Определение геометрических инвариантов поверхности в прикладной геоинформатике

Геоинформатика

Интенсивное развитие новых технологий в ХХ веке привело к выдающимся результатам во всех сферах техногенной деятельности человечества: в электронной и атомной, космической и авиационной, энергетической и химической технике, в биологии и генной инженерии, продвинувших человечество на принципиально новые рубежи жизнедеятельности. Однако, вместе с этим, созданы невиданные ранее потенциальные и реальные угрозы человеку, созданным им объектам, локальной и глобальной среде обитания.

Ежегодно в мире случается множество чрезвычайных ситуаций (ЧС). В результате событий последних десятилетий только в техногенной сфере (аварии на атомных и гидроэлектростанциях, разрушения инженерно-технических сооружений и т. д.) нанесен громадный ущерб окружающей среде, а число погибших людей измеряется тысячами. И сейчас речь идет не о выявлении возможных опасностей, а об определении и управлении техногенными рисками.

Источниками аварий и катастроф являются геодинамические процессы и неправильная эксплуатация человеко-машинных систем (ЧМС), состоящих из оборудования, компьютеров, программных средств и действий персонала. В совокупности геодинамические и техногенные системы представляют собой сложные системы, главной проблемой обеспечения безопасности которых является невозможность полностью исключить риск возникновения чрезвычайных ситуаций в таких системах и необходимость свести этот риск к минимуму.

Данная проблема может быть решена только при условии системноцелевого подхода, включающего в себя прогнозирование геодинамических процессов и ряда мер, зависящих от разработчиков, производителей и потребителей ЧМС [1].

Одной из главных задач обеспечения безопасности и снижения риска возникновения чрезвычайных ситуаций в сложных системах является определение их пространственно-временного состояния (ПВС), которое может быть обеспечено геодезическими методами [2].

В настоящее время появились новые технические возможности проведения геодезического контроля ПВС объектов, например, лазерное сканирование, также в последнее время активно развивается и применяется спутниковая технология на основе глобальных навигационных спутниковых систем (ГНСС). Новая технология имеет ряд преимуществ перед классической, основанной на применении традиционных измерительных средств, в том числе тахеометров, нивелиров, дальномеров. Она обеспечивает непрерывный (независимо от времени суток, погодных и климатических условий) поток информации со спутниковых датчиков, установленных в контролируемых точках, высокий уровень автоматизации, слежения за геометрическими параметрами сооружений, чего не предоставляет или предоставляет в ограниченном объеме традиционная технология.

Для интерпретации данных, полученных с датчиков, существуют алгоритмы, применяемые при мониторинге строительных конструкций. Все они ос-

48

Геоинформатика

нованы на предположении обнаружения повреждений в конструкциях зданий или сооружений в течение всего периода их эксплуатации.

Однако этого недостаточно для объективной оценки состояния и снижения риска в техногенной геодинамической системе (ТГС). Задача будет решена, если установить соответствие между ПВС ТГС и мерой опасности состояния. Поэтому главной целью исследования проблемы оценки риска технических геодинамических систем является не определение повреждения объекта как уже свершившегося факта, а предупреждение опасной ситуации, поиск управления ПВС ТГС, обеспечивающее снижение риска до минимального уровня. Как известно, абсолютную безопасность техногенной деятельности гарантировать в принципе невозможно, и поэтому проявляется необходимость оценивать меру этой опасности, т. е. оценивать техногенный риск опасных последствий техногенной деятельности. Этим обосновывается актуальность темы исследований.

Изложенные обстоятельства свидетельствуют, что сформулированная цель работы является многовариантной, многошаговой (многоходовой) и многокритериальной. Ее решение, основанное на принципах системно-целевого подхода, осуществляется в результате решения следующей цепочки взаимосвязанных задач.

1. Анализ состояния проблемы: сбор статистических данных, изучение существующих решений, определение требований к исходным данным, определение требований к результатам, обоснование и формулирование проблемы.

2. Разработка теории определения пространственно-временного состояния технических систем.

3. Разработка математической модели определения пространственновременного состояния ТС по геодезическим данным для оценки техногенного риска.

