Метод определения начальных напряжений в рулоне при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями

4/2010 М1 ВЕСТНИК

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В РУЛОНЕ ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ

DETERMINATION METHOD FOR INITIAL STRESSES IN A ROLL WITH NON-LINEAR STRESS-STRAIN RELATIONSHIP

В.И. Антонов

V.I. Antonov

ГОУ ВПО МГСУ

В работе предложен метод решения задачи об определении напряжений, возникающих в рулоне к моменту окончания его формирования, в нелинейной постановке. Метод основан на использовании решения аналогичной задачи для анизотропного неоднородного рулона.

The paper gives solution method for the problem of determination stresses in the roll at the end of winding process. Relationship between stresses and strains is assumed to be nonlinear. The method is based on the solution to same problem for linearly elastic anisotropic and inhomogeneous material.

Задача о намотке цилиндра рассматривалась рядом авторов (см., например, [1-4]). Новизна предлагаемой постановки состоит в ее нелинейности. Задача о напряжениях в рулоне не линейна, во-первых, за счёт роста тела рулона и, во-вторых, за счёт нелинейности свойств его материала. Деформационные свойства материала рулона зависят как от свойств материала ленты, из которой формируется рулон, так и от способа его формирования.

В работе [5] получено аналитическое решение задачи об определении напряжённо-деформированного состояния анизотропного неоднородного рулонированного цилиндра. Заметим, что предположения, сделанные относительно деформационных свойств материала рулона, допускают, в том числе, и возможность решения задачи в нелинейной постановке. В самом деле, в процессе формирования рулона каждому промежуточному наружному радиусу сформированной части рулона соответствует определённое распределение напряжений и деформаций по радиальной координате. Задаваясь нелинейной зависимостью между напряжениями и деформациями, можно определить для каждого промежуточного наружного радиуса распределение по координате r величин, характеризующих деформационные свойства материала рулона. В качестве таких величин, как видно из дальнейшего, следует рассматривать некоторые комбинации из модулей упругости и коэффициентов Пуассона.

Удаётся построить решение уравнения равновесия

ВЕСТНИК 4/2010

р

/ a>

p= r/ ; E.. = E.. =1.E.; X. =-y-;

и /r У J' У ' У

/ 'o a>rr Щд - Щд Ogr

й =1 - vjI vu; y = vv+vu vn; иJ, 1 =r ,0, z•

в рядах при довольно общих предположениях, а именно, в том случае, когда функции E у, характеризующие деформационные свойства материала рулона, заданы степенными рядами (или любыми отрезками этих рядов) по степеням координаты р :

от

Ey = a. X У; А = 1; i, У - r,0, z.

n-0

Относительно величин aу и А'П допустим, что они могут зависеть от наружного радиуса рулона или радиуса любой рассматриваемой его части.

Фундаментальную систему решений уравнения (1) будем искать также в виде степенных рядов по степеням координаты ^ :

U,2 =P±V7 X У; s = ^ •

n-0 ar,

Подстановка предполагаемого вида решения в уравнение равновесия приводит к уравнению:

от n

xzi Ar {rnn ±VS ]m

n-0 к-0 [ arr

Приравнивая нулю каждый из коэффициентов при степенях ^ в уравнении (4),

1 2

получаем систему уравнений для определения коэффициентов аП . Эта система уравнений имеет треугольную матрицу, что позволяет получить для вычисления коэффициентов аI'2 рекуррентную формулу:

- mn (mn ± 2y[s ja^'2 =

= ¿ \{mn + )[m (n - к )±y[S \irkr + mk—A[e - s Авкв \ an_k,

к=1 [ arr

причём ao - любое действительное число.

вв 1,2 v '

4/2010

ВЕСТНИК

МГСУ

Наличие аналитического решения задачи об определении напряжённо-деформированного состояния анизотропного неоднородного рулона позволяет предложить достаточно простой в вычислительном смысле метод решения аналогичной задачи при некоторой нелинейной связи между напряжениями и деформациями типа нелинейной упругости или упруго-пластических деформаций. Существенная особенность предлагаемого метода состоит в том что поле касательных модулей, определяемое из нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями, на каждом шаге решения задачи аппроксимируется функциями координаты Г. Это позволяет при определении приращений напряжений в рулоне, возникающих вследствие намотки очередного слоя, вместо нелинейной задачи рассматривать эквивалентную задачу об анизотропном упругом неоднородном цилиндре.

