拉普拉斯變換

**拉普拉斯變換**（簡稱**拉氏變換**），又叫**拉普拉斯轉換**（簡稱**拉氏轉換**），係應用數學入面一種積分變換，符號係  \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}，由法國數學家拉普拉斯研究出。呢種變換有用之處係佢可以將一啲微分方程變成一啲相對簡單嘅代數方程，搵到代數方程嘅解之後就可以用拉普拉斯逆變換（ \displaystyle\mathcal{L^{-1}} \left\{F(s)\right\}）得到微分方程嘅解。如果除咗條微分方程之外，仲有一啲預設條件（例如搵緊嘅函數喺零點嘅值），可以搵到唯一解。

## 定義

假設有一個 t （通常指時間）嘅函數 f(t)，佢嘅拉普拉斯變換 F(s)= \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\} 定義做：

F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt

喺呢度 t\in \R, s\in \Complex。

### 雙邊拉普拉斯變換
積分上下界限可以推至無窮，構成無窮積分。噉樣就寫成雙邊拉普拉斯變換：

\mathcal{B} \left\{f(t)\right\} = F(s) = 
\int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t) \,dt.

隻積分收斂若且唯若以下兩隻積分

: \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt,\quad \int_{-\infty}^0  e^{-st} f(t) \, dt

都存在。

## 戥其他變換嘅關係

### 戥傅利耶變換嘅關係
拉普拉斯變換嘅變數係s = \sigma + i \omega，所以經典嘅連續傅利耶變換可以睇作係雙邊拉普拉斯變換喺\sigma = 0、即s = i \omega 抑係話 *<math> s = 2 \pi f i </math>*嗰陣嘅特例。


\begin{align}
\hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em]
& = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s =  i\omega}  =  F(s)|_{s = i \omega}\\[1em]
& = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\
\end{align}


喺複平面上，連續傅利耶變換對應拉普拉斯變換嘅虛軸。

反過嚟睇，拉普拉斯變換可以睇作係傅利耶變換帶指數加權e^{- \sigma}嘅拓展情況。呢個指數加權會作用到個變換嘅收斂域上，令到一啲喺傅利耶變換當中唔收斂嘅結果可以收斂返。

### 戥Z變換嘅關係
Z變換表達式係：

 X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} 

Z變換當中令z=e^{sT}之後，就可以睇作係拉普拉斯變換加上採樣（採樣時間間隔T）之後嘅結果：

X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.

## 性質
以下係拉普拉斯變換啲性質：

* 初值定理：

f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}，要求 {F(s)} 係真分式，即分子最高次細過分母最高次，一唔係就使多項式除法分解唨{F(s)}佢。

* 終值定理：

f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}，要求 s F(s) 啲所有極點都喺左半複平面抑或原點爲單極點。

## 常用變換表
  \ 
||  { 2\alpha \over \alpha^2 - s^2 } 
|| 都係將單位階躍變頻

|-
! 指數式趨近
|| (1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ 
|| \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} 
|| 將單位階躍減走指數遞減

|-
! 正弦
||  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ 
||  { \omega \over s^2 + \omega^2  } 
||

|-
! 餘弦
||  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ 
||  { s \over s^2 + \omega^2 } 
||

|-
! 雙曲正弦
||  \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ 
||  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } 
||

|-
! 雙曲餘弦
||  \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ 
||  { s \over s^2 - \alpha^2  } 
||
|-
! 指數遞減  正弦波
|| e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ 
||  { \omega \over (s+\alpha)^2 + \omega^2  } 
||

|-
! 指數遞減  餘弦波
|| e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ 
||  { s+\alpha \over (s+\alpha)^2 + \omega^2  } 
||

|-
! 自然對數
||  \ln (t) \cdot u(t) 
||  - { 1 \over s}\, \left[ \ln(s)+\gamma \right] 
||

|-
! 第一類貝塞爾函數，*n*階
||  J_n(\omega t) \cdot u(t)
|| \frac{ \left(\sqrt{s^2+ \omega^2}-s\right)^n}{\omega^n \sqrt{s^2 + \omega^2}}
||

|-
! 誤差函數
||  \operatorname{erf}(t) \cdot u(t) 
||  \frac 1 s e^{(1/4)s^2} \left(1 - \operatorname{erf} \frac s 2 \right)
||
|-
| colspan="4" |**備注：**

*  係單位階躍函數。
*   係狄拉克δ函數。
*  係伽瑪函數。
*  係歐拉-馬斯刻若尼常數。

*  係一個實數，尤其係指*時間*，雖然佢可以代表*任何*獨立嘅維度。
*  係複頻率嘅定義域參數，而 \Re(s)係佢嘅實數部分。
*  都係實數。
*  係一個整數。

|}

## 實際例子

解微分方程 \ddot{x}-\dot{x}-2x=0，其中 x(t) 係 t 嘅一個連續函數，x(0)=1，\dot{x}(0)=0

\ddot{x}-\dot{x}-2x=0

\displaystyle\mathcal{L} \left\{\ddot{x}-\dot{x}-2x \right\}=\displaystyle\mathcal{L} \left\{0 \right\}

s^2X(s)-sx(0)-\dot{x}(0)-[sX(s)-x(0)]-2X(s)=0

s^2X(s)-s(1)-0-sX(s)+1-2X(s)=0

(s^2-s-2)X(s)=s-1

X(s)=\frac{s-1}{(s+1)(s-2)}

搵到進行咗拉普拉斯變換嘅函數 X(s)，就要嘗試將佢變番做原本嘅函數 x(t)。但係，因為拉普拉斯變換表冇一個呢種樣嘅函數，所以首先要將佢拆開做兩個分數，當佢哋係 \frac{a}{s-2} 同埋 \frac{b}{s+1}。

X(s)

=\frac{s-1}{(s+1)(s-2)}

=\frac{a}{s-2}+\frac{b}{s+1}

\therefore\begin{cases}
a+b=1 \cdots(1)\\
a-2b=-1 \cdots(2)
\end{cases} 

(1)-(2):3b=2

b=\frac{2}{3}

將 b=\frac{2}{3} 塞入 (1) 式：

a+\frac{2}{3}=1

a=\frac{1}{3}

\therefore X(s)=\frac{1}{3(s-2)}+\frac{2}{3(s+1)}

依家睇番個表做拉普拉斯逆變換：

x(t)=\frac{1}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-t}

計完之後再檢查下，搞掂。

## 參考