К вопросу о подвижных особых точках решений автономной системы Гамильтона шестого порядка в случае, когда промежуточные аргументы гамильтониана - дробно-линейные функции

УДК 517.925.6

В. И. Мататов, доцент (БГУ);

Т. А. Любецкая, ассистент

К ВОПРОСУ О ПОДВИЖНЫХ ОСОБЫХ ТОЧКАХ РЕШЕНИЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ГАМИЛЬТОНА ШЕСТОГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ, КОГДА ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ АРГУМЕНТЫ ГАМИЛЬТОНИАНА - ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Статья посвящена исследованию подвижных особых точек решений автономной системы Гамильтона шестого порядка в случае, когда промежуточные аргументы гамильтониана - дробно-линейные функции. Найдены коэффициентные условия, при выполнении которых решения указанной системы в плоскости независимой переменной имеют подвижные точки ветвления второго порядка. Отдельно изучен случай, когда решения исходной системы Гамильтона в плоскости независимой переменной не имеют никаких подвижных особенностей.

The article is devoted to the research of movable singular points of the solutions of Hamilton autonomous system of sixth order when intermediate Hamiltonian arguments are fraction linear functions. Coefficient conditions have been found. If these conditions are fulfilled the solutions of the given system in the plane of independent variable have the branching points of the second degree as movable singular points. The case when the solutions of initial Hamilton system have no movable peculiarities in the plane of independent variable has been studied separately.

Введение. Многие прикладные задачи моделируются с помощью систем дифференциальных уравнений Гамильтона [1-3]. Часто они бывают автономными, т. е. их гамильтонианы явно не зависят от времени.

Решения дифференциальных уравнений и систем таких уравнений, рассматриваемые как аналитические функции комплексной переменной, характеризуются в основном особыми точками. Представляет интерес исследование подвижных особых точек решений нелинейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений [4-12]. Под выражением «подвижные особые точки» подразумевают особые точки решений дифференциальных уравнений и систем уравнений, положение которых зависит от начальных данных.

В работе [8] исследованы подвижные особые точки решений систем вида х' = Я1 (г, у),

у'= Я2 (г, х), где р, Я2 - рациональные функции относительно вторых аргументов с голоморфными по г коэффициентами. Статья [9] посвящена изучению подвижных особых точек ре-

&х = Р

шений неавтономной системы

dy _ Q

dz p

где P(z,х,y), p(z,х,y), Q(z,х,y),

Ql (г,х,у)'

Q2 (г, х, у) - полиномы не выше второй степени относительно х, у с голоморфными по г коэффициентами. В статье [10] исследована автономная система Гамильтона второго порядка на предмет однозначности подвижных особых точек ее решений. В работе [11] рассмотрена неавтономная система второго порядка х' = Р3 (г, х, у),

у' = Q3 (г, х, у), где Р3, Q3 - полиномы третьей степени по х, у с голоморфными по г коэффициентами. Получены условия того, что решения изучаемых систем имеют подвижные особенности не сложнее полюсов.

В статье [12] исследованы подвижные особые точки решений автономной системы Гамильтона шестого порядка в случае, когда промежуточные аргументы гамильтониана имеют

х х х

следующий вид: ф1 = —, ф2 = —, ф3 = —.

у у 2 у3 В работе [13] рассмотрена автономная сис-

ах, дН дН -— тема Гамильтона -=-, -=-, 1 = 1, п,

& ду, & дх,

х

Н = ^ (ф1,..., фп ), фг. = -Ч где ^ - голоморфная

у,

функция относительно ф,. Показано, что решения данной системы в качестве подвижных особых точек имеют точки ветвления второго порядка.

Статья [14] посвящена изучению подвижных особых точек решений автономной системы Гамильтона четвертого порядка.

Основная часть. Пусть гамильтониан некоторой системы имеет вид Н = ^(ф1,..., фп), где ^ - голоморфная функция своих аргументов

а1 х1 +а2 Л +а0 ф = УА +У2 у 2 +Уо

, ф2 =

Ф1 _

Pi X1 +Р2 yi +Ро

S1 х3 + S2 y3 + S0

Si X2 +52 y2 +5о

Фз _

П хз +П2 Уз +По Соответствующая система Гамильтона будет такой:

В. И. Мататов, Т. А. Любецкая, Н. В. Рабчун

39

У1 =

У 2 =

Уз =

дН = д^ дф1 дУг дН

дУ2 дН

дуъ дфз дУз '

дН = д^ дфг дх дфг дхг д^ дф2

дФг дУг д^ дф2 дф2 дУ2 д^ дф3

1

дН

д^2 дН

дф2 дх2 д^ дф3

дх3 дф3 дх3

У3 =

где независимая переменная ( е С, х1= х (^) = У3 ^)е С = С ^{<х>}.

Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Если хотя бы один из определи-

телей

а1 а2 У1 У 2 81 82

Р1 Р2 ? 51 5 2 П П2

не равен нулю, то

решения системы (1)-(6) имеют подвижные точки ветвления второго порядка.

Доказательство. Систему (1)-(6) можно записать следующим образом:

Жх1 Ж

Ж

Ж

ЖУг Ж

ЖУ2 Ж

ЖУъ_

Ж

д^ -Агхг +а2Ро аов2

дф1 (х + Р2 У1 + Р0 )2

д^ -А2х2  + У250  "У052

дф2 (51Х2 + "52 У 2 + -50 )2

д^ -А3 х3 - 1"82П0 " "80 П2

дф3 ( х3 + П2 У3 + -П0 )2

№ -А1У1 + а0в1 -а1р(

дф1 (Р1 х1 + Р2 У1 + Р0 )2:

д^ -А2У2 + У051 -У150

дф2 (51 х2 + "52У2 - + 50 )2

д^ -А3У3 + 80П1 -81П0

дф3 (

П2 У3

По)

где А1 = а1в2 а2в1, А2 = У152 У251, А3 = 81П2 -82П.

Возможны следующие случаи:

1) А1 Ф 0, А2 Ф 0, А3 Ф 0;

2) А1 = 0, А2 Ф 0, А3 Ф 0;

3) А1 Ф 0, А2 = 0, А3 Ф 0;

4) А1 Ф 0, А2 Ф 0, А3 = 0;

5) А1 = 0, А2 = 0, А3 Ф 0;

6) А1 = 0, А2 Ф 0, А3 = 0;

7) А1 Ф 0, А 2 = 0, А3 = 0.

Рассмотрим более подробно первый случай, т. е. когда А1 Ф 0, А2 Ф 0, А3 Ф 0.

С помощью линейной замены искомых функций

Х1 = —1 + а, Х2 = Х2 + Ь, Х3 = X3 + с,

У1 = ^ + Ж, У2 = ^ + У3 = 1 + /

промежуточные аргументы ф1, ф2, ф3 можно преобразовать к виду

_ а1 Х1 + а211

фф 3 =

Р1 —1 + -Р21'

У1 — 2- 12 2 _1_

51 — 2-

81—3 + 8 2У3

X =

хх2 =

X =

11 =-

дф1

д^

-А2 X 2

ПХ3 +П2^3

С учетом этого система

1 =-

дф2

д^ -А3 X3

дф3 (X3 +П2^3 )2

д^ -А111

дф1 (Р1X +р211 )2

д^

-А2^2

1 =-

дф2 (51X2 +52^2 ) д^ -А313

дф3 (Х3 + ^3 )2

Из уравнений (13) и (16) получаем, что

—- = —-. Откуда —1 = С1, где С1 - произволь-

Ж—1 —1 11

ная постоянная. Используя полученный первый интеграл, запишем дифференциальное уравнение (13) в следующем виде:

^ = Ф1 (С1, С2, С3) -А1С1

((2 +Р1С1 ) —1

где Ф1 (С1, С2, С3 ) =

д^

ф1

дф1

ф 2 =

ф 3 =

а1с1+а2 "Р1с1+ Р2 .

Тй+Т 2 51с1+52 8^ +52

Пс +П2

После интегрирования уравнения (19) получим следующее:

—1 =

-2А1С>1

где С4 - произвольная постоянная.

Х1 =

х2 _

Используя первый интеграл

= О и урав-

нение (14), будем иметь равенство

X2 =

-2д 2о1ф 2

(«2 +«С2 )2

где С5 - произвольная постоянная.

Аналогично из уравнения (15) получим

Хз =

V

-2АзСз2Фз

где С6 - произвольная постоянная.

