Исследование устойчивости и коэффициента стабилизации импульсных преобразователей напряжения повышающего типа

Библиографический список

1. Догадин Н. Б. Аналого-дискретные усилители. Волгоград - СПб.: Перемена, 2003. 216 с.

2. Ногин В. Н. Аналоговые электронные устройства: Учеб. пособие для вузов. М.: Радио и связь, 1992.

304 с.

N. B. Dogadin

The Saint-Petersburg state university of telecommunications

named by Prof. M.A.Bonch-Bruevich

The Maximal Power of Losses at the Mode ВС Amplifier with Voltage Source Switching at a Speech

Signal

The maximal power of losses in transistors of the output cascade of the amplifier are considered. Evaluation formulas are given, the comparative analysis with the similar values allocated in the same amplifier at a harmonious signal is given. The correction factor necessary for reception of real values of losses at calculations on a harmonious signal is determined.

Power amplifiers for low frequencies, mode BC amplifiers, amplifier maximal power

of losses, speech signal statistic model

Статья поступила в редакцию 29 декабря 2003 г.

УДК 621.375.146

В. Ф. Дмитриков, И. Н. Самылин, Д. В. Шушпанов, С. В. Калмыков

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций

им. проф. М. А. Бонч-Бруевича

Исследование устойчивости и коэффициента стабилизации импульсных преобразователей напряжения повышающего типа

С использованием метода усреднения и линеаризации переменных состояния получены частотные характеристики импульсных преобразователей повышающего типа, представляющего собой дискретно-нелинейное устройство. С помощью частотных характеристик исследованы коэффициент стабилизации и запас устойчивости. Показано, что данный преобразователь является неминимально-фазовой системой с переменной структурой, поэтому коэффициент стабилизации более 25 дБ не удается реализовать без звеньев коррекции в цепи обратной связи.

Амплитудно-частотная характеристика, фазочастотная характеристика, импульсный преобразователь, повышающий преобразователь, широтно-импульсная модуляция, передаточная функция, метод усреднения и линеаризации

Современные системы связи предъявляют очень жесткие требования к качеству напряжения источников питания: стабильности выходного напряжения, величине пульсаций, величине перерегулирования и длительности переходных процессов при включении © В. Ф. Дмитриков, И. Н. Самылин, Д. В. Шушпанов, С. В. Калмыков, 2004 47

и при отключении источника, скачкообразном изменении входного напряжения и сопротивления нагрузки.

В современных импульсных источниках питания сглаживающие фильтры занимают до 50% массы и габаритов. Для снижения их массы и габаритов при заданной величине высокочастотных пульсаций рекомендуется как использование многозвенных фильтров [1], [2], так и увеличение частоты преобразования энергии в источниках с промежуточным звеном повышенной частоты. Однако увеличение частоты коммутации силового транзистора приводит к снижению КПД источника из-за увеличения коммутационных потерь мощности.

Целью настоящей статьи является представление результатов исследования коэффициента стабилизации и устойчивости импульсных преобразователей напряжения (ИПН) повышающего типа с емкостным фильтром и П-образным СЬС-фильтром. При заданном значении высокочастотных пульсаций во втором фильтре значения емкостей на порядки меньше, чем в первом.

Импульсный преобразователь повышающего типа является дискретным нелинейным устройством. Для исследования коэффициента стабилизации и устойчивости работы преобразователя используется метод усреднения и линеаризации, который позволяет перейти от дискретной нелинейной системы к усредненной линейной системе и получить частотную передаточную характеристику. Далее с использованием критерия Найквиста по этой характеристике определяются коэффициент стабилизации как коэффициент усиления разомкнутой петли обратной связи на нулевой частоте, а также запасы устойчивости по фазе и амплитуде.

