Периоды p-ГРАФОВ

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2018 Прикладная теория графов №41

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ

УДК 519.1

ПЕРИОДЫ p-ГРАФОВ

Н. А. Артемова

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия

Связный граф с n ^ 3 вершинами, полученный из контура Cn путём переориентации некоторых его дуг, называется многоугольным графом. Рассмотрим некоторую биекцию р между множеством стоков и множеством источников многоугольного графа G. Присоединим к G все дуги вида vр(v), где v — сток. Полученный сильносвязный граф будем называть р-графом. Рассматривая последовательность различных матриц A, A2, A3,... (степеней булевой матрицы A), заметим, что эта последовательность конечна. Если Am — её последний элемент, то Am+1 = A1 для некоторого l ^ т. Число ind(A) = l — 1 называется индексом матрицы A, а число p(A) = ((m + 1) — l) — её периодом. Для графа G с матрицей смежности A положим ind(G) = ind(A) и p(G) = p(A) (индекс и период графа). Вычислены значения периодов всех неизоморфных р-графов с числом вершин до 9. Рассчитаны максимальные периоды р-графов с числом вершин до 17. Доказана теорема, позволяющая вычислить период любого р-графа. Найдено значение максимального периода n-вершинных р-графов при чётном n и дана оценка максимального периода при нечётном n.

Ключевые слова: многоугольный граф, примитивность, р-граф, индекс графа, период графа.

DOI 10.17223/20710410/41/5

PERIODS OF p-GRAPHS

N. A. Artemova Saratov State University, Saratov, Russia E-mail: NatalyaKorArt@ya.ru

A connected graph with n ^ 3 vertices obtained from the circuit Cn by reorienting some of its arcs is called a polygonal graph. We consider a bijection р between the set of sinks and the set of sources of a polygonal graph G. We attach to G all arcs of type vр(v) where v is a sink. The resulting strongly connected graph is called a р-graph. When we compute successive powers of a binary Boolean matrix A, the sequence starts to repeat itself at some moment, i.e. we get Am+1 = A1 for some l ^ m. The number ind(A) = l — 1 is called an index, and the value p(A) = ((m + 1) — l) is the period of the matrix A. For the graph G with adjacency matrix A, let ind(G) = ind(A) and p(G) = p(A) (index and period of the graph). We calculate the values of periods of all not isomorphic р-graphs with a number of vertices up to nine and the maximal periods of р-graphs with a number of vertices up to seventeen. We prove the theorem

that allows to compute the period of any p-graph. Namely, the period of a p-graph is equal to the greatest common divisor of the lengths of its circuits. The value of the maximal period for n-vertex p-graph with even n equals n/2 + 1, and the maximal period of a p-graph with an odd n is less than |_n/2j +1. From the theorem for the maximal values of the periods, we obtain some corollaries. Particularly, according to Corollary 1, among the all n-vertex p-graphs with even n, p-graphs obtained from the polygonal graphs with one sink and one source have the maximal period.

Keywords: polygonal graph, primitivity, p-graph, index and period of graph.

Введение

Ориентированный граф (далее граф) — это пара G = (V, а), где V — конечное непустое множество, а а С V2 — бинарное отношение на множестве V. Отношение а называют отношением смежности, а соответствующую ему двоичную булеву матрицу — матрицей смежности графа G. Элементы множества V называются вершинами графа, а пары, входящие в отношение смежности а, — его дугами. Если (u,v) Е а, то говорят, что вершина u является началом дуги (u, v), а вершина v — её концом. При u = v получается петля (u,u). Считаем, что каждая вершина графа инцидентна некоторой дуге, т. е. является началом или концом некоторой дуги.

Говорят, что вершина v достижима из вершины u за k ^ 1 шагов, если существует последовательность примыкающих дуг (маршрут) (w0,w\), (w\,w2),... , (wk-i, wk), где wo = u и wk = v. Если A — матрица смежности орграфа G, то последнее определение означает, что на пересечении строки, соответствующей элементу u, и столбца, соответствующего элементу v, в матрице-степени Ак стоит 1.

Маршрут с неповторяющимися вершинами Cn = v\v2 ... vnvi, в котором начало и конец совпадают, называется n-элементным контуром.

Граф G = (V, а) по определению является функциональным, если его отношение смежности функционально (т.е. из каждой вершины исходит точно одна дуга).

Функциональный граф называется связным, если он содержит точно один контур. Под высотой вершины в функциональном графе понимается расстояние от неё до контура, т. е. минимальная из длин цепей с началом в данной вершине и концом в вершине, принадлежащей контуру.

