О разрешимости уравнения Варинга в натуральных числах специального вида

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 17. Выпуск 1.

УДК 511.34

О РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ ВАРИНГА В НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Работа является продолжением исследования авторов, посвященного аддитивным проблемам теории чисел с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена, Лагранжа, Варинга. Для числа решений этих проблем с числами специального вида были получены асимптотические формулы. Эти формулы отличаются от асимптотических формул классических задач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появляются ряды специального вида:

Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая также была затронута авторами.

В данной работе рассматривается оценка сверху наименьшего к как функции п, при котором любое N ^ N0(п) представляется суммой к таких чисел х", что а ^ [пх"} < Ь, где а и Ь — произвольные действительные числа, 0 ^ а < Ь ^ 1, п — алгебраическое иррациональное число.

Ключевые слова: проблема Варинга, аддитивные задачи, числа специального вида, число решений, асимптотическая формула, алгебраическое иррациональное число.

Библиография: 23 названия.

ON THE SOLVABILITY

OF WARING'S EQUATION

INVOLVING NATURAL NUMBERS OF A SPECIAL TYPE

S. A. Gritsenko

This paper is a continuation of our research on additive problems of number theory with variables that belong to some special set. We have solved several well-known additive problems such that Ternary Goldbach's Problem, Hua Loo Keng's Problem, Lagrange's Problem, Waring's Problem. Asymptotic formulas were obtained for these problems with restriction on the set of variables. The main terms of our formulas differ from ones of the corresponding classical problems. In the main terms the series of the form

С. А. Гриценко

Аннотация

Abstract

appear. These series were investigated by the authors.

Let n be the irrational algebraic number, a and b are arbitrary real numbers of the interval [0,1]. There are natural numbers xi, x2,..., xk such that

a < jnx"} < b.

In this paper we evaluate the smallest k for which the equation

xn + x£ + ... + x\ = N

is solvable.

Keywords : Waring's Problem, additive problems, numbers of a special type, number of solutions, asymptotic formula, irrational algebraic number.

Bibliography : 23 titles.

1. Введение

В теории чисел важную роль играют аддитивные задачи. К ним относятся задачи о представлении натурального числа суммой слагаемых заданного вида.

Первоначально классические аддитивные задачи решались без введения ограничений на переменные. Позднее в теории чисел появилась тематика — решение классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству.

Одна из первых задач с простыми числами специального вида возникла в работах Виноградова ([4], [3]). В 1940 г. И. М. Виноградов получил асимптотическую формулу для количества простых чисел р, не превосходящих N, с условием

{/р1/с} < О,

где 1 < с, / — действительное число, 0 </< 1, 0 < о < 1. Этой задачей занимался Ю. В. Лин-ник [19], а позднее Р. М. Кауфман [16], С. А. Гриценко [6]. С. А. Гриценко также рассмотрел аддитивные задачи с простыми числами такого вида. В 1988 г. он доказал, что для случая / = о = 1/2, 1 < с < 2 в простых числах вида (1) разрешимы тернарная проблема Гольдбаха, проблема Варинга-Гольдбаха [7].

Другой известный пример специального множества — множество простых чисел р таких,

что

р = К]

для некоторого натурального п, нецелого с > 1. Аддитивные задачи с простыми числами такого вида изучались работах [20], [14], [18], [13]. В частности, в 1992 г. А. Балог и Дж. Фридлендер [1] решили тернарную проблему Гольдбаха в простых числах вида (2) при 1 < с < 21/20. В 2003 г. М. Чанга в работе [23] ввел специальное множество простых чисел р таких, что

I — 1 ( рс 1 I

< ^ < ^

Б - [Б) Б'

где I, Б — натуральные числа, I < Б, с > 1 — нецелое число. Со специальными простыми числами вида (3) он решил аддитивные задачи: тернарную проблему Гольдбаха, частный случай проблемы Варинга-Гольдбаха — задачу Хуа Ло-Кена.

Данная работа является продолжением исследований аддитивных задач с числами из специальных множеств.

Пусть а и Ь — произвольные действительные числа, 0 ^ а < Ь ^ 1. Для натуральных чисел к и N определим ряд

О к Ш а Ь) = У^ е2 -к

Ранее нами были получены следующие теоремы.

Теорема 1. [8] Пусть I3,i(N) — число решений задачи Гольдбаха о представимости нечетного натурального N в виде суммы трех простых чисел:

pi + Р2 + Рз = N.

