Модели массового обслуживания в задаче оптимизации работы светофора

УДК 656.1+519.21

М.М. Ахмадинуров, Г. А. Тимофеева

МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ

РАБОТЫ СВЕТОФОРА

Рассмотрен метод нахождения оптимальных параметров светофора основанный на теории систем массового обслуживания. Рассмотрены вопросы существования стационарного режима. Для уточнения модели используется имитационная программа. В программе применяется микроскопическое моделирование, входящие потоки автотранспорта моделируются как простейшие. Оптимизация параметров цикла проводится на основе многокритериального подхода.

Управление транспортными потоками, системы массового

обслуживания, имитационное моделирование, транспортная сеть, светофор, перекресток, микромоделирование

M.M. Ahmadinurov, G.A. Timofeeva

QUEUING THEORY MODELS IN OPTIMIZATION PROBLEM OF TRAFFIC

LIGHTS

The method of the optimization of traffic lights cycle is considered on the base of the queuing theory. Stationary regimes of the operation of the queuing system are studied. To qualify the model a imitating compute program is suggested.

The research work is directed to the solving for optimum traffic light parameters under given car flow intensities. The program uses a microscopic simulation. The flows of vehicles coming to an intersection are assumed to be Poisson. The optimization is done on multi-criteria approach.

Control of traffic flows, queuing systems, imitating modeling, transport network, traffic flow, traffic light, intersection, microscopic models

Введение

Проблема перегруженности автомагистралей является одной из важнейших для большинства современных мегаполисов. Ежегодно на развитие транспортных магистралей затрачиваются существенные средства. С другой стороны, не исчерпаны возможности улучшения ситуации на отдельных участках дорожной сети за счет оптимизации регулирующих циклов на перекрестках. Последнее направление требует меньших финансовых затрат, чем строительство новых и расширение старых дорожных развязок.

Проблемы нахождения основных характеристик транспортного потока, следующего через перекресток, и на этой основе вычисление оптимальных параметров цикла исследуются систематически, начиная с известной работы Вебстера [1]. К настоящему времени количество публикаций по данной тематике исчисляется сотнями, в разных странах выпускаются учебники и монографии, посвященные проблемам оптимального регулирования потоков автотранспорта (например, [2]).

Одним из возможных направлений моделирования движения транспортных потоков через регулируемый перекресток является теория Марковских процессов с непрерывным временем. Среди актуальных постановок задачи оптимального управления циклом светофора можно выделить следующие направления: адаптивное регулирование циклом, совместное рассмотрение нескольких перекрестков, исследование устойчивых режимов работы.

Адаптивное управление переключениями сигналов светофора предполагает установку датчиков длины очереди (или просто наличия ожидающих автомашин). Среди работ данного направления отметим оригинальный метод регулирования, предложенный в [3] и состоящий в том, что светофор переключается на зеленый сигнал, как только в заданном направлении исчезает очередь. Отметим, что режим такого адаптивного управления позволяет максимально использовать дорожную сеть, однако не экономит время проезда, так как каждый автомобиль вынужден остановиться на перекрестке. Такой режим оправдан в случае, когда дорожная сеть работает на границе своей пропускной способности. Другим важным направлением улучшения управления потоками автотранспорта является организация «зеленой волны», создание приоритетов для общественного транспорта и т.д. [4].

1. Постановка задачи

Рассмотрим перекресток с равным числом пересекающийся полос. С каждой стороны перекрестка, на определенном расстоянии от него, начинают движение автомобили с известными интенсивностями Л,Л2,Л, Л4. Причем направления движения 1 и 3 являются перпендикулярными по отношению к направлениям 2 и 4.

Введем следующие обозначения: T - продолжительность цикла светофора,

Т1 - продолжительность красного сигнала для первого направления движения (Л,Л), Т2 - продолжительность красного сигнала для противоположного направлении движения (Л,Л4). Продолжительность желтого сигнала обозначим то, обычное значение этого параметра в России равно 3 секунды [5].

Таким образом, продолжительность цикла светофора равна:

T =

Необходимо определить, как нужно настроить параметры светофора т1 и т2, чтобы пропускная способность во всех четырех направлениях была оптимальной. В данной статье будем рассматривать только программные управления, то есть предполагается, что параметры цикла светофора {I,Т0,Т1,Т2} выбираются на некоторый, достаточно длительный

период времени постоянными.

