Разработка математических моделей для анализа чувствительности колебаний деталей машин

Оригинальная статья / Original article УДК 534.1:539.3

DOI : http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2019-3-472-480

Разработка математических моделей для анализа чувствительности колебаний деталей машин

© И.Н. Рыжиков*, Д.А. Еловенко**, Б. Байроу***

***Иркутский национальный исследовательский технический университет, г. Иркутск, Россия ***Бранденбургский технический университет, г. Котбус, Германия

Резюме: Цель - разработать математические модели и алгоритмы на основе метода конечных элементов для анализа чувствительности колебаний деталей машин и элементов конструкций к изменению проектных параметров. В работе представлен алгоритм анализа чувствительности на основе метода конечных элементов, а также результаты расчета чувствительности свободных колебаний компрессорной лопатки к изменению толщины ее профиля. Использован метод конечных элементов в перемещениях. Для решения систем линейных алгебраических уравнений используется классический метод Гаусса. В результате проведенных исследований для анализа колебаний предложен разработанный метод коэффициентов чувствительности частот. С помощью разработанных математических моделей, алгоритмов и методов проведен анализ чувствительности собственных колебаний рабочей лопатки ротора к изменению толщины профиля. Результаты расчетов показали, что погрешность прогноза частот по коэффициентам чувствительности невелика по сравнению с расчетом модифицированных моделей, что позволяет использовать коэффициенты чувствительности для оценки возможных проектов лопатки. Приведенные результаты расчетов демонстрируют достаточно малую погрешность, что позволяет применять разработанный метод анализа колебаний собственных частот с использованием коэффициентов чувствительности при оптимальном проектировании рабочих лопаток газотурбинных двигателей. Использование коэффициентов чувствительности позволяет оценить влияние изменения местной толщины профиля на спектр колебаний лопатки, что значительно повышает эффективность работ по оптимизации конструкции при ее проектировании.

Ключевые слова: свободные колебания, чувствительность, собственные частоты, рабочие лопатки ротора, проектирование, метод конечных элементов

Информация о статье: Дата поступления 6 мая 2019 г.; дата принятия к печати 31 мая 2019 г.; дата онлайн-размещения 28 июня 2019 г.

Для цитирования: Рыжиков И.Н., Еловенко Д.А., Байроу Б. Разработка математических моделей для анализа чувствительности колебаний деталей машин. Вестник Иркутского государственного технического университета. 2019;23(3):472-480. DOI: 10.21285/1814-3520-2019-3-472-480

Development of mathematical models for sensitivity analysis of machine part vibrations

Igor N. Ryzhikov, Denis A. Elovenko, Bernd Beirow

Irkutsk National Research Technical University, Irkutsk, Russia Brandenburg technical University, Cottbus, Germany

Abstract: The purpose of the paper is to develop mathematical models and algorithms based on the finite element method to analyze the sensitivity of vibrations of machine parts and structural elements to changes in design parameters. The paper presents an algorithm for sensitivity analysis based on the finite element method, as well as the calculation results of sensitivity of compressor blade free oscillations to the changes in its profile thickness. The finite element method in displacements is used. The classical Gauss method is used to solve the systems of linear algebraic equations. As a result of conducted researches the developed method of frequency sensitivity coefficients is offered for the analysis of oscillations. Based on the developed mathematical models, algorithms and methods the analysis of the rotor blade eigen oscillation sensitivity to the changes in profile thickness is analyzed. The calculation results have shown that the error of the frequency prediction by the sensitivity coefficients is small as compared to the calculation of the modified models. Consequently, the sensitivity coefficients can be used to assess possible designs of the blade. The presented calculation results demonstrate a rather small error, which allows to apply the developed analysis method of eigen frequency oscillation using sensitivity coefficients for the optimal design of the gas turbine rotor blades. The use of sensitivity coefficients provides the

0

possibility to estimate the effect of the change in the local profile thickness on the blade oscillation spectrum. This significantly increases the efficiency of work on structure optimization when designing it.

