Решение задачи устойчивости тонкой оболочки при импульсном нагружении

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 156, кн. 1 Физико-математические науки

2014

УДК 539.3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ

Л. У. Бахтиева, Ф.Х. Тазюков

Аннотация

Рассмотрена задача устойчивости тонкой оболочки под действием осевой импульсной нагрузки. Предложен новый подход к построению математической модели, основанный на принципе стационарности действия Остроградского - Гамильтона. Показано, что задача сводится к системе нелинейных дифференциальных уравнений, которые могут быть решены численно, а также с помощью разработанного авторами алгоритма приближенных вычислений. Выведена формула, определяющая зависимость между интенсивностью нагрузки и начальными условиями задачи. В указанной постановке решена задача устойчивости круговой цилиндрической оболочки, для определения критического значения импульса нагрузки использована теория устойчивости движения А.М. Ляпунова.

Ключевые слова: оболочка, устойчивость, импульс.

Введение

Статья является продолжением серии работ [1-3], посвященных постановке задач устойчивости тонких оболочек. Изучение особенностей поведения оболочечных конструкций (летательных аппаратов, судов, автомобилей и т. п.) под воздействием резко изменяющихся нагрузок интересно как с теоретической стороны, так и с практической точки зрения. При построении математической модели для такого рода задач возникают определенные трудности. Авторы известных нам теоретических исследований [4] трактуют нагружение как «придание некоторой начальной скорости» торцам оболочки, и исследуют возникающие при этом волновые процессы. В настоящей работе предлагается новая математическая модель задачи, позволяющая определить критическое значение импульса нагрузки и параметры волнообразования.

1. Построение математической модели

Пусть на оболочку действует продольная сжимающая нагрузка q, которую зададим в виде

q(t) = I A(t),

где I - интенсивность импульса, A(t) - дельта-функция Дирака.

Из вариационного принципа Остроградского-Гамильтона имеем

6

t

I L dt

о

0,

5

6

Л.У. ВАХТИЕВА, Ф.Х. ТАЗЮКОВ

t — время, L = K — P + А — функция Лагранжа, P — потенциальная энергия деформации, определяемая формулой

P

h

2Ё

2

d2F d2F

дх2 dy2

d2F

dxdy

2

d2w d2w дх2 dy2

dx dy+

d2w

dxdy

dxdy,

двойное интегрирование здесь и ниже проводится по осевому сечению оболочки S; Eh3

D = Y2(\----Fj ~ изгибная жесткость оболочки, h - толщина, Е - модуль упру-

гости, v - коэффициент Пуассона; w, F - подлежащие определению функции прогиба и напряжений, связанные уравнением неразрывности деформаций

1 4 d2w d2w ( d2w \ d2w

Е dx2 dy2 \dxdy) х dy2

d2i

dx2

k

0

kx,ky - кривизны координатных линий оболочки.

Для кинетической энергии K и работы внешних сил А имеем соответственно формулы

h

E

к = /'/ (^)2 dxdv>

~d2F d2F E ( dw \ 2

x=0,L dy2 dx2 2 ^ dx J

dx dy,

p = E/V2 - плотноеть, V - скорость звука в материале оболочки.

Теорема 1. Пусть искомая функция прогиба представима в виде

m

w

i=1

где ^i(x, y) - заданная система ортогональных на S базисных функции, fi(t) дважды дифференцируемы на (0, t). Тогда функции fi(t) определяются системой дифференциальных уравнений

d (dK\ dP dt \dfi) + dfi

1 2,---,m,

причем начальные значения fi(0),fi(0) связаны с интенсивностью импульса нагрузки формулами

fi( 0) =

Ш°) II ( ) dxdv

i = 1, 2,... ,m

2 Р J J Fi dx dy

Доказательство. Обозначим L' = K — P, тогда из (1) получим

t t

5 I L'dt + S I Adt = 0.

0

0

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ 7

С учетом формул (2), (4)-(6) получим

i= 1 dfi i= 1

Интегрируя первое слагаемое в (9) по частям, будем иметь

S L'dt =

дЛвп

dfi

t t

0 0

Используя формулы (5) и (6), найдем выражение для внешней работы

А = q{t)^2cifh = dxdy’ *= 1,2,

i=1 ' '

откуда, пользуясь фильтрующим свойством дельта-функции Дирака, получим

t

Р m

S Adt = I^> fi(0) Sfi(0).

n i= 1

Уравнение (9) с учетом найденных выражений и равенств

<91/ _ <Ж дЬ' _ дР

dfi dfi ’ dfi dfi

приводит на интервале (0,tk) (tk - момент потери устойчивости) к системе уравнений (7) и дополнительным условиям

Л dfi dfi

tk

+Icifi(0)Sfi(0) = 0, i =1, 2,..., m.

