Термомеханическая модель возбуждения автоколебаний при обработке металлов резанием

Механика

Вестник Нижегородского университет а им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 1 (3), с. 29-35

УДК 534.1

ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЗБУЖДЕНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ ПРИ ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ РЕЗАНИЕМ

© 2013 г. В.К. Асташев 1, Г.К. Корендясев 1, В.И. Ерофеев 2

1 Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Москва 2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

korenduba@gmail.com

Поступила в редакцию 03.12.2012

Предложена гипотеза о термомеханической природе автоколебаний при обработке металлов резанием, позволяющая обобщить основные известные модели этого явления. На основе предложенной гипотезы разработаны аналитическая и численная модели возбуждения автоколебаний. Адекватность полученных результатов подтверждается результатами натурных экспериментов.

Ключевые слова: автоколебания, термомеханическая модель, падающая характеристика силы резания, конечно-элементная модель.

Автоколебания, возникающие при обработке металлов резанием, являются основным ограничителем производительности и точности обработки на металлорежущих станках. Поиском физических причин возникновения автоколебаний при резании занимались многие отечественные и зарубежные исследователи. Было разработано большое число различных моделей этого процесса. Предложенные модели можно условно разделить на две большие группы. В основе моделей первой группы лежит статическая или динамическая двузначность силы резания, причем выявление причин двузначности производится с помощью систем с одной степенью свободы. Наиболее распространенные модели, относящиеся к этой группе: модель, базирующаяся на падающей по скорости зависимости силы резания [1]; модель, базирующаяся на неоднозначности силы резания при врезании и отталкивании инструмента [2]; модель, базирующаяся на отставании изменения силы резания от изменения толщины среза [3]. Все известные нам теории, принадлежащие к этой группе, базируются на закономерностях, наблюдаемых экспериментально, однако они не раскрывают истинных физических причин этих явлений и не позволяют прогнозировать уровень вибрации при резании. Ко второй группе относятся теории, основанные на представлении технологической системы в виде системы с двумя или более степенями свободы, где автоколебания объясняются наличием координатной связи между ними [4, 5]. Это явление изучено достаточно хорошо. Сформированы математические модели, разработаны методы борьбы с этим ти-

пом автоколебаний. Однако принцип координатной связи не может объяснить возбуждения автоколебаний в крутильных системах и системах с одной степенью свободы. На металлорежущих станках крутильные системы весьма распространены, а системы с одной степенью свободы часто встречаются при работе инструментом с симметрично расположенными кромками, т.е. при сверлении, зенкеровании, протягивании и т.д. Из этих рассуждений следует, что физический принцип возбуждения автоколебаний в технологических системах, описываемых моделями с одной степенью свободы, все же существует.

Внимательное рассмотрение существующих моделей автоколебаний при резании с одной степенью свободы [1-3] наводит на мысль о том, что явления, лежащие в их основе, являются следствием единого глубинного физического принципа. Раскрытие указанного принципа позволит глубже понять природу автоколебаний при резании и предложить способы борьбы с этим явлением.

Рассмотрение связей между механическими и термодинамическими процессами, происходящими при обработке металлов резанием, позволило выдвинуть гипотезу о термомеханической природе автоколебаний при резании.

Возникающие в процессе резания силы создаются главным образом за счет пластической деформации срезаемого слоя материала заготовки и преодоления сил трения на рабочих поверхностях режущего инструмента. Механическая энергия, затраченная на пластическое деформирование материала заготовки и трение

Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.B37.21.2019 «Проблемы динамического состояния сложных сред и конструкций».

между поверхностями инструмента, стружки и изделия, преобразуется в тепловую энергию, которая приводит к существенному нагреву зоны резания [6, 7]. При повышении температуры в материале заготовки происходят структурные превращения и, как следствие, изменяются механические свойства обрабатываемого материала, такие как модуль упругости, предел текучести и предел прочности, что в свою очередь приводит к изменению силы резания. Таким образом, механические и тепловые процессы, происходящие при резании, оказываются неразрывно связанными между собой и зависящими один от другого.

Для большинства металлов, обрабатываемых резанием, характерна падающая зависимость механических характеристик от температуры. Сила резания непосредственно зависит от предела прочности ов обрабатываемого материала и в первом приближении оказывается пропорциональной ему. Следовательно, зависимость «сила резания - температура» также имеет отрицательный угол наклона, что определяет потенциальную неустойчивость системы и, как следствие, возможность возникновения в ней незатухающих автоколебаний.

