Классификация и покрытие многогранников класса «д»

УДК 27 21 00

Т. М. Пуолокайнен

КЛАССИФИКАЦИЯ И ПОКРЫТИЕ МНОГОГРАННИКОВ КЛАССА D

Проведено разбиение выпуклых многогранников класса D на подклассы и покрытие любого многогранника класса D образами этого многогранника при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы. Рассматриваемая задача связана с проблемой Хадвигера о покрытии выпуклых геометрических тел их образами при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы.

Ключевые слова: выпуклые многогранники, классификация, покрытие, гомотетия, подкласс, образ, проблема Хадвигера, евклидово пространство.

T. M. Puolokainen

Classification and cover of class-D polyhedron

The article considers the Hadwiger’s problem. The partition of convex polyhedron into subclasses of class D is discussed. Any polyhedron of Class-D is covered by images of the polyhedron at the dilatation with coefficients less than unity.

Key words: convex polyhedron, classification, coverage, dilatation, subclass, image, the Hadwiger’s problem, Euclidean space.

В нашей работе [1] все выпуклые многогранники трехмерного евклидова пространства были разбиты на четыре класса: А, В, С, Б. В последующем автором была осуществлена классификация многогранников класса А [2] и покрытие их меньшими копиями при гомотетии в трехмерном евклидовом пространстве [3]. К классу В были отнесены нами выпуклые многогранники, поверхность которых содержит одну или несколько призматических частей [3], а к классу С отнесены выпуклые многогранники, граница которых содержит, по крайней мере, одну поверхность переходного типа и не содержит призматических частей [1]. В работе [4] Хадвигер сформулировал гипотезу, согласно которой для покрытия любого выпуклого тела в п-мерном евклидовом пространстве достаточно 2п тел меньших размеров, гомотетичных данному телу. Первая часть настоящей статьи посвящена разбиению всех многогранников класса Б на подклассы. Классификация многогранников класса Б необходима для того, чтобы решить задачу покрытия многогранников этого класса их образами при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы. Вторая часть статьи посвящена покрытию многогранников класса Б образами многогранников при гомотетии.

Нами введено понятие призматической части

ПУОЛОКАЙНЕН Татьяна Матвеевна - к. ф.-м. н., доцент, зав. кафедрой математики теории и методики обучения математике Карельской государственной педагогической академии.

E-mail: puolatm@onego.ru

поверхности [1]. Дадим определение фрагмента призматической части поверхности.

Определение 1. Рассмотрим все грани выпуклого многогранника, параллельные некоторой прямой т в пространстве. Пусть эти грани образуют одну компоненту связности. Пусть эта компонента связности границы многогранника состоит не менее чем из трех граней и топологически эквивалентна кругу. Такую часть поверхности многогранника назовем фрагментом призматической части первого вида.

Замечание 1. Граница фрагмента призматической части первого вида представляет собой простую замкнутую пространственную ломаную.

Рассмотрим множество кругов ^^2,..^п, где п > 2. Пусть любые два соседние круга касаются, при этом не соседние круги общих точек не имеют. Обозначим точки касания пар соседних кругов.

а.=^ п ^; а = ^ п ^; •••; а , п w .

11 2’ 2 2 3’ ’ п-1 п-1 п

Круги w1 и wn не имеют общих точек. Обозначим объединение всех таких кругов W.

Определение 2. Пусть имеется выпуклый многогранник. Рассмотрим все его грани, параллельные

некоторой прямой т пространства. Пусть эти грани образуют компоненту связности, топологически эквивалентную множеству W. Такое объединение граней многогранника назовем фрагментом призматической части второго вида.

Замечание 2. Граница фрагмента призматической части второго вида представляет собой объединение п простых замкнутых ломаных. Каждые две соседние простые замкнутые ломаные имеют одну общую

вершину. Граница фрагмента призматической части второго вида содержит п-1 общих вершин.

В нашей работе [1] введено понятие поверхности переходного типа. Дадим определение многогранника класса Б.

Определение 3. К классу Б отнесем такие выпуклые многогранники, граница которых не содержит призматической части, не содержит поверхности переходного типа, но содержит один или несколько фрагментов призматической части первого или второго вида.

