О задаче идентификации функции источника для уравнения типа Бюргерса

УДК 517.9

О задаче идентификации функции источника для уравнения типа Бюргерса

Юрий Я. Белов* Кирилл В. Коршун

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 29.03.2012, окончательный вариант 14.05.2012, принята к печати 13.08.2012 Рассмотрена задача идентификации функции источника для уравнения типа Бюргерса. Данная задача исследована в случае данных Коши и первой краевой задачи. Получены условия на входные данные, гарантирующие однозначную 'разрешимость указанных задач в классах гладких ограниченных функций.

Ключевые слова: обратная задача, уравнение Бюргерса, краевая задача, аппроксимация.

1. Задача Коши

Задача Коши

du

dt + dx 2 ^ dx2 ’

u

исследовалась И.Бюргерсом [1], Э.Хопфом [2], И.Коулом [3]. Эта задача широко известна в теории турбулентности. Само уравнение (1) часто называют уравнением Бюргерса [4].

В работе [5] изучены задачи определения неизвестных коэффициентов для уравнений типа Хопфа в случае данных Коши, когда входные данные допускают преобразование Фурье по пространственной переменной. В настоящей работе исследуется задача определения функции источника в случаях задачи Коши и первой краевой задачи в классах гладких функций. Методы решения различных обратных задач математической физики см. в [6,7]. В полосе П[о,т] = {(t,x)|0 ^ t ^ T, —то < x < то} рассмотрим уравнение типа Бюргерса

ut

где A(t), B(t), C(t), f (t, x) — заданные функции, с данными Коши

u

Функции u(t,x),g(t) неизвестны. Считаем, что выполнены условие переопределения

u

и условие согласования

ф

* belov@lan.krasu.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

Приведем задачу (3)—(6) к прямой задаче. Подставим х = хо в уравнение (3). Учитывая условие (5), получим соотношение

£

^

где ^(і) = ф' (і) - В(і)ф(і) - С (і).

Подставляя (7) в (3), получим задачу

м4(і,х) = ^(і)мхх + А(і)ммж + В(і)и + С(і) +

/

^

/

/

и

Предположим, что входные данные задачи (3)-(5) удовлетворяют следующим условиям:

6

Е

к=о

дкио

дхк

6

+ Е

к=о

дк/

дхк

1

|/(і, хо)| , К = со^ > 0.

К

Существование достаточно гладкого решения задачи (8), (9) докажем методом слабой аппроксимации [8,9]. Аппроксимируем задачу (8), (9) задачей

3М(і)иХх + 3в(іК, і Є ( пг^ п +з ) г

^

/

/ (і, х) + 3С(і),

і Є

п+1) т’(п+3іт

3А(і)иТ(і------, хК(і, х), і Є ( ( п +— ) т, (п + 1)т

3

3

иТ (0,х) = мо(х).

Введем неотрицательные, монотонно возрастающие функции:

иоТ(і) = 1+ Бир Бир |иТ(С,х)|, ио,о = 1+ Бир

[о,і] хЄЕі х*ЕЕі

дк

ио

ЦТ (і) = вир вир

[о,£] хЄЕі

дк

дхк >‘Т (М

БИр

хЄЕі

дк

ио

иТ(і) = £ Щ (і),

і=о

ио = $3 ио,і, к =1..6.

і=о

Рассмотрим нулевой целый шаг (п = 0). На первом дробном шаге решается задача

т

Коши (11), (14). В силу принципа маскимума [9,10] имеем ЦТ (і) ^ иоіое3К4,0 < і ^ 3. Дифференцируя задачу (11),(14) дважды по х получаем, что

Щ(і) ^ Цо,ке , 0 < і ^ з, к = 0,1, 2

Т

и

и

Т

и

откуда следует, что

иТ

На втором дробном шаге решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (12) с начальными данными иТ (3, х). Заметим, что, по построению, правая

часть уравнения (12) — известная функция. Решение иТ (г, х) этой задачи и его производные записываются в явном виде:

иТ (г, х

(м) = -т(з,*) +з|з (^(е)-м(ек*(е-3,xo)-

-Л(е)Ф(еК (е - 3,x0)) + с(е) ) de,

dk T

/йU (t,x) = /йU o>x + 3/ (((е) -

дхк ’ дхк \3 ) ]т I /

-М(£)м1ж - 3, хо) - А(£)ф(£)м1 - 3,хо)) + с(С) ) г ^ ^3, —

т

В это выражение входят производные мХ,мХх, взятые при 0 < г ^ 3, которые оценены на первом дробном шаге. Отсюда

