Критическое поведение o(n)-симметричной моделис антисимметричным тензорным параметром порядка: ренормгруппа в реальном пространстве

УДК 53

Вестник СПбГУ. Физика и химия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 4

Н. М. Лебедев, М. В. Компаниец

КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ 0(п)-СИММЕТРИЧНОЙ МОДЕЛИ С АНТИСИММЕТРИЧНЫМ ТЕНЗОРНЫМ ПАРАМЕТРОМ ПОРЯДКА: РЕНОРМГРУППА В РЕАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ*

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Критическое поведение 0(п)-симметричной модели ф4 с антисимметричным тензорным параметром порядка изучается с помощью подхода ренормгруппы (РГ) в реальном пространстве. Ранее авторами совместно с Н. В. Антоновым данная модель изучалась посредством метода е-разложения. В рамках такого подхода было показано, что нетривиальные фиксированные точки присутствуют в модели только в случае п = 4, однако их свойства инфракрасной устойчивости являются чувствительными по отношению к учёту старших порядков теории возмущений и асимптотического характера е-разложений. В итоге был сделан вывод, что для получения достоверной картины критического поведения необходимо помимо учёта старших порядков теории возмущений исследовать также зависимость результатов от выбора конкретной схемы ренормировки. Для этого в настоящей работе РГ-функции и критические индексы модели вычислены в форме псевдо-е-разложений с трёхпетлевой точностью. Полученные результаты качественно согласуются с результатами борелевско-го пересуммирования соответствующих е-разложений в трёхпетлевом приближении. Тем не менее значения критических индексов, полученные путём прямого суммирования псевдо-е-разложений и борелевского пересуммирования соответствующих е-разложений могут довольно существенно отличаться. Библиогр. 33 назв. Табл. 6.

Ключевые слова: ренормализационная группа, критическое поведение.

Для цитирования: Лебедев Н. М., Компаниец М. В. Критическое поведение 0(п)-сим-метричной модели с антисимметричным тензорным параметром порядка: ренормгруппа в реальном пространстве // Вестник СПбГУ. Физика и химия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 4. С. 417-428. https://doi.org/10.21638/11701/spbu04.2017.405

N. M. Lebedev, M. V. Kompaniets

CRITICAL BEHAVIOUR OF A O(n)-SYMMETRIO MODEL WITH AN ANTISYMMETRIC TENSOR ORDER PARAMETER: THE REAL-SPACE RENORMALIZATION GROUP

St. Petersburg State University,

7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

Critical behavior of the 0(n)-symmetric model with antisymmetric tensor order parameter is studied by means of the renormalization group approach in the space of a fixed dimension. Previously this model was studied by the authors in collaboration with N. V. Antonov by means of e-expansion. Within the framework of this approach, it was shown that non-trivial fixed points are present in the model only in the case n = 4, however, their infrared stability properties appeared to be sensitive to the accounting of the higher orders of perturbation theory and the asymptotic nature of e-expansions. As a result, it was concluded that in order to obtain a reliable picture of critical behavior, besides accounting for the higher orders of perturbation theory, it is also necessary to explore the dependence of the results on the choice of a specific renormalization scheme. For this purpose in the present paper RG-functions and critical exponents of the model are calculated in form of pseudo-e-expansions with a three-loop accuracy. The results obtained are in qualitative agreement with results of the Borel resummation of corresponding e-expansions

* Н. М. Лебедев выражает благодарность РФФИ за финансовую поддержку в рамках гранта 16-32-00086 мол-а.

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2017

in three-loop approximation. Nevertheless, the numerical values of the critical exponents obtained by direct summation of the pseudo-e-expansions and by the Borel resummation of the corresponding e-expansions can differ quite significantly. Refs 33. Tables 6.

Keywords: renormalization group, critical behavior.

For citation: Lebedev N. M., Kompaniets M. V. Critical behaviour of a 0(ra)-symmetric model with an antisymmetric tensor order parameter: the real-space renormalization group. Vest-nik SPbSU. Physics and Chemistry. 2017. Vol. 4 (62), iss. 4. P. 417-428. https://doi.org/10.21638/11701/spbu04.2017.405

Введение. Многочисленные физические системы обнаруживают интересное сингулярное поведение в окрестности своих критических точек. Их термодинамические и корреляционные функции демонстрируют степенное поведение с универсальными критическими размерностями, которые в соответствии с общепринятыми взглядами зависят только от нескольких глобальных характеристик системы, таких как симметрия или размерность пространства. Тем самым можно говорить о классах универсальности моделей критического поведения безотносительно к конкретной природе физической системы, претерпевающей фазовый переход второго рода [1, 2].

