Theta 函數

數學中， **Theta 函數** 係多複變特殊函數一種。 其應用兼阿貝爾簇同埋模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣 亦見於 量子場論，尤其超弦同D-膜理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於「*z*」 變量，theta 函數有種「擬周期」性 。喺一般下降理論中，數學中， **Theta 函數** 為多複變特殊函數一種。 其用兼阿貝爾簇與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣 亦見於 量子場論，尤其於 超弦與D-膜理論。

Theta 函數最常見於橢圓函數理論。於其「*z*」 變量，theta 函數有「擬周期」性 。喺一般下降理論中，此來自線叢條件。

## 雅可比 theta 函數
**雅可比 theta 函數**攞一雙變量 *z* 同 τ， 其中 *z* 為任何複數，而 τ 為上半複平面上一點；此函數嘅定義係：
:\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau +2 \pi i n z)。
若固定 τ，則此成為一週期為 1 之單變量(*z*)整函數嘅 富里埃展開式：
:\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau)。

以 τ 位移時，呢支函數符合：
:\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \exp(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)\vartheta(z;\tau)；
其中 *a*與*b*為整數。

## 輔助函數
我地可定義輔助函數：
:\vartheta_{01} (z;\tau) = \vartheta(z+1/2;\tau)
:\vartheta_{10}(z;\tau) = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i z)\vartheta(z+\tau/2;\tau)
:\vartheta_{11}(z;\tau) = \exp(\pi i \tau/4 + \pi i (z+1/2))\vartheta(z+(\tau+1)/2;\tau).
其中符號跟黎曼同Mumford嘅習慣； 雅可比篇原文用變量 q = \exp(\pi i \tau)替換咗 τ，而叫本文嘅 theta 做\theta_3， \vartheta_{01} 做 \theta_0，\vartheta_{10} 做 \theta_2，\vartheta_{11}做-\theta_1。

若設 *z* = 0 ，咁我地可從以上獲得四支單以 τ 為變量嘅函數， 其中 τ 取值於上半複平面。呢啲函數人稱「 **theta 『常量』**」；我地可以用 theta 函數定義一系列模形式，或參數化某啲曲線。由「雅可比 恆等式」可得：
:\vartheta(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4,
是為四次費馬曲線。

## 雅可比恆等式

雅可比恆等式描述模羣喺theta 函數嘅作用；模羣嘅生成元係 T: τ ↦ τ+1 同 S: τ ↦ -1/τ 。我地已有 T 作用之式。設

:\alpha = (-i \tau)^{1/2} \exp ({\pi i z^2}{\tau}).

則

:\vartheta (z/\tau; -1/\tau) = \alpha \vartheta(z; \tau)

:\vartheta_{01} (z/\tau; -1/\tau) = \alpha \vartheta_{10}(z; \tau)

:\vartheta_{10} (z/\tau; -1/\tau) = \alpha \vartheta_{01}(z; \tau)

:\vartheta_{11} (z/\tau; -1/\tau) = -\alpha \vartheta_{11}(z; \tau)

## 以 ''nome q'' 表示 theta 函數

我哋可用變量 *w* 與 *q* ，代替 z 同 τ，來表示 ϑ。設 w = \exp(\pi i z) 而q = \exp(\pi i \tau)。則 ϑ 可表示為：
:\vartheta(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty  w^{2n}q^{n^2}.

而輔助 theta 函數可表示為：

:\vartheta_{01}(w; q) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n}q^{n^2},

:\vartheta_{10}(w; q) = q^{1/4} \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n+1}q^{n^2+n},

:\vartheta_{11}(w; q) = i q^{1/4} \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n w^{2n+1}q^{n^2+n}.

此表示式唔使指數函數，故適用於指數函數無每一處定義嘅域，如p 進數域

## 乘積表示式

雅可比三重積恆等式話：若有複數 *w* and *q*，其中 |*q*| &lt; 1 而 *w* ≠ 0 ，則
:\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + w^{2}q^{2m-1}\right)
\left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty  w^{2n}q^{n^2}.


此式可用基本方法證，如 Hardy 同 Wright 本 《*An Introduction to the Theory of Numbers*》。

若用 *nome*變量 q = \exp(\pi i \tau) 同 w = \exp(\pi i z) 表示，則有

:\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(\pi i z 2n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}. 

故得 theta 函數之積公式

:\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z)\right)
\left( 1 + \exp((2m-1) \pi i \tau -2 \pi i z)\right)


三重積等式左邊可擴展成

:\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + (w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),

即

:\vartheta(z|q) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)。

此式喺 *z* 取實值時尤其重要。
各輔助 theta 函數亦有類似之積公式：

:\vartheta_{01}(z|q) = \prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).

:\vartheta_{10}(z|q) = 2 q^{1/4}\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).

:\vartheta_{11}(z|q) = -2 q^{1/4}\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - q^{2m}\right)
\left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).

## 積分表示式
雅可比 theta 函數可用積分表示，如下：

:\vartheta (z; \tau) = -i 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} du

:\vartheta_{01} (z; \tau) = -i 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z) \over \sin (\pi u)} du.

