Ответы Mail.ru: Существует ли всюду плотное множество на прямой такое, что расстояние между любыми двумя его точками иррационально?

eigenbasis (5479) 2 года назад

Пусть точка x из искомого множества. Тогда считаем ли мы расстоянием между точками множества число |x - x| = 0, то есть расстояние между x и x? Если да (точки-то в вопросе «любые из нашего множества»), то ответ очевидно отрицательный, даже без требования всюду плотности, потому что 0 — рациональное число.

Если в вопросе имелось в виду «между любыми различными точками», то он уже становится более интересным. Тогда нам точно не годится S = ℚ × {√2} (где умножение понимается в смысле Минковского)?
Множество S = ℚ × {√2} очевидно всюду плотно (потому что любая окрестность вещественного числа x/√2 изобилует рациональными числами, поэтому и любая окрестность x изобилует числами из S).
Теперь про расстояния. S состоит из чисел вида m√2 / n, где m — целое, а n — натуральное. Стало быть, модуль разности чисел из S имеет вид
|m_1 / n_1 - m_2 / n_2| √2 — а это очевидно иррациональное число при всех не совпадающих аргументах.

Это если вы имели в виду стандартное для ℝ расстояние d(x, y) = |x - y|. Если вы как-то иначе метризуете ℝ, основываясь на этой стандартной метрике, то, мне кажется, даже само ℚ может стать ответом на ваш вопрос. Опять же, смотря в каком конкретно метрическом пространстве мы работаем, если оно необязательно является стандартным.

Коржов Павел А. ХинчинВысший разум

2 года назад

Хм, все так просто оказалось? Умножение в смысле Минковского - я так понял, просто обычное попарное вмножение элементов первого множества с элементами второго? Да, я имел в виду стандартную метрику на R.

Арам и Абрам, братья Ивановы (2662) 2 года назад

Например, множество чисел вида e·x, где х -положительные алгебраические числа.
Это множество всюду плотно: для любых таких чисел x>y число 0.5·(x+y) в силу полевой структуры множества также является алгебраическим числом и e·y<e·0.5·(x+y)<e·x
Разность (расстояние) e·x-e·y=e·(x-y) , а число e·(x-y) трансцендентно, значит и иррационально