Решение алгебраических уравнений методом эйткена-никипорца

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«НАУКА. ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ», № 3, 2014

удк 517.524 Шмойлов В. И. [Shmoylov V. I. ],

Селянкин В. В. [Selyankin V. V.], Кириченко Г. А. [Kirichenko G. A.]

решение алгебраических уравнений методом эйткена-никипорца

Solution of algebraic equations by the method of Aitken-Nikiports

Приводятся аналитические выражения, представляющие все корни произвольного алгебраического уравнения n-й степени через коэффициенты исходного уравнения. Эти формулы состоят из двух отношений бесконечных определителей Теплица, диагональными элементами которых являются коэффициенты алгебраического уравнения. Такие конструкции были названы непрерывными дробями Никипорца. Для эффективного вычисления значений непрерывных дробей Никипорца используется рекуррентный алгоритм Рутисхаузера. При нахождении корней полинома применяется алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей (r/ф-алгоритм). Комплексные корни определяются из рассмотрения значений длинной серии подходящих непрерывных дробей. В качестве примера рассмотрено решение алгебраического уравнения 25-й степени.

Ключевые слова: алгебраические уравнения, бесконечные определители Теплица, расходящиеся непрерывные дроби, r/ф-алгоритм.

Presents analytical expressions representing all the roots of a random algebraic equation of the n-th degree through the ratio of the original equation. These formulas consist of two relations infinite Toeplitz determinants, diagonal elements of which are the coefficients of the algebraic equation. Such structures were called continuous fractions of Nikip-ortsa. For efficient calculation of the values of continued fractions of Nikiportsa used recurrent algorithm of Rutishauser. When finding the roots of a polynomial algorithm for the summation of divergent continued fractions (r/p-algorithm). Complex roots are determined from consideration of the values of a long series of suitable continuous fractions. As an example, consider the solution of the algebraic equation 25-th degree.

Key words: algebraic equations, infinite Toeplitz determinants, divergent continuous fraction, ^-algorithm.

Введение

Известны разнообразные применения алгебраических уравнений при решении научных и технических задач. Часто алгебраические уравнения появляются в задачах аэродинамики. При расчете устойчивости различных конструкций используют так называемые собственные значения матриц, определяемые из решения алгебраических уравнений, степень которых равна количеству учитываемых гар-

моник. Особенно часто алгебраические уравнения возникают при выполнении различных геометрических расчетов, в частности, при определении точек пересечения и сопряжения криволинейных контуров. Разным аспектам теории и практики алгебраических уравнений посвящены недавно опубликованные монографии [1, 2]. Тем не менее, актуальной является оценка ситуации в разделе математики, которая была дана известным американским специалистом Р. Хеммингом [3]: «Задача нахождения корней многочленов возникает достаточно часто для того, чтобы оправдать тщательное изучение и разработку специальных методов ее решения. Различным методам нахождения действительных линейных и квадратичных множителей можно посвятить целую книгу. Тот факт, что существует так много методов, показывает, что не сущес -твует ни одного вполне удовлетворительного». В самом деле, известно более сотни алгоритмов и их модификаций, которые используются для нахождения нулей полиномов [4, 5]. В основном, это алгоритмы численного решения алгебраических уравнений.

Ниже будут рассмотрены аналитические выражения, представляющие все корни произвольного алгебраического уравнения п-й степени через коэффициенты исходного уравнения. Эти формулы состоят из двух отношений бесконечных определителей Теплица, диагональными элементами которых являются коэффициенты алгебраического уравнения. Для нахождения комплексных корней дополнительно используется метод суммирования расходящихся непрерывных дробей, именуемый как г/ф-алгоритм [6], нашедший разнообразные применения в вычислительной математике [7-11].

1. Постановка задачи

Имеется алгебраическое уравнение степени п:

х" +а,хп 1 +...+«„_,х + а„ = 0

л-1

л

Запишем следующую производящую функцию

1

= 1 + схх + с2х2 +... + стхт +....

