Взаимосвязь опорных условий слабой выпуклости для множеств в банаховых пространствах

УДК 517.982.252

Г.Е. Иванов, Г. М. Иванов

Московский физико-технический институт

Взаимосвязь опорных условий слабой выпуклости для множеств в банаховых

*

пространствах

Рассматриваются два класса слабо выпуклых множеств в банаховом пространстве. Классы характеризуются ^-опорным и Р-опорным условиями соответственно. Доказано, что рассматриваемые два класса совпадают при условии, что банахово пространство равномерно выпукло. Доказательство основано на теореме о гладкой эквивалентной переномировке равномерно выпуклого банахова пространства.

Ключевые слова: опорное условие, слабая выпуклость.

Анализ слабо выпуклых множеств и функций позволяет применять методы выпуклого анализа к невыпуклым объектам, что весьма актуально в невыпуклых задачах оптимизации и аппроксимации. Определение слабо выпуклого множества можно дать различными неэквивалентными способами. В результате возникают соответствующие классы слабо выпуклых множеств, обладающих похожими, но отличающимися свойствами. В работах [1, 2] рассматривались некоторые классы слабо выпуклых множеств, в частности, класс множеств, удовлетворяющих опорному условию слабой выпуклости. Указанное условие в настоящей работе называется Р-опорным условием слабой выпуклости, что объясняется тем, что мы будем также рассматривать и другое, N-опорное условие слабой выпуклости. Р-опорное условие определяется через проекцию, а N-опорное условие — через нормальный конус. Оба эти условия естественным образом возникают при рассмотрении слабо выпуклых множеств. Предмет настоящей работы состоит в изучении взаимосвязи этих двух опорных условий для множеств в банаховых пространствах.

I. Основные определения

Пусть E — нормированное пространство. Через int А и дА будем обозначать соответственно внутренность и границу множества А с E. Через (p, х) обозначим значение функционала p G E* на векторе х G E. Для вектора a G Ей функционала Po G E* через ©R(a) и ©R(p0) обозначим шары с радиусом R в пространствах E, E* соответственно:

BR(po) = {p G E* : IIP — pol < R} .

Определение 1.1. Модулем выпуклости нор-

E

Se : (0, 2] Se (e) =

R, определяемая формулой

= 1п^1 - + уУ : х,у е ©1(0), Уж - у\\ > £

Нормированное пространство Е называется равномерно выпуклым, если 5е (£) > 0 для любо го £ е е (0, 2].

Определение 1.2. Множество X с Е называется равномерно выпуклым, если

V £> 0 3 5 > 0: V х1 ,х2 е X \\х1 — х2\\ ^ ^

' Х1 + х2'

=> Вл

2

С X.

Е

пукло тогда и только тогда, когда множество ©1(0) равномерно выпукло.

Определение 1.3. Модулем гладкости норЕ

дЕ : [0, +гс>) ^ М, определяемая формулой 9е (т ) =

Ixll = 1,

Е

мерно гладким, если

9е

lim

т ——+0

0.

Заметим, что функция дЕ — выпуклая, возрастающая и дЕ (0) = 0 для любого банахова прост-

т—г т ОЕ

ранства Е, а значит, и функция т ^ Т у — возрастающая (см. [3], §4, гл. 3).

Определение 1.4. Функция / : Е ^ М называется дифференцируемой по Фреше в точке х0 е е Е, если существует функционал р е Е*, называемый производной Фреше функции / в точке хо, удовлетворяющий условию

V£ > 0 3 5 > 0 : Vх е Е$

Ц(х) — /(хо) — (р,х — хо)| < £\\х — хо\.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 10-01-00139, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы».

Определение 1.5. Будем говорить, что норма Е

она дифференцируема по Фреше в каждой точке х0 е 9©1(0).

Определение 1.6. Будем говорить, что функ-р е Е*

х е Е х

х

дем обозначать через 1 (х). Обозначим ^(х) = = 1 (х) П а©*(0).

