Субоптимальные параметры в методе аддитивного расщепления

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Вестник Сыктывкарского университета.

Серия 1: Математика. Механика. Информатика.

Выпуск 4 (29). 2018

УДК 614.8

СУБОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ В МЕТОДЕ

АДДИТИВНОГО РАСЩЕПЛЕНИЯ

А. А. Холопов

Линейное уравнение х = Ь — Ах в банаховом пространстве решается методом аддитивного расщепления, когда оператор А делится на несколько частей и применяется соответствующая итерационная процедура. Находятся субоптимальные параметры расщепления, которые с точностью до малого параметра максимально расширяют спектральную область сходимости. Ключевые слова: операторное уравнение, спектральная область сходимости, субоптимальные параметры.

1. Задача оптимизации параметров МАР

Широкий класс задач математической физики и теории упругости сводится к решению операторного уравнения 2-го рода х = Ь — Ах в банаховом пространстве с ограниченным линейным оператором А : X ^ X. Обычно обратный оператор А-1 неограничен или не существует, а точные формулы для решения отсутствуют, и для нахождения применяют итерационные методы. Хорошо известно, что метод простых итераций хр+1 = Ь — Ахр, р = 0, 1, ...сходится при любых начальных значениях , если спектр оператора содержится в отрытом единичном круге В1 комплексной плоскости. В общем случае для решения уравнения можно применять многослойные итерационные процедуры, в том числе метод аддитивного расщепления [1-3]:

Хр+п = Ь—а1 • Ахр — а2•Ахр+1 —... — ап• Ахр+п-1, р = 0,1,... п € N (1) где параметры а1,... ,ап удовлетворяют соотношению

а + а2 +----+ ап = 1.

© Холопов А. А., 2018.

Спектральной областью сходимости процедуры (1) - (2) является односвязное открытое множество (максимальное по отношению включения точек) комплексной плоскости, принадлежность которому спектра оператора A гарантирует сходимость этой процедуры. Для метода простых итераций (случай n =1) спектральной областью сходимости является Bi. Выбор параметров n и ai,... , an позволяет существенно расширить спектральную область сходимости (1) - (2) вдоль вещественной оси. Например, в [1] показано, что при a1 = a2 =    = an = 1/n область сходимости содержит интервал (-1, M) на вещественной оси с наибольшим значением M = M * = n.

В работах [2; 3] для схемы МАР решалась оптимизационная задача о нахождении таких параметров a*, при которых при заданном n спектральная область сходимости (1) - (2) содержала бы интервал (—1,M) на вещественной оси с наибольшим значением M = M*.

В работе [3] было показано, что для параметров a*, и M* должны быть справедливы формулы:

2p рп п

И

M* = ctg

ap = —¡-Г sin—¡-Г  fe—¡"гг, Р ' n +1 n +1 2

J2 П

2(n + 1)'

При этих параметрах область сходимости представляет собой объединение т дизъюнктных областей г = 1,...,т, которые последовательно примыкают друг к другу в точках А вещественной оси: 0 < А1 < А2 <    < Ат-1 (см. рис.1).

Однако точки А1, А2,... не входят в область сходимости, а принадлежат границе области, поэтому не весь интервал (-1, М*) содержится в ней. Ясно также, что сформулированная в [2; 3] оптимизационная задача не имеет решения в точном смысле, а приведенные в (3) параметры а* и М* можно назвать лишь псевдооптимальными.

В данной работе задача оптимизации (вдоль вещественной оси) параметров а1,... , ап ставится следующим образом:

Найти а1 = а*(е),..., ап = аП(е), М*(е), зависящие от малого параметра е > 0, такие, что:

1) интервал (—1,М* (е)) содержится в области сходимости (1)-(2);

2) М*(е) = М* - е.

Такие параметры в дальнейшем будем называть субоптимальными, или е-оптимальными. Условие 2) показывает близость субоптимальных параметров к псевдооптимальным. Условие 1) гарантирует сходимость

Рис. 1. Спектральная область сходимости (1) при n = 8

МАР в случае, когда оператор является самосопряженным и, следовательно, его спектр (вещественнозначный) лежит в указанном интервале.

