О трехпараметрических свойствах два-плоскостей в пятимерном центропроективном пространстве (CP 5)

УДК 513.7

О ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ДВА-ПЛОСКОСТЕЙ В ПЯТИМЕРНОМ ЦЕНТРОПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

1 9

© И.В. Артёменко1, Е.А. Лукьянова2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова ,83.

Центропроективное пространство двойственно аффинному, но представляет интерес рассмотрение геометрических свойств отдельных семейств плоскостей в первом пространстве. В работе рассмотрены свойства трехпара-метрического семейства двух плоскостей в пятимерном центропроективном пространстве (СР5), связанные с g-цилиндрами и названными цилиндрическими семействами плоскостей. Представлена геометрия двух плоскостей при g=4. При g=3 имеем полную параллельность, и этот случай не анализируется. Определены коцентры плоскостей, и установлено, что трехпараметрическое семейство 2-плоскостей вдоль 4-цилиндров имеет прямые коцен-тров. Найдены квазифлекнодальные точки прямых данного семейства, и доказано, что на каждой прямой семейства имеется пять квазифлекнодальных точек.

Ключевые слова: цилиндры семейства; коцентры; квазифлекнодальные точки; центропроективное пространство.

ON THREE-PARAMETRIC PROPERTIES OF TWO-PLANES IN FIVE-DIMENSIONAL CENTROPROJECTIVE SPACE (CT5) I.V. Artemenko, E.A. Lukyanova

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

Centroprojective space is dual to affine one but consideration of geometric properties of the individual families of planes in the first space is of special interest. The paper discusses the properties of the three-parametric family of two planes in a five-dimensional centroprojective space (CT5) associated with g-cylinders and termed cylindrical families of planes. The geometry of two planes at g=4 is described. The case when g=3 and two planes are completely parallel is not analyzed. The cocenters of planes are determined. It is found that the three-parameter family of 2-planes along 4-cylinders has straight lines of cocenters. Quasi-flex-nodal points of the straight lines of this family are found and it is proved that there are five quasi-flex-nodal points on each straight line of the family. Keywords: cylinders of the family; cocenters; quasi-flex-nodal points; centroprojective space.

Введение

Центропроективное пространство двойственно аффинному. Пусть V - векторное пространство над полем К и Т(V) - проективная плоскость [5]. Зададим на плоскости Т (V) репер R, тогда всякая прямая d c T(V) определяется линейным однородным уравнением относительно текущих координат точки Med, то есть уравнением вида ааха = 0.

Обозначим через V* множество всех линейных форм на векторном пространстве V. На множестве V* определим закон сложения: если а,Ь e V* и а = а(а),Ь = Ь(а), то положим а + b = а(а) + Ь(а). Следовательно, V - абелева группа относительно введенного закона сложения.

Далее для любого а e V* и для любого X e К положим 1(а) = Ла(а). Теперь V* - векторное пространство над К. Оно называется сопряженным к векторному пространству V.

Элементы из V* называются ковариантными векторами. Пространства V и V* построены над полем К, следовательно, они имеют одинаковые размерности и изоморфны.

1

Артёменко Ирина Владимировна, кандидат геолого-минералогических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89148816908.

Artemenko Irina, Candidate of Geological and Mineralogical sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89148816908.

^Лукьянова Елена Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общеобразовательных дисциплин заочно-вечернего факультета, тел.: 89086600353, 89149493552, е-mail: lukirgtu@yandex.ru Lukyanova Elena, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Associate Professor of the Department of General Studies of the Correspondence and Extramural Faculty, tel.: 89086600353, 89149493552, e-mail: lukirgtu@yandex.ru

Rang

= 2.

Проективная плоскость P(V*) называется двойственной P(V) [4]. Точка а этой плоскости есть множество коллинеарных между собой векторов, она порождается любым из ковек-торов этого множества.

Если задана точка а е T(V*) с помощью какого-либо порождающего эту точку ковекто-ра а = аа1а, то этим на проективной плоскости T(V) определяется прямая ааха = 0. Значит, можем рассматривать отображение 8.T(V*) ^ П*, где П*- множество всех прямых плоскости T(V*). Покажем, что 8- биективно. Если точки а и b из T(V) различны, то порождающие их ковекторы аа1а и t alaнеколлинеарны:

bQblb2

Следовательно, прямые ааха = 0 и b аха = 0 различны, и а±Ь,и 8(a) ± 8(b), то есть 8 - инъекция.

