Об одной теореме о неявных функциях в негладком случае

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 4, С. 86-96

УДК 519.6

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ В НЕГЛАДКОМ СЛУЧАЕ

Р. А. Хачатрян

Рассматривается уравнение вида Е(х, у) = 0, х е X, у е М, где М — некоторое множество. Методом шатров (касательных конусов), когда множество М задано негладким ограничением типа равенства, доказывается существование такой дифференцируемой функции у, что Е(х,у(х)) = 0 у(х) е М, у(хо) = уо. В частности, методом шатров исследуется вопрос существования гладких локальных селекторов для многозначных отображений вида а(х) = {у е Кт : /¿(х,у) = 0, г е I, д(у) = 0}, х е К". Предполагается, что функции /¿, г е I, строго дифференцируемы, а функция д локально липшицева. При некоторых достаточных условиях доказано, что через любую точку графика многозначного отображения проходит дифференцируемый селектор этого отображения. Это утверждение можно интерпретировать как теорему о неявных функциях в негладком случае. В статье также построены строго дифференцируемые шатры В. Г. Болтянского для множеств, задаваемых негладкими ограничениями типа равенств. Приведено достаточное условие, при котором пересечение строго дифференцируемых шатров является строго дифференцируемым шатром. Показано, что касательные конусы Кларка являются шатрами Болтянскокого для множеств, задаваемых локально липшицевыми функциями.

Ключевые слова: многозначное отображение, субдифференциал, шатер, касательный конус.

1. Введение

Хорошо известна классическая конечномерная теорема о неявной функции, находящая большое количество различных приложений в современной математике. А именно, рассмотрим уравнения вида /¿(ж, у) = 0, i = 1, 2,..., т, ж £ МП У £ Мт, У — неизвестная, а х — параметр. При условии гладкости функций /¿, i = 1,..., т, и регулярности доказано существование гладкого решения системы вышеуказанных уравнений. В дальнейшем этот результат развивался в двух направлениях.

Во-первых, рассматривался тот же самый вопрос в бесконечномерных пространствах. Пусть X, У и Z — банаховы пространства. Пусть даны отображение Р : X х У ^ 2 и точки жо £ X, Уо £ У, для которых Р(жо, Уо) = 0. Рассмотрим уравнение

р

В литературе [8, с. 492], [3, 4] при тех или иных предположениях доказывается существование решения у(ж) уравнения (1.1) для всех ж из некоторой окрестности точки жо и его непрерывность как функции от ж. Так, например, в книге [8] доказана теорема о неявных отображениях, аналогичная конечномерной теореме. Затем в статье [4] доказывается теорема, обобщающая теорему о неявном отображении. Здесь производная РУ (жо, уо) отображения Р является сюръективным непрерывным линейным оператором.

© 2017 Хачатрян Р. А.

А в работе [3] доказана классическая теорема о неявной функции на конусе. Здесь, предполагая, что функция F строго дифференцируема и выполнено так называемое условие регулярности Робинсона.

Во-вторых, опубликованы многочисленные работы, в которых рассматривается во-

F

кая. Отметим лишь работы [9, 12, 13], где в конечномерном случае для липшицевой в окрестности точки (xo, yo) функции F приводятся достаточные условия, обеспечивающие существование такой липшицевой функции y(x), что F(x,y(x)) = 0 y(xo) = yo. Наиболее общий результат в этом направлении получен в статье [1].

F

F

где Io — конечное множество индексов. Пусть F(xo,yo) = 0. Предполагается, что функции /¿, i е Io, строго дифференцируемы по совокупности переменных в точке (xo,yo), a g — локально липшицева (возможно недифференцируемая). Приводятся достаточные

(1.2),

ке (xo, yo) = (xo,y(xo))• Положим

a(x) := {y е Y : F(x, y) = 0, g(y) = 0}, x е X.

Тогда вопрос существования решения уравнения (1.2) можно интерпретировать как вопрос существования селектора многозначного отображения а.

Отметим, что одной из важных проблем в теории многозначных отображений является вопрос существования однозначных аппроксимаций и селекторов с определенными свойствами. Весьма интересен и находит разнообразные приложения во многих областях математики вопрос существования селекторов, обладающих некоторыми топологическими свойствами. В частности, задача существования непрерывных селекций мультиотоб-ражения, восходящая к классической теореме Э. Майкла [14].

