Автоматизированная информационная система цифрового моделирования стационарных случайных процессов алгоритмами непрерывных дробей

УДК 519.688

АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ ИНФОРМАЦИОННАЯ СИСТЕМА ЦИФРОВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ АЛГОРИТМАМИ

НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ

М.А. Новосельцева, Т.А. Хорошева, С.Г. Гутова

Задача цифрового моделирования стационарных случайных процессов, воздействующих на объект исследования, нередко возникает при проектировании технических систем. Для решения таких задач разрабатываются различные алгоритмы моделирования. При этом основным требованием к алгоритмам является возможность их реализации средствами современных ЭВМ. В статье описывается алгоритм цифрового моделирования стационарных случайных процессов с заданной корреляционной функцией, основанный на аппарате теории непрерывных дробей и реализующий модифицированный метод В. Висковатова. Алгоритм позволяет получить цифровую модель стационарного случайного процесса в форме конечно-разностного уравнения и осуществить оценку точности моделирования с помощью двух критериев. Данный алгоритм реализован в автоматизированной информационной системе (АИС) «Цифровое моделирование случайных процессов», которая осуществляет моделирование стационарных случайных процессов, воздействующих на объект исследования. Пример работы АИС, представленный в данной статье, иллюстрирует основные возможности моделирования и оценки полученной модели, а также пошагово иллюстрирует работу алгоритма. Представленная АИС реализована в среде программирования со свободной лицензией и является кроссплатформенной, что дает возможность использования АИС для широкого круга исследователей и позволит в будущем расширять ее возможности

Ключевые слова: автоматизированная информационная система, случайный процесс, корреляционная функция, непрерывная дробь

Введение

В различных сферах науки и промышленности возникает необходимость исследования сложных объектов. Аналитическое решение данной задачи может быть невозможным или нерезультативным из-за чрезмерной трудоемкости или неустойчивости алгоритмов, а I натурные эксперименты требуют значительных материальных затрат. Кроме того, большинство технических систем, в том числе вычислительные системы и сети, описываются в терминах дискретных случайных процессов. Если объект находится под воздействием случайных факторов, и, как следствие, случайных воздействий, то решение данных задач еще больше усложняется. Одним из методов, позволяющим решить вышеуказанные проблемы, является разработка и использование автоматизированных

информационных систем для моделирования сложных объектов.

Постановка задачи

Случайный характер процессов, протекающих в подавляющем большинстве реальных систем (например, процессы обработки и передачи данных в компьютерных сетях) обусловливает широкое применение цифровых стохастических моделей для описания этих систем. В работе разрабатывается автоматизированная информационная система (АИС) для цифрового (дискретного) моделирования стационарных случайных процессов,

воздействующих на объект исследования. Построение цифровой модели случайного процесса в АИС будет осуществляться с помощью

Новосельцева Марина Александровна - КемГУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: man300674@gmail.com Хорошева Татьяна Александровна - КемГУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: tkhorosheva@yandex.ru Гутова Светлана Геннадьевна - КемГУ, канд. техн. наук, доцент, e-mail: gsg1967@mail.ru

нетрадиционного алгоритмического аппарата -теории непрерывных дробей [2]. Данный алгоритм моделирования достаточно прост в машинной реализации и не требует больших затрат ресурсов ЭВМ и времени в процессе моделирования. Также цифровой алгоритм моделирования случайных процессов имеет преимущества по сравнению с существующими методами, недостатки которых подробно описаны в [3].

Описание алгоритма цифрового моделирования

Цифровое моделирование стационарного случайного процесса уО) с заданной корреляционной функцией (КФ) Ryy(т) (табл. 1) заключается в воспроизведении на ЭВМ дискретной последовательности стационарного случайного процесса у(кД^), где к = 0, ..., N ^ - шаг дискретизации [3, 4]. Данная задача цифрового моделирования обычно сводится к генерации белого шума х(кД^) с необходимым математическим ожиданием и дисперсией (тх, Dx) и подаче его на вход формирующего фильтра с непрерывной передаточной функцией (НПФ) G(s) (рис.1) [3, 4].

Генерирование Формирующий

белого пгша ~~ ^ филыр 77 ^

_' >'С0

Рис. 1. Структурная схема моделирования стационарного случайного процесса

Структура и параметры фильтра определяются на основе заданной корреляционной функции и модифицированного алгоритма В. Висковатова, в основе которого лежит использование непрерывных дробей [2]. В работе реализовано моделирование стационарных случайных процессов со следующими типовыми корреляционными функциями (табл. 1) [4].

