Анализ методов математического моделирования риска (на примере российского фондового рынка)

УДК 519.254

А.М. Бояршинов

АНАЛИЗ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РИСКА

Проблема оценки рыночных рисков, ставшая актуальной в последнее десятилетие, вызвана мощным ростом количества участников финансового рынка в России.

Существует достаточно большое количество методов и методологий, направленных на оценку рисков как качественно, так и количественно. Примерами качественных методов могут служить методы оценки изменчивости (в частности, анализ волатильности), экспертные оценки, меры чувствительности. Количественные методы представлены, в основном, спектром моделей VaR (Value at Risk), широко применяющихся в финансовом секторе мировой экономики.

Кроме указанной проблемы оценки риска, существуют еще две, непосредственно связанные с ней: это проблема оценки вероятности наступления рисковой ситуации, а также проблема адекватности оценок. Для этих проблем также существует множество решений, часть из которых рассмотрена в данной статье.

Постановка задачи:

1) исследовать существующие методы оценки риска на применимость и эффективность в современных российских условиях;

2) дать сравнительный анализ методов определения качества оценок;

3) по результатам анализа выполнить реализацию наиболее адекватных методов;

4) провести верификацию реализованных методик;

5) оценить адекватность предлагаемых различными источниками алгоритмов расчета мер риска.

1. Модели Value at Risk

Рассмотрим наиболее общие подходы к оценке величины VaR при помощи исторического и статистического моделирования.

Историческое моделирование с равными весовыми коэффициентами. Метод исторического

моделирования является наиболее простым, не требующим широких теоретических исследований [1—3].

Изменения стоимости портфеля вычисляются как наложение исторических изменений факторов риска портфеля на их реальные значения. Так формируется выборка сценарных значений факторов риска, с использованием которой рассчитывается выборка сценарных приростов стоимости портфеля. В качестве величины VaR принимается определенный по порядку отрицательный прирост стоимости портфеля.

Историческое моделирование с экспоненциальным взвешиванием. Отличие данного метода от простого исторического моделирования заключается в том, что каждому сценарному изменению стоимости портфеля присваивается некоторый весовой коэффициент в зависимости от удаленности наблюдения от точки расчета [4]:

у -41 -х) 1 -хг '

Здесь ^ — удаленность наблюдения от точки расчета; Т — размер исторической выборки; X — коэффициент затухания.

Взвешенное историческое моделирование дает оценку VaR, основываясь на наиболее поздних наблюдениях, и позволяет лучше оценивать риск при частых колебаниях стоимости портфеля.

Достоинства исторического метода расчета:

— отсутствие предположений о распределении доходностей факторов риска;

— хорошая точность оценки нелинейных инструментов;

— простота полной переоценки портфеля, осуществляемой по историческим данным;

— интуитивная простота и наглядность.

Недостатки метода:

— использование только одной траектории эволюции цен;

w =

— прошлое не всегда является хорошей моделью для будущего;

— высокая вероятность получить ошибочную оценку при малом объеме выборки.

Метод вариаций-ковариаций. Данный метод, как и метод исторического моделирования, использует историческую выборку факторов риска, но основан на предположении о нормальном законе распределения логарифмических доходностей факторов риска [2, 5]. Значение УаК получается равным квантили требуемого уровня нормального распределения от волатильности доходности портфеля, рассчитанной с учетом ковариаций между доходностями инструментов:

VaR f = qyjWT 2W ,

где # — квантиль заданного уровня; Ж — вектор-столбец чувствительностей (эластично-стей) портфеля по отношению к логарифмическим доходностям инструментов; Е — матрица ковариаций между доходностями инструментов.

Экспоненциально взвешенные ковариации. Специфика данного метода состоит в более серьезном вкладе в ковариацию поздних наблюдений. В этой модели зависящая от времени экспоненциально взвешенная ковариационная матрица I, вычисляется следующим образом [4, 5]:

1 -X t -1

2, + 1 = —г - srj- s = X2, +

1 -XT

i = 0

+ (1 -X)rtrT (для 0 <X< 1).

Достоинства ковариационного метода расчета УаК:

— сравнительная простота реализации;

— небольшие затраты на сбор первичных данных и вычисления;

— приемлемая точность оценки в большинстве случаев практического применения.

Недостатки метода:

— низкая точность оценки инструментов с нелинейной по факторам риска функцией ценообразования (например, опционов);

— предположение о нормальном распределении логарифмической доходности на рынке выполняется не всегда, вследствие чего оценки УаК могут оказаться смещенными.

2. Расчет и верификация результатов

В качестве объекта исследования при проведении тестовых расчетов выбран умеренно диверсифицированный портфель, содержащий наиболее ликвидные финансовые инструменты. Данные о котировках инструментов получены из открытых источников.

