商空間 (線性代數)

喺線性代數入面，一個向量空間V對佢嘅一個子空間N嘅**商**係一個新嘅向量空間，作用就好似將N壓做一點咁。得到嘅空間叫做**商空間**，寫做V/N，英文會讀做「V mod N」或者「V by N」。商空間喺數學入邊好重要亦都好基礎，喺幾何學入邊，睇上同調（cohomology）、譜序列（spectral sequence）等等都要用到商空間嚟定義，分析入邊嘅''L<sup>p</sup>''空間都要用商空間嚟定義。

## 定義
呢度列出商空間喺數學上邊嚴謹嘅定義或者叫構作（construction）。設V係場K上邊嘅一個向量空間，N係V嘅一個子空間。喺V上邊定義一個等價關係\sim如下：x\sim y若且唯若x-y\in N，換句話講，若果喺 N 入邊搵到支向量 n，令 x+n=y  嘅話，x 同 y 就係有關係。由呢個定義睇得出 N 入邊嘅所有向量都同零向量有關係，亦即係話 N 入邊嘅所有向量都同 0 向量喺同一個等價類。x對應嘅等價類通常寫做[x]=x+N，因為佢可以寫做[x]=\{x+n:n\in N\}。

商空間V/N集合嘅定義就係V/\sim，即係\sim呢個關係嘅等價類集合。等價類嘅純量乘法同向量加法係咁樣定義嘅：

* \alpha[x]=[\alpha x]，\alpha\in K
* [x]+[y]=[x+y]

好易就可以證明呢個定義係無關於所揀嘅代表，即係話呢兩個運算係良定義嘅。呢兩個運算令V/N成為一個向量空間，其中N=[0]係入邊嘅零向量。

將v打去等價類[v]嗰個映射叫**商映射**（quotient map）。

另一個講法係，商空間V/N係所有同N平行嘅仿射空間組成嘅集。

## 例子
設X=\R^2係歐幾里得平面，Y係X入邊一條穿過原點嘅直線，咁商空間X/Y可以睇做X入邊所有同Y平行嘅線形成嘅空間，即係話X/Y入邊嘅每一粒元素都係X入邊同Y平行嘅一條直線。如果喺X入邊揀一條同Y唔平行而且穿過原點嘅直線Z嘅話，對Z入邊每一點z，都有一條直線穿過z而且同Y平行，呢個就畀咗一個幾何嘅方法去睇X/Y，我哋話Z參數化咗同Y平行嘅直線，而事實上X/Y係同構於Z（X/Y\cong Z）。同樣地，如果用一個三維空間對一條直線做商嘅話，都可以用一個同條直線唔平行嘅平面去代表個商空間。

推廣少少，我哋睇n-維歐幾里得空間\R^n對佢頭m支標準基向量生成出嚟嘅子空間做嘅商（m\leq n），\R^n由n元組實數(a_1,a_2,\ldots,a_n)組成，而嗰個子空間（同\R^m同構）就係由啲「尾n-m個座標係0」嘅向量組成：(a_1,a_2,\ldots,a_m,0,\ldots,0)。喺呢個商入邊，\R^n入邊兩支向量係等價若且唯若佢哋尾n-m個座標係一樣，所以可以用尾呢n-m個座標嚟代表個商空間，而呢柞向量組成嘅空間好自然係同\R^{n-m}同構嘅，亦即係話，\R^n/\R^m\cong \R^{n-m}。

再推廣少少，若果向量空間V係兩個子空間U,W嘅（內）直積嘅話：V=U\oplus W，咁商空間V/U同W有一個自然同構，當然相反亦都有V/W同U之間嘅自然同構。

## 性質

由V去V/U有一個自然嘅滿同態（epimorphism），將向量x打去佢嘅等價類[x]，而佢個核就係子空間U。呢個關係可以用短正合序列好簡潔咁寫出嚟：

:0\to U\to V\to V/U\to 0

如果U係V嘅子空間嘅話，V/U嘅維度又叫做U喺V入邊嘅**[[餘維度]]**（codimension）。如果畀咗U嘅一組基A同V/U嘅一組基B嘅話，可以對B嘅每一個元素搵返任意一個喺V入邊嘅代表，再加埋A入邊嘅向量就形成V嘅一組基，所以V嘅維度係U同V/U嘅加埋。如果V係有限維嘅話就可以做減數：U喺V入邊嘅餘維度係V嘅維度減U嘅維度：

