Энергетическая основа резонанса в упругих телах

УДК 531.01

Энергетическая основа резонанса в упругих телах

Ю.А. Алюшин

Национальный исследовательский технологический университет МИСиС, Москва, 119991, Россия

Новая концепция в механике с одним модулем упругости использована для обоснования существенного возрастания амплитуды при взаимодействии вынужденных и свободных поперечных, крутильных и продольных колебаний в упругом теле с одинаковой или близкой частотой. Принцип суперпозиции и расчет упругой энергии через инварианты уравнений движения обеспечивают выполнение закона сохранения для системы в целом. На основе анализа энергетических соотношений предложен механизм преобразования вынужденных колебаний с частотой, определяемой внешними воздействиями, в собственные после прекращения действия вынуждающей силы. Приведен анализ кинематических аналогов энергии, определяемых через средние значения относительных длин ребер частиц и среднеквадратические отклонения их от среднего для каждой частицы. Выделены составляющие деформаций, которые не влияют на интегральные по объему упругого тела значения энергии, не преобразуются в кинетическую энергию и не участвуют в выполнении закона сохранения энергии для системы в целом. Энергия для такой деформации поступает из внутренних источников, которые при свободных колебаниях и резонансе играют существенную роль. При резонансе интегральные по объему тела упругая и кинетическая энергии изменяются с одинаковой частотой без изменения их суммы, что обеспечивает возможность неограниченного продолжения колебаний без притока дополнительной энергии из внешних источников. Собственные колебания взаимодействуют с подобными при близкой или равной частоте, при этом амплитуды и скорости суммируются, а энергетические характеристики возрастают пропорционально квадрату суммы амплитуд. Многократные взаимодействия свободных колебаний с вынужденными при близких частотах приводят к многократному увеличению энергетических характеристик результирующего резонансного колебания.

Ключееые слова: резонанс, энергетическая модель, уравнения движения, переменные Лагранжа, инварианты, принцип суперпозиции, обобщенная скалярная функция, свободные колебания DOI 10.24411/1683-805X-2019-15006

Energy basis of resonance in elastic bodies

Yu.A. Alyushin

National University of Science and Technology MISIS, Moscow, 119991, Russia

A new concept in mechanics with one modulus of elasticity is used to justify a significant amplitude increase during the interaction of forced and free transverse, torsional, and longitudinal vibrations in an elastic body with the same or close frequency. The principle of superposition and the calculation of elastic energy using invariants of the equations of motion allow the conservation law to be satisfied for the system as a whole. Based on the analysis of energy relations, a mechanism is proposed for converting forced oscillations with a frequency determined by external influences into free oscillations when the driving force is removed. Kinematic analogs of energy determined by the average values of the relative edge lengths of particles and their mean-square deviations from the average for each particle are analyzed. The strain components are determined which do not affect the energy values integrated over the volume of the elastic body, are not converted into kinetic energy, and do not contribute to the fulfillment of the energy conservation law for the whole system. The energy for the deformation is supplied from internal sources, which play an important role in free oscillations and resonance. At resonance, the elastic and kinetic energies integrated over the body volume change with the same frequency without changing their sum, due to which oscillations persist indefinitely without the influx of additional energy from external sources. Free oscillations interact with similar ones at a close or equal frequency, while the amplitudes and velocities are summed up, and the energy characteristics increase in proportion to the square of the sum of the amplitudes. As a result of multiple interactions of free oscillations with forced ones at close frequencies, the energy characteristics of the resultant resonant oscillation increase many times.

Keywords: resonance, energy model, equations of motion, Lagrangian variables, invariants, superposition principle, generalized scalar function, free oscillations

1. Введение

Резонансом называют существенное возрастание амплитуды при взаимодействии вынужденных и свободных колебаний в упругом теле с одинаковой или

близкой частотой [1-4]. Резонанс относят к наиболее интересным и важным для практических приложений явлениям, используют в физике, химии, биологии, технике [5], в том числе для измерения упругих свойств

© Алюшин Ю.А., 2019

материалов [6] и как источник энергии [1, 7]. Есть основания считать, что энергетической основой резонанса является эффективное использование внутренних источников энергии для изменения объема или формы частиц механической системы по сравнению с энергией внешних сил [8]. Исследованию резонанса посвящено большое количество работ [1-8], в которых авторы рассматривают в основном кинематические аспекты развития вынужденных колебаний [2-4] или суперпозиции свободных и вынужденных колебаний [6, 7].

Чтобы понять причину и механизм резонанса, следует рассмотреть энергетические особенности вынужденных и свободных колебаний при их суперпозиции по аналогии с выполненными в работе [8] на основе энергетической модели механики [9, 10] для свободных колебаний. В настоящей работе выполнен анализ механизма преобразования упругой и кинетической энергии при суперпозиции вынужденных и собственных колебаний на основе новой концепции механики [9].

2. Основы энергетической модели механики

Энергетическая модель [9, 10] основана на описании движения в форме Лагранжа:

X = Х-

где t — время; х, е (х, у, z) — текущие координаты (Эйлера); ар е (а, в, у) — переменные Лагранжа, однозначно связанные с начальными координатами частиц. Производные х, р = дхг/дар от переменных Эйлера по переменным Лагранжа образуют тензор второго ранга

(

Эх, да

1— = х =

хв Ув

Лу

Уу

л

а ^ П

который определяет деформированное, напряженное и энергетическое состояния частиц механической системы [10, 11]. В дальнейшем нижний индекс t использован также для обозначения субстанциональных производных по времени: х, ( = ёх,/dt.

В энергетической модели механики основные соотношения близки к используемым в классической теории [10, 11] и вместе с тем допускают переход к одному модулю упругости и новой шкале отсчета средних напряжений, рассматриваемых как объемная плотность энергии частиц. При таком предположении понятие напряжений становится избыточным, т.к. они отличаются от компонент тензора (2) только постоянным множителем, равным удвоенному модулю упругости к:

Тр1 = 2кХ-, р.

По существу, тр-- — это напряжения Кирхгофа для пространства переменных Лагранжа в новой системе отсчета [11, 12]. В соответствии с классической механикой твердого тела, напряжения тр- характеризуют поверхностную плотность сил на гранях бесконечно малого

прямоугольного параллелепипеда (в исходном состоянии) рассматриваемого упругого тела. Первый индекс ар е (а, в, У) указывает направление нормали к рассматриваемой площадке, второй индекс х, е (х, у, z) — направление проекции напряжений. В исходном состоянии тензор (2) преобразуется в единичный, нормальные и средние напряжения а = (тах + Тву + ту2 )/3 принимают значение 2к.

