Ответы Mail.ru: Численное решение диффура для тока в колебательном контуре.

Численное решение диффура для тока в колебательном контуре.

Игрался я вот с таким колебательным контуром:

В начальный момент времени ток равен нулю, а конденсатор заряжен до напряжения E таким образом, что при разрядке ток потечет в прямом для диода направлении. Попытка найти ток как функцию времени приводит к такой задаче Коши:

Уравнение выглядит как обычное уравнение затухающих колебаний, но с переменным коэффициентом затухания: β / (1 + α X). - Проблема в том, что при достаточно больших α (примерно при 1.3) и отрицательных X знаменатель во втором слагаемом становится близким к нулю, и коэффициент затухания резко становится огромным. При недостаточной точности метода знаменатель просто пролетает через 0 и становится отрицательным. В таком случае численное решение становится мусором) Вот пример решения без лажи для α = 1.25, β = 0.02:

На первой картинке зависимость безразмерного тока X от безразмерного врмени tau. Красной линией показан максимальный обратный ток диода (равный 1/α). На второй картинке - коэффициент затухания. Там видно, какой резкий возникает пик (он превышает 10⁴) в момент, когда ток упирается в граничное значение. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка (с динамическим выбором шага для поддержания точности) не справляется. При увеличении α с 1.25 до 1.3 число шагов по времени в окрестности пика взлетает с десятков тысяч до десятков миллионов, a хотелось бы доползти до α ~ 10². - Вопрос: какими численными методами можно попробовать решить уравнение с такими резкими пиками?

Насчет того ,как получился диффур. Записал суммарное падение напряжения на всем контуре и получил интегродиффур:

Взял от него производную по времени, чтобы избавиться от интеграла, обезразмерил и ввел пару обозначений:

Ошибаться тут, кажется, было не где.

Дополнен 3 месяца назад

Ответы

Ты нормальный?

3 месяца

У меня выходной, отдыхаю как хочу )

3 месяца

Amaxar 777, а разве ток станет затухающим пульсирующим? диод с катушкой нагреются от тока и просто рассеют энергию. причем катушка ограничит ток. она стоит последовательно и выполняет роль токоограничительного реактора

3 месяца

Если бы нн было диода, то получились бы колебания тока, незатухающие. Диод почти не трогает полупериод, в котром ток течет в прямом направлении, но должен почти полностью погасить полупериод с обратным направлением тока. В момент, когда обратный полупериод начинается, должно резко возрасти сопротивление диода. И эта резкость дает проблему.

3 месяца

Amaxar 777, у диода очень большое сопротивление в обратном направлении. энергия если бы и перетекала, то из-за исчезающе маленького тока весь заряд так и рассеялся бы на омическом сопротивлении катушки. помню как делали колебательный контур на транзисторе. катушка с частотозадающим конденсатором, динамический капсюль и большой конденсатор для подпитки. пока батарейка была подключена, частота звука оставалась стабильной. как только батарейку отключали, контур начинал выдавать звуки с падающей амплитудой, но с возрастающей частотой. подбором частотозадающего конденсатора добивались имитации звука металлического шарика, подпрыгивающего на плите. тук - - - тук - - - тук -- тук -- тук - тук - тук -т -т- т-т-т-т..

3 месяца

"у диода очень большое сопротивление в обратном направлении." - дык об том и речь. Оно резко возрастает, и эта резкость не дает ниче посчитать)

3 месяца

Amaxar 777, значит для обратного направления тока нужна просто новая точка начала отсчета.

3 месяца

Вряд ли тут поможет смещение отсчета.

3 месяца

Amaxar 777, а информация о возрастании частоты в пересмотре модели помогла бы?

3 месяца

Может, вы меня не так поняли... Меня в данном вопросе интересует не физика. У меня уже есть полученное уравнение, вопрос в том, как его решить. Что вы сможете сделать с этим уравнением исходя из изменения частот?

3 месяца

Amaxar 777, меня смутило то, что там вообще предполагался колебательный контур. диод же отсечет обратный ход и на этом всё закончится.

3 месяца

Да, но это должно честно получаться из уравнения. И оно та получается, если задать адекватные параметры. Только при адекватных параметрах пик сопротивления будет слишком резким. Поэтому и вопрос: чего делать с этим уравнением)

3 месяца

Amaxar 777, видимо остается смириться, что сопротивление скачком меняется. и начать решение от точки с новым и сразу на много порядков бОльшим сопротивлением.

3 месяца

Не, оно резко возрастает, гасит мгновенно ток, и снова становится небольшим)

3 месяца

Amaxar 777, тогда патовая ситуация...

