Собственные колебания неоднородной цилиндрической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью

Ю. Э. Сеницкий, И. Е. Козьма

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С КОНЕЧНОЙ СДВИГОВОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ

Сформулирована новая начально-краевая задача для нерассматриваемой ранее непрерывнонеоднородной цилиндрической оболочки при произвольных законах изменения упругих и инерционных характеристик материала. Построено оригинальным методом конечных интегральных преобразований новое, точное в рамках сформулированной модели решение задачи о свободных колебаниях и упругих условий закрепления по торцам. Разработано программное обеспечение, проведен численный анализ результатов в части свободных колебаний неоднородных и однородных оболочек.

В современных условиях эксплуатации ряд специальных ответственных сооружений, к которым относятся защитные оболочки атомных электростанций, энергетических и химических реакторов, конструкции резервуаров, дымовых труб, технологических печей, наряду с силовыми (статическими, динамическими) нагрузками испытывают также воздействия различных физико-механических и химических полей. В результате происходят взаимодействия оболочки с агрессивными средами, ионизирующим излучением, высокими температурными полями. Это приводит к деградации механических и прочностных характеристик материала конструкций, для которых подобные воздействия являются факторами наведенной неоднородности. Последняя, в свою очередь, учитывается путем введения в математическую модель двух безразмерных функций неоднородности упругих f (r) и инерционных f2 (r) характеристик материала конструкции. Таким образом, исследование свободных колебаний и динамической реакции элементов конструкций с учетом изменения их упругих и инерционных характеристик, представляет сложную малоизученную проблему строительной механики.

В настоящей работе, эффективным методом обобщенных конечных интегральных преобразований (КИП) приводится точное новое решение осесимметричной задачи о свободных колебаниях для упруго закрепленной по торцам нетонкой круговой цилиндрической оболочки при произвольных законах изменения модуля упругости E(г) и плотности р (г) по толщине конструкции: — h1 < r < h2 (h1 и h2 - расстояния от нейтральной до лицевых поверхностей оболочки). Исследование проводится на основе уточненной линейной технической теории оболочек, осложненной учетом деформаций поперечного сдвига и инерцией вращения поперечных сечений.

Постановка задачи. Будем рассматривать круговую в плане цилиндрическую оболочку радиуса R, толщиной h=hi+h2 и длиной H в соответствующей системе координат r, 0, z (рис.1).

Так как учитывается неоднородность оболочки, то для произвольных функций E(r) и р (r) справедливо представление:

E

Здесь E0,р0,V - модуль упругости, плотность материала и коэффициент Пуассона соответствующей однородной оболочки.

Если определить теперь положение нейтральной поверхности из условия

h—hj

J fi

—hj

то формулы для внутренних усилий записываются также, как и для однородной оболочки.

Дифференциальные уравнения осесимметричного движения цилиндрической оболочки и соответствующие краевые (граничные и начальные) условия в случае упругого закрепления ее торцов формулируются следующим образом [1]:

Э2и п ,2ч ЭЖ ,2/ш 2 Э2и

—- + (1+V + к )---------+ к (¥- и) - т——

Эх1 К ;Э^ Эt2

= 0;

( Э 2Ж Э¥ Л

Эх Эх

2 Эи 2Э2Ж

- (1 + V + к )---------2(1 + V)Ж - т —— = 0;

Эх Эt

Э2 ¥ к2 Эх2 &

-7і2

ЭЖ

Эх

+ ¥- и

Л 92 Э2 ¥ - 5 1ё

= 0;

при г = 0,Н :

Эи

Эг

+ (1 + V )Ж = • г11и; к2

ЭЖ

Эг

+ ¥- и

= • г3Ж;

Э¥

Эг

Э¥

= • Г44 ¥;

при t = 0: и = ^(х), Ж = Ж0(2),¥ = ^0(г),^ = [/0(2),^ = ^(г),^^*).