Для контроля пространственно-временного состояния техногенных объектов необходимы данные об их геометрических свойствах как функциях времени. К ним относятся форма, размеры, положение в пространстве и другие свойства, характеризующие взаимное расположение множества точек объекта относительно внешней среды и относительно друг друга. Выполнить непосредственное измерение таких свойств даже современными техническими средствами чаще всего не удается, и поэтому для их определения применяют методы математического моделирования [2, 3, 8].

Исходными данными для моделирования служат временные ряды координат множества точек исследуемого объекта, полученные по результатам повторных циклов геодезических измерений. Анализируя результаты моделирования свойств объекта, можно судить о его состоянии, оценивать опасность этого состояния и принимать необходимые меры для снижения риска возникновения опасных состояний, сопровождающихся не только значительным материальным ущербом, но и человеческими жертвами и связанных с полным или частичным разрушением объекта. Разрушение многих сооружений можно было

49

Геоинформатика

бы предвидеть при своевременном выполнении работ по наблюдению и анализу ПВС объектов [4].

Рассматривая отдельные геодезические точки или некоторые их множества, связанные заданными отношениями, как элементарные объекты, связи между ними установим посредством математических правил, и тем самым на множестве элементарных объектов определим отношения между ними, представляющие структуру объекта. Возможность различного выбора элементарных объектов обеспечивает свободу в определении структуры. В результате на множестве исходных геодезических данных могут быть определены геометрические объекты, необязательно состоящие из конечного множества точек. Например, прямая, проходящая через две заданные точки, плоскость, содержащая три заданные точки, многоугольник, составленный из отрезков прямых и т. д. Это позволяет как свойства объектов находить различные геометрические признаки:

• внешнюю конфигурацию, в которой отображается структура объекта (точка, линия, полоса, оболочка, стержень, слой) и размерность пространства состояний;

• количество и размерность связей со смежными элементами, иерархию связей;

• уравнения линий и поверхностей;

• числовые характеристики.

Среди множества методов описания геометрических признаков объектов определенными преимуществами обладает параметрический метод, который позволяет избежать привязки к той или иной системе координат, относительно просто осуществлять преобразования координат (перенос и вращение), получать простые математические модели закрученных кривых и других объектов и отображать их на экране компьютера. При параметрическом описании координаты любой точки

рассматриваются как функции вспомогательного параметра t, область изменения которого должна быть оговорена. Параметрическое представление не является единственным, и один и тот же геометрический объект может быть представлен различными функциями вида (1). Полагая в (1) параметр t = ti = const, определяем радиус-вектор, т. е. положение точки Mt . При изменении параметра t точка Mi опишет в пространстве некоторую траекторию, каждая точка которой соответствует некоторому значению параметра t, являющегося координатой точки. Это обстоятельство позволяет для описания траектории точки ввести вектор-функцию

х = x

г = Г(t) = {x(t), у(t), z(t)}= i • x(t) + j • у(t) + k • z(t).

50

Геоинформатика

В качестве примера запишем векторное уравнение прямой, проходящей через точку Mо в направлении орт-вектора и (рис. 1).

Рис. 1. Составление уравнения прямой

Как видно из чертежа, MоM = r - rо, а направление MqM совпадает с направлением и. Тогда искомым уравнением является

r - rо = t • и ^ r = rо +t • и = r

Если прямая должна проходить через две заданные точки Мо и М, то роль направляющего вектора выполняет вектор

MоM = OM - OMо = r - го,

и для произвольной точки Mk искомой прямой является

rk = OMk = OM о + M оMk = OM о + t • M qM =

= rо + t •

В параметрическом виде могут быть заданы и произвольные поверхности. Их можно представить как «след» перемещающейся в пространстве и деформирующейся линии. Положение точки на такой поверхности определяется параметром и, определяющим положение точки на линии, и параметром v, определяющим положение линии в пространстве. Следовательно, в трехмерном пространстве поверхность определяется вектор-функцией

r = r

Если в уравнении (6) фиксировать один из параметров (и или v), то получим уравнения линий, принадлежащих поверхности (6). Такие линии называют параметрическими линиями на поверхности [5].

51

Геоинформатика

В качестве примера запишем уравнение плоскости (рис. 2), проходящей через точку r о и содержащей векторы:

Г = ГО + U • Щ, Г = ГО + V • П2,

где параметры u, V - координаты точки в плоской (может быть косоугольной) системе координат, оси которой задают векторы ni, n 2.

