Формирование зон кинематического упрочнения в материале преграды при ее ударном нагружении

УДК 539.3

Формирование зон кинематического упрочнения в материале преграды при ее ударном нагружении

М.А. Козлова, М.Н. Кривошеина

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

В работе проведено исследование влияния учета кинематического упрочнения на напряженно-деформированное состояние преграды при ее ударном нагружении. Упругопластическое деформирование анизотропной преграды моделируется в трехмерной постановке в рамках механики сплошной среды на основе теории течения. На примере транстропного алюминиевого сплава Д16Т численно моделируется поведение упрочняющегося начально анизотропного материала преграды методом конечных элементов. Показаны характер и особенности распределения зон изменения пределов пластичности материала на растяжение и сжатие в преграде при ее ударном нагружении.

Ключевые слова: пластичность, упрочнение, численное моделирование, анизотропия

Formation of kinematic hardening zones in the target material under impact loading

M.A. Kozlova and M.N. Krivosheina

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

The paper studies the influence of the account for kinematic hardening on the stress-strain state of the target under impact loading. Elastoplastic deformation of the anisotropic target is simulated in the 3D statement within continuum mechanics based on the theory of flow. A transtropic D16T aluminum alloy is used for the finite element simulation of the behavior of the initially anisotropic target material during hardening. We show the distribution pattern and special features of zones of the elastic limit variation in tension and compression in the target under impact loading.

Keywords: plasticity, hardening, numerical simulation, anisotropy

1. Введение

При увеличении нормального напряжения, вызывающего в большинстве металлов и сплавов пластические деформации, происходит упрочнение материала при повторном нагружении в этом же направлении, а при повторном нагружении в обратном направлении материал, наоборот, разупрочняется. В результате влияния эффекта Баушингера исходная поверхность текучести в изотропном материале меняет свои размеры: упрочнение увеличивает размеры этой поверхности, а разупрочнение — уменьшает. Гипотезы упрочнения и разупрочнения основаны на различных представлениях

о геометрических моделях поверхности текучести.

Закон упрочнения, при котором начальная поверхность текучести испытывает перенос, сохраняя при этом

свои размеры и форму, называют трансляционным, или кинематическим, упрочнением. Впервые этот закон был предложен А. Рейссом [1] для описания эффекта Баушингера, позднее В. Прагером [2]. В этом случае происходит смещение центра поверхности нагружения, образ которой представлен в девиаторной плоскости напряжений, по направлению приращения пластической деформации. Однако применение данного закона упрочнения может привести к неверным результатам, так как этот закон не инвариантен относительно возможного изменения числа переменных.

Закон смещения поверхности текучести, предложенный Циглером, имеет существенное отличие от закона Прагера. В этом случае смещение поверхности нагружения происходит в направлении вектора, соеди-

© Козлова М.А., Кривошеина М.Н., 2008

няющего центр поверхности нагружения и точку нагружения. Закон Циглера является инвариантным относительно возможного изменения числа переменных.

К середине двадцатого столетия теории пластического течения и пластического упрочнения материалов получили строгое обоснование математического аппарата в законах связи напряжений и деформаций в работах Сен-Венана, Леви, Мизеса, Рейсса, Прагера, Хоэ-немзера, Одквиста, Шмидта, Тейлора, Ильюшина и др. [3-5].

А.Ю. Ишлинским развита математическая теория пластичности на основе гипотезы кинематического упрочнения [6]. Другой вариант теории пластичности основан на положении о комбинации гипотез изотропного и кинематического упрочнения, он был предложен Ю.И. Кадашевичем и В.В. Новожиловым [7].

В экспериментальных работах [8, 9] показано, что начально анизотропные алюминиевые сплавы обладают кинематическим упрочнением на основе применения закона Циглера.

Целью настоящей работы является исследование влияния учета кинематического упрочнения, используя закон упрочнения Циглера, на характер и особенности распределения в преграде зон изменения пределов пластичности материала на растяжение и сжатие и на напряженно-деформированное состояние преграды при ее ударном нагружении.

