Оптимальное управление полулинейными системами соболевского типа в задачах без учета затрат на управление

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОЛУЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА В ЗАДАЧАХ БЕЗ УЧЁТА ЗАТРАТ НА УПРАВЛЕНИЕ

Получены условия существования решения задачи оптимального управления системой, динамика которой описывается полулинейным уравнением соболевского типа. В задаче используется функционал качества, в явном виде не зависящий от управления.

Ключевые слова: оптимальное управление, жесткое управление, полулинейное уравнение, уравнение соболевского типа.

Введение

Одним из перспективных направлений теории оптимального управления является исследование задач управления для нелинейных уравнений. Если задача не учитывает затраты на управление, то ее принято называть задачей жесткого управления. В данной статье в гильбертовых пространствах Ы, X, У рассматривается задача жесткого управления системами, не разрешенными относительно производной по времени. Пусть определены линейный непрерывный оператор Ь : X —— У, кег Ь = {0}, линейный, замкнутый и плотно определенный в X оператор М : ^шМ — У, нелинейный оператор N : X — У и линейный непрерывный оператор В : Ы — У. Будем исследовать задачу

Здесь Яд — непустое выпуклое замкнутое подмножество пространства управлений Я, X Е Н 1(^о ,Т; X) — заданная вектор-функция.

К задаче (0.1)—(0.4) могут быть сведены задачи управления для различных систем, например, системы Навье-Стокса [1], системы уравнений Буссинеска [2], уравнения Дзекцера [3] и других уравнений, не разрешенных относительно производной по времени [4; 5].

Классические результаты о задачах распределенного управления для разрешенных относительно производной по времени уравнений в частных производных получены в монографиях [1; 6]. Исследованию рассматриваемых здесь систем, называемых также системами соболевского типа, посвящены работы [7-9], в которых рассматриваются задачи с распределенным управлением для линейных

Работа выполнена при поддержке РФФИ и Министерства образования и науки Челябинской области (грант 10-01-96007-р_урал_а).

уравнений, а также работы [10; 11] о разрешимости задач стартового управления для полулинейных распределенных систем соболевского типа.

В настоящей работе используются условия на операторы Ь, М, N, которые, как показано в работе [12], гарантируют существование единственного нелокального сильного решения задачи Коши (0.1), (0.2). Центральным результатом данной работы являются теоремы о существовании решения задачи с распределенным управлением (0.1), (0.3), (0.4) при различных начальных условиях задачи и различных условиях на операторы.

Полученные абстрактные результаты в последнем параграфе статьи проиллюстрированы на примере задачи управления для полулинейного уравнения в частных производных, не разрешенного относительно производной по времени.

1. Существование решения начальной задачи

Приведем используемые в дальнейших рассмотрениях результаты, доказательство которых можно найти в [12; 13].

Пусть X, У — рефлексивные банаховы пространства. Через ; У) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из X в У. Если У = X, то обозначение сократится до ). Множество ли-

нейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве X, действующих в У, будем обозначать С/(X; У). Множество операторов С/(X; X) обозначим через С/(X).

Всюду в дальнейшем предполагаем, что Ь Є ; У), М Є С/(X; У). Обозначим рь(М) = {^ Є С : (^Ь — М)-1 Є £(У; X)}, Я^(М) = (^Ь — М)-1Ь, Ь£(М) = Ь(^Ь — М)-1, К+ = {а Є К : а > 0}, К+ = {0} и К+, N = {0} и N. Определение 1. Пусть р Є М0. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, если

(i) За Є К (а, +го) С рь(М);

(ii) ЗК > 0 Є (а, +то) Уп Є N

К

тахЛКя^АОГ'^Чк*), ІК^даГ^Іки} « {р — а)„(р+н;

К

В(Д^(М))Р+1(МЬ — М)-1Цг(>>;Х) « ^ — а)р+2 .

Замечание 1. Эквивалентность этого более простого определения сильной (Ь,р)-радиальности и того, которое было использовано в [13], следует из результатов [14] с учетом результатов работы [15], касающихся случая полурефлексивных локально выпуклых пространств.

Обозначим через X0 (У0) ядро кег(Я^(М))р+1 (кег(Ь^(М))р+1), а через X1 (У1) — замыкание линеала іш(Я^(М))р+1 (іш(Ь^(М))р+1) в норме пространства X (У). Через Мк (Ьк) будем обозначать сужение оператора М (Ь) на ^шМк = Xк П ^шМ (Xк), к = 0,1.

