Специальные вложения некоторых несвязных графов в евклидово пространство

Краткие сообщения

УДК 515.162.6

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ НЕСВЯЗНЫХ ГРАФОВ В ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

К. И. Облаков1, Т. А. Облакова2

В работе рассматриваются такие вложения графов в R3, что на каждой прямой располагается минимально возможное число точек. Доказывается теорема, утверждающая, что для любого вложения в R3 графа, содержащего несвязное объединение двух графов Куратовского-Понтрягина, найдется прямая, пересекающая образ графа не менее чем по четырем точкам. Как следствие несвязные объединения графов Куратовского-Понтряги-на являются минимальными 3-невложимыми графами.

Ключевые слова: графы, вложения графов, графы Куратовского-Понтрягина.

This work considers such embeddings of graphs to R3 that each line contains minimal number of points of the image. It is proved that for every embedding of graph containing disjoined union of two Kuratovski-Pontryagin graphs there exists a line containing four points of the image or more. So disjoint unions of Kuratovski-Pontryagin graphs are minimal 3-unembeddable graphs.

Key words: graphs, embeddings of graphs, Kuratovski-Pontryagin graphs.

Введение. Работа посвящена специальным вложениям графов в евклидово пространство. Мы продолжаем рассматривать такие вложения графов в трехмерное линейное пространство R3, что на всякой прямой R3 лежит минимально возможное число точек. С. А. Богатый [1] и Т. Гудселл [2] доказали 4-вложимость любого графа. Первый результат о 3-невложимости (графа Кб,б) получил Р. Т. Живае-вич [3]. В работе [4] доказано, что 2-вложимость графа эквивалентна планарности. Доказано также, что графы Петерсена являются минимальными 3-невложимыми. В данной работе мы даем другой класс 3-невложимых графов — несвязные объединения графов Куратовского-Понтрягина и доказываем их минимальность.

Постановка задачи. Дадим определение свойства графов, изучению которого посвящена работа.

Определение. Граф называется n-вложимым, если существует такое вложение в R3, что на любой прямой находится не более n точек графа.

Очевидно, что если граф n-вложим, то он k-вложим для каждого k > n.

Теорема. Несвязное объединение двух графов Куратовского-Понтрягина (К5 U К5, К5 U К33 или Кз,з U Кз,з) является минимальным не 3-вложимым графом.

Наше доказательство опирается на следующее утверждение, представляющее и самостоятельный интерес. Пусть gi: M^1 — Nni+n2, g2: MП2 — Nni+n2 — два непрерывных отображения замкнутых ориентированных многообразий в многообразие без края N. Индекс пересечения этих отображений [5, с. 98] обозначается через coin(gi ,g2).

Утверждение 1. Для двух непрерывных отображений gi ,g2 замкнутых компактных ориентируемых поверхностей Mi, M2 в касательное пространство сферы L(S2) имеет место равенство

coin(gi ,g2) = 2deg(pgi )deg(pg2),

где p: L(S2) — S2 — естественная проекция.

Доказательство утверждения. Пусть степени отображений pgi и pg2 равны ki и k2 соответственно. Так как проекция p: L(S2) — S2 является деформационной ретракцией, то отображения gi гомотопны отображениям pgi.

Введем отображения hi: Mi — S2, стягивающие Mi, за исключением некоторой открытой окрестности, в некоторую точку T. Пусть Wi: S2 — S2 — стандартное разветвленное накрытие степени ki, в сферических координатах (ф,ф) задающееся как домножение координаты ф на ki.

1 Облаков Константин Игоревич — асп. каф. общей топологии и геометрии мех-мат. ф-та МГУ, e-mail: v03oki@nm.ru.

2 Облакова Татьяна, Александровна — асп. каф. общей топологии и геометрии мех-мат. ф-та МГУ, e-mail: oblakova@nm.ru.

