К гипотезе общего положения плоскостей

тождество {x,y}m = 0, то в многообразии V будет выполнено тождество (9). Таким образом, из условия (iii) получаем условие (ii).

Равносильность условий (i) и (iv) следует из работы [3, теорема 12]. Импликация (ii) ^ (v) следует из леммы 4.

Докажем импликацию (v) ^ (iii). Для начала покажем, что ln(U2) ^ n для любого n. Фиксируем n. Обозначим через Mk множество всех элементов вида (4), у которых p = k. Тогда линейная оболочка элементов множества Mk будет являться KS.^-модулем. Так как для ненулевых KSn-модулей Mk число k может принимать любое значение из множества {0, 2, 3,... , n}, то ln(U2) ^ n.

Далее, в работе [2] показано, что ln(G) = n для любого n. Поэтому если кодлина многообразия V является конечной, то U2 / V, G / V. Теорема доказана.

Следствие.

(ii) Если рост многообразия алгебр Пуассона не является полиномиально ограниченным, то cn(V) ^ 2n-1 для любого n

Доказательство следует из теорем 1-3.

Автор выражает благодарность профессору С. П. Мищенко за внимание к работе. Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-01-00209а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

2. Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M., Regev A. Poisson PI algebras ^ Trans. Amer. Math. Soc. 2007. 359, N 10. 4669-4694.

3. Зельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли ^ Сиб. матем. журн. 1988. 29, № 5. 112-117.

4. Рацеев С.М. Рост в алгебрах Пуассона У У Алгебра и логика. 2011. 5G, № 1. 68-88.

5. Кемер А.Р. Шпехтовость T-идеалов со степенным ростом коразмерностей ^ Сиб. матем. журн. 1978. 19, № 1. 54-69.

Поступила в редакцию 16.09.2011

УДК 515.12

К ГИПОТЕЗЕ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ

С. А. Богатый1

В некоторых частных случаях доказывается плотность множества таких отображений n-мерного компакта в m-мерное евклидово пространство, что множество всех d-мерных плоскостей, мощность прообраза которых ^ q, имеет размерность ^ qn — (q — d — l)(m — d).

Ключевые слова: размерность, вложение, евклидово пространство.

We prove that for some special cases the set of all continuous mappings of an n-dimensional compactum in an m-dimensional Euclidean space such that the set of all d-dimensional planes having the cardinality of the preimage ^ q has the dimension ^ qn — (q — d — 1)(m — d), is dense.

Key words: dimension, embedding, Euclidean space.

1. Введение. В работе [1, вопрос 5] сформулирована параметрическая проблема маломерности множества наборов точек, попадающих на плоскость заданной размерности. Приведем аналогичную непараметрическую гипотезу на языке плоскостей.

1 Богатый Семеон Антонович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: bogatyi@inbox.ru.

Через Gm,d обозначается многообразие Грассмана всех d-мерных подпространств в m-мерном векторном пространстве, которое отождествляется с однородным пространством O(m)/O(d) х O(m — d) и берется в факторной топологии [2, ч. II, гл. 1, § 5, 2. д)]. Пополнение точечного аффинного пространства до проективного пространства, осуществляемое с помощью перехода к модели связки, порождает естественное вложение Mm>d С Gm+i,d+i, где Mm>d означает множество всех d-мерных плоскостей в m-мерном аффинном пространстве Rm. Далее на Mm>d берется индуцированная топология.

Для отображения f: X ^ Rm пусть

, , Г d существуют такие попарно различные 1

P(m'd'q)^n G Mm'd : точки G X, что f (xi) ,...,f (Xq) G П* J '

Гипотеза 1. Для целых чисел n, m, d, q, таких, что 0 ^ n, 0 ^ d, n + d + 1 ^ m, 1 ^ q, для всякого компакта X с dimX ^ n множество H(n, m, d, q) таких отображений f: X ^ Rm, что

dimP

образует плотное G<s-множество в пространстве C(X, Rm) всех непрерывных отображений X в Rm.

Понятно, что требования n, d ^ 0 являются естественными. При q = 0 число в правой части (*) равно (d + 1)(m — d) = dim Mm d, т.е. гипотеза 1 бессодержательна. Поэтому требование q ^ 1 является естественным. При m ^ n + d для числа в правой части (*) имеет место оценка ^ n + d(m — d) ^ (d + 1)(m — d) = dim Mm>d, т.е. гипотеза 1 опять бессодержательна. Поэтому и требование m ^ n + d + 1 также является естественным.

