дифференциальными уравнениями четвертого порядка и выше, получение аналитических зависимостей представляет собой довольно трудоемкую задачу. Поэтому исследование алгоритмов управления колебаниями трехмассовой системы осуществим на основе интегральных квадратичных критериев, которые дают комплексную оценку интенсивности колебательных процессов. Недостаток этих критериев, заключающийся в невозможности оценки величины перерегулирования и продолжительности переходных процессов, в данном случае не имеет существенного значения, поскольку речь идет о сравнении эквивалентных в динамическом отношении управляемых систем с близкими спектрами колебаний. Так как изменение одного параметра системы, при прочих равных условиях, не приведет к существенному изменению величины максимальной амплитуды, то интегральная оценка позволит судить о значении декремента колебаний.

Исследования свободных колебаний проведем с помощью интегральных квадратичных оценок упругих колебаний исходной системы

/0 = ] Ад2 ((

Задавая входное воздействие в виде ступенчатого сигнала Qп = 00-1((), и используя табулированные

зависимости квадратичных функционалов от коэффициентов дробно-рациональных функций, на основе (4) получим интегральные квадратичные функционалы исходной системы:

для упругого отклонения передаточного механизма Ад1

Q20 V .

Т Ад1 = 0

2

для упругого отклонения исполнительного механизма Ад2

02

/Ад2 =

п

2^ - п)

для абсолютного отклонения исполнительного механизма Ад

/ Ад = / =

и о и о

п + о_V (1 - п)]

2

2^ ла2() ^(1 -п) Интересно отметить, что выражение (7) полностью совпадает с интегральным квадратичным функционалом двухмассовой колебательной системы , полученным в [2], а зависимость (8) представляет собой сумму (7) и (6). Сопоставим выражение (8) с интегральным квадратичным функционалом двухмассовой колебательной системы. Интегральная оценка трех-массовой системы помимо параметров с0 , п , л

включает в себя частоту колебаний промежуточной массы с1 и коэффициент соотношения массы привода и промежуточной массы V. Согласно выражению

/0 _ с2 п + &2  V

С п

> 1 следует, что ин-

тенсивность упругих колебаний трехмассовой системы выше, чем в двухмассовой. В тоже время интересно отметить, что если передаточный механизм оказывается достаточно жестким с1 — да (с1 — да) и его масса намного превышает массу привода шп << ш1 ( V —> 0 ), интенсивность колебаний трехмассовой системы снижается. Очевидно, что при исследовании динамики мехатронной системы для вышеприведенных соотношений между её параметрами целесообразнее использовать двухмассовую систему. В противном случае необходимо использовать трехмассо-вую колебательную систему, что и было подтверждено.

Проанализируем влияние параметров трехмассовой системы на интенсивность колебаний. Определим функции чувствительности, для этого продифференцируем выражение (8) по каждому из параметров

г = /

Т 0п ~

дп

2^ /и с2 ^(1 - п)2

Т0с0

0

п

дс

т/0с1

О

а/,

0

/ с30 (1 - п) -V.

дс

/С]

= д/0 /0и д/

0о  [С2  V (1 - п) + с1 п]

2 2 Л &„

С2

Т 0м

д/п

02

дv 2^ л С2 Анализ выражений (9) - (13) показывает, что при увеличении собственных частот промежуточной массы с 1 и упругого звена с0, а также коэффициента д

определяющего величину вязкого трения, интенсивность колебаний в системе уменьшается. В тоже время увеличение коэффициента п приводит к увеличению амплитуды колебаний и ухудшению переходного процесса. К изменению коэффициента V система нечувствительна.

