質數分解域

**質數分解域**（Unique factorization domain）係一種代數結構，屬環論之下。

質數分解域只係將質數分解入面可以將數字分解做質數同質數表示嘅獨有性應用喺代數入面。佢可以引伸出一條好重要嘅定理，就係質數分解域定理：「所有嘅單點環倍數域都係一個質數分解域。」

## 歷史
「可唔可以喺一個域入面做因式分解？」呢個問題係由數學家拿米（Gabriel Lamé）證明緊費馬最後定理（Fermat Last Theorem）中途而提問。費馬最後定理講嘅係當n\geq2，x^n+y^n=z^n係無整數嘅解。呢條定理係好難證明，就算將n=p，p係單數或質數都係好難證明。

喺1847年3月1號嘅巴黎學術會議，拿米話自己成功證明到費馬最後定理，重將自己嘅證明步驟演譯一次。拿米嘅諗法係將x^p+y^p分解成虛數多項式，即係x^p+y^p=(x+y)(x+\alpha y)(x+\alpha^2 y)\cdots(x+\alpha^{p-1}y)，\alpha係第p個始根。之後，佢覺得所有因數都係相對質數同時，如果x^n+y^n=z^n，每一個p因數都一定係有p咁多次方。如果x',y',z'都係細過原來嘅三個數嘅組合，因為呢個假設會推論出有一條無限長嘅遞減正整數數列，咁佢就可以證明出呢條定理。

但係另一個數學家Joseph Liouville質疑佢嘅諗法。每一個相對質數嘅因數係p次方，因為每一個佢哮嘅積係根據「所有整數都可以分解成質數，而呢個質數分解係獨有嘅」。Liouville提出點解佢可以做質數分解。雖然拿米好想解決佢呢個問題，但係喺5月24號，Liouville發現Ernst Kummer喺1844年已經證明咗「\Z[\alpha]係唔可以做質數分解」，呢個\alpha係拿米提議嘅第23個根。

直到1994年，數學家Andrew Wiles利用代數幾何嘅技巧證明出費馬最後定理。

## 可除性

### 定義
設a,b\in\textbf{R}。

如果有一點c\in\textbf{R}符合，ac=b，咁一般會叫b被a除，或者叫a除b，a|b。

同埋，一般會叫a做b嘅**因數**（Factor/divisor），b係a嘅**倍數**（Multiple）。

### 相關定義
如果b唔可以被a整除，咁會用a\not|b嚟表示。

如果b=ac同埋b或者c係\textbf{R}嘅可逆元素（Unit），咁會叫b做a嘅**正因數**（proper factor）。

### 相等定義
如果a,b\in\textbf{R}，a|b同埋b|a成立。一般會話a\sim b係相等。

同時，
* a\sim b係等價關係；
* 如果\textbf{R}係一個域，咁a\sim b\iff a=bu，對應有一啲u\in\textbf{R}^\times。

證明：

\begin{cases}
a|b \implies ac_1=b\\
b|a \implies a=bc_2
\end{cases}

\implies \begin{align} 
a &=bc_2 \\
ac_1&=bc_2c_1 \\
 b&=bc_2c_1 \\
 b^{-1}b&=b^{-1}c_2c_1 \\
1&=c_2c_1

\end{align}

所以c_1,c_2\in\textbf{R}^\times。

## 質數同不可分解數
討論質數分解域會利用\textbf{R}\backslash(\textbf{R}^\times\cup\{0\})嚟代表**非零非單位**（non-zero non-unit）呢樣嘢。

如果a\in\textbf{R}\backslash(\textbf{R}^\times\cup\{0\})：
* a係**不可分解數（Irreducible）**如果佢無任何因數。
* a係**質數（Prime）**如果對應任何係\textbf{R}入面嘅嘢，\forall\text{ }b,c \in\textbf{R}，同時a|bc，咁a|b或者a|c。

