Математическое моделирование процесса восстановительной деформации материала и образования присоединенной каверны при резании рыбы

УДК 664.9.022

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВОССТАНОВИТЕЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИИ МАТЕРИАЛА И ОБРАЗОВАНИЯ ПРИСОЕДИНЕННОЙ КАВЕРНЫ ПРИ РЕЗАНИИ РЫБЫ

О. В. Агеев, В. А. Наумов, Ю. А. Фатыхов

MATHEMATICAL SIMULATION OF THE MATERIAL STRAIN RECOVERY PROCESS AND ATTACHED CAVITY FORMATION WHILE CUTTING THE FISH

O. V. Ageev, V. A. Naumov, Ju. A. Fatykhov

Показана актуальность исследования процесса восстановительной деформации и образования присоединенной каверны при резании рыбы с целью минимизации энергетических затрат. На основе решения дифференциального уравнения состояния вязкоупругого материала разработаны математические модели для определения относительной восстановительной деформации, а также объема присоединенной каверны. Предложены математические модели для расчета безразмерной приведенной относительной деформации и безразмерного приведенного объема присоединенной каверны. Установлено, что с повышением скорости ножа существенно возрастает мгновенная восстановительная деформация материала, длительнее протекает запаздывающая деформация, а координата крайней точки каверны монотонно увеличивается и достигает предела. С ослаблением жесткости материала, а также с увеличением высоты ножа снижается мгновенная восстановительная деформация и значительно длительнее происходит запаздывающая деформация. Зависимость безразмерного приведенного объема каверны от безразмерной скорости ножа является немонотонной функцией с явно выраженным максимумом. При отношениях модулей упругости материала 4, 7, 10, 15 безразмерная приведенная относительная деформация составляет 0.131, 0.134, 0.135, 0.137 соответственно. При тех же отношениях модулей упругости материала и безразмерных скоростях ножа 0.96, 0.93, 0.91, 0.90 достигаются максимумы безразмерного приведенного объема присоединенной каверны 1.233, 2.451, 3.707, 5.833 соответственно. При безразмерных высотах ножа 1.5, 2, 2.5, 3 и безразмерных его скоростях 0.64, 0.93, 1.24, 1.56 достигаются максимумы безразмерного приведенного объема присоединенной каверны 1.571, 2.451, 3.312, 4.165 соответственно. Объем каверны непосредственно связан с энергетическими потерями, обусловленными диссипацией энергии в материале. Уменьшение каверны за счет увеличения скорости ножа или сокращения его высоты приводит к снижению количества вязкоупругой энергии, безвозвратно рассеянной в материале вследствие релаксации напряжений. В целях использования аккумулированной в материале энергии и снижения деформационной силы трения рекомендовано снабжать нож задними наклонными гранями.

рыба, резание, нож, грань, реология, вязкоупругость, деформация, каверна, сила, трение, модель, моделирование

The paper shows the relevance of the study of the strain recovery process and formation of an attached cavity during fish cutting with the aim of minimizing energy costs. Based on the solution of the differential equation of viscoelastic material state, mathematical models have been developed to determine the relative strain recovery, as well as to determine the attached cavity volume. Mathematical models for calculating the dimensionless reduced relative strain and the dimensionless reduced volume of the attached cavity have been proposed. It has been established that with an increase in the knife speed, the instantaneous strain of the material increases substantially, the delayed strain proceeds longer, and the coordinate of the cavity extreme point increases monotonically and reaches a limit. With the decrease in the material rigidity, and also with the increase in the lateral face, instantaneous strain decreases and a delayed strain takes place much longer. The dependence of the dimensionless reduced cavity volume on the dimensionless knife speed is a nonmonotonous function with an explicit maximum. At the ratio of the material elastic modulus of 4, 7, 10, 15, the dimensionless reduced relative strain is 0.131, 0.134, 0.135, 0.137, respectively. At the same ratio of the material elastic modulus and the dimensionless knife speeds of 0.96, 0.93, 0.91, 0.90, the maxima of the dimensionless reduced attached cavity volume of 1.233, 2.451, 3.707, 5.833 are reached, respectively. With dimensionless lateral face lengths of 1.5, 2, 2.5, 3 and dimensionless knife speeds of 0.64, 0.93, 1.24, 1.56, the maxima of the dimensionless reduced volume of the attached cavity are 1.571, 2.451, 3.312, 4.165, respectively. The volume of the cavity is directly related to the energy losses caused by energy dissipation in the material. Reducing the cavity by increasing the knife speed or reducing the length of its lateral face leads to a decrease in the amount of viscoelastic energy irretrievably dispersed in the material due to stress relaxation. In order to use the energy accumulated in the material and reduce the deformation frictional force, it is recommended to supply the knife with the rear inclined faces.

