Об оптимальном размещении ПЭВМ на квазифрактальной поверхности

УДК 519.65

О Р.А. Данеев

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ РАЗМЕЩЕНИИ ПЭВМ НА КВАЗИФРАКТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В работе рассмотрен вариант квазифрактальной области пространственной ориентации ПЭВМ. Такое размещение ПЭВМ (планировка рабочего стола) необходимо в целях защиты от несанкционированного сканирования ее электромагнитного поля, в частности, монитора как канала передачи конфиденциальной информации, не содержащего криптографический протокол.

Ключевые слова: фрактал, ковер Серпинского, электромагнитная скрытность ПЭВМ.

( R.A. Daneev

ON OPTIMUM PLACEMENT OF PC AT QUASIFRACTAL SURFACE

In the work the option of quasifractal area of spatial orientation of PC is considered. Such placement of PC (desktop planning) is necessary for protection from unauthorized scanning of its electromagnetic field, in particular, the monitor as a channel of transfer of confidential information, not containing the cryptographic protocol.

Keywords: fractal, Sierpinski's carpet, electromagnetic reserve of PC.

Введение

Важная задача апостериорного математического моделирования сложных физико-технических систем - распознавание электромагнитного источника излучения поля (ПИП); например, минимизация взвешенно-осредненной электромагнитной наблюдаемости в фиксированных (потенциально возможных) точках пеленгации электромагнитных сигналов элементов коммутационной компоновки ПЭВМ [1] (данная постановка отвечает задаче электронной защиты коммутаторов ПЭВМ при несанкционированном сканировании их побочных электромагнитных излучений-наводок).

В техническом плане проще всего решается перехват «конфиденциального канала» ПЭВМ, отображаемого на экран её дисплея, при этом векторная полевая структура «канала» описывается уравнениями Максвелла [2, с. 53]:

div(sE)= Anp,rotE = -с'1д(цН)/dt, Шу(цН) = 0,rotH = c~ld{sE)ldt + 4жГ7.

Р.А. Данеев. Об оптимальном размещении ПЭВМ на квазифрактальной поверхности

Если всмотреться в уравнения статики уравнений электромагнетизма Максвелла, то обнаружим, что для физических свойств электромагнитного поля два предмета, электростатика и магнитостатика, являются идеальными математическими объектами, в итоге объединяющими электричество и магнетизм. Электростатика - суть чистый пример векторного поля с нулевым ротором и заданной дивергенцией, магнитостатика - чистейший пример поля с нулевой дивергенцией и заданным ротором; таким образом, напряженность электростатического поля Е точки (х1, у}, 2]) от единичного заряда, расположенного в (х2,у2,г2), - это вектор с координатами

А=сопз1:. скобка | х.у.г | означает, что два невыписанных соотношения получаются круговой перестановкой в уравнении (1) элементов этой скобки. Как следствие, первый шаг моделирования координат ИИП состоит в том, чтобы начать с апостериорного моделирования электростатики и пусть приближенно, но «узнать» тем самым всё про дивергенцию поля ИИП; магнитостатику и ротор можно рассматривать как очевидную симметрию.

В практических рассмотрениях оптимальной ориентации ПЭВМ, как правило, присутствует геометрическое требование, чтобы задача решалась в постановке, когда область размещения <2 обладает запретными зонами со сложной геометрической структурой; т.е. область установки ПЭВМ, по существу, образует квазифрактал. Ясно, что физико-техническая природа «запретных зон» как геометрических объектов определяется специальными местами установки другого технологического оборудования, проходами между рабочими столами персонала, а также специфическими ограничениями на каждом рабочем столе. При этом возможен вариант, когда стационарная точка лежит в «запретной зоне» и, следовательно, решение для установки ПЭВМ нужно искать на границе этой запретной зоны.

Геометрические объекты, которые сейчас принято называть фракталами, впервые появились в математике [3, 4] при топологическом развитии таких понятий, как «линия», «плоская фигура» и т.п. К ним относятся фигуры, которые нельзя назвать в полном смысле слова ни линией1, ни

1 Примером такого математического объекта является «пушистая линия Коха», названная в честь датского математика Коха. Она получается из отрезка прямой последовательной заменой каждого прямоугольного участка на ломанную путем «вытягивания» средней трети исходного отрезка до равностороннего треугольника. Повторяя такую процедуру

1. Моделирование квазифрактальной поверхности ковра Серпинского

плоской фигурой (см. ниже в примерах 2,3 геометрические конструкции «салфетки Серпинского» и «ковра Серпинского»). При этом строго определить фрактал (при существующем в настоящее время многообразии его эмпирических форм) как формальный математический объект не удается, есть лишь менее или более удачные попытки дать такое определение. Наиболее известными являются определения ученого-математика Бенуа Мандельброта, благодаря работам которого стало ясно, насколько важны эти новые геометрические объекты для понимания геометрической структуры окружающего мира2.

