Вычисление монтажных напряжений в стержневых системах методом конечных элементов в системе Maple

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 51-74

А. Ю. Резниченко, Н. В. Эйрих

ВЫЧИСЛЕНИЕ МОНТАЖНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СИСТЕМЕ MAPLE

В работе описаны основные этапы метода конечных элементов на примере расчёта монтажных напряжений стержневых систем, работающих на растяжение-сжатие. Компьютерная реализация метода осуществлена в системе Maple. Представлен программный код, позволяющий подобрать требуемые параметры стержневой системы для обеспечения прочности после её сборки.

Ключевые слова: стержневая система, метод конечных элементов (МКЭ), конечный элемент, матрица жесткости, система Maple.

Метод конечных элементов (МКЭ) с успехом используется для решения двумерных и трёхмерных задач теории упругости (определение перемещений, внутренних усилий, напряжений, критических сил) при проектировании современных строительных конструкций [1—3; 5 — 6]. В литературе встречаются другие названия этого метода: проекционно-разностный или проекционно-сеточный метод. МКЭ — численный процесс получения каркаса приближённого решения на заданной сетке, этот метод является трансформацией известного метода Галёркина приближенного решения операторного уравнения при подходящем выборе системы базисных функций [4].

Основная идея МКЭ основана на представлении реальной конструкции её дискретной моделью и замене дифференциальных уравнений системой алгебраических уравнений. На первом шаге при решении задачи проводится разбиение рассчитываемой системы на конечные элементы (КЭ), при этом строго теоретического обоснования этот шаг не

Резниченко Алина Юрьевна — магистрант (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, г. Биробиджан); e-mail: alinchik_anjaani@mail.ru.

Эйрих Надежда Владимировна — кандидат физико-математических наук, доцент (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, г. Биробиджан); e-mail: nadya_eyrikh@mail.ru.

© Резниченко А. Ю., Эйрих Н. В., 2017

63

имеет. Разбиение конструкции на КЭ целиком зависит от имеющихся инженерных навыков исследователя. Разрешающая система уравнений получается в результате объединения КЭ между собой в узлах. Наибольшее распространение получил вариант МКЭ, в котором за неизвестные принимаются перемещения узлов (общее название для линейных и угловых перемещений — степень свободы).

Опишем основные этапы МКЭ применительно к стержневым системам, работающим лишь на растяжение-сжатие, на конкретном примере.

Пусть требуется для системы проводников кругового поперечного сечения диаметром й, имеющей до сборки начальный зазор 8 (рис. 1), определить продольные силы и напряжения в стержнях проводников от монтажных усилий после их сборки, сделать вывод о прочности системы [7].

Рис. 1. Система проводников до сборки: а) схема № 1; Ь) схема № 2

Общий алгоритм решения поставленной задачи можно представить в следующем вице:

1. Разбиваем стержневую конструкцию на т конечных элементов;

2. Формируем матрицы жесткости Кт для каждого конечного элемента;

3. Задаем векторы узловых перемещений для каждого конечного элемента;

4. Учитываем граничное закрепление некоторых узлов системы;

5. Записываем уравнение совместности для узлов, перемещения в которых не являются независимыми, так, чтобы перекрылся зазор 8;

64

6. Вычисляем потенциальную энергию U упругой деформации;

7. Находим экстремум квадратичного функционала U (согласно принципу возможных перемещений SU = 0);

8. Вычисляем продольные силы и напряжения в каждом m — ом конечном элементе;

9. Сравниваем полученные значения напряжений с максимально допустимым напряжением для данного материала, делаем вывод о прочности системы.

Компьютерная реализация описанного алгоритма была осуществлена в системе компьютерной математики Maple.

Разбиение на конечные элементы заданных схем показано на рисунке 2: для системы № 1 — три конечных элемента и шесть узлов, для системы № 2 — три конечных элемента и пять узлов.

a) b)

Рис. 2. Разбиение стержневых систем на конечные элементы:

а) схема № 1; b) схема № 2

При вычислении матриц жёсткости К т для каждого т -го конечного элемента использовалась формула:

где ат — длина, (EF)" стержневого КЭ.

