三角形

**三角形**係由三條線段順次首尾相連，組成嘅一個閉合嘅平面圖形，係最基本嘅多邊形。

一般用大寫英文字母A、B同C為頂點標號。用小寫英語字母a、b同c表示邊；\alpha、\beta同\gamma或者頂點標號表示角。

## 基本概念
* 中線：三角形一邊中點同呢邊所對定點嘅連線段。
* 高線：由三角形一個頂點向佢嘅對邊所作嘅垂線段。
* 角平分線：平分三角形一角、一個端點喺呢一角嘅對邊上嘅線段。
* 中垂線：通過三角形一邊中點同該邊所垂直嘅線段，又叫做垂直平分線。

## 性質
### 定理
* 三角不等式：
** 三角形兩邊嘅和大過第三邊，兩邊之差嘅絕對值小過第三邊。如果兩者相等，就係退化三角形。
** 三角形任意一個外角大過唔相鄰嘅一個內角。

* 畢氏定理（又叫做畢達哥拉斯定理）同埋勾股逆定理：
** 當直角三角形ABC嘅三頂點A、B、C所對嘅三邊分別為a、b、c，a^2+b^2=c^2（當角C=90°）。

* 正弦定理（R係三角形外接圓半徑）：
** \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}=2R

* 餘弦定理：
** a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos (\alpha)
** b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos (\beta)
** c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos (\gamma)

### 角度
三角形兩隻內角嘅和，等於剩落嚟嘅一隻外角。

喺歐幾里德平面內，三角形嘅內角和等於180°。

## 分類
### 銳角、鈍角三角形
鈍角三角形其中一隻角係鈍角（＞90°）嘅三角形，其餘兩角都＜90°。

銳角三角形嘅所有內角都係銳角（＜90°）。

### 直角三角形
有一個角係直角（＝90°）嘅三角形為**[[直角三角形]]**。

成直角嘅兩條邊稱為**[[直角邊]]**（**cathetus**），直角所對嘅邊係**[[斜邊]]**（**hypotenuse**）；或最長嘅邊稱為**弦**，底部嘅一邊稱作**勾**（又作**句**），另一邊稱為**股**。

可以透過唁同角度嘅直角三角形各邊嘅比求得銳角三角函數。

### 等邊三角形

**[[等邊三角形]]**（又叫**正三角形**），係三邊相等嘅三角形。三個內角相等，都係60°。佢係銳角三角形嘅一種。當佢嘅邊長係a，面積公式就係\frac{\sqrt 3}{4}a^2。

等邊三角形係正四面體、正八面體同正二十面體呢三個正多面體面嘅形狀。六個等邊三角形可以拼成一個正六邊形。

### 等腰三角形

等腰三角形係三條邊中有兩條邊相等（或者其中兩隻內角相等）嘅三角形。等腰三角形中嘅兩條相等嘅邊被稱為**腰**，而另一條邊被稱為**底邊**，兩條腰交叉組成嘅嗰個點被稱為**頂點**，佢哋組成嘅角被稱為**頂角**。

等腰三角形嘅重心、中心同垂心都位於頂點向底邊嘅垂線上。

等腰三角形嘅底嘅垂直平分線，啱啱亦係對應角嘅角平分線。

等邊三角形係等腰三角形嘅一個特殊形式。

### 退化三角形
退化三角形係指面積係零嘅三角形。滿足下列條件之一嘅三角形就可以稱為退化三角形：三個內角嘅度數為（180°,0°,0°）或（90°,90°,0°）；三邊其中一條邊嘅長度為0；一條邊嘅長度等於另外兩條嘅和。有人認為退化三角形唔算係三角形，咁係由於佢介乎於三角不等式之間，喺一啲資料中已否定咗其中一條邊等於其餘兩條邊嘅和嘅情況。

## 特性
三角形具有穩定性，若果兩個三角形有以下嘅邊角關係，佢嘅形狀、大細就唔會變，兩個三角形就係全等三角形。
* SSS（Side-Side-Side、邊、邊、邊）：各三角形嘅三條邊嘅長度都對應地相等。
* SAS（Side-Angle-Side、邊、角、邊）：各三角形嘅其中兩條邊嘅長度對應地相等，而且兩條邊夾住嘅角對應地相等。
* ASA（Angle-Side-Angle、角、邊、角）：各三角形嘅其中兩個角對應地相等，而且兩條邊夾住嘅邊對應地相等。
* RHS：喺直角三角形中，斜邊同埋另外一條直角邊對應地相等。
* AAS（Angle-Angle-Side、角、角、邊）：各三角形嘅其中兩個角對應地相等，而且其中一組對應角嘅對邊亦對應地相等。