В рамках ренормгруппового (РГ) подхода (как с использованием ренормгруппы в реальном пространстве, так и в рамках е-разложения) наиболее изученные фазовые переходы (жидкость—пар, бинарные смеси, ферро- и антиферромагнетики) описываются 0(п)-симметричными моделями со взаимодействием типа ф4 и п-компонентным векторным параметром порядка [1—8].

Однако во многих случаях описание с помощью подобных сравнительно простых моделей оказывается неадекватным, и приходится рассматривать более сложные симметрии или более сложные типы параметров порядка с матричной или тензорной природой. Как правило, соответствующие теоретико-полевые модели включают несколько различных типов взаимодействий и, соответственно, несколько констант связи.

В работах [9, 10] теоретико-полевая ренормгруппа применялась к 0(п)-симметрич-ной модели ф4 с вещественным антисимметричным тензорным параметром порядка в рамках е-разложения. Такая модель может иметь отношение к переходам между нематической, холестерической и голубой фазами жидких кристаллов [11—16], переходу в диссиметричную фазу в ферроэластиках [17-21] и, в комплексной модификации, к переходу в сверхпроводящее состояние в системах фермионов с высшими спинами или дополнительными степенями свободы [22-24].

При п = 2 и 3 модель сводится к хорошо изученным однозарядным скалярной и 0(3)-векторной ф4-моделям соответственно; при п ^ 4 это истинно двухзарядная модель. РГ-анализ, выполненный в работе [9] в рамках однопетлевого приближения (первый порядок е-разложения), показал, что только при п = 4 в модели имеются фиксированные точки с вещественными координатами: одна инфракрасно-устойчивая (ИК-устойчивая) и три неустойчивых. При п > 4 нетривиальные фиксированные точки в модели отсутствуют, а РГ-потоки уходят либо на бесконечность, либо в нефизическую область.

Однако в работе [10] было продемонстрировано, что данные результаты не являются устойчивыми по отношению к учёту следующих порядков теории возмущений, а также к учёту асимптотического характера рядов теории возмущений для данной модели. В частности, непосредственный учёт трёхпетлевых поправок привёл к смене типа ИК-устойчивой в главном приближении фиксированной точки на седловидную, в то время как одна из седловидных точек, наоборот, стала ИК-устойчивой после учёта асимптотического характера е-разложений. В итоге в работе [10] был сделан вывод,

что для достоверного определения типа перехода и надёжного вычисления критических размерностей необходимо исследовать не только устойчивость полученных результатов по отношению к учёту следующих порядков теории возмущения, но также и их зависимость от выбора конкретной схемы ренормировки.

В настоящей работе для анализа обсуждаемой модели используются подход ренорм-группы в фиксированной размерности пространства (реальном пространстве) и метод псевдо-е-разложения (т-разложения). Известно, что т-разложение является эффективным методом изучения характеристик критического поведения различных систем. Более того, данный подход позволяет получать надёжные численные оценки критических индексов без применения сложных техник суммирования, чувствительных к особенностям асимптотического поведения рядов теории возмущений [6, 25-30]. Таким образом, анализ результатов, полученных в рамках данного подхода, может помочь получить дополнительную информацию об устойчивости неподвижных точек и прояснить ситуацию со сменой устойчивости, которая была описана в работе [10].

Модель. В данной работе рассматривается модель вещественного антисимметричного тензорного поля ф = ф^к(х) второго ранга (фгк = —Фь, = 1,...,п) в ¿-мерном евклидовом векторном пространстве. Модель задаётся функционалом действия:

6'

Здесь и далее интегрирование по ¿-мерному пространству, а также суммирование по повторяющимся индексам подразумевается; д2 обозначает оператор Лапласа, — отклонение температуры (или её аналога) от критического значения, а дю, 920 — константы взаимодействия.

Для обеспечения стабильности модели необходимо, чтобы неквадратичная по полям часть функционала (1) была отрицательно определённой на любой конфигурации поля ф. Данное требование приводит к ограничениям на значения, которые могут принимать константы взаимодействия в случае чётных и нечётных значений п соответственно:

2дю + 920 > 0, пдю + д20 > 0;

2дю + 920 > 0,

Стандартный анализ симметрий функционала (1) и канонических размерностей полей и параметров модели показывает, что поверхностные ультрафиолетовые (УФ) расходимости, требующие устранения путём перенормировки, содержатся только в двух-и четырёхточечных 1-неприводимых функциях Грина. Как следствие, модель является мультипликативно ренормируемой с ренормированным действием:

1 9 и(4-^) п(4-Ю

5д(ф) = ± иш-г^ + гтгЦ) - ^_^3(Мф2))2 - ^^^МФ4).

