Влияние ориентации эллипсов жесткости и диссипации на устойчивость равновесия динамической системы резания

Список литературы

1. Бирман И. Я. Оптимальное программирование. М.: Изд-во «Экономика», 1968. 231 с.

2. Бойко Ю.А. Выбор стратегии развития предприятия на основе математической оптимизации // Технология, экономика и организация производства технических систем: межвузовский сборник научных трудов / под ред О.Н. Таратынова, Е.А. Резчикова / МГИУ. М., 2010. С. 137-141.

I. Averyanova

Optimization of composition of machine-tools by diversity in production

The using of the principles of linear programming theory in order to achieve such goals, as choice of articles having prospects, with reorganization of production, with choice of efficient manufacturing equipment etc. is shown.

Key words: machine-tools, linear programming, objective function, technology, manufacturing, optimality criterion, machine part.

Получено 28.12.10 г.

УДК 621.9.025

Н.Н. Бородкин, канд. техн. наук, доц.,

ВЛИЯНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ЭЛЛИПСОВ ЖЕСТКОСТИ И ДИССИПАЦИИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕЗАНИЯ

Исследуются направление и влияние жесткости и диссипации в системе «инструмент-заготовка» при точении, влияние и формирование матриц жесткости и диссипации в подсистеме инструмента

Ключевые слова: резание, устойчивость, жесткость, диссипация, конструкция, инструмент и заготовка.

Воспользуемся представлениями В.А. Кудинова об ориентации эллипсов жесткости подсистемы суппорт. Согласно, этим представлениям в суппортной группе всегда существуют две таких ортогональных оси, по направлению которых движения соответствуют только направлению осей их ориентации.

Тогда уравнения, описывающие динамику системы, можно представить по В. А. Кудинову (рис. 1.) так:

m1&1 + h1z1 + QC1 = P cos p; 1

г

m2Zs2 + h2Z 2 + C2Z 2 = P sin &

где ml и m2- приведенные к соответствующим координатам массы системы; ^ и h2 - приведенные коэффициенты демпфирования.

Рис. 1. Схема влияния упругих деформаций инструмента

в координатах х1 и х2

Тогда уравнение динамической системы относительно точки равновесия можно представить в виде

2

d Т ? dт1 ^ ^

т1—^г + Ъо1—г + С01Т11 =

dt2 01 dt

2

d л? dn2

т2~2г + h02

dt2 " dt

В уравнениях (2) силы Fr|l и считаются заданными, и они не

представлены координатами системы в направлениях х и Х2.

Примем во внимание, что динамическая характеристика процесса резания формируется в координатах х и Х2, поэтому уравнение (2) необходимо преобразовать к координатам х и Х2, в которых описываются упругие деформационные силы инструмента и которые привязаны к базе станка. Именно в координатах х и Х2 формируются погрешность токарной обработки, точность формы, шероховатость и т.д.

Решая уравнения (2) и выражая Г1, Г2 и , Fr2, получим

Г1 - хіеоБ Ь + Х2 біп Ь; .лі - .ієоб Ь + .2БІи Ь;

h 2 =-xisin b + %2 cos b; F^2 =-Fjsin b + F2C0Sb;

Coi(xq cosb + X2 sin b) = Coihi = Fl cosb + F2 sin b,

C02 (- xi sin b + X2 cosb) = Co2h2 = - Fi sin b + F2 cos b-J

Из первого слагаемого вычитаем второе. Затем умножим первое слагаемое уравнение, записанное в скобке на cosb, а второе - на sin b :

Coi (xi cosb + X2 sin b)cosb = Fi cos2 b + F2 sin b' cosb,

C02 (- Xi sin b + X2 cos b)sin b = - Fi sin2 b + F2 cos b' sin b-Далее просуммируем уравнения:

Fi = Cqi X cos2 b + X2 sin bcosb)+ C02xi sin2 b - C02X2 sin bcosb

= Cm cos2 b + C02 sin2 b)Xi + (C0i sin b cosb - C02 sin b cosb)X2; Fi = C0i(xi cos2 b + C02 sin2 b)Xi + (C0i - C02 sin b cos b)X2; С0i (xi cosbsin b + X2 sin2 b)= Fi sin b cosb + F2 sin2 b;

C =

Cii 2 1

1 C 1 2 2 C2

С02 (- Xi cos b sin b + X2 cos2 b)= - Fi sin b cosb + F2 cos2 b;

(Cm - C02 )sin b cosb)xi + (C0i sin2 b + C02 cos2 b)^2 = F2.

