Математическое моделирование влияния неидеальных связей в упругой подвеске машины на передачу вибрации

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Ziegler H. Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik // Ing. Arch. - 1952. -V. 20. - № 1.-P. 49-56.

2. Агафонов С. А. Об устойчивости и автоколебании двойного маятника с упругими элементами под действием следящей силы // Изв. РАН. Сер. Механика твердого тела. - 1992. - № 5. - С. 185-190.

3. Agafonov S.A. Stability and Motion. Stabilization of Nonconservative Mechanical Systems // Journal of Math. Scienses. - 2002. - V. 112. - № 5. - P. 4419-4497.

4. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1968. - 432 с.

5. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Численные методы для инженеров. - М.: Высшая школа, 1994. - С. 105-112, 443-445.

Статья поступила в редакцию 12.09.2003 Александра Игоревна Иванова родилась в 1983 г. Студентка МГТУ им. Н.Э. Баумана. A.I. Ivanova (b. 1983), student of the Bauman Moscow State Technical University.

УДК 621.313.322

А. Л. Назолин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НЕИДЕАЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ В УПРУГОЙ ПОДВЕСКЕ МАШИНЫ НА ПЕРЕДАЧУ ВИБРАЦИИ

Разработана математическая модель влияния неидеальных связей в упругой подвеске сердечника статора на вибрацию корпуса турбогенератора. Выявлены общие закономерности изменения спектра изгибных колебаний корпуса, которое вызвано дефектом ослабления плотности посадки.

Упругая подвеска машин применяется в технике для уменьшения коэффициента передачи вибрации на корпус или фундамент. При идеальном соединении машины с упругой подвеской, имеющей линейную характеристику восстанавливающей силы, передача вибрации на корпус описывается линейным дифференциальным уравнением, а уменьшение вибрации корпуса по сравнению с вибрацией машины происходит в условиях, когда собственная частота колебаний машины на упругой подвеске мала по сравнению с частотой вынуждающей силы.

Причинами возникновения неидеальных связей в упругой подвеске машин (дефекта подвески) могут быть погрешности изготовления элементов конструкции и некачественная сборка. Кроме того, с течением времени происходит естественный износ узлов подвески с появле-

нием люфтов, зазоров, проскальзываний. Соединение машины с подвеской становится неидеальным. Работа машины с такими дефектами увеличивает износ и скорость срабатывания ресурса машины. Поэтому разработка математического описания неидеальных связей и изучение их влияния на передачу вибрации в конструкциях машин с применением математической модели являются важным этапом, обеспечивающим эффективное решение практической задачи оценки технического состояния упругой подвески виброакустическими средствами.

В отечественной энергетике к настоящему времени половина генерирующих мощностей отработали установленный стандартами срок службы. К 2015 г. нормативный срок службы выработают почти 70% генераторов [1]. Их полная замена нецелесообразна как по техническим, так и по экономическим соображениям. Оценка остаточного ресурса, диагностика технического состояния и обеспечение надежной работы генерирующего оборудования за пределами нормативных сроков службы становится актуальной задачей электроэнергетики [2, 3]. Поэтому поставленная задача — выявление закономерностей влияния неидеальных связей в упругой подвеске машины на передачу вибрации — решается на примере энергетического оборудования, основу которого составляют турбогенераторы с упругой подвеской.

Математическая модель изгибных колебаний системы сердечник — упругая связь — корпус. В большинстве отечественных турбогенераторов в качестве упругих пружинящих элементов, предотвращающих передачу вибраций с сердечника на корпус, используются нормальные стяжные призмы статора с продольными сквозными прорезями. Части стяжной призмы под прорезями представляют собой заделанные с двух сторон балки. В середине пролета каждая балка приварена к поперечной стенке корпуса генератора. Компенсация относительных перемещений сердечника и корпуса осуществляется за счет упругого изгиба балок, податливых в радиальном и тангенциальном направлениях. Стяжные призмы равномерно распределены по окружности и длине сердечника и образуют соединение "ласточкин хвост" со спинкой сердечника статора. Для этого в листах активной стали по внешнему радиусу вырублены пазы в форме трапеции (Т-пазы) или параллелограмма.