При выборе необходимой корреляционной функции осуществляется следующая

последовательность действий.

Формирующий филыр

1. Определение НПФ формирующего фильтра G(s), ее нулей и полюсов (табл.1).

2. Нахождение весовой функции формирующего фильтра с помощью обратного преобразования Лапласа функции G(s).

3. Оценка интервала корреляции моделируемого процесса. Его определяют как значение аргумента нормированной корреляционной функции вида:

Гуу(т) = Ryy(т)/Ryy(0),

начиная с которого выполняется соотношение: |гуу (т)| < 0,05, для всех т > хкор .

4. Задание шага дискретизации Д^ удовлетворяющего условию SP-идентифицируемости [3] и неравенству вида:

ДЧ <Дt <Tкор, где ткор - интервал корреляции процесса.

Таблица 1

Типовые корреляционные функции и НПФ формирующих фильтров

№ Корреляционная функция Ryy

1 ст2е-а'|т| а4 2а s + а

2 2 -а-| х ,, I к ст2е 1 '(1 + ах) 2ал/а3 (s + а)2

3 2 -а-| х ,, I к а e '(1 - ах) 2ад/а~5 (s + а)2

4 2 -а х п а e 1 1 (1 + 2 2 II а х N + ах +-) 11 3 V3(s + а)3

5 2 -а| х а e 11 cosю0х а-\ 2а (s + д/а 2 +ю0) s2 + 2аs + а2 +Ю0

6 2 -ат / . а e 1 '(cosю0х + а • ч +--sinro0T) Юо 2 +ю0 s2 + 2аs + а2 + (Ю

7 2 -аЫ, а e 1 '(cosю0х- а • ч --sinro0z) Ю0 s2 + 2os + а2 +ю2

8 2 -а х , а e 1 '(cosю0х + + Cs^ro^) а^2(а-Сю0) (s + sH) s2 + 2os + а2

sH = (а+ Сю0)(а 2 +ю2) ^ а- Сю0

5. Расчет идентифицирующей матрицы В. Висковатова, имеющей вид:

-1 - строка Г 1 0 0 . . 0 ..Л

0 -сторока h(0) h(At) h(2At) . . h(nAt) ...

1 сторока а1(0) а1(At) а1 (2At) . . а1 (nAt) ...

а2 (0) а 2 (At) а2 (2At) . . а2 (nAt) ...

m сторока ат (0) а т (At) ат (2At) . . ат(nAt) ...

V. ...J

в которой

а m(nAt) = -

а„

2

где а_) (nДt) = 5(nДt); а0 (пД^ = h(nДt);

т = 1, 2, 3, ..., а п = 0, 1, 2, ... Первый столбец идентифицирующей матрицы позволяет получить правильную С-дробь [2], свернув которую, получают ДПФ формирующего фильтра:

Ц0)

G(z, At) = -

1 + -

i(0)z-1 "

(0)z-1

1 а 2 1 + — 1 +...

От выражения для ДПФ переходят к дискретной модели случайного процесса вида в форме конечно-разностного уравнения:

т п

y(kДt) = £ а1Х((к _ 1) ДО b1y((k _ i)Дt) (*) 1=0 1=1 В табл. 2 приводятся номера нулевых строк идентифицирующей матрицы и вид конечно-разностных уравнений (*) для каждой типовой корреляционной функции.

Таблица 2

Конечно-разностные уравнения случайных процессов для типовых корреляционных функций

№ КФ № нулевой строки, конечно-разностное уравнение стационарного случайного процесса

1 2-ая, у

2 4-ая, у

3 4-ая у

4 6-ая, у

5 4-ая, у

6 4-ая, у

Продолжение табл. 2

4-ая,

7 y(k ) = aix(k)+a2x(k-l)-

- biy

4-ая,

8 y(k ) = aix(k)+a2x(k-1)-

- biy

6. Нахождение нулей и полюсов G(z, Д^), а также определение соответствующих им нулей и полюсов в ^-плоскости. Сравнение полученных результатов с истинными нулями и полюсами НПФ формирующего фильтра G(s), полученными в п. 1 (1-й критерий определения точности моделирования).

7. Расчет дисперсии Dx входного белого шума (табл. 3) и генерация псевдослучайных отсчетов белого шума х(кД^).

Таблица 3

Дисперсия белого шума

№ КФ Дисперсия Dx белого шума

1 (а2 -bj2a2)/a?

2 (а2(1 - b2 - b2) - 2b1b2Ryy(At))/a?

