О влиянии нелинейного упругого закрепления на изгибные формы пластины-полосы в сверхзвуковом потоке

8. Вельмисов, П. А. О некоторых математических моделях механической системы «Трубопровод

- датчик давления» / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: технические науки. - Самара: СамГТУ, 2011. - № 1. - С. 137-144.

9. Коллатц, Л. Задачи на собственные значения / Л. Коллатц. - М. : Наука, 1968.

10. Математическое моделирование механической системы «Трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова, В. Д. Горбоконенко. - Ульяновск : УлГТУ, 2008.

- С. 188.

11. Мовчан, А. А. Об одной задаче устойчивости трубы при протекании через неё жидкости /

A. А. Мовчан // Прикладная математика и механика. - 1965. - Вып. 4. - С. 760-762.

12. Светлицкий, В. А. Механика трубопроводов и шлангов: Задачи взаимодействия стержней с потоком жидкости или воздуха / В. А. Светлицкий. - М. : Машиностроение, 1982. - 280 с.

13. Томпсон, Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике : Пер. с англ / Дж. М. Т. Томпсон. - М. : Мир, 1985. - 254 с.

14. Феодосьев, В. И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через неё жидкости /

B. И. Феодосьев // Инж. сб., Изд-во АН СССР. - 1951. - Т. 10. - С.169-170.

15. Челомей, С. В. О динамике устойчивости упругих систем / С. В. Челомей // Докл. АН СССР. -1980. - Т.252, №2. - С.307-310.

Анкилов Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ. Имеет статьи и монографии по аэрогидромеханике, аэро-гидроупругости, математическому моделированию.

Корнеев Андрей Викторович, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

УДК 539.3:533.5:517.9

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, С. В. КИРЕЕВ, Т. Е. БАДОКИНА

О ВЛИЯНИИ НЕЛИНЕЙНОГО УПРУГОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ НА ИЗГИБНЫЕ ФОРМЫ ПЛАСТИНЫ-ПОЛОСЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

Рассматривается математическая модель задачи об изгибных формах пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа с нелинейной упругой связью на концах. Получены бифуркационные диаграммы, показывающие зависимость максимального прогиба пластины от скорости набегающего потока.

Ключевые слова: пластина-полоса, сверхзвуковой поток.

Решение задач о статической неустойчивости конструкций связано с теорией ветвления решения дифференциальных уравнений. Исследования в этом направлении проводились аналитическими и численными методами в работах Абботта Ж. П., Аткинсона К. Е., Бола Е., Крандалла М. Г., Рабиновича П. Х., Демулина М. Ж., Чена М., Холмеса П., Марсдена Ж., Кеенера Ж.П., Келлера Х.Б., Кубичека М., Марека М., Лангфорда В. Ф., Плаута Р. Х., Редиена Г. В., Зейдела Р., Стакгольда И., Вебера Х., Вайнберга М. М., Треногина В. А., Логинова Б. В., В. А., Вельмисова П. А., Сидорова Н. А. и др. В частности, результаты исследований устойчивости упругих элементов конструкций, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, приведены в работах Алгазина С. Д., Кийко И. А, Кудрявцева Б. Ю., Показеева В.В., Минасяна Д.М. [1-8], а также в работах авторов данной статьи [9-22].

© Вельмисов П. А., Киреев С, В., Бадокина Т. Е., 2014

Рассмотрим математическую модель задачи об изгибных формах пластины-полосы в сверхзвуковом потоке газа, описываемую безразмерным нелинейным интегро-дифференциальным уравнением

Г41 а(3 , а3(6 3 в(3 Л, , аор0У2 , ^ V ЕЕ ^ ,1Ч

м>{4) +-м" + —— м3--м" I

В В Б 0 ^м2 -1 а 2^

и нелинейными граничными условиями:

м"

