СТАБИЛИЗАЦИЯ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МЕРЫ ПРИ ЕЕ ЛОКАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХРассматривается задача о стабилизации стохастической меры при ее локальных возмущениях, сильных или малых. Приводятся основные допущения, которые дают возможность стабилизировать систему.

Разработанная система автоматизации позволила не только упростить и ускорить работу экспериментатора, но и улучшить метрологические характеристики установки. Детальный анализ точности измерений приведен в работе [7].

Таким образом, разработана и реализована универсальная и легко модифицируемая система автоматизации эксперимента, которая может быть реализована без больших финансовых затрат.

Авторы благодарны профессору А. И. Беляевой за постановку задачи и полезные обсуждения в ходе выполнения работы.

Литература: І.БеляеваА.И., Гребенник T.T., Настенко B.A. и др. // ПТЭ. 1997. №4. С.102-108. 2. Stehle J.-L. SOPRA: New developments in SE. 3rd Int. Conf. on Spectroscopic Ellipsometry, Vienna, 2003. P.42. 3. Gruska B, Peters S, Richter U, Wielsch U. SENTECH Instruments—Fast, accurate, and easy to operate spectroscopic ellipsometers. 3rd Int. Conf. on Spectroscopic Ellipsometry, Vienna, 2003. P.23. А.Гутни-ков B.C. Интегральная электроника в измерительных устройствах. Л.: Энергоатомиздат, 1988. 264 с. Б.Брандина Е.П., ЛеонтьевB.B., Пусина Т.Ю. Шаговые электродвигатели. Л.: СЗПИ, 1986. 96с. 6. Аззам Р, Башара Н.

Эллипсометрия и поляризованный свет. М.: Мир, 1981. 584с. 7. Галуза А.А., Кудленко А.Д, Слатин К.А. и др. // ПТЭ. 2003. № 4. С.98-101.________________

УДК 517.9

СТАБИЛИЗАЦИЯ

СТОХАСТИЧЕСКОЙ МЕРЫ ПРИ ЕЕ ЛОКАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

ДИКАРЕВ В.А., ЯЛОВЕГА И.Г.______________

Рассматривается задача о стабилизации стохастической меры при ее локальных возмущениях, сильных или малых. Приводятся основные допущения, которые дают возможность стабилизировать систему.

1. Введение

В последние десятилетия теория марковских процессов все чаще используется при исследовании многих прикладных задач. С ее помощью изучаются математические модели экономики, биологии, генетики и техники. Прикладной интерес представляют процессы с изменяющимися во времени характеристиками, в частности задачи о стабилизации основных характеристик таких процессов с помощью соответствующим образом выбранных возмущений [1,2]. Особый интерес представляют задачи о стабилизации распределений процесса при возмущении отдельных его частей (фрагментов). Такой способ стабилизации, как правило, связан с минимальными энергозатратами, кроме того, стабилизация процесса за счет возмущений его фрагментов часто достигается в процессах, протекающих в естественных условиях.

2. Постановка задачи

Рассмотрим задачу о стабилизации процесса при его локальных возмущениях для случая, когда фазовое пространство является континуальным. В [2] было

Поступила в редколлегию 03.09.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Мамалуй А.А.

Галуза Алексей Анатольевич, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры ПО ЭВМ ХНУРЭ. Научные интересы: оптика, математическое и компьютерное моделирование физических процессов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-14-46. E-mail: Galuza@kpi.kharkov.ua

Галуза Анатолий Иванович, младший научный сотрудник ФТИНТ. Научные интересы: оптика, физика твердого тела. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пр. Ленина, 47, тел. 30-85-03. E-mail: Galuza@ilt.kharkov.ua

Кудленко Анна Дмитриевна, студентка НТУ «ХПИ». Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Фрунзе, 21, тел. 4006-20. E-mail: Dima@muzzy.concom.kharkov.ua.

Слатин Кирилл Александрович, студент НТУ «ХПИ». Научные интересы: математическое моделирование. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Фрунзе, 21, тел. 4006-20. E-mail: kirill_slatin@ukr.net.

