Системы динамической геометрии как средство обучения будущих учителей математики геометрическим преобразованиям

СИСТЕМЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ

THE SYSTEMS OF DYNAMIC GEOMETRY AS A MEANS OF TEACHING GEOMETRIC TRANSFORMATIONS TO FUTURE MATHEMATICS TEACHERS

B.P. Майер, Т.В. Апакина, А.А. Ворошилова

V.R. Mayer, T.V. Apakina, А.А. Voroshilova

Система динамической геометрии, Живая математика, геометрические преобразования, движения, подобия, аффинные преобразования, инверсия, решение задач с использованием геометрических преобразований. Разработано компьютерное сопровождение модуля «Геометрические преобразования» курса геометрии, читаемого студентам - будущим учителям математики, обучающимся по направлению Педагогическое образование, представляющее собой комплекс динамических моделей с элементами анимации, выполненных в системе динамической геометрии Живая математика. Разработана компьютерная поддержка решения геометрических задач методом преобразований.

The system of dynamic geometry, live mathematics, geometric transformations, motions, similarities, affine transformations, inversion, solution of problems using geometric transformations. The authors have developed a computer tracking of Geometric Transformations module of the course of geometry, given to the students - future Mathematics teachers, majored in Teacher Education, which is a complex of dynamic models with animation elements, made in the system of dynamic geometry that is Live Mathematics. The authors have also developed a computer support for the solution of geometric problems by the method of transformations.

Федеральный государственный образовательный стандарт общего образования содержит такие требования к результатам обучения, как:

- умение изображать изучаемые плоские и объемные фигуры с помощью компьютерных инструментов;

- владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

В развитие и дополнение этих требований III Всероссийский съезд «Школьное математическое образование» в своей резолюции рекомендует для включения в примерные основные образовательные программы на всех уровнях образования в части предмета «Математика» использование компьютерных инструментов математической деятельности. Эти и ряд других документов ориентируют общеобразовательные

школы, а вслед за ними и вузы, готовящие учителей математики, к активному внедрению информационных технологий в учебный процесс, в практику обучения конкретным математическим дисциплинам. Нас в первую очередь будет интересовать обучение будущих учителей математики геометрическим преобразованиям и проблема использования информационных технологий при обучении этому важнейшему разделу математики. Цель исследования - разработка в одной из систем динамической геометрии компьютерного сопровождения модуля «Геометрические преобразования» курса геометрии в педагогическом вузе, внедрение этой разработки в учебный процесс.

Модуль «Геометрические преобразования» курса геометрии в Красноярском государственном педагогическом университете им. В.П. Астафьева

В.Р. МАЙЕР, Т.В. АПАКИНА, А .А. ВОРОШИЛОВА. СИСТЕМЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ

читается студентам, обучающимся по программе бакалавриата, направление подготовки 44.03.01 Педагогическое образование, профиль «Математика», в четвертом семестре. Основные разделы модуля: движения, подобия, аффинные преобразования, инверсия.

Как известно, преобразование множества представляет собой важнейшее понятие математики, без которого немыслимо развитие не только этой науки, но и целого ряда других отраслей знаний. После представления Ф. Кленом в 1872 году своей Эрлангенской программы преобразования множеств прочно вошли в учебные планы большинства университетов мира, а простейшие геометрические преобразования, такие как движение и подобие, стали включать в содержание школьных курсов математики.

В отечественном школьном математическом образовании попытка построить курс геометрии с широким привлечением движений впервые была предпринята в 1920 году, сразу после разработки и утверждения первой программы по геометрии. Через два года в связи с началом проведения серии многолетних педагогических экспериментов эта программа была свернута.

В конце пятидесятых годов после принятия закона об укреплении связи школы с жизнью произошел очередной переход на новые программы. Геометрические преобразования вновь были включены в школьный курс геометрии. К сожалению, такая корректировка геометрического материала не была должным образом подкреплена методически. В педагогических институтах того времени студенты в рамках курса «Элементарная математика» решали достаточно много задач на геометрические преобразования, однако вопросу о том, как обучать этому школьников, уделялось мало внимания. Все это спровоцировало существенное сокращение объема часов по этой теме в школьном курсе геометрии.

Очередная попытка обновить содержание школьного математического образования была предпринята в конце шестидесятых годов двадцатого века комиссией под руководством академика А.Н. Колмогорова. Затронула реформа и геометрические преобразования, которые не

просто вводились в программу курса геометрии, они помещались авторами в центр курса, становились основными понятиями. Подход к их изучению на этот раз был более продуманным и методически обоснованным.

