Локальные возмущения в течении Пуазейля

УДК 537.84

А.В. Проскурин, А.М. Сагалаков

Локальные возмущения в течении Пуазейля A.V. Proskurin, A.M. Sagalakov A Local Disturbance in Poiseuille Flow

Исследуется устойчивость течения Пуазейля по отношению к локализованным по длине канала возмущениям. Метод основан на решении задачи на собственные значения для линейных уравнений в частных производных. Дискретизация задачи производилась методом коллокаций с использованием разложения по полиномам Чебышева первого рода. Полученная алгебраическая задача на собственные значения решалась итерационными методами.

Ключевые слова: гидродинамическая устойчивость, течение Пуазейля, уравнения с частными производными, спектральные методы.

The stability of a local disturbance in Poiseuille flow is investigated in the article. The numeric method have based on eigenvalue problem for partial differential equations. Digitization of a problem is carried out by collocation with Chebyshev polynomial of the first kind. Algebraic eigenvalue problem was solved by iterative methods.

Key worlds: hydrodynamic stability, Poiseuille flow, partial differential equations, spectral methods.

Исследование устойчивости и бифуркаций течений представляет собой сложную и интересную проблему. Распространенные методы прямого численного моделирования течений дают результаты, близкие к экспериментальным. Такие вычисления сложны, а их результаты не всегда надежны. Анализ устойчивости дополняет методы прямого численного моделирования и часто бывает полезен для изучения переходных процессов в течениях.

Классическая постановка задачи устойчивости течений вязкой жидкости приводит к задаче Орра-Зоммерфельда [1, 2] - краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это возможно благодаря наличию однородных направлений, относительно которых возмущение можно представить в виде элементарных волновых решений с определенным набором волновых чисел, например, для течения в плоском канале, течения в круглой трубе, течений между коаксиальными цилиндрами. С другой стороны, есть много течений, в которых картина развития возмущений неоднородна вдоль или поперек потока: течение в прямоугольной трубе, обтекание крыла, обтекание цилиндра. В таких случаях задача устойчивости сводится к краевой задаче для уравнений с частными производными.

Рассмотрим бесконечно-малое возмущение течения Пуазейля, локализованное по длине канала. Если амплитуда возмущения нарастает в фиксиро-

ванной точке, неустойчивость течения называютаб-солютной (см.: [3]). Может быть так, что возмущение нарастает, смещаясь вниз по потоку, а его амплитуда в неподвижной точке убывает. Такую неустойчивость называют конвективной. Также могут образовываться «турбулентные клубы» - локализованные в пространстве турбулентные структуры. В работе [4] при некоторых числах Рейнольдса в круглой трубе наблюдалось существование перемежаемых течений, «в которых локализованные турбулентные структуры, окруженные практически ламинарными участками течения, сносятся вниз по потоку, сохраняя свои пространственные размеры». Поэтому исследование устойчивости локализованных возмущений в течении Пуазейля представляется интересной задачей.

Плоское течение Пуазейля - это течение вязкой жидкости между бесконечными параллельными плоскостями. Под действием постоянного градиента давления жидкость течет с постоянной скоростью. Направим ось X вдоль направления движения жидкости, а ось у - перпендикулярно плоскостям (см. рис. 1).

Уравнение Навье-Стокса для функции тока имеет вид

д^ + а^ад^ ±

дЛ дх ду ду дх Яе

* Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (контракт 14.740.11.0355).

plane У

-L U = 1-у2 1 п 0 L

-1 X

plane

Рис. 1. Конфигурация потока

где у - функция тока; Ке =--------- - число Рей-

V

нольдса; У0 - максимальная скорость течения; й -

полуширина зазора между плоскостями; V - коэффициент вязкости.

В соответствии с [5, 6], решение (1) ищем в виде

/_/0 +/(x, y)e

Ct

где /о = У ~ з - стационарное параболическое

решение; у(X, у)еСг - малое возмущение; у(X, у) - амплитуда; С = X + гУ - определяет декремент затухания возмущения. Подставляя (2) в (1), получим

С(/XX + ууу ) = Ке (/хххх + 2/ххуу + УУУУУ ) _

2/x (1 у )(/xxx ~^Wyyx):

где производные обозначены нижними индексами.

Зададим условия на границе расчетной области О (см. рис. 1). На неподвижных стенках возмущение скорости обращается в нуль. На входе в О возмущение также задано равным нулю. На выходе из расчетной области О, следуя [7], можно задать нулевой градиент скорости вдоль оси X . В этом случае возмущение может покидать расчетную область с ненулевой амплитудой. В работах [3, 6, 8], наоборот, использовались нулевые граничные условия. Это позволило упростить расчеты. Возмущения в этом случае не могут покидать область расчетов и остаются локальными. В работе [3] сделан вывод о том, что расчетная область при использовании граничных условий второго типа должна быть длиннее. Нами использовались граничные условия

/_/x _/у _ 0

соответствующие обращению возмущения в нуль.