Известные математические модели изгибных колебаний системы сердечник — упругая связь — корпус генератора [4-6] сводятся к системе дифференциальных уравнений вынужденных изгибных колебаний

Рис. 1. Поперечное сечение турбогенератора:

1 — сердечник статора, 2 — стяжная призма со стандартными упругими элементами, 3 — поперечная стенка корпуса, 4 — поперечное ребро корпуса, 5 — обшивка корпуса

эллиптического вида, полученной при следующих допущениях:

— корпус статора и сердечник рассматриваются как кольцо;

— соединение сердечника и стяжной призмы шарнирное (идеальное соединение);

— число упругих связей между сердечником и корпусом достаточно велико, чтобы их можно было считать равномерно распределенными по окружности и длине сердечника;

— влияние закрепления корпуса на фундаменте не учитывается. Существует два типа изгибных колебаний кругового кольца: изгиб-

ные колебания в плоскости кольца и изгибные колебания, состоящие из перемещений, перпендикулярных к плоскости кольца и кручения. Рассмотрим вынужденные изгибные колебания сердечника и корпуса генератора в плоскости поперечного сечения, так как по значениям амплитуд этих колебаний осуществляется оценка уровня вибрации турбогенератора виброакустическими средствами.

Введем неподвижную инерциальную систему координат (НСК) Оххггг, связанную с осью симметрии статора, и подвижную неинер-циальную систему координат (ПСК) Охг, связанную со спинкой сердечника статора (рис. 1). Введем следующие обозначения: — угол, отсчитываемый от вертикали по часовой стрелке и определяющий положение точек осевой линии недеформированного сердечника и кор-

пуса; u1 и u2 — радиальные, u1 и ш2 — тангенциальные перемещения средней линии окружности сердечника и корпуса турбогенератора соответственно; v1 и v2 — тангенциальные перемещения на внешнем радиусе сердечника и внутреннем радиусе корпуса соответственно.

Решение системы дифференциальных уравнений вынужденных из-гибных колебаний системы сердечник — упругая связь — корпус имеет вид [6]

ш1 = A1 sin 2((р — ut), u1 = 2A1 cos 2((p — ut),

v1 = A1 sin2(^ — ut)(1 — 3y1);

ш2 = A2 sin 2(<^ — шt), u2 = 2A2 cos — uit),

v2 = A2 sin2(^ — wt)(1 + З72);

foR _1 _

А ЗбЕД^ ^ 2ш\2;

Р12)

Л1 Н2

11 = ' 72 = ;

здесь А1 и А2 — амплитуды тангенциальных колебаний сердечника и корпуса статора соответственно; ш — частота вращения ротора; Л1 — высота спинки сердечника статора; Н2 — расстояние между внешним и внутренним радиусами корпуса; Я1 и Я2 — радиусы средней линии окружности сердечника и корпуса соответственно; Е13 — из-гибная жесткость сердечника как кругового кольца; ^ — максимальное значение силы магнитного тяжения, приходящейся на единицу длины средней линии окружности сердечника; р12 — собственная частота основной формы колебаний сердечника, р12 > 2ш.

Коэффициент уменьшения амплитуды колебаний корпуса имеет вид

к = А = Л22

где р22 — собственная частота основной формы колебаний корпуса, р22 < 2ш; Л22 > 1 — безразмерный коэффициент, учитывающий связь корпуса с сердечником через упругую подвеску и зависящий от размеров корпуса и конструкции стандартных упругих элементов.

Анализ формул (3), (5) показывает, что в случае идеальных связей изгибные колебания сердечника и корпуса идут в противофазе с умень-

шением амплитуды вибрации сердечника в к раз. Спектр вибрации корпуса состоит из одной гармоники на удвоенной частоте вращения ротора.

Математическая модель динамики призмы с неидеальными связями. Рассмотрим наиболее распространенный дефект упругой подвески сердечника статора — дефект ослабления плотности посадки стяжной призмы в Т-пазе сердечника. В этом случае соединение призмы с Т-пазом нельзя рассматривать как идеальное шарнирное, так как поперечные сечения призмы совершают радиальные и тангенциальные перемещения относительно Т-паза сердечника под действием внешних сил, что приводит к контактной коррозии металла в местах их соприкосновения. Для оценки сил, действующих на корпус, и ускорения изгибных колебаний корпуса генератора с дефектом ослабления плотности посадки разработана многофакторная нелинейная математическая модель динамики призмы.