На рис. 1 изображена схема импульсного преобразователя повышающего типа при использовании П-образного СЬС-фильтра с обратными связями по выходному напряжению, по токам конденсаторов фильтра и по току ключевого транзистора. Управление работой широтно-импульсного преобразователя (ШИП) УТ осуществляется с помощью ЯБ-триггера. На рис. 1 приняты следующие обозначения: г1, г2, гс\, гс2 - сопротивления потерь в элементах Ь1, Ь2, С1, С2 соответственно; Я ш - сопротивление шунта для

Ь2 1Т2 =

Б Т

Я

Рис. 1

обеспечения напряжения трапецеидальной формы на входе компаратора; Я ш1, Я ш2 - сопротивления шунтов в цепи первого (С1) и второго (С2) конденсаторов фильтра соответственно; Яд1, Яд1 - сопротивления делителя выходного напряжения соответственно; иэт - опорный источник эталонного напряжения; ивх, ивых - входное и выходное напряжения ИПН соответственно; иош - напряжение сигнала ошибки; ип - пилообразное напряжение, снимаемое с шунта; ик - выходное напряжение компаратора; Ку - коэффициент усиления усилителя постоянного тока (УПТ); /к - тактовая частота ИПН.

На каждом периоде работы ШИП момент включения транзистора совпадает с импульсом синхронизации задающего генератора, а момент выключения транзистора - с моментом, когда пилообразное напряжение ип, пропорциональное току ключевого транзистора, превышает сигнал ошибки иош.

Условие срабатывания компаратора описывается зависимостью иош = ип = = Я ш /ут = Я ш !ы, где /ут = /ь1 - токи через транзистор УТ и индуктивность Ь1 на интервалах времени, когда УТ открыт. При увеличении выходного напряжения, например за счет возрастания входного напряжения ивх, происходит уменьшение напряжения ошибки

иош = Ку (иэт -аивых), где а = Яд^/(ЯД1 + ЯД2). Следовательно, для обеспечения условия срабатывания компаратора должно произойти уменьшение интервала проводимости транзистора ёТ (рис. 2). В результате выходное напряжение уменьшается.

При коротком замыкании или резком возрастании тока через транзистор происходит резкое увеличение иш, что приводит к резкому уменьшению интервала проводимости транзистора, т. е. к его размыканию и автоматической защите от короткого замыкания.

Переменные состояния: ток в индуктивности Х1 = /^2 и напряжение на емкости х2 = иС2 для случая емкостного фильтра

преобразователя с учетом потерь описываются матричными уравнениями: • на интервале проводимости транзистора:

0

Г-1 ¿1 ] к

2 А-1 /з

з/к-1 (

Рис. 2

х' = А1х + В1и ,

где х = [Х1 Х2]т, х' = [ё^/Л ёх2/Л]т; и = [ивх ивых]т; т - знак транспонирования;

т1 0

А, =

и = [ивх ивых] ;

0 1й II о/р 0

на интервале выключенного состояния транзистора:

x' = A2x + B2u,

где

A2 =

B2 =

о/Р о

-т-1 -

_ P/QTH -т-1

В формулах (2) и (4) приняты обозначения:

Ti = Li/ri; p^VlVcT; Q = р/Rн; Тн = (reí+Rh)C2; «0 = i/VLíeí.

Для П-образного CLC-фильтра переменные состояния определяются на интервале проводимости транзистора уравнением (1), а на интервале выключенного состояния транзистора - уравнением (3). При этом

x = [Xi Х2 Х3 Х4]т ; x'= [dxi/dt dx2¡dt dx3¡dt dx4/dt]T

(xi = ILi; x2 = UC2; x3 = Il2; x4 = UC2); количество элементов матриц Ai, A2, Bi и B2 по каждой координате увеличивается в два раза, и эти матрицы приобретают следующий

вид:

Ai =

-Tfí

0iPí

Ю02/Р2 -т21Т-

P 2/ Qth

-1

B

0l/ Pi

о 0

A2 =

T11 -T12

0iPí

T-i T22

Tl2

-0lPl

«02/ P2 —t2v-t22 -

P 2/ qth

-T

-1

B

0l/ Pi

0 0 0

тп = Ь1/г1; «01 = 1/>/Ь1С1; рх = ^Ь1/С1; ю02 = 1/л/Ь2С2 ; р2 = ^Ь2/С2 ;

Т21 = Ь2/г2; Т22 = Ь^гс2; Q = Р2^н ; Тн = (гС2 + Ян ) С2; Т12 = Ьу^х .

Для исследования устойчивости работы ИПН следует определить его передаточную функцию в частотной области. Для этого необходимо от дискретной импульсной системы перейти к усредненной линейной [1], [2].