fish, cutting, knife, face, rheology, viscoelasticity, deformation, cavity, force, friction, model, simulation

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время резание рыбы лезвием является основным технологическим процессом при первичной обработке сырья. Резание осуществляется ножами различных видов, которые приводятся в движение электродвигателями. Для научно обоснованного выбора геометрии лезвия, а также определения параметров электропривода необходимо знать полезные и вредные силы сопротивлений, приложенные к лезвию со стороны объекта обработки [1].

Настоящая работа является продолжением исследований авторов [2 - 5]. В [2, 3] выполнено математическое моделирование процесса погружения дискового ножа в пищевой материал. В [4] разработаны математические модели сил нормального контактного давления на наклонные грани ножа при резании рыбы в одномерной постановке. В [5] также проведено математическое моделирование сил нормального контактного давления на боковые грани ножа. В указанных работах отмечено, что силы нормального контактного давления на наклонные и боковые грани существенно зависят от глубины погружения ножа,

геометрии лезвия, реологических свойств материала, а также скорости движения ножа.

Авторами экспериментально исследованы структурно-механические свойства рыбы. В результате подбора и идентификации механической модели реологических свойств сырья показано, что механическому поведению ткани рыбы соответствует трехэлементная модель вязкоупругого материала - модель Кельвина (стандартное вязкоупругое тело). При этом принято допущение, что вязкоупругость имеет линейный характер.

Математическое моделирование сил нормальных контактных давлений на грани ножа проведено с целью определения деформационных сил трения, результирующая которых является силой вредных сопротивлений при резании рыбы. В работах [4, 5] силы нормальных контактных давлений на различные грани ножа определяются путем решения дифференциального уравнения состояния вязкоупругого материала (уравнения Кельвина) при установившемся режиме резания. Результат решения уравнения для наклонных граней ножа [4] является краевым условием при решении уравнения для боковых граней [5].

При резании ножом в вязкоупругом материале происходит диссипация энергии вследствие релаксации напряжений. Поэтому следует установить, какое количество энергии безвозвратно рассеивается в виде теплоты, а также какое ее количество высвобождается и может совершить работу после прекращения контакта материала с ножом, для чего необходимо исследовать процесс восстановительной деформации материала и образования присоединенной каверны. Целью математического моделирования является определение зависимостей восстановительной деформации и объема присоединенной каверны от скорости резания, реологических свойств материала и геометрии ножа.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОССТАНОВИТЕЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИИ МАТЕРИАЛА

Иотользуя дифференциальное уравнение состояния материала [4] и выражение для нормального контактного давления на боковую грань [5], исследуем восстановительную деформацию ткани рыбы после прекращения контакта материала с ножом. Для этого необходимо определить восстановительную деформацию материала после мгновенного снятия внешней нагрузки в крайней контактной точке Е (рис. 1). Вместе с тем надо знать величину нормального контактного давления на боковую грань ножа в указанной точке.

Перейдем к подвижной системе координат (х, у), связанной с режущей кромкой ножа. Пусть нож имеет двухстороннюю заточку и высоту лезвия Ь = (я + 8/tgа), где Я - высота боковой грани, 8 - половина толщины,

а - половина угла заточки. Задняя грань ножа - прямая. Восстановительная деформация материала происходит на участке ЕЕ.

Заметим, что вследствие релаксации напряжений в материале происходит диссипация энергии, запасенной как в изолированной пружине элемента Гука, так и в пружине элемента Кельвина-Фойгта (см. реологическую модель в [5]). При этом механические напряжения в элементе Гука и элементе Кельвина-Фойгта равны. В момент прекращения контакта ножа с материалом на участке ЕЕ' произойдет мгновенная восстановительная деформация элемента Гука

(изолированной пружины) (рис. 1) под действием внутреннего напряжения в материале:

_ _ Р бок

е0 ---ок-,

Е0

где Рбок(Ь) - нормальное контактное давление на боковую грань в точке Е ; Ео - мгновенный модуль упругости материала.

