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非標準實數

**超實數**，用於非標準分析，故亦曰**非標準實數**，乃魯賓遜所創也。

初，牛頓、萊布尼茨立微積分，論極限，謂兩數相差，小之又小，以至無窮小，則如何如何。然無窮小之物，似零非零，疇人病之，謂不合理則也。已而百年，微積分盡可定義於實數，而無窮小殆不復見。然以無窮小言極限，頗合直觀，故仍偶見於入門課本。一九六零年，魯賓遜另闢蹊徑，立新數系，取名超實數，為實數之引伸，且有無窮小及無窮大。以此數系算微積分，世稱非標準分析。

## 算

數可四分︰曰實數、曰無窮大、曰無窮小、曰實數加無窮小。

無窮大與無窮大之積，無窮大也。正無窮大與正無窮大之和，正無窮大也。負無窮大與負無窮大之和，負無窮大也。正無窮大與負無窮大之和，未可知也。

無窮小與無窮小之積，無窮小也。正無窮小與正無窮小之和，正無窮小也。負無窮小與負無窮小之和，負無窮小也。正無窮小與負無窮小之和，零或無窮小也。

無窮大與無窮小之和，無窮大也。無窮大與無窮小之積，未可知也。

無窮大與實數之和，無窮大也。無窮大與非零實數之積，無窮大也。無窮大與零之積，零也。

無窮小與非零實數之積，無窮小也。無窮小與零之積，零也。

無窮大之倒數，無窮小也。

問曰：若甲趨向三，則其方之極限若干？

答曰：甲趨向三，則甲乃三加無窮小也。因甲之方為九加無窮小，可知極限為九。

## 集

凡實數，可得一恆序列（「(\forall n) a_n=a」）。

嘗有實數序列之集，含所有恆序列，兼有如斯特性：凡有序列甲乙，必有一項，其後甲必大於乙，或甲必小於乙也 。此等集合之極大者，超實數集是也。

自然數之倒數序列（「\{1/n\}_{n=1,2,\ldots}」），無窮小也。偶數之倒數序列（「\{1/{2n}\}_{n=1,2,\ldots}」），亦無窮小也。

自然數之序列（「\{n\}_{n=1,2,\ldots}」），無窮大也。偶數之序列（「\{2n\}_{n=1,2,\ldots}」），亦無窮大也。

四則運算，逐項算之（「{an}*{bn}={an*bn}」，* 可為加減乘除也）。

## 註
馬超

**漢斄威侯馬超**，字**孟起**，右扶風茂陵人也。父騰，靈帝末與邊章、韓遂等俱起事於西州。初平三年，遂、騰率眾詣長安。漢朝以遂為鎮西將軍，遣還金城，騰為征西將軍，遣屯郿。後騰襲長安，敗走，退還涼州。司隸校尉鍾繇鎮關中，移書遂、騰，為陳禍福。騰遣超隨繇討郭援、高幹於平陽，超將龐德親斬援首。後騰與韓遂不和，求還京畿。於是徵為衛尉，以超為偏將軍，封都亭侯，領騰部曲。

超既統眾，遂與韓遂合從，及楊秋、李堪、成宜等相結，進軍至潼關。曹公與遂、超單馬會語，超負其多力，陰欲突前捉曹公。曹公左右將許褚瞋目盻之，超乃不敢動。曹公用賈詡謀，離間超、遂，更相猜疑，軍以大敗。超走保諸戎，曹公追至安定，會北方有事，引軍東還。楊阜說曹公曰：「超有信、布之勇，甚得羌、戎心。若大軍還，不嚴為其備，隴上諸郡非國家之有也。」超果率諸戎以擊隴上郡縣，隴上郡縣皆應之，殺涼州刺史韋康，據冀城，有其眾。超自稱征西將軍，領并州牧，督涼州軍事。康故吏民楊阜、姜敘、梁寬、趙衢等，合謀擊超。阜、敘起於鹵城，超出攻之，不能下；寬、衢閉冀城門，超不得入。進退狼狽，乃奔漢中依張魯。

魯不足與計事，內懷於邑，聞劉備圍劉璋於成都，密書請降。備遣人迎超，超將兵徑到城下。城中震怖，璋即稽首，以超為平西將軍，督臨沮，因為前都亭侯。備為漢中王，拜超為左將軍，假節。章武元年，遷驃騎將軍，領涼州牧，進封斄鄉侯，策曰：「朕以不德，獲繼至尊，奉承宗廟。曹操父子，世載其罪，朕用慘怛，疢如疾首。海內怨憤，歸正反本，暨於氐、羌率服，獯粥慕義。以君信著北土，威武並昭，是以委任授君，抗颺虓虎，兼董萬里，求民之瘼。其明宣朝化，懷保遠邇，肅慎賞罰，以篤漢祜，以對于天下。」二年卒，時年四十七。臨沒上疏曰：「臣門宗二百餘口，為孟德所誅略盡，惟有從弟岱，當為微宗血食之繼，深託陛下，餘無復言。」追諡超曰威侯，子承嗣。

## 子
*馬秋
*馬承

## 據
*《三國志‧蜀書‧關張馬黃趙傳》
*《典略》
拓撲空間

**拓撲空間**，開集之所也，又譯**佈局**、**位相**。**開集**者，無邊者也，疇人以為位相之本。拓撲空間之究，曰拓撲學。

## 定義

**拓撲空間**者，集（A）也，且有冪集之子集，曰**拓撲**（\tau），其物曰**開集**。凡拓撲者，必以下是從：
*空間與空集，皆開集（「A,\emptyset \in \tau」）。
*取拓撲之子集，其物之並，亦開集也（「B \subseteq \tau \rightarrow \cup_{b\in B}b \in \tau」）。
*兩開集之交，亦開集也（「x,y \in \tau \rightarrow x \cap y \in \tau」）。

開集之補集，曰閉集。且有：
*空間與空集，皆閉集。
*取拓撲之子集，其物之交，亦閉集也。
*兩閉集之並，亦閉集也。

## 例

*集與空，成一拓撲。（「\tau = \{ A,\emptyset \} 」）
*冪集，成一拓撲，曰**離散拓撲**。（「\tau = P(A)」）
*度量空間，其開球之並，聚以成集，為空間之拓撲。
*取一實數，凡小於此者成一集，曰實數之開集。所得拓撲，為實數之**序拓撲**。（「\tau=\{ (-\infty,a) | a\in \mathbb{R}\} \cup \{\phi, \mathbb{R}\}」）
*平面上一切圖形，合子拓撲，亦拓撲空間也。

## 註
範空間

**範空間**，範之所也。夫**範**，物之長也。

## 定義

**範空間**者，實矢量空間或複矢量空間也，凡物（「x」）必有一數，曰**範**（「\|x\|」）。凡範者，必以下是從：
* 範者，非負也。（「\|x\| \ge 0」）
* 範為零者，零也。（「\|x\| = 0\Leftrightarrow x = 0」）
* 數乘物以範，同乎數之絕對值乘物之範。（「\|kx\| = |k|\|x\|」）
* 物相加之範，少於物之範相加矣（「\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|」）。此謂三角不等式也。

取二物，其差之範，度量也（「d(x,y)=\|x-y\|」）。故範空間實度量空間也。

## 例

* 歐幾里德空間者，高維實空間（「\mathbb{R}^n」）合一範也。凡一點，合其各部之方，再開方，則得歐幾里德範。（「\|x\|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}」）
* 實高維實空間，合一點各部之絕對值，得一範也。（「\|x\|=|x_1|+\cdots+|x_n|」）
* 實數域，複數域，四元數集，八元數集，皆範空間也，以絕對值為範耳。
* 內積空間者，範空間也。其範必合平行四邊形律，即二物範方之合，同乎其和差兩者範方之合（「\|x\|^2+\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2」）。有定理云，凡範空間合乎平行四邊形律者，內積空間也。

## 見

範環

範代數

## 註
內積空間

**內積空間**，內積之所也。夫**內積**者，關乎角也。凡二物所交之角，可由內積知之。

## 定義

**內積空間**者，可分複實。

實內積空間者，實矢量空間也，凡二物之間必有一數，曰**內積**（「[x,y]」）。凡內積者，必以下是從：
*物與己之內積，非負也。唯零者，零也。（「[x,x] \ge 0, [x,x] = 0 \Leftrightarrow x = 0」）
*甲乙之內積，同乎乙甲之內積。（「[x,y] = [y,x]」）
*甲乙和與丙之內積，同乎甲丙與乙丙內積之和矣（「[x+y,z] = [x,z] + [y,z]」）。
*實數乘甲與丙之內積，同乎實數乘甲丙之內積矣（「[kx,z] = k[x,z]」）。

複內積空間者，複矢量空間也，凡二物之間必有一數，曰**內積**（「[x,y]」）。凡內積者，必以下是從：
*物與己之內積，非負也。零者，零也。（「[x,x] \ge 0, [x,x] = 0 \Leftrightarrow x = 0」）
*甲乙之內積，同乎乙甲內積之軛也。（「[x,y] = \overline{[y,x]}」）
*甲乙和與丙之內積，同乎甲丙與乙丙內積之和矣（「[x+y,z] = [x,z] + [y,z]」）。
*複數乘甲與丙之內積，同乎複數乘甲丙之內積矣（「[kx,z] = k[x,z]」）。

複內積空間者，必為實內積空間也。

物與己內積開方，範也（「\|x\|=\sqrt{[x,x]}」）。故內積空間必範空間也。

二物之內積之實部，除以其範之積，求餘弦之逆，曰二物之夾角也（「\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\Re([x,y])}{\|x\|\|y\|}\right)」）。

## 例

*歐基里得空間，高維實空間（「\mathbb{R}^n」）也。取二物，合各部之積，曰點積（「x \cdot y = x_1y_1+\cdots+x_ny_n」）。
*高維複空間（「\mathbb{C}^n」），取二物，前者乘後者之軛，合之，曰點積（「x \cdot y = x_1\bar{y_1}+\cdots+x_n\bar{y_n}」）。
*高維複空間，取點積之實部（「[x,y] = Re(x \cdot y)」），得一內積。此乃一實內積空間也。
*實數多項式之集，取二物，其積在零至一區間之積分（「[x(t),y(t)] = \int_0^1 x(t)y(t) dt」），內積也。

## 註
代數數

**代數數**者，整數多項式之根也。聚以成集，記曰\mathbb{A}。複數而非代數數者，曰**超越數**。整數多項式者，多項式內凡系數皆整數者也。

**代數整數**者，隅為一之整數多項式之根也。

## 例

* 負一開方，代數整數也。（多項式為x^2+1=0）
* 二開立方，代數整數也。（多項式為x^3-2=0）
* 六開方加五開方，代數整數也。（多項式為x^4-22x^2+1=0）
* 三除四，代數數也。（多項式為3x-4=0）
* 二除三開方，代數數也。（多項式為4x^2-3=0）
* 圓周率，超越數也。（無多項式以圓周率為根也）
* 歐拉數，超越數也。（無多項式以歐拉數為根也）

## 史

劉維爾於一八五一年首得超越數，曰劉維爾常數（\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.110001000000000000000001000\ldots）。朗伯證圓周率為無理數，猜想圓周率與歐拉數皆超越數也。

一八七三年，埃爾米特得證歐拉數為超越數。翌年，康托爾得證代數數集為可數集，而實數集不可數，故超越數遠多於代數數也。

一九零零年，林德曼得證圓周率為超越數。困繞疇人千年之古希臘改圓為方題，終證無解。

希爾伯特廿三題之七，謂若甲（a）乙（b）皆代數數而乙亦無理數者，則甲之乙乘方（ab）為超越數，於一九三四年得證。

## 性

代數數之加減乘除，亦代數數也，故代數數集為一域。

### 代數閉包

一整數多項式，若無分數解，則作一偽根。并入分數域，得一新數域。遁此法延伸至無限，得一域，曰分數之代數閉包，即代數數域。故代數數者，分數以代數法引伸之極限也。

### 問

圓周率與歐拉數之和、差、積、商、乘方，代數數耶？未知也。
香港島

**香港島**，略稱**港島**，香港三大區之一也。道光二十一年割予英國，歷百五十六年而還。口逾百萬，合全港百分之二十。

昔香港開埠，英人建維多利亞城於島，分設四環，即西環、上環、中環、下環。迄於今日，仍政樞之所在。行政、立法、司法三權比鄰，行政在金鐘、立法在中環、司法在金鐘、中環。
序數

**序數**者，次序之數也。有限序數者，自然數也。無窮序數者，超限數也。

## 定義

有集，曰序數，其元素皆子集（「x\in A\rightarrow x\subset A」），且凡取二物，其一為他者之子集也（任取 x,y&isin;A，有「x&sube;y」或「y&sube;x」）。

疇人溤諾曼之自然數定義，則自然數皆為序數耳。

序數，以子集關係為偏序，實良序也，意謂子集必有最小元素也。有定理云，凡良序集（「(A,&ge;)」），必序同構一序數，謂此良序集之序數也（記曰「Ord(A,&ge;)」）。

若序數甲為序數乙之子集，則曰甲小于乙。

### 基數

良序公理云：「集皆可良序也。」集之良序，各有一序數，取其最小者，曰集之基數。故基數亦為序數耳。

### 良序定義

凡與一良序集有序同構者，聚以成集，曰序數。此為序數之良序定義也。

## 算

有良序集甲、乙，其交為空（「A &cap; B=&phi;」），取其並，令甲之物必小於乙，得一良序集，其序數為甲序數加乙序數（「Ord(A)+Ord(B)」）。若以乙之物小於甲，其序數為乙序數加甲序數（「Ord(B)+Ord(A)」）。須知此二序數相異，故良序數之加法不合交換律耳。

超限數被加一，同乎己，異乎已加一（「1+m = m \ne m+1」）。

有良序集甲、乙，取其直積，立一良序如下：凡乾坤、陰陽二對，若坤大乎陽，或坤同乎陽而乾大乎陰者，曰乾坤大乎陰陽。則其序數為甲序數乘乙序數也（「Ord(A)Ord(B)」）。然甲序數乘乙序數異乎乙序數乘甲序數，故良序數之乘法亦不合交換律耳。

超限數被乘二，同乎己，異乎已乘二（「2m = m \ne m2」）。

須知基數未有減除也。

## 例
一︰「甲，乙，丙，丁」，與「甲，乙，丁，丙」，次序雖異，然序數同為四。夫有限序數必同乎自然數也。

二︰實數集之基數，乃一序數也，然其序未可知也。

三︰自然數之基數，常用之序也。此乃最小超限數也（記曰「&omega;」）。

四︰自然數集，令奇數小於偶數，得一良序，其序數為最小超限乘二（記曰「&omega; 2」）。

## 注
進數

**進數**者，分數之奇引也，多用於數論。不同之素數，得不同之進數系，曰三進數（記曰「\mathbb{Q}_3」），五進數（記曰「\mathbb{Q}_5」）等。

## 算

以七為例，凡七進數，可書作雙端無窮序列（記曰「\pm\sum_{n=-\infty}^\infty a_n」或 \pm \ldots a_{-3}a_{-2}a_{-1}.a_0a_1a_2\ldots），每項可為零一二三四五六。其四則與實數類同。若項零之前皆為零，此乃**七進整數**是也。

## 集

### 序列定義

夫實數乃分數之柯西序列。進數亦然，惟用不同之度量也。

取一分數，七在子之幕除七在母之幕（記曰「|\pm p^k r/s| = p^{-k}」），曰七進模也。故卅五分四之模為一分七（「|35/4| = |7 &times; 5/4|=1/7」）；九分九十八之模為四十九（「|9/98| = |1/49 &times; 9/2|=49」）；六之模為一（「|6| = |1 &times; 6|=1」）。

