最小相位

**最小相位**（minimum-phase）是控制理论及信號處理中有特殊性質的系統，對於线性时不变系统，若本身為因果系统且穩定，且其逆系統也是穩定的因果系统，此系統即為最小相位系統。

相反的，非最小相位（non-minimum phase）系統可以用最小相位系統串接，使部份的零點移到右半面。若有零點在右半面，表示其逆系統不穩定。全通濾波器加入了「額外的相位」（有些可能是传送迟延），這也是為何所得系統稱為非最小相位的原因。

例如一個離散系統，其有理傳遞函數若其所有的極點都在單位圓內，此系統為符合因果性的穩定系統。不過此系統的零點可以在單位圓內或是圓外的任意位置。若離散系統的零點也都在單位圓內，則這個系統也是最小相位的系統。以下會說明為何這様的系統會稱為最小相位系統。

## 逆系統
一系統\mathbb{H}可逆的條件是可以由其輸出找到唯一對應的輸入，也就是可以找到系統\mathbb{H}_{inv}使得若將\mathbb{H}及\mathbb{H}_{inv}二個系統連接，可以得到單位系統\mathbb{I}（可以參反矩陣）。

:\mathbb{H}_{inv} \, \mathbb{H} = \mathbb{I}

假設\tilde{x}為系統\mathbb{H}的輸入，其輸出為\tilde{y}

:\mathbb{H} \, \tilde{x} = \tilde{y}

將\tilde{y}作為逆系統的輸入，可得：

:\mathbb{H}_{inv} \, \tilde{y} = \mathbb{H}_{inv} \, \mathbb{H} \, \tilde{x} = \mathbb{I} \, \tilde{x} = \tilde{x}

因此可以用逆系統\mathbb{H}_{inv}，找到輸出\tilde{y}對應的唯一輸入\tilde{x}。

### 離散時間的例子
假設系統\mathbb{H}是離散時間的線性非時變系統（LTI），可以用冲激响应h(n)（*n*為整數）表示。而且，假設系統\mathbb{H}_{inv}的 冲激响应為h_{inv}(n)。二個線性非時變系統的級聯為卷積。上述的關係可以以下式表示：

:(h * h_{inv}) (n) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) \, h_{inv} (n-k) =  \delta (n)

其中\delta (n)為克罗内克函数或是離散時間下的單位矩陣。注意其逆系統\mathbb{H}_{inv}不一定要是唯一的。

## 最小相位系統
若系統再加上因果性且穩定性的條件時，其逆系統就是唯一的，而且系統\mathbb{H}和逆系統\mathbb{H}_{inv}都是最小相位系統。離散系統下因果性及穩定性的條件如下（針對非時變系統，其中的h為系統的沖激響應）：

### 因果性

:h(n) = 0 \,\, \forall \, n 
及
:h_{inv} (n) = 0 \,\, \forall \, n 

### 穩定性

:\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h(n)\right|} = \| h \|_{1} 
及
:\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h_{inv}(n)\right|} = \| h_{inv} \|_{1} 

在有界輸入有界輸出穩定性條目會看到對應連續系統的條件。
## 頻域分析
### 離散時間系統的頻域分析
將最小相位應用在離散時間系統中可以看出一些其中的特性，其時域方程式如下。

:(h * h_{inv}) (n) = \,\! \delta (n)

進行Z轉換後可以得到以下的關係。

:H(z) \, H_{inv}(z) = 1

由於上述關係，可得

:H_{inv}(z) = \frac{1}{H(z)}

為了簡單起見，只考慮有理传递函数 *H* (*z*)。因果性及穩定性表示所有的*H* (*z*)极点都需要嚴格的在单位圆內（參照有界輸入有界輸出穩定性）。假設

:H(z) = \frac{A(z)}{D(z)}

其中*A* (*z*)及*D* (*z*)是*z*的多項式。因果性及穩定性會使得*D* (*z*)的零点（根）需要嚴格的在单位圆內（不能在邊界上）。而

:H_{inv}(z) = \frac{D(z)}{A(z)}

因此H_{inv}(z)的因果性及穩定性也會使得為*A* (*z*)的零点需要嚴格的在单位圆內，上述二個條件下，最小相位系統的零點及極點都需要在嚴格的在单位圆內。

