Алгоритмы оптимального по быстродействию пространственно-временного управления объектами с распределенными параметрами параболического типа

УДК 519.6

АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

© 2008 г. Ю.Э. Плешивцева

Рассматривается методика решения задачи оптимального управления с целевым множеством конечных состояний объекта с распределенными параметрами, определяемым практически всегда существующими и оцениваемыми в равномерной метрике допусками на отклонение от «номинального» состояния. Последующие процедуры параметризации искомых управлений и редукции к соответствующей задачам полубесконечной оптимизации (ЗПО) во многих практически встречающихся ситуациях позволяют определить альтер-нансным методом алгоритмически точное решение ЗОУ с заданным целевым множеством. Применение подобной методики решения ЗОУ ОРП демонстрируется на примере представляющей самостоятельный интерес задачи управления распределенным объектом параболического типа.

The technique for solution of optimal control problem is considered with regard to distributed-parameter object. A special set offinal states of the object is defined by existing in practice deviations between final states and nominal ones. These deviations could be estimated using uniform metrics. The subsequent procedures of sought-for controls parameterization and reduction to problem of semi-infinite optimization allow to define accurate solution of optimal control problem with prescribed set of final states. This solution could be obtained using alternance method. Application of suggested technique is demonstrated on the example of solving optimal control problem for distributed-parameter object of parabolic type.

Ключевые слова: оптимальное управление, объекты с распределенными параметрами, задачи полубесконечной оптимизации, параметризация, целевое множество конечных состояний.

Введение

Известные трудности решения краевых задач оптимального по быстродействию управления (ЗОУ) бесконечномерными объектами с распределенными параметрами (ОРП) [1-3] существенно усугубляются необходимостью отыскания линии переключения управляющих воздействий релейной формы на пространственно-временной плоскости их определения

[4].

Эффективный способ преодоления возникающих здесь затруднений состоит в исходной постановке ЗОУ с целевым множеством конечных состояний ОРП, определяемым практически всегда существующими и оцениваемыми в равномерной метрике допусками на отклонение от «номинального» состояния, фиксируемого в классической двухточечной схеме

[5, 6].

Последующие процедуры параметризации искомых управлений и редукции к соответствующим задачам полубесконечной оптимизации (ЗПО) во многих практически встречающихся ситуациях позволяют определить альтернансным методом алгоритмически точное решение ЗОУ с заданным целевым множеством [2, 3, 7].

В настоящей работе возможности подобной методики решения ЗОУ ОРП демонстрируются на примере представляющей самостоятельный интерес задачи управления распределенным объектом параболического типа.

Постановка задачи

Пусть управляемая величина Q(l, ф), изменяющаяся по пространственной координате I и во времени ф, описывается линейным одномерным неоднородным уравнением Фурье в относительных единицах:

= ^0

Зф 512

с краевыми условиями второго рода

^ ф) = ,

dl

dl

где пространственно-временное управляющее воздействие u(l, ф) подчинено ограничению

0 <u(l,ф) <umax,0 <ф<ф0;0 <l < 1

с заданной величиной u max, и p^) - заданное внешнее воздействие.

Требуется найти оптимальное управление u *(l, ф), которое переводит объект (1) - (2) из заданного в (2) начального состояния Q(l,0) = 0 в требуемое конечное Q*(/,ф0) = Q* = const > 0 с допустимой точностью е равномерного приближения

max Q(l, ф0) - Q <е, е> 0

le[0,1]l I

за минимально возможное время ф = ф min в условиях (3).

Структура алгоритмов оптимального по быстродействию управления

Используя аппарат теории метода моментов [1], можно показать [4], что и *(7, ф) представляет собой релейную функцию своих аргументов, принимающую только свои предельно допустимые значения, согласно (3), на прямоугольнике Е = {I, ф:I е [0,1]; ф е [0, ф0]}, где существует некоторая линия I = f (ф) переключения, разделяющая пространственно-временные области в пределах Е с различными граничными величи-

нами u :

u (l, ф) = -

fU max , h Ф :l > f (Ф);

(о, l,ф :l < f (ф),

Q(i, ф) = qо(ф) + 2 E qn fa)cos(nni ).

n=1

Рассматривая теперь f (ф) в качестве «вторичного» управляющего воздействия, можно найти линию переключения как оптимальное по быстродействию управление / * (ф), стесненное ограничением его принадлежности прямоугольнику Е:

0 < f (ф) < 1,

Функция Понтрягина Н(q, Т, f (ф)) принимает в данной задаче быстродействия следующий вид:

Н(д, Т, /(ф)) = -1 + Т о(ф) (р о + и тах(1 - /(ф))) +

n

n=1

_n 2n 2q n + (-1) np о--

nn

-sin

и для определённости принимается указанный в

*

вариант соответствия значений u знакам разности l - f (ф). Проблема построения алгоритма u *(l, ф) сводится, таким образом, к отысканию зависимости f (ф) в (5).

