Математическое моделирование процессов в колебательных системах и их аналогия с фазовым переходом второго рода

УДК 517.958: 52-59

В.Б. Байбурин, В.А. Кузнецов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ И ИХ АНАЛОГИЯ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ ВТОРОГО РОДА

Установлена аналогия между процессами, происходящими в маятнике Капицы и пружинном маятнике, и фазовым переходом второго рода антиферромагнетике. Показано, что квадрат амплитуды колебания уо2 имеет аналогию с температурой и на основании этого установлена аналогия между медленными и

быстрыми колебаниями указанных маятников и высокотемпературной и низко температурной фазами антиферромагнетика.

Аналогия, пружинный маятник, маятник Капицы, фазовый переход, антиферромагнетик

V.B. Baiburin, V.A. Kuznetsov

MATHEMATICAL SIMULATION PROCESSES IN OSCILLATORY SYSTEMS AND THEIR ANALOGY HAVING A SECOND-ORDER PHASE TRANSITION

An analogy between the processes occurring in the Kapitsa pendulum and the spring pendulum, as well as a second-order phase transition in the anti-ferromagnetic has been established. The squared oscillation amplitude y02 is shown as analogous to the temperature, which underlies the analogy between slow and fast oscillations of the said pendulums and high-temperature and low-temperature phases in the anti-ferromagnetic.

Analogy, spring pendulum, the Kapitsa pendulum, phase transition, anti-ferromagnetic

Способность описывать совершенно разные явления с помощью единого математического аппарата является одной из сильнейших сторон физики, выделяющих ее из ряда других естественных наук. Эвристическая ценность метода аналогий доказана многочисленными примерами (например, оптико-механическая аналогия при становлении квантовой механики, аналогия между параметрами колебательных системам в механике и в электричестве). Модели нелинейной механики на основе математических маятников (МК) использовались для выводов уравнений флуктуационной теории фазовых переходов в работе [1], но в ней не было рассмотрено аналогий между параметрами механической модели и параметрами фазового перехода второго рода. В данной работе такая аналогия проведена.

Сочетанию классической термодинамики и других общефизических методов посвящена работа [2], в которой изложении принципов и методов термодинамики полимеров сочетается с вопросами молекулярной физики и оптики. Такой подход представляется не только как эвристический метод, но и как развитие концепции комплексного исследования.

Анализируя первоисточники, можно придти к выводу, что при рассмотрении упомянутых разделов есть аналогия между физическими процессами, происходящими при описании движения таких колебательных систем, как пружинный маятник, у которого кроме низкочастотных колебаний вдоль оси Х под действием упругих сил пружин, есть колебания в перпендикулярном направлении под действием высокочастотной силы (рис.1) и фазовым переходом второго рода (ФПВР), при которых энергия и объём вещества не изменяются, но изменяются теплоёмкость, сжимаемость, восприимчивость. При ФПВР происходит изменением симметрии вещества, которое может быть связано со смещением атомов в кристаллической решётке, или с изменением упорядоченности вещества.

Пружинный маятник представляет собой шарик, массой m, который зажат двумя пружинами с коэффициентом жесткости k, вдоль горизонтальной оси x. Другим концом пружины жестко закреплены в упоры, расстояние между которыми 2l. Длина пружины от упора до шарика в невозбужденном состоянии равна l0 (см. Рис. 1). Таким образом, шарик совершает одномерное движение, находясь одновременно под действием постоянного во времени поля с потенциальной энергией U и вынуждающей силы f (y, t), изменяющейся со временем по гармоническому закону с частотой Шв, боль-шей,чем частота собственных колебаний ш.

У

У

X

Рис. 1. Схема пружинного маятника

Рис. 2. Схема маятника Капицы

Похожие процессы происходят в колебательной системе, которой является математический маятник, точка подвеса которого колеблется с высокой частотой в вертикальном положении и получивший название маятник Капицы (МК) в честь П.Л.Капицы, который впервые подробно экспериментально и теоретически исследовал поведение этого маятника (рис. 2) [3, 4].

Актуальность представлений о маятнике с колеблющимся подвесом связана с интересными физическими явлениями, происходящие в данной системе: параметрические процессы, проблемы устойчивости и явления вибрационной стабилизации, учет демфирования при стабилизации, несложный, но эффективный математический аппарат, возможность практического применения в качестве моделей различных физических процессов. Например, при моделировании поведения морских буровых платформ. Среди недавних открытий можно выделить дестабилизацию (динамически стабилизированного) перевернутого положения маятника при достаточно больших амплитудах вибрации подвеса [5, 6]. Эта дестабилизация проявляется как возбуждение так называемой «флаттер»-моды колебаний с периодом, вдвое превышающим период вынужденных осцилляций подвеса» .

