Динамика среднеквадратической ширины спектра симметричных импульсов из малого числа колебаний поля в нелинейных диэлектрических средах

ДИНАМИКА СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ШИРИНЫ СПЕКТРА СИММЕТРИЧНЫХ ИМПУЛЬСОВ ИЗ МАЛОГО ЧИСЛА КОЛЕБАНИЙ ПОЛЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

Обобщена аналитическая зависимость среднеквадратической ширины спектра излучения от пройденного световым импульсом расстояния в оптическом волноводе, которая по входным параметрам излучения и характеристикам среды позволяет определять сценарии начальной эволюции спектра: его уширение, сохранение среднеквадратической ширины по мере распространения или сжатие. Рассчитаны количественные характеристики начальной динамики ширины спектра симметричного импульса из двух колебаний поля в полом капилляре, заполненном аргоном. Показано, что ширина спектра симметричных импульсов всегда увеличивается при учете обогащения спектра за счет генерации кратных гармоник. При этом для импульсов со спектром в области аномальной групповой дисперсии ширина фундаментального спектрального пика вблизи центральной длины волны может уменьшаться.

Важнейшим направлением развития лазерной техники является освоение все более коротких временных диапазонов. К настоящему времени в лабораториях стали привычными фемтосекундные лазеры, ведутся эксперименты по генерации аттосекундных импульсов [1].

С прорывом в новый временной диапазон меняет облик и физика взаимодействия лазерного излучения с веществом. Так, распространение фемтосекундных импульсов в оптической среде без ее разрушения (по крайней мере, за длительность импульса) оказалось возможным при существенно больших интенсивностях излучениях, чем для пи-косекундных импульсов. Это привело к возможности свободно наблюдать нелинейные явления, которые в поле более длинных импульсов наблюдаются редко. Например, редкое для пикосекундного излучения явление генерации спектрального суперконтинуума [2] в фемтосекундной нелинейной оптике становится фундаментальным и наблюдается практически в любых средах [3].

В настоящей работе получено решение уравнения динамики континуумного спектра излучения в однородной изотропной среде с произвольной дисперсией линейной части ее показателя преломления и нерезонансной электронной нелинейностью. На основе приведенного решения выведены формулы, описывающие изменение среднеквадратиче-ской ширины спектра излучения в зависимости от расстояния, которое проходит импульс в нелинейной оптической среде. Эти формулы по входным параметрам излучения и характеристикам среды позволяют получать экспрессные предсказания сценариев начальной эволюции спектра: его уширение, неизменение с расстоянием или сжатие.

При анализе нелинейной динамики спектров фемтосекундных импульсов обычно рассматривается их сверхуширение. В настоящей работе мы обращаем внимание на возможность самосжатия континуумных спектров. Этот процесс проиллюстрирован численными расчетами на примере фемтосекундных импульсов в полых капиллярах, заполненных аргоном.

Изменение спектра интенсивных световых импульсов в диэлектрических средах

Эволюция спектра G( 2, ш) = ¥(Е (г, I)), где

СРЕДАХ

Ю.А. Шполянский, С.А. Козлов

Введение

есть преобразование Фурье Е от напряженности электрического поля Е световых импульсов в диэлектрических средах, с зависимостями линейного показателя преломления п от частоты ш произвольного вида п(ш) и нелинейной части поляризационного отклика Рнл вида Рнл = уЕ , характерного для нерезонансного взаимодействия, описывается уравнением [4]

до + .шп

дг с пс А

где 2 - направление распространения излучения, с - скорость света в вакууме, х - кубичная нелинейная восприимчивость, А(ш, а,в) =шп(ш)+(ш-а)п(ш-а)+(а - в)п(а - в)+вПв). При переходе к новой переменной g, такой, что

0

уравнение (1) преобразуется к виду

дg .ш2х г г , Л , т /пч ехр[/2{2шп(ш) - А(ш,а,в)}/с] ,

д- = — ГГg

дг пс -1-1 A

Изменение g определяется обычно малой для диэлектриков нелинейностью среды, поэтому можно ожидать быстрой сходимости итерационной процедуры получения решения (3), например, методом последовательных приближений Пикара [5]. Как было показано в [6], в первой итерации это решение имеет вид

g[1](z, ш) = g0(ш) + gl (Z, ш), где g 0 (ш) = g (0, ш) = 0(0, ш) - спектр излучения на входе в среду (при г = 0) и

/ ч ш2х Г Г / ч / пч /пч ехр['г{2шп(ш)- А(ш,а,в)}/с]-1 , „ //1Л

gl

п -Г-Г г{2шп

Продолжая согласно методу Пикара итерационную процедуру, для второго приближения имеем:

д gM

Интегрируя это уравнение от 0 до 2 и оставляя в правой части слагаемые, содержащие степени х не выше второй, получаем

g[2]

где

2 2 со г г г

Г Г Г ígn (ш- (а - в)gn (5)в2ж(ш, а,

п с

-г-г-г-т

g 2 ш) = -3НИ^0(ш - а)go(а - в) go(в - Y)go (У - 5)^0(§)в а, в, Y, б^шфф,

с —т—т—т—г

ехр[{2шп(ш) - В(ш, а, в, Y, 5)}/ с] -1 ехр[г'г{2шп(ш) - А(ш, а, в)} / с]-1

в 5) = '{2шп(ш) - В(ш, а, в, Y, 5)}/с '{2шп(ш) - А(ш, а, в)}/с

° в, Y, ) = ^ '

В(ш, а, в, Y, 5) = шп(ш) + (ш - а)п(ш - а) + (а - в)п(а - в) + (в - Y)n(в - Y) + (Y - 5)Пг - 5) + 5п(5).

Полагая дисперсию линейного показателя преломления п(ш) = N0 +Ап(ш) слабой, т.е. считая Ап(ш) << N0 = сопБ1;(ш) , что характерно для прозрачных диэлектрических сред, а также ограничиваясь анализом лишь начальных тенденций развития спектра, разложим экспоненциальные функции в (4), (6) в ряд до слагаемых порядка 2 включительно. Тогда

гг

. шхг

0 -г-г

СО 7 2 Г Г

^ (z, ш) - - 2пс^ ГГ ^ 0(ш - а) g 0 (а - в) g 0 (в)dаdв +

2 ад ад

3©xz

4пс2N° J Jg

U —ад—ад

+-JJ°

2 2 2 ад ад ад ад

g 2

40П 2сЫ

(^У0 -ад-ад-ад-ад

Многократные интегральные свертки в правых частях (7), (8) через преобразование Фурье могут быть переписаны в более компактной и удобной для дальнейшего анализа форме. Осуществляя такую процедуру и подставляя результат в (5), а также в соответствии с (3) возвращаясь к исходной переменой О, получаем:

О[2]

где

10

сЫ 0

Л(ш) = { 3ПХ«ш Б(Е0Ев ) - -П^- («ш)2 п(ш)Б(Е03 )1 + ^^ (гЬ)2 ), (11) IсЫ0 с2#0 ] 5с Ы02

„ (гшп(ш) ~ , Л 1 г/ши(ш)^ . . , ч ,

и Ев (^) = Б I-О0(ш) I = — I-О0(ш)ехр(ш^)аш . Нелинейные функционалы

V с ) 2п - с

4 / -ад

от исходного спектра импульса 10, 30 определяются параметрами импульса при г = 0 ( Е0 (^) = Е(0,1) - поле импульса при г = 0 ) и характеристиками нелинейной дисперсионной среды. Правая часть (10) и первые два слагаемых в правой части (11), сгруппированные в фигурные скобки, соответствуют первой итерации метода последовательных приближений Пикара (7), третье слагаемое правой части (11) соответствует второй итерации и совпадает с правой частью (8). Слагаемые в фигурных скобках характеризуют изменение спектра импульса в результате совместного воздействия дисперсии и нелинейности среды. Правая часть (10) и третье слагаемое в правой части (11) связаны только с нелинейным воздействием среды на импульс.

Изменение ширины спектра интенсивных световых импульсов в диэлектрических средах

Формула (9) может быть использована для вывода выражений, характеризующих начальную динамику ширины спектра импульса. Мы будем рассматривать изменение с расстоянием величины

1 ©max

AQ(Z, ©min, max)2 = ~f-Г f[© — <©> (z, ©min, © тах)] z)\' d© =

W(z, © min , ©max).

2

max

W ( z © w

' min ' w ma^ fflm n

2

=<©2 >

V > min' max/ V ' min^ma^^ V ' min^ma^ / * '\ mm> max/ ' V /

'=1

которая представляет собой квадрат среднеквадратической ширины спектральной

плотности импульса G(<©,z) в полосе частот ©e[©min,©max] , ° ^©min <©max ^ 00 i P' (©min, ©max),

i = 1,2 - коэффициенты разложения A© по степеням z'. В (12) введена величина

©max 2

W

© • '=1

характеризующая энергию спектральных компонент импульса в полосе частот ©e[©min, ©max ], и моменты спектральной плотности 1-го и 2-го порядков в этой же полосе частот:

1 Шшах

<© 1 > (Z, ©min, шах) = ~f-Г Г '^(Ш, zf d©

W(Z, ©mn^ Ш шах ) ©

2

<© 1 >

i=1

В (13), (14) Mjt (©min, ©max), j = 0..2, i = 1,2 - коэффициенты разложения соответствующих функций по степеням z. При ©min = 0, ©max выражения (12)-(14) характеризуют динамику всего спектра импульса.

