Задачи с геометрическим содержанием как средство развития логического мышления в учебниках математики для 5-6-x классов. 

ПЕДАГОГИКА И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

Вестник Омского университета, 2002. №4. С. 96-99.

© Омский государственный университет УДК

ЗАДАЧИ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ В УЧЕБНИКАХ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ

5-б-Х КЛАССОВ.

М.А. Екимова

Омский государственный университет, кафедра алгебры 644077, Омск, пр.Мира, 55A

Получена 25 сентября 2002 г.

The artical has an analises of the school text books on maths. The tasks with geometric contain are observed as the meaning of the logic development for the pupils of the 5 and 6 grades.

В пояснительной записке к программе для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев одна из целей обучения математике в школе формулируется следующим образом: «Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе» [19, с. 5]. Но далее, когда цели обучения конкретизируются, то о развитии мышления, а именно логического мышления, идет речь только при перечислении целей изучения курса геометрии в 7-9-х и 10-11-х классах. В перечне же целей изучения математики в 5-6-х классах, алгебры в 7-9-х классах и алгебры и начал анализа в 10-11-х классах такой цели нет; видимо, развитие логического мышления считается побочным или необязательным результатом обучения.

В содержании обучения и в требованиях к математической подготовке учащихся нет никаких указаний на ознакомление учащихся с основными логическими понятиями, на формирование у них логической грамотности и логической культуры. Только в результате изучении геометрии от учащихся требуется уметь решать задачи на вычисление геометрических величин, «проводя аргументацию в ходе решения задач», а также уметь «решать задачи на доказательство» [19, с.14].

Но сегодня в связи с гуманизацией образования установлено, что одна из основных целей обучения учащихся - это их умственное и нравственное развитие, а при обучении математике -развитие мышления учащихся, а значит, и развитие логического мышления в том числе.

Целесообразность развития логического мыш-

ления у школьников бесспорна. И начинать это развитие нужно как можно раньше на разнообразном материале. Ведь уже в 7-м классе учащимся необходимо иметь достаточно развитое логическое мышление для того, чтобы понимать, воспроизводить и самим научиться проводить доказательства утверждений при изучении систематического курса геометрии. Необходим этап в обучении, который позволит подготовить учащихся к восприятию этого курса и будет способствовать становлению правильных логических структур.

Вопросы методики развития логического мышления учащихся рассматриваются в методической литературе давно, и здесь накоплен достаточно большой опыт. Но анализ школьной практики показывает, что развитие логического мышления учащихся при обучении математике в 5-6-х классах осуществляется не в полной мере, и по-прежнему проблема развития логического мышления волнует учителей.

Проанализируем существующие учебники для 5-6-х классов с точки зрения определения внимания, уделяемого в них задаче развития логического мышления учащихся. В том числе посмотрим, как используются дидактические возможности задач с геометрическим содержанием (задачи, направленные на развитие логического мышления, базирующиеся на геометрическом материале, по форме сюжетные задачи) для формирования логического мышления учащихся.

В настоящее время в школьном обучении в основном применяются учебники [1, 2, 4, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18].

В учебниках [11, 12] задачи на развитие логи-

ческого мышления в основном помещены в рубрике, отмеченной специальным знаком, и по одной задаче разбросаны по всему тексту учебника. Среди них задачи на нахождение закономерностей, применение метода перебора, определение истинности или ложности составных высказываний, со связкой «и», задачи на внимание, задача о мостах, магические квадраты и др. Но не построена система задач; задач недостаточно.

Задач с геометрическим содержанием в этой рубрике мало, в основном в ней присутствуют геометрические задачи. Например, в 6-м классе учащихся знакомят с многогранниками, в основном с помощью задач на развертки, также в этой рубрике есть задачи, «спущенные» из старших классов, - по одной задаче на вычисление объемов пирамиды, призмы, площади полной поверхности цилиндра, конуса. Получается, что учащихся знакомят с большим количеством фигур на плоскости и тел в пространстве, а задач решается мало (по 1-2 на каждый новый вид многогранника или тела вращения).

Учебники для 5-6-х классов [4, 5, 6, 7] нацелены на развитие мышления, творческих способностей ребенка. В них содержится достаточно задач, развивающих логическое мышление школьника.