Теорема 1 [13]. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

(i) X = X0 ©X1, у = у0 ФУ1;

(ii) Ьк Є к; ук), Мк Є С/(Xк; Ук), к = 0,1;

(iii) существуют операторы М—1 Є £(У0; X0) и Ь-1 Є £(У1; X1);

(іу) оператор С = М—1Ь0 Є £^0) нильпотентен степени не больше р. Замечание 2. Проектор вдоль X0 на X1 (вдоль У0 на У1) имеет вид

Р = з- ііш (^(М))р+1 « = «- ііш «(М)Г+‘).

Рассмотрим задачу Коши для полулинейного уравнения соболевского типа

Ьх

х

где N : [і0,Т] х X — У — нелинейный оператор.

Определение 2. Сильным решением задачи (1.1), (1.2) назовем функцию х Є Н 1(і0,Т; X), для которой выполняется условие (1.2) и при почти всех і Є (і0,Т) справедливо равенство (1.1).

Теорема 2 [12]. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, оператор М сильно (Ь,р)-радиален, оператор N : [і0,Т] х X — У равномерно липшицев по двум переменным, iшN С У1. Тогда для любого х0 Є ^шМ П X1 задача (1.1),

(1.2) имеет единственное сильное решение.

Теорема 3 [12]. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, оператор М сильно (Ь, 0)-радиален, оператор QN : [і0,Т] х X — У равномерно липшицев по двум переменным, для любых (і,х) Є [і0,Т] х X выполняется равенство QN(і, х) = QN(і,Рх), х0 Є doшM,

Тогда задача (1.1), (1.2) имеет единственное сильное решение.

В физических приложениях часто возникает задача с обобщенным условием Шоуолтера

Р

вместо начального условия Коши (1.2). Для нее аналогичные результаты о разрешимости имеют следующий вид.

Теорема 4 [12]. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, оператор М сильно (Ь,р)-радиален, оператор N : [і0,Т] х X — У равномерно липшицев по двум переменным, iшN С У1, Рх0 Є domM. Тогда задача (1.1), (1.4) имеет, единственное сильное решение на (і0,Т).

Замечание 3. Отличие этого утверждения от теоремы 1 только в том, что в начальный момент времени в задаче (1.4) задано значение не всей искомой функции, а только ее проекции на подпространство X1.

Теорема 5 [12]. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, оператор М сильно (Ь, 0)-радиален, оператор QN : [і0,Т] х X — У равномерно липшицев по двум переменным, для любых (і,х) Є [і0,Т] х X выполняется равенство QN(і, х) = QN(і, Рх), Рх0 Є domM. Тогда задача (1.1), (1.4) имеет единственное сильное решение на (і0,Т).

Замечание 4. В работе [12] в теоремах 3 и 5 используется условие N(£,х) = N(£, Рх) для всех (£,х) € [£0,Т] х X. Однако, если воспроизвести доказательства этих теорем из [12], можно заметить, что они остаются в силе и при замене этого условия на более слабое — QN(£,х) = QN(£,Рх). Такое более слабое условие и использовано в представленных здесь формулировках теорем 3 и 5.

2. Задача жесткого управления

Пусть теперь X, У, и — гильбертовы пространства, определены операторы

Ь Є ; У), кег Ь = {0}, М Є С/(X; У), N : [і0,Т] х X — У, В Є £(и; У).

где х € Н:(Х) — заданная функция, множество допустимых управлений Яд является непустым замкнутым выпуклым подмножеством пространства Ь2(и). Здесь и далее приняты обозначения Ь2(£0,Т; V) = Ь2^), Н^£0,Т; V) = Н:(У).

При исследовании задачи оптимального управления (2.1)—(2.4) будем использовать понятие сильного решения задачи Коши (2.1), (2.2). Учитывая вид уравнения (2.1), его сильные решения будем искать в гильбертовом пространстве

Е = (г € Н:(Х) : г(£) € ёошМпри п. в.£ € (£0,Т), Ьг — Мг € Ь2(У)}

с нормой [[гЦя = ||г|я1(Х) + ||Ьг — Мг|^2(у). Его полнота доказана в [16].

