Тепловой поток к поверхности цилиндра при пространственных возмущениях сверхзвукового потока

Том ХЫУ

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2013

№ 2

УДК 532.526.5

ТЕПЛОВОЙ ПОТОК К ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА

И. В. ЕГОРОВ, В. В. ШВЕДЧЕНКО

В работе изучено трехмерное течение в ударном слое при сверхзвуковом поперечном обтекании лобовой поверхности цилиндра в присутствии пространственно-периодических возмущений. На основе численного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье — Стокса показано, что малые наложенные возмущения набегающего потока по трансверсаль-ной координате приводят к искривлению фронта ударной волны, образованию существенно трехмерного течения в области ударной волны и большим возмущениям теплового потока на поверхности.

Ключевые слова: сверхзвуковой поток, пространственные возмущения, цилиндр, тепловой поток.

ВВЕДЕНИЕ

Проблема влияния малых возмущений на теплообмен при гиперзвуковом обтекании тел с цилиндрическим затуплением представляет большой теоретический и практический интерес. В частности, при наземных испытаниях в аэродинамических трубах в рабочей части имеются возмущения различной природы и интенсивности, которые могут влиять на измеряемые характеристики.

В работах [1—3] приведены результаты экспериментальных исследований структуры течения на лобовой поверхности цилиндра при числах Маха М = 3, 5, 6 для чисел Рейнольдса Яе = 105—106, где продемонстрирована пространственная периодичность предельных линий тока и распределения теплового потока по трансверсальной координате. Амплитуда колебаний в распределении теплового потока достигала 25% и выше.

В работах [2, 3] предпринята попытка объяснения этих данных. На основе результатов численного решения уравнений Навье — Стокса показано [3], что для Яе = 3240, М = 6.1, Т„/То = 0.5

наложенные косинусоидальные возмущения набегающей скорости с амплитудой 0.5% приводят к изменению теплового потока в плоском случае на 2.3%, а в трехмерном — на 15% при значении пространственного периода X = 1.067, наиболее часто наблюдаемого в эксперименте. Отмечено, что это неплохо соответствует возмущениям теплового потока («20%) в эксперименте [2] при = 1.7 • 105, но недостаточно для описания экспериментальных данных (~50%) в работе [3] при = 7.9 • 105.

Для объяснения высоких значений возмущения теплового потока в работах [2, 3] предложена гипотеза формирования простран-

ЕГОРОВ Иван Владимирович

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, начальник отделения ЦАГИ

ШВЕДЧЕНКО Владимир Викторович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ЦАГИ

ственных структур на лобовой поверхности тел с цилиндрическим затуплением при однородном набегающем потоке. На основе численных расчетов сделан вывод о возможности формирования, помимо плоского течения, существенно трехмерного течения с внутренней вихревой структурой: когда искривленная ударная волна генерирует вихревое течение, а вихрь, сохраняясь при слабой диссипации, воздействует на волну, поддерживая ее искривленную форму [3]. Для М = 6.1, Яе = 3240, X = 1 было получено, что при наложенных 2% возмущениях происходит качественная перестройка течения с образованием локальных сверхзвуковых областей. После устранения внешнего возмущения вихревое течение с искривленной ударной волной и сверхзвуковой возвратной струей (с местным числом Маха т = 1.35) сохраняется, а возмущения теплового потока этой вихревой моды соответствуют высоким значениям (~50%), полученным на первой миллисекунде эксперимента в ударной трубе УТ-1М [3].

Отметим, что исследования [3] проведены на расчетных сетках, недостаточно подробных в области фронта ударной волны (УВ), когда истинная толщина фронта УВ имеет размер примерно одной расчетной ячейки, а сам фронт УВ в решении «размазан» на несколько ячеек.

В настоящей работе на основе численного решения нестационарных трехмерных уравнений Навье — Стокса [4] изучено трехмерное течение в ударном слое при сверхзвуковом обтекании лобовой поверхности цилиндра для условий расчета работы [3] (М = 6.1, Яе = 3240, Т„/Т0 = 0.5) при наложенных малых пространственно-периодических возмущениях набегающей скорости по трансверсальной координате = 1 + As:m(2%zl'kR) с использованием расчетных сеток с высоким разрешением во фронте УВ. Показано [5 — 8], что малые наложенные возмущения набегающего потока (А = 0.5 3%) по трансверсальной координате приводят к искривлению фронта УВ, образованию существенно трехмерного течения в области УВ и большим возмущениям теплового потока на поверхности. Величина колебаний теплового потока зависит от периода и амплитуды наложенных пространственных возмущений. Максимальные возмущения теплового потока наблюдаются при пространственном периоде X « 0.3. При А = 0.5% максимальные изменения теплового потока составляют Лд!д0 ~ ±25% (^0 — значение для двумерного случая). При А = 1, 2, 3% минимальный тепловой поток для X « 0.2 — 1 составляет ~ 0.5, а максимальный соответственно ~ 1.5, 1.8, 2.1 при X « 0.3. Это позволяет объяснить результаты эксперимента для возмущений теплового потока. Необходимо отметить, что при более высоких числах Рей-нольдса следует ожидать еще более высокого уровня возмущений теплового потока [9].

