Полный спектр нормальных волн цилиндрического пьезоактивного волновода

УДК 534.231.1

ПОЛНЫЙ спектр нормальных волн цилиндрического

ПЬЕЗОАКТИВНОГО ВОЛНОВОДА С.М. Балабаев; Н.Ф. Ивина, Дальрыбвтуз, Владивосток

Получено дисперсионное уравнение симметричных нормальных волн в пьезоэлектрическом полом цилиндрическом волноводе с осевой поляризацией. Выполнены численные расчеты дисперсионных кривых для пьезоцилиндра, выполненного из пьезокерамики титаната бария (действительные, мнимые и комплексные моды).

При решении некоторых дифракционных задач, а также при контроле пьезоэлектрических материалов и построении точной теории пьезопреобразователей конечных размеров возникает необходимость вычисления полного набора корней дисперсионного уравнения нормальных волн пьезоактивного волновода, в частности, цилиндрического: в виде полого цилиндра.

Первые результаты анализа дисперсионных соотношений для стержневого пьезоэлектрического волновода опубликованы в работах [1, 2]. Аналогичные задачи для пьезоактивного волновода типа пластины рассмотрены в статьях [3, 4].

Данная работа посвящена анализу дисперсионных соотношений симметричных нормальных волн в пьезоэлектрическом цилиндрическом волноводе с осевой поляризацией.

В основу решения соответствующей краевой задачи должны быть положены дифференциальные уравнения движения, уравнения Максвелла, система электромеханических уравнений состояния и

граничные условия для упругих и электрических полевых тензоров. Задачу будем решать в цилиндрической системе координат, причем ось т совпадает с направлением распространения нормальных волн. В случае осевой поляризации полная система дифференциальных уравнений, описывающих акустические и электрические поля в

цилиндрических координатах, совпадает с системой полученной в

работе [1] для стержневого пьезоактивного волновода

Си = 0,

П - трехмерный вектор с компонентами иу=иг!а, и2=иг1а, и3=\/е331{е33а)\ и7, иг - компоненты смещения, V - электрическое напряжение, I - матричный дифференциальный оператор с элементами:

^ ^ 113 5 1 д2 ^ с13+с55 1 д д

11 к2 г дг дг к} дг2 12 к} г дг дг

Я2

1 3 д

13 к} Удг2 г дг дг

+ е15 г , /_21

/с,2 5г5г

^ _1+ си 5 1 5 г+ 1 02 /с2 дг г дг к2 Зг2

^-23 -

Де31 + е15) З2

к?

ЗгЗг

, д2 15 3 , , 15 3

^-31= —+ е15--------г—. ^з2=(ез1+е15)-------г—,

д22 Г дг дг г дг дг

1 5 5

дг2

Г дг дг

С1, Сз, с55 - безразмерные упругие постоянные, е31, е15 -безразмерные пьзопостоянные, е11 - безразмерная диэлектрическая постоянная; нормирующие множители для постоянных соответственно сзз’ езз’ £зз ’ к[=ахх1С[, к, =охх! сь с2 =с33! р, с2=с55с2, т — круговая частота, р - плотность, а - средний радиус пьезоцилиндра, 2Л -толщина стенки, р = е33/(е33с33).

Учитывая цилиндрическую симметрию задачи, возьмем пробное решение в виде плоской волны, распространяющейся вдоль оси г

щ = ^и0(к^г) + А2Ы0(к^г) ^хр <к3 г ^ и2 = ^Зи^г) + А^{к^г)Ухр<к32~2 и3 = ^о^О + ЛзЛ/о^ОЗхР^зС

Л0(к^г), ^(к/) - функции Бесселя нулевого и первого порядка;

N (кг), N (к/) - функции Неймана нулевого и первого порядка.

Подстановка пробного решения в систему (1) дает две линейные однородные алгебраические системы уравнений относительно произвольных постоянных А, А, А (А, А, А) с матрицей коэффициентов а/Л

1-

к2

Ж

к?'

Эи о — Эо

=

к

рЦ+е^к2

к?

2

33

С

с

55

а

а

11

13

к?

к^ къ ©о и ©и с

^22 “11 Т" —Г. з23 = -/Д/с^з- —, а31 = - 41 + ^ А? .

к,2 2 к2

а32 = //с^з #3 -I + е-15 ^ азз = ^ .

Нетривиальное решение систем должно удовлетворять условию ^ |/*3= 0, которое сводится к уравнению Кристоффеля

а^/с + Ь.,/^4 + с., к2 + ^ =0,

где

Ь*4 4 Си •

1 РЩъ

к2 Ук? к?

*1 = _~т <13 + с15 И11 <13 + С55 > /?15 <31 + 15 ^

к,4

к?

1-

кц+р:

к?

1.+ /?е15

к} к2

к32Сц

к,2

, к32

1- —

к2,

/?/<з2 «31 + е15 _

к?

е31+е15 С13+С55

- 8^

к?

к?

к,4

с1 - . 3 С13 + С55 И&13 + С55 Э" Р <31 + е15 ,2" С11 . 3

М.