д k

ax* «т

«

В неравенствах (20) возьмем sup по x G Ei и t G

» f

от левой части. Складывая

полученные из (20) неравенства при к = 0,1, 2, имеем неравенство

цт

Учитывая, что ЦТ (3) ^ Цо,о ^ 1 (см. (15)), можно записать

D < ит(3)+3Кт(ит (3) + UT (3) + ит (3

2т

На третьем дробном шаге (г Е ( —, т

иТ

решается задача Коши для уравнения переноса

«т = 3A

3 2Т А

с начальными данными иТ ( — ,х ). Решение уравнения (23) примет вид иТ (г,х) =

2т

3

Отсюда следует оценка

иТ ( —, ф(г,х) [11, теорема 2.6], где ф — характеристическая функция этого уравнения.

Продифференцируем уравнение (23) по x, получим:

= 3А

где £Т

гТ(і,х) = ехр ^- 12 3А(^)мХ(С - 3,Ф(£,х))^ мХ ^Т^),

откуда следует

К

Продифференцируем уравнение (23) два раза по х. Обозначим «Т (г, х) = «Хж(г, х). Получим 2т

при г Е (-3-, т] для «Т(г, х) уравнение

<

с начальными данными

, 2т

^

Решение vT задачи (2Т), (28) имеет вид [11]

vT (t.x) = ^ бА(4)“х (Є 3 ’^)d5 (^y^^ 3A(t)uXx(e — 3 .VO х

T(V ~4 -/L 6A(t)“X(n-3’^)dn \

xuX(e.(')e 3 dg.

откуда следует оценка

|vT(t.x)| < e2KTUT(2f ^ (y) + KтU2T (y)^ (т) e2KTUT(2' ^

n2KrU

1 ° ^2 1 3 У ' 1 \ 3^^ \ 3

U22 (^ ^e2KTur(¥) + KrUT (y ) e5KTUim ) ^

« UJ

2т

Взяв sup по x Є Ei и t Є [0. у] от левых частей в оценках (24),(26),(29) и сложив полученные неравенства, получаем при t Є [0. т]

UT

На первом целом шаге (n = 1) повторим все рассуждения, проведённые нами на нулевом шаге. Для этого в соотношение (30) подставим вместо Uo значение UT(т), удовлетворяющее неравенству (30):

U

= Uoe4KT e6KTU°e4K ' e4KT exp^Uoe4^ e6KTU°e4K ' e4KT).

Пусть положительная постоянная г* удовлетворяет неравенству

12К«*и0е‘

*ГГ „4КЬ*

Здесь и далее будем считать т достаточно малыми

гб(2*-1)КТиое4"Кт < 2 г = 1..Ж.

При г = 1 выполняется неравенство е6КТи°е ^ 2, учитывая которое упростим оценку

(31):

ЦТ

На втором шаге (п = 2) в (30) берем Ц равное ЦТ (2т). Получим соотношения

ЦТ(3т) < ЦТ(2т)е4КТе6КТит(2Т)е4К т <

< Цое8КТ е18КТиое8К т е4КТ ехр(6КтЦое8КТ е18КТиое8К т е4КТ).

Так как (при г = 2) е18КТи°е8К т ^ 2, то ЦТ(3т) ^ Цое12КТе3°КТи°е12К т. На третьем шаге

ЦТ(4т) < ЦТ(3т)е4КТе6КТи"(3Т)е4Кт ^

< Цое12КТезоКТиое12К т е4КТ ехр(6КтЦое12КТезоКТиое12К т е4КТ) <

< Цое16КТ е42КТиов16К т.

На (1-1)-м целом шаге

ЦТ(гт) < Цое44КТе6(2^-1)КТиое41Кт < Цое4К4*е12К4*и°£ К~

В силу монотонности функции ЦТ

иТ(г) < иТ(Жт) = иТ(г*) = кг е [0,г*].

Отсюда следует (см. 15), что равномерно по т

дк

дхк “Т ((’х>

^ К', (г, х) е П[о,(*], к = 0,1, 2,

где п^^*] = {(г, х)|0 ^ г ^ г*,х е (-то, то)}.

