Исследования по степенным MR-группам (посвящается 80-летию Владимира Никаноровича Ремесленникова)

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 519.45

DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(4).9-14 ИССЛЕДОВАНИЯ ПО СТЕПЕННЫМ MR-ГРУППАМ

(посвящается 80-летию Владимира Никаноровича Ремесленникова) М. Г. Амаглобели

Тбилисский государственный университет им. Ив. Джавахишвили, г. Тбилиси, Грузия Почетный доктор Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского

Аннотация. Мясников и Ремесленников определили категорию степенных MR-групп для ассоциативного кольца R с единицей. Настоящая статья посвящена изучению частичных экспоненциальных MR-групп, изоморфно вложимых в свое тензорное пополнение над кольцом R. Как следствие получено описание свободных MR-групп и свободных MR-произведений на языке групповых конструкций.

Дата онлайн-размещения 14.12.2018

Ключевые слова

Линдоновы R-группы, холловы R-группы, MR-группы, частичные MR-группы, тензорные пополнения

STUDIES OF EXPONENTIAL MR-GROUPS

M. G. Amaglobeli

Ivane Javakhishvili Tbilisi State University, Tbilisi, Georgia Honorary doctor of Dostoevsky Omsk State University

Abstract. Myasnikov and Remeslennikov introduced the category of exponential MR-groups over any associative ring R with identity.

This paper studies the partial exponential MR-groups which can be embedded into the tensor completions over R. As a corollary, a description of the free MR-groups in the language of group constructions is obtained.

Available online 14.12.2018

Keywords

Lyndon R-groups, Hall R-groups, MR-groups, partial MR-groups, tensor completions

Информация о статье

Дата поступления 05.10.2018

Дата принятия в печать 17.10.2018

Article info

Received 05.10.2018

Accepted 17.10.2018

1. Основные определения ленникова [1] была введена новая категория степен-

Пусть R - произвольное ассоциативное кольцо ных R-групп (MR-групп) как естественное обобщение с единицей 1. В работе А.Г. Мясникова и В.Н. Ремес- на некоммутативный случай понятия R-модуля.

- 9

Herald of Omsk University 2018, vol. 23, no. 4, pp. 9-14

Напомним основное определение, следуя статьям [1; 2].

Пусть £=(•, 1,е _ групповой язык (сигнатура), где " • " - бинарная операция умножения,

1 - унарная операция обращения элементов группы, е - константный символ для единицы группы.

Обогатим группой язык £ до языка

С = Цг ^{/„(Э) „еЯ} , где /а(д) - унарная алгебраическая операция.

Определение 1. Множество в будем называть линдоновой Я-группой, если на нем определены

операции • , 1 , е, {/(д) аей} и выполнены аксиомы:

1) аксиомы группы;

2) для всех д,Лев и всех элементов а,РеЯ выполняются равенства:

д1 = д, д° = е, е„ = е;

да+Р= да^ дР , д^^ ;

При записи аксиом мы используем следующее соглашение: для краткости /а (д) будем записывать

в виде да, д ев, аеЯ .

Обозначим через Ц категорию всех линдоно-вых Я -групп. Так как аксиомы выше являются универсальными аксиомами языка £ , то Ц является

многообразием алгебраических систем языка Сдг и,

соответственно, из общих теорем универсальной алгебры следует, что можно говорить о многообразии Я-групп, об Я-гомоморфизмах, Я-изоморфизмах, о свободных Я-группах и так далее.

Определение 2. Пусть в,Н еЦ . Тогда гомоморфизм ф: в ^Н называется Я-гомоморфизмом, если ф(да)=ф(д)а для любых дев, аеЯ .

Существуют абелевы линдоновы Я -группы, не являющиеся Я-модулями (см. [3], где подробно исследована структура свободной абелевой Я-груп-пы). В работе [1] А.Г. Мясников и В.Н. Ремесленников добавили к аксиомам Линдона дополнительную аксиому (квазитождество):

(МЯ) (Vд,Л е С) (а е Я) [д,Л] = е ^ (дЛ)„ = даЛа , (4) где [д,Л]=д~1И~1дЬ .

Определение 3. Группу G будем называть MR-группой, если на G определена операция да для всех geG и при этом выполнены аксиомы (1)-(4).

