Дополнения к точным неравенствам типа Джексона и Ландау-Колмогорова для малых производных

УДК 517.5

О. Л. Виноградов, В. В. Жук

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 4

ДОПОЛНЕНИЯ К ТОЧНЫМ НЕРАВЕНСТВАМ ТИПА ДЖЕКСОНА И ЛАНДАУ—КОЛМОГОРОВА ДЛЯ МАЛЫХ ПРОИЗВОДНЫХ*

§ 1. Введение

Оценки приближений функции посредством модулей непрерывности и ее производных в теории приближений принято называть неравенствами типа Джексона, оценки посредством норм (полунорм) производных — неравенствами типа Ахиезера—Крейна— Фавара, а оценки нормы (полунормы) производной посредством норм (полунорм) самой функции и старших производных — неравенствами типа Колмогорова (Ландау—Колмогорова).

В.В.Жук [1, гл.4, 8], используя введенное им понятие модуля непрерывности относительно наилучшего приближения, получил соотношения, которые предшествуют точным неравенствам типа Колмогорова, Джексона и Ахиезера—Крейна—Фавара и содержат перечисленные неравенства в качестве следствий.

В данной работе для производных невысоких порядков эти соотношения усиливаются за счет перехода к более тонким характеристикам функции, которые мажорируются модулями непрерывности. При этом результаты верны для наилучших приближений не только тригонометрическими многочленами, но и сплайнами, а также для произвольного шага модуля непрерывности.

В дальнейшем М, Z, Z+, N — множества вещественных, целых, неотрицательных целых, натуральных чисел соответственно; С — вещественное или комплексное пространство 2^-периодических непрерывных функций с равномерной нормой \\/1| = \\/\\О, если г € ; то С (г) — множество г раз непрерывно дифференцируемых функций из С; если 1 ^ р < ж, то \\f \\р = (\/ р1/р. Будем говорить, что полунорма Р, заданная на С, принадлежит классу А°, если существует такая постоянная М, что Р(/) ^ М\\/\\ для всех / € С; полунорма Р из А° принадлежит классу А, если для любых / € С и Н € М будет Р(/(• + Н)) = Р(/). Центральные разности, модули непрерывности и функции Стеклова функции / определяются равенствами

Ш х) = / {х + ц-ы), иг(/, Ъ)р = п8пр Р(<5[(/)),

1 Гн/2

Н=0

1 гк/2

= /(ж+ 4) А, =

Н 1 -к/2

'Пгз{},п)р= эир ---, шгз{},1г)р= эир

0<Кк ь 0<Кк

ОО , + 2 з

К-г = 7 Ш+Тг+Г' Напомним, что К.\ = К.2 = ^з = щ- Символ ^ понимается п 1=0 ( ) как 0, а символ 0 • оо — как оо.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №02-01-01112) и Совета по грантам президента РФ для поддержки молодых ученых и ведущих научных школ (проект НШ-2266.2003.1) © О.Л.Виноградов, В. В. Жук, 2003

Через 72n-i обозначается множество тригонометрических многочленов порядка не выше n — 1, а через Sn,^ — множество 2^-периодических сплайнов порядка ц G Z+ дефекта 1 по равномерному разбиению (к G Z). Другими словами, при ¡л G N

это множество функций из являющихся на каждом интервале

алгебраическими многочленами степени не выше ¡, а при ¡л = 0 — множество функций, постоянных на каждом таком интервале. Множество сплайнов из S2n,M, для ко-

2n-1

торых (—l)k(3k = 0, где (3/. — скачок ц-ъ производной сплайна в узле —, обозна-

k=o n

чим через S2n Далее, E(f, N)p = inf P(f — T) — наилучшее приближение функции f элементами множества N по полунорме P. Индекс p у наилучшего приближения, модуля непрерывности и т.п. означает, что P(f) = \\f||р, а отсутствие индекса — что P(f) = \\f \\. Вместо E(f, T2n-i)p, E(f,S2n)p, E(f,S%n^)p пишем соответственно En(f)p, En,^(f)p, E£^(f)p; по определению полагаем En,-i(f)p и E^-1(f)p равными P(f). Ясно, что если полунорма P G A (соответственно A°), то En(-)p G A (соответственно A°). Наилучшие приближения сплайнами En^(-)p и E2^(-)p принадлежат классу A°, но не обязательно A, даже если исходная полунорма P принадлежит A. Чтобы обеспечить инвариантность относительно сдвига, введем полунормы

sn(f )p = sup En(f ( + t))p, Zn,v (f )p = sup En^(f ( + t))p,

teK teK

S2Jf )p = sup E2M(f { + t))p,

teK

принадлежащие классу A для любой полунормы P из A°. В.В.Жук [2, 3] доказал следующую теорему. Теорема А. Пусть n G N, f G C(1). Тогда

En(f') < max.

