量子場論

喺理論物理學入面，**量子場論**（，簡稱：）係一套將量子力學、狹義相對論同經典場論結合嘅自洽概念同工具。喺粒子物理學同凝聚態物理學度，量子場論可以分別為亞原子粒子同準粒子建立量子力學模型。量子場論將粒子視作更基礎嘅場上面嘅激發態，即係所謂嘅量子；粒子之間嘅互動就用相應場之間嘅交互項去描述。每種互動都可以用費曼圖嚟表示——呢啲圖唔單止直觀易睇，仲係相對論性協變微擾理論計算粒子過程時嘅重要數學工具。

## 歷史
量子場論嘅發展唔係一步到位，而係喺二十世紀期間經過多代理論物理學家逐步推進、跌跌撞撞先至成為而家嘅完整理論框架。最早嘅量子場論用嚟描述光同電子之間嘅相互作用—即量子電動力學—喺1920年代逐步建立。之後因為計算入面出現各種無限大，量子場論經歷咗第一個低潮；大約1950年，重整化程序嘅發明先令佢走出低谷。再之後，由於未能解釋弱相互作用同強相互作用，量子場論又跌入第二個低潮，差啲被棄置。直到1970年代規範場論完善同基本粒子標準模型建成，量子場論先再度復興。

### 理論背景

今日嘅量子場論係量子力學、狹義相對論同經典場論融合嘅成果，所以要追本溯源就要沿住呢幾條線索講起。

最早成功建立嘅經典場論係基於牛頓萬有引力定律。不過喺巨著《自然哲學的數學原理》入面，艾薩克·牛頓冇講到任何「場」嘅概念；佢嘅萬有引力定律描述嘅引力屬於超距作用，具瞬時性，唔理距離幾遠都即時生效。不過佢喺寫畀劍橋大學三一學院院長嘅信度，又表明唔認為物質會無媒介咁直接影響其他冇接觸嘅物質。去到18世紀，數學物理學家發現用「數學場」可以方便描述萬有引力：即喺空間每個位置指定一個數量去表徵該處引力，但佢哋都冇畀呢個場任何實在物理意義。

19世紀電磁理論發展真正開啟咗「場」概念。麥可·法拉第喺1845年11月7號最早用「場」（）一詞，主張係磁力線構成嘅場代表空間嘅物理狀態，就算空無一物都得。依賴遍佈空間嘅磁力線，作用力可以花時間由一物體傳到另一物體；呢個過程唔係瞬時，亦避免咗超距作用。直到今日，呢亦係對場嘅標準描述：場係空間嘅物理狀態。

1862年，詹姆斯·麦克斯韦提出完整嘅麥克斯韋方程組，建成電磁學理論。透過呢組方程，電場、磁場、電荷同電流四者關係被確立；又可推論出電磁波存在——電磁波係電場同磁場喺空間由一點傳去另一點嘅過程——並指出電磁波以有限速度（即光速）傳播。呢啲結果嚴格反駁咗超距作用。經典電磁理論功能極強，可以描述電荷同電流點樣產生及感受電場磁場，但佢唔適用於解釋原子譜線離散性質，亦計唔啱黑體輻射譜分佈，呢啲問題要等量子力學先解決。

量子力學嘅起源可追溯到1900年馬克斯·普朗克對黑體輻射嘅研究。普朗克將物體內發射同吸收輻射嘅原子視為微小量子谐振子，假設佢哋能量離散，吸收同發射嘅輻射能量都量子化。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦用光電效應解釋證明光由一粒粒能量團組成，稱為光子，即光嘅量子。意味電磁輻射以粒子形態存在。

1913年，尼爾斯·玻爾提出波爾模型描述原子結構，指出電子喺原子入面嘅能量唔係連續，而係離散值。呢再一次顯示量子化現象。波爾模型可解釋原子譜線離散性。1924年，路易·德布羅意提出波粒二象性，即微觀粒子有時似波有時似粒。早期量子理論由好多呢類粗略計算同直覺假設拼湊而成，因為能解釋先前解釋唔到嘅實驗結果先獲成功。1925至1926年間，多位科學家（德布羅意、維爾納·海森堡、馬克斯·玻恩、埃爾溫·薛定諤、保羅·狄拉克、華夫岡·鮑利等等）將量子理論發展成自洽理論，稱做「量子力學」，為早期量子理論提供更精緻嘅基礎。

