Взаимодействие частиц различной формы с несущим континуальным потоком газа (обзор)

Том ХЬV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 5

УДК 532.529.6

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ С НЕСУЩИМ КОНТИНУАЛЬНЫМ ПОТОКОМ ГАЗА

А. В. КАШЕВАРОВ, А. Л. СТАСЕНКО

Дан обзор и краткий анализ мировой литературы, посвященной теоретическому и экспериментальному исследованию обмена массой, энергий, импульсом и моментом импульса между отдельной твердой частицей и обтекающим газом. В качестве «базового» рассмотрен наиболее полно исследованный частный случай шаровой частицы. Следующим шагом в усложнении формы является сфероид (сплющенный или вытянутый эллипсоид). Данные о частицах «нерегулярной» формы наиболее скудны. Рекомендованы самые последние и наиболее тестированные выражения для коэффициентов лобового сопротивления, подъемной силы, тормозящего и опрокидывающего моментов, а также числа Нуссельта в функции обычного и «вращательного» чисел Рейнольдса и числа Прандтля. Представленные данные могут быть использованы при исследовании проблем обледенения летательного аппарата в капельно-кристаллических облаках, отказов двигателей в зонах газопылевых вулканических выбросов, засорения каналов датчиков полного давления (измерителей скорости полета) частицами природного происхождения в окрестности аэродромов, оптимизации технологии пескоструйной обработки поверхностей.

Ключевые слова: сферические и несферические частицы, аэродинамические коэффициенты, тепломассообмен.

Теоретические и экспериментальные наземные и летные исследования обледенения элементов конструкции летательных аппаратов в переохлажденных облаках проводятся в течение десятков лет (см., например, [1 — 5]). Среди многочисленных проблем физико-математического моделирования обледенения тела в переохлажденном потоке, содержащем частицы конденсированной воды, в последнее время обозначилась проблема взаимодействия тела с кристаллической фазой. Для внешнего обтекания эта фаза не представляет опасности в плане обледенения, так как частицы льда отскакивают при соударении с холодной поверхностью. В случае течения в каналах двигателей, где происходит плавление ледяных частиц и их прилипание к теплой стенке, изучение влияния кристаллической фазы на обледенение выступает на передний план.

Естественно, что первым шагом здесь является описание «элементарного» акта взаимодействия отдельного кристалла льда несферической формы с несущим потоком перед столкновением с поверхностью твердого тела. Различные режимы такого взаимодействия характеризуются широким диапазоном значений определяющих параметров. Число Рейнольдса может изменяться от значений, соответствующих ползущему обтеканию мелких частиц в пограничном слое воздуха, до нескольких тысяч. Отношение температур несущего потока и кристалла льда может достигать нескольких единиц в горячих участках двигателя. Размеры

КАШЕВАРОВ Алексей Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент, начальник сектора ЦАГИ

СТАСЕНКО Альберт Леонидович

доктор технических наук,

профессор, главный научный сотрудник ЦАГИ

частиц в переохлажденных капельно-кристаллических облаках варьируются в пределах от микронов до миллиметров.

Интерес к несферическим частицам в авиационной науке оживился не только ввиду отказов двигателей самолетов на высоте ~10 км, где встречаются в основном кристаллы льда [6], но и из-за ошибочных показаний скорости датчиками давления, засоряемыми на небольших высотах частицами природной целлюлозы (тополиным пухом) [7].

Итак, под упомянутым (в заглавии настоящего обзора) взаимодействием понимается обмен частицы с несущим газом импульсом, энергией и массой. Потоки этих физических величин пропорциональны разностям соответствующих «потенциалов»:

Рд = 2 СпРпа2 |У - Ур|

= 2паХШи

йш = 2яарДЯМ^ - ет).

Здесь ¥д — сила сопротивления; Со — коэффициент сопротивления; р — плотность несущего газа; а — радиус частицы; У и Ур — скорости газа и частицы (индекс р); Qт — суммарный поток тепла к частице, вызванный разностями температуры Т газа и Тр частицы; X — коэффициент теплопроводности газа; № — число Нуссельта; Qш — поток массы водяного пара (индекс V) к частице, вызванный разностью концентраций пара ^ = р^р в потоке и в условиях насыщения (индекс Ду, — коэффициент диффузии пара в несущем газе; — число Шервуда.

Множитель ©, входящий в выражение для интенсивности межфазного теплообмена Qт, учитывает влияние конечной теплопроводности материала частицы, которое может быть заметным для плохо проводящих диэлектрических частиц.

В общем случае к силе сопротивления могут быть добавлены силы Архимеда, Бассе («функция памяти») и сила инерции, связанная с присоединенной массой, например [8, 9]. Однако в аэрогазодинамических приложениях, когда плотность материала частицы много больше плотности несущего газа, этими силами можно пренебречь. Соответствующие оценки сделаны, например, в [10].

Коэффициент сопротивления Со, критерии Ки и зависят не только от чисел Рейнольдса Яе, Прандтля Рг и Шмидта 8с

Яе = 2ар1у-ур I ; рг =МСр; §с = ,Ц

Ц X рД

где ц и Ср — динамический коэффициент вязкости и удельная изобарическая теплоемкость несущего газа, но и от формы частицы.

Эти зависимости и составляют предмет настоящего обзора. Соответствующие данные для сферических частиц считаются хорошо известными, например [9], и рассматриваются здесь в качестве «опорных».

Вследствие сложности описания динамики таких частиц в теоретических исследованиях и при интерполяции экспериментальных данных в качестве «опорных» принимаются выражения для сферической частицы с последующим введением различных поправочных множителей, учитывающих особенности формы реальных частиц.

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ С ГАЗОМ

Предположение о сферичности твердых частиц наиболее часто принимается при описании двухфазных потоков. К настоящему времени накоплен обширный материал о физических процессах, влияющих на динамику и теплообмен таких частиц с несущей средой [11 — 13]. В работе [14] сделана попытка учесть полный набор этих физических явлений, полученная синтетическая модель использована в численных исследованиях [15]. Ниже кратко описаны основные особенности этой модели.

