Адаптация метода сингулярного спектрального анализа для прогнозирования временных рядов электропотребления

УДК 519.711.3

АДАПТАЦИЯ МЕТОДА СИНГУЛЯРНОГО СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ЭЛЕКТРОПОТРЕБЛЕНИЯ

© 2008 г. И.И. Надтока, О.А. Корнюкова

При участии в торгах на оптовом рынке электроэнергии и мощности (ОРЭМ) предприятие ОАО «Энергосбыт Ростовэнерго» должно иметь прогнозные суточные графики электропотребления с упреждением двое суток, при построении которых остро встает задача увеличения точности прогноза на обозначенный период времени. С этой целью необходимо совершенствовать существующие прогнозные модели. Отметим, что увеличение точности прогноза ведет к снижению стоимости потребляемой на ОРЭМ электроэнергии.

В случае представления процесса суточного электропотребления P(t) в виде аддитивной модели

P(t) = PD (t) + PR (t), где PD (t) - детерминированная составляющая процесса, PR (t) - случайная составляющая процесса, прогнозирование электропотребления в целом может быть сведено к раздельному прогнозированию детерминированной и случайной составляющих.

Информация для прогнозирования процесса электропотребления P(t) базируется на архивах суточных

часовых замеров мощности, поступающих из оперативно-измерительного комплекса, в составе которого формируются суточные ведомости в виде текстовых файлов, а также данных о часовых расходах электроэнергии, получаемых из автоматизированной информационно-измерительной системы коммерческого учета электроэнергии (АИИСКУЭ). Следовательно, за сутки имеется два вектора: вектор данных телемеханики PT(tz-) и вектор данных АИИСКУЭ PA(tt), i = 1, 2 ,...,24.

Для прогнозирования электропотребления широко применяются математические методы, которые позволяют находить существующие закономерности изменения процесса P (t): метод главных компонент

(МГК) [1,2], модели нейронных сетей [3]. К числу используемых для прогнозирования математических методов относится метод сингулярного спектрального анализа (Singular Spectrum Analysis - SSA). Метод SSA и МГК позволяют отделить в процессе электропотребления P(t) детерминированную составляющую

PD (t) от случайной PR (t) на основе анализа собственных значений X t. Однако в методе SSA процесс декомпозиции идет эффективнее, что связано со свойствами корреляционной матрицы, получаемой из тра-

екторной матрицы X, которая используется при сингулярном анализе [4].

На рис. 1 представлен график логарифмов собственных значений X {(I = 1... Ь, Ь < N12, Ь - длина

окна, N - количество значений в ряде Р (t), по которым осуществляется прогнозирование) сингулярного разложения 8 = X • X Т траекторной матрицы. Исходная траекторная матрица X (Ь = 24) строится по временному раду FN = (f2,..., _ь+2^.^ ^) (N = 672), элементами которого являются значения мощности р( ^), которыми характеризуется процесс электропотребления Р^) за период с 31.01.2007 г. по (среда) по 27.02.2007 г. (четверг)) (28 суток).

Каждым суткам в ряде FN поставлены в соответствие 24 точки. На представленном графике прослеживаются два скачка между значениями (I = 1) _ (I = 2) и (I = 5) _ (I = 6), которые отделяют трендовую составляющую ряда Fтр от гармонической Fгр и гармоническую от случайной FR . Через введенные обозначения детерминированная составляющая выражается следующим образом: FD = Fтр + Fгр .

На графике собственные значения X1 ... X ь , взяты в убывающем порядке (X1 >... >XЬ), d = тах (/, X^ > 0).

1п

24

22

20

18

16

14

12

10

-I-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-Г"

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 Номер собственного значения

Рис. 1. Собственные значения сингулярного разложения траекторной матрицы X

В соответствии с методологией SSA [5] вводятся понятия ранга ряда и рядов конечного и бесконечного рангов.

Пусть 0 < d < L , тогда ряд FN

имеет L -ранг d , что записывается следующим образом:

rank L

Очевидно, что последнее равенство может быть справедливым только если d < min(L, K), где K = N - L +1. Если равенство (1) имеет место для любого допустимого L , то говорят, что ряд Fn имеет ранг d и называется рядом конечного ранга, в противном случае ряд FN рядом конечного ранга не является.

В [5] описывается алгоритм прогноза временных рядов на неограниченное число шагов, базирующийся на решении системы линейных уравнений для рядов конечного ранга (d < L ). Авторами были изучены

разнообразные выборки рядов электропотребления F(t) для потребителей Ростовской области при различных периодах анализа N (от недели до года) во временном диапазоне 2000 - 2006 гг. Проведенный анализ показал, что ряды FN не являются рядами конечного ранга, так как d = L при любой длине окна L . В этом случае указанный выше алгоритм прогнозирования неприемлем и исходный ряд FN может

быть полностью восстановлен только по полному набору сингулярных троек, в то время как использование для воссоздания рядов неконечного ранга определенного поднабора сингулярных троек позволяет отобрать только наиболее информативные сингулярные тройки.

