Обоснование многомерной нелинейной регрессионной модели показателей рабочего процесса мостового крана

8. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций / В.В. Болотин. - М.: Машиностроение, 1990. - 448с.

SIMULATION OF LOADING CONDITIONS OF KINEMATIC PAIR "DRIVING GEAR - SLEWING RING'S CROWN" IN THE STUDY OF ENERGY

INTENSITY OF EXCAVATOR'S SLEWING MECHANISM

V.N. Kuznetsova, V.V. Savinkin

Abstract. The paper presents the results of calculating kinematic pair of slewing ring of a single bucket excavator and distribution of the load over its contact surface. On the basis of studying loading conditions of a slewing ring with maximum values of inertia which appears in quick acceleration and braking, it is determined that peak voltages, appearing in teeth's engagement, contribute to decrease of durability.

Keywords: single bucket excavator, slewing ring, efficiency, simulation, calculation, process.

References

1. Batenkina O.V. Sozdanie sistemy avtomatizacii konstruktorsko-tehnologicheskoj podgotovki proizvodstva: avtoref. dis.... kand. tehn. nauk. [Creation of a system of automating designengineering preparation of production. Avtoref. cand. tech. science]. Omsk, 2005. 19 p.

2. Probe T. Reshenie inzhenernyh zadach na JeVM: Prakticheskoe rukovodstvo [The solution of engineering tasks on the computer: Practical guidance]. Moscow, World, 1982. 238 p.

3. Bondarovich B.A. Nadjozhnost' metallokonstrukcij zemlerojnyh mashin. Metody ocenki i raschjota [Reliability of metal constructions of earthmoving machinery. Methods of assessment and calculation]. Moscow, Engineering, 1971. 216 p.

4. Volkov D.P. Problemy dinamiki, prochnosti, dolgovechnosti i nadjozhnosti stroitel'nyh i dorozhnyh mashin [Problems of dynamics, strength, durability

and reliability of construction and road machines]. Stroitel'nye i dorozhnye mashiny. 1993. no 5. pp. 4 - 9.

5. Alyamovskiy A.A. SolidWorks/COSMOSWorks. Inzhenernyj analiz metodom konechnyh jelementov [SolidWorks / COSMOSWorks. Engineering analysis by the finite element method]. Moscow, DMK Press, 2004. 432 p.

6. Brussat T.R. [An approach to predicting the growth to failure of fatigue crack subjected to arbitrary cyclic loading, Damage Tolerance in Aircraft Structures, ASTM STP 486, 1971, American Society For Testing and Materials]. pp. 122-143.

7. Bolotin V.V. Prognozirovanie resursa mashin i konstrukcij [Predicting machine and structures' resource]. Moscow, Engineering, 1984. 312 p.

8. Bolotin V.V. Resurs mashin i konstrukcij [Resource of machines and structures]. Moscow, Engineering, 1990. 448 p.

Кузнецова Виктория Николаевна (Россия, г. Омск) - доктор технических наук, профессор ФГБОУ ВПО «СибАДИ». (644080, г. Омск, ул. Мира,5, e-mail: dissovetsibadi@bk.ru).

Савинкин Виталий Владимирович (Казахстан, г. Петропавловск) - кандидат технических наук, заведующий кафедрой Транспорт и машиностроение Северо-Казахстанского

государственного университета им. М. Козыбаева (150000, Казахстан, Петропавловск, ул. Пушкина, 86).

Kuznetsova Viktoria Nikolaevna

Savinkin Vitaliy Vladimirovich

УДК 621.86

ОБОСНОВАНИЕ МНОГОМЕРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА МОСТОВОГО КРАНА

В.С. Щербаков, М.С. Корытов, М.Ю. Архипенко, Е.О. Вольф, ФГБОУ ВПО «СибАДИ», Россия, г. Омск.

Аннотация. Предложена расчетная схема мостового крана, а также его имитационная модель. На основании имитационной модели построена регрессионная модель, позволяющая определить различные показатели рабочего процесса мостового крана. Сделан вывод о том, что усложнение регрессионного выражения путем увеличения числа его слагаемых свыше 12 не приводит к дальнейшему увеличению точности аппроксимации.

Ключевые слова: рабочий процесс мостового крана, нелинейная множественная регрессия, точность аппроксимации, коэффициент регрессии, абсолютная погрешность.

Введение

Для решения задачи обоснованного назначения параметров технологического процесса перемещения груза мостовым краном (МК), а также для анализа конструктивных решений при проектировании МК, их приводов и элементов, могут использоваться разнообразные критерии сравнения вариантов.

Рис. 1. Расчетная схема мостового крана: m1^m3 -массы подвижны х звеньев моста, грузовой

тележки и груза; Gl... G3 - силы тяжести масс

звеньев; Fl и F2 - управляющие воздействия в виде сил со стороны привода на мост и грузовую тележку; OqXqY&Zq--- O3X3Y3Z3 - декартовы системы координат, связанные с неподвижным (стойкой) и подвижными звеньями системы

Согласно предложенной расчетной схеме МК (рис. 1) в пакете математического моделирования механических систем SimMechanics Second Generation системы MATLAB была разработана имитационная математическая модель МК с ПИД-регуляторами, позволяющая изучать перемещения МК и груза в различных рабочих режимах [1, 2, 3, 4, 5].

Разработкой математических моделей мостовых кранов и других механических систем в пакете SimMechanics системы MATLAB занимались многие исследователи [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. Отличие предложенной модели в том, что

для обеспечения требуемой траектории перемещения груза с одновременным гашением его неуправляемых колебаний используются ПИД-регуляторы.

