萬有引力定律

**萬有引力定律**（；英文：**Newton's law of universal gravitation**）係英國物理學家牛頓喺佢 1687 年所出嘅《自然哲學嘅數學原理》裏面發表，一條有關萬有引力嘅物理定律。呢條定律話：宇宙入面所有粒子（當佢哋係點質量）都會向其他粒子施加一股穿過佢哋嘅連心線吸引力；另外，一粒粒子施加落另一粒粒子嘅力同另一粒粒子施加落自己嘅力數值一樣，而呢個數值係同呢兩粒粒子嘅質量成正比，但同佢哋之間嘅距離嘅平方成反比，兼且同佢哋嘅化學性質或者其他物理性質無關。

呢條定律由牛頓提出後嚟過咗成一個世紀先至俾人用實驗驗證，英國嘅科學家亨利•卡文迪什（Henry Cavendish）喺 1798 年（牛頓本原理出版 111 年之後，牛頓過身 71 年之後）做咗好出名嘅卡文迪許實驗嚟成功噉驗證牛頓嘅諗法，令到萬有引力定律成為咗一條公認嘅物理定律。

喺打後嗰兩個世紀有多，呢條定律一路都俾人應用落去好多工程學嘅嘢嗰度，而且做嘅預測一路都好準，要直到廿世紀嗰陣時，愛因斯坦提出咗相對論先至動搖到佢嘅地位－相對論成功噉描述到啲嘢以光速郁或者有超勁重力場嗰時嘅現象，而呢樣嘢包括萬有引力定律在內嘅牛頓古典力學（Classical mechanics）做唔到，所以到咗家吓物理學家要做乜嘢深入嘅研究嗰陣經已唔會用萬有引力定律。雖然係噉，萬有引力定律（同埋其他古典力學定律）喺一般嘅地球環境－即係啲嘢郁嘅速度多數都係低過光速一截同埋冇超勁重力場嘅環境－之下都重係做到*大致上準確*嘅預測，所以喺好多工程等方面嘅應用佢都重係啱用嘅。

## 定義

### 文字定義
萬有引力定律用文字嚟表達嘅話係噉嘅：

* 俾是旦兩個有質量嘅點，佢哋會喺通過佢哋連心線嘅方向嗰度產生引力互相吸引。兩股吸引力方向啱啱好相反；佢哋嘅大細一樣而且同兩舊嘢嘅質量乘埋成正比，同佢哋之間嘅距離嘅平方成反比，又同兩舊嘢嘅化學性質或者其他物理性質冇啦掕。

### 標量式
如果用淨係得標量（Scalar）嘅方程式表達（即係齋諗個力嘅大細，唔理佢哋嘅方向）嘅話，呢條定律係噉樣嘅：

:F=G\frac{m_1m_2}{r^2}

* F 係兩件嘢之間嘅引力嘅數值；單位喺國際單位制下係牛頓（N）。
* G 係萬有引力常數；數值係 6.674×10−11&nbsp;N&#8201;**•**&#8201;(m/kg)2。
*  係第一件嘢嘅質量；單位係公斤（kg）。
*  係第二件嘢嘅質量；單位係公斤（kg）。
* r 係兩件嘢之間嘅距離；單位係米（m）。

### 向量式
喺研究力學嘅問題嗰陣，好多時都有必要考慮埋一股力嘅方向，即係要諗所謂嘅向量（Vector；指唔只有數值大細，重有方向嘅物理量）。同標量唔同，向量係包括咗一個物理量嘅數值同埋方向嘅，而用向量方程式表達嘅話，萬有引力定律係噉樣嘅，當中粗體嘅數係向量：

:
 \mathbf{F}_{12} =
 G {m_1 m_2 \over r^2}
 \, \mathbf{\hat{r}}
 同埋 
 \mathbf{F}_{21} =
 - G {m_1 m_2 \over r^2}
 \, \mathbf{\hat{r}}
，

