Геометрические реализации неприводимых представлений групп вращений правильных многогранников в трехмерном пространстве

УДК 512.547.212

2

К.Н. Зиза1, В. В. Штепин2

Донецкий национальный университет Московский физико-технический институт

Геометрические реализации неприводимых представлений групп вращений правильных многогранников в трехмерном пространстве

В работе найдены новые геометрические реализации неприводимых представлений групп вращений правильных многогранников в трехмерном пространстве. Предложена формула для проекционных операторов в каноническом разложении индуцированного представления, при помощи которой неприводимые представления реализуются в комплекснозначных функциях на вершинах, ребрах и гранях многогранников.

Ключевые слова: группа, вращение, правильный многогранник, однородное пространство, индуцированное представление, неприводимое представление, спектр представления, реализация представления, оператор, проектор, базис.

Geometric realizations of irreducible representations of three—dimensional regular polyhedra rotations groups

The new geometric realizations of irreducible representations of regular polyhedra rotations groups in three dimensions are found in the work. The formula for projecting operators in canonical decomposition of the induced representation is suggested for constructing realizations of irreducible representations in complex-valued functions on vertexes, edges and verges of polyhedra.

Key words: group, rotation, regular polyhedra, homogeneous space, induced representation, irreducible representation, spectrum of representation, realization of representation, operator, projector, basis.

1. Введение

Настоящая работа посвящена построению явных реализаций неприводимых представлений групп вращений правильных многогранников в М3 (а именно, групп А4, 84 и А5) в функциях на однородных пространствах, связанных с многогранниками. Хотя правильные фигуры в М3 известны еще со времен Платона и Евклида, а неприводимые представления их групп вращений — со времен Фробениуса (конец XIX века) [1, с. 49-51], задача построения реализаций неприводимых представлений все еще является актуальной.

В настоящее время известно несколько способов построения неприводимых представлений симметрической и знакопеременной группы. Метод Вейля позволяет строить реализации в тензорах определенного типа симметрии, в методе Яманучи неприводимые представления группы Бп строятся на основе представлений группы Бп-1. Еще на заре теории линейных представлений было известно, что регулярное представление конечной группы содержит в своем спектральном разложении все ее неприводимые комплексные представления с кратностями, равными их размерностям. Поэтому всякое неприводимое представление группы вращений многогранника может быть реализовано в комплекснозначных

2

K. N. Ziza1, V. V. Shtepin2

1 Donetsk National University Moscow Institute of Physics and Technology

,2

функциях на этой группе путем разложения кратного спектра ее регулярного представления. Хотя такая потенциальная возможность реализации представлений всегда имеется, ее практическое воплощение при увеличении порядка группы сталкивается с огромными вычислительными сложностями. Ниже мы предлагаем решение этой задачи более простым методом — путем реализации представлений в функциях на однородных пространствах.

Вероятно, начиная с классической работы Э. Картана [2, с. 217-252], берет свое начало направление, связанное с изучением однородных пространств и построением представлений в функциях на таких пространствах. Однородными пространствами, изучаемыми в данной работе, являются совокупности вершин, ребер и граней правильных многогранников в М3. Именно они, на наш взгляд, наиболее естественны для групп вращений и выгодно отличаются от остальных своей наглядностью и геометричностью.

Поскольку октаэдр двойственен кубу, а икосаэдр — додекаэдру, то достаточно ограничиться рассмотрением только тройки правильных многогранников в М3: тетраэдра, куба и додекаэдра. Для сопоставления вращений этих многогранников с подстановками у тетраэдра перенумеровываются вершины (его группа вращений изоморфна А4 ), у куба - большие диагонали (группа вращений - 54 ), у додекаэдра — отрезки, соединяющие противоположные вершины пары фиксированных противолежащих граней (группа вращений - А5).

Пусть Ф - правильный многогранник с группой вращений О , а Нр, Н1, Н8 - стационарная подгруппа какой-либо вершины, ребра или грани соответственно. Тогда однородное пространство вершин (ребер, граней) многогранника Ф можно понимать как множество левых смежных классов О по Нр (О по Н1, О по Н3 ). Неподвижной вершине соответствует смежный класс, совпадающий с подгруппой Нр. Поэтому такую вершину удобно считать первой и обозначать р\. Аналогичное соглашение будем принимать также для ребер и граней.

Рассмотрим представление Тр группы О, операторы которого действуют в пространстве комплекснозначных функций, определенных на однородном пространстве вершин многогранника Ф:

Мы докажем, что это представление является индуцированным тривиальным представлением Е подгруппы Нр, поэтому удобно обозначить его 1пёНрЕ . Аналогично определяются представление 1пёНЕ в случае однородного пространства ребер и 1пёНв Е в случае однородного пространства граней многогранника Ф.