En(f') < max

En (f") < max

32

3n ~2тг

(L-

n )en w2 vj ' n )en

1/3

3n

16

, —^2 (/, l)E

(f G C(2)).

Из (1) при f G C(2) следует неравенство

Еп (Л < . 2

из которого, в свою очередь, вытекают классические точные неравенства

Еп(/') < (2Еп(/")ЕМ))1/2,

ЕМ) < (/, , ЕМ) < Еп(/')•

4п \ и/ 2п

2

2

Дальнейшее развитие теорема 1 получила в [1, гл.4, 8]. О.Л.Виноградов и В. В. Жук [4] получили ряд точных соотношений типа (2) для шага модуля непрерывности, отличного от Наконец, в [5] авторы установили для полунорм соотношения весьма общего характера. Помимо известных ранее результатов для приближений тригонометрическими многочленами эти соотношения, в частности, содержали результаты для приближений сплайнами.

В настоящей работе мы устанавливаем утверждения типа теоремы А для различных полунорм (как инвариантных, так и не инвариантных относительно сдвига). Оценки ведутся не сразу через модули непрерывности функции и ее производных, а через величины Пга и ^гв, мажорируемые модулями непрерывности.

Нам понадобятся следующие известные факты.

Лемма Б. Пусть Р € Л°, функция К непрерывна на М х [а, Ь], К(х,Ь) = К(х+ 2п,Ь) для всех (х, Ь) € М х [а, Ь]. Тогда

Р

К(-,ь) А\ < / Р(К(,ь)) ¿ь.

Лемма Б в данной формулировке (для полунорм из Л°) доказана в [5]. Для полунорм из Л она доказана также в [1, с. 58], но инвариантность относительно сдвига в доказательстве не используется.

Лемма В (неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара между наилучшими приближениями тригонометрическими многочленами) Пусть Р € Л, п,г € N / € С(г). Тогда

Еп(!)р < %еп(!{г])р

пг

Лемма В в такой формулировке содержится в [1, с. 185]; там же см. историю вопроса. Лемма Г (неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара между наилучшими приближениями сплайнами). Пусть п,г € М, ц € , ^ ^ г — 1, 1 ^ р ^ ж, / € С(г). Тогда

Если ^ ^ г, то Е может быть заменено на Ех.

Лемма Г для ЕП}^ при р =1, ж содержится в [6, с. 221-225, 246] (там же см. историю вопроса); в общем случае — в [5].

§ 2. Общие леммы

Лемма 1. Пусть Л, В ^ 0, т, П > 0. Тогда

пе(0,н]

Ли +

В

и

пе(0,н]

^ тах В

< ¡(т + ^^АВ, т п/ т

если В ^ т2 Л, если В т2 Л

В

+ + если V [АЬ2 + %, если

<

< тах

В < 2т3Л, В > 2т3 Л В

<

ь

ь

е

Доказательство леммы 1 очевидно.

Лемма 2. Пусть Р — полунорма, заданная на С, Н > 0, I € С(1). Тогда

Р

ие(о,н] \ и у

рст ы +

и£

Р

ие(0,н] \ и2 у

Доказательство. При любом и € (0, Л.] имеем

Р(I') < Р(I' - Би1(/'))+ Р(Би1(/')) =

= и--1--< иг](/ ,п)р~\--,

и и и

откуда и следует неравенство (3). Неравенства (4) и (5) получаются тем же приемом, только при доказательстве (5) надо прибавить и отнять функцию Би2(1"). Лемма 3. 1. Если Р € А°, Н> 0, I € С, то

2,. Если Р € А°, Н > 0, I € С(1), то

и21(1, Н)р < ш1(1', 2Н)р, и22(1, Н)р < ши (I', 2Н)р. 3. Если Р € А, Н > 0, I € С(1), то

Ш21 (I, Н)р < ', Н)р.

