Математическое моделирование в экономике

Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева № 2, том 2, 2016

УДК: 330.4

ББК: 65

Каменева С.А., Борискина И.П.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

Kameneva S.A., Boriskina I.P.

MATEMATICAL MODELS IN ECONOMY

Ключевые слова: математическая модель, производственная функция, функция издержек, функция Кобба-Дугласа.

Keywords: mathematical models, production function, cost function, Cobb-Douglas production.

Аннотация: основная цель этой статьи - анализ математических моделей в экономике.

Статья состоит из двух частей. Во введении говорится об истории развития математического моделирования.

В первой части дается определение математической модели. Вторая часть статьи содержит описание различных математических моделей. Производственные функции используются для анализа макроэкономических процессов. Самой важной производственной функцией является функция Кобба - Дугласа.

Математическое моделирование включает в себя несколько этапов. В конце исследования ученый - математик изучает применение этих моделей. Это самый важный этап. Созданные модели тестируются в ходе эксперимента.

Abstract: this object of this article is to analyse mathematical models in economy. This article consists of two parts. An introduction includes the history of this science. The first part contains the definition of the model.

There are different mathematical models in second parts of this article. The production function are used for analyses of global economical process. Cobb-Douglas function is the main function between the production ^жНот.

The constructing a mathematical models in economy includes several steps. At the end of the creation of models mathematician analyses applications of this models. Those models are tested by experiment.

Уровень профессионализма экономиста в основном зависит от степени освоения математического аппарата и умения применять его при анализе экономических процессов и явлений.

Математическая модель - это совокупность математических функций или уравнений, которые описывают определенные качества изучаемого реального явления или процесса.

На основе математической модели разрабатываются специальные компьютерные программы, которые позволяют обработать полученную статистическую информацию и оценить значимость построенной модели.

Основные разделы высшей математики (математический анализ, линейная алгебра и аналитическая геометрия, теория вероятностей и математическая статистика, линейное программирование) широко используются для описания процессов и явлений в экономике.

Простейшие математические модели на уровне таблиц и формул использовали Ф. Кене в 1758 г. («Экономические таблицы»), Адам Смит, Д. Рикардо [2]. В XIX веке благодаря бурному развитию капитализма в Европе математика получила мощный импульс развития. В

XX веке за создание математических моделей в экономике В. Леонтьев, Д. Хикс, Р.Солоу, П. Самуэльсон получили Нобелевские премии в области экономики.

Математические модели позволяют описывать существенные связи между экономическими процессами и явлениями, прогнозировать различные экономические показатели, разрабатывать стратегии управления экономическими объектами.

Создание экономико-математической модели включает в себя несколько этапов:

1) формулировка цели, стоящей перед исследователем;

2) выделение наиболее значимых факторов, влияющих на результаты;

3) сбор и обработка необходимой информации;

4) выбор функции, составление уравнения;

5) расчет параметров модели;

6) оценка значимости полученной модели и возможности ее применения для прогнозирования результата [11].

Модели в экономике классифицируются в

зависимости от целей моделирования и особенностей моделируемого объекта.

Модели микроэкономики позволяют описать экономику как единое целое с помощью таких показателей, как ВВП, потребление, инвестиции, инфляция и др. [9].

При создании таких моделей используются производственные функции

Производственная функция - это зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

Модели в микроэкономике описывают взаимодействие отдельных звеньев экономики или их поведение в отдельности в рыночной среде.

Тактические модели позволяют изучать общие свойства экономики на основе выводов из формальных предпосылок.

Прикладные модели подразумевают оценку параметров конкретных экономических объектов и служат для разработки стратегии поведения фирм на рынке.

Равновесные модели носят описательный характер и позволяют описать состояние экономики при равновесии всех воздействующих на нее факторов.

Оптимизационные модели описывают процессы и явления рыночной экономики и позволяют оптимизировать деятельность потребителя, производителя или фирмы.

Статические модели служат для описания объектов экономики в определенный момент. Параметры этих моделей являются фиксированными величинами.

Динамические модели являются описанием различных процессов и явлений, которые изменяются со временем.

Стохастические модели подразумевают наличие случайных связей между переменными моделями. К таким моделям можно отнести эконометрические модели [3], [4], [1].

Рассмотрим подробнее эконометрические модели.

Эконометрика - это раздел экономики, занимающийся разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными.