Пусть О - конечная группа, Т — ее неприводимые комплексные представления с характерами хг (я = 1) 2,  ,г, где г - число классов сопряженных элементов в О). Для произвольного конечномерного представления Т группы О с характером хт будем считать построенным каноническое разложение

[Тр

Т = 0 тгТг,

если вычислены кратности

г=1

т = то^^ хт

1 1 део

и найдены проекторы [3, с. 29]

р = Ё

\О\

Р = ^гОгЕ ХМТ

на подпространства примарных компонент тгТг. Отметим, что для индуцированного представления 1пёНЕ формула для кратностей тг в каноническом разложении принимает следующий вид:

тг = Хг

\ 1 ней

что является очевидным следствием теоремы двойственности Фробениуса [3, с. 55]. Если в каноническом разложении встречается хотя бы одна кратность больше 1, то спектр представления считается кратным. В противном случае говорят о представлении простого спектра.

В разделе 2 мы выводим новую формулу для проекторов Р.\ на подпространства примар-ных компонент для индуцированных представлений типа Е. Пусть примарное представление т.Т входит в спектральное разложение представления Е. Тогда базисом в пространстве примарного представления служат столбцы проектора Р. , соответствующие его наибольшему ненулевому симметричному минору. Действия операторов примарного и индуцированного представлений на векторах указанного базиса идентичны. Благодаря этому факту в работе найдены не только базисы в пространствах неприводимых представлений Т., но и матрицы операторов ) в этих базисах, где д^ — образующие группы О.

Для придания геометрического смысла функциям из пространств неприводимых представлений (то есть для получения словесных описаний этих пространств) необходимо изобразить на многогранниках значения базисных функций, полученных в качестве столбцов проекторов Р.. Это, в свою очередь, требует знания расположения на многограннике его г-й вершины, ]-го ребра и к-й грани, первоначально записанных в виде левых смежных классов группы О по стационарным подгруппам Нр, Н1 и Н3. Порядок вершин, ребер и граней на правильных многогранниках в М3 находится при помощи графов их групп вращений. При построении графа группы в ней выбирают образующие элементы, в качестве вершин графа берут элементы группы и пользуются следующим правилом: движение, начинающееся в некоторой вершине, вдоль отрезка в направлении, указанном стрелкой, должно соответствовать умножению справа на связанный с этим отрезком образующий элемент [4, с. 68].

Некоторые из полученных нами результатов были известны и ранее. Однородные пространства, связанные с кубом в М3, рассматривали, например, Кириллов А. А. [5, с. 286288] и Винберг Э.Б. [6, с. 70]. На наш взгляд, использование формулы для проекторов Р. на подпространства примарных компонент в Е (см. теорему ниже) значительно облегчает нахождение геометрических описаний пространств неприводимых представлений. Отметим, что для этого нам вовсе нет необходимости знать сами операторы индуцированного представления. Единственное, что нам требуется - это знать проекторы К. на подпространства примарных компонент в каноническом разложении регулярного представления. Но эти проекторы легко вычисляются по формуле (4):

К.£ хашд)-

1 1 део

В таблицах, приводимых ниже, помимо словесного «геометрического» описания неприводимых представлений, мы даем матрицы операторов представлений для образующих элементов группы О. Исключение составляют лишь случаи кратного спектра (таких всего четыре). Этим случаям мы планируем посвятить отдельную работу.

2. Формула для проекционных операторов на пространства примарных компонент индуцированного представления е

Основной целью этого раздела является доказательство следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть О — конечная группа, Н —ее подгруппа, Т. — неприводимое комплексное представление группы О с характером %г . Пусть К - регулярное представление группы О и

К. = "То^ х.

1 1 део

- проекторы на пространства примарных компонент в каноническом разложении регулярного представления.

Тогда соответствующие проекторы для канонического разложения индуцированного представления Е имеют вид

Рг — т^Т МЯгМ \Н I

где М — \\mij|| - матрица размера (О : Н) х \С\,

¡1, Э е хг,

тИ = п  И-

[0, Э/хг,

где Э - обозначение для .-го элемента группы О , хг - обозначение для 1-го левого смежного класса О по Н.

Доказательство. Рассмотрим операторы

Ян (д) = Щ мя(д)м*.

Покажем, что Ян(д) — это операторы некоторого представления группы О , т.е. проверим условие гомоморфизма.

Лемма 1. Матрица М*М перестановочна с операторами Я(х).

Доказательство. Введем в группе О следующий порядок элементов: сначала перенумеруем элементы класса XI, затем — элементы класса Х2 и т.д. При такой нумерации элементов группы матрица М принимает наиболее простой вид:

/1 1 ... 1 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0\ 0 0 ... 0 11 ... 1 ... 0 0 ... 0

М=

1

\ 0 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 1 1

Тогда матрица М*М имеет блочно-диагональный вид, где на главной диагонали стоят квадратные матрицы I, все элементы которых равны 1.