Существуют многочисленные кусочно-непрерывные интерполяции коэффициента сопротивления шара при различных режимах его обтекания (например, [13]), неудобные для массовых вычислений. В [15] использована простая формула, состоящая из множителей, каждый из которых зависит от одного аргумента. При малых числах Маха М 1 она принимает вид:

24 _4_4

Яе Яе1

^ =|— + + См Ь .

Здесь в скобках — «стандартная кривая» коэффициента сопротивления, где учтены как сила Стокса (для которой Ср ^ 24/Яе при Яе ^ 0), так и сила Ньютона, пропорциональная СN = 0.42 для воздуха в качестве несущего газа.

В работе [16], где экспериментально исследована интерференция вращательного и поступательного движения шаровой частицы, показано, что коэффициент силы сопротивления Ср должен быть умножен на

^ = 1 + кп Яе,3, кв = 0.072 ± 0.013. Здесь Яе» = р<3р | ю - ю | /ц — «вращательное» число Рейнольдса.

Как известно, на вращающуюся с угловой скоростью юр частицу, обтекаемую газом,

действует сила Магнуса, пропорциональная векторному произведению относительных вращательной и линейной скоростей:

1

3 . V р , V р , м; 2

^ = Т пра3 (ю - юр) х (V - V )См, ю = - (Ух V).

На основе экспериментов для коэффициента силы Магнуса См в [17] предложена следующая интерполяция:

См = Г^[0 45 + (2 у» - 0.45)ехр(-0.075у«4 Яе0 7)], 2у» > 0.45, 8 У»

куда входит не только число Яе относительного движения частицы, но и отношение ее относительных экваториальной и поступательной скоростей

У» IV - V

р

При сравнительно «медленном» вращении 2у» < 0.45 экспериментальная интерполяция дает классическое значение [18]

См =3/4.

Сила Магнуса должна быть добавлена к силе в (1).

Изменение момента импульса вращающейся частицы в несущей среде описывается уравнением

йю 1 5 I I

3-— = — а5р ю - ю „ (ю - ю „)С.,..

Здесь 3 = (2/5)та2 — момент инерции шаровой частицы.

Коэффициент демпфирования вращения при континуальном обтекании Сю подробно исследован в [19], где приведено сравнение теоретических и экспериментальных результатов, полученных различными исследователями в течение полувека. В результате предложена формула

С.=-^ + ,

коэффициенты которой даны в виде кусочно-постоянных функций от числа Яею .

В [15] предложены более удобные гладкие зависимости, хорошо интерполирующие эти результаты:

а = 2п 2 , Ь = 16п - 6п 2 , г = ' Яе

1 + г 1 + г ^ 4п

Из приведенных соотношений при Яею ^ 0 (ползущее движение) имеем Са ^ 16п/Яеш , при Яею » 1 (погранслойное приближение) 2 п .

Как показано в [16], коэффициент вращательного момента необходимо домножить на

= 1 + кюТяё, ка = 0.0046 ± 0.0007.

Число Ки, входящее в (2), определяется в виде:

Ш = /т (2 + 0.459Яеа55Рг033).

Здесь учтена возможность сильного отличия температур газа и частицы, которая (для случая степенной зависимости теплопроводности газа от температуры с показателем степени в) приводит к множителю /т:

1 т Р+1 - Тв+1

/т = Р

в +1 (т - Тр) трв

Множитель © в (2) равен © = 1/[1 + №дА, / (10А,р)], где Хр — коэффициент теплопроводности частицы.

Температурная зависимость силы, действующей на шар, медленно движущийся в газе, исследована в [20]. При теоретическом исследовании коэффициентов взаимодействия используют аналитические и численные решения уравнений Навье — Стокса. Если число Яе ~ 1, М 1,

а частица слабо нагрета, то справедливы уравнения Навье — Стокса для несжимаемой жидкости. В [20] показано, что если при этом частица сильно нагрета (охлаждена), то необходимо учитывать не только переменность плотности и коэффициентов переноса газа, но и температурные напряжения в уравнении импульса.

ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ

Поскольку процесс кристаллизации порождает необозримое количество форм частиц, целесообразно выбрать небольшой набор параметров, описывающих их отличие от сферы. В качестве такого набора предложены:

1) Диаметр объемно-эквивалентного шара

= (6Жр/ п)1/3,

где Жр — объем несферической частицы.

2) Коэффициент сферичности [21 — 23]

Ф = П2/ Л,

где А — площадь поверхности несферической частицы, 0 < Ф < 1.

3) Для сфероидов вводится отношение характерных размеров Е и эксцентриситет е:

Е = , е = [1 - шт^Е"1)2]1/2.

Различают сплющенные и вытянутые сфероиды, у которых Е < 1 и Е > 1, соответственно. Введенные таким образом определения Ф и Е связаны друг с другом следующими соотношениями:

Ф = 4E2

/3

3 E\ 1 + е ^ 2 +-ln-

-1

E < 1;

е 1 - е

\ у

Ф = 2Е2/3 (1 + Е агс8т е / е )-1, Е > 1.

4) Для частиц неправильной формы вводятся дополнительные характеристики: поперечная и продольная сферичности [24 — 26]

Ф±=лгр2/ А±, Фу=лг2/(А/2-4),

где А^ — площадь проекции частицы, перпендикулярная потоку; А|| — параллельная направлению потока; Гр = ар/2.

Для сферических частиц Ф^ = Ф|| = 1. В табл. 1 даны эти параметры для нескольких видов частиц правильной формы (а — диаметр, I — длина).

Таблица 1

Форма частицы Ф Ф±

Куб (произвольной ориентации) Шестигранник (— // —) Тетраэдр (— // —) Шар Диск или цилиндр с осью, перпендикулярной потоку « 0.8 « 0.85 « 0.67 1 181/з 12/3d1/3 d + 2l « 1 « 1 « 1 1 < 16 r (d r

Диск или цилиндр с осью вдоль потока 181/3 l2/3d1/3 d + 2l (l Г (d Г

Для характеристик нерегулярных частиц вместо параллельной и перпендикулярной сферичности используется коэффициент

C = d d / d 2 m ' min '

включающий три характерных размера (dmed — средний размер). Некоторые приближенные значения этого коэффициента даны в [27]. Так, для гладких округлых форм Ст = 1.2; для угловатых частиц Ст = 2; для раздробленных частиц с острыми углами Ст = 6.

