О существовании евклидовой структуры на узле трилистник с мостом

УДК 514.152

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЕВКЛИДОВОЙ СТРУКТУРЫ НА УЗЛЕ ТРИЛИСТНИК С МОСТОМ

Д. Ю, Соколова

1. Введение

Теория узлов возникла около 1867 г. в Шотландии в результате исследований трех физиков: Максвелла, Тэйта и Томсона (Лорда Кельвина), детали см. в [1,2]. Интерес Максвелла к узлам тесно связан с его теорией электромагнетизма. Например, в [3] им дается важная интерпретация интегральной формулы Гаусса для коэффициента зацепления двух узлов в трехмерном пространстве: он равен работе, проделанной магнитным полем при передвижении вдоль одного узла при условии, что через второй узел проходит электрический ток. Другой удивительный факт состоит в том, что поверхность Зейферта, границей которой является некоторый данный узел, была представлена Тэйтом на основании физического исследования. Благодаря усилиям Листинга, Райдемайстера, Дэна теория узлов воплотилась в более общую теорию трехмерных многообразий. Было введено понятие фундаментальной группы, и теория групп стала одним из наиболее мощных инструментов в теории узлов. В 1975 г. Райли [4] обнаружил примеры гиперболических структур на некоторых узлах и дополнениях зацеплений в трехмерной сфере. Позднее, весной 1977 г., Терстон представил теорему существования для римановой метрики постоянной отрицательной кривизны на трехмерных многообразиях. На практике оказалось, что дополнения простых узлов, исключая торические и сател-литные, допускают гиперболическую структуру. Это обстоятельство

© 2013 Соколова Д. Ю.

дает возможность представить теорию узлов как раздел геометрии и теории клейиовых групп. Начиная с работ Александэра [5], инварианты многочленов становятся удобным инструментом для исследований узлов. Много разных видов таких многочленов были изучены за последние 30 лет. Среди них многочлены Джона, Кауфмана, ХОМФЛИ-ПТ, А-полиномы (Jones-, Kaufmann-, HOMFLY-PT, A-polynomials) и др. [2,6,7]. Это обстоятельство связывает теорию узлов с алгеброй и алгебраической геометрией.

Целью настоящей работы является изучение евклидовых структур на узлах и зацеплениях. В этом направлении известны следующие результаты: евклидова структура на узле «восьмерка» 4i возникает, когда его конический угол а равен Щ-. Этот результат получен Тер-стоном [8]. Явная конструкция фундаментального множества для конического многообразия 4i (а) в E3 предложена в работе А. Д. Медных и А. А. Рассказова [9]. Это фундаментальное множество представляет собой невыпуклый двадцатигранник, вершины которого задаются целочисленными координатами. Вопрос существования евклидовой структуры на зацеплении Уайтхеда изучен в работе Р. Н. Шматкова [10]. Цель настоящей работы — исследовать основные геометрические инварианты евклидова конического многообразия, сингулярным множеством которого является узел трилистник с мостом, а носителем — трехмерная сфера. Мы установим условия существования такого объекта, найдем длины его сингулярных геодезических и вычислим объем.

2. Предварительные сведения

Трехмерным коническим многообразием называется метрическое пространство, полученное из набора непересекающихся 3-симплексов в пространстве постоянной секционной кривизны k путем изометрического отождествления их граней. При этом предполагается, что образованное в результате такого отождествления топологическое пространство (пространство-носитель) является многообразием.

Такое многообразие обладает римановой метрикой постоянной сек-

ционной кривизны к на объединении клеток размерностей 2 и 3. В случае к = 0 будем говорить, что соответствующее коническое многообразие имеет (или допускает) евклидову структуру. Аналогично опре-

к

болической (к = —1) структурами.

Метрическая структура вокруг каждой 1-клетки определяется коническим углом, который является суммой двугранных углов при ребрах, дающих после отождествления эту клетку.

Сингулярным множеством конического многообразия назовем замыкание всех 1-клеток, конический угол вокруг которых не равен 2п.

