P進數

***p'' 進數'''（）係由 [[Kurt Hensel]] 喺 [[1897年]]首先引入。對於每個[[質數]] ''p'' ， ''p'' 進數系統將[[有理數]]嘅普通算術用一種同[[實數]]同[[複數]]系統唔同嘅方法進行擴展。喺呢個過程入面 [[P進絕對值|''p'' 進絕對值]]扮演咗一個好重要嘅角色。''p'' 進數主要係被一次將[[冪級數]]嘅思想同技術引入到[[數論]]當中嘅嘗試所推動，但係佢哋而家嘅影響唔止咁簡單。例如：[[p進數分析]]呢一個領域實際上提供咗另一種形式嘅[[微積分]]。

更精確啲嚟講，假定一個質數 ''p''，咁''p'' 進數嘅[[域]] '''Q'''<sub>''p''</sub> 就係[[有理數]]嘅擴展；將所有 '''Q'''<sub>''p''</sub> 域放埋喺一齊嚟做考量，就會得出 [[Helmut Hasse]] 嘅[[局部-全體原則]]。呢個原則嘅大意係特定方程組喺有理數上有解[[若且唯若]]佢哋係實數上同埋所有質數 ''p'' 嘅 ''p'' 進數上有解。域 '''Q'''<sub>''p''</sub> 亦都係一個[[度量空間|度量]][[拓撲空間]]，呢個度量唔同平時多人用開嘅實數度量。呢個度量亦都係[[完備]]嘅（每個[[柯西列]]收斂）。咁樣使到 '''Q'''<sub>''p''</sub> 上可以引入[[微積分]]，呢個分析同代數結構嘅交互影嚮之下畀 ''p'' 進數系統實際嘅價值同用途。

喺[[橢圓曲線]]嘅研究入面，因為[[讓—皮埃爾塞雷]]嘅作品關係， 所以 ''p'' 進數通常俾人叫做 <math>\ell</math> 進數。

== 基礎 ==
以下呢幾個基本概念有助理解同埋探討 p 進數嘅理念，同埋佢喺數學分析、代數同埋數論入面嘅意義：

=== 絕對值、度量 ===

一個[[數字系統]]，例如[[整數]]、[[有理數]]，原本只有代數結構，淨係可以考慮上面嘅[[四則運算]]。[[絕對值]]、[[度量]]嘅概念爲數字系統賦予一個「形狀」，定義何謂「遠近」、「大細」、「長短」，係研究[[幾何學]]同埋[[數學分析|分析]]嘅基礎。度量就係指兩個數之間嘅[[距離]]，而絕對值可以理解做一個數同 0 之間嘅距離。假如用<math>|\cdot|</math>嚟表示一個絕對值，<math>d(\cdot,\cdot)</math>嚟表示一個度量，咁可以用以下兩條式去聯繫起佢哋：

:<math>|x|=d(x,0)</math>

:<math>d(a,b)=|a-b|</math>

有理數上面一個常見嘅度量就係直觀上數字嘅大細，例如<math>|5|=5</math>，<math>|-3|=3</math>，<math>d(2,8)=8-2=6</math>等等，呢個可以叫做[[歐幾里得度量]]、[[歐幾里得絕對值]]，賦予畀有理數嘅形狀係一條直線，係[[歐幾里得幾何]]嘅基礎。

P進數對應嘅度量係比較同[[數論]]有關嘅，佢取決於兩個數嘅差被 p 除嘅[[次方]]，次方越大，距離越近。例如喺 5-進數入面，想計 3 同 178 呢兩個數嘅距離。<math>178-3=175=5^2\times 7</math>，所以<math>d_5(3,178)=|178-3|_p=|5^2\times 7|=5^{-2}=\frac{1}{25}</math>，係比較近嘅。

根據 [[Ostrowski 定理]]，有理數<math>\Q</math>上面嘅[[平凡絕對值|非平凡絕對值]]，一係[[等價 (絕對值)|等價]]於歐幾里得絕對值，一係等價於某個質數 p 嘅 ''p'' 進絕對值。