Со временем и в этот вариант программы пришлось вносить коррективы, одна из главных-отказ от придания геометрическому преобразованию статуса основного понятия. Геометрические преобразования остались в программе, но приоритет был отдан их применению к решению задач, увязке этого понятия с другими понятиями геометрии, вопросам прикладной направленности. Само построение курса геометрии в школе было максимально приближено к классической схеме, проверенной временем.

Были подготовлены различные варианты школьных учебников по геометрии. На новые программы перешли и педагогические институты, в которых разрозненные геометрические курсы были объединены в единый курс геометрии. Формализация математики и математического образования, начатая в то время во Франции, не обошла стороной и нашу страну. Изложение материала в учебниках по геометрии для педвузов стало более абстрактным и менее доступным. По этим и целому ряду других причин ситуация с преподаванием геометрии оставалась и продолжает оставаться достаточно сложной. К разделам курса геометрии, изучение которых непросто дается и ученикам и студентам, относятся и геометрические преобразования. Отметим основные причины этого обстоятельства.

Во-первых, определение и свойства геометрических преобразований отличаются от определения и свойств других понятий и объектов геометрии, с которыми обучающиеся имели дело ранее. Основное отличие этого понятия от остальных заключается в том, что определение каждого конкретного геометрического преобразования, по сути, представляет собой описание алгоритма нахождения образа произвольной точки. Не все школьники и даже студенты осознают и до конца понимают суть этого понятия, что создает определенные сложности при изучении преобразований.

<С £

С т

о

ь

к ^

м т н о

Рч

о ^ о о

О Й

3

м н к о

Рч

м

0

1

к

а

«

о м

V

к

ь

1-4

<с «

м с

X

н и

щ м

Во-вторых, те дидактические средства и методики, которые традиционно используются при исследовании свойств геометрических объектов и понятий статического характера, оказались малоэффективными при обучении такому динамическому понятию, как геометрическое преобразование. Лишь немногие ученики обладают соответствующей геометрической интуицией, позволяющей им мысленно построить динамическую модель изучаемого понятия и эффективно использовать эту модель при исследовании преобразования, при решении задач методом преобразований.

В-третьих, при решении задач на построение, вычисление или доказательство методом геометрических преобразований не существует универсальных приемов и рекомендаций, гарантирующих успешное выполнение двух взаимосвязанных и взаимозависимых действий, а именно выбор подходящего геометрического преобразования и одновременно соответствующего ему фрагмента геометрической конфигурации, образ которого под действием этого преобразования будет играть роль того ключа, который позволит найти искомую конструкцию, соотношение или обоснование.

Наши исследования [Апакина, Азаров, 2013; Майер, 2012; 2014а, б] и многолетний опыт работы с системами динамической геометрии позволяют утверждать, что использование этих компьютерных программ при обучении геоме-

трическим преобразованиям минимизирует негативные последствия отмеченных выше причин, а в отдельных случаях их полностью нейтрализует. Отметим основные возможности программного и дидактического характера, которые получает в свое распоряжение обучающийся, использующий при изучении геометрических преобразований систему динамической геометрии Живая математика.

1. При изучении конкретных преобразований имеется возможность динамически визуализировать рассматриваемое понятие. Для этого достаточно, например, выбрать произвольную точку плоскости, пространства или конкретной фигуры; используя конструктивные или вычислительные возможности среды Живая математика, построить ее образ; перемещая выбранную точку, наблюдать в режиме реального времени за перемещениями образа.

Так, например, при изучении аффинных преобразований Живая математика предоставляет возможность построить на рабочем поле два аффинных репера, изобразить произвольную точку М (рис. 1) и найти ее образ МС. Перемещая точку М, например, по окружности с , найти: образ этой окружности - эллипс схС, образ хорды АВ и перпендикулярного ей диаметра СО - сопряженные хорду АСВС и диаметр ССОС. Можно провести разведочный эксперимент и найти предполагаемую неподвижную точку преобразования.

Аффинное преобразование задано парой реперов

К={о;е1;е2} и Я'={о'; е^; е2'}

е2

О

м

61

М'

Рис. 1 [62]

В.Р. МАЙЕР, T.B. АПАКИНА, A.A. ВОРОШИЛОВА. СИСТЕМЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ КАК СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМ

2. Среда Живая математика предоставляет пользователю уникальную возможность создавать собственные геометрические преобразования. Для реализации этой возможности необходимо построить на рабочем поле произвольную точку, по алгоритму пользователя найти ее образ, затем подсветить исходную точку и построенный образ, обратиться к команде «Определить преобразование...» из меню «Преобразования». В появившемся окошке надо дать имя новому геометрическому преобразованию и оперировать им так же, как со всеми встроенными в среду Живая математика преобразованиями: параллельным переносом, поворотом, отражением от оси и гомотетией.

Так, например, при изучении студентами такого нелинейного преобразования плоскости с выколотой точкой, как инверсия, имеется возможность на лабораторно-практическом занятии построить динамическую модель, визуализирующую выведенное на лекции свойство о том, что прямая, не инцидентная центру инверсии, отображается на окружность. Для этого изображается базисная окружность с(0, К), выбирается произвольная точка М, в соответствии с определением инверсии строится ее образ МС (рис. 2), задается собственное преобразование «Инверсия». Затем с использованием этого преобразования строится образ произвольной фигуры, состоящей из отрезков. На рис. 2 представлена динамическая модель образа фигурки лебедя.

Инверсия

c

Рис. 2

3. При решении задач методом преобразований среда Живая математика помогает осуществить выбор того конкретного геометрического преобразования, применение которого приводит к успеху. Для этого выделяется одно из условий, которым обладает искомая фигура, и рассматривается вспомогательная фигура, удовлетворяющая всем условиям, за исключением выделенного. Среди точек, определяющих вспомогательную фигуру, всегда есть точка-предок, которая задает эту фигуру, остальные точки называются точками-потомками. Подсветив одну из точек-потомков и перемещая точку-предка, можно визуализировать (в виде следа,

оставляемого точкой-потомком, или гмт этой точки) тот объект, который является ключом к решению задачи.

4. Имеется возможность на лабораторных работах рассмотреть цикл задач типа «Черный ящик», связанных с исследованием свойств и признаков конкретных геометрических преобразований. Например, на рабочем поле строится изображение тех фигур, которые в соответствии с определением геометрического преобразования необходимы для его задания (для поворота: центр и угол, для гомотетии: центр и коэффициент и т.д.). Затем изображаются фигура (отрезок, окружность и т.п) и ее образ под действи-

<

га

Ч

Я

§

ч

с

CQ О t

и w

s ё

е о

п РЦ

51 W

о ^ о о и ^

о 9

т

« с

s и

Н U

W сп

ем этого преобразования. Изображения фигур, задающих преобразование, скрываются (команда «Скрыть фигуру» из меню «Вид»), От обучающегося требуется восстановить скрытые фигуры, используя для этого лишь пару прообраз-образ и конструктивные возможности компьютерной среды. Возможны другие не менее интересные варианты задач типа «Черный ящик».

Нами разработаны и реализованы в учебном процессе компьютерное сопровождение модуля «Геометрические преобразования» курса геометрии, представляющее собой комплекс динамических моделей с элементами анимации, выполненных в системе динамической геометрии Живая математика, методические рекомендации по использованию этого комплекса. Совместно со студентами - будущими учителями математики создана компьютерная поддержка решения геометрических задач методом преобразований, которая использовалась на лабораторно-практических занятиях по геометрии.

Подводя итог, отметим, что использование на лекционных и лабораторно-практических занятиях системы динамической геометрии «Живая математика» позволило насытить процесс

обучения геометрии элементами учебного исследования и компьютерного эксперимента.

Библиографический список

1. Апакина Т.В., Азаров B.C. Живая геометрия как средство компьютерного сопровождения решения задач на вычисление расстояний между объектами в пространстве // XIV Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и наука XXI века». Красноярск, 2013. С. 73-77.

2. Майер В.Р., Семина Е.А. Информационные технологии в обучении геометрии бакалавров - будущих учителей математики: монография / Краснояр. гос. пед. ун-т им.

B.П. Астафьева. Красноярск, 2014а. 516 с.

3. Майер В.Р., Крум Е.В. Информационные технологии в обучении проективной геометрии будущих учителей математики // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. 20146. №1 (73).

C. 92-95.

4. Майер В.Р. Компьютерные исследования и эксперименты при обучении геометрии // Вестник КГПУ им. В.П. Астафьева. 2012. № 4 (22). С. 22-27.