В статье приняты известные определения и понятия из выпуклого и нелинейного анализа [11]: Br(x) — замкнутый шар радиуса г с центром в точке x е Rn. Если M С Rn — некоторое множество, то cl{M} — замыкание множества M,

con(M) =f {x : x = Axi, xi е M, A > 0};

def

Lin M = cl{con M - con M},

(x, y) — скалярное произведение векторов x, y е Rn. Если а: Rn ^ 2Y — многозначное отображение, то

graf(a) d=f {(x, y) : y е a(x)}.

Однозначное отображение y : Rn ^ называется локальным селектором многозначного отображения а : Rn ^ 2Rm, проходящей через точку (xo,yo) е graf(a) графика, если существует такая окрестность U(xo) точки xo, что

y(x) е a(x) (Vx е dom(a) П U(xo)).

Определение 1 [5, с. 418]. Пусть zo := (xo,yo) е graf(a), вде а : Rn ^ 2Rm — многозначное отображение. Оно называется псевдолипшицевым около точки zo, если существуют такие числа ai > 0 a2 > 0 L> 0, что

a(xi) П Ba2 (yo) С a(x2) + L||xi - x2^Bi(0) (Vxi,x2 е Bai (xo)).

Если K с Rn — конус, то

K* := {y £ Rn : (у,ж) ^ 0 (vж £ K)}.

Определение 2 [5, с. 397]. Касательным конусом Кларка множества M с Rn в точке жо £ cl{M} называется множество вида

cm (ж) = { v £ Rn : lim d(v,A-1 (M - ж)) = ol.

[ л;о,жем 4 " J

ж^жо

Это означает, что ж £ См (жо) в том и только в том случае, если для любых последовательности положительных чисел {A&}, сходящейся к пулю, и последовательности {хк} С М, стремящейся к жо, существует такая последовательность точек {ж^}, сходящаяся к точке ж, что справедливо включение

жо + \к%к £ М (VfceN).

Имеет место следующий результат (см. [5, с. 430, следствие 5]).

Теорема 1. Пусть Mi и M2 — непустые замкнутые подмножества пространства Rn такие, что если

жо £ Mi n M2, cmi (жо) - См2 (жо) = Rn,

то

cmi (жо) п См2 (жо) с cmiПМ2 (жо).

KM

ж £ M, если существует такое отображение r : U ^ Rn, определенное в некоторой окрестности нуля U, что

т

ж + ж + г(ж)£М, если ж £ К п U и -—Т1—0 при ж —> 0.

Определение 4. Шатер K называется непрерывным,, если r непрерывно. Шатер K

r

для заданного е > 0 можно найти такое 5 > 0, что 11г*(жi) — г*(ж2)11 < — Ж2Ц Для жьж2 £ 55(0) С U.

Определение 5 [9, с. 32]. Пусть f : U ^ R — липшицевая функция в окрестности U заданной точки жо £ Мп, и ж £ Ж™ — произвольный вектор. Обобщенная производная Кларка функции / в точке Жо по направлению ж, обозначаемая /¿,(Жо,ж), определяется формулой

г/ / _х г /(ж + Аж) — /(ж) fc(ж0,ж) = lim sup —--—.

ж^жо, A

л;о

f:

Rn ^ R в точке жо называется множество

dcf(xo) = {ж* £ Ж™ : fc(x0,x) > (х*,х) (Уж £ Ж™)}.

Определение 7 [2, с. 139]. Функция g : Rn ^ R называется строго дифференцируемой в точке жо, если для любого е > 0 существует такая окрестность V точки жо,

|g(y) - g(z) - (5;(жо), У - z) I < e||y - z|| (vy, z £ V), где д'(жо) £ Rn — градиент функции g в точке жо-

2. Строго дифференцируемые шатры

В этом разделе построены строго дифференцируемые шатры для множеств, задаваемых негладкими ограничениями типа равенства. Приведено достаточное условие, при котором пересечение строго дифференцируемых шатров является строго дифференцируемым шатром.

Предложение 1. Пусть M := {x G Rn : g(x) = 0}, где g — строго дифференцируемая функция в точке Жо, g(xo) = 0 и g'(xo) = 0. Тогда подпространство II: {ж G Ж™ : (g'(Жо),ж) =0} является строго дифференцируемым шатром для множества M в точке Жо.