兩數相減，其模為度量，以此量度作柯西序列，為七進數也。

### 代數定義

三同餘，零至二也；九同餘，零至八也，廿七同餘，零至廿六也，類推之，得無數集。各取一物，得一族，曰七進整數。七進整數之比，七進數也。

## 性

既為柯西序列，進數系為分數集之拓撲閉包。進數系之代數閉包之拓撲閉包，複數耳。
絕對值

**絕對值**者，數與原點其距也，無負，單字曰**模**。

## 定義

**絕對值**者，數映射實數（「| \cdot |: M \rightarrow \mathbb{R}」）且有：
*模者，非負也。（「x \ge 0」）
*模為零者，零也。（「|x| = 0\Leftrightarrow x = 0」）
*積之模，同乎模之積（「|xy| = |x||y|」）。故一之模為一。
*和之模，少等于模之和耳（「|x+y| \le |x|+|y|」）。此謂三角不等式也。

以模為範。故數域實範空間也。

## 例

實數，複數，四元數，八元數等，皆有其模。然十六元數，模不存耳。

## 註
關係 (數學)

**關係**者，又名**連誼**、**倫**，言事與事相係屬也。

## 定義

關係，繫也，物物相聯也。標以物物之有序對，即誠為直積之子集也。有關係曰「關乎」（R），凡有序對乾坤屬「關乎」者（「(x,y)&isin;R」），則曰乾「關乎」坤（記曰「x R y」或「R(x,y)」）。

## 例

*字，人與名之關係也，如岳飛字鵬舉、李白字太白。
*生，人之關係也，如蘇洵生蘇軾，李淵生世民。
*記年，天干與地支之關係也。
*大于，實數之關係也。
*不等于，實數之關係也。
*子集，集與集之關係也。
*映射，定義域與倍域之關係也。

## 一集之關係

常用者有六，

*物必關乎己。曰**反射**。
*甲關乎乙，則乙關乎甲。曰**對稱**。
*甲關乎乙，乙關乎甲，則甲同乎乙。曰**反對稱**。
*甲關乎乙，乙關乎丙，則甲關乎丙。曰**傳遞**。
*合反射，對稱及傳遞者，曰等價，分類之關係也。
*合反射，反對稱及傳遞者，曰偏序，比較之關係也。

觀乎自然數集，且看如下關係：

「前者方減後者方，平方數耳」，獨反射也。「異乎」，獨對稱也。「前者為兩倍後者」，獨反對稱也。「前者異乎一」，獨傳遞也。

「相差小于二」，反射與對稱也。「前者減後者，零或一也」，反射與反對稱也。「二者同，或前者非一」，反射與傳遞也。「二者皆異乎一」，對稱與傳遞也。「大乎」，反對稱與傳遞也。

「相差偶數」，等價也。「不小于」，偏序也。「兩者皆一」，對稱，反對稱，傳遞也。

「同乎」，唯一等價且偏序者也。
等價

**等價**者，同值也。

## 定義

等價者（R），關係也，必以下是從：

*物必等價己。曰反射。
*甲等價乙，則乙等價甲。曰對稱。
*甲等價乙，乙等價丙，則甲等價丙。曰傳遞。

凡等價是物，聚以成集，曰**等價類**（「a/R={x | xRa}」），聚以成集，曰**商集**（「A/R={a/R | a&isin;A}」）。等價類者，兩兩相交為空（「a/R &ne; b/R」則 「a/R &cap; b/R = &phi;」），合之為全集「a1/R&cup;a2/R&cup;... = A」），故曰劃分，謂其瓜分集合。

## 例

*「同名同姓」，等價也。
*「同乎」，等價也。
*「相似」，三角之等價也。
*「甲丁之和同乎乙丙之差」，自然數對，甲乙等價丙丁也。其等價類，整數也。
*「甲丁之積同乎乙丙之積」，分數對，甲乙等價丙丁也。其等價類，分數也。
*「同趨向一點」，分數柯西序列之等價也。其等價類，實數也。
*「除以七，餘數同耳」，整數之等價也。其等價類，七同餘也。
*「一一對應」，集之等價也。其等價類，基數也。
偏序

**偏序**者，柣序也。大小，長短，前後，皆偏序也。

## 定義

偏序者，關係也，且曰「不大於」，必以下是從。

*物不大於己。曰**反射**。
*甲不大於乙，乙不大於甲，則甲同乎乙。曰**反對稱**。
*甲不大於乙，乙不大於丙，則甲不大於丙。曰**傳遞**。

### 最、極

凡一界之内，小於無物者，曰**極大**；大於無物者，曰**極小**。

物皆小於其者，曰**最大**；物皆大於其者，曰**最小**。最大必極大，最小必極小，反之則不然。

### 上界，下界

取子集，大於此集之所有，曰**上界**；小於此集之所有，曰**下界**。

若上界有最小者，曰**最小上界**；若下界有最大者，曰**最大下界**。

#### 完備

**完備**者，凡子集有上界者必有最小上界也，同乎凡子集有下界者必有最大下界耳。

#### 格

**格**者，凡二物必有最小上界及最大下界也。

### 全序

**全序**者，凡二物，必有前者小於後，或後者小於前。全序必格也。

### 良序

**良序**者，凡子集必有最小物也。良序必全序也。良序必完備也。噫，良序集果真井然有序耳，故得此名。

良序公理曰：「集皆可良序也。」此與選擇公理等價耳。

## 例

### 除盡

以甲為自然數集，乙為甲去一。以「除盡」為偏序，故有三不少於六，五不少於百。然三與百無可比耳，故「除盡」非全序耳。

一為甲之最小。三、七為乙之極小，然乙無最小者也。甲乙皆無極大者。

取甲之子集，其物之公因數乃下界，最大公因數為最大下界。

取甲之二物，最大公因數為最大下界，最小公倍數為最小上界，故甲乃格也。取乙之二、三，並無最大下界，故乙非格也。

不論甲乙，凡子集有下界者，其最大公因數亦存，故有最大下界。故甲乙皆完備也。

### 不大于

觀分數集，以「不大于」為偏序。凡二物必可比，故此乃全序耳。立方大于二者，成一子集，有下界零，然無最大下界，是以分數集非完備耳。

觀實數集，以「不大于」為偏序，完備耳。然無最小者，故非良序。

觀正實數集，以「不大于」為偏序，完備耳。立方大于二者，成一子集，二開立方為最大下界，然非子集之物也，故子集無最小者也，是以正實數集非良序。

觀自然數集，以「不大于」為偏序，良序耳。

### 不小于

觀自然數集，以「不小于」為偏序。故三不大於二，五不大於三，故自然數無最小者也。故非良序耳。

## 註
交換群

**交換群**者，乘法合交換律之群也，亦曰**阿貝爾群**。可以加法謂之，則其單位元曰「零」，逆改曰負。

初，阿貝爾以置換之不可交換，證五次多項式無簡約解（阿貝爾–魯芬尼定理）。然天妒英才，終年不過三十。泰西疇人念其功績，名交換群為阿貝爾群也。

## 例

整數合加法，分數合加法，正數合乘法，非零複數合乘法，同餘集合加法，俱交換群也。

## 有限生成交換群基本定理

取一集合，含此集之群最小者，曰集之生成群。有限集之生成群，曰有限生成群。

「有限生成交換群基本定理」云：有限生成交換群，乃整數群與同餘群之直積也。（「G \cong \mathbb{Z}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}_{n_1}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{n_r}」）

因而得證，有限交換群乃同餘群之直積也。

分類:代數
二元運算

**二元運算**者，四則之抽象也。

## 定義

**二元運算**者（「\circ」），集與已之直積映射己也（「\circ : A \times A \to A」）。加減乘除，皆二元運算也。甲（a）運算乙（b）而得丙，記曰「a\circ b=c」，或曰\circ(a,b)=c，則曰甲為**被運算數**（古稱**實數**或**實**），乙為**運算數**（古稱**法數**或**法**）。**廣群**者，有二元運算之代數結構也。

若無固定名稱，多以乘法或加法稱之。且以乘法語之。

### 單位元

有元素（「e」），凡乘物或乘以物，皆得斯物，曰**單位元**（「e \circ x = x \circ e = x」）。加法單位元謂零；乘法單位元曰一。

### 結合律

若甲乙之積乘丙，同乎甲乘乙丙之積（「x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z」），則曰二元運算合**結合律**也。

其廣群曰**半群**。若有單位元，則曰**半幺群**也。

### 交換律

若甲乘乙必同乎乙乘甲（「x \circ y = y \circ x」），則曰二元運算合**交換律**也。

### 分配律

若加、乘皆二元運算，且有
* 甲乘乙丙之和，同乎甲乙之積加甲丙之積，曰**左分配律**。（「x \times ( y + z ) = x \times y + x \times z」）
* 甲乙之和乘丙，同乎甲丙之積加乙丙之積，曰**右分配律**。（「(x + y) \times z = x \times z + y \times z」）
加乘二法合左右者，則謂二法合**分配律**也。

## 注


分類:代數
代數 (代數)

**代數**，亦曰**域代數**，有矢量乘法之線性空間也。然代數者，可指矢量乘法合結合律者，即結合代數也。

## 定義

**代數**者，矢量空間也，有一矢量乘法，且：
*矢量和，矢量乘，合分配律也。（「\mathbf{x}( \mathbf{y} + \mathbf{z} ) = \mathbf{xy} + \mathbf{xz}; (\mathbf{x} + \mathbf{y}) \mathbf{z}= \mathbf{xz}+\mathbf{yz}」）
*凡二數甲（a）乙（b）與矢量丙（\mathbf{x}）丁（\mathbf{y}），皆有甲丙積乘乙丁積，同乎甲乙積乘丙丁積也（「(a\mathbf{x})(b\mathbf{y})=(ab)(\mathbf{xy})。」）

分類:代數
結合代數

**結合代數**者，有矢量乘法之模也，然其乘法合結合律也。

## 定義
**結合代數**者，模也，其標量環為交換環，並有模乘法，合：
*模合加法，乘法，環也。
*凡標量甲（a）與模之物丙（**x**）丁（**y**），有甲丙積乘丁，同乎甲乘丙丁積也（「(a**x**)(**y**)=a(**xy**)。」）

若標量環為域，即模為矢量空間者，曰域代數也。

若模乘法有單位元「一」者，曰**環代數**也。
模 (代數)

**模**者，矢量空間之引伸也。

## 定義

**左模**者，交換群（M）也，合一環（R），曰標量環，其物曰標量，並有標量乘法。標量乘法者，標量乘群中物得群中物（R &times; M &rarr; M, (r,m)&rarr; rm ），必以下是從：
* 標量甲乘群中物乙丙之和，同乎甲乙積加甲丙積（「r(**x**+**y**) = r**x**+r**y**」），曰分配律。
* 標量甲乙之和乘群中物丙，同乎甲丙積加乙丙積（(「(r+s)**x** = r**x**+s**x**」），曰分配律。
* 標量甲乙之積乘群中物丙，同乎甲乘乙丙之積（「(rs)**x** = r(**sx**)」）。
* 若標量有「一」，則一乘矢量甲得甲（1**x** = **x**）。

**右模**者，其標量乘法為矢量乘標量得矢量（M &times; R &rarr; M, (m,r)&rarr; mr），四律亦需左右倒置。

若標量環為交換環者，曰**模**。

若標量環為域者，矢量空間也。
矢量空間

**矢量空間**者，歐基里德空間之引伸也，亦曰**線性空間**、**向量空間**，究之者，線性代數也。

## 定義

**矢量空間**者，交換群（V ）也，其物曰矢量或向量，合一域（Ｆ），曰標量域，其物曰標量；並有標量乘法。標量乘法者，標量乘矢量得矢量（F &times; V &rarr; V，(r,v)&rarr; rv ），必以下是從：
* 標量甲乘矢量乙丙之和，同乎甲乙積加甲丙積（「r(**x**+**y**) = r**x**+r**y**」），曰分配律。
* 標量甲乙之和乘矢量丙，同乎甲丙積加乙丙積（「(r+s)**x** = r**x**+s**x**」），曰分配律。
* 標量甲乙之積乘矢量丙，同乎甲乘乙丙之積（「(rs)**x** = r(s**x**)」）。
* 標量「一」乘矢量甲得甲（「1**x** = **x**」）。

因標量域是環，可知矢量空間實模也。

若標量為實數，曰**實矢量空間**。若標量為複數，曰**複矢量空間**。

矢量空間之最小生成集，曰基。基之大小，曰維數。

## 例

*域直積（「\mathbb{F}^n」），域之物為標量，維數為域之數（「n」）。
*實數集直積複數集（「\mathbb{R}\times \mathbb{C}」），實數為標量，維數乃三。
*實數集，分數為標量，維數無窮。
*多項式集，實數為標量，維數無窮。
範環

**範環**，有範之環也。夫**範**，物之長也。

## 定義

**範環**者，環也，凡物（「x」）必有一數，曰**範**（「\|x\|」）。凡範者，必以下是從：
*範者，非負也。（「\|x\| \ge 0」）
*範為零者，零也。（「\|x\| = 0\Leftrightarrow x = 0」）
*負之範，範也。（「\|-x\| = \|x\|」）
*物相乘之範，少於物之範相乘矣。（「\|xy\| \le \|x\|\|y\|」）
*物相加之範，少於物之範相加矣（「\|x+y\| \le \|x\|+\|y\|」）。此謂三角不等式也。

## 見
*範空間
*範代數

## 註
範代數

**範代數**，有乘法之範代數也。夫**範**，物之長也。

## 定義

**範代數**者，範空間也，有一矢量乘法，合
*矢量之加法，乘法，環也。
*凡數甲（a）與矢量丙（**x**）丁（**y**），皆有甲丙積乘丁，同乎甲乘丙丁積也（「(a**x**)(**y**)=a(**xy**)。」）
*矢量相乘之範，少于矢量之範相乘耳。（「\|xy\| \le \|x\|\|y\|」）
故範代數為結合代數合範環也。

## 例

## 見
*範空間
*範環
生成

**生成**者，合乎律之最小也。

## 定義

集甲（A）生矢量空間乙（B）者，乙乃含甲之最小矢量空間也，曰甲生成矢量空間（「記曰 \langle A \rangle 或 span(A)」 ）。凡集含甲而小於乙者，必非矢量空間也。

集甲生域乙者，乙乃含甲之最小域也，曰甲生成域。

集甲生群乙者，乙乃含甲之最小群也，曰甲生成群。

若甲生乙，曰甲為乙之**生成集**也。

## 例

*矢量橫一縱二，橫一縱三，橫二縱三，生二維實空間。
*矢量橫一縱二，橫一縱三，亦生二維實空間。
*矢量橫一縱二，橫三縱三，亦生二維實空間。
*二同四，生偶數加法群。
*二同負四，生偶數加法群。
*二同四，生一乘數群，其中之物，盡二之幕次也。
*二同負四，生一乘數群，其中之物，正負二之幕次也。
大嶼山

**大嶼山**，古名**大奚**，地在香港，環山皆海也。島之大，轄中莫過於此。
## 史
上古之時，大奚山已有民舍。晉末，盧循亡走至此，業漁鹽，時曰盧亭。迨宋慶元三年，斯處私鹽大盛，上出兵禁之，遂致傜亂，史稱大奚山傜亂。寶祐二年，李昴英封番禺開國男，食邑三百戶，大奚山之梅蔚（今梅窩）亦為其食邑之一。宋末，端宗、帝昺亦嘗驆於此。明正德時，佛朗機人擾屯門，據大奚山之大澳。正德十六年，明軍潰之，曰屯門海戰。
抽氣過濾法

**抽氣過濾法**者，濾液之法也，蓋以二部之器，合而為之。上為漏斗，下為燒瓶，因布氏始創故，遂以為名。漏斗之內，置有濾紙，濾紙之上，納有溶液。燒瓶側，有駁口，可接抽氣之器，若水流真空幫浦等，以空其內。由是上方之壓益甚，液遂下滲，而固態之物，則留其上，過濾乃成。實驗之時，定之以鉗，防搖以免敗事。

## 參見
*科羅拉多大學波德分校化學學系－實驗技巧教學－過濾之法
長平公主

**明長平公主**，思宗次女，母王順妃，爲周皇后所養。崇禎二年四月生。年十六，帝選周顯尚主。將婚，以寇警暫停。城陷，帝入壽甯宮，主牽帝衣哭。帝曰：「汝何故生我家！」以劍揮斫之，斷左臂；又斫昭仁公主於昭仁殿。越五日，主復蘇。順治二年上書言：「九死臣妾，跼蹐高天，願髡緇空王，稍申罔極。」詔不許，命顯復尚故主，土田邸第金錢車馬錫予有加。主涕泣。逾年病卒。賜葬廣寧門外。