Введем в рассмотрение оператор 70 : Н:(Х) 4 X, 70х = х(£0). Он непрерывен по теореме Соболева о вложении пространств.

Множеством W допустимых пар задачи (2.1)—(2.4) называется множество пар (х,и), таких, что и € Яд, х € Н:(Х) — сильное решение соответствующей задачи (2.1), (2.2). Решение задачи (2.1)-(2.4) состоит в нахождении пар (х,и) € ОТ, минимизирующих функционал стоимости 3:

Теорема 6. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, оператор N : [£0,Т] х X 4 У равномерно Липшицев по двум переменным, т N С У1, х0 € ёош МПХ Яд является непустым замкнутым выпуклым ограниченным подмножеством пространства Ь2(и), существует такое липшицево и € Яд, что Ви(£) € У1 для всех £ € [£0,Т]. Тогда существует решение (х,и) € Е х Яд задачи (2.1)-(2.4).

Доказательство. В условиях данного параграфа пространство X является гильбертовым, а значит, и рефлексивным банаховым. При фиксированном и € Ь2(и) введем в рассмотрение оператор N : [£0,Т] х X 4 У, заданный равенством

Рассмотрим задачу оптимального управления

Ьх(і) = Мх(і) + N (і, х(і)) + Ви(і), і Є (і0, Т),

З (х) = іп£ З (х).

(х,«)Є

Ж(£,х(£)) = N(£,х(£)) + Ви(£). Очевидно, что оператор N : [£0,Т] х X 4 У также липшицев по двум переменным £ и х, если функция и липтттиттева.

Кроме того, по условию данной теоремы существует такое липшицево и € Яд, что Ви(£) € У1 для всех £ € [£0,Т]. Ему соответствует оператор N, для которого тЖ С У1. Отсюда из теоремы 2 следует существование сильного решения задачи Коши (2.1), (2.2) для пары (х0,и) € (ёошМ ПX1) х Яд с

соответствующим и. А значит, множество допустимых пар ОТ непусто.

Далее воспользуемся результатами монографии [1] (см. гл. I, теорема 2.4). Для этого положим ^ = Н1^), ^1 = Е, Я = Ь2(и), V = Ь2(У) х X, $(х(-)) = (—N(,х(-)),х0), £(х, и) = (Ьх — Мх — Ви,70х). Непрерывность линейного оператора £ : ^ х Я 4 V следует из неравенств

||(Ьх — Мх — Ви,70х)||2(у)хх < 211Ьх — Мх|12(у) + 211Ви1И2(У) + 11Т0х11Х ^

^ С1 (||Ьх — Мх|||2(У) + Нх11я 1(Х) + (М^М)) = С1||(х,и)Н!хМ•

Здесь использована непрерывность операторов 70 и В.

Из липшицевости по двум переменным оператора N при произвольном выборе £ € [£0,Т], х € X получим

1^(£,х)|У ^ 1^(£,х) — N(£0,0)||у + |^(£0,0)||у <

Здесь I — константа Липшица оператора N.

Убедимся в коэрцитивности функционала 3. Имеем в силу доказанного только что неравенства

Нх1|| + Ни1||2(и) = 11х11я 1(Х) + 11Ьх — Мх|Ь2 (У) + НиН12(и) =

= |х|Н1 (X) + 1^(',х(-)) + Ви|Ь2(У) + Ни|^2(и) <

< Нх11я 1(Х) + 21^(',х('))[12(У) + 2|Ви|!2(У) + НиН12(и) <

^ 11х|Я1 (X) + 4к2(Т — £0) + 4к2|х|Н1(Х) + с1|и|!2(и) ^ С23(х) + С3.

Последнее неравенство получено с использованием ограниченности множества Яд, т. е. с использованием неравенства ||и|||2(и) ^ С.

Из соотношения ||хп — х|я 4 0 при п 4 то следует, что

т

|^ (-,х„(-)) —N (-,х(-))||!2(У) = ^ |^ (^ хп(£))—(£,хС0)||У ^ ^ /2|хп— х||2(Х) 4 °-

^0

Поэтому оператор $ непрерывен.

Выбрав ^-1 = Ь2(X), проверим остальные условия теоремы 1.2.4 из [1]. Компактность вложения пространства Н1^), а значит, и ^1 = Е, в пространство ^-1 = Ь2(X) следует из теоремы Реллиха-Кондрашова.

