Об одной задаче оптимального управления для параболического уравнения с интегральным условием и с управлениями в коэффициентах

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2016

Математика и механика

№ 3

УДК 517.977.56

DOI 10.17223/19988621/41/3

Р.К. Тагиев, С.А. Гашимов, В.М. Габибов

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ И С УПРАВЛЕНИЯМИ В КОЭФФИЦИЕНТАХ

Рассматривается задача оптимального управления для параболического уравнения с интегральным граничным условием и с управлениями в коэффициентах. Исследованы вопросы корректности постановки задачи, доказана дифференцируемость по Фреше функционала цели, найдено выражение для его градиента и установлено необходимое условие оптимальности.

Ключевые слова: оптимальное управление, параболическое уравнение, интегральное граничное условие, условие оптимальности.

Многие физические и биологические процессы описываются нелокальными краевыми задачами для уравнений параболического типа [1-3]. Нелокальные краевые задачи для уравнений параболического типа активно изучаются в настоящее время. Среди них особое место занимают задачи с интегральными граничными условиями [4-7].

Задачи оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями параболического типа с управлениями в коэффициентах и с классическими краевыми условиями, изучены в работах [8-14] и др. Однако задачи управления, в которых процессы описываются уравнениями параболического типа с нелокальными краевыми условиями и с управлениями в коэффициентах исследованы существенно слабее.

В данной работе рассматривается задача оптимального управления для уравнения параболического типа с интегральным граничным условием и с управлениями в коэффициентах. Исследованы вопросы корректности задачи в слабой топологии пространства управлений. Найдено выражения для градиента функционала цели и установлено необходимое условие оптимальности управления.

« -

1. Постановка задачи

Пусть требуется минимизировать функционал

е

0

на решениях и = и( х, t) = и( х, /; и) краевой задачи

и(х,0) =Ф(х), 0 < х < I;

I

0 < t < Т,

соответствующих всем допустимых управлениям и = и(х, t) = (к(х, t), д(х, t)) из множества

V = {и(х,t) = (к(х,t),д(х,t)) е Н = W21(йт)х 12(йт): 0 < V < к(х,t) < ц,

Здесь I, Т, V, ц, ц1, ц2, ц3 > 0 - заданные числа; у(х), ф(х) е W21 (0, £),

Н(х) е W21 (0,С), /(х, t) е 12(йт), я(t) е W21 (0,Т) - известные функции, и = и(х, Г) = и(х, t; и) - решение краевой задачи (1) - (3), соответствующее управлению и = и( х, t) .

Используемые в работе обозначения функциональных пространств и их норм соответствуют [15, с. 23-26]. Ниже положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин и допустимых управлений, обозначаются через

С = 1,2,...).

Под решением краевой задачи (2) - (4), для каждого фиксированного допустимого управления и(х,t) еV , понимается обобщенное решение из ^1,0(йт), т.е. функция и = и(х,^ = и(х,^и) из ^1,0(ОГ), которая для любой функции П(х, t) е W21 (йт), п(х, т) = 0 удовлетворяет интегральному тождеству

Ц(-ипг + к (х, 0ихпх + ?(х, = Ц / (х, t)цdxdt-

йт

I т I

йт йт

I т I

0 0 0

Используя результаты работ [15, с.165-171], [7], можно показать, что при сделанных предположениях, каждое допустимое управления и(х, t) е V определяет

единственное обобщенное решение и( х, ^ и) е ^1,0(йт) краевой задачи (2) - (4) и для нее справедлива априорная оценка

Более того, обобщенное решение из V1,0 (йт) краевой задачи (2) - (4) принадлежит пространству W22,1 (йт) и справедлива оценка

Ик2,1

Оценка (7) показывает, что функционал (1) определен на V и принимает конечные значения.

2. Корректность постановки задачи

Следующая теорема показывает, что задача (1) - (5) корректно поставлена в слабой топологии пространства Н.

Теорема 1. Пусть выполнены условия, принятые в п. 1. Тогда множество оптимальных управлений задачи (1) - (5) V» = {и» е V: J (и») = J» = inf {J (и): и е V}} непусто, V» слабо компактно в H и любая минимизирующая последовательность {и n = (kn (x,t), qn (x,t ))}cV функционала J (u) слабо в H сходится к множеству V» .

