Ответы Mail.ru: Площадь области в полярных координатах.

Так? Ещё и гадать приходится...

Полярная область создается путем сложения бесконечного количества бесконечно тонких секторов круга и их сложения.

Площадь сектора круга в радианах равна A=1/2*r^2θ.

Нам нужны бесконечно тонкие сектора, чтобы θ становилось нашим дифференциалом, а в полярных координатах r не фиксирована, r функция θ. И, конечно, нам понадобится интеграл, чтобы мы могли сложить бесконечно много бесконечно малых величин. Всё остальное в рисунке.