Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках на основе метода асимптотической гомогенизации

УДК 539.3

БОТ 10.18698/2308-6033-2016-12-1557

Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках на основе метода асимптотической гомогенизации

© Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Ю.В. Юрин МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Представлены результаты разработки тонких многослойных анизотропных оболочек на основании общих уравнений трехмерной теории упругости путем введения асимптотических разложений по малому геометрическому параметру, без каких-либо гипотез относительно характера распределения перемещений и напряжений по толщине. Рассмотрен случай моноклинных слоев оболочек, которые имеют не более 13 независимых упругих констант. Предложен алгоритм получения явных аналитических формул для расчета распределения компонент полного тензора напряжений по оболочке. Алгоритм основан на решении специальных локальных задач первого, второго и третьего приближения. Он позволил получить выражения для всех шести компонент тензора напряжений в компактной замкнутой форме в виде зависимости от деформаций, искривлений срединной поверхности оболочки, а также их производных по продольным координатам. Полученные формулы позволяют рассчитывать все компоненты тензора напряжений в оболочке без решения дополнительных задач, а используя только решения осредненной задачи теории оболочек.

Ключевые слова: тензор напряжений, многослойные оболочки, тонкие моноклинные оболочки, композиты, метод асимптотического осреднения, асимптотическая теория оболочек.

Введение. Для решения многих инженерных задач проектирования конструкций из композитных материалов необходимо достаточно точное вычисление компонент полного тензора напряжений в любой точке конструкции. Так, для расчета прочности при изгибе трехслойных композитных конструкций недостаточно имеющейся информации о значениях только изгибных напряжений: следует знать распределение по толщине напряжений межслойного сдвига, а иногда и поперечных нормальных напряжений. В связи с низкой прочностью на сдвиг и поперечный отрыв трехслойные сотовые конструкции при некоторых видах нагружения могут разрушаться именно из-за этих межслоевых и поперечных напряжений [1]. Поперечные нормальные и межслоевые напряжения имеют также чрезвычайно важное значение в механизмах расслоения теплозащитных композитных конструкций [2], многослойных оболочек при длительных температурно-влажностных воздействиях, при интенсивных излучениях и других видах нагружения.

Известно много работ [3-9], авторами которых предпринята попытка вычислить все компоненты тензора напряжений. Однако их по-

давляющее большинство основано на определенных допущениях относительно неизвестных функций — перемещений и напряжений, которые тем не менее с математической точки зрения не имеют достаточного обоснования. В работах [10-15] предложены теории тонких пластин и оболочек, в том числе с двумерной микроструктурой — гофрированными, сотовыми и сетчатыми конструкциями. Для их обоснования использован метод асимптотического осреднения (метод гомогенизации), хорошо зарекомендовавший себя при осреднении композитов с трехмерной периодической структурой [16-19]. В этих источниках введено допущение о линейном характере перемещений по толщине. Авторами работ [20-22] разработано асимптотическое осреднение тонких многослойных плоских пластин, в котором, однако, априори не сделано предположение о линейности распределения перемещений, но оно позволяет получить явное выражение для всех шести компонент тензора напряжений в тонких пластинах. В статье [23] проведено сравнение численных решений, полученных с помощью разработанной асимптотической теории многослойных тонких пластин и непосредственного численного решения задачи трехмерной теории упругости. Полученные результаты показали высокую точность разработанного метода асимптотического осреднения. Авторами работы [24] этот метод развит для случая криволинейных тонких многослойных оболочек.

Цель настоящей статьи заключается в дальнейшей разработке асимптотической теории многослойных тонких композитных оболочек, направленной на получение явных аналитических соотношений для всех шести компонент тензора напряжений в оболочках.

Уравнения трехмерной теории упругости в криволинейных координатах. В трехмерном пространстве Я с декартовыми координатами х1 рассмотрим поверхность Х0, заданную с помощью ортогональных координат qk (х1) в виде д3 (х1) = 0, где х1 еХх с Я —

область изменения значений декартовых координат.

Рассмотрим оболочку — тело, которому соответствует область V с Я3, ограниченная внешней Х+ и внутренней Х- поверхностями, уравнения которых имеют вид qз = - И /2, qз = И /2, а также торцевой поверхностью ХТ, уравнение которой в криволинейных ортогональных координатах qk имеет вид Г^, q2) = 0. Соотношение qi = (Xj ) между криволинейными qi и декартовыми координатами

Xj будем считать гладкими функциями. Параметр И — толщина оболочки, поверхность qз = 0 — срединная поверхность оболочки Хо,

она пересекает торцевую поверхность по контуру дХ0. Предположим, что координатные линии ^ и ^ ориентированы по линиям главной кривизны срединной поверхности оболочки, а линия ^ — по нормали к этой поверхности. Все криволинейные координаты считаем размерными величинами — длинами дуг по соответствующим координатным направлениям.

В криволинейных координатах ^ уравнения равновесия тела (оболочки) имеют вид [25]:

э э э

^-(Иви3Саа ) + ^-(Иаи3Сав ) + (ИаИвСа3 ) -

дЧа д?в д?3

-Сии И-х

а

дн

дд,

в С И дИ3 +С И дИа+С И дИа

- с33Ив 3-+ Сави3 3-+ Са3Ив

а

дЧа дЧв

а,в = 1,2;

дЧ3

-ИвИ 3./а = 0;

д д д — (и1и2с33 ) + ^ (и2и3с13 ) + (и1и3с23 ) " дд3 дд1 дд2

С11И2 ^ -С22И1 ^ + С13И2 ^ + С23И1 ^-ЩИ2/3 = 0,

22 1 13 2 23 1

дд3 дд3 дд1 дд2

где Иа — параметр Ламе оболочки; Сав — компоненты тензора напряжений в ортогональных координатах д1; /а — компоненты вектора плотности массовых сил.

Соотношения Коши, связывающие деформации еав композита

с перемещениями иа, в этой криволинейной системе координат д1 имеют вид [25]:

р =

аа

1 диа

- + -

1 дИа

ив+-

1 дИа

Иа дЧа и1и2 ддв в И аИ3 дЧ.

