量子群

**量子群**(**quantum group**)乃一系列代數結構之通稱，霍普夫代數(Hopf algebra)之特例，亦可視為q-量子化之李代數也。雖其名曰「羣」，惟彼非羣矣。以其表示論可構楊振寧-Baxter 方程之解，與扭結之不變量。

## Drinfeld 所謂之量子群
狹義上最常見之**量子羣**，又曰**量子通用包絡代數** (*quantum universal envelopping algebra, QUE algebra*), 來自Vladimir Drinfeld、Nicolai Reshetikhin、Michio Jimbo 等之學，乃Kac-Moody 代數之通用包絡之q-形變。
設
*\mathfrak{g} 為一Kac-Moody 代數,
*A = (a_{ij}) 為其嘉當矩陣，
**q*為非 0 非 1 之複數，
則**量子羣**U_q(\mathfrak{g})為一單元結合代數 ，有生成元： 

*k_{\lambda} (其中 \lambda 屬於權格， *即* 每一 i 有:2 (\lambda,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i) \in \mathbb{Z}), 
*e_i := e_{\alpha_i},  其中\alpha_i 為簡單根;
*f_i := f_{\alpha_i}, 其中\alpha_i 為簡單根;
*k_0 = 1;

符
*k_{\lambda} k_{\mu} = k_{\lambda+\mu},
*k_{\lambda} e_i k_{\lambda}^{-1} = q^{(\lambda,\alpha_i)} e_i,
*k_{\lambda} f_i k_{\lambda}^{-1} = q^{- (\lambda,\alpha_i)} f_i,
*[e_i,f_j] = \delta_{ij} \frac{k_i - k_i^{-1}}{q_i - q_i^{-1}},
*\sum_{n=0}^{1 - a_{ij}} (-1)^n \frac{[1 - a_{ij}]_{q_i}!}{[1 - a_{ij} - n]_{q_i}! [n]_{q_i}!} e_i^n e_j e_i^{1 - a_{ij} - n} = 0, for i \ne j,
*\sum_{n=0}^{1 - a_{ij}} (-1)^n \frac{[1 - a_{ij}]_{q_i}!}{[1 - a_{ij} - n]_{q_i}! [n]_{q_i}!} f_i^n f_j f_i^{1 - a_{ij} - n} = 0, for i \ne j,
::其中k_i = k_{\alpha_i}；q_i = q^{\frac{1}{2}(\alpha_i,\alpha_i)}； [0]_{q_i}! = 1；[n]_{q_i}!為q-階乘；[m]_{q_i}為q-序列  。 

末二關係式曰 「*q*-舍爾關係」，即舍爾關係之q-形變。

當*q* 逼近 1，此等關係式漸近於一般 通用包絡代數 U(\mathfrak{g})之關係式，而各元之極限為：
*k_{\lambda} \to 1
*\frac{k_{\lambda} - k_{-\lambda}}{q - q^{-1}} \to t_{\lambda} 
其中 t_{\lambda} 為嘉當子代數\mathfrak{h}一元，其與\mathfrak{h}中任何元*h* 有關係：(t_{\lambda},h) = \lambda(h)。
存在數種餘結合餘積 結構使U_q(\mathfrak{g})成為霍普夫代數，例如：

:*\Delta_1(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_1(e_i) = 1 \otimes e_i + e_i \otimes k_i, \Delta_1(f_i) = k_i^{-1} \otimes f_i + f_i \otimes 1,

:*\Delta_2(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_2(e_i) = k_i^{-1} \otimes e_i + e_i \otimes 1, \Delta_2(f_i) = 1 \otimes f_i + f_i \otimes k_i,

:*\Delta_3(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_3(e_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}}, \Delta_3(f_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}}, 其中，若有需要，吾人可加入生成元 k_{\lambda} ，而 &lambda; 為某權格元素與某根格元素之半 之和；

同時，吾人有**反餘積**T \circ \Delta，其中 T(x \otimes y) = y \otimes x，即

:*\Delta_4(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_4(e_i) = k_i \otimes e_i + e_i \otimes 1, \Delta_4(f_i) = 1 \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{-1},其中 \Delta_4 = T \circ \Delta_1,

:*\Delta_5(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_5(e_i) = 1 \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{-1}, \Delta_5(f_i) = k_i \otimes f_i + f_i \otimes 1, where \Delta_5 = T \circ \Delta_2,

:*\Delta_6(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda, \Delta_6(e_i) = k_i^{\frac{1}{2}} \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{-\frac{1}{2}}, \Delta_6(f_i) = k_i^{\frac{1}{2}} \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{-\frac{1}{2}}, where \Delta_6 = T \circ \Delta_3.