На плоскости T(V) возьмем произвольную прямую d, и относительно репера R эта прямая определится уравнением ааха = 0.

Если в пространстве V* мы возьмем ковектор а = аа1а, то он определяет точку а е T(V*), такую, что 8(a) = а, следовательно, 8- сюръекция. Итак, отображение 8- биекция, а поэтому множество П* всех прямых плоскости T(V) является проективным пространством.

Отображение \.V ^V* порождает отображение y.P(V) ^ P(V*) по следующему закону: если точка М е P(V) имеет координаты ха в репере R(la), то ф(М) е P(V*) имеет те же координаты ха в репере R'(la). Ясно, что (р - биекция.

Возьмем композицию отображений 8о(р = Так как 8 и (р - биекции, то отображение ^ является биекцией P(V) на П*. Оно переводит всякую точку А(аа) е P(V) в прямую d(aa) е П* с теми же координатами aa.d = ^(А). Так как ^ - биекция, то всякой прямой d е T(V) можно сопоставить точку А = ^-1(d). Известно, что

А

Пусть ^(А) = а(аа), -1(т) = М(иа), и так как равенство (1) имеет место, то М е а. Итак, с помощью биекций ^ и -1 можно каждой точке (прямой) плоскости T(V) поставить в соответствие прямую (точку) этой плоскости, причем отношение принадлежности прямых и точек сохраняется. Отсюда следует принцип двойственности на проективной плоскости [1]: если на проективной плоскости справедливо предложение G, в котором говорится о точках, прямых и их взаимной принадлежности, то справедливо и двойственное предложение G*, которое получается заменой слов из G на следующие слова:

/ точка, прямая, лежит на, проходит через \

( прямая, точка, проходит через, лежит на ) Рассмотрим геометрию первой дифференциальной окрестности 3-параметрического семейства 2-плоскостей в пятимерном центропроективном пространстве. Цилиндры 3-параметрического семейства 2-плоскостей в CT 5 Поместим точку Ао в центр пространства. С образующей плоскостью семейства совместим плоскость А1А2Аз. Тогда

= = п°3 = п4 = п! = п42 = = п43 = = 0.

Из определения ^-параллельности 2-плоскостей [3] имеем условия для нахождения 0-цилиндров:

Rang I A1A2 A3 dA1dA2 dA3 II = 0 + 1,

Rang II A3 A1:A2:A3:dA1:dA2 dA3 II = 0 + 1,

где 3< 0 < 5, или 0 = 3, или 0 = 4.

Рассмотрим геометрию 2-плоскостей при 0 = 4. Принимая формы ш4,ш5,ш3 за базисные, получим из (2) соотношения:

.5 _ „5..4 I о5..5 I „5/х4

щ = а{Щ + ßl^l + у!Щ>

'5

'2

5 = ai^t + ßl^5 + у! vi

u*2=a*2ut+ß02u5+y02ui

„4,.4

4, .1

0

4 4

^ = + де^ + 70^4, <у° = «зХ + &Ч3 + Условия (3) и (4) будут иметь вид

Rang

Rang

00 1 0 0 0 00

0 1 0 0

0 0 0 1 0 0

0 to1 to11 2 to1 3 to1 to14 to1

to20 to12 2 to2 3 to2 to24 to2

to30 to13 to32 to33 to34 to33)

10 0 0 0 0 00

1 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 to1 to11 2 to1 3 to1 to14 to1

to120 to12 2 to2 3 to2 to24 to2

to30 to13 2 to3 3 to3 to34 toi)

= 5,

= 5.

Таким образом, для нахождения 4-цилиндров имеем:

to4

to4

to4

toi

to.

toi

откуда to4 = to4 = to3 а, следовательно, с учетом (5):

4 -Ato5,

(1 - Ла^Х - Л$>2 - ЛуМ = 0 ,

а2Х + (#-А>2+72^4 = 0 , Лаз^4+Л&Ч5 + (Лу|-1>4 = 0. Характеристическое уравнение полученной системы имеет вид

А3(а2у| - ^уЬ - Я2(а2^24г| + У! + «2 + «З^Зг! + «3^1 -

«|^12У24 - ^М) + Я(^24Г32 + ^ + 1 - ^ - - ^24 = 0. Полагая а2 = 1 , аЗ = ^2 = аз = У1 = Уз = 0, выберем за координатны разия 4-цилиндры

to4 : to2 : to4 = 1: 0: 0, to4 : to2 : to4 = 0:1: 0, to4 : to2 : toЗ которые обозначим где 1 = 1,2,3.