В данной работе численно моделируется поведение упрочняющегося начально анизотропного материала в условиях ударного нагружения. Численное моделирование проведено в трехмерной постановке методом конечных элементов.

2. Кинематическое упрочнение среды

Состояние изотропной упрочняющейся пластической среды можно задать через следующие параметры [6]: агу, Г, в? , где Щ —компоненты пластичес-

кой деформации; %• — параметры упрочнения, зависящие от истории нагружения, текущих значений напряжений Од (Од — компоненты симметричного тензора напряжений) и пластических деформаций, но не зависящие от скорости изменения напряжений; — констан-

ты материала; Т—температура; г, у = 1,2,3. Физический смысл параметров упрочнения состоит в том, что они суммируют эффект всех предварительных пластических деформаций, полученных в процессе нагружения материала. В настоящей работе рассматриваются процессы ударного нагружения, которые можно считать адиабатическими, поэтому тепловые эффекты не учитываются.

Тогда уравнение поверхности нагружения можно представить в виде:

В упругой области имеет место следующее неравенство:

При этом процесс приращения напряжений связан с приращениями деформаций обобщенным законом Гука и изменения пластической деформации не происходит. Ограничения, которые вводятся на свойства упрочняющегося упругопластического анизотропного материала, следующие:

1. При разгрузке поверхность 2 не меняется, также приращение пластической деформации и параметров упрочнения равны нулю:

^ = А'^д^~АоУ <0’ йе£ =0, й&=°-

Из определения разгрузки следует, что материал не может обладать «неустойчивой» диаграммой а-8.

2. Нейтральное нагружение. Для непрерывного исчезновения пластических составляющих при переходе к упругому деформированию вводятся нейтральные

изменения с1а„ , лежащие в касательной плоскости к

и

поверхности нагружения и приводящие только к упругой деформации. В этом случае приращения напряжений и деформаций связаны обобщенным законом Гука:

^ = А'^д^~АоУ =0’ йе£ =0, й&=°-

3. При активном нагружении материала происходит изменение поверхности 2:

йУ = ^-АОу >0,

где ,4;у'1 —однородная функция нулевого порядка пере-

менных 8£.

у

Штрих означает, что приращения сГ/ вычисляются только по отношению к изменениям компонент напряжения, т.е. при неизменных пластических деформациях

РГ.

V

/(°у>^>Х,Дг) = 0.

Рис. 1. Схема изменения поверхности пластичности в процессе нагружения

Модельная реализация кинематического упрочнения материала при нагружении, когда начальная поверхность пластичности испытывает перенос, сохраняя при этом свои размеры и форму, показана на рис. 75 из [6]. На рис. 1 схематично показана поверхность пластичности 2, ограничивающая область упругих напряжений Q. Приращение напряжения Да вызывает в направлении, характеризуемом единичным вектором | СТ0 |, изменение предела пластичности. При этом поверхность 2 в результате приращения напряжения Да перешла в по-

*

верхность 2 + Д2. В направлении а01 произошло увеличение предела пластичности на сжатие (упрочнение на

*

сжатие), а в направлении а02 —на растяжение (упрочнение на растяжение).

3. Математическая постановка

Систему координат, с которой связаны тензоры напряжений и деформации, определяем следующим образом: оси декартовой системы координат должны совпадать с главными осями анизотропии материала. И для изотропной, и для анизотропной среды система уравнений, описывающая нестационарные адиабатные движения сжимаемой среды, включает в себя [10]:

- уравнение неразрывности

Эр

— +divpv = 0,

Э t

- уравнения движения сплошной среды

Эст* *

- + г ,

Эхг-

- уравнение энергии

dЕ 1 *

- = — сг е-.

d^ р

Здесь р — плотность среды; V—вектор скорости; —

компоненты вектора массовых сил;

— компоненты вектора скорости, г, у = 1, 2, 3. Дополнительно необходимо записать уравнения, которые характеризуют физические свойства изучаемой среды. Предположим, что полная деформация представима в виде суммы упругой и пластической деформаций, упругая деформация определяется с помощью обобщенного закона Гука:

А<3а

' = Суыекь

At

где Сук1 — компоненты тензора упругих постоянных.

