Модель неупругого деформирования оцк-поликристаллов с учетом двойниковой моды деформирования. Численное моделирование некоторых процессов деформирования

УДК 539.3

Н.С. Кондратьев, П.В. Трусов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, Россия

МОДЕЛЬ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОЦК-ПОЛИКРИСТАЛЛОВ С УЧЕТОМ ДВОЙНИКОВОЙ МОДЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Рассматривается двухуровневая физическая модель неупругого деформирования поли-кристаллических тел с учетом двух мод неупругого деформирования - скольжения и двойникова-ния. Используется согласование определяющих соотношений соседних уровней. Предлагаемая модель позволяет описывать процессы деформирования поликристаллических тел, такие как осадка, стесненная осадка, чистый сдвиг. Приведены постановки задач анализа напряженно-деформированного состояния таких процессов для представительного объема поликристаллических тел, представлены результаты моделирования.

Ключевые слова: неупругое деформирование, двойникование, скольжение, физические теории пластичности, упруговязкопластичность.

N.S. Kondratev, P.V. Trusov

State National Research Polytechnical University of Perm, Perm, Russia

MODEL OF INELASTIC DEFORMATION OF BCC POLYCRYSTALLINE MATERIALS BY SLIP AND TWINNING. NUMERICAL MODELING OF SOME PROCESSES OF DEFORMATION

The paper considers a two-level crystal elasto-viscoplastic model of polycrystalline bodies, taking into account the two modes of inelastic deformation - slip and twinning. The different scale levels constitutive equations accordance is used. The proposed model allows to describe deformation processes of polycrystalline materials, such as compression, constrained compression, shear. There are formulations of problems for a representative volume of polycrystalline materials and results of simulation.

Keywords: inelastic deformation, twinning, slip, crystal plasticity, elastoviscoplastic.

Введение

Поведение материалов на макроуровне определяется эволюцией мезо- и микроструктуры, поэтому актуальной задачей является построение моделей неупругого деформирования моно- и поликристаллов, основанных на физических теориях пластичности. В основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений этих теорий лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах. Для описания структуры и механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах используются параметры, называемые внутренними переменными, которые характеризуют эволюционирующую микроструктуру материала и содержат информацию об истории воздействий на материал [1].

В моделях, основанных на физических теориях, обычно рассматривается один механизм деформирования - внутризеренное скольжение краевых дислокаций. Несмотря на то, что двойникование не является преобладающим видом неупругого деформирования в материалах с большим числом систем скольжения (ГЦК- и ОЦК-кристаллах), экспериментально установлено, что деформирование двойникованием имеет место во многих ОЦК (ГЦК)-металлах с низкой энергией дефекта упаковки при низких гомологических температурах. Двойниковые прослойки служат препятствиями для движения дислокаций и приводят к существенному изменению отклика материала. Учет двойниковой моды деформирования приводит к качественному и количественному изменению отклика материала, что обусловливает необходимость ее моделирования. Для описания предлагается использовать двухуровневую (мезо- и макроуровни) математическую модель; элементами мезоуровня являются кристаллиты (зерна, субзерна), макроуровня - представительный макрообъем; характеристики мезоуровня обозначены строчными буквами, аналогичные параметры макроуровня - прописными.

1. Кинематика деформирования

Кинематическое описание деформирования мезоуровня проводится с использованием четырех конфигураций: отсчетная К0, две

промежуточные Кг, К и текущая (актуальная) К. Градиент места

описывает неупругое деформирование материала скольжением

дислокаций, переводящим отсчетную конфигурацию К0 в промежуточную К*. Градиент места ^ описывает неупругое деформирование двойникованием, преобразующим промежуточную конфигурацию К* в промежуточную К**. Градиент места 1е отражает упругое деформирование и переводит промежуточную конфигурацию К** в текущую

К . Используется мультипликативное разложение транспонированно-

о _ о

го градиента места («градиента деформации») 1 = У г (V - набла-оператор, определенный в отсчетной конфигурации, г - радиус-вектор частиц) на упругую 1е и неупругие 1™ , составляющие:

1=1е-с-С.

