Распределение ресурсов в дискретно управляемых системах

Распределение ресурсов в дискретно управляемых системах

М.Х.Прилуцкий : (mpriloutsky@optimal.nnov.ru), Д.С.Нефедов, Д.В.Попов

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Функционирование экономических, социальных, производственных, технических систем осуществляется, как правило, за счет потребления различных ресурсов -материальных, информационных, временных, финансовых, трудовых. Объемы имеющихся в наличии ресурсов являются ограниченными, поэтому возникает потребность в разработке методов и создании программных средств решения задач их рационального распределения.

1.Содержательное описание проблемы

Рассматриваются экономические, социальные, производственные, технические системы, функционирование которых происходит по следующей схеме: выполнению подлежит некоторая, заранее заданная совокупность взаимозависимых деятельностей, активизация которых может осуществляться в дискретные моменты времени и связана с расходованием ресурсов, необходимых для выполнения указанных деятельностей. Предполагается, что ресурсы, циркулирующие в системе делятся по типу на внешние и внутренние. Внешние ресурсы либо поступают в систему из вне (материалы, сырье, полуфабрикаты, информационные ресурсы), либо принадлежат системе (оборудование, транспортные средства, рабочая сила). Внутренние ресурсы реализуются в результате выполнения деятельностей, причем, тот же самый ресурс может быть и внешним, если он поступил в систему, и внутренним, если он произведен в результате выполнения какого-либо деятельности. Введение внутренних ресурсов позволяет учитывать технологические зависимости в порядке выполнения деятельностей, причем эти зависимости могут моделировать как сетевые канонические системы, так и многоуровневые иерархические структуры. Расходование ресурсов, необходимых для выполнения какой-либо деятельности, может осуществляться с разными интенсивностями. Кроме того, каждая деятельность характеризуется заранее заданными временными параметрами - минимально (максимально) возможной длительностью выполнения деятельности, самым ранним сроком начала (самым поздним сроком окончания) выполнения деятельности. В результате выполнения деятельности система приобретает определенные количества ресурсов, произведенных за счет активизации деятельности. Общая проблема распределения ресурсов в рассматриваемых дискретно управляемых системах заключается в определении порядка выполнения заданной совокупности деятельностей и стратегии распределения ресурсов между деятельностями, при которых некоторые обобщенные экономические показатели

функционирования системы принимают экстремальные значения.

Изложенная здесь концепция является достаточно общей. В её рамках формализуется широкий класс задач принятия решений, таких, как задачи

распределения ресурсов и упорядочения работ в сетевых канонических структурах (задачи сетевого планирования и управления, задачи теории расписаний); задачи распределения ресурсов в многоуровневых иерархических системах (оптимизация бизнес процессов, анализ и построение оптимальной структуры объекта, распределение финансовых, энергетических, информационных ресурсов)и др.

В качестве примеров таких задач рассмотрим многостадийные задачи теории расписаний, задачи распределения мощностей каналов передачи данных между узлами сети городского провайдера и задачи многоресурсного сетевого планирования и управления.

Многостадийные задачи теории расписаний.

Рассматриваются многостадийные производственные системы, в которых выполняется совокупность работ. Каждая работа для своего выполнения должна пройти обработку на машинах согласно заданному для этой работы технологическому маршруту, который, в общем случае может быть произвольным. Выполнение работ осуществляется на машинах, которые объединены в группы взаимозаменяемых машин (стадии). Для каждой работы определено время и затраты на ее выполнения на каждой машине стадии согласно технологическому маршруту, соответствующему этой работе. В общем случае предполагается, что оценка качества решения задачи распределения и упорядочения работ по машинам, осуществляется по трем показателям: суммарные затраты на выполнение всей совокупности работ, суммарные затраты на переналадки машин и затраты, связанные с выполнением работ в заданные директивные сроки. При обычных для таких задач условиях (работа выполняется на машине без перерывов, на машине одновременно может выполняться не более одной работы) требуется построить такое расписание выполнения работ, которому соответствуют "наилучшие" оценки качества функционирования системы.

Задача распределения ресурсов в сети городского провайдера.

