Анализ использования показательного распределения в теории надежности технических систем

37. Ikari П., Fujiwara K. Studying of temperature dependence of pulse distribution of positronium in а - quartz // J. Phys. Soc. Japan., 1979, 46 (1), 92-101.

38. Бартенев Г.М., Цыганов А.Д., Прокопьев Е.П., Варисов А.З. Аннигиляция позитронов в ионных кристаллах // Успехи физических наук, 1971, 103 (2), 339-354.

39. Графутин В.И., Мьо Зо Хтут, Прокопьев Е.П., ФунтиковЮ.В., Хмелевский Н.О., Штоцкий Ю.В. Исследования позитронной аннигиляции в порошках кварца // Сборник научных трудов, 3, 2008, МИФИ, М., 29-30.

40. Прокопьев Е.П., Графутин В.И., Тимошенков С.П., Фунтиков Ю.В. Определение размеров нанообъ-ектов в пористых системах и дефектных твердых телах. Часть I. // Интеграл, 2008, №6 (44), 4-6.

41. Прокопьев Е.П., Графутин В.И., Тимошенков С.П., Фунтиков Ю.В. Определение размеров нанообъ-ектов в пористых системах и дефектных твердых телах. Часть II. // Интеграл, 2009, №1 (45), 10-12.

42. Druzhkov A.P., Perminov D.A. Characterization of Nanostructural Features in Reactor Materials Using positron annihilation spectroscopy. Chapter 5 // In NuclearMaterials Devolopments Ed. Keister J.F., ISBN 1-60021-432-0, 2007, North Science Publishers Inc., Dordrecht, 1-42.

43. Тимошенков С.П., Прокопьев Е.П., Калугин В.В., Графутин В.И., БритковО.М.; Евстафьев С.С. Позитроника и нанотехнологии: Определение радиусов нанообъектов в пористых системах и некоторых дефектных материалах методом ПАС. Часть I. // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России, 2008, №4. 28-36.

44. Тимошенков С.П., Прокопьев Е.П., Графутин В.И., Бритков И.М.; Фунтиков Ю.В. Позитроника и нанотехнологии: Определение радиусов нанообъектов в пористых системах и некоторых дефектных материалах методом ПАС. Часть 2. // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России, 2008,

№4, 36-43.

45. Графутин В.И., Илюхина О.В., Мясищева Г.Г., Прокопьев Е.П., С.П.Тимошенков С.П., Ю.В.Фунти-ков Ю.В., Р.Бурцл Р. Позитроника и нанотехнологии: возможности изучения нанообъектов в материалах и наноматериалах методом позитронной аннигиляционной спектроскопии. // Ядерная физика, 2009, 72 (10), 1730-1739.

46. Chaplygin Y.A., Gavrilov S.A., Grafutin V.I., Svetlov-Prokopiev E.P., and Timoshenkov S.P. Positronics and nanotechnologies: possibilities of studying nano-objects in technically important materials and nanomaterials // Proc. IMechE. Part N: J. Nanoengineering and Nanosystems, 2007, 221 (4), 125-132.

47. Прокопьев Е.П., Графутин В.И., Тимошенков С.П., Евстафьев С.С., Фунтиков Ю.В. Позитроника и нанотехнологии: Возможности изучения нанообъектов в технически важных материалах методом позитронной аннигиляционной спектроскопии // Микроэлектроника, 2009, 38 (6), 464-475.

48. Графутин В.И., Илюхина О.В., Мясищева Г.Г., Прокопьев Е.П., Тимошенков С.П., Фунтиков Ю.В. Позитроника нанообъектов в пористых и дефектных системах на основе кремния и кварца. // Украинский физический журнал, 2009, 54 (5), 443-453.

49. Графутин В.И., Прокопьев Е.П., Тимошенков С.П., Фунтиков Ю.В., Позитроника и нанотехнологии: Определение размеров нанообъектов в пористых системах, наноматериалах и некоторых дефектных материалах методом позитронной аннигиляционной спектроскопии (обзор) // Заводская лаборатория, 2009, 75 (6), 27-36.

