Роль мезо-макро энергообмена в распространении стационарных пластических волн

УДК 539.374

Роль мезо-макро энергообмена в распространении стационарных пластических волн

Ю.И. Мещеряков

Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург, 199178, Россия

Для учета коллективных процессов в макроскопическом отклике металлов на ударное нагружение используется механизм обмена количеством движения и энергией между мезоскопическим и макроскопическим уровнями деформирования. В качестве тестовой задачи рассмотрено распространение стационарного пластического фронта. Аналитическое решение для стационарного фронта, полученное на основе динамики дислокаций, дополнено выражением, связывающим дефект скорости с вариацией массовой скорости. Показано, что в этом случае удается получить совпадение расчетного профиля с экспериментальным.

Ключевые слова: стационарная волна, динамика дислокаций, вариация скорости, дефект массовой скорости, мезо-макро энергообмен

Contribution of meso- and macroscale energy exchange to the propagation of stationary plastic waves

Yu.I. Mescheryakov Institute of Problems of Mechanical Engineering RAS, St. Petersburg, 199178, Russia Collective processes in the macroscopic response of metals to shock loading are considered on the basis of the momentum and energy exchange between meso- and macroscale levels of deformation. The test problem under study is the propagation of a stationary plastic front. The analytical solution obtained for the stationary front from dislocation dynamics is added with an expression relating the velocity defect to the mass velocity. It is shown that in this case, it is possible to obtain coincidence between calculated and experimental profiles. Keywords: stationary wave, dislocation dynamics, velocity variation, mass velocity defect, meso- and macroscale energy exchange

1. Введение

В динамических задачах механики деформируемого твердого тела проблема адекватного описания макроскопического пластического течения через элементарные носители деформации того или иного вида остается нерешенной. В частности, модели динамики дислокаций, в которых учитываются только аддитивные вклады дислокаций в суммарную пластическую деформацию, не могут адекватно описать затухание упругого предвестника — требуемая плотность подвижных дислокаций оказывается на два-три порядка выше той, которую экспериментально наблюдают в кристаллах [1-3]. В качестве альтернативных механизмов пластического течения с начала 80-х годов предложено несколько вариантов описания процесса пластического течения с

привлечением мезоуровня [4-6]. Предполагается, что носителями деформации на этом масштабном уровне являются структуры, занимающее промежуточное положение между дислокационным уровнем и макроуровнем и которые включают коллективные механизмы деформирования. Благодаря этому подходу были получены новые качественные результаты в конструировании материалов с заданными свойствами [6].

Вместе с тем, к настоящему времени концепция мезоуровня пока не может рассматриваться как основа для построения динамической пластичности. При попытке учесть коллективные механизмы динамического деформирования первая проблема — как связать аддитивный и коллективный механизмы деформирования. Так, известная формула [7]

© Мещеряков Ю.И., 2010

л + - 1 Эе#

ДР^Р* -Рік = ~1Єч11ХГ’

связывающая кривизну кристалла и избыточную плотность дислокаций одного знака, предполагает очень жесткую связь аддитивного (дислокационного) механизма деформирования и макроскопического отклика кристалла в виде градиента деформации, что в действительности не выполняется.

Более реалистичным представляется такой подход, в котором одновременно работают оба механизма пластической деформации — аддитивный и коллективный. Основные требования к такому описанию заключаются в следующем: 1) будучи макроскопическим, это описание в зависимости от скорости деформации должно в той или иной степени включать эффекты пластического деформирования на других масштабных уровнях; 2) такое подключение не может быть чисто детерминистским, оно должно быть некоторой комбинацией «жесткого» детерминистского описания процесса пластического деформирования и «мягкого» статистического описания; 3) должны существовать критические режимы деформирования и тестовые задачи, в которых теория могла быть проверена на эксперименте.

В связи с последним требованием, одним из наиболее удобных и надежных тестов для проверки адекватности теоретического описания динамических процессов эксперименту является распространение стационарной упругопластической волны. Стационарные волны часто используются для проверки определяющих уравнений, разработки расчетных схем, определения эффективной вязкости и др. [8-11].