Если рассматривать случай, когда ^ = 3, получим полную ^.-параллельность рассматриваемых плоскостей.

Коцентры плоскости семейства

Определение. Коцентром плоскости называется точка, в которой касательная плоскость к многообразию проходит через центр пространства. Из условия йапд || Л°,Л1,Л2,Л3,^Л II = 4,

где

Я = С1Л1 + £2Л2 + £3Л3,

0:0:1,

получим два уравнения на коцентральные точки:

<-1 ,.,4^2,^4

txto4+t2to4 + t3to4 = 0,

t1to15+t2to5 + t3to35 =

0,

откуда вдоль цилиндра = 0^4 = 0) по формуле (7) получим С1 = 0.

1 0 ^

Подставив ь1 = 0 в (8), получим Р = 1 А2 + 1 Аз, т.е. вдоль цилиндра ф1 имеем прямую

коцентров [А2А3].

Находя коцентральные точки плоскости (8) вдоль цилиндра ф2(ш4 = 0,^4 = 0), получим из (9) г1^ + г2 + г3р! = 0, откуда г2 = -г1^ - г3р!.

Таким образом, вдоль цилиндра ф2 имеем прямую коцентров

[А1-Р5А2, Аз-рЦА2].

Свойство. Трехпараметрическое семейство 2-плоскостей вдоль центральных 4-цилиндров имеет прямые коцентров.

Вдоль цилиндров ф3(ш4 = 0,= 0) по формуле (7) получим из (9) ь2у% + ь3 = 0, следовательно, ь3 = -ь2у%.

Прямая коцентров рассматриваемой плоскости имеет вид

[А1, А2-у42Аз].

Приняв = Рз = 72 = 0 в (6), совместим с прямыми коцентров прямые [А1А2] и [А1А3]. Таким образом, с точками пересечения прямых коцентров [А1А3], [А1А2] и [А2А3] совмещены точки А1,А2,А3.

Уравнения касательной плоскости к трехпараметрическому семейству 2-плоскостей (А1А2А3) в точке А2 вдоль ф2 имеют вид

х4 = 0, х°-р0х5 = 0.

При = 0 уравнения (10) примут вид х4 = 0, х° = 0 , следовательно, точку А5 поместили в рассматриваемую касательную плоскость.

Аналогично рассуждая, получим, что при условии у3? = 0 точку А4 поместили в касательную плоскость к трехпараметрическому семейству 2-плоскостей (А1А2А3) в точке А3 вдоль ф3.

Коцентры присоединенной пары

Найдем касательную к линии, соответствующей многообразию ф2, поверхности, описываемой точкой А2:

(А2,йА2) ^2 = (А2,Р^А1 + р2^Аз+А3).

Аналогично находим касательную к линии, соответствующей многообразию ф3, поверхности, описываемой точкой А3:

(Аз,йАз) ^3 = (Аз,у$А1 + у!А2 + А4).

При условии р! = Р2 = Уз = Уз = 0 совместим касательные к рассматриваемым линиям с прямыми [А2А5] и [А3А4].

Линейчатая поверхность прямых R = РА2 + 15А5 имеет коцентры при выполнении требования И(А0,А2,А5,йК) = 3, благодаря чему получаем систему уравнений

г2ш\ + = 0,

г2а)3 + г5а)35 = 0,

г2ш42 + г5ш4 = 0.

Рассмотрим систему уравнений (11) вдоль 4-цилиндров. Вдоль ф1 система (11) запишется в виде

г2а1 + г5а1 = 0, г2а3 + г5а3 = 0, г5а4 = 0.

Линейчатая поверхность [А2А5] вдоль ф1 не имеет коцентров.

Рассматривая систему (10) вдоль ф2, получим: г5р5 = 0, г5р3 = 0, г5р4 = 0. Следовательно, ь5 = 0. Тогда точка А2 есть коцентр касательной к линии на поверхности, описываемой самой же точкой А2.