Keywords: natural oscillations, sensitivity, eigen frequencies, rotor blades, design, finite element method

Information about the article: Received May 6, 2019; accepted for publication May 31, 2019; available online June 28, 2019.

For citation: Ryzhikov I.N., Elovenko D.A., Beirow B. Development of mathematical models for sensitivity analysis of machine part vibrations. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2019;23(3):472-480. (In Russ.) DOI: 10.21285/1814-3520-2019-3-472-480

1. ВВЕДЕНИЕ

Решение задач оптимизации является важным этапом проектирования машин и оборудования. Особое внимание при оптимальном проектировании на основе численных моделей уделяется вычислению градиентов поведения целевой функции и функции ограничений при вариации переменных проектирования (так называемой чувствительности). Для деталей машин в качестве целевой функции может выступать зависимость прочностных или вибрационных характеристик (перемещений, напряжений, частот колебаний) от геометрических или массовых параметров, являющихся переменными проектирования. Используя функцию чувствительности, проектировщик получает возможность (варьируя переменными проектирования) быстро и эффективно проводить анализ множества вариантов исходной конструкции, не прибегая при этом к трудоемким расчетам каждого из вариантов. Это позволяет в значительной степени ускорить процесс проектирования, снизить его трудоемкость. В этой связи разработка численных расчетно-оптимизацион-ных моделей с использованием алгоритмов расчета чувствительности для анализа прочностных и вибрационных характеристик конструкций является актуальной задачей.

В качестве примера можно рассмотреть рабочую лопатку ротора газотурбинного двигателя. Благодаря своей консольной конструкции, данная деталь ротора подвержена колебаниям, характеристики кото-

рых очень чувствительны к изменениям геометрических или массовых параметров. Использование коэффициентов чувствительности позволяет значительно повысить эффективность анализа собственных частот колебаний рабочих лопаток с целью резонансной отстройки.

Разработке численных методов анализа динамики и прочности роторов турбо-машин посвящено множество работ [1-22]. Также можно выделить труды, посвященные разработке методов анализа с использованием алгоритмов расчета чувствительности 1.

2. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Уравнения динамики в методе конечных элементов (МКЭ) в линейной постановке в случае свободных колебаний без демпфирования представлены следующим образом [1]:

[М]{5}+М{5} = 0 .

Решение уравнения (1) имеет вид гармонического колебания 8 = усоБ(шЬ -Р). где у - модальные перемещения, ш- круговая частота, t - время, в - угол. Подставляя это выражение в уравнение (1), получим:

или

1Нгуен Динь Дыонг. Математическое и программное обеспечение для анализа чувствительности параметров колебаний пластинчато-оболочечных конструкций: дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18. Иркутск, 2012. 180 с. / Nguyen

Dinh Dyong. Mathematical support and software for sensitivity analysis of oscillation parameters of lamellar-shell structures: Candidate's dissertation in technical sciences: 05.13.18. Irkutsk, 2012. 180 p.

Ш

где А - собственное значение, {у} - вектор модальных перемещений (3).

Решая уравнение (3) в линейной постановке, можно определить собственные значения А, модальные перемещения М={б}ЛТ={б_1,б_2,...^ }ЛТ (формы колебаний), где N - число степеней свободы системы, и частоты колебаний

{f]=^=ifl,f2.....fN)T

Чувствительность собственных значений для свободных колебаний (4, 5):

— = {у}т

dXi

d[K] ,, d[M] — Л

{у} ,

. ах1 ах1

где собственный вектор (у) нормирован как

{у}т[М]{у} = -1 .