Тогда для числа решений J3,i(N) задачи Гольдбаха с простыми •pi, a < {npi} < b, где п — квадратичная иррациональность, i = 1, 2, 3, при любом фиксированном положительном C справедливо равенство

J3,i(N) = h,i(N)<T3(N, a, b) + O(N2 log-C N).

Известно [2], что:

I3,i(N) ~ 2o0g2vj31J (1+(F-I?) JJ i1 - pdpTs) .

Теорема 2. [9] Пусть I5,2(N) — число представлений достаточно большого натурального N, N = 5 (mod 24), суммой квадратов пяти простых чисел:

pi + p2 + p2 + p4 + p2 = N.

Тогда для числа решений J5,2(N) задачи Хуа Ло-Кена с простыми числами pi, a < {np2} < b, где п — квадратичная иррациональность, i = 1, 2, 3, 4, 5, справедлива формула

J5,2(N) = I5,2(N)<5(N, a, b) + O(N3/2-°,°°°°2),

где N = 5 (mod 24).

Известно ([21], [22]), что:

N3/2

I5,2

(log N )5'

Теорема 3. [10] Пусть I4,2(N) — число решений задачи Лагранжа о представимости каждого натурального числа суммой не более четырех квадратов натуральных чисел:

¿2 + ¿2 + ¿2 + ¿2 = N.

Тогда число решений J4,2(N) задачи Лагранжа в целых числах li, a < {nh} < b, где n — квадратичная иррациональность, i = 1, 2, 3, 4, для любого положительного малого £ выражается формулой

J4,2(N) = (b - a)4I4,2(N) + O(N°,9+£).

Известно [17], что:

ж 1

I4,2(N)= n2N£ 4 ^ e-2niNa/q + O(Ni7/i8+£),

q=i ^ i<a<q

(a,q) = i

где

Sa,q — ^ ^ e j=i

q

2niaj2/q

Теорема 4. [12] Пусть I(Ж) — число решений проблемы Варинга:

х? + + ... + х£ = N с натуральными числами XI, х2,..., , п ^ 3. Пусть к ^ ко, где

ko = ^ о г 2

2n + 1, если 3 < n < 10,

2[n2(2log n + log log n + 5)], если n > 10.

Тогда для числа решений 3(Ж) проблемы Варинга в натуральных числах х1,х2,...,х^ таких, что а ^ {пхп} < Ь, где п — алгебраическое число степени в ^ 2, у = 1,2,..., к, справедлива асимптотическая формула:

_ i__

J(N)= I(N)afc(N,a,b) + О i Nn 1

Положительная постоянная c зависит только от п

При k ^ cn2 log n известно [15], что:

i (n ) - (Ei1±iM! n k/n-i.

Полученные нами в теоремах 1, 2 и 4 формулы отличаются от асимптотических формул классических задач Гольдбаха, Хуа Ло-Кена, Варинга. У нас в главных членах появляются ряды CTfc(N, a, b) специального вида. Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая рассматривается авторами в [11].

Обозначим a = nN — aj — b(k — j). При нечетном k, k ^ 2, получено равенство

j=o

k-5

ak (N,a,b) = (b — a)k+ + V(_1У (ial! _ {a}k-1 + {a}k—2 +

+ Z^( ) \jj\ k! 2(k — 1)! + 12(k — 2)! +

3k-1 ^ Z(k — 1 — 21) 4)1 {a}21+1 + 2k-2( 1) 2 Z^ nk"1"21 ( 4) (21 + 1)!

При четном k имеем

ak (N, a, b) = (b — a)k+ + T(—1)j fkV — {Olk + {a}k-1 — {a}k-2 +

+ j=0( ) Ъ'Д k! +2(k — 1)! 12(k — 2)! +

1)k/2 ^ Z(k — 21) 4)i {a}21'

2k-1 ( 1) nk—21 ( 4) (21)!,

1=0

Определение 1. При n ^ 3 функция G(n) равняется наименьшему k такому, что любое натуральное N ^ N0(n) представляется суммою k натуральных слагаемых вида xn.

Для G(n) справедливы оценки [15]:

n < G(n) ^ cn log n,

где c > 0 — абсолютная постоянная.

c

k-4

Определение 2. При n ^ 3 функция Ga,b(n) равняется наименьшему к такому, что любое натуральное N ^ N°(n) представляется в виде

хЧ + хП + ... + xl = N,

где xi,x2,...,xk — натуральные числа такие, что a ^ {nxl} < b, где п — алгебраическое число степени s ^ 2.

