К построению множества истинности предиката

Известия Института математики и информатики УдГУ

2017. Том 50

УДК 510.635, 517.988.52, 519.833, 517.977 © Д. А. Серков

К ПОСТРОЕНИЮ МНОЖЕСТВА ИСТИННОСТИ ПРЕДИКАТА1

В работе развит подход, именуемый «размыкание предиката», сводящий задачу поиска множества истинности предиката к задаче поиска множества неподвижных точек некоторого отображения (далее — размыкающее отображение). Предлагаемая техника дает дополнительные возможности анализа задач и построения решений путем систематического привлечения результатов теории неподвижных точек. Даны формальное определение операции размыкания предиката, способы построения и исчисления размыкающих отображений и их основные свойства. В случае когда область определения предиката частично упорядочена, указаны способы построения размыкающих функций, обладающих свойством сужаемости. Это позволило получить представления интересующих элементов решения в виде итерационных пределов. Вместе с тем эффективность полученного решения зависит от специфики рассматриваемой задачи и выбранного варианта реализации метода. В качестве иллюстраций рассмотрены процедуры построения и дальнейшего использования размыкающих отображений для предикатов «быть нэшевским равновесием» и «быть неупреждающим селектором».

Ключевые слова: множество истинности предиката, неподвижные точки, равновесие Нэша, неупреждающие отображения.

Б01: 10.20537/2226-3594-2017-50-06 § 1. Введение

Под термином «размыкание предиката» понимается сведение задачи поиска и/или изучения свойств множества истинности заданного предиката к задаче поиска и/или изучения свойств неподвижных точек некоторого отображения. Понятно, что размыкание предиката, если оно осуществлено, дает (как минимум дополнительную) возможность анализа его области истинности и построения элементов этой области с теми или иными дополнительными свойствами. Имеется несколько нетривиальных примеров размыкания предиката: в теории игр — при исследовании седловых точек (см. [1]) и равновесий Нэша (см. [2,3]); в динамических играх — при построении стабильных (слабоинвариантных) множеств (см. [4,5]) и неупреждающих селекторов многозначных отображений (см., например, [6,7]).

Во многих случаях, например при изучении дифференциальных уравнений и дифференциальных включений, «размыкающее» отображение (то есть отображение, имеющее своими неподвижными точками решения соответствующего уравнения) возникает естественным образом из поставленной задачи. И тогда для доказательства теорем существования и/или единственности остается «только» найти подходящую теорему о неподвижных точках.

В отмеченных выше примерах из теории игр вид размыкающего отображения не вытекает столь очевидно из постановки задачи и выдается как готовый продукт: способ построения такого отображения остается за рамками рассмотрения.

В настоящей статье излагается формальный подход к построению размыкающих отображений, намеченный в работах [8,9]: приведены определение размыкания предиката, способы построения и исчисления размыкающих отображений, их основные свойства. В качестве иллюстрации показано, как с помощью предложенной техники удается построить размыкающие отображения для некоторых известных задач и при этом получить теоремы существования более общего вида. Описываемый подход далек от универсальности, но по крайней мере приложим во многих интересных случаях.

В § 2 приводятся обозначения и определения общего характера, а также отдельные утверждения из теории неподвижных точек, используемые в дальнейших приложениях. В § 3 рассмотрены свойства размыкающих отображений и операции над ними. В §4 дается вывод размыкающего отображения для предиката «быть равновесием Нэша» в игре с произвольным числом участников и соответствующее представление множества равновесий. Наконец, в § 5 этот

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-0Ю0649.

подход используется для описания наибольшего неупреждающего селектора заданной мульти-функции.

§ 2. Определения и вспомогательные сведения §2.1. Обозначения и определения общего характера

В дальнейшем используется теоретико-множественная символика (кванторы, пропозицио-

ч с1е£ с1е£

нальные связки, 0 — пустое множество); = — равенство по определению; ^ — эквивалентность по определению. Принимаем аксиому выбора. Семейством называем множество, все элементы которого — множества. Через Р(Т) (через Р'(Т)) условимся обозначать семейство всех (всех непустых) п/м произвольного множества Т; семейство Р(Т) именуем также булеаном множества Т. Если А и В — непустые множества, то ВА есть множество всех отображений из множества А в множество В (см. [10, с. 77]). Если при этом / € ВА и С € Р'(А), то (/1 С) € Вс есть сужение / на множество С: (/1 С)(ж) = /(ж) Уж € С. Полагаем, также

/(С) есть образ множества С € Р(А) при отображении /: /(С) = {/(ж) : ж € С}. В случае когда / € Р(В)А, будем также называть / многозначным отображением (м/о) или мульти-

функцией (м/ф) из А в В. В случае когда ^ € Р'(ВА), полагаем | С) = {(/ | С) : / € ^}. Если / € Вто обозначим /-1 м/ф из Р(А)В гада /-1(Ь) = {а € А | Ь = /(а)} УЬ € В. В случае когда / € Р(В)А, то есть / — м/ф, полагаем /-1(Ь) = {а € А | Ь € /(а)} УЬ € В. Для произвольной м/ф / € Р(В)А обозначим через С(/) подмножество из А х В, являющееся графиком функции /: С(/) = {(а, Ь) € А х В | Ь € /(а)}. Понятно, что при этом для любого а € А, /(а) = {ь € В | (а,Ь) € С(/)} и С(/-1) = {(Ь,а) € В х А | (а,Ь) € С(/)}. Для М/Ф / € Р(В)А обозначим ч ерез dom(/) подмножеств о из А, на котором значения / непусты: асш(/)= {а € А | /(а) = 0}.

Для функции / € X— обозначим ч ерез Е1х(/) множество всех ее неподвижных точек: Е1х(/) = {ж € X | /(ж) = ж} В случае когда / — м/ф, множество Е1х(/) определяется как

Пх(/) = {ж € X | ж € /(ж)}. Если Е € Р(Х-) и Р(Р(Х), то положим Е1х(Е) = П/eFЕix(/) и назовем Еix(Е) множеством общих неподвижных точек семейства Е.

Назовем частично упорядоченное множество (ЧУМ) направленным, если каждое конечное его подмножество имеет мажоранту. Всякое линейно упорядоченное подмножество ЧУМ назовем цепью. Для У € Р(Х) обозначим через Ту и ±у наибольший и наименьший элементы множества У соответственно, если они существуют. Назовем ЧУМ (X, строго индуктивным,, если всякая его непустая цепь С имеет нижнюю грань т£ С € X. Назовем ЧУМ (X, с-полным (сЬат сотр^е), если всякая его цепь С (в том числе и пустая) имеет нижнюю грань т£ С € X. Отметим, что в с-полном ЧУМ существует наибольший элемент — нижняя грань пустой цепи.