Связь констант ренормировки зарядов и поля с нумерованными константами даётся соотношениями:

7 - 2з  7 - 24  7 - 71/2 Ш

91 — Тр2 ' 92 — : ¿ф — ¿2  ¿2 ¿2

В работе используется схема ренормировки, аналогичная используемой в работе [31]. Перенормировочные константы определяются непосредственно из нормировочных условий для функций Грина:

|р=0, и=т = —ш2, Г2^р=0, и=0 = 0,

др2Г2й|р=0, ,=т = -1, г£|р=0, ,=0 = - Я2У2т(4-ё),

и, как и в схеме минимальных вычитаний (МБ), зависят только от безразмерных зарядов 01,2.

Уравнение ренормгруппы получается стандартным способом на основе произвольности ренормировочной массы и, и для к-точечной 1-неприводимой функции Грина совпадает с таковым для схемы МБ:

(ид + Р1д31 + Р2д32 - ут2Бт2 - куф)Г2 = 0.

При этом РГ-функции задаются стандартными определениями:

Ь = Б, 1п 2ц, в = В^ г = 1, 2,

где Вх = хдх для любой переменной х, а Ви есть оператор Ви при фиксированных затравочных параметрах.

Из определений (4) и (5) получаем явные выражения для РГ-функций через константы ренормировки поля и зарядов:

о =_91 (4 - <*) (-1 + Р921п г91 - В921п )_

11 1 + в911п г91 - в911п • в921п г91 + в921п + в911п г91  в921п '

в =_92 (4 - 3) (-1 + в911п г92 - в911п г91)_

12 1 + в911п г91 - в911п • в921п г91 + в921п + в911п г91  в921п ;

Уф =

Инфракрасное асимптотическое поведение функций Грина определяется набором ИК-притягивающих (ИК-устойчивых) неподвижных точек соответствующих уравнений РГ, координаты которых ищутся из условия одновременного зануления всех в-функций:

Рг(д*) =0.

Тип неподвижной точки определяется с помощью матрицы:

югк = двг/дди 1д=9*.

Неподвижная точка является ИК-притягивающей, если матрица ю положительна в этой точке, т. е. положительна вещественная часть всех её собственных чисел. Существование ИК-притягивающей неподвижной точки предполагает скейлинговое поведение для всех функций Грина, описываемое критическими индексами, в частности индексом Фишера:

П = 2уф(д1*,д2*).

Константы ренормировки были явно вычислены в форме рядов по степеням д1 , д2 с трёхпетлевой точностью. Каждая диаграмма исследуемой модели, дающая вклад в 2г, может быть представлена в виде произведения соответствующей диаграммы скалярной ф4 модели и дополнительного тензорного множителя, возникающего как результат свёртки тензорных частей пропагатора и вершинных множителей (см. [9, 10]). Значения диаграмм скалярной модели были взяты в работе [31] для случая 3 = 2 и в работе [25] для случая 3 =3. Вычисление тензорных свёрток было произведено при помощи программы FORM [32, 33].

Разложения для РГ-функций (6)-(8) были получены по известным рядам для констант ренормировки. Для этого была выполнена замена 91,2 ^ ¿91,2, после чего выражения (6)-(8) были разложены в ряд по £ с необходимой точностью, а параметр £ был положен равным единице. Полученные таким образом разложения для РГ-функций приводятся и обсуждаются ниже.

Стоит также отметить, что модель с дополнительными соотношениями 92 =0 или 491 + 392 = 0 замкнута по отношению к процедуре ренормировки. Следствием этого является тот факт, что для координат неподвижных точек, обозначаемых в дальнейшем как А и С, должны выполняться точно соотношения 92* =0 и 491* + 392* = 0 соответственно, а по отношению к соответствующим однозарядным моделям эти точки должны быть ИК-притягивающими. Данный факт можно использовать для дополнительной проверки полученных в данной работе результатов.

Случай й = 3. В случае размерности пространства 1 =3 были получены следующие выражения для РГ-функций (для удобства в этом разделе всюду сделана замена 91,2 ^ 91,2/(8п2)):

в1 = — 91 + (0,083333п2 — 0,083333п + 1,333333)92 + (0,333333п — 0,166667)99 + + 0,2592 + (—0,084362п2 + 0,084362п — 0,781893)9? + (—0,411523п + + 0,205761)9292 + (—0,011831п2 + 0,011831п — 0,380658)99 + (—0,027778п + + 0,013889)9? + (0,001562п4 — 0,003123п? + 0,128738п2 — 0,127177п + + 0,924261)94 + (0,015386п3 — 0,023079п2 + 0,769794п — 0,381051)9?92 + + (0,000180п4 — 0,000360п? + 0,092671п2 — 0,092491п + 0,859047)9292 + + (0,001893п3 — 0,002840п2 + 0,163558п — 0,081306^9? + (0,003444п2 —

— 0,00341707п + 0,037871)94 + °

в2 = — 92 + 2,099 + (0,166667п — 0,0833333)92 + (—0,047325п2 + 0,047325п —

— 1,522634)9292 + (—0,411523п + 0,205761)99 + (—0,007202п2 + 0,007202п —

— 0,139918)9? + (—0,001448п4 + 0,002896п3 + 0,095436п2 — 0,096884п +

+ 2,172842)9?92 +

уф = (0,002058п2 — 0,002058п +0,008231)92 + (0,008231п — 0,004115)9192 + + (0,000514п2 — —0,000514п +0,002058)9| + (0,000014п4 — 0,000029п? + + 0,000300п2 — 0,000286п + 0,000914)9? + (0,000086п? — 0,000129п2 + 0,001414п —

— 0,000686)9292 + (0,000300п2 — 0,000300п + 0,000557)99 + (0,000007п? —

— 0,000011п2 + 0,000118п — 0,000057)9? + 0(94).

