Влияние ветра на развитие термобара и течений в небольшом водоеме в период таяния ледового покрова

Влияние ветра на развитие термобара и течений в небольшом водоеме

в период таяния ледового покрова

Н. С. Блохина

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики моря и вод суши. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: blokhinans@gmail.com

Статья поступила 11.04.2013, подписана в печать 30.04.2013.

В работе с помощью математического моделирования исследуется влияние ветра на развитие термобара и сопутствующих ему течений в водоеме в период таяния ледового покрова. Рассматриваются термогидродинамические процессы в водоеме, частично покрытом льдом в центральной части. Показано, что ветровое воздействие имеет существенное влияние на структуру течений. Скорость и направление ветра определяют поведение и время жизни вихревых структур в водоеме, местоположение зоны их схождения и изотеры 4° C. Показано, что трактовка термобара как области схождения водных масс в районе изотермы 4° C неправомерна уже при небольших скоростях ветра.

Ключевые слова: математическое моделирование, термобар, температура максимальной плотности, конвекция, ветровое воздействие, ледовый покров.

УДК: 532.517, 51-73, 556. PACS: 92.40.Су.

Введение

К числу явлений, которые оказывают существенное влияние на термогидродинамические процессы в водоемах, относится конвективное перемешивание, возникающее вследствие плотностной неустойчивости водных масс в период весеннего прогрева и осеннего охлаждения пресных водоемов и слабосоленых морей (до 24% ). Эта неустойчивость связана с нагревом весной или охлаждением осенью поверхностных вод до температуры максимальной плотности (в пресных водоемах 4 ° С) и с образованием в этой связи фронтального раздела — термобара.

Термобар (термический бар, ТБ) представляет собой узкий вертикальный фронт в водоеме от поверхности до дна с температурой воды в нем, равной температуре максимальной плотности (рис. 1). Он разделяет водоем на две зоны с разными видами вертикальной стратификации температуры, в которых наблюдаются вихревые структуры, сходящиеся в районе термобара. Термобар ограничивает обмен веществом между этими зонами, что, с одной стороны, способствует интенсивному нагреванию вод и накоплению биогенных элементов в прибрежной части озера, а с другой — препятствует распространению загрязнений из прибрежной зоны,

н о

ж-"

1 Фронт термоба за

я? 7LГ /

Рис. 1. Схематичное представление расчетной области и циркуляционных структур в водоеме в период существования в нем термобара. H — глубина водоема, L1 и L — ширина водоема по поверхности и дну соответсвенно

влияя в целом на экологическое состояние водоема. Термобар может существовать от нескольких дней до нескольких месяцев (в зависимости от размера водоема). В связи с этим изучение термогидродинамических процессов в водоемах в период существования в них термобара представляет большой научный и практический интерес.

Современное состояние исследований этого явления характеризуется большим количеством натурных измерений, начиная с первых работ Фореля на Женевском озере [1] и Тихомирова на Ладожском озере [2], единичными лабораторными экспериментами и небольшим числом математических моделей, описывающих реальный процесс.

Во всех имеющихся теоретических работах по изучению температурных распределений и течений в водоеме в период существования в нем термобара рассматриваются случаи, когда водоем полностью свободен ото льда. К ним можно отнести ряд работ [3-10] и др.

Однако, как показано в работе [11], термогидродинамические процессы в водоеме, свободном ото льда и еще полностью от него не освободившемся в период возникновения термобара, существенно отличаются. Кроме того, воздействие ветра на водную поверхность в период формирования термобара оказывает сильное влияние на систему течений в водоеме. Влияние ветра на конвективные процессы в верхнем слое водоема исследовалось в работах [12-14]. Влиянию ветра на развитие термобара, зародившегося в водоеме, свободном ото льда, посвящены работы [4, 15-16]. Однако аналогичных работ для водоемов, в которых течения и термобар сформировались в период таяния ледового покрова, не проводилось.