Использование имитационной модели в задаче оптимизации траектории груза с учетом ограничений, накладываемых на параметры приводов МК, затруднено, поэтому целесообразно построение на ее основе регрессионной модели, позволяющей определять различные показатели рабочего процесса МК.

Построение регрессионной модели

Разработанная имитационная модель позволяет получать функциональные зависимости таких показателей рабочего процесса МК, как максимальные и средние скорости перемещений, максимальные и средние ускорения перемещений моста и грузовой тележки, стандартные отклонения скоростей и ускорений перемещений моста и грузовой тележки, максимальные и средние значения мощностей, затрачиваемых приводами моста и грузовой тележки, максимальная абсолютная погрешность реализации траектории Дтах, средняя погрешность реализации траектории, работа, совершенная приводом моста, тележки и МК в целом.

При помощи имитационной модели МК могут быть получены численные зависимости всех перечисленных показателей от времени перемещения ТП, размеров и формы траектории перемещения груза в виде множеств дискретных численных значений.

В качестве примера рассматривалась реализация траектории в виде дуги, позволяющей грузу обогнуть единичное препятствие в виде стены. Данная траектория характеризуется размерами 1Х и эХ вдоль осей Х0 и Тс неподвижной системы координат ОХсУ^с (рис. 2).

1 2 3 4 5 6 7 8 Х0, м 10 Рис. 2. Графики траекторий груза и точки подвеса для размеров дуги 1Х= 10 м, $х=5 м, и времени перемещений Тп=20, 25, 40 с (пример)_

Были получены в виде трехмерного массива числовых данных N(1, / к) зависимости максимальной абсолютной погрешности реализации перемещения груза по дуге Дтах от размеров дуги 5Х, 1Х и времени перемещений ТП. Согласно разработанному плану полного факторного эксперимента с ограничениями, была сформирована выборка из 125 наблюдений Дтах (отдельных вычислительных экспериментов) [5,18]. Индексы массива N принимали целочисленные значения /е [1; /тах]; ке [1;

ктах]; 1е [1; ^ах^ где /тах~ктах~1тах~5.

Соответствующие параметры варьировались в пределах sxе [3; 7] м; 1Хе [8; 12] м; ТПе [24; 32] с.

Фиксированные параметры МК при этом принимали значения: масса моста МК -т1=3500 кг; масса грузовой тележки МК -т2=1250 кг; масса груза - т3=100 кг; длина каната, на котором подвешен груз 1=12 м; приведенные коэффициенты демпфирования по угловым координатам отклонений грузового каната от вертикали в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях - 100 Нмс/рад; пропорциональный коэффициент, интегральная и дифференциальная постоянные времени ПИД-регуляторов имитационной модели: Р=20; /=5; Ь=5 соответственно [2].

где Ь27 - коэффициенты уравнения множественной регрессии.

Выражение (2) представляет собой симметричный многочлен от трех переменных-предикторов sx, 1Х и ТП в степенях [0; 1; 2] в 27-ми всевозможных сочетаниях.

Учитывая существенную нелинейность полученных зависимостей Amax, возникла необходимость в использовании нелинейной множественной регрессии [18,19, 20].

Однако в этом случае возникает задача оптимального выбора зависимостей многомерной нелинейной регрессии. Усложнение зависимости приводит к повышению точности уравнения регрессии, однако увеличивает время расчетов, что не всегда допустимо [18, 19, 20].

В качестве критерия сравнения различных уравнений регрессии использовались, в качестве примера, количество слагаемых уравнения пост и максимальная относительная погрешность аппроксимации

^max-

Smax=max{100-((A max )истi - (А max )рег i)/ (А max )ист i },

iE [1;125],

где (Amax)MCT - истинное значение максимальной абсолютной погрешности согласно массиву N(i, j, k); (Amax)PEr -полученное по уравнению регрессии для тех же значений предикторов sx, lx и ТП значение максимальной абсолютной погрешности.

Было получено нелинейное уравнение регрессии максимальной абсолютной погрешности Amax, соответствующей определенным значениям sx, lx и ТП, имеющее вид [18, 19, 20]

Степень многочлена (2) по совокупности всех переменных - 6. Использовалась реализация алгоритма Левенберга-Марквардта в программном продукте МА^АВ [5, 18, 19, 20].

Значения коэффициентов уравнения регрессии (2) приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Значения коэффициентов Ь/ (/е [1 ;27]) уравнения регрессии максимальной абсолютной погрешности Дтах при изменении sx, 1Х и ТП

Коэф-т b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 be

Значение 0,023355 -0,0021 4,57E-05 -0,00199 0,000337 -8,48E-06 0,000105 -1,73E-05

Коэф-т Ь9 Ью bn b12 b-i3 b14 b15 b16

Значение 4,31E-07 -0,02292 0,001784 -3,45E-05 0,004546 -0,00036 6,97E-06 -0,00019

Коэф-т b17 b18 b19 b20 b21 b22 b23 b24

Значение 1,62E-05 -3,27E-07 0,003284 -0,00025 4,65E-06 -0,00065 4,97E-05 -9,36E-07

Коэф-т b25 b26 b27

Значение 2,94E-05 -2,32E-06 4,46E-08

222 22 22 22 2 2 Amax=b27 Sx lx Тп +b26Sx lx Tn+b25 Sx lx +b24 Sx Ix Tn +b23Sx lx Tn+b22 Sx lx+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +b21Sx Tn +b20 Sx Тп+bwSx +b18 Sx lx Tn +b 7-Sx'lx • Tn+b16 Sx lx +b15 Sxlx Tn +

