C4
==

Посоветуйте, как лучше готовиться к задачам ЕГЭ С4. С2 научился решать координатным методом( с помощью преподавателя). А в С4 нет одного подхода. Может, по фигурам или по другому принципу.??

По-моему, задачи С4 чаще всего решаются алгебраически. То есть неизвестная величина находится из уравнения или нескольких уравнений, составленных на основе знания теорем геометрии. Поэтому Ваша задача — добиться знания всех и всяческих свойств фигур и линий (желательно не только по школьному учебнику) с тем, чтобы уметь увязывать в уравнения неизвестную величину и данные задачи. И, конечно, много, очень много решать. Не останавливайтесь даже после нескольких часов решения. Пробуйте зайти то с одной, то с другой стороны. Постепенно придет опыт и Вам не потребуется уже так много времени

Любую геометрическую задачу можно решить алгебраически. Только от геометрии при таком подходе останутся рожки да ножки.

от геометрии в любом случае останутся основные соотношения и теоремы

Есть только две разумные причины переводить геометрическую задачу в систему уравнений:  
  
1. полное отсутствие разумных геометрических идей (а задачу решать надо);  
2. если аналитический способ заведомо самый простой.  
  
Причем в первом случае можно ограничиться вообще единственной теоремой — Пифагора.

не согласна. Просто одни задачи решаются алгебраически, другие — геометрически. В С4 чаще встречаются первые

Татьяна Юрьевна, я вполне разделяю Вашу точку зрения. При алгебраическом подходе текст задачи просто переводится на математический язык, а дальше арифметика. Но переводить на математический язык геометрию, а особенно физику, математики не могут.  
 Посмотрите тему "Подскажите, пожалуйста". Они меня за алгебраический подход назвали подлецом.

Я физические задачи тоже часто решаю алгебраическими методами. Может от того, что математику больше люблю и понимаю. Конечно, каждому свой подход. Напрасно физики обижаются. И обижают

и математики тоже

Типичное мнение типичного мехматовца.

Это не мнение — это — медицинский факт.  
  
И не надо хамить — я — нетипичный мехматовец:) Собственно, странно называть мехматовцем человека, который закончил факультет 15 лет назад и никогда на мехмате не работал.

Покажите, пожалуйста, Ваше решение поставленной задачи, а я покажу свое(алгебраическое).

У Вас видения? Никакой задачи тут не поставлено.  
  
А если Вы про соседнюю ветку, то система 2*2 лучше системы 5*5, уравнение n-1 -й степени лучше уравнения n-й степени и.т.д. в том же роде.

здесь есть задача в п. №5.

Правда, есть.   
  
Вот только странно давать задачу, заточенную под безыдейное решение системой и ожидать чего-то красивого. Вы бы еще дали задачу рассчитать четырехугольник по пяти независимым экзотическим элементам и ждали решение без использования системы.  
  
А "красивое" "решение" пункта 5 есть. Треугольник, почти наверняка, целочисленный. Единственный целочисленный треугольник с r=2 — это 6-8-10.  
Осталось его проверить (можно и не проверять, в предположении, что задача имеет решение).  
  
Не говоря уже о том, что подобные задачи — лучший способ превратить школьную геометрию в УГ.

Сомнения мои в том, что это поймет школьник. У меня система из трех уравнений, из которых одно-теорема Пифагора.

Удивительно, что Вы не поймали меня за руку, и не сказали, что таких треугольников не один, а два — еще 5-12-13 (который, очевидно, не подходит) :)  
  
Что в этом не поймет школьник — не понимаю. Но мой мухлеж с целочисленностью симпатичнее Ваших систем 7*8, которые затем предлагается решать в мат. пакете.  
  
Рад, что по второму пункту разногласий не вышло и Вы тоже считаете подобные "задачи" УГ-м.

не знаю, мне было интересно решать. И система там не 7*8. Как раз и важно было получить в конечном счете наиболее простое уравнение. Мне это удалось

Так и задача несложная — потому и не 7*8 (7*8 — это любимый стиль коллеги КБМ). Только геометрии в этом нет никакой — один счет.

довольно сложная как раз мне показалась. Несложно составить исходные уравнения. Но вчера я пробилась весь вечер над тем, чтобы сделать эти уравнения решаемыми. Только сегодня мне это удалось. Лично я считаю задачу решенной, если ее решение я могу объяснить любому школьнику (не совсем уж запущенному). Вплоть до стадии получения ответа, а не только составления системы уравнений.

обычно я трачу на задачу типа С4 15-20 минут. А здесь часа три ушло.

Я лично геометрические задачи очень люблю. С детства, когда еще на Всероссийских олимпиадах выступала, именно геометрические задачи были моей сильной стороной. Однако решаю я их именно так как сказала — алгебраически

да это не мы дали, это школьник попросил помощи в решении задачи. Мы ее не выбирали

В Вашем "красивом" решении есть по меньшей мере один недостаток — фраза "почти наверняка, целочисленный". Особенно "почти наверняка".

