Аппроксимация зависимости «Сила-перемещение» для сейсмоизолирующих резинометаллических опор со свинцовым сердечником

СТРОИТЕЛЬСТВО И АРХИТЕКТУРА

УДК 699.841

Абакаров А.Д., Омаров Х.М.

АППРОКСИМАЦИЯ ЗАВИСИМОСТИ «СИЛА-ПЕРЕМЕЩЕНИЕ» ДЛЯ СЕЙСМОИЗОЛИРУЮЩИХ РЕЗИНОМЕТАЛЛИЧЕСКИХ ОПОР СО СВИНЦОВЫМ СЕРДЕЧНИКОМ

Abakarov A.D., Omarov Kh.M.

APPROXIMATINGOF ASSOCIATION "FORCE-TRANSITION" FOR SEISMOISOLATING RUBBER-METAL BEARERS WITH THE LEAD CORE

Рассмотрен экспериментальный график зависимости «Сила-перемещение» сейсмоизолирующей резинометаллической опоры со свинцовым сердечником и представлен метод его аппроксимации. Получено математическое выражение описывающее зависимость «Сила-перемещение» сейсмоизолирующей

резинометаллической опоры со свинцовым сердечником. Представлена система дифференциальных уравнений движения здания с сейсмозолирующими резинометаллическими опорами.

Ключевые слова: Сейсмоизоляция, резинометаллическая опора со свинцовым сердечником, уравнения движения, зависимость «Сила-перемещение», аппроксимация.

The experimental graph of association "Force-transition" of a seismoisolating rubber-metal bearer with the lead core is considered and the method of its approximating is presented. The mathematical expression presenting association "Force-transition" of a seismoisolating rubber-metal bearer with the lead core is received. The system of differential equations of traffic of a building with seismoisolating rubber-metal bearers is presented.

Key words: Seismoisolation, a rubber-metal bearer with the lead core, the traffic equations, association "Force-transition", approximating.

Проблема защиты зданий и сооружений от сейсмических воздействий является задачей первостепенной важности. В настоящее время обеспечение сейсмостойкости зданий и сооружений с устройством систем сейсмоизоляции находит все большее применение в мировой практике. На 2012 год их в мире более 1000. Преимущество этих систем заключается в изоляции, в определенной степени, надфундаментной части здания от сейсмических колебаний передаваемых фундаментами. Многие фирмы системы сейсмоизоляции предлагают в виде отдельных компактных опор, обладающих податливостью в горизонтальном направлении и достаточной жесткостью в вертикальном. Их, как правило, устанавливают в уровне верха фундаментной части здания. К таким системам относятся и резинометаллические сейсмоизолирующие опоры. В зависимости от демпфирующих характеристик различают резинометаллические сейсмоизолирующие опоры с низким (РМСО без сердечника) и высоким (РМСО со свинцовым сердечником) демпфированием (рис. 1).

Резинометаллические опоры имеют слоистую конструкцию и состоят из попеременно чередующихся стальных листов и высококачественной резины. Жесткость опор в горизонтальной плоскости в 100 раз меньше чем в вертикальной, что обеспечивает возможность упругого бокового перемещения. По мнению специалистов резинометаллические сейсмоизолирующие опоры снижают сейсмические ускорения 4-6 раз. Расчетная модель здания с резинометаллическими сейсмоизолирующими опорами,

как показано на рис. 2, представляется в виде консольного стержня с числом сосредоточенных масс, равным п.

1

Рисунок 1. Сейсмоизолирующая резинометаллическая опора со свинцовым

сердечником [1]:

1-свинцовый сердечник, 2-стальная пластина, 3-высокопрочная резина

Массу, сосредоточенную в уровне верха резинометаллических опор, обозначим через то.

Система дифференциальных уравнений движения здания с резинометаллическими сейсмоизолирующими опорами записывается в виде

т0у0 + с0у0 + Я

ту + с1

тпуп + сп(уп - Уп-1) + кп(уп - Уп-1) = -тп(угр + Уо), где 1=2^п-1.

