算術

**算術**，或者**算數**，舊時又有叫**算法**，係數學最古老同簡單嘅一個分支，幾乎每個人都用得著，常用嘅運算有加、減、乘、除。去到20世紀初期，啲人都用算術同高等算術作爲數論嘅同義詞。依家，數論同其他範疇，例如代數、幾何、分析等等組成咗所謂嘅高等數學。日常生活上簡單計數到高深嘅科學及工商業計算都會用得到算術。

## 公理基礎
算術嘅公理基礎想搵若干條公理，等所有數字嘅基本性質同運算都可以由呢啲公理推到出嚟。呢啲公理整到一個邏輯一致又有系統嘅框架，可以用嚟嚴謹咁寫數學證明。大家好熟悉嘅兩個方法係皮亞諾公理同集合論建構。

皮亞諾公理幫自然數算術整咗個公理化系統。呢啲基本原則一開始係理查德·戴德金諗出嚟，跟住朱塞佩·皮亞諾再改進吓。佢哋淨係用少少原始數學概念，好似0、自然數同後繼。 皮亞諾公理話明呢啲概念點樣連埋一齊。其他算術概念都可以用呢啲原始概念嚟定義。

# 0係個自然數。
# 每個自然數都有個後繼，而呢個後繼都係自然數。
# 兩個唔同自然數嘅後繼永遠唔會撞正。
# 0唔係任何自然數嘅後繼。
# 如果一個集合有0同每個後繼，咁佢就乜都有曬。

大過0嘅數就係重複用後繼函數 s 嚟到表示。譬如，1 就係 s(0)，而 3 就係 s(s(s(0)))。算術運算可以話係點樣影響後繼函數用法嘅機制。好似喺任何數字加 2 就等如對嗰個數字用兩次後繼函數。

好多算術公理化都要靠集合論。佢哋包括自然數，仲可以擴展到整數、有理數同實數。每個自然數都有個特定嘅集合嚟代表。0通常當做空集 \varnothing。每個之後嘅數就可以定義做前一個數同包住前一個數嘅集合嘅聯集。譬如，1 = 0 \cup \{0\} = \{0\}，2 = 1 \cup \{1\} = \{0, 1\}，同埋 3 = 2 \cup \{2\} = \{0, 1, 2\}。 整數可以當做自然數嘅有序對，第二個數要由第一個數減走。好似 (9, 0) 就代表數字9，而 (0, 9) 就代表數字-9。 有理數就係整數嘅對，第一個數做分子，第二個數做分母。譬如，(3, 7) 就代表有理數 \tfrac{3}{7}。 整實數嘅一種方法就係用戴德金分割嘅概念。照呢個方法，每個實數都用所有有理數嘅集合劃分嚟表示，分做兩個集合，一個裝住所有細過呢個實數嘅數，另一個就裝住剩低嘅數。 算術運算就係啲函數，呢啲函數對表示輸入數字嘅集合做各種集合論變換，搞到最尾得到表示結果嘅集合。

## 歷史

最早嘅算術形式可以追溯到用嚟計數同埋計數記號嘅使用。有啲歷史學家認為勒邦波骨（大概係4萬3千年前嘅嘢）同埋伊尚戈骨（大概係2萬2千到3萬年前嘅嘢）係最早嘅算術文物，不過呢個講法都有人質疑。但係，人類對數字嘅基本認知可能更加早，甚至可能早過語言嘅發展。

直到古代文明出現嘅時候，算術先開始有更加複雜同埋有系統嘅發展，大概係公元前3000年左右開始。呢個係因為要記錄庫存、管理土地所有權同埋安排交易等需求增加。所有主要嘅古代文明都發展咗非位值數字系統，方便表達數字。佢哋仲有加減等運算嘅符號，仲識得用分數。例如埃及象形文字，和蘇美爾、中國同印度發明嘅數字系統。巴比倫人喺公元前1800年左右發明咗第一個位值數字系統。呢個系統比之前嘅數字系統好咗好多，因為佢可以更加有效率咁表示大數目同埋計算。算盤喺古代就已經用嚟做手動計算工具，可以好快咁做複雜計算。

早期文明主要係用數字嚟做實際嘅用途，好似做生意同埋計稅，但係冇抽象數字嘅概念。到咗古希臘數學家嗰陣，先至開始研究數字嘅抽象本質，唔係單單研究數字點樣用喺特定問題度。佢哋仲用證明嚟建立數學真理同埋驗證理論。佢哋仲將數字分成唔同類型，例如偶數、奇數同埋質數。佢哋仲發現某啲幾何長度嘅數係無理數，唔可以用分數嚟表示。泰勒斯同埋畢達哥拉斯喺公元前7世紀同6世紀嘅工作，通常被認為係希臘數學嘅開端。狄奧番托斯喺公元前3世紀係希臘算術嘅重要人物，因為佢喺數論方面有好多貢獻，仲研究咗算術運算點樣應用喺代數方程度。