Зададим векторные поля £1 и £2 на сфере следующим образом: £1 — нулевое поле, £2 — некое поле, ему трансверсальное (например, поле из работы [5, с. 100]). Пусть щ: Б2 ^ Ь(Б2) — следующие отображения: иг(х) = (х,£г(х)). Очевидно, что рщ = гй, причем щ отображает каждую точку в нулевой касательный вектор, щ и П2 пересекаются трансверсально. По теореме 15.2 из [5] индекс пересечения нулевого векторного поля и поля £2 равен сумме индексов особых точек поля £2. По теореме Хопфа это число равно эйлеровой характеристике сферы, т.е. двум.

Потребуем удаленности полюсов сфер от точек трансверсального пересечения щ и и2. В таком случае локально существуют отображения, обратные к щ—, т.е. индекс пересечения и^! и и2—2 равен 2к^2. Потребуем удаленности точки Т от полюсов сфер и точек трансверсального пересечения и! и и2. Каждая точка пересечения отображений и!—!Лг и ^—2^2 является невырожденной, потому их алгебраическая сумма такая же, как у и!—! и и2—2, т.е. 2к! к2. По теореме 13.3 из [5] любые два отображения некоторой поверхности в сферу гомотопны, если они имеют одинаковую степень, значит, рдг гомотопно —гЬг = риг—гЬг. В силу того что р является деформационной ретракцией, отображение дг гомотопно щю^. Индекс пересечения не меняется при гомотопиях, потому индекс пересечения д! и д2 равен 2к!к2. Утверждение доказано.

Доказательство теоремы. Пусть имеется граф С, являющийся объединением графов С и О2, каждый из которых есть К5 или К33. Пусть /: С ^ М3 — вложение, / и /2 — ограничения / на С! и С2 соответственно. Докажем, что для вложения / найдется 4-прямая.

Установим гомеоморфизм между множеством ориентированных прямых в М3 и Ь(Б2). Каждая ориентированная прямая однозначно задается своим направляющим вектором и радиус-вектором ближайшей к началу координат точки. Так как эти два вектора взаимно перпендикулярны, направляющий вектор можно представить как точку на сфере, а радиус-вектор — как касательный вектор к сфере в этой точке. Каждой паре точек х, у на С! или С2, лежащих на непересекающихся симплексах, сопоставим ориентированную прямую /(х)/(у). Получим отображения взрезанных полиэдральных квадратов С! и С2 в

Ь(Б2). Обозначим эти отображения через /{2}: С{2} ^ Ь(32) и /{2}: С{2} ^ Ь(Б2). Известно, что К{2} —

сфера с шестью ручками, а К33 — сфера с четырьмя ручками [6, с. 178].

Пусть р: Ь(Б2) ^ Б2 — проекция, о которой говорилось выше. Сквозные отображения р/{2}: С{2} ^

Б2 (г = 1,2) в сферу сопоставляют паре точек (х,у) нормированный вектор и при замене пары

\/ (х)/(у)1

точек на (у, х) точка сферы меняется на диаметрально противоположную, т.е. отображения р/{2} эквива-риантны. Обозначим степени этих отображений через к! и к2 соответственно. Из теоремы 3.10 работы [7] следует, что эквивариантность отображения сферы с четным числом ручек в сферу влечет нечетность его степени, потому числа к! и к2 ненулевые. По утверждению 1 число пересечений /{2} и /{2} равно 2к^2,

т.е. отлично от нуля. Это означает, что множества /{2}(С|2}) и /{2}(С22} ) пересекаются не менее чем по двум точкам либо только по одной, но не трансверсально.

Заметим, что непустое пересечение множеств /{2}(С{2}) и /{2}(С{2}) означает существование таких точек х,у € С! и и,у € С2, что /(х), /(у), /(и), /(у) лежат на одной прямой, т.е. существует 4-прямая.

После удаления одного ребра такой граф превращается в объединение графа Куратовского-Понтря-гина и планарного графа. Граф С без ребра вкладывается в плоскость с единственным самопересечением. Воспользуемся следующим утверждением.

Утверждение 2. Если граф вкладывается в плоскость с одним самопересечением типа ребро-ребро или ребро-вершина, то его можно 3-вложить в пространство.

