Ответы Mail.ru: Лёгкий вопрос математикам-геометрам-архитекторам. Где расположить кронштейны под гибкой полкой, чтобы &gt;&gt;&gt;



Сразу хочу оговориться, что в сопромате я не разбираюсь и его не изучал, поэтому, возможно, не вижу чего-то простого и горожу огород, где не стоило бы. Пусть длина нашей полки

Высота (или глубина -- я не особо владею терминологией) прогиба будет пропорциональна тому, что я дальше нарисую, поэтому оптимальное расположение кронштейнов не зависит от свойств материала. В зависимости от расположения кронштейнов есть 4 варианта прогибов полки:

Кронштейны стоят очень широко (x очень мал), так что края полки не успевают перегнуться
Кронштейны стоят чуть уже (x чуть больше, но все еще мал), так что полка перегибается, но изломы (максимумы) находятся на внешних частях
Кронштейны стоят узко (x велик), так что изломы оказываются внутри пролета
Кронштейны стоят очень узко (x очень велик), так что изломы исчезают и полка прогибается только с центральным изломом

На картинке ниже фиолетовая кривая -- наша полка

Видно, что отклонение от горизонтали возникает в центральном прогибе, боковых изломах и на границе. Ниже представлен график того, как меняются эти отклонения по отдельности для разных x

Заметно, что боковые изломы никогда не играют определяющую роль и полка всегда сильнее всего прогибается либо в пролете (при малых x и широких кронштейнах), либо на краях (при больших x и узких кронштейнах). Тогда выводы об оптимальном расположении кронштейнов такие

Если нас интересует минимизация центрального прогиба, то выбираем либо x = 0.5 (то есть ставим один кронштейн посередине), либо x = (√30 - 5) / 2 ≈ 0.2386 (тогда центральный прогиб вообще отсутствует)
Если мы минимизируем краевые прогибы, то берем x = 0 (кронштейны ровно на краях полки), либо x ≈ 0.1926 -- лень считать аналитически (тогда края вообще не провисают)
Если нас интересует минимум максимального отклонения полки