自然密度

**自然密度**（），又称**渐进密度**（），是数论中度量自然数子集大小的工具之一。

## 简介

以平方数集和自然数集的大小关系为例：
: 平方数集与自然数集都是可数无穷集，我们能够在两个集合间建立一一映射（对于任意的自然数n都可以找到对应的平方数n^2与之对应，反之亦然），即两个集合是等势的。
: 然而，这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。

考虑自然数的一个子集A和整数区间[1,n]：
: 如果从整数区间[1,n]中随机选取一个整数，那么这个整数属于A的概率应该等于A与整数区间[1,n]的交集中的所有元素在整数区间[1,n]中的占比。当n趋近于无穷时，若上述概率也趋近于某个极限，则将该极限定义为A的自然密度。
: A的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于A的概率。

自然密度（以及一些其他类型的密度）也是概率数论的研究对象。

与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。

## 定义

对于一个自然数集的子集A，当n趋向于无穷时，若A中不大于n的元素个数与n的比值收敛到\alpha，则称A的自然密度为\alpha。

更进一步，若定义a(n)为A里不大于n的元素个数，那么命题“A的自然密度为\alpha”等效于：
: \frac{a(n)}{n}\to\alpha，当n\to\infty

从定义中可以看出，若\alpha是某个集合A的自然密度，则一定有0\le\alpha\le 1。

### 上自然密度

设A 是自然数集\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}的一个子集。对任何n\in\mathbb{N}，定义A(n)=\{1,2,\ldots,n\} \cap A，a(n)=|A(n)|。

则A的**上自然密度**（）为：

:  \overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n} 

其中\limsup是上极限。 \overline{d}(A)也可简称为A的**上密度**。 

### 下自然密度

同样地，定义A的**下自然密度**（）为：

:  \underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ a(n) }{n} 

### 自然密度的其他定义方法

1. 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说A的**自然密度**d(A)是：
: 若\overline{d}(A)=\underline{d}(A)，则d(A)等于\overline{d}(A)（或\underline{d}(A) ） 。

2. 自然密度的定义还可以表示为：
:  d(A)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n} （若极限存在）

3. 可以证明，下述命题也是自然密度的定义：
: 若将自然数集\mathbb{N}的子集A写作一个递增数列：
::  A=\{a_1
: 那么
:: \underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n},
:: \overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}
:: d(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}（若极限存在）

### 推广
一个稍弱的密度定义是 **上Banach密度**（）。对于A \subseteq \mathbb{N}，定义d^*(A)为：

: d^*(A) = \limsup_{N-M \rightarrow \infty} \frac{N-M+1} 

## 性质

* 若对于集合A存在d(A)，则对于其补集A^\complement，d(A^\complement)=1-d(A)成立。
* 若d(A)，d(B)及d(A\cup B)均存在，则\max\{d(A),d(B)\} \leq d(A\cup B) \leq \min\{d(A)+d(B),1\}成立。
* 自然数集的自然密度为1，即d(\mathbb{N})=1成立。
* 对于自然数集的任意有限子集F, 有d(F)=0成立。
* 对于平方数集A=\{n^2; n\in\mathbb{N}\}，有d(A)=0成立。
* 对于偶数集A=\{2n; n\in\mathbb{N}\}，有d(A)=0.5成立。更一般地，对于等差级数组成的集合A=\{an+b; n\in\mathbb{N}\}，有d(A)=\frac1{a}成立。
* 对于质数集合P，由质数定理知：d(P)=0成立。
* 无平方数因数的数的集合的自然密度为\frac{6}{\pi^2}。更一般地，无n次方因数的数的集合的自然密度为\frac{1}{\zeta(n)}，其中\zeta(n)是黎曼ζ函數。
* 过剩数集合具有非零的自然密度。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间。
* 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合，即A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty \{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\}，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。
: 其上自然密度为：
::\overline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1} = \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)} = \frac 23
: 而其下自然密度为：
::\underline d(A)=\lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}= \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}= \frac 13
* 同样，所有十进制表示法中以1开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为\frac 59而其下自然密度为\frac 19。
* 对区间[0,1]上的任意\{\alpha_n\}_{n\in\N}，定义单调集族\{A_x\}_{x\in[0,1]}:
::A_x:=\{n\in\mathbb{N}\,:\, \alpha_n
: 则依定义有：
:: 对于任意的x，d(A_x)= x。
* 若S有正的上自然密度，则塞迈雷迪定理表明S包含了任意长度的等差数列。表明，S内一定存在差为平方数的两个元素。

## 其他密度函数
用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合A的**对数密度**（）可以定义为：

:\mathbf{\delta}(A) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\log x} \sum_{n \in A, n \le x} \frac{1}{n} （若极限存在）

同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。

## 相关条目

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* 施尼勒尔曼密度

## 参考
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## 参考文献