Доказательство. Покажем, что функционал J (и) слабо непрерывен на V. Пусть и = (k(x, t), q(x, t)) c V - произвольный фиксированный элемент и {иn = (kn(x,t), qn (x,t))} c V - произвольная последовательность, такая, что un ^ и слабо в H, т.е.

kn

qn

Из компактности вложения W2, (QT) ^ Lr^ (QT) при любом конечном rl > 2 [16, с.78] и соотношения (9) следует, что

kn

Кроме того, в силу однозначной разрешимости задачи (2) - (4) и оценки (8), каждому un eV соответствует единственное решение un (x,t) = u( x,t;un )eW22,1(QT) задачи (1) - (3) и справедлива оценка

l|Unllw221

т.е . последовательность {un} равномерно ограничена в W22,1 (QT) .

Известно, что вложение W22,1 (QT) ^ L (QT) компактно при любом конечном r2 > 2 [17, с. 33, 39]. Кроме того, следы элементов u(x,t) е W22,1(QT) определены при каждом фиксированном t е[0, T] как элементы W2:(0, £) и справедлива оценка [15, с. 98]

0<i <T 2 2 T

Отсюда и из компактности вложения W2:(0, £) ^ C[0, i\ [15, с. 84] следует, что отображение u(x,t) ^ u(x,T) пространства W22,1(QT) в C[0,i] компактно. Тогда в силу перечисленных фактов, из (12) следует, что из последовательности {un} можно извлечь подпоследовательность {u^}, такую, что

u

u

где u = u(x, t) - некоторый элемент из W22,1 (QT).

Покажем, что u(x,t) = u(x,t; u), т.е. u(x,t) является решением задачи (2) - (4), соответствующим управлению ue V. Ясно, что справедливы тождества

Л (-и„к П + к„„ (x, 1:)ип„хПх + Ч„к(х1:)unk п) =

йт

т I

+ кп - к Ь„Л 11пх1Ь

II „к Щ

< 01 \\и„ - и П г л +

II „к ЩСйт Г 2

^ 0.

= И / (х, t )п ^хЛ +| ф( х)п( х, 0)^х +| [ | Н (х)ищх (х, t )ск + я ^ )]п(А t )Л,

йт 0 0 0

Уп = п

Используя соотношения (11), (14), оценки (12) и неравенство (1.8) из [16, с. 75], имеем

Ц к„к (^ ^ЧхПх ^ - {{ к(X, ОихПх ^

йт йт

< Цк(x, 1:)[и„кх -их]пх^: + {{[к„к (x,) - к(x,)]и„кхпХ^1

йт йт

< Цк(x,t)[unkx -их]Пх^

йт

Кроме того, используя соотношения (10), (14) и оценки (12), получаем И (х, t)и„к П ^хЖ - Ц д(х, t)ип dxdt

йт йт

< Ц(х,t)[и^ -u]ndxdt + Ц[д„^ (х,0 - д(х,t)]uпdxdt

йт йт

И[д„* (х, t) - х, t)]uпdxdt

йт

Наконец, используя соотношение (14), имеем

И Н (х)ищх (х, t)п(1, t) dxdt ^ ЦН(х)их (х, t)п(1, t) dxdt;

йт йт

И и* (х, t)П: dxdt ^ Ц uní dxdt.

йт йт

Тогда переходя к пределу при „к ^го в тождестве (16) и учитывая соотношения (17) - (20), получаем, что функция и(х,Г) удовлетворяет тождеству (6), т.е. является решением из V1,0 (йт) задачи (2) - (4), соответствующим управлению ие V . Отсюда и из включения и(х,0 еW22,1(йT) следует, что и(х,t) = и(х,t; и).

Используя единственность решения краевой задачи (2) - (4), соответствующим управлению иеV, нетрудно показать, что соотношения (14), (15) справедливы с

функцией и(х,t) = и(х,V, и) не только для подпоследовательности {и^}, но и для всей последовательности {и„}, т.е.

и„

Тогда, используя соотношение (22) и равенство (1), получаем, что 3(и(„)) ^ 3(и) при „ ^го .

Таким образом, установлено, что функционал J (и) слабо непрерывен на V. Кроме того, множество V, определяемое равенством (5), выпукло, замкнуто и ограничено в гильбертовом пространстве H и поэтому слабо компактно в H [18, с. 51]. Тогда применяя результат из [18, с. 49], устанавливаем, что справедливы все утверждения теоремы 1. Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Из теоремы 1 следует, что задача (1) - (5) имеет хотя бы одно решение. Следующий пример показывает, что решение задачи (1) - (5) может быть не единственным.

