Круговой цилиндр в трансзвуковом потоке совершенного газа

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XLIV

2013

№ 5

УДК 533.6.011.8

КРУГОВОЙ цилиндр в трансзвуковом потоке СОВЕРШЕННОГО ГАЗА

В. А. БАШКИН, И. В. ЕГОРОВ, И. В. ЕЖОВ, С. В. УТЮЖНИКОВ

На основе нестационарных двухмерных уравнений динамики вязкого совершенного газа численно смоделировано поперечное обтекание кругового цилиндра трансзвуковым потоком. Расчеты проведены в достаточно широком диапазоне изменения параметров подобия: 0.8 < М < 1.3; 103 < Яе < 106 (ламинарное течение) и 106 < Яе < 107 (турбулентное течение). При этом обтекаемая поверхность принималась либо теплоизолированной, либо изотермической с температурным фактором Т„0 = 0.5 (охлажденная поверхность) и 1.5 (перегретая поверхность). Обсуждается влияние варьируемых параметров на структуру поля течения и аэродинамические характеристики кругового цилиндра.

Ключевые слова: круговой цилиндр, трансзвуковой поток, динамика вязкого совершенного газа, численное моделирование.

Методы вычислительной аэродинамики широко используются для изучения поперечного обтекания кругового цилиндра трансзвуковым потоком совершенного газа; при этом численное моделирование осуществляется на основе как уравнений Эйлера, так и уравнений динамики вязкого газа.

Уравнения Эйлера представляют собой предельный случай уравнений Навье — Стокса, когда число Рейнольдса Re = V«R/v« ^ да (здесь V« — скорость набегающего потока, R — радиус цилиндра, v«, — кинематический коэффициент вязкости). Поэтому решение невязкой задачи поставляет полезную информацию о свойствах трансзвуковых течений. Так, например, в [1] изучена струк-

введение

БАШКИН Вячеслав Антонович

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ЦАГИ

Иван Владимирович

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, начальник отделения ЦАГИ

ЕГОРОВ

Иван Валерьевич

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ЦАГИ

ЕЖОВ

Сергей Владимирович

профессор, университет Манчестера

УТЮЖНИКОВ

тура поля течения около кругового цилиндра при трансзвуковых числах Маха Мда= 0.38 — 0.98 (указанный диапазон чисел М следовало бы назвать околозвуковым, поскольку нет перехода через скорость звука). Согласно особенностям полученного решения рассмотренный диапазон чисел М разбивается на четыре интервала. В первом интервале течение стационарно, симметрично, устойчиво. В остальных трех интервалах существуют две ветви решения: первая ветвь соответствует стационарному или периодическому симметричному течению, которое неустойчиво; вторая ветвь решения различна для разных интервалов: во втором она соответствует периодическому асимметричному устойчивому течению; в третьем — нестационарному асимметричному хаотическому течению, а в четвертом — квазистационарному квазисимметричному устойчивому течению. Результаты численного моделирования [1] качественно согласуются с нашими данными, полученными на основе уравнений Навье — Стокса и Рейнольдса.

Наиболее полная и достоверная информация получается при численном моделировании на основе уравнений динамики вязкого газа. Так, например, в [2] с помощью разработанного метода численного моделирования изучена эволюция структуры поля течения и аэродинамических характеристик при фиксированных значениях чисел М и Яе (М« = 0.8, Яе = 105). Для указанных значений параметров подобия обтекание цилиндра является нестационарным с образованием вихревой дорожки Кармана в ближнем следе. Проведена также верификация численного моделирования путем сопоставления результатов расчетов с экспериментальными данными, которое показало в целом хорошее согласование их между собой.

Затем в [3] исследовано влияние числа Маха (0.8 < М« < 1.3) при фиксированном значении числа Рейнольдса (Яе = 10 ) на структуру поля течения и поведение аэродинамических характеристик кругового цилиндра с теплоизолированной и изотермической (Т^0 = 0.5) поверхностями и проведена дополнительная верификация численного моделирования. В частности показано, что при числах М« < М* с обтекаемой поверхности происходит периодический сход вихрей и течение около цилиндра носит нестационарный характер. При числах М« > М* периодический сход вихрей с обтекаемой поверхности исчезает и общая структура поля течения близка к симметричной; при этом в ближнем следе имеется узкая область течения в окрестности плоскости симметрии, в которой движение газа нестационарное. Согласно расчетам 0.9 <М* <0.95 для теплоизолированного и 0.8 < М* < 0.9 для изотермического цилиндра.

В [5] изучено влияние числа Яе на структуру поля течения и аэродинамические характеристики кругового цилиндра с теплоизолированной ([дТ/дп\^ = 0) и изотермической (Т^0 = 0.5 и 1.5) поверхностями для фиксированного трансзвукового числа = 0.8. Здесь температурный фактор Т„0 представляет собой отношение температуры изотермической поверхности тела к температуре торможения невозмущенного потока. Численное моделирование проведено на основе уравнений Навье — Стокса при числах 103 < Яе < 106 (ламинарное течение) и на основе уравнений Рейнольдса при числах 10 < Яе < 10 (турбулентное течение). Результаты этих исследований нашли отражение в [4].

Исследования методами вычислительной аэродинамики поперечного обтекания кругового цилиндра трансзвуковым потоком были продолжены с целью изучения совместного влияния чисел М и Яе и температурного фактора на структуру поля течения и поведение аэродинамических характеристик кругового цилиндра. На основании полученного расчетного материала написана данная статья. Она построена по следующему плану. В первом разделе кратко обсуждаются постановка задачи и условия численного моделирования. Второй раздел посвящен рассмотрению общей структуры поля течения на примере поля завихренности и влияния на нее параметров подобия (чисел М и Яе и температурного фактора); для выяснения структурных особенностей привлекались распределения газодинамических переменных вдоль оси абсцисс перед и за цилиндром. В третьем разделе рассматриваются характеристики схода вихрей с обтекаемой поверхности цилиндра и режимы его обтекания. Четвертый раздел связан с анализом аэродинамических характеристик кругового цилиндра. Итоги проведенного исследования кратко излагаются в заключении.