喺呢條式入面，
* \mathbf{F}_{12} 係第二件嘢作用喺第一件嘢身上嘅引力，而 \mathbf{F}_{21} 係第一件嘢作用喺第二件嘢身上嘅引力；呢兩個係向量。
* G 係萬有引力常數。
*  同  分別係兩件嘢嘅質量；呢兩個係標量－質量呢家嘢冇話有乜嘢方向嘅。
* r 係兩件嘢之間嘅距離；呢個係標量。
*  \mathbf{\hat{r}} \equiv \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert}  係由第一件嘢去到第二件嘢嘅單位向量；呢個係向量。

同標量式唔同嘅係，喺呢條式入面，**F**12 = − **F**21 表示咗兩股引力方向係相反嘅－第一件嘢施落第二件嘢度嘅引力喺方向上實係同第二件嘢施落第一件嘢度嘅引力相反嘅，噉寫係因為兩股力係吸引力，如果佢哋方向一樣，佢哋就唔會令到兩舊嘢互相吸引。

## 重力加速度

假設有舊嘢，佢質量係 m_1。呢舊嘢喺地球個重力場入面，而地球嘅重力係唯一一股作用喺佢身上嘅力。根據牛頓第二定律（F= ma），佢會因為有股淨力施加咗喺佢身上而加速，而佢嘅加速度（Acceleration；指速度改變得有幾快）寫做 a_1。將 a_1 代入去牛頓第二定律條式嗰度嘅話可以得出：

:F= m_1a_1（牛頓第二定律）；跟手代萬有引力定律落去，就變做

:G \frac{m_1m_2}{r^2}= m_1a_1（假設咗地球嘅引力係唯一一股作用喺舊嘢身上嘅力）；再執吓就變成

:a_1 = G \frac{m_2}{r^2}，向量式係

:\mathbf{a}_1 =G {m_2 \over r^2} \, \mathbf{\hat{r}} 

a_1 呢個數就係所謂嘅重力加速度（Acceleration due to gravity）－每個單位質量喺地球上面會有嘅加速度，符號係 g，喺國際單位制嗰度嘅單位係米每平方秒（\rm m/s^2 或者 \rm m\cdot s^{-2}）。由上面條式度睇得出，喺一個行星上面每個單位質量會有嘅加速度同佢嘅密度等嘅因素唔啦更，純粹係由粒行星嘅質量同埋直徑話事嘅。

g 呢個數字喺好多工程學上嘅運算嗰度都會用到。

## 重力場

重力場（Gravitational field）係指喺某個特定空間入面每單位質量受嘅引力有幾勁。喺物理上嘅表示係：

: \mathbf g(\mathbf r) = G {m_2 \over r^2} \, \mathbf{\hat{r}}

喺國際單位制嗰度，重力場嘅單位係 \rm N/kg 或者 \rm N\cdot kg^{-1}（每千克牛頓）。

## 問題
萬有引力定律喺好多實際應用嗰度都做到相當之準確嘅預測，所以喺工程學等嘅領域嗰度好多人用佢。雖然係噉，呢條定律唔係完全啱得嗮嘅，而係要有兩個條件先至用得：（一）啲物件郁嘅速度明顯低過光速－即係 {v^2}/{c^2} 要明顯細過一，v 係件物體嘅速度，而 c 係光速；而且（二）冇超勁重力場嘅影響－{\Phi}/{c^2} 要明顯細過一，\Phi 係重力位（Gravitational potential）。喺有呢兩個條件嘅環境之下，萬有引力定律做嘅預測嘅準確性夠嗮高，而誤差細到根本冇顯眼嘅影響，但係喺一個呢兩個條件是旦一個唔成立嘅環境嗰度（喺太空科學嘅研究度成日會撞到噉嘅環境），就要用到相對論（Theory of relativity）先至有得做到準確嘅預測。

基本上，萬有引力定律嘅問題有兩方面：

### 理論問題
* 呢條定律冇講明重力產生嘅過程有啲乜嘢*中介數*（Mediator）喺度：成條式入面得質量、距離、同埋引力呢三樣嘢，而且呢三樣嘢之間並冇明顯嘅關係，所以成條式睇落就似「萬有引力係由兩舊有質量嘅嘢之間產生嘅一啲解釋唔到嘅力」，到底重力係點樣由質量嗰度走出嚟嘅呢？對於呢個問題，呢條式俾唔到乜嘢提示，更加唔好話俾到個答案。事實上，連牛頓自己本人都話覺得唔滿意呢一點，但係佢又諗唔到有啲乜嘢變數可以擺到喺「質量」同「重力」之間做中介。

