谱 (泛函分析)

在数学中，特别是在泛函分析中，有界算子的**谱**是矩阵的特征值集合的推广。具体来说，對於有界线性算子*T*，如果*T*-λ*I*不可逆，其中*I*是恒等算子，則複數λ會被认为属于*T*的谱中。谱和相关性质的研究被称为谱理论，其具有许多应用，最值得注意的是量子力学的数学表述。

有限维向量空间上的算子的谱就是特征值的集合。然而，无限维空间上的算子在谱中可能有其他元素，并且可能没有特征值。例如，考虑希尔伯特空间ℓ<sup>2</sup>上的右移算子*R*，
: (x_1, x_2, \dots) \mapsto (0, x_1, x_2, \dots)。
该算子没有特征值，因为如果*Rx*=λ*x*，则通过展开表达式可以得到*x*1=0，*x*2=0……另一方面，0在谱中，因为算子*R*-0（即*R*自身）不可逆：因为第一项非零的任意向量不在它的值域中，所以它不是满射。事实上，複巴拿赫空间上的每个有界线性算子都必有非空谱。

谱的概念可以扩展到稠定无界算子。在这种情况下，複數λ被认为是在算子*T*:*D*→*X*（其中*D*在*X*中稠密）的谱中，如果没有有界逆(λ*I*-*T*)−1:*X*→*D*。如果T是闭算子（包括T是有界算子的情形），逆的有界性可由逆的存在性直接得到。

巴拿赫空间*X*上的有界线性算子*B*(*X*)是有单位的巴拿赫代数的一个例子。由于除了任何这样的代数都具有的性质之外，谱的定义没有涉及*B*(*X*)的任何性质，所以谱的概念可以在此逐字地使用相同的定义推广。

## 有界算子的谱

### 定义
作用在巴拿赫空间X上的T是标量域\mathbb{K}上的有界线性算子，且I是X上的恒等算子。T的**谱**是所有使得算子\lambda I-T没有有界线性逆的\lambda\in \mathbb{K}的集合。

由于\lambda I-T是一个线性算子，所以如果它的逆存在，则一定是线性的；并且，通过有界逆定理可知，它的逆是有界的。 因此，谱正好由那些使得\lambda I - T不是双射的标量\lambda组成。

给定算子T的谱通常记为\sigma(T)，而它的补集，也即预解集，记为 \rho(T) = \mathbb{K} \setminus \sigma(T)。

### 谱和特征值
如果\lambda是T的特征值，则算子T-\lambda I不是一一映射，因此其逆(T-\lambda I)^{-1}没有定义。但否命题是不对的：即使\lambda不是特征值,算子T - \lambda I可能也没有逆。因此，算子的谱总是包含其所有特征值，但却不限于此。

例如考虑希尔伯特空间\ell^2(\mathbb{Z})，它由所有双向无限实数序列
: v = (\ldots, v_{-2},v_{-1},v_0,v_1,v_2,\ldots)
构成，这些序列须满足平方和\sum_{i=-\infty}^{+\infty} v_i^2有限。双向移位算子T简单地将序列的每个元素移动一个位置；即如果u = T(v)则对所有整数i有u_i = v_{i-1}。特征值方程T(v) = \lambda v在该空间中无解，因为如果有解则意味着所有v_i拥有相同的绝对值（如果 \lambda = 1）或者是等比数列（如果 \lambda \neq 1）；无论哪种情形，它们的平方和都不可能有限。然而，算子T-\lambda I在|\lambda| = 1时不可逆。例如满足u_i = 1/(|i|+1)的序列u属于\ell^2(\mathbb{Z}) ；但是不存在\ell^2(\mathbb{Z})中的序列v使得(T-I)v = u（即对所有i有v_{i-1} = u_i + v_i）。

### 基本性质
有界算子*T*的谱总是复平面的非空闭有界子集。

如果谱是空的，那么预解函数
: R(\lambda) = (\lambda I - T)^{-1}，
在复杂平面上处处有定义且有界。但可以证明，预解函数*R*在其定义域是全纯的。通过向量值情形的刘维尔定理可知这个函数是常数。因为它在无穷远处为零，所以恒为零。产生矛盾。 

