斯坦豪斯-莫澤表示法

**斯坦豪斯-莫澤表示法**，又稱**斯坦豪斯-莫澤記號**、**斯坦豪斯-莫澤多邊形記號**、**多邊形記號**，為利用多邊形來表示大數的一種表示法。此表示法由發明，後來李奧·莫澤擴展了該表示法。

## 斯坦豪斯的多邊形記號
**斯坦豪斯多邊形記號**的定義如下：
*  = nn
*  = 「*n*放進*n*個三角形中」
*  = 「*n*放進*n*個正方形中」

斯坦豪斯使用這個符號定義了一些數：
* 被稱為**Mega數**。
* 被稱為**Megiston數**。

## 莫澤的多邊形記號
**莫澤多邊形記號**是斯坦豪斯多邊形記號的擴張，這個記號不使用圓形，而使用一般的多邊形。
* 、與斯坦豪斯的記號相同。
*  = 「*n*放進*n*個正方形中」（= ）
* 一般來說，「*n*放進*m*邊形中」=「*n*放進*n*個*m* - 1邊形中」

而「2放進邊形中」則被稱為**莫澤數**。

## 中括號表示法
紐約大學的蘇珊·史蒂芬教授在自己的網站中使用以下替代符號：
* 「*n*放進*p*邊形中」使用n[p]\,來表示。（請注意：在本條目中，[n]都是表示某個數字放進正n邊形中，並不是第n級的超運算，為了避免搞混，第n級的超運算在本條目中是使用n-2個向上的箭號表示，請見高德納箭號表示法）
* [\ldots]可以重複使用。例如，「『*n*放進*q*邊形中』放進*p*邊形中」可以表示為(n[q])[p]\,。
* 「*n*放進*k*個*p*邊形中」表示為n[p]_k\,。換句話說，n[p]_k可以定義為n \underbrace{ [p][p]...[p] }_k 。

多邊形記號可以使用這種表示法來定義：
*  = n[3] = n^n=n\uparrow\uparrow 2 \,
*  = n[4] = n[3]_n \,
*  =\,   = n[5] = n[4]_n \,
* 一般來說，n[m] = n[m-1]_n = n \underbrace{[m-1][m-1]...[m-1]}_n \,。
上面所使用的↑為高德納箭號表示法中的記號。

其他例子：
*   = n[3]_4 

斯坦豪斯和莫澤所定義的大數可如下表示：
* （Mega數） = 2[5]
* （Megiston數） = 10[5]
* 莫澤數 = 2[2[5]]

## 一些例子的計算
### 簡單的例子
* 2[3] = 22 = 4
* 2[4] = 2[3]2 = 2[3][3] = 4[3] = 44 = 256

### Mega數
 = 2[5]
: = 2[4]2
: = 2[4][4]
: = 256[4]
: = 256[3]256

256[3]*n*所代表的值如下（*n*從1開始）：
:256[3]=256^{256}
:256[3]_2=256[3][3]= \left( 256^{256} \right) ^{256^{256}}=256^{256} \uparrow\uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}= 256^{256^{257}} = (256 \uparrow) ^2 257,
:256[3]_3=256[3]_2[3]= 256[3]_2\uparrow\uparrow 2 = \left( 256^{256^{257}} \right) ^{256^{256^{257}}}=256^{ \left( 256^{257}\times 256^{256^{257}} \right) }=256^{256^{(257 + 256^{257})}} = (256 \uparrow) ^2 \left( 257 + 256^{257} \right) 
這個數字可以「近似」如下：
:256[3]_3= 256^{256^{257 + 256^{257}}} \risingdotseq 256^{256^{256^{257}}} = (256 \uparrow) ^3 257
這個近似值跟256[3]_3實際上差了非常多倍：
: 256^{256^{257 + 256^{257}}} = \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256 ^ {257}} \gg  256^{256^{256^{257}}} 
通常人們會感覺這兩個數很近，其實差很遠。

