О влиянии эффекта Марангони на порог возбуждения параметрического резонанса под действием горизонтальных вибраций

Конвективные течения.... Вып. 2

О ВЛИЯНИИ ЭФФЕКТА МАРАНГОНИ НА ПОРОГ ВОЗБУЖДЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ВИБРАЦИЙ

М. А. Кокаровцева, А.А. Черепанов

Пермский государственный университет,

614990, Пермь, Букирева, 15

Исследуется влияние термокапиллярного эффекта на порог возбуждения параметрических волн на поверхности раздела сред под действием горизонтальных вибраций. Рассматривается двухслойная система сред с вертикальным градиентом температуры. Показано, что влияние эффекта Марангони на устойчивость плоской поверхности раздела сред существенно зависит от соотношения их коэффициентов температуропроводности. Если температуропроводность верхней среды меньше, чем нижней, то нагрев снизу всегда дестабилизирует поверхность раздела, а нагрев сверху затрудняет возбуждение параметрического резонанса. При обратном соотношении коэффициентов температуропроводности возможно стабилизирующее влияние термокапиллярности и при подогреве снизу.

ВВЕДЕНИЕ

Параметрические волны, возникающие при вертикальных вибрациях сосуда на поверхности изотермической жидкости или на поверхности раздела изотермических сред, исследованы достаточно подробно [1, 2]. Возбуждению волн на поверхности раздела невязких жидкостей горизонтальными вибрациями посвящена работа [3]. В работе показано, что в этом случае возбуждаются волны с частотой, равной частоте вибраций, а так называемые “полуцелые” резонансы, характерные для ряби Фарадея, отсутствуют. В работе [4]

© М. А. Кокаровцева, А.А. Черепанов, 2005

проведен численный расчет для сред, обладающих конечной вязкостью, и найден порог возбуждения параметрических волн, отсутствующий, естественно, в невязких средах. Показано, что и для вязких сред имеют место только “целые” резонансы.

В неизотермическом случае равновесие может стать неустойчивым под действием термокапиллярных сил. Возникающая при этом конвекция Марангони может, при определенных условиях, носить колебательный характер, причем возможна генерация поверхностных волн [5-9]. Взаимодействие параметрического и термокапиллярного механизмов при вертикальных колебаниях сосуда исследовано в [10, 11], при этом было установлено, что термокапиллярный эффект существенно влияет на порог возбуждения ряби Фарадея, в то время как обратный эффект влияния вибраций на порог возбуждения термокапиллярных волн выражен значительно слабее.

Целью настоящей работы является исследование влияния термокапиллярного эффекта на порог возбуждения параметрических волн горизонтальными вибрациями сосуда, содержащего двухслойную неизотермическую систему. Некоторые результаты, относящиеся к данной тематике, получены в [12]; в представленной здесь статье проведены более полные расчеты и дан анализ результатов.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть сосуд высотой 2И, содержащий две несмешивающиеся несжимаемые жидкости с плотностями р1 и р2 (р2 > р1), совершает горизонтальные вибрации по гармоническому закону с амплитудой Ь и частотой О . Горизонтальные размеры сосуда предполагаются большими по сравнению с толщиной слоев. Слой подогревается снизу, перепад температуры между твердыми стенками равен в.

Выберем декартову систему координат так, что ось г направлена вертикально вверх, а плоскость г = 0 совпадает с плоской невозмущенной границей раздела сред. Для простоты будем считать, что жидкости занимают одинаковые объемы, тогда в отсутствие вибраций тяжелая жидкость занимает область -И < г < 0 , а легкая -0 < г < И . Ось х направим вдоль оси вибраций.

Анализ уравнений Навье - Стокса, неразрывности, теплопроводности и граничных условий показывает, что задача имеет решение, соответствующее плоскопараллельному течению, при котором поверхность раздела остается плоской, а отлична от нуля только гори-

зонтальная компонента скорости, являющаяся функцией поперечной координаты и времени: и = и (г, t).

В общем случае решение имеет весьма громоздкий вид. Ограничимся случаем маловязких сред, когда |т| = |^//'о/%|  1, что означает малую толщину вязкого слоя Стокса по сравнению с толщиной слоев жидкостей. В этом приближении скорость плоскопараллельного течения имеет вид:

и1 = -1 ¡дАр

и2 =1 ¡дАр

где д = Ь/И — безразмерная амплитуда вибраций, Ар = р2 - р1 -разность плотностей нижней и верхней жидкостей, индекс “1” соответствует верхней жидкости, “2” — нижней.

