Критерий кристалла и локально антиподальные множества Делоне

ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

Вестник Челябинского государственного университета. 2015. № 3 (358). Математика. Механика. Информатика. Вып. 17. С. 6-17.

УДК 514.12 ББК В151.54

КРИТЕРИЙ КРИСТАЛЛА И ЛОКАЛЬНО АНТИПОДАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ДЕЛОНЕ*

Н. П. Долбилин

Доказывается, что в дискретном множестве точек повторяемость локальных конфигураций при определенных условиях имплицирует так называемый «глобальный порядок», который включает в себя наличие у множества кристаллографической группы симметрий. Доказывается также, что множество Делоне, в котором все 2^-кластеры антиподальны, то есть центрально-симметричны, само является центрально-симметричным в целом относительно каждой своей точки. Более того, если кроме этого кластеры идентичны, то множество является правильным, то есть таким, что его группа симметрий действует транзитивно.

Статья написана по материалам лекции, прочитанной на международной конференции «Квантовая топология» (5-17 июля 2014 г.), организованной лабораторией квантовой топологии Челябинского государственного университета.

Ключевые слова: множество Делоне, кластер, правильная система, кристаллографическая группа.

Введение

В работе продолжается начатое в [1] исследование локальных условий, при которых данное множество является правильной системой. Это направление было мотивировано попыткой ответить на вопрос, почему в процессе кристаллизации из аморфного состояния, в котором находятся атомы раствора или расплава, рождается кристаллическая структура, обладающая пространственной группой симметрий.

Физики, кристаллографы (Л. Полинг, Р. Фейнман и др.) считают, что глобальный порядок атомной структуры кристалла вытекает из повторяемости локальных конфигураций, которые возникают в окрестности атомов одного сорта. В частности, Р. Фейнман пишет:

«Если атомы в веществе движутся не слишком активно, они сцепляются и располагаются в конфигурации с минимально возможной энергией. Если атомы где-то разместились так, что их расположения отвечают самой низкой энергии, то в другом месте атомы создадут такое же расположение. Поэтому в твердом веществе расположение атомов повторяется.

Иными словами, условия в кристалле таковы, что каждый атом окружен определенно расположенными другими атомами, и если посмотреть на атом такого же сорта в другом месте, то обнаружится, что окружение его и в новом месте точно такое же. Если вы выберете атом еще дальше, то еще раз найдете точно такие же условия. Порядок повторяется снова и снова, и конечно, во всех трех измерениях...».**

Однако никаких строгих рассуждений в пользу этой концепции не приводилось. В 1974 г. Б. Н. Делоне (совместно с Р. В. Галиулиным) инициировал задачу поиска локальных условий, выполнение которых гарантирует так называемую правильность структуры (правильные

* Работа поддержана грантом Российского научного фонда № 14-11-00414.

** Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. 1965. Вып. 7. С. 5.

системы точек есть важный случай кристаллической структуры). Кристаллограф Н. В. Белов также выдвигал, хотя и не вполне отчетливо, нечто подобное в задаче «про 501-й элемент».

Связь между локальной идентичностью структуры и ее глобальной правильностью представлялась совершенно очевидной, и поиск точной формулировки и строгого доказательства, казалось, имел лишь отвлеченный интерес. Однако приблизительно в то же время (1977 г.) Р. Пенроуз представил знаменитые ныне мозаики, в которых, с одной стороны, локальные конфигурации повторяются, подобно тому, как это происходит в кристалле. С другой стороны, в мозаиках Пенроуза отсутствует периодичность и присутствуют повторяющиеся сколь угодно большие фрагменты с пятиугольной симметрией, что не возможно в кристаллических структурах.

В 1982 г. физик Д. Шехтман получил в лабораторных условиях быстроохлажденный сплав алюминия и марганца с трехмерной квазикристаллической структурой, обладающей симметриями 5-го порядка (Нобелевская премия 2011 г.).

Открытия Пенроуза и Шехтмана указывают на то, что связь между ближним и дальним порядками в структурах не является столь очевидной. Задача здесь состоит в том, чтобы найти правильные формулировки и доказать их.

В следующем параграфе мы введем необходимые понятия и сформулируем основные результаты, полученные по локальной теории кристаллов ранее, а также три результата, доказательство которых будет дано в заключительных трех параграфах этой работы.

1. Основные определения и результаты

Множество X с Ма называется множеством Делоне с параметрами г и Я (или (г,Я)-системой, см. [2; 3]), где г, Я > 0, если для него выполняются два условия:

(1) открытый ^-шар Б° (г) радиуса г с центром в произвольной точке у е ММ содержит не более одной точки из X:

#

(2) любой замкнутый ^-шар Бу(Я) радиуса Я содержит хотя бы одну точку из X:

#

у

Заметим, что в силу условия (г) расстояние между любыми двумя точками не меньше г.

Пусть х е X, обозначим СДр) := X п Вг(р) и будем говорить, что подмножество Сх(р) есть р-кластер точки х. В принципе, под р-кластером Сх(р) понимается пара (центр, множество точек): (х, Сх(р)). Информация о ней содержится в самом обозначении Сх(р). Подчеркнем, что мы различаем р-кластеры Сх(р) и Сх, (р) разных точек х, х', даже если множества точек, входящих в эти кластеры, совпадают (рис. 1).