Показано, что при снятии малых пространственных возмущений А = 0.5 — 4% течение в области ударной волны возвращается к искомому плоскому режиму с постоянным тепловым потоком по трансверсальной координате. Результаты расчетов верифицированы на сетках с различным количеством узлов.

Также продемонстрирована необходимость высокого разрешения расчетной сетки во фронте УВ. В случае недостаточного количества расчетных узлов во фронте УВ при получении решения возникают следующие негативные явления в счете: при наложенных возмущениях А=3 — 4% не удается получить окончательного решения из-за экспоненциально растущего по времени отхода фронта УВ, в зоне ударного слоя возникают локальные сверхзвуковые области, а после снятия возмущений численное решение может не возвратиться к плоскому решению, и сохраняются локальные сверхзвуковые зоны.

В работе не обсуждается гипотеза появления неравномерности течения, связанная с формированием вихрей Гертлера [10], из-за достаточно низкого значения числа Яе в проведенных расчетах. Следует заметить, что вопрос получения решений при больших числах Яе [9] значительно сложнее и требует более детального исследования.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Моделирование трехмерного обтекания цилиндрического затупления осуществлялось на основе численного решения уравнений Навье — Стокса, которые в произвольной трехмерной криволинейной системе координат п, С записываются в дивергентной форме

дQ + дЕ + дС + _ 0 д 1 д£, дп дй,

Здесь Q — вектор консервативных зависимых переменных задачи; Е, С и Е — векторы потоков в криволинейной системе координат. Векторы Q, Е, С и Е связаны с соответствующими векторами Qc, Ес, Сс, Ес в декартовой системе координат х = х(^, п, О, У = П, О, ? = П, О формулами:

д

Q = где 3 =-—--якобиан преобразования,

д(£, П, О

Е= 3(ЕС § + Сс £ + Ес ^), С= 3(ЕС $ + Сс £ + Ес $), Е= 3(ЕС § + Сс § + Ес £).

дх ду дх ду д? дх ду д?

Декартовы компоненты векторов Qc, Ес, Сс для трехмерных уравнений Навье — Стокса имеют вид:

Qc

р ри Pv рм

ри ри 2 + Р-т хх р^ -тух рим -т2х

Pv , Ес = р ^ -т ху , С с = р^ + Р -т уу Е = ' с р^ - т ?у

рм рим -т х? р^ - т у? р^2 + р -т22

е риН - Гх + Чх р\^Н - Гу + Чу рмН - Гг + Ч2

где р — плотность; и, V, м — декартовы компоненты вектора скорости V; р — давление; ср и су — удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме; е = р(^Т + (и2 + V2 + м 2)/2) — полная энергия на единицу объема; Н = срТ + (и2 + V2 + м 2)/2 —полная энтальпия; X — коэффициент теплопроводности; ц — коэффициент динамической вязкости; т — тензор вязких напряжений с компонентами:

, „ ди 2 ,. тхх = ц| 2---аг^

дх 3

тху т ух Ц |

I ди + дv V ду дх

. _ дv 2 ,. „

туу = ц| 2~—-

ду 3

(ди дм 1| — + —

V д? дх

, . дм 2 .. „ т= ц| 2---dlvV

д? 3

(дv дм

Тх2 =Т2х = Ц| — + ~ | , Ту2 = Т2у = Ц| & ду

компонентами

. дТ

Чх = = дх

Чу =-Х

дТ_

ду

дТ д?

Гу = ит ух + ^ уу + МТ у?:

2У

ц-вектор теплового потока с

а для г-вектора гх = ит хх + vт ху + мт

Система уравнений замыкается уравнением состояния для совершенного газа

р = рЯгТ/т,

где Яг — универсальная газовая постоянная, т — молярный вес газа.