Смирнов Михаил Михайлович, канд. техн. наук, ведущий научный сотрудник кафедры ДПМ НТУ «ХПИ». Научные интересы: механика твердого тела. Адрес: Украина, 61002, Харьков, ул. Фрунзе, 21, тел. 40-06-20. E-mail: Smirnov@kpi.kharkov.ua

показано, что при многократных возмущениях фрагментов, определенным образом согласованных между собой, вероятности состояний процесса либо принимают предельные значения, либо локализируются вблизи них. Любой из этих случаев называется стабилизацией [2]. Основными условиями, которые приводят к фокусировке, являются быстро изменяющиеся во времени факторы, вызывающие сильные возмущения основных характеристик процесса. В этой работе рассматриваются не только сильные возмущения, но и малые. Фазовым пространством

Q. исследуемого процесса считаем произвольную n 3

поверхность из Ш , например из Ш . На Q задана а - алгебра, элементами которой являются события. Процесс п рассматривается на промежутке [ sq , to), t0 < да. Предполагается, что если промежуток [ tt" ] С [ So , to ) не содержит возмущений, то процесс П является на нем однородным.

Исследуем подробнее случай to = да . Считаем, что множество всех возмущений (STl) i процесса П на [ Sq , да) счетно. Обозначим через [ ti, т i ] промежутки времени, на которых действуют (STI) i, а через П i — процессы, которые (STl) i порождают. Пусть Q.i — фазовые пространства П i. Предполагаем, что все Q. i являются областями, гі — точками фокусировки процессов Пі на Q.і . Случайные величины (STI) і (i = 1,2,...) предполагаются независимыми. Индикаторные функции множеств Q. і обозначим через I (Q.і ). Положим Оij =Qі П Оj. Считаем, что на q задана стохастическая мера [3] с ортогональными значениями ц (Q ^, t), О і cQ . В этом

РИ, 2004, № 1

69

случае для любых t и любых непересекающихся Q;, Qj величины в (Q;, t), в (^j, t) являются ортогональными: (в (Qj,t), в (Qj,t ))=0.

Стохастическая мера в (Qj, t) обладает свойством М|ф;,tf = FПj5t), где f(Пj,t) (Qj cD) -мера на Щ3 . Вероятность P (М є B, t) вычисляется в момент t для любого события B cQ(Qj )и любого

t є [s0,«): P(M є B,t) = |в (N,t)dQN .

B

Предполагается, что стохастическая мера в (M,So) на q в начальный момент времени задана. Рассмотрим, как изменяется стохастическая мера процесса п при каждом возмущении (STI) j. Функции в (М, д )I( Q j) предполагаются непрерывными на Q j.

Зафиксируем произвольное Qj . Обозначим через {Q j} множество, содержащее все фазовые пространства, для которых выполняется условие р (Оjj )>0. Введем элемент v ;, как наибольший элемент из {rj }, при условии V; <Т; . Через Pj обозначим рj = max (v;, тj).

дают. Предполагается, что в области Qj на промежутке (ч, Tj) не действуют никакие возмущения.

Фокусирующие свойства каждого возмущения зависят только от положения его фазового пространства Q j, точнее, пусть О j = Q j, стохастические меры процессов П і , Пj в моменты Pj, рj удовлетворяют условию J в(М’ Р j М - J в(М Р j М .

Qi Qi

Тогда стохастические меры в (М, rj )I( Qj) и В (М, Tj)I( Qj) в моменты Tj, Xj тождественно совпадают на Q j.

Допущение (A) является необходимым для стабилизации процесса при t ^ ж .

(B) До любого момента t(t <го) происходит только конечное число возмущений; любая точкамefi с вероятностью 1 содержится в бесконечном множестве областей Qj. Для любой Qj найдется хотя бы одна О j, i<j, не совпадающая с Q j, для которой р (Ojj) > p > o , где p не зависит от i и j.

4. Существование предельного распределения. Неподвижная точка

Пусть в (М, Д )I( Qj), в (М, rj )I( Qj) — стохастические меры на Qj в моменты р j и т j. Тогда для того, чтобы получить стохастическую меру в момент т j, следует переопределить ее на Q j, заменив В (М, Д )I(Q;) на Ц (M,rj )I(Qj). Для M efi\Q;: В (М, Д )= в (М, rj). Усреднения стохастических мер в (М, Д), в (М, rj) по Qj совпадают:

J в

Qj Qj .