Рассмотрим динамическую модель, представленную на рис. 1, в которой сила резания Р = Р (©) является известной монотонно убывающей функцией от температуры © в зоне резания.

СМ© + Я(© - ©о) = F(©)(v -it).

решение, соответствующее установившемуся равновесному состоянию й = 0, © = 0. Из уравнения (1) находим положение резца в равновесном состоянии

= Рт 1 С ,

где р, = Р(©т), а установившаяся температура ©т находится решением получаемого из (2) уравнения

Р

Перейдем к оценке устойчивости найденного равновесного состояния. С этой целью введем новые координаты х = и -ит и 5 = ©-©, описывающие малые отклонения координаты и температуры от полученных выше стационарных значений, и проведем линеаризацию зависимости силы резания от температуры в окрестности этих значений:

Р

где х =

dF

d©

©=©„

Рис. 1. Модель автоколебательной системы

Уравнение колебаний резца имеет вид

ти + Ы'1 + си = ¥

Для расчета температуры в зоне резания запишем уравнение энергетического баланса, связывающее изменение температуры в зоне резания с механической энергией, превращаемой в тепловую, и теплом, отдаваемым в окружающую среду:

Линеаризованная характеристика показана на рис. 2 прямой линией 1, касательной к кривой ¥ = ¥(©) в точке с координатами ©т, ¥.

В результате из уравнений (1), (2) с учетом равенств (3), (4), ограничиваясь величинами первого порядка малости, получим уравнения, описывающие малые колебания относительно положения равновесия:

тх + Ъх + сх = ,

СМ 3 + (Н - у9) = —ситх .

Из уравнения(6)находим

0 = —-(отх + Ъх + сх);0 = —-(отх + Ъх + с) (7) X ' %

После подстановки (3) в (2) и преобразований получим следующее уравнение относительно х:

х + (2п + І1-С\’)х + + 2п{Ь - С\’) +

+Ссо1и1п\х + (Ь -С\’)со1х = О,

о Ь 2 с Н X

где 2п = —; ю0 = — =-----

т т СМ СМ

Запишем характеристическое уравнение:

а0ръ + аР + а2р + а3 = 0,

где

где ©о - температура окружающей среды; М -нагреваемая масса; С - удельная теплоемкость; Н - коэффициент теплоотдачи.

Система уравнений (1), (2) имеет частное

а0 = 1; a = 2n + h - Gv; a = + 2n(h - Gv) + Galum;

a = (h - Gv)a^.

Согласно критериям Рауса - Гурвица для устойчивости системы, описываемой уравнением третьего порядка, кроме положительности

коэффициентов характеристического уравнения (9) требуется выполнение условия аа > аоаз, которое с учетом принятых обозначений принимает вид

(2п + Ъ - Оу)\ол1 + 2п(Ъ - Оу) +

+ 0&1 ит ] > (Ъ - Оу)&1.

Прежде всего нас интересует случай падающей характеристики силы резания, при котором производная % < 0 и, согласно принятым в (8) обозначениям, О < 0 . При этом в уравнении (9) коэффициенты а > 0, а > 0 и для обеспечения устойчивости, помимо условия (10), необходимо потребовать выполнения неравенства а > 0 . Легко показать, что это неравенство слабее условия (10). Действительно, если положить а = 0 , то левая часть неравенства (10) обращается в нуль и, следовательно, неравенство нарушается, т.е. имеет место потеря устойчивости и возбуждение автоколебаний. Таким образом, для оценки устойчивости и построения границы потери устойчивости достаточно использования неравенства (10). При отсутствии диссипации в колебательной системе, т.е. при п=0, неравенство (10) нарушается, и автоколебания возбуждаются при любом значении

О < 0 (или % < 0).

Термомеханическая модель дает простое объяснение сущности некоторых явлений, лежащих в основе наиболее распространенных в настоящее время представлений о природе автоколебаний при резании. С позиций термомеханической модели объясняется физическая сущность некоторых явлений:

1) явления падающей по скорости зависимости силы резания, лежащего в основе модели Каширина;

2) явления запаздывания изменения силы резания от изменения толщины срезаемого слоя, лежащего в основе модели Эльясберга.

Модель Каширина. Пусть уравнение колебаний резца (см. рис. 1) имеет вид (2), а уравнение энергетического баланса имеет вид (3).

Как уже излагалось, система уравнений (1), (2) имеет частное решение, соответствующее установившемуся равновесному состоянию й = 0, © = 0,(3), (4).

Пример графического решения уравнения (4) показан на рис. 2.