AAA（Angle-Angle-Angle、角、角、角）只可以保證兩個三角形相似，唔可以保證全等。SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）亦唔可以保證兩個三角形全等。

## 面積
### 已知兩邊同埋其夾角
當a、b係所知嘅兩邊，C係個夾角，三角形面積係S=\frac{1}{2}ab\sin{C}。

### 已知底同高

S=\frac{1}{2}bh，即底×高÷2。因為兩個相同嘅三角形砌到一個平行四邊形。

### 已知三邊長
希羅公式（又稱**海倫公式**、**海龍公式**）：
當p等於三角形三邊和嘅一半：
:p=\frac{a+b+c}{2}
則
:S = \sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}
代入後就係：
:S = \frac{1}{4} \sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}

秦九韶亦求過類似嘅公式，稱為**三斜求積法**：
:\sqrt{\frac{1}{4} \left(c^2a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right) }

基於希羅公式喺三角形擁有非常細嘅角度嗰時並唔係數值穩定，有一個變化嘅計法。當a ≥ b ≥ c，三角形面積為\frac{1}{4} \sqrt{(a+(b+c))(c-(a-b))(c+(a-b))(a+(b-c))}

### 喺[[坐標系]]中已知三頂點座標
由(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)三個頂點構成嘅三角形，面積就係：

\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1 \\x_2 & y_2 & 1 \\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}

### 任三角形外心同內心半徑算面積法
若果已知三角形面積為x，三邊邊長分別為a、b、c，s係三角形周長（a+b+c）內心半徑（r）：
:x=\frac{1}{2}sr

外心半徑（R）：
:x=\frac{abc}{4R}

## 半形定理
喺三角形  ABC\,中，
三個角嘅正切同三邊有以下關係：
: \tan \frac{A}{2}=\frac{1}{b+c-a}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

: \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{a+c-b}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

: \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{a+b-c}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

證明：
: \tan \frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}

因為： \sin \frac{A}{2}>0

: \cos \frac{A}{2}>0 

所以： \sin \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1-\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)} 

:=\sqrt{ \frac{a^2+{\left(b-c\right)}^2 }{4ac}}

:=\sqrt{ \frac{\left(a+b-c\right) \left(a+c-b\right)}{4ac}}

而： \cos \frac{A}{2}=\sqrt{ \frac{1+\cos{A}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}

:=\sqrt{ \frac 

:=\sqrt{ \frac{\left(b+c+a\right) \left(b+c-a\right)}{4ac}}

所以： \tan \frac{A}{2}=\frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{\sqrt{\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4ac}}}{\sqrt{\frac{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4ac}}}=\sqrt{\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{\left(b+c+a\right)  \left(b+c-a\right)  }}

即： \tan \frac{A}{2}=\frac{1}{b+c-a}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

同理可得
: \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{a+c-b}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

: \tan \frac{C}{2}=\frac{1}{a+b-c}\sqrt{\frac{\left(b+c-a \right) \left(a+c-b \right) \left(a+b-c \right)}{a+b+c}}

### 用三角形嘅三邊表示角平分線長度
當喺三角形  ABC\,中，已知三邊  a \,，  b \,，  c \,，若果三個角  A \,,
:  B\,，  C\,嘅角平分線分別係  t_a\,，  t_b\,，
  t_c\,，就用三邊表示三條內角平分線長度公式為
:  t_a=\frac{1}{b+c}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)bc}

:  t_b=\frac{1}{a+c}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+c-b \right)ac}

:  t_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(a+b-c \right)ab}

## 其他三角形有關嘅定理
* 拿破崙三角形
* 費馬點
* 歐拉線
* 梅涅勞斯定理

## 三角形嘅五心

垂心（藍）、形心（黃）同外心（綠）能連成一線，稱為歐拉線。

## 外接圓同內切圓半徑
 R=\frac{abc}{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}

: r=\frac{\sqrt{\left(a+b+c \right)\left(b+c-a \right)\left(a+c-b \right)\left(a+b-c \right)}}{2\left(a+b+c \right)}

## 睇埋
* 三角學
* 多邊形