Два р-кластера Сх(р) и Сх,(р) назовем эквивалентными, если существует движение д такое, что д : х ^ х и д : Сх (р) ^ Сх, (р) .

Подчеркнем, что требование эквивалентности кластеров несколько сильнее, чем требование только конгруэнтности множеств точек, входящих в них. Действительно, множества точек в кластерах, рассмотренных в примере (рис. 1), совпадают и, следовательно, конгруэнтны. Хотя сами р-кластеры Сх (р) и Сх, (р) не эквивалентны, так как нет изометрии пространства, одновременно совмещающего центры х и х', а также их кластеры Сх (р) и Сх, (р).

Рис. 1

Если для данного множества Делоне X при каждом р > 0 число классов эквивалентных р-кластеров конечно, то говорят, что множество X конечного типа. Пусть X — множество Делоне конечного типа, обозначим число классов р-кластеров через М(р).

Нетрудно показать, что конечность числа классов 2Я-кластеров Ы(2Я) < да гарантирует конечность числа классов р-кластеров для любого фиксированного р > 0, то есть

М2Я) < да ^ Мр) < даУр > 2Я.

Основной аргумент здесь следующий. Из условия Ы(2Я) < да вытекает, что в разбиении Делоне для множества X [3] имеется лишь конечное число попарно неконгруэнтных многогранников Делоне. Заметим, что вершины разбиения Делоне суть множества X. Далее, заметим, что два выпуклых многогранника Р и Q могут склеиваться по (й - 1)-мерной грани лишь в конечное число неконгруэнтных между собой пар.

Возьмем точку х е X и кластер Сх(2Я). Точки, входящие в кластер, однозначно определяют все многогранники Делоне разбиения относительно X, сходящиеся в точке х. Так как Ы(2Я) < да, то число попарно неконгруэнтных многогранников Делоне, встречающихся в разбиении Делоне для данного X, конечно. В силу конечности числа неконгруэнтных многогранников Делоне и упомянутой ранее конечности числа склеек по гиперграням при данном кластере Сх (2Я) допускается лишь конечное число различных заполнений шара радиуса р многогранниками Делоне, смежными по целым граням. Отсюда следует, что каждый 2Я-кластер Сх (2Я) допускает лишь конечное число различных расширений до р-кластера Сх(р). А так как попарно не конгруэнтных 2Я-кластеров, по предположению, конечное число, то и р-расширений также конечное число для любого р > 0.

Итак, мы будем рассматривать лишь множества Делоне конечного типа. Заметим, что число Ы(р) классов р-кластеров в таком множестве Делоне есть положительная, целочисленная, неубывающая, кусочно-постоянная, непрерывная справа функция.

Важными примерами множеств Делоне конечного типа являются понятия правильной системы и кристалла.

Правильная система — это множество Делоне, группа симметрий которого действует транзитивно, то есть для любой пары точек х и х' из X найдется движение д пространства Мй такое, что д : х ^ х' и д : X ^ X.

Множество X с Мй является правильной системой тогда и только тогда, когда оно является орбитой точки х е Мй относительно некоторой кристаллографической группы С, действующей в Мй.

Напомним, что подгруппа С с 1во(й), где 1во(й) есть группа всех изометрий пространства Мй, называется кристаллографической группой:

(1) если С действует разрывно в каждой точке х е Мй, то есть если орбита С • х дискретна;

(2) имеется компактная фудаментальная область.

Кристаллом называется множество Делоне, которое является орбитой конечного множества X,, относительно некоторой кристаллографической группы С: GX0.

Таким образом, правильная система является важным случаем кристалла. В терминах перечисляющей функции Ы(р) эти множества выделяются следующим образом. Множество Делоне конечного типа является правильной системой тогда и только тогда, когда Жр) = 1 на Я+. Множество Делоне является кристаллом тогда и только тогда, когда перечисляющая функция ограничена: Жр) < т < да, где т < #(X0). Если т = 1, то кристалл является правильной системой.

Приведенное определение правильной системы и кристалла восходит к Е. С. Федорову [4]. До него кристалл рассматривался как совокупность конгруэнтных и параллельных друг другу решеток. Федоровское определение кристалла как объединения правильных систем не отрицает, как могло бы показаться на первый взгляд, исходную решеточную

концепцию кристалла. Федоров был уверен, что всякая кристаллографическая группа содержит подгруппу трансляций. Более того, он представил рассуждение, которое считал доказательством. В действительности его рассуждение содержало принципиальный пробел. Тем не менее утверждение о существовании подгруппы трансляций верно (см. ниже). Для д = 2 его доказательство несложно. Для д = 3 теорема была доказана А. Шенфлисом [5]. Задача доказать теорему Шенфлиса для любого д > 3 содержалась в 18-й проблеме Гильберта [6] (вопрос о конечности числа (неизоморфных) кристаллографических групп для каждой данной размерности д).

Теорема 1. [Шенфлис: д = 3 [5], Бибербах: Уд > 4 [7]]. Кристаллографическая группа G с ¡8о(Мд) содержит подгруппу Т параллельных переносов пространства конечного индекса Ь: G = Т и Тд2 и ... и ТдЬ, где индекс h ограничен константой, зависящей от d: Ь < Н(й).

В силу этой теоремы кристалл О • Х0 распадается в конечное число ( < тЬ ) конгруэнтных и параллельно расположенных решеток ранга д:

G• хо = иГ(Т• х иТ• д2(х)и.••иТ• дь(х))-х е хо.