В настоящей работе на примере стационарного пластического фронта массовой скорости показано, что для совпадения теоретического волнового профиля с экспериментальным необходим учет обмена импульсом между мезо- и макроуровнем. Аналитическое решение для стационарного пластического фронта, полученное на основе динамики дислокаций, дополнено соотношением, включающим связь дисперсии массовой скорости и средней (макроскопической) скорости. Полученные из теории временны е профили сравниваются с известными экспериментами Баркера и Джонсона [8] для алюминия 6061-Т6 и с экспериментами по ударному нагружению алюминия Д16. Показано, что учет только аддитивных вкладов дислокаций в суммарную пластическую деформацию в форме уравнения Орована-Зейца-Рида требует нереально высокой начальной плотности подвижных дислокаций порядка 109-1010 см-2. В том случае, когда наряду с аддитивными механизмами работают коллективные механизмы пластического деформирования с подключением мезоуровня, расчетный профиль совпадает с экспериментальным уже при начальной плотности подвижных дислокаций порядка 107-108 см-2.

2. Мезо-макро энергообмен

Обмен количеством движения между макро- и мезо-уровнями в процессе динамического деформирования материала выражается в виде следующего соотношения [12, 13]:

Здесь Дм — дефект скорости на плато импульса сжатия, величина которого определяет изменение массовой скорости на макроуровне вследствие обмена моментом количества движения между мезо- и макроуровнем. Это соотношение показывает, что передача импульса тем эффективнее, чем выше скорость изменения дисперсии массовой скорости D2.

Обе динамические переменные, дисперсия массовой скорости и дефект скорости, могут быть измерены в процессе динамического деформирования в реальном масштабе времени [14]. В отличие от выражения (1), соотношение (2) обеспечивает «мягкую» связь мезо- и макроуровня, поскольку дисперсия скорости, будучи по определению вторым статистическим моментом функции распределения частиц по скоростям, имеет вероятностную природу. С физической точки зрения, дисперсия массовой скорости D2 характеризует величину средней энергии хаотических пульсаций скорости на мезоуровне, в то время как дефект скорости Дм определяет количество движения, затраченного на раскачку пульсаций скорости. Роль энергообмена, выражаемого формулой (2), в формировании стационарного волнового фронта качественно поясняется на рис. 1. На этом рисунке волновой фронт без учета мезо-макро энергообмена изображен в виде прямой линии OLN. На этом же рисунке дано изменение во времени вариации массовой скорости D (корня квадратного из дисперсии скорости). В случае стационарного фронта вариация массовой скорости изменяется немонотонно, достигая максимального значения в середине фронта. Кривая ОКЬЫН— это результирующий волновой профиль, ко-

ТТ25

О 40 80 120

Время, не

Рис. 1. Качественная картина мезо-макро обмена количеством движения в стационарном фронте массовой скорости

торый получается при суммировании стационарного фронта OLN и текущего дефекта массовой скорости, определяемого выражением (2). Результатом суммирования является увеличение крутизны волнового фронта.

В следующих разделах вместо условного профиля OLN расчетный волновой профиль массовой скорости, соответствующий аддитивному механизму динамического деформирования, получается на основе известной дислокационной модели Гилмана-Джонстона [15]. Этот профиль дополняется механизмом коллективного вклада (2) и сопоставляется с экспериментом.

3. Динамика дислокаций и стационарный волновой профиль

В квазистатической области деформирования основным механизмом пластичности в металлах, как известно, являются дислокации, движение которых обеспечивает аддитивные вклады в суммарную пластическую деформацию. К настоящему времени разработано несколько моделей, основанных на динамике дислокаций. В одномерном случае деформирования изотропного тела с нулевой пластической дилатацией

еп + е22 + е33 = 0

нормальное напряжение ап, полная деформация в направлении распространения волны еп и пластическая деформация сдвига

ур = У2^ -е22)

связаны соотношением [16]

СТп - (А + 2ц)Еп =-зЦУР,

где А и ц — константы Ламе. Определяющее уравнение, выведенное на основе динамики дислокаций Тейлором [16] и Дювалем [17] имеет следующий вид:

а - (А+= - з

где индекс п опущен, а индекс t означает дифференцирование по времени. Здесь скорость пластической деформации сдвига ур выражена через плотность подвижных дислокаций Мш и их среднюю скорость Vd с помощью известного уравнения Зейца-Рида [18]:

ур = ЬЗД,

где Ь — модуль вектора Бюргерса. В нашем рассмотрении мы будем использовать закон размножения дислокаций в виде [15]:

Хш = Хш0 + ^

где Хш0 — начальная плотность подвижных дислокаций и а — коэффициент размножения дислокаций.