Решение (3), удовлетворяющее граничным условиям, будем искать в виде

¥ =

и ]

где Т - многочлены Чебышева первого рода; а.ц - неизвестные коэффициенты.

Определив множество точек коллокации Гаусса-Лобатто хі = Ь со$(яі / п), і = 0,..., п ,

у = Ьсо$(л]/п), Ц = 0,...,к, получим задачу на

собственные значения

Ау = СБу ,

где у = {а00, а01, • • •, ап(к-1), апк } .

Первоначально задача на собственные значения (6) решалась с использованием алгоритма из библиотеки ЬЛРЛСК. Однако вычислительные затраты этого метода оказались очень велики, а данный алгоритм применительно к рассматриваемой задаче приводил к ошибочным результатам, поэтому для расчетов были использованы методы Крылова [9, 10], реализованные библиотеками 8ЬБРс и ЛИРЛСК. Численные эксперименты показали эффективность обратных итераций с нулевым сдвигом.

На рисунке 2 приведены зависимости собственных значений от Ь для разных чисел Ие = 103, Ие = 3 -103, Ие = 5 -103. Для каждой ветви, представленной на графике, величина X возрастает с увеличением Ь. В свою очередь, сами ветви расположены в определенном порядке: при увеличении числа Рейнольдса значения X возрастают.

На рисунке 3 представлены зависимости действительной части собственных значений от Ие при Ь = 0.25, Ь = 1, Ь = 4. Число Рейнольдса меняется от 103 до 104. С увеличением числа Рейнольдса для зависимостей с Ь = 0.25 и Ь = 1 величина X возрастает, при Ь = 4 величина X почти не меняется.

3

І

Рис. 2. Зависимости действительной части собственных значений от Ь при Re = 103

Не

Рис. 3. Зависимости действительной части собственных значений от Яе при Ь = 0.25

1

0.5

0 у -0.5 -1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

х

Рис. 4. Линии уровня действительной части собственной функции при Яе = 3000 , Ь = 20, собственное значение С6 =

1 1 1 і 8 І Я 10 ) 1 Г 1-^ в II 8ШШ

х

Рис. 5. Линии уровня мнимой части собственной функции при Яе = 3000 , Ь = 20, собственное значение С15 =

На рисунках 4, 5 приведены линии уровня действительной части собственной функции при Яе = 3000, Ь = 20, С6 = (-0.03016274474763807,

0.2577651768763672) и мнимой с С15= = (-0.04030292104657787, 0.07813170784519234). Затухающее возмущение имеет вид последовательных вихрей.

Результаты расчетов позволяют заключить, что локализованные возмущения устойчивы в рассмотренном диапазоне параметров Яе и Ь. Одной из задач данной работы являлась также разработка численного метода для решения задачи гидродинамической устойчивости (3). Данная задача содержит

малый параметр , что сильно усложняет решение задачи на собственные значения и требует высокого качества приближенного представления решений. Предложенный численный метод оказался простым и экономичным. Алгоритмически он проще метода конечных элементов и учитывает гладкость решения. При Ь = 4, Яе = 5000, п = 280, к = 60 вычисления на процессоре РИепош 2.2 ГГц занимали порядка 40 минут и около 7 Гб оперативной памяти. Более 90% вычислений проводилось одним потоком, так как пакет 8ЬБРе в настоящее время почти не использует параллельные алгоритмы для работы с заполненными матрицами.

Библиографический список

1. Henningson D.S., Schmid P.J. Stability and transition in shear flows. - New York, 2001.

2. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. - Новосибирск, 1977.

3. Blackburn H.M., Barkley D., Sherwin S.D. Convective instabitity and transient growth in flow over a backward-facing step // J. Fluid Mech. - 2008. - Vol. 603.

4. Приймак В. Г. Волны и пространственно-локализованные структуры в турбулентных течениях вязкой жидкости. Результаты расчетов // Математическое моделирование. - 2010. - Т. 22, №2.

5. Юдович В.И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на/Д, 1984.

6. Theofilis V. Advances in global linear instability analysis of non-parallel and three-dimensional flows // Progress in Aerospace Sciences. - 2003. - №39.

7. Barkley D. Confined three-dimensional stability analysis of the cylinder wake. - [Электронный ресурс]. URL: http://arXiv.org/abs/physics/0405153v2.

8. Gonzalez L., Theofilis V., Sherwin S.J. High-order methods for the numerical solution of the BiGlobal linear stability eigenvalue problem in complex geometries // International Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2011. -Vol. 65.

9. Saad J. Numerical methods for large eigenvalue problems. - Manchester, 1992.

10. Krylov-Schur methods in SLEPC. SLEPc technical report STR-7 / V. Hernandez, J.E. Roman, A. Tomas, V. Vidal [Электронный ресурс]. - URL: www.grycap.upv.es/slepc/ documentation/reports/str7.