Следует отметить также, что точка сингулярного множества с коническим углом а имеет окрестность, изометричную окрестности точки, лежащей на ребре клина с углом раствора а, грани которого попарно отождествлены посредством поворота трехмерного пространства вокруг ребра клина. Условно коническое многообразие можно представить как трехмерную сферу с вложенным в нее графом, на котором происходит искажение метрики. При этом если измерить длину окружности бесконечно малого радиуса вокруг компоненты графа, вместо стандартного 2пе она будет равна ае, где а — конический угол вдоль компоненты графа.

Дадим определение группы голономий для геометрического орби-фолда. Пусть б — геометрический орбифолд, обладающий (О, X)-структурой [8]. Рассмотрим ассоциированное с ним (О, Х)-многообра-зие М = б \ £, где £ — сингулярное множество орбифолда б. Пусть области и, и, ••. и отображения : иг ^ X задают локальные сиМ

Уг ◦ У- : ц иг п и) ^ <Рг{ иг П ц • По определению (О, Х)-мпогообразия каждое отображение 7ц локально действует как элемент из О, так что 7ц можно рассматривать как локально постоянное отображение со значениями в О. После композиции с уц получаем локально постоянное отображение иг П иц- ^ О, которое будем также обозначать через 7ц.

Предположим теперь, что две карты (П, уч) и (П^-, щ-) покрывают одну и ту же точку ж. Тогда можно так изменить отображение у (рассмотрев ее композицию с 7^), что оно будет совпадать с отображением (¿вблизи точки ж. На самом деде, если пересечение П П П связно, то эти отображения будут совпадать на всем пересечении, так что получится отображение П П П ^ X, продолжающее Но, вообще говоря, пытаясь таким образом продолжить координатное отображение на все многообразие, мы придем к несогласующимся значениям. Для того чтобы избежать несогласованности, надо перейти к универсальной накрывающей.

Выберем отмеченную точку щ € М и карту (По, (о), покрывающую эту точку. Пусть п : М ^ М — универсальная накрывающая

ММ ческих классов путей в М с началом в отмеченной точке жо и рассмотрим путь а, представляющий гомотопический класс [а] € М (так что а(1) = п([а])). Разобьем путь а промежуточными точками

жо = а

(где ¿о = 0 и ¿1 = 1) таким образом, чтобы каждый из получившихся кусочков пути целиком покрывался какой-то одной картой (П^уч). Затем, двигаясь вдоль пути а, подправляем очередное отображение щ так, чтобы оно совпало с (уже подправленным) отображением (¿-1 в некоторой окрестности ж^ € П П^. Эти согласованные друг с другом карты образуют аналитическое продолжение отображения щ вдоль данного пути. Последнее из новых координатных отображений имеет вид

Ф = 701(Ж1)712(Ж2) .. .7п-1 ,п(ж^(п.

Фиксировав базисную точку и начальное отображение щп, определим отображение развертки В : М ^ X как отображение, заданное локально с помощью аналитического продолжения щ вдоль каждого пути. Иначе говоря, В = уд о п в некоторой окрестности а € М. При

изменении начальных условий (базисной точки и исходного отображения) образ отображения развертки меняется под действием некоторого О

Если наделить пространство универсальной накрывающей (О, X)-структурой, индуцированной накрытием п, то отображение развертки является локальным (О, Х)-гомеоморфизмом между ^Х.

Хотя в наиболее интересных случаях группа О действует па X транзитивно, это условие не является необходимым для определения отображения Б. Например, если группа О тривиальна, а многообразие X замкнуто, то замкнутые (О, X)-мнoгooбpaзия — это в точности конечнолистные накрытия над X с проекцией Б.

Рассмотрим теперь элемент а фундаментальной группы пространства М. Аналитическое продолжение вдоль петли а приводит к ростку у>о, который уже можно сравнить с у о, так как они °ба определены в окрестности базисной точки. Обозначим через да такой элемент группы О, для которого у>д = да<уо; д^ будем называть голономией а. Из определения отображения развертки легко вывести, что Б оТст = да о Б, где Та •. т ^ ат есть преобразование накрытия, индуцированное элементом а. Применяя это равенство к произведению петель, получаем, что отображение Н : а ^ да из п (М) в О является гомоморфизмом, который будем называть голономией М. Его образ называется группой голономии пространства М. Заметим, что отображение Н зависит от произвола при построении Б: при изменении Б образ отображения Н

О.

