Математическое моделирование движения космического аппарата в окрестности точки L2 системы Солнце-Земля

УДК 517.913

Математическое моделирование движения космического аппарата в окрестности точки Ь2 системы Солнце—Земля

Г.К. Боровин1, И.С. Ильин1, Г.С. Заславский1, С.М. Лавренов2, В.В. Сазонов1, В.А. Степаньянц1, А.Г. Тучин1, Д.А. Тучин1, В.С. Ярошевский1

1 Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 125047, Россия

2 Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»,

Москва, 101000, Россия

Рассмотрено баллистическое проектирование перелета космического аппарата (КА) в окрестность точки Ь2 и последующий выход КА на гало-орбиту. Изложен метод расчета траекторий одноимпульсных перелетов Земля — гало-орбита с использованием и без использования лунного гравитационного маневра. При расчете одно-импульсных траекторий перелетов Земля — гало-орбита применяется алгоритм построения начальных приближений. Указанные приближения строятся путем расчета и анализа изолиний функции от двух переменных. В качестве такой функции рассматривается высота перицентра отлетной орбиты над поверхностью Земли. Аргументами функции являются специальные параметры, характеризующие гало-орбиту. Указанный алгоритм позволяет получить гало-орбиты с заданными геометрическими характеристиками как в плоскости эклиптики, так и в плоскости ей ортогональной. Получены оценки затрат характеристической скорости на поддержание КА на выбранной гало-орбите. Описанная методика была использована для поиска рабочих орбит КА «Спектр-РГ» и «Миллиметрон». Приведены примеры полученных орбит.

Ключевые слова: гало-орбиты, точка Ь2, метод изолиний, «Спектр-РГ», «Миллиметрон».

Введение. Гало-орбиты — семейство условно-периодических пространственных орбит в окрестности коллинеарных точек либрации Ь1, Ь2, Ь3, являющихся решениями круговой ограниченной задачи трех тел. КА, находящийся на гало-орбите, не совершает орбитального движения вокруг точки либрации в общепринятом понимании, но движется по замкнутой периодической траектории, непокидающей окрестности точки либрации.

Работа посвящена описанию алгоритма построения траекторий перелета КА с низкой околокруговой орбиты на гало-орбиту с заданными параметрами около точки Ь2 системы Солнце—Земля. Рассмотрены прямые перелеты и перелеты с использованием гравитационного маневра у Луны.

Гало-орбита задается четырьмя параметрами: А — удаление КА от точки Ь2 в плоскости эклиптики; В — удаление КА от точки Ь2 в плоскости, ортогональной эклиптике; ф1 — фаза колебательного движения КА в проекции на плоскость эклиптики; ф2 — фаза колебательного движения КА в проекции на плоскость, ортогональную эклиптике.

Рис. 1. Перелет без использования гравитационного маневра у Луны: траектория перелета и проекция гало-орбиты вокруг точки L2 на плоскость OXY

вращающейся СК

Пример траектории перелета и полета по гало-орбите показан на рис. 1, где представлена проекция траектории на плоскость OXY вращающейся СК с началом в точке L2. Ось OX направлена от точки L2 к Земле. Ось OZ ортогональна плоскости эклиптики. Ось OY дополняет систему до правой. Цифры, указанные вдоль кривой, — сутки полета. Примерно через 20 сут полета КА выходит из сферы действия Земли, а через 100 сут переходит на гало-орбиту. Траектория полета по гало-орбите приведена с учетом выполнения коррекций удержания. При полете по гало-орбите КА облетает точку L2 за 180 сут.

Статья содержит четыре раздела. В первом разделе описан метод построения начального приближения для перелета с низкой орбиты

ИСЗ на заданную гало-орбиту в окрестности точки Ь2 системы Солнце—Земля без импульса торможения. Описан и развит предложенный М.Л. Лидовым метод построения изолиний функции высоты перицентра от параметров гало-орбиты, позволяющий найти траектории перелета с орбиты ИСЗ на гало-орбиту, которые не требуют импульса торможения в окрестности точки Ь2.

Во втором разделе рассмотрен метод построения начального приближения для траектории одноимпульсного перелета с низкой околоземной орбиты на заданную гало-орбиту вокруг точки Ь2 с использованием гравитационного маневра у Луны. Метод применим как в случае, когда КА после перехода на перелетную траекторию сразу направляется к Луне, так и в случае, когда КА перед перелетом к Луне совершает виток вокруг Земли по высокоэллиптической орбите.

В третьем разделе предложен алгоритм точного расчета параметров траекторий перелета с низкой околоземной орбиты на гало-орбиту вокруг точки Ь2 без использования и с использованием гравитационного маневра у Луны. Входными данными для этого алгоритма служат начальные приближения, рассмотренные в первых двух разделах.

Примеры расчета номинальных траекторий перелета с низкой околоземной орбиты на заданную гало-орбиту вокруг точки Ь2 приведены в четвертом разделе. Представлены траектории перелета, рассчитанные в рамках работ по проектам «Спектр-РГ» и «Миллиметрон», позволяющие выйти на гало-орбиты с различными геометрическими характеристиками. Также приведен пример расчета траектории перелета на гало-орбиту с использованием гравитационного маневра у Луны.

Периодические орбиты в окрестности коллинеарных точек либрации. Движение в окрестности коллинеарных точек либрации, являющихся решениями ограниченной круговой задачи трех тел, можно рассматривать как совокупность двух осцилляций — в плоскости орбиты меньшего тела вокруг центрального и в плоскости ей ортогональной, а также некого «гиперболического» поведения. Последнее означает, что осцилляции неустойчивы и даже малые отклонения со временем приведут к уходу от периодической орбиты. Орбиты, описываемые осцилляциями в плоскости орбиты меньшего тела или же в плоскости ей ортогональной, принято классифицировать как плоские или вертикальные орбиты Ляпунова. Частоты этих осцилляций изменяются в зависимости от амплитуды (поскольку задача нелинейна), и при некоторых амплитудах становятся равными — в этом случае говорят о гало-орбите. Если частоты осцилляций в различных плоскостях существенно отличаются, движение является непериодическим, траектория движения называется орбитой Лиссажу. Орбиты Лиссажу являются

квазипериодическими. Подобные орбиты могут существовать как в окрестности вертикальных периодических орбит, так и в окрестности гало-орбит. Примеры орбит, относящихся к вышеописанным классам, представлены на рис. 2.

