開普勒方程

**開普勒方程**（）把軌道力學中受到連心力影響的軌道中天體多種幾何性質聯繫起來。

這條方程最早由約翰內斯·開普勒得出，推導過程見於他在1609年出版的著作《新天文學》的第60章，而他在著作《》（1621年出版）的第五卷中還提出了此方程的一個迭代解。這條方程在物理學史和數學史上都扮演着重要的角色，特別是在古典天體力學史上。

## 方程

**開普勒方程**如下：

其中為平近點角，為偏近點角，而則為離心率.

偏近點角對於計算開普勒軌道上移動點的位置相當有用。比方說，天體在座標、和時間時經過近星點，那麼要找出天體在任意時間的位置的話，首先可由時間和平均運動用方程計算出平近點角，然後解上述的開普勒方程得，便能由下列方程求座標：

其中為半長軸，而則為半短軸。

由於正弦是超越函數，所以開普勒方程是超越方程，即是說不能用代數方法解出。一般求需要用到數值分析和級數。

## 其他形式

開普勒方程共有幾種形式。每一種形式都同一種特定軌道類型有關。標準的開普勒方程用於橢圓軌道（0 &le; M = i \left( E - e \sin E \right) 

（其中現為虛數），然後以取代。

### 徑向開普勒方程

徑向開普勒方程如下：

其中與時間成正比，而則與射線上與吸引中心的距離成正比。下式是通過把開普勒方程成並把定為1而成：

: t(x) = \frac{1}{2}\left[ E - \sin( E )  \right] 。

代入得

: E = 2 \sin^{-1}(\sqrt{ x })。

## 逆問題

可以利用已知的值直接求出。但用已知值來求卻要複雜得多。因為不存在解析解。

可以使用寫出開普勒方程解的級數表達式，但所有和的組合都不能使級數收斂（見下文）。

文獻中對開普勒方程可解性的混淆已存在了四個世紀開普勒本人曾對找得到通解的可能性表示懷疑。

### 逆開普勒方程

逆開普勒方程是所有實數值e的開普勒方程解：

: 
 E =
\begin{cases}

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty
 {\frac{M^{\frac{n}{3}}}{n!}} \lim_{\theta \to 0^+} \! \Bigg(
  \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}\theta^{\,n-1}} \bigg( \bigg(
  \frac{\theta}{ \sqrt[3]{\theta - \sin(\theta)} } \bigg)^{\!\!\!n} \bigg)
\Bigg)
,  & e = 1  \\

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty
{ \frac{ M^n }{ n! } }
\lim_{\theta \to 0^+} \! \Bigg(
  \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d}\theta^{\,n-1}}  \bigg( \Big(
  \frac{ \theta }{ \theta - e \sin(\theta)} \Big)^{\!n} \bigg)
\Bigg)
, & e \ne  1

\end{cases}


展開得：

: 
E =
\begin{cases} \displaystyle
s + \frac{1}{60} s^3 + \frac{1}{1400}s^5 + \frac{1}{25200}s^7 + \frac{43}{17248000}s^9 + \frac{ 1213}{7207200000 }s^{11} +
 \frac{151439}{12713500800000 }s^{13}+ \cdots  \bigg|{s = ( 6 M )^{1/3}}
 ,  & e = 1\\
\\
\displaystyle
  \frac{1}{1-e} M
- \frac{e}{(1-e)^4 } \frac{M^3}{3!}
+ \frac{(9 e^2 + e)}{(1-e)^7 } \frac{M^5}{5!}
- \frac{(225 e^3 + 54 e^2 + e) }{(1-e)^{10} } \frac{M^7}{7!}
+ \frac{ (11025 e^4 + 4131 e^3 + 243 e^2 + e) }{(1-e)^{13} } \frac{M^9}{9!}+ \cdots
, & e \ne  1

\end{cases} 

以上的級數可用Wolfram Mathematica的InverseSeries運算得出。
: 
```mathematica
InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]
```

: 
```mathematica
InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]
```


這些函數只是簡單的麥克勞林級數。這樣的超越函數泰勒級數寫法可被視為那些函數的定義。因此，這個解是逆開普勒方程的正式定義。然而，在非零的時候，並不是的整函數。其導數