Сравним влияние параметров трехмассовой системы (с0,с1 ,п, V) на интенсивность колебаний между собой:

/

0ю„

с\ п

/0

с30  V

1.5

0.5

О О

,0.5

J0

СО,

С0 •

а б

Рис. 3. Влияние частот системы на интенсивность колебаний при:

а -с1 > с0 ; б- с 1 < с0

Используя соотношения (14) и (15), определяем области влияния параметров системы на интенсивность гашения колебаний трехмассовой системы. Согласно выражению (14) и рис. 3 упругие колебания достигают наибольшей интенсивности при высокой парциальной частоте колебаний исполнительного механизма с0 и низкой частоте колебаний промежуточной массы с1 .

При равенстве частот

зависит от параметров п и V

Наибольшее влияние на интенсивность колебаний трехмассовой системы оказывает частота колебаний с1 в случае выполнения неравенства V < п/( 1 - п) . При этом в области реальных значений параметров п(п > 0,8) и V (V < 1) интенсивность колебаний наименьшая. В противном случае, то есть при выполнении неравенства с1 > с0 , колебания системы менее интенсивны.

Анализ выражения (15) и рис. 4 показал, что коэффициент п оказывает наибольшее влияние на интенсивность упругих колебаний системы в области низких частот с1 и высоких с0 ( с1 < с0 ), а коэффициент соотношения промежуточной массы и массы привода V оказывает большее влияние при условии с1 > с0 , причем наименьшая интенсивность колебаний наблюдается при соблюдении соотношения между парциальными частотами с1 < 0,2 с0 и в области минимальных значений параметра п(п < 0,2).

Рис. 4. Влияние коэффициентов п и V системы на интенсивность колебаний

В качестве подтверждения вышесказанного на рис. 5 приведены переходные характеристики упругих колебаний исполнительного механизма, полученные с помощью численного моделирования в среде МАТЬАВ/81ти!1пк. На рис. 5, а представлены переходные процессы при следующих параметрах: п = 0,2; V = 2 ; /и = 0,2 . Сплошной линией даны упругие колебания системы при с0 > с1

( с0 = 15Гц; с1 = 8Гц ), а штриховой - при с0 <с1 (с0 = 8Гц; с1 = 15Гц ).

На рис. 5, б приведены графики упругих колебаний при постоянных частотах колебаний с0 = 15Гц; с1 = 8Гц ; / = 0,2 и различных коэффициентах соотношения масс л и V (сплошная

Рис. 5. Графики упругих колебаний

линия - при п = 0,2 ; V = 2 ; штриховая - при п = 0,9 ; V = 0,6 ). Исследования показали, что в зависимости от соотношений между частотами с0 и с1 , и коэффициентами п^ и л колебания

могут как усиливаться, так и затухать, в отдельных случаях наблюдаются режимы динамического гашения.

Синтез алгоритмов активного гашения упругих колебаний. В отличие от двухмассовой в трех-массовой мехатронной системе возможны два варианта реализации активного способа гашения упругих колебаний. Во-первых, для гашения колебаний исполнительного механизма возможно использование приводов программных движений с организацией соответствующих цепей управления. Во-вторых, в трех-массовой системе появляется возможность компенсации колебаний с помощью дополнительных приводов, воздействующих на промежуточную массу. И, наконец, возможны три варианта формирования компенсирующих воздействий: по упругому отклонению промежуточной массы Ад1; по упругому отклонению исполнительного механизма Ад2; по абсолютному отклонению исполнительного механизма Ад . Блок-схема формирования компенсирующих воздействий трех-массовой мехатронной системы показана на рис.6.

На первом этапе для оценки предельных возможностей методов активной компенсации колебаний

привод представим в виде "идеального" усилительного звена с передаточной функцией

Ккт

где кв,ку,кЛ - коэффициенты "усиления", пропорциональные соответственно упругому отклонению, его скорости и ускорению.

Оценки (8) определялись с помощью передаточной функции для абсолютного отклонения исполнительного механизма Ад

Щр)-

Ад

Ь1р + Ь3р

5 4 3 2 а0р + а1р + а2р + азр + а4р+а5 + ™аш

где 00 = 0п/шп

^акт /'

ш,.

