Учет изменения степени недогрузки пластин при их деформировании в контактной задаче

СУДОСТРОЕНИЕ, СУДОРЕМОНТ И ЭКСПЛУАТАЦИЯ ФЛОТА

УДК 629.12.011 ББК 39.42-01

Е. П. Бураковский, П. Е. Бураковский, Ж. Г. Концедаева

УЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ СТЕПЕНИ НЕДОГРУЗКИ ПЛАСТИН ПРИ ИХ ДЕФОРМИРОВАНИИ В КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧЕ

E. P. Burakovskiy, P. E. Burakovskiy, Zh. G. Kontsedaeva

REGISTRATION OF CHANGE OF THE DEGREE OF PLATES UNDERLOADING AT THEIR DEFORMATION IN A CONTACT TASK

Предложена методика расчета произвольно заделанных на кромках пластин, работающих при больших упругопластических деформациях под действием контактных нагрузок, форма которых изменяется в процессе нагружения. Методика разработана на основе реализации гипотезы о мгновенном раскрытии пластических шарниров. Показано существенное влияние формы нагрузки на прогибы пластин.

Ключевые слова: пластина, деформации, пластический шарнир, нагрузка, прогибы.

The methods of calculating intentionally sealed at the edges the plates, operating at large elastic-plastic deformations under action of contact loads, the form of which is changed during the process of loading. The method is worked out on the basis of realizing the hypothesis of instant opening of plastic hinges. The considerable influence of the type of load on the plates sagging is demonstrated.

Key words: plate, deformations, plastic hinge, load, sagging.

Вопросам изгиба пластин под воздействием контактной нагрузки уже уделялось внимание в работах [1, 2], в которых коэффициент недогрузки у в процессе деформирования оставался постоянным во всем диапазоне нагружения. Это в ряде случаев не соответствует действительности, поэтому интересно исследовать процесс деформирования судовых пластин, когда коэффициент недогрузки у является линейной функцией прогиба. Решение будем получать в рамках реализации гипотезы «мгновенного раскрытия пластических шарниров» [1].

Рассмотрим произвольно заделанную пластину, находящуюся в состоянии сложного цилиндрического изгиба (рис. 1), к которой приложено давление

где у = ^ /д0 - коэффициент недогрузки у, который характеризует падение интенсивности нагрузки в пролете; д0 - интенсивность равномерно распределенной нагрузки в начале процесса деформирования; - максимальное значение интенсивности нагрузки в середине пролета

балки-полоски при ее распределении по косинусоидальному закону.

Суммарное значение нагрузки, действующей на балку-полоску пластины, равно:

где I - длина пролета.

Положим, что коэффициент «недогрузки» у является линейной функцией прогиба

где / - максимальный прогиб балки-полоски в середине пролета; £у - коэффициент пропорциональности.

Y = kY • f ,

Весь процесс деформирования распадается на стадии (рис. 1). Первая, упругая стадия деформирования, в свою очередь, подразделяется на две ветви: у < 1, при нагрузке, распределенной по всей длине балки-полоски, но с падающей интенсивностью в средней части пролета; у > 1, когда средняя часть балки-полоски на длине 2а остается без нагрузки. В этом случае нагрузка будет действовать только на участке балки от 0 до с, как это показано на схеме Ь первой стадии деформирования (рис. 1). При этом длина нагруженного участка с может быть определена из уравнения (1) при условии д (х) = 0, а именно:

<?0

1 - 008

2кс

~г

= 0;

I у-2

с =—агсоо8------

2р у

у < 1

Мс

у > 1

:+т'Мс

Мо

7_

Мо

У < 1

Мо

Мел

і Мо

у > 1

а ~ Ь с с1

Первая ветвь - шарнир в пролете Вторая ветвь - шарнир на опоре

II - вторая стадия деформирования

Мгт\

у < 1

т т

Мо

Мо"

Мо

'Мо-

у > 1

Мо

Мо

а Ь

III - третья стадия деформирования

у < 1

у > 1

То

То То

а — Ь

VI - четвертая стадия деформирования

Рис. 1. Схема деформирования балки-полоски под действием нагрузки с падающей интенсивностью

В этом случае суммарное значение нагрузки, действующей на пластину, равно:

1 - 008

2рх

~Г

йх.

а половина длины участка балки, на котором нагрузка отсутствует, будет определяться из выражения

1

а =----с .

