極限 (數列)

:*呢篇文係講數列嘅[[極限]]，唔係講[[函數]]嘅[[函數極限|極限]]。*

**數列嘅極限**（Limit of Sequence）係數學分析一個簡單同基本嘅概念。

## 定義
數列嘅極限有幾個唔同嘅定義，下面呢個係最基本，最通用嘅其中一個。

假設有一串實數（\R）數列X=(x_n)。如果以下條件成立，

**「揀任何一個**\varepsilon>0**，佢都會有一個自然數**N\in\N**，使到任何一個**x_n**，佢係**n\geq N**符合**|x_n-x|**」**

數學家會講(x_n)**趨向（converge）**一點x\in\R，同埋x\in\R係叫做(x_n)嘅極限（Limit）。

如果一串數列係有極限嘅話，我哋會話佢**「趨向一點」（convergent）**。有人會用(x_n)\rightarrow x嚟表示(x_n)趨向呢點x。

如果一串數列係無極限嘅話，我哋會話佢**「唔趨向一點」（divergent）**。

;概念

假設有一條數列X=(x_1,x_2,x_3,x_4,\cdots)同時佢趨向呢點x\in\R。你畀出一個任意嘅\varepsilon>0。

將每一個項都減佢趨向個點，(x_1-x,x_2-x,\cdots,x_n-x,x_{n+1}-x,\cdots)。

當條數列嘅第一項符合|x_n-x|，叫呢項做n。咁之後呢個項之後嘅項都會符合|x_i-x|，n。

;例子

將X=(2,2,2,2,2,2,\cdots)，明顯地X係趨向2。畀一個任意嘅\varepsilon>0。

得知|2-2|=0。因此，X由第一項就符合定義性質。

## 性質
### 唯一性
一串實數（\R）數列X=(x_n)只可以有一點極限。

**證明：**

假設x,x'都係(x_n)嘅極限。

根據定義，揀任何一個\varepsilon>0，都會有

\exist\,N\in\N，使到任何一個x_n佢係n\geq N，符合|x_n-x|；

\exist\,N'\in\N，使到任何一個x_n佢係n\geq N'，符合|x_n-x'|。

揀一個大啲嘅N*:=sup\{N,N'\}</math>，使到<math>n\geq N*，

利用三角形不等式，得知

\begin{align}
|x-x'|&=|x-x'+x_n-x_n|\\
&

因為\varepsilon>0係自己揀嘅，任何一個都得，所以推論到x-x'=0 \implies x=x'。

### 綁定定義
假設有一串實數（\R）數列X=(x_n)。如果有一個實數M>0，令到任何一個n\in\N符合|x_n|\leq M。咁樣我哋會話(x_n)係被「有界」（Bounded）。

### 有界性質
任何一申會趨向一點嘅數列都係被有界。

**證明：**

假設(x_n)係趨向一點x\in\R，即係\lim(x_n)=x。

將\varepsilon := 1，根據定義，一定會一個N\in\N，令到所有x_n\geq N符合|x_n-x|。

利用三角形不等式，得知

\begin{align}
|x_n|-|x|&\leq|x_n-x|\\
|x_n|-|x|&

將M:=sup\{|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_{N-1}|,1+|x|\}。咁樣M就會係呢串數列入面最大嗰個數字，因為第N嘅項會細過1+|x|，之後喺第N-1項同之前嘅加埋1+|x|入面揀個最大嘅，叫佢做M。

咁樣呢串數就一定會細過M，即係|x_n|\leq M。

### 排序性質
如果(x_n)同(y_n)係各自趨向一點，以下三個特性係啱嘅：
* x_n \geq 0,\,\forall n\in\N，咁樣x=\lim x_n \geq 0。
* x_n \leq y_n,\,\forall n\in\N，咁樣\lim x_n \leq \lim y_n。
* a\leq x_n \leq b,\,\forall n\in\N，咁樣a\leq \lim x_n \leq b。

