Один отрицательный пример формосохраняющего приближения

ded solutions of nonlinear nth-order differential equations (existence, almost periodicity, and stability). Differential Equations, 2012, vol. 48, no. 5, pp. 670-680. DOI: 10.1134/S0012266112050059.

14. Baskakov A. G. On correct linear differential operators. Sbornik : Mathematics, 1999, vol. 190, no. 3, pp. 323-348. DOI: 10.1070/SM1999v190n03ABEH000 390.

15. Baskakov A. G. Analysis of linear differential equations by methods of the spectral theory of difference operators and linear relations. Russian Math. Surv., 2013, vol. 68, no. 1, pp. 69-116. DOI: RM2013v068n01ABEH 004822.

16. Baskakov A. G. Linear differential operators with unbounded operator coefficients and semigroups of bounded

YflK 517.5

operators. Math. Notes, 1996, vol. 59, no. 6, pp. 586-593. DOI: 10.1007/BF02307207.

17. Baskakov A. G. Spectral analysis of differential operators and semi-groups of difference operators I. Differential Equations, 1996, vol. 33, no. 10, pp. 12991306 (in Russian).

18. Baskakov A. G. Spectral analysis of differential operators and semi-groups of difference operators II. Differential Equations, 2001, vol. 37, no. 1, pp. 1-10. DOI: 10.1023/A:1019298028556.

19. Baskakov A. G., Sintyaev Yu. N. Finite-difference operators in the study of differential operators: Solution estimates. Differential Equations, 2010, vol. 46, no. 2, pp. 214-223. DOI: 10.1134/S0012266110020072.

ОДИН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ПРИМЕР ФОРМОСОХРАНЯЮЩЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

М. Г. Плешаков1, С. В. Тышкевич2

1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, pleshakovmg@mail.ru

2Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории функций и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, tyszkiewicz@yandex.ru

Пусть даны 2s точек yi: —п < y2s < ... < yi < п. Отправляясь от этих точек, определим точки y для всех целых i при помощи равенства yi = yi+2s + 2п. Будем писать f е Д(1) (Y), если f (x) — 2п-периодическая непрерывная функция и f (x) не убывает на [yi, yi-1 ], если i нечетное; f (x) не возрастает на [yi ,yi-i], если i четное. Обозначим через E^1)(f; Y) величину наилучшего равномерного приближения функции f е △(1)(Y) тригонометрическими полиномами из того же множества Д(1) (Y). В статье доказан следующий контрпример формосохраняющего приближения. Пример. Для любых k е N, k > 2, и n е N существует функция f (x) := f (x; s,Y,n, k) такая, что f е Д(1) (Y) и

En\f; Y) >By n k-1 f; П) ,

где BY =const, зависит только от Y и k; o>k — модуль непрерывности порядка k функции f. Ключевые слова: тригонометрические полиномы, аппроксимация полиномами, формосохранение.

Получение оценки уклонения при равномерном приближении непрерывных функций алгебраическими многочленами и тригонометрическими полиномами является одной из основных задач в теории приближения функций. Наиболее широкое применение в теоретических исследованиях и в прикладных областях математики получили неравенства типа Джексона - Зигмунда - Стечкина [1-3], Никольского - Тимана - Дзядыка - Фройда - Теляковского - Брудного [4-9]. Особый интерес представляет случай, когда приближение является формосохраняющим (Shape-preserving Approximation), т.е. когда аппарат приближения сохраняет некоторые свойства приближаемой функции (монотонность, выпуклость и т.д.). В 1969 г. G. G. Lorentz и K. L. Zeller [10] построили пример, который показывает, что величина наилучшего монотонного приближения алгебраическими многочленами монотонной функции по порядку, вообще говоря, «хуже» величины наилучшего приближения без ограничений. В работах И. А. Шевчука [11] и А. С. Шведова [12,13] построены примеры, показывающие, что оценки типа Джексона - Стечкина величины приближения монотонной функции монотонными многочленами через модуль непрерывности порядка 3 и выше вообще неверны, в отличие от приближения без ограничений.