Согласно данным [19], в широком диапазоне скоростей деформации справедливо линейное соотношение между сдвиговым напряжением и скоростью дислокаций:

т-т0

В

где В — коэффициент вязкого торможения дислокаций; т — приложенное сдвиговое напряжение и т0 — обратное напряжение. Тогда определяющее уравнение (5) примет вид:

а, -рС1 е, = -зцу0(1 -Му)(т-т0), где введены следующие обозначения:

У0 =-

Ь2 N

ш0

В

м =

а

N

ш0

С учетом (3)-(5), уравнение (10) может быть записано только в терминах полной нормальной деформации е и сдвиговой деформации ур:

ур = Ус

Вместе с уравнениями баланса массы и импульса

Ри -ах = 0,

их -е, =0,

уравнения (12) образуют полную систему уравнений для описания одномерного динамического деформирования изотропного материала. Так как предметом рассмотрения в настоящей работе являются только стационарные пластические волны, мы можем ограничиться одной независимой переменной г = х - С0,. В этом случае система (12)-(14) примет вид:

РСих +ах = ^ С0е х + их = ^

С0Ух = У 0(1 + М у р)[(е- 2ур)ц-т0].

Интегрирование первого и второго уравнений дает:

рС0и + а = с1, С0е + и = с2.

Постоянные интегрирования с1 и с2 должны находиться из граничных условий для искомых переменных вдали от области их быстрого изменения. Пусть а0, е0 и и0 — это максимальные значения нормального напряжения, деформации и массовой скорости, в то время как а», е* и и* — минимальные значения этих переменных, соответствующие их значениям на упругом предвестнике. Тогда система (16) может быть представлена в следующем виде:

рСи + а = рС0и0 + а0,

^е + и = ^е* +и*.

Заменяя в уравнении (17) величину а из уравнения (5), получим:

рСи + рС02е - з цу = рСи + а0, ^е + и = ^е* +и*.

Подстановка выражений (18) и (19) в последнее уравнение в (15) дает:

С0 Ур = «зУ0^

где

d -^ a

ст*-рСоЧ То

а3 ----;----г--—;

3 р(С - Со2) Ц

ьз

--2.

3 рС - Со2)

Наконец, интегрирование уравнения (20) дает

ев-1

Yp -

d3 - Меф

-+ c3

где

e (d3 - M )y оЦ

e--------------------z.

С

о

Величины нормального напряжения, полной деформации и массовой скорости можно выразить через плас тическую деформацию сдвига Yp как:

8 С2 с1

,,р_____Р  с

СТ--ЦУ о о ' о і

3 С2 - С2 С2 - Ср

Є - -

PC - Ср2)

Л*I CT* -РСРЄ* + >YP

8 р Ср Ср

u MYP----------------------------------------2-2-2-2-.

3 р

С учетом (20), выражения для искомых переменных принимают вид:

СТ--Ц

3 С/ - Ср2

ев-1 d3 - Me Є

-+c3

1

є----22— MY + c3,

рС - Ср2)3 3

Ср

3 р

ев-1

d3 - Me

в + с3

4. Сравнение с экспериментом

Для проверки адекватности модели достаточно сравнить с экспериментом рассчитанный по формуле (31) стационарный профиль массовой скорости. В этом выражении постоянная интегрирования с3 может быть определена из граничных условий впереди и позади фронта. В качестве экспериментального профиля будем использовать временной профиль скорости свободной поверхности, полученный в [8] при ударном нагружении 12.27мм мишени из алюминия 6061-Т6. Этому профилю соответствует максимальное значение нормального напряжения 3.7 ГПа. Для расчета профиля массовой скорости использованы физико-механические характеристики и параметры ударного нагружения, представленные в табл. 1. Рассчитанные с помощью выражения (31) стационарные профили скорости для двух значений