Обозначим через Mr класс всех степенных R-групп с аксиомами (1)-(4). Ясно, что этот класс является квазимногообразием в языке L и в нем

снова есть понятия свободной MR-группы, R-гомо-морфизма и т. д., и кроме того, выполнено свойство: каждая абелева MR-группа является R-модулем и наоборот.

Большинство естественных примеров степенных R-групп лежат в классе Mr:

1) любая группа является MZ-группой;

2) делимая абелева группа является MQ-груп-

пой;

3) группа периода n является М^/^)-группой;

4) модуль над кольцом R является абелевой MR-группой;

5) произвольная про-р-группа является MZp-группой над кольцом целых р-адических чисел Zp;

6) произвольная нильпотентная степенная R-группа над биномиальным кольцом R (холлова R-группа), введенная Ф. Холлом в [4], является MR-группой.

Замечание 1. Степенные R-группы с дополнительной аксиомой М.Г. Амаглобели и В.Н. Ремесленников в работе [5] назвали MR-группами (R-кольцо).

Нильпотентные группы. Пусть c > 1 - натуральное число. Обозначим через Nc,r категорию нильпотентных R-групп ступени нильпотентности с из класса L, т. е. всех R-групп, в которых выполняется тождество

V хг,...,хс+1 [х1,...,хс+1] = е,

а через N°Ä категорию нильпотентных R-групп ступени с, в которых выполняется аксиома (MR). Структура R-групп без аксиомы (MR) очень сложна, поэтому в большинстве работ изучаются только R-груп-пы со свойством (MR). Далее в статье мы будем рассматривать только R-группы с этой аксиомой.

Холловы нильпотентные R-группы ([4]). Для того чтобы ввести это понятие, нам необходимо ограничить класс рассматриваемых колец.

Определение 4. Кольцо R называется биномиальным кольцом, если R - область целостности, содержащая Z в качестве подкольца, и с каждым элементом аеЯ включает все биномиальные коэффи-

а

циенты С"=—-—i-(iEN.

а n!

Примерами биномиальных колец являются любое поле нулевой характеристики, кольцо многочленов над таким полем и кольцо целых чисел.

Определение 5. Нильпотентная группа G ступени нильпотентности с называется R-группой (здесь R - биномиальное кольцо), если для любого aefi и xeG единственным образом определен элемент xа eG и для всех элементов группы G и кольца R выполнены следующие аксиомы (х, у,х1,...,хп eG,a,ßeR):

1) x1 = x, xa+p = xa xp, x ap=( x a)p;

2) (у 1 xy )"= у 1 xay;

3) < • • X =(x1-.-xf x2(Xf   -тс(Xf , где X = {x1---x„}, тДх) -k-e слово Петреску.

Напомним, что для любого натурального k рекурсивно определяется k-е слово Петреску формулой

xi...x:=T1(X)c42(xf...T,_1(xf1T,(X)ci в свободной группе F с порождающими х1---хп. В частности,

n

т1(Х)=х1---х„, т2(Х)= Y\ [xi,x;]mody3(F)/

i> ¡, i ,i=i

где y3(F) - третий член нижнего центрального ряда группы F . Обозначим категорию холловых R-групп через HNcR .

Покажем, что структура групп из NcR очень сильно отличается от структуры холловых R-групп из класса HNcR. Для этого приведем структуру свободной R-группы в многообразии HNcR, следуя работе

[5]. Мы ограничимся рассмотрением двух биномиальных колец R = Q[t], R = Q(t). Обозначим через G0 свободную 2-ступенно нильпотентную R-группу с порождающими x и у . Хорошо известно, что мальцев-ская база этой группы состоит из трех элементов x, y, [y,x]. Общий вид элемента geG0 следующий:

g = x1 у5[у,x]s, у,8,sefi . В частности, в этой группе коммутант G'0 является свободным R-модулем ранга 1 с порождающим [у,x]. Если теперь G - свободная R-группа в многообразии N°R, то в работе [5]

показано, что G' является свободным R-модулем бесконечного ранга, и найдена база этого модуля.

Систематическое изучение MR-групп начато в работах [5-11]. Отметим, кстати, что результаты этих работ оказались весьма полезны при решении из-

вестных проблем Тарского. Настоящая статья посвящена изучению частичных степенных МЯ-групп, которые изоморфно вкладываются в свое тензорное пополнение над кольцом Я. Ключом к ее пониманию является понятие тензорного пополнения, введенное в [1]. Как следствие получено описание свободных МЯ-групп и свободных МЯ-произведений на языке групповых конструкций.

