Понятие «Контекст учебного материала по математике». Типология контекстов

М.Г. Макарченко

ПОНЯТИЕ «КОНТЕКСТ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ПО МАТЕМАТИКЕ».

ТИПОЛОГИЯ КОНТЕКСТОВ

Понятие «контекст» применяется к понятию «текст» в широком смысле этого слова: под текстом понимается любая вербальная или невербальная информация. В данной статье понятие «контекст» рассматривается применительно к текстам школьных учебников математики, т.е. в узком смысле понятия «текст». Распознавание контекста одного текста практически всегда неоднозначно и усугубляется объемом самого текста. Например, контекст книги как текста и контекст абзаца из этой же книги несравнимы и по содержанию контекстуальной информации, и по приоритетности контекстов этого содержания. В связи с этим представляется целесообразным говорить о контекстах тех текстов, которые содержат минимум целостно выраженной информации. Для учебных текстов школьных учебников такие тексты нами названы «учебными материалами».

Понятие «учебный материал по математике»

В научной и научно-методической литературе проблемам школьного учебника посвящены много исследований: по теории текста и его понимания (А.А. Бодалев, А.А. Брудный, Н.С. Валгина, Е.С. Кубрякова, Е.А. Купирова, Ю.М. Лотман и др.); по теории речи, основам научной речи (Н.А. Буре, М.В. Быстрых, С.А. Вишнякова, П. Сопер, Е.П. Суворова, Т.А. Титова, В.В. Химик и др.); по общим проблемам школьного учебника, по проблемам совершенствования школьных учебников, в том числе и учебников математики, (Е.Б. Арутюнян, А.Л. Вернер, М.Б. Во-лович, Г.Г. Граник, В.А. Гусев, Л.А. Концевая, А.Г. Мордкович, Н.С. Подходова и др.) и другие. В них выделяются разные виды и типы текстов, например: учебные тексты с разными ведущими компонентами или учебные тексты разных функциональных стилей. Обособление вида учебного текста определяется, как правило, внешне заданной функцией. При этом отмечается, что текст может обладать разными функциями, среди которых выделяется основная. Содержание, которое отражено тексте определенного вида (определенной функции), должно быть: 1) целостным с точки зрения раскрытия содержания единицы учебной информации; 2) целостным с точки зрения соответствия внешней и внутренней структуры учебного материала; 3) внешне представлено в виде одного текста, входящего в совокупность других учебных текстов. Такими качествами обладают тексты пунктов параграфов, сами параграфы, главы и т.п. Текст, обладающий указанными качествами и в тоже время минимальным объемом, как правило, связан с единицей учебной информации, например: текст, связанный с математическим правилом, теоремой и ее доказательством и др. Такие тексты мы называем учебными материалами по математике или учебными материалами параграфа учебника математики. Другими словами, под учебным материалом параграфа будем понимать текст учебника, который связан с учебной единицей математического знания и внешне представлен единым текстом.

Анализ текстов параграфов школьных учебников (Ш.А. Алимов и др.; Л.С. Атанасян и др.; Н.Я. Виленкин и др.; В.А. Гусев; Г.В. Дорофеев; Ю.Н. Макарычев и др.; А.Г. Мордкович; и др.) показал:

1) в пределах одного параграфа используются, причем, неоднократно, разные виды текстов и в них излагаются несколько единиц учебной математической информации;

2) при описании содержаний разных единиц информации, как правило, используются одинаковые по виду тексты с различными дидактическими функциями, которые можно распознать посредством скрытой за текстом (контекстной) информации, выраженной во взаимосвязях между разными видами текстов;

3) обособленное исследование контекстной информации текста одного вида не целесообразно по той причине, что она по смыслу совпадет с функцией текста;

4) внешняя структура текста параграфа или его учебного материала представляется видами текстов, а внутренняя - сущностью предмета, описанного в тексте;

5) внешние структуры учебных материалов параграфов в учебниках по алгебре или по математике очень схожи между собой, например: «целесообразная задача - математическое знание - примеры на применение этого знания - задачный материал»; тексты доказательств теорем имеют следующую внешнюю структуру:

а) формулировка факта (теоремы, следствия и т. п.);

6) вводные предложения;

в) текст развертывания рассуждений;

г) предложение - вывод [7, 173-174].