Рис. 2. Примеры орбит в окрестности точки либрации Ьу вверху слева — вертикальная периодическая орбита Ляпунова; вверху справа — квазипериодическая орбита в окрестности вертикальной периодической орбиты — орбита Лиссажу; внизу слева — периодическая гало-орбита; внизу справа — квазипериодическая гало-орбита в окрестности гало-орбиты

Первой миссией, отправленной к коллинеарным точкам либрации системы Солнце—Земля в окрестности точки либрации, стал запуск аппарата 1БЕЕ-3 к точке Ь1 в 1978 г. Траектория движения этого КА такова, что гравитационные воздействия Земли и Солнца на аппарат имеют одинаковый порядок и описание движения в рамках задачи двух тел с учетом возмущений от третьего тела невозможно. В этом случае ограниченная задача трех тел является приемлемой моделью для баллистического проектирования миссии. В рамках данной модели была показана роль точек либрации, позволяющих получить достаточно сложную и эволюционирующую траекторию движения аппарата в системе Солнце—Земля—Луна с минимальными затратами топлива. Во многом благодаря этой миссии использование динамики коллине-арных точек либрации стало рассматриваться как реальная инженерная методика.

Аппарат для исследования комет и солнечного ветра ISEE-3 был первым КА, выведенным на квазипериодическую гало-орбиту. Он вышел на траекторию прямого перелета к точке L1 системы Солнце— Земля, совершил несколько оборотов на гало-орбите в ее окрестности, затем был переведен в окрестность точки L2. После выполнения гравитационных маневров у Луны аппарат был направлен на сближение с кометой Якобини—Циннер. Гало-орбита в окрестности точки L2 имела небольшой выход из плоскости эклиптики, составлявший 1,2 тыс. км.

Следующая миссия, использовавшая гало-орбиту — космическая обсерватория SOHO, совместный проект ЕКА и НАСА, направленный на изучение Солнца. Аппарат был выведен на гало-орбиту в окрестности точки либрации L1 системы Солнце—Земля, схожую с орбитой аппарата ISEE-3. Период орбиты составил 178 сут. Точное выведение на гало-орбиту привело к минимальным расходам топлива на коррекцию, что позволило на шесть лет продлить научную программу.

Большой интерес для анализа представляет траектория космического аппарата WIND (функционирует по настоящее время), запущенного к точке L1 системы Солнце—Земля 1 ноября 1994 г. для изучения солнечного ветра. Первые три года аппарат находился на высокоэллиптической геоцентрической орбите и совершал гравитационные маневры у Луны таким образом, что линия апсид его орбиты оставалась параллельной направлению от Земли на Солнце. Кроме того, в этот период был сделан один виток вокруг точки L1 системы Солнце—Земля. Далее, в рамках расширенной миссии, КА WIND вышел на так называемые «лепестковые орбиты» — орбиты с большим (более 1,5 млн км) удалением от Земли в направлении оси Z и эволюционирующим наклонением относительно плоскости эклиптики. Также аппарат совершил облет точки L2. Данная орбита уникальна, она обеспечила проведение запланированных научной программой измерений в широкой окрестности околоземного пространства.

Первым аппаратом, использовавшим орбиту Лиссажу, стал КА НАСА ACE, запущенный к точке либрации системы Солнце—Земля в 1997 г. Выведение на орбиту и ее поддержание потребовали коррекций: коррекции удержания необходимо было производить с периодичностью 8 нед, коррекции, изменяющие геометрию орбиты для поддержания угла КА—Солнце—Земля — раз в 3-6 мес. Период орбиты составил 178 сут, аппарат функционирует по настоящее время.

В 2001 г. на орбиту Лиссажу в окрестности точки L2 системы Солнце—Земля была выведена космическая обсерватория НАСА —

КА WMAP. Перелет был осуществлен с использованием гравитационного маневра у Луны. В том же году к точке L1 системы Солнце— Земля был запущен КА Genesis, также использовавший орбиту Лиссажу.

В 2009 г. на высокоамплитудную орбиту Лиссажу в окрестности точки L2 системы Солнце—Земля были выведены КА «Гершель» и «Планк» ЕКА. После перехода на орбиту с траектории перелета КА «Планк» исполнил маневр перехода на орбиту Лиссажу с меньшей амплитудой, в то время как Гершель остался на высокоамплитудной орбите.

Удобство использования гало-орбит для размещения на них космических телескопов и других аппаратов для астрофизических исследований обусловлено следующим фактором: данные орбиты сохраняют свою пространственную ориентацию относительно Солнца и Земли. Исследуемые в настоящей работе гало-орбиты располагаются в окрестности коллинеарной точки либрации L2, удаленной от Земли на расстояние порядка 1,5 млн км. В этом случае пространственная конфигурация орбиты позволяет экранировать антенну от солнечного и отраженного от Земли излучения при условии поддержания постоянной ориентации аппарата. В то же время, вращаясь вместе с Землей вокруг Солнца, аппарат за год совершает оборот на 360°, что позволяет наблюдать любые объекты Вселенной, расположенные вблизи плоскости эклиптики.

Кроме того, как будет показано далее, гало-орбиты являются энергетически выгодными: возможен безымпульсный переход на подобную орбиту с геоцентрической отлетной траектории, а суммарные коррекции для поддержания орбиты так же невелики.

Начальное приближение для траектории прямого одноим-пульсного перелета с низкой околоземной орбиты на заданную гало-орбиту вокруг точки L2. Приближенное описание прямых одно-импульсных перелетов (без гравитационного маневра у Луны) с околокруговой орбиты ИСЗ на заданную гало-орбиту использует метод изолиний функции высоты перицентра от параметров гало-орбиты, предложенный в [5]. В данной работе этот метод распространен на случай перелета с гравитационным маневром у Луны. Движение КА рассматривается во вращающихся системах координат: в системе Ox1x2x3 с началом в центре Земли O и в системе с началом O' в точке

либрации L2 (рис. 3). При этом х1 = ^ — |OO'|, х2 = х3 =

Зависимость координат от времени определяется следую-

щими формулами:

где

^ = А соб ( + ф1) + Сви + Вв-^, = -к2А ^п ( + ф1) + к1 (СвХ( - Бв^), = В соб (со2^ + ф2).

>1 = цЛ (ф

с = п,<1^у/9В2Ь - 8ВЬ -Вь + 2)- 0,035384

рад сут

Ш2 = п

- 0,034148И, сут

Х = у9В1 -8ВЬ +ВЬ - 2) - 0,042734

рад

к =

1

1 2

к2 = Т"

2

V п1

- 2 Вь -1

( л2

Ш;

V п1 У

+ 2 Вь +1

сут -0,54525,

- 3,1873,

Рис. 3. Системы координат Ох1х2х3 и О'^^^з

Bl =

— +-

Г1 , -Л

3 3

V rL1 rL У

af,

где ц — массы Солнца и Земли; a1 — астрономическая единица; rL1, rL — расстояния от точки L2 до Солнца и Земли; n1 — средняя угловая скорость орбитального движения Земли; A, B, C, D, ф1, ф2 — постоянные интегрирования.

Формулы (1) представляют собой общее решение линеаризованных уравнений, описывающих малые колебания КА в окрестности точки L2 [1].