此等餘積有同一餘單位元： \epsilon(k_{\lambda}) = 1, \epsilon(e_i) = 0, \epsilon(f_i) = 0，

其對映各為：

:*S_1(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_1(e_i) = - e_i k_i^{-1},\ S_1(f_i) = - k_i f_i,

:*S_2(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_2(e_i) = - k_i e_i,\ S_2(f_i) = - f_i k_i^{-1},

:*S_3(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_3(e_i) = - q_i e_i,\ S_3(f_i) = - q_i^{-1} f_i,

:*S_4(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_4(e_i) = - k_i^{-1} e_i,\ S_4(f_i) = - f_i k_i,

:*S_5(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_5(e_i) = - e_i k_i,\ S_5(f_i) = - k_i^{-1} f_i,

:*S_6(k_{\lambda}) = k_{-\lambda},\ S_6(e_i) = - q_i^{-1} e_i,\ S_6(f_i) = - q_i f_i.

換一角度，U_q(G) 為域{\mathbb C}(q)上一代數－－{\mathbb C}上以 *q* 為變量之有理函數域；

亦可視 U_q(G)為域{\mathbb Q}(q)上一代數－－{\mathbb Q}上以 *q* 為變量之有理函數域（見下文：*q*=0 時之量子羣一節）。
### 表示理論
量子羣有多種表示。

由其霍普夫代數結構，U_q(G) 有在其自身上之伴隨表示，如下：
{\mathrm{Ad}}_x.y = \sum_{(x)} x_{(1)} y S(x_{(2)}),

其中 x_{(1)}, x_{(2)}  為常用符號（所謂「Sweedler 符號」）
: \sum_{(x)} x_{(1)} \otimes x_{(2)} := \Delta(x)。

#### 情況一：''q''非 1 之根
權表示(或曰「權模」  )重要。 
權模有由權向量所成之基。  **權向量**即非零向量*v*, 使每\lambda有 k_{\lambda}.v = d_{\lambda} v ，其中每d_{\lambda}為複數，使

:*d_0 = 1,

:*每權 \lambda 、 \mu 有  d_{\lambda} d_{\mu} = d_{\lambda + \mu},。

若 權格中每一 \lambda 有 k_{\lambda}.v = q^{(\lambda,\nu)} v ，則吾人稱 *v* 之權為\nu 。

**可積表示**者, 為一權表示，於其上e_i and f_i之作用俱為零冪 (即其中每一 *v*，存在正整數*k*使每一 *i* 有 e_i^k.v = f_i^k.v = 0)。此時，各數 d_{\lambda} 符 d_{\lambda} = c_{\lambda} q^{(\lambda,\nu)}，其中 \nu 屬於權格，而c_{\lambda} 為複數，使得

:*c_0 = 1,

:* 每權\lambda 、\mu 有c_{\lambda} c_{\mu} = c_{\lambda + \mu},

:*每*i* 有c_{2\alpha_i} = 1 。

最高權表示尤其重要。最高權模生自單一權向量 *v*；每一權\lambda， *v* 符 k_{\lambda}.v = d_{\lambda} v ，而每一 *i* 有  e_i.v = 0 。  類似地，吾人亦有最低權表示，生成自單一權向量 *v*，而每一 *i* 有  f_i.v = 0 。

設\mathfrak{g}為 Kac-Moody 代數，則在其任何不可約最高權表示（以\nu為最高權）中，權重數相等於U(\mathfrak{g})之數最高權表示。若其最高權為支配整權 （即 2 (\mu,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i) 為非負整數）則權譜在韋爾羣 作用下不變，而此表示可積。

相逆，若有一可積表示，則其最高權向量 *v* 適 k_{\lambda}.v = c_{\lambda} q^{(\lambda,\nu)} v，其中 c_{\lambda}  為複數，使

:*c_0 = 1,

:* 每權 \lambda  與\mu
有c_{\lambda} c_{\mu} = c_{\lambda + \mu},

:*c_{2\alpha_i} = 1 for all *i*,

:* \nu 為整支配整權。

二表示之 張量積亦為一表示。  每U_q(\mathfrak{g})中一元 *x* ， 每向量 *v* 與 *w* 有作用：x.(v \otimes w) = \Delta(x).(v \otimes w)， 使 k_{\lambda}.(v \otimes w) = k_{\lambda}.v \otimes k_{\lambda}.w；對於餘積 \Delta_1， 有 e_i.(v \otimes w) = k_i.v \otimes e_i.w + e_i.v \otimes w 與 f_i.(v \otimes w) = v \otimes f_i.w + f_i.v \otimes k_i^{-1}.w.