Для портфеля рассчитаны и верифицированы шесть моделей Value at Risk: историческая модель без взвешивания, ковариационная модель без взвешивания, а также две исторических взвешенных модели и две ковариационных взвешенных модели (с весовыми коэффициентами X = 0, 97 и X = 0,94 соответственно).

Для верификации моделей рассчитаны и проанализированы показатели их качества и эффективности: средние необеспеченные потери, средние незадействованные резервы, общее превышение VaR, среднее отношение необеспеченных потерь к VaR, наибольшее отношение необеспеченных потерь к соответствующему значению VaR, множитель для достижения покрытия.

Результаты расчетов для описанных методов на уровне значимости 1 % (голубая линия) и уровне значимости 5 % (розовая линия) представлены в графической форме на рис. 1.

Далее, в таблице, представлены значения показателей эффективности, рассчитанные для описанных выше моделей VaR.

По приведенным на рис. 2 результатам можно сделать следующие выводы.

1. На 5 %-м уровне значимости исторический VaR бесспорно дает наименьшие потери, однако при самых больших незадейство-ванных резервах. Наименьшую величину резервов на этом уровне значимости дает исторический взвешенный VaR (с коэффициентом X = 0,94), но в то же время он дает наибольшую величину среднего превышения VaR, наибольшую величину суммарного превышения, а также имеет значительное число превышений по данным таблицы, что все вместе ставит под сомнение целесообразность его использования.

Прочие меры риска на 5 %-м уровне дают сравнимые между собой результаты.

Рис. 1. Результаты расчетов верификации: а — без взвешивания, б — с коэффициентом X = 0,97, в — с коэффициентом X = 0,94 Верхний ряд — исторический метод, нижний — метод вариаций-ковариаций

Показатели эффективности моделей Value at Risk

1 %-й уровень значимости Ков. Ков. 0,97 Ков. 0,94 Ист. Ист. 0,97 Ист. 0,94

Количество превышений УаЯ 9 8 9 3 9 9

Среднее превышение УаЯ 237,14 264,06 252,55 186,31 272,25 343,93

Средние незадействованные резервы 484,95 453,40 431,95 748,21 491,82 423,82

Общее превышение УаЯ 2134,30 2112,46 2272,96 558,93 2450,25 3095,33

Средние необеспеченные потери / УаЯ 1,41 1,49 1,50 1,26 1,64 2,08

Наибольшее отношение: потери / УаЯ 1,89 2,14 2,16 1,52 2,76 3,72

Множитель для достижения покрытия 1,53 1,54 1,49 0,88 1,56 1,95

5 %-й уровень значимости Ков. Ков. 0,97 Ков. 0,94 Ист. Ист. 0,97 Ист. 0,94

Количество превышений УаЯ 16 16 17 14 20 21

Среднее превышение УаЯ 259,57 261,95 255,39 288,56 304,62 310,96

Средние незадействованные резервы 333,88 313,86 297,73 359,69 276,03 280,51

Общее превышение УаЯ 4153,09 4191,22 4341,66 4039,90 6092,35 6530,21

Средние необеспеченные потери / УаЯ 1,63 1,67 1,70 1,71 2,06 2,27

Наибольшее отношение: потери / УаЯ 2,67 3,02 3,06 2,75 4,03 4,98

Множитель для достижения покрытия 1,08 1,12 1,20 1,03 1,40 1,62

Оценка качества показателей VaR

800

700

Он

5

..... о а.

а а

ч

Рн

О

600

500

400

300

200

И лирический

Исторический 0,97 :

, Ковариацион .Ковариацион . Ковариациов -Ковариацион Ковариацион] ный; 0 ный; 0 пный -ны й; 0 л>щ 0, ,97--94 ♦ ' ♦ Исторический; ч ч Исторический Исторический / Исторический, 0,94 . ♦

97-Ж* к ✓ к 0,97  0,94

Ш 94' к*'

180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 Среднее превышение VaR

Рис. 2. Средние незадействованные резервы против среднего превышения VaR

(♦) — значимость 1 %; (А) — значимость 5 %

2. На 1 %-м уровне величина УаК, рассчитанная по методу ковариаций, дает наименьшее среднее превышение УаК, однако количество превышений для всех ковариационных методов довольно значительно. На 1 %-м уровне модель, построенная при помощи исторического моделирования с равными весами, имеет наименьшее количество пробоев и, согласно рекомендациям базель-ского комитета [7], единственная для данного уровня значимости лежит в «зеленой» зоне, имея самую большую величину неза-действованных резервов.

В целом, несмотря на значительное количество превышений, параметрические взвешенные модели на 1 %-м уровне имеют значительно лучшие показатели, чем исторические взвешенные: можно сделать вывод о том, что превышения в целом менее значительны, чем для исторических моделей.

