Инвариант Кассона для одной серии трёхмерных многообразий

Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 4- С. 56-62.

УДК 515.162.32

ИНВАРИАНТ КАССОНА ДЛЯ ОДНОЙ СЕРИИ ТРЁХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Ф. Г. Кораблёв

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, Россия korablev@csu.ru

Получена явная формула, позволяющая вычислять значения инварианта Кассона для одной бесконечной серии замкнутых трёхмерных многообразий. Эти многообразия получаются в результате рациональных перестроек трёхмерной сферы вдоль трёхкомпонентного зацепления «скрученная цепочка» (twisted chain link). Приводятся результаты вычислений значений инварианта для некоторых конкретных многообразий.

Ключевые слова: инвариант Кассона, трёхмерное многообразие.

1. Предварительные сведения

В 1985 году А. Кассон предложил инвариант для замкнутых трёхмерных гомологических сфер, то есть таких многообразий, у которых первая группа гомо-логий с целочисленными коэффициентами тривиальна (см. [1]). Этот инвариант тесным образом связан с числом классов сопряжённости неприводимых представлений фундаментальной группы многообразия в группу SU(2). В 1990 году К. Уол-кер в работе [2] построил обобщение инварианта Кассона на случай рациональных трёхмерных гомологических сфер, то есть таких многообразий, у которых первая группа гомологий с рациональными коэффициентами тривиальна. Наконец, в 1996 году К. Лескоп в работе [3] построила обобщение инварианта Кассона на случай всех замкнутых трёхмерных многообразий. В дальнейшем под инвариантом Кассона А будет пониматься именно это его обобщение, хотя более корректно было бы называть его инвариантом Кассона — Уолкера — Лескоп. В работе [3] К. Лескоп предложила явную формулу для вычисления инварианта Кассона рациональных гомологических сфер, заданных своими оснащёнными зацеплениями. Опишем эту формулу.

Пусть L = Li U ... U Ln — зацепление в трёхмерной сфере, s = (si,. . . , sn) — рациональное оснащение его компонент. Обозначим через (L, s) рациональную гомологическую сферу, получающуюся в результате перестройки трёхмерной сферы вдоль зацепления L с оснащением s. Введём следующие обозначения:

1. N = {1,... ,n} — множество индексов компонент зацепления L.

2. si = pi/qi, где pi Е Z и qi Е N для всех i Е N.

3. A = (nj) — матрица размера n х n зацепления L с оснащением s. Элемент nij совпадает с оснащением si, если i = j, и с коэффициентом зацепления lk(Li, Lj), если i = j.

Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда (проект № 16-11-10291).

4. а (А) = Ь+(А) — Ь-(Л), где Ь+(А) — число положительных собственных значений матрицы А, и Ь-(А) — число отрицательных собственных значений матрицы А. Положим sign(A) = (—1)Ь-(А).

5. Пусть I С N. Тогда Ь/ — подзацепление зацепления Ь, состоящее из компонент, индексы которых входят в множество I, а Ь/ — подзацепление зацепления Ь, состоящее из компонент, индексы которых не входят в множество I. Аналогичным образом А/ — матрица, составленная из тех строк и столбцов матрицы А, номера которых содержатся в множестве I, а А/ — матрица, составленная из тех строк и столбцов матрицы А, номера которых не содержатся в множестве I.

6. А// — квадратная матрица размера (п — 111) х (п — 111), в которой элемент с

индексами г,] Е N \ I совпадает с элементом п^- матрицы А в случае, когда

г = ], и равен вг + Пкг в случае, когда г = ]. ке/

7. а1(Ь/) — коэффициент при г111+1 в полиноме Конвея для зацепления Ь/.

8. s(a,b) = lE(( k))  ((ka)), где ((x)) = x [x] 2' ^ Х E Z k=i b b 0, если x E Z.

9. Пусть 3 С I, и пусть SJ — множество всех биекций множества {1,..., \ 3 |} на множество 3. Положим

) = ^ пст(1)ст(2)  пст(2)ст(3).....па(^|-1)ст(^|) ' |)ст(1).

10. ©ь(А/) = ^ ЬкеА)  пгд(1)  пд(1)д(2).....п5(|/у|-1)д(|/\J|)  п5(|/у^, где суммирование берётся по всем элементам семейства

2 = {(., г,],д)\3 С I, 3 = 0, (г,]) € ,12,д Е S/\J}.