Эt Эt Эt

Здесь V, Ж - безразмерные (отнесенные к радиусу нейтральной поверхности оболочки Я) тангенциальная и нормальная компоненты вектора перемещений; ¥ - углы поворота поперечных сечений; 7, / - безразмерные координата и время, причем

и = и-; Ж = *-; х = ^; Н = Н_; t = ґ± Е 2 Я Я Я Я ЯУ р0

к2 =

кі(1 -V). т =

2

т

= (1 + &2)Г1; £2 = (1 +1.8&2) Г2; & = А(л/Ї2Я)-1;

-1 -1 -1 /о\

ух = тхпх ; у2 = ^2п ; у^ = ПП ,

к1 - коэффициент поперечного сдвига, определяемый в соответствии с предложением Миндли-на [2]; гп, г33, г44 - безразмерные коэффициенты жесткости упругого закрепления торцов, для которых

* * г*Я „

гп Я г = Г33 Я г = '44^ с = п О =

'33 ^ ? '44 ^ ^ і ,21’

в0 А

2

12(1 -V2) 2

11 С 33 С ' О 1 -Vі

Звездочкой обозначены соответствующие размерные величины.

Безразмерные коэффициенты неоднородности упругих и инерционных характеристик оболочки выражаются через функции /1(г), f1(r) по таким зависимостям [1]:

1 і 2 1-І

П1 = А і -^(Г")ЛГ, П2 = А3 ^ ^(Г)Г^,

1

И-И1

2

1 +-

12Я

і Ъ

2

Г г 1 + 2- + ^

Я Я2

йг, т2 = -

12

А-А,

1 +

ЗА

2

20Я

| І2(г)г2

2

Г Г 1 + 2- + ^

Я Я2

йг,

V0 (7), Ж0 (7), ¥0 (7), V 0 (7), Ж 0 (7), ¥ 0 (7) - известные функции, определяющие положение оболочки в начальный момент времени 1=0.

Если положить / (г) = /2 (г) = 1, то из (2) следует Н1= й2=й/2, а из (10) и (8) соответственно имеем п1 = п2 = т1 = т2 = 1, у1 = у2 = у12 = 1, и соотношения (3) становятся дифференциальными уравнениями движения для однородной цилиндрической оболочки [4]. Уравнения (3) - (5) и представляют собой математическую формулировку рассматриваемой начально-краевой задачи.

Построение общего решения. Используется обобщенное КИП по пространственной переменной 7 [3], т. е. применяется к (3) - (6) прямое конечное интегральное преобразование с неизвестными пока компонентами 01(Я1,7),02(Я,,7),03(Я,,7) вектор - функции ядра и весовыми

коэффициентами Ь1, Ь2, Ь3, определяемыми в процессе решения задачи, вида

Н

Р

При этом справедливы следующие формулы обращения [3]:

0

V = ХрВД|-2, ж = ^р0^\01\-2, ¥ = ^рв^Оп

Здесь О, II - квадрат нормы вектор-функции ядра преобразования, т. е.

п

||С. 112 = | [ь^2 (Я,, 7) + Ь2022 (Я,, 7) + Ь«32 (Я,., 7)] сС7,

где Я , - вещественные параметры, образующие счетное множество I, = 1,

Выражение (11) представляет трансформанту, а формулы обращения (12) справедливы при выполнении следующего соотношения обобщенной ортогональности:

н I 0, если I ^ у,

| [ЬО1 (Я, >7)О1 (Я] >7) + Ь2О2 (Я, >7)О2 >7) + Ь3О3(Л >7)О3 (Я] > 7)] С7 =

„ „

Воспользовавшись структурным алгоритмом метода КИП, разработанного одним из авторов [3], сначала умножаем первое, второе и третье уравнения (3), а также первое и четвертое, второе и пятое, третье и шестое, и начальные условия (5) соответственно на Ь1О1(Х1,7), Ь2О2(Я,,7), Ь3О3(Я,,7) и интегрируем полученное в интервале [0, Н]. Выполняя вычисления квадратур по частям для членов, содержащих производные по пространственной переменной 7, а затем складывая уравнения и соответствующие начальные условия, получаем