2. Тензорное пополнение

Здесь, следуя [1], вводится основная операция в классе степенных МЯ-групп. Она естественно обобщает на некоммутативный случай понятие расширения кольца скаляров для модулей.

Определение 6. Пусть G - МЯ-группа, ц: Я ^ 5

- гомоморфизм колец. Тогда М5-группа Gs называется тензорным 5-пополнением МЯ-группы G, если G удовлетворяет следующему универсальному свойству:

1) существует Я-гомоморфизм X: G ^Gs такой, что ) МБ порождает Gs, т. е. (Х^= G5;

2) для любой МБ-группы Н и любого Я-гомо-морфизма ф: G ^Н, согласованного с ц (т. е. такого, что ф(да)=ф(д), существует Б-гомомор-

физм у: Gs ^ Н, делающий коммутативной следующую диаграмму

H

>

ф

(А ф = <р).

В [1] доказано, что для любой МЯ-группы G и любого гомоморфизма ц : R ^S тензорное пополнение GS всегда существует и оно единственное с точностью до изоморфизма. Там же показано, что если G - абелева МЯ-группа, то GS = GS - тензор-

R

ное произведение Я-модуля G на кольцо S.

Операция тензорного пополнения перестановочна с операциями прямого произведения и взятия прямого предела и, вообще говоря, не перестановочна с операциями декартова произведения и взятия обратного предела [7]. Перестановочность тензорного пополнения с прямыми пределми позволяет многие вопросы о пополнениях сводить к случаю конечно порожденной группы. Действительно, пусть {G,. (/' е I); nj J - прямой спектр группы G, составленный из конечно порожденных групп G . Тогда G = limG/ и Gs=limG,s.

Построение тензорного пополнения данной группы удобно вести по шагам, постепенно «доопределяя степени». Это приводит к понятию частичной МЯ-группы. Также к частичным МЯ-группам приводят некоторые групповые операции над МЯ-группами. Пусть Я - кольцо, в - группа.

Определение 7. Группу в будем называть частичной МЯ-группой, если возведение в степень определено для некоторых пар (д,а), но не обязательно для всех пар; причем если определена одна часть равенства в аксиомах (1)-(4), то определена и другая часть, и для них выполняются аксиомы (1)-(4) в определении МЯ-группы.

Класс частичных МЯ-групп будем обозначать через р . Например, если Я - подкольцо кольца 5, тогда любая МЯ-группа является частичной М5-группой.

На протяжении всей статьи будем предполагать, что кольцо я в качестве подкольца содержит кольцо целых чисел Z. Пусть в - частичная МЯ-груп-па, т. е. в ер .

Определение 8. Будем говорить, что группа в является точной относительно кольца Я, если гомоморфизм X: в ^вя является вложением.

Определение 9. Будем говорить, что группа в является точной, если она является точной относительно любого кольца, содержащего Z.

Пусть Я - кольцо, р0 - категория частичных МЯ-групп. По определению группа в из р принадлежит р0, если выполнены следующие условия:

1) для любой максимальной абелевой подгруппы М из в и любого х <£М пересечение М п Мх = е;

2) канонический гомоморфизм у: М ^МЯ

я

является вложением.

Основной является

Теорема 1 (анонсирована в [15]). Пусть Z -подкольцо кольца я и группа в еР°, причем в в и я+ (аддитивная группа кольца я) нет элементов порядка 2. Тогда группа вя точна, т. е. гомоморфизм X: в ^ вя является вложением.

При доказательстве этой теоремы используется способ построения тензорного пополнения, основанный на конструкции свободного произведения групп с объединенной подгруппой, и техника комбинаторной теории групп (см. [14]). Данная теорема дает достаточное условие для точности тензорного пополнения. Заметим, что условие 1) из определения

класса р0 является также необходимым. В классе р0 содержатся свободные группы. Он замкнут относительно прямых пределов, свободных произведений и расширений специального вида. Важным следствием из этой теоремы является точность тензорного пополнения для кольца R, содержащего кольцо целых чисел Z. Для конкретных колец, например, для тел нулевой характеристики и кольца многочленов R=Z[x1,...,xn] с целыми коэффициентами, эта теорема доказана в работах [16; 17].