Нами получен следующий результат.

Теорема 5. Для любых a и b, 0 ^ a < b ^ 1, существует c° > 0 такое, что

n < Ga,b(n) ^ c°n logn.

2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1 (Дирихле, [15]). Пусть т ^ 1, а — вещественное число. Тогда существуют целые взаимно простые числа a и q, 1 ^ q ^ т, такие, что

a

а--

q

1

^ —.

qT

Характеристическую функцию интервала [a, b)

1, если a ^ x < b,

ф(х) =

'0, если 0 ^ х < а или Ь ^ х < 1

продолжим периодически на всю числовую ось с периодом 1. Пусть

Б(а) = ^ е2™ахП, Бо(а) = ^ ф(цхп)е2^0

где P = Ni/l. Будем рассматривать а из промежутка E = [—1/т; 1 — 1/т), где т = 2nPl i. По

„п\ „2кiaxn ууцх

х^Р х^Р

-}П— 1

теореме Дирихле (лемма 1) о приближении действительных чисел рациональными числами а представимо в виде

а = - + —,

Я ят

Пусть

/ 1 ,- 1 \ ( 1 (л/т) 2(^-1) \

М = шт

Через Е1 обозначим те а, для которых в разложении (4) я ^ Q, через Е2 обозначим оставшиеся а.

Лемма 2. [12] Существует константа с2 > 0 такая, что для любого а € Е2

1 - с2 Б(а) = 0(Р1 ").

Лемма 3. [12] Существует константа сЛ > 0 такая, что для любого а € ЕЛ и любого 0 < \т\ < М

1- ,,с1

Б (а + цт) = 0(Р п'21°£п).

Лемма 4. Пусть к ^ 4п. Тогда

[ Бк(а)е-2™аМ^а = JE1

'Е1

= П-1 у у (^^)ке-2ж^Ма/д + 0(ЖП-1-П

1<а<д ^ (а,д) = 1

где

д

5(а,д) = у е2ж^а^п/д,

3 = 1

/те / /"1 ) к

( у е2п^х"¿г) е-2™2¿г.

Доказательство. Повторяем рассуждения из доказательства теоремы 1 ([15], глава XI).

Лемма 5 (формула частного суммирования — преобразование Абеля, [15]). Пусть f (х) — комплекснозначная непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] функция, сп — произвольные комплексные числа,

С(х) = у Сп.

а<п^х

Тогда

а<п4Ъ

Лемма 6. Пусть

У сп/(п) = - / С(х)/'(х)^х + С(Ь)f(Ь).

а

Ь - а = Пт,

где Т — натуральное число. Пусть ко — натуральное число, причем

7Т2 > 1»-

Тогда при любых а и N справедливо неравенство

1

ак0(Ж,а,Ь) ^ 2(Ь - а)к0.

Доказательство.

к (Ж, а, Ь)| ^ (Ь - а)ко - у е2™(^-ко(а+ь)/2) ( 81п пт(Ь - а) )ко

Достаточно доказать неравенство

— < ПТ .

ко

пко ^ тко ЧпТ/

т=1

Оценим сверху сумму ряда:

(ч!п т)ко Т (ч;п т)ко 1

у ^^ < у + у =Б1+б2.

а_/ тко _/ тко _' тко

т=1 т=1 т=Т+1

Сначала получим оценку для S2:

Гж dx (T + i)i-ko

S2 < (T + 1)-k0 + / dr = (T + 1)-k0 + (T +1\ < Jt+i xko к° — 1

< 2T-k0 exp (—k° log (1 + T)) < 2T-k0 exp () < < 2T-fc0e-35 < 1 t-fc0

100 .

Оценим Si. Поскольку при 1 ^ m ^ T

0 . m ^ m 1

<sinT ^ T — 6 VT) +T20VT) <T\ — 7VT) /,

имеем

1 T 21(7

1 v-^ / , / m2\\ 1 v-^ /— k°

1 1- 1 1 ^ m

Si < Tk0 Eexp (k°log I1 — 7T^)) < ^ E exK7T2-

m=i m=i

Так как по условию леммы

7T2

то

k° > 10,

1 1 e-i° 1 1 Si < Tfc0 Z^ e < tfc0 1 — e-i° < 100 Tk°'

m=i

Из полученных оценок для Si и Si следует неравенство (6).

