Почему на живых побегах сирени не появились почки и листья (см.)?
=================================================================

На сирени набухли почки и стали развиваться листья и цветоносы. Однако одна ветка от самой земли выглядела как засохшая, на ней почек не было. Решили спилить этот ствол. Однако даже на концах самые маленькие веточки были живые, при срезе секатором увидели, что древесина зелёная, живая. Почему так? Почему побеги сирени живые, а выглядят как засохшие, почему почки не развиваются?

И что делать? Спиливат этот ствол, или он "одумается"?

Вполне возможно, что этот ствол поврежден вредителями у основания или в почве. Личинки насекомых могли поселиться внутри ствола или подгрызть корни. Шансы на восстановление конечно есть, если он ценен для вас. Но если его удаление сильно не повлияет на декоративность всего куста - то удаляйте и попробуйте выяснить причину. 

Как вариант - срежьте небольшую веточку и поставьте ее в воду. Если в воде она начнет распускаться - то скорее всего действительно поврежден корень.