類似地，
:256[3]_4 \risingdotseq \left( 256^{256^{256^{257}}} \right) ^ {256^{256^{256^{257}}}} =  256^{ \left( 256^{256^{257}} \times 256^{256^{256^{257}}} \right) } = 256^{256^{(256^{257} + 256^{256^{257}})}} \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}} = (256 \uparrow) ^4 257
:256[3]_5 \risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}} = (256 \uparrow) ^5 257
這種「近似」方法也可以推展到所求的Mega數：
:  = 256[3]_{256} \risingdotseq (256 \uparrow) ^{256} 257
如果再採用更簡化的「近似值」，可以推得：
:   \risingdotseq 256\uparrow\uparrow 257 
實際上，
:   \gg  (256 \uparrow) ^{256} 257 \gg 256\uparrow\uparrow 257 
如果以10為底，則可表示成：
:  \approx(10\uparrow)^{255} \left( 1.99\times 10^{619} \right) \approx(10\uparrow)^{256} \left( 6.19\times 10^{2} \right) \approx(10\uparrow)^{257} \left(2.79 \right)
因此Mega數的範圍為：
:10\uparrow\uparrow 257    

### Megiston數
 = 10[5] = 10[4]10 = (10[4]9)[4]

通過類似於Mega數近似值的近似方法，可得：
:a[4]=a[3]_a\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1)
:a[4]\risingdotseq a\uparrow\uparrow (a+1) \risingdotseq a\uparrow\uparrow a \quad \mathrm{ when } \ a \gg 1 (*)
將a換成10，可得：
:10[4]=10[3]_{10} \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 11 
:10[4]_2 = 10[4][4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow 11)\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11) 

下式為把開頭的10換成a，11換成b，後面的10 \uparrow\uparrow 11換成n之後的計算（其中a↑b = ab）：
:
\begin{align}
(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n & = (a\uparrow\uparrow b)\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
& = (a\uparrow (a\uparrow\uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
& = a\uparrow ((a\uparrow\uparrow (b-1)) \times (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) \\
\end{align}


當a, b皆足夠大時：
:a\uparrow\uparrow (b-1) \ll (a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)
所以
:(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow (n-1)) 
這是一個近似值。

此時重複上面的操作，直到n = 1為止：
:
\begin{align}
(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n &\risingdotseq \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow ((a\uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow 1) \\
&= \underbrace{a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a}_{n-1} \uparrow (a\uparrow\uparrow b) \\
&\risingdotseq a\uparrow\uparrow ((n-1) + b)
\end{align}


因此，當n\gg  b時
:(a\uparrow\uparrow b)\uparrow\uparrow n \risingdotseq a\uparrow\uparrow n (**)
這是一個近似值。

使用(**)式，可得10[4]_2的近似值：
:10[4]_2 \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11) 
以下的近似值使用(*)和(**)式：
:10[4]_3 = 10[4]_2[4] \risingdotseq (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11)) \risingdotseq 10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow (10\uparrow\uparrow 11))= 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^3 11
:10[4]_4 = 10[4]_3[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^4 11
:10[4]_5 = 10[4]_4[4] \risingdotseq 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 10\uparrow\uparrow 11 = (10 \uparrow\uparrow)^5 11

因此，
:10[4]_{10} \risingdotseq 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 10 \uparrow\uparrow 11= (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11
所以Megiston數大致等於：
:  \risingdotseq 10\uparrow\uparrow\uparrow 11
然而，實際上近似值遠小於真正的Megiston數：
:  \gg (10 \uparrow\uparrow)^{10} 11 \gg 10\uparrow\uparrow\uparrow 11

### 莫澤數
莫澤數代表2[] = 2[2[5]]。由於是相當巨大的數字，邊形幾乎跟圓沒有差別，因此採用莫澤多邊形記號是不可能畫出莫澤數的。

儘管是非常巨大的，跟相比來說仍是微不足道的。

提姆·周在1998年證明了下式http://www-users.cs.york.ac.uk/~susan/cyc/b/gmproof.htm ，可見莫澤數遠遠小於葛立恆數（因為下式中後者還比葛立恆數小很多）：

 M 

利用高德納箭號表示法來準確表示莫澤數幾乎是不可能的，但是可以用近似值來表示。莫澤數近似於3 \uparrow \uparrow \! \cdots \! \uparrow 3（-2個箭號）。

## 參見
* 高德納箭號表示法
* 康威鏈式箭號表示法

## 外部連結
* Susan Stepney's Big Numbers 
*