О структуре глобального аттрактора многосвязных систем автоматического регулирования

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 5-16 = Математика

УДК 517.925

О структуре глобального аттрактора многосвязных систем автоматического регулирования

И. М. Буркин, Д. В. Соболева

Аннотация. Доказано, что глобальный аттрактор многосвязной системы автоматического регулирования может содержать произвольное число орбитально устойчивых циклов. Приведен пример трехмерной системы с двумя нелинейными блоками, в глобальном аттракторе которой имеется не менее трех циклов, по крайней мере два из которых орбитально устойчивы.

Ключевые слова: многомерные системы, устойчивость, решение матричных неравенств, циклы.

Введение

Задача исследования структуры притягивающих множеств многомерных динамических систем является одной из традиционно трудных задач качественной теории дифференциальных уравнений. Исторически эта задача восходит к известной шестнадцатой проблеме Гильберта о нахождении максимального числа и взаимного расположения предельных циклов систем второго порядка с полиномиальными правыми частями. Благодаря усилиям нескольких поколений математиков во второй половине ХХ века в решении этой проблемы был достигнут существенный прогресс [1]. Новые аспекты этой проблемы наиболее рельефно проявились после работ С.Смейла [2], показавшего, что глобальный аттрактор динамической системы порядка выше второго, имеющей даже весьма простую структуру (например, кусочно-линейной), может содержать бесконечное число неустойчивых циклов или странный аттрактор.

Ситуация, когда многомерная динамическая система с единственным состоянием равновесия является диссипативной и имеет несколько орбитально устойчивых циклов, каждый из которых обладает своей областью притяжения, является, в определенном смысле, промежуточной между порядком и хаосом. Выбор начальных условий в областях притяжения различных циклов выводит систему на различные устойчивые

периодические режимы. В этом случае говорят, что в системе наблюдается «эффект буферности» [4].

Разработка техники обнаружения эффекта буферности для многомерных динамических систем стимулировалась появлением обобщенного принципа Пуанкаре-Бендиксона, принадлежащего Р.Смиту [3]. В работе [4] был предложен общий подход к оценке структуры глобального аттрактора (числа циклов и областей притяжения орбитально устойчивых циклов) многомерных динамических систем с единственным состоянием равновесия. В работах [5, 6] на основе этого подхода были развиты методы оценки числа циклов многомерных моделей систем автоматического регулирования с одним нелинейным блоком, позволяющие, благодаря использованию специфики рассматриваемых систем, существенно упростить процедуру проверки условий общих теорем из [4].

Попытки обобщить полученные результаты на случай математических моделей многомерных систем автоматического регулирования с несколькими нелинейными блоками (многосвязных систем) до последнего времени казались бесперспективными, поскольку они наталкиваются на существенные вычислительные трудности, связанные с проверкой выполнения частотных критериев и решения матричных уравнений Лурье в многомерном случае. Весьма нетривиальной представлялась и задача получения эффективно проверяемых условий наличия единственного состояния равновесия у многосвязных систем.

Результат, представленный в настоящей работе, получен на основе синтеза аналитических и численных методов, использующих возможности символьных процессоров современных математических пакетов. Он отражает современную тенденцию синтеза аналитических и численных методов с привлечением мощной компьютерной техники при решении сложных математических проблем.

1. Математическая модель многосвязной системы автоматического регулирования. Основные предположения

Широкий класс систем автоматического регулирования с т входами и т нелинейными блоками может быть описан системой дифференциальных уравнений вида

Ах

— = Ах + Б£, £ = <р

Здесь А, Б, С — вещественные постоянные матрицы порядков, соответственно п х п, п х т и п х т, где т ^ п, х € Ка. Знак (*) означает транспонирование, а ниже в комплексном случае — эрмитово сопряжение. Везде в данной работе предполагается, что каждый нелинейный блок системы регулирования имеет один скалярный вход и один выход, то есть £ = ^ (а/), ,] = 1, 2,... ,т, где ^ (а/) — непрерывные функции.

Комплекснозначная т х т-матрица Ш(р) = С*(А — рїп)-1Б, где р

— комплексная переменная, называется передаточной матрицей системы (1). На протяжении всей работы мы будем предполагать, что пара (А, Б) полностью управляема, а пара (А, С) полностью наблюдаема. В этом случае говорят, что система (1) управляема и наблюдаема. Согласно теореме 1.2.4 [7], управляемость и наблюдаемость системы (1) эквивалентна невырожденности ее передаточной матрицы Ш(р) [7].