Уравнения (1)-(4) описывают преобразователь как дискретное устройство. Они справедливы только на своих временных интервалах, т. е. при включенном (1) или выключенном (3) ключевом элементе и являются математической моделью дискретной системы. Идея метода усреднения состоит в замене матрично-векторного описания двух различных линейных цепей, описываемых уравнениями (1), (3) на двух интервалах периода T, одним эквивалентным уравнением на всем периоде.

Усреднение уравнений выполняется с учетом, что уравнение (1) справедливо только на части периода dT, а (3) - на части периода (1 - d) T (см. рис. 2). Таким образом, усреднение является результатом суммирования уравнений на интервале включения транзисто-50

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

н

0

0

0

0

0

ра, умноженных на коэффициент заполнения d, и уравнений на интервале выключенного транзистора, умноженных на (1 - d):

x' = d

Уравнение (5) описывает преобразователь как непрерывную систему. В нем x является усредненным вектором состояния и уже не несет информации о каждом этапе работы преобразователя. Такой подход исключает необходимость "сшивания" систем уравнений на границе этапов работы, что существенно упрощает решение. Уравнение (5) можно представить в виде

x' = [ A1d + A2

В системах с отрицательной обратной связью коэффициент заполнения d = f

является функцией переменных состояния x и входного воздействия u. Таким образом, с помощью метода усреднения две линейные системы, существующие каждая на своем интервале работы, аппроксимируются одной непрерывной нелинейной системой.

Любая непрерывная нелинейная система может быть аппроксимирована линейной в окрестности рабочей точки или точки, соответствующей ее положению равновесия. Для получения линейной модели, описывающей поведение усредненной импульсной системы, линеаризуем уравнение (6) в окрестности рабочей точки. Выделим для преобразователя постоянные составляющие переменных состояния x , входного воздействия u и коэффициента заполнения d и их приращения, т. е. переменные составляющие:

x = xq + x; u = uq + u; d = D + d,

где xq, uq, D - постоянные составляющие; x, u, d - приращения.

Подставив (7) в (6) и исключив члены второго порядка малости, содержащими произведения xd и ud, получим

x' = A0x + BQu + Ed,

где Aq = AD + A2 (1 -D); Bq = BXD + B2(1 -D); E = (Ax - A2)xq + (Bx -B2)uq.

Так как дифференциальное уравнение (8) линейное, то, применив преобразование Лапласа, и с учетом нулевых начальных условий x (0) = 0, получим

sx ( s) - Aqx ( s ) = Bqu ( s ) + Eel ( s ),

откуда

x

где I =

1 0 0 1

единичная матрица.

Если приращения коэффициентов заполнения ё (5) не зависят от X (5) и (1 (5), то имеются две матричные передаточные функции:

X (5 )/и (5) = (51 - А0 )-1 В0; X (5)1ё (5) = (51 - А0 )-1 Е .

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 1======================================

Первая соответствует передаточной функции разомкнутой системы по возмущающему воздействию со стороны входного воздействия UBX. Вторая - передаточной функции по управляющему воздействию, т. е. коэффициенту заполнения d .

Однако для замкнутой системы d является функцией как переменных состояния x, так и функцией u, т. е. d = f (x, u). После линеаризации закон управления может быть записан как

d

где матричные коэффициенты Pт (s) и Qт (s) являются функциями комплексной переменной ^ и зависят от корректирующих цепей. Подставив (10) в (9), получим

п-1

F

Выражение (11) является матрицей передаточных функций для переменных составляющих замкнутой системы стабилизации, где выходной переменной являются векторы

переменных состояния х(^) = [х^ (^) Х2 (^)]Т, а за входную переменную принимается

возмущающее напряжения источников и (^) = [ивх (^) 0^ .

Для импульсного преобразователя по рис. 1 коэффициент заполнения d может быть найден из уравнения переключения ШИП. Учитывая описанные ранее условия включения и отключения ключевого элемента ШИП на каждом цикле работы, уравнение, связывающее сигнал ошибки выходного напряжения иош с пилообразным напряжением ип для п-го периода (см. рис. 2), может быть записано как

Цш [

где (ивх/ Ь1)dnT описывает приращение тока через транзистор за время включения транзистора; dn - коэффициент заполнения на п-м периоде.

