Параметрические колебания стержневых элементов строительных конструкций при действии стационарных и подвижных динамирческих нагрузок

84

Общетехнические задачи и пути их решения

распространенных моделей с экспоненциальными аппроксимациями.

Дальнейшее развитие программного комплекса предусматривает добавление возможностей по работе с моделями, где распределения имеют комплексно-сопряженные параметры, расширение перечня рассчитываемых вероятностных характеристик и интеграционных возможностей комплекса.

Библиографический список

1. Теория массового обслуживания / Л. Клейн-рок ; ред. В. И. Неймана ; пер. с англ. - Москва : Машиностроение, 1979. - 432 с.

2. Модель оценивания оперативности распределенной обработки данных с учетом затрат на обеспечение информационной безопасности / C. И. Гиндин, А. Д. Хомоненко, В. В. Яковлев, С. В. Матвеев // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. - 2013. -№ 4. - С. 59-67.

3. Численный расчет многоканальной системы массового обслуживания с рекуррентным входящим потоком и «разогревом» / C. И. Гиндин, А. Д. Хомоненко, С. Е. Ададуров // Известия ПГУПС. - 2013. - № 4 (37). - С. 92-101.

4. Численные методы анализа систем и сетей массового обслуживания / А. Д. Хомонен-ко. - Санкт-Петербург : МО СССР, 1991. - 179 с.

5. Теория очередей и управление запасами / Ю. И. Рыжиков. - Санкт-Петербург : Питер, 2001. - 384 с.

6. Cox, D. R. (1955). A use of complex probabilities in the theory of stochastic processes. Proceedings of Cambr. Phil. Soc., 51 (2), 313-319.

7. Takanashi, U., Takami, Y. (1976). A numerical method for the steady-state probabilities of a GI/G/c queuing system in a general class. Journal of the Operat. Res. Soc. of Japan, 19 (2), 147-157.

8. Итеративный расчет многоканальных систем с произвольным распределением времени обслуживания. / Ю. И. Рыжиков, А. Д. Хомоненко // Проблемы управления и теории информации. - 1980. - № 3. - С. 32-38.

9. Canadilla, P. (2013). Analysis of Queueing Networks and Models, available at: http://cran.r-project.org/web/packages/queueing/index.html

10. Пакет прикладных программ МОСТ для расчета стационарных режимов в системах массового обслуживания. - Эстонское НПИ ВТИ, 1988.

11. Hicklin, J., Moler, C. (2008). A Java Matrix Package, available at: http://math.nist.gov/ javanumerics/jama/

УДК 534.12 А. В. Индейкин

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ СТАЦИОНАРНЫХ И ПОДВИЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

Рассматриваются параметрические колебания стержней строительных конструкций, их взаимодействие с общими колебаниями конструкции. Для анализа используются декомпозиционные модели стержневых элементов. В качестве источников местных колебаний рассматриваются кинематические возмущения концов стержней при общих вынужденных колебаниях конструкций, вызванных стационарными и подвижными нагрузками, действующими на конструкцию.

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

85

Рассмотрен случай, когда кинематические возмущения заданы гармоническими и полигармоническими функциями времени. Произведена оценка степени возрастания амплитуд резонансных параметрических колебаний при воздействии на конструкцию подвижных динамических нагрузок. Исследовано взаимодействие вынужденных и параметрических колебаний стержневых элементов конструкций.

стержневой элемент, строительная конструкция, кинематическое возмущение, параметрический резонанс, декомпозиционная модель (расчетная схема), коэффициент возбуждения, линия влияния.

Введение

Вопросы динамической устойчивости и параметрических колебаний отдельных стержней, подвергающихся воздействию переменных продольных сил, достаточно полно представлены в научной литературе [1-3 и др.].

Однако при действии на некоторые строительные конструкции (например, решетчатые фермы) систем стационарных и подвижных переменных сил в стержневых элементах возникает возможность потери динамической устойчивости под воздействием кинематических возмущений концов стержня при общих колебаниях конструкции.

При исследовании этих динамических процессов перспективным представляется метод декомпозиции, позволяющий получить приближенные решения в замкнутой форме и проанализировать динамические процессы в строительных конструкциях с точки зрения динамической устойчивости стержневых элементов, входящих в их состав.

