Реализация научно-образовательного потенциала обучения студентов вузов обратным задачам для дифференциальных уравнений

УДК 372.851+376.1

РЕАЛИЗАЦИЯ НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПОТЕНЦИАЛА

ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ

ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В.С. Корнилов

Аннотация. Актуальность статьи обусловлена решением проблемы выявления и реализации научно -образовательного потенциала обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений. Статья адресована преподавателям вузов, осуществляющих обучение студентов физико-математических и естественнонаучных направлений подготовки обратным задачам для дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений, прикладная математика, междисциплинарные связи, педагогические технологии, студент.

REALIZATION OF SCIENTIFIC AND EDUCATIONAL POTENTIAL

OF TRAINING OF STUDENTS OF HIGHER EDUCATION INSTITUTIONS

TO THE INVERSE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS

V. Kornilov

Abstract. Relevance of article is caused by a solution of the problem of detection and implementation of scientific and educational potential of training in the inverse problems for differential equations. Article is addressed to teachers of the higher educational institutions which are realizing training of students of the physical and mathematical and natural-science directions of preparation to the inverse problems for differential equations.

Keywords: training in the inverse problems for differential equations, applied mathematics, interdisciplinary communications, pedagogical technologies, the student.

В настоящее время во многих российских вузах имеются физико-математические и естественнонаучные направления подготовки, на которых студентов обучают дисциплинам прикладной математики, таким как математический анализ, функциональный анализ, алгебра, численные методы, обыкновенные дифференциальные уравнения,

дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения, методы оптимизации и другие дисциплины. В процессе обучения прикладной математике студентов учат исследовать прикладные задачи при помощи математического моделирования и проведения вычислительных экспериментов. У таких студентов формируются научное мировоззрение, фундаментальные знания по предметным областям; приобретается опыт самостоятельного исследования физических процессов и явлений при помощи методов современной мировой науки, анализа полученных решений и соответствующих логических выводов прикладного характера.

Сегодня научные исследования творческих коллективов многих образовательных и научно-исследовательских институтов Российской академии образования (РАО) вносят большой вклад в разработку инновационных образовательных технологий, средств и форм

организации обучения студентов вузов физико-математических и естественнонаучных направлений подготовки.

Среди таких научно-исследовательских институтов - Институт управления образованием РАО (г. Москва), Институт стратегии развития образования РАО (г. Москва), Институт профессионально-технического образования РАО (г. Санкт-Петербург), Институт проблем непрерывного образования РАО (г. Красноярск), Институт развития образования РАО при Томском государственном педагогическом университете (г. Томск) и другие научно-исследовательские институты РАО.

Большой вклад в решение отмеченных образовательных задач вносят исследования творческих коллективов Института педагогики, психологии и социальных проблем РАО (г. Казань), который в этом году отмечает славный 40-й юбилей своего создания.

В настоящее время активно развивается теория обратных задач для дифференциальных уравнений, являющаяся одной из научных областей современной прикладной математики. Большой вклад в ее развитие вносят работы А.В. Баева, П.Н. Вабишевича, А.О. Ватульяна, В.В. Васина, А.М. Денисова, С.И. Кабанихина, М.М. Лаврентьева, Г.И. Марчука, Д.Г. Орловского, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, А.Н. Тихонова,

В.А. Чеверды, В.Г. Чередниченко, В.А. Юрко, А.Г. Яголы, В.Г. Яхно и других авторов [1-8]. С использованием методов теории обратных задачи для дифференциальных уравнений успешно исследуются разнообразные процессы и явления, в том числе труднодоступные или недоступные для человека объекты и процессы различной природы; выявляются их причинно-следственные связи, см. табл. 1.

Учитывая широкое применение теории обратных задач для исследования прикладных задач, в некоторых российских вузах преподаются специальные курсы, посвященные обратным задачам для дифференциальных

Таблица 1. - Обратные задачи для дифференциальн• промышленности

уравнений. Среди таких вузов - Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Санкт-Петербургский

государственный университет, Новосибирский национальный исследовательский

государственный университет, Сибирский федеральный университет, Уральский государственный университет, Ростовский государственный университет и другие вузы России. В зависимости от профессиональной направленности подготовки таких студентов формируется содержание таких курсов по выбору.