2 2 2 2 2 +b14 Sx lx Tn+b13 Sx lx+b12 Sx Tn +b11Sx Tn+b10 Sx+b9 lx Tn +bfrlx Tn+b7 lx +

+b6 lx- Tn2+b5 lx- Tn+b4 lx+b3 Tn+b2 Tn+b,

Таблица 2 - Значения показателей качества уравнения (2) регрессии максимальной абсолютной погрешности Дтах от параметров 1Х и ТП

Показатель Значение

Коэффициент детерминации Rz 0,9995

Скорректированный коэффициент детерминации R 2 0,9994

Критерий Фишера F 7419,71

Сумма квадратов остатков RSS 0,00000011

Стандартная ошибка уравнения регрессии SEE 0,00003387

Максимальная относительная погрешность аппроксимации 5max, % 0,72

Анализ показателей качества уравнения множественной нелинейной регрессии (2) (таблица 2) показал, что регрессия по уравнению данного вида дает наилучшие результаты по точности (минимальная погрешность 5тах). Все коэффициенты уравнения регрессии согласно ^статистике Стьюдента, значимы. Максимальная относительная погрешность аппроксимации 5тах во всем рассматриваемом диапазоне изменения предикторов не превышает 0,72 %.

Были проведены дополнительные исследования возможности упрощения выражения (2) путем исключения из него части слагаемых. На каждой итерации случайным образом по закону равномерного распределения исключалась часть слагаемых

выражения (2) количеством пискл£ [1;24] последовательно от 0 до 24 (соответствующие коэффициенты уравнения bi (/е [1;27]) обнулялись). В результате число оставшихся слагаемых уравнения пост составляло от 27 до 3. Методом Левенберга-Марквардта выполнялась многомерная нелинейная регрессия, определялись значения оставшихся коэффициентов. Для каждого пискл выполнялось сравнение относительной погрешности 5тах текущей итерации с минимальным значением, полученным на прошлых итерациях. И в случае, если текущее 5тах оказывалось меньше минимального, происходила замена значения последнего с сохранением также всех коэффициентов уравнения регрессии.

Рис. 3. Максимальная относительная погрешность аппроксимации 5тах при случайном исключении части слагаемых выражения (2): а - все результаты за 100 итераций; б - наилучшие результаты после 1000 итераций

На рисунке 3 приведены результаты исследования возможности упрощения выражения (2) путем исключения из него части слагаемых. При достаточно большом количестве итераций зависимость минимальных значений максимальной относительной погрешности аппроксимации от количества слагаемых выражения

приобретает характер, близкий к гиперболическому (см. рис. 3, б).

Соответствующие погрешностям рис. 3, б регрессионные зависимости Дтах приведены ниже в выражениях (3)...(26). Приведенные выражения соответствуют числу

исключаемых слагаемых яискл=2...24 соответственно.

222 22 22 22 2 2 22 Дтах=Ь27'Эх 1х 'Тп +Ьт6'Эх 1х Тп+ЬтъЭх 1х +Ь24Э хТп +ЬтзЭх ХТп+ЬттЭх 1х+Ь21Эх 'Тп + 2222222 2 +Ь20-Эх Тп+Ью-Эх +Ь18'Эх'1х -Тп +Ьиш Эх' 1х Тп+Ьцб-Эх^х +ЬтЭх1хТп +Ь14Эх'1х'Тп+Ь^Эх^х+Ь^Эх'Тг + +ЬцЭх'Тп+Ью-

Эх+Ьд • 1х2 • Тп2+Ьз • 1х2 • Тп+Ь7 • 1х2+Ьб • 1х • Тп2+Ьз • Тп2+Ь2 • Тп+Ь1 ;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 ' Эх • 1х ' Тп +Ь26 ' Эх • 1х ' Тп+Ь25 ' Эх • 1х +Ь24 ' Эх • 1х' Тп +Ь23' Эх • 1х' Тп+Ь22' Эх • 1х+Ь21 • Эх • Тп + 2222222 2 +Ь20-Эх • Тп+Ь19 • Эх +Ь18  Эх- 1х • Тп +Ь17-Эх' 1х • Тп+Ь16-Эх- 1х +Ь-|5-Эх- х Тп +Ь14  Эх' х Тп+Ь1з-Эх- 1х+Ь-|2-Эх- Тп ++Ьц • Эх- Тп+Ью-

2 2 2 2 2 Эх+Ьд • 1х • Тп +Ь8• 1х • Тп+Ьб • 1х• Тп +Ь5• 1х• Тп+Ьз• Тп +Ь1;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 'Эх • 1х ' Тп +Ь26 'Эх • 1х ' Тп+Ь25 'Эх • 1х +Ь24 'Эх • 1х' Тп +Ь23'Эх • 1х' Тп+Ь22'Эх • 1х+Ь21 • Эх • Тп +Ь20 • Эх • Тп+ЬшЭх ++Ь18 2 2 2 2 2 2 2 2 • Эх- 1х • Тп +Ь17-Эх' 1х • Тп+Ь16 • Эх- 1х +Ь-|5-Эх- х Тп +Ь14-Эх' х Тп+Ь1з-Эх- 1х+Ь12 • Эх- Тп +Ьц• Эх- Тп+Ью • Эх+Ьд- 1х • Тп +