При d = 0 гипотеза 1 превращается в теорему Гуревича 1933 г. [3]. В 2004 г. Тункали и Вылов [4] доказали гипотезу 1 (при d = 0) в значительно более сильном параметрическом виде.

Если число qn + (d +1 — q)(m — d) в правой части неравенства (*) отрицательно, то утверждение гипотезы 1 заключается в том, что множество P(m, d, q) пусто. При d = 0, q = 2 возникает условие m ^ 2n +1 из знаменитой теоремы вложения Небелинга-Понтрягина. При d = k — 1, q = k + 1 возникает условие m ^ kn + n + k из теоремы Болтянского о плотности множества k-регулярных отображений [5]. Богатый [6] и Гудселл [7] доказали гипотезу 1 при q = 5,d = 1,n = 1,m = 3. В общем случае (при qn + (d + 1 — q)(m — d) ^ —1) гипотезу 1 доказали в 2005 г. Богатый и Вылов [8, следствие 1.6 при t = 0,T = m].

Богатая, Богатый и Вылов [9] доказали гипотезу 1 в следующих четырех "размерностных" случаях: 1) q = 1; 2) q = 2, d = 1, m ^ 2n + 1; 3) q = 3, d = 1, m ^ 2n + 1 и 4) q = 4, d = 1, n = 1, m = 3.

В настоящей работе получены усиления трех последних случаев работы [9]. Именно доказывается справедливость гипотезы 1 в следующих четырех частных случаях: 2') q = 2; q') m ^ qn + q — 1; q'') d = q — 2, m ^ (q — 1)n + q — 2 и 4') q = 4, d = 1, m = 2n + 1.

2. Линейная алгебра. Будем считать, что фиксировано некоторое m-мерное векторное пространство Vm. Для его подпространства V" С Vm и неотрицательного целого r пусть Gm>d;y= {Vd G Gm,d : dim(VdП V") = r} и Gm>d;yn = Ur^Gm;d;yn,_R. Иногда обозначения сокращаются до От^;п,г и соответственно. В дальнейшем важное значение имеют следующие утверждения.

Предложение 1. Если n + d > m + r, то множество Gm;d;n,r пусто.

Предложение 2. Множество Gm,d]n,^r замкнуто.

Предложение 3. Если n + d ^ m, то множество Gm;d;n,o является всюду плотным и открытым. В частности,

dim Gm,d;n,o = d(m — d).

Для подпространств V""1 С Vm и неотрицательных целых чисел r^, i = 1,...,q, пусть

Gm,d;V1n1 ,ri;...;yqnq = ni=1Gm,d;^"i ,п и Gm,d;V1n1 ,>i;...;V™q ,>rq = ni=1Gm,d;^"i •

Главная задача этого раздела заключается в вычислении размерностей вышеопределенных множеств. Однако для приложений важна ситуация подпространств, "находящихся в общем положении", поэтому в основном дальнейшие результаты получаются в соответствующих предположениях.

Предложение 4 [9, предложение 3.1]. Если n + d ^ m + r, r ^ d и r ^ n, то

dim Gm,d;n,r = r(n — r) + (d — r)(m — d).

Предложение 5. Пусть У™1, У"2 С Vт и = У™1 П У"2 • Если справедливы неравенства Го ^ d, Г1 + г2 — го ^ d, щ + d ^ т + г^, го ^ г ^ г = 0,1,2, то

^тДУ" ,г1;У2"2 ,г2;У°"° >г° = Г0(п0 — Го) + (г1 — Го)(п1 — г1) +

+ (Г2 — Го)(П2 — Г2) + ^ + Го — Г1 — Г2)(т — d). Доказательство. Пусть d = Г1 + Г2 — Го. Рассмотрим отображение

