Исследование теплофизических свойств наноматериалов на основе кремния методом Green-Kubo с использованием потенциала Edip

УДК 536.2.02

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НАНОМАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ КРЕМНИЯ МЕТОДОМ ОЯЕЕ^КиВО С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОТЕНЦИАЛА ЕБГР

ВАХРУШЕВ А. В., СЕВЕРЮХИН А. В., СЕВЕРЮХИНА О. Ю., ФЕДОТОВ А. Ю. Институт механики Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

АННОТАЦИЯ. Построены физические и математические модели процессов теплопроводности в кремниевых наноматериалах. Выполнены расчеты коэффициентов теплопроводности для систем разной размерности в диапазоне температур от 50 до 1000 К. Проведено сравнение полученных значений с экспериментальными данными.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: наноматериалы, теплопроводность, моделирование, молекулярная динамика.

ВВЕДЕНИЕ

С каждым годом стремительно растет интерес к материалам с использованием наноструктур, которым присущи уникальные физико-химические свойства, существенно отличающиеся от свойств монокристаллических материалов. В данном плане развитие методов математического моделирования, позволяющих устанавливать фундаментальные зависимости макрохарактеристик наноматериалов с их структурой, химическими и физическими процессами, происходящими при формировании различных наносистем, входят в группу современных проблем нанотехнологии. В частности, выполнен расчет макрохарактеристик различных типов наноструктур - весового содержания водорода и углеводородов в пористых наноструктурах [1, 2]; упругие константы нанокомпозитов [3, 4]; концентрацию наночастиц в газовой фазе [5, 6]; вязкость течения воды в наноканалах [7]; коэффициент вязкости разрушения для трещины нормального отрыва, содержащей наночастицы [8]; концентрацию наночастиц в композиционных нанопокрытиях, формируемых методом электрохимического осаждения [9].

Исследование теплофизических характеристик материала, определение его коэффициента теплопроводности - это задачи, которым посвящено большое количество численных и практических экспериментов, результаты которых обсуждаются ниже в данной статье. Отметим, что проблема весьма сложная, а результаты исследований разных авторов отличаются, иногда значительно. Поэтому вопрос детального и точного описания процессов теплообмена посредством компьютерного моделирования является весьма актуальным.

В связи с этим, целью данной статьи, в развитие предыдущих работ авторов [10], являлось построение физической и математической моделей процессов теплопроводности и выполнение детальных численных исследований процессов теплопередачи и расчета коэффициента теплопроводности в кремниевых наноматериалах.

МЕТОДИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ

В качестве метода моделирования использовался аппарат молекулярной динамики. Метод МД получил широкое распространение при моделировании поведения наносистем благодаря простоте реализации и высокой точности моделирования. В молекулярно-динамических расчетах величину коэффициента теплопроводности можно вычислить различными способами [11]. В данной работе используется формализм Грина-Кубо (Огееп-КиЬо), который связывает автокорреляционную функцию теплового потока с коэффициентом теплопроводности. Тепловой поток может быть рассчитан из колебаний потенциальной и кинетической энергии атома и тензора напряжения атома в стационарном уравновешенном моделировании. Это отличие от двух предыдущих неравновесных методов

молекулярной динамики (КЕМБ), где энергия течет непрерывно между горячими и холодными областями в моделируемом образце.

Коэффициент теплопроводности в модели Грина-Кубо рассчитывается по следующей формуле [12, 13]:

к

в

где к - коэффициент теплопроводности — -мерной системы с линейным размером Ь, Т - температура, кв - постоянная Больцмана, J - компонента потока тепла.

Автокорреляционные функции справа в формуле (1) оцениваются в равновесии, без градиента температуры. Автокорреляция — статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятыми со сдвигом, например, для случайного процесса — со сдвигом по времени. Автокорреляционная функция может быть определена как:

ВД = \ / ($)/($.

Общий тепловой поток в системе вычисляется как

J (0 = | у(х, №,

где Л (х, I) - плотность теплового потока.

Порядок пределов в формуле (1) имеет большое значение. При правильных порядках пределов можно вычислить корреляционные функции с произвольными граничными условиями и применять формулу (1). Существуют различные формы записи уравнения (1) [12 -18].

Существуют ситуации, когда формула (1) не применима. Во-первых, для маленьких систем, которые изучаются в мезоскопической физике, термодинамический предел не имеет смысла. Во-вторых, во многих низко-размерных системах перенос тепла аномальный и теплопроводность существенно отклоняется от экспериментальных значений [19 - 20]. В таких случаях невозможно взять пределы в формуле (1). Поэтому тепловую проводимость рассматривают как функцию от длины Ь. В литературе, посвященной этой тематике [19 - 20] обычно в формуле (1) меняют верхний предел интегрирования на Ь. Другой способ использования формулы Огееи-КиЬо для конечных систем заключается в том, чтобы внедрять бесконечные резервуары, как это сделано в работах [21 - 22].

