Модифицированные уравнения изопериметрической вариационной задачи в теории многокритериальной оптимизации управлений и параметров адаптивных технических систем

СТРОИТЕЛЬСТВО

УДК 624.131.5

РАСЧЕТ КОНСОЛИДАЦИИ ПОСТЕПЕННО ВОЗВОДИМОГО

СЛОЯ ГРУНТА

© 2003 г. А.Г. Баламирзоев

Прогноз осадок сооружений, возводимых из глинистых грунтов, осуществляется в настоящее время на основе расчета консолидации. В тех случаях, когда ширина возводимого сооружения значительно превосходит его высоту, расчеты консолидации можно выполнять по схеме «растущего слоя». При этом задача об определении напора, или порового давления, сводится к одномерной задаче консолидации слоя с переменной во времени толщиной, что существенно упрощает расчеты, а в ряде случаев позволяет использовать для расчетов графики и номограммы. Такие графики приведены в работе Р.Е. Гибсона и монографии В. А. Флорина [1, 2]. Указанные графики, однако, не отражают важный для приложений послестрои-тельный период рассеивания порового давления.

В данной статье рассматривается задача о консолидации грунта как в процессе возведения сооружения, так и после его окончания, и даются соответствующие графики.

Для повышения точности расчетов консолидации растущего слоя численными методами обычно требуется брать весьма большое число наращиваемых слоев, с тем чтобы шаг приращения был достаточно мал, что существенно увеличивает время машинного счета. Используемая в работе методика расчета консолидации растущего слоя позволяет значительно повысить точность получаемых результатов.

Уравнение консолидации слоя грунта с переменной во времени толщиной И^) под действием силы тяжести при малом содержании воздуха в порах грунта [3] имеет вид:

dH у dh

dt ~ уwa(z, t, Н) dt (1 + e(z, t, H)) d

Ywa(z, t, H )a(z, t, H) dz

k

дН

dz

ю = 1 +

e( + а) ;

(TW'

X = (X + а) - а :

P

P = Po + Yw(H - z); G = Yh(t) - yH - (Y-Yw)z.

Граничные условия для слоя грунта, возводимого на непроницаемом основании, имеют вид

Н (к, () = Ш); ^ (0,1 )= 0. дz

Численное решение задачи в такой постановке рассматривалось в работе Л.В. Горелика и Б.М. Нуллера [4].

В настоящей работе решение поставленной выше задачи производится по неявной схеме с использованием вариационно-разностного метода Галеркина по методике, изложенной в работе [5].

Примем закон возведения слоя в виде:

h(t) =

dh

h0 — 0 < t < t0 to

ho t > to •

Обозначим = f (t), тогда: dt

f

= i'

const 0 < t < t.

o

[0

t > t0

Используя неявную схему по времени (схему Кран-ка - Николсона), запишем:

ß( (n), z )H ^ (n) =5(я (n), z )f (n) +

1 _d_

2 dz

k

At

dH

dz

1d 2 dz

k

dH (n+l) dz

где п - номер шага по времени; At - шаг по времени;

Уи,аю; ¡.(и л_ оу

ß(H, z )=§(h, z )=1

+e

где к(р) - заданная функция времени; у - объемный вес укладываемого грунта;

После рассмотрения сеточной области Zj (/'=1,2, ... , N уравнение сводится к линейному сеточному соотношению, которое с учетом преобразований с использованием вариационно-разностного метода с координатными функциями [5] получает вид:

Н{^1)((;- - Б}-)+ Н;("+1)(2А;+ 2А} + Б}_, + Б}) +

+ Н;

A,-1 =ß

j-i'

6Ат

B-i =

1k

j-1

2 zj - zj-i

+

+

+

zj - zj-i

A = ß,

6Дт

Bj = 2 Z—-7"

2 Zj+1 zj

j = 25j_if

1

2" j

¥

= -1 + Bj-1)+ H(n)+ 2Aj -Bj-1 -Щ) +

+H+1(+Bj)+с-1+с.

