О полукольцах sc-функций

Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 15.2012

УДК 512.566

О ПОЛУКОЛЬЦАХ 8С-ФУНКЦИЙ Е. М. Вечтомов, Е. Н. Лубягина

В работе изучается полукольцо вС{Х^ I) всех [0,1]-значных функций на топологическом пространстве X, являющихся точными верхними гранями множеств непрерывных функций. Установлена двойственность между категорией тихоновских пространств X с непрерывными отображениями и категорией полуколец в С(X, I) с полными гомоморфизмами в качестве морфизмов. Ключевые слова: полукольцо, топологическое пространство, идеал, точная верхняя грань.

1. Введение

Разнообразные алгебраические системы функций и пространства функций образуют фундаментальное направление в математике, составляющее в частности основу функционального анализа, общей топологии, топологической алгебры. Многие абстрактные математические объекты могут быть реализованы как функциональные структуры на топологических пространствах.

В XX веке активно развивалась теория колец С{Х) непрерывных действительнозначных функций, ставшая классической [10]. в конце XX века стали систематически изучаться полукольца (7+(Х) непрерывных неотрицательных функций [1], что нашло свое отражение в монографии [6]. В последнее время исследуются полукольца С(Х,1) непрерывных [0,1]-значных функций на топологических пространствах X [3,4,7].

Важным разделом современной математики служат вопросы опре-деляемости топологических пространств X кольцами С'(Х), полукольцами (7+(Х) и (7(Х, I) и другими алгебраическими структурами функций, а также задачи двойственности между топологическими и функционально-алгебраическими объектами [2].

(с) Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н., 2012.

Отметим, что любое хьюитовское пространство X определяется кольцом (7(Х), полукольцом (7+(Х), решеткой всех подалгебр полукольца (7+(Х) [5] и другими алгебрами непрерывных функций (см. [2]). Всякий компакт X определяется полукольцом (7(Х, I). В [3] показано, что произвольный компакт X определяется решеткой ЫС (X, I) всех идеалов и решеткой СопС(Х, I) всех конгруэнций полукольца (7(Х, I). Всякое же тихоновское пространство X определяется топологическими кольцом (7(Х), полукольцами (7+(Х) и (7(Х, I), наделенными топологией поточечной сходимости. Заметим, что тихоновские пространства не определяются, вообще говоря, чисто алгебраическими структурами непрерывных функций на них. Изучались также и соответствующие двойственности.

В данной статье рассматривается полукольцо 5(7 (Х,1) всех функций на топологическом пространстве X со значениями в числовом единичном отрезке I, являющихся точными верхними гранями множеств непрерывных функций. Такие функции мы назвали зс-функциями. Они применяются в описании замкнутых идеалов и замкнутых конгруэнций полуколец и решеток (7(Х, I) с топологией поточечной сходимости [4,7].

Целью данной статьи является доказательство теоремы двойственности для полуколец 5(7 (Х,1) (теорема 1). Из нее вытекает, что любое тихоновское пространство X определяется полукольцом 5(7 (Х,1) (теорема 2).

2. Предварительные понятия

Полукольцом называется непустое множество 5 с бинарными операциями сложения + и умножения •, для которых < 5, + > — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0, < 5, • >— полугруппа с нейтральным элементом 1 и а(Ь + с) — аЬ + ас, (а + Ъ)с — ас + 6с, О • а — 0 = а • 0 для любых а, 6, с Е 5.

Информацию о полукольцах можно найти в монографии Голана [11], решеточные понятия — в книге Гретцера [8], основы общей топологии

— в труде Энгелькинга [9].

Напомним, что идеалом коммутативного полукольца 5 называется всякое его непустое подмножество JJ такое, что для любых а, Ь Е <7, 8 Е 5 выполняется: аз Е <7, а + Ь Е J. Идеал / в 5 называется простым, если его дополнение до 5 непусто и мультипликативно замкнуто. Идеал J полукольца 5 называется полупростым, если а2 Е / влечет а Е J для любого а Е 5.

Пусть X — произвольное топологическое пространство, I = [0,1] — единичный числовой отрезок, рассматриваемый с обычными операция-

ми умножения •, max (v), min (л) и со стандартной топологией. Через Iх обозначается полукольцо всех функций X I с поточечно определенными операциями сложения V и умножения, а также взятия min функций и поточечным отношением порядка:

(fVg)(%) = таx(f(x),g(x)),(f А д)(х) = min(f(x),g(x)),

(fg)(x) = f(x)g(x), f <g& f(x) < g{x) для любых фунций f,g e С(X, I) и всех точек xGl.