+Ь8 • 1х2 • Тп+Ь5 • 1х • Тп+Ьз • Тп2+Ь1 ;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 ' Эх • 1х ' Тп +Ь26 ' Эх • 1х ' Тп+Ь25 ' Эх • 1х +Ь24 ' Эх • 1х' Тп +Ь23' Эх • 1х' Тп+Ь22' Эх • 1х+Ь21 • Эх • Тп +Ь20 • Эх • Тп+Ьш Эх +Ь17 ' Э 222 22222 2 х- 1х • Тп+Ь16- Эх- 1х +Ь15 • Эх' х Тп +Ь^ Эх- х Тп+Ь1з- Эх- 1х+Ь12• Эх- Тп +Ью• Эх+Ьд- 1х • Тп +Ь8 • 1х • Тп+Ь7• 1х +Ь5 • х Тп+Ьз• Тп ++Ь2 •

Тп;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь26 • Эх • 1х ' Тп+Ьт5' Эх • 1х +Ь24 ' Эх • 1х' Тп +Ь23 ' Эх • 1х' Тп+Ь22' Эх • 1х+Ь21 • Эх • Тп +Ь19' Эх + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +Ь18 • Эх- 1х • Тп +Ь17 • Эх- 1х • Тп+Ь16- Эх- 1х +Ь15 • Эх- х Тп +Ь14 • Эх- х Тп+Ь1з• Эх- 1х+Ь12 • Эх- Тп +ЬЮ- Эх+Ьд- 1х • Тп +Ь8 • 1х • Тп+

+Ь7  1х2+Ь5 • 1х • Тп+Ьз  Тп2+Ь2  Тп;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 ' Эх • 1х ' Тп +Ь26 ' Эх • 1х ' Тп+Ь25 ' Эх • 1х +Ь24 ' Эх • 1х' Тп +Ь23' Эх • 1х' Тп+Ь21 • Эх • Тп +Ь20' Эх • Тп+Ь19 • Эх +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 +Ь18 • Эх- 1х • Тп +Ь17 • Эх- 1х • Тп+Ь15• Эх- х Тп +Ь^ Эх- х Тп+Ь1з- Эх- 1х+Ь12 • Эх- Тп +Ьц • Эх- Тп+Ьд • 1х • Тп +Ь8 • 1х • Тп+Ь• 1х +

+Ь6  1х  Тп2+Ь5  1х  Тп+Ьз  Тп2;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь26 • Эх • 1х ' Тп+Ьт5' Эх • 1х +Ь24 ' Эх • 1х' Тп +Ь23 ' Эх • 1х' Тп+Ь22' Эх • 1х+Ь21 • Эх • Тп +Ь19 • Эх +Ь18 • Эх' 1х ' Тп + 2 2 2 22222 +Ь17 • Эх- 1х • Тп+Ь|6 • Эх- 1х +Ь14 • Эх- х Тп+Ь1зЭх• 1х+Ь12-Эх- Тп +ЬЮ-Эх+Ьд • 1х • Тп +Ь& 1х • Тп+Ь• 1х +Ьз Тп +Ьт Тп;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 ' Эх • 1х ' Тп +Ь26 ' Эх • 1х ' Тп+Ь23 ' Эх • 1х' Тп+Ь2Т Эх • 1х+Ь21 • Эх • Тп +Ь19' Эх +Ь^' Эх' 1х +Ь15 ' Эх' 1х' Тп + 2 2 2 2 2 2 2 +Ь13 • Эх- 1х+Ь12- Эх- Тп +Ьц • Эх- Тп+Ьд • 1х • Тп +Ь8 • 1х • Тг+Ьу 1х +Ь6 • Х Тп +Ь4 • 1х+Ьз• Тп +Ь2 • Тп;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь26 • Эх • 1х ' Тп+Ь25 Эх • 1х +Ь23 ' Эх • 1х' Тп+Ь20' Эх • Тп+Ь18 • Эх' 1х ' Тп +Ь17'Эх' 1х ' Тп+Ь15 • Эх' 1х' Тп +Ь14' Эх' 1х' Тп+

+Ь11-Эх-Тп+Ь10-Эх+Ь9-1х • Тп +Ь81х Тп+Ь61х Тп +Ь5-1х-Тп+Ь4-1х+Ь2-Тп+Ь1;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь26 • Эх • 1х ' Тп+Ь25 Эх • 1х +Ь23 ' Эх • 1х' Тп+Ь20' Эх • Тп+Ь18 • Эх' 1х ' Тп +Ь17'Эх' 1х ' Тп+Ь15 • Эх' 1х' Тп +Ь14' Эх' 1х' Тп+

+Ьц • Эх- Тп+Ью • Эх+Ьд- 1х • Тп +Ь& 1х • Тп+Ь6-х Тп +Ь5 • х Тп+Ь4• 1х+Ь2• Тп+Ь1;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 ' Эх • 1х ' Тп +Ь25 ' Эх • 1х +Ь24 ' Эх • 1х' Тп +Ь21 • Эх  Тп +Ь^' Эх' 1х ' Тп+Ь16 • Эх' 1х +Ь15' Эх' 1х' Тп +Ь13' Эх' 1х+

+Ь12 • Эх- Тп +ЬЦ • Эх- Тг+Ью- Эх+Ьд- 1Х • Тп +Ь8 • 1Х • Тп+Ь5• х Тп+Ь4- 1х+Ь2• Тп;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь25'Эх 1х +Ь22'Эх 7х+Ь2Г Эх • Тп +Ь20'Эх  Тп+Ьш Эх 1х 'Тп +Ь15 Эх 1Х Тп +Ь13 Эх1х+Ьц-Эх Тп+Ью Эх+Ь7'1х +

+Ь6 • 1х • Тп +Ь5 • 1х • Тп+Ь4 • 1х+Ь2 • Тп;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 ' Эх • 1х ' Тп +Ь25 ' Эх • 1х +Ь24 ' Эх • 1х' Тп +Ь21 • Эх • Тп +Ь17' Эх' 1х ' Тг+Ь16 • Эх' 1х + 2 2 2 2 2 +Ь15 • Эх- х Тп +Ь1з • Эх- 1х+Ь12 • Эх- Тп +ЬЮ• Эх+Ьд- 1х • Тп +Ь& 1х • Тп+Ь5-х Тп+Ь4• х