Все многогранники класса Б разобьем на три подкласса, каждый из которых будем называть классом. Принципом разбиения выбираем количество направлений, параллельно которым расположены фрагменты призматических частей, лежащие на границе многогранника.

К классу Б1 отнесем многогранники класса Б, граница которых содержит один или несколько фрагментов призматических частей, грани которых параллельны одному направлению в пространстве.

Пусть т и q - две не параллельные прямые в пространстве. Пусть границе выпуклого многогранника М класса Б принадлежит один или несколько фрагментов призматических частей, параллельных прямой т. Пусть границе того же многогранника принадлежит еще один или несколько фрагментов призматических частей, параллельных прямой q. В этом случае многогранник отнесем к классу Б2.

Пусть т, р и q - три попарно не параллельные прямые в пространстве. Пусть границе выпуклого многогранника класса Б принадлежит один или несколько фрагментов призматических частей, параллельных прямой т. Пусть поверхности многогранника М принадлежит один или несколько фрагментов призматических частей, параллельных прямой р. Пусть, кроме того, границе многогранника М принадлежит один или несколько фрагментов призматических частей, параллельных прямой q. В этом случае многогранник отнесем к классу Б3.

Замечание 3. Фрагменты призматических частей, о которых говорится в описании классов Б1, Б2, Б3, могут быть как первого, так и второго вида.

Замечание 4. Многогранники класса Б могут содержать фрагменты призматических частей, параллельные четырем и более направлениям в пространстве. Все такие многогранники класса Б также отнесем к классу Б3.

Напомним, что в класс Б1 вошли многогранники, граница которых содержит один или несколько фрагментов призматических частей. Каждая грань фрагмента (фрагментов) призматических частей параллельна одному направлению в пространстве. Все многогранники класса Б1 разобьем на два класса:

1) многогранники класса Б1, содержащие один фрагмент призматической части (первого или второго вида);

2) многогранники класса Б1, содержащие два и более фрагментов призматической части (первого или второго вида).

Сначала рассмотрим многогранники класса Б1, содержащие один фрагмент призматической части первого вида. Все такие многогранники разделим на подклассы по следующему принципу. Рассмотрим единичные векторы внешних нормалей к каждой грани фрагмента призматической части. Пусть фрагменту призматической части принадлежат грани , а2ак. Обозначим единичные векторы внешних нормалей граней а1, а2,...,ак соответственно

П і , П 2 П к . Перенесем единичные векто-

ры внешних нормалей граней на единичную сферу. Все эти векторы лежат в одной плоскости. В работе [1] было

доказано, что угол между векторами П ^ и П к меньше 3600. Все многогранники класса Б1, содержащие один фрагмент призматической части первого вида, разделим на три множества по углу между векторами. Обозначим угол между векторами

^ 1 и п к буквой ф.

1) р< 1800

2) ф = 1800

3) ф> 1800

Многогранники класса Б1, содержащие один фрагмент призматической части второго вида, также можно классифицировать по углу, который образуют

векторы единичных внешних нормалей П 1 и П к .

Нами сформулирована теорема, в которой описано свойство фрагментов призматических частей, параллельных одному направлению [1].

Теорема 1. Рассмотрим многогранник класса Б1, фрагмент призматической части которого параллелен направлению q в пространстве. Вынесем единичные векторы внешних нормалей граней фрагмента призматической части на единичную сферу. Обозначим концы единичных векторов Лр А2, А . Рассмотрим

объединение дуг Л1Л2, АЛ3,., АпЛ„- Получим дугу А1Лп окружности большого круга. Пусть имеется еще один или несколько фрагментов призматических частей многогранника М, параллельных направлению q, которым соответствуют свои дуги окружности большого круга. Все полученные таким образом дуги окружности большого круга не имеют общих точек.

Все многогранники класса Б1, содержащие несколько фрагментов призматической части, параллельных одному направлению в пространстве, разделим на подклассы по величине угла Ф объединения фрагментов призматических частей.

1) Угол ф меньше развернутого угла.

2) Угол Ф равен развернутому углу.

3) Угол р больше развернутого угла.

