洛倫茨變換

**洛倫茨變換**，各參照系物理量之轉換關係也，數學方程組也。

名於創立者荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲。洛倫茲變換初以調經典電動力學牛頓力學，後乃狹義相對論基本方程組也。

## 始
麥克斯韋方程組之經典電動力學於經典力學伽利略變換非協變也。

## 數學形式

洛倫茲變換視以太存也，然今未見有也。據光速不變原理，光恆速也。愛因斯坦遂提之狹義相對論，時空乃一也，遂曰：

:\begin{cases}
x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\
y' = y \\
z' = z \\
t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{cases}

箇中：x、y、z、t，慣性坐標系Σ之位也；x'、y'、z'、t'慣性坐標系Σ'之位也；v，Σ'系對Σ沿x軸之速也。

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式：

:\begin{cases}
x = \frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\
y = y' \\
z = z' \\
t = \frac{t'+\frac{v}{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
\end{cases}

v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換：

:\begin{cases}
x' = x-vt \\
y' = y \\
z' = z \\
t' = t
\end{cases}

遂狹義相對論經典力學不矛盾，差之不大。高速如電子，方須慮修之以相對論。

## 四維形式
狹義相對論時空坐標四參數也。洛倫茲變換可得四維間隔不變之變。

若x、y、z化x1、x2、x3曰：

:\begin{cases}
x^{0} = ct \\
x^{\prime}{}^{0} = ct^{\prime}
\end{cases}

可矩陣之：

:
\begin{bmatrix}x^{\prime}{}^{0}\\x^{\prime}{}^{1}\\x^{\prime}{}^{2}\\x^{\prime}{}^{3}\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta\gamma&0&0\\
-\beta\gamma&\gamma&0&0 \\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}

箇中\beta = \frac{v}{c}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}，曰洛倫茲因子。

## 勞侖茲變換之推導
愛因斯坦初推之勞侖茲變換以光速不變之物理原則作始點。實，勞侖茲變換不決於電磁波之物理性質；粒子定域性原理之弗能瞬傳，此最高速巧光速也。

### 群論之推導
作乘組群符之公理曰：
# 閉合：以[K \to K^\prime]寫K到K^{\prime}。[K \to K^{\prime\prime}] = [K \to K^\prime] [K^{\prime} \to K^{\prime\prime}]
# 結合律：[K \to K^{\prime}] \left([K^{\prime} \to K^{\prime\prime}] [K^{\prime\prime} \to K^{\prime\prime\prime}]\right) = \left([K \to K^{\prime}] [K^{\prime} \to K^{\prime\prime}]\right) [K^{\prime\prime} \to K^{\prime\prime\prime}]
# 單位元：[K \to K]
# 逆元：[K \to K^\prime]可返原系[K^\prime \to K]

### 符合群公理之轉矩陣
K、K^\prime，K^\prime之原點相對K原點速v。出時空之均勻性勞侖茲變換必保慣性，必一綫性轉換，可矩陣之：
: \begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}
箇中\Lambda_{ij}乃待算之矩陣元。相對速v之函數。

參照系K^\prime之原點O^\prime於參照系K之運動曰：
: \begin{pmatrix}t^\prime \\ 0\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} t \\ v t \end{pmatrix}
得
: \Lambda_{21}+v \, \Lambda_{22}=0

同，參照系K之原點O於參照系K^\prime之運動曰：
: \begin{pmatrix}t^\prime \\ -v t^\prime \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\ \Lambda_{21} & \Lambda_{22} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} t \\ 0 \end{pmatrix}
得
: \Lambda_{21} + v \, \Lambda_{11}=0

主斜同且可曰\gamma\equiv\Lambda_{11} = \Lambda_{22}\,。\Lambda_{21}= -v \,\gamma：
: \begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \gamma & \Lambda_{12} \\ -v \gamma & \gamma \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}
因t^\prime = \gamma t，\gamma乃時間膨脹之因子。各向同性\gamma僅決速即\gamma(-v)=\gamma(v)。

群元可逆故取逆矩陣：
: \begin{pmatrix}t \\ z\end{pmatrix} = \frac{1}{\gamma^2 + \Lambda_{12} v \gamma}
\begin{pmatrix} \gamma & -\Lambda_{12} \\ v \gamma & \gamma \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} t^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix}

以\gamma之性質：
: \frac{1}{\gamma^2 + \Lambda_{12} v \gamma}
\begin{pmatrix} \gamma & -\Lambda_{12} \\ v \gamma & \gamma \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} \gamma & -\Lambda_{12} \\ v \gamma & \gamma \end{pmatrix}

每較得：
: \gamma^2 + \Lambda_{12} v \gamma = 1

閉合性求兩轉換等速度和之單次轉換。即兩矩陣之積：
: \begin{pmatrix} \gamma^\prime & \Lambda_{12}^\prime \\
-v^\prime \gamma^\prime & \gamma^\prime \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \gamma & \Lambda_{12} \\ -v \gamma & \gamma \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \gamma^\prime\gamma - \Lambda_{12}^\prime v\gamma
& \gamma^\prime\Lambda_{12} + \gamma\Lambda_{12}^\prime \\
-\gamma^\prime\gamma(v+v^\prime)
& \gamma^\prime \gamma-v^\prime \gamma^\prime \Lambda_{12}\end{pmatrix}