У

Рис. 1. Узел трилистник с мостом.

а

Мы исследуем коническое многообразие С = #(а,в;7), носителем которого является трехмерная сфера В3, а сингулярным множеством Е узел трилистник с одним мостом, который представляет собой граф, изображенный на рис. 1.

Фундаментальная группа п (§3 \ £) дополнения к графу может быть найдена с помо-

щью алгоритма Виртиигера и имеет два порождающих элемента. Мы изучаем геометрическую структуру на данном коническом многообразии.

Коническое многообразие является пополнением для метрического пространства, образованного дополнением сингулярного множества 83 \ £. Значение конического угла а вдоль компоненты узла определяется пополнением метрического пространства. При этом предполагается, что если д и И — гомеоморфизмы, переводящие окрестность точки многообразия в шары вида В = {х £ М3 : ||х|| < 1} с элементом площади поверхности ¿в2 = ¿х2 + ¿у2 + ¿я2, то гомеоморфизм до И-1 состоит из вращений и перемещений евклидова пространства. Таким образом, он сохраняет евклидову метрику. Далее, представляя порождающие фундаментальной группы через матрицы вращения в евклидовом пространстве, получим условия существования евклидовой структуры на коническом многообразии. Для этого найдем группу голономий данного многообразия.

Рассмотрим отображение голономии ^ : п(§3 \ £) ^ Ьот(Е3), которое переводит порождающие в и £ фундаментальной группы

соответствующие петлям вокруг ребер £ с индексами а и в, в линейные преобразования

При этом е3 = (0,0,1), а S и Т — матрицы вращений на углы а и ß соответственно.

п (S3 \£) = <s,t),

У(х) = (ж - e3)S + е3, = (ж + е3)Т - е3.

Введем обозначения М = ctg f, N = ctg §, тогда ST

тогда матрицы враще-

где в — угол относительного поворота между сингулярными компонентами [10].

При этом считаем, что отображение голономии переводит элемент к = е-1 во вращение на угол 7 вокруг сингулярной компонен-

ты. соответствующей мосту узла (см. работу [11] для более детального объяснения геометрического смысла указанных порождающих).

Группой голономий исследуемого многообразия называется группа. порожденная вращениями .У и 'У вокруг сингулярных компонент фундаментального множества на углы а и в соответственно.

3. Структура фундаментального множества для узла трилистник с мостом

Построим фундаментальное множество для многообразия <?(а, в; 7)-Это указанный на рис. 2 набор непересекающихся 3-спмплексов в пространстве постоянной нулевой кривизны, из которого путем изометрического отождествления граней получается данное коническое многообразие. Фундаментальное множество представляет собой двенадцатигранник, имеющий 8 вершин.

Р1

Рис. '2. Фундаментальный двенадцатигранник

Это множество может быть реализовано в любой из трех геометрий: 83, Н3 и Е3. При этом, как отмечено в [11], необходимым условием реализации многогранника в евклидовой геометрии является равенство

a = в, а также наличие некоторого соотношения, связывающего углы a и y, более точная формулировка будет дана ниже, в теореме 1.

Отождествление криволинейных граней многогранника & осуществляется изометрическими преобразованиями и по следующим правилам :

^ : PPPP ^ PiP2P3P4; ^ : PPPP ^ PPPP.

4. Реализация фундаментального множества в евклидовом пространстве

Построим геометрическую реализацию фундаментального множества ff(a, a; y) в евклидовом пространстве. Для этого найдем координаты его вершин и выразим их через некоторый параметр, имеющий геометрический смысл.

Положим X = eos |, Y = sin f, где в — угол относительного поворота между компонентами узла. Тогда неподвижными для .93 и 3" из (2) будут следующие прямые:

Fix(J^) = (tX, tY, 1), Fix(^) = (tX, -tY, -1), t e R.

В трехмерном евклидовом пространстве оси вращений Fix(¿^) и Fix(^) расположены как скрещивающиеся прямые с общим перпендикуляром по оси Oz и углом в между ними (рис. 3).

