Elo 等級分

**Elo 等級分制度**（當中 elo 近似）係一套評估遊戲玩家技術幾好嘅做法，適用於好似中國象棋同國際象棋等嘅零和遊戲。除咗呢啲棋類遊戲，廿一世紀初嘅電競都會用到伊勞等級分嚟衡量啲玩家嘅技術。

## 諗頭

「要量度一個個體嘅等級分，我諗就好似量度一嚿水松木嘅位置... 當中嚿水松木喺翻滾嘅水面郁上郁落，量度者用嘅架生係一條碼棍，條碼棍綁咗喺一條喺風中擺動嘅繩度。」
:—伊勞等級系統嘅創始人阿柏特·伊勞

首先，伊勞等級系統假設咗隻遊戲係零和嘅：如果話一隻遊戲係零和，簡單講意思即係話場遊戲只有其中一位或者一隊玩家會贏，再唔係就打和，冇得話例如兩方玩家一齊贏。中國象棋、國際象棋、圍棋同埋多數嘅 PvP 視像遊戲（好似係畀玩家互射嘅射擊遊戲）都屬於零和遊戲。

齋靠日常觀察已知，玩家之間喺技術上可以有差異：有啲玩家無論同邊個對局，都有好大機率贏，而有啲玩家就無論同邊個對局，都大機率輸；好多人都想搵方法客觀噉量度玩家嘅技術有幾好，例如搞國際象棋比賽嘅組織就成日都想評估棋手嘅技術，伊勞就係其中一套最成功嘅系統；而用行話講，伊勞能夠達致等距噉量度**技術**呢樣嘢。

喺伊勞等級系統下，每位玩家都掕住個**伊勞值**，而個系統會不斷噉：
*基於兩位玩家而家呢刻嘅伊勞，預估賽果；
*對局完咗之後，更新每位玩家嘅伊勞，伊勞改變幅度取決於個結果有幾「出人意表」；
*經歷咗好多次噏哋之後，每位玩家會到達佢嘅最後伊勞，呢個最終伊勞就會（唔完美噉）反映佢嘅實際技術水平。

以下落嚟講嘅數學細節，假設讀者學過基本嘅概率論同統計學，識機會率同平均值等嘅基本概念。

## 基本模型

最基本嗰隻伊勞制度會用到嘅概念，可以用以下噉嘅方式數學化。

### 技術幾高

已知一個事實：每位玩家嘅表現，梗會或多或少有啲飄忽；技術好嘅玩家可能有一日狀態唔好，搞到連輸幾場；而技術冇咁好嘅玩家，亦有可能咁啱撞正狀態大好而連贏幾場；噉即係話一位玩家嘅表現，可以簡化噉想像成一個常態分佈；想像下圖入面嘅 X 軸係玩家嘅表現，而 Y 軸係每個表現值出現嘅機率，兩條線分別代表阿 A 同阿 B 兩位玩家，講平均表現（\mu）嘅話，
*阿 A 嘅平均表現係 76 分咁高，用日常用語講即係話佢表現通常會係 76 分或者接近 76 分，
*阿 B 嘅平均表現係 52 分咁高，用日常用語講即係話佢表現通常會係 52 分或者接近 52 分，
兩者都有 12 分咁多嘅標準差（\sigma）。如果阿 A 同阿 B 對局，阿 A 多數時候會贏（表現高過阿 B），但間中有可能會撞啱有日阿 A 狀態唔好同時阿 B 狀態大好，令到阿 B 嗰日嘅表現好啲。噉亦表示，要準確噉評估一位玩家嘅技術，一定要首先畀佢經過有返咁上下數量嘅對局。

### 一場對局

分析者可以靠住玩家嘅預估技術水平嚟預測一場對局嘅賽果。依家想像有兩位玩家，阿 i 同阿 j 兩個要鬥捉圍棋，設
*\theta_i 做阿 i 嘅表現，或者預估技術值；
*\theta_j 做阿 j 嘅表現，或者預估技術值；
*R_{ij} \in \{0, 1\} 做兩者對局嘅可能結果，當中 1 表示「阿 i 贏」，而 0 表示「阿 j 贏」；
阿 i 贏嘅機率（\Pr(\text{i wins})）理應會受制於 (\theta_i - \theta_j) 。如果畫做圖，當中 Y 軸做 \Pr(\text{i wins}) 而 X 軸做 (\theta_i - \theta_j)，會得出好似以下噉嘅線：

:當 (\theta_i - \theta_j) = 0（兩位玩家表現相約），\Pr(\text{i wins}) = 0.5（阿 i 有 50% 機會贏）
:當 (\theta_i - \theta_j) 係大嘅正數（阿 i 表現高一截），\Pr(\text{i wins}) \to 1（阿 i 大機會贏）
:當 (\theta_i - \theta_j) 係大嘅負數（阿 j 表現高一截），\Pr(\text{i wins}) \to 0（阿 j 大機會贏）
呢啲嘢之間嘅關係，可以用以下噉嘅式嚟表達：
:E_i = \frac{1}{1 + 10^{(\theta_j - \theta_i)/400}}；[1]
E_i 係指預想阿 i 會攞到幾多分，反映緊 \Pr(\text{i wins}) 。想像：
:如果 \theta_j = \theta_i，E_i = 0.5
:如果 \theta_j - \theta_i = 200，E_i \approx 0.24
:如果 \theta_j - \theta_i = -200，E_i \approx 0.76
... 如此類推。