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 ' Эх • 1х ' Тп +Ь25 ' Эх • 1х +Ь21' Эх • Тп +Ь17 • Эх' 1х ' Тп+Ь^' Эх' 1х +Ь15' Эх' 1х' Тп +

+Ь13 • Эх- 1х+Ь12- Эх- Тп +Ью- Эх+Ьд- 1х • Тп +Ь& 1х • Тп+Ь5• х Тп+Ь4х

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 'Эх • 1х ' Тп +Ь25 'Эх • 1х +Ь24 ' Эх • Х Тп +Ь18 • Эх' 1х ' Тп +Ь16'Эх' 1х +^5'Эх' Х Тп +

+Ьд• 1х • Тп +Ь8 • 1х • Тп+Ь7• 1х +Ь5 • 1х• Тп+Ь4• 1х+Ь2• Тп;

2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь26 • Эх • 1х ' Тп+Ьт5' Эх • 1х +Ь24' Эх • Х Тп +Ь20 • Эх • Тг+Ь16' Эх' 1х +Ь14 ' Эх' Х Тп+

+Ьд• 1х • Тп +Ь8 • 1х • Тп+Ь5• 1х• Тп+Ь4• 1х+Ь1;

222 22 2 22 Дтах=Ь24 ' Эх • Х Тп +Ь23' Эх • Х Тг+Ь18 • Эх' 1х ' Тп +Ь16' Эх' 1х +Ь14 ' Эх' Х Тп+Ьд 1х ' Тп +

+ Ь7 • 1х +Ь6 • 1х • Тп +Ь5 • 1х • Тп+Ь4 • Х;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь26 • Эх • 1х ' Тп+Ьта Эх • Тп+Ь18' Эх' 1х ' Тп +Ь^' Эх' 1х +Ью • Эх+Ьд' 1х ' Тп +Ь8 • 1х ' Тп+

+Ь6 • 1х • Тп +Ь4 • Х;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 Эх 1х 'Тп +Ьт6'Эх 1х Тп+Ь25Эх 1х +Ь18 ЭхХ 'Тп +Ь17Эх1х Тп+^Х +

+ Ь5 • 1х • Тп+Ь4 • Х;

2 2 2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 ' Эх • 1х ' Тп +Ьт5' Эх • 1х +Ь17 ' Эх' 1х ' Тг+Ь14 • Эх' Х Тп+Ь• 1х +Ь5 • Х Тп+Ь$Х

2 2 2 2 2 Дтах=Ь27 ' Эх • 1х ' Тп +Ь17 • Эх' 1х ' Тг+Ь14 • Эх' Х Тп+Ь• 1х +Ь5'Х Тп+Ь4• Х;

Дтах=Ь21 • Эх2 • Тп+Ь13• Х Эх+Ьз' Т^+Ь^Х Тп+Ь4• Х;

Дтах=Ь1+Ь2 • Тп+Ь7 • 1х2+Ь16 • Эх' |<2;

Дтах=Ь6 • 1х• Тп2+Ьц • Эх' Тг+Ь4 • 1х.

10) 11) 12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21) 22)

23)

24)

25)

26)

Значения показателей качества уравнений количестве исключаемых слагаемых регрессии (2)...(26) максимальной абсолютной пискл=0...24 приведены в таблице 3. погрешности Дтах от параметров эх, 1х и ТП при

Таблица 3. Значения показателей качества уравнений регрессии (2)...(26) максимальной абсолютной погрешности Дтах от параметров вх, 1Х и ТП

пискл пост £max, % R2 R 2 F RSS SEE

0 27 0,72 0,9995 0,9994 7419,7 0,0000001127 0,0000338767

1 26 0,71 0,9995 0,9994 7340,7 0,0000001136 0,0000340505

2 25 0,7 0,9995 0,9993 7265,9 0,0000001148 0,0000342252

3 24 0,69 0,9995 0,9993 7171,1 0,0000001163 0,0000344507

4 23 0,68 0,9995 0,9993 7018,7 0,0000001188 0,0000348225

5 22 0,69 0,9995 0,9993 7167 0,0000001164 0,0000344606

6 21 0,68 0,9995 0,9993 6985,8 0,0000001194 0,0000349044

7 20 0,67 0,9994 0,9993 6615,7 0,0000001261 0,0000358669

8 19 0,69 0,9995 0,9993 7081,1 0,0000001178 0,0000346689

9 18 0,7 0,9995 0,9993 6870,9 0,0000001214 0,0000351950

10 17 0,7 0,9995 0,9993 6870,9 0,0000001214 0,0000351950

11 16 0,7 0,9995 0,9993 6939 0,0000001202 0,0000350219

12 15 0,68 0,9994 0,9993 6465 0,0000001290 0,0000362823

13 14 0,73 0,9994 0,9993 6577,5 0,0000001268 0,0000359708

14 13 0,72 0,9994 0,9993 6495,9 0,0000001284 0,0000361958

15 12 0,73 0,9994 0,9993 6501,6 0,0000001283 0,0000361801

16 11 0,89 0,9993 0,9991 5524,9 0,0000001509 0,0000392459

17 10 1 0,9992 0,999 4815 0,0000001732 0,0000420374

18 9 1,35 0,9983 0,9979 2255 0,0000003695 0,0000614003

19 8 1,37 0,9983 0,9979 2247,5 0,0000003707 0,0000615026

20 7 2 0,9952 0,9939 778,2 0,0000010672 0,0001043543

21 6 2,12 0,9951 0,9937 758,47 0,0000010948 0,0001056964

22 5 3,03 0,991 0,9886 415,33 0,0000019912 0,0001425431

23 4 4,2 0,9773 0,9713 162,39 0,0000050223 0,0002263795

24 3 6,99 0,9706 0,9628 124,42 0,0000065102 0,0002577412

Использовались следующие показатели качества регрессии: максимальная относительная погрешность аппроксимации 5max, %, коэффициент детерминации R2, скорректированный коэффициент

детерминации R2, критерий Фишера F, сумма квадратов остатков RSS, стандартная ошибка уравнения регрессии SEE [19, 20].