Рис. 2. Составление уравнения плоскости

Введем вектор, перпендикулярный плоскости векторов ni, n 2:

- ni х n2

n = —

ni х n2

Тогда искомое уравнение имеет вид:

ni • n = n2 • n = О,

r • n = (rо + u • ni + v • n2) • n = rо • n ^ (r - r0) • n = О. В координатной форме оно запишется в виде выражения: nx •(x - x0) + ny •(У - У о) + nz •(z - z0) = °.

Из уравнения (7) следует, что проекция радиус-вектора г любой точки плоскости на направление нормали - величина постоянная, по абсолютной величине равная расстоянию от плоскости до начала координат.

Уравнения прямой и плоскости - основные и простейшие геометрические характеристики объектов, которые могут быть получены по геодезическим данным. Кроме этих характеристик, существует множество других вариантов. Например: условие принадлежности четырех точек одной и той же плоскости, угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью, координат точки пересе-

52

Геоинформатика

чения прямой; определение кратчайшего расстояния между двумя прямыми, расстояния от точки до прямой, проекции вектора на плоскость; уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярную данному вектору. Все они являются основными элементарными объектами, из которых можно, исходя из целей моделирования или структуры объекта, оценивать качественные свойства и вычислять значения геометрических характеристик.

Например, если целью моделирования является определение положения системы в пространстве, представленной облаком точек с координатами xi, yi, zi, то достаточно найти среднюю точку этой системы.

Для определения ориентации системы в пространстве необходимо найти плоскость, наилучшим образом аппроксимирующую зависимость zt = (.xt; yi) (рис. 3).

° 5

Рис. 3. Плоскость аппроксимирующая зависимость z =

Изменение положения нормали, проведенной к плоскости, будет характеризовать изменение ориентации облака точек в пространстве.

Если требуется определить изменение поверхности облака точек, то можно аппроксимировать его сферой (рис. 4). Изменение размеров этого облака (расширение, сжатие), а также изменение расстояний точек от поверхности сферы будут характеризовать локальные деформации поверхности.

Если возникают другие цели, то для них нужно определять свои свойства определения ПВС. С точки зрения системно-целевого подхода, каждый из приведенных примеров представляет собой конструирование агрегата по элементарным данным (точкам). Если имеются физические или конструктивные предпосылки того, что облако может быть представлено в виде нескольких частей, то эту работу нужно делать для каждой части. Полученные результаты являются основой для прогнозирования эволюции ПВС и оценки риска возникновения опасной ситуации [6].

53

Геоинформатика

Рис. 4. Аппроксимация облака точек сферой

Для оценки техногенного риска необходимо знать не только состояние системы, но и возможные сценарии ее эволюции, а также распределение вероятностей сценариев эволюции [7].

Современное состояние системы или задается априори или определяется эмпирически. В самом общем случае рассматривают две версии эволюции системы. В первой версии предполагают, что свойства процесса эволюции остаются неизменными и на участке наблюдений и за его пределами. Вследствие этого вся информация имеет одинаковую ценность, и результаты прогнозирования одинаково хорошо соответствуют всем имеющимся данным, и по мере поступления новой информации они уточняются. Для этого обычно используются различные методы интерполирования или аппроксимации. В другой версии допускается возможность изменения процесса эволюции, вследствие чего необходимо как можно точнее учитывать текущую информацию, уменьшая роль и значение данных, полученных в прошлом.

Существуют различные варианты решения этой задачи. Одним из простых и достаточно эффективных методов ее решения служит метод экспоненциального сглаживания [1, 9].

Предположим, что на интервале прогнозирования процесс эволюции состояния системы имеет вид:

У = a + j ,

где j - случайный стационарный некоррелированный процесс с нулевым математическим ожиданием. Пусть значение а время от времени может скачкообразно изменяться. Величина изменения а и момент изменения непредсказуемы, а интервал времени, в течение которого значение а остается неизменным,

54

Геоинформатика

значительно превышает интервал между наблюдениями. При этих предположениях сглаженная функция наблюдений имеет вид [1]:

St =а- yt +

Здесь а е [0,1] - постоянная сглаживания, St - сглаженное значение у, отнесенное к моменту t, yt состояние объекта в момент t.

