有界輸入有界輸出穩定性

在信號處理及控制理論中，**有界輸入有界輸出穩定性**簡稱**BIBO穩定性**，是一種針對有輸入信號線性系統的穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有BIBO穩定性，則針對每一個有界的輸入，系統的輸出也都會有界，不會發散到無限大。

對於信號若存在有限的定值B > 0使得信號的振幅不會超過B，則此信號為有界的，也就是說
:\ |y[n]| \leq B \quad \forall n \in \mathbb{Z} 針對離散訊號，或
:\ |y(t)| \leq B \quad \forall t \in \mathbb{R} 針對連續訊號

## 線性非時變系統時域分析下的條件
### 連續系統的充份及必要條件
針對連續時間的線性非時變（LTI）系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L<sup>1</sup>範數

 \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right|\,\mathord{\operatorname{d}}t} = \| h \|_{1} 

### 離散系統的充份條件
針對離散時間的線性非時變系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L<sup>1</sup>範數

:\ \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right|} = \| h \|_{1} 

### 充份條件的證明
假設離散時間的線性非時變系統，其脈衝響應\ h[n]和輸入\ x[n]和輸出\ y[n]之間會有以下的關係：
:\ y[n] = h[n] * x[n]

其中*為卷積
則依卷積的定義：

:\ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}{h[k] x[n-k]}

令\| x \|_{\infty}為\ |x[n]|的最大值

:\left|y[n]\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h[n-k] x[k]}\right|

::\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right| \left|x[k]\right|}（根據三角不等式）

::\le \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right| \| x \|_{\infty}}

::= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[n-k]\right|}

::= \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|}

若h[n]是絕對可求和，則\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| h \|_1  且

:\| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| x \|_{\infty} \| h \|_1

因此若h[n]是絕對可求和，且\left|x[n]\right|有界，則因為\| x \|_{\infty} \| h \|_1 ，\left|y[n]\right|也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

## 線性非時變系統頻域分析下的條件
### 連續時間訊號

對於一個有理的連續時間系統，穩定性的條件是拉普拉斯轉換的收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統，其收斂區域為「最大極點」（實部為最大值的極點）實部垂直線往右的開集，定義收斂區域的極點實部稱為。因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面（不能在虛軸上）。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下：

:\int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right| \,\operatorname{d}t}

:: = \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t)\right| \left| e^{-j \omega t} \right| dt}

::= \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) (1 \cdot e)^{-j \omega t} \right| dt}

:: = \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) (e^{\sigma + j \omega})^{- t} \right| dt}

::= \int_{-\infty}^{\infty}{\left|h(t) e^{-s t} \right| dt}

其中s = \sigma + j \omega，且\mbox{Re}(s) = \sigma = 0.

因此收斂區域必須包括虛軸。

### 離散時間訊號

對於一個有理的離散時間系統，穩定性的條件是Z轉換的收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統，其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集，因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內（不能在單位圓上）。

可以用類似的方式推導穩定性準則：

:\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right|}

= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n]\right| \left| e^{-j \omega n} \right|}

::= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] (1 \cdot e)^{-j \omega n} \right|}

::=\sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] (r e^{j \omega})^{-n} \right|}

::= \sum_{n = -\infty}^{\infty}{\left|h[n] z^{- n} \right|}

其中z = r e^{j \omega}，且r = |z| = 1

因此收斂區域必須包括單位圓。

## 相關條目
* 线性时不变系统理论
* 有限脉冲响应（FIR）濾波器
* 無限脈衝響應（IIR）濾波器
* 奈奎斯特图
* 羅斯-霍維茨穩定性準則
* 波德圖
* 相位裕度
* 根軌跡法
* 超穩定性

## 延伸閱讀

*Gordon E. Carlson *Signal and Linear Systems Analysis with Matlab* second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
*John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis *Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications* third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
*D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer *Signals & Systems Continuous and Discrete* fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
*Proof of the necessary conditions for BIBO stability. 
*Christophe Basso *Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide* first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577