-щ;

2р12 =

И, д

И2 дд2

И,

+

И 2 д

и1 дд

и0

И 2 , 2

р33 =

1 ди3

- +

1 дИ3

и +-

1 дИ3

---1---П---

И3 дд3 И3И1 дд1 И3И2 дд

-и2;

2Ра3 =

И а д

И3 дд3

^ Л

и

И

+

И 3 д

И а дда

И3 ,

3

где еаа — компоненты тензора малых деформаций; иа — компоненты вектора перемещений в криволинейных координатах ц .

Оболочку примем многослойной, все слои которой ортогональны направлению ц и являются линейно-упругими и моноклинными

[26], т. е. содержат не более 13 независимых упругих констант с главными осями криволинейной анизотропии, совпадающими с координатными линиями ц. Тогда определяющие соотношения оболочки, связывающие деформации еар и напряжения оар, имеют следующий вид в криволинейной системе координат ц :

аи = С1ЖЬеКЬ + Си33е33; а1 3 = 2С1 3К3еК3; а33 = С33КЬеКЬ + С3333е33,

где СуЫ — модули упругости слоев оболочки; здесь и далее индексы, обозначенные заглавными буквами латинского алфавита 1, J, К, Ь, М и строчными греческими а, в, принимают значения 1, 2, причем а^р, а индексы /, у, к, I — значения 1, 2, 3.

На внешней и внутренней поверхностях оболочки считаем заданными: давление р±; на торцевой поверхности Xт — перемещение

ие1; на границе раздела слоев оболочки — условия идеального контакта слоев оболочки:

х3±: ^э = -р±8Й; Хт: и = иг1; Х: ] =0; [и] =0,

где [и1 ] — скачок функций.

Основные допущения асимптотической теории. Введем несколько основных допущений.

1. Рассмотрим очень тонкую оболочку, для которой выполняется соотношение

ж = И / Ь << 1,

где ж — малый параметр; Ь — диаметр срединной поверхности Х0.

Введем глобальные безразмерные криволинейные координаты Цк и локальную ^ координату:

Цк =Цк/ А % = Ц3/ ж

Далее все функции рассмотрим как зависящие от безразмерных

координат и (Ца, £), а = 1, 2 и предположим их безразмерными.

Воспользуемся следующим правилом дифференцирования от безразмерных координат:

Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках...

д Щ

1 чла'^/ -л— 1 73

дqj Эя- & Э^

где Щ = и1 / Ь — безразмерные перемещения.

Безразмерными примем также все напряжения с- = / ^о, модули упругости С-/ = С ум / Е0 и давления р± = р± / Е0, разделив их

на характерное значение модуля упругости Е0 . Черту над безразмерными величинами опустим.

Введем еще два ограничения.

2. Рассмотрим только случай малого значения давления на внешних поверхностях оболочки:

Р±=-&3Р±,

где р± — конечные значения безразмерного давления, р± = 0(1).

3. Примем, что тонкая оболочка не содержит резких изломов геометрической формы, в том смысле, что следующие производные от параметров Ламе имеют порядок более высокий, чем 0(1) по отношению к параметру & [24]:

Н = &Н аз; Н аз = 0(1); Н = 0(1); Н3 = 1. (10) Э? ЭЯр

Тогда формулы (3) с учетом равенств (10) можно записать таким образом:

еаа = 0аиа,а + 0102На,РиР + 0аНа3и3 ;

2е12 = Н^Щ01)2 + Н 201(^202)1;

е33 = — щ3/3; 2еа3 = — иа/3 + 0а

& &

Эи.

где 0а = 1/ На — обратные параметры Ламе; и1 /3 (Яа, £) = —'-, и I 7 (Яа, £) = — производные по глобальным координатам Як

Ч-

и локальной ^ координате.

Асимптотические разложения для многослойной оболочки.

Компоненты тензора модулей упругости Сар (£), как предполагается, зависят от координаты так как этот тензор различен для разных

слоев оболочки. Поэтому задача, отображенная в формулах (2)-(6), содержит определение локальной координаты а также малого параметра ж в граничных условиях (коэффициент при давлении в формуле (9)). Таким образом, ее решение представим в виде асимптотического разложения по параметру ж как функции, зависящей от глобальных и локальной координат:

щ = 4° + Х жпи(п) = 40)(да) + ж41}(да, О + ж242)(да, О +

+ ж343)

и=1

Подставив разложение (12) в соотношения Коши (11), воспользуемся при этом правилами дифференцирования функций локальных координат (8) и получим асимптотическое разложение для следующих деформаций:

Р =1 жпе[П) = 4°> + жеЦ +ж2е

п=0

Здесь

еаа = ^ + °1°2 Иа,ви|(П) + и3 ^ Иа30а, 2е1 2 = ИА(4п01),2 + И 2 ^(4п)02)д,

Р( п) = и (п+1) ь33 ~ м3/3 ,

241 = и^ + 0а4а -ОаИазиап), п = 0,1,2,....

Подставив формулу (13) в закон Гука (4), получаем асимптотическое разложение для напряжений:

С = 1 жпс{п =о

Здесь

п=0

С п) = с Р

°и 33ь33 , а/3 _ 2и13к3ьк3,

с3п3) = с33КХеК2 + с3333е3з'>.

Формулировка локальных задач. Подставив разложения (12) и (15) в уравнения равновесия и граничные условия систем (1), (2), получаем

Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках.

- #а-1) + Nа0) + жЦ) + ж2Nа2) + ... = 0; а, в = 1,2;

' а

ж

1 N3-1) + ^0) + жN31) + ж2 ^2) + . = 0; ж

: с

В формулах (17) обозначены следующие величины:

N(-1) = И И С(0) N-1) = И И СЮ) .

