狀態空間

**狀態空間法**（，）係現代控制理論入便一種分析物理系統嘅數學模型，用一階微分方程或差分方程將啲輸入、輸出同埋狀態變數連成一個整體嘅。狀態變數嘅值會比照任一時間值同埋輸入變數個外部影響值而變化。輸出變數嘅值取決於狀態變數嘅值。

「**狀態空間**」係歐幾里得空間，空間軸上嘅變數即係狀態變數。系統嘅狀態可以表示為呢個空間入便嘅一枚**狀態向量**。輸入變數、輸出變數、狀態變數都表示為向量，嚟抽象化輸入輸出同埋系統狀態。將啲狀態向量擺到一幅座標圖度（二維嘅話好多時橫軸係某個狀態變數，棟軸係個變數嘅導數）就得到一幅相圖；更高維就對應相空間。連埋啲隨住時間演變嘅狀態點就得到好多摣相軌線。空間入便取返某個常數畀其中一條軸，就可以得到一片龐加萊截面，啲相軌就俾截面截成好多截點。透過相軌與及龐加萊截面可以繞過而唔使求解微分方程個解析解，嚟探討系統嘅性質同埋系統狀態嘅演化趨勢。

若果個動態系統係線性時唔變而且係有限維嘅，係噉微分方程跟代數方程可以用矩陣形式表示。狀態空間法嘅特點係可以顯著噉代數化個通用嘅系統理論，令到可以運用啲Kronecker向量矩陣結構。呢啲結構可以有效噉用嚟研究啲帶調製抑或唔帶調製嘅系統。狀態空間法（亦都稱為「時域方法」）提供唨一種方便又緊緻嘅方式去建模跟分析多輸入多輸出嘅系統。一唔係嘅話，對於p輸入跟q輸出，必須要寫低q \times p嘅拉普拉斯變換先可以幫有關系統嘅所有信息編嗮碼。戥頻域方法唔同，狀態空間法唔會局限於啲衹有線性分量、零初始條件嘅系統。

狀態空間模型唔單止應用喺控制工程同埋相關嘅電腦科學與及電氣工程入便，仲可以應用於經濟學、統計學、同埋神經科學等學科。譬如，喺計量經濟學入便，可以使狀態空間模型捉一個時間序列拆成趨勢同周期、鬭合各個指標成為一個綜合指數、揾到經濟周期嘅轉折點、抑或係用潛在又未觀察到嘅時間序列來估算GDP。好多應用程序憑藉卡曼濾波器嚟使返之前啲觀察結果去幫當前仲未知嘅狀態變數生成估計值。

## 狀態變數
內部狀態變數係啲系統變數嘅最細可能子集、之可以表示得嗮任何畀定時間嘅系統整體狀態，譬如位置變數同埋佢啲導數。表示法當中嘅數字n，代表畀定系統所需要到嘅狀態變數嘅最細數目，好多時亦都等於定義返個系統嘅微分方程嘅階數，但唔一定。若果系統係攞遞移函數嘅形式表示，噉狀態變數嘅最細數目就等於（簡化成真分數之後嘅）遞移函數分母嘅階數。

要留意返嘅係，將狀態空間形式轉換成遞移函數形式可能會漏唨一啲系統嘅內部信息，而且噉樣嘅遞移函數可能會話個系統係穩定嘅，即管狀態空間話喺某啲狀態點會唔穩定。

喺電路入便，狀態變數嘅數目好多時（亦都唔一定）同電路入便嘅能量存儲元件（譬如電容器同電感器）數目相同。定義到嘅狀態變數必須係線性無關嘅，即係唔得將某啲狀態變數寫成其他狀態變數嘅線性組合，一唔係就冇辦法求解個系統。

唔局限於狀態空間法，有一個概念係狀態轉移矩陣\mathbf\Phi(t)，講明初始狀態\mathbf{x}_0點樣轉到某時刻狀態\mathbf{x}(t)：
:\mathbf{x}(t)=\mathbf\Phi(t)\mathbf{x}_0

喺畀定一隻初始值嗰陣，可以用轉移矩陣求得某時刻嘅狀態；對未知嘅轉移矩陣求解，相當於嘗試對狀態進行求解。一般用到嘅方法係Picard迭代法嚟去逼近個解，根據返：

:\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}_0 + \int\limits_{0}^{t} \mathbf f(\mathbf{x}(\tau))d\tau，其中\dot \mathbf x = \mathbf f(\mathbf{x})