1. постановка задачи и условия расчетов

Постановка задачи и численное моделирование на основе уравнений Навье — Стокса (ламинарное течение) и уравнений Рейнольдса (турбулентное течение) поперечного обтекания кругового цилиндра трансзвуковым потоком совершенного газа подробно описаны в [4]. При проведении расчетов газодинамические параметры подобия — числа Re и М — изменялись в следующих пределах: 103 < Re < 106 (ламинарное течение) и 106 < Re < 107 (турбулентное течение), 0.8 < < 1.3. Обтекаемая поверхность цилиндра принималась либо теплоизолированной ([дТ/дп]„ = 0), либо изотермической (Т^0 = 0.5 и 1.5).

Для численного интегрирования уравнения динамики вязкого газа приводились к безразмерному виду путем деления декартовых координат на характерный линейный размер Ь = Я, компонентов вектора скорости — на скорость V», давления — на удвоенный скоростной напор

2д0 =рда^00, время — на характерное время пребывания жидкой частицы около тела 4 = Я / У0; остальные газодинамические переменные относятся к их значениям в набегающем потоке.

При численном моделировании предполагалось, что совершенный газ подчиняется уравнению состояния Клапейрона, имеет постоянные удельные теплоемкости с показателем адиабаты у = 1.4, числом Прандтля Рг = 0.7 и динамическим коэффициентом вязкости, который зависит от температуры по степенному закону ц ~ Т0, ю = 0.76.

При расчетах использовалась ортогональная неравномерная сетка с числом узлов 201 х 401, а расчетная область простиралась в горизонтальном направлении вверх и вниз по потоку на 50 калибров и в вертикальном направлении вверх и вниз от цилиндра на 100 калибров. Для разрешения пограничных слоев вблизи твердой поверхности выбирались три зоны толщиной 1/Кс, 2/Яб1/2, 1.5/Кс1/5, в каждой из которых после сгущения содержалось 6, 20 и 25% от общего числа узлов в поперечном направлении соответственно.

Численное интегрирование определяющих уравнений выполнено во временном интервале

0 < £ = /Я < 200 с постоянным шагом At = 0.01, при этом запоминание полей газодинамических переменных проводилось через интервал & = 0.1. Согласно численным экспериментам при получении стационарного решения для установления общей структуры поля течения требуется время ^ < 100, а для установления «тонкой» структуры — время ^ < 150. Таким образом, выбранный временной интервал вполне достаточен для выхода решения задачи на квазипериодический режим течения.

При анализе расчетного материала часто используется декартова система координат, начало которой помещено в центр цилиндра, а направление оси абсцисс совпадает с направлением вектора скорости невозмущенного потока. На поверхности цилиндра имеются четыре характерные точки, расположенные в точках пересечения осей координат с окружностью единичного радиуса: -4(-1, 0), В(0, 1), С(1, 0), 0(0, -1). Кроме того, в поле течения находятся три контрольные точки: -£(1.456; 0) и С(8.355; 0) в ближнем следе и точка М(1, 1) на луче-биссектрисе первого квадранта.

2. структура поля течения

Результаты численных исследований показали, что обтекание лобовой поверхности цилиндра в окрестности передней критической точки практически стационарно. Если даже нестационарные возмущения прорываются из кормовой части цилиндра на его лобовую часть, то они являются малыми по величине (в пределах точности расчетов), и их вклад в события, происходящие на лобовой стороне тела, очень мал. Отметим, что наши новые результаты по обтеканию лобовой поверхности цилиндра согласуются с ранее полученными данными. Ниже основное внимание будет направлено на изучение особенностей течения в ближнем следе.

Рассмотрение общей картины поля течения проведем на примере поля завихренности.

При поперечном обтекании кругового цилиндра стационарным безвихревым (ю = 0) потоком завихренность обоих знаков порождается твердой стенкой и в виде вихрей большой интенсивности сходит в поток, образуя в ближнем следе за цилиндром вихревую дорожку Кармана. В этой области за счет сил внутреннего трения происходит диффузия вихрей и распространение завихренности в окружающую среду с выходом на стационарный дальний след. В зависимости от условий обтекания этот выход совершается либо в пределах расчетной области, либо вне ее.

З.ООЕ-DI

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 2В ВО 32 34 ЗБ 38 40 42 44 46

Рис. 1. Поле завихренности около цилиндра с теплоизолированной поверхностью при числе Re = 103 для разных чисел М в момент времени t = 200:

а — М„ = 0.8; б — М„ = 0.9; в — М„ = 1.3

Расчет поля завихренности по известному полю скоростей для заданного момента времени и визуализация поля завихренности проводятся с помощью стандартной программы. На рис. 1 — 4 приведены поля завихренности разных расчетных случаев для фиксированного момента времени. Можно видеть, что область вихревого течения занимает полубесконечную полосу с переменной толщиной, которая является условной величиной. Поскольку на больших расстояниях от оси абсцисс завихренность асимптотически стремится к нулю, то по аналогии с толщиной пограничного слоя толщину 5ю вихревого слоя можно определить как расстояние между двумя изолиниями ю = ± const, например, ю = ± 0.05. Поскольку ниже толщина вихревого слоя используется только при качественном анализе поля завихренности: вихревой слой толстый (5ю > 2), порядка диаметра цилиндра (5ю « 2), и тонкий (5ю < 2), то она для рассматриваемого поля оценивалась визуально как расстояние между предполагаемыми границами вихревого слоя.

