消失矩

**消失矩**(Vanishing Moments)，在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。

Vanish moment  越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多

在實務上，Vanish moment=5

## 由來
在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。

1. 有值區間必須是有限的(Compact Support): 

::母小波不能是一個無限長的函數。

2. 必須是實函數(Real) : 
::因為要處理的影像不會是複數信號，且為了方便計算。

3. 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric)

4. 消失矩越高越好:  

這項是最難滿足的一項。 

5. 
:Admissibility Criterion 要存在才存在反小波轉換
:
## 定義

首先定義第 k 個動量( k_{th} moment): 

  m_k = \int t^k\psi(t)\, dt 

若  m_0 = m_1 = m_2 = ... = m_{p-1} = 0 ，

則我們說 \psi(t) 有 p 個消失矩。

## 如何計算消失矩

我們可以看到 m_k = \int t^k\psi(t)\, dt 不太好計算，尤其是 k 很大的時候。

此時，可以善用傅立葉轉換來進行計算。

### 計算第0個動量

首先，觀察傅立葉轉換的公式:

 G(f) = \int g(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt

當令 f=0 時，可以看到以上公式變成:

 G(0) = \int g(t)\, dt

正是第0個動量 m_0。

因此，若要計算 g(t) 的第0個動量，可以先計算 g(t) 的傅立葉轉換，再取直流項(也就是  f=0  )。

### 計算第k個動量

我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第 k 個動量。

首先，傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分  k 次，就相當於時域乘上 t^k :

 \frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(f) = \int t^kg(t)e^{-j2 \pi ft}\, dt

當令 f=0 時，可以看到以上公式變成:

 \frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt

正是第 k 個動量 m_k。

因此，若要計算 g(t) 的第k個動量，可以先計算 g(t) 的傅立葉轉換的k次微分，再取直流項(也就是  f=0  )。

## 一些常用函數的消失矩
分成兩類**連續函數**與**連續函數的離散係數**

* 連續函數:哈爾基底、墨西哥帽函數
* 連續函數的離散係數**:**多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet

### 連續函數
哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。

而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。

#### 哈爾基底

哈爾基底的數學表示式如下: 

 \psi(t) =  \begin{cases}1 \quad & 0 \leq  t 

\psi(t) 是一個奇函數，所以

 m_0= \int \psi(t)\, dt =0

但 t\psi(t) 是偶函數，所以

 m_1= \int t\psi(t)\, dt \neq 0

因此，**哈爾基底**的**消失矩為1**。

#### 墨西哥帽函數

墨西哥帽函數的數學表示式:

  \psi(t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-2 \pi t^2)e^{- \pi t^2} 

仔細觀察，\psi(t) 其實是高斯函數的二次微分:

 \psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2}, C=  常數。 

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數:

 \psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2} \to -C4 \pi ^2 f^2 e^{- \pi f^2} 。

利用

 \frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt

可以算出

 m_0=m_1=0, m_2 \neq 0。

所以**墨西哥帽函數**的**消失矩為2**。

#### 高斯函數的p次微分

墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，所以消失矩為2。

當

 \psi(t) = \frac{d^p}{dt^p}e^{- \pi t^2}

其傅立葉轉換為

 (j2 \pi f)^p e^{- \pi f^2} 。

利用

 \frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt

可以算出

 m_0=m_1=m_{p-1}, m_p \neq 0。

所以**高斯函數p次微分**的**消失矩為p**。

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### 連續函數的離散係數

多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。

且這三種都是orthonormal filters

#### 多貝西小波

 2n  點的多貝西小波，消失矩 =n 

#### Symlet

 2n  點的Symlet，消失矩 =n 
**Coiflet**
 6n  點的Coiflet，消失矩 =n 
**三者的比較**

# Symlet和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。
# Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment.

