ИГРА С «ПРИРОДОЙ» С ПАРАМЕТРАМИ В ВИДЕ НЕЧЕТКИХ ВЕРБАЛЬНЫХ ОЦЕНОК

ИГРА С «ПРИРОДОЙ» С ПАРАМЕТРАМИ В ВИДЕ НЕЧЕТКИХ ВЕРБАЛЬНЫХ

ОЦЕНОК

В.Г. Чернов, д-р экон. наук, профессор

Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых

DOI: 10.24411/2500-1000-2020-11325

Аннотация. Одной из задач исследования операций является нахождение наилучшего решения из множества возможных в условиях неопределенности, когда отсутствуют достоверные данные о ситуации, требующей принятия решения. В этих условиях более информативными могут оказаться качественные оценки, сформулированные в виде вербальных утверждений. Описан метод нахождения наилучшего решения в условиях, когда данные, характеризующие ситуацию, требующую принятия решений, представлены в виде вербальных утверждений, формализуемых нечеткими множествами, а интегральная оценка возможных решений определяется на основе точечных значений нечетких множеств, формализующих вербальные оценки условий принятия решений. Разработанный метод не накладывает ограничений на вид функций принадлежности исходных нечетких оценок.

Ключевые слова: неопределенность, оценочная матрица, нечеткое множество, функция принадлежности, вербальная оценка.

Принципиальной особенностью практически всех ситуаций, требующих принятия решений, является наличие некоторого множества возможных альтернативных решений, а также факторов неопределенности, обусловленных особенностями ситуаций, требующих принятия решений. Существенное значение могут иметь субъективные представления и предпочтения лиц, участвующих в формулировании задачи, подготовке исходных данных, принятии окончательного решения. Ответом на эти обстоятельства является разработка различных математических моделей нахождения наилучших решений в смысле некоторых критериев.

Существенные позиции здесь занимаю теоретико-игровые модели, которые в различной степени позволяют учитывать неопределенности, случайности, неполноту информации в той части, которая необходима для принятия решения. В различных практических задачах очень часто используются модели в виде так называемых игр с природой.

Постановка задачи. Формальная модель игры с «природой» может быть представлена следующим образом

G = (X,S,P,Q), (1) X = {х : i = 1,1}- множество реше-

где X =

ний (стратегий) рационального участника игры (статистика);

3 = : у = 1, J }- множество состояний «природы»;

Р = \pj : у = 1, J}- распределение вероятностей на пространстве состояний «природы»;

Е ру = 1;

]

Ц = |- оценочная (платежная) матрица, ^ - оценка последствия принятия

го решения в условиях ]-го состояния «природы».

Очевидно, что модель (1) представляет собой приблизительное отображение реальной ситуации принятия решений, т.к. отсутствует возможность доказать полноту множества состояний «природы» и, как следствие, распределение вероятностей будет определено тоже приблизительно. Точно также не возможно объективно до-

казать полноту множества стратегий статистика, т.к. при составлении этого множества существенную роль играют его субъективные предпочтения. Трудности и неопределенности, которые будут иметь место при составлении оценочной матрицы, подробно рассмотрены в [1]. Вполне обосновано в этих условиях предполагать, что значения элементов оценочной матрицы будут приближенными.

Классические методы нахождения наилучшего решения в играх с «природой» (критерий Байеса, Лапласа, Гурвица, Гер-мейера и др.) рассчитаны на работу с точечными, числовыми значениями элементов оценочной матрицы и, по существу, игнорируют неопределенность оценочной матрицы. Кроме того, имеет место некоторое противоречие между заявлением о том, что эти критерии предназначены для нахождения решения в условиях неопределенности, и тем, что исходные данные имеют форму точечных значений. В настоящее время известно большое количество работ по решению различных задач исследования операций, в которых для учета неопределенностей в оценках последствий принимаемых решений элементы оценочной (платежной) матрицы представляются в нечеткой форме [2-4]. Необходимо отметить, что большинство этих работ рассматривает нечеткие антагонистические игры [2, 3].

