Применение замечательных свойств собственных подпространств оператора распространения света в линзоподобной среде для решения задач компьютерной оптики

ПРИМЕНЕНИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ СВОЙСТВ СОБСТВЕННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ ОПЕРАТОРА РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТА В ЛИНЗОПОДОБНОЙ СРЕДЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ

В. С. Павельев

Самарский государственный аэрокосмический университет Институт систем обработки изображений РАН

Аннотация

Данная работа посвящена исследованию замечательных свойств собственных подпространств оператора распространения света в линзоподобной среде.

Введение

Под линзоподобными средами принято понимать среды, в которых показатель преломления является убывающей функцией расстояния от оптической оси [1]. Одним из наиболее распространенных примеров является среда с параболическим профилем, показатель преломления в которой распределен по закону

п2

Интерес к средам с параболическим профилем связан с тем, что анализ распространения света в них хорошо аппроксимирует анализ многомодовых волокон с параболическим профилем [2], а также с наличием аналитических решений для мод таких сред [2,3]. Под оператором распространения света будем понимать оператор Р: V (х, у, г) = Рм> (х, у, 0),

связывающий комплексную амплитуду света м>(х,у,г) в плоскости ъ с исходным комплексным распределением ^(х,у,0).

В [2,3] показано, что собственными функциями оператора распространения света в такой среде будут являться модовые функции Гаусса-Эрмита и Гаусса-Лагерра. В работах [3,4] рассмотрена задача формирования и селекции мод Гаусса-Эрмита и Га-усса-Лагерра методами компьютерной оптики. В работах [3,4] задачу формирования гауссовых мод предложено решать как задачу синтеза цифровой голограммы образа, заданного амплитудно-фазовым распределением в сечении гауссовой моды. Такой подход обладает рядом недостатков: в частности отличия амплитудного распределения формируемой моды от амплитудного распределения в сечении освещающего пучка (типично гауссового, либо близкого к равномерному) приводят к невысокой энергетической эффективности голограммы [3]. В [5,6] рассмотрены подходы к решению проблемы формирования мод Гаусса-Лагерра и Гаусса-Эрмита с большей эффективностью, однако все они основаны на "подмешивании" в формируемую моду паразитных (вспомогательных) мод.

Учитывая актуальность задачи формирования одномодовых распределений в линзоподобных средах, обусловленную, главным образом, потенциальными телекоммуникационными приложениями [3,6], представляется целесообразным рассмотреть возможность поиска собственных функций операто-

ра распространения в линзоподобной среде, отличных от известных аналитических решений Гаусса-Эрмита и Гаусса-Лагерра.

Предлагается переформулировать задачу -найти собственную функцию \m (x,y), соответствующую определенному собственному числу Xm оператора распространения света в линзоподобной среде P, имеющую амплитудное распределение, максимально близкое к распределению освещающего пучка m (x,y)|s A(x,y). В этом случае

фаза ф(x,y) = arg (\m (x,y) может быть выбрана в

качестве фазовой функции формирующего оптического элемента.

1. Собственные подпространства оператора распространения света в линзоподобной среде

Собственные значения оператора распространения света в линзоподобной среде можно найти, пользуясь соответствующим характеристическим уравнением [2]. Для среды с распределением (1):

Xm = exp

ßm =4k2n2 - 4/a2

a =

где X - длина волны излучения, волновое число k = 2лД , m = 0,1,2,3....

Для того, чтобы найти собственные функции \m ( x, y) : P\\m = Xm\\m , необходимо найти решения уравнение Гельмгольца

Vi\m (x, y) + [k2n2 (x, y ) - ßm2 ]\m (x, y ) = 0 , (5) где V± =(d/d x, d/dy). В предположении

\m

решениями уравнения (5) будут моды Гаусса-Эрмита [3]

\m = \pi

где

Epl =4 2/

- нормировочная константа, m = p +1,

у п

Отметим, что:

1. Моды (7) образуют ортогональный базис в Ь2 [3].

2. Предположение (6) вовсе не следует из постанов-

ки задачи и сделано для получения аналитических решений (7-9).