1Уа = п1п 2Са3/3, 1У3 = п1п 2с33/3;

С (п) +

|,аСвв +

) = (Ив С й),а + (И а С (апв)),в + Иа^ - Ив,0

+ (ИаИв3 + 2 Ив И а 3 )с(ап3) + И1И2^{^-Ив/ап), а, в = 1,2;

N3п) = (с(И2)1 +(с2п3)И1),2 -с(И2И13 -с2п2)И1И23 + + с3п3)(И13И2 + И1И23 ) + И1И2с3п3+31) - И1И2/3 п);

/3

Приравняв в уравнениях равновесия члены N3-1) при ж-1

3 п

к нулю, а члены 10п), N3п) при остальных степенях от ж к некото

рым величинам ^Т"*, Мп), не зависящим от получаем рекуррентную последовательность локальных задач Ь„. Локальная задача Ь0 имеет вид

С(0) = 0-Сг3/3 = 0;

С(0) = С Р(0) + с р(0). С(0) = 2С р(0). С(0) = с р(0) + с р(0).

33ь33 > 3 3К 3Ь К 3> °33 _ ^ЪЪКЬьКЬ ^ ^3333ь33 >

Р(0) = п и(0) + И пп и(0) + И п и(0). Р аа = паиа, а + И а,вп1п2ив + И а3паи3 ;

2Р(2) = ИА^фд + И 2 П1(и20)П2),1; Р(0) = и(1) . 2р(0) = и(1) - Н П и(0) + П и(0) •

Р33 = и3/3; а3 = иа/3 И а3паиа + паи3,а;

Х3± : С(0) = 0;

:[с

Локальные задачи Ьп, п>1 имеют следующий вид:

(Нрсаа1)),а + (НаССр ^Хр + На,РССр ^ -Нр,асрр ^ + + (НаНр3 + 2НвНа3)сап3-1) + Н^с^-Нв/ап) =^ап-1); а, р = 1, 2; (Н2а!3-1)),1 + (Н1с2П3-1)),2 -Н2Н13с(1-1) -Н1Н23с2П2-1) +

+ (Н13 Н2+Н1Н23 )с3п-1)+Н1Н203з3 - н п) = ¿3п-1);

с(п) = С Р(п) + С Р(п) • п) = 2С Р(п) • с (п) = С Р(п) + С Р п) • а!7 _ сикьъкь^~ си33ь33 • а/3 - 2с13к3ьк3^33 _ с33КЬЬКЬ с3333ь33 ;

еСС = 0аиа,а + Н а,в0102ирП) + Н а30аи3П) •

2р(2) = 02и(п + 01и2п1) -0102(Н1Ли(п) + Н2Ди^п));

Р(п) = и(п+1) • ь33 ~ м3/3 >

2е(п) = и(п+1) - Н 0 и(п) + 0 и(п) •

2Ьа3 _ а/3 па3и^^ 3,о

у : с(п) = с(п). у3± : 3 = ± ;

ус : [с

В формулах (20) введена операция осреднения по толщине оболоч-

0,5

ки < и(п) >= | и(п)ёа также обозначена функция граничных усло-

-0,5

вий: ) = 0, если п = 1, 2, 4, 5,...; С1(_п) = -р±5, , если п = 3. Уравнения равновесия (17) после введения функций ^Сп), Мп) принимают вид

£ &пй}п) =^0) + + &2й}2) +... = 0.

п=0

Решением локальной задачи нулевого приближения (19) при п = 0 являются функции ие^\ с(0) (напряжения о(/и) = 0, п < 0). Они зависят от локальных координат ^ и входных данных этой задачи — перемещений Uj)\xJ). Решением задачи (21) при п = 1 для первого

приближения являются функции и-2\ Рк?, с-1), а и1^, е^0\ с в этой задаче — входные данные. В задаче (21) для второго прибли-

жения при п = 2 функции и(3), е-у\ о(2) — неизвестные, а

и<2>, ео— входные данные и т. д.

Решение задачи нулевого приближения. Ввиду того, что задачи (19) являются одномерными по локальной переменной %, их решение можно найти аналитически. Решение уравнений равновесия с граничными условиями в локальной задаче нулевого приближения имеет вид

о

Подставив (22) во вторую и третью группу определяющих соотношений в системе (19), получаем: С1 зк 3е(03 = 0, С33КХеКх + С3333е30) = 0.

Отсюда следует, что в нулевом приближении деформации межслойного сдвига во всех слоях являются нулевыми, а поперечная деформация — ненулевая

е

ек3 _ 0. е33 _ 73КЬеКЬ. 73КЬ _ С3333С33КЬ.

Подставив в (23) выражения для деформаций еК3 е3°3) из (19), получаем:

иа1/3 _ На3°аиа0) _ 0аи3!а; а _ 1, 2;

и3/3 _ _73К1еК1.

После интегрирования этих уравнений с учетом условий < и(1) >_ 0 находим перемещения и(1):

иа1) __%о (и30а+н а зиа0));

и31) _ им.

Здесь учтено, что деформации еКх(#/), согласно выражению (15), не зависят от величины %. Также здесь введено обозначение для следующей операции:

% %

Ц$к _ -< 73КЬ >%; < 7,КЬ >%_ | 7^%_ < | 7^% > .

-0,5 _0,5

Подставив выражения (23) в первую группу определяющих соотношений системы (19), находим напряжения о/

о

о1/ _ С1/КЬеКЬ. СЖЬ _ С1/КЬ С1/3373КЬ.

Решение локальных задач Ьп высших приближений. Решение уравнений равновесия (вторая группа уравнений в системе (20)) вместе с граничными условиями на У5 и ^ = -0,5 имеет вид

сСэ =-0102 | ((НроСС-1)),с+ (НсССр-1)),р + Нс,роСр-1) -Нр,аО(р-1) +

-0,5

+ (НсНр3 +2НрНс3 )с^1))ё^ + 0102 (НС;-1 +

+ Нр^-1))

=-0102 | ((Н2с(3-1)),1 + (Н1с2п3-1)),2-Н2Н13а(1-1) -

-0,5

-НН 23с22-1) +(Н13 Н2 + Н1Н23 ^У^А (Н3п-1) +

+ Н1Н^./3

Условия существования решений для (28), (29) задачи (20), удовлетворяющих граничным условиям У3+ : с(п) = ), на внешней поверхности ^ = 0,5, приводят к следующей системе уравнений для вычисления функций НСп), Н3п):

НСп) + Нр/Сп) =< ((Нра(сп(С),а + (НаССпр)),р + На,рсСр) -Нр^ +

+ (НаНр3 + 2НрНа3)сСп3)) >;

0102(Н3(п) + Н^/^) = 0102 < (Н2а(3)),1 + (Н1а(2й3)),2 - НН^ -

- Н1Н23с22 +

где АС3п) = с3+) - с3-).

