«Усиленный Лжец» и семантически замкнутый язык

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2009. № 4

ЛОГИКА

К.А. Пикалов*

«УСИЛЕННЫЙ ЛЖЕЦ» И СЕМАНТИЧЕСКИ

ЗАМКНУТЫЙ ЯЗЫК

В статье рассматривается возможность определения предиката «истина» в семантически замкнутом языке при условии отказа от некоторых постулатов классической логики. В центре исследования — «усиленный Лжец» — проблема, возникающая для подходов к устранению парадоксальности, которые сохраняют самоприменимые предложения, содержащие семантические предикаты, в качестве правильно построенных предложений языка. Предлагается система, в которой парадоксальность может быть нейтрализована при помощи идей контекстной характеристики и обоснованности предложения.

Ключевые слова: семантически замкнутый язык, парадокс Лжеца, контекстная характеристика, обоснованность предложения.

K.A. Pikalov. "Strengthened Liar" and semantically closed language

The expressibility of the predicate of "truth" in semantically closed language under the condition of rejecting classical logic is considered in the article. Some approaches to semantic paradoxes presuppose to treat self-referential sentences containing "truth" predicates as the correctly formed sentences of language. There is a new problem for such approaches — the reasoning of "strengthened Liar". The system giving an opportunity to neutralize the paradoxicality is proposed in the article. Main ideas of such system are contextual characteristic and sentence validity.

Key words: semantically closed language, Liar Paradox, contextual characteristic, sentence validity.

В результате исследования причин появления семантических парадоксов в естественном языке А.Тарским было введено понятие семантически замкнутого языка [А. Тарский, 1999]. Для такого языка характерно: (1) возможность построить в этом языке имя для выражения этого же языка и (2) принадлежность семантических предикатов к тому же уровню языка, на котором строятся выражения. Тарский сформулировал следующий вывод: в семантически замкнутом языке, в котором действуют законы классической

*

Пикалов Константин Александрович — аспирант кафедры логики философского ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова; тел.: 8-926-492-30-34; email: pikalov25@ yandex.ru

логики, невозможно определить понятие «истинное предложение» в силу того, что существует класс парадоксальных предложений: например, в предложении «Данное предложение ложно» при попытке приписать какое-либо из двух возможных значений мы получим противоречие. Определить понятие истины можно только для формализованных языков при помощи деления на объектный и метаязык.

В дальнейшем предметом исследования стала возможность определения предиката «истинно в Ь» в языке Ь при условии отказа от некоторых постулатов классической логики [Е.Д. Смирнова, 1996]. Одной из форм такого отказа является построение систем, в которых вводятся дополнительные истинностные значения, или истинностно-значные провалы для устранения парадокса. Отметим, что для таких систем возникает новая проблема — так называемый «усиленный Лжец», который «возвращает» парадоксальность. Рассмотрим систему, в которой предполагается приписывать парадоксальным предложениям отсутствие истинностной оценки. Сформулируем следующее предложение: «Данное предложение ложно или не имеет истинностной оценки», при приписывании третьего значения оказывается, что, так как утверждаемое во второй части дизьюнктивного предложения соответствует действительности, данное предложение надо оценить как истинное («усиленный Лжец» также может быть сформулирован в сокращенной форме: «Данное предложение не истинно»). Такому предложению нельзя непротиворечивым образом приписать оценку.

Данное рассуждение показывает, что в случае семантически замкнутого языка указанных в начале статьи свойств оказывается достаточно для того, чтобы реконструировать парадокс и в таком языке, в котором отсутствует принцип двузначности.

Средством построения парадоксальных предложений является семантический подтип диагонального аргумента, когда в качестве бокового списка (под «боковым списком» понимается тот перечень элементов в диагональном аргументе, к которому применяется диагональная процедура, например в доказательстве несчетности множества действительных чисел — это счетное множество всех действительных чисел) элементов выступает перечень некоторых множеств и строится элемент, который должен быть отнесен к какому-либо из этих множеств. При этом этот элемент утверждает свои семантические свойства таким образом, что он не может быть однозначно отнесен ни к одному из множеств. В случае с предложениями типа «Лжец» этими семантическими свойствами оказываются: (1) возможность построить утверждение о том, что данное

предложение не принадлежит к экстенсионалу какого-либо семантического предиката в этом языке; (2) возможность отнести такое утверждение к классу истинных предложений на основании того, что утверждаемое в нем соответствует действительности.

Однако не все исследователи согласны с тем, что полученный в результате семантической диагональной процедуры элемент является полноценным предложением, который может участвовать в процессе приписывания истинностной оценки. Например, по мнению Б. Рассела, предложение, утверждающее собственную ложность, является бессмысленным набором слов. Имеет место порочный круг, когда нечто утверждается о некотором множестве предложений и при этом само это утверждение преобразуется в элемент этого множества [Б. Рассел, 1999]. Рассел говорит о необходимости строить предложения языка в соответствии с теорией типов.

Дополнительной иллюстрацией патологичности парадоксальных предложений является следующее рассуждение. Парадоксальные предложения естественного языка имеют следующую структуру: предикатом является семантический предикат «истина» или «ложь», а субъектом — указательное имя некоторого предложения. Под указательными именами понимаются выражения вида «предложение, написанное (напечатанное и т.п.) на...». Для того чтобы оценить такое предложение, надо выяснить оценку предложения, именем которого является субъект, и сделать соответствующий вывод. Имея предложения а: «Снег бел» и Ь: «Предложение а истинно», оценить предложение Ь можно без каких- либо проблем. Парадоксальные предложения имеют ту особенность, что субъекты в них являются именами самих этих предложений (по тому же принципу строятся системы парадоксальных предложений, в которых указательные имена являются именами друг друга). Для парадоксальных предложений нарушается указанный принцип, в соответствии с которым для того, чтобы оценить предложения, содержащие семантические предикаты, надо обратиться к предложениям, не содержащим таких предикатов.