Для постановки и решения задачи оптимального выбора цикла светофора были исследованы следующие проблемы: распределение входного потока автомобилей, описание проезда автомобиля через перекресток; построение математической и имитационной моделей движения транспортных потоков через перекресток; выбор целевых функций, которые следует минимизировать при выборе цикла светофора. Среди таких критериев -среднее время простоя автомобилей, т. е. сколько времени в среднем автомобиль не двигается (скорость равна нулю) на данном дорожном участке. Возможен учет всех временных потерь

водителей, возникающих с момента начала движения автомобиля до полного пересечения перекрестка. Другими критериями являются характеристики длины очереди. Здесь также возможны различные варианты: в качестве критерия можно выбрать максимальную длину очереди в течение цикла, среднюю суммарную длину очереди, а также вероятность того, что квартал в каком-нибудь из направлений будет полностью занят и т.п.

2. Описание математической модели

Традиционно авторы [1, 3], использующие модели массового обслуживания для описания работы регулируемого перекрестка, берут за основу систему с неограниченной очередью. В этом случае для существования стационарного режима работы необходимо выполнение ограничений на интенсивности входящих потоков автотранспорта, которые не выполняются в условиях перегруженной дорожной сети. Для преодоления этой проблемы в работе [6] была предложена оригинальная математическая модель, основанная на системах обслуживания с ограниченной очередью. В предложенной модели с ограниченной очередью стационарный режим работы существует всегда, что позволяет находить основные характеристики работы системы и решать задачу их оптимизации [7], не накладывая дополнительных ограничений на интенсивности входных потоков.

В качестве модели перекрестка далее рассматривается совокупность взаимосвязанных систем массового обслуживания (СМО) ограниченными очередями и с изменяющимися интенсивностями обслуживания. Будем считать, что машины, движущиеся в одном направлении, обслуживаются одной СМО. Получаем, что стандартный перекресток на пересечении двух перпендикулярных дорог представляет собой совокупность 4-х систем массового обслуживания. Используя предлагаемый подход, можно рассматривать и более сложные циклы регулирования с выделенным поворотом в одном или нескольких направлениях. При детализации модели нужно учесть и очереди, возникающие из автомашин, совершающих поворот на перекрестке.

Будем использовать модель с переменной интенсивностью обслуживания: в период, когда проезд запрещен в /-ом направлении, то есть горит красный сигнал светофора, интенсивность обслуживания дО) равна нулю. В случае, когда включен разрешающий сигнал светофора, обслуживанием заявки (автомобиля) будем считать проезд им стоп-линии и освобождение места для следующей машины. Количество мест в очереди пг в каждом направлении будет равно количеству автомобилей, которые могут поместиться в предшествующем квартале на всех полосах:

«-.= ,

1 I

где Ьг - длина квартала, I - длина автомашины вместе с дистанцией (в среднем).

Обычные значения количества мест в очереди в городских условиях 2о-8о автомобилей. При таком подходе предполагается, что машина, подъехавшая в момент, когда весь квартал занят, покидает систему. Числом обслуживающих каналов mi будет количество полос для проезда перекрестка в одну сторону, т1 = 1,2,3 .

Исследования входного потока автомобилей на нескольких перекрестках г. Екатеринбурга показывают [8], что в случае свободного движения автомобилей поток подъезжающих автомашин хорошо описывается простейшим (Пуассоновским) потоком при выполнении двух условий:

1. относительно малой интенсивности входного потока Л < 0,5 автомашин/сек;

2. расстояние от ближайшего регулируемого перекрестка достаточно большое, а следовательно, количество мест в очереди значительно, например, для одноканальной системы п > 30.

При увеличении плотности входного потока, в соответствии с фундаментальной диаграммой [9], его скорость снижается, расстояние между автомобилями перестает быть случайным и приближается к детерминированному потоку. Для моделирования потока в таких случаях можно использовать поток Эрланга или детерминированный поток. В случае, когда расстояние до предыдущего регулируемого перекрестка мало, поток теряет свойства простейшего, так как автомобили двигаются «пакетами», и здесь можно применить модель следования за лидером.

Предположение о показательном распределении входного потока используют и другие авторы [1, 3, 10]. Далее будем считать, что поступающие потоки автомашин являются простейшими с интенсивностями Л автомобилей в секунду, обозначим через т

интенсивности обслуживания при разрешающем сигнале светофора. Отметим, что параметры системы разделяются на три группы:

1. постоянные характеристики перекрестка: т{ - количество полос движения; пг -максимальная длина очереди;

2. переменные: Лг - интенсивности входных потоков; т - интенсивность /-го потока обслуживания в зеленой фазе;

3. управляемые: продолжительность цикла светофора и его фаз: Т и Т1, Т2, Т0.