Учитывая симметрию действия сосредоточенных внешних сил от стандартных упругих элементов и граничных условий (заделок) относительно центра масс (ЦМ) призмы и допуская, что силы, действующие в соединении "ласточкин хвост" призмы — Т-паз сердечника, распределены равномерно по длине и симметрично относительно ЦМ, приходим к существованию равнодействующей всех внешних сил. Тогда движение призмы относительно ПСК можно рассматривать в приближении абсолютно твердого тела с двумя степенями свободы.

Обозначим через х радиальное перемещение ЦМ, положительное в направлении к центру сердечника, через г тангенциальное перемещение, положительное в направлении возрастания угла ^

т-пр^пр = А + + + Др2 + Р3 + + ^Пр + Фе + Фк,

где тпр — масса призмы; апр — ускорение ЦМ призмы относительно

ПСК; Ярь ^ф2, , Яс, Япр — внешние силы, действующие на

—* —*

призму; Фе, Фк — силы инерции.

Рассмотрим внешние силы. Перпендикулярно граням соединения "ласточкин хвост" призмы, составляющим угол а с осью Ох ПСК, с левой и правой сторон Т-паза сердечника действуют результирующие

Рис. 2. Силы, действующие на призму

нелинейные силы упругости

—* —*

Fi (z)(i sin а + k cos а) 0

Fi (z) = F2(z) =

F2(z)(i sin а + k cos а) 0

при (z - z^) /Л

при (z - z^) > 0,

при (z + z^ ) > 0,

при (z + z^) < 0;

здесь i, к — единичные орты ПСК; гпр — деформация гребенки листов активной стали, составляющих боковую поверхность Т-паза и соприкасающихся с боковой гранью соединения "ласточкин хвост" призмы, при прессовке сердечника в проекции на ось Oz.

Результирующие силы трения, действующие вдоль боковых граней соединения "ласточкин хвост" призмы, имеют вид

FTp1

FTp2

где ^ — коэффициент трения скольжения.

Со стороны основания Т-паза сердечника перпендикулярно основанию соединения "ласточкин хвост" призмы действует результирующая нелинейная сила упругости

F3(x)i при (x + хпр) > 0,

Fa (x) =

0

при (x + хпр) < 0

где хпр — деформация гребенки листов активной стали в основании Т-паза при прессовке сердечника в проекции на ось Ox.

Результирующая линейная сила упругости от стандартных упругих элементов подвески, препятствующая перемещению сердечника относительно корпуса, имеет вид

Fc Fcx~ + FCz

Fcx = -Cx(ui - u2 + x), Fcz = -Cz(vi - V2 + z);

здесь Fcx, Fcz — радиальная и тангенциальная составляющие силы; Сх, Cz — суммарные радиальная и тангенциальная жесткости стандартных упругих элементов стяжной призмы.

Полагая сечение призмы квадратным, влияние граничных условий, соответствующих заделке на концах призмы, оценим по формуле

F^ = — Сдр

где Спр — изгибная жесткость призмы в сечении, проходящем через ее ЦМ.

Поскольку ПСК является неинерциальной, на призму действовует переносная сила инерции

Фе = -тпрЯе = -Шпр^ + о^);

здесь ае — переносное ускорение; аЩ и ае — нормальное и касательное переносные ускорения ЦМ призмы в случае, если она движется вместе

с ПСК, не имея в рассматриваемый момент относительного движения.

_ —* _

Проекции силы Фе на координатные оси ПСК имеют вид

Фех = -Шпрап = -m^Ui, Фez = -Шпрае = -Ш^.

Кориолисова сила инерции выражается следующим образом:

—* —*

Фk = -шщак = -2шпр

где Ur = (Х, Z) — относительная скорость ЦМ призмы в ПСК;

—* —* _

ф = v 1/R — угловая скорость вращения ПСК; R — радиус окружности, образованной точками расположения начала отсчета ПСК отно-

—*

сительно НСК. Проекции силы Фк на координатные оси ПСК имеют вид

Фкх = 2шпр R Х, Фkz = -2шпр RZ.

Подставляя в уравнение (6) выражения (7), (14), (16) с учетом выражений (15), (17), в проекции на оси ПСК получаем

(sin а ^ д cos а) (Fi(z) + F2(z)) — F3(x) — Cx (ui — u2 + x)-

— C^x — Шп^ Ui — 2Rx ) = m^x,

(cos a ± д sin a) (F1(z) — F2(z)) — Cz (v1 — v2 + z) —

— Cпрz — тпр ^Vi + 2Viz^ = m^z.