Первоначально изучение математического маятника было рассмотрено в том случае, когда маятник был направлен вниз, но его точка подвеса вибрировала по гармоническому закону, колебания маятника в вакууме могли быть как устойчивыми, так и неустойчивыми (т.е. наблюдалось явление параметрического резонанса. Большую роль в объяснении явления параметрического резонанса сыграли решение уравнения Матъе и построенная для него диаграмма Айнса-Стретта. Однако такая модель справедлива для малых углов отклонения, когда Бтф^ф. Использование компьютерного моделирования позволило избежать этого ограничения. Далее будут рассмотрены примеры применения условия устойчивости МК в верхнем положении на характер его колебаний. Условие устойчивости можно в данном случае записать в виде:

«0 >y*J ' . (1) a

Следовательно, верхнее положение маятника может быть устойчивым, если основанию маятника придать надлежаще дозированную вспомогательную вертикальную вибрацию. Заметим, что неравенство (1) определяет нижний уровень максимальной скорости колебаний точки подвеса, при которой достигается описываемый эффект; максимальная скорость колебаний точки подвеса должна превышать скорость свободного падения тела с высоты, равной длине маятника (т.е. значение (2gl)0,5).

Дифференциальное уравнение, описывающие поведение фазы маятника в каждый момент времени имеет вполне определенный вид:

2

, 2 аюп

p = - smp

Отметим, что уравнение (2) нелинейно из-за наличия в нем множителя sin ф и решалось численным методом Рунге-Кутта с применением вариации шага в многошаговой процедуре [7]. Покажем, как отражается условие устойчивости МК в верхней точке при следующих значениях параметров: а=0,1, ©0=25, ©2=10, l=1, ф=0 (при t=0), а начальная скорость при t=0 равна 50. В этом случае условие устойчивости МК в верхней точке не выполняется. Если а2 ©02=6,25, 2 ©2l2=20, то очевидно, что 6,25<20 и поэтому колебания МК будут неустойчивыми (см. рис. 3).

Рис. 3. Неустойчивые колебания МК Рис. 4. Устойчивые колебания МК

Рассмотрим случай устойчивого колебания МК при следующих значениях параметров: а=0,01, ©0=1000, ©2=10, !=1, , ф=0 (при t=0), а начальная скорость при t=0 равна 27. В этом случае

условие устойчивости МК в верхней точке выполняется. Если а2 шо2=100, 2 ш212=20, то очевидно, что 100>20 и поэтому колебания МК будут устойчивыми (см. рис.4),где по оси у отложен угол ф. А по оси х - время в секундах.

Рассмотрим другой случай устойчивого колебания МК при следующих значениях параметров: а=0,05, Ш0=100, ш2=10, 1=1, ф=0,98п (при 1=0), а начальная скорость при 1=0 равна 0. В этом случае условие устойчивости МК в верхней точке выполняется. Так а2 Ф02=25, 2 ш212=20, то очевидно, что 25>20 и поэтому колебания МК будут устойчивыми (см. рис.5).

Впервые для описания поведения МК Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицем [8] был предложен модель эффективного потенциала. Эффективный потенциал состоит из двух частей: ^г(у) и Шп(у), описывающих соответственно действие силы тяжести и средней силы инерции. Графики ^г(у) и Шп(у) показаны на рис. 6.

им

Рис. 5. Устойчивые колебания МК Рис. 6. Графики потенциалов: 1 - и(ф) - эффективный