В силу теоремы Хана-Банаха [4, теорема 3.2] 11(х) = 0 для любо го х е Е. Заметим, что для рефлексивного банахова пространства для лю-р е Е*

Е

Е

хо е Е

хо

множества 11(х0).

Всякое равномерно гладкое пространство является пространством с дифференцируемой по Фреше нормой. Любое равномерно выпуклое или равномерно гладкое банахово пространство реф-§§

хе

е Е до множества А с Е называется величина

д

A

Обозначим

и (К, А) = {х е Е : 0 < д(х, А) < К} .

Определение 1.8. Метрической проекцией точки х е Е на множество А с Е называется любой элемент множества

Ра(х) = {а е А : ||а — х\\ = д(х, А)}.

Определение 1.9. Будем говорить, что множество А с Е удовлетворяет Р-опорному условию слабой выпуклости с константой К > 0, если из того, что х е и (К, А) и а е РА(х), следует, что

R

Через (Д) будем обозначать класс всех замкнутых множеств А с Е, удовлетворяющих Р-опорному условию слабой выпуклости с константой Д.

Определение 1.10. Нормальным конусом к множеству А с Е в точке а0 є А называется множество

N(а0,А) = |р Є Е* : Vє> 0 3 5> 0:

Определение 1.11. Будем говорить, что множество А с Е удовлетворяет N-опорному условию

Д > 0

того, 4iop G N(a, А)ПдВ*(0), и — единичный век-

p

А П int Br

Через Qn(R) будем обозначать класс всех замкнутых множеств А с E, удовлетворяющих N

R

Заметим, что соотношение (1.1) эквивалентно

——л-

неравенству д I а +

ношение (1.2) — неравенству д(а + Ки, А) ^ К.

II. Взаимосвязь двух опорных условий слабой выпуклости

В работе [2] исследована взаимосвязь условия слабой выпуклости, условия проксимальной гладкости и Р-опорного условия слабой выпуклости множеств в банаховых пространств. В этом параграфе рассматривается взаимосвязь Ж-опорного условия слабой выпуклости и Р-опорного условия слабой выпуклости.

Е

ранство, А с Е, х1 е Е \ А, х0 е РА(х1), норма Е

точке х1 — х0. Тогда 1 (х1 — х0) с N(х0, А).

Доказательство. Зафиксируем произвольный функционал р е 1 (х1 — х0). Требуется доказать, что р е N(х0,А). Зафиксируем произволь-

£ > 0

руема по Фреше в точке х1 — х0 и р е 11(х1 — х0), 5>0

11х 1 — х\\ — 11х 1 — х0|| — (р, х0 — х) < £\х0 — х\\

Vх е ©6(х0).

Так как х0 е Ра(х1)^'0 \х1 — х\\ — \х1 — х0\ ^ 0 х е А

(р,х — х0) ^ £\х0 — х\\ Vх е ©6(х0) П А.

Поэтому р е N(х0, А).

Е

не дифференцируема по Фреше, то для точек х1 е Е \ А, х0 е Ра(х1 ) ^^^ючение 1 (х1 —

— х0) с N(х0,А) может не выполняться. Например, рассмотрим двумерное арифметическое пространство М2, норма в котором определена так, что

©1(0) = {(х, у) е М2 : (|х| + 4)2 + у2 < 52}.

М2

номерно выпукло, но норма не дифференцируема по Фреше. Пусть А = М2 \ (1П; ©1(0)^ х1 = (0, 2), х0 = (0,3^. Тогда х0 е Ра(х1), N(х0, А) = {0}, 1 (х1 — х0) = {0^. Поэтому включение 1 (х1 — х0) с с N(х0,А) не выполнено.

Е

ранство с дифференцируемой по Фреше нормой, К > 0. Тогда (К) с Пр(К).