Решение с плоской поверхностью раздела и плоскопараллельным потоком (1.1) — (1.2) существует при любых амплитудах вибраций, но следует ожидать, что вибрации резонансным образом могут возбудить колебания поверхности. Для анализа устойчивости найденного “основного” решения введем малые отклонения поверхности от горизонтали и связанные с этим возмущения давления, скорости и температуры. Будем рассматривать плоские периодические вдоль горизонтальной оси х с волновым числом к возмущения. Ограничиваясь линейной теорией устойчивости, получим для возмущений следующую систему уравнений для каждой из сред:

V + ¡ки^ = —— р + %

и + ¡кии + Vи =-—р + %

р

wг + ¡ки = 0

T -1 w + ikUT = X

где w и u — соответственно вертикальная и горизонтальная компоненты возмущений скорости, T и p — возмущения температуры и давления, нижние индексы означают дифференцирование по соответствующей переменной.

Решения (1.1) — (1.2) и (1.3) — (1.6) записаны в безразмерной форме, за единицу измерения длины выбрана величина lc = ,Js/(pl + р2)g , времени - со х, скорости - lca, давления -(Г + p2)l2w2 и температуры - в, где s - коэффициент поверхностного натяжения. В уравнения входят безразмерные характеристики жидкостей: коэффициенты вязкости - V = V / аИ], температуропроводности - % = X/ all и плотности сред - р = р /(р1 + р2).

Заметим, что в выбранных единицах р1 + р2 = 1, т.е. плотности жидкостей не являются независимыми. В дальнейшем значок тильды опустим.

Ввиду большого количества коэффициентов для простоты рассматривается модельная ситуация, когда жидкости имеют одинаковые коэффициенты кинематической вязкости и теплопроводности, но разные плотности и коэффициенты температуропроводности, что позволяет сохранить влияние вибраций и эффекта Марангони.

Нас интересует взаимодействие вибраций и эффекта Марангони, поэтому в уравнениях (1.3) — (1.6) опущены слагаемые, связанные с архимедовыми силами, т.е. считается, что объемным расширением жидкости можно пренебречь.

На возмущенной поверхности раздела жидкостей, которая описывается уравнением z = С(x, t), выполняются кинематическое условие, связывающее скорость смещения поверхности раздела сред с нормальной к поверхности компонентой скорости жидкостей, и условие непрерывности скоростей:

w = С + ikUZ, w] = С, + ikU2Z

u1 = u2 + iq(Ар)2 (

2 t it * -it me - me

)z

условие баланса нормальных напряжений с учетом капиллярного давления

а скачок касательных напряжений определяется термокапиллярным эффектом:

Кроме того, выполняется условие равенства температур и тепло-потоков:

Здесь О2 = Са(к3 + Арк) - собственная частота капиллярногравитационных волн.

Все граничные условия записаны в линеаризованном виде и снесены на невозмущенную поверхность раздела сред г = 0 . Они содержат следующие безразмерные параметры: Са = а /(р1 + р2)/с32

- капиллярное число, определяемое силами поверхностного натяжения, и Ма = ув/У(ОЇс (р1 +р2) - аналог числа Марангони, характеризующий влияние термокапиллярного механизма на движение сред.

Вдали от границы раздела сред возмущения должны затухать.

Задача для возмущений решается методом разложения по малому параметру е, пропорциональному безразмерной амплитуде вибраций. Анализ уравнений и граничных условий показывает, что коэффициенты вязкости и температуропроводности следует при этом считать малыми величинами четвертого порядка, разложение для и начинать с нулевого, а для ^, р, Т и £ — с первого порядка малости.

Рі (Мі2 + і^і ) = Р2 («22 + І^2 ) +

)С-ІкМа ^ 71 - \С)

V

2. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ТЕЧЕНИЯ

При исследовании устойчивости поверхности раздела сред удобно воспользоваться методом многих масштабов [13], для чего вводится иерархия времен:

где ^, t2 и т.д. — так называемые “медленные” времена.

Наряду с разными временными масштабами при малой вязкости сред возникает естественная разномасштабность в производных по вертикальной координате. В тонком вязком стоксовом слое вблизи поверхности раздела могут быть весьма велики производные по вертикальной координате. Поэтому наряду с (2.1) следует положить

Анализ уравнений и граничных условий показывает, что при выбранных выше порядках малости для диссипативных коэффициентов ряд (2.2) следует начинать с порядка е 2, при этом слагаемые

зависящими от слагаемыми ввиду того, что первые затухают в тонком слое Стокса, а вторые на расстояниях порядка длины волны возмущений, поэтому их следует рассматривать по отдельности. Подставим разложения (2.1) - (2.2) и ряды для переменных в

w не зависит от “быстрой” координаты в первом порядке мало-

сти. Кроме того, из системы (1.3) - (1.6) следует, что давление не зависит от в первых трех порядках разложения по параметру е .