有：
:\mathbf{x^0}(t)=\mathbf{x}_0 
:\mathbf{x^k}(t)=\mathbf{x}_0 + \int\limits_{0}^{t} \mathbf {f^{k-1}}(\mathbf{x}(\tau))d\tau

迭代之後k \to\infty，\mathbf{x^k}(t)就會趨向\mathbf{x}(t)。再根據系統嘅其他約束特質（譬如線性、時唔變）同埋結合狀態空間嘅描述嚟簡化成簡潔啲嘅形式。

## 線性系統

### 基本形式
考慮到輸入p，輸出q與及狀態變數n，最普遍嘅狀態空間形式嚟表徵一個線性系統即似下低噉、由狀態方程同埋輸出方程組成：

: \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)
: \mathbf{y}(t) = \mathbf{C}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{D}(t) \mathbf{u}(t)

其中：

: \mathbf{x}(\cdot)係「狀態向量」，\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n ;
: \mathbf{y}(\cdot)係「輸出向量」，\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q ;
: \mathbf{u}(\cdot)係「輸入向量」（又叫「控制向量」），\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p ;
: \mathbf{A}(\cdot)係「狀態矩陣」（又叫「系統矩陣」），\operatorname{dim}[\mathbf{A}(\cdot)] = n \times n，
: \mathbf{B}(\cdot)係「輸入矩陣」，\operatorname{dim}[\mathbf{B}(\cdot)] = n \times p，
: \mathbf{C}(\cdot)係「輸出矩陣」，\operatorname{dim}[\mathbf{C}(\cdot)] = q \times n，
: \mathbf{D}(\cdot)係「饋通矩陣」（又叫「前饋矩陣」）（喺系統模型冇直接饋通嘅情況下， \mathbf{D}(\cdot)係零矩陣），\operatorname{dim}[\mathbf{D}(\cdot)] = q \times p，
: \dot{\mathbf{x}}(t) := \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \mathbf{x}(t)，
:好多時啲向量\mathbf{x}(\cdot)、\mathbf{y}(\cdot)、\mathbf{u}(\cdot)裏便啲元素都對應返某件嘢嘅位置變數與及佢啲幾階導數（即速度、加速度之類）。

對於線性系統，由於有\dot \mathbf x = \mathbf A\mathbf{x}，微分方程狀態解（見#狀態變量）喺Picard迭代之後最終有：
:\mathbf\Phi(t)=e^{\mathbf At} 
:\mathbf{x}(t)=e^{\mathbf At}\mathbf{x}_0

拉氏變換之後得返好有用嘅式 ：
:\mathbf \hat \Phi(s)=(s\mathbf I -\mathbf A)^{-1} 
:\mathbf{X}(s)=(s\mathbf I -\mathbf A)^{-1}\mathbf{x}_0

喺呢個一般表述入便，所有矩陣都仲可以隨時間變化得（即佢哋啲元可以取決於時間）；但係，喺常見嘅LTI系統（Linear time-invariant system，「線性時唔變系統」）入便，啲矩陣係時唔變嘅，所以唔跟時間變化。時間變數t可以係連續嘅（譬如t \in \mathbb{R}）又可以係離散（譬如t \in \mathbb{Z}）。喺後一種情況下，攞離散時間變數k嚟到代替t。混合系統允許啲時域既有連續部分又有離散部分。

根據做開嘅假設，狀態空間模型可以攞下低嘅形式嚟表示：

#### 例：連續時間LTI系統
可以從\mathbf{A}矩陣嘅特徵值研究返個連續時間LTI系統（continuous-time linear time-invariant system，即嗰啲同時間相關嘅矩陣係線性嘅）佢嘅穩定性跟自然響應特性。透過將系統嘅遞移函數寫成分數形式，可以確定到個時唔變狀態空間模型嘅穩定性：

:  \textbf{G}(s) = k \frac{ (s - z_{1})(s - z_{2})(s - z_{3})
               }{ (s - p_{1})(s - p_{2})(s - p_{3})(s - p_{4})
                }. 

遞移函數嘅分母個特徵多項式係透過取s\mathbf{I} - \mathbf{A}個行列式計出：

: \lambda(s) = |s\mathbf{I} - \mathbf{A}|. 