Пусть (X, — ЧУМ и / € X-. Назовем функцию / сужающей на (X, если /(ж) ^ ж Уж € X; назовем / изотопной на (X, если (ж ^ ж') (/(ж) ^ /(ж')) Уж, ж' € X.

Будем обозначать через ОКО класс порядковых чисел (ординалов). Запись а € ОКО будем рассматривать как сокращение высказывания «а есть порядковое число» («а есть ординал»). Отношение порядка (строгого порядка) на классе ОКО будем обозначать как ^

Для всякого а € ОКО обозначим через W(а) = {1 € ОКО | 1 а} (а) = W(а) и {а}) множество всех ординалов меньших (не больших), чем а. Для всяких множества X и а € ОКО назовем а-последовательностыо в X (а+-последовательност,ью в X) и обозначим как (ж1 )-^(а) ((ж,)^+(«)) всякое отображение W(a) Э 1 ^ ж1 € X (W^-(a) Э 1 ^ ж1 € X) из множества отображений X(X^+(а)). В случае когда это не вызывает двусмысленности, будем также называть а-последовательностью множество {ж1 : 1 € W(a)} членов этой последовательности. В частности, будем говорить, что некоторая а-последовательность (ж1)^(«) есть (образует) цепь, если соответствующее множество {ж1 : 1 € W(a)} является цепью (линейно упорядочено). При этом отображение W(a) Э 1 ^ ж1 € X, вообще говоря, не предполагается изотопным. Первое бесконечное предельное порядковое число (бесконечный предельный ординал) обозна-

чим как си. Для всякого множества X обозначим через |X| класс эквивалентности множеств, равномощных множеству X (кардинал X). Обозначим через |X| + наименьший среди ординалов п обладающих тем свойством, что |X| < п Отношение порядка (строгого порядка) на классе кардиналов будем обозначать как <= (<).

Предикат P на непустом множестве X будем отождествлять с одноименной функцией из {0,1}X. Будем говорить, что для x € X выполняется предикат P, и записывать это через P(x), если и только если P(x) = 1. Множество всех x € X, для которых выполняется

PP ратного отображения будем обозначать это множество как P-1(1). Множество всех предикатов на X обозначим как pR(X). Обозначим через T (F) предикат тождественно истинный (ложный) на X T-1(1) = X (F-1(0) = X). Таким образом, для любого P € PR(X) выполняется P = T&P = F V P .

PX

нием предиката P операцию поиска и/или построения отображения Fp € P(X)X такого, что Fix(Fp) = Pотображение Fp, обладающее указанным свойством, будем называть размыкающим (для предиката P). Обозначим через UM(P) множество (из P'(P(X)X) всех размыкающих отображений предиката P: UM(P) = {/ € P(X)X | Fix(f) = P-1(1)}. Исключение функций из размыкающих отображений условно: всякая функция /, удовлетворяющая Fix(/) = P-1(1), представлена в UM(P) мультифункцией Ff гада Ff(x) = {/(x)}. Поэтому далее мы будем писать / € UM(P), подразумевая Ff € UM(P).

§ 2.2. Вспомогательные результаты о неподвижных точках

В § 4 мы воспользуемся утверждениями о неподвижных точках, опирающимися на топологические свойства. Введем обозначения. Пусть Z — непустое множество и F € P(Z)Z — многозначное отображение. По заданному отображению F определим отображение F € P(Z)P(Z) следующим образом:

F(Y) = ( U F(у) J П Y = U F(у) П Y.

\y€Y J y&

Заметим, что множество F(Y) является множеством «кандидатов» из множества Y во мно-

Y

в F(Y), заведомо не принадлежат Fix(F).

Обозначим через O(Z) множество всех покрытий Z, то есть всех подмножеств (Ок)к С P(Z) таких, что UkSkОк = Z. Пусть т(Z) — некоторая топология в Z (множество всех открытых множеств). Обозначим через Ofo(Z) (Ofc(Z)) множество всех конечных открытых (замкнутых) Z

Z

F

Fix

(ok)keOfo(z) кек (Ok),eOfC(z) кек

Fix

V

Z

нимает вид

VS > 0 € Z, d

Следующие утверждения о неподвижных точках используют структуры порядка и будут нам полезны в §5. Пусть X = 0 и (X, — строго индуктивное ЧУМ, a F € P(XX) — произвольно заданное непустое множество сужающих отображений. Пусть а € ORD и ф =

= (/в)eew+ (a) G FW(a) — произвольно выбранная а+-последовательпость во множестве F. Определим а+-последовательпость (фв )eew+ (а) G (Xх )w+(a) композиций первых в отображений из а+-последовательпости ф. Проведем построение индуктивно.

I. При а равном 0 положим ф0(х) = x для всех x G X.

Пусть вообще в G ORD таково, что в = 0 и для каждого n G W(e) определена композиция фп G X х первых n отображений из ф.

II. Если в имеет предшественника (пусть это 7), положим фв = /в о ф7.

III. Если в — предельное порядковое число ив = 0, положим

фв(x) = /в (inf {фп(x): n G W(в)}) Vx G X.

В силу принципа трансфинитной индукции (см. [10, гл. VII, § 1, теорема 4; гл. VII, §4, теорема 1]) для любых а G ORD, а+-последовательности ф = (/в)eew+(a) G Fw+(a) и в G W+(a) однозначно определено отображение фв G XВ частности, при в = а определено отображение фа — композиция всех отображений из а+-последовательпости ф в заданном порядке.

а

щего отображения / G Xх оиределена а-итерация /a G Xх отображения /: для F = {/} и единственной а+-последовательпости ф G FW+(а) положим /а = фа.

Леииа2.1. Пусть (X, — непустое строго индуктивное ЧУМ, F G P(Xх) — непустое множество сужающих отображении. Тогда для любых а G OR^ ф = (/в^ew+M G F^^ выполняются неравенства фа(x) ^ фв (x) Vx G X Vв G W+ (а); в частносmu, фа — сужающее на (X, отображение.

Л е м м а 2.2. Пусть (X, — непустое строго индуктив ное ЧУМ, F G P(Xх) — непустое множество сужающих изотопных отображении, а G ORD и ф = (/в^ew+M G F^^. Тогда, для, всякого в G W+ (а) отображение фв также изотопное.

Пусть (X, — непустое строго индуктивное ЧУМ, а G ORD и F G P'(XX) — непустое множество сужающих в (X, отображений. Через ITERa[F] обозначим подмножество

из P'(Xх) гада ITERa[F] = {фв : ф G Fw+(a), в G W+ (а)} и для люб ого x G X положим

ITERq[F](x) = {ф^) : ф G ITERq[F]}.