1 Исследование колебаний стержней конструкции при помощи декомпозиционных схем

Динамические расчеты строительных конструкций, производимые с помощью современных вычислительных комплексов, а также результаты натурных наблюдений показывают, что при рассмотрении высших форм свободных колебаний стержневых конструкций выделяются группы однотипных элементов, принимающих участие в опреде-

ленной форме колебаний. При этом другие стержни не колеблются.

Это явление позволяет скорректировать декомпозиционные расчетные схемы стержневых элементов путем согласования значений основных частот колебаний стержня, рассчитанных по декомпозиционной модели и полученных в результате исследования общих свободных колебаний стержневой конструкции [4].

Декомпозиционная расчетная схема стержневого элемента в виде стержня представляется в виде стержня, упруго заделанного в подвижных узлах, колеблющихся вместе с конструкцией.

Колебания узлов являются кинематическими возмущениями для рассматриваемого стержня (рис. 1).

Кинематические возмущения от колебаний узлов можно разделить на поперечные по отношению к стержню v. и продольные и:

vi = hicos a + gisin a;

и. = g. cos a. - h. sin a.,

где (i = 1, 2).

Продольное кинематическое возмущение эквивалентно силовому

s

При учете поперечных смещений узлов колебания стержневых элементов конструкции описываются неоднородной системой дифференциальных уравнений, соответствующей однородной системе уравнений

В. Н. Челомея [2]:

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

86

Общетехнические задачи и пути их решения

Рис. 1. Расчетная схема

ф1 + Q

q - S (t)Ё % q

к=1

{ф,- (x )dx

V + v о

{ ф2 (xx)dx

i = 1,2,...,да,

где Q =-^4 0; mi

0. - собственное значение дифференциального оператора уравнения колебаний системы в отсутствие параметрической нагрузки

s (t);

1 i dфi

aik Тл 2

{

Q2 0 dx dx

dx;

Ф,(x) =

Ф,

m { ф2 (x) dx

^ (0) + ^1^ Fi (0) +

©2 ' 0, Л

+H (0) = 0,

cl

где a  =^—, j = 1, 2; c. - угловой коэффици-

j El j

ент жесткости концевых защемлений; G. (0), F. (0), H. (0) - функции Гогенмзера-Прагера вида

F (©) = ch 0, sin 0, - sh 0, cos 0,;

G, (0) = ch 0, sin 0, -1;

Ht (0) = 2sh 0, sin 0,.

Соответствующие значениям 0, собственные функции имеют вид:

Ф/(x) = sin 0, -j +

+A

ch0,x - cos 0,x

- нормированные соб-

V

i

i

- B. sh 0,- ,

, , i

где

ственные функции упомянутого выше оператора.

При стержне с упругим относительно угловых перемещений защемлением концов значения 0, определяются как корни трансцендентно-алгебраического значения

B =

a

sin 0, + ——

_______20,_______________,

a

sh0, + ——

, 20. , ’

A = 20;

На рис. 2 представлена зависимость собственных значений 01 от коэффициентов a в случае а1 = а2 = а.

2

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

87

Асимпт. при

Рис. 2. Зависимость собственных значений 01 от коэффициентов упругой заделки

Значения а. можно приближенно определять по формуле [5], [6]:

n - £

а «3,5 £ —,

' V= - £ v

где - и lv - соответственно, момент инерции и длина v-го стержня, защемляющего данный стержень в узле; n - число таких стержней в узле.

На рис. 3 показана одна из высших форм колебаний решетчатой фермы пролетного строения моста с расчетным пролетом I = = 110 м.

Значения коэффициентов упругой заделки а1, а2, радианных частот 01 и 01, полученных при рассмотрении декомпозиционной схемы и расчетной схемы общих вибраций фермы, соответственно, квадратов частот свободных колебаний стержней ^21 и соот-

- 01 п

ношений между —1, а также___, характери-

01 „ 01

зующих степень упругой заделки и отличие реальной конструкции от классической схемы фермы с шарнирными узлами.

Приведенные в таблице значения параметров показывают удовлетворительное совпадение общих вибраций ферм с применением

вычислительного комплекса COSMOS/M и декомпозиционной схемы отдельного стержневого элемента с учетом его упругой заделки в узлах фермы.

Если 01 < 3,70, появляется возможность приближенного интегрирования уравнений системы (2) независимо друг от друга.

Следует иметь в виду, что в указанном случае и в ряде других, представляющих практический интерес, матрица коэффициентов ajk близка к диагональной, это позволяет упростить интегрирование системы (2) и даже приближенно интегрировать уравнения системы независимо друг от друга [7].