Пример 1. Пусть в задаче (1) - (5) l = T = 1, v = 1/2п, ц = 2/ п, ц = ц2 = 1, ц3 = п , f (x,t) = 3пcosnxsinnt, H(x) = 1, g(t) = 2sinnt, <p(x) = 0, y(x) = 0.

Тогда нетрудно проверит, что минимальное значение функционала достигается на управлениях

u*1) (x, t) = (k(1) (x, t) = 4n, qíi) (x, t) = п), и u(2) (x, t) = (k*2) (x, t) = 2/п, q(2) (x, t) = 0) и J(u(1)) = J(u(2)) = J( = 0, u(x, t; u(1)) = u(x, t; u(2)) = cos nxsinnt, (x, t) e QT,

т.е. решение (1) - (5) не единственно.

Замечание 2. Из теоремы 1 следует, что задача (1) - (5) корректно поставлена в слабой топологии пространства H. Однако, вообще говоря, это задача некорректна в метрике пространства H, т.е. могут существовать минимизирующие последовательности функционала J(и), не сходящиеся к множеству V* по норме пространства H. Следующий пример показывает, что минимизирующая последовательность функционала J(и) может не иметь предела в пространстве H.

Пример 2. Пусть в задаче (1) - (5) l = T = 1, v= 1, ц = 2, ^ = ц2 = 1, ц3 =п2 +1, f (х, t) = - exp(t )sin nt, H (x) = 1, g (t) =n exp(t), ф( x) = - sin nx, y( x) = - expsin nx.

Тогда и* = (k*(x, t) = 1, q*(x, t) = -л2) - оптимальное управление и u(x,t;и*) = -exp(t)sinnx, (x,t) e QT, J* = J(u*) = 0. Рассмотрим последовательность управлений u(m) (x, t) = (k(m) (x, t) = 1, q(m) (x, t) = -n2 + sinnmx) e V (m = 1,2,...). Тогда u(m) ^ и слабо в H , и поэтому из теоремы 1 следует, что J(и(m)) ^ J(u) = J* = 0, т.е. последовательность {и(m)} является минимизирующей для функционала J(и). Однако эта последовательность не имеет предела в H, так как {sinnmx} сильно не сходится в L2(QT).

3. Дифференцируемость функционала цели и необходимое условие

оптимальности

Для задачи (1) - (5) введем сопряженную краевую задачу [ 18, с.128]

yt + (k(x,t)yx)x - q(x, t)y- H'(x)y(i, t) = 0, (x,t) e QT ; y(x, T) = -2[u (x, T; u) - y(x)], 0 < x < í ; yx (0.t) = 0, yx (l, t) = 0, 0 < t < T .

Под решением краевой задачи (23) - (25), соответствующим управлению иеV, будем понимать обобщенное решение из ^1,0(йт), т.е. функцию у = у(х, t) = у (х, 1; и) из V1,0 (йт), удовлетворяющую интегральному тождеству

т I

Ц (уп: + к (х, :)у хпх + д( хХ )уn)dxdt -1 [ | Н (х)пх (х, t)dx]у(í, t)dt =

йт 0 0

I

= -21 [и

0

при любой функции п = п(х, 1) е W21 (йт) равной нулю при 1 = 0 .

Используя методики работ [15, с. 165-171], [7], можно показать, что для каждого заданного ие V краевая задача (23) - (25) имеет единственное обобщенное

решение из V1,0 (йт). Более того, это решение принадлежит пространству ^22,1 (йт) и справедлива оценка

1|у| 1^2,Чйт) <м 511и

Учитывая здесь неравенство (13) и оценки (8), имеем

1|у| ) <мб[1/1Ь2

Теорема 2. Пусть выполнены условия, принятые в п.1. Тогда функционал (5) дифференцируем по Фреше на V и его дифференциал в точке ие V при приращении Ди = (Дк, Дд) е Н определяется равенством

dJ

йт

Доказательство. Пусть и, и + Ди е V - произвольные управления и

Ди = Ди

следует, что Ди является решением из W22,1 (йт) задачи

Ди: -

I

Дих (0,:) = 0 , Дк(£, 1 )их (£,:) = | Н(х)Дих (х, 1 ^х - (к(£,:) + Дк(£, 1))Дих (£,:),

0

0 <: < т.