По известным разложениям РГ-функций координаты трёх нетривиальных неподвижных точек, описанных в работе [9], и соответствующие им критические индексы были вычислены в форме т-разложения. Для этого в (9), (10) была осуществлена замена линейного члена 91,2 ^ Т91,2. В приведённых ниже выражениях сделана подстановка п = 4 (единственный случай, когда существуют нетривиальные фиксированные точки).

Точка A:

91

92 ю1 Ю2

П

0,428571т + 0,141237т2 + 0,002840т3,

т - 0,329554т2 + 0,203958т3, -0,142857т - 0,101501т2 - 0,001258т3, 0,012094т2 + 0,008979т3.

Точка B:

91 92 ю1 Ю2 П

0,705882т + 0,547663т2 + 0,127564т3, -0,705882т - 1,12898т2 - 0,512302т3, т - 0,364091т2 + 0,183818т3, 0,058823т - 0,070855т2 - 0,126034т3, 0,012303т2 + 0,009984т3.

Точка а

91 92 ю1 Ю2 П

0,818182т + 0,313549т2 + 0,008818т3, -1,09091т - 0,418065т2 - 0,011757т3, т - 0,383226т2 + 0,272169т3, -0,090909т + 0,207585т2 + 0,009024т3, 0,012244т2 + 0,010404т3.

Полагая всюду т равным единице, получаем численные значения, которые можно сравнить с предыдущими результатами прямого суммирования е-разложений и суммирования методом борелевского пересуммирования с конформным маппингом, полученными в работе [10].

Из табл. 1-3 видно, что все точки лежат в физической области параметров, так как их координаты удовлетворяют соотношениям (2)-(3) для любого из рассмотренных методов суммирования. Более того, для всех трёх неподвижных точек результаты суммирования т-разложений качественно согласуются с результатами обработки е-раз-ложений методом борелевского пересуммирования с конформным маппингом. В частности, оба метода предсказывают одинаковые свойства устойчивости всех трёх точек, что подтверждает обмен свойствами устойчивости между точками B и C в сравнении с однопетлевыми результатами. Тем не менее значения критических индексов, полученные этими методами, могут довольно существенно различаться.

Таблица 1

Сравнение критических индексов в размерности d = 3 для неподвижной точки Л при п = 4

Индекс е-разложение Борелевское пересуммирование т-разложение

91 0,538 0,485 0,572

92 0 0 0

С01 1,459 0,759 0,874

С02 -0,177 -0,194 -0,245

л 0,035 0,012 0,021

Таблица 2

Сравнение критических индексов в размерности d = 3 для неподвижной точки Б при п = 4

Индекс е-разложение Борелевское пересуммирование т-разложение

91 1,213 0,952 1,381

92 -2,190 -1,335 -2,347

<Х>1 1,478 0,721 0,819

С02 -0,243 -0,008 -0,138

Л 0,038 0,010 0,022

Таблица 3

Сравнение критических индексов в размерности d = 3 для неподвижной точки С при п = 4

Индекс е-разложение Борелевское пересуммирование т-разложение

91 1,025 0,896 1,141

92 -1,367 -1,194 -1,521

<Х>1 1,712 0,724 0,889

С02 -0,009 0,035 0,126

Л 0,039 0,010 0,022

Случай d = 2. В случае размерности пространства с! = 2 были получены следующие выражения для РГ-функций (для удобства в этом разделе всюду сделана замена 91,? ^ 91,2/(2п)):

^- = -91 + (0,083333??2 - 0,083333??.+ 1,333333)^ + (0,333333??. - 0,166667)д1д2 + + 0,259? + (-0,143542«? + 0,143542«, - 1,32431)9? +

+ (-0,699191« + 0,349595)д2д2 + (-0,020258«2 + 0,020258« - 0,643635^9? + + (-0,046884« + 0,023442)9? + (0,005787«4 - 0,011575«? + 0,351046«2 -

