облагается ли налогом подаренная квартира в данном случае?

дядя дарит квартиру племяннице. 
что если дядя мой единственный родственник и являлся моим единственным опекуном, правда на данный момент я уже давно совершеннолетняя

налог не платится, если сделка оформляется между близкими родственниками. под близкими родственниками понимаются супруги, дедушки, бабушки, внуки, родители, братья, сестры, дети (в том числе усыновленные) . 
так что в вашем случае налог уплатить придется.

да, племянница должна заплатить налог на доходы

обязательно

да, это не близкое родство.