Пусть \Н\ — к. Разобьем матрицу Я(х) на квадратные блоки тз размера к х к. Покажем, что при выбранной нумерации элементов группы каждый такой блок представляет собой либо нулевую матрицу, либо матрицу подстановки. Воспользуемся тем, что Я(х) - матрица подстановки и

Г1, если х. = г,

Я(х)(з) = \ п ...

10, если х. — г.

Пусть блок тз ненулевой. Тогда существуют элементы дН е хг и дз Нт е хз такие, что хдзНт — дгЫ. Возьмем произвольный другой элемент дз Нт' е хз, Нт' — Нт. Получим:

xgjНт' — дгНгНт^д^дзНт' — дЫН^Нт' — дН е хг, где Ну — Нг.

Таким образом, тз — матрица подстановки. Поскольку

I, если блок тз ненулевой,

0, если блок тгз нулевой,

то матрицы М*М и Я(х) коммутируют. Лемма 1 доказана.

Покажем, что соответствие Ян : д — Ян(д) является представлением группы О.

Ян (д1 )Ян (д2) = т^ МЯ(д1)М*МЯ(д2)М* — {лемма 1} = |Н|2

1 ММ*МЯ(д1)Я(д2)М* — {ММ* — \Н\Е} —

1 • тз — тз ' 1 —

2

— Щ МЯ(д1д2)М* — Ян (д1д2).

Докажем, что представление Кн есть не что иное, как индуцированное представление

1пёН Е.

Лемма 2.

tr(MR(x)M4) = Е 1

geo g-1 xgeH

Доказательство. В процессе доказательства леммы 1 было установлено, что при соответствующей нумерации элементов группы матрица R(x) разбивается на (k х к)-блоки Tj. Тогда умножение слева на M равносильно суммированию строк матрицы R(x): сначала суммируются первые k строк, затем — последующие k строк и т.д. Аналогично, умножение справа на M1 приводит к такому же суммированию столбцов матрицы MR(x). В итоге

tr(MR(x)M4) = \H \  Е 1

xi £G/H

т.е. след равен произведению порядка подгруппы на количество неподвижных смежных классов под действием x.

Пусть Xi = giH. Тогда справедливы эквивалентности

xxi = xi & xgiH = giH & Hg~1xgiH e H & (giH)~lxgiH e H & x~1xxi e H.

Поэтому

I H I • £ 1 = I H I • £ 1.

xieG/H xieG/H

XXi=Xi x—1xxiEH

Возьмем элемент g e G со свойством g~lxg e H и рассмотрим элемент g' = gh, h e H. Имеем

(g')~lxg' = (gh)~lxgh = h~lg~lxgh e H.

Таким образом, наряду с g, все элементы левого смежного класса gH обладают тем же свойством. Значит.

hi • £ 1= Z 1.

xieG/H gEG

x-1xxieH g-lxg^H

Лемма 2 доказана.

Покажем, что характеры представлений Rh и IndHE равны.

XRh(X) = trRH(x) = jH-,tr(MR(x)M= {лемма 2} = H E 1 = XindHE(x).

11 11 geG

g-1xgEH

По критерию изоморфизма представлений в терминах характеров

Rh = IndH E.

Воспользовавшись универсальной формулой для проекторов (4), получим dim T , ч dim T

Pi

Y,Xi(g)Rn (g) = Gт-щ £ Xi(g)MR(g)M4 \ \ \ \

1 1 gee 1 1 1 1 gee

= ЩM ^^G1 E Xi(g)R(g)j m4 = -Lmrm

Теорема доказана.

Замечание 1. Если в группе О выбрать нумерацию элементов, отличную от используемой в доказательстве теоремы, то изменятся матрица М и проекторы Яг, Рг, но доказанная выше формула для проекторов останется справедливой. Покажем это.

Ассоциируем символ тильда с операцией изменения порядка элементов группы. Тогда

Рг — МЩМ*, \ Н\

где Я — С-1Яг С, С - матрица перехода к новому базису. В итоге

Р — Т1-, МС-1ЩСМ*. \Н\

Достаточно ограничиться рассмотрением ситуации, когда только два элемента группы меняются местами. Возможны два случая. В первом случае меняются местами элементы из одного смежного класса (например, 1-й и 2-й). В этом случае

C =

/0 1 0 1 0 0 0 0 1

\0 0 0

0 0 0

, C-1 = C.

0

Во втором случае меняются местами элементы, принадлежащие различным смежным классам (например, к-й и (к + 1)-й, к — \Н|). Тогда минор

0 1 1 0

находится в матрице С на пересечении строк и столбцов с номерами к и к + 1. В обоих случаях С-1 — С. Поэтому

Р — ^т МСЯгСМ*. \Н\

Покажем, что в обоих случаях элементы матрицы М подчиняются тому же правилу, что и элементы матрицы М, т.е.

m

i]

0,

X е Xi

j £ Xi

В первом случае имеем

1, 1 е хг 1, 2 £ ц тг\ = < = < ~ = m i2

|0, 1 /хг 10, 2 £ Xi

Аналогично, тг2 — тРг1.