С учетом формул (30) выражения для напряжений о(™) в формулах (28)—(29) принимают вид

с(ап3 = -0102{((НраСпа-1)),а + (На^р + На,раСпр-1) - Н^с^ + + (Н а Нр3 + 2Нр Н а3 )аСп3-1))}^;

с33 = -0102{(Н2а|3-1)),1 + (Н^Ь -Н2Н13С( 1-1) -Н1Н23С(2й2-1) +

+

Здесь обозначен оператор

-0,5

С помощью определяющих соотношений для сдвиговых и поперечных напряжений в системе уравнений (20) находим сдвиговые и поперечные деформации:

9р( п) = с-\ _(п).

2РК3 = с13К3°3 .

Р

р33 = с3333033 73КЬРК1 •

Из кинематических соотношений (шестая и седьмая группы уравнений) системы (20) с учетом формул (30) и условий нормировки

< и(п+1) >= 0 находим перемещения высоких приближений и3п), и(п): и(п) =< Р(п-1) > = - < 7 Р(п-1) > + < с_1 Оп-1) > п = 1 2 3 •

и3 =<р33 >4=-<73кхРкь >4+<с3333с33 >4, п =i, 2, 3,

и{:) = 2 < РОт1) >4 + На3Оа < и^п-1) >4 -Оа < и3пп1) >4, п = 2,3,....

Выражение решения первого приближения через нулевое приближение. С практической точки зрения для достижения приемлемой инженерной точности вычислений для напряжений <зи достаточно ограничиться только нулевым и первым приближениями о(°) и о^, для сдвиговых напряжений <з13 минимально необходимым

является второе приближение, а для поперечных напряжений О33 — третье приближение. Найдем для них явные формулы через функции нулевого приближения.

Подставив выражения (22) и (27) в (31), получаем для сдвиговых

напряжений о03 и нормальных напряжений о33 первого приближения следующие формулы, выражающие их через деформации нулевого приближения рК| :

= —О1О2 ({СаоК£ }4 (НврРКК1 ),а + {С1фКХ }4 (НаРК! ),Р +

33 = ОЯ^СК }4 + О2Я23{С2

Здесь учтено, что деформации Р^ и параметры Ламе Яр не зависят от координаты 4, а зависят от нее только модули упругости

+

о

В свою очередь, полагаем, что эти модули С—] не зависят от глобальных координат .

Дифференцируя в выражении (35) по частям произведения функций (НреКЬ) с и приводя подобные, формулы (35) и (36) перепишем в следующем более компактном виде:

с(1) = -С(1) Р(0) - Т(1) Р(0) • сс3 = Са3КЬеКЬ таКЫ еКЬ, J •

с

Здесь введены обозначения для функций от локальной и глобальных координат:

ССзКХ = 0102 ({СССКь - С(Зр_КЬ )Нр,а + 2{СС|зКх }Е, На,р );

ТоКи = 0102 ({ССаКь Нр&а/ + ^С^КЬ }Е, На$и);

с33Кх = 01н13 {СПКЬ + 02н23 {с22КЬ .

Выразим деформации еК3 и е3зиз соотношений (33) при п = 1:

2е(1) = С-1 „С1) •

2ЬК3~ 3К3°К3'

Р

е33 = с3333с33 73КЬеКЬ,

где использовано обозначение из (23).

Подставив (39) в третью группу формул системы (20), находим аналог формул (27) для первого приближения:

^ = С

Подставив выражения (37) в равенство (40), получаем формулу

с

В формуле (41) обозначены функции:

С1ЖЬ = 73иС3 3Кь.

Выразим деформации еКЬ первого приближения через деформации еКЬ и перемещения нулевого приближения. Для этого воспользуемся первой и второй формулами в системе (14) и подставим в них формулы (25). Тогда после приведения подобных получаем:

Р(1) =£П + Ф Р(°)-°аа V 1аа ^ ^ааКЬ^КЬ'

е

Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках.

В системе формул (43) введены обозначения для деформаций кривизны оболочки:

—Паа = Оа О (и^ + Яа3иа0))),а + О^ОрЯ^р (и|0Р + Ярв^^);

—2П12 = ЯА (О2 (и^ + Я13и{0))),2 + Я2О1 (О22 (и302) + Я23и20))),1, (44) а также обозначены компоненты тензора ФааКЬ :

ФааКЬ = Оа Яа3^3К1 • ф12КЬ = 0.

Формулы (43) можно записать в едином тензорном виде

р/ = 4Пш + Фпкь

Подставив выражение (46) в равенство (41), получаем итоговую формулу для напряжений первого приближения о/ через деформации рК) и кривизны Пкь нулевого приближения:

01/ = сш14пК1 + Сщь^Кь •

В формуле (47) введены обозначения:

СШ1 = ^ШКЬ + сиш ФШК1.

Использовав формулы (34), находим перемещения второго приближения:

и32) = — < 73К)Рй >4 + < С:—31330^3 >4, п = 1, 2,3,... ;

и™ =< С—ЗК30К3 >4 +Яа3Оа < >4 —Оа < "3^ >4, п = 2,3,... .

С учетом уравнений (25), (37) и (46) эти выражения запишем в виде

и3 ) = и3КьРКЬ — Ш3К1пК1.

иа2) = — < 4 >4 Яа3Оа

В выражениях (50) обозначены:

и3КЬ = — < 73К)ФКьи >4 + < с3333с333)Кь >4;

иаК1 =< Са313С13К1 >4.

