重合幾何

在數學裡，**重合幾何**（incidence geometry）是研究重合結構的一門學科。歐氏平面之類的幾何是一個複雜的數學物件，包含長度、角度、連續性、中間性與重合關係。當其他的概念都被去掉，剩下的就只有「重合結構」，有關哪個點會位於哪條線上的資訊。即使有這樣嚴格的限制，還是有定理可被證明，而且存在著與此一結構有關之有趣事實。這樣的基本結論在其他概念被加回來形成較豐富的幾何時，仍然有效。有時，一些作者會搞混研究與研究的物件之間的不同之處，所以有些作者會將重合結構指為重合幾何，這並不令人意外。

重合結構會自然地出現於各個不同的數學領域之內，並已被許多人研究過。因此，存在著許多不同的詞彙用來描述此一物件。在圖論裡，重合結構被稱為超圖；而在組合設計理論裡，則被稱為區塊設計。除了詞彙的不同外，每個領域也以不同的方式處理此一物件，並對這些物件與該學科有關的一類問題感興趣。使用幾何的語言，如同在重合幾何內一般，形狀即時常會被作為主題與範例。不過，將其中一個學科裡的結論轉換成另一學科裡的用詞是可能的，雖然這往往會導致難以操作且令人費解的陳述，不像是該主題原本的一部分。在本條目裡，只會選擇使用能自然呈現幾何語言的範例。

其中最令人感興趣的例子為在歐氏平面上的有限點集合，可由重合結構決定線的數量與類型。因為只考慮重合性質，上述情形所得之部分結論可延伸至更一般的設定上。

## 重合結構

重合結構 包含一個其元素被稱為「點」的集合 P、一個其元素被稱為「線」的不相交集合 L，以及兩個集合間的「重合關係」 I，即 P × L 的子集（其元素被稱為「標記」）。若 (A, l) 是一個標記，則稱 A 重合於 l 或 l 重合於 A（此一關係具對稱性），且寫作　A I l。直上，一個點與一條線在此一關係內，若且唯若該點位於該線上。給定一個點 B 與一條線 m，使其不組成一個標記，亦該點不位於該線上，則 (B, m) 被稱為「非標記」。

### 重合結構裡的距離
重合結構裡並沒有距離（度量）的概念。不過，組合度量可存在於相對應的重合圖（勒維圖）裡，即為二分圖內兩個頂點間最短道路的長度。重合結構內兩個物件（兩個點、兩條線或一個點與一條線）的距離，可被定義為與重合結構相對應之重合圖內，對應之頂點間的距離。

另一種定義距離的方式，再度使用於圖論中的概念，此次為與重合結構相對應之「共線圖」。共線圖的頂點為重合結構的點，且兩個點互連，若存在一條線重合這兩個點。重合結構內兩個點的距離可定義為共線圖內兩個頂點的距離。

當於重合結構內考量距離時，有必要提及其定義方式。

## 部分線性空間
最常被研究的重合結構會附加上一些額外的性質（公理），如投影平面、仿射平面、廣義多邊形、部分幾何與近多邊形等。極為一般的重合結構可透過附加「溫和」的條件取得，如：

部分線性空間為一重合結構，使得下列公理為真：
* 每對不同點至多決定一條線。
* 每條線至少包含兩個不同的點。

在部分線性空間裡，每對不同條線相交於至多一個點上。此一陳述不須作為公理的一部分，因為可由上述公理中簡單地被證明出來。

此外，可更進一步加上正則條件之限制：

**RLk**：每條線會重合的點之數量均相同。若該數為有限，通常標記為 k。

**RPr**：每個點會重合的線之數量均相同。若該數為有限，通常標記為 r。

部分線性空間的第二個公理蘊涵著 。兩個正則條件不會互相薀涵，所以必須假定 。

有限部分線性空間若滿足正則條件，且 有限部分線性空間若滿足正則條件，且 k, r > 1，則稱之為「策略配置」（tactical configuration）。一些作者會簡單稱之為配置，或「投影配置」。若一策略配置有 n 個線與 m 條線，則透過重復計算標記，可建立 nr = mk 此一關係式，通常標記為  配置。在 n = m （因此　r = k）時，　 通常簡寫為 。

線性空間為一部分線性空間，使得：
* 每對不同點恰好決定一條線。

一些作者會在(部分)線性空間裡加上「非退化」（或「非平凡」）公理，如：

* 存在至少兩條不同的線。

這被用來排除一些非常小的例子（主要是集合 P 或 L 內少於2個元素之情形），這些例子通常會成為與重合結構有關之一般陳述的例外。另一種附加公理的方式為，將不符合公理的重合結構稱為「平凡」的；符合的則稱為「非平凡」的。