Для дальнейшего рассмотрения введем группу р-кластера Сх (р) как подгруппу Sx (р) группы ко(д), состоящую из тех изометрий 5, для которых

5: х ь^ х, в : Сх(р) ^ Сх(р).

Через Мх(р) обозначим порядок группы 5х(р). Понятно, что функция Мх(р) > 1 целочисленная функция, определенная на [0, да). Она непрерывна слева, кусочно-постоянна, не возрастает. Последнее связано с тем, что при увеличении радиуса р в кластер Сх(р) вовлекаются новые точки. Поэтому группа Бх (р') большего кластера Сх (р'), р' > р, либо совпадает с 5х(р), либо является ее собственной подгруппой.

Пусть X — множество конечного типа. Тогда множество X разбивается в конечное число Ы(р) непересекающихся подмножеств У{,У2,...,УИ(р) таких, что точки х и х' из одного имеют эквивалентные р-кластеры Сх (р) и Сх, (р), а у точек из разных подмножеств У{ и У. р-кластеры не эквивалентны. Подчеркнем, что группы эквивалентных р-кластеров сопряжены в ко(д) и, следовательно, имеют одинаковый порядок М1 (р), где г — индекс подмножества Уг точек с данным классом р-кластеров. В дальнейшем у нас У1 будет обозначать множество точек, р-кластеры которых принадлежат классу, помеченному индексом г.

Теперь все готово к тому, чтобы сформулировать некоторые результаты локальной теории кристалла. Результаты были получены в основном в работах М. И. Штогрина и Н. П. Долби-лина. Первый строгий результат — критерий правильной системы — был получен в работе [1].

Теорема 2. [Критерий правильной системы]. Множество Делоне X с Мд с параметрами г, К является правильной системой тогда и только тогда, когда для некоторого р0 > 0 выполняются два условия:

(I) N (р0 + 2Я) = 1;

(II) М (р0) = М (р0 + 2Я).

Условие (I) означает, что (р0 + 2Я)-кластеры Сх(р0 + 2Я) для всех х е X эквивалентны. Поэтому такие кластеры имеют сопряженные группы симметрий. Условие (II) означает, что при этом для каждого х группы р0- и р0 + 2Я-кластеров, соответственно, совпадают.

Из критерия правильной системы можно вывести следующее.

Теорема 3. Для любых d,г,R существует такое р = р(д, г, К),что для любого множества Делоне X с Мд с параметрами г и К имеем: если Жр) = 1, то X — правильная система.

Требование эквивалентности кластеров очень большого радиуса р объясняется тем, что 2Я-кластеры могут иметь очень богатые группы симметрий, а гарантировать стабилизацию в последовательности групп кластеров на 2Я-шаге мы можем лишь в тот момент, когда последовательность групп «падает» до тривиальной.

Напротив, если же группа Sx(2Я) 2Я-кластера тривиальна, то из локального критерия вытекает следующее предложение.

Следствие 1. Пусть для множества Делоне X с Мй имеем Ы(4Я) = 1 и M(2R) = 1 (то есть группа 2Я-кластера тривиальна). Тогда Ы(р) = 1 при каждом р > 2Я, то есть X — правильная система.

Отметим, что в силу следующей теоремы требование Ы(4Я) = 1 нельзя ослабить.

Теорема 4. [О 4Я - в ]. Для любого в > 0 существует множество Делоне X с Мй, й > 2, с параметрами г и R такое, что N(4Я - в) = 1, но X не является правильной системой.

Теорема доказывается предъявлением конструкции. Отметим, что имеющаяся конструкция дает множества Делоне с асимметричными 2Я-кластерами. Таким образом, в классе локально асимметричных множеств Делоне множество — правильное тогда и только тогда, когда все 4Я-кластеры эквивалентны, причем значение 4Я нельзя уменьшить.

В этом контексте упомянем новый результат (см. теорему 8) о том, что если во множестве Делоне X все 2Я-кластеры центрально симметричны, то их эквивалентность, то есть N(2Я) = 1, гарантирует правильность множества X.

Однако наличие у 2Я-кластера нетривиальной группы симметрий, которая при этом не содержит центральной симметрии, является препятствием для получения хороших значений для радиуса р, которые гарантируют правильность X, то есть такого р, что N(р) = 1 и, следовательно, X — правильная система.

Теорема 5. [М. И. Штогрин, Н. П. Долбилин]. Пусть X с Мй — множество Делоне с параметрами г и R. Тогда при й = 2 из равенства Ж4Я) = 1 следует, что X — правильная система; а при й = 3 из N(10Я) = 1 вытекает правильность системы X.

В силу теоремы о 4Я - в последняя теорема для плоскости дает неулучшаемый результат. Что касается оценки N(10Я) = 1 для й = 3, она представляется завышенной. Доказательство основано на лемме.

Лемма 1. [М. И. Штогрин [8]]. Пусть X с М3 — множество Делоне с параметрами г и R. Если N(2Я) = 1, то любая ось поворота в группе Sx (2R) — не выше 6-го порядка.

По этой лемме порядок группы Sx (2R) симметрий при условии N(2Я) = 1 ограничивается настолько, что применение критерия правильности непосредственно дает достаточность условия Ж14Я) = 1. Благодаря дополнительным аргументам это требование удалось ослабить до N10Я) = 1.