около верхнего положения потенциал 2- идг(ф)-гравитационный потенциал,

3-и1п(ф)-инерционный потенциал

Оба графика имеют синусоидальную форму, но период Uin(y) вдвое меньше периода Ugr(y). Их минимумы при у =0 совпадают, образуя абсолютный минимум полной функции U(y) = Utot(y). Этот минимум соответствует нижнему устойчивому положению равновесия маятника. Но соседний минимум Uin(y) расположен при у = п, где Ugr(y) имеет максимум, соответствующий перевернутому маятнику. Если выполняется критерий устойчивости перевернутого маятника (6) , полный потенциал U = U(y) имеет (помимо абсолютного минимума при у =0, соответствующего нижнему положению равновесия) относительные минимумы при у = ±п. Эти дополнительные минимумы соответствуют перевернутому положению маятника. Склоны мелких дополнительных минимумов имеют меньшую крутизну, чем склоны основного минимума. Поэтому частота Шир медленных колебаний около перевернутого положения ниже частоты Qdown малых колебаний около нижнего положения равновесия. Рассмотрим теперь аналогию между ФПВР и поведением МК. Как следует из теории ФПВР, если температура Т (а, следовательно, кинетическая энергия) антиферромагнетика больше, чем критическая температура ФПВР (Тк), то фазового перехода не наблюдается, симметрия не нарушена. Если Т<Тк, то проявляются обменные силы, происходит ФПВР и нарушается симметрия в веществе. Из рис.6 и пояснений к этому графику следует, что в нижнем положении МК частота колебаний выше, чем частота Шир медленных колебаний около перевернутого положения. Следовательно нижнее симметричное положение соответствует высокотемпературной фазе антиферромагнетика, а два верхних положений -низкотемпературной фазе. Переход из одной фазы в другую соответствует замене знака неравенства в (6), на знак равенства.

Запишем уравнение движения шарика в пружинном маятнике:

my = - + fo

dy

Введем понятие эффективной потенциальной энергии Uaf., тогда уравнение для низкочастотной составляющей примет вид:

и<=imwf- <4)

где: Ui =Ax2+Bx4 , A = —C + 3 By Q , C и B - коэффициенты, зависящие от параметров пружины.

Усредненное по периоду движение частицы происходит под действием потенциального поля Ui и кинетической энергии высокочастотного движения, что совпадает с результатом работы [9]. Тогда, после преобразований, эффективная потенциальная энергия примет вид (см. рис. 7):

Uaf = Ax2 + Bx4 = U

Рис. 7. График зависимости ^0=f(x) от знака коэффициента A

В соответствии с феноменологической теорией фазового перехода второго рода [9] при более высоких температурах магнетик обладает симметрией. Аналогия при колебаниях шарика относительно точки x=0 наблюдается на рис. 7. При температурах, меньших критической, шарик начинает колебаться относительно новых положений равновесия ± xo с меньшей частотой, при этом симметрия нарушается.

Таким образом, установлено аналогия между процессами, происходящими в маятнике Капицы и пружинном маятнике, и фазовым переходом второго рода в антиферромагнетике. Показано, что квадрат амплитуды колебания yo2 имеет аналогию с температурой и установлена аналогия между медленными и быстрыми колебаниями указанных маятников и высокотемпературной и низкотемпературной фазами антиферромагнетика. Такая же аналогия установлена между нарушением симметрии в веществе под действием температуры и медленными и быстрыми колебаниями указанных маятников.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андыгина Т.Н., Слюсарев В. А. Маятник Капицы и проблема фазовых переходов второго рода. Физика низк. темп. 1994. т. 20. № 7. С. 666-671.

2. Кленин В.И. Термодинамические системы с гибкоцепными полимерами.-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1995. 736 с.

3. Капица П.Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса. ЖЭТФ, 1951, 21, 588-597.

4. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом. УФН, 1951, 44, 7-24.

5. Blackburn J.A., Smith H.J.T., Groenbech-Jensen N. Stability and Hopf bifurcations in an inverted pendulum. Am. J. Phys. 1992, 60, pp. 903-908.

6. Smith. H.J.T., Blackburn J. A Experimental study of an inverted pendulum. Am. J.Phys. 1992, 60, pp. 909-911

7. Кузнецов В.А. Компьютерное моделирование колебательных процессов. Свидетельство о гос. регистрации программ для ЭВМ № 2014613854. Опубл. В Реестре программ 09.04.2014г.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. т. 1. Механика. М.: Наука, 1965. 204 с.

9. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. т. 5. Статистическая физика. М. Наука. 1964. 512 с.

Байбурин Вил Бариевич -

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Информационная безопасность автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета имени Ю.А. Гагарина

Кузнецов Владимир Александрович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры инженерной физики Саратовского государственного аграрного университета им. Н.И.Вавилова

Vil B. Bayburin -

Dr. Sc., Professor

Department of Informational Safety of Automated Systems,

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Vladimir A. Kuznetsov -

Ph.D., Associate Professor

Department of Engineering Physics,

N.I. Vavilov Saratov State Agrarian University

Статья поступила в редакцию 20.10.14, принята к опубликованию 22.12.14