Γ函數

**Γ 函數**，亦叫做**伽瑪函數**（），係一個將階乘推廣到複數上嘅方法。Γ 函數係一個亞純函數，喺複平面上面除咗0同埋負整數，其他地方都係有定義嘅。佢喺理論研究同應用上都有好重要嘅意義。對任何嘅正整數，都有
:\Gamma(n)=(n-1)!

## 定義
\Gamma(z)呢個符號係勒壤得揀嘅，個函數嘅定義係：
: \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t\quad(t>0)
呢個積分喺實數 z>0 時係絕對收斂，亦可以考慮 z 係複數嘅情形，呢個時候要求 z 嘅實部 \mathrm{Re}(z) > 0。

## 無窮乘積
Γ 函數可以用無窮乘積嚟表示：
:
\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}

:\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}
其中 \gamma 就係歐拉常數。

## Gamma積分
:
1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(-\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)}dx


\Rightarrow
\frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha}
=
\int_{0}^{\infty}
x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} dx


## 遞歸公式
Γ 函數嘅遞歸公式係：
: \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)

對於正整數 n，有

: \Gamma(n+1)=n!

可以話Γ 函數係階乘嘅推廣。

### 推導遞歸公式

\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1}  dx  =  \int_0^\infty e^{-x} x ^n  dx

用分部積分法嚟計呢個積分：

\int_0^\infty e^{-x} x ^n  dx  = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1}  dx

當 x = 0 時，\frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0。當 x 趨於無窮大時，根據洛必達法則，有：

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{e^x} = 0.

因此第一項\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty 變咗零，所以：

\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1}  dx

等式嘅右面啱啱就係n\Gamma(n)。所以遞歸公式係：

:\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) 。

## 重要性質

* 當z\to 0^+時，\Gamma(z)\to+\infty
* 歐拉反射公式：
: \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0
: 由上面條式可以知道當 z = 1/2 時，\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}。
* 乘法定理：
:\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).
:
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).

* 補充：
:
\Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right)
= \frac{ (2n) ! \sqrt{\pi} }{ n ! 4 ^ n }

:呢條式可以用嚟協助計算 t 分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F 分布機率密度函數等嘅累計機率。
* 其他用乘法定理計到嘅數：
:\Gamma(1/6) = \Gamma(1/3)^2 / \sqrt{\pi} * 2^{2/3} * \sin({\pi/3})
:\Gamma(5/6) = 1 / \Gamma(1/3)^2 * \sqrt{\pi}^3 * 2^{4/3} / \sqrt{3}
:\Gamma(1/10) = \Gamma(1/5) * \Gamma(2/5) / \sqrt{\pi} * 2^{4/5} * \sin({2*\pi/5})
:\Gamma(3/10) = \Gamma(1/5) / \Gamma(2/5) * \sqrt{\pi} / 2^{3/5} / \sin({3*\pi/10})
:\Gamma(7/10) = \Gamma(2/5) / \Gamma(1/5) * \sqrt{\pi} * 2^{3/5}
:\Gamma(9/10) = 1 / (\Gamma(1/5) * \Gamma(2/5)) * \sqrt{\pi}^3 / 2^{4/5} / (\sin(\pi/10) * \sin({2*\pi/5}))

## 特殊值
:
\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}


## 斯特靈公式
斯特靈公式可以用嚟估計 Γ 函數嘅增長速度：
:\Gamma(x+1)\sim\sqrt{2\pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^x

## 解析延拓

注意到喺 Γ 函數的積分定義當中如果攞 z 嚟做實部大於零嘅複數、則積分存在，而且喺右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程
: \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0 
並注意到函數 \sin (\pi z) 係成個複平面上有解析延拓，我地可以喺 \mathrm{Re}(z) 時設
:  \Gamma(z) := \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z) \sin{\pi z}}
從而將 Γ 函數延拓為成個複平面上嘅亞純函數，佢喺 z=0,-1,-2,-3\cdots 有單極點，留數係
: \mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!} 

## 睇埋
* 雙伽瑪函數
* 多伽瑪函數
* 階乘
* 機率密度函數

## 出面網頁
*GAMMA 函數嘅性質