Построение оптимизированного рабочего созвездия из разнотипных НКА по предложенному критерию

2005 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА №90

серия Эксплуатация воздушного транспорта и ремонта авиационной техники.

Безопасность полётов

УДК 621.396.98.004.1

ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМИЗИРОВАННОГО РАБОЧЕГО СОЗВЕЗДИЯ ИЗ РАЗНОТИПНЫХ НКА ПО ПРЕДЛОЖЕННОМУ КРИТЕРИЮ

Д.А. ЗАТУЧНЫЙ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Барзиловичем Е.Ю.

В данной статье доказывается необходимость поиска нового метода построения оптимизированного рабочего созвездия непротиворечащего традиционному. Описывается новый метод построения оптимизированного рабочего созвездия для двух случаев - выбор созвездия, состоящего из четырёх НКА, и работа по всем видимым НКА. Приводятся результаты применения этого метода для двух основных случаев зависимостей между оценками состояния НКА.

1. Введение

Внедрение в практику спутниковых радионавигационных систем (СРНС) позволяет существенно повысить точность местоопределения координат воздушных судов (ВС), что позволяет расширить функциональные возможности и использовать СРНС для обеспечения навигации ВС на всех этапах полёта, включая посадку. Совершенствование бортовой аппаратуры, в частности, появление многоканальных приёмоиндикаторов СРНС, позволяет осуществлять навигационные определения по всем видимым навигационным космическим аппаратам (НКА). В этой связи традиционные способы выбора оптимального рабочего созвездия, основанные на геометрическом факторе, становятся не столь актуальны, а на первый план выходят вопросы учёта надёжности НКА, включённых в рабочее созвездие. Это тем более актуально в комплексированных системах или работе по разнородным системам ГЛОНАСС и GPS, а в перспективе и по ГАЛИЛЕО, обладающим разными надёжностными характеристиками.

Традиционным способом выбора оптимального рабочего созвездия является выбор сочетания НКА, имеющего минимальный геометрический фактор. Общий геометрический фактор изменения точности определения навигационных параметров предложен в [1,2]:

GDOP = (trace Г)12,

где

Г= (HmxT Hmx)-1.

HMx определяется ковариационной матрицей ошибок и матрицей преобразования вектора ошибок.

С целью выбора такого рабочего созвездия производится перебор возможных сочетаний НКА и вычисление геометрического фактора для каждого сочетания. Этот расчёт должен производиться довольно часто, так как в результате взаимного перемещения ВС и НКА рабочая конфигурация системы постоянно изменяется, в результате чего рабочее созвездие перестаёт быть оптимальным, более того, в случае захода одного НКА за горизонт, местоопределение в заданном режиме может стать невозможным. Кроме того, в результате эволюции ВС НКА, входящие в рабочее созвездие, могут временно уходить за пределы диаграммы направленности приёмной антенны, что требует быстрого перехода на новое рабочее созвездие без резкого ухудшения точности местоопределения. Поэтому большое значение имеет сокращение объёма вычислений, необходимых для выбора оптимального рабочего созвездия. Этот объём определяется

количеством сочетаний НКА, которые необходимо перебрать. К примеру, если в пределах видимости выше предельного угла возвышения находятся 8 НКА, то перебор включает в себя 210 вариантов.

В данной статье традиционный метод усовершенствован за счёт введения дополнительного ограничения по надёжности.

В настоящее время существует два основных подхода к выбору оптимального рабочего созвездия:

1) выбор оптимальной четвёрки НКА;

2) работа по всем видимым НКА.

Работа по всем видимым НКА имеет преимущество в случае, когда возможно кратковременное непредсказуемое пропадание сигнала НКА (при эволюциях ВС, если антенная система не всенаправленная; в результате затенения оперением ВС или деталями рельефа). Также имеет важное значение и то, что местоопределение по всем видимым НКА, в принципе, позволяет избежать необходимости выбора оптимального рабочего созвездия и упростить алгоритм работы приёмоиндикатора в тех ситуациях, когда множество НКА, приём сигналов которых возможен, быстро изменяется (манёвр с изменением крена, затенение НКА оперением ВС при разворотах, затенение НКА рельефом местности при полётах на малых высотах).

В данной статье была дана попытка решить задачу применительно к обоим подходам.