а) б)

z

т

т

п-1

т т т

т

1 X-

У

т

т

п-1

т

Угр

У

Рисунок 2. Расчетная модель здания с сейсмозолирующими резинометаллическими опорами: в стационарном состоянии (а) и подвергнутая

колебаниям основания

2

3

2

О

Здесь: т0 - масса, сосредоточенная на уровне верха резинометаллических опор; т 1 ,т2 ,...,т 1,...,тп _ 1 ,тп - сосредоточенные массы на уровнях перекрытий; к 1 ,к2,...,кI ...,кп_ 1 ,кп - поэтажные коэффициенты жесткости конструкции; с0 ,с1 ,с2 ,...,сп _ 1 ,сп - поэтажные коэффициенты затухания; угр - сейсмическое воздействие, представляемое в виде случайного процесса или реальной акселерограммы землетрясения; И (у) - нелинейная восстанавливающая сила в уровне верха сейсмоизолирующих опор.

Зависимость^ (у) для опор со свинцовым сердечником показана на рис. 3 [ 2 ].

Рисунок 3. Зависимость «горизонтальная сила - перемещение» для резинометаллической опоры со свинцовым сердечником

Она является опытной, т.е. полученной в результате экспериментального испытания резинометаллических опор. Для того, чтобы решить вышеприведенную систему дифференциальных уравнений движения здания, необходимо для зависимости Д (у) , заданной графиком, подобрать аналитическое выражение, аппроксимирующее эту зависимость. График зависимости Д(у) , показанный на рис.3, опишем следующим выражением [ ]

Д

где До (у) - зависимость, соответствующая центральной ветви графика Д(у)(см. рис. 4); Д1 (у) - зависимость, описывающая график, получаемый в результате отложения по оси абцисс отрезков, равных расстояниям между центральным графиком и верхней петлей графика Д(у)(см. рис. 5); 5 ¿дпу - единичная функция, равная

!+1 приу > О 0 приу = О при

Здесь - скорость движения системы.

Процесс подбора эмпирических формул для установленных из опыта зависимостей состоит из двух частей: сначала выбирается вид формулы и уже после этого определяются численные значения параметров, для которых приближение к данной функции является наилучшим. Если нет каких-либо теоретических соображений для

62

подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком заданной функции.

Я,кН

150

у, мм

Рисунок 4.Д 0

Я,кН>

К,

100 150 у, мм

Рисунок 5.График зависимости Д1

Для сравнения с графиком, выражающим зависимость , был рассмотрен

график, изображенный на рис.6. Он представляет собой овал Кассини, уравнение которого имеет следующий вид [ ]

'

= ± VV а4 + 4 с2 х2 — х2 — с2

Для нахождения эмпирической формулы для зависимости , заданной таблицей

№1, сравним его с графиком, изображенным на рис.6, и определим параметры a и c.

У1,

100

50

-50

0

50

Рисунок 6.Овал Кассини

Таблица 1

Параметры функции И1(у)_

У ЯФ) Яг(у)выч

-141,665 0 0,2

-133,332 30,93 31,14

-124,999 42,12 42,64

-116,666 50,10 50,46

-108,333 55,93 56,22

-100 60,10 60,53

-91,665 63,50 63,72

-83,332 65,80 66

-74,999 67,15 67,53

-66,666 68,24 68,42

-58,333 68,43 68,77

-50 68,35 68,69

-41,665 68,01 68,29

-33,332 67,41 67,69

-24,999 66,83 67,02

-16,666 66,31 66,41

-8,333 65,79 66

0 65,85 65,85

8,333 65,79 66

16,666 66,31 66,41

24,999 66,83 67,02

33,332 67,41 67,69

41,665 68,01 68,29

50 68,35 68,69

58,333 68,43 68,77

66,666 68,24 68,42

74,999 67,15 67,53

83,332 65,80 66

91,665 63,50 63,72

100 60,10 60,53

108,333 55,93 56,22

116,666 50,10 50,46

124,999 42,12 42,64

133,332 30,93 31,14

141,665 0 0,2

Для нахождения параметров а и с рассмотрим две точки графика ^(у): первая с координатами (0;68,85) и вторая с координатами (141,665;0). Уравнение овала Кассини в этих точках имеет следующий вид:

в точке с координатами

65,85 = ^^а4 -с2; в точке с координатами

О = ^а4 + 80275,8889с2 - 20068,972 - с2.

Получаем систему из 2 уравнений

65,85 =

а4 - с2

0 = 1^а4 + 80275,8889с2 — 2 0068,972 — с2

Решая (4), находим: a=110,465,c=88,692. Подставляя найденные значения параметров в уравнение (3), получаем выражение, которое описывает график зависимости . Оно имеет следующий вид

Д 1 = ^ 148903446,8 + 3 1465, 08у2 —у2 — 7866,2 7.

Значения Д1(у)выч., полученные с помощью данной формулы, приведены в таблице №1. Как видно из этой таблицы, значения Д1 (у) выч незначительно отличаются от фактических значений .

Для определения выражения, описывающего зависимость сравним график

данной зависимости с графиком функции у = ах + Ьх3, изображенным на рис.7.

Рисунок 7. График функции у = ах + Ь х3 Значения параметров зависимости приведены в таблице №2

Таблица 2

Параметры функции Д0 СУ)

у Ro(y) Ro(y)выч.

0 0 0

8,333 2,61 2,436

16,666 5,23 4,916

24,999 7,88 7,471

33,332 10,56 10,174

41,665 13,28 13,028

50 16,09 16,090

58,333 18,97 19,401

66,666 21,96 23,015

74,999 25,10 26,950

83,332 28,42 31,264

91,665 31,97 35,992

100 36,50 41,180

108,333 41,63 46,866

116,666 48,23 53,105

124,999 56,81 59,910

133,332 68,43 67,353

141,665 99,61 75,467

Для определения параметров а и ¿составим две группы условных уравнений, подставляя в выражение у = ах + Ьх3 заданные значения параметров Яо(у) . Подразделение условных уравнений на две группы дано в таблице №3.

Таблица 3

1 группа уравнений 2 группа уравнений

2,61=8,333 а+578,634Ь 5,23=16,666а+4629,074Ь 7,88=24,999а+15623,125Ь 10,56=33,332а+37032,593Ь 13,28=41,665а+72329,283Ь 16,09=50а+125000Ь 18,97=58,333 а+198491,968Ь 21,96=66,666а+296287,407Ь 28,42=83,332а+578675,926Ь 31,97=91,665а+770212,616Ь 36,5=100а+1000000Ь 41,63=108,333 а+1271400,3Ь 48,23=116,666а+1587935,740Ь 56,81=124,999а+1953078,125Ь 68,43=133,332а+2370299,260Ь 99,61=141,665а+2843070,95Ь

£96,58=299,994а+749972,084Ь £411,6=899,992а+12374672,917Ь

Складывая условные уравнения по группам (каждая группа из 8 уравнений), получим систему из 2 уравнений

96, 58 = 299,994а + 749972,08Ъ 411, 6 = 899,992а + 12374672,917Ъ .

Решая ее, находим: а=0,29185,6=0,000012. Значения Ro(y) выч., вычисленные по формуле R0 = 0,29185у + 0,000012у3 , приведены в таблице №2. При наложении графика зависимости Ro(y)em4. на график зависимости Ro(y) (см. рис.8) заметна некоторая погрешность.

Рисунок 8.Графики зависимостей И0(у) иИ0(у)выч. Для снижения этих погрешностей воспользуемся методом наименьших квадратов [5]. Данным методом, используя значения параметров, указанных в таблице №2, подберем параметры кубической функции-параболы

у = ах + Ьх3.