Определение градиента скорости перемещений 1 и соотношение (1) позволяет показать справедливость следующего разложения:

| f f —1 _f e ç e—1 I f in çtn—\ 1 .

1 — 1 *1 — I *1 +1 *I/W *1 +

, f e * Iin in * Iin—1 in—1 * Ie—1 _1 e +1 in . lin

+I ^tw '*s *Is eIiw ^ _1 +1/w + 1s ,

об .

1e fe X*e—1 lin x*e fin x*in—1 X*e—1 lin x*e x*in f in x*in—1 x*in—1 x*e—1 — I *I ,1tw _I 'Itw *Itw ^ 1 s _I 'Itw ^s ^s Itw ^ •

Введем обозначения

об . об

i**in _ f in fin—1 i**in _ .pin f in fin—1 ' .pin—1

1tw Itw Itw ,1 s Itw Is Is Itw •

Тогда соотношение (2) перепишется следующим образом:

1—1e +î e *( 1*win+1**in )*î e—1.

2. Механизмы неупругого деформирования кристаллита

Внутризеренное скольжение краевых дислокаций по системам скольжения (СС) является основным механизмом неупругого деформирования кристаллитов. В ОЦК-кристаллах скольжение всегда происходит в наиболее плотно упакованных направлениях <111>, а плоскостями скольжения могут быть плоскости {110}, {112}, {123}.

Системы скольжения в К0 и Kt определяются ориентационными тензорами:

( о(*) о(*) о(*) о(к) ^

Г • Ь п + п Ь Гг ,к = 1, ..,48,

ш( к }=1Г е

2

V

о

где Ь , п - единичные векторы направления скольжения и нормали к-й системы скольжения в отсчетной конфигурации.

В физических теориях не рассматривается движение отдельных дислокаций, их распределение предполагается однородным по элементу мезоуровня (зерну, субзерну), что дает возможность рассмотрения неупругой составляющей тензора деформации скорости от скольжения краевых дислокаций в виде

Условием активации к-й системы скольжения является достижение касательного напряжения в ней некоторого критического напря-

где о - тензор напряжений Коши (однородный по рассматриваемому кристаллиту).

Другим механизмом неупругого деформирования является двой-никование. Отметим, что двойникование может не вносить большого вклада в неупругую деформацию, но играет весьма важную роль в процессе скольжения краевых дислокаций - основного механизма неупругого деформирования. Процесс двойникования будет рассматриваться подобно скольжению краевых дислокаций. Используя две конфигурации кристаллита: отсчетную конфигурацию (монокристалл находится в недеформированном состоянии) и актуальную (в монокристалле появляются несколько двойниковых прослоек), можно показать, что осредненный (по кристаллиту) градиент места, описывающий формоизменение двойникованием, имеет следующий вид:

к

где ук - скорость сдвига по к-й системе скольжения.

С = / у„Ь„п„+Е,

где Е - единичный тензор; Ь„ - направление сдвига двойника; п„ -нормаль к плоскости двойникования; /- представляет собой безразмерную величину, равную отношению объемов двойниковых прослоек, в которых произошел сдвиг, к объему всего кристаллита (объемная доля двойников); у„ - величина постоянного сдвига двойника, равная для ОЦК-кристалла 0,707.

Полагая, что двойникование происходит непрерывно, / существует и конечно, осредненный градиент скорости перемещений двойни-кования для монокристалла можно записать в виде [2]

С = Г„1 = /У„Ь„п„ = /у „1.

Таким образом, двойникование может рассматриваться как «псевдоскольжение» со скоростью «двойникового» сдвига /у„ и ориентационным тензором 1 = Ь „п „. Далее для каждой к-й системы двой-никования введем обозначение симметричного ориентационного тензора ^

•

Дислокационный механизм двойникования позволяет записать неупругую составляющую тензора деформации скорости, связанную с двойникованием, в виде, аналогичном (4):

<с=Е /к у„‘

к

Условием активации к-й системы двойникования является достижение касательного напряжения в ней некоторого критического напряжения хкс„; соотношение, аналогичное закону Шмида (5):

=1

Тогда согласно (2) полная неупругая составляющая тензора деформации скорости может быть определена в аддитивном виде в базисе актуальной конфигурации К:

й‘"=С+а;;,=Хтк ш<к >+X /к г„У к 1

к

к

3. Двухуровневая модель поликристаллических металлов

На макроуровне рассматривается представительный объем поли-кристаллического металла, состоящий из совокупности элементов ме-зоуровня. Конститутивная модель материала на макроуровне записывается в виде

где £ - тензор напряжений Коши, С - тензор модулей упругости, Б,

ляющая, индекс г означает независящую от выбора системы отсчета производную, П - тензор, описывающий движение подвижной системы координат, относительно которой определяется собственно деформационное движение [3] на макроуровне. В данной работе для опреде-

деляющих соотношений на различных масштабных уровнях [4, 5].

Двухуровневый подход предполагает использование структурного элемента мезоуровня - кристаллита (зерно, субзерно, фрагмент). На мезоуровне в качестве определяющего соотношения также используется закон Г ука с учетом анизотропии кристаллической решетки [6]:

где о - тензор напряжений Коши; ог - коротационная производная тензора напряжения Коши; с - тензор четвертого ранга упругих

формации скорости, его упругая и неупругая составляющие; ю - тензор спина, характеризующий скорость вращения кристаллической решетки. В данной работе тензор спина определен в соответствии

£г = £ + П • £+£-П = С:Бе =С:(Б-Біп),

С=С(С(і )),і=1,.„, N,

Біп =БіП (а(П), С( і)), і = !,, N,

Бе, Бт - тензор деформации скорости, его упругая и неупругая состав-

ления П и Б п предлагается использовать условия согласования опре-

г •

о = о - ю-о+о-ю,

свойств ОЦК-кристалла (кубическая симметрия); ^ de, diп - тензор де-

с моделью Тейлора [7]. Отметим, что напряжения характеризуют именно упругие связи в зерне, связанные с изменением расстояний между соседними атомами.

Система разрешающих уравнений для кристаллита в скоростях имеет следующий вид:

д = с:(д - dш)+ш о - о ш,

ж"

Йм X""' :,к^.к . X"' дк*, 4-к

=1*т + 1 / дш* ,

кк

д=в,

1 1 ж"

I

ш=— I

12

х“*=(1-/)1 Н“р др + /I 1 р ,хк№=ж/Хъ/,

р р

г=1

к

к к \ • X"

х" -Хся )д0 к

/ х ся

1/т

81ЕП(Хк ),/ к =

Н

к

хк 1 <*г* • ° Xtw

1 'дш хк

1/т

0, т1 < 0.

Здесь (14)1 - закон Гука в скоростной релаксационной форме с учетом геометрической нелинейности;

(14)2 - кинематическое соотношение;

(14)3 - гипотеза Фойгта (Б - тензор деформации скорости макроуровня);

(14)4 - соотношение модели поворота Тейлора;

(14)5 - соотношения для скоростей критических напряжений сопротивления сдвигу х“ и двойникованию хкс1т;

(14)6 - упруговязкопластические соотношения для определения скоростей сдвига и изменения объемной доли двойников;

4. Согласование определяющих соотношений масштабных уровней

Для согласования определяющих соотношения соседних масштабных уровней модели используем подход, предложенный в работах [4, 5]. Для этого рассмотрим определяющие соотношения макроуровня, записанного в виде

Е+Пт • Е+ЕП=С:

и мезоуровня (для каждого элемента из выборки) в виде

д-ш о+о ш=с:

Далее согласно [4, 5] представим величины, входящие в определяющие соотношения мезоуровня, в виде суммы средних по представительному объему макроуровня величин и отклонений от этих средних:

с =< с >+с', о =< о > +о', Д =< Д > +Д', , ч

¿П =< д«» >+д«»', ш =< ш >+ш',

где < • > - оператор осреднения (вид которого не конкретизируется), обладающий свойством

< с' >= 0, < о' >= 0, < Д' >= 0, < Д«»' >= 0, < ш' >= 0.

Подставляя представление (17) в определяющее уравнение мезо-уровня (16) и осредняя его, получаем соотношение

Т Тг / / /

< <г > + < ш > • < о > + < ш о > + < о > • < ш > + < о ш >=

= < с >: (< Д > - < Дш>) + < с': (Д'-Д1П' )>.