При указанных предположениях инварианты тензора (2) приобретают определенный энергетический смысл и, как будет показано ниже, становятся кинематическими аналогами различных составляющих энергии, отличаясь от них постоянным множителем, равным модулю упругости материала. В частности, квадратичный инвариант тензора (2), равный сумме квадратов всех его элементов:

2 . 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, Ге = ха + Уа + ^ + хв + Ув + ^ + ху + Уу +;

является кинематическим аналогом упругой энергии [10] и определяет объемную плотность энергии частиц с учетом их исходного состояния. В дальнейшем обозначения 8Е, соответствуют энергии частицы с объемом 8К0, е1 = 8Ег/ (к8^0) — безразмерные эквиваленты объемной плотности соответствующих видов энергии. Приобретенную за счет деформации (еёе- > 0) или потерянную (е^ < 0) энергию частицы 8Еёе- = кеёе- X х8Р0, по сравнению с исходным состоянием, определяет локальный кинематический параметр

ем = Г-з.

Правую часть в уравнениях (4) и (5) можно записать через квадраты отношений длин ребер до 8/0 и после деформации 81, первоначально ориентированных в направлении соответствующих осей:

/гр = (8//8/0)р = хР + уР + zp, р е (а, в, у). Тогда параметр (5) может быть представлен через другие безразмерные инварианты:

= Г(, -3 = 3(е -1) + е5 =ее + е

е = (/„ + /в + /у)/3, ее = 3(е2 -1), ез = (/а - е)2 + (/в - е)2 + (/у - е)2, где е — среднее значение относительных длин ребер /р бесконечно малого параллелепипеда до и после деформации, ее зависит от средней длины е, может быть как положительным, так и отрицательным. Величина е! всегда положительна и совпадает со среднеквадра-тическим отклонением длин ребер параллелепипеда /р от их среднего значения е.

Инварианты ее и е! могут быть представлены через другие кинематические параметры по типу ее = ее1 + + ее2 и е! = е!1 + е! 2, которые играют различную роль в выполнении закона сохранения энергии [8]. В частности, к параметрам ее1 и е!1 будем относить кинематичес-

кие аналоги энергии, которые участвуют в преобразованиях кинетической энергии частиц в упругую или наоборот, а также в выполнении закона сохранения энергии для упругого тела в целом. Параметры ее2 и е!12 учитывают переходы только в пределах упругой деформации частиц, например переход энергии изменения объема в энергию изменения формы или наоборот. Они удовлетворяют закону сохранения энергии внутри системы и не требуют притока энергии через ее границы, по аналогии с выполнением закона сохранения энергии для тела в целом при свободных колебаниях в упругом теле. Например, при продольных, поперечных и крутильных свободных колебаниях часть энергии, расходуемая на локальные изменения деформированного состояния и ассоциируемая с ее2 и 2, поступает из внутренних источников и не влияет на интегральную по объему энергию упругой деформации тела [8].

Размерность локальной энергии деформации совпадает с размерностью модуля упругости к:

8Е^ = к8К0(Г2 - 3) = к8Щ3(е2 -1) + е ] =

= 8Ее + 8£, =к8Ко

Отношение объемов частиц после 8F и до деформации 8К0 определяет кубический инвариант тензора (2):

Я _

8У

8¥о

хр Ув

у

Уу

Из закона сохранения и условия инвариантности энергии по отношению к выбору системы отсчета скоростей [9-11] уравнения движения материальных частиц должны удовлетворять дифференциальному уравнению [11, 12]

(Эт Л (дт„ Л

рх

да

" ро ха

+ г,

р

( Эт р

+ У,

Л

ру

да р

ро Уа

Эа,

"ро Ч

_ о,

где х1,, х1 а — компоненты скорости и ускорения в направлениях осей х1; ро — плотность материала в исходном состоянии. При дополнительном предположении об одном модуле упругости и новой шкале средних напряжений (а = 2к) предыдущее уравнение преобразуется к виду [8, 13]

( дх„ 2 Л ( дур 2 Л

ц Уи

да

Ц2 Хи

+ г,

р

( дгр

да

Ц2 %

+ У,

Л

да р

= о,

где коэффициент ц2 =ро/(2к) характеризует физические свойства материала. Модель с одним модулем упругости будет использована в дальнейшем, она приводит к существенному снижению математических труднос-

тей, и решения не противоречат классической механике для любых типов задач [11].

В отличие от свободных колебаний [8] при анализе условий резонанса необходимо учитывать скорость изменения энергии, поставляемой возмущающей силой. Поэтому в дополнение к использованным в работе [8] характеристикам энергии частиц при анализе вынужденных колебаний необходимо учитывать скорость изменения кинетической энергии и энергии упругой деформации как для частиц, так и для тела в целом, для которых в дальнейшем будут использованы термины «мощность кинетической энергии» и «мощность упругой деформации». Так как все уравнения записаны для пространства переменных Лагранжа, соответствующие мощности можно получить дифференцированием уравнений (4)-(8) по времени.

Во всех рассмотренных случаях в качестве физического тела рассматривается упругий стержень длиной Ь с поперечным сечением 5"о, концы которого закреплены в неподвижных массивах, не обменивающихся энергией с колеблющейся системой. Стержень подвергается внешнему воздействию с появлением деформаций, энергетически эквивалентных работе, произведенной внешними силами через центральное (по длине стержня) сечение.

Наряду с перечисленными выше, в дальнейшем в уравнениях движения использованы константы материала и кинематические характеристики колебаний:

2L

.2 = 2к _ 2 L ю о

/^А — ч ТА — . ч ^А —

Аа

Т _-

А

Ро -о пА А ю

L Ао юо где к, ро — модуль упругости и плотность материала стержня; То, юо, Т, ю —период и круговая частота собственных и вынужденных колебаний соответственно.

Для энергетического обоснования резонанса рассмотрены варианты вынужденных, свободных и совмещенных колебаний с анализом механизма преобразования вынужденных колебаний в свободные после прекращения действия внешних сил.

В работе [8] при описании особенностей свободных колебаний за начало отсчета времени принято состояние, когда есть деформации, но нет движения. Такое состояние может продолжаться неограниченно долго и поэтому удобно принять его за исходное. После прекращения внешнего воздействия, удерживающего тело в состоянии покоя, упругие свойства материала стремятся восстановить исходное состояние, что приводит к началу колебаний.

В данной статье лагранжевы координаты совпадают с начальными, как обычно принимают при решении других задач с описанием движения в форме Лагранжа [10, 11]. Такой выбор предполагает, что деформации

еще нет, но колебания уже существуют, и начало отсчета времени выбирают, чтобы математический аппарат был более простым.