постоянная жёсткость сечения типового

65

Потенциальная энергия упругой деформации для заданных схем может быть получена по формуле:

1 Л т

тт = _ Ч^ f T K f

U 2 Z m1 m • m=1

На рисунке 3 представлен программный код в Maple, позволяющий вычислять продольные перемещения в узлах 4, 5 и 6 системы № 1. Следует отметить, что для данной схемы перемещения в узлах 4, 5 и 6 не являются независимыми. Так как они присоединены к абсолютно жёсткому телу, то связаны соотношением:

— Пц + 2,5^5 — 1,5м6 = д.

> reiftirг:

// 13ft 1II -— L2ft : d! : : S - <UJ :

Ф = J-4pt== -£;= i 1-Ю*; a;= lie  LiW

Pi <fr . ЯаУ j

K = {{I, -1Щ-1. I»:

( [£ fm) 1

> Kl --= — " --K I : " Sh|-p[|IIIL*i)C?l№CTII 1 -fO K")

> jr,' :=• nelf\ — A^' J'1) -'K 1 Hnnnu жеспосп 2 -га I«

[ [tJ + l.5 /J tiun[cv>) } r

> Ü3 --= eWf ( ——-^^-r'K-1 • ' М&гриш гквпкдаттн 3 -re КЭ

^

_> f!  (iv/, H i1} : i sexmop )ридв1<фС1ИЧОЛ|1 !-го КЭ _>/?:- (Ai3, : IitAMfi .t-iiiMbtt J-лаА^Э

ß = 'Ifli, гл5> ; " in'JWf IHH4N.Tnepe.yenie»ir/t i-го fi'J

> jtl -- Q : u2  ft: iiJ : 0 : й Учщя ^шичны^еишИ (пфнкцмнв^зщ ], 2 и J ¡ханы wnltjö,

так кап a элмгс ушат роткгижгаш шврнарнб чегхкЯчжнь/е ыйкмя |

> "  -1.5  ыб + 2.5- u5-u-t ~ $ .^Уравнение анлнктгюаав | шлнаше перемещения яузМх4, i я (И

> JÖA4>(US, ijJ) 1 «i-J :- К :

_> itfaulig) i ;

> У

у [тнМрЩ Trainpose{fi\, JtT/.yi) + Ггаш,м>1р

+ PWI^M Гли^«! j1?), ) кгнми vrtfw** ynpyteO

> ш ~ U. liJTh - 0, djff{U, Bd) -0} :

f irmsrw TKcipe-nwm tttodpQturmvio фрмпргтатЛ (iß ttpVHЩШМКЯ/пЫщяы/С Пйрйиещекнб if' -(Jj

> {irf, ИЙЦ :ui - H): ui : rhs[HH\ 11); S Решение основногорййрИиа&фВб \ртнення

uJ: 0.03836663604 rJÖ ;- -D.O^OJlliSl«

Рис. 3. Программный код в Maple вычисления продольных перемещений схемы № 1

66

На рисунке 4 представлены вычисления в Maple продольных

м

сил Nz и напряжений Сz в каждом из трёх конечных элементов

схемы № 1. После чего выполняется проверка на прочность системы после сборки:

maxt^'.^'.^Ms;^].

Программа выдает сообщение о результате проверки: пройден тест на прочность или нет.