Предложение 2.1. Пусть (X, — непустое строго индуктив ное ЧУМ, F G P(XX) — непустое множество отображений, сужающих на (X, Тогда,

(i) для, любо го x G X выполнено нераве нет,во Fix(F) П ITER|x|+ [F](x) = 0;

(ii) в частное mu, Fix(F) = 0.

Следствие 2.1. Пусть (X, — непустое индуктивное ЧУМ, / G Xх — сужающее отображение на, (X, и а G ORD выбрано из условия |X|+ ^ а. Тогда Fix(/) = = {/a(x): x G X}.

§ 3. Исчисление размыкающих отображений § 3.1. Структура порядка, сужение, логические операции

На множестве P(X )х введем частичный по рядок полагая (g ^ /) ^ (g(x) С / (x) Vx G X), V/, g G P(X)х. Иными словами, (g ^ /) ^ (G(g) С G(/)) для всех /,g G P(X)х. Заметим, что для любых /,g G P(X)х выполняется /-1,g-1 G P(X)х, и, в силу очевидных соотношений (G(g) С G(/)) ^ (G(g-1) С G(/-1)), имеем

Легко проверить, что ЧУМ (Р(Х)х, — полная решетка. Для любого Р € Р^Я(Х) обозначим через Тр и -р м/ф из Р(Х)х вида

Тр(х) = /Х' Р(Х)- -р(ж) = |{Х)' Р(Х)' Ух € X.

\Х \{ж}, -Р(ж), \0, -Р(ж),

Для предикатов Т, в частности, имеем Тт(ж) = X -т(ж) = {ж}, Т#(ж) = X \ {ж} -#(ж) = 0 Ух € X При этом в силу равенств С(ТР) = X х X \ {(ж, ж) € X | -Р(ж)} Р) = {(ж, ж) € € X | Р(ж)} имеем соотношения

Тр =

Лемма3.1. Для любого Р € ) справедливы соотношения

Тр, -р € им

тр = Тяот

То есть, ЧУМ (ЯМ(Р), образует «отрезок» в (Р^)х, а значит — полную подрешетку:

иМ

Доказательство. Включения (3.3) следуют из определений. Соотношения (3.4) проверяются от противного. Покажем, что для любого / € Р^)х верны импликации

(/ ^ Тр) ^ (Пх(/) С Р-1(1)), (-Р ^ /) ^ (Р-1(1) С Пх(/)).

Пусть / таково, что / ^ Тр. Тогда для произвольного ж € X с учетом (3.3) имеем импликации

(ж € /(ж)) ^ (ж € Тр(ж)) ^ Р(ж).

Таким образом,

Пх

Напротив, если -р ^ /, то для любого ж € X в силу (3.3) выполняется

Р(ж) ^ (ж € -р(ж)) ^ (ж € /(ж)).

Следовательно,

Р-1

Совокупность вложений (3.6), (3.7) дает включение / € ЯМ(Р). Так как / было выбрано произвольно, имеем вложение ЯМ(Р) I {/ € Р^)х | -р ^ / ^ Тр}. Обратное вложение выполняется в силу определений наибольшего и наименьшего элементов и равенств (3.4). Этим завершается доказательство.

Из (3.1), (3.2) и (3.5) сразу следует эквиваленция (/ € ЯМ(Р)) ^ (/-1 € ЯМ(Р)). Отметим еще одну форму размыкающего отображения, следующую из (3.5): Рр(ж) = Р-1(1) ж € X.

Приведем конструкцию размыкающего отображения для сужения предиката на подмножество области определения. Для любых ф € Р^)х и У € Р'^) обозначим через [ф | У] отображение из Р(У)у вида

[ф | У](у) = У П ф(у) Уу € У.

Напомним, что при этом для всякого Р € ) отображение (Р | У) € ) = {0,1}^

определено равенствами (Р | У)(у) = Р(у) у € У.

Л е м м а 3.2. Для любых Р € ) У € Р'^) выполняется равенство

иМ

Доказательство. Фиксируем Р € фЭТ^) и У € Р'^). Тогда для любых у € У и ф € ЯМ

(у € Пх([ф | У])) ^ (у € [ф | У](у)) ^ (у € ф(у)) ^ (у € Пх(ф)) ^ Р(у) ^ (Р | У)(у).

у€У

ции. Так как у выбиралось произвольно, имеем включение [ф | У] € ИМ((Р | У)). В силу проф

{[ф | У] : ф € ЯМ

Для обоснования обратного вложения фиксируем произвольное отображение фу € ЯМ((Р | У)) и обозначим через фх отображение из Р^)х вида

фх(2) = 2 € У'

\р-1(1), 2 € У.

Проверяется, что фу = [фх | У]• Представив множество истинности Р-1(1) предиката Р в виде суммы (Р-1(1) П У) и (Р-1(1) \ У) получим, что Е1х(фх) = Р-1(1) То есть фх € ИМ(Р). Таким образом, выполнено вложение, обратное (3.9). Доказательство закончено.

Далее приводится построение размыкающих отображений для выражений логики высказываний на основе размыкающих отображений входящих в них предикатов.

Л е м м а 3.3. Пусть Р, д € ). Тогда выполняются равенства

иМ

ЯМ

Доказательство. Докажем, например, равенство (3.11). Фиксируем Р, д € фЭТ^) и ф € ЯМ(Р&д). Тогда для любого ж € X

Положим

= I ф(2) и {2}, 2 € р-1 (1) \ д-1(1), ( = I ф(2) и {2}, 2 € д-1(1) \ Р-1(1),

1 ф(2), 2 € р-1 (1) \ д-1(1), фд(2) 1ф(2), 2 € д-1(1) \ р-1(1).

Так как X \ (Р-1(1) \ д-1(1)) = (Р-1(1) П д-1(1)) и (X \ Р-1(1)) в силу выбора ф (см. (3.13)) имеем (ж € фр(ж)) ^ Р(ж). Следовательно, фр € ИМ(Р). Аналогично получаем включение фд € ЯМ(д). Легко проверяется, что ф(ж) = фр(ж) П фд(ж) Уж € X. Так как ф было выбрано произвольно, имеем вложение

ЯМ(РВД С {/ € Р^)х | 3д € ИМ(Р) 3д € ИМ(^) : /(ж) = д(ж) П д(ж) Уж € X}.

Докажем обратное вложение. Пусть д € ЯМ(Р) и д € ЯМ(д) и / € Р^)х таково, что / (ж) = д(ж) П д(ж) Уж € X Тогда для любого ж € X имеем

(ж € Пх(/)) ^ (ж € /(ж)) ^ (ж € д(ж) П д(ж)) ^ (ж € Пх(д) П Пх(д)) ^ (Р(ж)&д(ж)).