Интегрирование уравнений объекта (1)-(2), где без потери общности для простоты принимается р(ф) = p 0 = const с управляющим воздействием (5), приводит к следующей бесконечной системе дифференциальных уравнений [4]:

^ = p 0 + u max(1 - f (ф)), q o(0) = 0, d ф

^ = -n2n2qn + p0(-1)n -Umaxsin(nnf (ф)), (6) d ф nn

qn(0) = 0, n = 1,2,... относительно коэффициентов qn, n = 0,1,2,... разложения Q(l, ф) в ряд по собственным функциям соответствующей задачи Штурма-Лиувиля

Здесь сопряженные переменные Тп, п = 0,1,2,... являются решениями дифференциальных уравнений:

^ = -|Н = я 21 2Т г

а ф ддг-

и, следовательно, представляют собой экспоненциальные функции времени

Тп(ф) = тп(ф0)ехр[-я2п2(ф0-ф)], п = 0,1,2,...(11) с конечными значениями Т п (ф0).

Параметризация управляющих воздействий

Используем далее предложенный в [5, 6] метод последовательной параметризации искомой зависимости / * (ф) на множестве граничных значений

Т(N) = (Т п (ф0)), п = 0, N -1 первых N сопряженных функций Т п (ф) в (9), (10) при равных нулю всех Тп(ф0) для п > N, полагая:

Т п

где Т п - некоторые заранее неизвестные числа.

Равенства (12) представляют собой условия трансверсальности, соответствующие краевой задаче оптимального управления объектом (6) - (8) с фиксированными конечными величинами дп (ф0),

п = 0, N -1 первых N фазовых переменных в (6) и свободным правым концом траектории для остальных составляющих дп(ф0) для п > N [8]. Согласно (11), (12), все сопряженные переменные для п > N будут тождественно равны нулю

Тп

и тогда вместо (9), (10) получим Н(д, Т, /(ф)) = -1 + Т 0(ф) (р 0 + и тх(1 - /(ф))) +

которое переводит объект (6)-(7) из начального состояния в (2) в требуемое конечное состояние, согласно (4), за минимально возможное время ф = ф т^ в условиях (8).

Для решения этой задачи используем стандартную процедуру принципа максимума, который остается справедливым применительно к бесконечномерной модели объекта (5), (6), (8) [1, 2].

N-1

+ n

d

-n 2n 2qn + (_1) npо _ Umax

dH

sin

= -—= n2i 2Y г

d ф oqi

Соотношения

H

f (ф) G [0,1]

и первыми N уравнениями объекта (6):

n=1

^ = p 0 + u max(1 - /(ф)), q 0(0) = О,

d ф

d'qjL = -л2п2qn + pо(-1)п -U^sin(^«/(ф)), (17) d ф пп

N 0 = v для всех е : е < е < е

.

.

/ (Ф) =

О,ф e [О,ф0];

—arccos п

[exp(n2(ф! -ф))], фе [ф!,ф0],

= exp(n 2(ф1 -ф)),

* 1

qn (0) = 0, п = 1, N -1

образуют краевую задачу принципа максимума Пон-трягина для управления усеченной конечномерной подсистемой (17), решение которой одновременно является решением исходной ЗОУ бесконечномерным объектом (6) с одинаковыми фиксированными значениями zn (ф0), п = 0, N -1 и свободными величинами zn(ф0) для всех п > N.

Возможность перехода к управлению ^мерной моделью (17) принципиально упрощает задачу, и дальнейшая проблема сводится к выбору числа N = N 0, обеспечивающего достижение требуемой

точности е приближения 0(1, ф) к О * в (4). Величина N 0 при прочих равных условиях определяется только значением е и согласно установленному в [5, 6] принципу минимальной сложности структуры параметризуемых оптимальных управлений находится по правилу

а ф связывается с величинами Т 0 и Т1 равенством Н(д*(ф0),Т*(ф0), /*(ф0)) = 0 [8]:

-1-

+ ^ 0 ( Р 0 + u max(1 - / *(ф 0)) ) +

+Y,

-п2q 1(ф0) - pо -Umaxsin(n/*(ф0)) п

= 0.

По существу, зависимость (19) уже представляет собой гораздо более простое по сравнению с (19)-(21), параметрическое представление / *(ф) на множестве двух параметров Д(2) = (Д1,Д2), Д1 =ф0, Д2 =ф 1, в явной форме характеризующих функцию / *(ф) оптимальной структуры.

Редукция к задаче полубесконечной оптимизации

Исходная задача оптимального по быстродействию управления объектом (6)-(7) с заданным конечным состоянием (4) при е = е сводится к задаче полубесконечной оптимизации [4, 7]):

где етп, У = 1,2,...,V,... - минимально достижимые в классе у(;)-параметризуемых управлений величины е (минимаксные в этом классе величины), монотонно убывающие с возрастанием у .

