E (數學常數)

**<math>e</math>** 係自然指數同埋自然對數函數嘅底數。有時又叫做**自然底數**或**歐拉數**（），個名來自瑞士數學家歐拉；佢嘅數值大約係（小數點後20位）：

:e = 2.71828182845904523536\ldots

同圓周率 <math>\pi</math>同埋虛數單位 <math>i</math> 一樣，e 係數學入面最重要嘅常數之一。

## 定義
e 可以用導數嚟定義。如果試吓對隨便一個指數函數 f(x)=a^x 求導，根據基本原理：
:f'(x)={d\over dx}a^x = \lim_{h\to 0} { a^{x+h} - a^x \over h}
= \lim_{h\to 0} { a^x a^h - a^x \over h}
= a^x \lim_{h\to 0} { a^h - 1 \over h} 
會發現佢嘅導數等於佢自己乘一個數，所以為咗方便，將後面嗰個數 \lim_{h\to 0} { a^h - 1 \over h}  定義做 1，呢個時候嗰個特定嘅 a 就係最自然嘅底數，即數學常數 e。
亦即係 \lim_{h\to 0} { e^h - 1 \over h} := 1，轉換一吓
:
\begin{align}
\lim_{h\to 0} ( e^h - 1) &=\lim_{h\to 0} h \\
\lim_{h\to 0}  e^h &=\lim_{h\to 0} (1+h)
\end{align}

得到 e :=\lim_{h\to 0} (1+h)^{1\over h}
或 e :=\lim_{h\to \infin} \left(1+{1\over h}\right)^h。

即係話 e 嘅定義係(1+ \frac{1}{h})^h，入面嘅 h 趨於無限大。

如果用二項式定理展開佢，會變成：
:e = \lim_{h\to \infin} \left(1+{1\over h}\right)^h
= \lim_{h\to \infin} \sum_{k=0}^\infin \left((^h_k) {1\over h^k}\right)
:
\begin{align}
&= \lim_{h\to \infin} \left( 
    (^h_0) {1\over h^0} 
  + (^h_1) {1\over h^1} 
  + (^h_2) {1\over h^2} 
  + \dots \right)
\\
&= \lim_{h\to \infin} \left(
    {1\over 0!}
  + {h\over 1!} {1\over h} 
  + {h(h-1)\over 2!} {1\over h^2} 
  + {h(h-1)(h-2)\over 3!} {1\over h^3} 
  + \dots \right)
\\
&= \lim_{h\to \infin} \left(
    {1\over 0!}
  + {1\over 1!} 
  + {1-{1\over h}\over 2!} 
  + {(1-{1\over h})(1-{2\over h})\over 3!} 
  + \dots \right)
\\
&= \lim \left(
    {1\over 0!}
  + {1\over 1!} 
  + {1\over 2!} 
  + {1\over 3!} 
  + \dots \right)
\\
&= \lim_{h\to \infin} \sum_{n=0}^h {1\over n!}
\end{align}


所以 e 亦可定義做 \sum_{n=0}^\infin {1\over n!} = 1 + {1\over 1!} + {1\over 2!} + {1\over 3!} + \ldots ，當中嘅\ n!\ 係階乘嘅意思。

當定義咗 e 之後，可以定義埋自然對數 \ln(x) = \log_e(x)。
所以 a^x = e^{x \ln(a)}(對數律)。
然後 a^x 嘅導數就可以用連鎖律計：
: {d\over dx}a^x = {d\over dx} e^{x \ln(a)} = {d\over d(x \ln(a))} e^{x \ln(a)} \times {d\over dx} (\ x \ln(a)\ ) = a^x \ln(a)
另一方面，睇返一開始用基本原理得到 a^x 嘅導數係  a^x \lim_{h\to 0} { a^h - 1 \over h} ，而家知道  \lim_{h\to 0} { a^h - 1 \over h} = \ln(a)。
再調位：
: 
\begin{align}
 \lim_{h\to 0} ( a^h - 1 ) &= \lim_{h\to 0} h \ln(a) \\
 \lim_{h\to 0} a^h &= \lim_{h\to 0}\ (\ 1 + h \ln(a)\ ) \\
 a &= \lim_{h\to 0}\ (\ 1 + h \ln(a)\ )^{1 \over h}
\end{align}

因為  a = e^{\ln(a)}  同埋上面對 e 嘅定義，所以：
:  e^{\ln(a)} = \lim_{h\to \infin} \left( 1 + { \ln(a) \over h } \right)^h = \lim_{h\to \infin} \left( 1 + {1\over h } \right)^{h \ln(a)} 
即
:  e^{x} = \lim_{h\to \infin} \left( 1 + { x \over h } \right)^h = \lim_{h\to \infin} \left( 1 + {1\over h } \right)^{hx} 
用二項定理展開，過程同上面差唔多，會得到
: e^x = \lim_{h\to \infin} \sum_{n=0}^h {x^n \over n!}
所以自然指數 e^x 可定義做  \sum _{n=0}^{\infty }{x^n \over n!}=1+x+{x^2 \over 2!}+{x^3 \over 3!}+\ldots 

## 無理數
**<math>e</math>** 係一個無理數。可以用反證法證明。

假設 e 係一個有理數，P,Q 係正整數，同埋 Q \neq 0：

:e = {P \over Q} = 1 + {1\over 1} + {1\over {1\cdot 2}} + {1\over {1\cdot 2\cdot 3}} + \dots

:Qe = P = Q + {Q\over 1} + {Q\over {1\cdot 2}} + {Q\over {1\cdot 2\cdot 3}} + \dots \in \mathbb{Z}

:k!\cdot Qe = k!\cdot Q + {k!\cdot Q\over 1} + {k!\cdot Q\over {1\cdot 2}} + {k!\cdot Q\over {1\cdot 2\cdot 3}} + \dots \in \mathbb{Z}，當中嘅 k 係大於 Q 嘅任意正整數。

:k! \cdot Qe = L + {Q \over {k+1} } + {Q \over {(k+1)(k+2)} } + {Q \over {(k+1)(k+2)(k+3)} } + \ldots，入面 L 係整數。

:0 

所以 k! \cdot Qe =  整數 + 小數，而左面嘅 k! \cdot Qe 係整數。

得出「整數＝整數＋小數」嘅矛盾，即係話原本嘅假設係錯，e 唔係有理數，但 e 係實數，所以只能夠係無理數。

## 用處
好多增長或衰減過程都會用到 e，就好似計利息咁，可以睇下複利。

## 睇埋
*階除
*錯排
*圓周率
*無理數
*超越數
*歐拉數
*極限
*微積分
*複數