就喺發表光電效應論文同一年，愛因斯坦亦基於麥克斯韋電磁學創立狹義相對論，打破時間同空間劃界，提出所有物理定律必須喺勞侖茲變換下保持不變。狹義相對論暗示以太多餘，電磁波無需以太即可喺空間傳播；愛因斯坦亦認同法拉第對場嘅觀點：場係空間嘅物理狀態。

當時有兩個難題：實驗上，薛定諤方程解釋到受激發射（電子喺外電磁場下釋放光子），但解釋唔到自發發射（無外場亦會自己降能級釋放光子）；理論上，薛定諤方程描述唔到光子，而且量子力學唔符合相對論—佢將時間當普通數，但把粒子空間位置提升成線性算符。

### 量子電動力學
1920年代，電磁場係唯一已知場，所以量子場論首先聚焦量子化電磁相互作用。

1925至1926年，馬克斯·玻恩、海森堡同帕斯庫爾·約當用正則量子化程序，將電磁場視為一組量子諧振子，建立咗自由電磁場（即唔同物質互動）嘅量子理論。因為冇包含互動，呢理論做唔到實用預測。

1927年，狄拉克喺論文《描述輻射嘅發射同吸收嘅量子理論》中首次提出「量子電動力學」（，QED）。佢將真空中嘅輻射場都描述成量子諧振子，再創意咁加入輻射場同原子內帶電粒子嘅耦合項，一併用第一階微擾理論處理，成功解釋自發發射。按不確定性原理，量子諧振子唔可以完全靜止，就算最低能量態都會振動；因此真空態電磁場仍存在量子漲落。自發發射就係呢啲漲落對電子造成嘅受激發射。狄拉克理論功能強大，能解釋各種原子吸放射現象，用第二階微擾理論亦能解釋光子散射、、非相對論性康普頓散射等等。不過去到更高階計算就遇到無限大問題。

1928年，狄拉克提出描述相對論性電子嘅狄拉克方程，成功解釋光子同相對論性電子嘅互動。呢方程即時畀出四個重大結果：一，電子自旋=1/2；二，電子g因子=2；三，推導氫原子光學譜精細結構嘅索莫菲公式；四，推導克萊因-仁科公式解釋相對論性康普頓散射同穆勒散射等。但理論亦有多個問題，例如需要負能量態存在—意味所有原子都唔穩定，可透過輻射跳去負能量態。

當時普遍認為組成宇宙嘅物質粒子（例如電子）同量子場（例如光子）係截然不同：物質粒子永久存在，其量子態畀出空間位置機率；光子則唔永久，係電磁場量子化後嘅激發，可產生或湮滅。直到1928至1930年間，約當、尤金·維格納、海森堡、鮑利同費米發現物質粒子亦可視為量子場激發：電子有電子場，質子有質子場等等。

喺呢基礎上，恩里科·費米喺1932年提出解釋β衰變嘅：原子核本身雖然冇電子，但衰變時會喺周邊電子場度激發出電子，好似光子喺電磁場激發一樣。

1929年，狄拉克等人發現，要解決狄拉克方程負能量態問題，就要假設同電子質量相等但電荷相反嘅粒子——正電子。呢假設唔單確保原子穩定，亦首次提出反物質存在。1932年，卡爾·戴維·安德森喺宇宙射線中發現正電子。只要能量夠高（例如吸收光子），就可以產生一對電子同正電子；電子同正電子又可互相湮滅產生光子。呢現象證明粒子數目喺互動中未必固定。初時正電子唔被視為新粒子，而係「無限電子海」入面嘅空穴，所以又叫「狄拉克空穴理論」。量子場論好自然咁描述咗呢個現象。

### 無限大同重整化
羅伯特·歐本海默喺1930年證明量子電動力學嘅高階微擾計算一定會出現無限大結果，好似電子同電子同光子嘅真空零點能量，即係話嗰陣時嘅理論方法搞唔掂超高動量光子嘅互動。由識到呢個無限大難題，到搵到系統性解決方法，中間足足花咗廿年。

1934至1938年間，厄恩斯特·斯蒂克爾堡發表咗幾篇重要論文，建立咗相對論不變嘅量子場論表述；到1947年，佢仲獨立搵到一套完整嘅重整化程序。可惜其時其他理論學家唔明白佢嘅概念。