Напряжение в материале в крайней контактной точке Е(д, Ь) с учетом процесса релаксации напряжений соответствует нормальному контактному давлению в этой точке боковой грани. Подставим из [5] выражение для

нормального контактного давления на боковую грань в формулу (1) и получим:

/

е0 -

Ео • I

1 *•»• • ехр

V Е1 ^ У '

К Е0 • Е1 . 77

где д — —-—; Е1 - запаздывающий модуль упругости материала;

Ео + Е

( к.

¡ — 1 - ехр

'к-^

к —--0-1; ] - коэффициент динамической вязкости

] • V

материала; I - первоначальная толщина материала в направлении деформации при условии стесненного сжатия; V - скорость движения ножа в материале.

Обозначив % — (%•] V л •tga)|{E\ представим выражение (2) в

следующем виде:

8 ¿г

е0 — ^М1 + ехр

Е0 ^

Восстановительная деформация элемента Кельвина-Фойгта реологической модели на участке Е'¥ происходит с запаздыванием (рис. 1). Поскольку внешняя нагрузка на материал после прекращения контакта равна нулю, запишем дифференциальное уравнение состояния материала [4]:

Ше „ Е0 Е

Е0 + Е0Е-е — 0,

ш г

где t - время, соответствующее моменту прекращения контакта ножа с материалом и начала процесса восстановительной деформации; е - относительная деформация материала.

Сократим Е0 в (4) и получим дифференциальное уравнение

Ше Е — + —- е — 0 .

Ш ]

////////////, материал

F

присоединенная каверна

Рис. 1. Схема движения ножа в пищевом материале Fig. 1. Sheme of knife movement in food material

Дифференциальное уравнение (5) имеет решение:

/ F Л E t

--- I

£ = С • ехр

У Л у

где С - постоянная величина.

Зададим начальное условие в крайней контактной точке Е : t = 0 ; £ = 8/1. С учетом начального условия (7) получим из (6):

8

е = —  exp

E  t

Л

В подвижной системе координат (х, у) (рис. 1) относительная деформация является функцией координаты. С учетом мгновенной деформации восстановления элемента Гука уравнение для относительной восстановительной деформации материала после прекращения контакта имеет следующий вид:

8

exP

' E iy-L))_£

Л  v

En

1 + % exp

i r k

V v

L-

8

Y\

tga

JJ

е

восст

l

Получим выражение для безразмерной приведенной относительной деформации восстановления материала Рвосст. Введем следующие безразмерные

_ V V •ц величины: V = — =-

Vn К

- безразмерная скорость ножа; Ь = Ь/Ит -

безразмерная высота ножа; у = у/Ит - безразмерная координата; е01 = Е0/Е1 -отношение мгновенного и запаздывающего модулей упругости материала; кт -

высота передней наклонной грани ножа. Из

1 "К

=7 "Г

Е1 • К {у - Ь / К Л £

у - Ь

(1 + ео1) •V

1 + е,

01

ц-V

1 + е01 •^

Е

1 + %• ехр

к • К •

1 - ехр

1

ехр

И

V т

))

Г Ь-1^

р = — • Р :

^восст с °восст О

ехр

у - Ь

(1 + е01) - V

1 + е01

X

X •

1 + е01 • •

г 1 лл

1 - ехр

V ))

• ехр

' Ь -1

Выражение (11) имеет физический смысл при у > Ь и Рвосст > 0, поскольку координаты крайней точки Е контакта равны {1, Ь). При Рвосст = 0 в конечной точке восстановления материал, раздвинутый правыми гранями ножа, соприкасается с материалом, раздвинутым левыми гранями, после чего процесс восстановительной деформации прекращается. Образованные при резании свободные поверхности в процессе восстановительной деформации за обухом ножа сдвигаются и соприкасаются. Эти явления приводят к тому, что при движении ножа в материале за обухом образуется присоединенная каверна.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОБРАЗОВАНИЯ ПРИСОЕДИНЕННОЙ КАВЕРНЫ Определим объем каверны, присоединенной к обуху ножа с двухсторонней заточкой при его движении в вязкоупругом материале (рис. 1). При этом адгезионным притяжением соприкасающихся поверхностей разрезанного материала допустимо пренебречь, поскольку восстановительная деформация направлена на сокращение его поверхностной энергии. Условие соприкосновения разрезанного материала в крайней точке каверны Е {0, ур ) получим из (9):

ехр

А,

ц • V

{уе - Ь)

\

л

Еа

1 + %• ехр

( г к •

V V

Ь

8

))

= 0.

