可控制性格拉姆矩陣

控制理论中，**可控制性格拉姆矩阵**（Controllability Gramian）是用來判斷線性動態系統是否可控制的格拉姆矩阵。

若針對以下的線性時變系統

\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)

y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) \,

可控制性格拉姆矩阵為

W_{c}(t_{0},t_{1})=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\Phi(\tau,t_{0})B(\tau)B^{T}(\tau)\Phi^T(\tau,t_{0}) d\tau ,

其中\Phi為狀態轉換矩陣

系統在t\in[t_{0},t_{1}]具有可控制性，若且唯若W_{c}(t_{0},t_{1})為非奇異矩陣。

## 連續時間，線性非時變系統
若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可控制性格拉姆矩阵（不過也有其他判斷可观测性的方法）。

若考慮以下的系統

\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t) \,

其可控制性格拉姆矩阵是以下n\times n的方陣 

\boldsymbol{W_{c}}(t)=\int_{0}^{t}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau

\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值實部均為負），可控制性格拉姆矩阵也是以下李亞普諾夫方程的唯一解

\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}

\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且\boldsymbol{W}_{c}也是正定矩陣，則此系統具有可控制性，也就是(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})矩陣對具有可控制性。

此一定義也和以下其他可控制性的定義等效：

1. n\times np的可控制性矩陣

{\mathcal{C}}=[\begin{array}{ccccc}
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{AB} & \boldsymbol{A^{2}B} & ... & \boldsymbol{A^{n-1}B}\end{array}]

的秩為n。

2. n\times(n+p)矩陣

[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A}\boldsymbol{-\lambda}\boldsymbol{I} & \boldsymbol{B}\end{array}] 

對於每個\boldsymbol{A}的特徵值\lambda，都有滿秩。

## 和李亞普諾夫方程的關係

可控制性格拉姆矩陣是以下李亞普諾夫方程的解

\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}

假若令

\boldsymbol{W_{c}}=\int_{0}^{\infty}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau

為一個解，可得：

\begin{array}{ccccc}
\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}} & = & \int_{0}^{\infty}\boldsymbol{A}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau & + & \int_{0}^{\infty}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}\boldsymbol{A^{T}}d\tau\\
 & = & \int_{0}^{\infty}\frac{d}{d\tau}(e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau})d\tau & = & e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}|_{t=0}^{\infty}\\
 & = & \boldsymbol{0}-\boldsymbol{BB^{T}}\\
 & = & \boldsymbol{-BB^{T}}
\end{array}

其中用到了對於穩定\boldsymbol{A}，在t=\infty時，e^{\boldsymbol{A}t}=0的事實（所有的特徵值實部均為負），因此\boldsymbol{W}_{c}確實是李亞普諾夫方程的解。

### 格拉姆矩陣的性質

因為 \boldsymbol{BB^{T}} 是對稱矩陣，因此\boldsymbol{W}_{c}也是對稱矩陣。

若\boldsymbol{A}是穩定矩陣（所有的特徵值實部均為負），可以證明\boldsymbol{W}_{c}是唯一的。利甪反證法，先假設以下方程有二個不同解

\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}

分別是\boldsymbol{W}_{c1}和\boldsymbol{W}_{c2}，因此可得：

\boldsymbol{A}\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})+\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})\boldsymbol{A^{T}}=\boldsymbol{0}

在左右分別乘以e^{\boldsymbol{A}t}和e^{\boldsymbol{A}^{T}t}，可得：

e^{\boldsymbol{A}t}[\boldsymbol{A}\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})+\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})\boldsymbol{A^{T}}]e^{\boldsymbol{A^{T}}t}=\frac{d}{dt}[e^{\boldsymbol{A}t}[(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})e^{\boldsymbol{A^{T}}t}]=\boldsymbol{0}

從0積分到\infty：

[e^{\boldsymbol{A}t}[(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})e^{\boldsymbol{A^{T}}t}]|_{t=0}^{\infty}=\boldsymbol{0}

再利用此一事實，當t\rightarrow\infty時，e^{\boldsymbol{A}t}\rightarrow0：

\boldsymbol{0}-(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})=\boldsymbol{0}

因此，\boldsymbol{W}_{c}是唯一的。

也可以看出

\boldsymbol{x^{T}W_{c}x}=\int_{0}^{\infty}\boldsymbol{x}^{T}e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}\boldsymbol{x}dt=\int_{0}^{\infty}\left\Vert \boldsymbol{B^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}\boldsymbol{x}}\right\Vert _{2}^{2}dt

在任何t時都為正，因此\boldsymbol{W}_{c}是正定矩陣。

可控制性系統的其他特性在中，以及可控制性中都有描述。

## 離散時間，線性非時變系統
若考慮以下的離散時間系統

\begin{array}{c}
\boldsymbol{x}[k+1]\boldsymbol{=Ax}[k]+\boldsymbol{Bu}[k]\\
\boldsymbol{y}[k]=\boldsymbol{Cx}[k]+\boldsymbol{Du}[k]
\end{array}

其離散可控制性格拉姆矩阵是以下n\times n的方陣 

\boldsymbol{W}_{dc}=\sum_{m=0}^{\infty}\boldsymbol{A}^{m}\boldsymbol{BB}^{T}(\boldsymbol{A}^{T})^{m}

\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解

W_{dc}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{dc}\boldsymbol{A^{T}}=\boldsymbol{BB^{T}}

\boldsymbol{A}若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且\boldsymbol{W}_{dc}也是正定矩陣，則此系統有可控制性。

更多相關的性質及證明在。

## 線性時變系統（LTV）
考慮以下的線性時變系統（LTV）：

\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{x}}(t)\boldsymbol{=A}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{u}(t)\\
\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C}(t)\boldsymbol{x}(t)
\end{array}

其中矩陣\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}和\boldsymbol{C}的元素會隨時間而變化。其可控制性格拉姆矩陣為n\times n矩陣，定義如下：

\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})=\int_{_{0}}^{^{\infty}}\boldsymbol{\Phi}(t_{1},\tau)\boldsymbol{B}(\tau)\boldsymbol{B}^{T}(\tau)\boldsymbol{\Phi}^{T}(t_{1},\tau)d\tau

其中\boldsymbol{\Phi}(t,\tau)為\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}的狀態轉移矩陣。

系統(\boldsymbol{A}(t),\boldsymbol{B}(t))有可控制性的充份必要條是存在t_{1}>t_{0}，使得可控制性格拉姆矩陣\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})為非奇異矩陣。

### 格拉姆矩陣的性質
可控制性格拉姆矩陣\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})有以下的性質：

\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})=\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t)+\boldsymbol{\Phi}(t,t_{0})\boldsymbol{W}_{c}(t,t_{0})\boldsymbol{\Phi}^{T}(t,t_{0})

可以由\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})的定義，以及以下的狀態轉移矩陣性質來推導：

\boldsymbol{\Phi}(t_{0},t_{1})=\boldsymbol{\Phi}(t_{1},\tau)\boldsymbol{\Phi}(\tau,t_{0})

其他有關可控制性格拉姆矩陣的性質可以參考。

## 相關條目
* 可控制性
* 可观测性格拉姆矩阵
* 格拉姆矩阵
* 最小能量控制

## 參考資料

## 外部連結
*Mathematica function to compute the controllability Gramian