уравнений в предметных областях естествознания и

В процессе преподавания теории обратных задач рассматриваются различные учебные обратные задачи, среди которых обратные задачи определения коэффициентов, правых частей линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений; коэффициентные, граничные и эволюционные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных (одномерные и многомерные обратные задачи для гиперболических, параболических, эллиптических, интегро-дифференциальных уравнений и других типов дифференциальных уравнений в частных производных, рассматриваемые в различных функциональных пространствах);

рассматриваются приближенные методы решения обратных задач для обыкновенных

дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, см. табл. 2.

В процессе исследования обратных задач применяется математический и функциональный анализ, алгебра и геометрия, методы интегральных уравнений, уравнений

обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики,

оптимизационные методы, численные методы и другие методы прикладной и вычислительной математики.

В процессе обучения обратным задачам студенты используют разнообразные методы математической физики, с помощью которых могут быть исследованы как обратные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.

Таблица 2. - Обратные задачи для дифференциальных уравнений в предметных областях прикладной математики

Алгебра Анализ Геометрия Операторные уравнения

а 1 а * | С с а 3 > \ з ; 1 3 н а а 3 <-> Л н Плохо обусловленные системы Вырожденные системы Дифференцирование Интерполяция Восстановление функций по интегралам Восстановление функций по прямым Восстановление функций по окружностям Обращение компактных операторов Нелинейные операторные уравнения

ОДУ Уравнения в частных производных Интегральные уравнения Оптимальное управление

Обратная задача рассеяния Спектральные обратные задачи Гиперболические Параболические Эллиптические Интегро-дифференциальные Уравнения йшда Уравнения Фредгольма 0. >Е 1 £ интегральные уравнения Задача Радона Интегральная геометрия Градиентные методы

Среди таких методов математической физики - метод Дюамеля, метод Фурье, метод характеристик, метод функции Грина, метод операторных уравнений Вольтерра, метод С.Л. Соболева, метод шкал в банаховых пространствах аналитических функций, метод свертки, формула Даламбера, формула Пуассона, формула Кирхгофа, принцип максимума, преобразование Лапласа и другие методы математической физики.

В результате студенты приобретают умения и навыки применения разнообразных методов математической физики, которые им преподавались в учебных курсах математического, функционального, векторного анализа, аналитической геометрии, алгебры, интегральных уравнений и других учебных курсах, осознают широту их использования в исследованиях прикладных математических задач. Доказывая сложные теоремы существования, единственности и условной устойчивости решения разнообразных обратных задач, они демонстрируют фундаментальные знания как в области теории и методологии обратных задач, так и в области методов математической физики.

В процессе обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений обращается внимание на нахождение их приближенных решений.

При помощи методов вычислительной математики студенты учатся находить приближенные решения обратных задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для дифференциальных уравнений в частных производных. Среди таких методов -метод разложения в ряд Тейлора, метод Эйлера, методы Рунге-Кутта, методы неопределенных коэффициентов, метод прогонки, метод построения разностных уравнений для задач с разрывными коэффициентами на основе интегрального тождества и др.; вариационные методы математической физики (метод Ритца, метод Галеркина, метод наименьших квадратов и др.); методы решения стационарных задач математической физики (метод сопряженных градиентов, метод последовательной верхней релаксации, итерационный метод Чебышева, метод расщепления, быстрое преобразование Фурье, метод циклической редукции, факторизация разностных уравнений и др.); методы решения нестационарных задач математической физики (метод стабилизации, метод предиктор-корректор, метод

покомпонентного расщепления и др.).

Студенты приобретают умения и навыки применения сведений из теории разностных схем, разнообразных методов вычислительной математики, которые им преподавались в учебных курсах математического,

функционального, векторного анализа,

аналитической геометрии, алгебры, интегральных уравнений, численных методов и других учебных курсах, осознают широту их использования в исследованиях прикладных математических задач. При этом следует обратить внимание на следующее обстоятельство. В процессе построения вычислительных алгоритмов решения многих обратных задач студентам приходится иметь дело с поиском решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Нередко нахождение решений различных СЛАУ, является некорректной задачей. Решение СЛАУ может оказаться некорректной задачей, когда ее матрица является, например, плохо обусловленной, квадратной вырожденной или прямоугольной. Поэтому желательно включать в содержание обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений раздел, посвященный СЛАУ.

Эффективность обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений достигается, в том числе реализацией междисциплинарных связей, которая обусловливается необходимостью интеграции как естественнонаучных, так и гуманитарных знаний и позволяет сформировать у студентов систему фундаментальных знаний в области обратных задач, осмыслить их познавательный и научно-образовательный потенциал; осмыслить гносеологические процессы в прикладной математике.

