Методологические особенности и специфика построения теории школьных математических задач

162

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки, 2015, № 2 (38), с. 162-170

УДК 512

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ И СПЕЦИФИКА ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

© 2015 г. А.А. Аксёнов

Орловский госуниверситет

aksenovaa@inbox.ru

Поступила в редакцию 12.01.2015

Представлен один из альтернативных концептуальных подходов к построению теории школьных математических задач. Суть этой теории состоит в том, чтобы, во-первых, с общих позиций теоретически описать все возможные разновидности математических задач, которые методически целесообразно использовать в обучении школьников, а во-вторых, охарактеризовать то, как специфика задач обусловливает особенности процедуры обучения школьников их решению. В качестве конструктивного основания теории выбрана трактовка категории «задача», предложенная Ю.М. Колягиным, дополненная В.И. Крупичем и скорректированная с учётом исследований А.В. Брушлинского.

Ключевые слова: математическая задача, решение, теория задач, методологический базис теории.

Введение

Любая наука проходит три этапа своего становления: этап накопления первоначальных сведений; эмпирический этап; теоретический этап. В настоящее время относительно молодая педагогическая наука находится на начальной стадии теоретического этапа, поскольку в ней активно предпринимаются попытки теоретически переосмыслить и описать практически все накопившиеся за несколько десятилетий эмпирические разработки. В частности, одной из наиболее теоретически переосмысленных проблем является проблема обучения школьников решению задач. Есть основания утверждать, что в настоящее время назрела необходимость построения теории, с общих позиций описывающей всё многообразие школьных математических задач и сущность процесса обучения их решению.

В настоящей статье излагается методологический базис построения теории школьных математических задач. Для достижения этой цели необходимо: а) обосновать необходимость и своевременность разработки этой теории; б) описать её конструктивное и концептуальное основания; в) представить методологический инструментарий, с помощью которого она может быть построена; г) предложить разветвлённую структуру разрабатываемой теории, включающую в себя общелогический аспект (описание сущности и назначения её основных составных частей) и конструктивный аспект (декомпозиция её основных частей и более подробная характеристика их предметного содер-

жания); д) охарактеризовать основные атрибуты теории (свойства, функции, категориальный аппарат); е) выявить специфические особенности построения теории, характерные для избранного концептуального подхода к её построению.

В дополнение к такой теории необходимы ещё и многие эмпирические исследования, которые учли бы специфику предметного материала (например, тематическую принадлежность задач) или особенности применения данных задач на различных этапах обучения (например, решение задач на доказательство в планиметрии или стереометрии). Подобные эмпирические наработки призваны адаптировать теорию к применению в практике школьного обучения. Только совместное использование результатов теоретических и эмпирических исследований может дать педагогической науке полноценный базис, опираясь на который учителя смогут в полной мере осмыслить сущность проблемы применения задач в обучении математике и более эффективно реализовывать такое обучение на практике. Однако в настоящее время проблема построения такой теории не решена, но к её решению в науке предпринималось несколько попыток.

Основания теории школьных математических задач

1. Исторический аспект построения теории. В последней трети XX века методистами-математиками были защищены четыре диссертации на соискание учёной степени доктора

педагогических наук, посвященные различным аспектам проблемы использования задач в обучении школьников. Авторы этих работ -Л.М. Фридман (1971 г.), Ю.М. Колягин (1977 г.), Г.И. Саранцев (1987 г.), В.И. Крупич (1992 г.). Они на теоретическом уровне рассмотрели ряд важных аспектов проблемы использования задач в обучении математике [1-5].

Далее исследования Л.М. Фридмана преимущественно были дополнены им и адаптированы к опубликованию в качестве книг для учителей и учащихся. Г.И. Саранцев выполняет свои исследования в русле, которое в определенной мере берет свое начало в книгах Д. Пойа. Г.И. Саранцеву удалость переосмыслить методические начинания Д. Пойа, вывести их на высокий научный уровень. Ю.М. Колягин избрал иной подход. Им были заложены основы теории, в которой проблема применения задач в обучении школьников математике решается исходя из теоретической сущности самих задач (их информационной структуры) в контексте системного подхода. Далее эту теорию развил В.И. Крупич, рассмотрев понятие внутренней структуры задачи. Таким образом, трудами Ю.М. Колягина и В.И. Крупича в науке оформилось отдельное научное направление (в рамках которого свое диссертационное исследование выполнил автор этой статьи [6]). Таким образом, к настоящему моменту в методике обучения математике четко обозначились два различных подхода к теоретическому описанию проблемы обучения решению задач: подход Г.И. Саранцева и подход Ю.М. Колягина -В.И. Крупича. Само по себе это немаловажно: во многих науках с развитым теоретическим аппаратом часто создается несколько альтернативных теорий для одной предметной области.

