Интегрирование высшего уравнения Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником в классе периодических функций

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том Б. № 1 (2013). С. 102-111.

УДК 517.946

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫСШЕГО УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА С САМОСОГЛАСОВАННЫМ ИСТОЧНИКОМ В КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

М.М. МАТЁКУБОВ, А.Б. ЯХШИМУРАТОВ

Аннотация. В этой работе обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля применяется к интегрированию высшего уравнения Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником в классе периодических функций.

Ключевые слова: оператор Штурма-Лиувилля, обратная спектральная задача, собственное значение, собственная функция, уравнение Кортевега-де Фриза.

1. Введение

В 1967 году в работе [1] американских ученых К. Гарднера, Дж. Грина, М. Крускала и Р. Миуры была установлена интегрируемость уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ), в классе “быстроубывающих” по х функций, с помощью метода обратной задачи рассеяния для уравнения Штурма-Лиувилля. В работе [2] П. Лакс показал универсальность метода обратной задачи рассеяния и обобщил уравнение КдФ, введя понятие высшего (общего) уравнения КдФ.

В работах [3-10] исследовано уравнение КдФ и высшее уравнение КдФ в классе конечнозонных и периодических функций.

В данной работе изучается высшее уравнение КдФ с самосогласованным источником в классе периодических функций.

Отметим, что уравнение КдФ с самосогласованным источником в классе быстроубывающих функций было рассмотрено в работах [11-15] и др., а нелинейные уравнения с источником в классе периодических функций в различных постановках изучены в работах [16-19].

Пусть

1 в3 в .

н = - 2 вХ3 + 2д&Х +д,

где д = д(х, £), а штрих означает производную по х. Согласно [20] существуют полиномы Ри (от д и производных д по х) такие, что

k+i.

Так, например,

л 1 З 1 5 5 2 5 3

P0 = 1, P1 = qi P2 = — 2qxx + 2q , P3 = 4qxxxx — 2qqxx — 4qx + 2q .

Легко доказываются следующие свойства оператора H (см. [20]).

M.M. Matyoqubov, A.B. Yakhshimuratov, Integration of higher Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source in class of periodic functions.

©Матёкубов М.М., Яхшимуратов А.Б. 2013.

Поступила 30 декабря 2011 г.

Лемма 1. Если у(х,г) решение уравнения Штурша-Лиувилля

Дг)у = — у" + д(х,г)у = Ау, х е Д\

то выполняется следующее равенство

Н (у2) = 2А(у2)'.

Лемма 2. При любых у(х), г(х) е С3[0, п] выполняется равенство

П

1 // і о_______ і 1 / 1 II

— г  Яу^ж. о •/

0

Следующее уравнение

д* = НРМ [д], х е Д1, г> 0 называется высшим уравнением КдФ. Используя свойства оператора Н, мы можем переписать это уравнение в виде

д* = Р^+1[д], х е Д1, г> 0.

Например, при N = 0, 1, 2 соответственно имеем

- _1 -I _5 ,15 2

д* дх д* 2 дххх + Зддх , д* 4 дххххх 5дхдхх 2 ддххх + 2 д дх.

2. Постановка задачи

В этой работе рассмотрим следующее высшее уравнение КдФ с самосогласованным источником

сю

д* = Р^+1 [д] + 2Jв

0

с начальным условием

д

где д0(х) е С2л?+1 (Д1) — заданная действительная функция. Требуется найти действительную функцию д(х, г), которая п-периодическая по переменной х:

д

и удовлетворяет условиям гладкости:

д

Здесь в (А, г) е С ([0, то) х [0, то)) — заданная действительная функция, имеющая равномерную асимптотику в(А,г) = О , А ^ то, ^±(х, А, г) — решения Флоке (нормирован-

ные условием ^±(0, А, г) = 1) уравнения Штурма-Лиувилля

Дг)у =-у" + д

в(х, А, г) — решение уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям з(0,А,г) = 0, з'(0, А, г) = 1.

Замечание 1. Покажем равномерную сходимость интеграла, участвующего в уравнении (1). Для этого воспользуемся следующим тождеством

в

где з(х, А, г, т) — решение уравнения

—у/; + д(х + т, г)у = Ау, х е Д1,

удовлетворяющее начальным условиям з(0, А, г, т) = 0, з;(0, А, г, т) = 1.