Ф(и ,Ж, ¥, в1, О2, С3)|Н +|^и

Ь1О1”-к 2Ь1G1 + (1 + V + к 2)Ь2О2'+ У12Ь3 О3

О2

+

+Ж

+¥

-(1 + V + к2)Ь1О1'+ к2Ь2О2''- 2(1 +п)Ь«2 +02УпЬ&3'

к 2ЬД - к 2ь2о2 '+ ЬъОъ'- ^ упЬъО,

о2

с7 - -гг р(Я,, г)=0;

ш

с

р(Я,,0) = р0(Я,), с р(Я,, г) = р0(Я,).

Ш С=0

Здесь

1) Ф(иж¥,О02,03)=-|ь1 [д¥

ди

д

О1 -иб1'+ЖО;

+Ь2

2 дЖ 2 2

к2 — в2 - к 2Жб2'-иб2(1+п+к2)+

д7 2 2 2

п

2) р0 (Я,-) = | [Ь1и0 (7)О1 [, 7) + Ь2 Ж0 (7)О2 (Я,-, 7) + Ь3 ¥0 (7)О3 (Я,-, 7)]Ш7

р 0(Я,) = }

Ь1 V0

Ш7 .

Воспользуемся двумя известными условиями структурного алгоритма метода КИП [3], соответствующими рассматриваемой самосопряженной задаче. Первое из них представляет равенство нулю билинейной формы (17) на концах интервала, а второе - операционное свойство

Ф(^ Л, О1, О2,03)\Н = 0;

! IV

+Ж

+¥

Ь1О1''-к 2Ь1О1 + (1 + V + к 2)Ь2О2'+0— у12Ь3О

-(1+V + к2)ЬД'+ к2Ь2О2"- 2(1 +п)Ь«2 + ~ГУпЬ3О3'

к 2Ь1О1 - к %О2'+ ^63"-0 у12ЬО3

Ш2

Ш7-----------1Т р (Я,., С) =

сг2

-2

,=1

,=1

2=1

0

+

п

-Я, |+ Ь2Ж02 + ЬзЧ03 ] ск.

В результате (15) становится уравнением для трансформанты р(Я,, г). В соответствии с методом квазинормальных координат [5], вводим в это уравнение силы упруго-вязкого сопротивления (внутреннего трения). Такой прием основан на экспериментально подтвержденном факте о том, что силы вязкого сопротивления практически не оказывают влияния на формы колебаний конструкции и их следует вводить в математическую модель после отделения пространственной переменной г. Обозначив через у, коэффициент потерь для каждой моды колебаний ,, силу внутреннего трения, следуя скорректированной частотно-независимой гипотезе Фойхта, можно представить в виде [5]

Т

аг

Учитывая это, уравнение (15) для трансформанты р(Я,, г) при условиях (19), (20) и сил внутреннего трения (21) записывается так:

с2р(Я,,г) 0 . . Ср(Я,,г) А

21 + Яр (Я,, г) + у, Яг уу_г ' = 0,

сг2    аг

Решение однородного дифференциального уравнения (22) при соответствующих начальных условиях (18) может быть представлено в виде

р (Я,, г) = е~ р‘

р 0(Я, )(со8 а^ + Ь а , 1а ^)+ р 0(Я, )а, 1а,г

Я,У,

2 4

Возвращаясь теперь к ядровой задаче, т. е. к соотношениям (19), (20), замечаем, что из операционного свойства (20) следует сопряженная система дифференциальных уравнений для G1, G2,G3 вида

к2

Ь^'' к Ь1С1 +(1 + V + к )Ь2С2 + ^2 Гъьъ°ъ + Я,Ь& = 0; к2Ь2С2''-2(1 + V)Ь^2 - (1 + V + к2)Ь^ '+~у у12Ь^з'+Я,2Ь2G2 = 0;

Ь^з''-ОуУ12Ь3G3 + к2Ь^ - к2Ь2G2'+Я12Ь^з = 0.

