極限 (函數)

**函數極限**（Limit of Function）係數學分析同微積分入面其中一個好重要嘅概念。喺呢個範疇入面，定義函數極限係需要用到包圍點同埋\varepsilon-\delta技巧。

## 包圍點

### 定義
首先需要假設A\subseteq\R係實數嘅子集。

將c\in\R定為任意一點，畀任何一個\delta>0，如果存在一點x\in A，同時x\neq c，符合|x-c|。

咁呢點c\in\R就係叫做A嘅**包圍點（Cluster Point**）。

如果用**鄰區**（neighborhoods）嘅角度嚟定義包圍點；

假設有一點c，每一個c嘅**<math>\delta</math>鄰區（delta-neighborhoods）**V_\delta(c)=(c-\delta,c+\delta)，入面都會有一點係屬於A嘅，係唔等於c。咁c就係A嘅包圍點。

### 性質
如果c係A嘅包圍點，咁就一定有一個係A嘅數列(a_n)係趨向c呢點，同時所有嘅項都符合a_n\neq c，即係\lim(a_n)=c\text{ and } a_n\neq c,\,\forall n\in\N。反之亦然，「\iff」。

## 函數極限

### 定義
首先需要假設A\subseteq\R係實數嘅子集，同時c係A嘅包圍點。

如果有一個函數f(x):A\rightarrow\R同一點實數L，同下面呢件事成立；

畀任何嘅\varepsilon>0，佢都會有一個對應嘅\delta>0，令到喺A入面嘅點x\in A符合0，而佢使到|f(x)-L|。

咁樣函數f(x)就係**趨向（Converge）**實數L。即係\lim_{x\rightarrow c}f(x)=L。

一般就叫，L做f(x)係**<math>c</math>**點嘅**極限（Limits of <math>f(x)</math> at <math>c</math>）**。

或者會話：「當x接近c嗰時，f(x)會趨向L。」，呢句嘢會寫做f(x)\rightarrow L\text{ as }x\rightarrow c。

### <math>\varepsilon-\delta</math>技巧
**<math>\varepsilon-\delta</math>技巧**（\varepsilon-\delta Technique）係利用定義求函數極限嘅技巧。喺數學分析入面，最基本，同時對於新學習數學嘅人嚟講，係最複雜嘅概念之一。佢寫一個證明之前，需要用到一個草稿技巧，去搵出所需要嘅**<math>\varepsilon-\delta</math>**。係一定需要一個先草稿，後證明嘅方法，呢個方法嘅概念係類似「搬龍門」。利用\varepsilon-\delta技巧去證明其他函數極限嘅定理，會被稱為用硬功夫嘅方法。

**例子：**

證明**<math>\lim_{x\rightarrow1}\frac{2x+1}{2x-1}=3</math>**。

先計算**<math>|\frac{2x+1}{2x+1}-3|</math>**。

**<math>\begin{align}
    |\frac{2x+1}{2x-1}-3| &= |\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{3(2x-1)}{2x-1}|\\
    &= \frac\\
    &= \frac\\
    &= \frac{4|x-1|}
\end{align}</math>**

將**<math>\delta := \frac{1}{4}</math>**。注意唔可以將佢設做**<math>\frac{1}{2}</math>**，因為分母會變**<math>0</math>**。

得知**<math>0<|x-1|<\delta=\frac{1}{4}</math>**。

而家要處理嘅，係個分母**<math>|2x-1|</math>**。要搵一個合理嘅限綁死**<math>|2x-1|</math>**。

因為上面限定咗**<math>0<|x-1|<\frac{1}{4}</math>**，即係話**<math>1-\frac{1}{4}\leq1-\delta<x<1+\delta\leq1+\frac{1}{4}</math>**。

由上可得**，<math>\frac{3}{4}\leq x\leq\frac{5}{4}</math>**，再推斷得知，**<math>|x|\leq\frac{3}{2}</math>**。

