Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек

УДК 539.3

Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек

С.О. Саркисян

Гюмрийский государственный педагогический институт, Гюмри, 377526, Армения

Формулируются достаточно общие предположения (гипотезы), имеющие асимптотическое подтверждение, при помощи которые на основании трехмерной микрополярной (моментной, несимметричной) теории упругости в зависимости от значений безразмерных физических параметров материала оболочки построены общие прикладные двумерные теории микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений, со стесненным вращением, «с малой сдвиговой жесткостью». В построенные теориях микрополярнык оболочек полностью учитываются поперечные сдвиговые и родственные им деформации. Теории микрополярных упругих тонких пластин и балок представляют собой частные случаи указанных микро-полярных теорий оболочек. В осесимметричной постановке рассматривается задача об определении напряженно-деформированного состояния шарнирно-опертой микрополярной цилиндрической оболочки. На основе численного анализа показывается эффективное проявление прочностных и жесткостных характеристик микрополярно-упругого материала оболочки.

Ключевые слова: микрополярно-упругий, оболочка, теория, прочностные и жесткостные характеристики, эффективность

General theory of micropolar elastic thin shells

S.H. Sargsyan Gyumri State Pedagogical Institute, Gyumri, 377526, Armenia

The paper formulates general hypotheses of micropolar elastic thin shells that are given asymptotic validation. Using these hypotheses and three-dimensional Cosserat (micropolar, asymmetric) theory of elasticity, general two-dimensional applied theories of micropolar elastic thin shells with independent displacement and rotation fields, constrained rotation and low shear rigidity are constructed to suit dimensionless physical parameters of the shell material. The constructed micropolar shell theories take into complete account transverse shear strain and related strain. Theories of micropolar elastic thin plates and beams are particular cases of the constructed micropolar shell theories. An axially symmetric problem of the stress-strain state of a hinged micropolar cylindrical shell is considered. Numerical analysis is used to demonstrate the effect of strength and rigidity characteristics of micropolar elastic shells.

Keywords: micropolar elastic shell, theory, strength and rigidity characteristics, efficiency

1. Введение

Прогресс микро- и нанотехнологий ставит перед механикой новые проблемы, которые способствуют развитию исследований по физической мезомеханике и структурной механике твердых деформируемых тел [13]. Для описания напряженно-деформированного состояния в структурно-неоднородных твердых телах успешно применяется микрополярная теория упругости, которая в последнее время интенсивно развивается [417]. С точки зрения современных приложений актуальна проблема построения математических моделей микро-полярных упругих тонких балок, пластин и оболочек [18-29].

Основная проблема общей теории микрополярных упругих тонких стержней, пластин и оболочек заключа-

ется в приближенном, но адекватном сведении трехмерной задачи микрополярной теории упругости к одномерной или двумерной краевой задаче. На наш взгляд, для этой цели уместно использование результатов асимптотического метода интегрирования краевой задачи трехмерной микрополярной теории упругости в тонкой области оболочки или пластинки (прямоугольника) [30-33]. С точки зрения инженерной практики для осуществления этой идеи эффективен такой подход: имея в виду качественные стороны результата асимптотического метода интегрирования трехмерной (двумерной) краевой задачи микрополярной теории упругости в тонкой области оболочки или пластинки (прямоугольника), можем формулировать достаточно общие предположения (гипотезы), которые позволят из трехмерной

© Саркисян С.О., 2011

(двумерной) теории перейти к двумерной (одномерной) модели микрополярных оболочек и пластин (стержней).

В данной работе на основе такого подхода из трехмерной теории микрополярной теории упругости в зависимости от значений физических безразмерных параметров, построены общие теории микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений, со стесненным вращением, «с малой сдвиговой жесткостью», при которых полностью учитываются поперечные сдвиговые и родственные им деформации.

2. Постановка задачи

Рассмотрим изотропную оболочку постоянной толщины 2h как трехмерное упругое микрополярное тело. Будем исходить из основных уравнений (тензорных) пространственной статической задачи линейной микро-полярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [34-36]:

уравнения равновесия:

У^.тп а Г7 ,,тп. птк ^ л /1Л

тСТ = VтЦ + е ^тк =

физические соотношения упругости:

СТтп = (Ц + «)Утп + (Ц — «)Упт + АУкк8пт , Цтп = (У + е)ктп + (У- е)кпт + РКкк§пт ,

геометрические соотношения: у = V V — е юк к = V ю

тп т п ктп тп т п

Здесь ст, Ц — тензоры силовых и моментных напряжений; у, к — тензоры деформаций и изгибов-кручений; V, ю — векторы перемещения и независимого поворота; А, ц, а, в, у, е — упругие константы микрополярного материала оболочки. Индексы т, п, k принимают значения 1, 2, 3.

К определяющим уравнениям (1)-(3) трехмерной несимметричной теории упругости присоединим соответствующие граничные условия.

На лицевых поверхностях оболочки примем граничные условия первой краевой задачи микрополярной теории упругости со свободным вращением, а на поверхности края оболочки 2 в зависимости от способа приложения внешней нагрузки или закрепления ее точек граничные условия записываются в силовых и моментных напряжениях, перемещениях и поворотах или в смешанном виде.

Следует отметить, что основной физической постоянной, удовлетворяющей уравнениям (1)-(3) на уровне микрополярной теории упругости, является модуль упругости а (при а = 0 из указанной системы будут получаться уравнения классической теории упругости).

В дальнейшем будем использовать криволинейные ортогональные координаты а к (коэффициенты Ламе Н = Д (1 + а3/Ri) (г = 1, 2), Н3 = 1), принятые в теории оболочек [37]. При этом для физических составляющих

тензоров и векторов оставим прежние обозначения. Граничные условия на лицевых поверхностях оболочки а3 = ±h теперь можем записать так:

стзг = ±#±, стзз = ±#3,

Цзг = ±т±, Ц33 = ±тз± (г = 1, 2).

Отметим, что иногда удобно из уравнений закона Гука (2) для деформаций у12, у21 и у3-, у-3 (г = 1, 2) рассматривать их суммы и разности, которые с учетом геометрических соотношений (3) в принятой системе криволинейных координат можем записать следующим образом:

Н2 Эа2

щ — _1_

Н1 Эа1 Н1Н2 Эа2 1

--------V =

2Ц

1 ЗГ3 1 ЭН, +ЗУ{ 1 , + .