V : ^тДУ"1 ,Г1;УТ2 ,Г2;У0"°,Г° ^ СУ0"° ,г°, = П ^сТ •

Построенное отображение является локально тривиальным расслоением со слоем

П(Уг°)Х,Г1-Г°;У°П°П(Уг°,о Х П(Уг°,Г2-Г°;У°"°П(Уг°

Размерность сомножителей слоя вычисляется по предложению 3. Так как размерность произведения (многообразий) равна сумме размерностей сомножителей, то в рассматриваемом случае формула доказана. Пусть d > Г1 + Г2 — Го. Рассмотрим отображение

V : ^тДУ™1 ,Г1;У2П2 ,Г2;У0П° ,г° ^ ^т.п+^-г^У"1 ,Г1;У2"2 ,Г2;У0"° ,г°, ^ = УГ1 + У2Г2 ,

где У^1 = П У"1 и УГ2 = VЛ П У2""2. Построенное отображение является локально тривиальным расслоением со слоем СУтп(У1Г1 +Ур)± ¿+Г°-Г1-Г2;У™1 п(У1г1 )х ^У"п(У,г2о. Размерность слоя вычисляется согласно предложению 3.

Следствие 1. Пусть У"1 ,У2""2 С Ут и = У"1 П У2""2 • Если справедливы неравенства Го ^ d, г1 + г2 — го ^ d, щ + d ^ т + г^, го ^ г ^ г = 0,1,2, то

СтДУп ,^г1;У2"2 ,^г2;У1"°,г° = Го(по — Го) + (г1 — Го)(п1 — Г1) +

+ (Г2 — Го)(п2 — Г2) + ^ + Го — Г1 — Г2)(т — d)• Доказательство. Действительно,

^тДУ" )Г1;У2"2 ^У" ,г° — ^тДУ" ,Г1+1;У2"2 ^У" ,г° = т — П1 — d + 2г + 1 ^ Г + 1 > 0

Дальнейшее следует из теоремы суммы для размерности и предложения 2.

Следствие 2. Пусть У™1 ,У2""2 С Ут и = У"1 П У2""2. Если справедливы неравенства Го ^ d, г1 + г2 — го ^ d, щ + d ^ т + г, го ^ г ^ щ, г = 0,1,2, и по = тах{п1 + п2 — т, 0}, то

СтДУп ,>г1;У2"2 ,>2;У°"°= Го(по — Го) + (г1 — Го)(п1 — Г1) +

+(Г2 — Го)(п2 — Г2) + (d + Го — Г1 — Г2)(т — d)•

Доказательство. При по =0 утверждение совпадает со следствием 1. При по ^ 1, согласно следствию 1, достаточно рассмотреть только возрастание по Го:

^т.^;^"1 ,Г1;У2П2 ,Г2;У™° ,г° — ^тДУ™1 ,Г1;У2"2 ,Г2;У™° ,г°+1 =

= п1 + п2 — т — по + d — г1 — г2 + 2го + 1 ^ го + 1 > 0.

Приведем теперь важный в дальнейшем точечный вариант. Для множества М С Кт через П(М) обозначается аффинная оболочка, т.е. наименьшая плоскость, содержащая М.

Следствие 3. Пусть у точек £ Мт, г = 1, 2, ] = 1,...,щ + 1, множество всех координат алгебраически независимо. Тогда справедливо неравенство

ё1т М

тДП«^}"=+1),^о;П({А2,^^ П1 + П2 + ^ — 1)(т — d)•

Доказательство. Так как у заданных точек множество всех координат алгебраически независимо, то они находятся в общем положении. Без ограничения общности можно считать, что т + 1 ^ т, г = 1, 2. Через У-"'г+1 обозначим образы рассматриваемых плоскостей при проективизации.

Если m ^ ni + П2 + 1, то V1ni+1 П V"^1 = {0} и рассматриваемое множество естественным образом содержится в Gm+i d+^y^+i >i-y"2+i >г Согласно предложению 5, размерность последнего множества

равна ni + n2 + (d — 1)(m — d).

Если m ^ ni + П2, то рассматриваемое множество естественным образом содержится в объединении

Gm+1 )d+i;yi"l + 1)>i;y2"2+1 ,>1;У0"о+1 > и Gm+1 >d+i;V»0+1 ,>1, где = V^ П и n0 = ni + n2 — m-

Согласно следствию 1, размерность последних множеств равна ni + П2 + (d — 1)(m — d) и no + d(m — d) < ni + n2 + (d — 1)(m — d) соответственно.