Таким образом, уточнено понятие «учебный материал по математике» или «учебный материал», перейдем к раскрытию понятия «контекст учебного материала». Понятие «контекст учебного материала по математике»

Понятие «контекст» сегодня проникло во все сферы человеческой жизни, в связи, с чем им интересуются и его изучают различные науки. В языкознании понятие "контекст" рассматривается в качестве системного значения семантически законченного текстового отрывка, обладающего свойством целостности. В этом же смысле трактуют данное понятие «Большой Энциклопедический словарь» и «Толковый словарь Ожегова». В последнем, например, приведено следующее определение: «Контекст, - а, м. (книжн.), относительно законченная в смысловом отношении часть текста, высказывания. Значение слова узнаётся в контексте» [13]. Можно привести достаточное количество примеров из учебников математики, в которых такая трактовка понятия «контекст» имеет место и немало текстов, где ее рассмотрение не целесообразно. Ниже приведен пример, где данная трактовка понятия «контекст» может быть проиллюстрирована.

Пример 1. В учебнике [1, 8] представлен параграф 2 «Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух одночленов». Начинается он следующим учебным материалом.

Одночлены 4а3 в2 и 5а2 в3 делятся на одночлен ав. Именно, 4а3 в2 :ав=4а2 в,

5а" е3 :ав=5ав " , так как 4аЪ в" =ав * 4а" в, а 5а" е3 =ав • 5ав " . Поэтому ав называют общим делителем этих одночленов. Общий делитель двух одночленов, имеющих по каждой из переменных наивысшую возможную степень, называют наибольшим общим делителем (НОД) этих одночленов.

В этом отрывке содержаться несколько предложений. Рассматривая первые три предложения, можно сказать, что они связаны между собой одним контекстом: первые два (вспомогательные по отношению к третьему) предложения, как бы, помогают понять содержание третьего предложения (основное по содержанию к первым двум). Здесь будет неуместно говорить о том, что «контекст это часть текста», состоящего из трех предложений. Соотнося первые три предложения в едином тексте с четвертым, можно сделать вывод о том, что с одной стороны, первые предложения способствуют пониманию последнего, а, с другой стороны - текст из первых трех предложений можно рассматривать как законченную в смысловом плане часть, и, поэтому его контекст действительно является частью всего текста, так как структурно все предложения находятся в одном абзаце, и, в-третьих, содержательно первые три предложения по смыслу связаны с четвертым, хотя явно эта связь в тексте не представлена.

Анализ этого и других текстов учебников математики позволяет сделать два вывода.

1. Трактовка контекста как «части текста» в большей мере носит количественный, а не качественный характер, но при этом она не является чуждой для теории и методики обучения математике. Однако ее не следует считать единственной.

2. Личностно - смысловой аспект этого понятия определяем так. Понятие «контекст учебного текста по математике» можно трактовать как интеграцию различных объективных смыслов, порождаемых воспринимаемым учебным математическим текстом в системе школьного математического образования, реализуемом в данном учебнике конкретного автора в определенной теме.

Ниже приведены некоторые рассуждения, которые наталкивают на мысль рассмотрения и других трактовок понятия «контекст».

Как «часть текста» контекст с формальной точки зрения не может нести информации больше, чем представлено в самом тексте - это, во-первых. Во-вторых, различные цели обращения к тексту могут вызвать разные ассоциации у читателя и приводить его к разным результатам и выводам. Автор статьи «Диалоговая концепция культуры М.М. Бахтина - В.С. Библера» Л.Г. Викторова (статья опубликована в журнале "Парадигма: Журнал межкультурной коммуникации. № 1") утверждает: «Понимание произведения, которое равно тексту плюс контекст, базируется на трех контекстах: контексте описываемого; контексте автора; контексте интерпретатора». Аналогичные выводы можно найти у А.А. Брудного [2, 23], А.А. Вербицкого [3, 98-101, 98 - 101], Л.Г. Викторовой [13], М.Л. Макарова [6, 149], У. Найсера [9], Н.Г. Салминой [11, 18], А. Шухова [15] и других.

В-третьих, «текст», «содержание текста», «основное содержание», «вспомогательное содержание» - что из сказанного есть контекст - из приведенных трактовок совершенно не ясно.

Проиллюстрируем сказанное на следующем примере и перейдем к рассмотрению других трактовок понятия контекст.