3. Поперечные колебания

Для выяснения механизма резонанса рассмотрим последовательно кинематические и энергетические особенности вынужденных, собственных и совмещенных колебаний. Будем считать, что причиной вынужденных колебаний является периодическая сила [1, 2]

F = F0 sin

действующая в центральном по длине сечении а = L/ 2 с амплитудой F0 и круговой частотой m, которая возбуждает колебания с уравнениями движения частиц [8] x

Здесь q — амплитуда.

При известных упругих свойствах материала стержня силу F0 можно определить из равенства мощности внешней силы и скорости изменения кинетической и упругой энергии в объеме стержня. Производные по времени и переменным Лагранжа от уравнений

Уаа = -q(V L)2 sin (па/ L)sin (mt), yta = qmo/L cos (па/ L)cos (mt) полностью определяют деформированное и энергетическое состояние частиц и тела в целом [10, 11]. С учетом значения скорости yt в сечении a = L/2, где приложена сила (13), получаем мощность

Wext = Fyt |a=L/2 = F>qmsin

Переданная системе энергия преобразуется в кинетическую и упругую энергию частиц стержня, которые характеризуют удельные мощности 8Wkin и 8Wdef:

. dS^kin = 0.5po8Fody2 = 2k8F>ytytt

SWkin =

SWlef =

dt

d8Edef

dt

KSVody/

^0

= 2k8V0 y a yta.

dt dt

В выражение для кинетической энергии частицы 8ЕКп входит упомянутая в соотношениях (12) константа материала А2 = 2к/р0, которая определяет период собственных колебаний Т0 = 2Ь/ А0 и круговую частоту т0 = пА0/Ь [2, 8]. Отношение п = А/А0 = ю/ю0 характеризует как кинематические особенности колебаний (го, А), так и физические свойства материала (ю0, А0). С учетом производных (15) мощность кинетической Щкп и упругой Щ(е£ энергии частиц определяют уравнения

^ = sin2 sin

= ^ ^ J cos2

Интегральная по объему стержня суммарная мощность в любой момент времени составит

Ws W

def

W

kin

2к¥0 2к¥0 2к¥0

= 0.5ю

Отметим, что при описании движения в форме Лаг-ранжа нет необходимости следить за изменением контура упругого тела в процессе колебания, т.к. для лаг-ранжевой системы координат она совпадает с исходной конфигурацией и не изменяется во времени.

Приравнивая мощности внешних (16) и внутренних (20) сил, находим силу F0, соответствующую колебаниям с рассматриваемыми частотой и амплитудой:

,2\/~1т\2

F0 = KV0q(l -П2)( п L)2.

В зависимости от отношения частот, сила F0 может быть положительной (ю<ю0), отрицательной (ю> ю0) и нулевой (ю = ю0). Положительная сила, как следует из уравнения (16), поставляет энергию в стержень в первой и третьей четвертях цикла, когда кинетическая энергия преобразуется в упругую деформацию частиц. В двух других четвертях мощность будет отрицательна, энергия упругой деформации частиц преобразуется в кинетическую и передается внешнему источнику. Отрицательная сила F0 возникает, когда круговая частота периодической внешней силы превышает собственную частоту колебаний системы. Тогда на первой и третьей четвертях цикла мощность отрицательна, кинетическая энергия расходуется и на деформацию частиц и передается внешнему источнику.

Уравнения (14), (18)-(20) соответствуют вынужденным колебаниям в упругом стержне с периодом Т = = 2п/ю под действием периодической возбуждающей силы (13) с амплитудой (21). После завершения цикла система возвращается в исходное состояние и, если сила (13) продолжает действовать, цикл повторяется.

Если внешняя сила прекращает действие после очередного цикла, независимо от отношения частот, в системе остается кинетическая энергия частиц

8£Кп =т = 0^8^ = 0.58^ Г ' (па

qm sin I

L

= k8V0

sin

па L

которая приведет к продолжению колебаний. Частота и амплитуда могут изменяться, но уравнения (17)-(20) остаются в силе.

Из (20) следует, что если частота внешней силы меньше собственной ю<ю0, тогда положительная

мощность Ws > 0 в первой четверти цикла будет увеличивать фактическую частоту. Аналогичным образом, при ю> ю0 отрицательная мощность Ws < 0 будет уменьшать фактическую частоту. Только в случае ю = ю0 на протяжении всего цикла интегральная по объему мощность будет равна 0, сумма кинетической и упругой энергии в системе остается неизменной, что соответствует определению свободных колебаний, которые могут продолжаться без поступления энергии из внешних источников [6-8].

В выполнении закона сохранения энергии можно убедиться по условию постоянства интегральной по объему стержня энергии на любом интервале цикла. При локальной энергии деформации частиц

энергия упругой деформации в объеме стержня составляет

Edef = 0.5KV0

Для кинетической энергии частиц с учетом (18) получим

Ekm = 0.5KV0

Суммарная упругая и кинетическая энергия в объеме стержня при частоте собственных колебаний

Edef + Ekin = 0.5к^п/ L)2 не изменяется во времени. При завершении цикла (t = = T= 2л/ю0) система возвращается в исходное состояние, упругая энергия отсутствует, а кинетическая принимает максимально возможное значение (24) при ю = ю0.

С точки зрения резонанса представляет интерес случай, когда действует циклическая сила типа (13), создающая вынужденное колебание с частотой собственных колебаний или близких к ней. Тогда две волны будут взаимодействовать, формируя новую волну.

В соответствии с принципом суперпозиции [10, 14], чтобы получить уравнения движения совмещенного движения достаточно заменить переменные Лагранжа внешнего (наложенного) движения на выражения для соответствующих переменных Эйлера внутреннего (вложенного) движения. В рассматриваемом случае уравнения для собственных и вынужденных колебаний могут отличаться круговой частотой ю и амплитудой q, но они равнозначны по влиянию на результирующее колебание, любое из них можно считать внешним, другое — внутренним.