Таблица 1

Физико-механические характеристики и параметры ударного нагружения сплава 6061-Т6

Скорость ударника Цшр, м/с 345

Плотность р, г/см3 2.7

Модуль сдвига ц, ГПа [8] 28.7

Продольная скорость звука С1, см/с [8] 6.3 *105

Скорость пластического фронта С0, см/с [8] 5.47 *105

Коэффициент вязкого торможения дислокаций В, МПа-мкс [8] 5 * 10-4

Модуль вектора Бюргерса Ь, см 2.86-10-8

Коэффициент размножения дислокаций а, см-2 [15] 1011

Амплитуда упругого предвестника и%, м/с 36

Максимальное значение массовой скорости и0, м/с [8] 321.5

начальной плотности подвижных дислокаций представлены на рис. 2 вместе с экспериментальным профилем Баркера и Джонсона [8]. Видно, что экспериментальный профиль не совпадает с расчетными при плотностях подвижных дислокаций 108 и 109см-2. В действительности, как отмечено выше, значения начальной плотности дислокаций, наблюдаемые в образцах до ударного нагружения, на 2-3 порядка ниже, из чего можно заключить, что модель динамического деформирования, учитывающая только аддитивные вклады дислокаций в суммарную скорость деформации, не может обеспечить адекватное описание эксперимента по ударному нагружению.

5. Учет мезоскопических эффектов

Следующий шаг — использование выражения (2) для учета дополнительного вклада в скорость деформации и профиль массовой скорости эффектов, вызванных процессами текущего обмена импульсом и энергией между мезо- и макроскопическим уровнями динамического деформирования. Поскольку эксперименты Барке-

Рис. 2. Сопоставление рассчитанных по дислокационной модели волновых профилей скорости с экспериментом Джонсона-Баркера для сплава 6061-Т6: о — эксперимент, 1, 2 — расчет, N0m = 108

и 109 см-2

Таблица 2

Физико-механические характеристики и параметры ударного нагружения сплава Д16

Скорость ударника м/с 315

Плотность р, г/см3 2.7

Модуль сдвига ц, ГПа 27

Продольная скорость звука С1, см/с 6.4-105

Скорость пластического фронта С0, см/с 5.47-105

Коэффициент вязкого торможения дислокаций В, МПа* мкс [8] 5 -10-4

Модуль вектора Бюргерса Ь, см 2.86-10-8

Коэффициент размножения дислокаций а, см-2 [15] 1011

Амплитуда упругого предвестника и%, м/с 40

Максимальное значение массовой скорости Ц0, м/с 307

ра и Джонсона [8] не содержат сведений об изменении вариации скорости D(t), воспользуемся экспериментальными данными по ударному нагружению алюминиевого сплава Д16, близкого по своим механическим свойствам алюминиевому сплаву 6061-Т6. Квазистати-ческие и динамические характеристики сплава Д16 представлены в табл. 2. Рассчитанные согласно выражению (31) стационарные профили в алюминии Д16 для двух значений начальной плотности подвижных дислокаций вместе с экспериментальным профилем показаны на рис. 3. Вновь экспериментальный профиль не совпадает с расчетными профилями для плотности дислокаций 108 и 109 см-2 . Однако профиль 3, который учитывает как аддитивный механизм деформации (7), так и коллективный механизм (2), практически совпадает с экспериментальным профилем. Более того, в то время как рассчитанные по аддитивной модели профили скорости симметричны относительно верхней и нижней половины, экспериментальный профиль несимметричен. При использовании соотношения (2) этот

0-1--------1--------1--------.--------.--------1--------

80 240 400 560

Время, не

Рис. 3. Сопоставление рассчитанныж по дислокационной модели волновыж профилей скорости с экспериментом по ударному нагружению алюминия Д16: Д — эксперимент

эффект автоматически учитывается асимметрией вариации массовой скорости относительно середины пластического фронта. Видно, что вариация скорости достигает своего максимального значения в середине пластического фронта. При этом в соответствии с выражением (2), на первой половине временного профиля среднее значение скорости уменьшается на величину Дм(1), в то время как на второй части профиля оно возрастает на ту же величину, в итоге результирующий профиль становится круче по сравнению с расчетными.