Из рис. 1 — 4 согласно приведенной шкале диапазона также следует, что поле завихренности является асимметричным относительно оси абсцисс. Эта асимметричность объясняется особенностями визуализирующей программы. Если посмотреть на шкалу диапазона, то можно увидеть, что около нуля достаточно сильные изменения значений завихренности не приводят к сильному изменению яркости, в то время как несколько выше зависимость изменения яркости от изменения значения завихренности проявляется значительно сильнее. Для того, чтобы сместить нулевые значения в эту область сильного изменения яркости и были выставлены указанные граничные значения диапазона. Это позволило достаточно отчетливо визуализировать тонкую структуру поля течения.

При числе Re = 103, как отмечалось выше, имеет место ламинарный режим течения около кругового цилиндра с теплоизолированной поверхностью, а поле завихренности видоизменяется под влиянием числа М (рис. 1). При числе Мда = 0.8 имеем устойчивое нестационарное течение с периодическим сходом вихрей с обтекаемой поверхности и формированием дорожки Кармана в ближнем следе, при этом ширина толстого следа больше диаметра цилиндра. При числе Мда = 0.9 реализуется совсем иная картина, которая указывает в общем на стационарность и симметричность поля течения около цилиндра; эффекты нестационарности течения проявляются в дальнем

Рис. 2. Поле завихренности около цилиндра с теплоизолированной поверхностью при числе = 106 для разных чисел М в момент времени Г = 200:

а — М0 = 0.8; б — М0 = 0.9; в — М0 = 0.95; г — М0 = 1.3

следе при х ~ 8 — 16; ширина следа порядка диаметра цилиндра. Последующее увеличение числа М приводит к затуханию нестационарных процессов в дальнем следе и реализации стационарного симметричного течения около цилиндра при наличии глобальной области отрывного течения.

При числе Re = 104 влияние числа Мда во многом схоже с предыдущим числом Рейнольдса, но есть некоторые количественные различия. При числе Мда = 0.8 наблюдается типичная картина нестационарного поля течения около кругового цилиндра. При последующем увеличении числа М реализуется стационарное симметричное течение с тонким следом (его толщина меньше диаметра цилиндра); при этом в окрестности горла следа имеется область нестационарного течения. Она присутствует при всех рассмотренных числах Маха (при х = 6 — 14).

При числах Re = 105 и 106 поведение картины поля завихренности несколько видоизменяется (иллюстративный материал приведен на рис. 2 для числа Re = 106): при числе Мда = 0.8 и 0.9 реализуется нестационарное обтекание со сходом вихрей с обтекаемой поверхности и наличием дорожки Кармана в ближнем следе. При числе Мда = 0.95 имеем стационарное симметричное течение с областью нестационарности в горле тонкого следа (х = 6 — 14); интенсивность нестационарного течения сохраняется при всех последующих числах М.

При числе Re = 106 и турбулентном режиме обтекания цилиндра имеет место следующая эволюция поля завихренности по числу М (рис. 3): при числе Мда = 0.8 обтекание цилиндра нестационарное со сходом вихрей, которые образуют толстый вихревой след (больше диаметра цилиндра), но вихри расположены в более плотной упаковке и нарушена симметрия дорожки Кармана относительно оси абсцисс. Это указывает на другой режим обтекания по сравнению с лами-

О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 ВО 32 34 38 38 40 42 44 46

Рис. 3. Поле завихренности при числе Яе = 106 для разных чисел М при турбулентном обтекании цилиндра с теплоизолированной поверхностью в момент

времени Г = 200:

а — М„ = 0.8; б — М„ = 0.9; в — М„ = 0.95

Рис. 4. Поле завихренности около кругового цилиндра с теплоизолированной (а) и изотермической (б — Т„0 = 0.5, в — Т„0 = 1.5) поверхностями (М„ = 0.9, Яе = 106) в момент времени Г = 200

нарным — квазистационарный (уточнение режима приводилось по эволюционным зависимостям). При Мда = 0.9 общая картина близка к симметричной, но имеется большая область нестационарности толстого следа при х = 4 — 16 (порядка диаметра цилиндра). При последующих числах Мда > 0.95 формируется тонкий симметричный стационарный (судя по картине поля завихренности) след толщиною меньше диаметра цилиндра и глобальная зона отрывного течения в ближнем следе.

При числе Re = 10 общая ситуация аналогична предыдущему числу Рейнольдса — при числе Мда = 0.8 наблюдается нестационарное течение со сходом вихрей, которые располагаются в ближнем следе в плотной упаковке, и толстый вихревой след; согласно эволюционным зависимостям здесь реализуется квазистационарный режим обтекания кругового цилиндра. Для остальных чисел Мда > 0.9 имеем стационарную симметричную картину с тонким следом (его толщина порядка диаметра цилиндра). Но в отличие от предыдущего числа Re видимых участков следа с нестационарным состоянием не обнаружено.

Такая эволюция поля завихренности по числу М объясняется тем, что турбулизация течения подавляет возмущения и делает течение более устойчивым. Число Re определяет положение точки ламинарно-турбулентного перехода: при числе Re = 106 он происходит в ближнем следе, а при числе Re = 10 — на лобовой поверхности цилиндра.

Рассмотрим влияние температурного фактора на поле завихренности. Выборочные расчеты были проведены для цилиндра с изотермической поверхностью с температурным фактором Т№0 = 0.5 (охлажденная стенка) и 1.5 (перегретая стенка). При всех условиях расчета изотермич-ность обтекаемой поверхности вызывает незначительные количественные изменения в поле завихренности по сравнению с теплоизолированной поверхностью. Исключением является течение с числом Mда = 0.9, которое близко к пороговому числу М* и является неустойчивым; в этом случае наличие как охлажденной, так и перегретой поверхности приводит к формированию стационарного симметричного течения около цилиндра с глобальным отрывом потока (рис. 4).

Поля завихренности дают общее представление о структуре течения, но при этом тонкие ее особенности не раскрываются. Полезную дополнительную информацию можно получить в результате рассмотрения распределения газодинамических переменных вдоль оси абсцисс как перед цилиндром, так и за ним.