2 Исследование режимов главных параметрических резонансов

Если стержень загружен переменной продольной силой S(t) = S0 + St и его шарнирные узлы совершают заданное поперечное движение v1(t) и v2(t), дифференциальное уравнение его колебаний в первом приближении имеет вид

q + Q2 [1 ±2p(t)] q

2

п

( +V 2 ),

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

88

Общетехнические задачи и пути их решения

ТАБЛИЦА. Динамические характеристики стержневых элементов

Обозначение стержня на рис. 3 а1 а2 01 (рад/с) 2 01 01 01 п 01

Н0-В1 0 7,94 3,65 2214,6 3,358 0,92 0,936

В1-Н2 23,08 32,71 4,37 4180,8 4,168 0,95 0,754

Н8-В9 32,71 34,08 4,37 4392,5 4,219 0,97 0,744

В9-Н10 7,94 0 3,65 2594,9 3,494 0,96 0,899

Н4-В5 89,81 77,39 4,40 2178,1 4,228 0,96 0,743

В5-Н6 77,39 89,81 4,40 2208,2 4,242 0,96 0,741

Н2-Н3 7,10 10,75 3,96 17 590 3,662 0,92 0,858

Н8-Н9 10,75 7,10 3,96 15 746 3,569 0,90 0,880

Н4-Н5 8,85 8,11 3,93 18 905 3,728 0\.95 0,843

Н5-Н6 8,11 8,85 3,93 20 289 3,794 0,97 0,828

В1-В2 9,19 8,10 3,94 12 453 3,327 0,85 0,944

В8-В9 8,10 9,19 3,94 12 171 3,308 0,84 0,950

В4-В5 8,10 8,92 3,93 9111,9 3,154 0,80 0,996

В1-Н1 340,0 318,0 4,71 1524,8 4,380 0,93 0,717

В5-Н5 346,2 363,6 4,71 1554,8 4,403 0,93 0,713

В9-Н9 340,0 318,0 4,71 1582,4 4,442 0,94 0,710

где

П2

EI п4 т£4

f

1 ±

V

Как известно, при значении частоты возбуждения

ю* = 2Пу/1 ±ц

2Ц(/) =

Skp ± S0

причем знак «+» относится к случаю растянутого стержня, знак «-» - сжатого; S =

п2 EI

£2

- Эйлерова критическая сила; I -

длина стержня; т - его погонная масса.

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (6) при p,(t) = pcosrot является уравнением Матье и описывает параметрические колебания стержневого элемента конструкции

q + П2 [1 - 2ц cos ю/] q = 0.

имеет место главный параметрический резонанс [6].

При этом амплитуда параметрических колебаний возрастает во времени по экспоненциальному закону

A = A ev'.

При отсутствии сопротивления максимальное значение показателя экспоненты

v max = . Следовательно,

A = A

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

89

При учете вязкого сопротивления дифференциальное уравнение Матье принимает вид

В последнем случае пренебрегли влиянием высших форм колебаний и комбинационных параметрических резонансов.

q + 2nq + 02 [1 - 2ц cos rot]q = 0.

Значения критических частот, соответствующие границам первой (главной) области динамической неустойчивости при параметрическом резонансе:

го* = 20,

Га Л

t—1 1+ 0*- т=" t- 1 —

Чп)

где А - логарифмический декремент местных свободных колебаний стержня.

Значение экспоненциального показателя возрастания амплитуды в этом случае:

цО цО А

V max = ~ П = ~

2 2 п

О

f а Л о, ч

ц = ~(ц-ц*)'>

п) 2

где ц* = — - критическое значение коэф-п

фициента возбуждения, при превышении которого наступает динамическая неустойчивость.

Если коэффициент ц(/), представленный

от

рядом Фурье ц(/) = ^ цк cos кюt, носит

k=1

периодический характер, критические значения частот, соответствующие параметрическим резонансам, определяются выражением [3]

ю. =

При полигармоническом процессе возбуждения:

5

ц(/) = Z цкcos юкt,

k =1

при котором значения юк не кратны к,

ю*к = 20 V1 ±цк.

3 Вычисление продольных

переменных усилий в стержнях при динамическом нагружении конструкции

При стационарном приложении гармонической нагрузки в узлах фермы усилие в стержне, колебания которого рассматриваются по декомпозиционной схеме, определяются выражением

Sj(t) = £ ajк Рк(ю/^

к=1

где j - коэффициенты влияния, учитывающие воздействия в к-м узле фермы.