Можно показать, что для решения задачи (30) - (32) верна оценка [16, с. 164-169], [7]

1НЦ °

Используя ограниченность вложений W2,(QT) ^ Ь3(йт) [16, с.78], ^22,1(йт) ^ (йт) [17, с.33], неравенство (1.8) из [16, с.75] и оценки (9), имеем

11Дких|1ь2(йт) < 11Ак1Ь3(йт) 11их1Ь6(йт) < М8 МкЧйт) ,

1Мк(&) -||А^ 2(вт) 1Нк (вт) - м Икса-) •

Учитывая эти неравенства в (33), получаем оценку

1Н1^

Приращение функционала (5) имеет вид

I I

А/

о о

С помощью решений краевых задачи (23) - (25) и (30) - (32) преобразуем приращение (35). Для решения краевой задачи (30) - (32) справедливо равенство

т I

Ц (Аи( у + к Аи х у х + qАuу)dxdt -1 (| Н (х) Аи х (х, t )dx)у (£, t )dt =

вт оо

= Ц Ак Аих у xdxdt - Ц АuАqуdxdt - Ц Аких у xdxdt - Ц uуАqdxdt•

вт вт вт вт

Если в тождестве (26) положим п = Аи и полученное равенство вычтем из (36), то придем к равенству

I

21 [и( х, Т; и) - у( х)]Аи( х, Т ^х =

о

= И (их У х Ак + uуАq)dxdt + Ц АuуАqdxdt - Ц Ак Аиху xdxdt•

вТ вТ вТ

Учитывая это равенство, (35) запишем в виде

А/

вТ

I

о вТ вТ

Покажем, что первое слагаемое в правой части равенства (37), т^ выражение (29), при заданном иеК определяет линейный ограниченный функционал от Аи в Н • Линейность функционала (29) по Аи очевидна^ Используя ограниченность

вложений Щ2,1(вТ) ^ ^ (вТ) [17, с 33, 39], вТ) ^ Шт) [16, с 78], оценку (13) для функции у , неравенство Коши - Буняковского и оценки (8), (29), получаем неравенство

(и, Аи) =

Ц (иху х Ак + uуАq)dxdt

вТ

- Цих|1ь4(вТ ) Иу хКв ) 1М ¿4(вТ ) + 1 \и\\ь„ (вТ ) 1Нк(вТ ) 1М ¿2(вТ ) - М1 Мн •

Отсюда следует ограниченность функционала

Кроме того, используя ограниченность вложения ^22,1 (вТ) ^ (в ), неравенство (13) для функции Аи и оценки (28), (34), для остаточного члена Я, определяемого равенством (38), получаем оценку

йт йт

+1К1ит)1кх112

Учитывая в (37) эту оценку, заключаем, что функционал (5) дифференцируем по Фреше на V и его дифференциал определяется выражением (29). Теорема 2 доказана.

Теперь получим явную формулу для градиента функционала (5). Поставим следующую вспомогательную краевую задачу для определения функции ю = ю (х, t) = ю (х, /; и) из условий

-юхх - Ю + Ю = их Vх ,

юх1х=о = юх1х= =0, 0 < х <1;

ю^=0 = ю

Под решением задачи (40) - (42) при заданном ие V будем понимать функцию ю = ю(х,t) = ю(х,^ и) из У1(йт), удовлетворяющую интегральному тождеству

Ц [юхПх + п +юn]dxdt = || ихух ndxdt

От От

при любой функции п = п(х, t) е У2: (йт).

Из результатов работы [16, с. 197-202] следует, что краевая задача (40) - (42) при заданном ие V однозначно разрешима в У2:(йт).

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда градиент функционала (5) в произвольной точке ие V определяется равенством

3 '

и отображение и ^ 3'(и) непрерывно действует из Vв Н.

Доказательство. Пусть и, и + Ди е V - произвольные управления, где Ди = (Дк, Дд) е Н - приращение управления на элементе и = (к, д) е V . Полагая в тожестве (43) п = Дк, получаем равенство

|| [юх Дкх + Дк1 +юДк ]dxdt = || их у х Дkdxdt,

От От

учитывая которое в (29), имеем

dJ (и, Ди) = 3 '(и), До)Н = || (юх Дкх Дк( +юДк + uуДg)dxdt,

йт

где (3'(и), До)Н - скалярное произведение элементов 3'(и), Дие Н на Н . Отсюда следует, что градиент функционала (5) определяется равенством (29).