3. Доказательство теоремы 5.

1. Поскольку по определению С(п) ^ Са,ь(п), а п < С(п) [15], то получаем, что п < Са,ь(п). Пусть, как и в ([15], глава XI),

Pi = 1N n.

Pj = 2 Pj-i, j = 2, 3,... ,s.

P = Ni/l Рассмотрим уравнение

xl + xl + ... + xl + ul + ... + < + <+i + ... + < = N,

где хЛ, х2, ..., хк, щ, и2, ..., и2з — натуральные числа. Числа и^, независимо друг

от друга пробегают промежутки (Р^, 2Pj), з = 1, 2,... ,в. По условию теоремы 5 переменные уравнения (7) хЛ, ..., хк, иЛ, ..., и2з такие, что

а < [цхп} <Ь, з = 1, 2,3,... ,п,

а < [циП} <Ь, г = 1,2,3,..., 2в,

где ц — алгебраическое число степени в ^ 2, а и Ь — произвольные действительные числа, 0 ^ а<Ь ^ 1.

Введем тригонометрические суммы

S (а) = £ .

,2niaxn

x<P

Б0(а) = у ^(пхп)е2™ах",

Т (а) = У , у = 1, 2,..., в.

Р <и <2pj

Тогда число решений уравнения (7) равно

I(Ж) = [1 Бк(а)Т2(а)... Т2(а)е-2™аМ¿а. Jо

2. Ранее нами получено [12]:

Б0(а) = У с(т)Б(а + пт) + О^Р1 -,

где M определяется формулой (5), c3 > 0,

c(m) = Sin n(b — a)m e—nim(a+b). nm

Подставив в

1 — c3

OP1 n21og n

получаем

(1-

Ri = O^P1 n2 bg ^ |Ti(a)|2 ... |Ts(a)|2da) = o(pk n2bg " Pi ...Ps).

Тогда

'ok—1(a)T2(a) ...T2

'o

I(N)= y c(m) / S(a + nm)Sk—1(a)T12(a)... T2(a)e—2niaNda+

+O(Pk— ife P1 ...Psj.

Сделаем в интеграле I(N) замену переменной a = t — nm, получаем

I(N) = y c(m)e2ninmN /1 S(t)Sk—1(t — nm)T2(t — nm)... Ts2(t — nm)e—2nitNdt+

c3 n2 log n

+ O(Pk n2 bg n P1 ...Psj.

Поскольку подынтегральная функция является периодичной по £ с периодом 1, то интеграл можно рассматривать на промежутке Е = [- 1/т; 1 - 1/т), где т = 2пРп-1.

По теореме Дирихле (лемма 1) о приближении действительных чисел рациональными числами £ представимо в виде

а в

£ = - + —,

Я дт

Промежуток интегрирования по £ разобьем на два непересекающихся множества: Е1 — «большие» дуги и Е2 — «малые» дуги. На «больших» дугах Е1 в разложении (9) выберем Я ^ Ф, где Q определено равенством (5). Тогда Е2 = Е\Е1.

Заметим, что

I (N) = I1(N) + I2(N) + O(Pk— ^^ P1... Ps),

где

Ij(N) = V c(m)e2ninmN / S(t)S0k—1(t — nm)T2(t — nm)... Ts2(t — nm)e—2nitNdt , , is.

при j = 1, 2.

3. Оценим I2(N), пользуясь леммой 2, как

I2(N) = ^Pk— P1 ...Ps log p).

4. Преобразуем I1(N). Имеем

S0(t — nm) = V c(m1)S(t + n(m1 — m)) + O^P1 n2l3g ,

где t e E1.

При m1 = m, в силу леммы 3,

S (t + n(m1 — m)) = O^P1 n2lig .

Следовательно,

S0(t — nm) = c(m)S(t) + O(p1—log p),

где c4 > 0.

Вклад остатка оценивается как

R2 = o(p k— ^^ log2 P J |T1(t — nm)|2 ... |Ts(t — nm)|2dt) =

= о (pk— ife P1... Ps log2 p) .

