Ответы Mail.ru: Док-во для отношения строгого порядка

Виталий Антонов (269) 7 месяцев назад

Чтобы доказать, что отношение строгого порядка  является асимметричным, мы должны показать, что для любых a, b ∈ R, если a R b, то не может быть b R a.

Допустим, что R - отношение строгого порядка, и a R b для некоторых a и b. Если бы существовало b R a, то в отношении R выполнялись бы оба свойства: a R b и b R a. Это противоречит свойству строгого порядка, который требует, чтобы R было антисимметричным (то есть, не допускало одновременного выполнения a R b и b R a). Следовательно, наше предположение ложно, и R является асимметричным.

Рома Данилоы (186) 7 месяцев назад

Для доказательства того, что всякое отношение строгого порядка является асимметричным, можно использовать следующий подход:

Предположим, что у нас есть отношение строгого порядка R, которое не является асимметричным. Это означает, что существуют элементы a и b, для которых (a, b) принадлежит R, но (b, a) также принадлежит R.

Из этого следует, что a R b и b R a. Так как R является отношением строгого порядка, оно должно удовлетворять свойству иррефлексивности, то есть не должно существовать элемента, который находится в отношении с самим собой.

Таким образом, предположение о существовании элементов a и b, для которых (a, b) и (b, a) принадлежат R, противоречит свойству иррефлексивности отношения строгого порядка.

Следовательно, всякое отношение строгого порядка является асимметричным.