拉東變換

數學上，**拉東變換**（又稱**雷登變換**）是一種積分變換，這個變換將二維平面函數f變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數{\cal R} f({\cal R} f的意思是對f做拉東變換)，而{\cal R} f的值為函數f對該條線{\cal R} f做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是f，A線則是代表{\cal R} f。

拉東變換是约翰·拉东在西元1917年提出，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。
三次空間拉東變換，是對一個平面積分(對線積分則是)。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要参见。
在複數上有和拉東變換相似的，拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。

## 簡介
若函數f表示一個未知的密度，對f做拉東變換，相當於得到f投影後的訊號，舉例來說：f相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過拉東變換的f。
因此，可以用拉東反變換從投影後的密度函數，重建原始的密度函數，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是三維重建。

拉東變換後的訊號稱作**正弦圖**（），因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對一些小點的拉東變換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函數重疊在一起。

拉東變換可以應用在：X射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、（Macromolecular assembly）的電子顯微鏡（例如：病毒、蛋白質複合體）、反射地震学，而且也是雙曲線偏微分方程的解。

## 定義
令密度函數f({\bf x})=f(x,y)是一個的定義域為 {\bf R}^2 的緊支撐。令{\cal R}為拉東變換的運算子(operator)，則{\cal R} f(x,y)是一個定義在
{\bf R}^2空間中的直線L，它的定義如下
:{\cal R} f(L) = \int_L f({\bf x}) |d {\bf x}|
可以把直線 L改寫成一個弧長z的參數式
: (x(z), y(z)) = \Big( (z\sin\alpha+s\cos\alpha), (-z\cos\alpha+s\sin\alpha)  \Big) \,
s是直線L和原點的距離，而\alpha是垂直於L的法線和x軸的夾角，
接下來，我們可以令(\alpha, s)當作{\bf R}^2平面上的新座標系統，把這個座標變換帶入到拉東變換得到
:\begin{align}{\cal R} f(\alpha,s) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(x(z),y(z))\, dz\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} f\big(  (z\sin\alpha+s\cos\alpha), (-z\cos\alpha+s\sin\alpha) \big)\, dz\end{align}
更進一步，我們可以把{\bf R}^2推廣到{\bf R}^n的歐幾里得空間，對一個緊支撐的連續函數f做拉東變換後的函數{\cal R} f是定義在
\Sigma_n的超平面上，
:{\cal R} f(\xi) = \int_\xi f(\mathbf{x})\, d\sigma(\mathbf{x}),\quad {\rm for} \quad \xi \in \Sigma_n 
積分的對象是自然超平面測度(natural hypersurface measure)，而d \Delta是原本的|d {\bf x}|的高維推廣。可以觀察到對\Sigma_n裡的任意元素，
都是某個軌跡方程式的解
: {\bf x} \cdot \alpha = s .
而\alpha是一個單位向量且屬於{\rm S}^{n-1}，s \in \mathbb{R}，n維的拉東變換可以改寫成定義在 {\rm S}^{n-1} \times {\bf R}上的函數
:{\cal R} f(\alpha,s) = \int_{\mathbf{x}\cdot\alpha = s} f(\mathbf{x})\, d\sigma(\mathbf{x}) 
也可以藉由其他方式將拉東變換推廣，也就是對{\bf R}^n的k維仿射子空間作(k-dimensional affine subspaces)積分。
而這種推廣拉東變換的特殊情況被廣泛應用在X射線電腦斷層掃描，他的做法是對一條直線積分。

## 與傅立葉變換的關係

拉東變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是
:\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx 
而雙變數({\bf x}) = (x, y) 的傅立葉變換是
: \hat{f}(\mathbf{w})=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty }^{\infty}  f(\mathbf{x})e^{-2\pi i\mathbf{x}\cdot\mathbf{w}}\,dx\, dy
把拉東變換的運算子的表記從{\cal R}[f](s) 改成 {\cal R}[f](\alpha, s)。根據投影切片定理學說，
: \widehat{\mathcal{R}_{\alpha}[f]}(\sigma)=\hat{f}(\sigma\mathbf{n}(\alpha)), \quad \mathbf{n}(\alpha)= (\cos \alpha,\sin\alpha)
因此一個初始函數沿著一條線傾角\alpha的二維的傅立葉變換，相當於對拉東變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到n維
:\hat{f}(r\alpha) = \int_{-\infty}^\infty \mathcal{R}f(\alpha,s)e^{-2\pi i sr}\, ds