=== 完備性 ===
[[完備 (數學)|完備性]]係度量之上嘅一個概念，係講緊一個數字系統入面嘅[[數列]]能唔能夠[[收斂 (數學)|收斂]]，有咗佢先至可以做[[微積分]]。考慮有理數<math>\Q</math>入面嘅一條條尾越來越近嘅數列：<math>1,1.4,1.41,1.414,1.4142,\ldots</math>，呢個數列收斂到<math>\sqrt{2}</math>，而佢並唔係一個有理數。咁即係話一條每一個項都係有理數嘅數列，個結果可以係收斂到一個[[無理數]]，亦即係有理數係唔完備嘅。呢個現象對於做[[數學分析]]嚟講係好差嘅，如果要做數學分析，就一定要先將有理數「[[完備化]]」。

所謂完備化即係將啲「窿」補返，強行令到所有柯西列都收斂，實數<math>\R</math>就係有理數<math>\Q</math>嘅其中一個完備化，可以睇做建基於上面所講嘅歐幾里得絕對值嘅完備化。但係呢個只係其中一個方向，如果對 ''p'' 進絕對值做完備化嘅話，得到嘅數字系統就係 ''p'' 進數。

如果將<math>\Q</math>嘅所有完備化，即係<math>\R</math>同所有嘅 ''p''-進數 <math>\Q_p</math>擺嗮埋一齊嘅話，就得到有理數嘅[[adele 環]]<math>A_{\Q}</math>。

=== 投影極限 ===

一個[[數列]]如果愈來愈接近一個數，咁呢個數就係個數列嘅極限。投影極限就係[[集合]]，或者更一般嚟講，[[數學結構]]層面上面嘅一個相似嘅概念。數字同數字之間有距離呢個概念，令到可以定義極限。數學結構之間就要用[[態射]]嚟取代距離呢個概念。喺投影極限裏面，呢啲態射可以理解做[[投影映射]]。舉個例：假設 <math>X_1=\R</math>，<math>X_2=\R\times \R=\R^2</math>，如此類推，<math>X_n=\R\times\ldots\times\R=\R^n</math>，並且設 <math>p_k:X_{k+1}\mapsto X_k</math>，<math>p_k(x_1,\ldots,x_k,x_{k+1})=(x_1,\ldots,x_k)</math>，即係話投影映射係切走咗最後一個座標。咁嘅話<math>p_1</math>就好易理解：佢係將 xy-平面上面嘅點垂直投影落去 x-軸上面，其他嘅 <math>p</math> 只係佢嘅高維度版本。係呢個情況，我哋叫<math>X_1\leftarrow X_2\leftarrow\cdots \leftarrow X_n\leftarrow\cdots </math>做一個投影系統，直觀上呢個投影系統有一個「極限」<math>X_\infty=\R^\infty</math>，由呢個極限可以投影返落去系統入面任何一個集，做法係「切走條尾」：<math>\tilde{p}_k:X_\infty\to X_k</math>，<math>\tilde{p}_k(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots)=(x_1,x_2,\ldots,x_k)</math>。極限除咗可以投影返落去個系統之外，仲有一個性質：佢係可以投影嘅集之中最細嗰個，呢個最細係要用[[萬有性質]]嚟定義嘅。

== 定義 ==
''p''進數主要可以用兩個方向去定義、理解。一個係[[數學分析|分析]]角度，針對「有理數喺''p''範數之下唔[[完備性|完備]]」呢一點，將有理數[[完備化]]就係p進數。另一個係數論角度，整數攞''p''嘅唔同[[次方]]嘅[[商餘計算|商餘]]嗰陣形成一個[[投影系統]]，攞呢個投影系統嘅[[投影極限|極限]]就係''p''進整數。
=== 分析角度：有理數嘅完備化 ===
[[實數]]可以睇做有理數對於平時用嘅絕對值做嘅完備化，而所謂完備化係透過[[柯西列]]嘅[[等價類]]來實現嘅。''p''進數都類似，只不過用嘅絕對值變咗做''p''進絕對值。

揀定一個[[質數]]''p''，<math>\Q</math>上面嘅''p''進絕對值係噉定義嘅：任何一個非零有理數<math>x\in \Q</math>，有唯一一個方法寫做<math>x=p^n \frac{a}{b}</math>，當中要求a, b唔被p整除。噉樣寫咗之後，就定義<math>|x|=p^{-n}</math>，另外定義<math>|0|_p=0</math>。

