加

**加**係數學運算一種，一般習慣會用「+」呢個符號嚟表達，呢個符號又叫做「加號」。加法係四個基本算術運算嘅其中一個（其餘係減、乘同除）。

加法係將兩個量加埋做一個量嚟表示嘅運算。意指將兩組嘅量合併做一組嘅意思。假設左面有3個蘋果，右面有2個蘋果，將呢兩個量合併一齊，就總共有5個蘋果。利用數學式嚟表達，就係3+2=5。（講法係，三加二等於五。）而兩個數加埋得到嗰個數就叫做「和」（Sum）。

加法除咗係日常生活數下物件之外，喺數學上，可以處理整數、有理數、實數、虛數、向量、矩陣等數學物件。而日常生活嘅加法，係可以應到任何算術，例如分數加法、有向數等，但係去高等數學加法未必係日常加法。

如果利用高等數學嘅角度嚟睇，加法呢個處理有幾個重要嘅代數性質，例如係可溝通性（Commutative），即係話處理加法嘅次序唔影響結果；結合性（Associative），即係話處理多幾個數字，個次序都唔影響結果。又例如話，當你係到數緊物品嘅時候，其實你係進行緊加法，不停咁喺度加1。加法嘅相反係減法。如果不停咁加n咁多次，咁就係一個乘法。

加法係最簡單嘅數字運算，基本上加法係好多有智慧嘅生物都可以處理，例如世界上最簡單嘅加法1+1，係簡單到連一個五個月大嘅小朋友或者非人類嘅生物都會識做。喺小學階段，基本上人人都會由十進制嘅加法學起，再去學解決其他進階嘅難題。而電腦科學家就研究點樣令到電腦做到加法。

## 基本加法

基本加法，又叫做**日常加法**（Usual Addition），係日常用到嘅加法。一般應用係數物件同算術。加法一般習慣用「+」，即係「加號（Plus Sign）」嚟表示。呢個符號一般會放喺兩個數字之間，用作將呢兩樣嘢加埋嘅意思，呢個表達方法叫做中綴表示法。例如：1+1=2。例外有前綴表示法同後綴表示法。而「+」，等於（Equal Sign）就係將個結果表示出嚟。而個結果一般就會叫做「和」。

### 例子
* 1+1=2（一加一等於二）
* 2+2=4（二加二等於四）
* 3+3=6（三加三等於六）
* 1+2+3+4=10（結合性）
* 2+2+2+2+2=10（乘法）
好多時，熟習咗加法同乘法之後，有好多人會將3+3=6寫成3+3=9，咁樣就計錯數。

### 偷懶情況
有好多人慣咗加法之後，就唔會寫加號嚟表示加法。

例如做直式加法嘅時候，好多人都懶得去寫個加號去表示佢做緊加法。好似右邊幅圖咁，將5同12並排好加好之後得出17。明顯，係做加法，但係都無見過加號嘅出現。

喺分數入面，帶分數就係一個偷懶嘅例子，例如：1\frac{2}{3}，就係指1加\frac{2}{3}。有人話呢個表達方式好容易同乘法混淆。

喺高等數學入面，連續加埋同一舊嘢寫出嚟都幾麻煩，所以就有咗級數呢樣嘢。級數係可以表達一個有套路有規律嘅加法。例如：\sum_{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}(呢個又叫三角形數)。日常生活都有好多偷懶嘅例子，例如帳單、月結單。上面都係無加號，但係大家都知道係做緊加法。

### 項
將要處理加法嘅嘢就叫做項（Term），例如1+1=2，1就係項。喺級數入面i就係項。英文項有幾個叫法「Terms」、「Addends」、「Summands」。有人叫第一個項做「Augend」。喺文藝復興時期，好多人都唔覺得第一個項係項。而到今時今日，都無咩人去分第一個項定係第二個項，總知大家都係項，冇再分得咁細。

### 加嘅由來
「加」，根據粵語審音配詞字庫，讀「gaa1」或者「gaa3」。說文解字解釋，「加：語相增加也。從力從口。古牙切」原指講嘢假，加鹽加醋。之後演變到有增加嘅意思。喺兩漢之間，周髀算經已經有講解四則運算。

而英文嘅加法用字基本上都嚟自拉丁文。英文「Addition」係源自拉丁文動詞「Addere」，呢個字係「加去」同「比」嘅合字。而「Sum」就係源自「Summare」，係一個名詞指嘅係「最高，最勁」，因為兩個數相加，係一定大過之前嗰兩個數，但係呢個概念引用到古希臘同古羅馬人，但係到咗現代加法係可以加返轉頭，個數愈加愈細。