Однако результаты по комонотонному приближению периодических функций тригонометрическими полиномами, за исключением результата, полученного G. G. Lorentz и K. L. Zeller 1968 г. и касающегося так называемых «колоколообразных» функций, долгое время не были известны.

© Плешаков М. Г., Тышкевич С. В., 2014

В данной статье построен контрпример, указывающий, что величина наилучшего комонотонного приближения периодических функций тригонометрическими полиномами по порядку, вообще говоря, «хуже» величины наилучшего приближения без ограничений.

Пусть С — пространство непрерывных 2п-периодических действительнозначных функций / с равномерной нормой ||/1| := тах|/(х)|; ;£) — модуль непрерывности функции /; Тп, п е М, —

жЕК

пространство тригонометрических полиномов

тп

к=1

порядка < п.

Пусть на промежутке [—п,п) заданы 2в точек у»: —п < у28 < у2з-1 < • • • < у1 < п. Отправляясь от этих точек, при помощи равенства у» = у»+28 + 2п определим точки у» для всех целых индексов г; в частности, у0 = у2з + 2п, у2^+1 = у1 — 2п и т.д. Обозначим У := {у»}»€^. Множество всех таких наборов обозначим ¥28. Будем писать / е Д(1) (У), если /(х) — 2п-периодическая непрерывная функция и /(х) не убывает на [у^,у^-1 ], если г нечетное; /(х) не возрастает на [у»,у«_1 ], если г четное.

Обозначим

2«

тт/ ч ГТ х — у»

п(х) := 1181П-^—

»=1 2

и заметим, что П е Т5, т.е. П(х) — тригонометрический полином порядка 5.

Зафиксируем в е N и набор {у»= У е ¥2«. В силу периодичности без потери общности будем считать, что точка 0 принадлежит набору У, т. е. у^ = 0 при некотором г* е Ж. Обозначим

2«

X - У г

i*(x) := I I Sin

П(х) := ]

2

i=i i = i*

Для определённости будем считать, что г* — нечётное число. Тогда П*(0) > 0. Обозначим через 2^ расстояние от у^ до ближайшей точки набора У, заметим,

Положим

п

d < -, П* (x) > 0, x е (—2d, 2d).

M := max |П*(x)|, Mi := max |П* (x)|, m := min П*(x).

xGl xGl xe[-d,d]

Отправляясь от набора Y, определим натуральное число N. А именно обозначим через N наименьшее из чисел, удовлетворяющих неравенству

m sin3 d > 5 (M + Mi). 8 N

Тогда

d 5

m sin 8 > n

Следовательно,

d> N.

Выберем натуральное число j* из условия

п . 2п ^ , п , . 1Ч2п

--Ъ j*— < d <--h(j* + 1) —.

N J N _ N N

Обозначим d* := — + j*— и заметим, NN

2d < d* < d.

При построении контрпримера будет использовано ядро Джексона

J (t) 3 (Y

JN(t) = 2N(2N2 + 1^ sin 2 ) •

Напомним (см. например [14, с. 127]) некоторые свойства ядра Джексона:

а) JN(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2N — 2;

б)

п

1 У Jn

—п

в) для любой непрерывно дифференцируемой периодической функции д в каждой точке x имеет место неравенство

1

п

(g(t) - g(x)) Jn(t - x)dt

< NN ^ <5)

Обозначим

M := —1| Jn II, п

mí := — min JN

П __п. 1 П tpí__г__n. 1

2N ' 2NJ 2N '2NJ

и заметим, что m > 0. Наконец, положим

— 3 ММ

М := 2 + п3\/-.

у шт

Всюду далее в главе предполагаем, что число Ь удовлетворяет неравенствам

п

0 < Ь <—=,

2НМ

в частности, с учетом (2) и (3),

6* - 2Ь 6

— > 8 •

Пример. Для любых к е М, к > 2, и и е N существует функция /(х) := /(х; в,У,и,к) такая, что / е д(1) (у) и

1

(f; Y) >Bynk-1 ^ f; —) ,

где BY = const, зависит только от Y и к.

