Гибридные дифференциально-разностные системы и их приложения в теории динамических систем

МАТЕМАТИКА

УДК 517.977

В. М. Марченко, профессор

ГИБРИДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

В ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ *

The paper considers a special kind of hybrid difference-differential dynamic systems, i. e. differential-algebraic systems with delays (DAD systems), with some variables being continuous the other -piecewise continuous. It is shown that several classes of dynamic systems such as neutral type time-delay systems as well as hybrid discrete-continuous ones can be reduced to DAD systems. The modern state of the qualitative control and observation DAD system theory is also discussed.

гибридную дискретно-непрерывную

Введение. При построении математических моделей реальных физических процессов наряду с динамическими (дифференциальными) встречаются и алгебраические (функциональные) зависимости. Такие процессы описываются дифференциально-алгебраическими (DAE) системами (отдельные уравнения которых являются дифференциальными, другие - алгебраическими). Эти системы появились в русскоязычной литературе под названием «гибридные системы». В настоящее время, особенно в англоязычной литературе, этот термин в основном используется для дискретно-непрерывных систем и систем, содержащих логические переменные. В связи с этим представляет интерес точка зрения на гибрид-ность как на неоднородность в природе (дискретные, непрерывные, кусочно-непрерывные, детерминированные, стохастические, логические переменные и т. д.) изучаемого процесса или в его описании (дифференциальные, дискретные, разностные уравнения и т. д.).

В данной работе обсуждается современное состояние и перспектива дальнейших исследований качественной теории управления и наблюдения в гибридных дифференциально-разностных (ГДР) системах, к которым, в частности, сводятся стандартные типы систем с запаздывающим аргументом нейтрального типа, а также непрерывно-дискретных систем. Историю вопроса можно проследить по работам [1-18] и приведенной в них библиографии.

1. Мотивация: примеры ГДР-систем. Рассмотрим уравнение с запаздывающим аргументом нейтрального типа

x

х

более общее уравнение

—(x(t) - dx(t - h)) = ax(t) + a1x(t - h), (3) dx

а также систему

x

aX2y[k], t e[kh, (k + 1)h),

у[к] = а21х

х

Здесь а, а1, й, а11, а12, а21, а22, к, х0, у0 е М , йф0, к > 0; символ у[к] означает функцию целочисленной переменной к, а функция ф берется из класса С1 дифференцируемых функций.

Объекты (1)-(6) обычно рассматриваются отдельно. Ниже предлагается единый подход к исследованию указанных объектов путем сведения их к ГДР-системам.

Вводя обозначения

х1

и определяя числа а11, а12, а21, а22 соотношениями а22 = й, а11 + а12 = а, а11а22 = -а1, уравнение (1) сведем к ГДР-системе вида

х1

х2 ^) = а21 х2 ^) + а22х2 ^ - к), t > 0, (8) х (0) = ф(0) - йф(-к), х2 (т) = ф(т), т е [-к, 0].

Аналогично поступая с уравнением (3), придем к ГДР-системе (7), (8) с более общими начальными условиями.

Рассмотрим теперь систему (4), (5). Введем обозначения

х

х^) = xl(t), х2^) =

у [к ] _

t е [кк,(к + 1)к),к = 0, 1, ...

Тогда система (4), (5) сводится к ГДР-системе

х^) = Лпх^) + 42 x2(t), х2^) = Л22x2(t - к), t > 0,

Работа выполнена в рамках сотрудничества с Белостокским техническим университетом.

где

А11 = А12 = [0 1Л\2 ] :

А22 -

'11И а12 \ eall{h-%) d т

о

h

^ И Г ^ (h-т) ,

e 11 a22 + a21a121 e 11 dт

с начальными условиями

хД0) = Xо,

X2(т) =

е ^

Уо

,те [-И,о].

Представляется, что разобранные примеры дают достаточную мотивацию для дальнейшего рассмотрения и изучения ГДР-систем.

