Ответы Mail.ru: В чём суть неэвклидовых геометрий словами школьника?

Eujin Chemic (23999) 6 лет назад

чего спросить то хотел? в неоднородном пространстве две параллельные прямые могут пересекаться бесконечное количество раз. вопрос только какой функцией описывается кривизна..

Alex Mishin (583621) 6 лет назад

Насколько я знаю, началось всё с аксиомы: "через две точки можно провести рямую, причём только одну". Пытаясь доказать либо опровергнуть это утверждение, пошли "методом от противного": предположили, что (1) можно провести бесконечно много прямых или (2) провести нельзя ни одной.
Каждое из этих предположений позволило построить стройную теорию - геометрию Лобачевского и геометрию Римана (я не помню, которая из них из какого предположения исходит).

Так мне в детстве объясняла мать - она была доцентом математики в МГУ, но не геометром, а алгебраистом.

ТадасанаГений

6 лет назад

Все почти так, но самое главное, аксиому, Вы не ту указали.
Там же что-то про параллельные прямые должно быть, правда?

Например, в такой формулировке:
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.

Тадасана (76848) 6 лет назад

Ну, возьми листочек бумаги. Резать и склевать концы запретим. Пусть ты его можешь гнуть, но не можешь растягивать. Это важно.

На нем что-нибудь нарисуй.... И гни.

Если листочек плоский, то на глобус или на седло ты его не натянешь, а на боковую поверхность цилиндра или конуса - запросто.
Если ты построишь, например, треугольник на листочке, а потом наложишь листочек на боковую поверхность конуса, то углы треугольника не изменится. Стороны не изменятся... Всё это определяется в рамках внутренней геометрии, которая для плоского листочка при указанных услвиях не меняется, а потому остается евклидовой.

А если представить, что листочек изначально у нас был не плоский, а, например, был содран со сферы (шапочка такая) или с седла, то геометрия на нем - неевклидова.

Fear (183831) 6 лет назад

Игорь Елкин (49548) 6 лет назад

Это три геометрии можно задать с помощью параллельных и окружностей. На самом же деле таких геометрий чёртова уйма. Единственное и основное их отличие - это способ измерения расстояния. И если для Евклидовой геометрии "Теорема Пифагора", то для г. Лобачевского уже (см. фото). Остальные уже задаются через метрический тензор.

Cавелий Чихачев (131) 6 лет назад

Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда “Начал” оно было единственным руководством для изучающих геометрию.
“Начала” состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.
Каждая книга “Начал” начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,
Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.
Определение 2. Линия есть длины без ширины
Определение 3. Границы линии суть точки.
Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.
Постулаты:

I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
IV. И чтобы все прямые углы были равны.
V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы:
I. Равные порознь третьему равны между собой.
II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.
Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Александр Задворный (4100) 6 лет назад

Типичная ошибка - параллельные НИКОГДА не пересекаются и никогда не расходятся в любой геометрии. Но! В эвклидовой геометрии два перпендикуляра к одной прямой параллельны, в Римановой сходятся, а в Лобачевского расходятся.

Star Lord (143) 6 лет назад

Это три геометрии можно задать с помощью параллельных и окружностей. На самом же деле таких геометрий чёртова уйма. Единственное и основное их отличие - это способ измерения расстояния. И если для Евклидовой геометрии "Теорема Пифагора", то для г. Лобачевского уже (см. фото). Остальные уже задаются через метрический тензор.

Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда “Начал” оно было единственным руководством для изучающих геометрию.
“Начала” состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.
Каждая книга “Начал” начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,
Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.
Определение 2. Линия есть длины без ширины
Определение 3. Границы линии суть точки.
Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.
Постулаты:

I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
IV. И чтобы все прямые углы были равны.
V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы:
I. Равные порознь третьему равны между собой.
II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.
Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Р.адость П.исающего О.блака (114270) 6 лет назад

школьники, вообще-то, бывают разные.

Я вот, например, до девятого класса Евклида не читал. А Лобачевского - читал.
Поэтому, соответственно, о Евклиде у меня было несколько искажённое представление.
И потому суть неевклидовых геометрий для меня состояла просто в отсутствии в них параллельности. Потому что когда параллельных больше одной, это уже всё равно как бы не то.))))))