Ь = 1;

Ь3 =с2 +с2  [1 + V (п- -1)];

а0 = 1;

а1 = л

12 = с 1

а2 = с2 ^(1 + v 1) + с20  [1 + V (п 1 - 1)]

а3 = л  +с02  [1 + V (п 1 -1)]};

и,

Рис. 6. Блок-схема компенсации колебаний трехмассовой мехатронной системы: УМ - усилитель мощности; ЭД - электродвигатель; 0н - полезная нагрузка

а4 = со1

с0

со;

(у'1 + п-1);

/л; р = .

При использовании интегральных квадратичных критериев эффективность гашения колебаний может быть выражена через отношение

к = I-3 0

где 3 =^Д2((_ интегральные квадратичные

о

оценки упругих колебаний системы с обратной связью

(Дц).

С помощью квадратичных критериев (18) определены условия эффективного гашения колебаний исполнительного механизма на основе использования приводов программных движений и дополнительных приводов при различных вариантах цепей управления. Определены параметры компенсирующих воздействий, обеспечивающих наиболее эффективное гашение упругих колебаний с учетом ограничений, накладываемых условиями устойчивости. Как показал анализ, их эффективность существенным образом зависит от соотношений между частотами с0 и с1, параметрами У,п и /.

Показано, что для гашения колебаний трехмассо-вой системы с помощью приводов программных движений и дополнительных приводов наиболее эффективным оказывается компенсирующее воздействие, формируемое по абсолютному отклонению исполнительного механизма Дд и его производным. При определенном соотношении параметров системы эффективнее может оказаться управление приводами по упругим отклонениям промежуточной массы Дц1 и исполнительного механизма Дц2.

На рис. 7 приведены области эффективного использования приводов программных движений, полученные на основе оценок (18). На рис. 8 показаны соответствующие графики упругих колебаний исполнительного механизма. Переходные процессы были получены при следующих параметрах: п = 0,2; V = 2; с1 = 15Гц ; со0 = 8Гц ; / = 0,3 . Сплошной линией обозначены упругие колебания без компенсирующего воздействия, а штриховой - с компенсирующим воздействием по абсолютному отклонению исполнительного механизма. Аналогичные графики, иллюстрирующие эффективность применения дополнительных приводов, показаны на рис. 9 и 10. Графики упругих колебаний построены для параметров системы:

п = 0,8;

V = 0,6 ;

со1 = 8 Гц ; с0 = 15Гц ;

/ = 0,3.

Рис. 7. Области эффективного использования приводов программных движений

Рис. 8. Графики упругих колебаний исполнительного механизма

Установлено, что использование привода программного движения для гашения колебаний (см. рис. 7) наиболее эффективно при больших значениях частоты колебаний со1 промежуточной массы (с1 > с0) и малых значениях коэффициента п. Изменение же коэффициента V в пределах возможных значений незначительно сказывается на эффективности гашения колебаний.

Рис. 9. Области эффективности

При этом декремент колебаний (см. рис. 8) увеличивается с 50 = 0,21 для исходной системы до

51 = 0,69 для системы с компенсирующим воздей-

2

а5= со1

ствием. Введение компенсирующего воздействия позволило сократить длительность переходных процессов с 1,5 до 0,7, (0,9) соответственно.

Как следует из рис. 9, применение дополнительных приводов, воздействующих на промежуточную массу, для компенсации колебаний эффективно при соотношении частот с1 < с0 и достаточно больших значениях коэффициента п (п > 0,4). При этом дек-

ремент колебаний увеличивается

д0 = 0,21 до 82 = 0,39 .

(рис. 10) с

Рис. 10. Графики колебаний

На рис. 11 приведены области эффективного гашения колебаний с помощью привода программного движения и дополнительного привода при управлении ими по абсолютному отклонению исполнительного механизма. Как видно из рисунка, использование первого привода эффективно при соотношении частот с1 > с0 (рис. 11,а), а второго - при соотношении

со1 < с0 (рис. 11,6).