к?

к?

1-^М+/?_

к?

1

-к?

' 1 + Ре15 Л

1- к?

V к? Л

к? к?

+ £л

V к?'

к? у

/(о -

V £«+,.

/С32

- Р —- #31 + е15 ^^31 -г ^15 к?

!#31 +е1;

( 1<2 ^ :1—-/С,2

кз *

+ —Г <13 +С55 . к}

<^1 = к32

V к2 у

/с?

1-—<+£_

к,2

Уравнение Кристоффеля определяет три функциональные связи:

к^=^4£,к1,...^ к*2=^1£,к1,...> к*3=^4[*,к1,.. и три типа волн,

имеющих общую проекцию к волнового вектора на направление

распространения, но различные углы. В случае пьезоэлектрического волновода трем корням уравнения Кристоффеля соответствуют квазипродольная, квазипоперечная и квазиэлектрическая волны, для каждой из которых отличны от нуля как акустические, так и электрические величины.

Общее решение системы (1) можно записать в виде линейной комбинации векторов й,

и (г, г) = ехр 4к 3 г ]

/ =1+6,

Г1

и. =

6^21^1 ^-| а3^0 <110

«12^0 <12^

ОС 22^ 1 2?

Ка32^0 <12Г

а13^0 <13^"--

«23^1 «13/-

Ка33^0 <13Г_>

и, =

Л

6^1 -|Л/д ^-| / ^21^1 ^^11^" а31^0

Л

и л =

а-\2^0 ^2Г, 6^22^1 2^" . \а32^0 <12Г.

^ОГ13Л/о «13Г^ а23^1 зг Ка33^0 3Г

а1( = А,.,, а2/ = А2  аз/ = Аз _ алгебраические дополнения элементов матрицы а,*, взятые при соответствующих корнях уравнения Кристоффеля.

Для определения постоянных Б используем следующие граничные условия: на цилиндрических поверхностях г = 1 + Л/а

°П- = ° К = °г = 0 .

ди, (и, ди7Л Л д\/

: С11-----+ с13--------•"----- + Ре 31------- .

дг

V г

дг

д.I

:ди2 ЗиЛ Л Э\/

- С55 -------+------- + /?е15 Т- -

ОГ

02

ОГ

и

и

3

и

6

гг

_ д\/ (ди7 ди

Ог = _е11 -------+ е15 -------Н--------

дг V дг дг

а/к - компоненты тензора напряжений; О - электрическая индукция.

Подстановка общего решения в граничные условия дает систему шести линейных однородных алгебраических уравнений относительно постоянных Б с матрицей коэффициентов Ь/А.:

£>1 1 = £| +«21С31^1+1. ^12 = ^ + а21С31^11’ ^13 = ^2^02 + а22С31^12’

^1 4 = ^2^02 + а22С31^1+2' ^1 5 = ^3^03 + а23С31^1+3’ ^1 6 = ^3^03 + а23С31^13,

^21 = ^01 + а21С31^1 1' ^22 = ^1^01 + а21С31^11’ ^23 = ^2^02 + а22С31^1 2’

Ь24 — /г Л/о 2 +а'22С31^12> ^25 — ^3^03+а23С31^13’ ^26 — ^3^03 + а23С31Л/1 3>

Ь31 — ^32 — ^1^/^, Ь33 — <^2^12’

^34 - ^2^:2’ ^35 - ^3^1+3’ ^36 - ^3^13’

Ь44 — с(2Л/12, Ь45—с(3^/13, Ь46 — с(3Л/13,

^51 = 5,1^1+1. ^52 =91^и> к>53= 92^12’

^54 = Эг^г. ^55=9з^tз^ ^5в=9з^-1з’

^61 = 9Г1"-^1 1> ^562=911Л/|1, Ь63 = 02^12'

^64 “ 6^2 Л/-] 2’ Ьв5=9з^13> Ьвв=9з^13,

где = (с13-с11)/г+, с31=(с13-си)/г~, г+=/\ + Ь1а, г~='\-Ь1а,

^1 = С1 1к1 121 +^3(^1Эа1 1 + /^е31сг'31) > ^2 = С1 1^12*^22 + ^3(^13^12 + /^З^Зг)"

fз = 1к^3а23 + //сз(с13а13 + /7е31а33),

Л + = Л0(кцГ+), ^0+2=^о(к12''+), ^3=^^3Г+)~

^01“^о(к1 / ), "-^02 — >-^0 (^12r )< ^03“^о(к13 г ), woi = wo(ki f+), Л/+2 = Л/0(/<12г+), Л/+3 = N:(ky3r+),

