配对堆

**配对堆**（）是一种实现简单、均摊复杂度优越的堆数据结构，由邁克爾·弗雷德曼、罗伯特·塞奇威克、丹尼爾·斯萊托、羅伯特·塔揚于1986年发明。
配对堆是一种多叉树，并且可以被认为是一种简化的斐波那契堆。对于实现例如普林姆最小生成树算法等算法，配对堆是一个更优的选择，且支持以下操作（假设该堆是最小堆）：

* *find-min*（查找最小值）：返回堆顶。
* *merge*（合并）：比较两个堆顶，将堆顶较大的堆设为另一个的孩子。
* *insert*（插入）：创建一个只有一个元素的堆，并合并至原堆中。
* *decrease-key*（减小元素）（可选）：将以该节点为根的子树移除，减小其权值，并合并回去。
* *delete-min*（删除最小值）：删除根并将其子树合并至一起。这里有各种不同的方式。

配对堆时间复杂度的分析灵感来源于伸展树。
其*delete-min*操作的时间复杂度为，而*find-min*、*merge*和*insert*操作的均摊时间复杂度均为。

确定配对堆每次进行*decrease-key*操作的均摊时间复杂度是困难的。最初，基于经验，这个操作的时间复杂度被推测为是，但弗雷德曼证明了对于某些操作序列，每次*decrease-key*操作的时间复杂度至少为\Omega(\log\log n)。
在那之后，通过不同的均摊依据，Pettie证明了*insert*、*merge*及*decrease-key*操作的均摊时间复杂度均为O(2^{2\sqrt{\log\log n}})，近似于o(\log n)。
Elmasry后来介绍了一种配对堆的变体，令其拥有所有斐波那契堆可以实现的操作，且*decrease-key*操作的均摊时间复杂度为O(\log \log n)，但对于原始的数据结构，仍未知准确的\Theta(\log\log n)运行下限。此外，能否使*delete-min*在均摊时间复杂度为o(\log n)的同时，令*insert*操作的均摊时间复杂度为O(1)，目前也仍未得到解决。

尽管这比其他的，例如能实现均摊时间O(1)的*decrease-key*的斐波那契堆，这样的优先队列算法更差，在实践中配对堆的表现仍然很不错。Stasko和Vitter，
Moret和Shapiro，
以及Larkin、Sen和Tarjan
进行过配对堆和其他堆数据结构的实验。 他们得出的结论是, 配对堆通常比基于数组的二叉堆和D叉堆的实际操作速度更快，而且在实践中几乎总是比其他基于指针的堆更快，其中包括诸如斐波纳契堆这样的理论上更有效率的数据结构。

## 结构
一个配对堆要么是一个空堆，要么就是一个配对树，由一个根元素与一个可能为空的配对树列表所组成。堆的有序属性使该列表中所有子树的根元素都不小于该堆的根元素。下面描述了一个纯粹的函数堆，我们假定它不支持*decrease-key*操作。

 **type** PairingTree[Elem] = Heap(elem: Elem, subheaps: List[PairingTree[Elem]])
 **type** PairingHeap[Elem] = Empty | PairingTree[Elem]

对于随机存取机，一个基于指针的实现若要支持*decrease-key*操作，可以对每个节点使用三个指针做到，具体做法是用单向链表储存节点的孩子：一个指针指向该节点的第一个孩子，一个指向它的下个兄弟，一个指向它的上个兄弟（对于最左边的兄弟则指向它的父亲）。或者，如果使用一个布尔标记表示“链表末尾”且令最后一个孩子指向它的父亲，指向上个兄弟的指针也可以不使用。这在牺牲常数开销的同时，令结构更加紧凑。

## 操作

### find-min（查找最小值）

函数*find-min*简单地返回该堆的堆顶：

 **function** find-min(heap: PairingHeap[Elem]) -> Elem
   **if** heap is Empty
     **error**
   **else**
     **return** heap.elem

### merge（合并）

合并一个空堆将会返回另一个堆，否则将会返回一个新堆，其将两个堆的根元素中较小的元素当作新堆的根元素，并将较大的元素所在的堆合并到新堆的子堆中：

 **function** merge(heap1, heap2: PairingHeap[Elem]) -> PairingHeap[Elem]
   **if** heap1 is Empty
     **return** heap2
   **elsif** heap2 is Empty
     **return** heap1
   **elsif** heap1.elem  PairingHeap[Elem]
   **return** merge(Heap(elem, []), heap)

### delete-min（删除最小值）
唯一比较复杂的操作即是堆中最小值的删除操作。标准方法是：首先将子堆从左到右、一对一对地合并（这就是它叫这个名字的原因），然后再从右到左合并该堆。

 **function** delete-min(heap: PairingHeap[Elem]) -> PairingHeap[Elem]
   **if** heap is Empty
     **error**
   **else**
     **return** merge-pairs(heap.subheaps)

这需要使用到辅助函数*merge-pairs*（合并对）：

 **function** merge-pairs(list: List[PairingTree[Elem]]) -> PairingHeap[Elem]
   **if** length(list) == 0
     **return** Empty
   **elsif** length(list) == 1
     **return** list[0]
   **else**
     **return** merge(merge(list[0], list[1]), merge-pairs(list[2..]))

这确实实现了所描述的两个通过从左向右、然后从右向左的合并策略。这可以下面的过程看到：

    merge-pairs([H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7])
 => merge(merge(H1, H2), merge-pairs([H3, H4, H5, H6, H7]))
      # 合并H1和H2到H12，再处理列表中剩下的部分
 => merge(**H12**, merge(merge(H3, H4), merge-pairs([H5, H6, H7])))
      # 合并H3和H4到H34，再处理列表中剩下的部分
 => merge(H12, merge(**H34**, merge(merge(H5, H6), merge-pairs([H7]))))
      # 合并H5和H6到H56，再处理列表中剩下的部分
 => merge(H12, merge(H34, merge(**H56**, H7)))
      # 转换方向，合并最后两个堆，给出H567
 => merge(H12, merge(H34, **H567**))
      # 合并最后两个堆，给出H34567
 => merge(H12, **H34567**) 
      # 最终，合并第一个堆和剩下堆合并的结果
 => **H1234567**

## 运行时间统计

## 参考文献

## 外部链接
* Louis Wasserman discusses pairing heaps and their implementation in Haskell in The Monad Reader, Issue 16  (pp.&nbsp;37–52).
* pairing heaps , Sartaj Sahni