Имитационное математическое моделирование определения параметров упругого материала с памятью

Имитационное математическое моделирование определения параметров упругого материала с памятью

# 01, январь 2009 автор: Чжао Чжи Хао

Рассчитывается отклик на тестовое гармоническое воздействие линейного осциллятора , материал упругого элемента которого обладает памятью , и на основе результатов расчетов обосновывается возможность экспериментального определения физикомеханических параметров конструкционного материала упругого элемента

Ключевые слова: релаксация , наследственность , осциллятор ,погрешность измерения

УДК 681.2.087;004.942.519.876.5

МГТУ им.Н.Э.Баумана, Тайвань K_mt4@org.bmstu.ru,

http://technomag.edu.ru/doc/ 123365.html

Исследование изменения во времени свойств конструкционных материалов представляет большой практический интерес. Здесь, в частности, одним из важных аспектов решения данной проблемы может быть определение с повышенной точностью параметров реологической модели материала.

В связи с этим ниже рассматривается схема определения параметров осциллятора, упругий элемент которого обладает памятью . Уравнение движения такого осциллятора под действием колеблющейся на фиксированной частоте вынуждающей силы имеет вид [1] [2] :

t

x + 2Ь x + w¥2x +

Здесь x - смещение осциллятора относительно положения равновесия, ft -коэффициент затухания, w о2и w¥2 - релаксированное и нерелаксированное значения собственной циклической частоты s - параметр релаксации , Л -постоянная амплитуда вынуждающей силы, w - её циклическая частота.

Поскольку , обладая памятью, материал упругого элемента может измениться необратимо после воздействия на него осциллирующей силой, переход к изучению отклика материала упругого элемента на новой частоте колебаний, отличной от предыдущей, может привести к погрешностям.

Поэтому амплитуда осуществляющей тестовое воздействие вынуждающей силы должна быть минимальной .

Решение уравнения (1) для установившихся колебаний ищется в виде :

где а и у - зависящие от циклической частоты ю амплитуда и сдвиг фазы между вынуждающей силой и откликом смещением-осциллятора.

Из уравнения (1) с помощью (2) следует система для определения амплитуды а и фазы у .

)= ли

22 5 + ю

2$ю +

(*

5ю (ю 2 - ю.

22 5 + ю

которая позволяет получить

2^ю +

22 5 + ю

2

2

V

22 ю 02 - ю ¥2

\ и ¥ 2 2 5 2 + ю 2

Л

а

(ю.2 - ю 2) +

2

22 52 + ю 2

2^ю +

5ю

2 2 52 + ю 2

Для экспериментального определения параметров осциллятора по результатам определения его амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик полагается , что отсчеты амплитуды и фазы выполнены в заданной полосе частот на дискретных частотах Юi , отстоящих друг от друга на одинаковые интервалы так , что Юi+l- Юi=const во всей исследуемой полосе частот.

Выбранным произвольно из полученного дискретного набора частот их четырем значениям ю1 , ю2 , ю3 , ю4 соответствуют четыре значения амплитуды а1, а2, аз, а4 и четыре значения фазы ф1 , ф 2 , ф 3 , ф 4 , полученные экспериментально .

Этого набора величин достаточно для образования системы четырех уравнений для определения четырех величин s , Юо , ю , в .

Из уравнений (4) и (5) получается уравнение

1_ии_

а

5

1

2

2

2

+

1

в котором параметры / и а известны из эксперимента.

Последнее уравнение позволяет получить систему

2

22 ^ +  2

2 52 (а 02

¥ -2 + ^^ ,

2

1 о2 - ¥2)

5 +

- Ч 2 = 0

2 5 2 ( 02

32 + 10

2 2 5 +  32

1 0 - ¥2)

2 + ^ ( 00 -2

22 5 +  4

Чз = 0

Ч 4 = 0

2

2

(f

У о

а

(і + tg 2(рІ)) ^

Из уравнений (7) следует система :

2 2 52 ( 02 -  ¥2 )( 2

22 -  2 + 10 ¥ А

(52 +  2 )(52 +  2

2  2)

-------------- + Ч2 - Чі = 0

2

2 2 2 2

4 -  3 +

2

+ Ч4 - Чз = 0

2/ 2 2^

позволяющая после исключения произведения * \ю. - ю0) и простейших алгебраических преобразований получить биквадратное уравнение относительно * :

54

где ^ = I-

Вычислив величину параметра * из этого уравнения легко получить из системы (8) систему линейных уравнений для вычисления параметров ю 0 и

2 .

22 52 +  2

22 ¥ =  2 + Ч

22 52 +  2

22 ¥ =  2 + Ч2

Решение этой системы получается в виде .