:\vartheta_{10} (z; \tau) = -i e^{iz + i \pi \tau / 4} 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du

:\vartheta_{11} (z; \tau) = e^{iz + i \pi \tau / 4} 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi \tau u) \over \sin (\pi u)} du

## 與黎曼 zeta 函數之關係
黎曼曾用關係式
:\vartheta(0;-1/\tau)=(-i\tau)^{1/2} \vartheta(0;\tau)
以證黎曼 zeta 函數之函數方程。渠話：

:\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-s/2} \zeta(s) = 
\frac{1}{2}\int_0^\infty\left[\vartheta(0;it)-1\right]
t^{s/2}\frac{dt}{t}；
而此積分喺替換s \to 1-s 下不變。 *z* 非零時嘅積分表示，喺Hurwitz zeta 函數一文有描述。

## 同 Weierstrass 橢圓函數嘅關係
雅可比用 theta 函數來構造橢圓函數，並令渠有易計嘅款。渠表示渠啲橢圓函數做兩支上述 theta 函數之商。Weierstrass 橢圓函數亦可由以雅可比 theta 函數構造：

:\wp(z;\tau) = -(\log \vartheta_{11}(z;\tau))* + c</math>

其中二次微分相對於 *z*，而常數 *c* 令<math>\wp(z)</math> 嘅 [[Laurent 級數]] （於 *z* = 0） 常項為零。

== 同模形式嘅關係 ==
設 η 為 [[Dedekind eta 函數]]。則
:<math>\vartheta(0;\tau)=\frac{\eta^2\left(\tau+\frac{1}{2}\right)}{\eta(2\tau+1)}</math>.

== 解熱方程 ==
雅可比 theta 函數係一維[[熱方程]]、於時間為零時符合週期邊界條件嘅唯一解。 設 *z* = *x* 攞實值，τ = *it* 而*t* 攞正值。則有

:<math>\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp(-\pi n^2 t) \cos(2\pi nx)</math>

此解此下方程：

:<math>\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it)</math>。

喺 *t* = 0 時， theta 函數成為「[[Dirac 梳]]」
:<math>\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)</math>，
其中 δ 為 [[Dirac delta 函數]]， 故可知此解唯一。
因此，一般解可得自 *t* = 0 時之（週期）邊界條件同 theta 函數嘅卷積。

== 同海森堡羣嘅關係 ==
雅可比 theta 函喺[[海森堡羣]]嘅一離散子羣作用下不變。 見海森堡羣之[[theta 表示]]一文。

== 推廣 ==
若*F*為一*n*元 [[二次式]]，則有一 關連嘅 theta 函數

:<math>\theta_F (z)= \sum_{m\in Z^n} \exp(2\pi izF(m))</math>
其中 *Z*<sup>n</sup> 為整數[[格 (羣)|格]]。此 theta 函數係模羣（或某適當子羣）上嘅權 *n*/2 [[模形式]]。 在其富理埃級數
:<math>\theta_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) \exp(2\pi ikz)</math>
中，*R*<sub>F</sub>(*k*) 稱為此模形式之「表示數」。

=== Ramanujan theta 函數 ===
:*見主文Ramanujan theta 函數 與 mock theta 函數*

=== 黎曼 theta 函數 ===
設

:<math>\mathbb{H}_n=\{F\in M(n,\mathbb{C}) \; \mathrm{s.t.}\, F=F^T \;\textrm{and}\; \mbox{Im} F >0 \}</math>

為一集對稱方矩陣，其虚部為[[正定]]。 我地叫*H*<sub>*n*</sub> 做 [[Siegel 上半平面]]，係[[上半複平面]]嘅高維推廣。模羣嘅*n*維推廣為[[辛羣]] Sp(2n,*'Z**)： 當''n'' = 1 時， Sp(2,**Z**) = SL(2,**Z**)。 [[Congruence 子羣]]嘅''n''維推廣係態射核<math>\textrm{Ker} \{\textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \textrm{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \}</math>。

若設定 <math>\tau\in \mathbb{H}_n</math>，則可定義**黎曼 theta 函數*'：
:<math>\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i \left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)</math>；
:<math>\theta (z,\tau)=\sum_{m\in Z^n} \exp\left(2\pi i 
\left(\frac{1}{2} m^T \tau m +m^T z \right)\right)</math>；

其中 <math>z\in \mathbb{C}^n</math>為一 *n*維複向量，上標*T*為[[轉置]]。然則 雅可比 theta 函數係其特例（設*n* = 1、 <math>\tau \in \mathbb{H}</math>；其中<math>\mathbb{H}</math>為上半平面）。

喺<math>\mathbb{C}^n\times \mathbb{H}_n.</math>嘅緊致子集上，黎曼 theta 函數絶對一致收歛。

函數方程為：

:<math>\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i 
\left(-b^Tz-\frac{1}{2}b^T\tau b\right) \theta (z,\tau)</math>；

此方程成立於
<math>a,b \in  \mathbb{Z}^n</math>, <math>z \in \mathbb{C}^n</math> ， <math>\tau \in \mathbb{H}_n</math>。

=== q-theta 函數 ===
:*參見文q-theta 函數*。

== 參攷 ==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, *Handbook of Mathematical Functions*, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4  .  *(See section 16.27ff.)*
* Naum Illyich Akhiezer, *Elements of the Theory of Elliptic Functions*, (1970) Moscow, translated into English as *AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79* (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, *Riemann Surfaces* (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 *(See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta)*
* [[G. H. Hardy]] and [[E. M. Wright]], *An Introduction to the Theory of Numbers*, fourth edition (1959) , Oxford University Press
* [[David Mumford]], *Tata Lectures on Theta I* (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7
* James Pierpont *Functions of a Complex Variable*, Dover
* Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, *Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces'', (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 683-07196-3 .

## 註