彼得-魏尔定理

**彼得-魏尔定理**（）是调和分析和群表示论中的一组重要定理，于1927年由赫尔曼·魏尔和他的学生证明。该定理刻画了紧群不可约表示的完备性，可以视作有限群表示理论中弗罗贝尼乌斯定理的推广。定理分为三部分：第一部分指出，紧群G的所有有限维不可约的，在G上所有复值连续群函数构成、配备了的空间中稠密。第二部分指出，G在任何一个可分希尔伯特空间上的酉表示都完全可约。第三部分断言，G的所有有限维不可约酉表示的矩阵元构成了G上平方可积的复值函数空间的一组标准正交基。
## 背景
20世纪20年代，魏尔在研究广义相对论的数学基础时，对连续群的表示理论产生了兴趣。在研究中，他试图将有限群表示理论中的弗罗贝尼乌斯定理（即有限群可以约化为其所有不可约表示的直和）推广到连续群，尤其是特殊线性群。与此同时，等其它数学家的工作也为研究群表示提供了更强有力的工具。1927年，魏尔在其学生彼得的协助下证明了本定理，断言了紧群不可约表示的完备性。然而，因为魏尔在当时并不知道如何在除紧李群之外的一般紧群上定义群作用下不变的积分，他在证明中不必要地假定了群运算的可微性。这一问题直至1933年才由建立的哈尔测度理论彻底解决。

彼得-魏尔定理在抽象调和分析理论中扮演了重要的角色。正如所述：“现代调和分析发轫于20世纪20年代......她诞生于1927年，而彼得和魏尔的论文是她的出生证明。”此外，冯诺依曼于1933年利用该定理的一个推论，解决了紧群版本的希尔伯特第五问题。

## 定理的陈述和证明
### 定理I
设G为紧群，C(G)是G上所有复值连续函数构成、配备了一致范数的赋范线性空间，\Delta是G的所有有限维不可约酉表示的矩阵元张成的线性空间，则\Delta在C(G)中稠密。
#### 证明概要
对\forall \chi \in C(G)，可以定义卷积算子 T_{\chi}:L^{2}(G) \to L^{2}(G)：
:T_{\chi}(\phi)(v)=\int \mathrm{d}g \chi(g) \phi(g^{-1}v) 

利用阿尔泽拉引理可以证明，该算子是L^{2}(G)上的紧算子。

设f \in C(G)，由G的紧性可知f在G上一致连续。即对任意 \epsilon >0，存在群单位元e的邻域的U，使得任意u,v \in G, uv^{-1} \in U，都有|f(v)-f(u)|。不失一般性，可以假设U^{-1}=U。

设\chi是定义在G上，且支集supp(\chi) \sub U的连续实值函数。由乌雷松引理，这样的函数总是存在的。不失一般性，可以假设\chi(v)=\chi(v^{-1})且\int \mathrm{d}g \chi(g)=1，因为对任意\chi总可以通过如下的变换使其满足上述条件：
:\chi(v) \to \frac{\chi(v)+\chi(v^{-1})}{\int \mathrm{d}g (\chi(g)+\chi(g^{-1}))}

此时，可以证明T_{\chi}为L^{2}(G)上的紧自伴算子。利用紧自伴算子的谱定理，可知：
:L^{2}(G)=  (\sum_{i}\oplus V_{\lambda_i}) \oplus V_{0}

其中V_{\lambda_i}为算子T_{\chi}本征值为\lambda_i \neq 0的有限维本征子空间，V_{0}是T_{\chi}的核。因此，T_{\chi}(f) \in Im(T_{\chi}) = C(G)- V_{0} 可以写成一列绝对一致收敛的函数项级数和：
:\lim_{i \to \infty}\sum_{i} f_{i} \rightrightarrows T_{\chi}(f), f_{i} \in V_{\lambda_i}

故而存在N，使得\forall v \in G，|T_{\chi}(f)(v)-\sum_{i=1}^{N}f_{i}(v)| 。

另一方面：
:|T_{\chi}(f)(v) -f(v)|=|\int \mathrm{d}g \chi(g) (f(g^{-1}v)-f(v))|

因此：
:|f-\sum_{i=1}^{N}f_{i}(v)| 

设L(g):C(G) \to C(G)是G的左正则表示，不难证明算子L(g)与T_{\chi}对易，因此本征子空间V_{\lambda_i}也是左正则表示的有限维不变子空间。由于有限维表示完全可约，V_{\lambda_i}可以写成G的有限维不可约酉表示的表示空间的直和。在每个这样的空间X上：
:f_i(g)=L(g^{-1})(f_i)(e)=\sum_{j=1}^{dim X} r_{ij}(g)^{*} f_j(e)

