О влиянии гравитационного поля планеты на характеристическую скорость межорбитального перелета

УДК 519.71 Г. П. Малявкин

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 4

О ВЛИЯНИИ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ПЛАНЕТЫ НА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКУЮ СКОРОСТЬ МЕЖОРБИТАЛЬНОГО ПЕРЕЛЕТА*

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

В настоящее время исследуются различные пути использования коллинеарных точек либрации, связанные с идеей транспортировки малых небесных тел в околоземное пространство. В данной работе описывается двухимпульсный перелет небесного тела с круговой гелиоцентрической орбиты в окрестность коллинеарной точки либрации Li системы Солнце—Земля. Переход рассматривается при ослабленных граничных условиях для конечной точки траектории. Ослабление граничных условий связано с тем, что требуется не точное попадание в Li, а только чтобы тело оставалось в окрестности точки либрации продолжительное время. В качестве характеристики времени пребывания тела в окрестности точки либрации применяется специальная функция фазовых переменных, называемая «функцией опасности». В этом случае имеет место экономия энергетических затрат порядка нескольких процентов. Коллинеарные точки либрации являются неустойчивыми. Синтезирующее управление, построенное при помощи функции опасности, обеспечивает стабилизацию движения тела в окрестности точки либрации Li. Библиогр. 8 назв. Ил. 9. Табл. 1.

Ключевые слова: ограниченная задача трех тел, коллинеарные точки либрации, импульсные перелеты, стабилизация движения.

G. P. Maliavkin

ON THE INFLUENCE OF THE PLANET'S GRAVITATIONAL FIELD ON THE CHARACTERISTIC VELOCITY OF AN INTERORBITAL TRANSFER

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

The neighborhoods of the collinear libration points of the Sun—Earth system are currently quite attractive for space exploration. Today, various projects on placement of spacecrafts in the Li libration point to observe the Sun and telescopes in L2 have been implemented. Many of such projects are under development. At present, different ways of using libration points connected with the idea of transporting small celestial bodies to the near-earth space are being investigated. This idea arouses growing interest in the impulse transfer theory that was developed to approximately describe transfers of celestial bodies from one orbit to another. In this paper a model example of a two-impulse transfer of a celestial body from its circular heliocentric orbit to the collinear libration point Li of the Earth—Sun system is examined. The boundary conditions for the endpoint of the transfer trajectory are somewhat loosened. The loosening of the boundary conditions is based on the idea that the body is not required to be placed exactly in Li, but only to stay close to the libration point for an extended period of time. As a characteristic of a residence time of a body in the neighbourhood of a libration point a special function of phase variables, "the hazard function", is used. It is shown, that in this case the energy consumption, expressed by the characteristic velocity of the transfer, could be reduced by several percent. Collinear libration points are unstable. This fact entails the problem of stabilization of the celestial body's motion after its transportation. It is shown

Малявкин Георгий Павлович — аспирант; e-mail: malgepav@yandex.ru

Maliavkin Georgii Pavlovich — post-graduate student; e-mail: malgepav@yandex.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (грант № 9.37.345.2015).

that control, constructed with the use of the hazard function, provides the stabilization of the orbital motion in the neighbourhood of the libration point. Refs 8. Figs 9. Table 1.

Keywords: restricted three-body problem, collinear libration point, impulse transfer, stabilization of the motion.

Введение. Среди основных задач небесной механики важное место занимает так называемая «задача трех тел», взаимодействующих посредством силы ньютоновского гравитационного притяжения. Особое значение имеет такая разновидность этой задачи как «ограниченная задача трех тел», в рамках которой предполагается, что одно из тел обладает малой массой в сравнении с остальными и не оказывает влияния на их движение, а тела большей массы движутся по кеплеровским орбитам. С помощью данной модели успешно описываются полет астероида под действием притяжения Юпитера и Солнца, движение космического аппарата в гравитационном поле Земли и Луны и т. п.

Большой интерес представляет изучение движений небесных тел в окрестностях так называемых лагранжевых решений задачи трех тел, для которых рассматриваемые тела сохраняют постоянную конфигурацию [1]. Во вращающейся системе координат, связанной с притягивающими телами, таким движениям третьего тела в круговой задаче трех тел соответствуют положения равновесия — так называемые «точки либрации». Три из них (Li, L2 и L3) находятся на одной линии с притягивающими телами и носят название «коллинеарных точек либрации» и еще две (L4 и L5) образуют с ними равносторонние треугольники — «треугольные точки либрации».

