大气质量 (天文学)

**大氣質量**（**airmass**），在天文學是指來自天體的光穿過大氣層的路徑長度。當光穿過大氣層時，會被散射和吸收而造成衰減；經過的大氣層越厚，衰減就越大。因此，在地平線上的天體不如在天頂時那麼明亮。這種衰減稱為大氣消光，可以通過比爾-朗伯定律定量表述。

*大氣質量*通常以相對於天頂抵達海平面的路徑做比較的*相對大氣質量*來表示。因此，定義路徑由天頂抵達海平面的大氣質量為1。隨著光源和天頂之間的夾角增大，大氣質量也會增加。在地平線時，其值約可以達到38。在高於海平面之處，大氣質量可以小於1；然而，大多數大氣質量的解析解不包括海拔高度的影響，因此通常必須經由其它的手段完成調整。

在一些領域，例如太陽能和光伏，大氣質量以首字母的縮寫AM表示；此外，大氣質量的值通常會通過附加其它的價值，因此會以AM1、AM2等等，表示不同附加值的大氣質量。在地球的大氣層之上的區域，沒有大氣造成的衰減，其大氣質量表示為AM0。

許多研究者者都曾發表大氣質量表，包括
Bemporad (1904)、Allen (1976), 、和Kasten and Young (1989)。

## 計算大氣質量

### 天頂角和高度

天體與天頂的距離是" 天頂角 "（在天文學，通常稱為" 天頂距離"）。物體的角位置也可以用高度角，在幾何地平上的角度；因此，高度h和天頂角z的關係為：

:h = 90^\circ - z \,.

### 大氣折射
大氣折射導致光跟隨著地球圓弧的路徑比幾何路徑稍長，因此大氣質量必須考慮更長的路線（Young 1994）。另外，折射使出現在地平線附近時的位置比實際的更高；在地平線上，實際真天頂角和視天頂角的差別大約是34角分。大多數大氣質量公式是基於視天頂角，但有些是基於真天頂角。所以，重要的是要確保使用正確的值，特別是在地平線附近
。

### 平面-平行大氣層
當天頂角足夠小時，可以很好的假設一個均勻的平面平行大氣（即密度恆定，而且地球的曲率被忽略），就可以給出很好的近似。大氣質量X就可以簡化成僅僅是天頂角的正割：

:X = \sec\, z \,.

在天頂角60°時，大氣質量大約是2。然而，因為地球不是平的，這個公式只適用於天頂角大約在60°至75°（取決於對精度的要求）。在更大的天頂角時，準確度迅速將低，隨著趨近於地平，X = \sec\, z將變得無限大；在更加真實的球形大氣中，地平線的大氣質量通常小於40。

### 插值公式
已經發展出許多公式以調適大氣質量表格的值，其一是 Young and Irvine (1967)列出的插值公式，包含一個簡單的修正項：

:X = \sec\,z_\mathrm t \, \left [ 1 - 0.0012 \,(\sec^2 z_\mathrm t - 1) \right ] \,,

此處z_\mathrm t是真天頂角。這可以適用至大約80°，但它的準確性在更大的角度時會迅速的衰退。計算的大氣質量在86.6°時是11.13，但在88°時其值為0，而在地平線時的數值為負無窮大。在繪製這個公式的伴隨圖時，會包括大氣折射的修正，使計算所得的大氣質量是以視天頂角取代真天頂角。

Hardie (1962)引入多項式\sec\,z - 1：

:X = \sec\,z \,-\, 0.0018167 \,(\sec\,z \,-\, 1) \,-\, 0.002875 \,(\sec\,z \,-\, 1)^2
	      \,-\, 0.0008083 \,(\sec\,z \,-\, 1)^3 \, 

它給定的天頂角可以適用至大約85°。與前面的公式一樣，計算出的大氣質量會達到一個極大值，然後在地平線上時逼近負無窮大。

Rozenberg (1966)建議：

:X = \left (\cos\,z + 0.025 e^{-11 \cos\, z} \right )^{-1} \,,

為高天頂角提供了合理的結果，在地平的大氣質量為40。

Kasten and Young (1989)發展的

:X = \frac{1} { \cos\, z + 0.50572 \,(6.07995^\circ + 90^\circ - z)^{-1.6364}} \,,

為天頂角提供了合理的結果，適用至90°。在地平的大氣質量大約為38。此處的 z項是*角度*。

Young (1994)發展的：

:X = \frac
{ 1.002432\, \cos^2 z_\mathrm t + 0.148386 \, \cos\, z_\mathrm t + 0.0096467 }
{ \cos^3 z_\mathrm t + 0.149864\, \cos^2 z_\mathrm t + 0.0102963 \, \cos\, z_\mathrm t + 0.000303978 } \, 