Выполнив преобразования, из (12) имеем:

р

1

V

V

I

1

>

V

Т Л • V 1

Уе = Ь + •1п

Е1

Е0

¿•т.

где т = 1 + % • ехр (к • (Ь - 8/ ^а)) = 1 + % • ехр (к • Я).

С учетом (13) объем присоединенной каверны определим следующим образом:

УЕ

V = 2 81к• Мехр

ь у

Е1 •

Л • V

кт

еп

у.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получим выражение для объема

присоединенной каверны:

У,: = 2 • ¡к-

Ы - Уе )Л

[ Е0 Е1

ехр

Е1 - Уе )

Л • V

—

Подставим (13) в (15):

Ук = 2-8-¡к-

кТ.

-Л-У •1п

(Е \\

кт

^ V)

Л^ V

( (

ехр

Л^ V

1п

Е1 Чт))

Л^ V

-1

В результате преобразований получим выражение для присоединенной каверны:

у = 2 •8 ¡к -Л • у ^ ^^^

Еп

1п

кт.

+1

объема

Выполним следующие преобразования:

к = Ео + Е1

1

Л • V

у •К

V =

V • л

К •

% =

^ V Ща _ Ео ^•ктV ^а

е2 8

т = 1 + %• ехр

кт 1

—•

Е1 8

1 + йог V-

= е01 •у-

( ( 1 ^ 1 - ехр

У V))

ехр

- ~\Ь -1)

Е 1 + е,

01

1 + е01 •у-

1 - ехр

( 1 ^ ( 1

У V))

ехр

1 + е0Г у-

1 - ехр

( 1 V!

У V))

У V

г

ехр

V ,

- !•

У

-1

С учетом вышеприведенных преобразований (18) выразим присоединенной каверны (17) через безразмерные величины:

Ук = 2 8• ¡к-К-У^(1 + е01) х

объем

У

/

У

х<1

1 + в,

01

1 + в.

01

• I/ •

1 - ехр

\\

у У

• ехр

1 -1)

х

х

1п

1 + в,

01

• I/ •

1 - ехр

1

• ехр

УУ

1

1

+1

С учетом

0 — = (1 + во1) введем обозначения:

Е

ш =

Е 1 + в,

01

1 + в01 • V-

1 - ехр

1 VI (

• ехр

уУ

1 -<г -1)

V = 2 О ¡к • кт.

С учетом (20) и (21) из (11), (13) и (19) окончательно получим следующие выражения для безразмерной приведенной относительной деформации восстановления материала, безразмерной координаты крайней точки Е каверны и безразмерного приведенного объема присоединенной каверны:

_ _

^восст с ^восст ехр О

У - г

(1 + в01) • V

ш;

Уе

Г -V •(! + в01)^ 1п(ш);

V = ук / V) = V • (1 + в01) •!ш(1 - 1пш)]

Разработанные модели (22) - (24) позволяют варьировать безразмерной скоростью ножа, безразмерной длиной боковой грани, модулями упругости материала для исследования зависимостей безразмерной приведенной относительной деформации и безразмерного приведенного объема присоединенной каверны от указанных параметров.

Показаны зависимости безразмерной приведенной относительной деформации материала от безразмерной координаты: на рис. 2-3 при четырех различных значениях безразмерной скорости ножа, на рис. 4-5 при четырех различных значениях отношения модулей упругости материала. На рис. 6 изображены зависимости безразмерной приведенной относительной деформации материала от безразмерной координаты при четырех различных значениях безразмерной длины боковой грани ножа. На рис. 7 приведены зависимости безразмерной координаты крайней точки Е каверны от безразмерной скорости ножа при четырех различных значениях отношения модулей упругости материала. На рис. 8 показаны зависимости безразмерного приведенного объема присоединенной каверны от безразмерной скорости ножа при четырех различных значениях отношения модулей упругости материала.

