Введение в теорию игр

Введение в теорию игр

Условные обозначения:

* определение слова (словосочетания) даётся в справочнике.

Полужирный текст - важная цитата, определение или идея.

Введение.

«Есть в современной математике одна область, она носит безобидное название теории игр, но ей, несомненно, суждено сыграть очень важную роль в человековедении самого ближайшего будущего…»

Джон фон Нейман.

К сожалению, теория игр не столь популярна среди учеников, да и вообще большая часть людей совсем с ней не знакома. Но на самом деле теория игр очень интересна и вполне применима в нашей жизни. Многие считают, изучая математику, что нужно научиться по большей части считать и все - интегралы и тригонометрические формулы в повседневной жизни вряд ли пригодятся. Но также многие и не знают ничего о теории игр. Поэтому знакомство в ней может изменить мнение многих о математике, помочь в жизни, развить логические способности и открыть новые неизведанные двери, так как эта наука еще совсем молодая и открыта для исследований.

Теорию игр, по сути, нужно изучать после цифр и до алфавита, так как многие люди принимают даже важные решения, опираясь на интуицию, расположение звезд и подобные сомнительные методы. Основы теории игр помогут добавить осознанности и здравого смысла в вашу жизнь.

В данном пособии будут рассматриваться самые стандартные понятия и примеры. Не будет строгих математических доказательств, так как пособие рассчитано на массового потребителя и только вводит человека в теорию игр, не предназначено для её содержательного изучения и ставит перед собой цель развития логического мышления и облегчение порога вхождения в теорию игр.

Глава 1.

Знакомство с теорией игр.

Игры сопровождают нас всю жизнь. Едва родившись, ребёнок начинает познавать мир с помощью игр. Сначала он играет в пирамидки, машинки или просто пытается дотянуться до игрушки над своей кроватью. Становясь старше, ребенок начинает играть со сверстниками, сам решает с кем играть, какие им дать игрушки. Потом, например, начинает играть в мяч или в шашки. Он взрослеет, и его игры взрослеют вместе с ним. Большая часть обучающих курсов устроены по принципу игр. Кто-то играет в спортивные игры, а кто-то в компьютерные. Став взрослыми, некоторые люди продолжают играть в лотереи. Даже когда утром они решают, как добраться до работы (на такси, метро или пешком), учитывая время, пробки, желание и т. д., выбирая товары в магазине, они решают теоретико-игровую задачку.

Большинство считает, что предугадать результат игр, в которых властвует случай, невозможно. Это не так. Математическое ожидание выигрыша - величина, которая поможет нам определить, справедлива игра или нет, стоит ли нам в нее играть.

В некотором смысле теория игр — это наука о стратегии или, по крайней мере, о математическом методе изучения оптимальных стратегий в играх.

Ключевыми первопроходцами теории игр были математик Джон фон Нейман и экономист Оскар Моргенштерн в 1940-х годах. Многие считают математику Джона Нэша первым значительным продолжением работ фон Неймана и Моргенштерна.

Предполагается, что игроки в игре рациональны и будут стремиться максимизировать свои выигрыши в игре.

Несмотря на критику в адрес предположения о рациональных игроках, этот постулат играет важную двойную роль в теории игр. Во-первых, он существенно ограничивает возможные варианты принятия решений, поскольку абсолютно рациональное поведение более предсказуемо, чем иррациональное поведение. Во-вторых, он дает четкий критерий оценки эффективности принятых решений: то решение более эффективно, которое приносит большую выгоду лицу, принимающему решение.

Так же предполагается, что все субъекты не только рациональны, но и разумны, в том смысле, что они способны находить не только свои оптимальные решения, но также и оптимальные решения других участников.

В центре внимания теории игр находится игра, которая служит моделью интерактивной ситуации среди рациональных игроков. Наряду с традиционными играми, такими как покер, шахматы, футбол и многие другие, теория игр изучает и такие серьезные отношения как, например, рыночная конкуренция, гонка вооружений, загрязнение окружающей среды.

В теории игр игра — это процесс, в котором участвуют не менее двух сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках и является разделом современной экономической теории, что подтверждается большим количеством Нобелевских премий в области экономики, присужденных самым выдающимся представителям данной науки.

Разные решения разных людей в разных ситуациях по-разному влияют на нас. Обратное тоже работает - наши действия тоже влияют на других. Иногда можно заранее отследить, понять или спрогнозировать, какие действия на что повлияют. Этим и занимается теория игр.

Под игрой понимается любая ситуация, в которой выполняются такие условия:

В ней не менее двух участников.
У каждого участника свой интерес.
У каждого участника есть несколько вариантов действий (стратегий).
Каждый игрок принимает решения на основании информации о действиях других.
Есть какие-либо общие правила, которые всем известны. Они могут меняться, но они известны всем.

С такой точки зрения большинство наших бытовых ситуаций попадает под действие теории игр. Даже обычные переговоры о зарплате, о том, где провести отпуск, как добраться до работы, куда сходить на выходных - в них тоже действует теория игр.