Установившиеся значения температуры ©т и силы Р резания определяются координатами точки пересечения кривой Р = Р(©) и прямой, определяемой правой частью уравнения (4) при

заданном значении скорости резания V. Легко заметить, что при возрастании скорости резания (например ^2 > ^1 ) температура в зоне резания растет, а сила резания уменьшается. Таким образом, если построить зависимость силы резания от скорости, мы получим падающую характеристику силы резания, параметры которой в установившемся режиме зависят только от коэффициента Нтеплоотдачи.

Рис. 2. Графическое решение уравнения 4.

Важным является вопрос о физической природе падающей характеристики силы резания. Величина силы резания в первую очередь определяется характером пластических деформаций в материале заготовки. В те времена, когда А.И. Каширин проводил свои исследования, металловедческая сторона вопроса о пластических деформациях металла при высоких скоростях деформирования была разработана крайне слабо. Каширин объяснял падающую характеристику силы резания изменением коэффициента трения между передней поверхностью инструмента и стружкой с ростом температуры

Но, как известно, значение силы резания в небольшой степени обусловлено значением силы трения резца о стружку. Поэтому столь значительное снижение силы резания при повышении скорости не может являться следствием изменения только силы трения.

Попробуем объяснить физический смысл падающей характеристики силы резания с помощью модели Джонсона-Кука [8], описывая поведение материала при высоких скоростях нагружения с помощью следующего уравнения:

Напряжение пластического течения о опре-

1 + С 1п

нение

-mp2 + bp + с = -Re~pt°.

Условием возникновения колебательной неустойчивости равновесного состояния является наличие пары мнимых корней p = ±ja)t уравнения (12). Подставляя в (13) p = jmt, используя формулу Эйлера e-mm = cosmf0- j sinmf0 и разделяя в полученном равенстве действительные и мнимые части, найдем

с - mm2 = Кcosmt„,

bm = К sin mL.

Физический смысл проученных соотношений очевиден: на частоте автоколебаний, удовлетворяющей равенствам (14), упругие, инерционные и диссипативные силы в колебательной системе полностью уравновешиваются силой возбуждения, определяемой правой частью уравнения (12). Равенства (14) можно рассматривать как параметрические уравнения границы D-разбиения, разделяющей области устойчивого и неустойчивого положения равновесия в плоскости параметров К и ?0. Для удобства построения границ D-разбиения уравнения (14) приведем к безразмерному виду

к =

деляется произведением трех множителей. Первый множитель - статическая составляющая данного напряжения, где А - предел текучести, а В и п - коэффициенты, представляющие эффект упрочнения. Второй множитель отражает влияние скорости нагружения; ё - скорость деформации, ё0 - скорость деформации при статических испытаниях; С - коэффициент чувствительности к скорости деформации. Третий множитель - фактор, соответствующий явлению теплового отпуска; Т - текущая температура, Т0 - температура, при которой проводились статические испытания, Тпл - температура плавления данного материала, т - показатель степени, характеризующий особенности разупрочнения материала с повышением температуры. Коэффициенты А, В, С, п, т определяются с помощью испытаний, методика которых также приведена в работе [7]. Там же приведены значения этих констант для некоторых материалов.

Очевидно, что сила резания пропорциональна напряжению пластического течения о. Рассмотрим случай процесса резания со скоростью, линейно возрастающей с течением времени, тогда напряжение в области сдвига для каждого момента времени определяется произведением трех множителей, зависящих от времени.

Работа силы резания в данном случае будет меняться по квадратичному закону. Некоторая доля работы, определяемая термодинамическими параметрами системы, будет идти на нагрев материала заготовки. Таким образом, в зоне низких скоростей доминирующим является второй множитель (напряжение возрастает по логарифмическому закону). Однако с повышением скорости температура в зоне резания будет меняться по закону, близкому к квадратичному, что приводит к разупрочнению материала в области сдвига. В какой-то момент эффект температурного разупрочнения полностью компенсирует эффект упрочнения, связанный с влиянием скорости деформации и характеристика о^), а следовательно F(v) станет падающей.

Модель Эльясберга. При наличии запаздывания дифференциальное уравнение колебаний резца относительно равновесного состояния описывается уравнением

тх + Ьх + сх = —16с

где К - коэффициент пропорциональности; /0 -время запаздывания силы резания от перемещения х резца.

Отыскивая решение уравнения (12) вида x(t) = aept, получим характеристическое урав- запаздывания ты=ю^ы = — (1 + 4/) возбуждение

VO-с2)' +(«’

1

VC

т0 = —

C

к

(i = 0, 1, 2,...),

где к = К/c, C = m /m0, m0 = Vc/m, v = b/-Jcm .