В заключение приведем три теоремы, которые будут доказаны в следующих параграфах. Две из них, теоремы 7 и 8, новые. Теорема 6 является обобщением критерия правильной системы.

Теорема 6. [Критерий кристалла; Н. П. Долбилин, М. И. Штогрин]. Множество Делоне X с Мй с параметрами г, R является кристаллом, состоящим из т правильных систем, тогда и только тогда, когда при некотором р0 > 0 выполняются два условия:

(I) N (р0) = N (р0 + 2Я) = т;

(II) М(р0) = М(р0 + 2R) VI е [1,т].

Локальный критерий кристалла был сформулирован без приведения доказательства (хотя оно и имелось) в [9]. Ниже мы приводим доказательство, в котором часть, относящаяся к доказательству кристаллографичности группы симметрий множества, опирается на другую, более прозрачную идею.

Теорема 7. [Об антиподальности множества Делоне; Н. П. Долбилин]. Пусть X — множество Делоне,в котором каждый 2Я-кластер Сх (2Я) антиподален относительно своего центра х. Тогда все множество X антиподально относительно каждой своей точки.

Теорема 8. [Н. П. Долбилин]. Пусть X — множество Делоне с N(2Я) = 1 и пусть 2R-кластер Сх (2Я) симметричен относительно своего центра х. Тогда X является правильным множеством.

2. Доказательство теоремы 6

Прежде всего прокомментируем условия (I) и (II) теоремы. Условие (I) означает, что при увеличении радиуса р0 на 2Я число классов кластеров не увеличивается. В рамках условия (II) ни в одном из т классов соответствующая группа «не падает» при 2Я-расши-рении р0-кластеров. Смысл теоремы состоит в том, что обусловленная стабилизация двух параметров (число классов и порядок группы кластера) на отрезке [р0, р0 + 2Я] имплицирует на самом деле их стабилизацию на всей оставшейся полупрямой [р0 + 2 Я, да).

Лемма 2. [О 2Я-цепочке]. Для каждой пары точек х и х ' е X, где X — множество Делоне с параметрами г и R, существует конечная последовательность точек х1 = х,х2,...,хк = х ' такая, что расстояние между двумя последовательными точками \хгхг+1| < 2R для г е [1, £ -1].

Доказательство. Пусть \хх' \ > 2Я. Рассмотрим шар В (Я) с центром 2 е [хх'] такой, что точка х лежит на его границе дВ(Я). Так как \хх' \ > 2Я, то в В2(Я) содержится точка х2 е X, где х2 Ф х ', х2 Ф х. Ясно, что \хх1\ < 2Я. По неравенству треугольника х 'х2 < х 'х

Пусть \х2х' \ > 2Я. Рассмотрим шар В (Я) с центром 22 е [х2х '] такой, что точка х2 лежит на границе дВ2(Я). Так как \х2х'\ > 2Я, то в В (Я) содержится точка х3 е X, где х3 Ф х ', х3 Ф х. Легко видеть, что \х2х3\ < 2Я, и опять по неравенству треугольника получаем х 'х3 < х 'х2. Мы получаем последовательность попарно различных точек х1(= х),х2,х3,... е X с условием \х4х'\ > \х2х'\ > \х3х'\ >... Последовательность х1,х2,..., монотонно приближающаяся к х ', содержится в шаре В радиуса | хх' | в точке х '. Множество Делоне X удовлетворяет условию (г), поэтому пересечение В о X есть конечное множество точек. Так как всякий раз, когда для точки хг расстояние хгх ' > 2Я, найдется точка хг+1 Ф х, хм Ф х '. Но так как последовательность конечна, то в ней найдется точка х£-1, такая что х£-1х' < 2Я. Итак, показано, что 2Я-цепочка от х к х существует.

Лемма 3. [О 2Я-продолжении]. Пусть X — множество Делоне, для которого выполняются оба условия теоремы 1, и пусть х и х ' е У. Тогда если f е Ко — изометрия такая, что

f : х ^ х ' и Сх

то та же изометрия совмещает и концентрические кластеры на 2R большего радиуса:

f: Сх

Доказательство. По условию (I) теоремы 6 для точек х и х ' е У{ их р0-кластеры и р0 + 2Я-кластеры эквивалентны. Возьмем изометрию f (из условия (1) леммы) и какую-нибудь изометрию д такую, что д : Сх (р0 + 2R) ^ Сх, (р0 + 2R). Изометрия д существует в силу эквивалентности указанных кластеров.

Рассмотрим суперпозицию изометрий f-1 о д (порядок здесь: сначала д, затем Тогда f 1(д(Сх (р0))) = Г(Сх.(р0)) = Сх (р0). Итак, имеем

Г1 о д : х ^ х и Г1 о д : Сх

Соотношение (3) показывает, что f-1 о д является симметрией 5 р-кластера Сх (р0). В силу условия (II) теоремы 6 5 е Sx(р0 + 2R). Из соотношения f-1 о д = 5 следует д о 5-1 = f. Тогда

f (Сх(р0 + 2R)) = (д о 5- 1(СХ(р0 + 2R)) = д(5- 1(СХ(р0 + 2R))) = = д(Сх (р0 + 2R)) = Сх. (р0 + 2R). Лемма доказана.

Обозначим для удобства С: = Буш^).