Для восстановления ряда электропотребления логично взять первые пять сингулярных троек

(д/х7,U 1,V1 ,U5,V5) (sfk~ - i -е сингулярное

число, Ui - i -й собственный вектор, Vi - i -й факторный вектор), соответствующих детерминированной составляющей ряда FD . Остальные сингулярные

тройки (JT6 ,U 6,V6 ,U 24,V24 ) относятся к

случайной составляющей FR и их прогноз осуществляются с применением моделей одномерных временных рядов: AR, ARIMA, ARMA и др. либо остаточной векторной составляющей £ = (Ç1, Ç2, ..., Ç24)T ,

которая рассчитывается по результатам апостериорного прогноза каких-либо предыдущих суток [2] :

Ç

= F (k ) N реал

-F

j N

(k) прог j

наблюдения, F

N j

реал J

- реальное значение ряда FN

соответствующее элементу с индексом k • 24 + у ; FN) - прогнозное значение ряда FN , соответствующее элементу с индексом k • 24 + у ;

Рассмотрим систему линейных уравнений, составленную для первых пяти собственных векторов и 2 ^ и 5 (т = 5) сингулярного разложения траектор-ной матрицы X:

1) =

Ihu !j ' =f

j=1

I hU j = f

N

j=1

где h = (h1, h2, h3, h4, h5)T - решение системы (3). Введем следующие обозначения:

где u =(и

U =

u х _Г и* ^ V u У ,

> 43) 44), 45))

' и f) (2) и1 ••• и (5)^1

и 21 (2) и2 ••• и (5) 2

,

L-1 У

QT =(Чг ) L=1 =( fN-L+ 2 , - , fN )T ; h = (h1, h2, h3, h4, h5) .

В обозначениях (4) - (6) система (3) запишется так: U h = Q или

U * T U * h = U *T Q.

С учетом (7) можно записать следующую формулу для прогноза fN+1:

fN+1 = u (U *TU * )-1

U *T Q

в выражении (2) k - номер суток апостериорного прогноза, 1 - номер замера мощности р у ^х суток

С использованием формулы (8) был осуществлен прогноз для группы потребителей ОАО «Энергосбыт Ростовэнерго» на 48 точек вперед (двое суток - 28 февраля 2007 г. (среда) и 1 марта 2007 г. (четверг)). Причем первые из прогнозируемых суток были использованы в качестве базовых для получения остаточной векторной составляющей £, которая затем использовалась при прогнозе вторых суток. На рис. 2 представлены результаты прогноза графика почасового электропотребления на 1 марта 2007 г. (локальная ошибка прогноза 5 ^ в точке (/ = 1,2, ...,24) находится в диапазоне от 0,1 до 2 %).

и

5

Рис. 2. Применение модифицированного метода SSA для прогнозирования регулярного суточного графика электропотребления (1 марта 2007 г.): 1 - реальные данные почасового процесса электропотребления Р2 - прогноз процесса Р(1) без учета остаточной составляющей Е; 3 - прогноз процесса Р(^ с учетом остаточной составляющей Е

Выводы

1. Временной ряд часовых значений мощности потребителей Ростовской области имеет годовые и недельные циклы сезонности и не является рядом конечного ранга, поэтому для прогноза значений ряда необходимо применять модифицированные математические методы, которые в базовой версии предназначены для работы с рядами конечного ранга.

2. Предложенная в статье модификация метода ББА позволяет получить суточный прогноз для регулярного типа суток на контрольной выборке точек с погрешностью не более 2 %, что полностью соответствует требованиям, предъявляемым к краткосрочным прогнозам.

Литература

1. Гурский С.К. Адаптивное прогнозирование временных рядов в электроэнергетике. Минск, 1983.

2. Надтока И.И., Седов А.В. Системы контроля, распознавания и прогнозирования электропотребления: модели, методы, алгоритмы и средства. Ростов н/Д., 2002.

3. Демура А.В. Краткосрочное прогнозирование суточных

графиков нагрузки на основе искусственных нейронных сетей // Изв. вузов. Электромеханика. 1998. № 2, 3. С. 69-71.

4. Надтока И.И., Сухомлинова О.А. Свойства собственных векторов корреляционных матриц в методах главных компонент и сингулярного спектрального анализа // Кибернетика электрических систем: Материалы XXVII сессии семинара «Электроснабжение», Новочеркасск, 27-29 сент. 2005 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Ред. журн. «Изв. вузов., Электромеханика», Новочеркасск, 2006. С. 189-190.

5. Сухомлинова О.А. Моделирование процесса электропотребления при краткосрочном прогнозировании методами ортогональных разложений: Автореф. дис. ... канд. тех. наук. Ростов н/Д., 2005.

Южно-Российский государственный технический университет

(Новочеркасский политехнический институт) 11 марта 2008 г.