Коэффициенты переноса определяются следующим образом: динамический коэффициент вязкости в зависимости от температуры изменяется по закону Сазерленда, а число Прандтля Рг = цСр/Х принимается постоянным. В работе используются безразмерные переменные х = х/Я ,

у = у / Я , 2 = 2 / Я , и = и / их , V = V / их , м = м / их, Т = Шх/Я , р = р/р00, р = р/р^ ,

Т = Т/Тх , ц = ц / ц, рх= 1/ уМ2 , число Яе = р<иЯ , Я — радиус цилиндра.

Начально-краевая задача решалась численно, методом установления по времени на основе интегро-интерполяционного метода (метода конечного объема). При аппроксимации конвективной составляющей векторов потоков в полуцелых узлах использована неявная монотонная схема типа Годунова и приближенный метод Роу решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. Для повышения порядка аппроксимации до второго при интерполяции зависимых переменных на грань элементарной ячейки использован принцип минимальных производных. При

аппроксимации диффузионной составляющей векторов потоков на грани элементарной ячейки применена разностная схема с центральными разностями второго порядка точности. Для решения нелинейных сеточных уравнений использовался модифицированный метод Ньютона — Рафсона. Решение системы линейных алгебраических уравнений осуществлялось при помощи метода минимальных невязок ОМЯБ8(к). Методика численного решения подробно описана в [4].

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ РАСЧЕТНОЙ СЕТКИ

Рассматривалась задача обтекания цилиндрического затупления сверхзвуковым потоком газа (рис. 1) при наложенных по ^-координате периодических пространственных возмущениях набегающей скорости с параметрами набегающего потока из работы [3]: Яе = 3240, М = 6.1, Рг = 0.71, показатель адиабаты у = 1.4, температура поверхности Тм, = 0.5Т0, где Т0 — температура торможения, для коэффициента вязкости ц принят закон Сазерленда. Все изначально цветные поля для наглядности переведены в оттенки серого цвета.

В двумерной расчетной области (рис. 1) начало координат (х = у = 0) совпадает с центром окружности, а поверхность цилиндра для х < 0 расположена на расстоянии Я = 1. Поверхность для х > 0 продолжена горизонтальным участком длиной Ь = 0.3.

Входная граница двумерной расчетной области выбиралась так, чтобы граничные условия слева и сверху являлись условиями набегающего потока (ида = 1, = 0, Тда = 1, рт = 1/уМ ). На твердой поверхности выполнялись граничные условия для скорости и = V = 0 и температуры Т»/Т0 = 0.5, Т0/Т» = 1 + 0.5(у - 1)М2. На оси у = 0 ставились условия симметрии (V = 0, дЕ/дЪ, = 0, Е = и, р, Т). На выходной границе справа ставились мягкие граничные условия дЕ/дЪ, = 0, Е = и, V, Р, Т, где Ъ — нормаль к правой границе. В тестовых расчетах для сеток с горизонтальным участком длиной Ь от 0.3 до 1 путем удаления последних сеточных линий было проверено, что значение выбранной длины Ь = 0.3 достаточно для отсутствия влияния граничных условий на основное (х < 0) течение. Размер двумерной расчетной сетки: = 151 узлов по нормали и N = 111 вдоль поверхности.

В трехмерном случае на поле скорости набегающего потока был наложен один период синусоидальных возмущений скорости их = 1 + А8т(2л^/АЯ) с амплитудой А = 0.5, 1, 2, 3% и периодом X = Да/Я = 0.1 — 10, где Д^ — размер расчетной области по ^-координате. Расчетная сетка в трехмерном случае с количеством узлов 151 х 111 х 122 построена путем равномерного дублирования двумерной сетки по ^-координате. По ^-направлению ставилось периодическое граничное условие с перекрытием на одну ячейку, т. е. значения зависимых переменных задачи левого (правого) конца приравнивались их значениям в предпоследнем правом (левом) узле поля. Заметим, что такое граничное условие включает в себя, как частный случай, граничное условие реализации двумерного течения (дЕ/да = 0, w = 0, Е = и, V, р, Т). Поскольку в случае непрерывной

-1.0 -0.5 0 -1.0 -0.5 Л

Рис. 1. Поле давления (а) в расчетной области и расчетная сетка со сгущениями в плоскости х — у (б) и х — а,у = 0 (в) для М = 6.1, Яе = 3240, Т,/Т0 = 0.5

Рис. 2. Распределение температуры по оси y = 0 в ударном слое, в пограничном слое (а) и во фронте ударной волны (б) для M = 6.1, Tw/T0 = 0.5 при различных значениях числа Рейнольдса:

1 — Re = 103; 2 — Re = 2 • 103; 5 — Re = 3 • 103; 4 — Re = 104

периодической функции выбор места граничного условия произволен, то на каждой счетной итерации место граничного сопряжения сдвигалось.