Статистические наблюдения показали, что интенсивности входных потоков Лг

существенно меняются в течение суток и в зависимости от других факторов, а интенсивности обслуживания т меняются незначительно.

В качестве выходных характеристик работы системы можно рассматривать: средние потери времени, приходящиеся на один автомобиль при пересечении данного перекрестка; вероятность того, что хотя бы в одном направлении образуется затор; общее количество автотранспорта на перекрестке и прилегающих кварталах в среднем и т.д.

Описание СМО для одного направления

Рассмотрим более подробно - систему массового обслуживания (СМО),

описывающую проезд в одну сторону. В качестве обслуживания будем рассматривать проезд автомобилем перекрестка, более точно - проезд стоп-линии и освобождение места для проезда следующей автомашины.

Следуя обычной технологии применения СМО, интенсивность обслуживания определяется на основе статистических данных о среднем времени обслуживания вг. Тогда

интенсивность обслуживания равна т = (^ )-1. В статье [6] были рассмотрены два варианта

моделирования интенсивности обслуживания: кусочно-постоянная и переменная

интенсивность обслуживания. Для иллюстрации предлагаемого подхода построим математическую модель движения по перекрестку, считая, что он образован простым пересечением 2-х однополосных дорог. Рассмотрим подробно, как происходит изменение состояния системы в одном /-ом направлении для случая кусочно-постоянной интенсивности обслуживания.

Состояниями рассматриваемой СМО являются:

£1(0) - отсутствие автомашин в данном направлении непосредственно перед стоп-

линией,

£г(1) - одна автомашина совершает проезд,

- одна автомашина совершает проезд перекрестка и одна находится перед ним и

т.д.,

£г(п) - все места в очереди заняты, то есть весь квартал заполнен автомашинами.

Рис.1. Граф состояний системы для одного направления

Обозначим р(к')(1) - вероятность к-ого состояния системы О, в момент времени 1. В соответствии с теорией Марковских цепей с непрерывным временем вероятности состояний удовлетворяют дифференциальным уравнениям Колмогорова:

;,

р(.о) = -Л(1) рг(0)+тг)(1) рг( р(1)=-Л/р',') -т,(<) р(1>+Л,р(01+т, (1) р,<!>

р‘п-1' =-ЛрГ' -т

Здесь т (1) - кусочно-постоянная функция интенсивности проезда, которая для нечетных направлений равна:

|>г, кТ < 1 < кТ + Т

)=

[0, кТ + т1 < 1 < (к + 1)Т ’

где к - количество целых циклов, прошедших от начала наблюдений.

Аналогично определяются интенсивности проезда для четных направлений. Для вероятностей состояний каждой системы выполняется условия нормировки:

р(0) (1) + р(1) (1) + к + р(”)(1) = 1.

Через д,(1) обозначим (п +1)-мерный вектор вероятностей состояний в момент времени 1. Систему (2.2) можно записать в матричном виде:

<&1 =

где т((1) кусочно-постоянная интенсивность проезда, матрицы А и В, размерности

(п +1 )х(п +1), соответственно равны:

'-1 0 0 0 ^ ' 0 1 0 к 0 ^

1 -1 0 0 0 -1 1 0 к

А = В =

0 к 1 -1 0 0 к 0 -1 1

V 0  0 1 0 у V 0 к 0 0 -1

Система дифференциальных уравнений (2.5) с условием нормировки (2.4) однозначно определяет вероятности состояний системы О,, если известно начальное распределение

вероятностей: ^(0) = (рг(0)(0); рг(1)(0); к рг(п)(0)). Система дифференциальных уравнений может быть решена, например, с помощью пакета Ма1саё. С помощью численного

221

моделирования можно изучить зависимость средней длины очереди от интенсивности входного потока и режима работы светофора. Однако такой метод не дает возможности для аналитических исследований и выбора оптимального режима работы. Поэтому далее исследовались стационарные режимы работы системы.

Обозначим через Q(1) объединенный вектор состояний всех 4-х систем:

Q(t) = {^(1),д2(1),#3(1),#4(1)}е Я4(п+:). Так как системы дифференциальных уравнений (2.5) для всех /=1,...,4 имеют периодическую правую часть, то с увеличением 1 их решения могут приближаться к некоторой векторной периодической функции 2(1), которую назовем периодическим стационарным режимом работы всей системы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если для любых начальных условий, удовлетворяющих равенству

приближается к периодической функции 2(1), то есть выполняется условие:

1т Ш1) - 2

1---¥

где \\Q\I - норма вектора, то 2(1) называется стационарным режимом работы

объединенной системы О,.