Как уже отмечалось, задача о возбуждении параметрических волн касательными вибрациями исследовалась в [3] для невязких сред. Было установлено, что возбуждаются волны с частотой, равной частоте вибраций, а так называемые “полуцелые” резонансы отсутствуют. Тот же эффект обнаружен и в счете [4], поэтому все переменные следует считать пропорциональными в±л.

Э Э Э 2 Э

— = — + е— + е —

Эt Эt Э/1 Э^

Эг Эг_ Эг0 Эг1

порядка е 1 отсутствуют. Отметим, что слагаемые, зависящие от “быстрой” координаты , не могут быть скомпенсированными не

систему (1.3) - (1.6), из уравнения (1.5) получим, что ж!1 = 0 , т.е.

Решая систему для возмущений в трех первых порядках разложения, получим эволюционные уравнения для амплитуд возмущений поверхности раздела сред а и Ь :

-2га1 + 2д2к2 (Ар) рр2а - к 1д1рхр2 (Ар) Ь -

к к

-р1 — С1 + р2 — С2 - 2С2а = 0 т т

2/Ь^. + 2д2 к2 (Ар)2 р1р2Ь - к2 д2р1р2 (Ар)2 а +

кк +р— Д р2 * А - 2ЦЬ = 0

тт

где С1, С2 определяются из уравнений:

1 +

пк 2М

= -2ар2 + 2р2тЬ( а + Ь) +

+ук 2м \р2тР

С

1+

пк м

= 2ар1 + 2р1тЬ( а + Ь) +

+Ук м \рхтР

Здесь

Ь = ^(Ар)3 У2к

2

/

ч

2

V

Ма4хх~2

М - перенормированное число Марангони.

Аналогичная система для определения Д и Б2 получается из

анализа коэффициентов при е— .

В (2.3) - (2.4) учтено возможное малое отклонение частоты волн от резонансного значения и положено О = 1 + е202 .

Нейтральная кривая, определяемая системой (2.3) - (2.4), описывается соотношением:

аналогичным полученному в [12], но с уточненными значениями параметров:

Примерный вид нейтральной кривой у(02) для значения 3 = 0.01 приведен на рис. 1.

Минимальное значение у из (2.9) реализуется при ^ = 33 и равно

Если /(М) < 1, то эффект Марангони понижает порог возбуждения параметрических волн и, наоборот, при /(М) > 1 имеет место дополнительная стабилизация.

у= 2

у= д2кгрхр2

где

Л

/

У = 23

Рис. 1. Карта устойчивости; внутри “мешка” плоская поверхность раздела неустойчива

^М)

•М

Рис. 2. Качественная зависимость/(М) при< х2

У

Качественная зависимость /(М) для < %2 приведена на

рис. 2. Видно, что /(М) < 1 для любых положительных значений числа Марангони, и, следовательно, критическая амплитуда вибраций меньше своего изотермического значения. Таким образом, термокапиллярный эффект в этом случае приводит к понижению порога возбуждения параметрических волн. При М < 0 (подогрев сверху) имеет место стабилизирующее влияние эффекта Марангони.

^М)

М

Рис. 3. Качественная зависимость/ (М) при%2 <х

Как видно на рис. 2 и непосредственно из выражения (2.11), при некотором значении числа Марангони

М о =-

ук2

Р

4x1 -Р^+ АР

С1С2

у

функция /(М) обращается в ноль. Это означает, что при М > М0 неустойчивость имеет место даже в отсутствие вибраций, она связана, очевидно, с чисто термокапиллярным эффектом.

(

Л

Рассмотрим теперь противоположный случай, когда с2 < с . Тогда знаменатель дроби (2.11) можно переписать в виде:

при которой знаменатель (2.11) обращается в нуль.

Качественная зависимость /(М) для с2 < С приведена на рис. 3. В этом случае возможно как понижение, так и повышение порога возбуждения параметрических волн в зависимости от значения числа Марангони. При М < М* /(М) < 1 и эффект Марангони оказывает дестабилизирующее влияние, при М > М* вибрации стабилизируют термокапиллярную неустойчивость.

