Конструирование линейчатой поверхности на основе проективных пучков прямых

2. Лашнев, С. И. Расчет и конструирование металлорежу-

щих инструментов с применением ЭВМ / С. И. Лашнев, М. И Юликов. — М. : Машиностроение, 1975. — 392 с.

3. Люкшин, В. С. Теория винтовых поверхностей в проектировании режущих инструментов / В. С. Люкшин. — М. : Машиностроение, 1967. — 372 с.

4. Чемборисов, Н. А. Обзор методов профилирования червячной фрезы для зубчатых венцов / Н. А Чемборисов, Т. Г. Дев-жеева // Металлообработка. — 2010. — № 4. — С. 2 — 6.

5. Моделирование формообразования сложных поверхностей деталей / А. А. Ляшков [и др.] // Металлообработка. — 2010. - № 4. - С. 36-42.

6. Ляшков, А А. Моделирование формообразования винтовых поверхностей деталей инструментальной рейкой и червячной фрезой / А. А. Ляшков // Металлообработка. — 2011. — № 1(61). - С. 2-7.

7. Ляшков, А А. Программа компьютерного моделирования процесса формообразования зубчатых колес методом обкатки инструментальной рейкой и долбяком / А. А. Ляшков. - М. : ВНТИЦ, 2008. - №50200802071.

8. Ляшков, А А. Программа компьютерного моделирования процесса формообразования винтовой поверхности детали инструментальной рейкой и червячной фрезой / А А Ляшков. -М. : ВНТИЦ, 2010. - № 50201001024.

9. Ляшков, А. А. Профилирование обкаточного инструмента по вспомогательной поверхности / А А Ляшков, Л. К. Куликов // Омский научный вестник. - 1990. - № 9. - С. 7374.

ЛЯШКОВ Алексей Ануфриевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика».

Адрес для переписки: e-mail: 3dogibmod@mail.ru

Статья поступила в редакцию 30.06.2011 г.

©А. А. Ляшков

уДК 514185 А. С. НИТЕЙСКИЙ

К. Л. ПАНЧУК

Омский государственный технический университет

КОНСТРУИРОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ОСНОВЕ ПРОЕКТИВНЫХ ПУЧКОВ ПРЯМЫХ

Рассматривается задача построения линейчатой поверхности на основе двух проективных пучков прямых первого порядка. Предложен аналитический алгоритм получения параметрических уравнений этой поверхности. Определен ее порядок и рассмотрены некоторые частные случаи.

Ключевые слова: коллинеация, линейчатая поверхность, параметрические уравнения.

В проективной геометрии известно образование поверхностей второго порядка на основе проективного соответствия двух связок в пространстве Е3 [1]. В направлении развития проективного подхода для целей образования линейчатых поверхностей более высоких порядков в работе ставится за-дача конструирования линейчатой поверхности на основе двух проективно соответственных пучков прямых в расширенном евклидовом пространстве Е3+.

Введем в этом пространстве декартову систему координат и рассмотрим два плоских пучка прямых первого порядка. Пусть первый пучок принадлежит связке прямых 812, проходящей через точку ^1(Х1.У1.21)- Соответственный ему пучок будет принадлежать связке Б22, проходящей через точку Б2(х2,у2,22). Пря-мая 1 связки Б12 имеет переменные линейные коор-динаты {Ь,М,Ы} и может быть выражена скалярно-параметрическими уравнениями

1=х.+Цг 1=у.+М1;, 1=2,+№.

х1 'у-М '21

Соответственная ей прямая 1' связки Б22 также имеет переменные линейные координаты {Ь',М',№}

и может быть выражена скалярно-параметриескими уравнениями

1'х = х2 + ЬЧ', 1'у = у2 + МЧ', Г2 = 22 + НЧ'.