Распределения газодинамических переменных перед цилиндром говорят практически о стационарности течения в этой области и показывают выход решения задачи на заявленные асимптотические значения при х ^ — да. Особенности распределения газодинамических переменных и влияние на них определяющих параметров задачи подробно обсуждались в [2 — 5].

Нас в первую очередь интересует проявление эффектов нестационарности в следе за цилиндром. Нагляднее всего это можно сделать на примере распределения нормального компонента скорости. Если течение стационарно и симметрично относительно оси абсцисс, то нормальный компонент скорости на ней обращается в нуль. Области с ненулевой скоростью указывают на проявление эффектов нестационарности. На рис. 5 показаны эти распределения для фиксированного числа при различных числах М.

Из приведенных результатов можно заключить, что нестационарное обтекание цилиндра при числе Мда = 0.8 для всех рассмотренных значений числа является устойчивым с формированием вихревой дорожки Кармана в ближнем следе и сохраняет нестационарные эффекты в дальнем следе, т. е. вплоть до выходной границы расчетной области. Для этих режимов обтекания также наблюдаются наибольшие амплитуды осцилляций нормального компонента скорости. При этом ось абсцисс в пределах расчетной области можно подразделить на два интервала — первый включает в себя ближний след и в нем реализуются максимальные амплитуды, второй состоит из дальнего следа с малыми осцилляциями нормального компонента скорости. Эти интервалы используются и при других числах М.

При числе Мда = 0.9 ситуация несколько изменилась из-за неустойчивости нестационарного течения около цилиндра и начального этапа перехода к симметричному полю течения. В первом интервале осцилляции нормальной скорости происходят с заметной амплитудой, которая естественно меньше амплитуды колебаний для предыдущего числа М. Во втором интервале практически для всех чисел нормальная скорость принимает нулевое значение, иначе говоря, течение в дальнем следе стационарно.

а)

15 20 25 30

Яе = 103

б)

20 25

Яе = 104

в)

Яе = 10

г)

25

6

Яе = 10'

д)

15 20 25 30

Яе = 106

е)

И 1 д 1

; 1]

1 л^Ч

! ^

! 1 I 7\ .....1......

/! 1 \ / _/

" \У Г"

и

45 х 50

15 20 25 30 35 41

Яе = 107

Рис. 5. Распределение нормального компонента скорости V вдоль оси абсцисс в ближнем следе при фиксированном числе Яе для разных значений числа М в момент времени Г = 200:

а — г — ламинарное течение, д — е — турбулентное течение:

-М00=0.8, .......М^О.9, ........ М^ = 0.95,..............

-------- Мм = 1.05, --- 40=1.1, ........ Мж = 1.3

45 х 50

х

45 х 50

45 х 50

Рис. 6. Распределение продольного компонента скорости и вдоль оси абсцисс за круговым цилиндром с теплоизолированной поверхностью для разных чисел М и (ламинарное течение) в момент времени Г = 200:

-^=0.8, .......Чо=0.9, ........ М^О.95,..............^=1,

-- М00= 1.05, --- Мш = 1.1, ........ Цх>= 1-3

При остальных числах Мда > 0.95 > М*, как это обычно предполагается, должно реализовы-ваться стационарное симметричное обтекание кругового цилиндра. Результаты численного моделирования показывают, что во втором интервале нормальная скорость равна нулю и, следовательно, имеем стационарный симметричный дальний след. В первом интервале в локальной области 2 < х < 20 сохраняется нестационарное состояние потока с малоамплитудными осцилля-циями; нанесенные на графике результаты для разных чисел М, накладываясь друг на друга, образуют «тонкий профиль» с острыми кромками. Симметричность и стационарность поля течения около цилиндра легко проверяется путем рассмотрения его аэродинамических характеристик.

Распределения нормального компонента скорости показали, что при числе Мда = 0.8 течение в следе нестационарно вплоть до выходной границы расчетной области (первый «дозвуковой» режим), а при Мда = 0.9 имеем переходное течение; при числах Мда > 0.95 реализуется симметричное стационарное течение около цилиндра (второй «сверхзвуковой» режим). При этом в ближнем следе наблюдается область нестационарного состояния потока. Для того чтобы понять и разобраться, с чем это связано, рассмотрим поведение продольного компонента скорости на оси абсцисс за цилиндром при ламинарном режиме течения (рис. 6).

)

"сверхзвуковой1 режим

} ) ^ ) 1 8 } 1 4 ь

"дозвуковой |Гр &КИМ

2 3 4 5 6 |д Ре 8

Рис. 7. Границы смены режимов обтекания кругового теплоизолированного цилиндра в трансзвуковом потоке:

• о — «сверхзвуковой» режим;  — «дозвуковой» режим

Распределение продольного компонента скорости при числе Мда = 0.8 однотипно для всех рассмотренных чисел Re и указывает на нестационарное течение в следе за цилиндром; при этом в области ближнего следа (х < 25) он осциллирует около малого значения и только в конце расчетной области (х > 25) возрастает, достигая на выходной границе наибольшего значения и ~ 0.5

з

при числе Re = 10 и и ~ 0.8 для остальных чисел Рейнольдса.

з

При числе = 0.9 имеем переходный тип течения: при числе Re = 10 в ближнем следе сформировалась глобальная зона отрывного течения, которая согласуется с глобальными зонами для больших значений числа Маха (сверхзвуковой режим). Однако при х ~ 8 кривая отходит от сверхзвуковых зависимостей и согласуется с дозвуковой зависимостью при числе = 0.8. Для последующих чисел Рейнольдса наблюдается почти полное совпадение с зависимостью при числе Мда = 0.8.