Изучение движения космического аппарата в окрестности точки либрации имеет большое значение для космических исследований. Были реализованы различные проекты по размещению космических аппаратов для наблюдения за Солнцем в точке Li (например, космические аппараты «WIND», «SOHO») и телескопов в точку L2 (космические телескопы «Гершель», «Планк»). Многие подобные проекты находятся в стадии разработки.

В настоящее время исследуются различные пути использования коллинеарных точек либрации, связанные с идеей транспортировки малых небесных тел в околоземное пространство. Такие компании как «Planetary Resources» и «Deep Space Industries» намереваются заниматься добычей полезных ископаемых из астероидов, которые для этого предварительно будут уведены со своей гелиоцентрической орбиты в окрестность точки либрации Li или L2 системы Солнце-Земля или Земля-Луна.

В связи с данной идеей возрастает интерес к теории импульсных перелетов, разработанной для приближенного описания переходов небесных тел с одной орбиты на другую. В ней считается, что необходимое для маневра приращение скорости тело получает мгновенно, т. е. без изменения текущего положения в пространстве.

По причине большой массы астероидов реализация перевода их в нужную точку сопряжена с большими энергетическими затратами. Кроме того, неустойчивость коллинеарных точек либрации ставит задачу стабилизации движения астероида в их окрестности, что влечет дополнительные энергетические затраты.

В настоящей работе на примере приближенной модели, основанной на принципе «сфер действия» и теории импульсных перелетов, изучаются модельный пример перехода небесного тела c круговой гелиоцентрической орбиты, располагающейся в плоскости эклиптики, в точку либрации Li системы Солнце-Земля и дальнейшая стабилизация его движения в окрестности точки либрации. Исследование проводится при помощи величины, характеризующей время пребывания тела в окрестности точки либрации, называемой «функцией опасности».

Постановка задачи. Предположим, что телу, двигающемуся по круговой гелиоцентрической орбите радиуса г, располагающейся в плоскости эклиптики, со скоростью V, сообщается касательный импульс АУ, после чего тело переходит в Ь\ по полуэллипсу Хоманна. Таким образом, переход рассматривается в «плоском» случае: начальная, конечная орбита и орбита перехода лежат в одной плоскости. Переход по полуэллипсу Хоманна является энергетически оптимальным: для его реализации требуется минимальная характеристическая скорость. Под ней, как обычно, подразумевается сумма модулей приложенных импульсов [2]. При этом считается, что до достижения точки либрации полет тела полностью определяется гравитационным влиянием Солнца.

Оставаясь пока в рамках задачи двух тел, можно вычислить приращение, которое должна получить скорость рассматриваемого тела по достижении им конечной точки траектории перехода, чтобы в дальнейшем оно двигалось по круговой кепле-ровской орбите, радиус которой равен расстоянию от Солнца до Ь1. Обозначим это приращение как АУ0.

Предположим, что второй импульс рассчитывается в рамках более сложной модели, и в окрестности Ь\ движение моделируется с учетом гравитационного воздействия и Солнца, и Земли. Используется модель ограниченной круговой задачи трех тел, модифицированная с помощью метода Хилла. Уравнения движения во вращающейся геоцентрической системе координат имеют следующий вид [3, 4]:

¿1 = У1 + Х2,

х2 = у2 - х1 ,

х3 = у3,

3x1

у1 = п II3 ~г

3х2

у2 =

Зж3

у3 = и 113

х3

11 ' ' (1) ¿2 - У1,

¿3 .

Здесь х = (¿1, х2,х3) — это координаты тела, у = (у1,у2, у3) — скорость, а и — управление. Причем единицей расстояния служит расстояние от Земли до ¿1, примерно равное 0.01 а. е., а время масштабируется так, чтобы 2п единиц времени составляло один год (период обращения Земли вокруг Солнца). При этом единица скорости равна 303.14 м/с, а единица ускорения — 5.93 • 10~5 м/с2. Гравитационная постоянная определяется из третьего закона Кеплера и в принятых единицах равна 4.9865 • 10-25 (ед. расстояния)3(ед. времени)~2(кг)_1.

В такой системе координат при и = 0 точке либрации ¿1 отвечает положение равновесия (хЬ1 ,уЬ1), где хЬ1 = (1, 0, 0), уЬ1 = (0,1,0).

