Математическая модель трансформации форм фосфора, азота и кремния в движущейся турбулентной водной среде в задачах динамики планктонных популяций

Математическая модель трансформации форм фосфора, азота и кремния в движущейся турбулентной водной среде в задачах динамики

планктонных популяций

1 2 А.И. Сухинов , Ю.В. Белова

1 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону 2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

Аннотация: в данной статье построена математическая модель трансформации форм биогенных веществ, содержащих фосфор, азот и кремний, в мелководных водоемах, подобных Азовскому морю. Модель учитывает поглощение и выделение питательных веществ фитопланктоном, а также переход веществ из одной формы в другую. Проведено исследование системы уравнений, описывающих модель, для чего выполнена линеаризация системы, построен квадратичный функционал. В результате исследования получены достаточные условия единственности решения задачи, сформулирована теорема.

Ключевые слова: фитопланктон, фосфор, азот, кремний, биоген, химико-биологический источник, уравнение конвекции-диффузии-реакции, линеаризация, единственность решения системы уравнений.

В настоящее время существует потребность моделирования биогеохимических процессов в водных экосистемах с целью их предсказания. Эта проблема актуальна для Азовского моря и в особенности для Таганрогского залива, подвергающихся эвтрофикации.

В данной статье рассматривается нестационарная пространственно-трехмерная модель трансформации форм фосфора, азота и кремния и их взаимодействия с планктонной популяцией, которая достаточно полно описывает биогеохимические процессы, происходящие в мелководных водоемах, подобных Азовскому морю [1-3].

Модель основана на системе уравнений диффузии-конвекции-реакции. Каждый блок модели описывается дифференциальным уравнением в частных производных вида[4]:

— + и— + V — + м — = бю

дг дх ду дгУ 1] У

где qi - концентрация 1-ои компоненты, и,V, w - компоненты вектора скорости водного потока, и = ( и, V, w),

div(k grad qt )- —

dx

r

k

q

dx

\

+

d_

dy

с

k

dqL dy

\

+

d_

dz

r

k

dqt

v dz

R

химико-

биологический источник, индекс i указывает на вид субстанции, i eM, M={Fi, F2, F3, PO4, POP, DOP, NO3, NO2, NH4, Si}.

Химико-биологические «источники» и «стоки» описываются следующими зависимостями[5,6]:

RF,. = CFt (1 - KFR )qFj - KFiDqFi — KFiE<qFi , 3

RPOP = L SPKFiDqFi — KPDqPOP — KPNqPOP , i=1

3

RDOP = L SPKFiEqFi + KPDqPOP — KDNqDOP , i=1

3

RPO4 = L SPCF (fR — 1)qFi + KPNqPOP + KDNqDOP , i=1

fN2)

RNH4 = LSNCFi

i=1 3

RNO2 —

fN(NO3,NO2,NH4) fN1 (NO3, NO2) <no2

qF — K42qN

i=1

fN (N0,, NO2, NH4) qN02 + qNO

-qF + K42qNH4 — K23<

no2 '

R (K Л ft'W-no) <>O q + Ka

Rno = L(( - 1)fN (NO3, NO2, NH4 )  <n02 + qFi K А'0' '

= SSiKF3DqF3 ,

где г е {1,2,3}, 1 - это СИУ, 2 - AF - А, 3 - Sc, а СИУ, AF - А,Sc -символические обозначения видов планктона, - удельная скорость

дыхания фитопланктона; К^ - удельная скорость отмирания фитопланктона; ККЕ - удельная скорость экскреции фитопланктона; Кт -

удельная скорость автолиза РОР; KPN - коэффициент фосфатофикации РОР;

K

DN

коэффициент фосфатофикации БОР; K42 - удельная скорость

окисления аммония до нитритов в процессе нитрификации; K23 - удельная скорость окисления нитритов до нитратов в процессе нитрификации, sp, sN -нормировочные коэффициенты между содержанием N и P и весом во влажном состоянии [7].

Скорость роста фитопланктона определяется выражениями:

C^ = Кщ,2 min { fp (PO4),/n (NO3,NO2,NH4)},

Q, = Knf3 min {fp (PO4),fN (NO3,NO2,NH4), fSi (Si)};

где KNF - максимальная удельная скорость.