古印度人係第一個發展出零作為可以用嚟計算嘅數字。大概喺公元628年左右，婆羅摩笈多寫低咗零嘅具體運算規則。零或者冇嘅概念早就有，但係之前冇當佢做算術運算嘅對象。婆羅摩笈多仲詳細討論咗負數嘅計算同埋佢哋點樣應用喺借貸等問題度。負數嘅概念其實更加早，喺公元前第一個千年嘅中國數學度已經有探討。

印度數學家仲發展咗而家用緊嘅十進制位值系統，特別係用零嚟代表空位或者缺失嘅位置。例如，阿耶波多喺公元6世紀初就詳細講解咗呢個系統嘅運算。伊斯蘭黃金時代嘅阿拉伯數學家，好似花拉子米，將印度十進制系統再改良同擴展到非整數。佢嘅工作對於將十進制數字系統引入西方世界有好大影響，嗰陣西方仲用緊羅馬數字系統。喺西方，呢個系統係由好似12、13世紀嘅斐波那契等數學家推廣，佢仲發明咗斐波那契數列。喺中世紀同文藝復興時期，有好多教科書出版，講解商業計算嘅實際操作。算盤喺呢個時期都變得好普及。16世紀嗰陣，數學家卡爾丹諾提出咗複數嘅概念，用嚟解三次方程。

17世紀發明咗第一批機械計算器，好大程度上方便咗複雜嘅數學計算，例如帕斯卡嘅計算器同萊布尼茨嘅步進計算器。17世紀仲有納皮爾發現咗對數。

喺18同19世紀，歐拉同高斯等數學家為現代數論奠定咗基礎。呢個時期仲有人研究算術嘅形式化同基礎，例如康托嘅集合論同埋用嚟公理化自然數算術嘅皮亞諾公理。20世紀先發明電腦同電子計算器。佢哋嘅廣泛使用徹底改變咗複雜算術計算嘅準確度同速度。

## 喺唔同嘅範疇

### 教育

算術教育係小學教育嘅一部分。佢係細路仔接觸嘅第一種數學教育。基礎算術嘅目標係俾學生對數字有基本概念，同埋熟悉加減乘除呢啲基本數學運算。 通常會透過具體嘅情景嚟介紹，例如數珠仔、將班房分成相同人數嘅組，同埋計算買嘢找續。早期算術教育常用嘅工具包括數線、加法同乘法表、數塊同埋算盤。

後期階段就會集中喺更抽象嘅理解，同埋介紹學生唔同類型嘅數字，好似負數、分數、實數同複數。佢哋仲會涵蓋更高級嘅數學運算，例如冪運算、開方同對數。 佢哋仲會示範點樣喺其他數學分支使用算術運算，好似佢哋喺描述幾何圖形同代數使用變量嘅應用。另一個方面就係教學生使用算法同計數機嚟解決複雜嘅算術問題。

### 心理學
算術心理學主要研究人類同動物點樣學習數字、表示數字同使用數字嚟計算。佢研究數學問題係點樣理解同解決，以及算術能力同感知、記憶、判斷同決策有咩關係。 舉個例，佢會研究具體物品嘅集合係點樣喺感知中首次遇到，然後同數字產生關聯。 另一個研究領域係關於數字計算同使用語言形成表徵之間嘅關係。 心理學仲探討算術作為一種先天能力嘅生物學起源。呢包括執行類似算術運算嘅前語言同前符號認知過程，呢啲過程係成功表示世界同執行諸如空間導航等任務所需要嘅。

心理學研究嘅一個概念係數學素養，即係理解數字概念、將佢哋應用到具體情況同推理嘅能力。佢包括基本嘅數感，以及估計同比較數量嘅能力。佢仲包括喺數字系統中用符號表示數字、解釋數字資料同評估算術計算嘅能力。 數學素養係好多學術領域嘅關鍵技能。缺乏數學素養可能會阻礙學術成就，同埋喺日常生活中導致壞嘅經濟決定，例如誤解按揭計劃同保險政策。

### 哲學

算術哲學研究數字同算術運算背後嘅基本概念同原理。佢探討數字嘅本質同本體論地位、算術同語言同邏輯嘅關係，以及點樣可以獲得算術知識。

根據柏拉圖主義，數字有獨立於心智嘅存在：佢哋作為抽象物體存在於時空之外，冇因果能力。 直覺主義者反對呢個觀點，佢哋認為數學物體係心智建構。 其他理論包括邏輯主義，佢認為數學真理可以歸結為邏輯真理， 同形式主義，佢指出數學原理係符號操作嘅規則，冇聲稱佢哋對應於規則管轄活動之外嘅實體。

