могут ли сохраняться трудовые отношения между работником и работодателем,

могут ли сохраняться трудовые отношения между работником и работодателем, если работник, работая еще с советских времен, отказывается заключать трудовой договор?

да трудовые отношения сохраняются по факту допущения к работе и выполнения работы.

по трудовому кодексу - да. хотя вы можете сказать уволен.