Наличие слагаемого De~Xt, затухающего с ростом t, позволяет КА, находящемуся на гало-орбите в начальный момент времени, удаляться от точки L2 на значительное расстояние. Поэтому в рамках задачи трех тел существует семейство орбит (орбиты перелета), которые, с одной стороны, достаточно близко подходят к Земле (в начальный момент времени), а с другой стороны, некоторое время являются гало-орбитами (спустя 100 сут после отлета от Земли). На этом свойстве основан метод построения начального приближения для траекторий перелета с низкой орбиты ИСЗ на заданную гало-орбиту в окрестности точки L2 без импульса торможения.

* Г 2 3"

Определим х1 =-QrL. Выбором 0 в интервале —,— можно удовлетворить следующим условиям. Если траектория начинается в окрестности Земли и является асимптотической к условно-периодической орбите, расположенной в достаточно малой окрестности L2, то такая траектория обязательно пересечет плоскость х1 = х1*. При этом характеристики траектории для |xj < |х11 должны удовлетворительно описываться решениями задачи двух тел, а при |xj > |х*| линейным приближением (рис. 4).

Асимптотическое приближение к условно-периодической орбите в рамках такого приближения определяется условием C = 0. За счет выбора D обеспечивается сопряжение гало-орбиты с орбитой ИСЗ.

Пусть начало отсчета выбрано так, что при t = t0 выполняется равенство: х1 = х*. Тогда из первого уравнения системы (1) находим

D = х* + rL - A cos ф1.

Рис. 4. Переход от параметров геоцентрической орбиты перелетной траектории к параметрам гало-орбиты

_ _ dX1 dx9 dXз

Тем самым, при I = 0 координаты x1, x2, x3 и скорости —^ —-, —3

dt dt dt

оказываются однозначными функциями четырех параметров: A, В, ф1, Ф2. Переходя к невращающейся СК, определим зависимости элементов геоцентрической орбиты vП, ш, О, i, гп , т от этих параметров, выделим траектории одноимпульсного перелета условием на расстояние перицентра:

гп = & + h = г*,

п Е п '

где ЯЕ — экваториальный радиус Земли; h — заданная высота орбиты ИСЗ.

Таким образом, множество орбит перелета определяется зависимостями элементов геоцентрической орбиты vп, ш, О, гп и т от параметров А, В, ф1 и ф2 гало-орбиты при условии, что расстояние перицентра тк равно заданной величине. При фиксированных А и В в плоскости ф1, ф2 строится изолиния:

^(ф^ Ф2 ) = Г*.

Рассмотрим алгоритм вычисления тк по заданным фазам ф1 и ф2. Сначала вычисляется вектор состояния КА в инерциальной СК, полученной фиксацией осей вращающейся СК на фиксированный момент времени t в зависимости от параметров: А, В, ф1 и ф2. Введем следующие обозначения:

((, Е, 1, Е, 2, Е, 3) — вектор состояния КА в момент времени t = 0 во вращающейся СК с центром в Ь2;

(х1, х2, х3, хс1, Х2, х3 )Т — вектор состояния КА в момент времени t = 0 в невращающейся геоцентрической эклиптической СК Ох1х2х3, ось Ох1 которой направлена на Солнце в момент времени t0.

Координаты и компоненты вектора скорости КА во вращающейся СК с центром в Ь2 вычисляются по формулам

D = rL + х* - A cos ф1, = rL + х*, É,i =-iA sin ф1 -XD, = -k2A sin ф1 - k1D, É,2 = -k2 1A cos ф1 + k1XD,

^з = B cos ф2, =-ю2В sin ф2,

а в невращающейся геоцентрической эклиптической СК по формулам

X1 =^1 -rL , Х1 = ^1 —П1Х2,

Х2 =^2, Х2 2 +nlX1,

х3 = ^з, Х3 = 3'

Далее по вектору (х1, х2, х3, "х1, х2, х3) вычисляются элементы орбиты и в том числе расстояние перицентра гп.

Рассмотрим функцию f (ф1,ф2,0A,0B), которая заданным значе-0 A 0 B

ниям ф1, ф2, 0 A = — и 0B = — сопоставляет расстояние перицентра r

rL rL

в соответствии с вышеописанным алгоритмом.

Алгоритм построения изолинии функции высоты перицентра от параметров гало-орбиты в фазовой плоскости ф1, ф2 состоит из двух этапов: поиска начальной точки изолинии и расчета изолинии по начальной точке.

Поиск начальной точки изолинии выполняется сканированием в интервалах 0°.. .360° по параметру ф1 и -180°.. .180° по параметру ф2. При фиксированном значении ф2 вычисляются значения f (ф1, ф2,0A, 0B), для значений ф1 из указанного интервала. Если выполняется условие

то искомое значение ф* лежит в интервале от ф1 - Кф1 до ф1. Для нахождения ф* с требуемой точностью используется метод бисекции [6].

Рассмотрим алгоритм расчета следующей точки изолинии при известной текущей точке. Основной принцип алгоритма состоит в том, что если известна точка (ф1, ф2), принадлежащая изолинии, то ищется точка пересечения изолинии с прямой, параллельной оси ф1 на плоскости ф1, ф2 и проходящей через точку начала поиска (ф1 + , ф2 + s), либо точка пересечения изолинии с прямой, параллельной оси ф2 и также проходящей через точку начала поиска (рис. 5).

Рис. 5. Поиск точек изолинии

Входной информацией этого алгоритма является точка, принадлежащая изолинии (ф1 ., ф2 .) и шаг поиска И Случай поиска второй точки изолинии от случая поиска третьей и последующих точек отличается выбором параметра

^ = <

Иф, если г = 1;

И

И

если г > 1,

>/( -фи-1 )2 +( -Ф2,г-1 )2

где (ф1 ,, ф2 Л), (ф1 i- 1, ф2 Л- 1) — точки, принадлежащие изолинии, И= 1°. С использованием параметра ^ и последней известной точки изолинии (ф1 ф2 ) устанавливается точка начала поиска (ф1Ъ, ф2Ъ) = (ф1 + , ф2 + ^ и ищется пересечение изолинии с отрезком на плоскости ф1, ф2, соединяюЩим точки (ф1ъ -Д^ ф2ъ) и (ф1ъ + jИф, ф2Ъ) приУ = 1 2, N. Этот отрезок проходит через точку начала поиска, параллелен оси ф1, а длина его увеличивается с увеличением индекса у. Для этого ищется такое значение у = 1, 2, •.., N при котором выполняется условие:

Если значение у найдено, ищется такое значение ф*, чтобы точка (ф*, ф2Ъ) принадлежала изолинии. Для этого используется алгоритм, реализующий метод бисекции.