Из определения следует, что стационарный режим работы может быть только один, и он совпадает с асимптотически устойчивым периодическим решением системы. В работе [7] доказано, что для системы такой режим всегда существует и найдены соотношения для его аналитического описания, на этой основе разработан численный метод расчета оптимальных параметров цикла на основе модели (2.4)-(2.6).

3. Имитационная модель

Для уточнения модели была разработана программа [11, 12], предназначенная для выполнения имитационного моделирования движения автотранспорта через регулируемый перекресток. Программа создана в среде разработки Бог1апё Бе1рЫ 7. Программа позволяет конструировать небольшую дорожную сеть (несколько кварталов) с регулируемыми перекрестками и «прогонять» по ней автомобили. В качестве входных параметров задаются местоположения генерации автомобилей, интенсивность автомобильных потоков, параметры светофоров. На выходе программа возвращает пропускную способность каждого дорожного участка, вероятность возникновения пробки на участке, среднюю длину очереди на участке и другие параметры.

Основные функциональные возможности программы:

- Загрузка карты с изображением дорог и перекрестков через файл, подготовленный в графическом редакторе.

- Задание входного потока автомобилей в любом месте карты (имитация мест рождения транспортного потока: магазины, места работы и учебы и т.д.).

- Моделирование проезда автомобилей через регулируемый перекресток. На входе задаются: интенсивность движения, границы красного и зеленого сигналов светофора. Программа вычисляет все варианты сигналов светофора и для каждого варианта выполняет прогон автомобилей. Все выходные параметры (длина очереди, среднее время задержки и т. д.) фиксируются в таблице.

- Получение объединенных результатов для перекрестка в целом. Если задать четыре интенсивности (как на перекрестке), то программа вычислит объединенные результаты (средневзвешенные значения параметров: пропускная способность, длина очереди, среднее время задержки).

- Ускорение вычислений. Программа позволяет смоделировать десятичасовой прогон автомобилей за 30 секунд реального времени. (Вычисления проводились на процессоре Intel Core Duo 1,6 Ghz).

- Нахождение оптимальных режимов светофорного регулирования для одного перекрестка. Можно указать ограничения на ряд выходных параметров, программа отобразит только те результаты, которые удовлетворяют заданным условиям.

- Сохранение результатов вычислений в MS Excel.

- Вставка результатов вычислений из MS Excel в программу моделирования.

Входной поток автомобилей

Входной поток автомобилей задается с помощью, так называемых, генераторов (имитация мест рождения транспортного потока). Можно создать любое количество генераторов, у каждого указываются параметры: место создания автомобилей (x, y), интенсивность (авто/мин), направление движения и максимальная скорость автомобилей (км/ч). После чего генератор с заданной интенсивностью создает автомобили в указанном месте.

Результаты, полученные в работе [8], свидетельствуют о том, что реальный поток автомобилей имеет показательное распределение или близкое к нему. Поэтому в программе временные интервалы между созданием автомобилей генерируются случайным образом [14, 15] по показательному распределению, интенсивность потоков задается через параметр

1, единица измерения авто/с. Для удобства использования в интерфейсе программы интенсивность автомобильного потока задается в авто/мин.

Выходные параметры системы

При моделировании движения автомобилей через перекресток программа фиксирует выходные параметры системы:

Qaemo - общее количество обслуженных автомобилей, авто. Учитываются автомобили, которые пересекли перекресток за все время проведения вычислительного эксперимента.

Q-цикл - общее количество циклов светофорного регулирования, циклов. Количество

циклов светофорного регулирования за все время проведения вычислительного эксперимента.

QnponycK мин - пропускная способность перекрестка, авто/мин. Среднее количество автомашин, проезжающих через перекресток за одну минуту.

QnponycK цикл - пропускная способность перекрестка, авто/цикл. Среднее количество автомашин, проезжающих через перекресток за один цикл светофора.

Тобщее - среднее время жизни автомобиля, чч:мм:сс. Среднее время полного

прохождения автомобилем дорожного участка с момента генерации и до пересечения перекрестка.

Tзадержка - среднее время задержки автомобиля, с. Сколько времени в среднем автомобили не двигаются (скорость равна нулю) на данном дорожном участке.