Далее для условия компактности 2.5 [1] в качестве Б С Ь2(У) возьмем плотный линеал С([£0,Т]; У). Тогда для V € С([£0,Т]; У) в силу липшицевости оператора N по двум переменным имеем

^(£,х„(£)) — NС^СО^СО^у) ^ /|Мк2(У)11хп — х1к(х).

Для каждого х € Е найдется последовательность {хп} С Ь2^), которая сходится к х в Ь2^). Отсюда следует непрерывная продолжимость функционала ($(), V) с Е на Ь2^).

Для х0 € ^шМ множество таких и € Н 1(и), что

(/— р )х0 + М01(/— ^)^г (£0, Рх0) = —М01(1 — д)Ви(и

обозначим через Нд (х0).

Теорема 7. Пусть оператор М сильно (Ь, 0)-радиален, оператор QN : [£0,Т] х X 4 У равномерно Липшицев по двум переменным, для любых (£, х) € [£0,Т] х X выполняется равенство QN(£,х) = QN(£,Рх), х0 € doшM, Яд является непустым замкнутым выпуклым ограниченным подмножеством пространства Ь2(и), существует липшицево и € Яд П Нд(х0). Тогда существует решение (х,и) € Е х Яд задачи (2.1)-(2.4).

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 6, при фиксированном и € Ь2(и) введем в рассмотрение оператор N : [£0, Т] х X 4 У, заданный равенством 7\Л(£,х(£)) = N(£,х(£)) + Ви(£). В условиях теоремы оператор QN липшицев по двум переменным £ и х, поэтому и также обладает этим свойством.

Кроме того, наличие липшицевой функции и € Яд П Нд(х0) гарантирует выполнение условия (1.3) для оператора N хотя бы при одном управлении из Яд. Таким образом, из теоремы 3 следует непустота множества допустимых пар ОТ. Остальные рассуждения проведены при доказательстве теоремы 6.

Для задачи (2.1), (2.3), (2.4) с начальным условием Шоуолтера (1.4), опираясь на теоремы 4, 5, получим следующие результаты.

Теорема 8. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален, оператор N : [£0,Т] х X 4 У равномерно липшицев по двум переменным, т N С У1, Рх0 € dom М, Яд является непустым замкнутым выпуклым ограниченным подмножеством пространства Ь2(и), существует такое липшицево и € Яд, что Ви(£) € У1 для всех £ € [£0,Т]. Тогда существует решение (х,и) € Е х Яд задачи (1.4), (2.1),

(2.3), (2.4).

Теорема 9. Пусть оператор М сильно (Ь, 0)-радиален, оператор QN : [£0, Т] х X 4 У равномерно липшицев по двум переменным, для любых (£, х) € [£0,Т] х X выполняется равенство QN(£,х) = QN(£,Рх), Рх0 € domM, Яд является непустым замкнутым выпуклым ограниченным подмножеством пространства Ь2(и), существует липшицево и € Яд П Н 1(и). Тогда существует решение (х,и) € Е х Яд задачи (1.4), (2.1), (2.3), (2.4).

Доказательство. Заметим, что поскольку условие (1.4) задает начальное значение только для проекции функции состояния на подпространство X1, то необходимость в условии согласования, заданного в теореме 7 с помощью множества

Нд(х0), исчезает, и решение обобщенной задачи Шоуолтера будет существовать, если найдется достаточно гладкое (из Н 1(и)) допустимое управление.

3. Задача управления для нелинейного уравнения Дзекцера

Пусть О С — ограниченная область с границей дО класса Сте, п < 4, д : К х О х К 4 К. Введем в рассмотрение оператор А : Ь2(О) 4 Ь2(О), Аг = Аг, doшA = {г € Н2(О) : г(х) = 0, х € дО}. Обозначим через {^к} множество собственных функций оператора А, соответствующих его собственным значениям {Лк}, занумерованным по невозрастанию с учетом их кратности. Будем искать функцию г = г(х,£), определенную в цилиндре О х [£0, Т], удовлетворяющую в нем равенствам

(Л — А)^(х,£) = аАг(х,£) — в А2 г(х,£) + ^ (д(£, , г(-, £)), ^^ (х),

г

Это начально-краевая задача для модифицированного уравнения Дзекцера, моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости [3]. Здесь Л, а € К, в € К+ — параметры, характеризующие среду. Слагаемое ^2 (д(£, , г(-, £)), ) ^к(х) играет роль внешней нагрузки, зависящей в том числе

от скорости г потока жидкости.