Используя формулы (4) и (6), найдем

jjT = phfi(t) jj <p}(x,y)dxdy.

В соответствии с критерием динамической устойчивости А.В. Саченкова [5] положим

fi(tk) =0, i = 1, 2, .. ., m, тогда из условий (10) получим равенства

-phfi(0) ¥>i(x,y) dxdy + Icifi(0) = 0, i = 1, 2, .. ., m,

из которых следуют формулы (8). Теорема доказана.

Уравнения (7) с начальными условиями (8) позволяют определить критическое значение импульса нагрузки и параметры волнообразования. Заметим, что функции уДх, у) в выражении (6) желательно подбирать таким образом, чтобы выполнялись краевые условия задачи.

Рассмотрим конкретный пример.

8

Л.У. ВАХТИЕВА, Ф.Х. ТАЗЮКОВ

2. Решение задачи устойчивости цилиндрической оболочки

Выберем для шарнирно опертой цилиндрической оболочки (kx = 0, ky = 1/R) аппроксимирующую функцию прогиба (6) в виде

w(x,y,t) = fi(t) sin ax sin ву + f2 (t) sin2 ax,

где a = mn/L, в = n/R, R - радиус, L - длина оболочки, m, n - подлежащие определению волновые числа. Заметим, что выбранная функция удовлетворяет краевым условиям задачи и достаточно достоверно описывает наблюдающуюся в эксперименте [4] ромбовидную форму вмятин, образующихся после потери устойчивости.

Перейдем к построению системы уравнений (7). Подставим функцию w в уравнение неразрывности деформаций (3) и проинтегрируем его, получим для функции напряжений выражение

F = Ci cos 2ax + C2 cos 2ву + C3 sin ax sin ву + C4 sin 3ax sin ву — qy2/2,

коэффициенты которого вычисляются по формулам

Ci =

в2 Я f2

СУ2 Я 32/32

Сз =

32a2 8Ra2 ’

a2fi a2 в2! if

C2 =

C4 =

a2в2flf2

R(a2 + в2)2 (a2 + в2)2’ (9a2 + в2)2'

Используя найденное выражение, определим по формуле (2) потенциальную энергию деформации

P = Ai£i + A2 Я + A3£2 + А4 Я Я + А5 Я Я + q2

Здесь введены безразмерные величины

P

PR

'KEb?V

fi д

Яр Al

v2(i + e4) 1(в\

128 ’ А2--1- +

2 2

П s\

4 Vs2 12

Ая = I

2о4

П2в

. п2в4 ( 1 1 N п ( 8в4 .

8 1 6(1 -v2Y м- — \я + я)' + —],

qR

ёь:

г2Н

•. S1 s

mnR

s2

si

R ’ nL

Вычислим по формуле (4) кинетическую энергию

£>_ KR _(R\2 (ii . 362

я Eh?L \V 4 8

, si — 1 + в2, S2 — 1 + 9в2

Система уравнений (7) примет вид

d2£ 1 dr2

+ 4

0,

j2 c 4

+ 2 (2АзЯ + 2А4ЯЯ + АъЯ) = 0, T = tV/R. Из условий (8) получим начальные значения

Ci

2

IV R

EL2'

3

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ 9

Рис. 1. Зависимость амплитуды прогиба от времени при малых значениях импульса нагрузки

Рис. 2. Зависимость амплитуды прогиба от времени при критическом значении импульса нагрузки

Задача (11), (12) может быть решена численно. Расчеты показывают, что при малых значениях начальной скорости £2(0) (следовательно, при малой интенсивности импульса нагрузки, см. формулу (8)) оболочка колеблется с амплитудой порядка £2(0) (рис. 1).

Если значение £2(0) достигает критической величины, наблюдается резкое возрастание амплитуды прогиба (рис. 2), то есть происходит потеря устойчивости движения по А.М. Ляпунову (6].