Эконометрическая модель - это разбиение объясняемой (зависимой) переменной на объясняемую (регрессией) и случайную и оценка параметров распределения случайной составляющей.

При построении эконометрической модели необходимо отобрать факторы, существенно влияющие на зависимую переменную; и вы-

брать математическую функцию, описывающую связь между факторной и результирующей переменной. В качестве таких функций можно выбрать линейную, квадратную, логарифмическую функцию одной переменной.

Статистически значимая модель находит широкое применение в прогнозировании результата.

Например, пусть цена Y на автомобиль является функцией переменных

х1 и х2:

у=1800-1000х1-0,3х2, где y-ожидаемая цена автомобиля (вуал.ден.ед.); x1-срок эксплуатации автомобиля (в годах); x2- пробег (в тыс. км).

Построеная модель позволяет выявить процесс формирования цены на автомобиль и определить степень влияния каждого фактора на у.

В данном случае цена нового автомобиля равна 18000 у.е. при х1=0, x2=0.

Коэффициенты данной линейной множественной регрессии при x1 и х2 означают, что при увеличении срока эксплуатации на 1 год цена автомобиля уменьшается в среднем на 1000 у.е., а за счет увеличения пробега на 1 тыс. км на 0,3 у.е.

Менеджеру не составит большого труда определить ожидаемую цену поступившего в продажу автомобиля, даже если его параметры ранее не встречались в данном салоне.

Эконмическая модель в общем виде выглядит так: у=Дх!,., x2),

Наиболее ответственным выбором объясненной части случайной величины Y является ее среднее, полученное при данном наборе значений объясняющих переменных.

Управление Мх^)=Дхь...,хп) называется управлением регрессии. При таком выборе объясненной части эконометрическая модель имеет вид

Y=Mx(Y)+E, где Е - случайная величина (ошибка, возмущение).

Эконометрическая модель не всегда является регрессионной, т.е. объясняемая часть не обязательно представляет собой условное математическое ожидание эндогенной переменной у.

Наиболее широкое применение в экономике имеют линейные регрессионные модели (у=а+Ьх, у=а+Ьх1+сх2,...).

Параметры таких моделей можно оценить с помощью наименьших квадратов.

При этом полученные оценки параметров будут несмещенными, эффективными и состоятельными, если будут выполняться условия теоремы Гаусса-Маркова:

1. Математическое ожидание Е равно

нулю.

2. Дисперсия возмущения Е постоянна для любого i.

3. Возмущения Ei и Ej не коррелирова-

ны.

Возмущение Ei есть нормально распределённая случайная величина.

В этом случае модель у=а+вх+Ei называется классической нормальной линейной регрессионной моделью (Classical Normal Linear Regression model).

В большинстве случаев исследователи со-циально-экономиких процессов и явлений предпочитают линейную эконометрическую модель не только из-за ее простоты.

Первая причина: случайные величины Х, У, как правило, является нормально распределенными. Некоторые функции от У или Х имеют нормальное распределение. Например, известно, что логарифм доходов населения - нормально распределенная случайная величина. Очень часто предпосылка о нормальном распределении случайной величины является вполне разумной

Вторая причина: при выборе линейной регрессионной модели уменьшается риск значительной ошибки прогноза.

Математическое ожидание квадрата отклонения наблюдаемых значений у от теоретических оказывается меньшим в том случае, если уравнение регрессии выбрано линейным.

Идентификация эконометрической модели включает в себя статистический анализ модели и оценку ее параметров.

На этапе верификации модели проводится проверка истинности, адекватности модели. Выясняется, насколько удачно решены проблемы спецификации, идентификации и идентифицируемости модели.

Если имеются статистические данные, характеризующие моделируемый экономический объект в данный и предшествующий моменты времени, то для верификации модели, построенной для прогноза, достаточно сравнить моменты времени с соответствующими их значениями, полученными на основе рассматриваемой модели по данным предшествующих моментов.

Разделение эконометрического моделирования на отдельные этапы носит в известной степени условный характер, так как эти этапы могут пересекаться, взаимно дополнять друг друга и т.п.