\int\limits_{-\infty}^{\infty}  \phi(t)\, dt \neq0                           

\int\limits_{-\infty}^{\infty}  t^k\phi(t)\, dt =0   for 1 \leq k \leq p

## 消失矩對於函數的意義

消失矩是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說，對於函數

 f(t) = \frac{\sin(t)}{t^2}

當輸入值 t 逐漸往無限大增加時，此函數會以\frac{1}{t^2}的速率遞減。
我們可用利用定義中的動量積分式\int_{-\infty}^{\infty} t^k f(t)\, dt來評估此函數的遞減速率。

回到此範例中的函數，當k=0時，由於分子\sin(t)會在[-1,1]之間震盪，使得整個函數在[-\frac{1}{t^2},\frac{1}{t^2}]震盪。

此性質使得 k=0時，

  \int_{-\infty}^{\infty} t^k (\frac{\sin(t)}{t^2})\, dt \to 0 

函數積分式必定會收斂於0，代表第0個動量 m_0 = 0 

當 k = 1時，
 
 \int_{-\infty}^{\infty} t^k (\frac{\sin(t)}{t})\, dt = \pi

因此第1個動量 m_1 = \pi \neq 0

對於k > 1 的情況，動量積分式均會隨著 t \to\infty 而發散。

由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大k值來判斷函數的遞減速率，而此最大k值便是函數的消失矩。

在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失矩來描述。

## 消失矩的等價敘述
依照定義，小波母函數\psi(t)有 p 個消失矩的條件為

 \int_{-\infty}^{\infty} t^k \psi(t)\, dt = 0,\ for\ 0\leq k 

然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分，因此在設計小波母函數上並不實用。

若定義小波轉換中的尺度函數為 \varphi(t) ，當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時，

 \left| \psi(t) \right| = O((1+t^2)^{-p/2-1}) 

 \left| \varphi(t) \right| = O((1+t^2)^{-p/2-1}) 

下列四項敘述便是等價的：

1. 小波母函數 \psi(t) 有p個消失矩。

2.  \psi(t) , \ \varphi(t) 的傅立葉轉換，以及前p - 1次微分在 \omega = 0處均為零。

3.  h_\varphi (t) , \ H_\varphi (e^{j\omega}) 的傅立葉轉換，以及前p - 1次微分在 \omega = 0處均為零。

4. 對於 0 \leq k  區間內的任意 k 值

:: q_k (t) = \sum_{n=-\infty}^\infty n^k \varphi(t-n)

:是最高次方為 k  的多項式函數。

## 消失矩與小波函數的設計

當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時，

  {\left| H_\varphi (\omega) \right|}^2 + {\left| H_\varphi (\omega + \pi) \right|}^2 = 2 

此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中 H_\varphi (\omega)代表離散低通濾波器h_\varphi[n]離散低通濾波器的傅立葉轉換。

結合共軛鏡像濾波器的條件與消失矩的第3個等價敘述，我們可以將低通濾波器表示為

  H_\varphi (e^{j\omega}) = \sqrt{2} { (\frac{1+e^{j\omega}}{2})) }^p L(e^{j\omega}) 

其中 L(x) 為一多項式函數。

利用上述條件與消失矩的等價敘述，可以簡化設計小波函數的步驟。

### 消失矩與濾波器長度

在小波轉換中，尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義：

 \varphi(t) = \sum_{n}^{} h_\varphi [n] \sqrt{2}\varphi(2t-n) 

 \psi(t) = \sum_{n}^{} h_\psi [n] \sqrt{2}\varphi(2t-n) 

其中h_\varphi[n]為離散低通濾波器，h_\psi[n]則為離散高通濾波器，通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。

從上述 H_\varphi (e^{j\omega}) = \sqrt{2} { (\frac{1+e^{j\omega}}{2})) }^p L(e^{j\omega}) 的表示式可得知，

當我們選擇較高的消失矩p時， H_\varphi (e^{j\omega})將會是具有較高 e^{j\omega}次方的多項式函數，因此對應到的h_\varphi[n]便有較長的濾波器長度。

一般而言，擁有較高的消失矩與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係，無法兩者同時滿足。

因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時，除了消失矩外，也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。

## 參考文獻
*Jian-Jiun Ding (2012), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform   [viewed 17/01/2012]
*Chun-Lin Liu, A Tutorial of the Wavelet Transform , February 2010
*S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed., December 2008.