Для фундаментального двенадцатигранника (см. рис. 2) пары его вершин }, } лежат соответственно на осях Fix(J^),

Fix(^). Узел трилистник с мостом обладает тремя симметриями второго порядка. В частности, вращение второго порядка в оси Ox оставляет фундаментальный многогранник инвариантным. Отсюда следует, что две оставшиеся вершины р и P3 лежат на оси Ox. Перепишем равенство P2 = в координатном виде. Имеем

P2 = (x,0,0)^= (tX, -tY, -1).

x t X

3 + M2 3X 3- M2

x =-, t =--, X" =-.

2MY ' MY 12 v ;

а02

При этом

Рис. 3. Оси вращении и Их(,г7).

А" = соя - и ¥ = яш -

положительные величины, связанные соотношением Х2+У2 = 1. Подставляя х в исходное равенство, найдем

'3 + М2-6У2 зх

р2 =

2ИУ ' М

-1 .

Итак, учитывая симметрию многогранника, имеем следующее представление координат его вершин:

Ро =

д0 = (0,0Д), ^1 = (0,0, -1),

где

А

3+М2- 6 У2

2МУ

Б

ЗА М '

Из соотношения (*) получим

в ^3 - М2 А = соя - =

2 2\/3

Теперь перепишем величины для координат вершин многогранника через параметр М = ctg f. Имеем

у = V9+TP А = л/3

2V3 ' 2М^(9 + М2)'

_ У3

2М ' V9 + M2

5. Евклидов объем конического многообразия

Основным результатом настоящей работы являются две следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть a £ (f,7r), 7 £ (0,27г) и выполнено следующее соотношение:

j^) <8>

Тогда коническое многообразие ff(a, a; 7) евклидово.

Доказательство. Рассмотрим матрицу K = TSTS—T—S-, соответствующую слову k = tsts—t— s—. Учитывая, что trS = trT = 2 cos a + 1, и вычисляя след матрицы K = TSTS-T— S-1, имеем

trK = ^L

где r = (2 cos a — 1)3. С другой стороны, матрица K представляет собой вращение па угол 7. Так как K — ортогональная матрица, ее след связан с углом вращения следующим образом:

trK = 2cos7+l.

Согласно уравнению

7 ч I г /\ - 1 , 2

cos — = -= 1 Н—-г.

2 2 27

Учитывая, что sin2 j = \ (l — cos

имеем

.97 r (2 cos a — l)3 sinJ - = —— = —-

4 27 27

что эквивалентно равенству (8).

Обозначим через d наименьшее расстояние между сингулярными геодезическими <?(а, а; 7), а через в — угол относительного поворота между ними. Также обозначим через 1а и длины сингулярных геодезических. Введем параметр и = cos в и будем считать, что в £

Теорема 2. Евклидов объем конического многообразия а; 7) равен

Vol(#(a, а; 7)) = --^VI-«2,

1 + 2u

приведенный евклидов объем равен

Уо1

vol(#(a, а; 7)) =

dl7Pa 72а/2а/Г+~ма/1 + 4м + 7м2 '

Доказательство. Рассмотрим тетраэдры Tj — CQoPjPj^i Qi, где i = 0,... , 5, а Ре = р. Их объединение составляет фундаментальный многогранник J^, изображенный на рис. 2. Непосредственно проверяем, что все они являются одинаково ориентируемыми и невырожденными. Напомним, что ориентируемый объем тетраэдра T = WV5V4 с вершинами Vj = (xj, Zj), i = 1, 2,3,4, находится по формуле

1 / x - x4 yi - y4 zi - z4 \ VolT = — det I X2 — X4 У2 — У4 Z2 — z4 I .

\x3 - x4 y3 - y4 z3 - z4 J

При этом выразим вершины тетраэдров через параметр u = cos 9 для О £ (—Воспользуемся формулой (6) и получим, что переменная M в выражениях (7) для координат вершин (5) представляется в виде М = а/—3 — 6и. Из равенства соответствующих сторон многогранника согласно симметрии по формуле (11) находим, что объемы тетраэдров

PoPiQoQu P5P0Q0Q1, P2P3Q0Q1, PsPiQoQi равны

. uJ 1 + и

Voll = , --.