2. Некоторые математические модели гибридных систем. В качестве общей модели линейной гибридной системы управления и наблюдения с последействием можно взять следующую систему функционально-дифференциальных уравнений:

о о

Х (О = I ёА 1 (и эК ^ + Э) +| dsAl2 (и $)х2 ^ + $) +

-И

-И

+ 1 , + з),

- И

о о

х2 (() = | ёхА21 ((, ((+ з) + | ёхА22 ((, ¿)х2 ((+ 3) +

-и - И о

+ | , + з),

- И

с выходом

о о

у(() =1 ёС ((, з)Х1 (( + з) +1 ёС ({, з)Х2 (( + з).

-И - И

В литературе не существует сколь-нибудь полной качественной теории управления и наблюдения для систем вида (9), (Ю).

Если меры Стилтьеса в (9), (Ю) являются дискретными, сосредоточенными в точках

-Н], у = о,1,..., I; о = Ио < \<... < И = И,

и мера , з) исчезает в нуле, получаем ГДР-систему с сосредоточенными запаздываниями

1

х ^) = X (А11у ^) Х1 и - И1) + А12^) х

1 =о

X х2 ^ - И1) + В1у ^)и ^ - И)),

1

Х2 ^) = X (А211 ^) Х1 ^ - И}.) + А221 ^) X

1 =о

X Х2^-И}.) + В2у^)и^ -И}.)), t >

К настоящему моменту наиболее изученной является простейшая ГДР-система

Х^) = А1 (Ох(0 + Ап(^)Х2(0 + В1 ^)и^), (11) Х2 ^) = А21 (ОХ1 ^) + А22 ^)Х2 ^ - И) + В2 ^)и^),

t > ^

с начальными условиями

Х1^о) = Хо, Х2

где

А11 ^) е Ш"1Х"1, А12 (^ е М^, А21 ^) е Мп2 хп1,

А22(0 е Мп2хп2, В^) е М^, В2(0 е М^хг,

Х1о е М"1, ф(-) - кусочно-непрерывная п2- вектор-функция.

Принимая во внимание 2-Б-системный подход, простейшую ГДР-систему можно рассмотреть в симметрической форме, заменив Х2(1:) в левой части (\2) на х2^ + И).

Замечание. ГДР-систему (11), (\2) можно интерпретировать как обыкновенную динамическую систему, управляемую разностным (или дискретным, ср. с (4), (5)) регулятором. Такие системы возникают также при исследовании квантованных систем.

3. Представление решений ГДР-систем. Под решением х^ ^) = х^ ^, ^, Х1о, ф, и ), t > о, 1 = 1,2, системы (11)—(13) понимаются абсолютно непрерывная х1(-) и кусочно-непрерывная х2() вектор-функции, которые удовлетворяют начальным условиям (13) и уравнению (12) для t > о, а также почти всюду при t > о формуле (11). Если при этом выражение (11) удовлетворяется для всех t > о, то соответствующее решение считается строгим. Имеет место утверждение [7, 14, 15].

Утверждение 1. Решение х^ ^) = = х1 ^, ^, х1о, ф, и), t > о, 1 = 1,2, системы (11)—(13) существует единственно и может быть вычислено по следующей формуле (обобщенная формула Коши):

Х() = X (t, Хю, ф, и) =

к

= Х*1^, ^ - о)хю + | , т + И) х

к -И

х А22(т +И)ф(т)ё т +

+ | (, тЩ(т) + Х*2 ^, т)В2(т) )и(т)ёт +

'о

+2\($, t - ТИ)А22 ^ - Т- ТИ - И),

t > ^, 1 = 1,2,

где X* (•, •), 1 = 1,2; у = 1,2 — решение сопряженной системы

- + Х*1^, т)Аи(т) + Х*2(^т)А21(т) = о,

ах;«, т)

дт

т<t, тФt -кИ;

X* ^, т) = X* ^, т)Лl2(т) + X* (t, т + к)Л22 (т + к),

, т) = 0, т> t; X* (t, t - кк - 0) - X* (t, t - кк + 0) = = 2* (t, t - кк)Л21 (t - кк);

2* (t, t - кк) = X* (t, t - кк + к)Л22 (t - кк + к), к = 1,2,...,Т;, с граничными условиями вида

X*u{t, t - 0) = 1Щ, 2*а, t) = 0 е М"1*"2, X*1(Г, t - 0) = Л21(Г), 2^, t) = 1пг.