В учебнике для 5-го класса отдельные пункты посвящены методу проб и ошибок, методу перебора, построению математической модели задачи. В нем есть два отдельных параграфа, названные «Язык и логика» и «Еще немного логики», в которых авторы вводят понятия высказывание, общие утверждения и утверждения о существовании, равносильные высказывания, учат применять такие методы доказательства, как контрпример, подтверждение на примере. Также авторы рассматривают элементы теории множеств и оперируют понятиями множество, подмножество, пресечение множеств, объединение множеств.

В учебнике для 6-го класса в главе «Язык и логика» авторы продолжают знакомить учащихся с новыми логическими понятиями. Вводится понятие отрицания, рассматривается построение отрицания общих высказываний и высказываний о существовании, формулируется закон исключенного третьего, строятся отрицания утверждений с кванторами.

Видимо, авторы считают, что необходимо развивать логическую культуру через изучение более широкого, по сравнению с программным, круга математико-логических понятий. Мы считаем, что такой подход оправдан, но только в классах, в которых ученики подготавливаются к обучению в специализированных классах (8-11), мы их называем пролицейскими, и при предварительной

подготовке в начальных классах.

В этих учебниках есть задачи с геометрическим содержанием, например задача с пентами-но, задачи, связанные с головоломкой «Танграм», задачи на разрезание, задачи на идею симметрии, но их мало, а ведь именно при изучении геометрии в 7-м классе возникают проблемы, связанные с недостаточным уровнем развития логического мышления. Например, в учебнике для 5-го класса есть задача о покрытии шахматной доски с двумя вырезанными клетками 31 косточкой домино. При решении этой задачи раскраска доски в шахматном порядке помогает провести доказательство от противного. Это - интересная идея решения, но пятиклассники, скорее всего, не научатся применять этот метод доказательства, если с помощью его они решили только одну задачу. То есть различных идей и нового теоретического материала в учебнике достаточно, но мало задач, на которых бы эти идеи отрабатывались.

Учебники [13, 14] обогащены геометрическим содержанием, они освобождены от излишней ал-гебраизации, а удельный вес арифметической составляющей курса увеличен. Но поисковые, проблемные задачи, решение которых как раз и развивает логическое мышление, в учебнике для 5-го класса расположены под заголовком «Для тех, кому интересно», а значит, не предназначены для всех учащихся. Решению задач с геометрическим содержанием в учебнике для 5-го класса посвящены четыре пункта под заголовком «Для тех, кому интересно»: «Обводим линии» (в этом пункте собраны задачи об уникурсальных фигурах, их 8), «Разрезаем квадрат» (в этом пункте находится 5 задач на разрезание), «Построения на клетчатой бумаге» (8 задач), «Модели многогранников» (7 задач). На наш взгляд, в учебнике таких задач не достаточно.

В учебнике для 6-го класса пунктов под заголовком «Для тех, кому интересно» вообще нет. Хотя наличие таких пунктов, содержащих развивающие задачи, находящиеся в определенной системе, позволяет учителю организовать работу по целенаправленному развитию логического мышления не только путем систематического акцентирования логической стороны математического содержания в рамках действующей программы, но и с помощью специально предназначенных для этого задач, не обязательных для изучения. Это могут быть задачи на тему «Принцип Дирихле», «Паркеты», «Задачи на разрезание в пространстве», «Задачи с раскраской в условии», «Раскраска помогает решать задачу» и др.

Рассмотрим учебник «Арифметика» для 6-го класса серии «МГУ - школе» [2]. Авторы назвали свой учебник «Арифметика», тем самым

98

М.А. Екимова.

подчеркнув значимость основательного изучения арифметики. При этом они достаточное внимание уделяют алгебраическому материалу. В учебнике ясно прослеживается линия развития арифметических идей, но не прослеживается линия развития геометрических идей.

В учебнике есть только один пункт, связанный с изучением нового геометрического материала: «Длина окружности. Площадь круга». В нем решаются геометрические задачи, их 15, причем 6 из них - повышенной сложности. Остальные геометрические задачи или задачи с геометрическим содержанием решаются только в пунктах «Занимательные задачи», расположенных в конце каждой главы. Но их доля среди арифметических задач мала.

Однако обучение решению различных задач с геометрическим содержанием позволяет расширить возможности для развития мышления ребенка.