-Vг + ^ =— (ст -3 +ст3-X

Н1Н2 Эа1

дН2тг 1 ,

2 V, = — (СТц +СТ21),

Н( Эа, Н( Эа3 Эа3 2ц

'(

1 дV1

1 ЭН2

Н2 Эа2 Н-^Н2 Эа!

-V*

1 дv2 1 ЭН1

Н1 Эа1 Н1Н2 Эа2

V

+ 4а(СТ 21 — ст12)’

ю, = (—1)11

1 э^

Н1 Эа 1

л.ЭЛУ .

Н; Эа3 1

Э^

Эа,

1

—(—1)7^а (ст13—^

Здесь и в дальнейшем i, j = 1, 2, причем i ф j.

Предполагается, что толщина оболочки мала по сравнению с характерными радиусами кривизны срединной поверхности оболочки. Будем исходить из следующей основной концепции: в статическом случае общее напряженно-деформированное состояние тонкого трехмерного тела, образующего оболочку, состоит из внутреннего напряженно-деформированного состояния, охватывающего всю оболочку, и пограничных слоев, локализирующихся вблизи поверхности края оболочки 2. Построение общей прикладной двумерной теории микрополярных упругих тонких оболочек тесно связано с построением внутренней задачи.

Считая, что метод гипотез, наряду с чрезвычайной наглядностью, очень быстро и относительно просто для инженерной практики приводит к окончательным результатам, будем строить теорию микрополярных оболочек на основе метода гипотез. Сами гипотезы будем формулировать на основе результата асимптотического анализа поставленной трехмерной граничной задачи микрополярной теории упругости в тонкой трехмерной области оболочки [32, 33].

При определении внутреннего (как и краевого) напряженно-деформированного состояния оболочки [32,

ю3 = —

33] большую роль играют значения физических констант материала оболочки, с этой точки зрения вводим следующие безразмерные физические параметры:

ц Я2ц Я2ц Я2ц

’ о ’ ’

а р у е где R — масштабный фактор, представляющий собой характерный радиус кривизны срединной поверхности оболочки.

3. Модель микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений

С учетом качественных результатов асимптотического решения системы уравнений (1)-(3) с указанными выше граничными условиями и самого процесса асимптотического интегрирования этой граничной задачи [32, 33], в случае когда безразмерные физические параметры (7) принимают значения:

Ц а

Р ' ' ' (8) Р У е

в основу предлагаемой ниже теории микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений можем ставить следующие достаточно общие предположения (гипотезы).

1. В процессе деформации первоначально прямолинейные и нормальные к срединной поверхности волокна свободно поворачиваются в пространстве как жесткое целое на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины и не оставаясь перпендикулярными к деформированной срединной поверхности.

Принятую гипотезу математически можем записать так: тангенциальные перемещения и нормальный поворот распределены по толщине оболочки по линейному закону

Vi = щ (а1, а2) + а3V- (а1, а2),

ю3 = ^3 (а1, а2) + а31(а1, а2), а нормальное перемещение и тангенциальные повороты не зависят от поперечной координаты а3, т.е.

V3 = м<ах, а2), ю, = П,

Отметим, что с точки зрения перемещений принятая гипотеза (9), (10), по сути дела, совпадает с кинематической гипотезой Тимошенко в классической теории упругих оболочек [38, 39]. Гипотезу (9), (10) в целом назовем обобщенной кинематической гипотезой Тимошенко в микрополярной теории оболочек.

2. Силовым напряжением ст33 в обобщенном законе Гука (2) можно пренебречь относительно силовых напряжений ст,,.

3. При определении деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений сначала для силовых напряжений ст3, и моментного напряжения ц33 примем:

0 0 СТ3, = ст3, (а1, а2), ц33 =ц33(а1, а2)-

После вычисления указанных величин значения ст3, и Ц33 окончательно определим прибавлением к соответствующим значениям (11) слагаемых, получаемых интегрированием первых двух или шестого уравнения равновесия из (1) (при п = 1, 2 в первом уравнении из (1) и при п = 3 во втором уравнении из (1)), для которых потребуем выполнения условия, чтобы усредненные по толщине оболочки величины были равны нулю.

4. Величинами а3/Я, по сравнению с единицей можно пренебрегать.

Представленная статическая гипотеза (имеем в виду гипотезу 3) отличается от соответствующей гипотезы Тимошенко [38, 39]. Забегая вперед, отметим, что построенная на основе гипотез 1-4 прикладная двумерная теория микрополярных оболочек будет асимптотически точной теорией. Сформулированные предположения 14 дают возможность при построении теории микрополярных упругих тонких оболочек полностью учесть поперечные сдвиговые и родственные им деформации.

В соответствии с обобщенной кинематической гипотезой Тимошенко (9), (10), для компонентов тензоров деформаций, изгибов-кручений из уравнений (3) получим:

Уй = Г(ах, а2) + а3*й(а1, а2),

У» =Г

У,3 = Г-3 (а1, а2Х У3* = Г3, (ах, а2 X Хй = к- (а1, а2), Ху = Ку (а, а2),

Х-3 =к--3

Х33 = к33 (а1, а2), У33 = 0, Х3- = 0

где

^ 1 Эи, 1 ЭА, ^

Г =-------- +-----—и + —,

Аг Эа, А, А у Эау 1 Я,

1 ЭА,

Г = -

1 А, Эа, А,А, Эа,

— (—1) 1 ^

К, = -1 ^ + 1

ЭА,

А1 Эа, А1Ау Эа у 1

ЭА

Ку =-------- ---------:

А, Эа, А^Ау Эа у

Г-3 = —& + (—1)1 а 1, Г3, = V, — (—1)1 ау, 1 Эw и,

& =-------------+ —,

А, Эа, Я,

1 ЭП, 1

к„ =-----------L +

. а 1- + а-

А, Эа, А,А1 Эа1 Я,

,1

1 ЭА,

к,, =

1 А, Эа, А,А1 Эа

а.,

,1

к,3 =

1 Эа,

________Ц_ = 1 Эг

г3 А, Эа, Я, ’ г3 А, Эа,

Далее, на основе обобщенного закона Г ука (2), уравнений равновесия (1) и принятых гипотез для компонент тензоров силовых и моментных напряжений будем иметь следующие определяющие формулы:

