Вход в воду параболического профиля при наличии горизонтальной составляющей скорости погружения

Том ХЬV

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2014

№ 1

УДК 532.58

ВХОД В ВОДУ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СКОРОСТИ ПОГРУЖЕНИЯ

А. И. АРЖАНОВ

На основании вагнеровской модели погружения решается плоская задача о начальной стадии погружения параболического тела в идеальную несжимаемую жидкость при наличии горизонтальной составляющей скорости погружения.

Ключевые слова: идеальная жидкость, свободная поверхность, погружение, параболический профиль.

В настоящее время для теоретического определения гидродинамических характеристик и описания динамики глиссирующих тел, в том числе гидросамолетов на водной поверхности, широко применяется метод плоских поперечных сечений. Этот метод позволяет свести решение сложной пространственной задачи к плоской задаче погружения в жидкость профиля, представляющего поперечное сечение аппарата. Основа для решения задач о погружении тел в жидкость была заложена Г. Вагнером [1], который представил потенциал течения жидкости вокруг погружающегося тела как потенциал течения при ударе расширяющейся плоской пластины по поверхности жидкости. В дальнейшем этот подход успешно развивался многими авторами, в том числе учеными гидродинамического отделения ЦАГИ, что в конечном итоге позволило им создать математическую модель движения самолета по поверхности воды [2, 3]. История развития теории погружения тел в жидкость и глиссирования подробно отражена в работе [4]. В основном в этих исследованиях рассматривалось симметричное погружение клиновидных профилей. В монографии [5] показано, что нестрогое решение Вагнера хорошо соответствует реальной картине течения и может с небольшими поправками использоваться для решения практических задач, в том числе и для случая погружения искривленного профиля, если при определении давления на поверхности тела учитывать в интеграле Коши — Лагранжа квадраты возмущенных скоростей жидкости. Такой подход использовался в [6—8] при рассмотрении задач о несимметричном или невертикальном входе клина в воду. Задача о невертикальном погружении криволинейного профиля, которая возникает при рассмотрении процесса аварийной посадки обычного летательного аппарата на воду, осложняется из-за отсутствия, в отличие от случая клина, автомодельности течения.

Рассматривается плоская задача о погружении параболического тела в идеальную несжимаемую жидкость при наличии вертикальной V и горизонтальной и составляющих скорости погружения. Введем неподвижную прямоугольную систему координат х, у (рис. 1), горизонтальная ось х которой совпадает с невозмущенным уровнем жидкости, а вертикальная ось у — с осью симметрии погружающегося тела в момент первого касания тела с поверхностью жидкости ( = 0). Подвижная система координат х', у', связанная с погружающимся телом, перемещается горизонтально со скоростью и относительно неподвижной системы координат. В момент касания поверхности жидкости форма

АРЖАНОВ Алексей Иванович

кандидат технических наук, старший научный сотрудник ЦАГИ

Рис. 1. Схема течения

тела определяется формулой у' = Ьх'2. Радиус кривизны Я поверхности тела в нижней точке связан с параметром Ь соотношением Я = 1/(2Ь).

Обозначим полуширину тела на уровне невозмущенной жидкости в рассматриваемый момент времени 1, когда погружение тела относительно невозмущенного уровня жидкости равно к = VI, через а0 координату точки переднего подпора жидкости (без учета брызговой струи) в неподвижной системе координат через хп и координату точки заднего подпора через хз. При наличии горизонтальной составляющей скорости погружения тела передний подпор не будет равен заднему и, следовательно, центр замытой части тела будет смещен относительно оси симметрии тела на величину Ах = (хп + хз ))2 - №. Полуширину смоченной части тела обозначим че-

Хп х^

рез а, а =

2

Будем рассматривать случай малых погружений (ba ^ 1). Тогда можно считать угол наклона касательной к смоченной поверхности тела Р достаточно малым, так что его косинус можно принять равным 1, а синус этого угла считать равным тангенсу sin р = d- = 2bx'. Граничные

dx'

условия на поверхности тела и свободной поверхности будем сносить на невозмущенную поверхность жидкости. В динамическом условии на свободной поверхности воды будем пренебрегать квадратами возмущенных скоростей.