Рассмотрим теперь многогранник класса Б2. Пусть граница многогранника содержит фрагменты призматических частей, грани которых параллельны двум направлениям в пространстве. В каждом из направлений может быть расположен один или несколько фрагментов призматических частей первого или второго вида. Особенности расположения фрагментов призматических частей в одном направлении были рассмотрены в пункте 3. Все рассмотрения пункта 3 можно перенести на фрагменты призматических частей, расположенные в каждом из двух направлений. Если рассмотреть фрагменты призматических частей первого или второго вида, параллельные двум направлениям, то возможны такие случаи их взаимного расположения: 1) пересечение двух фрагментов призматических частей, взятых по одному из каждого направления, может быть пусто;

2) пересечение фрагментов призматических частей разных направлений может состоять из одной грани или одной вершины; 3) пересечение фрагментов призматических частей разных (двух) направлений может состоять из двух параллельных граней, одной грани и одной вершины, а также из двух вершин.

Аналогичные рассмотрения можно осуществить и для многогранников класса Б3.

Все многогранники класса Б разбиты на три класса Б1, Б2, Б3. Принципом классификации является количество направлений, которым параллельны фрагменты призматических частей. Разбиение классов на подклассы осуществляется по величине угла между крайними гранями фрагмента призматической части или объединения фрагментов призматических частей.

Пусть многогранник класса Б1 содержит только один фрагмент призматической части первого вида, все грани которого параллельны прямой q. Такие многогранники разделим на подклассы по следующему принципу. Рассмотрим единичные векторы внешних нормалей к каждой грани фрагмента призматической части. Пусть фрагменту призматической части принадлежат грани <Хх ,а2ак . Обозначим

единичные векторы внешних нормалей граней

п 1 , п 2 п к . Перенесем единичные векторы внешних нормалей граней на единичную сферу. Все эти векторы лежат в одной плоскости. В работе [2] было

доказано, что угол между векторами И ^ и N к меньше 360о. Все многогранники класса Б1, содержащие один фрагмент призматической части первого вида, разделим на три множества по углу между векторами.

Обозначим угол между векторами П 1 и П , буквой ф.

1) р< 1800

2) р = 1800

3) р> 1800

Рассмотрим многогранники класса Б1, которые содержат один фрагмент призматической части второго вида. Такие многогранники можно также классифицировать по углу, который образуют векторы

П 1 и П к Здесь П 1 и П к - это единичные векторы внешних нормалей первой и последней граней, входящих в совокупность граней, содержащихся во фрагменте призматической части второго вида.

Рассмотрим фрагмент призматической части первого вида, такой, что угол между единичными векторами внешних нормалей крайних граней меньше развернутого угла и все грани фрагмента параллельны направлению q. Пусть, кроме того, среди граней многогранника, не принадлежащих фрагменту, нет граней, параллельных направлению q. В этом случае существует такая шапочка на поверхности многогранника, в которую входит этот фрагмент призматической части. Понятие шапочки было введено в работе [2] автора. Тогда покрытие многогранника осуществим аналогично тому, как выполнено покрытие многогранника класса А в работе [3]. Для покрытия многогранников этого класса достаточно шести многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Пусть теперь фрагмент призматической части первого вида такой, что угол между единичными векторами внешних нормалей крайних граней фрагмента больше развернутого или равен развернутому углу.

Рассмотрим направление в пространстве, заданное некоторой прямой q, которому параллельна каждая грань фрагмента призматической части и не параллельна никакая другая грань многогранника. Рассмотрим сферу, экваториальная плоскость а которой перпендикулярна прямой q. Единичные векторы внешних нормалей граней, принадлежащих фрагменту призматической части, лежат в плоскости а. Все единичные векторы внешних нормалей граней многогранника, не принадлежащих фрагменту призматической части, разделятся на два класса: одни принадлежат верхней полусфере, другие - нижней, так как ни одна из остальных граней многогранника не параллельна направлению q. В соответствии с разделением нормалей граней и сами грани, не принадлежащие фрагменту призматической части, разобьются на две шапочки: верхнюю и нижнюю.

Замечание 5. Может оказаться так, что в каждой из полусфер находится только один единичный вектор. Это означает, что каждая из шапочек «вырождается» в одну грань. Сначала рассмотрим покрытие многогранника в общем случае.