В данной работе для расчета теплопроводности кремниевых наноструктур был выбран метод Огееи-КиЬо. Для вычисления коэффициента теплопроводности использовалась следующая запись формулы (1) [23]:

к=пх {<Л

где V - объем системы.

Уравнения, описывающие рассматриваемую атомарную структуру, представляют собой систему дифференциальных уравнений, которая определяет движение всех атомов системы [24]:

— 2г.

= Р

^ = 0,

где т; - масса I -го атома, N - число атомов в системе, г;0 - начальный радиус-вектор I -го атома, Г; - текущий радиус-вектор I -го атома, р (/, г (/)) - суммарная сила, действующая на

I -й атом. Выражение (4) задает начальные условия для рассматриваемой системы, где ц и и0 - текущая и начальная скорость I -го атома соответственно.

Силы К (г,г (г)) в уравнении (3), определяются из соотношения:

, чЧ ди

К

\ )) д г1 (г) ''

где Г (г )={г1, Г2,..., rN} , и (Г (г)) - некоторая потенциальная функция, описывающая

взаимодействие всех атомов системы.

Для решения рассматриваемой задачи потенциал взаимодействия системы может быть записан в виде:

и

где Е - потенциал взаимодействия.

Очень важную роль в аппарате молекулярной динамики является выбор потенциала взаимодействия. Особенно эта проблема стоит остро для металлов и полупроводников. Кремний относится к материалам с ковалентными типами связей. В зависимости от температуры он обладает различной структурой и свойствами. Так при нормальных условиях для него характерна алмазная структура. С ростом давления в нем могут формироваться новые кристаллографические структуры: простая кубическая, гранецентрированная кубическая. В данном случае наблюдается качественный переход от одной структуры к другой, происходит увеличение координационного числа. Наличие описанных особенностей делает задачу выбора и построения межатомного потенциала чрезвычайно сложной.

В пакете ЬЛММРБ для кремния доступно множество потенциалов: Ьеппагё-1опев, МЕЛМ_1^, МБЛМ_2^, Б1^ ТегеоГ:Т, ВОР, МЕЛМ_8РЬШЕ_1, МБЛМ_8РЬШЕ_2, МЕАМ_Б'^ ЕБ1Р.

При учете только парного межатомного взаимодействия в математическом моделировании металлических и/или полупроводниковых систем возникает ряд проблем. В работе [25] было показано, что при использовании только парного потенциала взаимодействия в системах металл и/или полупроводник выполняется нефизическое соотношение для коэффициентов Коши (С12 = С44).

Парные потенциалы не могут обеспечить реалистичных значений физических характеристик материала [26]. Для корректного описания свойств твердых тел необходимо использовать многочастичные потенциалы. Известно, что ни один из существующих потенциалов не способен воспроизвести полный набор характеристик твердых веществ. Таким образом, выбор потенциала для математического моделирования - сложная комплексная задача. Большинство эмпирических потенциалов хорошо описывают объемные свойства материалов, но, тем не менее, некоторые с успехом используются для описания и поверхностных свойств.

Реальные соотношения упругих постоянных металлов и полупроводников можно получить только с учетом парных и многочастичных взаимодействий. При моделировании металлических и полупроводниковых систем наибольшее распространение получили следующие подходы, учитывающие многочастичное взаимодействие:

• потенциал Стиллинджера-Вебера [26];

• потенциал Абеля-Терсоффа [27];

• метод погруженного атома [25, 28-29];

• модифицированный метод погруженного атома [30].

Потенциал Стиллинджера-Вебера (81;Шт§ег-1еЬег) [26, 31] является одним из первых потенциалов, описывающих материалы, образующие алмазоподобную структуру. Потенциальная энергия этого потенциала включает в себя два слагаемых, учитывающих двухчастичные и трехчастичные взаимодействия, и записывается в следующем виде:

я=II ()+III Фз (r4, rlk, q1]k) , i 1 *i k> 1

i 1 >i

Ф2 (rj ) = A

ij ^V

г„ у* r„

д

s s s

ij ij exp ij

r r , r - a s

учу V ii J V ij ij ij J

Фз (rv , rk, qjk ) = hkejk [cos 0jk - cos 0,

0ijk

exp

Г gs.. ^

>n и

Vrv - aVSi J

exp

hk sk

v rik aik sik J

где A, Д, p, q,1, g - подстраиваемые параметры; 0jk - тетраэдрический угол, угол между гранями ij и ik, r. - расстояние между атомами i и j, ф2,ф3 - двухчастичное и трехчастичное слагаемые, e, s - энергетические параметры, a - cutoff-радиус.

Данный потенциал обеспечивает наиболее устойчивую конфигурацию, когда углы

максимально близки к алмазоподобной тетраэдрической структуре, то есть при cos 0ijk = -1.