**<math>\frac{4|x-1|}<\frac{4|x-1|}<\frac{4|x-1|}{\frac{1}{2}}<6|x-1|</math>**。

得出呢條式之後，就可以知到將**<math>\delta := \inf\{\frac{1}{4},\frac{\varepsilon}{6}\}</math>**

畀任何\varepsilon>0，將**<math>\delta := \inf\{\frac{1}{4},\frac{\varepsilon}{6}\}</math>**。

因為**<math>x\in V_\delta(1)</math>**符合**<math>0<|x-1|<\delta</math>**，當**<math>0<|x-1|<\frac{1}{4}</math>**得知，**<math display="block">\begin{align}
1-\frac{1}{4}&\leq x\leq1+\frac{1}{4}\\
\frac{3}{4}&\leq x\leq\frac{5}{4}
\end{align}</math>**

計算，**<math>|\frac{2x+1}{2x-1}-3| = |\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{3(2x-1)}{2x-1}|
    = \frac{4|x-1|}
</math>**。

因為得知**<math>\frac{3}{4}\leq x\leq\frac{5}{4}</math>**，所以**<math>\frac{4|x-1|}\leq\frac{4|x-1|}\leq 6|x-1|<6\delta=6(\frac{\varepsilon}{6})=\varepsilon
</math>**。

### 獨有極限性質
假設有一個函數**<math>f(x):A\rightarrow\R</math>**。如果**<math>f</math>**有一點包圍點**<math>c</math>**，咁佢只有一個係**<math>c</math>**點嘅極限。

**證明：**

假設有兩點**<math>L</math>**同**<math>L'</math>**都符合極限嘅定義。

咁畀任何嘅**<math>\varepsilon>0</math>**，

都會有一個**<math>\delta>0</math>**，令到**<math>x\in A</math>**符合**<math>0<|x-c|<\delta</math>**，令到**<math>|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}</math>**；

同時，都會有一個**<math>\delta'>0</math>**，令到**<math>x\in A</math>**符合**<math>0<|x-c|<\delta'</math>**，令到**<math>|f(x)-L'|<\frac{\varepsilon}{2}</math>**。

將**<math>\delta^*:=\inf\{\delta,\delta'\}</math>**，令到**<math>x\in A</math>**符合**<math>0<|x-c|<\delta^*</math>**。

再利用三角形不等式，

\begin{align} 
|L-L'| &= |L-L'+f(x)-f(x)|\\
&\leq |L-f(x)|+|f(x)-L'|\\
&\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\end{align}

## 函數數列要求
函數同數列有一個重要嘅連繫，而呢個連繫係可以同一條定理概括咗佢，就係**函數數列要求**（Sequential Criterion for Limits）。呢個定理，可以將數列嘅全部特性，主要係數列極限嘅特性，轉移到函數極限上面。最方便嘅用途就係證明函數限極計算嘅方法。利用呢條定理去證明函數其他有關嘅定理，會叫做利用軟功夫嘅方法。

**定理**

假設有一個函數**<math>f(x):A\rightarrow\R</math>**同時**<math>c</math>**係**<math>A</math>**嘅包圍點。咁以下兩句係等價「**<math>\iff</math>**」：
* **<math>\lim_{x\rightarrow c}f=L</math>**；
* 任何喺**<math>A</math>**入面嘅數列**<math>(x_n)</math>**，佢係趨向**<math>c</math>**呢點，而同時所有嘅**<math>n\in\N</math>**都係**<math>x_n\neq c</math>**，咁**<math>(f(x_n))</math>**呢條數列就會趨向**<math>L</math>**。

**證明：**
 

假設**<math>\lim_{x\rightarrow c}f=L</math>**成立，同時**<math>(x_n)</math>**係**<math>A</math>**入面嘅數列，並且**<math>\lim(x_n)=c</math>**而所有嘅**<math>n\in\N</math>**都符合**<math>x_n\neq c</math>**。

