羣

**羣**（）係數學上一種代數結構。一個羣係一個集，喺上面定義一種運算（一般叫佢做「乘法」，不過唔一定係，多數時候都唔係指四則運算嘅「乘法」），要令到集裏面任意兩個元素進行運算，結果仍然係呢個集嘅元素。羣必須符合結合性質、恆等性質同可逆性質。

## 定義

如果有一個叫G嘅Set，我想佢係喺一個羣，就需要有一個二元運算（Binary Operation）「•」，（多數叫佢做乘，因為係用一點嚟表示）。而Set入面嘅嘢同個運算，需要符合以下幾個條件：
* **[[綁住/包住|閉合性質]]（Closure）**：\forall a,b \in G, a\cdot b\in G。意思係，喺G入面求其搵兩粒嘢出嚟「乘」埋佢，「乘」完出嚟嘅嘢要係喺返G入面。
* **[[結合性質]]（Associative）：**\forall a,b,c \in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)。意思係，無論有幾多粒嘢，點樣乘都無問題，做左前面先又得，做左後面先亦得。
* **[[恆等性質]]（Identity）**：\exist\text{ }e \in G \text{, such that }\forall a\in G, a\cdot e=e\cdot a=a。意思係，嗰堆嘢入面一定要有一粒嘢叫e或者叫\underline{1}又或者叫identity，佢乘咩嘢都無變嘅。
* **[[可逆性質]]（Invertibility）**：\forall a\in G, \exist\text{ }a^{-1}\text{ such that }a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e。意思係，嗰堆嘢入面，每一粒嘢，都會有對應嘅另一粒嘢，佢哋乘埋會變返做e。

咁如果一個set，再畀多個運算佢，又咁啱符合嗮以上條件，咁個set加埋呢個運算呢就係一個group，寫成(G,\cdot)。

以上並唔要求\forall a,b \in G, a\cdot b=b\cdot a，即係前後調位乘埋唔一定一樣。但如果呢條式都啱嘅話，咁呢個羣就叫做阿標羣（Abelian group）。

## 例子
### 整數羣
整數係第一個識得嘅羣。整數嘅集，係寫成\Z，佢入面裝住所有嘅整數，即係\{0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\dots\}。因為羣需要一個運算，所以就畀咗個加法佢。咁就需要證明(\Z,+)係一個羣。

# **Closure：**（**<math>\forall a,b \in G, a\cdot b\in G</math>**）假設\Z入面其中兩個元素，叫做a同b。由於a+b得出嘅係整數，而\Z係包齊曬所有整數。所以a+b\in\Z。
# **Associative：**（**<math>\forall a,b,c \in G, (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)</math>**）假設\Z入面揀任何三個元素，叫做a、b同埋c。做加法嗰時，做完a+b先再加c，同做完b+c之後再加a，兩個結果係一樣嘅。所以(a+b)+c=a+(b+c)。
# **Identity**：（**<math>\exist\text{ }e \in G \text{, such that }\forall a\in G, a\cdot e=e\cdot a=a</math>**） 是旦搵一個元素，佢搞完（即係加）其他元素，佢都係無變嘅，咁呢個「其他元素」就係0。因為0加任何嘢，都等於無加過嘢。
# **Invertibility**：（**<math>\forall a\in G, \exist\text{ }a^{-1}\text{ such that }a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e</math>**） 每一粒喺\Z入面嘅元素，都係有另一半，而佢同佢另一半加埋之後，會變做0。一個元素a，佢嘅另一半就係(-a)，佢哋加埋就會變做0。

### 幾何變換
譬如話，喺\R^n上有個圖形，對呢個圖形所進行嘅平移、旋轉等變換構成一個群。

:注意，呢個群嘅元素唔係數，而係變換（即係映射）；運算唔係加減法，而係映射嘅複合。群只需定義一種運算，而且唔要求交換律成立，所以佢嘅應用廣泛過其他代數結構（例如域要定義加法、乘法兩種運算）。不過亦有交換群。

### 常見例子

## 性質
由定義入面可以睇到群嘅第一個性質就係：「如果一個群符合\forall a,b \in G, a\cdot b=b\cdot a要求，咁樣呢個群就係阿標群。」，但係群都有其他性質：
* 用域（Field）入面非零嘅噖，加一般既乘法整成嘅群，就會係一個一般乘法嘅阿標群。
* 用環（Ring）入面嘅野，加一般加法整成嘅群，就會係一個一般加法嘅阿標群。

其他有關群入面嘅嘢嘅性質。以下都假定G係個群同埋a,b,c\in G都係G入面嘅嘢。
# 如果a\cdot b=a\cdot c係G入面成立，咁b=c。對應既係，如果ba=ca，咁b=c。
# 每一個G入面，只係得一粒e。
# 每一粒a，佢嘅a^{-1}都係得一粒。
# (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}
# (a^{-1})^{-1}=a
# 對應任何整數m,n\in\Z，a^m\cdot a^n=a^{m+n}同(a^m)^n=a^{mn}都會成立。