:dM/dE=1-e\cos E

在E=\pm i\cosh^{-1}(1/e)有解，而在這些值時

:M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh^{-1}(1/e)-\sqrt{1-e^2}\right)

（其中逆cosh取正值），而在這些點則趨向無限。這意味着此麥克勞林級數的收歛半徑為\cosh^{-1}(1/e)-\sqrt{1-e^2}，並且當比這大時級數不會收歛。此級數還可用於雙曲情況，此時其收歛半徑為\cos^{-1}(1/e)-\sqrt{e^2-1}。當=1時此級數只在時收歛。

還可以寫出用冪表示的麥克勞林級數。這級數在大於拉普拉斯極限（約為0.66）時不會收歛，與值無關（除非為的倍數），但若小於拉普拉斯極限時則級數在任何值時都會收歛。級數的係數除了第一個之外（只是而已），都與成週期式關係，週期為。

### 逆徑向開普勒方程

逆徑向開普勒方程（*e* = 1）可被寫成：
: 
 x( t ) = \sum_{n=1}^{ \infty }
\left[
\lim_{ r \to 0^+ } \left(
 {\frac{ t^{ \frac{ 2 }{ 3 } n }}{ n! }}
 \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{ d } r ^{\,n-1}} \! \left(
    r^n \left( \frac{ 3 }{ 2 } \Big( \sin^{-1}( \sqrt{ r } ) - \sqrt{ r - r^2 }  \Big)
    \right)^{ \! -\frac{2}{3} n }
  \right) \right)
 \right] 

展開得：
:x(t) =  p - \frac{1}{5} p^2 - \frac{3}{175}p^3
 - \frac{23}{7875}p^4 - \frac{1894}{3931875}p^5 - \frac{3293}{21896875}p^6 - \frac{2418092}{62077640625}p^7 - \ \cdots \ 
 \bigg| { p = \left( \tfrac{3}{2} t  \right)^{2/3} }  

上述結果可用Wolfram Mathematica求得:
:
```mathematica
InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]] - Sqrt[(1 - t) t], {t, 0, 15}]]
```


## 逆問題的數值近似

逆問題在大部份的應用中都能以數值方法求得函數的根：

: 
f(E) = E - e \sin(E) - M(t)


可以經牛頓法來進行迭代：

: 
E_{n+1} = E_{n} - \frac{f(E_{n})}{f'(E_{n})} = 
E_{n} - \frac{ E_{n} - e \sin(E_{n}) - M(t) }{ 1 - e \cos(E_{n})}


注意在這個計算和的單位是弧度角。重覆迭代直到已經達到想要的準確度（例如，當 0 = *M*(*t*) 已經足夠。而對*e* > 0.8的軌道而言，則應取起始值。相近的手法還可以用於開普勒方程的雙曲形式。而在面對抛物線軌跡的個案時則使用。

### 定點迭代

另一種有關的解法由考慮E=M+e\sin{E}開始。重覆地將的值代入右方式子就能得到簡單的求E(e,M)的算法。此方法與開普勒1621年的解相同。


```mathematica
function E(e,M,n)
    E = M
    for k = 1 to n
        E = M + e*sin E
    next k
    return E
```


迭代次數n取決於e的數值。雙曲形式則用相近的H= e \sinh H - M。

這個方法與上文牛頓法解的關係如下：

: 
E_{n+1} = E_{n} - \frac{ E_{n} - e \sin(E_{n}) - M(t) }{ 1 - e \cos(E_{n})} = E_{n} + \frac {(M + e \sin{E_{n}} - E_{n})(1 + e \cos{E_{n}})}{1 - e^2 (\cos{E_{n}})^2}


若M-E_{n}及e的數值小的話，取一次項得近似：

:E_{n+1} \approx M + e \sin{E_{n}}。

## 另見
*開普勒定律
*開普勒問題
*廣義相對論中的開普勒問題

## 參考資料

## 外部連結

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* Wolfram Mathworld的開普勒方程頁面