重整化群

在理论物理中，**重整化群**（renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为“”。重整化群与“”和“”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

## 方程
基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程：

费恩曼、朱利安·施温格、朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖，因为他们都把重整化以及正規化等想法应用于量子电动力学。

利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化。

然后肯尼斯·威爾森使用重整化群解决近藤问题， 以及描述临界现象和第二相變。 他1982年赢了诺贝尔奖。

## 块自旋
这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。

首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为T，相互作用的强度使用耦合常数J来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为H(T, J)。

现在，我们把这个系统分为有着2\times 2个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数T和J不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。

原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到H(T*, J*)，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个**不动点**上的数。

现在考虑一个具体的例子：铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里，耦合常数J代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：

# T=0和J\to\infty。从宏观上来看，温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。
# T\to\infty和J\to 0。与第1种情形正好相反，温度对系统的影响占据了主导，系统在宏观上变得无序。
# T=T_c且J=J_c。在这一特定的状态上，改变系统的标度不改变系统的物理性质，因为系统处于分形态上。这对应居里相变，这个点称为临界点。

## 基本理论
假设有一个可以用状态变量\{s_i\}和一组耦合常数\{J_k\}表示的函数Z。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换\{s_i\}\to \{\tilde s_i\}，\tilde s_i所包含的数目必须小于s_i。接下来我们可以把函数Z只用\tilde s_i来表示。如果\{J_k\}\to
\{\tilde J_k\}也是可以实现的，那么就说这个物理系统是**可重整化**的。

最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学，量子色动力学，电弱相互作用等，但是引力是无法重整化的。此外，凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导，超流。

变量的变换可以由一个β函数实现：\{\tilde
J_k\}=\beta(\{ J_k \})。这一函数可以在J空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。

## 举例计算
参见（四次交互论； \phi^4论）。欧几里得空间的拉氏量是\mathcal{L}(\phi) = {m^2 \over 2} \phi^2  + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2  + {\lambda \over 4!} \phi^4 . 配分函数或泛函积分是：Z=\int \mathcal{D}\phi \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \phi^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2 + {\lambda \over 4!} \phi^4\right) \right].通过重正化以及正规化 \Lambda：

[D \phi]_\Lambda = \prod _{|p|Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_\Lambda \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \phi^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi)^2 + {\lambda \over 4!} \phi^4\right) \right].若 0：\hat{\phi}(p) = \begin{cases}
  \phi (p),  & \mbox{if } b \Lambda \leqslant |p| \phi(p) = \begin{cases}
  0,  & \mbox{if } b \Lambda \leqslant |p| 所以Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} \int \mathcal{D}\hat{\phi} \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} (\phi+\hat{\phi})^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \phi + \partial _\mu \hat{\phi})^2 + {\lambda \over 4!} (\phi+\hat{\phi})^4\right) \right].介绍 \phi \hat{\phi} ：Z=\int \left[\mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} e^{-\int d^{(d)} x \mathcal{L}(\phi)} \int \mathcal{D}\hat{\phi} \exp\left[-\int d^{(d)} x \left({m^2 \over 2} \hat{\phi}^2 + {1 \over 2} (\partial _\mu \hat{\phi})^2 + \lambda ({1 \over 6}\phi^3 \hat{\phi}+{1 \over 4}\phi^2 \hat{\phi}^2+{1 \over 6}\phi \hat{\phi}^3+{1 \over 4!}\hat{\phi}^4)\right) \right].所以新的拉氏量是\mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi)以及Z=\int \left[ \mathcal{D}\phi \right]_{b \Lambda} \exp{\left[ -\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff}(\phi) \right]} ,\mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi) 不同于\mathcal{L} (\phi)，因为\lambda , \phi 改变了。 上面的 Z 陈述一个。若 x'= b x, p'={p \over b}, |p|.\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi) = \int d^{(d)} x' b^{-d} \left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^2(\partial' _\mu \phi)^2 +{1 \over 2}(m^2+\Delta m^2) \phi^2 + {1 \over 4!}(\lambda+\Delta \lambda)\phi^4 + \Delta B b^4 (\partial' _\mu \phi)^4 + \Delta C \phi^6 + ... \right]假设\phi'=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2} \cdot \phim'^2=(1+\Delta Z)^{-1}(m^2+\Delta m^2)b^{-2}\lambda'=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda+\Delta\lambda)b^{d-4}B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}所以\int d^{(d)} x \mathcal{L}_\textrm{eff} (\phi) = \int d^{(d)} x' \left[{1 \over 2}(\partial' _\mu \phi')^2 +{1 \over 2}m'^2 \phi'^2 + {1 \over 4!}\lambda' \phi^4 + \Delta B (\partial' _\mu \phi')^4 + \Delta C' \phi'^6 + ... \right]耦合常數的变量为 \Delta m^2, \Delta Z, \Delta \lambda。耦合常數的演进是动力系统的临界点：m'^2=m^2b^{-2}, \lambda'=\lambda b^{d-4}, B'=B b^d, C'=C b^{2d-6} 