Результаты прогнозирования (рис. 5) процесса при различных значениях а позволяют утверждать, что точность и скорость реакции на изменение в модели зависят от величины постоянной сглаживания. Чем больше значение а, тем выше скорость реакции на изменение в модели, но тем хуже фильтрация случайных помех.

5.6

Hlj

Ццо

sSi.l

+++

s5i.l

впп

5gi:3

1

// ] и V а v\ д \ \

.!' XV  у U  ^  l\  V ’1 3 X \ ь\ V \

Y ч+ Vv v \\ ^

.2 04,

10

----- Исходный (наблюдаемый) процесс

--- модель фазовой траектории при ос = 0,1

5&.1

+-1-+ модель фазовой траектории прищ=0,4

Sgj п

BDb модель фазовой траектории при о.= 0,7

Ч i.3 ’

оо'о модель фазовой траектории при ot= 0,9

Рис. 5. Фазовые траектории, полученные методом экспоненциального сглаживания

Применим метод экспоненциального сглаживания для прогнозирования эволюции системы и оценки риска. Интервал прогнозирования представим состоящим из трех шагов одинаковой длительности. На каждом шаге рассмотрим

55

Геоинформатика

четыре сценария эволюции, соответствующих четырем значениям а = 0.1, 0.4,

0.7, 0.9 (рис. 6). Предположим, что на каждом шаге значение а принимает одно из четырех значений.

Рис. 6. Пример оценки техногенного риска методом экспоненциального сглаживания

После трех шагов получим 64 прогнозных состояния системы и соответствующие им значения вероятностей. Эти значения приведены в таблицах значений ; для каждых из трех шагов. Графики эмпирических функций риска представлены на рис. 7.

Зная эмпирическую функцию техногенного риска, нетрудно найти вероятность того, что величина техногенного ущерба на интервале исследования не превзойдет заданной величины, или установить интервал, в котором величина техногенного ущерба будет находиться с заданной вероятностью.

Например, при определении пространственно-временного состояния строительного сооружения всегда существуют показатели предельных изменений тех или иных элементов конструкций. Приведенные исследования позволяют: 1) выполнить оценку риска перехода объекта из состояния в состояние; 2) определить, какие показатели (или совокупности показателей) с большей вероятностью способствуют такому переходу; 3) выполнить интервальную оценку состояния объекта, в которой уровень опасности не будет превосходить заданного значения.

56

Геоинформатика

Шаг 1.

(3.08 0.25^ 3.09 0.25 3.22 0.25 v3.27 0.25у

Шаг 2.

1 2

1 3.18 0.125

2 3.24 0.125

3 3.25 0.063

4 3.28 0.125

5 3.3 0.063

6 3.31 0.125

7 3.34 0.188

8 3.35 0.063

9 3.36 0.063

10 3.37 0.063

Шаг 3.

1 2

1 3.22 0.016

2 3.23 0.031

3 3.24 0.016

4 3.25 0.031

5 3.28 0.016

6 3.29 0.063

7 3.3 0.094

8 3.31 0.031

9 3.32 0.031

10 3.33 0.109

11 3.34 0.109

12 3.35 0.063

13 3.36 0.109

14 3.37 0.141

15 3.38 0.109

16 3.39 0.031

Рис. 7. Графики эмпирических функций риска

57

Геоинформатика

Таким образом, определение будущего ПВС системы всегда основано на некоторых правдоподобных гипотезах, достоверность которых, как правило, неизвестна. Для уменьшения меры неопределенности при выборе наиболее полезного решения вводится понятие риска, которое характеризуется величиной ущерба из-за выбора решения и вероятностью выбора решения. Следовательно, риск, как случайная величина, в полной мере характеризуется своей функцией распределения. Приведенные результаты - один из возможных вариантов оценки функции распределения риска ПВС системы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вовк И.Г., Бугакова Т. Ю. Основы системно-целевого подхода и принятие решений: учеб. пособие. - Новосибирск: СГГА, 2011. - 152 с.

2. Вовк И.Г. Системный анализ и моделирование пространственно-временного состояния технических систем // ГЕО-Сибирь-2008. Т. 3. Дистанционные методы зондирования Земли и фотограмметрия, мониторинг окружающей среды, геоэкология. Ч. 2: Сб. матер. IV Междунар. научн. конгресса «ГЕО-Сибирь-2008» 22-24 апреля 2008 г., Новосибирск. -Новосибирск : СГГА, 2008. - С. 132-135.

