Ответы Mail.ru: Ответ на вопрос "Найти интеграл и поток поля через поверхность"

ᅠ (25010) 1 месяц назад

1) Для вычисления криволинейных интегралов сначала определим параметризацию кривых и подставим в интеграл.

а) Интеграл по кривой \( y = |x| \), от \( A(-1; 1) \) до \( B(2; 2) \), предполагает два участка, так как функция \( y = |x| \) имеет разрывную производную в \( x = 0 \). Сначала интегрируем от \( A(-1; 1) \) до \( (0; 0) \), затем от \( (0; 0) \) до \( B(2; 2) \).

На первом участке (\( A \) к \( O(0; 0) \)), где \( y = x \):
\[
\int (x^2 + x^2) dx + (x^2 - x^2) dy = \int 2x^2 dx + 0 \cdot dy
\]
На втором участке (\( O \) к \( B \)), где \( y = x \):
\[
\int (x^2+x^2)dx+(x^2-x^2)dy = \int 2x^2dx
\]
Затем сложим результаты этих двух интегралов, вычисленных от соответствующих пределов.

б) Интеграл по замкнутому контуру, проходящему через точки \( A(-2, 0) \) → \( B(2, 0) \) → \( C(0, 2) \) против часовой стрелки. Используем формулу Грина для вычисления:
\[
\oint_C x dy - y dx = \int \int_D (-1-(-1)) dA = 0
\]
где \( D \) - область, ограниченная кривой \( C \).

2) Для вычисления через формулу Грина интеграл \(\int (-x^2ydx + xy^2dy) \) по окружности \( x^2+y^2=R^2 \), используем:
\[
\iint (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dA = \iint (y^2 - (-x^2)) dA
\]
Где \( P = -x^2y \) и \( Q = xy^2 \), и интегрируем по площади окружности.

3) Проверим, является ли поле \( F = (-2x-yz)i + (-2y-xz)j + (-2z-xy)k \) соленоидальным или потенциальным:
- Соленоидальное, если \(\nabla \cdot F = 0\)
- Потенциальное, если \(\nabla \times F = 0\)

В этом случае, применяем оба условия и если выполняется потенциальность, находим потенциальную функцию, \( \Phi \), такую что \( \nabla\Phi = F \).

4) Для вычисления векторного потока через сторону прямоугольника, вырезанную плоскостью \( x+y+2z-2=0 \), используем формулу:
\[
\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
\]
где \( \mathbf{F} = (2z-x)i + (x-y)j + (3x+z)k \), нужно выразить \( z \) через \( x \) и \( y \) из уравнения плоскости, подставить в \( \mathbf{F} \) и вычислить поток через соответствующую проекцию.