Тогда задача сводится к отысканию потенциала течения жидкости ф, определенного в нижней полуплоскости и удовлетворяющего граничным условиям:

ф= 0 при y = 0, дф/ду = V + 2Ubx' при хз < x < хп.

В каждый момент времени искомое течение соответствует известному решению задачи об ударе плоской пластины, плавающей на свободной поверхности и приобретающей в рассматриваемый момент времени вертикальную скорость V и вращение относительно точки х' = 0 с угловой скоростью ю = -2bU, с неизвестными переменными координатами концов пластины хз = хз - Ut и хп = хп - Ut. Для их определения могут использоваться два уравнения, отвечающие за условия контакта жидкости с поверхностью тела в момент времени t для точек переднего и заднего подпора:

t 2

\Vy

0

где Vy (хп(з)) — вертикальная скорость подъема свободной поверхности жидкости в точках с координатами хп или хз.

В плоскости комплексной переменной г = ^ + /г|, начало координат которой связано с центром смоченной ширины пластинки; ^ = х - Ах - Юг; п = у; производная комплексного потенциала С*!Сг = Ух - гуу имеет вид [9]:

С* ТЛ — =

аг

\

1 --

- ЮЬ

-л/Т-

2 - а2 ] ^Г-

где У0 = V + 2ЬЮ Ах.

Если найти зависимости а = а (г) и Ах = Ах (г), в интегралах (1) можно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной а, и тогда интегральные уравнения можно свести к алгебраическим.

Выражения для вертикальной скорости свободной границы в точках хз и хп имеют вид:

^у (хп ) = - +

V

ЮЬ

(хп - Юг)2 - Ах2

Кп

Кп

-ЮЬ(2хп -2Юг-Кп),

(хз ) = - -

V

ЮЬ

(хз - Юг)2 + Ах2

К,

Кз

-ЮЬ (2 хз-2Юг + Кз),

где Кп =

2 „2

(хп - Ах - Юг)2 -

1/2

, Кз =

(хз - Ах - Юг) -

22 а

1/2

, хз < 0.

Будем полагать, что смоченная полуширина тела а пропорциональна ао, а величина Ах

2 тт

пропорциональна погружению тела к, т. е. а = С^, Ах = С^Ьао. После вычислений интегралов (1) от выражений (3) и (4) получаем систему двух уравнений для определения коэффициентов С1 и С 2:

хз2 = хз/А + 2Фз/Л - VЬ

-^Iз -ЮЬ3

6Взхз - 3В„21з + 4А2хз21з))А4),

'з з з з

хп2 = х^А + 2С1к1А - ЮЬ (2Впхп - 4А2х*^ + В2^ )) ^ + Ь2хп (2хп + В.Л )А

2 1 V

+^1п -ЮЬ3 (С2 - Ю2/V2)(хп

3В21п -4А2хп21п)(8А4),

А = Ь (С2 + ), Вз(п) = -С1 - 2Ахз(п);

где через 1з и 1п обозначены интегралы:

2

а0 л 2 ,

Iз =0 ^ = -11п

з I Кз А

1 2

= -11п

А

1 - I?1 (С2 + ^

2

ао 1 2

Iп =

- = — 1п

Кп А

о п

1 + 2

=

А

1+(С2 + Ю

С

V

Разлагая интегралы (5) и (6) в ряд относительно малого параметра Ьао, и оставляя в полученных уравнениях члены не выше первого порядка малости, получим решение системы в виде:

С1 = 2 + О (Ь2а2);

С = и + О (ь2 й02).

Середина смоченной поверхности тела смещается относительно геометрического центра

тела на величину Ах = С2Ьа0 = т/(V) = №/2, т. е. центр смоченной поверхности перемещается

относительно свободной поверхности в полтора раза быстрее горизонтального перемещения погружающегося тела.