Под конечной динамической системой понимается пара (S, 8), где S — конечное непустое множество состояний системы, 8 : S ^ S — отображение множества состояний в себя, называемое эволюционной функцией системы. Таким образом, каждой конечной динамической системе сопоставляется карта, представляющая собой граф с множеством вершин S и дугами, проведёнными из каждой вершины s Е S в вершину 8(s). Этот граф является функциональным. Компоненты связности графа, задающего динамическую систему, называются её бассейнами. Получается, что каждый бассейн представляет собой контур с входящими в него деревьями. Контуры, в свою очередь, называются предельными циклами, или аттракторами. Индексом состояния называют его расстояние до аттрактора, а периодом — длину принимающего аттрактора.

Связный граф с n ^ 3 вершинами, полученный из контура Cn путем переориентации некоторых его дуг, называется многоугольным графом.

Граф называется примитивным, если существует целое число r ^ 1, такое, что каждая вершина графа достижима из любой вершины за r шагов (иначе говоря, если в матрице Ar все элементы равны 1). Таким образом, каждый примитивный граф

является сильносвязным (любые две вершины взаимно достижимы), но обратное не верно.

1. Об индексах и периодах

Пусть А — булева матрица. Рассматривая последовательность различных матриц А, А2, А3,... , заметим, что эта последовательность конечна и что, если Ат — её последний элемент, то Ат+1 = А1 для некоторого I ^ т. Число тё(А) = I — 1 называется индексом матрицы А, а число р(А) = ((т +1) — I) —её периодом. Так определённые индекс и период матрицы А — это её индекс и период в динамической системе булевых матриц соответствующей размерности с эволюционной функцией 5(Ак) = Ак+1. Для графа О с матрицей смежности А положим тё(О) = тё(А) и р(О) = р(А) (индекс и период графа). Пару ¿(О) = (тё(О), р(О)) назовём типом графа О. Об индексах и периодах графов см. [1].

Ряд работ посвящён двоичным булевым матрицам с минимально возможным типом (0, 1) (идемпотентные матрицы) [2]. Индексы и периоды относятся к числу важнейших параметров, связываемых с графами. Решению проблем, связанных с этими параметрами, посвящены работы [1-6]. Об индексах состояний в динамических системах, связанных с графами, см. [7-11]. Не для всех графов индексы и периоды аналитически вычислены. Известны, например, следующие результаты.

Теорема 1 [3]. Индекс функционального графа равен уменьшенной на единицу максимальной из высот его элементов, а период — наименьшему общему кратному длин его контуров.

Теорема 2 [3]. Бесконтурный граф имеет индекс, равный максимальной из длин его цепей, и период, равный 1.

Каковы максимальные значения индекса и периода для п-вершинного графа? Для периода точная формула неизвестна, асимптотической оценкой является (п 1п п)1/2 [6]. Что касается индекса, то имеются компьютерные вычисления [4], которые показывают, что для графа с п вершинами справедливо неравенство тё ^ (п — 1)2.

2. О периодах р-графов

Вершина графа называется источником, если в неё не входит ни одна дуга, и стоком, если из неё не исходит ни одна дуга. Количество источников в многоугольном графе равно количеству стоков. Пусть р — некоторая биекция между множеством стоков и множеством источников данного многоугольного графа О. Если к О присоединить все дуги вида ^р(^), где V — сток, получится сильносвязный граф, назовём его р-графом.

Конструкция р-графа предложена в [12] в связи с проблемой описания минимальных примитивных расширений для многоугольных графов. В частности, доказано, что любой р-граф, полученный из данного многоугольного графа, является его минимальным сильносвязным расширением.

В каждом многоугольном графе есть по крайней мере один источник. Такая вершина имеет степень исхода 2. Эту степень она сохранит и в любом р-графе, связанном с исходным многоугольным графом. Следовательно, р-графы не являются функциональными графами и к ним неприменима теорема 1. Будучи сильносвязными, р-графы не удовлетворяют и условию теоремы 2, так что вопрос об индексах р-графов требует отдельного рассмотрения.

Был проведен вычислительный эксперимент, в ходе которого были найдены все

неизоморфные р-графы размерности от 3 до 9 вершин и вычислены их периоды.

Получены следующие результаты:

— п = 3. Существует один р-граф с 3 вершинами. Он имеет период 1.

— п = 4. Есть всего три неизоморфных р-графа с 4 вершинами. Два графа имеют период 2 и один — период 3.

— п = 5. Есть всего четыре неизоморфных р-графа с 5 вершинами. Данные графы имеют период 1.