加號「+」係拉丁文「et」嘅簡寫，意思係「add」。佢早喺1489年，已經出現喺當時嘅有關數學嘅文章入面。

## 加法性質
### 可溝通性(又叫[[交換律]])

加法係可溝通嘅，即係話進行加法嘅次序唔影響加法嘅結果。利用數學式表示就係：a+b=b+a咁a同b都係一個數字。

呢個法則又叫做「加法嘅溝通法」。但係同時，有好多其他嘅二元運算唔係可溝通嘅，例如：減法，除法，矩陣乘法。

### 結合性

加法係可以結合嘅。當你要加兩個到三個，或者有限咁多個，n咁多個數字嘅時候，做加法嘅次序唔會影響結果。如果有三個數字a，b同c要加嘅時候，用數學式嘅表達係(a+b)+c，先做a+b，得出結果後再做+c。但係呢個出嚟嘅結果係會同先做b+c，再做a+係一樣。得出結論係：(a+b)+c=a+(b+c)舉個實例，2+(1+3)=2+4=6=3+3=(2+1)+3。

但係當你做四則運算嘅時候，加法嘅次序就會有所影響。加法多數都係最後會做嘅處理。

### 恆等元(又叫[[單位元素]])

所謂嘅恆等元，就係一粒嘢，你令佢嚟同另一粒嘢做加法，出嚟個結果係不變。

如果根據呢個講法，好明顯0就係日常加法嘅恆等元。因為咩嘢加零，個數值都係唔變。利用數學式表示就係：a+0=0+a=a而a就係任何數字。例子：5+0=5，就好似右手面張圖咁，一個袋入面有5粒嘢，另一個袋入面無嘢，將兩個個袋入面嘅嘢加埋一齊，都係得5粒嘢。

呢個性質早喺公元前628年，由婆羅摩笈多發明。當時佢喺著作*[[Brahmasphutasiddhanta]]*呢本書入面將以上嘅性質用正數、負數同零用自己文字表達一次，而唔係用現代嘅代數表達方式講出嚟。去到830年左右，另一個印度數學家馬哈費亞（Mahavira）將個概念再寫多一次，佢話：「零加任何嘢都係加佢嗰嚿嘢。」換句話講即係0+a=a。到咗12世紀，印度數學家婆什迦羅二世又話：「如果用加法嚟睇，加零，減零，無論係正數加，負數加，都係一樣。」換句話講即係a+0=a。

### 單位
如果做日常加法，單位唔同係唔可以加埋一齊。舉個例子，3蚊同3毫大家都係錢，但係就唔可以將佢加埋做6蚊，6毫或者係6蚊毫。但係就可以加埋之後寫成3.3（單位：元，讀三個三）。換一個例子：6個橙加8個橙就會得出14個橙；但係8個橙加9個蘋果就一定要寫成17個生果。

同樣，進行實質物品或者距離上嘅加法，物品或者個數字嘅單位係必須要一致。例如：1厘米同1厘米可以相加，但係同1毫米就唔可以。如果想將佢哋兩個相加，就必須要將兩個數嘅單位換成一樣，例如將1厘米換成10毫米，或者將1毫米換成0.1厘米。詳細可以參考物理嘅量度分析（Dimensional Analysis）。

## 學習加法
### 天生就識
喺1992年，美國心理學家Karen Wynn做咗一個基礎實驗，佢將一班BB仔帶到去螢幕前面，而呢班BB仔就用螢幕顯示嘅米奇老鼠公仔去進行加法實驗，而呢個實驗證明咗一個五個月大嘅BB仔個腦入面係期望住1+1係會等於2。最令人覺得出奇嘅係，喺呢個實驗入面，科學家係將個情況整到好似1+1係會等於1或者3。

另一個實驗，就用咗一班大啲嘅BB仔，約莫18到35個月大，佢哋用係箱抽乒乓球呢個實驗發現，呢班BB仔入面最細嗰個，可以做到簡單數字上嘅加法，而最大嗰班就可以做到5以下嘅加法。