Пусть (7(Х, I) — полукольцо всех непрерывных функций, заданных на топологическом пространстве X и принимающих значения в топологическом полукольце I, относительно операций V и умножения • над функциями.

Для непустого подмножества М С Iх обозначим через Гм — supM

— точную верхнюю грань множества М в полной решетке Iх.

Определение 1. Функцию ср G Iх назовем sc-функцией, если ср = гм для подходящего непустого подмножества МСС (X, I).

Заметим, что подмножество М в определениии sc-функции можно считать идеалом, поскольку supM = sup J для идеала J, порожденного множеством М.

Множество всех sc-функций на X обозначим через SC{X11). Имеют место включения: С(Х, I) С SC{X11) С Iх. Относительно поточечного порядка SC (X, I) является ограниченной дистрибутивной решеткой (предложение 1) — подрешеткой в Iх.

Для тихоновского пространства X, подмножества А С X и точки х G X полагаем:

МА = {/ е 5C(X,I)) : f(A) = {0}}, Мх = М{х},

Nx = SC(X, I) \ (1 — Мх).

При этом М^, Nx — идеалы идемпотентного полукольца SC (X, I).

Относительно поточечного порядка 5(7(X, I) не является, вообще говоря, полной подрешеткой в Iх. Множество 5(7(X, I) содержит точную верхнюю грань в Iх любого непустого множества своих элементов, но не обязано содержать их точную нижнюю грань. Легко видеть, что для неизолированной точки х G X и множества 1 — Мх С (7 (X, I) функция inf(l — Мх) — 1 — supM^ = 1 — срх не является sc-функцией.

3. Свойства ^с-функциий Примеры 8с-функций. 1. Положим

0, если у Е А;

1, если у Е X \ А

для произвольного подмножества А топологического пространства X. То есть функция срА = Х(х\А) является характеристической функцией множества Х\А С X. Если множество А не замкнуто в топологическом пространстве X, то функция (Ра не являются 8с-функцией. Для любого замкнутого подмножества А тихоновского пространства X функция ср^ будет зс-функцией.

2. Для произвольной функции / Е С(Х, I) на тихоновском пространстве X получаем 8с-функцию (р, принимающую в точках ..., Е X, п Е М, значения ср(х{) < /(я*)? а в остальных точках ср(х) = /(х). В частности такой будет функция (рх — (р{ху — йирМх в решетке Iх.

3. Для ^с-функции (р функция 1 — (р не обязана быть зс-функцией, как это показывают примеры 1 и 2.

4. Функция Дирихле на числовой прямой К не будет зс-функцией.

Замечание 1. Тихоновость Тх-пространства X равносильна тому,

что для любого замкнутого подмножества А С X функция (ра является зс-функцией. Дискретность произвольного топологического пространства X эквивалентна равенству £С(Х, I) = Iх. А равенство £С(Х, I) = С (X, I) эквивалентно тому, что в топологическом пространстве X все замкнутые множества открыто-замкнуты; для Тх-пространства X это означает его дискретность.

Полукольцо С (X, I) можно понимать как подпространство тихоновской степени Iх |Х| экземпляров единичного отрезка I (с топологией поточечной сходимости). Обозначим соответствующее топологическое полукольцо через СР(Х, I). Через J обозначается замыкание множества J в топологическом пространстве СР(Х, I).

Идеал J полукольца СР(Х, I) называется замкнутым, если J — J. Отметим, что для произвольной функции (р Е Iх множество Л^ф) = {/ Е С(Х, I) : / < (р} будет замкнутым идеалом в СР(Х, I). Можно показать, что ими исчерпываются все замкнутые идеалы в СР(Х, I).

Далее укажем исходные свойства зс-функциий на произвольном топологическом пространстве X.

Свойство 1. Пусть (р,ф — произвольные функции Iх, <7 — некоторые идеалы полукольца С (X, I). Тогда:

1) (р < ф Л^ф) с

5) «%) = J(rm);

6) J = J{rj)-,

7) J — замкнутый J = J(rj).

Доказательство. Утверждения l)-5) вытекают из определений. Утверждение 6) следует из предложения 5 [4]. Ясно, что 6) => 7).

Свойство 2. Функция (р £ Iх является sc-функцией тогда и только тогда, когда (р = rj^y При этом <р(х) = max{f(x) : <р > f £ С(Х, I)} для любой точки х £ X.

Доказательство. Достаточность очевидна по определению. Если (р £ SC(X, I), то (р — г j для некоторого идеала J С С(Х, I). При этом J С J(<p), ТО есть О < Tj((p) (свойство 1, 2)). С другой стороны, (р > 0(у>) (свойство 1,4)). Значит, <р = г j = rj(v). Второе часть вытекает из леммы 11 [4].