Л/01=Л/0(/СцГ ), N02=N0(ky2r ), N03 = N0(ky3r ),

J+ =Ji(k11r+), ^+2 = ^(к12г+), J+з = J1(/c13r+),

^п=^і(/<і/ ), Jy2=J.\{ky2r ), Jy3=Jy(ky3r ),

/V- = Л/М f +), Л/+2 = Л^/с^), Л/+3 = Л/1(к13г+),

Л/i і = Л/і(/<цГ ), Л/^2 = Л/^(/С|2г ), Ny3=Ny(ky3r ),

= с55( ^1 Аі і + ік3а2у) — /ЗЄу5а3уку у,

^2 = С55(~а12кУ2 + ік3а22)~ Р^у5а32ку2, d3 = с55(—1cf-і зку з + ік3а23)~ fi&y $сс33ку3,

ду = Єу уку уа31 + Єу5(ік3а2у — ауукуу),

д2 = Єу уку2а32 + Єу5(ік3а22 — ссу2ку2),

Зз = ^ уку 3а33 + ву5(ік3а23 — ау Зку 3),

Ненулевое решение системы должно удовлетворять условию det|/A30, которое представляет собой дисперсионное уравнение

симметричных нормальных волн пьезоэлектрического цилиндра с осевой поляризацией.

Спектр безразмерных волновых чисел рассчитывался по трем отдельным программам: комплексные моды; действительные моды; мнимые моды. Для уточнения действительных и мнимых корней использовалась библиотечная программа MREGF - вычисление

действительного корня трансцендентного уравнения внутри интервала модифицированным методом Regula falsi . Для уточнения комплексных корней применялась библиотечная программа CTEML - вычисление заданного числа комплексных корней трансцендентного уравнения

методом Мюллера.

Уравнение Кристоффеля (кубическое относительно к2) в случае

действительных коэффициентов решалось с использованием библиотечной программы DCUBIC - вычисление корней кубического уравнения с действительными коэффициентами с двойной точностью, в случае комплексных коэффициентов применялась библиотечная программа CDPOLY - вычисление с удвоенной точностью всех корней полинома с комплексными коэффициентами методом, использующим трехступенчатый процесс Дженкинса и Трауба. Определитель шестого порядка вычислялся с помощью библиотечной программы CCDMG -вычисление комплексного определителя методом Гаусса.

Функции Бесселя и Неймана нулевого и первого порядков для действительного и комплексного аргументов вычислялись с использованием аппроксимаций этих функций многочленами, взятыми из справочника [5]. В случае чисто мнимого аргумента модифицированные функции Бесселя вычислялись с помощью библиотечной программы BESI, а модифицированные функции Неймана (функции Макдональда) - с помощью библиотечной программы BESK.

Численные расчеты выполнены для пьезоцилиндра, изготовленного из пьезокерамики титаната бария, при относительной толщине стенки т = 0,3 (рисунок). Параметр т определяется как отношение толщины стенки 2/7 к внешнему радиусу (а + Л). Безразмерные постоянные пьезокерамики равны с., .,=1,05; с13=0,45; с55=0,3; е31=-0,23; е15=0,81; ^ 1 = 1,10; /? = 0,15.

На рисунке представлены дисперсионные кривые: частотные зависимости безразмерного волнового числа к3а симметричных нормальных волн от частоты (безразмерного частотного параметра к,а). Кривые, показанные штриховыми линиями, представляют

проекции ветвей комплексных корней на действительную и мнимую плоскость, а сплошные линии - это ветви действительных и мнимых корней.

В пьезоэлектрическом волноводе распространение упругой волны сопровождается распространением электрической волны и наоборот. Такие волны называются квазипродольной, квазипоперечной и квазиэлектрической из-за их взаимного влияния. Чисто мнимые решения соответствуют квазиэлектрическим волнам (почти вертикальные сплошные линии в левой части рисунка), которые практически не имеют дисперсии, то есть зависимости скорости распространения от частоты. Действительные квазиупругие моды (сплошные линии в правой части рисунка) появляются на определенных - критических частотах к,а. В области комплексных решений каждую моду можно продолжить до нулевой частоты

(безразмерного частотного параметра к{а ). Причем нужно учитывать,

что комплексные моды определяются комплексно-сопряженными парами. Спектр нормальных волн пьезоактивного волновода зависит от толщины стенки цилиндра и от типа пьезокерамики.

Дисперсионные кривые безразмерного волнового числа симметричных нормальных волн для пьезоэлектрического цилиндра

Библиографический список

1. Ивина Н.Ф., Касаткин Б.А. Нормальные волны в анизотропном пьезоактивном волноводе // Дефектоскопия. 1975. № 4. С. 27-32.

2. Ивина Н.Ф., Касаткин Б.А. Численный анализ дисперсионных соотношений для нормальных волн пьезоактивного волновода // Акустический ж-л. 1982. Т. 28. № 4. С. 516-520.

3. Мадорский В.В., Устинов Ю.А. Построение системы однородных решений и анализ корней дисперсионного уравнения антисимметричных колебаний пьезоэлектрической плиты // Ж-л прикладной механики и технической физики. 1976. № 6. С. 138-145.

4. Балабаев С.М., Касаткин Б.А. Численный анализ дисперсионных соотношений нормальных волн пьезоэлектрического волновода типа пластины с электродами на торцах // Дефектоскопия. 1984. № 6. С. 20-23.

5. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.