3

Известно, что потенциал Стиллинджера-Вебера позволяет получать реалистическое описание свойств кристаллического кремния. Так как потенциал жестко привязан к тетраэдрической структуре, то это приводит к неадекватному описанию других фаз кремния (жидкой, газообразной).

Таким образом, основной проблемой данного потенциала является его плохая переносимость: невозможно использования в условиях отличных от тех, для которых был создан.

Потенциал Tersoff - это трехчастичный потенциал, который явно включает угловой вклад силы. Он может быть записан в следующей форме:

я=I я=2 iv ,

i 2 i*j

Vj = fa

где Vij - энергия связи; rj - расстояние между атомами i и j ; fR , fA - парные потенциалы притяжения и отталкивания; fa - сглаженная функция cutoff.

fR (r )=Ae-ir),

fA (r ) = -Be

fC(r) =

1,

1 1 .

---sin

2 2

0,

p

v2 D J

r < R - D R - D < r < R + D r > R + D

bi =

(1+FQ)2n

Zj = I fa (*)g (00k)e1 -rk)3

k *i, j

g (0) = 1 + C2 -

d2 (d2 +(h - cos0)2):

2

1

2

c

где bj - член, зависящий от порядка связи, 0ijk - угол между связями (i, j) и (i,k). Функция

Zj определяет эффективное координационное число i -го атома, т.е. число ближайших

соседей, параметр d отражает силу углового взаимодействия.

Один из недостатков Потенциал Терсоффа заключается в сильно завышенной температуре плавления.

В данной работе для описания взаимодействия атомов системы был использован потенциал EDIP.

Потенциал EDIP (Environment-Dependent Interatomic Potential) был впервые предложен в работе [32]. По сути, он представляет собой объединение формализмов Стиллинджера-Вебера и Терсоффа и включает двухчастичные и трехчастичные взаимодействия:

1

2 i V j*i

j^i k^i,k> j

V2 (r, Z ) = A

B)' - -

pz2

exp I

s

r - a

V3 ( r, rik , Z ) = g ( rj ) g ( rik ) h ( cos 0 jk , Z ) ,

Zi = I f ( Rm ),

f (r ) =

1, r < c

a

exp L -

v 1 - x

0, r > a

, c < r < a,

-e(z)(i+t(z ))2

h (1, Z ) = 1 (l - e

Q (Z ) = Qoe"mZ,

t(Z )= u1 + u2 (u3e~u*Z - e~2u*Z

)+hQ

),

где Е - полная энергия системы, приходящаяся на атом, - угол между гранями у и гк , г'у - единичный вектор, направленный от атома г к атому у, а - радиус обрезания, где Zг - координационное число, У2 (г, Z) - функция двухчастичного взаимодействия, V (Гу, Гк, ) - функция трехчастичного взаимодействия, / (г), g (г), И (I, Z) - функция

обрезания, радиальная и угловая функции соответственно.

Как показано в работе [33], данный вид потенциала лучше описывает аморфный кремний, чем потенциал Стиллинджера-Вебера.

Потенциал ЕБ1Р имеет также ряд преимуществ: хорошо воспроизводит эластические характеристики кремния и предсказывает температуру плавления близкую к экспериментальным данным.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

2

По описанной выше методике рассчитаны зависимости коэффициента теплопроводности кремния от размера нанокристаллов при различных температурах. Рассмотрим подробно результаты расчета для кремния.

Моделирование проводилось с помощью программного пакета ЬАММРБ. Использовался потенциал взаимодействия ЕБГР. Шаг интегрирования составил 0,1 фс.

В расчетах использовался КУТ ансамбль. Температура поддерживалась с помощью термостата КоБе-Иооуег-а [34,35].

Термолизация данным методом заключается во введении в систему эффективных сил трения, пропорциональных скоростям частиц с динамически меняющимся коэффициентом %.

ё 2гг

А ё!

т ёх

Уравнения для коэффициента % решаются путем численного интегрирования по времени наряду с интегрированием уравнений движения

^ =1(Т - Т0). ёх QV '

Для решения последнего дифференциального уравнения относительно % использовалась схема Эйлера первого порядка. Поведение температуры при использовании термостата КоБе-Иооуег-а показано на рис. 1.

Рис. 1. Характерное поведение температуры системы с термостатом ]\о8е-Нооуег-а

«Массовый» коэффициент Q, определяет скорость выхода на нужную температуру. Данный параметр можно подбирать либо интуитивно, либо задавать через другие величины. Сходимость к температуре Т0 имеет вид осцилляций с периодом тТ .

Т2 Т

Ьт-1 0

Q =

4р2

Граничные условия и внешний вид моделируемой системы представлены на рис. 2. В силу периодических граничных условий по всем направлениям, в работе рассматривалась только одна нанопроволка кремния. Так как периодические граничные условия предусматривают зеркальное отражение расчетной ячейки, то, по сути, рассматривалась система в объеме.