又松江張宸《長平公主誄》言，公主喜詩文，善針飪，視都尉君加禮。御臧獲，陽笑語，隱處則飲泣，呼皇父皇母。泣盡繼以血，是以坐羸疾，懷娠五月，于順治三年八月十八日薨，淑齡十有八。都尉藏所遺容，右頰三劍痕，即上所擊也。老內侍見，輒拜曰「眉似先帝」云。

## 據
*《明史列傳　卷一百二十一　列傳第九公主》
*張宸《長平公主誄》
*《明季瑣聞》
無窮集合

**無窮集合**者，有無限元素之集也，或曰**無限集**。反之則曰**有限集**。

夫無窮集合（A）者，同乎：

*自然數必單射之（「{0,1,...,n-1}&rarr;A」），意謂有數若干，則集中可取物若干；

*自然數集單射之（「\mathbb{N}\rightarrow A 」）；

*滿射自然數集（「A \rightarrow \mathbb{N} 」）；

*有真子集一一對應之。

## 例

*自然數集，無窮集合也。
*整數集，無窮集合也，可一一對應偶數集。
*實數集，無窮集合也，然正割乃零一線段雙射實數集也。
因數

**因數**者，數之因子也。數者，多指自然數，然整數，實數，甚至環中物亦無不可。

## 定義

有二數甲（a）乙（b），乙乘某數得甲，曰乙為甲之**因數**，或曰甲為乙之**倍數**，或曰乙除盡甲（記曰 「b|a」）。

數之公共因數，曰公因數。數之公共倍數，曰公倍數。

若一公因數為其他公因數之公倍數，曰最大公因數。若一公倍數為其他公倍數之公因數，曰最小公倍數。

## 例

觀乎自然數，二、四為八、十二之公因數，而四乃最大公因數；廿四、四十八為八、十二之公倍數，而廿四乃最小公倍數。

觀乎多項式，元加一（x+1）、元方減一（x^2-1）為元四乘方減二元方加一（x^4-2x^2+1）、元四乘方減一（x^4-1）之公因數，而元方減一乃最大公因數；元方減一（x^2-1）、元立方減元（x^3-x）為元加一（x+1）、元減一（x-1）之公倍數，而元方減一乃最小公倍數。

## 註
波斯

**波斯**，古國也，當亞細亞西境。其故地東接印度、南臨阿拉伯海，西距兩河，北抱裏海而鄰大漠。
## 沿革
其國肇起甚早，蓋有夏之初，土夷散處。及華夏春秋之世，馬太為大。馬太王女有娠，夢生葡萄，蔓延亞細亞，王疑其有異，欲殺其孫。牧人匿而養之，名曰居魯士。及長，英武得眾，糾合部眾覆馬太，遂王其地。既而修法度、詰戎兵，西滅呂底亞，南平巴比倫，小弱諸部，咸見臣服，霸業遂成。

居魯士崩，其子乾庇西嗣位，好用兵，始克麥西。及大流士踐祚，國勢極盛，欲兼并四海，乃大舉西伐希臘，敗績而崩。子薛西斯繼立，復傾國三十萬大軍西征，卒亦全軍覆沒，波斯由是中衰。又歷百餘載，馬其頓王亞歷山大帥師三萬五千東伐，所向披靡，波斯遂亡。

亞歷山大崩後，其將裂土。越六七十載，有安息人入主其地，復混一之。安息與羅馬世為讎敵，兵連禍結，歷四百載。其後薩珊朝興，代有其地，武功復盛，兵鋒屢挫羅馬，幾陷其都君士坦丁堡。然盛極必衰，歷四百載，值大食回部勃興，兵威大震，十數年間，遂覆波斯。自是波斯之政教、服制，漸染阿拉伯之風。及阿拉伯大勢寢衰，波斯方復建國，嗣後興亡交替，至於當世，易名曰伊朗。
## 風土與物產
其國土廣袤，大抵為山阜、沃壤與沙磧。節候多暖少雨。土產良馬、紅棗、白鹽、銅、鐵、金、銀、琉璃、珊瑚、琥珀、珍珠、翠羽。國內多山，亦產獅子。
## 宗教
其民本奉太陽火神，即祆教也，中土自唐代亦有火祆祠。至唐初，回教興於阿拉伯，波斯國為所奪，迫民宗回教，自是及於當世，遂為回回大部。
## 據

### 出典
*《瀛寰志略》
歐氏幾何

**歐氏幾何**，歐幾里得始創也。初述於《幾何原本》。獨尊泰西二千年，時幾何必歐氏耳，及傳中華，徐光啟亦云《幾何原本》不可增刪；迨十九世紀，高斯、羅巴切夫斯基、波約三人破之，立新幾何，故其亦曰**經典幾何**。二十世紀初，相對論立，其以非歐幾何為本，歐氏幾何獨尊物理不再耳！

## 公理
歐氏幾何，公理系統之始。夫公理者，基礎也，不可證而不證自明者也。
徐、利二人初譯《幾何原本》，有「求作四、公論十九」；後有以「公設」曰「求作」、「公理」曰「公論」者；今則不加細分，概曰「公理」即可。

原譯「求作」者：

一、此點至彼點可作一線段。

二、線段可從彼界直行引長之。

三、線段作半徑，點為心，可作一圓。

四、直角皆等。

五、角甲乙丙合角乙甲丁小于二直角者，則乙丙從丙直行引長必相交甲丁從丁直行引長。

原譯「公論」者，皆易也，在此不述。

## 平行公理及非歐幾何
首四公理，極簡明，然公理五（亦稱平行公理），冗長甚耳，不易見其明也。有泰西疇人指其不足為公理也，然嘗以首四公理證平行公理，皆不可得。

十九世紀，高斯等人以新公理代平行公理，得新幾何，今曰非歐幾何。然十七世紀初，德薩格創射影幾何，謂平行線相交于無限遠，今亦歸非歐幾何之屬也。

有疇人棄公理五，得絕對幾何。《幾何原本》首廿八定理皆絕對幾何也。

## 希爾伯特公理

以當世數學觀之，《幾何原本》殊不嚴謹。希爾伯特遂於一八九九年作二十公理，以完歐氏幾何耳。
超濾法

**超濾法**者，膜濾法也。蓋施高壓於液，逼其越半透之膜，由是成過濾之事耳。凡溶液若水、若乙醇及物之分子量低者，咸可越之，而高分子量者，則殆盡留耳。若乃多用於蛋白溶液，蓋因蛋白之分子量高甚耳。斯法也，有類反滲透、微量過濾、納米過濾諸法，惟所濾之分子大小有異而已。
古希臘

**希臘**，愛琴海諸邦古稱也，蓋立於夏商之際。初有十二部，以雅典、斯巴達為最。諸部時有紛爭，以致外侮頻仍，雅典王昂飛的安遂使使諸部，會於溫泉關，立盟約，齊平諸部，共資國務，合御外敵，由是國泰民安數百年。時有㠗嵂岥之竞會，四年一期，以示平和團結，亦作強身健體，諸部咸與，遂皆進耳。

若夫雅典、斯巴達二邦，國體大異。雅典之制，有若堯舜之法，領國之人，乃選賢而得，無有常人。嘗有名梭倫者，重立法制、斟酌情理、齊民議政，由是舉邦翕然。至若斯巴達，二王並立，以之為尊，民殆無權耳。然其民強兵精，週邊小國咸臣之耳。

俄越數百年，東方波斯漸興，欲霸四方，遂西希臘，然再敗耳。斯役以降，外患全去，雅典趁機亟進，斯巴達則失機，遂妒之。俄而二邦交戰，以爭天下。歷數十年，雅典竟敗，斯巴達亦無力久霸，二十年而敗於忒拜。然百年混戰，殆盡耗元氣，既而馬其頓興，不足十年，全希皆降耳。

馬其頓者，希臘邊陲也，一如周時秦楚二國。其王亞歷山大，文武英略，莫之能及。興兵三萬五千，東征波斯，不數年而亡之。蜜徐籬、大月氏、西北天竺諸地，亦盡入其手。惜乎英年早逝，未及立嗣，由是諸將分據耳。復越百年，西方大秦漸盛，欲一地中之瀛，乃東希臘，然其國諸部，仍散而不合，遂盡歸羅馬耳。

希臘自立國迄亡，凡千餘年，開泰西文明之先，遺風至於當世耳。

## 據
* 《瀛寰志略》
多項式

**多項式**，零或單項式之和也。

## 定義
斯文所議之多項式，乃吾人所習用者也。

取不知者曰**元**（x）。取一數（a），曰**系數**，乘元之整冪次（ax^n），謂**單項式**。單項式相加，曰**多項式**。於數，謂之形如a_nx^n+\cdots+a_1x_1+a_0者。單項之式與零，亦可作多項式論。

例：六乘元四次方減五乘元平方加三乘元加九（6x^4-5x^2+3x+9），最高冪次，曰多項式之冪次，為四；最高冪次之系數，曰**隅**，為六；元零乘方之系數，曰**常數**，為九。

## 作
多項式者，一如數者，可為四則籌算也。
### 加減
加減之法，同冪之項分作，以其係數加減矣。例：六乘元四次方減五乘元平方加三乘元加九（6x^4-5x^2+3x+9）與三乘元平方加六乘元加五（3x^2+6x+5）相合，得六乘元四次方減二乘元平方加九乘元加十四（6x^4-2x^2+9x+14）。
### 乘除
乘之法，以分配律行之。例曰：一元減一(x-1)與三乘元平方加六乘元加五(3x^2+6x+5)相積，得三乘元立方加三乘元平方去一元去五(3x^3+3x^2-x-5)。

除之法，以長除法行之。例曰：元立方減十二乘元平方去四十二(x^3-12x^2-42)以一元減三(x-3)除之，得元平方去九元減廿七(x^2-9x-27)，餘負百廿三不可除也。或據除法原理，記曰：(x^3-12x^2-42)=(x-3)(x^2-9x-27)+(-123)

以長除法行之，其法如下：


\begin{matrix}
\qquad\quad\;\, x^2 \; - 9x \quad - 27\\
\qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\
\;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\
\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\
\qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27x + 81}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123
\end{matrix}


## 註
紀昀

**紀昀**，字**曉嵐**，清直隸獻縣人，雍正二年生。乾隆十九年進士，改庶吉士。散館授編修。再遷左春坊左庶子。京察，授貴州都勻府知府。高宗以昀學問優，加四品銜，留庶子。尋擢翰林院侍讀學士。前兩淮鹽運使盧見曾得罪，昀為姻家，漏言奪職，戍烏魯木齊。釋還，上幸熱河，迎鑾密云。試詩，以土爾扈特全部歸順為題，稱旨，復授編修。

三十八年，開四庫全書館，大學士劉統勳舉昀及郎中陸錫熊為總纂。從《永樂大典》中搜輯散逸，盡讀諸行省所進書，論次為提要上之，擢侍讀。上覆命輯簡明書目。坐子汝傳積逋被訟，下吏議，上寬之。旋遷翰林院侍讀學士。建文淵閣藏書，命充直閣事。累遷兵部侍郎。《四庫全書》成，表上。上曰：「表必出昀手！」命加賚。遷左都御史。再遷禮部尚書。復為左都御史。

畿輔災，飢民多就食京師。故事，五城設飯廠，自十月至三月。昀疏請自六月中旬始，廠日煮米三石，十月加煮米二石，仍以三月止，從之。復遷禮部尚書，仍署左都御史。疏請鄉會試《春秋》罷《胡安國傳》，以《左傳》本事為文，參用《公》、《穀》，從之。

嘉慶元年，移兵部尚書。復移左都御史。二年，復遷禮部尚書。疏請婦女遇強暴，雖受污，仍量予旌表。十年，協辦大學士，加太子少保。卒，年八十二，賜白金五百治喪，諡文達。

昀學問淵通。撰《四庫全書提要》，進退百家，鉤深摘隱，各得其要指，始終條理，蔚為巨觀。懲明季講學之習，宋五子書功令所重，不敢顯立異同；而於南宋以後諸儒，深文詆諆，不無門戶出入之見云。

## 據
* 《清史稿》紀昀傳
納蘭性德

**性德**，納喇氏，初名**成德**，以避皇太子允礽嫌名改，字**容若**，滿洲正黃旗人，明珠子也，順治十一年臘月十二日生。性德事親孝，侍疾衣不解帶，顏色黧黑，疾愈乃復。數歲即習騎射，稍長工文翰。

康熙十四年成進士，年十六。聖祖以其世家子，授三等侍衛，再遷至一等。令賦乾清門應制詩，譯御製松賦，皆稱旨。俄疾作，上將出塞避暑，遣中官將御醫視疾，命以疾增減告。遽卒，年止三十一。嘗奉使塞外有所宣撫，卒後，受撫諸部款塞。上自行在遣中官祭告，其眷睞如是。

性德鄉試出徐乾學門。與從揅討學術，嘗裒刻宋、元人說經諸書，書為之序，以自撰《禮記陳氏集說補正》附焉，合為通志堂經解。性德善詩，尤長倚聲。遍涉南唐、北宋諸家，窮極要眇。所著《飲水》、《側帽》二集、清新秀雋，自然超逸。嘗讀趙松雪自寫照詩有感，即繪小像，仿其衣冠。坐客期許過當，弗應也。乾學謂之曰：「爾何似王逸少！」則大喜。好賓禮士大夫，與嚴繩孫、顧貞觀、陳維崧、姜宸英諸人遊。貞觀友吳江、吳兆騫坐科場獄戍寧古塔，賦金縷曲二篇寄焉，性德讀之嘆曰：「山陽思舊，都尉河梁，並此而三矣！」貞觀因力請為兆騫謀，得釋還，士尤稱之。
## 據
*《清史稿》納蘭性德傳
希爾伯特

**大衞·希爾伯特**，德意志哥尼斯堡人也，一八六二年一月廿三日生，大哲康德之同鄉，少時居住之所近於墓，常行禮跪拜，及長，執二十世紀初數學之牛耳。貢獻良多，於數學，立不變量理論，究公理化幾何，善歐氏幾何，修希爾伯特空間；於物理，論量子力學，窮廣義相對論；於理則，奠證明論，辨元數學，揚康托爾之集論。

一九零零年，於巴黎國際數學家大會出希爾伯特廿三題，成當世數學之明燈。著作等身，有《希爾伯特全集》《幾何基礎》《撲素集合論》等。

一九四三年二月十四日卒于德國哥廷根，年八十二。

## 另見
* 希爾伯特廿三題
* 千禧年大獎難題
山西省

**山西**，**晉**地也，太行之西，古**并州**也。元時始置省，沿用及今。其地多煤，民善營商賈之事，造富一方。言晉語。省治太原，**晉陽**也。
古跡甚眾，有晉祠以祀唐叔虞焉。

## 沿革
周天子式微，春秋爭霸，晉封國於斯而強，始得其名，三家分晉，為趙地。趙都晉陽。秦滅趙，畫之五郡，曰雁門、代、上黨、太原、河東
建安二十二年，魏武置內附五胡於斯，曰茲氏，曰祁，曰蒲子，曰新興，曰大陵。

北魏天興元年，魏道武帝建都平城，至孝武漢化遷洛，計九十有六年。

唐室興於晉，以之爲龍興之地，置北都太原，河東鹽業極盛，公卿輩出。

五代十國，後唐、後晋、後漢皆興於此。

宋太宗太平興國四年，北漢亡，太原為宋軍所焚隳；七年，宋庭復興太原城，爲要鎮，真宗朝，始產煤。靖康之恥，以太行屏障得免禍。有宋以晉地爲河東路，金析爲河東北路，河東南路。