約翰·阿奇博爾德·惠勒同海森堡分別喺1937年同1943年提出用S矩陣理論取代問題多多嘅量子場論。前者嘅意思係：既然現實觀測唔到微觀互動嘅細節，理論只需描述到可觀測量（例如原子能量）之間嘅關係，唔使理會細節。1945年，理查德·費曼同惠勒仲提議乾脆放棄量子場論，用粒子間嘅超距作用作互動原理。

1947年，威利斯·蘭姆同測到氫原子2*S*1/2同2*P*1/2能級之間有微細差距，即蘭姆位移。漢斯·貝特用量子場論，忽略所有能量高過電子質量嘅光子效應，成功估算出呢個能級差。之後，、蘭姆、詹姆斯·布魯斯·弗倫奇同維克托·魏斯科普夫用「無限大互相抵消」方法再度驗證蘭姆位移。不過呢方法唔可靠，亦難以推廣到其他計算。

大概喺1950年前後，朱利安·施溫格、費曼、弗里曼·戴森同朝永振一郎終於整出一套更可靠嘅去除無限大方法。要點係：理論入面最初嘅參數（所謂「裸值」：質量、電荷等）其實冇實際物理意義；計算時要重新定義，用實際量度到嘅有限值取代。為咗抵消表面上無限大嘅參數，要加無限大嘅「抵消項」。呢個系統性計算程序就叫重整化，可以適用於微擾理論嘅任何階。

重整化程序可以解釋電子異常磁矩、電子''g''因子同真空極化；計算結果同高精度實驗嘅吻合喺當時前所未見。重整化成功擊破咗量子電動力學嘅無限大難題。

同時，費曼仲發明咗費曼圖同路徑積分表述。費曼圖可以好直觀咁整理同計算微擾級數各項：每幅圖就係粒子互動過程嘅示意，每個節點同線段對應特定數學式，組合後就得出該互動嘅。

有咗重整化同費曼圖之後，量子場論終於成為一套完整成熟嘅理論框架。

### 第二次低潮
1950年代初，量子電動力學大獲成功，不少理論學家相信量子場論終有日可以描述解釋全部微觀物理現象，唔止電子、正子同光子相互作用。不過，量子場論好快又陷入另一個低谷，足足維持近二十年。

第一個難題係重整化程序唔係樣樣啱用。量子電動力學所有無限大，可以靠重新定義少量物理量（電子質量同電荷）消除。戴森喺1949年證明，具備呢種好屬性嘅理論（即所謂「可重整化理論」）只係少數，多數理論其實不可重整化。例子之一就係描述弱相互作用嘅費米相互作用；喺量子場論框架下，任何高過第一階嘅微擾計算都會出現無限大，而單靠重新定義物理量係搞唔掂嘅。

第二個難題係費曼圖方法嘅適用性。因為費曼圖係基於微擾展開，所以描述互動強度嘅耦合常數要夠細。量子電動力學耦合常數係精細結構常數，足夠細，所以計算時只需考慮最簡單（低階）圖。但強相互作用顧名思義耦合常數較大（約1），複雜（高階）費曼圖同最簡單圖一樣重要，計算時再唔可以忽略。

喺呢啲難題困擾下，唔少理論學家開始對量子場論失去信心。有啲專注於對稱性原則同守恆定律，有啲就重新研究惠勒同海森堡嘅S矩陣理論。雖然量子場論概念對呢啲方向都有啟發作用，但實際計算上佢並無被採用。

### 標準模型
1954年，楊振寧同羅伯特·米爾斯將量子電動力學嘅局域對稱性推廣，純粹從理論角度建立咗基於更複雜對稱性嘅理論——非阿貝爾規範場論（又叫楊–米爾斯理論）。喺量子電動力學入面，帶電粒子之間嘅相互作用係由光子傳遞；同樣，喺非阿貝爾規範場論入面，帶某種新「荷」嘅粒子之間嘅相互作用就由無質量嘅規範玻色子傳遞。唔同於光子，呢啲規範玻色子本身都帶荷。