畀任何一個任意嘅**<math>\varepsilon>0</math>**。

根據函數極限嘅定義，會有一個**<math>\delta>0</math>**，令到喺**<math>A</math>**入面嘅一點**<math>x\in A</math>**符合**<math>0<|x-c|<\delta</math>**，使到**<math>|f(x)-L|<\varepsilon</math>**。

根據數列極限嘅定義，會有一個**<math>N\in\N</math>**，使到第**<math>n\geq N</math>**項符合**<math>|x_n-c|<\delta</math>**。

因此，將大過第**<math>n\geq N</math>**項放入函數，得知**<math>|f(x_n)-L|<\varepsilon</math>**。

所以**<math>\lim(f(x_n))=L</math>**。

 
假設上點唔啱，即係**<math>\lim_{x\rightarrow c}f\neq L</math>**。

咁樣就會有一個**<math>\varepsilon</math>**-鄰區**<math>V_{\varepsilon}(L)</math>**，搞到揀任何一個**<math>c</math>**嘅\delta-鄰區，都會有一點**<math>x_\delta\in A\cap V_\delta(c)</math>**係**<math>x_\delta\neq c</math>**又同時**<math>f(x_\delta)\notin V_\varepsilon (L)</math>**。換句話講，即係喺\delta-鄰區入面，放咗入函數之後對應嗰點，係會唔係對應嘅**<math>\varepsilon</math>**-鄰區入面。

因此得出，所有嘅**<math>n\in\N</math>**，**<math>c</math>**嘅**<math>\frac{1}{n}</math>**-鄰區入面嘅**<math>x_n</math>**會符合**<math>0<|x_n-c|<\frac{1}{n}</math>**同**<math>x_n\in A</math>**，

但係所有**<math>n\in\N</math>**都符合**<math>|f(x_n)-L|\geq\varepsilon</math>**。

所以喺**<math>A\backslash\{c\}</math>**入面嘅數列**<math>(x_n)</math>**係趨向**<math>c</math>**，但係**<math>(f(x_n))</math>**唔趨向**<math>L</math>**。

利用否定證明嘅概念，得知**<math>(\Leftarrow)</math>**係正確。

## 極限計算
因為有咗函數數列要求，喺數列入面嘅計算方法都可以搬嗮嚟函數入面。

### 綁定定義
假設有個實子集A\subseteq\R同一個函數f:A\to\R。假設c係A嘅包圍點。

如果存在一個V_\delta(c)係c嘅\delta鄰區，同埋一個數M>0，對所有嘅x\in A\cap V_\delta(c)符合，|f(x)|\leq M。

咁會話，函數f係c嘅鄰區被綁定。（f is bounded on a neighborhood of c）

### 綁定性質
假設有個實子集A\subseteq\R同一個函數f:A\to\R。

如果f係趨向c呢點，咁f就會被綁係一啲嘅c嘅鄰區入面。

**證明：**

證明可以用軟功夫或者係硬功夫嘅方法。

假設\lim_{x\to c}f=c。設\varepsilon :=1。

根據定義，就會有一個\delta>0，令到0，使到|f(x)-L|成立。

利用三角形不等式，|f(x)|-|L|\leq|f(x)-L|。

因此得知，|f(x)|。

由上面嘅式推斷出，所有x\in A\cap V_\delta(c),x\neq c，都會符合|f(x)|。

如果c\notin A，可以考慮M:=1+|L|。

再加埋c\in A，可以考慮M:=\sup\=\frac{2}。

姐係要將\varepsilon':=\inf\{2|N|\varepsilon,\frac{1}{2}|N|\}。咁就可以寫嘅證明。

因為\lim_{x\to c}h=N，根據定義，

設\varepsilon':=\frac{1}{2}|N|，都會有一個\delta'>0，令到0成立，使到|h(x)-N|。

利用草稿所寫嘅嘢，得知\frac{1}\leq\frac{1}{\frac{1}{2}|N|}=\frac{2}。

畀任何一個\varepsilon*>0</math>，咁有一個<math>\delta*>0，令到0成立，使到|h(x)-N|。

設\varepsilon>0，咁就會有一個對應嘅\delta>0:=\sup\{\delta',\delta*\}</math>，令到<math>0<|x-c|<\delta</math>成立，使到<math display="block">\begin{align}
\bigl|\frac{1}{h(x)}-\frac{1}{N}\bigr| &= \bigl|\frac{N-h(x)}{h(x)N}\bigr|\\
&\leq \frac \\
&< \varepsilon
\end{align}</math>