Трижды дифференцируем задачу (11)-(14) по х, рассматривая третью производную иХхх в качестве неизвестной функции и учитывая уже доказанную равномерную по т ограниченность производных по х меньшего порядка (см. (36)), получим оценку

д3

дхз <(’х>

Дифференцируя задачу по х четыре раза, получаем задачу, где в качестве неизвестной функции рассматривается производная иХххх, и производные по х меньшего порядка уже

д4

оценены. Получим равномерную по т оценку на производную —4иТ(г, х). Аналогично оценим производные пятого и шестого порядков. Получим равномерную по т оценку

дк

дхк “Т ((’х>

^ К7, (г,х) е П[о,(*], к = 0,1...6.

Из (37) следует (в силу уравнений (11)—(13)) равномерная по т ограниченность производных

д д5ит , . д д5ит , . , .

— —-----(4, ж), -—---(4, ж), (4, ж) € П[0 4*1, в = 0...4,

д4 джя дж джя [ ’ ]

откуда следует равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность в

П“и = {(4, ж), Ь € [0,4*], |ж| <М}

(при любом фиксированном М) семейств функций {ит}, {и^}, {иХХ}, {иХХХ}, {иХХХХ}.

По теореме Арцела [12] о компактности в С существует подпоследовательность иТк, сходящаяся равномерно в П^*] вместе со своими производными по ж до четвертого порядка включительно к некоторой функции м(£, ж). По теореме сходимости метода слабой аппроксимации [8,9] функция м(£, ж) = Иш иТк (4, ж), принадлежащая классу

к—

ди д к

С&4(П“ *]) = {и(4,ж)| —, д-ки(4,ж) € С(П“ *]), к = 0, 1...4},

удовлетворяет уравнению (8) и удовлетворяет условию (9) при |ж| ^ М. Так как М произвольно, функция и является решением класса С^Х^П^^*]) задачи (8), (9).

Докажем, что пара функций и(4, ж),д(4), где д(4) определяется соотношением (7), является решением обратной задачи (3)-(6).

Так как и(4, ж) — решение задачи (8), (9), то следующие функции и(4, ж), д(4) =

^(4) - М(4)иХХ(4,ж0) - А(4)ф(4)их (4,ж0) ,„4 „

-----------------—----------------------- являются решением задачи (3), (4). Докажем вы/ (4,жо) полнение условия (5).

Подставим ж = жо в уравнение (8):

и4(£,жо) = ^(4)ижж(4, жо) + А(4)и(4, жо)иж(4,жо) + В(4)и(4, жо) +

, /-ЛЛ , ^ - М(4)ихх (4,жо) - А(4)ф(4)их(4,жо) ,

+С (() +-------------------ямо)----------------/ (('жо)’

и(4,жо) - ф'(£) = А(4)иж(4, жо)(и(4, жо) - Ф(4)).

Для функции 7(4) = и(£, жо) — ф(4), учитывая условие согласования (6), получим задачу Коши

7^) = (А(г)иж(г,жо) + в(г))7(г),

7(0) = о,

которая имеет единственное нулевое решение. Следовательно, и(£, жо) = ф(4) и условие переопределения (5) выполнено. Доказано существования решения (и(£, ж), д(4)) задачи (3)—(6) в классе

£ = {и(г,ж),д(г)|и(г,ж) € С^П^*]),

д

а*”1*’1*

4

+ Е

в=о

д5

^ к (4,ж) € П[0,t*]’ д(4) € С([0,4*])}.

2. Единственность решения задачи

Пусть (и1(4, ж), д1(4)), (и2(4, ж), д2(4)) — два решения задачи (3)-(5) в классе ^. Обозначим

г = и2 — и1, д* = д2 — д1. Пара функций (г, д*) является решением обратной задачи

г = ^

г

г^жо) = 0.

Положим х = хо в (38). Получим соотношения

) = ^(г^хх^хо) + А(г)(и2(г, хо)гж(£, хо) + «Х(г, хо)г(£, хо)) +

+В(ф(г, хо) + д*(г)/(г,хо),

м

д <() =------------------------------------Жо)--------------------------------

Следовательно, г является решением уравнения

= М(г)^жж

+ А

г

Рассмотрим неотрицательные, неубывающие на отрезке [0,г*] функции

к = 0,1, 2.

Yfc(t) = sup sup

[0,t] xGEi

dk

ajk z<«-x>

В силу принципа максимума для уравнения (41) получим

|z(£,x)| < eK?K(Y2(t)+ Yi (t) + Yo(t))£, (£,x) G n[0,t], 0 < t < t*.