Коллинеарное соответствие связок определяется заданием тройки однородных элементов и может быть выражено аналитически следующим образом:

рЬ' = а1Ь + Ъ1М + е1Н, рМ' = а1Ь + Ъ1М + е1Н,

рЫ' = а1Ь + Ъ1М + е1Н,

где р^0 множитель однородности, принимающий любые вещественные значения. Если принять определитель матрицы в уравнениях (3) не равным нулю,

«1 b1 c1

A = a2 b2 c2 * 0,

«3 b3 c3

то матрица, составленная из коэффициентов кол-линеарного соответствия (3), однозначно определяет

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

14

проективное соответствие рассматриваемых пучков прямых [1]. В матричном виде равенства (3) имеют вид: р[Ь'] = [А].[Ц. В силу А^0, равенства (3) устанавливают взаимно однозначное соответствие прямых двух связок. При этом коэффициенты соответствия (3) могут быть любыми, одновременно не равными нулю. Так как множитель р принимает любые вещественные значения, то всегда можно добиться того, что определитель А будет равен единице. Получается, что каждому проективному соответствию отвечает унимодулярная матрица третьего порядка, т.е. матрица с определителем равным единице [2]. Матрица [А] является суперпозицией матриц простых преобразований (поворот, отражение, перенос и др.). Следовательно, задавать нужного вида колли-неацию можно через комбинирование известных более простых преобразований [3]. Отсюда появляется возможность управления формой конструируемой поверхности.

На двух соответственных в коллинеации (3) пучках прямых построим линейчатую поверхность. Искомую поверхность будем рассматривать как множество прямых пространства Е3+, ортогонально пересекающих соответственные в коллинеации пары прямых двух соответственных пучков: прямую пучка связки Б12 и прямую пучка связки Б22.

Общий перпендикуляр к прямым (1) и (2), угловые коэффициенты которых связаны соответствием (3), определится системой уравнений:

R=G

P=G

где Я = 0 и Р = 0 есть уравнения плоскостей, представленные определителями

R=

x - x1 L

y - y1 M

z - z1 N

MN' - NM' N'L - LN' LM' - ML'

x - x2 L'

y - y2 M'

z - z2 N'

MN'- NM' N'L - LN' LM'- ML'

Проверкой непосредственным вычислением можно убедиться, что для скрещивающихся в общем случае прямых (1) и (2) плоскости Я = 0 и Р = 0 пересекаются по указанному перпендикуляру. Параметрические уравнения перпендикуляра имеют векторное г = еіп + гп и скалярно-параметрическое представление

R = 0 и (2). Для этого подставим в уравнение плоскости R = 0 вместо переменных x, y, z их соответствующие выражения l'x, l'y, l'z из уравнений (2). В итоге получим параметр t', со значением, определяющим точку встречи этой прямой с плоскостью R = 0.

Примем, не нарушая хода общего решения рассматриваемой задачи, в качестве плоскости первого пучка — плоскость z=1. Тогда центр связки St2 расположится в точке (0,0,1). В этом случае линейные координаты прямой l будут: {L,M, 0}.

Если значения L и M принять изменяющимся от — 1 до 1, то справедлива зависимость L2 + M2 =1 и прямая l, вращаясь, полностью опишет пучок. Для визуализации моделируемой поверхности удобнее использовать такой подход, поскольку в нем предусматривается возможность полного поворота прямой l в пучке.

Уравнение пучка прямых l= {L,M} на плоскости 0xy может быть записано в виде: l = Lx + My = 0 или l = x + ay=0, где а = M/L — параметр, изменяющийся в пределах от — ¥ до + ¥. При M = 0 получаем базисную прямую x = 0, при L = 0 — базисную прямую y=0.

Линейные координаты прямой l при переходе в пространство будут: {a,1,0}. В этом случае из уравнений (3) следует:

L' = (a1a + b1)/p, M' = (a2a + b2)/p, N' = (a3a + b3)/p,

и уравнение (6) примет следующий вид:

e (a) = {e1(a), e2(a), ез(а)},

где е1(а)=(азa + Ьз)/p, e2(a) = (- a3a2 - ab3)/p,

ез(а) =(-b1 + (b2 - a1 )a + a2 a2)/ p.

Для направляющего вектора e (a) можно принять, что p = 1.

Раскроем определитель R = 0 с учетом вышеприведенных замен и уравнений (2). Здесь и далее в тексте при помощи системы компьютерной алгебры Maple выполняются все необходимые математические действия и преобразования.

(t^a + b1)/ p + Х2)(a2a2 + ab2 - a1a - b1) +

+ (- a2 a3 - a2b2 + a1a2 + ab1 )t'(a2a + b2) / p + y2) +

+

32

+ Ьз + «з a + a Ьз + «3 a = G.