元立，「殘破山西，千里無人煙」；至元八年置河東山西道宣慰司，始稱**山西**。

明洪武元年，徐達、常遇春入晉，置**[[山西承宣布政使司]]**，轄府五、直隸州四、散州十七、縣七十九。

清襲明制，山西九府、州十六、縣一百零八。

今制有地級市十一，縣級：區二十三、市十一、縣八十五。

## 政區
*太原市	省治
*長治市	地級市
*大同市	地級市
*晉城市	地級市
*晉中市	地級市
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*呂梁市	地級市
*朔州市	地級市
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*運城市	地級市

## 它典
* 山西省政府 

分類:中華人民共和國諸省
淵蓋蘇文

**蓋蘇文**，或云**蓋金**，姓淵氏，高句麗人也，自云生水中以惑眾。儀表雄偉，意氣豪逸。其父東部（或云西部）大人大對盧死，蓋蘇文當嗣，而國人以性忍暴，惡之不得立，蘇文頓首謝眾，請攝職，如有不可，雖廢無悔。眾哀之，遂許嗣位。

而凶殘不道，諸大人與王，密議欲誅，事洩，蘇文悉集部兵，若將校閱者，并盛陳酒饌於城南，召諸大臣共臨視。賓至，盡殺之，凡百餘人。馳入宮弑王，斷為數段，棄之溝中，立王弟之子臧爲王，自為莫離支，其官如唐兵部尚書兼中書令職也。於是，號令遠近｜專制國事，甚有威嚴。身佩五刀，左右莫敢仰視。毎上下馬，常令貴人武將伏地而履之。出行必布隊伍，前導者長呼，則人皆奔迸不避坑谷，國人甚苦之。

唐太宗聞蓋蘇文弑君而專國，欲伐之。長孫無忌曰︰「蘇文自知罪大，畏大國之討，設其守備。陛下姑為之隱忍，彼得以自安，愈肆其惡，然後取之，未晚也。」帝從之。

蘇文告王曰︰「聞中國三教並行，而國家道教尚缺，請遣使於唐求之。」王遂表請，唐遣道士叔達等八人，兼賜《道德經》，於是取浮屠寺館之。

會新羅入唐，告百濟攻取我四十餘城，復與高句麗連兵，謀絕入朝之路。小國不得已出師，伏乞天兵救援，於是太宗命司農丞相里玄獎賚璽書，敕王曰︰「新羅委質國家，朝貢不闕。爾與百濟，宜各戢兵。若更攻之，明年，發兵討爾國矣。」初玄獎入境，蘇文已將兵擊新羅，王使召之乃還。玄獎宣敕，蘇文曰︰「往者，隋人侵我，新羅乘釁，奪我城邑五百里，自此怨隙已久。若非還我侵地，兵不能已。」玄獎曰︰「既往之事，焉可追論。今遼東，本皆中國郡縣，中國尚不言，高麗豈得必求故地？」蘇文不從。玄奬還具言之。太宗曰︰「蓋蘇文弑其君，賊其大臣，殘虐其民。今又違我詔命，不可以不討。又遣使蔣儼諭旨，蘇文竟不奉詔。乃以兵脅，使者不屈，遂囚之窟室中。於是太宗大舉兵，前後凡三征之，竟全敗，蓋蘇文遂繼掌高句麗。乾封元年卒。三子︰男生、南建、男產，皆至高位。

## 據
*《三國史記》高句麗蓋蘇文傳
盲文

**盲文**者，瞽者之文也，乃法國人路易斯·布萊葉所創。其字咸為點耳，橫二縱三，觸之而得義。
劍

**劍**者，兵也，末尖利。所用極廣，東西皆出，初出之所已不可考。然東西有別，劍亦不外，分類繁多，不勝枚舉，此僅以東西為分。

東方之劍，雙側亦刃，可刺可劈。於東方上至皇族，下於百姓皆有之，然利鈍有別而已。其分亦有無數之類此只為大觀。

西方之劍，有側圓者，亦有雙側為刃者，然其雙側為刃者與東方相仿，或有絲路之來由，但有於身增有凹縫者。側無刃者，亦有大小之別，大有如鑽；小有如枝，如枝細者，用之如棍，多以表其顯貴。 

側無刃者於東或改之為槍、戢。而單側刃者謂之刀，非劍之類矣。
康托爾

**康托爾** ，俄國聖彼得堡人也，一八四五年三月三日生。少體弱，年十一歲，隨父母徙德國，蓋因其地較暖也。復肄業柏林大學，為克羅內克門生。一八六七年得博士銜。

俄而任教哈勒大學，一八七四年，屬文論無窮集合之大小，曰代數數集可數，然實數集不可數，足證果有超越數也，此為超越數之存在證明。欲刊於《克列爾雜誌》，豈料克羅內克惡之，幾不可得，猶幸戴德金力保，由是事遂。此文乃集論之始，故得「集論之父」名也。

然則克羅內克惡之，何故？其為構作論者，曰不可構作之物，形而上學也。康氏謂超越數存而不知其形，無理也。又曰，數學為有限之理則，不可用于無限之事。惡之尤甚，令康氏不可教於德國名校也。

越四載，復有新文，立一一對應之說，證線段之點數竟同乎平面。康氏書載德金曰：「吾不信吾所證耳！」又欲刊《克列爾雜誌》，復阻於克羅內克，幸得載得金及魏爾施特拉斯之助，遂復成耳。然《克列爾雜誌》無禮如斯，遂決志永不撰述於此也。

一八八三年，立基數、序數之說，究良序集，超限數。

一八八四年，得抑鬱症，舍精神病院。

一八九一年，立對角線證明。

一八九五年，集論悖論起；一八九九年，康氏亦得康托爾悖論，曰所有集合之集合，其基數若干？正反交鋒。龐加萊謂集論病數學，然希爾伯特言悖論可以公理化之。然康氏之抑鬱症日重。希爾伯特曰：「集論，康氏所建之天堂也，無人可毁之耳」，並收康氏之連續統問題於《希爾伯特廿三題》。

一九零二年，倫敦皇家學院授康氏以西爾維斯特獎，以為致意。

一九一三年，致仕。一九一八年一月六日，卒于精神病院，年七十三。

## 見
* 集論
* 康托爾集合
* 康托爾定理
* 康托爾悖論
* 配對函數
* 良序公理
戴德金

**戴德金**（Julius Wilhelm Richard Dedekind），德國不倫瑞克人，一八三一年十月六日生。肄業哥廷根大學，為高斯門生。一八五二年得博士銜。好交友，然畢身鰥居。立理想論，議戴德金環，啟以代數究數論、幾何之先。友康托爾，助其力抗克羅內克，以揚集論。立戴氏切割，嚴定實數之義；嘗以公理系統論自然數，奠皮亞諾公理之基。一九一六年二月十二日卒，年八十五。

## 見

** 戴德金η函數
** 戴德金ζ函數
** 戴德金和
** 戴德金環
克羅內克

**利奧波德·克羅內克**（Leopold Kronecker），德意志普魯士利格尼茨人也，一八二三年十二月七日生。十九世紀中，任教柏林大學，執德國數學之牛耳。善理則，世譽為直觀主義先驅；然直觀主義者，結構論也，謂存在證明不合理則。曰：「神作整數，他者皆人為耳。」，故分析、算術始於整數。由是，病超越數、無處可微連續函數，尤惡集論，致與門生康托爾反目。

克氏善數論、分析，立克羅內克函數、克羅內克積、克羅內克－韋伯定理、克羅內克定理、克羅內克引理。

晚年復友康托爾。一八九一年十二月廿九日卒，年六十九。
康托爾悖論

**康托爾悖論**曰：「所有集合，聚以成集，且曰極集，其基數若干？」

康托爾定理云：「集之基數，小于其幕集。」然極集必含己之幕集也，遂生矛盾。康托爾于一八九九年得此悖論。

化解之道，公理集論也；極集不復為集，則矛盾不再耳。
龐加萊

縮圖
**龐加萊**，法蘭西南錫人也，一八五四年四月廿九日生。先後卒業於南錫學校及南錫大學，得工程學位，後兩學府易名龐加萊學校及龐加萊大學。受雇法國礦業集團，業餘修微分方程，得數學博士學位。

一八八七年，瑞典王奥斯卡二世六十大壽，徵「太陽系穩定解」，乃三體問題之易。龐氏雖未竟，然其文脫俗，遂得獎。裁判韋爾斯特拉斯曰：「天文學因其文，為之一新。」並啟混沌理論。

同年，年僅三十二，任法國科學院院士。

俄事法國北方鐵路，一八九三年成礦業團首席工程師，一九一零年拜總監。時亦嘗任教康城大學及索邦大學。

一八九三年，入法國經度局，助全球時間同步。一八九八年，撰「时間與測量」一文，論相對論原理，究洛倫茲變換－實龐氏所與之名也。一月後，愛因斯坦著相對論。龐氏愛氏所出相對論文章，全無相互作引。一九一二年，愛氏尊之曰相對論先驅也。

一八九五年，著《位相分析》，論代數拓撲。

一九零四年，立龐加萊球面、龐加萊映射。出龐加萊猜想，時莫之能證，迨二零零六年方得耳。

一九零六年，任法國科學院院長。一九零九年，任法蘭西學院院士。

一九一二年，以前列腺病就醫，七月十七日歿，年五十九。

二十世紀初之數學，龐氏執其牛耳，於天體力學、流體力學、光學、電學、電報、毛细現象、彈性理論、熱動力學、勢理論、量子理論、相對論、宇宙學諸學，皆有涉獵。亦著通俗讀本，以揚數學。

其意天馬行空，為直觀主義者，病集論，惡公理化數學、金融數學，故言巴施里耶之投機理論無聊。
朱國禎

**朱文肅公國禎**，字**文寧**，明烏程人。萬曆十七年進士。累官祭酒，謝病歸。天啟元年，擢禮部右侍郎。三年，拜禮部尚書兼東閣大學士。改文淵閣，累加少保兼太子太保。魏忠賢竊柄，國禎為逆黨李蕃所劾，三疏引疾。加少傅，廕子中書舍人，遣行人送歸。崇禎五年卒。贈太傅，諡文肅。今存《明史概》一百四十二卷、《皇明紀傳》三十卷、《大政記》三十六卷、《湧幢小品》三十二卷、《朱文肅遺集》八冊、《平涵詩文鈔》二冊等。

## 據
*《明史》卷二百四十，列傳第一百二十八，朱國禎傳
氦

**氦**者，舊譯**氜**，化學元素也，符號為He，原子序二。無色無味、無臭無毒，性惰而孤。幾無熱，可熔沸。觀乎其形，殆必為氣，若無極低之溫、極高之壓，無之以易。宇宙之中，次多次輕。蓋有乎天地初開，後之成者，無外乎核融合、核分裂二法。地球之上，多雜天然氣，取以分餾法。
縮圖|氦激光
千百年來，人莫之知。迨十九稘，法人詹遜察日食，見黃譜而弗知，屢究卒獲。

同位素有八，起氦三而訖氦十，以四為最豐。量子力學言超流體性者，先以究之。

其用甚衆。或作極寒之境，或為深海呼吸，或冷超導磁石，或定年歲，或盈氣球，或昇飛船，或護電弧焊、矽晶片等，不一而足。又，微吸，可易音色。
瑪格麗特一世

**瑪格麗特一世**，瓦爾德馬四世幼女也。一三五三年生於丹麥沃丁堡。

年十歲，嫁挪威王哈康六世，哈康父馬格努斯兼為瑞典王，故哈康亦兼王瑞典。

一三七五年，瓦爾德馬崩，無子。相舉瑪格麗特之子奧拉夫嗣位，年五歲。新王幼，瑪格麗特以母居攝，與議會共秉政事。

一三八〇年哈康崩，奧拉夫嗣立，瑪格麗特仍假王行事。一三八七年奧拉夫崩，時丹麥行選王嗣位之法。越七日不得，乃舉瑪格麗特以太后攝王位。挪威則以世襲，亦未立嗣君。一三八八年二月，挪威亦同丹麥例。

三月，瑞典亦奉瑪格麗特為攝政太后。時瑞典王阿爾布萊克特在位，而素不合於國人，故瑞典公卿，皆請瑪格麗特為逐阿爾布萊克特。一三八九年，瑪格麗特敗之於斯科訥。

瑞典既平，瑪格麗特立女兄之孫埃里克為儲君。埃里克幼，瑪格麗特仍為假王。同年挪威議會迎埃里克為新君。一三九六年，餘二國議會皆認埃里克為儲。

一三九七年，埃里克於瑞典卡爾瑪即位為三國之王，三國議會約共擁一王，而各國法令仍奉行如舊。史稱卡爾瑪同盟，而瑪格麗特仍執國政。

後丹麥南圖石勒蘇益格，一四一二年十月，瑪格麗特偕埃里克幸弗倫斯堡，欲得土商之附。同年石勒蘇益格大疫，瑪格麗特暴病，廿八日崩於舶上。

死歸丹麥，梓宮初置索勒大教堂，後移至羅斯基勒大教堂，以雪花石膏造像。後槨為戰火所壞，一八六二年及一九一二年二度復修如故，今仍見。大教堂，有三十八王之梓宮，餘三十七皆置旁室，獨瑪格麗特者置壇前，足見女王功業之鉅也。
## 家屬
*父 丹麥王瓦爾德馬四世
*母 南日德蘭人海爾維格
*夫 挪威王哈康六世
**子 丹麥王奧拉夫三世
康托爾定理

**康托爾定理**云：「集之基數，小于其冪集。」觀自然數，數甲小于二之甲次方也（「n」）。

觀乎自然數集，其冪集之基數同乎實數集。康托爾得對角線證明法，知實數集不可數。康氏取此法精粹，推而廣之，遂得證康托爾定理。

## 證

集甲之基數小于其冪集者，謂甲映射冪集，必非滿射也。（「|A|」）

今取甲映射冪集。甲之元素非己象之屬者，聚以成一大集。凡甲之物，或屬大集，或不然。若然，則非己象之物，故己屬于大集去己象，可知大集異於己象；若非，則乃己象之物，故己屬于己象去大集，可知大集異於己象也。是以甲物之象必異於大集，故映射非滿射也。

（以數式示之如下︰「F:A\rightarrow P(A)。S=\{a\in A\ :\ a\notin F(a)\}。

a\in A \implies (a \in S) \vee (a \notin S)。

a\in S \implies a\notin F(a) \implies a\in S\setminus F(a) \implies S\neq F(a)；

a\notin S \implies a\in F(a) \implies a\in F(a)\setminus S \implies S\neq F(a)。

((\forall a\in A) F(a)\neq S) \implies F(A)\neq P(A)　」）
伽羅華

**伽羅華**，法蘭西波格拉萊人也，一八一一年十月廿五日生。

年十六，考巴黎理工大學，昔敗。

年十八，證高次方程無以簡解，獻法國科學院，審者柯西拒之。或云柯西丟失其文，莫知其實也。俄而其父自盡。復考巴黎理工大學，再敗，遂業高等師範學院。

次年，與數學競賽，復獻高次方程無以簡解之文于傳利葉。昔傳利葉病歿，且復失其文。

翌年，七月革命始，伽氏同於共和，校長遂勒退之。已而再囚，自殺未遂。

一八三二年三月，單戀一女，終無果。五月三十日，決戰軍官，知其由，亡，年廿一。

其數學文章盡歸友齊瓦利爾。越十年，傳劉維爾，劉氏刊文于《純粹與應用數學雜誌》，伽羅華理論遂名世。

伽氏壽雖不永，才頌千古。所用之法，奠當世群論之基。傳世功績有三︰一為五次以上方程無以簡解之證；二為高斯猜想之證，即尺規作圖作正邊形，而邊數為質數者，則必二之二幕次乘方加一（p=2^{2^k}+1），反之亦然。；三為古希臘三大作圖問題之二之證，即「任意三等分角不可」，「倍立方不可」。
歐拉

thumb|right|歐拉，約一七五六年
**歐拉**，瑞士巴塞爾人也，一七〇七年四月十五日生。

一七二六年得博士銜。翌年，教俄羅斯科學院，俄與數學競賽，論船桅之構作，僅敗於布給。布給者，泰西航海學之父也。

越四年，除教授。復越兩年，拜數學系主任。翌年，罹患，右目眇。

一七四一年，俄國亂，遂遷柏林，教柏林科學院。

一七六六年，返俄羅斯科學院。

一七八三年九月十八日卒，年七十七。法蘭西哲人孔多塞曰：「至此，歐拉不復算數，亦無復生也。」

歐氏執十八世紀數學牛耳，論文近千，惟二十世紀保羅·艾狄胥可匹敵之。究分析，創函數，混一歐洲大陸及英國之微積分；解七條橋問題，開圖論及拓撲之先；論複數，究歐拉數，得歐拉恒等式，譽最優美恒等式；論凸多面體，證歐拉等式，後人推而廣之，得流形之歐拉特徵值；究歐拉函數，得歐拉定理，為費馬小定理之推廣。
分類:瑞士列傳
分類:疇人
分類:基礎之文
艾狄胥