— п = 6. Есть всего одиннадцать неизоморфных р-графов с 6 вершинами. Три графа имеют период 1, семь графов имеют период 2 и один граф — период 4.

— п = 7. Есть всего девятнадцать неизоморфных р-графов с 7 вершинами. Восемнадцать графов имеют период 1 и один граф — период 3.

— п = 8. Есть всего сорок семь неизоморфных р-графов с 8 вершинами. Двадцать два графа имеют период 1, двадцать один граф — период 2, два графа — период 3 и по одному графу имеют периоды 4 и 5.

— п = 9. Есть всего сто четырнадцать неизоморфных р-графов с 9 вершинами. Сто тринадцать графов имеют период 1 и один граф имеет период 3.

Вычислены максимальные периоды графов каждой размерности до 17 вершин (таблица).

Максимальные периоды р-графов

Размерность Максимальный период

3 1

4 3

5 1

6 4

7 3

8 5

9 3

10 6

11 5

12 7

13 5

14 8

15 7

16 9

17 7

На основе полученных данных сформулировано следующее утверждение.

Теорема 3. Период р-графа равен наибольшему общему делителю длин его контуров.

Доказательство. Пусть дан р-граф С с матрицей смежности А; С1,С2,..., С — множество всех контуров графа С; ¿1, ¿2,... , Ь — соответствующие длины контуров.

1) Если граф С примитивен, то по определению существует целое число г ^ 1, такое, что в матрице Аг все элементы равны 1, т. е. Аг = Аг+1. По определению период графа С равен (г + 1) — г, т.е. р(С) = 1. По критерию примитивности наибольший общий делитель длин всех контуров примитивного графа равен 1. Таким образом, р(С) = 1, (¿1, ¿2,..., /¿) = 1. Следовательно, р(С) = (¿1, ¿2,..., /¿).

2) Пусть граф О непримитивен, р(О) = 1 и (/1, /2,..., /¿) = 1. Будем обозначать через а^ элемент матрицы смежности А, находящийся на пересечении строки г и столбца ]. Элемент а - — аналогичный элемент в матрице-степени Ак.

Если элемент ак- = 1, то это означает, что в исходной матрице А вершина ] достижима из вершины г за к шагов (существует путь длины к из вершины г в вершину ]). Если в матрице Ак1 элемент а^1 равен 1 и в матрице Ак2 элемент ак| равен 1 (к1 < к2), то в матрице А существуют пути длины к1 и к2, соединяющие вершины г и ]. Так как в р-графе любые две вершины взаимно достижимы, то длину простого пути из вершины г в вершину ] обозначим к = тт{к5 : а^ = 1,5 = 1, 2,... }.

Рассмотрим некоторый путь длины к3 из вершины г в вершину ], где в = 1, 2,... Исходя из структуры р-графа (в любом р-графе каждая дуга принадлежит некоторому контуру), имеем, что длина пути из вершины г в вершину ] может быть увеличена только за счёт прохождения по некоторому контуру. Таким образом, к3 = = к + (ж!/1 + ж2/2 + ... + ж^), где х2,..., X — целые неотрицательные числа.

Так как граф О непримитивен, Ат+1 = А1 для некоторого / < т. Для любых вершин г и ] графа О, таких, что а^ = ат"+1 = 1, имеем / = к + (жг1/1 + Х2/2 + ... + ж[/4),

(т+1) = к + (жт+1/1+жт+1/2 +.. •+жт+

Период р(А) равен (т +1) — /, следовательно, т + 1 = р(А) + /. Таким образом,

р(А)+/ = к+«+1/1+жт+1 /2 +...+жт+1/4), / = к+(ж1/1+4/2 +...+= к+(жт+1/1+жт+1/2 +...+жт+Ч) — р(А), р(а) = к+(жт+1/1+жт+1/2 +...+жт+1/4) — (к+(х^+х2/2 +...+хл)), р(А)=(хт+1 /1+хт+1/2 +...+хт+1/4) — (х^+4/2 +...+АМ^+4/2 +...+

где 2? = (хт+1—; ж — целые неотрицательные числа; 2 — целые числа, г = 1, 2,... , ¿.

Так как А1 = Ат+1, А1 = Ар(А)+г = А2р(А)+г = А3р(А)+г = ..., то А1 = Аар(А)+г, а = 1, 2,... Следовательно, ар(А) = (21/1 + 22/2 + ... + ¿Л), а = 1, 2,...

При 21 = 1, 22 = 23 = ... = 2 = 0 имеем а1р(А) = /1. Аналогично а5р(А) = /8, в = 1, 2,... ,¿, т.е. длина любого контура графа О представима в виде агр, где р = р(А). Следовательно, период графа О является общим делителем длин его контуров.