## 對偶變換
對偶拉東變換是拉東變換的埃爾米特伴隨。令在空間\Sigma_n上的函數g，而對偶拉東變換的運算子定義為{\cal R}^*。作用在g上
:\mathcal{R}^*g(x) = \int_{x\in\xi} g(\xi)\,d\mu(\xi)
積分的範圍是所有和x \in {\bf R}^2相交的超平面集合，而測度(measure) d \mu是集合 \xi | x \in \xi特殊的機率測度(Probability measure)，
當對著 x 旋轉時， d \mu的值不會改變

對於一個二維的拉東變換，其對偶變換是
:\mathcal{R}^*g(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\alpha=0}^{2\pi}g(\alpha,\mathbf{n}(\alpha)\cdot\mathbf{x})\,d\alpha 
在影像處理的文章中，對偶變換經常被稱作反向投影(back-projection) ，因为它将平面中每条线上定义的函数 投影到该线上，从而生成图像。

**交結性質**

根據拉普拉斯算子\Delta在 {\bf R}^n的定義是
:\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2} 
這是一個旋轉不變性的二階微分算子，在空間\Sigma_n，半徑的二階導數
:Lf(\alpha,s) \equiv \frac{\partial^2}{\partial s^2} f(\alpha,s)
也是旋轉不變性。
而拉東變換與其對偶變換屬於交結運算子(intertwining operator)，是因為
:\mathcal{R}(\Delta f) = L (\mathcal{R}f),\quad \mathcal{R}^* (Lg) = \Delta(\mathcal{R}^*g)

## 重建方法

**重建處理**是指從投影影像重建一個影像，或是一個函數f。重建處理是一種逆問題(inverse problem)。

**拉東反變換公式**

對於二維拉東變換，最常被使用的解析公式(analytical formula)f，是Filtered Backprojection Formula或拉東反變換公式，反變換公式為
:f(\mathbf{x})=\int^{\pi}_{0}(\mathcal{R}f(\cdot,\theta)*h)(\left\langle\mathbf{x},\mathbf{n}_{\theta} \right\rangle) 
d\theta 
函數h滿足\hat{h}(k) = |k| ，卷積核 (convolution kernel) h在一些文章中稱作Ramp filter。

**不適定問題 (ill-posedness)**

直覺上，反變換公式應該和微分類似， \widehat{\frac{d}{dx}} f(x) = i k \hat{f}(k) 。我們可以看的出來反變換公式
的行為類似微分。大致上來說，這個反變換公式把目標奇異化(singular)；要如何量化拉東反轉化的不適定問題 (ill-posedness)呢？首先可以寫出
:\widehat{\mathcal{R}^*\mathcal{R}g}(k)=\frac{1}\hat{g}(\mathbf{k})
{\cal R}^* 即是前面定義的反變換運算子，且伴隨著(adjoint to)拉東變換，因此 g({\bf x}) = e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x} \rangle}，上式變成
: {\cal R}^* {\cal R} g =  \frac{1} e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x}  \rangle } 
複數指數函數e^{i \langle {\bf k}_0, {\bf x}  \rangle } ，是{\cal R}^* {\cal R}的固有函數 (eigenfunction) ，
而特徵值 (eigenvalue)為\frac{1}。{\cal R}的奇異值 (singular values) 是\sqrt{\frac{1}}，
因為這些奇異值 (singular values)會趨近於0，所以{\cal R}^{-1}是無界的(unbounded) 。

## 反變換公式

外顯(explicit)且計算效率好的拉東反變換公式，以及他的對偶是存在的。n維的反拉東變換可以由
:c_n f = (-\Delta)^{(n-1)/2} {\cal R}^* \{ {\cal R} f \} 
其中
:c_n = (4\pi)^{(n-1)/2}\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma(1/2)} 
而\Delta是拉普拉斯算子(Laplacian)， (-\Delta)^{(n-1)/2}是偽微分算子(pseudodifferential operator)
:\mathcal{F}\left[(-\Delta)^{(n-1)/2}\phi\right](\xi) = |2\pi\xi|^{n-1}\mathcal{F}\phi(\xi).
\mathcal{F}是傅立葉變換的運算子(operator)。

## 參見
*反摺積
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*霍夫變換
*疊代稀疏漸近最小方差算法

## 注釋


## 參考
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