3 а2(1 -b2 -b2)-2b1b2Ryy(At) a¡ + a2 - 2a1a2b1

4

5 а2(1 -b2 -b2)-2b1b2Ryy(At) a¡ + a2 - 2&1&2b

6 а2(1 - b2 - b2) - 2b1b2Ryy(At) a2

7 а2(1 -b2 -b2)-2b1b2Ryy(At) a¡ + a2 - 2&1&2b

8 а2(1 -b2 -b2)-2b1b2Ryy(At) a¡ + a2 - 2&1&2b

8. Моделирование стационарного случайного процесса на основе полученного конечно-

отсечением

разностного уравнения переходного процесса.

9. Получение модельной корреляционной функции по формуле

N - k

RMy (Ш) = —Ц- У y(iДt)y((i + k)Дt).

уу N - к

10. Определение точности моделирования на основе дисперсии расхождений (2-й критерий определения точности моделирования):

1 т

De = - У (е(к) - Ме)2,

1 т

где е(к) = RM (kДt) - Ryy (kДt), Ме = — У е(к),

m -

k=0

число значений корреляционных функций.

Описание АИС

Предложенный алгоритм ориентирован на использование средств вычислительной техники и реализован в АИС «Цифровое моделирование случайных процессов». В качестве программных средств разработки использован язык программирования С++ и фреймворк Qt [1, 6]. Данный выбор обусловлен тем, что Qt имеет открытый исходный код и предоставляет возможность использовать свободно

распространяемую лицензию. Открытый программный код позволит в дальнейшем расширять возможности АИС по цифровому моделированию и анализу систем. Также преимуществом использования разработанной АИС является то, что для ее работы не требуется установки дополнительного программного обеспечения. Достаточно запустить исполняемый файл из папки AIS. Взаимосвязь окон программы представлена на схеме (рис. 2).

Рис. 2. Взаимосвязь окон АИС «Цифровое моделирование случайных процессов»

Рассмотрим работу АИС «Цифровое моделирование случайных процессов» на примере моделирования одного из случайных процессов. Началом работы с программой является диалоговое окно (рис. 3) выбора одной из типовых корреляционных функций, описанных в табл. 1.

отображается условие SP-идентифицируемости [3]. Учитывая эти ограничения, пользователь вводит значение шага дискретизации Дt (рис. 4). Далее рассчитывается и выводится на экран значение первого критерия точности и конечно-разностное уравнение случайного процесса (рис. 4).

1 1 АИС "Цифровое моделирование случайных процессов"

В' 1-^-1

Меню Помощь О программе

II , . .ч а5т{ш|т|)

Яуу(т) = (т2е-я1т1(со5{£о|т|) +-

Расчетная часть

й^ереал коррелящчи: 3,098 З1 щтифвдщ 1,5708 [ Ввод

Введите шаг диацктизаиии: 0.5

критерий точности: 2,22045е-1й Конечно^азностное уравнение: у

Введите Введите

значении моделируемого случайного гро^яа: 2000 значений корреляционной ф^нщ«: 30

дьваа получе«« результатов в виде графиков Корреляц, функция | | Случайнь^процео:

Рис. 3. Окно выбора корреляционной функции На следующем шаге работы программы пользователю предлагается ввести начальные данные (а, с2, ю, С), набор которых определяется в зависимости от выбранной функции. Если вводимые значения не удовлетворяют ограничениям, выводится сообщение об ошибке. Ошибочные данные можно исправить и продолжить расчет. На каждом из этапов работы программы пользователь может с помощью кнопки «Меню» вернуться к предыдущему диалоговому окну или к диалоговому окну выбора корреляционной функции. Расчетная часть алгоритма реализована в основном диалоговом окне (рис. 4). В окне выводится интервал корреляции случайного процесса. При выборе корреляционных функций 5, 6, 7 и 8 также

Рис. 4. Основное диалоговое окно АИС Активируются два поля ввода: количество значений случайного процесса; количество значений корреляционной функции. Как итог расчетной части на экран выводится значение второго критерия точности и активируются две кнопки для вывода графиков полученных результатов: график смоделированного случайного процесса (рис. 5), график корреляционной функции случайного процесса (рис. 6). Результаты моделирования выводятся в режиме реального времени, а также сохраняются в формат электронной таблицы (.хк) для дальнейшей обработки и использовании в других расчетах.

