Техника построения калибровочно-инвариантного однопетлевого эффективного действия суперсимметричных теорий на деформированном суперпространстве

ФИЗИКА

УДК 530.145:530.12; 537.8:530.145

О. Д. Азоркина

ТЕХНИКА ПОСТРОЕНИЯ КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНОГО ОДНОПЕТЛЕВОГО ЭФФЕКТИВНОГО ДЕЙСТВИЯ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ ТЕОРИЙ НА ДЕФОРМИРОВАННОМ СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ

Работа является кратким обзором применения калибровочно-инвариантных методов построения однопетлевого эффективного действия для суперсимметричных калибровочных моделей, заданных на деформированном N = 1/2 суперпространстве. Техника нахождения эффективного действия основана на использовании явно ковариантных методов, таких как метод фонового поля и техника собственного времени, сформулированных на неантикоммутативном суперпространстве. В качестве применения общей конструкции проводится точное вычисление однопетлевого эффективного действия деформированной модели Янга-Миллса.

Ключевые слова: суперсимметричная теория поля, деформированное суперпространство, неантиком-мутативная теория.

ВВЕДЕНИЕ Ведущим направлением современной теоретической физики является построение объединенной теории фундаментальных взаимодействий. В качестве основного кандидата на роль объединенной теории рассматривают теорию суперструн [1-4], в основе которой лежит суперсимметрия и идея о том, что фундаментальными объектами природы являются не точечные элементарные частицы, а одномерные протяженные объекты - струны. В 1999 г. Н. Зайберг и Е. Виттен показали, что при наличии постоянного фонового антисимметричного тензорного поля теория суперструн ведет в низкоэнергетическом пределе к четырехмерным полевым теориям в пространстве с некоммутирующими пространственно-временными координатами [5]. Модели некоммутативной теории можно сформулировать в пространстве Минковского. Формулировка и свойства некоммутативных моделей обсуждаются в [6]. В 2003 г. Н. Зайберг [7] установил, что при наличии фонового гравифотонного поля постоянной напряженности [8] теория суперструн имеет в качестве низкоэнергетического предела Б = 4 суперсимметричную модель в N = 1 суперпространстве, в котором половина спинорных координат перестает строго антикоммутировать. Таким образом, введенная деформация нарушает половину всех суперсимметрий теории и поэтому соответствующее суперпространство естественно называть N = 1/2 деформированным неантиком-мутативным суперпространством. Анализ полевых теорий на деформированном суперпространстве приводит к необходимости замены обычного умножения суперполей на модифицированное произведение, являющееся фермионным вариантом произведения Мойяла и содержащее в своем

определении структуру деформации. Открытие новых четырехмерных суперсимметричных моделей делает актуальным вопрос исследования их классических и квантовых аспектов [9-11]. По существу возникло новое направление в теории поля - неантикоммутативная суперсимметричная теория поля. Для интерпретации деформированных теорий как стандартных полевых моделей и для изучения особенностей их динамики необходимо изучение аспектов квантования и перенор-мируемости теорий с учетом неантикоммутатив-ности. Таким образом, проблема развития методов исследования структуры эффективного действия на деформированном суперпространстве заслуживает специального изучения.

НЕАНТИКОММУТАТИВНАЯ СУПЕРСИММЕТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ЯНГА-МИЛЛСА С ПРИСОЕДИНЕНОЙ КИРАЛЬНОЙ МАТЕРИЕЙ Рассмотрим N = 1/2 суперсимметричную теорию поля Янга-Миллса на четырехмерном суперпространстве с явно нарушенной суперсимметрией в антикиральном секторе [7]. Деформация реализуется введением операции неантиком-мутативного (но ассоциативного)  - произведения суперполей:

* = ехр С а|30а Ов},

д

где Qa = I—а, коэффициент Св = С^“ - посто-

50а

янная симметричная матрица, элементами которой являются параметры деформации [12-14].

Динамику киральной скалярной материи в (анти)фундаментальном представлении калибровочной группы [15] описывает действие вида:

£* = 8 2Ф у * ЄІ * Фу + 8 2Фу * Є- * Ф у +

+^62Щ (Фу, Фу ) + \(І61 (Ф, Ф7 ),

где Ф и Ф - киральные суперполя, а Ф и Ф -антикиральные.

В присоединенном представлении калибровочной группы действие для суперполей материи определяется выражением

= |СІ8гґг

где Ф и Ф - киральное и антикиральное суперполя соответственно.