Е Е

сти =--2 (Г,, + УГ1 ) + а3 ---------2 (Kii + VK1X

1 — V 2 1 — V 2

ст и = [(ц + а)Г + (ц — а)Гу, ] +

+ а 3[(ц + а)К„- + (ц — а) К у, ], ст,з = (Ц + а)Г-3 + (Ц — а)Г3,,

q3+ — q3— а 3 + —

ст33 =---------------------------+-(q3 + q3 ),

33 2 2к

ст3, = стз, (а1, а2) +

+ а 3

ад

Э| Ау СТи | э( А, СТуг

Эа,

Эа;

1 ЭАу о 1 ЭА; о ст,3

+------------------------ ст 1---------------------------------------— СТц-------------

ДА Эа ДА Эа Я,-

а 3 h

АД

Э| Ау ст,,

Эа

Эа

1 ЭА у 1 1 ЭА, 1

- СТ у — -

АД Эа,• 11 А,А; Эа, 1

ц, = М+!> к,, + ^к„ ^ТГ-^Ц33,

Р + 2у Р + 2у~ 1

Цу = (У+е)% + (У —е)к1,

Р

Р+у ,0 У

Р + 2у

(ц11 + Ц 22 ),

,3, =

т, — т, а 3

^ '••1 - + ^г(т++ т— ),

2h

Ц33 = Ц33 (а1, а 2) + 1

+ а 3

А1 А2

= Э(А2 Ц013) + Э(А1 (°23 )1

V

\

Ц11 + Ц 22

Я1 Я2

12

Эа1

,0 0

Эа2

= а 2

а ^

+ —

2

V

1 I

—

Ц,3 =

4уе + у — е т, — т,

к,3 +

у + е

у + е

+а

4уе , у — е т, + т,

—!—/13 +---------'-----

у+е у + е 2h

0 0 0 1 1 1 _ „ Здесь ст й , ст у-, ц ,3, ст,,, сту, Ц ,3 представляют собой соответственно постоянную и линейную по а3 части силовых ст,,, сту и моментных напряжений ц,3.

С целью приведения трехмерной задачи микропо-лярной теории упругости к двумерной, что уже выполнено для перемещений, деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений, в теории микропо-лярных упругих оболочек вместо компонент тензоров силовых и моментных напряжений вводим статически эквивалентные им интегральные характеристики—усилия Ти, Бу, Ni3, N3i, моменты м,1 , ну, Ц, Ц, Ц,з > Ь33 и гипермоменты Л,3 , которые с учетом предположения 4 выражаются следующим образом: к к к

т, = Jстiidаз, Бу = /сту-ёа3, N3 = |ст,3^3,

—к —к —к

к к к

= /ст3, dаз, м,1 = JазСTiidаз, Н = /азсту ^ —к —к —к

к к к

Цц = /цйdаз, Цу = /Цуdаз, £33 = /цзз^з, —к —к

—к

кк

Ц,з = / Ц,з^з, Л,з = /азЦiзdаз.

—к —к

Основная система уравнений микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений будет иметь вид: уравнения равновесия:

1 ЭТ- 1 ЭА1 1 ЭБ,

----1 (т — тИ) + -+

А, Эа, ДАу Эа, 1 Ау Эа у

+1А Ц(>+Я -*++q- »•

н^1 1 ЭМ.

А, Эа, А1Ау Эа,

1 ЭА;-

(М,, — М1 ) +

1 ЭН,

1 Ау Эа у

1 ЭА

+ — ^ (Н, + Ну ) — Nз, = —к(д+ — q-),

Т1^ + _Т22

1

Я1 Я2 А1А2

1 ЭЦ, + 1 ЭА;-

Э

Эа1

Эа2 1 ЭЦ1

= qз + qз ^

- (Ц,, — Ц у) + -

А{ Эа, А1Ау Эа, 1 Ау Эау

1 ЭД- Ц,3

+ , ( Ц , + Ц, ) + , 3 +

ДАу Эау 1 1 Я,

+(—1)1 (N13 — N310 = —(т+ + т— )^

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

х

+

х

+

Ai + L: -^1

'22

Л A2

д

da1

da 2

L33 -

1

A1A2

д

da1

da,

- (H12 - H21) = h(m3+ - m3 X

физические соотношения упругости: 2Fh

Ti = -----Г(Цг- +vri,),

1 -v2

S, = 2ЭД(ц + а)Г + (ц - а)Г7-г- ],

2Fh

3

(Ku +vK,,),

2h

[(ц + а)К/ + (ц-а)К/ ]

‘г/ з Lvr- — )^ij vr- "/“JU

Ni3 = 2^ц + а)Г,3 + 2^ц- а)Г3,,

N3, = 2h(M- + a)r3i + 2h(|x - a)ri3,

4Y(e + Y) K + 2yp K p+ 2y й p+ 2y jj _ Lj = 2h[(y + е)К/ + (у - e)k fi ],

L33 = 2h[(P + 2Y)i + P(k11 +k 22 )],

Li = 2h

P+ 2y

L33,

Li3 = 2h

4ye —1—i

Y+e

Y - e mt - mt

Y + e 2

Л'з =

2h

4Ye , , Y - e m, + m,

li3 + "

2h

Y+e y+e К уравнениям равновесия (19), (20) и соотношениям упругости (21), (22) микрополярных оболочек следует присоединить геометрические соотношения (14), (15).

Представим «смягченные» граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки, считая, что этот контур совпадает с координатной линией a1 = const:

T11 = T11 или U1 = U1 , $12 = S* или U2 = U2,

N13 = N13 или w = w*,

M11 = M11 или K11 = K1, H12 = H12 или K12 = K12,

L11 = L11 или Кц = Кц, L12 = L12 или К12 = К12,

L13 = L13 или к13 = к13, Л13 = Л13 или l13 = l13. Система уравнений (14), (15), (19)-(22) микрополяр-ных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений представляет собой систему дифференциальных уравнений 18-го порядка с девятью граничными условиями (23), (24) на каждом из контуров срединной поверхности оболочки Г. Это система из 52 уравнений относительно 52 неизвестных функций Ui, w, уi, Q,, Q3, i, #i, Ti, S'J, Ni3, N3', Mii, Hi/, Lii, L-,

L33, Li3, Л,3 , Гп ’ Г/ ’ Г,3 ’ Г3, ’ Kii ’ Kij ’ Kii ’ KiJ, Ki3 , li3 •

В модели (14), (15), (19)-(24) микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями переме-

щений и вращений полностью учитывались поперечные сдвиговые и родственные им деформации.