Предложение 6. Пусть Vi" С Vm, i = — подпространства, образующие прямую сумму.

Если справедливы неравенства^, q=i Ti ^ d, n + d ^ m + Ti, Ti ^ ni, i = то

q

i=1 ^ i=1 ' Доказательство. Пусть d = У^q=-, г». Рассмотрим отображение ю: G ,Vn1 ,„», ^Пq=i Gy«i r.,

* ^ j— 1 Vi ,Г 1;...; У q ,Гд i— 1 Vi ,Г 4

= (УП У™1,П V? 9). Построенное отображение является гомеоморфизмом, поэтому в данном случае формула доказана.

Пусть d > ^Гг. Рассмотрим отображение

9

Ю : Gm,d; У™1 ,ri;...;y,"q,r, ^ Gm,E?=i r^"1 ,ri;...;y^q ,r,' = E ^

i=1

где уГч = V П У""1, г = 1,...,д. Построенное отображение является локально тривиальным расслоением со слоем ч уч ^х 1 г -Уп1 п(УГ1 )х о- -УПдп(УГд)х 0. Размерность слоя вычисляется согласно предложению 3.

Следствие 4. Пусть у точек £ Мт, г = 1,...,д, j = 1,...,п + 1, множество всех координат алгебраически независимо. Если т ^ ^9=1 П + д — 1, то справедливо неравенство

q

dim Mm,d;n

i=1

Предложение 7. Пусть подпространства V" С Vm, i = 1,...,k, образуют прямую сумму. Если для подпространства Vr С Vm существует такое подпространство Vkr С Vm, что Vr С Vkr и dim Vkr П V" ^ r для всех i = 1,...,k, то dim Vkr П Vi" = r для всех i = 1,...,k и Vr С фк=1 V". Если при этом подпространство Vr образует прямую сумму со всяким семейством (k — 1)-го подпространства Vi", то такое подпространство Vkr существует и единственно.

Доказательство. Пусть существует такое подпространство Vkr. Так как V r D j=iVj, где Vj = Vkr П Vi", и dim Vi ^ r, то dim Vi = r для всех i = 1,...,k и Vkr = ©J^V С ©kUVi".

Пусть теперь подпространство Vr С ©¿LiV""1 образует прямую сумму со всяким семейством (k — 1)-го подпространства Vi". Построим требуемое подпространство Vkr. Введем обозначения Wj = ©i=jVi"4, j = 1,...,k. Пусть Lj = Vr + Wj. Покажем, что подпространство V = ^=1^ является искомым. Так как Vr С Lj для всех j, то Vr С V. Вычислим размерность подпространства V П = (П^^г) П = LjП j. Согласно условию, dim Lj = ni. По формуле Грассмана dim(LjПУ") = dim Lj+dim Vj"j —

dim(Lj + Vj") = r + ^i=j ni+nj — ^i ni = r. Теперь индукцией по l докажем, что dim ^-^L^ = lr + i>i ni. База индукции (l = 1) справедлива. Индуктивный переход проверяется с помощью формулы Грассмана dim П j+11L j = dim +dim L^+i — dim ©iV" = lr + Хл>г ni + r + £]i=z+1 ni — Хл ni = (l + 1)r + i>l+1 ni.

Всякое удовлетворяющее условию подпространство Vkr содержится в построенном подпространстве V, а значит, совпадает с ним. Доказательство завершено.

Следствие 5. Пусть Vm является суммой таких подпространств Vi", i = 1,...,q, что любые (q — 1) подпространств образуют прямую сумму. Если r ^ ni для всех i = 1,...,q, то

dim Gm,(q-1)r;yi"i ^г;...^ ,>r = ^ ^ ni — m — T

^ i=1

Доказательство. Действительно, согласно предложению 7, рассматриваемое множество естественным образом гомеоморфно пространству G/m, размерность которого считается по формуле

(г=1 Ч )MVq >r

Грассмана.

