導數

**導數**者，函數某點之變率也，以極限趨之所得也。常以 y', \frac{\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x}, \frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} f(x) , \dot y 等記之。

## 史

## 物理動機
*瞬時變化率，有「速度」為證。夫所謂以 \vec v 之速而行者，實是頃間位移之變，亦位移之導數而已矣。故曰：\frac{\mathrm{d}\vec{s} } {\mathrm{d}t} = \vec{v} 。

## 微分
設 I 為一開區間且函數 f : I \to \R， x \in I ，若極限
:　　 \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f( x + \Delta x ) - f(x) }{\Delta x} 

存在，是謂 f 可微分於點 x 。其極限值，即 f 微分值之在 x ，且如上述云。

## 導數
設 I 為一開區間且 f : I \to \R  上處處**可微分**於 I ，則命 f 之**導數** f'(x) 於 I ：

f'(x):=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f( x + \Delta x ) - f(x) }{\Delta x} 　　　　\forall x \in I 

亦以 \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}  識之。

顯函之導數亦 x 之一函數也，隱函者則為 \R^n  空间之一多元函數也。

## 常用導數
凡以下公式，皆助吾等得眾函之導數：

1.y=c ,y'=0

2.y=x ,y'=1

3.y=x^n ,y'=nx^{n-1}

4.y=e^x, y'=e^x

5.y=\ln|x|, y'=\frac{1}{x}

6.y=\sin(x), y'=\cos(x) 

7.y=\cos(x), y'=-\sin(x) 

8.y=\tan(x), y'=\sec^2(x)

9.y=\csc(x), y'=-\csc(x) \cot(x) 

10.y=\sec(x), y'=\sec(x) \tan(x) 

11.y=\cot(x), y'=-\csc^2(x)

12.y=\arcsin(x), y'=\frac{1} {\sqrt{1-x^2}}

13.y=\arccos(x), y'=-\frac{1} {\sqrt{1-x^2}}

14.y=\arctan(x), y'=\frac{1} {1+x^2}

15.\frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} (u \pm v) =\frac{\mathrm{d}u} {\mathrm{d}x} \pm \frac{\mathrm{d}v} {\mathrm{d}x}  （加減之法）

16.\frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} (uv) =u\frac{\mathrm{d}v} {\mathrm{d}x} + v\frac{\mathrm{d}u} {\mathrm{d}x}  （乘之法）

17.\frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} \frac{u} {v} =\frac{v\frac{\mathrm{d}u} {\mathrm{d}x} - u\frac{\mathrm{d}v} {\mathrm{d}x}} {v^2}  （除之法）

18.\frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} y(u(x)) =\frac{\mathrm{d}y} {\mathrm{d}u} \frac{\mathrm{d}u} {\mathrm{d}x}  （鏈之法）

夫初等函數之萬千组合，毋論顯隱，此眾法皆可得其導數。

### 證

一之證：
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(C)

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{C-C}{\Delta x}

=0

二之證：
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x)

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x}

=1

三之證：

*次第一：n 乃正整數，藉乎牛頓二項式定理：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n)

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^n+C^n_1x^{n-1}\Delta x+C^n_2x^{n-2}\Delta x^2+...+C^n_n\Delta x^n-x^n}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}C^n_1x^{n-1}+C^n_2x^{n-2}\Delta x+...+C^n_n\Delta x^{n-1}

=C^n_1x^{n-1}

=nx^{n-1}

*次第二：n 乃負整數

設 k=-n 。則：
x^n=\frac{1}{x^k}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n)

=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{x^k}

=\frac{x^k\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1)-1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^k)}{x^{2k}}

=\frac{0-kx^{k-1}}{x^{2k}}

=-kx^{-k-1}

=nx^{n-1}

*次第三：n 乃有理數

設 n=\frac{p}{q} ，且 p,q 乃整數 （q\neq0）。則：
x^n=(x^{\frac{1}{q}})^p

又：設 u=x^{\frac{1}{q}} ，則：
y=u^p

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}=pu^{p-1}

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=qu^{q-1}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}

pu^{p-1}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n).qu^{q-1}

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^n)=\frac{p}{q}u^{p-q}

=\frac{p}{q}(x^\frac{1}{q})^{p-q}

=nx^{n-1}

*次第四： n 乃實數

設 y=x^n 。則：
\ln|y|=n\ln|x|

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln|y|)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}n\ln|x|

\frac{1}{y}.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=n.\frac{1}{x}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y.\frac{n}{x}

=x^n.\frac{n}{x}

=nx^{n-1}

四之證：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^x)

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x}

=e^x.\lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x-1}}{\Delta x}

=e^x.(1)

=e^x

五之證：

次第一：x>0

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln|x|)

=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln(x))

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln(x)}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\ln\frac{x+\Delta x}{x}