При увеличении числа Re уменьшается толщина пограничного слоя и толщина фронта ударной волны. Соответственно, уменьшается количество узлов во фронте УВ (рис. 2). Поэтому, кроме пристеночного сгущения, для повышения разрешения в области фронта УВ введено сгущение сетки около тщательно подобранной под форму УВ внешней границы (рис. 1). Введение сгущений расчетной сетки, как видно из распределения температуры в УВ для двумерного случая (рис. 2), позволяет хорошо разрешить области сильного изменения параметров потока: пристеночную область и фронт УВ.

Как видно из рис. 3, а, толщина фронта УВ ДУВ, полученная в расчетах, обратно пропорциональна числу Re. Заметим, что для сохранения сеточного разрешения во фронте УВ по п-координате (нормали к поверхности тела) необходимо увеличивать количество узлов в области фронта УВ пропорционально числу Re. В частности, для условий расчета с равномерной сеткой [3] при числе узлов Nn ~ 100 на фронт УВ приходится одна расчетная ячейка, тогда как в сгущенной у внешней границы сетке на фронт УВ приходится от 10 до 30 расчетных узлов. Использование сетки, сгущенной во фронте УВ, существенно ускоряет процесс получения решения и позволяет верифицировать двумерные решения на сетках с различным количеством узлов для Re = 103 — 105 [9].

Повышенное разрешение сетки во фронте УВ является ключевым моментом в трехмерном случае, где в разных сечениях по z-координате реализуется различный отход фронта УВ. Поэтому для хорошего разрешения в области фронта УВ, при одинаковом сгущении сетки во всех z-сечениях, необходимо применение сетки с повышенной плотностью узлов в более широкой области, чем для двумерного случая. Если результаты двумерного случая перенести на трехмерный, тогда для Re = 3240 толщина фронта УВ составляет Дув ~ 0.01, а область необходимого сгущения для квазитрехмерного случая при A = 0.06 в три-четыре раза выше толщины фронта УВ (рис. 3, б). При увеличении числа Re толщина фронта УВ уменьшается, а область необходимого сгущения остается практически без изменений и превышает толщину фронта УВ при Re = 104 примерно в 10 раз. При больших числах Re соотношение между областью изменения фронта УВ и толщиной ее фронта становится более значительным (рис. 3, б). Как показали расчетные исследования, в трехмерном случае это соотношение становится еще выше. Условие сохранения сеточного разрешения во фронте УВ приводит к необходимости увеличения общего количества расчетных узлов, что не всегда возможно для постоянного по z сгущения сетки. При больших числах Re для сохранения высокого сеточного разрешения во фронте УВ необходимо применение адаптивных сеток.

1000 3000 1 0000 30000 100000 1000 2000 5000 10000 20000 50000

Рис. 3. Зависимость толщины фронта УВ АУВ (а) и отхода фронта УВ хУВ по оси х (б) от числа Яе при значениях им = 0.94, 1, 1.04 для М = 6.1, Тм /Т0 = 0.5 (кривые для значений местного числа Маха

во фронте ударной волны т = 1; 3; 5)

Заметим, что при недостаточном разрешении сетки во фронте УВ значительно возрастают расчетные трудности (см. [3] для Яе > 4000) при получении решения. Это выражается в двумерном случае в нефизических осцилляциях (р/р0 > 1, как в [3]) и разрывах решения в области фронта УВ, которые в трехмерном случае приобретают пространственный характер.

МАЛЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

На рис. 4 приведены распределения давления и температуры в пограничном слое и фронте двумерной ударной волны для различных значений скорости набегающего потока их (от 0.94 до 1.06), полученные путем двумерного расчета. Распределения нормированного давления р = (р - ртт)/(ртах - ртгп) и температуры Т = (Т - Тт1п)/(Ттах - Тт1п) образуют одну кривую (рис. 5, а), а толщина пограничного слоя сохраняется. Из рис. 5, б видно, что в двумерном случае

0 0 Об 0 1 О 445 0 «5 0 465 0 475 о 465

0 005 0,1 0445 0153 0,455 »«« 0465

Рис. 4. Распределение температуры (а, б) и давления (в, г) по оси х (у = 0) в пограничном слое (а, в) и во фронте УВ (б, г) при различных значениях

скорости набегающего потока и„ + Аи„, Аи„/и„ от -6 до +6%

Рис. 5. Распределения (а) по оси x нормированных давления (1), температуры (2) и зависимость (б) изменения давления Ap/p (1), температуры AT/T (2) в ударном слое от вариации скорости Auju„ от -6 до +6(%) для M = 6.1, Re = 3240, Tw/T0 = 0.5

/„=0.7 ] 2 4 10 2D—3D

Рис. 6. Положение фронта УВ в плоскости г — х (у = 0) при А = 0.03 для двумерного (2Б), трехмерного X = 0.1 —10 и квазитрехмерного (2Б — 3Б) случаев

малое возмущение набегающей скорости Ли« приводит к примерно удвоенному возмущению температуры и давления в области ударного слоя.

Для А = 0.5 и 1% отклонения фронта УВ от двумерного носят синусоидальный характер, а для А = 2 и 3% более сложный вид. На рис. 6 приведены положения фронта УВ при изменении периода наложенных возмущений X = 0.1 — 10 с амплитудой А = 0.03. Для наглядности приведены поля с периодическим продолжением до двух периодов. Фронт УВ при малом значении периода X близок к невозмущенному двумерному фронту (2Б), а при большом X близок к квазитрехмерному (2Б — 3Б). Квазитрехмерное поле получено сложением по г-координате результатов двумерных расчетов для и« = 1 + А81и(2пг/Х). Максимальный отход фронта УВ достигается при периоде X = 0.7.

Из сравнения трех типов полей давления и температуры в плоскости х — г (у = 0): двумерного без возмущений, трехмерного (X = 0.7) и квазитрехмерного течений — видно (рис. 7, 8), что значения р и Т в трехмерном случае не превосходят значений р и Т для квазитрехмерного случая. В трехмерном случае поле температуры свидетельствует об изменении толщины пограничного слоя. Это приводит к появлению максимального и минимального теплового потока на поверхности твердого тела с возмущениями более высокими, чем для квазитрехмерного случая (рис. 8). В области ударного слоя формируется существенно трехмерное течение. Максимальное значение местного числа Маха в возвратной струе для А = 0.03 достигается при X = 0.7 и составляет т ~ 0.4.

А = 3% для двумерного (2Б), трехмерного (X = 0.7) и квазитрехмерного

(2Б — 3Б) случаев

-1 о 21 л о г 1

Рис. 8. Распределение по нормированной 2-координате давления (а, б, в) и теплового потока к поверхности (г, д, е), нормированного на двумерный случай, на линии у = 0 при наложенных периодических возмущениях скорости А = 3% (а, г), 2% (б, д), 1% (в, е). Кривые 1 — 6 для X = 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 4 соответственно; пунктир — для квазитрехмерного (7) и двумерного (8) случаев

Из графика зависимости максимальных и минимальных значений теплового потока (нормированного на значение для двумерного случая ч0) от размера наложенного периода возмущений X видно, что максимум достигается при X « 0.3. Возмущение набегающей скорости А = 1% приводит к возмущению теплового потока на поверхности Ач/ч0 примерно на 50% (рис. 9, а), что позволяет объяснить результаты эксперимента для возмущений теплового потока. Значения теплового потока при малом размере периода X стремятся к 1 (значению для двумерного случая), а при большом размере периода к значению для квазитрехмерного случая. Отметим, что при больших числах Яе следует ожидать еще более высоких величин возмущений теплового потока [9].

o.i 1 X io oi 1 А. 10

Рис. 9. Зависимости максимального и минимального теплового потока (верхняя и нижняя ветвь) к поверхности цилиндра от периода X (q0 — значение для 2D) при Re = 3240, A = 0.005; 0.01; 0.02; 0.03 для (а) M = 6.1, Tw/T0 = 0.5 и (б) M = 8, Tw /T0 = 0.39, полученные на сетках 151 х 111 х 62 (светлые) и 151 х 111 х 122 (темные маркеры). Для M = 6.1 (а) приведены результаты на двух сетках

Аналогичные зависимости получаются для М = 8 при Яе = 3240, Т„ /Т0 = 0.39 (рис. 9, б). Влияние температурного фактора и числа Маха сводится к небольшому различию нормированного теплового потока при малых и больших значениях периода наложенных возмущений скорости.