соответствующих жёсткому защемлению на конце х = 1 и упругому защемлению с нелинейной реакцией на конце х = 0 (изгибающий момент пропорционален кубу угла поворота, а перерезывающая сила пропорциональна кубу прогиба; с*, d* - коэффициенты жёсткости опоры, отнесённые к В). В (1)-(2): В - изгибная жёсткость пластины; V , р0, а - скорость газа, плотность и скорость звука, соответствующие однородному потоку; М - число Маха; а3 - коэффициент, характеризующий жёсткость основания; интегральный член учитывает нелинейное воздействие продольного усилия; ам' - член, учитывающий аэродинамическое воздействие; а0 = 1 (а0 = 2) соответствует одностороннему (двустороннему) обтеканию пластины; м(х) - прогиб пластины; Е - модуль упругости; и - коэффициент Пуассона; Е - площадь поперечного сечения; 3 - момент инерции сечения. Все коэффициенты, входящие в уравнение и граничные условия, постоянные. Линеаризованная система (1), (2) имеет вид

К (м) = м(4) +Лм' = 0, Я= — ...

В .

м" (0) = 0, м'" (0) = 0, м(\) = 0, м' (1) = 0 Собственные числа Я = ¿3 оператора К(м) находятся из дисперсионного соотношения

i 4 ÍV3 ^

-e 2 +cos

-s 2

= 0, s1 « 1.85

Решение уравнения

q>( x) = 243 sin

^V3 _ , л\s , .-sx JS

л

-s + —

23

( К

e 2 + e sx - 2e 2 sin

л

-sx +— 2 6

V / V /

Сопряженная задача определяется стандартными методами [23] и имеет вид

и(4) - Яи" = 0

и'"(0) - Ли(0) = 0, и"(0) = 0, и(1) = 0, и'(1) = 0. Задача (6) имеет те же собственные числа, определяемые из соотношения (4), что и задача (3), и собственную функцию ^(x) вида

у/(x) = esx + (i/2 + V3e3s/2 sin((3scos(sx/2)+ ((3/2 -e3s/2 sin((3s/2))-e^ sin(sx/2) (7) Полагая s = Л- s0 (s3 - точка бифуркации), запишем уравнение (1) в виде системы

0£ з 1 a £ 6

K(w) = w(4) + s0w' + < w,y > z = Ez -sw' +-w"{(w')2 dx--3— w3

0 D 0j D .

E =< w, y >

Применение методов теории ветвления к системе (8) затруднительно из-за несамосопряжённости оператора K (w) и наличия неоднородных краевых условий. Сделаем замену переменных

w

26 Первое уравнение системы (8) примет вид

u(4) + (20x - 8)*w3 (0) + s03 I U -(1 - x)c*w'3(0) -1 (1 - x)x3d*w3 (0) +1 (1 - x)2 x2d*w3(0) 1+ < u + 2 (1 - x)2 c*w '3 (0) +

2

+1 (1 - х)2х3й**3 (0), у > г = - е^и' - (1 - х)о*м>'ъ (0) - 3(1 - х)х3й**3 (0) + 1(1 - х)2 х2й**3 (0) +

0(3 I 1 А1 1

+ Б1 с*'3 (0) + 3 х3й*3 (0) - 2(1 - х)х 2й**3 (0) + (1 - х)2 хй**3 (0) + | (( -(1 - х)^'3 (0) - 3 (1 - х)хъё*м>ъ (0) +

1 (1 - х)2 х2ё*м>ъ (0) 1 йх - (и + (1 - х)2 с*ж'3 (0)/2 + (1 - х)2 хъй*жъ (0) / 6^.

2 4 ) Б

Для и(х) будем иметь однородные краевые условия

('(0) = 0, ("(0) = 0, ((1) = 0, ((1) = 0 . (11) Задача (10), (11) не может быть решена точно из-за присутствия *(0) и *'(0). Разложим и(х) и м>(х) в ряд по степеням <Ц и е :

, * =1 ^ее ,

к+у>1

к + у>1

где w0у = 0 , (0у = 0, так как (1), (2) - задача о точке бифуркации.