Учитывая, что X = {2П)2, выражение для вычисления чувствительности частот свободных колебаний имеет следующий вид:

1 d\

df df dl dXi = dl dXi = 4n4ldX{

Для расчета ресурсных характеристик коэффициентов чувствительности к вариациям проектных переменных необходимо получить производную модальных перемещений или напряжений. В этом случае удобно применять понятие коэффициента влияния проектных переменных на ресурсные характеристики. Решение в случае колебаний может быть записано в виде

р = е-шМ

В уравнении (7) р и ( - модальные перемещения и коэффициенты демпфирования; Xo, Vo, Fo - начальные перемещения, скорость и силовое воздействие.

Для вычисления чувствительности динамических напряжений необходимо вы-

полнить ряд преобразований выражения МКЭ для расчета напряжений

Для производной напряжений имеем

Производная перемещений может

быть определена, как

=

Получим окончательное выражение:

тв][^х

3. АНАЛИЗ КОЛЕБАНИЙ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ЧАСТОТ

Чувствительность частоты к изменению толщины конструкций в узлах:

дГ/дЬ=

I = ] = 1,ЫЕ,

где К (I, j) - коэффициент чувствительности частоты f узла i в элементе у; NCN - число узлов в элементе; NE - число элементов.

Большое абсолютное значение чувствительности частот означает высокую интенсивность изменения частоты при изменении толщины, положительная или отрицательная чувствительность означает, что частота уменьшится или увеличится (тенденция изменения) при изменении толщины конструкции. Можно использовать два метода для прогнозирования тенденции и интенсивности изменения каждой частоты колебания пластины. При первом методе выбирается коэффициент изменения толщины для каждого отдельного узла с соответствующими ожиданиями изменений частоты. При втором методе данный коэффициент

выбирается для каждого отдельного сечения.

Изменение частоты по методу чувствительности частот вычисляется по формуле:

Ц = ЦДЬ(1,]) • КГ(Ч) Л = ЪЮСИ-, \ =

,

где АЬ^,]) - величина изменения толщины узла i в элементе ].

Прогнозирование частот по методу чувствительности:

ПЪ+АЪ) = Г0+АГ.

В уравнении (14) изменение частоты:

А/ =Г

где Ь - частота исходной модели.

Чувствительность считается положительной, если функция имеет максимум изменений проектных параметров в верхнем диапазоне, и наоборот, - чувствительность отрицательная, если функция имеет минимум изменений в нижнем диапазоне. Чем выше численное значение чувствительности, тем в большей степени изменяется исследуемый параметр (например, частота).

? e

4\] 15

t/ Erf

Рис. 1. Конечно-элементная модель рабочей лопатки

Расчет коэффициентов чувствительности позволяет значительно повысить эффективность отстройки разрабатываемой конструкции от резонанса путем изменения толщины профиля.

4. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Проведен анализ собственных частот колебаний реальной лопатки компрессора с использованием коэффициентов чувствительности. Параметры лопатки: длина ^ = 0,186 м; хорда Хк = 0,167 м; модуль Юнга Е = 2,16-105 МПа; коэффициент Пуассона у = 0,3; плотность р = 7,85-103 кг/м3; радиус корневого сечения лопатки ^ = 0,236 м. Ко-нечноэлементная модель лопатки представлена на рис. 1.

В табл. 1 приведены результаты расчета собственных частот лопатки при оборотах ротора п = 0, 25,...100 1/с (рис. 2).

Распределение чувствительности частот в узлах изображено на рис. 3. Распределение чувствительности частот по сечениям лопатки изображено на рис. 4.

Проанализирована точность прогноза изменения частот колебаний лопатки при утолщении на 10% по всей поверхности лопатки либо в определенных зонах (табл. 2, 3).

