Исследование закономерностей развития математической картины мира и особенностей развития современной математики

УДК 1:001+001.8

Н.М. Охлопков

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КАРТИНЫ МИРА И ОСОБЕННОСТЕЙ РАЗВИТИЯ

СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ

Изучены закономерности развития математической картины мира как в историческом, так и в современном плане ее развития: закономерность развития математики, общая схема вычислительного эксперимента как методологии математической технологии, основные этапы развития математической картины мира и особенности развития современной математики.

Ключевые слова: математическая модель, ядро математики, алгоритмизация, алгебраизация, вычислительные методы, закономерность, теоретико-функциональная математика, «модельная» концепция, теоретико-множественная математика, теоретикоалгоритмический подход, вычислительный эксперимент, математическая картина мира.

Первая попытка сведения геометрии, алгебры к арифметике произошла в V в. до н.э. в школе Пифагора - первая концепция синтеза математики на основе арифметики (числовая концепция математики). Согласно Пифагору, Вселенная представляет собой гармоничную систему чисел и их отношений. Арифметика трактовалась в раннем пифагоризме как центральное ядро всего Космоса.

Вторая попытка синтеза математики на основе геометрии произошла в III в. до н.э. в «Началах» Евклида. Однако арифметика остается вне этого синтеза. Концепция геометрической алгебры просуществовала вплоть до фундаментальной реформы Р. Бомбелли и Р. Декарта, сводившей всякую меру величины к мере длины (действительному числу), т.е. до XVII века.

С созданием Р. Декартом и П. Ферма аналитической геометрии снова проявляется первая тенденция - происходит тесное слияние геометрии и алгебры на основе алгебры (концепция алгебраической геометрии).

Данная концепция в новое время заменяется теоретико-функциональной концепцией, где функциональный подход становится преобладающим. Функция предстает перед нами как предмет мышления в его наиболее абстрактном выражении. В силу этих обстоятельств функция представляет собой наиболее важный абстрактный математический объект, которая интерпретируется как абстрактная математическая модель мира.

Во второй половине XIX в. произошло объединение математики на основе «модели», о котором мечтали пифагорейцы. Непротиворечивость (осмысленность) аксиоматической теории проверяется указанием модели, на которой она реализуется, как это впервые было сделано в геометрии Лобачевского. Первым методом доказательства непротиворечивости аксиоматических теорий явля-

ОХЛОПКОВ Николай Михайлович - к.ф.-м.н., доцент ИМИ СВФУ

E-mail: math_jsu@mail.ru

ется метод интерпретаций (моделей), который состоит в том, что одна математическая теория интерпретируется (моделируется) посредством другой математической теории. Непротиворечивость евклидовой геометрии была сведена к проблеме непротиворечивости арифметики (Д. Гильберт). Примерами применения этого метода являются интерпретации Ф. Клейна, Э. Бельтрами, А. Пуанкаре для системы аксиом неевклидовых геометрий. Тем самым неевклидовы геометрии истолковываются в понятиях геометрии Евклида. Таким образом была доказана непротиворечивость неевклидовых геометрий.

Д. Гильбертом был предложен другой метод доказательства непротиворечивости - метаматематический метод, который связан с представлением аксиоматической теории в виде формализованной системы. Его метод допускал только так называемые финитные методы, т.е. интуитивно убедительные и не содержащие сомнительных элементов теории бесконечных множеств. Этот метод сводит вопрос о непротиворечивости теории к вопросу о надежности метаматематики (теории доказательств), объекты которой не зависят от содержания рассматриваемой теории.

Аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо системе объектов, всегда применима к другой, изоморфной ей. Поэтому каждая аксиоматически построенная математическая теория допускает не одну, а много «моделей».

В течение первой половины XX в. фактически вся математика была построена на базе теоретикомножественных концепций. Такой подход позволил установить логическое единство практически всей математики на основе аксиоматического метода. Та роль, которую ранее выполняли числа, величины, фигуры, теперь отводится математическим теориям, которые выступают не в генетической форме, а в аксиоматической. Для построения картины математики Н. Бурбаки ограничивается тремя типами таких структур: алгебраические структуры (структуры композиции), топологические структуры и структуры упорядоченности [3]. По его мнению, струк-

туры математики можно получить либо путем модификации указанных выше структур, либо с помощью комбинации последних. Концепция математической структуры возникла на базе аксиоматического подхода, у истоков которого стояли Аристотель и Евклид. Неевклидовы геометрии [9] и труды Д. Гильберта по основам геометрии [5] дали мощный импульс к развитию этого метода.

Н. Бурбаки хотел построить всю математику на аксиоматической основе [4]. Эта попытка осталась незавершенной, так как сама цель, по-видимому, была нереалистична.

Со второй половины XX в. с появлением ЭВМ и интенсивным внедрением компьютеров во все сферы человеческой деятельности успешно развивается теоретикоалгоритмическое направление в рамках абстрактной и прикладной математики на базе математических моделей.