2. Формулировка задачи построения оптимального рабочего созвездия из

разнотипных НКА

В системах спутниковой навигации контроль целостности радионавигационного поля осуществляется посредством:

1) непрерывного автономного самоконтроля работы основных бортовых подсистем НКА, влияющих на качество излучаемых радиосигналов;

2) внешнего контроля сигналов НКА с помощью аппаратуры контроля навигационного поля (АКНП), входящей в состав наземного комплекса управления (НКУ).

В первом случае формируется признак исправности Вп . Его нулевое значение соответствует состоянию “ исправен”. Этот признак передаётся в составе оперативной (эфемеридной) информации с дискретностью 30 с; при этом максимальная задержка от момента обнаружения неисправности до передачи этого признака не превышает 1 мин.

Во втором случае формируется признак Сп, характеризующий состояние всех НКА СРНС на момент закладки неоперативной информации (альманаха орбит и фаз); при этом признак Сп = 0 соответствует непригодности для использования п-го НКА, а Сп =1 указывает на его пригодность. Дискретность передачи признаков в навигационных сообщениях Сп составляет 2,5 мин. Эти признаки появляются в составе альманаха не позднее, чем через 16 ч после появления неисправности.

Указанная процедура контроля целостности дополняется контролем целостности системы, осуществляемым наземными контрольными станциями, например,

дифференциальных подсистем, а также контролем непосредственно в потребительской аппаратуре и в навигационном комплексе подвижного объекта.

В реальной ситуации процедура оценки “исправности” и “неисправности” каждого НКА может происходить с некоторыми ошибками. Рассматривается задача построения оптимизированного с учётом надёжности рабочего созвездия, состоящего из разнотипных НКА по признаку, сформулированному выше под пунктом 2) - внешнего контроля сигналов НКА с помощью аппаратуры контроля навигационного поля, входящей в состав наземного комплекса управления.

Сформулируем задачу :

Пусть в состав рабочего созвездия входит некоторое число НКА, которое обозначим через п. Предполагается, что такая система может находиться только в двух состояниях: полностью выполняет навигационные функции и невыполняет навигационные функции . Обобщённый признак контроля для всего рабочего созвездия, который обозначается буквой ъ, может принимать одно из двух возможных значений :

2=1 ( система находится в работоспособном состоянии) и ъ=0 ( система “неисправна”).

Предполагается,что оценка состояния каждого 1-го НКА (1=1,...,п) может принимать только два различных дискретных значения: х1 =0 (НКА “неисправен” ) или х1 =1(НКА “исправен” ).

В идеале оценка состояния каждого НКА должна точно соответствовать его реальному состоянию. Оценка состояния каждого 1-го НКА может происходить со следующими ошибками:

a) НКА находится в работоспособном состоянии при том условии, что он признан “неисправным” ( обозначим её вероятность е;), то есть

£ = Р

b) НКА невыполнил (или выполнил неверно) свои навигационные функции при том условии, что он признан “исправным” ( обозначим её вероятность 81 ), т.е.

8; = Р

Обозначим р1 = Р(С; =1) = £ , если х;=0, р1 =1-8 , если х;=1.

Состояние всего рабочего созвездия обозначим символом Ф, где Ф=1 (рабочее созвездие выполняет свои навигационные функции) или Ф=0 (рабочее созвездие не выполняет свои навигационные функции ).

3. Метод построения оптимального рабочего созвездия

Рассмотрим состояние рабочего созвездия как функцию от X, где Х= (х1, х2,..., хп) - вектор состояния рабочего созвездия размерности п - числа НКА в системе.

Далее мы будем использовать стандартные понятия пути и сечения , определённые

в [3-5] .

Путём называется набор НКА, для которого выполнено следующее условие : если для каждого НКА этого набора сформирован признак С1 =1, то состояние всего рабочего созвездия Ф(Х)=1 независимо от состояния других НКА, входящих в эту систему . Аналогично сечением называется набор НКА, для которого выполнено следующее условие: если для каждого НКА этого набора сформирован признак С1 =0, то состояние всего рабочего созвездия Ф(Х)=0 независимо от состояния других НКА рабочего созвездия.

