格蘭迪級數

**格蘭迪級數**（），即1-1+1-1+\cdots，是由意大利數學家在1703年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作：
:
\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n

它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為\,\frac{1}{2}。

格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作的特例（其中n為任意自然數），這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。

## 簡介
針對以下的格蘭迪級數
:1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一種求和方式是求它的裂項和：
:(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若調整括弧的位置，會得到不同的結果：
:1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數和可以得到0或是1的值。

格蘭迪級數為发散几何级数，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值：
:S = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此
:1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S，即
:2S = 1，
可得到S = \tfrac{1}{2}。

依照上述的計算，可以得到以下的二種結論：
*格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + ... 的和不存在。
*格蘭迪級數的和為\tfrac{1}{2}。

上述二個答案都可以精確的證明，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起，一直到現在嚴謹的數學成型之前，上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。

## 求和性
### 穩定性及線性
對於格蘭迪級數\,1-1+1-1+\cdots，看似可以用以下的方式處理，得到數值\;\tfrac{1}{2}：
*級數內的數兩兩相加或相減。
*每一項乘以一個係數。
*調整括弧順序。
*在級數前面增加新的項。
不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數，而\, 1-1+1-1+ \cdots \,不是收斂級數，因此上述處理都不適用。

由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,...... 以一種簡單模式排列，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和，再透過解方程得出一數值。暫時假設\, s=1-1+1-1+ \cdots \,這樣的寫法有意義——其中的\;s\;為常數，那麼以下的計算將說明\;s=\frac{1}{2}：

:
\begin{smallmatrix}
2s \ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)\quad\,
\\
 \\ \ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots)&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots)\quad\,
\\
 \\ \ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace{1\,-\,1\,-\,1\,+\,1}_{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace{-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1}_{0}\,)\,+\,\cdots]
\end{smallmatrix}


因此，s=\tfrac{1}{2}。

再者，有許多的求和方式可以處理發散級數，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。

### 切薩羅和

恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法，就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茲的機率法，一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個\;n\;，計算前\;n\;項的和\; \sigma_n\;的平均，當\;n\;趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。

以格蘭迪級數而言，而數列 \tfrac{s_1+\cdots+s_n}{n}的各項分別為
:\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,
而
:\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} =\frac{1}{2}
因此，格蘭迪級數的切薩羅和為 \tfrac{1}{2}。

也可以用廣義的切薩羅和\;\left(C,a\right)\;來計算。

## 發散性
這個級數的部分和如下：
:
\begin{cases}
S_1=1\\
S_2=1-1=0\\
S_3=1-1+1=1\\
S_4=1-1+1-1=0\\
\quad\;\,\vdots
\end{cases}

由此得出另一個無窮序列：
:S_1, S_2, S_3, S_4, \cdots = 1, 0, 1, 0, \cdots，

根據無窮級數的定義，
:
\sum_{n=0}^{\infin}\,(-1)^n =
\lim_{n\to\infty}S_n

但是\;S_n\;的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在0和1之間來回變動），所以\;\lim_{n\to\infty}S_n\;發散。

因此\;\sum_{n=0}^{\infin}\,(-1)^n\;這個級數也發散。

## 格蘭迪級數的應用
### 幂級數
以下的幂級數和格蘭迪級數有關，也是其母函数：
:f(x) = 1-x+x^2-x^3+\cdots = \frac{1}{1+x}

### 狄拉克梳
格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現：
:\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cdots = \sum_{k=1}^\infty\cos(kx).

若*x* = π，其上述級數化簡為−1&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;−&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;−&nbsp;·&nbsp;·&nbsp;，歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos *kx* = −1⁄2，不過達朗貝爾不同意此關係式，而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。

歐拉的聲明推測

:1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx) = 0?

針對所有的*x*，此級數都發散，不過對於幾乎所有的*x*，切萨罗和均為0。不過在*x* = 2π*n*時，其級數發散，而且是的傅立葉級數。其一般和、切萨罗和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、费耶核及的極限有關。

### 狄利克雷级数

將格蘭迪級數各項乘以1/*n**z*可以得到以下的狄利克雷级数 
:\eta(z)=1-\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}-\frac{1}{4^z}+\cdots=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^z},

上述級數只有在實部大於0的複數*z*才會收斂，若令*z*&nbsp;=&nbsp;0，即為格蘭迪級數。

不同於幾何級數，狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。即使在右半平面上，上述的\eta(z)也無法用初等函數來表示，也沒有直接證據可以證明當z趨近0時，\eta(z)的極值。

另一方面，若使用其他較強的求和法，則上述的\eta(z)可定義一個在整個複數平面的函數－狄利克雷η函数，而且此函數為解析函数。若*z*的實部>&nbsp;−1，就可以用切薩羅和進行求和，因此η(0)&nbsp;=&nbsp;1⁄2。

狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關：
:\begin{array}{rcl}
\eta(z) & = &\displaystyle 1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\cdots - \frac{2}{2^z}\left(1+\frac{1}{2^z}+\cdots\right) \\[1em]
  & = & \displaystyle \left(1-\frac{2}{2^z}\right)\zeta(z),
\end{array}

其中ζ為黎曼ζ函數。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，可以得到ζ(0)&nbsp;=&nbsp;−1⁄2。參照1 + 1 + 1 + 1 + …。

上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼ζ函數可表示為η(*z*)和(1&nbsp;−&nbsp;21−*z*)相除的結果，二個函數在整個複數平面均為解析函数，而後者的零点是在*z*&nbsp;=&nbsp;1的簡單零點，因此可得ζ(*z*)為亚纯函数，只在*z*&nbsp;=&nbsp;1有一個極點。

### 物理學
格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現，最典型的是量子化的费米子場，其中同時有正的及負的特徵值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中，例如卡西米爾效應。

在領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數，而其求和方式是正規化的一部份，例如就是其中的一種。

## 相關條目

* 交錯級數

## 參考資料