Математическое моделирование столкновений капель в газо капельной струе

20. Dean, J.A. Lange's handbook of chemistry |Текст|: 15th ed. / J.A. Dean.— New York: McGraw-Hill.- 1999,- 345 p.

21. Бабичев, А.П. Физические величины [Текст]: Справочник. / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский [и др.|. Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова,— М.: Энергоатомиздат,— 1991.— 1232 с.

22. Bird, R.B. Transport phenomena. [Текст]: 2nd ed. / R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot.— New

York: Wiley, Sons, Inc.- 2002,- 895 p.

23. Reid, R.C. The properties of gases and liquids. |Текст|: 4th ed. / R.C. Reid, J.M. Prausnitz, B.E. Poling.- New York: McGraw-Hill.- 1987,- 741 p.

24. Бретшнайдер, С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета [Текст] / С. Бретшнайдер,— М.: Химия,— 1966,— 536 с.

25. Ranz, W.E. Evaporation from drops: 11 [Текст] / W.E. Ranz, W.R. Marshall // Chemical Engineering Progress.- 1952,- Vol. 48. P. 173-180.

УДК 536.423

И.Я. Шейнман, А.Ю. Снегирёв

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОЛКНОВЕНИЙ КАПЕЛЬ

В ГАЗОКАПЕЛЬНОЙ СТРУЕ

Струйные течения распыленной жидкости встречаются в важных технологических приложениях: при смесеобразовании в двигателях внутреннего сгорания, в топках котлов, работающих на жидком топливе, в системах пожаротушения и охлаждения, в технологиях сушки суспензий, порошковой металлургии, при аварийных выбросах сжиженных газов, а также в атмосферных явлениях. Для понимания особенностей и прогнозирования поведения подобных течений наряду с экспериментальными исследованиями необходимо развитие математических моделей тесно взаимодействующих физических процессов в газокапельной струе. Среди них одним из наименее исследованных является столкновение капель жидкости, которое характерно для плотных спреев и непосредственно влияет на распределение капель по размерам и скоростям, а также (опосредованно) на скорость их испарения и течение парогазовой смеси. Несмотря на значительное количество опубликованных работ и разнообразие теоретических моделей исходов столкновений [1], на сегодняшний день отсутствуют параметрические исследования, указывающие область характеристик распыла жидкости, в которой роль столкновений значительна или, наоборот, пренебрежимо мала. Кроме того, подавляющее большинство работ по моделированию столкновений в газокапельных струях ориентировано на область параметров, характерных для задач ввода топлива и смесеобразова-

ния в дизельных двигателях, а приложениям в области пожаротушения посвящены лишь единичные публикации, например статья [2].

В представленной работе приводится модель столкновений капель, программно реализованная авторами в коде РкеЗО [3], предназначенном, в частности, для расчета турбулентных газокапельных струй огнетушащих жидкостей. Обсуждаются результаты численного тестирования двух используемых моделей подсчета частоты столкновений капель. Описанная модель столкновений капель применена для расчета турбулентной газокапельной струи испаряющейся жидкости, что позволило продемонстрировать влияние столкновений на расчетную концентрацию пара в струе.

Модель газокапельной струи

Для моделирования турбулентного течения газа используется метод крупных вихрей [4, 5]. Для расчета подсеточной вязкости применяется модель Смагоринского — Лилли, позволяющая учесть снижение указанной вязкости по мере приближения к твердой поверхности [5]. Влияние дисперсной фазы на подсеточную модель не учитывается, что представляется допустимым при условии малости энергии под сеточных пульсаций скорости по сравнению с энергией разрешенного поля.

Предполагается, что атомизация струи жидкости происходит внутри форсунки и на корот-

ком участке вблизи среза сопла, длиной которого можно пренебречь. Вторичный распад капель в потоке газа из-за возникающих неустойчиво-стей не рассматривается. Распределение капель распыленной жидкости по диаметрам у среза сопла описывается комбинированной функцией [6], включающей логнормальное распределение для капель с диаметром, меньшим медианного объемного диаметра, и распределение Розина — Раммлера для остальных капель.