### 更新Elo
經歷一場對局之後，個系統就要按照對局結果，郁手更新兩位玩家嘅Elo值。設 \text{Elo}_{i, t} 做阿 i 喺時間點 t 嘅伊勞值，並且設 [1] 入面嘅 \theta_i = \text{Elo}_{i, t}，每場對局之後，兩位玩家嘅新伊勞值可以用以下呢條式嚟計：
:\text{Elo}_{i, t+1} = \text{Elo}_{i, t} + k (S_i - E_i)；[2]，當中
*\text{Elo}_{i, t+1} 係阿 i 跟住落嚟嘅伊勞值；
*E_i 係基於兩位玩家先前嘅伊勞值做預測，得出嘅預估賽果；
*S_i 係實際上嘅賽果，如果阿 i 贏，S_i = 1，而如果阿 i 輸，S_i = 0；
*k 係一個參數，數值可以調節，反映伊勞值噏哋得有幾快，k 數值愈大，伊勞值噏哋得愈快。
而家有一大班玩家，將佢哋嘅伊勞值冚唪唥都設做 1,000，跟住落嚟會發生噉嘅事：
*如果阿 i 嘅伊勞明顯低過佢應有嘅值，噉佢會成日撞到伊勞相約但查實技術渣過佢嘅對手，E_i 接近 0.5，S_i 傾向係 1，佢嘅伊勞變化傾向會係明顯嘅正值；
*如果阿 i 嘅伊勞明顯高過佢應有嘅值，噉佢會成日撞到伊勞相約但查實技術勁過佢嘅對手，E_i 接近 0.5，S_i 傾向係 0，佢嘅伊勞變化傾向會係明顯嘅負值；
*如果阿 i 技術好勁而且到咗佢應有嘅伊勞，噉佢就會成日撞到伊勞同實際技術都低過佢嘅對手，E_i 接近 1，S_i 傾向係 1，佢打低對手嗰陣 (S_i - E_i) 傾向細，佢伊勞就唔會點郁；
*如果阿 i 技術好渣而且到咗佢應有嘅伊勞，噉佢就會成日撞到伊勞同實際技術都高過佢嘅對手，E_i 接近 0，S_i 傾向係 0，佢輸畀對手嗰陣 (S_i - E_i) 傾向細，佢伊勞就唔會點郁；
—噉即係話，將啲玩家嘅Elo值冚唪唥設做 1,000 再畀佢哋玩好多場對局，各人就會慢慢噉趨向到達佢哋應有嘅伊勞值。最終嘅伊勞值會反映佢哋嘅實際技術。

## 各界應用
### 國際象棋

喺廿一世紀初，伊勞係國際象棋上最常用嘅棋手評分方法。國際象棋聯會等嘅國際象棋組織以及網上國際象棋遊戲，都係靠伊勞系統嚟評定啲棋手實力有幾高嘅，而事實上伊勞制度嘅創始人阿柏特·伊勞都係一個熱愛國際象棋嘅人，仲去到國際象棋大師嘅水平。

一般嚟講，一個國際象棋組織會有套方案，講明「伊勞係咁多咁多分至咁多咁多分嘅棋手，可以配以呢個呢個稱號」噉，但唔同嘅國際象棋組織喺呢方面嘅做法都有啲唔同。以國際象棋聯會為例，根據 2023 年嘅國際象棋聯會準則，一位棋手嘅預設伊勞值係 1,000，佢喺國際象棋比賽同第啲棋手較量，官方紀錄就會按佢啲對手嘅伊勞以及對局嘅結果，調整呢位棋手嘅伊勞。如果一位棋手要得到國際象棋特級大師嘅稱號，就需要達致起碼 2,500 咁高嘅伊勞值，而且佢打低嘅對手亦要有返咁上下伊勞先得。

### 電子競技
好多電子遊戲嘅排位系統都用到Elo或者係類似嘅系統，例如英雄聯盟嘅排位系統。

## 進階變種

## 批評

## 簡史

## 睇埋
*專家知識
*心理測量
*量度層次
*進化演算法

## 文獻

*Berg, A. (2020). Statistical analysis of the elo rating system in chess (PDF). *Chance*, 33(3), 31-38.
*Hu, W., & Barradas, D. (2023, July). Work in Progress: A Glance at Social Media Self-Censorship in North America. In *2023 IEEE European Symposium on Security and Privacy Workshops (EuroS&PW)* (pp. 609-618). IEEE，伊勞等級嘅做法可以用嚟量度一啲主觀嘅概念，例如依份研究就叫一班受試者做「呢兩句嘢，邊句比較唔適合貼上去社交媒體」做好多次，得出手上嗰啲句子最後嘅「伊勞值」作為量度「恰當度」嘅方法。
*Morrison, B. (2019). Comparing elo, glicko, irt, and bayesian irt statistical models for educational and gaming data (PDF). University of Arkansas.
*Pelánek, R. (2016). Applications of the Elo rating system in adaptive educational systems. *Computers & Education*, 98, 169-179.

## 註釋

## 歐詞

## 參考