Лемма 4. [Основная лемма]. Пусть множество X удовлетворяет условиям

Рис. 2

Доказательство. Так как х, х' е Уг имеют эквивалентные (р0 + 2Я)-кластеры, то существует изометрия, совмещающая эти кластеры. Количество таких изометрий равно порядку группы кластера, которая, вообще говоря, может быть нетривиальной. Пусть f — одна из таких изометрий. Докажем, что она является симметрией всего X.

Сначала докажем, что для произвольной точки у е X f (у) е X. Соединим точки х и у 2Я-цепочкой Ь = {х1 = х, х2,..., хп = у :| х^г+1 |< 2К У г е [0, п - 1]}. По условию леммы 3

f

Так как |х1х21 < 2Я, отсюда следует, что С (р0) с Сх1 (р0 + 2Я). Поэтому в силу (4) имеем

f : Сх2 (р0) — Сх2 (р0). По лемме 3

{ : Сх2

Из того, что | х2х3 | < 2Я, следует соотношение Сх3(р0) с Сх2(р0 + 2Я). Поэтому в силу (5) £ Сх3(р0) — Сх'3(р0). По лемме 3 имеем ^ Сх3(р0+2Я) — Сх3(р0 + 2Я). Продвигаясь вдоль цепочки Ь и повторяя это рассуждение конечное число раз, получим, что 2Я-цепочка Ь с X при изометрии f переходит в некоторую 2Я-цепочку Ь' с X, а конечная точка у первой цепочки переходит в конечную точку у' второй. Итак, показано, что изометрия f отображает X в X. Покажем, что это отображение является отображением на все X. Рассмотрим произвольную точку у'' е X и покажем, что ее прообраз f _1(у '' ) также принадлежит X. Для этого рассмотрим обратное движение f Из соотношения (4) имеем f_1 : Сх (р0 + 2К) — С (р0 + 2К). Соединим точки х[ с у' ' 2Я -цепочкой. Двигаясь вдоль нее, получаем f _1(у '') = х '' е X. Таким образом, при отображении f в произвольную точку у' ' переходит некоторая точка х '': f (х'' ) = у''. Лемма доказана.

Лемма 5. Если группа G с Ьо(д) такова, что для некоторой точки х е Мд ее орбита О • х — множество Делоне, то G — кристаллографическая группа.

Доказательство. Обозначим X := О • х, а через У^) — разбиение пространства на области Вороного относительно орбиты X. Область Вороного Ух для точки х есть выпуклый д-многогранник с конечным числом гиперграней. Это число можно ограничить сверху в терминах параметров г и Я. Поэтому группа симметрий многогранника Ух конечна, более того, ее порядок может быть ограничен в зависимости от г и Я.

Так как группа О действует на X транзитивно, то и на множестве многогранников (областей Вороного) действует транзитивно. Группа разбиения совпадает с группой Зут^) множества X: Зут^) з в. Если точка х не является неподвижной ни для какого движения из О, то область Вороного является фундаментальной областью, которая компактна (условие 2 кристаллографической группы выполнено). Далее, для произвольно выбранной точки х внутри или на границе замкнутой области Вороного Ух ее орбита будет дискретна (условие 1 в определении кристаллографической области).

Пусть стабилизатор Stab(x) точки х в группе О не тривиален. Так как Stab(x) с О, то группа Stab(x) вместе с разбиением У^) оставляет инвариантной область Ух с центром х. Поэтому стабилизатор конечен. Фундаментальная область группы О — это подобласть многогранника. Следовательно, фундаментальная область группы О компактна. Орбита О • х ' любой точки х ' пересекается с каждой областью Вороного Ух лишь по конечному множеству, то есть О • х дискретна. Итак, О — кристаллографическая группа. Лемма доказана.

По лемме 5 для любого i е [1, т] и х еУ; множество Yi = G-х. Поэтому, чтобы по лемме 6 доказать кристаллографичность группы G, достаточно доказать, что Yi есть множество Делоне.

Лемма 6. В разбиении X = + Yi среди множеств Yif i е [1, m],хотя бы одно является множеством Делоне.

Доказательство. Заметим, что так как X есть множество Делоне с параметрами r и R, любое его подмножество Yi также удовлетворяет условию r.

Предположим, что множество Yi не удовлетворяет второму условию ни при каком конечном R '. В этом случае существует бесконечная последовательность шаров B1, B2,..., Bk,... с неограниченно растущими радиусами R1 < R2 < ... < Rk < ... ^ да, пустых от точек из Yi. Так как множество Y{ дискретно, то каждый из этих шаров Bk можно сдвинуть так, чтобы на его границе оказалась некоторая точка xk е Yi. Так как все точки xk е Yi принадлежат G-орбите, то переведем каждую точку xk вместе с шаром Bk изометрией fk е Sym(X). Таким образом, можно считать, что для каждого k = 1,2,. точка х лежит на границе пустого шара радиуса Rk. Будем по-прежнему обозначать эти шары через Bk. Обозначим через nk единичный вектор, отложенный из точки х, направленный по радиусу шара Bk. Из последовательности {nk} выберем сходящуюся подпоследовательность nk, ^ n.

Обозначим через П гиперплоскость, проходящую через точку х перпендикулярно нормали n, а через П+ то из двух открытых полупространств, в которое смотрит нормаль n. Полупространство П+ не содержит ни одной точки из Y1 . Действительно, для любой фиксированной точки г е П+ в подпоследовательности шаров с неограниченно увеличивающимися радиусами найдется шар Bk , который содержит точку г. А поскольку все шары

j

пусты от точек из Y, то г £ Yi.