При числах Мда > 0.95 в целом наблюдается однотипное распределение продольного компонента скорости, которое характеризуется наличием в ближнем следе глобальной отрывной зоны и выходом на режим дальнего следа в пределах расчетной области. Сам процесс выхода зависит от числа Re: при Re = 103 после точки присоединения скорость монотонно возрастает вниз по потоку, образуя кривую малой кривизны. Увеличение числа Яе на порядок привело к изменению процесса выхода на дальний след: изменяясь почти по линейному закону от точки присоединения, продольная скорость быстро выходит на предельное значение и = 0.8, образуя монотонную кривую с небольшим участком поверхности большой кривизны, где появляющиеся большие центробежные силы обуславливают неустойчивость течения. Последующее увеличение числа Re сопровождается возрастанием неустойчивости течения на этом участке и появлением осцилляций продольной скорости.

Таким образом, локальная область 2 < х < 20, где проявляются эффекты нестационарности на «сверхзвуковом» режиме, включает в себя точку присоединения (область взаимодействия оторвавшихся пограничных слоев) и область выхода на дальний след с участком поверхности большой кривизны. Отсюда можно заключить, что существование стационарной глобальной отрывной зоны невозможно. Поскольку течение около цилиндра стационарно, а область проявления нестационарных эффектов расположена в следе и является ограниченной по размерам, то с точки зрения определения аэродинамических сил и оценки аэродинамического нагревания можно ограничиться численным моделированием в предположении о симметрии поля течения.

Картины поля завихренности позволяют визуально оценить границы смены структуры поля течения. С этой целью на рис. 7 в плоскости переменных logRe — Мда построены зависимости, которые соответствуют последнему расчетному случаю с «дозвуковым» режимом обтекания и первому случаю со «сверхзвуковым» режимом обтекания и являются слабыми функциями параметров подобия. В области между этими зависимостями реализуются различные переходные состояния потока около цилиндра и в следе за ним. Режимы, расположенные ниже этих зависимостей, соответствуют «дозвуковому» режиму, а выше них — «сверхзвуковому» режиму.

3. сход вихрей и режимы обтекания

Выше были рассмотрены режимы обтекания кругового цилиндра в зависимости от параметров подобия — изучено влияние числа Рейнольдса при фиксированном числе Маха (Мда = 0.8) и влияние числа Маха при фиксированном числе Рейнольдса (Re = 105). На основании этих данных, а также результатов дополнительных расчетов установлены границы смены режимов обтекания цилиндра с теплоизолированной поверхностью (для цилиндра с изотермической поверхностью расчеты носили выборочный характер). При числе Мда = 0.8 нестационарное течение со сходом вихрей с поверхности цилиндра является устойчивым и при увеличении числа Re проходит последовательно различные режимы обтекания, пока турбулизация течения не положит конец этим изменениям и не приведет к квазистационарному режиму. При следующем числе Мда = 0.9 нестационарное течение становится неустойчивым и его можно рассматривать как переходный тип течения к сверхзвуковому режиму. Поток с числом Мда = 0.95 считается пороговым для реализации сверхзвукового режима обтекания кругового цилиндра. Хотя на этом режиме обычно принимается, что поле течения около цилиндра является стационарным и симметричным, но в действительности процесс смены одного режима другим реализуется более сложным путем.

Анализ распределений газодинамических переменных в следе за цилиндром показал, что при числе Re = const по мере увеличения числа М изменяется характер их поведения: от нестационарного в следе на всей расчетной области на дозвуковом режиме до квазистационарного на сверхзвуковом режиме, когда нестационарные эффекты проявляются в узкой полосе ближнего следа (2 < x < 20). Они в той или иной мере наблюдаются в распределениях всех газодинамических переменных, но наиболее заметны для нормального и продольного компонентов скорости.

На оси абсцисс в ближнем следе имеются две контрольные точки — £(1.456; 0) и G(8.355; 0), которые позволяют рассмотреть эволюцию течения в этой локальной области. При этом отметим, что на сверхзвуковом режиме продольный компонент скорости в точке Е соответствует максимальной скорости возвратного течения в отрывной зоне, а в точке G — максимальной скорости в ближнем следе.

При числе Re = 105 на дозвуковом режиме обтекания (Мда = 0.8) оба компонента скорости в точке Е осциллируют с большой амплитудой около малого осредненного значения; частотные характеристики образуют сплошной узкополосный спектр. В этой точке наблюдается сильное разрежение — коэффициент давления принимает большие отрицательные значения и осциллирует с большой амплитудой (|Аср| < 0.3). На сверхзвуковом режиме пульсации рассматриваемых величин настолько малы, что можно говорить о квазистационарном состоянии потока в точке Е.

Более интересная информация следует из анализа поведения газодинамических переменных в контрольной точке G.

При числе Re = 105 на дозвуковом режиме обтекания (Мда = 0.8) оба компонента скорости в точке G осциллируют с большой амплитудой около малого осредненного значения; частотные характеристики образуют сплошной узкополосный спектр c доминирующей частотой. На сверхзвуковом режиме (Мда > 0.95) газодинамические переменные в этой точке осциллируют с малой и умеренной амплитудами, частотные характеристики которых образуют дискретный спектр. Мы не будем рассматривать поведение всех газодинамических переменных, а ограничимся анализом продольного компонента скорости.

Эволюционные зависимости продольной скорости в точке G при числах = 0.8 и 0.9 соответствуют хаотическому режиму, при этом непрерывный спектр для числа = 0.8 содержит две доминирующие частоты, а для числа Мда = 0.9 — одну. При Мда = 0.95 эволюционная зависимость описывает переход от хаоса к высокочастотному регулярному режиму. Для последующих чисел Маха наблюдается регулярный режим. Эволюционные зависимости были подвергнуты Фурье-анализу для цилиндра с теплоизолированной и изотермической поверхностями при числах Re = 105 и 106. Результаты расчетов приведены на рис. 8 и 9 в виде зависимости числа Струхаля от числа М при фиксированном числе Re.

В качественном отношении зависимости числа Струхаля для теплоизолированного (рис. 8) и изотермического (рис. 9) цилиндров однотипны.