Если значение индекса у, при котором выполняется условие (6), не найдено, ищется точка пересечения изолинии с отрезком, который про-

ходит через точку начала поиска и параллелен оси ф2. Этот отрезок соединяет точки (ф1ь, ф2ь - и (ф1ь, ф2ь + . При этом ищется значение индексау = 1, 2, ..., N для которого выполняется следующее условие:

Если найдено значение у, при котором выполняется условие (7), то методом бисекции ищется значение ф2, при котором точка (ф2ь, ф2) принадлежит изолинии. Если значение у, при котором выполняется условие (7), не найдено, работа алгоритма завершается с отрицательным кодом ответа: точка изолинии не найдена. В результате вычислительных экспериментов установлено, что значение N целесообразно принять равным 4. Процесс построения изолинии завершается, если выполнено условие замыкания изолинии

>/

или получен отрицательный код ответа от алгоритма поиска следующей точки.

На рис. 6 показан пример расчета изолиний функции высоты перицентра для гало-орбит, у которых 9В = 0,1, а 9а принимает следующие значения: 0,180, 0,185, 0,190, 0,195, 0,200. Каждой паре значений 9а и 9В соответствуют две замкнутых изолинии в верхней и нижней части изображения. Меньшему значению 9а соответствует изолиния меньшего размера.

Далее, при расчете начального приближения для траектории перелета по построенным изолиниям для фиксированной высоты перицентра согласно функции / (ф1, ф2,0а , 0В ), и заданной дате старта КА с орбиты выведения определяются элементы отлетной геоцентрической орбиты. Каждой точке изолинии соответствует какая-либо отлетная орбита. Для экономии характеристической скорости, расходуемой на переход с орбиты выведения на орбиту перелета, из рассчитанного множества выбираются те траектории перелета, наклонение которых соответствует наклонению орбиты выведения.

В табл. 1 приведены примеры найденных начальных приближений траектории перелета на гало-орбиту с заданными параметрами 9а и 9В. Таблица содержит дату и время старта с геоцентрической низкой околокруговой орбиты, параметр гало-орбиты 9а, координаты и скорости КА после приложения импульса перехода на траекторию перелета, величину импульса, время перелета от момента старта с опорной орбиты

Рис. 6. Пример расчета изолиний: 0А = 0,18^. .0,20; 9В = 0,1

до перехода на гало-орбиту, параметр перехода из геоцентрической СК в СК с центром в точке Ь2. Параметр 9В принят равным 0,1 для всех рассматриваемых вариантов.

Таблица 1

Начальные приближения траектории перелета для различных значений параметра 8А в рамках окна старта 30.12.2014

/, ДМВ 9А ф1, град ф2, град АУ, м/с г, град ю,град

16:22:04 0,200 157,5857 -11,66129 3128,164 51,468 307,09

16:28:59 0,195 155,4032 -11,35459 3129,120 51,472 308,823

16:36:44 0,190 152,7965 -11,06733 3127,542 51,467 310,773

16:59:44 0,185 122,433 111,8391 3122,277 51,473 316,459

16:48:26 0,180 127,8207 109,6844 3121,603 51,464 313,632

Начальное приближение для траектории одноимпульсного перелета с низкой околоземной орбиты на заданную гало-орбиту вокруг точки Ь2 с использованием гравитационного маневра у Луны.

Известно, что на гало-орбиты со значением параметра 9а, меньшим 0,17, невозможно перелететь по схеме одноимпульсного перелета, без дополнительных маневров КА [7]. В [8, 9] для достижения гало-орбит с меньшими значениями параметра 9а предложено использовать гравитационный маневр у Луны и рассмотрена схема запуска, которая предполагает сближение с Луной не сразу после старта с Земли, а после предварительного полета по сильно вытянутой орбите с низким перигеем и расстоянием в апогее, большим радиуса лунной орбиты.

Предложенный ниже алгоритм построения начального приближения применим как в случае, когда КА после перехода на перелетную траекторию сразу направляется к Луне, так и в случае, когда КА перед перелетом к Луне совершает виток вокруг Земли по сильно вытянутой орбите. Для ускорения поиска интервалов времени, в которых возможен перелет с гравитационным маневром, используется условие на угол между направлениями от Земли на Солнце и Луну.

Очевидно, что для того, чтобы использовать гравитационный маневр у Луны для перелета на гало-орбиту, Луна и Солнце должны быть расположены определенным образом. Это расположение можно описать углом между направлениями от Земли на Луну и Солнце. Условие перелета Земля — гало-орбита с гравитационным маневром у Луны выполняется раз в месяц. Под моментом перехода на гало-орбиту понимается момент времени, в который КА пересечет плоскость, ортогональную направлению Земля — Солнце, и удаленную от центра

17

Земли на расстояние (1 -0), где, 0 = ~, — расстояние от Земли до точки Ь2.

На рис. 7 показана зависимость угла между направлениями от Земли на Луну и Солнце от времени. Красным цветом отмечены интервалы времени, в которые возможен переход на гало-орбиту с использованием гравитационного маневра у Луны. Из этого графика видно, что моменты перехода на перелетную к Ь2 траекторию (на гало-орбиту) с использованием гравитационного маневра у Луны следует искать на интервалах времени, когда значение угла между направлениями от Земли на Луну и Солнце не превосходит 45°.

Рассмотрим обобщение метода построения изолиний на случай использования гравитационного маневра у Луны. Начальные этапы построения изолинии функции высоты перицентра выполняются аналогично расчету в случае отсутствия гравитационного маневра у Луны.

Рис. 7. Угол между направлениями от Земли на Солнце и Луну

Далее для вычисления элементов орбиты, и в том числе расстояния перицентра гп по вектору (x1, x2, x3, xc1, X2, x3) траектория перелета разбивается на три участка:

• от Земли до входа в сферу действия Луны;

• полет в сфере действия Луны;

• полет после выхода из сферы действия Луны до входа в окрестность L2.

Для определения момента выхода из сферы действия Луны следует использовать численное интегрирование. При этом расчет вектора состояния КА целесообразно выполнять до достижения расстояния 50 тыс. км от центра Земли. Далее вычисляются оскулирующие элементы орбиты, по ним рассчитывается расстояние перицентра.

Основными параметрами, характеризующими гравитационный маневр у Луны, являются Agam — модуль импульса, сообщаемого КА в результате гравитационного маневра, и PGAM — модуль проекции импульса гравитационного маневра на направление скорости КА. Если PGAM > 0, импульс гравитационного маневра направлен на разгон КА, иначе — на торможение.

Параметры Agam и PGAM вычисляются по следующим формулам:

A = v — v P = ^ out out'

GAM \Vout yin\> GAM I I '

v

out

где и Уои1 — векторы скорости КА в моменты времени входа и выхода из сферы действия Луны соответственно. Если вход в сферу действия Луны не был найден или значение Лодм меньше порогового значения, то алгоритм расчета расстояния перицентра возвращает отрицательный код ответа, а значение функции / (9А, 9в, ф1, ф2) не определено. Экспериментально было установлено, что пороговое значение целесообразно выбрать равным 100 м/с. Результаты расчетов изолиний могут быть использованы для определения окон стартов на гало-орбиту с использованием гравитационного маневра у Луны. Длительность окна стартов определяется расстоянием, на которое КА удаляется от точки Ь2 в плоскости эклиптики. Примеры расчета окон старта на 2014 г. представлены в табл. 2, которая содержит месяц, в котором должен быть совершен перелет, значение параметра 0А, дату старта и длительность окна стартов. Для некоторых месяцев приведены несколько вариантов перелета, соответствующих различным значениям 0А.

