Итерационный способ расчета тонкостенных стержнейоткрытого профиля на прочность

УДК 624.04 К. Ю. Полинкевич

ИТЕРАЦИОННЫЙ СПОСОБ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТКРЫТОГО ПРОФИЛЯ НА ПРОЧНОСТЬ

Дата поступления: 11.12.2016 Решение о публикации: 13.03.2017

Цель: Описание методики расчета на кручение тонкостенных балок открытого профиля, основанной на итерационном способе последовательного удовлетворения условиям равновесия и совместности деформаций. Методы: Рассмотрена задача кручения тонкостенного стержня открытого профиля на примере швеллера. Определен центр кручения для стержня открытого профиля. Получено дифференциальное уравнение угла закручивания оси стержня. Установлены граничные условия с целью нахождения постоянных интегрирования. Приведены гипотезы, позволяющие поставить задачу на первом цикле. Результаты: На численном примере обсуждаются результаты на первом и втором циклах, объясняется возможность перехода к третьему и последующим циклам. Рассчитаны функции продольных и поперечных деформаций, а также деформаций сдвига для каждой пластинки тонкостенного стержня. Аналогично определены нормальные и касательные напряжения. Найдена функция перемещений. Практическая значимость: Показано, что решение задачи стесненного кручения тонкостенного стержня открытого профиля с использованием метода итераций хорошо согласуется с известными решениями, полученными В. З. Власовым. В нем отсутствуют понятия секториальных геометрических характеристик, не используется понятие бимомента. На первом цикле получено решение для каждого элемента стержня, как для обычного стержня в сопротивлении материалов, - нормальные напряжения распределяются линейно, касательные - по квадратной параболе. Это решение принимается за основу следующих циклов итераций, что в дальнейшем позволяет усложнять алгоритм, рассматривать слоистые и анизотропные материалы конструкций. Также метод итераций дает возможность учитывать деформации сдвигов. В зависимости от количества циклов можно оценить напряженно-деформированное состояние в виде полиномов более высокой степени, что приводит к большей точности решения.

Ключевые слова: Теория упругости, кручение, стержень открытого профиля, метод итераций, напряжения, деформации.

Konstantyn Y. Polynkevych, postgraduate student, 10237@mail.ru (Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University) ITERATIVE CALCULATION PRINCIPLE OF OPEN PROFILE THIN-WALLED BARS STRENGTH

Objective: The description of calculation method of open profile thin-walled beams twisting, based on iterative method of consecutive satisfaction of equilibrium conditions and deformation consistency. Methods: The task of open profile thin-walled beam twisting was considered on the example of a channel bar. The center of open profile beam twist was identified. Differential equation of center line of a bar twist angle was obtained. Boundaries were established for the purpose of establishing integration constants. Hypotheses, which made it possible to set the task in the first cycle, were put forward. Results: The results of the first and second cycle were displayed by means of a numerical example, the possibility of stepping on to the third and following cycles. The functions of lateral and axial deformations, as well as shearing strain functions were calculated for each plate of a thin-walled beam. Shearing and direct stress were established by analogy. Displacement function was found. Practical importance: It was shown that the task of open profile thin-walled beam bending torsion with the application of iterative

method correlates accurately with V. Z. Vlasov's well-known solutions. There are no notions of sectored geometric characteristics and the bimoment notion. In the first cycle the solution is obtained for each beam element in a similarly way with a bar in the strength of materials - direct stress is spread in a linear way, while shearing stress is spread along quadratic parabola. This solution is taken as a principle of the following iterative cycles, which makes it possible to complicate the algorithm in the sequel and consider laminated and anisotropic materials for structures. Likewise, iterative method makes it possible to take account of shear deformation. Depending on the quantity of cycles, deflected mode can be estimated in the form of polynomials of a higher degree, which leads to a higher accuracy of solution.

Keywords: Theory of elasticity, twisting, open profile beam, iterative, stress, deformation methods.

Введение

Рассмотрена задача кручения тонкостенного стержня открытого профиля на примере швеллера. Определено напряженно-деформированное состояние (НДС) балки методом итераций. Основанный на последовательном удовлетворении условиям равновесия и совместности деформаций, он рассматривался ранее в [1, 2].