Ядром современной математики становится математическая модель, вокруг которой разворачиваются и теоретические, и прикладные исследования. Построение математических моделей соединяет вместе различные отрасли математики. Теперь структурообразующими элементами современной математики стали потребности науки как производительной силы.

С 20-х годов XX в. небывалого расцвета достигла алгебра, произошла алгебраизация математики. Современный успех развития алгебры в большей степени определяется компьютеризацией знания. Все эти факторы требуют алгоритмизации математики. Алгоритмизация знания дает возможность переноса из одной области знания в другую не только результатов научного исследования, но и методов, приемов их получения в той или иной науке. Отсюда один путь к алгоритмической интеграции, к практической ориентации математического знания, к арифметико-алгебраическому его строению, к повышению роли вычислительных методов. Число становится фундаментальной математической структурой, органично соединяющей прикладную и теоретическую математику.

Воспитание специалистов, занимающихся созданием и анализом математических моделей, становится актуальной задачей, поскольку они будут определять в конечном счете лицо современной математики. Воспитанные в таком духе математики мыслят математическое знание единым и неделимым на «чистую» и «прикладную» математику. Это будет способствовать сближению абстрактной и прикладной математики и приведет к постепенному стиранию методологических разногласий между ними.

Закономерность развития математики можно выстроить в ряд.

1. Практическая (эмпирическая) математика Древнего Египта и Вавилонии (с 25-30 вв. до н.э. до 'УП-'УГ вв. до н.э.). Математика зарождается как вычислительная математика. Математика изучает постоянные конечные положительные величины.

2. Теоретическая математика Древней Греции (с VII-VI вв. до н.э. до т вв. н.э.). Математика изучает постоянные положительные конечные и бесконечные величины.

3. Синтетическая практическая математика Средних веков (Китай, Индия, Средний и Ближний Восток с Ш вв. до XVII в.). Развивается вычислительное направление в математике. Математика изучает постоянные и зарождающиеся переменные величины.

4. Теоретическая математика Нового времени (с XVII в. до 1-й пол. XIX в.). Развивается теоретикофункциональная математика переменных величин. Математика изучает не только постоянные, но и преимущественно переменные величины.

5. «Модельная» концепция математики (с сер. XIX в. до конца XIX в.). Усиливается абстрактность теоретической математики. Математика изучает пространственные формы и количественные отношения предметов реального мира.

6. Теоретико-множественная математика с конца XIX в. до сер. XX в. (Г. Кантор, Р. Дедекинд, Д. Гильберт,

Н. Бурбаки). Теория множеств объявляется фундаментом математики. Развивается структурно-аксиоматический подход. Математика изучает пространственные формы и количественные отношения, а также другие формы и отношения, сходные с пространственным и количественным по своей структуре.

7. С середины XX в. по настоящее время развивается модельная концепция математики. Развивается теоретико-алгоритмический подход. Происходит алге-браизация математики. В связи с алгоритмизацией знания на передовые позиции выходят вычислительные направления в научных исследованиях. Это связано с процессом математизации знания и крупными успехами использования вычислительной техники, вычислительной и прикладной математики во всех сферах человеческой деятельности. Вычислительное направление исследований в дальнейшем трансформировалось в новую методологию и технологию проведения научных исследований, которое получило название вычислительного эксперимента. Ядро вычислительного метода познания: «модель-алгоритм-программа», а в ней главное звено -математическая модель. В современных условиях вычислительный метод познания превращает вычислительный эксперимент в теоретико-информационный метод. В то же время вычислительный эксперимент выступает как теоретико-практическая реализация метода математического моделирования, означающего новый способ описания реальности, конкурирующего с традиционными идеалами аксиоматически-дедуктивных методов построения теорий. Общую схему проведения вычислительного эксперимента как методологии математической технологии можно представить следующей схемой (рис. 1).

Математика

©

МС

КН

ММКН

Выч. мат.

Управление объектом

Рис. 1. Вычислительный эксперимент - методология математической технологии

Из всего сказанного выше следует, что развитие математической картины мира можно представить следующим образом.

1. Вычислительная картина мира (25-30 вв. до н.э. -УТІ-УТ вв. до н.э.). В Древнем Египте и Вавилонии все вопросы решались вычислением. Ядро математики - вычислительный алгоритм.

2. Числовая картина мира (Пифагор и его школа, УІ-У вв. до н.э.). Арифметика - ядро математики.

3. Геометрическая картина мира (Академия Платона, Аристотель, Евклид, ІУ-ІІІ вв. до н.э.). Геометрия - ядро математики.

4. Вычислительно-алгоритмическая картина мира (с І-ІІ вв. до ХУІ вв.). Ядро математики - вычислительный алгоритм.