Если в модели (14), (15), (19)-(24) формально принять а = 0, тогда получаем систему уравнений и граничные условия классической теории упругих оболочек теории Тимошенко [38, 39] (конечно, с некоторым отличием, связанным со статической гипотезой 3).

Если в модели (14), (15), (19)-(24) пренебречь поперечными сдвигами, т.е. считать

Г,з + Гз, = 0 или у, =Ъ,,

получим модель микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений, когда вместо гипотезы Тимошенко для перемещений принимается классическая гипотеза Кирхгофа-Лява, а именно:

V = и, (аь а2) + азв, (аь а2),

Уз = М

к которым далее необходимо добавить условия для свободных вращений ю, и ю3 из формул (9), (10):

ю, =Ц- (аъ а2),

ю3 =й3(а1, а2) + а31(а1, а2).

Предположения (26), (27) в целом назовем обобщенной кинематической гипотезой Кирхгофа-Лява микро-полярной теории оболочек.

Основные уравнения модели микрополярных упругих оболочек с независимыми полями перемещений и вращений для обобщенной кинематической гипотезы Кирхгофа-Лява (оставляя неизменным предположения 2-4) будут выражаться как уравнения равновесия (19), (20), к которым следует присоединить

физические соотношения упругости:

2Ек

T=

-[Г,г- +v:r / ],

1 -v2

Si, = 2ЭД(ц + а)Г/ + (ц - а)Г/г- ],

2Fh

-(К,- +vK//),

“ 3(1 -v2)V “ J

2h3

Hj = —[(Ц + a)Ky + (ц - a)K/i ],

Ni3 - N3i = 4ah(r'i3 -Гз- X

4Y(e + Y) k + 2yP k e+ 2y e+ 2y j

Lii = 2h

P+ 2y

L

33 ,

L/j = 2h[(Y + e)Ky + (y - e)k jt ],

L33 = 2h[(P + 2y)i + P(kh +K 22 )],

Li3 = 2h

4ye

Y + e

Y - e mt - mt

Y + e 2

Л/з =

2h

4y^ Y - e m,- + mг

~J—li3 ---------- -----L

Y + e y + e 2h

в

+

в

+

геометрические соотношения:

дД w

~ и - + '

даг- ДД- да - 1 Д ’ 1 ди,-

1 дД

г — -

Д даг- ДА- да -1 дв,- 1 дД,-

л,-,- =

и, - (-1)1 ^з,

Д да Д Д1 да 1 1

1 дД

в, - (-1)11,

К — •

1 Д да Д Д1 да 1

*'=-Д +Д  Г°^=2[-в,+(-1) 1

1 д^;

к,, =---------- +

да,

1 д^,

к у =

1

1

1

дД

к,-, =

Д да Д Д1 да 1

1 д^3 =

-------, чз =

а

Д да

1 дг

Д да

граничные условия (при а1 = а10):

* * о Н1

7^1 — ^11 или и — и-*, 0^2 +

— О12 или и 2 — и *,

12 и

Д 12 1 дН12 ДГ, *

Ж13 +-— — Ж13 или w — w ,

Д2 да2 М11 — М1! или Кп — К*п,

-^11 — -^11 или к11 — к11 > -^12 — -^12 или к12 — к12> ^13 — ^13 или к13 — к13 , Л13 — Л13 или 113 — 113 •

Если в системе уравнений микрополярных оболочек (19), (20), (28)-(33) формально подставить а = 0, то из этой системы и граничных условий получим основные уравнения и граничные условия классической теории упругих оболочек Кирхгофа-Лява [37].

На основе принципа Даламбера, если в уравнения равновесия (19), (20) включить силы и моменты инерции соответственно:

2phд2и,/дt2, 2phд2w/дt2, (2р^/3) д2'tyi/дt2,

2Лд 1Q.i|дt2, 2.Лд2^3/дt2, (2Лъ/3) д2г^2, тогда, используя (14), (15), (19)-(24) и (19), (20), (28)-(33), приходим к общим динамическим моделям микро-полярных оболочек с независимыми полями перемещений и вращений с учетом и без учета поперечных сдвигов.

Из общей теории микрополярных оболочек с независимыми полями перемещений и вращений (14), (15), (19)-(24) (с учетом поперечных сдвигов) и (19), (20), (28)-(33) (без учета поперечных сдвигов), выбирая криволинейные координаты а1, а 2 в виде [37]:

а1 — Д^, а2 — Д0 и, следовательно, для Д1, Д2 положив

Д1 — Д2 — Д

получим соответствующие модели для микрополярных круговых цилиндрических оболочек (Д — радиус срединной поверхности оболочки).

В осесимметричной постановке изучим задачу об определении напряженно-деформированного состояния шарнирно-опертой микрополярно-упругой цилиндри-

Таблица 1

Прочностные и жесткостные характеристики микрополярной упругой цилиндрической оболочки.

Модель с независимыми полями перемещений и вращений

Размеры оболочки Обобщенные гипотезы Тимошенко Обобщенные гипотезы Кирхгофа-Лява

Д, мм 1, мм -^МИК °11тах №МИК ™тах МИК °11тах №МИК ™тах

КЛ °11тах КЛ w ™тах КЛ °11тах КЛ w ™тах

II Ю —1/40

8 0.08 16 0.04525 0.374775 0.24424 0.24424

20 0.2 40 0.06515 0.387809 0.22892 0.22892

50 0.5 100 0.17292 0.458377 0.18672 0.18672

80 0.8 160 0.31875 0.553881 0.16531 0.16531

100 1 200 0.41412 0.616329 0.15805 0.15805

200 2 400 0.72957 0.822908 0.14612 0.14612

II ю П/100

8 0.2 16 0.04533 0.375211 0.2446 0.2446

20 0.5 40 0.06526 0.388257 0.22925 0.22925

50 1.25 100 0.17317 0.458878 0.18698 0.18698

80 2 160 0.31914 0.554409 0.16554 0.16554

100 2.5 200 0.41455 0.616849 0.15827 0.15827

200 5 400 0.72992 0.823247 0.14632 0.14632

ческой оболочки, когда на нее действует нормальная распределенная силовая нагрузка интенсивностью р — р0 sin(лх//), I — длина оболочки.