Скорость, с которой тело приходит в ¿1 по полуэллипсу Хоманна, в гелиоцентрической системе координат обозначим V0, а во вращающейся геоцентрической системе координат — у0. Тогда, чтобы тело оставалось в точке либрации ¿1, ему нужно сообщить приращение скорости

Ау1 = уы - у0,

которому в гелиоцентрической системе координат соответствует вектор АУ1 (рис. 1).

Рис. 1. Схема перелета Сравнение величин АУ0 и АУ1

г, а. е. ДУ°, км/с ДУ1, км/с ДУи - ДУ1 -тг- • 100, % ДУ + ДУ°

0.7 2.6898 2.2432 0.0794

0.75 2.1416 1.6950 0.1006

0.8 1.6338 1.1871 0.1330

0.85 1.1618 0.7151 0.1886

0.9 0.7217 0.2751 0.3057

В таблице представлено сравнение абсолютных величин векторов АУ0 и АУ1 для некоторых значений г первоначальной круговой орбиты тела, АУ обозначен первый касательный импульс, прикладываемый для перевода тела с исходной круговой гелиоцентрической орбиты на полуэллипс Хоманна. Видно, что учет гравитационного поля Земли, обусловленный тем, что рассматривается переход не на круговую кепле-ровскую орбиту, а в точку либрации, приводит к уменьшению характеристической скорости на доли процента. Посмотрим теперь, к каким изменениям характеристической скорости приведет ослабление граничных условий для конечной точки траектории перелета, связанное со следующей идеей: тело переводится не точно в положение равновесия (хь1 ,уь1), а требуется только, чтобы оно оставалось близко к Ь1 достаточно большое время. Ключевым для дальнейшего изложения является введенное в работе [5] понятие «функции опасности», которое является характеристикой времени пребывания в окрестности точки либрации.

Функция опасности. В изучении полетов космических аппаратов к коллинеар-ным точкам либрации ¿1 или ¿2 систем Земля-Луна или Солнце-Земля большое внимание уделялось попаданию на ограниченные траектории, близкие к точкам либрации, называемые «гало-орбитами». В работе [6], например, таким траекториям соответствует равенство нулю коэффициента при вХ1~' в соотношениях, описывающих зависимость координат космического аппарата от времени. Данную идею удобно реализовать в рамках хилловского приближения ограниченной круговой задачи трех тел, т. е. для уравнений (1).

Для этого рассмотрим линеаризованную систему (1):

х1 = у 1 + х2, х2 = у2 - х1 , х3 = у3,

у 1 = 8(х1 - 1) + (у2 - 1) + и(х, у), у2 = -4х2 - у1,

уз = - 4уз,

которую в матричном виде при и(х, у) = 0 можно записать как

г = Аг.

Здесь

A -

а z = (x,y).

Собственными числами матрицы A являются

( 0 1 0 1 0 0

-1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

8 0 0 0 1 0

0 -4 0 -1 0 0

\ 0 0 -4 0 0 0

Ai = V1 + 2V7,

Л2 = — vi + 2а/7,

А3 = íV-1 + 2v/7,

Л4 = -iy-1 + 2а/7, Аб = 2г, А6 = -2г.

Из положительности собственного числа Ai следуют неустойчивость системы (3) и необходимость стабилизации движения в окрестности Li.

Пусть di — это собственный вектор-строка, соответствующий собственному числу

Ai:

d1=(v7+ 3, v/l + 2V7 0, v/l + 2V7 1, 0 j .

Рассмотрим линейную форму

li (z) = diz,

называемую «функцией опасности». На решениях (x(t),y(t)) системы (3) выполняется

li (x(t),y(t)) = Aili (x(t),y(t)) li (t) =li (to) eXl(t-t0).

Из (4) видно, что если в начальный момент функция опасности равна нулю, то в линейном приближении при отсутствии управления траектория не покидает окрестности точки либрации.

Уменьшение характеристической скорости. Предположим теперь, что по достижении телом точки либрации Ь\ ему сообщается второй импульс, обозначаемый АУ в гелиоцентрической системе координат и Ау во вращающейся геоцентрической системе координат, такой, что

\\т < Цду1!!,

и для результирующей скорости у = у0 + Ау выполняется соотношение

11

Пунктирной линией на рис. 2 изображено множество векторов в пространстве скоростей, которые удовлетворяют уравнению (5). Видно, что Ау можно выбирать по-разному, обеспечивая тем самым различную близость скорости у к уьг-

Уг' У

1 / У

Ау1

'Чк.