На рисунке 4 в качестве примеров приведены экспериментальные и

регрессионные графические зависимости максимальной абсолютной погрешности реализации траектории Дтах для самого длинного рассматриваемого выражения с максимальным количеством слагаемых (рис. 5, а, пискл=0, пост=27) и для самого короткого рассматриваемого выражения с

минимальным количеством слагаемых (рис. 5, б, пискл=24, пост=3) от значений параметров предикторов вх, 1Х и ТП.

Регрессионные графики Тп =24.. .32 с Экспериментальные графики

а) б)

Рис. 4. Экспериментальные и регрессионные зависимости максимальной абсолютной погрешности реализации траектории Дтах (примеры): а - поверхности и линии, соответствующие Пискл=0, Пост=27; б - поверхности и линии, соответствующие Пискл=24, Пост=3

Заключение

Выявлено, что усложнение

регрессионного выражения путем увеличения числа его слагаемых свыше 12 не приводит к дальнейшему увеличению точности аппроксимации. Задание предельного порогового (максимально допустимого) значения относительной погрешности аппроксимации 5max позволяет подобрать наиболее простое выражение с минимальным количеством слагаемых, обеспечивающее заданный уровень точности аппроксимации.

Так, например, при пороговом значении 5max<1 % целесообразно использовать в качестве уравнения регрессии выражение (19), полученное при пискл=17, пост=10, имеющее 10 слагаемых. А при пороговом значении 6max<2 % целесообразно использовать в качестве уравнения регрессии выражение (22), полученное при пискл=20, пост=7, имеющее 7 слагаемых.

Регрессионные выражения могут быть также упрощены по другим показателям качества уравнений регрессии (см. табл. 3).

Библиографический список

1. Щербаков, В.С. Способ повышения точности траектории перемещения объекта грузоподъемным краном путем компенсации его неуправляемых пространственных колебаний / В.С. Щербаков, М.С. Корытов, Е.О. Вольф // Механизация строительства. - 2014. - № 2. - С. 21-25.

2. Shcherbakov, V. Mathematical modeling of process moving cargo by overhead crane / V. Shcherbakov, M. Korytov, R. Sukharev, E. Volf // Applied Mechanics and Materials. Vols. 701-702 (2015). pp. 715-720.

3. Щербаков, В.С. Повышение точности и скорости перемещения груза по требуемой траектории грузоподъемным краном мостового типа / В.С. Щербаков, М.С. Корытов, Е.О. Вольф // Системы. Методы. Технологии. Братск: БГУ. -2014. - № 4 (24). - С. 52-57.

4. Щербаков, В.С. Система гашения пространственных колебаний груза, перемещаемого мостовым краном / В.С. Щербаков, М.С. Корытов, Е.О. Вольф // Вестник СибАДИ: Научный рецензируемый журнал. - Омск: СибАДИ. - № 6 (40). - 2014. - С. 56-61.

5. Корытов, М.С. Построение регрессионной модели определения энергетических затрат рабочего процесса грузоподъемного крана / М.С. Корытов, В.С. Щербаков, С.В. Котькин // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2012. - Т.8, № 3. - С. 92-95.

6. Ахтулов, А.Л. Теоретическое исследование и моделирование процесса разгона грузоподъемного крана мостового типа / А.Л. Ахтулов, О.М. Кирасиров, Е.В. Комерзан // Омский научный вестник. - 2008. - № 1 (64). - С. 59-63.

7. Ахтулов, А.Л. Математическая модель процесса разгона мостового крана / А.Л. Ахтулов, О.М. Кирасиров, Е.В. Комерзан // Строительные и дорожные машины. - 2009. - № 7. - С. 54-56.

8. Ахтулов, А.Л. Обеспечение качества проектирования мостовых кранов с учетом динамических характеристик: монография / А. Л. Ахтулов [и др.]; под общ. ред. А. Л. Ахтулова. -Омск: СибАДИ, 2010. - 144 с.

9. Ахтулов, А.Л. Построение имитационной модели двухбалочного мостового крана / А.Л. Ахтулов, Л.Н. Ахтулова, О.М. Кирасиров, В.А. Машонский // Вестник СибАДИ. - 2012. - № 25. -С. 7-11.

10. Ахтулов, А.Л. Построение алгоритма автоматизации проектирования процесса передвижения грузоподъемных кранов мостового типа с учетом динамических характеристик / А.Л. Ахтулов, Л.Н. Ахтулова, О.М. Кирасиров, В.А. Машонский // Вестник Ижевского государственного технического университета. - 2012. - № 2. - С. 136-138.

11. Ахтулова, Л.Н. Визуальное моделирование двухбалочного мостового крана как сложной динамической системы / Л.Н. Ахтулова, А.Л. Ахтулов, О.М. Кирасиров, В.А. Машонский // Омский научный вестник. - 2014. - № 1 (127). - С. 147-152.