После проведения преобразования уравнений получаем аргументы для матрицы жесткости Сц; Q2; C2i; С22:

C0i cos2 b + C02 sin2 b; Cm - C02 )sin bcosb _ (C0i - C02 )sin bcos b; C0i sin2 b + C02 cos2 b

Таким образом, в системе координат xi и X2 имеем следующую матрицу жесткости:

Cii Ci2 _C2i C22

Отметим, что полученная матрица жесткости уже не является матрицей диагональной, поэтому силы, действующие в направлении xi, вызывают деформативное смещение, как в направлении осей xi и X2-

Вместе с тем заметим, что после поворота координат структурные свойства матрицы остаются неизменными. Нетрудно показать, что выражения (3) являются положительно определенными при m > 0, hi > 0, Cj > 0 (i =i,2). Кроме этого, изначально матрица (3) является симметричной и после ее поворота остается симметричной.

Аналогичным образом можно представить и матрицу диссипации [h], в частности, если ориентации эллипсов скоростных коэффициентов

Н§1 и ^02 совпадают с ориентациями Л1 и Л 2 , то матрица диссипации выражается следующим образом:

И

2 2 (ИоіЄоб Ь + Ь) (Иоі - И02)віи ЬсобЬ

22

Очевидно, что матрица также сохраняет свои структурные свойст-

ва.

Проанализируем матрицы (3) и (4).

Недиагональные элементы обращаются в ноль в том случае, если выполняется одно из двух условий:

1) угол Ь =0 , что фактически означает, что эллипс жесткости имеет диагональные элементы, совпадающие с осями ^1 и Х2;

2) С01 = С02, т.е. жесткости по направлению Л1 и Л2 равны, и матрица (3) вновь становится диагональной.

То же самое можно сказать о матрице диссипации (4).

Заметим, что «диагонализация» матриц (3) и (4) приводит к скаля-ризации исходной системы дифференциальных уравнений в рассматривающихся входных уравнениях относительно точки равновесия.

Скаляризация уравнений позволяет устранить взаимную связь между упругими деформационными смещениями в направлении ^1 и Х2 и тем самым существенно повысить динамическую устойчивость системы.

Покажем это для случая, когда кинематическую характеристику процесса резания можно не принимать во внимание.

Если условие скаляризации выполнено (диагональ матрицы симметричная и равна 0), то уравнение в вариациях

й2 х , Жх т —— + И-------------+ Сх

Ж2 Ж

ґ

Ф

В результате упругих деформаций, влияния диссипативных сил в державке инструмента, а также инерционных сил движения вершины инструмента получаем три матрицы процесса резания в вариациях относительно точки равновесия:

М:

"т11 0 " ; [и]= " иіі И21" ; [с]= і 0 * СТ і 1

0 т22 _ _И12 И22 _ о сг

Ф=Ф1

Х2,

й^2Л

Ж

ґ

, Ф2

й^2Л

Т

Х2; у Жґ

Таким образом, вектор функции динамической характеристики процесса резания получен в вариациях относительно точки равновесия.

Он обладает следующими свойствами:

1) если Х2 стремится к нулю, то ф! и ф2 также стремятся к нулю;

2) следуя теории асимптотической устойчивости для определения устойчивости системы (5) в вариациях относительно точки равновесия, проанализируем линеаризованное уравнение (5), т.е. вместо ф1( х), уравнение (5) решим методом первого приближения.

Если условие скаляризации выполнено, то уравнение в вариациях (5) трансформируется в следующее уравнение в векторной форме:

т-

d х-і , dx^

+ С-1х1 -ф1

dt

Х2

dХ2

dt

d2х2 dx2

т2—2Т + Н22

+ С22 х2 - Ф2

Х2,

^2Л

dt

dt2 dt

При этом во втором уравнении (6) координата Хі отсутствует, тогда условие устойчивости в вариациях относительности точки равновесия бу-

дет определяться системой

Ґ

d 2 х2

т2—^ +

dt

2

Н

22

Эф2

Э

2

dt

dx2

dt

С

22

Эф2

Эх

х2

0.