Из асимптотических формул

... ^ ^ ( 1 \ , . . sin \f\x (1 \

c(x, Л, t) = cos V Ax + О , s(x, A, t) =--=-----------+ О — ,

v ’ ’ ; \VAj ’ v ’ ’ ' ^A VV

c'(x,A,t) = — VAsin VAx + O(1), s'(x, A, t) = cos VAx + O^, (A ^

и равенства

s

следуют оценки

s(n„M,T) = O(^). ds{'tttT] = O(TA)  (A^

Эти оценки и равенство (6) обеспечивают равномерную сходимость интеграла, участвующего в уравнении (1).

Цель данной работы — дать процедуру построения решения q(x,t), ^±(x, A,t) задачи (1)-(5), в рамках обратной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с периодическим коэффициентом.

3. Необходимые сведения

В этом пункте, для полноты изложения, приведем некоторые основные сведения, касающиеся обратной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом (см. [21-26]).

Рассмотрим следующий оператор Штурма-Лиувилля на всей прямой

Ly = — у'' + q

где q(x) — действительная непрерывная п-периодическая функция.

Обозначим через c(x, A) и s(x, A) решения уравнения (7), удовлетворяющие начальным условиям c(0, A) = 1, c'(0, A) = 0 и s(0, A) = 0, s'(0, A) = 1. Функция A(A) = c(n, A) + s'(n, A) называется функцией Ляпунова или дискриминантом Хилла.

Спектр оператора (7) чисто непрерывный и совпадает со следующим множеством

E = {A е R1 : —2 < A(A) < 2 } = [Ao, Ai] U [A2, As] U ... U An, A2n+i] U ....

Интервалы (—то, Ao), (A2n-l, A2n), n =1, 2, ... называются лакунами. Здесь A0, A4^-1, A4fc — собственные значения периодической задачи (у(0) = у(п), у'(0) = у'(п)), а A4fc+l, A4fc+2 — собственные значения антипериодической задачи (у(0) = —у(п), у'(0) = —у'(п)) для уравнения (7).

Пусть £n, n = 1, 2,... корни уравнения s(n, A) = 0. Отметим, что £n, n = 1, 2,... совпадают с собственными значениями задачи Дирихле (у(0) = у(п) = 0) для уравнения (7), кроме того, выполняются следующие включения £n е [A2n-l, A2n], n = 1, 2, ... .

Числа £n, n =1, 2, ... вместе со знаками an = sign{s'(n,£n) — c(n,£n)}, n =1, 2, ...

называются спектральными параметрами задачи (7). Спектральные параметры £n, an, n =1, 2, ... и границы An, n = 0, 1, 2, ... спектра называют спектральными данными оператора (7). Восстановление коэффициента q(x) по спектральным данным называется обратной спектральной задачей для оператора (7).

Спектр оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентом q(x + т) не зависит от действительного параметра т, а спектральные параметры зависят от т: £п(т), 0"п(т), n =1, 2, .... Спектральные параметры удовлетворяют следующей системе уравнений Дубровина

"JTj = 2

X

\

^ Л ^ (А2к-1 - Ы(Л2к - Ы 1

к”- Ло)И йТ-ёП)2 ’ п -1

к= 1

к = п

Система уравнений Дубровина и следующая формула следов

ГО

'О = Ао +

к=1

дают метод решения обратной задачи.

Имеются также другие формулы следов, так например, вторая и третья формулы следов имеют вид

.. ОО

?2(т) - 2 ^тт (т) = а2 + ^ (а2&-1 + а2й - 2^2(г ^

к=1

16дтггг(т) - 35(т)5тт(т) - ^6^(г) + 53(г) =

— Л(° + (Л2к-1 + Л2к; - 26с (т))•

к=1

Используя систему уравнений Дубровина и формулу первого следа, Е. Трубовицу [25] удалось доказать теоремы, связывающие аналитичность потенциала с убыванием длин лакун периодического потенциала оператора Штурма-Лиувилля (7): если д(ж) действительная, аналитическая, п-периодическая функция, то длины Л2п — Л2п-1 лакун стремятся к нулю экспоненциально, т.е. существуют постоянные а > 0, Ь > 0 такие, что Л2п—Л2п-1 < ае-Ьп , п — 1; и наоборот, если д(ж) Є С2 (Я1) действительная п-периодическая функция и длины Л2п — Л2п-1 лакун стремятся к нулю экспоненциально, то д(ж) является аналитической функцией.