2

о

1о

Уравнение упругой линии нейтральной оси произвольно заделанной балки-полоски в первой стадии деформирования можно записать в виде

. . . . рх Л Л 2лх

^( х) = /оьт-у + у 11 -

В силу симметрии задачи будем рассматривать только половину балки-полоски, заменив отброшенную часть реактивными моментами и силами. Запишем уравнение равновесия для рассматриваемой половины балки-полоски:

Т/ - М (Я)+ М (д)+ Мсп + Моп = о.

Здесь М(Я)-М(д) =

до1

4

(1 - о,5у)+ у

,2

- сумма изгибающих моментов от реакции

и нагрузки; Мсп = (1 - э )—— фо (и,у) + э —о— ф1 (и,у) - изгибающий момент в середине пролета

8 24

д 12

балки-полоски; Моп = э —о— с (и, у) - изгибающий момент на опоре; э - коэффициент заделки;

12

к =

т (1 -т2) к1

—------- - параметр сложного изгиба; и = — - аргумент сложного изгиба; Т - продоль-

ная сила; Е - модуль Юнга; J - момент инерции поперечного сечения балки-полоски; ц - коэффициент Пуассона; ф^и,у), фо(и,у), %(и,у) - функции сложного изгиба, которые при у < 1 будут определяться следующими формулами:

и, у )=^-----2——---- + —------

сЬи

2 (и 2 + л2)’

с(и У ) =

Ф,(и, Т)Л-ом+ ^

' и2 2

8Ьи

28Ьи

а при у > 1 будут равны:

фо (u, ^ с ) =

сЬи

- + -

к

ч ч у І со8 Вс • сЬкс + — 8Іп Вс • сЬкс

(1 - о,5у )(1 - сЪкс) { и

2

,Л _ , ч у І со 8 Вс • 8Ькс + — 8ІП Вс • сЬкс

(1 - о,5у) 8Ькс Ч и

ф1 (и, У, с )=-—2—+

к

8Ьи

28Ьи

с(u, У, с ) =

л .

,Л _ _ ч у І со 8 Вс • 8Ька-8Іп Вс • сЬка - 8Ьи

(1 -о,5у) 8Ька -8Ьи I и

8Ьи

28Ьи

где В =

2лх

"Т

Графики функций сложного изгиба представлены на рис. 2.

и

2

и

2

и

и

2

и

Представив прогиб упруго заделанной балки в виде суммы прогибов /=/ + / шарнирно опертой балки-полоски (/0), загруженной нагрузкой интенсивностью (1 - ^)д(х), и жестко заделанной (/1), загруженной нагрузкой интенсивностью ^д(х), с учетом уравнения (2) получим выражения для определения / и /1:

д01

4Т

1 - 0,5у + X фо (и , У) 2 р2 2

/і = » ^

4Т

1 - 0,5у + у ф (u, у) с( и, у) р2 6

2

3

хО,у)

0.8

0.6

0.4

0.2

0

ХіО,у)

у=0>• ЙТП5>-'-. Ап

у=0.'4>-у=0.'в^ •

уКГВ>- У=Г>"

у=ї.'2> У=1.4^

0.6

0.4

0.2

2

в

и 0

<\ч г

уЕмУ/ у=0.8// 7=1 / /

Рис. 2. Функции сложного изгиба: а - для момента в середине пролета шарнирно опертой балки; б - для момента в середине пролета жестко заделанной на опорах балки; в - для опорного момента жестко заделанной на опорах балки; г - для опорного момента жестко заделанной консоли

Запишем уравнения совместности деформаций жестких и гибких связей для первой, упругой стадии деформирования:

и а — Тс,

где с

_1 (і-т2); ,

(1

ЫЕК

- толщина пластины; Ь = 1 - единичная ширина балки-полоски; Кр - коэффи-

р

Р2/\ Р2/о2 4р г г с-

циент распора; ы^ = ^ /о/1 _ упругое удлинение нейтральной оси балки-

полоски для первой стадии деформирования, откуда величина продольной силы будет равна:

Т = /

При совместном решении уравнения равновесия (2) и совместности деформаций (5) представляется возможным определить искомые величины, а именно / и Т, в зависимости от нагрузки и других варьируемых параметров.