Исходная система уравнений (3) инвариантна полученной системе (24), если принять весо-

О2

вые коэффициенты равными: Ь1 = Ь2 = 1, Ь3 = —. Из (24) находим

у12

G1''-k 2G1 + (1 + V + к 2^2'+к 2G3 + Я, 2G1 = 0; к 2G2''-2(1 + V- (1 + V + к2^ '+к 2Gз '+Я, 2G2 = 0;

Gз''-£У^3 + £Уl2Gl -£Уl2G2'+Яl2Gз = 0.

О 2 12 О2 О2

Выразив из условий (5) и', Ж', ¥' и подставив полученные выражения в равенства (17) и (19), будем иметь

{ и [• гпОх - G1'+ к2G2 - (1+V + к2)G2 ] + Ж [-(1+V)^ + (1+V + к2)^ • r33G2 - к2б2'- к2G3 ] +

О2 о2

- к 2G2 + к 2G2 • — r44G3 - — G3'

у12

у12

= 0.

Поскольку и, Ж, ¥ не определены на концах интервала [0, Н] и и Ф 0, Ж Ф 0, ¥ Ф 0, то из равенства (26) следуют такие соотношения:

при г = 0 G1'+ (1 + V^2 + г1]01 = 0, к2^2'- G1 + G3) + гз^2 = 0, G3'+ г4^з = 0;

при г = Н G1'+ (1 + V^2 - r11G1 = 0, к2^2'- G1 + G3) - r33G2 = 0, G3'- r44G3 = 0.

0

2

г=0, Н

В результате получаем однородную краевую задачу (25), (27) для компонентов Ох,02,03 вектор-функции ядра КИП О:

_ и и Т

0

Представляя систему (25) в матричной форме и раскрывая ее главный детерминант, полу-

чаем разрешающее дифференциальное уравнение относительно О вида

а6 О

а4 О

а2 О

- + аАі------------г- + а2і-------— + а0і О = 0,

7 6 4 7 4 21 7 2 01 ’

а7 а7 а7

і = 1,

Здесь

#4,. = к 2 [Я, +v2 -1 + 2к2(Я,. +v +1)] ,

а2, = к-2

а01 = к-2 {Я,2(1 +V)[(кО-1)2{12 + к2 - Я2 ] + Я,4 [Я,.2 - к2 - (кО-1)2У12 ]} .

Установим связь между компонентами вектор-функции ядра G1, G2, G3 и разрешающей

функцией G . Для этой цели воспользуемся первыми двумя уравнениями системы (25) и представлением

О

- 17 \ 1- 11 -(1,,7) = к2 О + [А,2(к2 +1) + 2к2 -(1 + V)2О + (к2 -А,2)(2 + V -А,2)О .

В результате имеем

- II -

О1(1і, 7) = к2(1 + V) О + к2 [2(1 + V) - А,.2 ] О ;

О2 (А,, 7) = -к2

о + (1+а + V) о

Соответствующее (29) характеристическое бикубическое уравнение 6-й степени имеет вид

Г,6 + а4,Г,4 + а2,Г,2 + а0, = 0 .

Анализируя решение (33), можно утверждать, что корни г, могут быть действительными, чисто мнимыми и комплексно-сопряженными. Для всех комбинаций корней характеристического уравнения (33) общее решение уравнения (29) можно представить в следующей форме:

0(1,, 7) = £ Сп

і = 1,

п=1

причем гпі = апі + Дпц

п = 1,6

- корни бикубического уравнения (33), а Спі - произвольные

постоянные, определяемые из граничных условий (27). Для этого сначала подставляем производные выражения (34) в (31) и (32). В результате получим

0а (А,, 7) = к2 £Ст [(1 + V)(am+ Дт])2 + 2(1 + V) - А,2 \(а~+Д; ;

п=1

02 (А,, 7) = -к2 £ Ст (апі + Ртл[(ап, + Дпіі)2 + (1+12 + (а~+Ьп,})7;

п=1

О3 (А,, 7) = £с„. |к2(а„. + Д,;)4 +[А,2(к2 +1) + 2к2 - (1+v )2 ] (а„. + Д,;)2 +

п=1

+(к2 - А,.2)(2+v - А,. Vа"+Д";)7.

