Ответы Mail.ru: Задача по геометрии

발렌티나 빅토로브나 토포리셰바 (38290) 1 год назад

Обозначим радиусы оснований конусов как R1 и R2 соответственно, а радиус окружности, по которой пересекаются боковые поверхности, как r. Требуется доказать, что R1 = 3r.

Рассмотрим сечение цилиндра, проходящее через точки O1, P и O2. Оно является прямоугольным треугольником OP1O2.

Из правил геометрии известно, что медиана треугольника, проведенная к основанию, равна половине стороны, расположенной противоположно вершине. В нашем случае медиана PO1 является высотой первого конуса, построенного на основании цилиндра с центром O2. А медиана PO2 является высотой второго конуса, построенного на основании цилиндра с центром O1.

Таким образом, имеем:

Высота первого конуса h1 = PO1 = (2 / 3)R1
Высота второго конуса h2 = PO2 = (1 / 2)R2

Оба конуса имеют общую высоту P, а значит, их объемы пропорциональны площадям оснований:

V1 / V2 = (πR1^2 / 3) / (πR2^2 / 3) = R1^2 / R2^2

Из рисунка видно, что поверхности боковых цилиндров конусов пересекаются по окружности радиуса r, расположенной на высоте H = (h1 + h2) / 2 = (R1 / 2 + R2 / 3) от вершины первого конуса. Также из рисунка видно, что треугольник POM, где M - точка пересечения биссектрис треугольника OP1O2, является прямоугольным.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику POM, получаем:

r^2 = (R2 / 2)^2 + (H - R1 / 2)^2 = R2^2 / 4 + (R1 / 2 - R2 / 3)^2

Выражая R2^2 через R1^2 из соотношения объемов конусов и упрощая выражение, получаем:

r^2 = (1 / 36)R1^2

r = (1 / 6)R1

R1 = 6r

Таким образом, доказано, что радиус основания первого конуса в три раза больше радиуса окружности, по которой пересекаются боковые поверхности конусов.