с

Увеличение интенсивности нагрузки д(х) в зависимости от соотношения параметров у, Т, а, Кр приводит либо к появлению пластического шарнира в пролете (вторая стадия, первая ветвь, а, Ь), либо к появлению пластических шарниров на опорах (вторая стадия, вторая ветвь, с, &). Первая ветвь решения (вторая стадия, а, Ь) реализуется при условии, что

д _ 24Мо

421

I [ж Ф^ы, у) + 3(1 - ж )фо(ы, у)]

где М 0 (Т) _

<5ТЫ

4

2 ( т 2 ^

гг< 2

V Т0

- предельный момент в поперечном сечении балки-полоски

при сложном изгибе; Т0 = оТ Ы - предельная продольная сила; оТ - предел текучести материала.

В этом случае балка-полоска работает как упруго заделанная консоль, загруженная нагрузкой интенсивностью д(х) и предельным моментом М0 на консоли.

Для этой стадии добавочный прогиб может быть представлен как сумма прогибов жестко заделанной консоли, который может быть аппроксимирован квадратичной зависимостью, и шарнирно опертой консоли, который может быть представлен в виде линейной функции, а именно:

4х2 2 х

^добП ( х ) _ “Г /21 +1_/20 .

Тогда уравнение упругой линии для второй стадии деформирования запишется следующим образом:

/ \ /1 (л 2рх^ _* . РХ „х2 2х ,

™ (Х)и _~I 1 - С08~ I + /0 + 47Г/21 + ~/20 .

Значение всех параметров на конец первой стадии фиксируется и обозначается знаком «*».

При этом полагаем, что жёстко заделанная балка-полоска загружена консольным моментом Ми и нагрузкой интенсивностью ад(х), а вторая - шарнирно опёртая - загружена моментом на свободном конце Мк0 и нагрузкой интенсивностью (1 - $)д(х). Предполагается, что соотношение моментов Мк0 + Мк1 _ М0 и сохраняется в пределах всей второй стадии деформирования, что может быть реализовано при выполнении следующих соотношений:

Мк 0 _ КМ 'М0 ;

Мк1 _(1 - Км ) М 0,

где КМ - коэффициент распределения предельного момента между жёстко заделанной и шарнирно опёртой балками.

Замена переменной величины КМ её постоянным значением оправдана тем, что упрощаются расчёты, а погрешность, вносимая этой процедурой, мала, т. к. вторая стадия деформирования находится в малом интервале изменения нагрузок и прогибов.

Таким образом, зафиксировав значение КМ на начало второй стадии, получим

Км _

1 - аз (

М0

I ф

ч22—— 22 8

Составим уравнения равновесия и совместности деформаций для второй стадии деформирования (варианты а и Ь). Уравнение равновесия будет иметь следующий вид:

Т/ _М

а 12 1 - К

где Моп = а--%(ы, у)-ММ00 - опорный изгибающий момент; М0 - предельный момент

12 сЬ ы

сечения с учетом действия продольной силы; М(Я) и М(д) - компоненты изгибающего момента относительно центра балки-полоски от опорной реакции Я и распределенной нагрузки д соответственно;

, , 1 - 0,5у идои - сЬи +1

С (и У )=-----------^------------:--------+

У

сЬи +1

сЬи

4(и2 + р2) сЬи

- функция сложного изгиба для опор-

ного момента при у < 1 (рис. 2);

С (и У>е ) =

сЬкс -1 - 2си доке | + -

8Іп рс • доке—- сод Ре • сЬке

р

2

- функция

сложного изгиба для опорного момента при у > 1.

Представив прогиб балки-полоски в виде суммы прогибов жестко заделанной и шарнирно опертой балки-полоски, аналогично (3) и (4), получим выражения для определения /20 и /21:

Ло =(1 - ж)-

2Т

1 - о,5У + У 2КмМо

4 р2 (1 - ж) до12

- Л;

/21 = ж

2Т

1 - 0,5у у 2 (1 - Км )Мо сЬи -1 , ч

—т^+2 —------------*-------й—С1

4 р2 а ЩІ сЬи

- /1

где /20, /21 - прогибы соответственно шарнирно опертой и жестко заделанной консоли.

Тогда максимальный прогиб консоли балки-полоски будет определяться выражением

/ = /о + /1 + /20 + /21 •

С учетом удлинений в пластическом шарнире уравнение совместности деформаций примет следующий вид:

11

і

ЕКр

%ійМ

ёТ

- пластические удлинения нейтральной оси; 0г- - угол слома нейтральной

где ипл

оси балки-полоски; спл - напряжение в пластине; 4

и/і - и/і + і

Л /21 + 4/0 /211 2 р 1 + /1 /20 + /0 /20 + 3 /’21 + /21/20 + /0

упругое удли-

нение нейтральной оси во второй стадии деформирования.