2. Нахождение псевдооптимальных параметров МАР

Для изложения метода нахождения субоптимальных параметров необходимо вкратце пояснить вывод (3), так как способы получения субоптимальных и псевдооптимальных параметров вполне аналогичны.

Запишем МАР (1) в виде процедуры простых итераций. Пусть Xn — пространство вектор-столбцов из элементов X, I — тождественный оператор из L(X), E — тождественный оператор из L(Xn). Тогда из (1) следует

zp+1

Xp

,Xp+n-1

\ О

Xp+1 1 1 = О

xp+n \ b

)= b + D • zp

1

+

( О О

I О

у—a1 A —a2A .

О

0

1

—an A J

где линейный матричный оператор D действует из Xn в Xn. Так как (4) является методом простых итераций, то процедура МАР (1) - (2) сходится тогда и только тогда, когда все точки спектра D находятся в открытом единичном круге Б1.

Между спектром a(A) оператора A и спектром a(D) оператора D в [1; 2] установлена следующая связь:

V е a(A) ^ Л е a(D), где комплексные числа V, Л связаны формулой

\n

V =--\n-i i i Г". = f

anXn 1 + an-iXn +----+ a2X + ai

Рассмотрим функцию д(ш) = f (в-ш), ш е (—п,п], отображающую границу области сходимости (4), т. е. единичную окружность в кривую (годограф) на комплексной плоскости, которая может иметь в силу многозначности (5) несколько точек самопересечения и разбивает комплексную плоскость на несколько областей. При этом спектральной областью сходимости (1) - (2) будет та область, которая содержит точку V = 0. Кривая д(ш) симметрична относительно вещественной оси: 1тд(-ш) = -1тд(ш), ш е [0,п] и имеет вид:

Я

д(ш) = --

Я2

Я(ш) = an cos ш + an-1 cos 2ш + • • • + a2 cos(n — 1)ш + a1 cos пш, (6) Q(t) = a1 • Un-1(t) + a2 • Un-2(t) + • • • + anUo(t),

где t = cos ш; Un(t) = ^"Sn^" — полиномы Чебышева II рода.

Кривая д(ш) = f (в-ш), ш Е (—п, п] пересекает вещественную ось при ш = О, t =1 в точке д(О) = f (1) = —a1 — a2 — ••• — an = —1 и при ш = п, t = — 1 в точке д(п) = f (—1) = -, ^„^— = M.

S J \ > an—a„—i+-----h(-1)n 1ai

Если предположить, что других точек пересечения кривой д(ш) = f (в-ш), ш Е (—п,п] с вещественной осью нет, что означает выполнение системы строгих неравенств Q(t) > О, t Е (—1,1), то весь интервал (—1, M) с положительными M будет находиться в области сходимости (1) - (2). Задача максимизации M в [2; 3] сведена к анализу возможных решений оптимизационной задачи с несчетным числом условий относительно неизвестных a1,... ,an:

M = (an — an-1 +-----+ (—1)na1)-1 ^ sup,

Q

ai + a2 +    + an = 1.

Заметим, что условие положительности M будет выполнено, так как есть допустимое решение a1 = a2 =    = an-1 = 0, an = 1, при котором M > 0.

Так как обычно оптимизационные задачи с условиями строгого неравенства не имеют оптимальных решений, то условия Q(t) > 0, t £ (—1,1) в [2; 3] были заменены на условия Q(t) > 0, t £ (—1,1). Было показано, что решение задачи (7) возможно лишь в случае, когда корни Q(t) имеют кратность 2 (за исключением корня t = —1 кратности 1 в случае четного n). Тогда несчетное число условий в (7) можно заменить конечным числом условий Q(ti) > 0, ti £ (—1,1) и решить соответствующую задачу линейного программирования, используя теорию двойственности ЗЛП. Решение приведено выше в виде формул (3). Тот факт, что полученные параметры являются лишь псевдооптималь-

, (2j+1)n • ,

ными, заключается в том, что в точках tj = cos ^П+i , j = 1,---,k, являющихся корнями «оптимального» полинома Q*(t), происходит касание кривой g(w) вещественной оси во внутренних точках интервала (—1, M), и эти точки не входят в область сходимости (1) - (2).