Таким образом, при моделировании были рассмотрены монокристаллы 81(100) размерами 4*4*4, 4*4*40, 4*4*144 элементарные ячейки. Рассматривались системы с периодическими граничными условиями по всем направлениям (рис. 2) при температурах от 50 до 1000 К с шагом 50 К.

Алгоритм моделирования:

1) Создание системы.

2) Релаксация системы.

3) Расчет коэффициента теплопроводности.

Рис. 2. Граничные условия и внешний вид моделируемой системы

Как видно из рис. 3 для релаксации системы 4*4*144 необходимо всего порядка 2000 итерационных шагов. Для подстраховки второй этап продолжался 10000 шагов.

Затем на 3 этапе проводился расчет коэффициента теплопроводности методом Грина-Кубо. Отметим, что решению задачи определения коэффициента теплопроводности кремния на наноуровне посвящен обширный ряд работ. Так в работе [36] коэффициент теплопроводности равен 20 Вт/(м- К) для системы 4*4*144 элементарные ячейки (постоянная решетки для кремния 5,431 А). В работе [37] коэффициент теплопроводности равен 235 Вт/(м-К). Квантовые расчеты дают значение 357 Вт/(м- К). В работе [38] коэффициент теплопроводности (9*9*302, потенциал Б') при Т=1000 К равен 20 Вт/(м- К). В работе [39] коэффициент теплопроводности получился для системы Т=600 К, 7*7*7 - 37 Вт/(м-К), 10*10*10 - 43 Вт/(м- К). В то же время, эксперимент показывает значение 64 Вт/(м-К). В работе [40] получена диаграмма значений коэффициента теплопроводности для различных систем.

2000 4000 6000 8000

Рис. 3. График температуры

По результатам расчетов были построены автокорреляционные функции, функции радиального распределения, функции фононных спектров. Исследования показали возможность использования предложенной математической модели и рассматриваемого потенциала для моделирования поставленной задачи.

В ходе моделирования были получены значения коэффициента теплопроводности для систем размерами 4*4*4, 4*4*40, 4*4*144 элементарные ячейки при различной температуре. На рис. 4 представлены зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, полученные с использованием потенциала ББГР для систем разной размерности. Как видно из графиков наблюдается нелинейная зависимость коэффициента теплопроводности от температуры для всех рассматриваемых систем, и значение коэффициента теплопроводности падает с ростом температуры. В работах [41, 42] приведены экспериментальные данные, которые также свидетельствуют об уменьшении значения коэффициента теплопроводности кремния с ростом температуры (данные значения приведены на рис. 5).

Ей ¡р

А 4x4x144 X 4x4x40 + 4x4x4

к

I- £0

=г о

е- 2 X и

о в.

о с

800 700 600 500 400 300 200 100 0

А

X А

Ж

Ж1 ♦ V 1 * ,, .

.....

100

200

300

400

500

т, к

600

700

800

900

1000

Рис. 4. Графики зависимости коэффициента теплопроводности от температуры при использовании

потенциала ЕБГР для систем разной размерности

ЕШр пей* эре!

А4х4х144 »Эксперимент  Р.С.Нои«!II х4Х4х40_2ЧЕ6 /4Х4х40_4ЧЕ6 • 4Х4х40'_10Ч Е6

% ^

н Ш

X -О £ 5 Н

= 1

а

6 О

X. а.

с

о С

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

3=1

¥

о

-1-1-

100

—I-1-1—

200 300

У—Щ—У—Щ—¥—Щ—Ш—Р

400

700

800

900

1000 1100

50 0 6 0 0

5 т, К

н

Рис. 5. Сравнение экспериментальных и расчетных значений коэффициента теплопроводности при

различной температуре

Как видно из графиков на рис. 5 при температуре выше температуры Дебая (для кремния это (645±5) К [43]) расчетные значения коэффициента теплопроводности совпадают с данными экспериментов [41, 42]. Это свидетельствует о возможности применения построенной модели для расчета теплофизических характеристик наносистем и прогнозирования значения данных параметров для макросистем.

ВЫВОДЫ

Построены физическая и математическая модели процессов теплопроводности в наноматериалах на основе кремния высокой плотности с использованием потенциала взаимодействия ББГР. Определены зависимости коэффициента теплопроводности кремния от температуры (в диапазоне от 50 до 1000 К) для кристаллов различных размеров (4*4*4, 4*4*40, 4*4*144). Результаты расчетов показали, что значение коэффициента теплопроводности уменьшается с ростом температуры, что подтверждается экспериментальными

исследованиями, результаты которых приведены в работах [41, 42]. При температуре выше температуры Дебая расчетные значения коэффициента теплопроводности совпадают с данными экспериментов [41, 42].

Работа выполнена в рамках гранта Уральского отделения РАН № 15-10-1-23 и государственного задания ИжГТУ имени М. Т. Калашникова № 201445-1239.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Volkova E. I., Suyetin M. V. and Vakhrushev A. V. Temperature Sensitive Nanocapsule of Complex Structural Form for Methane Storage // Nanoscale Research Letters, 2010, vol. 5, no. 1, pp. 205-210.