Тогда продольная сила с учетом пластических удлинений определится согласно выражению

Т -

1 (• -т2), 2(/20+/)'

ЫЕК

+

+ :

оТЫ

Решая итерационным методом совместно систему уравнений (6) и (7), находим искомые величины.

Когда момент на опоре достигает предельного значения, заканчивается вторая стадия деформирования балки-полоски по первой ветви, что соответствует нагрузке

#31 -'

2

г •

/1 (и У)1

Мп| 1 + 1—Км

сЬи

Г

\

2

2

и

2

Далее балка-полоска превращается в кинематический механизм, и прогиб прирастает ли-

2 X

нейно, поэтому добавочный прогиб может быть аппроксимирован выражением ^доб =— /31,

где /31 - максимальная добавочная стрелка прогиба в третьей стадии.

Тогда уравнение прогибов для третьей стадии деформирования третьей ветви будет иметь вид

/ \ / (Л 2лх ^ лх х „** 2х „** 2х г

™ ( X )ш = у I 1 - С0^“Г I + /о 8ШТ + /21 +у/20 ^Т/31.

По аналогии с первой и второй стадиями деформирования составим уравнения равновесия и совместности деформаций для третьей стадии деформирования:

/ = Т(м(К) -М(д) - 2Мо);

Т = - и/31

' ( -т2) + т “2 (. /20 + 2/2*)+/

ЫЕКр Т оТЫ сТЫ

Здесь упругое удлинение и/31 определяется аналогично и/21, где вместо составляющей /20

следует подставить (/20 + /31). Решая эту систему уравнений, представляется возможным

определить искомые величины.

Дальнейшее увеличение нагрузки приводит балку-полоску в состояние, когда продольная сила достигает предельного значения, а балка-полоска превращается в пластическую струну, после чего ее максимальные прогибы будут описываться уравнением

2 (1 - 0,5у + у

'=1Л “Г+*}

Деформирование балки-полоски по второй ветви (варианты с и ё) будет осуществлено, когда при последующем увеличении нагрузки образуется пластический шарнир на опоре, чему соответствует переходная нагрузка из первой стадии во вторую, определяемая формулой

д = 12М0

д22

Добавочный прогиб во второй стадии второй ветви (варианты с и ё) после появления пластических шарниров на опорах аппроксимируется выражением для шарнирно опертой балки-полоски в виде синусоидальной функции

И'доб ( х ) = /22 вЬ у .

Тогда полное уравнение упругой линии оси балки-полоски будет определяться выражением

™(х)= ~2~^ -С0в2^рх) + (/0* + /22 )рТ'

где/22 - добавочная стрелка прогиба для второй стадии деформирования (варианты с и ё).

Составив аналогичным образом уравнения равновесия и совместности деформаций, получим систему двух уравнений, при решении которой определяются все искомые параметры для второй стадии деформирования второй ветви:

1 - 0,5у + л______Фр (u, У) - 2МСП (1__________________1_

4 2л2 4 д012 [ сЬи

Т =

ЫЕК

+

р-/2

22

аТЫ

где М =

д()1

Мп

Ф0 (и, у)----------------0 - изгибающий момент в средней части пролета балки-полоски;

8 сЬи

/22 = "Г7 ]( Л*) +( /0* + /22 ) + 3“ (/0* + /22 ) Л

3л

упругое удлинение нейтральной оси

л

4/

балки-полоски.

Последующее увеличение нагрузки приводит к достижению изгибающим моментом в середине пролета предельного значения, что будет свидетельствовать об окончании второй стадии деформирования по второй ветви, а соответствующая переходная нагрузка будет равна:

д32

8

I ф0

1

сЬи

В третьей стадии деформирования, как и в случае деформирования по первой ветви, балка-полоска будет работать как кинематический механизм, поэтому ее добавочный прогиб может

быть аппроксимирован линейной функцией — /32 , а уравнение упругой линии определяется

/

согласно выражению

1 I г* /-** \ • лх 2х г

I + ( /0 + /22 ) в1п ~1~+ / /32 ,

где/32 - добавочная стрелка прогиба.