Очевидно, что р ^ тт{/г : г = 1, 2,... , ¿}. Докажем, что р — наибольший делитель. При р = тт{/г : г = 1, 2,... , ¿} это очевидно.

Рассмотрим случай, когда р < тт{/г : г = 1, 2,... , ¿}, и докажем, что р — наибольший делитель длин контуров графа О.

От противного. Пусть р — общий делитель длин контуров, но не наибольший. Тогда граф О состоит из контуров вида = агр, где аг = асг, а, с — целые числа, г = 1, 2,..., £ (т. е. наибольший общий делитель равен ар). Имеем

р = (21/1 + 22/2 + ... + ¿А) = (21арс1 + 22арс2 + ... + ¿арс), р = ар(21С1 + ¿2С2 + ... + 2с), 1/а = 21С1 + 22С2 + ... +

где р, а, сг, 2 — целые числа. Последнее уравнение имеет решение в целых числах только при а =1. Следовательно, р — наибольший общий делитель длин контуров графа О.

Теорема 4. Максимальный период р-графа с числом вершин п не превышает |_п/2] + 1, причём эта оценка достигается при чётном п.

Доказательство. п-Вершинный р-граф состоит из п + к дуг (к — количество стоков/источников в исходном многоугольном графе), а сумма длин его контуров равна п + 2к. По теореме 3 р = р(С) = (¿1, ¡2,... , ¡¿), р ^ шт{^}, где ¡^ — длины контуров графа. Очевидно, что максимальный период р = шт{^} имеют графы, у которых контур минимальной длины максимален.

При чётном п длина минимального контура будет максимальной при к = 1, £ = 2, ¡1 = ¡2 = (п + 2к)/2 = п/2 + к = п/2 + 1, т. е. граф имеет два контура длины п/2 + 1. Следовательно, р = п/2 + 1.

При нечётном п гипотетически максимальная длина минимального контура достигается при к = 1, £ = 2, ¡1 = [п/2] +1, ¡2 = [п/2] +2 и равна ¡1. Так как ([п/2] + 1, [п/2] + 2) = 1, перебрав все возможные длины контуров при к = 1, 2,... , получаем, что р(С) < [п/2] + 1.

р-Графы, полученные из многоугольных графов с одним источником и стоком, будем называть р1-графами. Такой граф имеет два контура. Из теоремы 4 получаем три следствия.

Следствие 1. Максимальный период среди всех п-вершинных р-графов при чётном п имеют р1-графы.

Следствие 2. Максимальный период п-вершинных р-графов при чётном п равен п/2 + 1.

Следствие 3. Максимальный период п-вершинных р-графов при нечётном п имеет оценку р(С) < [п/2] +1.

3. Пояснения

Коэффициенты = ж — ж —целые числа. Эти коэффициенты могут принимать отрицательные значения (при ж > ж^). Как показано в доказательстве теоремы 3, р ^ шт{^ : I = 1, 2,...,£}. Случаи р = шт{^ : I = 1, 2,...,£} и р =1 не нуждаются в пояснениях.

Рассмотрим случай р < шт{^ : I = 1, 2,...,£} на примере конкретного р-гра-фа С (рис. 1) с матрицей смежности А, которая имеет следующий вид:

А

/0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-(V^-(v^-cvi>

(g^——(Vl^—(V^^^CVâ

Рис. 1. р-Граф G с матрицей смежности A

Для данного графа l = 19, ind(G) = 1S, p(G) = 3, ll = б, l2 = 9. Рассмотрим пути из вершины vl в вершину v3. Элемент а^ матриц Ak равен l при k = T, 13,1б, 19, 22,... Положим k = T, kl = 13, k2 = 1б, k3 = 19, k4 = 22, ... Запишем, согласно формулам из теоремы З, kl = k + xlll + xll2. Подставим известные значения k, k1, l1, l2 и вычислим значения коэффициентов x11, x21. Получим x11 = l, x2 = G. Аналогичные действия выполним и для k2, k3, k4 :

k2 = k + x2ll + x2l2, x2 = G k3 = k + x3ll + x3l2, x3 = 2

k4 = k + xfr + x4l2, x4 = 1

Так как l = k3 = k + xfll + xp2 и k4 = k + x^ + x4l2 = l + p = k3 + p = k + xfll + x;]l2 + p, то p = k + x4ll + x^l2 — (k + x3ll + x2l2) = (xl — xf)ll + (x2 — xj])l2, где x4 = 1, x4 = 1, xf = 2, x2 = G. Получаем p = (1 — 2)ll + (1 — G)l2 = —ll +12 = —б + 9 = 3. В обозначениях доказательства теоремы З имеем zl = (x4 — x3) = —1 —отрицательный коэффициент.

