Как решить систему уравнений?
=============================

 

Существуют два основных способа решения систем уравнений

Способ подстановки  

или  

«железобетонный» метод  

Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».

Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Разберем способ подстановки на примере.

x + 5y = 7  

3x − 2y = 4  

Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7» неизвестное «x».

Важно!  

Галка  

Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:

перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;  

разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.  

Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что содержит «x» в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.

При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.

x = 7 − 5y  

3x − 2y = 4  

Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение  

«x = 7 − 5y» из первого уравнения.

x = 7 − 5y  

3(7 − 5y) − 2y = 4  

Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)» во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y». Решим его по правилам решения линейных уравнений.

Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение «3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*).

x = 7 − 5y  

3(7 − 5y) − 2y = 4 (*)  

(*) 3(7 − 5y) − 2y = 4  

21 − 15y − 2y = 4  

− 17y = 4 − 21  

− 17y = − 17 | :(−17)  

y = 1  

Мы нашли, что «y = 1». Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти «x». Запишем в ответ оба полученных значения.

x = 7 − 5y  

y = 1  

x = 7 − 5 · 1  

y = 1  

x = 2  

y = 1  

Ответ: x = 2; y = 1  

Способ сложения  

Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.

x + 5y = 7  

3x − 2y = 4  

По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.

Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.

Запомните!  

!  

При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.

x + 5y = 7 (x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4  

+ => x + 5y + 3x − 2y = 11  

3x − 2y = 4 4x + 3y = 11  

При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.

Вернемся снова к исходной системе уравнений.

x + 5y = 7  

3x − 2y = 4  

Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент «−3».

Для этого умножим первое уравнение на «−3».

Важно!  

Галка  

При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.

x + 5y = 7 | ·(−3)  

3x − 2y = 4  

x ·(−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3)  

3x − 2y = 4  

−3x −15y = −21  

3x − 2y = 4  

Теперь сложим уравнения.

−3x −15y = −21 (−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4  

+ => −3x −15y + 3x − 2y = −21 + 4  

3x − 2y = 4 −17y = −17 |:(−17)  

y = 1  

Мы нашли «y = 1». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое значение и найдем «x».

x = 7 − 5y  

y = 1  

x = 7 − 5 · 1  

y = 1  

x = 2  

y = 1  

Ответ: x = 2; y =1