例如 

: <math>
\begin{align}
&|x|_2 = 2 \\[6pt]
&|x|_3 = 1/9 \\[6pt]
&|x|_5 = 25 \\[6pt]
&|x|_7 = 1/7 \\[6pt]
&|x|_{11} = 11 \\[6pt]
&|x|_{\text{any other primes}} = 1
\end{align}
</math>

呢個''p''進絕對值定義嘅效果係，一個數佢有越大嘅p嘅次方，個數就越「細」。

p進絕對值可以喺<math>\Q</math>上面誘導一個[[度量]]<math>d_p</math>：
:<math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math>
p進數<math>\Q_p</math>就可以定義做度量空間<math>(\Q,d_p)</math>嘅完備化。入面嘅元素就係柯西列嘅等價類，當中兩條柯西列等價若且唯若佢哋嘅差[[收斂]]到0。可以檢查<math>\Q_p</math>依然係一個[[場 (數學)|場]]，而且裝住<math>\Q</math>。呢個<math>\Q_p</math>係一個[[局部場]]。

<math>
\Q_p
</math>入面每一個元素<math>
x
</math>都可以而唯一一個方法寫做<math>
x=\sum_{i=k}^{\infty}a_ip^i
</math>，當中：

# <math>
k
</math>係一個整數（可以係負）
# <math>
a_k\neq 0
</math>
# <math>
a_i
</math>係喺一個固定嘅集<math>
X
</math>入面，<math>
X
</math>係商餘p嘅一個[[完全剩餘系]]，最常用嘅係<math>
X=\{0,1,\cdots, p\}
</math>或者<math>
\left\{-\frac{p-1}{2},-\frac{p-1}{2}+1,\cdots,\frac{p-1}{2}\right\}
</math>

''p''進整數就係嗰啲''k''係非負數嘅元素，所以<math>
\Q_p=\Z[1/p]+\Z_p
</math>，當中<math>
\Z[1/p]
</math>即係分母係p嘅次方嘅有理數。

=== 代數/數論角度：商餘嘅投影極限 ===
喺代數嘅角度，會整咗''p''進整數環先，呢個環嘅域中分數場（field of fractions）就係''p''進數。

揀定一個[[質數]]''p''，考慮一系列嘅環<math>\Z/ p^n \Z</math>嘅[[投影極限]]：一個''p''進整數m就係一個數列<math>(a_n)_{n\geq 1}</math>，每一個<math>a_n</math>都係<math>\Z/ p^n \Z</math>入面嘅元素，而且對任何<math>n\leq l</math>，<math>a_n\equiv a_l (\mathrm{mod}\; p^n)</math>呢件「相容條件」都係啱嘅。

任何[[自然數]] m 都可以用 <math>a_n\equiv m(\mathrm{mod}\; p)</math>呢條式對應一個''p''進整數，例如，對''p''=2，35可以對應數列<math>(1,3,3,3,3,35,35,\ldots)</math>。要留意嘅係，對任何自然數m嚟講，只要個n足夠大，之後嘅<math>p^n</math>都會大過m，亦即係話，呢條數列遲早都會「唔郁」，例如頭先噉，第6個項開始，打後全部都係35，因爲<math>
2^6=64>35
</math>。

喺呢個環入面，加法就係逐個座標做「加法然後攞商餘」，乘法都係類似，呢個定義係[[良定義|良好]]嘅，因爲加法同乘法都同商餘運算交換，詳情可以睇[[商餘計算]]。

除法嚟講，任何第一個項<math>a_1\not\equiv 0(\mathrm{mod}\; p)</math>嘅數列都有[[乘法逆]]，原因係：每一個<math>a_n</math>同''p''都互質，所以<math>a_n</math>同''p''<sup>n</sup>都互質，所以可以逐項搵餘''p''<sup>n</sup>嘅乘法逆，而且搵出來嘅逆會自動符合相容條件，所以都係一個p進整數。例如，考慮2進整數7，佢可以寫做<math>(1,3,7,7,7,7,7,\ldots)</math>，佢嘅乘法逆就係越來越大嘅數列<math>(1,3,7,7,23,55,55,183,439,439,1463,\ldots)</math>，因爲呢個數列並唔符合頭先講嘅「遲早唔郁條件」，所言呢個數並唔係一個自然數。返返去有理數<math>\Q</math>嘅角度去睇其實都好合理，因爲<math>\frac{1}{7}</math>唔係一個自然數。