Равенство (1) имеет место, так как выполняются

условие нормировки |ц(мд)ю М = 1 для любого

Q

tє [s0,“) и равенство

В

(оно имеет место, поскольку на (р j, х j ] все возмущения, кроме (STl) j, сосредоточены лишь на Q \ Qj, а (Ш) j действуют на Qj).

3. Основные допущения

(А) Пусть (STl) j, (STl) j — возмущения, действующие на Оj, Qj, р (Qjj )>0, в (М, хj )I( Qj) и В (М, Tj )I( Qj) — стохастические меры на Qj, Qj, возникающие в результате этих возмущений. На (х j, р j) в области О jj действует только возмущение (STl) j, а в данном случае считаем, что выполняется условие согласования : функции в (М, г; )I( Q j) и В (M,Tj)I( Qj) на Ojj совпадают с точностью до постоянного множителя. Пусть Q; cQ j. Тогда для любых (Ш);, (Ш) j функции В (M,r; )I( Q;) и В (М, Tj )I( Qj) в области Q; тождественно совпа-

Проследим за эволюцией процесса п на [ so, <»). Покажем, что при t ^ да стохастическая мера В (М, t) имеет предел, который не зависит от стохастической меры, заданной в начальный момент времени в (M,So ). Обозначим через N — множество всех стохастических мер процесса д на q . Для всех возмущений (STI); и всех в ( м ) є N определим оператор А( Q;):

A ( Q; ) В ( М )= В ( М,г; )I( Q; ), М eQ;;

A (Q;) В (M )= В (М), М є Q\ Q;.

Покажем, что оператор A (Q;) имеет неподвижную точку, т. е. такую меру po (М), для которой выполняется условие

A

Построим Po ( М ). Пусть { Q; }, i = 1, n — конечное покрытие фазового пространства q , элементами Q; являются фазовые пространства, возникшие в результате возмущений (STI);. Как и прежде, В (М, хj )I( Q;) — стохастические меры, на которые (Ш); фокусируют. Из покрытия { Q; }, i = 1, n выделим все области ^^ ^;k , которые имеют с

Qi непустые пересечения. Функции

В

и функция в (М, xi )I( Qi )на пересечениях Qi с областями ^ ij,. ., ^ ik , вообще говоря, не совпадают. Однако можно выбрать такие числа 1;а,..., l;k , что при умножении их соответственно на В (М, хij )I( ^ij ),..., В (М, x;k )I( ^ik ) будут иметь место равенства:

В (М, xi )I( Qi )= 1;1 В (М, Ч, )I( q;, ) =

=...= 1ik в (MXik )I(Qjk).

РИ, 2004, № 1

70

Обозначим через Qj — объединение областей

Oj,Q.Q;k и определим функцию fjoi (M) на Оі: Л01 (M)= В (M,Ti )I(Qj),M,

Вoi(M)= kv4(м,Tiv )I(^i„),M ей\Оi, v = 1,k .

По построению, Q1 сй1; условие (2) выполняется для любой области D сП1. Далее расширим область, в которой выполняется (2), следующим образом. Из покрытия {Q.i} выделим все элементы, имеющие с Q1 непустые пересечения, но не содержащиеся в нем, и повторим построения, которые ранее были проделаны для Q1 и О^,...,Q.і~. Таким образом, мы получим множество Q2,Q1 cQ2 • Будем применять этот прием до тех пор, пока в состав областей Q1, Q2,... не войдут все элементы покрытия {Q.i}. Тогда полученная в результате такого построения функция fjo (M) будет действовать на всем пространстве q и удовлетворять (2) для любой d cQ • Функция fjo (M) может отличаться от искомой цо (M) на постоянный множитель с. Его нужно выбрать так, чтобы выполнялось

J cfjo(M)dQ m = 1 .

Q

Из построения po (M) следует, что неподвижная точка единственна.

Предположим, что все допущения о процессе П и его возмущениях выполняются. Докажем, что в этом случае, независимо от распределения стохастической меры в начальный момент so, с вероятностью 1 существует предел в (M, t):

Нтц

t^c»

где ^o (M) — неподвижная точка оператора A (Оi).