### 連續時間系統的頻域分析
連續時間系統的分析和離散系統類似，不過會使用拉普拉斯变换，其時域的方程式如下。

:(h * h_{inv}) (t) = \,\! \delta (t)

其中\delta(t)為狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是連續時間下的恒等算子，因為其和任意信號*x* (*t*)都會有篩選性質。

:\delta(t) * x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - \tau) x(\tau) d \tau = x(t)

進行拉普拉斯变换可得到以下S平面的關係。

:H(s) \, H_{inv}(s) = 1

也可以得到下式

:H_{inv}(s) = \frac{1}{H(s)}

為簡化起見，此處也只考慮有理传递函数*H*(*s*)。因果性及穩定性表示*H* (*s*)的所有极点都要嚴格的在左半S平面（參考有界輸入有界輸出穩定性）。假設

:H(s) = \frac{A(s)}{D(s)}

其中*A* (*s*)及*D* (*s*)是*s*的多項式。H(s)的因果性及穩定性表示*D* (*s*)的所有零點都在左半S平面內，而

:H_{inv}(s) = \frac{D(s)}{A(s)}

H(s)的因果性及穩定性表示*A* (*s*)的所有零點都在左半S平面內，因此最小相位系統的最有極點及零點都需要嚴格的在左半S平面內。

### 增益響應及相位響應的關係

不論是連續時間或是離散時間的最小相位系統，都有一個常會用到的性質：增益頻率響應的自然對數（增益的對數單位為奈培，和分貝成正比），和頻率響應的相角（單位為弧度）有關，兩者的關係是希爾伯特轉換。在連續時間系統下，令

:H(j \omega) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  H(s) \Big|_{s = j \omega}  \ 

是系統*H*(*s*)的複數頻率響應。在最小相位系統下，系統*H*(*s*)的相位響應和增益響應的關係為

: \arg \left[ H(j \omega) \right] = -\mathcal{H} \lbrace \log \left( |H(j \omega)| \right) \rbrace \ 

以及

: \log \left( |H(j \omega)| \right) = \log \left( |H(j \infty)| \right) + \mathcal{H} \lbrace \arg \left[H(j \omega) \right] \rbrace \ .

若用較精簡的方式表示，令

:H(j \omega) = |H(j \omega)| e^{j \arg \left[H(j \omega) \right]} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  e^{\alpha(\omega)}  e^{j \phi(\omega)} = e^{\alpha(\omega) + j \phi(\omega)} \ 

其中\alpha(\omega)和\phi(\omega)都是實數下的實函數，則

: \phi(\omega) = -\mathcal{H} \lbrace \alpha(\omega) \rbrace \ 

及

: \alpha(\omega) = \alpha(\infty) + \mathcal{H} \lbrace \phi(\omega) \rbrace \ .

希爾伯特轉換算子定義為

:\mathcal{H} \lbrace x(t) \rbrace \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \widehat{x}(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}\, d\tau \  .

在離散時間系統中也有等效的對應關係。

## 時域下的最小相位

針對所有有相同增益响应的因果穩定系統，最小相位系統的能量最集中在冲激响应的開始處，也就是說最小相位系統最小化了以下的函數（可以視為是冲激响应能量的延遲）。

: \sum_{n = m}^{\infty} \left| h(n) \right|^2 \,\,\,\,\,\,\, \forall \, m \in \mathbb{Z}^{+}

## 最小相位及最小群延遲

在所有增益响应相同的因果穩定系統中，最小相位系統的群延遲最小。以下證明可以說明為何該系統有最小的群延遲。

假設考慮传递函数H(z)中的一個零点 a，先讓零点a在单位圆內（\left| a \right| ），看對群延遲的影響。

:a = \left| a \right| e^{i \theta_a} \, \mbox{ where } \, \theta_a = \mbox{Arg}(a)

因為零点 a 在传递函数中貢獻了1 - a z^{-1}的因子，因此其對相位的貢獻如下：

:\phi_a \left(\omega \right) = \mbox{Arg} \left(1 - a e^{-i \omega} \right)

:= \mbox{Arg} \left(1 - \left| a \right| e^{i \theta_a} e^{-i \omega} \right)