''p''進整數環無[[零因數]]，即係話佢係一個域，所以可以定義佢嘅域中分數場<math>\Q_p</math>，呢個就係''p''進數，特別嘅係，喺呢個域中分數場入面，每一個非整數''p''進數都可以用唯一嘅寫法寫做<math>p^{-n}u</math>，當中n係自然數，u係可逆''p''進整數。即係話：

:<math>\begin{align}
\Q_p&=&\operatorname{Frac}(\Z_p)&=&(p^\N)^{-1}\Z_p\\
\Q_p^\times&=&\bigsqcup(p^\Z)\Z_p^\times& &
\end{align}</math>

注意<math>p^{\N}=\{p^n:n\in\N\}</math>係一個[[乘法子集]]，所以<math>\Q_p</math>可以睇做<math>\Z_p</math>對<math>p^\N</math>嘅[[局部化]]。

== ''p'' 進分析 ==

''p''進分析係同[[實分析]]平行嘅一門學科，主要研究''p''進數函數嘅[[連續函數|連續性]]、[[微積分]]等等。''p''進數符合比[[三角不等式]]更強嘅[[強三角不等式]]，係''p''進分析同實分析唔同嘅主要原因。強三角不等式令''p''進數嘅集形成一個[[超度量空間]]（ultrametric space），超度量空間入面有啲普通[[度量空間]]無嘅性質，例如一個波入面任何一點都係個波嘅圓心；相對嚟講，實分析入面嘅波只有一個圓心。函數方面，''p''進數上面嘅連續函數一定係[[局部常函數]]（locally constant function），而係實數上面，局部常函數就即係[[常函數]]（constant function），而且大部分連續函數都唔係常函數。

== Hensel引理 ==

Hensel引理即係''p''進數版本嘅[[牛頓法]]，喺理論同埋計算嘅層面都好有用。理論方面，Hensel引理可以用嚟證明某啲多項式喺<math>\Z_p</math>入面有解；計算方面，Hensel引理自己就係個[[演算法]]，可以將一條多項式喺<math>\Z/p^k\Z</math>入面嘅解（稱爲近似解）提升去<math>\Z_p</math>上面嘅解。

Hensel引理最簡單嘅版本係噉嘅：設<math>f\in\Z_p[x]</math>係一條多項式，而且存在一個數<math>a_0\in \Z/p\Z</math>符合<math>f(a_0)\equiv 0\pmod{p}</math>同埋<math>f'(a_0)\not\equiv0 \pmod{p}</math>（即係<math>a_0</math>係一個簡單解），噉<math>a_0</math>就可以以唯一方法提升去一個數<math>\alpha\in\Z_p</math>，佢符合<math>f(\alpha)=0</math>同埋<math>\alpha\equiv a_0\pmod{p}</math>. 

== ''p'' 進螺線管 ==


揀定一個[[質數]]''p''，可以考慮以下嘅[[投影系統]]：<math>\R/\Z\leftarrow \R/p\Z\leftarrow \R/p^2\Z\leftarrow \cdots</math>，當中每一步嘅投影映射係攞自然嘅商餘，入面其實每一步嘅<math>\R/p^k\Z</math>都係一個圓形，而對下一級嘅投影映射就係一個''p'':1嘅[[覆蓋映射]]。可以驗證呢個真係一個投影系統，而攞佢嘅投影極限得出嚟嘅空間就叫做***p*進螺線管*'（*p*-adic solenoid）。呢個*p*進螺線管仲有另一個角度睇佢，就係\Z_p嘅映射環面（mapping torus）：考慮積空間\Z_p\times[0,1]，並考慮等價關係(x,1)\sim(x+1,0)，攞呢個等價關係嘅商空間(\Z_p\times[0,1])/\sim，可以證呢個商空間同上面個投影系統係同構嘅。有趣嘅係，對\Z\times[0,1]攞類似嘅商餘嘅話，得到嘅空間就係\R，而且畫出嚟真係好似一條螺線管噉。

*p*進螺線管有個有趣嘅性質，就係佢同時裝住\R同\Q_p兩個完備場，準確啲嚟講，\R同\Q_p都可以好自然咁嵌入去p進螺線管入面。

## 注

## 參考資料