может ли бабушка оформить отпуск по уходу за моим 1,5 -лым ребенком и воидет ли ей в стаж этот отпуск с 1,5 до 3-х лет??

моя мама, соответственно бабушка моего ребенка

да, может. но в трудовой стаж отпуск с 1,5 лет не идет.

чья бабушка?

согласно ч. 2 ст. 256 трудового кодекса российской федерации отпуск по уходу за ребенком может быть использован полностью или по частям отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком. 
видимо, потребуется справки с работы вашей и супруга о том, что вам отпуск не предоставлен и предоставляться не будет. . ну и все такое