Остановимся на подходе Ю.М. Колягина -В.И. Крупича, сущность которого может быть представлена следующим образом. В качестве конструктивного основания разрабатываемой теории следует взять категорию «задача» в ее трактовке, предложенной Ю.М. Колягиным и дополненной В.И. Крупичем. Также нужно учесть замечание А.В. Брушлинского о том, что в задачах искомое и требование - разные реальности [7]. Описываемый подход позволит построить теорию школьных математических задач в классической методологической традиции, характерной для диалектической логики, в которой под научной теорий принято понимать лишь такое построение, которое выполнено с помощью метода восхождения мысли от абстрактного к конкретному на основе одного исходного конструктивного основания, то есть

монистически. Предметным содержанием такой теории может быть лишь то, что диалектически выведено из исходного конструктивного основания. Всё перечисленное относится к атрибутам диалектико-материалистической научной методологии, роль которой в научном познании в настоящее время возрастает [8, с. 318]. Заметим также, что вся отечественная методика обучения математике прошла своё научное становление в рамках этой научной методологии (в то время в нашей стране просто не было альтернативных научно-методологических направлений). Поэтому построение теории школьных математических задач на основе диалектико-материалистической методологии позволит соблюсти методологическую преемственность со всеми научными разработками, выполненными по данной и смежной тематике ранее, что, разумеется, немаловажно.

Если в указанной методологической традиции предметным содержанием теории может быть лишь то, что диалектически выведено из исходного её основания, то теория школьных математических задач должна включать в себя следующее:

а) выявление и описание всевозможных разновидностей школьных математических задач, которые могут быть названы их теоретико-методическими характеристиками (поскольку исходным конструктивным основанием является категория «задача»);

б) описание детерминации специфики использования задач в обучении математике их теоретико-методическими характеристиками (поскольку в состав указанной категории «задача» входит субъект, но лишь как носитель действий (некий оператор), а не как личность).

2. Концептуальное и конструктивное основания теории. Исходя из описанного выше подхода к установлению предметного содержания теории школьных математических задач, в качестве её концептуального основания (то есть ведущего замысла, конструктивного принципа исследования) в настоящее время вполне можно принять стремление вывести как можно большее количество следствий из конструктивного основания (разумеется, с помощью и в рамках диалектической логики). Конечно, окончательное построение такой теории требует того, чтобы учёные последующих поколений преобразовывали созданное их предшественниками, выкристаллизовывая инвариантные во времени научные положения.

Представим трактовку категории «задача», которая выбрана в качестве конструктивного основания теории.

Рассмотрим сложное замкнутое образование «человек - задачная система», в котором задача тоже понимается как объект, являющийся системой. Схематически оно изображается «Б-Р». В нём задачная система определяется на множестве:

р = {*л ть а/2 т 2, ...},

где а, Ь - элементы множества;Л,/2 - свойства элементов; т1, т2 - отношения между элементами или их свойствами. Под человеком понимается абстрактный субъект. Ситуация в образовании «Б-Р» называется стационарной по отношению к данному субъекту, если ему известны все элементы, их свойства и отношения между ними. В противном случае имеет место нестационарная, или проблемная ситуация. Она становится задачей, если у субъекта возникает потребность найти неизвестные элементы. Решить задачу - значит в образовании «Б-Р» привести проблемную ситуацию к стационарной. Для существования задачи необязательно само её решение. Необходимо лишь осознание субъектом нестационарности ситуации [1; 2].