В 1946 году Г. Боргом была доказана следующая уникальная теорема (обратная теорема Борга) о периоде потенциала уравнения Хилла (см. [27]): для того чтобы число п/2 являлось периодом потенциала д(ж) уравнения Штурма-Лиувилля (7), необходимо и достаточно двукратность всех корней уравнения Д(Л) + 2 — 0, т.е. необходимо и достаточно “исчезновение” всех лакун с нечетными номерами.

В 1977 году (см. [28]) Х.Хохштадтом дано краткое доказательство, а в 1984 году обобщение этой теоремы Борга (см. [29]): пусть д(ж) Є С 1(Я1) действительная п-периодическая функция. Для того чтобы число п/п являлось периодом потенциала д(ж) уравнения Штурма-Лиувилля (7), необходимо и достаточно “исчезновение” всех лакун, номера которых не делятся на п. Здесь п — 2 натуральное число.

4. Основная теорема

Основной результат настоящей работы заключается в следующей теореме.

Теорема 1. Пусть д(ж,£), ^±(ж,Л,^) — решение задачи (1)-(5). Тогда спектр оператора (5) не зависит от параметра а спектральные параметры £га(£), п — 1, 2, ... , удовлетворяют аналогу системы уравнений Дубровина:

N

\и— 1 ,

£„ — 2(- 1)"-1<т„м] х; (2£„)*-к  Рк[ї(0,і)1 + I 8(п’Л’—ЙЛх

Х\/(£га — Л2га-1)(Л2га — Сга) Х

\

к=1

к=п

К" — Л°)П--------------—^-----------, п — 1,

где знак ага(£) меняется на противоположный при каждом столкновении точки £,(£) с границами своей лакуны [Л2п—1, Л2га]. Кроме того, выполняются следующие начальные условия:

£пС01*=о = , М£)1*=0 = ^ , п > 1,

где , 0",, п > 1 — спектральные параметры оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентом д0(ж).

Доказательство. Вводя обозначение

СЮ

С(ж, £) = в (Л, £)з(п, Л, £) (^+(ж, Л, £)  ^-(х, Л, £))х йЛ,

о

уравнение (1) можно переписать в виде

5* = Рм+1[9] + С

Обозначим через уга(ж,£), п = 1, 2, ... ортонормированные собственные функции задачи Дирихле (у(0) = 0, у(п) = 0) для уравнения (5), с п-периодическим потенциалом д(ж,£), являющимся решением уравнения (10), соответствующие собственным значениям £,(£), п = 1, 2, ... .

Дифференцируя по £ тождество (Ь(£)уга,уга) = £,, и используя симметричность оператора £(£), имеем

Ста

п

= Сп

о

Здесь ( , ) скалярное произведение пространства Ь2(0, п).

Используя (10) и тождество НР* = Р*+1, равенство (11) перепишем в виде

п п

= J у,

оо Пользуясь леммой 1 и леммой 2, преобразуем следующий интеграл

.2/™ +\ ттл Л™ _ I 1 V" „.2 , о„Е> „.2 I 1 П/ /„.2\' 1и („.2\''

Л = [ У,

о

п

- Р*  н(У,)йж = -Р*[9(М)]  [У,2(п,£) - У,2(0,£)] - Р*  2Сп(У„)'йж

,,

о

п -Р*[9(М)]  [У,2(п,£) - У,2(0,£)] + 2С^ Р'  У,

о

22

т.е.

- 2£га  А*-1 = -Р*[д(М)]  [У, (п,£) - у, (м)] Вычисляя следующую сумму

N

Ам - (2£„)м  Ао = ^ (2£„)м-*  (А* - 2£„  7*^) =

*=1

N

= -[у;2(п,() - у,2(0,£)]  £ (2С„)м-*  Р*[5(0,()]

о

п

и интеграл

п п

Ао = J У,(ж,£)нройж = J у,(ж,£)5хйж = -[У,2(п,£) - У,2(М^ оо выводим равенство

N

= -[У,2

*=о

Теперь займемся вычислением второго интеграла в равенстве (12):

п Ю ( п Л

/ с-й* = /Л, ода, 012/ *  (^У* и.