Особый интерес представляет возможность моделирования рулона, сформированного из материала с нелинейными свойствами, неоднородным анизотропным цилиндром. Дело в том, что в ряде технологий сформированные рулоны подвергаются дополнительным нагружениям. Если эти дополнительные нагрузки достаточно малы, то подобная аппроксимация вполне приемлема.

Предлагается следующий численный метод решения нелинейной задачи.

Пусть известно напряжённо-деформированное состояние в рулоне, состоящем из к — 1 слоя. Напряжения, возникающие во вновь наматываемом слое с номером к, могут быть вычислены по формулам, полученным в работе [5]. Эти напряжения выражаются только через известные величины, так как свойства материала ленты, из которой формируется рулон, считаются заданными.

Зная картину распределения напряжений и деформаций по координате р в рулоне, состоящем из к — 1 слоя, полученную на предыдущем шаге решения задачи, с помощью зависимостей — / 1<х.) получаем распределение величин Е. по координа-

те р для данного наружного радиуса рулона рк . (Во многих случаях нелинейность

Поле величин Е,. аппроксимируется отрезками степенных рядов по степеням координаты р вида (2), причём эта аппроксимация распространяется на рулон, состоящий из к слоёв. При помощи формулы (5) определяются коэффициенты рядов (3), задающих фундаментальную систему решений уравнения равновесия (1).

Полученное в работе [5] решение для напряжений в неоднородном анизотропном цилиндре позволяет определить приращения напряжений в рулоне, возникающее за счёт намотки очередного слоя с номером к .

Таким образом, при увеличении рулона на один слой возникающие дополнительные напряжения определяем из решения задачи об упругом неоднородном анизотропном цилиндре. Неоднородность меняется по мере наращивания тела рулона, т.е. с изменением поля напряжений. Поэтому коэффициенты а. и Ап рядов (2) можно считать зависящими от текущего радиуса полу сформированного рулона рк, т.е., в конечном счёте, от поля напряжений в рулоне.

Суммируя приращения напряжений с напряжениями, имевшимися в рулоне ранее, получаем поле напряжений в рулоне, состоящем из к слоёв. В качестве начального рассматривается рулон, состоящий из одного слоя.

свойств материала рулона можно учесть, задавая зависимости Е.. =

ВЕСТНИК 4/2010

Литература

1. Антонов В.И., Кузнецов В.Н. О напряжениях и деформациях, возникающих при намотке рулона из физически-нелинейного анизотропного материала // В кн. Некоторые вопросы расчёта строительных конструкций. М.: МИСИ, 1983, с. 176-192.

2. Победря Б.Е. Механика композитных материалов// М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1984, 336с.

3. Тринчер В.К. О постановке задачи определения напряжённо-деформированного состояния растущего тела // Изв. АН СССР, МТТ, 1984, №2.

4. Тринчер В.К. Теория наращиваемых тел // М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1989, 154 с.

5. Антонов В.И. Начальные напряжения в анизотропном неоднородном цилиндре, образованном намоткой // М.: Вестник МГСУ, 2010, №4.

The literature

1. Antonov V.I., Kuznetsov V.N. About stresses and strains, arising at winding of a roll from a physically-nonlinear anisotropic material // In the book: Some questions of calculation of building constructions. M., MISI, 1983, p. 176-192

2. Pobedria B.E. Mechanics of composites // M.: Pub. of Moscow Univ., 1984, 336 p.

3. Trincher V.K. About setting of the problem of stress-strain state finding for growing body // Bulletin of the USSR Academy of Sciences. Mechanics of Solids, 1984, N2.

4. Trincher V.K. Theory of growing bodies // M.: Pub. of Moscow Univ., 1989, 154 p.

5. Antonov V.I. Determination Method for Initial Stresses in a Roll with Non-Linear StressStrain Relationship // Bulletin MSUSE, 2010, №4.

Ключевые слова: анизотропия, неоднородность, упругость, рулон, намотка, нелинейность, напряжения, растущее тело

Key words: anisotropy, heterogeneity, elasticity, roll, rolling, nonlinearity, stresses, growing body

Тел. 8 916 836 53 65; e-mail: viktant@inbox.ru

Рецензент: Шешенин Сергей Владимирович, доктор физ.-мат. наук, профессор, кафедра механики композитов, МГУ им. М.В.Ломоносова