Доказательство. Для каждого b обозначим

и заметим, что

x

Qr(x, b) := Qr(x) := — sin --n*(t) JN(t — d*) dt,

- V 2

0

x

Qi(x, b) := Qi (x) := — Í sin П* (t) Jn(t + d*) dt п2

0

2n

i r d* — 2b Qr (2п) = — sin —-— П* (d*)Jn (t — d* )dt+ п2

0

2n

— t — 2b d* — 2b + - Í si^ -—2—^n*(t) — sin -—2—П*(d*)j Jn(t — d*)dt.

Поэтому в силу

Аналогично

й* — 2Ь 5

Я(2п) > в1п П*(й*) — N

в1п 22Ь п*

>

й 5

> т э1п- — — (М + М1) > 0. 8 N

2п

1 /• —й* — 2Ь

д, (2п) = - в1п---П*(—й* (г + й*

п 7 2

о

2п

+ -У ^1п П*(г) — 81п —^ 2— 2Ь П* (—й*)^ ^ (г + й*)й£.

о

Поэтому в силу

— й* — 2Ь 5 /  — 2Ь

Я,

й 5

< —т э1п- + — (М + М1) < 0. 8 N

<

Следовательно, существует число аъ £ [0,1] такое, что

аъ Яг (2п) + (1 — аъ)Я1 (2п) = 0.

Положим Я(х,Ь) := Я(х) := аъдг(х) + (1 — аъ)д,(х). Равенство (9) означает, что Я(х) есть тригонометрический полином, порядок которого в соответствии с а) равен 5 + 2N — 2. Чтобы построить функцию / докажем лемму.

Лемма. Для любого Ь существует число Ь0 такое, что

2Ь < Ь0 < МЬ Я(Ьо) = 0.

Доказательство. Заметим, что Я(2Ь) < 0. Кроме того, справедлива оценка

2Ъ

г — 2Ь

вт —-— да

= 4ММ в1п2 - < МММЬ2. 2

С другой стороны, поскольку в силу (6) МЬ < 277, то

мъ

д(МЬ) — д(2Ь) = - I в1п —П*(*) (аъ^(г — й*) + (1 — аъ(г + й*)) <и > п 7 2

2ъ

мъ

„[. г — 2Ь , _ . .

> тт вт-да = 4ттвт

^2 (М—2)Ъ > тт(М — 2)2ь2.

4 п2

2ъ

Откуда

тт

Я(мь) = д(МЬ) — д(2Ь) + д(2Ь) > ^(м — 2)2-2 — ммь2 = ммь2(п4 — 1) > 0.

к2/ 4

Лемма доказана.

и

Продолжим доказательство примера. Пусть Къ(х) — 2п-периодическая функция такая, что

0, если х £ (0, Ь0),

Кь(ж) := ,

11, если ж е [-п,0] U [b0, п].

Положим

1 Г 1

g(x) := g(x; b) := - K(x)sin-(t - 2b)n*(t) (ab Jn(t - d*) + (1 - ab)Jn(t + d*)) dt. n Jo 2

Равенство (11) вкупе с (10) означает, что g есть 2п-периодическая функция, более того, ясно, что g G Д(1) (Y). Очевидны следующие неравенства

||g - Q|| < MMbo sin bo - 2b < 2MMM2b2 =: cib2,

\ n) \n) \ny

где Mk = const, не зависит от b и n.

Возьмём произвольный полином тп G Tn П Д(1)(У), n > s + 2N — 2, положим

Rn

и заметим, что

bmrf)

Rn(b) = тП(b) — Q'(b) > —Q'(b) > — =: C2b.

n

Применяя неравенство Бернштейна

получаем:

откуда

т. е.

С2b < R'n(b) < n|RII,

C2b - c b2 = C2b Л - Cibn^ n 1 n c2

Теперь для доказательства (8) при каждом п > N0 возьмем

/(х):= я(х; -„), -„ :=2|(п) ,

--п

где N0 выбрано из условий МЬ^0 < ^^ и N0 >5 + 2N — 2. Тогда (8) следует из (12) и (13):

С2 -п {1 — С1 -п п

Tn - -C^L > -1-C2bn k =: B^n

> N0 неравенство (8) док Eni; (/; Y) > (/; Y). Пример доказан.