Следствие 6. Пусть у точек Ajj £ Rm, i = 1,...,q, j = 1,...,n + 1, множество всех координат

алгебраически независимо. Если m ^ ^¿=j n + q — 2 для всякого j = то справедливо неравенство

q

dimM „Ш(, ,n?+u n + q — m — 2.

i=1

Упростим дальнейшие формулировки, введя некоторые обозначения. Для векторного пространства V" и линейного оператора A: V" м V" построим векторное пространство V2" = V" х V" и четыре его n-мерных подпространства: V™ = {(x, 0) : x £ V"}, V2" = {(0, x) : x £ V"}, V3ra = {(x, x) : x £ V"}, V4" = {(x, A(x)) : x £ V"}.

Предложение 8. Если у оператора A все действительные собственные числа имеют кратность один, то имеется не более n таких двумерных подпространств V2 С V2", что dim(V2 П Vj") ^ 1 для всех i = 1, 2, 3, 4.

Доказательство. Пусть V2 — искомое подпространство. Поскольку подпространства V" и V" образуют прямую, то имеются такие два ненулевых вектора x, y £ V", что

V2 = {(Ax, vy) : Л, v £ R }.

Из условия dim(V2 П V") ^ 1 следует, что y = ^x для некоторого ненулевого числа ^ £ R. Без ограничения общности можно считать, что y = x, т.е. V2 = {(Ax, vx) : Л, v £ R } для некоторого ненулевого вектора x £ V". Из условия dim(V2 П V") ^ 1 следует, что (Ax, vx) = (z, A(z)) для некоторого ненулевого вектора z £ V". Последнее означает, что вектор x является собственным, т.е. V2 = {(Ax, vx) : Л, v £ R } для некоторого собственного вектора x £ V". В заданных условиях имеется не более n собственных векторов, рассматриваемых с точностью до пропорциональности.

Предложение 9. Для всякого n-мерного подпространства W" С V2", образующего с V" прямую сумму, существует такой линейный оператор A: V" м V", что W" = V"-

Доказательство. Так как по условию V2" = W"  V", то для всякого вектора x £ V" существуют такие векторы y, z, t £ V", что (y, z) £ W" и (x, 0) = (y, z) + (0, t). Поскольку W" является подпространством, построенное отображение x м z — искомый линейный оператор.

Следующее утверждение является частным случаем классификационной теоремы Гельфанда-Поно-марева, но для полноты приведем его доказательство.

Предложение 10. Если в 2n-мерном векторном, пространстве даны три n-мерных подпространства, любые два из которых образуют прямую сумму, то конфигурация линейно эквивалентна тройке подпространств Vj", i = 1, 2, 3.

Доказательство. Пусть W", W", W" С W2" — заданная конфигурация. Фиксируем в W" некоторый базис ei,..., в". Так как по условию W2" = W"  W", то существуют такие векторы fi,..., f" £ W" и g1,..., gra £ W", что ej = fj + gi для всех i = 1,...,n. Поскольку по условию W2" = W"  W", векторы gi,..., g" £ W" образуют базис W". Аналогично векторы fi,..., f" £ W" образуют базис W". Отождествление базисов fi,..., f" и gi,..., gra порождает искомую эквивалентность.

Следствие 7. Если в 2n-мерном векторном, пространстве даны четыре n-мерных подпространства, то сколь угодно малым шевелением их можно привести в такое положение, что будет не более n двумерных подпространств, имеющих с каждым новым подпространством общий ненулевой вектор.

Доказательство. Сколь угодно малым шевелением подпространства можно привести в "общее положение", т.е. можно считать, что любые два из них образуют прямую сумму. Согласно предложению 10, можно считать, что в V2" даны подпространства V", i = 1, 2, 3, и подпространство W", образующее с каждым из них прямую сумму. Рассмотрим оператор A: V" м V", порождающий, согласно предложению 9, подпространство WСколь угодно малым изменением оператор A можно преобразовать в оператор с простым спектром. После всех изменений попадаем в условия предложения 8.

Следствие 8. Для заданных точек Ajj £ R2ra+i, i = 1,..., 4, j = 1,...,n + 1, и e > 0 существуют такие точки Bjj £ R2ra+i, i = 1,..., 4, j = 1,...,n + 1, что £?(Ajj, Bjj) < e для всех i = 1,..., 4, j = 1,...,n + 1 и множество M^+i i;n1({B1  }n+i) >o; ;Щ({В4  }n+i) >0 состоит не более чем из (n + 1) прямой.