"'Л У

\

0 У1

Рис. 2. Схема ослабления граничных условий

Каждому такому Ау сопоставим число

Число 6 выражает выгоду от уменьшения характеристической скорости второго импульса в процентах от общих энергетических затрат на перелет. Естественное стремление увеличивать выгоду до максимальной величины ограничивается тем, что модель линейного приближения теряет адекватность для значений вектора скорости, сильно отличающихся от у^г.

В качестве модельного примера в настоящей работе изучается переход с начальной гелиоцентрической орбиты радиуса 0.95 а.е. Вектор у равен (0.0475; 0.9120; 0), выгода 6 = 5.6089%. Для оценки времени пребывания тела в окрестности Ь\ рассмотрим результаты численного интегрирования системы (1) при и = 0 и начальных условиях (хь1,у). На рис. 3 представлена траектория движения тела (пунктиром

изображена соответствующая гало-орбита). На рис. 4 и 5 приведены графики поведения величин Цх -хы11| и Цу - уы11|, характеризующих близость траектории к Ь1. На рис. 6 показано поведение функции опасности в этом случае. Напомним, что единица времени равна примерно двум месяцам.

Рис. 3. Траектория движения из начального положения {хьг ,У*) = О

Рис. 4- Поведение траектории движения

Из рис. 3-6 видно, что в течение примерно двух единиц времени (около четырех месяцев) координаты и скорость тела остаются близкими к таковым положения равновесия (хы1 ,уы1): Цх - хы11| не превышает 0.056 единиц расстояния (83.5570 тыс. км), а Цу - уы11| — 0.1167 единиц скорости (34.6498 м/с). Это оставляет

Рис. 5. Поведение скорости на траектории

Рис. 6. Зависимость функции опасности от времени

возможность своевременного включения стабилизирующего управляющего воздействия. Таким образом, условие (5) равенства нулю функции опасности в конечной точке перелета, которое для случая описания движения нелинейными уравнениями (1) носит эвристический характер, подкрепляется численным моделированием.

Заметим, однако, что увеличение 6 уже до величины порядка 10% значительно ухудшает результаты, что иллюстрирует, например, поведение величины \\х — х^г || в этом случае, изображенное на рис. 7 (здесь 6 = 10.5912%).

Цх-^11 0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0 0.5 1 1.5 2

г

Рис. 7. Поведение траектории при 6 = 10.5912%

Стабилизация движения. Как уже было отмечено, положение равновесия (хьг ,Уьг) неустойчиво ввиду положительности собственного числа Лх матрицы А, что влечет необходимость стабилизации движения в окрестности точки либрации. Можно убедиться в том, что управляемая система (1) в линейном приближении (2) полностью управляема по переменным Х\,Х2,У\,У2, и поэтому возможно построение стабилизирующего управления, обеспечивающего асимптотическую устойчивость по отношению к этим переменным [7, 8].

Рассмотрим стабилизацию движения тела для «плоских переменных» при помощи синтезирующего управления вида

и(х,у) = к1х (х,у), которое обеспечивает минимум функционалу

Jl(u) = J {к\1\ (х, у)+и2) А,

г0

смысл которого заключается в демпфировании функции опасности [3].

На рис. 8 изображена траектория движения тела под воздействием такого управления. Начальные значения соответствуют включению управления через одну единицу времени после начала неуправляемого движения тела по закону (1) из положения

(хЬ1,у*) и равны £0 = (0.9955, -0.0533, 0, 0.0326, 1.0291, 0). На рис. 9 показана зависимость управления от времени.

Рис. 8. Траектория управляемого движения

Рис. 9. Зависимость управления от времени

По рис. 9 видно, что величина управляющего воздействия остается малой с течением времени, при этом затраты на управление, выражаемые интегралом

J \u(t)\ dt, T

где T — промежуток времени действия управления, равны 0.2023 единиц скорости за 6п единиц времени, что соответствует примерно 60.7183 м/с за 3 года. Таким образом, малое управляющее воздействие обеспечивает пребывание тела в окрестности точки либрации в течение продолжительного времени.