Во втором случае: тгк — тпг,к+1, если г / {1,2}. Ситуация, когда г е {1, 2}, рассматривается аналогично. Поскольку Рг — Б-1РгБ, Б — аналог матрицы С , то

Pi = SMCRi CM fS-1.

Положив SMC = M, мы придем к уже доказанной формуле.

3. Реализации неприводимых представлений группы а4 в функциях на тетраэдре

В данном разделе и в последующих двух общая схема локализации неприводимых представлений, описанная во введении, применяется к группе вращений конкретного многогранника. Процесс локализации начинается с нахождения характеров, которыми с точностью до изоморфизма определяются неприводимые представления.

Таблица 1. Характеры неприводимых комплексных представлений группы А4 [6]

Г = -1 + г)

А4 1 = е 2 =

Т1 1 1 1 1

Т2 1 1  гВ

Тз 1 1 В

Т4 3 -1 0 0

На рис. 1 указан порядок вершин, граней и ребер тетраэдра, найденный при помощи графа группы А4. Для построения графа мы выбираем образующие элементы 2 = (12)(34) (этот элемент порождает циклическую стационарную подгруппу ребер) и 8 = (243) (порождает циклическую стационарную подгруппу вершин или граней), в качестве вершин графа берем элементы группы и пользуемся правилом, что движение, начинающееся в некоторой вершине, вдоль отрезка в указанном стрелкой направлении соответствует умножению справа на связанный с этим отрезком образующий элемент.

Рис. 1

Вершины, грани и ребра тетраэдра получаются в виде левых смежных классов по стационарным подгруппам:

Р1 = = {1, 8,12},

Р2 = 82 = {2, 5, 11}, Рз = 83 = {3, 6, 9}, Р4 = 84 = {4, 7,10},

¡1 = {1, 2}, ¡2 = {3, 4}, ¡з = {5, 6}, ¡4 = {7, 8}, ¡5 = {9,12}, ¡6 = {10,11}.

Спектральные разложения индуцированных представлений найдены с помощью таблицы характеров и формулы (5). Доказанная в разделе 2 теорема позволяет построить проекторы на пространства примарных компонент в каждом из случаев.

Случай вершин (граней) тетраэдра: ТпёЩ4Е = ТпёЩ4Е = Тг ф ТА,

/1 1 1 1\

( 3 -1 -1 -1\

1 1 1 1 1 1 -1 3 -1 -1

4 1 1 1 1 • Р = 4 -1 -1 3 -1

1 1 1 1 -1 -1 3/

Случай ребер тетраэдра: 1пёЩ Е = Тг ф Т2 ф Т3 ф Т4

1 1 1 1 1 1 1 1 и и и) и)

1 1 1 1 1 1 1 1 и и и) и)

1 1 1 1 1 1 1 Р2 1 и) и) 1 1 и и

— - -

6 1 1 1 1 1 1 6 и) и) 1 1 и и

1 1 1 1 1 1 и и и) и) 1 1

1 1 1 1 1 1 и и и) и) 1 1 )

1 1 и и и) и) 1 1 0 0 0 0 \

1 1 и и и) и) -1 1 0 0 0 0

Рз 1 и) и) 1 1 и и Р4 1 0 0 1 -1 0 0

= — 1 1 = — 0 -1 1 0 0

6 и) и) и и 2 0

и и и) и) 1 1 0 0 0 0 1 -1

и и) и) 1 1 ) V 0 0 0 0 -1 1

Столбцы найденных проекторов, соответствующие их наибольшим ненулевым симметричным минорам, представляют собой искомые базисы в пространствах неприводимых представлений группы вращений тетраэдра. Эти базисы указаны в следующей таблице.

Таблица 2. Базисы в пространствах неприводимых представлений группы А4

Вершины (грани) тетраэдра Ребра тетраэдра

Тг Т4 Тг Т2 Тз Т4

Рг, «1 1 3 -1 -1 1г 1 1 1 1 0 0

Р2, «2 1 -1 3 -1 12 1 1 1 -1 0 0

Рз, «3 1 -1 -1 3 1з 1 и) и 0 1 0

Р4, «4 1 -1 -1 -1 14 1 и) и 0 -1 0

15 1 и и) 0 0 1

16 1 и и) 0 0 -1

Геометрический смысл полученных базисных функций на однородных пространствах тетраэдра становится понятным, если воспользоваться рис. 1. В таблице 3 указаны также матрицы операторов неприводимых представлений для образующих элементов в построенных базисах. Одномерные представления совпадают со своими характерами, а для нахождения матриц трехмерного представления Т4 мы воспользовались тем, что оно содержится в спектральных разложениях представлений 1пёЩ Е и 1пёЩ Е с кратностью 1. Поэтому с учетом формулы (1) Уд е С справедливы равенства

Т4

А

[Т4(дМ(1з)= 1п<Е(д)<рг (Ц) = ф {д-1 Ц ,

где /г — базисные функции в случае вершин тетраэдра, фг — базис в случае ребер.