В. З. Власов предложил общую теорию расчета незамкнутых тонкостенных стержней, включающую вопросы их прочности, устойчивости и колебаний [3], А. А. Уманский -теорию расчета замкнутых тонкостенных профилей [4], В. И. Сливкер - обобщенную техническую теорию стержней [5].

Вопросы расчета статически неопределимых конструкций, состоящих из тонкостенных стержней, были рассмотрены Б. Н. Горбуновым, А. И. Стрельбицкой [6], Д. В. Бычковым [7], Н. И. Карякиным [8], Г. Ю. Джанелидзе, Я. Г. Пановко [9].

Для численного примера примем следующие исходные данные: консольный стержень имеет длину Ь, стенку высотой Н, одинаковые полки шириной В, толщину листа I. Выполнен из материала с модулем упругости Е, коэффициентом Пуассона ц. На свободном конце швеллер загружен крутящим моментом Мкр.

центра кручения Х(х,у); Ур(х,у) и угол закручивания поперечных сечений относительно этого центра ф(2) .

Для решения задачи принимаем следующие гипотезы (по теории Власова):

1) неизменяемости контура;

2) отсутствия сдвигов (применяется только на первом цикле);

3) плоских сечений (используется только на первом цикле).

Поперечное сечение швеллера будем рассматривать, как три отдельных пластины, жестко соединенных между собой по двум общим граням.

На рисунке приняты следующие обозначения: X, У - глобальные оси балки; Х1, У, Х2, У2, Х3, У3 - локальные оси пластин, пронумерованных 1, 2, 3 соответственно; X , Ур - координаты центра кручения; ф - угол поворота поперечного сечения вокруг центра кручения; их, V, и3 - поступательные перемещения элементов поперечного сечения.

Из геометрических соображений выразим эти поступательные перемещения через координаты центра кручения (X, 7) и функцию угла закручивания ф(Х) (X - продольная ось балки):

U =

f - ^

9

Определение центра кручения

Перемещения поперечного сечения при кручении можно описать через координаты

У2 = ж .ф(Z),

U3 =

H + 7, 2 р

Далее будем рассматривать каждую пластинку отдельно, характеризуя их свойства в локальной системе координат.

Деформацию каждого элемента можно описать следующими линейными функциями:

в 21 = а+ь

в ^ з — а+ ,

где а. - значение продольной деформации в начале координат; Ь. - тангенс угла наклона функции к местной оси У.

В итоге при наличии п пластинок получаем (в данном случае 3) 2п неизвестных описывающих функции деформаций и 3 неизвестных для описания перемещения поперечного сечения. Всего задача содержит 2п + 3 неизвестных.

Учитывая, что любые три элемента сопрягаются по двум граням, получаем п - 1 уравнение совместности деформаций.

От уравнений деформаций легко перейти к уравнениям напряжений

а 21 — Е (а1 + Ь1  у1),

а7 2 — Е

о23 = E(а3 + Ь3 • У3).

Из связи напряжений и деформаций (1) находим величины изгибающих моментов в своей плоскости в каждом отдельном элементе:

получаем систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов, решая которую получаем

Mi _ t j_2B azi • YdY _

t • B3 • E • b1 12

= E/ibi,

H

M2 = t j_2H az2 • YdY = t •H •E •b2 = E/b

2 B

M3 = t j_2B a z 3 • YdY =

i2

t • B3 • E • b3 i2

2 2 '

= E/3b3.

Связь между значениями моментов и пере-М

мещений вида — = -V" (х, г) дает нам еще Е1

п уравнений, из которых находятся следующие величины:

H

dMZ) „ D2

dZ2

(2 • B2 + B • H + 4 • B • Xp _

4 •

2 • B + H

H

a, _ -

dw)

dZ2

(2 • B2 + B • H + 4 • B • Xp _

4 •

bi _

d 2ф( Z ) dZ2

2

Используя другие уравнения равновесия, Мх = 0, Му = 0, определим координаты центра кручения:

b, _ ^ • Xp,

2 dZ2 р

X _ 3B2 р 6B + H

b3 _

d 2ф( Z ) _ dZ2

2

Уравнения связи между продольными деформациями в местах сопряжения выглядят так:

8zi _ ai + bi

-B

V 2 y

r H н

_ a2 + b2 • "2 _ £ z 2 ,

yp _0.