Ш3КЬ =< 73КЬ4 >4. КаКЫ =< СаЪ13^ЖЫ >4 + Оа < и3КЬ >4 ^а/ •

Ю.И. Димитриенко, Е.А. Губарева, Ю.В. Юрин

Выражение решения второго приближения через нулевое приближение. Из формул (31) при п = 2 получаем выражение для сдвиговых и поперечных напряжений:

сС23 = -А^НсССи +НсаС1в,р + 2Нс,раС1в -Нр^ +

+ (Н а Нр3 + 2 Нр Н а3 )аС13)}^; с33) = -0102{(Н2а|13))д + (Н1с213)),2 -НН^сЦ -Н^с« +

+

Подставив в

для си после группировки слагаемых получаем искомые соотно-

(2) (2) шения между сдвиговыми с(э и поперечными сЦ напряжениями

второго приближения и деформациями нулевого приближения:

ссс3 = -СС3КъеКЬ -ТаЗКЫ еКЬи3КЬПКЬ 3КЬ/ Лкь, и •

с

В (53) обозначены следующие тензоры:

ССзКЬ = 0102 ({(ССаКЬ - СРРКЬ )Нв,с + 2{ССрКЬ^Нс,Р -

- (Нсн|3 + 2Н|Нс3){СС13КЬ );

ДОК/ = 0102 ({ССоКХ^НР^а/ + {СофКЬ^На^и -

- (Нан|3 + 2Н|На3 ){Т>аКи );

^а3КЬ = 0102({(С(СаКЬ -С|ЗРКЬН|,а+ 2{ССрКх^На,|); ^а3КЬ/ = 0102 ({с(сскь^}^ Нр5(/ + {С(Ср)КЬ^}^ На5р/ );

С:33ккь = 0102

Выразим деформации рК3 и р32 из соотношений (33) при п = 2:

2Р(2) = с-1 0(2). 2РК3~ с13К3°К3.

Р

где использовано обозначение из (23).

Подставив (55) в третью группу формул системы (20), находим аналог формулы (27) для второго приближения:

о

Выразим деформации рК) второго приближения через деформации рК) и перемещения нулевого приближения. Для этого воспользуемся первой и второй формулами в системе уравнений (14) при п = 2:

РаС = Оаи£х2а + О1О2 Яа,рир2) + и32)Яа3Оа.

2р

и подставим в них выражения (50) для перемещений и32), иС2). Тогда после приведения подобных получаем:

Р(2) =<4> п(2) — ь(2) п — ф(2) Р(0) — в(2) Р(0) — К (2) Р(0) •

аа ^ 4 ^аа ЬааКЬ1\КЬ ФааКЬрКЬ пааКЫьКЬ, / КссКЬ/МрКЬ,Ш;

2Р

Здесь обозначены

ьССКЬ = Яа3Оа/3Кь, А.2КЬ = 0; ФССКЬ = О1О2 Яа,рисхКь — Яа3Оаи3КЬ;

2Ф(2Кь = О2Я1(О1и^КЬ ),2 + ОЯгОШКъ )д;

ВасКЬ/ = Ос,иСКь&с/ + О1О2Яа,рКаКЬ/. 2^120/ = О2 О1(Я1иКЬ52 / + 1 / ) + О2 Я1К1 КЬ/ ,2 + О1Я2 К2 КЬ/ ,1;

КСоКЬ/М = Оа КаКЬ/ ^аМ.

2к12КЬ/М = о2 Я1К1КЬ/ $2М + о1я2 К2КЬ/ ^1М

и введены обозначения для деформаций кривизны оболочки второго приближения:

ПСС = 0а (На30С(и$°а + На3иС0))),а + 010^0,^13,01^ + Нр3и(0))--2п(2) = 02 Н (Н13012 (и^ + Н13и1(0))),2 +

+ 01 Н2

Формулы (58) можно записать в едином тензорном виде

Р

„£Р =< Е '|£Р Ь8РКЬ ЧКЬ Ф8РКЬ„КЬ °8РКЫ „КЬ,/ К8РКЫМ „КЬ,/М .

Подставив выражение (53) для с3:2) и выражение (61) для „р

в равенство (56), получаем формулу

с(2) =С (0) „(2)- Ь(2) „ - Ф(2) „(0) - „ (2) „(0) - К (2) „(0) ) + Vи -^ЖРУ^Ь '1£Р 8РКЬ \КЬ 8РКЬ КЬ п8РКЬ/ьКЬ,/ ^8РКЫМЬКЬ,

+73/

Введя обозначения

С(2) = С(0) Ф(2) - 7 С(2) . СиКЬ = С1/5РФ5РКЬ 73иС33КЬ;

Т(2) = С(0) „(2) - 7 т(2) .

ТШ1М = СтРп8РКШ 731/Т3КЬМ.

Е = С(0) К(2) - 7 Е . Ештм = Стрк8ркьш 73иЕК1ш.

^!/КЬ = С//ЗРЬ!^РкЬ - 731/Щ3КЬ,

запишем формулу (62) в итоговом компактном виде

с(2) = С(0) < Е > „(2) -С(2) „(0) - т(2) „(0) -аи -^ШЬ^Ъ К ииКЬьКЬ Я-иК1МьКЬМ

-ЕиКЬММ„^КЬМЫ - -^икъПКЬ.

Выражение решения третьего приближения через нулевое приближение. Из формул (31) при п = 3 получаем выражение для поперечных напряжений третьего приближения:

с333( = -0102{(Н2с(2)),1 + (Н1с223(),2 -Н2Н13с -Н1Н23с222) +

+

Все входящие в формулу (65) напряжения второго приближения уже вычислены, и их можно выразить по формулам (53) и (64). После подстановки этих формул получаем окончательно:

с333( = с33КьеКЬ + Т3ъки „КЬ, / + ЕъъкиМ „КЬ, /М + ^зкь^кь +

+ ^Икт пкь,м +^КЬЧ2Ь -

Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках...