**保羅·艾狄胥**，或譯**埃爾德什·帕爾**，匈牙利布達佩斯疇人也，祖裔猶太，一九一三年三月廿六日生。

畢身鰥居，好遊歷四方，無定教席。

一九九六年九月，與波蘭華沙數學會議，心病復發，二十日卒，年八十四。

艾氏論文逾千，冠絕數壇，惟以頁數論，尚次於歐拉。好言笑，謂上帝為大法西斯，不容《數學大典》傳世。《數學大典》者，艾氏杜撰神之書也，內有一切簡潔證明。若見簡潔證明，必曰：「大典之證明也！」

嘗與艾氏合著文者，人數五百，冠絕數壇。故有「艾狄胥數」，或簡曰「艾數」。艾氏之艾數為零；嘗與艾氏合著者，艾數為一；嘗與艾數為一者合著之士，艾數為二；嘗與艾數為二者合著之士，艾數為三；類推可也。

## 注
滿偉

**滿偉**字**公衡**，漢山陽昌邑人，魏昌邑景侯寵子也。偉身長八尺，以格度知名。偉妹乃司馬昭弟榦之妃也。

官至衛尉，封**亭侯**。壽春之役，偉從司馬昭至許，以疾不進。偉子長武從，求還省疾，事定乃從歸，昭恨之。收長武考死杖下，偉免為庶人。時人冤之。

偉弟子奮，晉元康中至尚書令、司隸校尉。

## 據

*《三國志·魏書二十六·滿田牽郭傳》
滿長武

**滿長武**者，魏山陽昌邑人，魏昌邑景侯寵孫也。長武身長八尺，有寵風。年二十四，為大將軍掾。

高貴鄉公之難，以掾守閶闔掖門，司馬昭弟榦欲入。榦妃，乃長武父偉之妹也。長武謂榦曰：「此門近，公且來，無有入者，可從東掖門。」榦遂從之。昭問榦入何遲，榦言其故。參軍王羡亦不得入，恨之。既而羡因王左右啟王，滿掾斷門不內人，宜推劾。

壽春之役，偉從昭至許，以疾不進。長武從，求還省疾，事定乃從歸，昭恨之。收長武考死杖下，偉免為庶人。時人冤之。

## 據

*《三國志·魏書二十六·滿田牽郭傳》
滿奮

**滿奮**者，魏山陽昌邑人，魏昌邑景侯寵孫也。身長八尺，性清平，有識檢。

晉元康中至尚書令、司隸校尉。晉諸公贊曰：「奮體量通雅，有寵風也。」

## 據

*《三國志·魏書二十六·滿田牽郭傳》
冬瓜茶

**冬瓜茶**者，自百年前已飲於臺灣。

既得美冬瓜，削皮去籽，然後切條。混焦糖、砂糖中煎煮，數時辰而得渣。以紗裹而榨，得其汁曰冬瓜露，凝則冬瓜糖塊，可以點心。煮融為湯，冬瓜茶乃成。循古而製者，工又其上也。今有結冬瓜露而裝罐，凍而售之。藏於家中，渴以水釋為汁，得其便利焉。又可以冬瓜原果，去皮免糖而烹，可得無糖冬瓜茶，消渴、腎有疾病者可飲。亦有茶水中粉圓、椰果、湯圓者，或混檸檬茶、烏龍茶而飲。年已古而未廢，故與甘蔗汁、青草茶並稱**臺灣三大飲**。

分類:飲
角

**角**者，旋之度也。逆時而行者正也，反之負也。

半周天為**平角**；四分之一周天為**直角**；不及直角者，曰**銳角**；愈直角而不及平角者，曰**鈍角**；愈平角而不及一周天者，曰**優角**。

## 夾角

若此線段逆時旋轉若干則重合彼線段，則謂兩線段之**夾角**若干。然二線段必有二夾角，若無明示，取小者可也。故夾角為三直角者同乎一直角。

## 度數

一周天為三百六十度，一度為六十分，一分為六十秒。故直角為九十度，平角為一百八十度。時人習用之法也。

## 弧度

半徑為一之圓，弧長為一者，所應之角為一弧度。故平角之弧度同乎圓周率，一周天之弧度等於二乘圓周率。疇人多用此法，蓋益處良多。

## 內積空間

欲求角之定義，殊非易事。有一法，使線段為一矢量，以兩線段之內積定義夾角。詳見內積空間一文。
多邊形

**多邊形**，幾何之本也，閉合數線而成。其線曰邊，其交曰點。二邊之交，曰內角；平角減內角，曰外角。凡有線接非鄰之點者，曰對角線。

## 平面幾何

若無相交之邊，曰「簡單多邊形」，必拓撲同構于一圓。外角和恆為四直角。

內角咸小于平角者，曰「凸多邊形」，內角和恆為邊數乘平角減四直角，故三角形內角和恆為一百八十度，凸四邊形內角和恆為三百六十度。

點咸在同圓之上，曰「圓內接多邊形」。邊長咸等，曰「等邊多邊形」。內角咸等，曰「等角多邊形」。 等邊且等角者，曰正多邊形。
圓周率

**圓周率**者，周徑之比也，亦圓面積與半徑平方之比，平角之弧度，正弦為零之最小正數解也。疇人以希臘字母π記之。

## 史
上古以之為三，曰：「周三徑一」。劉徽作「割圓術」：「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」其後，祖沖之作《綴術》，得其介乎三點一四一五九二六與三點一四一五九二七，後千年精度無逾之者。祖氏亦分之密率、約率。**密率**，圓徑一百一十三，圓周三百五十五，是故密率\frac{355}{113}也。**約率**，圓徑七，圓周二十二，是故約率\frac{22}{7}也。

泰西亦屢有疇人算之，古埃及人得三點一六。古希臘亞基米德得三又七分之一。迨微積分出，無窮數列生，疇人以此作算，一四二四年，得小數後十六位；一七六一年，朗伯證其為無理數；一七八九年，得一百四十位；一八七三年，謝克斯窮十五年之力，得七百五十三位；一八八二年，林德曼證其為超越數。

俟電腦生，一九四九年，馮諾曼以七十小時得二千零三十七位；一九八五年，疇人以拉馬努金算式得千萬位；一九八九年，十億位；二〇〇二年，萬億位，二〇一一年，十萬億位。

## 圓周率級數
\frac{\pi}{4}=\arctan 1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} 

## 以三角幾何得圓周率

\frac{\pi}{4}=\arctan \frac{1}{2}+ \arctan\frac{1}{3} 

\frac{\pi}{4}=4\arctan \frac{1}{5}- \arctan\frac{1}{239}  （大賢歐拉嘗證之）

（參見三角函數）

## 據
黃金分割

**黄金分割**，一曰**黄金比**，或曰**黃金數**，泰西以為藝術之數也。五開方，加一，再半之，即得此數。約為一點六一八，疇人記之曰。

有矩形，以短邊作正方形，去之，得相似矩形，則矩形兩邊之比為黃金數。或曰：有矩形，短減長比短，同乎短比長（「甲減乙比乙如乙比甲」），則長比短為黃金數。

古希臘人早知之，歐幾里得入《幾何原本》。意大利帕喬利稱神聖比例。迨文藝復興之時，建築作畫，咸用此比。後人遂穿鑿附會，謂最美之事，必為黃金比。

或作「黃金臉孔」，謂最美之五官，咸為黃金比耳。

## 性

*黃金數之倒數，同乎黃金數減一，約零點六一八。（「一除φ如φ減一」或「φ二減φ減一如〇」）
*斐波那契数列，可以黃金比示之。
*黃金比之連分數者，恒為一也。（「φ如［一；一，一，一，…］」）
*一開方，加一復開方，加一復開方，以至無窮，其極限為黃金數。（「\varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}}\,.」）
*三十六度之餘弦乘二，黃金數也。同乎負六百六十六度之正弦乘二，然泰西曰六六六乃魔鬼數也，捉狹者以為有趣。
*有黃金分割法，或**零點六一八法**，為優選學之法也。
弧度

**弧度**，又曰**弳度**，角之度也。圓弧長同乎半徑，相對之角，弧度為一。疇人習之，遂鮮言其單位耳。

一周天為圓周率乘二，平角為圓周率，直角乃圓周率之半。

以弧度計，圓弧之長為半徑乘圓心角，扇形之面積為半徑平方乘圓心角再半之。

又，數之正弦除以數，而數趨于零，則極限為一（\lim_{h\to0}\frac{\sin h}h=1）。是以正弦之導數為餘弦，餘弦之導數為負正弦（\sin'(x)=\cos(x), \cos'(x)=-\sin(x)）。

由此可見，弧度之便也。
圓

《墨經》曰：「圓，一中同長也。」蓋於平面之上，有定點為中，凡周遭之跡，其去中也，長皆等同，是謂之**圓**。亦圓錐曲線之一種。

自中至周之線，謂之半徑。周上兩端相接之線，謂之弦。弦之過中者為徑，徑之長，倍於半徑。圓周之一截，則謂之弧。

圓之周與徑，其率有常，是為圓周率，今人以符π爲記。古有「周三徑一」之說，其術甚略。至南北朝，疇人祖沖之始精其術，得「約率」為七分之二十二，「密率」為百一十三分之三百五十五。

欲求圓積，《九章算術》自有其法，曰：「半周、半徑相乘得積步。」格致家爲算學之公式，曰：「徑自乘，四而分之，再以率乘之。」

二半徑相夾而成角，謂之「心角」。二弦相交於周上成角，謂之「周角」。凡同弧所對，周角之度，常為心角之半也。

至若二半徑與其間之弧，所圍之地，其形如扇，故名扇形。一弦與其對弧所圍之地，其形如弓，故名弓形。扇形之積、弧之長短，皆隨心角之大小以為增減。

## 據
春武里府

**春武里府**（泰文︰ชลบุรี）者，東泰國之府也，府治春武里市。其狀甚狹長，北丘南平。西望泰國灣，鄰北柳府、尖竹汶府、羅勇府。今工業漸興，府北百里廠房林立，口盈百萬，府尹為普臘加·戴拉特（นาย ประชา เตรัตน์，Pracha Terat）。春武里出於梵文，意為「水都」。府南有大村名孟臘茫，民皆務漁，其灘名芭堤雅，至六十年代，越戰起，美軍多好憩於此，旅社、食肆日增，笙歌不絕。戰後美軍漸去，幸遊人如鯽，流連忘返。是地遂成今日之芭堤雅市，「不夜都」是也。今有高速公路連之曼谷。府南漣洽邦港，水深浪靜，為泰國至大。 

## 它典
* 春武里官府 
* 泰國王家旅游局正典 

* 春武里府地圖、徽章
泰南

**泰南**，泰國南境也，在克拉地峽之上，間暹羅灣、安達曼海間。洛坤山自北而南，至高處黃山，海上亦多山焉。其中普吉者，遊人樂至也。古洛坤國之地也，西接緬甸，南靠馬來西亞。南邊有奉伊斯蘭者。

下分十四府，曰：春蓬、甲米、陶公、洛坤、北大年、攀牙、博他侖、普吉、拉廊、沙敦、宋卡、素叻、董里、惹拉。

## 它典
* 泰國觀光局（中文）
泰北

**泰北**，泰國北境也，古蘭納泰國之地。其上多山，其地寒，其人多務農。西接緬甸，東臨老撾，湄公河在其東而過。有水出焉，曰：楠、屏、王、雍。 

下分十七府，曰：清邁、清萊、甘烹碧、南邦、南奔、夜豐頌、北欖坡、難、帕堯、碧差汶、披集、彭世洛、帕、素可泰、達、烏泰他尼、程逸。

## 它典
* 泰國觀光局網站，文以繁體
中泰國

**中泰國**，泰都所在也，治大曼谷，山河縱橫，昭拍耶之水穿其中，南注於暹羅灣，入海處平曠，有紅樹林，水漲則淹。沃野千里，美稻、美瓜出焉。自古而今，皆泰人所都，大城、曼谷居其中，世為國之要邑也。

今分廿五府，曰：大城、紅統、猜納、北碧、華富里、坤西育、佛統、暖武里、巴吞他尼、佛丕、班武里、叻丕、北欖、龍仔厝、夜功、北標、信武里、素攀、北柳、尖竹汶、春武里、巴真、羅勇、沙繳、桐艾。北柳以下七府，常別稱**東泰國**。

## 它典
* 泰國觀光局（中文）
尖竹汶府

**尖竹汶府**（泰文：**จันทบุรี**）者，東泰國之府也。鄰柬埔寨，桐艾府、羅勇府、春武里府、北柳府、沙繳府。今口盈五十萬，府尹為柏嘉·蘇宛芭科特（นาย พนัส แก้วลาย，Prachak Suwanphakdi）。

## 計
府中多有寶石，聞名遐邇。

## 史
一八九三年，河口兵變起，法國軍此地，收為法屬支那，後泰國與之互市。一九零五年，是地復歸泰國。

迨二十世紀中，印度支那戰亂紛起，鄰國百姓多有逃者，舍斯地者甚多。

## 景

## 它典
* 尖竹汶官府 
*泰國王家旅游局正典 

*尖竹汶府地圖、徽章
拉廊府

**拉廊府**（泰文︰ระนอง）者，南泰國之府也，府治拉廊市。鄰春蓬府、素叻府與攀牙府，西北接緬甸，西南濱安達曼海。今有口十六萬餘，府尹為麥金·美莎坤（นาง กาญจนาภา กี่หมัน，Mekhin Methakhun）。

## 候
連綿豪雨，數月不絕。故此地號泰國之「雨都」。

## 景

## 它典
*拉廊官府     
*拉廊地圖    
*泰國王家旅游局—拉廊府
春蓬府

**春蓬府**（泰文︰ชุมพร）者，南泰國之府也，府治春蓬市。鄰拉廊府、素叻府與班武里府，西接緬甸，東濱泰國灣。今有口四十六萬餘，府尹為披遙·安南達蓬（นาย พินัย อนันตพงศ์，Piyai Anantapong）。

## 景

## 它典
* 春蓬官府    
* 春蓬地圖    
* 泰國王家旅游局—春蓬府
洛坤府

**洛坤府**（泰文︰นครศรีธรรมราช）者，南泰國至大之府也，府治洛坤市。鄰甲米府、素叻府、宋卡府、博他侖府與董里府。今有口一百五十餘萬，府尹為韋強·彤松（นาย วิชม ทองสงค์，Wichom Thongsong）。

## 名
其名出於梵文，意乃「聖王之城」（「Nagara Sri Dhammaraja」）。

## 景
* 黃山

## 它典
* 洛坤官府     
* 洛坤地圖    
* 泰國王家旅游局—洛坤府資料
素叻府

**素叻府**（泰文︰สุราษฎร์ธานี）者，全稱**素叻他尼府**，南泰國之府也，府治素叻市。鄰甲米府、攀牙府、拉廊府、春蓬府與洛坤府，東北濱泰國灣。今有口近百萬，府尹為尼瓦·莎屈驕（นาย นิวัตน์ สวัสดิ์แก้ว，Niwat Sawatkaeo）。