Слово "решение" взято в кавычки, если Вы не заметили. Это не решение — это "хак", если угодно, который работает довольно часто, когда речь идет о прямоугольных треугольниках в школьных задачах.  
  
Чтобы сделать хак решением, придется доказать единственность этого решения (что несложно, плюс "любители" геометрии отовсюду вымарали геометрию и довольствуются ответом без решения).  
  
Но у него есть одно огромное достоинство — это придумано за 5 секунд против Ваших трех часов бесполезного труда (если уравнение не решается влет — не надо его решать, по кр. мере руками).

Вы опять-таки, меня не поняли. Я не сказала, что решала уравнение 3 часа. Я сказала, что искала такое уравнение, которое свяжет все параметры и будет решаемо. Решение же задачи подбором я не считаю решением вообще

Решение же задачи подбором я не считаю решением вообще — это Ваше личное мнение, и оно радикально расходится с общепринятым — и в математике и в жизни.  
  
Кому-то надо пройти все шаги стандартного алгоритма, чтобы получить ответ, а кто-то находит ответ сразу, просто потому, что лучше понимает эту конкретную проблему.

Вряд ли на экзамене такое решение принесет хоть какие-то баллы

В математике как в науке, безусловно, догадка — великая вещь, но для школьника требуются строгие доказательства. Именно это я имела в виду, говоря о том, что подбор не считаю решением. Именно в отношение школьной математики

Что же касательно геометрии, то она в моем решении присутствует в виде свойств фигур и теорем, а в Вашем решении ее действительно нет и следа

Тем не менее, она там есть, причем в большем объеме, чем у Вас.  
  
Так как — для проверки, что 6-8-10 — это то, что надо, приходится вычислить все, что вычисляли Вы. И, есть геометрическое интуитивное понимание, что целочисленных треугольников с маленьким радиусом вписанной окружности не может быть много.  
  
На №51 — во-первых, мы не на экзамене. Во-вторых, все прекрасно и нетрудоемко допиливается так, что самый занудный экзаменатор носа не подточит.  
  
На сем предлагаю прекратить этот малосодержательный разговор — мы убили слишком много времени по чепуху и УГ.

очень рада прекратить с Вами разговор

Кстати, юноша, задавший вопрос, сразу сообщил, что ответ ему известен. Так в чем он должен увидеть 2красоту" Вашего решения?

подумала еще раз над всем, что Вы написали, и... согласилась. Да, задача действительно из разряда УГ. Алгебраически она красиво не решается. Уравнение третьей степени, полученное в результате трехчасовых мучений... Я почитала решения Владислава Аркадьевича Вуля...Это просто полет! Но то, что он делает, не повторить многим. А научить решать задачу С4 алгебраическими методами можно каждого. Хотя полета в этом, конечно, уже не будет

Меня учили: практическая "красота" решения сложной задачи состоит в искусстве сформулировать ее так, чтобы она стала скучной, рутинной, стандартной вычислительной задачей.

А что Вы заканчивали?

Первоначально Физтех, потом еще..... В интернете есть Кругликов Борис Михайлович , вплоть до родословной. Меня тут все время голоса лишают

Опять то же. Зато мою систему легче составить- просто, что видишь, то переводишь на математический язык.   
Наши разногласия-следствие разного образования. Вар учили решать, меня учили переводить не формализованные реальные задачи на математический язык.

Если бы про меня сказали : типичное мнение типичного физтеха-был бы только горд.  
Насчет видений. Специально для Вас скопировал.  
Спасибо за помощь. Но можете еще помочь. Вот такая задача. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота CD. Найти стороны этого треугольника, если радиус окружности, вписанной в треугольник АВС равен 2, а периметр треугольника АСD равен 14,4. Я и ответ знаю, а решить никак не получается.

Вот пример. Задача 1. Окружность, вписанная в треугольник АВС, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне ВС. Известно, что ВС равно 11. Найдите сторону АВ. Решение. Высота треугольника ВН=66*2:11=12. Тогда радиус вписанной окружности r=12:4=3 (диаметр окружности равен половине высоты ВН, так как окружность касается средней линии). Полупериметр окружности р=S:r=66:3=22, то есть 0,5а+0,5в=22*2-11=33. Отсюда а+в=33, в=33-а. По теореме Герона S в квадрате=р*(р-а)(р-в)(р-11), то есть 66 в квадрате=22(22-а)(22-в)*11. Отсюда, учитывая, что в=33-а, получим (22-а)(а-11)=18. Решая это квадратное уравнение, находим а=13 или а=20.

Спасибо за помощь. Но можете еще помочь. Вот такая задача. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота CD. Найти стороны этого треугольника, если радиус окружности, вписанной в треугольник АВС равен 2, а периметр треугольника АСD равен 14,4. Я и ответ знаю, а решить никак не получается.

Вам задание — найти формулу радиуса вписанной окружности. Она даст Вам ключ к решению. А высота СВ — что о ней известно, кроме того, что она проведена?