6. Заключение

Показано, что стационарный пластический фронт, учитывающий только аддитивные механизмы пластического деформирования на основе известных моделей динамики дислокаций, не отвечает эксперименту. Совпадение с экспериментальным профилем массовой скорости удается получить только при учете обмена количеством движения между мезо- и макроскопическим уровнями динамического деформирования.

Автор благодарит А.К. Дивакова за предоставленный для сравнения с теорией экспериментальный профиль массовой скорости для алюминия Д16.

Работа выполнена в рамках грантов РФФИ №№ 0802-00329 и 08-02-00304.

Литература

1. Johnson J.N., Jones O.E., Michaels T.E. Dislocation dynamics and single-crystal constitutive relation: Shock-wave propagation and precursor decay // J. App. Phys. - 1970. - V. 41. - No. 6. - P. 22302239.

2. Asay J.R., Fowles G.R., Gupta Y.M. Determination of material relaxation properties from measurements on decaying elastic precursor fronts // J. Appl. Phys. - 1972. - V. 43. - No. 2. - P. 744-746.

3. Arviddson T.E., Gupta G.V, Duvall G.E. Precursor decay in 1060-aluminum // J. Appl. Phys. - 1975. - V. 46. - No. 10. - P. 447-457.

4. Панин B.E., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин А.Г. Структурные уровни деформации твердых тел // Изв. вузов. Физика. -1982. - Т. 25. - № 6. - С. 5-27.

5. Панин В.Е. Структурные уровни деформации и разрушения. - М.:

Наука, 1990. - 252 с.

6. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.

7. Ashby M.F. The deformation of plastically non-homogeneous material // Phil. Mag. - 1970. - V. 21. - No. 170. - P. 399-424.

8. Johnson J.N., Barker L.M. Dislocation dynamics and steady plastic wave profiles in 6061-T6 aluminum // J. Appl. Phys. - 1969. - V. 40. -No. 11. - P. 4321-4335.

9. Prieto F.E., Renero C. Steady shock profile in solids // J. Appl. Phys. -

1973. - V. 44. - No. 9. - P. 4013-4016.

10. Swegle J.W., Grady D.E. Shock viscosity and the prediction of shock wave rise times // J. Appl. Phys. - 1985. - V. 58. - No. 2. - P. 692701.

11. Альтшулер Л.В., Чекин Б.С. Структура ударных волн и определяющие уравнения в металлах // ПМТФ. - 1995. - N° 45. - С. 119127.

12. Mescheryakov Yu.I. Meso-macro energy exchange in shock deformed and fractured solids // High-Pressure Shock Compression of Solids

VI / Ed. by Y. Horie, L. Davison, N.N. Thadhani. - New York: Springer, 2002. - P. 169-213.

13. Мещеряков Ю.И. Динамическая пластичность и прочность структурно-неоднородных материалов // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. -№ 6. - С. 5-21.

14. Mescheryakov Yu.I., Divakov A.K. Kinetics of microstructure and strain-rate dependence of materials // Dymat J. - 1994. - V. l. - No. 4. -P. 271-287.

15. Johnston W.G., Gilman J.J. Dislocation velocities, dislocation densities, and plastic flow in lithium fluoride crystals // J. Appl. Phys. -1959. - V. 30. - P. 129-144.

16. Taylor J.W. Dislocation dynamics and dynamic yielding // J. Appl. Phys. - 1965. - V. 36. - No. 10. - P. 3146-3155.

17. Duvall G.E. Propagation of plane shock waves in a stress-relaxing medium // Stress Waves in Inelastic Solids / Ed. by H. Kolsky and W. Prager. - Berlin: Springer-Verlag, 1964. - P. 20-32.

18. Seitz F., Read T.A. Theory of the plastic properties of solids. III // J. Appl. Phys. - 1941. - V. 12. - P. 470-487.

19. Kumar A., Hauser F.E., Dorn J.E. Viscous drag on dislocation in aluminum at high strain rates // Acta Met. - 1968. - V. 16. - No. 9. -P. 1189-1197.

Поступила в редакцию 25.01.2010 г., после переработки 05.05.2010 г.

Сведения об авторе

Мещеряков Юрий Иванович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ИПМаш РАН, ym38@mail.ru