Выделим амплитуду собственных колебаний нижним индексом амплитуды q0:

x

Для вынужденного колебания с учетом резонанса воспользуемся уравнениями

Edef = 0.5k V0( Ekin = 0.5kV0(

x(a , t) = a, y (a, t) = P + q1 sin (па/ L)sin(m0t),

z(ap, t) = у. v }

Заменяя переменную в в уравнении (25) на правую часть уравнения (26), для совмещенного движения получим

y

При равенстве частот внешних и собственных колебаний в новом цикле амплитуда будет равна сумме амплитуд вынужденных (на текущем цикле) и собственных (на предыдущем цикле) колебаний системы. Для выяснения вопроса об энергетической возможности таких колебаний следует дополнительно определить кинетическую и упругую энергии через производные от уравнений (27):

yt = (q0 + qj)0 sin (па/L)cos (a^t),

y a = (q0 + qi)(n/L)cos (па/L)sin (ю0^

с учетом которых интегральные по объему значения составляют

, + qj)2(nL)2 sin2 (ю0), , + qj )2 (пп/L)2 cos2(ffl0t). Только эти уравнения, по аналогии с (23), (24), могут обеспечивать продолжение колебаний с выполнением закона сохранения энергии для системы в целом:

Edef + Ekin = 0.5KV, q + qj )2 (п/ L)2 = const. (29) Уравнение (29) можно считать энергетической основой резонанса. Принцип суперпозиции [14], успешно используемый в различных задачах для абсолютно твердых и деформируемых тел [10, 11], и новая модель механики с одним модулем упругости (3) подтверждают кинематическую и энергетическую возможность реализации совмещенного движения (27) с соблюдением закона сохранения энергии. При равных амплитудах q0 = qj все энергетические характеристики совмещенного колебания возрастают в 4 раза по отношению к исходному свободному колебанию.

Для выявления роли внутренних источников энергии обратим внимание на кинематические эквиваленты инвариантов энергии (5)-(7), которые зависят от относительной средней длины е и среднеквадратических отклонений es. Для каждой частицы можно указать четыре доли безразмерной объемной плотности энергии: 2

11 nq

ee = ee

_ 1

ee1 + ee2 = J

21 na i . 2. . cos I — I sin (ю0t) +

cos

— I sin КО

V2

- n

01 cos2 sm'KO -

1+ I ~L I cos21 "L 1

-1!

, по 1 2 ( па 1 . 2, .

^ = ее + е! = | Ь I СОв 1—181П (юоt).

Они несут объективную информацию, в том числе об источниках энергии, не связанных с внешними силами и не преобразуемых в кинетическую энергию частиц. Наиболее информативными являются относительные меры по отношению к кинематическому аналогу полной упругой энергии частицы (5). С учетом первых двух членов разложения функции в ряд л/Т+х = 1 +1/2 х --1/8х2 +... эти отношения остаются одинаковыми для всех частиц в любой момент времени

ее1 + =I+2 +^=2 -1

еёе£ ^ 3 3' edef edef 3 3

Доли энергии ее1 = ^е^ и е!1 = 2/3 е^ изменяются синхронно с кинетической энергией частиц (22). Именно эти доли участвуют в преобразованиях упругой энергии в кинетическую, обеспечивая в сумме

nq

= + = % + е,1 =1 "Г"! cos I — Isin (roo0

2 Í na

def . , ^ „ , L j ^ L

выполнение закона сохранения энергии в объеме стержня при интегральном по объему значении (23) и сдвиге фаз на я/ 2 по отношению к изменению кинетической энергии частиц (24).

Доли энергии ee2 и es2 меняются в противофазах, сумма этих долей всегда равна 0, хотя каждая из них соизмерима с общей энергией edef. Иными словами, энергия ee2, определяемая изменением средней длины ребер частицы в форме бесконечно малого параллелепипеда, переходит в энергию es2, связанную со средне-квадратическим отклонением относительных длин ребер частицы от их среднего значения и наоборот. Такие деформации не меняют энергетическое состояние частицы.

Сложение скоростей в соответствии с принципом суперпозиции движений (27) обеспечивает нужную кинетическую энергию частиц для деформированного состояния на протяжении цикла и выполнения закона сохранения энергии для системы в целом.

Дальнейшее развитие колебаний может происходить по одному из вариантов:

1) появление нового колебания с амплитудой, зависящей от соотношения частот: y(a, t) = Р + [q0 х xsin (ro0t) + qn sin (rot)]sin (яа/L), если после образования свободных колебаний вновь начнет действовать внешняя сила (13) с частотой го = яА/L, отличающейся от ro0; влияние свободной волны уменьшится и будут продолжены вынужденные колебания (14) с частотой силы (13), для реализации которых требуется мощность (16);

2) продолжение свободных колебаний с амплитудой q0 + qx +... + q¡ после очередной суперпозиции, если, кроме вынужденных волн, не будет энергообмена с внешней средой;

3) снижение амплитуды, если резонирующая система использована как накопитель энергии и запасенная в системе энергия будет переходить во внешнюю среду, в том числе за счет смещения считавшихся до этого неподвижными опорных стенок из абсолютно твердого тела, в которых закреплен упругий стержень;

4) наиболее опасным является продолжение колебаний в условиях резонанса с достижением и последующим превышением предельных значений действующих в системе напряжений, возникновением необратимых деформаций или разрушением системы.

4. Крутильные колебания

Используя декартову систему координат, для крутильных колебаний уравнения движения частиц можно записать в виде [8]

х = a, j = ß cos Ду-у sin Ду, z = ßsin Ду + Ycos Ду, где Ду (a, t) = у - у0 — изменение угла поворота сечений у по сравнению с исходным у0:

Ду

Производные по времени и направлениям у,(a, t) = 6rosin (па/L)cos (roí), у(a, t) = -6ro2 sin (па/L)sin (rot), уа (a, t) = 6п/ L cos (na/ L)sin (rot),

(a, t) = -6(п/L)2 sin (na/L)sin (rot), у^(a, t) = 6гол/Lcos (na/L)cos (rot), как и для поперечных колебаний, определяют кинематические, деформационные и энергетические характеристики частиц и тела в целом.

Причиной вынужденных крутильных колебаний может быть момент

M = M0 sin

который действует в сечении с начальной координатой a = L/ 2 и производит мощность

Wext = MУt |a=L/2 = Mo6rosin(roOcos(roO, (33) преобразуемую в упругую и кинетическую энергию частиц, для скорости изменения которых при обозначениях (12) справедливы уравнения

SWd

def

2ksv0

= УaУaí^ = n262ro(r/L)2 X x cos2 (na/ L)sin(rot)cos(rot),

SWk

kin

1

= -2 ууйт = -62п Vro(r/L)2 x

2ksv0 А2

x sin2 (яа/ L) sin (rot) co s (rot). Интегральные по объему мощности

Wdef = 0.5KV0n292

Wkin =-0.5KV0e2n2n2(RL)2rosin (rot)cos (rot) (35) через энергетическое тождество с участием внешнего

момента (33), а также внутренних сил (34) и (35) позволяют найти момент

M 0 = 0.5KV09n2(R/L)2(1 -п2).