В случае ползущего обтекания несферических частиц «опорным» является выражение для силы Стокса, так что

FDi = 6nrp - Vp ) fij ,

где /у — безразмерный симметричный тензор, зависящий только от формы частицы (для сферы

/ = 8/у).

В случае сфероида, обладающего плоскостями симметрии, удобно ввести перпендикулярный / и параллельный/ поправочные множители:

= бпгД-\р)у+ /±(V -\р)±] .

Сюда вошли компоненты относительной скорости, параллельной и перпендикулярной оси симметрии частицы. Заметим, что если обе компоненты не равны нулю, то сила взаимодействия с газом не параллельна вектору разности скоростей. Таким образом, ДЪ состоит из «силы сопротивления» и «подъемной силы», перпендикулярной вектору V — Vp.

В табл. 2 даны поправочные множители для сфероидов [25].

Таблица 2

Форма сфероида fl fl

Сплющенный Е < 1

(точное выражение) E + (i - 2E2) arccos E /Vi - E2 E - (3 - 2E2) arccosE / л/i - E2

Вытянутый Е > 1

(точное выражение) E - (2E2 - i)ArshE / VE2 - i E - (2E2 - 3)ArshE / VE2 - i

Сплющенный 0.25 < Е < 1 Вытянутый б > Е > 1 (приближенно) (4+E) E-и (4+¥) e-и

Диск Е < 0.25 A e-i/3 3n 16 E-i/3 9n

Игла Е > б (2 / 3)E2/3 ln(2E) - i / 2 (4 / 3)E 2/3 ln(2E) - i / 2

Если все ориентации частицы равновероятны, можно получить среднюю аэродинамическую

силу

< > = блцгДУ - Vp) < fE >,

где 3/ < /Е > = 2/ + 1/

Используя соответствующие соотношения из табл. 2, получим следующие формулы для среднего значения поправочного множителя:

' л/i - E2

< fE > =

Ei/3 arccos E'

E < i,

4Ё2-

i

Ei/3ln(E WE2 - i)'

E > i.

В [24] поправочный множитель </ > = /¡Ьаре в силе Стокса (3) учитывает ориентацию частицы по отношению к потоку и равен

./Shape

i

3Ф1/2 3ФЦ2 '

В [2б] предложена аналогичная формула, в которой Ф^. заменено на Ф||. Учтен известный факт, что одна треть силы сопротивления сферы составляет «сопротивление формы», а две трети — «сопротивление трения». Эти соображения приблизительно верны для частиц, «слабо отличающихся» от сферы, в частности, для изометрических частиц с одинаковыми характерными размерами (куб, октаэдр, тетраэдр,...) [22], но неприменимы для частиц с большим и малым отноше-

нием характерных размеров [21].

Для частиц неправильной формы более подходит формула, полученная осреднением по множеству ориентаций и размеров частиц [25]:

f _ с0 09

-/shape m

В течение последнего десятилетия предложен ряд пригодных для практики представлений для коэффициента сопротивления несферических частиц (см., например, работу [25] и библиографию в ней). Одной из широко используемых интерполяций является формула из [23]:

24 c

CD = —(1 + a Re b) +-r,

D Re 1 + d Re-1

где

a = exp(2.3288 - 6.5481Ф + 2.4486Ф2), b = 0.0964 + 0.5565Ф , c = exp(4.905 - 13.8944Ф + 18.4222Ф2 - 10.2599Ф3), d = exp(1.4681 + 12.2584Ф - 20.7322Ф2 + 15.8855Ф3).

Аналогично поправочному множителю fShape, вводится коэффициент формы

C = CN / C N

^shape ^Dshape ' Dsphere '

где CDsliape и CNphere — ньютоновские коэффициенты для частицы и объемно-эквивалентной сферы.

Еще раньше [22] были предложены более простые выражения CD =—[1 + 0.15Re0'687]- 042

Re* ' 1 + 42500 / Re116

для частиц с приблизительно круговым сечением и

24 0.42

CD =—[1 + 0.035 Re 074] 0

D" Re* * J 1 + 33 / Re!°.5

для частиц с произвольным поперечным сечением.

Здесь введены нормализованные значения

CD = CD / Cshape , Re* = Cshape Re/ /shape .

Недавно в [26] предложена новая корреляция, основанная на аппроксимации экспериментальных данных для частиц различной формы:

CD + + -+ 04211004

D Re^/ф ReVO Лф3/4 Ф±

В первом члене Ф||, согласно [26], может быть заменено на Ф^. Точность интерполяции составила ~14%.

Значительно меньше работ посвящено исследованию «подъемной силы» и момента сил, действующих на несферическую частицу.

В работе [28] вычислены коэффициенты сопротивления Cd, «подъемной силы» Cl и моментов сил Ст для сфероидов, дисков и стержней, ориентация которых в пространстве задается углом ф между одной из осей и вектором относительной скорости. Предложены следующие интерполяции:

Cd

где CD(0°) и Cd(90°) вычисляются по формуле (4);

CL =f -b- + 1 sin фЬ5+b6Reb7 cos фб8+¿9 Re^0

L {Reb2 Reb4 J ^

CT = --Tp-= f-^ sin фС5 +C6ReC7 cos фС8 +C9Req0

-p|V-Vp " - - - -

1 P|V - Vp|2 - dp ^ReC2 ReC4

2 p 8 p

где Тр — момент силы.

Для коэффициента тормозящего момента вращения

Т

С =_-Р_

К 2 ргр(ю - ю р )| ю - ю р

предложено выражение

Cr = 1 Re»2 + Гэ/Re^4.

В работе [28] приведены значения коэффициентов bj, Cj, rk для рассмотренных тел.