Г©ь(А/) + ^, если I = {г}, 11 ©(А/) = I ©ь(А/) — 2пгэ, если I = {г,]}, [©ь(А/), если II\ > 2.

Явная формула К. Лескоп для вычисления значения инварианта Кассона А(М) многообразия М = (Ь, в) имеет следующий вид:

A(M ) = s,gn(A).n q,. £ (det A7,,.ai(L,) + det ^-f ' в(А ^ +

+ |Hi(M )|.( + ± ^

Использование этой формулы для практических вычислений затруднительно, так как требует вычисления большого числа слагаемых даже для простых оснащённых зацеплений. Довольно часто более полезной оказывается формула, полученная Дж. Йоханнесом в работе [4]. Его формула связывает значения инварианта Кассона двух многообразий, получающихся перестройкой вдоль оснащённых зацеплений, диаграммы которых отличаются ровно одной двойной точкой.

Пусть L+ = L+ U L2 U ... U Ln и L- = L- U L2 U ... U Ln — два зацепления в трёхмерной сфере, которые допускают диаграммы, совпадающие всюду, кроме окрестности одной двойной точки, образованной дугами первой компоненты этих

зацеплений. Для зацепления эта точка положительная, а для зацепления Е- она отрицательная. Пусть в = (в^ ... , вп) — рациональное оснащение, и пусть многообразие М + = (Е+, в) получается в результате перестройки трёхмерной сферы вдоль зацепления с оснащением в, а многообразие М- = (Е-, в) получается в результате перестройки трёхмерной сферы вдоль зацепления Е- с тем же оснащением в. Основной результат работы [4] состоит в следующем:

l

А(М-) - А(М+) = sign(A)  Д Qi  det

i=i

kb ki2

\ к1п и2п ... вп У

В этой формуле:

1. А = (и^) — матрица зацепления с оснащением в.

2. I — коэффициент зацепления двух петель 71 и 72 компоненты которые начинаются и заканчиваются в двойной точке диаграммы, меняющейся при переходе от к £-.

3. к?2,...,к?п — коэффициенты зацеплений первой петли 71 с компонентами Ь2,... , Ьп соответственно.

k

ki2 s2

k

kin n2n

4. kl2.....k

in

коэффициенты зацеплений второй петли y2 с компонентами

L2, . . . , Ln соответственно.

2. Серия многообразий 73

Пусть n — чётное целое число. Обозначим Ln = Li U L2 U L3 трёхкомпонент-ное зацепление, изображённое на рисунке слева. Будем называть такие зацепления «скрученная цепочка» (twisted chain link). Параметр n задаёт общую сумму индексов двойных точек, образованных дугами диаграммы, принадлежащих одной компоненте зацепления.

Серия 73 состоит из таких замкнутых трёхмерных многообразий, которые могут быть представлены в виде (£п, (в1, в2, в3)), где в1, в2, в3 € О. Многообразия серии 73, отвечающие значению параметра и = 0, подробно исследовались в работе [5]. В той же работе содержится список многообразий, получающихся при выборе некоторых конкретных значений параметров перестройки в1, в2 и в3.

Теорема 1. Пусть М0 = (£0, (в1,в2,в3)) — рациональная гомологическая сфера, где вг = рг/9г для каждого г = 1, 2, 3. Тогда

мл л 8^п(А)  919293 ч. А(Мо) =-2^--Р (в1,в2,в3) +

+ 1 5293^^^ + 1 в(Ръ 51) + 1 ^^ 92) + 1 в(Р3, 93) - ^ (— + — + —

\ 8 2 2 2 24 у 91 92 93

где

А

51 1 1 1 в2 1 1 1 в3

Р(в1,в2,в3) = ( ^^ - 1 9293

1 - А'

9Ь

+

Р1Р3 9193

1

1 - -1

922

+

+

Р1Р2 9192

1

1 - - 2( + Р2 + Р3) - 18.

932 91 92 93

Доказательство. Формула для вычисления значения А(М0) следует из формулы (1) К. Лескоп. В нашем случае зацепление Е = £0 является зацеплением, имеющим номер 63 в таблице Д. Рольфсена (представленной, например, в атласе узлов [6]). Для всех г = 1, 2, 3 коэффициент при гг+1 в полиноме Конвея любого г-компонентного подзацепления зацепления £0 равен 0. Матрица А в условии теоремы — это матрица зацепления £0 с оснащением (в1, в2, в3) при подходящей ориентации его компонент.