Используя априорные оценки для краевых задач (1) - (3), (23) - (25), (40) - (42) и рассуждая аналогично выводу оценки (39), можно показать, что справедливо

неравенство ||J'(и + Ди) - J'(u)||H < М||Ди||H . Отсюда следует непрерывность отображения и ^ J'(и) из V в H . Теорема 3 доказана .

Необходимое условие оптимальности в задаче (1) - (5) устанавливает Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для оптимальности управления и» = (k», q» ) е V в задаче (1) - (5) необходимо, чтобы неравенство

И [ro»x

Qt

выполняюсь для любого u = (k, q) eV , где u» = u(x,t; u»), y»=y(x,t; u»), ro» = ro( x, t; u» ) - решения задач (1) - (3); (23) - (25); (40) - (42) соответственно, при u = u».

Доказательство. Множество V, определяемое равенством (4), выпукло в H. Кроме того, согласно теоремам 2 и 3, функционал (5) непрерывно дифференцируем по Фреше на V. Тогда в силу теоремы 5 из [18, с. 28] на элементе u» е V» необходимо выполнение неравенства J'(u), u - u»)H > 0 при всех ue V . Отсюда и из (44) следует справедливость неравенства (45). Теорема 4 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ионкин Н.И. Решение краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 2. С. 294-304.

2. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.

3. НахушевА.З. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.

4. Иванчов Н.И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральными условиями // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 4. С. 547-564.

5. Кожанов А.Н. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2004. № 30. С. 63-69. DOI 10.14498/vsgtu308.

6. Пулкина Л.С. Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во Ин-та мат. СО РАН, 2005. С. 231-239.

7. Данилкина О.Ю. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности с интегральным условием // Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. № 1(14). С. 5-9.

8. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.

9. Серовайский С.Я. Задачи оптимального управления в коэффициентах для уравнения параболического типа // Изв. вузов. Сер. матем. 1982. № 12. С. 44-50.

10. Искендеров А.Д.,Тагиев Р.К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 8. С. 1324-1334.

11. Тагиев Р.К. Оптимальное управление коффициентами в параболических системах // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 10. С. 1492-1501.

12. Тагиев Р.К. Задача оптимального управления для квазилинейного параболического уравнения с управлениями в коэффициентах и с фазовыми ограничениями // Диффе-ренц. уравнения. 2013. Т. 49. № 3. С. 380-392. DOI 10.1134/S0374064113030138.

13. Hem R.J. Optimal control of the convective velocity coefficient in a parabolic problem // Nonlinear Anal. 2005. V. 63. P. 1383-1390.

14. Тагиев Р.К., Гашимов С.А. Задача оптимального управления в коэффициентах параболического уравнения при наличии фазовых ограничений // Автоматика и телемеханика. 2015. № 8. С. 27-45.

15. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

16. Ладыженская О.А.,Солонников В.А.,Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

17. Лионе Ж.Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Мир, 1987. 368 с.

18. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

Статья поступила 15.02.2016 г.

Tagiyev R.K., Gashimov S.A., Gabibov V.M. (2016) ON AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM FOR A PARABOLIC EQUATION WITH AN INTEGRAL CONDITION AND CONTROLS IN COEFFICIENTS. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 3(41). pp. 31-41

DOI 10.17223/19988621/41/3

In this paper, an optimal control problem for a parabolic equation with an integral boundary condition and controls in coefficients is considered. Let it be required to minimize the functional

i

J(u) =|l u(X,T; и) - У(x) |2 dx

0

on the solutions u = u( x, t) = u( x, t; o) of the boundary value problem

ut - (k (x, t )ux )x + q(x,t)u = f (x, t), (x, t) e QT ={(x,t):0 < x < 1, 0 < t < T} u (x,0) = ф(x), 0 < x < I,

i

ux(0,t) = 0, k(l,t)ux(I,t) = |H(x)ux(x,t)dx + g(t), 0 < t < T,

0

corresponding to all allowable controls о = o(x,t) = (k(x,t), q(x,t)) from the set

V = {u( x, t) = (k (x, t), q( x, t)) e H = W2,(QT) x L2(QT) :0 < v < k (x, t )< |i, |kx (x, t)<|1, |kt (x, t)| <|2 |q (x, t)| <|3 a.e. on QT}.

Here, l,T,v,|1, |2, |3 > 0 are given numbers and y(x),ф(x) e №^(0,H(x) e W2'(0, f (x, t )e L2(Qt ), and g (t )eW2(0,T) are known functions.

