Параметризация границы множества Мандельброта

Кто-нибудь знает, как параметризовать границу набора
Мандельброта? Я не фрактальный геометр или динамический системный
человек. У меня просто любопытное отношение к этому вопросу.

Множество Мандельброта обычно определяется как множество $ M $
всех точек $ c  in  mathbb {C} $ таких, что итерации функции $ z
 mapsto z ^ 2 + c $, начиная с $ z = 0 $ , остаются ограниченными
навсегда. Наиболее красивые изображения множества Мандельброта
показывают $ M $ как пересечение бесконечной последовательности
множеств $ M_1  supset M_2  supset M_3  supset  cdots $, где
граница $ M_i $ - это кривая $ | z_i (c ) | = K $. Здесь $ z_i (c)
$ является $ i $ -й итерацией $ z  mapsto z ^ 2 + c $, начиная с $
z = 0 $, а $ K $ - некоторая константа, которая гарантирует, что
будущие итерации исчезнут. Эти кривые $  partial (M_i) $
направляют зрителя, чтобы увидеть все более сложные части набора
Мандельброта.

Каждая из этих кривых $  partial (M_i) $ аналитична и замкнута.
Таким образом, они могут быть хорошо параметризованы
тригонометрическим рядом. Более конкретно, каждая граница имеет
параметризацию вида $$ z (t) =  sum_ {k = 0} ^  infty a_k  cos
(kt) + i  sum_ {k = 0} ^  infty b_k  sin (kt). $$ (Фактически,
поскольку каждая граница $  partial (M_i) $ определяется
полиномиальным уравнением в вещественной и мнимой частях $ c $, я
думаю, что каждая из этих серий должна закончиться. Исправьте меня,
если я ошибаюсь.) Я бы что предельный путь должен также иметь
некоторую хорошую параметризацию с тригонометрическим рядом.
Является ли этот предел одинаковым для всех $ K $? Если предел для
всех $ K $ не является одинаковым, то существует ли предел как $ K
 rightarrow  infty $? Каковы коэффициенты Фурье?

Доказательство Лассе расширилось: пусть $  psi $ - отображение
внешней части единичного диска на внешность множества Мандельброта,
причем ряд Лорана $$  psi (w) = w +  sum_ {n = 0} ^  infty b_n w
^ {- n} = w -  frac {1} {2} +  frac {1} {8} w ^ {- 1} -  frac
{1} {4} w ^ {- 2} +  frac {15} {128} w ^ {- 3} + 0 w ^ {- 4} - 
frac {47} {1024} w ^ {- 5} +  dots $$ Тогда, конечно, граница
множества Мандельброта является образом единичного круга при этом
отображении. Однако это зависит от (еще не доказанной) локальной
связности этой границы. Здесь для коэффициентов $ b_n $ нет
известной замкнутой формы, но они могут быть вычислены рекурсивно.
Конечно, положим $ w = e ^ {i  theta} $, а затем это ряд
Фурье.



Я не совсем уверен, что вы спрашиваете. Граница множества
Мандельброта, конечно, не является аналитической кривой.
Фактически, знаменитый результат Шишикуры показывает, что граница
множества Мандельброта имеет размерность Хаусдорфа 2.

Действительно, даже не известно, является ли граница кривой
вообще (то есть локально связной): в настоящее время это, вероятно,
самая известная гипотеза в одномерной голоморфной динамике.

Если множество Мандельброта локально связно, то существует
естественное описание границы множества Мандельброта (в качестве
граничных значений отображения Римана дополнения к $ M $); это
также известно как естественное комбинаторное описание во многих
отношениях. Однако, как упоминалось выше, эта параметризация не
является аналитической или даже $ C ^ 1 $.



Чтобы расширить ответ Джеральда Эдгара, некоторые ключевые фразы
для вас: «Дуайд-Хаббардский потенциал» и « [внешние лучи](https://en.wikipedia.org/wiki/External_ray) .

Внешним лучом является изображение луча $  arg z =  theta $
при фиксированном $  theta $ при конформном отображении Джеральда
$  psi $.

Потенциал Дуади-Хаббарда - это [гармоническое сопряжение](https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_conjugate) внешнего
аргумента луча: это потенциал для которые внешние лучи являются
линиями поля.

Я уверен, что не доказано, что $  psi ( zeta) $ корректно
определен для всех $  zeta $ на единичном круге, но я думаю, что
это предположительно так. (Иногда это выражается в том, что
говорят, что внешний луч «приземляется».) Однако внешние лучи под
рациональными углами $ 2  pi m/n $, как известно, приземляются, и,
кроме того, динамика в точках приземления на границе связана до
фракции $ m/n $ в действительно хорошем виде. (Существует аналогия
между [картой удвоения](https://en.wikipedia.org/wiki/Dyadic_transformation) $  theta  mapsto 2
 theta $ на круге и [голоморфные отображения](https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_quadratic_polynomial) $ z  mapsto z ^
2 + c $, а динамика $  theta $ под первым отображением связаны с
динамикой отображения $ z  mapsto z ^ 2 + c_  theta $, где $ c_ 
theta $ - точка посадки соответствующего луча на границе множества
Мандельброта.) Таким образом, эта параметризация границы
действительно является важным и естественным объектом (если она
четко определена, как предполагалось).



$psi(w)$ is called Jungreis function  

![Mandelbrot set boundary as the image of unit circle under Jungreis function](https://i.stack.imgur.com/o0vj6.png)

Вот некоторые изображения, код и описание, показывающие
некоторые параметры:

<https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jungreis.svg>
- using Jungreis function

[http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lemniscates5.png](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lemniscates5.png)

круговая параметризация

[http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jung200.png](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jung200.png)

Метод Ньютона:

[http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot\_set\_Component\_by\_Newton\_method.png](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mandelbrot_set_Component_by_Newton_method.png)

круг к компоненту (или его части):

[http://commons.wikimedia.org/w/index.](https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mandelbrot_set_Components.jpg)
[PHP](/tag5740) название = Файл:
Mandelbrot\_set\_Components.jpg



Мое предположение заключалось бы в том, что такая параметризация
не сработает. Попробуйте что-то подобное для более простой (в
определенных точках зрения) структуры, такой как снежинка Коха.
Будет ли ваш подход к параметризации позволять вам генерировать
функцию на основе $ n $, число рекурсивных итераций, используемых
для генерации снежинки на определенную глубину? Я бы не подумал.
Вы, возможно, сможете, по крайней мере, для кривой Коха,
параметризовать оболочку «резиновой ленты» вокруг нее, но это было
бы тривиально для большинства рекурсивно определенных объектов.



Взгляните на «Внешние углы». По-видимому, линия, идущая из
бесконечности под любым углом, всегда оставаясь перпендикулярной
потенциальным линиям, в конечном итоге коснется множества.

<http://mathr.co.uk/blog/2013-02-01_navigating_by_spokes_in_the_mandelbrot_set.html>

<http://mathr.co.uk/blog/2013-10-02_islands_in_the_hairs.html>

Я все еще пытаюсь выяснить, какая именно математика за ними. Его
источники Haskell являются криптографическими для меня.