Для случая п > N неравенство (8) доказано. Для случая п < N оно следует из неравенства

1 )

п

Библиографический список

1. Jackson D. On approximation by trigonometric sums and polynomials // Trans. Amer. Math. Soc. 1912. Vol. 13. P. 491-515. DOI: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1912-1500930-2.

2. Zygmund A. Smooth Functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12, № 1. P. 47-76.

3. Стечкин С. Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами // Докл. АН СССР. 1952. Т. 83, № 5. C. 651-654.

4. Копотун К. А. Равномерные оценки ковыпуклого приближения функций многочленам // Мат. заметки. 1992. Т. 51, № 3. С. 35-46.

5. Тиман А. Ф. Усиление теоремы Джексона о наилучшем приближении непрерывных функций на конечном отрезке вещественной оси // Докл. АН СССР. 1951. Т. 78, № 1. С. 17-20.

6. Дзядык В. К. О приближении функций обыкновенными многочленами на конечном отрезке вещественной оси // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1958. Т. 22, № 3. С. 337-354.

7. Freud G. Uber die Approximation Reelen Stetiger Functionen Durch Gewohnliche Polinome // Math. Ann. 1959. Т. 137, № 1. С. 17-25.

8. Теляковский С. А. Две теоремы о приближении функций алгебраическими полиномами // Мат. сб. 1966. Т. 70 (112), № 2. С. 252-265.

9. Брудный Ю. А. Приближение функций алгебраическими многочленами // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1968. Т. 32, № 4. С. 780-787.

10. Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of Approximation by Monotone Polynomials. II // J. Approx. Theory, 1969. Vol. 2, № 3. P. 265-269.

11. Шевчук И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев : Наук. думка, 1992. 225 с.

12. Шведов А. С. Теорема Джексона в Lp, 0 < p < 1, для алгебраических многочленов и порядки комонотон-ных приближений // Мат. заметки. 1979. Т. 25, № 1. С. 107-117.

13. Шведов А. С. Комонотонное приближение функций многочленами // Докл. АН СССР. 1980. Т. 250, № 1. С. 39-42.

14. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. M. : Наука, 1977. 512 с.

One Counterexample of Shape-preserving Approximation M. G. Pleshakov, S. V. Tyshkevich

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, pleshakovmg@mail.ru, tyszkiewicz@yandex.ru

Let 2s points yi = -n < y2s < ... < yi < n be given. Using these points, we define the points yi for all integer indices i by the equality yi = yi+2s + 2n. We shall write f e A(1) (Y) if f is a 2n-periodic function and f does not decrease on [yi, yi-i] if i is odd; and f does not increase on [yi ,yi-i] if i is even. We denote (f; Y) the value of the best uniform comonotone approximation. In this article the following counterexample of comonotone approximation is proved.

Example. For each k e N, k > 2, and n e N there a function f (x) := f (x; s, Y, n, k) exists, such that f e A(1) (Y) and

E^f; Y) > Bynk-1 uk (f; ^ ,

where By =const, depending only on Y and k; uk is the modulus of smoothness of order k, of f. Key words: trigonometric polynomials, polynomial approximation, shape-preserving.

References

1. Jackson D. On approximation by trigonometric sums and polynomials. Trans. Amer. Math. Soc., 1912, vol. 13, pp. 491-515. DOI: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-1912-1500930-2.

2. Zygmund A. Smooth Functions. Duke Math. J., 1945, vol. 12, no. 1, pp. 47-76.

3. Stechkin S. B. O nailuchshem priblizhenii periodiches-kikh funktsii trigonometricheskimi polinomami [On the best approximation of periodic functions by trigonometric polynomials]. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1952, vol. 83, no. 5, pp. 651-654 (in Russian).

4. Kopotun K. A. Uniform estimates of the coconvex Математика

approximation of functions by polynomials. Math. Notes, 1992, vol. 51, no. 3, pp. 245--254.

5. Timan A. F. Usilenie teoremy Dzheksona o nailuchshem priblizhenii nepreryvnykh funktsii na konechnom otrezke veshchestvennoi osi [The strengthening of the theorem of Jackson on the best approximation of continuous functions on a finite interval of the real axis]. Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1951, vol. 78, no. 1, pp. 17-20 (in Russian).