Система

^ + Wkш _ о.5к^оеоп2(Я^)2 х

х

при отсутствии внешнего воздействия характеризует возможные переходы упругой энергии в кинетическую и наоборот. Стационарный режим наступает, когда ю/юо = 1. Если фактическая частота колебаний будет ниже собственных, определяемых упругими свойствами материала, положительная мощность приведет к ее увеличению в первой и третьей четвертях циклов. В противном случае произойдет увеличение периода колебаний и в конечном итоге режим будет соответствовать собственным колебаниям. Уравнение (37) можно рассматривать как механизм преобразования вынужденных колебаний в собственные после прекращения внешнего воздействия.

Отмеченную особенность подтверждает анализ суммарной упругой и кинетической энергии в объеме стержня, которая зависит от отношения частот: —2

Е^ + Екш _к^,е2п2—г^ш2

kin

4 L2

и только при их равенстве (п = 1) остается постоянной, как это следует из определения собственных колебаний системы [1-4].

Резонанс возможен, если на свободные колебания будут накладываться вынужденные с круговой частотой собственных колебаний ю0. Воспользуемся уравнениями для собственных

x = а, y = Pcos Ду0 -ysin Ду0, z = в sin Ду0 +Y cos Ду0

и вынужденных колебаний

x = а, y = PcosДу1 -ysinДу1; z = Р sin Ду 1 +Y cos Ду 1, где Ду0 и Ду1 — углы поворота сечений в свободном и вынужденном колебаниях: Ду0 = 80 sin (па/L) sin (o>0t), Ду1 = 61 sin (па/L) sin (m0t).

Пользуясь общим правилом суперпозиции движений [14], заменим переменные Лагранжа в уравнениях внешнего движения, в качестве которых приняты вынужденные колебания (40), на выражения для соответствующих переменных Эйлера собственных колебаний (39), например

y = Pcos Ду1 - ysin Ду1 = = (Р cos Ду0 - y sin Ду0)cos Ду1 -- (Р sin Ду 0 +y cos Ду0^т Ду1 =

= Р^(Ду0 + Ду^ -Ysin^^o + Ду1).

В результате получаем систему уравнений типа (30), в которых угол поворота в совмещенном колебании вместо (31) равен сумме углов поворота совмещаемых колебаний:

Ду =

Обоснование энергетической возможности реализации совмещенных колебаний в соответствии с уравнениями (30) и (41) лишь незначительно отличается от приведенного в разделе 3 для поперечных колебаний. В соответствии с уравнениями (30) и (41), частицы стержня с объемом 8V0, плотностью р0 и модулем упругости к вращаются относительно оси с угловыми скоростями yt (а, t) = (00 + 01)ю0 sin^a/L^os^t) и за счет этого система приобретает кинетическую энергию

Ekin = 1 KV0

Упругую энергию для уравнений (30) с тензором (2) ( 1 0 0 1

xi, p

-уа z cos Ду - sin Ду

уаy sin Ду cos Ду ^ определяет инвариант (5), который принимает вид

edef = ee + es =уаr 2 =

= (00 + 01)2 п2(г/Г)2 cos2 (па L)sin2(ю0t).

Упругая энергия в объеме стержня составляет Edef = 1 KV0

Уравнения (42) и (43) соответствуют гармоническим колебаниям (30) с изменениями углов (41). Кинетическая и упругая энергии обеспечивают постоянное значение их суммы в любой момент:

Ekin + Edef = 0.25к^п2

Резонанс с точки зрения закона сохранения энергии возможен и допускает существенное увеличение амплитуды вместе с другими энергетическими параметрами. Структура локальных кинематических аналогов объемной плотности энергии (4)-(7), которые зависят от среднего значения ee и среднеквадратического отклонения es, аналогична, как и для поперечных колебаний [8]. С учетом разложения в ряд функции с квадратным корнем получаем

1/з уа r 2 = 1

" 3,

,„2 2

у«г

edef

ee2

edef

edef

,„2 2

у« r

= 1,

edef

,„2 2

у« r

2 2

2/3у« r

2 2

у« r2

2 у«г2

2 2

= 2 - 2 = 0, 3 3

2 2

3 у«г

=2, -e

3 ede

2 = 4/3 (-у« r 72) =-2

3 ,

edef

2 2 у« r2

Как и в предыдущем случае, доли энергии ее1 и es1 изменяются синхронно и в сумме обеспечивают необходимую для выполнения интегрального закона сохранения упругую энергию, преобразуемую в кинетическую. Составляющие ее2 и es2 в 2 раза больше ее1, но не участвуют в таких преобразованиях и определяют затраты энергии только на изменение формы частиц (7), связанные с изменениями средней относительной длины ребер частиц ее и их среднеквадратическим отклонением от среднего е,. Изменения происходят с одной частотой, но в противоположных фазах, затраты энергии компенсируются за счет деформации противоположного типа.

Приведенный анализ показывает, что часть энергии, участвующей в свободных и совмещаемых колебаниях, не связана с энергией, поступающей из внешних источников, не преобразуется в кинетическую энергию, но является неотъемлемым элементом резонансных явлений.

5. Продольные колебания

Используя методику предыдущих разделов, рассмотрим продольные колебания с уравнениями для переменных Эйлера [8]:

x(a, t) = a + p sin (na/L) sin (rot), y = ß, z = y. (45) Наиболее важные отличия связаны с деформациями растяжения-сжатия (вместо сдвига при поперечных и крутильных колебаниях), которые определяет производная Эх/ da = xa:

xa (a, t) = 1 + pn/L cos (na/L)sin (rot), xta(a, t) = pTCro/Lcos(na/L)cos(rot), xt = pro sin (na/ L)cos(rot), xtt = -pro2 sin (na/ L)sin (rot).