Для решения системы (1) используем прогонку:

j = 1,..., N ;

H(n+1) = EjH (n+|1) + F(n+1),

Ej =

Bi - A

2 A-1 +2 A- + B-1 + B + (-1 - B-1К-1

F

(n+1) = j

¥

+

В данной работе при расчете консолидации шаг

1 18'

1

9

ность получаемого решения повышается на порядок и для случая полного водонасыщения (ю = 1) и постоянных характеристик к, а и е практически совпадает с известным решением Р.Е. Гибсона [1] (рис. 1).

приращения слоя принимался равным — h0 и,

соответственно, удвоенный шаг — h0. При этом точ-

2 А-1 + 2А + В-1 + В + (-1 - В-1 К-1

Значения Е0 и на нижней границе слоя грунта определяются из граничных условий задачи. Схема справедлива для любых не равных между собой характеристик ви к ^, и поэтому не требуется введения дополнительных условий сопряжения внутренних границ в случае слоистого грунта. При выводе принято, что на интервале [;-1,2 ^ ] коэффициенты в, 5 и к постоянны и равны соответственно в ^-1, 5^-1 и к;-1.

Поскольку разностная схема неявная, шаг по времени не связан с шагом по координате и назначается из соображений точности счета. Для повышения точности счета использовалась методика, изложенная в работе Л.В. Горелика [6], согласно которой коэффициент консолидации и определяется из комбинации двух решений:

и = 2и и 2^,

где и^ считается с шагом приращения слоя , а и- с удвоенным шагом.

Рис. 1. Распределение коэффициента избыточного порового давления по глубине слоя к моменту окончания роста слоя: 1 - решение с шагом 2 Д£, ; 2 - решение с шагом Д£,; 3 - комбинация двух решений; 4 - решение Р.Е. Гибсона

В качестве примера на рис. 2 приводятся кривые рассеивания коэффициента избыточного порового H - h

давления U =

на подошве слоя во време-

ни для различных значений коэффициента степени

консолидации C0

' Ct 4

с 0 =К- v'0 C h 2

0

[7].

0,3 —r.í-Q.0í

OJ 0,2 0,3 0,4 0,в 1,0 1,<í 2,0 3,0 Н,0 6,0 8.0 WM 1620 30 W т = t/t0

Рис. 2. Рассеивание коэффициента избыточного порового давления на подошве слоя во времени для различных значений параметра C°

k

Z j+1 - Z j

Литература

1. Gibson R.E. The progress of consolidation in a clay layer encreasing in thickness with time // Geotechnique. 1958. Vol. 8. № 8. P.171 - 182.

2. Флорин В.А. Основы механики грунтов. М.; Л., 1961. Т. 2.

3. Горелик Л.В. Расчеты консолидации оснований и плотин из грунтовых материалов. Л., 1975.

4. Горелик Л.В., Нуллер Б.М. Нелинейная одномерная консолидация трехфазного грунта // Тр. к VIII МеждуМахачкалинский филиал МАДИ

нар. конгр. по механике грунтов и фундаментостроению / Под ред. Н.А.Цытовича. М., 1969. С. 18 - 25.

5. Горелик Л.В., Цыбин А.М. К теории консолидации оттаивающих грунтов // Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. 1979. Т. 134. С.119 -127.

6. Горелик Л.В. К расчету порового давления в слоистом основании методом конечных разностей // Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. 1974. Т. 106. С. 158 -163.

7. СНиП II - 16-76. Основания гидротехнических сооружений. Нормы проектирования. М., 1977.

26 сентября 2002 г.

