О применении разрывного метода Галёркина для решения задач однофазной фильтрации в анизотропных средах

ЖАЛНИН Р. В., ЛАДОНКИНА М. Е., МАСЯГИН В. Ф., ТИШКИН В. Ф.

О ПРИМЕНЕНИИ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА ГАЛЁРКИНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОДНОФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ1 Аннотация. В статье описана численная методика для решения однофазной задачи нестационарной фильтрации жидкости в анизотропной среде на основе метода Галёркина с разрывными базисными функциями на неструктурированной сетке. Численная схема рассматривается на примере начально-краевой задачи для двумерной задачи однофазной фильтрации. Результаты расчетов тестовых задач показывают хорошую точность предлагаемого метода.

Ключевые слова: нестационарная фильтрация, уравнения параболического типа, треугольные сетки, разрывный метод Галёркина.

ZHALNIN R. V., LADONKINA M. E., MASYAGIN V. F., TISHKIN V. F.

APPLICATION OF DISCONTINUOUS GALERKIN METHOD FOR SOLVING ONE-PHASE FILTRATION PROBLEM IN ANISOTROPIC MEDIA

Abstract. The article considers the application of discontinuous Galerkin method for one-phase filtration problem in anisotropic media. For the numerical experiment the initial-boundary problem for two-dimensional one-phase filtration is chosen. Calculations of the modeling problems demonstrate a high degree accuracy of the offered method.

Keywords: unsteady filtration, parabolic equations, triangle grid, discontinuous Galerkin method.

1. Постановка задачи

Рассмотрим в общем случае фильтрацию жидкости в анизотропной среде. В работе [4] было показано, что абсолютную проницаемость можно представить как тензор второго ранга, его свертка с градиентом давления - есть скорость фильтрации, с точностью до множителя (вязкость жидкости):

k'j дР п\

^ CXj

где - тензор проницаемости.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 14-01-31260 мол_а).

Учитывая уравнение неразрывности для жидкости в пористой среде [2; 5] и (1) получим:

д(рш) d | kij dp

dt dx,

Л dxj

= w,

где p - давление, m = m(p) - пористость, р = р(p) - плотность жидкости, w -распределенный источник массы. Пусть плотность жидкости и пористость связаны с

1 др dm

давлением следующими соотношениями:--= const = C f, — = const = Cm, где Cf, Cm -

р dp dp f

коэффициенты изотермической фильтрации. Тогда уравнение (1) можно переписать относительно давлений [6]:

и(сш + mCf )— ——

m f' dt dx,

V j dXjу

= w.

Уравнение (3) является в общем случае нелинейным в связи с зависимостью пористости от давления, однако в [6] показано, что если в качестве пористости рассматривать пористость при начальном пластовом давлении ш0, которая не зависит от давления, то это не внесет больших погрешностей, а уравнение (3) становится линейным.

¡¡Cm + mo Cf )dp

dt dx,.

j dx

= ч>.

V ""} J

Данное уравнение принято называть уравнением пьезопроводности. Оно описывает изотермическую фильтрацию однофазной жидкости на упругом режиме. Уравнение, впервые полученное для однородного случая в [6] по виду совпадает с уравнением, описывающим распространение тепла. Классические модели интерпретации гидродинамических исследований скважины [7] связаны с решением именно этого уравнения.

2. Описание численного алгоритма на основе разрывного метода Галёркина Зададим множество точек р = {Р = (х-,У-,V = 1,2,....Д} в области расчета,

которое содержит внутренние и граничные точки области. Для ф произведем

триангуляцию Делоне: Т(фр) = {Тк = Г(Т1,Гк2,Т3к)ЛТ2 Т ефр,к = \2,...Щ.

В треугольнике Тк с вершинами в точках Т/ : , у1}, Тк : {х2, у2}, Т^ : {х3, у3} определим

/ \ х + X + X У + У-> + У?

центр (хс, ус): хс = -1-±-^ Ус = „2 .

Производные второго порядка не могут быть согласованы напрямую в слабой вариационной формулировке, используя пространство разрывных функций. Следовательно, для решения уравнения (4) с помощью разрывного метода Галёркина [3] введем

вспомогательные переменные [9]:

ф фЛ

кхх — + к —

дх ху ду

С = —

, др др кух — + к —

V УХ дх уу ду у

И

Тогда уравнение (4) можно переписать в виде: (Ст + т0С, )дР + +д

сх + — соУ = ч>. дг дх у

ду

сх =-

Су = —

ух

дР + К дР Л

дх ху ду у

дР + кт, дР Л

дх уу ду у

В каждом треугольнике Тк е Т(ср) приближенное решение (5) будем искать в виде проекции р и вспомогательных переменных на пространство полиномов Рх(х, у) первой

степени в базисе {< }е Р1, г = 0,2, <р0 = 1, р1 =

у—у ( \ <2 = , где 1хс, ус) - центр

Ах Ду

треугольника Тк, Дх, Ду - проекции треугольника на оси координат.

В каждой ячейке линейная комбинация базисных функций будет определять решение:

Рк = Рок + Рц-

Схк = Сх0к + Сх1к

Сук = Су0к + Су1к

Дх

Ах

+ Р2к-

+ с.