3. Вовк И.Г. Математическое моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 1 (17). - С. 94-103.

4. Вовк И.Г., Бугакова Т.Ю. Теория определения техногенного геодинамического риска пространственно-временного состояния технических систем // ГЕО-Сибирь-2010. Т. 1, Ч. 2: Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия: сб. матер. V Междунар. науч. конгр. «ГЕО-Сибирь-2010», 19-29 апр. 2010 г., Новосибирск. - Новосибирск: СГГА, 2010. -С. 21- 24.

5. Бугакова Т.Ю., Вовк И.Г. Математическое моделирование пространственновременного состояния систем // Материалы V Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные вопросы строительства». - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2012. -Т. 2. - С. 100-105.

6. Бугакова Т.Ю., Вовк И.Г. Математическое моделирование пространственновременного состояния систем по геометрическим свойствам // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр., 10-20 апреля 2012, Новосибирск, Междунар. научн. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия»: сб. материалов в 3 т. Т. 3. - Новосибирск: СГГА, 2012. - С. 26-31.

7. Вовк И.Г., Бугакова Т.Ю. Оценка техногенного риска методом экспоненциального сглаживания // Сборник трудов III всероссийской научно-технической конференции, посвященной 80-летию НГАСУ (СИБСТРИН). - Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2010. - 468 с.

8. Вовк И.Г. Моделирование в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2011. -Вып. 1 (14). - С. 69-75.

9. Вовк И.Г. Системно-целевой подход в прикладной геоинформатике // Вестник СГГА. - 2012. - Вып. 2 (18). - С. 115-124.

10. Бугакова Т.Ю. Моделирование деформаций инженерных объектов по геодезическим данным // Вестник СГГА. - 1998. - Вып. 3. - С. 15-16.

Получено 17.10.2012

© Т.Ю. Бугакова, И.Г. Вовк, 2012

58

Геоинформатика

УДК 519.87:004

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ ПОВЕРХНОСТИ В ПРИКЛАДНОЙ ГЕОИНФОРМАТИКЕ

Игорь Георгиевич Вовк

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики СГГА, тел. (383)343-18-53

В прикладной геоинформатике целью изучения систем служит определение их пространственно-временных свойств, т. е. формы, размеров и положения в пространстве, как функций времени. Форма и размеры системы определяются границей, отделяющей систему от внешней среды. Геометрическим образом такой границы служат линии и поверхности. Многие геометрические свойства и характеристики поверхностей, инвариантные относительно преобразования координат, выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичной форм поверхности.

В статье рассматриваются основные задачи определения геометрических инвариантов поверхностей. Для параметризованной поверхности такими инвариантами служат длина дуги на поверхности, угол между кривыми на поверхности, площадь области на поверхности, кривизна поверхности, кривизна линии на поверхности.

Ключевые слова: геоинформатика, геометрические инварианты, скалярные инварианты, параметризованная поверхность, длина дуги кривой на поверхности, угол между кривыми на поверхности, площадь области на поверхности, кривизна поверхности,

DEFINING GEOMETRICAL INVARIANTS

OF THE SURFACE IN APPLIED GEOINFORMATICS

Igor G. Vovk

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Doctor of Sciences, Prof., Chair of Applied Information Science, tel. (383)343-18-53

The purpose of studying systems in applied geoinformatics is defining their properties in space and in time, i.e. their form, dimensions and location in space as the functions of time. The form and the dimensions of the system are determined by the border, which divides the system from its surroundings. Lines and surfaces serve the geometrical image of such a border. Many geometrical properties and characteristics of the surfaces which are invariant as to the change of their coordinate data are manifested in the coefficients of the first and the second quadratic forms of the surface.

The article studies the major tasks of defining the geometrical invariants of the surfaces. For a surface with parameters the invariants are the length of the arch on the surface, the angle between the curves on the surface, the area of some field on the surface, the crookedness of the surface, the curve of a line on the surface.

Key words: geoinformatics, geometrical invariants, numerical invariants, parametrised surface, angle between the curves on the surface, area of some field on the surfrace, crookedness of the surface.

Изучение систем естественного или искусственного происхождения осуществляется методами системного анализа и системного синтеза [1]. При этом

59