Для моделирования движения, теплообмена и испарения капель жидкости используется дис-кретно-траекторный (Лагранжев) подход, в рамках которого численно решаются уравнения баланса импульса, энергии и массы для отдельных капель совместно с уравнениями, определяющими их положение в пространстве. Реальное количество капель настолько велико, что не позволяет проследить эволюцию каждой из них, поэтому вместо отдельных капель рассматриваются вычислительные частицы (parcels). Вычислительная частица представляет собой совокупность капель с близкими характеристиками (размером, температурой, скоростью движения).

Модель нагрева и испарения капель учитывает неравномерность поля температуры внутри капли и циркуляцию жидкости в ней. Описания модели и соответствующего численного алгоритма приводятся в работе [7].

Взаимное влияние дисперсной фазы и течения газа осуществляется за счет присутствия в отфильтрованных уравнениях Навье — Стокса источниковых слагаемых, описывающих межфазный обмен и зависящих, в свою очередь, от масс, скоростей и температур капель жидкости в выбранном элементарном объеме и температуры и скорости течения газовой смеси. Кроме того, учтено влияние подсеточныхтурбулентных пульсаций на движение капель [3].

Модель столкновений капель

Традиционно [1] для моделирования столкновения капель в спреях используются методы, основанные на статистическом моделировании (метод Монте-Карло). При этом задача учета столкновений капель разбивается на две подзадачи: установление факта столкновения двух капель и моделирование исхода такого столкновения.

Решение о том, произошло ли столкновение, принимается на основе оценки вероятности это-

го события. В данной работе наступление события столкновения капель определяется с помощью двух методов: О'Рурка (O'Rourke) [8] hNTC (No Time Counter) [9].

Метод О'Рурка получил широкое распространение и к настоящему времени реализован в большинстве коммерческих (например, в Fluent) и открытых свободно распространяемых программ (например, в KIVA). Метод NTC — более новый и позволяет уменьшить объем вычислений по сравнению с методом О'Рурка.

Оба метода базируются на расщеплении алгоритма по физическим процессам (концепция дробных шагов). Пусть на заданной расчетной сетке выполнен «газодинамический» дробный шаг вычислительного алгоритма и получены поля скорости, температуры и концентрации парогазовой смеси, а также выполнен шаг для уравнений движения, нагрева и испарения капель. Моделирование столкновений капель выделяется в отдельный дробный шаг. При этом учитываются только бинарные столкновения, для которых делаются следующие допущения.

Во-первых, считается, что столкновения могут происходить только между частицами, находящимися в одной и той же ячейке пространственной сетки. Отметим, что в общем случае эта сетка может не совпадать с пространственной сеткой, на которой решаются уравнения для газовой фазы. Во-вторых, несмотря на то, что в результате первого шага алгоритма, моделирующего перенос газовой и дисперсной фаз, координаты частиц известны, при моделировании столкновений предполагается, что вычислительные частицы с равной вероятностью могут располагаться в любой точке внутри занимаемой ими ячейки пространственной сетки. Это позволяет вместо расчета траекторий капель и определения их возможного пересечения рассматривать вероятности столкновений капель.

Вероятность столкновения р^ двух капель с номерами / и у в течение заданного промежутка времени At пропорциональна их относительной

скорости v,y=|v/_vy| и сечению соударения

а,у = л(^ + гу)2:

где 9 V — объем ячейки пространственной сетки; гп г, — радиусы капель.

Средняя частота столкновений одной капли из вычислительной частицы номер / с каплями, принадлежащими вычислительной частице номер у, равна

IJ At

где <?у — количество капель в вычислительной частице номер у.

Метод О'Рурка. Рассмотрим произвольную пару капель, принадлежащую вычислительным частицам с номерами / и у. Частицу номер /, содержащую капли большего радиуса, назовем коллектором. В алгоритме О'Рурка определяется факт столкновения выбранной капли из частицы-коллектора, с произвольной каплей, принадлежащей второй вычислительной частице (номерУ) из рассматриваемой пары. Вероятность того, что капля из частицы-коллектора за время 9 испытает А; соударений, определяется распределением Пуассона:

V ; к\

использует выборку пар-кандидатов, причем число тестируемых на столкновение пар растет медленнее, чем в случае полного перебора, и пропорционально первой степени количества частиц в ячейке.

