時頻分析轉換關係

在時間與頻率的分析領域中，有不少的訊號的單純使用頻域或時域表示，而是同時使用時域與頻域來表示。

有幾種方法或轉換被-{}-里昂·柯恩統整組織被稱為"時頻分析"，最常被使用的方法稱為「二次」或「雙線性時頻分析」，而此類方法中，最被廣泛使用的方法中以韋格納分布為其中之一，其他的時頻分布則被稱為維格納分佈的摺積版。另一個被廣泛使用的方法為頻譜圖，為「短時距傅立葉轉換」的平方，頻譜圖有著平方必為正的優點，容易由圖理解，但有著不可逆的缺點，如短時距傅立葉轉換不可逆計算，無法從頻譜圖找回原信號。而驗證這些理論與定義驗證可以參考「二次式時頻分布理論」。

本文主題雖是訊號處理領域，但是藉由量子力學的相空間來推導某些分布從A分布轉換至B分布的過程。一個信號在相同的狀況下，給與不同的時頻分布表示方式，透過簡單的平滑器或濾波器，計算出其他分布。

## 一般化
如果我們用變數*ω*=2*πf*，然後，借用量子力學領域中使用的符號，就可以顯示該時間-頻率表示，如維格納分佈函數和其它雙線性時間-頻率分佈，可表示為

:C(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiint s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)\phi(\theta,\tau)e^{-j\theta t-j\tau\omega+j\theta u}\, du\,d\tau\,d\theta ,     (1)

\phi(\theta,\tau)為一定義其分布及特性之二維函數。

維格納分布的核為一。但在一般型式裡任何分布的核為一沒有任何的意義，在其他狀況下維格納分布的核應為其他結果。

## 特徵方程式
特徵方程式為雙傅立葉轉換，從方程式(1)可以得到

: C(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint M(\theta,\tau)e^{-j\theta t-j\tau\omega}\, d\theta\,d\tau     (2)

: \begin{alignat}{2}
    M(\theta,\tau) & = \phi(\theta,\tau)\int s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)e^{j\theta u}\,du \\
    & = \phi(\theta,\tau)A(\theta,\tau) \\
    \end{alignat}     (3)

A(\theta,\tau) 為對稱模糊函數，特徵方程式也可易被稱為廣義模糊函式。

## 分布之間轉換關係
假設有兩個分布 C_1 and C_2,個別對應核為 \phi_1 and \phi_2，特徵方程式為

: M_1(\phi,\tau) = \phi_1(\theta,\tau)\int s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)e^{j\theta u}\, du     (4)

: M_2(\phi,\tau) = \phi_2(\theta,\tau)\int s^*\left(u-\dfrac{1}{2}\tau\right)s\left(u+\dfrac{1}{2}\tau\right)e^{j\theta u}\, du     (5)

方程式(4)、(5)相除得

: M_1(\phi,\tau) = \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}M_2(\phi,\tau)     (6)

方程式(6)相當重要，其結果使其連接特徵方程式在有線區域內之核不為零。

欲獲得兩分布之間的關係，需使用雙傅立葉轉換並使用方程式(2)

: C_1(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}M_2(\theta,\tau)e^{-j\theta t-j\tau\omega}\, d\theta\,d\tau     (7)

用C_2來表示M_2
: C_1(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiiint \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}C_2(t,\omega^')e^{j\theta(t^'-t)+j\tau(\omega^'-\omega)}\, d\theta\,d\tau\,dt^'\,d\omega^'     (8)

可改寫成

: C_1(t,\omega) =  \iint g_{12}(t^'-t,\omega'-\omega)C_2(t,\omega')\,dt^'\,d\omega'     (9)

其中，

: g_{12}(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{\phi_1(\theta,\tau)}{\phi_2(\theta,\tau)}e^{j\theta t+j\tau\omega}\, d\theta\, d\tau      (10)

## 頻譜與其他雙線性相互關係
我們專注於其中一個從任意代表性的頻譜轉換的情況，在方程式(9)中，C_1為頻譜圖而C_2 為任意數，為了簡化符號使用以下表示，\phi_{SP} = \phi_1, \phi = \phi_2, g_{SP} = g_{12}，可被表示為

: C_{SP}(t,\omega) =  \iint g_{SP}(t^'-t,\omega^'-\omega)C(t,\omega^')\,dt^'\,d\omega^'     (11)

頻譜圖的核為

: \begin{alignat}{3}
    g_{SP}(t,\omega) & = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{A_h(-\theta,\tau)}{\phi(\theta,\tau)}e^{j\theta t+j\tau\omega}\, d\theta\,d\tau \\ 
    & = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiint \dfrac{1}{\phi(\theta,\tau)}h^*(u-\dfrac{1}{2}\tau)h(u+\dfrac{1}{2}\tau)e^{j\theta t+j\tau\omega-j\theta u}\, du\,d\tau\,d\theta \\
    & = \dfrac{1}{4\pi^2}\iiint h^*(u-\dfrac{1}{2}\tau)h(u+\dfrac{1}{2}\tau)\dfrac{\phi(\theta,\tau)}{\phi(\theta,\tau)\phi(-\theta,\tau)}e^{-j\theta t+j\tau\omega+j\theta u}\, du\,d\tau\,d\theta \\
    \end{alignat}      (12)

令\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau) = 1, g_{SP}(t,\omega)為窗函數，然而在-\omega狀況下得

: g_{SP}(t,\omega) = C_h(t,-\omega)     (13)

使其核滿足 \phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau) = 1

: C_{SP}(t,\omega) =  \iint C_s(t^',\omega^')C_h(t^'-t,\omega^'-\omega)\,dt^'\,d\omega^'     (14)

其核亦滿足\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau) = 1

其證明可見Janssen[4]. 當\phi(-\theta,\tau)\phi(\theta,\tau)不等於1時，

: C_{SP}(t,\omega) =  \iiiint G(t^{*},\omega^{*})C_s(t^',\omega^')C_h(t^{*}+t^'-t,-\omega^{*}+\omega-\omega^')\,dt^'\,dt^{*}\,d\omega^\,d\omega^{*}     (15)

: G(t,\omega) = \dfrac{1}{4\pi^2}\iint \dfrac{e^{-j\theta t-j\tau\omega}}{\phi(\theta,\tau)\phi(-\theta,\tau)}\, d\theta\,d\tau     (16)

## 參考資料