3. Любое решение, соответствующее собственному значению Хт, представимо в виде линейной комбинации решений у (т- ) (х, у). Таким образом,

оператор Р будет обладать собственными числами (2) с соответствующими линейными собственными подпространствами решений

Тт = : Фт

Пучки, сечения которых описываются элементами подпространств (10) с количеством слагаемых ряда более одного, в [7] названы инвариантными многомодовыми пучками, а в [8] - многомодовыми бездисперсионными пучками. Выпишем некоторые свойства собственных подпространств оператора Р:

1. Световые пучки, распределение комплексной амплитуды в сечении которых описывается функциями-элементами собственных подпространств (10) оператора Р-, обладают свойством самовоспроизведения в среде с параболическим профилем, т.е. являются ее модами.

2. Любые две функции у (х,у)ё^п ,

у (х,у)еТ являются ортогональными в Ь2.

3. Х0 является единственным простым собственным значением оператора Р с соответствующей собственной функцией у00 (х,у).

4. Собственному числу ^ соответствует собственное подпространство

= ({^1 (х у ) = 0)1^01 (х у)+ОЖо (х,у )} °д-

нако любая функция у; (х, у) е Т совпадает с мо-довой функцией Гаусса-Эрмита У01 (х, у) с точностью до поворота вокруг начала координат.

5. Поведение пучков, сечения которых описываются функциями (10), в свободном пространстве и при прохождении Фурье - каскада аналогично поведению отдельных мод Гаусс-Эрмита [3].

Таким образом, задача синтеза ДОЭ, предназначенного для формирования одиночной моды линзоподобной среды, может быть поставлена по-разному:

1) формирование конкретной моды, заданной своим амплитудно-фазовым распределением ут (х, у) или фиксированными значениями ком-

плекснозначных коэффициентов Ср(т-р). В этом

случае применимы методы цифровой голографии, развитые для формирования заданного амплитудно-фазового распределения [3]. Такой подход приме-

ним, например, в задаче формирования эталонов мод [3]. Постановка задачи формирования модового пучка, заданного распределением комплексной амплитуды ут (х,у) в его поперечном сечении или фиксированными значениями коэффициентов Ср(т-р), в некоторой области выходной плоскости представлена на Рис. 1.

волно-водная среда

Рис.1. Постановка задачи формирования модового пучка, заданного распределением комплексной амплитуды у(х,у) в его поперечном сечении.

2) Поиск собственной функции ут (х,у) над

подпространством (10) с амплитудой, максимально близкой к амплитуде освещающего пучкаА(х,у). Такой подход представляется перспективным для решения задач телекоммуникаций, а также для передачи световой энергии в волноводной среде с минимальными потерями энергии на межмодовую дисперсию (Рис. 2).

Рис.2. Постановка задачи формирования модового

пучка, заданного распределением амплитуды в поперечном сечении освещающего пучка А(х,у) и значением постоянной распространения вт .

Для эффективного решения задачи 2) в случае параболического профиля необходимо решить уравнение

А (х, у) ехр (/ф( х, у ))-

-Х 0р (т - р)у р (т - р)(х у) = 0

Р=0

где А(х,у) - распределение амплитуды освещающего пучка в плоскости установки ДОЭ, ф(х,у) - фазовая функция ДОЭ, относительно коэффициентов С „

^р(т-р)•

Для численного нахождения приближенного решения уравнения (11) можно использовать максимизацию функционала

ф(ф(*;У )) = £ С2( я _ р) -> шах,

р=0

С2

И А ( У) ехР(гФ ( У ))$ р (т - р) (х У) ЛхЛУ

.

2. Результаты численного эксперимента

В данной работе проводился расчет ДОЭ, осуществляющего эффективное формирование пучка, сечение которого описывается собственной функцией оператора распространения света в среде с параболическим профилем. В качестве освещающего пучка рассматривался гауссов пучок. Вычислительный эксперимент ставился для следующих параметров: апертура ДОЭ Б = 6 мм, индекс т выбирался равным 2 и 3, радиус гауссова освещающего пучка <у0 = 1,7 мм, радиус формируемого пучка ст= 1мм, число уровней квантования фазовой функции М = 32, число отсчетов фазовой функции выбиралось N = 32, 64, 128. Оптимизация функционала (12) проводилась с помощью стохастической процедуры, использующей методы целочисленного программирования. Результаты вычислительного эксперимента приведены в Табл. 1-3. На Рис.3 приведены рассчитанные фазовые функции оптических элементов.