В учебнике для 6-х классов [8], геометрический материал излагается фрагментарно, но он связан с основным текстом учебника. Хотелось бы в параграфы, связанные с изучением геометрического материала, включить некоторые задачи с геометрическим содержанием, направленные на развитие логического мышления учащихся.

Например, в параграф «Виды треугольников» можно включить задачи, известные учителям математики, но почему-то рассматриваемые в основном только на кружковых занятиях, это задачи на тему, условно называемую нами «Считаем по чертежу». Решая такие задачи, учащиеся совершенствуют навыки работы с чертежом, развивают геометрическое зрение, воображение и логическое мышление. Они видят фигуры в различных положениях, различают разные фигуры по их признакам, расчленяют рисунок на части, видят его отдельные элементы, вводят их в различные взаимосвязи, учатся подсчитывать все фигуры так, чтобы ни одну не потерять. В этом параграфе всего одна задача дана с чертежом. Нам представляется, что перед глазами учащихся должно находиться больше чертежей. И если их недостаточно в учебнике, то их должен чертить учитель, ведь учащиеся должны решать задачи и по готовым чертежам.

В параграфах «Точки, симметричные относительно данной точки», «Точки, симметричные относительно данной прямой», «Фигуры, симметричные относительно данной прямой» в основном приводятся задачи на закрепление новых понятий и построений. А было бы неплохо предложить учащимся задачи, в которых решение проще находится с помощью идеи симметрии, например на разрезание фигуры на две, четыре равные части или на раскраску определенным образом

плоскости с заданным разбиением, причем на таких задачах можно формировать и другие, например комбинаторные, навыки.

Хотелось бы видеть в этом учебнике больше задач, направленных не на освоение программного материала, а поисковых, проблемных, направленных на развитие логического мышления: каких-либо числовых ребусов, арифметических задач, задач на принцип Дирихле, с геометрическим содержанием и т. д., хотя бы в специальных пунктах, как это сделано в учебнике [13], или в специальной рубрике, как в учебниках [11, 12].

Интересны учебники-собеседники для 5-х, 6-х классов [15, 16]. Изложение в этих учебниках -живое и занимательное. Авторы реализовали задачу построения учебника таким образом, чтобы учащиеся не только приобретали знания, но и учились мыслить. В учебнике есть специальная линия уроков под общим названием «Учимся рассуждать при решении задач». Здесь осуществляется обучение рассуждениям при решении задач, но почему-то в этой линии нет уроков, посвященных обучению рассуждениям при решении задач с геометрическим содержанием.

Авторы учат читателей рассуждать не только на этих уроках. Ими введен специальный персонаж - Смекалкин - внимательный и пытливый ученик. Вместе с ним они обсуждают написанное. Смекалкин задает интересные вопросы и высказывает дельные предложения. Введение такого персонажа позволяет решить несколько задач: научить детей задавать обдуманные вопросы, научить их догадываться, проявлять инициативу при обучении, воспитывают в них раскованность.

Задач же с геометрическим содержанием в учебнике недостаточно. В основном это задачи на разрезание, которые помещены в уроках, посвященных вычислению площадей фигур, и несколько задач на тему «Считаем по чертежу».

Интересны учебники для 5-х, 6-х классов средних общеобразовательных учебных заведений новосибирских авторов [9, 10]. Одна из особенностей этих учебников - три уровня изложения, которые отличаются объемом, глубиной и сложностью изучаемого материала.

В I главе учебника для 5-го класса учащимся предлагается ознакомиться с очень большим количеством теории, которая для них является новой, причем крупным блоком. А задач, на наш взгляд, в этой главе мало, особенно для первого уровня, хотя задачи предлагаются очень интересные, некоторые проблемного характера, причем охватывающие довольно широкий спектр идей.

В этом учебнике в других главах, посвященных изучению геометрии, кроме геометрических задач на усвоение новой темы, содержатся раз-

личные задачи с геометрическим содержанием.

В учебнике для 6-го класса этих же авторов задач с геометрическим содержанием, предназначенных для развития логического мышления школьников, почти нет, так как в нем уже содержится достаточное количество геометрических задач на доказательство, на вычисления, которые необходимо обосновывать, доказываются теоремы, то есть даются начальные представления о доказательных рассуждениях. Решение таких задач предполагает высокий (для 6-го класса) уровень развития логической культуры у школьников.

