格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理

代数几何中，**格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理**是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广，其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。

黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛，而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形（或更一般的概形）之间态射的相对情形中，并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于层的链复形的陈述。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对阿蒂亚-辛格指标定理的发展影响深远，反过来，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的复分析类比也可以用族的指标定理来证明。1957年，亚历山大·格罗滕迪克在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。、Armand Borel与让-皮埃尔·塞尔撰写并发表了他的证明（1958）。后来，格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。

## 公式
令*X*为域上的光滑拟射影概形，凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群K_0(X)规范同构（canonically isomorphic）于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构，将陈示性（陈类的有理组合）视作一种函子式变换：

:\mathrm{ch} \colon K_0(X) \to A(X, \Q),
其中A_d(X,\Q)是*d*维的*X*上的循环的周群，模去有理等价，以有理数张开。若*X*定义在复数上，则后一个群映射到拓扑上同调群：
:H^{2\dim(X) - 2d}(X, \Q).

现在考虑光滑拟射影概形与X上的层{\mathcal F^\bull}的有界复形之间的真射f \colon X \to Y。

**格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理**涉及前推映射
:f_{!} = \sum (-1)^i R^i f_* \colon K_0(X) \to K_0(Y)

（高阶直像的交替和）与前推

:f_* \colon A(X) \to A(Y),

由公式

: \mathrm{ch} (f_{!}{\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(Y) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(X) ). 

其中\mathrm{td}(X)是*X*（的切丛）的Todd属。因此，该定理给出了衡量上述前推映射与陈特征之间交换性偏差的方法，并表明所需的修正函子只取决于*X*、 *Y*。事实上，由于Todd属在正合序列中是函子、乘法的，可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为

: \mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) = f_* (\mathrm{ch}({\mathcal F}^\bull) \mathrm{td}(T_f) ),

其中T_f是*f*的相对切层，定义为元素TX - f^*(TY)\in K_0(X)。例如，当*f*是光滑态射时，T_f就只是向量丛，即沿*f*的纤维的切丛。

运用A1同伦论，将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到*f*是两光滑概形间的真映射。

## 泛化与特化
考虑组合\mathrm{ch}(-)\mathrm{td}(X)的适当推广，可将定理推广到非光滑情况；考虑具有紧支集的上同调，可将定理推广到非真（non-proper）情况。
 
算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形（arithmetic scheme）。

希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理（本质上）是*Y*为点、域为复数域的特例。

有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。它涉及代数有向上同调论之间的乘法（如代数配边）。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况，这时自然会出现陈示性。

## 例子
### 曲线上的向量丛
域k的光滑射影曲线上秩为n、度为d（定义为其行列式；或等价地，其第一陈类的度）的向量丛E \to C有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点X = C、Y = \{*\}，则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为

: \begin{align}
\mathrm{ch}(f_{!}{\mathcal F}^\bull) &= h^0(C,E) - h^1(C,E) \\
f_*(\mathrm{ch}(E)\mathrm{td}(X))&= f_*((n + c_1(E))(1 + (1/2)c_1(T_C))) \\
&= f_*(n + c_1(E) + (n/2)c_1(T_C)) \\
&= f_*(c_1(E) + (n/2)c_1(T_C)) \\
&= d + n(1-g);
\end{align}

于是

:\chi(C,E) = d + n(1-g).

此式也适于秩为n、度为d的相干层。

### 光滑真射
格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如，光滑态射f\colon X \to Y的纤维都是等维的（在基变为\Complex时作为拓扑空间是同构的）。在模理论中考虑由模空间\mathcal{M}对光滑真空间进行参数化时，这事实非常好用。例如，戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。

#### 曲线的模
对g属曲线（且无标记点）的模叠\overline{\mathcal{M}}_g，有通用曲线\pi\colon\overline{\mathcal{C}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g，其中\overline{\mathcal{C}}_g = \overline{\mathcal{M}}_{g,1}是属g曲线和一个标记点的模叠。然后定义**重言类**

:\begin{align}
K_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g} &= c_1(\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g})\\
\kappa_l &= \pi_*(K^{l+1}_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}) \\
\mathbb{E} &= \pi_*(\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}) \\
\lambda_l &= c_l(\mathbb{E})
\end{align}

