泊松求和公式

**泊松求和公式**（英文：）由法國數學家泊松所發現，它陳述了一個連續時間的信號，做無限多次的週期複製後，其傅立葉級數與其傅立葉轉換之間數值的關係，亦可用來求周期信號的傅立葉轉換。

## 公式
设无周期函数s(x)具有傅里叶变换：
:S(f) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} s(x)\ e^{-i2\pi fx}\, dx
这里的S(f)也可以替代表示为\hat s(f)和 \mathcal{F}\{s\}(f)。有如下基本的泊松求和公式：
:\sum_{n=-\infty}^\infty s(n)=\sum_{k=-\infty}^\infty S(k)

对于二者通过而得到的周期函数：
:s_{_P}(x) \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(x + nP), \quad n \in \mathbb{Z}
:S_{1/T}(f) \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} S(f + k/T), \quad k,T \in \mathbb{Z}
这里的参数T>0并且P>0，它们有着同x一样的单位。有如下普遍的泊松求和公式：
:s_{_P}(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \underbrace{\frac{1}{P}\cdot S(k/P)}_{S[k]}\ e^{i 2\pi \frac{k}{P} x }, \quad k \in \mathbb{Z}
这是一个傅里叶级数展开，其系数是函数S(f)的采样。还有：
:S_{1/T}(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \underbrace{T\cdot s(nT)}_{s[n]}\ e^{-i 2\pi n Tf}, \quad n,T \in \mathbb{Z}
这也叫做离散时间傅里叶变换。

## 推導泊松求和公式所需的先備公式
考慮狄拉克δ函數\delta(t)，製作一個有無限多個\delta(t)，且間隔為T_0的週期函數\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)。

其傅立葉轉換為①\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}=②\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T_0}\right)

### 證明①轉換對
\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}\left\{\delta(t-nT_0)\right\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}。

### 證明②轉換對
設c_n為週期函數\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)的傅立葉級數。

\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)可表示為\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}}。

由傅立葉級數得:

c_n=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\delta(t-mT_0)e^{-j2\pi{n}\frac{t}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\delta(t)e^{-j2\pi{n}\frac{t}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\delta(t)e^{-j2\pi{n}\frac{0}{T_0}}dt=\frac{1}{T_0}。

因此，\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)\right\}=\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}}\right\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T_0}\mathcal{F}\left\{e^{j2\pi{n\frac{t}{T_0}}}\right\}=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-n\frac{1}{T_0})。

得到等式:\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(f-\frac{n}{T_0}\right)，

經由適當的變量代換，T_0以\frac{1}{T_0}代換，f以t代換，得\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT_0\right)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi n\frac{1}{T_0}t}=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}(因為n從負無限大到正無限大)

## 推導泊松求和公式

### 從對頻域做取樣尋找關係式

\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t-nT_0)

=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)*\delta(t-nT_0)

=x(t)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_0)

=x(t)*\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}

=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)*e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}

=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}(t-\tau)}d\tau

=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi n\frac{1}{T_0}\tau}d\tau ]e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}\right\}

=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})e^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}

當t=0時，得\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})，

表示一個信號的在時域以T_0為間隔做取樣，在頻域以\frac{1}{T_0}為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有T_0倍的關係。

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### 從對時域做取樣尋找關係式

\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f-\frac{n}{T_0})

=\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f)*\delta(f-\frac{n}{T_0})

=X(f)*[\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(f-\frac{n}{T_0})]

=X(f)*\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-j2\pi nT_0f}

=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(f)*e^{-j2\pi nT_0f}

=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(\lambda)e^{-j2\pi nT_0(f-\lambda)}d\lambda

=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left\{[\int_{-\infty}^{\infty}X(\lambda)e^{j2\pi nT_0\lambda}d\lambda]e^{-j2\pi nT_0f}\right\}

=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)e^{-j2\pi nT_0f}

當f=0時，得\frac{1}{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\frac{n}{T_0})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_0)，

表示一個信號的在時域以T_0為間隔做取樣，在頻域以\frac{1}{T_0}為間隔做取樣，則兩者的所有取樣點的總和會有T_0倍的關係。

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綜合上述，若時域取樣間隔T_0=1時，同樣地，頻域取樣間隔\frac{1}{T_0}=1時，得泊松求和公式\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k)。

## 週期信號的傅立葉轉換
考慮一個週期為 {T_0}的週期信號g(t)，G(f)為g(t)的傅立葉轉換，取出g(t)在區間[-\frac{T_0}{2},\frac{T_0}{2}]的一個完整週期x(t)，亦即x(t)=g(t)rect(\frac{t}{T_0})，X(f)是x(t)的傅立葉轉換，其中rect(t)是矩形函數。a_n是g(t)的傅立葉級數。

則G(f)

=\mathcal{F}\left\{\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{j2\pi n\frac{1}{T_0}t}\right\}

=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n \delta(f-\frac{n}{T_0})

=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T_0}X(\frac{n}{T_0})\delta(f-\frac{n}{T_0})

得出一週期信號的傅立葉轉換與其傅立葉級數之間的關係。

## 引用

## 延伸阅读
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