Возьмем от обеих частей данного неравенства sup по x G Ei и £ G [0, t] :

Yo

Продифференцируем уравнение (41) k раз (k=1,2) по x. Применяя принцип максимума, получим неравенства

Yi

Y2

Сложим неравенства (44)-(46): Y2(t) + Yi(t) + Yo(t) ^ 3KeKt(Y2(t) + Yi(t) + Yo(t))t. Отсюда следует, что при некотором п > 0 таком, что 3KneKn < 1, при всех t G [0, п] функции Yfc (t) = 0. Повторяя данные рассуждения при t G [п, 2п], затем при t G [2п, 3п] и так далее, через конечное число шагов получим, что Yfc = 0 при всех t G [0,t*]. Следовательно, z(t, x) = 0 и ui = u2 в n[ojt*].

Подставим z = 0 в (41), получим, что g*(t)f (t,xo) = 0 при t G [0, t*]. Так как |f (t,xo)| > K, то g*(t)=0,t G [0,t*].

Следовательно, решение обратной задачи (3),(6) единственно в классе Z. Доказана

Теорема 1. Пусть выполняется условие (10). Тогда существует единственное решение (u,g) задачи (3)-(6) в классе Z. Для любого M > 0

ь S СО

dxk № 1

^ 0, k = 0,1...4,

*] )

3. Краевая задача

В области QT = {(t, x)|0 < t < T, 0 < x < l}, T, l — const > 0 рассмотрим краевую задачу

ut

u

u

u

uo

В уравнении (47) в отличие от уравнения (3) функция B(t) = B — const и C(t) = 0. Предположим, что функции uo(x), f(t,x) имеют непрерывные производные по x до шестого порядка включительно. Продолжим функцию uo(x) на отрезок [—l, l]: определим

uo(x) = —uo(—x) при —l ^ x < 0. Затем продолжим функцию с [—l, l] на Ж периодиче-

ским образом. Продолжим функцию f (t,x) с [0, T] х [0, l] на [0, T] х S до периодической и нечётной по x функции. Заметим, что функции uo(x), f (t, x) по способу построения удовлетворяют условиям:

uo(—x) = —uo(x), uo (l — x) = —uo(l + x), , ,

f

Продолженные данным способом функции uo(x),f (t,x) используем в качестве входных данных для задачи Коши

ut

u

Расщепим задачу (53), (54):

< = 3MuXx + 3BuT, t G ^nr^n + 3^ т

»I = 3— — 3'— 3'xo)f

uT = 3A(t)uT (t — з, x) uX(t, x), t G ( (n + - J т, (n + 1)т

uT (0, x) = uo (x),

где ^(t) = ф(t) — B^(t).

Пусть uT (t, x) — решение расщепленной задачи. Покажем, что uT (t,x) удовлетворяет условиям

uT

На первом дробном шаге сделаем замену ит(£,х) = «т(£, х)езвг:, получим для «т уравне-т = 3М<Ж-

ние «Т = 3^«Хх. Функцию «т можно представить в виде интеграла Пуассона [13]. Тогда

e3Bt Г™ 1 _ (x-;)2

uT(t,x) = ;^/ e 12м‘ uo(£)d£.

-V П J_^ V 3‘t

Проверим первое из условий (56):

e3Bt ^ 1 , _ (x-;)2 _ (x+;)2

uT(t,x) + uT(t, — x) = (e 12^ + e 12^ )uo(£)d£.

2Vn •/-TO V3‘t

Подынтегральная функция меняет знак при замене £ на —£, следовательно, интеграл от нее равен нулю. Второе условие из (56) проверяется аналогично с помощью замены п = 1 — £ переменной интегрирования.

На втором дробном шаге ит (£, х) имеет вид

(t,x) = uT (3,x) + 1 Z(Z)f (£,x)d£.

Z(0 = 3

^

f

Следовательно,

uT(t,x) + uT(t, —x) = uT (3,^ + uT (3, — x^ + JT z(£)(f(Z,x) + f(£, —x))d£ = 0.

Второе условие (56), очевидно, также выполнено.

Лемма 1. Пусть функция v(t,x) является решением уравнения vt = a(t, x)vx в области D = {(t, x)|to < t < ti, x G Ж} с начальным условием v(to, x) = vo(x). Пусть функция a(t, x) удовлетворяет условию Липшица по x и выполнены соотношения

a

Тогда функция v(t, x) удовлетворяет соотношению v(t, c + x) = — v(t, c — x).