В настоящей работе с помощью математического моделирования исследуются влияние ветра на развитие термобара и термогидродинамические процессы в пресном небольшом водоеме в период таяния ледового покрова. Предложенная модель является развитием модели, описанной в работах [17, 18].

Особенности температурного распределения и структуры течений в водоеме, свободном и частично покрытом льдом в момент формирования весеннего термобара

Как показано в работе [11], картина течений и температурное распределение в водоеме, частично покрытом и свободном ото льда, в момент существования термобара в прибрежной области существенно различаются. На рис. 2 представлены поля распределения температуры Т и функции тока ф для случая водоема, свободного ото льда (а) и частично покрытого льдом (б), через 8.5 ч после зарождения термобара у берега и дальнейшего прогрева водоема. На всех представленных ниже рисунках шаг сетки по вертикали равняется 0.8 м, а по горизонтали 10 м.

В случае (б) в момент начала прогрева водоема лед находился в центральной части и распространялся к берегу на 50 м. Через 8.5 ч лед полностью растаял. По рис. 2 видно, что месторасположение термобара в этих двух случаях остается одинаковым. Распределение изотерм во всей области, исключая центральную часть, схоже. Отличие лишь в их наклоне. Ближе к центру водоема (случай б) наблюдается значительный градиент температуры по горизонтали. Размер конвективных вихрей справа и слева от термобара в случаях а и б остается одинаковым. Однако во втором случае внутри антициклонического вихря, охватывающего водоем от центра до термобара, в его центральной части существует интенсивный глубинный вихрь (ГВ). Этот вихрь зародился у кромки льда и после его полного таяния занял область в 3-4 раза больше начальной длины ледового покрова. Именно этот вихрь способствует возникновению большого горизонтального градиента температуры в центре водоема, что замедляет его прогрев и перемещение термобара от берега в глубинную часть озера.

Постановка задачи

Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости в области, представленной на рис. 1. Она соответствует половине водоема, симметричного относительно вертикальной оси Х3. Водоем имеет наклонное дно. Ширина водоема по поверхности равна Ь1, а по дну водоема Ь. Глубина водоема равна Н. Водоем вы-

тянут вдоль фронта термобара (оси Х1). Считается, что движение жидкости описывается уравнениями гидродинамики в приближении Буссинеска, теплопроводности и неразрывности. Уравнение состояния учитывает квадратичную зависимость плотности воды от температуры в области 4°С:

р(Т) = Р0(4° С) - Р0(4° С) 7 (Т - 4° С)2,

где 7 = 0.0000075 град-2, р0(4°С) — плотность воды при температуре 4° С.

Над свободной поверхностью водоема вдоль оси Х2 (перпендикулярно фронту термобара) дует постоянный по величине и направлению ветер. На границе раздела водоем-атмосфера учитывается суммарный поток тепла, состоящий из радиационного, длинноволнового, скрытого и явного потоков.

Основываясь на данных натурных наблюдений, можно предположить, что термобар распространяется к центру водоема параллельно берегу, и все термогидродинамические характеристики в этом направлении практически однородны. Это позволяет перейти к решению двухмерной задачи. Считается, что крупномасштабные конвективные структуры, возникающие справа и слева от термобара, формирются в турбулентной среде. Для выделения крупномасштабных структур в турбулентной среде система уравнения термогидродинамики преобразуется согласно методике, предложенной в работе [19]. Подробно вывод окончательной системы уравнений и уравнения замыкания дан в работах [13, 18]. При этом учитывалась однородность движения вдоль оси Х1 , что позволило записать исходную систему уравнений в переменных функции тока ф и вихря р. В безразмерном виде она примет следующий вид:

др / дф др д1 \ дх3 дх2

дф др дх2 дх3

)

+ Ш - 2(Т - Т.)£

2

дТ / дф дТ д1 \дх3 дх2 Дф = р.