喺算術認識論中，傳統上主導嘅觀點係算術真理係可以先驗知道嘅。呢意味住佢哋可以單靠思考嚟了解，唔需要依賴感官經驗。 呢個觀點嘅一啲支持者表示算術知識係先天嘅，而其他人則認為有某種形式嘅理性直覺可以通過佢嚟理解數學真理。 一個較新嘅替代觀點由威拉德·范·奧曼·奎因等自然主義哲學家提出，佢哋認為數學原理係高層次嘅概括，最終紮根於經驗科學所描述嘅感官世界。

### 其他
算術同好多領域都有關係。喺日常生活中，購物找續、管理個人財務、同調整烹飪食譜嘅份量都需要用到算術。企業用算術嚟計算盈虧同分析市場趨勢。喺工程領域，佢用嚟測量數量、計算負荷同力度，同設計結構。 密碼學依靠算術運算嚟通過加密數據同訊息嚟保護敏感資訊。

算術同好多依賴數值運算嘅數學分支都有密切關係。代數依賴算術原理嚟解含變量嘅方程。呢啲原理喺微積分中都扮演重要角色，用嚟確定變化率同曲線下嘅面積。幾何學用算術運算嚟測量形狀嘅性質，而統計學則用佢嚟分析數據。 由於算術運算喺整個數學中嘅重要性，算術嘅影響延伸到大多數科學，例如物理學、計算機科學同經濟學。呢啲運算用於計算、解決問題、數據分析同算法，令佢哋成為科學研究、技術發展同經濟建模嘅重要部分。

## 計法

算術運算係用嚟組合、轉換或者操作數字嘅方法。佢哋係輸入同輸出都係數字嘅函數。最重要嘅算術運算係加法、減法、乘法同除法。仲有啲運算包括冧次方、開方同取對數。如果呢啲運算係對變量而唔係數字進行，有時會叫做代數運算。

同算術運算有關嘅兩個重要概念係單位元素同逆元素。單位元素或中性元素係用嚟同另一個元素運算時唔會引起任何改變嘅元素。例如，加法嘅單位元素係0，因為任何數加0都係返原本嗰個數。逆元素係同另一個元素結合後得到單位元素嘅元素。例如，數字6嘅加法逆元素係-6，因為佢哋嘅和係0。

除咗逆元素之外，仲有逆運算。簡單嚟講，如果一個運算可以撤銷另一個運算嘅效果，咁就叫做逆運算。例如，減法係加法嘅逆運算，因為一個數先加後減一個數，最後會返到原來嘅數值，好似 13 + 4 - 4 = 13。更正式嘅定義係：如果滿足以下條件，運算"*"就係運算"°"嘅逆運算：t * s = r 當且僅當 r ° s = t。

交換律同結合律係控制某啲算術運算可以點樣進行嘅規則。如果改變參數嘅順序唔會影響結果，咁就叫做交換律。例如加法就係交換律嘅，因為 7 + 9 同 9 + 7 係一樣嘅。結合律係影響一連串運算可以點樣進行嘅規則。如果喺一連串兩個運算中，邊個運算先做都冇所謂，咁就叫做結合律。例如乘法就係結合律嘅，因為 (5 × 4) × 2 同 5 × (4 × 2) 係一樣嘅。

### 加法同減法

加法係一種算術運算，將兩個叫做加數嘅數字合併成一個叫做和嘅數字。加法嘅符號係 +。例如 2 + 2 = 4 同 6.3 + 1.26 = 7.56。如果連續做好多次加法，就叫做求和。數數其實就係重複加1嘅加法。

減法係加法嘅逆運算。喺減法中，一個叫做被減數嘅數減去另一個叫做減數嘅數。呢個運算嘅結果叫做差。減法嘅符號係 -。例如 14 - 8 = 6 同 45 - 1.7 = 43.3。減法經常當做加法嘅一種特殊情況：與其減去一個正數，我哋可以加一個負數。例如 14 - 8 = 14 + (-8)。呢樣可以簡化數學計算，因為可以減少需要嘅基本算術運算數量。

加法嘅單位元素係0，一個數嘅加法逆元素就係佢嘅負數。例如，13 + 0 = 13 同 13 + (-13) = 0。加法既滿足交換律又滿足結合律。

### 乘法同除法

乘法係一種算術運算，將兩個叫做乘數同被乘數嘅數字合併成一個叫做積嘅數字。乘法嘅符號係 ×、· 同 *。例如 2 × 3 = 6 同 0.3 · 5 = 1.5。如果被乘數係自然數嘅話，乘法就等同於重複加法，例如 2 × 3 = 2 + 2 + 2。