Теорема 2. Пусть Мп = (£п, (в1,в2,в3)) — рациональная гомологическая сфера, где и — чётно, и вг = рг/9г для каждого г = 1, 2, 3. Тогда

А(Мп) = А(М0) +

sign(A)  919293  и

2

где

А

в1 1 1

в2 1

в3

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что трёхкомпонент-ное зацепление Сп задано диаграммой, изображённой на рисунке справа (с. 58), причём все и двойных точек образованы дугами его первой компоненты. Формула (2) Дж. Йоханнеса в нашем случае имеет следующий вид:

0 1 0

А(М-) - А(М +) = ^п(А)  919293  ае! | 0 в2 1

1 1 в3

Остаётся заметить, что

0 1 0 ае! | 0 в2 1

1 1 в3.

1

и что если М + = (£п, (в1, в2, в3)), то М = (£п-2, (в1, в2, в3)). Тогда

А(Мп) = А(Мп-2) + sign(A)  919293.

1

С помощью формул, полученных в теоремах 1 и 2, были вычислены значения инварианта Кассона для некоторых многообразий из серии 73. В следующей таблице перечислены некоторые конкретные значения оснащений (31,32,33) зацепления £га, отвечающие им многообразия и абсолютные значения инварианта Кассона этих многообразий. Распознавание многообразий осуществлялось с использованием программы «Распознаватель многообразий» (доступной на ресурсе [7]). Для получившихся гиперболических многообразий указан их объём.