Типичные ограничения, накладываемые на поведение функций ^ (аі) при изучении систем автоматического регулирования — «секторные ограничения», то есть требования выполнения при всех аі = 0 условий аі ^ Фі (аі )/а^ ^ ві, Фі (0) = 0, і = 1, 2,... ,т, где аі ,ві — некоторые числа. Если все эти числа конечные, то без ограничения общности можно считать, что аі = 0, ві > 0. Везде в дальнейшем будем предполагать выполненными условия

0 ^ (І — (а)) ^ _ ( ) 1 = 2

0 ^ ------2----1---- ^ Ці для всех а і Є (—ж, ж), а і = а і ,

а!— а

Фі

Предположения (2), очевидно, означают, что система (1) имеет решение (точку покоя) х = 0. Если хо — какая-либо точка покоя системы (1), то для нее справедливо соотношение С*хо + С*А-1Б^(С*хо) = 0, которое можно записать в виде

ао + Ш(0)^(ао) = 0, где ао = со1(а°°,.. .а°т),

^

Все формулируемые далее критерии существования циклов у системы (1) используют предположение о том, что х = 0 — единственная точка покоя системы. Для этого необходимо и достаточно, чтобы система (3) имела только тривиальное решение ао = 0. Положим Ш(0) = (ш/)тхт.

Лемма 1. Пусть в какой-либо строке с номером ] матрицы Ш(0) равны нулю все элементы, кроме элемента шц, расположенного на главной

1)зз > -^-1- Тогда а/

диагонали. Пусть выполнено неравенство Шц > —ц- 1. Тогда а і = 0.

Лемма 2. Пусть в строках с номерами і и і матрицы Ш(0) равны нулю все элементы Шы, для которых по крайней мере один из индексов к или I отличен от і или і. Если выполнены условия

Шіі > —ц-1, Шіі > —ц-1, ШііШіі ^ 0,

тогда система (3) имеет только тривиальное решение.

Мы приведем доказательство леммы 2. Лемма 1 доказывается аналогично.

Доказательство. Пусть, для определенности, г = 1, ] =2. Тогда первые два уравнения системы (3) имеют вид

а1 + Шц^1

а2 + Ш21^1

При ш > —ц-1 прямая а + ш( = 0 не пересекает сектор 0 < (/а < ц на плоскости (а, (). Из условий (2) вытекают соотношения 0 ^ ^к(аи)/ак ^ Цк, к = 1,2. Поэтому, предполагая, что система (5) имеет решение а1 = 0, а2 = 0 и, используя условие ш11 > — ц-1, сразу приходим к противоречию с первым уравнением системы. Аналогично, предполагая что а1 = 0, из второго уравнения системы и условия Ш22 > — Ц-1 выводим, что а2 = 0. Предполагая теперь, что система (5) имеет решение а1 = 0, а2 = 0, получаем

( —тЦ- + Ш11 ) ( а,2 + Ш22) = Ш12Ш21.

\<Р1

В силу (4), оба сомножителя в левой части последнего равенства строго положительны, а его правая часть неположительна. Это противоречие и доказывает лемму.

Будем говорить, что матрица Ш(0) «допускает редуцирование по варианту 1», если все элементы г-ой строки этой матрицы, кроме элемента Шц равны нулю. Будем говорить, что матрица Ш(0) «допускает редуцирование по варианту 2», если все элементы в каких-либо строках г и ] этой матрицы, кроме элементов Шц, Ш//, и равны нулю. Редуцированием матрицы

по варианту 1 будем называть матрицу, в которой все элементы в строке и столбце с номером г заменены нулями. Редуцированием матрицы по варианту 2 будем называть матрицу, в которой все элементы в столбцах с номерами г и ] заменены нулями.

Лемма 3. Пусть матрица Ш (0) допускает последовательные редуцирования по вариантам 1 или 2 до тех пор, пока она не станет нулевой т х т-матрицей. Если при редуцировании по варианту 1 всякий раз выполнено условие Шц > —Ц-1, а при редуцировании по варианту 2 выполняются условия (4), то система (3) имеет только тривиальное решение а<о = а° = ... = а^т = 0 (система (1) имеет единственное состояние равновесия х = 0).