После определения геометрических параметров течения можно найти потенциал течения жидкости, а также распределение скоростей и давления по поверхности тела. Из (2), с учетом того, что на нижней поверхности тела

/ 2 2\^2 2 е2\

с точностью до членов второго порядка малости находим:

V£ + иь

12

:00 = -

\1/2

О

V, = ^ - 2ЦЬ£ + О (ь2а0 ). Потенциал течения ф представляется в виде:

ф = -

(Ь2 а2 ),

12

где величины а, Ах и £ зависят от времени. Потенциал ф определен в подвижной системе координат, связанной с центром замытой части погружающегося тела, который движется со скоростью 3/2 и вдоль оси х и со скоростью -V вдоль оси у. Поэтому в выражении (9) неявно присутствует зависимость от координаты у и при вычислении производной дф/дг в интеграле Коши —

Лагранжа помимо членов

дф ёу

дф ёа дф ё Ах дф ё £

—---,--и--должен присутствовать и член

да ёг дАх ёг д£ ёг

ду ёг

= V, , где V, (£) = дф/бу — вертикальная составляющая скорости жидкости, опреде-

ленная соотношением (8). Так как ёа2/ёг = 2V¡Ь, ё Ах/ёг = и/ 2 и дф/дг с выбранной нами точностью представляется в виде:

дф "дГ

V 2/ь + (5/2)^ £

1/2

-V 2.

= -3и/ 2, производная

В работе [1] при рассмотрении задачи о вертикальном погружении клина автор пренебрегал в интеграле Коши — Лагранжа квадратами скоростей жидкости, хотя и отмечал, что в области разворота брызговой струи предположение об их малости нарушается. Полученное таким образом решение справедливо лишь для бесконечно малых углов наклона поверхности клина Р или, как в нашем случае, для очень малых погружений тела пока выполняется условие Ьа ^ 1. Согласно (7) и (8), квадрат возмущенной скорости на свободной поверхности имеет порядок V2, а горизонтальная скорость и входит в выражение квадрата скорости только в комбинации с ма-

= а 1 -

лым параметром Ьа. Поэтому, если полагать, что величина и много больше V, то в выражении (10) можно пренебречь только последним членом и оставить слагаемое, содержащее скорость и.

В работе [5] была введена поправка к потенциалу течения Аф в виде независящей от пространственных координат функции Аф(г) = aVёк. На примере погружения клина было показа-

ёа

но, что эта поправка уменьшает скорость изменения потенциала течения жидкости. В результате

Г 2 Иллиния нулевого потенциала замыкается на поверхности тела в точке Х0 = а 1 -(к/а) =

(1 -(Ьа )2/2), расположенной ближе к оси тела, чем точка нулевого давления на теле, что

более соответствует физической картине течения по сравнению с положением точки Х0 = а согласно (9). Полученное решение хорошо соответствует опытным данным, если в интеграле Коши — Лагранжа для определения давления на поверхности тела учитывать квадраты скоростей жидкости.

В случае клина, когда ёк/ёа = к а, добавочный потенциал в [5] имеет вид Аф = Ук = V 2г. При переходе к криволинейным образующим погружающегося тела в работе [5] значение производной дАф/дг берется равным V2, в то время как в случае рассматриваемого параболического тела, в силу того, что ёк/ёа уже не является константой, значение производной равно 2У2.

В результате рассматриваемая поправка имеет вид Аф = Уk, а не aV—. Поскольку дАф/дг = V2,

ёа

учет поправки Аф в точности компенсирует последний член в интеграле давления (10), т. е. изменение потенциала, связанное с учетом переносной вертикальной составляющей скорости тела.

Используя предложенный в [5] подход к решению поставленной задачи, с учетом поправки к потенциалу течения получим выражение для избыточного давления Ар на поверхности тела по сравнению с давлением в жидкости на бесконечном удалении. В линейном относительно малого параметра Ьа приближении это выражение имеет вид:

Ар__д(ф + Аф) ( 2 +2)2/Ь + (5/2£ 1 У2a2

- -2( ""'= (а2-£2)2 "2 (а2-£2) <Ш

дг 2'

При этом не накладывается никаких ограничений на отношение скоростей и/V. Переходя к относительной координате 5 = £/а, выражение (11) можно представить в виде:

Ар = 2 pУ2

2и

--+ 5—5

Ьа V

На концах смоченной поверхности при 5 = ±1 выражение (12) имеет неинтегрируемую особенность, связанную с некорректностью полученного решения в области формирования брызго-вой струи. Как обычно, будем считать, что выражение (12) справедливо в пределах интервала между точками поверхности тела -51 и 52, в которых избыточное давление обращается в ноль. На участках поверхности вне этого интервала вплоть до вершины брызговой струи будем полагать, что давление не меняется и остается равным нулю. Такое распределение давления по поверхности тела хорошо согласуется с наблюдаемым в реальных условиях. Так как точки -51 и 52

находятся вблизи концов смоченной поверхности, представим их в виде -51 =-1 + 81 и 52 = 1 -8 2, где 81 и 82 — малые величины, квадратами которых можно пренебречь. Приравняв нулю выражение в квадратных скобках формулы (14), для 81, например, будем иметь:

Ь2 a2

81 = —-^^ •

1 - 5 Vba\

Выражение для 82 будет отличаться от (13) знаком «+» в знаменателе. С заданной для решения задачи точностью можно считать, что 81 =82 = Ь2a2/8, так как для значений отношения U|V, имеющих порядок 1 или больше 1, решение справедливо только для малых погружений, пока соблюдается условие ba ^ U|V. При стремлении ba к величине V/(5U) значение 81 уже

не может считаться малым. Физически это соответствует появлению зоны разрежения и возникновению отрыва потока вблизи нижней точки погружающегося тела. При этом рассматриваемый процесс с точки зрения постановки задачи следует считать не погружением, а глиссированием тела с отрывом потока.

На рис. 2 представлено распределение давления по поверхности тела в виде зависимости коэффициента давления cp = Ар/^2 PV2 \ от 5 a, вычисленное по формуле (12) для двух

значений отношения и/V = 0 (вертикальное погружение) и и/V = 1. Величина параметра Ьа взята равной 0.1. Разность между двумя кривыми дает наглядное представление о влиянии боковой скорости на распределение давления.

Действующие на единицу длины погружающегося тела гидродинамические вертикальная ¥1 и горизонтальная Х1 силы, а также момент М^ относительно оси симметрии тела могут

быть получены интегрированием по поверхности тела (-5*1, ^ ) проекции сил давления на вертикальную и горизонтальную оси. Так как единственный член в выражении (12), который зависит от горизонтальной составляющей скорости погружения и, пропорционален первой степени 5, вертикальная составляющая гидродинамической силы ¥1 не зависит от и и равна силе, действующей на тело при вертикальном погружении:

" "J

s2

п- ba I ln—

ba

j pV

Apads =-

S2

X1 = - [ap —ads = -6npVUh,

J dx

- si

где dy I dx = 2b ( + Ax) — угол наклона касательной к поверхности тела,

s2

ML1 = Jap

-si

Основной вклад (5/6) в горизонтальную составляющую гидродинамической силы дает второй член формулы распределения давления (12), который зависит от скорости U. Оставшуюся 1/6 часть силы X1 дает горизонтальная составляющая силы сопротивления из-за наклона хорды, стягивающей смоченную поверхность тела, на угол 5 = 2bAx относительно горизонтальной оси. Если обозначить полную скорость приводнения тела через W, а угол приводнения через 0, тогда U = Wsin 0 и V = Wcos 0. Согласно (15) и (16), боковая сила и кренящий момент пропорциональны W2 sin 20, и, следовательно, их максимальное значение достигается при 0 = 45°, когда горизонтальная и вертикальная составляющие скорости равны U = V.

1

1 1 1

1 1 II 1

Л — - 0 1 1 1 / / /

\\ \\ V \ / / у / /

-1.0 -0.5 0 0^5 5 1.0

Рис. 2. Распределение давления по поверхности тела

В случае погружения цилиндрического тела радиуса Я в формулах (14) — (16) нужно заме-

1/2

нить 1/Ь на 2Я, а произведение Ьа — на (И/Я) . Выражение (14) при этом не будет отличаться

от приведенного в работе [5].

Следует заметить, что на горизонтальную гидродинамическую силу и кренящий момент, вызванные горизонтальным движением тела, не влияют слагаемые, связанные с распределением скоростей по поверхности тела и введением поправки к потенциалу течения. Они сказываются только на величине силы сопротивления, которая не зависит от наличия боковой скорости.