=\lim_{\Delta x \to 0}\ln(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}

設 n=\frac{x}{\Delta x} ，則若 \Delta x \to 0 ， n \to \infty 。

\lim_{\Delta x \to 0}\ln(1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}}

=\ln(\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n))^\frac{1}{x}

=\ln e^\frac{1}{x}

=\frac{1}{x}

次第二：x

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln|x|)

=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln(-x))

=-\frac{1}{x}.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-x)

=-\frac{1}{x}.(-1)

=\frac{1}{x}

六之證：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(x)

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2\cos{\frac{2x+\Delta x}{2}}\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}(\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}.\cos(x+\frac{\Delta x}{2}))

=1.\cos x

=\cos x

七之證：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos(x)

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{-2\sin{\frac{2x+\Delta x}{2}}\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}

=-\lim_{\Delta x \to 0}(\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}.\sin(x+\frac{\Delta x}{2}))

=-1.\cos x

=-\cos x

八之證：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan x)

=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\sin x}{\cos x})

=\frac{\cos x\frac{d}{dx}(\sin x)-\sin x\frac{d}{dx}(\cos x)}{\cos^2 x}

=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}

=\sec^2 x

九之證：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\csc x)

=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{\sin x}

=\frac{\sin x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1)-1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin x)}{\sin^2 x}

=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}

=-\cot x\csc x

十之證：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sec x)

=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{\cos x}

=\frac{\cos x{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1)-1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos x)}{\cos^2 x}

=\frac{\sin x}{\cos^2 x}

=\sec x\tan x

十一之證：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cot x)

=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{\tan x}

=\frac{\tan x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1)-1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan x)}{\tan^2 x}

=-\frac{\sec^2 x}{\tan^2 x}

=-\csc^2 x

十二之證：

設 x=\sin y 且 -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2} 。則：

x=\sin y

1=\cos y.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\cos y}

=\frac {1}{\sqrt{1-\sin^2 y}}

=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

十三之證：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos x

=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\pi}{2}-\arcsin x)

=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

十四之證：

設 x=\tan y 且 -\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2} 。則：

x=\tan y

1=\sec^2 y.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

=1\sec^2 y

=\frac{1}{1+x^2}

十五之證：

設 u=f(x) 且 v=g(x) 。則：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u\pm v)

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x))-(f(x)\pm g(x))}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}(\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\pm \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x})

=f'(x)\pm g'(x)

=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\pm \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}

十六之證：

設 u=f(x) 且 v=g(x) 。則：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(uv)

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x+\Delta x)g(x)+f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}(f(x+\Delta x)(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x})+g(x)(\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}))

=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)

=u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}

十七之證：

設 u=f(x) 且 v=g(x) 。則：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{u}{v}

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\frac{f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta xg(x)g(x+\Delta x)}

=\lim_{\Delta x \to 0}(\frac{1}{g(x)g(x+\Delta x)}.\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{\Delta x})

=\lim_{\Delta x \to 0}(\frac{1}{g(x)g(x+\Delta x)}.(\frac{f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}-\frac{f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}))

=\frac{1}{g(x)^2}.(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))

=\frac{v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2}

十八之證：

設 y=f(x) 且 u=g(x) 。則：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}

=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}

緣當 \Delta x \to 0 時， g(x+\Delta x)-g(x)=(u+\Delta u)-u=\Delta u \to 0 ，故：

\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}

=\lim_{\Delta u \to 0}\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}

=f'(u)g'(x)

=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}

### 例

求 y=x^4+\sin(x^2)-\ln(x)e^x+7 之導數。

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^4+\sin(x^2)-\ln(x)e^x+7)

=4x^3+\cos(x^2)\frac{d}{dx}(x^2)-(\frac{1}{x}e^x+\ln(x)e^x)+0

=4x^3+2x\cos(x^2)-\frac{e^x}{x}-\ln(x)e^x

## 二階導數

二階導數者，導數之導數也，乃函數於某點時斜率之變率，為以極限趨函數斜率之方程所得也。常書二階導數作\frac{\mathrm{d}^2 y} {\mathrm{d}x^2}，\frac{\mathrm{d}^2} {\mathrm{d}x^2} f(x)， y''， \ddot y等。夫\frac{\mathrm{d}^2 y} {\mathrm{d}x^2}者，其義緣\frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} (\frac{\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x})也。

至於甚者（n 階導數，n \in N 當 n>2 時），其義及書同上。（舉一隅，則反三隅也）

### 例

求 y=4x^{33}+58x^{13}+289x^4+5x+1 之二階導數。

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}

=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(132x^{32}+754x^{12}+1156x^3+5)

=4224x^{31}+9048x^{11}+3468x^2

## 偏導數

詳見偏導數

## 據

*https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-introduction.html
*https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-rules.html
*https://www.mathsisfun.com/calculus/implicit-differentiation.html
*https://www.mathsisfun.com/calculus/second-derivative.html