Учитывая характер формы колебаний фермы (рис. 3), значения ак определяются квазистатически.

Аналогично можно вычислить значения Sj(t) в случае периодической узловой нагрузки общего вида, представляемой рядом Фурье.

Если в различных узлах фермы приложены узловые нагрузки (силы), изменяющиеся по гармоническому закону с различными частотами гок, то усилие в j-м стержне фермы описывается полигармоническим процессом

Sj

к=1

При возбуждении параметрических колебаний стационарными силами, приложенными в узлах фермы и действующими в течение неопределенного промежутка времени, единственным способом виброзащиты является исключение возможности возникновения параметрических колебаний путем повышения параметров демпфирования (коэффициента затухания n) с тем, чтобы было обеспечено неравенство

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

90

Общетехнические задачи и пути их решения

Р*<Р* •

Такими способами виброзащиты могут стать, например, лакокрасочное покрытие стержней материалами, обладающими высокой степенью поглощения энергии колебаний в поверхностном слое, а также совершенствование конструкций узлов - соединения стержней фермы в узлах на высокопрочных болтах вместо заклепочных соединений.

В случае воздействия подвижной нагрузки усилие в узлах фермы определяется выражением

S

где n (vt) - ордината линии влияния усилия в стержне фермы от амплитудного значения движущейся переменной силы P(t).

Разложим уравнение линии влияния n (vt) в ряд Фурье по sinnpt, продолжив функцию нечетным образом:

n

n=1

nv Л где p = —; €

расчетный пролет фермы;

v = const - скорость движения нагрузки. Значения коэффициентов Фурье:

• для однозначной линии влияния

h =

2П

n2п2а0

sin а0 пп;

• для двузначной линии влияния

о ^2 г г

влияния, а0 = — , Р0 = — , ^ и ^ - соответствующие абсциссы вершин.

При движении по поясу фермы силы P(t) = P(t)coswt переменное усилие в стержне фермы определяется выражением

S(t) = P cos rot Z hn sin npt =

n=1

P Ю

= ^Z hn

2 n=1

nnv

где ro1n = ro + np = ro + —^~;

nnv

ro2n = ro- np = ro---

2n l •

Значение коэффициента p(t) в уравнении (6) в этом случае:

p(t) =

P

4 ± S0)

ю

XZ hn (sin ro1nt - sin ro2nt) =

n =1

= ZP n

n =1

где Ц n

P

4(кр ±S„) '

Частоты ro1n и ro2n являются модулированными при несущей частоте ro.

В первом приближении критические частоты, соответствующие одночастотным параметрическим резонансам, определяются выражением

h =-------------

n 2 2 in \

n п

в0

П1~ + П

V а0

sin а0 nn-

П + П

1-а

1 -в

sin в0 nn

0 J

В выражениях (22) и (23): n, П1, П2 - абсолютные значения ординат вершин линии

X

ro,= 2П,/П^ т =.

Несущие частоты пропорциональны скорости движения нагрузки, если источником возмущения являются силы инерции неуравновешенных вращающихся масс, связанных с перемещающимся по форме объектом (поездом - для ферм железнодорожных мостов, грузовыми тележками - для ферм мостовых

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University

Общетехнические задачи и пути их решения

91

кранов и др.), т. е. ю = — , где R колес.

В этом случае

радиус

Ю(1,2) n = Ю

г 1 ± nnR Л

V ± ~т J

и

2Q /р±—

ю* =-----тг V1 ± Р n

1 ±

nnR

£

Pn ° *

-Vt _ Л „ 2

A = Ле = A0e 2 .

Время движения груза по пролету фермы ограничено:

f

£

nnR

t =

1 ±

v £

v

кр

2QR ф

±Р n

Следовательно, значение показателя экспоненты при этом

Как правило,

nR

~£

<< 1. Например, при

движении вагона (R = 0,525 м) для расчетных пролетов ферм I = 33-110 м значение nR

составляет 0,005-0,015.

В этом случае области динамической неустойчивости концентрируются вокруг области ю* = 2Q-J1 ± p , ширина этих областей по мере разбегания вокруг значения ю* = 2Q убывает с ростом n, так как существенно уменьшаются коэффициенты Фурье к.