Таблица 1. Значение функционала Фпри различных значениях индекса т и числа отсчетов фазовой функции N

Количество Значение функ- Значение

пикселов ционала (12) функционала

т=2 (12) т=3

N=32*32 0,859 0,78

N=64*64 0,867 0,793

N=128*128 0,869 0,795

Таблица 2. Удельная мощность отдельных мод Гаусса-Эрмита в формируемом пучке

Номер моды Гаусса-Эрмита

Удельная мощность в пучке, Ср(т-р) 0,43 0,43 0,0

Таблица 3. Удельная мощность отдельных мод Гаусса-Эрмита в формируемом пучке

Номер моды Гаусса-Эрмита

Удельная мощность в пучке, С2 р( т - р) 0,29 0,04 0,27 0,18

а) Ъ)

Рис. 3. Рассчитанные фазовые функции ДОЭ

На Рис. 4 представлено распределение амплитуды в сечении освещающего пучка.

Рис. 4. Распределение амплитуды в сечении гауссова освещающего пучка

На Рис. 5 представлены распределения ампли-

т

ТудЫ в сечении пучков вида X Ср

р=0

где коэффициенты Ср(.т-р) найдены оптимизацией

функционала (12) для приведенных выше параметров. Таким образом, оптимизируя функционал (12), можно подобрать собственное решение для т=2 и т=3, аппроксимирующее гауссов пучок.

а)

Ь)

Рис. 5. Распределение амплитуды в сечении пучков

На Рис.6 представлены распределения амплитуды в дальней зоне в сечении пучков, полученных после прохождения освещающего гауссова пучка через рассчитанные фазовые элементы.

а)

Ъ)

Рис. 6. Распределение амплитуды в дальней зоне

2

Б

Отметим что структура распределений амплитуды в центре Рис.6^Ь близка к структуре соответствующих распределений амплитуды, представленных на Рис.5. Это объясняется тем, что погрешность аппроксимации Гауссова распределения амплитуды распределениями, приведенными на Рис.5, соответствует наличию высших мод в сформированном пучке.

Заключение

Наличие непростых собственных значений Xт

оператора распространения ? света в линзоподоб-ной среде позволяет поставить задачу поиска в соответствующем собственном подпространстве собственной функции ут (х, у) с амплитудой, максимально близкой к амплитуде освещающего пучка A(x,y). Задача синтеза ДОЭ, формирующего моду линзоподобной среды, таким образом, может быть решена в два этапа:

• поиск собственной функции с амплитудным распределением, максимально близким к распределению освещающего пучка.

• реализация ДОЭ с фазовой функцией, определяемой фазой найденной собственной функции.

Представляется что такой подход к формированию мод линзоподобных сред (или других волно-водных сред) может быть востребован при решении задач оптических телекоммуникаций, а также при передаче световой энергии с минимальными потерями на дисперсию.

Литература

1. Солимено С., Крозиньяни Б., Порто Ди П. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения, М.: Мир, 1989.

2. Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов.

3. Soifer V.A., Golub M.A. Laser Beam Mode Selection by Computer Generated Holograms. (CRC Press. 1994), 250p.

4. Голуб М.А., Прохоров А.М., Сисакян И.Н., Сойфер В.А. // Квантовая электроника. 9 (9) 1866-1868 (1982).

5. Soifer V.A., Pavelyev V.S., Duparre' M., Kowar-schik R., Luedge B., Kley B. Forming of selected unimodal complex amplitude distribution by means of novel DOEs of modan-type // Proceedings SPIE, 1998, vol. 3134 pp. 357-368.

6. Павельев В.С., Сойфер В.А., Глава 6 «Селекция мод лазерного излучения» // "Методы компьютерной оптики" под ред. В.А. Сойфера, М. "Физматлит", 2000, с.395-469.

7. Pavelyev V.S., Duparre M., Luedge B., Soifer V.A., Kowarschik R., Golovashkin D.L. Invariant laser beams - fundamental properties and their investigation by computer simulation and optical experiment. // Компьютерная оптика, 1999, №19, с.88-95.

8. Павельев В.С., Карпеев С.В., Дюпарре' М., Людге Б., Рокштулл К., Шротер З. Исследование поперечно-модового состава бездисперсионных многомодовых пучков с помощью корреляционных фильтров. //Компьютерная оптика, 2002, №23, с.10-14.