Использование алгоритма калмановской фильтрации для оценки погрешности формул расчета индуктивности элементов в микрополосковом исполнении

ФИЗИКА, РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

УДК 621.372.8

Г.А. Абденова, М.Г. Рубанович ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМА КАЛМАНОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ФОРМУЛ РАСЧЕТА ИНДУКТИВНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ В МИКРОПОЛОСКОВОМ ИСПОЛНЕНИИ

Для статистической обработки результатов измерения индуктивности микрополосковой линии предложено построить стохастическую модель в пространстве состояний зависимости индуктивности от её ширины. Для фильтрации ошибок измерения применён алгоритм фильтра Калмана. В результате сравнительного анализа семи аналитических методов расчёта индуктивности микро-полосковой линии и выходных данных фильтра Калмана для каждого из них получены максимальное среднеквадратичное отклонение и максимальная относительная погрешность аналитических расчётов и рекомендованы два метода как наиболее близкие к выходным данным фильтра Калмана.

Фильтр Калмана, индуктивность, стохастическая модель, микрополосковая

линия

G.A. Abdenova, M.G. Rubanovich ERROR ESTIMATION OF FORMULAS FOR CALCULATING INDUCTANCE OF ELEMENTS USING KALMAN FILTERING ALGORITHM

To conduct the statistical analysis of microstrip inductance measurement results it is offered to design a stochastic model in the space of microstrip inductance dependence from its width. The Kalman filter algorithm is used for error filtering. The maximum root-mean-square deviation and maximum relative error of analytical calculations are obtained as a result of comparative analysis of seven microstrip inductance calculation methods and the Kalman filter output data for each of the methods. Additionally two methods have been recommended as the closest to the Kalman filter output data.

Kalman filter, inductance, stochastic model, microstrip

Микрополосковая технология широко применяется в метровом, дециметровом и сантиметровом диапазонах длин волн. При разработке СВЧ устройств различного назначения необходимо знать с высокой точностью оценку индуктивности отрезка микрополосковой линии (МПЛ). В известной авторам литературе представлены семь методов расчёта индуктивности МПЛ:

1) метод использования скорости распространения электромагнитной волны вдоль идеального проводника в идеальном диэлектрике [1];

2) косвенный метод определения индуктивности через нахождение ёмкости, приходящейся на единицу длины отрезка МПЛ, с учётом краевой ёмкости [2];

3) метод расчёта индуктивности прямоугольной полоски, как предложено в [3, 4];

4) метод, основанный на использовании среднегеометрических величин [5], учитывающий наличие заземлённого основания, которое располагается параллельно микрополосковому проводнику;

5) метод токовых полос для продольного декомпозиционного разбиения МПЛ [1, 6];

6) метод определения индуктивности МПЛ с использованием эллиптических интегралов [5];

7) метод, учитывающий поправку на толщину микрополоскового проводника [7].

В [8] приведены оценки среднеквадратичного отклонения и погрешности указанных выше семи методов расчёта индуктивности МПЛ. Они получены сравнением результатов расчета с результатами эксперимента, сглаженными с помощью дифференциальной модели. Однако данный метод сглаживания не обеспечивает требуемую точность оценки погрешности расчетных методов определения индуктивности. Для повышения точности оценки погрешности расчетных методов определения индуктивных параметров МПЛ в работе предложено применить Калмановскую фильтрацию. Кроме того алгоритм фильтра Калмана определяет среднеквадратические отклонения полученных оценок индуктивности.

Постановка задачи. Для получения массива экспериментальных данных было проведено измерение индуктивности для отрезков МПЛ различной ширины с помощью прибора «Измеритель Ь,СД цифровой Е7-12». Отрезки МПЛ в эксперименте были выполнены на фольгированном фторопласте толщиной 2,5 мм. Толщина металлизации 0,05 мм. По показаниям прибора Е7-12 определялась суммарная индуктивность отрезка МПЛ с держателем (рис. 1) и собственная индуктивность держателя (без отрезка линии). Далее индуктивность отрезка МПЛ находилась как разница суммарной индуктивности и собственной индуктивности держателя.

В ходе эксперимента был получен дискретный набор значений индуктивности на интервале изменения ширины отрезка МПЛ Ь = 1,4...5,8 мм. Результаты эксперимента представлены в табл. 1.