50. Чаплыгин Ю.А., Графутин В.И., Тимошенков С.П., Прокопьев Е.П. // Определение размеров нанообъектов в пористых системах и дефектных материалах по методу УРАФ. Материалы VII Международной научно-технической конференции, 7 - 11 декабря 2009 г. Москва, Intermatic - 2009, часть 2. МИРЭА,

17-19.

51. Графутин В.И., Прокопьев Е.П., Тимошенков С.П., Фунтиков Ю.В. Определение радиусов нанообъ-ектов в пористых системах и некоторых дефектных материалах методом позитронной аннигиляционной спектроскопии // Поверхность. Рентгеновские, Синхротронные и нейтронные изучения, 2009, №12, 2432.

52. Р.Бурцл, В.И.Графутин, О.В.Илюхина, Г.Г.Мясищева, Е.П.Прокопьев, С.П.Тимошенков, Ю.В.Фунти-ков. Возможности изучения нанообъектов в пористом кремнии и подложках кремния, облученных протонами, методом позитронной аннигиляционной спектроскопии // Физика твердого тела. 2010, 52(4), 651-654.

53. Прокопьев Е.П. Простая модель связанного состояния позитрона на вакансиях металлов // В кн.: Радиационные дефекты в металлах. Материалы 2 Всесоюзного совещания, Наука, Алма-Ата, 1980, 59-62.

54. Mori G. Model of the connected state of a positron on vacancies of metals // J. Phys., 1977, F7, L8 9.

55. Графутин В.И., Бурцл Р., Зееман А., Крщак В., Илюхина О.В., Мясищева Г.Г., Прокопьев Е.П., Тимошенков С.П., Фунтиков Ю.В.. Определение размеров и концентраций нанообъектов в облученных металлах и сплавах методом позитронной аннигиляционной спектроскопии. VI Международная научная конференция «Прочность и разрушение материалов и конструкций»: Материалы конференции.- 20-22 октября 2011 г. Оренбург, Россия Изд-во ГОУ ОГУ, 2011.- Принята к печати. http://www.mks-phys.ru/Reports.php?ConfId=10

56. Соколов А.А., Лоскутов Ю.М., Тернов И.М. Квантовая механика // Учпедгиз, М., 1962, 592 стр.

57. Slugen V. What kind of information we can obtain from positron annihilation spectroscopy? // European Commission EUR 22468 EN - DG JRC - Institute for Energy Luxembourg: Office for Official Publications of the European Communities, 2006, 94 pp.

58. Cizec J., Becvar F.f Prochazka I. Three-detector setup for positron-lifetime spectroscopy of solids containing 60Co radionuclide // Nuclear Instruments and Methods in in Physics research 2000, A 450, 325-337.

УДК 62 -192 + 519.248

Литвиненко Р. С,, Идиятуллин Р. Г., Аухадеев А.З,

ФГБОУ ВПО «Казанский государственный энергетический университет», Казань, Россия

АНАЛИЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Актуальность и цели.

В практике эксплуатации технических систем в большинстве случаев приходится иметь дело с вероятностными (случайными) процессами, когда функция отражает аргумент с некоторой вероятностью. Наиболее полно случайная величина описывается законом распределения вероятностей, основным из которых в теории надежности технических систем является экспоненциальное (показательное) распределение. В условиях неопределенности информации о законе распределения времени наступления отказов вследствие малых объемов статистических данных, что как правило бывает на начальных этапах разработки техники, исследователю приходится принимать решение о выборе априорной модели надежности, исходя из опыта предыдущей эксплуатации прототипов или аналогов. Систематизация информации о практическом использовании показательного распределения при прогнозировании и оценке надежности различных технических систем является актуальной научной задачей.

Материалы и методы.

В основе изложенного материала лежит систематизация информации опубликованной в отечественной и зарубежной литературе, и представляющая анализ результатов модельных и экспериментальных исследований надежности техники, а также статистические данные полученные в ходе эксплуатации.

Результаты.