Будем изучать поставленную задачу по микрополяр-ной теории оболочек со свободным вращением с учетом поперечных сдвигов (уравнения (14), (15), (19)-(22), граничные условия (23), (24) в случае шарнирного опи-рания) и без учета поперечных сдвигов (уравнения (19), (20), (28)-(31), граничные условия (32), (33) в случае шарнирного опирания). Для указанных задач микропо-лярной упругой цилиндрической оболочки получены точные решения, на основе которых выполнен численный анализ. В табл. 1 приведены результаты численного расчета (отметим, что в настоящее время существуют микрополярные материалы, например искусственные кости [11, 12], для которых определены упругие константы, однако при выполнении расчетов материал оболочки здесь выбран гипотетическим).

Из приведенных данных табл. 1 видно, что микропо-лярный упругий материал оболочки (по микрополярной теории со свободным вращением и с учетом поперечных сдвигов и без учета поперечных сдвигов) проявляет очень высокие прочностные и жесткостные характеристики. Численные результаты табл. 1 показывают также, что в микрополярной теории оболочек со свободным вращением весьма важен учет поперечных сдвиговых деформаций. Это означает, что необходимо очень осторожно относиться к применению микрополярной теории оболочек со свободным вращением на основе обобщенных кинематических гипотез Кирхгофа-Лява.

4. Модель микрополярных упругих тонких оболочек со стесненным вращением

Рассмотрим случай, когда физические безразмерные параметры (7) имеют значения:

Я 2, Я 2, Я 2,

а>>,, -^~1, —-~1, ^

в 1. (34) в У е

Асимптотический анализ [32, 33] краевой задачи (1)-(6) в случае (34) показывает, что асимптотические приближения вектора поворота ю связаны с приближениями вектора перемещения V, как в классической теории упругости:

ю —

2

Это означает, что построенная двумерная теория микрополярных оболочек находится в сфере микропо-лярной теории со стесненным вращением (или иначе, псевдоконтинуума Коссера [40, 41]). Если рассматривать формулы (6) общей микрополярной теории упругости, легко заметить, что условие (35) выполняется, когда физическая постоянная а материала имеет весьма большие значения: а ^ <» [36, 40] (из первого выраже-

ния (34) убедимся, что отмеченное условие в данном случае выполняется).

Микрополярная теория со стесненным вращением имеет некоторые особенности [41]. Если вектор перемещения V — необходимое число раз дифференцируемый вектор, тогда из условия стесненного вращения (35) получим тождество Шу ю — 0.

Это означает, что первый инвариант тензора изгиба-кручения равен нулю:

Х11 +Х22 +Х33 — °-

Из формул (2) для первого инварианта тензора момент-ных напряжений будем иметь:

Ми + ,22 +,33 —

Имея в виду тождество (36), получим

,11 + ,22 + ,33 — 0,

откуда

,33 — (,11 +,22).

Формула (39) означает, что моментное напряжение ,33 — не самостоятельная функция, в том смысле, что для этой величины нельзя задать произвольные граничные условия на лицевых поверхностях оболочки а3 — ±й (т.е. из шести граничных условий на лицевых поверхностях оболочки а3 — ±й (см. (4)) остаются пять).

Кроме того, для теории со стесненным вращением, как следует из формул (37), не важно значение суммы 3в + 2у (можно сказать, что для этой теории не имеет значения величина физической постоянной в). Таким образом, микрополярная теория со стесненным вращением определяется четырьмя упругими постоянными: X, , (или Е, V), у, е (или I, п [41]).

Теперь переходим к построению модели микропо-лярных упругих тонких оболочек со стесненным вращением. Основываясь на результатах асимптотического метода интегрирования краевой задачи (1)-(6) [32, 33], когда безразмерные физические параметры имеют значения (34), для построения общей прикладной двумерной теории микрополярных оболочек со стесненным вращением примем следующие предположения (гипотезы):

1) предположения 1-4 предыдущего раздела (предположение 3 в этом случае необходимо применять только относительно силовых напряжений ст3,-),

2) условие стесненного вращения (35).

В соответствии с кинематической гипотезой (9), (10) и на основе принятых для данного случая гипотез для компонент тензоров деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений получим те же формулы (12)—(17), только в формулах (17) значения для , и ,33 следует заменить следующими простыми выражениями:

Основная система уравнений общей прикладной двумерной теории микрополярных упругих тонких оболочек со стесненным вращением с учетом поперечных сдвиговых и родственных им деформаций имеет вид:

уравнения равновесия:

1 дТ- 1 дД, 1 дБ,

-----1 (т. - т,,) + -^ +

Д да Д Д1 да 11 Д1 да 1

+Дд- да-(0-+>+Я ^ * >•

1 дм,,

1 дД1

Д да Д Д1 да

1 дН„

11 Д1 да 1

+

1 дД

+-------гг---(Н, + Ну) - N3,- — -Н(д+ - д~),

Т11 + Т22 - 1 Я1 Я2 Д1Д2

1 дД, 1 дД-

д

да1

да2 1 дД

— ^3 + #3 ^

- (Д, - Д1) + -

Д, да,- — да,- Д,- да,

1 дД

I - (Д,-,- + Ду) +—— +

Д Д1 да 1 1 1 Я

+ (-1)1 (N]3 - N3]) — -(т+ + т-),

Ц.1 + Д22

ЯЯ

Д1 Д2

д

да1

- (012 - 021) — 0,

1

Д1 Д2

д

да1

да2

да

+ Н12 - Н21 — 0

физические соотношения: Т,-^^(Г,-+уГ ,,),

М,-,- —

2ЕН

-(Кй+vК„),

“ 3(1 -V У 11 1

012 + 021 — 4ММГ12 + Г21),

Ni3 + N3i — 4МЛ(гй + Ги 2й3

#12 + Н21 ——2,( К12 + К21), Д, — 4YhKl 1,

Д] — 2h[(Y + е)к - + (у - е)к - ],

+

Ц3 — 2й

4уе у - е т, - т,-----к13 +

у + е

у + е

2h

4уе , , У - е т1 + т1

------/ 13 +------------------

у + е у+е 2h

геометрические соотношения:

Г- -— .1 .ди. + 1

дД w

и 1 +

Д да Д Д1 да 1 1 Я

1 ди 1

1 дД

г,- — -

Д да Д Д1 да 1

и ,

дД

V,,

Д да Д Д1 да 1 1

К —

К] Д да,

1 дД

Д Д1 да 1

V,,

Г-3 —-в, + (-1)7 а,, Г31 — V, - (-1У а -, 1 дw и,

в, —-------------------— + —,

Д да Я

1 да, 1

к;; —------—- +

1 да

1

1

к у —

Д да Д Д1 да

дД 1 да3 а

—-а,, к13 —-------——----

Д да, Я,

1,3 — уда; ’а—-(-1)] ^+в1х

а3 — '2(Г12 -Г21), 1 — "2(К12 - К21).

