теорема котельникова, кратко и понятно?

 

если еще проще, то допустим у вас есть речевой сигнал. он содержит частоты от 300 герц до 3 килогерц. для его передачи по цифровому каналу связи вам потребуется "выхватывать" мгновенные значения этого сигнала с частотой, в два раза превышающей самую высокочастотную компоненту сигнала, т. е. 6 кгц. иными словами, шесть тысяч раз в секунду вы будете измерять значение сигнала, который изменяется не чаще трех тысяч раз в секунду.

теоре́ма коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема найквиста) гласит, что, если аналоговый сигнал x(t) имеет ограниченный спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой не менее удвоенной максимальной частоты спектра fmax:

 fдискр \ge {2 \cdot f\_{max}},

где fmax — верхняя частота в спектре, или (формулируя по-другому) по отсчётам, взятым с периодом не реже полупериода максимальной частоты спектра fmax:

 tдискр \le \frac{1}{2 \cdot f\_{max}}.

т. е. для дискретизации аналогового сигнала без потери информации частота отсчётов должна быть как минимум в два раза выше верхней граничной частоты спектра сигнала.
такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временной характеристике точек разрыва. именно это подразумевает понятие "спектр, ограниченный частотой fmax". разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, т. к. они конечны по времени и, обычно, имеют во временной характеристике разрывы. соответственно, их спектр бесконечен. в таком случае полное восстановление сигнала невозможно и из теоремы котельникова выплывает 2 следствия:

 * любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой

 fдискр \ge {2 \cdot f\_{max}},

где fmax — максимальная частота, которой мы ограничили спектр реального сигнала.

 * если максимальная частота в сигнале превышает половину частоты прерывания, то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует.

говоря шире, теорема котельникова утверждает, что непрерывный сигнал можно представить в виде следующего ряда:

 \sum x(k\delta t) \frac{\sin ( \pi f\_{d}(t - k\delta t))}{\pi f\_{d}(t - k\delta t)}.

под интегральной суммой написана формула отсчётов функции x(t). мгновенные значения этой функции есть значения дискретизированного сигнала в каждый из моментов времени.

[править] история открытия

теорема была сформулирована в. а. котельниковым в 1933 году в его работе «о пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи» и является одной из основополагающих теорем в теории и технике цифровой связи.

грубо говоря, теорема котельникова указывает условия, при которых непрерывный сигнал может быть точно восстановлен по соответствующему ему сигналу с дискретным временем.

вот вижу очень умного ученика. про такую теорему не слышал даже. служил на заставе имени котельникова.

любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой
p.c. человек просил проще- так вот из всего сказанного эта фраза самая точно формулирующая и кратко!

https://yadi.sk/i/zoeduchwpsyryg