1

1

>

1

V

V

V

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 У

Рис. 2. Безразмерная приведенная относительная деформация восстановления

материала при e0i = 7; L = 2 и различных значениях безразмерной скорости:

1 - v = 5; 2 - v = 10; 3 - v = 20; 4 - v = 50 Fig. 2. Dimensionless reduced relative deformation of the material recovery

at e01= 7; L = 2 and different values of the dimensionless speed

e

0.008 0.006 0.004

0.002 0

11.8 11.9 12 12.1 12.2 12.3 12.4 У

Рис. 3. Безразмерная приведенная относительная деформация восстановления материала при больших y ( ^ = 7; L = 2) и различных значениях безразмерной

скорости:

1 - v = 5; 2 - v = 10; 3 - v = 20; 4 - v = 50 Fig. 3. Dimensionless reduced relative deformation of the material recovery

at large y (e01= 7; L = 2) and different values of the dimensionless speed

0.12 0.09 0.06 0.03

^3 4

\l \2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 у

Рис. 4. Безразмерная приведенная относительная деформация восстановления материала при v = 10; L = 2 и различных значениях e0j: 1 - eoi = 4; 2 - eoi = 7; 3 - ^ = 10; 4 - ^ = 15 Fig. 4. Dimensionless reduced relative deformation of the material recovery at v = 10; L = 2 and different values of e01

3 4

0.13

0.12

0.11

0.1

0.09

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 У

Рис. 5. Безразмерная приведенная относительная деформация восстановления материала при малых y (v = 10; L = 2) и различных значениях e0j: 1 - eoi = 4; 2 - eoi = 7; 3 - ^ = 10; 4 - ^ = 15 Fig. 5. Dimensionless reduced relative deformation of the material recovery at low y (v = 10; L = 2) and different values of e01

0.2 0.15 0.1 0.05

\4

^2 J

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 у

Рис. 6. Безразмерная приведенная относительная деформация восстановления материала при v = 10; = 7 и различных значениях L :

1 - L = 1,5; 2 - L = 2; 3 - L = 2,5; 4 - L = 3 Fig. 6. Dimensionless reduced relative deformation of the material recovery at v = 10;

L = 7 and different values of L

20

15

10

4

/ 3

1/2

If/ 1

0 1234567P

Рис. 7. Безразмерная координата крайней точки F каверны при L = 2

и различных значениях е01 :

1 - eoi = 4; 2 - eoi = 7; 3 - e>i = 10; 4 - eoi = 15 Fig. 7. Dimensionless coordinate of the cavity extreme point F at L = 2 and different

values of e01

Г\

¡rsi

II

J

-

О 2 4 6 S 10 12 14 16 18 v

Рис. 8. Безразмерный приведенный объем присоединенной каверны при L = 2

и различных значениях e0j :

1 - eoi = 4; 2 - eoi = 7; 3 - ^ = 10; 4 - ^ = Fig. 8. Dimensionless reduced volume of the attached cavity at L = 2 and different

values of e01

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 v

Рис. 9. Безразмерный приведенный объем присоединенной каверны при eoi = 7 и различных значениях l :

1 - L = 1,5; 2 - L = 2; 3 - L = 2,5; 4 - L = 3 Fig. 9. Dimensionless reduced volume of the attached cavity at e01 = 7

and different values of l

1 / /

/ 2^/ / /

/ 3 / / 4 У

/ / 5у/

/

1 1.5 2 2.5 3 3.5 I

Рис. 10. Безразмерный приведенный объем присоединенной каверны Vk при

малых скоростях и e0j = 7

Fig. 10. Dimensionless reduced volume of the attached cavity Vk at low speeds and e01 = 7

Fig. 11. Dimensionless reduced volume of the attached cavity Vk at medium speeds and

eoi = 7

На рис. 9 изображены зависимости безразмерного приведенного объема присоединенной каверны от безразмерной скорости ножа при четырех различных значениях безразмерной его высоты. На рис. 10-11 в виде контурных графиков приведены зависимости безразмерного приведенного объема присоединенной каверны от безразмерной скорости ножа и безразмерной его высоты.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Согласно модели (9) присоединенная каверна формируется вследствие мгновенного восстановления элемента Гука, а также запаздывающего восстановления элемента Кельвина-Фойгта реологической модели материала [4]. В соответствии с моделью (17) объем присоединенной каверны прямо пропорционально зависит от толщины ножа и длины его прямой режущей кромки. При этом на восстановительную деформацию и образование каверны оказывают влияние процесс деформации материала передней наклонной гранью ножа, а также процесс релаксации напряжений при контакте материала с боковой гранью. Это учитывается в моделях (11), (13), (19), (22)-(24), поскольку выражение для нормального контактного давления в крайней контактной точке Е является краевым условием при выводе указанных моделей. Для выявления зависимостей деформации материала, координаты крайней точки каверны и объема присоединенной каверны от скорости ножа, реологических свойств материала и высоты ножа выполнено математическое моделирование безразмерных величин в соответствии с моделями (22) - (24).