Для оценки параметров линейной регрессионной модели используется метод наименьших квадратов. Этот метод был впервые пред-

ложен К. Гауссом около 250 лет назад. Гаусс применил метод наименьших квадратов для построения траектории движения планет. Этот метод используется при моделировании биологических объектов, экономических и социальных систем. МНК продолжает активно использоваться в исследованиях социально-эконометрических явлений и процессов, так как в его основе лежит предпосылка о нормальном законе распределения случайных величин. Метод наименьших квадратов имеет прочную теоретическую базу и пример успешного применения в различных областях науки и техники.

Если нарушается условие гомоскре-дастичности (постояноство дисперсий ошибок регрессии), то наблюдается гетероскредастич-ность ошибок модели.

Гетероскедастичность (неоднородность дисперсий ошибок регрессии) существенно ухудшает качество эконометрической модели и требует корректировки. Для устранения гетеро-скедастичности остатков все переменные регрессионного уравнения нужно разделить на остатки [3,4].

В случае, когда на результат Y влияют несколько факторных переменных, качество модели может ухудшить мультиколлинеарность факторов. В этом случае объясняющие переменные связаны функциональной или корреляционной зависимостью.

Это может привести к невозможности оценок параметров или к получению неустойчивых оценок [1], [9]. Для отбора переменных используется процедура пошагового отбора переменных. Для оценки влияния факторов, не имеющих определенных единиц измерения (качественные признаки), например, образования, пола и т.п., используются фиктивные переменные.

Информационные технологии экономет-рических исследований состоят из двух частей: функциональная часть эконометрических исследований и инструментальные средства, используемые для выполнения функциональной части.

Функциональная часть исследований совпадает с этапами создания эконометрической модели. Технические средства и пакеты прикладных программ представляют собой инструментальные средства.

Функциональная часть эконометрических исследований включают следующие этапы моделирования:

1. Выявление проблем предприятия или организации;

2. Анализ наиболее важных проблем для предприятия;

3. Выявление показателя у деятельности предприятия, нуждающегося в усовершенствовании;

4. Обозначение основных факторов, оказывающих существенное влияние на у;

5. Выявление тенденций зависимости у от факторов, включаемых в модель;

6. Пошаговый процесс включения факторов в модель;

7. Анализ остатков модели на гетеро-скедастичность и автокорреляцию;

8. Устранение отрицательных моментов, влияющих на модель;

9. Построение доверительных интервалов;

10. Построение системы одновременных уравнений;

11. Применение разновидностей метода наименьших квадратов (косвенный, двушаго-вый, трехшаговый) для оценки коэффициентов структурной системы одновременных уравнений;

12. Анализ временных рядов;

13. Определение составляющих временного ряда;

14. Выявление стационарности временного ряда;

15. Построение нестационарных рядов;

16. Построение адаптивных моделей ряда;

17. Составление проектов по улучшению процессов.

Для выполнения функциональной части эконометрических исследований можно использовать два вида технических устройств: персональные компьютеры и микрокалькуляторы.

Программное обеспечение ПК включает в себя электронные таблицы Excel и пакеты прикладных программ. С помощью статистической функции «Линейн» можно получить основные характеристики эконометрических моделей: ошибка модели, параметры модели, статистические оценки параметров модели, коэффициенты детерминации.

Excel обязательно изучается в курсе информатики, имеет доступное обширное методическое обеспечение с примерами использования в эконометрике, электронные таблицы согласуются с большинством статистических пакетов прикладных программ. Но с помощью Excel нельзя найти собственные значения и собственные вектора матрицы и нельзя вести расчеты с изменяющимися объектами. В Excel ограничены возможности трехмерной графики.

Статистические пакеты прикладных программ (STADIA, STSTGRAPHICS, SPSS, SYS-TAT и др.) имеют много методов и моделей

анализа экономической информации, которые можно использовать в эконометрике.

Эконометрическое моделирование является инструментом для решения проблем предприятий и организаций.

Деятельность предприятий и организаций предполагает производство некоторых товаров и услуг.

Существуют двенадцать стадий жизненного цикла продукции: изучение рынка и маркетинг, создание проектов, планирование процессов, разработка основных стадий производственного процесса, закупка, предоставление услуги, контроль, упаковка продукции, продажа, сдача в эксплуатацию, обслуживание, вторичная переработка.

Задачей стратегического планирования является разработка жизненного цикла продукции.

Оперативное планирование включает в себя реализацию каждой стадии жизненного цикла продукции.

На различных стадиях стратегического и оперативного планирования могут возникать проблемы у предприятий. Любой процесс происходит по циклу Деминга: планируй, делай, анализируй, воздействуй.