2. Vakhrushev A. V. and Suyetin M. V. Methane storage in bottle-like nanocapsules // Nanotechnology, 2009, vol. 20, no. 12, pp. 125600.

3. Vakhrouchev A. V. Computer simulation of nanoparticles formation, moving, interaction and self-organization // Journal of Physics: Conference Series, 2007, vol. 61, no. 1, pp. 26-30.

4. Вахрушев А. В., Шушков А. А. Методика расчета упругих параметров наноэлементов // Химическая физика и мезоскопия. 2005. Т. 7, № 3. С. 277-285.

5. Аликин В. Н., Вахрушев А. В., Голубчиков В. Б., Липанов А. М., Серебренников С. Ю. Разработка и исследование аэрозольных нанотехнологий. Том 3. Топлива. Заряды. Двигатели. М.: Машиностроение, 2010. 380 c.

6. Вахрушев А.В., Федотов А.Ю. Моделирование формирования композиционных наночастиц из газовой фазы // Международный научный журнал Альтернативная энергетика и экология. 2007. № 10. С. 22-26.

7. Lipanov A. M., Vakhrushev A. A., and Vakhrushev A. V. Numerical Modelling of Water Nanostreams in Nanotubes // International Journal of Nanomechanics. Science and Technology, 2010, vol. 1, no. 4, pp. 313-325.

8. Вахрушев А. В., Андреев В. В. Моделирование процессов взаимодействия наночастиц с микротрещиной // Химическая физика и мезоскопия. 2010. Т. 12, № 3. С. 307-312.

9. Vakhrushev A. V. and Molchanov E. K. Simulation of nanocomposite coating created by electrocodeposition method // International Journal of Materials, 2016, vol. 3, pp. 44-55.

10. Северюхин А. В., Северюхина О. Ю., Вахрушев А. В., Федотов А. Ю. Исследование теплофизических свойств кремниевых наноматериалов методом green-kubo // Труды ИМ УрО РАН «Проблемы механики и материаловедения». Ижевск : Изд-во ИМ УрО РАН, 2016. C. 210-224.

11. URL: http://lammps.sandia.gov/doc/Section_howto.html#calculating-thermal-conductivity (дата обращения 06.04.2016).

12. Green M. S. Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids // Journal of Chemical Physics, 1954, vol. 22, pp. 398-413.

13. Kubo R., Yokota M. and Nakajima S. Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. II. Response to Thermal Disturbance // Journal of the Physical Society of Japan, 1957, vol. 12, pp. 1203-1211.

14. Mori H. Statistical-Mechanical Theory of Transport in Fluids // Physical Review, 1958, vol. 112, pp. 18291842.

15. Green M. S. Comment on a Paper of Mori on Time-Correlation Expressions for Transport Properties // Physical Review, 1960, vol. 119, pp. 829-830.

16. Kadanoff L. P. and Martin P. C. Hydrodynamic equations and correlation functions // Annals of Physics, 1963, vol. 24, pp. 419-469.

17. Luttinger J. M. Theory of Thermal Transport Coefficients // Physical Review, 1964, vol. 135, pp. A1505-

A1514.

18. Visscher W. M. Transport processes in solids and linear-response theory // Physical Review A, 1974, vol. 10, pp. 2461-2472.

19. Lepri S., Livi R. and Politi A. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices // Physics Reports, 2003, vol. 377, pp. 1-80.

20. Kundu A., Dhar A. and Narayan O. The Green-Kubo formula for heat conduction in open systems // Journal of Statistical Mechanics: Theory And Experiment, 2009, pp. L03001.

21. Allen K. R. and Ford J. Lattice Thermal Conductivity for a One-Dimensional, Harmonic, Isotopically Disordered Crystal // Physical Review, 1968, vol. 176, pp. 1046-1055.

22. Fisher D. S. and Lee P. A. Relation between conductivity and transmission matrix // Physical Review B, 1981, vol. 23, pp. 6851-6854.

23. URL: http://lammps.sandia.gov/doc/compute_heat_flux.html (дата обращения 06.04.2016).

24. Vakhrushev A. V., Severyukhina O. Yu., Severyukhin A. V., Vakhrushev A. A., Galkin N. G. Simulation of the processes of formation of quantum dots on the basis of the transition metals // Nanomechanics Science and Technology: An International Journal, 2012, vol. 1, pp. 51-75.

25. Daw M. S., Baskes M. I. Embedded-atom method: derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals // Physical Review B, 1984, vol. 29, no. 12, pp. 6443-6453.

26. URL: http://www.fisica.uniud.it/~ercolessi/ (дата обращения 06.04.2016).

27. Stillinger F. H., Weber T. A. Computer simulation of local order in condensed phases of silicon // Physical Review B, 1985, vol. 31, pp. 5262-5271.