Справедливость утверждения леммы 3 вытекает из лемм 1 и 2.

Сформулируем теперь два предположения, которые будут использоваться в дальнейшем.

Предположение 1. Существует такое число X > 0, что при всех и <Е (—ж, ж) справедливо частотное неравенство

ёе! Ке[/т + МШ

и при этом для некоторой матрицы М = diag(Ц1, Ц2,..., Цт), где 0 ^ ^

^ ц, (г = 1, 2,... ,т), матрица А + БМС * имеет ровно два собственных

значения с положительными вещественными частями и не имеет их в полосе —X ^ Иер ^ 0.

Предположение 2. Для некоторой матрицы М = diag(Д1, Ц2,..., Цт), где Цг Е [0, Цг), матрица А + БМС* гурвицева.

Отметим, что проверить выполнение условий предположения 2 достаточно просто, тогда как проверка выполнения условий предположения 1 «вручную» в случае т ^ 2 является очень трудоемким и становится реально осуществимой лишь при использовании возможностей, предоставляемых символьными процессами современных математических пакетов.

Основная теорема

В данном разделе мы сформулируем и приведем схему доказательства утверждения об одной из возможных структур глобального аттрактора многосвязной системы автоматического регулирования (1), имеющей единственное состояние равновесия.

Теорема. Пусть для системы (1) выполнены предположения 1 и 2, а также условия леммы 3. Тогда нелинейности (а2-), ] = 1, 2,...,т в

системе (1) всегда могут быть выбраны так, что они удовлетворяют соотношениям (2), система является диссипативной по Левинсону и имеет любое наперед заданное число орбитально устойчивых циклов.

Доказательство теоремы проведем в несколько этапов, которые оформим в виде отдельных лемм.

Лемма 4. Пусть выполнено предположение 1 и нелинейности ^ (а/) удовлетворяют соотношениям (2). Тогда существует квадратичная форма V(х) = х*Нх с матрицей Н, имеющей ровно 2 отрицательных и п — 2 положительных собственных значения, такая, что для любой пары решений х1 (¿), х2(Ь) системы (1) и некоторого £ > 0 справедливо неравенство

— V[х1

Доказательство. Положим у(£) = х1 (¿) — х2(£). Очевидно, у(£) является решением системы

йу = Ау + Бф

где, как это следует из (2), для функции ф(Ь, а) и любых решений х1(Ь), х2(Ь) справедливы неравенства

0 ^ ^

Введем в рассмотрение функцию V(у) = у*Ну, где Н = Н* — п х п-матрица, которая будет определена ниже. Матрицу Н попытаемся подобрать так, чтобы для любого решения у(Ь) системы (8) выполнялось условие

И

[y

с некоторым £ > 0. Для выполнения соотношения (10) достаточно, чтобы для любых у Е Яп и любых ф Е Ят, удовлетворяющих соотношениям (9), было справедливо неравенство

т

2у*Н[

2=1

По частотной теореме 1.2.7 [7] для существования матрицы Н = Н*, удовлетворяющей неравенству (11), необходимо и достаточно, чтобы при всех и Е (—ж, ж) выполнялось условие Ие[1т + МШ(ги — X)] < 0. Последнее неравенство эквивалентно условию (6).

Полагая в (15) ф = Ма, приходим к матричному неравенству

Н[А + БМС* + Х1п] + [А + БМС* + Х1п]*Н < —£1п.

Из этого неравенства, предположения 1 и леммы 1.2.4 [7] вытекает, что матрица Н неособая и имеет ровно 2 отрицательных и п — 2 положительных собственных значения.

Отметим, что матрица Н, являющаяся решением матричного неравенства (11), может быть найдена, например, с помощью численного интегрирования соответствующего дифференциального уравнения Лурье-Риккати. Именно к такому приему нахождения решения матричного неравенства (11) в основном прибегают специалисты в области конструирования оптимальных регуляторов, где часто возникает необходимость решения подобных неравенств. Однако для решаемой в данной работе проблемы такой подход неудобен, поскольку он требует либо слишком больших затрат машинного времени, либо не дает приемлемой точности в нахождении матрицы Н. Кроме того, матричное неравенство (11) имеет неединственное решение, тогда как метод численного интегрирования позволяет найти какое-либо одно из них. В данной работе для нахождения решения неравенства (11) использован алгоритм, описанный в книге [8, с.75—77], позволяющий найти все решения неравенства. Для реализации этого алгоритма составлена программа в математическом пакете Мар1е 13.