呢個多項式嘅根（特徵值）就對應系統遞移函數嘅極點（即奇點，喺嗰度遞移函數個幅值大細唔受限）。呢啲極點可以用嚟分析系統係漸近穩定定係臨界穩定嘅。另一種攞嚟確定穩定性嘅方法又唔涉及計算特徵值嘅，係去分析系統嘅Lyapunov穩定性。

喺分子入便揾到嘅零點\textbf{G}(s)可以相應攞來確定個系統係唔係處於最細相位。

即管系統唔係內部穩定（本身穩定）嘅，系統都可能處於一種**輸入-輸出穩定狀態**（請睇BIBO穩定）。呢種情況出現喺若果啲唔穩定極點俾零抵消嘅情況（嗰陣時啲遞移函數入便嘅奇異點係剔除得嘅）。

### 系統性質

#### 可控性
狀態可控性條件意味著喺允許嘅輸入之下，有可能喺一定嘅時間窗口之內，引導個狀態從任意初始值到任意最終值。連續時唔變線性狀態空間模型係**控制得嘅**，若且唯若以下條件成立：

: \operatorname{rank}\begin{bmatrix}\mathbf{B}& \mathbf{A}\mathbf{B}& \mathbf{A}^{2}\mathbf{B}& \dots & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B}\end{bmatrix} = n, 

其中rank係矩陣入便線性無關行（橫排）嘅數目，而n係狀態變數嘅數目。

另外，可控性都可以用Jordan標準型嚟做判據，要\mathbf{A}陣入便啲組成Jordan標準型嘅Jordan塊孻屘行（橫排）對到\mathbf{B}陣啲行同時滿足：

# \mathbf{B}陣啲行**唔係**全零行；
# 同特徵值嘅Jordan塊，對應\mathbf{B}陣嘅嗰啲行互相之間線性無關。

#### 可觀察性
可觀察性係一種度量標準，度量返可以幾大程度上通過瞭解系統嘅外部輸出推斷返系統內部狀態。系統嘅可觀察性跟可控制性係數學對偶（即，可控制性表示輸入值可以將任何初始狀態帶入任何所需最終狀態，可觀察性表示已知輸出值軌跡可以畀足信息嚟預測返系統嘅初始狀態）。

連續時唔變線性狀態空間模型係**觀察得嘅**，若且唯若以下條件成立：

: \operatorname{rank}\begin{bmatrix}\mathbf{C}\\ \mathbf{C}\mathbf{A}\\ \vdots\\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1}\end{bmatrix} = n. 
類似，可觀察性都可以用Jordan標準型嚟做判據，要\mathbf{A}陣入便啲組成Jordan標準型嘅Jordan塊第一列（豎排）對到\mathbf{C}陣啲列同時滿足：

# \mathbf{C}陣啲列**唔係**全零列；
# 同特徵值嘅Jordan塊，對應\mathbf{C}陣嘅嗰啲列互相之間線性無關。

#### 穩定性
關於穩定性，有同外部穩定性有關嘅BIBO穩定性，亦有同內部穩定性有關嘅平衡穩定性（諸如Lyapunov穩定性、漸近穩定性之類）。非線性系統嘅平衡狀態唔係唯一嘅，之線性系統嘅狀態矩陣*A*可逆嗰陣個平衡狀態衹有係零。

BIBO穩定性關注系統嘅零狀態響應，而平衡穩定性關注系統嘅零輸入響應。其中，Lyapunov穩定性係動力系統穩定性理論嘅基礎。穩定性嘅確定同狀態矩陣*A*密切相關。

##### BIBO穩定性

BIBO穩定性代表輸入有界嗰陣輸出都係有界嘅。呢個可以當作係啲唔穩定極點俾零抵消嗮嘅情況。

用真分遞移函數\mathrm{G}(s)=\mathrm{det}(s\mathbf{I}-A)對個系統進行建模嗰陣，BIBO穩定性嘅充要條件係個系統啲所有極點都必須喺嗮複平面嘅左便平面當中，也即係話所有極點都擁有負實部。

##### Lyapunov穩定性

##### 漸近穩定性
狀態空間嘅原點喺Lyapunov穩定性嘅平衡狀態之餘、滿足埋以下條件嘅\delta(t_0)>0如果存在，噉呢個狀態空間個原點度就叫做「時間t_0之下嘅**漸近穩定狀態**」。

\|x(t_0)\|

進多一步，\delta(t_0)戥t_0無關嗰陣，狀態空間個原點就叫做「**統一漸近穩定狀態」**。

LTI系統漸近穩定嘅充要條件係系統嘅所有特徵值（ *A*嘅特徵值）都擁有負實部。

##### 啲穩定性之間嘅關係
一個漸進穩定嘅系統都係BIBO穩定嘅。反之，個系統唔控得抑或唔察得嗰陣，BIBO穩定又唔一定係漸近穩定，因為遞移函數啲極值係狀態矩陣*A*頻譜（特徵值嘅集合）嘅真子集。但係，個LTI系統既控得又察得陣時，以下呢四個命題就又等價返：系統係BIBO穩定嘅、系統係漸近穩定嘅、遞移函數啲極點都有負實部、系統嘅特徵值（*A*嘅特徵值）都有負實部。