28. Tersoff J. New empirical approach for the structure and energy of covalent systems // Physical Review B, 1988, vol. 37, no. 12, pp. 6991-7000.

29. Daw M. S., Baskes M. I. Semiempirical, Quantum Mechanical Calculations of Hydrogen Embrittlement in Metals // Physical Review Letters, 1983, vol. 50, no. 17, pp. 1285-1288.

30. Daw M. S. Model of metallic cohesion: The embedded-atom method // Physical Review B, 1989, vol. 39, no. 11, pp. 7441-7452.

31. Watanabe T., Ohdomari I. Modeling of Si02/Si(100) interface structure by using extended-Stillinger-Weber potential // Thin Solid Films, 1999, vol. 344, pp. 370-373.

32. Justo J. F., Bazant M. Z. Interatomic potential for silicon defects and disordered phases // Physical Review B, 1998, vol. 58, no. 5, pp. 2539.

33. Clark L. Allred, Xianglong Yuan, Martin Z. Bazant, and Linn W. Hobbs Elastic constants of defected and amorphous silicon with the environment-dependent interatomic potential // Physical Review B, 2004, vol. 70, pp. 134-113.

34. Hoover W. Canonical dynamics: equilibrium phase-space distributions // Physical Review A, 1985, vol. 31, pp. 1695-1697.

35. Hoover W. G. Isomorphism linking smooth particles and embedded atoms // Physica A, 1998, vol. 260, no. 3-4, pp. 44-254.

36. Schelling P. K., Phillpot S. R. and Keblinski P. Comparison of atomic-level simulation methods for computing thermal conductivity // Physical Review B, 2002, vol. 65, pp. 144306(12).

37. Lee Y., Lee S. and Hwang G. S. Effects of vacancy defects on thermal conductivity in crystalline silicon: A nonequilibrium molecular dynamics study // Physical Review B, 2011, vol. 83, pp. 125202(7).

38. Hu M., Zhang X., Giapis K. P. and Poulikakos D. Thermal conductivity reduction in core-shell nanowires // Physical Review B, 2011, vol. 84, pp. 085442(9).

39. Esfarjani K. and Chen G. Heat transport in silicon from first-principles calculations // Physical Review B, 2011, vol. 84, pp. 085204(11).

40. URL: http://www.slideserve.com/guang/modeling-thermal-transport-at-single-interfaces-and-in-nanostructured-materials-using-non-equilibrium-molecular-dynamics (дата обращения 07.09.2012).

41. Howell P. C. Comparison of molecular dynamics methods and interatomic potentials for calculating the thermal conductivity of silicon // The Journal of Chemical Physics, 2012, vol. 137, pp. 224111.

42. Шелудяк Ю. Е., Кашпоров Л. Я., Малинин Л. А., Цалков В. Н. Теплофизические свойства компонентов горючих систем : справочник / под редакцией Н. А. Силина. М. : НПО «ИнформТЭИ», 1992. 184 с.

43. Баранский П. И., Клочков В. П., Потыкевич И. В. При температуре 0 К. Полупроводниковая электроника : справочник. Киев : Наукова думка, 1975. 704 с.

RESEARCH OF THERMAL PROPERTIES OF NANOMATERIALS ON THE SILICON BASIS BY THE GREEN-KUBO METHOD USING THE EDIP POTENTIAL

1'2Vakhrouchev A. V., 1Severyukhin A. V., 1Severyukhina O. Yu., 1Fedotov A. V.

institute of Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia

2Kalashnikov Izhevsk State Technical University, Izhevsk, Russia

SUMMARY. Physical and mathematical models of processes of thermal conductivity in silicon nanomaterials with use of an interaction potential of EDIP are constructed. The molecular dynamics method was used as the simulation method. In this work the formalism of Green-Kubo, which connects an autocorrelation function of a heat flux with a thermal conductivity, is used. The simulation was performed using the software package LAMMPS. The EDIP potential was used for the description of interaction of atoms of system. The integration step was 0.1 fs. Autocorrelation functions, radial distribution functions, phonon distribution functions were constructed by results of calculations. Researches showed a possibility of use of the offered mathematical model and the considered potential for simulation of thermal conductivity processes.

Dependences of a thermal conductivity of silicon on temperature (in the range from 50 to 1000 K) for crystals of various sizes (4*4*4, 4*4*40, 4*4*144) are defined. The results of computer simulation showed that the coefficient of thermal conductivity decreases with increasing temperature. It's confirmed by the experimental studies, the results of which are given in [41, 42].

At temperatures above the Debye temperature the calculated values of the coefficient of thermal conductivity coincide with the experimental data [41, 42]. This suggests the possibility of application of the constructed models for calculation of thermophysical properties of nanosystems and predicting values of these parameters for macro-systems.