Доказательство. Для доказательства неравенства (6) запишем

1 Г1/2

1 Г'2

Пользуясь леммой Б, находим

Деля на Ь и переходя к верхним граням по Ь € (0, П], получаем (6).

Остальные неравенства доказываются аналогично. При этом используются равенства

/• «/2 /• 4/2

б2(/) = ^21и(/') ¿и, 62 (/) = 31(/',  + и) ¿и.

J-tl2 -]-г/2

1-г/2 -)-4/2

В последнем случае после применения леммы Б используется инвариантность полунормы Р относительно сдвига.

Замечание 1. Если Р € Л, то величины 24^12 (/, П)р, Ш22(/,П)р и шц(/',П)р не зависят от П и равны между собой. Если / € С(2), то они равны Р(/") [7, с. 93, 99].

§ 3. Неравенства для наилучших приближений тригонометрическими многочленами и сплайнами

Последовательным примением леммы 2 и леммы 1 можно получить различные оценки для полунорм, содержащие в правой части величины Затем с помощью леммы 3 можно получить оценки через непосредственно связанные с разностями величины шгв и шг.

Мы установим неравенства для наилучших приближений тригонометрическими многочленами и сплайнами. В лемме 1 имеется свобода выбора параметра т; мы положим г = Этот выбор мотивирован значениями постоянных в неравенствах типа Ахиезера—Крейна—Фавара и оказывается наилучшим во всех случаях, когда нам вообще известен наилучший выбор.

Теорема 1. Пусть Р — полунорма в С, п € М, П> 0, / € С(1). Тогда

Еп(Г)Р < тах | + ^ (т1(Л И,)Еп{.)рШ1(/, к)Еп{,)р)1'2 ,

— (тн/ ,п)Еп(.)Ри1(1,ь)Еп(.)Р) +-^-1 •

Если ¡л +1 € то Еп можно заменить на Еп,м или Е* . Следствие 1. Пусть Р € Л°, п € М, П> 0, / € С(1). Тогда

тах<; + ^ 41/2

п пП) \ 8

1/2

7Г ^ 8 у к

1/2

-§-; '

пН

(в (7) и (8) I € С(2)). Если / +1 € , то Еп можно заменить на Епили Е*а

^п на ^п,^ или .

Напомним в связи со следствием 1 и дальнейшими следствиями, что если Р € А, то ±п(-)р = Еп (-)р .

Следствие 2 [4, 5].

Пусть Р € А, и € N Н> 0, I € С(2).

Тогда

Т? ^

Доказательство. В силу леммы В

Извлекая корень из этого неравенства, получаем, что вторая величина под знаком максимума в правой части неравенства 8 не превосходит первой.

Следствие 3. Пусть 1 < р < то, и € М, / — 1 € Z+, Н> 0, I € С(2). Тогда

ЕпАПр <

Если / — 2 € то Еп^ можно заменить на Е*

Следствие 3 вытекает из неравенства (8) и леммы Г (при г = 2). Теорема 2. Пусть Р — полунорма в С, п € М, Н> 0, I € С(1). Тогда

^«-{(Нт)'^)«

X (2П12 ^Н)Еп()рш2(I, Н)Еп(-)р)1/3 , 1 (О (Р и\ 2, г ,ч и/3 , 1г)Еп( )Р \

2\~) ^А! ' Ь)еп( )р^ 1 С/, >0в„(-)р) +-1- ? '

Если / +1 € то Еп можно заменить на Еп^ или Е* Следствие 4. Пусть Р € А°,

и € М, Н> 0, I € С(1). Тогда

' 1 / пЬА 7Г

х ^22 у/3

2 V 7Г у ^ 12 у Н

2

х ^^ПСГ.^СОр^С/. 41/3

12

1 /пк\2 /с^п(Г, К)Еп{.)рш1(/, 1г)Еп{.)р\1/3

2 \ тг У ^ 12 у к

П.М 12 у + Г } <9>

(в (9) / € С(3)). Если ц +1 € Z+, то Е„ можно заменить на Еп, м или Е* а —

на ^и,^ или ^п,^ .