:= \mbox{Arg} \left(1 - \left| a \right| e^{-i (\omega - \theta_a)} \right)

:= \mbox{Arg} \left( \left\{ 1 - \left| a \right| cos( \omega - \theta_a ) \right\} + i \left\{ \left| a \right| sin( \omega - \theta_a ) \right\}\right)

:= \mbox{Arg} \left( \left\{ \left| a \right|^{-1} - \cos( \omega - \theta_a ) \right\} + i \left\{ \sin( \omega - \theta_a ) \right\} \right)

\phi_a (\omega)所貢獻的相延遲如下。

:-\frac{d \phi_a (\omega)}{d \omega} = \frac{ \sin^2( \omega - \theta_a ) + \cos^2( \omega - \theta_a ) - \left| a \right|^{-1} \cos( \omega - \theta_a )

}{

\sin^2( \omega - \theta_a ) + \cos^2( \omega - \theta_a ) + \left| a \right|^{-2} - 2 \left| a \right|^{-1} \cos( \omega - \theta_a )

 }

: -\frac{d \phi_a (\omega)}{d \omega} = \frac{ \left| a \right| - \cos( \omega - \theta_a )

}{

\left| a \right| + \left| a \right|^{-1} - 2 \cos( \omega - \theta_a )

 }

若將零点a移到单位圆外的對應點，也就是(a^{-1})^{*}，上式的分母和\theta_a都不會變化，而分子的\left| a \right|大小增加，因此讓a在单位圆內可以讓群延遲中1 - a z^{-1}的貢獻最小化。可以將上述結果延伸到超過一個零点的情形，因為1 - a_i z^{-1}的相位是各項次相位相加的結果，因此，對於有N個零點的传递函数，

:\mbox{Arg}\left( \prod_{i = 1}^N  \left( 1 - a_i z^{-1} \right) \right) = \sum_{i = 1}^N \mbox{Arg}\left( 1 - a_i z^{-1} \right) 

一個所有零点都在单位圆內的最小相位系統可以讓群延遲降到最小，因為每個零点對群延遲的貢獻都降到最小。

## 非最小相位系統
若系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定，原系統即為**非最小相位系統**（non-minimum-phase）。非最小相位系統和最小相位系統有相同的增益響應，但非最小相位系統的相位貢獻會比最小相位系統要大。

### 最大相位系統
**最大相位系統**（maximum-phase）是和最小相位系統有相反特性的系統，最大相位系統也是非最小相位系統（系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定），而且
* 離散時間系統下的零點都在單位圓外。
* 連續時間系統下的零點都在複數平面的右半邊。
也就是其逆系統所有的極點都不穩定。

此系統稱為最大相位系統的原因是在所有有相同增益響應的系統中，最大相位系統有最大的群延遲。在等增益響應的系統的系統中，最大相位系統有最大的能量延遲。

例如以下是二個連續時間LTI系統的傳遞函數
:\frac{s + 10}{s + 5} \qquad \text{and} \qquad \frac{s - 10}{s + 5}

這二個系統的增益響應相同，但第二個系統相位移的貢獻較大，因此第二個系統是最大相位系統，而第一個系統為最小相位系統。

### 混合相位系統
離散時間下的**混合相位系統**（mixed-phase）有些零點在單位圓內，有些零在單位圓外，其群延遲不是最小值，也不是最大值。連續時間下的混合相位系統則是有些零點在右半平面內，有些零點在右半平面。

例如連續時間系統
:\frac{ (s + 1)(s - 5)(s + 10) }{ (s+2)(s+4)(s+6) }
是因果穩定系統，但有零點在左半平面，也有零點在右半平面，因此是混合相位系統。

### 線性相位
線性相位（linear-phase）系統的群延遲是定值。非平凡的線性相位系統或是接近線性相位系統都是混合相位系統。

## 相關條目
*：一種特殊的非最小相位系統
*克拉莫-克若尼關係式：物理上的最小相位系統

## 參考資料

## 延伸閱讀

*Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : *Statistical and Adaptive Signal Processing*, pp.&nbsp;54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
*Boaz Porat : *A Course in Digital Signal Processing*, pp.&nbsp;261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6