Fig. Comparison of experimental and calculated values of the thermal conductivity at various temperatures KEYWORDS: nanomaterials, thermal conductivity, simulation, molecular dynamics. REFERENCES

1. Volkova E. I., Suyetin M. V. and Vakhrushev A. V. Temperature Sensitive Nanocapsule of Complex Structural Form for Methane Storage. Nanoscale Research Letters, 2010, vol. 5, no. 1, pp. 205-210.

2. Vakhrushev A. V. and Suyetin M. V. Methane storage in bottle-like nanocapsules. Nanotechnology, 2009, vol. 20, no. 12, pp. 125600.

3. Vakhrouchev A. V. Computer simulation of nanoparticles formation, moving, interaction and self-organization. Journal of Physics: Conference Series, 2007, vol. 61, no. 1, pp. 26-30

4. Vakhrouchev A. V., Shushkov A. A. Metodika rascheta uprugih parametrov nanoelementov [The methodology of calculation of the elastic parameters of nanoelements]. Himicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopics], 2005, vol. 7, no. 3, pp. 277-285.

5. Alikin V. N., Vakhrouchev A. V., Golubchikov V. B., Lipanov A. M., Serebrennikov S. Yu. Razrabotka i issledovanie aerozol'nyh nanotehnologiy. Tom. 3. Topliva. Zaryady. Dvigateli [Development and research of aerosol nanotechnology. Vol. 3.Fuel. Charges. Engines]. Moscow, 2010. 380 p.

6. Vakhrouchev A. V., Fedotov A. Yu. Modelirovanie formirovaniya kompozitsionnyh nanochastits iz gazovoy fazy [Modelling of composite nanoparticle formation from a gas phase]. Mezhdunarodnyy nauchnyy zhurnal Al'ternativnaya energetika i ekologiya [International Journal of Hydrogen Energy], 2007, no. 10, pp. 22-26.

7. Lipanov A. M., Vakhrushev A. A., and Vakhrushev A. V. Numerical Modelling of Water Nanostreams in Nanotubes. International Journal of Nanomechanics. Science and Technology, 2010, vol. 1, no. 4, pp. 313-325

8. Vakhrouchev A. V., Andreev V. V. Modelirovanie pprotsessov vzaimodeystviya nanochastits s mikrotreshchinoy [Simulation of processes of interaction of nanoparticles with microcrack]. Himicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopics], 2010, vol. 12, no. 3, pp. 307-312.

9. Vakhrushev A. V. and Molchanov E. K. Simulation of nanocomposite coating created by electrocodeposition method. International Journal of Materials, 2016, vol. 3, pp. 44-55.

10. Severyukhin A. V., Severyukhina O. Yu., Vakhrouchev A. V., Fedotov A. Yu. Issledovanie teplofizicheskih svoystv kremnievyh nanomaterialov metodom Green-Kubo [The study of thermal properties of silicon nanomaterials by the Green-Kubo method]. Trudy IM UrO RANProblemy mekhaniki i materialovedeniya [Proceedings of IM UB RAS Problems of Mechanics and Materials science]. Izhevsk: IM UB RAS Publ., 2016, pp. 210-224.

11. URL: http://lammps.sandia.gov/doc/Section_howto.html#calculating-thermal-conductivity (accessed April 6,

2016).

12. Green M. S. Markoff Random Processes and the Statistical Mechanics of Time-Dependent Phenomena. II. Irreversible Processes in Fluids. Journal of Chemical Physics, 1954, vol. 22, pp. 398-413.

13. Kubo R., Yokota M. and Nakajima S. Statistical-Mechanical Theory of Irreversible Processes. II. Response to Thermal Disturbance. Journal of the Physical Society of Japan, 1957, vol. 12, pp. 1203-1211.

14. Mori H. Statistical-Mechanical Theory of Transport in Fluids. Physical Review, 1958, vol. 112, pp. 1829-1842.

15. Green M. S. Comment on a Paper of Mori on Time-Correlation Expressions for Transport Properties. Physical Review, 1960, vol. 119, pp. 829-830.

16. Kadanoff L. P. and Martin P. C. Hydrodynamic equations and correlation functions. Annals of Physics, 1963, vol. 24, pp. 419-469.

17. Luttinger J. M. Theory of Thermal Transport Coefficients. Physical Review, 1964, vol. 135, pp. A1505-

A1514.

18. Visscher W. M. Transport processes in solids and linear-response theory. Physical Review A, 1974, vol. 10, pp. 2461-2472.

19. Lepri S., Livi R. and Politi A. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices. Physics Reports, 2003, vol. 377, pp. 1-80.

20. Kundu A., Dhar A. and Narayan O. The Green-Kubo formula for heat conduction in open systems. Journal of Statistical Mechanics: Theory And Experiment, 2009, pp. L03001.

21. Allen K. R. and Ford J. Lattice Thermal Conductivity for a One-Dimensional, Harmonic, Isotopically Disordered Crystal. Physical Review, 1968, vol. 176, pp. 1046-1055.