Структура взаимодействия отдельных блоков модели имеет вид:

Рис. 1. - Модельная схема биогеохимической трансформации форм фосфора, азота и кремния. ChV - зеленая водоросль Chlorella vulgaris, AF-A -синезеленая водоросль Aphanizomenon flos-aquae, SC - диатомовая водоросль Sceletonema costatum, PO4 - фосфаты, POP - взвешенный органический фосфор, DOP - растворенный органический фосфор, NH4,- аммоний, NO2 -нитриты, NO3 - нитраты, Si - растворенный неорганический кремний.

Присоединим начальные условия:

qt

и граничные 'qt = 0,un < 0

dq на цилиндрической боковой поверхности;

0., tin 0

dn dq

—'- = 0, на свободной поверхности водоема;

dz

-Г = 8Х,Яг , -Г- = 82Яг , на ДHе,

dz dz

где eXi, s2i - неотрицательные постоянные, sXl, ie (Fi, F2, F3} учитывают опускание водорослей на дно и их затопление; s2i, ie(PO4, POP, DOP, NO3,

NO2, NH4, Si} учитывают поглощение питательных веществ донными отложениями.

Для получения условий существования и единственности задачи (1)-(5) проведем линеаризацию системы временной сетке

< = {tn = пт,n = 0,1,...,N;Nt = T}. Члены вида R% линеаризуются в пределах

каждого временного шага, а именно, вместо уравнения (1) рассматривается цепочка уравнений вида dqt

dt

+ div

где

RF (qF ) = CF (1 - KFR )qF - KFjDqFt - KFiEqFi , i = 1, 2,3 ,

3

RPOP (qPOP ) = ^SPKFiDqFi — KPDqPOP — KPNqPOP , i=1

3

RDOP (qDOP ) = ^SPKFiEqFi + KPDqPOP — KDNqDOP ,

i=1

3

„ро4 (ро4 ) = 2 (К,Я —1)+ КРМЧРОР + КВМЯВ0Р

1=1 3

(\ у т (К'Р]Р 1) ЯР'(

(Ж4 ) = Т^Г^Т"^ ^4 " ^Ж, ,

^ЛИ4 + ЦмИА)\Ямо, + ЯМ02 ]ехр( -КРЯж, ]

Кмо +—МО3 + Чмо2)

+ Яж4

Км03\ Ям03) 2 п (к + Яп + ¡п \

¡=1 / п п \ / V п \ ^МИЛ N03^ Чм03^ ЧЖ02 )

( + ЯМ02 )ехР (—рАи4 ) +-' + Яп-¿

МИЛ

1мо2

+К23Я1 2

ч 2 (Кря -1) ехр(-КрЛМн) Я"к

- Ямо2 +

„п (я ) 2 'у^ (^ -1) ехр(-Кр^и4 ) Я,

КМ02\ЯМ02) 2 Яп (К + Яп + Яп \

¡=1 / п п \ / V п \ ЧмиЛ1^ N0^ ЧЖ02 )

( + ЯМ02 )ехР( К¡ЯМИ4) + —-у0—:0--

^ж4 Ями4

+К42Я МИ4 К23ЯМ02 ,

Щ, (¡8, ) = Э8,КЕ3вЯ"Еъ.

К начальным условиям

где яг (х,У,¿п + г) - «финальное» решение задачи (6) для предыдущего временного интервала < ^ < 1п + г.

Для линеаризованной системы построим квадратичный функционал, в результате преобразований которого и будут получены искомые условия[8,9]. Имеет место теорема.

Теорема. Пусть поставлена начально-краевая задача для линеаризованной по правым частям системы уравнений (6) с дополнительными условиями: начальными (2,7) и граничными (3-5).

Пусть q. принадлежат классу C2 (G )n C1 (G )n C1 (0 < t < T), kh (z),

kv(z) e C1 (G), Rq (x, y, z) e C1 (G) и для каждого n = 0,N -1 выполняются неравенства

7~ " Kfd + KFiE >Knf min{fp(PO4),fN(NOs,NO2,NH4)}(1 -kR

4kh 1 h | 4kv +

Hl 1 0 1 H h 1

4kh 4kh I

Hl 1 0 1 H H 1

4kh . 4kh 4k 1 v

H2 1 Hl 1 H

Kfd + KfeE > Knf min {

>

Knf, min { fnp

4kL+4kh+4k^+K _^ncf.(KFR-1)qF_

H2 К Hz2 42 1=1 (( + qNH4)( + qnNo2 )exp(-Kpsiq-NH4) n

+ qNH

KNO3 +

4

4kh+ikh+4K > y. sNCF. ( kf;R -1) exP (-крЛН4 ) qn

h2 H2 Hz2 tf

x y

/ n n \

(qNO, + qNOl)exP(-крЛщ) + 4V K 3 + :--

К + П

Тогда решение поставленной задачи существует и единственно.

