Ответы Mail.ru: Задача про x и y

Александр Титов (52384) 6 месяцев назад

Если достаточно доказать существование, то подойдёт, к примеру, n = 2, т.к. x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) по формуле разности квадратов, т.е. при x^n - y^n делится на x - y при = 2 для любых натуральных x > y.
Гораздо интереснее доказать это для любого натурального n.
И для этого введём геометрическую прогрессию, первый член которой равен 1, а знаменатель равен x/y. Сумма её первых n членов равна 1 + x/y + (x/y)^2 + ... + (x/y)^(n - 1), она же по формуле для суммы геометрической прогрессии равна ((x/y)^n - 1)/(x/y - 1).
Приравняем и умножим всё на y^(n - 1). Тогда слева получится y^(n - 1) + xy^(n - 2) + x^2*y^(n - 3) + ... + x^(n - 1) - натуральное число, как сумма произведений степеней натуральных чисел, справа будет y^n*((x/y)^n - 1)/(y(x/y - 1)) = (x^n - y^n)/(x - y), т.е. при делении натурального числа x^n - y^n на натуральное x - y получается так же натуральное, что и означает, что x^n - y^n делится на x - y для любого натурального n (в том числе и при n = 2).