Таблица 1

Результаты измерений индуктивности держателя с отрезком МПЛ при различной её ширине, закороченного держателя и расчетное значение индуктивности отрезка линии длиной 200 мм

п(!) Ширина отрезка линии, (мм) Длина отрезка линии, (мм) Индуктивность держателя с отрезком линии, (нГн) Индуктивность закороченного держателя, (нГн) Приведенная к длине 200 мм индуктивность (нГн) отрезка линии

1 1,4 29,5 96,2 80,2 108,4

2 1,9 30,0 95,4 80,5 99,2

3 2,4 30,6 92,8 79,5 86,8

4 2,7 30,7 91,6 79,5 78,8

5 3,3 27,0 89,6 79,6 74,1

6 3,8 30,0 92,1 81,5 70,3

7 4,0 29,6 90,0 79,7 69,6

8 4,3 30,0 91,9 82,5 62,6

9 5,0 30,0 89,5 80,8 58,0

10 5,8 30,3 89,2 80,9 54,8

Значения экспериментальных данных содержат погрешности измерительного прибора (см. пятый столбец табл. 1 - «индуктивность закороченного держателя»). Каждое значение индуктивности, соответствующее номеру полоска п(1), является результатом усреднения достаточно большого

числа измерений - порядка 10 или 12. Поэтому усредненные значения данных измерений дают усреднённую траекторию индуктивности как функцию ширины МПЛ при определённой её длине. Полученные экспериментально результаты измерения индуктивности приводились к одной длине МПЛ, равной 200 мм. На основе этих данных измерений была построена дифференциальная модель, соответствующая обыкновенному линейному дифференциальному уравнению и удовлетворяющая методу наименьших квадратов.

dL

аЪ

Ьф0) = 10,

где ЦЪ) - значения индуктивности при ширине МПЛ равной Ъ, Ъ0 - начальное значение интервала измене-

1

нГн

ния параметра Ъ, L0 - значение индуктивности при ширине МПЛ, равной Ъ0, а1 [-] и а2 [-] - неизвест-

мм мм

ные коэффициенты дифференциальной модели (1).

Методика построения дифференциальной модели. Введем следующие обозначения:

У = —

—ъ

ДЬ,)  'ДА) 1' у(Ь!) , в = а1

, X = , V =

L(ЬN)_ і і У(Ь 2)_ аг _

тогда соотношение (1) переписывается в матричной форме:

У = X в + V.

Соотношение (3) представляет собой регрессионную зависимость. Для нахождения оценок параметров модели (3) использован метод наименьших квадратов [9]:

в = (ХТХ)-1 ХТУ.

В качестве первого столбца матрицы X берется вектор данных результатов измерения Ь(Ък ) ,

а

к = 1, N . Вследствие того, что —L(Ъ) вычисляется на основе дискретных данных наблюдений,

—Ъ

необходимо провести фильтрацию шумов измерений. Для этого значения экспериментально измеренных индуктивностей { Ь(Ък), к = 1, N } аппроксимируются с помощью регуляризирующего ку-

бического сплайна Б(Ъ) [10], в результате получаем ряд с уровнями { L(Ък), к = 1, N }. Значения производных -^L (Ък) вычисляются по формуле [10]:

—Ъ

±ь (Ь) = Д {Ь-"] Д (Ь')-АЬ [(2 - 6 г + 3г 2 )м, +(1 - 3г 2 )ым ],

йЬ АЬ 6 її

где АЬ =

Ь1 - Ъ+1

, г = (Ь - Ь ) / АЬ , М .= Б(Ь ) получаем в процессе построения Б(Ь), 1 = 1, N .

120

100

80

60

40

ДнГн

хХ :

Ь,м м

1

Рис. 2. Данные эксперимента и график дифференциальной модели

Вычисленные значения оценок параметров дифференциальной модели на основе уравнения (4), 1 нГн

равны: { £1 =-0,36878—, €2 = 14,570----}. Так как значение коэффициента а < 0, можно утвер-

мм мм

ждать, что модель устойчива [10].

А

Интегральная зависимость решения дифференциального уравнения (1) с полученными значе-

Л Л

ниями параметров а1 и а2 и начальным значением индуктивности, равным Ь0, представлены на рис. 2.

Фильтрация по схеме фильтра Калмана. Данные эксперимента измерения индуктивности МПЛ можно записать в виде стохастического соотношения:

Ь

где { ЬЪк), к = 1,N } - вектор результатов измерения индуктивности объема N, к - весовой коэффициент, который характеризует измеритель индуктивности, у(Ък) - случайная погрешность измерений (предполагается V ~ N(0, Я) [9, 11]). Ввиду того, что измерительный прибор непосредственно измеряет индуктивность в нГн, то И =1. Вектор результатов измерения индуктивности Ь(Ък ) и вектор истинного значения индуктивности для к -й ширины МПЛ Ь (Ък) отличаются на случайную погрешность измерения v(bk ).

