трудовой договор является бессрочным

 

вашим работодателем является не руководитель организации, а сама организация. руководитель является её представителем с определенным кругом полномочий. в том числе с правом от имени организации нанимать сотрудников и заключать с ними трудовые договоры. понятия и.о. как такового не в законодательстве. если это не руководитель, то в любом случае у такого лица должны быть либо полномочия в силу устава (там может быть указано, что на время отсутствия руководителя его функции исполняет и.о.), либо в силу доверенности. но в любом случае это лицо назначается в первую очередь участником общества, если это не сотрудник. если его назначил участник, то трудового договора может не быть (хотя это нарушение). если же нет ни одного из указанных документов, оформляющих полномочия и.о., то тогда большой вопрос к его правомочиям.

имеет ли право и.о. руководителя учреждения федеральной государственной структуры 

 

имеет, если это отражено в уставе организации или есть приказ о делегировании полномочий временно отсутствующего директора.

в школе уволился директор. исполняющим обязанности назначен заместитель.

 

это все решается на уровне учредителя образовательного учреждения. а никак не юристов сайта.

как правильно писать временно исполняющий обязанности руководителя или временно исполняющая обязанности руководителя,

 

здравствуйте. без разницы-напишите временно исполняющий[b]ий[/b]

руководитель отдела ушла в декрет, на её место назначен экономист исполняющим.

 

с какой формулировкой взять временно экономиста.
 если освободившуюся вакантную должность предполагается временно замещать одним из работников данной организации, работника с его письменного согласия можно временно перевести на эту должность, освободив от основной работы (ст. 72.2 тк рф). при этом необходимо издать соответствующий приказ и внести изменения в трудовой договор. срок такого перевода, до года.