Из формул (20)-(22) видим, что компоненты Х1, Х2, Хз имеют в С подвижные точки ветв-

X

ления второго порядка. Поскольку Y1 =—Ц

С1

X X

Y2 =—-, Y3 =—-, то компоненты Y1, Y2, Y3

С2 Сз

также имеют подвижные точки ветвления второго порядка. Аналогичным образом исследуются подвижные особенности системы (7)-(12) в случаях 2-7. Во всех этих случаях компоненты системы (7)-(12) имеют подвижные точки ветвления второго порядка. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Если имеют место равенства А1 = 0, А2 = 0, Аз = 0, то решения системы (7)-(12) не имеют в С никаких подвижных особенностей. Доказательство теоремы 2 проводится аналогичным образом. Существенно используются первые интегралы системы (7)-(12), а также

а.

а

У: _ У2

У 2

равенства — = —^ = р, — = — = д,— = — = г.

Р1 Р

«1 «2

П1

Заключение. В статье рассмотрены автономные системы Гамильтона шестого порядка

ЖХ

Ж

ЖУ, &

дН

дУг ' дН

дХ: '

/ = 1, 2, з,

где Н = Р(фl,фя), Р(фьФ«) - голоморфная функция промежуточных аргументов

Ф1 =

а1 х1 +а2 у1 +а0 в1 Х1 + в2 У +Р0

Хз + 82 уз + 80

^ Ф2 =

У1Х2 +У2 У 2 +Ур «1Х2 +«2 У 2 +«0

фз =

П1Хз +П2 Уз +П0 Показано, что если хотя бы один из опреде-

не равен нулю, то решения исходной системы имеют подвижные

а ^ У1 У 2 81 82

лителей

Р1 Р2 «1 «2 П П2

точки ветвления второго порядка. Если все указанные определители равны нулю, то рассматриваемая система не имеет никаких подвижных особенностей.

Литература

1. Айзерман, М. А. Классическая механика / М. А. Айзерман. - М.: Наука, 1971. - С. зб7.

2. Мышкис, А. Д. Математика. Специальные курсы / А. Д. Мышкис. - М.: Наука, 1974. -С. 6з2.

3. Петкевич, В. В. Теоретическая механика / В. В. Петкевич. - М.: Наука, 1981. - С. 496.

4. Айнс, Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Э. Л. Айнс. - Харьков: ГНТИУ, 19з9. - С. 718.

5. Голубев, В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В. В. Голубев. - М.; Л.: ГИТТЛ, 1950. - С. 4зб.

6. Еругин, Н. П. Проблема Римана / Н. П. Еру-гин. - Минск: Наука и техника, 1982. - С. зз6.

7. Абловиц, М. Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, Х. Сигур. - М.: Мир, 1987. - С. 480.

8. Яблонский, А. И. Системы дифференциальных уравнений, критические особые точки которых неподвижны / А. И. Яблонский // Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т. з, №з.- С. 468-478.

9. Мататов, В. И. Системы дифференциальных уравнений без подвижных критических особых точек / В. И. Мататов // Дифференциальные уравнения. - 197з. - Т. 9, № 12. - С. 2267-2269.

10. Мататов, В. И. Об условиях однозначности подвижных особых точек автономных систем Гамильтона / В. И. Мататов, С. Н. Филиппович // Дифференциальные уравнения. - 1988. -Т. 24, № 11. - С. 2016-2019.

11. Мататов, В. И. Неавтономные кубические системы двух дифференциальных уравнений, обладающие свойством Пенлеве / В. И. Мататов, Л. В. Михайловская // Дифференциальные уравнения. - 1998. - Т. з4, № 2. - С. 216-221.

12. Крычавец, А. Я. Уласщвасщ рашэнняу аутаномнай сютэмы Гамшьтона шостага парадку / А. Я. Крычавец, В. I. Мататау // Весщ БДПУ. Сер. з. - 2005. - № 2. - С. 11-12.

13. Крычавец, А. Я. Даследаванне рухомых асабл1вых пунктау аутаномнай сютэмы Гамшьтона 2п-га парадку / А. Я. Крычавец, В. I. Мататау // Весщ БДПУ. Сер. з. - 2007. - № з. - С. 12-1з.

14. О подвижных особых точках решений автономной системы Гамильтона четвертого порядка / В. И. Мататов [и др.] // Труды БГТУ. Сер. VI, Физ.-мат. науки и информатика. -2009. - Вып. XVII. - С. 14-16.

Поступила в редакцию 31.03.2010