Записав уравнение равновесия и совместности деформаций, получим систему уравнений для определения искомых величин:

/32 =

д0/

2 (

2Т

1-0,5у у 4МС

Л

4

- +

2л2 д/2

- /

Т =

I /

У 31

1 -т

2

ЫЕК

/ + Т_^/2^ + 4/32 Т оТЫ оТЫ

где

и/ —

Jъ

(/Г )2 л2 + (/0+ /22) 41 + 4Г~

л

+

4л

( /0* + /2*2* ) /1*

+ 4/1*/2*2* +, /

4 ( /0* + /2*2* ) /32 + /

/

/

упругое удлинение нейтральной оси в третьей стадии второй ветви деформирования.

Здесь все параметры изгиба, зафиксированные на конец второй стадии, обозначаются «**». При дальнейшем увеличении нагрузки продольная сила достигнет предельного значения и прогибы балки-полоски будут описываться уравнением гибкой нити (8).

В качестве примера были рассчитаны жестко заделанная и шарнирно опертая балка-полоска пластины со шпацией / = 600 мм, толщиной ^ = 10 мм, при коэффициенте распора Кр = 0,1 и трех значениях коэффициента недогрузки: у = 0, т. е. для случая равномерно распределенной нагрузки, у = 0,15/ и у = 0,3/ Анализ результатов, представленных на рис. 3, позволяет сделать следующие выводы:

1. Расхождение в прогибах при $ = 0 и $ = 1 при различных зависимостях у = £у • /

сохраняется практически неизменным во всем диапазоне изменения внешних нагрузок.

2. При нагрузках Q > 10 у пластин при $ = 1 средняя часть пластины не загружена, и чем выше нагрузка, тем больше незагруженный участок балки-полоски в средней части пролета. У пластин при $ = 0 этот же эффект наблюдается еще раньше, т. е. при нагрузках Q > 5 .

2

3. Чем больше зависит у от прогиба (т. е. чем больше коэффициент £у), тем меньше в области развитых деформаций прогиб пластины зависит от нагрузки. При у = 0,3/и $ = 1 при нагрузке Q > 15 кривые деформирования практически вертикальны. При этом ее прогиб составляет всего четыре толщины пластины.

Q = ~Qj • 105

0 12 3 4 5 6 7 / = /Д

Рис. 3. Деформирование балки-полоски под действием нагрузки с переменной интенсивностью при линейной зависимости коэффициента недогрузки от прогиба

Учет реальных значений коэффициентов недогрузки у позволяет более обоснованно прогнозировать поведение пластин при развитых прогибах, а в задачах проектирования судов точнее выбирать толщины листов наружной обшивки, особенно в районах ледовой защиты корпусов.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Бураковский Е. П. Совершенствование нормирования параметров эксплуатационных дефектов корпусов судов. - Калининград: Изд-во КГТУ, 2005. - 339 с.

2. Бураковский Е. П., Концедаева Ж. Г. Приближенная оценка прогибов пластин, загруженных нагрузкой с переменной интенсивностью // Сб. науч. тр. ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова. - СПб., 1993. -Вып. 1. - С. 49-61.

Статья поступила в редакцию 22.06.2012

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Бураковский Евгений Петрович - Калининградский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; зав. кафедрой «Строительная механика корабля и сопротивление материалов»; e_burakovsky@mail.ru.

Burakovskiy Evgeny Petrovich - Kaliningrad State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department "Structural Mechanics of Ship and Strength of Materials"; e_burakovsky@mail.ru.

Бураковский Павел Евгеньевич - Балтийская государственная академия рыбопромыслового флота, Калининград; канд. техн. наук, доцент кафедры «Теория эксплуатации судов и промышленное рыболовство»; paul_b@mail.ru.

Burakovskiy Pavel Evgenievich - Baltic State Academy of Fishing Fleet, Kaliningrad; Candidate of Technical Sciences; Assistant Professor of the Department "Theory of Ship Running and Commercial Fisheries"; paul_b@mail.ru.

Концедаева Жанна Григорьевна - Калининградский государственный технический университет; канд. техн. наук; доцент кафедры «Строительная механика корабля и сопротивление материалов»; paul_b@mail.ru.

Kontsedaeva Zhanna Grigorievna - Kaliningrad State Technical University; Candidate of Technical Sciences; Assistant Professor of the Department "Structural Mechanics of Ship and Strength of Materials"; paul_b@mail.ru.