平均

**平均**（）喺概念上係指將兩個或者更多嘅數「拉勻去計」。喺統計學上，平均可以細分做平均數、中位數同眾數呢三種計法，當中日常生活講嘅「平均」多數都係指平均數。

## 點計平均值

喺科學觀測或者社會調查度攞到嘅數據，通常會攞算術平均嚟做代表值。但係，要諗清楚下算術平均係咪真係幫到你反映數據特徵，有時可能未必。通常如果數據係正態分佈，咁你用算術平均同標準差就啱晒啦。但係，如果數據唔係正態分佈，咁算術平均就可能唔係咁啱用，未必反映到大家普遍嘅情況。

舉個例，諗下香港人嘅收入。根據2023年嘅數據，香港打工仔每個月嘅中位數收入係$19,800，但平均收入就有$36,583。呢個咁大嘅差距其實係因為一小撮高收入人士拉高咗個數。結果就係，現實中好少家庭收入真係啱啱中晒呢個平均數。所以喺呢個情況下，數據唔係跟正態分佈。如果真係想睇到一般家庭收入，中位數或者最常見值會準啲。

仲有，由於97%至99%嘅收入對數係跟對數正態分佈，咁用收入嘅幾何平均值嚟代表可能仲更啱。

如果數據分佈唔係對稱嘅，或者有啲極端數據值（即係啲離譜嘅數），你可以諗下用刈除平均，即係剔除最大同最細值，再計返個平均數。如果平均同中位數、最常見值、中點值有段距離，可能要諗下唔好用平均數，用啲第啲方法嚟表達數據會好啲。

## 統計學

講開統計學呢樣嘢，講「平均值」通常講緊算術平均，講白啲就係平均數啦。呢個係用啲數據計出嚟嘅統計指標值嚟㗎。

### 阿媽平均同細路平均
統計學入面有阿媽平均同細路平均之分。阿媽平均就係將成揪嘢平均，即係全部數據加埋嘅平均啦。細路平均就係喺抽返啲數出嚟嘅（即係抽樣）嘅平均數。啲學者慣常用  嚟代表阿媽平均，用  嚟代表細路平均。

### 算術平均

又叫**算術平均**，。

算術平均嗰條數就係咁㗎：
:\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \dfrac{x_1+x_2 + \dotsb +x_n}{n}
即係話，將成堆數加埋，再擘開嚟計。你都可以咁樣寫：
:n \mu = \sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 +x_2 + \dotsb +x_n

x_1, x_2, \dots, x_n 呢啲數嘅算術平均可以用 \bar{x} 嚟寫。

算術平均啱用喺有得加有得乘嘅數，譬如實數、複數、向量噉。

### 加權平均
如果啲數據有唔同嘅權重，咁就唔可以淨係攞算術平均，而係要考慮埋權重嚟計平均值。當每個數據  係有自己嘅權重  嘅時候，呢個**加權平均（權重平均）**就係咁計：
:\cfrac{w_1x_1+\dots+w_nx_n}{w_1+\dots+w_n}
如果所有數據嘅權重都一樣，咁呢個加權平均就係一般嘅算術平均。

舉個例：喺權重最小二乘法裡面，我哋會比誤差細嘅數據更大嘅權重，然後最小化呢啲殘差嘅加權平均，咁樣就可以最大化似然。而喺優先抽樣入面，我哋喺用蒙地卡羅估計期望值嘅時候，會用求得嘅期望值嘅機率密度同樣本嘅機率密度比值作為權重，再攞加權平均嚟做估計量。

至於幾何平均嘅加權平均定義如下：
:\left({x_1}^{w_1} \dotsb {x_n}^{w_n}\right)^{1/p}
不過呢度嘅 p=\sum_{i=1}^n w_i。

### 連續分布嘅算術平均

如果數據  喺區間  裏面連續分布，咁佢嘅算術平均就係積分
:\frac{1}{b-a} \int_a^b x(t)\,dt
呢個積分係將離散分布嘅算術平均推廣到無限個平均值嘅極限形式。