К системе уравнений (41)-(46) общей прикладной двумерной теории микрополярных оболочек со стесненным вращением присоединим «смягченные» граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки (23), (24).

Система уравнений (41)-(46) теории микрополяр-ных оболочек со стесненным вращением имеет 18-й порядок с девятью граничными условиями (23), (24) на каждом краю срединной поверхности оболочки. Эта система содержит 51 уравнение с 51 неизвестной функцией Т11 у М11 > > N3 ^ N31 ^ Н1, > Д, 9 Д], Д,3 ^ Л,3 ^ Г1 ^ К, ^

Гу,К,, Г,3, Г3,, к,1, к,, к,3,113, и1, w• Vl, в,, а,, а3 ,1

Если в системе уравнений (41)-(46) пренебречь поперечными сдвигами, т.е. иметь в виду формулы (25), получим модель микрополярных упругих оболочек со стесненным вращением, когда вместо обобщенных кинематических гипотез Тимошенко приняты обобщенные гипотезы Кирхгофа-Лява.

Основные уравнения этой модели микрополярных оболочек со стесненным вращением включают: уравнения равновесия:

1 д(мц + ^12 ) + д(Н21 + Д22) +

1 да1

1 дД

+

Д1 Д2 да1

1 дД1 +1

Д1 Д2 да2

+ - Nlз — -А(^+ - ) - (т+ + т- X

Я

да2

2 [(М11 + Д12) - (М22 - Д21)] + [(Н21 + Д22) + (Н12 - Д11)] +

+

1 д(Н12 Ьи)_ + _^ Э(М22 ^21) +

Эа1 1 Э^1 А1А2 Эа2

1 дА2 А1А2 Эа1

Ь13

R1

Эа,

[(М22 -Ь21)-(М11 + ^12)] +

[(Н12 -Ь11) + (Н21 + Ь22)]-

- ^23 = -Й(^2 - ?2 ) + (т1 + т1 )>

физические соотношения:

Tн=-Щr(Гti+vГн),

2Ек

3

(К, +К),

^12 + S21 = 4М-к(Г12 +Г21),

2к3

Н12 + Н 21 = 3 2ц(Х~12 + ^21), Д-г-= 4укк, ,,

Ьу = 2к[(у + е)кг>- + (у - е)к у, ],

Ь,3 = 2к

Л,3 =

2к

4уе

к

у + е 4уе

у - е т, - т, у + е 2

/,-3 +

у - е т, + т,

у + е у + е 2к

геометрические соотношения:

А, да, ААу да у

дА V

-и у +--------

К,, =

Г =

К =

к;; =

к у =

к,, =

1 дЪ, 1 дА

А, да, А, А. Эа у

1 ди у 1 дА,

А да, ААу Эа у

1 ЭЪ у 1 дА,

А да, ААу Эа у

1 эц 1 дА(

А1 да, А,Ау Эа у

1 эц у 1 дА,

А да, ААу Эа у

1 эц3 ц /,3 =

А да, Ri ’

Ъу,

и,,

2.. + ^ у ъ-

Ц,

1 Эг

А, Эа,-

1 = -(К12 - К21),

Ц=-(-1)уЪ, Ц = -(Г12 -Г21),

1 Эю и, Ъ =--------------+ —

А, да, R,

К системе уравнений микрополярных оболочек со стесненным вращением на основе обобщенной кинематической гипотезы Кирхгофа-Лява (47)-(50) следует присоединить граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки (а1 = а10):

Тц — Т\\ или и — и*,

Н - Ь * *

S12 +—12—= S1*2 или и 2 = и*,

R,

N13 +

Э

А, Эа,

Таблица 2

Прочностные и жесткостные характеристики микрополярной упругой цилиндрической оболочки. Модель со стесненным вращением

Размеры оболочки Обобщенные гипотезы Тимошенко Обобщенные гипотезы Кирхгофа-Лява

R, мм 1, мм -^МИК °11тах юМИК ™тах МИК °11тах юМИК ™тах

h, мм КЛ °11тах КЛ ™тах КЛ °11тах КЛ ™тах

6 = = 1/40

60 1.5 120 0.06231 0.38632 0.2675 0.2675

80 2 160 0.20167 0.47753 0.393653 0.393653

90 2.25 180 0.26774 0.52077 0.451054 0.451054

100 2.5 200 0.32974 0.56135 0.503577 0.503577

150 3.75 300 0.56953 0.71828 0.695347 0.695347

200 5 400 0.71318 0.81229 0.802279 0.802279

6 = к^ = 1/100

60 0.6 120 0.0622 0.38588 0.267271 0.267271

80 0.8 160 0.20138 0.47702 0.393374 0.393374

90 0.9 180 0.26739 0.52025 0.450764 0.450764

100 1 200 0.32935 0.56082 0.503284 0.503284

150 1.5 300 0.56909 0.71782 0.695099 0.695099

200 2 400 0.71282 0.81194 0.802094 0.802094

М11 - Ь2 = МЦ или Кп = КЦ,

Ь13 = Ь13 или к13 = к13, Л13 = Л13 или /13 = /13-

Если в системе уравнений (41)-(46) и в граничных условиях (23), (24) теории микрополярных оболочек со стесненным вращением (с учетом поперечных сдвигов) либо в системе уравнений (47)-(51), в граничных условиях (52) (без учета поперечных сдвигов) пренебрежем моментами и гипермоментами от моментных напряжений, получим соответствующие классические теории упругих оболочек (с учетом и без учета поперечных сдвигов).

