Ответы Mail.ru: Как доказать, что параллелограм - выпуклая фигура?

А это смотря какое определение выпуклости вы используете и насколько много вы знаете о выпуклости множеств.

Если вы используете «школьное» определение (какую сторону многоугольника ни продли до прямой, весь многоугольник целиком окажется в одной из полуплоскостей, на которые эта прямая поделила плоскость), то, кажется, все очевидно

Если «взрослое» определение (множество вместе с любой парой точек содержит и отрезок, их соединяющий), то тут удобнее разбить доказательство в три шага

полуплоскость (то есть множество таких точек (x, y), что ax + by ≤ c) — выпуклое множество (легко доказывается по определению)
пересечение выпуклых множеств само выпукло (тоже очевидно)
параллелограмм — пересечение четырёх полуплоскостей (на рисунке — это полуплоскости ниже синей прямой, выше зеленой, выше фиолетовой и ниже розовой), поэтому по факту выше он тоже выпуклый

Наконец, третий путь. Любая точка параллелограмма является выпуклой комбинацией его вершин