В основе первого определения фрактала лежит представление о топологической размерности множества [5, с. 559].

Определение 1 [6, с. 128]. Фрактал - это множество, у которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго больше его топологической размерности.

Математическую конструкцию размерности Хаусдорфа-Безиковича дадим ниже в определении 3, здесь лишь заметим, что под определение 1 подпадают, в частности, такие «пушистые линии», как кривая Коха. Стоить отметить, что, как полагал Мандельброт, дробность размерности выражает «пограничное свойство» фракталов лежать между точкой и линией, или между линией и поверхностью и т.д.; при этом топологическая размерность точки = 0, линии = 1, плоскости = 2 и т.п., - теорема 7.3.19 [5, с. 598].

Неудачность определения 1 стала очевидной после приведения ряда контрпримеров геометрических объектов (см. ниже примеры 2-4), для которых это определение не выполняется, хотя имело бы смысл их отнести (исходя из интуитивного представления) к фракталам. Так пример 4 -чрезвычайно «дырявая пирамида», построенная польским математиком, Вацлавом Серпинским, формально имеет размерность 2, но строится из трехмерного тетраэдра поочередным отбрасыванием вписанных в него тетраэдров с половинной стороной.

Несколько менее формальное и значительно более общее определение фрактала, данное Б. Мандельбротом несколько позже, звучит так3:

бесконечное число раз, в пределе получим ограниченную «линию», соединяющую две точки, но имеющую бесконечную длину.

2 Сначала фракталы воспринимались как некоторая экзотика. Казалось, не бывает в природе объектов, для которых адекватной моделью является линия с бесконечной длиной или объемная фигура с нулевым объемом. Но такие «реальные» объекты, как речная сеть на поверхности Земли, структура разломов в горных породах, следы, оставляемые в диэлектрике высоковольтным разрядом при пробое, скопление молекул, осаждаемых из раствора (они выглядят как длинные разветвленные «мохнатые цепочки» типа кораллов или снежинок), - это всё примеры природных фракталов.

3 Неопределенность данного определения фрактала, как формальной математической структуры, содержащаяся в словах «в некотором смысле», делает это понятие, чуть не «всеобъемлющим»; как и при неудачной попытке Кантора дать формальное непротиворечивое определение понятия множества.

Р.А. Данеев. Об оптимальном размещении ПЭВМ на квазифрактальной поверхности

Определение 2 [6, с. 128]. Фракталом называется математический объект (структура), состоящий из частей, которые е некотором смысле подобны целому.

Поясним, как в это определение укладываются фракталы типа пушистой линии Коха. Вначале заметим, что такие объекты, как прямая или плоскость, разумно назвать самоподобными. Формально охарактеризовать это свойство можно тем, что эти фигуры не изменяются при геометрических преобразованиях: перенос прямой вдоль нее приводит к той же самой прямой, плоскость переходит в себя при параллельном сдвиге и повороте. Независимость от преобразования называется симметрией. Есть множества, не обладающие столь полной симметрией, как прямая или плоскость, например, окружность не изменяется только при повороте (тем самым она тоже самоподобна). В этом смысле, согласно определению 2, все эти множества являются фракталами, несмотря на свою простую геометрическую структуру; их можно назвать «гладкими фракталами», в отличие от кривой Коха, пирамиды Серпинского, множества Кантора и т.п.

Какой же симметрией обладает кривая Коха? Выбрав ее фрагмент, например одну треть всей кривой, и увеличив его в три раза, вновь получим в точности исходную кривую. Физики говорят: такие объекты обладают скейлингом, от слова scale — шкала (изменить шкалу в три раза - это всё равно, что рассматривать исходный объект под микроскопом с троекратным увеличением). Если вновь видим ту же картину, что и без микроскопа, значит, объект обладает скейлингом и таким образом эмпирически является фракталом.

Вернемся к определению 1 и для характеризации размерности Хаус-дорфа-Безиковича рассмотрим ряд широко известных примеров.

Вначале зададимся вопросом: как измерить «величину» фиксированного множества Q метрического пространства? С этой целью разобьем Q на «элементарные ячейки» с характерным размером (диаметром) г и подсчитаем минимальное число N(r), покрывающих все множество Q. Уменьшая размер ячеек (следя за скоростью возрастания их числа, необходимого для покрытия множества Q), можно получить представление о размерности множества Q, в частности, вычислить такие характеристики, как «длина» множества4, его «площадь», «объем» и т.п. В этом смысле конструкция размерности Хаусдорфа-Безиковича определяет «скорость роста» числа элементов минимального покрытия множества Q при стремлении характерного размера к нулю.