В учебнике есть открытые вопросы, представляющие собой проблемные задачи, ответы на которые не всегда однозначны. Рассмотрение ответов на эти вопросы обязательно при изучении каждого пункта, в некоторых случаях они дополняют пункт до логического завершения. Наличие таких вопросов - интересная особенность учебника, они помогают развивать логическое, творческое мышление школьников, их исследовательские способности.

Можно сделать вывод, что учебники [9, 10] -интересные, в них ясно прослеживается геометрическая линия, развивается логическое мышление с помощью различных задач с геометрическим содержанием и геометрических задач, но сложность изучаемого теоретического материала, малое количество задач первого уровня говорит о том, что, скорее всего, он предназначен для классов, в которых ученики подготавливаются к обучению в специализированных классах (8-11), мы называем их пролицейскими.

Наиболее успешно школьный учитель может организовать работу по развитию логического мышления учащихся с помощью учебников [1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 13, 15, 16]. Но учебники [4, 5, 6, 7, 9, 10], скорее всего, подходят для занятий в пролицейских классах, в учебниках [1, 2, 15, 16], на наш взгляд, недостаточно задач с геометрическим содержанием.

[1] Арифметика. 5 кл.: Учебник для общеобразоват. уч. заведений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М.: Просвещение, 1999.

[2] Арифметика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. М.: Просвещение, 2000. 270 с.

[3] Ванцян А.Г. Математика: Эксперим. учебник для 5-го кл. общеобраз. шк. Самара: Корпорация «Федоров», 1998. 216 с.

[4] Дорофеев Г.В, Петерсон Л.Г. Математика, 5 класс. Часть 1: Учебник для 5 кл. М.: ООО «Баласс»; ООО «С-инфо», 1997. 240 с.

[5] Дорофеев Г.В, Петерсон Л.Г. Математика, 5 класс. Часть 2: Учебник для 5 кл. М.: ООО «Ба-ласс»; ООО «С-инфо», 1997. 240 с.

[6] Дорофеев Г.В, Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 1. М.: ООО «Баласс»; ООО «С-инфо», 1998. 112 с.

[7] Дорофеев Г.В, Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 2. М.: ООО «Баласс»; ООО «С-инфо», 1998. 128 с.

[8] Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений / И.В. Баранова, З.Г. Борчугова; Под ред. Н.М. Матвеева. М.: ООО «Издательство Аст-рель»; ООО «Издательство АСТ»; СПб.: Спец-Лит, 2001. 280 с.

[9] Математика: Учебник для пятых классов средних общеобразовательных учебных заведений / В.С. Белоносов, М.П. Вишневский, В.В. Войти-шек, Т.И. Зеленяк, А.А. Мальцев, А.С. Маркови-чев, Ю.В. Михеев, А.А. Никитин, А.И. Саханен-ко, Д.М. Смирнов: 2-е изд. Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1997. 410 с.

[10] Математика: Учебник для шестых классов средних общеобразовательных учебных заведений /

B.С. Белоносов, М.П. Вишневский, В.В. Войти-шек, Т.И. Зеленяк, А.А. Мальцев, А.С. Маркови-чев, Ю.В. Михеев, А.А. Никитин, А.И. Саханен-ко, Д.М. Смирнов: 2-е изд. Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1997.

[11] Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. М.: Мнемозина, 1997. 384 с.

[12] Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. СПб.: Коруна, 1994. 255 с.

[13] Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин,

C.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Просвещение, 2000. 386 с.

[14] Математика: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.; Под ред. Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. М.: Дрофа, 2000.

[15] Математика: Учебник-собеседник для 5 кл. сред. шк. / Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М.В. Волков. М.: Просвещение, 1992. 319 с.

[16] Математика: Учебник-собеседник для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков, М.В. Волков. М.: Просвещение, 2001. 288 с.

[17] Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика. 5 кл.: Учебник для общеобразоват. учеб. заведений: 2-е изд. М.: Дрофа, 1997. 304 с.

[18] Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. Математика. 6 кл.: Учебник для общеобразоват. учеб. заведений. М.: Дрофа, 1997.

[19] Программы для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. М.: Дрофа, 2000. 320 с.