оо

оо

Удовлетворяя равенствами (35) граничные условия (27) , получаем следующую однородную

/ Л

систему алгебраических уравнений относительно постоянных Сп! п = 1, 6

V

8 (/)С + 8 (/)С + 8 (/)С + 8 (/ )С + 8 (/ )С + 8 (/)С = 0

и11 ~ 12 2/ и13 ^3/ ~ и14 ^4/ ~ 15 5/ и16^б1 ^

8 {С)с + 8 (/)С + 8 (/)С + 8(/)С + 8(/)С + 8 (/)С = 0

21 1/ и22^2/~ 23 3/ 24 4/ и25^5/~ и26^6/ ^

8 (/ )с + 8 (/)С + 8 (/)С + 8(/)С + 8(/)С + 8 (/)С = 0

и31 Ч/ х 32 2/ и33 Ч/ ~ иЪ4^4/~ 35 5/ и36^6/ ^

8(/)с + 8 (/)С + 8 (/)С + 8(/)С + 8(/)С + 8 (/)С = 0

41 1/ 42 2/ 43 3/ 44 4/ и45 Ч/ х и46^6/ ^

8 (/)с + 8 (/)С + 8 (/)С + 8(/)С + 8(/)С + 8 (/)С = 0

и51 Ч/ ^ и52 Ч/ ^ и53 Ч/ ^ *^54 4/ и55 Ч/ ^ и56^6/

8(/)с + 8 (/)С + 8 (/)С + 8(/)С + 8(/)С + 8 (/)С = 0

и61 Ч/ х 62 2/ ^63 Ч/ х 64 4/ 65 5/ и66^6/ ^

где

^ = («+ РпЛ[(1 +V)(«п/ + Рщ])2 + 2(1+V) - К]-(1 +V)(ап/ + Р„и)[(а„ + Р„Л2 +(1+п + Я/2)] +

+Г 11 [(1 + п)(а„/ + Д^2 + 2(1 +п) - Я,2 ] ,

82„ =-к 2(а п/ + Р пЛ [(1 +П )(ап/ + Р „Л2 + 2(1 +П ) - Л' ]-к 2 [(а  + рп1Л)2(1 + П ) + 2(1 + П ) - Д2 ] +

+к2 (а„. + Р] + (а„. + Р] [(к2 + 1)Я2 + 2к2 - (1 + V)2 ] + (к2 - Я2)(2 +п - Я2) -

-г33 (а„/ + А/Л [(а„/ + РпЛ +1+п + Л2 ].

83(„) = [(а„ + Р„/]) + Г44]{к2(а„/ + Рп])4 +[(к2 + 1)Я2 + 2к2 -(1 +п)2](аш. + Р] + (к2 -Я2)(2 + V + Я2)}

84СП5 ={(а п/ + Рп/Л [(1 + П )(ап/ + Рп/])2 + 2(1 + П) - Я' ]-(1 +П )(ап/ + Р„Л [(ап/ + Р п(Л)2 + 1 + П + Я' ]-

-Г11 [(1 + V)(а„ + РЛ + 2(1 + V) - Я2 ]} е(а" + ^)н,

85(п) = {-к2 (ап/ + Р„Л [(1 + V)(ап/ + РЛ + 2(1 + V) - Л2 ] - к2 [(1 + V)(ап/ + Р„,Л)2 + 2(1 + V) - Я|2 ] +

+к2 (а„! + РШЛ + (аш + РпЛ2 [(к2 + 1Д2 + 2к2 - (1 + V)2 ] + (к2 - Я2)(2 + V - Я2) +

+Г33(аш- + РЛ [(а ^ + РЛ +1+V + Я2 ]} е(а" +Р-] )н,

86(п) = [(а п/ + РшЛ - Г44 ]{к 2(ап/ + Р*] )4 +[ (к 2 + 1)Я|2 + 2к' - (1 + V )2 ] (ап/ + Рп/])2 +

+(к2 - Я? )(2 + V + Я2)е(а-+ Р-Лн.