4 Действительно, пусть <2 - спрямленная кривая длины Ь. Выберем минимальное покрытие, т.е. такое, которое состоит из наименьшего числа ячеек (существование такого покрытия для компактного множества следует из леммы Гейне-Бореля [7, с. 98]). Число ячеек М(г) в этом покрытии будет пропорционально отношению М/г, и длину кривой получим предельным переходом при Г —> О : Ь ~ .

Определение 3 [6, с. 133]. Число d, характеризующее минимальное покрытие О, и такое, что для него справедливо соотношение

d = lim {in iy

называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича множества О. Вычислим размерности (2) для множеств, которые являются фракталами (три последние из них не подпадают под определение 1).

Пример 1. Размерность кривой Коха. При г=1/3 число элементов

минимального покрытия равно N(r)=4, а при г = (l/З)" - соответственно

N(r)= 4" . Поэтому, согласно формуле (2), размерность Хаусдорфа-Безиковича ломаной Коха равна

d = In4/ln3 >-1.

Топологическая размерность фигур из двух следующих примеров равна 2 (т.к. они получены из плоской фигуры), что с учетом (2) исключает для них конструкцию определения 1.

Пример 2. Размерность салфетки Серпинского. Вацлав Серпин-ский предложил пример скейлинга как «плоского» фрактального множества, получаемого из правильного треугольника последовательным выбрасыванием средних частей (рис. 1).

V

Рис. 1. Построение салфетки Серпинского Размерность салфетки Серпинского легко подсчитать по формуле (2), выбирая в качестве элемента покрытия правильный треугольник со стороной г = (1/2)" . Тогда А'(/') = 3", и, значит,

l<d = \пЪ1\п2<2. Пример 3. Размерность ковра Серпинского. Это плоская фрактальная фигура, полученная алгоритмическим способом, аналогичным при получении скейлинга типа «салфетки Серпинского», но начальным элементом здесь является единичный квадрат (рис. 2).

РА. Данеев. Об оптимальном размещении ПЭВМ на квазифракталъной поверхности

п

п=2 ы

Рис. 2. Построение ковра С ер пинского

При построении ковра Серпинского на первом шаге единичный квадрат делится на девять равновеликих маленьких квадратов с длиной стороны, равной г= 1/3, при этом выбрасывается центральный квадрат (рис. 2), и процедура повторяется с оставшимися квадратами бесконечное число раз. Таким образом, размерность «ковра» равна

= 1п8/1пЗ -< 2.

Следующий пример показывает, что такой качественный показатель, как дробная размерность Хаусдорфа-Безиковича, продемонстрированная примерами 1-3, также не может выступать признаком фрактала.

Пример 4. Размерность пирамиды Серпинского. Пирамида Серпинского - это объемная фрактальная фигура, полученная рекурсивным способом, аналогичным способу получения плоской салфетки Серпинского; начальным элементом является правильный тетраэдр с единичной длиной ребра. В данном случае фигура получается из тетраэдров, последовательно отсекаемых от вершин исходного тетраэдра, при этом стороны отсекаемых тетраэдров равны половине стороны тех тетраэдров, от которых они отбрасываются (далее процесс циклически повторяется). Если элемент покрытия - тетраэдр с длиной стороны г = (1 / 2)", то требуется Ы{г)= 4" элементов покрытия, что приводит к размерности, равной 2 (целое число), хотя назвать его размерностью «плоского объекта» вряд ли можно.

2. Определение оптимальных координат установки ИИП

Вернемся к основной линии изложения - определению оптимальных координат установки ИИП в постановке, когда область размещения -скейлинг. В качестве геометрической модели рассмотрим фрактал ковра Серпинского (ФКС). В данном случае координаты установки ИИП не могут выступать в качестве решения задачи ее размещения, поэтому решение необходимо искать на границе О «квадрата изъятого» в центре ФКС (п= 1, рис. 4); аналогичное решение строится для любого «пустого» квадрата ФКС при п> 1.

Пусть со е 1С" - фиксированный вектор пространственно-угловых координат ИИП. Выделим класс многомерных нелинейных систем типа «вход-выход», описываемых векторно-тензорным уравнением регрессии вида [8]:

w(«+v)=c+col(Z;.u/nv, • • ,V),...,

, • • • X]=\,2fnm{v,... ,v))+s

w(a+v)eRn, veRm, ceR", в(ш,-): Rm^Rn,

||b(co,v)||/=o(v12+..,+vm2), v=col(vb...,vm).