Полагая в неравенстве (7) х2(Ь) = 0, убеждаемся, что множество О = {х : х * Нх ^ 0} положительно инвариантно для траекторий системы (1), а его граница дО = {х : х * Нх = 0} бесконтактна для траекторий системы (1).

Запишем систему (1) в виде x = (A + BMC*)x + B(p(a) — Ma). После этого линейным неособым преобразованием x = Qy приведем ее к виду

1 = ыУ?1 m{a) =via)—Ma y = ( £)  Fy=col(0'y2)-

Здесь D\ и D2 — антигурвицевы матрицы размерностей (n — 2) х (n — 2) и

2 х 2 соответственно, причем матрица D2 + D* положительно определена, g2(y) = FQ-1 B^i(a), a = c*By.

Положим N = Q*HQ. Можно показать [9, с. 133], что y*Ny < 0 при yi = 0, y2 = 0. Пусть в — наименьшее собственное значение положительно определенной матрицы D2 + D*, C* = col(c1, c*,..., c^), a > 0 — некоторое число. Положим

Vi = max\c*Qy\, где Ti = {y : y*Ny ^ 0, |y2| ^ 2e-1||FQ-1 B\\a}.

Ti

Лемма 5. Пусть \^i(ai) — Jiiai\ < ai при ai Є [—vi,vi]. Тогда поверхность dT1 = {x : x*Hx ^ 0,\FQ-1x\ = 2e-1\\FQ-1B||a}, где a = max ai, бесконтактна для траекторий системы (1) и пересекается наружу (то есть по направлению «от точки покоя x = 0») всеми траекториями этой системы, которые ее встречают.

Лемма 5 может быть доказана по той же схеме, как и аналогичное утверждение в [4, лемма 1].

Запишем теперь систему (1) в виде x = (A + BMC*)x + B(p(a) — Ma). Положим ві = max \^i(ai) — fiiai\, в = max ві, i = 1, 2,...,m. Найдем

Ci&[-Vi,Vi\

матрицу P = P* > 0 из уравнения Ляпунова

P

и положим 5 = 4q\\PB\\2@2, где q — наибольшее собственное значение

матрицы P. Определим числа Ti = max\c*x\, где T2 = {x : x*Hx < 0,x*Px <

T 2

< 5}.

Лемма 6. Если при ai Є [—Ti,Ti] справедливы соотношения

\<fii

то поверхность dT2 = {x : x*Hx ^ 0,x*Px = 5} бесконтактна для

траекторий системы (1) и пересекается вовнутрь всеми траекториями

этой системы, которые ее встречают.

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию S(x) = x*Px — y и покажем, что для производной этой функции в силу системы (1) выполнено условие S(x) < 0 при S(x) = 0 и y ^ 4q\\PB\\2e2. В самом деле, из уравнения (13) следует, что

S = —\x\2 + 2x* PB

По определению q справедливо неравенство x*Px ^ q\x\2. Поэтому при S(x) = 0 выполнено соотношение \x\ ^ л/7q-1. Отсюда и из (15) выводим: S < —\x\2 + 21x11^5110^ = —\x\(\x\ — 2||РВ||в) ^ 0 при д/yq-1 ^ 2||РВ||в.

Из определения чисел Ti и множества Т2 следует, что T2 С {x : \c*x\ ^ ^ Ti,i = 1,...,m}. По доказанному выше, S[x(t)] < 0 при x*(t)Px(t) = = 4q||PB\\2@2. Вспомним, что множество Q = {x : x*Hx ^ 0} положительно инвариантно для траекторий системы (1). Поэтому траектории решений x(t), для которых x(0) Е Т2, остаются в множестве Т2 при всех t > 0, то есть граница ЭТ2 этого множества пересекается вовнутрь всеми траекториями системы (1), которые ее встречают.

Рассмотрим область D С Rn, ограниченную поверхностями dTi, дТ2, 0Q. Эта область ограничена, положительно инвариантна для траекторий системы (1), ее граница бесконтактна для траекторий этой системы. Поскольку в области D нет состояний равновесия системы (1) и к тому же для любых двух решений системы (1) выполнено условие (7), то из теоремы Р.Смита [3] следует, что в области D содержится по крайней мере один орбитально устойчивый цикл системы (1).