Рассмотрим задачу распределения мощностей каналов передачи данных между различными узлами сети городского провайдера. Пусть известны потребности абонентов сети в получении того или иного количества информации. Известны возможности провайдера в предоставлении каналов той или иной мощности между различными узлами связи. С учетом этих возможностей заданы пожелания (предпочтения) абонентов и оператора относительно возможности передачи того или иного количества информации тому или иному абоненту или узлу. Определены условия признания эффективности того или иного распределения каналов (относительно их пропускной способности). Структура сети и распределяемой в ней информации в общем случае может быть самой разнообразной. Обычно, данная проблема рассматривается со следующими ограничениями:

• информация распределяется от центра к абонентам через коммутационные узлы по каналам связи;

• каждый узел или абонент сети обслуживается одним или несколькими коммутационными узлами;

• количество распределяемой информации для коммутационных узлов и абонентов может быть ограничено как сверху (принципиальные ограничения возможностей провайдера), так и снизу (минимальная потребность абонентов в получаемой информации).

Нужно распределить пропускную способность каналов максимально эффективно, учитывая как потребности и предпочтения абонентов, так и возможности оператора (провайдера).

Задачи многоресурсного сетевого планирования и управления.

При планировании и управлении системами различного типа (производственного, технического, организационного и др.) возникают задачи распределения разнородных ограниченных ресурсов. Особенностью рассматриваемых систем является то, что они представляют собой комплекс взаимосвязанных работ (деятельностей). Структура этой взаимосвязи описывается с помощью канонических сетевых моделей - ориентированных взвешенных графов без петель и контуров, элементам которых поставлены в соответствие некоторые характеристики. Активизация деятельностей возможна лишь при наличии необходимых ресурсов, которые классифицируются по типам (внешние и внутренние ресурсы), видам (детерминированные и стохастические ресурсы) и срокам годности (складируемые, не складируемые и частично складируемые ресурсы). Для каждого деятельности заданы временные и ресурсные характеристики. На процесс выполнения деятельностей накладываются ограничения трех типов - технологические, организационные и ресурсные. Технологические условия определяют взаимозависимость, длительность и интенсивность выполнения деятельностей. Организационные условия определяют моменты начала и окончания выполнения деятельностей. Ресурсные ограничения определяют возможности расходования ресурсов. Задачи многоресурсного планирования и управления заключаются в определении сроков начала и окончания выполнения заданных деятельностей, а так же интенсивностей потребления деятельностями необходимых ресурсов таким образом, чтобы обеспечить выполнение всей заданной совокупности деятельностей в заданные сроки.

2.Исходные параметры математической модели

Пусть I - множество деятельностей, подлежащих выполнению, причем, будем предполагать, что некоторая фиктивная деятельность X всегда принадлежит множеству I и любым его подмножествам; J - множество ресурсов (внешних и внутренних), циркулирующих в процессе функционирования системы; Т - множество неотрицательных рациональных

I = П , У

чисел (аналог времени),

=т . Обозначим через у (/) -

множество ресурсов, участвующих в выполнении деятельности 1, у (/) -

множество ресурсов, которые будут реализованы в результате выполнения деятельности 1,

у-(0су ,у+(Осу ,

У-(0

Щ

У+(О

=и+,«61 .

+ + + + Пусть Я (1) = Чгг2>->) и Я (г) = Унь^Ь"'"^ },

соответственно, вектора потребления и реализации ресурсов в результате

полного выполнения деятельности 1, где п. - количество ресурса г,

. Гв

которое будет потреблено при выполнении деятельности 1, г е J (/), _

количество ресурса кв, которое будет реализовано после завершения выполнения деятельности 1, кв е J (О, /е I . Обозначим через / . и , соответственно, минимально и максимально возможные длительности выполнения деятельности 1, еТ , е Т , ? е I ; и ^,соответственно, самый ранний срок возможной активизации деятельности 1 и самый поздний срок возможного завершения выполнения деятельности 1, // е Т ,

/. е Т , ? е I ; щ ., М., соответственно, минимальная и максимальная интенсивности потребления деятельностью 1 ресурса ], 0 < щ.. < М . <, /е I ,. е J . Обозначим через (( = §2' • ' ^ ) вектор внешних ресурсов, где § - количество внешнего ресурса ], которым будет располагать система в момент времени 1, . е J , / е Т . З.Функционирование системы

Пусть 3 ХТ - множество состояний системы, где $ = {в - 0, jеJ } и состояние <в, / > определяет наличие различных

ресурсов (внутренних и внешних), которыми система располагает в момент времени 1, в е $ , / е Т . Множество управлений системой будем отождествлять с множеством деятельностей I . Через

I (в/) = {/ п (/) < пр < в, / >, / е I} обозначим множество допустимых

Г Г 2"'Г Л г

управлений в состоянии < в, / >, I (в/) е I , в е $ , / еТ . Через С (в ,/ ,в,/ ) обозначим "доход", который система приобретет, если под управлением 1 из состояния <в,/> она перейдет в новое состояние<в,/ >, где

1=1, если Значения функции дохода с (в ,/ ,в,/ )зависят от ресурсов,

которые система использует для активизации деятельности 1, ресурсов, которые система реализует в результате активизации деятельности 1 , а так же от исходных параметров, характеризующих деятельность 1,

7 е $ , / е I , $ , / еТ .