Изолинии для траекторий перелета на 28 и 29 января 2014 г. показаны на рис. 8 и 9 соответственно.

Рис. 8. Изолинии для траекторий перелета на 28 января 2014 г.:

0А = 0,14, 0в = 0,1

Рис. 9. Изолинии для траекторий перелета на 29 января 2014 г.:

0А = 0,14, 0в = 0,1

Таблица 2

Даты перелета в окрестность точки Ь2 для 2014 г. с использованием гравитационного маневра у Луны

Месяц 0А Дата старта Продолжительность окна стартов, ч

Январь 0,14 2014/01/28 36

0,15 2014/01/28 72

Февраль 0,14 2014/02/27 40

0,15 2014/02/26 48

Март 0,12 2014/03/29 46

Апрель 0,12 2014/04/27 24

Май 0,12 2014/05/29 20

0,13 2014/05/29 28

0,14 2014/05/29 36

0,15 2014/05/29 52

Июнь 0,12 2014/06/25 22

0,13 2014/06/25 33,5

0,14 2014/06/25 40,5

0,15 2014/06/25 60

Июль 0,15 2014/07/25 41

Август 0,14 2014/08/24 14,5

0,15 2014/08/23 57,5

Сентябрь 0,12 2014/09/22 12,5

Октябрь 0,12 2014/10/23 6

Ноябрь 0,12 2014/11/21 23,5

Декабрь 0,12 2014/12/18 22

Точный Расчет параметров траекторий перелета с низкой околоземной орбиты на заданную гало-орбиту вокруг точки Ь2. Исходными данными для алгоритма расчета параметров траекторий перелета на гало-орбиту являются 0, 0А, 0В, фр ф2, момент времени входа в окрестность точки Ь2 и высота перицентра И Следует отметить, что при расчете начальных приближений целесообразно сохранять наклонение и аргумент перицентра перелетной орбиты, что позволит выбирать такие начальные приближения, для которых наклонение в максимальной степени близко к заданному значению, а перицентр располагается в южном полушарии. Под моментом времени входа в окрестность точки Ь2 понимается момент времени, когда траектория пересекает плоскость х1 = х*.

При расчете траектории перелета с низкой околокруговой орбиты на гало-орбиту используется модель движения КА, в которой учитываются гравитационное воздействие Земли, Солнца, Луны и планет Солнечной системы, неравномерность вращения Земли, силы давления солнечной радиации, влияние атмосферы Земли [6]. Для определения положения Солнца и планет Солнечной системы используется астрономический ежегодник DE421, разработанный в JPL NASA. Метод интегрирования, применяемый для численного прогноза, — метод Дормана—Принса.

В прямоугольной инерциальной СК J2000 уравнения движения КА записываются в следующей форме:

r _ v

__.. _Г1 i с12000 Г fграв + f "I + с12000 Г f грав

v _ M'E r з + СПЗ90-2 _/земля + J атм J + C Селенограф _ J Луна + JС олнце + JЛуна + Jр ад + /планет,

где г — вектор положения КА в СК 12000; V — вектор скорости КА в СК 12000; рЕ — гравитационная постоянная Земли; СпЗ9о°_2 — матрица перехода из гринвичской вращающейся СК ПЗ90-2 Земли в СК 12000; ССеЛшограф — матрица перехода из селенографической СК Луны

в СК 12000; /Зетя — вектор возмущающих ускорений, вызванных нецентральностью гравитационного поля Земли в гринвичской СК; /Луна — вектор возмущающих ускорений, вызванных нецентральностью гравитационного поля Луны в селенографической СК; /атм — вектор возмущающих ускорений, вызванных влиянием атмосферы Земли; /Солнце — вектор возмущающих ускорений, вызванных влиянием гравитационного поля Солнца в СК 12000; /дуна — вектор возмущающих ускорений, вызванных влиянием гравитационного поля Луны в СК 12000; / — вектор возмущающих ускорений, вызванных влиянием солнечной радиации; /планет — вектор возмущающих ускорений, вызванных влиянием гравитационного поля планет Солнечной системы.

Алгоритм расчета параметров траекторий перелета на гало-орбиту состоит из следующих этапов.

1. Расчет по начальному приближению вектора состояния на момент входа в окрестность Ь2. Для этого по входным параметрам 0, 0А, 0В определяются значения параметров по формулам х* = 0г^ А = 0Аг^ В = 0^, где гь — расстояние от точки Ь2 до Земли. Расчет по формулам (3) и (4) вектора состояния КА х = (х1,х2,х3,хс1,х2,х3)Т во вращающейся

системе координат, фиксированной на момент времени входа в окрестность точки Ь2. Расчет матрицы СД000 перехода из вращающейся системы координат в систему координат 12000 выполняется по формуле

ГРх а ях У-со§ з

С

12000

Р 0

ЯУ

Я

, у

- Бт З - соб З

0

0

Рх = СОБШе СОБ Ое - Бт ш^т Ое СОБ/е, Ру = СОБ Ше Бт Ое + Бт Ше СОБ Ое СОБ /е, Рг = Бт ше Бт /е,

0х = -БтШеСОБОе -СОБШеБтОеСОБ/е, 0у = -Бт Ше Бт Ое + СОБ Ше СОБ Ое СОБ /е,

= СОБ Ше Бт /е, Ях = Бт /е БШ Ое, Яу =-Бт /е СОБ Ое, Я = СОБ I

0 ^ 0 1

е>

где Зе, /е, Ое, ше — оскулирующие истинная аномалия, наклонение, долгота восходящего узла, аргумент перицентра орбиты Земли на момент достижения КА точки входа в окрестность Ь2. Расчет вектора состояния КА х^ = (, х}.2, х}.3, х, х^ 2, х^ 3) в системе координат 12000 на момент времени входа в окрестность точки Ь2 с использованием матри-

цы

С

12000

2. Определение момента достижения перицентра Ы отлетной траектории и вектора состояния КА хп = (хп1, хп2, хп3, хп1, хп2, хп3)Т на этот

момент. Для этого численно интегрируют уравнения движения назад до момента времени, когда оскулирующая истинная аномалия станет равной нулю.

3. Коррекция вектора состояния так, чтобы высота перицентра была заданной.

Вычисление полуоси орбиты а, текущего расстояния перицентра гп и скорости \к в перицентре по вектору состояния хп.

Вычисление значения полуоси, соответствующей заданной высоте перицентра: а1 = а +—((-(-Яе), где И^ — заданная высота

перицентра.