Покрытие многогранника класса Б1, у которого угол между единичными векторами внешних норма-

лей крайних граней фрагмента призматической части больше развернутого или равен развернутому углу, осуществим следующим образом. Сначала покроем верхнюю шапочку, затем нижнюю. Как доказано в работе [3] для покрытия внутренних вершин каждой шапочки достаточно одного гомотетичного многогранника меньших размеров. Поскольку шапочек две, то для покрытия внутренних вершин шапочек достаточно двух гомотетичных многогранников меньших размеров.

Верхняя и нижняя шапочки отделены друг от друга фрагментом призматической части и ломаной. Обозначим эту ломаную Б. Это простая незамкнутая ломаная с концами в точках А и В. Нетрудно убедиться в том, что точки А и В принадлежат границе фрагмента призматической части. В самом деле, допустим, что точка А не принадлежит границе фрагмента призматической части. Тогда существует такая грань, которая не принадлежит фрагменту призматической части и разделяет точку А и фрагмент призматической части. Но тогда эта грань принадлежит какой-либо из шапочек: верхней или нижней и, следовательно, точка А не является концом ломаной, разделяющей верхнюю и нижнюю шапочки. Аналогично доказываем, что и точка В принадлежит границе фрагмента призматической части.

Нетрудно убедиться в том, что точка А является вершиной крайней грани фрагмента призматической части. Допустим, что точка А лежит внутри бокового ребра фрагмента призматической части, параллельного направлению призматической части. Тогда оказалось бы, что к одному ребру многогранника прилежит две грани многогранника, что противоречит определению многогранника.

Итак, точки А и В являются вершинами крайних граней фрагмента призматической части, причем они не являются внутренними точками ребер фрагмента призматической части, параллельных направлению призматической части.

Рассмотрим все грани фрагмента призматической части. На каждом из ребер фрагмента призматической части, параллельном заданному направлению, выбираем внутреннюю точку. Пусть точка А принадлежит первой грани, а точка В - последней грани фрагмента призматической части. Рассмотрим ломаную с концами А и В, которая соединяет эти точки с выбранными на боковых ребрах точками. Полученную новую ломаную обозначим L.

Рассмотрим цилиндрическую поверхность, для которой объединение ломаных L и Б является направляющей, а образующая параллельна прямой q, которой параллелен фрагмент призматической части. Очевидно, эта поверхность представляет собой неограниченную призматическую поверхность.

Если полученная цилиндрическая поверхность

состоит из четырех граней, попарно параллельных, то для покрытия оставшейся поверхности достаточно от четырех до шести гомотетичных тел меньших размеров. В самом деле: фрагмент призматической части состоит из трех граней. Ломаная «вырождается» в отрезок. В этом случае наименьшее число шапочек, в которые войдет непокрытая часть многогранника - это четыре, а наибольшее количество шапочек - это шесть. Напомним, что для покрытия внутренних вершин одной шапочки достаточно одного гомотетичного многогранника меньших размеров. Итак, для покрытия многогранника в этом случае достаточно от шести до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному

многограннику.

Если цилиндрическая поверхность состоит из четырех граней, из которых только две параллельны, то количество гомотетичных многогранников, достаточное для покрытия многогранника, уменьшится на единицу. В этом случае для покрытия многогранника достаточно от пяти до семи многогранников меньших размеров, гомотетичных данному

многограннику.

Если цилиндрическая поверхность состоит более чем из четырех граней, то вокруг такой поверхности можно описать неограниченную треугольную призматическую поверхность. Тогда непокрытая часть поверхности распадается на попарно пересекающиеся шапочки, количество которых от трех до шести. В этом случае для покрытия оставшейся поверхности потребуется от трех до шести гомотетичных многогранника меньших размеров, а для покрытия всего многогранника от пяти до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному

многограннику.

Итак, для покрытия многогранника класса D1, у которого только один фрагмент призматической части, угол между единичными векторами внешних нормалей к крайним граням которого больше развернутого или равен развернутому, достаточно от пяти до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Замечание 6. Выше был рассмотрен случай, когда обе шапочки многогранника, имеющего один фрагмент призматической части, невырожденные. Нетрудно доказать, что все рассуждения можно повторить и в том случае, когда одна из шапочек «вырождается» в грань.