При построении определяющих соотношений пластичности для анизотропных сред необходимо установление начального условия текучести, закона упрочнения, описывающего изменение поверхности нагружения и закона течения, определяющего ориентацию век-

тора приращения пластической деформации. Относительно поверхности нагружения справедлив закон гра-диентности, т.е. приращения векторов пластической деформации нормальны в регулярных точках на поверхности текучести:

где с1а — положительное приращение некоторой скалярной функции, которая должна зависеть от dстг/, О у, Еу и находится в каждом конкретном случае с учетом вида условия пластичности; /— функция пластичности; г,у = = 1,..., 6.

Примем следующие допущения при моделировании упругопластического деформирования анизотропных материалов [11]: пластическое течение материала не зависит от гидростатического напряжения (для материалов, имеющих невысокую степень анизотропии), характеристики упругих свойств не зависят от пластических деформаций, в пластической области материал несжимаем. В этом случае при разложении тензоров напряжений и деформаций на шаровую и девиаторную части будем иметь по 5 независимых компонент девиаторов напряжений и деформаций. Поэтому процесс нагружения можно рассматривать в пятимерном пространстве девиаторов напряжений и деформаций с учетом гидростатического напряжения. Так как в расчетах скорость нагружения составляла 600 м/с, при определении гидростатического напряжения использовалась модель баро-тропной среды.

Процессы нагружения и деформирования ортотроп-ного материала представим в пятимерных векторных пространствах напряжений 5^- и деформаций Эг Ильюшина. Вместо 6 зависимых между собой функций Бу А.А. Ильюшин вводит пять независимых функций Sj так, чтобы преобразования были взаимнооднозначно линейными [12]. Преобразования компонент девиатора напряжений из шестимерного пространства в пятимерное можно записать следующим образом [12]:

*^1 = *^2 = +^221’

= Лб12 , = >/252з, .

В формулах (6) 31 и Б у — компоненты девиаторов напряжений в пятимерном и шестимерном евклидовых вещественных пространствах соответственно. По такому же правилу происходит преобразование компонент девиаторов деформаций, записанных в пятимерном и шестимерном пространствах.

Поскольку рассматриваемые алюминиевые сплавы проявляют свойства и изотропного, и кинематического упрочнения [8] в процессе пластического деформирования, запишем закон изменения поверхности текучести с учетом изотропного и кинематического упрочнения в пятимерном пространстве девиаторов напряжений. Условие пластичности Ковальчука-Косарчука [9] с уче-

том изотропного и кинематического упрочнения материала при варьировании параметра ц трансформируется в условие пластичности Мизеса-Хилла (при Г| = 1), либо в условие пластичности Треска, модифицированное для анизотропных материалов (при г| = 0):

+

| (^з-^з)2 | (^4-а4)2 , (^5-^5)2 ^2_0?

г32 г42 г52

Д(\|/)=1 + ^\|/,

где ц/ = |(д.Эгрс!ЭгР)]12 — накопленная пластическая деформация; Я — функция изотропного упрочнения; — константа изотропного упрочнения материала; /= 1,..., 5.

В случае если Г| Ф 1, поверхность пластичности Ко-вальчука-Косарчука имеет точки, в которых существует несколько нормалей к этой поверхности, т.е. она становиться нерегулярной. В данной работе при расчете каждой из рассматриваемой задач полагалось: г\ = 1, что соответствует условию пластичности Мизеса-Хилла.

Несмотря на то что алюминиевые сплавы обладают изотропным упрочнением [13], в настоящей работе полагалось, что константа изотропного упрочнения материала мала и ^ц/« 1.

