Уравнения изгиба пластинок с упрочненной поверхностью в агрессивных средах

УДК 539.3

В.В. Петров

УРАВНЕНИЯ ИЗГИБА ПЛАСТИНОК С УПРОЧНЕННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

В АГРЕССИВНЫХ СРЕДАХ

Рассмотрен алгоритм решения задач изгиба пластинок из нелинейно деформируемого материала с двумя видами непрерывных неоднородностей. Первый вид неоднородности (технологическая неоднородность) создается специально для повышения прочностных характеристик поверхностных слоев. Второй вид неоднородности возникает при действии на материал пластинки агрессивной внешней среды. В этом случае прочностные характеристики материала ухудшаются, а толщина поврежденного слоя со временем увеличивается.

Пластинка, физическая нелинейность, непрерывная неоднородность, инкрементальные уравнения

V.V. Petrov

EQUATIONS OF PLATE BENDS WITH THE WORK-HARDENED SURFACE IN AGGRESSIVE ENVIRONMENTS

The article describes the bending algorithm for plates made from nonlinear deformed materials having two types of continuous heterogeneity. The first type of heterogeneity (technological heterogeneity) is created to upgrade the surface layer characteristics. The second type of heterogeneity occurs from the impact of aggressive external environment on the material of the plate. All this results in the decrease of endurance properties of the materials, whereas the width of the damaged layer eventually increases.

Plate, physical non-linearity, continuous heterogeneity, equations are in increase

В инженерной практике находят применение пористые материалы. Они обладают рядом преимуществ: пористые материалы легкие, жесткие, эффективно поглощают шум, обладают низкой теплопроводностью. Благодаря этим преимуществам пористые материалы в виде пено- и газобетона находят широкое применение, в частности в строительстве. В последнее время созданы достаточно эффективные технологии получения пеноалюминия, который, кроме перечисленных достоинств, способен поглощать энергию удара и обладает низкой электропроводностью. Область применения этого перспективного материала в технических приложениях еще до конца не определена.

Для улучшения прочностных характеристик конструкций, изготовленных из пористых материалов, применяют упрочнение ее поверхностных слоев, что является причиной появления в материале конструкции технологической неоднородности. В данной статье предполагается, что плакируются поверхностные слои пластинки, работающей на изгиб, и не обсуждаются технологические вопросы создания упрочненных поверхностных слоев пористого материала. В общем случае диаграммы деформирования высокопористого материала и в естественном состоянии и в упрочненном состоянии - нелинейные. Полагаем, что по глубине плакированных слоев свойства материала изменяются

по нелинейному закону, который определяется применяемой технологией. Таким образом, в расчетную схему изгиба пластинки вводится технологическая неоднородность свойств материала.

Агрессивная внешняя среда контактирует с плакированным слоем и диффундирует в него. За счет физико-химического взаимодействия материала с агрессивной средой его прочностные характеристики со временем снижаются и могут достичь опасных значений, при которых начнется разрушение материала. Появляется проблема определения долговечности конструкции, то есть времени от начала ее эксплуатации до появления опасных напряжений.

В механике деформируемого твердого тела принята гипотеза об однородности материала, которая при расчете позволяет не учитывать естественную неоднородность на микроуровне. Однако применяемые технологии изготовления конструкций или воздействие на них различных физикохимических процессов приводят к появлению макронеоднородности, и механические характеристики материала становятся непрерывными функциями пространственных координат. Такую неоднородность называют непрерывной. В телах с непрерывной неоднородностью изменение механических характеристик определяется на основании экспериментальных данных. Техника осуществления экспериментов в данной статье не обсуждается. Для выполнения расчетов экспериментальные данные аппроксимируются подходящими математическими выражениями.

Рассмотрим пластинку, изготовленную из высокопористого материала с плакированием верхней и нижней поверхностей под действием произвольной поперечной нагрузки и двусторонней агрессивной внешней среды. При изгибе пластинки максимальные напряжения возникают в точках верхней и нижней плоскостей, чем и определяется эффективность этой технологической операции. Прогибы предполагаются малыми (геометрическая линейность), а связь между напряжениями и деформациями нелинейная (физическая нелинейность). Материал считается несжимаемым, поэтому коэффициент Пуассона равен 0,5. Агрессивная среда, проникая в материал пластинки, ухудшает его прочностные характеристики и образует поврежденный слой. Нижнюю плоскость этого слоя называют фронтом повреждения. Со временем толщина поврежденного слоя растет, и в конструкции появляются дополнительные напряжения и деформации.