Как и в предыдущем разделе, уравнения (45) соответствуют системе координат, начало которой совмещено с левым неподвижным торцом упругого стержня, ось х направлена вдоль оси стержня длиной L и сечением S0, а также граничным и начальным условиям x(a = 0, t) = 0, x(a = L, t) = L, xt (a = 0, t) = xt (a = L, t) = 0, x (a p, t = 0) = a p. (47) Действующая в центральном по длине сечении a = = L/ 2 периодическая сила

F = F0 sin

производит мощность

Wext = Fx I a=L/2 = ^ro sin

которая расходуется на упругую деформацию и кинетическую энергию частиц:

SWkin = 2 КЛо SV0xtxtt >

SWdef = ^^defx = ksv,( xa - 1)t = 2K8V,xa xte, где к — модуль упругости. С учетом соотношений (12) =2к/р о , П = ro/ro0 и производных (46) получаем

= -ю(прп/ Ь)2 х

х вт2

Локальная мощность упругой деформации, по сравнению с (19), имеет слагаемое с первой степенью амплитуды:

SW

def

2ksv0

= xa xta = pron/L cos(na/ L)cos(rot) +

+

Суммарная мощность упругой и кинетической энергии также отличается от (19) дополнительным слагаемым

SWdef . SWk

kin

2ksv0 2ksv0

= pnro/L cos(na/ L)cos(rot) +

+ (пр/L)2 msin(mt )cos(mt) x

x [cos2 (па/L) - n2 sin2 (па/L)], но оно не влияет на интегральное по объему стержня значение мощности:

+ ^KT = т(прД)2 m(1 -n2) sin (2mt). (52) 2kv0 2kv0 4

Из равенства мощностей (49) и (52) находим силу F0, входящую в уравнение (48):

F0 =KV»p

которая обеспечивает энергией деформацию частиц и тела в целом.

В начале (t = 0) и конце каждого цикла (t = T = 2п/ m) по всему объему стержня деформация отсутствует, сохраняется только кинетическая энергия частиц при максимальном ее значении в объеме стержня:

^kin = 0.5V, K(npV L )2.

Система (45) под действием силы (53) соответствует гармоническим вынужденным колебаниям с периодом Т = 2п/ю возбуждающей силы. Если внешняя сила прекращает действие, остается кинетическая энергия частиц (54), которая становится причиной продолжения колебаний. Как и в случае поперечных колебаний, в соответствии с уравнением (52), за счет появляющейся избыточной энергии при ю<ю0 (или недостатке энергии при ю>ю0) система будет приближать фактическую частоту к собственной. Только при ю = ю0 (п = 1) сумма кинетической и упругой энергии в системе остается неизменной, что соответствует определению свободных колебаний.

Как отмечено выше, кинематический эквивалент энергии упругой деформации е^ для продольных колебаний содержит два слагаемых, причем в связи с малостью отношения рЬ первое может быть на несколько порядков больше второго [8]:

Г -3 = е6е£ = 2пр/Ьсоэ(па/Ь) +

+

но интегральное по объему значение Edef совпадает по форме с (25):

Edef = J к

V

Кинетическая энергия частиц с учетом

SEkm = 0.5po x;Vo =

= KSV0

для всего объема стержня составит

2 2 2 2 2 2 L „ п2 p2 ro2 2 / ч т Л п2 p2 ro2 2 / ч

Ekin =-SoPo --2 cos (rot) = V0K^rr2--Tc°s (rot).

4 L2 ro2 2L roQ

В каждом сечении скорость изменения упругой и кинетической энергии изменяются в соответствии с уравнениями (50) и (51), но для всего объема стержня сумма энергий

2 2

+ Ekin = V0k—P^[sin2

^def

0

2 L2

при n = 1 остается постоянной, совпадает с имеющейся в системе (54) при t = 0 и не изменяется во времени, что свидетельствует о переходе системы к свободным колебаниям.

Как следует из предыдущих разделов, удобнее и проще резонанс рассматривать как наложение двух независимых колебаний и после суперпозиции проверять кинематическую (по выполнению граничных условий) и энергетическую (по выполнению закона сохранения энергии для системы в целом) возможность их реализации.

Для свободных колебаний воспользуемся уравнениями типа (45), которые выделим обозначением амплитуды:

x(a, t) = а + p0 sin (па/L)sin (ro0t), У = Р, z = Y.

Для вынужденных колебаний с частотой собственных ro0 обозначим амплитуду pj:

х(а, t) = а + p1 sin (па/L) sin (ro0t), У = P, z = y.

Как в случаях с поперечными и крутильными колебаниями, при использовании принципа суперпозиции [10, 14] любое движение можно принимать за внутреннее, другое — за внешнее. Но после замены переменных Лагранжа, например, в уравнении (60), на выражения для соответствующих переменных Эйлера из уравнений (59) получаем более сложное выражение

х(а, t) = а + p0 sin | |sin^0t) +

па

+ p1 sin

in {{

а + p0 sin

па

sin^0t)

}sin((D0t).

Вместе с тем, принимая во внимание малость отношений рЬ << 1, можно утверждать, что амплитуда совмещенного колебания равна сумме амплитуд внутреннего свободного и внешнего вынужденного колебаний:

х(а, t) = а + (p0 + p^sin^^L)sin(<a0t). (61) Этот результат подтверждает и традиционный подход к определению совмещаемых движений через сложение скоростей [3, 10]. Отметим, что граничные условия (47) для системы (61) выполняются, как и для совмещаемых колебаний (59) и (60).

Суперпозиция колебаний приводит к кинетической энергии частиц в совмещенном движении:

12 8Ekin = - Р0xt 8V0 =

= k8v0(Р0 + Р1)2 (т! sin2 cos2 (Ю0^).

L ) ( L ) Для объема стержня энергия составит

Ekin = 1 kVq (Po + Pi)2 (VL? c° s2 (root).

Кинематический эквивалент энергии деформации для частиц

fidef = 2(po + pl) (j j c°s (^"Пт) Sin(ro0t) +

+ (po + pi)2[Lj cos2[^jsin2(root) приводит к упругой энергии для тела в целом

Edef = KJ fidef SV0 =

= 0.5K

Два вида энергии (62) и (63) изменяются с одинаковой частотой и сдвигом по фазе на п/2, что обеспечивает постоянство их суммы и выполнение закона сохранения энергии для стержня в целом:

Ekin + Edef = q.5k

Дополнительной энергии из внешних источников для продолжения колебаний, определяемых принципом суперпозиции, не требуется. Уравнение (64) подтверждает возможность резонанса при использовании методики пересчета деформированного состояния, определяемого уравнениями движения, в упругую энергию по уравнению (8). Оно показывает возможность продолжения колебаний без нарушения закона сохранения и притока энергии извне, если частота вынужденных колебаний совпадает с частотой собственных. После завершения каждого цикла амплитуда совмещенного колебания возрастает на величину амплитуды наложенного вынужденного колебания с увеличением энергетических параметров системы в соответствии с изменением производных (46).

Для выявления роли внутренних источников энергии рассмотрим, как и в предыдущих разделах, составляющие кинематического аналога упругой энергии (8). Наличие двух слагаемых в выражении (55) не позволяет перейти к относительным долям, как при поперечных колебаниях, поэтому ниже приведены только их фактические значения

пр L

cos

па i . 2, ч L ,sm (mt),

2пр [па . . . . ег2 = cos I — | sin(mt),

es = es1 = 3

21 па i . 2, . cos I I sin (mt), e,

s2

= 0.