Следствие 5 [5]. Пусть Р € Л, п € М, П> 0, / € С(3). Тогда

Следствие 5 вытекает из неравенства (9) и леммы В (при г = 3). Следствие 6. Пусть 1 < р < ж, п € М, ц — 2 € Z+, П> 0, / € С(3). Тогда

Если ¡л — 3 € Z+, то 2и,м можно заменить на

Следствие 6 вытекает из неравенства (9) и леммы Г (при г = 3). Теорема 3. Пусть Р € , п € М, П> 0, / € С(2). Тогда

ЕП(Г)Р< тах{(^ + 1Ш2) ><

х (2^21 (/" ,П)ЕЛ.)Р Ш2(/, Ь)ЕЛ.)р )1/3 ,

пН (о 1 1-е" I* , Ь-)Еп( )р I

— (2г]21{/ ,Н)Еп(.)рш2(/,Н)Еп(.)р) +--2-

Если ¡л +1 € Z+, то Еи можно заменить на Еи,^ или Е*

Следствие 7. Пусть Р € А°, и € М, Н> 0, I € С(2). Тогда

("Ш", Ь)Еп(-)Ри2(/, Ь)Еп(-Ъ 4 1/3

18

иН

18 Н2

4 Ш2)*

пН (ш1{/'",к)3п{.)рш2{/, ь)3п{.)р\ 1/3 ш2{/, н)3п{,)р и V 18 К2

*</">'<-«{ (т + 5 £)') »

18

7Г V 18 ) К2 I

(в (10) и (11) I € С(3)). Если / + 1 € , то Еп можно заменить на Епили Е*¡, а

^п на ^п,^ или ^п,¡1 .

Следствие 8. Пусть Р € А,

и € М, Н> 0, I € С(3). Тогда пН 1 / (и1(Г",Ь)Еп{.)рШ2(/,К)Еп{.)р^ 1/3

Еп(1")р < — + . , , ,

и ' 1 7Г 2 \п}г) ) \ 18

Следствие 8 вытекает из неравенства (11) и леммы В (при г = 3). Следствие 9. Пусть 1 < р < то, и € М, / — 2 € Z+, Н> 0, I € С. Тогда

18

Если / — 3 € Z+, то можно заменить на ^П

Следствие 9 вытекает из неравенства (11) и леммы Г (при г = 3). Замечание 2. Можно увеличить правые части неравенств этого параграфа, заменив модули непрерывности относительно наилучших приближений на модули непрерывности относительно исходной полунормы.

п

Замечание 3. Отметим случаи, когда нам известна точность полученных неравенств.

При Р($) = ||/||р, р = 1,оо, к = ^ точными являются все неравенства, так как точными являются вытекающие из них неравенства лемм В и Г.

При Р(/) = ||/||, Н = а — нечетное натуральное число, ¡л € N точными являются неравенства теоремы 1 и следствий 1-3, так как точны вытекающие из них неравенства

При а ^ 3 эти неравенства и их точность установлены в [4] и [8]. Summary

Vinogradov O.L., Zhuk V. V. Addition to sharp inequalities of Jackson and Landau— Kolmogorov type for derivatives of a small order.

Some inequalities for seminorms are established. These inequalities imply classical sharp inequalities of Jackson and Landau—Kolmogorov for best approximations by trigonometrical polynomials and periodical splines.

Литература

1. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л., 1982.

2. Жук В. В. Некоторые точные неравенства между равномерными наилучшими приближениями периодических функций // Доклады АН СССР. 1971. Т. 201. № 2. С. 263-265.

3. Жук В. В. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями периодических функций // Известия высших учебных заведений. Математика. 1973. Т. 136. № 19. С. 18-26.

4. Виноградов О. Л., Жук В. В. Точные неравенства, связанные с оценками приближений периодических функций посредством модулей непрерывности их нечетных производных с различным шагом // Проблемы математического анализа. 1999. Вып. 19. С. 69-88.

5. Виноградов О. Л., Жук В. В. Точные неравенства типа Колмогорова для модулей непрерывности и наилучших приближений тригонометрическими многочленами и сплайнами // Записки научных семинаров ПОМИ. 2002. Т. 290. С. 5-26.

6. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М., 1987.

7. Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование. СПб.,

8. Виноградов О. Л., Жук В. В. Точные оценки отклонений линейных методов приближения периодических функций посредством линейных комбинаций модулей непрерывности различных порядков // Проблемы математического анализа. 2003. Вып. 25. С. 57-98.

Статья поступила в редакцию 3 декабря 2002 г.

1995.