Пример 2. В учебнике «Математика» (6 класс) авторов Н.Я. Виленкина и др. [5, 65] приведен параграф третий, пункт тринадцатый: «Умножение дробей». В этом пункте содержится следующий учебный материал.

Задача 1. В бутылке 3 л. сока. Сколько сока в 5 таких бутылках? 4

Решение. Для решения задачи надо найти произведение А. 5. Но умножить 2 на нату-

4 4

о

ральное число 5 - значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно 3

4

3 5_ 3 3 3 3 3_3 + 3 + 3 + 3 + 3_3-5_15_33 4' _ 4 4 4 4 4~ 4 ~ 4 ~ 4 ~ 4'

Значит, в бутылках 33 л. сока.

4

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Рассмотрим контексты, которые могут быть заданы содержанием этого текста:

1) «знаниевый контекст»: в качестве нового знания выступает правило, которое выделяется на фоне «имеющихся знаний»;

2) «умениевый контекст» - наращивается новое умение - умение умножать дробь на натуральное число;

3) методико-математический контекст - математическое содержание - это «фигура», а его методическая обработка - «фон» - контекст;

4) обосновывающий контекст - собственно правило - новая математическая информация: умножение дроби на натуральное число; его эмпирическое обоснование - известная математическая информация, связанная с действием «умножение натурального числа (дробь рассматривается как количество частей) на натуральное число»;

5) индуктивный контекст: от частного (результат решения задачи) сделан переход к общему (правилу умножения дроби на натуральное число).

Итак, контекст не только часть текста, да и не столько, - данное понятие должно иметь, и имеет, другие важные признаки и свойства, которые нельзя не учитывать в учебном процессе. Перейдем к их рассмотрению.

В «Новейшем философском словаре» М.А. Можейко [10, 502] определяет данное понятие следующим образом: «Контекст (лат. сойеХи! - соединение, тесная связь) - квазитекстовый феномен, порождаемый эффектом системности текста как экспрессивно-семантической целостности и состоящий в супераддитивности смысла и значения текста по отношению к смыслу и значению суммы составляющих его языковых единиц». В этой трактовке контекст, во-первых, является феноменом, как бы мгновенным состоянием сознания, и представляет «соединение» внешней

(идущей от текста) и внутренней (находящейся в сознании человека) информаций, а, во-вторых, может неоднозначно выражать смысл феномена, порождая «фундаментальную плюральность гипотетически бесконечного числа контекстов» [там же]. Структурируя веер возможных аспектов грамматического значения того или иного слова или предложения, человек определяет смысл языковых выражений в пределах данного текста. Как отмечает автор «вне контекста языковая единица теряет дополнительные значения, диктуемые общим смыслом текста, утрачивая ситуативную семантическую конкретность и эмоциональную нагруженность, и - "значит лишь то, что значит"» [там же]. Если в предыдущем примере из всего текста оставить только текст основного свойства дроби, то выделенные выше контексты утратят свою значимость и текст будет «значить лишь то, что значит"».

Вернемся к рассмотрению примера 2. Говоря о первом контексте с методических позиций, можно задаться вопросом как проявляет себя математический контекст. Какая «математика» лежит в основе данного понятия? Ответ будет таким: данная тема строится на понятии «расширение одного числового множества до другого», в содержание которого входит сравнение «новых» чисел со «старыми» и «новых» между собой. Как видим, «родословные» одного и того же контекста разные: методический и математический. Второй контекст имеет уже другую «природу» - логическую, представленную рассуждением от частного к общему.

В связи со сказанным представляется целесообразным рассматривать определение контекста по М.А. Можейко вполне приемлемым к анализу математических текстов в учебниках математики. Однако его следует конкретизировать для фокусирования усилий исследования на смысловой характеристике контекстов учебно-математических текстов. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что учебные математические тексты можно рассматривать в различных контекстах, смысловая направленность которых может проявляться как обособленно от других контекстов, так и в их совокупности - в «супераддитивности смыслов и значений». Ниже предлагаем уточненный вариант определения М.А. Можейко относительно учебных математических текстов.

Контекст учебного материала по математике - это квазитекстовый феномен, порождаемый эффектом системности учебного математического текста как экспрессивно-семантической целостности математической, логической, исторической и методической его составляющих и выраженный в обособленности и/или супераддитивности их смыслов и значений и входящих в текст языковых единиц.