3. Нахождение субоптимальных параметров МАР

Im А

-1

м-СО

Re

Рис. 2. Вид спектральной области сходимости при субоптимальных параметрах

Пусть 5 > 0, е > 0 — некоторые малые параметры. Зависимость их друг от друга будет приведена позже. Поставим оптимизационную задачу, заменив в (7) условия Q(t) > 0 на Q(t) > 5. Таким образом, мы отодвигаем кривую $(ш) от вещественной оси на небольшое, но положительное при ш = 0,п расстояние (см. рис. 2).

Новая оптимизационная задача, так же как и (7), сводится к паре двойственных ЗЛП, одна из которых относительно переменных a^ a2,..., an имеет вид

M-1 = an - an-1 +----+ (-1)na1 ^ min

Q

Q(tm) = ai  Un-i(im) + a2  Un-2(tm) +-----+ an  Uo(tm) > 5 - Wm

ai + a2 +    + an = 1 — s,

а двойственная к ней ЗЛП с двойственными переменными Wj, s имеет вид

H = s + 5

Un-i(ti)  Wi + Un-i(t2)  W2 +    + Un-i(tm)-Wm + S =(-1)n-i — ai Un-2(ti)  Wi + Un-2(t2)  W2 + ... + Un-2(tm) ' Wm + S = (-1)n-2 — a2 ... (10) Uo(ti)  Wi + Uo(i2)-W2 +... + Uo(tm)-Wm + S =1 — an Wj > 0, j = 1,...,m.

Новая задача решается вполне аналогично методом, данным в [2; 3]. Суть этого метода состоит в том, что система (10) при произвольном m > n/2 имеет единственное решение с точностью до нулевых значений Wj. Пусть W* > 0, j = 1,...,k, s* — это ненулевые решения. Заметим, что решение системы (9 - 10) и значения соответствующих tj, j = 1,... , k не зависят от параметра 5 и вполне аналогичны значениям при 5 = 0 из работы [3]. Выпишем эти решения при четном и нечетном n.

а) Нечетное n = 2k + 1. Тогда m = k и tj = cos (2П++11')п , j = 0,1,..., k.

W* = 2„ to-r, j = 1,..., k; s* = 1 -V W* =

j (k + 1)(1 + t ) - j 1 + t

Здесь использовано равенство ¿о = 1 — к=1• Ь) Четное п = 2к + 2. Тогда т = к +1 и

-1.

Ж* з

Ж*

4

¿о — ¿3

, 3

1 — Е Ж*

(23+1)п •

cosLiтr- , з

1 — ¿о

0,1.....к,

3=1

1+ ¿о

Здесь использовано равенство ¿о = 2 — ^к=1 ¿з •

Найдем значение целевой функции (9). Из (11), (12) следует

" 1 + ¿о

Ж3 =

3=1

Н* = в* + 5 Е ЖГ

1 + ¿о

Оптимальное значение Рт(—1) = М в задаче (8) обозначим через М*(5), а оптимальное решение (8), т. е. субоптимальные параметры процедуры (2), через а* (5).

Из двойственности задач (8) и (9 - 10) следует

М *

*\-1

1 - ¿о

1 + ¿о (25 — 1)'

Так как для псевдооптимальных параметров а* и М* из (3) справедливо М* = М*(0), то при малых 5 верно приближение

М *

1 + ¿о 1- ¿о

1

25го

+ 0

М* М* 5 2

сое

п+1

1 — сое —Пт

п+1

+ 0(5).

Обозначим разницу правых границ интервала (—1, М) в псевдооптимальном и субоптимальном случаях через е: е = М* — М*(5) > 0, и получим связь параметра субоптимальности е с параметром отклонения 5 полинома Qm(t) от вещественной оси

5

е(1 — ¿о)2

2tо(1 + ¿о — е(1 — ¿о))'

Найдем теперь явные формулы для субоптимальных параметров а*(5). С одной стороны, корни ¿3, 3 = 1,...,т задаются формулами (11), (12) независимо от п. С другой стороны, по условиям дополняющей нежесткости для двойственных ЗЛП (8) и (9 - 10) получаем из положительности Ж* > 0, 3 = 1,...,к, в*, что ¿3 являются корнями полинома Q(t) — 5 = а*(5)  Ura-l(t) + а*(5)  ип-2^) +  + а*п(5)  Щ^) — 5.