МОДЕЛИ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА ДЛЯ НЕСФЕРИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ

Эволюция температуры атмосферных частиц воды/льда и, следовательно, их фазовые изменения для внешних и внутренних потоков существенно различны. В [29] численно исследовано изменение температуры частиц радиусом 1 — 10 мкм вдоль их траекторий вплоть до столкновения с поверхностью профиля крыла NACA 0012 (хорда 1 м). Температура и скорость воздуха составляли -40°C и 100 м/с, соответственно. Заметим, что в этой работе была учтена деформация (несферичность) капель. Оказалось, что увеличение температуры в момент столкновения для частиц радиусом 1—100 мкм лежит в пределах 1 К. Тем не менее, теплообмен между воздухом и частицей может представлять интерес, особенно вблизи нулевой температуры или в случае вынужденного фазового перехода [30]. Особенно это важно в применении к обледенению авиационных двигателей, в каналах которых происходит резкое изменение температуры газа.

Число Nu для несферических частиц исследуется экспериментально и численно в течение нескольких десятков лет, и для инженерной практики предложены многочисленные полуэмпирические и вычислительные экстраполяции. Среди многочисленных геометрических форм частиц наиболее близкой аппроксимацией признается сплющенный сфероид.

В работе [31] были рассчитаны характеристики тепло- и массообмена для твердых сплющенных и вытянутых сфероидов с отношением главных осей 0.2 при числах Re до 100. Затем подобные численные исследования были проведены в [32] в широком диапазоне значений эксцентриситета. Полностью трехмерные тепловые поля вокруг эллипсоидов, не ориентированных по потоку, рассчитаны в [33]; в результате получены средние значения числа Nu.

Позднее в работах [34 — 36] исследовано обтекание отдельного сплющенного сфероида с постоянной температурой стационарным ламинарным осесимметричным нагретым потоком. Для твердых сфероидов получены зависимости среднего числа Nu от числа Re (40 < Re < 120), отношения главных осей (0.2 < Е < 1) и чисел Pr = 0.7 и 7:

Nuda = 1.393Reda348 exp[0.248

Индекс da означает большую главную ось; числа Re и Nu, построенные по характерной длине этой оси, можно трансформировать к объемно-эквивалентной системе сферы (индекс de) следующим образом:

Rede = RedaE1/3, Nude = NudaE1/3.

Теплообмен цилиндра квадратного сечения был исследован в работе [37]; получена зависи-

мость Ки(Яе) для ламинарного режима течения в диапазоне 1 < Яе < 160. Еще раньше для Яе = 5.6 • (103 — 104) был исследован турбулентный теплообмен цилиндра квадратного сечения [38]. В этой работе проведено детальное экспериментальное изучение теплообмена такого цилиндра для подтверждения связанных с этим гипотез автора.

В работе [39] изучен теплообмен плоских пластин (среди других форм частиц).

Упомянутые статьи проанализированы в [40] вместе с собственными трехмерными численными исследованиями теплового потока от куба в однородный поток при Яе = 50 — 400. Показано, что в процессе теплообмена при переходе от стационарного к нестационарному режиму обтекания не наблюдается скачка (в отличие от силы сопротивления). Получено следующее соотношение:

1Чи =

Здесь числа № и Яе определены по длине стороны куба.

В табл. 3 приведено сравнение значений числа № для куба и сферы [41].

Таблица 3

Яе № Разность, %

Куб Сфера

50 4.39 5.43 19.15

100 5.64 6.91 18.38

200 7.24 9.09 20.35

250 7.68 9.94 22.74

325 8.07 11.26 28.33

Видно, что для Яе = 50 — 324 тепловой поток от куба на 19 — 29% меньше, чем от сферы.

Данные [42 — 52] по средним числам Ки для цилиндров некруглого сечения, включая квадраты, пирамиды, плоские пластины, перпендикулярные к потоку, эллипсы, шестигранники, треугольники собраны в работе [53]. Работа [53] содержит также данные по теплообмену для круглых цилиндров, собранные из [49, 50, 54 — 58]. Согласно [53], соотношение между Ки/ и Яе/ можно представить в виде

< ^ >= С Яеп,

где С и п — константы. В качестве характерной длины при определении среднего числа <Ки/> и числа Яе/ служит проекция тела частицы на плоскость, перпендикулярную направлению потока (индекс /). Постоянные С и п для различных цилиндров некруглого сечения представлены в табл. 4.

Таблица 4

Форма частицы

С п Яе/, 103

0.14 0.66 5 — 60

0.27 0.59 6 — 60

0.592 1/2 10 — 50

0.17 2/3 7 — 80

0.25 0.61 10 — 50

0.566 0.545 5 — 90

0.256 0.573 2.5 — 45

0.146 0.638 5.2 — 20.4

0.035 0.782 20.4 — 105

0.133 0.638 4.5 — 90.7

0.26 0.60 13 — 77

0.25 0.62 7.5 — 37.5

0.163 0.667 7.5 — 37.5

Квадрат  Ромб О

Плоская пластинка, перпендикулярная потоку

Эллипс (перпендикулярный потоку, отношение осей 2:1) О Эллипс (параллельный потоку, отношение осей 2:1) О

Шестиугольник (плоской поверхностью вперед) •

Шестиугольник (вершиной вперед) •

Прямоугольник

То же

О

То же (1.33) 1 1 0.127 0.667 7.5 — 37.5

То же (1/5) 1 1 0.116 0.667 7.5 — 37.5

Для круглого цилиндра имеем [53]:

(Ки в) = 0.25 + (0.4 Яе/ + 0.06 Яе/) Рг037 (ц/ц теа11 )14,

для сферы:

(N4/) = 2 + (0.4Яе/2 + 0.06Яе/3)Рг0-4(ц/ц ^ц)1/4.

Эти формулы справедливы в диапазоне 1 < Яе <105. Определяющим размером здесь служит диаметр. Все свойства жидкости относятся к условиям свободного потока, за исключением цтеаи, которая является вязкостью около тела.

Вынужденная конвекция от кругового цилиндра (который может рассматриваться как очень длинный ледяной столбик) экспериментально исследована в [59]. Предложена полуэмпирическая корреляция для среднего числа Ки:

( _5Ч-1/5

Ш = 0.446Яе05Рг0 35 + 0.5 2 8{ [6.5 ехр

Яе = 2-(103 — 105), Рг = 0.7.

