矩陣

**矩陣**（，眾數matrices）係線性代數入面其中一個基本概念。矩陣可以用嚟表示一個線性映射（linear transformation）。

一個m\times n嘅矩陣係一個由m行n列元素排列成嘅矩形陣列，元素可以係數字、符號或者數式。下面係個2\times3嘅矩陣：\begin{bmatrix} 
2 & 3 & 4 \\ 
1 & 2 & 3 \\ 
\end{bmatrix}矩陣喺電腦科學、工程學、物理學入面都有好重要嘅作用。

喺電腦科學上，「矩陣」最廣義可以泛指 2D 嘅陣列。

## 定義
一個矩陣係由一啲元素組成嘅方型矩陣。

矩陣入面嘅嘢係叫**元素**（Elements），佢哋會排成**橫行**（horizontal rows）同**直行**（vertical columns）。

喺中國大陸，橫向嘅元素係叫「行」，縱向嘅係叫「列」；而喺台灣就係相反。

### 例子
買T恤嘅例子：如果紅色嘅要3件中碼、1件大碼；黃色嘅要9件細碼、5件中碼；綠色嘅要9件細碼、5件中碼；藍色就要1件中碼；紫色就要1件大碼。咁就以上嘅資料，就可以寫成以下呢個矩陣。S= 
\begin{bmatrix} 
0 & 9 & 9 & 0 & 0 \\ 
3 & 5 & 5 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 
\end{bmatrix}

### 基本嘅樣
一個m\times n矩陣A**（m by n matrix）**，係呢個樣：

A= 
\begin{bmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ 
\end{bmatrix}

A入面嘅元素a_{ij}，ij係a_{ij}嘅**置數**（index，indices）代表住a_{ij}係A入面嘅第i行第j棟。

## 基數
矩陣嘅**基數**（order）係指個矩陣會有幾大。一個m\times n嘅矩陣係一個由m列n行元素排列成；而m\times n就係呢個矩陣嘅基數。

### 例子
A= 
\begin{bmatrix} 
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
\end{bmatrix}

咁矩陣A嘅基數就係2\times 3。

## 單位矩陣
**單位矩陣（**identity matrix，通常用I或E表示）係一種正方形矩陣，主對角線上面嘅元素全部係 1 ，其他位置全部係 0。例如：
:I_2= 
\begin{bmatrix} 
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}\ ,\ 
I_3= 
\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}\ ,\ 
I_4= 
\begin{bmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix}

任何矩陣(A)同**單位矩陣**乘埋(如果可以乘)都會等於自己本身。即係：
:  A_{m\times n}I_n=A_{m\times n}\ ,\ I_m A_{m\times n}=A_{m\times n}

可見**單位矩陣**就好似數字嘅1噉。

## 零矩陣
**零矩陣**，即係所有元素都係0嘅矩陣，通常用大階O代表。例如：
:
O_{1,2}=
\begin{bmatrix} 
0 & 0 \\
\end{bmatrix}\ ,\ 
O_{3,2}= 
\begin{bmatrix} 
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{bmatrix}\ ,\ 
O_{2,4}= 
\begin{bmatrix} 
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}

**零矩陣**同任何矩陣(A)乘埋(如果可以乘)都會等於**零矩陣**。即係：
:  OA=O\ ,\ AO=O

任何矩陣(A)同**零矩陣**加埋(如果可以加)都會等於自己本身。即係：
:  A+O=A\ ,\ O+A=A

可見**零矩陣**就好似數字嘅0噉。

## 對角元素同方型矩陣
一個m\times n嘅矩陣入面，第(1,1),(2,2),(3,3),\cdots嘅元素就係叫做**對角元素**（diagonal element）。

用數學形式寫，就係所有嘅[a_{ii}]嘅元素。

係一個m\times n嘅矩陣睇，所有嘅[a_{ii}]嘅元素就係矩陣由左上到右下條對角線上面嘅元素。

A= 
\begin{bmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} \\ 
\end{bmatrix}

如果一個矩陣，佢嘅基數係n\times n。咁呢個矩陣就係一個正方形。

A= 
\begin{bmatrix} 
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ 
\end{bmatrix}

咁a_{11},a_{22},a_{33},\cdots,a_{nn}就會係呢個矩陣嘅**對角線**（Diagonal）。

## 運算
加法，只須要對位運算。好似噉：


\begin{bmatrix} 
a & d \\
b & e \\
c & f \\
\end{bmatrix}\ +\ 
\begin{bmatrix} 
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6 \\
\end{bmatrix}\ =\ 
\begin{bmatrix} 
a+1 & d+4 \\
b+2 & e+5 \\
c+3 & f+6 \\
\end{bmatrix}


矩陣乘法係左橫乘右棟。就好似：


\begin{bmatrix} 
a & c \\
b & d \\
\end{bmatrix}\ 
\begin{bmatrix} 
e & g \\
f & h \\
\end{bmatrix}\ =\ 
\begin{bmatrix} 
ae+cf & ag+ch \\
be+df & bg+dh \\
\end{bmatrix}


## 睇埋
* 矩陣運算
* 矩陣約簡法
* 線性方程系統
*向量