¿

т

1

2

*

в

П

Обозначим через

в; = = !,...,»- 1 вп =

Так как ^(¿^) = 1, то для в* получаем т равенств вида

^) - 5 = в;  ига- 1 ^)+в;  ига_2&) +    +

+ вП  ) = 0, 3 = 1,..., т.

Кроме того, условия касания кривой $(ш) — 5 вещественной оси во внутренних корнях ^, 3 = 1,..., к полинома — 5 дают еще к равенств вида

)

0,3 = 1,...,к.

Далее, условие а *(5) + а;(5) +    + аП(5) — 5 =1 — 5 запишется в виде

в;+в; + •••+вп = 1.

Система СЛАУ (16-18) ничем не отличается от СЛАУ для а* из [2; 3] и, как показано в [3], имеет единственное решение. Поэтому в* = а* и для них верна формула (3). Окончательно из (15) получаем для субоптимальных параметров выражения

аР(5) = аР(1 — 5) = -^г  ^ -^г  ^ п  (1 — 5),

' ' п +1 п +1 2

р = 1,...,п — 1,

*т ^ , х 2п • пп 4. п

ап(5) = ага(1 — 5) + 5 = пгг 81П пгг  (1 — 5) + 5,

М *

1 + ¿о _ 1 + сс8 П+1

1+ ¿о(25 — 1) 1 — (1 — 25)  ес8 п+т'

Список литературы

1. Никитенков В. Л. , Холопов А. А. Оптимальные области сходимости линейных многослойных итерационных процедур // Вопросы функционального анализа (теория меры, упорядоченные пространства, операторные уравнения) : межвуз. сб. науч. тр. Сыктывкар: Сыкт. ун-т, 1991. С. 134-142.

2. Никитенков В. Л., Холопов А. А. Оптимальные параметры метода аддитивного расщепления (МАР) // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. 2010. Вып. 12. С.53-70.

3. Никитенков В. Л., Холопов А. А. Точные формулы для оптимальных параметров МАР // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. 2011. Вып. 14. С. 67-94.

Summary

Kholopov A. A. Suboptimal parameters in the method of additive splitting

An equation in a Banach space with continuous linear operator is solved by splitting A to some parts and using an appropriate iteration procedure. The suboptimal parameters of the splitting extend the spectral domain of convergence along the real axis as much as possible up to a small parameter. Keywords: operator equation, spectral domain of convergence, suboptimal parameters.

References

1. Nikitenkov V. L., Kholopov A. A. Optimal'nyye oblasti skho-dimosti lineynykh mnogosloynykh iteratsionnykh protsedur (Optimal areas of convergence of linear multilayer iterative procedures), Voprosy funktsional'nogo analiza (teoriya mer, uporyadochennyye prostranstva, operatornyye uravneniya): mezhvuz. sb. nauch. tr. (Questions of functional analysis (measure theory, ordered spaces, operator equations): Interst. Sat scientific tr.), Syktyvkar: Sykt. un-t 1991, pp. 134-142.

2. Nikitenkov V. L., Kholopov A. A. Optimal'nyye parametry metoda additivnogo rasshchepleniya (MAR) (The optimal parameters of the method of additive splitting (MAP)), Bulletin of the Syktyvkar University, ser. 1, 2010, no. 12, pp. 53-70.

3. Nikitenkov V. L., Kholopov A. A. Tochnyye formuly dlya optimal'nykh parametrov MAR (Exact formulas for optimal MAR parameters), Bulletin of Syktyvkar University, ser. 1, 2011, no. 14, pp. 67-94.

Для цитирования: Холопов А. А. Субоптимальные параметры в методе аддитивного расщепления // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2018. Вып. 4 (29). C. 24-33.

For citation: Kholopov A. A. Suboptimal parameters in the method of additive splitting, Bulletin of Syktyvkar University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2018, 4 (29), pp. 24-33.

СГУ им. Питирима Сорокина

Поступила 22.01.2019