Так как интегральная по объему доля е^2 равна 0, она не может участвовать в выполнении закона сохранения энергии для системы в целом. Эта энергия играет роль «исходного уровня», по отношению к которому изменяются упругая и кинетическая энергии. Частота изменения долей упругой энергии ее1 и ел совпадает, согласуется с частотой изменения кинетической энергии (57) и отличается по фазе на п/2, что обеспечивает равенство их суммы (58) на протяжении всего цикла, необходимое для выполнения закона сохранения энергии для тела в целом.

Ассоциируемая с кинематическим эквивалентом ее2 энергия соответствует деформациям в системе за счет внутренних источников, в частности уменьшению и увеличению объема частиц (9) в различных частях системы без изменения их общего объема. При этом отношение

ее2 = 6 = 6

ee1 (пр/L)cos (па/L)sin (mt) 8 V/8 V0 -1 может достигать больших значений, особенно при малых отношениях амплитуды к длине стержня p/L.

Таким образом, при продольных колебаниях большая часть энергии для деформации частиц поступает из внутренних источников и только малая часть (ee1 и es1), преобразуемая в кинетическую (57), связана с приобретенной извне энергией и участвует в выполнении закона сохранения энергии для упругого тела в целом.

Для сравнения приведем уравнения для совмещенных продольных колебаний, когда частота вынужденного колебания не совпадает с частотой собственного. Тогда вместо (60) следует использовать систему (45) и в результате суперпозиции получаем

x(a, t) = a + p0sin I ^^ I sin(m0t) +

п

+ P1sin {{

}si

sin(mt).

Даже в области малых соотношений p/L << 1 система x

описывает колебания с изменяющейся во времени амплитудой, зависящей от соотношения амплитуд и частот совмещаемых колебаний. Уравнения для локальных и интегральных кинетической и упругой энергии будут иметь, по сравнению с (56)-(58), более сложный вид, не предусматривающий возникновения резонанса.

Главным условием резонанса является равенство частот совмещаемых движений и тогда он возможен при суперпозиции различных типов колебаний, напри-

мер продольных

Л

Л

~а хв '"у

Уа Ур У у

га 2в 2У

(1 + пр/Ь cos(па/Ь)sin(юt) 0 0Л щ/Ь сов(па/ Ь)sin(юt) 1 0

0 0 1

ч /

Система удовлетворяет дифференциальным уравнениям (8), а также начальным и граничным условиям (47) для каждого из рассматриваемых и совмещенного колебаний. При этом алгебраически складываются как локальные

2

edef =re - 3 = edef + edef

„пp [па^ i . . = 2—cosI Isin(m0t) +

то (па , . .

—COS I — | sin

пq ( па . . .

—COS I — | sin

ekin = 0.5P0V2 = °.5P0 (x2 + уЬ = ekin + eki:

kin ,

так и интегральные энергетические характеристики (при частоте собственных):

Edef = Edef + Edef =

= -KV0

пp

sin

пq

sin

2 2 2 2 ^ п p 2fs-r, п q 2, ч

Ekin = V^-f^co s2 (ffl0t) + V0 k—^cos2 (ffl0t),

0

2L 2L

для энергетической реализации движения (64) дополнительной энергии не требуется.

До сих пор были рассмотрены простейшие одномерные колебания, но изложенная методика может быть использована и для более сложных случаев, например при суперпозиции продольных колебаний (45) и колебаний с поворотом сечений в соответствии с уравнениями

x(a, t) = a + plhsin| П^sin(root), y = P, z = y.

С помощью принципа суперпозиции при равенстве частот получаем новые двумерные колебания

x

y = P, z = Y,

где l — относительная и lp — абсолютная амплитуда смещений на поверхности образца толщиной h за счет поворота сечения. Для безразмерных координат тензора (2) получаем

, пГ Л К2В . . . Ха = 1 + L РI 1 + sm

2 pt . (па" .

xp = sin \ — I sin W),

Г па", . . cosí "L Isin(ro0t),

кинематический эквивалент упругой энергии (8) принимает вид

п

cdef

= 1 +-

2В

p| 1 + ty sin

( па

l L

2

sin(ro0t) }

2pt •

-1.

Аддитивные свойства не распространяются на энергетические характеристики, тем не менее можно говорить о множестве кинематически и энергетически возможных вариантов суперпозиции за счет разных соотношений между амплитудами совмещаемых колебаний с возможностью как увеличения, так и уменьшения объема частиц

R = 1 + ^ (1 + sin (ro0t) | cos^ | sin (ro0t),

в том числе с появлением резонанса.

Примеры суперпозиции других типов колебаний приведены в работе [8], оценить возможность их реализации можно с помощью методики, использованной в данной работе.

6. Обсуждение результатов

Основой резонанса, как и других физических явлений, является закон сохранения энергии. Обычно считают, что в резонансе участвуют два вида энергии, упоминаемых в левых частях уравнений (29), (44) и (58). Их определяют два инварианта уравнений движения: квадрат скорости (первые производные от координат по времени) и квадратичный инвариант (4) тензора (2) с первыми производными от координат по направлениям. Энергия — обобщенный скаляр любых видов движения и для описания наблюдаемых при движении явлений должны быть использованы правильные способы пересчета инвариантов в энергию [9, 10]. Опыт применения кинетической энергии в механике абсолютно твердых тел не позволяет усомниться в правильности перехода от квадрата скорости к соответствующему виду энергии.

С упругой энергией ситуация сложнее. Есть основания предполагать, что классическая механика с тремя модулями упругости не объясняет связанные с резонансом явления, потому что не учитывает участвующую в резонансе внутреннюю энергию. Эту энергию учитывает энергетическая модель механики с одним модулем упругости, но с новой шкалой средних напряжений, характеризующих начальное энергетическое состояние частиц [13]. Пересчет деформации (5) в упругую энергию по уравнению (8) обеспечивает выполнение закона сохранения энергии как в интегральной (по объему) форме с учетом перехода части упругой энергии в кине-

тическую, так и для подсистем с преобразованием связанных с деформацией модификаций внутренней (упругой) энергии.

Анализ структуры инварианта (4) показывает, что при свободных колебаниях и резонансе для изменения объема или формы частиц используются как внешние, так и внутренние источники энергии. В частности, изменение объема частиц в областях растяжения и сжатия при продольных колебаниях не требует притока энергии извне, также как без внешних дополнительных поступлений энергии происходят свободные колебания в упругих телах. Аналогично, часть энергии на изменение формы частиц при поперечных и крутильных колебаниях поступает из внутренних источников, в том числе от упругой энергии самих частиц при эквивалентном изменении деформированного состояния.