Доказательство. Рассмотрим семейство характеристик уравнения vt = a(t, x)vx. Лю-

dx

бая характеристика удовлетворяет в D уравнению — = —a(t, x). Так как a(t,x) липшиц-непрерывна, то через каждую точку (t, x) G D проходит одна и только одна характеристика. Возьмем две характеристики xi = ^i(t),x2 = ^2(t), пересекающие прямую t = to в точках x = c + а и x = c — a (a > 0 — const) соответственно. Легко видеть, что ^i(t) и Ф2 (t) симметричны относительно прямой x = c: ^i(t) — c = c — ^(t). Действительно, Zi = Ф1 (t) — c является решением задачи

~Zr = — a(t, c + Z1), Ci(to) = a dt

dz

Функция Z2 = c—Ф2(t) является решением задачи-= a(t, c—Z2) = —a(t, c+Z2), Z2(to) = a,

dt

т. е. Zi, Z2 — решение одной и той же задачи, значит, ^i(t) — c = c — Ф2(t). Функция v(t,x) обладает свойством постоянства вдоль характеристик ^(t), т.е. v(t, ^(t)) = const. Рассмотрим сумму v(t, c + x) + v(t, c — x). Через точки (t, c + x) и (t, c — x) проходят симметричные относительно x = c характеристики ^i(t), ^(t). В силу (57) v(t, c + x) + v(t, c — x) = v(t,^i(t))+v(t, Ф2(t)) = v(to,^i(to))+v(to,^2(to)) = vo(c+(^i(to) —c))+vo(c—(c—^2(to))) = 0, что и требовалось доказать.

Применяя лемму 2.1 при c = 0, затем при c = l, докажем выполнение условий (56) на третьем дробном шаге.

Доказано выполнение условий (56) на нулевом целом шаге. Так же рассуждая на последующих шагах, получим, что условия (56) выполнены для всех t G [0, T]. Подставляя x = 0 в (56), получим, что

uT

Предположим, что выполнены условия (10) и C(t) = 0. По теореме 1 последовательность uT(t, x) решений задачи (55) сходится к решению u(t, x) задачи (53),(54) равномерно в ПМ^*,

при любом М > 0 и, следовательно, в [0,4*] х [0,1], вместе с производными по переменной х до четвертого порядка включительно.

Так как для ит выполняется условие (56), то и(4, 0) = и(4, 1) = 0. Следовательно, сужение и(4, х),д(4) решения задачи (53),(54) на [0,4*] х [0,1] есть решение задачи (47)-(51) в классе Ш = {и(4, х), д(£)|и(£, х) € ([0,4*] х [0,1]), д(4) € С([0,4*])}. Доказана

Теорема 2. Пусть выполняются условия (10),(52) и С(4) = 0. Тогда существует единственное в классе IVрешение (и, д) задачи (47)-(51). При этом ----------дХ?

0, к = 0,1...4, т —> 0.

C

Список литературы

[1] I.M.Burgers, A mathematical model illustrating the theory of turbulence. Advances of mechanics, 1948, №1, 171-199.

[2] E.Hopf, The partial differential equation ut + = ^uxx, Comm. Pure Appl. Math., 1950, №3, 201-230.

[3] I.D.Cole, On a quasilinear parabolic equation occuring in aerodynamics, Quart, Appl. Math., 1951, №9, 226-236.

[4] Б.Л.Рождественский, Н.Н.Яненко, Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, М., Наука, 1978.

[5] Yu.Ya.Belov, Inverse problems for partial differential equations, Utrecht etc., VSP 2002.

[6] A.I.Prilepko, D.G.Orlovsky, I.A.Vasin, Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, New York, Marcel Dekkar, inc., 1999.

[7] В.Г.Романов, Устойчивость в обратных задачах, М., Научный мир, 2005.

[8] Н.Н.Яненко, Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Наука, сибирское отделение, Новосибирск, 1967.

[9] Ю.Я.Белов, С.А.Кантор, Метод слабой аппроксимации, КрасГУ, Красноярск, 1999.

[10] А.М.Ильин, А.С.Калашников, О.А.Олейник, Линейные уравнения второго порядка параболического типа, Успехи мат. наук, 17(1962), №3, 3-146.

[11] Э.Камке, Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, М., Наука, 1966.

[12] В.А.Треногин, Функциональный анализ, М., Наука, 1980.

[13] А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, Уравнения математической физики, М., Наука, 1977.

An Identification Problem of Source Function in the Burgers-type Equation

Yuri Ya. Belov Kirill V. Korshun

An identification problem of source function in the Burgers-type equation is considered. Given problem

is investigated in Cauchy and boundary-value cases. Sufficient conditions for existence and uniqueness

of solution are obtained.

Keywords: inverse problem, Burgers’ equation, boundary-value problem, approximation.