дф дТ дх2 дх3

\ = /дТ дгл

)=Чдх2 + дх2;

а

20 30

10 20 30 40 50 60

Рис. 2. Поля распределения температуры Т и функции тока ф для случая водоема свободного ото льда (а) и частично покрытого льдом (б) через 8.5 ч после зарождения термобара у берега и дальнейшего прогрева

водоема. Скорость ветра V = 0

Функция тока ф введена следующим образом: и2 = дф/дх3, и3 = —дф/дх2 (и2 и и3 — скорости движения жидкости вдоль соответствующих координат).

Здесь Т4 — безразмерное значение температуры максимальной плотности пресной воды. При введении безразмерных переменных приняты: масштаб размеров Ьт = Н — глубина водоема; скорости Ут = \J~gH; времени t = \ДН7ё); масштаб коэффициента турбулентной вязкости рт = Н^/аН; температуры Тт = 1/^7.

Для замыкания системы уравнений и вычисления коэффициента турбулентной вязкости ъ*Т используется известное соотношение иТ = С £1/3Н 4/3 . Скорость диссипации турбулентной энергии е находится из уравнения баланса турбулентной энергии. В безразмерном виде уравнение замыкания имеет следующий вид:

М2 =

{н^Ои)

С!

5

/ д2ф \ \дх2 дхз )

+

/ д2ф д2ф\ 2

дх2 дх3) \ дх! дх|)

2

- (Т — Т4) £

дх3

йэ,

где э — площадь области решения задачи, С — эмпирический коэффициент.

Граничные условия для системы уравнений записываются следующим образом.

На дне водоема и правой наклонной боковой границе условия прилипания и непроницаемости для скорости и отсутствия потока тепла соответственно имеют вид

дф д2ф ^ дТ ^ дф д2ф ^ дТ ^ дх2 дх2 ' дх3 дп дп2 ' дп

На левой границе области задано условие симметрии для всех переменных

= 0 , ф = 0 , р = 0.

дх2

На верхней границе граничные условия примут вид

дТ ь дф п д2ф п.. V.2

= ~= 0 , Р = = Ть =

3

дх

2

дх32

Р0М

где Qb = Q/Q1 (в качестве масштабов потоков принята величина Ql = /у/вор^л/Ш). Vb = V/у^Н — безразмерная скорость ветра, ра — плотность воздуха.

Здесь поток Q = QR+Qs+QL+Qiw состоит из: QR — потока радиации, поступающего от Солнца; потоков явного и скрытого тепла [13] Qs = раврСТ(Т — ТаV и QL = LCq(q — да^ = LCq ((1 — /)Ф(Та) + §(Т — Та)) V; Qiw = йш а(ТАк + Т )(0.39 — 0.05(Е (Та)*/)1/2)(1 — 0.6п2) — потока длинноволнового излучения с поверхности воды (ТК = 273.15 К), учитывающего облачность и обратную радиацию в отсутствие облаков [20, 21]. Здесь йш = 0.93 — излучающая способность воды; а = 5.67^ 10-8 Вт/м2-К4 — постоянная Стефана-Больц-мана; во — теплоемкость воды; вр — теплоемкость воздуха при постоянном давлении; СТ и Сч — коэффициенты Стентона и Дальтона для переноса тепла

и влаги, Со — коэффициент трения; L — скрытая теплота парообразования; Та и — температура и удельная влажность воздуха; Т и д — температура поверхности воды и удельная влажность вблизи ее поверхности; V — скорость ветра над поверхностью водоема; Ф — насыщающая влажность воздуха при данной температуре; Е — насыщающая упругость водяного пара; / — относительная влажность воздуха; п — балл облачности.

Параметры задачи

В работе проведен анализ влияния ветра различной силы и направления на структуру течений в водоеме и местоположения термобара в нем. Время воздействия ветра на водную поверхность составляло t = 0.28 ч. Ледовый покров расположен в центре водоема и имеет длину 50 м и толщину 1 см. Начальные поля распределения температуры Т, функции тока ф и вихря р соответствуют случаю, когда лед еще не растаял, но термобар и сопутствующие ему течения уже зародились в прибрежной области водоема. Эти поля близки к соответствующим распределениям на рис. 3, V = 0.