На рис. 3 показаны границы D-разбиения при i=0 и i=1. Штриховкой отмечена область устойчивого равновесного состояния.

к А \

\ 03

со0 о)—-о

1 г0

п

п/2

Рис. 3. Границы D-разбиения

Зп/2

Видно, что при заданной величине запаздывания возможно самовозбуждение колебаний определенной частоты, причем при величинах

колебаний с собственной частотой о = ю0 (£ = 1) происходит при минимальном

значении коэффициента к = ц (К = Ью0).

Ясный физический смысл запаздывания прослеживается в явлении возбуждения автоколебаний, связанном с так называемой обработкой по следу. В этом случае сила резания зависит от следа, оставленного инструментом на предыдущем проходе, и оказывается запаздывающей или на время ^ = 2т / ш (п — число оборотов изделия или инструмента в секунду; z - число режущих кромок инструмента) одного оборота изделия при токарной обработке (г=1), или на время между проходами двух смежных режущих кромок многолезвийного инструмента.

Хотя в работах Эльясберга и проведены эксперименты по определению величины запаздывания, физическая интерпретация этого явления не приводится. Попытаемся сделать это, записав динамическую характеристику силы резания

Р

где k, 3 - эквивалентные коэффициенты упругих и диссипативных сил, возникающих при резании. Предположим, что сила резания возникает в результате гармонических колебаний x(t) = ае^‘ и является запаздывающей на величину /0 функцией времени, т.е. описывается уравнением

/

В результате из соотношений (16), (17) с учетом характера рассматриваемых движений получаем равенство

£ + = Ке~зЩ° = К

из которого после разделения действительных и мнимых частей находим

£ = Ксо$,бО0, о3 = -К$,то00.

Из уравнений (14) следует, что К $\по00 > 0 . Поэтому выполнение второго из соотношений (19) возможно только при 3 < 0, т.е. при отрицательной диссипации. Таким образом, по нашему мнению, наблюдаемое запаздывание силы от деформации является не причиной, а следствием возбуждения автоколебаний при падающей характеристике силы резания.

Рассмотренная модель построена при определенных предположениях. Так, предполагается, что нагрев при резании происходит равномерно в некотором объеме, обладающем массой М, а передача тепла в среду происходит через границу резкого перепада температур. Из ис-

следований температурных процессов, сопровождающих резание металлов, известно, что зона наивысших температур действительно располагается в достаточно узкой окрестности контакта резца и заготовки, а изменение температур при отводе тепла в среду происходит с достаточно высоким градиентом. Аналитическое решение уточненной модели этого процесса едва ли возможно. Поэтому дальнейшее изучение термомеханических автоколебаний производилось с помощью численных методов.

Двумерная конечно-элементная модель показана на рис. 4. При ее построении использована идеальная упругопластическая модель материала, модуль упругости и предел текучести которого зависят от температуры. Инструмент моделируется колебательной системой с одной степенью свободы. Трение между инструментом, заготовкой и стружкой считается кулонов-ским. В качестве критерия стружкообразования выбрано критическое значение деформации сдвига, при достижении которого элемент удаляется с сетки.

V рез.

Рис. 4. Граничные условия КЭ модели

В результате расчетов подтверждена возможность возбуждения автоколебаний. Получены как переходные, так и установившиеся режимы автоколебаний. На рис. 5a показано изменение температуры в процессе установления автоколебаний при врезании инструмента в материал.

Видно, что в начале резания процесс сопровождается быстрым разогревом материала, и при температуре ©«200 градусов происходит самовозбуждение автоколебаний. Дальнейший переход к установившемуся режиму автоколебаний с амплитудой колебаний температуры порядка 40 градусов в окрестности средней температуры около 400 градусов происходит вследствие нелинейности зависимости механических характеристик материала от температуры.

--------к-------1-------1-------^

О 0,05 0,1 0,15 0,2

а

б

Рис. 5. Распределение температур в зоне резания в противоположных фазах колебания

На рис. 5б, 5в приведены картины распределения температур в зоне резания в двух фазах колебаний резца в установившемся режиме: в момент достижения температурой максимального значения и в момент достижения температурой минимального значения. На рис. 5б отчетливо видна локальная область высокой температуры в первичной зоне сдвига при формировании стружки. Именно предположение о подобной локализации и наличии границы резкого перепада температур с окружающей средой являлось одним из основных допущений, принятых при построении математической мо-

дели (1), (2).