Решение системы дифференциальных уравнений (18) ищем при следующих начальных условиях:

x(t)lí=0 = ^ z(t)lí=0 = z0, x (t)lt=0 = 0, z (t) lt=0 = 0;

здесь х0 и z0 — начальные смещения ЦМ призмы относительно начала ПСК, вызванные силами прессовки сердечника, веса активной стали и внешнего крутящего момента, определяемые из уравнения статики. Рассмотрим действие на призму каждой из этих сил в отдельности.

Прессовка сердечника при сборке генератора приводит к начальной деформации гребенки листов активной стали всех поверхностей Т-паза. Задавая значение z = znp, из решения уравнения равновесия ЦМ призмы

можно найти xnp. Значениями xnp и znp определяются условия действия нелинейных результирующих сил упругости со стороны Т-паза сердечника на призму в формулах (7), (8), (11).

Сила тяжести сердечника массой M1 уравновешивается силой упругости стандартных упругих элементов подвески. Полагая равномерным распределение силы тяжести по стяжным призмам, получаем, что радиальное и тангенциальное смещения ПСК относительно НСК имеют вид

д M10 .

Au = u1 — u2 = cos р, Av = v1 — v2 = sin p, (21) CC

где С — суммарная жесткость упругой подвески при смещении сердечника в радиальном направлении.

Электрические силы, действующие между ротором и статором в номинальном режиме работы генератора, создают передаваемый статору постоянный электромагнитный крутящий момент Мн, который поворачивает сердечник и ПСК относительно НСК. Тангенциальное перемещение ПСК, вызванное крутящим моментом, представим в виде

¿V = -д-С.;

тЕрСг

здесь т — число стяжных призм, на которые шихтуется сердечник; Яр — радиус окружности, образованной точками расположения стандартных упругих элементов.

Из условий равновесия ЦМ призмы под действием статических сил

(sin а ^ ^cos a)(Fi(z) + F2(z)) — F3(x) — Cx(Au + x) — Спрх = 0

(cos а ± ^ sin a)(F1(z) — F2(z)) — Cz (Av + Sv + z) — C^z = 0

находим начальные радиальное x = x0 и тангенциальное z = z0 смещения ЦМ призмы относительно ПСК.

Анализ системы уравнений (23) показывает, что результирующая сила действия статических сил, определяющая начальные условия (19) для системы дифференциальных уравнений (18), зависит от расположения призмы на спинке сердечника статора. Одни призмы под действием внешнего момента получают нагрузку, дополнительную к весу активной стали сердечника, а другие, наоборот, освобождаются от нее. Поэтому возникновение дефекта ослабления плотности посадки также зависит от расположения призмы.

Анализ численного решения системы (18) методом Рунге-Кутта че-твертого порядка показывает, что тангенциальное z(t) и радиальное x(t) перемещения ЦМ призмы представляют собой периодические, но не гармонические функции, удовлетворяющие условиям Дирихле. Поэтому результат численного решения системы (18) можно представить в аналитическом виде, разложив x(t) и z(t) в ряд Фурье по частотам, целочисленно кратным p = 2п/Тв, где Тв — период вынужденных колебаний. Представим радиальное перемещение ЦМ призмы в виде ряда Фурье:

x

n=1 n=1

где

т т т

1 Г 2 Г 2 Г

а0 = — ап = — ж(£)соэ пр£ Ьп = — ж(£)эт пр

0 0 о

Ап = л/аП + ЬП, вп = arctg ^, рп = пр, п =1, 2,... .

Ьп

Тогда результирующее радиальное усилие, действующее на корпус при дефекте ослабления плотности посадки призмы, получим по третьему закону Ньютона из выражения (12):

= СХМ*) - и

здесь — гармоническая составляющая радиальной силы в слу-

чае идеального шарнирного соединения "ласточкин хвост" призмы с Т-пазом сердечника; Ех (¿) — периодическая составляющая радиальной силы, несущая информацию о дефекте ослабления плотности посадки.

Подставляя ряд (24) в выражение (25) и пренебрегая постоянным членом а0, не влияющим на вибрацию корпуса, получаем

ад) = Ап 81п

п=1

Тогда сила, действующая на одну поперечную стенку корпуса, имеет вид

ГО

^х1

п=1

где Сх1 = Сх/в, в — число прорезей в стяжной призме.