В образовании «человек - задачная система» задача как сложный объект представлена диалектическим единством информационной структуры, которая фактически является формой её представления субъекту, и внутренней структуры, выявляемой в задаче на основе осмысления основного отношения в ней (отношения между условием и искомым, которое находится на верхнем уровне иерархии в системе отношений, реализованных в задаче, и управляет процессом поиска её решения) [3].

Информационную структуру любой задачи можно рассматривать как систему Б = (А, В, Е, С, Б, Я), замкнутую в том смысле, что все её компоненты могут быть определены в системе «человек - задачная система». Смысл этих компонентов следующий:

А - условие (условия) задачи, то есть данные и отношения между ними;

В - требование задачи, то есть то, что нужно сделать в данной задаче (выражается вопросом или побудительным предложением);

Е - искомое в задаче, то есть то, что в ней требуется найти, доказать или выяснить;

С - базис решения задачи (теоретическая и практическая основа, с помощью которой обосновывается решение);

Б - способ, определяющий процесс решения задачи, то есть способ действия по преобразованию условия (условий) задачи для выполнения требования;

Я - основное отношение в отношениях между данным и искомым в задаче.

Заметим, что любой научной теории должны быть присущи некоторые методологические реалии, которые позволяют заключить, что данный научный текст действительно представляет собой обособленную научную теорию. В частности, ими являются:

а) наличие трёх основных составных частей: методологической части, собственно теоретической части и технологической части (в которой обычно описывается прикладной аспект теории);

б) фундаментальная и частные теоретические схемы как средство структурного упорядочивания научной теории;

в) свойства научной теории;

г) функции научной теории;

д) категориальный аппарат научной теории.

Опишем каждую из этих составляющих подробнее.

Структура теории школьных математических задач

Структура описываемой в статье теории не может быть представлена в единственном ракурсе из-за её многоаспектности. Поэтому логично избрать представление её структуры в виде двух страт. Первая страта - основные составные части теории: методологическая, собственно теоретическая, технологическая. Вторая страта - представление структуры теории с помощью фундаментальной и частных теоретических схем.

Содержанием первой страты является выявление сущности теории, определение направления её внутреннего развития в контексте представленных в предыдущем разделе статьи концептуального и конструктивного оснований, а также избранного методологического подхода к её построению. Здесь же конкретизируется методологический инструментарий, выявляются параметры, которые, во-первых, определяют суть предметного содержания теории, во-вторых, могут использоваться в оценке её структурной и логической целостности.

Содержание второй страты призвано конкретизировать и упорядочить в теории всё то, что было выявлено в первой страте, причём этот процесс выполняется совместно с осуществлением контроля наличия в теории структурной и логической целостности. Неотъемлемой частью этого процесса является выяснение вопросов о том, какими свойствами обладает данная теория, какие соответствующие ей функции (и в какой мере) она должна выпол-

нять. Ответы на эти вопросы могут быть найдены только при условии выявления взаимосвязей основных её теоретических конструктов, что неизбежно приводит к необходимости разработки чёткого категориального аппарата теории. Это проблема в статье будет описана далее в последующем разделе.

1. Основные составные части теории. Методологическая часть базируется на принятой в настоящее время многоуровневой концепции методологического знания. Её суть в том, что все методы научного познания могут быть разделены на следующие основные группы: а) философские методы; б) общенаучные подходы и методы исследования; в) частнона-учные методы; г) дисциплинарные методы; д) методы междисциплинарного исследования [8, с. 317-325]. Теория школьных математических задач должна включать в себя философские методы и общенаучные методы. Частнона-учные и дисциплинарные методы обычно применимы для наук с высокоразвитым теоретическим аппаратом. В междисциплинарных методах построение теории на современном этапе не испытывает необходимости. В частности, основным инструментом избрана диалектико-материалистическая методология, которая функционирует в русле своих важнейших принципов: объективности, всесторонности, конкретности, детерминизма, историзма, противоречия и др.

Среди общенаучных методов выделим следующие:

- методы эмпирического исследования: наблюдение, сравнение, эксперимент;

- общелогические методы и приёмы исследования: анализ, синтез, классификация, методология системного подхода, абстрагирование и идеализация, моделирование, генетически-конструктивный метод (его проявлением является мысленный эксперимент с идеализированными объектами), аналогия, индуктивный и дедуктивный методы в их диалектической взаимосвязи и единстве, метод конструктивного введения абстрактных объектов, вероятностно-статистические методы;

- методы теоретического исследования: формализация, метод восхождения мысли от абстрактного к конкретному.