2500

0 100 200 300 400 500 600 700

OMEGA [rad/s]

Рис. 2. Резонансная диаграмма рабочей лопатки Fig. 2. Resonance diagram of the rotor blade

Влияние вращения на частоты собственных колебаний Effect of rotation on eigen frequencies

Таблица 1 Table 1

№ формы n = 0 n = 25 1/с n = 50 1/с n = 75 1/с n = 10( 3 1/с

fo, Гц f, Гц Af,% f, Гц Af,% f, Гц Af,% f, Гц Af,%

1 2 3 4 229,36 775,73 1082,62 1705,22 232,89 777,08 1091,34 1703,34 1,54 0,17 0,81 0,11 243,76 783,98 1091,34 1708,49 6,28 1,06 0,81 0,19 260,73 794,84 1104,28 1716,69 13,68 2,46 2,00 0,67 282,53 808,81 1122,70 1727,45 23,18 4,26 3,70 1,30

Рис. 3. Изолинии чувствительности частот для первых форм собственных колебаний Fig. 3. Frequency sensitivity isolines for the first forms of eigen vibrations

200 150 100 .q 50

ё о

-50 -100

/ 1

к/ 1—4

и f J 4 i 1 D 1 1 1 ? 1

— Щ Y i

öFl/üb

сечение X -<5F2/öb <3F3/öb

<3F4/c3b

Рис. 4. Распределение чувствительности частот по сечениям лопатки Fig. 4. Distribution of frequency sensitivity across blade sections

Влияние на частоту колебаний утолщения на 10% в верхней и нижней зонах метода конечных элементов

Effect of 10% thickening in the upper and lower zones of the finite element method on the oscillation frequency

Таблица 2

Table 2

Форма fo

МКЭ Чувствительность Af

1 282,53 280,96 280,06 -0,32

2 808,81 804,25 803,14 -0,14

3 1122,70 1116,75 1115,89 -0,08

4 1727,45 1719,18 1718,35 -0,05

Таблица 3

Влияние на частоту колебания утолщения (утонения) на 10% по всей лопатке

Table 3

Effect of 10% thickening (thinning) across the whole blade on oscillation frequency

Форма fo

МКЭ Чувствительность Af

1 282,53 291,78 289,49 -0,79

2 808,81 866,09 861,43 -0,54

3 1122,70 1173,74 1169,27 -0,38

4 1727,45 1796,37 1806,33 0,55

Таблица 4

Определение максимальной частоты лопатки при ограничениях на минимальную и максимальную толщины b0 • 2/3 < b < b0 • 4/3

Table 4

Determination of the blade maximum frequency under restrictions to minimum and maximum thickness b0 • 2/3 < b < b0 • 4/3

Форма Исходный вариант МКЭ Fmax По Kf AF

1 282,53 382,04 35,22

2 808,81 1115,65 37,94

3 1122,70 1422,72 26,72

4 1727,45 2159,02 24,98

Как видно из табл. 3, погрешность прогноза частот, полученных с помощью метода анализа коэффициентов чувствительности, невелика по сравнению с расчетом утолщенных и утоненных моделей, что позволяет использовать данный метод для оценки различных вариантов при оптимальном проектировании лопатки. Более актуальным (по сравнению с анализом влияния толщины в отдельных узлах с точки зрения газодинамики) является анализ влияния на колебания толщины профилей отдельных сечений лопатки.

В табл. 4 приведены максимальные частоты лопатки при ограничениях на минимальную и максимальную толщины

Ьо-2/3 < Ь < Ьо4/3,

полученные с помощью метода анализа коэффициентов чувствительности.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные результаты расчетов демонстрируют достаточно малую погрешность, что позволяет применять разработанный метод анализа собственных частот колебаний с использованием коэффициентов чувствительности при оптимальном проектировании рабочих лопаток газотурбинных двигателей. Использование коэффициентов чувствительности позволяет оперативно оценить влияние изменения параметров проектирования на спектр колебаний лопатки. Это значительно повышает эффективность работ по оптимизации конструкции при ее проектировании. Другим практическим приложением моделей чувствительности может быть исследование влияния на колебания лопатки других геометрических параметров ее профиля (длина, хорда, угол установки и др.).

Библиографический список

1. Заинчковский К.С., Репецкий О.В., Лопатин А.Б., Маликов В.Ф., Ольшевский А.Г., Персиянов В.В., Рыжиков И.Н. Автоматизация прочностных расчетов

турбомашин. Иркутск: Иркутское отделение союза НИО, 1990. 100 с.