В отличие от антагонистических, в играх с природой кроме оценочной матрицы необходимо задать и распределение вероятностей на пространстве состояний природы. Если рассматривать игру с природой в нечеткой постановке, то возможно несколько вариантов ее определения, зависящих от субъективных представлений лиц, формирующих игру (задачу) [4]. При этом оценки вероятностей состояний природы и значений элементов оценочной матрицы могут быть точечными или нечеткими числами, вербальными (словесными) утверждениями, формализуемыми нечеткими множествами.

Формулируя исходные данные, участники решения задачи, очевидно, должны:

1. определить, какой из возможных вариантов определения исходных данных и

в какой комбинации позволит получить наиболее адекватную модель ситуации, требующей принятия решений. К сожалению, дать какие-то строгие в математическом отношении рекомендации не возможно;

2. в зависимости от выбранного варианта должна быть разработана определенная процедура формулирования исходных условий задачи;

3. каждый из выбранных вариантов будет предполагать свой метод решения, что потребует определенной математической подготовки от участников процесса решения.

В дальнейшем будем рассматривать вариант, при котором все параметры игры предполагается задать в форме нечетких вербальных утверждений.

Решение задачи. Для построения игры, когда предполагается определение ее параметров в форме нечетких утверждений нужно выполнить несколько этапов.

Первый - определить области определения нечетких оценок.

Очевидно, что для вероятностей состояний природы область определения D(P)={0,1}, для элементов платежной матрицы D(M)=[qmin , qmax], где qmm - минимальное значение предполагаемых последствий применения некоторой стратегии, qmax - максимальное.

Второй этап - построение терм-множеств нечетких оценок.

Например, для значений вероятностей может быть задано терм-множество:

Т(Р)={малая вероятность, средняя вероятность, большая вероятность},

для значений элементов платежной матрицы -

Т(2)={низкое, ниже среднего, среднее, выше среднего, высокое}.

Очевидно, что участники процесса решения задачи могут выбирать другие формулировки, возможно, более соответствующие их представлениям. Кроме того, могут использоваться и различные модификаторы, например «очень». В отношении количества элементов терм-множеств можно руководствоваться рекомендациями [5]: количество должно быть преимущественно нечетным, для большинства

практических задач не более 5-7. Значения элементов терм-множеств формализуются нечеткими множествами, для которых должна быть задана область определения и выбран вид функции принадлежности. Например, для вероятностей об-

ласть определения Б(Р)={0,1}, соответствующие нечеткие множества

р = КР (г(г),Мв„ (г): г е [0,1],} где

£р-малая, Мр- средняя, Вр- большая (рис. 1).

0.5

1.0

0

z

Рис. 1. Нечеткие оценки значений вероятностей

Здесь и далее треугольный вид функций принадлежности выбран только из-за простоты графического представления. Более строгие рекомендации по выбору вида

функций принадлежности приведены в [5, 6].

Аналогично может подойти и к формированию оценочной матрицы.

ц

Рис. 2. Нечеткие оценки для элементов оценочной матрицы

Однако необходимо отметить следующие обстоятельства. Аппарат теории нечетких множеств весьма специфичен для достаточно большого круга лиц, принимающих участи в формулировании задачи или заинтересованных в ее решении. Не знание, или не понимание этой специфики может вызвать негативное отношение как к самому предложению использовать методы нечетких множеств, так и к полученным результатам.

Для первоначального формулирования задачи, можно предложить использовать

процедуру, аналогичную используемой при построении экспертных систем.

Лицам (лицу), заинтересованным в решении задачи, предлагается сформулировать ее в привычной для них числовой форме. Специалист, владеющий методами теории нечетких множеств, формирует варианты терм- множеств, согласовав их с заинтересованными лицами, затем выбирает вид функций принадлежности для нечетких множеств, формализующих лингвистические значения элементов терм-множеств, руководствуясь, например ре-

комендациям, приведенным в [5, 6]. После этого выполняется процедура фаззифика-ции, при которой исходные числовые

оценки преобразуются в вербальные, формализованные нечеткими множествами.