Редуцируем задачу (3.1)-(3.3) к задаче (1.1), (1.4). Положим X = Н^О) = {г € Н2(О) : г(х) = 0, х € д О}, У = Ь2(О), Ь = Л — А, М = аА — в А2, domM = {г € Н4(О) : г(х) = Аг(х) = 0, х € дО}.

Сильным решением задачи (3.1)—(3.3) является г € Н1 (£0,Т; Н^(О)), для которого выполняется условие (3.3) и на О х 3 — равенства (3.1), (3.2), где 3 С [£0,Т], шев^,Т] \ 3) = 0. _

Теорема 10. Пусть п < 4, аЛ — вЛ2 = 0, д € С([£0,Т] х О х К), частные производные д4, дг существуют и ограничены на [£0,Т] х О х К, г0 € Н4(О), г0(х) = Аг0(х) = 0 для х € дО. Тогда задача (3.1)-(3.3) имеет единственное сильное решение на [£0,Т].

Доказательство. Известно [17], что в данном случае при условии аЛ — вЛ2 = 0 оператор М является сильно (Ь, 0)-радиальным. При этом X0 = У0 = врап{^к : Лк = Л}, X1 и У1 есть замыкания линеала врап{^к : Лк = Л} в норме пространства Н2(О) или Ь2(О) соответственно. Поэтому условие (3.3) задает начальное значение не всего решения, а лишь его проекции на подпространство X1. Следовательно, это условие Шоуолтера, а условия на функцию г0 в формулировке теоремы означают, что в абстрактной постановке в условии (1.4) г0 € domM.

В случае п < 4 имеют место непрерывное вложение Н2 (О) в С (О), поэтому для £ € [£0,Т], г € Н^СО) в силу непрерывности функции д(£,х,г(х)) по х на

компакте П

^ ||#(і,-,г(-))ІЬ2(П) < шах |#(і, х, г(х))|шев1/2(П).

І2

жє п

Таким образом, мы имеем нелинейное отображение N : [і0,Т] х Н2(П) 4 Ь2(П), действующее по правилу N(і,г)(х) = ^ (#(і,-,г(-)),^к) (х). Очевидно, что

iшN С іші = ^1.

Возьмем (і1,^1), (і2,г2) Є [і0,Т] х Н,2(П) и получим

(І1,^1) - N(І2,^2)|Ь2(П) = ||(^(*1,-,^1(')) - ^(і2, •,^2(')))|Ь2(П) ^

[$(^1 + (1 — , $г1() + (1 — $)г2('))]0

<

І2

#*(^1 + (1 — ^)і2, , $г1() + (1 — 0)г2(-))^$

+

І2

+

(г1(-) — г2()) / &:(^1 + (1 — , $г1() + (1 — 0)г2(-))^$

<

І2

х шах{ вир |#4(і, х,г)| шев1/2 (П), вир ^(і, х,г

І (і,ж,.г)Є[іо,Т] хП хІ

(і,ж,.г)є[і0,Т ] х П х І

Это означает равномерную липшицевость по і и г оператора N.

Пространство X = Н2(П) рефлексивно, поэтому к задаче (3.1)—(3.3) можно применить теорему 4.

Рассмотрим задачу оптимального управления (А — Д)г*(х, і) = аДг (х, і) — в Д2г(х, і) + £ (#(і,-,г(',і)),№) №(х) + и(х,і).

(х,і) Є П х (і0,Т), г(х,і) = Дг(х,і) = 0, (х,і) Є дП х (і0, Т),

(А — Д)(г(х,і0) — го(х)) = 0, х Є П.

З

2 ІІг ^ІІЯ!(і0,Т;Я2(П)) 4 іП^ •

1

1

1

Здесь г € Н 1(£0, Т; Н2(О)) — заданная функция, а множество Яд задано условием (3.7) и, очевидно, является выпуклым замкнутым ограниченным подмножеством пространства управлений Ь2(£0,Т; Ь2(О)). Опишем необходимое пространство:

Е = {г € Н 1(£0,Т; Н^СО)) : (Л—А)г*(х, £)—аАг(х, £)+вА2г(х,£) € Ь2(£0,Т; Ь2(О))}.