Рис. 8. Числа БИ для продольной скорости и в точке О ближнего следа за теплоизолированным цилиндром: о — Яе = 105; • — Яе = 106

Рис. 9. Числа БИ для продольной скорости и в точке О ближнего следа за изотермическим цилиндром (Т„0 = 1.5): о — Яе = 105; • — Яе = 106

При числе Re = 105 на дозвуковом режиме обтекания теплоизолированного цилиндра продольная скорость осциллирует с малой частотой, которая не совпадает с частотой схода вихрей; при числе = 0.95 почти скачкообразно частота осцилляций возрастает более чем в пять раз и затем с последующим увеличением числа М незначительно уменьшается, оставаясь однако в высокочастотной области. Сильное скачкообразное увеличение частоты осцилляций в точке О указывает на смену механизма, отвечающего за осцилляции в потоке. При числах < 0.95 они связаны со сходом вихрей с обтекаемой поверхности цилиндра, а при числах Мда > 0.95 — с неустойчивостью течения в области взаимодействия оторвавшихся пограничных слоев. Увеличение числа Рейнольдса на порядок приводит к уменьшению числа Струхаля — при всех числах Маха он изменяется в пределах 0.07 < Sh < 0.5. Это связано, с одной стороны, с переходом на сверхзвуковой режим обтекания, а с другой стороны, понижением устойчивости ламинарного течения и проявлением эффектов турбулизации потока.

Для изотермического цилиндра из-за изменения температурного режима обтекаемой поверхности произошел сдвиг границы наступления сверхзвукового режима — при числе Мда = 0.9 вместо дозвукового наблюдается сверхзвуковой режим обтекания. Пороговое значение числа М* находится в интервале 0.8 < М* < 0.9, и при нем происходит почти скачкообразный выход на высокочастотные числа БИ. При числе Re = 106 по сравнению с теплоизолированным цилиндром произошли небольшие количественные изменения и числа БИ для всех режимов обтекания располагаются в низкочастотной области.

Коэффициент давления ср в передней критической точке цилиндра при трансзвуковых скоростях в зависимости от числа Маха набегающего потока

4. аэродинамические характеристики

Рассмотрение аэродинамических характеристик кругового цилиндра начнем с анализа поведения коэффициента давления в характерных точках A, B, C, D на обтекаемой поверхности. При этом в точках A и С коэффициент давления принимает экстремальные значения — максимальные в передней критической точке и минимальные в

задней критической точке; по значениям давления в сим- Таблица 1

метричных точках B и D можно судить о режиме обтекания цилиндра.

Ранее в [5] было рассмотрено влияние числа Re на аэродинамику кругового цилиндра при числе M« = 0.8. В частности, проведена оценка достоверности результатов численного моделирования по коэффициенту давления в передней критической точке (точка А) цилиндра путем сравнения с асимптотическим решением CpE и показано, что независимость численного решения от числа Re имеет место для первых трех цифр — влияние числа Re проявляется в четвертой значащей цифре. Вместе с тем наибольшее различие численного решения от асимптотического 5 = (cp - cpE)lcpE < 4% и находится в тех же пределах, что и экспериментальные данные. Дополнительные расчеты по

обтеканию цилиндра трансзвуковым потоком охватывают достаточно большой диапазон изменения параметров подобия, значения коэффициента давления согласно этим расчетам приведены в табл. 1 и согласуются с результатами ранее проведенных исследований.

В задней критической точке наблюдается достаточно сильное разрежение, которое снизу

ограничено условием корректности cp > cp min = -2/(yM^) . На рис. 10 построена предельная кривая cp min = cp min (M«,) для рассматриваемого диапазона чисел М; здесь же нанесены значения коэффициента давления в точке С кругового цилиндра с теплоизолированной и изотермической (Two = 0.5) поверхностями для чисел Re = 105 и 106. Можно видеть, что результаты численного моделирования узкой полосой располагаются в окрестности предельной кривой и ни одна точка не пересекает ее, т. е. условие корректности выполняется и, следовательно, численное моделирование выдает вполне достоверные результаты.

Рассмотрим поведение коэффициентов аэродинамического сопротивления и подъемной силы при трансзвуковых скоростях и больших числах Рейнольдса.

На дозвуковом режиме коэффициент аэродинамического сопротивления цилиндра осциллирует с малой амплитудой около большого осредненного значения; эволюционные зависимости

M» cpE cp 5, %

0.8 1.17 1.21 3.4

0.9 1.22 1.26 3.2

0.95 1.246 1.278 2.5

1 1.273 1.3 2.1

1.05 1.307 1.32 1.9

1.1 1.34 1.352 0.9

1.3 1.496 1.456 - 0.21

• # ft i & £ i

\ 4 <6 > & i 1

М*

Рис. 10. Коэффициент давления cp в характерной точке С на поверхности цилиндра в трансзвуковом потоке:

Д. * — Re = 105, О — Re = 106 (теплоизолированная поверхность); — Re = 105 и 0 — Re = 106 (изотермическая поверхность);---ср mi„

Таблица 2

Коэффициент аэродинамического сопротивления сх кругового цилиндра при трансзвуковых скоростях