УДК 626.862.003.13

К ВОПРОСУ О ФАКТОРАХ, ВЛИЯЮЩИХ НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ РАБОТЫ

ЗАКРЫТОГО ДРЕНАЖА

© 2003 г. В.Л. Ермоленко

Дренаж является одним из наиболее эффективных средств борьбы с подъемом грунтовых вод на подтопляемых территориях и реконструируемых оросительных системах. Поэтому устройство закрытого горизонтального дренажа составляет значительную часть объема мелиоративных работ в проектах по строительству новых и реконструкции существующих оросительных систем. Поддержание закрытого дренажа в технически исправном состоянии является одним из факторов, повышающих эффективность мелиоративных систем.

Мы разделяем точку зрения И.П. Айдарова и В.И. Бобченко, что понятие «эффективность дренажной системы» включает в себя не только отсутствие отклонений от проектной работы дрен, колодцев и других элементов, но и обеспечение регулирования водного, воздушного, солевого и других режимов в заданных пределах на обслуживаемой дренажной системой площади [1, 2].

На эффективность работы дренажной системы влияют такие ее компоненты, как почва, дрены, коллектор, водоприемник, а также вид орошения. От эффективной работы дренажа зависят водный, солевой, питательный режимы почвы и вынос с дренажным стоком различных элементов (питательных веществ, солей, гербицидов). Важнейшим условием хорошей работы дренажной системы является установление благоприятного почвенного режима и минимального отрицательного влияния на окружающую среду. Показателями же функциональной надежности дренажа являются уровень грунтовых вод, их минерализация и химический состав, водно-химические свойства почвы, состояние дренажного стока и урожайность сельскохозяйственных культур.

Эффективность работы закрытых дрен характеризует водоприемная и транспортирующая способность последних. При этом водоприемная способность дрен

зависит от состояния перфорации, защитно-фильтрующего материала (ЗФМ) и песчаного фильтра, а также околодренного грунта. Что касается транспортирующей способности закрытых трубчатых дрен, то она определяется состоянием внутренней полости трубы, наличием сужений живого сечения (сдавливания труб, заиления, зарастания корнями растений, неравномерностью уклона).

На фоне промывного режима орошения и высокой фильтрации из оросительных сетей дренаж становится весомым фактором выноса из почвы растворимых солей, органических и минеральных веществ, что вызывает отрицательные физико-химические и биологические преобразования в почве, приводящие к ее деградации и потере плодородия.

Следует отметить, что в последние годы наблюдается повышенное внимание к оценке эффективности работы дренажа со стороны эксплуатационных, проектных и научно-исследовательских организаций. Но объектами исследования в настоящее время являются в основном состояние устьев и колодцев, дренажный сток и водно-солевой режим почвогрунтов.

Практика показывает, что закрытый дренаж не выполняет свои функции при:

- низкой водоприемной способности дрен (высоких гидравлических сопротивлениях в фильтрах, грунте обратной засыпки, в водоприемных отверстиях; деформированной конструкции или нарушениях в технологии строительства дрен);

- заилении внутренней полости дренажных труб и смотровых колодцев в процессе эксплуатации (отсутствии крышек на колодцах, не проведении очистки колодцев от накапливающихся в них материалов, отсутствии регулярной промывки дренажных труб);

- деформации дренажной линии, забивке и сдвигах труб в результате прорыва воды сверху через грунт обратной засыпки в дренах, построенных меха-

низированными траншейным или узкотраншейным способами;

- низкой проницаемости дренируемых грунтов, наличии слабопроницаемых прослоек, близости водо-упора, слишком редком расположении дрен, не обеспечивающем необходимый водный и солевой режим почв (ошибки проектирования и расчета);

- неправильной организации оросительных систем, водораспределения и орошения, применении несовершенной техники при поливе, в результате чего имеют место большие потери воды на глубинную фильтрацию, накопление солей в почве;

- орошении высокоминерализованной водой в условиях малопроницаемых глинистых грунтов;

- несоблюдении промывок и промывных поливов там, где они требуются на фоне дренажа.