Заключение. Влияние термокапиллярного эффекта на условия возбуждения параметрических волн горизонтальными вибрациями сосуда весьма существенно. В зависимости от соотношения коэффициентов температуропроводностей жидкостей возможно как понижение порога возбуждения параметрических волн, так и стабилизация термокапиллярной неустойчивости вибрациями. Если С2 > С, то эффект Марангони всегда приводит к дестабилизации, критическая амплитуда вибраций меньше, чем в изотермической задаче. Если же с2 < Х\, то влияние термокапиллярного эффекта

определяется числом Марангони. При М < 2/пк 2Ц/С"_-\/СГ) имеет место дестабилизация, а при М > 2/пк2 (л/С" - л/С2") вибрации

подавляют развитие термокапиллярной неустойчивости.

Кроме того, при некотором значении числа Марангони

положный, в некотором смысле, эффект. Здесь вибрации затрудняют развитие термокапиллярной неустойчивости.

и функция / (М) имеет критическую точку

2

М0 > 4р1р2Пк2(р2л[С-р14С + Ар^ХхХ21п неустойчивость воз

никает даже в отсутствие вибраций.

В случае

возникает противо

Работа выполнена при финансовой поддержке из средств гранта РФФИ “Урал” (№ 04-01-96066 р2004Урал_а) и Программы поддержки научных ведущих школ (грант НШ-1981.2003.1).

Авторы благодарят профессоров Р.В. Бириха и Д.В. Любимова за полезные советы при обсуждении результатов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Неволин В.Г. Параметрическое возбуждение поверхностных волн // Инженерно-физический журнал. 1985. № 49. С. 1482 -1494.

2. Miles J., Henderson D. Parametrically forced surface waves // Annu. Rev. Fluid Mech. 1990. № 22. P. 143-165.

3. Любимов Д.В., Хеннер М.В., Шоц М.М. Об устойчивости поверхности раздела жидкостей при касательных вибрациях // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 3. С. 25-31.

4. Khenner M.V., Lyubimov D.V., Belozerova T.S., Roux B. Stability of plane-parallel vibrational flow in a two-layer system // Eur. J. Mech. B / Fluids. 1999. V. 18. P. 1085-1101.

5. Pearson J.RA. On convective cells induced by surface tension // J. Fluid Mech. 1958. № 4. P. 489-500.

6. Бирих Р.В., Бушуева С.В. Термокапиллярная неустойчивость в двухслойной системе с деформируемой границей раздела // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2001. № 3. С.13-20.

7. Garsia Ybarra P.L., Velarde M.G. Oscillatory Marangoni-Benard interfacial instability and capillary-gravity waves in single- and two-component liquid layers with or without Soret thermal diffusion // Phis. Fluids. 1987. № 30. P. 1649-1660.

8. Левченко Е.Б., Черняков А.И. Неустойчивость поверхностных волн в неоднородно нагретой жидкости // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1981. № 54. С. 102-106.

9. Birich R.V., Briskman V.A., Rudakov R.N., Velarde M.G. Marangoni-Benard instability of a floating liquid layer with an internal, permeable, heated or cooled divider and two deformable open surfaces // Int. J. Heat Mass Transfer. 1995. V. 38. № 15. P. 2723-2731.

10. Бирих Р.В., Брискман В А., Веларде М.Г., Черепанов А А. Влияние термокапиллярного эффекта на параметрическое возбуждение волн // Докл. Академии наук. 1997. Т. 352. № 5. С. 616-619.

11. Birikh Rudolf V., Briskman Vladimir A., Cherepanov Anatoly A., Velarde Manuel G. Parametric Resonance, and the Marangoni Effect // J. of Colloid and Interface Science. 2001. V. 238. P. 16-23.

12. Бирих Р.В., Брискман В.А., Черепанов А А. Влияние термокапиллярности на резонансные волны, возбуждаемые касательными к поверхности раздела вибрациями // Конвективные течения... / Перм. гос. пед. ун-т. Пермь, 2003. С. 94-106.

13. Найфе АХ. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.

ON THE INFLUENCE OF THE MARANGONI EFFECT ON THE THRESHOLD OF PARAMETRIC RESONANCE EXCITATION BY HORIZONTAL VIBRATIONS

M.A. Kokarovtseva, А.А. Tcherepanov

Abstract. The influence of thermocapillary effect on the excitation threshold of parametric waves on the interface by horizontal vibrations is investigated. Two-layer system of fluids with the presence of vertical temperature gradient is considered. It was shown that the influence of the Marangoni effect on the stability of plane interface extremely depends on thermal conductivity ratio. If thermal conductivity of upper fluid is smaller than of the lower one, then heating from below always destabilizes interface, and heating from above embarrasses parametric resonance excitation. In the opposite case - stabilizing influence of thermocapillarity is possible with heating from below also.