謝爾登·格拉肖喺1960年用規範場論整合電磁同弱相互作用；阿卜杜勒·薩拉姆同又喺1964年從另一條路搵到同樣理論。不過嗰陣佢哋嘅理論係不可重整化嘅。

彼得·希格斯、羅伯特·布繞特同弗朗索瓦·恩格勒喺1964年提出，楊–米爾斯理論嘅規範對稱性可以被破壞，令本來無質量嘅規範玻色子攞到質量，即自發對稱破缺機制。

### 其他發展
1970年代見證咗非阿貝爾規範場論非微擾方法嘅發展：特·胡夫特同亞歷山大·泊里雅科夫發現，同波爾·奧勒森（Poul Olesen）發現流量管，泊里雅科夫等人發現瞬子。呢啲概念都唔可以用微擾理論方法嚟描述。

超對稱概念亦係喺同一時期浮現。1970年，尤里·阿布拉莫維奇·高爾方同葉夫根尼·利希特曼（Evgeny Likhtman）構建咗第一個具超對稱性嘅四維量子場論；不過因鐵幕阻隔，研究冇得到廣泛關注。直至1973年，朱利斯·外斯同布魯諾·朱米諾建立一類四維超對稱量子場論，超對稱概念先正式進入主流理論界。

喺四大基本相互作用之中，引力係唯一暫時無法一致用量子場論描述嘅相互作用。理論物理學家喺量子引力方面嘅多番嘗試，促成咗1970年代弦理論嘅興起。（弦理論本身係具共形對稱性嘅二維量子場論。）同約翰·施瓦茨喺1974年首次提出，弦理論有望成為量子化引力嘅框架。

### 凝聚態物理學
量子場論本來係為咗研究基本粒子相互作用而生，但其方法同概念亦成功推廣到其他物理系統；喺凝聚態物理學等多體系統研究中特別豐收。

歷史上，南部陽一郎將超導體理論應用到基本粒子，最終促成希格斯機制／自發對稱破缺機制；而重整化群概念亦源自研究物質第二階相變。

喺提出光子概念冇幾耐，愛因斯坦就建議將晶體振動量子化，呢個意念最後孵化出第一個準粒子概念——聲子。列夫·朗道進一步指出，各類凝聚態系統嘅低能激發都可以用一組準粒子互動嚟描述。理論家發現，量子場論入面嘅費曼圖方法能夠自然咁處理呢啲現象。

規範場論仲可以描述超導體磁通量量子化、量子霍爾效應入面嘅電阻率，同埋交流約瑟夫森效應度頻率同電壓嘅關係。

## 原理
為咗簡化公式，呢節採用自然單位制，設約化普朗克常數同光速都等於1。

### 經典場同量子場

經典場可以睇成喺時間同空間度定義嘅函數。例子有：牛頓萬有引力入面嘅引力場，仲有經典電磁學入面嘅電場同磁場。因為經典場喺空間每一點都有隨時間改變嘅數值，所以佢哋有無限多個自由度。

不過，經典場論解釋唔到帶有量子性質嘅現象。例如某啲實驗（好似光電效應）必須用一粒粒獨立嘅光子嚟描述，而唔係用空間連續嘅場。「量子」場論就係想保持場嘅框架之餘，又能解釋各種量子力學現象。

量子場論常用嘅兩種表述係正則量子化同路徑積分表述。為咗展示基本原理，下面先簡述經典場論。

攞最簡單嘅經典場做例子：假設喺空間每點都有一個隨時間改變嘅實數，寫做，係位置向量，係時間。呢個就係實純量場。再假設呢個場嘅拉格朗日量係
:L = \int d^3x\,\mathcal{L} = \int d^3x\,\left[\frac 12 \dot\phi^2 - \frac 12 (\nabla\phi)^2 - \frac 12 m^2\phi^2\right],

其中\dot\phi係時間導數，係散度算符，係一個參數（可以當作場嘅「質量」）。喺呢個拉格朗日量上用適用於場嘅歐拉-拉格朗日方程
:\frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\phi/\partial t)}\right] + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x^i} \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\phi/\partial x^i)}\right] - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0,
就攞到場喺時空上點變嘅運動方程：
:\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + m^2\right)\phi = 0.
呢條就係克萊恩-戈登方程式。

克萊恩-戈登方程係一條波動方程，所以解可以寫成各種簡正模嘅和（用傅里葉變換攞到）：
:\phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}} e^{-i\omega_{\mathbf{p}}t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + a_{\mathbf{p}}^* e^{i\omega_{\mathbf{p}}t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right),
其中係複數，星號代表複共軛，係簡正模頻率：
:\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}.
咁，每個簡正模都可以當做頻率為嘅經典諧振子。

### 正則量子化

以上經典場嘅量子化手續，同將單個經典諧振子升格做量子諧振子嘅過程差唔多。

一個經典諧振子嘅振幅（可以想像成做諧波運動嘅粒子位置，但唔好同場標籤搞亂）隨時間變化：
:x(t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} a e^{-i\omega t} + \frac{1}{\sqrt{2\omega}} a^* e^{i\omega t},
係複數，係頻率。