То есть / € ЯМ(Р&д). Так как д и д выбирались произвольно, имеем искомое вложение:

ЯМ(РВД I {/ € Р^)х | 3д € ЯМ(Р) 3д € ИМ(^) : /(ж) = д(ж) П д(ж) Уж € X}.

Таким образом, выполнено (3.11). Соотношения (3.10) и (3.12) доказываются аналогично. Доказательство закончено.

Замечание2. На основе указанных соотношений понятным образом строятся размыкающие отображения для других выражений логики высказываний.

Следствие 3.1. Для любых Р € ), / € ЯМ(Р), Т € ЯМ(Т) и ^ € ЯМ(3) отобра-

жения /т, /^ € Р(Х)х вида

/т

суть размыкающие отображения, для Р:

/т/ € ЯМ

Доказательство опирается па лемму 3.3 и равенства Р = Р&Т = Р V 3 выполненные для всех Р € ).

В случае, когда X — ЧУМ, можно переходить от размыкающей м/фк размыкающей функции, обладающей при этом свойством сужаемости. Такой переход позволяет использовать теоремы о представлении множества неподвижных точек, наибольших и наименьших неподвижных точках. Для произвольного ЧУМ (2, <) определим отображение ЬЕ^ € Р(2как

ЬЕ^

Л е м м а 3.4. Пусть (X, — непустое ЧУМ, Р € ), / € ЯМ(Р). Пусть для м/ф

Р(Х

д € Ху определяется как

С € Р(Х )х вида, С (ж) = ЬЕх (ж)П / (ж) ж € X выполняется, раве нство ^ш(С) = Хм функция

д

[у € с (ж), -атС(Л),

Тогда, д — сужающее отображение на (X, и д € ЯМ(Р).

Доказательство. Из (легко проверяемого) включения ЬЕх € ИМ(Т), соотношений (3.14) и (3.15) следует, что С € ЯМ(Р). Кроме того, по построению (см. (3.16)) выполнены неравенства

у < ж Уу € С

С учетом определений (3.17) имеем

д

Из (3.18) и (3.19) получаем неравенства д(ж) ^ ж Уж € X. То есть д — сужающее отображение па (X,

Из включения (3.19) следует, что Е1х(д) С Е1х(С). Покажем обратное вложение. Пусть ж € С(ж). Тогда из (3.18) следуют неравенства у ^ ж Уу € С(ж). Это означает, что ж = ТС(5). Следовательно (см. (3.17)), д(ж) = ж. То есть ж € Е1х(д). В силу произвольного выбора ж имеем вложение Е1х(С) С Е1х(д). Итак, Е1х(д) = Е1х(С). С учетом С € ЯМ(Р) получим равенство Е1х(д) = Р-1(1). Доказательство закончено.

§ 3.2. Размыкание предиката на прямом произведении

Пусть имеются непустые множества I, (X,,)1ех и

X = П XI.

¿е!

Обозначим через ж1 ¿-ую компоненту элемента ж € X: ж1 = (ж | {¿}) € X,.. Обозначим через (у,ж-1) элемент из X, который получается подстановкой элемента у € X,, вместо ¿-й компоненты элемента ж € X:

3 €1\{1Ь

ЗамечаниеЗ. В случае когда индексное множество I состоит из одного элемента, определение (3.21) дает тождество

Пусть Р € ). Зададим отображения € Р(Х4)х, С1 € Р(Х)х вида

В

С1

3 а м е ч а н и е 4. Сразу отметим следующий из определений вид этих отображений в случае, когда I — синглетон (см. (3.22)): В1(ж) = С1(ж) = {у € X | Р(у)} Уж € X VI € I.

Л е м м а 3.5. Для любого 1 € I выполняется включение С1 € ЯМ(Р).

Доказательство. Зафиксируем 1 € I. Пусть ж € X такой, что ж € Е1х(С1). Тогда по определению имеем ж € С.(ж). Воспользуемся представлением (см. (3.21)) ж = (ж1,ж-1). Из (3.24) получим ж1 € В.(ж). Значит (см. (3.23)), Р((ж1,ж-1)). Еще раз пользуясь равенством ж = (ж1,ж-1 ), получим Р(ж) И следовательно, ж лежит в Р-1(1). Так как ж был выбран произвольно, получаем вложение

Пх

Проверим обратное вложение. Пусть ж € X такой, что Р(ж). Тогда Р((ж1 ,ж-1)). Значит, ж1 € В. (ж). Откуда следует ж € С.(ж), то есть ж € Е1х(С.). Так как ж был выбран произвольно, получаем вложение {ж € X | Р(ж)} С Е1х(С1) С учетом (3.25) получим Е1х(С1) = {ж € X | Р(ж)}.

1

кончено.

§ 3.3. Размыкание конъюнкции предикатов на прямом произведении

Часто условия (предикаты) на множестве отображений формулируются как поточечные условия: для каждого аргумента требуется выполнение того или иного условия на значение отображения в данной точке. Такие высказывания естественно рассматривать как конъюнкции предикатов (проиндексированных множеством определения) на произведении областей значений этих отображений при соответствующих аргументах. Далее приводится построение размыкающего отображения для произвольной конъюнкции предикатов над произвольным произведением множеств.

Пусть для непустого множества индексов 3 задано семейство Р, € фЭТ^), ? € 3, предикатов на прямом произведении X (см. (3.20)). Пусть предикат Р € фЭТ^) имеет вид

Р

Условие 3.1. Мощность множества (предикатов) 3 не превосходит мощности множества I (сомножителей в X).

Пусть выполняется условие 3.1 и д € I ^ — некоторая инъекция из 3 в I. Зададим отображения В, € )х вида

В» = {у € XI | Р,

и отображения В, € )х вида

В(ж) = /В19-1(1)(ж)((у,ж-1))}, 1 € д(3), Уж € X У1 € I.

1 () 1X1, 1 € д(3),

Зададим м/ф ^р € Р^)х следующим образом:

Л е м м а 3.6. Справедливо равенство ^"р € ЯМ(Р).

Доказательство. На основе отображений В^, построим отображения С,, С1 € € Р(Х)х, полагая

Су(ж) = (г € X | € Ву(ж)}, ^(ж) = (г € X | € В^ж)} Уж € X V* € I У? € ^.

Из леммы 3.5 следует, что для любых 1 € I ] € ^ верно включение С, € ЯМ(Р,). Тогда с учетом равенств С1(ж) = XI € 9(^0 (см- (3.28), (3.30)), имеем

р| С4(ж) = р| ^-^(ж) = р| С,0),(ж) Уж € X.