Термогидродинамические процессы рассматриваются в водоеме глубиной Н = 20 м и шириной 750 м (половина водоема). Скорость ветра принимает значения: V = 1, 3, 5, 7 м/с. Направление ветра задается в двух направлениях: к берегу (рис. 3, а) и от берега (рис. 3, б). Скорость ветра, направленного от берега, при описании результатов расчетов будем писать со знаком минус. Температура атмосферы принимается равной Та = 8 ° С; относительная влажность воздуха / = 60%, балл облачности п = 0. Поток солнечной радиации, поступающей на поверхность водоема, равняется QR = 450 Вт/м2.

Задача решается численно. Система уравнений (1)-(3), граничные условия (5)-(7), уравнение замыкания (4) записываются в конечно-разностном виде с использованием центральных разностей для аппроксимации пространственных и односторонних для временных производных. Используется явная конечно-разностная схема. Уравнение Пуассона решается методом последовательной верхней релаксации. Расчеты проводятся на сетке 26 х 75.

Обсуждение результатов математического моделирования

Поток солнечной радиации, поступающий на поверхность водоема, способствовал продвижению термобара от берега к центральной его части. За время расчетов t = 0.28 ч ледовый покров в центре водоема не успел растаять. При отсутствии ветрового воздействия на поверхность воды структура течений и распределение температуры в водоеме через t = 0.28 ч представлены на рис. 3 (V = 0). В этом случае в водоеме образуются две циркуляционные ячейки, сходящиеся в районе термобара (изотермы 4°С). Прибрежная конвективная ячейка вращается против часовой стрелки, а глубинная — по часовой, внутри которой существует глубинный вихрь, вращающийся в том же направлении.

Ветровое воздействие существенно изменяет структуру течений. При ветре, направленном к берегу (рис. 3, а), друг другу противостоят две силы. Сила,

2

ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2013. № 4 а б

Ом/с

Ф

10 20 30 40 50 60 70

10 20 30 40 50 60 70

1 м/с

3 м/с

5 м/с

10 20 30 40 50 60 70

10 20 30 40 50 60 70

25 20 15 10 5

Ф

10 20 30 40 50 60 70

10 20 30 40 50 60 70

А

10 20 30 40 50 60 70

Ф

10 20 30 40 50 60 70

10 20 30 40 50 60 70

7 м/с

10 20 30 40 50 60 70

Рис. 3. Поля распределения температуры Т и функции а — ветер направлен к берегу, б

Ф

10 20 30 40 50 60 70

тока ф для скоростей ветра V = 0, 1, 3, 5, 7 м/с: — ветер направлен от берега

связанная с плотностной неустойчивостью (вследствие аномальной зависимости плотности воды от температуры), приводит к образованию термобара и конвективных структур справа и слева от него. Прогрев водоема способствует перемещению термобара к центру водоема. Этой силе противодействует сила, связанная с ветровым воздействием, направленная к берегу. Как видно из рис. 3, а, при V = 1 м/с ветровое воздей-

ствие оказывает небольшое влияние на перемещение термобара и размер вихревых структур по обе стороны от него. При увеличении скорости ветра до 5 м/с прибрежный вихрь еще существует. Однако он уменьшается в размере и смещается к берегу. При V = 7 м/с он полностью исчезает. Таким образом, уже при небольших скоростях ветра, направленного к берегу (V = 3 м/с), и непродолжительном времени

его воздействия на водную поверхность (I = 0.28 ч) силы, связанные с напряжением трения ветра, подавляют конвективный прибрежный вихрь. Изотерма 4 ° С, которая при отсутствии ветрового воздействия определяла месторасположение термобара, за это время практически не смещается к центру водоема.