С помощью последнего метода на основе категории «задача» посредством синтеза и дедукции необходимо рассмотреть ряд частных проблем, возникающих в обучении школьников общему умению работать над задачей, что и позволит в целостной теории изложить предмет исследования. По сути, этот метод для построе-

ния теории является основным. Фактически он представляет собой общий контекст и направление применения всех остальных перечисленных выше методов научного познания в деле создания теории.

Собственно теоретическая часть представляет собой комплекс всех тех научных положений, которые могут быть диалектически выведены из её конструктивного основания -трактовки категории «задача», в русле её концептуального основания. Не вдаваясь в подробности предметного содержания этой трактовки, можно утверждать, что в построении собственно теоретической части теории школьных математических задач необходимо выполнить следующее:

- во-первых, в полной мере теоретически описать школьную математическую задачу, то есть выявить все разновидности задач, зафиксировав их теоретико-методические характеристики;

- во-вторых, сопоставить эти характеристики, найти их взаимосвязи;

- в-третьих, поскольку в трактовке конструктивного основания теории присутствует абстрактный субъект, выяснить, как все теоретико-методические характеристики задач обусловливают специфические особенности обучения школьников общему умению работать над математической задачей, указать и сами эти особенности;

- в-четвёртых, установить взаимосвязь задач, обладающих данными теоретико-методичес-кими характеристиками, с их местом в структуре школьного курса математики и их ролью в обучении, воспитании и развитии учащихся;

- в-пятых, теоретически обосновать соотнесение специфических особенностей математических задач с так называемыми среднестатистическим интеллектуальными возможностями школьников (в настоящем исследовании речь идёт об описании проблемности, трудности и сложности задач);

- в-шестых, разработать модель общего умения школьников работать над математической задачей.

Можно обосновать, что этими шестью пунктами исчерпывается вся основная проблематика разработки собственно теоретической части данного исследования, однако рамки настоящей статьи не позволяют привести соответствующую развёрнутую аргументацию.

Разрабатывая технологическую часть теории, необходимо прежде всего в собственно теоретической части выделить те научные по-

ложения, которые в принципе не предназначены для практического применения. После выделения в собственно теоретической части указанных выше теоретических конструктов в ней остаются лишь те, которые могут и должны быть использованы в практике обучения. Разрабатывая технологическую часть теории, для всех таких конструктов нужно ответить на вопросы о том, как методически наиболее рационально внедрить их в процесс обучения, то есть выяснить, в каком объёме, на каких этапах, какими методическими средствами и т.п. следует реализовывать все теоретические замыслы.

Разумеется, указанные вопросы должны быть адресованы ко всем аспектам предметного содержания каждого из представленных выше шести пунктов, то есть в технологической части теории необходимо:

а) разработать прикладной аспект всех разновидностей школьных математических задач (описанный посредством их теоретико-методических характеристик);

б) учесть прикладную составляющую взаимосвязей теоретико-методических характеристик задач;

в) описать детерминацию некоторых аспектов процесса обучения общему умению работать над задачей специфическими особенностями самих задач;

г) установить правила построения школьного курса математики в контексте структурного места в нём задач с данными теоретико-методическими характеристиками, их роли в обучении, воспитании и развитии учащихся;

д) соотнести проблемность, трудность и сложность задач с их местом в структуре учебного предмета и математическими способностями учащихся;

е) выявить сущность, предметное содержание и последовательность действий, совместно составляющих постепенное изучение школьниками модели общего умения работать над математической задачей, её освоение и умение применять к различным школьным математическим задачам.

Заметим, что ответы на эти вопросы не являются лишь простой адаптацией теоретических разработок к их практическому использованию. Технологическая часть теории потому и является частью теории, что в ней тоже разрабатываются теоретические конструкты, имеющие свою специфику, ядром которой является их прикладной аспект.

2. Фундаментальная и частные теоретические схемы (эти понятия в научную методологию введены академиком В.С. Стёпиным [9]).