4 Критические скорости подвижной нагрузки и оценка амплитуд параметрических колебаний

С помощью выражения (28) можно определить критические скорости движения груза по ферме:

v* = ю* R =

2QR V1 ±pп

1±

nnR

Так как колебания стержней высших ферм являются высокочастотными, критические скорости движения нагрузки по железнодорожному мосту реализуются только в режиме высокоскоростного движения [4].

Возрастание во времени амплитуд резонансных параметрических колебаний происходит без учета сопротивления по экспонен-

u,Q

циальному закону с показателем V =--:

V =

4R Ф

nnR

£

±Pn

4 R

Для пролетного строения с решетчатыми фермами большого железнодорожного моста при pn = 0,03, I = 110 м, R = 0,525 м

A

значение v составляет 1,57 и — = 4,806; для

ферм мостового крана при р = 0,03, I = 36 м,

A

R = 0,3 м значение v = 0,9 и — = 2,46.

о * A

В обоих случаях имеет место существенное возрастание амплитуд колебаний даже при относительно малом коэффициенте возбуждения pn.

Следует отметить, что параметрические резонансы стержневых элементов ферм могут реализовываться лишь в высших формах колебаний, так как являются высокочастотными.

При этом не происходит существенного наложения параметрических и вынужденных колебаний стержней, так как критические частоты в два раза превышают частоты колебаний стержня, при которых может возникнуть обычный резонанс (ю = ^). Вынужденные колебания при этом происходят в закритической области, где динамический коэффициент меньше единицы (в рассматриваемом случае он составляет 0,33).

При исследовании вынужденных колебаний можно пренебречь влиянием переменной частоты свободных колебаний и вос-

ISSN 1815-588Х. Известия ПГУПС

2014/2

92

Общетехнические задачи и пути их решения

пользоваться уравнением (6) при значении р = 0. Значения кинематических возмущений концов стержня можно определить из анализа общих вибраций фермы, для исследования которых следует применить известные методы динамики сооружений или воспользоваться соответствующими вычислительными комплексами (например, COSMOS/M).

Заключение

В итоге анализа полученных результатов исследования местных параметрических колебаний стержней:

1. Показана эффективность применения метода декомпозиции.

2. Получены оценки показателей возрастания амплитуд параметрических колебаний стержневых элементов конструкции при воздействии на нее подвижной динамической нагрузки в виде сосредоточенных сил. Эти показатели оказываются высокими даже с учетом малых значений коэффициентов возбуждения р и ограниченного времени нахождения силовой нагрузки на конструк-

£

ции t =---.

^кр

3. Взаимодействие вынужденных и парметрических колебаний стержневых эле-

ментов в резонансных режимах существенным образом не выражено.

Библиографический список

1. Устойчивость призматических стержней под действием переменных продольных сил / Н. М. Беляев // Инженерные сооружения и строительная механика : сб. - Ленинград, 1924. -

С. 149-167.

2. Динамическая устойчивость авиационных конструкций / В. Н. Челомей. - Москва : Аэрофлот, 1939.

3. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. - Москва : ГИТТЛ, 1956.

4. Indejkin, A. V., Fedotova, I. A. The rod elements oscillations of the railway truss bridge in the conditions of high-speed motion of the load. Proceedings of the third European conference on structural dynamics: Eurodyn'96, 1996, Florence, 783-789.

5. Определение характеристик защемления элементов сооружений методом частот / И. И. Ка-зей // Тр. ЦНИИС. - Москва : Трансжелдориздат, 1955. - Вып. 3. - С. 60-75.

6. Продольно-поперечный изгиб гибких призматических стержней / В. П. Польевко // Тр. ЦНИИС. - Москва : Трансжелдориздат, 1955. -Вып. 16.

7. Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3. - Москва : Машиностроение, 1968.

УДК 624.21.01 С. Ю. Каптелин

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

ИСПЫТАНИЕ СООРУЖЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИМИ НАГРУЗКАМИ

Для обеспечения безопасной эксплуатации мостового сооружения необходима достоверная информация о динамических воздействиях на несущие конструкции и их способности противостоять этим воздействиям. Такие данные можно получить только в процессе динамических испытаний. В статье описаны методы динамических испытаний транспортных сооружений, позволяющие получить необходимую информацию о работоспособности конструкции при условии воздействия на нее динамических нагрузок.

2014/2

Proceedings of Petersburg Transport University