Найдем теперь а1 = max \pi(&i) — Jiiai\, положим о1 = max а1

&i£[-Ti,Ti]

и потребуем, чтобы неравенства \^i(ai) — Jii^i\ ^ а1 выполнялись на промежутке ai Е [—v1,v1], где v1 = max\c*Qy\, где Т-,1 = {у :

Ti

y*Ny ^ 0, \у2\ ^ 2в-1 \\FQ-1BЦа1}. Тогда, согласно лемме 5, поверхность дТ- = {x : x*Hx ^ 0, \FQ-1x\ = 20-1\\FQ-1B\\a1} будет бесконтактной для траекторий системы (1) и пересекаться наружу всеми траекториями, которые ее встречают. Рассмотрим область G, ограниченную поверхностями дТ/, дТ2, дQ. Это ограниченная область, которая, как нетрудно убедиться, содержит по крайней мере одно ограниченное на [0, то) решение x(t) системы (1). По тереме Р.Смита [3] в w-предельном множестве положительной полутраектории этого решения содержится по крайней мере один цикл, который, очевидно, отличен от орбитально устойчивого цикла, содержащегося в множестве D.

Пользуясь рассуждениями, приведенными при доказательстве леммы 6, продолжим нелинейности ^i(ai) вне отрезка [—v1,v1\ так, чтобы внутри множества Q «появилась» еще одна поверхность дТ21, пересекающаяся вовнутрь всеми траекториями системы (1), которые ее встречают*. Это даст возможность утверждать наличие области D С Rn, обладающей такими же свойствами, что и рассмотренная выше область D и не пересекающейся с областями D и G. В области D содержится по крайней мере один орбитально устойчивый цикл.

* Подчеркнем, что при продолжении нелинейностей все время следует соблюдать требование выполнения условий (2).

Продолжая рассуждать подобным образом, мы «сконструируем» нелинейность ф(а) так, чтобы система была диссипативной по Левинсону и имела любое наперед заданное число циклов, среди которых будет заданное число орбитально устойчивых циклов.

2. Пример

Рассмотрим систему (1) с

—3.5 A = —2.25

V 0.75

Здесь

—0.75 —3.25

0.125 —3.125

0.625 0.375

B=

0.5 —3.75 / 2 1

—0.25 —1.875 ,C —3 —2

0.25 0.625 V 3 0

W (p) =

—p(p+3) p3+3p2+p+1 — (3p+p2+1) _ p3+3p2+p+1

5

p3+3p2+p+1

5

p3+3p2+p+1 _

Для j1 = 1.1, j2 = 1.5, A = 1

, ^ г t w6 + 5.1w4 + 8.4w2 + 39.9

det Re[I2 + MW(iw — A)] = --------7--- —---- —т.---:--- > 0, w Є (—то, to).

1 2 v 7 J w6 + 4w4 + 4w2 + 4 v 7

Неравенство (11) для указанных j1, Ц2, A имеет четыре решения, два из которых, используемые в дальнейшем, имеют вид:

/ 0.09601795211 —0.02214085762 —1.384698804 \

H1 = —0.02214085762 —1.542664568 —0.1047713759 ,

—1.384698804 —0.1047713759 —6.620092772

/ 0.3776795228 0.1391479250 —0.1711217597 \

H2 = 0.1391479250 —0.9314666747 0.2330865699 .

—0.1711217597 0.2330865699 —1.145482669

Для j = 1, j2 = 1.5 матрица A + BMC * гурвицева. Возьмем ^1(a1) = = j1a1, ^>2(a2) = j2a2 при a1,a2 Є [—v1; v1]. Очевидно, что число v1 можно взять сколь угодно малым отличным от нуля (так как в данном случае a = 0). Пусть, например, v1 = 0.01.

Для j = j2 = 0.05 матрица A + BMC * гурвицева. Найдем

ei = max \^i(ai) — j2iai\, i = 1,2. Получим в1 = 0,0095, в2 = 0.015,

аіЄ—ViVi\

в = max(e1,e2) = 0.015.

Решением уравнения (13) является матрица

/ 10.25404162 —9.473101021 18.98799118 \

P = —9.473101021 11.35916228 —14.5643371 .