Вычисление скорости в перицентре после коррекции высоты пери-

центра: V = р Б

1 ^

V + КБ а1 J

Пропорциональная коррекция компонент вектора хп так, чтобы расстояние было равно Игг+ ЯБ, а скорость v1.

4. Уточнение вектора скорости V = (vх, v vz) так, чтобы параметр С гало-орбиты был обнулен. Начальные значения компонент вектора скорости полагаются равными значениям, полученным на предыдущем этапе. Выполняется итерационный процесс минимизации функции С2

дС2 дС2 дС2

градиентным методом. Вычисляются производные: -, -,-.

д^ дvy дvz

При этом на каждом шаге г итерационного процесса проверяется выполнение условия С2 < С2_1, где С2, С2_1 — значения, полученные на текущем и предыдущем шагах. Если это условие не выполняется, компоненты поправок к вектору скорости сокращаются в два раза. Итерационный процесс завершается, если значение С2 попало в заданную окрестность нуля или модуль вектора поправок к вектору скорости стал меньше заданной величины.

5. Уточнение вектора скорости V = (vх, v vz) так, чтобы значение параметра В было равно заданной величине 0Вг^, а параметр С обнулен. Для этого градиентным методом минимизируется функция (В - 9Вгь)2 + С2. На каждом шаге итерационного процесса контролируется выполнение условия (В - 9В^)2 + С2 < (В -1 - 9В^)2 + С2-1. Если это условие не выполняется, компоненты поправок к вектору скорости сокращаются в два раза. Если модуль вектора поправок к вектору скорости стал меньше заданной величины, происходит изменение метода поиска минимума на покоординатный спуск. Если текущему значению вектора скорости соответствует локальный минимум, происходит переход к следующему этапу.

6. Уточнение вектора скорости из условия максимального пребывания в окрестности точки Ь2. Вектор скорости уточняется из условия максимума функции -^(у^ v vz) = tout Ь2 - tin Ь2 — длительности пребывания КА в сфере с центром в точке Ь2 и радиусом (£29А)2 +9В.

Здесь tin Ь2 — момент входа КА в окрестность точки Ь2, а toutЬ2 — момент выхода из этой окрестности.

Максимум ищется градиентным методом с регулируемым шагом. Поправки к вектору скорости вычисляются по формуле

'Лу« ^ ЛУ« ЛУ(.) V г _ 1 ЛУ т тах иг&1 дУх дЯлх

2к иг&1 1дУх ) + ^ ЛХ дУ V У ) 2

где ЛУтах — максимально допустимое значение поправки. На каждом шаге итерационного процесса контролируется выполнение условия

). >(ЯЛ).+1. Компоненты поправок к вектору скорости сокращаются в два раза (к увеличивается на 1), если условие не выполняется. Переключение метода поиска максимума на покоординатный спуск происходит в случае, если модуль вектора поправок к вектору скорости стал меньше заданной величины. Итерационный процесс завершается при достижении локального максимума. Этим завершается работа алгоритма.

Следует отметить, что альтернативным вариантом уточнения вектора скорости является его определение из условия минимизации функционала:

1 к+Т

Ра((V,,V)=- \ ((в(1)-ъвгь)2+с(02)а,

Т '1

где Т — интервал осреднения, а значения функций В(^) и С(^) находятся из решения системы (1) относительно этих параметров.

На каждом шаге итерационного процесса контролируется выполнение условия (Л^ ) >(Л^) . Компоненты поправок к вектору скорости сокращаются в два раза, если условие не выполняется. Переключение метода поиска максимума на покоординатный спуск происходит в случае, если модуль вектора поправок к вектору скорости стал меньше заданной величины. Итерационный процесс завершается при достижении локального минимума.

В случае использования гравитационного маневра у Луны в вышеописанном алгоритме интегрирование происходит так же до момента достижения перицентра геоцентрической отлетной орбиты. Следует отметить, что оптимизация гравитационного маневра выполнена на стадии расчета начального приближения.

Примеры рассчитанных траекторий перелета КА с низкой околоземной орбиты на гало-орбиты вокруг точки Ь2. Ниже приведены примеры рассчитанных траекторий перелета, а также примеры гало-орбит, полученных с помощью вышеописанных методов, использование которых в качестве рабочих возможно в проектах «Спектр-РГ» и «Миллиметрон». В работе [6, 10, 11] эти решения описаны более детально, в частности, приведены векторы кинематических параметров КА при переходе последнего на траекторию перелета, представлена импульсная стратегия удержания аппарата на гало-орбите.

Пример траектории перелета КА «Спектр-РГ» с низкой околоземной орбиты на гало-орбиту вокруг точки Ь2 без использования гравитационного маневра у Луны.

Параметры орбиты выведения (дата и время конца активного участка — 2014/12/30 17:13:15.675):

Полуось, тыс. км........................................................... 6,593857

Эксцентриситет............................................................. 0,002908

Наклонение, град.......................................................... 51,611

Период, мин................................................................... 88,811470

Высота перицентра, тыс. км........................................ 0,196545

Высота апоцентра, тыс. км.......................................... 0,234897

Долгота восходящего узла, град.................................319,516

Аргумент перицентра, град......................................... 65,821

Параметры орбиты перелета (дата и время перехода на траекторию перелета — 2014/12/30 18:17:30.000):

Импульс перехода на траекторию перелета, км/с..........3,195

Полуось, тыс. км......................................................................................................................715,496123

Эксцентриситет ..........................................................................................................................0,990788

Наклонение, град....................................................................................................................51,392

Период, сут........................................................................................................................................69,712100

Высота перицентра, тыс. км ................................................................................0,212908

Высота апоцентра, тыс. км ..........................................1418,023065

Долгота восходящего узла, град..................................................................319,604

Аргумент перицентра, град..................................................................................343,572

Начальные условия орбиты перелета (дата и время — 2014/12/30 18:17:30.000):

X..................................................... 3,992607214

Y.....................................................-5,013255978

2 .....................................................-1,540951641

VX................................................... 6,676870

УУ................................................... 2,918931

Кг................................................... 8,202774

Примечание. Начальные условия содержат время привязки ДМВ, кинематический вектор состояния в инерциальной СК 12000 с началом в центре масс Земли, компоненты вектора положения в тыс. км, компоненты вектора скорости в км/с.

Импульсы коррекций для удержания КА на гало-орбите приведены в табл.3.

