Построение амплитудно-частотной характеристики для одной модели пьезогироскопа

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Маркушин А.Г. К построению модели истечения сыпучего материала // Математика, механика и их приложения: материалы науч.-практ, конф, Саратов, 1998.

2, Маркушин А.Г. Алгоритм учета истории пагружепия элемента сыпучего тела с твердым зерном в задаче истечения // Механика деформируемых сред: межвуз, сб. науч. тр. Саратов, 2002, Вып. 14,

3, Маркушин А.Г. Алгоритм решения задачи истечения сыпучего материала с твердым зерном // Математика, Механика, Саратов, 2009, Вып. 11,

4, Биргер И.А. Теория пластического течения при неизотермическом нагружении // Изв. АН СССР, Сер, Механика и машиностроение, 1964, № 1,

5, Маркушин А.Г. Об основных деталях построения теории истечения сыпучего тела с твердым зерном // Математика, Механика: сб. науч. тр. Саратов, 2008, Вып. 10,

6, Москвитин В.В. Пластичность при переменных нагруженных. М,, 1965,

7, Шевченко Ю.А. Термопластичность при переменных нагруженных. Киев, 1970,

8, Безухое Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести М,, 1968.

9, Кана,нов U.M. Основы теории пластичности, М,, 1969.

10, Маркушин А.Г. Квазистатический подход в решении задачи истечения сыпучего тела с твердым зерном // Проблемы прочности элементов конструкций под воздействием нагрузок и рабочих сред: межвуз. науч. сб. Саратов, 2004.

УДК 539.3

В.Ю. Ольшанский, Ю.Н. Нагар, A.B. Серебряков

ПОСТРОЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЛЯ ОДНОЙ МОДЕЛИ ПЬЕЗОГИРОСКОПА

Развивается математическая модель пьезогироскопа, предназначенного для измерения угловой скорости вращения объекта. Чувствительный узел состоит из пьезокерамических пластин Щ, П2. Пластины поляризованы вдоль толщин. Одно из оснований каждой пластины закреплено, другое - контактирует с грузом массы M. Действие груза на пластины приводится к нормальному механическому усилию, распределенному по площади основания A [1].

На пластину П по толщине действует переменный электрический ток, возбуждающий за счет пьезоэффекта механические колебания с перемещениями щ(х\, t) в направлении Ox\. Эти колебания передаются присоединенной массе. Если платформа с пьезогироскопом вращается с угловой скоростью П относительно инерциальной системы отсчета, то на массу M действует кориолисова сила Fc = —2M(П х vr). Наличие компонента коллинеарного оси Ox3, приводит к давлению

присоединенной массы на пластину П2. Колебания пластины П2 с перемещениями и2(х2,Ь) в направлении х2 возбуждают в ней за счет пьезоэффекта электрический ток. Присоединенная масса, совершая колебания в направлении х2, за счет кориолисовой силы создает переменное давление, действующее па пластину Щ. При этом пьезокерамические элементы в данной конструкции не испытывают деформаций изгиба. Величина электрического тока, снимаемого с пластины П2, может быть использована для определения компонента^ угловой скорости объекта.

Так как период колебаний пластин весьма мал и за один период угловая скорость ^ изменяется незначительно, рассматривались установившиеся колебания при = сопПриходим к связанной задаче электроупругости [2], представленной далее в безразмерных величинах. В краевую задачу входят уравнения механических колебаний

д2и ди д2и . дЬ2 дЬ дх2' ' '

граничные условия

иг(0,Ь)=0, г = 1, 2,

и

ди1

дх

дф1

- + Ш--^--+ 2ш~

1

дх

1

дь2

дь

дщ

+ Ш

дх2 дх2 дь2

а также уравнения вынужденной электростатики

д2и2^2,Ь) ди^!, Ь) - — 2ш-

дь

д 2г

дх2 1 — к|3 дх2

ко о д и? ^ л

33 ',г = 1, 2,

для электрических потенциалов /¿(х?,Ь) и граничные условия

</>1

Коэффициент а в (1) определяется резонансной частотой пластины и добротностью пьезокерамического материала. В формулах (3) обозначено ш = Мв33о2/Ак,ш = к/о, где й33 - упругая податливость материала, о - скорость сопряженных продольных волн