Метод ]ЧТС. Идея метода детально описана в [9] и заключается в следующем. Зная среднюю частоту столкновений между каплями (2), принадлежащими двум различным частицам, можно найти среднее ожидаемое число столкновений в ячейке сетки:

1Д Д УцОцМ

i=i j=i

Mcoll^YQiYVj^

i-1 ;-i У

Введем параметр (<7Уа)тах, гарантирующий для любой пары вычислительных частиц выполнение условия д1УуОу1(дуа)тах<1. Используя этот параметр, преобразуем выражение (5) для числа столкновений на шаге по времени:

я я ау-а-

л^'Е^ЕгЧ-8-.

ы j=i

где Х=Пу9 = руЦ].

Следовательно, вероятность того, что капля, принадлежащая коллектору, не испытает ни одного соударения, равна

/>

В методе О'Рурка по очереди перебираются все возможные пары вычислительных частиц, находящихся в одной ячейке пространственной сетки, и для каждой пары вычисляется вероятность отсутствия столкновения по формуле (4). При этом генерируется случайная величина X, равномерно распределенная в интервале [0,1]. Если оказывается, что X > /*(()), то принимается, что капля из

частицы-коллектора испытала столкновение с хотя бы одной каплей из второй вычислительной частицы в паре, иначе считается, что столкновений не происходит. Тем самым решается первая подзадача (установление факта столкновения). Число всех возможных пар, которые необходимо рассмотреть в методе О'Рурка при подсчете числа столкновений, составляет И^И -1)/2, где N — количество частиц в ячейке пространственной сетки. Это означает, что объем вычислений быстро растет с увеличением N. Рассматриваемый ниже метод МТС вместо полного перебора

где

Для большой совокупности частиц (N» 1) выполняется равенство [9]:

aN N

Ех/ = аЕх/> /=1 /=1

где а<\.

Используем данное соотношение и предполагаем выполнение неравенства а < 1; тогда можно преобразовать равенство (6) к следующему виду:

aN aN

М \ п \ qivHaH

1=1 j=l(qVG) max

Важно отметить, что в этом равенстве число перебираемых при суммировании пар-кандидатов определяется как

М

cand

= {aNf =

2 N2 (qva)max At

V

<

числа пар, рассматриваемых при суммировании в равенстве (5). На основании равенства (8) делается вывод о том, что при оценке числа столкновений достаточно рассмотреть не полное чис-

ло пар (как это делается в методе О'Рурка), а лишь число пар, равное Мсапс1. Поскольку для числа капель в вычислительной частице имеет место соотношение q ~ \/ТУ, то для числа пар-кандидатов в методе МТС будем иметь Мсат1~ N (в отличие от N2 в методе О'Рурка).

Процедура моделирования столкновения капель в методе МТС состоит из следующих этапов.

Для рассматриваемой ячейки пространственной сетки, содержащей ^вычислительных частиц, оценивается величина (^а)тах по следующему приближенному соотношению:

го)тах *т^(^)2тах^)4лтах^2),

А;=Щ

1. Случайным образом в рассматриваемой ячейке сетки выбираются две вычислительные частицы: / и у. Среди них определяется вычислительная частица с наибольшим числом капель

2. Генерируется случайное число X, равномерно распределенное в интервале [0,1].

3. Если выполняется неравенство X <

1gv(ia(i (íHrnax

то предполагается, что столкновение между каплями, принадлежащими рассматриваемым частицам, произошло.

Шаги 1—3 выполняются до тех пор, пока не будет перебрано число пар-кандидатов, заданное равенством (9).

В случае больших значений объемной концентрации капель может оказаться, что

о = /(2^) >1- В этом случае метод

МТС не позволяет сократить число пар-кандидатов и следует использовать метод О'Рурка. В связи с этим в алгоритме, реализованном в Р1геЗ О, выполняется проверка указанного условия и делается выбор между двумя методами.