Повторяя эти рассуждения (k — 2) раза, придем к равенству

h(N) = V ck(m)e2ninmN / Sk(t)T2(t — nm)... Ts2(t — nm)e—2nitNdt+

5. Рассмотрим

+ O(Pk n2 bg n P1 ...Ps log2

I1(N) = У ck(m)e2ninmN:

^ ^(n<)e—2ninmun ... V ^(nUDe-2Sk(t)e—2nitNldt+ Pl<«1<2Pi P2S<«2S<2P2S

+O (Pk— ifc P1... Ps log2 P j ,

где N1 = N — un — ... — u^,.

X

Применим лемму 4:

Ii(N) = y £ ck(m)e2ninmN х

\m\<M

х £ ф(nul)e-2ninmun ... £ ф^п^У-2^^ х

Pl<«l<2Pl P2s<U2s<2P2s

x(N — ul — ... — u'JП-i £ £ ke-2nia(N-un-...-uns) +

q^Q i<a<q (a,q)=i

Эк- n2 w n D l^2 D^ I /О ( ЛТП-i-П "2 "2 1

+ O(Pk n2 li n Pi ...Ps log2 p) + ^N n-i-n P2 ...Ps2 log Pj. Сделаем суммирование по u1 внутренним. Получим сумму

= ^ ф(цип)е-2™птиП (N - ип - ... - и£) п-1.

Р1<«1<2Р1

6. Разложим в сумме функцию ф(х) в ряд Фурье. Тогда

= ^ с(т1) ^ е2™п(т1-т)иП (N - ип - ... - и£) п-1 +

|т^М Р1<«1 <2Р1

/ к л Л— .. с5 \

-1Р1 П2!^, где с5 > 0. Выделим слагаемые с т1 = т, получим:

= с(т) ^ (N - и1 - ... - и£) п-1 +

Р1<«1<2Р1

+ ^ с(т1) ^ е2™п(т1-т)иП (N - и1 - ... - и£) п-1 +

Ш1= т

/ к 1 1 — .. с2 \ -1Р1 П2!^.

При т1 = т оценим сумму

^1,1 = ^ е2™п(т1-тК (N - ип - ... - и^) п-1.

Р1<«1^2Р1

К сумме Wi,i применим преобразование Абеля (лемма 5):

r>2P1 Pl

/ к ) Г2Pi n

Wi,i = — 1j n e2nin(mi-m)un (N — v'1 — ... — uls) k-2vil-i dvi +

P Pl<ui^vi

+ £ e2nin(mi-m)ui (N — (2Pi)n — u' — ... — u'J n-i.

Pl<ui^2Pi

Для оценки сумм по ui используем лемму 3, получим:

i--

Wi,i = O^ n2lignNП-i).

Из этой оценки для следует, что

I1(N)= y V ck+1(m)e2ninmN ^ 1 х

H^M Pi<«i<2Pi

х V ^(nun)e—2ninmun ... V ^(nuns)e—2ninmuns х P2<«2<2P2 P2S<«2S<2P2S

x(N — < — ... — u^)n—1 V V ()ke—2nia(N—un—...—uns) +

q^Q 1<a<q ^

(a,q)=1

i.2 bg n D. D Т:Л I /Л Z' —1— i D2 D2

+O (pk n2 i4g n P1... Ps log2 p) + O (n n—1—n P2 . . . Ps2 log p) + +O(V n—1—^fe P2 ... Ps2 log2 p) ,

где ce > 0.

Проводя такие же вычисления сумм по переменным Uj, j = 2, 3,..., 2s, получим:

I1(N) = y V ck0(m)e2ninmN x

x V ... V (N — un — ... — uns)n—1x

Pi<«i<2Pi P2S<«2S <2P2s

x V V (^м!)ke—2ni^ +

(a,q) = 1

+O(pk—ife p1... ps log2 p) + o(nn—1—^fc P2 ... Ps2 log2 p),

где k0 = k + 2s, N1 = N — un — ... — UL, c7 > 0, c8 > 0. 7. Пусть k = 4n. Поскольку

S

< q n,

q

то

v v (^)ke—2ni^ = VV у (^)ke—aNi + O(Q—2).

q^Q 1<a<q q q=1 1<a<q q

(a,q) = 1 (a,q)=1

Известно, что ([15], с. 184, лемма XI.1.3):

a(N1) = V Е (^)ke—2"^ >c(n,k) > 0.

q=1 1<a<q ^

(a,q)=1

Оценим I1(N) снизу:

|I1(N)| ^ c(n, k)Nn—1 p2 ... Ps2 у ck0(m)e2ninmN

k C7 C8

—c1(n, k)P — n^iognp1. . . ps log2 p — c2(n, k)P—n2^P2 . . . Ps2Nn—1 log2 P.