Итак, все точки из Yi лежат в замкнутом полупространстве П-. Мы не исключаем, что все точки из Yi могут лежать на самой гиперплоскости П. Так как X есть множество Делоне, то полупространство П+ непусто от точек из X.

Для каждого j е [1, m], j Ф i, и точки х е Yi выберем точку г е Yj, ближайшую к х. Заметим, что в силу того, что X — множество Делоне, ближайшие точки к х существуют, вообще говоря, их может быть несколько, но конечное число. Пусть минимум | хг | = 5... Очевидно, что в силу транзитивной группы G этот минимум не зависит от выбора точки х е Yi: для другой точки х ' е Yi найдется точка г ' е Yj c условием |х'г'| = |хг | = 5... Ясно, что 5. = 5;i.

Обозначим 5i := max 5..

.е[1,т], j Ф i

Рассмотрим плоскость П + 5in. Так как для каждого j, j Ф i, а для любого г е X- ближайшая к г точка из Yi удалена не далее чем на 5i, то все множество X лежит в полупространстве (П + 5in)-, что противоречит условию (R) множества Делоне. Лемма доказана.

Опираясь на доказанные леммы, делаем вывод: множество X c условиями (I) и (II) теоремы 1 можно представить как X = G • х1 u G • х2 и ... и G • хт, где G — кристаллографическая группа и G • х{ = Yi, i е [1, m]. Таким образом, X — это кристалл из т правильных систем = орбит. Теорема доказана.

3. Доказательство теоремы 7

Отметим, что мы не требуем здесь выполнения равенства N(р) = 1. Более того, не предполагаем даже, что X — множество конечного типа.

Рассмотрим точку х е X и определим для нее спектр расстояний как упорядоченное по возрастанию множество положительных чисел такое, что Кех:= {р е R+ | Зу е X,) ху |= р}.

В силу условия (г) спектр расстояний (для любой данной точки из X) есть строго возрастающая последовательность {р1,р2,.,рг,.}, рг-1 < рг, сходящаяся к бесконечности.

Однако объединение таких спектров Ие^ (по всем точкам х е X) дискретно тогда и только тогда, когда X — множество конечного типа, что, напомним, не обусловлено в теореме 7.

Рассмотрим для данной точки х0 спектр Ие = {р;} и докажем антиподальность кластеров С (р;) индукцией по индексу i. Пусть уже для всех i < k доказано, что р^кластеры С (р;) точек антиподальны. Заметим, что так как по условию теоремы 2Я-кластер любой точки антиподален, то можно считать, что рк > 2Я , а следующий элемент рк+1 е Ие уже строго больше 2Я. Установим антиподальность р4+1-кластера С (р4+1).

Для простоты обозначений будем считать, что х0 = О, то есть центр кластера совпадает с началом О координат. Итак, рассмотрим кластер С0 ^+1), в котором имеется точка (хотя бы одна) х1 такая, что |Ох1|= рш > pk > 2Я.

Обозначим через Вг(Я) шар радиуса Я такой, что он касается точки х1 и центр г его лежит на отрезке [0 х1], а через Вг (2Я) — шар МВ_,(Я)), где h — гомотетия с центром в х1 и с коэффициентом 2 (рис. 3). Очевидно, что шары Вг(Я) и Вг,(2R) касаются граничной сферы шара В0 (р£+1). Так как рш > 2Я, центр г' большего шара также лежит на отрезке [Ох1]. Поэтому имеем последовательные вложения: Вгс Вг,(2R) с В0(рk+1). Более того, весь шар Вг, (2R) за исключением точки х1, лежит строго внутри шара ВО(р). По условию (Я) шар Вг помимо х1 содержит, по крайней мере, еще одну точку х2 е X : х2 е Вг(R). Ясно, что

Кластер С^ (2Я) по условию теоремы антиподален относительно его центра х2, а в силу неравенства (6) х1 е Сх (2Я). Поэтому и антиподальная точке х1 относительно х2 точка х3

Рис. 3

х1

( = —

2

) также принадлежит Сх (2Я). С другой стороны, легко видеть, что

е Вг,(2R) и х3 Ф х1. Поэтому \хзх| с^О] = р^. Аналогично ихеем |.г20| -= р^.

Итак, обе точки х2 и х3 принадлежат кластеру СО(рк), который по предположению индукции антиподален относительно О. Поэтому антиподальные относительно центра этого кластера точки -х2 и -х3 также принадлежат кластеру С0 ^). Ясно, что точка -х3 принадлежит кластеру С (2Я). Так как С (2Я) также антиподален относительно -х2, то точка _х3 имеет в кластере С_ (2Я) симметричную точку, которая, как легко видеть, симметрична точке х1 относительно О. Таким образом, в кластере С0 ^+1) каждая точка х1 такая, что | х1 О |= р^, имеет антиподальную точку _х1. Таким образом, доказано, что если С0 ^) антиподален, то С0 (р^) также антиподален. Теорема 7 доказана.

4. Доказательство теоремы 8

Итак, мы предполагаем, что все 2Я-кластеры в X центрально симметричны и, более того, все 2Я-кластеры эквивалентны. Зафиксируем х е X, назовем точку х' е X Ь-эквивалентной точке х, если существует такая последовательность точек х1 = х,х2,...,хп = х' е X, х. + х-

что у = 1 1+1 е X и, более того,

X о [х{хм] = {х{,у{}, | ху{ |< 2R, 1 е [1,п _ 1].

