一元三次方程

**一元三次方程**，或者叫**立方函數**，係一條有一個未知數而次數係三嘅方程。一元三次方程通常會寫做 ax^3+bx^2+cx+d=0。

## 解法
如果要解一元三次方程，首先一定要剷咗二次方嗰個項，變成一個冇咗二次項嘅方程。之後無論用卡贊諾或者韋達嘅方法，都可以得到方程嘅解。最後得到嘅解嘅公式係：
x_1=-\frac{b} {3a}+\sqrt[3] {-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a}+\sqrt {(-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a})^2+(\frac{c} {3a}-\frac{b^2} {9a^2})^3}}+\sqrt[3] {-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a}-\sqrt {(-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a})^2+(\frac{c} {3a}-\frac{b^2} {9a^2})^3}}

x_2=-\frac{b} {3a}+\frac{-1-i\sqrt{3}} {2}\sqrt[3] {-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a}+\sqrt {(-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a})^2+(\frac{c} {3a}-\frac{b^2} {9a^2})^3}}+\frac{-1+i\sqrt{3}} {2}\sqrt[3] {-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a}-\sqrt {(-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a})^2+(\frac{c} {3a}-\frac{b^2} {9a^2})^3}}

x_3=-\frac{b} {3a}+\frac{-1+i\sqrt{3}} {2}\sqrt[3] {-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a}+\sqrt {(-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a})^2+(\frac{c} {3a}-\frac{b^2} {9a^2})^3}}+\frac{-1-i\sqrt{3}} {2}\sqrt[3] {-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a}-\sqrt {(-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a})^2+(\frac{c} {3a}-\frac{b^2} {9a^2})^3}}

### 簡化
如果想解一元三次方程，一定要先剷走咗個二次項。呢個係求解嘅時候好重要嘅一步，咁就可以啟發思路，容易啲諗到求解嘅辦法。簡化嘅時候，成條式除以 a ，代入 x=t-\frac{b} {3a} ，得到 t^3+pt+q=0 咁嘅樣，當中：
p=\frac{c} {3a}-\frac{b^2} {3a^2}

q=\frac{2b^3} {27a^3}-\frac{bc} {3a^2}+\frac{d} {a}

證明：
ax^3+bx^2+cx+d=0

x^3+\frac{b} {a}x^2+\frac{c} {a}x+\frac{d} {a}=0

(t-\frac{b} {3a})^3+\frac{b} {a}(t-\frac{b} {3a})^2+\frac{c} {a}(t-\frac{b} {3a})+\frac{d} {a}=0

t^3-\frac{b} {a}t^2+\frac{b^2} {3a^2}t-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{b} {a}t^2-\frac{2b^2} {3a^2}t+\frac{b^3} {9a^3}+\frac{c} {a}t-\frac{bc} {3a^2}+\frac{d} {a}=0

t^3+(\frac{c} {a}-\frac{b^2} {3a^2})t+(\frac{2b^3} {27a^3}-\frac{bc} {3a^2}+\frac{d} {a})=0

t^3+pt+q=0

最後嗰步就將 t 嗰三個可能值加落 -\frac{b} {3a} 嗰度，咁就好以得到方程嘅三個解。

去到呢一步之後，無論用卡贊諾嘅方法或者韋達嘅方法，都可以揾到 t 。

### 卡贊諾之法
數學家卡贊諾話：假設 t=u+v。咁就可以得到：

(u+v)^3+p(u+v)+q=0

u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0

同時，又設 3uv+p=0。於是就得到：
\begin{cases}
u^3+v^3=-q ...(1)\\
u^3v^3=-\frac{p^3} {27} ...(2)\\
\end{cases}

u^3 同埋 v^3 都係  y^2+qy-\frac{p^3} {27}=0 嘅解。用一元二次方程嘅公式就可以解咗佢。於是得到：

u^3,v^3=\frac{-q\pm\sqrt{q^2+\frac{4} {27}p^3}} {2}=-\frac{q} {2}\pm\sqrt{\frac{q^2} {4}+\frac{p^3} {27}}

跟著用單位根去揾 u,v 各自相應嘅三個可能值，用 u+v 可以揾到 t （兩個實數解嘅 u 同 v 相加揾到一個 t，至於複數解嘅 u 同 v，佢哋嘅系數都係共軛嘅就相加）。於是，再用 x=t-\frac{b} {3a} 就可以揾到答案。

### 韋達之法
數學家韋達話：假設 t=z+\frac{k} {z}。咁就可以得到：

(z+\frac{k} {z})^3+p(z+\frac{k} {z})+q=0

z^3+(3k+p)(z+\frac{k} {z})+\frac{k^3} {z^3}+q=0

又：設 3k+p=0。則：
z^3+q+\frac{k^3} {z^3}=0

z^3+q-\frac{p^3} {27z^3}=0

z^6+qz^3-27p^3=0

咁嘅話，就得到 z^3 其實係 y^2+qy-\frac{p^3} {27}=0 嘅其中一個解。用一元二次方程嘅公式就可以揾到解。揾佢嘅解就好似上面卡贊諾嘅辦法，因為上面嗰條方程同埋下面嗰條方程都係一樣嘅。

之後再用單位根揾 z 嘅三個可能值，然後又用 z+\frac{k} {z}=z-\frac{p} {3z} 得到 t 。最後用 x=t-\frac{b} {3a} 得到答案。

## 根嘅特性
首先定立判別式：
\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=(-\frac{b^3} {27a^3}+\frac{bc} {6a^2}-\frac {d} {2a})^2+(\frac{c} {3a}-\frac{b^2} {9a^2})^3

咁樣嘅話：

如果 \Delta>0，就有一個實根同埋一啤共軛複根；

如果 \Delta=0，就有多重實根，當中：
*如果 \frac{q^2}{4}=\frac{p^3}{27}\ne 0，有一個雙重實根同埋另一個單實根。
*如果 \frac{q^2}{4}=\frac{p^3}{27}=0，有一個三重實根。
如果 \Delta，有三個唔同嘅實根。