Далее принимается, что согласование напряженно-деформированного состояния на различных уровнях заключается в равенствах

С =<с> , Е =<о>, Б = <Д>.

Соотношение (20) устанавливает, что эффективные свойства и характеристики напряженно-деформированного состояния на верхнем масштабном уровне должны быть в точности равны осредненным характеристикам нижнего масштабного уровня.

В силу антисимметричности тензора ш (т.е. при коротационных производных на мезоуровне в законе (16)) с учетом (20) соотношение (19) можно записать в виде

Е - < ш > Е+Е-< ш > - < ш' о' > + < о'ш' > =

= С:(Б-<Д«» >) + <с':(Д'-Д«»')>.

Тогда для согласования двух соседних масштабных уровней необходимо положить

П =< ш >,

Б«» =< &» > - С-1: <с': (Д' -д1»') > - С-1: (< ш' -о' > - < о' -ш' >).

Следует заметить, что при таком подходе на макроуровне получается коротационная производная. Жесткую подвижную систему координат можно трактовать как некоторый трехгранник, соответствующий осредненной ориентации элементов мезоуровня, а осредненный спин П =< ш > - как скорость его поворота.

В случае использования в статистических моделях для передачи

на мезоуровень условий нагружения гипотезы Фойгта Д = Б, Д' = 0 связи (21) принимают вид

П =< ш >,

Б«» =< д«» > + С-1:<с' :Д«»' > -С-1:(<ш' о' > -<о' ш' >).

Тогда постановка задачи для представительного объема макроуровня выглядит следующим образом:

Е = С:( Б - Б«») + П-Е - Е-П,

< П =< ш >,

Б«» =<д» > + с-1:<с':Д«»' >-С-1:(<ш' -о' >-<о' -ш' >),

где С - тензор упругих свойств макроуровня, Б - тензор деформации скорости макроуровня, Б«» - иеуиругая составляющая тензора деформации скорости макроуровня, П - тензор, входящий в независящую от выбора системы отсчета коротационную ироизводную тензора наиряжений макроуровня, £ - тензор наиряжений Коши,

с', д1», а1 ,&' - отклонения от среднего (ио иредставительному объему макроуровня) тензора уиругих свойств, неуиругой составляющей тензора деформации скорости, тензора наиряжений Коши и сиина решетки соответственно, <•> - оиератор осреднения ио иредставительному макрообъему.

5. Моделирование процессов осадки, стесненной осадки,

чистого сдвига

Рассмотрим постановки задач и результаты моделирования некоторых процессов деформирования представительного объема (ПО) поликристалла, таких как осадка, стесненная осадка и чистый сдвиг.

Для реализации осадки материала на макроуровне должно быть выполнено условие одноосного напряженного состояния. Рассмотрим образец в форме прямоугольного параллелепипеда (в отсчетной конфигурации) при расположении осей лабораторной системы координат (ЛСК) ОХ1, ОХ2, ОХ3 перпендикулярно соответствующим граням; поверхности контакта полагаются идеально смазанными. Для определенности рассмотрим сжатие вдоль оси ОХ\ фиксированной ЛСК. Использование гипотезы Фойгта предполагает жесткое нагружение на каждом шаге нагружения, предписанным является тензор деформации скорости. Условия одноосного напряженного состояния не позволяют задать все компоненты данного тензора, т.е. одноосное нагружение в исходной постановке нельзя вести чисто кинематически, поскольку граничные условия на макроуровне являются смешанными. В то же время для применения алгоритма решения на мезоуровне, основанного на гипотезе Фойгта, необходимо определять в каждый момент деформирования все компоненты градиента места (или градиента скорости перемещений). Поэтому реализация одноосного растяжения (сжатия) в рамках модели осуществляется следующим образом: предписанной является только одна компонента тензора деформации скорости на макроуровне

тт/^ту ГгкіЛСК Г—.-ІЛСК

в ЛСК [Б]11 , а остальные компоненты [и\.. определяются в ре-

зультате решения задачи исходя из необходимости обеспечения соответствующего одноосного напряженного состояния: [± ] у ЛСК - 0,

(у) Ф (11). Отметим, что тензор деформации Е определялся интегрированием тензора скорости деформации Б, т.е. использовалась так называемая неголономная мера.