Для уточнения результатов эксперимента и оценок, полученных по дифференциальной модели (1), использована стохастическая модель в пространстве состояний. В этом случае уравнение (1) заменяем линейным стохастическим уравнением в пространстве состояний [12]:

— Ь

аЪ

где (О(Ъ) - разброс индуктивности за счет разброса параметров МПЛ.

Характеристики шумов начального состояния параметров МПЛ и измерительного прибора оценивались на основе алгоритмов описанных в [13, 14]. Для повышения точности аналитических расчетов индуктивности применён математический аппарат реализации фильтра Калмана. Как известно, алгоритм фильтра Калмана состоит из пяти уравнений, включающих:

- предсказания для состояния системы и ковариации [10, 12]:

л л

Ь

Р

- вычисление коэффициента усиления Калмана:

К

- коррекция оценок предсказания с учетом значений наблюдения:

Ь

Р

где Ь(Ъ) — величина состояния исследуемого объекта, Р (Ък+1 I Ък)- дисперсия оценок предсказания состояния, Q(bk)- дисперсия разброса индуктивности МПЛ (0,28 нГн2), Я(Ъ)- дисперсия шума измерительного прибора (5,3 нГн , Ь(Ък+11 Ък) - предсказанная оценка индуктивности, Ь(Ък+1 I Ък+1) -фильтрационная оценка индуктивности, к - весовой коэффициент измерения, Ь(Ък) - измеренная

индуктивность для параметра Ък € ], кт - к - транспонированное.

Расчеты по алгоритму фильтра Калмана (фильтрационная модель) отражены на рис. 3.

Как видно из рис. 3, фильтрационная траектория оценок индуктивности принимает промежуточные значения между экспериментом (измерения) и дифференциальной оценкой (дифференциальная модель). В нашем случае оценка предсказания рассчитывается с помощью решения дифференциальной модели (7). В результате применения аппарата фильтра Калмана получен ряд фильтрационных оценок индуктивностей, которые отражены на рис. 4, 5.

ЦнГн

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2

Рис. 3. Расчеты на основе уравнений фильтра Калмана

Ь,мм

Ь,нГн

Фильтрационная модель

Интервал трек

сигм

Метод 4

Метод 7

ь,мм

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2

Ь,мм

Рис. 4. Результаты расчетов индуктивности от параметра Ь по семи аналитическим методам, а также значения индуктивности, полученные при обработке результатов эксперимента сочетанием дифференциальной модели и фильтра Калмана

при Ь = 2,1...2,8 мм

Ь,нГн

Рис. 5. Результаты расчетов индуктивности от параметра Ь по семи аналитическим методам, а также значения индуктивности, полученные при обработке результатов эксперимента сочетанием дифференциальной модели и фильтра Калмана

при Ь = 4,6...5,5 мм

На практике для определения вероятности попадания случайной величины Х, подчиненной нормальному закону с параметрами т и о на участке от а до в, используется так называемое «правило трех сигм» [14]. Это правило позволяет, зная среднее квадратическое отклонение о и математическое ожидание т случайной величины Х, ориентировочно указать интервал ее практически возможных значений. На рис. 4, 5 полоса «три сигмы» отражена в виде двух пунктирных линий. Также на этих рисунках приведены индуктивности как оценки калмановской фильтрации и индуктивности, вычисленные по всем семи аналитическим методам. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение вычислялись на основе соответствующих уравнений фильтра Калмана. На рис. 4 видно, что при узких значениях ширины отрезка МПЛ метод 5 и метод 6 близки к фильтрационной оценке, но не попадают в интервал «трех сигм»; но в середине и в конце интервала изменения ширины (рис. 5) - их расхождение не превышает «трёх сигм». Метод 3 не приведен на рис. 4, 5, так как его данные находятся вне зоны рисунков.

В табл. 2 сведены результаты расчёта индуктивности по семи аналитическим методам, дифференциальные оценки, фильтрационные оценки по стохастической модели в пространстве состояний и результаты, полученные в эксперименте.