Подставив их в уравнение (2), окончательно запишем коэффициенты уравнений деформаций в виде

2ф

Ь1 , ь2 =-,

1 2 2 6В + Н

-H

£z2 _ a2 + b2 •

V 2 У

и B н

_ a3 + b3 • — _ 8 z 3 .

Добавляя к ним общее уравнение равновесия

H

N _ t j_2B azidY +1 j_H az2dY +1|_2b az,dY _ 0,

b3 _

H d2ф(Z) dZ2

B • H

2 d2ф(Z) dZ2

24 B + 4 H

,

B • H

a2 _ 0 , a3 _

2 d2ф(Z) dZ2

24 B + 4 H

ai

2

2

ai

2

B

2

Подставив полученные значения (3) в функцию нормальных напряжений, из дифференциальных уравнений равновесия можно найти выражение для касательных напряжений

doZi öx

ZYi

ÖG

dZ dY

_ 0, Tzy. • dY + Хог.

dZ

'•ZYi

f ^Z

12 , Z у

= 0,

ZYi

л

vf • Z,

V 2 У

= T

UZY3

ZY2

Л

vf' Z,

V 2 У

f H Z1

V 2, Z У _ 0.

ßi = t I

B

-B lZY1 2

dY.

Mz = ßi

H - Y'

+ ß2 • +

+ ß3

H + Y'

MCB = GId

f d Л \— Ф( Z) V dZ У

или

B3 • E • t • H2 •

72 B + 12H f d ф( z )Л

dZ3

+ GI

V

dZ

_ M

у

кр-

Функцию тш определим из граничных условий. В данном случае граничным условием для крайних пластин будет горизонтальная составляющая внешних сил на свободной грани. Для промежуточных пластин должно соблюдаться условие равенства касательных напряжений вдоль их границы

Интегрируя касательные напряжения, получим в каждом элементе поперечные силы

Запишем сумму моментов от этих сил относительно центра кручения:

Решив дифференциальное уравнение третьего порядка (5), определим функцию угла закручивания с тремя постоянными интегрирования. Полученное решение первого цикла повторяет решение В. З. Власова.

Из граничных условий найдем эти постоянные, учитывая, что

1) угол поворота в заделке ф(0) — 0 ;

2) первая производная в месте заделки также равна «0», так как на бесконечно малом расстоянии от заделки угол не изменится: ф'(0) — 0;

3) вторая производная при г = I (свободный конец балки) также равна «0», ибо в данной точке отсутствуют нормальные напряжения: ф" (Ь) — 0.

Применение метода итераций к расчету тонкостенных стержней открытого профиля

Зная значения всех неизвестных, можем записать функцию нормальных продольных напряжений, полученных на первом этапе итерационного процесса. Затем из дифференциальных уравнений равновесия по (4) для касательных напряжений имеем

и(1).

yz ,l

i (У, z) = -J

ögZI).

dz

dy + To,,

Сумма внутренних моментов по каждой пластинке при свободном кручении равна

Аналогично из уравнений равновесия касательных и нормальных напряжений определим функцию а^:

В сумме эти два момента дадут внешний крутящий момент:

MZ + Мсв = Мер.

ÖG

У,l ' / + yz,l W ' / _ 0

dy

dz

G

(iv л гдтУм(У, Z) , + (Л /(У, z) --dy + gу0,i(z).

У,l

Функция а 0 ,(2) находится из граничных условий. В данном случае граничным условием для крайних пластин будет нормальная составляющая внешних сил на свободной грани балки. Для промежуточных пластин должно соблюдаться условие равенства нормальных напряжений на их границе.