22. Fisher D. S. and Lee P. A. Relation between conductivity and transmission matrix. Physical Review B, 1981, vol. 23, pp. 6851-6854.

23. URL: http://lammps.sandia.gov/doc/compute_heat_flux.html (accessed April 6, 2016).

24. Vakhrushev A. V., Severyukhina O. Yu., Severyukhin A. V., Vakhrushev A. A., Galkin N. G. Simulation of the processes of formation of quantum dots on the basis of the transition metals. Nanomechanics Science and Technology: An International Journal, 2012, vol. 1, pp. 51-75.

25. Daw M. S., Baskes M. I. Embedded-atom method: derivation and application to impurities, surfaces, and other defects in metals. Physical Review B, 1984, vol. 29, no. 12, pp. 6443-6453.

26. URL: http://www.fisica.uniud.it/~ercolessi/ (accessed April 6, 2016).

27. Stillinger F. H., Weber T. A. Computer simulation of local order in condensed phases of silicon. Physical Review B, 1985, vol. 31, pp. 5262-5271.

28. Tersoff J. New empirical approach for the structure and energy of covalent systems. Physical Review B, 1988, vol. 37, no. 12, pp. 6991-7000.

29. Daw M. S., Baskes M. I. Semiempirical, Quantum Mechanical Calculations of Hydrogen Embrittlement in Metals. Physical Review Letters, 1983, vol. 50, no. 17, pp. 1285-1288.

30. Daw M. S. Model of metallic cohesion: The embedded-atom method. Physical Review B, 1989, vol. 39, no. 11, pp. 7441-7452.

31. Watanabe T., Ohdomari I. Modeling of SiO2/Si(100) interface structure by using extended-Stillinger-Weber potential. Thin Solid Films, 1999, vol. 344, pp. 370-373.

32. Justo J. F., Bazant M. Z. Interatomic potential for silicon defects and disordered phases. Physical Review B, 1998, vol. 58, no. 5, pp. 2539.

33. Clark L. Allred, Xianglong Yuan, Martin Z. Bazant, and Linn W. Hobbs Elastic constants of defected and amorphous silicon with the environment-dependent interatomic potential. Physical Review B, 2004, vol. 70, pp. 134-113.

34. Hoover W. Canonical dynamics: equilibrium phase-space distributions. Physical Review A, 1985, vol. 31, pp. 1695-1697.

35. Hoover W. G. Isomorphism linking smooth particles and embedded atoms. Physica A, 1998, vol. 260, no. 3-4, pp. 44-254.

36. Schelling P. K., Phillpot S. R. and Keblinski P. Comparison of atomic-level simulation methods for computing thermal conductivity. Physical Review B, 2002, vol. 65, pp. 144306(12).

37. Lee Y., Lee S. and Hwang G. S. Effects of vacancy defects on thermal conductivity in crystalline silicon: A nonequilibrium molecular dynamics study. Physical Review B, 2011, vol. 83, pp. 125202(7).

38. Hu M., Zhang X., Giapis K. P. and Poulikakos D. Thermal conductivity reduction in core-shell nanowires. Physical Review B, 2011, vol. 84, pp. 085442(9).

39. Esfarjani K. and Chen G. Heat transport in silicon from first-principles calculations. Physical Review B, 2011, vol. 84, pp. 085204(11).

40. URL: http://www.slideserve.com/guang/modeling-thermal-transport-at-single-interfaces-and-in-nanostructured-materials-using-non-equilibrium-molecular-dynamics (accessed September 7, 2012).

41. Howell P. C. Comparison of molecular dynamics methods and interatomic potentials for calculating the thermal conductivity of silicon. The Journal of Chemical Physics, 2012, vol. 137, pp. 224111.

42. Sheludyak Yu. E., Kashporov L. Ya., Malinin L. A., Tsalkov V. N. Teplofizicheskie svoystva komponentov goryuchih system [Thermal properties of components of combustible systems]. Moscow: NPO «InformTEI» Publ., 1992. 184 p.

43. Baranskiy P. I., Klochkov V. P., Potykevich I. V. Pri temperature 0 K. Poluprovodnikovaya elektronika. Spravochnik [At a temperature of 0 K. Solid-state electronics]. Kiev: Naukova dumka Publ., 1975. 704 p.

Вахрушев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механики наноструктур ИМ УрО РАН; заведующий кафедрой «Нанотехнологии и микросистемная техника» ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, тел. (3412) 21-45-83, e-mail: vakhrushev-a@yandex. ru

Северюхин Александр Валерьевич, кандидат физико-математических наук, ученый секретарь ИМ УрО РАН, тел. (3412) 50-88-10, e-mail: severfam@mail. ru

Северюхина Олеся Юрьевна, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ИМ УрО РАН, e-mail: lesienok@mail. ru

Федотов Алексей Юрьевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ИМ УрО РАН, e-mail: alezfed@,gmail. com