Ответы Mail.ru: Философский смысл одного предела

Философский смысл одного предела

В чём философский смысл того, что в точке или на бесконечности для функции/последовательности решили постановить, что предел должен быть один? Ведь изначально определение предела и строилось таким образом, чтобы согласно ему был лишь один предел. Но почему именно один предел? Что-то вроде того, что если мы бесконечно стремимся к одному пределу, то не можем при этом бесконечно стремиться к другому? А если стремимся к другому, то не можем стремиться к первому? Получается противоречие? Или в чём тут философский смысл?

Расскажите ещё про философский смысл.

Дополнен 1 год назад

Лучший ответ

Концепция пределов в математике является фундаментальным инструментом для понимания и анализа поведения функций и последовательностей. Идея заключается в том, что по мере того, как входное значение функции или индекс последовательности приближается к определенному значению, выходное значение или член последовательности стремится к определенному числу. Определение пределов, как оно обычно представляется, предполагает, что существует уникальный предел для любой данной функции или последовательности. Это связано с тем, что определение предела основано на идее сходимости, когда функция или последовательность становится произвольно близкой к определенному значению по мере приближения входных данных или индекса к определенному значению. Если бы существовало несколько ограничений, это означало бы, что функция или последовательность могут быть сколь угодно близки к нескольким различным значениям, что было бы противоречиво. Философский смысл этой идеи заключается в том, что она отражает основополагающую идею порядка и предсказуемости в математике. Предполагая, что существует только одно ограничение для функции или последовательности, это позволяет нам делать прогнозы о поведении функции или последовательности на основе входных данных или индекса. Эта идея дополнительно подкрепляется концепцией непрерывности, которая гласит, что функция непрерывна в точке, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Однако важно отметить, что бывают случаи, когда функция или последовательность могут иметь разные ограничения в зависимости от подхода к ней. Например, функция может иметь разные пределы в точке в зависимости от направления, с которого к ней приближаются, или последовательность может иметь разные пределы в зависимости от того, приближается ли она слева или справа. Эти случаи известны как односторонние пределы, и они являются более обобщенным понятием пределов. Таким образом, предположение, что существует только один предел для функции или последовательности, является математическим инструментом, который позволяет нам делать прогнозы и понимать поведение функции или последовательности, это отражает основную идею порядка и предсказуемости в математике, а также это способ упростить и обобщить концепцию пределов..

Остальные ответы

Смысл элементарный - это удобно! Теперь расшифрую. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если для всяких двух различных точек в нем существуют непересекающиеся окрестности этих точек. Есть такая простенькая теоремка. В топологическом пространстве всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел <=> пространство - хаусдорфово. Т.е. для нехаусдорфова пространства легко построить пример последовательности, которая имеет хотя бы два предела. Многие встречающиеся на практике топологические пространства являются хаусдорфовыми, в смысле хаусдорфовости они похожи на R. Всяко разные неудобные пространства в функане принято чинить до удобных - для этого есть процедуры пополнения, факторизации и т.п., и нехаусдорфово пространство тоже можно попробовать склеить по парам точек, на которых хаусдорфовость нарушается. Кто ж запрещает? Математики себе не враги, как удобно, так и поступают.

1 год

Ну я думаю определение предела в мат. анализе было введено задолго до этого.

1 год

Зубчик Рябчиков, лет за 100, или даже чуть меньше. Первым на языке эпсилон-дельта заговорил Больцано. Есть примеры топологических пространств, которые принципиально не хаусдорфовы, и при этом достаточно сложно устроены. Возникают они в некоей теории схем при изучении спектров колец. До второй половины 20 века за эту теорию схем всерьез никто не брался. А нынешние спецы по теории схем, наверное, на все грабли, возникающие при рассмотрении многозначных пределов, показать пальцем могут легко.