В начале второго цикла по обобщенному закону Гука получим функцию деформаций вдоль оси У, а<у2):

В

у Е

Зная функцию деформации а(у2) (у, 2), можно найти соответствующую функцию перемещения V/•2^>(у, 2), пользуясь уравнением связи между деформациями и перемещениями:

^2)

к

Далее определим функцию деформации сдвига по закону Гука:

т

(2) _ lyz, г

G

у^. _

1 yz, г

где G г _ -

E

2

Из геометрических уравнений вновь находим функцию продольных деформаций в22) (у, 2) , но это уже не линейная функция, с которой начинался первый цикл вычислений:

dW dV

у • _--+ —,

1 yz, г ^ ^ '

dy dz

dyzy _ dW d2V dz dydz dz2

dW

8z?(У, z) _

dz

дУ(2) d2V(2) J^hzz. dy + idVr- dy + 8024 z ). J dz J dz2 0, г

На этом и последующих этапах продольная деформация уже не соответствует гипотезе плоских сечений, на нее влияют и сдвиговые деформации, определенные на предыдущем этапе.

Зная деформации, по обобщенному закону Гука получим нормальные напряжения второго цикла

az2/(У, z) _ Et

4У

Функции в02) (2) и ^(2) (2) находим из условия статического равновесия.

Функция а^ становится более высокого порядка и имеет вид параболы пятой степени, что объясняется влиянием касательных и поперечных напряжений. По аналогичной процедуре можно провести уточнение напряженного состояния балки на последующих этапах итерации. Значения нормальных напряжений продольного направления а2^)(у, 2) подставляем в (6), и аналогичным образом, повторив цикл (6)-(12), находим нормальные напряжения третьего цикла.

Заключение

Решение задачи стесненного кручения тонкостенного стержня открытого профиля с использованием метода итераций хорошо согласуется с известными решениями В. З. Власова. В таком решении отсутствуют понятия секто-риальных геометрических характеристик, не применяется понятие бимомента. На первом цикле получено решение для каждого элемента стержня, как для обычного стержня в сопротивлении материалов [10-13], - нормальные напряжения распределяются линейно, касательные - по квадратной параболе. Это решение принимается за основу следующих циклов итераций, что далее позволяет усложнять алгоритм, рассматривать слоистые и анизотропные материалы конструкций [14, 15]. Также метод итераций дает возможность учитывать деформации сдвигов. В зависимости от

количества циклов можно получать результаты напряженно-деформированного состояния в виде полиномов более высокой степени, что повышает точность решения.

Библиографический список

1. Аллахвердов Б. М. Итерационный метод расчета балок с изменяющимися по высоте характеристиками / Б. М. Аллахвердов // Исследования по механике материалов и конструкций : сб. науч. ст. -СПб. : ПГУПС, 2002. - С. 30-34. Деп. ВИНИТИ. № 1400-В2002.

2. Полинкевич К. Ю. Итерационный способ расчета слоистых балок на прочность / К. Ю. По-линкевич // Изв. Петерб. ун-та путей сообщения. -2013. - Вып. 2 (35). - С. 148-153.

3. Власов В. З. Тонкостенные упругие стержни / В. З. Власов. - М. : Стройиздат, 1959. - 568 с.

4. Уманский А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций / А. А. Уманский. - М. : Обо-ронгиз, 1959. - 112 с.

5. Сливкер В. И. Строительная механика. Вариационные основы : учеб. пособие / В. И. Слив-кер. - М. : Изд-во Ассоциации строит. вузов, 2005. -736 с.

6. Горбунов Б. Н. Теория рам из тонкостенных стержней / Б. Н. Горбунов, А. И. Стрельбицкая. -М. : Гостехиздат, 1948. - 198 с.

7. Бычков Д. В. Расчет балочных и рамных стержневых систем из тонкостенных элементов / Д. В. Бычков. - М. : Госстройиздат, 1948. - 208 с.

8. Карякин Н. И. Основы расчета тонкостенных конструкций (прочность, устойчивость и колебания) / Н. И. Карякин. - М. : Высшая школа, 1960. - 239 с.

9. Джанелидзе Г. Ю. Статика упругих тонкостенных стержней / Г. Ю. Джанелидзе, Я. Г. Пановко. -М. : Гостехиздат, 1948. - 208 с.

10. Попов А. А. Сопротивление материалов (теория и задачи) / А. А. Попов. - М. : Гос. науч.-техн. изд-во машиностроит. лит., 1956. - 476 с.

11. Тимошенко С. П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки / С. П. Тимошенко // Изв. С.-Петерб. политех. ин-та. - 1905. - Т. 4. -Вып. 3-4.

