香农小波

在泛函分析中，**香农小波**（）（或Sinc小波）是由理想带通滤波器进行信号分析定义的信号分解方法。香农小波可以是实小波，也可以是复小波。

香农小波在时域局域化特性不好（时域非紧支撑），但其傅里叶变换是带限的（频域是紧支撑）。因此香农小波的时间定位性能较差，但频率定位性能良好。这些特征恰好与哈尔小波相反，因为Haar和sinc系统是彼此的傅里叶对偶。

## 定义
香农小波的构建从Sinc函数开始。

### 尺度函数
首先由sinc函数定义香农小波的尺度函数：

\phi^{\text{(Sha)}}(t) := \frac {\sin \pi t} {\pi t} = \operatorname{sinc}(t).

其伸缩和平移为：

\phi^n_k(t) := 2^{n/2}\phi^{\text{(Sha)}}(2^n t-k)

其中，n,k 为伸缩和平移的参数。

尺度函数的傅里叶变换为：

\Phi^{\text{(Sha)}}(\omega) = \frac{1}{2\pi}\Pi(\frac{\omega}{2\pi})
=
\begin{cases}
\frac{1}{2\pi}, & \mbox{if } {|\omega| \le \pi}, \\
0 & \mbox{if } \mbox{otherwise}. \\
\end{cases} 

其中（归一化的）矩形函数定义为：

 \Pi ( x):= 
\begin{cases}
1, & \mbox{if } {|x| \le 1/2}, \\
0 & \mbox{if } \mbox{otherwise}. \\
\end{cases}  

尺度函数在傅里叶域中的伸缩和平移定义为：\Phi^n_k(\omega) = \frac{2^{-n/2}}{2\pi}e^{-i\omega(k+1)/2^n}\Pi(\frac{\omega}{2^{n+1}\pi})

### 母小波
由尺度函数 \Phi^{\text{(Sha)}} 和多分辨率近似，我们可以得出香农母小波在傅里叶域的形式：

\Psi^{\text{(Sha)}}(\omega) = \frac{1}{2\pi}e^{-i\omega}
\bigg(\Pi(\frac{\omega}{\pi}-\frac{3}{2})+\Pi(\frac{\omega}{\pi}+\frac{3}{2})\bigg)


其伸缩和平移形式为：

\Psi^n_k(\omega) = \frac{2^{-n/2}}{2\pi}e^{-i\omega(k+1)/2^n}
\bigg(\Pi(\frac{\omega}{2^n\pi}-\frac{3}{2})+\Pi(\frac{\omega}{2^n\pi}+\frac{3}{2})\bigg)


对其进行逆傅里叶变换，可以得到香农母小波函数的伸缩和平移形式：

\psi^{\text{(Sha)}}(t) = \frac{\sin\pi(t-(1/2))-\sin2\pi(t-(1/2))}{\pi(t-1/2)}
=\operatorname{sinc}\bigg(t-\frac{1}{2}\bigg)-2\operatorname{sinc}\bigg(2(t-\frac{1}{2})\bigg)


\psi^n_k(t) = 2^{n/2}\psi^{\text{(Sha)}}(2^nt-k)


进一步了解香农小波的构建可以参考。

### 尺度函数和母小波的性质

* 母小波是单位正交的：

=\delta^{nm}\delta_{hk}=
\begin{cases} 1, & \text{if }h=k \text{ and } n=m\\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}


* 尺度 n=0
 的尺度函数的平移是正交的：

=\delta^{kh}


* 尺度n=0
的尺度函数和母小波时正交的：

=0


* 香农小波有无穷阶的消失矩

## 利用香农小波重建函数
假设信号 f(x)\in L_2(\mathbb{R})
 满足 \operatorname{supp}\operatorname{FT}\{f\}\subset[-\pi,\pi]
 并对任意伸缩和平移参数 n,k
都有：

\Bigg|\int^\infty_{-\infty}f(t)\phi^0_k(t)dt\Bigg|, \Bigg|\int^\infty_{-\infty}f(t)\psi^n_k(t)dt\Bigg|

则

f(t)=\sum^\infty_{k=\infty}\alpha_k\phi^0_k(t)
 是一致收敛的，其中 \alpha_k=f(k)


## 实香农小波
在傅里叶变换中，香农母小波由下式给出：
:  \Psi^{(\operatorname{Sha}) }(w) = \prod \left( \frac {w- 3 \pi /2} {\pi}\right)+\prod \left( \frac {w+ 3 \pi /2} {\pi}\right). 
其中（归一化）门函数由下式定义：
:  \prod ( x):= 
\begin{cases}
1, & \mbox{if } {|x| \le 1/2}, \\
0 & \mbox{if} \mbox{  otherwise}. \\
\end{cases} 
实香农小波的解析表达式可由逆傅里叶变换得到：
:  \psi^{(\operatorname{Sha}) }(t) = \operatorname{sinc} \left( \frac {t} {2}\right)\cdot \cos \left( \frac {3 \pi t} {2}\right)
也可按：
:  \psi^{(\operatorname{Sha})}(t)=2 \cdot \operatorname{sinc}(2t - 1)-\operatorname{sinc}(t), 
其中
: \operatorname{sinc}(t):= \frac {\sin {\pi t}} {\pi t}
是出现在香农采样定理中的常见正弦函数。
该小波有C^\infty级的可微性，但是在无穷远处缓慢减小并且没有有界支撑，因为有频带限制的信号没有时间限制。

对于香农MRA（或是正弦MRA）的缩放函数由下面示例函数给出：
: \phi^{(Sha)}(t)= \frac {\sin \pi t} {\pi t} = \operatorname{sinc}(t).
## 复香农小波
复连续香农小波由下式定义：
: \psi^{(CSha) }(t)=\operatorname{sinc}(t).e^{-j2 \pi t},
## 参考资料
*S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
*C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
*L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014， 9 pages.