¿е! ¿е?

Из (3.11) следует, что для отображения О(ж) = ПСд(,),(ж) Уж € X выполняется включение О € ЯМ(Р). Для завершения доказательства теперь достаточно проверить равенство

П С1

¿е! ¿е!

С учетом определения С1 для любых ] € I и г € X имеем равенство ( П1ех С.(г) | (,?}) = В,(г).

Следовательно, для любого у € X верно

(у € П ад) ^ (у, € ( П ¿¿(ж) | Ы) Ч? € I) ^ (у, € В,(ж) У? € I) ^ (у € П »¿(ж)).

¿е! ¿е! ¿е!

Доказательство закончено.

Пример 3.1. Выполним размыкание предиката В, — «быть седловой точкой». Пусть и, V — непустые множества и па произведении X = И х V задана функция исходов ^: И х V ^ М. Игрок, выбирающий и € И, минимизирует, а игрок, выбирающий V € V, максимизирует исход. Элемент ж* =

В,

Из (3.32) следует, что В, есть конъюнкция двух предикатов:

Ри(ж*) ^ (^(и*, V*) ^ ^(и, V*) Уи € И), Ву(ж*) ^ (<^(и*^) ^ <^(и*^*) Vv € V).

Так как сомножителей в произведении два и предиката два, то выполняется условие 3.1 и имеется две возможности установить соответствие д: (Pи,Pv) ^ (И, V) и (Pи,Pv) ^ (V, И). Определения предикатов Ри, Pv указывают па первый вариант, как более простой. Используя выбранный вариант инъекции д, построим в соответствии с (3.27) (3.28) м/ф Ви € Р(И)Х,

»V €

Ви(ж*) = argmin ^(и, V*), Bv(ж*) = argmax ^(и* ,v). «еи vеv

Здесь значением операции argmin (а^тах) является пустое множество, если минимизирующие (максимизирующие) элементы отсутствуют. Из отображений Ви, Bv согласно (3.29) строим отображение € )х:

Рр3(и, V) = argmin^>(и'^) х argmax<^(и, V'), (и, V) € X. и'еи v'еv

Итак, в силу леммы 3.6 имеем равенство ^р, € ЯМ(В,).

§ 4. Равновесия Нэша для произвольного множества игроков

§4.1. Формулировка задачи и определение размыкающей м/ф

Обратимся к задаче поиска равновесий Нэша. Пусть (X, J) — игра с I игроками в нормальной форме, а именно:

xх, J=(JiW,

¿е/

где X — множество состояний игры, Xt — множество стратегий ¿-го игрока, a J( — функция выигрыша ¿-го игрока: Jt : X ^ R, ¿ € I. Обозначим через pn € PR(X) предикат «быть

pn (x) ^ (Jt(z, x-) < Jt(x) Vz € Xt V¿ € I) Vx € X.

Понятно, что предикат pn представлен конъюнкцией предикатов P? € PR(X), j € I, вида

P?(x) ^ (J?(z, x—) ^ J?(x) Vz € X?) Vx € X.

В силу формулировки задачи количество предикатов совпадает с количеством сомножителей в произведении X, то есть выполнено условие 3.1. Положим ^(¿) = ¿ € I, и, используя выбранный вариант инъекции q, построим в соответствии с (3.27) (3.28) м/ф BL € P(Xt)X:

B(x)= {y € Xi | Pi((y,x-i))} =

= {y € Xi | Ji(z,x-i) < Ji(y,x-i), Vz € Xi} =

= {y € Xi | sup Ji(z,x-i) ^ Ji(y,x-i)} = argmax Jt(y,x-.).

zeXi yeXi

Тогда в силу (3.29) для отображения FpN € P(X)X имеем

Fpn

tei tei

Отображение FpN по построению удовлетворяет условиям леммы 3.6 и, следовательно, является размыкающим для предиката pn FpN € UM(pn )• Воспользуемся этим фактом для описания множества равновесий Нэша в случае, когда множества Xt суть компакты.

§4.2. Использование размыкающей м/ф для предиката Нэша

Пусть множество стратегий Xt ¿-го игрока — топологическое пространство. Тогда полага-X

Воспользуемся равенством (4.1) и теоремой 2.1 для описания множества равновесий Нэша.

Теорема 4.1. Пусть Xi; ¿ € I, — компактные хаусдорфовы пространства, для любого ¿ € I функция Ji полунепрерывна сверху на X, функция Jt(z, ) полунепрерывна снизу на, Х— при любом z € Xt. При этих условиях для множества P—*(1) равновесий Нэша выполняются равенства

P-'(1)= п u^Pn (oK)= п u^Pn (oK).

(Ok)keOfo(x) кек (ok)keofc(x) кек

В частности, равновесие Нэша достигается тогда и только тогда, когда в произвольном покрытии (Ок)к € Ofc(X) найдется множество Ок € (Ок)к, содержащее два, последовательных приближения Курно:

V

X

нимает вид (2.3): V£ > 0 3x^ € X d(x^,FpN(x^)) ^ Здесь d(x^,FpN(x^)) обозначает расстояние в X от точки x^ до множества FpN (x^).

Отметим также, что в теоремах [11, Theorem 4, 5] неверно сформулированы условия на функции р и Jf. при таких условиях приведенные доказательства некорректны. Правильные условия сформулированы выше, в теореме 4.1; для функции р эти условия эквивалентны требованию непрерывности.

Доказательство. В силу леммы 3.6 имеем равенство P—1(1) = Fix(FpN).

Для обоснования утверждений теоремы 4.1 остается проверить применимость равенств (2.1) к отображению FpN, то есть выполнение условий теоремы 2.1. Компактность и хаусдорфовость пространства X следует из компактности и хаусдорфовости порождающих его пространств Xt и из свойств топологии тихоновского произведения [12, теоремы 2.3.11, 3.2.4].

Проверим замкнутость графика отображения FpN. Отметим, что для любых x € X и i € I в силу полунепрерывности сверху Jt и компактно сти Xt множество argmaxyex J с (y,x_) определено и непусто. Значит, для любого х € X определено и непусто множество FpN (х). График G(FpN) отображения FpN представляется пересечением графиков G(Ct) отображений Ct (см. (3.24), (3.31)):

G(Fpn) = f| G(Ci).