=== 推斷 ===
因上面嘅嘢可以得知以下都係啱：
* <math>\lim_{x\to c}(f_1+f_2+\cdots+f_n)=L_1+L_2+\cdots+L_n</math>
* <math>\lim_{x\to c}(f_1\cdot f_2\cdot\cdots\cdot f_n)=L_1\cdot L_2\cdot\cdots\cdot L_n</math>
* <math>\lim_{x\to c}(f(x))^n=L^n</math>

=== 排序定理 ===
假設有個實子集<math>A\subseteq\R</math>，函數<math>f:A\to\R</math>，<math>c\in\R</math>係包圍點。

如果所有嘅<math>x\in A, x\neq c</math>符合<math>a\leq f(x)\leq b</math>同時<math>\lim_{x\to c}f=c</math>，咁<math>a\leq\lim_{x\to c}f\leq b</math>。

*'證明：**

都係利用軟功夫，將數列嘅排序定理引用過嚟。

=== 夾縫定理 ===
假設有個實子集<math>A\subseteq\R</math>，函數<math>f,g,h:A\to\R</math>，<math>c\in\R</math>係包圍點。

如果所有嘅<math>x\in A, x\neq c</math>符合<math>f(x)\leq g(x)\leq h(x)</math>同時<math>\lim_{x\to c}f=\lim_{x\to c}h=L</math>，咁<math>\lim_{x\to c}g=L</math>。

== 不趨向要求 ==
有趨向，就必定有唔趨向。所以係函數數列要求入面可以推斷出到**不趨向要求**（Divergence Criteria）。

=== 定義 ===
首先需要假設<math>A\subseteq\R</math>係實數嘅子集，同時<math>c</math>係<math>A</math>嘅包圍點，而有一個函數**f(x):A\rightarrow\R**。
# 如果**L\in\R**係喺實數入面嘅一點，咁「**f**唔係趨向**c**，或者**c**唔係**f**嘅極限**\iff**對應所有嘅**n\in\N**同埋**x_n\neq c**，有一條數列**(x_n)**趨向**c**，但係**(f(x_n))**唔趨向**L**。」；
# **f**唔係趨向**c**，或者**c**唔係**f**嘅極限**\iff**對應所有嘅<math>n\in\N</math>同埋<math>x_n\neq c</math>，有一條數列<math>(x_n)</math>趨向<math>c</math>，但係喺**\R**入面<math>(f(x_n))</math>唔趨向一點。
**證明：**

(1) 已經從上面證明咗。

(2) 假設有一條數列<math>(x_n)</math>趨向<math>c</math>，但係喺**\R**入面<math>(f(x_n))</math>唔趨向一點。

咁即係畀任何一個<math>\varepsilon>0</math>同<math>\delta>0</math>，**0**同埋<math>|(f(x_n))-L|\geq\delta</math>都會成立。

所以唔符合極限嘅定義。

=== 應用 ===
<math>\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}</math>係唔存在喺實數入面。

== 左右趨向 ==
將函數極限嘅定義改一改少少，咁就會有左右趨向嘅概念。

=== 定義 ===
假設有個實子集<math>A\subseteq\R</math>，同時有一個函數<math>f:A\to\R</math>。

如果<math>c\in\R</math>係<math>A\cap(c,\infty)=\{x\in A: x>c\}</math>嘅包圍點，同時有一點<math>L\in\R</math>符合：

畀任何嘅<math>\varepsilon>0</math>，都會有一個對應嘅<math>\delta>0</math>，令到所有嘅<math>x\in A</math>符合<math>0<x-c<\delta</math>，令到<math>|f(x)-L|<\varepsilon</math>符合。