Это определение характеризует понятие «контекст учебного материала по математике» в структурно-содержательном аспекте.

Пример 3. В учебнике «Математика» [4, 52] после задачного материала к параграфу «Сложение натуральных чисел и его свойства» приведён следующий текст: «В старину в России применялись меры массы не такие, как в настоящее время. Например, для взвешивания мелких, но дорогих товаров применялся золотник (около 4 г). В торговле использовались фунт (1 фунт=96 золотникам), пуд (1 пуд=40 фунтам), берковец (1 беркрвец=10 пудам)».

Характеризуя данный текст, отметим, во-первых, в нём вводятся обозначения единиц измерения массы в Древней Руси, т.е. введен математический факт, введены названия масс. Во-вторых, этот текст является учебно-математическим текстом, контекст которого имеет историко-математическую направленность. Это обусловлено его особенностями, которые соответствуют трактовке понятия «историко-математический контекст». Поясним это:

1. Данный текст находится в школьном учебнике математики, следовательно, его можно назвать учебным текстом по математике;

2. Аддитивность математической и исторической информации явно не выражена в содержании текста;

3. Историческая составляющая представлена лишь указанием единиц измерения массы, которые использовались в Древней Руси;

4. Математическая составляющая представлена в единицах перевода «древних» единиц измерения в современные;

5. Логика открытия логика необходимости введения единиц измерения в Древней Руси не представлена в явном виде (словами в тексте).

6. Логика взаимоотношений не выражена в содержании текста;

7. Исторические деятели не приведены.

Как видно, в данном тексте пункты: 1, 3 и 4 недостаточно отражены, а остальные отсутствуют. Возникают несколько вопросов:

a. Почему возникла необходимость измерения?

b. Почему введены именно такие величины измерения массы?

Порассуждаем над этими вопросами, пытаясь спрогнозировать некоторые причинно -следственные связи.

a. Скорее всего, с появлением общества и торгового обмена возникла необходимость измерения количества товара.

b. Золотник, наверное, использовался для измерения золота.

Обратимся к дополнительной литературе: в пособии И.Я. Депмана, Н.Я. Виленкина «За страницами учебника математики» представлен следующий текст: «С развитием обмена продуктов в обществе возникла необходимость в измерениях количества разных веществ». «Древнейшей Русской весовой единицей была гривна. Она весила 68,22 г. Потом основными единицами при взвешивании стали фунт и пуд. Фунт равнялся 6 гривнам, а пуд - 40 фунтам. Для взвешивания золота применяли золотники, составляющие 1/96 доли фунта (отсюда происходит пословица «мал золотник, да дорог»). Слово «фунт» и «пуд» происходят от одного и того же латинского слова «пондус», означавшего тяжесть».

Данный текст может служить дополнением к выше приведённому тексту, которое соединит математическую информацию (единицы измерения масс) с исторической.

Итак, в структурно-содержательном аспекте контекст данного текста - историко-матема-тический, можно выделить его вид - контекст развития математической мысли (введение и развитие системы единиц измерения массы).

Термин «контекст» в структурно-содержательном аспекте также можно применить к математическим задачам. Остановимся подробнее на анализе контекстов текстов, которыми они описаны.

В математической логике общее понятие "контекст" дифференцируется на экстенсиональный контекст (в рамках которого эквивалентность и взаимозаменяемость выражений устанавливается по признаку объема) и интенсиональный (где логическая взаимозаменяемость определяется по критерию содержания) [по цитате М.А. Можейко].

Рассматривая данную трактовку понятия контекст, можно сделать вывод о том, что в зависимости от представленности математического объекта его объемом или его содержанием можно говорить о контексте, которым задан сам объект. Рассмотрим примеры из школьного курса математики, подтверждающие этот вывод.

Пример 4. В сборнике задач [12, 52] приведено задание 5.73: решите уравнение

б) *-2^С2-4Х^+3 = 0.

Здесь требуется найти числа, являющиеся корнями данного уравнения, т.е. найти объекты из объема математического объекта, содержание которого представлено данным уравнением. Получается, что требуется найти «объем» при заданном «содержании», последнее и следует считать контекстом или фоном, а объем (сами числа) - значениями или фигурой.