Разумеется, логично было бы представить эти схемы так, чтобы они конкретизировали каждую из трёх основных частей теории школьных математических задач: методологическую, собственно теоретическую и технологическую. Ниже кратко опишем их.

Можно обосновать, что фундаментальная теоретическая схема на уровне методологической части теории представляется так.

I. Метод восхождения мысли от абстрактного к конкретному (как всеобъемлющий методологический инструментарий).

II. Идеализация (и формализация) (как форма представления исходного основания и большинства выводимых из него следствий).

III. Системный подход:

а) вариация компонентов категории «задача» в соответствии с трактовкой системы, предложенной В.Г. Афанасьевым;

б) использование структурно-функционального метода в соответствии с трактовкой системы, предложенной А.И. Уёмовым.

IV. Генетически-конструктивный метод:

а) классификация;

б) метод конструктивного введения абстрактных объектов;

в) моделирование.

По сути, это основной методологический инструментарий, используемый в построении теории. Применяя этот инструментарий для собственно теоретической части теории, можно получить следующие компоненты фундаментальной теоретической схемы:

I - ТМХЗ (теоретико-методические характеристики задач);

II - СТМХЗ (сопоставление теоретико-методических характеристик задач);

III - СЗ (составление задач (как разновидность учебной деятельности школьников));

IV - ДЗДС (детерминация задачей действий субъекта);

V - ПТСЗ (проблемность, трудность, сложность задач);

VI - СМЗ (структурное место задачи в школьной математике);

VII - РВПС (реализация внутрипредметных связей);

VIII - ПООД (полная ориентировочная основа действий по выполнению работы над школьной математической задачей).

Для технологической части получаем следующий результат:

I - ЭИС ПООД (этапы изучения содержания ПООД);

II - ЭОП ПООД (этапы овладения применением ПООД);

III - ОиОУП ПООД (освоение и овладение умением применять ПООД);

IV - ДП (деятельностный подход);

V - СШКМ (структурирование школьного курса математики);

VI - ПЗвШКМ (приоритет задач в школьном курсе математики).

Частные теоретические схемы представляют собой детализацию каждой из перечисленных составляющих фундаментальной теоретической схемы. Например, ТМХЗ (теоретико-методические характеристики задач) можно конкретизировать, выявив все основные характеристики, основываясь на конструктивном основании теории - трактовке категории «задача». Заметим, что в результате такой работы могут быть выявлены новые крупные компоненты, которые можно рассматривать как второстепенные составляющие фундаментальной теоретической схемы. В частности, в процессе исследования данной проблематики было установлено, что компонент ТМХЗ будет включать в себя две крупных составляющих - ИСЗ (информационную структуру задач) и ВСЗ (внутреннюю структуру задач).

Изначально разработанные фундаментальная и частные теоретические схемы фактически совместно являются структурой теории. Дальнейшее её построение фактически сводится к заполнению конкретным предметным содержанием каждой из схем, выявленных изначально. По сути, это и есть действие в рамках метода восхождения мысли от абстрактного к конкретному.

Основные атрибуты теории школьных математических задач

1. Свойства теории. Научные теории, создаваемые с помощью диалектической логики, фактически обладают только двумя свойствами: непротиворечивости и полноты. Заметим, что в математике после работ К. Гёделя [10, с. 45-46, 141] (теорема Гёделя о полноте и две теоремы Гёделя о неполноте) стало очевидным, что невозможно строго доказать непротиворечивость и полноту данной теории, не выходя за её пределы (то есть лишь её собственными средствами), необходимо сопоставлять эту теорию с другой, принятой в качестве эталонной (как известно, в математике разработаны методы такого сопоставления). Однако здесь речь идёт о формальных системах, к которым ни в коей мере нельзя отнести теоретические разработки в педагогических (и вообще в гуманитарных) науках. Для них ещё не создан методологический аппарат, позволяющий с той или иной сте-

пенью уверенности заключить, что данная теория является непротиворечивой или полной. Однако это не означает, что нет необходимости задумываться над этими свойствами теорий и приводить достаточно убедительную аргументацию в пользу тезиса о том, что данная теория этими двумя свойствами, возможно, обладает.