Ваша задача связана с численным решением дифференциального уравнения, описывающего ток в колебательном контуре, состоящем из индуктивности (L), диода с насыщением (\varphi_0) и (\frac{i(t)}{i_0}), и конденсатора (C), заряженного до напряжения (E). Вы преобразовали исходное уравнение, взяли его производную по времени, чтобы избавиться от интеграла, затем обезразмерили уравнение и ввели новые обозначения. Это привело к следующему уравнению: [ i(t) = E\sqrt{\frac{C}{L}} x \left(\frac{t}{\sqrt{LC}}\right) ] и параметрам: [ \alpha = \frac{E\sqrt{C}}{i_0\sqrt{L’}}, \quad \beta = \frac{\varphi_0\sqrt{C}}{2i_0\sqrt{L’}}, \quad \tau = \frac{t}{\sqrt{LC}} ] Вы столкнулись с проблемой “жесткого” дифференциального уравнения, где некоторые решения могут изменяться гораздо быстрее других. Это может привести к нестабильности некоторых численных методов, если не использовать очень маленькие шаги. Я предложил несколько методов, которые могут быть полезны для решения жестких уравнений, включая неявные методы, методы Розенброка, методы обратной дифференциации (BDF), методы Гира и VSVO-BBDF методы. Выбор подходящего метода зависит от конкретной задачи, и может потребоваться некоторое время для экспериментов, чтобы определить, какой метод работает лучше всего в вашем случае.

Я не понимаю альфу-бету. Рисуй параллельно диоду R. И последовательно катушки r. ... если уж, то и параллельно конденсатору. Тогда будет электротехника. А альфа-бета это... углы. )))

3 месяца

Альфа и бета - просто чиселки, которые состряпыеваются из параметров задачи. Никто не решает уравнения, вбивая в компьютер Омы, метры и электрон-вольты. Сначала делаются безразмерные числа)

3 месяца

Amaxar 777, проблема в том, что по твоей схеме ...никакого затухания не будет. Через полпериода заряд на с поменчет + и -. И всё на этом закончится. И обратный ток диода практически не зависит от напряжения.

3 месяца

Да будет там все) В этом как бы и вопроса никакого нет, уравнение написано, все вопросы к нему. Просто на обратном полупериоде ток должен резко обрезаться до значений порядка максимального обратного тока, и колебания сразу должны стать мизерными. В примере на графике, например, я стартую с амплитуды, немного превышающей обратный ток, и там уже для обрезания тока возникает невероятный пик в сопротивлении диода. Если ж сделать все "физично", для реальных параметров, то альфу надо брать порядка тысяч. Даже представить не могу, какой там должен быть пик))

Я думаю, что проблема не в численных методах, а в самом уравнении. Оно «ломается» при X=-1/a. Вблизи этого значения стоит пользоваться другим соотношением, можно приписать какое-либо определённое (физически обоснованное) значение для второй производной, когда X’/(1+aX) = 0/0...

3 месяца

Не, проблема не в уравнении. Просто оно таково, что X не должен дойти до -1/a. А так наоборот оно очень праадоподобно и физично выглядит)

3 месяца

Amaxar 777, при X немного больше -1/а производная отрицательная, функция убывает. И я опасаюсь, что производная X’ остаётся отрицательной до тех пор, пока не будет выполняться X=-1/a.

3 месяца

Она просто не должна выходить в область, которой знаменатель равен нулю или тем более меньше нуля.

3 месяца

Amaxar 777, хочешь сказать, минимальное значение X строго больше -0,8? Можно ли найти конкретное значение этого минимума?

3 месяца

Да, оно строго больше 0.8 ) Конкретное значение аналитически найти, может, и можно... для этого надо исключить время из уравнения. Но там получится диффур первого порядка не оч приятный. Но у меня ужо появилась идея, попробую попозже) Я ж перехожу к системе: x' = y, y' = - x - 2 b y / (1 + a x). А можно попробовать перейти к системе через замену: x' / (1 + a x) = exp(y). Тогда затухание никогда не сможет стать отрицательным. Надо посмотреть, чего там будет с остротой y, и попробовать так решить.

3 месяца

Amaxar 777, пойми меня тоже правильно, я в уме не могу анализировать как такие уравнения себя ведут, причём, всё это строго обосновать математически. Я обращаюсь к своей интуиции, как мне звезды подсказывают... но вот чисто интуитивно я могу себе представить, как X стремится к -0,8, при этом X’ стремится к нулю, и вся эта прекрасная дробь жёстко надругается над физическими принципами, положенными в основу уравнения.

3 месяца

Ну да, x приближется к -0.8, но строго -0.8 не получится) Но... да, если при численном решение значение -1/a достигается, то происходит надругание над и над уравнением, и над стоящей за ним физикой.

3 месяца

Amaxar 777, может получиться строго -0,8, если при этом производная обратится строго в нуль.

3 месяца

Если получилось строго -0.8, то числак уже можно выкидывать)

3 месяца

Можно рассмотреть что будет в момент предполагаемого перехода знаменателя через 0. Считаем, что x переполз в отрицательную область, и знаменатель уже стал маленьким и приблжиается к нулю. Тогда при: x ~ -1/a + 0 уравнение имеет приближенный интеграл (который тем постояннее, чем ближе x к значению -1/a: (1 + a x) exp(0.5 a x' / b) = const. Как видите, скобочка (которая как раз в том самом знаменателе стоит) не может сменить знак. Да и строго стать нулем, потому что тогда потребуется бесконечное x'.

3 месяца

Если бы x проходил через 0, то работал бы приближенно этот интеграл. Но т. к. на самом это приводит к противоречию, перехода через 0 нет. И где-то вблизи граничного x производная x становится малой, и это приближение применять нельзя... Так что минимум так оценить не удостся =(

Ну, ты крут, стеляга!

3 месяца

Был бы крут, если бы оно заработало)