- 0,345259« + 2,427669)д4 + (0,050539«? - 0,075808«2 + 2,036559« -

- 1,005645)д?д2 + (0,000456«4 - 0,000911«? + 0,259558«2 -

- 0,259103« + 2,230287)д2д? + (0,004833«? - 0,007250«2 + 0,434706« -

- 0,216145)д1д? + (+0,009517«2 - 0,009496« + 0,096221)д4 + 0(д5),

Ц- = -92 + 2,0д1д2 + (0,166667?? - 0,083333)^? + (-0,081030??2 + 0,081030?? -

- 2,574540)д2д2 + (-0,699191« + 0,349595^9? + (-0,012444«2 + 0,012444« -

- 0,237309)9? + (-0,002120«4 + 0,004240«? + 0,272194«? - 0,274314« +

+ 5,688098)9?9? + (-0,001888«? + 0,002832«? + 2,618419« - 1,309681)9?9? + + (0,146413«? - 0,146413« + 1,522642)919? + (0,001155«? - 0,001743«? + + 0,106368« - 0,0529323)9? + 0(95),

уф = (0,006369«? - 0,006369« + 0,025475)9? + (0,025475« - 0,012737)99 + + (0,001592«? - 0,001592« + 0,006369)9? + (-0,000032«4 + 0,000063«? -

- 0,000664«2 + 0,000632«. - 0,002023)д3 + (-0,000190«3 + 0,000284«2 -

- 0,003129«. + 0,001517)д2д2 + (-0,000664«2 + 0,000664« - 0,001232)9^ + + (-0,000016«3 + 0,000024«2 - 0,000261« + 0,000126)д| + 0(д4).

Как и в предыдущем разделе, по известным разложениям РГ-функций находим координаты трёх нетривиальных критических точек и соответствующие им критические индексы в форме т-разложения для единственного нетривиального случая « = 4. Точка A:

Точка B:

91

0,428571т + 0,239836т2 + 0,018647т3, 0,

т - 0,559618т2 + 0,539324т3, — = -0,142857т - 0,171799т2 - 0,00901592т3,

92 ю1

Т

Ш2

2

П = 0,037432т2 + 0,039666т3

д1 = 0,705882т + 0,926789т2 +0,423377т3

92 ю1

Т

Ш2

Т п

-0,705882т - 1,90794т2 - 1,58056т3, т - 0,617968т2 + 0,448858т3,

0,058823т — 0,119387т2 — 0,362933т3,

0,038080т2 + 0,044797т3.

Точка а

д1 = 0,818182т + 0,532022т2 + 0,0668321т3

92

ю1

Ш2 2 п

1,09091т 0,709362т2 0,0891094т3,

= т - 0,650249т2 + 0,682279т3

-0,090909т + 0,350054т2 + 0,0348665т3,

0,037896т2 + 0,047027т3.

Полагая т равным единице, получаем численные значения индексов. Результаты прямого суммирования, а также результаты борелевского пересуммирования с конформным маппингом получены при помощи описанных в работе [10] е-разложений, а также параметров их асимптотик.

Из табл. 4-6 видно, что, как и в предыдущем разделе, для всех трёх неподвижных точек суммирование т-разложений качественно подтверждает характер ИК-устойчи-вости, предсказываемый борелевским пересуммированием е-разложений, что, в свою очередь, подтверждает обмен свойствами устойчивости между точками B и ^

Однако, в отличие от предыдущего раздела, суммирование т-разложений приводит к тому, что точка B покидает границу физической области параметров (2)-(3). Тем не менее она всё же оказывается существенно ближе к границе данной области, чем в случае прямого суммирования е-разложения. Возможным объяснением данного факта может служить более сильная расходимость рядов теории возмущений в случае 3 =2,

которая приводит к необходимости учитывать асимптотические свойства т-разложений уже на уровне трёх петель. Этим же может объясняться и более существенное расхождение численных значений индексов, полученных различными методами, в сравнении со случаем 3 =3.

Таблица 4

Сравнение критических индексов в размерности d = 2 для неподвижной точки А при п = 4

Индекс е-разложение Борелевское пересуммирование т-разложение

91 0,893 0,898 0,687

92 0 0 0

С01 7,631 1,269 1,959

С02 0,048 -0,372 -0,647

Л 0,201 0,027 0,077

Сравнение критических индексов в размерности d для неподвижной точки В при п = 4 Таблица 5 = 2

Индекс е-разложение Борелевское пересуммирование т-разложение

91 2,200 1,775 2,056

92 -6,530 -2,617 -4,194

С01 7,992 1,167 1,662

С02 -1,872 -0,046 -0,847

Л 0,221 0,023 0,082

Сравнение критических индексов в размерности d для неподвижной точки С при п = 4 Таблица 6 = 2

Индекс е-разложение Борелевское пересуммирование т-разложение

91 1,433 1,599 1,417

92 -1,910 -2,132 -1,889

С01 9,982 1,176 2,064

С02 -0,776 0,112 0,588

Л 0,230 0,022 0,085

Заключение. При помощи подхода ренормгруппы в реальном пространстве было исследовано критическое поведение 0(п)-симметричной модели с антисимметричным тензорным параметром порядка. РГ-функции и критические индексы модели были вычислены в форме т-разложения с трёхпетлевой точностью для физически интересных размерностей пространства 3 =2 и 3.

