Ответы Mail.ru: Биномиальный закон распределения

mosquito (14928) 1 месяц назад

Для случайной величины ( X ), имеющей биномиальное распределение с параметрами ( n = 4 ) и ( p = 0.3 ), закон распределения новой случайной величины ( Y = 4X - X^2 ) можно найти, используя распределение ( X ).
Сначала найдем распределение для ( X ). Поскольку ( X ) имеет биномиальное распределение, вероятность того, что ( X ) примет значение ( k ) (где ( k ) может быть 0, 1, 2, 3, или 4), равна:
P(X=k)=Cnk⋅pk⋅(1−p)n−k
где ( C_n^k ) - число сочетаний из ( n ) по ( k ).
Теперь, используя это распределение, мы можем найти распределение для ( Y ):
P(Y=y)=P(4X−X2=y)
Для каждого значения ( k ) от 0 до 4, мы подставляем ( k ) в выражение для ( Y ), чтобы найти соответствующие значения ( y ) и их вероятности.
После того как мы найдем распределение для ( Y ), мы можем вычислить математическое ожидание ( Y ), используя следующую формулу:
E(Y)=∑y⋅P(Y=y)
где суммирование проводится по всем возможным значениям ( y ).
Давайте выполним эти расчеты:

Для ( k = 0 ):
Y=4⋅0−02=0
P(Y=0)=P(X=0)=(1−0.3)4

Для ( k = 1 ):
Y=4⋅1−12=3
P(Y=3)=P(X=1)=4⋅0.3⋅(1−0.3)3

Для ( k = 2 ):
Y=4⋅2−22=4
P(Y=4)=P(X=2)=C42⋅0.32⋅(1−0.3)2

Для ( k = 3 ):
Y=4⋅3−32=3
P(Y=3)=P(X=3)=4⋅0.33⋅(1−0.3)

Для ( k = 4 ):
Y=4⋅4−42=0
P(Y=0)=P(X=4)=0.34

Обратите внимание, что значения ( Y ) для ( k = 0 ) и ( k = 4 ) одинаковы, также как и для ( k = 1 ) и ( k = 3 ). Следовательно, вероятности для этих значений ( Y ) нужно сложить.
Теперь, когда у нас есть распределение для ( Y ), мы можем вычислить математическое ожидание ( E(Y) ) по вышеуказанной формуле.