12. Филоненко-Бородич М. М. Теория упругости / М. М. Филоненко-Бородич. - М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. - 364 с.

13. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела : в 2 т. Т. II / А. П. Филин. -М. : Наука, 1978. - 616 с.

14. Аллахвердов Б. М. Итерационный способ расчета анизотропной балки на прочность / Б. М. Аллахвердов, К. Ю. Полинкевич // Изв. Петерб. ун-та путей сообщения. - 2014. - Вып. 2 (39). - С. 73-79.

15. Аллахвердов Б. М. Итерационный способ расчета тонкостенных анизотропных стержней открытого профиля на кручение / Б. М. Аллахвер-дов, К. Ю. Полинкевич // Междунар. науч.-исслед. журнал. - Екатеринбург : Полиграфист, 2017. -Вып. 1 (55). - С. 12-18.

References

1. Allakhverdov B. M. Iteratsionniy metod rascheta balok s izmenyajushymysya po vysote kharakteris-tikamy [Iterative calculating method of beams with height alternating characteristics]. Issledovaniya po mekhanyke materialov i konstruktsiy [The study on materials and structural mechanics. Coll. Papers]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2002, vol. 12, pp. 30-34. Dep. VINITI, no. 1400-V2002.

2. Polynkevych K. Y. Iteratsionniy sposob rascheta sloistykh balok na prochnost [Iterative calculating method of laminated beams stregth]. Proceedings of Petersburg State Transport University. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2013, issue 2

3. Vlasov V. Z. Tonkostenniye uprugiye sterzhny [Thin-walledelastic bars]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1959, 568 p.

4. Umanskiy A. A. Krucheniye i izgib tonkosten-nykh aviakonstruktsiy [Torsion and bending of thin-walled aviation constructions]. Moscow, Oborongiz Publ., 1959, 112 p.

5. Slyvker V. I. Stroitelnaya mekhanika. Varyatsion-nye osnovy [Structural mechanics. Variation basics]. Moscow, Assossiation of architectural institutes of higher education Publ., 2005, 736 p.

6. Gorbunov B. N. & Strelbytskaya A. I. Teoriya ram iz tonkostennykh sterzhney [Theory of frames made of thin-walled bars]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1948, 198 p.

7. Bychkov D. V. Raschet balochnykh i ramnykh sterzhnevykh system iz tonkostennykh elementov [Calculation of braced and framed bar systems made of thin-walled elements]. Moscow, Gosstroyizdat Publ., 1948, 208 p.

8. Karyakyn N. I. Osnovy rascheta tonkostennykh konstruktsiy

9. Dzhanelidze G. Y. & Panovko Y. G. Statyka up-rugykh tonkostennykh sterzhney [Elastic thin-walled bars statics]. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1948, 208 p.

10. Popov A.A. Soprotyvleniye materialov

11. Tymoshenko S. P. Ob ustoychivosty ploskoy formy izgyba dvutavrovoy balky [On stability of flat-

ness of flanged beam bending]. Proceedings of Saint Petersburg Polytechnical Transport University, 1905, vol. 4, no. 3-4, pp. 151-219.

12. Philonenko-Borodich M. M. Teoriya uprugosty [The theory of elasticity]. Moscow, State publishing house of physico-mathematical literature, 1959, 364 p.

13. Phylin A. P. Prykladnaya mekhanika tverdogo deformyruyemogo tela [Applied mechanics of solid deformable body]. In 2 vol. Moscow, Nauka Publ., 1978, vol. II, 616 p.

14. Allakhverdov B. M. & Polynkevych K. Y. Ite-ratsionniy sposob rascheta anyzotropnoy balky na prochnost [Iterative calculating method of anisotropic beam stability]. Proceedings of Petersburg Transport University. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2014, issue 2

15. Allakhverdov B. M. & Polynkevych K. Y. Iteratsionniy sposob rascheta tonkostennykh anyzotro-pnykh sterzhney otkrytogo profylya na krucheniye [Iterative calculating method of open profile thin-walled anisotropic beams torsion]. International Research Journal. Yekaterinburg, LLC "POLYGRAPHYST Company", 2017, issue 1

ПОЛИНКЕВИЧ Константин Юрьевич - аспирант, 110237@mail.ru (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).