Проблема восприимчивости погранслойных течений и бифуркации периодических режимов

3. Функциональные уравнения и их приложения

УДК 519.6

Т.Г. Дармаев

ПРОБЛЕМА ВОСПРИИМЧИВОСТИ ПОГРАНСЛОЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ И БИФУРКАЦИИ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ

В работе метод инвариантной конечномерной проекции уравнений Навье-Стокса применяется для исследования плоскопараллельного течения вязкой несжимаемой жидкости над плоской полубесконечной пластиной. При этом нелинейная начально-краевая задача для периодических возмущений основного течения сводится к конечномерной рекуррентной системе линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложенный универсальный алгоритм позволяет численно находить амплитудные поверхности устойчивых и неустойчивых режимов и точки тангенциальных бифуркаций периодических режимов для произвольных частот и чисел Рейнольдса. Проведено сравнение численных результатов с проблемой восприимчивости и экспериментами по ламинарно-турбулентному переходу.

Ключевые слова: ламинарно-турбулентный переход, метод инвариантной конечномерной проекции.

T.G. Darmaev

THE RECEPTIVITY PROBLEM OF BOUNDARY-LAYER FLOWS AND BIFURCATIONS OF PERIODIC REGIMES

The method of the invariant finite-dimensional projections of the Navier-Stokes equations is applied to a plane-parallel flow of a viscous incompressible fluid over a flat semi-infinite plate. Thus the initial-boundary problem for periodic disturbances of main flow is reduced to finite-dimensional recurrent system of linear boundary problems for the ordinary differential equations. The proposed universal algorithm allow to calculate amplitude surfaces of unstable and stable regimes and points of tangential bifurcation of periodic modes for arbitrary frequencies and Reynolds numbers. Comparison of numerical results with the receptivity problem and experiments in laminar-turbulent transition is spent.

Keywords: laminar-turbulent transition, the invariant finite-dimensional projections

Введение

Основная задача исследования восприимчивости заключается в поиске, выборе, экспериментальном и теоретическом моделировании таких механизмов возбуждения колебаний, которые играют основную роль в формировании возмущенного течения и последующей его турбулизации [1]. К основным внешним факторам, которые вызывают возмущения, относятся шероховатость или геометрия поверхности, завихренность и турбулентность свободного потока (рис.1).

основной поток

Рис. 1. Механизмы восприимчивости

В зависимости от геометрии обтекаемого тела, размера шероховатостей, степени турбулентности или завихренности основного течения появляются возмущения и в дальнейшем может произойти их рост и переход в турбулентность. Кроме этого в экспериментах для генерации вынужденных возмущений применяются акустические методы, вибрирующая лента, вдув или отсос в поток, которые в зависимости от частоты или амплитуды могут перейти в турбулентное состояние.

В настоящее время развиваются следующие теоретические направления исследования механизма восприимчивости - параболизованные уравнения [2], прямое численное моделирование [3], возмущения в профиле параллельного пограничного слоя [4-5], взаимодействие возмущений [6-7]. В них

рассчитываются коэффициенты восприимчивости возмущений от начальных данных, задающих внешние факторы, амплитуды и частоты возмущений.

В данной работе метод инвариантной конечномерной проекции уравнений Навье-Стокса, разработанный Б.Ю.Скобелевым [8], применяется для исследования периодических трехмерных возмущений в плоскопараллельном течении вязкой несжимаемой жидкости над плоской полубесконечной пластиной. При этом нелинейная начально-краевая задача для возмущений основного течения сводится к конечномерной рекуррентной системе линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений [9]. Предложенный универсальный алгоритм позволяет численно находить амплитудные поверхности устойчивых и неустойчивых режимов и точки тангенциальных бифуркаций периодических режимов для произвольных частот и чисел Рейнольдса.

Метод инвариантной проекции

Суть метода инвариантной конечномерной проекции состоит в том, что решение уравнений Навье-Стокса для возмущений:

— + (иУ)и + Lu = 0,

дt

Lu = (^У) + - Уq —— Лu,

Ие

div u = 0

ищется в виде:

u = ^п + ^ ,

где у2п - линейная функция т собственных функций оператора Ь, а ортогональное дополнение u1 ищется в виде функции от У2п

^ = g ^2п ).

Условие того, что решение принадлежит инвариантному многообразию уравнений Навье-Стокса однозначно определяет вид функции g ^2п ). Существенным достоинством метода инвариантной проекции является то, что он гарантирует правильное описание асимптотического поведения решений (т.е. при t ^ ж) и учитывает дискретный и непрерывные спектры возмущений.

В работе рассматривались моногармонические решения, периодические по продольной координате с волновым числом а и по поперечной координате с волновым числом в .

