Как решить функциональное уравнение?
====================================

 

Как решить функциональное уравнение? 

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых f(f(x))=x;простейшие инволюции:  

f(x)=-x,f(x)=1/x,f(x)=(1/(1-x))+1,f(x)=1-x  

Например, для решения уравнения:  

f²(x+y)=f²(x)+f²(y),для всех х,у принадлежащих R,положим х=у=0:f²(0)=f²(0)+f²(0).Тогда f²(0)=0 и f(0)=0.Далее,положив у=-х:  

f²(x-x)=f²(x)+f²(-x)  

f²(0)=f²(x)+f²(-x)  

0=f²(x)+f²(-x)  

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда,когда оба числа равны 0. Значит f²(x)=0 для всех х и f(x)=0 является единственным решением этого уравнения.