¿el

Следовательно, в силу аксиом семейства замкнутых множеств замкнутость множеств G(Ct) влечет замкнутость G(FpN). С другой стороны, для любого i € I графи к G(Ct) можно представить в виде

G(Ci) = {(z,w) € X2 | w € Ci(z)} = {(z,w) € X2 | wt € B.(z)} =

= {(z,w) € X2 | wt € argmax Jt((y,z_t))} = {(z,w) € X2 | Jt((wt,z_t)) ^ max Jt((y,z_t))} =

yeXi

= {((zt,x_t), (xt,z_t)) : (z € X)&(Jt((xt,x_J) ^ max Jt((y,x_t)))}.

yeXi

Исходя из полунепрерывности снизу па X_t функции Jt(y, ) при каждом y € Xt проверяется (см. [13, предложение 1.5]), что функция x ^ maxyex Jt((y,x_)) полунепрерывна снизу па X. Тогда с учетом полунепрерывности сверху па X функции Jt получаем, что множество H = {x € X | Jt((xt,x_t)) ^ maxygx, Jt((y,x_t))} замкнуто в X. Следовательно, G(Ct) гомео-

HX

Значит, множество G(Ct) замкнуто. Этим завершается доказательство теоремы.

§ 5. Задача о неупреждающем селекторе м/ф

В работах [6,7,14,15] множества неупреждающих селекторов заданной м/ф представлены в виде неподвижных точек специального отображения (обозначенного как Г). То есть в этих работах выполнено размыкание предиката «быть неупреждающим сектором».

Вместе с тем процесс нахождения размыкающего отображения остался за рамками рассмотрения. В этом пункте, на основе конструкций из указанных работ и следуя схеме (3.26)^(3.29), мы реализуем «рутинное» построение этого размыкающего отображения и с его помощью дадим описание множества неупреждающих селекторов заданной м/ф при ослабленных условиях.

§ 5.1. Неупреждаемость, селектор

1. Всюду в дальнейшем фиксируем непустое множество I и непустое множество X. Полагаем D = I х X. Выберем множество C € P'(X1), элементы которого будут рассматриваться в качестве реализаций управления. Фиксируем непустые множества Y и П € P'(Y1). Элементы ш € П будем использовать в качестве реализаций неопределенных факторов. Введем множество M = P(C)n всех м/ф на П со значениями в C: а(ш) С C при ш € П, а € M.

2. Введем па M частичный порядок С, полагая (ф С ф) ^ (ф(ш) С ф(ш) Vw € П) Уф, ф € M.

Проверим, что ЧУМ (M, С) образует полную решетку. В самом деле, пусть Ф € P(M), то

есть ф(ш) € P(C) для всех ф € Ф и ш € П. Обозначим Ф*(ш) = (Jф(ш), Ф*(ш) = ПфеФ ф(ш),

ш € П. Тогда при любом ш € П выполнены включения Ф*(ш) € Р(С), Ф*(ш) € Р(С). Значит, отображения ш ^ Ф*(ш) и ш ^ Ф*(ш) принадлежат М. С другой стороны, легко проверить, что Ф* С ф С Ф* Уф € Ф. То есть Ф* = ±ф, Ф* = Тф Так как Ф выбиралось произвольно, утверждение доказано.

Для любых ф, ф € М назовем ф селектором ф, если ф С ф.

3. Выберем и зафиксируем произвольное непустое семейство Х € Р(1). Назовем м/ф ф € М Х-неупреждающей, если выполняется условие

Замечание 6. Импликации (5.1) в силу эквиваленций

(ш' € П(ш | А)) ^ (ш € П(ш' | А)) ^ ((ш | А) = (ш' | А)) УА €Х Уш, ш' € П.

и соображений симметрии равносильны импликациям

((ш | А) = (ш' | А)) ^ ((ф(ш) | А) = (ф(ш') | А)) УА € X Уш, ш' € П,

ф

4. Многие задачи сводятся к построению наибольшего Х-неупреждающего селектора некоторой заданной м/ф ф € М, то есть к построению Х-неупреждающей м/ф ф € М, для которой выполняется неравенство ф С ф, и при вся кой Х-неупреждаю щей в € М такой, ч то в С ф, выполняется неравенство в С ф.

Зафиксируем для дальнейшего изложения некоторое многозначное отображение М € М, для которого и будем решать указанную задачу поиска наибольшего Х-неупреждающего селектора. С этой целью введем следующие обозначения: для произвольных А € X Ф С П, ш € П, Н С С, Ь € Си ф € М положим

Ф

Ф

[ф]

Vеп

[ф]

veП

А также в соответствии с (5.1) определим предикат Рпа € «быть Х-неупреждающим

отображением»:

Ргаа

§ 5.2. Размыкание предиката неупреждаемости

Представим М как прямое произведение П экземпляров множества Р(С). Из определения (5.6) следует представление предиката Рпа в форме конъюнкции предикатов вида

Как видно, индексное множество в конъюнкции предикатов, представляющей Ргаа, совпадает

М

I = д = П и определим 9(ш) = ш Уш € П. Тогда имеем

= = р(с), ш € П, М = X = ПXI = П Р(С),

¿е! шеп

Bi = Bw g P(P(C))M, Fpna(ф) = п Bw(Ф) g P(P(C)) = P(M)M.

wen

Мы привели этот список «действующих лиц и исполнителей» для удобства отслеживания схемы (3.20)^(3.29). В дальнейших выкладках мы не будем переходить к обозначениям пункта 3 для сохранения более наглядной связи с содержательной стороной задачи. Модернизируем определение (5.7), используя обозначения (5.4).

Л е м м а 5.1. Справедливо утверждение

Pw

Доказательство. Фиксируем A G X, ш G Q и ф G M. Легко видеть (достаточно в правой части (5.4) рассмотреть v = ш), что всегда выполняются вложения

[ф]

Пусть для h G C выполнено (h | A) G (ф(ш) | A) и пусть Pw(ф) (см. (5.7)(, то есть применительно к выбранным A, ш и ф выполняются соотношения (ш' G 0(ш | A)) ((Ф(ш) | A) с (ф(ш') | A)). Тогда выполнены импликации (ш' G 0(ш | A)) ^ ((h | A) G (ф(ш') | A)), то есть

(h | A) G П (Ф(ш') I A) =[ф](ш | A).

w'en

В силу произвольного выбора h получаем включение (ф(ш) | A) С [ф](ш | A). С учетом (5.9) имеем равенство [ф](ш | A) = (ф(ш) | A). Значит, справедлива импликация

Пусть теперь выполняется следствие в

ргаа

Воспользуемся (3.28) для построения отображений Bw G P(P(C))M (в качестве q, как отмечалось, используем тождественное отображение):

Bw

Напомним (см. (3.21)), что для любых L G PP(C), ф G M и ш G Q м/ф (L, ) G M определена соотношениями

1 ^ \ф(v), v G Q \{ш}. 1 }

Преобразуем (5.12), используя представление (5.8):

Bw

= {L G P(C) | f| ((L, ф-w)(v) | A) = (L | A) VA GX}.

ven

Заметим, что в пересечении (при V = ш) встречается множество (Ь | А), поэтому последнее выражение можно преобразовать следующим образом (см. (5.3), (5.5)):

= {Ь е Р(С) | (ь | А) с р| ((Ь,ф-Ш) (V) | А У А ех} =

= {Ь е Р(С) | (Ь | А С р| (Ф^) | А) VA е X} =

Vеп

= {Ь е Р(С) | (Ь | А с [ф](-ш | А) УА еХ}.

