если сотрудника, по его мнению, незаконно уволили, то вправе ли он сразу подать 

если сотрудника, по его мнению, незаконно уволили, то вправе ли он сразу подать иск на изменение формулировки увольнения на "по собственному желанию" с присоединением требования о выплате денег за вынужденный прогул или же прогул в этом случае не оплачивается?

вынужденный прогул возникает в случае восстановления на работе после незаконного увольнения. если же по решению суда будет изменена только формулировка оснований увольнения, то вынужденного прогула не возникает и для подачи требования о выплате денег за такой прогул оснований нет в силу отсутствия самого прогула.