< Поскольку g'(xo) = 0 то найдется такой вектор w, ЦадЦ = 1, что

(g'(xo),w) < 0.

Так как g строго дифференцируема, то существует такая функция R( ж) = о (ж), что

g

Положим о»(А) = sup{ü(ä;) : ||ж|| ^ А}. Очевидно, что ш(А) монотонно неубывает, о>(А)/А —> 0 при А —» 0 и R(x) ^ о>(||ж||). Если ж £ Н и /л > 0, то из (2.1) получим

^(g' (жо), w) +

ж

Выберем > 0 настолько малым, чтобы выражение в квадратных скобках стало меньше, чем xo),w), когда ||ж|| ^ Тогда выполняются оценки

д(х0 +x + ß\\x\\w) ^ ^ß\\x\\{g'{x0),w) < 0 (Уж G Я п BSl(0), ж ф 0). (2.2) Аналогично существует такое число ¿2 > 0, что

д

Положим 6 = min{(5i, ¿2}- Для фиксированного ж G Н п Bg(0) рассмотрим функцию q(x,ß):= g( Жо +ж + /3||ж||ад) на сегменте [—/л,/л]. Из соотношений (2.2)-(2.3) следует, что q(x,li) < 0, q(x,—/i) > 0. Следовательно, существует такая точка ß(x) G [—/л,/л], что q(x,ß(x)) = 0. Теперь покажем, что точка ß(x) определяется однозначно. Для этого сначала заметим, что для фиксированного ж функция q(x, ß) монотонно убывает относительно ß. Действительно, поскольку g строго дифференцируема в жо, то для заданного £, 0 < е < | (g'(жо), w) I, и достаточно малых ж ф 0 имеем

lim sup + ~ ß)

4.0 т

д(жо + ж+ (ß + т)||ж||'ш) — д(жо +ж + /ЗЦжЦад) = lim sup-

т 4.0 т

Отсюда следует, что функция q(x,ß) монотонно убывает относительно ß и, следовательно, ß(x) определяется однозначно. Заметим также, что ß(x) —» 0 при ж —> 0. Теперь определим отображение г следующим образом: г (ж) = p(x)vj для любых ж G Ж™,

где р(ж) = /3(Ргя(ж))||Ргя(ж)||. Здесь Ргя — оператор проектирования на подпространство Н. По определению г для достаточно малых ж £ Н имеем д(жо + ж + г(ж)) = 0. Нетрудно доказать также, что

Наконец докажем, что отображение г строго дифференцируемо в нуле. Для любого е > 0 найдется такое число 5 > 0, что для любых Ж1,Ж2 € Н п -65(0) имеет место

((^(жо), {р{хг) - р{х2))ш)\ = \д{хо +Ж1 + р(х\)т) - д(ж0 + ж2 + р(ж2)ад) - (д'(ж0),ж! -ж2 + {р(х\) - р(ж2))ад)|

Поскольку Ц^Ц = 1, то получим

£

|р(ж!) -р(ж2)| ^ [^(жо),го)| -е^1

Теперь, если Ж1,Ж2 £ -65(0), то

£ £

Предложение 2 (о пересечении строго дифференцируемых шатров). Пусть выпуклые замкнутые конусы К\ и К2 являются строго дифференцируемыми шатрами для множеств М1 С Ж™ и М2 С Ж™ соответственно в точке Жо £ М1 П М2. Предположим также, что

К1 - К2 = Ж™.

Тогда конус Q := К1 П К2 является строго дифференцируемым шатром ко множеству М:= М1 П М2 в точке ж0.

< Сначала покажем, что существуют такие положительно однородные и липшицевые отображения Р1 : Ж™ ^ К1, Р2 : Ж™ ^ К2, что для люб ого ж £ Ж™ имеет место равенство

ж = Р1

Положим

а(ж) := {у £ К1 : (у - ж) £ К2}.

Имея в виду соотношение (2.4), легко заметить, что а — многозначное отображение с выпуклым замкнутым графиком и ёош(а) = Ж™. Следовательно, в силу [15, предложе-

Р1 ,

Р1(ж) £ а(ж) (Vж £ Ж™).