谱的有界性由关于*λ*的诺伊曼级数展开得出；频谱*σ*(*T*)有界||*T*||。类似的，可以证出谱是闭集。

谱的界||*T*||可以稍作改进。*T*的谱半径*r*(*T*)是复平面上最小的包含谱σ(*T*)以原点为圆心的圆的半径，即 
: r(T) = \sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(T)\}。
谱半径公式指出，对于巴拿赫代数的任何元素*T*有
: r(T) = \lim_{n \to \infty} \|T^n\|^{1/n}。

## 算子谱点分类
巴拿赫空间上的有界算子*T*可逆（即有有界逆），当且仅当*T*有正下界且值域稠密。 因此，T的谱可以分为以下部分：
# 如果&#x3BB;*I*-*T*没有正下界，则&#x3BB;∈&#x3C3;(*T*)。&#x7279;&#x522B;&#x5730;&#xFF0C;&#x8FD9;&#x5305;&#x542B;&#x3BB;*I*-*T*不是单射即&#x3BB;是特征值的情形。特征值集合被称为*T*的**点谱**，记为&#x3C3;p(*T*)。 另一情形，&#x3BB;*I*-*T*是一一映射但没有正下界。&#x8FD9;&#x6837;&#x7684;&#x3BB;不是特征值，而是*T*的近似特征值（特征值本身也是近似特征值）。近似特征值集合（包含点谱）被称为*T*的**近似点谱**，记为&#x3C3;ap(*T*)。
# 如果&#x3BB;*I*-*T*值域不稠密，则&#x3BB;∈&#x3C3;(*T*)。&#x8FD9;&#x6837;&#x7684;&#x3BB;的集合被称为**压缩谱**，记为&#x3C3;cp(*T*)。它的子集，使得&#x3BB;*I*-*T*值域不稠密但是单射的&#x3BB;的集合，被称为*T*的**剩余谱**，记为&#x3C3;r(*T*)。
注意到近似点谱和剩余谱不一定不相交（但点谱和剩余谱不相交）。

以下小节提供了关于上述&#x3C3;(*T*)分类的更多细节。

### 点谱
如果一个算子不是单射（因此有某个非零的*x*满足*T*(*x*)=0），那它显然是不可逆的。 因此，如果&#x3BB;是*T*的特征值，则必有&#x3BB;∈&#x3C3;(*T*)。*T*的特征值集合被称为*T*的**点谱**，记为&#x3C3;p(*T*)。

### 近似点谱
更一般地，*T*如果没有正下界，则不可逆； 也就是说，不存在*c*>0满足||*Tx*||≥*c*||*x*||对所有 *x* ∈ *X* 。因此，谱包括**近似特征值**集合，即使得 *T* -λ*I*  没有正下界的λ； 等价地，它是满足如下条件的λ的集合，存在单位向量*x*1, *x*2, ...使得
: \lim_{n \to \infty} \|Tx_n - \lambda x_n\| = 0。
近似特征值集合被称为**近似点谱**，记为**σ<sub>ap</sub>(''T'')**。

容易看出特征值属于近似点谱。

**例子** 考虑*l*2(**Z**)上双向移位算子*T*定义如下
: 
T(\cdots, a_{-1}, \hat{a}_0, a_1, \cdots) = (\cdots, \hat{a}_{-1}, a_0, a_1, \cdots)

其中ˆ表示第零个位置。直接计算可知*T*没有特征值，但满足|λ|=1的每个λ都是近似特征值；令*x**n*表示向量
: \frac{1}{\sqrt{n}}(\dots, 0, 1, \lambda^{-1}, \lambda^{-2}, \dots, \lambda^{1 - n}, 0, \dots)
则对所有*n*有||*x**n*||=1，但
: \|Tx_n - \lambda x_n\| = \sqrt{\frac{2}{n}} \to 0。
由于*T*是酉算子，所以它的谱位于单位圆上。 因此*T*的近似点谱是其整个谱。 这对于更一般的一类算子也是正确的。 