Важно отметить, что при снятии малых возмущений (А = 1 — 3%) трехмерные решения для всех значений периода X возвращаются к решению для двумерного случая.

Также проведены исследования возможности перехода двумерного течения в трехмерное при отсутствии наложенных возмущений, аналогично тому, что наблюдалось для угла сжатия [11]. Все варианты расчета оставались полностью двумерными, а численная невязка сходимости решений была такой же, как и для двумерного расчета в ~ 10 6.

О НЕОБХОДИМОСТИ ВЫСОКОГО РАЗРЕШЕНИЯ ВО ФРОНТЕ УВ

Для исследования влияния разрешения сетки на получаемые результаты для Яе = 3240, М = 6.1, Т„ /Т0 = 0.5 проведены расчеты на сетках со сгущением у поверхности и внешней границы с различным размером расчетной области по п-координате Ах (у = 0) от Ах = 0.475 до Ах = 0.749, для двумерных с количеством узлов Лп = 151, 225, 301, Л = 111 и для трехмерных с Л = 22, 42, 62, 82, 122 при X = 1.

Для размера двумерной расчетной области Ах = 0.475 на область сгущения сетки у внешней границы (от х = 0.45 до х = 0.475) приходится для Лп = 151 примерно 1/2 от полного количества расчетных узлов Лп, для Лп = 225 — 2/3, а для Лп = 300 — 3/4. Если для Лп = 151 на фронт УВ приходится около 30 расчетных узлов, то для Лп = 225 в два раза, а для Лп = 300 — в три раза больше. Следует отметить, что при увеличении размера расчетной области по п-координате снижается эффективность введенного у внешней границы сгущения и уменьшается разрешение сетки во фронте УВ. При максимальном размере расчетной области Ах = 0.749 (Лп = 151) сгущение у внешней границы (от х = 0.45 до х = 0.749) представляет собой практически равномерную сетку с размером расчетной ячейки примерно равной толщине фронта УВ, а сам фронт УВ в решении «размазан» на несколько ячеек (рис. 10) .

Распределение давления, температуры, скорости и местного числа Маха для двумерного случая на критической линии (у = 0) для разных сеток хорошо совпадают за исключением фронта УВ. На рис. 10 приведены результаты во фронте УВ для равномерной и сгущенных сеток. Решения для самых подробных во фронте УВ сеток с Ах = 0.475 (сплошные линии) с большой точностью совпадают, что означает получение близкого к точному решения. При увеличении расчетной области до Ах = 0.5 (область сгущения от х = 0.45 до х = 0.5) количество расчетных узлов во фронте УВ снижается в два раза (одиночные маркеры). Это разрешение сетки во фронте УВ позволяет получить решение, достаточно близкое к точному.

Рис. 10. Распределение давления

N = 151

При использовании равномерной сетки с увеличенным размером расчетной области по х-координате Ах = 0.749 результаты существенно отличаются во фронте УВ. В частности, полученная в расчетах толщина фронта УВ в несколько раз выше, чем для точного решения. Размер ячеек для равномерной сетки с Ах = 0.749, Лц = 151 примерно равен толщине фронта УВ и практически такой же, как для равномерной сетки с количеством узлов Лц = 100 и Ах = 0.5 (как в работе [3]). Результаты для промежуточных размеров расчетной области по ц-координате от Ах = 0.5 до Ах = 0.749 находятся между результатами для равномерной и сгущенных сеток.

Рис. 11. Поле числа Маха в области фронта УВ в плоскости х — 2, у = 0 при наложенных возмущениях набегающей скорости А = 3% (М = 6.1, Яе = 3240, X = 1, Т„/Т0 = 0.5) для (а) сгущенной сетки с размером расчетной области Ах = 0.5 и (б) равномерной (Ах = 0.749) сетки 151 х 111 х 122 (для равномерной сетки приведено решение в начальный момент экспоненциального по времени

роста отхода фронта УВ)

Ту /Т0 = 0.5, X = 1, А = 3%) для сгущенных сеток с размером расчетной области Ах = 0.5 и равномерных сеток с Ах = 0.749, с количеством узлов по г-координате N = 62 и 122

N. = 22 N. = 42 Л =82 Ы,= 122

л = 4% ш ИГI *|¥1 V ШГI

м!т!т!ы! ,. к к к к к к

о —^^^^^^^

Рис.13. Поля температуры в плоскости г — х, у = 0

Увеличение толщины фронта УВ для двумерной равномерной сетки влечет за собой увеличение толщины фронта УВ в трехмерном случае (рис. 11). Однако самым неожиданным и непредсказуемым последствием уменьшения разрешения сетки во фронте УВ является экспоненциальный по времени рост отхода фронта УВ при наложенных возмущениях А = 3% (рис. 12). Если для сгущенных в области фронта УВ сеток с размером расчетной области Ах = 0.5 получены стационарные верифицированные решения, то для менее подробной равномерной сетки с Ах = 0.749 (Ыг = 122) стационарное решение невозможно получить из-за экспоненциально растущего по времени отхода фронта УВ.