Теориям свойственно развитие, поэтому по мере их совершенствования в ходе критического анализа такой аргументации может быть выявлено противоречие в теории или её неполнота, что позволит принять меры для устранения этих изъянов. Этот фактор тем более справедлив для педагогических теорий, поскольку они разрабатываются посредством диалектической логики, а она, в свою очередь, учитывает эволюционное развитие предмета исследования. Таким образом, для педагогических теорий, по крайней мере на современном этапе развития науки, нет возможности ставить вопрос об обосновании их непротиворечивости или полноты с учётом их последующего развития, которое в ряде случаев трудно прогнозировать. Можно лишь выяснять вопрос о том, в какой мере можно считать непротиворечивой и полной данную теорию в современном её состоянии. Из изложенного выше делаем вывод о необходимости введения двух понятий - актуальной непротиворечивости и актуальной полноты теории (они, очевидно, могут применяться к любым наукам, в которых теории разрабатывают с помощью диалектической логики).

В частности, нами предложен метод аргументации тезисов об актуальной непротиворечивости и актуальной полноте педагогических теорий, который основан на следующих факторах:

- во-первых, на трёх методах научного познания: формализации, классификации, конструктивного введения абстрактных объектов;

- во-вторых, на четырёхмерной модели развития педагогических теорий, в соответствии с которой построение любой теории средствами диалектической логики может выполняться в четырёх основных направлениях, которые условно были названы развитием по горизонтали, развитием по вертикали, развитием вглубь, развитием на основе сопоставления.

Подробное описание этого метода аргументации требует написания отдельных статей по каждому из показателей - актуальной непротиворечивости и актуальной полноте. Поэтому здесь ограничимся лишь констатацией наличия самого метода. Суть же его заключается в том, что он позволяет привести аргументы, которые,

разумеется, не гарантируют того, что данная теория непротиворечива или полна (напомним, что такие методы в полной мере не разработаны даже в математике), но позволяют с большей уверенностью заключить, что теория по основным своим положениям обладает этими двумя свойствами.

2. Функции теории. Любая научная теория выполняет пять основных функций: синтетическую, объяснительную, методологическую, предсказательную (или прогностическую, предписывающую), практическую [8, с. 196-197].

Прежде всего отметим, что современные педагогические теории являются феноменологическими, или описательными. Это соответствует начальным стадиям становления теоретического этапа в развитии наук. Педагогическая наука относительно молода, поэтому она в настоящее время находится на этом этапе. Из этого следуют два главных вывода.

Во-первых, по своему значению синтетическая функция абсолютно доминирует над всеми остальными функциями современных педагогических теорий. Следовательно, описание всего многообразия задач посредством выявления их разновидностей - это самое главное как в самом предметном содержании разрабатываемой теории, так и в осмыслении этого содержания.

Во-вторых, роль объяснительной функции для данной теории значительно скромнее. Тем не менее на основе анализа всего того, что непосредственно относится к синтетической функции теории, целесообразно объяснить следующие реальности:

- количество разновидностей школьных математических задач, выявленных в качестве теоретико-методических характеристик задачи (то есть следует обосновать, почему согласно конструктивному и концептуальному основаниям теории их не может быть меньше или больше и т.п.);

- структурное место каждой разновидности задач в школьной математике;

- причины затруднений, испытываемых современными школьниками в процессе выполнения поиска решения математических задач (речь идёт о логических аспектах поиска, то есть детерминируемых спецификой самих задач, прочие аспекты поиска не имеют отношения к данной теории);

- действия учителя, которые следует предпринять, обучая школьников решению задач, чтобы школьники могли в определённой мере овладеть общим умением работать над задачей;

- предметное содержание модели общего умения школьников работать над математической задачей, этапы ознакомления с основными составляющими этой модели и т.п.;

- изменения (разумеется, частичные), которые необходимо произвести в структуре и частично содержании школьного курса математики, чтобы получить возможность целенаправленного обучения школьников решению задач (любых разновидностей).