В уравнении (66) обозначены тензоры:

Сэзи = °(°2({СШХ Н2,( + {С^ЗКХ Н(,2 - Н2Н(3{СПКЬ -

- н1н 2Ъ{СТ2К1)\- (н13 Н 2 + н1н 23 ){СЗК }$);

Н-ЪЪКЬМ = О(О2 ({К\Ж1М Н2,( + ^-НКШ Н(,2 - Н2Н13 {^ПКХМ --н1н23 {^2Ж1М - (н13Н2 + н1н23 ){^32И,М );

Е3ЖЫМ = -°1°2 (н2н13 {Е]лКыМ + н1н23 {Е22КЫМ +

+ (н13н2 + н1н 23 ){Е3жЫМ ); = ОА«^ }$Н2Л + {^к }$Ни - Н2Н1з{К{К }$ -

-НХН23{#22к}^ -(Н13Н2 + Н1Н23х^}:);

^33КМ = °(°2 ({ ^(3КМ Н2,( + { ^МХМ Н(,2 );

= ОО

Явный вид компонент полного тензора напряжений в композитной многослойной оболочке. Подставив формулы (27) и (47) в асимптотическое разложение ((5) и сохранив члены до первого порядка относительно ж, получим следующее выражение для компонент Си тензора напряжений через деформации е^ и кривизны нулевого приближения:

Си = сшь еК! + сшь $пК1 •

Подставив формулы (37) и (53) в то же асимптотическое разложение ((5) и сохраняя члены по второго порядка относительно ж,

получаем следующее выражение для сдвиговых компонент С^3 тензора напряжений через деформации е^ и кривизны нулевого приближения:

-Са3 = Са2КхеКх + 1\аЗКЫеК2,3 + ^аЗКЬ^КЬ + УаЗКЫПК1,3 •

Подставив формулы (37) и (53), (66) в асимптотическое разложение ((5) и сохраняя члены вплоть до третьего порядка относительно ж, получаем выражение для поперечной компоненты 033 тензора напряжений через деформации еК£ и кривизны нулевого приближения:

с33 = с33КхеКх + ЩяКЫ еКЬ, 3 + Е3зКиМ еКЬ,3М + ЩзКЬ^КЬ +

В формулах (68)-(70) обозначены тензоры, зависящие только от упругих характеристик слоев оболочки, толщин слоев и параметров Ламе срединной поверхности оболочки:

С(() = С(0} + жС(() С(0) = жС(0) •

^1ЖЬ~ ^ЫКЬ^ жь13КЬ, ^ЖЬ ~ жьшь •

С (2) = жС (() + ж 2С (2) А (2) = ж„(() + „2п(2) .

а3КЬ _ жь а3КЬ ж ь а3КЬ, ла3КЬ3 _ жла3КЬ3 ^ ж ла3КЬ3;

^~аЗКЬ = ж ^а3КЬ, Уа3К13 = ж ^а3КЬ3;

С(3) = ж С(() , ж2С(2) + ж3С(3) А(3) = ж2 „(2) + ж3А(3) . ь33КЬ _ ж ь33КЬ ^ ж ь33КЬ + ж ь33КЬ, п33КЬ3 _ ж п33КЬ3 + ж п33КЬ3 •

ЕЕ(3) = ж2Е(2) + Ж3Е(3) N(3) = ж2^(2) + ж3 N(3) •

^33КЬ3М ~ ж ^33КЬ3М + ж ^33К13, 1 ^33КЬ~ ж 1у33КЬ + ж 7у33КЪ.

*33Км = ж34Км, ^^КЬ = ж3^ •

Формулы (68)-(70) дают выражение для полного тензора (всех шести компонент) напряжений в многослойной композитной оболочке через деформации еКЬ и кривизны нулевого приближения пКЬ, а также кривизны второго приближения, которые согласно выражениям (60), отображаются через перемещения нулевого приближения

40), и30).

Осредненные уравнения равновесия многослойных оболочек.

Перемещения нулевого приближения и}0-*, и30) вычисляют с помощью решения осредненной системы уравнений для всей оболочки:

(НРТаа),а + (НаТав),Р + На,РТаР -НР,аТРР = 0; (НвМаа),а + (НаМаР ),р + На,рМаР - Нр,аМрр - Н(Н2^а = 0;

Вывод этих уравнений на основе асимптотической теории представлен в работе [24]. В системе уравнений (72) обозначено

_ 2

Лр = ж Лр. Уравнения совпадают с классическими осредненными уравнениями теории оболочек Кирхгофа — Лява и Тимошенко [25], но усилия Ти, моменты Ми и перерезывающие сил QI в оболочке, входящие в систему (72), определяются специальным образом, в виде асимптотических разложений:

Т/ =<с/ > + а <с/ >+...; М/ = а <Ес10( > + а2 <Ес/) >+...;

= а<с^13) > + а2 <оЦ) >+... .

Подставив выражения (27) и (47) для напряжений с/ с/

в формулы (73), получаем с точностью до значения порядка малости, указанного в формулах (73):

= Сикь „КЬ + „икь^кь;

М/ = „икъ е^ + ^икъЛкъ,

где обозначены мембранные жесткости оболочки СШь, смешанные жесткости ВШь , „икь и изгибные жесткости Вц^:

СиКЬ =< С1(0кКь > +а < >; ВЫКЬ =а < Е С10ККЬ >;

В/КЬ =а<ЕС/ь >; В/КЬ =а<СКь > + а2 <ЕС1К >.

От классических выражений для жесткостей тонких оболочек выражения (75) отличаются: 1) наличием жесткостей первого порядка а < С/Кь > и а2 < ЕС/Кь >, которые обычно малы по сравнению с соответствующими жесткостями нулевого порядка < СЩь > и

а < Е>Сшь >; 2) слагаемыми С/33^3кь в выражениях (27) для жест-костей нулевого приближения, учитывающими пуассоновские эффекты. Поправки обоих типов могут вносить изменения в жесткости оболочек.

Вместе с кинематическими соотношениями

образуют замкнутую систему относительно трех перемещений и^, м30) и двух перерезающих сил Qа, которые являются функциями только двух переменных — продольных координат . После решения этой системы, например, численными методами, можно найти все шесть компонент тензора напряжений как функции уже всех трех координат: и Е, используя для этого только аналитические явные

формулы (68)—(70) и не решая при этом никаких дополнительных задач. Полученные выражения (68)—(70) представляют собой асимптотически точные выражения напряжений в общей трехмерной теории упругости.