Таблица 3

Импульсы коррекций для удержания КА на гало-орбите

Дата и время Модуль импульса, м/с Длительность пребывания в окрестности ЬТ сут

2015/03/10 18 17:30.000 1,382 320,815

2015/05/19 18 17:30.000 0,000 250,815

2015/07/28 18 17:30.000 0,986 309,196

2015/10/06 18 17:30.000 0,106 286,005

2015/12/15 18 17:30.000 0,250 244,981

2016/02/23 18 17:30.000 0,940 343,854

2016/05/03 18 17:30.000 0,000 273,854

2016/07/12 18 17:30.000 0,443 321,295

2016/09/20 18 17:30.000 0,125 301,526

2016/11/29 18 17:30.000 0,125 260,769

2017/02/07 18 17:30.000 0,585 265,156

2017/04/18 18 17:30.000 0,928 273,353

2017/06/27 18 17:30.000 0,484 264,983

2017/09/05 18 17:30.000 0,315 317,444

2017/11/14 18 17:30.000 0,062 282,751

2018/01/23 18 17:30.000 0,269 329,353

2018/04/03 18 17:30.000 0,062 350,850

2018/06/12 18 17:30.000 0,000 280,850

2018/08/21 18 17:30.000 0,515 348,898

2018/10/30 18 17:30.000 0,016 353,104

2019/01/08 18 17:30.000 0,016 313,182

2019/03/19 18 17:30.000 0,179 384,971

2019/05/28 18 17:30.000 0,000 314,971

2019/08/06 18 17:30.000 0,096 333,644

2019/10/15 18 17:30.000 0,062 276,463

2019/12/24 18 17:30.000 0,500 223,935

Дата и время Модуль импульса, м/с Длительность пребывания в окрестности Ьт сут

2020/03/03 18:17:30.000 1,753 266,554

2020/05/12 18:17:30.000 1,225 238,642

2020/07/21 18:17:30.000 1,363 331,460

2020/09/29 18:17:30.000 0,031 347,136

2020/12/08 18:17:30.000 0,016 330,799

2021/02/16 18:17:30.000 0,094 329,177

2021/04/27 18:17:30.000 0,000 259,177

2021/07/06 18:17:30.000 0,500 270,840

2021/09/14 18:17:30.000 0,498 321,713

2021/11/23 18:17:30.000 0,000 251,713

2022/02/01 18:17:30.000 0,635 256,474

2022/04/12 18:17:30.000 0,500 297,291

2022/06/21 18:17:30.000 0,000 227,291

Примечание. Суммарные затраты характеристической скорости на поддержание подобной орбиты составляют 4,0 м/с за 7 лет. Расчет импульсов коррекций здесь и далее проводился в предположении идеальной навигации и идеального исполнения маневров.

Проекции траектории перелета и полета по гало-орбите на плоскости ХУ и XX вращающейся СК с началом координат в точке Ь2 (размерность — тыс. км) показаны на рис. 10.

Рис. 10. Проекции траектории перелета и полета по гало-орбите на плоскости

ХУ

Проекция траектории перелета и полета по гало-орбите на плоскость У2 вращающейся СК с началом координат в точке Ь2 (размерность — тыс. км) и эволюция параметров орбиты показаны на рис. 11.

Рис. 11. Проекция траектории перелета и полета по гало-орбите на плоскость УХ (слева), эволюция параметров орбиты 9А, 9В и 9С представленной гало-

орбиты

Пример траектории перелета КА «Миллиметрон» с низкой околоземной орбиты на заданную гало-орбиту вокруг точки Ь2. Данная орбита получила одобрение специалистов АКЦ ФИАН. Суммарные затраты характеристической скорости на поддержание подобной орбиты составляют 14,0 м/с за 7 лет. Благодаря выбору достаточно большого значения 95 при проектировании выход орбиты из плоскости эклиптики составляет более 900 тыс. км, что обеспечивает необходимые условия для выполнения научной программы.

Параметры орбиты выведения приведены ниже (дата и время конца активного участка — 2018/09/15 16:08:31.749):

Полуось, тыс. км....................................................................................................6,587983

Эксцентриситет........................................................................................................0,002851

Наклонение, град..................................................................................................51,609

Период, мин....................................................................................................................88,692813

Высота перицентра, тыс. км..............................................................0,191067

Высота апоцентра, тыс. км..................................................................0,228626

Долгота восходящего узла, град................................................198,683

Аргумент перицентра, град................................................................84,178

Параметры орбиты перелета (дата и время перехода на траекторию

перелета — 2018/09/15 17:05:00.000):

Импульс перехода на траекторию перелета, км/с..... 3,202

Полуось, тыс. км........................................................... 712,251380

Эксцентриситет............................................................. 0,990733

Наклонение, град.......................................................... 51,472

Период, сут.................................................................... 69,238427

Высота перицентра, тыс. км........................................ 0,222093

Высота апоцентра, тыс. км..........................................1411,524394

Долгота восходящего узла, град................................. 198,883

Аргумент перицентра, град......................................... 312,243

Начальные условия орбиты перелета (время в ДМВ — 2018/09/15 17:05:00.000):

X.....................................................-5,119120543

У..................................................... 1,515577645

X .....................................................-3,881626760

УХ...................................................-6,267933

УУ...................................................-6,950327

УХ................................................... 5,711508

Проекции траектории перелета и полета по гало-орбите на плоскости ХУ и XX вращающейся СК с началом координат в точке Ь2 (размерность — тыс. км) показаны на рис. 12.

Проекция траектории перелета и полета по гало-орбите на плоскость УХ вращающейся СК с началом координат в точке Ь2 (размерность — тыс. км) и эволюция параметров орбиты показаны на рис. 13.

Рис. 12. Проекции траектории перелета и полета по гало-орбите на плоскости

ХУ

Рис. 13. Проекция траектории перелета и полета по гало-орбите на плоскость УХ (слева) и эволюция параметров орбиты 9А, 9В и 9С представленной гало-

орбиты

Пример траектории перелета с низкой околоземной орбиты на заданную гало-орбиту вокруг точки Ь2 с использованием гравитационного маневра у Луны. Данный вариант перелета не предусматривает предварительный виток на орбите Земли. Суммарные затраты характеристической скорости на поддержание подобной орбиты составляют 30,84 м/с за 7 лет. Исходные данные представлены ниже:

9.......................................................0,70833

9А ....................................................0,12000

9В ....................................................0,10000

ДМВ достижения Ь2......................2014/12/19 04:30:00.000

Наклонение....................................51,410

Параметры орбиты перелета (дата и время прохождения перицен-

тра — 2014/12/02 10:33:29.186)

Полуось, м ............................................................ 257873836,1

Эксцентриситет.................................................... 0,973362

Наклонение...........................................................51,424463

Период, сут........................................................... 15,083710

Высота перицентра, м.........................................491000,0

Высота апоцентра, м...........................................502500399,6

Долгота восходящего узла, град........................246,047

Аргумент перицентра, град................................347,895

Импульс перехода на орбиту перелета с круговой орбиты, м^........................................ 3083,329

Начальные условия орбиты перелета в СК J2000 (время в ДМВ — 2014/12/02 10:33:29.186):