Из общих моделей микрополярных упругих тонких оболочек со стесненным вращением с учетом и без учета поперечных сдвигов можем перейти к соответствующим уравнениям и граничным условиям для цилиндрических оболочек.

На основе теории микрополярных оболочек со стесненным вращением с учетом и без учета поперечных сдвигов в случае шарнирно-опертой цилиндрической оболочки рассмотрим задачу об определении напряженно-деформированного состояния, аналогичную поставленной в разделе 3. Численные результаты приведены в табл. 2, из которой можем сделать вывод, что в модели микрополярных оболочек со стесненным вращением (с учетом и без учета поперечных сдвигов) мик-рополярный материал также демонстрирует очень высокие прочностные и жесткостные характеристики. Также необходимо отметить, что в теории микрополярных оболочек со стесненным вращением весьма важен учет поперечных сдвиговых деформаций.

5. Модель микрополярных упругих тонких оболочек «с малой сдвиговой жесткостью»

Рассмотрим случай, когда

а ~ ц,

R 2а

<< 1,

R2а

<< 1,

R 2а

<< 1.

в У е

На основе асимптотического анализа [32, 33] краевой задачи (1)-(6) в тонкой трехмерной области оболочки в случае (52) можем сформулировать асимптотически обоснованные следующие предположения (гипотезы):

1) предположения 1-4 раздела 3,

2) в моментных уравнениях равновесия из (1) можем пренебречь разностями силовых напряжений а у - а,, а,3 - а3,, но, имея в виду значения физических безразмерных параметров (52) (физическая постоянная а при данном R — малая величина), эти разности будем сохранять в формулах (6).

Важно отметить, что в получаемой на основе принятых гипотез модели микрополярных упругих оболочек (которую назовем моделью «с малой сдвиговой жесткостью», имея в виду, что физическая постоянная а — это тоже своего рода модуль сдвига, как и классический модуль сдвига ц) «моментная часть» задачи выделяется как самостоятельная граничная задача.

Основная система уравнений и граничные условия теории микрополярных упругих тонких оболочек «с малой сдвиговой жесткостью» с полным учетом поперечных сдвиговых деформаций будут выражаться следующим образом: для «моментной части» задачи имеют место уравнения равновесия (20) без учета разностей ^2 - ^1, N,3 - N-1,,, Н12 - Н21, к которым следует присоединить физические соотношения (22), геометрические соотношения (15) и граничные условия (24); для «силовой части» задачи будем иметь уравнения равновесия (19), соотношения упругости (21), геометрические соотношения (14) и граничные условия (23).

Основная система уравнений и граничные условия модели микрополярных упругих оболочек «с малой сдвиговой жесткостью» без учета поперечных сдвигов записывается следующим образом: для моментной части задачи имеет место та же граничная задача, что и у аналогичной модели с учетом поперечных сдвигов; для силовой части — это уравнения равновесия (19), соотношения упругости (28), геометрические соотношения (30), граничные условия (32).

Для этих двух моделей микрополярных оболочек «с малой сдвиговой жесткостью» (с учетом и без учета поперечных сдвигов) характерно следующее: когда «моментная» краевая задача имеет нулевое решение (ю, = 0, ю3 = 0,1 = 0), которое получим в случае однородности соответствующих уравнений и граничных условий, «силовая» краевая задача не будет совпадать с соответствующей задачей классической теории упругих оболочек (с учетом или без учета поперечных сдвигов),

Таблица 3

Прочностные и жесткостные характеристики микрополярной упругой цилиндрической оболочки. Модель «с малой сдвиговой жесткостью»

Относитель н ая Обобщенные гипотезы Тимошенко Обобщенные гипотезы Кирхгофа-Лява

толщина оболочки МИК о11тах юМИК ™тах МИК о11тах юМИК ™тах

<4 N >0 КЛ о11тах КЛ ™тах КЛ о11тах КЛ ™тах

1/100 0.041363 0.3722294 0.24776 0.247762

т.к. в этих уравнениях будут присутствовать члены с физической постоянной а.

Из указанных общих моделей микрополярных оболочек «с малой сдвиговой жесткостью» можем получить основные уравнения и граничные условия микрополяр-ных круговых цилиндрических оболочек (с учетом и без учета поперечных сдвиговых деформаций).

Используя основные уравнения и граничные условия микрополярных упругих цилиндрических оболочек «с малой сдвиговой жесткостью» (с учетом и без учета поперечных сдвигов), рассмотрим задачу, аналогичную поставленным в разделах 3 и 4. Численные результаты приведены в табл. 3. На основе анализа этих данных можно заключить, что в модели микрополярных оболочек «с малой сдвиговой жесткостью» (с учетом и без учета поперечных сдвигов) для микрополярного материала характерны существенно высокие прочностные и жесткостные характеристики и в этой модели также важен учет поперечных сдвиговых деформаций.

6. Заключение

В работе в зависимости от значений безразмерных физических параметров на основе асимптотического анализа граничных задач трехмерной микрополярной теории упругости в тонкой области оболочки формулируются предположения (гипотезы) и построены общие теории микрополярных оболочек со свободным вращением, со стесненным вращением, «с малой сдвиговой жесткостью» с учетом и без учета поперечных сдвиговых деформаций.

На основе построенных прикладных теорий микро-полярных оболочек рассматривается конкретная задача об определении напряженно-деформированного состояния (в осесимметричной постановке) шарнирно-опертой круговой цилиндрической оболочки. В расчетах получены очень высокие прочностные и жесткостные свойства микрополярного материала. Хотя расчеты относятся к выбранному гипотетическому материалу, но, несомненно, для микрополярного материала вообще характерны такие эффективные свойства. Этот вывод, на наш взгляд, интересен с точки зрения материаловедения, физики и механики новых перспективных материалов. Другой важный вывод расчетов заключается в том, что в микрополярной теории оболочек существенен учет поперечных сдвиговых деформаций.

Литература

1. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики деформируемого твердого тела как многоуровневой системы // Сб. статей к 75-летию Е.И. Шемякина «Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород». - М.: Физматлит, 2006. - С. 524544.

2. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с.; Т. 2. - 320 с.