必擁同之矩陣型式。故曰：
:  \kappa \equiv \frac{\Lambda_{12}}{v \gamma} = \frac{\Lambda_{12}^\prime}{v^\prime \gamma^\prime}

必一相對速v無關之常數。插入較前等式得\gamma之定義：
: \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 + \kappa v^2}}
而最廣泛之勞侖茲變換矩陣型式曰：
: \frac{1}{\sqrt{1+\kappa v^2}} \begin{pmatrix} 1 & \kappa v \\ -v & 1 \end{pmatrix}

至此c^2 = \frac{1}乃不變速。若\kappa\,>0，c限之。未符實。故\kappa\le0。

可曰\kappa\,=0、\kappa\,兩：

### 伽利略轉換
\kappa=0得伽利略轉換矩陣：
: \begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -v & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}
於此時乃絕對之：t^\prime = t。

### 勞侖茲變換
於更一般c=\frac{1}{\sqrt{-\kappa}} 之情况遂得前之勞侖茲變換矩陣：
: \begin{pmatrix}t^\prime \\ z^\prime \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\begin{pmatrix} 1 & -\frac{v}{c^2} \\ -v & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ z \end{pmatrix}
遂所有參照系不變之速限：c。

## 速度變換公式
設慣性坐標系Σ之各軸之速量ux、uy、uz；Σ'之各軸之速量u'x、u'y、u'z：

:u'_x = \frac{u_x-v}{1 - \frac{v u_x}{c^2}}
:u'_y = \frac{u_y\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_{x}}{c^2}}
:u'_z = \frac{u_z\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{vu_{x}}{c^2}}

v、x'、y'、z'、t'換之-v、x、y、z、t可得之洛倫茲變換反變換式：

v遠小光c乃退之經典力學伽利略變換：

:u'_{x} = u_{x} - v 
:u'_{y} = u_{y}
:u'_{z} = u_{z}

## 其他物理量之變換
類時分量A、類空分量\mathbf{Z}=(Z_x,Z_y,Z_z)之四維向量(A,\mathbf{Z})，其閔考斯基範乃勞倫茲不變量：
:A^2 - \mathbf{Z}\cdot\mathbf{Z}= A'^2 - \mathbf{Z}'\cdot\mathbf{Z}'。

仿寫：
:\begin{align}
A' &= \gamma \left(A - \mathbf{Z}\cdot\boldsymbol{\beta}\right)\mbox{，}\\
\mathbf{Z}' &= \mathbf{Z} + (\gamma-1)(\mathbf{Z}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} - \gamma A\boldsymbol{\beta}\mbox{，} 
\end{align}
箇中\boldsymbol{\beta} = \mathbf{v}/c= v\mathbf{n}/c，\mathbf{n}乃\mathbf{v}方向上之單位向量。\mathbf{Z}、\mathbf{Z}'分解成垂直\mathbf{v}和平行\mathbf{v}與位置向量之分解方法同。取逆變換與四維位置同，遂換(A,\mathbf{Z})與(A',\mathbf{Z}')，後相反相對動向，即\mathbf{n} \mapsto -\mathbf{n}。

常見之四維向量如下表：

## 洛倫茲變換之幾何理解

平面幾何向量某(x,y)於原點以\theta順旋之。新系同向量(x^{\prime},y^{\prime})曰：
:\begin{bmatrix}x^{\prime}\\y^{\prime}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}

長不變曰：(x^\prime)^2+(y^\prime)^2=(x)^2+(y)^2。

異角度\phi再旋之，向量新舊關係曰：
:\begin{bmatrix}x^{\prime\prime}\\y^{\prime\prime}\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cos(\theta+\phi) & \sin(\theta+\phi) \\
-\sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi)\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}
即：續旋可加。

相似，定義快度w=\text{arctanh}\beta公式可曰：
:\begin{bmatrix}x^\prime{}^0\\ x^\prime{}^1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cosh w & -\sinh w\\
-\sinh w & \cosh w\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x^0\\ x^1\end{bmatrix}
即：洛倫兹變換數學同於雙曲角旋轉。

旋長不變乃：
:(x^\prime{}^0)^2-(x^\prime{}^1)^2=(x^0)^2-(x^1)^2。

換異速\beta_{21}之系，再換\beta_{32}之。使w_{21}=\text{arctanh}\beta_{21}、w_{32}=\text{arctanh}\beta_{32}。即原系座標(x^0,x^1)兩換(x^{\prime\prime}{}^0,x^{\prime\prime}{}^1)曰：
:\begin{bmatrix}x^{\prime\prime}{}^0\\ x^{\prime\prime}{}^1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}\cosh (w_{21} + w_{32}) & -\sinh (w_{21} + w_{32})\\
-\sinh (w_{21} + w_{32}) & \cosh (w_{21} + w_{32})\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x^0\\ x^1\end{bmatrix}
遂見直加之數非速\beta而乃角之w=\text{arctanh}\beta。

直加減惟因速遠小光w速w\simeq \beta。

終，直接轉換若兩速\beta_{31}即：

:\begin{align}
w_{31} &= w_{21} + w_{32} \\
\tanh w_{31} &= \tanh (w_{21} + w_{32}) = \frac{\tanh w_{21} + \tanh w_{32}}{1+\tanh w_{21} \tanh w_{32}} \\
\beta_{31} &= \frac{\beta_{21} + \beta_{32}}{1+\beta_{21} \beta_{32}}
\end{align}

得之相對論速率加法公式。

## 群論表述