除法係乘法嘅逆運算。喺除法中，一個叫做被除數嘅數俾另一個叫做除數嘅數分成幾個相等嘅部分。呢個運算嘅結果叫做商。除法嘅符號係 ÷ 同 /。例如 48 ÷ 8 = 6 同 29.4 / 1.4 = 21。除法經常當做乘法嘅一種特殊情況：與其除以一個數，我哋可以乘以佢嘅倒數。一個數嘅倒數就係1除以呢個數。例如，48 ÷ 8 = 48 × (1/8)。

乘法嘅單位元素係1，一個數嘅乘法逆元素就係佢嘅倒數。例如，13 × 1 = 13 同 13 × (1/13) = 1。乘法既滿足交換律又滿足結合律。

### 冧次方同對數

冧次方係一種算術運算，將一個叫做底數嘅數提升到另一個叫做指數嘅數嘅次方。呢個運算嘅結果叫做冧。冧次方有時用符號 ^ 表示，但更常見嘅做法係將指數以上標嘅形式寫喺底數後面。例如 2^4 = 16 同 3^3 = 27。如果指數係自然數嘅話，冧次方就等同於重複乘法，例如 2^4 = 2 × 2 × 2 × 2。

開方係一種特殊嘅冧次方運算，用分數做指數。例如，一個數嘅平方根等同於將呢個數提升到1/2次方，立方根就係提升到1/3次方。例如 √4 = 4^(1/2) = 2 同 ∛27 = 27^(1/3) = 3。

對數係冧次方嘅逆運算。以b為底嘅x嘅對數係指b要提升到幾多次方先至等於x。例如，因為1000 = 10^3，所以1000以10為底嘅對數係3。以b為底嘅x嘅對數記做 log_b(x)，或者唔用括號寫做 log_b x，甚至當底數可以從上下文推斷出嚟嘅時候可以唔寫底數，直接寫做 log x。所以之前嘅例子可以寫做 log_10 1000 = 3。

冧次方同對數唔似加法同乘法咁有一般嘅單位元素同逆元素。冧次方關於指數嘅中性元素係1，例如 14^1 = 14。但係冧次方冇一般嘅單位元素，因為1唔係關於底數嘅中性元素。冧次方同對數都唔滿足交換律同結合律。

## 四則運算

最簡單嘅算術就係計四則運算：加、減、乘、除，而要去計一條四則運算嘅算式，一定要有一個大家都同意嘅運算次序，要表達呢個順序，現時最多人用嘅方法就係內綴表示法同埋用括號，當然，係某啲情況下，例如一啲程式語言，佢哋係會用前綴或者後綴表示法嘅。如果有一個集合，喺佢上面我哋可以做加減乘除呢四種運算（除以零除外），而且呢啲運算符合特定規則，例如分配律，咁呢個集同呢啲運算就形成咗一個場喇。

### 加
加數，符號係 + ，係最基本嘅運算，喺佢最基礎嘅形態入面，佢將兩個數加埋一齊，得到嘅結果叫做「和」，例如 2 + 2 = 4 或者 3 + 5 = 8。

將有限個數加埋一齊可以理解成重複咁做加數，呢個過程稱之爲「求和」；重複咁將好多個「1」加埋一齊，就係做緊「數數」喇；一個數加一嘅結果，稱之爲佢嘅後繼數。

加法有交換同埋結合性質，所以將有限個數加埋一齊嗰陣，次序係唔緊要嘅。對一個二元運算嚟講，單位元素就係一個「做咗同無做無分別嘅元素」，根據加法嘅規律，任何數加 0 都係佢自己，所以 0 就係加法嘅單位元素喇。一個數嘅加法逆元係指同佢加埋之後會出加法單位元素，啫係 0 ，任何數字 x ，佢嘅加法逆元都係 -x ，因爲 x + (-x) = 0，例如 7 嘅加法逆元係 -7，因爲 7 + (-7) = (-7) + 7 = 0。

加法亦都有佢嘅幾何意義，例如：如果我哋有兩支棍，長度分別係 2 同 5，將佢哋駁埋一齊嘅話，長度就係 7，因爲 2 + 5 = 7。

### 減
減數，符號係 - ，係加數嘅逆運算。減數搵嘅係兩個數之間嘅「差」，即係「被減數」減去「減數」：差 = 被減數 - 減數。調返轉用加數嚟講嘅話，就係要搵一個數加上「減數」等於「被減數」：被減數 = 減數 + 差。

如果被減數係大過減數嘅話，個差就係正數；相反，如果被減數細過減數，咁個差就係負數；如果兩個數一樣，差就係零。

減數又唔交換又唔結合，所以喺抽象代數入面，代數結構上面唔會定義減數，反而會定義「加法逆元」（additive inverse），而減數就定義成一個數加另一個數嘅逆元：a - b := a + (-b) 。

## 註解

## 參考