к

пластины). При этом оказывается, что для реальных значений параметр ш << 1. В уравнения (4) входит известный продольный

статический коэффициент электромеханической связи k23. Граничные условия для потенциала ^i(xi,t) содержат заданное напряжение U(t). Граничные условия для потенциала ^2(х2 ,t) записаны для случая большой проводимости внешней цепи [2]. Интегрирование уравнений (4) при граничных условиях (5) позволяет выразить потенциалы ^(xi,t) через перемещения ui(xi,t). Это делает краевую задачу (1)-(3) замкнутой относительно перемещений.

Рассматривался случай, когда напряжение тока, приложенного к пластине Щ, изменяется по гармоническому закону U(t) = U0 sin @t. Перемещения в пластинах отыскивались в виде

Подстановка выражений (6) в уравнения (1) приводит к системам обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций Решение этих систем с учетом граничных условий (2), (3) приводит к представлениям вида

iг

После того, как найдены перемещения и электрические потенциалы, может быть рассчитана сила тока I(£). генерируемого в пластине П2. В случае одномерного электрического поля для пластин, у которых все основание покрыто электродом, для силы тока получено выражение

В формулу (8) входят пьезомодуль 633, диэлектрическая проницаемость е33 и пьезоэлектрическая пос тоянная (33. После подстановки в (8) выражений длям2(ж2,£) и ^2(ж2,^) получаем

ui(xi, t) = ii(xi) coset + ni(xi) sinet, i = 1, 2.

Qi = 2шш(1 — k|3)sh7^i, i = 1, 2.

I

I

(1 — k323)Uo c ( j(3Qi M2 h \P1P2 — Qi Q2

A- • Re

Ф

Здесь Ф(7) - определенная функция.

С использованием выражения (9) получены результаты для пластин, изготовленных из пьезокерамики марки ЦТС-19 с механической добротностью Q = 90. Расчеты проводились для Н = 6 • 10-4 м при угловой скорости ^з = 10 рад/с. Наблюдалось возрастание амплитуды тока для значений в, близких к первой собственной частоте свободных колебаний пластины без внутреннего трения.

В таблице представлены значения собственной частоты и нормированной безразмерной амплитуды тока при различных величинах присоединенной массы.

M, кг 1,0 • 10-3 1,1 • 10-3 1, 2 • 10-3

Ai 0,5077 0,4876 0,4698

j • 106 1,20 1,44 1,68

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нагар Ю.Н., Ольшанский В.Ю., Панкратов В.М., Серебряков A.B. Об одной модели пьезогироскопа // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. JVS 2, С. 71-74.

2. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга H.A. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.5. Электроупругость. Киев: Наук, думка, 1989. 280 с.

УДК 539.3

В.Ю.Ольшанский, Ю.Н.Нагар

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ОДНООСЕВОМ ПЬЕЗОГИРОСКОПЕ

Рассматривается модель устройства [1] для измерения угловых скоростей вращения подвижного объекта, состоящего из двух тонких взаимно перпендикулярных пьезокерамических пластин Щ, П2 и груза массы M. У каждой из пластин одно из оснований закреплено, а другое постоянно контактирует с грузом, воспринимая лишь нормальное механическое усилие.

К пластине П прикреплены электроды, с помощью которых подается электрический сигнал. Пьезоматериал, из которого изготовлены пластины, предварительно поляризован в направлении вдоль их толщин. Порождаемые в пьезопластинке за счет продольного пьезоэффекта плоские упругие деформационные волны приводят в движение груз.

При вращении подвижной системы отсчета относительно инерциальной системы на груз действует кориолисова сила