Выделим из множества {Q. i} фазовых пространств, отвечающих всем возмущениям (STl) i, бесконечную последовательность покрытий {}, ik = 1, nk , фазового пространства q (ik — элементы k-го покрытия). Существование таких покрытий следует из допущения (A). Интервалы, на которых действуют (йП) ik порождающие элементы из {Oik}, обозначим через (tk,'tk), (k = 1,2,...). Покрытия {Oik} можно выбрать так, чтобы интервалы (tk,"tk), (k = 1,2,...) попарно не пересекались и все (~k, tk+1) содержали области О j из (A), имеющие непустое пересечение с каждым элементом покрытия, сформированного на (HHk). Видно, что ~k ^да . Через Tik обозначим моменты фокусировки на Q ik . Выделим в каждом {Оik } элементы Qik,min и оik,max , На которых разности

В (м Tik )I(Qik)- Во (M )I(Qik) принимают наименьшее и наибольшее значения. Видно, что

Л ( M Bk,min )I( ^ik,min )- Л0 ( M )I( Qik,min )<0,

Л

Из допущений (A), (B) и (1) следует, что при k ^ да разности

И

монотонно убывают и стремятся к нулю, откуда следует, что разности (4) стремятся к нулю при t ^ да . Значит, lim г/ (M, t )= rjo (M) имеет место.

t^o>

В случае to <да предполагается, что все возмущения из (STl) i сосредоточены на [ so, to), и на любом [ so , t' ] с [ so,to ) число возмущений конечно. Остальные предположения о возмущениях остаются прежними. Для этого случая доказательство того, что процесс фокусирует на неподвижную точку, проводится так же, как и для случая to = да.

Если точками а -фокусировки являются все или их часть, то процесс п ст -фокусируют на rjo (м). Если допущение (A) выполняется приближенно, то такая фокусировка также имеет место. Точнее, предположим, что возмущения ( ST1 ) а , ( а= 1,2,...) не приводят к фокусировке на Q.a . Пусть каждое Q.a подвергается возмущениям (STl )a,i (ос = 1,2,...), которые лишь незначительно изменяют распределение вероятностей на Qa. Тогда считаем, что полученные в результате таких возмущений стохастические меры (м )I( ),

(i = 1,2,...) образуют равномерно сходящуюся последовательность на Qa . Если выполняется (B), перечисленные требования имеют место для всех Qa , и стохастические меры на Qa , к которым сходятся Вид (M )I( ), (а = 1,2,...), удовлетво-

ряют (A), то (3) имеет место.

5. Заключение

Предложенный в статье подход управления распределением вероятностей системы, основанный на сообщении ей сильных или слабых возмущений, может быть использован на практике при работе с объектами, наделенными марковским свойством. В частности, он может найти применение в ряде задач экономики, экологии и теории эпидемий. Подчеркнем, что задачи о стабилизации стохастической меры, заданной на каком-либо носителе, ранее не рассматривались. Вместе с тем, понятие стохастической меры часто используется при решении многих прикладных задач случайного анализа. Рассмотренная в работе задача с точки зрения постановки примыкает к задачам об эргодичности и стабилизации некоторых классов случайных процессов, в частности, марковских процессов.

Литература: 1. Дикарев В. А, Герасин С. Н, Слипченко Н.И. Стабилизация вероятностей состояний марковского процесса при локальных возмущениях его фрагментов // Доп. НАН України. 2000. №8. С.90-93. 2. Дикарев В.А. Фокусировка распределений марковских процессов // Доп. НАН України. 1999. №11. С.100-103. 3. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика // М.: Наука, 1989. С.250-256.

Поступила в редколлегию 20.07.2003

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руденко О.Г.

Дикарев Вадим Анатольевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры ПМ ХНУРЭ. Адрес: Украина. 61166, Харьков, пр. Ленина, 66, кв. 21, тел. 33-57-03

Яловега Ирина Георгиевна, аспирантка кафедры ПМ ХНУРЭ. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Новгородская 20, кв. 14, тел. 30-31-62.

РИ, 2004, № 1

71