В соответствии с теорией инвариантной конечномерной проекции решение уравнения для функции тока представлялось в следующем виде:

ж 5

ф (х, у, г, t) = 2А^) Ие [/(у) е1(ах+вг+в^)) ] + £ А5^) £ gk (у) еш(аг+вг-в()),

5=1 к=-5

где АО и 0(1) - амплитуда и фаза возмущения, 5 - символ Кронекера, ^у) - собственная функция задачи Орра-Зоммерфельда для течения Блазиуса, а g5k удовлетворяют следующей рекуррентной системе уравнений:

^а\(&Г - и )Лк + В2и ] g5k - ~ (Л к )2 g5k = -$к1 (Ь5-1 + ^5-1 )Л^ - $к ,-1 *

К

(Ь5-1- гС5-1 )Л1f -^ £ счЛ^Рк -а £ £[lgqlDЛjgpj- №Ч1 Л^р]],

q+р=5 q+р=5 1+j=к

где D =—, Лк = D2 - (ка)2, а2 = а2 + в2, и(у) - профиль невозмущенного ламинарного потока, f

¿у

- сопряженная к собственной функции задачи Орра-Зоммерфельда, сг = о1 + - собственное число

задачи Орра-Зоммерфельда.

Из условий прилипания на пластине и затухания возмущений на бесконечности ставятся следующие граничные условия:

g5k (0) = ^5к (0) = 0 g5k (Ж) = ^5к (Ж).

Коэффициенты Ь5-1 с5-1 определяются из условий ортогональности и нормировки:

I/(у)у)ёу = °, А1 = И2 -а2, Ь,_1 + с_1 = |/*Р^у,

0 0

где ^(у) - решение уравнения, сопряженного к уравнению Орра-Зоммерфельда.

Результаты расчетов и их анализ

В работе проводился численный расчет приближенных уравнений для амплитуд периодических режимов

Г+1Ь2 п А2" = 0.

п=1

при N =2,3,4,5, где у= аа1 - линейный коэффициент нарастания.

При численном интегрировании системы (1) граничные условия на бесконечности заменялись граничными условиями на интервале (0,Ь), Ь>>1. Затем преобразованием у = Ьу, 0 < у < Ь, 0 < у < 1 задача сводится к интегрированию на интервале (0,1). Вычисление присутствующих в правой части собственных функций задачи Орра-Зоммерфельда, а также решение системы (1) проводилось методом ортогональной прогонки [10] на неравномерной разностной сетке.

В результате вычислений выявилась следующая картина (рис.2-3). При малых значениях волнового числа а, соответствующих нижней ветви линейной нейтральной кривой, от течения Блазиуса ответвляется устойчивый периодический режим. При некотором а=а2 передняя складка амплитудной поверхности из нефизической области отрицательных значений квадратов амплитуд выходит в область положительных значений и происходит смена закритической бифуркации докритической (а=а3). С увеличением числа Рейнольдса амплитуда этого режима нарастает, затем уменьшается и далее этот режим исчезает в результате слияния с неустойчивым режимом, ответвляющимся от верхней ветви линейной нейтральной кривой. Точки слияния этих режимов называются точками тангенциальной бифуркации [11], соответствующие точкам складки в теории катастроф [12]. Далее с увеличением а амплитудная поверхность периодических решений отрывается от линейной нейтральной кривой (а=а4) и при некотором значении а периодические решения исчезают.

Рис.2 Рис.3

На рисунке 4 приведен срез амплитудной поверхности при а=0.206906, из которого видно, что при определенных начальных амплитудах периодические возмущения могут перейти либо в устойчивый периодический режим, либо в неустойчивый. На рисунке 5 приведены линейная нейтральная кривая (сплошная линия) и точки складок, или, что то же самое, точки тангенциальной бифуркации трехмерных режимов. Внутри нейтральной кривой возмущения нарастают, а вне - затухают.

В настоящее время экспериментально обнаружены три типа перехода. Первый был обнаружен в классической работе Клебанова и др. [13]. Он характеризуется быстрым нарастанием возмущений, высокочастотными всплесками и последующим образованием турбулентных пятен. Другой тип перехода был обнаружен в экспериментах Качанова, Козлова, Левченко [14]. Он характерен нарастанием высших гармоник двумерной волны Толлмина-Шлихтинга с последующим ростом трехмерной субгармоники. В экспериментах Козлова, Левченко, Сарика [15] наблюдался третий тип перехода - промежуточный между первыми двумя типами.

Для объяснения этих явлений в настоящее время существуют две основные теоретические модели. Первая была разработана Крейком [7] и по сути является обобщением метода Стюарта-Ватсона на случай взаимодействия трех резонансных волн. Другая модель - модель вторичной неустойчивости [6] -исследует устойчивость двумерных нелинейных волн относительно трехмерных линейных возмущений. Полученные с помощью этих моделей области быстрого роста трехмерных возмущений достаточно хорошо совпадают с экспериментальными результатами по наблюдению первых стохастических пульсаций. Но эти работы не объясняют причину появления стохастичности.