Пусть {bi}i<i<naR3 - комплекс точек возможного несанкционированного зондирования электромагнитного сигнала ИИП, veRm - вектор пространственной ориентации ИИП (с началом в со), w(co+v) - вектор выходных сигналов ИИП (интенсивность электромагнитного поля ИИП в точках bh \<i<n).

С этой целью рассмотрим численное решение задачи оптимизации:

min {.Р *

Пусть L - длина контура G, h=0.0lL и (х,,у.). /=()..... 100 - точки контура G, у которых расстояние между соседними точками вдоль контура G равно h. В соответствии с построениями из [8] будем иметь:

F * (х, z) = w1 (х, z) + w2 (х, z) + w3 (x, z) + w4 (x, z) =

= + Г2)4 + (x2 + (1 - zfjr' + ((1 - xf + (1 - z)!y +

что позволяет ввести [9, с. 151] кубическую сплайн-функцию

F# ->:[o,Z]->i?

F#

Ясно, что если под «квазифракталом ковра» понимать структуру ковра Серпинского при фиксированном п, то шаг сетки (5) имеет ограничение

h<(r/9)".

Таким образом, задачу оптимизации (4) можно трансформировать к новой задаче:

minH^eM}

или в координатах стационарных точек у F#{y) - к корням уравнения [10, с. 131]:

dF#

Графики функций /' (•).

dF#{)/dy приведены на рис.3, 4; построение осуществлено с использованием программного комплекса «ОРИЭП» [11].

Р. А. Данеее. Об оптимальном размещении ПЭВМ на квазифрактальной поверхности

Рис. 4. График функции

В соответствии с соотношениями (5) для сплайн-функции ) на сетке й=0.01£, (х^,^),у=0,...,100 задача оптимизации (4)-(6) имеет неединственное (!) решение в точках контура О с координатами:

(х*, 3/ *)=(0.4949,0.3333), (х*,.у*)=(0.6667,0.4983), (х*,з/*)=(0.4983,0.6667), (х*,.у *)=(0.3333,0.4949).

Заключение

В работе исследовано нелинейное регрессионное моделирование задачи электромагнитного сканирования ИИП; метод разработан в [1] и отличается от известных тем, что использует аппарат тензорного описания апостериорной модели ИИП.

В развитие данной постановки предложен метод решения задачи оптимизации на областях, получивших в последнее время геометрическое представление в терминах фрактальных объектов [3, 4]. Показано, что данная задача, по существу, сводится к построению вещественнозначной функции вещественного аргумента с применением варианта сплайн-метода (кубического с равномерной сеткой на отрезке), что позволяет алгоритмически использовать существенно меньшую размерность по отношению к исходной плоской задаче оптимизации. При этом остался открытым вопрос: как найти решение общей задачи оптимизации заданного нелинейного функционала (включая вариант с невыпуклой формой) на реальном («не квази») фрактале; например, как частный случай, на по-

верхности ковра Серпинского при п=со («ковер» с 0-площадью и размерностью Хаусдорфа-Безиковича = In 8/ln 3).

Литература

1. Нелинейный регрессионно- тензорный анализ оптимальной установки электромагнитного источника излучения при несанкционированном сканировании его электромагнитного поля / В.А. Козырев и др. // Известия вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53. № 10. С. 10-17.

2. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. 512 с.

3. Шустер П. Динамический хаос. М.: Мир, 1988. 382 с.

4. Потапов A.A. Фракталы и хаос как основа прорывных технологий в современных радиосистемах // Р. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Техносфера, 2006. С. 374-457.

5. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

6. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 296 с.

7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

8. Русанов В.А., Данеев P.A. Робастно-адаптивная настройка алгоритма электромагнитной защиты ПЭВМ // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2013. № 1. С. 13-19.

9. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. М.: Мир, 1975. 496 с.

10. Банах С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1972. 424 с.

11. Оптимальное размещение источника электромагнитного поля «ОРИЭП» / Д.Ю. Шарпинский, В.А. Русанов, P.A. Данеев // Свидетельство Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам о государственной регистрации программы для ЭВМ, № 2010613002 от 06.05.2010 г.

Данеев Роман Алексеевич, аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения, 664049, г. Иркутск, тел.: 89246010219, e-mail: romasun@mail. ru.

Daneev Roman Alexeevich, postgraduate student, Irkutsk State University of Railway Transport, 664049, Irkutsk, ph.: 89246010219, e-mail: romasun@mail. ru.