Доказательство. Для разведения окрестности самопересечения воспользуемся конструкцией, приведенной на рис. 2, а из работы [4]. Одно ребро поместим на нижний слой "шапочки", а второе ребро (при пересечении типа ребро-ребро) либо вершину с выходящими из нее ребрами (в случае пересечения ребра с вершиной) — на нижний слой. Итак, 3-вложение получено.

Минимальность и 3-невложимость графов доказаны.

Замечание. На самом деле доказан более сильный факт: пусть граф С есть дизъюнктное объединение двух графов С! и С2, каждый из которых является графом Куратовского-Понтрягина К5 или К33. Тогда для всякого вложения /: С ^ М3 существуют такие симплексы И!,И2 € С! и 8!,82 € С2, что а! П а2 = 0, П $2 = 0 и некоторая прямая I имеет непустое пересечение с а!, 02, ^, 52. Таким образом, результат работы подтверждает справедливость гипотезы из [4] и гипотезы из [8].

Авторы приносят благодарность научному руководителю С. А. Богатому за постановку задачи и помощь в работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Богатый С.А. Цветная теорема Тверберг // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 3. 14-19.

2. Goodsell T.H. Strong general position and Menger curves // Topol. and Appl. 2002. 120, N 1-2. 47-55.

3. Zivaljevic R. T. The Tverberg-Vrecica problem and the combinatorial geometry on vector bundles // Isr. J. Math. 1999. 111. 53-76.

4. Антонова Т.А., Облаков К.И. Специальные вложения графов в трехмерное пространство // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 6. 26-31.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Т. 2: Геометрия и топология многообразий. М.: Эдиториал УРСС: Добросвет, 2001.

6. Прасолов В.В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. М.: МЦНМО, 2004.

7. Conner P.E., Floyd E.E. Fixed point free involutions and equivariant maps // Bull. Amer. Math. Soc. 1960. 66, N 6. 416-441.

8. Bogatyi S.A. Finite-to-One Maps // Topol. and Appl. 2008. N 155. 17-18.

Поступила в редакцию 09.03.2010

УДК 517.5

КРАТНО-МАСШТАБНЫЙ АНАЛИЗ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

А. В. Пленкин1

В работе на основе результатов обработки расчетов газодинамических полей показано, что совместный анализ разрывов, локализованных в исходном поле и на первом уровне его вейвлет-разложения, позволяет избавиться от большей части артефактов, порожденных погрешностью расчета. При этом использование для разложения несимметричных вейвлетов приводит к смещению разрывов. Также установлена допустимость отождествления значений поля и коэффициентов его вейвлет-разложения.

Ключевые слова: вейвлеты, локализация сингулярностей, газовая динамика.

A joint analysis of singularities detected in an initial gas dynamic field and at the first level of its wavelet decomposition allows one to remove the most part of numerical artifacts. The application of asymmetric wavelets for this decomposition leads to a displacement of singularities. It is shown that the values of such a field can be identified with the coefficients of its wavelet decomposition.

Key words: wavelets, singularity detection, gas dynamics.

1. Введение. Для расчета газодинамических течений широко используются методы сквозного счета, но такой подход приводит к размазыванию большинства разрывов. Однако для большого круга задач необходима информация о расположении сингулярностей в течении. При решении задачи алгоритмического выделения и классификации особенностей расчета следует учитывать, что в нем могут присутствовать эффекты, соответствующие разным масштабам (шумы разных частот и амплитуд). Поэтому перед решением этой задачи необходимо разложить исходные данные по масштабам. Анализ уровней, не содержащих мелкомасштабных структур, позволяет избавиться от счетных артефактов. В данной работе для разложения данных по уровням применяется кратно-масштабный вейвлет-анализ [1], а для локализации особенностей газодинамических полей — построенный в [2] детектор.

2. Многомасштабный вейвлет-анализ. Основными соотношениями вейвлет-анализа являются соотношения рескейлинга

{ф(х/2) = ^ Кф(х - n),

n (1) Ф(х/2) = £ gnф(x - n),

n

1 Пленкин Андрей Валерьевич — асп. каф. вычислительной механики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: golden_dragon_84@mail.ru.