Проблемы у экономического объекта могут быть обусловлены снижением эффективности его деятельности.

Представление деятельности предприятия в виде реализации процессов позволяет формализовать процессы, предложить способы улучшения качества продукции, повышения конкурентоспособности предприятия или организации.

Существуют следующие принципы системы качества:

1. Приоритет интересов потребителя.

2. Полное вовлечение работников.

3. Лидирующая позиция руководителя.

4. Системный подход к менеджменту.

5. Управление ресурсами и производством как процессом.

6. Принятие решений, основанных на анализе информации.

7. Постоянное улучшение деятельности предприятия и организации.

8. Повышение взаимовыгодности сотрудничества с поставщиками.

Прогноз, полученный с помощью эконо-метрической модели, служит основой для принятия управленческих решений для улучшения качества продукции.

Условием улучшения качества продукции является улучшение качества процессов.

Если руководство не подготовило заинте-

ресованную среду, то любой статистический метод будет бесполезен.

Подготовка заинтересованной среды - необходимое условие улучшения качества процесса.

Умение использовать средства улучшения качества - достаточное условие улучшение качества процесса.

Предприятие победит в конкурентной борьбе, если потребители будут удовлетворены.

Многие средства и метода системы качества включены в состав эконометрики. Они взаимно пересекаются и могут дополнить друг друга.

Цель улучшения качеств должна ставиться так, чтобы было возможно определение показателей достигнутого процесса. Она должна быть масштабной, ясной и соответствующей задачам организации. Стратегия должна быть разъяснена всеми сотрудниками, согласована с ними. Цель улучшения качества должна регулярно корректироваться с тем, чтобы она отражала изменений потребностей.

Уровень выполнения целей зависит от публичности целей, внутреннего контроля ис-

полнителей.

В последнее время при реинжиниринге бизнес-процессов используются экспертные модели. За основу принимаются мнения экспертов с оценками разных аспектов по определенной шкале.

В современных условиях математическая модель является инструментом обработки баз данных или переработки первичной информации в прогнозную информацию [4], [5].

База данных прогнозной информации обладает большой практической ценностью. В условиях становления информационного общества, т.е. общества нового типа, специализированная информация пользуется особенным спросом в экономике и политике.

Информация обрабатывается при помощи специальных программ, и они являются соответствующими компьютерными реализациями математических моделей.

Поэтому важную роль в подготовке современных экономистов играют такие дисциплины как математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика, эконометрика и др.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Валентинов, В.А. Эконометрика: учебник - М.: Дашков и Ко, 2008. - 436 с.

2. Джонстон, Д. Эконометрические методы. - М.: Статистика, 1980.

3. Доугерти, К. Введение в эконометрику. - М.: НИФРА-М, 1997.

4. Елисеева, И.И., Курышева, С.В., Костеева, Т.В. Эконометрика: учебник / под ред. И.И. Елисеевой - 2-е изд. перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005 - 576 с.

5. Замков, О.О., Толстопятенко, А.В., Черемных, Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник / под общ. ред. проф. А.В. Сидоровича. - 5-е изд., испр. - М.: Дело и Сервис, 2009. - 38.

6. Каменева, С.А. Сущность инфляции / Инновации в образовательной деятельности и их влияние на развитие региона // материалы Международной научно-практич. конфер., посвящен. 1000-летию единения: Саранск кооп. институт РУК. - Саранск: Тип. Руз. печ., 2012.

7. Каменева, С.А.Линейные регрессионные модели с переменной структурой // матер. Международной научно-практич. конфер. - Саранск: ЮрЭксПрактика, 2013. - С. 360.

8. Колемаев, В.А. Моделирование сбалансированного экономического роста / Вестник университета.- М.: Изд. ГУУ, 2000. - №1 (3). - С 41-48.

9. Колемаев, В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 399 с.

10. Колемаев, В.А. Экономико-математическое моделирование. Моделирование макроэкономических процессов и систем: учебник для студентов вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 295 с.

11. Красс, М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: учебное пособие. - СПб.: Питер, 2006. - 496 с.

12. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ,

2007.

13. Кундышева, Е.С. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие / под научн. ред. проф. Б.А. Сусланова. - М.: Данилов и К  , 2009. - 564 с.

Вестник Волжского университета имени В.Н. Татищева № 2, том 2, 2016