Высота СВ, конечно.

Высота СВ, конечно.

Опять получилось СВ. Нужно СD

Формулу для радиуса я знаю. сумма катетов, минус гипотенуза, все это делить на два. Знаю, что радиусы и периметры относятся как коэффициент подобия для подобных треугольников. Пока это не помогло.

Эта формула Вам не пригодится — ведь Вам не известны ни гипотенуза, ни катеты. Ищите общую формулу, справедливую для любого треугольника. И что там насчет высоты. Ее длина задана или нет?

Я дал условие задачи, как мне дали. Длина высоты не дана.

Скажите ответ, надо кое-что проверить

Задачу я решила. Ответ6 а=6, в=8, с=10. Решается, как я и говорила составлением системы уравнений. Подробнее пока не могу. Убегаю. Но Вам все же советую подумать над формулой S=r*0.5P, где Р — периметр

Вы подтвердили ответ, который я знал. Но хочется решение, которое у меня никак не получается.

Вы назвали формулу радиуса r=a+b-c. Я ее все же использовала, хотя сначала отмела. Эта формула привела меня к уравнению а+в-4=[m]\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}[/m]

Из этого уравнения находим b=(8-4a)/(4-a) (догадываетесь, как? правильно, уравнение нужно было возыести в квадрат).

? поскольку коэффициент подобия между треугольником с гипотенузой а и треугольником с гипотенузой с равен [m]\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}[/m]. Вместо r подставляем 2.

В результате получим уравнение [m]{a}^{2}b:28.8=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}[/m]? откуда с учетом предыдущего, [m]{a}^{2}b:28.8=a+b-4[/m].

Сюда мы подставим выражение b из п.45 иполучим кубическое уравнение относительно а: [m]{a}^{3}[/m]-9/2[m]{a}^{2}[/m]+28.8а-57.6. Решая его, находим а

А решаем мы его богомерзким подбором, который решительно осужден в №43. (Или Вы настаиваете на формулах Кардано? :) )   
  
И, что самое ужасное, мы ищем рациональные корни — допущение ненамного менее сильное, чем спекуляции про целочисленность.  
  
А, самое главное, интересно, как долго придется делители перебирать, чтобы получить решение.  
  
То, что изложено в №40 — это геометрия, элементарнейшая, непонятно, что именно Вы комбинировали три часа. А решение системы из №40 — это безыдейные тождественные преобразования, неинтересные ни геометрически ни, даже, алгебраически.

Я и не пыталась Вас заинтересовать интересными преобразованиями. Я отвечала ученику, поскольку он, по-видимому, именно этих "неинтересных" преобразований и никак не мог выполнить. А в №40 изложены формулы (причем не мной), которые легли в основу преобразования.

Самое разумное, что можно сделать после этих формул — это написать крайнюю строчку №40 :)  
  
И, самое интересное, что бы Вы делали, если бы рациональных корней не нашлось — неужели стали честно решать бы кубическое уравнение? А если бы оно было не кубическим, а степени эдак 17-й? Всего делов-то — дать задачку про 10-ти угольник.

нет, конечно. Стала бы искать более простое решение

У задачи на 10-ти угольник общего положения не будет более простого решения.  
  
Также, как, по всей видимости, у исходной нет решения без кубических уравнений.

И малейшее изменение входных параметров повлечет кубическое уравнение без рациональных корней.

Записываем на математическом языке, что видим  
[m]r=\frac{a+b-c}{2}=2[/m] — условие задачи  
[m]{{p}\_{1}}=a+h+CD=14,4[/m] -условие  
[m]{{r}\_{1}}=\frac{h+CD-a}{2}[/m] — из рисунка  
[m]\frac{{{r}\_{1}}}{r}=\frac{a}{c}[/m] — из подобия треугольников  
Из этих соотношений следует непосредственно   
[m]{{p}\_{1}}-2r\frac{a}{c}=2a[/m]. Окончательно получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными  
7,2с-2а=ас  
а+b-c=4  
[m]{{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}[/m],  
Решением которой являются 6,8,10.

Да. есть некоторые проблемы с решением этой системы. Думаю, Татьяна Юрьевна поделится своими соображениями.  
Предлагаю, Татьяна Юрьевна собрать подборку геометрических задач, которые будем решать алгебраически, а другие геометрически. Интересно будет сравнить.

Возможно

А я сделал кое-что сам. Из двух последних уравнений системы КБМ я исключил b, получил уравнение квадратное относительно a с параметром с и решал его. Получилось, что доискриминант извлекается только при с=10. И не надо уравнение 3 степени. Оно у меня тоже получалось.

значит, все было не зря

Хотя Вы не правы. Кто Вам сказал, что дискриминант должен "извлекаться". Решение может быть иррациональным. Или докажите, что не может. Или решайте уравнение третьей степени

И, кстати, получается, что первое уравнение было совсем ни к чему, то есть не важно чему равен периметр треугольника АСD?