超几何函数

在数学中，**高斯超几何函数**或**普通超几何函数**2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

## 超几何级数
当c为正整数时，对于|*z*|&nbsp;\,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty {a^{(n)} b^{(n)} \over c^{(n)}} \, {z^n \over n!}

其中 \ x^{(n)} 是遞進階乘，定义为:
:q^{(n)} = \left\{
 \begin{array}{ll}
  1                     & \mbox{if } n = 0 \\
  q(q+1) \cdots (q+n-1) & \mbox{if } n > 0
 \end{array}
\right. 

当*a*或*b*是*0*或负整数时级数只有有限项，另有避免这种情况出现的正则超几何函数。 

对于满足|*z*|&nbsp;≥&nbsp;1 的复数*z*，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点*0*和*1*的任意路径做解析延拓来得到。具体的公式可以表示为
:
\begin{aligned}
&_{2} F_{1}(a, b ; c ; z)=\frac{\Gamma(b-a) \Gamma(c)(-z)^{-a}}{\Gamma(b) \Gamma(c-a)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a)_{k}(a-c+1)_{k} z^{-k}}{k !(a-b+1)_{k}}+\frac{\Gamma(a-b) \Gamma(c)(-z)^{-b}}{\Gamma(a) \Gamma(c-b)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(b)_{k}(b-c+1)_{k} z^{-k}}{k !(-a+b+1)_{k}}/;\\
&|z| \geq 1 \wedge a-b \notin \mathbb{Z}
\end{aligned}


## 特殊情形
很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：

:\ln(1+z)= z\,_2F_1(1,1;2;-z).
:
(1-z)^{-a}  = \,_2F_1(a,1;1;z)

:
\arcsin z = z \,_2F_1\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2};z^2\right)

合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下
:M(a,c,z) = \lim_{b\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;b^{-1}z)
因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如

{}_2F_1(a,1-a;c;z) = \Gamma(c)z^{\tfrac{1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac{c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)

很多多项式，例如贾可比多项式 *P*及其特殊情形勒让德多项式、车比雪夫多项式、Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

{}_2F_1(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x) = \frac{n!}{(\alpha+1)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(1-2x)
其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式、Meixner多项式、Meixner–Pollaczek多项式。

有时能表示成参数*a*, *b*, *c*是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若
: \tau = {\rm{i}}\fracF_{\alpha,\mu,\beta}
\equiv F_{\alpha,\mu,-\beta}\xrightarrow{\text{Pfaff}}F_{\alpha,-\beta,\mu}

### 二次变换
下面是一个二次变换的例子：
:{}_2F_1(a,b;2a;z)=(1-z)^{-\tfrac b2}\,_2F_1(a-\tfrac b2,\tfrac b2;a+\tfrac12;\tfrac {z^2}{4z-4}),\quad |\arg(1-z)|

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。

#### 证明
仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：
:\begin{array}{cl}&z(1-z)\tfrac {\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}[(1-z)^{-\tfrac b2}w]
+ \left[c-(a+b+1)z \right] \tfrac {\mathrm d}{\mathrm dz}[(1-z)^{-\tfrac b2}w] - ab(1-z)^{-\tfrac b2}w\\
=&(1-z)^{-\tfrac b2-1}\left\{z[\tfrac b2(\tfrac b2+1)+b(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}+(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}]
+[c-(a+b+1)z][\tfrac b2+(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}]-ab(1-z)\right\}w\\
=&(1-z)^{-\tfrac b2-1}\left\{z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b4[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\
\end{array}

令
:c=2a,\quad u=\tfrac {z^2}{4z-4}=\tfrac14 (z+1-\tfrac 1{1-z})

则
: 1-u=\tfrac{(z-2)^2}{4(1-z)},\quad\tfrac{\mathrm du}{\mathrm dz}=\tfrac{z(z-2)}{4(1-z)^2},\quad
\tfrac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}=-\tfrac{1}{2(1-z)^3}

:\begin{array}{cl}&z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b4[2(c-2a)+(2a-b)z]\\
=&z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[2a-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b2(a-\tfrac b2)z\\
=&\tfrac{z^3(z-2)^2}{16(1-z)^2}\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}-\tfrac z{2(1-z)}\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}
+\tfrac{z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}+\tfrac b2(a-\tfrac b2)z\\
=&-z\left\{u(1-u)\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}+[a+\tfrac12-(a+1)u]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}-\tfrac b2(a-\tfrac b2)\right\}
\end{array}

取
:w=\,{}_2F_1(a-\tfrac b2,\tfrac b2;a+\tfrac12;u)

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。

#### 其它例子
运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为
:F_{\alpha,\beta,\mu}(z)=f(z)F_{\alpha',\beta',\mu'}(g(z)),\quad P(z)

其中 (),() 是  的函数， () 表示  要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

另外还有：
:\tfrac{2\Gamma(\tfrac 12)\Gamma(\tfrac{a+b+1}2)}{\Gamma(\tfrac{a+1}2)\Gamma(\tfrac{b+1}2)}F_{-\tfrac12,\beta,\tfrac\mu2}(z)=
F_{\beta,\beta,\mu}\left(\tfrac12-\tfrac12\sqrt z\right)+F_{\beta,\beta,\mu}\left(\tfrac12+\tfrac12\sqrt z\right),\quad 
|\arg z|

将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

### 三次及高次变换
若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见。

## 特殊值
### =0
:{}_2F_1(a,b;c;0)=1
### =1
:{}_2F_1(a,b;c;1)=\tfrac{\Beta(a,c-a-b)}{\Beta(a,c-a)}=\tfrac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)},
\quad \Re(c)>\Re(a+b)
这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。
### =-1
:{}_2F_1 (a,b;1+a-b;-1)= \frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+\tfrac12a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+\tfrac12a-b)}
这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 =1 时的特殊值得到。
### =1/2
:_2F_1 \left(a,b;\tfrac12\left(1+a+b\right);\tfrac12\right) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\Gamma(\tfrac12\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac12\left(1+b\right))}. 

:_2F_1 \left(a,1-a;c;\tfrac12\right)= \frac{\Gamma(\tfrac12c)\Gamma(\tfrac12\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac12\left(1+c-a\right))}.

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 =1 时的特殊值得到。

## 参考文献
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* John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions  (University of Oxford, MSc Thesis)
* Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable)
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