Представлено сравнение этих результатов с другими формулами [57, 60 — 62], и найдено, что выражение (9) является наилучшим.

Недавно в [63] был численно исследован теплообмен сфероидных частиц в безграничном потоке. Корреляционные формулы представлены в следующем диапазоне параметров: 1 < Яе < 200; 1 < Рг < 1000, 0.25 < Е < 2.5. Получено следующее простое выражение для среднего числа Ки, «которое можно использовать в новых приложениях»:

Ки = 2Е0'3 + Рг°'4(0.4Яе0'5Е°'83 + 0.06Яе2/3Е°Л).

Здесь определяющей длиной для Ки и Яе служит й||.

Независимо от значений чисел Рейнольдса и Пекле, среднее значение числа Ки для удлиненных частиц выше, чем для сферы; противоположная тенденция наблюдается для сплющенных сфероидов. В [63] упомянуто также несколько предшествующих работ [64 — 70].

В [71] численно исследовано влияние стенки на теплообмен сфероидов. Нагретая сфероидальная частица поддерживалась при постоянной температуре в потоке в цилиндрической трубе. Получено следующее соотношение:

Ки = Г ^ + 3-3 1 Рг0 415 Г0.428Яе049 Е0 72 + 0.06Яе0 72 Е01 ] + 2.22Е0 37 Рг013 . ^Х + 1.17) 1 J

Здесь А, = / / — коэффициент близости стенки (/ — диаметр трубы); остальные параметры определены в [63].

В [72] численно исследован теплообмен составной частицы в виде двух слипшихся сферических сегментов разного радиуса. Получено распределение теплового потока по поверхности частицы без обработки в виде корреляционной формулы.

В статье [73] указано, что, помимо числа Яе, на теплообмен несферических частиц с жидкостью влияют два геометрических параметра, а именно сферичность Ф и Ф^. В результате получено новое соотношение:

Ш = 1.76 + 0.55ФРг1/37ЯеФ5.075 + 0.014Рг1/3 Яе2/3(Ф / Ф±)7 2 .

В докладе [74] описана модификация программы Glenn ICE с целью моделирования обледенения из-за столкновения с ледяными кристаллами. Один из пунктов этой модификации касается изменения температуры частицы (и ее фазового превращения) в потоке воздуха. Для сферической частицы

Nu = 2 + 0.6Re1/2Pr1/3.

Для цилиндрических частиц

Nu = 0.3 + 0.62Re1/2 Pr1/3

Re

2.82 -105

0.625

0.8

+04

2/3

-1/4

Для дисков

Nu = 0.664Re1/2Pr13 (Re < 200 000),

Nu =

0.037 Re08 Pr

1 + 2.443Re-01

(Re > 200 000).

Эти же формулы справедливы для чисел Шервуда Sh, причем Pr нужно заменить числом Шмидта Sc.

Результаты работы [75] показали, что скорость плавления частицы льда, покрытой водяной пленкой, гораздо выше, чем в случае сухой частицы. Этот вывод заранее очевиден, поскольку давление насыщенных паров над жидкостью всегда больше, чем над поверхностью твердого тела.

В [76] исследован теплообмен частиц льда более сложной формы. В этой работе описаны эксперименты, в которых коэффициент теплообмена получается путем измерения времени релаксации температуры тела в потоке воздуха известной скорости. Исследованы цилиндры, поверхность которых была сделана волнистой при помощи гофр различного количества и высоты. Представлены выводы: 1) наличие гофр на гладкой поверхности уменьшает скорость теплоотво-да к окружающей среде, по крайней мере, для Re < 20 000; 2) цилиндры с меньшим количеством гофр более эффективно отводят тепло, чем с большим количеством; 3) увеличение высоты гофр приводит к уменьшению коэффициента теплообмена. Но полученные результаты дают основание предполагать, что увеличение коэффициента теплообмена градин, выращенных в лабораторных условиях, связано не только с наличием поверхностных неровностей. Возможно, наличие мелкомасштабной шероховатости и связанной с ней пористости способно влиять на процессы, ответственные за увеличение теплообмена в сравнении с гладкими телами.

Стоит упомянуть также модель кубоида, которая была разработана в [77]. Эта модель обеспечивает простой и точный метод для расчета среднего числа Nu для теплоотдачи изотермического кубоида с различным соотношением геометрических размеров AR при ламинарной вынужденной конвекции. Кроме того, представлены две предельные модели для тел с большим и малым соотношением сторон, т. е. модель эквивалентного сфероида (AR ^ 1) и эквивалентной плоской пластины (AR ^ 0). Все три модели основаны на стыковке двух асимптотических решений:

Nu L =

где L — общая характеристическая длина (квадратный корень из площади смачиваемой поверхности тела); ь — стыковочный параметр; индекс bl означает «boundary layer» (пограничный слой).

Диффузионный предел (или форм-фактор при теплопроводности) имеет вид:

S*A = [ S] plate

1 + 0.8688

0.78

(1 + 2 Д/ £ом)1/2

где Дом — средний диаметр вписанной и описанной окружностей. Распространяясь вдоль оси ¿э,

окружность этого диаметра образует круговой цилиндр.

Кубоид имеет размеры ¿1 х ¿2 х ¿3, две формулы предложены для вычисления форм-фактора при теплопроводности:

г^ п =| л/2/Л(1 + 7VЬ2)2, 1<VЬ2 < 5, ^ ^ ^р1а1е \2у121%*,1 Ь1/ Ьг/1п(44/Ь2), 5 < Ь / Ь2 <<х>.

Число Ки для вынужденной конвекции в режиме пограничного слоя (второй член в формуле (10)) имеет вид: для сфероида

= 5*А

0.15(Р / 4л)1/2 Яе^ + 0.27(Р / 4А)0 4336 Яе^А644

Рг

1/3 .