其中r_{ij}是该不可约表示的矩阵元。这意味着V_{\lambda_i} \sub \Delta，进而\sum_{i=1}^{N}f_{i}(v) \in \Delta。总之，对于任意f \in C(G)，\epsilon >0，都存在\Delta中的某个元素，使得其与f之差的一致范数小于\epsilon。这意味着\Delta在C(G)中稠密。

以上证明的思路来自彼得和魏尔的原始论文。实际上，利用和魏尔斯特拉斯逼近定理亦可直接推出本定理。

### 定理II
设R是紧群G在可分希尔伯特空间H上的任意酉表示，则H可分解为R的有限维不变子空间的直和，其中每个子空间都承载了G的不可约表示。
#### 证明概要
设\langle,\rangle是H上定义的内积。对任意u \in H,||u||=1，定义算子T_u: H \to H：
:T_u(v)=\int \mathrm{d}g \langle v,R(g)u \rangle R(g)u

可证T_u是H上的非零紧自伴算子，且与R(g)对易。利用紧自伴算子的谱定理，可对H作如下分解：
:H=(\sum_{i}\oplus H_{\lambda_i}) \oplus H_{0}

其中，T_u的每个有限维特征子空间H_{\lambda_i}又是群表示R的不变子空间，故其可进一步分解为承载G的有限维不可约表示的子空间的直和。

设H'是H中可以分解为承载有限维不可约表示的子空间的直和的最大子空间，H'是H*</math>的正交补。（由[[佐恩引理]]，这样做是合法的。）显然<math>H*也是R的不变子空间，若H*</math>不是零空间，<math>R</math>在<math>H*上的限制也是G的酉表示。因此，将以上的论证中的H用H*</math>代替，则可立即推出<math>H*也有承载G的有限维不可约表示的子空间。这与H'的定义矛盾。因此H''=\{0\}，定理得证。

### 定理III
设G是紧群，则G的所有不等价不可约酉表示的矩阵元的集合\{\sqrt{d_\rho}R^{\rho}_{ij}|1\leqslant i,j \leqslant d_\rho\}构成L^{2}(G)的标准正交基。
#### 证明概要
注意到C(G)在L^2(G)中稠密，利用舒尔正交关系和定理I即可得到本定理。

## 推论
### 点分离推论
由彼得-魏尔定理可以推出如下结论：

设g是紧群G任意非恒等元，则存在G的不可约表示R，使得R(g)不是单位矩阵。换言之，如果g和h属于紧群G，对G的一切不可约表示，g和h的表示矩阵都相同，则g=h。证明如下：

对任意g \neq e，由乌雷松引理，存在G上连续函数f使得f(a) \neq f(e)。由彼得-魏尔定理，f可以写成一列绝对一致收敛的矩阵元f_i的级数和。若对一切不可约表示R，R(g)都是单位阵，则前述级数展开的每一项，都满足f_i(g)=f_i(e)，因此f(a) = f(e)。这一矛盾意味着必然存在某个不可约表示R，使得R(g)不是单位矩阵。

该推论最早出现在彼得和魏尔的原始论文中，并在相关理论日后的发展过程中发挥了重要的作用。冯诺依曼解决紧群版本的希尔伯特第五问题时，就用到了这一推论。

### 特征标完备性
紧群G上群共轭不变的函数构成L^2(G)的子空间类函数空间。利用彼得-魏尔定理可以推出，G的所有不可约表示的特征标张成的线性空间在类函数空间稠密：

设f是任意共轭不变的函数。由彼得-魏尔定理，对任意\epsilon >0，存在h \in \Delta，使得|f(x)-h(x)|。记p(x)为如下积分：
:p(x)=\int \mathrm{d}g h(gxg^{-1})

由于h \in \Delta，p \in \Delta，且p(g^{-1}xg)=p(x)。利用舒尔正交关系可证，p可以写成特征标的线性组合。此外，因f共轭不变，注意到以下事实本推论即证：
:|f(x)-p(x)|=|\int \mathrm{d}g f(gxg^{-1})-\int \mathrm{d}g h(gxg^{-1})|

该推论在连通紧李群表示的分类理论中扮演着重要的角色。

## 参见
*龐特里亞金對偶性
## 参考文献