Нетрудно заметить, что перечисленные выше компоненты объяснительной функции непосредственно связаны с предсказательной (предписывающей) функцией. Тем не менее в теории школьных математических задач эта функция может проявлять себя в полной мере как прогностическая, однако имеется в виду прогноз качественный, но вполне чёткий, а в ряде случаев и опирающийся на количественные характеристики. Речь идёт о целесообразности или нецелесообразности применения в обучении некоторых разновидностей задач, например эвристических. Помимо подобных прогнозов, которых может быть в теории немного, предписывающая функция данной теории должна реали-зовываться в двух основных направлениях.

Во-первых, внутри самой теории она должна проявляться в обосновании предметного содержания её технологической части, то есть с учётом объясняющей функции необходимо выяснить, что и на каких этапах обучения следует использовать в целенаправленном обучении школьников общему умению работать над задачей.

Во-вторых, эта функция может реализовы-ваться и вне теории. Это может иметь место в выполнении научных исследований эмпирического характера, которые реализуются в контексте данной теории. Кроме того, предписывающая функция теории школьных математических задач может использоваться в процессе выполнения научных исследований, осуществляемых на стыке смежных научных проблем.

Методологическая функция теории школьных математических задач была достаточно подробно описана ранее (в плане её имманентных свойств и качеств), когда речь шла о методологической части теории.

Под практической функцией теории школьных математических задач понимается возможность её опосредованного применения в практике реального обучения.

3. Категориальный аппарат теории. Теория школьных математических задач помимо конструктивного и концептуального оснований содержит основные понятия и термины, кото-

рые используются в её построении. В частности, это такие понятия, как идея, метод и способ решения задачи, проблемность, трудность и сложность задач. Также к категориальному аппарату относятся термины, описывающие теоретико-методические характеристики задач и т.д.

В отечественной науке неоднократно предпринимались попытки такого подхода к построению научных теорий. В частности, М.Н. Скат-кин и И.Я. Лернер в таком методологическом ключе представили весьма удачную теоретическую интерпретацию общедидактических методов обучения, актуальную и по сей день. В контексте подобного методологического подхода в середине 80-х годов XX века отечественными педагогами (М.Н. Скаткин и др.) была предпринята попытка построения теории воспитания, однако она не получила должного развития из-за социальных и политических событий, которые произошли в те и последующие годы в нашей стране. Наиболее последовательным в методологическом плане примером подобного построения теории по праву можно считать труд «Теория развивающего обучения», написанный в 1996 году вице-президентом РАО В.В. Давыдовым, в котором автор, в частности, прямо указывал на монистический характер теорий, построенных с помощью диалектической логики. Более того, вся отечественная психология строится на основе единственной категории - «деятельность».

Заключение

В настоящей статье представлен один из концептуальных подходов к построению теории школьных математических задач. В частности, получены следующие результаты.

1. На основе осмысления литературных источников и основных этапов развития методи-ко-математических исследований по проблеме использования задач в обучении математике обоснована необходимость и своевременность разработки целостной теории, с общих позиций описывающей обучение школьников общему умению работать над задачей.

2. В качестве конструктивного основания теории предложено использовать категорию «задача», современная формулировка которой получена совместными усилиями Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, А.В. Брушлинского. Концептуальным основанием теории заявлено стремление с помощью диалектической логики вывести как можно большее количество следствий из конструктивного основания, которое

должно быть реализовано в контексте метода восхождения мысли от абстрактного к конкретному.

3. Представлен методологический инструментарий построения теории, включающий в себя эмпирические методы (наблюдение, сравнение, эксперимент); общелогические методы (анализ, синтез, классификация, системный подход, абстрагирование, идеализация, моделирование, генетически-конструктивный метод, аналогия, индукция, дедукция, конструктивное введение абстрактных объектов, вероятностно-статистические методы); теоретические методы (формализация, восхождение мысли от абстрактного к конкретному).

4. Предложен стратифицированный подход к составлению структуры теории школьных математических задач. Первая страта - описание основных составных частей теории: методологической, собственно теоретической, технологической. Вторая страта - представление теории с помощью фундаментальной теоретической схемы и конкретизирующих её состав частных теоретических схем. В статье показаны взаимосвязи этих страт.

5. В качестве основных свойств теории описаны её актуальная непротиворечивость и актуальная полнота. Обосновано, что теория школьных математических задач может выполнять все пять функций, традиционно считающихся основными (синтетическая, объяснительная, методологическая, предсказательная, практическая), причём основной акцент сделан на синтетической и методологической функциях. Показано, что разрабатываемая теория содержит объёмный категориальный аппарат.

