圓羣

喺數學入面，**圓羣**（符號係\mathbb{T}、\mathbb{T}^1或S^1），係所有模係1嘅複數組成嘅乘法羣，亦即係Argand平面上面嘅單位圓，又或者可以講係單位複數：
:\mathbb{T}:=\{z\in\C:|z|=1\}

圓羣係複數乘法羣\C^\times嘅子羣，由於\C^\times係交換嘅，所以\mathbb{T}都係交換嘅。圓羣亦都可以睇做U(1)，一階嘅么正矩陣羣，呢個羣對複數平面進行旋轉作用，所以圓羣可以用旋轉角度\theta嚟參數化：
:\theta\mapsto z=e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta

呢個亦都係圓羣作爲李羣嘅指數映射。

圓羣喺Pontryagin對偶理論同埋李羣理論有好重要嘅作用。

圓羣嘅符號係\mathbb{T}係因爲用正常嘅拓撲結構嘅話，圓羣其實就係1-環面（），推而廣之，\mathbb{T}^n（\mathbb{T}同自己直積n次）就係n-環面（）。

## 簡介

一個生活入面同圓羣有關嘅例子就係鐘，因爲淨係睇鐘面嘅話，係睇唔出支針轉咗幾多個圈嘅。例如，9個鐘加4個鐘，就咁計應該係13個鐘，但係淨係睇個鐘嘅話就係1個鐘，因爲鐘面係唔會同你記住轉咗一個圈嘅。亦即係話，9個鐘+4個鐘=1個鐘（mod 12個鐘）。

另一個睇法，就係實數加法，但係淨係睇小數部分，唔睇整數部分，例如我哋想計0.784 + 0.925 + 0.446，答案應該係2.155，但係我哋丟咗個整數部分2，剩返個0.155，亦即係話，係圓羣入面，0.784 + 0.925 + 0.446 = 0.155，呢個例子亦都展示咗\mathbb{T}=\R/\Z（睇埋下邊同構嘅部分）。

## 拓撲、分析結構

圓羣唔單止係一個代數物體，佢仲有好自然嘅拓撲、微分結構，就係將佢當成複平面上面嘅單位圓嗰陣，佢繼承嘅子集拓撲。由於喺\C^\times入面乘法同乘法逆元係光滑映射，圓羣就有個拓撲羣、李羣嘅結構。而且，由於單位圓喺複平面入面係一個閉集，圓羣係\C^\times嘅一個閉子羣。

李羣嘅角度嚟睇，圓羣係一個單參數羣，而事實上，同構嚟講，圓羣係唯一一個一維連通緊緻李羣，而且，任何一個n維連通緊緻交換李羣都係同\mathbb{T}^n同構。

## 同構
可以用好多方法去解讀圓羣，亦即係話，圓羣有好多唔同嘅推廣方向，呢到列幾個出嚟：

### U(1)
數學入面，U(n)係指n階么正矩陣羣，而U(1)就係一階么正矩陣羣，根據定義就係1\times1嘅矩陣，而且入面個數要係單位複數，正正就同圓羣嘅條件一樣，所以圓羣可以被視爲么正矩陣羣系列入面嘅第一個：\mathbb{T}\cong U(1)

### R/Z

指數函數可以將實數羣\R打去圓羣上面：

\theta\mapsto e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta

呢個係一個\R\to\mathbb{T}嘅羣同態，\theta對應住單位圓上面，由x軸開始逆時針數，用弧度做單位嘅角度。呢個係一個羣同態係因爲單位複數嘅乘法同角度嘅加法係對應嘅：

e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}=e^{i(\theta_1+\theta_2)}

呢個指數函數係一個滿射，但係唔係單射，佢嘅核係2\pi嘅整數倍，可以寫做2\pi\Z，所以根據第一同構定理我哋知道\mathbb{T}\cong\R/2\pi\Z，做翻個縮放我哋就可以話\mathbb{T}\cong\R/\Z喇。

呢一個商亦都可以用短正合序列表達出嚟：0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to \mathbb{T} \to 0。

### SO(2)
如果用2\times2實矩陣嚟寫啲複數嘅話，咁單位複數就對應住2\times2行列式係1嘅正交矩陣喇，亦即係話，

e^{i\theta}\leftrightarrow f(e^{i\theta})=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

呢個函數f其實係由圓羣\mathbb{T}去二階特別正交羣SO(2)嘅羣同構，因爲

f(e^{i\theta_1})f(e^{i\theta_2})
=\begin{bmatrix} \cos\theta_1 & -\sin\theta_1 \\ \sin\theta_1 & \cos\theta_1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \cos\theta_2 & -\sin\theta_2 \\ \sin\theta_2 & \cos\theta_2 \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} \cos(\theta_1+\theta_2) & -\sin(\theta_1+\theta_2) \\ \sin(\theta_1+\theta_2) & \cos(\theta_1+\theta_2) \end{bmatrix}
=f(e^{i(\theta_1+\theta_2)})