## 交通
亞洲二號公路貫南北，東南亞之要道也。樞紐站舍於烹坪（พุนพิน，Phunphin），西素叻市僅二十公里。

## 景
* 蘇梅島
* 閣帕岸島

## 它典
* 素叻官府    
* 素叻地圖    
* 泰國王家旅游局—素叻府
羅勇府

**羅勇府**（泰文︰ระยอง）者，東泰國之府也，府治羅勇市。西望泰國灣，鄰春武里府、尖竹汶府，南濱泰國灣。今口盈五十三萬，府尹為蓬樂華·猜雅努華（นาย พลวัต ชยานุวัชร，Phonlawat Chayanuwat）。

## 景
*森美島

## 它典
* 羅勇官府 
*泰國王家旅游局正典 

*羅勇地圖、徽章
桐艾府

**桐艾府**（泰文︰ตราด）者，東泰國之府也，府治桐艾市。西南濱泰國灣，東接柬埔寨，西鄰尖竹汶府。今有口二十三萬餘，府尹為坤拔·壯朗西（นาย บุญช่วย เกิดสุคนธ์，Kaenphet Chuangrangsi）。

## 景
* 大象島

## 史
一八九三年，河口兵變起，法國軍尖竹汶，收為法屬支那，一九零四年，泰國以是府市之。一九零六年，是地遂復歸泰國。

一九四一年，泰法戰爭起，兩國海軍戰於大象島，泰失三艦，後日本調停之，遂和。

## 它典
* 桐艾官府 
* 泰國王家旅游局正典 

* 桐艾地圖、徽章
依善

**依善**，居呵叻高原之上，泰國之東北境也。地亢而瘠，蓋土鹹而沙質也。風雨不調，洪旱交加，而人口滋長，百姓貧窮，泰王素重濟之。磐山東西橫之，遂分南北。

北依善，湄公河環之，黎、松琴二水出磐山之陰，北注於湄公。民俗近老撾。南依善，湄公在其東境，齊、濛二水出磐山之陽，東合於四色菊，而注於湄公。民多用高棉語，素異於內地。依善人無論南北，皆食粘米。好麻辣，菜以生食。

下分十九府，曰：安納乍倫、武里南、猜也蓬、加拉信、孔敬、黎、馬哈沙拉堪、穆達漢、那空拍儂、呵叻、農磨朗普、廊開、黎逸、色軍、四色菊、素林、烏汶、烏隆、益梭通。

## 博觀
* 泰國觀光局（中文繁體）
* 《淺易依善語彙》
甲米府

**甲米府**（泰文︰กระบี่）者，南泰國之府也，府治甲米市。鄰攀牙府、素叻府、洛坤府、董里府與普吉府。今有口三十三餘萬，府尹為西華·西利騷華樂（นาย ศิวะ ศิริเสาวลักษณ์，Siwa Sirisaowalak）。

## 景
*大披披島
*小披披島

## 它典
*甲米官府     
*甲米地圖    
*泰國王家旅游局—甲米府資料
羅勇市

**羅勇市**（泰文：เมือง  ระยอง）者，東泰羅勇府之府治也，西瀕泰國灣。

下分三鄉，名茲不贅，今有口五萬五千餘，多業漁。 

## 它典
*羅勇市官府
沙繳府

**沙繳府**（泰文：สระแก้ว）者，東泰之府也，府治沙繳市。鄰府有：尖竹汶府、北柳府、巴真府、呵叻府、武里喃府。東靠柬埔寨之馬德望省。
 
今有口近五十萬，府尹為素拉蓬（นาย สุรพล พงษ์ทัดศิริกุล，Suraphon Phongthatsirikun）。

## 它典
* 沙繳官府 
* 泰國王家旅游局正典 

* 沙繳地圖與徽章
沙繳市

**沙繳市**（泰文：เมือง  สระแก้ว）者，東泰沙繳府之府治也，東去三十餘公里至阿蘭雅芭傑（อรัญประเทศ，Aranyaprathet），遂入柬埔寨矣。

下分二鄉，名茲不贅，今有口萬六千餘，多力農。  

## 它典
*沙繳市官府
曲線

**曲線**者，歐氏幾何之非直線也。迨非歐幾何生，曲直難分，時人遂新其義，並謂直線乃曲線之一也。

## 定義
曲線者，區間連續映射之拓撲空間也（&gamma; : *I* &rarr; X）。若區間為單位區間（[0,1]）者，曰**道路**。

無相交已者，曰**簡單曲線**。

首尾相接者，曰**閉曲線**。道路而閉曲線者，曰**圈**。簡單之閉曲線，曰**約當曲線**。

含于歐几里得空間者，曰**空間曲線**。含于二維空間者，曰**平面曲線**。

有**約當曲線定理**云：平面約當曲線，分平面為有限之內及無限之外。

有首尾之曲線（即區間為閉者），且可充滿一正方形者，曰**空間填充曲線**，或**[[皮亞諾]]曲線**。然一維之線何以充填二維之面，維數之定義遂新。

## 見
*代數曲線
*分形

## 注
曼谷

**曼谷**（泰文：**กรุงเทพมหานคร**，意「**天使之城**」）者，泰王國之都也。處湄南河畔昭拍耶平原。口逾千萬。市長為阿彼叻（อภิรักษ์ โกษะโยธิน）。 

一七八二年卻克里王泰國，始都此地，自此日興。已而運河廣建，舟可代輦，穿梭於市。遊人多奇曰「東方威尼斯」。

其景繁多，名世者有四，曰玉佛寺、曰黎明寺、曰杜色園、曰維曼默宮。
## 泰文全稱
**กรุงเทพมหานคร**為簡稱，全名為：**กรุงเทพมหานคร อมรรัตนโกสินทร์ มหินทรายุธยา มหาดิลกภพ นพรัตนราชธานีบูรีรมย์ อุดมราชนิเวศน์มหาสถาน อมรพิมานอวตารสถิต สักกะทัตติยวิษณุกรรมประสิทธิ์**。為最長之地名，列金氏世界紀錄（亦曰「吉尼斯世界紀錄」）。

## 它典
* 曼谷市官府
* 曼谷旅遊官方網
點

**點**者，幾何之本也。墨子謂之**端**。歐幾里得曰：「點者無分。」及至當世，疇人曰：「點者，幾何之本，莫之須解。」或曰：「空間者，集也，其元素皆可謂『點』。」

坐標幾何之中，點乃多元組也。至若拓撲空間，所屬多曰點耳。
圓錐曲線

**圓錐曲線**者，一名**割錐**，平切圓錐所出之曲線也。斯代數曲線也。咸為二元二次方程之解，曰Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0。A,B,C三者不俱為零。

取一點曰焦點，一線曰準線，一正數曰離心率。圓錐曲線之點與焦點之距，除以斯點與準線之距，必同乎離心率。

離心率大於一，得雙曲線。方程之判別式為正，曰B^2-4AC>0。

離心率小於一，得橢圓。方程之判別式為負，曰B^2-4AC。

離心率同乎一，得拋物線。方程之判別式為零，曰B^2-4AC=0。

圓者，心為焦點，離心率為零，準線之遠也無垠。其方程也者，項一係數同乎項三，項二係數為零。A=C,B=0，斯是之謂也。
橢圓

橢圓者，長圓也，圓錐曲線之一。繞心一周，與兩焦點之距，其和咸同。

周上二點相接，且貫心者，曰徑。最長徑曰長軸，最短徑曰短軸，兩軸互垂。有焦點一雙，各在一軸之上。心者據焦點之中，亦據凡徑之中。心焦之距所謂焦距也。

長軸兩端二極也，短軸兩端二共極也。

繞心一周，與兩焦點之距，其和實長軸之距也。證：置一點於橢圓之極，緣橢圓之左右對稱，其於一焦之距為半長軸與焦距之距和，於另一焦之距乃半長軸與焦距之距差，二者相加得長軸之距。

半短軸距與焦距之平方和乃半長軸距之平方。證：置一點於橢圓之共極，建二直角三角，其勾為半短軸也，其股為距也，以角邊角定理（見全等）得其全等三角也，故其弦之距同也。緣點與兩焦點之距，其和實長軸之距也，弦之距乃半長軸，復據勾股定理得之。

下以a為長軸，b為短軸，c為焦距。

復有一參數者，號曰偏心率（e或\epsilon），乃焦距長軸之比（\frac{c} {a}），同短長軸平方之比與一之差，而復開方（\sqrt{1-\frac{b^2} {a^2}}）。

求其方，半長軸乘半短軸，再乘圓周率。

## 性

光始於一焦點，反射于周，必至同軸之焦點也。

夫天體之行也，軌橢圓耳。初以為圓，迨大賢開普勒出，方正之。

## 橢圓標準方程

焦點位於橫軸（x軸）之橢圓：\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1，其中：a者，橢圓之長半軸也；b者，橢圓之短半軸也。

焦點位於緃軸（y軸）之橢圓：\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1，其中：a者，橢圓之長半軸也；b者，橢圓之短半軸也。

心位於點 (x_0,y_0)，且長軸水平於橫軸，短軸水平於縱軸者：\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1，其中：a者，橢圓之長半軸也；b者，橢圓之短半軸也。或僅以半長軸兼偏心率以示：y=y_0\pm \sqrt{(a^2-(x-x_0)^2)(1-e^2)}

## 橢圓參數方程

焦點位於橫軸（x軸）之橢圓：\begin{cases}
x = a \cos \theta \\
y = b \sin \theta
\end{cases}，其中：a者，橢圓之長半軸也；b者，橢圓之短半軸也。

焦點位於緃軸（y軸）之橢圓：\begin{cases}
x = b \cos \theta \\
y = a \sin \theta
\end{cases}，其中：a者，橢圓之長半軸也；b者，橢圓之短半軸也。
測地線

**測地線**，或曰**短距線**，相接兩點之最短曲線也。

觀乎歐氏幾何，測地線咸直線也。至若球面幾何，南極、北極之短距線，大圓也。

光順短距線而行，然觀星之時，得知其線莫直，故宇宙乃非歐幾何耳。
線

**線**者，二點之接也。蓋必從歐氏幾何之首四公理。**直線**者，線段向兩端之無限引伸也。

## 歐氏幾何

二點之接，必為最短之曲線。

## 坐標幾何

迨坐標幾何生，直線咸一維線性之物。再推廣之，曰一維仿射空間。

## 非歐幾何

至非歐幾何生。合歐氏幾何之首四公理者，非線性也。如球面幾何，其直線，大圓也。如圓形，線為弧也。

## 流形

窮究其理，非歐幾何之直線者，流形之最短曲線也。然流形可嵌歐几里得空間，則一維線性者曰直線，最短曲線曰測地線。

## 參
直線方程
劉毅

*晉尚書左僕射**[[劉毅 (尚書左僕射)|劉毅]]**仲雄
*晉南平郡公**[[劉毅 (南平郡公)|劉毅]]**希樂
*漢北海敬王子劉毅。初封平望侯，永元中，坐事奪爵。毅少有文辯稱，元初元年，拜議郎。
*宋元祐初進士**[[劉毅 (宋)|劉毅]]**剛中
劉毅仲雄

**劉毅**字**仲雄**，晉東萊掖人。漢陽城景王章之後。父喈，丞相屬。毅少厲清節，好臧否人物，僑居平陽，太守杜恕請為功曹，人為之語曰：「但聞劉功曹，不聞杜府君。」

魏末，本郡察孝廉，辟司隸都官從事，同郡王基薦毅於公府，司馬昭辟為相國掾，辭疾，不就。時人謂毅忠於魏氏，而昭怒其顧望，將加重辟。毅懼，應命，轉主簿。武帝受禪，為尚書郎，遷散騎常侍、國子祭酒。帝以毅忠蹇正直，使掌諫官。咸寧初，轉司隸校尉。司部守令望風投印綬者甚眾，皇太子朝，鼓吹將入東掖門，毅奏劾之。

在職六年，遷尚書左僕射。以魏立九品，權時之制，未見得人，而有八損，乃上疏罷中正，除九品，優詔答之。毅夙夜在公，言議切直，無所曲撓。嘗散齋而疾，其妻省之，毅便奏加妻罪。妻子有過，立加杖捶，然以峭直，故不至公輔。太康六年卒，二子：暾、總。

## 據
*《晉書》卷四十五·劉毅傳
劉毅剛中

**劉毅**字**剛中**，宋元祐初進士。調吉水尉，再調豐城縣，政聲籍，甚知南豐縣，縣有稅官恣橫，陰養無賴，以為爪牙。商旅阻不行，市民胥怨。毅白於郡，稅官怒，因集惡少三十餘人，剋期劫甲仗庫，欲逞宿憤。或泄其謀，毅遂密伏彎徒於利舍，至期，果大譟斬關而入，遇伏兵，皆驚愕，束手就擒，邑人大駭，毅即撫慰，然後列其事於郡，轉承議郎，知龍泉縣。未赴而卒。
## 據
*《萬姓統譜》
劉毅希樂

**劉毅**字**希樂**，晉彭城沛人也。曾祖距，廣陵相。叔父鎮，左光祿大夫。

毅少有大志，仕為州從事。桓玄篡位，與劉裕等起義兵。元既西走，毅等追及，戰於崢嶸洲。毅乘風縱火，盡銳爭先，元大潰。及元死，桓振、桓謙復聚眾毅。皆討平之，以為都督豫州揚州之淮南歷陽廬江安豐五郡諸軍事、豫州刺史。以匡復功，封南平郡開國公，何無忌為盧循所敗，賊軍乘勝而進。朝議欲奉乘輿北就劉裕，會毅將率軍南征，裕遣毅從弟藩往止之。毅大怒，以舟師二萬，與賊戰，敗降，為後將軍，江州都督，俄進為荊州刺史。

毅至江陵，乃輒取江州兵及豫州西府文武萬餘，留而不遣，又告疾困，請藩為副。劉裕以毅貳於己，乃奏之。安帝自率眾討毅，毅眾散，自北門單騎而走，去江陵二十里而縊。毅兄模奔於襄陽，魯宗之斬之。

## 據
*《晉書·劉毅傳》
球

**球**者，面上之點，俱與心等距也。

凡直接面心者，曰半徑，其長咸同耳。

面上二點相接，其貫心者，曰徑。

球與平面之交，圓也。

## 拓撲

球，範空間之本也。

閉球，球面並球內也；開球，球內也。

一維之球，線段也；二維之球，圓也；三維之球，球也。更高維者，莫之能示也。

三維以上之球面，咸單通連閉流形也。廣義龐加萊定理有云：「三維以上之單通連閉流形，咸同胚球面也。」
拋物線

**拋物線**者，一名**畢弗**，平方函數之易也，亦圓錐曲線耳。投射矢石，咸從之而行，因以為名。

有對稱軸，軸上有焦點。光平行於軸，反射於線，必至焦點。故電子望遠鏡咸為拋物線，所以聚光源也，探照燈則反之，所以得光束也。

## 定義
平面上落一焦點P(x,y)，又有一線L:ax+by+c=0，點P不落於線，而求至項點距同於至線之距者，其形也拋物線也。

## 方程

### 定義式
據其義，集為圖形之點P(x,y)，至準、焦同長也。
定焦F(x_F,y_F)、準L:ax+by+c=0。以畢氏定理知至焦之長曰\sqrt{(x-x_F)^2 + (y-y_F)^2}，至準之距曰\frac{\sqrt{a^2+b^2}}，其同長者，即：
*\sqrt{(x-x_F)^2 + (y-y_F)^2} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}

### 對稱軸[[平行]]於座標軸
以A(x_0,y_0)為頂。
#### 左右開向
*y^2=4cx，焦距即|c|。c>0者，右口也；c者，左口也。

#### 上下開向
*x^2=4cy，焦距即|c|。c>0者，上口也；c者，下口也。

#### [[二次函數]]
a者，非零也。
*以上下為口者，y=a(x-x_0)^2+y_0或y=ax^2+bx+k。
*以左右為口者，x=a(y-y_0)^2+x_0或x=ay^2+by+k。

### 推導

設其項點(0,0)，準線l:x=-\frac{p}{2}\ ,p \not =0，集點F(\frac{p}{2},0)，則可得

\mathrm{P}=[M | MF=d]

\overline{MF}=\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}\ ,d=\left \vert x+\frac{p}{2} \right \vert

即

\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=\left \vert x+\frac{p}{2} \right \vert