¥2 =  2  2 I 1 2

2 -  2

^ [( 2 + Ч )(5 2 +  2 )- ( 2 + Ч2 )(5 2 +  2 )]

0 21 2 5 (

2\\( 22 + Ч2 )(52 +  2 ) 2 - ( 2 + Ч )(52 +  2 ) 22 ]

1

4

2

2

5

2

2

5

2

2

Для определения погрешности результатов накопление статистики можно имитировать , подбирая значениям частот юi (1 £ * £ п) , где п - число эквидистантных частот в заданном диапазоне .

Из соотношения (4) , используя найденные значения s , юо и ю легко получить и значение коэффициента затухания в :

Ь = 5(ю о2

2ю

ю +

5

22

5 + ю г

агс%

Таким образом , определение амплитудо-частотных и фазочастотных характеристик осциллятора , упругий элемент которого обладает памятью , как уже было отмечено сводится к экспериментальному нахождению амплитуды и фазы колебаний осциллятора под действием вынуждающей силы , задаваемой в необходимом диапазоне частот .

Особенностью такого экспериментального исследования является применение тестовых воздействий минимальной величины , чтобы они не вызвали дополнительных необратимых изменений материала упругого элемента . Однако в этом случае отклик на тестовое воздействие по своему уровню приблизится к уровню случайных фоновых помех или даже будет сравним с их уровнем . Источником таких помех могут оказаться колебания основания установки , создаваемые микросейсмами и вибрациями индустриально промышленного происхождения , влиянием нестабильности других параметров внешней среды : давления , температуры ,

аэродинамическими эффектами , электромагнитными наводками , фоновыми засветками , а также внутренними шумами измерительной аппаратуры.

Однако решение проблемы отстройки от помех в значительной степени упрощается , так как задача определения параметров полезного сигнала (его амплитуды и фазы ) в виде одной гармоники на фиксированной и заранее известной частоте хорошо изучена.

Средние квадратические значения погрешности определения координаты х , амплитуды а и фазы у , как показывают расчеты , связаны соотношением :

Их2 = а28у 2 + На2

или 0 2 = а2в 9 + 0 а . Существенно , что здесь 0 х 0. получаемые при обработке результатов измерений . Введение обозначений

/о

а

V )

л/1 + *8 2 (~ ) приводит к системе

г = 1,2,3,4

1

ю

2

ю

1

~2 2 5 2 (ю 2

ю-ю г +

~2

5 + ю г

Чг = о

где знак ~ над обозначениями ю о , ю. и 5 подчеркивает наличие случайной составляющей в результатах их определения .

Так же как и в случае детерминированного процесса можно получить

биквадратное уравнение для определения частоты релаксации 5:

54

Где 5 = |-

и формулы , определяющие значения ю о и ю

ю¥2 =

2 1 2 |(ю 12 + 51 )(5 2 + ю 12 )- (ю 22 + 52 )(5 2 + ю 2 )]

ю 1 - ю 2

1

5 2 (ю 12 - ю 2,

[(ю 22 + ~2 )(5 2 + ю 22 )ю 12 - (ю 12 + ~1 )(52 + ю 12 )ю 22 ]

Необходимо установить погрешности определения величин 5 , ю о и ю, Для этого , сначала определяется корень уравнения (9) :

5 =

- т ± л/ т2 - 41и 21

1

\ — 2

Где 1, т ,и - коэффициенты уравнения (9) .

1 = (< - <2) , т = [< (ю 1 + ю 22)- <2 (ю 32 + ю 2)] ,и = < (ю 12ю 2 )- <2 (ю 32ю 4 )1 Таким образом ,

85 =

8т +

т8т + 2и 81 + 218и д/т2 - 41 и

+

и 81

451

2

где 81 = (85 + 8й?2 ) 8т = 8<1 (ю 12 + ю 2)+8<2 (ю 32 +ю 2)] 8и = [8<?1 (ю 12ю 2)+ 8<2 (ю 32ю 4)] Выражения для оценки погрешностей определения величин ю о и ю

следует из соотношений (11) , (12) :

[ю 128ч2

8ю

8ю

[8 ч1 (52 + ю 1) +

2ю о54

) + 8 42 (5 + ю 2 )25 85(ю 1 + Ч1 + ю 2 + 52 )1

2ю.

1

о

Здесь выражения для погрешности определения величин Чг

следуют из уравнения (15) и получаются в виде

а

V у

с^2о. )7(і + &2 (9 .)) 3

1

1

а

а

+

Выражение для погрешности определения частоты релаксации 5 получается аналогично из формулы (2о) и не приводится ввиду его громоздкости .

Очевидно , снижение погрешностей определения амплитуды 8 а и фазы 89 гарантирует и уменьшение погрешностей 8ю о , 8ю¥ и 85 .

ЛИТЕРАТУРА

1. Постников В.С. Физика и химия твердого состояния. «металлургия» , 1978,544с.

2. Мешков С.И. , Почевская Г.Н. , Постников В.С. , Рудис М.А. Случайные колебания осциллятора с наследованными свойствами ./ физ. и хим. обработка материалов 197о. N6 с 137-138 .