Представленная теоретическая информация о применении показательного закона в теории надежности может быть использована в качестве первого приближения, и подлежит обязательному уточнению, с использованием различных критериев проверки гипотез, по мере увеличения объема статистических данных в ходе последующих испытаний.

Надо иметь достаточно оснований для применения экспоненциального закона распределения, как и любого другого. Поэтому статья может быть полезна исследователям на ранних этапах разработки или модернизации технической системы, в качестве априорной информации для построения моделей и критериев, используемых для обеспечения и контроля надежности. Ключевые слова:

надежность, распределение, наработка, вероятность, плотность, этап, математическое ожидание

Введение

Для описания отказов системы могут быть предложены модели, предназначенные для решения различных задач надежности и по-разному учитывающие комплекс факторов, присущих характеру отказов.

Случайный характер возникновения отказов в процессе эксплуатации технических систем и их элементов позволяет применять в их описании вероятностно-статистические методы. Наиболее распространенными являются модели отказов, основанные на распределении соответствующих случайных величин - наработок до отказа невосстанавливае-мых объектов и наработок между отказами восстанавливаемых объектов.

В качестве основных видов распределения наработок изделий до отказа следует выделить [1]:

- экспоненциальное;

- Вейбулла-Гнеденко;

- гамма;

- логарифмически-нормальное;

- нормальное.

В результате обзора отечественной и зарубежной литературы дана оценка практического применения экспоненциального закона распределения в области надежности технических систем.

Статистические характеристики показательного (экспоненциального) распределения

Экспоненциальное распределение хотя и является частным случаем распределения Вейбулла-Гне-денко (при а = 1), но представляет большой самостоятельный интерес, так как оно адекватно описывает распределение длительности работы элемента в период нормальной эксплуатации. Прикладная популярность экспоненциального закона объясняется не только разнообразными возможностями его естественной физической интерпретации, но и исключительной простотой и удобством его модельных свойств. Ниже представлены формулы для определения плотности и вероятности безотказной работы в течение времени 1!, соответствующей этому закону:

где X

f (t) = x • *

1

t

-Xt

P(t) =

*

-Xt

параметр распределения (интенсив-

математическое ожидание слу-

ность отказов); ( чайной величины.

График плотности распределения показательного (экспоненциального) распределения представлен на рисунке 1.

Рисунок 1 - График плотности экспоненциального распределения

Математическое ожидание т и среднее квадра-тическое отклонение О для показательного распределения выражаются через его параметр:

m =

= 1

^ , О = Л .

Отсюда видно, что для случайных величин, распределенных по экспоненциальному закону, коэффициент вариации V равен единице, так как О=т

Также для экспоненциального распределения могут быть представлены следующие числовые характеристики:

- мода М = 0 ;

- медиана Ме = 1п2/Я = 0,6931/Я = 0,6931 • т ;

- дисперсия О = 1/Я2 ;

- коэффициент ассиметрии Ля = 2 ;

- эксцесс Ех = 9 .

Средняя наработка до первого отказа равна

Т = т = 1

1

cp

'X

На рисунке 2 изображены кривые вероятностей безотказной работы P(t) и отказа Q(t), а также графическое представление средней наработки до первого отказа при показательном (экспоненциальном) распределении.

Рисунок 2 - Вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t) при экспоненциальном распределении

Статистические свойства показательного (экспоненциального) распределения

Экспоненциальное (показательное) распределение часто используют на стадии разработки, когда информация о надежности элементов создаваемой системы ограничена либо полностью отсутствует, поэтому его часто называют основным законом надежности [2]. Ограничением для применения этого закона является необходимость, чтобы потоки отказов и восстановлений были простейшими (обладали свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия) [3,17].

Согласно [4 - 12, 19, 20] экспоненциальное распределение хорошо описывает надежность техники, эксплуатируемой после окончания приработки и до существенного проявления постепенных отказов, т.е. в период нормальной эксплуатации, когда преобладают внезапные отказы. В [2,7] сказано, что, время безотказной работы технических систем с большим числом последовательно соединенных элементов может быть описано этим распределением, если каждый из элементов в отдельности не оказывает большого влияния на отказ системы.