Математическая модель изгибных колебаний корпуса с дефектом упругой подвески. Сечение корпуса в месте приложения сосредоточенной периодической силы ^х1(£) представляет собой поперечную стенку — массивное кольцо, соединенное с помощью жестких поперечных ребер (призматических стержней) с обшивкой. Концы ребер жестко заделаны в поперечной стенке и обшивке корпуса (рис. 3, а; см. рис.1).

Кольцо служит примером многосвязного тела. Для полного определения поля напряжений в таких телах недостаточно знать граничные условия для напряжений. Необходимо рассматривать дополнительные уравнения, представляющие собой условия однозначности возможных

перемещений элементов [7]. Пусть сосредоточенная периодическая сила Ех1 (£) приложена в месте соединения поперечной стенки с ребром корпуса генератора. Исходя из геометрии поперечной стенки, ребер и обшивки генератора, проведем расчет вибрации сечения корпуса генератора в месте приложении силы (£) при следующих допущениях:

— изгибной жесткостью обшивки пренебрегаем, поскольку она мала по сравнению с жесткостью поперечной стенки;

— угол поворота сечения в соединении "поперечная стенка — ребро" полагаем равным нулю, а само соединение — заделкой;

— примем, что напряженное состояние в поперечной стенке между двумя ребрами такое же, как в прямолинейном брусе, поскольку длина дуги окружности мала по сравнению с радиусом кривизны поперечной стенки [8].

Введем ПСК 02х2г2, связанную со средней линией поперечной стенки корпуса. Тогда с учетом сделанных допущений приходим к расчетной схеме изгибных колебаний поперечной стенки корпуса под действием сосредоточенной периодической силы ^ж1(£) при следующих граничных условиях для любого момента времени (рис. 3, б):

в сечении А—А: x2

Z2 = 0

= 0,

dx2

dz2

Z2=0

= 0;

в сечении B—B:

dx2

dz2

всечении С — С: x2

= 0;

Z2—1п

= 0,

dx2

Z2 — 21пс

dz2

= 0;

Z2 2/пс

здесь 1пс — длина пролета поперечной стенки между соседними поперечными ребрами корпуса. В силу симметрии действия силы относительно левой (сечение А—А) и правой (сечение В—В) заделки можно упростить расчетную схему, разбив ее на две эквивалентные. Из решения дифференциального уравнения изгибных колебаний с граничными условиями (28) следует, что частота первой формы собственных колебаний одного пролета поперечной стенки намного больше частоты возмущающей силы. Поэтому в расчетах можно использовать статическую жесткость поперечной стенки корпуса в сечении В—В

Спс =

/3

TT Г4

где Е7пс — изгибная жесткость поперечной стенки корпуса, 7пс — момент инерции осевого сечения поперечной стенки.

Результирующее радиальное перемещение средней линии окружности корпуса в сечении В — В является суперпозицией перемещений от действия силы магнитного тяжения (см. формулы (2)) и сосредоточенной периодической силы Fxi(t), вызванной дефектом ослабления плотности посадки:

i \ Fxi (t) . , х Cxi ^—л . ,

U2B-B = u2(t)--—— = 2A2 cos 2(<£ — ut) — у An sin(p„t + вп),

Сп

Спс

n—1

где

Cx1 =

24EJ(

б

l3 /б

1б — половина длины стандартного упругого элемента — балки;

— изгибная жесткость упругого элемента в радиальном направлении. Подставляя выражения (29), (31) в формулу (30), окончательно получим

U2B-B = 2A2 cos 2(<^ — ut) —

J / /

^пс. V /I

(S

3 га

n—1

An sin

Вычисляя вторую производную по времени, получаем ускорение из-гибных колебаний корпуса в сечении В — В:

U2B-B (t) = -8A2W2 cos 2(р - wt) - — I I sin(p„t + вп).

—пс V -б / , 4 у n=1

Анализ решения (33) показывает, что виброускорение корпуса генератора в сечении В — В при дефекте плотности посадки пропорционально радиальному перемещению (t) ЦМ призмы относительно начала ПСК Ожг.

Результаты математического моделирования. Результат расчета спектра виброускорения u2B-B корпуса турбогенератора ТВВ-320-2 с дефектом ослабления плотности посадки по программе, реализующей разработанную математическую модель и включающей в себя более 40 основных геометрических и физико-механических параметров конструкции [5, 6], представлен на рис. 4. Анализ результатов математического моделирования показывает, что можно выделить следующие общие закономерности в изменении спектра ускорения изгибных колебаний корпуса при дефекте ослабления плотности посадки.