Таблица 3. Описание неприводимых представлений группы А4

Неприводимые представления

Ребра тетраэдра

Вершины тетраэдра

Грани тетраэдра

Т1

функции-константы; Т1 (2) = Т^(8) = 1

Т2

Тз

четные функции с нулевой суммой значений; Т2(2) = 1, Т2(8) = г

четные функции с нулевой суммой значений;

Тз(2) = 1, Тз(8) =

не реализуются

Т4

нечетные функции;

'1 0

Т4(2) = 10 -1 0

V0 0 -1

/ 0 0 1

Т4(8) = 1-1 0 0

\ 0 -10

функции с нулевой суммой значений: ¡0 1 -1 Т4(2) = 11 0 -1

V0 0 -1 /1 0 -1

Т4(8) = 10 0 -1

\0 1 -1,

Идентичность полученных локализаций неприводимых представлений для вершин и граней тетраэдра является проявлением его самодвойственности.

4. Реализации неприводимых представлений группы в функциях на кубе

В этом разделе представлены результаты аналогичного применения общей конструкции локализации неприводимых представлений для группы вращений куба.

Таблица 4. Характеры неприводимых комплексных представлений группы £4 [6, с.141]

5*4 1 = е 2 = (12)(34), 5 = (123), 13 = (12), 19 = (1324),

3 = (13)(24), 6 = (134), 14 = (34), 20 = (1423),

4 = (14)(23) 7 = (142), 15 = (13), 21 = (1234),

8 = (243), 16 = (24), 22 = (1432),

9 = (132), 17 = (14), 23 = (1243),

10 =

11 = (124),

12 =

Т1 1 1 1 1 1

Т2 1 1 1 -1 -1

Тз 2 2 -1 0 0

Т4 3 -1 0 1 -1

Т5 3 -1 0 -1 1

Порядок вершин, ребер и граней куба представлен на рис. 2.

Вершины, ребра и грани куба как левые смежные классы по стационарным подгруппам:

li = {1,13},

I2 = {2,14},

Р1 = {1, 8,12}, 1з = {3,20},

Р2 = {2, 5,11}, l4 = {4,19}, S1 = {1, 2,19, 20},

Р3 = {3, 6, 9}, I5 = {5,15}, S2 = {3,4,13,14},

Р4 = {4, 7,10}, l6 = {6, 21}, S3 = {5, 6, 16, 22},

Р5 = {13,21,23}, I7 = {7,16}, S4 = {7, 8, 15, 21},

Р6 = {14, 16, 18}, l8 = {8, 22}, S5 = {9, 12, 17, 23},

Р7 = {15, 19, 24}, l9 = {9,18}, S6 = {10, 11, 18, 24}

Р8 = {17, 20, 22}, l10 = {10, 23},

lii = {11, 17},

112 = {12, 24},

Спектральные разложения представлений, ассоциированных с однородными пространствами вершин, ребер и граней куба:

случай вершин куба: Ind|4 E = Ti ф T2 ф T4 ф T5;

случай ребер куба (здесь уже появляется кратность 2): Ind^ E = T1 ф T3 ф 2T4 ф T5;

случай граней куба: IndH4 E = Ti ф T3 ф T5.

Таблица 5. Базисы в пространствах неприводимых представлений группы £4

Вершины куба

Т1 Т2 Т4 Т5

Р1 1 1 3 -1 -1 3 -1 -1

Р2 1 1 -1 3 -1 -1 3 -1

Рз 1 1 -1 -1 3 -1 -1 3

Р4 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

Р5 1 -1 -1 3 -1 1 -3 1

Р6 1 -1 3 -1 -1 -3 1 1

Р7 1 -1 -1 -1 3 1 1 -3

Р8 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1

Ребра куба

Т1 Тз Т4 Т5

1 1 2 -1 2 0 -1

2 1 2 -1 р -2 0 1

з 1 2 1 к щ к 0 2 -1

4 1 2 -1 о « 0 -2 1

5 1 -1 2 3 к -1 -1 -2

6 1 -1 2 т сб 1 1 -2

7 1 -1 2 р и -1 -1 0

8 1 -1 2 т щ а 1 1 0

9 1 -1 -1 а к -1 1 -1

10 1 -1 -1 н и о 1 -1 -1

11 1 -1 -1 м -1 1 1

12 1 -1 -1 1 -1 1

Грани куба

Т1 Тз Т5

в1 1 2 -1 1 0 0

1 2 -1 -1 0 0

вз 1 -1 2 0 1 0

1 -1 2 0 -1 0

в4 1 -1 2 0 -1 0

вб 1 -1 -1 0 0 -1

Таблица 6. Описание неприводимых представлений группы £4 (8 = (243) и 13 = (12) —