Замечание 2. Определим класс групп ТЦ , более широкий, чем класс р0. Будем говорить, что группа G еРя*, если для любой ее максимальной подгруппы M выполнено условие: M либо R-мо-дуль, либо M удовлетворяет условиям 1) и 2) в определении класса р0. Тогда основная теорема справедлива и для групп класса р*.

3. Свободные произведения МЯ-групп

Сформулируем понятие свободной MR-груп-пы. Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей 1, X - произвольное множество.

Определение 10. MR-группа FR (X) с множеством R-порождающих X называется свободной МЯ-группой с базой X, если выполнено следующее условие: для каждой MR-группы G произвольное отображение ф0: X ^G продолжается до R-гомо-

морфизма ф: FK (XG . Множество X называется множеством свободных МЯ-порождающих FR (X). Мощность XI называется рангом группы FR (X).

Теорема 2. Для любых X и R свободная MR-группа существует и единственна с точностью до R-изоморфизма.

< Пусть F(X) - свободная группа в классе

всех групп. Тогда ее тензорное MR-пополнение является свободной MR-группой с базой Х. Действительно, пусть ф0: X ^G - произвольное отображение из X в МЯ-группу G:

сF(X)Y

Тогда ф0 продолжается до гомоморфизма Фх: F(Х)^в по свойству свободной группы, а последнее отображение продолжается до Я-гомомор-

ISSN 1812-3996-

физма ф: (F(X))R ^G . Следовательно, (F(X))R -

свободная MR-группа с базой X.

Единственность следует из единственности тензорного пополнения. >

Сформулируем следствие из основной теоремы 1 и теоремы 2.

Следствие. Пусть R - кольцо, содержащее Z в качестве подкольца. Тогда свободная группа F(X) точна относительно кольца Z. Другими словами, F (X) является подгруппой FR (X).

<i По теореме 2 FR (X) = (f(X))R. Так как F(X)eVr и не содержит инволюций, то по теореме 1 гомоморфизм X : F(X)^(f(X))R является

вложением. >

Введем конструкцию свободного произведения в категории MR -групп.

Определение 11. Пусть G, ' е/, - MR-группы. MR -группа *G(. называется свободным произведе- *G. существует частичный R-гомоморфизм

ных произведений, то к нему можно применить конструкцию тензорного пополнения. Пусть

X: *в(. ^(*в(.)я - гомоморфизм из определения тензорного пополнения. Обозначим через ф(.=Хоф°, / е/. Тогда ф : в(. ^(*в(.)я есть совокупность Я-го-моморфизмов. Пусть у,: в ^Н, / е/, - произвольные Я-гомоморфизмы. Для того чтобы доказать, что группа (*в1 )я является свободным произведением

в категории Мя (т. е. доказать, что = (*в)я), должны замкнуть диаграмму

мы

до коммутативной.

По определению свободного произведения

нием в категории Мя, если Я-гомоморфизмы

Ф :в таковы, что для любых Я-гомомор-

я

физмов ф.: в ^Н, где Н - произвольная МЯ-груп-па, существует Я-гомоморфизм у: *в1 ^ Н, делаю-

щии коммутативными следующие диаграммы:

*G.

MR порождается множеством

{ф/(в),9 ев,/ е/} .

Из категорных соображений следует, что

группа определена однозначно с точностью до

я 1

Я-гомоморфизма.

Теорема 3. Пусть Я - кольцо, содержащее кольцо целых чисел Z в качестве подкольца, в, ' е/ - некоторое множество МЯ-групп. Тогда 1) *в, =(*в,. )я;

2) гомоморфизм X: *в! )" является вло-

жением.

с Пусть ф0:в - канонические вложе-

ния. Так как класс Ря замкнут относительно свобод-

Ф: ^Н. В силу универсального свойства тензор-

я

ного пополнения существует Я-гомоморфизм у, продолжающий ф . Он и будет искомым. Свойство

порождаемости (*б(. )я образами ф(в) также выполнено, а потому (*в)я является свободным произведением в М, т. е. = (*в )я.