М,

Яе Дсх

103 104 105 106 106 107

5, %

Ламинарный режим Турбулентный режим

dTldn = 0

0.8 1.90059 1.84081 1.83091 1.78479 1 7898 1.75094 +0.005 +0.28

0.9 1.86888 1.93895 1.85241 1.83419 1 69831 1.82847 -0.13588 -7.7

0.95 1.80545 1.84612 1.83568 1.8463 1 .73799 1.74156 -0.10831 -6.2

1.0 1.76415 1.76415 1.76962 1.76395 1 .66825 1.67181 -0.0957 -5.5

1.05 1.69451 1.70072 1.69576 1 .60925 1.61235 -0.08651 -5.2

1.1 1.63976 1.64264 1.63921 1 .55578 1.55892 -0.08343 -5.2

1.3 1.55089 1.51461 1.52193 1.5106 1 .46495 1.46916 -0.04565 -3.1

Т„0 = 0.5

0.8 1.83863 1.80737

0.9 1.95453 1.94742

0.95

1.0 1.77369 1.7674

1.05

1.1 1.64675 1.64228

Т„с = 1.5

0.8 1.80421 1.82782 1 .75269 1.86317 -0.07519 -4.2

0.9 1.94046 1.94419 1 .86232 1.8194 -0.08187 -4.3

0.95 1.84218 1.84625 1 .73583 1.73991 -0.11042 -6.1

1.0 1.76223 1.76312 1 .66596 1.6706 -0.09716 -5.6

1.05 1 .60706 1.61086

1.1 1.63735 1.63653 1 .55368 1.55766 -0.08285 -5.2

1.3 1 .46356 1.46817

указывают на реализацию хаотического режима, а их частотные характеристики образуют сплошной низкочастотный узкополосный спектр. На сверхзвуковом режиме эволюционные зависимости описывают выход на стационарное решение, который в некоторых случаях сопровождается модуляцией малоамплитудных высокочастотных осцилляций.

Результаты расчета коэффициента сх для цилиндра с различными тепловыми граничными условиями на его поверхности приведены в табл. 2, а для цилиндра с теплоизолированной поверхностью представлены также на рис. 11 в виде зависимости сх = сх^е) при фиксированном значении числа М.

Напомним, что при Re = 106 численное моделирование проведено на основе как уравнений Навье — Стокса, так и уравнений Рейнольдса; различие в их значениях Дсх = сх гиг - сх 1ат обусловлено турбулизацией течения (табл. 2) и может служить критерием оценки кризиса сопротивления (парадокса Прандтля — Эйфеля); в табл. 2 приведены также значения 5 Дсх/схт, где схт = 0.5(сх шг + сх 1ат). На рис. 11 кризис сопротивления соответствует разрыву функции при числе Re = 106.

Коэффициент сопротивления сх при фиксированном числе М в зависимости от числа Re изменяется немонотонным образом с разрывом при числе Re = 106. Перепад Дсх в точке разрыва (рис. 12) также является немонотонной функцией от числа с минимумом Дсх т;п = - 0.1359 (5 = -7.7%) при = 0.9 для цилиндра с теплоизолированной поверхностью и Дсх т;п = - 0.1104 (5 = -6.1%) при Мда = 0.95 для цилиндра с изотермической (Т„0 = 1.5) поверхностью.

При числе = 0.8, когда обтекание цилиндра происходит со сходом вихрей с его поверхности, турбулизация течения приводит к незначительному увеличению коэффициента сопротив-

Рис. 11. Коэффициент аэродинамического сопротивления сх цилиндра в трансзвуковом

потоке:

светлые маркеры — ламинарное течение; темные — турбулентное течение (ось абсцисс — log Re,

ось ординат — с,)

ления в точке разрыва, и, следовательно, на этих режимах кризис сопротивления отсутствует. При других числах Маха он присутствует, и его интенсивность изменяется в зависимости от числа немонотонным образом: после достижения минимального значения она монотонно возрастает в области сверхзвуковых скоростей, т. е. кризис сопротивления при сверхзвуковых скоростях становится слабым (Асх = - 0.0456 (5 = -3%) при числе = 1.3). Этот вывод согласуется качественно с результатами расчетов обтекания кругового цилиндра с изотермической (Т„о = 0.5) поверхностью сверхзвуковым потоком с числом = 2, когда турбулизация течения в ближнем следе при Re = 5 • 10 приводит к уменьшению коэффициента аэродинамического сопротивления на 2% [4]. При этом из-за турбулизации точка отрыва смещается вверх по потоку и повышается давление в донной области вследствие изменения структуры отрывной зоны, т. е. имеет место другой механизм возникновения кризиса сопротивления.

Далее отметим, что перепад Асх для теплоизолированного цилиндра при числе Мк (0.8 < Мк < 0.9) принимает максимальное значение. Этот результат можно интерпретировать следующим образом: число Re = 10 является критическим для числа Мк. Это согласуется с итого-

Рис. 12. Кризис сопротивления кругового цилиндра при трансзвуковых

скоростях:

— изотермическая поверхность, Тм = 1.5

вым результатом анализа расчетных данных по сопротивлению цилиндра, проведенного в [5]: расчетные значения коэффициента сопротивления цилиндра, приведенные в [5, 6], хорошо согласуются между собой и в совокупности дают полную картину поведения коэффициента сопротивления при переходе от докритического к транскритическому режиму обтекания цилиндра.

При обтекании кругового цилиндра трансзвуковым потоком совершенного газа, как известно, возможны два режима: «дозвуковой», когда около цилиндра наблюдается нестационарное

Таблица 3

Коэффициент подъемной силы су кругового цилиндра при трансзвуковых скоростях

Яе

103 104 105 106 106 107

Ламинарный режим Турбулентный режим

dT = 0

0.8 - 0.01610 0.04600 - 0.02939 0.09559 - 0.01703 - 0.14735

0.9 - 0.00013 - 0.00016 0.03283 - 0.01633 - 0.00011

0.95 - 0.00010 - 0.00013 - 0.00023 - 0.00023

Т„а = 0.5

0.8 0.03488 0.03862

0.9 - 0.00022 - 0.00032

Т„а = 1.5

0.8 0.01692 0.03864 - 0.01953

0.9 - 0.00037 - 0.00028

асимметричное течение, и «сверхзвуковой», когда около него реализуется стационарное симметричное течение (правильнее сказать квазистационарное квазисимметричное течение). На дозвуковом режиме из-за нарушения симметрии течения у цилиндра наряду с сопротивлением появляется подъемная сила. Коэффициент подъемной силы совершает осцилляции с большой амплитудой около малого осредненного значения. Эволюционные зависимости соответствуют регулярному режиму обтекания цилиндра, а частотные характеристики — дискретному спектру в низкочастотной области. На сверхзвуковом режиме, в силу симметрии течения, эволюционные зависимости описывают выход на стационарное решение, при этом коэффициент су совершает осцилляции с малой амплитудой и низкой частотой.