上述最高權表示為一一維表示 ( k_{\lambda} = c_{\lambda}，) 與一由 v_0 生成之最高權表示 （每權 \lambda 有 k_{\lambda}.v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0 , 而每*i*有 e_i.v_0 = 0 ）之張量積。

特别地，若\mathfrak{g} 為有限維李代數，則支配整最高權表示乃有限維。

最高權表示張量積之直和分解 同一般 Kac-Moody 代數表示之直和分解。

#### 情況二：''q''為 1 之根

### 半三角性
#### 情況一：''q''非 1 之根
嚴格講，U_q(G) 非半三角霍普夫代數 ，唯彼有一無窮級數**R**可假作*R*-矩陣。 此無窮級數為e_i 、 f_i 與嘉當生成元 t_{\lambda}之表示式，其中 k_{\lambda}形式地當作 q^{t_{\lambda}}。此式可分成兩因式之積：q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}} 與 一無窮和，其中 \{\lambda_j\} 嘉當子代數之對偶空間之基，而\{\mu_j\}  為其對偶基，\eta 為 +1 或 -1。

此無窮級數 **R**  可作用於 兩不可約最高權表示（或兩最低權表示）之張量積。更準確地講，若 *v* 為權- \alpha- 向量，*w*為權- \beta-向量，則 q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}.(v \otimes w) = q^{\eta (\alpha,\beta)} v \otimes w，而最高權（或最低權）之性使另一因式於  v \otimes w 之作用成有限和。

更準確地講， 若 *V* 為最高權表示，則無限和**R**在 V\otimes V上定義有一作用，且 （作為 \mathrm{Hom}(V) \otimes \mathrm{Hom}(V)之元）符 楊振寧-Baxter 方程，故定義一辮羣之表示，亦定義扭結之擬不變量。

#### 情況二：''q''為 1 之根
待修

### 晶體基 - ''q''=o時之量子羣
柏原正樹曾研究q \to 0時量子羣之極限行為。
由U_q(G)之定義關係，可視 U_q(G) 為{\mathbb Q}(q) 上之霍普夫代數。

設 \alpha_i 為簡單根，n為非負整數，設 e_i^{(n)}: = e_i^n/[n]_{q_i}! ， f_i^{(n)} := f_i^n/[n]_{q_i}! (特别地， e_i^{(0)} = f_i^{(0)} = 1)。設M為可積表示，\lambda為一權，u \in M_{\lambda} （即權\lambda向量） 可唯一地分解成

* u = \sum_{n=0}^\infty f_i^{(n)} u_n = \sum_{n=0}^\infty e_i^{(n)} v_n,

其中 u_n \in \mathrm{ker}(e_i) \cap M_{\lambda + n \alpha_i}, v_n \in \mathrm{ker}(f_i) \cap M_{\lambda - n \alpha_i}，若u_n \ne 0 則必有 n + \frac{2 (\lambda,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)} \ge 0， 而若 v_n \ne 0 則必有 n - \frac{2 (\lambda,\alpha_i)}{(\alpha_i,\alpha_i)} \ge 0。 線性  影射\tilde{e}_i : M \to M 與 \tilde{f}_i : M \to M 可於M_{\lambda}上定義：

* \tilde{e}_i u = \sum_{n=1}^\infty f_i^{(n-1)} u_n = \sum_{n=0}^\infty e_i^{(n+1)} v_n，

* \tilde{f}_i u = \sum_{n=0}^\infty f_i^{(n+1)} u_n = \sum_{n=1}^\infty e_i^{(n-1)} v_n。
設A為所有{\mathbb Q}(q) 中 於 q = 0 正則 (regular) 之有理函數所成之整環。（即此類 f(q)：存在多項式 g(q), h(q) \in{\mathbb Q}[q] 使 f(q) = g(q)/h(q)   ，且h(0) \ne 0）。 M 之一 **晶體基**為一有序對 (L,B)，其中

:*L 為M之一自由A-子模，其使 M = {\mathbb Q}(q) \otimes_A L;

:*B 為\mathbb Q 上向量空間L/qL 之一 \mathbb Q-基,

:*L = \oplus_{\lambda} L_{\lambda}，且B = \sqcup_{\lambda} B_{\lambda}，其中L_{\lambda} = L \cap M_{\lambda} ，而B_{\lambda} = B \cap (L_{\lambda}/qL_{\lambda}),