18.98799118 14.5643371 40.67305461

Найдем число 6 по формуле 6 = 4д\\РБ\\2@2, где д — наибольшее собственное значение матрицы Р. Получим 6 = 23.75597. Тогда в

соответствии с алгоритмом, изложенным в лемме 5, для Н = Н1 находим Т1 = 3.97854, Т2 = 4.1291.

Найдем а1 = max (а) — a|, i = 1, 2. Получим а\ = 2.66587,

£[ — Ti ,Ti ]

а2 = 3.31305. Положим а 1 = max а1 = 3.31305. Для указанных Jli,

Д2 и H = Н2 найдем v\, v1 так, чтобы при выполнении условия

поверхность,

которые ее

max

^i£[—vl Vi \

\^i0) — ji0i\ ^ a1 «появилась» бесконтактная

системы,

пересекающаяся наружу всеми траекториями встречают. Получим у\ = 5.02929, = 5.115685.

Вне отрезков [—5.02929;5.02929], [—5.115685;5.115685] продолжим по непрерывности нелинейности (01) и ^2 (02) нечетным образом так, чтобы выполнялись условия (2) и система была диссипативной по Левинсону. Очевидно, для этого достаточно, например, взять в качестве (р1 (а1) и (р2 (а2) произвольные дифференцируемые функции, для которых 0 < 0) < 0.05

(* = 1,2).

В соответствии с описанным алгоритмом выберем в качестве (р1 (01) и ^2 (02) следующие нечетные функции, которые при 01 > 0, 02 > 0 задаются следующим образом:

01 при 0 < 01 < 0.01,

0.095 + 0.0501 при 0.01 < 01 < 3.97854,

—3.770112 + 01 при 3.97854 <01 < 5.02929,

0.0501 + 1.00772 + 0.03sin(01 — 5.02929) при 01 > 5.02929.

^2 (02 ) =

1.502 при 0 < 02 < 0.01,

0.0145 + 0.0502 при 0.01 <02 < 4.1291,

—5.97269 + 1.502 при 4.1291 < 02 < 5.115685,

0.0502 + 1.44505 + 0.02 соя (п + 02 — 5.115685) при 02 > 5.115685.

Тогда согласно теореме система (1) с указанными функциями имеет не менее трех циклов, не менее, чем два из которых орбитально устойчивы.

Результаты численного интегрирования рассматриваемой системы представлены на рисунке.

Результаты численного интегрирования системы

На рисунке представлены орбитально устойчивые циклы («малый» и «большой»), третий цикл численным интегрированием обнаружить не удается ввиду его неустойчивости.

Список литературы

1. Ильяшенко Ю.С. Столетняя история 16-й проблемы Гильберта. Фундаментальная математика сегодня. М.: НЦМО, 2003. C.135-212.

2. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи матем. наук. 1970. Т.25. №1. С.113-185.

3. Smith R.A. Orbital stability for ordinary differential equations // J. Diff. Equations. 1987. V.69. №2. P.265-287.

4. Буркин И.М. О явлении буферности в многомерных динамических системах // Дифференциальные уравнения. 2002. Т.38. №5. C.585-595.

5. Буркин И.М., Якушин О.А. О многомерном варианте тринадцатой проблемы Смейла // Изв. ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2004. Вып.1. C.12-29.

6. Буркин И.М., Якушин О.А. Колебания с жестким возбуждением и феномен буферности в многомерных моделях регулируемых систем // Изв. ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2005. Вып.1. C.24-31.

7. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

8. Матвеев А.С. Якубович В.А. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи: учеб. пособие. СПб.: СПбГУ, 2003. 540 с.

9. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. Ч.1. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. СПб.: СПбГУ, 1992. 368 с.

Буркин Игорь Михайлович (bim@klax.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

Соболева Дарья Владимировна (dv-soboleva@yandex.ru), ассистент, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

On structure of global attractor of MIMO automatic control

systems

I. M. Burkin, D. V. Soboleva

Abstract. The article proves that global attractor of MIMO automatic control system may contain arbitrary number of orbitally stable cycles. It is given

the example of three-dimensional system with two nonlinear blocks. Its global attractor includes not less three cycles at least two of which are orbitally stable.

Keywords: multidimensional systems, stability, solution of matrix inequalities, cycles.

Burkin Igor (bim@klax.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical analysis, Tula State University.

Soboleva Darya (dv-soboleva@yandex.ru), assistant, department of mathematical analysis, Tula State University.

Поступила 15.01.2012