для модели эквивалентной плоской пластины

Х4А

= 0.714(Ьр /4А)-1/2 Яе^ Рг1/3;

для модели кубоида

-1

Яе1/2 Рг1/3 у! А

Здесь А — площадь поверхности тела; Р — максимальный периметр профиля тела в направлении потока; АЯ = Н/Ь — соотношение сторон (Н — высота кубоида; Ь — его длина); С = и»/пе — параметр пограничного слоя (ие — эффективная скорость; и» — скорость свободного потока). Эффективная скорость ие определяется на основе линеаризации уравнения количества движения ламинарного пограничного слоя. Индекс л/А означает характерную длину, получаемую как квадратный корень из площади, индекср относится к пластине.

Найдено, что стыковочный параметр п = 1.3 обеспечивает наилучшее согласие модельных значений с результатами численных расчетов во всем диапазоне условий течения и геометрической формы.

ОБСУЖДЕНИЕ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Наиболее полно описано взаимодействие с несущим газом сферической частицы. Учтены многочисленные физические процессы: различные режимы обтекания; влияние большой разности температур газа и поверхности частицы; вращение, сопровождающееся возникновением силы Магнуса.

В случае несферических частиц, многообразие их форм делает целесообразным упрощенное описание при помощи небольшого набора параметров. В качестве следующего (за сферической формой) шага наибольшая информация получена для сфероида (сплющенного или вытянутого эллипсоида), которые в пределе дают формы дисков или иглы, характерные для кристаллов льда.

В случае фиксированной ориентации сфероида относительно вектора скорости обтекания, из многочисленных интерполяций теоретических и экспериментальных данных рекомендуются выражения (4), (5) для коэффициента сопротивления и (9) для числа Нуссельта (Шервуда).

Немногочисленные исследования зависимости поперечной (и «подъемной») силы и момента силы позволяют, в принципе, детально исследовать эволюцию углов Эйлера, скорости вращения и сложной траектории («витания») частицы. Однако для использования накопленной информации в системе уравнений газотермодинамики смеси необходимо развитие методов осреднения по многочисленным траекториям частиц (типа алгоритма Ланжевена или введения коэффициента псевдодиффузии).

К сожалению, некоторые из корреляционных зависимостей (6) — (8) непригодны для случая частицы, неподвижной относительно окружающей среды (Яе = 0), хотя теплообмен частица/жидкость существует и в этом случае. Кроме того, нам не удалось найти какую-либо инфор-

мацию о более сложной топологии частиц (например, пористых или перфорированных), которые были бы естественны для кристаллов льда.

Работа выполнена в рамках 7-й рамочной программы Европейского Союза, проект HAIC (High Altitude Ice Crystals), № ACP2-GA-2012-314314.

ЛИТЕРАТУРА

1. Böttger R. Untersuchungen über die Eignung von Scheibe und Kegel zur Messung des Eisbelagesmittel des Aerodynamischen Wiederstandes // IZWB FB. 1935. N 462, 12 S.

2. B i d we 11 C. S. Collection efficiency and ice accretion calculations for a Boeing 737-300 inlet // SAE/AIAA Paper. 1996. N 96-5570.

3. Birch S. Simulating aircraft icing // Aerospace Eng. 1999. V. 19, p. 19 — 20.

4. Стасенко А. Л., Толстых А. И., Широбоков Д. А. Динамика деформируемых капель у поверхности крыла в вязком воздухе // Изв. РАН. МЖГ. 2002. Т. 37, № 5, c. 180 — 187.

5. Son S., Oh S., Yee K. Quantitative analysis of a two-dimensional ice accretion on airfoils // J. Mech. Sci. Technology. 2012. V. 26, N 4, p. 1059 — 1079.

6. Mason J. G., Strapp J. W., Chow P. The ice particle threat to engine in flight // AIAA Paper 2006-206, 21 p.

7. Веников Д. Ю., Гринац Э. С., Стасенко А. Л. Динамика частиц естественного происхождения в поле обтекания трубки Пито // Труды 55-й научной конф. МФТИ. — М. — Долгопрудный — Жуковский: МФТИ, 2012, c. 127 — 128.

8. Бирхгоф Г. Гидродинамика. — М.: Изд. иностр. лит., 1963, 244 с.

9. Соу С. Гидродинамика многофазных систем. — М.: Мир, 1971, 536 с.

10. Стасенко А. Л. Модели динамики и тепломассообмена шаровых частиц в газодисперсных и парокапельных потоках // Труды ЦАГИ. 1984, вып. 2220, c. 24 — 26.

11. Schiller L.,Naumann A. Über die grandlegenden Berechnungen bei Schwerkraftaufbereitung // Z. den Vereines deutscher Ingenieure (VDI-7). 1933. Bd. 77, N. 12.

12. Carlson D. J., Hoglund R. F. Particle drag and heat transfer in rocket nozzles // AIAA J. 1964. V. 2, N 11, p. 1980 — 1984.

13. Henderson C. B. Drag coefficient of particles in continuum and rarefied flows // AIAA J. 1976. V. 14, N 6, p. 707 — 708.

14. Стасенко А. Л. Феноменология газодисперсных и парокапельных потоков с межфазным массообменном и лучистым переносом энергии // Труды ЦАГИ. 1994, вып. 2530, с. 3 — 27.

15. Моллесон Г. В., Стасенко А. Л. Обтекание твердого тела сверхзвуковой газодисперсной струей с учетом вращения отраженных частиц // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII, № 2, с. 53 — 67.

16. Лукерченко Н. Н., Харламов А. А., Квурт Ю. П. Экспериментальная оценка силы сопротивления, силы Магнуса и момента сопротивления, действующих на сферическую частицу // Материалы VI междунар. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006). — М.: Вузовская книга, 2006, 368 с.

17. Oesterle B., Bui Dinh T. Experiments on the lift of a spinning sphere in a range of intermediate Reynolds numbers // Experiments in Fluids. 1998. V. 25, N 1, p. 16 — 22.

18. R u b i n o w S. I., Keller J. B. The transverse force on spinning sphere moving in a viscous fluid // J. Fluid Mech. 1961. V. 11, N 3, p. 447 — 459.

