解析信号

在数学和信号处理中，**解析信号**（）是没有负频率分量的复值函数。 解析信号的实部和虚部是由希爾伯特轉換相关联的实值函数。

实值函数的**解析表示**是*解析信号*，包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是，由于频谱的埃尔米特对称，实值函数的傅里叶变换（或频谱）的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话，这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解，并促进了调制和解调技术的衍生，如单边带。只要操作的函数没有负频率分量（也就是它仍是“解析函数”），从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是向量概念的一个推广： 向量限制在时不变的振幅、相位和频率，解析信号允许有时变参数。

## 定义

若 s(t) 是一个*实值*函数，其傅里叶变换为 S(f)，S(f)為一於 f = 0 埃尔米特对称之函數：
:S(-f) = S(f)^*, &nbsp; 其中，S(f)^*为 S(f) 的复共轭。

函数：
:
\begin{align}
S_\mathrm{a}(f) &\stackrel{\mathrm{def}}
\begin{cases}
2S(f), &\text{for}\ f > 0,\\
S(f), &\text{for}\ f = 0,\\
0, &\text{for}\ f 

其中：
*\operatorname{u}(f) 是单位阶跃函数，
*\sgn(f) 是符号函数，

仅包含 S(f) 的*非负频率*分量。而且由于 S(f) 的埃尔米特对称性，该运算是可逆的：
: 
\begin{align}
S(f) &=
\begin{cases}
\frac{1}{2}S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f > 0,\\
S_\mathrm{a}(f), &\text{for}\ f = 0,\\
\frac{1}{2}S_\mathrm{a}(-f)^*, &\text{for}\ f 

s(t) 的**解析信号**是 S_\mathrm{a}(f) 的傅里叶逆变换：
:\begin{align}
s_\mathrm{a}(t) &\stackrel{\mathrm{def}} \mathcal{F}^{-1}[S_\mathrm{a}(f)]\\
&= \mathcal{F}^{-1}[S (f)+ \sgn(f) \cdot S(f)]\\
&= \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)} + \overbrace{
\underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{\sgn(f)\}}_{j\frac{1}{\pi t}} * \underbrace{\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\}}_{s(t)}
}^{convolution}\\
&= s(t) + j\underbrace{\left[{1 \over \pi t} * s(t)\right]}_{\operatorname{\mathcal{H}}[s(t)]}\\
&= s(t) + j\hat{s}(t),
\end{align}
其中
*\hat{s}(t) \stackrel{\mathrm{def}} \operatorname{\mathcal{H}}[s(t)] 是 s(t) 的希爾伯特轉換；
** 是卷积符号；
*j 是虛數單位。

## 例子
### 例1
:s(t) = \cos(\omega t), &nbsp; 其中 &nbsp;\omega > 0.

于是：
:\hat{s}(t) = \cos(\omega t - \pi/2) = \sin(\omega t),
:s_\mathrm{a}(t) = s(t) + j\hat{s}(t) = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t) = e^{j\omega t}.&nbsp; 第三个等式为欧拉公式。

欧拉公式的一个推论是 \cos(\omega t) = \tfrac{1}{2} (e^{j\omega t} + e^{j (-\omega) t}). 一般来说，简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它，丢弃负频率分量，并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。

### 例2
这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。

:s(t) = \cos(\omega t+\theta) = \tfrac{1}{2} (e^{j (\omega t+\theta)} + e^{-j (\omega t+\theta)})

于是：
:s_\mathrm{a}(t) = 
\begin{cases}
e^{j(\omega t + \theta)} \ \ = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{j\theta} , & \text{if} \ \omega  > 0, \\
e^{-j(\omega t + \theta)} = \ e^{j |\omega| t}\cdot e^{-j\theta} , & \text{if} \ \omega  

### 例3
这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到，对于复值函数 s(t)，没有什么能阻止我们计算 s_\mathrm{a}(t)。但它可能不是一种可逆的表示，因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外，一般讨论都假设 s(t) 为实值函数。

:s(t) = e^{-j\omega t}, 其中 \omega > 0.

于是：
:\hat{s}(t) = je^{-j\omega t},
:s_\mathrm{a}(t) = e^{-j\omega t} + j^2 e^{-j\omega t} = e^{-j\omega t} - e^{-j\omega t} = 0.