咁樣<math>L</math>就係<math>f</math>喺<math>c</math>嘅**右極限**（Right-hand Limit of <math>f</math> at <math>c</math>）。

一般會寫做，<math>\lim_{x\to c+}f=L</math>或者<math>\lim_{x\to c+}f(x)=L</math>。

如果<math>c\in\R</math>係<math>A\cap(-\infty,c)=\{x\in A: x<c\}</math>嘅包圍點，同時有一點<math>L\in\R</math>符合：

畀任何嘅<math>\varepsilon>0</math>，都會有一個對應嘅<math>\delta>0</math>，令到所有嘅<math>x\in A</math>符合<math>0<c-x<\delta</math>，令到<math>|f(x)-L|<\varepsilon</math>符合。

咁樣<math>L</math>就係<math>f</math>係<math>c</math>嘅**左極限（Left-hand Limit of f at c）**。

一般會寫做，<math>\lim_{x\to c-}f=L</math>或者<math>\lim_{x\to c-}f(x)=L</math>。

注意：左極限同右極限可以同時存在，又可以兩者都唔相等。左極限可以存在，但右極限係可以唔存在。如果左極限等於右極限，咁<math>\lim_{x\to c}f=L</math>。

=== 函數數列要求 ===
因為有極限，所有就會有數列要求嘅出現。

**右極限版本：**

假設有一個函數**f(x):A\rightarrow\R**同時**c**係**A\cap(c,\infty)**嘅包圍點。咁以下兩句係等價「**\iff**」：
* **\lim_{x\rightarrow c+}f=L**；
* 任何喺**A**入面嘅數列**(x_n)**，佢係趨向**c**呢點，而同時所有嘅**n\in\N**都係**x_n>c**，咁**(f(x_n))**呢條數列就會趨向**L**。
**左極限版本：**

假設有一個函數**f(x):A\rightarrow\R**同時**c**係**A\cap(\infty,c)**嘅包圍點。咁以下兩句係等價「**\iff**」：
* **\lim_{x\rightarrow c-}f=L**；
* 任何喺**A**入面嘅數列**(x_n)**，佢係趨向**c**呢點，而同時所有嘅**n\in\N**都係**x_n**，咁**(f(x_n))**呢條數列就會趨向**L**。

== 趨向無限 ==
趨向無限有兩個定義，一個就係**f(x)**嘅數值趨向無限。例子有：**\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty**。或者係當數值**x**趨向無限時，**f(x)**嘅數值會趨向一點。例子有：**\lim_{x\to\infty}0.1^x=0**。　

=== 無窮極限 ===
**無窮極限**（Infinite Limits）就係第一種趨向無限嘅極限。

==== 定義 ====
假設有一個實子集<math>A\subseteq\R</math>，函數<math>f(x):A\rightarrow\R</math>，同時<math>c\in\R</math>係<math>A</math>嘅包圍點。

如果畀任何<math>a\in\R</math>，一定存在一個<math>\delta>0</math>，令到所有嘅<math>x\in A</math>符合<math>0<|x-c|<\delta</math>，到會令到<math>f(x)>a</math>嘅話；

當<math>x</math>趨向<math>c</math>，<math>x\to c</math>，<math>f</math>嘅極限係正無限**\infty**（f tends to **\infty** as <math>x\to c</math>）。

一般會寫成<math>\lim_{x\to c}f=\infty</math>。

如果畀任何<math>b\in\R</math>，一定存在一個<math>\delta>0</math>，令到所有嘅<math>x\in A</math>符合<math>0<|x-c|<\delta</math>，到會令到<math>f(x)<b</math>嘅話呢；

當<math>x</math>趨向<math>c</math>，<math>x\to c</math>，<math>f</math>嘅極限係負無限**-\infty**（f tends to **-\infty** as <math>x\to c</math>）。