### 遞移函數
連續時唔變線性狀態空間模型嘅「遞移函數」可以透過下低方式得出：

首先捉下式做拉氏變換

: \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)

得出

: s\mathbf{X}(s)-\mathbf{x}(0) = \mathbf{A} \mathbf{X}(s) + \mathbf{B} \mathbf{U}(s). 

接下嚟，合併啲\mathbf{X}(s)項，得出

: (s\mathbf{I} - \mathbf{A})\mathbf{X}(s) =\mathbf{x}(0)+ \mathbf{B}\mathbf{U}(s) 

因此

: \mathbf{X}(s) =(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}(0)+ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s). 

挃\mathbf{X}(s)入個輸出方程式

: \mathbf{Y}(s) = \mathbf{C}\mathbf{X}(s) + \mathbf{D}\mathbf{U}(s),

得出

: \mathbf{Y}(s) = \mathbf{C}((s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{x}(0)+ (s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B}\mathbf{U}(s)) + \mathbf{D}\mathbf{U}(s). 

假設初始條件為零\mathbf{x}(0) =\mathbf{0} 喺單輸入單輸出系統（SISO）之下遞移函數個定義就為輸出與輸入之比G(s)=Y(s)/U(s)。但係，對於多輸入多輸出系統（MIMO），冇定義有呢個比率。係噉，假設初始條件為零，噉遞移函數矩陣就可以從下式得出

: \mathbf{Y}(s) = \mathbf{G}(s) \mathbf{U}(s) 

其中，係數係噉樣得出

: \mathbf{G}(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D} 。

所以， \mathbf{G}(s)係具有維度q \times p嘅矩陣，其中包含每個輸入輸出組合嘅遞移函數。由於呢個矩陣表示法好簡單，所以狀態空間好多時攞來表示多輸入多輸出系統。 Rosenbrock系統矩陣可以攞嚟連繫埋狀態空間同埋佢個遞移函數。

### 典範實現
任意畀定嘅、嚴格正確嘅遞移函數都可以藉由以下方式輕鬆噉轉成狀態空間，得到啲典範嘅實現（canonical realizations）。呢度個示例係四維嘅單輸入單輸出系統：

畀定遞移函數，為唨顯示分子跟分母入便嘅所有係數，展開成下低嘅形式：

:  \textbf{G}(s) = \frac{n_{1}s^{3} + n_{2}s^{2} + n_{3}s + n_{4}}{s^{4} + d_{1}s^{3} + d_{2}s^{2} + d_{3}s + d_{4}}.

噉就可以通過以下方式直接挃啲係數入狀態空間模型入便：

: \dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix}
                0&   1&   0&   0\\
                0&   0&   1&   0\\
                0&   0&   0&   1\\
                -d_{4}& -d_{3}& -d_{2}& -d_{1}
               \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + 
               \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix}\textbf{u}(t)

:  \textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} n_{4}& n_{3}& n_{2}& n_{1} \end{bmatrix}\textbf{x}(t). 

呢種狀態空間實現叫做**控得典範式**（controllable canonical form），因為保證得到嘅模型係控制得嘅（即，由於個控制入唨一串連積分器，所以佢可以改變每個狀態）。

遞移函數係數仲可以用於構造另一種典範式：

: \dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix}
                0&  0& 0& -d_{4}\\
                1&  0& 0& -d_{3}\\
                0&  1& 0& -d_{2}\\
                0&  0& 1& -d_{1}
               \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + 
               \begin{bmatrix} n_{4}\\ n_{3}\\ n_{2}\\ n_{1} \end{bmatrix}\textbf{u}(t)

:  \textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 0& 0& 0& 1 \end{bmatrix}\textbf{x}(t). 

呢種狀態空間嘅實現叫做**察得典範式（**observable canonical form**）**，因為可以保證得到嘅模型係觀察得嘅（即，因為輸出係從一串連積分器得出，所以每個狀態都會對個輸出產生影響）。

### 真分遞移函數
單之真分而唔係嚴格真分（真分指個分母最高階高過抑或係等於個分子）嘅遞移函數亦都可以好容易噉實現。呢度嘅技巧係捉遞移函數分成兩部分：嚴格真分嘅部分同埋常量：

:  \textbf{G}(s) = \textbf{G}_\mathrm{SP}(s) + \textbf{G}(\infty). 