2. Репецкий О.В., Рыжиков И.Н., Нгуен Тьен Кует.

Численное исследование динамики и долговечности рабочих колес турбомашин с расстройкой параметров // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. 2017. № 51. С. 39-50.

3. Репецкий О.В., Рыжиков И.Н., Нгуен Тьен Кует. Компьютерный анализ ресурсных характеристик рабочих колес газотурбинных двигателей с расстройкой параметров // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Аэрокосмическая техника. 2018. № 53. С. 52-62.

4. Репецкий О.В., Байроу Б. Применение анализа чувствительности для исследования систем с расстройкой параметров // Байкальский Вестник ДААД. 2016. № 1. С. 86-98.

5. Репецкий О.В., Рыжиков И.Н., Schmidt R. Исследование влияния различных видов расстройки параметров на колебания и долговечность рабочих колес турбомашин // Вестник Байкальского союза стипендиатов DAAD. 2010. № 1.С. 20-31.

6. Beirow B., Giersch T., Kuehhorn A., Nipkau J. Optimization-Aided Forced Responce Analysis of a Mistuned Compressor Blisk. J. Engineering for Gas Turbines and Power. 2015. Vol. 137. P. 012504-1-012504-10.

7. Beirow B., Kuehhorn A., Figashevsky F., Bornhorn A., Repetckii O. Forced response reduction of a blisk by means of intentional mistuning// Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. Vol. 141. January 2019. P. 11008-11008-8.

8. Repetckii O.V., Beirow B. The application of the sensitivity analysis for the study of systems with detuning parameters // Baikal Bulletin of DAAD. 2016. № 1. P. 86-98.

9. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 560 с.

10. Beirow B., Giersch T., Kuehhorn A., Nipkau J. Optimization-Aided Forced Responce Analysis of a Mistuned Compressor Blisk. J. Engineering for Gas Turbines and Power. 2015. Vol. 137. P. 012504-1-012504-10.

11. Beirow B., Kuehhorn A., Figashevsky F., Bornhorn A., Repetckii O. Forced response reduction of a blisk by means of intentional mistuning // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. Vol. 141. January 2019. P. 11008-11008-8.

12. Bladh J.R., Castanier M.P., Pierre C. Component-Mode-Based Reduced order modeling techniques for Mistuned bladed Disks. Part I: Theoretical Models // Journal of Engineering for Gas turbines and Power. January 2001. Vol. 123. No. 8. P. 89-99.

13. Castanier M.P., Pierre C. Modeling and analysis of Mistuned bladed disk vibration: Status and Emerging direction // Journal of Propulsion and power. 2006. Vol. 22. No. 2. P. 384-396.

14. Cha D., Sinha A. Effects of the nature of Excitation on the response of a Mistuned bladed disk assembly // Journal of Turbomachinery. 2002. Vol. 124. P. 588-596.

15. Cha D., Sinha A. Statistics of Response of a Mistuned bladed disk assembly subjected to white noise and narrow band excitation // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. 1999. Vol. 121. No. 4. P. 710-717.

16. Ewins D.J. Resonant vibration levels of a mistuned bladed disk // Trans. ASME, Journal of vibration, acoustics, stress and reliability in design. 1984. Vol. 106. P. 211-217.

17. Feiner D.M., Griffin J.H. Mistuning identification of bladed disks using a Fundamental mistuning model. Part I, II: Theory, Application // Journal of Turbomachinery. 2004. Vol. 126. P. 150-165.

18. Griffin J.H., Sinha A. The interaction between mistuning and friction in the forced Response of Bladed Disk Assemblies // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. 1985. Vol. 107. P. 205-211.

19. Irretier H. Spectral Analysis of Mistuned Bladed Disk Assemblies by Component Mode Synthesis. Vibrations of Bladed Disk Assemblies. American Society of Mechanical Engineers. New York, 1983. P. 115-125.