Для материалов, свойства которых не зависят от величины гидростатического напряжения, закон кинематического упрочнения Циглера можно записать в виде [14]:

(кх^ед-а,).

Здесь с1^ > 0 — некоторый функционал истории нагружения; аг — компоненты вектора смещения центра поверхности нагружения в пространстве напряжений в направлении /. Величина а = — модуль век-

тора смещения центра поверхности нагружения в пространстве напряжений. В случае если <1е? = 0, то

ас = о.

На основании обработки экспериментальных данных для алюминиевых сплавов в работах [8, 13] получено:

ST (kv) — предел текучести исходного материала при нагружении по лучевой траектории, совпадающей по направлению с мгновенным вектором напряжений; kv — компоненты единичного вектора, совпадающего по направлению с мгновенным вектором напряжений; STq — предел текучести при растяжении в направлении оси Sx; Aq ир — константы материала. При этом da = = 0, если d\j/ = 0.

Функционал нагружения зависит от накопленной пластической деформации, приращения накопленной пластической деформации, компонент девиаторов напряжений, компонент вектора смещения центра поверхности нагружения и констант материала:

SAIL), , 1

d£ = M

Таким образом, закон смещения поверхности нагружения в пятимерном пространстве девиаторов напряжений можно записать в виде:

da -рА0

\?р ‘dyCS. -ос.)

1

Начальные и граничные условия динамического нагружения преграды деформируемым стальным ударником, используемые в данной работе, полностью соответствуют условиям в работе [11]. Скорость ударного нагружения составляет 600 м/с.

4. Результаты расчетов

В представленных результатах расчетов рассматривалось ударное нагружение с использованием ударников двух типов — дискообразных и компактных. Ударники имели цилиндрическую форму, одинаковую массу, но диаметры ударников составляли 30 и 15 мм. Материал ударника—изотропный, сталь 3. Упругоплас-

Рис. 2. Изменение скорости ударника дискообразной (а) и компактной формы (б) при взаимодействии с преградой

Рис. 3. Распределение полей напряжений в преграде при скорости нагружения 600 м/с после 10 мкс процесса: а > 0 (а), щ 0 {6}

тическое течение материала ударника описывается моделью Прандтля-Рейсса с использованием условия пластичности Мизеса. Предел текучести стали равен

1 ГПа.

На рис. 2 сплошной линией обозначена кривая падения скорости ударника при взаимодействии с преградой для случая, когда в материале преграды не учитывается кинематическое упрочнение, т.е. а = 0. Пунктирной линией обозначена кривая падения скорости ударника при учете кинематического упрочнения а > 0.

На рис. 2, а видно, что на интегральные характеристики процесса ударного нагружения преграды учет кинематического упрочнения не влияет. На рис. 3-9 показаны распределения полей напряжений и деформаций в сечении преграды ХОУдля анализа процесса развития зон упрочнения материала преграды. На рис. 3 в сечении преграды показаны распределения полей напряжений (компонент тензора полных напряжений) после 10 мкс процесса для расчетов с учетом и без учета кинематического упрочнения материала преграды. Отличия малы, за исключением большей зоны сжимающих на-

пряжении под центральной частью ударника в случае учета упрочнения материала преграды. Аналогично для других времен процесса, например 20 мкс, отличия показаны на рис. 4.

Распределение полей полных деформаций после 10 и 20 мкс процесса показаны на рис. 5, а и 6, а. В отличие от полей напряжений, распределение которых происходит волновым образом, картина изменения полей деформаций происходит с нарастанием их значений во все время процесса по направлениям, формирующим зону под ударником и в направлении конусовидной поверхности.