Продолжим сравнение эффективности методов расчета УаК, обратившись к данным таблицы.

Показатель «Множитель для достижения покрытия» указывает, во сколько раз необходимо увеличить каждое значение оценки УаК для получения оценки, количество превышений

которой на периоде верификации не превышает заданного для уровня значимости, согласно рекомендациям базельского комитета.

Если этот показатель меньше единицы, то модель дает завышенные оценки УаК и метод расчета излишне консервативен. Случай, когда показатель значительно больше единицы, отражает, что модель часто дает заниженные оценки УаК.

Величина среднего отношения необеспеченных потерь к УаК позволяет оценить, насколько в случае превышения УаК убыток превышает его оценку.

Для исторического метода моделирования УаК коэффициент отношения средних необеспеченных потерь к УаК возрастает с убыванием величины весового коэффициента (соответственно, с уменьшением эффективного размера выборки), т. е. в случае применения исторического метода размер выборки критичен для точности определения УаК, чего нельзя сказать применительно к параметрическому методу.

3. Поправки к моделям

Сглаживание перепадов УаШе-а^Шэк. В случае расчета исторического УаК квантиль заданного уровня вероятности по выборке

может иметь нецелое значение (например, 5 % на выборке из 250 значений дает позицию, равную 12,5). В данной работе значение УаЯ вычисляется как взвешенная линейная интерполяция соседних точек выборки. Такой подход помогает преодолеть следующие недостатки: при выборе меньшего значения из двух УаЯ может получить значение меньшее, чем необходимо, и модель не пройдет верификацию, а при выборе большего значения, величина УаЯ получится завышенной и приведет к увеличению резервов.

Этот прием был использован в расчете исторических моделей УаЯ.

Корректировка моделей при помощи мультипликатора. В случаях, когда верификация некоторых моделей УаЯ показывает, что они демонстрируют значительное число превышений, но не находятся в «красной» зоне, моно улучшить их характеристики при помощи множителя для достижения покрытия. Суть корректировки состоит в том, что оценка УаЯ умножается на величину мультипликатора, получаемого при верификации этой модели в предыдущий момент времени. Так как каждая верификация требует для проведения затрат времени, в некоторых случаях определяется интервал времени, на котором мультипликатор считается постоянным.

Итак, рассмотрены основные методы и модели оценки величины УаЯ. В то время как в научной литературе описано очень большое количество специализированных моделей, которые дают значительно более

качественные оценки в определенных (и очень частных) случаях, рассмотренные общие модели имеют широкие возможности для применения и дают достаточно качественные оценки.

По результатам описанного исследования можно сделать следующие выводы.

Удовлетворительными являются модели, построенные при помощи метода вариаций-ковариаций, которые дают очень близкие результаты при оценке их по принципу «риск/резервы». Наименьшее количество превышений УаЯ дает метод исторического моделирования с равными весами, однако этот метод имеет очень высокий показатель неиспользованных резервов, что делает его в значительной степени консервативным. Методы взвешенного исторического моделирования дают менее качественные оценки.

Историческое моделирование наиболее удобно в случаях, когда инвестор выбирает консервативную стратегию и стремится минимизировать возможные потери.

Ковариационные методы хорошо подходят для инвесторов, заинтересованных в минимизации своих резервов. Эти методы удовлетворительно отслеживают изменения стоимости портфеля, однако нужно заметить, что в случае превышения убытками значения УаЯ потери часто весьма значительны.

Описанные в данной статье результаты применены на практике при проведении численного эксперимента по управлению инвестиционным портфелем [8].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Risk Management [Electronic recourse]. A Practical Guide. RiskMetrics Group. - 1999. - URL: www.riskmetrics.com

2. RiskMetrics [Electronic recourse]: Technical Document, 4th edition. - 1996. - URL: http://www. riskmetrics.com

3. Jorge, M. Return to RiskMetrics: the Evolution of a Standard [Electronic recourse]. RiskMetrics. — April 2001. — URL: http://www.riskmetrics.com/

4. Supervisory Framework for the Use of «Backtesting» in Conjunction with the Internal Models Approach to Market Risk Capital Requirements [Text] / Basle Committee on Banking Supervision. — January, 1996.

5. An improved methodology for measuring VaR [Text] / Peter Zangari. RiskMetrics Monitor: Second quarter 1996.

6. James, E. Conservatism, Accuracy and Efficiency [Text]: Comparing Value-at-Risk Models. — March, 1999.

7. Amendment to the Capital Accord to incorporate market risks [Text] / Basle Committee on Banking Supervision.

8. Бояршинов, А.М. Критерии оптимальности в задаче управления инвестиционным портфелем [Текст] / А.М. Бояршинов, И.Н. Бояршинова // Научно-технические ведомости СПбГПУ. — 2012. — № 3(149). — С. 97—99.