Colecție de numere

Să zicem că avem o colecție mare de numere care reprezintă mărimi foarte diverse distribuite pe multe ordine de mărime, de exemplu prețuri de la foarte mici la foarte mari, lungimi de drumuri mai scurte sau mai lungi, recolte agricole de la mici producători la mari ferme, tensiuni electrice de tot felul, constante matematice și fizice etc.  

  

Ne uităm la aceste numere și luăm numai prima cifră semnificativă din fiecare (dintr-un număr ca 0,02 prima cifră semnificativă e 2). Obținem astfel o anumită distribuție a cifrelor de la 1 la 9. Diversitatea colecției noastre de mărimi e așa mare încît și dacă le schimbăm unitățile de măsură pînă la urmă distribuția celor 9 cifre rămîne aceeași.  

  

Observăm un lucru interesant. Ne-am aștepta, de exemplu, ca numerele care încep cu cifra 1 să fie circa 1/9 din total, adică vreo 11%. Dar de fapt constatăm că ele reprezintă circa 30%. Cele care încep cu cifra 2 reprezintă vreo 18% și așa mai departe, pînă la cele care încep cu un 9 și reprezintă sub 5%.  

  

Fenomenul a fost observat acum cîteva secole, cînd pentru calcule cu înmulțiri se foloseau tabele cu logaritmi. Calculatorii au remarcat că paginile de la începutul cărților cu tabele de logaritmi se uzau mai repede decît cele de la sfîrșit, pentru că se întîmpla mai des să caute logaritmii numerelor care încep cu 1 sau 2 decît ai celor care încep cu 8 sau 9.  

  

Apoi fenomenul a fost redescoperit cînd cineva a observat că în ziare sînt mai multe numere care încep cu 1 decît cele care încep cu 9 (a exclus numerele cu distribuții înguste, de exemplu anii).  

  

Întrebarea este: de ce cifrele mai mici sînt mai bine reprezentate decît cele mari? Și care ar fi formula cu care putem calcula aceste fracțiuni? Formula ne-ar putea chiar ajuta să generalizăm: care e fracțiunea numerelor care încep, de exemplu, cu cifrele 27 sau 608?

Mi-ar părea rău ca acest fenomen să rămână nediscutat, așa că încep împărtășindu-vă ce am descoperit pe tema propusă de AdiJapan și sper să urmeze o serie de discuții interesante, pentru că, așa cum am spus și mai sus, pentru mine fenomenul rămâne unul contraintuitiv și insuficient explicat, cel puțin la nivel de popularizare, de cei care s-au ocupat de asta.

 

 

Există o așa-numită **”lege a lui Benford”** care descrie distribuția primelor cifre în aceste seturi de numere care apar în natură și care sunt distribuite pe multe ordine de mărime. Benford se pare că este al doilea pământean care a observat fenomenul, primul fiind un astronom pe nume Newcomb, dar ale cărui observații, cum se întâmplă nu de puține ori, nu au fost băgate prea tare în seamă.

 

 

Legea lui Benford spune că probabilitatea de apariție, într-un asemenea set de numere a cifrei n pe prima poziție a numerelor membre ale setului este egală cu **P(n)=log(n+1) - log(n)=log(1+1/n)**. Dacă am reținut corect din cele citite, formula poate fi generalizată și pentru primele mai multe cifre din numerele din set (ceva de genul P(27)=log(1+1/27)).

 

 

Încercând să înțeleg câteva din multele demonstrații care au fost formulate de-a lungul timpului pentru această lege, am reușit să pricep că anumite fenomene ori procese, precum evoluția în timp a populațiilor ori evoluția în timp a sumelor din conturile bancare (ori alte chestiuni legate de finanțe, bursă etc.), fenomene care au în spate evoluții în timp descrise de funcții matematice de un anumit tip, generează seturi de numere care respectă legea lui Benford. Asta e destul de ușor de înțeles, așa cum se poate vedea și într-un filmuleț postat mai jos.

 

 

Am mai dat și peste un alt tip de demonstrație parțială a fenomenului, care se folosește de ceea ce a menționat și AdiJapan, așa-numita ”invarianță la scara de măsurare” („scale invariance” în engleză, cu scuzele de rigoare dacă în literatura de specialitate din limba română conceptul e tradus altfel). Ideea e că plecând de la presupunerea că o anumită distribuție a primei cifre a numerelor dintr-un set de numere se păstrează la schimbarea unităților de măsură, atunci este nevoie ca distribuția acestor prime cifre să fie una logaritmică, adică exact cea descrisă de legea lui Benford.

 

 

Majoritatea ideilor scrise de mine mai sus sunt prezentate în acest filmuleț pe Youtube:

 

 

 

 

Și mai interesant este faptul că acest fenomen este deja folosit pentru a detecta fraude fiscale ori electorale, prin analiza respectării distribuției de tip Benford în anumite seturi de numere.

 

 

Pentru mine rămâne mult de discutat pe tema dată, mai ales pentru că distribuția Benford, dacă poate fi numită astfel, a fost verificată pentru seturi de numere dintre cele mai diverse, care nu pot fi încadrate în categorii de fenomene precum cele despre care am pomenit mai sus: lungimile râurilor, suprafețele țărilor, distanțele până la anumite tipuri de stele etc.

 

 

Până și dimensiunile fișierelor de pe computerele fiecăruia dintre noi respectă această distribuție (apropos, un progrămel care să facă calculele în acest sens ar fi foarte interesant, sper să am timp să mă ocup de așa ceva zilele următoare)...

 

 

Deci, în caz că cele scrise de mine v-au atras atenția, vă invit să vă dați cu părerea. De unde distribuția aceasta a primelor cifre în anumite seturi de numere? Aveți o explicație proprie riguroasă?