唔係人類嘅生物都會識得做加法，最出名嘅例子就有靈長類動物。喺1995年就有一個模仿1992年嗰次實驗嘅實驗，佢哋用茄子代替公仔，有兩類猿可以做到同人類BB仔相似程度嘅加法。有人教咗一隻黑猩猩阿拉伯數目字嘅0到4，之後呢隻黑猩猩唔使人教，就自己識做兩個數字嘅加法。最近，有發現亞洲象都識做簡單加法。

### 幼兒學習
基本上，BB仔多數都係識數嘢先。一般嚟講，佢哋被要求將兩樣或者三樣嘢合埋一齊嗰時，班BB會趨向用睇得到嘅方法或者物質上嘅方法去處理呢個問題，例如係話數手指，畫畫咁。當佢地開始適應用數數嗰時，佢哋會直接由嗰一個數開始，再用手指數，例如：直接就三數起：「三、四、五」。而呢個都係最自然嘅學習加法嘅技巧，因為呢個方法係好容易由同伴或者老師嗰度學返嚟。當啲BB仔熟習咗用加法之後，佢哋可以從記憶中嘅結果入面抽出嚟，再運用個結果做加法。例如：佢地熟悉左6+6=12，之後當佢哋要做6+7嗰時，佢哋會知到用6+6=12再加1上去就得出個答案13。呢類型嘅技巧運用，好多小學生都已經係根深柢固，好自然就做到加法。

唔同國家都會教BB仔加法，但係教加法嘅年紀都唔同，有啲國家幼稚園就已經教加法，有啲就係小學教。但係基本上，全世界嘅小朋友讀到小學一年級已經識得做加法。

#### 加法表
BB仔一般都要用到加法表嚟學加法，利用加法表可以令佢哋容易啲記到1到10嘅加法。

### 十進制加法
第一步學十進制加法嘅係先學十位數加法，再到百位數（三位數）。當人習慣呢套加法嗰時，佢哋就會悟出下面呢套加法規則，令到自己更快做到加法：
* 可溝通性：a+b=b+a，咁如果利用加法表學加法，原本要背100條加法式，而家就只需要背55條。
* 淨係加1同2：淨係加1或者2對人嚟講係好自然，基本上唔使背都會識得做。
* 零：因為10係恆等元，加咗佢即係無加過嘢，對好多人嚟講都係廢。
* 乘二：一個數自己相加，變相係乘二，如果學習埋乘法，多數人會直接跳用乘法，而唔用加法。
* 好似乘二：如果兩個數係好近，例如：6+7同6+5，一般會將個數乘二再減返個差，睇返個例子，就會將6\times2+1=12+1=13，6\times2-1=12-1=11。
* 利用10：例如：6+7，就可以將佢寫成10+3，咁就會計快啲。

當人愈大，處理加法嘅速度會係相應加快。

#### 進位
基本多位數嘅加法，會利用到直式嚟幫助。直式係會將兩個要相加嘅數，根據佢哋個位排好，由右到左，最右面係個位數，之後到十位數，再到百位數，如似類推。之後，逄十進一。個一就會帶落去下一個位。舉個例， 27+59就可以表達出進位呢個概念。
   ¹
   27
 + 59
 ————
   86
如果睇7+9=16呢個例子，個1就係進咗位後嘅數。除咗呢個基本加法方法之外，重有好多其他方法去做加法。例如：直接由左面加起，再估計出兩個數字相加大約係幾多。

#### 小數點加法
小數點加法基本上同上面所介紹嘅加法係差唔多。利用直式，將兩個數字打直並排，但係今次注意係兩個數字要以小數點做中心對位。如果有需要可以「補零」去幫助做加法。之後就可以跟住上面方法加法。

舉個例，將45.1+4.34：
    4 5 . 1 0
 +  0 4 . 3 4
 ————————————
    4 9 . 4 4
喺呢個例子入面，補咗一個零喺45.1後面，變成45.10，之後先至開始計加數。

#### 指數記數法

利用指數記數法，又叫科學記數法，數字會寫到為最簡約嘅方式，將數字分開一半，一半係有效數字，另一半係以10為基數嘅次方表達。如果呢個次方表達係一樣嘅話兩個數就可以就咁加或者減。