1 + ахх + агхг +... + апх

л

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

_ Решение алгебраических уравнений методом эйткена-никипорца

Коэффициенты ai в (1.1) и (1.2) совпадают. Коэффициенты ст последовательности (1.2) могут быть найдены из линейного рекуррентного уравнения

Ст = ~

Для определения корней алгебраического уравнения (1.1) Эйткен предложил формулы [12]:

х, - Нт

т >х: Л

т+1

Ит

т->оо

Ст+1 Ст+2

Ст+2 Ст+3 .Ст+1

Ст Ст+1 С т

Ст+1 Ст+2

л;,

Нт

т—> оо

Ст+1 Ст+2 Ст+3

Ст+2 Ст+3 Ст+4 Ст+1 Ст+2

Ст+3 Ст+4 Ст+5 Ст+2 Ст+3

С т Ст+1 Ст+2 С т Ст+1

Ст+1 Ст+2 Ст+3 Ст+1 Ст+2

Ст+2 Си+3 Ст+4

Х^Х^Х^

Корень xi может быть представлен выражением:

хп = Ит

т-> оо

Ст+1 Сш+2 ' • Ст+1 Ст+1 Ст+2 • • Ст+1-1

Ст+2 Ст+3 ' • Ст+|'+1 Ст+2 Ст+3 ' • Ст+<

Ст+1 Ст+г+1 ' • Ст+21-1 Ст+г-1 С7я+; • • Ст+2;-3

С т Ст+1 " • Ст+л-1 Ст+1 " Ст+<-2

Ст+1 Ст+2 • • Ст+п Ст+1 Ст+2 " Ст+!-1

Ст+1-1 Ст+г " • Ст+21-2 Ст+1-2 Ст+г-1 • Ст+21-4

Очевидно, что используя формулы Эйткена можно непосредственно находить только действительные корни алгебраического уравнения (1.1). Применим г/ф-алгоритм к определению комплексных корней алгебраического уравнения (1.1).

2. Представление нулей полинома

Запишем формулы Эйткена (1.4) - (1.7) в развернутом виде. В результате преобразований получим конструкции из отношений определителей матриц Теплица, диагональными элементами которых являются коэффициенты исходного уравнения (1.1).

Формулу (1.4) можно представить отношением определителей:

х, -

~а1 -а2 - «з -«4 ••• -1 -«1 - а2 - аъ

-1 -а1 -а2 -аъ ... 0 -1 -а! -а2

0 -1 -«1 -а2 ... 0 0 -1 -«1

0 0 -1 -«! ... 0 0 0 -1

-«1 -а2 - а3 ... -1 -«1 -а2

-1 -ах -а2 ... 0 -1 -а!

0 -1 -а! ... 0 0 -1

Последующие корни уравнения (1.1) запишутся следующим образом:

х, = -

-а2 -аъ -«4 -а5 ... -«1 -а2 - аъ -«4

-а! -а2 -аъ -а4 ... -1 -а! -«2 - «з

-1 -а2 - аъ ... 0 -1 -а2

0 -1 -а! -а2 ... 0 0 -1 -«1

-а2 -«з -а4 ... -«1 -а2 -«з

-«1 - а2 -«з ... -1 -«1 -а2

-1 -«1 -«2 ••• 0 -1 -«1

-а,_2 -ам -а, -ам

-а,_ 2 -ам -а, -а,+1

-а,_3 -«,-2 -а,

-а,_2 -«м -а,

х.

-а,_2 -ан -а,

-«м -а,

-«¡-з -«,-2 -«м

Отношения определителей (2.1) - (2.3), выражающие корни алгебраического уравнения (1.1) через его коэффициенты, будем называть функциями N("). Для функций N1-"'' введём обозначение:

уравнений степени выше четвёртой функции N(") записываются аналогично их записи для алгебраических уравнений степени 2, 3 и 4.

Функции Nf^"), определяемые выражениями (2.1) - (2.3) будем называть также непрерывными дробями Никипорца. Определение математических конструкций (2.1) - (2.3), как непрерывных дробей особой структуры позволяет естественно ввести такое фундаментальное понятие, как подходящая дробь, что упрощает описание способа решения алгебраических уравнений с использованием функций Ж(") и г/ф-алгоритма.

Для нахождения комплексных корней уравнения (1.1), определяемых также формулами (2.1) - (2.3), необходимо дополнительно использовать г/ф-алгоритм. Модуль г и модуль аргумента х( — г{е 1<р' устанавливаются здесь формулами:

Н\п) =Н,

п

Здесь следует подчеркнуть, что для алгебраических

т

г{ = НттГГ|х,(т) I, г = 1,2,...,я

к

\ф\ = я\хт——, т_ко т

где

^ -

k(т) —

т-я подходящая дробь выражения (2.3),

число отрицательных подходящих дробей для /-го

корня из т подходящих дробей.