Рис. 4. Проверка на прочность схемы № 1

На рисунках 5 и 6 приведены аналогичные вычисления в программе Maple для системы проводников № 2. В данной схеме перемещения в узлах 2 и 3 являются независимыми, поэтому здесь условие перекрытия начального зазора S имеет вид:

и2 ~ и3 = &

67

у л

ISO

> rttfüH :

И -- 2WI2 — \Ht \dI :- 0.Ï — 0.6:S : 1Ш: <р ' : рг :-

1 -s I'i it!1 Pi iff

£ = 0.71 10s: 5 100 : at : 2.2 10 s : Fl --m :F2 p :

> К ((1, - 1Щ-I. I

> Kt  «qffj 1^^К : S Матрица ¡ыстк-остu ] -гоКЗ

> К2 : çtaify(E- F!)  К : d Матрица лестуосш 1 -го КЭ

> КЗ : «аtf{[E- Fi)' — .rJ : fr \L;ll]>|!li.h JieiTJiüüJLI 1 -ГО Ю

> fi : [ni, w.?) :jS : {Ni, Uli   jjiJ, nî} ищJn.- J9W№ nfpi'Mfti/fMna КЗ

> til = 0: nJ := 0: aJ :- 0 :

я Учет граничных yc.iotuit

> ¿--У '-= И3 5 i ст««е перекрытия жюра

> i0hvil?S,ii2) : N2 - %:

> wifh{Inmtgh  «'Ml ÏHwfcni{LiwiirAtgvbr<i]}  U

: - y

+ m»!liph \ Tripiipoie{ß). A'.ï./Ï) ) : - Иотенцшиъная энергия упругой двфорши/т

> syt--= {dUTlU.ilJ) -0} :

л УомJL4 mwiMWjfJteifl ffd ] rif/uHuii/rf; ntp&ttu/autti SL'=0j

> jroAï( лтн { ) : nî := n2:- Решение основногоразрешающего уравнения

0.] 139ÎÎSS6?

Рис. 5. Программный код в Maple вычисления продольных перемещений схемы № 2

> R! ; шаЫр/^К!,/!) Вектор ушитуешвЛ 1-го КЗ

> Ш -= Я2 ) * Вщ"\ре"тЛ (нюеоЛ фактор 1-го КЭ

St ].V«W31W3

> (TJ != IHJÎ/"^ J # HimpAHcrmtr 1-го

fli := mu!liplyiK2./l) Bexmop nww ycujuO

> .\2 == Jt2\ ï ] # ДЬумМинрф < u?(/t:<tit флктар Jwo К'З

Ü3 \ < 7,S4DÎÎÎ+74

а2 : ^ j # War^ïjmifiwivi J-je if?

Лп 1I.J3SÏ7Ï7Ï

> Я У : : u fij t'ihj cy.i titlm v.t nrrtprr'jj' .î-.4p ATj

j ^'.-i ; î ] s Açwvwumbî (илииГг i&iJJirty

,VJ : -.Sl'SÎÎÎjrj

(TJ : iiva^ji"^ yy I i ifm^ijft'L^iw -T-ÎO ЛГЭ

a?:- 12.3ÎS87B72

> впитnia« ( a. ai. а I

if > g Ihi'Bprm\"система нк1 г]юшла тест на п|датос1ъ") ritf prtini "сцстеяя еылер^Атл тест кл гро'шогть"! 1Г

"система hi4_u-|),t,;l i;L tcci на niwiHocri"

PÎ

(Л

m

0)

<tj

[S)

Рис. 6. Проверка на прочность схемы № 2

68

Графические возможности системы Maple позволяют также изобразить эпюры продольных сил для каждой из рассчитанных стержневых систем (рис. 7).

Рис. 7. Эпюры продольной силы для стержневых систем:

а) схема № 1; Ь) схема № 2

Использование подобных программ позволяет на этапе проектирования схемы подбирать параметры стержневых систем (длину и площадь поперечного сечения стержней, материал, из которого изготовлены эти стержни) для обеспечения прочности готовой системы.

Список литературы

1. Агапов В. П., Васильев А. В. Учёт геометрической нелинейности при расчёте железобетонных колонн прямоугольного сечения методом конечных элементов // Вестник МГСУ. 2014. № 4. С. 37-43.

2. Агапов В. П. Моделирование стержней таврового сечения в расчётах строительных конструкций методом конечных элементов / / Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2016. № 2. С. 55 — 59.

