光線轉換矩陣分析

**光線轉換矩陣分析**(又稱**ABCD矩陣分析**)，是用於某些光學系統，特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣(ray transfer matrix)，這個矩陣與一代表光線的向量相乘之後，可以得到光線在該系統中的運行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理(accelerator physics)中，用以追蹤通過粒子加速器中磁鐵裝置的粒子，詳情請見电子光学。

以下介紹的技術使用了近軸逼近法，此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸(optical axis)都處於小角度(θ為徑度)、短距離(x)。

## 定義

光線追蹤技術以兩個平面為參考面，分別為輸入平面與輸出平面，這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外，為了理論的一般性，我們定義系統的光軸即直角坐標系的z軸。一光線與輸入面呈θ1，從距離光軸 *x*1 的入射面進入系統，並在距光軸的*x*2的輸出面呈θ2射出，而*n*1, *n*2分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。

這些參數可表成下列關係式:

: \begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} 

當

:A = {x_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad B = {x_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0} 

且

:C = {\theta_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0} \qquad D = {\theta_2 \over \theta_1 } \bigg|_{x_1 = 0} 

這個關係式以光線轉化矩陣(RTM, M)將光線向量與輸入、輸出面互相連結，M代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根据折射定律与几何关系，可以證明RTM行列式值(determinant)即是兩個折射率的比值。

:\det(\mathbf{M}) = AD - BC = {   n_1  \over  n_2 }  

因此，若是輸入面與輸出面在同一個介質中，或是在具有同一個折射率的不同介質中，M等於1，相似的技術可以應用於電路學上，見二埠網路。

## 範例

若兩個面中有空間存在，光線轉換矩陣可以表示成:

: \mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}  

其中d表示兩參考平面的距離(沿著光軸測量)，此矩陣有下列關係:

: \begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \mathbf{S} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}  

兩光線各別的參數可表示如下:

: \begin{matrix} x_2 & = & x_1 + d\theta_1 \\
\theta_2 & = & \theta_1 \end{matrix} 

另一個範例為一薄透鏡，其光線轉畫矩陣為:

: \mathbf{L} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{bmatrix}  

其中f為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統，光線轉化矩陣可以交互相乘，形成一總括光線轉化矩陣，以下範例唯為一長度為d的空間與薄透鏡的複合系統:

:\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{bmatrix}  

注意，矩陣的乘法並沒有交換率，因此下面的系統先為一薄透鏡，後為一空間。

: \mathbf{SL} =
\begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1-\frac{d}{f} & d \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{bmatrix}  

因此，矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同折射率的介質，或者是面鏡的反射等等。

## 光線轉化矩陣表格
**簡易的光學元素**

## 共振穩定性

RTM在模擬光學共振系統的時候特別有用，像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同，具100%反射率、曲率半徑R相互距離為d的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的，上述的系統可以等同於由一系列焦距為R/2，彼此間的距離為d的薄透鏡所組成的系統，此結構又被稱為a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的RTM如下:

:\mathbf{M} =\mathbf{L}\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{d}{f} \end{bmatrix}  

光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性(等同於共振器)，意即RTM可以找出光可以週期性地再聚焦，並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的”eigenrays”，入射向量在每個mentioned sections的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於1。 使得：

: \mathbf{M} \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ \theta_2 \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}  

此為一本徵方程式：

: \left[ \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix} = 0  

其中I為一2x2單位矩陣。
我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值：

:\operatorname{det}  \left[  \mathbf{M} - \lambda\mathbf{I} \right] = 0   

可導出以下特徵方程式：

: \lambda^2 - \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \lambda + \operatorname{det}( \mathbf{M}) = 0  

其中

:  \operatorname{tr} ( \mathbf{M} )   =    A + D   =   2 - { d \over f }   

是RTM的軌跡，且

:\operatorname{det}(\mathbf{M}) = AD - BC  = 1  

是RTM行列式值的倒數，帶入消去後我們可以得到:

: \lambda^2 - 2g \lambda + 1 = 0   

其中

: g \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   { \operatorname{tr}(\mathbf{M}) \over 2 } = 1 - { d \over 2 f }  

是穩定參數。本徵值是本徵方程式的解，由一元二次方程式可以解出:

: \lambda_{\pm}  =  g \pm \sqrt{g^2 - 1} \,  

現在，考慮一個光線通過系統N次:

: \begin{bmatrix} x_N \\ \theta_N \end{bmatrix} = \lambda^N \begin{bmatrix} x_1 \\ \theta_1 \end{bmatrix}  

如果此波導是穩定的，所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方，意即λN必須是有限的。吾人假設g2>1，則兩本徵值均為實數，又因為λ*λ- = 1 ，因此其中一個的絕對值必須大於1，這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中，g2≤1，以及本徵值可以用複數形式表示:

: \lambda_{\pm} = g \pm i \sqrt{1 - g^2} = \cos(\phi) \pm i \sin(\phi) =  e^{\pm i \phi}  

以g=cos(φ)表示。

假設  g^2  且  r_+ ,  r_- 是 \lambda_+ ,  \lambda_- 的本徵向量，此兩向量橫跨所有向量空間，因為他們是正交
因此輸入的向量可以被表示成:

: c_+ r_+ + c_- r_-  ,

 c_+  and  c_- 為某常數

再通過N個波導後，輸出則為:

: \mathbf{M}^N (c_+ r_+ + c_- r_-) = \lambda_+^N c_+ r_+ + \lambda_-^N c_- r_- = e^{i N \phi} c_+ r_+ + e^{- i N \phi} c_- r_-  

這代表一個週期函數。

## 高斯光束的光線轉化矩陣

光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波長為λ0，曲率半徑為R，光點大小w，折射率n，我們可以定義出一複數光束參數(complex beam parameter) q:

: \frac{1}{q} = \frac{1}{R} - \frac{i\lambda_0}{\pi n w^2}  

此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:

: \begin{bmatrix} q_2 \\ 1 \end{bmatrix} = k \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_1 \\ 1 \end{bmatrix}  

其中k為標準化常數，此常數可以讓光束向量的第二個成分為1，利用矩陣乘法:
: q_2 = k(Aq_1 + B) \,

且

: 1 =   k(Cq_1 + D) \   

由上式除以下式可得:

: q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} 

此方程式常以倒數形式表示:

:  { 1 \over q_2 }    = {  C + D/q_1  \over  A + B/q_1 } 

### 範例：Free space
假設一光束通過一距離為d的空間，光線轉化矩陣為:
\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix} 
因此
: q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} = \frac{q_1+d}{1} = q_1+d 
這表示，通過一空間會增加半徑d。

### 範例：薄透鏡
假設一光束通過一焦距為f的薄透鏡，光線轉化矩陣為:
: \begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix} 
因此
: q_2 =\frac{Aq_1+B}{Cq_1+D} = \frac{q_1}{-\frac{q_1}{f}+1} 
: \frac{1}{q_2} = \frac{-\frac{q_1}{f}+1}{q_1} =\frac{1}{q_1}-\frac{1}{f} 
再次強調，只有q的實部會被影響，曲率半徑會減少1/f。

## 另見
* 传递矩阵法
* 幾何光學

## 參考文獻

*: Section 1.4, pp.&nbsp;26 – 36.

*:

*: Chapter 6.

## 外部連結
* Thick lenses (Matrix methods)
* ABCD Matrices Tutorial  Provides an example for a system matrix of an entire system.
* ABCD Calculator  An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
* Simple Optical Designer (Android App) An application to explore optical systems using the ABCD matrix method.