Положим Р2 (ж) = Р1 (ж) — ж. Очевидно, что отображение Р2 липшицево и положительно однородно, и Р2 (ж) £ К2 для любо го ж £ Ж™. Таким образом, соотношение (2.5) доказано. Итак, существуют такие числа ¿1 > 0 ¿2 > 0, что

К1 К2

ражения ^ : и ^ Ж, где

Т'

(Рг(х) := Жо +ж + Гг(х), :--> 0, ¿ = 1,2

(отображения п, i = 1,2, строго дифференцируемы в нуле) и число 5 > 0, что </?«(ж) £ Mj для любого ж G <2 П В§(0).

Теперь рассмотрим систему уравнений, записав ее в векторной форме

q

Учитывая соотношение (2.5), запишем уравнение (2.6) в виде

q

Покажем, что уравнение (2.7) удовлетворяет всем требованиям теоремы о неявных функциях из [2, с. 161]. Действительно, имеем

a) q — непрерывное отображение и q(0, 0) = 0;

b) для любого е > 0 найдутся число ¿i > 0 и окрестность нуля U такие, что если x G U и ||y'|| ^ ||y"|| ^ то

\\q(x,y')-q(x,y")-(y'-y")\\^e\\y'-y"\\.

Следовательно, согласно вышеуказанной теореме существуют число C > 0, окрестность нуля V и отображение y(-), определенное в этой окрестности, такие, что

q(x,y( ж)) = 0, \\y(x)\\^Cq(x,0) (VafeF).

Отсюда следует, что

",,_,," 0, при ж 0.

Положим теперь

ср( ж) := cpi(x + Р\(у(х))) = ж0 + ж + Pi (у (ж)) + ri (ж + Pi (у (ж))) = ж0 + ж + г (ж),

где

г (ж) = Pi (у (ж)) +Г1(ж + Р1(у(ж))).

Из (2.8) и того, что Г\(х) = о (ж), следует, что г (ж) обладает тем же свойством. Так как Ki и K2 — выпуклые конусы, имеем

ж + Pi (у (ж)) £ К\, х + Р2(у(х)) £ К2 (Ух eQ).

Далее, поскольку конусы Ki и K2 являются шатрами соответственно для множеств Mi и М2, то при достаточно малых ж G Q имеем

ф) = + Pi{y{x))) =ср2(х + Р2(у(ж))) е ml пм2.

Осталось доказать, что отображение r строго дифференцируемо в нуле. Для этого достаточно доказать, что таковым является отображение y(-). Действительно, имеем

у(х) + ri(x + Pi(y(x))) - r2(x + Р2(у(х))) = 0 (VxG V).

Отсюда, поскольку отображения r«, i = 1, 2, строго дифференцируемы в нуле, то для заданного е > 0 существует такая окрестность U С V нуля, что для любых х\,х2 G U справедливы оценки

||у(Ж1)-у(ж2)|| < ||Г1(Ж1+Р1(у(Ж1))) -Г1(ж2 + Р1(у(ж2)))|| + ||Г2(Ж1 + Р2(у(ж1))) - г2(ж2 + р2(у(ж2)))|| < 2е(||ж1 - ж2|| + С\\у{хг) - у(ж2)||),

где C = max{L1, L2 }. Отсюда,

2e

\\y(xi) -y(x2)\\ < l_2eC 11^1 -2||,

т. е. отображение y(-) строго дифференцируемо в нуле. >

Следствие 1. Пусть множество M задано системой уравнений

gi(x) = 0, i G I°,

где I° — конечное множество индексов. Пусть ж° G M и функции g» (ж) строго дифференцируемы в ж°. Предположим также, что градиенты gi (ж°), i G 10, линейно независимы. Тогда подпространство H := {ж G Ж™ : (д[(жо), ж) = 0, г G является строго днффе-

M x0

3. Теорема о неявных функциях в негладком случае

В этом разделе при некоторых достаточных условиях доказано, что через любую точку графика многозначного отображения вида (1.2) проходит дифференцируемая селекция этого отображения. При помощи дифференцируемых селекций можно аппроксимировать многозначную функцию и исследовать локальное поведение этих отображений. Такие аппроксимации проведены в работах [5, 10, 11], где они реализованы различными касательными конусами.

Здесь использованы шатры различной гладкости, что позволило исследовать многозначные отображения, заданные негладкими ограничениями типа равенства. Этот результат отражен в следующем утверждении, которое можно интерпретировать как теорему о неявных функциях в негладком случае.