В дальнейшем значения *(0) и *'(0), входящие в (10), заменяются на первое слагаемое из разложения (12): = р = (10. Для определения ( получаем рекуррентную систему:

~ ~ а (6 0(3 1

(10 = р,Кип =-р ,Ки30 =—3— рр +-р"\р'2йг+(8-20х))*р3(0)-

Б Б 00

- (1 - х)2 х2й*р3 (0) - (1 - х)*р'3 (0) -1 (1 - х)х3й*р3 (0)^ < 1 (1 - х)2 с*р3 (0) +1 (1 - х)2 х3й*р3 (0), у >, ...

Тогда второе уравнение системы (8) представляет собой уравнение разветвления

Ьп#е + Ь^ +... = 0

и даёт асимптотику разветвляющихся решений

и( х) = ±11 - —^^—р + о (е), е = -signLu Ь

¿3,

30

с коэффициентами

Ь11 = - < р', у >= р'уйх.

0

р3 + — ( | + (8 - 20 х)*р3 (0) - -0 V 1 (1 - х)2 х 2й*р3 (0) -(1 - х )*р'3 (0) - (1 - х )х3й*р3 (0) / 3)-

а3(6 3 0(3 Л ,2 Ь30 =<—3— р +-р I р йх + (8 -

1 Л 6 1 /7 3 1 1

- <

6 Б о Б 0 0

+ -0с*р'3 (0) - - с*р'3 (0) 1\ уйх + (- -3ар'3 (0) - 20й*р3 (0) + с*р'3 (0))\ хуйх -Г1 ^0й*р3(0) + -2 с*р'3 (0) х 2уйх +

7 11 11 1

+ 6 -0й*р3 (0)\ хЗуйх - ^ -0й«р3 (0)\ х4уйх - 6 -0й«р3 (0)\ х5уйх

а3(

3 /-

0(3

/"

Б 30 "г Б 30 ^ ^30 •

Коэффициенты Ь11, Ь(3о, Ь(321), ¿^ имеют вид

3 г" ^^ Ьи = — ^ + V3-е2 б1П

3 - ^ 1

V 2 J

Ь(1) =

1523 9595 „ 279 -г 126 2485

847

- -- 2- ^ -2- -5- .

-е +--е--е--е +--е +728- 364-у 28- 7- 364- 728-у 14-

2

V J

15/3 ^ . Гл/3 1 355/3 -2 . Гл/3 1

364-

-е ^ 81П

13 -

е2 бШ

2

V J

22 л/3 | л/3 , 6929 л/3 | л/3 , 9->/3 Г л/3 , 47 л/3 Г л/3

2366 -

- е2 Б1П

2

V J

+--:— е2 Б1П

2

2

V J

2

V J

104 -

- е 2 Б1П

2

V J

+

6

0

0

= ^ 5 3в - 25 + 3^352 ^ 2

5 ( ¿"в £ Б1П

л/3

5

V 2 У

„ 1 I 9 2 5

2 + — 5 I + — 5 2 в5

/(3) = d

30 — *

шУ3 15/3

52 + 45

Л 7

--5

в 2 Б1П

2 у 2

3 - 15 I + 3^13а

5 5

5 2 в 2 Б1п

л/5"

1 - 2'

180>/3 315л/3

\

5

3

25

2

- 9л/3

3

в^ Б1П

(180>/з + 99^ - ^

3

\

5

2

Л 3

--5

в 2 Б1П

5

/

2 £

2

73. 2

-5

V У

135 243

25

2

+ 54 в -

81 135

—7 +-

452 165

в +

V /

Г /Т I

135 „„ | -55 —- + 27 |в 55 + 25 2

27л/3 .

в Б1П

V

/

-35

+'9+72 -1? V5 +(5 - 32 - +

291л/3 447л/3

25 2

85

- 81л/3

Л

(

в 2 Б1П

90 1395 9 2

+ -3 + 2

5 5

+ с*

27

81 54в-25 - — 54в5 - 27^3^2^ 8Ш 16 2

л/3

V

- 81 53 2

Согласно

х) = и(х) ±

Г т 13/2 ^ а

V Т30 у

2

Для полученных асимптотических решений (15) с помощью программы Mathcad 200НР1^е88Юпа1 построены бифуркационные диаграммы, показывающие зависимость максимального прогиба пластины от скорости набегающего потока.