Таким образом, различные подходы к разрешению парадокса можно разделить на два типа: 1) ограничительные, которые предлагают рассматривать предложение Лжеца как то, что не является предложением, как некий синтаксический объект, не имеющий истинностной оценки; 2) подходы, которые рассматривают Лжеца как нормальное предложение. В ограничительных подходах как усиленный Лжец, так и обычный просто исключаются из рассмотрения. Такие подходы позволяют получить желаемый результат —

устранение парадоксальности ценой ограничения некоторых выразительных возможностей. Соответственно проблема усиленного Лжеца возникает только для подходов второго типа. Эта проблема демонстрирует, что подход, который предполагает выделение парадоксальных предложений в некоторый отдельный класс и введение нового семантического предиката для этого класса, например такого, как «быть истинностным провалом», без дополнительных ограничений, столкнется с реконструированным парадоксом. Поэтому необходимой чертой системы второго типа, предполагающей нейтрализацию парадоксальности, должна являться возможность «остановить» порождение «усиленных» версий парадокса. Возможно ли сохранить «усиленного Лжеца» в качестве предложения и определить понятие истины в таком языке?

Значительным прогрессом в этом вопросе является предложенная С. Крипке индуктивная конструкция [£. Кпркв, 1984], в которой используется идея необоснованных предложений и не всюду определенный предикат истинности. Система строится в результате ординального процесса: все предложения, которые не содержат семантических предикатов, например «Снег бел», принадлежат нулевому уровню и получают истинностную оценку в первую очередь, затем получают оценку предложения первого уровня, утверждающие истинность (ложность) предложений нулевого уровня, предложения второго уровня говорят о предложениях первого и т.д. В результате на некотором трансфинитном уровне все те предложения, которые могли получить истинностную оценку, ее получат. При этом предложения Лжеца и ему подобные, а также такие предложения? как «Данное предложение истинное»? будут принадлежать к классу необоснованных предложений, которые не получили истинностной оценки. Можно сказать, что такая система содержит предикат «истинное предложение», однако дополнение этого предиката, а именно «неистинное предложение», к экстен-сионалу которого принадлежат ложные и необоснованные предложения, неопределимо в этой системе. Это позволяет говорить Крипке, что «призрак иерархии Тарского все еще с нами».

Еще одной отличительной чертой предложений, содержащих указательные имена, является то, что парадоксальность может проявляться только в некоторых контекстах. Рассмотрим предложение с: «Предложение, написанное в комнате 101, ложное». В случае, если единственным предложением, написанным в комнате 101, будет с, оно окажется парадоксальным. В других контекстах это предложение может непротиворечивым образом получить истин-

ностную оценку. Это обстоятельство привело к появлению так называемых «контекстных» подходов, предлагающих рассматривать предложение Лжеца как меняющее истинностную оценку в зависимости от контекста [K. Simmons, 1993; C. Gauker, 2006].

Мы предлагаем подход, в котором парадоксальность будет устраняться при помощи идей контекстной характеристики и обоснованности предложения. Под контекстом понимается характеристика, аналогичная понятию описания состояния, которая приписывается некоторому числу предложений, при этом к контексту также могут принадлежать утверждения о семантических свойствах предложений в других контекстах. Условия получения истинностной оценки для предложений, которые потенциально могут быть необоснованными, следует уточнить: предложение, содержащее указательное имя и семантический предикат, может получить истинностную оценку только в том случае, если оно «обосновано» в этом контексте, т.е. субъект этого предложения является именем такого предложения, которое не содержит семантического предиката и может получить истинностную оценку. Утверждения о семантических свойствах, в том числе и о необоснованности некоторого предложения, принадлежат другому контексту. В результате у нас есть возможность непротиворечиво утверждать необоснованность какого-либо предложения. Объем предиката «истина» в такой системе определяется как объединение всех обоснованных предложений каждого из контекстов.

На вопрос о возможности сформулировать усиленную версию парадокса для такой системы следует ответить отрицательно. Рассмотрим предложение d: «Данное предложение ложно или не является обоснованным в любом контексте». Оно имеет свой контекст, который обозначим как L, в этом контексте оно является необоснованным и условия получения истинностной оценки не выполнены, значит все, что можно сказать про него в другом контексте K, это то, что оно не обосновано в L. Ясно, что в такой системе не удается полностью избежать иерархичности, но степень иерархичности по сравнению с подходами Рассела и Тарского является минимальной и затрагивает только утверждения о семантических свойствах. Также в этой системе предполагается корректировка классической корреспондентной теории истины: для предложений, не содержащих семантических предикатов, соответствия действительности достаточно, чтобы быть истинными, но в случае предложений с семантическими предикатами необходимо еще одно условие — обоснованность таких предложений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рассел Б. Философия логического атомизма. Томск, 1999.

2. Смирнова Е. Д. Логика и философия. М., 1996. Гл. 5.

3. Тарский А. Понятие истины в языках дедуктивных наук // Философия и логика в львовско-варшавской школе. М., 1999.

4. Gauker C. Against stepping back: a critique of contextualist approaches to the semantic paradoxes // Journal of philosophical logic. 2006. N 35.

5. Kripke S. Outline of theory of truth // Recent essays on truth and the Liar Paradox / Ed. by R.L. Martin. Oxford, 1984.

6. Simmons K. Universality and the Liar. Cambridge, 1993.