:*每*i* 有\tilde{e}_i L \subset L 且\tilde{f}_i L \subset L ；

:*每 *i*有\tilde{e}_i B \subset B \cup \{0\} 且 \tilde{f}_i B \subset B \cup \{0\} ；

:*設 b \in B ， b' \in B，每*i*，有 \tilde{e}_i b = b' 若且僅若\tilde{f}_i b' = b。

概念上， e_i f_i 與 f_i e_i於可積模上 、q = 0時之作用 常有異。 吾人引進其上之線性映射\tilde{e}_i 與 \tilde{f}_i 以使  \tilde{e}_i \tilde{f}_i 與 \tilde{f}_i \tilde{e}_i於該模上、 q = 0時之作用為正則。  M有一由權向量 \tilde{B} 組成之{\mathbb Q}(q)-基，使 \tilde{e}_i 與\tilde{f}_i 於其上、q = 0 時之作用為正則。  吾人限制此表示於此基所生成之 A-模上， 再於q = 0時計算其基向量、, the A-子模、 \tilde{e}_i 與 \tilde{f}_i 之作用。 再者，吾人可擇此基，使 q = 0時，每\tilde{e}_i 與 每 \tilde{f}_i 互為轉置(*are represented by mutual transposes*)， 而基向量則映射至基向量或 0。

每晶體基之訊息，可記以一每邊有記號之有向圖。 圖中每一頂點代表 L/qL之 \mathbb Q-基 B 之一元，每一自 頂點v_1 指 頂點v_2 之有向邊 *i*代表等式 b_2 = \tilde{f}_i b_1 （或 b_1 = \tilde{e}_i b_2），其中b_1為v_1相應之基向量 ，為b_2相應之基向量 v_2。此圖定義\tilde{e}_i 與 \tilde{f}_i 於 q = 0時之作用。 設一可積表示有一晶體基；彼不可約若且僅若其圖連通。

若一可積表示具晶體基，則其權譜 等於 晶體基之權譜，亦等於相應之 Kac-Moody 代數之權譜。 晶體基中權之重數 亦同 其於相應之 Kac-Moody 代數表示中之重數。
柏原正樹嘗證
  定理：每一可積最高權表示有一晶體基。  

#### 晶格基之張量積
設 M為一可積表示，(L,B)為其晶體基。 設M' 為一可積表示， (L',B')為其晶體基。賦與每晶體基一餘積 \Delta：
*\Delta(k_{\lambda}) := k_{\lambda} \otimes k_{\lambda},
*\Delta(e_i) = e_i \otimes k_i^{-1} + 1 \otimes e_i,
*\Delta(f_i) = f_i \otimes 1 + k_i \otimes f_i。 
可積模M \otimes_ \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right).

換言之，SU_{\mu}(2) = (C(SU_{\mu}(2),w), 其中 C(SU_{\mu}(2)) 為\alpha 與 \beta生成之 C*-代數 ，其定義關係為

:\beta \beta^* = \beta^* \beta, \ \alpha \beta = \mu \beta \alpha, \ \alpha \beta^* = \mu \beta^* \alpha, \ \alpha \alpha^* + \mu^2 \beta^* \beta = \alpha^* \alpha + \beta^* \beta = I,

而 w = \left( \begin{matrix} \alpha & \mu \beta \\ - \beta^* & \alpha^* \end{matrix} \right), 故其餘積定義自 \Delta(\alpha) = \alpha \otimes \alpha - \mu \beta \otimes \beta^*, \Delta(\beta) = \alpha \otimes \beta + \beta \otimes \alpha^*，且其餘逆元定義自\kappa(\alpha) = \alpha^*, \kappa(\beta) = - \mu^{-1} \beta, \kappa(\beta^*) = - \mu \beta^*, \kappa(\alpha^*) = \alpha。注意：w 乃一么正表示。此等表示可以\gamma = \sqrt{\mu} \beta 互相轉換。

當\mu = 1，則SU_{\mu}(2) 為羣  SU(2)。

## 另見
* 李雙代數
* 泊松-李羣

## 閲

* Elementary introduction to quantum groups
* Christian Kassel.  *Quantum Groups* (Springer: 1994).  ISBN 0-387-94370-6.
* Shahn Majid, N. J. Hitchin (series editor).  *A Quantum Groups Primer* (Cambridge University Press: 2002).  ISBN 0-521-01041-1. 

## 註