На рисунке приведена кривая деформирования плакированного материала (1) и кривая деформирования пористого материала (2). Пунктиром показаны линейные зависимости. Разница в этих характеристиках может быть существенной. На этом же рисунке для линейного случая показаны способы аппроксимирования неоднородности модуля упругости в пределах упрочненного слоя, вытекающие от его относительной малости. Кривая 1 получается при массопереносе в пористый материал более прочного материала. Наклонная прямая 2 - аппроксимация кривой 1, справедливая для тонких плакированных слоев. Прямая линия 3 ограничивает прямоугольник, равный по площади треугольнику с гипотенузой 2.

При построении математической модели взаимодействия неоднородного материала конструкции с агрессивной средой используем феноменологический подход. Модель учитывает изменение (деградацию) прочностных характеристик материала, и образование слоя с изменяющимися во времени свойствами (наведенная неоднородность). Появляется подвижный фронт разрушения. Если фронт разрушения окажется выше фронта неоднородности, то произойдет изменение напряженно-деформированного состояния пластинки, а временное сопротивление материала в поврежденном слое уменьшится. Если фронт разрушения окажется ниже фронта неоднородности, то напряженно-деформированное состояние будет изменяться и за счет деградации свойств основного пористого материала пластинки, причем скорости деградации прочностных характеристик материала в плакированном слое и в основном пористом материале будут различными.

За основу берем деформационную теорию пластичности. Следуя [1], в физические уравнения нелинейно-деформируемого тела вводим две функции: функцию /(г), описывающую изменение прочностных характеристик материала по толщине плакированного слоя (технологическая неодно-20

родность), и функцию деградации секущего модуля Р(В), где В(г, 0 - концентрация агрессивной среды в произвольной точке материала.

В соответствии с деформационной теорией пластичности для несжимаемого неоднородного материала имеем

2

д— =з в; д.,

где Д— = — 81—0 - девиатор тензора напряжений; - тензор напряжений, —0 = (—х + —. )/3 -

среднее нормальное напряжение; 8у - символ Кронекера; Дв = Ву - девиатор тензора деформаций. Секущий модуль в* = / (г) Р (В) Вс, где Вс - исходный секущий модуль пористого материала. Выражение (1) справедливо при подобии кривых деформирования Сг-ег (аг, £г - интенсивности напряжений и деформаций), полученных при различном времени взаимодействия неоднородного материала с агрессивной средой. Функция деградации секущего модуля действует в пределах слоя, поврежденного воздействием агрессивной среды, а функция технологической неоднородности действует в пределах плакированного слоя.

Для вывода инкрементальных физических уравнений строим дифференциал Гато нелинейного уравнения (1) и приходим к выражению

2 2 А°С= 31>в; °. + Е';А°. ] Р

где ЕС = / (г) Ес. В [2] показано, что выражение в квадратных скобках равно ЕкДО£, где Е* = / (г) - касательный модуль, что дает возможность записать (2) в виде

22

ДД—= 3 ЕСДД.Р

Из уравнения (3) можно получить зависимости между компонентами девиаторов для

различных задач. Так, в случае задач изгиба пластинок зависимости между компонентами девиаторов имеют вид

2 ; 2 ;

Д—х — Д—о = 3 ЕкР(В)Д.х + з Е.хР (В)ДВ,

2 ; 2 ;

Д—у —Д—0 = 3 ЕкР

Дт. = 3 Е';Р (В)Д£у + 3 Е'.хуР'(В)ДВ.

где Дах, Да , Дтху - приращения напряжений, Ла0 - приращение среднего напряжения,

Двх, Дв., Дух. - приращения деформаций.

Полагая справедливой гипотезу Кирхгофа, выразим приращения деформаций с приращениями прогиба уравнениями:

. д 2Д^ . д 2Д^ . „ д 2Д^

Вх =—г 1х^’ £у =— г 1.^’ 1ху =— г~дхд. ’

где Дw - приращение прогиба срединной плоскости пластинки. Полный (накопленный) прогиб обо-

лочки обозначаем далее W

Решая алгебраические уравнения (4) относительно приращений напряжений, получим для них следующие выражения:

Aa, = 3 Elf (B) ^Ae, + 2Aey J + 3 E* (e, + 2 є, | f (B)AB Aay = | E*f(B) VAe, + 2Ae, J + 3 E* Ve, + 2e, | f(B)AB

AT, = і E* f (B)AYy + 3 ECcYyf\B)AB

Н/2

Приращения моментов можно подсчитать по формулам

А/2 А/2

ДМх = | Дахг<^, ДМу = | ДауЫг, ДМху = | Ат хугйг.