При достаточно низкой частоте изменения коэффициента заполнения ик

по сравнению с частотой переключения транзистора уравнение (12) может быть усреднено и заменено непрерывным уравнением:

иош = Яш ['"1 + (ивх/ Ь1) dT ] . Если описать ток '1 через переменную состояния х^, представляющую собой ток через дроссель Ь1 (см. рис. 1), то усредненный закон управления по току примет вид

ивх d =

Поскольку непрерывная аппроксимация в применяемом методе усреднения приводит к зависимости d от ивх, то, заменив ивх = ивх0 + ивх и d = Б + с1 и подставив ивх и

d в (13), получаем линейное уравнение относительно приращения коэффициента d в окрестности рабочей точки:

ё =

Применив к (14) преобразование Лапласа и заменив

иош (5) = -аКу (5)(1 + 5ГС1С1) Х2 (5), где Ку (5) - коэффициент передачи сигнала ошибки, получим

ё (5) = - (Ь1/иБХ0Т) Х1 (5)-[ь1аКу (5) (1 + 5гаС1)/ивх0Жш ] % (5) - (£/ивх0 ) йх (5). (15) Запишем (15) в виде

ф) = Рт

где

Рт (s) = -(L1/UвхqT)[1 аКу (s)(1 + sraC1)/Rm]; Qт (s) = -[D/Ubxq 0];

x(s) = [*1 (s) X2 (s)]T ; u (s) = [UBX (s) q]T .

Выражения (16), (17), учитывающие зависимость коэффициента заполнения d от выходных переменных x (s), входных воздействий u (s) и параметров цепей обратных связей

Рт (s), QT (s) получили название закона управления исследуемого преобразователя [1], [2].

Для импульсных систем, использующих один компаратор ШИП для замыкания через него обратных связей как по току, так и по напряжению, результирующая передаточная функция может быть представлена в виде суммы соответствующих передаточных функций токового контура и контура по напряжению.

Передаточные функции разомкнутой системы импульсного преобразователя определяются подстановкой (16) в (9). С учетом, что возмущающее воздействие напряжения источника питания u = const, т. е. приращение u (s) = 0 и d (s) = Рт (s) x (s), для преобразователя с емкостным фильтром получим

F

где

Ъ

- передаточная функция токового контура;

Ри

- передаточная функция контура по напряжению; 2Ь1/к/(1 - Б)2 ] {ян [/¡и + 2Ян (1 - Б)]/(г 1 + Ян ) [+ яН (1 - Б)2 ]};

Т = С1 (/С1 + Ян) {[/С1 + Ян (1 - Б)]/[/С1 + 2Ян (1 - Б)]};

Ki =

тф =VLICI

( ГС1 + R н )/+ R2 (1 - d )2

п-1

*> =

Ки =

2^1 + яН (1 -11 ) Тьус! + (11?,/ 2у/ ^ + Я2 (1 -11) ¡^/СЩ

21Л/КаКу (^)/(1 -1 )2 Яш [Ян/(г 1 + Ян )]

Ян (1 -1)2 - 1э22 ЯН (1 -1)2 + 4

Ти ^ га (Гс1 + Ян )/[яН (1 -1 )2 - 1э2:

^и = -{>/ГС1 + Я н/ 2^1 ГС1 [ яН (1 -1) - 1э22 ] +

+ П гС1

яН (1 -1)- 1э22 иГС1 + ЯН [>/СЩ

1э21 = г1га + Я н [г1 + га (1 -1)]; 1э22 = г 1 (га + Я н ).

