布倫特-維塞拉頻率

**布倫特-維賽拉頻率**係講緊大氣層入面浮力震盪嘅頻率。佢代表一嚿氣塊對於因為對流活動而產生嘅垂直方向運動嘅穩定性。佢由威爾斯氣象學家大衛‧布倫特同埋芬蘭氣象學家維爾霍‧維賽拉發現。

## 數學表示式
布倫特-維賽拉頻率嘅數學表示式係：

N=\sqrt{\frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}}=\sqrt{g\frac{d(\ln\theta)}{dz}} 

其中 N 係布倫特-維賽拉頻率，g 係地球表面嘅重力加速度，\theta 係環境嘅位溫，z 係由地面計起嘅高度。

因為當 N 係實數嘅時侯平方根裏面嘅表達式一定係非負實數，呢條式只會喺 \frac{\partial\theta}{\partial z}\geq0 嘅時候成立。留意返 \frac{\partial\theta}{\partial z}>0 代表大氣穩定，\frac{\partial\theta}{\partial z}=0 代表大氣中性，\frac{\partial\theta}{\partial z} 代表大氣唔穩定。

## 證明
根據流體靜力平衡，

\frac{\partial p(z)}{\partial z}=-\rho(z)g

其中 \rho 係流體密度。呢條公式講緊喺高度 z 上面，一個單位體積嘅氣塊受到嘅壓力 -\frac{\partial p}{\partial z}\hat{z} 同佢自己嘅重力 -\rho g\hat{z} 互相抵消。成個大氣層大致上都符合流體靜力平衡。

所以，喺 z+\delta z 嘅高度，氣塊周圍嘅環境都會符合流體靜力平衡：

\frac{\partial p(z+\delta z)}{\partial z}=-\rho(z+\delta z)g

依家考慮一嚿氣塊由高度 z 郁到去 z+\delta z。隨著高度嘅變化，環境氣壓都會變，令到嚿氣塊進行絕熱過程，直到氣塊嘅壓強同埋同一個高度嘅環境氣壓一樣為止。噉樣嚿氣塊就唔會因為同水平方向之間有壓強梯度而發散或者集中。但係，絕熱過程都唔會確保嚿氣塊唔會受到垂直方向嘅壓力影響。事實上，當嚿氣塊去到新嘅高度，佢嘅壓力同埋重力唔平衡，所以會喺垂直方向加速。

喺絕熱過程裏面，嚿氣塊嘅狀態方程係：

p_a(z)^{1-\gamma}T_a(z)^\gamma=p_a(z+\delta z)^{1-\gamma}T_a(z+\delta z)^\gamma

其中 T 代表溫度，\gamma=\frac{c_P}{c_V} 係絕熱指數。符號右下角嘅 _a 係用嚟分開氣塊同埋環境嘅參數。

執下啲項就可以得到：

\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}=\left[\frac{T_a(z)}{T_a(z+\delta z)}\right]^\frac{\gamma}{1-\gamma}

將用咗氣象學單位嘅理想氣體狀態方程 p=\rho RT 代落去之後，就會有：

\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}=\left[\frac{p_a(z)}{p_a(z+\delta z)}\right]^\frac{\gamma}{1-\gamma}\left[\frac{\rho_a(z+\delta z)}{\rho_a(z)}\right]^\frac{\gamma}{1-\gamma}

\left[\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}\right]^\frac{1}{1-\gamma}=\left[\frac{\rho_a(z+\delta z)}{\rho_a(z)}\right]^\frac{\gamma}{1-\gamma}

\rho_a(z+\delta z)=\rho_a(z)\left[\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}

依家考慮位溫嘅定義：

\theta=T\left(\frac{p_s}{p}\right)^{1-\frac{1}{\gamma}}

其中 p_s 係海平面氣壓。再代多次理想氣體狀態方程就會有：

\theta=\frac{p}{\rho R}\left(\frac{p_s}{p}\right)^\frac{\gamma-1}{\gamma}

\theta=p^\frac{1}{\gamma}\left(\frac{1}{p_s}\right)^\frac{1-\gamma}{\gamma}\left(\frac{1}{\rho R}\right)

喺高度 z，環境位溫係：

\theta(z)=p(z)^\frac{1}{\gamma}\left(\frac{1}{p_s}\right)^\frac{1-\gamma}{\gamma}\left[\frac{1}{\rho(z)R}\right]

喺高度 z+\delta z，環境位溫係：

\theta(z+\delta z)=p(z+\delta z)^\frac{1}{\gamma}\left(\frac{1}{p_s}\right)^\frac{1-\gamma}{\gamma}\left[\frac{1}{\rho(z+\delta z)R}\right]

要小心呢度嘅 \rho 係環境密度，而唔係嚿氣塊嘅密度 \rho_a。

將呢兩條式相除就會得到：

\frac{\theta(z+\delta z)}{\theta(z)}=\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}\left[\frac{\rho(z)}{\rho(z+\delta z}\right]

\rho(z+\delta z)=\rho(z)\left[\frac{\theta(z)}{\theta(z+\delta z)}\right]\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}