Верхняя и нижняя шапочки разделены фрагментом призматической части, дополнительными гранями и ломаными L1, L2, L3,...,Ln. Здесь Е - простые незамкнутые ломаные, ) = 1, 2,., п. Выше мы описали неограниченную призматическую поверхность вокруг многогранника класса D1 с одним фрагментом призматической части без дополнительных граней.

Аналогично тому, как это было сделано выше, опишем неограниченную призматическую поверхность вокруг многогранника в направлении q. Все дальнейшие рассмотрения аналогичны. И в этом случае для покрытия многогранника достаточно восьми гомотетичных многогранников меньших размеров.

Выполняя покрытие многогранника в случае, когда угол между единичными векторами внешних нормалей больше развернутого или равен развернутому углу, мы разбили всю поверхность многогранника на три части: верхнюю шапочку, нижнюю шапочку и фрагмент призматической части. Может так случиться, что обе шапочки «вырождаются» в грань. При этом для покрытия многогранника в таком частном случае достаточно шести гомотетичных многогранников меньших размеров.

Замечание 7. Нетрудно убедиться в том, что, если многогранник класса Б1 содержит один фрагмент призматической части второго вида, то все рассуждения можно осуществить аналогично.

Все многогранники класса Б1, содержащие несколько фрагментов призматических частей, параллельных одному направлению в пространстве, разделим на подклассы по величине угла р между крайними гранями объединения фрагментов призматических частей.

1) Угол ф меньше развернутого угла.

2) Угол р равен развернутому углу.

3) Угол р больше развернутого угла.

Как покрыть многогранник класса Б1 образами данного многогранника при гомотетии с коэффициентами, меньшими единицы, в каждом из трех случаев?

Пусть угол ф между крайними гранями объединения фрагментов призматических частей меньше развернутого. В этом случае существует такая шапочка, которой принадлежит объединение фрагментов призматических частей. Рассмотрим все грани многогранника, принадлежащие той же шапочке. Так как многогранник класса Б1 не содержит ни призматической части, ни поверхности переходного типа, то дальнейшее покрытие осуществим так же, как это было сделано в работе автора [3] для многогранников класса А. Тогда для покрытия многогранника класса Б1, содержащего два или более фрагментов призматических частей с углом, меньшим развернутого, достаточно шести гомотетичных тел меньших размеров.

Нетрудно убедиться в том, что для покрытия многогранника класса Б1, содержащего несколько фрагментов призматических частей, параллельных одному направлению с углом между крайними

гранями, большим развернутого, достаточно восьми гомотетичных многогранников меньших размеров.

Аналогично второму случаю рассматривается и третий случай, когда угол ф между крайними гранями объединения фрагментов призматической части равен развернутому углу.

Замечание 8. Многогранник, поверхности которого принадлежит фрагмент призматической части, изначально можно получить, заменив серию граней многогранника класса A и любого подкласса этого класса, фрагментом призматической части. Поэтому число фигур, достаточное для покрытия многогранника класса D1, может быть четыре или пять.

Имеет место

Теорема 2. Для покрытия любого многогранника класса D1 достаточно от четырех до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Замечание 9. Нетрудно убедиться в том, что для покрытия любого многогранника классов D2 и D3 достаточно от четырех до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному

многограннику.

Итак, имеет место

Теорема 3. Для покрытия многогранников класса D достаточно от четырех до восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному

многограннику.

В настоящей работе выполнена классификация многогранников класса D и доказано, что для покрытия любого многогранника класса D достаточно восьми многогранников меньших размеров, гомотетичных данному многограннику.

Л и т е р а т у р а

1. Пуолокайнен Т. М. Классификация выпуклых многогранников / Т. М. Пуолокайнен // Труды ПетрГУ. Серия: Математика. - Петрозаводск, 2004 -11 - С. 34-40.

2. Пуолокайнен Т. М. Разбиение многогранников класса А на подклассы / Т. М. Пуолокайнен // Альманах современной науки и образования. - Тамбов, 2008 -7 (14) - С. 151-154.

3. Пуолокайнен Т. М. Покрытие многогранников класса A образами многогранников при гомотетии / Т. М. Пуолокайнен // Вестник ВСГТУ. Серия: Естественные науки. - Улан-Удэ, 2008. - 4 - С.39-44.

4. Hadwiger G. Ungeloste Probleme / G. Hadwiger // References Elem.der.Math.-1957 - 20 - P.121.