酉算子是正规的。由谱定理可知，希尔伯特空间H上的有界算子是正规的，当且仅当其等价于（将H等价为L^2空间）乘法算子。 可以证出，有界乘法算子的谱与它的近似点谱相等。

### 剩余谱
算子可以是单射甚至有正下界，但不可逆。*l* 2(**N**)上的单向移位算子就是一例。这个移位算子是一个等距同构，因此下界为1。但是它不可逆，因为它不是满射。满足λ*I*-*T*是单射但值域不稠密的λ的集合被称为**剩余谱**，记为**σ<sub>r</sub>(''T'')**。

### 连续谱
满足λ*I*-*T*是单射且值域稠密但不是满射的λ的集合，被称为*T*的**连续谱**，记为**σ<sub>c</sub>(''T'')**。 因此，连续谱由那些不是特征值且不在剩余谱中的近似特征值构成。即
: \sigma_c(T) = \sigma_{ap}(T) \setminus (\sigma_r(T) \cup  \sigma_p(T)) 。

### 边缘谱
算子的边缘谱是其谱中模等于其谱半径的点的集合。

### 例子
氢原子提供了这种分解的例子。氢原子的哈密顿算子的特征函数被称为**本征态**，并被分为两类。 氢原子的束缚态对应于谱的离散部分（它们具有离散的特征值集合，可由里德伯公式计算得到），而电离过程的最终结果由连续部分描述（碰撞/电离的能量不是“量子化的”）。

## 进一步结果
如果*T*是一个紧算子，则可以证明谱中任意非零λ是特征值。 换句话说，这种算子的谱，被定义为特征值概念的推广，在这种情形下仅包括通常的特征值和0（可能有）。

如果*X*是希尔伯特空间且*T*是正规算子，则有被称为谱定理的显着结果，给出了正规有限维算子的对角化定理的类比（例如埃尔米特矩阵）。

## 无界算子的谱
可以推广谱的定义用于巴拿赫空间*X*上的无界算子，这些算子不再是巴拿赫代数*B*(X)中的元素。 推广类似于有界情形。 复数λ被称为在**预解集**中，即线性算子*T*
: T: D \subset X \to X
的谱的补集，如果算子
: T-\lambda I: D \to X
有有界逆，即如果存在有界算子
: S : X \rightarrow D
使得
: S (T - I \lambda) = I_D, \,  (T - I \lambda) S  = I_X。
如果该性质不满足，则复数λ在**谱**中。 可以以与有界情形完全相同的方式来对谱进行分类。 

无界算子的谱通常是复平面的闭子集，可能为空集。

对于预解集中的*λ*（即不在谱中），与有界情形相同，λ*I*-*T* 必须是双射，因为它必须有双边逆。 如前所述，如果逆存在，则其线性直接可得，但一般来说，它可能无界，因此必须单独检验该条件。

然而如果引入了*T*是闭算子的附加假设，由闭图像定理可知，逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此，与有界情情形相同，复数*λ*位于闭算子*T*的谱中，当且仅当λ*I*-*T*不是双射。 注意到闭算子包括所有有界算子。

通过其谱测度，可以定义任何自伴算子的谱分解，有界或其他类型分解为绝对连续、纯点和奇异部分。

## 有单位的巴拿赫代数的谱
令*B*为包含单位*e*的复巴拿赫代数。我们定义*B*的元素*x*的谱σ(*x*)（或更明确地σ*B*(*x*)）为使λ*e*-*x*在*B*中不可逆的那些複數λ的集合。这推广了巴拿赫空间*X*上有界线性算子*B*(*X*)的谱的定义，因为*B*(*X*)是一个巴拿赫代数。

## 参见
* 
* 自伴算子
* 伪谱
* 

## 参考文献

* Dales et al., *Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis*, ISBN 0-521-53584-0
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