При увеличении амплитуды возмущений возрастает амплитуда изменения положения фронта УВ волны. Следовательно, по сравнению с А = 0.03 для А = 0.04 необходимо использовать сгущение сетки в более широкой области и, соответственно, заметно снижается разрешение сетки во фронте УВ. Это приводит к более быстрому экспоненциальному по времени росту отхода фронта УВ (рис. 13), аналогично случаю с равномерной сеткой для А = 0.03. При достижении фронтом УВ внешней границы необходимо увеличение размера расчетной области, что приводит к еще большему разрежению сетки во фронте УВ и большему росту отхода фронта УВ, а в зоне ударного слоя формируются области возвратного сверхзвукового течения с местным числом Маха т > 1.7. Стационарные решения с А = 4% не были получены.

1

При большом увеличении отхода фронта УВ при возмущениях А = 0.04 в некоторых случаях после снятия наложенных возмущений возникает ситуация, когда решение может не вернуться к плоскому из-за недостаточно подробной сетки во фронте УВ (рис. 13). При этом сохраняются локальные сверхзвуковые области с местным числом Маха в ударном слое т « 1.3. Однако после повышения разрешения сетки во фронте УВ, полученной с помощью уменьшения размера расчетной области и перераспределения освободившихся сеточных узлов в область фронта УВ, «зависшее» трехмерное решение возвращается к искомому плоскому невозмущенному решению.

Отметим, что при возникновении экспоненциального роста отхода УВ при наложенных возмущениях в решении на сетке с низким разрешением во фронте УВ становится уже несущественным значение первоначально наложенной амплитуды возмущения. При снятии наложенных возмущений на сетке с более низким разрешением во фронте УВ решение может не возвратиться к плоскому после воздействия и более низких значений амплитуд возмущений, что, по-видимому, и наблюдалось в работе [3].

Аналогичные результаты были получены для М = 8, Яе = 6688, Тм/Т0 = 0.39, X = 14/15. В некоторых вариантах расчета после снятия возмущений А = 4% для возврата решения к плоскому необходимо было использовать более эффективную методику динамической адаптации сетки, применявшуюся для разрешения слоя смешения при сверхзвуковом обтекании угла сжатия [11].

При получении трехмерных решений большое значение имеет постановка граничного условия по 2-координате. При периодическом условии с перекрытием на одну ячейку сохраняется непрерывность переменных поля и их производных по 2-координате. В случае использования граничного условия симметрии (д^/дг = 0, ^ = и, V, р, Т, м = 0) при однородном набегающем потоке на левом и правом концах расчетной области по 2 могут получаться разные значения в результате экстраполяции на границу (т. е. разрывность функций на границе). При рассмотрении задачи с размером расчетной области в половину периода (как в работе [3]) фактически происходит маскировка возможного разрыва решения по 2-координате. По-видимому, в сочетании с возможностью невозврата решения к плоскому на сетках с низким разрешением во фронте УВ это может приводить к ошибочном результатам, а также нельзя исключать наличие и других методических причин.

ВЫВОДЫ

На основе численного решения уравнений Навье — Стокса в двумерной и трехмерной постановке проведено исследование сверхзвукового обтекания лобовой поверхности цилиндра при наложенных по 2-координате периодических пространственных возмущениях скорости набегающего потока их = 1 + Asln(2лz/XЯ) с использованием расчетных сеток с высоким разрешением во фронте ударной волны.