В этом случае, если отказы последовательно соединенных элементов будут иметь экспоненциальное распределение, то и отказы самой системы будут подчинены этому же закону, а ее интенсивность отказов будет равна сумме интенсивностей отказов элементов. Необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что системы, содержащие непоследовательно соединенные в смысле надежности элементы, уже не будут обладать экспоненциальным распределением, несмотря на экспоненциальность вероятностей безотказной работы входящих в ее состав элементов [3].

Поскольку каждый элемент системы в свою очередь сам является подсистемой, состоящей из нескольких, а часто и большого числа элементов, суммарная интенсивность отказов элементов системы зависит только от числа неисправных элементов, а время ремонта каждого отказавшего элемента имеет показательное распределение. Отказ такой подсистемы есть отказ одного из ее элементов, который при восстановлении заменяется новым. Чистое время работы подсистемы определяет, что её поток отказов будет суммой большого числа потоков, и согласно предельной теореме Хинчина он асимптотически будет пуассоновским потоком. Отсюда можно сделать вывод, что интервал времени между соседними отказами будет иметь показательное распределение [13, 14].

Экспоненциальный закон следует применять для тех сложных технических систем, в которых может одновременно происходить много различных разрушающих процессов, протекающих с различными скоростями. Однако по мере уменьшения разнородности скоростей процессов распределение приближается к нормальному, а при преобладании однотипных процессов разрушения - в точности соответствует нормальному [11].

Авторы работ [2, 4, 6, 15] считают, что при решении проблем, связанных с обслуживанием сложных систем, если поток восстановления является простейшим, экспоненциальный закон применяется при описании интенсивности восстановления, трудоемкости текущего ремонта и устранения отказов. В задачах массового обслуживания интервалы между моментами поступления техники в ремонт также хорошо описываются экспоненциальным законом [3].

Поскольку в период нормальной эксплуатации внезапный отказ возникает лишь как следствие внешних воздействий, то замена старого элемента на новый не может повлиять на причину отказа. По этой причине при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы нет смысла прибегать к профилактическим мерам, например, предварительной замене элементов или их периодическому ремонту [16].

Есть мнение [2, 3, 21], что если рассматривать физическую сущность внезапных отказов, то показательным законом можно аппроксимировать вероятности безотказной работы большого числа технических объектов, в первую очередь элементов

радиоэлектронной аппаратуры, электрических и электронных аппаратов, аппаратно-программных комплексов и др.

Ограничения использования показательного (экспоненциального) распределения

Однако, несмотря на всю простоту и универсальность, экспоненциальный закон обладает рядом ограничений. Данному распределению характерно свойство «отсутствия памяти», обладающее большим недостатком, а именно противоречием естественным физическим представлениям. Это свойство означает отсутствие старения, то есть технический объект не стареет или, проработав какое-то время, будет иметь одинаковое с новым объектом распределение отказов, что неправомерно при эксплуатации многих технических объектов, особенно на больших временных интервалах [3, 13]. По-видимому, экспоненциальное распределение будет несправедливым и для времени восстановления, так как продолжительность ремонта ограничена и выражается дробным или целым числом, поэтому время, которое осталось затратить на окончание восстановления будет зависеть от уже затраченного времени восстановления [18].

В [3] не без оснований утверждается, что экспоненциальный закон распределения к сложным техническим системам не применим, так как неодновременность работы элементов и наличие последействия отказов обуславливают, что интенсивность отказов сложной системы не может быть постоянной, даже при условии постоянства интенсивностей отказов ее элементов. Следовательно, использование этого закона для анализа надежности реальных технических систем длительного функционирования - неправомерно, а исходные предпосылки в моделях не адекватны физическим процессам, протекающим в системах.

Заключение

Все это говорит о том, что надо иметь достаточные основания для применения экспоненциального распределения, как и для любого другого. Тем не менее это распределение является одним из распространенных, что объясняется следующими причинами:

- простотой и зависимостью только от одного

параметра X . Это обстоятельство вместе со свойством отсутствия последействия позволяет решать многие задачи теории надежности и представлять решение в явном аналитическом виде;

- доказано, что время безотказной работы сложных высоконадежных восстанавливаемых систем при определенных условиях (например, возможность пренебречь влиянием «старения» материалов) хорошо описывается показательным распределением;

- применение экспоненциального закона в тех случаях, когда оно несправедливо, позволяет при определенных условиях получать заниженные результаты показателей надежности, то есть оценки снизу, что зачастую является приемлемым.