* 另一方面，呢條式暗示咗重力係喺兩舊嘢之間一瞬間噉傳遞嘅－如果唔係，行星同恆星嘅軌道就會好唔穩定。但係呢一點好怪－因為噉表示咗宇宙入面有一啲嘢傳遞嘅速度可以快得過光速（而一般都認為宇宙入面冇嘢快得過光）。呢個謎要去到廿世紀廣義相對論（General theory of relativity）出現之後先至解到。

### 驗證問題

喺所有科學領域嗰度，理論實要同觀察結果相符先至會俾科學界接受，而自從廿世紀以嚟，物理學家就係噉揾到一啲同萬有引力定律唔夾嘅數據。

* 牛頓條定律解釋唔嗮行星嘅軌道改變：所有行星嘅軌道都會定時定候噉有少少走樣，而當啲太空科學家喺 19 世紀攞牛頓條式嚟去計太陽系入面啲行星嘅軌道會點變嗰陣，發現咗用條式計嘅結果同實際觀測到嘅唔夾：尤其係計水星嗰陣嘅誤差有成每個世紀 43 角秒。

* 因為光有物質特性，所以佢嘅運行方向會俾重力場影響。但係用牛頓條式計光受重力場影響而偏向嘅角度嗰陣有好大誤差：用佢計出嚟嗰個數係實際觀測到嗰個數嘅一半，而相比之下，用廣義相對論計到出嚟嗰個結果同觀測結果差異細好多。

* 喺一個螺旋星系（Spiral galaxy）入面，恆星會圍住個星系嘅中心公轉，但係佢哋嘅軌道就似乎唔跟牛頓條定律。雖然有一啲天文物理學家提出咗暗物質（Dark matter）呢類嘅概念嚟嘗試解釋呢啲現象。

### 牛頓嘅局限
牛頓提出嘅呢條定律好有影響力，但係佢自己本人好唔鍾意超距作用（Action at a distance）呢個諗法－萬有引力呢個諗頭暗示緊兩舊空間上唔相連嘅物體可以有直接噉相互作用，而一般嗰陣嘅物理學都覺得兩舊嘢之間要有直接作用，佢哋實係要掂住對方先得嘅。牛頓佢冇喺佢嘅著作入面嘗試解釋呢啲超距作用嘅力係點嚟，而淨係用佢嚟計同埋預測其他現象，甚至連諗吓有冇乜嘢可能嘅方案解釋到超距作用力都唔制，俾人覺得佢違背咗科學方法嘅精神。喺 1692 年，佢寫咗封信俾劍橋哲學家理查德•賓利（Richard Bentley），喺信入面講：

### 愛因斯坦嘅解答

有關萬有引力定律嘅種種問題要去到廿世紀頭愛因斯坦提出廣義相對論嗰陣先至解答到。根據呢個理論，重力唔係真係一股力，而係由物質所引致嘅時空扭曲現象。愛因斯坦話能量（Energy）同動量（Momentum）會令到佢哋周圍嘅時空產生扭曲（一舊嘢嘅能量同動量都係取決於佢嘅質量嘅），而呢啲扭曲會令到喺呢啲時空入面郁嘅嘢望落好似改變咗運行方向噉，好似係一粒人造衛星：因為佢嘅龐大質量，地球帶有好大嘅能量同埋動量。呢股龐大嘅能量同動量會令到佢周圍嘅時空扭曲。如果冇咗地球，粒衛星會直線行；有地球喺度，粒衛星都重係行直線，只不過係喺一個扭曲咗嘅空間入面嘅直線由一個冇扭曲嘅空間嗰度睇望落唔會係一條直線。愛因斯坦話，呢種時空扭曲係點解啲嘢喺重力場之下望落會好似受咗股力噉改變佢哋郁嘅方向。到咗廿一世紀，進階嘅物理研究一般都撐愛因斯坦嘅諗法。

## 睇埋
* 物理學
** 力學
*** 古典力學
**** 牛頓運動定律
*** 相對論
*** 重力

## 註釋

## 攷