Оказалось, что результаты применения данного подхода качественно согласуются с результатами обработки трёхпетлевых е-разложений методом борелевского пересуммирования с конформным маппингом, полученными ранее в работе [10]. В частности, в обеих размерностях пространства подтверждается интересный факт обмена свойствами устойчивости между точками B и C в сравнении с однопетлевыми результатами.

Тем не менее численные значения критических индексов, полученные прямым суммированием т-разложений, являются скорее промежуточными между прямым суммированием е-разложений и результатом их обработки методом борелевского пересуммирования, учитывающего их асимптотический характер.

Таким образом, проблема надёжности полученных в работе [10] результатов решена в настоящей статье лишь частично. В этой связи по-прежнему остаётся актуальной задача вычисления и учёта следующих порядков рядов теории возмущений.

Литература

1. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon, 1989.

2. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб.: Изд-во ПИЯФ, 1998.

3. Batkovich D. V., Chetyrkin K. G., Kompaniets M. V. Six loop analytical calculation of the field anomalous dimension and the critical exponent n in O(n)-symmetric ф4 model // Nucl. Phys. (B). 2016. Vol. 906. P. 147-167.

4. Kompaniets M. V., Panzer E. Minimally subtracted six-loop renormalization of O(ra)-symmetric ф4 theory and critical exponents // Phys. Rev. (D). 2017. Vol. 96. 036016.

5. Kompaniets M. V., Panzer E. Renormalization group functions of ф4 theory in the MS-scheme to six loops // Proc. conference "Loops and Legs in Quantum Field Theory". Leipzig, Germany, 2016. P. 038.

6. Orlov E. V., Sokolov A. I. Critical thermodynamics of two-dimensional systems in the ve-loop renormalization-group approximation // Phys. Solid State. 2000. Vol. 42, N 11. P. 2151-2158.

7. Sokolov A. I., NikitinaM.A. Pseudo-e-expansion and renormalized coupling constants at critical-ity // Phys. Rev. (E). 2014. Vol. 89. 052127.

8. Sokolov A. I., NikitinaM.A. Fisher exponent from pseudo-e-expansion // Phys. Rev. (E). 2014. Vol. 90. 012102.

9. AntonovN. V., Kompaniets M. V., Lebedev N. M. Critical behaviour of the 0(га)-ф4 model with an antisymmetric tensor order parameter //J. Phys. (A). 2013 Vol. 46. 405002.

10. AntonovN. V., Kompaniets M. V., Lebedev N. M. Critical behavior of the O(ra)^4-model with an antisymmetric tensor order parameter: Three-loop approximation // Theor. Math. Phys. 2017. Vol. 190, N 2. P. 204-216.

11. Brazovski S. A., DmitrievL. D. Phase transitions in cholesteric liquid crystals // Sov. Phys. JETP. 1975. Vol. 42, N 3. P. 497.

12. Brazovski S. A., FilevV.M. Critical phenomena in cholesteric liquid crystals // Sov. Phys. JETP. 1978 Vol. 48, N 3. P. 497-573.

13. GrebelH., Hornreich R. M., Shtrikman S. Landau theory of cholesteric blue phases // Phys. Rev. (A).

1983. Vol. 28. P. 1114.

14. GrebelH., Hornreich R. M., Shtrikman S. Landau theory of cholesteric blue phases: The role of higher harmonics // Phys. Rev. (A). 1984. Vol. 30. P. 3264.

15. Hornreich R. M., Shtrikman S. Some open questions in cholesteric blue phases // Z. Phys. (B): Cond. Matt. 1987. Vol. 68. P. 369.

16. Belyakov V. A., Dmitrienko V. E. The blue phase of liquid crystals // Sov. Phys. Uspekhi. 1985. Vol. 28. P. 535.

17. Изюмов Ю. А., Сыромятников В. Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М.: Наука,

1984.

18. Dove M. T., Redfern S. A. T. Lattice simulation studies of the ferroelastic phase transitions in (Na,K)AlSi3O8 and (Sr,Ca)Al2Si2O8 feldspar solid solutions // Am. Mineral. 1997. Vol. 82. P. 8.

19. Watson G. W., Parker S. C. Dynamical instabilities in a-quartz and a-berlinite: A mechanism for amorphization // Phys. Rev. (B). 1995. Vol. 52. P. 13306.

20. Goryainov S. V., OvsyukN.N. Twisting of a-quartz tetrahedra at pressures near the transition to the amorphous state //J. Exp. Theor. Phys. Lett. 1999. Vol. 69. P. 467.