然之後可以使用上面顯示嘅技術捉嚴格真分嘅遞移函數轉換成典範嘅狀態空間實現。常量嘅狀態空間實現就直程係\textbf{y}(t) = \textbf{G}(\infty)\textbf{u}(t)。佮埋之後就得到個狀態空間實現，其中矩陣*A*、*B*跟*C*由嚴格真分嗰部分確定，矩陣*D*由常數確定。

下低個示例可以幫助理解：

:  \textbf{G}(s) = \frac{s^{2} + 3s + 3}{s^{2} + 2s + 1}
           = \frac{s + 2}{s^{2} + 2s + 1} + 1

係噉得到個控制得嘅實現形式：

: \dot{\textbf{x}}(t) = \begin{bmatrix}
                -2& -1\\
                1&   0\\
               \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + 
               \begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix}\textbf{u}(t)

:  \textbf{y}(t) = \begin{bmatrix} 1& 2\end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 1\end{bmatrix}\textbf{u}(t)

注意輸出點都直接取決於輸入（*D*矩陣），由於\textbf{G}(\infty)遞移函數入便有常數。

### 回輸

回輸嘅常用方法係將輸出乘以回輸矩陣*K*並設成系統嘅輸入： \mathbf{u}(t) = K \mathbf{y}(t)。由於*K*嘅值唔受限制，因此對於負回輸可以好容易噉取反。個負號（通用符號）衹係標記性質，冇佢對最終結果都冇影響。

係噉，冇回輸嘅狀態空間模型：

: \dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)
: \mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)

就變成：

: \dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B K \mathbf{y}(t)
: \mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D K \mathbf{y}(t)

求解下低個輸出方程\mathbf{y}(t)之後捉佢挃返狀態方程得到：

: \dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right) \mathbf{x}(t)
: \mathbf{y}(t) = \left(I - D K\right)^{-1} C \mathbf{x}(t)

噉樣做嘅好處係，可以通過對\left(A + B K \left(I - D K\right)^{-1} C \right)特徵分解（eigendecomposition）嚟設啱個*K*、嚟控制*A*嘅特徵值。噉樣假設到個閉環系統係控制得嘅，或者可以通過揀啱尐個*K*令到*A*啲唔穩定嘅特徵值穩定返。

#### 例子
對於嚴格真分嘅系統，*D*等於零。另一個相當普遍嘅情況係，所有狀態都做嗮輸出嗰陣，即*y* = *x*，得出*C* = *I*，即單位矩陣。噉樣就可以簡化個方程式成：

: \dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A + B K \right) \mathbf{x}(t)
: \mathbf{y}(t) = \mathbf{x}(t)

噉樣就可以單之對A + B K做特徵分解。

### 帶設定值（參考值）輸入嘅回輸

除唨提供回輸之外，r(t)，可以使\mathbf{u}(t) = -K \mathbf{y}(t) + \mathbf{r}(t)噉樣嘅形式加埋。

噉樣個基本式

: \dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t)
: \mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t)

就變成

: \dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) - B K \mathbf{y}(t) + B \mathbf{r}(t)
: \mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) - D K \mathbf{y}(t) + D \mathbf{r}(t)

求解下低個輸出方程\mathbf{y}(t)之後捉佢挃返狀態方程得到：

: \dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A - B K \left(I + D K\right)^{-1} C \right) \mathbf{x}(t) + B \left(I - K \left(I + D K\right)^{-1}D \right) \mathbf{r}(t)
: \mathbf{y}(t) = \left(I + D K\right)^{-1} C \mathbf{x}(t) + \left(I + D K\right)^{-1} D \mathbf{r}(t)

對呢個系統嘅一種相當普遍嘅簡化係唔使饋通而剔丟*D*，噉樣簡化個等式成：

: \dot{\mathbf{x}}(t) = \left(A - B K C \right) \mathbf{x}(t) + B \mathbf{r}(t)
: \mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t)

### 運動對象示例
經典嘅線性系統係一件嘢嘅一維運動。譬如，有件嘢喺平面上高水平摥動，而且褦住一條連到一幅牆嘅彈簧，根據牛頓運動定律有：

: m \ddot{y}(t) = u(t) - b\dot{y}(t) - k y(t)