С учетом, что Кст = К, + Ки , из (21) получим

К =

Я н 2Ь1/к Н / гС1 + 2Я н (1 -1) + аКу (5) V [{ ЯН (1 - О)2 - 1э2

(1 -1)2 ( г1 + Ян) 121 + Я2 (1 -1 )2

Для П-образного СЬС-фильтра (без потерь): передаточная функция токового контура

( 5 ) = - К,

0.5

"3гф17ф2т1 + 52т2 (Тн1 + тн2 ) + 5 (Тн1 + тн2 + т2 ) + 2

4тф1тф2 + ^Тф^ + 52 (Тф1 + Т1Тн2 + Тф2 ) + 5 (+ Т2 ) +1

22

где К,= 4Ь1/к

(1 - 1)3ЯН ] ; Тф1 -1); Тф2 = >/Ь2С2; ^ = Ь2/ ^ (1 -1)2

Тн1 = С1Ян ; тн2 = С2Ян ;

• передаточная функция контура по напряжению с выхода первого звена

ад=- К1

53тф2т1 + ^ (Т1Т2 - Тф2 ) + 5 (-т2) -1

54Тф21?ф22 + ^Тф2^ + 52 (тф2 + Т1ТН2 + тф-2 ) + 5 (Т1 + Т2 ) +1

где К = 21Л/ка1Ку (5 у -1 )3 Яи • передаточная функция контура по напряжению нагрузки

5Т1 -1

(5 ) = -К2

5 4тф2тф22 + 53тф21 Т2 + 5 2 (Тф21 + Т^ + Тф2 ) + 5 (Т1 + Т2 ) + 1 ' где К2 = 2/ка 2 Ку (5)/(Ь2С1С2Я ш ).

Как видно из выражений (18)-(24) частотная передаточная функция разомкнутой петли обратной связи импульсного преобразователя повышающего типа с емкостным фильтром зависит от коэффициента заполнения ё, коэффициента усиления усилителя постоянного то-

X

X

ка в цепи обратной связи Ку, волнового сопротивления р = ^/Ll/Cl, постоянной времени

т = R нС1, сопротивлений потерь в накопительном дросселе rl и конденсаторе фильтра re.

На рис. 3 приведена зависимость коэффициента стабилизации от коэффициента заполнения d при волновом сопротивлении р = 0.15 Ом, коэффициентах усиления К у = 20

и 40, сопротивлениях потерь в дросселе rl = 0, 0.1 и 0.2 Ом и сопротивлениях потерь в конденсаторе reí = 0 и 0.05 Ом. Из рис. 3, 4 и таблицы следует, что коэффициент стабилизации нелинейно растет с ростом d, Ку и р и спадает с увеличением rl и reí. При наличии потерь rl и rel имеется резкий минимум Кст при различных d, причем с ростом потерь минимум Кст наступает при меньших d. Однако резкое уменьшения Кст имеет место

при нерабочих значениях коэффициента заполнения d .

В таблице для емкостного фильтра с коэффициентом подавления высокочастотных пульсаций A = 44 дБ приведены значения Кст и Дф в зависимости от волнового сопротивления р для различных нагрузок для К у = 20 и 40 и при различных величинах потерь в накопительном дросселе rl и в конденсаторе сглаживающего фильтра ra. С ростом К у растет Кст, но уменьшается запас устойчивости по фазе Дф. С ростом потерь rl уменьшается Кст, но растет Дф. При увеличении потерь rQ незначительно уменьшается Кст, но резко - Дф.

Максимальное значение коэффициента Кст с учетом потерь в конденсаторе Г(С1 ~ 0.05 Ом при Ао = 27 дБ достигает значения 23 дБ при Дф = 45° (при отсутствии потерь А = 44 дБ). При значительном увеличении емкости (А) = 64 дБ без учета потерь) работа

преобразователя повышающего типа без устройств коррекции в цепи обратной связи неустойчива (Дф = 0°). Неустойчива работа преобразователя повышающего типа без цепей коррекции также и при использовании П-образного СЬС-фильтра.

Для повышения Кст и Дф в преобразователе с емкостным фильтром и для обеспечения

работоспособности преобразователя с П-образным СЬС-фильтром необходимо использовать корректирующие звенья в цепи обратной связи. Однако ограниченный объем статьи не позволяет рассмотреть влияние цепей коррекции на коэффициент стабилизации и запас устойчивости по фазе преобразователя повышающего типа с емкостным и П-образным фильтрами в полном объеме. Исследованию этого вопроса будет посвящена отдельная статья.