依據真天頂角z_\mathrm t，作者聲稱最大誤差（在地平線上）只有0.0037大氣質量。

Pickering (2002)發展的：
:X = \frac{1} { \sin (h + {244}/(165+47 h^{1.1}) ) } \,,

此處h是視高度(90^\circ - z)，以角度為單位。皮克林宣稱它的公式在靠近地平的誤差只有Schaefer (1998)的十分之一

### 大氣模型
插值公式試圖用極少的計算為大氣質量表提供一個良好的適應。然而，表格中的數值必須從地球及其大氣的幾何和物理考量，得出的測量或大氣模型來確定。

#### 非折射徑向對稱大氣

如果可以忽略折射，它就可以簡單地用幾何來考慮（舍恩伯格1929，173）天頂角為z，大氣對稱徑向高度為y的光線路徑s： 

:
    s = \sqrt {R_\mathrm {E}^2 \cos^2 z  + 2 R_\mathrm {E} y_\mathrm{atm}
      + y_\mathrm{atm}^2}
      - R_\mathrm {E} \cos\, z \, 

或是二擇一的替代

:
    s = \sqrt {\left ( R_\mathrm {E} + y_\mathrm{atm} \right )^2
    - R_\mathrm {E}^2 \sin^2 z}
    - R_\mathrm {E} \cos\, z \, 

此處的R_\mathrm E是地球半徑。

#### 均質的大氣層
如果大氣層是（也就是說密度是恆定的），天頂的路徑單純的只是大氣高度y_{\mathrm
{atm}}的變數，相對的大氣質量是：

:
    X = \frac s {y_\mathrm{atm}}
      = \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}} \sqrt {\cos^2 z
      + 2 \frac {y_\mathrm{atm}} {R_\mathrm {E}}
      + \left ( \frac {y_\mathrm{atm}} {R_\mathrm {E}} \right )^2 }
      - \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}} \cos\, z \,.


如果密度是恆定的，流體靜力學與大氣高度的關係是： 

:y_\mathrm{atm} = \frac {kT_0} {mg} \,,

此處的k是波茲曼常數，T_0是海平面的溫度， m是大氣的分子質量，並且g重力加速度。雖然這與的大氣標高相同，但本質略有不同。在等溫大氣中，37%的大氣壓力高於大氣標高；在均質大氣中，在大氣標高之上沒有大氣層。

讓T_0&nbsp;=&nbsp;288.15&nbsp;K，m&nbsp;=&nbsp;28.9644&times;1.6605&times;10&minus;27&nbsp;kg，並且g&nbsp;=&nbsp;9.80665&nbsp;m/s2，得到y_\mathrm{atm}&nbsp;≈&nbsp;8435&nbsp;m。取地球的半徑值為 6371&nbsp;km，在地平的海平面大氣質量為：
 
:
    X_\mathrm{horiz} = \sqrt {1 + 2 \frac {R_\mathrm {E}} {y_\mathrm{atm}}} \approx 38.87 \,.


均質球面模型略為低估了地平線附近空氣質量增加的速度，從更嚴謹的模型中給出的值有著合理的整體擬合，可以設定大氣質量與天頂角小於90°的值匹配。大氣質量的方程式可以重新排列成：

:\frac {R_\mathrm{E}} {y_\mathrm{atm}}
        = \frac {X^2 - 1} {2 \left ( 1 - X \cos z \right )} \,;

當取R_\mathrm{E} / y_\mathrm{atm}&nbsp;≈&nbsp;631.01 and
X_\mathrm{horiz}&nbsp;≈&nbsp;35.54，在z&nbsp;=&nbsp;88°，可以吻合Bemporad的數值：19.787。此處，R_\mathrm{E}的值與前述相同， y_\mathrm{atm}&nbsp;≈&nbsp;10,096&nbsp;m。

雖然均質大氣不是逼真的物理模型，但只要大氣標高的高度相較於行星的半徑是微小的，這樣的近似是合理的。

這個模型在所有的天頂角度，包括大於90°（參見下文：Homogeneous spherical atmosphere with elevated observer），都是可用的（亦即它不會趨近於無窮大或0）。

這個模型需要的計算量相對較小，如果不需要高精度，它足以給出合理的結果。

然而，對於天頂角小於90°，有幾個插值公式可以給出更好、更合適的大氣質量。,

#### 密度改變的大氣層

## 注释

## 參考資料
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* Optical Telescopes of Today and Tomorrow
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## 外部連結
* Reed Meyer’s downloadable airmass calculator, written in C (notes in the source code describe the theory in detail)
* NASA Astrophysics Data System A source for electronic copies of some of the references.