21. Goryainov S. V., OvsyukN.N. Mechanism of the formation of a soft mode in ferroelastic phase transition // J. Exp. Theor. Phys. Lett. 2001. Vol. 73, iss. 8. P. 408-410.

22. NalimovM. Yu., Komarova M. V., Honkonen J. Temperature Green's functions in Fermi systems: The superconducting phase transition // Theor. Math. Phys. 2013. Vol. 176, N 1. P. 89-97.

23. Kalagov G. A., Kompaniets M. V., NalimovM. Yu. Renormalization-group investigation of a superconducting U(r)-phase transition using five loops calculations // Nucl. Phys. (B). 2016. Vol. 905. P. 16-44.

24. Kalagov G. A., Kompaniets M. V., Nalimov M. Yu. Renormalization-group study of a superconducting phase transition: Asymptotic behavior of higher expansion orders and results of three-loop calculations // Theor. Math. Phys. 2014. Vol. 181, N 2. P. 1448-1458.

25. Nickel B. G., Meiron D. I., Baker G. A. Compilation of 2-pt and 4-pt graphs for continuous spin model // University of Guelph report. 1977.

26. Baker G. A., Nickel B. G., Meiron D. I. Critical indices from perturbation analysis of the Callan—Sy-manzik equation // Phys. Rev. (B). 1978. Vol. 17. P. 1365-1374.

27. Le GuillouJ. C., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory // Phys. Rev. (B). 1980. Vol. 21, N 9. P. 3976-3998.

28. GuidaR., Zinn-Justin J. Critical exponents of the N-vector model //J. Phys. (A). 1998. Vol. 31. P. 8103.

29. FolkR., Holovatch Yu., Yavorskii T. Pseudo-e expansion of six-loop renormalization-group functions of an anisotropic cubic model // Phys. Rev. (B). 2000. Vol. 62. P. 12195.

30. Holovatch Yu., Ivaneiko D., Delamotte B. On the criticality of frustrated spin systems with non-collinear order // J. Phys. (A). 2004. Vol. 37. P. 3569.

31. AdzhemyanL. Ts., Kirienko Yu. V., Kompaniets M. V. Critical exponent n in 2D O(N)-symmetric ^4-model up to 6 loops // arXiv: 1602.02324.

32. Vermaseren J. A. M. New features of FORM // arXiv: math-ph/0010025.

33. KuipersJ., UedaT., Vermaseren J. A. M., Vollinga J. FORM version 4.0 // Comp. Phys. Comm. 2013. Vol. 184, N 5. P. 1453-1467.

References

1. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford, Clarendon, 1989.

2. Vasiliev A. N. Kvantovopolevaia renormgruppa v teorii kriticheskogo povedeniia i stokhasticheskoi dinamike [The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics]. St. Petersburg, PNPI Publ., 1998.

3. Batkovich D. V., Chetyrkin K. G., Kompaniets M. V. Six loop analytical calculation of the field anomalous dimension and the critical exponent n in O(n)-symmetric model. Nucl. Phys. (B), 2016, vol. 906, pp. 147-167.

4. Kompaniets M. V., Panzer E. Minimally subtracted six-loop renormalization of O(n)-symmetric theory and critical exponents. Phys. Rev. (D), 2017, vol. 96, 036016.

5. Kompaniets M. V., Panzer E. Renormalization group functions of theory in the MS-scheme to six loops. Proc. conference "Loops and Legs in Quantum Field Theory". Leipzig, Germany, 2016, pp. 038.

6. Orlov E. V., Sokolov A. I. Critical thermodynamics of two-dimensional systems in the ve-loop renormalization-group approximation. Phys. Solid State, 2000, vol. 42, no 11, pp. 2151-2158.

7. Sokolov A. I., Nikitina M.A. Pseudo-e-expansion and renormalized coupling constants at criticality. Phys. Rev. (E), 2014, vol. 89, 052127.

8. Sokolov A. I., Nikitina M. A. Fisher exponent from pseudo-e-expansion. Phys. Rev. (E), 2014, vol. 90, 012102.

9. Antonov N. V., Kompaniets M.V., Lebedev N. M. Critical behaviour of the O(n)-^4 model with an antisymmetric tensor order parameter. J. Phys. (A), 2013 Vol. 46, 405002.

10. Antonov N. V., Kompaniets M. V., Lebedev N. M. Critical behavior of the O(n) model with an antisymmetric tensor order parameter: Three-loop approximation. Theor. Math. Phys., 2017, vol. 190, no 2, pp. 204-216.

11. Brazovski S.A., Dmitriev L. D. Phase transitions in cholesteric liquid crystals. Sov. Phys. JETP, 1975, vol. 42, no 3, pp. 497.