Тестирование алгоритма подсчета числа столкновений. Для тестирования методов подсчета числа столкновений рассмотрим цилиндрическую область, в которой находятся движущиеся капли. Пусть радиусы и осевые проекции скорости капель — случайные величины, равномерно распределенные в диапазонах (0, гтах]и(0, Утах] соответственно. Радиальная проекция скорости равна нулю. В этом случае число столкновений за время Ах можно рассчитать аналитически:

1 'таах 'таах итзх итзх \ц _ // \'п( г + г \ Kt

МХ J J J jh И2|я(г|+г2)9

о о о о

AV

х Nfu Oí )fr (i )du\ dr\Nfu («2 )fM )du2dr2 =

7nAtN2um^r2

36V

где fr fu — функции распределения капель по

размеру и осевой проекции скорости.

Приведенная тестовая задача решалась в данной работе с помощью описанных в предыдущем разделе алгоритмов (методы О'Рурка и NTC) для следующих числовых параметров: AV = З,75'10_6м3; полное число капель в ячейке N= 7,5-105; rmax = 0,050 мм; vmax = 20 м/с; At = = Ю-4 с. Данные значения соответствуют режиму плотной газокапельной струи с объемной долей дисперсной фазы около 10 %. Объем пространственной ячейки ДК и временной шаг At являются характерными для расчетов турбулентной газокапельной струи методом крупных вихрей. Отметим, что приведенные параметры существенно отличаются от использованных в работе [9], где тестирование выполнено для максимальных значений скорости капель 100 м/с, характерных для ДВС.

В расчетах фиксировали количество вычислительных частиц, причем число капель во всех вычислительных частицах принималось одинаковым. На рис. 1 приведена зависимость относительной погрешности расчетов от количества вычислительных частиц Np, определяемой по формуле

М„„,„ - М,,

Д=-

сак

м.

iheor

•100%,

iheor

где Мсак — число столкновений, полученное в результате численного моделирования, МЛког — число столкновений, рассчитанное по точному аналитическому решению (10).

Каждая точка на графике соответствует значению, осредненному по 50 независимым расчетам.

Отметим, что с увеличением количества вычислительных частиц оба метода дают сходимость к точному решению с примерно одинаковой скоростью. При этом, как видно из рис. 2, количество рассматриваемых пар частиц в методе МТС может быть на порядок меньше, чем

20

15

10

М„

о

А

А

О

О А

А

О

О А

о

200

400

600

800

Ж,

We =

Pi(yi-y]f(ri + rj)/a

прицельный параметр (impact factor) Б и отношение радиусов сталкивающихся капель у = /;•//}•.

Число Вебера в данном случае строится по относительной скорости капель, плотности р, и коэффициенту поверхностного натяжения жидкости.

Смысл прицельного параметра поясняется на рис. 3, где показано столкновение двух капель, рассматриваемое в системе их центра масс.

Прицельный параметр определяется как

В = -

= sin t

г. + г. ' J

где Ь—длина перпендикуляра, опущенного из центра одной капли на линию вектора скорости дру-

ю

1<Г

ю3

10

о о

А О

О

о

200

400

600

800

N.

Рис. 1. Зависимость относительной погрешности расчета числа столкновений от количества вычислительных частиц: А — метод О'Рурка, 0 — метод 1МТС

при полном переборе, что особенно важно при большом количестве вычислительных частиц, используемых в расчетах газокапельных струй.

Модель исхода столкновения капель

В данной работе используется приближенная модель исходов столкновений, предложенная Бразье-Смитом (Вг^ег-ЗгшШ) в работах [10,11]. Данная модель широко применяется в коммерческих и открытых вычислительных кодах и является базовым компонентом более детальных моделей исходов столкновений. Многочисленные эксперименты позволили установить, что на исход столкновения двух капель влияют три безразмерных параметра: число Вебера

Рис. 2. Зависимость числа рассматриваемых пар-кандидатов от количества вычислительных частиц: А — метод О'Рурка, 0 — метод NTC

гой капли. В некоторых работах под прицельным параметром понимается размерная величина Ь.