Например, подходящие дроби для х2 определяются следующим образом:

-а2 -аъ -а, "«2

-аг2 ~(2) _ ~а\ -а2 -1 -ах

1 ^ ' л2 ~ \—а2 \-ах

-а2 -аъ -«4 -а! - «з -а3

-ах -а2 - «з -1 -«1 -а2

-1 -«1 -а2 0 -1 -«1

-а2 -аъ ~а\ -«2

-ах -а2 -1 -«1

Для определения подходящих непрерывных дробей, записываемых отношениями определителей Теплица, то есть определителей не общего, а весьма специального вида, может быть использован известный рекуррентный алгоритм частных и разностей, или QD-алгоритм Рутисхаузера [13]. Известны две схемы алгоритма Рутисха-узера. Первая схема алгоритма Рутисхаузера описывается формулами:

"т-1

_ Л)

х.

т+1

х:

'_т_

Л)

т

т

т

Здесь е0(т). Элементы первой строки х/т) составляют подходящие непрерывной дроби (2.1). QD-алгоритм, определяемый формулами (2.6) и (2.7), представим схемой, показанной на рис. 1.

№3 , 2014

61

Рисунок 1. Граф первой схемы ОЭ-алгоритма Рутисхаузера.

Вторая схема QD-алгоритма Рутисхаузера строится по формулам:

X

т т т т-1

е 0+0 = е О)Лт+1

ет - ет

X

Рисунок 2. Граф второй схемы ОЭ-алгоритма Рутисхаузера.

В качестве начальных условий во второй схеме принимаются величины:

х

е

ат

Кроме того,

х

х1 — Х1 е1 Лп — Лп ^п-1 ?

На рис. 2 показан граф второй схемы QD-алгоритма Рутисхаузера, описываемой формулами (2.8) - (2.9).

0,5

а) о

0,5 б) О

в)

Г) о

-0,5

Рисунок 3. Распределение подходящих дробей, представляющих

корни алгебраического уравнения (3.1).

3. Пример решения алгебраического уравнения с использованием алгоритма Эйткена-Никипорца

При помощи QD-алгоритма, описываемого формулами (2.8) и (2.9) и г/ф-алгоритма, определяемого формулами (2.4) и (2.5), вычислим корни уравнения:

Таблица 1. ВыЧИСЛЕНИЕ КОРНЯ X ПОЛИНОМА

номер звена дроби значения дроби модуль комплексного числа, гдр £г — |Гсп — Гдр| Аргумент комплексного числа, фдр £г — |фсп - фдр

32768 1,299336354881 1,0347662395205 0,000536608578 0,1593265455006 0,0004087497684

65536 0,865755356659 1,0352888473023 0,000014000796 0,1588735170256 0,0000442787066

131072 0,575192287374 1,0352860752943 0,000016772804 0,1588981941309 0,0000196016012

262144 1,281984335003 1,0353012060085 0,000001642090 0,1589190365773 0,0000012408450

524288 0,846468777982 1,0353017233847 0,000001124714 0,1589146624435 0,0000031332886

1048576 0,334897583284 1,0353002609184 0,000002587180 0,1589157722686 0,0000020234635

Таблица 2. вычисление КОРНЯ Х2 ПОЛИНОМА

номер звена дроби значения дроби модуль комплексного числа, гдр £г — | Гсп — Гдр| Аргумент комплексного числа, £г — |фсп - фдр|

32768 0,7451778875458 1,0359393947605 0,0006366026760 0,159326545500 0,0004087521972

65536 1,178758885767 1,0353065992655 0,0000038071810 0,158873517025 0,0000442762778

131072 1,4693219550522 1,0353118785096 0,0000090864250 -0,158898194130 0,0000195991724

262144 0,7625299074235 1,0353047625034 0,0000019704188 -0,158919036577 0,0000012432739

524288 1,1980454644447 1,0353032275206 0,0000004354360 -0,158914662443 0,0000031308598

1048576 1,7096166591419 1,0353041305771 0,0000013384925 -0,158915772268 0,0000020210347

х25+ —х24+ —х23+ —х22+... + -х + \ = 0. (3.1) 25 24 23 2

На рис. 3 (а, б, в, г) показаны графики значений подходящих непрерывных дробей, которые представляют комплексно-сопряжённые корни хг и х2, а также х23 и х24, алгебраического уравнения (3.1). Из графиков видна «периодичность» в расположении подходящих дробей, представляющих комплексные корни.