12. Brazovski S. A., Filev V. M. Critical phenomena in cholesteric liquid crystals. Sov. Phys. JETP, 1978 Vol. 48, no 3, pp. 497-573.

13. Grebel H., Hornreich R. M., Shtrikman S. Landau theory of cholesteric blue phases. Phys. Rev. (A), 1983, vol. 28, pp. 1114.

14. Grebel H., Hornreich R. M., Shtrikman S. Landau theory of cholesteric blue phases: The role of higher harmonics. Phys. Rev. (A), 1984, vol. 30, pp. 3264.

15. Hornreich R. M., Shtrikman S. Some open questions in cholesteric blue phases. Z. Phys. (B): Cond. Matt., 1987, vol. 68, pp. 369.

16. Belyakov V. A., Dmitrienko V. E. The blue phase of liquid crystals. Sov. Phys. Uspekhi, 1985, vol. 28, pp. 535.

17. Iziumov Iu. A., Syromiatnikov V. N. Fazovye perekhody i simmetriia kristallov [Phase transitions and symmetry of crystals]. Moscow, Nauka Publ., 1984.

18. Dove M. T., Redfern S. A. T. Lattice simulation studies of the ferroelastic phase transitions in (Na,K)AlSi3Os and (Sr,Ca)Al2Si2Os feldspar solid solutions. Am. Mineral, 1997, vol. 82, pp. 8.

19. Watson G.W., Parker S. C. Dynamical instabilities in a-quartz and a-berlinite: A mechanism for amorphization. Phys. Rev. (B), 1995, vol. 52, pp. 13306.

20. Goryainov S.V., Ovsyuk N.N. Twisting of a-quartz tetrahedra at pressures near the transition to the amorphous state. J. Exp. Theor. Phys. Lett., 1999, vol. 69, pp. 467.

21. Goryainov S. V., Ovsyuk N. N. Mechanism of the formation of a soft mode in ferroelastic phase transition. J. Exp. Theor. Phys. Lett., 2001, vol. 73, iss. 8, pp. 408-410.

22. Nalimov M. Yu., Komarova M. V., Honkonen J. Temperature Green's functions in Fermi systems: The superconducting phase transition. Theor. Math. Phys., 2013, vol. 176, no 1, pp. 89-97.

23. Kalagov G. A., Kompaniets M. V., Nalimov M. Yu. Renormalization-group investigation of a superconducting U(r)-phase transition using five loops calculations. Nucl. Phys. (B), 2016, vol. 905, pp. 16-44.

24. Kalagov G. A., Kompaniets M. V., Nalimov M. Yu. Renormalization-group study of a superconducting phase transition: Asymptotic behavior of higher expansion orders and results of three-loop calculations. Theor. Math. Phys., 2014, vol. 181, no 2, pp. 1448-1458.

25. Nickel B. G., Meiron D. I., Baker G. A. Compilation of 2-pt and 4-pt graphs for continuous spin model. University of Guelph report, 1977.

26. Baker G. A., Nickel B. G., Meiron D. I. Critical indices from perturbation analysis of the Callan—Sy-manzik equation. Phys. Rev. (B), 1978, vol. 17, pp. 1365-1374.

27. Le Guillou J.C., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory. Phys. Rev. (B), 1980, vol. 21, no 9, pp. 3976-3998.

28. Guida R., Zinn-Justin J. Critical exponents of the N-vector model. J. Phys. (A), 1998, vol. 31, pp. 8103.

29. Folk R., Holovatch Yu., Yavorskii T. Pseudo-e expansion of six-loop renormalization-group functions of an anisotropic cubic model. Phys. Rev. (B), 2000, vol. 62, pp. 12195.

30. Holovatch Yu., Ivaneiko D., Delamotte B. On the criticality of frustrated spin systems with non-collinear order. J. Phys. (A), 2004, vol. 37, pp. 3569.

31. Adzhemyan L. Ts., Kirienko Yu. V., Kompaniets M. V. Critical exponent n in 2D O(N)-symmetric 94-model up to 6 loops. arXiv: 1602.02324.

32. Vermaseren J. A.M. New features of FORM. arXiv : math-ph/0010025.

33. Kuipers J., Ueda T., Vermaseren J. A.M., Vollinga J. FORM version 4.0. Comp. Phys. Comm.., 2013, vol. 184, no 5, pp. 1453-1467.

Статья поступила в редакцию 15 сентября 2017 г.

Контактная информация

Лебедев Никита Михайлович — аспирант; e-mail: nikita.m.lebedev@gmail.com

Компаниец Михаил Владимирович — доктор физико-математических наук, доцент; e-mail: m.kompaniets@spbu.ru

Lebedev Nikita Mihailovich — post-graduate student; e-mail: nikita.m.lebedev@gmail.com

Kompaniets Mikhail Vladimirivich — Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor; e-mail: m.kompaniets@spbu.ru