The work deals with problems of correctness in formulating the considered optimal control problem in the weak topology of the space H = W2^(QT) x L2(QT). Examples showing that this

problem is incorrect in the general case in the strong topology of the space H are presented. The objective functional is proved to be continuously Frechet differentiable and a formula for its gradient is found. A necessary condition of optimality is established in the form of a variational inequality.

Keywords: optimal control, parabolic equation, integral boundary condition, optimality condition.

TAGIYEVRafiq Kalandar

E-mail: r.tagiyev@list.ru

HASHIMOV Sadiq Akif (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Baku State University, Azerbaijan) E-mail: s.hashimov@list.ru

GABIBOV Vaxab Mexti (Senior Lecturer, Lenkaran State University, Azerbaijan) E-mail: vahab.hebibov@mail.ru

REFERENCES

1. Ionkin N.I. (1977) Reshenie kraevoy zadachi teorii teploprovodnosti s neklassicheskim kraevym usloviem [The solution of the boundary problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations. 13(2). pp. 294-304.

2. Samarskii A.A. (1980) O nekotorykh problemakh teorii differentsial'nykh uravneniy [On some problems of the theory of differential equations]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations. 16(11). pp. 1925-1935.

3. Nakhushev A.Z. (1995) Uravneniya matematicheskoy biologii [Equations of Mathematical Biology]. Moscow: Vysshaya Shkola.

4. Ivanchov N.I. (2004) Boundary Value Problems for a Parabolic Equation with Integral Conditions. Differential Equations. 40, no. 4. pp. 591-609.

5. Kozhanov A.N. (2004) O razreshimosti kraevoy zadachi s nelokal'nym granichnym usloviem dlya lineynykh parabolicheskikh uravneniy [On solvability of the boundary value problem with a nonlocal boundary condition for linear parabolic equations]. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki - J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci. 30. pp. 6369. DOI 10.14498/vsgtu308.

6. Pulkkinen L.S.

7. Danilkina O.Yu. (2007) Ob odnoy nelokal'noy zadache dlya uravneniya teploprovodnosti s integral'nym usloviem [A nonlocal problem for the heat conduction equation with an integral condition] Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki - J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci. 1(14). pp. 5-9.

8. Lions J.L. (1968) Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles [Optimal control of systems governed by partial differential equations]. Paris, Du-nod, Gauthier-Villars. (In French).

9. Serovayskiy S.Ya. (1982) Zadachi optimal'nogo upravleniya v koeffitsientakh dlya urav-neniya parabolicheskogo tipa [Optimal control problems in coefficients for a parabolic type equation]. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 12. pp. 44-50.

10. Iskenderov A.D., Tagiev R.K. (1983) Zadachi optimizatsii s upravleniyami v koeffitsientakh parabolicheskogo uravneniya [Optimization problems with controls in coefficients of a parabolic equation]. Differentsial'nye uravneniya - Differential Equations. 19(8). pp. 1324-1334.

11. Tagiev R.K. (2009) Optimal coefficient control in parabolic systems. Differential Equations. 45(10). pp. 1526-1535. DOI 10.1134/S0012266109100164.

12. Tagiev R.K. (2013) Optimal control problem for a quasilinear parabolic equation with controls in the coefficients and with state constraints. Differential Equations. 49(3). pp. 369-381. DOI 10.1134/S0012266113030129.

13. Hem R.J. (2005) Optimal control of the convective velocity coefficient in a parabolic problem. Nonlinear Anal. 63. pp. 1383-1390.

14. Tagiev R.K., Gashimov S.A. (2015) The optimal control problem for the coefficients of a parabolic equation under phase constraints. Automation and Remote Control. 7(8). pp. 13471360. DOI 10.1134/S0005117915080020.

15. Ladyzhenskaya O.A. (1973) Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary value problems of mathematical physics]. Moscow: Nauka.

16. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural'tseva N.N. (1967) Lineinye I kvazilineynye ur-avneniya parabolicheskogo tipa [Linear and quasilinear equations of the parabolic type]. Moscow: Nauka.

17. Lions J.L. (1983) Contrôle des systèmes distribués singuliers. Paris: Gauthier-Villars. (In French).

18. Vasil'ev F.P. (1981) Metody resheniya ekstremalnykh zadach [Methods for solving extreme problems]. Moscow: Nauka.