;證明：

**（第一點）** 假設第一點嘅結論唔成立，即係話x_n趨向嗰點x。

揀\varepsilon:=-x，注意呢個-x係正數。

因為(x_n)係趨向一點，所以一定會有一個N\in\N，令到任何第n\geq K符合，

x-\varepsilon。

淨係睇第n=K項，得知x_K。

因為假設咗第一點係唔成立，所以x\geq0。

**（第二點）** 假設(z_n):=(y_n)-(x_n)同時假設任何一項z_n\geq0。

求\lim z_n；

因為極限計算性質，得知\lim z_n=\lim y_n -\lim x_n。

因為第一點得知，\lim z_n=\lim y_n -\lim x_n\geq0。

因此，\lim y_n\geq\lim x_n。

**（第三點）** 假設y_n=(b,b,b,b,\cdots)，利用上者得出b\geq\lim x_n。

將y_n=x_n同時將x_n=(a,a,a,a,\cdots)，利用上者得出\lim x_n\geq a。

合併上面兩條式，b\geq \lim x_n\geq a。

## 極限計算
假設有兩串趨向一點嘅數列(x_n)\rightarrow x同(y_n)\rightarrow y。假設有一點c\in\R。咁以下嘅式就會成立：
* \lim_{n \rightarrow\infty} (x_n+y_n) =x+y
* \lim_{n \rightarrow\infty}  (x_n-y_n) =x-y
* \lim_{n \rightarrow\infty}  (x_ny_n) =xy

再假設有串趨向一點嘅數列(z_n)\rightarrow z，而z\neq0。咁樣
* \lim_{n \rightarrow\infty}  \frac{x_n}{z_n}=\frac{x}{z}

;證明：

**（第一同第二點）假設有兩串趨向一點嘅數列<math>(x_n)\rightarrow x</math>同<math>(y_n)\rightarrow y</math>。根據定義得出，揀任何一個<math>\varepsilon>0</math>，都會有

<math>\exist\,N'\in\N</math>，使到任何一個<math>x_n</math>佢係<math>n\geq N'</math>，符合<math>|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}</math>；

<math>\exist\,N''\in\N</math>，使到任何一個<math>y_n</math>佢係<math>n\geq N''</math>，符合<math>|y_n-y'|<\frac{\varepsilon}{2}</math>。

揀一個大啲嘅<math>N:=\sup\{N',N''\}</math>，使到<math>n\geq N</math>，

利用[[三角形不等式]]，得知

<math>\begin{align}
|(x_n+y_n)-(x+y)|&=|(x_n-x)+(y_n-y)|\\
&<|x_n-x|+|y_n-y|\\
&<\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\\
&<\varepsilon
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
|(x_n-y_n)-(x-y)|&=|(x_n-x)-(y_n-y)|\\
&<|x_n-x|+|-(y_n-y)|\\
&<|x_n-x|+|(y_n-y)|\\
&<\frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2}\\
&<\varepsilon
\end{align}</math>

**（第三點）** 因為綁定性質，所以得知有一個<math>M_x\geq0</math>，令到任何一個<math>n\in\N</math>符合<math>|x_n|\leq M_x</math>。

定義<math>M:=\sup\{M_x,|y|\}</math>，根據定義得出，揀任何一個<math>\varepsilon>0</math>，都會有

<math>\exist\,N'\in\N</math>，使到任何一個<math>x_n</math>佢係<math>n\geq N'</math>，符合<math>|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2M}</math>；

<math>\exist\,N''\in\N</math>，使到任何一個<math>y_n</math>佢係<math>n\geq N''</math>，符合<math>|y_n-y'|<\frac{\varepsilon}{2M}</math>。

再揀一個大啲嘅<math>N:=\sup\{N',N''\}</math>，使到<math>n\geq N</math>，

<math>\begin{align}
|(x_ny_n)-(xy)|&=|x_ny_n-xy+x_ny-x_ny|\\
&<|x_n(y_n-y)+y(x_n-x)|\\
&<|x_n||y_n-y|+|y||x_n-x|\\
&<M(\frac{\varepsilon }{2M})+M(\frac{\varepsilon }{2M})\\
&<\varepsilon
\end{align}</math>