о о о

Интегрируя по частям, нетрудно видеть, что

п п

1 = 2У У,  (^+^- )'йж = У (У,  (^+^-)' - (У„)'  (^+^-)}йж =

00

п

= У - У,^+) + У^^У,^- - У,^-)}йж.

о

Отсюда выводим

1 = ^  [у, 2(п,£) - у,2(0,£)].

Л

Значит,

п СЮ

1 С-У2Йх = [у' 2(п, £) - у' 2(0, £)] • I ^

- Л

С-уП= [уП2

т

ъП

0 0

Подставляя выражения (13) и (14) в (12), получим равенство

= [У,2(п,£) - У,2(0,£)]х

СЮ

х

*=о о ,

Используя равенства

Уга (ж,£) =

С,

п

4(-) = у 52(ж,Сп(^),^)^ж = з/(п,ъ„со,:о дв(п,|л(-),-),

0

имеем

уП2(п,-) - уП2(0,-) = д^І(^) (^/(п,Ш,-) - .

дЛ

Подставляя сюда выражение

1

''га

,га г‘

получим

' 2 / ' 2/п ,ч _ °га(£) ^^2 (Цга(£)) - 4

з/(п,£„,-) - ———— = а„^Д2 (ъ„(^)) - 4,

^

/ 2 ( , 2(0 а„(-)^Д2 (ъ„(-

уп (п,-) - уп (0,-) =-------------эя(п,и*)Л

ЦП(

дЛ

Здесь а„(і) = 5г^п(в/(п,Ъп(-),-) - с(п,Ъп(-},-}}. Из разложений

Д2(Л) - 4 = 4п2(Ло - Л}Д {Ла—1 - Л>(Л2к ~ Л):

к=1

( (-} - Л

5ІП, _

<п,Л,і) = ПД

к=1

к2

следует, что

уп (п,-) — уп (0, -} = 2(—1)П^га(-)\/(Ъ„ — Л2п-1)(Л2п — Сга} X

X

\

го

к= 1 к = п

(С Л \ТТ (Л2к-1 — Ъп)(Л2к — £п}

{ъ" — Л

Из (15) и (16) получим (9).

Теперь докажем независимость от - собственных значений Лп, п = 0, 1, 2, ... периодической и антипериодической задач для уравнения Штурма-Лиувилля (5). Аналогично формуле (15) можно показать, что

П

Лп(і) = У С(ж,і)г>П(ж,і)^ж,

0

где г>п(ж, і) — нормированная собственная функция периодической или антипериодической задачи для уравнения Штурма-Лиувилля (5). Учитывая вид функции С(ж, і), и действуя как прежде, получим Лп(-} = 0.

Теорема доказана.

5. СЛЕДСТВИЯ из основной ТЕОРЕМЫ

Следствие 1. Если вместо д(ж, -} рассмотрим д(ж+т, і), то собственные значения периодической и антипериодической задачи не зависят от параметров т и і, а собственные значения Ъп задачи Дирихле и знаки ап зависят от т и і: Ъп = Ъп(т, -}, = оп(т, і) = ±1,

п > 1. В этом случае, система (9) примет вид

{м го ^

£ (2Ъп}м-*  Рк Ь(т, (}] + / >(п-ЛЛу.<} ^ЛX

к=0 п I

\

/£ Л (Л2^— 1 — Ъп}(Л2к — Ъп} . 1

{Ъп — Ло}П-----------{—г—ъпр------------------ п >1

к=1

к=п

Х\/(Сга — Л2п—1)(Л2п — Сга} х

Здесь

5

го

к2 *=1

Следствие 2. Рассмотрим случай N = 2. В этом случае дифференциальное уравнение (1) примет вид

1 5 15

4 5ХЖЖЖЖ 55Ж5ЖЖ 2 55ЖЖЖ + 25

а система дифференциальных уравнений Дубровина (17) запишется в форме

(СЮ

4Ц2 , 2Ц „ 1 „ ,3 о , / 5(п,Л,£,т)в (Л,£) ^

4Цп + 2Ц«5 - ^5тт + 25 + У-л - ц- ' х

Х\/(Ста — Л2га-1)(Л2га — Ста) Х

\

к=1 к=п

(СГ _ Сп)2

Используя следующие формулы следов

5(г) ^) = Л0 + (Л2Г-1 + Л2Г _ 2^(т, ^)),

Г=1

ГО

^0 + ^ (Л2к-1 Г=1

?2

систему (20) можем переписать в замкнутом виде.