Из условия нетривиальности решения системы (36) определяем собственные значения

Я, (/ = 1, ¥) и постоянные С1г-, С2/, С3/, С4/, С5/, С6/. В частности, получим трансцендентное уравнение для определения параметров Я/ вида

8(/) 8(/) 12 8(/) 13 81 8(/) 15 3 ю 81

8(/) °21 8(/) 22 8(/) 23 8(/) 24 8(0 25 8(/) 26

8(0 ^31 8(/) 32 8(/) 33 8(0 34 8(/) 35 8(0 36

8(Г) ^41 8(/) 42 8(0 43 8(/) 44 8(/) 45 8(/) 46

8(/) а51 8(0 52 8(/) 53 8(/) 54 8(/) 55 8(/) 56

8(/) аб1 8(/) ^62 8(/) 63 8(/) 64 8(/) 65 8(/) 66

= 0,

причем круговые частоты колебаний (0/ связаны с Я/ известной зависимостью (6):

Ч = -} Е° 2

' «V Р0(1 -V2) 1 ’

G1, G2, Gз определяют соответствующие формы свободных колебаний неоднородной цилиндрической оболочки.

Формулы обращения (12) совместно с выражениями (23), (35) и представляют общее решение рассматриваемой задачи об осесимметричных колебаниях неоднородной цилиндрической оболочки.

Частные случаи закрепления. Численные результаты. Варьируя коэффициенты жесткости г11, г33, г44, можно исследовать различные случаи закрепления торцов оболочки.

1. Упруго закрепленная по торцам оболочка. Для этого необходимо задаться лишь коэффициентами гп, г33, г44, соответствующими наложенным связям.

2. Шарнирное закрепление торцов цилиндра при 7=0, Н. В этом случае в граничных условиях (27), а также в выражениях для коэффициентов 81(1'),..., 8 66 следует принять коэффициенты жесткости г11 = г33 = г44 = 0.

3. Жесткое защемление по торцам цилиндра при г=0, 2=Н. Для этого необходимо разделить все члены уравнений (27) и выражений (37) на г11, г33, г44, а затем осуществить предельные переходы: Г11  ¥, Г33  ¥, Г44  ¥ .

4. Если проделать процедуры, описанные в п. 3 для первых трех уравнений (27) и выражений (37) для 81(1)83(6), а в 2 соответственно для оставшихся уравнений (27) и выражений (37) для 84'1),...,86(6), то получим случай жесткого защемления оболочки на торце г=0 и шарнирно закрепленной - на г=И.

Возможны также и другие комбинации закрепления оболочки, например совмещение жесткой заделки с упругим защемлением по торцам оболочки или шарнирного и упругого закрепления.

Наконец, если / (г) = /2 (г) = 1 (п = п2 = т1 = т2 = у1 = у2 = у12 = 1), то построенное решение (12), (23), (35), (36) и приведенные выше его частные случаи справедливы для однородных оболочек.

В качестве примера рассматривалась железобетонная цилиндрическая защитная оболочка реакторного отделения АЭС с блоками ВВЭР-1000. Расчеты производились при следующих данных: К = 23,0м ; Е0 = 4,12 -1010 Па; V = 0,16; р0 = 2,85 103 кг / м3; к = 0,86; И = 60 м; к = 1,2м ; у\ = 0,01. Для соответствующих конструктивному решению защитных оболочек значений коэффициентов жесткости г11 = г33 = 0, г44 = 130, были приняты линейные законы наве-

ч 1 г -

денной неоднородности / (г) = 1 +---—, /2 (г) = 1 +-----------------—, при которых значения Е