Как следует из рис. 8, 10 компенсирующая обратная связь позволяет значительно снизить амплитуду и продолжительность упругих колебаний. Проведенные исследования подтвердили результаты аналитических расчетов и показали высокую эффективность использования предлагаемых цепей обратных связей для гашения упругих колебаний в трехмассовой системе.

При реализации рассмотренных компенсирующих обратных связей с помощью активных исполнительных элементов необходимо учесть в расчетной моде-

ли системы динамическую характеристику привода. Представим последнюю в виде

где Ьп = Qn /я*0^п - движущая сила (момент) ненагруженного привода; я*0 - скорость холостого хода; Qn - текущее значение движущей силы (момента) привода; т - постоянная времени привода.

Передаточная функция при отсутствии обратных

связей

Щ

ДД0

Ь]Р + Ь3р

6 5 4 3 2 а0р + а^р + а2р + а3р + а4р + а5р + а0 + ™акг

где Ь1 = 1 ;

Ь3 =&2 + со0  [ 1 + V (п- -1)];

а0 = т; а1 = 1 + /и  т;

а2 = / + /п + т  {с1(1 + ) + + ^[1 + V (п 1 -1)]}; а3 =С(1 + ) + &02  [1 + v (п- -1)] + + т  / {С +  [1 + V (п - -1)]}

а4 = С/ + /„){&] + + v (п1 -1)]} + ;

+ Т а0)

а5 = С с2  [(V- + п) + т  /]; а6 =с а2 С / + /п);

ип = Ьп/тп>'& = /тп

При сравнении передаточных функций трехмассо-вой системы без учета (17) и с учетом динамических характеристик привода (20) можно сделать следующие выводы. Степень характеристического полинома выражения (20) повышается, поэтому определение квадратичного функционала представляет собой достаточно трудоемкую задачу. В результате математи-

а) со1 > со0 б) а1 < со0

Рис. 11. Области эффективного гашения колебаний

ческих операций даже для системы без учета обратных связей получена довольно большая зависимость, анализ которой затруднителен.

Для исследования эффективности обратных связей, вводимых для компенсации колебаний трехмас-совой системы, с учётом динамической характеристики привода воспользуемся программной системой MATLAB 7,0. Это многофункциональная интегрированная система автоматизации математических и на-

лютному отклонению исполнительного механизма.

Результаты моделирования с учетом предельных коэффициентов усиления показали, что увеличение постоянной времени т снижает эффективность предлагаемых вариантов компенсации упругих колебаний трехмассовой системы, а также приводит к снижению амплитуды колебаний и к увеличению продолжительности переходного процесса. На рис. 12 приведены переходные характеристики при различных значениях

Рис. 12. Графики упругих колебаний трехмассовой системы в зависимости от постоянной времени:

81 = 0,75; 52 = 0,43; 53 = 0,24

учно-технических расчетов. На вход модели подавалось воздействие в виде ступенчатого сигнала Рп =Ро1^). На выходе модели формировался сигнал, соответствующий суммарным упругим колебаниям исполнительного механизма Ад = Ад1 + Ад2 . Проанализируем влияние постоянной времени привода т на переходный процесс трехмассовой колебательной системы с компенсирующей обратной связью по абсо-

постоянной времени.

Как следует из рис. 12 компенсирующая обратная связь позволяет значительно снизить амплитуду и продолжительность упругих колебаний. Проведенные исследования подтвердили результаты аналитических расчетов и показали высокую эффективность использования предлагаемых цепей обратных связей для гашения упругих колебаний в трехмассовой системе.

Библиографический список

2. Кузнецов Н. К., Перелыгина А.Ю. Исследование эффективности управления колебаниями на основе трехмассовой расчетной схемы // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2008. №1. С. 85-92.

2. Кузнецов Н. К., Перелыгина А.Ю. Идентификация параметров и моделирование динамики трехмассовой мехатрон-ной системы // Вестник ИрГТУ. Иркутск, 2010. №3 (43). С. 6-12.