Исследование данной модели позволяет провести анализ влияния свойств обрабатываемого материала, параметров технологической системы и режимов резания на характер и уровень вибрации при обработке металлов резанием. Найдены границы устойчивости, проведено исследование влияния автоколебаний на форму стружки, изучено влияние термомеханических свойств обрабатываемого материала на характер и интенсивность вибрации. В результате моделирования определены законы изменения во времени основных параметров автоколебательного процесса. Пример решения показан на рис. 6.

Рис. 6. Графики изменения основных параметров установившегося автоколебательного процесса от времени

Здесь 1 - колебания резца; 2 - скорость резца относительно заготовки, движущейся с постоянной скоростью; 3 - сила резания; 4 - температура в зоне контакта инструмента и стружки.

Колебания резца происходят с частотой собственных колебаний упругой системы по закону, близкому к гармоническому (кривая 1). Однако относительная скорость резца имеет участок, где эта скорость равна нулю, т.е резец неподвижен относительно заготовки и его скорость в абсолютном движении равна скорости изделия. Во время совместного движения резца и заготовки энергия от привода заготовки запасается упругой системой резца, а затем, когда сила пружины оказывается достаточной для преодоления сопротивления резания, начинается встречное движение резца. Из сопоставления графика относительной скорости с графиком изменения температуры (кривая 4) видно, что при попутном движении и относительном останове температура в зоне резания уменьшается, при встречном движении возрастает. Именно такое изменение температур и создает условия возникновения и поддержания автоколебаний.

Особое внимание следует уделить графику зависимости силы резания от времени (кривая

3). Сила резания в среднем отслеживает изменение температуры, однако ее график содержит дополнительные высокочастотные составляющие. По-видимому, они являются следствием дискретности контактной линии, соединяющей стружку и заготовку. Верность этого предположения подтверждается тем, что частота высокочастотных колебаний приблизительно равна частоте разрушения конечных элементов на контактной линии. Некоторый вклад в общую картину колебаний силы резания вносят и упругие колебания стружки.

Здесь следует обратить внимание на наблюдаемый на графике характерный провал силы резания на границе перехода к участку относительного останова инструмента. Этот провал объясняется прохождением участков упругой разгрузки и нагружения в зоне резания при переходе от пластического деформирования к упругому напряженному состоянию и обратно.

Исследование конечно-элементной модели автоколебаний резца позволило проверить справедливость предположения о термомеханической природе автоколебаний при резании и адекватность математической модели этого процесса. Характер полученных результатов согласуется с результатами натурных экспериментов [8] Сформированные модели могут служить для нахождения режимов резания, обеспечивающих минимальный уровень вибрации, а

также при проектировании металлорежущего инструмента и оснастки. Понимание физического механизма возбуждения автоколебаний как взаимосвязанного термомеханического процесса позволяет прояснить физический смысл явлений, лежащих в основе наиболее распространенных моделей автоколебаний при резании [1-3].

Список литературы

1. Каширин А.И. Исследование вибраций при резании металлов. М.-Л.: АН СССР, 1944. 282 с.

2. Соколовский А.П. Вибрации при работе на металлорежущих станках. Исследование колебаний металлорежущих станков при резании металлов. -М.: Машгиз, 1958.

3. Эльясберг М.Е. Основы теории автоколебаний при резании металлов // Станки и инструмент. 1962. № 10, №11.

4. Кудинов В.А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967. 360 с.

5. Тлустый И. Автоколебания в металлорежущих станках. М.: Машгиз. 1956.

6. Грановский Г.И., Грановский В.Г. Резание металлов. М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

7. Johnson G.R., Cook W.H. A constitutive model and data for metals subjected to large strains, high strain rates and high temperatures // Proceedings of the 7th International Symposium on Ballistics, The Hague, The Netherlands. 1983. Р. 541-547.

8. Жарков И.Г. Вибрации при обработке лезвийным инструментом. Л.: Машиностроение, 1987. 184 с.

THERMAL-MECHANICAL MODEL OF THE EXCITATION OF SELF-OSCILLATIONS IN METALS MACHINED BY CUTTING

Аstashev, G.^ ^rendyasev, V.I. Yerofeyev

A hypothesis about the thermal-mechanical nature of self-oscillations of metals machined by cutting is introduced, that makes it possible to generalize the main available models of this effect. Based on the hypothesis, an analytical and a numerical models of excitation of self-vibrations are developed. The adequacy of the results obtained is corroborated by the results of realistic experiments.

Keywords: self-oscillations, thermal-mechanical model, decreasing characteristic of the cutting force, finite-element model.