г =e.t + x ,

x 1 П П

г =e_t +y ,

y 2 n •' n

г = e,t +z ,

z 3 n n'

где е = {е1, е2, е3} — направляющий вектор перпендикуляра; г = {хп, уп, } — радиус-вектор основа-

ния перпендикуляра; 1;п — параметр, определяющий положение текущей точки на нем.

Вектор е определим как векторное произведение направляющих векторов пары соответственных прямых 1 и 1' в связках:

e = l х l' = {ej = MN' - NM',

;2 = NL' - LN',e3 = LM' - ML'}.

Точку (хп, уп, 2п) — основание перпендикуляра, найдем из совместного рассмотрения уравнений

Определив из последнего уравнения 1' и подставив его выражение в уравнения (2), найдем точку (хп(а),уп(а)^п(а)) — основание перпендикуляра. Отметим, что при выполнении необходимых преобразований р сокращается. В итоге получаем искомые координаты:

хп(а) = *2 -

2 3 2

(-х2а2а - ау2Ь1 - х2аЪ2 + z2a3a + х2а1а + а z2b3 +

3 3 2

+ х2Ь1 - а3а + У2а2а - а3а + У2а Ь2 +

+ z2a3a - У2а1а2 + z2b3 - а2ь3 - Ь3)

(а22а4 + 2а2а3Ь2 - 2а1а3а2 - 2Ь1а2а2 + а2Ь22 -- 2а1а2Ь2 - 2Ь1аЬ2 + а32а4 + 2а3а3Ь3 + а2Ь32 +

+ 2а1аЬ1 + а12а2 + Ь32 + а32а2 + 2а3аЬ3 + Ь12)

G

P

G

Уп(«) = У2 -

(-х2а2а2 - ау2Ь1 - х2аЬ2 + г2а3а3 + х2а1 а + а2г2Ь3 + + х2Ь1 - аза3 + У2а2а3 - аза + У2а2Ь2 +

+ ^2а3а - У2а1а2 + ^2Ь3 - а2Ь3 - Ь3)

(а22а4 + 2 а2а3Ь2 - 2 а1 а3а2 - 2Ь1 а2а2 + а2Ь22 -

- 2а1 а2Ь2 - 2Ь1 аЬ2 + а32а4 + 2а3а3Ь3 + а2Ь32 +

+ 2 а1 аЬ1 + а12 а2 + Ь32 + а32 а2 + 2 а3 аЬ3 + Ь12)

гп(а) = г2 -

2 3 2

(-х2а2а - ау2Ь1 - х2аЬ2 + г2а3а + х2а1а + а z2Ь3 +

3 3 2

+ х2Ь1 - а3а + У2а2а - а3а + У2а ь2 +

+ ^2а3а - У2а1а2 + г2Ь3 - ^3 - Ь3)

(а22а4 + 2а2а3Ь2 - 2а1а3а2 - 2Ь1а2а2 + а2Ь22 -

- 2а1а2Ь2 - 2Ь1аЬ2 + а32а4 + 2а3а3Ь3 + а2Ь32 +

+ 2а1аЬ1 + а12а2 + Ь32 + а32а2 + 2а3аЬ3 + Ь12)

Уравнения перпендикуляра (они же уравнения искомого множества прямых) с учетом всех выполненных подстановок и преобразований, запишется в скалярно - параметрической форме:

(а^а5 + а2а4 + а3а3 + а4а2 + а5а + а6 ^п +

гх (іп , а) = -

ГУ ІЇП’ а)=-

4 3 2

+ а7а + ада + ад4а + а^а + а^

Т^а4 + Т2а3 + 73 а2 + Т4а + Т5

(31а6 + Р2а5 + Р3а4 + Р4а3 + Р5а2 + Рба + Р7 )п + + Р7а4 + Рэа3 + Р94а2 + Рюа + Ри

