геометрия

пространственный 4хугольник в котором диагонали равны.середины сторон этого 4хугольника соединены последовательно отрезками.докажите что полученный 4хугольник - ромб.

черырёхугольник в когором диагонали равны - прямоугольник. это на плоскости. а ромба в пространстве, не бывает, он на плоскости.

следите внимательно! можете сделать чертёжик. итак.
вершины заданного четырёхугольника в порядке обхода a,b,c,d. середины сторон: ab-m, bc-n, cd-o, da-p. теперь:
mn||ac и mn=1/2ac
op||ac и op=1/2 ac, т. е. точки m,n,o,p лежат в одной плоскости.
далее, mn||op и mn=op
аналогично mp|| no и mp=no=1/2 bd,
 по условию ac=bd, поэтому в параллелограмме mnop смежные стороны равны, значит, это ромб.

проекция полученного 4-хугольника будет ромбом

четырехугольник в пространстве, в котором можно провести жиагонали - это плоский четырехугольник. если в нем диагонали равны - это прямоугольник. если далее припомните теоремку о средней линии тр-ка - как раз докажете. что новый четырехугольник - ромб.