Модель Бразье-Смита предусматривает два возможных исхода столкновения: слияние двух капель с образованием одной устойчивой общей (коалесценция, coalescence) или образование короткоживущей неустойчивой капли, быстро распадающейся на две (grazing collision). Выбор одного из двух возможных исходов осуществляется на основе расчета критического прицельного параметра:

- = min

2,4

у3-2,4у2+2,7у We '

Прицельный параметр для пары сталкивающихся капель является случайной величиной. Для определения исхода столкновения разыгрывается случайная величина 7, равномерно распределенная в интервале от 0 до 1. Если выполняется условие

Рис. 3. Схема к определению прицельного параметра

ylY

то принимается, что исходом столкновения является коалесценция. В этом случае радиус образовавшейся капли определяется законом сохранения массы, а скорость — законом сохранения импульса.

Капли, образовавшиеся в результате коалес-ценции, принадлежат вычислительной частице, содержавшей капли большего радиуса. При этом предполагается, что все капли из данной частицы поглощают одинаковое количество малых капель.

В методе О'Рурка допускается, что капля большего радиуса может поглотить несколько малых капель. Количество этих капель п определяется соотношением

п-1 п

к=0 к=\

где X — случайная величина, разыгранная при установлении факта столкновения пары вычислительных частиц, а вероятность Рк вычисляется по формуле (3).

Если малых капель оказывается недостаточно, то число п пересчитывается таким образом, чтобы обеспечить участие в коалесценции всех крупных капель, а вычислительная частица, содержавшая малые капли, исчезает. В методе NTC рассматривается попарная коалесценция (/7=1). При этом полагается, что в столкновении участвуют ql = min {qh qj) пар капель, где qh qj — количества капель в рассматриваемых вычислительных частицах. Оставшиеся капли не изменяют своих параметров.

Если условие (13) не выполняется, то считается, что образовавшаяся общая промежуточная капля неустойчива и распадается на две с размерами, совпадающими с исходными каплями. Детальное изложение модели распада промежуточной капли приведено в работах [8,10]. Там же показано, что направления движения капель, образовавшихся после распада, совпадают с исходными, а модули скоростей изменятся:

vi = С + mj^Vj -Vj^D;

v'j=C + mi

nUVi + niiVi

где C=——-

ntj + m-

( + п-ЬсЛ )(т! + т]у

т — масса капли, у), у} — модули скорости после соударения и разлета капель.

В этом случае в методе О'Рурка, также, как и в методе МТС, взаимодействуют #/пар капель. При этом для частицы с меньшим числом капель скорости определяются по формуле (14). Для частицы с большим числом капель qe проводится коррекция скоростей V всех капель по формуле

^ = +

где — скорость, полученная по формуле (14), у0 — скорость капель до соударения.

Благодаря этому количество вычислительных частиц не возрастает.

Численный расчет турбулентной газокапельной струи испаряющейся жидкости с учетом столкновений капель

К настоящему времени влияние столкновений капель на динамику испарения и концентрацию пара в струе остается неисследованным. Для того чтобы оценить значимость столкновений капель, была выполнена серия расчетов с учетом и без учета столкновений для следующей модельной задачи.

Рассмотрим газокапельную струю летучей жидкости (ацетон), распространяющуюся в камере, заполненной воздухом и имеющей форму прямоугольного параллелепипеда с габаритами Ьх— Ьу = 0,15 м, Ьг= 0,40 м. Струя создается од-носопловой форсункой, расположенной на нижнем торце камеры (рис. 4). Боковая поверхность камеры и ее нижний торец образованы твердыми стенками, верхний торец открыт.

В начальный момент времени воздух в камере неподвижен, его температура равна температуре вне камеры и составляет 27 °С. Стенки камеры являются изотермическими, температура стенок равна начальной температуре воздуха в камере. Начальная температура капель жидкости также равна 27 °С. Задача решалась в трехмерной постановке на неравномерной прямоугольной пространственной сетке.

Расчеты показали, что количество столкновений капель на заданном малом промежутке

б)

Рис. 4. Распространение газокапельной струи летучей жидкости в камере: а — схема расположения форсунки в камере; б — пример численного моделирования (визуализация вычислительных частиц); /— газокапельная струя; 2— срез сопла форсунки; 3— стенки камеры

времени (например на одном шаге по времени) достаточно велико вблизи сопла, где велики как концентрация, так и относительные скорости капель, и быстро падает по мере удаления от среза сопла (рис. 5).

