直接證明

**直接證明**（粵拼：Zik6 zip3 zing3 ming4；英文：Direct Proof），又叫**推導**，係數學證明嘅方法之一，亦都係最普及同埋常用嘅。有句話：「有時最直接嘅解決方法係最簡單。」就正正最可以代表直接證明。呢個證明方法係先揾出一啲數學家覺得唔使證明都可以當係真嘅**[[命題]]**（粵拼：Ming6 tai4；Proposition）或者之前已經證明咗嘅**[[定理]]**（粵拼：Ding6 lei5；Theorem），用純邏輯**[[演繹推理|推理]]**（粵拼：Teoi1 lei5；Deductive reasoning）去推個結論出嚟。

## 概念
大部分定理都可以分做「如果 A 成立，咁 B 就成立。」如果 A 令到 A_1 成立，而 A_1 令到 A_2 成立，如此類推。最後 A_n 令到 B 成立，咁樣「A\implies B」。

利用邏輯運算字表達嘅話係：

A\implies A_1\implies A_2\implies \cdots A_n\implies  B

## 例子
**證明：「假設整數 <math>m\in\Z</math>。如果 <math>m</math> 係[[單數]]，咁樣 <math>m^2</math> 都係單數。」**
如果m係單數，即係話對應任何整數r\in\Z，m=2r+1。

由此，

m^2=(2r+1)^2=4r^2+4r+1=2(2r^2+2r)+1
 
所以，m^2係單數。 
**證明：「任何兩個[[實數]] <math>m,n\in\Z</math>。如果 <math>n>m>0</math>，咁樣 <math>\frac{m+1}{n+1}>\frac{m}{n}</math>。」**

草稿：其實係點樣諗到個證明呢？利用下面呢條式，睇下係唔係真係 n>m。

\begin{align}
\frac{m+1}{n+1} & >\frac{m}{n}\\
(m+1)n &> m(n+1)\\
mn+n &> mn+m \\
n &> m\\
\end{align}

利用上面：


\begin{align}

 n &> m\\

mn+n &> mn+m \\

(m+1)n &> m(n+1)\\

\frac{m+1}{n+1} & >\frac{m}{n}\\

\end{align}


## 證明方程相等
如果要證明一條方程相等，除咗正常嘅左面等於右面之外，亦可以利用以下幾個方法：
* **<math>x-y=0\iff x=y</math>**
* **<math>x\leq y</math> **同埋** <math>x\geq y \iff x=y</math>**
* **<math>x=z</math> **同埋** <math>y=z \iff x=y</math>**
例子：「證明 **<math>\sin^2\theta+\cos^2\theta=1</math>**。」

**利用<math>\sin\theta</math>**同**<math>\cos\theta</math>**嘅定義證明，留意畢氏定理嘅應用。

**<math>\begin{align}
\sin^2\theta+\cos^2\theta &= (\frac{o}{h})^2 + \cos^2\theta, \quad \sin\theta=\frac{o}{h}\\
&= (\frac{o}{h})^2 + (\frac{a}{h})^2, \quad \cos\theta=\frac{a}{h}\\
&= \frac{o^2+a^2}{h^2}\\
&= \frac{h^2}{h^2}, \quad o^2+a^2=h^2\text{ (Pyth. Thm.)}\\
&= 1
\end{align}</math>**

同上面差唔多，

**<math>\begin{align}
\sin^2\theta+\cos^2\theta -1 &= (\frac{o}{h})^2 + \cos^2\theta-1, \quad \sin\theta=\frac{o}{h}\\
&= (\frac{o}{h})^2 + (\frac{a}{h})^2-1, \quad \cos\theta=\frac{a}{h}\\
&= \frac{o^2+a^2}{h^2}-1\\
&= \frac{h^2}{h^2}-1, \quad o^2+a^2=h^2\text{ (Pyth. Thm.)}\\
&= 1-1\\
&= 0
\end{align}</math>**