л

ЗЗЭ

о

та.84 ШМ 763.34 ТШ71 1 «-ШЛ 1Ш-1В1 * Рис. ]

ИЗ М Рис. 2

На рис.1 представлена бифуркационная диаграмма, соответствующая нелинейным граничным условиям (2), а на рис.2 - бифуркационная диаграмма, отвечающая однородным граничным условиям из (3), соответствующим свободному и жёстко защемлённым концам. Таким образом, учёт пропорциональности момента кубу угла поворота и пропорциональности перерезывающей силы кубу прогиба в граничном условии уточняет бифуркационную диаграмму в сторону уменьшения максимального прогиба пластины. При этом одинаковые значения максимального прогиба при нелинейном упругом закреплении достигаются при больших значениях скорости. Диаграммы на рисунках 1 и 2 построены при а3 = 1 Н/м4, в = 1 Н/м, I = 10 м, а0 = 2 , р0 = 1 кг/м3, а = 330 м/с, Б = 108 Нм2 . Рассмотрим ещё одну модель (толщина И = 5 мм, Е = 7 -1010Н/м2, / = 0.31(алюминий), I = 1 м, а = 330 м/с, а0 = 2, а3 = 1 Н/м4, в = 35-105Н/м, р0 = 1.2 кг/м3 (воздух), Б = 82.73-103 Нм2). Для неё построены бифуркационные диаграммы, представленные на рисунках 3 и 4. На рис. 3 представлена бифуркационная диаграмма, соответствующая нелинейным граничным условиям (2), а на рис. 4 - бифуркационная диаграмма, отвечающая однородным граничным условиям из (3), соответствующим свободному и жёстко защемлённым концам.

2

+

5

2

5

Л

+

5

5

2

2

w

0.1

0.075

0.05

0.025 -

0

-0.025

-0.05

-0.075 -

-o.i !-

w( 431.296676^ = 0 w(490) - 0.03124625 w(510) = 0.0668995 w(520; = 0.08221437 WÎ529.015S6139] - 0.09522693

494 50Q 5Q6 512 513 524 530

0.1

0.075 0.05 0.025 0

-0.025 -0.05 -0.075 -0.1

v<481.2966762) - 0 v<49(J) = 0.03123849 v<51(J) = 0.06691693 HÎ52IJ) - 0.08226317 w(529.01586139] = 0.09531557

494 50Q 506 512 513 524 53Q

Рис. 3

Рис. 4

На рисунке 5 представлены формы прогиба пластины для асимптотического решения.

5 = -0.01

(.(О) = 0.024(51995 4/(0) = -0.024(51995

ф(1) = 0 ¥(1) = 0

Рис. 5

Работа выполнена в рамках государственного задания №2014/232 Минобрнауки России.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алгазин, С. Д. Численно-аналитические исследование флаттера пластины произвольной формы в плане / С. Д. Алгазин, И. А. Кийко // ПММ. - 1997.- Т. 61, вып. 1. - С. 171-174.

2. Алгазин, С. Д. Численное исследование флаттера прямоугольной пластины / С. Д. Алгазин, И. А. Кийко // ЖПМТФ. - 2003. - Т. 44, №4. - С. 35-42.

3. Алгазин, С. Д. Флаттер пластин и оболочек / С. Д. Алгазин, И. А. Кийко. - М. : Наука, 2006. -246 с.

4. Кийко, И. А. Нелинейные аэроупругие колебания прямоугольной пластины / И. А. Кийко, Б. Ю. Кудрявцев // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. - 2005. - №1. - С. 68-71.

5. Кийко, И. А. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа / И. А. Кийко, В. В. Показеев // Докл. РАН. - 2005. - Т. 401, № 3. - С. 342-348.

6. Кудрявцев, Б. Ю. Флаттер упругой пластины, находящейся в потоке газа при умеренных сверхзвуковых скоростях / Б. Ю. Кудрявцев // Изв. Тульск. гос. ун-та. Сер. мат. мех. информ. - 2005. -Т. 11, вып. 3. - С. 99-102.