Из формулы (9) следует, что квадрат модуля спектральной плотности импульса, фигурирующий в (12)-(14), с точностью до слагаемых, содержащих степени z не выше второй, представляется в виде суммы

i=1

где

К» = 2 • [Re

K 2

Очевидно, что коэффициенты Moi(©min,©max), i = 1,2 в (13) выражаются через Ki(ш) как

max

Moi

mln

С учетом (13), (18) коэффициенты Mj t(Qmin, ramax), j = 1,2, i = 1,2 в (14) имеют вид:

max

jK1 (ffl)R 1 - < ш 1 > (0, ш m^ Ш max)]

M .

1 ,1Vmin' max/ ттг/г\ \ 5 ^ '

W

min max

M of© , © ) =

1,2 \ mm' шax /

©шах

Г [[(0, © шIn, © шах )K2 (©) - M0,1 (© min , © шах )K1 (© )][© ' - < © ' > (0, © min , © шах Ж©

= -2-.

W(0, © . , © )2

V 5 w mm' шах /

КоэффиЦиенты P' (Qmm, © шах ) , ' = 1,2 B (12) СВЯЗаНЫ C Mi,' (©mu^ ©шах) П0 фоРМулам:

P1

P2

Эти коэффициенты по параметрам импульса при z = 0 и характеристикам среды позволяют экспрессно, без решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения (2), предсказывать начальную динамику среднеквадратической ширины спектра в полосе частот © е [©min, ©шах ] и делать выводы о том, какой из режимов начального уширения, сжатия или распространения с неизменяющейся шириной спектра будет иметь место.

Динамика среднеквадратической ширины спектра симметричных импульсов

в полых капиллярах

В настоящей работе применение полученных выше выражений проиллюстрируем на примере симметричных спектрально ограниченных гауссовых импульсов вида E

где

Еа - «амплитуда» электрического поля, ©0- центральная частота, тр - длитель-

ность входного импульса, распространяющихся в волноводе с полой сердцевиной радиуса 100 дм, заполненном аргоном при нормальных условиях. В работе [7] показано, что для такой системы зависимость эффективной константы распространения от частоты излучения с учетом дисперсии волновода в первом приближении имеет вид

Ъс

п(ш) = Ы0 + асш -

ш

где Ы0 = 1 + 27.92 • 10"5, а = 1.47 • 1Г47 с3 см'1, Ъ = 8.67 • 1014с"1см"1[7,8]

Константа нелинейной кубической восприимчивости аргона при нормальных условиях в соответствии с [7, 9] оценивается как х = 105 • 10-20 см2Втл. Важной характеристикой дисперсионной зависимости (24) является длина волны нулевой групповой дисперсии X0 = 2псл13а / Ъ * 895 нм.

Несложно показать, что в случае нечетного относительно центра импульса распределения светового поля, в частности вида (23), выполняется ^1(ш) = 0 и, следовательно, Р1 = 0 . В работе [6] уравнение (1) было решено только в первой итерации метода последовательных приближений Пикара, поэтому анализировалась динамика несимметричных импульсов с начальной частотной модуляцией, для которых Р1 ^ 0 . Полученные в настоящей работе выражения для второго приближения Пикара позволяют изучать, в том числе, и динамику симметричных импульсов.

\14 -1

Рис.1. Зависимость коэффициента изменения спектра Р2(0,ад ) от центральной длины

волны Х0 и интенсивности I для гауссовых импульсов с начальной длительностью в два периода колебаний светового поля в полом волноводе, заполненном аргоном

На рис. 1, 2 приведены карты уровней зависимостей нормированных коэффици-

ентов Р2 (0, ад ) =

Р2(0,ад ) (а4 )2

и Р2(0,2ш0) =

Р2(0,2ш0) (а4 )2

от входных параметров импульса с

4п . 2пс начальной длительностью т р = — - центральной длины волны излучения Л 0 =- и

р

Юо Юо

интенсивности 1[кВт / см ] = (3#0/8я) Еа 2[СГСЭ]. Рис. 1 соответствует рассмотрению динамики спектра импульса в бесконечной полосе частот ш > 0 с учетом генерации кратных третьей и пятой гармоник, присутствующих в нелинейных функционалах 10(ш), 30(ш) - формулы (10), (11). Рис. 2 характеризует динамику ширины начального