20. Kaza K.R.V., Kielb R.E. Vibration and flutter of mistuned bladed-disk assemblies // Journal of Propulsion and Power. 1985. Vol. 1. No. 5. P. 336-344.

21. Mignolet M.P., Rivas-Guerra A.J. Identification of Mistuning characteristics of bladed disks from free response Data. Part I, II // Journal of Engineering for gas turbine and power. 2001. Vol. 123. P. 395-411.

22. Petrov E.P., Sanliturk K.Y., Ewins D.J. A new method for dynamic analysis of Mistuned bladed disks based on the exact relationship between tuned and Mistuned systems // Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. 2002. Vol. 124. P. 586-597.

References

1. Zainchkovskij K.S., Repeckij O.V., Lopatin A.B., Malikov V.F., Ol'shevskij A.G., Persiyanov V.V., Ryzhikov I.N. Avtomatizaciya prochnostnyh raschetov turbomashin [Automation of turbomachine strength calculations]. Irkutsk: Irkutsk branch of the Scientific Research Department, 1990, 100 p. (In Russ.).

2. Repeckij O.V., Ryzhikov I.N., Nguyen Tien Quyet. Numerical investigation of dynamics and durability of bladed disc of turbomachinery with mistuning parameters. Vest-nik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Aerokosmicheskaya tekhnika [PNRPU Aerospace Engineering Bulletin].

2017, no. 51, pp. 39-50. (In Russ.).

3. Repetskii O.V., Ryzhikov I.N., Nguyen Tien Quyet. The computer analysis of resource characteristics of gas turbine engines bladed disks with mistuning. Vestnik Permskogo nacional'nogo issledovatel'skogo politekhnicheskogo universiteta. Aerokosmicheskaya tekhnika [PNRPU Aerospace Engineering Bulletin].

2018, no. 53, pp. 52-62. (In Russ.).

4. Repeckij O.V., Bajrou B. Application of sensitivity analysis to study the systems mistuned parameters. Bajkal'skij Vestnik DAAD [Baikal Bulletin of DAAD]. 2016,

no. 1, pp. 86-98. (In Russ.).

5. Repeckij O.V., Ryzhikov I.N., Schmidt R. Study of the influence of different types of parameter mistuning on vibrations and durability of turbomachinery impellers. Vest-nik Bajkal'skogo soyuza stipendiatov DAAD [Baikal Bulletin of DAAD]. 2010, no. 1, pp. 20-31. (In Russ.).

6. Beirow B., Giersch T., Kuehhorn A., Nipkau J. Optimization-Aided Forced Response Analysis of a Mistuned Compressor Blisk. J. Engineering for Gas Turbines and Power, 2015, vol. 137, pp. 012504-1-012504-10.

7. Beirow B., Kuehhorn A., Figashevsky F., Bornhorn A., Repetckii O. Forced response reduction of a blisk by means of intentional mistuning. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. January 2019, vol. 141, pp. 11008-11008-8.

8. Repetckii O.V., Beirow B. The application of the sensitivity analysis for the study of systems with detuning parameters. Baikal Bulletin of DAAD. 2016, no. 1, pp. 8698.

9. Timoshenko S.P., Gud'er Dzh. Teoriya uprugosti [Theory of Elasticity]. Moscow: Nauka Publ., 1979, 560 p. (In Russ.).

10. Beirow B., Giersch T., Kuehhorn A., Nipkau J. Optimization-Aided Forced Response Analysis of a Mistuned Compressor Blisk. J. Engineering for Gas Turbines and Power. 2015, vol. 137, pp. 012504-1-012504-10.

11. Beirow B., Kuehhorn A., Figashevsky F., Bornhorn A., Repetckii O. Forced response reduction of a blisk by means of intentional mistuning. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power. vol. 141, January 2019, pp. 11008-11008-8.