Замечание 1. Формула Коши допускает обобщение на случай многих соизмеримых запаздываний [14], а также для импульсных систем вида (11)—(13), когда у функции х1(1) допускаются скачки [18] при t > 0.

В стационарном случае: коэффициенты системы (11), (12) - постоянные матрицы,

Л

формула (14) упрощается, так как можно положить,что

X* (^ т) = X* ^ - т), 2* t - кк) = 2* (кк),

/ = 1, 2; у = 1, 2. Более того, в этом случае решения системы (11), (12), (15) раскладываются в ряды по решениям ее определяющих уравнений [14, 15].

Утверждение 2. Решение ху ^), у = 1,2, (11)-(13), (15) существует единственно и может быть вычислено по формуле

Xv О1) = хД t, 0, хю, ф, и ) = ху (t, хш, ф, 0) +

^ ^ v ^(t-т-1к)к +1 I ^('к Г к, и(т)йт +

к=0 1 0 К,

+ I X;

г

где х^, (t, х10, ф, 0), V = 1, 2 - решение системы (11)-(13), (15), представленное формулой (14) в случае нулевого управляющего воздействия: и ^) - 0, t > 0; матричные функции XV (!), v = 1,2, являются решением определяющих уравнений вида

Xk1+l

xk ^) = Л21XI ^)+Л22xk ^ - к)+в2ик ^), к = -1,0,1,...; t >0; с начальными условиями

Xk ^) = 0, Ук ^) = 0,

если

к < 0, или t < 0;

и0(0)=1Г, и к ^) = 0,

если

к2 + t2 Ф 0.

Замечание 2. Нетрудно видеть, что

Xk (t) = 0, гк (0 = 0

для t Ф ук, у = 0,1,...; к = 0,1,...

Кроме того, X0(t) - 0, t > 0.

При исследовании свойств ГДР-систем, а также различных вопросов качественной теории управления и наблюдения для таких систем важное значение имеют алгебраические свойства решений их определяющих уравнений. Приведем некоторые из них.

Лемма 1. Имеют место следующие тождества:

(Л11 + Л12 (( - Л22 «Г Л21 )к (В1 +

+Л12 (( - Л22 «)-1 В2) ^ I Xk+1 (Ук)« ' ;

у=0

(( - Л22 «к-1 Л21 (Л11 + Л12 (( - Л22 «Г Л21 ^ *

В + Л12 (1т - Л22 «к-1 В ) - I Xk2+l (ук) «у ,

У=0

к = 0,1,...;

(( -Л22«)-1 В2-IX2(ук)«у,

у=0

откуда |«<«1, где «1 - достаточно малое положительное число.

Лемма 2 (Обобщенная теорема Гамильтона -Кэли) [14]. Найдутся действительные числа Гу, ..., такие, что решения определяющего уравнения (17) удовлетворяют соотношениям

шт{к ,пт}

X; (кк) = - I Г0^^ ((к - у)к) -

у=1

п шт{к,пт}

-I I ГуX:-1 ((к - у)к), v = 1,2,

1=1 у =0

у = п +1, п + 2,...

Замечание 3. Можно показать, что решения стационарных ГДР-систем вида (11)-(13), (15) имеют рост не выше, чем экспоненциальный, при аналогичном росте управляющих воздействий, что позволяет применять к таким системам преобразование Лапласа.

Дальнейшие результаты по представлению решений более общих ГДР-систем можно найти в работах [14, 15, 18].

4. Элементы качественной теории управления в ГДР-системах. К качественной теории управления относятся такие важные проблемы математической теории управления, как управляемость, наблюдаемость, двойственность,

стабилизация, модальное управление, реконструкция, реализация переходных отображений, построение канонических представлений ГДР-систем и др.