На рис. 5, б и 6, б показаны распределения добавочных напряжений Цу которые возникают в направлении оси ОХ после 10 и 20 мкс процесса. Распределения добавочных напряжений, как и полных деформаций, не связаны с волновой картиной распределения напряжений в преграде. Распределение а, в направлениях, перпендикулярных оси нагружения (вдоль оси ОТ), после 10 и 20 мкс процесса показаны на рис.7. Распределения а7 по оси ОТ имеют такой же характер, как и по

с^,, ГПа

0.6

0.2 -0.2 -0.6 -1.0 -1.4

0

Рис. 4. Распределение полей напряжений в преграде при скорости нагружения 600 м/с в момент времени 20 мкс. а > 0 {а), а = 0

I

ос,, МПа 14

-2

-10

-18

Рис. 5. Распределение деформаций {а} и добавочных напряжений (6) в преграде по направлению оси ОХ в момент времени 10 мкс

Й6|, МПа 12

I

12

20

Рис. 6. Распределение деформаций к/ ) и добавочных напряжений (б) в преграде по направлению оси ОХ в момент времени 20 мкс

0!2( МПа 8

4 0

-12

-16

0

с^, МПа 10

6

2

-2

-6

-10

-14

0

Рис. 7. Распределение добавочных напряжений а3 {зон упрочнения) в преграде по направлению по оси ОУв момент времени 10

— Ех 0

~ -0.0

— -0.1

= -0.2

^ _ _ н

- 1 ш

-0.4

-0.5

-0.6 к 1

а,, МПа 12

6

0

-6

-12

0

-16

-22

-26

У

Рис. 8. Распределение деформаций (а) и добавочных напряжений щ (зон упрочнения) (б) в преграде в момент времени 10 мкс

оси ОХ, но уже с обратным знаком. Это объясняется способом ударного нагружения преграды.

Во время процесса под ударником формируется зона сжимающих деформаций вдоль оси ударного нагружения и растягивающих — в перпендикулярном направлении.

Из рисунков 5, б, 6, б и 7 ясно, что в одних и тех же точках преграды возникает упрочнение на сжатие вдоль одной оси и упрочнение на растяжение в перпендикулярном направлении. Поэтому учет кинематического упрочнения независимо от уровня возникающих добавочных напряжений не влияет на интегральную характеристику процесса нагружения — торможение улар-ника (рис. 2, а).

Аналогичная ситуация с распределением добавочных напряжений наблюдается для ударников такой же массы, но компактной формы. На рис. 8 показано распределение деформаций в преграде в направлении оси ОХ в момент времени 10 мкс и распределение добавочных напряжений (зон упрочнения) в преграде в направ-

лении оси ОХ. Достигнутый уровень деформаций в преграде под ударником в этом случае в два раза превышает показанный на рис. 5, а. При нагружении преграды компактным ударником значения сжимающих добавочных напряжений больше, т.е. в преграде в этом случае материал в большей степени упрочняется на сжатие и в равной на растяжение в направлении оси удара (рис. 5, б и 8, б).

На интегральные характеристики процесса нагружения преграды ударником компактной формы учет кинематического нагружения также не влияет (рис. 2, б).

При нормальном ударном нагружении преграды после 20 мкс процесса картина распределения зон упрочнения в материале преграды выглядит следующим образом (рис. 9, а): в направлении оси удара непосредственно под ударником формируется зона упрочнения на сжатие, которая со временем распространяется до свободной поверхности, а примерно под углом 45° распространяется конусообразная зона упрочнения на растяжение. Как и в случае нагружения дискообразным удар-

ос,, МПа 10

otj, МПа — 12

— -5

-10

-15

-20

-25

-02

-08

-12

-16

Рис. 9. Распределение добавочных напряжений (зон упрочнения) в преграде по направлению по оси ОХ (а) и О Г (б) в момент времени 20 мкс

ником, кинематическое упрочнение материала преграды в направлениях, перпендикулярных оси удара {О У и ОТ), распределяется следующим образом: под ударником с момента появления пластической деформации формируется и распространяется до свободной поверхности преграды зона упрочнения материала на растяжение, под углом 45° формируется со временем зона упрочнения на сжатие. Таким образом, в одних и тех же точках преграды во взаимноперпендикулярных направлениях возникают добавочные напряжения противоположных знаков (рис. 9), что приводит к изменению значений пределов текучести материала в этих точках также противоположных знаков. Такой характер изменения пределов текучести материала преграды объясняется способом ее нагружения. В этом случае в направлении оси удара материал преграды испытывает в основном пластическую деформацию сжатия, а в перпендикулярных направлениях — пластическую деформацию растяжения.