返到嚟嚿氣塊呢度，喺新嘅高度 z+\delta z，佢受到嘅壓力係 -\frac{\partial p(z+\delta z)}{\partial z}\hat{z}=\rho(z+\delta z)g\hat{z}，而佢受到嘅重力係 -\rho_a(z+\delta z)g\hat{z}。所以，嚿氣塊受到嘅淨力就係：

\rho(z+\delta z)g\hat{z}-\rho_ag(z+\delta z)\hat{z}

=\left[\rho(z+\delta z)-\rho_a(z+\delta z)\right]g\hat{z}

根據牛頓第二定律，單位體積氣塊嘅加速度係：

\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{1}{\rho_a}\left(\frac{\vec{F}}{V}\right)

因為單位氣塊喺高度 z+\delta z 受到嘅淨力係 \frac{\vec{F}}{V}=\left[\rho(z+\delta z)-\rho_a(z+\delta z)\right]g\hat{z}，佢嘅運動方程係：

\vec{a}=\frac{1}{\rho_a(z+\delta z)}\left[\rho(z+\delta z)-\rho_a(z+\delta z)\right]g\hat{z}

又因為嚿氣塊只係向垂直方向加速，即係 \vec{a}=a\hat{z}，我哋可以無視咗個單位向量 \hat{z} 將佢變成一條只有標量嘅公式：

a=\frac{\rho(z+\delta z)-\rho_a(z+\delta z)}{\rho_a(z+\delta z)}g

根據加速度嘅定義，再當 z 係常數，

a=\frac{d^2(z+\delta z)}{dt^2}=\frac{d^2(\delta z)}{dt^2}

將上面嘅結果代落去條運動方程右手邊嘅分數，會得到：

\frac{\rho(z+\delta z)-\rho_a(z+\delta z)}{\rho_a(z+\delta z)}

=\frac{\left[\frac{\theta(z)}{\theta(z+\delta z)}\right]\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}-\left[\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}}{\left[\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}}

因為嚿氣塊嘅壓強同埋同一個高度嘅氣壓一樣，會有：

p_a(z)=p(z) 同埋 p_a(z+\delta z)=p(z+\delta z)

所以上面條式等於：

\frac{\left[\frac{\theta(z)}{\theta(z+\delta z)}\right]\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}-\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}}{\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}}

=\frac{\theta(z)}{\theta(z+\delta z)}-1

=\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\theta(z+\delta z)}

於是，嚿氣塊準確嘅運動方程係：

\frac{d^2(\delta z)}{dt^2}=g\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\theta(z+\delta z)}=g\left[\frac{\theta(z)}{\theta(z+\delta z)}-1\right]

呢個係一條超級難解嘅非線性二階常微分方程。所以，我哋要將佢線性化之後再解。

方程右面嘅分數可以寫成：

\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\theta(z+\delta z)}

=\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\delta z}\cdot\frac{\delta z}{\theta(z+\delta z)}

=\frac{1}{\theta(z+\delta z)}\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\delta z}\delta z

因為嚿氣塊震盪嘅幅度太細，我們可以攞 \delta z\rightarrow0 呢個極限，令到 \lim_{\delta z\rightarrow0}\theta(z+\delta z)=\theta(z) 同埋 \lim_{\delta z\rightarrow0}\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\delta z}=-\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}。所以上面條式就變成：

-\frac{1}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}\delta z

嚿氣塊嘅運動方程就可以重新寫成：

\frac{d^2(\delta z)}{dt^2}=-\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}\delta z

\frac{d^2(\delta z)}{dt^2}+\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}\delta z=0

因為 z 同埋 \delta z 互相獨立，\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z} 可以當做常數，而嚿氣塊嘅運動方程就係一條用 \delta z 嚟做變量嘅常係數二階常微分方程，佢個樣同簡諧震動條方程 \frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0一模一樣。用特徵方程法就可以解到：

\delta z=C_1e^{iNt}+C_2e^{-iNt}=A\cos(Nt)+B\sin(Nt)

當中 \frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}>0。由條式可以見到嚿氣塊的確係做緊簡諧震動。C_1,\,C_2,\,A,\,B 都係常數，N=\sqrt{\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}} 就係嚿氣塊垂直震盪嘅頻率，亦即係布倫特-維賽拉頻率。

留意當 \frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}=0 嘅時侯，布倫特-維賽拉頻率就會變成 0，而條運動方程會變做 \frac{d^2(\delta z)}{dt^2}=0。佢嘅解係 \delta z=\delta z_0+wt，其中 \delta z_0 是係氣塊原本嘅位移，而 w 係氣塊嘅垂直速度。於是，嚿氣塊會穩定升降。

如果 \frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}，布倫特-維賽拉頻率係虛數，方程嘅解就會變成 \delta z=C_1e^{\sqrt{\left|\frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}\right|}t}+C_2e^{-\sqrt{\left|\frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}\right|}t}。無視 C_2e^{-\sqrt{\left|\frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}\right|}t} 呢嚿比較細嘅項，可以睇得出氣塊嘅位移會隨著時間指數式增加，大氣層嚟緊會有持續嘅對流活動。