6. Главная специфическая конструктивная особенность теории в контексте избранного концептуального подхода состоит в том, что в её построении следует исходить из сущности объекта - задачи, то есть необходимо описать многообразие теоретико-методических характеристик задач и влияние этих характеристик на специфику процесса обучения школьников общему умению работать над задачей. Разумеется, это не единственно возможный подход к теоретическому исследованию проблемы обучения школьников решению задач. Можно исходить и из сущности субъекта, решающего задачу. Тогда следует теоретически описывать такие присущие ему феномены, как интуиция, память, внимание, ассоциативное мышление и т.п., и их роль в работе над задачей. Однако таким образом можно построить принципиально иную теорию с другими конструктивным и концептуальным основаниями, которая во многом будет

дополнять теорию, суть которой описана в настоящей работе.

В завершение отметим следующее. Теория школьных математических задач, основанная на трактовке категории «задача», предложенной Ю.М. Колягиным и В.И. Крупичем и скорректированной с учётом исследований А.В. Бру-шлинского, в настоящее время ещё не разработана. Её построение составляет основу предмета научной деятельности автора этой статьи, в рамках которой предпринята попытка в целом описать и охарактеризовать сущность выполняемой работы. Конечной целью построения теории школьных математических задач является приведение её к эквифинальному состоянию, то есть такому, при котором нет необходимости в каких-либо существенных ее изменениях. Разумеется, эта цель может быть достигнута только усилиями многих учёных - методистов-математиков, которые на разных этапах процесса научного познания в рамках этой проблематики будут вносить свой вклад в развитие теории школьных математических задач. Учёными, разрабатывавшими эту теорию в последней трети XX века, сделано немало для создания её категориального аппарата, определения структуры, функций, эмпирических интерпретаций и т.п. Поэтому в распоряжении современных исследователей имеется весьма обширный теоретический материал, который позволяет начать работу по построению теории школьных математических задач на принципиально ином уровне, то есть в контексте представленной в

данной статье концепции построения этой теории: выведение как можно большего количества следствий из конструктивного её основания с помощью и в рамках диалектической логики. То есть сейчас вполне своевременным и актуальным является начало исследовательской работы в данной предметной области в свете такого подхода.

Список литературы

1. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. I. М.: Просвещение, 1977. 110 с.

2. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Ч. II. М.: Просвещение, 1977. 144 с.

3. Крупич В.И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач. М.: Прометей, 1995. 166 с.

4. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М.: Просвещение, 1995. 240 с.

5. Фридман Л.М. Логико-психологический анализ школьных учебных задач. М.: Педагогика, 1977. 208 с.

6. Аксёнов А.А. Теория обучения логическому поиску решения школьных математических задач. Дис. ... д-ра пед. наук. Орёл: ОГУ, 2010. 460 с.

7. Брушлинский А.В. Психология мышления и кибернетика. М.: Мысль, 1970. 202 с.

8. Кохановский В.П., Лешкевич Т.Г., Матяш Т.П., Фахти Т.Б. Основы философии науки: Учеб. пособие для аспирантов. 5-е изд. Ростов-на-Дону: Феникс, 2007. 603 с.

9. Стёпин В.С. Теоретическое знание. М.: Прогресс-Традиция, 2000. 744 с.

10. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988. 847 с.

SOME METHODOLOGICAL PECULIARITIES AND SPECIFIC FEATURES OF THE THEORY OF SCHOOL MATHEMATICAL PROBLEMS

A.A. Aksyonov

Oryol State University

We present an alternative conceptual approach to development of the theory of school mathematical problems. The essence of this theory consists in giving a general theoretical description of all possible types of mathematical problems that should be used to teach school students and in characterizing the peculiarities of the teaching procedure due to the specific features of problems. We have chosen the interpretation of the category "problem" offered by Yu.M. Kolyagin, supplemented by V.I. Krupich and corrected with the account of A.V. Brushlinsky's research, as the constructive basis for the theory.

Keywords: mathematical problem, solution, theory of problems, methodological basis of the theory.