Почему сумма любого натурального числа и его квадрата всегда чётное число?
==========================================================================

Почему сумма любого натурального числа и его квадрата всегда является чётным числом?

Вдобавок к предыдущему ответу можно дать еще одно объяснение этому факту ( сумма любого натурального числа и его квадрата всегда является чётным числом).

Итак, первый случай, когда натуральное число четное, то и квадрат этого числа тоже четное число (2^2 = 4, 4^2 = 16, 6^2 = 36, 8^2 = 64 и т.д.). 

А сумма двух четных чисел всегда четное число: 2*m + 2*n = 2*(m+n).

Второй случай, когда число четное, то квадрат этого числа нечетное число (1^2 = 1, 3^2 = 9, 5^2 = 25, 7^2 = 49 и т.д.). 

А сумма двух нечетных чисел всегда четное число:(2*m +1) + (2*n+1) = 2*(m+n+1).

 

Сумму натурального числа и его квадрата можно представить в виде произведения 

N**2+N=(N+1)*N.

Одно из двух чисел N и N+1 всегда четное.

Отсюда и следует четность произведения двух последовательных натуральных числ.

 

На самом деле, есть два случая. 

Первый - число n четное. 

Тогда его квадрат = n^2 - тоже четное число. 

n + n^2 тоже четное, так как и n и n^2 - четные, а сумма четных чисел четная. 

Второй - число n нечетное. 

Тогда его квадрат = n^2 - тоже нечетное число. 

n + n^2 тоже четное, так как и n и n^2 - нечетные, а сумма нечетных чисел четная.

Доказано.