8. Пусть s = [c0n log n] + 1, где c0 — константа. Потребуем, чтобы c0 было столь велико, что выполнялось бы неравенство

ko

7T 2

Напомним, что

> 10.

b — a = -1-, k0 = к + 2s. пт

Тогда, в силу леммы 6:

^ cko(m)e2ninmN » lak0(N,a,b)| — M-1 ^ 2c3(n,k) > 0. H^M

Поскольку

P1P2 ...Ps - N1-(1-n )s,

имеем

k k C7

|1l(N)| ^ C4(n,k)N n-1P2 ...Ps2 — Ci(n, k)P Pi . . . Ps log2 P.

Отсюда и из определения в следует, что при достаточно большой константе Со выполняется:

Pk П2!^ P1 ...Ps log2 P = 0(N n-1P2 ... P2^.

при Р ^ то.

Отсюда следует, что если с0 — достаточно большая константа, N ^ Ж0(п), то I(Ж) > 0. Теорема доказана.

4. Заключение

В работе доказано, что уравнение Варинга разрешимо при достаточно больших N в натуральных числах Xj таких, что

0 ^ a ^ {nxn} < b ^ 1,

где j = 1, 2,... ,k,

n < k ^ c0n log n,

П — иррациональное алгебраическое число, c0 — константа. Утверждение остается справедливым для иррационального числа п, все неполные частные непрерывной дроби которого ограничены одной и той же константой.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Balog A., Friedlander J. A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro // Pacific J. Math. 1992. Vol. 156. No. 1. P. 45-62.

2. Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел // ДАН СССР. 1937. Т. 15. С. 169-172.

3. Виноградов И. М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел // Мат. сб. 1940. Т. 7, вып. 2. C. 365-372.

4. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976. 120 с.

5. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1980. 144 с.

6. Гриценко С. А. Об одной задаче И. М. Виноградова // Мат. заметки. 1986. Т. 39, вып. 5. C. 625-640.

7. Гриценко С. А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида // Успехи мат. наук. 1988. Т. 43, вып. 4(262). C. 203-204.

8. Gritsenko S., Motkina N. Ternary Goldbach's Problem Involving Primes of a Special type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812.4606 - 25 Dec 2008

9. Gritsenko S., Motkina N. Hua Loo Keng's Problem Involving Primes of a Special Type. Режим доступа: http://arXiv.org/abs/0812. 4665 - 26 Dec 2008

10. Gritsenko S., Motkina N. Representation of natural numbers by sums of four squares of integers having a special form // Journal of Mathematical Sciences. 2011. Vol. 173. No. 2. P. 194-200.

11. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. О вычислении некоторых особых рядов // Чебышевский сборник. 2011. Т. 12, вып. 4. С. 85-92.

12. Гриценко С. А., Мотькина Н. Н. Проблема Варинга с натуральными числами специального вида // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, вып. 3. С. 31-47.

13. Deshouillers J. M. Sur la repartition des nombres [nc] dans les progressions arithmetiques // Acad. Sc. Paris. 1993. Т. 277. Serie A. P. 647-650.

14. Карацуба А. А. Об одной задаче с простыми числами // ДАН СССР. 1981. Т. 259. № 6. C. 1291-1293.

15. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983. 240 с.

16. Кауфман Р. М. О распределении {^p} // Матем. заметки. 1979. Т. 26, вып. 4. C. 497-504.

17. Kloosterman H. D. On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2 // Acta mathematica. 1926. 49. P. 407-464.

18. Kolesnik G. Primes of the form [nc] // Pacific J. Math. 1985. Vol. 118. No. 2. P. 437-447.

19. Линник Ю. В. Об одной теореме теории простых чисел // ДАН СССР. 1945. Т. 47. C. 7-8.

20. Пятецкий-Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательности вида f(n)] // Мат. сб. 1953. Т. 33(75), № 3. C. 559-566.

21. Hua L. K. On the representation of numbers as the sum of powers of primes // Math. Z. 1938. 44. P. 335-346.

22. Хуа Ло-ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964. 194 с.

23. Чанга М. Е. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами // Мат. заметки. 2003. Т. 73, вып. 3. C. 423-436.

