劉徽

**劉徽**，景元四年，注《九章算術》。其序言：昔在庖犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物
之情，作九九之數，以合六爻之變。暨于黃帝，神而化之，引而伸之。于是建曆紀，協律，用稽道
原。然後兩儀四象精微之氣，可得而效焉。記稱隸首作數，其詳未之聞也。按周公制禮而有九數，
九數之流，則《九章》是矣。往者暴秦焚書，經術散壞。自時厥後，漢北平侯張蒼、大司農中丞耿
壽昌，皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘，各稱補，故校其目，則與古或異，而所論者多近語也。
徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探之下，遂悟其意。是以敢竭頑魯，
采其所見，為之作注，事類相推，各有攸歸。故枝條雖分，而同本幹者，知發其一端而已。又所析
理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。且算在六藝，古者以賓興賢能教
習國子，雖曰九數，其能窮纖入微，探測無方。至于以法相傳，亦猶規矩度量，可得而共，非特難
為也。當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未能綜于此耳。周官大司徒職，夏至日中立八尺之
表，其景尺有五寸，謂之地中，說云南戴日下萬五千里，夫云爾者以術推之。案《九章》立四表望
遠，及因木望山之術，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術，猶未足以博盡 群數也。徽
尋九數有重差之名，原其指趣，乃所以施于此也。凡望極高，測絕深，而兼知其遠者，必用重差。
句股則必以重差為率，故曰重差也。立兩表于洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地同日度，其正中
之時，以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為
實，實如法而一即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句股，為之求弦，即日去人也。
以徑寸之筩南望日，日滿筩空，則定筩之長短以為股率，以筩徑為句率，日去人之數為大股，大股
之句，即日徑也。雖夫圓穹之象，猶曰可度，又泰山之高與江海之廣哉！徽以為今之史籍，且略舉
天地之物，考論厥數，載之于志，以闡世術之美。輒造重差，并為注解，以究古人之意。綴于句股
之下，度高者重表，測深者累矩，孤離者三望，離而又旁求者四望。觸類而長之，則雖幽遐詭伏，
靡所不入。博物君子，詳而覽焉。舊術求圓以周三徑一為率，徽以為疏，遂更張其率。其說曰：案
為圓以六觚之一面乘半徑二，因而六之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面，乘一觚之
半徑四，因而六之，則得二十四觚之冪。割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圖
周合體而無所失矣。觚面之外，又有餘徑。以面乘徑，則冪出觚表。若夫觚之細者與圓合體，則表
無餘徑。表無餘徑，則冪不出外矣。以一面乘半徑觚而裁之，每輒自倍，故以半周乘半徑而為圓
冪，此一周徑謂至然之數，非周三徑一之率也。周三者，從其六觚之環耳，以推圓規多少之較，乃
弓之與弦也。然世傳此法莫肯精竅，學者踵古，習其謬失，不有明據，辨之斯難。凡物類形象，不
圓則方。方圓之率，誠著于近，則雖遠可知也。由此言之，其用博矣。謹案圓驗更造密率，恐空設
法數，昧而難譬，故置之檢括，謹詳其記註焉。 割六觚以為十二觚。術曰：置圚徑二尺，半之為一
尺。即圓裏六觚之面，令半徑一尺為弦，半面五寸為句，為之求股。以句冪二十五寸，減弦冪，餘
七十五寸，開方除之，下至秒忽。又一退法，求其微數，微數無名者，以為分子，以下為分母，約
作五分忽之二，故得股八寸六分六釐二秒五忽五分忽之二。以減半徑，餘一寸三分三釐九豪七秒四
忽五分忽之三，謂之小句。觚之半面，又謂之小股。為之求弦，其冪二千六百七十九億四千九百一
十九萬三千四百四十五忽，餘分棄之，開方除之，即十二觚之一面也。割十二觚以為二十四觚。術
曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置上小弦冪四而一，得六百六十九億八千七百二十九萬
八千三百六十一忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘開方除之，得股九寸六分五釐九豪二秒
五忽五分忽之四。以減半徑，餘三分四釐七秒四忽三分忽之一，謂之小 句。觚之半面，又謂之小
股。為之求小弦，其冪六百八十一億四千八百三十四萬九千四百六十六忽，餘分棄之，開方除之，
即二十四觚之一面也。割二十四觚以為四十八觚。術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。
置上小弦冪四而一，得一百七十億三千七百八萬七千三百六十六忽，餘分棄之，即句冪也。以減
弦 冪，其餘開方餘之，得股九寸九分一釐四豪四秒四忽五分忽之四。以減半徑，餘八釐五豪五秒五
忽五分忽之一，謂之小句。觚之半面，又謂之小股。為之求小弦，其冪七百七十一億一千二十七萬
八千八百一十三忽，餘分棄之。開方除之，得小弦一寸三分八豪六忽，餘分棄之，即四十八觚之一
面。 以半徑一尺除之，又以二十四乘之，得冪三萬一千三百九十三億四千四百萬忽。以百億除之，
得冪三百一十三寸六百二十五分寸之五百八十四，即九十六觚之冪也。割四十八觚以為九十六觚。
術曰：亦令半徑為弦，半面為句，為之求股。置次上弦冪四而一，得四十二億七千七百五十六萬九
千七百三忽，餘分棄之，即句冪也。以減弦冪，其餘開方除之，得股九寸九分七釐八豪五秒八忽十
分忽之九。以減半徑，餘二釐一豪四秒一忽十分忽之一，謂之小句。觚之半面，又謂之小股。為之
求小弦，其冪四十二億八千二百一十五萬四千一十二忽，餘分棄之，開方除之，得小弦六分五釐四
豪三秒八忽，餘分棄之，即九十六觚之一面也。以半徑一尺乘之，又以四十八乘之，得冪三萬一千
四百一十億二千四百萬忽。以百億除之，得冪三百一十四寸六百二十五分寸之六十四，即一百九十
二觚之冪也。以九十六觚之冪減之，餘六百二十五分之一百五，謂之差冪。倍之為分寸之二百一
十，即九十六觚之外弧田，所謂以弦乘矢之凡冪也。加此冪于九十六觚之冪，得三百一十四寸六百
二十五分寸之一百六十九，則出圓之表 矣。故還就一百九十二觚之全冪三百一十四寸以為圓冪之定
率，而棄其餘分，以半徑一尺，除圓冪倍之，得六尺二寸八分，即周數。令徑自乘為方冪四百寸，
與圓冪相折，圓冪得一百五十七為率，方冪得二百為率,方幕二百，其中容圓幕一百五十七也。圓率
猶為微少，案弧田圖，令方中容圓，圓中容方，方合外方之半。然則圓冪一百五十七，其中容方冪
一百也。又令徑二尺與周六尺二寸八分相約，周得一百五十七，徑則五十，則其相與之率也，周率
猶為微少也。晉武庫中，漢時王莽作銅斛，其銘曰：『律嘉量斛，方尺而圓其外。庣旁九釐五豪，
冪一百六十二寸，深一尺，積一千六百二十寸，容十斗。』以此術求之得冪一百六十一寸有奇,其數
相近矣。此術微少，而斛差冪六百二十五分寸之一百五。以十二觚之冪為率，消息當取此分寸之三
十六，以增于一百九十二觚之冪，以為圓冪三百一十四寸二十五分寸之四，置徑自乘之。方冪四百
寸，令與圓冪通相約，圓冪三千九百二十七，方冪得五千，是為率。方冪五千中，容圓冪三千九百
二十七，圓冪三千九百二十七中，容方冪二千五百也。以半徑一尺，除圓冪三百一十四寸二十五分
寸之四，倍之得六尺二寸八分二十五分分之八，即周數也。全徑二尺與周數通相約，徑得一千二百
五十，周得三千九百二十七，即其相與之率。若此者蓋盡其纖微矣。舉而用之，上法仍約耳。當求
一千五百三十六觚之一面，得三千七十二觚之冪。而裁其微分，數亦宜然，重其驗耳。 

論曰：徽稱《九章》為九數之流，然則九數與《九章》自。賈公釋《鄭氏周禮注》云：『今
有重差夕桀句股也者，此漢法增之，非也。』蓋方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、不
足、旁要，今有重差夕桀句股者，九數之篇名。方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、贏不足、
方程，句股者，《九章》之目。今有為一術，不得以今為指謂漢時也。周三徑一，于率尚觕。徽創
以六觚之面割之，又割以求周徑相與之率。厥後祖沖之更開密法，仍是割之又割耳。未能于徽法之
外，立新術也。江都焦里堂循謂劉徽注《九章》，與許叔重《說文解字》，同有功于六藝，是豈尊崇
之過當乎？

## 據
*《晉書·律曆志》
*《九章算術》
*《疇人傳》