**（第四點）** <math>\vdash: </math>如果<math>(z_n)\rightarrow z</math>，咁樣<math>\lim \frac{1}{z_n}=\frac{1}{z}</math>。如果證明到呢個係啱嘅話，利用上面就可以證明到<math>\lim \frac{x_n}{z_n}=\frac{x_n}{z}</math>。

將<math>\varepsilon := \frac{1}{2}|z|</math>，根據定義，一定會一個<math>N_1\in\N</math>，令到所有<math>z_n\geq N_1</math>符合<math>|z_n-z|<\frac{1}{2}|z|</math>。再利用[[三角形不等式]]，

<math>\begin{align}
|z_n-z| &< \frac{1}{2}|z|\\
|z_n|-|z| &< \frac{1}{2}|z|\\ 
|z_n| &< |z|-\frac{1}{2}|z|\\
|z_n| &< \frac{1}{2}|z|\\
\end{align}</math>

因為<math>|z_n|,|z|</math>都係正數，咁就得出，<math>\frac{1}<\frac{2}</math>。

將<math>\varepsilon := \frac{1}{2}|z|^2\varepsilon</math>，根據定義，一定會一個<math>N_2\in\N</math>，令到所有<math>z_n\geq N_2</math>符合<math>|z_n-z|<\frac{1}{2}|z|^2\varepsilon</math>。

將兩串數例合併，定義<math>N:=\sup\{N_1,N_2\}</math>，咁令到所有嘅<math>z_n\geq N</math>符合

<math>\begin{align}
|\frac{1}{z_n}-\frac{1}{z}| &= |\frac{z-z_n}{zz_n}|\\
 &= |\frac{1}{zz_n}||z-z_n|\\
 &< \frac{1}|z-z_n|\\
 &< \frac{2}|z-z_n|\\
 &< \varepsilon
\end{align}</math>

因此，<math>\lim\frac{1}{z_n}=\frac{1}{z}</math>。

=== 例子 ===
計算<math>\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}</math>。

將<math>(x_n):=(2)</math>，<math>(y_n):=(\frac{1}{n})</math>。

利用加法計算，<math>(x_n+y_n)=(2+\frac{1}{n})=(\frac{2n+1}{n})</math>。

因為<math>(x_n)\rightarrow2</math>，同埋<math>(y_n)\rightarrow0</math>

因此，<math>\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n}=2</math>。

=== 推論 ===
由上面嘅嘢，可以推論到以下嘅嘢都係啱嘅：
* <math>\lim(a_n+b_n+\cdots+z_n)=\lim(a_n)+\lim(b_n)+\cdots+\lim(z_n)</math>。
* <math>\lim(a_nb_n\cdots z_n)=\lim(a_n)\lim(b_n)\cdots\lim(z_n)</math>。
* <math>\lim(a_n^k)=\lim(a_n)^k</math>。

== 夾縫定理 ==
假設有三串實數（<math>\R</math>）數列，<math>x_n</math>，<math>y_n</math>，<math>z_n</math>，對應任何嘅<math>n\in\N</math>符合<math>x_n\leq y_n\leq z_n</math>，同時<math>\lim x_n=\lim z_n</math>嘅話，<math>y_n</math>趨向一點，而<math>\lim x_n=\lim y_n=\lim z_n</math>。

**證明：'''

假設u=\lim x_n=\lim z_n，根據定義，有一個對應既K\in\N，係每一個n\geq K項入面，都符合

|x_n-u|同埋|z_n-u|；

上面|x_n-u|，可以得出-\varepsilon；同時|z_n-u|，可以得出-\varepsilon。

同時對應呢個n\geq K，根據假設得出，

\begin{align}
x_n &\leq y_n &\leq z_n\\
x_n-u &\leq y_n-u &\leq z_n-u\\
-\varepsilon &

因此得出|y_n-u|，根據定義，對應嘅K\in\N，喺每一個n\geq K項入面，都符合\lim x_n=\lim y_n=\lim z_n。

## 睇埋
* 數列
* 增減數列
* 子數列
* 保西奴-華實斯定理