Ответы Mail.ru: Ответ на вопрос "Теорема Нётер. Простейшее применение в механике."

xoool45f (108) 2 месяца назад

Для первой симметрии, когда функция Лагранжа не изменена, мы имеем сохраняющуюся величину, которая соответствует временной инвариантности. Это означает, что энергия системы постоянна, и мы можем использовать это для нахождения явного вида x(t).
Для второй симметрии мы также имеем сохраняющуюся величину. Однако, так как мы изменили функцию Лагранжа, эта величина уже не является энергией системы. В общем случае, определить явный вид траектории x(t) на основе только этих симметрий невозможно. Но если мы дополнительно знаем, что начальные условия соответствуют положению и скорости в точке равновесия (x(0)=0, v(0)=0), то можно утверждать, что x(t)=0 - решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее этим симметриям (так как обе функции Лагранжа имеют минимум в точке x=0).