Т а4 + Т>а3 + Т3 а 2 + Т4 а + 75

/ \

(б а 6 + 62 а5 + 63 а4 + 64 а3 + 65 а2 + 5б а + 67 )п +

Гтйп. а)=-

2а 3а + 67а + 6да + 694а + 6юа + 6^1

7]а4 + 7^а3 + 73а2 + Т^а + 75

6 5 4 3 2

Ї1а +Ї2а +Ї3а +Ї4а +Ї5а + Тба + Ї7

1,а6 + І2а5 + І3а4 + І4а3 + І^а2 + Іба + І7

их(а) =-

К1а + К2а + К3а + К4а + К5а + К6

~6 5 4 3 2

п,а +П2а +П3а + П4а +у^а + П6а + П7

65432

и (а) _И-1а + т2а + т3а + т4а + т5а + т6а + М-7

иУ(а) л, „6 , Л1 5

3

4

4а

3

5а

2

па + П2а +П3а + П4а +у^а + П6а +у-

6а

7

Щ(а) =

ста + ^2а + Ст3а + Ст4а +а^а + Ст6а + СТ7

1

65432

п1а + п2а + п3а + п4а + п5а + п6а + п

где коэффициенты при а есть комбинации постоянных сомножителей, представляющих собой коэффициенты коллинеарного соответствия и координаты центров связок Б12 и Б22.

Уравнения (7) представляют собой параметрические уравнения линейчатой поверхности. В силу коллинеарности связок, прямая 1 связки Б12 при вращении относительно центра Б1, опишет полный пучок, а соответствующая ей прямая 1' связки Б2, вращаясь относительно центра Б22, также опишет полный пучок. Можно предполагать что, искомое множество прямых будет представлять собой замкнутую поверхность.

Определим порядок полученной поверхности. Для этого можно воспользоваться числом точек пересечения ее с произвольной прямой к пространства, имеющей направляющий вектор к = |к1,к2,к3|:

кх

В точке встречи прямой и поверхности их координаты будут равны, но параметры 1;п и ^ в общем случае не будут совпадать: ^Р^а^кД^; следовательно, определяются два выражения: ^х и ^у через tп. Так как они должны быть равны, то ^х —

— ^-0. Отсюда найдем ^ и, подставив его в г2Рп,а)-

— kz(t0z), получим уравнение вида:

+ (уп6 -т6)а + уп7 -т7 = °-

щее а :

где коэффициенты при а суть комбинации постоянных сомножителей, определенных ранее.

Очевидно, уравнение (9) имеет шесть корней, среди которых могут оказаться мнимые или совпавшие. Следовательно, прямая может иметь в общем случае не больше шести возможных точек пересечения с искомой поверхностью. Отсюда можно сделать вывод, что полученная линейчатая поверхность имеет не более, чем шестой порядок.

Порядок искомой поверхности можно также определить на основании порядка ее плоского сечения. Найдем параметрические уравнения линии сечения поверхности плоскостью Ах + Ву+С2-0, проходящей через начало координат. Для этого решим уравнение относительно параметра ^:

А

Получив выражение ^ и подставив его в уравнения поверхности (7), получим уравнения плоской кривой и в виде:

где коэффициенты при а суть комбинации постоянных сомножителей, определенных ранее.

Параметрические уравнения этой кривой можно преобразовать к неявному виду. Для этого воспользуемся способом преобразования, предложенным в работе [4]. Так как порядок пространственной кривой и в общем случае равен порядку ее плоской проекции, то будем рассматривать параметрические уравнения плоской кривой иху = {их(а),иу(а)} в плоскости 0ху. Принадлежность точки (х,у) к кривой

х(у1а6 + п2а5 + п3а4 + У4а3 + У5а2 + п6а + V) =

5432 = Ка + К2а + К3а +^а +^а + К6,

У(п1а6 + п2а5 + п3а4 + п4а3 + п5а2 + п6а + V) =

65432

= т^а + ^2а + ^3а + т^а + т^а + ^6а + Ц-7'

Приводя подобные члены с одинаковыми степенями по а, получаем

х(а) = (хп1)а6 +(хп2 -К2У +(хп3 -К3У +

+ (хп6 - К6 )а + хп7 - К7 = 0,

У(а) = (Уп1- т^6 + (Уп2- т2У + (Уп3- т?У +

Составим уравнение для кривой иху, не содержа-

(Уп1 - т1)х(а) - (хп1)У(а) = 0 ^ с05°5 +  + с01а + с00 = 0 ,

0

иху приводит к следующей системе уравнений

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011

16

Рис. 1. Линейчатая поверхность при Ь2+М2=1

((уУі - ті)а + (УП2 - т2 ))х(а) -((хпі )а + (хп2 - к2 ))у(а) = 0 ^ ^ сі5а5 + ... + спа + Сю = °

((УПі - Ці)аб + (УП2 - ^2)а5 + ••• + УП7 - Мх(а) - ((хУі)аб +

+ (хп2 - к2)а5 + ... + хп7 - к7)у(а) = 0

с^а5 + ... + спа + сш - °.