образующие элементы)

Неприводимые Вершины Ребра Грани

представления куба куба куба

1 2 3 4

Т функции-константы; Т. (8) = Т (13) = 1

Т нечетные функции не реализуется

с нулевой суммой

значении

на вершинах

принадлежащих

одной грани;

Т2(8) = 1, Т2(13) = ш

Тз не реализуется четные функции с нулевой суммой значений; четные функции с нулевой суммой значений;

Тз (8) = Тз(13) =

0 -1 1 -1 1 -1 01

Тз(8) =

Тз(13) =

-1 1 -1 0 1 -1 01

Т4

четные функции с нулевой суммой

значений и с суммой значений нуль на вершинах, принадлежащих одной грани;

/1 0 -1\ Т4(8) = 0 0 -1

V0 1 -у I0 1 ^

Т4(13) =1 0 0 \0 0 1/

возникает кратный спектр

не реализуется

Тъ

нечетные функции;

Тб(8) =

Т5

нечетные функции;

л 0 (°\

Тъ (8) =1 0 -1 ,

V1 1 -V

/1 0 -1

Тъ (13) = 0 -1 0

\0 0 -1,

нечетные функции;

I0 -1 0\

Тъ (8) = 0 0 -1

V1 0 0/ /-1 0 0

Тъ

0 0 -1 0 -1 0 ,

1

2

3

4

5. Реализации неприводимых представлений группы а5 в функциях на додекаэдре

В данном разделе приводятся результаты применения общей конструкции локализации неприводимых представлений для группы вращений додекаэдра. В этом случае наименьшие размеры проекторов составляют 12 х 12, а спектры индуцированных представлений содержат кратности 2 и 3.

Таблица 7. Характеры неприводимых комплексных представлений группы А5 [6, с.76]

(а = 1+Д Ь = ^

1 2 3 4 5 6

А5 1 = е 2 = (123), 22 = (12345), 23 = (12354), 46 = (12)(34),

3 = (124), 25 = (12453), 24 = (12435), 47 = (12)(35),

4 = (125), 26 = (12534), 27 = (12543), 48 = (12)(45),

5 = (132), 29 = (13254), 28 = (13245), 49 = (13)(24),

6 = (134), 30 = (13425), 31 = (13452), 50 = (13)(25),

7 = (135), 33 = (13542), 32 = (13524), 51 = (13)(45),

8 = (142), 34 = (14235), 35 = (14253), 52 = (14)(23),

9 = (143), 37 = (14352), 36 = (14325), 53 = (14)(25),

10 = (145), 38 = (14523), 39 = (14532), 54 = (14)(35),

11 = (152), 41 = (15243), 40 = (15234), 55 = (15)(23),

12 = (153), 42 = (15324), 43 = (15342), 56 = (15)(24),

13 = (154), 45 = (15432) 44 = (15423) 57 = (15)(34),

14 = (234), 58 = (23)(45),

15 = (235), 59 = (24)(35),

16 =

1 2 3 4 5 6

17 =

Т1 1 1 1 1 1

Т2 3 0 а Ь -1

Тз 3 0 Ь а -1

Т4 4 1 -1 -1 0

Т5 5 -1 0 0 1

Порядок вершин, ребер и граней додекаэдра представлен на рис. 3

Ри

Рис. 3

Вершины, грани и ребра додекаэдра как левые смежные классы по стационарным

подгруппам:

Р1 = {1,15,18}. Р11 = {14,19,

Р2 = {2, 4, 47}, Р12 = {16,21,

Рз = {3, 23, 26}, Р13 = {17, 20,

Р4 = {5, 7, 50}, Р14 = {22,25,

Р5 = {6, 29, 32}, Р15 = {24, 27,

Р6 = {8, 34, 35}, Р16 = {28,31,

Р7 = {9, 36, 37}, Р17 = {30,33,

Р8 = {10,38, 39}, Р18 = {41, 45,

Р9 = {11, 12, 55}, Р19 = {43,44,

Р10 = = {13, 40, 42}, Р20 = {52,53,

81 = {1, 22, 32, 35, 45},

59}, 82 = {2, 13, 31, 36, 59},

60}, 83 = {3, 18, 33, 38, 57},

58}, 84 = {4, 21, 39, 40, 49},

48}, 85 = {5, 20, 24, 44, 53},

46}, 86 = {6, 19, 25, 37, 55},

51}, 87 = {7, 8, 26, 41, 58},

49}, 88 = {9, 15, 30, 42, 48},

57}, 89 = {10,16, 23, 43, 50},

56}, 810 = = {11,14, 27, 28, 54},

54}, 811 = = {12,17, 29, 34, 46},

812 = = {47, 51, 52, 56, 60},

¿1 = {1, 46}, ¿11 = {13, 27}, ¿21 = {29, 44},

¿2 = {2, 6}, ¿12 = {15, 31}, ¿22 = {30,55},

¿3 = {3, 9}, ¿13 = {17, 37}, ¿23 = {32,38},

¿4 = {4, 57}, ¿14 = {18,43}, ¿24 = {33,58},

¿5 = {5,14}, ¿15 = {19, 45}, ¿25 = {35,42},

¿6 = {7, 22}, ¿16 = {20, 47}, ¿26 = {36, 56},

¿7 = {8,16}, ¿17 = {21,48}, ¿27 = {39, 59},

¿8 = {10, 24}, ¿18 = {23, 51}, ¿28 = {40, 50},

¿9 = {11, 60}, ¿19 = {25, 54}, ¿29 = {41,53},

¿10 = {12, 26}, ¿20 = {28, 34}, ¿30 = {49,52}.

Спектральные разложения индуцированных представлений:

случай вершин додекаэдра: Е = Т  Т2  Тз  2Т4  Т5,

случай ребер додекаэдра: ¡пё^5 Е = Т  Т2  Тз  2Т4  3Т5,

случай граней додекаэдра: ¡пё^Ъ Е = Т1  Т2  Т3  Т5.