Рис. 5. График результатов моделирования случайного процесса

Рис. 6. График корреляционной функции случайного процесса

Заключение

Представленная в работе АИС «Цифровое моделирование случайных процессов» может быть использована при решении разнообразных задач, связанных с прикладным анализом случайных процессов; при синтезе, проектировании и исследовании цифровых систем контроля, диагностики, управления и обучения сложных

Кемеровский государственный университет

объектов, а также в учебном процессе студентами и магистрантами технических направлений.

Литература

1. Программирование на языке C++ в среде Qt Creator / Е. Р. Алексеев, Г. Г. Злобин, Д. А. Костюк, О. В. Чеснокова, А. С. Чмыхало. - М.: ALT Linux, 2015. - 448 с.

2. Карташов, В. Я. Непрерывные дроби и их приложения к задачам технической кибернетики: учеб. пособие / В. Я. Карташов, С. Г. Гутова. - Кемерово : Кемеровский государственный университет, 2012. - 136 с.

3. Карташов, В. Я. Цифровое моделирование стационарных случайных процессов с заданной корреляционной функцией на основе непрерывных дробей / В. Я. Карташов, М. А. Новосельцева // Управление большими системами. - 2010. - Вып. 31. -С. 49-91.

4. Прикладной анализ случайных процессов / под ред. С. А. Прохорова. - Самара : СНЦ РАН, 2007. - 582 с.

5. Сиберт, У. М. Цепи, сигналы, системы / У. М. Сиберт. - М. : Мир, 1988. - Т. 1. - 510 с.

6. Qt Documentation [Электронный ресурс] : -Режим доступа : World Wide Web. URL : http : // doc. qt.io .

AUTOMATED INFORMATION SYSTEM OF DIGITAL SIMULATION OF STATIONARY RANDOM PROCESSES BY ALGORITHMS OF THE CONTINUED FRACTIONS

M. A. Novoseltseva1, T. A. Khorosheva2, S. G. Gutova3

'PhD, Associate professor, Kemerovo state university, Kemerovo, Russian Federation,

e-mail: man300674@gmail.com 2PhD, Associate professor, Kemerovo state university, Kemerovo, Russian Federation,

e-mail: tkhorosheva@yandex.ru 3PhD, Associate professor, Kemerovo state university, Kemerovo, Russian Federation, e-mail: gsgl967@mail.ru

The problem of digital modeling of stationary random processes affecting the research object often arises during the designing process of technical systems. To solve such problems, various modeling algorithms are being developed. In such case, the main requirement is to implement the algorithms using modern computing systems. The article describes an algorithm for digital simulation of stationary random processes with a given correlation function, based on the theory of continued

fractions and the modified "Viskovatov's method". The algorithm makes it possible to obtain a digital model of a stationary random process in the form of a finite-difference equation and to estimate the accuracy of modeling using two criteria. This algorithm is implemented in the automated information system (AIS) "Digital Simulation of Random Processes", which implements the simulation of stationary random processes affecting the object of research. The AIS operation sample presented in this article illustrates the basic possibilities of modeling and evaluating the model obtained, and also illustrates the "step by step" operation of the algorithm. The presented AIS is implemented in a free license licensing environment and is cross-platform, which makes it possible to use AIS for a wide range of researchers and will allow to expand its capabilities in the future

Key words: automated information system, random process, correlation function, continued fraction

References

1. Alekseev E. R., Zlobin G. G., Kostjuk D. A., Chesnokova O. V., Chmyhalo A. S., "Programming in language C ++ in the environment of Qt Creator"( "Programmirovanie na jazyke C++ v srede Qt Creator"), ALT Linux (2015): 448.

2. Kartashov V. Ja., Gutova S. G., "The continued fractions and their annexes to tasks of an engineering cybernetics" (Nepreryvnye drobi i ih prilozhenija k zadacham tehnicheskoj kibernetiki), Kemerovo State University (2012): 136.

3. Kartashov V. Ja., Novoseltceva M. A., "Digital simulation of stationary accidental processes with the given correlative function on the basis of the continued fractions" (Cifrovoe modelirovanie stacionarnyh sluchajnyh processov s zadannoj korreljacionnoj funkciej na osnove nepreryvnyh drobej), Control of big systems (2010): 31 - 49-91.

4. Prokhorov S. A., Application-oriented analysis of accidental processes (Prikladnoj analiz sluchajnyh processov), Samara: SNTs RAS, (2007): 582

5. Sibert U. M., "Circuits, signals, systems" ("Cepi, signaly, sistemy"), "Moscow: Patterns" (1988): Vol. 1 - 510.

6. Qt Documentation [Electronic resource] http :// doc.qt.io