#### 對數平均

如果  係指數函數，咁佢嘅算術平均可以用端點嘅函數值  嚟計算，
:\frac{x(b)-x(a)}{\ln\left(x(b)\right) - \ln\left(x(a)\right)}
呢個結果叫做**對數平均**，喺對數平均溫度差等應用中用得上。

### 向量平均
算術平均同加權平均都可以擴展到向量情況，向量平均同物理學入面嘅質心概念有關。幾何平均同調和平均就冇辦法定義。

#### 算術平均
對於向量 ，佢哋嘅（算術）平均定義為：
:\frac{\boldsymbol{x}_1+\dots+\boldsymbol{x}_n}{n}

如果 ，咁  嘅平均就係呢三點所形成嘅三角形嘅重心。呢個結果可以推廣到  個向量嘅情況，  嘅平均就係呢  點所形成嘅單體嘅重心。

#### 加權平均
加權平均都可以同樣擴展到向量情況，定義為：
:\frac{w_1\boldsymbol{x}_1+\dots+w_n\boldsymbol{x}_n}{w_1+\dots+w_n}

次方平均同一般化平均係按標量定義為：
:\frac{\| \boldsymbol{x}_1 \|^m + \dots + \| \boldsymbol{x}_n \|^m}{n}, \quad \sqrt[m]{\frac{\| \boldsymbol{x}_1 \|^m + \dots + \| \boldsymbol{x}_n \|^m}{n}}
呢度嘅  係向量嘅範數。當  嘅時候，}} 同內積 \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\rangle 相等，所以當  嘅時候，次方平均同一般化平均特別重要。例如物理學中速率嘅平均值（均方根速度）有時會用  嘅一般化平均。

對於向量加權平均嘅概念，我哋可以賦予其物理意義。假設質點  分別喺位置 ，佢哋嘅質量分別係 ，咁加權平均
:\cfrac{m_1\boldsymbol{x}_1 + \dots + m_n \boldsymbol{x}_n}{m_1+\dots+m_n}
就係系統嘅重心。

### 算術幾何平均

假設 係兩個滿足嘅非負實數。然後我哋定義如下：
:a_{i+1}=\frac{a_i+b_i}{2}
:b_{i+1}=\sqrt{a_ib_i}
咁
:\lim_{i\to\infty}a_i=\lim_{i\to\infty}b_i
就係同嘅**算術幾何平均**。

### 移動平均
時間序列嘅數據會平滑化。呢個手法唔單止用喺數碼信號處理，例如圖像同聲音，仲用喺技術分析等金融領域，仲有氣象、水象等測量領域。

## 平均嘅各種花款

### 幾何平均（相乘平均）

幾何平均（有時叫相乘平均）係咁搞㗎：
:\mu_{\mathrm G} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} = \sqrt[n]{x_1x_2 \dotsb x_n}
講普通啲，就係將成班數撈埋，然後開 n 次方根。呢個幾何平均同相乘平均其實係同一碟餸。

再講多次：
:{\mu_{\mathrm G}}^n = \prod_{i=1}^{n} x_i = x_1 x_2 \dotsb x_n

如果玩對數：
:\mu_{\mathrm G} = \exp \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \log x_i \right)
:n \log \mu_{\mathrm G} = \sum_{i=1}^{n} \log x_i

即係幾何平均其實係對數嘅算術平均，再整返個指數出嚟。或者你諗下，幾何平均嘅對數其實係啲對數嘅算術平均啫。

如果你啲數有零，幾何平均就變零。如果成堆數乘埋一齊係負嘅，咁幾何平均就唔喺實數度。如果你玩複數，就算你啲數全部都係實數，幾何平均都可能唔係得一個。

幾何平均啱用喺啲有得乘有得開根嘅數，譬如實數或者複數咁。

### 調和平均

調和平均咁樣計：
:\mu_{\mathrm H} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\tfrac{1}{x_1}+\tfrac{1}{x_2} + \cdots + \tfrac{1}{x_n}}
或者
:\frac{n}{\mu_{\mathrm H}}= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i} = \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}