Заметим, что хг, х{+1 е Су.(2Я). Обозначим через Xx класс всех точек, ¿-эквивалентных х. Назовем описанную последовательность ¿-цепочкой с началом в х.

Лемма 7. Класс Xx антиподален относительно любой точки х ' е Xx, а также любой точки у{ с условием (7).

Доказательство. По теореме 7 центральная симметрия тх, в точке х ' е X переводит X в себя. При этом, если х ' е Xx, то любая ¿-цепочка, начинающаяся в х ', переходит

в антиподальную цепочку с тем же началом. Симметрия в точке ту , где у{ = %г + %1+{, пе-

1 2

реводит любую ¿-цепочку с началом в хг в ¿-цепочку с началом в хг+4, так как хг,хг+1 е X, а ¿-цепочками, начинающимися в любой точке класса X,,, достигаются все точки из Xx и только из Xx.

Лемма 8. Класс Xx является множеством Делоне с параметром Я, причем Я < 2Я, где Я и R — радиусы покрытия для множеств Xx и X, соответственно.

Доказательство. Заметим, что значение Я является радиусом покрытия множества Xx тогда и только тогда, когда для каждой точки х ' е Xx любой шар радиуса Я, содержащий точку х ' на своей границе, кроме нее содержит еще хотя бы одну точку у из Xx. Множество X имеет радиус Я покрытия. Рассмотрим произвольный шар, касающийся точки х. Он содержит помимо нее по крайней мере еще одну точку у е X. Так как | ху | < 2Я, то у е Сх (2R) с X. Возьмем теперь шар радиуса 2Я, который по-прежнему касается точки х и центр которого лежит на том же луче, что и предыдущий шар. Он содержит точку х1 е X, симметричную точке х относительно точки у, то есть у = х + х'. Таким образом, доказано, что любой шар радиуса 2Я,

касающийся точки х из Xx, содержит другие точки из этого класса. Лемма доказана.

Лемма 9. Класс Xx есть решетка и любая трансляция этой решетки есть трансляция всего множества X.

Доказательство. Множество Xx является множеством Делоне с параметрами Т,Я, так как Г > г в силу Xx с X и Я < Я < 2Я по лемме 8.

Покажем, что для каждой пары точек х, х ' е X существует параллельный перенос ¿, являющийся симметрией класса Xx такой, что х + ¿ = х', Xx + ¿ = Xx. Рассмотрим цепочку {х = х1,., х ' = х£} и последовательность центральных симметрий тг

в точках уг = х'-1 + %г с условием (7), а также симметрию тх в точке х. В силу теоремы 7

каждая из этих симметрий есть симметрия всего множества X, а в силу леммы 7 это есть симметрия класса Xx. Посредством суперпозиции f симметрий тг можно отобразить х в х '. Если число симметрий, входящих в суперпозицию, нечетно, то можно добавить к суперпозиции еще одну симметрию тх,. Тогда f является параллельным переносом. Мы получим параллельный перенос f такой, что ^ х + ¿ = х '; X + ¿ = Xx; X +¿ = X.

Так как класс X является дискретным множеством, на котором группа параллельных переносов действует транзитивно, то X является решеткой.

Лемма 10. Пусть 2 е X \ Xx, тогда существует изометрия д такая, что д : х ^ 2 и д: X ^ X.

Доказательство. Так как Ы(2Я) = 1, то существует движение д, которое переводит 2Я-кластер Сх(2Я) в эквивалентный кластер С2(2Я). Покажем, что д : Xx ^ Xг. Рассмотрим х ' е Xx, покажем, что д(х' ) е X2. Для этого построим ¿-цепочку {х1 = х,х2,...,х£ = х '} с Xx,

х + х

связывающую х с х '. Рассмотрим точку уу = —2 с условием (7). Ясно, что у1 е С2(2^К).

Изометрия д переводит точку уу в некоторую точку у/^е С2(2R). Отрезок [2у{], как и отрезок [ху1], пуст внутри от точек из X.

Рассмотрим кластер Су, (2^). Так как он центрально симметричен, то существует точка

2 + 2

г2 е С , сX такая, что у' = —-2. Ясно, что по построению х2 е X.

2

Обозначим Ь1 = х2 - х1 и Ь[ = х2 - 21, здесь х1 = 2. Тогда по лемме 9

Сх

х2 х1 1 х2 21 1

С другой стороны, имеем

д

Из (8) и (9) вытекает, что д(С^(2Я)) = С^ (2/?) + = С (2R).

Эти рассуждения можно применить к кластеру С (2^). Для этого обозначим Ь2 := х3 - х2 и ¿2 = х3 - х2. Соотношение (9) переписывается как

д

Повторяя эти рассуждения при продвижении вдоль ¿-цепочки {х,..., х '}, получаем для х ' е Хх, что д(х') = 2 ' е X2. Более того, д отображает каждую точку х ' е Хх в 2 ' е Х2 вместе с ее р-кластером во всем множестве X: д(Сх, (2/)) = С2, (2/). Поэтому

д : ихехх С,

С другой стороны, в силу леммы 8 2^-окрестности точек из Хх образуют покрытие: их,еХ Вх, (2?) = Следовательно, объединение 2^-кластеров всех точек из Хх или из Х2 совпадает с Х: и , ^ Сх,(2Я) = и ,еХ С,(2Я) = Х.