Особенности энергетического состояния частиц при свободных колебаниях и резонансе позволяют выявить локальные кинематические аналоги энергии (4)-(7), которые отличаются от объемной плотности соответствующих видов упругой энергии постоянным множителем, равным модулю упругости материала, как в уравнении (8). Эти безразмерные параметры являются реальными деформациями, соответствующими уравнениям движения, определяются через производные от переменных Эйлера по переменным Лагранжа и отражаются в их инвариантах (4)-(7). Они имеют четкую геометрическую интерпретацию и зависят от изменения средней относительной длины сторон частиц (ее), имеющих в исходном состоянии форму прямоугольных параллелепипедов, и среднеквадратического отклонения этих длин от среднего значения для каждой частицы (е&). Такое выделение дает возможность конкретнее представлять геометрические особенности деформированного состояния.

Более того, в каждой из инвариантных долей ее и

выделены части ее1 и еА, которые могут быть преобразованы в кинетическую энергию и участвуют в выполнении закона сохранения энергии для системы в целом, влияют на интегральные по объему значения упругой энергии. Другие локальные деформации ее2 и ех2 связаны с внутренними источниками, в том числе преобразованием энергии в пределах одной частицы (как при крутильных колебаниях) или переходом энергии из части ее2 и е!12 и наоборот. Именно доли ее2 и ех2 показывают использование внутренних источников, которые в отдельных случаях, например при продольных колебаниях, могут превышать внешние заимствования в виде энергии вынужденных колебаний, которая остается в системе после прекращения внешнего воздействия. Информативным оказался переход к относительным долям ее/е&е£ и е^е^, которые для поперечных и крутильных колебаний не зависят от амплитуды (разделы 3, 4).

В механике деформируемого твердого тела [10] используют термины об энергиях, связанных с изменениями объема и формы частиц. При поперечных и крутильных колебаниях объем частиц не меняется, поэтому предложена новая терминология, уточняющая математический смысл составных частей деформации.

Анализ энергетических балансов типа (20), (37), (51) позволяет говорить о механизме преобразования вынужденных колебаний с частотой, определяемой внешними воздействиями, в собственные после прекращения действия вынуждающей силы. Этот механизм продолжает действовать при суперпозиции свободных и вынужденных колебаний, частота которых близка к собственной, но не совпадает с ней.

Резонанс возможен в результате суперпозиции как однотипных, так и разных по типу колебаний, если их частоты совпадают с собственными или близки к ним. Например, при суперпозиции продольных и поперечных колебаний при одинаковых частотах, совпадающих с частотами собственных колебаний, объемные плотности кинетической и упругой энергии, а следовательно и интегральные по объему их значения обладают свойством аддитивности, закон сохранения энергии выполняется, резонанс возможен. Напротив, уравнения (65) приведены в качестве примера продольных колебаний с разными частотами, когда резонанс невозможен.

Высказано предположение, что для энергетического обеспечения кинематически возможных колебаний, получаемых в результате суперпозиции колебаний различного типа, могут быть задействованы механизмы формирования новых видов движения, например (66) и (67). Дополнительному выделению энергии из внутренних источников способствует переход от деформации сдвига к деформациям растяжения-сжатия с линейными относительно амплитуды слагаемыми, как в уравнении (55).

Отличительной особенностью резонанса является взаимодействие даже с малыми внешними колебаниями с собственными частотами. Многократное взаимодействие с малыми колебаниями приводит к многократному увеличению амплитуды и энергии результирующей резонансной волны.

Все приведенные в работе уравнения движения материальных частиц, например (45) и др., удовлетворяют дифференциальным уравнениям (8), а также граничным и начальным условиям типа (47).

Полученные результаты по преобразованию вынужденных колебаний в свободные после прекращения

действия внешней силы, выполнению закона сохранения для интегральных по объему значений кинетической и упругой энергии, участию в резонансе внутренних источников энергии, в дополнение к известным решениям для абсолютно твердых и деформируемых тел [8, 9], объяснению энергетической природы центробежных сил [15], механизма перехода от обратимых деформаций к необратимым [16] можно рассматривать как дополнительные аргументы правомерности применения энергетической модели для решения различных задач механики.

Литература

1. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. - М.: Физматгиз, 1959. - 440 с.

2. Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Физматгиз, 1963. - 772 с.

3. Паноеко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки. - М.: Наука, 2007. - 352 с.

4. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. - М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.

5. Широносое В.Г. Резонанс в физике, химии и биологии. - Ижевск: Изд. дом «Удмуртский университет», 2000. - 92 с.

6. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. - Киев: Наука, 1981. - 284 с.

7. Ольшанский В.П., Ольшанский С.В. О происхождении резонанса в механической системе переменной массы // Изв. вузов. Машиностроение. - 2014. - № 4. - С. 20-24.

8. Алюшин Ю.А. Энергетические особенности свободных колебаний

в упругих телах // Физ. мезомех. - 2019. - Т. 22. - № 3. - С. 7787.- doi 10.24411/1683-805X-2019-13009.

9. Алюшин Ю.А. Новая концепция в механике на основе понятий пространство, время и энергия // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. -№ 3. - C. 59-69. - doi 10.24411/1683-805X-2018-13007.

10. Алюшин Ю.А. Энергетические основы механики. - М.: Машиностроение, 1999. - 192 с.

11. Алюшин Ю.А. Механика твердого тела в переменных Лагранжа. -М.: Машиностроение, 2012. - 192 с.

12. Алюшин Ю.А. Определяющие соотношения при лагранжевом описании обратимой и необратимой деформации // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2007. - № 5. - С. 47-56.

13. Алюшин Ю.А. Энергетическая шкала средних напряжений и физические свойства металлов в области обратимых и необратимых деформаций // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2010. - № 3. - С. 95-104.

14. Алюшин Ю.А. Принцип суперпозиции движений в пространстве переменных Лагранжа // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2001. - № 3. - С. 13-19.

15. Alyushin Yu.A. Energy nature of centrifugal and Newtonian forces // Int. J. Mech. Eng. Automation. - 2016. - V. 3. - No. 3. - P. 121-127.

16. Alyushin Yu.A., Gorbatyuk S.M. Energy dissipation on transition from reversible to irreversible deformation // Steel Transl. - 2018. - V. 48. -No. 3. - P. 173-178.

Поступила в редакцию 16.07.2019 г., после доработки 16.07.2019 г., принята к публикации 13.09.2019 г.

Сведения об авторе

Алюшин Юрий Алексеевич, д.т.н., проф. НИТУ МИСиС, alyushin7@gmail.com