中間嗰步用咗三角函數恆等式，呢個同構顯示咗單位複數對複平面有個自然嘅旋轉作用，而且每一個（圍住原點嘅）旋轉都可以調反轉用複數嚟寫。

## 性質

每一個維度大過0嘅緊緻李羣都有一個同圓羣同構嘅子羣，換言之，用對稱嘅角度嚟睇嘅話，任何緊緻李羣嘅連續作用入面都可以搵到一個圓羣作用，係物理學入面，旋轉不變性同自發對稱性破缺都同呢個有關係。

圓羣由好多嘅子羣，但係真封閉子羣就得嗰啲單位根，對任何正整數n>0，所有n次單位根組成咗個n階循環羣。掉返轉嚟睇，圓羣可以睇做循環羣嘅極限。

實數羣有一個性質，就係佢係b-進分數（b>1）嘅拓撲閉包；圓羣有個類似嘅性質，佢係Prüfer羣嘅拓撲閉包。

\Z/2\Z（2階循環羣）對圓羣有個反轉作用，所以可以考慮半直積\mathbb{T}\rtimes \Z/2\Z，呢個羣其實同O(2,\R)同構，幾何上嘅諗法係，圓嘅所有對稱都可以寫做「反轉或者唔反轉」接住一個旋轉。因為呢個係同\Z/2\Z嘅半直積，所以亦都可以話O(2,\R)係\mathbb{T}嘅廣義二面體羣。呢個羣亦都係無限二面體羣嘅連續版本，而任何嘅二面體羣都作為子羣裝咗喺無限二面體羣入面，所以亦都裝喺呢個羣入面。

## 表示理論
圓羣嘅表示（representation）好容易描述，因爲根據Schur引理所有阿標羣嘅不可約複表示都係一維嘅，而且圓羣係緊緻嘅，所以佢嘅所有表示一定打翻嗮入去單位圓入面，亦即係話，圓嘅唔約得表示其實就係圓打去自己嘅羣同構。

用\phi_n嚟代表以下嘅表示（*n*係整數）：

:\phi_n(e^{i\theta})=e^{in\theta}

咁嘅話\phi_{-n}就係\phi_n嘅共軛表示：

:\phi_{-n}=\overline{\phi_n}

留意返如果*n*係0嘅話，\phi_0就係當然表示，其他n代表嘅都係一維表示，即係特徵。\mathbb{T}嘅特徵羣係由\phi_1生成嘅無限循環羣：

:\mathrm{Hom}(\mathbb{T},\mathbb{T})\cong\Z

圓羣嘅不可約實表示就係當然表示同埋

:\rho_n(e^{i\theta})=\begin{bmatrix} \cos n\theta & -\sin n\theta \\ \sin n\theta & \cos n\theta \end{bmatrix},
n\in\Z^+

佢哋係喺SO(2)入面。呢到我哋淨係攞n係正整數，因爲\rho_{-n}同\rho_n係等價嘅。

## 純代數結構
呢一段淨係考慮代數結構，唔考慮拓撲。

圓羣\mathbb{T}係一個可除羣，佢嘅扭子羣係所有嘅單位根，係同\Q/\Z同構嘅。根據可除羣嘅結構定理同埋選擇公理，我哋知道\mathbb{T}係同構於\Q/\Z同一堆唔知幾多個嘅\Q嘅直和。

爲咗令到兩邊嘅基數啱數，\Q嘅數量一定要係\mathfrak c（連續統嘅基數）咁多個，但係\mathfrak c咁多個\Q嘅直和其實係同\R同構嘅，因爲\R可以睇做維度係\mathfrak c嘅<math>\Q</math>-向量空間，所以，

\mathbb{T}\cong \R\oplus(\Q/\Z)

同樣道理，亦都有\mathbb{C}^\times\cong\R\oplus(\Q/\Z)，因爲\C^\times都係一個可除阿標羣，個扭子羣同\mathbb{T}嘅扭子羣一樣。亦即係話雖然\mathbb{T}係\C^\times嘅一個真子羣，但係佢哋作為一個羣係同構嘅。

## 其他性質

* 如果G係一個局部緊緻郝斯多夫羣，而且佢每個真閉子羣都只有有限個閉子羣，咁G就係拓樸同構於圓羣。

## 睇埋

* 圓上面嘅有理數點
* 環面
* 單參數羣
* 么正羣
* 正交羣
* Prüfer羣
* 螺線管 (數學)

## 參考

## 參考書
* Hua Luogeng (1981) *Starting with the unit circle*, Springer Verlag, 
* Joshi, K.D. (1989), *Foundations Of Discrete Mathematics* pp. 347-348  http://books.google.es/books?id=RM1D3mFw2u0C&pg=PA347&dq=%22circle+group%22&hl=es&sa=X&ei=lUNvUaO6N4We0QWRo4HYAQ&ved=0CDkQ6AEwAg#v=onepage&q=%22circle%20group%22&f=false

## 註

## 連結
*Homeomorphism and the Group Structure on a Circle
*GroupProps
*nLab