Теорема 2 (теорема о неявных функциях в негладком случае). Пусть многозначное отображение a задано при помощи системы равенств:

a(x) = {y G : /¿(ж, y) = 0, i G I°, g(y) =0} , ж G y G

где функции /¿, i G 1°, строго дифференцируемы (1° — конечное множество индексов), a g — локально липшицева. Предположим, что

1. (ж°,y°) G graf(a), 0 G deg(x°);

2. для каждого y* G Lin deg(x°) система векторов {y*} U {/¿y (x°, y°), i G 1°} линейно независима.

Тогда существует такое отображение y(), определенное в некоторой окрестности V ж°

y (ж) G a(x) (V ж G V, y(x°) = y°).

< Так как функции /¿, i G I°, строго дифференцируемы в точке (ж°, y°), и векторы /¿у(ж°, y°), i G I°, линейно независимы, то подпространство [9, с. 59, следствие 2]

С Mi (жо, Уо) := [z = (x,y) G : (ДДж0, у0), у) + (fL(x0, Уо), ж) = 0, i G /с

является конусом касательных направлений в смысле Кларка множества

Mi := {z = (ж, y) G : /¿(z) =0, i G I°}

в точке z° = (ж°,y°). В силу следствия 1 это подпространство является и строго дифференцируемым шатром для Mi в точке (ж°, y°). Отметим также, что по теореме 1.2 из [16] подпространство

Н:= {z = (х,у) G : g'c(y0,y) < 0, g'c(y0, -у) < о}

является непрерывным шатром множества M2 := {(ж, y) G Rn+m : g(y) = 0} в точке z° = (ж°, y°).

Покажем, что подпространство Kgraf(a) (z°):= Cm1(ж°,у°) П H является шатром множества graf(a) в точке z°. Для этого проверим условия теоремы 2.1 из [16] (теорема о пересечении непрерывных шатров). Имеем

Cmi (ж°, y°) - H = Rn+m ^ (Cmi (ж°, y°))* П H * = {0}.

Далее, имеем

(Cmi(ж°,y°))* = {(ж*,y*) : ж* = FX(ж°,y°)a, y* = FУ(ж°,у°)а, a G Rfc},

где

k = |I°|, FX(ж°,у°) = (/1 х(ж°,y°),/2x(ж°,у°),...,/кх(ж°^^ Fy(ж°, y°) = (/iy(ж0, Уo), /2y(ж0, Уo),..., ykfcy^ y°)),

H * = {(0, y* ): y* G Lin de g^°)}.

Так как по предположению теоремы для каждого y* G Lin deg^o), y* = 0, система векторов {/¿y (ж°,y°), i G I0} U {y*} линейно независима, то

(Cmi (ж° ,y°))* П H * = {0}.

Значит, конус Kgraf(a) (ж°, y°) является шатром множества graf(a) в точке (ж°,у°). Теперь покажем, что

H ç Cm2(ж°,у°). По теореме 2.4.7 из [9, с. 58] выпуклые конусы

Kl = {у : g'c(yo,y) < о}, К2:= {у : д'с(у0, -у) < 0}

являются конусами касательных направлений в смысле Кларка множеств Ai = {y G Rm : g(y) ^ 0} и A2 = {y G Rm : g(y) ^ 0} соответственно. Проверим условие теоремы 1:

Ki - K2 = Rm ^ K* П (-K2)* = {0} ^ con de) П (- con deg(жo)) = {0}.

Это условие выполняется очевидным образом, поскольку 0 G deg^°). Следовательно, по теореме 1 Ki П K2 ç Caida2 (y°). Отсюда немедленно следует, что H ç Cm2 (ж°,у°). Так как CMl - H = Rn+m, то

Cmi (ж°, y°) П H ç CMinM2 (ж°, У°) = Cgraf(a) (ж°, y°).

Далее, пусть у*,у*,..., yp* — система векторов, принадлежащих deg^°) и образующих базис в подпространстве Lin de). Поскольку по предположению система векторов {Fy(ж°, y°), y*, y*,..., yp*} линейно независима, то система уравнений

F'(x0,yo)y = -F!c(xo,yo)x, (у*,у)= 0, i = l,2,...,p,

имеет решение у = Рх, где Р : Ж™ —» Ж"1 — некоторый линейный оператор. Таким образом, доказано, что для любого ж £ Ж™ существует вектор у £ Ж"1 такой, что

(ж,у) £

Cgraf (а) (жо,Уо),

и существует такой линейный непрерывный оператор Р : Ж" ^ Ж™, что

(ж, Рх) £ СМ1 п См2 (Уже Ж").