На практических занятиях в качестве учебных заданий студентам может быть предложено, например: построить интегральное (интегро-дифференциальное) уравнение для решения прямой задачи; доказать локальную теорему существования и единственности или теорему условной устойчивости решения обратной задачи; изложить идею нахождения приближенного решения обратной задачи; построить разностный аналог обратной задачи для дифференциального уравнения; построить вычислительный алгоритм нахождения приближенного решения обратной задачи и проанализировать его свойства, доказать сходимость приближенного решения обратной задачи к точному решению и другие учебные задания. Студентам может быть предложено изложение идеи доказательства корректности (условной корректности) решения обратной задачи для дифференциальных уравнений и другие учебные задания или, например, по найденному решению обратной задачи сформулировать логические выводы прикладного или гуманитарного характера.

Студенты в процессе такого обучения осознают корректность математической модели обратной задачи, анализируют проблемные ситуации в реализации математического метода решения обратной задачи, применяют полученные знания для решения конкретной прикладной задачи, обнаруживают знания в области теории и практики исследования математических моделей, грамотно объясняют и обосновывают практические выводы

полученного решения обратной задачи. Очевидно, что в данном случае студенты демонстрируют компетентность в области прикладной математики.

Применение рациональных рассуждений позволяет студентам в процессе обучения успешно решать различные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Среди таких рациональных рассуждений: осмысление физических свойств исследуемого объекта; выдвижение гипотез при аналитическом или численном решение обратных задач; рассмотрение частных случаев при решении обратных задач; разумные аналогии при решении обратных задач; уточнения в ходе решения обратных задач; контроль сходимости и погрешности вычислительного алгоритма решения обратных задач и другие рациональные рассуждения.

В процессе такого обучения у студентов развиваются научное мировоззрение, логическое, алгоритмическое, информационное мышление, творческая активность, самостоятельность и сообразительность. Студенты приобретают умения и навыки применять знания по многим физико-математическим дисциплинам; проводить анализ полученного решения обратной задачи и формулировать логические выводы прикладного характера. Решение обратных задач для дифференциальных уравнений выполняет такие функции в учебно-воспитательном процессе, как мотивационная, познавательная, развивающая, воспитывающая, управляющая, иллюстративная. Решая учебные обратные задачи для дифференциальных уравнений, студенты не только осваивают теорию и практику обратных задач, методологию исследования прикладных задач, но и приобретают новые знания в области прикладной и вычислительной математики. Такие учебные обратные задачи обладают научно-образовательным потенциалом и являются дидактическими единицами усвоения содержания обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений.

Литература:

1. Ватульян А.О. Обратные и некорректные задачи: учебник / А.О. Ватульян, О.А. Беляк, Д.Ю. Сухов, О.В. Явруян. - Ростов на Дону: Изд-во Южного федерального университета, 2011. - 232 с.

2. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач: учебное пособие / А.М. Денисов. - М.: Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 1994. - 207 с.

3. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи: учебник для студентов вузов / С.И. Кабанихин.

- Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2009.

- 458 а

4. Корнилов В.С. Некоторые обратные задачи идентификации параметров математических моделей: учебное пособие / В.С. Корнилов. - М.: МГПУ, 2005. -359 с.

5. Корнилов В.С. Обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений как фактор

гуманитаризации математического образования: монография / В.С. Корнилов. - М.: МГПУ, 2006. - 320 с.

6. Корнилов В.С. Формирование фундаментальных знаний студентов в области методов математической физики при обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений / В.С. Корнилов // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия «Информатизация образования». - 2016. - № 2.

- С. 83-94.

7. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики: монография / В.Г. Романов. - М.: Наука, 1984.

- 264 с.

8. Самарский А.А. Численные методы решения обратных задач математической физики: монография / А.А. Самарский, П.Н. Вабишевич. - М.: УРСС, 2004. -478 с.

Сведения об авторе:

Корнилов Виктор Семенович (г. Москва, Россия), доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, профессор, заместитель заведующего кафедрой информатизации образования института математики, информатики и естественных наук ГАОУ ВО города Москвы «Московский городской педагогический университет», e-mail: vs_kornilov@mail.ru

Data about the author:

V. Kornilov (Moscow, Russia), doctor of education, candidate of physical and mathematical sciences, full professor, deputy Head of the Department of Informatization of Education, Institute of Mathematics, Computer science and Natural Sciences, Moscow City University, e-mail: vs_kornilov@mail.ru