Ответы Mail.ru: Весьма интересное уравнение 

Правда прикольное уравнение. Хотя ответ x = 0 и x = 1 уже дан, пока не было обоснования, почему это все вещественные корни и нет других. Поэтому хотелось бы предложить такое обоснование, чтобы работала схема «угадай, а потом докажи, что догадка исчерпывающая».

Я обозначу квадратный корень за f(x), а единица минус корень пятой степени — за g(x), подробнее — первая картинка. Тогда уравнение имеет вид

f

Утверждение. Всюду на

f

А тогда решениями на [0, 1] могут быть разве что x = 0 и x = 1.

Решений за пределами [0, 1] быть не может, потому что при x ≥ 1 функция g(x) возрастает, а f(x) — убывает (проверка через производную подкоренного выражения), поэтому если они и имеют пересечение, то лишь одно (в нашем случае — x = 1).

Теперь последняя тонкость — доказать утверждение о двойном неравенстве. Предлагаю два способа — через выпуклость и через школьную алгебру.

Способ 1. На [0, 1] функция f(x) строго вогнута (доказывается стандартным образом), а функция g(x) — строго выпукла (доказывается несколько сложнее). При этом у них есть общая хорда — отрезок прямой y = x при x от 0 до 1. Но график выпуклой функции всюду лежит не выше любой его хорды, а график вогнутой — наоборот. Что и требовалось доказать.

Способ 2. Неравенство f(x) > x на (0, 1) можно получить, сведя его к кубическому неравенству и убедившись с помощью производной, что у соответствующего уравнения только один вещественный корень — x = 1.

Неравенство x > g

(1 - t)⁴ (1 + t) < 1

(1 - t)³ (1 - t²) < 1

А это неравенство очевидно верно при всех t из (0, 1). Отсюда и получается нужное утверждение.