Вдоль ф3 система уравнений (11) запишется в виде

г2у1 + г5у1 = 0, г5у4 = 0, г2у3 + г5у3 = 0.

Следовательно, линейчатая поверхность прямых [А2А5] не имеет коцентров. Потребуем, чтобы линейчатая поверхность прямых И = Ь3А3 + Ь4А4 имела коцентры, тогда будет выполняться условие Капд(А0,А3,А4,йК) = 3. Из этого условия получим систему уравнений:

^3 + = 0, + ^42 = 0, ^2 + ^4 = 0.

Вдоль 4-цилиндра линейчатая поверхность [А2А4] не имеет коцентров, что видно из условий

+ £4а{ = 0, £3а| + £4а| = 0, £4а| = 0. Рассматривая систему уравнений (12) вдоль 4-цилиндра получим:

= 0, = 0, £3&2 + £4&2 = 0. Отсюда следует, что вдоль линейчатая поверхность прямых [А3А4] не имеет коцентров.

Вдоль 4-цилиндра система уравнений (12) запишется в виде £4у| = 0, £4у42 = = 0, с4743 = 0, откуда следует с4 = 0, а значит, точка А3 - коцентр касательной к линии на поверхности, описываемой точкой А3.

Свойство. Коцентр касательной к линии на поверхности, описываемой точкой А2(А3) вдоль подмногообразиий ^2(^3), есть сама точка А2(А3). Квазифлекнодальные точки

Найдем квазифлекнодальные точки [2] для пары трехпараметрических семейств:

^ = ^ + ^^5, Р* = £3Л3 + £4Л4.

Возьмем на прямых (13), соответственно, произвольные точки

М = £2Л2 + с2^, М* = £3Л3 + £4Л4,

в этих точках проведем касательные плоскости к многообразиям, которые описываются прямыми (14). Требования прохождения касательных плоскостей к многообразиям (13) в точках (14) через точки М* = £3Л3 + £4Л4 , М = £2Л2 + ^^ запишутся в виде

М,^,^,^,^,^ | = 0.

Из условий (15), (16) следуют уравнения на квазифлекнодальные точки: £2{(£2)4[Л2 К + Л21 + ЯЛМ] + (£2)4[Я2К + В2! + ЯРМ] + (£2)2(^)2[(Р2К + + С2! + 2РЛ1 + РСМ + 2РЛМ] + (С2)з^[2ЛЖ + 2ЛС! + 2ЛО,] + £2(^)3[2РРК + 2СЖ + 2РСМ]} + £2{(£2)2[Я2М + Л20 + ЯЛР] + (£2)4[Р2К + Р20 + РРР] + (£2)2(£2)2[Р2М + 2РШ + С20 + 2РЛО + РСР + 2РЛР] + (С2)3^^^ + 2ЛСО + 2ЯСР] + £2(£2)3[Р£М + 2РСО + 2ЯСР] = 0, то есть получили уравнение пятой степени, а следовательно, на каждой прямой семейства имеется пять квазифлекно-дальных точек.

Аналогично найдется система уравнений на квазифлекнодальные точки для пары трехпараметрических семейств: Р = + £2Л2, Р* = £3Л3 + £4Л4. Вывод

Итак, получаем на с2 и с1 уравнение пятой степени, т.е. на каждой прямой семейства имеется пять квазифлекнодальных точек.

Статья поступила 01.10.2015 г.

Библиографический список

1. Артёменко И.В., Шульгина О.Н. Геометрия двупараметрического семейства прямых в четырехмерном цен-тропроективном пространстве (СР4) // Вестник ИрГТУ. 2015. № 4 (99). С. 117-122.

2. Ивлев Е.Т. Проективно-дифференциальная геометрия пар линейчатых многообразий трехмерного пространства. Томск: Изд-во ТГУ, 1961. 12 с.

3. Машанов В.И., Перевертаева Т.Ф. Цилиндрические семейства плоскостей // Материалы научной конференции по математике и механике. Томск: Изд-во ТГУ, 1974. С. 25.

4. Скрыдлов В.Н. Центропроективная теория плоских кривых // Известия Крымского педагогического института. 1955. С. 12-13.

5. Щербаков Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Томск: Изд-во ТГУ, 1960. 196 с.