其中

* y(t)係位置；\dot y(t)係速度；\ddot{y}(t)係加速度
* u(t)係施加嘅力
* b係黏性摩擦係數
* k係彈簧係數
* m係件嘢嘅質量

狀態方程寫成

: \left[ \begin{matrix} \mathbf{\dot{x}_1}(t) \\ \mathbf{\dot{x}_2}(t) \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \mathbf{x_1}(t) \\ \mathbf{x_2}(t) \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{matrix} \right] \mathbf{u}(t)
: \mathbf{y}(t) = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \mathbf{x_1}(t) \\ \mathbf{x_2}(t) \end{matrix} \right]

其中

* x_1(t)代表件嘢嘅位置
* x_2(t) = \dot{x}_1(t)係件嘢嘅速度
* \dot{x}_2(t) = \ddot{x}_1(t)係件嘢嘅加速度
* 輸出\mathbf{y}(t)係件嘢嘅位置

考慮可控制性測試

: \left[ \begin{matrix} B & AB \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{matrix} \right]  \left[ \begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{m} \end{matrix} \right] \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & \frac{1}{m} \\ \frac{1}{m} & -\frac{b}{m^2} \end{matrix} \right]

之對於所有b跟m係全階嘅。呢個意味著，若果個系統嘅初始狀態已知（y(t)，\dot y(t)，\ddot{y}(t)），同埋b跟m係常數，係噉就有特定彈簧係數k可以摥喐件嘢到系統入便嘅任何其他位置。

考慮埋可觀察性測試

: \left[ \begin{matrix} C \\ CA \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{matrix} \right] \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]

亦都係全階嘅。即係話，呢個系統係控制得又觀察得嘅。

## 非線性系統
狀態空間模型嘅愈發普適形式可以寫成兩個函數：

: \mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, x(t), u(t))
: \mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, x(t), u(t))

上高條係狀態方程，下低條係輸出方程。若果個函數f(\cdot,\cdot,\cdot)係狀態跟輸入嘅線性組合，啲等式就可以使之前嘅矩陣符號表示返。個u(t)都可以從函數參數入便剔丟，若果個系統係冇受迫到嘅（譬如，冇輸入）。

### 擺嘅例子
經典嘅非線性系統係一件簡單嘅唔受迫擺

: m\ell^2\ddot\theta(t)= - m\ell g\sin\theta(t) - k\ell\dot\theta(t)

其中

* \theta(t)係件擺戥重力方向嘅角度
* m係件擺嘅質量（假設條擺桿嘅質量為零）
* g係重力加速度
* k係鉸口嘅摩擦係數
* \ell係件擺嘅半徑（表面到質量m嘅重心）

然之後可以寫出狀態方程

: \dot{x}_1(t) = x_2(t)
: \dot{x}_2(t) = - \frac{g}{\ell}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m\ell}{x_2}(t)

其中

* x_1(t) = \theta(t)係件擺嘅角度
* x_2(t) = \dot{x}_1(t)係件擺嘅角速度
* \dot{x}_2 = \ddot{x}_1係件擺嘅角加速度

狀態方程式亦都可以寫成一般形式：

: \dot{\mathbf{x}}(t) = \left( \begin{matrix} \dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t) \end{matrix} \right) = \mathbf{f}(t, x(t)) = \left( \begin{matrix} x_2(t) \\ - \frac{g}{\ell}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m\ell}{x_2}(t) \end{matrix} \right).

件擺嘅不動點對於角速度、角加速度係零嗰陣，滿足靜止嘅力學平衡。對於整數*n*，即有：

: \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \dot{x}_2  \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} n\pi \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right)
但呢啲點唔一定係穩定點；奇數n嗰陣，件擺查實係俾頂喺最高點，有少少擾動個狀態就會變。從相空間嚟睇，穩定點度係相軌嘅匯聚點、散度爲負；唔穩定點度相軌分開、散度爲正，而且啲相流（phase flows）會最終流去唔同嘅穩定點。

## 睇埋

* 控制工程
* 控制理論
* 狀態觀察器
* 可觀察性
* 可控制性
* 離散化
* 物理同數學當中關於相態嘅相空間
* 電腦科學當中嘅離散狀態空間
* 物理當中嘅狀態空間
*卡曼濾波器

## 考

## 進一步閱讀

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;On the applications of state-space models in econometrics:

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## 連出去
* Wolfram語言函數，可用於線性狀態空間模型，仿射狀態空間模型跟非線性狀態空間模型。