Вычисляя критическую интенсивность импульса для различных значений ш, n и минимизируя нагрузку, находим параметры волнообразования. По графику на рис. 2 определяем критический момент времени, соответствующий первому максимуму амплитуды прогиба (критерий А.В. Саченкова (5]), и критическую величину прогиба. Таким образом, решение задачи (11), (12) позволяет найти все характеристики, соответствующие потере устойчивости оболочки.

Предложим алгоритм приближенных расчетов. Из статического аналога первого уравнения системы (11) найдем

£1 = (^2 + & + Ад £|).

10

Л.У. ВАХТИЕВА, Ф.Х. ТАЗЮКОВ

Выразим с помощью найденного выражения правую часть второго уравнения (11) через £2, умножим обе части полученного равенства на £2 и проинтегрируем от 0 до tk, получим

£2 (°) = В0 + В-1 £2(tk) + В2 £2 (tk) + В3 £2(tk) + В4 £2(tk),

где коэффициенты В0,..., В4 определяются через £2(0) и Ai,..., A5.

Минимизируя £2(0) то амплитуде £2 (tk) и волновым числам m, n, находим критическое значение начальной скорости vkp = £2(0) и величину критического импульса по формуле

f _ т 2я2 У £2(0) _ укр L2 " ' 3£Д " m2 Д2 '

Приведем некоторые результаты расчетов:

R/h = 100, L/R = 1 : Vkp = 1.61, m = 2, n = 8, Ikp = 0.40,

R/h = 100, L/R =2 : Vkp = 1.60, m = 4, n = 8, Ikp = 0.40,

R/h = 200, L/R = 1 : Vkp = 1.59, m = 3, n = 12, Ikp = 0.18.

Анализ полученных данных показывает, что увеличение длины оболочки не

влияет на значение критического импульса и волнового числа n, но приводит к возрастанию количества вмятин вдоль оси оболочки. Уменьшение толщины оболочки приводит, как и следовало ожидать, к уменьшению величины критического импульса и возрастанию волновых чисел m и n.

Таким образом, предложенный подход к решению задач устойчивости оболочек при импульсном нагружении оказывается весьма эффективным и позволяет получить результаты, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными [4].

Summary

L. U. Bakhtieva, F.Kh. Tazyukov. Solving the Stability Problem for a Thin Shell under Impulsive Loading.

The stability problem for a thin shell under an axial impulsive load is considered. A new approach to building a mathematical model is presented, based on the Ostrogradskii-Hamilton principle of stationary action. It is shown that the problem reduces to a system of nonlinear differential equations that can be solved numerically and by using an approximate calculation algorithm developed by the authors. A formula that determines the dependence between the load intensity and the problem’s initial conditions is derived. In the above formulation, the stability problem for a circular cylindrical shell is solved. To determine the critical value of the load impulse, the Lyapunov theory of dynamic stability is used.

Keywords: shell, stability, impulse.

Литература

1. Коноплев Ю.Г., Тазюков Ф.Х. Устойчивость упругих пластин и оболочек при нестационарных воздействиях. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994. - 124 с.

2. Бахшиева Л. У., Тазюков Ф.Х. К постановке задачи устойчивости цилиндрической оболочки при внешнем давлении // Материалы II междунар. науч.-практ. конф. «Фундаментальные и прикладные науки сегодня». - М.: НИЦ «Академический», 2013. - С. 164-167.

3. Бахшиева Л. У., Тазюков Ф.Х. К постановке задачи устойчивости цилиндрической оболочки при кручении // Сб. науч. ст. по итогам междунар. науч.-практ. конф. «Институты и механизмы инновационного развития в экономике, математике, технике, физике». - СПб.: КультИнформПресс, 2013. - С. 13-16.

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ И

4. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.: Наука, 1972.-433 с.

5. Саченков А.В., Бахтиева Л.У. Об одном подходе к решению динамических задач устойчивости тонких оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978. - Вып. 13. - С. 137-152.

6. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1974. -331 с.

Поступила в редакцию 20.01.14

Бахтиева Ляля Узбековна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: lbakhtie@yandex.ru

Тазюков Фэрид Хоснутдинович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.

E-mail: Farid.Tazyukov@kpfu.ru