Свойство 3. Пусть (р,ф — произвольные функции из Iх. Тогда

rJ(ip) — rJ(ip) ^{.Ф) —

Доказательство. Если J(<p) — J(ip) — J, то очевидно 0(v>) — supj = rJ{ip)- Обратно по свойству 1, 5) имеем J(<p) — —

J(rj^)) = J(ip).

Свойство 4. Для любого тихоновского пространства I, J — произвольные идеалы полукольца С(Х, I). Тогда:

!) г7 = о;

2) если J С I, то rj < rj.

Доказательство. 1) Очевидно.

2) По предыдущему пункту и свойству 1,3) если J G I, то г j = гу < rj = г i.

Свойство 5. Для произвольных функций f,g £ С(Х, I) имеем: J(f) V J(g) = J(f Уд) и J(f) П J(g) = J(f A g).

Доказательство. Заметим, что J(f) V J(g) = {k V e : k,e £ C(X, l),k < f, e < g} С {h £ С (X, I) : h < f V g} = J(v? V ф). Обратно, для любой функции h £ Л^Уф) получаем h = hA{fVg) = (hAf)V(hAg), где h А /, h А д £ С{Х} I). Аналогично, J{f) П J(g) = {h £ С(Х, I) : h < f, h < д} = {h £ С(X,1) : h < f А д} = J(р А ф).

Свойство 6. Если и, v £ SC(X, I), то uv, и A v £ SC(X, I). Доказательство. По утверждению 2 имеем: и = О(и) и v = rj(vy Тогда uv = supjx J(и)  sup:xJ(v) = supIx(J(,u) • J(v)) £ SC(X,I). Аналогично, и A v £ SC(X, I).

Свойство 7. Для непустого подмножества О С SC(X, I) имеем:

1) suPlxf2 £ SC(X,I);

2) infsc(^,i)fi = О(х); где X = infix

Доказательство. 1) Действительно,

эирО = зир^р = supvenrJ{lp) =

= supvensupJ((p) = Йир(иlfenJ((p)) е 5(7(Х,1).

Пункт 2) очевиден.

Предложение 1. Для любого топологического пространства X множество 5(7(X, I) является полукольцом относительно операций V и • подрешеткой в Iх и полной решеткой относительно поточечного порядка <.

Доказательство. В силу свойств 6 и 7 структура 5(7(X, I) будет полукольцом, а по свойству 7 — полной решеткой.

Замечание 2. Можно ввести понятие гс-функций, двойственное понятию вс-функции. Для любого непустого подмножества J множества (7(Х, I) назовем функции вида (р — m^J в Iх 1с-функциями. Для подмножества А тихоновского пространства X имеет место соотношение: (РА — гс-функция ^ А — открыто.

4. Полукольца зофункций

Идемпотентами в полукольце 5(7 (Х,1) над тихоновским пространством X будут функции (р = (рА по всевозможным замкнутым множествам А С X. Обозначим через О(Х) множество всех идемпотентов в полукольце 5(7 (X, I). Тогда 0{Х) является подполу кольцом в 5(7 (X, I). Относительно поточечного порядка О(Х) есть решетка, изоморфная решетке всех открытых множеств топологического пространства X.

Предложение 2. Для всякого тихоновского пространства X и любой функции (р Е 5(7(X, I) эквивалентны следующие утверждения:

1) (р — (рА для некоторого открыто-замкнутого множества А С X;

2) ср — дополняемый идемпотент в полукольце 5(7(X, I).

Доказательство очевидно.

Дополняемые идемпотенты образуют булеву алгебру в решетке

О(Х), изоморфную решетке всех открыто-замкнутых множеств в X.

Коатомами решетки О(Х) будут в точности функции (рх,х Е X. Функцию (р Е 5(7(X, I) назовем цепной, если множество Е 5(7(X, I) : (р < ф} является цепью в решетке 5(7(X, I). Для тихоновского пространства X минимальные цепные функции совпадают с функциями Е X.

Лемма 1. Для всякого тихоновского пространства X и простого идеала J в 5(7(X, I) функция TJ принимает значения только 0 и 1.

Доказательство. Заметим, что у/г7 Е 7. Тогда для точки х Е X, в которой о(х) ф 1, то д/г7(я) < О (я). Значит, о(х) = 0.

Лемма 2. Для всякого тихоновского пространства X и максимального идеала 7 в 5(7(X, I) имеем: rJ = 1.

Доказательство. Действительно, если для какой-то точки х £ X О (гг) ф 1, то 7 С то есть идеал 7 не является максимальным.