Заключение. В рамках приближенной модели, основанной на принципе сфер действия, было проведено исследование двухимпульсного перелета космического тела с круговой гелиоцентрической орбиты в точку либрации Li системы Солнце-Земля.

Было показано, что ослабление краевых условий для конечной точки траектории, связанное с учетом влияния гравитационного поля планеты (Земли), позволяет изменить энергетические характеристики перелета на величины порядка нескольких процентов. Этот результат может оказаться важным для задач транспортировки тел большой массы, таких как, например, астероид, так как изменение их скорости даже на небольшую величину связано со значительными энергетическими затратами.

Перелет был рассмотрен в так называемом «плоском» случае, для практических исследований большую важность имеет и пространственный случай, который будет изучен в следующих работах.

Литература

1. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

2. Охоцимский Д. Е.,Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990. 445 с.

3. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Li // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 193—199.

4. Simo C., Stuchi T. J. Central Stable/Unstable Manifolds and the Destruction of KAM Tori in the Planar Hill Problem // Physica D. 2000. Vol. 140, issue 1-2. P. 1-32.

5. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Синтез оптимального управления орбитальным движением в окрестности коллинеарной точки либрации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2012. Вып. 4. С. 139-146.

6. Лидов М. Л., Ляхова В. А., Тесленко Н. М. Траектории полета Земля-Луна-гало-орбита в окрестности точки L2 системы Земля-Солнце // Космические исследования. 1992. Вып. 4. С. 435454.

7. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2009. Вып. 4. С. 250-257

8. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Оптимальная стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации Li // Четвертые Поляховские чтения: избр. труды. СПб.: Изд-во «ВВМ», 2006. С. 296-300.

References

1. Markeev A. P. Tochki libratsii v nebesnoi mekhanike i kosmodinamike [Libration points in celestial mechanics and space dynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1978, 312 p.

2. Okhotsimskii D. E., Sikharulidze Iu. G. Osnovy mekhaniki kosmicheskogo poleta [Foundations of spaceflight mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1990, 445 p.

3. Shmyrov V. A. Stabilizatsiia upravliaemogo orbitalnogo dvizheniia kosmicheskogo apparata v okrestnosti kollinearnoi tochki libratsii Li [Stabilization of controlled orbital motion of a spacecraft in the neighbourhood of the collinear libration point Li]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer sciences. Control processes, 2005, issue 2, pp. 193-199.

4. Simo C., Stuchi T. J. Central Stable/Unstable Manifolds and the Destruction of KAM Tori in the Planar Hill Problem. Physica D, 2000, vol. 140, issue 1-2, pp. 1-32.

5. Shmyrov A. S., Shmyrov V. A. Sintez optimalnogo upravleniia orbitalnym dvizheniiem v okrestnosti kollinearnoi tochki libratsii [Optimal orbital motion control synthesis in the neighbourhood of a collinear libration point]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer sciences. Control processes, 2012, issue 4, pp. 139—146.

6. Lidov M. L., Liakhova V. A., Teslenko N. M. Traektorii poleta Zemlia—Luna—galo-orbita v okrestnosti tochki L2 sistemy Zemlia—Solntse [Trajectories of the Earth—Moon—halo-orbit flight in the neighbourhood of the L2 point of the Earth—Sun system]. Kosmicheskie issledovaniia [Space exploration], 1992, issue 4, pp. 435-454.

7. Shmyrov A. S., Shmyrov V. A. Ob asimptoticheskoi ustoichivosti po otnosheniiu k chasti peremennykh orbitalnogo dvizheniia kosmicheskogo apparata v okrestnosti kollinearnoi tochki libratsii [On the asymptotic stability with respect to a part of the variables of the orbital motion of a spacecraft in the neighbourhood of a collinear libration point]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer sciences. Control processes, 2009, issue 4, pp. 250-257.

8. Shmyrov A. S., Shmyrov V. A. Optimalnaia stabilizatsiia orbitalnogo dvizheniia KA v okrestnosti kollinearnoi tochki libratsii Li [Optimal stabilization of the controlled motion of a spacecraft in the neighbourhood of the collinear libration point Li]. Chetvertye Poliakhovskie chteniia: izbr. trudy [Fourth Poliakhov's Reading: selected proceedings]. St. Petersburg, "VVM" Publ., 2006, pp. 296-300.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 10 сентября 2015 г.