Результаты моделирования, представленные на рис. 2, показывают, что с увеличением безразмерной скорости ножа существенно возрастает безразмерная мгновенная восстановительная деформация материала. Одновременно, как показывает рис. 3, с увеличением безразмерной скорости соприкосновение свободных поверхностей материала, образованных при резании, происходит позже, т. е. запаздывающая деформация восстановления протекает длительнее. Это объясняется следующим. С ростом скорости ножа сокращается время, в течение которого происходит релаксация напряжений при контакте материала с боковой гранью, вследствие чего диссипация энергии, запасенной в деформированном вязкоупругом материале, осуществляется меньшем количестве. Следует отметить, что зависимости безразмерной восстановительной деформации от безразмерной координаты и безразмерной скорости на рис. 2-3 имеют нелинейный характер.

При безразмерной координате у = 1 и безразмерных скоростях ножа 5, 10, 20, 50 безразмерная приведенная относительная деформация восстановления материала составляет 0.251, 0.134, 0.069, 0.028 соответственно. При безразмерных скоростях ножа 5, 10, 20, 50 соприкосновение свободных поверхностей разрезанного материала (ёвосст=0) происходит при безразмерных координатах 12.232, 12.369, 12.436, 12.474 соответственно.

Рисунки 4 и 5 демонстрируют, что с увеличением отношения модулей упругости, т. е. с ослаблением жесткости материала (см. табл. 1 в [4]), незначительно снижается мгновенная восстановительная деформация и существенно длительнее происходит запаздывающая восстановительная деформация материала.

При отношениях модулей упругости материала 4, 7, 10, 15 безразмерная приведенная относительная деформация восстановления материала составляет 0.131, 0.134, 0.135, 0.137 соответственно. При отношениях модулей упругости 4, 7, 10, 15 соприкосновение свободных поверхностей разрезанного материала (ёвосст=0) происходит при безразмерных координатах 7.891, 12.369, 16.852, 24.328 соответственно.

Результаты моделирования, представленные на рис. 6, показывают, что с увеличением безразмерной высоты ножа существенно сокращается мгновенная восстановительная и значительно дольше происходит запаздывающая восстановительная деформация материала. Эти явления объясняются тем, что с увеличением высоты ножа значительно длительнее протекает релаксация напряжений, а в деформированном вязкоупругом материале происходит диссипация энергии, оставшаяся часть которой после прекращения контакта в точке Е высвобождается при восстановительной деформации, что с энергетической точки зрения соответствует существенному ослаблению жесткости материала.

При безразмерной координате у = 1 и безразмерных высотах ножа 1.5, 2, 2.5, 3 безразмерная приведенная относительная деформация восстановления материала составляет 0.089, 0.134, 0.177, 0.219 соответственно. При длинах боковой грани 1.5, 2, 2.5, 3 соприкосновение свободных поверхностей разрезанного материала (&восст=0) происходит при безразмерных координатах 8.426, 12.369, 16.288, 20.181 соответственно.

Рисунок 7 иллюстрирует, что с увеличением безразмерной скорости ножа безразмерная координата крайней точки Е присоединенной каверны монотонно возрастает и достигает предела. Крайняя точка каверны с ростом скорости удаляется от обуха ножа при малых скоростях, а при высоких скоростях достигает предельного положения. По мере снижения жесткости материала крайняя точка каверны удаляется от ножа. При отношениях модулей упругости 4, 7, 10, 15 предел безразмерной координаты крайней точки каверны составляет 8, 12.5, 17, 24.5 соответственно.

Рисунки 8 и 9 демонстрируют, что с увеличением безразмерной скорости ножа безразмерный приведенный объем присоединенной каверны возрастает при малых скоростях, достигает максимума, после чего при больших скоростях ножа асимптотически снижается. Рисунок 8 иллюстрирует, что при увеличении отношения модулей упругости, т. е. ослаблении жесткости материала, безразмерный приведенный объем присоединенной каверны существенно возрастает. Рисунок 9 показывает, что при увеличении безразмерной высоты ножа безразмерный приведенный объем присоединенной каверны также существенно возрастает. Зависимость безразмерного приведенного объема каверны от безразмерной скорости ножа является немонотонной функцией с явно выраженным максимумом.