2к 5к

и р на внешней поверхности оболочки г = к2 сохраняются, т. е. Е(к2) = Е0, р(к2) = р0

Т а б л и ц а 1

Собственные значения и частоты свободных колебаний цилиндрического покрытия защитной оболочки АЭС без учета наведенной неоднородности

Параметры оболочки К = 230м, Е0 = 4,121(}0Щ V = 0Д6 р0 = 2,851(0кг/м3, к = 0,86 И=60м, к=1,2м,

Однородная оболочка

Шарнирно опертый контур Упруго закрепленный контур Жестко защемленный контур

№ тона колебаний 1 г © г , Гц 1 г © г , Гц 1 г © г , Гц

1 0,6152 16,405 0,6505 17,347 0,6515 17,373

2 0,8316 22,176 0,8745 23,320 0,8752 23,339

3 0,8928 23,808 0,9353 24,941 0,9377 25,005

4 1,0169 27,117 1,1073 27,128 1,1081 29,549

5 1,0253 27,341 1,2564 33,504 1,2578 33,541

Т а б л и ц а 2

Собственные значения и частоты свободных колебаний цилиндрического покрытия защитной оболочки АЭС с учетом наведенной неоднородности

Параметры оболочки К = 22,0м, Е0 = 4,121б°Па V = 0Д6 р0 = 2,85-103кг/м3, к = 0,86 И = 60м, к = 1,2м,

Неоднородная оболочка

Шарнирно опертый контур Упруго закрепленный контур Жестко защемленный контур

№ тона колебаний 1г © г ,Гц 1 г © г ,Гц 1г © г ,Гц

1 0,5445 14,520 0,6142 16,379 0,6152 16,405

2 0,7154 19,077 0,7705 20,547 0,7714 20,571

3 0,8315 22,173 0,9107 24,285 0,9115 24,307

4 0,9492 25,312 0,9607 25,619 0,9608 25,621

5 0,9537 25,432 Г\ Г\Г\ С 1 26,536 0,9951 26,536

w

В табл. 1 и 2 приведены собственные значения 1 , (/ = 1,5) и соответствующие им частоты свободных колебаний О, цилиндрического покрытия защитной оболочки АЭС без учета (табл. 1) и с учетом (табл. 2) наведенной неоднородности. Наряду с реальными (упругими) условиями сочленения оболочки с цилиндрической частью конструкции рассмотрены также идеализированные схемы шарнирного и жесткого закреп -ления на контурах.

Вследствие деградации конструкции при наведенной неоднородности происходит заметное снижение частот колебаний, причем спектр становится более плотным.

Аналогичная тенденция наблюдается на графиках (рис. 2), характеризующих изменения О, (/ = 1,7) в зависимости от относительной толщины к / Я однородных и неоднородных оболочек. На рис. 2: сплошная линия - однородная оболочка, пунктирная - неоднородная оболочка. Безразмерные нормированные собственные формы осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки для основного тона /=1 приведены на рис. 3.

Р и с. 2. Зависимости кинетики частоты

го +0 60

а б в

Р и с. 3. Безразмерные нормированные собственные формы осесимметричных колебаний

цилиндрической оболочки

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сеницкий Ю.Э. Уравнения движения неоднородных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью // Известия ВУЗов. Строительство. 2002. № 10. С. 19-27.

2. Сеницкий Ю.Э. Еленицкий Э.Я. О физически непротиворечивой модели уточненной теории пластин и оболочек // Докл. РАН 1993. Т. 331. № 5. С. 580-582.

3. Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Изд-во СГУ, 1986. 176 с.

4. Gederbaum G. HellerR.A. Dynamik deformation of ortotropic cylinders // Trans ASME. Journal. Pressure vessel Tech-nol. 1989. V. 111. № 2. P. 97-101.

5. Цейтлин А.И. Кусаинов А.А. Методы учета внутреннего трения в динамических расчетах конструкций. Алма-Ата: Наука. 1987. 238 с.

Поступила 12.10.2003 г.