1. Нормальному функционированию двухполюсного турбогенератора ТВВ-320-2 без дефектов упругой подвески соответствуют из-гибные колебания корпуса на удвоенной частоте вращения ротора (100 Гц) [6].

2. Ослабление плотности посадки сопровождается проскальзыванием соединения "ласточкин хвост" призмы внутри Т-паза сердечника и появлением в низкочастотной области спектра (до 1 кГц) гармоник, целочисленно кратных удвоенной частоте вращения ротора (см. рис. 4, а). Дальнейшее уменьшение плотности посадки приводит к возрастанию амплитуд этих гармоник.

3. Развитие дефекта сопровождается контактной коррозией металла в местах соприкосновения элементов и формированием зазора между гранями "ласточкина хвоста" призмы и Т-паза сердечника, что приводит к увеличению в спектре числа составляющих, целочисленно кратных удвоенной частоте вращения ротора, и перераспределению энергии между ними (см. рис. 4, б).

4. Увеличение энергии гармоник, целочисленно кратных удвоенной частоте вращения ротора, сопровождается уменьшением амплитуды колебаний основной гармоники.

Выводы. Разработанная математическая модель описывает вибрационное состояние электрических машин в условиях отклонения их

¡¡2BB,MlCZ

U-1,0 -0,8 -0,6 -OA -0,2 -

±A LA........., ,

0 200 400 600 800 1000 1200 f/ц

й2вв,м/сг a

2,25

2,00

1,75 1,50 1,15 1,00 0,75 0,50 0,25

0 200 400 600 800 1000 1200 f, Гц

5

Рис. 4. Амплитудный спектр виброускорения корпуса турбогенератора с дефектом ослабления плотности посадки:

а — перемещение соединения "ласточкин хвост" призмы внутри Т-паза сердечника без зазора, б — с зазором.

технического состояния от идеального и представляет интерес для специалистов по динамике и прочности машин, особенно в области электромашиностроения. Перспективным направлением развития модели, расширяющим ее диагностические возможности, является учет ударного характера взаимодействия в соединении "ласточкин хвост" призмы и Т-пазе сердечника при выработке зазора и определение параметров упругих волн деформации, распространяющихся по механическим конструкциям генератора. Результаты математического моделирования могут быть использованы при решении задач обнаружения и распознавания по спектру виброускорения корпуса генератора различных стадий развития дефекта упругой подвески.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. О стратегии развития электроэнергетики России на ближайшие 15 лет // Энергетик. - 2001. - № 1. - C. 2-5.

2. Ремезов А. Н., Романов Л. А., К о с и н о в Ю. П., Б р ж е з я н с-к и й С. Э. Проблемы технического перевооружения энергопредприятий РАО "ЕЭС России" и пути их решения // Электрические станции.- 2001. - № 1. -С. 55-59.

3. Мамиконянц Л. Г., Моржин Ю. Н., С а в в а и т о в Д. С., Шакарян Ю. Г. Электротехнические проблемы научно-технического прогресса электроэнергетики // Электрические станции. - 2000. - № 1. - С. 59-62.

4. Подрез В. М. Упругие колебания статора турбогенератора // Сборник "Электрические машины" Ин-та электротехники АН СССР. - М.-Л.: Наука, 1965. -С. 94-106.

5. Подрез В. М. Методика расчета частот собственных колебаний статора турбогенератора // Сборник "Электрические машины" Ин-та электротехники АН СССР. - М.-Л.: Наука, 1965. - С. 112-126.

6. Титов В. В., Хуторецкий Г. М., Загородная Г. Аи др. Турбогенераторы. Расчет и конструкция / Под ред. Н.П. Иванова, Р.А. Лютера. - Л.: Энергия, 1967. - 895 с.

7. Тимошенко С. П., Г у д ь е р Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1975. -575 с.

8. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М.: Физматгиз, 1959. - 439 с.

Статья поступила в редакцию 26.12.2003

Андрей Леонидович Назолин родился в 1972 г., окончил в 1996 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Автономные информационные и управляющие системы" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 30 научных работ в области технической диагностики машин и механизмов.

A.L. Nazolin (b. 1972) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 1996. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Autonomous and Control Systems" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 30 publications in the field of technical diagnostics of machines and mechanisms.