Ь

ства):

= {Ь е Р(С) | Ь с У С(Ь | А) УА еХ}.

Лес

Наконец, реализуем конъюнкцию по А е X и воспользуемся определением булеана Р (продолжаем равенства):

(

{Ь е Р(С) | Ь с р| У С(Ь | А)} = Р

Аех Лес

\

П и С

Аех Лес \

/

Итак, имеем

Вш (Ф) = Р

П и С

Аех Лес \

Уш е П УФ е М.

/

Следуя (3.29), запишем размыкающее отображение ^р>„а е Р(М)м для предиката неупре-ждаемости (5.11):

(

(Ф) = П в- (Ф) = П Р

шеп

шеп

\

П и С

Аех Лес \

УФ е М.

Согласно лемме 3.6 имеем ^р>„а е ЯМ(Ргаа).

§ 5.3. Выделение наибольшего неупреждающего селектора

Возвращаясь к исходной задаче, найдем среди неподвижных точек отображения (5.14) наибольшую, содержащуюся в ЧУМ (Мм, Е), где Мм = {Ф е М | Ф С М}. Так же как и для ЧУМ (М, С), проверяется, что ЧУМ (Мм, С) образует полную решетку.

Определим (см. (3.8)) размыкающее отображение ^(рпа |мм) Для сужения (Ргаа | Мм) предиката Ргаа на непустое подмножество Мм С М. Имеем для всех Ф е Мм

/

^(рпа |Мм)(Ф) = [^р„а | Мм](Ф) = Мм№па(Ф) = Мм П П Р

\

П Р(мм) п П р

Ушеп ) шеп

Аех Лес \

П и С

шеп Аех Лес

\

шеп Аех Лес

\

Воспользуемся леммой 3.4 для построения однозначного селектора м/ф ^(рпа | мм)- Заметим, эта лемма применима, так как ЧУМ (Мм, Е) образует полную решетку (и тем более индуктивное ЧУМ). Напомним, что в рассматриваемом случае отображение ЬЕмм (см. (3.16)) имеет вид ЬЕмм(а) = ЛР(а(ш)), а € Мм- Построим в соответствии с условиями леммы 3.4 отображение 7 € Р(Мм)Мм: для всех ф € Мм

(

7(Ф) = F(pna | mm) (Ф) П LEMM (Ф) = П P

wen

\

п

Aex hec

U M

п*

{

п p

шеп

\

п

Aex hec

IJ ф

/

п p

/

шеп

п

Aex hec

U ФИ

/

В выкладках используются равенство Р(Х)ПР(У) = Р(ХПУ), справедливое для произвольных множеств также свойства декартова произведения [10, гл. IV, § 5]. Заметим, что в силу

включения 0 € Р(Х), где X — любое множество, при всяком ф € Мм выполнено неравенство

7 (Ф) = 0-

Рассмотрим отображение 7 € (Мм)Мм гада 7(0) = вир(мм,с) 7(0) У0 € Мм- Преобразуем его, используя равенства У = 8ир(р(х),с) Р(У), справедливые для произвольных множеств X и К таких, что У С X:

(

7

suP(mm,q гг P

ше п

\

п

Aex hec

U Ф

(

П suP(P(c),c) P

шеп

\

п u фи

Aex hec \

пп u ФИ

/

wen Aex hec

Из представления (5.15) следует, что для любого ф € Мм выполнено включение 7(ф) € 7(ф), то есть 7(ф) = Т7(ф) Уф € Мм. В силу леммы 3.4 получаем, что 7 — сужающая функция и 7 € ЯМ((Р„а | Мм))-

Наконец, воспользуемся подходящими утверждениями теории неподвижных точек для описания искомого наибольшего элемента. Так как 7 — сужающее отображение, действующее Мм

ждающих селекторов м/ф М как множества истинности предиката (Рпа | Мм) •

Предложение 5.1. Пусть а € ORD таково, нто |Мм| равенство

(Ргаа | Мм)-1(1) = (7а(^) : Ф € Мм}.

а. Тогда, выполняется

Представление (5.15) указывает па изотонность функции 7 в (Мм, Е) для всех ф, ф € Мм выполняются импликации (ф = ф) ^ (7(Ф) Е Y(Ф))- Отсюда в силу леммы 2.2 следует, что при любом а € ORD функция 7" также изотопна. Из этого следует (см. теорему Тарско-го [16, Theorem 1]), что множество Fix(7) = (Pna | Мм)-1(1) образует полную подрешетку в (Мм, =)• В частности, множество Fix(7) содержит T(pna |mm)-i(1) — наибольшего неупре-ждающего селектора м/ф M. Воспользуемся изотонностью 7" и представлением (5.16) для описания наибольшего селектора м/ф M:

Предложение 5.2. Пусть а € OR^ |Мм|+ а. Тогда T(Pna | mm)-1(1) = 7°(M).

Утверждение следует из соотношений T(pna | mm)-i(1) = TFix(7) = 7°(Tmm) = 7°(M), в которых второе равенство опирается на изотонность 7" и представление (5.16).

5.4. Г и y

В координатной форме y имеет вид

y

Aex hec

Элиминируя в (5.17) обозначения (5.2), (5.4), получим равенства Г(ф)(ш) = y(Ф)(ш), ф е M, w е П, для итератора Г, определенного в работах [6,7,14,15]:

Г(ф)(ш) = {/ е ФМ | VA eXVw' е Q(w | A) (/ | A) е (ф(ш') | A)} Уф е M Vw е Q.

Предложение 5.2 обобщает представление [6, теорема 6.1], где используется а = ш (наименьший бесконечный ординал). В предложенном описании большая мощность итераций компенсирует отсутствие условий топологического характера на Q, С и M.

Список литературы

1. Kakutani S. A generalization of Brouwer's fixed point theorem // Duke Math. J. 1941. Vol. 8. No. 3. P. 457-459. DOI: 10.1215/S0012-7094-41-00838-4

2. Nash J. Non-cooperative games // Annals of Mathematics. 1951. Vol. 54. No. 2. P. 286-295. DOI: 10.2307/1969529

3. Nikaido H. On von Neuman's minimax theorem // Pacific Journal of Mathematics. 1954. Vol. 4. No. 1. P. 65-72. DOI: 10.2140/pjm.l954.4.65

4. Ченцов А.Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Доклады АН СССР. 1975. Т. 224. № 6. С. 1272-1275.