調和平均其實係逆數嘅算術平均嘅逆數。反過嚟講，逆數嘅算術平均就係調和平均嘅逆數。

如果你啲數有零，照原本嘅講法，調和平均就冇得計，但係如果當零係個極限，調和平均就會變零（即係 x_i \to 0 嘅時候 \mu_{\mathrm H} \to 0）。就算你啲數有負嘅，調和平均都計得出，但如果正負數撈埋一舊，逆數加埋可能變零，咁極限就會甩轆。

### 一般化平均

算術平均、幾何平均、同調和平均都可以用呢個公式嚟講：
:\mu_p = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} {x_i}^p \right)^{1/p}
或者
:n {\mu_p}^p = \sum_{i=1}^{n} {x_i}^p

呢個係對應實數  嘅值，呢個平均數叫  一般化平均。

當  就係算術平均， 就係調和平均，而  嘅極限就係幾何平均。仲有， 嘅時候，就係二乘平均平方根 (RMS)，喺物理同工程度成日見。 嘅極限係最大值，而  嘅極限就係最細值。

一般化平均其實係將條數 (x_1,\dots,x_n) 嘅 範數除以 n^{1/p} 嘅結果。

啲數嘅  次方平均，或者話，一般化平均嘅  次方：
:{\mu_p}^p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} {x_i}^p
叫做  次方平均。

呢個  次方平均、一般化平均喺統計學度都有用，譬如用喺方差同標準偏差。偏差（啲數減咗平均數之後嘅值）嘅 次方平均就係方差。

一般化平均仲可以再玩多啲，例如用全射函數  嚟講：
:\mu_f = f^{-1} \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \right)
譬如， 就係相加平均， 就係調和平均， 就係幾何平均。

### 咩數先計得
講  一般化平均呢樣嘢，通常啲數要係正數先得㗎，因為要開 次方根（即係冪函數），負數唔畀咁計。但係算術平均同調和平均（即係 ）就唔怕負數。除咗呢兩個之外，負數可能會整到一般化平均計唔到實數，就算計到都唔知點解釋好。

如果  ，你啲數有零，咁就冇得用一般化平均嗰條數，但係可以學調和平均咁搞，當零係個極限，咁一般化平均就會變零。幾何平均（即係  一般化平均）都係咁，所以  嘅時候，一般化平均通常當係零。

### 實際啲嘅例子
* 幾何平均
  ** 譬如話1978年經濟飆升20%，1979年再升80%，咁呢兩年平均起咗幾多呢？就係 \sqrt{1.2 \times 1.8}= 1.469693846\cdots，即係差唔多47%啦。
* 調和平均
  ** 假設你去嘅時候每個鐘行60公里，返嘅時候每個鐘行90公里，咁成程平均行幾快呢？就係 \frac{2}{1 / (60 ~ \mathrm{km ~ h^{-1}}) + 1 / (90 ~ \mathrm{km ~ h^{-1}})} = 72 ~ \mathrm{km ~ h^{-1}}。
  ** 調和平均仲可以用嚟計並聯電阻有幾大（例如喺串聯電路同並聯電路度計）。

### 佢哋點相關法
#### 算術平均≧幾何平均≧調和平均
如果你有  個正數，咁一定係：
:算術平均 ≥ 幾何平均 ≥ 調和平均
:\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} \ge \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}

要等號成立，就要：
:x_1 = x_2 = \cdots = x_n。

左邊嗰個不等式可以用對兩邊取對數，再用log嘅凸性（即係延森不等式）嚟證（都有人用數學歸納法嚟證）。右邊嗰個不等式就係用調和平均係逆數嘅算術平均嘅逆數呢個特性，再用返左邊嗰個不等式嚟證。

呢個不等式仲可以擴到  嘅一般化平均度。

## 註

## 疏仕

## 睇埋
*統計學
*集中趨勢