Суть этого метода заключается в том, что для заданной зависимости Д 0 (у) выбирают такую аппроксимирующую функцию , для которой наименьшее значение

имеет величина , равная

Р (а,Ь )=%П= 1[у 1 — ( ах1 + Ьх13) ]2.

Потребовав обращения в нуль частных производных отР (а,Ь) по параметрам a и Ь, определяющим функцию , получают уравнения, позволяющие найти

наилучшие значения этих параметров.

Для отклонений имеем выражения

А у I =уг — (ах* + Ь х-3) , где /=1,2,..., п,

отсюда

ъп= 1 (А уд 2 = 2Г= 1[у I — (ахг + Ьх*3) ] = Р ( а,Ь) .

Здесь и, следовательно, функция имеет минимум.

Необходимые условия экстремума дают

п

Л Р ^ ) = —2 ху*- + 2 ах2 + 2 Ьх4) = 0

¿=1 п

Л Р ^ ) = —2 х3 у I + 2 ах4 + 2 Ь х6) = 0.

¿=1

Из данной системы можно получить систему нормальных уравнений

Г а^п= 1х 2 + ЬЩ= 1 х4 = Щ= 1 х ¿у *

{ а^П= 1*4 + ЬШ= 1 х 6 = Ш= 1 х 3 у о

где Щ= 1х2 = 12 3 9 5 5,9, ^П= 1 х4 = 1 5 7869005 0, ^П= 1ху * = 5 5890,62, %п= = 23 900000000000, %П= 1х3 у * = 787808621,1 .

Подставляя найденные значения в систему уравнений (6), будем иметь

( 123955,9а + 1578690050Й = 55890,62 {1 578690050а + 23900000000000Ь = 787808627,1

Решая систему (7), получим: а=0,195918,Ь=0,00002002. Значения Д0(у) выч., вычисленные по формуле Д0 = 0,19 5918у + 0,00002002у3 , даны в таблице №4.

Таблица 4

Параметры функции

у Ro(y) Ro(y)выч.

0 0 0

8,333 2,61 1,644

16,666 5,23 3,358

24,999 7,88 5,210

33,332 10,56 7,271

41,665 13,28 9,610

50 16,09 12,298

58,333 18,97 15,403

66,666 21,96 18,992

74,999 25,10 23,139

83,332 28,42 27,911

91,665 31,97 33,378

100 36,50 39,611

108,333 41,63 46,678

116,666 48,23 54,647

124,999 56,81 63,590

133,332 68,43 73,575

141,665 99,61 84,673

На рисунке 9 показано сравнение графиков Я0(у) иК0(у)выч., где видно, что график Ко(.У)еыч. при граничных величинах перемещений близок к графику Яо(у).

Рисунок 9.Графики функций Я0

При этом выражение, описывающее зависимостьй(у), принимает следующий вид

И(у) = о, 19В918у + 0,00002002у3 +

+

Подставляя (8) в (1) и интегрируя данную систему дифференциальных уравнений, можно исследовать сейсмическую реакцию зданий с резинометаллическими сейсмоизолирующимим опорами.

Библиографический список:

1. Я.М. Айзенберг, В.И. Смирнов, Р.Т. Акбиев. Методические рекомендации по проектированию сейсмоизоляции с применением резинометаллических опор. - Москва: 2008. - 17 с.

2. www.flp-groupindustrial.it

3. А.К. Юсупов. Проектирование сейсмостойких зданий на кинематических опорах. -Махачкала: Издательство «Лотос», 2006.- 231 с.

4. Математическая энциклопедия (в 5-и томах). - Москва: Издательство «Советская энциклопедия», 1982, том 2. - 759 с.

5. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - Москва: Издательство «Наука», главная редакция физико-математической литературы, 1967. - 574 с.