## 负频率分量
由于 s(t) = \operatorname{Re}[s_\mathrm{a}(t)]，恢复负频率分量就是简简单单丢弃 \operatorname{Im}[s_\mathrm{a}(t)] 这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭 s_\mathrm{a}^*(t) *仅*由负频率分量构成。因此 \operatorname{Re}[s_\mathrm{a}^*(t)] 恢复了被减弱的正频率分量。

## 应用
### 包络和瞬时相位

解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位（极坐标）：
:s_\mathrm{a}(t) = s_\mathrm{m}(t)e^{j\phi(t)},
其中：
*s_\mathrm{m}(t) \stackrel{\mathrm{def}} |s_\mathrm{a}(t)| 称作*瞬时振幅*或**；
*\phi(t) \stackrel{\mathrm{def}} \arg\!\left[s_\mathrm{a}(t)\right] 称作*[[瞬時頻率|瞬时相位]]*。

在附图中，蓝色曲线描绘 s(t)，红色曲线描绘对应的 s_\mathrm{m}(t)。

解缠的瞬时相位的时间导数的单位为rad/s，称作*瞬时角频率*：
:\omega(t) \stackrel{\mathrm{def}} \frac{d\phi}{dt}(t).

因此，*[[瞬時頻率]]*（单位赫兹）为：
:f(t)\stackrel{\mathrm{def}} \frac{1}{2\pi}\omega(t). &nbsp;

瞬时振幅、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与调制信号的解调有关。极坐标方便将振幅調變和相位（或频率）调制的影响分开，对解调某些种类的信号很有效。

### 复包络/基带
解析信号通常都会在频率上移位（下转换）到 0&nbsp;Hz，可能会产生[非对称]负频率分量：
:\underline{s_\mathrm{a}}(t) \stackrel{\mathrm{def}} s_\mathrm{a}(t)e^{-j\omega_0 t} = s_\mathrm{m}(t)e^{j(\phi(t) - \omega_0 t)},
其中 \omega_0 是任意参考角频率。

这个函数有不同的名称，如*复包络*和*复[[基带]]*。复包络不是唯一的；它是由 \omega_0 的选取决定的。这个概念通常用于处理。如果 s(t) 是调制信号，\omega_0 可能会等于它的。

在其他情况下，\omega_0 选在所需通带的中间。因此简单的实系数低通滤波器就可以去除感兴趣的部分。另一个动机是减少最高频率，从而降低最小的无混叠采样率。频移不加大复信号表示的数学处理难度。因此从这个意义上说，下转换的信号仍然是*解析信号*。但是恢复实值表示不再是简简单单提取实部的问题了。为了避免混疊可能需要上转换，若信号已被（离散时间）采样，还可能需要插值（升採樣）。

若选取的 \omega_0 大于 s_\mathrm{a}(t) 的最高频率，则 \underline{s_\mathrm{a}}(t) 没有正频率。在这种情况下，提取实部并恢复它们，但顺序要相反；低频分量现在变为高频分量，反之亦然。这可用于解调一种叫做*下边带*的单边带信号。

;参考频率的其他选择：

有时 \omega_0 的选取是要最小化
:\int_{0}^{+\infty}(\omega - \omega_0)^2|S_\mathrm{a}(\omega)|^2\, d\omega.

另外， \omega_0 选取还可以是要最小化线性逼近*解缠的*瞬时相位 \phi(t) 的均方误差：
:\int_{-\infty}^{+\infty}[\omega(t) - \omega_0]^2 |s_\mathrm{a}(t)|^2\, dt
再或者（对最佳 \theta）：
:\int_{-\infty}^{+\infty}[\phi(t) - (\omega_0 t + \theta)]^2\, dt.

在信号处理领域，维格纳–威利分布定义中需要解析信号，因此该方法在实际应用中具有理想特性。

有时复包络与复振幅同义；
其他时候它作为一种时间无关的推广形式。 它们的关系并不像实值的情形那样；变化的产生恒定的振幅。

## 参见
*希爾伯特轉換
*负频率

### 应用
*单边带调制
*
*因果滤波器

## 注释

## 参考文献

## 延伸阅读
*Leon Cohen, *Time-frequency analysis*, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
*Frederick W. King, *Hilbert Transforms*, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
*B. Boashash, *Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference*, Elsevier Science, Oxford, 2003.

## 外部链接
*Analytic Signals and Hilbert Transform Filters