спектрального пика, центрированного на частоте ш0 в полосе ш е[0,2ш0], т.е. без учета кратных гармоник. Сопоставление рис. 1, 2 показывает, что начальное уширение (Р2(0, да) > 0) спектра симметричного спектрально ограниченного импульса, содержащего на входе в волновод лишь две полные осцилляции светового поля, при рассмотрении полного набора спектральных компонент реализуется для всего поля значений длины волны и интенсивности, однако начальная динамика ширины спектрального пика в полосе частот ш е [0,2ш0] может характеризоваться как его уширением (Р2(0,2ш0) > 0) в области нормальной групповой дисперсии (X < X0), так и его самокомпрессией (Р2(0, 2ш0) < 0) в области аномальной групповой дисперсии (Х>Х0 ) в определенном интервале значений интенсивности излучения при фиксированной длине волны.

Рис. 2. Зависимость коэффициента изменения спектра Р2(0,2ш0) от центральной длины волны Х0 и интенсивности I для гауссовых импульсов с начальной длительностью в два периода колебаний светового поля в полом волноводе, заполненном аргоном

Рис. 1, 2 позволяют определять режимы, при которых искомое начальное изменение ширины спектра реализуется, например, при заданной центральной длине волны, интенсивности или некоторых ограничениях на диапазон их изменения. Существует возможность определять различные экстремальные режимы. Например, рис. 2 позволяет выявить области параметров, при которых реализуется максимальное уширение или сжатие основного спектрального пика или, наоборот, его ширина не претерпевает существенных изменений.

Отметим, что благодаря использованию алгоритма быстрого преобразования Фурье при получении /0(ш), J0(ra), численный расчет каждого из полей значений, представленных на рис. 1, 2, занимает менее 5 минут на персональном компьютере Pentium I III с тактовой частотой 1 ГГц.

Заключение

В настоящей работе уравнение динамики континуумного спектра излучения в однородной изотропной среде с произвольной дисперсией и нерезонансной электронной нелинейностью решено с точностью до второго приближения Пикара. На основе этого решения получена аналитическая зависимость среднеквадратической ширины спектра излучения от пройденного световым импульсом расстояния в оптическом волноводе, которая по входным параметрам излучения и характеристикам среды позволяет получать экспрессные предсказания сценариев начальной эволюции спектра: уширение, сохранение ширины спектра с расстоянием или сжатие. Рассчитаны количественные характеристики начального изменения ширины спектра симметричного импульса из двух колебаний поля в полом капилляре, заполненном аргоном, для диапазона значений центральной длины волны импульса 300-1500 нм и его интенсивности вплоть до 1013 Вт/см2. Показано, что ширина спектра симметричных импульсов всегда увеличивается при учете обогащения спектра за счет генерации кратных гармоник. При этом для импульсов со спектром в области аномальной групповой дисперсии ширина исходного спектрального пика вблизи центральной длины волны может уменьшаться.

Настоящая работа частично поддержана грантами РФФИ N05-02-16556^, ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники» на 2002-2006 годы №02.442.11.7568 и ЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» РНП.2.1.1.6877. Научная деятельность Ю.А. Шполянского поддержана фондом некоммерческих программ Д. Зимина «Династия».

Литература

1. Brabec Th., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics. // Rev. Mod. Phys. 2000. V.72. № 2. Р.545-591.

2. Alfano R.R. The supercontlnuum laser source. Berlin, Springer, 1989.

3. Brodeur A., Chin S.L. Ultrafast white-light continuum generation and self-focusing in transparent condensed media. // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V.16. №4. Р. 637-650.

4. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shpolyanskly Yu.A., Walmsley I.A. Simplified field wave equations for the nonlinear propagation of extremely short light pulses. // Physical Review A. 2002. V.66. Р. 013811(1-10).

5. Корн Г., Корн. Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1977.832 с.

6. Белов Д.Л., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. О самосжатии спектрального суперконтинуума. // Изв. РАН. Сер. физ. 2005. Т. 69. №8. С. 1128-1130.

7. Беспалов В.Г., Козлов С.А., Шполянский Ю.А. Метод анализа динамики распространения фемтосекундных импульсов с континуумным спектром в прозрачной оптической среде. // Оптический журнал. 2000. Т.67. №4. С.5-14.

8. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. 720 с.

9. Nisoli M. et al. Compression of high-energy laser pulses below 5 fs. // Opt. Lett. 1997. V.22. № 8. Р.522-524.