+ 2м)

Объемы тетраэдров PP2Q0Q1

и P4P5Q0Q1 рэ.вны (1 + и)§

Уо12 = -

/П^(1 + 2м)'

Таблица 1

Конический угол a многообразия ü = &(a,a, 7), параметры fl = cos ^, it = cos б Евклидов объем Уо1(^) и приведенный евклидов объем vol(^) Евклидовы длины i о. и i~f сингулярных геодезических Ü

а = f +0.01, s = l, и = -0.988618 0.30791, 0.182526 0.265114 12.006

a = arctg -\/Í5, О - 107 _ _7 ^ 108 ' 9 = 2.26274, 5 ' f^/é = 0.03368 1.64317, ЗМ= 12.4419 V 5

а — - о — — " 2 ' « 27' g — 27, и— 3 2-\/5 = 4.47214, = 0.0227 21б\/2б -4= = 2.68328, г— 6\[Щ- = 13.6821 V 5

2г и 3 , У 27' u - --5 М - 9 4\/14 = 14.9666, 648% =0'01227 6^1 = 5.55492, 12 = 19.7701

а = тг - 0.01, a = -0.9998, и = -0.50042 2074.42, 0.00104 69.1858, 207.817

При всех значениях параметра 6 £ (—ориентированные объемы положительны, и многогранник Jß" (см. рис. 2) состоит из невырожденных тетраэдров. Отсюда

Vol(J^) = 4 Voll +2 Vol2 = - 2„ \Jl-u2.

1 + 2п

Сингулярные геодезические конического многообразия т)

представляют собой компоненты узла, которые соответствуют разным коническим углам а, ß и Y- Найдем длины сингулярных компонент исследуемого многообразия:

5

ia = ь = у = над \\, /7 = X) npipi+i н,

¿=0

где P = р. Имеем

<=Vu=> d==2

Получим выражение для приведенного евклидова объема:

U/?< ^ Vol(<?(a,a;7)) (1 - м) V(-l - 2«) vol(<7(a, a; 7)) =  —

<и711 72А/2А/Г+~ма/1 + 4м + 7м2 '

В табл. 1 представлены результаты численных экспериментов. Данные таблицы расположены в порядке увеличения евклидова объема конического многообразия <?(а, а; 7).

ЛИТЕРАТУРА

1. de la Harpe P., Kervairend M., Weber C. On the Jones polynomial // L'Enseignement Math. 1986. V. 32. P. 271-335.

2. Kauffman L. New invariants in the theory of knots // Amer. Math. Monthly. 19848 V. 95, N 3. P. 195-242.

3. Maxwell J. C. A treatise on electricity and magnetism. Oxford, 1883.

4. Riley R. An elliptical path from parabolic representations to hyperbolic structure // Topology of low-dimension manifolds. Berlin: Springer-Verl., 1979. P. 99-133. (Lect. Notes Math.; V. 722).

5. Alexander J. W. Topological invariants of knots and links // Trans. Amer. Math. Soc. 1928. V. 30, N 2. P. 275-306.

6. Cooper D., Culler M., Gillet H., Long D. D., Sbalen P. B. Plane curves associated to character varieties of 3-manifolds // Invent. Math. 1994. V. 118. P. 47-84.

7. Hilden H. M., Losano M. Т., Montesinos-Amilibia J. M. On the arithmetic 2-bridge knots and link orbifolds and a new knot invariant //J. Knots and its Ramification. 1995. V. 4, N 1. P. 81-114.

8. Thurston W. The geometry and topology of 3-manifold. Princeton: Princeton Univ., 1980. (Lect. Notes).

9. Mednykh A. Rasskazov A. On the structure of the canonical fundamental set for 2-bridge link orbifolds. Bielefeld, 1998. Prepr. ser. Univ. Bielefeld. N 62.

10. Shmatkov R. N. Properties of Euclidean Whitehead link cone-manifolds // Sib. Adv. Math. 2003. V. 13, N 1. P. 55-86.

11. Винберг Э. В., Меннике И., Хеллинг X. О некоторых обобщенно треугольных группах и трехмерных орбифолдах // Тр. Моск. мат. о-ва. 1995. Т. 56. С. 5-33.

г. Новосибирск

20 декабря 2012 г.