ха

Доказательство. Пусть A Є üp(R). Пусть xi Є U(R, A), xo Є PA(xi)• Требуется доказать равенство

R

A П int BR xo +

х1 — х0\

р е 11 ( х1 —

— х0) р е

е N(х0,А). Поскольку X — Х0|| — единичный

рА воряет Топорному условию слабой выпуклости с константой К, то справедливо равенство (2.3).  Е

ранство с модулем выпуклости 5Е, р е 5©*(0), х1,х2 е ©1(0). Тогда

25е(\х1 — х2||) < 2 — (р,х1 + х2).

Доказательство. По определению модуля выпуклости \х1 + х2|| ^ 2(1 — 5Е(\х1 — х2||)). Следовательно, 25е(||х1 — х2||) < 2 — ||х1 + х2|| < 2 —

— (р,х1 + х2).

§§ главы 4 из книги [3], получаем следующий результат.

Е

£ > 0 Е

ществует дифференцируемая по Фреше норма || • ||1

пукло и

1 + є

С.Б. Стечкиным в работе [5] получен следующий результат.

А

в равномерно выпуклом банаховом пространстве Е. Тогда множество Т(А) точек и є Е, для которых множество РА(и) состоит ровно из одного элемента, всюду плотно в Е.

Е

банахово пространство, Д > 0. Тогда QN (Д) С С 0Р(Д).

Доказательство. Пусть А Є (Д). Покажем, что А є 0.р(Д). Зафиксируем хі є и(Д,А), х0 є Ра(хі). Требуется доказать, что

&

l|xi - xol

Зафиксируем произвольное число є є (^0, 6J• СоЕ

емая по Фреше норма || • \| 1 такая, что пространство (Е, || • ||і) равномерно выпукло и

1 + є

Обозначим х2 = X0 +, X1. В силу леммы 2.3 существует точка x2 G B£r(x2) такм, что inf \\х'2 —

a£A

— a|| i достигается в некоторой точке a0 G A. Обо-

значим r = |X2 — ao||i. По теореме Хана-Банаха существует функционал р G E* такой, что

1 =

где X = {x G E : ||x||i < r}. Используя дифференцируемость по Фреше нормы || • ||i, получаем

V £> 0 3 S> 0: V x G Bs

Поскольку r = inf ||x2 — a^, to int X П (x'2 — A) =

aEA

= 0. Следовательно, применяя соотношение (2.7) для x = x2— a, получаем

V £ > 0 3 S > 0 :

Va G A П Bs(ao) (p,a — ao) ^ £||a — ao||.

Поэтому p G N (ao,A). Пусть век тор u G E —

p

T. e.

Так как A G (R), to

g

aEA

to ||x2 — ao|1 < ||x2 — xo||b Отсюда и из неравенств (2.5) следует, что

llx2 — aoH < (1 + £)|x2 — xoIl-

Так как x2 G B£r(x2) и £ < 6, ||xi — xo| = = g(xi,A) < R, x2 = x° + Xl, to ||x2 — xo|| < ||x2 —

— xo || + £R < R. Следовательно,

Ilx2 — ao|| ^ Ilx2 — xoH + £R,

а значит,

С другой стороны, поскольку xo G Pa(xi), ao G A,

TO

Из неравенства (2.11) получаем 2|xi — x2|| = ||xi —

содержатся в Bi(0). Поопре-

X1 — Х2

Х2 — an

делению модуля выпуклости 5e имеем

xi — x2 + x2 — ao

<

xi x2 x2 — ao

то есть

1

Из неравенств (2.10), є < ||x2 — xo|| =

Xi — Xn II R и и t~>

~2 < Y

Отсюда и из неравенств (2.10) - (2.12) получаем: < 1 — Se

Se{ |ao Rx°l. ) ^

Поэтому

x

x

Согласно соотношению (2.5) справедливо включение Br(0) С {х G E : ||x||i < r} = X. Поэтому, используя соотношения (2.6), получаем

x^Br (0) x<EX

Обозначая u' = ^

ІХ2 — ao II

в силу соотноше-

ния (2.6) имеем ip,u') = ix 1 a у • Следовательно, согласно неравенству (2.5) получаем: (p,u') >