平方之，得

(x-\frac{p}{2})^2+y^2=(x+\frac{p}{2})^2

得

y^2=2px

亦有

x^2=2py

二次函數

* y=a(x-h)^2+k （h，k 為頂點之橫座標及縱座標，且h=-\frac{b}{2a}，k=-\frac{\Delta}{4a}）

導數

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{a(x+ \Delta x -h)^{2}+k-[a(x-h)^2+k]}{\Delta x}=a[2x+(\Delta x)^{1}-2h]

f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=2a(x-h)

* y=ax^2+bx+c

導數

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{a(x+\Delta x)^{2}+b(x+\Delta x)+c-[ax^{2}+bx+c]}{\Delta x}=2ax+a\Delta x +b 

f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=2ax+b

## 注
戈公省

**戈公省**（**Khétt Kaôh Kŏng**，又名**國公省**）者，柬埔寨之省也，居其國之西南。

名之以戈公島（戈者，島也），府治為戈公市，北伴菩薩省，東鄰磅士卑省與貢布省，西北接泰國之桐艾府，西濱泰國灣。今有口十三萬餘，民多事漁林。

## 它典
* 戈公省官府
老撾

**老撾**，亦曰**寮國**，全稱**老撾人民民主共和國**（老撾文：ສາທາລະນະລັດ ປະຊາທິປະໄຕ ປະຊາຊົນລາວ），東南亞之國也。
 
居中南半島之內陸，無海疆，山多林密。東臨越南，南伴柬埔寨，西之泰王國、緬甸，北至中國。民多務農，物產豐足。

古名南掌，始立國于十四世紀中，傳其王出自中國，號擁精壯三十萬，戰象萬乘。及後四百年，暹羅屢襲之，掠其土。復越百年，合於法屬印度支那。二戰之後，始得自治。未幾越戰起，越南軍其東土，力為棧道，曰「胡志明小道」。美軍機遂盡毀之，由是戰亂無休。至一九七五年南越敗亡，方得解。已而寮王遜位，共和乃興，迄於今世。

其國直轄市有一，曰：萬象市；行政特區亦有一：曰賽宋本，
外劃十六省，曰：豐沙里、曰琅南塔、曰博喬、曰琅勃拉邦、曰烏多姆賽、曰華潘、曰沙耶武里、曰川壙、曰永珍、曰波里坎賽、曰甘蒙、曰沙灣拿吉、曰沙拉灣、曰色貢、曰占巴塞、曰阿速坡。又，黔首百姓，多分其國為上、中、下三大區耳。

## 它典
* 老撾旅游網 
* 老撾人民代表大會 
* 老撾國家外交部 
* 老撾國家外貿部
雙曲線

**雙曲線**者，一名**撥弨**，倒數函數之易也，亦圓錐曲線耳。所合曲線有二，因以為名。順線而行，與兩焦點之距，其差咸同。天體力學，廣義相對論，量子力學，無線電學，皆有所用。

## 雙曲線標準方程
焦點位於橫軸（x軸）之雙曲線：\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1，其中：a者，雙曲線之實半軸也；b者，雙曲線之虚半軸也。

焦點位於緃軸（y軸）之雙曲線：\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1，其中：a者，雙曲線之實半軸也；b者，雙曲線之虚半軸也。

## 雙曲線參數方程

焦點位於橫軸（x軸）之雙曲線：\begin{cases}
x = a \cosh \theta \\
y = b \sinh \theta
\end{cases}，其中：a者，雙曲線之實半軸也；b者，雙曲線之虚半軸也。

焦點位於緃軸（y軸）之雙曲線：\begin{cases}
x = a \sinh \theta \\
y = b \cosh \theta
\end{cases}，其中：a者，雙曲線之實半軸也；b者，雙曲線之虚半軸也。

## 見
*雙曲函數
*雙曲幾何

## 注
洞里薩湖

**洞里薩湖**，又名曰淡洋，柬埔寨之湖也。居金邊之西北，為東南亞至大。

旱季形狹長，至淺而凅，有洞里薩江之南入湄公河於金邊，其滂可廣植稻米，半年二熟。雨季湄公河之水倒灌以入，江無存焉，水圓甚廣，多生魚蝦。

因號柬北糧碗，今環湖之口三百餘萬，多務農漁。除金邊外，臨湖之太城有五，曰馬德望、曰菩薩、曰暹粒、曰磅通、曰磅清揚。
史可法

**史可法**，字**憲之**，又字**道鄰**，明順天大興人。世錦衣百戶。祖應元舉於鄉，官黃平知州，有惠政。語其子從質曰：「我家必昌。」從質妻尹氏有娠，夢文天祥入其舍，生可法。事親以孝聞。

舉崇禎元年進士，授西安府推官，賑荒恤民，戢姦弭盜，能聲大著，遷戶部主事，歷員外郎、郎中。八年，遷右參議，分守池州、太平。其秋，改副使，分巡安慶、池州，監江北諸軍。

可法蒐軍實治戰具，軍特精。十年，賊犯潛山，可法敗之楓香驛，擢右僉都御史，巡撫安慶、廬州、太平、池州及河南之光州、光山、固始、羅田，湖廣之蘄州、廣濟、黃梅，江西之德化、湖口諸縣，提督軍務，設額兵萬人。可法日夜為戰守具，東西馳禦，賊憚之，稍避其鋒。可法短小精悍，面黑，目爍爍有光。持身廉，接士信，雜處行伍間，與下同勞苦。軍行，士不飽不先食，未授衣不先御，以故得士死力。連敗賊英山、六合，順天王遂乞降。

十二年夏，丁外艱去。十四年，起總督漕運。十六年七月，拜南京兵部尚書。十七年四月，知賊犯闕，大會群寮誓師勤王。渡江扺浦口，聞北都陷，大慟，縞衣發喪。欲長驅死賊，或說可法可立君以圖恢復，可法然之。

還南京，福王監國，拜禮部尚書兼東閣大學士，仍掌兵部事，可法請督師淮揚。王即位，明日即陛辭，加太子太保，改兵部尚書、武英殿大學士，遂開府揚州。清兵大至，諸文武分陴拒守，舊城西門最險要，可法自守之。作書寄母妻，以無子，命副將史德威為之後，曰：「死，葬我梅花嶺。」越二日，城破。可法自刎不死，命德威刃之。德威痛哭不敢仰視，遂被執。可法大呼曰：「我史督師也。可速殺我。」勸之降，不從。遂被殺。德威尋骸不可得，乃葬其衣冠於揚州梅花嶺。

可法既殉，以其忠名，英、霍山師大起，皆托其名，假言未死。吳中孫兆奎與降將洪承疇有舊，起兵不克，見執白下。承疇問曰：「先生在兵間，審知故揚州閣部史公果死耶，抑未死耶？」答曰：「經略從北來，審知故松山殉難督師洪公果死耶，抑未死耶？」承疇大恚，急呼麾下驅出斬之。

## 據
*《明外史·史可法傳》
安達曼海

**安達曼海**（***Andaman Sea***）者，實印度洋之東北部也，方約八十萬公里，西通孟加拉灣，東南隅通馬六甲海峽。

環海之國有五，西為印度之安達曼群島，北瀕緬甸，東臨泰國與馬來西亞，南撫印尼之蘇門答臘。

其均深八百七十米，至深處三千七百餘米。環海諸國，多盛季風，冬乾夏涼，臨岸多產石油。因其南屬地震帶，偶有海嘯焉。
無窮小

**無窮小**者，大於零而小於正數者也。初，亞基米德以無窮小論切線，然謂無窮小之不存，以為此論有瑕耶。十二世紀，婆什迦羅第二究無窮小，開微積分學之先，然泰西猶未知也。至十七世紀，牛頓及萊布尼茨創微積分，然無窮小之義，時而非零，時而為零，似非嚴謹，人多病之。反以最烈者，哲人貝克萊主教也，疇人遂立新法，微積分咸定義實數上，爭議遂息，而無窮小殆不復見。然以無窮小言極限，頗合直觀，故仍偶見於入門課本。一九六零年，魯賓遜另闢蹊徑，言趨向零之柯西數列為無窮小，立新數系，名超實數，以引伸實數。此數系所算之微積分，世稱非標準分析。

## 注
距

**距**，相去之遠近也。

兩點之距，當世曰度量耳。於流形，乃二點測地線之長。於歐氏幾何，乃二點直線之長。

點集之距，集中物距點之最短者。

二集之距，二集所屬相距最短者。

## 公式

### 兩點之距
今有點A(x_0,y_0)、B(x_1,y_1)，則\overline{AB}=\sqrt{ (x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2} = \sqrt{ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}，其導自勾股定理。

#### 中點公式
A、B之中點P(\frac{x_{0}+x_{1}}{2}, \frac{y_{0}+y_{1}}{2})

### 點線之距
以點P(x_{0},y_{0})、線L:ax+by+c=0之距d=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}

### [[平行線]]之距
兩平行線L_1:ax+by+c_{1}=0並L_2:ax+by+c_{2}=0之距d=\frac{\sqrt{a^{2}+a^{2}}}。此導以點線之距矣。
老撾之歌

縮圖
《**老撾之歌**》，老撾之國歌也。由桑通韋吉譜曲於一九四一年，一九四七年立為寮王國之歌。一九七五年其王遜位，始興共和，循社會主義，西沙那乃普新詞，沿用迄今。

## 譯詞
寮國之民，無時不懈。
立志向前，光吾國土。
諸親民族，平等一律。
帝國主義，力將克除。
國運昌盛，必得必成。
按，此非官出之譯文。

## 它典

* 《老撾之歌》官式詞 

* 《老撾之歌》新版  （**MP3**）
* 《老撾之歌》演奏 （**MP3**）
區間

**區間**者，兩數之間也。

## 有限區間

有甲（a）乙（b）二數，甲小于乙。

甲乙之間，不含甲乙（記曰「(a , b)」或「]a , b[ 」），曰**開區間**。

甲乙之間，含甲乙（記曰「[a , b] 」），曰**閉區間**。

甲乙之間，含甲而不含乙（記曰「[a , b)」或「[a , b[ 」），或含乙而不含甲（記曰「(a , b]」或「]a , b] 」），曰**半閉區間**或**半開空間**。

「零、一」之閉空間，曰**單位空間**（記曰「[0, 1] 」）。

## 無限區間

有數甲（a）。

小于甲者（記曰「(-&infin; , a)」），或大于甲者（記曰「(a , &infin;)」），曰開區間。

不大于甲者（記曰「(-&infin; , a]」），或不小于甲者（記曰「[a , &infin;)」），曰閉區間。

實數集，曰界乎正負無限之區間也（記曰「(-&infin; , &infin;)」），既開且閉也。

## 性

開區間者，開集也。閉區間者，閉集也。

有定理云：「區間者，同乎實數之凸集也。」
內點

**內點**者，非界之點也。

## 定義

甲（A）之內點者，含于一開子集內之點也。甲之內點，聚以成集，曰甲之內（記曰「A&deg;」）。甲之內者，甲之最大開子集也，甲之開子集之並也。

甲補集之內點，曰甲之外點。甲補集之內，曰甲之外。

## 例

*開集之內為己。
*二數區間之內者，二數之開區間也。（記曰「[a,b]&deg;=(a,b)」）
*多邊形之內者，多邊形之內側也。
*閉球之內者，開球也。

\
程知節

**程知節**，本名**䶧金**，世稱**咬金**，唐濟州東阿人，善馬槊。

隋末，所在盜起，知節聚眾數百，保鄉里。後事李密，而密料士八千隸四驃騎，分左右以自衛，號內軍，常曰：「此可當百萬。」知節領驃騎之一，恩遇特隆。王世充與密戰，知節以內騎營北邙，單雄信以外騎營偃師。世充襲雄信，密遣知節及裴行儼助之。行儼中流矢墜馬，知節馳救之，殺數人，軍辟易，乃抱行儼重騎馳。追兵以槊撞之，知節折其槊，斬追者，乃免。後密敗，為世充所獲。惡其為人，與秦叔寶奔唐，授秦王府左三統軍。

從破宋金剛、竇建德、王世充，並領左一馬軍總管，搴旗先登者不一，以功封宿國公。七年，太子建成譖之，出為康州刺史，白秦王世民曰：「大王去左右手矣，身欲久全，得乎？知節有死，不敢去。」事平，拜太子右衛率。尋遷右武衛大將軍，實封七百戶。

貞觀中，歷瀘州都督、左領軍大將軍，改封盧國。顯慶二年，授蔥山道行軍大總管，以討賀魯。師次怛篤城，胡人數千出降，知節屠其城去，賀魯因遠遁。軍還，坐免。未幾，起為岐州刺史，致仕。卒，贈驃騎大將軍、益州大都督，陪葬昭陵。子處亮，尚清河公主。

## 據
*《唐書·程知節傳》
拓撲閉包

**閉包**者，閉合之包也。

## 定義

集甲（A）之閉包者（記曰「\bar {A}」），含甲之最小閉集也，含甲之閉集之交也。

## 例

* 閉集之閉包為己。
* 二數區間之閉包者，二數之閉區間也。(「\overline{(a,b)}=[a,b]」)
* 多邊形之閉包者，多邊形之內側加邊界也。
* 開球之閉包者，閉球也。
金邊

**金邊**者，柬埔寨王國之都也。都名義爲邊之山。

傳嘗有老嫗名邊，某日滌衣於河畔，得金佛像五，遂藏于山巔。越月餘，山現金光，人皆知有佛。是山乃得名：「邊之山」，後世亦以此山名之全城。

吳哥王國本都暹粒。至十五世紀初，暹羅屢襲之，民多南徙，乃漸荒，金邊遂為實都。一八六六年法國據柬國，都之，時口五萬，廣為城道，嘗號「亞洲之珠」。一九六二年法國人去，時口五十萬，未幾赤柬得政，盡遣民于四鄉。迨一九七九年越南國兵至，僅餘口五千，城已廢弛。今赤柬既亡，百業乃興，口近二百萬，市長為楚德瑪。

## 它典
* 金邊地圖 
* 金邊於二十世紀二十年代
周界

**周界**者，物之界也。

## 定義

有集甲（A），不在甲內或甲外者，曰界點。聚以成集，曰甲之周界（記曰「dA」），甲之閉包去其內也。甲之周界，同乎其補集之周界也。

夫甲之界點者，其所屬開集，與甲相交非空，與甲之補集相交亦非空。

夫周界者，咸閉集也。

## 例

* 既開且閉之集，其周界為空。
* 二數區間之界點者，二數也。(「d(a,b)={a,b}」)
* 多邊形之周界者，多邊形之邊也。
* 開球之周界者，同乎閉球之周界，球面也。
天王星

**天王星**，太陽系行星也。諸大行星中，去日第七。上古之時，莫知其存。一七八一年，英國人赫歇爾以望遠鏡觀天，歷時數月，始得。天文代號：。

天王海王二星，異乎土木二星，除氫氦外，尚有水、氨、甲烷等。諸星之大氣，莫如其寒。其雲之成，下為水，上為甲烷。

其環之存、磁層之在、衛星之伴，有類諸星。而其轉動之軸，橫臥太虛，實屬大奇。惟四時更替、風雲之會，仍有所存。
覆蓋

**覆蓋**者，含于其並也。

## 定義

集甲（A）之覆蓋（C）者，甲含于其屬之並也（A\subseteq \cup_{B\in C}B）。若覆蓋之物皆開，曰**開覆蓋**。

覆蓋之子集為覆蓋者，曰**子覆蓋**。

覆蓋之基數為有限者，曰**有限覆蓋**。
有界

**有界**者，有上限也。

## 定義

觀度量空間。集甲為有界者，含於一開球之內也。或曰：有一數，取甲之二物，相去咸小于此數也。

觀範空間。集甲為有界者，其屬之範有上限也。

觀偏序集。集甲為有界者，有上界及下界也。
連通

**連通**者，未可分也。

## 定義

集甲（A）曰連通者，非二分離集之並也。

空間之最大連通子集，曰**連通分支**也。

## 性

*連通者，同乎：咸甲連續映射「零、一」之集，恆為零或恆為一也。（若 f:A&rarr;[0,1] 連續，則 &forall;a f(a)=0 或　&forall;a f(a)=1）