6. Dzyadyk V. K. O priblizhenii funktsii obyknovennymi mnogochlenami na konechnom otrezke veshchestvennoi osi [On the approximation of functions by ordinary

polynomials on a finite interval of the real axis]. Izvestiia AN SSSR. Ser. matematicheskaia, 1958, vol. 22, no. 3, pp. 337-354 (in Russian).

7. Freud G. Über die Approximation Reelen Stetiger Functionen Durch Gewohnliche Polinome. Math. Ann., 1959, vol. 137, no. 1, pp. 17-25.

8. Teljakovskii S. A. Two theorems on approximation of functions by algebraic polynomials. Mat. Sb. (N.S.), 1966, vol. 70(112), no. 2, pp. 252-265 (in Russian).

9. Brudnyi Yu. A. The approximation of functions by algebraic polynomials. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1968, vol. 2, no. 4, pp. 735-743. DOI: 10.1070/IM1968v002n04ABEH000662

10. Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of Approximation by Monotone Polynomials. II. J. Approx. Theory, 1969, vol. 2, no. 3, pp. 265-269.

11. Shevchuk I. A. Priblizhenie mnogochlenami i sledy

nepreryvnykh na otrezke funktsii [Approximation by polynomials and traces continuous on the interval functions]. Kiev, Naukova dumka, 1992. 225 p.

12. Shvedov A. S. Jackson's theorem in Lp, 0 < p < 1, for algebraic polynomials, and orders of comonotone approximations. Math. Notes, 1979, vol. 25, no. 1, pp. 5763.

13. Shvedov A. S. Komonotonnoe priblizhenie funktsii mnogochlenami [Comonotone approximation of functions by polynomials]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1980, vol. 250, no. 1, pp. 39-42 (in Russian).

14. Dzyadyk V. K. Vvedenie v teoriiu ravnomernogo priblizheniia funktsii polinomami [Introduction to the theory of uniform approximation of functions by polynomials]. Moscow, Nauka, 1977, 512 p.

УДК 512.572

О ТОЖДЕСТВАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В АЛГЕБРАХ ПУАССОНА

С. М. Рацеев

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационной безопасности и теории управления, Ульяновский государственный университет, RatseevSM@mail.ru

В работе рассматриваются так называемые customary и extended customary тождества в алгебрах Пуассона. Показано, что последовательность коразмерностей |r„(V)}n>i любого extended customary пространства многообразия алгебр Пуассона V над произвольным полем либо ограничена полиномом, либо не ниже показательной функции с основанием степени, равной 2. При этом если данная последовательность ограничена полиномом, то найдется такой многочлен R(x) с рациональными коэффициентами, что rn(V) = R(n) для всех достаточно больших n. Приводится нижняя и верхняя границы для многочленов R(x) произвольной фиксированной степени.

Ключевые слова: алгебра Пуассона, многообразие алгебр, рост многообразия.

Векторное пространство A над полем K с двумя K-биллинейными операциями умножения «» и «{,}» называется алгеброй Пуассона, если относительно операции «» пространство A является коммутативной ассоциативной алгеброй с единицей, относительно операции «{,}» — алгеброй Ли, и данные операции связаны правилом Лейбница:

{а  b, c} = а  {b, c} + {a, c}  b, a, b, c £ A.

Алгебры Пуассона возникают в различных разделах алгебры, дифференциальной геометрии, топологии, современной теоретической физики и т.д.

Пусть F(X) — свободная алгебра Пуассона, где X = {х15х2,...} — счетное множество свободных образующих. Обозначим через Pn пространство в F(X), состоящее из полилинейных элементов степени n от переменных х1?..., xn.

Выделим в пространстве P2n подпространство Q2n, порожденное элементами вида

{xai , ХЯ2 }  {хаз , ХЯ4 }  ...  {хЯ2та-1 , x«2n } .

Тогда данное пространство есть линейная оболочка следующих элементов:

Q2 <{х (1)? хт(2)}  {хт(3)> хт(4)}  ...  {хт(2n-1)? хт(2n) } 1 т £ S2n,

т(1) < т(2), т(3) < т(4),..., т(2n - 1) < т(2n), т (1) < т (3) < ... < т (2n - 1))k .

© Рацеев С. М., 2014