При ветре, направленном от берега (рис. 3, б), плот-ностная неустойчивость, способствующая перемещению термобара от берега, и ветровое воздействие оказывают влияние в одном направлении. При V = -1 м/с прибрежный вихрь увеличивается в размере по сравнению со случаями V = 0 и 1 м/с. Область опускания поверхностных вод перемещается к центру водоема. Усиление скорости ветра до V = -3 м/с способствует также увеличению прибрежного вихря. На поверхности водоема он достигает глубинного вихря (ГВ), сформировавшегося в районе ледового покрова (внутри антициклонического вихря слева от ТБ). При скоростях ветра V = -5 и -7 м/с циклонический прибрежный вихрь полностью занимает область водоема от берега до ГВ. При скорости ветра V = -7 м/с изотерма 4° С смещается на 50 м ближе к центру водоема по сравнению с ее перемещением в случае скорости ветра V = 0.

Сравнение случаев V = 1 м/с (рис. 3, а) и V = -1 м/с (рис. 3, б) показывает, что даже небольшой по силе ветер меняет картину течений в водоеме. Образовавшиеся вихри имеют разный размер и разный наклон в области их схождения в соответствии с направлением ветра. В случае увеличения скорости ветра, направленного к берегу, антициклонический вихрь постепенно захватывает весь водоем, сохраняя при этом в центре глубинный вихрь, который постепенно становится менее интенсивным. В противном случае прибрежный циклонический вихрь постепенно увеличивается в размере и охватывает водоем до границы ГВ, который, в свою очередь, препятствует дальнейшему его распространению к центру.

Исходя из полученных расчетов была произведена оценка скорости перемещения области дивергенции водных масс Vd. На рис. 4 представлен график, отражающий эту зависимость. Если ветер направлен к берегу, то скорость перемещения области схождения вихрей практически линейно увеличивается с увеличением скорости ветра.

Если ветер направлен от берега, то наблюдается два интервала скоростей ветра, характеризующих разную

Ъ, 0.2

0 -0.2 -0.4 -0.6

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 V, м/с

Рис. 4. Скорости перемещения области дивергенции водных масс Vd в зависимости от направления и скорости ветра V через t = 0.28 ч после начала его воздействия на водную поверхность. Отрицательные значения V соответствуют случаю, когда ветер направлен от берега

скорость перемещения области схождения вихрей. При небольших скоростях ветра порядка V = -1 м/с скорость перемещения (по модулю) области дивергенции примерно такая же, что и при положительной скорости ветра V = 1 м/с. С увеличением скорости ветра до V = -3 м/с происходит резкий скачок в скорости перемещения области дивергенции вихревых структур. Если при скорости ветра V =-1 м/с она приблизительно равна 0.02 см/с, то при V = -3 м/с она увеличивается до 0.446 см/с. Наблюдается быстрая стадия распространения прибрежной циркуляции к центру водоема и достижения им глубинного вихря, зародившегося ранее у кромки льда. После достижения прибрежным вихрем холодного глубинного вихря скорость его распространения к центру водоема резко замедляется. При увеличении скорости ветра от -3 до -7 м/с область схождения вихревых структур приближается к центру водоема всего на 30 м. Для того чтобы прибрежный вихрь быстрее вытеснял ГВ, необходим как более мощный прогрев водоема, так и более интенсивный ветер над его поверхностью. Отметим, что влияние глубинного вихря на месторасположение области дивергенции водных масс существенно сказывается лишь в случае ветра, направленного от берега (в сторону распространения изотермы 4°С).

Анализ результатов расчетов показал, что с увеличением скорости ветра область дивергенции водных масс и фронтальный раздел с температурой максимальной плотности (термобар) отстоят друг от друга на все большее расстояние. Таким образом, трактовка термобара как области схождения водных масс в районе изотермы 4 ° С неправомерна уже при небольших скоростях ветра.

Заключение

Показано, что ветровое воздействие имеет существенное влияние на структуру течений. Скорость и направление ветра определяют поведение и время жизни циркуляционных вихревых структур в водоеме, зону их схождения и месторасположение изотермы 4° С. При больших скоростях ветра, направленного от берега, в водоеме доминирует прибрежный циклонический вихрь, занимающий область водоема до глубинного вихря (зародившегося у кромки льда). После достижения им границы ГВ резко замедляется увеличение его размера и скорость его перемещения к центру водоема. В случае, когда скорость ветра направлена к берегу, прибрежная циркуляция постепенно вытесняется конвективным вихрем, зародившемся слева от термобара. При этом глубинный вихрь практически не влияет на картину течений. Показано, что трактовка термобара как области схождения водных масс в районе изотермы 4 ° С неправомерна уже при небольших скоростях ветра.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 11-05-01146-а).