Значения инварианта Кассона для многообразий из серии 73

п/п («1,52,5З) п Многообразие Л

1 (1, 2, 2) -2 (52; (2,1), (3,1), (13, 2), (1, -1)) 2

2 (1, 2, 2) 0 (52;(2,1), (3,1), (7,1), (1,-1)) 1

3 (1, 2, 2) 2 53 0

4 (2, 2, 2) -2 р2;(2,1), (2, -1)) и^ 1 з ^ (£2;(2,1), (5, -7)) 7/4

5 (2, 2, 2) 0 р2;(2,1), (2, -1)) и^ 1 з ^ (£2;(2,1), (3, -4)) 3/4

6 (2, 2, 2) 2 ¿4,1 1/4

7 (1, 3, 3) -2 (£2;(2,1), (2,1)) и^ 1 2 ^ Р2;(2,1), (5, -3)) 2

8 (1, 3, 3) 0 (£2;(2,1), (2,1)) и^ 1 2 ^ Р2;(2,1), (3, -2)) 1

9 (1, 2, 4) -2 (52;(3,1), (3,1), (7, 2), (1,-1)) 25/12

10 (1, 2, 4) 0 (52;(3,1), (3,1), (4,1), (1,-1)) 13/12

11 (1, 2, 4) 2 ¿3,1 1/12

12 (1, 2, 3) -2 (52;(2,1), (4,1), (9, 2), (1,-1)) 2

13 (1, 2, 3) 0 (52;(2,1), (4,1), (5,1), (1,-1)) 1

14 (1, 2, 3) 2 МР 3 0

15 (1, 2, 2) -2 (52; (2,1), (3,1), (13, 2), (1, -1)) 2

16 (1, 2, 2) 0 (52;(3,1), (3,1), (7,1), (1,-1)) 1

17 (1, 2, 2) 2 0

18 (-4, -1/2, -1) -2 Ф40(-1, 3), то/ = 2, 758620160779 5/4

19 (-4, -1/2, -1) 0 ¿11,3 3/4

20 (-4, -1/2, -1) 2 (52;(2,1), (3, 2), (5,1), (1,-1)) 11/4

21 (-4, -1/2, -1/2) -2 0182У(-2, 3), то/ = 5, 477576525666 37/12

22 (-4, -1/2, -1/2) 0 (МР2; (2,1), (3,1), (1, -1)) 11/12

23 (-4, -1/2, -1/2) 2 (52;(3, 2), (3, 2), (5,1), (1,-1)) 59/12

24 (-4,-1/2, 0) -2 (-7, 5), да/ = 2, 527861356518 2

25 (-4,-1/2, 0) 0 ¿13,5 0

26 (-4,-1/2, 0) 2 ¿13,2 2

27 (-3/2, -5/2, -2) -2 0709(-3,1), = 4, 435564445283 4

28 (-3/2, -5/2, -2) 0 МР 3 0

29 (-3/2, -5/2, -2) 2 (52;(3,1), (5, 2), (7, 2), (1,-1)) 4

30 (-3/2, -5/2,-1) -2 0160(1, 2), то/ = 3, 710448773018 4

31 (-3/2, -5/2,-1) 0 ¿13,5 0

32 (-3/2, -5/2,-1) 2 (52;(2,1), (5, 2), (7, 2), (1,-1)) 4

33 (-3/2, -5/2, 0) 0 (МР2; (2,1), (3,1), (1, -1)) 11/12

34 (-3/2, -5/2, 0) 2 ¿24,11 37/12

Результаты вычислений значений инварианта Кассона для многообразий Зей-ферта и линзовых пространств согласуются с результатами, полученными с использованием формулы В. Нейманна и Дж. Уолла из работы [8].

Список литературы

1. Akbulut, S. Casson's Invariant for Oriented Homology Three-Spheres: An Exposition / S. Akbulut, J. McCarthy. — Princeton : Princeton Univ. Press, 1990. — 202 p.

2. Walker, K. An extension of Casson's invariant for rational homology spheres / K. Walker // Bull. of the American Mathematical Soc. — 1990. — Vol. 22, no. 2. — P. 261-267.

3. Lescop, C. Global Surgery Formula for the Casson — Walker Invariant / C. Lescop. — Princeton : Princeton University Press, 1996. — 150 p.

4. Johannes, J. The Casson — Walker — Lescop invariant and link invariants / J. Johannes // J. of Knot Theory and Its Ramifications. — 2005. — Vol. 14, no. 4. — P. 425-433.

5. Martelli, B. Dehn filling of the "magic" 3-manifold / B. Martelli, C. Petronio // Communications in Analysis and Geometry. — 2006. — Vol. 14, no. 5. — P. 969-1026.

6. The Knot Atlas [Электронный ресурс]. — URL: http://katlas.org/wiki/Main_Page (дата обращения 10.10.2016).

7. Atlas of 3-Manifolds [Электронный ресурс]. — URL: http://matlas.math.csu.ru (дата обращения 12.10.2016).

8. Neumann, W. Casson invariant of links of singularities / W. Neumann, J. Wahl // Commentarii Mathematici Helvetici. — 1990. — Vol. 65, no. 1. — P. 58-78.

Поступила в 'редакцию 20.10.2016 После переработки 10.11.2016

Сведения об авторе

Кораблёв Филипп Глебович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; научный сотрудник, отдел алгоритмической топологии, Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург, Россия; e-mail: korablev@csu.ru.

62

r. Kopa6.neB

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 4. P. 56-62.

CASSON INVARIANT FOR A SERIES OF 3-MANIFOLDS Ph.G. Korablev

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia

Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences,

Yekaterinburg, Russia

korablev@csu.ru

An explicit formula is obtained for the calculation of the Casson invariant values for an infinite series of closed 3-manifolds. These manifolds can be obtained as rational surgeries of a 3-sphere along a twisted chain link. For some specific manifolds values of the Casson invariant are calculated.

Keywords: Casson invariant, 3-manifold.

References

1. Akbulut S., McCarthy J. Casson's Invariant for Oriented Homology Three-Spheres: An Exposition. Mathematical Notes, vol. 36. Princeton, Princeton University Press, 1990. 202 p.

2. Walker K. An extension of Casson's invariant for rational homology spheres. Bulletin of the American Mathematical Society, 1990, vol. 22, no. 2, pp. 261-267.

3. Lescop C. Global Surgery Formula for the Casson — Walker Invariant. Annals of Mathematics Studies, vol. 140. Princeton, Princeton University Press, 1996. 150 p.

4. Johannes J. The Casson — Walker — Lescop invariant and link invariants. Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 2005, vol. 14, no. 4, pp. 425-433.

5. Martelli B., Petronio C. Dehn filling of the «magic» 3-manifold. Communications in Analysis and Geometry, 2006, vol. 14, no. 5, pp. 969-1026.

6. The Knot Atlas. Available at http://katlas.org/wiki/Main_Page, accessed 10.10.2016.

7. Atlas of 3-Manifolds. Available at http://matlas.math.csu.ru, accessed 12.10.2016.

8. Neumann W., Wahl J. Casson invariant of links of singularities. Commentarii Mathematici Helvetici, 1990, vol. 65, no. 1, pp. 58-78.

Accepted article received 20.10.2016 Corrections received 10.11.2016