12. Bladh J.R., Castanier M.P., Pierre C. Component-Mode-Based Reduced order modeling techniques for Mistuned bladed Disks. Part I: Theoretical Models. Journal of Engineering for Gas turbines and Power, January 2001, vol. 123, no. 8, pp. 89-99.

13. Castanier M.P., Pierre C. Modeling and analysis of Mistuned bladed disk vibration: Status and Emerging direction. Journal of Propulsion and power, 2006, vol. 22,

Критерии авторства

Рыжиков И.Н., Еловенко Д.А. и Байроу Б. заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ Рыжиков Игорь Николаевич,

кандидат технических наук,

доцент кафедры машиностроительных

технологий и материалов,

Иркутский национальный исследовательский

технический университет,

664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83, Россия,

e-mail: rin111@list.ru

no. 2, pp. 384-396.

14. Cha D., Sinha A. Effects of the nature of Excitation on the response of a Mistuned bladed disk assembly. Journal of Turbomachinery, 2002. vol. 124, pp. 588-596.

15. Cha D., Sinha A. Statistics of Response of a Mistuned bladed disk assembly subjected to white noise and narrow band excitation. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 1999, vol. 121, no. 4, pp. 710717.

16. Ewins D.J. Resonant vibration levels of a mistuned bladed disk. Trans. ASME, Journal of vibration, acoustics, stress and reliability in design. 1984. Vol. 106. P. 211-217.

17. Feiner D.M., Griffin J.H. Mistuning identification of bladed disks using a Fundamental mistuning model. Part I, II. Theory, Application. Journal of Turbomachinery, 2004. vol. 126, pp. 150-165.

18. Griffin J.H., Sinha A. The interaction between mistun-ing and friction in the forced Response of Bladed Disk Assemblies. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 1985. vol. 107, pp. 205-211.

19. Irretier H. Spectral Analysis of Mistuned Bladed Disk Assemblies by Component Mode Synthesis. Vibrations of Bladed Disk Assemblies. American Society of Mechanical Engineers. New York, 1983, pp. 115-125.

20. Kaza K.R.V., Kielb R.E. Vibration and flutter of mistuned bladed-disk assemblies. Journal of Propulsion and Power, 1985, vol. 1, no. 5, pp. 336-344.

21. Mignolet M.P., Rivas-Guerra A.J. Identification of Mistuning characteristics of blad-ed disks from free response Data. Part I, II. Journal of Engineering for gas turbine and power, 2001, vol. 123, pp. 395-411.

22. Petrov E.P., Sanliturk K.Y., Ewins D.J. A new method for dynamic analysis of Mistuned bladed disks based on the exact relationship between tuned and Mistuned systems. Journal of Engineering for Gas Turbines and Power, 2002, vol. 124. pp. 586-597.

Authorship criteria

Ryzhikov I.N., Elovenko D.A. and Beirow B. declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS Igor N. Ryzhikov,

Cand. Sci. (Eng.),

Associate Professor of the Department of Engineering

Technologies and Materials,

Irkutsk National Research Technical University,

83 Lermontov St., Irkutsk 664074, Russia,

e-mail: rin111@list.ru

Еловенко Денис Александрович,

кандидат технических наук,

доцент кафедры конструирования и стандартизации в машиностроении,

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83, Россия, e-mail: elovenko03@gmail.com

Бернд Байроу,

доктор,

профессор кафедры структурной механики и динамики транспортных систем, Бранденбургский технический университет, 03046, г. Котбус, Сименс-Хальске Ринг, 14, Германия, e-mail: beirow@b-tu.de

Denis A. Elovenko,

Cand. Sci. (Eng.),

Associate Professor of the Department of Design and Standardization in Mechanical Engineering, Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk 664074, Russia,

Bernd Beirow,

PhD,

Professor of the Department of Structural Mechanics and Dynamics of Transport Systems, Brandenburg technical University, 14 Siemens-Halske Ring, Cottbus 03046, Germany, e-mail: beirow@b-tu.de