要變成量子諧振子，就將呢個普通數字升做線性算符\hat x(t)；同時，同都升做算符——分別係消滅算符\hat a同創生算符\hat a^\dagger（係埃爾米特伴隨）：
:\hat x(t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} \hat a e^{-i\omega t} + \frac{1}{\sqrt{2\omega}} \hat a^\dagger e^{i\omega t}.
佢哋嘅對易關係係：
:[\hat a,\hat a^\dagger] = 1.
單個諧振子嘅所有量子態可以由真空態|0\rangle開始，用創生算符\hat a^\dagger重複作用得到：
:|n\rangle = (\hat a^\dagger)^n|0\rangle.

同理，上面嘅實純量場（對應單個諧振子嘅）升做算符\hat\phi，而、升做對應嘅消滅算符\hat a_{\mathbf{p}}同創生算符\hat a_{\mathbf{p}}^\dagger：
:\hat \phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\left(\hat a_{\mathbf{p}} e^{-i\omega_{\mathbf{p}}t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{i\omega_{\mathbf{p}}t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right).
對易關係：
:[\hat a_{\mathbf p},\hat a_{\mathbf q}^\dagger] = (2\pi)^3\delta(\mathbf{p} - \mathbf{q}),\quad [\hat a_{\mathbf p},\hat a_{\mathbf q}] = [\hat a_{\mathbf p}^\dagger,\hat a_{\mathbf q}^\dagger] = 0,
係狄拉克δ函數。所有量子態可以由真空態|0\rangle開始，用唔同嘅創生算符重複作用，例如：
:(\hat a_{\mathbf{p}3}^\dagger)^3 \hat a{\mathbf{p}2}^\dagger (\hat a{\mathbf{p}_1}^\dagger)^2 |0\rangle.

雖然拉格朗日量入面嘅場喺空間上係連續，但量子化之後嘅態空間係離散嘅。單個諧振子嘅態空間只係一粒子嘅離散能級；而量子場嘅態空間包含任意粒子數量嘅所有離散能級，呢個空間叫，可以描述相對論性量子系統當中粒子數目唔固定嘅情況。

以上做法直接用咗非相對論性量子力學嘅表述，適用於純量場、狄拉克場、矢量場（好似電磁場）甚至弦嘅量子化。不過，只有喺冇相互作用嘅最簡單理論（所謂自由理論）入面，創生同消滅算符先定義得好好；如果拉格朗日量仲有互動項，就要喺自由理論基礎上用微擾理論計算。

自然界嘅量子場拉格朗日量通常都包含互動項。例如，可以喺實純量場嘅拉格朗日量密度加一個四次項：
:\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\phi) - \frac 12 m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4,
係時空指標：\partial_0 = \partial/\partial t,\ \partial_1 = \partial/\partial x^1等等；用愛因斯坦求和約定省略咗對求和嘅符號。如果參數夠細，呢個四次互動項就可以當做微擾。

### 路徑積分

同正則量子化唔同，路徑積分表述唔着重建立算符同態空間，而係直接計算某個過程嘅振幅。費曼路徑積分大意係：要計算系統由初始態|\phi_I\rangle（時間）演變到終結態|\phi_F\rangle（）嘅振幅，先把總時間劏成段好細嘅時間，再考慮佢喺每段內嘅演變振幅，最後對各段對應嘅中間態做積分。設哈密頓量（即）為，則
:\langle \phi_F|e^{-iHT}|\phi_I\rangle = \int d\phi_1\cdots d\phi_{N-1},\langle \phi_F|e^{-iHT/N}|\phi_{N-1}\rangle\cdots\langle \phi_1|e^{-iHT/N}|\phi_I\rangle.
喺取極限之後，上面無限個積分之積就變成路徑積分：
:\lang \phi_F|e^{-iHT}|\phi_I\rang = \int \mathcal{D}\phi(t)\,\exp\left\{i\int_0^T dt\,L\right\},
 係包含  同其時空導數嘅拉格朗日量，佢同哈密頓量有勒壤得轉換關係，而路徑積分嘅邊界條件係
:\phi(0)=\phi_I,\quad \phi(T)=\phi_F.
即係話，開始至終結嘅振幅係兩態之間「所有路徑」振幅之和，而每條路徑嘅振幅就由積分入面嘅指數畀出。