Следствие 3. Эта теорема дает метод решения задачи (19), (2)-(5). Действительно, обозначим через Лп, п = 0, 1, 2, ... , £п(т, £), ап(т,£), п = 1, 2, ... , спектральные данные задачи

—у// + ?(х + т, £)у = Л у, х € Я1.

Найдём спектральные данные Лп, п = 0, 1, 2, ... , £П(т), аП(т), п = 1, 2, ... для уравнения

—у" + <?о(х + т)у = Лу, х € Я1.

Решаем задачу Коши £п(т, £)|*=0 = £П(т), 0"п(т, £)|*=0 = ^П(т), п =1, 2, ... для системы уравнений Дубровина (20). По формуле следов (21) находим решение задачи (19), (2)-(5). После этого нетрудно найти решения Флоке ^±(ж,Л,£).

Замечание 2. Покажем, что построенная функция д(т, £) удовлетворяет уравнению (19). Для этого используем также следующую систему Дубровина

“7^7 = 2( —1)п ^)^(Сп — Л2п-1)(Л2п — Сп) х

х

\

{С \ \ТГ (Л2Г-1 _ Сп)(Л2Г _ Сп) р,

(Сп _ ЛоЩ -----------------------------------------------77-^-, П = 1 2

к=1

к=п

(СГ _ Сп)2

и формулу следов

16Зтттт

= Л0 + X/ (Л2к-1 + Л2к — 2б^^. к=1

Из систем Дубровина (20) и (23) имеем

ді

“ЕГ = { 4С2 + 2Сг 5 _ о ^тт + ^ ^2 + I ^’ ^Л ^ , к > 1-

5(п,Л,і,Г)в(Л,і)^Л [ дСг

дт

Л _ СГ

Из формулы первого следа (21), учитывая (25), находим

д сг

Г=1

ді

Г=1

д Сг

Г=1

Г=1

ГО /

+2/ в (Л,і){ £

«/ I ^ 1

в(п,Л,і,т) дСг

СГ — Л дт

= 1 ^г

• АЛ.

Дифференцируя по т формулы следов (21), (22) и (24), получим

СО г\/= (~О п> -1

2А^ 5т = qT ’ 5т = 2qTTT T’

fc=i fc=i

_2>О t2 5tk — _! _9 + 2

2 / v Sk 5 16 qTTTTT 2qqTTT 8 qTqTT + q qT.

k=1 T

Используя эти равенства и разложение (18) из (26) выводим

СО

1 г 5 15 2 f 5s

qt 4 qTTTTT 5qT qTT 2 qqTTT + 2 q qT + 2 I e (A) t) 5 dA-

0

Из равенства (6) следует, что

1 r 5 15 2

qt 4 qTTTTT 5qT qTT 2 qqTTT + 2 q qT +

0

1 5

+2 / в(A,t)s(n, A,t)— (^+(т, A,t)  ^-(т, A,t)) dA.

0

Следствие 4. Из результатов работы [25] выводим, что если начальная функция q0 (х) является действительной аналитической функцией, то длины A2n — A2n-1 лакун, соответствующие этому коэффициенту, убывают экспоненциально. Так как длины лакун, соответствующие коэффициенту q(x,t), не зависят от t, значит, q(x,t) — является аналитической функцией по х.

Следствие 5. Из обобщенной обратной теоремы Г. Борга (см. [29]) следует, что если q0(х) имеет период П, то решение задачи (19), (2)-(5) q(x,t) является П-периодическим по х.

Пользуясь случаем, авторы выражают благодарность проф. А.Б. Хасанову (Ургенчский государственный университет, Узбекистан) за постановку задачи и обсуждение работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett., 1967. V. 19, № 19, P. 1095-1097.

2. P.D. Lax Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Comm. Pure and Appl. Math., 1968. V. 21. P. 467-490.

3. Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза I // Функц. анализ и прил. 1974. T. 8, № 3. C. 54-66.

4. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Периодический и условно периодический аналоги многосоли-тонных решений уравнения Кортевега-де Фриза // ЖЭТФ, 1974. T. 67, № 12. C. 2131-2143.

5. Марченко В.А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза // Мат. сб. 1974. T. 95, № 3. C. 331356.

6. Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов // Функц. анализ и прил., 1975. T. 9, № 3. C. 41-51.

7. Итс А.Р., Матвеев В.Б. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриза // Теорет. мат. физ., 1975. T. 23, № 1. C. 51-68.

8. P. Lax Periodic solutions of the KdV equations // Lecture in Appl. Math. AMS, 1974. V. 15. P. 85-96.

9. P. Lax Periodic Solutions of the KdV equation // Comm. Pure and Appl. Math., 1975. V. 28. P. 141-188.

10. H.P. McKean, E. Trubowitz Hill’s operator and Hyperelliptic Function Theory in the Presence of infinitely Many Branch Points // Comm. Pure and Appl. Math., 1976. V. 29. P. 143-226.

11. Мельников В.К. Метод интегрирования уравнения Кортевега-де Вриса с самосогласованным источником. Препринт. Дубна, 1988.

12. V.K. Mel’nikov Integration of the nonlinear Schrddinger equation with a source // Inverse Problems, 1992, V. 8. P. 133-147.

13. J. Leon, A. Latifi Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear waves // J.Phys. A: Math. Gen., 1990. V. 23. P. 1385-1403.

14. Уразбоев Г.У., Хасанов А.Б. Интегрирование уравнения Кортевега- де Фриза с самосогласованным источником при начальных данных типа “ступеньки” // Теорет. мат. физ., 2001. T. 129, № 1. C. 38-54.

15. Хасанов А.Б., Уразбоев Г.У. Интегрирование общего уравнения КдФ с правой частью в классе быстроубывающих функций // Узб. матем. журнал., 2003, № 2. C. 53-59.

16. P.G. Grinevich, I.A. Taimanov Spectral conservation laws for periodic nonlinear equations of the Melnikov type // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 2008. V. 224. P. 125-138.

17. Хасанов А.Б., Яхшимуратов А.Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником в классе периодических функций // Теорет. мат. физ. 2010. T. 164, № 2. C. 214— 221.

18. A. Yakhshimuratov The Nonlinear Schrodinger Equation with a Self-consistent Source in the Class of Periodic Functions // Mathematical Physics, Analysis and Geometry, 2011, V. 14. P. 153-169.

19. Яхшимуратов А.Б. Интегрирование уравнения Кортевега-де Фриза со специальным свободным членом в классе периодических функций // Уфимский мат. журнал. 2011. T. 3, № 4. C. 144-150.

20. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: “Наука”, 1984, 240 с.

21. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. В 2-х т. М.: ИЛ, 1961, T. 2, 556 с.

22. W. Magnus, W. Winkler Hill’s equation. New York: Interscience Wiley, 1966.

23. Станкевич И.В. Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // ДАН СССР, 1970, T. 192, № 1. C. 34-37.

24. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора Хилла // Мат. сб., 1975. T. 97, вып. 4. C. 540-606.

25. E. Trubowitz The inverse problem for periodic potentials // Comm. Pure and Appl. Math., 1977. V. 30. P. 321-337.

26. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: “Наука”. 1988. 432 с.

27. G. Borg Eine Umkehrung der Sturm-Liouvillschen Eigenwertaufgabe, Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwerte // Acta Math., 1946. 78. № 2. P. 1-96.

28. H. HochstadtOn a Hill’s equation with double eigenvalues // Proc. Amer. Math. Soc., 1977. V. 65. P. 343-374.

29. H. Hochstadt A Generalization of Borg’s Inverse Theorem for Hill’s Equations // Journal of math. analysis and applications, 102, 1984. P. 599-605.

Мухаммад Махсудович Матёкубов,

Ургенчский государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14,

220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: mmm2210410@mail.ru

Алишер Бекчанович Яхшимуратов,

Ургенчский государственный университет, ул. Х. Алимджана, 14,

220100, г. Ургенч, Узбекистан E-mail: albaron@mail .ru