Таблица 8. Базисы в пространствах неприводимых представлений группы А5

Вершины додекаэдра

Т2 Тз Т5

Р1 3 -1 1 3 -1 1 3 -1 -1 -1 -1

Р2 -1 3 -1 -1 3 -1 -1 3 -1 -1 1

Рз 1 -1 3 1 -1 3 -1 -1 3 1 -1

Р4 -1 -1 г -1 -1 -г -1 -1 1 3 -1

Р5 1 -г -1 1 г -1 -1 1 -1 -1 3

Р6 1 -3 1 1 -3 1 -1 3 -1 -1 1

Р7 1 1 -г 1 1 г -1 -1 1 3 -1

Р8 1 1 г 1 1 -г -1 -1 1 -1 1

Р9 -1 -1 -г -1 -1 г -1 -1 1 -1 1

Р10 1 г -1 1 -г -1 -1 1 -1 1 -1

Р11 -1 1 -3 -1 1 -3 -1 -1 3 1 -1

Р12 -1 г 1 -1 -г 1 -1 1 -1 -1 3

Р1з -1 -г 1 -1 г 1 -1 1 -1 1 -1

Р14 г -1 -1 -г -1 -1 1 -1 -1 1 1

Р15 -г -1 -1 г -1 -1 1 -1 -1 -1 -1

Р16 -г г -г г -г г 1 1 1 -1 -1

Р17 г 1 1 -г 1 1 1 -1 -1 -1 -1

Р18 г -г г -г г -г 1 1 1 -1 -1

Р19 -г 1 1 г 1 1 1 -1 -1 1 1

Р20 -3 1 -1 -3 1 -1 3 -1 -1 -1 -1

Грани додекаэдра

Т2 Тз Т5

81 г -1 1 г 1 -1 5 -1 -1 -1 -1

82 -1 г -1 1 г 1 -1 5 -1 -1 -1

8з 1 -1 г -1 1 г -1 -1 5 -1 -1

84 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 5 -1

85 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 5

86 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 -1

87 1 -г 1 -1 -г -1 -1 5 -1 -1 -1

88 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 5

89 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

810 -1 1 -г 1 -1 -г -1 -1 5 -1 -1

811 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 5 -1

812 -г 1 -1 -г -1 1 5 -1 -1 -1 -1

Ребра додекаэдра

Т2

¿1 2 0 0 ¿11 Ь а -1 ¿21 1 Ь —а

¿2 0 2 0 ¿12 Ь а 1 ¿22 —Ь а 1

¿3 0 0 2 ¿13 а 1 Ь ¿23 1 Ь а

¿4 -1 Ь а ¿14 Ь —а 1 ¿24 — Ь —а 1

¿5 0 0 -2 ¿15 а 1 —Ь ¿25 1 —Ь а

¿6 а -1 —Ь ¿16 -1 Ь —а ¿26 —а 1 Ь

¿7 0 -2 0 ¿17 -1 —Ь а ¿27 —а 1 —Ь

¿8 Ь —а -1 ¿18 —а -1 Ь ¿28 —а -1 —Ь

¿9 -1 -Ь —а ¿19 —Ь а -1 ¿29 —Ь —а -1

¿10 а -1 Ь ¿20 1 —Ь —а ¿30 -2 0 0

Тз

¿1 2 0 0 ¿11 а Ь -1 ¿21 1 а —Ь

¿2 0 2 0 ¿12 а Ь 1 ¿22 —а Ь 1

¿3 0 0 2 ¿13 Ь 1 а 3 ¿2 1 а Ь

¿4 -1 а Ь ¿14 а —Ь 1 ¿24 —а —Ь 1

¿5 0 0 -2 ¿15 Ь 1 —а ¿25 1 —а Ь

¿6 Ь -1 —а ¿16 -1 а —Ь ¿26 —Ь 1 а

¿7 0 -2 0 ¿17 -1 —а Ь ¿27 —Ь 1 —а

¿8 а —Ь -1 ¿18 —Ь —1 а ¿28 —Ь -1 —а

¿9 -1 —а —Ь ¿19 —а Ь -1 ¿29 —а —Ь -1

¿10 Ь -1 а ¿20 1 —а —Ь ¿30 -2 0 0

Таблица 9. Описание неприводимых представлений группы А5

Неприводимые представления

Вершины додекаэдра

Грани додекаэдра

Ребра додекаэдра

1

Тг

функции-константы; Тг (22) = Тг (46) = 1

Т2

Т2

Т2 (46) =---

нечетные функции: , ( 2 -1 1

-а -1 (2 -Ь а -2 -Ь -а

7 1 Ь

-Ь

o^ 0

нечетные функции:

/1 0 -А

Т2(22) = 0 0 1

V0 -1 -Ь)

(-Ь -1 0 >

Т2 (46) = Ь Ь 0 1Ь1

Т2

нечетные функции:

' а 1 -Ь^ а

1

2 -1 -Ь 2 \-Ь -а 1

Л 0 М

Т2 (46) = 0 -1 0

\0 0 -1)

Тз

нечетные функции:

1 ( 2 -1 Тз(22) = --= а 1 \-Ь -1 1 2 -а Тз(46) = 75 | Ь -2

2

-а 0 0

-а -Ь — л/5 У

нечетные функции: (1 0 Тз(22) = 0 0

V0 -1

-а -1

Тз(46) = а а 1а

-а 0

1

нечетные функции:

I Ь 1 -а Тз(22) = - -1 -а Ь 2 \-а -Ь 1

Л 0 М

Тз (46) = 0 -1 0 \0 0 -1/

Т4

возникает кратный спектр

не реализуется

возникает кратный спектр

ТЪ

четные функции с нулевой суммой значений:

четные функции с нулевой суммой значений:

возникает кратный спектр

2

3

4

а

а

1 2 3 4

Ть (22) = '1 1 -1 -1 0N 0 1 -1 -11 0 1 -1 0 0 10 -1 -10 V1 0 -1 0 0, Ть (22) = /1 0 0 0 -1\ 0 0 0 1 -1 0 10 0 -1 0 0 0 0 -1 \0 0 1 0 -1/

Ть (46) = /-1 0 0 0 0\ -10 0 0 1 -10 10 0 -10 0 10 \-1 1 0 0 0/ Ть (46) = /0 -10 1 0\ 0 -10 0 0 0 -110 0 1 -10 0 0 \0 -1001/

Поскольку индуцированные представления и содержат кратные точки,

интерес представляет нахождение несложного алгоритма их разделения в случае представлений типа Е , а также обобщение полученных результатов на правильные многогранники в М4 и на индуцированные представления групп Ли. В трехмерном случае все стационарные подгруппы циклические, и канонические разложения возникающих индуцированных представлений содержат кратности. В четырехмерном случае аналогичным методом мы исследовали представления групп вращений симплекса и куба, ассоциированные с однородными пространствами к-граней (к = 0,1, 2, 3). Специфика М4 такова, что стационарные подгруппы здесь неабелевы, и проблема разделения изоморфных компонент не возникла. Кроме того, вычисления показали, что в случае М4 невозможно локализовать все неприводимые представления групп вращений симплекса и куба, разлагая представления, связанные только с однородными пространствами к-граней.

Литература

1. Фробениус Ф.Г. Теория характеров и представлений групп. М.: КомКнига, 2005.

2. Cartan E. Sur la determination d'un systeme orthogonal complet dans un espase de Riemann symmetrique clos. Rend. Circ. Mat., Palermo, 1929.

3. Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. М.: Мир, 1970.

4. Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. М.: Мир, 1971.

5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978.

6. Винберг Э.Б. Линейные представления групп. М.: Наука, 1985.

References

1. Frobenius F.G. Theory of group characters and representations. Moscow: KomKniga, 2005. (in Russian).

2. Cartan E. On the determination of complete orthogonal system in a close symmetric Riemann space. Rend. Circ. Mat., Palermo, 1929.

3. Serre J.-P. Linear representations of finite groups. Grad. Texts in Math.,42. New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1977.

4. Grossman I., Magnus V. Groups and their graphs. Moscow: Mir, 1971. (in Russian).

5. Kirillov A.A. Elements of the theory of representations. Grundlehren der math. Wissenschaften, 220. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1976.

6. Vinberg E.B. Linear group representations. Moscow: Nauka, 1985. (in Russian).

Поступила в редакцию 20.09.2016