3. Следствия и проблемы. Из следствий 3, 4, 6 и 8 с помощью результатов [9, разд. 4] теперь получается справедливость гипотезы 1 для указанных в последнем абзаце введения случаев, а с помощью результатов [9, разд. 5] — "нульмерно-параметрический" вариант гипотезы.

Для отображения f: X м Y пусть H(m, d, q) С C(X, Rm) — множество таких отображений g: X м Rm, что

dimP

для ограничения gf-i(y) на всякий слой. Пространство C(X, Rm) всех непрерывных отображений рассматривается в основной предельной топологии.

Теорема. Пусть f : X ^ Y — совершенное n-мерное отображение метризуемых пространств и dim Y = 0. Тогда множество H(m, d, q) С C(X, Rm) является плотным G-подмножеством в следующих четырех случаях: 1) q = 2; 2) m ^ qn + q — 1; 3) d = q — 2, m ^ (q — 1)n + q — 2 и 4) q = 4, d =1, m = 2n + 1.

Как уже отмечено выше, теорема является следствием утверждений линейной алгебры и общих рассуждений работы [9]. Сформулируем "фундамент" основной гипотезы 1 в рамках линейной алгебры.

Гипотеза 2. Любые подпространства , •••, W" С Vm сколь угодно малым шевелением можно

заменить на такие подпространства V™1,..., V"9 С Vm, что

q

dim Gm,d;V1ni ,>1;...;<?,>1 < E ^ — q —

i=1

Аффинный вариант можно сформулировать в следующем виде.

Гипотеза 3. Заданные точки Ajj G Rm, i = 1,...,q, j = 1,..., n + 1, сколь угодно малым шевелением

можно заменить на такие точки Bjj G Rm, i = 1,...,q, j = + 1, что

q

dim Mm,d;n

i=1

Гипотеза 4. Пусть у точек Ajj G Rm, i = 1,...,q, j = + 1, множество всех координат

алгебраически независимо. Тогда

q

dim Mm,d;n

i=1

Кажется правдоподобным, что гипотезы 2-4 неулучшаемы. Некоторый вариант "неулучшаемости" сформулирован в [10, гипотезы 4.5 и 4.5']. Следующий вариант является более естественным и важным.

Гипотеза 5. Для всяких чисел n, m,d, q, таких, что n + d ^ m, d +1 ^ q, существует такое отображение f : Д" ^ Rm и e > 0, что для всякого отображения g : Д" ^ Rm с g(f, g) < е справедливо неравенство

dimP(m, d, q) ^ n + d(m — d) — (q — 1)(m — n — d) = qn — (q — d — 1)(m — d).

На уровне непустоты множества P(m, d, q) (т.е. при qn + (d +1 — q)(m — d) ^ 0) гипотеза 5 доказана в работе [11].

Вместо секущих d-мерных плоскостей можно рассматривать наборы точек мощности q, образы которых лежат на d-мерной плоскости. Положительные результаты в этом случае получаются повторением рассуждений работы [9] с опорой на соответствующие результаты линейной алгебры (при подходящих условиях на n, m, d, q). Аналог гипотезы 5 в терминах наборов точек сформулирован в [8, гипотезы 4 и 5].

Работа поддержана грантами НШ № 1562.2008.1 и РФФИ № 09-01-00741а и написана во время пребывания в филиале МГУ в г. Баку, сотрудников и студентов которого автор благодарит за гостеприимство.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bogatyi S.A. Finite-to-one maps // Topol. and Appl. 2008. 155. 1876-1887.

2. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

3. Hurewicz W. Uber Abbildungen von endlichdimensionalen Räumen auf Teilmengen Cartesischer Raume // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. K1. 1933. 4. 754-768.

4. Tuncali M., Valov V. On regularly branched maps // Topol. and Appl. 2004. 145. 119-145.

5. Болтянский В.Г. Отображения компактов в евклидовы пространства // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. 23. 871-892.

6. Богатый С.А. Цветная теорема Тверберга // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 3. 14-19.

7. Goodsell T. Strong general position and Menger curves // Topol. and Appl. 2002. 120. 47-55.

8. Богатый С.А., Вылов В.М. Вложения Робертса и обращение трансверсальной теоремы Тверберга // Матем. сб. 2005. 196, № 11. 33-52.

