как можно способствовать посетителей публиковать новые отзывы на bbb? 

 

все, что можно сделать, это создать call-to-action кнопку. как только посетитель нажмет на нее, то он сразу попадет в ваш bbb профиль, где сможет ознакомиться с другими отзывами и оставить свой.

есть ли возможность адаптировать размер и дизайн виджета? 

 

конечно! просто откройте редактор и подберите ширину и высоту в пикселях или процентах или сохранить авто, для того чтобы виджет автоматически вписался в размер контейнера на сайте.