Выводы. На основе ранее разработанной асимптотической теории тонких многослойных моноклинных анизотропных оболочек предложен алгоритм получения явных аналитических формул для расчета распределения компонент полного тензора напряжений по оболочке, в том числе по ее толщине. Решены локальные задачи теории оболочек первого, второго и третьего приближений, которые позволили получить выражения для всех шести компонент тензора напряжений в компактной замкнутой форме в виде зависимости от деформаций, искривлений срединной поверхности оболочки, а также их производных по продольным координатам, которые вычисляют с помощью решения осредненных уравнений асимптотической теории оболочек.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Димитриенко Ю.И., Яковлев Н.О., Ерасов В.С., Федонюк Н.Н., Сборщиков С.В., Губарева Е.А., Крылов В.Д., Григорьев М.М., Прозоровский А.А. Разработка многослойного полимерного композиционного материала с дискретным конструктивно-ортотропным заполнителем. Композиты и наноструктуры, 2014, т. 6, № 1, с. 32-48.

[2] Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. Москва, Машиностроение, 1997, 366 с.

[3] Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Обобщенная модель механики тонкостенных конструкций из композитных материалов. Механика композитных материалов, 1988, № 4, с. 698-704.

[4] Gruttmann F., Wagner W. Shear correction factors in Timoshenko's beam theory for arbitrary shaped cross-sections. Computational mecanics, 2001, vol. 27. pp. 199-207.

[5] Ghugal Y.M., Shmipi R.P. A review of refined shear deformation theories for isotropic and anisotropic laminated beams!. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2001, vol. 20, no. 3, p. 255-272.

[6] Tornabene F. Free vibrations of laminated composite doubly-curved shells and panels of revolution via the GDQ method. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 200 (2011), pp. 931-952.

[7] Гондлях A.B. Адаптация итерационно-аналитического многослойного конечного элемента в систему ABAQUS. Восточно-Европейский журнал передовых технологий, 2012, № 3/7 (57), с. 62-68.

[8] Зверяев Е.М., Макаров Г.И. Общий метод построения теорий типа Тимошенко. Прикладная математика и механика, 2008, т. 72, вып. 2, с. 308-321.

[9] Зверяев Е.М. Анализ гипотез, используемых при построении теории балок и плит. Прикладная математика и механика, 2003, т. 67, вып. 3, с. 472-483.

[10] Kohn R.V., Vogelius M. A new model of thin plates with rapidly varying thickness. Int. J. Solids and Struct., 1984, vol. 20 (4), p. 333-350.

[11] Панасенко Г.П., Резцов М.В. Осреднение трехмерной задачи теории упругости в неоднородной пластине. Докл. АН СССР, 1987, т. 294, № 5, с. 1061-1065.

[12] Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. Singapore; London, World Sci. Publ., 2000, 739 p.

[13] Kolpakov A.G. Homogenized models for thin-walled nonhomogeneous structures with initial stresses. Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, 2004, 228 p.

[14] Шешенин С.В. Асимптотический анализ периодических в плане пластин. Известия РАН. Механика твердого тела, 2006, № 6, с. 71-79.

[15] Назаров С.А., Свирс Г.Х., Слуцкий А.С. Осреднение тонкой пластины, усиленной периодическими семействами жестких стержней. Математический сборник. 2011, т. 202, № 8, с. 41-80.

[16] Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. Москва, Изд-во МГУ, 1984, 336 с.

[17] Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Москва, Наука, 1984, 356 с.

[18] Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. Москва, Мир, 1984. 471 с.

[19] Димитриенко Ю.И., Кашкаров А.И. Конечно-элементный метод для вычисления эффективных характеристик пространственно-армированных композитов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2002, № 2, с. 95-108.

[20] Димитриенко Ю.И. Асимптотическая теория многослойных тонких пластин. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3, с. 86-100.

[21] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Асимптотическая теория термоупругости многослойных композитных пластин. Механика композиционных материалов и конструкций, 2014, т. 20, № 2, с. 260-282.

[22] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Сборщиков С.В. Асимптотическая теория конструктивно-ортотропных пластин с двухпериодической структурой. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, с. 36-57.

[23] Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html

[24] Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Шалыгин И.С. Теория тонких оболочек, основанная на асимптотическом анализе трехмерных уравнений теории упругости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2015, вып. 5 (29). DOI: 10.18698/2308-6033-2015-5-1405

[25] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. В 4 т. Т. 4: Основы механики твердого тела. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013, 580 с.

[26] Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. Москва, Высшая школа, 2001, 576 с.

Статья поступила в редакцию 01.11.2016

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Юрин Ю.В. Расчет полного тензора напряжений в тонких моноклинных композитных оболочках на основе метода асимптотической гомогенизации. Инженерный журнал: наука и инновации, 2016, вып. 12. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2016-12-1557

Димитриенко Юрий Иванович — д-р физ.-мат. наук, заведующий кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, директор Научно-образовательного центра «Суперкомпьютерное инженерное моделирование и разработка программных комплексов» МГТУ им. Н.Э. Баумана, действительный член Академии инженерных наук. Автор более 350 научных работ в области механики сплошной среды, вычислительной механики, газодинамики, механики и термомеханики композитов, математического моделирования в науке о материалах. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Губарева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры вычислительной математики и математической физики МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 50 научных работ в области механики композитов, асимптотических методов, механики контактного взаимодействия. e-mail: eagubareva@mail.ru

Юрин Юрий Викторович — аспирант кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 20 научных работ в области механики композитов. e-mail: yvyurin@yandex.ru

Explicit formulas for the calculation of the complete tensor of the stresses in the monoclinic thin composite shells based on the asymptotic homogenization method

© Yu.I. Dimitrienko, E.A. Gubareva, Yu.V. Yurin Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

The article presents the results of further development of the previously proposed by the authors' new asymptotic theory of thin multilayer anisotropic shells. The theory is constructed on the equations of the general three-dimensional theory of elasticity by introducing small geometric parameter asymptotic expansions without any hypotheses on stresses and displacements distribution over the thickness. The case of monoclinic layers having at the most 13 independent elastic constants is considered. An algorithm for obtaining explicit analytic formulas for the calculation of the complete stress tensor component distribution over the shell is proposed. The algorithm is based on solving specific local problems of the first, second and third approximations. It allows obtaining expressions for all six components of the stress tensor in a compact closed form, as a function of strain, curvature of the middle surface of the shell, as well as their derivatives with respect to the longitudinal coordinates. These formulas allow calculating all stress tensor components in the shell without additional tasks, using only the solutions of the averaged problem of shell theory.