例子：2.4\times10^5同6.89\times10^5就可以直接相加，變成9.29\times10^5。

但係2.4\times10^5同68.9\times10^4就唔可以直接相加，要將68.9\times10^4寫成6.89\times10^5，先可以相加。

### 其他進制加法
除咗十進制之外，重有二進制，八進制同埋十六進制。如果用呢幾個進制，都可以進行到加法，而且步驟同上面嘅差唔多，只不過係由逢十進一變逢二進一或逢八、逢十六。

如果學電腦科學嘅話，轉換二進制係一定要識，以下呢個表可以幫助轉十進制去二進制：

以上呢個表都可以幫助做二進制嘅加法。

二進制就逢二進一。

舉個例：

1_2+1_2=10_2

101010_2+110101_2=1011111_2

## 數字加法
用加法之前，一定要證明呢個加法係完美定義（Well-define）好。因為喺數學嘅世界，加法未必一定係日常加法。加法最早係應用喺自然數（\N）。喺集合論入面，加法係將個集整大嘅一個處理，例如用自然數整整數（\Z）、有理數（\Q）同實數（\R）。喺數學教育同埋數學史入面，正分數係早出現過負數。

### 自然數

加法最早係應用喺自然數入面。有兩個定義自然數加法嘅方法。第一個係利用集嘅基數（基數即係個集入面有幾多嚿嘢）嚟做定義。另一個，比較接近日常加法。

如果自然數係用嚟做一個有限集嘅基數，即係話集A嘅基數係1，B嘅基數係2。佢哋兩個嘅加法可以咁定義：

「設N(S)做集S嘅基數。咁兩個唔相交集A,B，N(A)=a,N(B)=b，嘅聯合a+b，就係N(A\cup B)。」

A\cup B就係兩個集A同B嘅聯合。另一個版本嘅定義，可以接受呢兩個集係有相交，咁個定義嘅處理手法就會先將兩個集相交嘅嘢整走先，再將兩個集聯合，咁就可以避免將相交嘅嘢重覆咁計。

### 整數

最簡單嘅整數概念就係絕對值或者係自然數，再加多一個正負號（正號或者負號）。整數零係一個特別嘅存在，佢又唔係正數又唔係負數。係整數入面嘅加法就按照下面嘅定義：

「對應任何整數n，|n|係佢嘅絕對值。同時，a同b係整數。如果a或者b係零，咁就當佢係恆等元（Identity）。如果a同b都係正數，咁定義a+b=|a|+|b|。如果a同b都係負數，咁a+b=-(|a|+|b|)。如果a同b 係唔同正負，咁就要定義a+b做|a|同|b|之差，之後邊一個絕對值大啲，咁佢嗰個正負號，就係答案嘅正負號。」

舉個例子，如果有-2同5，咁-2+5就係|5|-|-2|=|5|-|2|=3，因為|5|>|-2|，所以個答案係3。如果有-10同5，咁-10+5就係|-10|-|5|=10-5=5，因為|-10|>|5|，所以個答案係-5。

用呢個方法定義加法對一啲簡單嘅方法係可以，但一去到複雜少少嘅問題，呢個定義有多可能性要考慮，就會令到成件事變得更加複雜。

比較常用或者方便嘅定義方法，就係利用高分迪群（Grothendieck Group）呢個結構去定義加法。呢個常用嘅定義，係用一個好基本法則，就係每一個整數都可以寫成兩個自然數之差，呢個寫法唔係獨有，即係-1=2-3同時-1=1-2。因此，整數可以定義為兩個自然數之差，加法又可以兼容埋減法：

「有兩個整數a-b同c-d，a,b,c,d都係自然數。定義(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)」

### 有理數（分數）

有理數，即係分數。兩個分數需要分母一樣先可以相加，如果分母唔相同，咁就唔可以直接相加。

例子：\frac{1}{2}同\frac{1}{3}分母唔一樣，所以唔可以直接相加。

例子：\frac{5}{6}同\frac{1}{6}分母一樣，可以直接相加，得出\frac{6}{6}=1。

如果兩個分數分母唔相同，咁就需要通分母。通分母嘅意思係將兩個分數嘅分母變成一樣。因為將分子同分母同樣乘大同一個數字，佢嘅數值係冇變，一般通分母會利用最小公倍數去處理。以\frac{7}{9}同\frac{1}{2}做例，9同2嘅最小公倍數係18，所以；

\begin{align}
\frac{7}{9}+\frac{1}{2} &= \frac{7\times2}{9\times2}+\frac{1\times9}{2\times9}\\
&= \frac{14}{18}+\frac{9}{18}\\
&= \frac{14+9}{18}\\
&= \frac{23}{18}
\end{align}