每個非平凡線性空間包含至少三個點與三條線，因此最簡單的非平凡線性空間為一三角形。

線性空間裡若每條線上至少有三個點，則稱之為西爾維斯特-加萊配置。

## 基本幾何例子
重合幾何裡的一些基本概念與術語源自於幾何之中，尤其是仿射平面與投影平面。

### 投影平面

「投影平面」是一個線性空間，使得：
* 每對不同的線會相交於恰好一個點上，
以及非退化條件：
存在四個點，使得不存在三個這些點共線。

在投影平面裡，點 P 與線 L 間存在著對射。若 P 為一有限集合，該投影平面稱之為「有限」投影平面。有限投影平面的階為 n = k - 1，即線上的點之數量減一。所有已知的投影平面均有質數冪次的階。n 階投影平面為  配置。

最小的投影平面有二階，並被稱為「法諾平面」。

#### 法諾平面

此一著名的重合幾何係由義大利數學家基諾·法諾研究而得。在證明 n 維投影空間公理之獨立性的過程中，法諾發現了一個具15個點、35條線及15個平面的有限三維空間，其中每條線上有三個點。在這個空間裡的平面包含7個點與7條線，並被稱為法諾平面。

法諾平面無法於歐氏平面內只使用點與直線段來表示。這是西爾維斯特-加萊定理的結論。

一個完全四線形由四個點組成，沒有任何三個點共線。在法諾平面裡，除在完整四邊形裡的四個點外，另有三個完整四邊形的對角點，且這三個點共線。這違反了「法諾公理」。該公理通常被用來作為歐氏平面的公理，表示一完整四邊形的三個對角點絕不會共線。

### 仿射平面

「仿射平面」是一個線性空間，使得：
* 對任一點 A 與不與該點重合的線 l（非標記）恰有一條與 A 重合（即　A I m），但不與 l 相交的線 m（稱之為普萊費爾公理）。
並滿足非退化條件：
* 存在一個三角形，即三個非共線的點。

在普萊費爾公理裡所述之線　l 與 m 被稱為是平行的。每個仿射平面均可唯一地被擴展成投影平面。有限仿射平面的「階」為 k，即一條線上點的數量。n 階仿射平面為  配置。

#### 黑塞配置

3階仿射平面為  配置。當嵌入一些周圍的空間時，稱之為**[[黑塞配置]]**。黑塞配置不可能在歐氏平面裡實現，但可於複投影平面裡實現，有9個橢圓曲線的反曲點及12條線，且每條線各與3個點重合。

這12條線可以分成4類，每類3條線。在各類中，線互不相交。這些類被稱為線的「平行類」。加上4個新的點，於各個平行類中的所有線上（所以現在所有線都相交）；以及一條新的線，只包括這4個新的點，即可形成3階投影平面，具  配置。相反地，從（唯一一種）3階投影平面開始，移除任意一條線，以及所有在該線上的點，即可形成一個（唯一一種）3階仿射平面。

移除一個點並通過該點的4條線（但不包括其他在這些線上的點）會形成  莫比烏斯-坎特配置。

## 部分幾何

給定一整數 α ≥ 1，策略配置若滿足：
對每個非標記 (B, m)，存在 α 個標記，使得 B I l 與 A I m，
則稱之為「部分幾何」。若一條線上有 s+1 個點，且一個點上有 t+1 條線，則該部分幾何標記為 pg(s, t, α)。

若 α = 1，該部分幾何為廣義四邊形。

若 α = s + 1，該部分幾何為斯坦納系統。

## 廣義多邊形

對 n > 2,，廣義 n 邊形是一個部分線性空間，其重合圖 Γ 具下列性質：
Γ 的周長（最短環的長度）是　Γ　的直徑（兩個頂點間最長的距離，在此為　n）的兩倍。

「廣義2邊形」是一個重合結構，但不是部分線性空間，包括至少2個點與2條均與每個點重合的線。廣義2邊形的重合圖為一完整二分圖。

廣義 n 邊形不包含一般 m 邊形，其中 2 ≤ m O \left ( n^{\frac{2}{3}} m^{\frac{2}{3}} + n + m \right ),

而且，此一概估無法再更加精確。

此一結論可用來證明貝克定理。

### 貝克定理

貝克定理表示，平面上任意有限多個點不是大部分的點會位於單一條線上，就是需要大量的線來連接所有的點。

該定理斷言，存在正實數 C、K，使得給定平面上任意 n 個點，下列陳述至少一個為真：

# 存在一條線包含至少個這些點。
# 存在至少  條線，使得每條線都包含至少兩個這些點。

在貝克原本的證明中，C 為100，而 K 則為一不確定的常數；但不知何值才是 C 與 K 的最優解。

## 更多例子

* 投影幾何
* 謀芳多邊形
* 施萊夫利雙六
* 雷伊配置
* 克雷莫納-里奇蒙配置
* 庫默爾配置
* 克萊因配置
* 非笛沙格平面

## 另見

* 組合設計
* 有限幾何
* 相交定理
* 勒維圖

## 註記

## 參考資料

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* Buekenhout, Francis (1995), *Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations*, Elsevier B.V.

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## 外部連結
* ''incidence system''  at the Encyclopedia of Mathematics