*空間為連通者，同乎「非二閉集之並」也，同乎「閉開集，惟空或己也」，同乎「周界為空，惟空或己也」。

*連通乃拓撲不變量也。
*連通集之閉包，連通也。
*道路連通者，連通也。
*連通且局部道路連通者，道路連通也。
*連通分支，閉集也。
*局部連通空間之連通分支，閉開集也。

## 例

*歐几里德空間，連通也。
*同心圓若干，不連通也。當中之圓，連通分支也。

## 見
*連通圖
趙奢

**趙奢**者，趙之田部吏也。收租稅而平原君家不肯出趙，奢以法治之，殺平原君用事者九人。平原君怒，將殺奢。奢因說曰：「君於趙為貴公子，今縱君家而不奉公則法削，法削則國弱，國弱則諸侯加兵，諸侯加兵是無趙也，君安得有此富乎？以君之貴，奉公如法則上下平，上下平則國彊，國彊則趙固。而君為貴戚，豈輕於天下邪？」平原君以為賢，言之於王。

王用之治國賦，國賦大平，民富而府庫實。秦伐韓，軍於閼與。王召廉頗而問曰：「可救不？」對曰：「道遠險狹，難救。」又召樂乘而問焉，樂乘對如廉頗言。又召問奢，奢對曰：「其道遠險狹，譬之猶兩鼠鬥於穴中，將勇者勝。」王乃令奢將，救之。兵去邯鄲三十里，而令軍中曰：「有以軍事諫者死。」秦軍軍武安西，鼓譟勒兵，武安屋瓦盡振。軍中候有一人言急救武安，奢立斬之。堅壁，留二十八日不行，復益增壘。秦閒來入，奢善食而遣之。閒以報秦將，秦將大喜曰：「夫去國三十里而軍不行，乃增壘，閼與非趙地也。」奢既已遣秦閒，乃卷甲而趨之，二日一夜至，令善射者去閼與五十里而軍。軍壘成，秦人聞之，悉甲而至。軍士許歷請以軍事諫，奢曰：「內之。」歷曰：「秦人不意趙師至此，其來氣盛，將軍必厚集其陣以待之。不然必敗。」奢曰：「請受令。」歷曰：「請就鈇質之誅。」奢曰：「胥後令將戰。」歷復請諫，曰：「先據北山上者勝，後至者敗。」奢許諾，即發萬人趨之。秦兵後至，爭山不得上，趙奢縱兵擊之，大破秦軍。秦軍解而走，遂解閼與之圍而歸。趙惠文王賜奢號為馬服君，以許歷為國尉。奢於是與廉頗、藺相如同位。

## 據
*《史記·廉頗藺相如列傳》
閉開集

**閉開集**者，既開且閉也。

## 定義

閉開集者，開集且閉集也，其周界為空。其補集亦閉開集也。

## 例

*空間與空集，閉開集也。
*離散拓撲者，集咸閉開也。
*數線去零為拓撲空間，則正數集為閉開也。
鄰域

**鄰域**者，相鄰之域也。

## 定義

點甲之鄰域者，有開子集含甲也。或曰：甲在其鄰域之內。

觀乎度量空間，集乙為點甲之鄰域者，則有正數，相去甲小于此正數者，咸乙之屬。故有鄰域之名。或曰：甲稍移，仍在乙中。

集甲之鄰域者，甲含于其內也。

## 性

*甲鄰域之並，甲之鄰域也。
*甲若干鄰域之交，甲之鄰域也。
稠密

**稠密**者，盈天下也。

## 定義

拓撲空間之子集曰稠密者，其閉包為空間也。

## 例

* 空間，稠密也。
* 分數集及無理數集，稠密于實數集也。
* 度量空間，稠密于其完備也。

## 見

* 無處稠密
分離 (拓撲)

**分離**者，無繫也。

## 定義

二集曰**分開**者，其交為空。（A &cap; B = &phi;）

二集曰**分離**者，此集之閉包交彼集為空，彼集之閉包交此集亦空。（\bar{A}\cap B=A\cap\bar{B}=\phi）

二集曰**鄰域分離**者，二集有分開之鄰域也。（有鄰域 M&supe;A 及 N&supe;B, M&cap;N=&phi;）

二集曰**閉鄰域分離**者，二集有分開之閉鄰域也。（有閉鄰域 M&supe;A 及 N&supe;B, M&cap;M=&phi;）

二集曰**函數分離**者，有連續映射實數，恆為一于此集，且恆為零于彼集也。（有連續 f:X&rarr;\mathbb{R}, f(A)={1}, f(B)={0}）

二集曰**確切分離**者，有連續映射實數，一之原象為此集，而零之本象為彼集也。（有連續 f:X&rarr;\mathbb{R}, f-1(1)=A, f-1(0)=B）
趙括

:趙括者，亦為晉公族之名，蓋衰子也。
**趙括**，趙馬服君奢子也。趙孝成王七年，秦與趙兵相距長平，括為將。括自少時學兵法，言兵事，以天下莫能當。父奢不謂善曰：「破趙軍者必括也。」及將行，其母上書言于王，王終遣之。秦將白起縱奇兵，射殺括。括軍敗，降秦，秦悉阬之，凡四十五萬。以括母先言不誅。

## 據
*《史記·廉頗藺相如列傳》
大霹靂

**大霹靂**，又名**大爆炸**，天地初開之象也。是時極密極熱，猶火球之裂，萬物皆亂，雖原子之細猶不能存。須臾而冷，為元素，為星辰，宇宙遂成；於是天地乃廣，逾億萬年而成今日之象。

若夫洪荒之世，未有人也。然創世之事，何以知乎？蓋為格致家傅里曼等推算而得，傅氏孜孜而為，卒證大霹靂之論，合乎廣相論、宇宙學原理，由是遂成顯學。

觀乎諸星，所得光譜，悉有紅移之象。何以故？物理學家哈柏等，究之越年以證其道理。其道之法，「都卜勒效應」也；紅，光之波長長者也；其理之根，蓋諸星漸遠而互離之故耳。

一九六四年，始見宇宙微波背景輻射，蓋玄黃之遺物也。由此觀之，遂知盤古之時，當有能絕光子之路者，極熱等離子也，冷而為氫，光遂可透宇宙耳。太虛之內，富有元素，輕者為多，蓋因重者之成，非高能不可為也。是故其後之世，遂有高能物理之學也。

大霹靂存乎瞬間，爾後宇宙乃廓，正合此等象耳。
道路連通

**道路連通**者，路可達也。

## 定義

集甲曰道路連通者，凡二點必有道路相接也。又曰零連通也。

集甲曰**弧連通**者，凡二點必有道路相接，且道路為同胚映射也。

空間之最大道路連通子集，曰**道路連通分支**也。

## 性

*道路連通乃拓撲不變量也。
*道路連通者，連通也。反之則不然。
*連通分支，道路連通分支之並也。
*流形者，局部道路連通空間也。
*道路連通之豪斯多夫空間，咸弧連通空間也。

## 例

*歐几里德空間，道路連通也。
*同心圓若干，不連通也。當中之圓，道路連通分支也。

## 注
單連通

**單連通**者，無洞也，反之曰**多連通**。

## 定義

道路連通集曰單連通者，凡圈咸同倫常數也（即可縮作一點），同乎其同倫群為零，故又曰一連通也。

單通連之面，其虧格為零。

單通連乃拓撲不變量也。

## 例

*平面，單連通也。平面去一點，非單連通也。高維歐几里德空間去一點，單連通也。
*圓，非單連通也。高維球，單連通也。
*環狀，非單連通也。
博他侖府

**博他侖**（泰文︰สงขลา）者，南泰國之府也，府治博他侖。鄰宋卡府、洛坤府、沙敦府、董里府。今有口五十餘萬，府尹為素貼·孔蒙攀蒙（นาย สุเทพ โกมลภมร，Suthep Komonphamon）。
 
## 史
十四世紀阿瑜陀耶王拉瑪提缽一世立為王城。迨十八世紀末，緬甸進襲無休，扎克里一世王令兵部直轄泰南。

後五世王立洛坤道，博他侖亦歸之統轄。至一九三一年泰「化道為府」，乃成府治。

## 景

* 宋卡湖：此湖東去博府元城三十里，湖水姣美。蓋其湖濱，多有食肆，湖產豐。亦可舟渡之宋卡之沙亭拍，盡賞湖光。
* 奧他奴山：此山為博府之誌也。東去其城僅二里。山高三百餘米，幾臨頂有大穴貫之，水自穴出，遂得別名「開胸膛山」。氣爽之際，登高觀宋卡湖，盡得美景。
* 滴水岩寺：滴水岩居博府城內，其寺舍於岩下，內域甚廣，金佛像林立。門上之琉璃瓦，多彩，頗具伊斯蘭之風。

## 它典
* 博他侖官府 
* 博他侖地圖  
* 泰國王家旅游局博府專頁
函數術語

**函數**之事，術語繁多，兹聊列之。

甲映射乙（記曰「f:A&rarr;B」）。

甲（A）曰**定義域**，乙（B）曰**陪域**。

甲之屬乾（a），所射者，曰乾之**象**（記曰「f(a)」）。

甲之子集丙（C），其屬之象，聚以成集，曰丙之象（記曰「f(C)={ f(c) | c &isin; C }」）。**值域**者，甲之象也。

乙之屬坤（b），甲之物射坤者，聚以成集，曰坤之**原象**（記曰「f-1(b)={ a | f(a)=b }」）。若原象惟一物（a），亦曰坤之原象也（a=f-1(b)）。

乙之子集丁（D），甲之物射丁之屬者，聚以成集，曰丁之原象（記曰「f-1(D)={ a | f(a)&isin;D }」）。

若甲單射乙，則值域之屬射其原象，為值域映射甲也（記曰「f-1:f(A)\rarr;A」），曰單射之**逆**。

若惟用甲之子集丙，曰限于丙之映射（記曰「f|C:C&rarr;B」）。

有甲映射乙曰子（f），乙映射戉曰丑（g）。凡甲之物乾，射其象之象（g(f(a))，得一**複合函數**，曰丑複合子（記曰「g o f」），乃甲映射戉也。
連續

**連續**者，無突變也。

## 定義

拓撲空間甲乙，有甲映射乙曰天（f）。

甲之屬乾（a），其象曰坤（f(a)=b）。凡坤之鄰域（U），乾必有鄰域（V）其象含于其中（f(V)⊆U），則曰天連續于乾。

若天連續于甲之所有點，同乎乙之開集（U）原象（f-1(U)）咸開，則曰天連續于甲。

### 度量空間

甲乙皆度量空間。天連續于乾，同乎凡以坤為心之開球（B(b,ε)），必有以乾為心之開球（B(a,δ)），其象含以其中（f(B(a,δ)⊆B(b,ε)）；同乎凡有正數子（ε>0），必有正數丑（δ>0），相去乾小于丑者（d(x,a)0），必有正數丑（δ>0），與乾相差小于丑者（|x-a|f(x)=\begin{cases}
  0\mbox{ if }x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\
  1\mbox{ if }x \in \mathbb{Q}
\end{cases} ）
* 有函數，有理數射己，無理數射零，惟連續于零也。（f(x)=\begin{cases}
  0\mbox{ if }x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\\
  x\mbox{ if }x \in \mathbb{Q}
\end{cases} ）
* 有函數，大于零者射壹，不大于零者射零，惟不連續于零也。（f(x)=\begin{cases}
  0\mbox{ if }x \le 0\\
  1\mbox{ if }x >0
\end{cases} ）

## 見

* 連續函數術語

## 注
基 (拓撲)

**基**者，拓撲之本也。

## 定義

基者，其屬皆開，然開集咸基之屬所並也。

## 性

有子集甲，為空間之覆蓋，且甲二物之交咸為甲屬之並者，則甲為空間某拓撲之基也。

## 例

* 度量空間，開球之集是基也。
* 離散空間，所有一點之集，聚以成基。
* 平面，所有不含周界之正方，聚以成基。
準基

**準基**者，拓撲生成者也。

## 定義

準基者，所生成之最小拓撲為本拓撲也。

## 性

凡基必準基也。

準基者，取任意多有限量元素相交之並，聚以成集，即得一基。

## 例

*實數線，半開區間所成之集，準基也。

## 準
泰國地方

泰王國都曼谷。分七十五**府**（泰文：จังหวัด，下並），多以府治為名，長**[[府尹]]**（ผู้ว่าราชการจังหวัด），以民選任，每任三年。二〇〇六年九月十九日曼谷兵變，以將軍權知國事，多罷府尹，且為將軍者任。

府之下有分郡（อำเภอ），合郡有八百七十七。曼谷以京都殊例，分五十區（เขต）。郡下置鄉（ตำบล），鄉下置村（หมู่บ้าน），合為四等。

郡長曰令，屬府尹，民政部任之，三年一遷。凡一地戶口三萬，下有五鄉者，立為新郡。昔有次郡（กิ่งอำเภอ）之置，二〇〇七年改為郡。

## 泰國諸府

* 中泰國
** 大曼谷
** 大城府
** 紅統府
** 猜納府
** 北碧府
** 華富里府
** 坤西育府
** 佛統府
** 暖武里府
** 巴吞他尼府
** 佛丕府
** 班武里府
** 叻丕府
** 北欖府
** 龍仔厝府
** 夜功府
** 北標府
** 信武里府
** 素攀府
* 東部
** 北柳府
** 尖竹汶府
** 春武里府
** 巴真府
** 羅勇府
** 沙繳府
** 桐艾府

* 泰北
** 清邁府
** 清萊府
** 甘烹碧府
** 南邦府
** 南奔府
** 湄宏順府
** 北欖坡府
** 楠府
** 拍天府
** 碧差汶府
** 披集府
** 彭世洛府
** 帕府
** 素可泰府
** 來興府
** 烏泰他尼府
** 程逸府

* 依善
** 安納乍能府
** 武里喃府
** 猜也賁府
** 加拉信府
** 坤敬府
** 黎府
** 嗎哈沙拉堪府
** 莫拉限府
** 那空拍儂府
** 呵叻府
** 廊磨喃蒲府
** 廊開府
** 橫逸府
** 色軍府
** 四色菊府
** 素輦府
** 烏汶府
** 莫肯府
** 益梭通府

* 泰南
** 春蓬府
** 甲米府
** 陶公府
** 洛坤府
** 北大年府
** 攀牙府
** 博他侖府
** 普吉府
** 拉廊府
** 沙敦府
** 宋卡府
** 素叻府
** 董里府
** 惹拉府
阿兹特克

**阿兹特克**，亦名**阿茲特克**、**墨西卡**、**特諾奇**，中美古國也。肇乎十二世紀之季，初據墨西哥峽谷，俄亡鄰邦托爾特克，盡得其地。一三二五年，始營新都特諾奇蒂特蘭。恃其處乎特斯科科湖中，險要易守，遂四出征討，越百年，霸中美。

其人俗力田作，多產粟、豆、南瓜、土豆、棉花、龍舌蘭，尤以末者為最。亦有金、銀、銅、寶石、皮革、紡織、羽毛、陶器等，以為互市。

其京方十公里，口凡三十萬，道路相交，秩序井然。臣下諸部，惟須獻土納貢，餘事悉可自決。民分貴賤，貴族、祭司、武士、商賈之輩，可有姓氏，子孫得教；工、農之民，所得甚微，戰時為兵。尚有賤民之流，本為俘虜、罪犯，受役終身。

帝蒙特蘇馬二世之初，國極盛，東抵墨西哥灣，西及太平洋，南迄危地馬拉，週邊之國，莫之能抗。然盛極必衰，越二十年，西班牙人浮海而至，其首科爾特斯將兵數百，謀以分化孤立之策，攻以新式兵器之利，其國遂亡。新主隳其舊都，另立新城於其上，曰墨西哥城，當世仍存。

其國以畫紀事，制有曆法，建築宏偉。又，敬拜自然之神，常有生祭，年犧牲數千人。

國亡以降，遺事亟去，遂失於世。及十八世紀，始有考究之人，方復傳世。

## 據
* 《中國大百科智慧藏》，阿兹特克文明，羅榮渠著。