Таблица 3. ТАБЛИЦА КОМПЛЕКСНыХ КОРНЕй ПОЛИНОМА

номер корня модуль комплексного числа, гдр Ег = | Гсп - Гдр| Аргумент комплексного числа, фдр Ег = |фсп - фдр|

Х1 1,0353024763410 0,0000003717576 0,1589164144872 0,0000013812450

Х2 1,0353029082686 0,0000001161841 -0,158916414487 0,0000013788161

Хз 1,0208971975934 0,0000008189039 0,4048138703132 0,0000013062742

Х4 1,0208929683060 0,0000034066364 -0,404816942111 0,0000017835682

Х5 1,0119546453670 0,0000010606098 0,6539705041609 0,0000006069863

Хб 1,0119525622329 0,0000010224854 -0,653970504160 0,0000006068511

Х7 1,0055905970776 0,0000001204480 0,9032469381432 0,0000007907396

Х8 1,0055896165151 0,0000010592983 -0,903246938143 0,0000008037280

Х9 1,0007367697380 0,0000016010438 1,1523728540076 0,0000002152181

Х10 1,0007353966524 0,0000002521888 -1,152372854007 0,0000002375618

Х11 0,9969117718048 0,0000014100128 1,4013359645609 0,0000005922542

Х12 0,9969113104034 0,0000010021657 -1,401332892762 0,0000024982142

Х13 0,9938588266902 0,0000043215424 1,6501608441892 0,0000000422129

Х14 0,9938596145949 0,0000035334452 -1,6501608441896 0,0000000423559

Х15 0,9914529019847 0,0000090765526 1,8988782108770 0,0000001954571

Х16 0,9914441092771 0,0000003189262 -1,8988782108771 0,0000001770903

Х17 0,9895575261692 0,0000000205123 2,1475126390097 0,0000009182252

Х18 0,9895575692370 0,0000000533751 -2,1475095672112 0,0000021536399

Х19 0,9881385673261 0,0000035211735 2,3960856311753 0,0000026546123

Х20 0,9881416222105 0,0000004660907 -2,3960825593774 0,0000004171151

Х21 0,9871571863949 0,0000006294384 2,6446094745684 0,0000003628114

Х22 0,9871563516141 0,0000001705217 -2,6446094745686 0,0000003313145

Х23 0,9865746589752 0,0000001875744 2,8931087435751 0,0000005178062

Х24 0,9865748432819 0,0000000351984 -2,8931087435750 0,0000005351746

13

17

21

25 -о-

22

о

18 о

о 9

о

О 1

О 2

о

14

10

Рисунок 4.

Расположение корней уравнения (3.1) на комплексной плоскости.

5

6

В табл. 1 и табл. 2 приведены результаты вычисления первой пары комплексно-сопряжённых корней уравнения (3.1). В первых колонках табл. 1 и табл. 2 указано число подходящих, которые использовались при определении значений модуля и аргумента комплексных корней.

Во вторых колонках табл. 1 и табл. 2 показаны значения подходящих непрерывных дробей Никипорца, представляющих комплексно-сопряжённые корни уравнения (3.1). В третьих и пятых колонках этих таблиц приведены найденные по г/ф-алгоритму то есть по фор-

мулам (2.4) и (2.5), значения модулей ri и аргументов ф комплексно-сопряжённых корней уравнения (3.1). В четвёртых и шестых колонках таблиц представлены, соответственно, ег = |гсп - гдр| и ег = |фсп - фдр|, устанавливающие разности между значениями модулей и аргументов комплексных корней, полученных с использованием стандартной программы решения алгебраических уравнений и найденных посредством алгоритма Эйткена-Никипорца. В качестве стандартной программы использовалась функция polyroots, входящая в пакет MathCAD. Комплексные корни х1 и х2, найденные стандартной программой, имеют значения:

X! = 1,035302848098е10 158917795732, х2 = 1,035302792084е-10Д58917793303.

В табл. 3 приведены значения комплексно-сопряжённых корней уравнения (3.1), которые установлены с использованием г/ф-алгоритма.

Значение вещественного корня уравнения (3.1), также установленного при помощи г/ф-алгоритма, равно:

х25 = - 0,9863825764740.