19. D e nn i s S. C. R., S i n g h S. N., I n g h am D. B. The steady flow due to a rotating sphere at low and moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 1980. V. 101, N 2, p. 257 — 279.

20. Галкин В. С., Коган М. Н., Фридлендер О. Г. О напряжениях, возникающих в газах вследствие неоднородности температуры и концентраций. Новые типы свободной конвекции // УФН. 1976. Т. 119, № 1, c. 111 —125.

21. C l i ft R., G r a c e J. R., W e b e r M. E. Bubbles, Drops, and Particles. — NY: Acad. Press. 1978, 380 p.

22. Ganser G. N. A rational approach to drag prediction of spherical and nonspherical particles // Powder Technology. 1993. V. 77, N 2, p. 143 — 152.

23. Haider A., Levenspiel O. Drag coefficients and terminal velocity of spherical and non-spherical particles // Powder Technology. 1989. V. 58, N 1, p. 63 — 70.

24. Leith D. Drag on non-spherical objects // Aerosol Science and Technology. 1987. V. 6, N 2, p. 153 — 161.

25. Loth E. Drag of non-spherical solid particles of regular and irregular shape // Powder Technology. 2008. V. 182, N. 3, p. 342 — 353.

26. H ö 11 z e r A., Sommerfeld M. New simple correlation formula for the drag coefficient of non-spherical particles // Powder Technology. 2008. V. 184, N. 3, p. 361 — 365.

27. Jiménez J. A., Madsen O. S. A simple formula to estimate setting velocity of natural sediments // J. of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering. 2003. V. 129, N. 2, p. 70 — 78.

28. Zastawny M., Malloupas G., Zhao F., van Wachem B. Derivation of drag and lift force and torque coefficients for non-spherical particles in flows // Int. J. Multiphase Flow. 2012. V. 39, p. 227 — 239.

29. Стасенко А. Л., Толстых А. И., Широбоков Д. А. К моделированию оледенения самолета: динамика капель и поверхность смачивания // Математическое моделирование. 2001. Т. 13, № 6, c. 81 — 86.

30. Кашеваров А. В., Стасенко А. Л. Вынужденная кристаллизация капель перед телом, движущимся в переохлажденном облаке // Математическое моделирование. 2010. Т. 22, № 2, c. 139 — 147.

31. Masliyah J. H., Epstein N. Numerical solution of heat and mass transfer from spheroids in steady axisymmetric flow // Prog. Heat Mass Transfer. 1972. V. 6, p. 613 — 632.

32. Chuchottaworn P., Asano K. Numerical analysis of drag coefficients and the heat and mass transfer of spheroidal drops // J. Chem. Engng. Jap. 1986. V. 19, N 3, p. 208 — 213.

33. Dwyer H. A., Dandy D. S. Some influences of particle shape on drag and heat transfer // Phys. Fluids A. 1990. V. 2, N 12, p. 2110 — 2118.

34. C o m e r J. K. Computational analysis of thermal flow past non-spherical solids and droplets: M.S. Thesis. — North Carolina State Univ. Raleigh. NC. 1993.

35. Comer J. K., Kleinstreuer G. Computational analysis of convection heat transfer to non-spherical particles // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1995. V. 38, N 17, p. 3171 — 3180.

36. Comer J. K., Kleinstreuer G. A numerical investigation of laminar flow past non-spherical solids and droplets // ASME J. Fluid Engng. 1995. V. 117, N 1, p. 170 — 175.

37. Sharma A., Eswaran V. Heat and fluid flow across a square cylinder in the two-dimensional laminar flow regime // Numer. Heat Transfer A. 2004. V. 45, N 3, p. 247 — 269.

38. Igarashi T. Heat transfer from a square prism to an air stream // Int. J. Heat Mass Transfer. 1985. V. 28, N 1, p. 175 — 181.

39. Whitaker S. Forced convection heat transfer correlation for flow in pipes, past the plates, single spheres, and for flow in packet beds and tube bundles // AIChE J. 1972. V. 18, p. 361 — 371.

40. S a h a A. K. Three-dimensional numerical study of flow and heat transfer from a cube placed in a uniform flow // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2006. V. 26, N 1, p. 80 — 94.

41. Bagchi P., Ha M. Y., Balachandar S. Direct numerical simulation of flow and heat transfer from a sphere in a uniform cross-flow // J. Fluid Eng. Trans. ASME. 2001. V. 123, N 2, p. 347 — 358.

42. Igarashi T., Hirata M., Nishiwaki N. Heat transfer in separated flows. Part 1. Experiments on local heat transfer from the rear of a flat plate inclined to an air stream // Trans. JSME. 1973. V. 39, p. 1881 — 1889.

43. Igarashi T., Hirata M. Heat transfer in separated flows. Part 3. The case of equilateral triangular prisms // Trans. JSME. 1975. V. 41, p. 2437 — 2447.

44. S p a r r o w E. M., R a m s e y J. W., M a s s E. A. Effect of finite width on heat transfer and fluid flow about an inclined rectangular plate // J. Heat Transfer. 1979. V. 101, N 5, p. 199 — 204.

45. Ota T., Aida S., Tsuruta T., Kaga M. Forced convection heat transfer from an elliptic cylinder of axis ratio 1:2 // Bull. JSME. 1983. V. 26, N 212, p. 262 — 267.

46. Igarashi T. Fluid flow and heat transfer around rectangular cylinders (the case of a width / height ratio of a section of 0.33—1.5) // Int. J. Heat Mass Transfer. 1987. V. 30, N 5, p. 893 — 901.

47. Goldstein R. J., Yoo S. Y., Chung M. K. Convective mass transfer from a square cylinder and its base plate // Int. J. Heat Mass Transfer. 1990. V. 33, N 1, p. 9 — 18.

48. Yoo S. Y., Goldstein R. J., Chung M. K. Effects of angle of attack on mass transfer from a square cylinder and its base plate // Int. J. Heat Mass Transfer. 1993. V. 36, N 2, p. 371 — 381.

