что такое предел? что такое |xn-a|<ę(эпсилон) 
что такое a? и почему xn рассматривается как число, когда это последовательность? ничего не понимааю! :(

что такое предел? что такое |xn-a|<ę(эпсилон) 
что такое a? и почему xn рассматривается как число, когда это последовательность? ничего не понимааю! :(

для начала успокойтесь, я понимаю на носу экзамен, но для
математики нужна "холодная голова". сейчас мы во всем
разберемся, все очень просто на самом деле :)

начнем с того, что вы немного запутались в обозначениях.
последовательность принято записывать в фигурных скобках:
{xn}, в то время, как ее элемент — без скобок: xn. в первом
случае n — это абстрактный номер, а во втором — это уже
какой-то конкретный номер. я могу сказать, возьмем пятый
элемент последовательности {xn}, тогда n=5, то есть элемент
xn=x5, но при этом последовательность по-прежнему будет
обозначаться {xn}, а не в коем случае не {x5}.

иными словами: последовательность {xn} это набор элементов
x1, x2, x3, ... x(n-1), xn, x(n+1) ... , в котором есть
элемент xn. обычно n — это любое натуральное число.

я допускаю, что иногда лектор (учитель) опускает фигурные
скобки и обзывает последовательность просто xn, и тут уже
надо понимать из контекста, где речь идет о целой
последовательности, а где о ее конкретном элементе (это не
сложно, как правило).

теперь, собственно, предел. говорим о числовых
последовательностях (для нечисловых все тоже самое, только
слова другие). так как нельзя брать предел от числа — это
бессмыслица, то нет нужды писать фигурные скобки в пределе :
lim {xn}, пишется просто lim xn, и имеется в виду предел
последовательности {xn} (здесь и далее, когда я пишу lim и
говорю "предел последовательности", то всегда имею ввиду
"при n стремящимся к бесконечности").

запись, lim xn = a, значит, что при стремлении n к
бесконечности, то есть вы берете все больше и больше членов
последовательности {xn} и так доходите до бесконечного их
числа, существует некое число а, которое является пределом
для этой числовой последовательности, причем а может, как
являться членом {xn}, так и не являться, это никак не
регулируется определением.

определение. я рассчитываю, что оно есть у вас перед глазами
и перейду сразу к объяснению. буду обозначать эпсилон, как
"е". е — какое-то число. наше определение работает для
любого е > 0, и для маленьких значений и для больших. и вот
для любого такого е существует конкретный номер n элемента
последовательности {xn}, который зависит от e, (поэтому
пишут не n, n(e)), начиная с которого, расстояние от этого
элемента до а ,будет меньше чем это самое е. это значит, что
расстояние от xn до а, x(n+1) до а, x(n+2) до а и всех
последующих элементов, меньше е. расстояние от xn до а — это
ничто иное как модуль |xn-a|, или что тоже самое |a-xn|.

вот собственно и все! теперь вы можете попробовать
посмотреть, как работает это определение на простых
последовательностях, например:

1){xn} такая, что xn=1/n, для всех n. то есть {xn}=1/1, 1/2,
1/3 ... 1/n... , lim xn = 0.

2){xn} такая, что xn=1, для любого n, lim xn = 1.

обратите внимание, в первом случае предел не принадлежит
последовательности, а во втором — принадлежит.

для начала успокойтесь, я понимаю на носу экзамен, но для
математики нужна "холодная голова". сейчас мы во всем
разберемся, все очень просто на самом деле :)

начнем с того, что вы немного запутались в обозначениях.
последовательность принято записывать в фигурных скобках:
{xn}, в то время, как ее элемент — без скобок: xn. в первом
случае n — это абстрактный номер, а во втором — это уже
какой-то конкретный номер. я могу сказать, возьмем пятый
элемент последовательности {xn}, тогда n=5, то есть элемент
xn=x5, но при этом последовательность по-прежнему будет
обозначаться {xn}, а не в коем случае не {x5}.

иными словами: последовательность {xn} это набор элементов
x1, x2, x3, ... x(n-1), xn, x(n+1) ... , в котором есть
элемент xn. обычно n — это любое натуральное число.

я допускаю, что иногда лектор (учитель) опускает фигурные
скобки и обзывает последовательность просто xn, и тут уже
надо понимать из контекста, где речь идет о целой
последовательности, а где о ее конкретном элементе (это не
сложно, как правило).

теперь, собственно, предел. говорим о числовых
последовательностях (для нечисловых все тоже самое, только
слова другие). так как нельзя брать предел от числа — это
бессмыслица, то нет нужды писать фигурные скобки в пределе :
lim {xn}, пишется просто lim xn, и имеется в виду предел
последовательности {xn} (здесь и далее, когда я пишу lim и
говорю "предел последовательности", то всегда имею ввиду
"при n стремящимся к бесконечности").

запись, lim xn = a, значит, что при стремлении n к
бесконечности, то есть вы берете все больше и больше членов
последовательности {xn} и так доходите до бесконечного их
числа, существует некое число а, которое является пределом
для этой числовой последовательности, причем а может, как
являться членом {xn}, так и не являться, это никак не
регулируется определением.

определение. я рассчитываю, что оно есть у вас перед глазами
и перейду сразу к объяснению. буду обозначать эпсилон, как
"е". е — какое-то число. наше определение работает для
любого е > 0, и для маленьких значений и для больших. и вот
для любого такого е существует конкретный номер n элемента
последовательности {xn}, который зависит от e, (поэтому
пишут не n, n(e)), начиная с которого, расстояние от этого
элемента до а ,будет меньше чем это самое е. это значит, что
расстояние от xn до а, x(n+1) до а, x(n+2) до а и всех
последующих элементов, меньше е. расстояние от xn до а — это
ничто иное как модуль |xn-a|, или что тоже самое |a-xn|.

вот собственно и все! теперь вы можете попробовать
посмотреть, как работает это определение на простых
последовательностях, например:

1){xn} такая, что xn=1/n, для всех n. то есть {xn}=1/1, 1/2,
1/3 ... 1/n... , lim xn = 0.

2){xn} такая, что xn=1, для любого n, lim xn = 1.

обратите внимание, в первом случае предел не принадлежит
последовательности, а во втором — принадлежит.

судя по всему, автора интересует математическое понятие
предела. сам по себе предел не существует: должен быть
предел чего-то. для простоты ограничимся пределом числовой
последовательности. числовая последовательность - это
множество чисел, которые идут в определённом порядке, т.е.
их можно пронумеровать: х\_1, х\_2, х\_3... если числовая
последовательность конечна, то её пределом будет последний
элемент. если последовательность бесконечно, то она может
иметь предел. число а называется пределом числовой
последовательности, если для сколь угодно малого epsilon > 0
вне epsilon-окрестности числа a будет находиться конечное
количество элементов данной последовательности.
epsilon-окрестность числа а есть множество всех чисел, чьё
расстояние до а меньше epsilon - где под расстояниям
подразумеваемся модуль разности двух чисел. утверждение:
числовая последовательность x\_n (n=1,2,3...) имеет предел
равный а тогда и только тогда (условие необходимое и
достаточное одновременно), когда для произвольного epsilon >
0 существует такое натуральное n, что для любого
натурального n > n верно неравенство |х\_n - a| < epsilon.