Определение 1. Система (11), (12) называется относительно (Н -г1)-управляемой при ^ > г0,

если для любых векторов x( и любых допустимых

x

_ У1.

начальных

данных

х10, ф(-) существует кусочно-непрерывное управление и() такое, что соответствующее решение системы обладает свойством

H

x

= H

А

Если в этом определении Н = \1Щ 0], то система считается относительно ^ -управляемой по х1; аналогично относительно ^ -управляемой по х2, если Н = \0 1п ].

Определение 2. (Система (11), (12) называется полностью (Н - г1)-управляемой при ^ > г0 + к , если требование (20) заменить следующим условием:

-V. + 01 [01

Н 1 = , г > 0.

x(tx - bt)" "0"

_ y (h +1). 0

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1. Для того чтобы стационарная система (11), (12), (15) была относительно t1 -управляемой по x1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

rank [X\(t), к = 1,2,..., щ; tе[0,tx)] = nv

Аналогично рассматриваются [14, 15] другие типы относительной управляемости.

Теорема 2. Для того чтобы стационарная система (11), (12), (15) была полностью (H —11)- управляемой при H = 1Щ+П2, необходимо, чтобы

rank

X — Лг

—Л01

-Л.

1 — Л22е

—xh

в

= n1 +n2 , X i

где ъ - множество комплексных чисел.

Обобщением сформулированных задач управляемости являются задачи Мп - (5, г) - и (5, г) -управляемости, которые можно рассматривать как игровые задачи преследования однотипных объектов, когда начала движения преследующего и преследуемого объектов не совпадают: при заданных 5, г (5 > г > 0) система (11), (12), (15) считается (5, г)- -управляемой по х, если для любых начальных данных х10, х10, ф, ф системы (11), (12) и любого допустимого управления у(-) существует допустимое управление и() такое, что

х г+-5, хю, ф, и) = xi (г+ + т, г, х 10, ф, у) для т > 0; если же последнее соотношение выполняется только при т = 0, то приходим к задаче Мп - (5, г)- - управляемости (см. рисунок).

Для сформулированных игровых задач управляемости можно построить и сформулировать двойственные задачи линейной наблюдаемости. Некоторые результаты в этом направлении имеются в \9].

фо

о-

Wo

t* - s - h t* - s t* -1 - h t* -1 ...................^

Рисунок.

W

— (s, t) -управляемость

Классической в теории регулирования и теории динамических систем является проблема их устойчивости. Рассмотрим, например, невозмущенную ГДР-систему (11) , (12), (15):

и

Определение ее асимптотической и экспоненциальной устойчивости аналогично соответствующим понятиям для систем запаздывающего типа.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3. Следующие утверждения эквивалентны:

1) система (11), (12), (15), (21) экспоненциально устойчива;

2) система (11), (12), (15), (21) асимптотически устойчива;

3) система (11), (12), (15), (21) асимптотически устойчива по х2 ;

4) спектральный радиус матрицы А22 строго меньше 1 и все корни характеристического уравнения

det

'Х — Ли

—Л01

—Л

12

1 — Л22е

xh

= А

имеют отрицательные действительные части.

В скалярном случае коэффициентов системы условие отрицательности действительных частей корней уравнения (22) можно выразить непосредственно через коэффициенты.

Заключение. Предложен унифицированный подход к изучению таких важных в приложениях и различных по природе классов динамических систем, как систем с запаздывающим аргументом нейтрального типа, а также дискретно-непрерывных систем. Подход основан на сведении указанных систем к ГДР-системам.

x

t

дении указанных систем к ГДР-системам. Проанализировано современное состояние качественной теории управления и наблюдения (КТУН) в ГДР-системах. Более полное рассмотрение КТУН, а также некоторых нерешенных задач этой теории для ГДР-систем можно найти в работах [9, 11-15,17, 18].