3. Морозов Н.Ф. Структурная механика материалов и элементов конструкций. Взаимодействие нано-микро-мезо- и макромасштабов при деформировании и разрушении // Изв. РАН. МТТ. - 2005. -№ 4. - С. 188-189.

4. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н. Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток при учете моментнык взаимодействий на микроуровне // ПММ. - 2007. - Т. 71. - Вып. 4. - С. 595-615.

5. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердык телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 328 с.

6. Лисина С.А., Потапов А.И. Обобщенные модели сплошной среды

в наномеханике // Докл. РАН. - 2008. - Т. 420. - № 3. - С. 328330.

7. Белов П.А., Лурье С.А. Континуальная модель микрогетерогенных

сред // ПММ. - 2009. - Т. 73. - № 5. - С. 833-848.

8. КорепановВ.В., Матвеенко В.П., ШардаковИ.Н. Численное иссле-

дование двумерных задач несимметричной теории упругости // Изв. РАН. МТТ. - 2008. - № 2. - С. 63-70.

9. Варыгина М.П., Садовская О.В., Садовский В.М. Численное моделирование пространственных волновых движений в моментной упругой среде // Проблемы механики и акустики сред с микро- и наноструктурой: Наномех-2009, Нижний Новгород, 21-23 сентября, 2009 г. - С. 1-13 (электр. вариант).

10. Смолин И.Ю. Использование микрополярнык моделей для описания пластического деформирования на мезоуровне // Математическое моделирование систем и процессов: Межвуз. сб. научн. тр. - Пермь: ПГТУ, 2006. - № 14. - С. 189-205.

11. Lakes R. Experimental Methods for Study of Cosserat Elastic Solids and Other Generalized Elastic Continua // Continuum Models for Materials with Micro-Structure / Ed. by H. Muhlaus. - New-York: Wiley, 1995. - P. 1-22.

12. Gauthier R.D., Jahsman WE. A quest for micropolar elastic constants. P. 2 // Arch. Mech. - 1981. - V. 33. - No. 5. - Р 717-737.

13. Введение в микромеханику / Под ред. М. Онами. - М.: Металлургия, 1987. - 271 с.

14. Eringen A.C. Microcontinuum Field Theories. I. Foundations and Solids. - New York: Springer, 1998. - 325 p.

15. Forest S., Barbe F., Cailletaud G. Cosserat modeling of size effects in the mechanical behavior of polycrystals and multi-phase materials // Int. J. Solids Struct. - 2000. - V. 37. - No. 46-47. - P. 7105-7126.

16. Georgiadis H.G., Velgaki E.G. High-frequency Rayleigh waves in materials with micro-structure and couple-stress effects // Int J. Solids Struct. - 2003. - V. 40. - No. 10. - Р. 2501-2520.

17. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. - Berlin: Springer, 2004. - 356 p.

18. Green A.E., Naghdi P.M. The linear elastic Cosserat surface and shell theory // Int. J. Solid Struct. - 1968. - V. 4. - No. 6. - P. 585-592.

19. Eringen A.C. Theory of mkropolar plates // Z. Angew. Math. Phys. -1967. - V. 18.- No. 1. - P. 12-30.

20. Пальмов В.А. Простейшая непротиворечивая система уравнений теории тонких упругих оболочек // Механика деформируемого тела: Сб. - М.: Наука, 1986. - С. 106-112.

21. Жилин П.А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек // Динамика и прочность машин: Труды ЛПИ. - Л.: ЛПИ, 1982. - № 386. - С. 29-42.

22. Шкутин А.И. Механика деформаций гибких тел. - Новосибирск: Наука, 1988. - 128 с.

23. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. - М.: Наука, 2008. - 280 с.

24. Ванин Г.А. Моментная механика тонких оболочек // Изв. РАН. МТТ. - 2004. - № 4. - С. 116-138.

25. Altenbach H., Eremeyev V.A. On the linear theory ofmicropolar plates // Z. Angew. Math. Mech. - 2009. - V. 89. - No. 4. - P. 242-256.

26. Rubin M.B. Cosserat Theories: Shells, Rods and Points. - Dordrecht: Kluwer, 2000. - 480 p.

27. Neff P. A geometrically exact planar Cosserat shell-model with microstructure: Existence of minimizers for zero Cosserat couple modu-

lus // Math. Models Methods Appl. Sci. - 2007. - V. 17. - No. 3. -P. 363-392.

28. Birsan M. On Saint-Venant’s principle in the theory of Cosserat elastic shells // Int. J. Eng. Sci. - 2007. - V. 45. - No. 2-8. - P. 187-198.

29. Wang F. Y. On the solutions of Eringen’s micropolar plate equations and of other approximate equations // Int. J. Eng. Sci. -1990. - V. 28. -No. 9. - P. 919-925.

30. Саркисян С.О. Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости // Физ. мезомех. - 2008. -Т. 11.- № 5. - С. 41-54.

31. Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // ПММ. - 2008. - Т. 72. - № 1. - С. 129-147.

32. Саркисян С.О. Общая теория упругих тонких оболочек на основе несимметричной теории упругости // Докл. НАН Армении. -2008. - Т. 108. - № 4. - С. 309-319.

33. Sargsyan S.H. Thermoelastisity of thin shells on the basis of asymmetrical theory of elasticity // J. Therm. Stresses. - 2009. - V. 32. - No. 8. -P. 791-818.

34. Ноеацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 862 с.

35. Аэро Э.Л., КуешинскийЕ.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. - 1960. -Т. 2. - № 7. - С. 1399-1409.

36. Пальмое В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. - 1964. - Т. 28. - № 3. - С. 401-408.

37. Гольденеейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: ГИТТЛ, 1953. - 544 с.

38. Перцее А.К., Платоное Э.Г. Динамика оболочек и пластин (нестационарные задачи). - Л.: Судостроение, 1987. - 316 с.

39. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.

40. Морозое Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. - М.: Наука, 1984. - 256 с.

41. Койтер В.Т. Моментные напряжения в теории упругости // Механика. Сборник переводов. - 1965. - № 3. - С. 89-112.

Поступила в редакцию 28.09.2010 г.

Сведения об авторе

Саркисян Самвел Оганесович, чл.-корр. НАН Армении, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ГГПИ, armenuhis@mail.ru, slusin@yahoo.com