Далее воспользуемся понятиями минимального пути и минимального сечения, также рассмотренными в [3-5]. Для каждого набора оценки состояния всех НКА, входящих в рабочее созвездие Х=( х1, х2,..., хп) выделим два подмножества А и В, такие что А= { 1: х1 =1 } и В= ={ 1: х1 =0}. Если Ф(Х)=1 и Ф(У)=0 для любого состояния У, такого что У£Х, но не тождественно равного Х, то А есть минимальный путь рабочего созвездия. Если Ф(Х)=0 и Ф(У)=1 для любого состояния У, такого что У>Х, но не равного тождественно Х, то В называется минимальным сечением рабочего созвездия.

Предполагается, что все НКА, входящие в рабочее созвездие работают независимо

П

друг от друга. Поэтому Р(Х)= ^ р1х1(1- р1)1-х1, где Р(Х)-вероятность того, что рабочее

/=1

созвездие состоит из НКА, для которых выполнен вектор состояния Х. Функция надёжности

Я(р) для всего рабочего созвездия ( то есть вероятность того, что система находится в

состоянии Ф(Х)=1) описывается формулой:

Щр)=БФ

X Х:Ф(Х)=1 I=1

где ЕФ(Х) - это математическое ожидание состояния рабочего созвездия.

Отсюда вероятности ошибок е8 и 88 для всего рабочего созвездия, составленного из п НКА находятся следующим образом:

П

£8 = К(е1,е2,...,еп)=я(р1,р2,...,рп)= 2 П р 1х' (1- Р1)1-х' =

Х:Ф(Х)=1 I=1

= 2 П е^'о-е.)1"”

Х:Ф(Х)=1 I=1

1-88 = Я

Х:Ф(Х)=1 I=1

1-х'=

= 2 П

Х:Ф(Х)=1 I=1

Далее рассмотрим только асимптотический случай. В этом случае ошибки е1 и 81 можно записать в виде: е1 = 1 • е

81 = 11 /* 8,

где 1 1 / - некоторые положительные константы, е0,80.

Это очевидно выполняется, так как предполагается, что каждый НКА, аппаратура контроля и наземный комплекс управления представляют из себя достаточно высоконадёжную систему с малой вероятностью ошибок.

Учитывая (4) и (5), е8 и 88, можно переписать следующим образом:

е8=С81еа8+С82е“8+1+...+ С8п'а 8 +1еп ,

8, =С/18р8+С/28р8+1+...+ С8/ п'Р 8 +18п.

Далее определим величины а8 и Р8 и константы СД С8/ 1.

Величины а8 и Р8 определим следующим образом:

1. Пусть т-вес минимального пути из НКА, входящих в рабочее созвездие,

то есть количество НКА, входящих в этот минимальный путь, т/ - вес минимального сечения рабочего созвездия, то есть количество НКА, входящих в это минимальное сечение.

2. Вводятся обозначения :

Ктш - множество всех минимальных путей, составленных из НКА, входящих в рабочее созвездие;

Кт;п/ - множество всех минимальных сечений рабочего созвездия.

Тогда

а, = тшктш т,

Рз = ттктш / т/.

Первые две константы в разложении е8 и 88 для случая 1 = 1;/ =1 для любого 1-го НКА можно определить следующим образом:

С = Nmin (as),

С82 = -(п- а8 )+ N(08 +1),

С/ 1= Nmin (Р,),

С,/ 2 = - (п- Р, )+ N(0, +1),

где

Нпш (Оз)- общее количество минимальных путей рабочего созвездия, состоящих из а8 НКА ;

Nm1n (Р8)- общее количество минимальных сечений рабочего созвездия, состоящих из Р, НКА;

N(08 +1)- общее количество всех путей рабочего созвездия, состоящих из (а +1) НКА;

N^8+1)- общее количество всех сечений рабочего созвездия, состоящих из

НКА.

Обозначим:

Ре (А 8)= е + 8 = 1+ Я(е1,е2, . ,еп)-Я (1-81,1 -82,..., 1-8п ) =

= С,1 е08 + ...+ С8п'а 8 +1еп+ С8/ 18Р8 +...+ С8/ п'Р 8 +18п.

Очевидно решение данной задачи заключается в нахождении такого рабочего созвездия, для которого сумма обоих ошибок будет минимальна, то есть решение задачи заключается в нахождении т1п (е,8).