Заключение

Доказана теорема, позволяющая вычислить период любого р-графа. Дана оценка максимального периода n-вершинных р-графов и показана её корректность.

ЛИТЕРАТУРА

1. Салий В. Н. Отказоустойчивость и оптимизация дискретных систем с заданными индексом и периодом // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2006. №17. С. 222-225.

2. Chaudhuri R. and Mukherdjea A. Idempotent Boolean matrices jj Semigroup Forum. 1980. V. 21. P. 273-282.

3. Максимов А. А., Салий В. Н. Индексы и периоды нечетких матриц и графов jj Теоретические проблемы информатики и её приложения. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып.7. С. 87-95.

4. Максимов А. А. Об индексе и периоде нечеткой матрицы. Саратов, 2005. Деп. в ВИНИТИ 20.01.05. № 78-В2005. 11с.

5. Бар-Гнар Р. И., Фомичев В. М. О минимальных примитивных матрицах jj Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. №7. С. 7-9.

6. Miller W. The maximum order of an element of a finite symmetric group // Amer. Math. Monthly. 1987. No. 94. P. 497-506.

7. Barbosa V. C. An Atlas of Edge-Reversal Dynamics. London: Chapman&HalljCRC, 2001. 385 p.

8. Салий В. Н. Об одном классе конечных динамических систем jj Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2005. № 14. С. 23-26.

x2 x32

x

l, G, l.

9. Власова А. В. Индексы в динамической системе двоичных векторов // Изв. Са-

рат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11. Вып.3. С. 116-122.

10. Жаркова А. В. Индексы в динамической системе двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями циклов // Прикладная дискретная математика. 2012. №2. С. 79-85.

11. Жаркова А. В. Индексы состояний в динамической системе двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями пальм // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16. Вып. 4. С. 475-484.

12. Салий В. Н. Минимальные примитивные расширения ориентированных графов // Прикладная дискретная математика. 2008. №1. С. 116-119.

REFERENCES

1. Salii V.N. Otkazoustoychivost' i optimizatsiya diskretnykh sistem s zadannymi indeksom i periodom [Fault tolerance and optimization of discrete systems with specified index and period]. Vestnik TSU. Prilozhenie, 2006, no. 17, pp. 222-225.

2. Chaudhuri R. and Mukherdjea A. Idempotent Boolean matrices. Semigroup Forum, 1980, vol. 21, pp. 273-282.

3. Maximov A. A. and Salii V. N. Indeksy i periody nechetkikh matrits i grafov [Indices and periods of fuzzy matrices and graphs]. Theoretical Problems of Computer Science and its Applications. Saratov, Saratov Univ. Press, 2006, vol.7, pp.87-95.

4. Maximov A. A. Ob indekse i periode nechetkoy matritsy [On the Index and Period of a Fuzzy Matrix]. Saratov, 2005. Dep. v VINITI 20.01.05, no.78-B2005, 11 p.

5. Bar-Gnar R. I. and Fomichev V. M. O minimal'nykh primitivnykh matritsakh [On minimal primitive matrices]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika. Prilozhenie, 2014, no. 7, pp. 7-9.

6. Miller W. The maximum order of an element of a finite symmetric group. Amer. Math. Monthly, 1987, no. 94, pp. 497-506.

7. Barbosa V. C. An Atlas of Edge-Reversal Dynamics. London, Chapman&Hall/CRC, 2001. 385 p.

8. Salii V. N. Ob odnom klasse konechnykh dinamicheskikh sistem [A class of finite dynamical systems]. Vestnik TSU. Prilozhenie, 2005, no. 14, pp. 23-26.

9. VlasovaA.V. Indeksy v dinamicheskoy sisteme

10. Zharkova A. V. Indeksy v dinamicheskoy sisteme dvoichnykh vektorov, assotsiirovannykh s oriyentatsiyami tsiklov [Indices in dynamic system of binary vectors associated with cycles orientations]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2012, no. 2

11. Zharkova A. V. Indeksy sostoyaniy v dinamicheskoy sisteme dvoichnykh vektorov, assotsiirovannykh s oriyentatsiyami pal'm [Indices of states in dynamical system of binary vectors associated with palms orientations]. Izv. Saratov Univ.

12. Salii V. N. Minimal'nyye primitivnyye rasshireniya oriyentirovannykh grafov [Minimal primitive extensions of oriented graphs]. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2008, no. 1, pp. 116-119.