1

\ B ✓

< M /

Kz) 1 0 pj 1

Рис. 3. Фаззификация значений вероятности

z

z

/

<fHM /

<Tl M /

/LM Г\ /

/

^(z) 1 0 qmin qij qmax

Рис. 4. Фаззификация значений элементов оценочной матрицы

Таким образом, некоторой оценке ^ -

последствий принятого решения будет поставлено в соответствие лингвистическое значение (LM or M), а вероятности состояния природы - ^ or M). В результате бу-

дет получена нечеткая формулировка игры.

Для конкретизации дальнейшего изложения воспользуемся произвольно выбранным числовым примером.

1

q

Таблица 1. Игра с «природой»

Стратегии Состояния природы

S1 S2 S3 S4

0.2 0.4 0.1 0.3

у/ Вероятности

aj 2 3 4 5

a2 5 4 1 2

a3 7 2 8 1

В результате фаззификации по схемам рис. 3, 4 для указанных выше вариантов вербальных оценок (рис. 1, 2) табл. 1 преобразуется к виду

Таблица 2. Нечеткое представление игры

Стратегии ^Вероятности Состояния природы

S1 S2 S3 S4

Sp or Mp Sp or Mp Sp or Mp Sp or Mp

a1 S or M LM or M M M or HM

й2 M or HM M S or LM LM or M

a3 HM or B S or LM B S or LM

1

о.х 0.4

МШ

Вероятное ть -0 I

06

04

Веро«тное1Ь -0 2

<> 0 2 0 4 0.6 О.Х 1.0

a)

О 0 2 0.4 06 ОХ 1.0

Ъ)

Z

0.2 0 4 0 6 0 8 1.0 7 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1.0

с) ф

Рис. 5. Функции принадлежности нечетких множеств, формализующих лингвистические оценки значений вероятностей состояний природы

При анализе полученных в результате фаззификации нечетких оценок вероятностей состояний природы (табл. 2) может возникнуть представление о том, что не зависимо от значений вероятностей получаются одинаковые нечеткие оценки.

Причиной, которая привела к результату, представленному в таблице 2, является

небольшая размерность терм-множества, которое содержит всего три элемента M, B) (рис. 1). Если увеличить размерность до пяти элементов, например, аналогично рис. 2, то результат был бы другим.

На рисунке 5 представлены функции принадлежности нечетких множеств, которые формализуют нечеткие оценки со-

ответствующих значений вероятности. Очевидно, что это различные нечеткие множества.

Аналогичные результаты получаются и при фаззификации значений последствий применения соответствующих стратегий. Отметим только, что из соображений удобства проведения расчетов, значения элементов оценочной матрицы были приведены к диапазону [0,1].

Для того, чтобы принять решение по выбору наилучшей стратегии нужно решить, в какой-то мере, стандартную для исследования операций задачу: определить способ вычисления интегральной оценки последствий применения той или иной стратегии на множестве возможных состояний природы.

Известны работы, в которых нечеткие оценки заменяются, например, их модальными значениями, с которыми выполняются стандартные для игр с природой операции, а именно усреднение оценок последствий применения конкретной стратегии по всему множеству состояний природы. В этом случае, по существу игнорируется первоначально заявленная неопределенность (нечеткость) исходных данных. Кроме того, например, для ситуаций, представленных рис. 5, возможно неоднозначное определение модальных значений. Например, модальное значение можно выбрать по середине максимального плато, можно выбрать левое или правое модальное значение [6]. При этом вполне возможно искажение исходных данных. Так, например, если в качестве модального значения выбрать середину максимального плато для рис. 5с и 5ё, то различным вероятностям будет соответствовать одно и то же модальное значение 2=0.5. Поэтому необходимо найти способ получения числовой оценки, которая будет однозначной и в полной мере отражать все параметры функций принадлежности нечетких множеств, формализующих вербальные значения.