/у

Таким образом, условие асимптотической устойчивости определяется следующим выражением:

Н

22

ЭФ2

Э

ҐсІх^ ) 0,

12

dt

С

22

Эф2

Эх

) 0.

2

Жесткость в процессе резания в направлении С22 должна быть наибольшей.

При условии устойчивости второго уравнения в системе (8) в ста-

dx2 _

ционарном состоянии х2 -ются исходя из уравнения

dt

= 0 свойства первого уравнения определя-

т-

d2x1 dx1

—ф + Н- - —+ Спх- - 0

dt2 “ dt 11 1 . (9) В уравнении справа стоит 0, т.к. ф1 от 0 тождественно равна нулю. Система (9) по определению является асимптотически устойчивой.

V

Проведенный анализ показал, что для обеспечения асимптотической устойчивости процесса резания важным направлением совершенствования суппортной группы станка, в том числе и свойств режущего инструмента, являются такие конструктивные изменения, которые позволяют влиять на ориентацию диссипативных и упругих систем подсистемы режущего инструмента.

Очевидно, при условии, если дополнительно учитывать влияние

о йх

кинетической характеристики процесса резания т.е. зависимость сил Р —

Ж

от времени, то первое уравнение будет иметь следующий вид:

+

йг2 Ж

Тогда дополнительным требованием к асимптотической устойчивости будет

Ип)Ь1Р1.

При всех условиях асимптотическая устойчивость обеспечивается при увеличении С 1_, Л__, и Иц.

Для обеспечения асимптотической устойчивости системы в целом требуются следующие конструктивные изменения в режущем инструменте. Необходимо сконструировать инструмент таким образом, чтобы варьировать в пространстве его упругие и диссипативные свойства (пат. РФ 1117167) , т.е. попытаться создать конечномерную динамическую многослойную структуру державки резца (рис. 1).

А-А

Рис. 2. Плоская диаграмма перемещений вершины токарного резца многослойной, комбинированной конструкции державки

Таким образом, виброустойчивость ТС зависит не только от значений основных параметров системы (масс, коэффициентов жесткостей и

142

демпфирования элементов), но и от ориентации главных осей жесткости относительно направления силы резания.

Существующие сегодня подходы к анализу динамической устойчивости процесса резания опираются на представлении о зависимости силы резания от упругих перемещений инструмента относительно заготовки в направлении к нормали поверхности резания. Такие представления отражены в работах В. А. Кудинова, И. Тлусты, В. А. Остафьева и др. При этом не раскрывается преобразование всей динамической структуры станка в зависимости от координат пространства и его состояния.

Определены условия асимптотической устойчивости системы. Показано, что одним из эффективных условий повышения устойчивости является скаляризация систем уравнений в динамике. Для реализации этого принципа предложены и получены патенты конструкции державок токарных резцов.

На основании аналитического исследования условий асимптотической устойчивости подсистемы инструмента и учета направлений его максимальной жесткости и диссипации разработаны конструкции резцов со структурированными (направленной жесткости) державками, позволяющими уменьшить влияние координатного взаимодействия и на этой основе повысить виброустойчивость процесса точения в два раза.

Кроме этого, экспериментальные исследования по сравнительному точению резцами показали, что эффективность нейтрализации координатной связи возрастает при увеличении количества элементов в структурированной державке. При использовании одного элемента, совпадающего по направлению с равнодействующей силой резания, виброустойчивость повышается в 1,5 - 2 раза, а при использовании трех элементов - в 2,5 - 3 раза по отношению к резцам со стальными державками.

Список литературы

1. Кудинов В.А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967.

359с.

2. Заковоротный В. Л., Флек М.Б. Динамика процесса резания. Синергетический подход. Ростов-на-Дону: Тера, 2006. 876 с.

3

3. Патент РФ 2217267, МКИ3 В 23 В 27/ 00 Резец. Опубл. 27.11. 2003. Бюл. № 33.

N. Borodkin

Influence of the orientation of ellipses stiffness and damping on the stability of the equilibrium dynamic system

Investigate the direction of the influence of stiffness and damping in the tool-workpiece during turning, the impact and the formation of matrix stiffness and damping in a subsystem of the instrument are presented.

Key words: equilibrium, stability, stiffness, damping, construction.

Получено 28.12.10 г.