может ли работодатель не отдавать трудовую книжку и не делать там запись о проработавшем времени,

 

валентина алексеевна, действия работодателя неправомерны.
советую вам по данному факту обратиться или в инспекцию по труду или в прокуратуру.

помогите разобраться. 
 в трудовой книжке первая запись сделана 01.

 

николай, в соответствии с п.п. 27, 28 правил ведения и хранения трудовых книжек в случае выявления неправильной или неточной записи в трудовой книжке исправление ее производится по месту работы, где была внесена соответствующая запись, либо работодателем по новому месту работы на основании официального документа работодателя, допустившего ошибку. работодатель обязан в этом случае оказать работнику при его обращении необходимую помощь.
если организация, которая произвела неправильную или неточную запись, реорганизована, исправление производится ее правопреемником, а в случае ликвидации организации - работодателем по новому месту работы на основании соответствующего документа.

я работаю официально на работе. теперь я хочу устроиться на подработку в другую организацию.

 

две трудовые книжки не заводятся. там где хранится ваша трудовая книжка, является вашей основной работой, вторя работа будет работа по совместительству. если вы хотите внести запись о работе по совместительству в трудовую книжку, то это делается по основному месту работы.