Пример 5. В этом же сборнике [12, 53] приведено другого рода задание 5.80: составьте квадратное уравнение с заданными корнями -7 и -2.

В этом примере указанные числа, представляя объем математического объекта - квадратного уравнения, выступают контекстом, само уравнение, т.е. содержание объекта - фигурой.

Схема. Типология контекстов учебных материалов по математике

учебно-целевой контекст

вводящий обосновывающий обобщающий мотивирующий

знаниевый, умениевый;

идейно-практический

учебно-содержат. контекст

контексты: параметров поведения и состояния знаний и умений

настройки наращивания

создания перестройки

мотиво- контекст персоналий

целеполагающий

контекст

побудительный биографиче-

стимули- ский

рующий контекст

регулирующий межличностных отношений

рефлексивно- контекст фактов

оценочный контекст

Контекст учебно-целевой взаимосвязи

логики и математики

контекст математического открытия контекст развития математической мысли

Контекст Осмысления логики через

изучение математики

контекст осмысления математики через логику

контекст объекта логического мышления

контексты: понятия, суждения, умозаключения, законов логики, доказательства

контекст логического метода научного познания

контексты: аксиоматического метода, индукции, дедукции, аналогии

Подведем итог данной статьи.

Учебные материалы по математике включают разные виды текстов, внешние и внутренние структуры которых подчинены друг другу информационной целостностью. Информационная целостность учебного материала может быть осмыслена с позиций разной природы содержаний (учебной, методической, логической и исторической), совокупность которых представляет «супераддитивности их смыслов и значений и входящих в текст языковых единиц». Делая акцент на обособленности или супераддитивности смыслов можно выделять разные контексты одного и того же учебного материала.

Контекст учебного текста по математике - это феномен текста, понимаемый специалистом, учителем математики. Он вызывается «эффектом системности текста» как некоторой его целостности. Эта целостность определяется математической, логической, исторической и методической информацией явной или скрытой.

Наличие в учебных математических текстах различных контекстов требует выделения их видов. Приведенные в данной статье примеры свидетельствуют о наличии в текстах учебных материалов по математике разных видов контекстов. Выделяем следующие виды контекстов математических текстов и учебных материалов: 1) учебно-математические контексты; 2) методико-математические контексты; 3) логико-математические контексты; 4) историко-математические контексты. Типология контекстов учебных материалов по математике представлена схемой.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов Ш.А. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. 10-е изд. М.: Просвещение, 2004.

2. Брудный А.А. Психологическая герменевтика: учеб. пособие, М., 1998. 336 с.

3. Вербицкий, А.А. Контекст как смыслообразующая психологическая категория // Ежегодник Российского психологического общества: мат-лы III Всерос. съезда психологов 25-28 июня 2003 г. Т. II., СПб., 2003. С. 98-101.

4. Виленкин Н.Я., В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика: учебник для 5 кл. обще-обр. учреждений / Н.Я. Виленкин, 5-е изд., испр. и доп. М.: Русское слово, 1997.

5. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов. Математика: учебник для 6 кл. сред. шк. / 2-е изд. М.: Ритм, 1993.

6. Макаров, М. Л. Основы теории дискурса. М.: ИТДГК «Гнозис», 2003.

7. Макарченко М.Г. Задачи, определения и теоремы как понятия методики обучения математике: учеб. пособие / в авт. ред., Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2004.

8. Макарченко М.Г. Контекстуальный анализ учебных текстов по математике // Известия Российского государственного пед. ун-та им. А.И. Герцена. № 11 (71). СПб., 2008.

9. Найссер У. Познание и реальность. Смысл и принципы когнитивной психологии: пер. с англ. В.В. Лучкова / вст. ст. и общ. Ред. Б.М. Величковского. М.: Прогресс, 1981.

10. Новейший философский словарь. 3-е изд., испр. Мн.: Книжный Дом. 2003. С. 502.

11. Салмина, Н.Г. Знак и символ в обучении. М.: Изд-во Москов. гос. ун-та, 1988.

12. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. 3-е изд. М.: Просвещение, 1996.

13. http://dic. academic.ru/dic .nsf/enc3p/162510 ">КОНТЕКСТ</а>

14. http://res.krasu.ru/paradigma/ 1/6.htm

15. http ://nounivers. narod.ru/v/sol/sol_1 .htm