Для доказательства того, что X есть вложение, достаточно доказать, что группа еР° (см. замечание 2). Последнее легко следует из теоремы Ку-роша о подгруппах свободного произведения. >

Теорема 4. Класс Рк° замкнут относительно свободных произведений.

< Пусть в, / е/ - семейство групп из Рк° и X : в ^вя - гомоморфизмы из определения тензорного пополнения. По условию они являются вложениями. Отсюда следует, что гомоморфизм X: в также является вложением. По пункту 2)

теоремы 3 гомоморфизм ф: в" есть вложе-

я

ние, а по пункту 1) этой теоремы ) . От-

сюда и следует доказательство теоремы. с>

и

R

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 4. С. 9-14

-ISSN 1812-3996

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Степенные группы. I. Основы теории и тензорные пополнения // Сиб. матем. журн. 1994. Т. 35, № 5. С. 1106-1118.

2. Lyndon R. C. Groups with parametric exponents // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. Vol. 96. P. 518-533.

3. Baumslag G. Free abelian x-groups// Illinois J. Math. 1986. Vol. 30, no. 2. P. 235-245.

4. Холл Ф. Нильпотентные группы. Математика: сб. переводов. 1968. Т. 12, № 1. С. 3-36.

5. Myasnikov A. G., Remeslennikov V. N. Exponential groups. II. Extensions of centralizers and tensor completion of CSA-groups // Internat. J. Algebra Comput. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 687-711.

6. Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Discriminating completions of hyperbolic groups. Dedicated to John Stallings on the occasion of his 65th birthday // Geom. Dedicata. 2002. Vol. 92. P. 115-143.

7. Amaglobeli M. G. On the permutability of a functor of tensor completion with principal group operations // Appl. Math. Inform. Mech. 2010. Vol. 15, no. 1. P. 3-10.

8. Amaglobeli M., Bokelavadze T. Abelian and nilpotent varieties of power groups // Georgian Math. J. 2011. Vol. 18, no. 3. P. 425-439.

9. Amaglobeli M. Power groups // J. Math. Sci. 2012. Vol. 186, no. 6. P. 811-865.

10. Амаглобели М. Г., Ремесленников В. Н. Свободные 2-ступенно нильпотентные R-группы // Доклады Академии наук. 2012. Т. 443, № 4. С. 410-413.

11. Амаглобели М. Г., Ремесленников В. Н. Расширения централизаторов в нильпотентных группах // Сиб. матем. журн. 2013. Т. 54, № 1. С. 8-20.

12. Amaglobeli M., Remeslennikov V. Algorithmic problems for class-2 nilpotents MR-groups // Georgian Math. J. 2015. Vol. 22, no. 4. P. 441-449.

13. Амаглобели М. Г., Ремесленников В. Н. Основы теории многообразий нильпотентных MR-групп // Сиб. матем. журн. 2016. Т. 56. С. 1197-1207.

14. Амаглобели М. Г. Функтор тензорного пополнения в категориях MR-групп // Алгебра и логика. 2018. Т. 57, № 2. С. 137-149.

15. Амаглобели М. Г. Степенные MR-группы: точное R-пополнение // Доклады Академии наук. 2019. (принято к печати).

16. Baumslag G. On free D-groups // Comm. Pure Appl. Math. 1965. Vol. 18. P. 25-30.

17. Полин С. В. Свободные разложения в многообразиях X -групп // Матем. сб. 1972. Т. 87, № 129. С. 377395.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Амаглобели Михаил Георгиевич - доктор физико-математических наук, профессор, профессор департамента математики, Тбилисский государственный университет им. Ив. Джавахишвили, 0186, Грузия, г. Тбилиси, ул. Университетская, 2; Почетный доктор Омского государственного университета им. Ф. М. Достоевского; e-mail: mikheil.amaglobeli@ tsu.ge.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Амаглобели М. Г. Исследования по степенным MR-группам // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 4. С. 9-14. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).9-14.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Amaglobeli Mikheil Georgievich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Professor in Mathematical Department, Ivane Javakhishvili Tbilisi State University, 0186, Georgia, Tbilisi, Universi-tetskaya st., 2; Honorary doctor of Dostoevsky Omsk State University; e-mail: mikheil.amaglobeli@tsu.ge.

FOR QTATIONS

Amaglobeli M.G. Studies of Exponential MR-groups. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 4, pp. 9-14. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(4).9-14. (in Russ.).