Ду

(у—ус ) Ду

2к

Рк = Ргк(г), (x, у) е Тк, г = 0,2,

(г), (х, у) е Тк, г = 0,2,

Схгк = Схгк '

^ + сг,(y-yc^, Сук =Сук(г), (х,у)еТк, г = 0,2,

Дх у2к Ду

Определим коэффициенты разложения Рк ,юхк,юук из условия ортогональности невязки пробным функциям рi на каждом треугольнике Тк [10]:

2 дРк Г „ ,0 . Л - ^ . Г- Л _ ^ г д<т

[и^Ст + m0Cf )]к Е \pPmdS + |ПхСхРтМ + |ПуСу<тМ — |с

г=0 д Тк дТк дТк Тк

— ¡Сук = \т = 0,2.

Тк

—

Т * ду

хх

Т

к

X f^9mdS =- f nxkxxp9mdl - f nykxypVmdl + f pk ^^^^ dS + f pk ^^^ dS ,

i=0 T 3Т4 3Т4 T 8x r 8

m = 0,2,

8

Z-yik f ^mdS = - f nxkyxPPmdl - f nykyyPPmdl + f Pk -dS + f Pk -dS

i=o r 3^ 3r r 3X T 3y

т = 0,2,

Потоковые значения величин на границе ячейки предлагается вычислять аналогично тому, как это сделано для уравнения теплопроводности [8], используя стабилизирующие добавки. Для вычисления потоковых значений внутри расчетной области имеем:

Фх (р + ,фх + , Р " ,фх " , С1 (р + - р 'Ух ,

ф+ + ф-

y (р + ,фу + , P " ,фу^ , п) = Фу 0 ^ - C1 (p + - P "К

+

р=р - р, 2

на границе расчетной области брались следующие значения: ß)x(р + ,ах +,п)=а+х -Ci(р + -g)пх,

у(р + ,фу +,п)=^+у -Ci(P + -gК, р) = g,

где р ,о>- ,о>- - значения величин из ячейки, для которой нормаль п является

внутренней, р+- значения величин из ячейки, для которой нормаль п является

внешней, g - граничное условие Дирихле, С брали порядка 0(1/ h), где h - диаметр ячейки.

3. Примеры расчетов Была рассмотрена первая краевая задача: 8u

— + divW = 0, r е D, 8t

W = -K)Vu,

wLo = sin(^x)sin(^y), U 8D = 0,

где область D представляет собой единичный квадрат на плоскости OXY с координатами вершин (0;0), (0;l), (l;0), (l;l). Матрица тензора проницаемости симметричная

- (a 0 ^

положительно-определенная. Тензор проницаемости имеет диагональный вид К =

^ 0 Ъ

где a и Ь постоянны на всей области D. Методом разделения переменных можно найти точное решение задачи: U = $т(ях )вт (пу )ехр [— ^ + Ь)л2 г ]. В первом случае коэффициент

проницаемости брали K =

Г1 0^ , (2 0Л

V0 1У

во втором равным K =

V0 1У

. На рисунках показан

модуль разности между численным и точным решением в центре ячеек расчетной области.

Рис. 1. Случай 1, г = 0.1

5,136е-11

4,5е-11

3,6е-11

2.7^11

1,8е-11

9 ©-12

1 .030е-14

Рис. 2. Случай 1, I = 1.0

Error _2,157&-04 ^0.0002

I 7 ДЧК 1 н Е0.00016 =0.00012 = 8е-5

^V / ; =4е-5 =4.392е-08

Рис. 3. Случай 2, t = 0.1

Error

=3.700е-15

- Е3.2е-15

1 Е2.4е-15

Е1 .бе-15

1 V-^B : —

ЕВе-16

-0.000е+00

Рис. 4. Случай 2, t = 1.0

Выводы

Результаты расчетов показали возможность применения описанного в данной работе численного алгоритма для решения задач однофазной фильтрации в анизотропных средах разрывным методом Галёркина.

ЛИТЕРАТУРА

1. Масягин В. Ф., Жалнин Р. В., Тишкин В. Ф. О применении разрывного конечно-элементного метода Галёркина для решения двумерных уравнений диффузионного типа на неструктурированных сетках // Журнал Средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 15, № 2. - C. 59-65.

2. Кондауров В. И. Механика и термодинамика насыщенной пористой среды: Учебное пособие. - М.: МФТИ, 2007. - 310 с.

3. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина / Пер. с английского. -М.: Мир, 1988. - 352 с.

4. Хасанов М. М., Мукминов И. Р., Бачин С. И. К расчету притока жидкости к скважинам, работающим в условиях локального разгазирования // Нефтепромысловое дело. - 2000. - № 8-9. - С. 2-9.

5. Чарный И. А. Подземная гидромеханика. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006. - 436 с.

6. Щелкачев В. Н. Основы и приложения теории неустановившейся фильтрации: Монография: В 2 ч. - Ч. 1. - М.: Нефть и газ, 1995. - 586 c.

7. Эрлагер Р. Гидродинамические исследования скважин. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. - 512 с.

8. Arnold D. N., Brezzi F., Cockburn B., Marini L. D. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2002. -Vol. 29. - pp. 1749-1779.

9. Bassi F., Rebay S. A High-Order Accurate Discontinuous Finite Element Method for the Numerical Solution of the Compressible Navier-Stokes Equations // J. Comput. Phys. -1997. - Vol. 131. - pp. 267-279.

10. Cockburn B., Shu C.-W. Runge-Kutta Discontinuous Galerkin Methods for Convection-Dominated Problems // J. Sci. Comp. - 2001. - Vol. 3. - pp. 173-261.