循環群

**循環群**（Cyclic Group）係一類群，係由一粒嘢所整出嚟嘅群。一般會以\langle a\rangle:=\{a^n|n\in\Z\}嚟表示。

最簡單嘅循環群有加法\Z，咁1同-1都係整群出嚟嗰粒嘢，一般會叫呢兩粒嘢做**生產元素（Generators）**。如果n係正數，1^n=1+1+1+\cdots+1加n咁多次。如果n係負數，(-1)+(-1)+\cdots+(-1)加|n|咁多次。

## 子群定理
如果G係一個群。如果a\in G係G入面嘅嘢，咁\langle a\rangle就係一個子群。

**證明：**

因為a\in\langle a\rangle，\langle a\rangle唔係空集。

設a^n,a^m\in\langle a\rangle。

a^n(a^m)^{-1}=a^{n-m}\in\langle a\rangle，利用一步子群要求，\langle a\rangle就G嘅子群。

### 例子一
U(10)，係10嘅環單元（Units），\langle 3\rangle:=\{3,9,7,1\}=U(10)。

因為

\begin{align}
3^1 &= 3\\
3^2 &= 9\\
3^3 &= 27=7\\
3^4 &= 81=1\\
3^5 &= 243=3\\
\vdots &= \vdots
\end{align}

而3\times7=21=1，所以3^{-1}=7。

### 例子二
喺\Z_{10}，\langle 2\rangle=\{0,2,4,6,8\}。

### 例子三
喺\Z，\langle -1\rangle=\Z。-2(-1),-1(-1),0(-1),1(-1),\cdots係\Z入面每一粒嘢。

## 非子群例子

### 例子一
\Z_n=\{0,1,2,3,\cdots,n\}，對應n\geq1。係一個循環群。1同-1=n-1都係整群出嚟嘅嘢。

### 例子二
\Z_{10}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}。可以得知，\Z_{10}=\langle 1\rangle=\langle 3\rangle=\langle 7\rangle=\langle 9\rangle。

\langle1\rangle=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10=0,\cdots\}

\langle3\rangle=\{3,6,9,12=2,15,=5,18=8,21=1,24=4,27=7,30=0,33=3,\cdots\}

\langle7\rangle=\{7,14=4,21=1,28=8,35=5,42=2,49=9,56=6,63=3,70=0,77=7,\cdots\}

\langle9\rangle=\{9,18=8,27=7,36=6,45=5,54=4,63=3,72=2,81=1,90=0,99=9,\cdots\}

但係\langle2\rangle\neq\Z_{10}，因為\langle2\rangle=\{0,2,4,6,8\}

## 循環子群定理
每一個循環群嘅子群都一定係循環群。（Every subgroup of cyclic Group is cyclic.）

**證明：**

設G係循環群，即係G=\langle a\rangle。H就係G嘅子群。

如果H係得一粒\{e\}，咁H=\langle e\rangle。

如果H唔係淨係得e，即係揀任何一粒H入面嘅嘢，a\neq e；

a^n\in H，n\in\Z係整數。

設m\in\Z^+係最細整數，令到a^m\in H，同埋b\in H係H入面是但一粒嘢。

因為H係G嘅子群，所以a^n=b，對應有啲m\in\Z。

利用餘數定理，就有兩個數q,r\in\Z，符合n=mq+r。（同時，0\leq r）

咁a^n=a^{mq+r}，

a^r=(a^m)^{-q}a^n。

因為H係子群，所以a^m嘅逆元就係(a^m)^{-1}\in H。

所以(a^m)^{-q}\in H，同埋a^r\in H。

但係因為m\in\Z^+係最細整數，令到a^m\in H，同時0\leq r；

所以r=0。

正正因為r=0，所以n=mq\implies b=a^n=(a^{m})^q。

\implies b\in\langle a^m\rangle

## 相等元素要求
如果G係一個群，a\in G。

如果G嘅基數係有限，n，咁\langle a\rangle=\{e,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}同埋a^i=a^j\iff n|i-j。

如果G嘅基數係無限，咁a^i=a^j\iff i=j。 

**證明：**

如果G係無基數，咁無一個非零嘅n符合a^n=e。

因為a^i=a^j，所以a^{i-j}=e。因此i=j。

如果G係有基數，a=|n|。

揀任何一粒a^m\in\langle a\rangle。

利用餘數定理，有兩粒q,r\in\Z，m=nq+r。（同時0\leq r）

咁a^m=a^{nq+r}=(a^n)^qa^r=ea^r=a^r，

所以a^k\in\{e,a,a^2,\cdots,a^{n-1}\}。

如果a^i=a^j，a^{i-j}=e。

利用餘數定理，有兩粒q,r\in\Z，a^{i-j}=a^{qn+r}同埋0\leq r。

咁a^{i-j}=e=a^{qn+r}=e^qa^r=a^r。

因為n係最細整數令到a^n=e，所以r=0，n|i-j。

如果n|i-j，咁i-j=nq。

a^{i-j}=a^{nq}=e^q=e，所以a^i=a^j。

### 推論一
任何a\in G，|a|=|\langle a\rangle|。

### 推論二
G係一個群，a\in G同埋佢嘅基數係k。

如果a^k=e，咁|a|=n|k。

## 最大公因數定理
設G係一個群，a\in G同埋佢嘅基數係n，k係正整數。

咁\langle a^k\rangle=\langle a^{\gcd(n,k)}\rangle，|a^k|=\frac{n}{\gcd(n,k)}。

**證明：**

設d=\gcd(n,k)。同埋，k=dr。

因為a^k=(a^d)^r，咁\langle a^k\rangle\subseteq\langle a^d\rangle。

利用比舒公式，有兩個數s,t\in\Z，d=ns+kt。

所以a^d=a^{ns+kt}=a^{ns}a^{kr}=(a^n)^s(a^k)^r=e(a^k)^t=(a^k)^t\in\langle a^k\rangle。

\implies\langle a^d\rangle\subseteq\langle a^k\rangle

（想要證明|a^d|=\frac{n}{d}）

(a^d)^{\frac{n}{d}}=a^n=e，所以|a^d|\leq\frac{n}{d}。

如果有一個整數i係細過\frac{n}{d
}，咁根據|a|嘅定義(a^d)^i\neq e。

利用d=\gcd(n,k)，|a^k|=|\langle a^{\gcd(n,k)}\rangle|=|a^{\gcd(n,k)}|=\frac{n}{\gcd(n,k)}。

### 應用
整細個生產表示。例如|a|=30，咁\langle a^{30}\rangle=\langle a^2\rangle，\langle a^{23}\rangle=\langle a\rangle。

### 推論一
喺有限嘅循環群入面，元素嘅基數除得盡群嘅基數。 

### 推論二
設|a|=n。

咁\langle a^i\rangle=\langle a^j\rangle\iff\gcd(n,i)=\gcd(n,j)，同埋|a^i|=|a^j|\iff\gcd(n,i)=\gcd(n,j)。

### 推論三
設|a|=n。

咁\langle a\rangle=\langle a^j\rangle\iff\gcd(n,j)=1同|a|=|\langle a^j\rangle|\iff\gcd(n,j)=1。

### 推論四
係\Z_n入面嘅整數k，佢係整\Z_n出嚟\iff\gcd(n,k)=1

## 睇埋
* 群
* 子群
* 有限群
* 循環群基本定理
* 執位