На рис. 4 показано расположение корней уравнения (3.1) на комплексной плоскости.

Заключение

Выше отмечалось, что формулы (2.3)-(2.5) представляют корни полинома п-й степени через его коэффициенты. Используя эти формулы, можно устанавливать различные критерии, связанные с корнями полиномов общего вида. Произвольное алгебраическое уравнение степени п не разрешимо в радикалах, но оно оказалось разрешимо с использованием г/ф-алгоритма, то есть формул (2.4) и (2.5), в функциях Ы((П\ записываемых отношениями определителей Теплица бесконечного порядка (2.3).

Предлагаемый алгоритм нахождения нулей полинома имеет две особенности в сравнении с существующими методами решения ал-

гебраических уравнений. Первая и, пожалуй, принципиально важная особенность: предложен простой аналитический способ записи всех корней уравнения п-й степени по коэффициентам исходного уравнения. Комплексные корни находятся из «расширяющихся» отношений определителей с использованием г/ф-алгоритма. Вторая особенность предложенного алгоритма нахождения нулей полинома п-й степени, -простота и регулярность информационного графа алгоритма, что делает его привлекательным при аппаратной реализации в решающем поле суперкомпьютеров с реконфигурируемой структурой. Следует также отметить, что рассмотренный алгоритм позволяет определять все корни полинома параллельно, то есть одновременно.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кутищев Г.П. Решение алгебраических уравнений произвольной степени: теория, методы, алгоритмы. М.: Изд-во URRS, 2010. 232 с.

2. Корчагин И.Ф. Алгебраические уравнения. М.: Физматкнига, 2006. 160 с.

3. Хемминг РВ. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1972. 400 с.

4. Шмойлов В.И., Тучапский РИ. Алгебраические уравнения. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений // Библиографический указатель. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2003. 83 с.

5. Корнеев П.К. Построение итерационных процессов на основе метода наименьшего квадратов для нахождения оптимума функций // Вестник СГУ Ставрополь, 2010. №70. С. 22-26.

6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т. 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.

7. Шмойлов В.И., Коваленко В.Б. Некоторое применения алгоритма суммирования расходящиеся непрерывных дробей // Вестник Южного научного центра РАН, 2012. № 4 (149). С. 3-13.

8. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби и r/j9 / Шмойлов В. И., Савченко Д. И. Об алгоритме суммирования расходящихся непрерывных дробей // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2013. № 2. С. 258-276.

10. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби в вычислительной математике. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2015. 228 с.

11. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритмы суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015, том 55, №4, С. 12-27.

12. Aitken A.C. On Bernulli's numerical solution of algebraic equations. Edinburg, Proc. Roy. Soc., (1925/26) P. 289-305.

13. Рутисхаузер Г. Алгоритм частных и разностей. М.: ИИЛ, 1960. 93 с.

ОБ АВТОРАХ

Кириченко Геннадий Анатольевич, аспирант кафедры вычислительной техники Южного федерального университета (Инженерно-технологическая академия). Телефон 89064287987. E-mail: vt_gak@mail.ru.

Селянкин Владимир Васильевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник кафедры математического обеспечения и применения ЭВМ Южного федерального университета. Телефон 8-904-346-05-40. E-mail: selyankin@tgn. sfedu.ru.

Шмойлов Владимир Ильич, научный сотрудник Лаборатории цифровой обработки сигналов НИИ многопроцессорных вычислительных систем им. А.В. Каляева Южного федерального университета. Телефон 8 (863-4)318-910. E-mail: Shmoylov40@at.infotectt.ru.

Kirichenko Gennadiy Anatol'yevich, graduate student of Computer Engineering Institute of Computer Technology and Information Security Southern Federal University, Engineering and Technology Academy. Phone: 89064287987. E-mail: vt_gak@mail.ru.

Selyankin Vladimir Vasil'yevich, Ph.D., Senior Fellow of the software and the use of computers Institute of Computer Technology and Information Security Southern Federal University. Phone: 8-904-34605-40. E-mail: selyankin@ tgn.sfedu.ru.

Shmoylov Vladimir Ilyich, researcher of the Laboratory of Digital Signal Processing, Institute of Research Multiprocessor Computing Systems names A.V. Kaliayeva Southern Federal University. Phone: 8 (863-4) 318-910. E-mail: Shmoylov40@at.infotectt.ru.