-А/2 - А/2 -А/2

Подставляя (6) с учетом (5) в (7), получим выражения приращений изгибающих моментов и крутящего момента через приращение прогиба срединной плоскости пластинки

4

AM, = — ,3

AMy =- -y 3

д Aw І д Aw

Н/2

+І 4? II El f (B) z2 dz -

3, 2 dy

2

д Aw І д Aw

-Н/2

Н/2

І д Aw г * , . 2 7

+ II Ef (B)z * -

3y 2 3,

-Н/2

2

2

2 Н/2

д 2W І 3W

чдх2 2 3y2 у_а/2

Г 3W і 3W л н/2

dy2 2 З,2

| Е>'(B)ABz2dz

| Elf'(B)ABz2dz

-Н/2

2 32Aw Hf2 „«р.пч 2, 2 д2W Нr2 7-,*Р/,тА„ 2,

AM,, = --—— I E*f(B)z dz-~^r I Ecf (B)ABz2dz

3 3,3y -Н/2 3 ^ -Н/2

,y

Определенные интегралы представляют собой переменные жесткости пластинки при изгибе, введем для них следующие обозначения:

4 к/2

J* = -7 | ЕF

3 -h/2 3 -h/2

С учетом этих обозначений приращения моментов можно записать в следующем виде:

Г 32Aw і д2 Aw 'J

AM, =- J,

- + -

З,2 2 dy2

2

j*

d 2W І d 2W

2

+

2

Г d2Aw І З2 Aw 'J

AM, =- J,

dy2

+

2 д,2

AM,

І T* d2Aw І

— J

--J

J,

J

d 2W

V 3, 2 dy j

Г d 2W І d 2W J

+

dy 2 3,

2

2 d,dy 2 c d,dy

Как известно, уравнение равновесия пластинки имеет вид

d 2AM,

+2

d 2AM„, d2AM,

,y

+

= -Aq .

Эх2 дхду ду2

Подставляя выражения приращений моментов (9) в уравнение равновесия (10), получим сле

дующее уравнение:

.31

З,2

2

J

J

З Aw І З Aw

-+—

З,2 2 dy

J" д2 * d2Aw д2 " Г

J_ + d,3y 1 3 і + 3y2 1 J

d2Aw І d2AwJ

dy 2 d,

2

j

=Aq -Aq*

Для более компактной записи этого уравнения в круглых скобках уравнения (11) добавим и вычтем одно и то же выражение. После этого уравнение (11) можно переписать следующим образом:

З2 т* Г d2Aw І d2Aw І d2Aw І d2Aw^

З,

2 Jk

д,2

- + -

- + -

2 dy 2 dy 2 dy J d,dy d,dy

+

д2

J,

З2 Aw

+

+

З2 * Г d2Aw І d2Aw І d2Aw І З2Aw^

dy2 Jk V dy2 2 d, 2 d, 2 d,2

+

+

= Aq -Aq^

После простых преобразований это уравнение принимает вид

V2

J*(V^w)]-2L(J'„Д*) = Дц-ДЦф ,

где приращение фиктивной нагрузки подсчитывается по формуле

Ь9ф =^2 [л‘ (^)] - 2 Ц () ,

где дифференциальный оператор Ц(А, В) имеет следующий вид:

д2 Г, д2в „ д2 Г д2в } д2 г

L (А, B ) =

dx2

А-

ду2

2

А

+ -

ду2

2

А

д2 B

dx2

дхду ^ дхду

В зависимости от конкретных условий функция неоднородности /(г) может задаваться различными аналитическими выражениями. Например, ее можно задать в степенном виде или использовать экспоненциальные зависимости. В общем случае в зависимости от особенностей неоднородности, выявленных экспериментально, аппроксимирующая функция выбирается с учетом трудоемкости получения решения.

Вернемся к вопросу вычисления жесткостных коэффициентов (8), которые представляют собой определенные интегралы по толщине пластинки. При их вычислении полезно помнить, что определенный интеграл представляет собой площадь подынтегральной функции ограниченной пределами интегрирования. В качестве первого примера рассмотрим случай, когда для пористого материала и материала плакированных слоев справедливы обобщенные законы Гука (см. рис. 1 - пунктирные линии на

кривых деформирования). В этом случае модуль упругости плакированного материала Епл = Е0/ (г), где Е0 - модуль упругости пористого материала. Если фронт неоднородности находится на расстоянии

£0 от срединной поверхности пластинки, то ^о — |г| — к/2. Если изменение модуля упругости по толщине пластинки принять в виде 3 (см. рис. 1), то цилиндрическая жесткость изгиба неоднородной пластинки может быть подсчитана по формуле О = кО0, где О0 - цилиндрическая жесткость однородной пластинки, к - коэффициент неоднородности, определяемый по формуле

(

E.

E

V E0

V 7з Л

і - в ^3

yv h3 У

Так как Епл / Е0 > 1, г0 / к < 1, то коэффициент неоднородности к > 1. Ниже в таблице в качестве примера показано изменение коэффициента неоднородности к при изменении других параметров неоднородности.