REFERENCES

1. Balog, A. & Friedlander, J. 1992, "A hybrid of theorems of Vinogradov and Piatetski-Shapiro", Pacific J. Math., vol. 156, no. 1, pp. 45-62.

2. Vinogradov, I. M. 1937, "Representation of an odd number as a sum of three prime numbers", DAN SSSR, vol. 15, pp. 291-294.

3. Vinogradov, I. M. 1940, "Some common property of distribution of prime numbers", Mat. sb., vol. 7, no. 2, pp. 365-372.

4. Vinogradov, I. M. 1976, Osobye varianty metoda trigonometricheskikh summ (Russian), [Special variants of the method of trigonometric sums]. Nauka, Moscow, 120 p.

5. Vinogradov, I. M. 1980, Metod trigonometricheskikh summ v teorii chisel (Russian), [The method of trigonometric sums in the theory of numbers]. Second edition. Nauka, Moscow, 144 p.

6. Gritsenko, S. A. 1986, "On a problem of Vinogradov", Mat. Zametki, vol. 39, issue 5, pp. 625640.

7. Gritsenko, S. A. 1988, "Ternary Goldbach's problem and Goldbach-Waring's problem with prime numbers lying in intervals of a special type", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 43, no. 4(262), pp. 203-204.

8. Gritsenko, S. & Motkina, N. 2008, "Ternary Goldbach's Problem Involving Primes of a Special type", arXiv.org, Cornell university library, Ithaca, NY, Available at: arXiv.org/abs/0812.4606 - 25 Dec 2008

9. Gritsenko, S. & Motkina, N. 2008, "Hua Loo Keng's Problem Involving Primes of a Special Type", arXiv.org, Cornell university library, Ithaca, NY, Available at: arXiv.org/abs/0812. 4665 - 26 Dec 2008

10. Gritsenko, S. & Motkina, N. 2011, "Representation of natural numbers by sums of four squares of integers having a special form", Journal of Mathematical Sciences, vol. 173, no. 2, pp. 194-200.

11. Gritsenko, S. A. & Motkina, N. N. 2011, "On the calculation of some special series", Chebyshevskii Sb., vol. 12, no. 4, pp. 85-92.

12. Gritsenko, S. A. & Motkina, N. N. 2014, "Waring's problem involving natural numbers of a special type", Chebyshevskii Sb., vol. 15, no. 3, pp. 31-47.

13. Deshouillers, J. M. 1993, "Sur la repartition des nombres [nc] dans les progressions arithmetiques", Acad. Sc. Paris, t. 277, serie A, pp. 647-650.

14. Karatsuba, A. A. 1981, "About one problem with prime numbers", DAN SSSR, vol. 259, no. 6, pp. 1291-1293.

15. Karatsuba, A. A. 1983, Osnovy analiticheskoi teorii chisel (Russian), [Fundamentals of the analytical number theory]. Second edition. Nauka, Moscow, 240 p.

16. Kaufman, R. M. 1979, "About distribution of p}", Mat. Zametki, vol. 26, issue 4, pp. 497-504.

17. Kloosterman, H. D. 1926, "On the representation of numbers in the form ax2 + by2 + cz2 + dt2", Acta mathematica, 49, pp. 407-464.

18. Kolesnik, G. 1985, "Prime numbers of the form [nc]", Pacific J. Math., vol. 118, no. 2, pp. 437447.

19. Linnik, Y. V. 1945, "About one theorem of the theory of prime numbers", DAN SSSR, vol. 47, pp. 7-8.

20. Pyatetskii-Shapiro, I. I. 1953, "On the distribution of prime numbers in sequences of the form [f(n)], Mat. sb, vol. 33(75), no. 3, pp. 559-566.

21. Hua, L. K. 1938, "On the representation of numbers as the sum of powers of primes", Math. Z., 44, pp. 335-346.

22. Hua, Luo-Geng. 1964, Metod trigonometricheskikh summ i ego primeneniya v teorii chisel (Russian), [The method of trigonometric sums and its application in the number theory]. Mir, Moscow, 194 p.

23. Changa, M. E. 2003, "Primes in Special Intervals and Additive Problems with Such Numbers", Mat. Zametki, vol. 73, issue 3, pp. 423-436.

МГУ имени М. В. Ломоносова, Финансовый университет при Правительстве РФ. Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана. Белгородский государственный национальный исследовательский университет. Получено 05.12.2015 г. Принято в печать 10.03.2016 г.