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ Р.27.001-2 00 9. Надежность в технике. Модели отказов. - М.:Стандартинформ, 2010. - 16с.

2. Труханов В. М. Надежность технических систем типа подвижных установок на этапе проектирования и испытания опытных образцов: научное издание - М.: Машиностроение, 2003. - 320 с.

3. Половко А. М., Гуров С. В. Основы теории надежности: уч.пособие - 2-е изд., перераб. и доп.

- СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 704 с.

4. Лисунов Е. А. Практикум по надежности технических систем уч.пособие - 2-е изд., перераб. и доп. - СПб : Лань, 2015. - 240 с.

5. Павлов И. В. Статистические методы оценки надежности сложных систем по результатам испытаний.

- М.: Радио и связь, 1982. - 168 с.

6. Электроподвижной состав. Эксплуатация, надежность и ремонт: учебник / под ред. А. Т. Голова-того и П. И. Борцова. - М.: Транспорт, 1983. - 350 с.

7. Хазов Б. Ф., Дидусев Б. А. Справочник по расчету надежности машин на стадии проектирования.

- М.: Машиностроение, 1986. - 224 с.

8. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. Основные характеристики надежности и их статистический анализ. - М.: Либроком, 2013. - 584 с.

9. Гнеденко Б. В. Вопросы математической теории надежности. - М.: Радио и связь,1983. - 376 с.

10. Машиностроение: энциклопедия в 40 т. Т. 1У-3: Надежность машин / В. В. Клюев, В. В. Болотин, Ф. Р. Соснин и др.; под общ. ред. В. В. Клюева. - М.: Машиностроение, 2003. -592с.

11. Комаров А. А. Надежность гидравлических систем. - М.: Машиностроение, 1969. - 236 с.

12. Венников Г. В. Надежность и проектирование. - М.: Знание, 1971. - 96 с.

13. Надежность в технике: справочник / в 10 т. Т. 2: Математические методы в теории надежности и эффективности / под ред. Б. В. Гнеденко. - М.: Машиностроение, 1987. - 280 с.

14. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

15. Беляев Ю. К., Богатырев В. А., Болотин В. В. и др. Надежность технических систем: справочник / под ред. И. А. Ушакова. - М.: Радио и связь, 1985. - 608 с.

16. Герцбах И. Б., Кордонский Х. Б. Модели отказов / под ред. Б. В. Гнеденко. - М.: Советское радио, 1966. - 166 с.

17. Денисова Н.Н., Шатова Ю.А., Горячев В.Я., Умяров К.Я. Анализ статистики отказов выключателей 110кВ Пензенской энергосистемы. Сборник трудов Международного симпозиума «Надежность и качество».

- Изд-во: Пензенский ГУ, Пенза, Том 2, 2015. - С.97 - 100.

18. Каштанов В. Н., Медведев А. И. Теория надежности сложных систем: уч.пособие - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 609 с.

19. Жаднов В.В. Анализ моделей прогнозирования и расчета надежности комплектующих элементов бортовой электронной аппаратуры. Сборник трудов Международного симпозиума «Надежность и качество».

- Изд-во: Пензенский ГУ, Пенза, Том 1, 2013. - С.28 - 31.

20. Pugh E.L., The best estimate of reliability in the exponential case, Operations res., 11, 57 (1963).

21. Epstein B., Tests for the assumption that the underlying distribution of life is exponential, Technometrics, 2, 8 3 (Febr. 1960); 2, 167 (May 1960).