X, м...............................................-3547748,886

Y, м...............................................-5773189,703

Z, м...............................................-1126406,678

VX, м/с......................................... 5051,111573

VY, м/с......................................... -4699,712277

VZ, м/с......................................... 8179,775795

Элементы орбиты КА в селеноцентрической СК

Полуось, м.................................................... 3551686,5

Эксцентриситет......................................................................................4,078134

Наклонение....................................................................................................32,866578

Расстояние перицентра, м........................... 10932566,5

-200-1-,-1

-500 0 500

Рис. 14. Проекции траектории перелета и полета по гало-орбите на плоскости XY

Параметры гало-орбиты приведены ниже

Параметр A, м...................................................... 180183389,6

theta A........................................................................................................................................0,120000

Параметр B, м...................................................... 149996383,9

theta B........................................................................................................................................0,099896

Параметр C, м............................................................................................................-6,0

theta C........................................................................................................................................0,000000

Время пребывания в окрестности

радиуса 620759841,0 м................................................................................162,72 сут

Проекции траектории перелета и полета по гало-орбите на плоскости XY, XZ и YZ вращающейся СК с началом координат в точке L2 (размерность — тыс. км) показаны на рис. 14.

Заключение. Результатом данной работы является универсальный алгоритм, позволяющий находить гало-орбиты в окрестности точки либрации L2 системы Солнце—Земля с заданными геометрическими характеристиками и выполнять расчет траекторий перелета на гало-орбиту с низкой околоземной орбиты. Предложенный алгоритм позволяет проектировать гало-орбиты и перелеты на них для КА «Спектр-РГ» и «Миллиметрон». В проекте «Спектр-РГ» необходимо, чтобы проекция гало-орбиты на плоскость, ортогональную эклиптике, находилась в кольце, нижняя граница которого определена возможностью попадания в тень Земли, а верхняя — потерей радиовидимости с территории России. Из требований научного эксперимента проекта «Миллиме-трон» следует, что гало-орбита должна удаляться от плоскости эклиптики более чем на 800 тыс. км. Предложенный алгоритм позволяет находить гало-орбиты и одноимпульсные перелеты на них и в случае, если требуется, чтобы КА находился в близкой окрестности точки L2. Если требуется, чтобы гало-орбита в проекции на плоскость эклиптики не удалялась от точки L2 более чем на 600 тыс. км, необходимо использовать гравитационный маневр у Луны.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. Москва: Наука, 1978.

[2] Маршал К. Задача трех тел. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

[3] Farquhar R. W. The Control and Use of ' Libration-Point Satellites. Ph.D. Dissertation, Dept. of Aeronautics and Astronautics, Stanford University, Stanford, CA, 1968.

[4] E.Canalias, G.Gomez, M.Marcote, J.J.Masdemont. Assessment of Mission Design Including Utilization of Libration Points and Weak Stability Boundaries. Barcello-na, Universitat de Barcellona, 2005. URL: http://www.esa.int/gsp/ACT/doc/ARI/

ARI%20Study%20Report/ACT-RPT-MAD-ARI-03-4103a-InterplanetaryHigh-ways-Barcellona.pdf

[5] Лидов М.Л., Ляхова В.А., Тесленко Н.М. Траектории полета Земля— Луна — гало-орбита в окрестности точки L2 системы Земля—Солнце. Кос-мич. исслед., 1992, т. 30, № 4, с. 435-454.

[6] Ильин И.С., Заславский Г.С., Лавренов С.М., Сазонов В.В., Степаньянц В.А., Тучин А.Г., Тучин Д.А., Ярошевский В.С. Баллистическое проектирование траекторий перелета с орбиты искусственного спутника Земли на гало-орбиту в окрестности точки L2 системы Солнце—Земля. Препринт. Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша, 2013, № 6. URL: http://keldysh.ru/papers/2013/ prep2013_6.pdf

[7] Лидов М.Л., Ляхова В.А., Тесленко Н.М. Одноимпульсный перелет на условно-периодическую орбиту в окрестности точки L2 системы Земля—Солнце и смежные задачи. Космич. исслед., 1987, т. 25, № 2, с. 163-185.

[8] Eismont N., Dunham D., Jen S.-C., Farquhar R. Lunar Swingby as a Tool for Halo-Orbit Optimization in Relict-2 Project. Proceeding of the ESA Symposium on Spacecraft Flight Dynamic. Germany, 30 September — 4 October, 1991, pp. 435-439.

[9] Лидов М.Л., Ляхова В.А., Тесленко Н.М. Характеристики управления при выведении КА в окрестность точки L2 системы Солнце—Земля с использованием гравитации Луны (Проект «Реликт-2»). Космич. исслед., 1993, т. 31, № 5, с. 3-20.

[10] Ильин И.С., Сазонов В.В., Тучин А.Г. Построение ограниченных орбит в окрестности точки либрации L2 системы Солнце—Земля. Препринт. Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша, 2012, № 65.URL: http://keldysh.ru/papers/2012/ prep2012_65.pdf

[11] Ильин И.С., Сазонов В.В., Тучин А.Г. Траектории перелета с низкой околоземной орбиты на многообразие ограниченных орбит в окрестности точки либрации L2 системы Солнце—Земля. Препринт. Москва, ИПМ им. М.В. Келдыша, 2012, № 66. URL: http://keldysh.ru/papers/2012/prep2012_66.pdf

Статья поступила в редакцию 27.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Боровин Г.К., Ильин И.С., Заславский Г.С., Лавренов С.М., Сазонов В.В., Степаньянц В.А., Тучин А.Г., Тучин Д.А., Ярошевский В.С. Математическое моделирование движения космического аппарата в окрестности точки L2 системы Солнце—Земля. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 9. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/hidden/1113.html

Боровин Геннадий Константинович —д-р физ.-мат. наук, заместитель директора по научной работе ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. e-mail: borovin@keldysh.ru

Ильин Иван Сергеевич — аспирант, младший научный сотрудник сектора № 2 отдела № 5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. e-mail: is.ilin@physics.msu.ru

Заславский Григорий Симонович — канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник сектора № 2 отдела № 5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. e-mail: zaslavgs@mail.ru

Лавренов Сергей Михайлович — профессор кафедры «Кибернетика» НИУ ВШЭ. e-mail: sml@kiam1.rssi.ru

Сазонов Виктор Васильевич — д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник сектора № 2 отдела № 5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. e-mail: sazonov@keldysh.ru

Степаньянц Виктор Аркадьевич — канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник сектора № 2 отдела № 5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. e-mail: vic-stepan@rambler.ru

Тучин Андрей Георгиевич — д-р физ.-мат. наук, заведующий сектором № 2 отдела № 5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. e-mail: tag@kiam1.rssi.ru

Тучин Денис Андреевич — канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник сектора № 2 отдела № 5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. e-mail: den@kiam1.rssi.ru

Ярошевский Виктор Семенович — канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник сектора № 2 отдела № 5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. e-mail: yarosh@keldysh.ru