>

1 — є

Отсюда и

(1 + е)||ж2 — аоУ1 (1 + е)г " г

из неравенства (2.14) следует неравенство

Так как и, и' е ©1(0), то в силу леммы 2.2 и нера-

венств (2.8), (2.15) имеем

25е

Зафиксируем произвольное число 7 е ^0, 4 ^ • Выберем положительное число

£ < “"{1' 5е ^2|х1—х2^^ , 25е(то}.

Используя неравенства

Заметим, что

X2 — ao llx2 — ao|

X2 — xo ІХ2 — Xo l

Следовательно, из неравенств

Xi — Xo

<

1X2 — Xol

Отсюда следует неравенство

Xi — Xo

Поэтому

Xo +

R

<

< IIxo — ao|| + 6R7 < yIXi — xo| + 6R7 < 7R7. Следовательно, используя равенство (2.9), получаем неравенство

Q\ Xo +

R

(xi — xo), A I ^ R — 7R7.

Переходя к пределу при 7 ^ +0, приходим к неравенству (2.4).

Е

банахово пространство, Д > 0. Тогда ОР (Д) С С Ом(Д).

Доказательство. Пусть А є ОР (Д). Покажем, что А є (Д). Пусть хо є А,р є N(хо, А) П П дВ* (0) ио — единичный вектор, двойственный р

&

Для любого числа г > 0 определим вектор уг = = хо + гио. Зафиксируем число є є ^0, 4)- Согласно лемме 2.3 для любого г > 0 существует

точка уг с единственной проекцией хг на множество А и такая, что ||у' — уг|| ^ £т. Тогда

^ ||у'г — уг II + IIуг — х0|| ^ (1 + £)т, (2.19) следовательно,

х — х0| < Цу'г — хгII + Цу'г — х0|| < 2(1 + £)т.

Значит, Цхг — х0|| ^ 0 щи т ^ 0. Так как р е е N(х0, А), то существует число т(£) е (0, £) такое, что

(р, хг(е) — х0) < £||хг(е) — х0| < 2£(1 + е)т(е). Следовательно,

(р, уг(е) — хт(е)) ^

^ (р, уг(е) — х0) — £(3 + 2£)т(£) =

= т

Обозначим ue

yr

г(є) 1

Из неравенств

(2.19) и (2.20) следует, что

1 - 3е - 2е2

1 ^ (p,u£) ^ ---1+--------> 1 при £ ^ +0.

Отсюда и из равенств 1 = ||ие|| = ||и0|| = ||р|| = = (p, и0) согласно лемме 2.2 получаем, что ие ^ ^ и^и £ ^ +0. Следовательно,

xr

Из включения A G Qp(Д) следует, что g(xr(е) + + Дие,А) ^ Д. Переходя к пределу при £ ^ ^ +0 и используя соотношение (2.21), получаем неравенство (2.18).

Теорема 2.3. Пусть E — равномерно выпуклое банахово пространство, Д > 0. Тогда Qp(Д) =

= Qn (Д). П

Доказательство состоит в применении лемм 2.4, 2.5.

Литература

1. Иванов Г.Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. - М.: Физматлит, 2006.

2. Балашов М.В., Иванов Г.Е. Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах // Известия РАН. Серия математическая. - 2009. - Т. 73, № 3. - С. 23-66.

3. Дистпелъ Дэю. Геометрия банаховых пространств. - Киев: Вища школа, 1980.

4. Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975.

5. Стечкин С. Б. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Revue de Math, pures et appl. - 1963. - V. 8, N 1. - P. 5-18; Стечкин С.Б. Избранные труды. -М.: Физматлит, 1998. - С. 270-281.

Поступила в редакцию 12.01.2011

Vr

— x

u

u