5. Алгебра-геометрическая картина мира. Алгебраическая геометрия Р. Декарта и П. Ферма (XVI-XVII вв.). Ядро математики - алгебра и геометрия.

6. Функциональная картина мира (кон. XVII - сер. XIX вв., Р. Декарт, П. Ферма, И. Ньютон, Г. Лейбниц, Л. Эйлер, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж и другие). Ядро математики - функция.

7. Теоретико-множественная математическая картина мира (вт. пол. XIX - сер. XX вв. Г. Кантор, Р. Дедекинд, Д. Гильберт, Н. Бурбаки). Теория множеств - фундамент всей математики, происходит аксиоматическое построение математики. Ядро математики - математические структуры.

8. Модельная математическая картина мира (сер. XX в.

- по настоящее время). В настоящее время происходит синтез теоретической и прикладной математики. Ядром синтеза является математическая модель, вокруг которой разворачиваются и теоретические, и прикладные исследования. Происходит методологическое сближение теоретической и прикладной математики.

Особенности развития современной математики можно представить следующим образом:

1. Колоссально вырос объем математических знаний.

2. Получили дальнейшее развитие дисциплины, находящиеся на стыке классических разделов математики.

3. Многие разделы математики развились под влиянием проблем Д. Гильберта и других математиков [9].

4. Расширился предмет математики, математика отражает объективные количественные отношения и пространственные формы не только макромира, но и микромира и мегамира.

5. Особенностью современной математики является ее высокое самосознание, т.е. понимание, изучение самой себя. Математика изучает не только количественные структуры объективной реальности, но и свои собственные математические структуры.

6. В современной математике существует два основных направления:

1) теоретико-множественное (классическое);

2) конструктивное.

Характерной чертой конструктивного направления в математике является конкретный подход к проблемам математики, имеющий дело с конечными объектами, но в то же время эти объекты могут быть сколь угодно большими и сложными, но конечными.

7. Расширились старые области и появились новые разделы как теоретической, так и прикладной математики. Новые разделы науки возникают на основе новых, более широких научных абстракций и принципов. Появление в науке все более широких абстракций нельзя понимать просто как ее удаление от действительности, а следует понимать как ее приближение действительности.

8. Происходит синтез теоретической и прикладной математики на базе математических моделей.

9. Интенсивное использование ЭВМ в математике приводит к дальнейшему стиранию методологических разногласий между теоретической и прикладной математикой.

10. В вычислительном эксперименте происходит синтез экспериментального и теоретического методов познания.

11. Преобладающим методологическим принципом в настоящее время становится исследование больших систем.

12. В настоящее время математические понятия приобрели характер онтологических истин. Математика становится общим учением о закономерностях мира. Это становится возможным благодаря бурному развитию прикладной математики.

Л и т е р а т у р а

1. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания (закономерности эволюции способа систематизации). -М.: Изд-во МГУ, 1983. - 166 с.

2. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М., 1963.

- 292 с.

3. Бурбаки Н. Теория множеств. - М.: Мир, 1965. - 455 с.

4. Бурбаки Н. Архитектура математики. Сер. «Математика, кибернетика» № 1. - М.: Знание, 1972. - С. 4-18.

5. Гильберт Д. Основания геометрии. - М., 1948. - 339 с.

6. Гнеденко Б.В. Математика наука древняя и молодая // Архитектура математики. Сер. «Математика, кибернетика» № 1. - М.: Знание, 1972. - С. 19-32.

7. Колмогоров А.Н. Математика // Математический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия, 1988.

- С.7-58.

8. Малинников С.Г. Взаимосвязь предметов философии и математики: Автореф. дис. ... канд. философ. наук. - Брянск, 1995. - 24 с.

9. Математический энциклопедический словарь. // Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М.: Советская энциклопедия, 1988. - 847 с.

10. Проблемы Гильберта / Под общ. ред. П.С. Александрова. - М.: Наука, 1969. - 201 с.

11. Протопопов Ю.К. Философские проблемы развития математики: Моногр. - М.: Высшая школа, 1983. - 87 с.

12. Салихов М.В. Математическое знание как картина мира. // Методологические проблемы развития и применения математики. - М., 1985. - С.32-36.

13. Самарский А.А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР, 1979. - С.38-49.

14. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1964. - 243 с.

N.M. Okhlopkov

The study of the mathematical picture of the world regularities and peculiarities

of modern mathematics development

This article examines patterns of mathematical picture of the world development, both in historical and current trends of the development: the regularity of mathematics development, the general scheme of complexity in the first experiment as a methodology of mathematical technology, the main stages in the development of a mathematical picture of the world and especially the development of modem mathematics.

Keywords: mathematical model, the core of mathematics, algorithmization, algebraization, computational methods, pattern-theoretic functional mathematics, «model» concept, set-theoretic mathematics, theoretical and algorithmic approach, computational experiments mathematical picture of the world.