Среди организационных факторов, снижающих эффективность работы закрытого дренажа, следует выделить отсутствие в орошаемой зоне четкой структуры по обслуживанию закрытых дрен, что может быть вызвано рядом объективных и субъективных причин. К первым относятся отставание создания эксплуатационных структур от темпов строительства дренажа и несовершенство существующих технологий эксплуатации, а ко вторым - слабая заинтересованность хозяйств (в чьем ведении находится дренаж) и отсутствие необходимых материальных средств [3-5].

Для улучшения работы дренажа и повышения его эффективности проводят следующие мероприятия:

- очистку горизонтальной коллекторно-дренажной сети (КДС);

- ремонт закрытой КДС и сооружений;

- очистку и ремонт открытой КДС;

- совершенствование конструкции КДС;

- оструктурирование грунта дренажной засыпки;

- проведение агромелиоративных мероприятий;

- диагностику состояния КДС и мелиоративного состояния дренируемой территории.

В заключение отметим, что техническое состояние дренажа восстанавливается путем проведения работ по его очистке и ремонту до нормативных показателей, изложенных в "Исходных требованиях к состоянию дренажных систем", с учетом региональных показателей.

Литература

1. Айдаров И.П. Регулирование водно-солевого и питательного режимов орошаемых земель. М., 1985.

2. Бобченко В.И. Обеспечить экологическую надежность мелиоративных систем в орошаемой зоне // Гидротехника и мелиорация. 1989. Т. 6. С. 16-18.

3. ВасильченкоВ.А., Мартыненко О.Ф. Сравнительная оцен-

ка эффективности работы различных конструкций закрытых дрен в Ростовской области // Обзорная информация / ЦБНТИ Минводхоза СССР. М., 1981. Вып. 9. С. 1-7.

4. Косиченко Л.Н. Оценка существующих способов борьбы с заилением закрытого горизонтального дренажа // Сб. науч. тр. НПО «Югмелиорация». Интенсификация рабочих процессов и совершенствование конструкции гидромелиоративных машин. Новочеркасск, 1989. С. 26-31.

5. Коршиков А.А., Косиченко Л.Н., Ерин В.Т. Перспективы комплексной механизации эксплуатационных работ закрытой дренажной сети // Там же. С. 22-25.

26 сентября 2002 г

Новочеркасская государственная мелиоративная академия

УДК 62-52

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОИ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ В ТЕОРИИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЙ И ПАРАМЕТРОВ АДАПТИВНЫХ

ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© 2003 г.

1. Дифференцированные уравнения изоперимет-рической задачи вариационного исчисления

Рассматриваем задачу об управлении системой

* = / (х, а, б ),

оптимальную в смысле

т

Ф = J fo ((Г, G)dt ^ min

при интегральных ограничениях в виде равенств

т

K = J у ((Г, G)dt.

Г.В. Воронцов

Элементы вектора К считаем заданными (требуемыми, экспертными) критериями качества функционирования системы.

На первых порах вектор-функции / (X, а, Б), у(Х, а) и скалярную функцию /0 (X, С) полагаем непрерывно дифференцируемыми по аргументам-векторам состояний X е Кп и управлений а е Ку, а функции X(() и ) — по времени t. Систему (1.1) считаем наблюдаемой, а вектор возмущений Б (() — идентифицированным, см. [1,2].

Обобщенные уравнения Эйлера-Лагранжа задачи (1) - (3) для функционала

o

t

о

Фл = Jf (x, g)+[- f (X, G, S)]* Лх + Фл : = j[(o - f ) + (- f) Lx+( - y)/J dt = 0,

+

у (X, g К }dt ^ min

изопериметрической задачи (1) - (3) имеют вид

( - f * Л x )- Лx = 0,

d Э x

JG ( - f* Л x + УЛ x )= 0

Здесь и в дальнейшем индекс * означает операцию транспонирования матриц.