:\mathrm{codim}(U) = \dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U)
設T:V\to W係一個線性映射，T嘅核（寫做\ker T）裝住所有令Tx=0嘅向量x，\ker T係V嘅一個子空間，向量空間嘅第一同構定理講話商空間V/\ker T同V喺W入邊嘅映像係同構嘅，即係V/\ker T\cong \mathrm{Im} \;T，咁就即刻有個推論：對有限維空間V，V維度等於\ker T嘅維度（T嘅零化度nullity）加\mathrm{Im}\;T嘅維度（T嘅秩rank），即係所謂嘅秩—零化度定理（rank-nullity theorem）。

一個線性映射T:V\to W嘅餘核（cokernel）嘅定義係商空間W/\mathrm{Im}\;T。

## 萬有性質

## 巴拿赫空間嘅商
如果X係一個巴拿赫空間而M係佢一個閉子空間，咁商空間X/M都會係一個巴拿赫空間：佢嘅向量空間結構上邊已經定義咗，而分析方面佢自動有一個自然嘅範：
: \| [x] \|_{X/M} = \inf_{m \in M} \|x-m\|_X = \inf_{m \in M} \|x+m\|_X = \inf_{y\in [x]}\|y\|_X 
如果 X 係完備嘅話，商空間 X/M 帶住呢個範會自動係一個完備空間，所以係一個巴拿赫空間。

### 例子
設C[0,1]係區間[0,1]上邊連續實函數組成嘅巴拿赫空間，帶住sup範。設M係嗰啲f(0)=0嘅函數f組成嘅函數子空間，咁嘅話每個函數g嘅等價類係完全由佢喺0嗰個位嘅數值g(0)嚟決定，即係話商空間C[0,1]/M係同\R同構。

如果X係一個Hilbert空間嘅話，商空間X/M同M嘅正交補空間同構。

### 推廣去局部凸空間
一個局部凸空間（locally convex space）對閉子空間嘅商都依然係一個局部凸空間：如果X係一個局部凸空間而佢嘅拓樸結構係由\{p_\alpha|\alpha\in A\}呢拃半範（seminorm）產生出嚟嘅話，設M係一個閉子空間，並定義商空間X/M上面嘅半範q_\alpha：
:q_\alpha([x]) = \inf_{v\in [x]} p_\alpha(v)
咁X/M就係一個局部凸空間，而且拓樸結構係商拓樸。

喺呢個之上，若果X係可度量化（metrizable）嘅話，X/M都係；若果X係Fréchet嘅話，X/M都係。

## 應用

### 定義''L<sup>p</sup>''空間

喺分析學入邊，有一個好重要嘅概念，就係<math>L^p</math>空間。佢其實就係一啲''p''-可積函數，但係如果兩個函數嘅差積出嚟係0嘅話就當做一樣。具體啲嚟講，假如畀咗一個測度空間(S,\Sigma,\mu)，定義\mathcal{L}^p做裝住所有符合\|f\|_p \equiv \left( \int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu \right)^{1/p}嘅函數f嘅集合，\mathcal{L}^p自動會係一個向量空間，而事實上佢直程係一個半範空間，\|\cdot\|_p係一個半範。佢唔係一個範，而且\|f\|_p=0若且唯若f幾乎到到（almost everywhere）都係零。只要攞一個商佢就可以變成一個賦範空間：設\mathcal{N}=\{f\in\mathcal{L^p}:\|f\|_p=0\}，咁商空間L^p=\mathcal{L}^p/\mathcal{N}帶著\|\cdot\|_p就係一個賦範空間。呢個過程可以推廣去其他半範空間，所有半範空間都可以用呢個方法攞商變成一個賦範空間。

### 定義上同調

## 睇埋

* 商羣
* 商模
* 商集
* 商空間 (拓樸學)

## 參考


## 書目
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