Система функционирует следующим образом:

В состоянии < s, t > , под воздействием управления i, fgJ (st), система переходит в новое состояние <s, f >, где s = S + Q ~ Q и f = t , если i^X.

J J J J

При этом переходе система выполняет деятельность i, что отражается в удалении этого деятельности из множества I, и приобретает доход,

определяемый функцией q (s , f , s, t ). Функционирование системы осуществляется до тех пор, пока все деятельности не будут реализованы (множество I состоит из одного элемента X). Требуется найти такую стратегию управления системой, при которой полный, суммарный доход, приобретенный системой за все время функционирования, будет максимальным.

4. Постановка задачи

Стратегию управления системой мы будем отождествлять с функцией ф(s,t), определенной на множестве S XT со значениями из J . Обозначим

через s, t, I , ф( s, t)) - суммарный доход, который система приобретет, если

она находится в состоянии < s, t >, остались невыполненными деятельности из множества I' и к системе будут применены управления, определяемые заданной стратегией ф( s, t). Тогда исходная задача будет заключаться в определении такой стратегии фо( s, t), для которой выполняется:

s, t, I , ф0( s, t ))=max s, t, I , ф( s, t)) , где max берется по всем

возможным стратегиям ф( s, t). Стратегию ф0( s, t) в дальнейшем будем называть оптимальной стратегией.

5.Алгоритм решения задачи

Для рассматриваемой системы выполняется свойство Маркова -поведение системы в момент времени t зависит только от состояния системы в этот момент времени и не зависит от поведения системы до момента t. Выполнение этого свойства, с учетом аддитивности дохода, приобретаемого системой в процессе функционирования, позволяет применить к рассматриваемой системе принцип оптимальности динамического

программирования (принцип Р.Беллмана). Обозначим через v( s, t, I) - величину суммарного дохода, который система приобретет, если она находится в состоянии < s, t > , остались не активизированы деятельности из множества I и к системе применены управления, задаваемые оптимальной стратегией. Тогда

v

f eJ (st )nj

где v

Рекуррентные соотношения (1), с учетом граничных условий (2), могут быть использованы для определения оптимальной стратегии.

6. Диалоговая программная система «Оптимальный ресурс»

Средствами платформы Java создана диалоговая программная система «Оптимальный ресурс», позволяющая решать задачи указанного класса. Система позволяет конструировать модели объектов, в которых описываются и наглядно отображаются исходные параметры модели - деятельности со своими характеристиками, их взаимозависимости и ресурсы, используемые для активизации деятельностей. Результаты решения задачи анализируются с помощью графиков Ганта (по ресурсам и по деятельностям) и «потока деятельностей» - графического представления сетевой модели с указанием сроков начала и окончания активации деятельностей. С помощью диалоговой системы «Оптимальный ресурс» решаются конкретные задачи планирования и управления научно-исследовательскими и опытно-конструкторскими работами, задачи календарного и объемно-календарного планирования.

Диалоговая система является переносимой за счет использования платформы Java, использует семейство стандартов XML, поддерживает современные концепции пользовательского интерфейса и обладает открытым программным интерфейсом.

Литература

1.Прилуцкий М.Х., Казанцев Э.Н. Об одном классе управляемых марковских цепей. Успехи математических наук, том 33, выпуск 6(204), М., 1978,с.213-21

2. Прилуцкий М.Х. Многокритериальное распределение однородного ресурса в иерархических системах. Журнал Автоматика и телемеханика. Москва. 1996, №2, с.24-29.

3. Прилуцкий М. Х. Распределение однородного ресурса в иерархических системах древовидной структуры. Труды международной конференции "Идентификация систем и задачи управления SICPRO 2000". Москва, 26-28 сентября 2000г. Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН. М.: Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН, 2000, с.2038-2049.

4. Прилуцкий М.Х., Попов Д.В., Многостадийные задачи распределения и упорядочения с нечеткими характеристиками. Электронный журнал "Исследовано в России", 109, стр. 1182-1189, 2001. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/109.pdf