3. Маринченко Е. В. Об одном алгоритме МКЭ расчёта элементов строительных конструкций и механизмов при наличии дефектов / / Austrian Journal of Technical and Natural Sciences. 2015. № 5 — 6. С. 105 — 108.

4. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука. Главная ред. физ.-мат. литературы, 1981. 416 с.

5. Мальгин М. Г., Медведев К. В. Модель расчёта мостовых конструкций на усталость по локальным напряжениям / / Мосты и тоннели: теория, исследования, практика. 2014. № 6. С. 89 — 102.

69

6. Нгуен В. Т., Кажарский В. В. Расчёт стержневых железобетонных конструкций с учётом неупругой работы методом конечных элементов / / Вестник Иркутского государственного технического университета. 2014. № 5 (88). С. 107—114.

7. Самогин Ю. Н., Хроматов В. Е., Чирков В. П. Метод конечных элементов в задачах сопротивления материалов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 200 с.

* * *

Reznichenko Alina Yu., Eyrikh Nadezhda V.

CALCULATION OF MOUNTING STRESSES IN ROD SYSTEMS

BY THE METHOD OF FINITE ELEMENTS IN THE MAPLE SYSTEM

The basic stages of the finite element method are described in the paper by the example of calculating the mounting voltages of rod systems operating on tension-compression. The computer implementation of the method is implemented in the Maple system. The program code is presented, which allows to select the required parameters of the core system to ensure the strength after its assembly.

Keywords: rod system, finite element method (FEM), finite element, stiffness matrix, Maple system.

References

1. Agapov V. P., Vasil'ev A. V. Account for geometrical nonlinearity in the analysis of reinforced concrete columns of rectangular section by finite element method [Uch-jot geometricheskoj nelinejnosti pri raschjote zhelezobetonnyh kolonn prjamou-gol'nogo sechenija metodom konechnyh jelementov], Vestnik MGSU, 2014, no. 4, pp. 37— 43.

2. Agapov V. P. Modelling of the t-section rods in the analysis of building structures by finite element method [Modelirovanie sterzhnej tavrovogo sechenija v raschjotah stroitel'nyh konstrukcij metodom konechnyh jelementov], Stroitel'naja mehanika inzhenernyh konstrukcij i sooruzhenij, 2016, no. 2, pp. 55—59.

3. Marinchenko E. V. About one algorithm FEM calculation of construction elements and mechanisms of the presence of defects [Ob odnom algoritme MKE rascheta elementov stroitel'nykh konstruktsiy i mekhanizmov pri nalichii defektov], Austrian Journal of Technical and Natural Sciences, 2015, no. 5—6, pp. 105—108.

4. Marchuk G. I., Agoshkov V. I. Vvedenie v proekcionno-setochnye metody (Introduction to projection-grid methods), Moscow, Nauka Publ., 1981. 416 p.

5. Mal'gin M. G., Medvedev K. V. Model of calculation of bridge structures for fatigue by local stresses [Model' raschjota mostovyh konstrukcij na ustalost' po lo-kal'nym naprjazhenijam], Mosty i tonneli: teorija, issledovanija, praktika (Bridges and tunnels: theory, research, practice), 2014, no. 6, pp. 89 — 102.

6. Nguen V. T., Kazharskij V. V. Calcu^ion of core reinforced concreеe sеrucеures subjecе еo inelasеic behavior by finiеe elemeM meеhod [Raschjot sterzhnevyh zhelezobetonnyh konstrukcij s uchjotom neuprugoj raboty metodom konechnyh jelementov], Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta, 2014, no. 5 (88), pp. 107—114.

7. Samogin Ju. N., Hromatov V. E., Chirkov V. P. Metod konechnyh jelementov v zadachah soprotivlenija materialov (The finite element method in problems of materials resistance), Moscow, FIZMATLIT Publ., 2012. 200 p.

•Jc -Jc -Jc

70