В качестве такой оценки можно предложить точечное значение нечеткого множества [7]. Для этого на основе а уровне-вого разбиения вычисляется среднее числа элементов множества уровня а

М

Х1 еЛа

для всех х1 е Ла таких, что /Л (х1) > а.

Тогда точечное значение для множества

Л

1 атах

Р(Л) =- Г М (Ла )йа

а

^тах о

или для дискретного представления

Р(Л) = — X М(Ла. )йа1, (4) а

^тах I

йа1 = а ~а1 _1.

Можно строго доказать, что точечное значение нечеткого множества зависит от положения его функции принадлежности на области определения, от вида функций принадлежности, а также от значения ее максимума.

Очень важное обстоятельство - это отсутствие зависимости алгоритма расчета точечных значений от вида функций принадлежности соответствующих нечетких множеств. Определенным недостатком точечных значений может считаться достаточно громоздкая процедура вычисления.

Для оценок вероятностей состояний природы, представленных на рис. 5, получены следующие точечные значения 0.189 (рис.5а),0.22 (рис56), 0.29 (рис. 5с), 0.4 (рис. 5d). Для дальнейших преобразований удобнее нормированные точечные значения, соответственно 0.172,0.2, 0.264,0.364.

Нетрудно видеть, что меньшей оценке вероятности соответствует меньшее точечное значение, большей - большее.

В классической теории значения вероятностей состояний природы играют роль весовых коэффициентов при усреднении результатов выбранной стратегии по всему пространству состояний природы. Точечные значения нечетких множеств, формализующих вербальные оценки вероятностей природы, будут играть такую же роль, только в данном случае они должны применяться к вербальным оценкам по-

следствий выбора той или иной стратегии. В классической теории усреднение последствий выбора конкретной стратегии по всему множеству состояний природы -это линейная свертка соответствующих значений оценочной матрицы

91 Р]9у •

В рассматриваемом случае можно воспользоваться этим же подходом. Значения вероятностей заменяются точечными значениями нечетких множеств, формализующих лингвистические оценки вероятностей. Остается вопрос в какой форме будут представлены оценки последствий принятого решения, т.к. они представлены в виде нечетких множеств.

Возможны два варианта, первый переход от нечетких множеств и соответствующих функций принадлежности к эквивалентным числовым характеристикам,

второй - найти варианты операций над функциями принадлежности. В дальнейшем будет рассмотрен числовой вариант.

Здесь также возможны два варианта. Первый основан на вычислении точечных значений нечетких оценок по соотношениям (3,4).

В этом случае соотношение (5) преобразуется к виду

=Е F (Pj )F ),

где Е(ру) - точечное значение нечеткой оценки вероятности;

Е(ру) - точечное значение нечеткого

элемента оценочной матрицы

В результате будет получена следующая таблица.

Таблица 3. Значения точечных оценок

Стратегии Состояния природы

/ Si S2 S3 S4 Взвешенные

/

/ Точечные 0.2 0.364 0.172 0.264 оценки

значения

Р(а%) 0.22 0.19 0.5 0.39 0.302

Ща?) 0.405 0.5 0.11 0.224 0.341

Ща) 0.7 0.22 0.95 0.11 0.413

Полученный результат говорит в пользу выбора стратегии а3.

К недостаткам предложенного решения можно отнести достаточно сложную процедуру расчетов, а также то, что получаем только обоснование выбора наилучшей стратегии, но нет указаний на то, какой результат можно ожидать в результате такого выбора.