12. Мирзаев, Р.А. Математическое моделирование механических устройств с помощью пакета SIMMECHANICS / Р.А. Мирзаев, Д.А. Климовский, А.Н. Смирнов, Н.А. Смирнов // Актуальные проблемы авиации и космонавтики. -2012. Т.1. - № 8. - С. 84-85.

13. Паркова, С.Н. Имитационное моделирование механической подсистемы строительного манипулятора для укладки дорожных плит с помощью MATLAB. В сборнике: Материалы Международного конгресса ФГБОУ ВПО «СибАДИ» Архитектура. Строительство. Транспорт. Технологии. Инновации - Омск, 2013. -С. 275-279.

14. Мирзаев, Р.А. Исследование кинематики манипулятора с помощью пакета SIMMECHANICS / Р.А. Мирзаев, О.В. Каменюк, Н.А. Смирнов // Актуальные проблемы авиации и космонавтики. -2012. Т. 1. - № 8. - С. 82-83.

15. Змеу, К.В. Применение среды SIMMECHANICS для моделирования нежестких систем / К.В. Змеу, М.Н. Невмержицкий, Б.С. Ноткин // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. -2012. - № 1 (10). - С. 5-10.

16. Ковалев, В.А. Из опыта моделирования нежестких систем с распределенными параметрами в среде MATLAB / В.А. Ковалев, К.В. Змеу, Б.С. Ноткин // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. -2012. - № 1 (10). - С. 10-14.

17. Перечесова, А.Д. Исследования механизмов различного уровня с помощью МА^АВ / А.Д. Перечесова, И.И. Калапышина, К.А. Нуждин // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. - 2014. - № 11 (656). - С. 42-55.

18. Гилл, Ф. Практическая оптимизация: пер. с англ. / Ф. Гилл, У. Мюррей, М. Райт. - М.: Мир, 1985. - 509 с.

19. Халафян, А.А. STATISTICA 6. Статистический анализ данных. - М.: «Бином-Пресс», 2007. - 512 с.

20. Seber G.A.F Wild C.J. Nonlinear Regression. - New York: John Wiley and Sons, 1989. - 781 p.

RATIONALE OF THE MULTIDIMENSIONAL

NONLINEAR REGRESSION MODEL OF THE PARAMETERS OF BRIDGE CRANE'S WORKING PROCESS

V.S. Shcerbakov, M.S. Korytov, M.Y. Arkhipenko, E.O. Volf

Abstract. The authors present a design scheme of a bridge crane and also its simulation model. A regression model, which allows determining various parameters of the brifge crane's working process, is built on the basis of the simulation model. It is concluded that the complexity of the regression expression by increasing the number of its items beyond 12 doesn't lead to further increasing the accuracy of approximation.

Keywords: working process of bridge crane, nonlinear multiple regression, accuracy of approximation, the regression coefficient, absolute error.

References

1. Shcherbakov V.S., Korytov M.S., Volf E.O. Sposob povyshenija tochnosti traektorii peremeshhenija obekta gruzopodemnym kranom putem kompensacii ego neupravljaemyh prostranstvennyh kolebanij [A method for improving the accuracy of a trajectory of moving an object with a crane by compensating its uncontrolled spatial oscillations]. Mehanizacija stroitel'stva, 2014, no 2. pp. 21-25.

2. Shcherbakov V., Korytov M., Sukharev R., Volf E. [Mathematical modeling of process moving cargo by overhead crane] Applied Mechanics and Materials. Vols. 701-702 (2015). pp. 715-720.

3. Shcherbakov V.S., Korytov M., Volf E. Povyshenie tochnosti i skorosti peremeshhenija gruza po trebuemoj traektorii gruzopodemnym kranom mostovogo tipa [Improving the accuracy and speed of load's movement along required trajectory by a bridge crane]. Sistemy. Metody. Tehnologii, Bratsk: BGU, 2014, no 4(24). pp. 52-57.

4. Shcherbakov V.S., Korytov M., Volf E. Sistema gashenija prostranstvennyh kolebanij gruza, peremeshhaemogo mostovym kranom [The system of spatial fluctuations' suppression of a load moved by a bridge crane]. Vestnik SibADI. 2014. no 6 (40). pp.56-61

5. Korytov M.S., Shcherbakov V.S., Kotkin S.V. [Building a regression model of determining power expenses of a crane's working process]. Vestnik of VGTU, 2012, V.8, no 3. pp. 92-95.

6. Ahtulov A.L., Cuirassiers O., Komerzan E. Teoreticheskoe issledovanie i modelirovanie processa razgona gruzopodemnogo krana mostovogo tipa

[Theoretical research and modeling of an acceleration processof a bridge crane]. Omskij nauchnyj vestnik, 2008, no 1 (64). pp. 59-63.

7. Akhtulov A.L. Keyrasirov O., Komerzan E. Matematicheskaja model' processa razgona mostovogo krana [A mathematical model of an acceleration process of a bridge crane]. Stroitel'nye i dorozhnye mashiny, 2009, no 7. pp 54-56.

8. Akhtulov A.L. Obespechenie kachestva proektirovanija mostovyh kranov s uchetom dinamicheskih ha-rakteristik [Ensuring the quality of designing bridge cranes with dynamic characteristics]. Omsk, SibADI, 2010. 144 p.

9. Akhtulov A.L., Akhtulova L.N., Cuirassiers O.M., Mashonsky V.A. Postroenie imitacionnoj modeli dvuhbalochnogo mostovogo kran [Building of a simulation model of a double-girder bridge crane]. Vestnik SibADI, 2012, no 25. pp. 7-11.