### 三种耦合

* 无关耦合（irrelevant）：耦合减少了
* 相关耦合（relevant）：耦合增加了
* 边缘耦合（marginal）：耦合不变

若 d=4，因为b所以B和C是无关的，m是相关的，并且\lambda是边缘的。

而且\phi^4论是可重整化的。

## 动力系统的重整化
米切爾·費根鮑姆使用重整化群计算費根鮑姆常数，而且将重整化应用于分岔理論。

阿图尔·阿维拉（巴西数学家）也将重整化群应用于动力系统、費根鮑姆常數等

其他应用包括：

* 混沌理论
* 湍流
* 分形
* 随机微分方程、、参见马丁·海雷尔的研究
* 渗流理论

等

## 参见
*重整化
*密度矩陣重整化群
*临界现象
*普遍性

## 扩展阅读
### 入门教程与历史回顾
* S. R. White (1992): Density matrix formulation for quantum renormalization groups, Phys. Rev. Lett. **69**, 2863. 有人说这是最成功的variational RG办法
* N. Goldenfeld (1993): Lectures on phase transitions and the renormalization group. Addison-Wesley.
* D. V. Shirkov (1999): Evolution of the Bogoliubov Renormalization Group.  arXiv.org:hep-th/9909024 . A mathematical introduction and historical overview with a stress on group theory and the application in high-energy physics.
* B. Delamotte (2004):  A hint of renormalization. American Journal of Physics, Vol. 72, No. 2, pp. 170\u2013184, February 2004 . A pedestrian introduction to renormalization and the renormalization group.  For nonsubscribers see arXiv.org:hep-th/0212049 
* H.J. Maris, L.P. Kadanoff (1978): Teaching the renormalization group.   American Journal of Physics, June 1978, Volume 46, Issue 6, pp. 652-657 .  A pedestrian introduction to the renormalization group as applied in condensed matter physics.
* K. Huang 黃克孫 (2013): A Critical History of Renormalization. arXiv:1310.5533 
*

### 相关著作
*T. D. Lee 李政道; *Particle physics and introduction to field theory*, Harwood academic publishers, 1981, [ISBN 3-7186-0033-1]. 是总结
*L. Ts. Adzhemyan, N.V.Antonov and A. N. Vasiliev; *The Field Theoretic Renormalization Group in Fully Developed Turbulence*; Gordon and Breach, 1999. [ISBN 90-5699-145-0].
*Vasil'ev, A. N.; *The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics*; Chapman & Hall/CRC, 2004. [ISBN 9780415310024] (Self-contained treatment of renormalization group applications with complete computations);
*Zinn-Justin, Jean; *Quantum field theory and critical phenomena*, Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 (a very thorough presentation of both topics);
*The same author: *Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories*, in: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (eds), Proceedings of the NATO ASI on *Quantum Field Theory: Perspective and Prospective*, June 15–26, 1998, Les Houches, France, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375-388 (1999)  [ISBN ]. Full text available in ''PostScript'' .
* Kleinert, H. and Schulte Frohlinde, V; *Critical Properties of φ<sup>4</sup>-Theories*, World Scientific (Singapore, 2001);  Paperback ISBN 981-02-4658-7''. Full text available in PDF .

## 参考文献