一般會寫成<math>\lim_{x\to c}f=-\infty</math>。

==== 例子 ====
**\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=\infty**

**證明**

畀任何一個**a>0**，設**\delta:=\frac{1}{\sqrt{a}}**。

假設**0**，咁樣**\begin{align}
x^2 & a
\end{align}**符合條件嘅<math>\delta</math>，其實可以利用<math>\varepsilon-\delta</math>技巧搵出嚟。

==== 無限排序性質 ====
假設有一個實子集<math>A\subseteq\R</math>，函數<math>f(x):A\rightarrow\R</math>，同時<math>c\in\R</math>係<math>A</math>嘅包圍點。

假設任何嘅<math>\forall x\in A</math>同時<math>x\neq c</math>，<math>f(x)\leq g(x)</math>。

如果<math>\lim_{x\to c}f=\infty</math>，咁<math>\lim_{x\to c}g=\infty</math>。

如果<math>\lim_{x\to c}g=-\infty</math>，咁<math>\lim_{x\to c}f=-\infty</math>。

==== 左右趨向定義 ====
假設有一個實子集<math>A\subseteq\R</math>，函數<math>f(x):A\rightarrow\R</math>，同時<math>c\in\R</math>係<math>A\cap(c,\infty)=\{x\in A:x>c\}</math>嘅包圍點。

如果畀任何<math>a\in\R</math>，一定存在一個<math>\delta>0</math>，令到所有嘅<math>x\in A</math>符合<math>0<|x-c|<\delta</math>，到會令到<math>f(x)>a</math>（對應係<math>f(x)<a</math>）嘅話；

當<math>x</math>趨向<math>c+</math>，<math>x\to c+</math>，<math>f</math>嘅極限係正無限**\infty**（f tends to **\infty** as <math>x\to c+</math>）。

一般會寫成<math>\lim_{x\to c+}f=\infty</math>，（對應嘅係<math>\lim_{x\to c-}f=\infty</math>）。

=== 趨向無限 ===
**趨向無限（Limits at Infinity）**係第二種趨向無限嘅極限。

**定義**

假設有一個實子集<math>A\subseteq\R</math>，函數<math>f(x):A\rightarrow\R</math>。

假設對應有啲<math>a\in R</math>，<math>(a,\infty)\subseteq A</math>。

畀任何<math>\varepsilon>0</math>，一定有一個<math>K>a</math>對應任何<math>x>K</math>，使到<math>|f(x)-L|<\varepsilon</math>嘅話；

<math>L\in\R</math>係<math>x</math>趨向無限時<math>x\to\infty</math>嘅極限（limit of <math>f</math> as <math>x\to\infty</math>）。

一般會寫做<math>\lim_{x\to\infty}f=L</math>或者<math>\lim_{x\to\infty}f(x)=L</math>。

**函數數列要求**

假設有一個實子集<math>A\subseteq\R</math>，函數<math>f(x):A\rightarrow\R</math>。

假設對應有啲<math>a\in R</math>，<math>(a,\infty)\subseteq A</math>，咁以下兩句係等價：
* <math>\lim_{x\to\infty}f=L</math>
* 任何一條喺<math>A\cap(a,\infty)</math>入面嘅數列<math>(x_n)</math>，佢係<math>(x_n)\to\infty</math>，咁樣<math>(f(x_n))</math>就會趨向<math>L</math>。

=== 趨向無限嘅無窮極限 ===
將上面兩者夾埋，就會得出下面嘅定義。

**定義'''

假設有一個實子集A\subseteq\R，函數f(x):A\rightarrow\R。

假設對應有啲a\in R，(a,\infty)\subseteq A。

畀任何\varepsilon>0，一定有一個K>a對應任何x>K，使到f(x)>a嘅話（對應係f(x)）；

喺x趨向無限時x\to\infty嘅極限係無窮（limit of f as x\to\infty）。

一般會寫做\lim_{x\to\infty}f=\infty或者\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty。（對應係\lim_{x\to\infty}f=-\infty）