10. Akhtulov A.L. Akhtulova L.N., Cuirassiers O.M., Mashonsky V.A. Postroenie algoritma avtomatizacii proektirovanija processa peredvizhenija gruzopodemnyh kranov mostovogo tipa s uchetom dinamicheskih harakteristik [Design of an algorithm of computer-aided engineering the process of moving bridge cranes with the dynamic characteristics]. Vestnik of Izhevsk State Technical University, 2012, no 2. pp. 136-138.

11. Akhtulova L.N., Akhtulov A.L., Cuirassiers O.M., Mashonsky V.A. [Visual simulation of double-girder bridge crane as a complex dynamic system]. Omskij nauchnyj vestnik, 2014, no 1 (127). pp. 147152.

12. Mirzayev R.A., Klimovskii D.A., Smirnov A.N., Smirnov N.A. Matematicheskoe modelirovanie mehanicheskih ustrojstv s pomoshh'ju paketa SIMMECHANICS [Mathematical modeling of mechanical devices using SIMMECHANICS package]. Actual problems of aviation and space exploration,

2012, Vol.1. - no 8. pp. 84-85.

13. Parkova S.N. Imitacionnoe modelirovanie mehanicheskoj podsistemy stroitel'nogo manipuljatora dlja ukladki dorozhnyh plit s pomoshh'ju MATLAB [Simulation modeling of the mechanical subsystem of a building manipulator for laying the pavement plates using MATLAB]. Proceedings of the International Congress of FGBOU VPO «SibADI» Architecture. Building. Transport. Technology. Innovation. Omsk,

2013. pp. 275-279.

14. Mirzayev, R.A. Kamenyuki O.V., Smirnov N.A. [The study of manipulator's kinematics using SIMMECHANICS package]. Aktual'nye problemy aviacii i kosmonavtiki, 2012, no 8. pp. 82-83.

15. Zmeu K.V. Nevmerzhitskiy M.N., Notkin B.S. [Using the SIMMECHANICS medium for modeling non-rigid systems]. Vestnik Inzhenernoj shkoly Dal'nevostochnogo federal'nogo univer-siteta, 2012, no 1 (10). pp 5-10.

16. Kovalev V.A., Zmeu K.V., Notkin B.S. Iz opyta modelirovanija nezhestkih sistem s raspredelennymi parametrami v srede [From the experience of modeling non-rigid systems with distributed parameters in the MATLAB medium]. Vestnik Inzhenernoj shkoly Dal'nevostochnogo federal'nogo universiteta, 2012, no 1 (10). pp. 10-14.

17. Perechesova A.D., Kalapyshina I.I., Nuzhdin K.A. Issledovanija mehanizmov razlichnogo urovnja s pomoshh'ju MATLAV [Study of the mechanisms of various levels using MATLAB]. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Mashinostroenie, 2014, no11 (656). pp. 42-55.

18. Gill F., Murray W., Right M. Prakticheskaja optimizacija [Practical optimization]. Мoscow, Peace, 1985. 509 p.

19. Khalafyan, А.А. STATISTICA 6. Statisticheskij analiz dannyh [STATISTICS 6. Statistic analysis of data]. Мoscow, Binom-Press, 2007. 512 p.

20. Seber G.A.F Wild C.J. Nonlinear Regression. New York: John Wiley and Sons, 1989. 781 p.

Щербаков Виталий Сергеевич (Россия, г. Омск) - доктор технических наук, профессор, декан факультета «Нефтегазовая и строительная техника» ФГБОУ ВПО «СибАДИ». (644080, г. Омск, пр. Мира, 5, e-mail: sherbakov_vs@sibadi. org).

Корытов Михаил Сергеевич - (Россия, г. Омск) - доктор технических наук, профессор кафедры «Автомобили, конструкционные материалы и технологии» ФГБОУ ВПО «СибАДИ». (644080, г. Омск, пр. Мира, 5, e-mail:kms 142@mail. ru).

Архипенко Маргарита Юрьевна (Россия, г. Омск) - кандидат технических наук, доцент кафедры «Механика» ФГБОУ ВПО СибАДИ. (644080, г. Омск, пр. Мира, 5, e-mail:arkhipenko_m@sibadi.org).

Вольф Елена Олеговна (Россия, г. Омск) -аспирант кафедры «Автоматизация

производственных процессов и электротехника» ФГБОУ ВПО «СибАДИ». (644080, г. Омск, пр. Мира, 5, e-mail:wolf_eo@sibadi.org).

Scherbakov Vitaliy Sergeevich (Russian Federation, Omsk) - doctor of technical sciences, professor, dean of faculty «Oil, gas and construction technology» of the Siberian State Automobile and Highway academy (SibADI). (644080, Omsk, Mira Ave., 5, e-mail: sherbakov_vs@sibadi.org).

Korytov Mikhail Sergeevich - (Russian Federation, Omsk) - doctor of technical sciences, professor of the department «Automobiles, constructional materials and technologies» of the Siberian State Automobile and Highway academy (SibADI) (644080, Omsk, Mira Ave., 5, e-mail:kms142@mail. ru).

Arkhipenko Margarita Yurievna (Russian Federation, Omsk) - candidate of technical sciences, associate professor of the department «Mechanics» of the Siberian State Automobile and Highway academy (SibADI). (644080, Omsk, Mira Ave., 5, e-mail:arkhipenko_m@sibadi.org).

Volf Elena Olegovna (Russian Federation, Omsk) - graduate student of the department «Automation of production processes and electrical engineering» of the Siberian State Automobile and Highway academy (SibADI). (644080, Omsk, Mira Ave., 5, e-mail:wolf_eo@sibadi. org).