向量代數公式

以下係向量代數入面嘅常見公式。公式只牽涉向量嘅長度\| \mathbf{A} \|同埋內積\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}嘅話，就喺所有嘅維度都啱。如果條公式有叉積\mathbf{A} \times \mathbf{B}嘅話，就只可以用喺三維。（雖然七維都有個積叫叉積，但係下邊嘅公式喺七維未必啱。）

記號嚟講，喺n維歐幾量得空間入邊，每支向量都可以用佢喺各個方向嘅分量（component）嚟表示：\mathbf{A} = (A_1, A_2, \ldots, A_n)，如果喺三維嘅話，可以用x, y, z代替：\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)。

## 長度
根據定義，一支向量\mathbf{A}嘅長度係佢同佢自己內積嘅開方：
:\| \mathbf{A} \| = \sqrt{ \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}}
:\| \mathbf{A} \|^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}

用座標嚟寫嘅話，就有：
:\| \mathbf{A} \| = \sqrt{ A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 + \ldots + A_n^2 }
:\| \mathbf{A} \|^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2 + \ldots + A_n^2 = \sum_{i=1}^n A_i^2
即係勾股定理。

## 不等式
* 柯西不等式： \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \leq \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| 
* 三角不等式： \| \mathbf{A} + \mathbf{B} \| \leq \|\mathbf{A}\| + \|\mathbf{B}\|
* 反三角不等式： \| \mathbf{A} - \mathbf{B} \| \geq \Big\vert \|\mathbf{A}\| - \|\mathbf{B}\| \Big\vert 

## 角度
用\theta嚟表示向量\mathbf{A}同\mathbf{B}之間嘅夾角嘅話，有： 
:\sin \theta =\frac{\|\mathbf{A} \times \mathbf{B}\|}{\left\|\mathbf A \right\| \left\|\mathbf B \right\|} \quad ( -\pi 

:\cos \theta = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{\left\|\mathbf A \right\| \left\|\mathbf B \right\|} \quad ( -\pi 

結合以上兩條式同埋畢達哥拉斯三角等式嘅話，就有：
:  \left\|\mathbf{A \times B}\right\|^2 +(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2 = \left\|\mathbf A \right\|^2  \left\|\mathbf B \right\|^2 

如果一支向量\mathbf{A}同正交軸x_i-軸嘅夾角分別係\theta_i嘅話，咁：
:\cos \theta_i = \frac{A_i}{\sqrt{A_1^2+A_2^2+\ldots+A_n^2}}=\frac{A_i}{\|\mathbf{A}\|}

夾埋嗮一齊：
:\mathbf{A} = \|\mathbf{A}\| \left( \cos\theta_1 \hat{\mathbf{x}_i} + \ldots + \cos\theta_n \hat{\mathbf{x}_n} \right)

其中\hat{\mathbf{x}_i}係x_i軸上面嘅單位向量。

## 面積同體積

一個平行四邊形，一對鄰邊長度係a、b且夾角係\theta嘅話（右圖），佢嘅面積\Sigma就係：
: \Sigma = ab \sin \theta , 
可以諗做三維空間入面向量\mathbf{A}、\mathbf{B}叉積嘅長度：
:\Sigma = \left\|\mathbf{A} \times \mathbf{B} \right\| = \sqrt{ \left\|\mathbf A\right\|^2 \left\|\mathbf B\right\|^2 - \left(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} \right)^2} 

呢條式嘅平方係：
:\Sigma^2 = (\mathbf{A \cdot A })(\mathbf{B \cdot B })-(\mathbf{A \cdot B })(\mathbf{B \cdot A })=\Gamma(\mathbf A,\ \mathbf B ) \ , 
呢到 Γ(**A**, **B**) 係 **A**同**B**嘅Gram 判別式：

:\Gamma(\mathbf A,\ \mathbf B )=\begin{vmatrix} \mathbf{A\cdot A} & \mathbf{A\cdot B} \\
 \mathbf{B\cdot A} & \mathbf{B\cdot B}  \end{vmatrix} 

同樣，三支向量\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}生成嘅平行六面體嘅體積可以用三支向量嘅 Gram 判別式嚟計： 
:V^2 =\Gamma ( \mathbf A ,\ \mathbf B ,\  \mathbf C ) = \begin{vmatrix} \mathbf{A\cdot A} & \mathbf{A\cdot B} & \mathbf{A\cdot C} \\\mathbf{B\cdot A} & \mathbf{B\cdot B} & \mathbf{B\cdot C}\\
 \mathbf{C\cdot A} & \mathbf{C\cdot B} & \mathbf{C\cdot C}  \end{vmatrix} 
\ , 

因爲\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}都係三維向量，呢個數又等於佢哋嘅純量三重積：\det[\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}] = |\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}| （睇埋下邊）。

同樣嘅計法可以推廣去 n 維空間。

## 加法同乘法
* 加法交換律：\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}.
* 內積交換律：\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A}.
* 叉積反交換律：\mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{-B}\times\mathbf{A}.
* 純量乘法對加法嘅分配律： c (\mathbf{A}+\mathbf{B}) = c\mathbf{A}+c\mathbf{B}. 
* 內積對加法嘅分配律：\left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}.
* 叉積對加法嘅分配律：(\mathbf{A}+\mathbf{B})\times\mathbf{C} = \mathbf{A}\times\mathbf{C}+\mathbf{B}\times\mathbf{C}.
* 純量三重積：\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\times\mathbf{C})=\mathbf{B}\cdot (\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{C}\cdot (\mathbf{A}\times\mathbf{B})= |\mathbf{A}\, \mathbf{B}\,\mathbf{C}|= \begin{vmatrix}
A_{x} & B_{x} & C_{x}\\
A_{y} & B_{y} & C_{y}\\
A_{z} & B_{z} & C_{z}\end{vmatrix}.
* 向量三重積：\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C} )\mathbf{B}- (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\mathbf{C}.
* Jacobi 等式：\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times\mathbf{C} )+\mathbf{C}\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B} )+ \mathbf{B}\times (\mathbf{C}\times\mathbf{A} )= \mathbf 0 .
* Binet-Cauchy 等式： \mathbf{\left(A\times B\right)\cdot}\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)-\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}\right) .
* Lagrange 等式：|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|^2  =   (\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}) (\mathbf{B} \cdot \mathbf{B})-(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})^2.
* 向量四重積： (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D}) \ =\  |\mathbf{A}\,\mathbf{B}\, \mathbf{D}|\,\mathbf{C}\,-\,|\mathbf{A}\,\mathbf{B}\, \mathbf{C}|\,\mathbf{D}\ =\ 
|\mathbf{A}\,\mathbf{C}\, \mathbf{D}|\,\mathbf{B}\,-\,|\mathbf{B}\, \mathbf{C}\,\mathbf{D}|\,\mathbf{A}.
* 上式嘅一個推論 |\mathbf{A}\, \mathbf{B}\,\mathbf{C}|\,\mathbf{D}= (\mathbf{A}\cdot\mathbf{D} )\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)+\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)+\left(\mathbf{C}\cdot\mathbf{D}\right)\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right).
*三維入邊嘅向量\mathbf{D}用（唔一定正交嘅）基底\{\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}\}寫出嚟：\mathbf D \ =\ \frac{\mathbf{D} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})}\ \mathbf A +\frac{\mathbf{D} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A})}\ \mathbf B + \frac{\mathbf{D} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B})}\ \mathbf C.

## 睇埋
*向量空間
:*向量
:*內積
:*叉積
*幾何代數

## 註腳

## 參考