5, Выводы

При численном моделировании ударного нагружения преграды с учетом кинематического упрочнения транстропного материала на примере алюминиевого сплава Д16Т показано, что:

1. Учет кинематического упрочнения транстропного материала преграды на интегральные характеристики процесса нагружения не влияет вследствие того, что для точек преграды во взаимноперпендикулярных направлениях возникают добавочные напряжения противоположных знаков.

2. Значения компонент тензора добавочных напряжений не связаны с волновой картиной напряженного состояния преграды, а только с распределением значений компонент тензора полной деформации в соответствующем направлении.

Работа выполнена по проекту 3.6.1.2 программы фундаментальных исследований СО РАН и при частичной поддержке гранта РФФИ № 06-01-00081.

Литература

1. Reuss A. Vereinfachte Berechnung der plastischen Formanderungs-geschwindigkeiten bei Voraussetzung der Schubspannungfliesbedin-gung // / AVIVI. - 1933. - Bd. 13. - Nb. 5. - S. 356-360.

2. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тал. - М.: Иностр. лит-ра, 1956. - 398 с.

3. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых телах за пределом упругости // Теория пластичности. - М.: ИИЛ, 1948. - С. 2(1 23.

4. Хотемзер К. Математическая теория пластичности. - М.: ГИТТЛ,

1956. - 407 с.

5. Шмидт Р. О зависимости между напряжениями и деформациями в области упрочнения// Теория пластичности. -М,;:ИИЛ, 1948. -С. 231-256.

6. Ишлинекий А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. - М.: Физматлит, 2001. - 704 с.

7. Новожилов В.В., Кадашевич Ю.И Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения // Прикладная математика и механика. - 1958. - Т. 22. - Вып. 1. - С. 78-89-

8. КосарчукВ.В., Ковальчук Б .И., Лебедев А.А. Экспериментальное исследование законов упрочнения начально анизотропных материалов // Проблемы прочности. - 1982. - №9,- С. 3-9.

9. Косарчук В. В., Ковальчук Б. И., Мельников С.А. Экспериментальная

проверка определяющих соотношений теории пластического течения анизотропных сред//Проблемы прочности. - 1991. -№11. -С. 19-25.

10. Седов ЯШ, Механика Сплошных сред. Т. 2. - М.: Наука, 1976. -574 с.

11. Кривошеина М.Н. Упругопластическое деформирование анизотропных материалов при динамических нагрузках // Физ. мезо-мех. - 2006. - Т. 1 - № 2. - С. 37-42.

12. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963.-271 с.

13. ВавакинА.С,, Златомрежев С.А., Касатиков В Н., Степанов Л.П. Экспериментальное исследование упругопластических свойств алюминиевых сплавов АМгб и Д16 при пропорциональном деформировании. - М., 1984. - 42 с, / Препринт Ин-та пробл, механики АН СССР.

14. Ziegler Н. A modification of Prager’s hardening rule // Quart. Appl. Math. - 1959. -V. 17. - No. 1. - P. 55-65.

Поступила, в редакцию

------------------------- 21.03.2008 г.

Сведения об авторах

Козлова Мария Александровна, к.ф.-м.н.,. младщии научный сотрудник ИФПМ СО РАН

КривоШеина Марина Николаевна, к.ф.-м.н., старший научный сотрудник ИФПМ СО РАН, niarma@ispms.tse.ru, ffiaririfc@gmail.ru