УДК: 681.321

Маркелов В.В., Власов А.И., Зотьева Д.Е., Сергеева Н.А,

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

АВТОМАТИЗАЦИЯ ДВУХСТУПЕНЧАТОГО КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА В СРЕДЕ MATHLAB

В статье проанализированы возможности автоматизации методов входного статистического контроля при управлении качеством изделий электронной техники в среде MathLab. Данная работа посвящена исследованию методов статистического контроля по альтернативному признаку. Основное внимание уделено методам двухступенчатого контроля качества. Представлены инструменты в среде MathLab для обработки результатов статистического контроля. Ключевые слова:

двухступенчатый контроль, управление качеством, электронная аппаратура, MathLab

Введение

Контроль качества изделий электронной техники является неотъемлемой процедурой жизненного цикла [1]. В работе [2] рассмотрены общие вопросы применения пакета Ма^1аЬ для анализа качества изделий электронной техники, даны рекомендации по формированию исходных данных анализа и их обработке.

Можно выделить следующие виды статистического контроля партии продукции по альтернативному признаку [3-9]:

- одноступенчатый контроль - статистический контроль, характеризующийся тем, что решение относительно приемки партии продукции принимают по результатам контроля только одной выборки [3];

- двухступенчатый контроль - статистический контроль, характеризующийся тем, что решение относительно приемки партии продукции принимают по результатам контроля не более двух выборок, причем необходимость отбора второй выборки зависит от результатов контроля первой выборки;

- многоступенчатый контроль - статистический контроль, характеризующийся тем, что решение относительно приемки партии продукции принимают по результатам контроля нескольких выборок, максимальное число которых установлено заранее, причем необходимость отбора последующей выборки зависит от результатов контроля предыдущих выборок;

- последовательный контроль - статистический контроль, характеризующийся тем, что решение относительно приемки партии продукции принимают по результатам контроля нескольких выборок, максимальное число которых не установлено заранее, причем необходимость выборки зависит от результатов контроля предыдущих выборок.

Вопросы автоматизации в среде Ма^1аЬ методов двухступенчатого контроля рассмотрены в данной статье.

1. Методика автоматизации двухступенчатого контроля в среде Ма^1аЬ

Многоступенчатые и, в частности, двухступенчатые планы обычно используют тогда, когда хотят уменьшить объем испытаний [4-7]. При использовании двухступенчатого плана контроля решение о качестве партии может быть принято либо после первой выборки с параметрами ( П\,С\,dl ) , где

dl>cl+1 либо после второй выборки ( П2,С2,d2 ), где &2 = С2+ 1.

Пусть т1 число дефектных изделий в первой выборке объемом пг. Тогда если т^ < Сц , то партию принимают, а если т\ >dl, то партию отклоняют на основании первой выборки. Решение о взятии второй выборки принимают при условии, что С < т^ < dl По данным второй выборки партию принимают, если ((т1 + т2) ^ С2 ) и отклоняют при (т} + т2) > С2 .

Как и в случае одноступенчатых планов, отклоненные партии либо бракуют, либо подвергают сплошному контролю.

Особенность многоступенчатых планов заключается в том, что объем контроля есть случайная величина. Для принятия решения о качестве партии иногда проверяют только одну выборку, иногда две и т. д.

Оперативная характеристика двухступенчатого плана контроля имеет вид:

С dl =1 С 2—т1

Р

т1 =0 т1 =С1 +1 т2 =0

где РП1 (тц) (тг) — вероятность появления среди Щ изделий первой выборки т1 дефектных (ее определяют по одному из уравнений в зависимости от вида распределения т^; Рщ2(т2) вероятность появления

среди П2 изделий второй выборки т2 дефектных).

Выражение представляет собой сумму вероятностей двух несовместных событий: приемка партии по результатам первой выборки и приемка по результатам двух выборок. Чтобы партия была принята по результатам двух выборок, необходимо одновременное осуществление двух независимых событий: число дефектных изделий т\ в первой выборке удовлетворяет условию Сц < т^ < dl , а суммарное число дефектных изделий в двух выборках (т1 + т2) ^ С2 • В этой связи второе слагаемое равно произведению двух вероятностей [7].

В случае, когда отклоненные партии бракуются, математическое ожидание (генеральная средняя) числа проверенных изделий в партии определяется по уравнению