МЕТОД ФОНОВОГО ПОЛЯ ДЛЯ ДЕФОРМИРОВАННОЙ ТЕОРИИ Рассмотрим обобщение суперполевого метода фонового поля (см., например, [3] и [16]) на случай неантикоммутативной суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Прежде всего определим суперпространствен-ные ковариантные производные в киральном представлении:

Vа = (Уа, Vа, Vаа ) = Да - іГа =

= (е;Г * БаЄІ, Да , -{^а , })• _

Суперполевые напряженности Жа и задаются при помощи алгебры деформированных ковариантных производных

& аа ={^а , };

[^. ^;

[Уа , %р ] = Еар^р ;

[^аа , ^ ] = -і ( Є а р/ар + Єа в/а р ) >

где через / обозначено

/ар ~~ а^Р)

Суперполевые напряженности Ж и Ж удовлетворяют тождеству Бианки Vа *Жа + V4 *=0.

Обращаем внимание на то, что в определения суперполей Жа и влючен параметр неанти-

коммутативности С“в за счет * умножения (4).

Совершим фоново-квантовое расщепление калибровочного суперполя V по правилу

еГ ^ ер * еГ

или

V ^ V . П

Є ^ Є * Є ,

где О (П) и V - фоновый и квантовый препотен-циалы соответственно. Далее используем ковари-антные производные в киральном

Vа = *Уа * в! ,

,

и антикиральном представлении Уа = Б, _

V а = е1 *У а * еГ.

Калибровочные преобразования для квантовых составляющих есть:

е1 ^ <Л * * е-'л;

Vа ^ <л * V а * е-л;

У А А ,

где Л и Л, - два независимых киральный и анти-киральный параметра. Фоновые преобразования имеют вид:

V ч /К , V , -/К /1 л\

е* ^ е^ к е^ к е^ ,

VА ^ е^ к VА к е-к

с вещественным параметром К. Ковариантные киральные и антикиральные суперполя определяются

V а

соответственно и расщеплены линейно на фоновую и квантовую составляющие. Затем в действиях для суперполей материи следует провести описанное выше фоново-квантовое расщепление и наложить калибровку только на квантовые суперполя, что отвечает нарушению симметрии относительно преобразований (9). Симметрия относительно фоновых преобразований (10) остается ненарушенной. Результирующее эффективное действие зависит только от фоновых суперполей и автоматически является калибровоч-но инвариантным. Процедура квантования в не-антикоммутативном случае аналогична стандартной ([3, 16]) с учетом замены обычного точечного умножения суперполей на их модифицированное  -произведения.

МЕТОД СОБСТВЕННОГО ВРЕМЕНИ И ^-ФУНКЦИЯ Нахождение низкоэнергетического эффективного действия (см., например, [17-20]), описывающего квантовую динамику на достаточно больших (по сравнению с микроскопическими масштабами) расстояниях является важной задачей квантовой теории поля. Пертурбативное рассмотрение эффективного действия осуществляется в рамках петлевого разложения. Первая квантовая поправка отвечает однопетлевому приближению и определяется с помощью функционального детерминанта дифференциального оператора Н, ассоциированного со второй вариационной производной классического действия по его функциональным аргументам на некотором функциональном фоне. Таким

образом, возникает необходимость развития техники вычисления функциональных детерминантов, позволяющей находить расходящиеся и конечные части однопетлевого эффективного действия. При этом сохранение явной ковариантности и симметрий исходной теории (в случае отсутствия аномалий) является важным критерием для выбора техники вычислений эффективного действия.

Один из таких способов - это представление однопетлевого действия в виде интеграла по собственному времени

/Г(і) = _ Тг Ве(н = Тг Г

2 -!о

=0 = - 1п Пп = ~Тг ІП Н.

/V _1 рда

Н = і\ Л е .!о

івН

и обобщается на любую степень п обратного оператора і

Г(п) •'0

- Г“ЖШу-1 е-,Л, 0

Здесь ТгА - функциональный след оператора, БеґЛ - функциональный детерминант оператора, а параметр 5 называется собственным временем. Однопетлевое эффективное действие можно также связать с обобщенной ^-функцией, отвечающей оператору Н, которая определяется в виде

где а - произвольное комплексное число. Покажем, как функциональный детерминант оператора Н связан с обобщенной ^-функцией.