,4 0, II /h 0 Z0 / h = 0,45

3 II 1,16 1,09

4 II 1,24 1,13

Из таблицы следует, что при указанных параметрах неоднородности цилиндрическая жесткость пластинки может увеличиться на 9-24%, а так как в линейных задачах прогибы и деформации обратно пропорциональны жесткости, то они уменьшатся. При наличии технологической неоднородности нагрузку на пластинку можно соответственно увеличить.

Функция деградации секущего модуля Р(В) может быть определена либо из эксперимента, либо как решение кинетического уравнения

Г

F

= - f

Начальное условие для этого уравнения следует записать следующим образом F(0) = І. Если относительная скорость изменения секущего модуля постоянна f (B) = Л = const, то решение уравнения (17) имеет вид F(B) = е~ЛЛ , что совпадает с результатами экспериментов [3].

При малой толщине слоя материала пластинки, пораженного агрессивной средой, можно считать, что концентрация агрессивной среды по толщине пластинки меняется по линейному закону

ад=Во 5

где В0 - концентрация агрессивной среды на поверхности пластинки, |г| — модуль координаты г точки в пределах пораженного слоя; 5(0 - толщина пораженного слоя материала пластинки (к/2) —5< |г| ^ к/2. Приращение концентрации агрессивной среды в произвольной точке поврежденного слоя материала пластинки подсчитываем по формуле ДВ = ( ^В1Д5, поэтому в результате

получим

ДВ = Во ^—^Т Д5

Учет неоднородности свойств материала и действие агрессивной среды учитывается в жест-костных коэффициентах (8) уравнения (13) и в коэффициентах выражения фиктивной нагрузки. Так

как Е* = / (X у. г) Ес , жесткостные коэффициенты (8) необходимо вычислять по формулам

с ' к/2

к/2

Л И /2 Л

Ч = -3 / /(X, у, г)Е^(В)гЧг, Г* = - / /(х, у, г)Е,Г(В)ДВг.

3 -И/2 3 -И/2

Если кривая деформирования однородного материала аппроксимирована кубической параболой Ог = Е£; — т£3, где Е - модуль упругости исходного однородного материала, а т - экспериментальный коэффициент, то секущий и касательный модули будут определяться выражениями Ес = Е — т£‘2, Ек = Е — 3т£2. Интенсивность деформаций определяется выражением

2 2 2 1 2

£. =^=Ає + ЄЄ +£ + — Г

1 /3 V х х у у 4 ху

Подставляя в это выражение формулы (5), получим

2

где квадратичная функция полного прогиба Я(Ш) имеет вид

ду

V дх У

+

д2^

ду2

+

д^

V дх У

ду2

+

дхду

С учетом (22) секущий и касательные модули будут иметь вид

4т

Ес = Е —— г2 Я ^), Ек = Е — 4тг2 Я ^) .

При вычислении определенных интегралов в (20) следует учитывать области определения входящих в них функций и использовать сглаживающие возможности этих интегральных операторов.

Заключение

Плакирование поверхностных слоев пластинок повышает их несущую способность. С ростом разницы между модулями упругости плакированного материала и исходного несущая способность пластинок существенно увеличивается.

Предлагается следующий алгоритм расчета при помощи полученных инкрементальных уравнений. Пластинка последовательно нагружается приращениями поперечной нагрузки Дq до заданного уровня нагружения. После этого в уравнении (13) приращение нагрузки обнуляется, и пластинка последовательно нагружается фиктивной нагрузкой Дqф, отражающей действие агрессивной среды и движение фронта разрушения в глубь материала пластинки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петров В.В. Учет неоднородности материала при определении долговечности конструкций в агрессивных средах / В.В. Петров // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2010. С. 46-52.

2. Петров В.В. Алгоритм расчета элементов конструкций с учетом физической нелинейности материала / В.В. Петров // Вестник ВРО РААСН. Вып. 5. Н. Новгород, 2002. С. 35-39.

3. Селяев П.В. Диаграммы деформирования композиционных материалов при воздействии жидких агрессивных сред / П.В. Селяев // Проблемы прочности элементов конструкций под действием нагрузок и рабочих сред: сб. науч. тр. Саратов: СГТУ, 2006. С. 46-52.

Петров Владилен Васильевич - Vladilen V. Petrov -

академик Российской академии архитектуры Academician of the Russian Academy

и строительных наук, доктор технических наук, of Architecture and Construction Sciences,

профессор, Заслуженный деятель науки и техни- Dr.Sc., Professor, Honored Science and Engineering

ки РФ, Почетный строитель РФ, заведующий Worker of RF, Honorary Civil Engineer of RF,

кафедрой «Механика деформируемого твердого Head: Department of Mechanics

тела» Саратовского государственного of Deformable Rigid Body,

технического университета имени Гагарина Ю.А. Yu. Gagarin Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 03.10.11, принята к опубликованию 15.11.11