О путях развития эндохронного подхода в математическом моделировании определяющих свойств реологически сложных сред

УДК 539.3

О ПУТЯХ РАЗВИТИЯ ЭНДОХРОННОГО ПОДХОДА В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СВОЙСТВ РЕОЛОГИЧЕСКИ СЛОЖНЫХ СРЕД

© Г.Д. Федоровский

Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург, Россия,

e-mail: g.fed@pobox.spbu.ru

Ключевые слова: эндохронный подход; обобщенное время; его масштаб; деформативность; повреждаемость. Проведен анализ и сравнение теорий нелинейной вязкоупругопластичности Шэпери, Вакуленко, Валаниса и Федоровского, базирующихся на применении обобщенного времени. Рассмотрены направления дальнейшего развития и применения эндохронного подхода.

Для описания механических свойств деформируемых тел, проявляющих нелинейное поведение в неравновесных процессах, все больший интерес исследователей занимает «эндохронный» подход - с использованием обобщенного времени. К настоящему времени наметилось и сформировалось несколько вариантов данного направления, способов применения и путей развития.

1. Концепция Шэпери основана на использовании «горизонтального» и «вертикального» «простого» и «сложного» масштабирования времени по инвариантам механических тензоров и их производных по времени в линейных интегральных уравнениях вязкоупругопла-стичности Больцмана-Вольтерра наследственного типа при сложном напряженно-деформированном состоянии среды. Использование помимо горизонтального фактора вертикального позволяет дополнительно учесть явления необратимой пластичности, упрочнение и разупрочнение, нелинейность, но делает общую схему описания эклектичной, затрудняет идентификацию исходных и обратных определяющих функций.

2. Теория «термодинамического» времени Вакуленко базируется на законах термодинамики необратимых процессов. Термодинамическое (обобщенное) время введено как интеграл от скорости производства энтропии элементарного объема среды в интервале лабораторного времени, т. е. представляет собой нечто вроде энтропии процесса, определять которую затруднительно.

3. Эндохронный подход Валаниса является частным случаем теории Шэпери, когда вязкость зависит от скорости деформаций. Уравнения Валаниса изотропной среды имеют вид

2

^ 2 - 2о)еу ,

2

20

¿г = О%/ (х),

2 =а2Ох2 +Р2^2,

°Х2 = Рукг^уЛЧг.

Здесь в верхней строке указана «обычная» интегральная наследственная связь компонентов девиатор-ных и шаровых частей тензоров напряжений и деформаций, а в нижней дана интерпретация собственного времени 2 и его определяющих параметров: / - упрочнения, а ив - «коэффициентов эндохронности» (первый учитывает влияние деформаций , а второй -времени t). Рщ , как и ц, К - другие определяющие

функции материала. Одним из общих недостатков подходов 1 - 3 является обусловленная их видом неявная схема нахождения необходимых определяющих параметров.

4. Теория обобщенного времени Федоровского.

Для полноценного описания поведения реологически сложных сред в немонотонных процессах в наших работах применяются квазилинейные интегральные определяющие соотношения в пространстве обобщенного времени, с использованием масштабов обобщенного времени в виде функционалов, в отличие от наиболее часто используемых «простых» и совсем редко -«сложных» масштабов-функций, не учитывающих предысторию процесса. Построены универсальные масштабы-функционалы с иерархической структурой, обусловленной видом нагружения. Предложены варианты определяющих уравнений изотропной и анизотропной сред. Построены канонические, унифици-

рованные уравнения, применимые для линейной и нелинейной областей деформирования. В случае изотермического одноосного растяжения (сжатия, чистого изгиба) уравнение ползучести имеет вид

t

e

0-

и, «обратное» ему, уравнение релаксации имеет аналогичную форму. Естественно принять ^ст = = ^ , то-

гда функции ползучести P и релаксации R могут быть вычислены одна по другой - по любому из линейных соотношений

t t

PR = RP = J P£ - Z) R (QdZ = J R£ - Z)P (Zd = 1.

0- 0-

1=|СТ=Г.

По последнему соотношению могут быть вычислены масштабы времени. Проведенные в широкой области изменения параметров эксперименты для многих материалов показали, что уже при умеренных деформациях среды обладают «сложным» масштабом времени gст (t, ст) - сложной функцией лабораторного времени и напряжения, даже в режиме нагружения CT(t) = H (t)ст0 . В случае немонотонного процесса CT(t) для соотношения (4.1) при использовании сложного масштаба в наших работах введено

t-

r-Z = GCTt = J G CT[t-p, ст(р)]р =

- T+

= j{gст[, -p,CT(p)]-"gCT[t ¡pP-CT<P)1 pjdp.

gст (t, ст) = 1, если t = 0 или CT<CTl (<ст - граница линейной ползучести). В случае CT(t) = const ^ст - Z = gCT (t-т, CT)(t-т), ^ст (t) = gст (t, ст) • t. Для описания ускоренного или замедленного отклика (упрочнения или разупрочнения) введен построенный по иерархическому принципу масштаб-функционал G~,

представляющий собой произведение сложного масштаба-функции Gст (t, ст) и масштаба-функционала g” (ст) , корректирующий GCT :

GCT (t, ст, ст ) = GCT (t, ст) • gCT (ст ),

p

gl

о

(0) = 0.

5. Эндохронный подход как путь модификации нелинейных теорий и способ их сравнения. Помимо эндохронной концепции известно множество других подходов для описания определяющих свойств. Это может быть объяснено, с одной стороны, незавершенностью решения проблемы описания нелинейного поведения сред, а с другой стороны, нетривиальным и разнообразным поведением сред, которое приводит к необходимости поиска различных путей. Эндохронная концепция позволяет унифицировать изменение механических свойств сред при различных физико-химикомеханических воздействиях, модифицировать другие теории путем получения для них эндохронных параметров - различных масштабов обобщенного времени. Предоставляет возможность расширить способы описания, осуществлять единообразное сравнение различных теорий по параметрам эндохронного подхода. В наших работах были получены эндохронные модификации нелинейных уравнений вязкоупругости Больц-мана-Персо, уравнений вязкоупругости Работнова, Москвитина и технических теорий ползучести с функциями Бейли и Нортона, а также кинетической теории прочности Журкова с надбарьерным и подбарьерным (туннельным) переходами и др. Сравнение модификаций показало, что вид и степень «сложности» масштабов g ст (t, ст) и gCт(CT) для различных теорий различны.

Поступила в редакцию 15 апреля 2010 г.

Fedorovsky G.D. About the ways of development of the en-dochronic approach in mathematical modeling of the determining properties of rheological complex media.

The analysis and comparison of theories of nonlinear tenacity-elasticity-plasticity of Shepery, Valanis, Vakulenko and Fedorovsky, based on the application of generalized time is carried out. Directions of the further development and application of the en-dochronic approach are considered.

Key words: the endochronic approach; generalized time; its scale; deformability; damageability.