В табл. 3 приведены значения коэффициента подъемной силы су для всех расчетных режимов течения, при этом обнулению подверглись его значения, удовлетворяющие условию су < 10 4.

Выше рассматривались границы существования указанных двух режимов (см. рис. 7). Если рассмотреть границу дозвукового режима, то вдоль нее коэффициент подъемной силы принимает хотя и малые значения, но они находятся в рамках точности вычислительного процесса. Если теперь перейти на границу сверхзвукового режима, то на ней коэффициент су принимает на два порядка меньшие значения, которые находятся за пределами точности вычислительного процесса. Иными словами, на сверхзвуковом режиме подъемная сила равна нулю из-за симметрии течения.

заключение

Численно на основе нестационарных двухмерных уравнений динамики вязкого совершенного газа смоделировано поперечное обтекание кругового цилиндра трансзвуковым потоком при

3 7

числах 0.8 < < 1.3 и 10 < Яе < 10 ; при этом обтекаемая поверхность принималась либо теплоизолированной, либо изотермической с температурным фактором Т„0 = 0.5 (охлажденная поверхность) и 1.5 (перегретая поверхность).

При числе = 0.8 в исследованном диапазоне чисел Рейнольдса обтекание цилиндра является нестационарным, а его изменение влияет на структуру поля течения и режим обтекания цилиндра. Для ламинарного обтекания цилиндра поле течения характеризуется наличием периодического схода вихрей с обтекаемой поверхности и формированием вихревой дорожки Кармана в ближнем следе; при этом частота схода вихрей не зависит от числа Яе и соответствует числу Струхаля Sh = 0.1953. При наименьшем числе Яе реализуется регулярный режим обтекания цилиндра согласно особенностям поведения рассматриваемой эволюционной зависимости. Последующее увеличение числа Яе приводит к последовательной смене режимов обтекания — нерегулярным и хаотическим. Турбулизация течения обусловливает подавление осцилляций в потоке, в результате устанавливается квазистационарный режим обтекания.

Увеличение числа Маха приводит к изменению структуры поля течения. При числе Мда = 0.9 имеем переходный режим обтекания цилиндра, так как в зависимости от условий обтекания реализуется либо дозвуковой режим, либо сверхзвуковой режим. Число = 0.95 общепринято считать пороговым, т. е. при числах > 0.95 имеет место сверхзвуковой режим обтекания цилиндра. Результаты численного моделирования показали, что на сверхзвуковом режиме в ближнем следе вдоль оси абсцисс сохраняется узкая локальная область нестационарного течения, которая указывает на невозможность существования стационарной глобальной замкнутой зоны отрывного течения. По этой причине сверхзвуковой режим является квазистационарным квазисимметричным течением. Анализ состояния потока в контрольной точке С(8.355; 0) показал, что при числе = 0.95 частота осцилляций почти скачкообразно увеличивается примерно в пять раз. Это указывает на смену механизма, отвечающего за осцилляции в потоке. При числах Мда < 0.95 они связаны со сходом вихрей с обтекаемой поверхности цилиндра, а при числах > 0.95 — с неустойчивостью течения в области взаимодействия оторвавшихся пограничных слоев.

Поведение коэффициента давления в передней критической точке согласуется с теорией пограничного слоя первого приближения: его значение не зависит от числа Рейнольдса и совпадает с его асимптотическим значением срЕ. Результаты наших расчетов подтверждают эти закономерности, что свидетельствует также о достоверности информации, получаемой путем численного моделирования.

По соответствующим эволюционным зависимостям определены осредненные значения коэффициентов аэродинамического сопротивления и подъемной силы цилиндра. Результаты расчетов коэффициента сопротивления хорошо согласуются с расчетными данными [6], и в совокупности они дают полную картину поведения коэффициента сопротивления при переходе от док-ритического к транскритическому режиму обтекания цилиндра. Отсюда можно также видеть, что критический режим устанавливается не скачкообразно, а эволюционным путем по числу Рей-нольдса на сравнительно небольшом интервале его изменения. Коэффициент подъемной силы цилиндра для рассмотренных условий обтекания является малой величиной, хотя его значение может изменяться на порядок при переходе от одного числа Рейнольдса к другому.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-08-01099), гранта Правительства РФ по постановлению № 220 «О мерах по привлечению ведущих ученых в российские образовательные учреждения высшего профессионального образования» по договору № 11.G34.31.0072, заключенного между Министерством образования и науки РФ, ведущим ученым Утюжниковым С. В. и Московским физико-техническим институтом (государственным университетом).

ЛИТЕРАТУРА

1. Botta N. The inviscid transonic flow about a cylinder // J. Fluid Mech., 1995. V. 301, p. 225 — 250.

2. Башкин В. А., Егоров И. В., Ежов И. В., Иванов Д. В. Круговой цилиндр в околозвуковом потоке вязкого совершенного газа // Ученые записки ЦАГИ. 2007. Т. XXXVIII, № 3 — 4, с. 3 — 21.

3. Башкин В. А., Ежов И. В. Круговой цилиндр в трансзвуковом потоке вязкого совершенного газа // Ученые записки ЦАГИ. 2011. Т. XLII, № 1, с. 12 — 30.

4. Башкин В. А., Егоров И. В. Численное моделирование динамики вязкого совершенного газа. — М.: Физматлит, 2012, 372 с.

5. Башкин В. А., Егоров И. В., Ежов И. В., Утюжников С. В. Поперечное обтекание кругового цилиндра трансзвуковым (M„ = 0.8) потоком при больших числах Рейнольдса // Ученые записки ЦАГИ. 2012. T. XLIII, № 5, с. 27 — 45.

6. Ishii K., Kuwahara K. Computation of compressible flow around a circular cylinder // AIAA-84-1631, 1984, p. 11.

Рукопись поступила 15/Х 2012 г.