Для рассмотренных вариантов расчета (М = 6.1, Яе = 3240, Тм /Т0 = 0.5) наложенные малые периодические по трансверсальной координате возмущения скорости набегающего потока могут приводить к значительному изменению теплового потока на лобовой поверхности цилиндра (АЧ/Ч0 ~ ±50% при А = 1%) вследствие формирования существенно трехмерного дозвукового течения в ударном слое. Величина возмущений теплового потока зависит от периода и амплитуды наложенных пространственных возмущений (см. рис. 9). Максимальные колебания теплового потока наблюдаются при пространственном периоде возмущений X « 0.3. При уменьшении периода возмущений X величина амплитуды колебаний теплового потока уменьшается до нуля, а при увеличении периода X — уменьшается до величины, полученной для двумерного случая при значениях скорости набегающего потока, соответствующих периодически изменяющейся по 2-координате скорости набегающего потока. Распределения давления по поверхности для различных периодов ограничено кривыми для двух предельных случаев. Полученные результаты позволяют объяснить высокий уровень возмущений теплового потока в эксперименте.

Показано, что при снятии малых пространственных возмущений решение в области ударной волны возвращается к искомому плоскому режиму с постоянным тепловым потоком по трансверсальной координате. Результаты расчетов верифицированы на сетках с различным количеством узлов.

Также показано, что разрешение расчетной сетки по нормали к поверхности в области фронта ударной волны оказывает значительное влияние на численное решение. При использовании расчетной сетки с высоким разрешением во фронте ударной волны после снятия наложенных возмущений скорости набегающего потока A = 1 -г 4% трехмерное решение возвращается к плоскому. При недостаточном разрешении сетки во фронте ударной волны, после снятия наложенных возмущений скорости численное решение может не возвратиться к плоскому, а в решении в ударном слое присутствуют области со сложными трехмерными течениями и локальными сверхзвуковыми зонами.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 11-08-01099 и № 12-08-00674).

ЛИТЕРАТУРА

1. Лапина Н. Г., Башкин В. А. Экспериментальное исследование картины течения и теплообмена в окрестности линии растекания кругового цилиндра при поперечном его обтекании сверхзвуковым потоком с числами М = 3, 5 и 6 // Труды ЦАГИ. 1983, вып. 2203, с. 44 — 49.

2. Дроздов С. М. Генерация вихревых структур на лобовой поверхности цилиндра, поперечно обтекаемого гиперзвуковым потоком // Изв. РАН. МЖГ. 2006. № 6, с. 3 — 17.

3. Дроздов С. М. Численное моделирование трехмерных вихревых структур при поперечном обтекании цилиндра гиперзвуковым потоком // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 5, с. 17 — 29.

4. Башкин В. А., Егоров И. В. Численное моделирование динамики вязкого совершенного газа. — М.: Физматлит, 2012, 372 с.

5. Егоров И. В., Шведченко В. В. Вихревые структуры в сверхзвуковых течениях // Тезисы видеосеминара по аэромеханике ЦАГИ — ИТПМ СО РАН — СПбГПУ — НИИМех МГУ 6.09.2011. http://www.tsagi.ru/news/archive/seminar-archive-9-2011.shtml.

6. Егоров И. В., Шведченко В. В. Тепловой поток к поверхности цилиндра при пространственных возмущениях сверхзвукового потока // XXIII Научно-техническая конференция по аэродинамике. 1 — 2 марта. 2012. п. Володарского, с. 102.

7. Егоров И. В., Шведченко В. В. Возмущения теплового потока к поверхности цилиндра при пространственных возмущениях сверхзвукового потока / Модели и методы аэродинамики. — Материалы 12-й Международной школы-семинара. 2012, 4 — 13 июня. Евпатория. — М.: МЦНМО, 2012, с. 80 — 82.

8. Egorov I., Shvedchenko V. Influence of three-dimensional perturbations on the heat transfer at hypersonic flow // ICHMT International Symposium on Advances in Computational Heat Transfer. Proceedings of CHT12. July 1 — 6, 2012. Bath. England, p. 1 — 11.

9. Шведченко В. В. Возмущения теплового потока к поверхности цилиндра при пространственных возмущениях сверхзвукового потока для различных чисел Рейнольдса / Модели и методы аэродинамики. — Материалы 12-й Международной школы-семинара. 2012, 4 — 13 июня. Евпатория. — М.: МЦНМО, 2012, с. 196 — 198.

10. Проблема пограничного слоя и вопросы теплопередачи / Под ред. Г. Гертлера, В. Толлмина (Пер.с англ. и нем. под общ. ред. В. А. Баума). — М.: Госэнергоиздат,1964, 394 с.

11. Шведченко В. В. О трехмерном вторичном отрыве при сверхзвуковом обтекании угла сжатия // Ученые записки ЦАГИ. 2010. Т. XLI, № 6, c. 16 — 29.

Рукопись поступила 29/V 2012 г.