При этом естественно предполагается, что любое рабочее созвездие удовлетворяет следующим условиям:

1) Ф(1,1,...,1)=1, то есть, если все НКА нормально функционируют, то и рабочее созвездие в целом функционирует нормально;

2) Ф(0,0,...,0)=0, то есть, если все НКА рабочего созвездия отказали, то и рабочее созвездие в целом отказало;

3)Ф(Х)> Ф(У) при условии, что х1 > у1 , то есть нормальное функционирование любого НКА не может служить помехой для нормального функционирования рабочего созвездия в целом.

В данном разделе эта задача решается для случая разнотипных в смысле надёжности НКА, который возникает при комплексировании. Рассматривается только асимптотический случай, когда е,80. Способ нахождения оптимизированного с учётом надёжности рабочего созвездия был рассмотрен выше. Далее в этой части получены конкретные рабочие созвездия, удовлетворяющие этому условию, для различных случаев.

4. Результаты построения оптимизированного рабочего созвездия из разнотипных НКА

Очевидно, если стоит задача нахождения оптимизированного рабочего созвездия, состоящего из четырёх разнотипных НКА, то необходимо первоначально задать ограничение по надёжности, равное а.

Далее не рассматриваются те рабочие созвездия, которые имеют неудовлетворительный геометрический фактор, а из остальных выбирается то, которое имеет минимальное значение (е, 8).

В случае постановки задачи о нахождении оптимизированного рабочего созвездия при работе по всем видимым НКА в результате теоретического исследования получены следующие результаты:

1) Пусть е,80, е =Ь8, где L - произвольная константа. В этом случае тт^ Fs(8) = Fs*(8), где 8* - это рабочее созвездие типа [(п+1)/2)] из п.

В этом случае переформулировать этот результат можно следующим образом. В случае линейной зависимости между ошибками определения состояния каждого НКА оптимизированным по предложенному критерию надёжности рабочим созвездием, состоящим из п различных с точки зрения надёжности НКА, является система типа [(п+1)/2] из п, т.е. такая система, которая выполняет свои навигационные функции, если их

выполняет хотя бы [(n+1)/2] из n её видимых НКА, где [(n+1)/2] - это целая часть числа, находящегося в скобках.

Примечание. Очевидно, практическое применение этого результата возможно, если число НКА превышает шесть.

2) Пусть £,80 , e =L8z, где L - произвольная константа, 50, z >1. В этом случае minseS Fs(8) = Fs*(8), где s* - это рабочее созвездие типа [(n+z)/(z+1)] из n.

4. Заключение

В данной статье был описан новый метод построения оптимизированного рабочего созвездия, состоящего из разнотипных НКА, приложимый к двум основным подходам - нахождение оптимальной четвёрки НКА и работе по всем видимым НКА. Перспективным направлением работы, по мнению автора, является получение результатов относительно других зависимостей между ошибками состояния НКА.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соловьёв Ю.А. Комплексирование глобальных спутниковых радионавигационных систем ГЛОНАСС и GPS с другими навигационными измерителями (обзор) / Радиотехника, 1999, №1.

2. Соловьёв Ю.А. Системы спутниковой навигации. М.: ЭКО-ТРЕНДЗ, 2000.

3. Барлоу Р., Хантер Л., Прошам Ф. Оптимальная избыточность при двух типах отказов элементов// В сб. переводов“ Оптимальные задачи надёжности”; Под ред. И.А. Ушакова, Изд-во стандартов, 1968.

4. Ушаков И.А. Оптимальные задачи надёжности. М., 1968.

5. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надёжности : Пер. с англ./ Под ред. Б.В. Гнеденко - М.: Сов. радио,1969.

CONSTRUCTION OF OPTIMAL WORKING CONSTELLATION OF DIFFERENT NAVIGATION COSMIC APPARATUS ACCORDING TO PROPOSED CRITERION

Zatuchny D.A.

In this paper necessity of new method’s search for construction of optimal working constellation uncontradicted traditional is proved. New method for construction of optimal working constellation for two cases -selection constellation consist of four navigation cosmic apparatus and work by all visible navigation cosmic apparatus is described. Results of this method’s application for two based cases of dependence between condition’s value of navigation cosmic apparatus is reduced.

Сведения об авторе

Затучный Дмитрий Александрович, 1970 г.р., окончил МГПУ им. В.И. Ленина (1993), ассистент кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор 16 научных работ, область научных интересов - навигация.