хеХх х х

Поэтому из (11) следует, что д : X ^ X.

Список литературы

1. Локальный критерий правильности системы точек / Б. Н. Делоне, Н. П. Долбилин, М. И. Штогрин, Р. В. Галиулин // Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 227, № 1. — С. 19-21.

2. Delaunay, B. Sur la sphere vide. A la memoire de Georges Voronoi / B. Delaunay // Изв. АН СССР. VII сер. Отд-е мат. и естеств. наук. — 1934. — № 6. — С. 793-800.

3. Делоне, Б. Н. Геометрия положительных квадратичных форм / Б. Н. Делоне // Успехи мат. наук. — 1937. — № 3. — С. 16-62.

4. Федоров, Е. С. Начала учения о фигурах / Е. С. Федоров. — М. ; Л. : Изд-во АН СССР, 1953. — 410 с.

5. Schoefliess, A. Kristallsysteme und Kristallstruktur / A. Schoefliess. — Leipzig, 1981.

6. Проблемы Гильберта : сборник / под ред. П. С. Александрова. — М. : Наука, 1969. — 240 с.

7. Bieberbach, L. Ueber die Bewegungsgruppen des и-dimensionalen Euklidischen Raumes / L. Bieberbach // Math. Ann. — 1911. — Vol. 70. — P. 207-336; 1912. — Vol. 72. — P. 400-412.

8. Штогрин, М. Об ограничении порядка оси паучка в локально правильной системе Делоне / М. Штогрин // Geometry, Topology, Algebra and Number Theory, Applications: Abstracts of the International Conference, dedicated to the 120-th anniversary of Boris Nikolaevich Delone (1890-1980) (Moscow, August 16-20, 2010). — Moscow : Steklov Mathematical Institute, 2010. -P. 168-169.

9. Dolbilin, N. P. A local criterion for a crystal structure / N. P. Dolbilin, M. I. Shtogrin // Abstracts of the 9th All-Union Geometrical Conference. — Kishinev, 1988. — P. 99.

Сведения об авторе

Долбилин Николай Петрович, профессор, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Российская Федерация. dolbilin@mi.ras.ru

Bulletin of Chelyabinsk State University. 2015. № 3 (358). Mathematics. Mechanics. Informatics. Issue 17. P. 6-17.

CRYSTAL CRITERION AND ANTIPODAL DELAUNAY SETS

N. P. Dolbilin

It is proved that a discrete set of points repeatability local configurations under certain conditions implies the so-called «global order», which includes the presence of a plurality of crystal-lographic symmetry group. It is also proved that the set of Delaunay, in which all 2^-clusters are antipodal, that is centrally symmetric, is itself a centrally symmetric with respect to each of its points. Moreover, if in addition to this cluster are identical, then the set is correct, i. e. its symmetry group acts transitively.

This article based on a lecture delivered at the International Conference «Quantum topology» (5-17 July 2014), organized by the Laboratory of Quantum Topology of Chelyabinsk State University.

Keywords: Delaunay set, cluster, the right system, crystallographic group.

References

1. Delone B.N., Dolbilin N.P., Shtogrin M.I., Galiulin R.V. Lokal'nyy kriteriy pravil'nosti sistemy tochek [Local criterion of correctness of system of points]. Doklady Akademii Nauk SSSR [Reports of Academy of Sciences of the USSR], 1976, vol. 227, no. 1, pp. 19-21. (In Russ.).

2. Delaunay B. Sur la sphere vide. A la memoire de Georges Voronoi. Izvestiya Akademii Nauk SSSR [News of Academy of Sciences of the USSR], 1934, no 6, pp. 793-800.

3. Delone B.N. Geometriya polozhitel'nykh kvadratichnykh form [Geometry of positive square forms]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Achievements of mathematical sciences], 1937, no 3, pp. 16-62. (In Russ.).

4. Fedorov E.S. Nachala ucheniya o figurakh [I began doctrines about figures]. Moscow, Leningrad, AN SSSR Publ., 1953, 410 p. (In Russ.).

5. Schoefliess A. Kristallsysteme und Kristallstruktur. Leipzig, 1981.

6. Problemy Gil'berta: sbornik [Gilbert's problems: collection]. Moskva, Nauka Publ., 1969, 240 p. (In Russ.).

7. Bieberbach L. Ueber die Bewegungsgruppen des n-dimensionalen Euklidischen Raumes. Math. Ann., 1911, vol. 70, pp. 207-336; 1912, vol. 72, pp. 400-412.

8. Shtogrin M. Ob ogranichenii poryadka osi pauchka v lokal'no pravil'noy sisteme Delone [About restriction of an order of an axis of a spider in locally correct system Delon]. Geometry, Topology, Algebra and Number Theory, Applications: Abstracts of the International Conference, dedicated to the 120-th anniversary of Boris Nikolaevich Delone (1890-1980) (Moscow, August 16-20, 2010). Moscow, 2010, pp. 168-169. (In Russ.).

9. Dolbilin N.P. A local criterion for a crystal structure. Abstracts of the 9th All-Union Geometrical Conference. Kishinev, 1988, pp. 99.

About the author

Nikolay Petrovich Dolbilin, professor, leading researcher of V.A. Steklov Mathematics Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation. dolbilin@mi.ras.ru