1 год

Тадасана, не поможете кое с чем? Просто сказать, это совсем чушь или нет? Вот есть частное 13/6 и нужно доказать его существование и единственность. Я решил делать так: 13/6=x0 <=> 6x0=13 x0=n0,n1n2n3...=n0+n1/10+n2/10^2+...+nk/10^k+... Можно показать, что если мы хотим, чтобы равенство 6x0=13 достигалось, то необходимо (но не достаточно), чтобы каждый из членов nk был наибольшим. Допустим такую ситуацию, что до этого мы брали наибольшие значения членов (nk'=maxnk) до какого-то момента. Т.е. имело бы место неравенство 6(n0'+n1'/10+n2'/10^2+...+nk'/10^k) ≤ 13. Предположим, что nk' (наибольший из возможных nk) мы подменяем nk (меньшим), но тогда получаем, очевидно: 6(n0'+n1'/10+n2'/10^2+...+nk/10^k) < 6(n0'+n1'/10+n2'/10^2+...+nk'/10^k) ≤ 13

1 год

Тадасана, Если бы мы при этом попытались "компенсировать" заменённый nk' изменением одного из левостоящих членов большим, то получили бы неравенство 6(n0'+n1'/10+n2'/10^2+...+nk/10^k) > 13. Если бы попытались компенсировать правостоящими членами, то получили бы 13 ≥ 6(n0'+n1'/10+n2'/10^2+...+nk'/10^k) > 6(n0'+n1'/10+n2'/10^2+...+nk/10^k+9/10^(k+1)+9/10^(k+2)+...) ≥ 6(n0'+n1'/10+n2/10^2+...+nk/10^k+n(k+1)/10^(k+1)+n(k+2)/10^(k+2)+...) То есть какие бы последующие за nk члены ни рассматривали, мы бы имели, что произведение оставалось меньше 13. В итоге получаем, что для возможного достижения равенства 6x0=13 каждый из членов nk обязан быть наибольшим.

1 год

Тадасана, Покажем, что при этом равенство достигается: Имеем неравенство 6(n0'+n1'/10+n2'/10^2+...+(nk'+1)/10^k) > 13. Откуда 13-6(n0'+n1'/10+n2'/10^2+...+(nk'+1)/10^k) < 0 <=> 13-6(n0'+n1'/10+n2'10^2+...+nk'/10^k) < 6/10^k. Но это значит, что разность в левой части способна становиться сколь угодно малой. Таким образом доказали существование частного 13/6 и однозначную определённость, т.е. то, что 13/6=x0=n0',n1'n2'n3'...

1 год

Зубчик Рябчиков, это не чушь, но надо понять, что всё это значит. 1) Определение действительного числа нам на данном этапе на фиг не нужно (их много разных эквивалентных, и что в учебниках матана оно чаще всего строится как конструктивное через теорию бесконечных десятичных дробей Вейерштрасса, будем считать удачным совпадением). Пока нам нужны _только!_ рациональные числа. 2) Обычные десятичные дроби согласимся считать бесконечными, дописывая в хвост период из нулей. 3) Бесконечную десятичную дробь будем понимать как последовательность рациональных чисел, например, 23.678(1) -> 2*10^1, 23*10^0, 236*10^1 и т,д. Тогда:

1 год

Зубчик Рябчиков, 1) всякая такая последовательность является фундаментальной последовательностью Коши (в терминах рациональных чисел - о действительных мы еще пока ничего не знаем, поэтому говорить о сходимости к действительному числу не имеем права). Еще она нестрого монотонна, для определенности пусть не убывает, на представления отриц, чисел десятичными дробями забьем 2) Всякая такая последовательность сходится (к рациональному числу) <=> она периодическая 3) Ну и разные периодические последвоательности сходятся к разным рац. числам, за исключением случая с периодом (0) или (9). Это есть в университетских учебниках матана. Можно взять 1 том Ильин, Сендова, Сдовнивничий и посмотреть там - в главе про определение действительного числа

1 год

Зубчик Рябчиков, оно есть в университетских учебиках - при построении конструктивного определения действительного числа по Вейрштрассу (т.е. черех бесконечные десятичные дроби) нужно же показать, что поле рациональных вложено в поле действительных, рациональные числа представляются десятичными дрьбями так-то и так-то, сложение рациональных дает одинаковый результат в смысле определения сложения чисел в Q и определения сложения чисел в R, упорядочены одинаково в смысле двух определений и т.п.

1 год

Зубчик Рябчиков, т.е., если вы хотите проделать всё это аккуратно, лучше стырить это прямо из учебника