Ограничимся далее характерным для приложений случаем е = е , для которого параметризуемое управление / *(ф) следует искать, в соответствии с (18), на множестве двух параметров Т(N-1 = = Т^о) =т(2) = (Т0,Т1)модели объекта (17) при N = 2 .

Анализ поведения функции Понтрягина (14) для N = 2 с сопряженными переменными (11) приводит по условию максимума (16) к различным типам линии переключения I = / (ф) в зависимости от соотношения

между Т 0 и Т1 [4].

Типичным физическим особенностям исследуемого класса объектов применительно к технологическим процессам тепломассопереноса отвечает следующий двухпараметрический вариант представления искомой зависимости / * (ф), удовлетворяющий ограничению (8) (рисунок а):

Д, ^ min

max Q(l,Дj,Д2)-Q* <e

(2) min

относительно искомых значений Д1 = Д], Д2 = Д2 со сложным негладким ограничением на максимум отклонения результирующего состояния объекта 0 (I, Д1, Д 2) при ф = ф0 от требуемого 0 *. Здесь 0 (I, Д 2, Д 2) определяется в форме явной зависимости

от своих аргументов путём интегрирования уравнений (6) с управляющим воздействием (19) и последующей подстановки получаемых результатов в (7):

Д1

0 (I, Д 1, Д 2 ) = Р 0 Д 1 + | и шах(! -/(Д 1, Д 2, ф))^ ф +

+2 £

п=1

J exp

х| (-1)np0--

пп

-sin(nn/(Д1,Д2,ф) Idф

С08(пп1).

где момент времени ф1 задаётся соотношением

Согласно альтернансным свойствам 0

(* * \

Д1, Д 21 задачи (22) находится из условия достижения максимально допустимого отклонения 0 (I, Д*, Д 2) от 0 *, равного е , в трёх точках 1у е[0,1], у = 1,2,3 на отрезке [0,1] изменения пространственного аргумента 0 (I, ф).

X

1

0,4

0,1

0,2

Ф0 = А*!

0,01

-0,01

а б

Линия переключения в пространственно-временной области определения и*(/,ф) (а - зависимость I = f *(а*,а2,ф)) и пространственное распределение управляемой функции состояния Q(l,А*,д2)-Q* в конце оптимального процесса (б) при Q0 = 0; 2* = 0,3; р 0 = 0,1; итах =1; А* = 0,3 ; д2 = 0,18; 1Э = 0,63;

Применительно к типичным процессам тепломас-сопереноса, базовые физические закономерности нестационарных термодиффузионных полей во многих случаях позволяют однозначным образом найти координаты I^ и знаки отклонений 2(I,А*, А2)-2*.

На этом основании указанные свойства приводят к системе четырёх уравнений:

: = = 0,0105

Работа поддержана Грантами РФФИ (проекты 06-08-00041-а, 07-08-000342-а).

Q (0, А А 2)-Q * =-8

* =-8 (2) • min >

Q (la, А *, А 2)-Q

* = 8

Q

)-Q

dQ

dl

= 0,

составляемой для минимальных величин 2

на границах I = 11 = 0, I = 12 = 1 отрезка [0,1] изменения пространственной координаты I и максимума 2 (I, А*, А 2) во внутренней точке экстремума

I = 13 = IЭ е [0,1] (рисунок б). Система (23) разрешается стандартными численными методами относи-

А * А * (2) 1

тельно четырёх неизвестных А1, А 2, е т1П и IЭ. Возможность попутного вычисления указанным мето-

дом минимакса 8

представляет самостоятельный

интерес. Некоторые расчётные результаты представлены на рисунке.

Литература

1. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М., 1966.

2. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М., 1993.

3. Rapoport E., Pleshivtseva Yu. Optimal Control of Induction Heating Processes. DK6039, CRC Press/Taylor & Francis Group, 6000 Broken Sound Parkway, NW Suite, 300. Boca Raton, FL 33487 (USA), 2006.

4. Плешивцева Ю.Э. Алгоритмы субоптимального пространственно-временного управления системой с распределенными параметрами // Элементы и системы оптимальной идентификации и управления технологическими процессами. Тула, 1994. С. 80-91.

5. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Условно-корректная постановка и методы алгоритмически точного решения краевых задач оптимального управления системами с распределенными параметрами // Проблемы управления и моделирования в сложных системах: Тр. IX Междунар. конф. Самара, 2007. С. 126-139.

6. Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Модели и методы полубесконечной оптимизации в краевых задачах оптимального управления системами с распределенными параметрами // Мехатроника, автоматизация, управление. Материалы Междунар. научн.техн. конф. (МАУ-2007). Таганрог, М., 2007. С. 123-129.

7. Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. М., 2000.

8. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М., 1975.

13 мая 2008 г.

Плешивцева Юлия Эдгаровна - канд. техн. наук, доцент Самарского государственного технического университета. Тел. (+7 846) 332-42-34; E-mail: yulia_pl@mail.ru.

l

1

l

0

Ф

0