В итоге получаем систему уравнений, которую можно представить в матричном виде:

[С] • [а] =

с55

с50

= 0.

Рис. 3. Коническая поверхность

где коэффициенты с0і — полиномы от х и у. Аналогично, можно понизить степень а с шестой до пятой еще пятью способами:

Рис. 2. Линейчатая поверхность при а є [-со, со]

вательно, плоское сечение полученной поверхности (11) не может быть больше шестого порядка. При этом кривая (12) имеет кривую иху своей частью, поскольку сделанные выше преобразования понижения степени не были равносильными [4]. Поэтому порядок поверхности может быть ниже шестого.

Вышеизложенное позволяет заключить, что по-лученая линейчатая поверхность имеет порядок не больше шестого.

Рассмотрим пример. Зададим произвольно матрицу коллинеарного соответствия (3):

- 5 - 2 1

1 -1 -1

2 -1 5

В качестве центра связки Б22 примем точку ( — 2, 2, і). После раскрытия определителя Я = 0 получаем

((- 5а - 2)(а2 + 4а + 2)+ (- а3 - 4а2 - 2а)а - і) +

+ (і - 2а - 2а3 + а2)(2а - і))£ -- і0а2 - і2а - 4 - 2а3 = 0.

Координаты точки (хп(а),уп(а),7п(а)) — основания перпендикуляра примут вид

х п

=- (5а2 + ба + 2 + а3)(- 5а - 2) _ ,

5а4 + 4а3 + 25а2 + і2а + 5

Эта система должна иметь ненулевое решение (а5,...,а°), если точка (х,у) принадлежит кривой иху, и определитель матрицы [С] системы равен нулю. Определитель матрицы [С] — полином шестой степени от х и у. Каждый элемент матрицы [С] представляет собой линейную функцию по х или по у. Раскроем определитель матрицы [С]. Получим общее неявное уравнение кривой

Ах6 + Вх5у + Сх4у2 + Бх3у3 + Ех2у4 + Бху5 + Су6 -- Нх5 - ^4у + Кх3у2 - Ьх2у3 - Мху4 - Ыу5 -

- Ох4 - Рх3у - Их2у2 + Тху3 + Иу4 + Ух3 - Ох2у -

- Бху2 - Шу3 + 1х2 + Хху + Уу2 + 7х - Фу + Л - 0.

Из уравнения (12) следует, что получившаяся кривая в общем случае имеет шестой порядок. Следо-

У п

zп

=- 2 (

[5а2 + ба + 2 + а3 \а - і)

5а4 + 4а3 + 25а2 + і2а + 5

+ 2,

=- (5а2 + ба + 2 + а3 )2а - і) + і

5а4 + 4а3 + 25а2 + і2а + 5 ^

Уравнение линейчатой поверхности при заданной матрице коллинеарного соответствия запишется

г* (£п -а) =

і0£па5 + 3£п а4 + (4б + 4б£п)а3 +

+ (— £п + 30)а + (20 — 2£п)а — 5£п — 2

4а3 + 25а2 + і2а + 5 + 5а4

Гу (*п, а) =-

(- і0аб - 3а5 - 4ба4 + а3 + 2а2 + 5а)п +

+ 8 а4 + 48а2 + 32а + і4____________

5а4 + 4а3 + 25а2 + і2а + 5 '

5

а

0

а

Tz^cO

(5a6 + 24c5 + 51a4 + 120a3 + 103a2 + 44a + ш)п + + a4 - 14c3 + 11a2 + 16a + 9

5a4 + 4a3 + 25a2 + 12a + 5

В результате вычислений в графическом ядре Мар1е визуализирована полученная поверхность (рис. 1) и (рис. 2) Отметим, что если центры связок совпадают, то линейчатая поверхность представляет собой конус (рис. 3), уравнения которого имеют вид

гх(йп,a) = (2 a - ^п,

Гуйл, a) =(- 2a2 + a)fo, ^^п, c) =(a2 + 4c + 2 )йп +1.

