本構方程

**本构方程**（constitutive equation）是描述介质或场的两个或多个物理量性质的方程，常涉及与运动学量相关的动理学量；此类反映介质或场特定性质的关系与数学模型，称为**本构关系**（constitutive relation），其近似地描述了物理量对外部刺激（通常为施加的场或力）的响应。在字面上，“本” 是物理量的本质属性，“构” 是对于物理量受刺激产生响应的构建。

在電磁學的宏观馬克士威方程組应用中，必須分別找到\mathbf{D}場與\mathbf{E}場之間，和\mathbf{H}場與\mathbf{B}場之間的關係。這些稱為本構關係的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於，一個物質響應外場作用而產生的電極化或磁化。

本構關係式的基礎建立於\mathbf{D}場與\mathbf{H}場的定義式：
:\mathbf{D}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)、
:\mathbf{H}(\mathbf{r}, t)\ \stackrel{def}{=}\ \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t)；

其中，\mathbf{P}是電極化強度，\mathbf{M}是磁化強度。

本構關係式的一般形式為
:\mathbf{D}=\mathbf{D}(\mathbf{E}, \mathbf{B})、
:\mathbf{H}=\mathbf{H}(\mathbf{E}, \mathbf{B})。

在解釋怎樣計算電極化強度與磁化強度之前，最好先檢視一些特別案例。

## 自由空間案例
假設，在自由空間（即理想真空）裏，就不用考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：
:\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}、
:\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu_0。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。

## 線性物質案例
對於線性、各向同性物質，本構關係式也很直接：
:\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}、
:\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu；

其中，\varepsilon是物質的電容率，\mu是物質的磁導率。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，可以得到方程組

除非這物質是均勻物質，不能從微分式或積分式內提出電容率和磁導率。通量\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}的方程式為
:\Phi_{\varepsilon\mathbf{E}}=\iint_{\mathbb{S}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\subset\!\supset\varepsilon\mathbf{E} \cdot\mathrm{d}\mathbf{s}。

這方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，自由空間的電容率和磁導率分別被物質的電容率和磁導率替代；還有，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在均勻物質內部，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流，雖然由於不連續性，可能在表面會有面束縛電荷、面束縛電流或面極化電流。

## 一般案例
對於實際物質，本構關係並不是簡單的線性關係，而是只能近似為簡單的線性關係。從\mathbf{D}場與\mathbf{H}場的定義式開始，要找到本構關係式，必需先知道電極化強度和磁化強度是怎樣從電場和磁場產生的。這可能是由實驗得到（建立於直接測量），或由推論得到（建立於統計力學、傳輸力學（）或其它凝聚態物理學的理論）。所涉及的細節可能是宏观或微觀的。這都要視問題的層級而定。

雖然如此，本構關係式通常仍舊可以寫為
:\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}、
:\mathbf{H} = \mathbf{B}/\mu。

不同的是，\varepsilon和\mu不再是簡單常數，而是函數。例如，
*色散或吸收：\varepsilon和\mu是頻率的函數。因果論不允許物質具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼關係式。場與場之間的相位可能不同相，這導致\varepsilon和\mu為複值，也導致電磁波被物質吸收。
*非線性：\varepsilon和\mu都是電場與磁場的函數。例如，克爾效應和波克斯效應（）。
*各向異性：例如，雙折射或二向色性（）。\varepsilon和\mu都是二階張量：
::D_i = \sum_j \epsilon_{ij} E_j 、
::B_i = \sum_j \mu_{ij} H_j。
*雙耦合各向同性（）或雙耦合各向異性（）：在雙耦合各向同性物質裏，\mathbf{D}場與\mathbf{H}場分別各向同性地耦合於\mathbf{E}場與\mathbf{B}場：
::\mathbf{D}=\epsilon  \mathbf{E}+\xi  \mathbf{H}、
::\mathbf{B}= \mu  \mathbf{H} + \zeta  \mathbf{E}；

:其中，\xi與\zeta是耦合常數，每一種介質的内禀常數。

:在雙耦合各向異性物質裏，\mathbf{D}場與\mathbf{H}場分別各向異性地耦合於\mathbf{E}場與\mathbf{B}場，係數\epsilon、\mu、\xi、\zeta都是張量。

*在不同位置和時間，\mathbf{P}場與\mathbf{M}場分別跟\mathbf{E}場、\mathbf{B}場有關：這可能是因為「空間不勻性」。例如，一個磁鐵的域結構、異質結構或液晶，或最常出現的狀況是多種材料占有不同空間區域。這也可能是因為隨時間而改變的物質或磁滯現象。對於這種狀況，\mathbf{P}場與\mathbf{M}場計算為
::\mathbf{P}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \int d^3 \mathbf{r}' d t'\;
\chi_{\mathrm{e}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{E})\, \mathbf{E}(\mathbf{r}', t')、
::\mathbf{M}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \int d^3 \mathbf{r}' d t' \;
\chi_{\mathrm{m}} (\mathbf{r}, \mathbf{r}', t, t'; \mathbf{B})\, \mathbf{B}(\mathbf{r}', t')；

:其中，\chi_{\mathrm{e}}是電極化率，\chi_{\mathrm{m}}是磁化率。

實際而言，在某些特別狀況，一些物質性質給出的影響微乎其微，這允許物理學者的忽略。例如，在低場強度狀況，光學非線性性質可以被忽略；當頻率局限於狹窄頻寬內時，色散不重要；對於能夠穿透物質的波長，物質吸收可以被忽略；對於微波或更長波長的電磁波，有限電導率的金屬時常近似為具有無窮大電導率的完美金屬（），形成電磁場穿透的趨膚深度為零的硬障礙。

隨著材料科學的進步，材料專家可以設計出具有特定的電容率或磁導率的新材料，像光子晶體。

## 本構關係的演算
通常而言，感受到局域場施加的勞侖茲力，介質的分子會有所響應，從相關的理論計算，可以得到這介質的本構關係式。除了勞侖茲力以外，可能還需要給出其它作用力的理論模型，像涉及晶體內部晶格振動的鍵作用力，將這些作用力納入考量，一併計算。

在介質內部任意分子的位置\mathbf{r}，其鄰近分子會被電極化和磁化，從而造成其局域場會與外場或宏观場不同。更詳盡細節，請參閱克勞修斯-莫索提方程式。真實介質不是連續性物質，其局域場在原子尺度的變化相當劇烈，必需經過空間平均，才能形成連續近似。

這連續近似問題時常需要某種量子力學分析，像應用於凝聚態物理學的量子場論。請參閱密度泛函理論和格林-庫波關係式（）等等案例。物理學者研究出許多近似傳輸方程式，例如，波茲曼傳輸方程式（）、佛克耳-普朗克方程式（）和納維-斯托克斯方程式。這些方程式已經廣泛地應用於流體動力學、磁流體力學、超導現象、等離子模型（）等等學術領域。一整套處理這些艱難問題的物理工具已被成功地發展出來。另外，從處理像礫岩（）或疊層材料（）一類物質的傳統方法演變出來的「均質化方法」，是建立於以「均質有效介質」來近似「非均質介質」的方法。當激發波長超大於非均質性的尺度時，這方法正確無誤。

理論得到的答案必須符合實驗測量的數據。許多真實物質的連續近似性質，是靠著實驗測量而得到的。例如，應用橢圓偏振技術得到的薄膜的介電性質。

## 參考文獻

分類:物質內的電場和磁場