Дальнейший анализ выполнен для одной из важных характеристик газокапельной струи — массовой доли пара. Отметим, что эта величина представляет практический интерес как для анализа смесеобразования в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания, так и при выборе режимов пожаротушения распыленными огнетуша-щими жидкостями.

На рис. 6 приведены расчетные распределения массовой доли пара вдоль вертикальной оси камеры для одинаковых значений расхода жидкости через форсунку и средней начальной скорости капель, но при двух различных значениях начального медианного диаметра капель ¿/у50 .

Приведенные результаты расчетов показывают, что в данном случае учет столкновений приводит к заметному снижению массовой доли пара. Это можно объяснить коалесценцией капель, приводящей к увеличению их диаметра и уменьшению скорости испарения. Уменьшение начального медианного диаметра капель (более тонкий распыл жидкости, см. рис. 6, б) при неизменных остальных параметрах газокапельной струи может приводить к усилению влияния столкновений капель.

Увеличение средней начальной скорости капель (рис. 7, а) или уменьшение расхода через форсунку (рис. 7, б) при неизменных остальных параметрах распыла приводит к снижению влияния столкновений на распределение массовой доли пара вдоль вертикальной оси.

Отметим, что значимость столкновений капель может как возрастать, так и убывать при

К, К

1{Г

ю'

10

♦

д ♦

♦

♦

д ♦

♦ ♦♦ ♦ ♦ ф ♦ ♦

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 г, м

Рис. 5. Распределение количества вычислительных частиц () и числа пар частиц, испытавших столкновения (А), вдоль оси камеры в момент времени / = 0,019 с после начала истечения жидкости Расход жидкости О = 2,46-10 5 м'/с, скорость истечения из сопла У = 10,2 м/с, начальный объемный медианный диаметр капель £/,,50 = 0,1 мм

о)

К

б)

К

Рис. 6. Расчетные распределения массовой доли пара вдоль вертикальной оси газокапельной струи, полученные для двух значений начального объема медианного диаметра капель с учетом (/) и без учета (2) столкновений: а — с1у50 = 0,2 мм, / = 0,017 с; б — с/у50 = 0,1 мм, /=0,019 с

Расход жидкости и скорость истечения из сопла совпадают с условиями на рис. 5

изменении начального медианного диаметра и средней начальной скорости капель. Выяснение характера этой зависимости требует дополнительного анализа и дальнейших расчетов.

Таким образом, в данной работе сформулирована и протестирована модель столкновения капель, предназначенная для использования в расчетах турбулентных газокапельных струй испаряющихся жидкостей. Данная модель была программно реализована в гидродинамическом вычислительном коде Р1гсЗО. Численные расчеты струи распыленного ацетона, выполненные на основе описанной модели, показали, что су-

ö)

К

б)

Рис. 7. Расчетные распределения массовой доли пара вдоль вертикальной оси камеры, полученные для с1у50 = 0,2 мм и различных значений расхода жидкости и скорости истечения из сопла с учетом

и без учета (2) столкновений: а - 0= 2,46-0 5 м3/с, и = 40 м/с, / = 0,004 с; б- 0 = 2,46-10 7 м3/с, и= 10,2 м/с, / = 0,017 с

шествует область параметров распыла, в которой столкновения капель существенно влияют на распределение массовой доли пара в струе.

Дальнейшее развитие модели газокапельной струи предполагает учет неустойчивости крупных капель, приводящей к их распаду, а также расширение набора исходов столкновений [12], которое заключается в уточнении условий и режимов распада капли, образовавшейся в результате коалесценции.

Работа выполнена в рамках проекта «Универсальная модель газокапельной струи для инженерных приложений» при поддержке РФФИ (грант 10-08-92602-КО_а) и Roval Society (Великобритания, грант JP090548).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Jiang, X. Physical modeling and advanced simulations of gas-liquid two-phase jet flows in atomization and sprays [Text| / X. Jiang, G.A. Siamas, K. Jagus [et al.| // Progress in Energy and Combustion Science. — 2010,- Vol. 36,- № 2,- P. 131- 167.