Заметим, что идеалы Хж,х 6 X, будут максимальными идеалами полукольца 5(7 (X, I). Для любой точки х тихоновского пространства X получаем главный идеал Мх = у?ж5(7(Х, I).

Определение 2. Идеал J полукольца 5(7(X, I), содержащий вместе С любым СВОИМ подмножеством его точную верхнюю грань 77, назовем полным.

Предложение 3. Для всякого тихоновского пространства X полные простые идеалы в полукольце 5(7(X, I) суть в точности идеалы Мх по всем точкам х Е X.

Доказательство. Рассмотрим в полукольце 5(7(X, I) идеалы МХ1 х Е X. Для любых функций и, V Е 5(7(X, I) \ Мх имеем (гш)(х) ф 0, то есть гш ^ Мх. Для любого подмножества А С Мх получаем га(х) = 0, то есть га Е Мх. Значит, собственный идеал Мх простой и полный.

Обратно, пусть J — полный простой идеал в 5(7(X, I). Так как идеал J собственный и полный, то 77 ф 1. Тогда, очевидно, найдется точка х Е X, в которой 77(я) = 0, то есть J С Мх.

Предположим далее, что найдется еще одна точка у £ Х,у ф х, в которой о (у) = 0. В силу тихоновости пространства X для некоторых непересекающихся окрестностей II\ И и2 точек х и у существуют такие функции /ь/2 е С(Х,1), что /1О) = 1, /2(у) = 1, /1 = 0 на I \ *72, /2(у) = 1, /2 = 0 на X \ С/ь Тогда /х/2 = 0, откуда Д е 7 или Д <Е Но Д ^ Мж ^ и /2 ^ Му Э 7, противоречие. Значит, Г/ = (рх £ J. Поэтому Мх = (рхЗС(Х, I) С X

Следствие. Для всякого тихоновского пространства X полные по-лупростые идеалы в полукольце вС(Х, I) суть в точности Ма по всем замкнутым множествам А С X.

Доказательство следует из того, что в коммутативном полукольце полупростые идеалы совпадают с пересечениями простых идеалов, их содержащих.

5. Теорема двойственности

Теорема 1. Категория всех полуколец ЗС(Х,1) и их полных гомоморфизмов антиэквивалентна (двойственна) категории всех тихоновских пространств и их непрерывных отображений.

Для доказательства теоремы рассмотрим сначала несколько предварительных утверждений.

Определение 3. Гомоморфизм a : SC(X,T) —У SC(Y,T) полуколец назовем полным, если он сохраняет все точные верхние грани и все функции-константы.

Лемма 3. При полном гомоморфизме праобраз простого идеала — простой идеал, полного идеала — полный идеал.

Доказательство очевидно.

Для непрерывного отображения тихоновских пространств ф : Y —> X зададим отображение аф : SC(X,T) —У SC(Y,T) по правилу:

aip(f){y) — 1(Ф(у)) Для любых функции / G SC(X, I) и точки у G У.

Лемма 4. Для любого непрерывного отображения тихоновских пространств ф : Y —У X отображение аф является полным гомо-морфизвом, причем, аф(С(Х, I)) С C(Y,\).

Доказательство. Поскольку для любых функций и, v G SC(X, I) и точки у G Y имеем аф(иУь)(у) — (иУу)(ф(у)) = и(ф(у))Уу(ф(у)) — аф(и)(у)Уаф(ь)(у) = {аф(и)Уаф{ь))(у) и, аналогично, a^(uv)(y) — (аф(и)аф(ь))(у), то отображение аф — полукольцевой гомоморфизм. При этом аф(с)(у) = с(ф(у)) = с для любых с G I,у G Y.

Возьмем произвольное непустое подмножество А С SC(X, I). Тогда г А - supA в Iх и ra^A) — supctty(A) = sup{^ о / : / G А} в Iх. Для любой точки у G Y имеем (supаф(А))(у) — sup{f(ip(y)) : / G ^4} = (supA)(^(y)) = гА(Ф{у)) = сиф(га)- Значит, а>ф(гА) = гаф(А)-

Предложение 4. Для любых тихоновских пространств X и Y всякий полный гомоморфизм а : SC(X, I) —^ SC(Y, I) имеет вид а — для некоторого единственного непрерывного отображения ф :Y —>> X.