Keywords: stress tensor, multilayer thin monoclinic shells, composites, the method of asymptotic averaging, asymptotic theory of shells

REFERENCES

[1] Dimitrienko Yu.I., Sborshchikov S.V., Prozorovskiy A.A., Gubareva E.A., Yakovlev N.O., Erasov V.S., Fedonyuk N.N., Krylov V.D., Grigoryev M.M.

Kompozity i nanostruktury — Composites and Nanostructures, 2014, vol. 6, no. 1, pp. 32-48.

[2] Dimitrienko Yu.I. Thermomechanics of Composites under High Temperatures. Dordrecht; Boston; London, Kluwer Academic Publ., 1999, 347 p. [In Russ.: Mekhanika kompozitsionnykh materialov pri vysokikh temperaturakh. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1997, 366 p.].

[3] Grigolyuk E.I., Kulikov G.M. Mekhanika kompozitsionnykh materialov — Mechanics of Composite Materials, 1989, vol. 24, no. 4, pp. 698-704.

[4] Gruttmann F., Wagner W. Computational Mechanics, 2001, vol. 27, p. 199-207.

[5] Ghugal Y.M., Shmipi R.P. Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2001, vol. 20, no. 3, pp. 255-272.

[6] Tornabene F. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, vol. 200, issues 9-12, pp. 931-952.

[7] Gondlyakh A.V. Vostochno-evropeyskiy zhurnal peredovykh tekhnologiy — Eastern European Advanced Technology Magazine, 2012, vol. 3/7 (57), pp. 62-68.

[8] Zveryaev E.M., Makarov G.I. Prikladnaya matematika i mekhanika — Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2008, vol. 72, no. 2, pp. 308-321.

[9] Zveryaev E.M. Prikladnaya matematika i mekhanika — Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2003, vol. 67, no. 3, pp. 472- 483.

[10] Kohn R.V., Vogelius M. International Journal of Solids and Structure, 1984, vol. 20 (4), рp. 333-350.

[11] Panasenko G.P., Reztsov M.V. Doklady AN SSSR — Reports of AN USSR, 1987, vol. 294, no. 5, pp. 1061-1065.

[12] Levinski T., Telega J.J. Plates, laminates and shells. Asymptotic analysis and homogenization. Singapore; London, World Sci. Publ., 2000, 739 p.

[13] Kolpakov A.G. Homogenized models for thin-walled nonhomogeneous structures with initial stresses. Berlin, Heidelberg, Springer Verlag, 2004, 228 p.

[14] Sheshenin S.V. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela — Mechanics of Solids, 2006, no. 6, pp. 71-79.

[15] Nazarov S.A, Svirs G.H, Slutskiy A.S. Matematicheskiy Sbornik — Mathematics Collection, 2011, vol. 202, no. 8, pp. 41-80.

[16] Pobedrya B.E. Mekhanika kompozitsionnykh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow, Lomonosov MGU Publ., 1984, 324 p.

[17] Bakhvalov N.S., Panasenko G.P. Osrednenie protsessov v periodicheskikh sredakh [Averaging processes in periodic media]. Moscow, Nauka Publ., 1984, 356 p.

[18] Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory. Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag Publ., 1980 [In Russ.: Sanches-Palensiya E. Neodnorodnye sredy i teoriya kolebaniy. Moscow, Mir Publ., 1984, 471 p.].

[19] Dimitrienko Yu.I., Kashkarov A.I. Vestnic MGTU im. N.E. Baumana. Seria Estestvennye nauki — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series: Natural Sciences, 2002, no. 2, pp. 95-108.

[20] Dimitrienko Yu.I. Vestnic MGTU im. N.E. Baumana. Seria Estestvennye nauki — Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series: Natural Sciences, 2012, no. 3. pp. 86-100.

[21] Dimitrienko Yu.I., Yakovlev D.O. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsiy — Mechanics of Composite Materials and Structures, 2014, vol. 20, no. 2, pp. 260-282.

[22] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E., Sborshchikov S. Matematicheskoe modeliro-vanie i chislennye metody — Mathematical modeling and Computational Methods, 2014, no.1 (1), pp. 36-57.

[23] Dimitrienko Yu.I., Yakovlev D.O. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2013, issue 12. Available at: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html

[24] Dimitrienko Yu.I., Gubareva E., Shalygin I.S. Inzhenernyy zhurnal: nauka i in-novatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2015, issue 5 (29). DOI: 10.18698/2308-6033-2015-5-1405

[25] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy. V 4 m. Tom 4. Osnovy mekha-niki tverdogo tela [Continuum Mechanics. In 4 vol. Vol. 4. Fundamentals of Solid Mechanics]. Moscow, BMSTU Publ., 2013, 580 p.

[26] Dimitrienko Yu.I. Tenzornoe ischislenie [Calculus of Tensors]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 2001, 576 p.

Dimitrienko Yu. I. (b. 1962) graduated from Lomonosov Moscow State University in 1984. Dr. Sci. (Phys. & Math.), Professor, Head of the Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Director of Scientific-educational Center of Supercomputer Engineering Modeling and Program Software Development, Bauman Moscow State Technical University. Member of the Russian Academy of Engineering Science. Author of over 350 publications in the field of computational mechanics, gasdynamics, thermomechanics of composite materials, mathematical simulations in material science. e-mail: dimit.bmstu@gmail.com

Gubareva E.A. (b. 1982) graduated from Lomonosov Moscow State University in 2004. Cand. Sci. (Phys.&Math.), Associate Professor, Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University. Author of 50 scientific publications in the field of composite mechanics, asymptotic analysis, contact mechanics. e-mail: eagubareva@mail.ru

Yurin Yu.V. (b. 1989) graduated from Bauman Moscow State Technical University in 2012. Postgraduate student (Ph.D.), Department of Computational Mathematics and Mathematical Physics, Bauman Moscow State Technical University. Author of 20 publications in the field of composite mechanics. e-mail: yvyurin@yandex.ru