При отношениях модулей упругости материала 4, 7, 10, 15 и безразмерных скоростях ножа 0.96, 0.93, 0.91, 0.90 достигаются максимумы безразмерного приведенного объема присоединенной каверны 1.233, 2.451, 3.707, 5.833 соответственно. При безразмерных высотах ножа 1.5, 2, 2.5, 3 и безразмерных его скоростях 0.64, 0.93, 1.24, 1.56 достигаются максимумы безразмерного приведенного объема присоединенной каверны 1.571, 2.451, 3.312, 4.165 соответственно.

Контурные графики, приведенные на рис. 10, 11, также иллюстрируют, что при малых безразмерных скоростях ножа происходит немонотонное увеличение безразмерного приведенного объема присоединенной каверны и достижение им максимума, а при больших безразмерных скоростях указанный объем

асимптотически сокращается. Вместе с тем увеличение безразмерной высоты ножа приводит к увеличению объема присоединенной каверны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вышеизложенные результаты моделирования позволяют заключить, что объем присоединенной каверны непосредственно связан с энергетическими потерями, обусловленными диссипацией энергии в вязкоупругом материале. Сокращение объема присоединенной каверны соответствует снижению количества вязкоупругой энергии, безвозвратно рассеянной в материале вследствие релаксации напряжений. Таким образом, чем меньше объем каверны, тем больше аккумулируется в материале вязкоупругой энергии, которая может быть направлена на совершение полезной работы.

С ростом скорости ножа при малых скоростях объем присоединенной каверны увеличивается с одновременным удалением крайней точки Е от задней грани ножа - каверна удлиняется. Далее при средних скоростях крайняя точка Е каверны занимает предельное положение относительно задней грани, а сокращение объема каверны при высоких скоростях происходит за счет асимптотического снижения ее поперечного размера - каверна сжимается, сохраняя свою длину.

Интересно отметить, что форма линий на рис. 8, 9 в целом соответствует форме графиков, описывающих зависимость деформационной составляющей коэффициента трения при скольжении штампа по вязкоупругому материалу [6, 7]. В целях использования аккумулированной в материале вязкоупругой энергии и снижения деформационной составляющей коэффициента трения целесообразно снабжать нож задними наклонными гранями. Эта мера сокращает объем присоединенной каверны и снижает результирующую деформационную силу трения, препятствующую движению ножа в пищевом материале.

В дальнейших работах авторов будет показано, что при наличии у ножа задней наклонной грани увеличение скорости приводит к сокращению объема присоединенной каверны и одновременному снижению результирующей деформационной силы трения, препятствующей движению ножа в материале.

Вместе с тем результаты моделирования позволяют заключить, что при любой положительной безразмерной скорости ножа существует ненулевой безразмерный приведенный объем присоединенной каверны. Разрезая материал лезвием, невозможно полностью избежать диссипации вязкоупругой энергии, обусловленной процессом релаксации напряжений. При этом невозможен полный контакт материала со штампом, форма которого соответствует рассматриваемому профилю ножа, следовательно, процесс раздвижения тканей лезвием является необратимым с термодинамической точки зрения.

Дальнейшим направлением исследований является математическое моделирование сил нормального контактного давления на задние наклонные грани ножа, а также определение деформационных сил трения, действующих на ножи с различными профилями.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Агеев, О. В. Совершенствование технологического оборудования для первичной обработки рыбы: опыт, проблематика, системный подход: моногр. / О. В. Агеев, Ю. А. Фатыхов. - Калининград: Изд-во ФГБОУ ВПО «КГТУ», 2015. - 261 с.

2. Фатыхов, Ю. А. Математическая модель процесса резания рыбного филе дисковым ножом / Ю. А. Фатыхов, О. В. Агеев // Известия КГТУ. - 2007. - № 12. -C. 42-51.

3. Наумов, В. А. Моделирование процесса погружения дискового ножа в пищевой материал при резании / В. А. Наумов, О. В. Агеев, Ю. А. Фатыхов // Электронный научный журнал Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств [Электронный ресурс]. - Санкт-Петербург: НИУ ИТМО, 2017. - № 2(32). - Шифр: ЭЛ № ФС77-55245. - Режим доступа: http://openbooks.ifmo.ru/read_processes/16842/16842.pdf.