Доказательство. Пусть дан полный гомоморфизм а : 5(7 (X, I) 5(7(Y, I). Для произвольной точки у £ Y идеал Му простой и полный. Его прообраз а~1(Му) по лемме 3 также является полным простым идеалом в полукольце 5(7 (X, I). По предложению 3 оГ1(Му) = Мх для единственной точки х G X, которую обозначим ф(у). Получаем отображение ф : Y X. Покажем, что ф~1 сохраняет замкнутые множества. Для всякого замкнутого подмножества А С X функция (рА будет идемпотентом в полукольце О(Х), поэтому а ((Ра) G О(У), то есть а ((Ра) — Фв для некоторого замкнутого множества В С Y. Для любой точки у £ Y имеем: у £ В ^ &(<Ра) £ Му ^ (рА £ а~1(Му) — Мф^ ф(у) G А у G то есть = Б. Значит, отображение ф

непрерывно.

Покажем, что а — Для любой фиксированной точки у G У рассмотрим отображение ру : 5(7(X, I) —^ I, для которого py(f) = a(f)(y) при всех / G 5(7(X, I). Отображение — полукольцевой эпиморфизм,

сохраняющий константы. Возьмем функцию / £ 5(7 (Х,1). Обозначим ф(у) = х £ X, /(х) = с £ [ОД]. Достаточно показать, что ру(/) = с. Заметим, что ру((рх) = 0, поскольку а((рх) £ Му. Для произвольного числам £ (0,1) и (1, +оо) получаем: ру(/) = ру((рх) Vp3,(/) = РУ((РХУ /) < Ус4) = ^(^ж) ^(с4) = ^(с4) = в случае q £ (0,1) и ру(/) > сд в случае </ £ (1, +ос). При </ —^ 1 в первом случае получаем ру(/) < с, а во втором случае получаем ру(/) > с. Откуда ру(/) = с. Значит, а = а^.

Доказательство теоремы вытекает из леммы 4 и предложения 4.

Теорема 2. Всякое тихоновское пространство X определяется, однозначно с точностью до гомеоморфизма, полукольцом 5(7(X, I).

Замечание 3. В предложении 4 полный гомоморфизм се отображает подполукольцо идемпотентов О(Х) в подполукольцо идемпотен-тов О(У), причем а(0) = 0 и ск(1) = 1. Соответствующее ограничение 7 : 0(Х) О (У) тоже будет полным гомоморфизмом. Как легко видеть, любой полный гомоморфизм 7 : 0(Х) О (У) для Т\-пространств

X и У индуцируется однозначно определенным непрерывным отображением ф : У X, то есть 7 = 7^. Это дает двойственность между категорией всех Т\-пространств X с непрерывными отображениями в качестве морфизмов и категорией всевозможных топологий (решеток открытых множеств) на пространствах X с их полными гомоморфизмами. Подобного рода общие двойственности и ранее привлекали внимание математиков (см. И, §§ з, 4).

Литература

1. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4 № 2. С. 493-510.

2. Вечтомов Е. М. Вопросы определяемостп топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций //Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 28. М.: ВИНИТИ, 1990. С. 3-46.

3. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. Определяемость компактов решетками идеалов и конгруэнций полуколец непрерывных [0,11-значных функций на них //Изв. вузов. Матем., 2012. № 1. С. 87-91.

4. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. Решетки непрерывных функций со значениями в единичном отрезке //Вестник Сыктыв. унта. Математика. Механика. Информатика. Сер. 1. 2011. № Ц. С. 3-20.

5. Вечтомов Е. М., Сидоров В. В. Определяемость полуколец непрерывных функций решеткой их подалгебр // Вестник Сыктыв. ун-та. Математика. Механика. Информатика. Сер. 1.

2010. № 11. С. 112-125.

6. Вечтомов Е. М., Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Полукольца непрерывных неотрицательных функций Киров: Изд-во ВятГГУ,

2011. 312 с.

7. Лубягина Е. Н. Замкнутые идеалы и замкнутые конгруэнции полуколец СР(Х, I) // Современные проблемы математики: тезисы Международной (43-й Всеросийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012. С. 55-57.

8. Гретцер Г. Общая теория решеток М.: Мир, 1982. 456 с.

9. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

10. Gillman L., Jerison М. Rings of Continuous Functions. University Series in Higher Mathematics, Graduate Texts in Math. Berlin: Springer-Verlag, 43, 1976.

11. Golan J. S. Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers, Dordaecht-Boston-London, 1999. 380 c.

Summary

Vechtomov E. М., Lubiagina E. N. Semirings of sc-functions

In this paper we consider the semiring SC{X, I) of [0, l]-valued functions on a topological space X, which are sharp upper bounds of sets of continuous functions. We have established a duality between the category of Tychonoff spaces X with continuous maps and the category of semirings SC(X,I) with complete homomorphisms as morphisms.

Keywords: semiring, topological space, upper bounds.

ВятГГУ

Поступила 27.04-2012