Для оценки гидродинамических сил и моментов, действующих на фюзеляж самолета или произвольное тело с поперечным сечением, близким к круговому, при наличии угла скольжения, можно воспользоваться методом плоских поперечных сечений, как это было проделано в [10] при определении подъемной силы цилиндра, глиссирующего по поверхности воды с нулевым углом скольжения.

Вертикальная У и горизонтальная Х составляющие гидродинамической силы, а также момент Мь, действующие на глиссирующее тело, получаются интегрированием выражений (14) — (16) по смоченной длине тела с учетом мгновенных значений кинематических параметров тела и кривизны нижней образующей корпуса. В частном случае стационарного глиссирования цилиндра с прямолинейной образующей погружение И связано с продольной координатой I линейной зависимостью И = I а, где а — угол наклона нижней поверхности глиссирующего тела

(угол дифферента), а зависимость произведения Ьа от I выражается формулой Ьа = (2а1Ь) . Тогда с учетом (14) — (16) получаем:

¿0

У = Ш1

I

2 л ( l 4 4 п— ЛI 1П— + —

3 I Л 3

х = ^=-2 .р^,

МЬ =| МЬ1Ш = 9 - ЛЛ- I,

0

I

0

где V — скорость движения глиссирующего тела; у — угол отклонения вектора скорости от оси тела в горизонтальной плоскости

Ь

ь

ВЫВОДЫ

Решена плоская задача о начальной стадии невертикального погружения в жидкость параболического тела, профиль которого выражается формулой y = bx . В линейном приближении относительно малого параметра ba, где a — полуширина замытой части тела, получены зависимости размера и положения зоны замыва, а также величин гидродинамических сил и кренящего момента от погружения тела.

При косом погружении тела ширина замытой части и величина продольной гидродинамической силы не зависят от горизонтальной скорости и равны значениям, наблюдаемым при вертикальном погружении. Середина зоны замыва погружающегося тела перемещается по горизонтали со скоростью, в 1.5 раза превышающей горизонтальную составляющую скорости погружения.

Поперечная гидродинамическая сила и кренящий момент, действующие на тело, пропорциональны глубине погружения и произведению горизонтальной и вертикальной составляющих скорости тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wagner H. Über Stoss- und Gleitvorgänge der Oberfläche von Flüssigkeiten // ZAMM, 1932. 4, s. 199—215.

2. Банников Ю. М., Лукашевский В. А., Лукьянов С. С. Математическая модель движения гидросамолета на волнении / Сб. докладов научной конференции по гидроавиации «Геленджик-96». — М.: Изд. ЦАГИ, 1996, с. 168—172.

3. Шорыгин О. П., Жеребятьев С. А., Гонцова Л. Г., Беляевский А. Н. Математическая модель процесса вынужденной посадки пассажирского самолета на воду / Сб. статей «Гидродинамика скоростных двусредных аппаратов» // Труды ЦАГИ. 2009, вып. 2685, с. 116—127.

4. Лотов А. Б. Глиссирование и быстрый вход тел в воду. — М.: Изд. МФТИ, 1984,

108 с.

5. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. — Киев: Наукова думка, 1969, 216 с.

6. Шорыгин О. П. Несимметричный вход в воду тупого клина // Труды ЦАГИ. 1978, вып. 1963, с. 3—23.

7. Шорыгин О. П. Несимметричный вход в воду тупого клина под углом к свободной поверхности // Труды ЦАГИ, 1980, вып. 2086, с. 222—241.

8. Сбоев А. В. Применение модифицированной расчетной модели Вагнера для определения гидродинамических нагрузок, действующих на глиссирующее килеватое тело / Сб. статей «Актуальные проблемы аэроакустики, гидродинамики и промышленной аэродинамики» // Труды ЦАГИ. 1999, вып. 2634, с. 138—144.

9. Седов Л. И. Теория нестационарного глиссирования и движения крыла со сбегающими вихрями // Труды ЦАГИ. 1936, вып. 252, 40 с.

10. Журавлев Ю. Ф., Шорыгин О. П., Шульман Н. А. О подъемной силе глиссирующего цилиндра// Ученые записки ЦАГИ. 1979. Т. Х, № 6, с. 113 —117.

Рукопись поступила 23/12013 г.