Литература

1. Кириллова, Ф. М. Необходимые условия оптимальности управлений в гибридных системах / Ф. М. Кириллова, С. В. Стрельцов // Управляемые системы: сб. тр. / Ин-т математики Сибир. отд. АН СССР. - 1975. - Вып. 14. - С. 24-33.

2. Ахундов, А. А. Управляемость линейных гибридных систем / А. А. Ахундов // Управляемые системы: сб. тр. / Ин-т математики Сибир. отд. АН СССР. - 1975. - Вып. 14. - С. 4-10.

3. Трофимчук, Т. С. Управляемость систем, неразрешенных относительно старшей производной / Т. С. Трофимчук // Управляемые системы: сб. тр. / Ин-т математики Сибир. отд. АН СССР. - 1980. - Вып. 20. - С. 75-82.

4. De la Sen, M. The reachability and observability of hybrid multirate sampling linear systems / M. De la Sen // Computers Math. Applic. -1996. - Vol. 31, № 1. - P. 109-122.

5. Hybrid Systems / J. J. Gertler [et al.] // Prepr. 13th World Congr. IFAC. - 1996. - Vol. J. -P. 473-476.

6. Марченко, В. М. Вполне регулярные системы с последействием / В. М. Марченко // Труды Ин-та математики. - 2001. - Т. 7. - С. 97-104.

7. Марченко, В. М. Представление решений управляемых гибридных систем / В. М. Марченко, О. Н. Поддубная // Проблемы управления и информатики. - 2002. - № 6. - С. 17-25.

8. Observability of linear hybrid systems / R. Vidal [et al.] // Hybrid systems: Computation and Control. - 2003. - Vol. 2623. - P. 526-539.

9. Марченко, В. М. О двойственности в задачах управления и наблюдения для гибридных систем / В. М. Марченко // Труды БГТУ. Сер. VI, Физ.-мат. науки и информ. - 2003. -Вып. XI. - С. 3-7.

10. Hybrid Systems: Computation and Control: IEEE conf. «MMAR'2004». Vol. 1: Control Theory, Control Engineering, Modelling and Simulation / Eds. S. Domek, R. Kaszynski. - Bla-zejewko, Poland, 2004

11. Щеглова, А. А. Наблюдаемость вырожденных линейных гибридных систем с постоянными коэффициентами / А. А. Щеглова // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 11. -C. 86-101.

12. Marchenko, V. M. Hybrid control and observation systems in symmetric form / V. M. Marchenko, O. N. Poddubnaya, Z. Zaczkie-wicz // IEEE conf. «RoMoCo». - Poznan, Poland,

2005. - P. 1371-43.

13. Marchenko, V. M. Observability for linear differential-algebraic systems with delay / V. M. Marchenko, Z. Zaczkiewicz // IEEE conf. «MMAR'2005». - Blazejewko, Poland, 2005. -P. 299-303.

14. Марченко В. М. Представление решений и относительная управляемость линейных дифференциально-алгебраических систем со многими запаздываниями / В. М. Марченко, О. Н. Поддубная // Докл. РАН. - 2005. - Т. 404, № 4. - С. 465- 469.

15. Поддубная, О. Н. Представление решений и относительная управляемость линейных дифференциально-алгебраических систем с запаздыванием: дис. ... канд. физ.-мат. наук / О. Н. Поддубная. - Минск, 2005.

16. Куржанский, А. Б. Отчет о 16-м международном конгрессе ИФАК (IFAC) - международной федерации по автоматическому управлению / А. Б. Куржанский // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 1. - C. 183-189.

17. Марченко, В. М. Некоторые нерешенные задачи в теории управляемых динамических ГДР-систем / В. М. Марченко // Труды БГТУ. Сер. VI, Физ.-мат. науки и информ. -

2006. - Вып. XIV. - С. 3-6.

18. Zaczkiewicz, Z. Obserwowalnosc ukladow го zniczkowo-algebraicznych z opoznieniem / Z. Zaczkiewicz // Rozprawa doktorska. - Warszawa: Politechnika Warszawska, 2008.