### 例子
* 喺\Z（或者\textbf{F}[x]）入面，質數=不可分解數。
* 喺\Z_6，2係一個質數，但係唔係不可分解數，因為2=2\times4。（基本上，質數未必係不可分解數。）

## 環倍數性質
如果用**[[環倍數]]**（Principal Ideal）解釋以上呢幾件事，可以得出以下五個性質：
# a|b \iff \langle b\rangle\subseteq\langle a\rangle
# a\sim b\iff \langle a\rangle=\langle b\rangle
# u\in\textbf{R}^\times\iff\langle u\rangle=\textbf{R}
# a\in\textbf{R}\backslash(\textbf{R}^\times\cup\{0\})係質數\iff\langle a\rangle係質數。
# 任何一個**[[域 (數學)|域]]（Integral Domain），**a\in\textbf{D}\backslash(\textbf{D}^\times\cup\{0\})係**不可分解數（Irreducibe）**\iff\langle a\rangle係最大嘅環倍數。

證明：

a|b \iff b\in\langle b\rangle\iff\langle b\rangle\subseteq\langle a\rangle

(1)\implies(2)

睇最大環倍數

(\Rightarrow)如果a係質數，設bc\in\langle a\rangle。

bc\in\langle a\rangle\iff a|bc\implies a|b \quad(\iff b\in\langle a\rangle)\text{ or }a|c\quad (\iff c\in\langle a\rangle)

(\Leftarrow)如果\langle a\rangle係質數。

a|bc \iff bc\in\langle a\rangle \implies b\in\langle a\rangle\text{ or }c\in\langle a\rangle

(\Rightarrow) 假設a係不可分解數。

\begin{align}
\langle a\rangle \subsetneqq \langle b\rangle\subset\textbf{D} &\implies b|a \text{ and } b\nmid a\\
&\implies a=bc \\
&\implies b\in\textbf{D}^\times\\
&\implies \langle b\rangle=\textbf{D}
\end{align}

第二步，對應一啲c\in\textbf{D}\backslash\textbf{D}^\times。 

(\Leftarrow)假設\langle a\rangle係最大環倍數，設a=bc。

得出\langle a\rangle\subset\langle b\rangle\subset\textbf{D}同埋\langle a\rangle\subset\langle c\rangle\subset\textbf{D}；

因為\langle a\rangle係最大，所以一係\langle a\rangle=\langle b\rangle或者\langle a\rangle=\langle c\rangle。

\langle a\rangle=\langle b\rangle：\implies a\sim b \implies c\in\textbf{D}^\times

\langle a\rangle=\langle c\rangle：\implies a\sim c \implies b\in\textbf{D}^\times

所以\textbf{D}係一個**域（Integral Domain）**。

## 域性質
假設\textbf{D}係一個**域（Integral Domain）**，咁質數\implies不可分解數。

如果\textbf{D}係**[[單點質數域]]（PID）**，咁質數=不可分解數。

證明：

設a\in\textbf{R}\backslash(\textbf{R}^\times\cup\{0\})係質數。假設a=bc。

咁a|bc\implies a|b\text{ or } a|c。

所有嘢都約到最簡，如果a|b，咁b=ar，對應一啲r\in\textbf{D}。

咁a=arc\implies rc=1\implies c\in\textbf{D} 

假設a係不可以分解數。

因為\textbf{D}係PID，利用環倍數性質(5)，

\implies\langle a\rangle喺\textbf{D}入面係最大

\implies\langle a\rangle係質數

\implies a係質數

### 例子
* \Z[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}|a,b\in\Z\}係一個域，因為佢係\C入面嘅一個子環。係\Z[\sqrt{-5}]入面，3係不可分解數。3|3^2=9=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{5})，但係3\not|(2\pm\sqrt{-5})，所以3唔係質數。

## 質數分解域定義
一個**域**（Integral Domain） \textbf{D}係一個**質數分解域**（Unique Factorization Domain，UFD），如果佢符合以下兩個性質：
* **存在質數分解**（Existence）：每一粒a\in\textbf{D}\backslash(\textbf{D}^\times\cup\{0\})都係有限咁多粒不可分解數嘅積。
* **分解獨有性**（Uniqueness）：如果c_1c_2\cdots c_n=d_1d_2\cdots d_m都係a\in\textbf{D}\backslash(\textbf{D}^\times\cup\{0\})嘅質數分解，咁m=n，加埋排返好序對應所有i=1,2,\cdots,n ，c_i\sim d_i。

注意：喺UFD入面，質數=不可分解數。

### 例子
* \Z係UFD。
* \Z[\sqrt{-5}]唔係UFD。

## 睇埋
* 環倍數
* 最大環倍數
* 單點環倍數
* 單點環倍數域
* 質數分解域定理
* 歐幾理得域