Заметим, что для г € Н 1(£0,Т; Н^СО)) выполняется (Л — А)^(х,£) — аАг(х,£) € Ь2(£0,Т; Ь2(О)) и из определения Е следует включение А2г(х,£) € Ь2(£0,Т; Ь2(О)). Отсюда получим, что г € Ь2(£0,Т; Н4(О)). Таким образом, пространство Е совпадает с пространством

Е = Н 1(£0,Т; Н2(О)) П Ь2(£0,Т; Н4(О)).

(Вложение Е С Е очевидно.) Учитывая вышесказанное, теорема 8 приводит к следующему результату.

Теорема 11. Пусть п < 4, аЛ — вЛ2 = 0, д € С([£0,Т] х О х К), частные производные д4, дг существуют и ограничены на [£0,Т] х О х К, г0 € Н4(О), г0(х) = Аг0(х) = 0 для х € дО. Тогда существует решение (£,и) € Е х Яд задачи (3.4)-(3.8).

Доказательство. Необходимо лишь пояснить, что в шаре

{и € Ь2(£0, Т; Ь2(О)) : |и|ь2(*о,Т;Ь2(П)) < Д}

всегда найдется достаточно гладкая по £ функция, при каждом £ € [£0,Т] принадлежащая подпространству У1, представляющему собой замыкание в Ь2(О) линеала врап{^к : Лк = Л}.

Список литературы

1. Фурсиков, А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А. В. Фурсиков. — Новосибирск : Науч. кн., 1999. — 350 с.

2. Плеханова, М. В. Задачи с жестким смешанным управлением для линеаризованного уравнения Буссинеска / М. В. Плеханова, А. Ф. Исламова // Дифференц. уравнения. — 2012. — Т. 48, № 4. — С. 565-576.

3. Дзекцер, Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е. С. Дзекцер // Докл. Акад. наук СССР. — 1972. — Т. 202, № 5. — С. 1031-1033.

4. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. — Новосибирск : Науч. кн., 1998. — 438 с.

5. Свешников, А. Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа /

А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М. : Физмат-лит, 2007. — 734 с.

6. Лионс, Ж!.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионс. — М. : Мир, 1972. — 414 с.

7. Плеханова, М. В. Задача оптимального управления для одного класса вырожденных уравнений / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и си-

стемы упр. — 2004. — № 5. — С. 40-44.

8. Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 11. — С. 1548-1556.

9. Плеханова, М. В. О разрешимости задач смешанного оптимального управления линейными распределенными системами, не разрешенными относительно производной по времени / М. В. Плеханова, А. Ф. Исламова // Изв. вузов. Математика. — 2011. — № 7. — С. 37-47.

10. Fedorov, V. E. Solvability of start control problems for semilinear distributed Sobolev

type systems / V. E. Fedorov, M. V. Plekhanova // Int. J. Mathematical Modelling

and Numerical Optimisation. — 2010. — Vol. 1, № 3. — P. 153-167.

11. Федоров, В. Е. Задача стартового управления для класса полулинейных распределенных систем соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2011. — Т. 17, № 1. — С. 259-267.

12. Фёдоров, В. Е. Глобальная разрешимость некоторых полулинейных уравнений соболевского типа / В. Е. Федоров, П. Н. Давыдов // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2010. — № 20 (158). Математика. Механика. Информатика. Вып. 12. — С. 82-89.

13. Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В. Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12, вып. 3. — С. 173-200.

14. Федоров, В. Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2009. — № 20 (158). Математика. Механика. Информатика. Вып. 11. — С. 12-19.

15. Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле-Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн. — 2005. — Т. 46, № 2. — С. 426-448.

16. Плеханова, М. В. Критерий оптимальности в задаче управления для линейного уравнения соболевского типа / М. В. Плеханова, В. Е. Федоров // Изв. РАН. Теория и системы упр. — 2007. — № 2. — С. 37-44.

17. Федоров, В. Е. О разрешимости возмущенных уравнений соболевского типа /

B. Е. Федоров, О. А. Рузакова // Алгебра и анализ. — 2008. — Т. 20, № 4. —

C.189-217.