С1 = 195 мкФ; г1 = 0.2 Ом

гС1 = 0; тн = 374 мкс; А0 = 44 дБ

р, Ом 0.15 0.25 0.35 0.45 0.15 0.25 0.35 0.45

К/Кном Параметр Ку = 20 К у = 40

0.73 Кст, дБ 23.2 32.2 38.0 42.4 28.1 36.9 42.8 47.2

Дф, 93.0 59.0 - - 77.5 - - -

1.0 Кст, дБ 24.4 33.3 39.2 43.5 29.6 38.5 44.3 48.7

Дф, 92.8 66.9 24.7 - 80.3 22.0 - -

1.35 Кст, дБ 25.3 34.2 40.0 44.4 30.7 39.6 45.4 49.8

Дф, 92.6 70.9 41.0 - 81.8 38.6 - -

10.0 Кст, дБ 27.5 36.4 42.2 46.6 33.4 42.3 48.1 52.5

Дф, 92.2 77.2 59.5 47.0 84.3 56.8 40.5 29.9

гС1 = 0.05 Ом; тн = 384 мкс; А0 = 27 дБ

р, Ом 0.15 0.25 0.35 0.45 0.15 0.25 0.35 0.45

^Мюм Параметр Ку = 20 К у = 40

0.73 Кст, дБ 22.8 31.7 37.5 41.9 27.6 36.4 42.3 46.6

Дф, 45.4 - - - - - - -

1.0 Кст, дБ 24.1 33.0 38.8 43.2 29.2 38.1 44.0 48.3

Дф, 59.2 - - - - - - -

1.35 Кст, дБ 25.0 33.9 39.8 44.1 30.4 39.3 45.1 49.5

Дф, 68.1 - - - 30.8 - - -

10.0 Кст, дБ 27.5 36.3 42.2 46.5 33.4 42.3 48.1 52.5

Дф, 89.7 79.4 68.2 53.3 84.1 67.6 44.1 -

Кст О = 0.35; р = 0.15 Ом

г1 = 0.1 Ом; гС1 = 0.05 Ом.

г1 = 0.2 Ом;

ГС1 =

г1 = 0.1 Ом;

Г(1 = 0.

0 20

40 60

Рис. 4

80 Ку

На основании приведенных результатов исследования можно сделать следующие выводы.

С использованием метода усреднения и линеаризации преобразователи повышающего типа с емкостным и П-образным CLC-сглаживающими фильтрами, являющиеся дискретно-нелинейными устройствами, могут быть сведены к усредненной линейной системе и для них получены передаточные частотные характеристики. Исследованы изменения коэффициента стабилизации выходного напряжения и запаса устойчивости по фазе в зависимости от коэффициента заполнения, коэффициента усиления усилителя постоянного тока в цепи обратной связи, волнового сопротивления, величины ослабления высокочастотных пульсаций, сопротивлений потерь накопительного дросселя и конденсатора сглаживающего фильтра для различных значений нагрузки. Показано, что для увеличения коэффициента стабилизации более 25 дБ необходимо применение цепей коррекции в цепи обратной связи преобразователя.

Библиографический список

1. Коржавин О. А. Динамические характеристики импульсных полупроводниковых преобразователей и стабилизаторов постоянного напряжения. М.: Радио и связь, 1997. 300 с.

2. Дмитриков В. Ф., Сергеев В. В., Самылин И. Н. Исследование переходных процессов в импульсных регуляторах напряжения с различными фильтрующими цепями // Труды учебных заведений связи / СПбГУТ. СПб., 2001. С. 72-78.

V. F. Dmitrikov, S. V. Kalmykov, I. N. Samylin, D. V. Shushpanov

The Saint-Petersburg state university of telecommunications named by prof. M. A. Bonch-Bruevich

Research of Stability and Stabilization Factor of Raising Type Pulse Voltage Converters

With use of the approaching method of averaging and linearization of the status variable frequency characteristics of raising type pulse converters as a the discrete-nonlinear device are received. With the use of frequency characteristics the factor of stabilization and reserve of stability are investigated. It is shown that the converter is non-minimal-phase system with a variable structure and therefore the factor of stabilization more than 25 dB does not manage to be realized without links of correction in the feedback circuit.

Gain-frequency characteristic, phase-response characteristic, switching converter, boost converter, pulse-width modulation, transfer function, averaging and linearization method

Статья поступила в редакцию 29 октября 2003 г.