49.Kondjoyan A., Daudin J. D. Effects of free stream turbulence intensity on heat and mass transfer at the surface of a circular cylinder and elliptical cylinder, aspect ratio 4 // Int. J. Heat Mass Transfer. 1995. V. 38, N 10, p. 1735 — 1749.

50.Ahmed G. R., Yovanovich M. M. Experimental study of forced convection from isothermal circular and square cylinders and toroids // J. Thermophys. Heat Transfer. 1997. V. 119, N 2, p. 70 — 79.

51. Igarashi T., Terachi N. Heat transfer enhancement and drag reduction of a flat plate normal to the airstream (flow control using a rod) // Heat Transfer, Jap. Res. 1998. V. 27, N 2, p. 99 — 113.

52. Tsutsui T., Igarashi T., Nakamura H. Drag reduction and heat transfer enhancement of a square prism // JSME Int. J. B. 2001. V. 44, N 4, p. 575 — 583.

53. Sparrow E. M., Abraham J. P., T o n g J. C. K. Archival correlations for average heat transfer coefficients for non-circular and circular cylinders and for spheres in cross-flow // Int. J. Heat Mass Transfer. 2004. V. 4, N 24, p. 5285 — 5296.

54. Z u k a u s k a s A. Heat transfer from tubes in crossflow // Advances in Heat Transfer. 1972. V. 8, p. 93 — 160.

55. Morgan V. T. The overall convective heat transfer from smooth circular cylinders // Advances in Heat Transfer. 1975. V. 11, p. 199 — 264.

56. Whitaker S. Elementary Heat Transfer Analysis. — New York: Pergamon Press, 1976, 369 p.

57. Churchill S. W., Bernstein M. A correlation equation for forced convection from gases and liquids to a circular cylinder in crossflow // J. Heat Transfer. 1977. V. 99, p. 300 — 306.

58. Zukauskas A. Heat transfer from tubes in crossflow // Advances in Heat Transfer. 1987. V. 18, p. 87 — 159.

59. Sanitjai S., Goldstein R. J. Forced convection heat transfer from a circular cylinder in crossflow to air and liquids // Int. J. Heat Mass Transfer. 2004. V. 47, p. 4795 — 4805.

60. Perkins H. C., Leppert G. Local heat-transfer coefficients on a uniformly heated cylinder // Int. J. Heat Mass Transfer. 1964. V. 7, p. 143 — 158.

61. Zukauskas A.,Ziugzda J. Heat transfer of a cylinder in crossflow. — Washington, New York: Hemisphere Pub., 1985, 208 p.

62. Whitaker S. Forced convection heat transfer calculations for flow in pipes, past flat plate, single cylinder, and for flow in packed beds and tube bundles // AIChE J. 1972. V. 18, p. 361 — 371.

63. Ki shore N., Gu S. Momentum and heat transfer phenomena of spheroid particles at moderate Reynolds and Prandtl numbers // Int. J. Heat Transfer. 2011. V. 54, N 11 — 12, p. 2595 — 2601.

64. Norminton E. J., Blackwell J. H. Transient heat flow from constant temperature spheroids and the thin circular disk // Q. J. Mech. Appl. Math. 1964. V. 17, N 2, p. 65 — 72.

65. P i 11 e r R. I., P r u p p a c h e r H. R., H a m i e l e c A. E. A numerical study of the effect of forced convection on mass transfer from a thin oblate spheroid of ice in air // J. Atmos. Sci. 1974. V. 31, N 4, p. 1058 — 1066.

66. Yovanovich M. M. General expression for forced convection heat and mass transfer from isopotential spheroids // AIAA 26th Aerospace Sciences Meeting, Nevada, Jan 11 — 14, 1988. AIAA'88-0743, 12 p.

67. Z h e n g Z. G., L i s t R. Convective heat transfer of rotating spheres and spheroids with non-uniform surface temperatures // Int. J. Heat Mass Transfer. 1996. V. 39, N 9, p. 1815 — 1826.

68. Feng Z. G., M i c h a e l i d e s E. E. Unsteady heat and mass transfer from a spheroid // AIChE J. 1997. V. 43, N 3, p. 609 — 614.

69. Wen Y., Jog M. Variable property, steady, axi-symmetric, laminar, continuum plasma flow over spheroid particles // Int. J. Heat Fluid Flow. 2005. V. 26, N 5, p. 780 — 791.

70. Juncu G. Unsteady heat transfer from an oblate/prolate spheroid // Int. J. Heat Mass Transfer. 2010. V. 53, N 17 — 18, p. 3483 — 3494.

71. Kishore N., Gu S. Effect of blockage on heat transfer phenomena of spheroid particles at moderate Reynolds and Prandtl numbers // Chem. Eng. Technol. 2011. V. 34, N 9, p. 1551 — 1558.

72. Волков К. Н., Емельянов В. Н. Движение и теплообмен свободной частицы несферической формы в неоднородном потоке // Математическое моделирование. 2005. Т. 17, № 4, c. 62 — 68.

73. Richter A., Nikrityuk P. Drag forces and heat transfer coefficients for spherical, cuboidal and ellipsoidal particles in cross flow at sub-critical Reynolds numbers // Int. J. Heat Mass Transfer. 2012. V. 55, p. 1343 — 1354.

74. Wright W. B., Jorgenson P. C., Veres J. P. Mixed phase modeling in GlennICE with application to engine icing // NASA/TM-2011-216978. 2011, 19 p.

75.Lou D.,Hammond D. Heat and mass transfer for ice particle ingestion inside aeroengine // J. Turbomachinery. 2011. V. 133. 031021, 5 p.

76. Aguirre Varela G. G., Castellano N. E., Pereyra R. G., Avila E. A. The effect of surface lobes on heat transfer from an ice particle // Q. J. R. Meteorol. Soc. 2003. V. 129, p. 3425 — 3438.

77. Culham J. R., Yovanovich M. M., Teertstra P., Wang C.-S., Refai-Ahmed G., Tain R.-M. Simplified analytical models for forced convection heat transfer from cuboids of arbitrary shape // Trans. ASME. 2001. V. 123, p. 182 — 188.

Рукопись поступила 19/IV 2013 г.