### 兩點相關函數
而家假設理論含互動，且拉格朗日量入面嘅互動項係微擾。

實際計算時經常會遇到：
:\langle\Omega|T{\phi(x)\phi(y)}|\Omega\rangle,
同係位置四維向量，係時間排序算符（按、時間分量由遲到早排），|\Omega\rangle係含互動嘅基態（真空），一般同自由理論嘅|0\rangle唔同。呢個表達式係場由傳到嘅機率幅，叫做兩點，又叫兩點格林函數。

正則量子化表述：
:\lang\Omega|T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega\rang = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \frac{\lang 0|T\left\{\phi_I(x)\phi_I(y)\exp\left[-i\int_{-T}^T dt\, H_I(t)\right]\right\}|0\rang}{\lang 0|T\left\{\exp\left[-i\int_{-T}^T dt\, H_I(t)\right]\right\}|0\rang},
係無窮小量，係自由場算符，係互動項。對理論：
:H_I(t)=\int d^3x,\frac{\lambda}{4!}\phi_I(x)^4.
因為細，指數可以展開成級數逐階算。

路徑積分表述：
:\langle\Omega|T{\phi(x)\phi(y)}|\Omega\rangle=\lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)}\frac{\int\mathcal{D}\phi,\phi(x)\phi(y)\exp[i\int_{-T}^T d^4z,\mathcal{L}]}{\int\mathcal{D}\phi,\exp[i\int_{-T}^T d^4z,\mathcal{L}]}.
指數入面嘅互動項亦可展開成級數。

按威克定理，自由理論任何點相關函數都可以拆成兩點相關函數乘積之和，例如
:\begin{align}
\lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\}|0\rang =& \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_3)\phi(x_4)\}|0\rang\\
&+ \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_3)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_2)\phi(x_4)\}|0\rang\\
&+ \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_4)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_2)\phi(x_3)\}|0\rang.
\end{align}
所以只要計到自由理論嘅兩點相關函數D_F就夠。

最終結果：
:D_F(x-y)=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{p_\mu p^\mu-m^2+i\epsilon}e^{-ip\cdot(x-y)},
即實純量場嘅費曼傳播子。

### 費曼圖

互動理論嘅相關函數可以展開成微擾級數，每項都係若干傳播子乘積，並可以用費曼圖圖像化。例如理論兩點相關函數喺階：
:\frac{-i\lambda}{4!}\langle0|T{\phi(x)\phi(y)\int d^4z,\phi(z)^4}|0\rangle,
維克展開有
:-i\lambda\int d^4z,D_F(x-z)D_F(y-z)D_F(0),
對應費曼圖：一個四腳內點連兩外腳，同一條圈。內點對應-i\lambda\int d^4z，每條線對應D_F，再除對稱因子。

要計算點相關函數，就列出含外點嘅所有連通費曼圖，按規則計數值。樹圖＝冇圈；圈圖＝含迴圈，描述高階輻射修正。

### 重整化

樹圖計算直接用規則；圈圖動量積分會發散，要用重整化去除。拉格朗日量入面嘅質量、耦合常數等係「裸值」，唔可直接當物理量。方法：加動量截做正規化，計完再取。或者改用「重整化微擾理論」——由物理量，同抵消項組成：
:\mathcal{L}=\frac12(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac12m_r^2\phi_r^2-\frac{\lambda_r}{4!}\phi_r^4+\frac12\delta_Z(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac12\delta_m\phi_r^2-\frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4.
選定正規化方案後，用，， 抵消發散。只有可重整化理論先得出有限結果；標準模型係可重整化，量子引力係不可重整化。

#### 重整化群

重整化群（威爾森）用嚟研究參數隨尺度變化；變化由β函數控制，相關函數變化由描述。

量子電動力學：\beta(e)=\frac{e^3}{12\pi^2}+O(e^5)，意味能量越高基本電荷越大。

量子色動力學：\beta(g)=\frac{g^3}{16\pi^2}(-11+\tfrac23N_f)+O(g^5)；當（標準模型6味）g隨能量升而降，出現漸進自由。

如果所有β函數都零，理論就係共形場論，例如弦理論、等。

威爾森觀點：每套理論都有截斷能標 ；低能有效理論必定可重整化。不可重整化理論係更高能基礎理論嘅低能近似，計算中出現無法除去嘅  提醒我哋：高能行為要用新理論解釋。

## 參考文獻