Используя полученную математическую модель можно составить прогноз развития экосистемы на длительный срок и для различных значений входных параметров, разработав программный комплекс для многопроцессорной вычислительной системы [10,11].

Литература

1. Якушев Е.В., Сухинов А.И. и др. Комплексные океанологические исследования Азовского моря в 28-м рейсе научно-исследовательского судна «Акванавт» // Океанология. 2003. т. 43, №1. С. 44-53.

2. Сухинов А.И., Никитина А.В. Математическое моделирование и экспедиционные исследования качества вод в Азовском море // Известия ЮФУ. Технические науки. 2011. №8(121). С. 62-73.

3. Чистяков А.Е., Першина Ю.В. Решение задачи динамики популяций на основе модели хищник-жертва // Известия ЮФУ. Технические науки. 2013. №8. С. 142-149.

4. Першина Ю.В. Решение задачи динамики фитопланктона при наличии механизма эктокринного регулирования // Информатика, вычислительная техника и инженерное образование. 2013. №3(14). С. 45-54.

5. Yakushev E.V., Neretin L.N. One-dimensional modeling of nitrogen and sulphur cycles in the apotic zones of the Black and Arabian Seas // Global Biogeochemical Cycles. 1997. №11. pp. 401-414.

6. Ward B.B., Kilpatrick K.A. Nitrogen transformations in the oxic layer of permanent anoxic basins: the Black Sea and Cariaco Trench // Izdar E., Murray J.W. (Eds.), Black Sea Oceanography. Norwell: Springer, 1991. pp. 111-124.

7. Yakushev E.V., Pollehne F., Jost G. (Ets) Analysis of the water column oxic/anoxic interface in the Black and Baltic seas with a numerical model // Marine Chemistry. 2007. №107. pp. 388-410.

8. Сухинов А.И., Першина Ю.В. Достаточные условия единственности решения задачи динамики фитопланктона при наличии механизма эктокринного регулирования // Известия ЮФУ. Технические науки. 2009. №8 (97). С. 134-148.

9. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. 4-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2009. 248 с.

10. Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной

среды // Инженерный вестник Дона, 2012, №2 URL: ivdon. /ru/magazine/archive/n2y2012/794.

11. Е. Е. Дегтярева, Е. А. Проценко, А. Е. Чистяков Программная реализация трехмерной математической модели транспорта взвеси в мелководных акваториях // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1283.

References

1. Yakushev E.V., Sukhinov A.I. (Ets) Okeanologiya. 2003. t. 43, №1. pp. 4453.

2. Sukhinov A.I., Nikitina A.V. Izvestiya UFU. Tekhnicheskiye nauki. 2011. №8(121). pp. 62-73.

3. Chistyakov A.E., Pershina Y.V. Izvestiya UFU. Tekhnicheskiye nauki. 2013. №8. pp. 142-149.

4. Pershina Y.V. Informatika, vichislitelnaya technika I inzhenernoye obrazovaniye. 2013. №3 (14). pp. 45-54.

5. Yakushev E.V., Neretin L.N. One-dimensional modeling of nitrogen and sulphur cycles in the aphotic zones of the Black and Arabian Seas. Global Biogeochemical Cycles. 1997. №11. pp. 401-414.

6. Ward B.B., Kilpatrick K.A. Nitrogen transformations in the oxic layer of permanent anoxic basins: the Black Sea and Cariaco Trench. Izdar E., Murray J.W. (Eds.), Black Sea Oceanography. Norwell: Springer, 1991. pp. 111-124.

7. Yakushev E.V., Pollehne F., Jost G. (Ets) Analysis of the water column oxic/anoxic interface in the Black and Baltic seas with a numerical model. Marine Chemistry. 2007. №107. pp. 388-410.

8. Sukhinov A.I., Pershina Y.V. Izvestiya UFU. Tekhnicheskiye nauki. 2009. №8 (97). pp. 134-148.

9. Samarskiy A. A., Vabishevich P.N. Chislenniye metodi resheniya zadach konvektsii-diffuzii [Numerical methods of solution of convection-diffusion problems]. 4-e izd. M.: Editorial URCC, 2009. 248 p.

10. Chistyakov A.E., Phomenko N.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2012. №2 URL: ivdon. /ru/magazine/archive/n2y2012/794.

11. Degtyareva E.E., Procenko E.A., Chistyakov A.E. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2012. №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1283.