Таблица 2

Результаты расчета индуктивности (нГн) по семи методам, дифференциальной модели, по фильтру Калмана и данные, полученные в эксперименте для отрезка линии

Ширина отрезка линии, мм Длина отрезка линии, мм Метод расчета

1 2 3 4 5

1,4 29,5 14,8 15,1 10,5 16,2 15,7

1,9 30,0 13,7 13,7 9,3 14,7 14,2

2,4 30,6 12,9 12,8 8,5 13,7 13,2

2,7 30,7 12,7 12,1 8,0 13,0 12,5

3,3 27,0 10,1 9,7 6,1 10,4 10,0

3,8 30,0 10,5 10,0 6,5 10,8 10,4

4,0 29,6 10,1 9,6 6,2 10,4 10,0

4,3 30,0 9,9 9,3 6,0 10,2 9,8

5,0 30,0 9,1 8,5 5,5 9,4 9,0

5,8 30,3 8,5 7,8 5,0 8,7 8,3

1,4 29,5 16,0 15,1 - - 16,0

1,9 30,0 14,2 13,7 14,52 14,60 14,9

2,4 30,6 13,1 12,8 13,41 13,38 13,3

2,7 30,7 12,5 12,1 12,65 12,51 12,1

3,3 27,0 10,0 9,7 9,88 9,98 10,0

Окончание табл. 2

Ширина отрезка линии, мм Длина отрезка линии, мм Метод расчета

1 2 3 4 5

3,8 30,0 10,3 10,0 10,15 10,25 10,6

4,0 29,6 9,9 9,6 9,81 9,93 10,3

4,3 30,0 9,7 9,3 9,63 9,57 9,4

5,0 30,0 8,9 8,5 8,74 8,73 8,7

5,8 30,3 8,3 7,8 8,10 8,14 8,3

Для оценки точности формул расчёта индуктивности (степени близости результатов расчетов по семи методам к фильтрационным оценкам, полученным по экспериментальным данным) вычислены среднеквадратичные отклонения и вычислены в процентах максимальные относительные отклонения каждого метода от фильтрационных оценок индуктивности на всём интервале изменения ширины МПЛ.

r (l (b,)—щ I bi ))2

а =

n — 1

Lj

- j = 1,7,

•100%, j = 1,7 ,

L

8;. = maxііц, j = 17, і = .

Здесь a j - среднеквадратичное отклонение j-го метода от фильтрационной модели; /ц.. - относительная погрешность j-го метода при i-й ширине MnH; 8 - максимальная относительная погрешность j-го

метода; L. (b,) - значение индуктивности, рассчитанное по j-й формуле при i-й ширине MHH; L(b; I b,) -

оценка индуктивности, полученная по фильтрационной модели при i-й ширине Mnn.

В матрице Ц приведены рассчитанные результаты относительной погрешности при 10 ширинах MHH (первая строка соответствует самой узкой MПЛ, последняя строка соответствует самой широкой MПЛ) для семи методов расчёта индуктивности (первый столбец соответствует первому методу, как они перечислены в начале статьи, седьмой столбец соответствует седьмому методу).

М =

( 7.93 7.4372 34.33 1.29 2.00 1.52 5.35 "j

б.б8 б.1952 3б.32 0.81 2.72 2.59 5.73

4,.5 4.3235 3б.4б 2.12 1.бб 1.77 4.б4

1.22 2.2794 3б.08 4.09 0.13 0.11 2.97

2.29 2.95б8 38.43 5.45 1.28 0.85 2.14

2.44 2.4490 3б.58 5.70 1.42 0.8б 2.42

1.б5 2.7332 37.55 4.88 0.б1 0.01 3.39

2.98 3.43б3 37.31 б.21 1.84 1.17 2.55

4.42 4.2185 37.01 7.29 2.84 2.03 2.58

v 4.89 4.3б94 38.б1 б.75 2.31 1.39 4.47 у

В табл. 3 приведены результаты расчета значений среднеквадратичных отклонений индуктивности на интервале изменения ширины МПЛ Ь = [1.4, 5.8] (13) и относительные погрешности семи методов (14), (15).

Таблица 3

Среднеквадратичные отклонения и максимальная относительная погрешность расчетных значений индуктивности по семи формулам от фильтрационных значений

1=1

Метод расчета j Среднеквадратичное отклонение, нГ н a j Максимальная относительная погрешность, %

1 3,9609 7,9250

2 3,8256 7,4372

3 28,3449 38,6063

4 3,2537 7,2947

5 1,4640 2,8360

6 1,2133 2,5868

7 3,1646 5,7296

Таким образом, из данных табл. 3 следует, что наименьшее отклонение от фильтрационной оценки на интервале изменения ширины МПЛ обеспечивается методом разбиения полоска в поперечном сечении (метод 5) и методом эллиптических интегралов (метод 6).

Выводы. В результате исследований была предложена методика построения дифференциальной модели зависимости индуктивности отрезка МПЛ от ее ширины. Оценены параметры этой модели на основе метода наименьших квадратов.

При оценивании параметров дифференциальной модели была использована процедура сглаживания данных эксперимента на основе алгоритма кубического регуляризирующего сплайна, удовлетворяющего методу наименьших квадратов, и последующего численного нахождения производных.