4. Математическое моделирование сил нормального контактного давления на наклонные грани ножа при резании рыбы / О.В. Агеев [и др.] // Известия КГТУ. -2017. - № 47. - C. 80-96.

5. Агеев, О. В. Математическое моделирование сил нормального контактного давления на боковые грани ножа при резании пищевых материалов / О. В. Агеев, В. А. Наумов, Ю. А. Фатыхов // Электронный научный журнал Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики. Серия: Процессы и аппараты пищевых производств [Электронный ресурс]. - Санкт-Петербург: НИУ ИТМО, 2017. - № 4(34). - Шифр: ЭЛ № ФС77-55245.

6. Трение эластомеров. Моделирование и эксперимент / И. Г. Горячева [и др.] - Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2017. - 207 p.

7. Popov V. L. Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications / V. L. Popov. - Berlin: Springer-Verlag GmbH, 2017. - 391 p.

REFERENCES

1. Ageev O. V. Sovershenstvovanie tekhnologicheskogo oborudovaniya dlya pervichnoi obrabotki ryby: opyt, problematika, sistemnyi podkhod [Perfection of process facilty for primary fish processing: experience, problems, system approach]. Kaliningrad, Kaliningrad St. Tech. University Publ., 2015, 261 p.

2. Fatykhov Yu. A. Matematicheskaya model' protsessa rezaniya rybnogo file diskovym nozhom [Mathematical model of the process of cutting fish fillets with a disk knife]. IzvestiyaKGTU, 2007, no. 12, pp. 42-51.

3. Naumov V. A. Modelirovanie protsessa pogruzheniya diskovogo nozha v pishchevoi material pri rezanii [Simulation of a disk knife immersion process into a food material during fish cutting]. Processes and Food Production Equipment. 2017, no. 2(32). Available at: http://openbooks.ifmo.ru/read_processes/16842/16842.pdf.

4. Ageev O. V. Matematicheskoe modelirovanie sil normal'nogo kontaktnogo davleniya na naklonnye grani nozha pri rezanii ryby [Mathematical simulation of

normal contact pressure forces on inclined knife edges in fish processing]. Izvestiya KGTU, 2017, no. 47, pp. 80-96.

5. Ageev O. V. Matematicheskoe modelirovanie sil normal'nogo kontaktnogo davlenija na bokovye grani nozha pri rezanii pishhevyh materialov [Mathematical simulation of normal contact pressure forces on side knife edges during cutting of food materials]. Processes and Food Production Equipment. 2017, no. 4(34). Available at: http://openbooks.ifmo.ru/read_processes/16842/16842.pdf.

6. Gorjacheva I. G. Trenie jelastomerov. Modelirovanie i jeksperiment. [Friction of elastomers. Simulation and experiment]. Izhevsk, Izhevsk Institute of Computer Researches, 2017, 207 p.

7. Popov V. L. Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications. Berlin, Springer-Verlag GmbH, 2017, 391 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Агеев Олег Вячеславович - Калининградский государственный технический университет; кандидат технических наук; доцент кафедры пищевых и холодильных машин; E-mail: oleg.ageev@klgtu.ru

Ageev Oleg Vyacheslavovich - Kaliningrad State Technical University; PhD in

Engineering, Associate Professor, Department of Food and Refrigeration Machines;

E-mail: oleg.ageev@klgtu.ru

Наумов Владимир Аркадьевич - Калининградский государственный технический университет; доктор технических наук; заведующий кафедрой водных ресурсов и водопользования; E-mail: van-old@rambler.ru

Naumov Vladimir Arkadievich - Kaliningrad State Technical University; Doctor of Engineering, Head of Water Resources and Water Management Department;

E-mail: van-old@rambler.ru

Фатыхов Юрий Адгамович - Калининградский государственный технический университет; доктор технических наук; заведующий кафедрой пищевых и холодильных машин; E-mail: yuriy.fatyhov @klgtu.ru

Fatykhov Yuriy Adgamovich - Kaliningrad State Technical University; Doctor of Engineering, Head of the Department of Food and Refrigeration Machines;

E-mail: yuriy.fatyhov@klgtu.ru