Постановка задачи одноосного растяжения/сжатия ПО макроуровня выглядит следующим образом:

£=С: (Б - Бт ]+П • £ - £ • П,

П =< ш >,

Б= <д» > + С-1:<с' >-С-1:(<ш' а' >-<о' ш' >),

С =< с).

[ £ ] ] ЛСК = 0, ( ]) * (11),

гтл] ЛСК_____гтчт ЛСК иредиисанное

[Б]11 = [Б]11 .

Рис. 1. Диаграмма одноосного нагружения иоликристалла ОЦК-железа

Рис. 2. Комионенты тензора наиряжений Коши в ЛСК ири осадке иоликристалла

ОЦК-железа

Из результатов, приведенных на рис. 1-3 видно, что реализуется одноосное наиряженное состояние. Условия согласования ОС двух соседних масштабных уровней (17) обесиечивают иолное соответствие между макронаиряжениями и осредненными наиряжениями мезоуровня.

Мл

Интенсивность деформаций

Рис. 3. Компоненты тензора деформации в ЛСК при осадке поликристалла ОЦК-железа

Перейдем к рассмотрению процесса стесненной осадки, который реализуется следующим образом: вдоль оси 0Х1 происходит сжатие, вдоль одной из осей (для определенности 0X2) перемещение запрещено. Как и в случае осадки, используется гипотеза Фойгта (предписанным является тензор деформации скорости). В случае стесненной осадки задаются две компоненты тензора деформации скорости на

макроуровне в ЛСК [О^^ и [ = 0. Остальные четыре компонен-

Постановка задачи стесненной осадки ПО макроуровня с учетом согласования соседних уровней (мезо- и макроуровня) выглядит следующим образом:

На рис. 4-6 приведены результаты численного моделирования стесненной осадки ПО ОЦК-железа.

Я — С:( О - Оп) + П • Я - Я • П,

П =< ю >,

Оп =<й*п > + С-1:<с' :&п' >-С-1:(<ю' о' >-<о' ю' >),

[Ё]/ск-0, (у)^(11)М(у)*(22),

ЛСК гт'кп ЛСК предписанное . г»^-| ЛСК_/л

_[О]11 — [О]11 5 [О]22 — 0

Рис. 4. Диаграмма нагружения поликристалла ОЦК-железа

Ив . ... і ... . ггенсив ностъ іефори аций є„

0. 11 0.1 3 0. 13 0.1 4 0. \5 0.1 6 0. 17

~ [=1» /в),

и СУ N /2

ІвА1 Их

41) и

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Б,,

Рис. 5. Компоненты тензора напряжений Коши в ЛСК при стесненной осадке поликристалла ОЦК-железа

Рис. 6. Компоненты тензора деформации в ЛСК при стесненной осадке поликристалла ОЦК-железа

В отличие от предыдущих двух случаев (осадки и стесненной осадки) чистый сдвиг задается кинематически: предписанной являются все компоненты тензора деформации скорости, причем отлична от ну-

Гтл"|ЛСК

левой только [ Б_|12 :

Я - С:( О - Оп)+П • Я - Я • П,

П =< ю >,

< оп =<а'" > + С-1:<с':&”' >- С-1:

С =< с>.

[Б]11ЛСК = [Б]12лск ч>—™“, [О]..лск = 0 (0) * (12) .

Результаты моделирования чистого сдвига ПО ОЦК-железа представлены на рис. 7-9.

О-СС о.« о.бс 0.« 0.10

Интенсивность деформаций Рис. 7. Диаграмма нагружения поликристалла ОЦК-железа

Интенсивность деформаций

Рис. 8. Компоненты тензора напряжений Коши в ЛСК при чистом сдвиге поликристалла ОЦК-железа

[EJxm-

[Е1ЛСК =0,

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

Є,

Рис. 9. Компоненты тензора деформации в ЛСК при стесненной осадке поликристалла ОЦК-железа

Заключение

Представлена физическая упруговязкопластическая модель, в которой учитываются две моды неупругого деформирования - скольжение краевых дислокаций и двойникование, оказывающие существенное влияние на отклик материала при его неупругом деформировании. Использованы условия согласования определяющих соотношений соседних масштабных уровней, обеспечивающие соответствие мер напряженного и деформированного состояний этих уровней. Предлагаемая модель позволяет описывать неупругое деформирование ПО поликристаллов; представлены результаты расчетов для одноосного нагружения, стесненной осадки, чистого сдвига.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 10-08-96010-р_урал_а, 10-08-00156-а).

1. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности: учеб. пособие. - Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2011. - 419 с.

2. Myagchilov S., Dawson P.R. Evolution of texture in aggregates of crystals exhibiting both slip and twinning // Modeling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 1999. - Vol. 7, Ко. 6. - P. 975-1004.

3. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука.

Библиографический список

1986. - 232 с.

4. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации модели мезоуровня // Вычислительная механика сплошных сред. - 2011. -Т.4, № 1. - С. 74-89.

5. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации для представительного объема макроуровня// Вычислительная механика сплошных сред. -2011. - Т.4, № 2. - С. 82-95.

6. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории пластичности // Физическая мезомеханика. - 2010. - T. 13, № 3. - С. 21-30.

7. Швейкин А.И., Ашихмин В.Н., Трусов П.В. О моделях ротации решетки при деформировании металлов // Вестник ПГТУ. Механика. -Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. - № 1. - С. 111-127.

References

1. Trusov P.V., Shveikin A.I. The theory of constitutive relations: a tutorial. Part II. The theory of plasticity [Teoria opredelyaushih sootnosh-enii: uchebnoe posobie. Ch. 2. Teoria plastichnosti]. Perm: Izd-vo Perm. gos. the. un-ta., 2008. 243 p.

2. Myagchilov S., Dawson P.R. Evolution of texture in aggregates of crystals exhibiting both slip and twinning // Modeling and Simulation in Materials Science and Engineering. 1999. Vol. 7, No. 6. P. 975-1004.

3. Pozdeev A.A., Trusov P.V., Niashin Y.I. Large elastoplastic deformation: theory, algorithms, and applications [Bolshie uprugoplasticheskie deformacii: teoria, algoritmi, prilojenia]. - M.: Nauka, 1986. 232 p.

4. Nechaeva E.S., Trusov P.V. Constitutive model of semicrystalline polymer material. Implementation algorithm for mezolevel model [Konsti-tutivnaia mdel chastichnogo polimernogo materiala. Algoritmi realizacii modeli mezourovnia] // Computational Continuum Mechanics. 2011. Vol. 4, No. 1. P. 74-89.

5. Nechaeva E.S., Trusov P.V. Constitutive model of semicrystalline polymer material. Implementation algorithm for macro level represantative volume [Konstitutivnaia model chastichnogo polimernogo materiala. Algo-ritmi realizacii dlia predstaitelnogo obema macrourovnia] // Computational Continuum Mechanics. 2011. Vol. 4, No. 2. P. 82-95.

6. Trusov P.V., Ashikhmin V.N., Shveykin A.I. Elastoplastic analysis of deformation of fcc metals [Analiz deformirovania GCK-metallov s ispol-zovaniem fizicheskoi teorii plastichnosti] // Physical Mesomechanics. 2010. Vol. 13, No. 3. P. 21-30.

7. Shveykin A.I., Ashikhmin V.N., Trusov P.V. Models of lattice rotation during deformation of metals [O modeliah rotacii reshetki pri deformi-rovanii metallov] // Herald PSTU. Mechanic. 2010. No. 1. P. 111-127.

Об авторах

Кондратьев Никита Сергеевич (Пермь, Россия) - ассистент кафедры математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: Kondra-tevNS@gmail.com).

Трусов Петр Валентинович (Пермь, Россия) - доктор физикоматематических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования систем и процессов Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru).

About the authors

Kondratev Nikita Sergeevich (Perm, Russia) - Department of Mathematical Modeling of Systems and Processes, Perm, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russia, e-mail: KondratevNS@gmail.com).

Trusov Petr Valentinovich (Perm, Russia) - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department of Mathematical Modeling of Systems and Processes, Perm, State National Research Polytechnical University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russia, e-mail: tpv@matmod.pstu.ac.ru).

Получено 28.10.2011