### 證明

因為a\cdot b=a\cdot c喺G入面成立，咁一定會有一個a^{-1}係G入面，咁即係\begin{align}
a\cdot b &= a\cdot c\\
a^{-1} \cdot (a\cdot b) &= a^{-1} \cdot (a\cdot c)\\
(a^{-1} \cdot a)\cdot b &= (a^{-1} \cdot a)\cdot c\\
e \cdot b &= e \cdot c\\
b &= c
\end{align}

假設有兩個e,e'\in G。

咁因為e係恆等，所以e\cdot e' = e'\cdot e=e。

而因為e'係恆等，所以e'\cdot e = e\cdot e'=e'。

由上面兩條式睇到，e=e'。

假設a\in G，同時有兩粒m,m'符合a\cdot m=e，a\cdot m'=e。

咁得出，a\cdot m = e = a\cdot m'。

利用(1)嘅結果，得知m=m'。

假設a,b\in G。\begin{align}
(ab) \cdot (ab)^{-1} &= e\\
b\cdot (ab)^{-1} &= a^{-1}\\ 
(ab)^{-1} &= a^{-1}\cdot b^{-1}
\end{align}

假設a\in G。\begin{align}
a^{-1} \cdot (a^{-1})^{-1} &= e\\
 (a^{-1})^{-1} &= a\\
\end{align}

## 有限群同基數
基數（Order）係群嘅一個概念，佢同集嘅基數（Carnality）嘅意思一樣，都係指一個群入面嘅嘢嘅數量。不過群嘅基數亦可以應用喺群入面嘅嘢度。

### 定義(有限群)
假設G係一個群。如果G係**有限群（Finite Group or Finite Order）**，即係話佢入面只係得有限嘅元素（嘢）。

G入面嘅嘢嘅數量會叫做G**嘅基數（Order of G）**，一般會用|G|嚟表示。

如果G入面嘅嘢係無限咁多，會將G叫做**無限群（Infinite Order）**。

### 定理
如果有G同H兩個群。將\circ定義為一個係G\times H入面嘅運算，而呢個運算係咁嘅(g,h)\circ(g',h')=(g\cdot g',h\cdot h')咁樣G就係一個群。

如果G同H都係阿標群，咁G\times H都係阿標群。

如果G同H都係有限群，咁G\times H都係，而且|G\times H|=|G||H|。

### 定義(元素基數)
設G係一個群，g\in G係G入面嘅一粒嘢。

如果g係**有基數**（Finite Order），即係話，對應一啲嘅正整數k\in\Z^{+}，g^k=e。

一般，會將最細嘅正整數n\in\Z^+，符合g^n=e，叫做**<math>g</math>嘅基數**（Order of the element g）。

一般會寫做，|a|=n，g嘅基數係n。

如果g係**冇基數**（Infinite Order），即係話，對應所有嘅正整數k\in\Z^+，g^k\neq e。

### 性質
以下假設咗G係一個群，而g係G入面嘅嘢。
# 如果g係冇基數，咁每一粒g^k都係唔同嘅（唔相等嘅），k\in\Z^+係正數。
# 如果g係有基數，而佢嘅基數係n，咁g^k=e\iff n|k同埋g^i=g^j \iff i\equiv j \mod n。
# 如果g係有基數，而基數係n=td，咁g^t嘅基數係d。
# 如果g^i=g^j,i\neq j，咁g就有基數。

**證明**

利用否定證明，證明如果有g^k係相等，咁即係g係有基數。

假設g^i=g^j,j>i。

\begin{align}
g^i &= g^j\\
g^{-i} \cdot g^i &= g^{-i} \cdot g^j\\
e &= g^{j-i}
\end{align}

咁即係g係有基數。

假設g嘅基數係n。

因為n|k，所以nt=k。

g^k=g^{nt}=(g^n)^t=e^t=e

上面證明咗，如果k係n嘅倍數，咁g^k=e。

利用(1)嘅證明得知，j-i係n嘅倍數。

利用同餘定義，i\equiv j\mod n。

假設g嘅基數係n=td。

\begin{align}
g^n &= e\\
g^{td} &= e\\
(g^t)^d &= e\\
(g^t)\cdots\text{ d times }\cdots(g^t) &= e
\end{align}

所以g^t嘅基數係d。

## 應用
利用上面嘅概念同性質，可以證明出更多嘅定理。以下都假設G係一個群，g,a,b,c都係G入面嘅剐。
# 如果g^2=g，咁g=e。
# 如果ab=e，咁ba=e。
# 如果G係阿標群，咁(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}係一定成立。「\iff」
# 如果G嘅基數係2，咁G就係一個阿標群。「即係話，|G|=2\iff g=g^{-1}」
# 只會得一粒g係符合agb=c。
# |g|=|g^{-1}|
# 如果|G|係雙數，咁G入面就會有粒嘢嘅基數係2。

## 睇埋
* 子群
* 積群
* 群轉換

## 參考