Значит, по теореме 2 из [5, с. 418] многозначное отображение а псевдолипшицево в точке ¿о- Так как конус (жо,уо) является шатром графика отображения а в точке (хо,уо), то существует такое отображение г(г):= г(х,у) = (г1(ж,у),г2(ж, у)) = о(г), определенное в некоторой окрестности нуля [/, что

г0 +1 + г (г) £ graf (а), 1 £ Кёга{{а) (г0) П II,

т. е.

у0 + у + г2{х,у) £ а(жо + ж + Г1(ж, у)) (У (ж,у) £ Кёга{{а) (ж0, уо) П II). Вместо у подставим Р(ж). Для достаточно малых ж получим

уо + Р

Так как а является псевдолипшицевым в точке (жо,Уо)5 то из (3.1) следует, что найдутся такие константа Ь > 0 и окрестность нуля V, что

у0 + Р

Поскольку п(ж,Р(ж)) = о (ж) и г2(ж,Р(ж)) = о (ж), то из (3.2) следует, что существует такое отображение гз(ж) = о (ж), что

уо + Р(ж) + г3(ж) е а(ж0 + ж) (Уже V).

Таким образом, если V = Жо + V, то положим

у(ж) := уо + Р(ж - жо) + гз(ж - жо) (У ж £ V).

Легко заметить, что отображение у удовлетворяет всем требованиям теоремы. >

Литература

1. Аваков Е. П., Магарил-Иляев Г. Г. Теорема о неявной функции для включений // Мат. заметки.— 2012.—Т. 91, № 6.-С. 813-818. Б01: 10.4213/шгш9383.

2. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление.—М.: Наука, 1979.

3. Арютунов А. В. Теорема о неявной функции без априорных предположений нормальности // Журн. вычисл. математики и мат. физики.—2006.—Т. 46, № 2.—С. 205-215.

4. Гельман В. Д. Обобщенная теорема о неявном отображении // Функцион. анализ и его прил.— 2001. I . 35, вып. 3. С. 28-35.

5. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. —М.: Мир, 1988.—510 с.

6. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами.—М.: Наука, 1973.—446 с.

7. Болтянский В. Г. Метод шатров в теории экстремальных задач // Успехи мат. наук.—1975.—Т. 30, № 3.—С. 3-55.

8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. —М.: Наука, 1976.^542 с.

9. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ.—М.: Мир, 1988.—280 с.

10. Половинкин Е. С. Многозначный а нал из и дифференциальные включения—М.: Физматлит, 2014.— 608 с.

11. Пшеничный В. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.—М.: Наука, 1980.—320 с.

12. Магарил-Ильяев Г. Г. Теорема о неявной функции для липшицевых отображений // Успехи мат. наук.^1978.^Т. 33, № I. С. 221-222.

13. Clarke F. Я. On the inverse function theorem // Pacific J. of Math—1976 —Vol. 64, № 1—C. 97-102.

14. Michael E. Continuous selections 1 // Ann. Math. 1956. .V» 63—C. 361-381.

15. Хачатрян P. А. О многозначных отображениях со звездными графиками // Изв. HAH Армении. Математика.-^2012.—Т. 47, № I. С. 51-78.

16. Хачатрян Р. А. О пересечении шатров в бесконечномерных пространствах // Изв. HAH Армении. Математика.—2001.—Т. 36, № 2—С. 64-71.

17. Хачатрян Р. А. О существовании непрерывных и гладких селекций многозначных отображений // Изв. HAH Армении. Математика.-^2002.—Т. 37, № 2. С. 65-76.

Статья поступила 25 марта 2016 г.

Хачатрян Рафик Агасиевич Ереванский государственный университет, доцент каф. численного анализа и мат. моделирования АРМЕНИЯ, 0025, Ереван, ул. Алека Манукяна, 1 E-mail: khachatryan. raf ikOgmail. com

AN IMPLICIT FUNCTION THEOREM IN NON-SMOOTH CASE

Khachatryan l/i . A..