## 雙向式證明
### 雙向式定義
**雙向式**（粵拼：Soeng1 hoeng3 sik1；If and only If Statement）係邏輯上嘅一類句字，佢係指嗰句句子無論順方向定係逆方向都啱嘅。喺數學語言上佢係用「**<math>\iff</math>**」邏輯運算子嚟代表嘅。

一般句字都未必係雙向，例如話：「老母係女人。」但係，女人未必係老母。用邏輯運算子嚟表達，A\implies B 唔代表 B\implies A。

因此，證明雙向式需要證明兩個方向，「**<math>\implies </math>**」同埋「**<math>\Longleftarrow</math>**」 。

### 例子
證明：「假設 **<math>a,b,c\in\R </math>**，咁 **<math>ax^2+bx+c=0\iff\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>**。  」

\begin{align}
ax^2+bx+c &= 0\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} &= 0\\
(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a} &= 0\\
(x+\frac{b}{2a})^2 &= \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\
x &= \frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\end{align}

\begin{align}
x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x &= \frac{-b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
(x+\frac{b}{2a})^2 &= \frac{b^2-4ac}{4a^2} \\
(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a} &= 0\\
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} &= 0\\
ax^2+bx+c &= 0\\
\end{align}

## 證明一個集係另一個集嘅子集

假設一個數學家想要證明一個**[[集]]**（Set） **<math>A</math>** 係另一個集 **<math>B</math>** 嘅**子集**（Subset），即係要證明 **<math>A\subset B</math>**。如果喺 **<math>A</math>** 入面搵任何一粒嘢 **<math>a</math>**（即係 **<math>a\in A</math>**），佢同時又係 **<math>B</math>** 嘅嘢（即係 **<math>a\in B</math>**）嘅話，咁就證明到 **<math>A\subset B</math>**。

例子：「證明任何兩個集 **<math>A </math>**、**<math>B</math>**，**<math>A\cap B \subset A\cup B</math>**」 

揀任何一粒嘢 **<math>x\in A\cap B </math>**。

**<math>\begin{align}
& x\in A\cap B\\
\implies & x\in A\text{ and }x\in B\\
\implies & x\in A\text{ or } x\in B\\
\implies & x\in A\cup x\in B
\end{align} </math>**

## 證明兩個集相等

如果想要證明兩個集 **<math>A </math>**、**<math>B </math>** 係一樣嘅，就需要證明 **<math>A\subseteq B </math>** 同埋 **<math>B\subseteq A </math>**，咁樣先至可以話 **<math>A=B </math>**。

## 更多例子
以下幾個證明都可以利用直接證明好簡單就搞掂：
* 如果 **<math>n </math>** 係雙數，咁 **<math>2^n-1 </math>** 就唔會係質數。
* 兩個連續單數加埋係四嘅倍數。
* 如果 **<math>f:X\to Y </math>** 係一個由 **<math>X </math>** 射去 **<math>Y </math>** 嘅函數。設 **<math>A </math>** 同 **<math>B </math>** 都係 **<math>X </math>** 嘅子集。咁「**<math>f(A\cup B)=f(A)\cup f(B) </math>**」，「**<math>f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B) </math>**」都係成立。
* 如果 **<math>A </math>**、**<math>B </math>** 同 **<math>C </math>** 都係集，咁「**<math>A\cap (B\cap C) \subseteq B\cup (A \cup C) </math>**」、「**<math>(A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D) </math>**」同「**<math>(A\times B)\cup(C\times D)\subseteq(A\cup C)\times(B\cup D) </math>**」都成立。
* 如果 **<math>A </math>** 同 **<math>B </math>** 都係 **<math>X </math>** 嘅子集，「**<math>A\subseteq B \iff A\cap B^c =\varnothing \iff A^c \cup B=X  </math>**」。

## 睇埋
* 分類證明
* 矛盾證明
* 數學歸納法
* 否定證明

## 參考
* Barwise, J. (Ed.). (1982). *Handbook of mathematical logic* (Vol. 90). Elsevier.