Как известно, в экспериментах по генерации ламинарно-турбулентного перехода с помощью вибрирующей ленточки клебановский тип перехода наблюдается только при относительно больших начальных амплитудах возмущения и характеризуется резким ростом возмущений. Таким образом клебановский тип перехода можно связать с передней верхней частью амплитудной поверхности, причем амплитуда соответствующего возмущения должна быть не меньше амплитуды периодического решения в передней точке тангенциальной бифуркации.

Если начальная амплитуда меньше критической клебановской, то возможен другой тип перехода, который можно соотнести с промежуточным типом, наблюдавшимся в эксперименте. Этот тип перехода связан с тем, что в результате нарастания возмущения становятся трехмерными и внутри нелинейной нейтральной поверхности для плоских возмущений их амплитуда может стать равной амплитуде точки тангенциальной бифуркации для трехмерных возмущений (ß^ö).

И, наконец, при субгармоническом типе перехода в эксперименте наблюдается рост высших гармоник начальной двумерной волны Толлмина-Шлихтинга. Причем начальные амплитуды возмущений, вызывающих этот тип перехода, достаточно малы, и начальные возмущения действительно являются двумерными. Поэтому естественно связать субгармонический тип перехода с задней точкой тангенциальной бифуркации в окрестности верхней ветви линейной нейтральной кривой.

Таким образом, каждому типу перехода соответствует точка тангенциальной бифуркации периодических режимов (трехмерные или двумерные). Из теории динамических систем [16] следует, что в окрестности точки тангенциальной бифуркации возникает явление перемежаемости (т.е. чередование во времени ламинарного и турбулентного режимов). Причем длительность турбулентных режимов зависит от "расстояния" до точки тангенциальной бифуркации. Наблюдающаяся в экспериментах картина дает качественное подтверждение высказанным на основе проведенных расчетов предположениям.

Литература

1. Бойко А.В., Грек Г.Р., Довгаль А.В., Козлов В.В. Физические механизмы перехода к турбулентности в открытых течениях. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2006. 304с.

2. Herbert T., Lin N. Studies of boundary layer receptivity with parabolized stability equations // AIAA Paper. 1993. N 93. P. 3053.

3. Spalart Pr. Numerical study of transition induced by suction devices. Near-Wall Turbulent flows, The Netherlands: Elsevier, 1993. p. 849-858.

4. Crouch J. D. Theoretical studies on receptivity of boundary layers // AIAA paper. 1994. N 94. P. 2224.

5. Choudhari M. Roughness-induced generation of crossflow boundary vortices in three-dimensional layers. Theor.Comput.Fluid Dyn. 1994. P.1-30.

6. Stuart J.T. On the non-linear mechanics of wave disturbances stable and unstable parallel flows. Pt.1 // J.Pluid Mech. 1960.-V .9, N 3.-P .353-370.

7. Craik A.D. Non-linear resonant instability in boundary layers // J. Fluid Mech.-1971. V 5O, P t.2. P. 393-413.

8. Скобелев Б.Ю. Конечномерная инвариантная аппроксимация уравнений Навье-Стокса и автоколебательные режимы течения Пуазейля // ПММ.-1990-Т.54. № З. С. 416-429.

9. Дармаев Т.Г. Конечномерная инвариантная аппроксимация и периодические режимы течения Блазиуса // Вычислительные технологии. 2008. Т.13, № 4. С. 60-70.

10. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // УМН. 1961. Вып. 3(99). C.171-174.

11. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций/ пер.с англ.-М.: Мир, 1983.-301 с.

12. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения / пер.с англ. М.: Мир, 1980.-607 с.

13. Klebanoff P.S., Tidstrom K.D., Sargent Ь.М. The three-dimensional nature of boundary-layer instability // J. Pluid Mech. 1962. V. 12.-P t.1.-P .1-34.

14. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Нелинейное развитие волны в пограничном слое // МЖГ. 1977. № 3. С. 49-53.

15. Козлов В.В., Левченко В.Я., Сарик В.С.(США) Образование трехмерных структур при переходе в пограничном слое. Новосибирск, 1983 (препр./ АН СССР. Сиб. отделение. ИТПМ; № 10-83).

16. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

Дармаев Тумэн Гомбоцыренович, кандидат физико-математических наук, директор научно-образовательного инновационного центра системных исследований и автоматизации Бурятского государственного университета. Тел. (3012)221215, e-mail: dtg@bsu.ru

Darmaev Tumen Gombotsyrenovich, Candidate of Physics and Mathematics Science, director of scientific educational innovation centre of system research and automatization of Buryat State University.