Выражения (4) совместно с условиями связи (1) и ограничениями в виде равенств (3) образуют систему уравнений, достаточную для определения векторов переменных X (), С (() и множителей Лагранжа Lx ((), ). Однако решение задачи в такой постановке в общем случае весьма затруднительно.

Для получения более простого алгоритма введем дополнительные обобщенные переменные состояния системы

, (()= J fo (X, X, g )dt, X ()= J у (x, g )dt,

x 0 (t )= fo (x, X, g ),

x

в дальнейшем представляем в виде

X = f(x, g, s ).

Запишем функционал Лагранжа для задачи

J[fo + ((- f )* Lx + ( - у)* lx]dt = Ф

где векторы множителей Лагранжа отличны от Л x, Л ^ . Поскольку

T

Фmin = J xo (t), dt,

to

выражение (8) перепишем так:

1o =-1.

В сокращенной форме полагаем

T T

ФЛ = j

to to

Здесь и в уравнении (9) введены супервекторы X = colon [xo \ X \ х ] , F = colon [[o | f ¡у ] ,

L = colon [o I Lx I L%] .

Составляя для задачи (10) функцию типа Гамиль-тона-Понтрягина [3, 4]

H (X, L, g, S) = F* (X, g, S )L

и уравнения Эйлера

|ф -dрФ ^.М*L - L = 0,

ЭХ dt ^ЭХХ J dX

Эф dX

xo (to ) = 0, xo (T) = Ф min, X (t0 ) = 0, X (T) = K,

полагая, что интегрант /0 в общем случае учитывает текущие показатели качества х (). Систему уравнений

дф = X - f = 0 -дФ = -3Fl

dL ' d G d G

= и. = 0;

L.0,

получаем известные соотношения

дЯ дХ

= -L,

эя

дL

= XX,

дн

д G

= 0.

Здесь и далее приняты следующие правила дифференцирования скалярных и векторных функций по векторному аргументу:

д/o

д x г

= colon

f ... f

dx1 dx;

д

' д x n

" (CC mn Xn ) Cnm;

д f*

L=

д Xn n

dfi dfn

dx1 dx1

dfi dfn

dxn dxn

Уравнения (11) - (13) образуют систему уравнений для определения векторов X, L, G с учетом условий на концах

X(to )= colon [0 ! x(to )i 0],

X(T) = colon [xo (T) ! x(T) ! K],

L(T)-L(to)= 0 .

x

o

t

o

o

o

l

l

n

Для адаптивных систем с настраиваемыми параметрами P(t) объекта или регулятора уравнения (6), (7) дополняем зависимостью

P(()=-Г(()V , {ф(х, х, у, P)},

где матрица Г() обеспечивает минимизацию показателя качества

к () = ф (x, х, у, P) ^ min

в каждый момент времени. При этом

X : = colon [ ! X !х ! p], F : = colon [[ ! f ! у ! - TV рф] .

2. Модифицированные уравнения метода динамического программирования

2.1. Задача о быстродействии

Рассматриваем задачу о нахождении управлений G (), переводящих систему (9) из положения

в состояние

X(to )= colon [X(to ) I 0]

X(T) = colon [X(T ) I K]

dm(X) = 1

dt ~ '

Для оптимального управления

max H(X, g, w') = 1,

G

что эквивалентно принципу максимума в задачах о быстродействии без ограничений при уравнениях

H

) '(X)= 0

д G

за минимальное время (Т — to ). Заметим, что функции х0 (() и /0 (() из векторов X и Р исключаем.

Введем гипотезы, аналогичные принятым Белл-маном в [5].

1. Какова бы ни была отличная от Х(Т) точка X, существует оптимальный по критерию быстродействия процесс перевода системы (9) из X в Х(Т). Соответствующие управления и время перехода обозначим

G0;ш (), Т (х) =: —ю(Х).