Qaemo cucm - общее количество автомобилей в системе, авто/мин. Среднее количество автомобилей в системе на момент включения зеленого сигнала, с любой скоростью.

ОочеРедъ - длина очереди, авто/мин. Среднее количество автомобилей в системе на момент включения зеленого сигнала, у которых скорость равна нулю.

Твнешнзадержка - общее время внешней задержки, чч:мм:сс. Общее время задержек

автомобилей вне системы (за рамками рассматриваемого квартала, причина задержки: невозможно заехать в квартал из-за затора).

Тотн.внешзадержка - относительное время внешней задержки, %. Время задержки в

процентном соотношении времени задержки от общего времени проведения эксперимента.

1факт - фактическая интенсивность, авто/мин. Сколько фактически автомобилей в

минуту создает генератор, у которого установлен входной параметр 1.

Модель движения автомобилей

В программе используется микроскопическая модель [ll, l2] движения автомобилей. За основу взята модель умного водителя (The Intelligent Driver Model, IDM) [із, 9], в которую внесены некоторые упрощения. Уравнение движения состоит из двух частей:

где - функция ускорения, УЬгаке - функция торможения.

Уравнение ускорения автомобиля задается в виде:

vspeed (va) = a

Г v ^ a _ 4

l -

1 v0 J

где

а - максимальное ускорение, Уа - текущая скорость, у0 - желаемая скорость

(скорость, с которой автомобиль перемещался бы в свободном потоке).

Уравнение торможения автомобиля задается в виде:

brake a

(sa,va) =

Г sn + vaT Л

-a

a

0, sa > l0

, sa£ [l,l0]

где sa - дистанция до впереди едущего автомобиля (измеряется в метрах),

50 - минимальное расстояние между автомобилями, которое сохраняется даже в пробке,

Т - желаемый временной интервал - время движения автомобиля со скоростью Уа до

столкновения с впереди едущим автомобилем, Уа - текущая скорость.

Таким образом, автомобиль плавно набирает скорость от 0 до желаемой у0 с

вычисляемым ускорением У,,реес1, которое зависит от скорости Уа в данный момент времени и

от заданного максимального ускорения а . Снижение скорости в случае возникновения препятствия перед автомобилем осуществляется с помощью функции УЬгаке, которая зависит

от расстояния до препятствия ,а, скорости автомобиля Уа, от параметров Т и ,0.

Стохастичность моделирования достигается за счет того, что параметры, характеризующие индивидуальные особенности стиля вождения водителя, вычисляются отдельно для каждого автомобиля случайным образом в соответствии с равномерным

2

•<

распределением с разбросом 20%. В качестве исходных значений принимаются T = 1,5 с, s0 = 1,5м, a = 2м / с2.

Каждый автомобиль при необходимости может менять полосу движения, при этом проверяется возможность безопасного осуществления перестроения. Как только расстояние sa до впереди едущего автомобиля становится меньше допустимого, предпринимается попытка сменить ряд. Сначала проверяется, можно ли перестроиться в левый ряд, если нельзя (маневр приведет к резкому торможению других транспортных средств или к аварии), тогда проверяется возможность перестроиться в правый ряд. Параметр означает

дистанцию безопасности, которая проверяется перед осуществлением перестроением автомобиля. Также s^ отвечает за целесообразность перестроения в новый ряд, так как проверяется наличие в новом ряду места для движения вперед.

4. Метод нахождения оптимального цикла светофора

Перейдем описанию алгоритма определения оптимальных параметров светофора с помощью программы моделирования транспортных потоков. Порядок проведения расчетов.

1. Задаются входные параметры:

- Габариты перекрестка, количество полос движения.

- Интенсивности транспортных потоков l, 12, 13, 14 .

- Минимальные и максимальные значения сигналов светофора и шаг изменения.

2. Запускается прогон автомобилей через перекресток. На этом шаге программа будет моделировать движение автомобилей через перекресток, изменяя при этом значения параметров светофора. В результате прогона будет выполнен перебор всех заданных значений продолжительности фаз светофора. Диапазоны изменения основных выходных параметров, характеризующих качество регулирования движения на перекрестке: средняя длина очереди по всем направлениям, максимальная длина очереди в одном из направлений, среднее по всем направлениям, максимальное в одном из направлений при переборе возможных параметров цикла светофора фиксируются в таблице.

