Непараметрический подход к идентификации нестационарных статических объектов

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Yu. V. Uvarov, N. N. Yakushev Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

NONPARAMETRIC CONTROL TASK OF INTERLINKED SYSTEM

In this work we study control algorithm for interlinked systems with the help of nonparametric back-regression estimation. It analyzes efficiency of the introduced algorithm by means of statistical modeling methods in various sample volume and noise level.

© Уваров Ю. В., Якушев Н. Н., 2009

УДК 62-506.1

А. В. Фаустов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИИ ПОДХОД К ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ

СТАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Рассмотрена непараметрическая оценка функции регрессии по наблюдениям случайных величин. Предложены непараметрические алгоритмы оценки функции регрессии, изменяющейся во времени случайным образом.

При моделировании разнообразных процессов зависимость между выходом Y и входом X объекта часто представляют в виде уравнения регресс-сии. В условиях малого объема априорной информации об исследуемом объекте для восстановления регрессионной зависимости обычно применяют непараметрические оценки [1].

Пусть имеется неравномерная выборка (х1, у.), г = 1...5, входных и выходных переменных объемом 5. Здесь х1 - значение вектора наблюдений входных воздействий размерности т в г-й точке выборки, а у. - значение выходного воздействия в этой точке. Непараметрическая оценка кривой регрессии имеет вид

У (x) = -

s Z yt m Пф f xj - xj. ^ 1

c j

i=1 L j=1 \ s 0 J

s m f X _ X ^

1ПФ

i=1 j=1

где колоколообразная функция Ф(») удовлетворяют некоторым условиям сходимости [1]:

0 <Ф

Я

f Ф2(z)dz <¥, lim— -Ф

J S¥ C

W(z) s

f x _ t ö

C„

= S

где 5(?) - дельта-функция Дирака. Параметр размытости должен удовлетворять следующим условиям [1]:

c > 0, lim c = 0, lim s • cm =¥.

s ' s ' s V '

s s¥

Определение Cs проводится путем минимизации критерия:

1

w(Cs ) = "Z (yj _ ys (xj , cs ))2

min

j=1

где г Ф } , индекс г фигурирует в выражении (1).

В случае функционирования объекта в условиях нестационарности использование всей выборки наблюдений, проводимых в выражении (1), будет искажать оценку функции регрессии, и обусловлено это будет тем, что эта выборка не отражает поведение функции регрессии в текущий момент времени.

Идея непараметрического алгоритма, учитывающего временной дрейф характеристик исследуемого процесса, состоит в том [1], что «старая» информация получает меньший вес при формировании той или иной оценки выходных переменных.

Для восстановления функции регрессии в нестационарных условиях предлагается ввести в непараметрическую оценку функции регрессии (1) некоторую функцию «памяти», убывающую с увеличением аргумента р = (5 — ?), где t - дискретное время поступления информации; 5 - текущее время:

Решетневские чтения

Z у

y( *) = -

Пф

j=1

f* — * ^

p

s m f — ^

t=1 j=1

p

Одним из основных направлений в исследовании непараметрической оценки нестационарной функции регрессии (6) является установление вида функции «памяти» в случае, когда нет априорной информации, позволяющей определять вес конкретного наблюдения в выборке. То есть в этом случае полагаем, что вес каждого предыдущего наблюдения меньше последующего. Такая функция «памяти» должна удовлетворять следующим свойствам:

1) г = ^ ^р

2) "г, j е [1,5], г > ] ^ р

3) г = 1 ^р

После исследований работы алгоритма на нескольких видах функции «памяти» мы остановились на следующей структуре, удовлетворяющей перечисленным свойствам (7)-(9):

аг^к • (5 - г - т)) - 0,5р

р

агй§(-к • т)) - 0,5р

где параметр т е (0,5) определяет положение точки перегиба функции, а параметр к е (0, да) определяет крутизну функции.

В ходе исследований определено, что использование предлагаемой непараметрической оценки нестационарной функции регрессии дает более точные результаты оценивания, чем известная непараметрическая оценка, кроме случаев с большим значением помехи (более 40 %). Рассматриваемый алгоритм более чувствителен к помехам [2].

При исчерпывающей выборке наблюдений, позволительно использовать лишь ее часть для получения более точных оценок, но с ограничениями, описанными в работе.

Предлагаемый вид функции памяти рекомендуется использовать в тех ситуациях, когда невозможно определить вес каждого наблюдения конкретно. В противном случае необходимо видоизменять функцию памяти в соответствии с имеющейся информацией.

Библиографический список

1. Медведев, А. В. Адаптация в условиях непараметрической неопределенности / А. В. Медведев // Адаптивные системы и их приложения. Новосибирск : Наука, 1978.

2. Фаустов, А. В. Об одной алгоритме непараметрического восстановления функции регрессии в условиях нестационарности / А. В. Фаустов // Решетневские чтения : материалы XII Междунар. науч. конф. ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2008. С. 322-324.

A. V. Faustov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

A NONPARAMETRIC APPROACH TO IDENTIFICATION OF NONSTATIONARY STATIC OBJECTS

The work is devoted to nonparametric estimation of the regression function on the observations of random variables. Nonparametric estimation algorithms of the regression function, changing in time in random way are proposed.

© Фаустов А. В., 2009