其中1 \leq l \leq g与\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}是相关的对偶化层。注意\omega_{\overline{\mathcal{C}}_g/\overline{\mathcal{M}}_g}在点[C] \in \overline{\mathcal{M}}_g上的纤维，这就是对偶化层\omega_C。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环A^*(\mathcal{M}_g)上的\kappa_i之和 (corollary 6.2)，从而找到描述\lambda_i的\lambda_i、\kappa_i间的关系。由于\overline{\mathcal{M}}_g是光滑德利涅-芒福德叠，可考虑由概形\tilde{\mathcal{M}}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g的覆盖，对某个有限群G可给出\overline{\mathcal{M}}_g = [\tilde{\mathcal{M}}_g/G]。对\omega_{\tilde{\mathcal{C}}_g/\tilde{\mathcal{M}}_g}应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，可得

:\mathrm{ch}(\pi_!(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}})) = \pi_*(\mathrm{ch}(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/ \tilde{\mathcal{M}}}) \mathrm{Td}^\vee(\Omega^1_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}}))

因为

:\mathbf{R}^1\pi_!({\omega _}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}) \cong \mathcal{O}_{\tilde{M}},

由上式可知

:\mathrm{ch}(\mathbb{E}) = 1 + \pi_*(\text{ch}(\omega_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}}) \text{Td}^\vee (\Omega^1_{\tilde{\mathcal{C}}/\tilde{\mathcal{M}}})).

这样，\mathrm{ch}(\mathbb{E})的计算可以进一步减少。在偶数维2k，

:\text{ch}(\mathbb{E})_{2k} = 0.

另外在1维，

:\lambda_1 = c_1(\mathbb{E}) = \frac{1}{12}(\kappa_1 + \delta),

其中\delta是边界上的一个类。g=2时，在光滑轨迹\mathcal{M}_g上有如下关系

:\begin{align}
\lambda_1 &= \frac{1}{12}\kappa_1 \\
\lambda_2 &= \frac{\lambda_1^2}{2} = \frac{\kappa_1^2}{288}
\end{align}

可通过分析\mathbb{E}的陈示性推得。

### 闭嵌入
闭嵌入f\colon Y \to X也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述，其显示了公式成立的另一种非平凡情形。对n维光滑簇X及余维为k的子簇Y，有

:c_k(\mathcal{O}_Y) = (-1)^{k-1}(k-1)![Y]

由短正合序列

:0 \to \mathcal{I}_Y \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y \to 0,

有下式

:c_k(\mathcal{I}_Y) = (-1)^k(k-1)![Y]

for the ideal sheaf since 1 = c(\mathcal{O}_X) = c(\mathcal{O}_Y)c(\mathcal{I}_Y).

## 应用

### 模空间的准射影性
过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间M（如有尖代数曲线的模空间M_{g,n}）可嵌入到射影空间，因此是准射影簇。这可以通过观察M上的规范相伴层（canonically associated sheaf）、研究相伴线丛的度实现。例如，M_{g,n}有曲线族

:\pi\colon C_{g,n} \to M_{g,n}

有截面

:s_i\colon M_{g,n} \to C_{g,n}

对应标记点。由于每根纤维都有规范丛\omega_{C}，有相伴线丛
\Lambda_{g,n}(\pi) = \det(\mathbf{R}\pi_*(\omega_{C_{g,n}/M_{g,n}}))
及
\chi_{g,n}^{(i)} = s_i^*(\omega_{C_{g,n}/M_{g,n}}) .
于是

:\Lambda_{g,n}(\pi) \otimes \left(\bigotimes_{i=1}^n \chi_{g,n}^{(i)}\right)

是丰沛线丛，因此粗糙模空间M_{g,n}是准射影的。

## 历史
亚历山大·格罗滕迪克的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给让-皮埃尔·塞尔的一封信中提出的。1957年，在第一届波恩工作会议（Bonn Arbeitstagung）上公开发表，随后塞尔和Armand Borel在普林斯顿大学组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。

格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先，格罗滕迪克改变了陈述本身：此前人们认为黎曼-罗赫定理是关于单个代数簇的性质，而格罗滕迪克将其重新阐释为两个代数簇之间态射的相对性质。他找到了正确的推广，使证明变得简单，而结论变得更宽泛。简言之，格罗滕迪克将一种强范畴方法一项艰巨的分析。此外，如上所述，格罗滕迪克引入了K-群，为代数K-理论铺平了道路。

## 另见
*川崎黎曼–罗赫公式

## 注释

## 参考文献
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## 外部链接
* The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem 
*The thread  "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.
* The thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
*The thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.