Рассмотрим задачу на собственные значения

для оператора Н

НК = I п К,

здесь И„ - собственные функции, а ~кп - соответствующие собственные значения. Детерминант оператора Н определяется через его собственные значения в виде

БеШ = П •

п

Введем функцию ^(а) с помощью собственных значений оператора Н :

«“>==«

П К

Из (15) следует выражение для производной обобщенной дзета-функции при а = 0

ё С,

здесь Г(п) - гамма-функция Эйлера.

Пусть г = (хт, 0“, 0е1) - точки суперпространства. Введем функцию и(г, г' | ,?) = 88 (г - г') =< г | | г' >.

Не трудно показать, что функция и(2, 2^) удовлетворяет уравнению Шредингера

1 — и(7,7' | ж) = ни(7,7' | ж). ds

Его решение можно записать в форме и(г, г' | 5) = е-иН5(г - г').

При замене is на -т уравнение Шредингера переходит в обобщенное уравнение теплопроводности. По этой причине функцию и(2,2^) называют тепловым ядром. Подставляем соотношение (19) в определение дзета-функции (15) и получаем выражение I

1 (“Я ,

С(а) =------------Г ds(is)a~ Тге-

Г (а V0

где функциональный след определяется так:

7ге~иН = (г, г | \2= г, .

Вычисляем производную от выражения (20) по а в точке а = 0:

ds

^ - г ds

-БвШ = -1 — *0 7*0

ЇГЄ

d а

Отсюда получим

£е/Я = ехр

Таким образом, нахождение функционального детерминанта сводится к нахождению дзета-функции.

Теперь установим связь метода собственного времени (см., например, [21]) с дзета-функцией. Интегральное представление обратного операто-

Л -1

ра Н имеет вид

г 1а-

dа •’и /ж

Сравнивая соотношения (21) и (12), видим, что однопетлевая поправка в эффективное действие определяется производной от дзета-функции

Г

I Л аУа=0

Таким образом, вычисление сводится к решению уравнения теплопроводности и к нахождению теплового ядра в совпадающих точках 2 2 '.

Метод собственного времени является удобной техникой вычисления, поскольку сохраняет симметрии классической теории. Разложение же по степеням собственного времени позволяет легко выделить расходимости эффективного действия.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОДНОПЕТЛЕВОЙ КВАНТОВОЙ ПОПРАВКИ ДЛЯ ТЕОРИИ ЯНГА-МИЛЛСА В ФУНДАМЕНТАЛЬНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Рассмотрим действие суперсимметричной теории поля Янга-Миллса с киральной материей

(2) на деформированном N = 1/2 суперпространстве в отсутствие фоновых киральных и антики-ральных суперполей. Производим стандартное расщепление полей на фоновую и квантовую составляющие и определяем квадратичную по квантовым полям часть классического действия

S(2) = 2Jd4x d2е d2е(TФС)#* *

+

однопетлевой квантовой поправки в эффективное действие для теории поля Янга-Миллса индуцированной материей в фундаментальном представлении. Здесь функция ^ * (яЫ, ) имеет вид

[22]:

Здесь матричный оператор Н имеет вид:

72 ^

я, =

V * v2

mV2

_ У2 *

mV

V2 * v2

х2 * y2 *

где «массивные» параметры т и т определяются следующим образом

т = Ж'фф

т = (Ф).

Следуя приведенной выше технике собственного времени и методу фонового поля, получаем следующее выражение для дзета-функции:

1 1 лда

С 0МН )-—^ I. **

<Jd6 zW'

(sN)2 cos( aN) - cos( sN) ’ которая после непосредственных вычислений сводится к виду

Г

i

(4п)2

Jd6zW2 ln+ jd6ZW2 ln

mm

~лг

Таким образом, получен конечный однопетлевой вклад в калибровочное инвариантное эффективное действие на абелевом фоне калибро-вочноого суперполя постоянной напряженности (все тонкости вычисления приведены в работе [15]).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Развита техника построения калибровочного инвариантного однопетлевого эффективного действия для суперсимметричных калибровочных теорий, заданных на N = 1/2 суперпространстве. Для вычислений предложенны явно ковари-антные методы (фонового поля и собственного времени), сформулированные на неантикоммута-тивном суперпространстве. Найден конечный однопетлевой вклад в калибровочное инвариантное эффективное действие на абелевом фоне ка-либровочноого суперполя постоянной напряженности.

Список литературы

1. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. М.: Мир, 1990. Т. 1. 518 с.; Т. 2. 656 с.

2. Весс Ю., Беггер Дж. Суперсимметрия и супергравитация. М.: Мир, 1986. 180 с.

3. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M. Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity or a Walk Through Superspace. IOP Publishing, Bris-

tol and Philadelphia, 1998. 656 p.

Вест П. Введение в суперсимметрию и супергравитацию. М.: Мир, 1983. 328 с.

Seiberg N., Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry // Journal of High Energy, Physics. 1999. Vol. 9909. P. 032-132.

Szabo R. J. Quantum Field Theory on Noncommutative Spaces // Physical reports. 2003. Vol. 378. P. 201-299.

Seiberg N. Noncommutative Superspace N = 1/2 Supersymmetry, Field Theory and String Theory // Journal of High Energy, Physics. 2003. Vol. 0306. P. 010-029.

De Boer J., Grassi P. A., van Nieuwenhuizen P. Non-commutative superspace from string theory // Physics Letter B. 2003. Vol. 574. P. 098104.

Azorkina O. D., Banin A. T., Buchbinder I. L., Pletnev N. G. Generic chiral superfield model on nonanticommutative N = 1/2 superspace // Modern Physics Letters A. 2005. Vol. 20. P.1423-1436.

10. Азоркина О. Д. Классические и квантовые аспекты общей модели кирального-антикирального суперполей на деформированном суперпространстве // Вестн. Том. гос. пед. ун-та. 2006. № 6 (57). С.39-45.

11. Азоркина О. Д. Суперполевые методы исследования деформированных неантикоммутативных моделей // Вестн. Том. гос. пед. ун-та. 2012. № 7 (122). С. 40-48.

12. Weyl H. Quantum mechanics and group theory // Zeitschrift fur Physik. 1927. Vol. 46. P. 001-262.

13. Wigner E. P. Quantum corrections for thermodynamics equilibrium // Physics Review. 1932. Vol. 40. P. 749-756.

14. Moyal J. E. Quantum mechanics as a statistical theory // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1949. Vol. 45. P. 099-124.

15. Azorkina O. D., Banin A. T., Buchbinder I. L., Pletnev N. G. One-loop effective potential in N = 1/2 generic chiral superfield model // Physics Letters B. 2006. Vol. 635. P. 50-55.

9.

16. Gates S. J., Grisary M. T., Rocek M., Siegel W. Superspace or One Thousand and One Lessons in Supersymmetry. Benjamin Cummings, Reading, M.A. 1983. 548 p.

17. Де Витт Б. С. Динамическая теория групп и полей. М.: Наука, 1987. 288 с.

18. De Witt B. Quantum theory of gravity II. The manifestly covariant theory // Physical Review. 1967. Vol. 162. P. 1195-1239.

19. Buchbinder I. L., Odintsov S. D., Shapiro I. L. Effective Action and Quantum Gravity. IOP Publishing, Bristol and Philadelphia, 1992. 413 p.

20. B. de Witt B. S. Relavity, Group and Topology II. B. S. De Witt and R. Stora (Eds.), Elsevier, Amsterdam, 1984. 381 p.

21. Fock V. A. The proper time in classical and quantum mechanics // Izvestiya of USSR Academy of Sdences, Physics. 1937. N. 4, 5. P.554-568.

22. Buchbinder I. L., Kuzenko S. M., Тseytlin А. А. One low-energy effective actions in N=2, N=4 superconformal theories in four-dimensions // Physical Review D. 2000. Vol. 62. P. 045001-045019.

Азоркина О. Д., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры.

Томский государственный педагогический университет.

Ул. Киевская 60, г. Томск, Россия, 634061.

E-mail: azorkina@tspu.edu.ru

Материал поступил в редакцию 19 03.2013.

O. D. Azorkina

CONSTRUCTION OF GAUGE INVARIANT ONE-LOOP EFFECTIVE ACTION IN SUPERSYMMETRIC THEORIES ON DEFORMED SUPERSPACE

We briefly review a gauge-invariant approach to calculating the one-loop effective action for supersymmetric gauge models formulated on N = 1/2 superspace. Construction of the effective action is based on use of manifestly covariant methods such that superfield background field method and proper time technique in non-anticommutative superspace. As the applications of general construction, the calculation of one-loop effective action for deformed su-persymmetric Yang-Mills model is carried out.

Key words: effective action, supersymmetric field theory, non-anticommutative theory, deformed superspace.

Tomsk state pedagogical university.

Ul. Kievskay 60, Tomsk, Russia, 634061.

E-mail: azorkina@tspu.edu.ru