Список литературы

1. Форель Ф.А. Руководство по озероведению (общая лимнология). СПб., 1912.

2. Тихомиров А.И. Термика крупных озер. Л.. 1982.

см/с

3. Elliot G.H. // Proc. 12th Conf. Great Lakes. Res. 1971. P. 545.

4. Malm J. Thermal Bar Dynamics — Springtime Thermo-and Hydrodynamics in Large Temperate Lakes. PhD. Dissertation. Rep. 1012. Dept. of Water Resources Eng., Lund University, Sweden, 1994.

5. Farroy D.E. // J. Fluid Mech. 1995. 303. P. 279.

6. Бочаров О.Б.,Овчинникова Т.Э. // Вычислительные технологии. 1996. 1, № 3. С. 21.

7. Квон В.И., Квон Д.В. // Вычислительные технологии. 1997.2, № 5. С. 46.

8. Цветова Е.А. // Метеорология и гидрология. 1997. № 9. C. 58.

9. Цыденов Б.О, Стрченко А.В. // Вестн. Томского гос. ун-та. Математика, механика. 2011. № 1. C. 120.

10. Farroy D.E. // Eur. J. Appl. Math. 2012. 24, N 2. P. 161.

11. Блохина Н.С., Орданович А.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2012. № 1. C. 113.

12. Блохина Н.С., Орданович А.Е. // Метеорология и гидрология. 1992. № 3. C. 31.

13. Блохина Н.С., Орданович А.Е. // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1994. 30, № 5. C. 686.

14. Блохина Н.С., Гусев А.М. // Океанология. 1988. 28, № 1. С. 65.

15. Блохина Н.С., Соловьев Д.А. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2006. № 3. С. 59.

16. Соловьев Д.А., Блохина Н.С. // Океанология. 2010. 50, № 6. C. 904.

17. Блохина Н.С., Орданович А.Е., Савельева О.С. // Водные ресурсы. 2001. 28, № 2. C. 224.

18. Блохина Н.С., Овчинникова А.В., Орданович А.Е. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2002. № 2. С. 60.

19. Ковалев В.А., Орданович А.Е. Физико-математическая модель турбулентного горизонтального стратифицированного потока с учетом когерентных структур. Ч. 1. Построение модели. Деп. ВИНИТИ № 2771-81. М., 1981.

20. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Т. 1. М., 1986.

21. Хргиан А.Х. Физика атмосферы. Л., 1969.

The influence of wind on the development of a thermal bar and currents in a small reservoir during melting of its ice cover

N. S. Blokhina

Department of Marine and Inland Water Physics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: blokhinans@gmail.com.

The effect of wind on the development of a thermal bar and the accompanying currents in a reservoir during the melting of its ice cover are studied based on mathematical modeling. The thermo-hydrodynamic processes in a reservoir that is partially covered with ice in its central part are considered. The wind is shown to have a significant impact on the structure of currents. The behavior and lifetime of vortex structures in the reservoir, the location of the convergence zone, and the 4° C isotherm are determined by the velocity and direction of the wind. The interpretation of the thermal bar as an area of convergence of water masses near the isotherm of 4 ° C is shown to be incorrect, even at low wind velocities.

Keywords: mathematical modeling, thermal bar, temperature of maximum density, convection, wind effects, ice cover. PACS: 92.40.Су. Received 11 April 2013.

English version: Moscow University Physics Bulletin 4(2013).

Сведения об авторе

Блохина Наталия Сергеевна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник, ст. науч. сотрудник; тел.: (495) 939-36-98, e-mail: blokhinans@gmail.com.