Известно, что линейчатая поверхность имеет три направляющие линии. Поскольку порядок полученной поверхности равен шести, то из формулы определения порядка линейчатой поверхности п = 2п1И2Пз, следует, что порядки направляющих линий данной поверхности равны: ^ = 3, П2 = Пз=1. Следовательно, направляющими линиями поверхности являются две прямые и кривая третьего порядка.

В заключении отметим, что предложенный аналитический алгоритм конструирования алгебраической линейчатой поверхности расширяет возможности проективного метода в задачах конструирования поверхностей. Он может быть развит на пары про-

ективных пучков прямых более высоких порядков. Полученная линейчатая поверхность может быть использована в задачах апроксимации сложных технических поверхностей.

Библиографический список

1. Глаголев, Н. А. Проективная геометрия [Текст] / Н. А. Глаголев. — М. : Высш. шк., 1963. — 344 с.

2. Делоне, Б. Н. Аналитическая геометрия. Т. 2. [Текст] / Б. Н. Делоне, Д. А. Райков. — М. ; Л. : Гостехиздат, 1948. —

456 с.

3. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики [Текст] / Д. Роджерс, Дж. Адамс ; пер. с англ. / П. А. Монахов, Г. В. Олохтонова, Д. В. Волков. — М. : Мир, 2001. — 604 с.

4. Компьютерная геометрия : учебное пособие для вузов / Н. Н. Голованов [и др.]. — М. : Издательский центр «Академия», 2006. — 512 с.

НИТЕИСКИИ Антон Сергеевич, аспирант кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика».

ПАНЧУК Константин Леонидович, доктор технических наук, профессор кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика». Адрес для переписки: е-шаП: Panchuk_KL@mai1.ru

Статья поступила в редакцию 24.06.2011 г.

© А. С. Нитейский, К. Л. Панчук

Книжная полка

744/Л47

Леонова, Л. М. Инженерная графика. Резьбовые и сварные соединения [Текст] : учеб. пособие / Л. М. Леонова, К. Л. Панчук, Ф. Н. Притыкин ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010. - 99 с. - ISBN 978-8149-0885-8.

В учебном пособии представлены общие требования, предъявляемые стандартом к разработке и оформлению конструкторских документов; даны описания способов изготовления изделий с резьбой, характеристики геометрических параметров резьбы в зависимости от технических и технологических условий изготовления и эксплуатации изделий резьбового соединения, приведены основные правила изображения резьбы и резьбовых соединений в соответствии с требованиями государственных стандартов, а также требования, предъявляемые к сборочным чертежам разъемных и неразъемных соединений. Выполнен обзор вопросов стандартизации, относящихся к конструкторским документам, стандартизированным терминам, обозначениям основных групп комплекса стандартов «Единая система конструкторской документации» в РФ. Пособие содержит комплект чертежей для самостоятельной проработки студентами.

744/Ф16

Фазлулин, Э. М. Инженерная графика [Текст] : учеб. / Э. М. Фазлулин. - 3-е изд., испр. - М. : Академия, 2009. - 396 с. - ISBN 978-5-7695-6586-1.

Рассмотрены общие правила выполнения чертежей и правила выполнения чертежей некоторых машиностроительных деталей, их соединений, чертежей общего вида, сборочных чертежей, различных схем. Даны основы компьютерной графики.

Бродский, А. М. Практикум по инженерной графике : учебное пособие для студентов СПО / А. М. Бродский, Э. М. Фазлулин, В. А. Халдинов. - 6-е изд., стер. - М. : Academia, 2011. - 192 с. - Гриф МО РФ. -ISBN 978-5-7695-8201-1.

Содержит вопросы для повторения и упражнения по основным разделам курса «Инженерная графика». Способствует овладению наиболее часто встречающимися геометрическими построениями, изучению основных положений начертательной геометрии, правил выполнения чертежей, особенностей изображения некоторых машиностроительных деталей и их соединений, приобретению навыков составления и чтения сборочных чертежей и чертежей общего вида. Большинство упражнений снабжено ответами. Учебное пособие может быть использовано при изучении общепрофессиональной дисциплины ОП.01 «Инженерная графика» в соответствии с ФГОС СПО для всех технических специальностей. Для студентов учреждений среднего профессионального образования.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №3 (103) 2011 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА