Поведение тонкостенных стержней при ударных нагрузках

УДК 624.074: 539.3

В. Б. Мещеряков, 3. Л. Аунг

ПОВЕДЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ УДАРНЫХ НАГРУЗКАХ

Предложена концепция расчета стержней на продольный и поперечный удар массивным телом. Определение параметров контактной силы выполняется на основе теории Г. Герца. Нелинейное интегральное уравнение решается численным методом Эйлера. Колебания стержня после окончания удара рассматриваются с учетом сформировавшихся к этому моменту времени начальных условий. При поперечном ударе по тонкостенным стержням открытого профиля учитываются деформации сдвига.

Проблемой соударения твердых тел интересовались многие ученые. Элементарное решение задачи предложил в 1807 г. Томас Юнг [17]. В этом «первом приближении» кинетическая энергия ударяющего тела приравнивалась к потенциальной энергии ударяемого тела. При этом не учитывалось влияние инерции ударяемого тела. Позднее И. Ходкинсон [15] на основании проведенных им опытов предложил при ударе в среднем сечении шарнирно опертой балки учитывать половину массы балки. Теоретическое обоснование такому подходу дал X. Кокс [13], он уточнил величину приведенной массы балки как 17/35 от истинной массы. Так появилось «второе приближение» в решении задачи.

Учет появляющихся колебаний при продольном ударе по стержню выполнил Л. Навье [16]. При поперечном ударе этот вопрос исследовал Б. Сен-Венан [12]. Его решение получено в виде бесконечных рядов. При удержании нескольких первых членов ряда это решение совпадает со «вторым приближением» X. Кокса. В статье [10] С. П. Тимошенко применил теорию Г. Герца [14] к задаче поперечного удара по шарнирно опертой балке. Нелинейное интегральное уравнение для определения контактной силы при ударе решалось пошаговым методом. На каждом шаге искомая сила сохраняла постоянное значение. Зависимость перемещения оси балки в точке удара от контактной силы представлена бесконечным рядом по формам собственных колебаний. Модель балки принята на основе гипотезы Эйлера - Бернул-ли. Содержание статьи [10] вошло в монографию [11], изданную в 1975 г. под редакцией Э. И. Григолюка.

С основами теории соударения упругих тел можно познакомиться по монографиям В. Гольдсмита [2], С. А. Зегжды [4] и Я. Г. Пановко [8].

Исследование работы стержня на ударное действие состоит из ряда математических операций, и для каждой из них можно выбрать наиболее рациональный подход. Рассмотрим эти операции (этапы) исследования.

Основной задачей в расчетах на удар является определение параметров контактной силы. При этом можно опираться на теорию Г. Герца [14]. Эта теория была ориентирована на определение контактной силы при статическом взаимодействии двух упругих тел. Ее применение к динамическому взаимодействию основано на том, что в зоне контакта наблюдается смятие малых объемов тел, и можно пренебрегать силами инерции этих малых объемов. Этой возможностью пользовались Г. Герц и А. Н. Динник [3].

Ввиду возникающего контакта двух тел они вынуждены начать двигаться совместно. Перемещение ударяющего тела и1 должно быть воспринято ударяемым телом. Тела имеют в малой окрестности точки контакта упругие местные деформации, между перемещениями точек контакта имеется небольшое различие - сближение тел и, зависящее от величины контактной силы Р(£). Опираясь на теорию Г. Герца [2, 14], можно записать такое уравнение:

Р

Здесь К0 - параметр контактной жесткости, зависящий от свойств соударяющихся тел [2].

-

1уть и искусственные сооружения

Если в уравнение (1) подставить выражения и— и и2, зависящие от силы Р^), то оно будет

служить математической моделью рассматриваемого процесса соударения.

Если ударяющее тело моделируется материальной точкой (массивное тело), то его перемещение можно записать на основе второго закона Ньютона:

ф) = + У0г - — | Р(т)(* - т) а 1 2 т 0

Здесь V = \j2gh - начальная скорость соударения; к - высота, с которой падает ударяющее тело. Начало отсчета времени t и перемещения и— соответствует моменту касания соударяющихся тел. Отметим, что первое слагаемое правой части выражения (2) опускается ввиду его относительной малости. Этот факт известен из курса теоретической механики -сила тяжести как не имеющая ударного происхождения может не учитываться в данной задаче удара.

Динамическое поведение упругого стержня при центральном продольном воздействии может быть описано дифференциальным уравнением в частных производных:

ЕА ^-рА = 8

дг дг

Уравнение (3) можно решать, применяя интегральное преобразование Лапласа [5], переходя к уравнению в обыкновенных производных. При этом имеется возможность учета отраженных волн. В уравнении (3) введены обозначения: Е - модуль упругости материала; р - плотность; А - площадь поперечного сечения; 5(2) - дельта-функция Дирака; 2 - координата точек оси стержня.

Отметим, что можно решать однородное уравнение, учитывая силу Р(£) в граничных условиях.

При центральном поперечном ударе по бисимметричному тонкостенному стержню его поведение будем описывать системой дифференциальных уравнений в частных производных с учетом деформаций сдвига при изгибе [6, 7]:

„Т д4фх Е1' + ~Р/'

1 Е

О/

•/ хх

+ = 0;

&2 д(2 ' в/хх Ы'

V хх у

^ у Е1

у

= ф х ^ТГГ /ХХ

д2 ОА

д2 Фх Р ф.

Л

ч &2 Е д12 ;

Здесь обозначено: <^у - прогиб оси стержня при изгибе; фх - угол поворота сечения; О - модуль сдвига; 1Х - момент инерции поперечного сечения; /х - коэффициент формы сечения при изгибе.

Решение уравнений (4), (5) связано с вычислением корней биквадратного частотного уравнения:

^ х'х

Здесь обозначено: X0 = 5 / с0, Xх = 5 / сх, цх = с0/ сх; 5 - параметр преобразования Лапласа; с0 = у[Щр - скорость распространения продольной волны; сх О/ХХ/р - скорость распространения волны сдвига при изгибе.

Корни уравнения (6) можно записать таким образом:

(1+H2 )±(1 -ni ,

со следующим обозначением малой величины 8 при больших значениях 5:

4c I

8 =

r2 s 2

2 \2

В области оригиналов большим значениям 5 соответствуют малые значения времени что характерно для процесса удара.

Для получения приближенных значений корней используем дважды разложение выражения (7) в степенной ряд по параметру 8 с удержанием двух слагаемых при каждом разложении. Если ограничиться в оригиналах трехкратными интегралами, то получаем:

Xi =±

— +---

vco 2rXs(V2 -1),

± = + Xi -

s 2rx2 s3

Ь 2 =±

V Co

Л

У

К

= +

2rXx 2 - 1)

_

x ' 2rx2sVx

+

При эксцентричном поперечном ударе по бисимметричному тонкостенному стержню необходимо дополнительно рассматривать систему дифференциальных уравнений в частных производных с учетом деформаций сдвига при кручении [6, 7]:

qT ^ ^^

dz4

dz2

dt¿

L

E

+

Л M

Q/o

J О

dz2dt2

ив j

+ Л,

5 V,

Qf ™

j a

dz

= Фо

EI /

mJ ю

2

QAr2

dz2 E dt2

где - угол закручивания стержня вокруг центра тяжести; Фю - мера депланации сечения;

/ю - секториальный момент инерции поперечного сечения;

1а - момент чистого кручения;

/йй - коэффициент формы сечения при кручении;

г = ^(1х +1у)1 А - полярный радиус инерции сечения.

Характеристическое уравнение при кручении имеет вид:

х4 -

2

V^ra Г»

X2 +

Г п Л + * 0

Здесь введены обозначения: = —; гю =

V^ra Гю

I„

Л 2

X2+4^ = 0.

у

2 2 LT r

Г^ю ю

I

а

е~ Аг Аг'/п скорость распространения волны сдвига при кручении.

-; X = slc

' ю /

л/ООР -

Безразмерная величина а для стандартных двутавров находится в диапазоне 0,0023 -0,0122. Ею можно пренебречь. Опуская подробности, для корней характеристического уравнения получаем приближенные выражения:

/

^з =±

я

— +

с,

V

"0

/

. = +

2ягю2

2<я3

с0 2 I- 1)

к

= +

+

2г2 яУДц I-^

Нелинейное интегральное уравнение (1) с внесенными в него аналитическими выражениями щ(Р, 0) и и2(Р, 0) можно решать численно, например, пользуясь методом Эйлера.

Шаг по времени следует согласовать с длительностью удара. В аналитических выражениях учитывается внутреннее трение в материале стержня [9].

По окончании ударного взаимодействия ударяющее тело может получить отрицательную скорость, т. е. может «отскочить». В этом случае необходимо рассмотреть повторные соударения. Если ударяющее тело остается в контакте с ударяемым, то его массу следует учесть при вычислении частоты и периода свободных колебаний ударяемого тела, которые возникают после удара. Учет массы ударника может быть выполнен с использованием поня-тия «приведенной массы» ударяемого тела.

Начальными условиями для свободных колебаний после удара служат перемещение и скорость точки контакта ударяемого тела, зафиксированные в момент окончания удара (Р(0) = 0). При колебаниях учитывается внутреннее трение в материале стержня.

Рассмотрим удар массивного тела, падающего с некоторой высоты на колонну (рисунок 1). Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 1. Расчеты проведены в соответствии с изложенной концепцией. Аналитическое выражение для перемещения ударяемого тела в точке удара имеет вид: I

и 2(0,х) =

МАс0

утг 2!

с0 0

I да I

\р(т)(1т + (-1)и |Р(т)^т

0 п=1 п1*

?

т

Л

где 0* = 2Ь/с0 - время пробега волны растяжения-сжатия от точки соударения до конца стержня и обратно; у - коэффициент внутреннего трения в материале.

Таблица 1 - Исходные данные для расчета

/7777

Рисунок 1 - Расчетная схема

Наименование параметра Числовое значение параметра

Масса ударяющего тела т, кг 120

Начальная скорость удара, У0, м/с 1,6

Площадь поперечного сечения колонны (двутавр №18) А, м2 0,00268

Высота колонны Ь, м 2,5

- 3/ Контактная жесткость К0, Нм 72 3 109

Коэффициент внутреннего трения, у 0,025

Нелинейное интегральное уравнение для определения контактной силы P(t) имеет вид:

м

К

= V0t - — [ Р (т)(t -т) Ст--— ехр

т 0 р А^0

77т 2!

С/

IР(т)Ст + 2^ (-1)й { P(т)dт

.

Шаг счета по времени был принят равным 10 мкс. Период колебаний после удара равен 772 мкс. В таблице 2 приведены максимальные значения параметров, на рисунках 2 и 3 показаны графики силовых и кинематических параметров.

а б

Рисунок 2 — Контактная сила (а) и напряжение сжатия (б) колонны

а б

Рисунок 3 — Перемещение (а) и скорость (б) торцевого сечения колонны Таблица 2 - Максимальные значения параметров и временные характеристики продольного удара

Наименование и размерность параметра Числовое значение параметра Момент времени, мкс

Контактная сила Р, кН 168,7 2010

Количество отраженных волн, шт. 3 965, 1931, 2896

Реакция в опорном сечении, кН 337,4 2490

Перемещение у, мм 1,699 3010

Скорость V, м/с 10,841 3250

Нормальное напряжение, МПа 125,9 2590

Период колебаний после удара, мкс 772 После 3000 мкс

-

1уть и искусственные сооружения

Как видно по приведенным результатам (см. таблицу 2), процесс удара продолжался 3500 мкс, за это время успели прийти четыре отраженные волны. Ударяющее тело отскочило, повторный удар произойдет через 141600 мкс со скоростью 1, 39 м/с.

Рассмотрим поперечный удар массивного тела по шарнирно закрепленному двутавру № 55 (рисунок 4). Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 3.

Рисунок 4 — Двутавровый стержень, испытывающий поперечный удар в среднем сечении

Таблица 3 - Исходные данные для расчета

Наименование и размерность параметра Числовое значение параметра

Масса ударяющего тела т, кг Начальная скорость удара У0, м/с Площадь поперечного сечения двутавра № 50 А, м2 Длина двутавра 2Ь, м Момент инерции 1х, м4 Коэффициент внутреннего трения у 240 1,9 0,0118 5 0,00055962 0,025

Расчеты проведены в соответствии с изложенной концепцией. Аналитические выражения перемещения ударяемого тела в точке удара и изгибающего момента в среднем сечении имеют вид:

£У

2р/х

ехр

—Р^ 2 1

I Х2 X,

I Х2 X.

1 '

+—ехр

М-х

—Р^ 2

|Сх21Ст11 Р(х)Сх + 2^ (-1)" | Сх21Ст11Р(т)Сх

0 0 0 "=1 0 0

х2 Х1 х t Х2 Х1

IСх21Ст11 Р(т)Сх + 2£ (-1)" | Сх21Ст11 Р(х)Сх

+

0 0 0

"и 0 0

М (0, t) = - ^ехр

Рlt

1 X) 1

I Р(т)Ст + 2^ (-1)" | Р(т)Ст

0 "=1

Здесь введены следующие времена пробега волн от точки удара до опоры и обратно (Ь -половина длины стержня): 4 = 2Ь/с0 - волны поворота сечений; и* = 4цх - волны сдвига; р1 - первая частота изгибных колебаний.

Нелинейное интегральное уравнение для определения контактной силы Р^) можно записать в виде:

1 'г

[РЦ)/&0 ]2/3 =У0' — \Р(т)(' - С -^0у Р' т

где перемещение £,0у(Р, t) определяется вточкеудара.

Шаг счета по времени был принят равным 20 мкс. В таблице 4 приведены максимальные значения параметров, на рисунках 5 и 6 показаны графики силовых и кинематических пара-

= 1

метров. Пунктирные линии на графиках построены без учета деформаций сдвига, по теории В. 3. Власова [1].

Таблица 4 — Максимальные значения параметров при ударе

Наименование и размерность параметра Числовое значение параметра

с учетом сдвига без учета сдвига

Контактная сила Р, кН 61,65 71,11

Изгибающий момент, кНм 69,66 88,74

Нормальное напряжение, МПа 34,2 43,6

Перемещение у, мм 28,0 25,6

Скорость V, м/с 8,39 7,98

Момент окончания удара, мкс 820 920

Период свободных колебаний, мс 21,46 20,46

100

0,2 0,4 0,6 мс 1,0 ""О 5 10 15 I - г -

а б

Рисунок 5 - Контактная сила (а) и изгибающий момент (б) в среднем сечении стержня

Как видно по приведенным результатам (см. таблицу 4), процесс удара продолжался менее одной миллисекунды, за это время отраженные волны прийти не успели. Ударяющее тело осталось на ударяемом теле. Его масса была учтена при определении частоты и периода свободных колебаний после удара. Учтенные в расчетах деформации сдвига при изгибе повлияли таким образом: силовые параметры уменьшились на 15 - 28 %, кинематические увеличились на 4 - 10 %.

10

У

30 мм

10 0 -10 -20 -30

Л ч \ \\ /

ч\ |\ / / г / / /

Л / / * / ! / / / / /

д Д Л # / ' / * /

д А А г / / у

/ /

0 5 10 15 МС 25

V

м/с 0 -5 -10

) \ / / г 4 \ \ \ 1 \

1 { / / / / / 1 1 * / / / 1 / \ V

1 ( ! к 1 [ / / / /

! / / / * /

0 5 10 15 МС 25

Рисунок 6 - Перемещение (а) и скорость (б) центра тяжести среднего сечения

Рассмотрим поперечный удар в среднем сечении шарнирно закрепленного двутавра № 50 с учетом эксцентриситета (рисунок 7) при тех же условиях удара. Дополнительные исходные данные для проведения расчетов приведены в таблице 5.

Таблица 5 - Дополнительные исходные данные к задаче

Наименование и размерность параметра Числовое значение параметра

Эксцентриситет ех, м Секториальный момент инерции /ю, м6 Момент инерции при чистом кручении /С, м4 0, 02 8,605-10-7 9,1310-7

Расчеты проведены в соответствии с изложенной концепцией. Аналитические выражения угла закручивания, а также силовых параметров получены в таком виде:

^(Р,,) = ехр'

(Р, t) = ехр'

- 2 Рь/ I \сX2 {СХ11Р

У 0 0 0

- - РЫ1 ] |Сх2 } СТ11Р(X)СX, Ми (0, t) = е-Р();

Рисунок 7 - Среднее сечение двутавра

0 0

В, (0, t) = -

'1

]>(т)Ст

ехр

-2 л./

2 г

, Мс (0,1) = - | С Х1 {Р (х) С т.

2М^ Гга 0 0

Возникающая при соударении контактная сила Р(') может быть определена из нелинейного интегрального уравнения:

1

[Р(')/К0]2/3 = у,' — IР(т)('- С уЮ(РЛ), т о

где \уЮ (РЛ) = £у(РЛ) + ^х(РЛ) вточкеудара.

Шаг счета по времени был принят равным 20 мкс. В таблице 6 приведены максимальные значения параметров, на рисунках 8 - 11 показаны графики силовых и кинематических параметров.

Таблица 6 - Максимальные значения параметров при ударе

Наименование и размерность параметра Числовое значение параметра

с учетом сдвига без учета сдвига

Контактная сила Р, кН 55,99 64,86

Изгибающий момент Мх, кНм 59,13 75,95

Нормальное напряжение ах, МПа 29,1 37,3

Бимомент Вю, кНм 1,186 1,522

Нормальное напряжение аю, МПа 29,1 37,3

Изгибно-крутящий момент Мю, кНм 0,560 0,646

Момент чистого кручения МС, кНм 0,568 0,805

Перемещение у, мм 21,8 20,3

Скорость У, м/с 6,52 6,32

Момент окончания удара, мкс 760 840

Период изгибных колебаний, мс 21.5 20,5

Период крутильных колебаний, мс 61,9 61,8

а б

Рисунок 8 - Контактная сила (а) и изгибно-крутящий момент (б) в среднем сечении стержня

а б

Рисунок 9 - Перемещение (а) и скорость (б) центра тяжести среднего сечения стержня

2500

о. е.

1500 1000 а/§ 500

о

-500

а б

Рисунок 10 - Ускорение (а) и изгибающий момент (б) центра тяжести среднего сечения двутавра

Путь и искусственные сооружения

а б

Рисунок 11 - Бимомент (а) и момент чистого кручения (б) в среднем сечении двутавра

Как видно из приведенных результатов (см. таблицу 6), процесс удара продолжался еще меньше во времени по сравнению с центральным ударом. Учтенные в расчетах деформации сдвига при изгибе и кручении повлияли таким образом: силовые параметры уменьшились на 16 - 29 %, кинематические увеличились на 2 - 8 %. По сравнению с центральным ударом кинетическая энергия, полученная двутавром при ударе, распределилась между изгибом и кручением. Ввиду этого силовые параметры при изгибе уменьшились.

В заключение можно отметить, что в приведенных примерах проявились все предусмотренные в предложенной концепции ситуации (влияние отраженных волн, учет массы ударяющего тела в определении частоты колебаний после удара и т. д.).

Получаемые на основании расчета данные позволяют оценивать прочность и жесткость стержней при действии ударных нагрузок.

Список литературы

1. Власов, В. 3. Тонкостенные упругие стержни [Текст] / В. 3. Власов. - М.: Физматгиз, 1959. - 568 с.

2. Гольдсмит, В. Удар. Теория и физические свойства соударяющихся тел [Текст] / В. Гольд-смит. - М.: Стройиздат, 1965. - 447 с.

3. Динник, А. Н. Удар и сжатие упругих тел [Текст] / А. Н. Динник // Избранные труды АНУССР. - Киев, 1952. - Т. 1. - С. 13 - 114.

4. Зегжда, С. А. Соударение упругих тел [Текст] / С. А. Зегжда. - Санкт-Петербургский гос. ун-т. - СПб, 1997. - 316 с.

5. Корн, Г. А. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. А. Корн, Т. М. Корн. - М.: Наука, 1973. - 832 с.

6. Мещеряков, В. Б. О распространении изгибно-крутильных волн в тонкостенных стержнях открытого профиля [Текст] / В. Б. Мещеряков // ПММ. - 1977. - Т. 41. - Вып. 2. -С. 372 - 375.

7. Мещеряков, В. Б. Динамика тонкостенных стержней открытого профиля [Текст] / В. Б. Мещеряков, Е. В. Чефанова // Вестник МИИТа. - 2000. - Вып. 3. - С. 123 - 130.

8. Пановко, Я. Г. Введение в теорию механического удара [Текст] / Я. Г. Пановко - М.: Наука, 1977. - 224 с.

9. Сорокин, Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем [Текст] / Е. С. Сорокин. - М.: Еосстройиздат, 1960. - 131 с.

10. Тимошенко, С. П. К вопросу о действии удара на балку [Текст] / С. П. Тимошенко // Известия Санкт-Петербургского политехи. ин-та. - СПб, 1912. - Вып. 2. - Т. 17. - С. 407 - 425.

11. Тимошенко, С. П. Прочность и колебания элементов конструкций [Текст] / С. П. Тимошенко. - М.: Наука, 1975. - 576 с.

12. Clebsch, A. Teorie de l'elasticite des corps solides /Traduite par Saint-Venant et Flamant/ [Текст] / A. Clebsch. - Paris, Dunod, 1883. - 900 p.

13. Cox, H. On impact on elastic beams [Текст] / H. Cox // Trans. of the Cambridge Philos. Soc., 1851. - Vol. 9. - P. 1. - P. 73 - 78.

14. Hertz, H. Über die Beruhrung fester elastisher Korper (On the contact of the elastic solids) [Текст] / H. Hertz // J. Reine und Angewandte Mathematik, 1882. - B. 92. - P.156 - 171.

15. Hodkinson, E. Experimental researches on the strength of iron. Report of the Commissioners appointed to inquire into the application of iron to railway structures [ Текст] / E. Hodkinson // Appendix A. London, 1849. - P. 1-114.

16. Navier, L. M. Resume des lecons donnees a l'ecole des ponts et chausses sur l'application de la mecanique a l'etablissement des constructions et des machines[TeKcr] / L. M. Navier // Premiere partie, 3-me edition, Paris: Dunod. - Fascicule II, 1864. - T. 1.- 853 p.

17. Young, Th. A course of lectures on natural philosophy and the mechanical arts [Текст] / Th. Young. - London, 1807. - Vol. 1. - XXIV - 796 p.

18. Мещеряков, В. Б. Устойчивость стержней при продольном и поперечном ударе [Текст] / В. Б. Мещеряков, 3. Л. Аунг // Известия Транссиба / Омский гос. ун-т путей сообщения. - Омск. - 2012. - № 1. - С. 98 - 106.