2. Yoon, S.S. Numerical modeling and experimental measurements of a high speed solid-cone water spray for use in fire suppression applications [Text| / S.S.Yoon, J.C. Hewson, P.E. DesJardin |et al.| //Int. J. of Multiphase Flow. -2004,- Vol. 30,- № 11,-P. 1369- 1388.

3. Snegirev, A. Flame suppression by water sprays: flame-spray interaction regimes and governing criteria I Text I / A. Snegirev, A. Lipjainen, V. Talalov // Proc. of the 12th International conference «Interflam 2010». Nottingham, UK, 5—7 July 2010. London: Interscience Comm.,- 2010,- Vol. 1,- P. 189-199.

4. Снегирёв, А.Ю. Высокопроизводительные вычисления в технической физике. Численное моделирование турбулентных течений [Текст] / А.Ю. Снегирёв,— СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009,- 143 с.

5. Волков, К.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений [Текст] / К.Н. Волков, В.Н. Емельянов,— М.: Физматлит, 2008.— 368 с.

6. Chan, T.-S. Measurements of water density and

droplet size distributions of selected ESFR sprinklers |Text | / T.-S. Chan // Journal of Fire Protection Engineering.- 1994- Vol. 6,- № 2- P. 79-87.

7. Снегирёв, А.Ю. Модель и алгоритм расчета теплообмена и испарения капель диспергированной жидкости [Текст] / А.Ю. Снегирёв, С.С. Са-жин, В.А. Талалов // Научно-технические ведомости СПбГПУ,- 2011,- N> 1(116).- С. 44-55.

8. O'Rourke, P.J. Collective drop effects on vaporizing liquid sprays [Text] / P.J. O'Rourke // Princeton: Ph.D. Thesis, Princeton University, 1981,— 320 p.

9. Schmidt, D.P. A new droplet collision algorithm [Text] / D.P. Schmidt, C.J. Rutland //Journal of Computational Physics.— 2000,— Vol. 164. -№ 1.— P. 62-80.

10. Brazier-Smith, P. The interaction of falling rain drops: coalescence [Text] / P. Brazier-Smith, S. Jennings, J. Latham // Proc. of the Royal Society of London (A).- 1972,- Vol. 326,- P. 393- 408"

11. O'Rourke, P. Modeling of drop interactions in thick sprays and a comparison with experiments [Text] / P. O'Rourke, F. Bracco // Proc. of the Institution of Mechanical Engineers.- 1980,- Vol. 9,- P. 101 — 106.

12. Post, S.L. Modeling the outcome of drop-drop collisions in diesel sprays |Text| / S.L. Post, J. Abraham // Int. J. of Multiphase flow.- 2002. -Vol. 28. -№ 6,- P. 997-1019.

УДК 538.971

П.Ю. Григорьев, Е.Е. Журкин

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПЫЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ КАРБИДА КРЕМНИЯ ПРИ БОМБАРДИРОВКЕ ИОНАМИ И КЛАСТЕРАМИ

Облучение пучками кластерных (многоатомных) ионов с энергией в диапазоне до нескольких кэВ/атом рассматривается в настоящее время как перспективный метод модификации и анализа поверхности на субмикронном масштабе расстояний [1—3], обладающий преимуществами по сравнению с традиционными методами ионной имплантации и травления, в которых используются пучки ускоренных одноатомных ионов. Так, в частности, использование кластерных пучков позволяет уменьшить радиационное повреждение мишени (за счет снижения энергии бомбардирующих ионов) при сохранении каче-

ства фокусировки пучка ионов и достаточно высокой эффективности распыления поверхности мишени [4, 5].

В настоящее время накоплено очень мало данных о характере взаимодействия многоатомных кластеров и фуллеренов с поверхностью твердых тел, что не позволяет проводить надежные количественные оценки соответствующих эффектов. Физическая модель эрозии поверхности при кластерной бомбардировке до сих пор не создана. Фундаментальные исследования в данной области, как правило, базируются либо на эксперименте, либо начисленном моделирова-