Для дополнительной обработки результатов натурного эксперимента был применен алгоритм фильтра Калмана, позволивший дополнительно уменьшить влияние статистического разброса измеренных значений индуктивности и разброса параметров МПЛ.

Выполненное сравнение расчетов индуктивности по семи формулам с экспериментальными данными, обработанными с использованием фильтра Калмана, позволяет рекомендовать к использованию в практических целях два метода: с разбиением полосковой линии в поперечном сечении (метод 5), использованием эллиптических интегралов (метод 6), относительная погрешность которых не превышает 3 %.

Основываясь на результатах [8] и данной работы, в которой для сглаживания экспериментальных данных использован фильтр Калмана, видим, что при этом уменьшилась разница между методами 5 и 6 и фильтрационной оценкой. Также фильтр Калмана позволяет определить среднеквадратические отклонения полученных оценок индуктивности.

Более точные оценки методов расчета индуктивности могут быть получены при использовании как более точных приборов (с меньшей систематической и статистической ошибкой измерения), так и более совершенных технологий, обеспечивающих более точное получение размеров МПЛ.

ЛИТЕРАТУРА

1. Справочник по расчету и конструированию СВЧ полосковых устройств / под ред. В.В. Вольмана. М.: Радио и связь, 1982. 398 с.

2. Конструирование и расчет полосковых устройств / под ред. И.С. Ковалёва. М.: Сов. радио, 1974. 295 с.

3. Гупта K. Машинное проектирование СВЧ устройств / К. Гупта, Р. Гардж, Р. Чадха. М.: Радио и связь, 1987. 429 с.

4. Gopinath A. Расчёт индуктивности полосков конечной длины и их зависимость от частоты. Calculation of Inductance of inite-Length Strips and its Variation with Frequency / A. Gopinath, P. Silvester // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1973. Vol. MTT-21. P. 380-386.

5. Калантаров П.Л. Расчет индуктивности. Справочная книга / П. Л. Калантаров, Л. А. Цейтлин. Л.: Энегроатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1986. 488 c.

6. Матричный метод расчёта индуктивных параметров эквивалентной схемы плёночного резистора / М.Г. Рубанович, В.П. Разинкин, Ю.В. Востряков, В.А. Хрусталёв, А.Ж. Абденов // Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника. СПб., 2008. Вып. 3. С. 70-77.

7. Полосковые платы и узлы. Проектирование и изготовление / под ред. Е.П. Котова и В.Д. Каплуна. М.: Сов. радио, 1979. 247 с.

8. Абденов А.Ж. Оценка погрешности методов расчёта индуктивности элементов в микрополос-ковом исполнении / А.Ж. Абденов, А.С. Мальцев, М.Г. Рубанович // Вестник Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова. Барнаул, 2006. № 2. С. 162-168.

9. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления / П. Эйкхофф. М.: Мир, 1975. 688 с.

10. Абденов А.Ж. Описание динамических процессов с помощью кусочно-дифференциальной модели / А.Ж. Абденов, А.В. Снисаренко, Г.В. Трошина // Сборник научных трудов НГТУ. Новосибирск, 2002. № 1(27). С. 3-12.

11. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. М.: Высш. шк., 2006. 578 c.

12. Astrom K.J. Максимальная вероятность и метод предсказания ошибки. Maximum Likelihood and Prediction Error Method / K.J. Astrom // Automatica. 1980. V. 16. P. 551-574.

13. Абденова Г. А. Прогнозирование значений временного ряда на основе уравнений фильтра Калмана / Г.А. Абденова // Вестник Алтайского государственного технического университета им. И.И. Ползунова. Барнаул, 2010. № 2. С. 4-6.

14. Абденова Г.А. Оценивание параметров и характеристики шумов нестационарных процессов в стохастических системах, описываемых в пространстве состояний / Г.А. Абденова, А. А. Воевода // Сборник научных трудов НГТУ. 2010. № 3(61). С. 11-18.

Абденова Г аухар Амирзаевна -

соискатель кафедры «Автоматика» Новосибирского государственного технического университета

Gauhar A. Abdenova -

Applicant for a Degree Department of Automation Novosibirsk State Technical University

Рубанович Михаил Григорьевич -

кандидат технических наук, доцент, докторант кафедры «Электронные приборы» Новосибирского государственного технического университета

Mikhail G. Rubanovich -

Ph. D., Associate Professor Doctoral Student at the Department of Electronic Instruments Novosibirsk State Technical University

Статья поступила в редакцию 05.04.12, принята к опубликованию 04.06.12