5. Ченцов А.Г. К игровой задаче наведения // Доклады АН СССР. 1976. Т. 226. № 1. С. 73-76.

6. Ченцов А.Г. Неупреждаюгцие селекторы многозначных отображений // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 1998. № 2. С. 1-64.

7. Ченцов А.Г. Наследственные мультиселекторы многозначных отображений и их построение итерационными методами // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 1999. № 3. С. 1-54.

8. Серков Д.А. Об одном подходе к анализу множества истинности: размыкание предиката // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 4. С. 525-534. DOI: 10.20537/vml60407

9. Serkov D.A. Unlocking of predicate: application to constructing a non-anticipating selection // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 2. С. 283-291. DOI: 10.20537/vml70211

10. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.

11. Serkov D.A. On fixed point theory and its applications to equilibrium models // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование. 2016. Т. 9. № 1. С. 20-31. DOI: 10.14529/mmpl60102

12. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 752 с.

13. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.

14. Ченцов А.Г. Неупреждаюгцие многозначные отображения и их построение с помощью метода программных итераций. I // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 4. С. 470-480.

15. Ченцов А.Г. Неупреждаюгцие многозначные отображения и их построение с помощью метода программных итераций. II // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 5. С. 679-688.

16. Tarski A. A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications // Pacific Journal of Mathematics. 1955. Vol. 5. No. 2. P. 285-309. DOI: 10.2140/pjm. 1955.5.285

Поступила в редакцию 10.10.2017

Серков Дмитрий Александрович, д. ф.-м.н., ведущий научный сотрудник, Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, 620990, Россия, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16; профессор, кафедра вычислительных методов и уравнений математической физики, Институт радиоэлектроники и информационных технологий, Уральский федеральный университет, 620002, Россия, г. Екатеринбург, ул. Мира, 32. E-mail: serkov@imm.uran.ru

D. A. Serkov

On the construction of a predicate truth set

Citation: Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ., 2017, vol. 50, pp. 45-61 (in Russian). Keywords: truth set of predicate, fixed points, Nash equilibrium, nonanticipating mappings. MSC2010: 06E30, 47J25, 47H04, 47H10, 91B50 DOI: 10.20537/2226-3594-2017-50-06

We provide an approach to constructing a predicate truth set, which we refer to as unlocking of predicate. The approach reduces the problem of searching for a predicate truth set to searching for a set of fixed points of some mappings (hereinafter "unlocking mappings"). Unlocking of predicate gives an extra opportunity to analyze the truth set and to build its elements with desired properties. In this paper, we outline how to build unlocking mappings for some general types of predicates: we give a formal definition of the predicate unlocking operation, rules for the construction and calculation of unlocking mappings and their basic properties. As an illustration, we routinely construct unlocking mappings for predicates "be a Nash equilibrium" and "be non-anticipating mapping"; then on this basis we provide expressions for corresponding truth sets.

REFERENCES

1. Kakutani S. A generalization of Brouwer's fixed point theorem, Duke Math. J., 1941, vol. 8, no. 3, pp. 457-459. DOI: 10.1215/S0012-7094-41-00838-4

2. Nash J. Non-cooperative games, Annals of Mathematics, 1951, vol. 54, no. 2, pp. 286-295. DOI: 10.2307/1969529

3. Nikaido H. On von Neumann's minimax theorem, Pacific Journal of Mathematics, 1954, vol. 4, no. 1, pp. 65-72. DOI: 10.2140/pjm.l954.4.65

4. Chentsov A.G. On the structure of a game problem of convergence, Sov. Math. Dokl., 1975, vol. 16, no. 5, pp. 1404-1408.

5. Chentsov A.G. On a game problem of guidance, Sov. Math. Dokl., 1976, vol. 17, pp. 73-77.

6. Chentsov A.G. Non-anticipating selections of multivalued mappings, Differ. Uravn. i Protsessy Upr., 1998, no. 2, pp. 1-64 (in Russian).

7. Chentsov A.G. Hereditary multiselectors of multivalued mappings and their construction by iterative methods, Differ. Uravn. i Protsessy Upr., 1999, no. 3, pp. 1-54 (in Russian).

8. Serkov D.A. An approach to analysis of the set of truth: unlocking of predicate, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2016, vol. 26, issue 4, pp. 525-534 (in Russian). DOI: 10.20537/vml60407

9. Serkov D.A. Unlocking of predicate: application to constructing a non-anticipating selection, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki, 2017, vol. 27, issue 2, pp. 283-291. DOI: 10.20537/vml70211

10. Kuratowski K., Mostowski A. Set theory, Amsterdam: North-Holland, 1967, 417 p. Translated under the title Teoriya mnozhestv, Moscow: Mir, 1970, 416 p.

11. Serkov D.A. On fixed point theory and its applications to equilibrium models, Bulletin of the South Ural State University, Series Mathematical Modelling, Programming and Computer Software, 2016, vol. 9, issue 1, pp. 20-31. DOI: 10.14529/mmpl60102

12. Engelking R. General topology, Warszawa: PWN, 1985, 752 p. Translated under the title Obshchaya topologiya, Moscow: Mir, 1986, 752 p.

13. Aubin J.-P. L'analyse non lineaire et ses motivations economiques, Paris, Masson, 1984, 214 p. Translated under the title Nelineinyi analiz i ego ekonomicheskie prilozheniya, Moscow: Mir, 1988.

14. Chentsov A.G. Nonanticipating multimappings and their construction by the method of program iterations: I, Differential Equations, 2001, vol. 37, issue 4, pp. 498-509. DOI: 10.1023/A:1019275422741

15. Chentsov A.G. Nonanticipating multimappings and their construction by the method of program iterations: II, Differential Equations, 2001, vol. 37, issue 5, pp. 713-723. DOI: 10.1023/A:1019224800877

16. Tarski A. A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications, Pacific Journal of Mathematics, 1955, vol. 5, no. 2, pp. 285-309. DOI: 10.2140/pjm.l955.5.285

Received 10.10.2017

Serkov Dmitrii Aleksandrovich, Doctor of Physics and Mathematics, Leading Researcher, N. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, ul. S. Kovalevskoi, 16, Yekaterinburg, 620990, Russia;

Professor, Ural Federal University, ul. Mira, 32, Yekaterinburg, 620002, Russia. E-mail: serkov@imm.uran.ru