將以下情況用代數表示，可以得出有理數加法嘅定義：

「\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}」

舉個例子：\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{3\times3+5\times2}{3\times5}=\frac{9+10}{15}=\frac{19}{15}

### 虛數

虛數嘅加法係將實嘅部分相加，虛嘅部分相加，所以可以咁樣定義：

「(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i」

其實虛數可以利用向量嚟做一個幾何上表達。將實部分當做橫軸（x-axis），虛部分當做縱軸（y-axis），就好似右面幅圖咁表達出任何兩個虛數相加。而喺幾何上面，右面呢個係一個平行四邊形。如果將藍、紅、紫嘅箭嘴嘅頭叫做A,B,C，個尾叫做O，咁\bigtriangleup OAB係全等於\bigtriangleup CBA。呢個都係其中一個虛數平面上面嘅性質。

## 高等數學應用
有好多二元運算都可以當做實數加法嘅伸展，或者係類似實數嘅加法。喺抽象代數入面，代數場就係呢啲所謂嘅加法嘅伸展，同時佢哋都會喺集合論同埋表示論出現。

### 抽象代數入面嘅加法

#### 向量加法

喺線性代數入面，一個向量空間係一種代數結構。喺呢個空間入面，兩支唔同嘅向量同埋有啲數字可以互相加埋一齊或者乘埋一齊嘅。同向量加法、乘法好似嘅重有實數坐禁加法，一個坐禁(x,y)就係一支喺(x,y)平面上面嘅向量，同時佢係呢個平面嘅中心。兩支向量嘅加可以咁樣定義：

「(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)」

#### 矩陣加法

兩個矩陣要做到加法唯一嘅條件係需要有同一個「形狀」（Dimension），即係話，行同列嘅數量都要一樣。兩個m\times n嘅矩陣A同B相加之後，會用A+B表示，都係一個m\times n矩陣，做法係將對應位置嘅數字相加：

「A+B=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\\end{bmatrix}
+\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m2} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\\end{bmatrix}」

舉個例：

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 9 \end{bmatrix}

#### 同餘加法

喺商數學入面，將整數\text{mod }12之後嗰個集就最多只有12嚿嘢，咁佢入面就會有一個加法，而對應喺音樂入面，五線譜嘅音符都有類似嘅加法。如果將整數\text{mod }2，得出一個得兩嚿嘢嘅集，\{0,1\}，咁佢入面嘅加法就同邏輯代數入面嘅Exclusive or一樣。喺幾何學入面，兩個角度相加，就係一定係實數入面\text{mod }2\pi入面嘅嘢。

#### 日常加法
喺基本嘅抽象代數入面，一個集入面嘅加法多數都係可溝通性同結合性。例子有：阿標群。

### 將集合併

加法可以將集合併，呢個都係加法入面最簡單嘅功能。

「當有兩個或以上咁多集要合併成一個，得出嗰一個集就會有之前咁多個集總和咁多樣剐。」

呢個句子好容易就可以用圖案嚟黎表示，就好似右手面張圖咁。兩個集，各自有3同2咁多嚿嘢，合併完之後個集就有5嚿嘢。但係用圖案表示有機會會出錯，所以去到高等數學，一個嚴謹定義加法嘅方法，可以推到好多好勁嘅數學結果出嚟，就好似上面嘅自然數定義。同時，有咗呢個定義，去推出分數或者負數嘅加法唔係一件容易嘅事。

### 伸展距離
另一個加法嘅功能就係伸長個距離：

「當一條嘢俾人加長，咁佢個總長度就係原本咁多再加伸長咗咁多。」

用代數嘅角度睇，a+b嘅和，喺二元運算入面就係將a同b合併埋一齊。用另一個角度睇，a+b可以理解做加a咁多嘢落b嗰到。

## 睇埋
* 減
* 乘
* 除
* 四則運算
* 分數

## 參考