In this paper, we consider an equation of the form F(x,y) =0 x £ X, y e M, where M is a set. By the method of tents (tangent cones), when the set M is given by a nonsmooth restriction of equality type, the existence of a differentiable function y(-) such that F(x,y(x)) = 0 y(x) e M, y(x0) = yo is proved. In particular, the existence of smooth local selections for multivalued mappings of the form a(x) = {y £ Rm : f(x,y) = 0, i £ I, g(y) = 0} x £ Rn, y £ Rm, is studied by the method of tents. It is assumed that the functions fi(x,y), i e I, are strictly differentiable, and the function g(y) is locally Lipschitzian. Under certain additional conditions it is proved that through any point of the graph of a set-valued mapping there passes a differentiable selection of this mapping. These assertion can be interpreted as an implicit function theorem in the nonsmooth analysis. Strongly differentiable tents for the sets defined by nonsmooth constraints of the equality type are also constructed in the article. A sufficient condition is provided for the intersection of strictly differentiable tents to be a strictly differentiable tent. It is also shown that the Clark tangent cones are Boltiansky tents for sets defined by locally Lipschitz functions.

Key words: set-valued mapping, subdifferential, tent, tangent cone.

References

1. Avakov E. R., Magaril-Il'yaev G. G. An imlicit-function theorem for inclusion, Mathematical Notes, 2012, vol. 91, no. 5-6, pp." 764-769. DOI: 10.1134/S0001434612050227.

2. Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomia S. V. Optimalnoe upravleniye [Optimal Control], Moscow, Nauka, 1979, 408 p. (in Russian).

3. Arutyunov A. V. Implicit functiont theorem without a priori assumptions about normality, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2006, vol. 46, no. 2, pp. 195-205.

DOI: 10.1134/S0965542506020023.

4. Gel'man B. D. A Generalized Implicit Function Theorem, Functional Analysis and its Applications, 2001, vol. 35, no. 3, pp. 183-188. DOI: 10.1023/A:1012322727547.

5. Aubin J. P., Ekland I. Applied Nonlinear Analysis, Courier Corporation, 2006, 518 p.

6. Boltyaaskii V. G. Optimalnoe upravleniye dishretnimi sistemami [Optimal Control of Discrete Systems], Moscow, Nauka, 1973, 446 p. (in Russian).

7. Boltyanskii V. G. The method of tents in the theory of extremal problems, Russian Mathematical Surveys, 1975, vol. 30, no. 3, pp. 1-54. DOI: 10.1070/RM1975v030n03ABEH001411.

8. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. Graylok Press, 1965, 257 p.

9. Clarke F. H. Optimization and Nonsmooth Analysis. New York, Awiley-Intercience Publication John Wiley & Sons, 1983, 296 p.

10. Polovinkin E. S. Mnoyoznachnij analiz i differencialnye wklucheniya [Multivalued Analysis and Differential Inclusions], Moscow, Fizmatlit, 2014, 606 p. (in Russian).

11. Pshenichnii B. N. Wipuklij analiz i ekstremalniye zadachi [Convex Analysis and Extremal Problems], Moscow, Nauka, 1980, 320 p. (in Russian).

12. Magaril-Il'yaev G. G. The implicit function theorem for Lipschitz maps, Russian Mathematical Surveys, 1978, vol. 33, no. 1, pp. 209-210. DOI: 10.1070/RM1978v033n01ABEH002249.

13. Clarke F. H. On the inverse fuction theorem, Pacific Journal of Mathematics, 1976, vol. 64, no. 1, pp. 97-102.

14. Michael E. Continous selections 1, Ann. Math., 1956, vol. 64, no. 1, pp. 361-381.

15. Khachatryaa R. A. On set-valued mappings with starlike graphs, Journal of Contemporary Mathematical Analysis, 2012, vol. 47, no. 1, pp. 28-44.

16. Khachatryaa R. A., Arutyaa F. G. Intersection of tents in infinite dimensional spaces, Journal of Contemporary Mathematical Analysis, 2001, vol. 36, no. 2, pp. 27-34.

17. Khachatryaa R. A. On the existence of continous and smooth selections for multivalued mappings, Journal of Contemporary Mathematical Analysis, 2002, vol. 37, no. 2, pp. 30-40.

Received March 25, 2016

Khachatryan Rafik A. Departement of Informatics and Applied Mathematics Yerevan State University, 1 A. Manukyan st., Yerevan, 0025, Armenia E-mail: khachatryan. raf ikOgmail. com