3. Выбирается условие оптимальности на основе метода главного критерия. Для этого среди выходных параметров выбирается главный, который будет оптимизирован, и задаются ограничения на остальные выходные параметры. При этом программа произведет фильтрацию выходных параметров, полученных на шаге 2, и отобразит только те, результаты, которые удовлетворяют заданным условиям.

Особенность программы заключается в том, что программа позволяет загружать перекресток любого размера и с любым количеством полос движения. Автомобили соблюдают безопасную дистанцию и способны при необходимости обгонять друг друга. В программе реализован механизм ускорения вычислений, который позволяет увеличить скорость моделирования движения автомобилей в 1 000 раз. Полученные результаты можно скопировать в файл MS Excel и при необходимости вновь загрузить в программу для выполнения анализа.

Выводы

При выполнении работы была рассмотрена математическая модель транспортного потока, основанная на теории систем массового обслуживания. Для уточнения математической модели использовалась имитационная программа, в которой применяется

микроскопическое моделирование, входящие потоки автотранспорта моделируются как простейшие. Разобран алгоритм нахождения оптимального цикла светофорной сигнализации с помощью программы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Webster F.V. Traffic signal settings // Road Res. Lab. Ministry Transport, HMSO, London. U. K. P. 1-43. Road Research Technical Paper 39, 1959.

2. Teply S. Canadian Capacity Guide for Signalized Intersections. Committee Canadian Capacity Guide for Signalized Intersections, Second Edition, 1995. 117 p.

3. Newell G. F. The rolling horizon scheme of traffic signal control // Transpоrt Res., part A, v.32. 1998. №1, P. 39-43.

4. Долль Х., Листль Г. Немецкий опыт внедрения системы приоритетного движения трамваев и автобусов на регулируемых перекрестках по методу «зеленой волны» // Транспорт российской федерации № 8, 2007. C. 76-79.

5. Кременец Ю.А., Печерский М.П., Афанасьев М.Б. Технические средства организации дорожного движения: Учебник для вузов. М.: ИКЦ «Академкнига», 2005. 279 с.

6. Тимофеева Г.А., Завалищин Д.С. Математическая модель регулируемого перекрестка // Транспорт Урала. 2008. № 2(17). C. 92-97.

7. Завалищин Д.С., Тимофеева Г.А. Исследование математической модели регулируемого перекрестка //Труды института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург, 2009. Т.15, №4. С. 108-119.

8. Ахмадинуров М.М. Определение типа распределения входящего потока автомобилей // Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании. Вып. 5: Прикладные аспекты информационно-аналитического моделирования и обработки информации: сборник материалов 3-й Международной научной конференции. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. С. 86-92.

9. Kesting A., Treiber M., Helbing D. Agents for Traffic Simulation // Multi-Agent Systems: Simulation and Applications, 2008.

10. Капитанов В.Т., Хилажев Е.Б. Управление транспортными потоками в городах. М., Транспорт, 1985. 94 с.

11. Ахмадинуров М.М. Обзор методов моделирования транспортных систем // Транспорт Урала №3 (22), УрГУПС, 2009. С. 39-44.

12. Ахмадинуров М.М., Тимофеева Г.А. Метод оптимальной настройки параметров светофора // Молодые ученые - транспорту-2009: Сб. научн. тр.: в 3-х ч. Екатеринбург: Изд-во УРГУПС. 2009. Ч. 1. С. 254-261.

13. Treiber M., Hennecke A., Helbing D. Congested Traffic States in Empirical Observations and Microscopic Simulations // Physical Review, 2000, E 62. P. 1805-1824.

14. Тимофеев Н. А., Тимофеева Г. А. Оптимизация работы Центра обслуживания вызовов на основе теории Марковских случайных процессов // Научный журнал «Вестник Уральского государственного университета путей сообщения», № 2(6). 2010. С. 22-28.

15. Вакулина Г.М. Вероятностные методы оценки рисков инвестиционных проектов // Научный журнал «Вестник Уральского государственного университета путей сообщения», №1 (9). 2011. С. 93-100.

Ахмадинуров Максим Минихатович - Ahmadinurov Maxim Minihatovich -

аспирант, Уральский государственный Post-graduate Student of the Ural State

технический универститет-УПИ, Technical University-UPI, Ekaterinburg

г. Екатеринбург

Тимофеева Г алина Адольфовна -

доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой уральского государственного университета путей сообщения, г. Екатеринбург

Timofeeva Galina Adolfovna -

Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Head of the Chair, Ural State University of Railway Transport, Ekaterinburg

Статья поступила в редакцию 25.01.2011, принята к опубликованию 10.06.2011