9. Bogataya S., Bogatyi S., Valov V. Embedding of finite-dimensional compacta in Euclidean spaces // Topol. and Appl. 2012. 159. 1670-1677.

10. Богатый С.А. Гипотеза Борсука, препятствие Рышкова, интерполяция, аппроксимация Чебышева, трансвер-сальная теорема Тверберга, задачи // Тр. Матем. ин-та РАН. 2002. 239. 63-82.

11. Богатая С.И., Богатый С.А., Кудрявцева Е.А. Обращение теоремы об "экономичных" отображениях // Матем. сб. 2012. 203, № 4. 103-118.

Поступила в редакцию 27.12.2010

УДК 512.554

ПОЧТИ ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СВОБОДНЫХ НЕАССОЦИАТИВНЫХ (АНТИ)КОММУТАТИВНЫХ АЛГЕБР МАЛЫХ РАНГОВ

А. В. Климаков1

В работе получены критерии почти примитивности однородных элементов и построены алгоритмы проверки почти примитивности однородных элементов в свободных неассоциативных коммутативных и антикоммутативных алгебрах ранга 1 и 2.

Ключевые слова: свободные неассоциативные коммутативные алгебры, свободные неассоциативные антикоммутативные алгебры, примитивные элементы, почти примитивные элементы.

Criteria for homogeneous elements to be almost primitive are obtained and algorithms to recognize homogeneous almost primitive elements are constructed for free nonassociative commutative and anticommutative algebras of rank 1 and 2.

Key words: free nonassociative commutative algebras, free nonassociative anticommutative algebras, primitive elements, almost primitive elements.

1. Введение. Пусть K — поле, X — непустое конечное множество, Г(Х) — свободный группоид неассоциативных одночленов без единичного элемента в алфавите X, F (X) — свободная неассоциативная алгебра над полем K с множеством X свободных образующих. А.Г. Курош [1] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны.

Пусть I — двусторонний идеал алгебры F(X), порожденный элементами (ab — ba | a, b G F(X)}. Тогда факторалгебра A_(X) = F (X)/I — свободная неассоциативная коммутативная алгебра с множеством свободных порождающих X. Пусть J — двусторонний идеал алгебры F(X), порожденный элементами (ab + ba | a, b G F(X)}. Тогда факторалгебра A+ (X) = F(X)/J — свободная неассоциативная антикоммутативная алгебра с множеством свободных порождающих X. В случае char K = 2 свободная антикоммутативная алгебра A+ (X) совпадает со свободной коммутативной алгеброй A_ (X), поэтому мы будем рассматривать свободные антикоммутативные алгебры над полем характеристики, отличной от двух. А.И. Ширшов [2] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных коммутативных и антикоммутативных алгебр свободны.

Предположим, что множество r(X) упорядочено таким образом, что для a, b G r(X) если 1(a) > 1(b), то a > b, где 1(a) — степень элемента a. Построим индуктивно множества W_, W+ всех регулярных коммутативных и антикоммутативных одночленов для соответствующих алгебр: X С W_ (X С W+); w G W_(w G W+), если w = uv, u и v — регулярные коммутативные (антикоммутативные) одночлены и u ^ v (u > v). Тогда W_, W+ — базисы A_ (X) и A+ (X) как линейных пространств. Следуя терминологии А.И. Ширшова (см. [2]), единственное выражение элемента алгебры a G A_(X) (A+ (X)) в виде линейной комбинации регулярных одночленов из W_ (W+) будем называть регулярным (каноническим) разложением (представлением); степенью (весом, длиной) элемента a будем называть 1(a) — наибольшую степень одночленов, входящих в регулярное представление элемента a; старшей частью элемента a будем называть a° — совокупность членов регулярного представления элемента a степени 1(a).

Обозначим через F одну из свободных алгебр F (X), A_ (X) или A+ (X). Подмножество M алгебры F называется независимым, если M является множеством свободных образующих алгебры F, порожденной подмножеством M. Подмножество M = {a¿} ненулевых элементов алгебры F называется редуцированным, если для любого i старшая часть a° элемента a¿ не принадлежит подалгебре алгебры F, порожденной множеством (a° | j = i}.

Климаков Андрей Владимирович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: andrey.klimakov@gmail.com. 10 ВМУ, математика, механика, № 5