Откуда пошло разделение терминов с Client-side и Server-side на Front end и Back end?
=======================================================================================

 Из-за чего перестали употреблять словосочетания Client-side и Server-side в веб-разработке 

 Потому что client side - браузер  

server side - веб сервер, интерпретатор, СУБД  
  

Фронтендер не пишет браузер  

Бекендер не пишет веб сервер, СУБД и тд 

 "Client-side и Server-side" и "Frontend и Backend" - это абсолютно разные и никак не связанные понятия  
  

Клиент - это приложение, которое делегирует часть своего функционала другому приложению - серверу  

Сервер - это приложение, которое обслуживает множество клиентов, предоставляя им свой функционал  

Frontend - это часть приложения, отвечающая за интерфейс (GUI, CLI, etc.), то есть то, что непосредственно видит пользователь, с чем пользователь взаимодействует  

Backend - это часть приложения, отвечающая за бизнес логику, за фоновые задачи, за то что скрыто от пользователя  
  

Практически любое приложение содержит backend часть, не зависимо от того клиент оно, сервер или вообще работает без клиент-серверного взаимодействия  

frontend часть может содержать как клиент, так и сервер, хотя сервера содержат ее не часто  

Яркий пример - X.org (сервер GUI в Linux и некоторых других *nix системах) содержит frontend часть - рисует на экране, получает пользовательский ввод (клавиатура, мышь, джойстик, etc.), а простейшие WindowManager (например awesome), являющиеся клиентами по отношению к X.org, frontend части не содержат  
  

Конкретно в web это идет с тех времен, когда вся логика была на сервере, а на клиенте были статичные html страницы, а js использовался только для красотулечек-финтифлюшечек  
  

P.S. Еще про web, а конкретно про его клиентскую часть, то есть браузер:  

Когда пишем html, css - это frontend (пусть "чистые" верстальщики порадуются)  

Когда пишем js код взаимодействующий с DOM, CSSOM, рисующий на Canvas - это frontend  

Когда в js обрабатываем пользовательские события (keyup, click, focus, touchstart, etc.) - это frontend  

Когда на js производим расчеты, проверки ввода, вешаем таймеры, работаем с локальными хранилищами, отправляем ajax запросы - это backend  

Когда обрабатываем такие события как load, message, DOMContentLoaded - это backend  

Код работающий в WebWorker'е - это backend  

Продолжать можно долго, суть думаю ясна 

 В веб-приложениях клиент-серверная архитектура, а не фронтенд-бекендная