2. Функция ю(Х) непрерывна и всюду (кроме точки Х(Т)) имеет непрерывную производную

ю'

Из этих гипотез следует, что для оптимального управления

и краевых условиях (14), (15).

Введем в дополнение к гипотезам 1 и 2 допущение о том, что функция ю(Х) дважды непрерывно дифференцируема по X УХ Ф Х(Т), а вектор-функция Р (X, G) при тех же условиях имеет непрерывную производную по X. В этом случае из уравнения (18) получаем

ЖИ'+|Х2 Е = 0 ух Ф Х(Т).

С другой стороны,

й //ЧЛ д2ю • д2ю — ю (Х) = —-XX = —-Р. Л к ' ЭХ2 ЭХ2

Из составленных выражений следует

й ЭР* ,

dt ю(х)+ЭХ ю'(х)=

Вариационная задача о быстродействиях при функционале

Фл : = i{l + X - F

^ min

приводится к уравнениям

dL L = 0. dg L = 0- L(t)To =

dt dx

см. подробнее изложение задачи и замечания о степени корректности введенных гипотез в [3].

Вычислив производную (17) с учетом выражений (9) и (16), получаем

^МЯ = XX (= Р' (Х((), G (())ю'(().

dX

которые по форме совпадают с (20) и (19), если принять L(( ):= ю'(х(()).

2.2. Модифицированные функциональные уравнения Беллмана

Рассматриваем задачу о нахождении управлений G3 ((), доставляющих минимум функционалу

T

ф

G to

на «траектории» движения системы X

t

o

Распространяя постулат Беллмана [5] на задачу (21), (22), полагаем, что экстремаль Оэ (() является экстремалью для любого участка [[, Т], , > ,0 , так что

fo

dF* , dfc

+

F = 0.

0 д а д а

Составляя уравнения Эйлера - Лагранжа для задачи

min ф

^ Ш1П,

В выражениях (21) и (23) подчеркиваем, что величина функционала зависит только от исходного положения системы.

Из приведенного постулата следует условие

ф

Сг

где обозначено

ф(X,,,>= ЭФ<дх|х,£>, ф,(х,,,)=дФ£хН.

Условие (24) приводит к уравнениям типа Белл-мана

получаем выражения

дЩМ + эГ (X. о s,t)ф,(X, t) = 0, д О д О

dfo dF*

д О д О

L = 0,

f дFL L = 0 3X "3XL-L = 0.

/о (X, о; ,)+ Е* (X, а, б;, )ф'(х,,) = -ф (X,,).

Если функции /0 (X, о) и Е (X, о, Б) не зависят явно от /, полагаем ф = 0. Умножая в этом случае первое из выражений (25) на /0 , а второе — слева на /0/д О и производя их вычитание, имеем

4 (Е М^ о.

Поскольку Ф'(X) не зависит от О, получаем обобщенное матричное уравнение Беллмана

Отметим, что уравнения (25) при ф = 0 могут быть приведены к форме, эквивалентной по форме условию равенства нулю функции Понтрягина [3]. При наличии ограничений на переменные состояний

ХХХ е X ас1ш С К п и управлений а У е а ас1т е К У приведенные в статье уравнения могут быть встроены в алгоритмы принципа максимума и метода динамического программирования.

Литература

1. Воронцов Г.В., Федий В.С. Прямой метод восстановления переменных состояния в задачах оптимального управления многомерными системами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2001. № 4. С. 5-7.

2. Воронцов Г.В. Адаптивные многомерные наблюдаемые электромеханические системы, оптимальные по векторному критерию качества управления // Изв. вузов. Электромеханика. 2002. № 5. С. 49-52.

3. Понтрягин Л.С. Оптимальные процессы регулирования // Успехи математических наук. 1959. Т. XIV. Вып. 1(85). С. 3-20.

4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., 1969.

5. Беллман Р. Динамическое программирование. М., 1960.

Южно-Российский государственный технический университет

9 декабря 2002 г.