Согласно методологии теории устойчивости корректность предложенного метода будет доказана, если аналогичный результат будет получен другим независимым способом. В качестве такой проверки можно предложить метод нахождения

наилучшего решения на основе расчета центра тяжести функций принадлежности нечетких оценок вероятностей и элементов оценочной матрицы. Если рассматривать функцию принадлежности как совокупность материальных точек, то координата центра тяжести такой системы определяется как

X) X

Св = -±=-•

Х1)

I

Таблица 4. Значения координат центров тяжести

Значения CG вероятностей'^ стратегий Состояния природы Взвешенные оценки

S1 S2 S3 S4

0.41 0.488 0.322 0.46

a1 0.263 0.342 0.5 0.657 0.439

Ü2 0.657 0.5 0.241 0.321 0.463

a3 0.788 0.263 0.912 0.211 0.501

Взвешенные оценки вычислялись по формуле

Из известной формулы

x =

x — x xmax xmin

-, x G [0,1] получим

Yi =E CG (Pj (Pij ), (6) j

где CG(p j) — координата центра тяжести нечетких значений вероятности состояний природы;

CG (pj) — координата центра тяжести

нечетких значений элементов оценочной матрицы.

Как следует из таблицы 4 наилучшей следует считать стратегию a3, что совпадает с ранее полученным результатом.

Полезным свойством оценки (6) можно считать то, что она в отличие от точечных значений позволяет определить возможный результат сделанного выбора. Координата центра тяжести рассчитывается непосредственно по значениям аргумента соответствующих функций принадлежности и, по сути, оценка (6) - это приведенное к диапазону [0,1] значение возможного результата.

Библиографический список

1. Сигал А.В. Теоретико-игровая модель принятия инвестиционных решений. //Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского, серия «Экономика и управление». - 2011. - Т. 24 (63). №1. - С. 193-205.

2. Серая О.В., Каткова Т.Н. Задача теории игр с нечеткой платежной матрицей. // Математичш машини i системи. - 2012. - №3. - С. 29-36.

3. Bector C.R., Suresh Chandra Fuzzy Mathematical Programming and Fuzzy Matrix Games. - Springer, 2010. - 236 p.

4. Чернов В.Г. Нечеткая игра с «природой» как модель принятия экономических решений //Современные наукоемкие технологии. Региональное приложение. - 2020. - Т. 63. №3. - С. 42-53.

5. Piegat A. Fuzzy modeling and control. Physica - Verlog, 2013. - 804 p.

6. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. - Спб.: БХВ-Петербург, 2005. - 736 с. ISBN 5-94157-087-2

7. Yager R.R. Multi-objective decision-making using a fuzzy sets. // Intern. J. Man- Machine Studies. - 1977. - №9 (4). - Pp. 375-382.

X — X(Хтах — хтт ) + хшт •

Для рассматриваемого примера возможный результат стратегии а.1 -4.073, а2 -4.381, а3 - 4.507.

Заключение. Предложен метод нахождения наилучшего решения, когда ситуация, требующая принятия решения допускает ее формализацию в виде игры с «природой». Для учета неопределенности при задании параметров игры предполагается переход путем фаззификации от исходных числовых оценок к нечетким вербальным утверждениям. Нахождение наилучшего решения основано на вычислении точечных значений нечетких множеств, формализующих вербальные оценки. Важным достоинством метода является отсутствие ограничением на вид функции используемых нечетких множеств.

GAME WITH "NATURE" WITH PARAMETERS IN THE FORM OF FUZZY VERBAL

ESTIMATES

V.G. Chernov, Doctor of Economics Sciences, Professor

Vladimir State University named after Alexander Grigorievich and Nikolai Grigorievich Stoletov

Abstract. One of the tasks of operations research is to find the best possible solution out of many possible ones in conditions of uncertainty, when there is no reliable data about the situation that requires decision-making. In these circumstances, qualitative assessments formulated in the form of verbal statements may be more informative. A method is described for finding the best solution in conditions where data describing a situation requiring decision-making is presented in the form of verbal statements formalized by fuzzy sets, and the integral evaluation of possible solutions is determined based on point values offuzzy sets that formalize verbal evaluations of decision-making conditions. The developed method does not impose restrictions on the type of membership functions of the original fuzzy estimates.

Keywords: uncertainty, evaluation matrix, fuzzy set, membership function, verbal evaluation.