7. Морозов, В. И. Нелинейные задачи аэроупругой устойчивости крыла при отрывном обтекании /

B, И. Морозов, В. В. Овчинников // Изв. РАН. МТТ. - 2003. - №6. - С. 158-170.

8. Минасян, Д. М. Флаттер упругой пластинки при малых сверхзвуковых скоростях потока газа: Сравнительный анализ / Д. М. Минасян // Изв. АН Армении. Механика. - 2001. - Т. 54, № 3. -

C. 65-72.

9. Киреев, С. В. Численный метод решения задачи о бифуркации пластины в сверхзвуковом потоке газа / С. В. Киреев // Механика и процессы управления: сб. науч. тр. - Ульяновск :УлГТУ, 2004. -С. 30 - 36.

10. Киреев, С. В. Численный эксперимент в задаче о статической неустойчивости пластины / С. В. Киреев // Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроматематика в науке и технике. Тр. международной конференции. - Т. 4: Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники. - Ульяновск :УлГТУ, 2005. - С. 116-121.

11. Вельмисов, П. А. Численный метод решения задачи о статической неустойчивости пластины в сверхзвуковом потоке газа / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев // Труды Средневолжского математического общества. - 2004. - №1. - С. 166-170.

12. Вельмисов, П. А. Численный метод решения задачи о бифуркации пластины в сверхзвуковом потоке газа / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев // Вестник УлГТУ. - 2004. - № 3. - С. 28-31.

13. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев. - Ульяновск :УлГТУ, 2011. - 200 с.

14. Velmisov, P. A., Kireev S. V. Numerical solution of the bifurcation problem of the design elements subject to aerohydrodynamic effects // Romanian Society of Applied and Industrial Mathematics ROMAI JOURNAL. Volume:2 Number:2 Year:2006. P. 195-203.

15. Velmisov, P. A., Kireev S. V. Mathematical Modeling in Problems of Static Instability of Elastic Element of Constructions Upon Aero-Hydrodynamic Influence // Applications of Mathematics in Engineering and economics: Proceedings of the 32nd International Conference. - Sozopol, Bulgaria: Softtrade Sofia, 2007.- P. 50-65.

16. Velmisov, P. A., Kireev S. V., Kuznetsov A. O. Stability and Bifurcation of a Plate in a Supersonic Gas Flow // Applications of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXIV Summer School. -Sozopol 98, Bulgaria: Heron Press, Sofia, 1999. - P. 41-46.

17. Velmisov, P. A., Kireev S. V. Asymptotical solution of problem about plate stability in supersonic gas flow // Applications of Mathematics in Engineering: Proceedings of the XXVII Summer School. -Sozopol, Bulgaria: Heron Press, Sofia, 2002. - P. 188-196.

18. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах устойчивости упругих элементов конструкций при сверхзвуковом режиме обтекания / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев // Автоматизация процессов управления. -2014. - №1 (35). - С. 38-46.

19. Анкилов, А. В. Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Казакова // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Серия: Физико-математические науки. - 2013. - №2(31). - С. 120-126.

20. Анкилов, А. В. Математическое моделирование динамики и устойчивости упругих элементов крыла / А. В. Вельмисов, П. А. Анкилов // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. - 2009. - Т.1, №1. -С. 7-17.

21. Вельмисов, П. А. Устойчивость пластины в сверхзвуковом потоке газа / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев, А. А. Кузнецов // Вестник УлГТУ. - 1999. - №1. - С. 44.

22. Анкилов, А. В. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов- Ульяновск :УлГТУ, 2009. - 219 с.

23. Найфэ, А. Методы возмущений / А. Найфэ. - М. : Мир, 1976. - 455 с.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ. Имеет монографии и статьи по аэрогидромеханике, аэро-гидроупругости, математическому моделированию.

Киреев Сергей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ. Имеет монографию и статьи по аэрогидроупругости, математическому моделированию.

Бадокина Татьяна Евгеньевна, аспирант кафедры «Высшая математика» УлГТУ.