广群

在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，**广群**（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为：
*以偏函数取代二元运算的**[[群]]**；
*所有态射都可逆的**[[范畴 (数学)|范畴]]**。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。

在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的g:A \rightarrow B、h:B \rightarrow C。于是组合是全函数：\circ : (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C ，于是h \circ g : A \rightarrow C 。

广群的特例包括：
***集合体（Setoid）**，即带有等价关系的集合；
***[[群作用|G-集合]]**，即带有*G* 的作用的集合。

广群常用于研究流形等几何物体。广群最先由海因里希·勃兰特于1927年引入，其思想暗含在勃兰特半群的概念中。

## 定义
广群指的是代数结构(G,\ast)，包含非空集*G*与定义在*G*上的二元偏函数'\ast'。

### 代数定义
广群是具备一元运算{}^{-1}:G\to G,与偏函数*:G\times G \rightharpoonup G的集合*G*，当中的*不是二元运算，因为其不一定定义在*G*中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件，这些条件因情况而异。

运算*、−1有以下公理性质：\forall a,\ b,\ c\in G：
# *[[结合律]]*：若定义了a*b,\ b*c，则(a * b) * c=a * (b * c)。
# *[[倒数|逆元]]*：a^{-1} * a、a*{a^{-1}}总有定义。
# *[[单位元]]*：若定义了a*b，则a*b*{b^{-1}} = a;\ {a^{-1}} * a * b = b。（由前两条性质可推知。）

从中可得到两个简单方便的性质：
* (a^{-1})^{-1} = a；
* 若定义了a*b，则(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}。

### 范畴论定义
广群是小范畴，其中每个态射都可逆，即是同构。更明确地说，广群*G*是对象集合G_0，其中
* 每对对象*x*、*y*，都有从*x*到*y*的态射（或箭头）的（可能是空）集合G(x,\ y)，其中的元素写作f:\ x\to y;
* 每个对象*x*，G(x,\ x)的指定元素\mathrm{id}_x;
* 对任意三个元素*x*、*y*、*z*都有函数\mathrm{comp}_{x,y,z} : G(y, z)\times G(x, y) \rightarrow G(x, z): (g, f) \mapsto gf;
* 对任意两个元素*x*、*y*都有函数\mathrm{inv}: G(x, y) \rightarrow G(y, x): f \mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;
** f\ \mathrm{id}_x = f、\mathrm{id}_y\ f = f;
** (h g) f = h (g f);
** f f^{-1} = \mathrm{id}_y、f^{-1} f = \mathrm{id}_x.
若f\in G(x,\ y)则称*x*为*f*的**源**，记作s(f)；*y*称作*f*的**目标**，记作t(f)。广群*G*有时记作G_1 \rightrightarrows G_0，当中G_1是所有态射的集合，两个箭头G_1 \to G_0代表源和目标。

更一般地，可以考虑任意范畴中的广群对象，其允许有限的纤维积。

### 定义比较
代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令*G*为所有集合G(x,\ y)的不交并（即*x*到*y*的态射的集合）；则\mathrm{comp}、\mathrm{inv}就成了*G*上的偏运算，而\mathrm{inv}事实上在任意地方都可被定义。我们定义*为\mathrm{comp}、−1为\mathrm{inv}，这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及G_0（及\mathrm{id}）。

反过来，给定代数定义的广群*G*，用\sim定义其元素上的等价关系：
a \sim b，若a*a^{-1}=b*b^{-1}.令*G*0为\sim的等价类集合，即G_0:=G/\!\!\sim。若a\in G且x\in G_0，用1_x记*a* ∗ *a*−1。

现在定义G(x, y)为所有使1_x*f*1_y存在的*f*的集合。给定f \in G(x,y),\ g \in G(y, z),其组合定义为gf:=f*g \in G(x,z).这是良定义的，因为可观察到(1_x*f)*1_y、1_y*(g*1_z)都存在，(1_x*f*1_y)*(g*1_z)=f*g也存在。这样，*x*的恒等态射就是1_x，*f*的范畴论逆是*f*−1。

上述定义中的集合可用类代替，这在范畴论中很常见。

### 顶点群与轨道
给定广群*G*，其中的**顶点群**或**迷向群**或**轨道群**是G(x,\ x)(x\in G)的子群。从上述公理不难看出，它们确实是群，因为每对元素都可组合，且逆元都在同一个群中。

广群*G*在点x \in X处的**轨道**由集合s(t^{-1}(x)) \subseteq X给出，当中包含了可用*G*中的态射连接到x的每个点。若*x*、*y*两点在相同的轨道上，则它们的顶点群*G(x)*、*G(y)*群同构：若f:\ x\to y，则同构由g\to fgf^{-1}给出。

轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道（等价地是连通的），则称之为**传递**的。那么，所有顶点群都同构（另一方面，这不是传递性的充分条件，反例下详）。

### 子广群与态射
G \rightrightarrows X的**子广群**是子范畴H \rightrightarrows Y，其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴，即\forall x,y \in Y都有X = Y或G(x,y)=H(x,y)，则也称其为**宽**或**满**。

**广群映射**简单说就是两个（范畴论）广群间的函子。

有几种特殊的广群态射值得关注。若\forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to,都有e\in E:\ x\to，使得p(e)=b，则广群的态射p: E \to B称作纤维化。若这样的*e*是唯一的，则纤维化称作**覆盖态射**或**广群的覆盖**。广群的覆盖态射很有用，可用来模拟空间的覆盖映射。
同样，给点广群*B*的覆盖态射范畴，等同于广群*B*对对集合的作用范畴。

## 例子
### 拓扑

给定拓扑空间*X*，令G_0为集合*X*。从点*p*到点*q*的态射是*p*到*q*的连续路径的等价类，若两条路径同伦，就称它们等价。
先沿第一条路径，再沿第二条路径，两个这样的态射便组合到一起；同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作*X*的基本广群，记作\pi_1(X)（有时是\Pi_1(X)）。通常的基本群\pi_1(X,x)于是就是点x的顶点群。

基本广群\pi_1(X)的轨道是*X*的路径连通成分。相应地，路径连通空间的基本广群是传递的，我们恢复了已知的事实，即任意基点上的基本群是同构的。此外，基本广群和基本群这时作为范畴是等价的（一般理论见下文）。

这一思想的重要推广是考虑基本广群\pi_1(X,A)，其中A\subset X是选定的基点集合。当中\pi_1(X,A)是\pi_1(X)的（宽）子广群，这里只考虑端点属于*A*的路径。集合*A*可据当前情况的几何形状来选择。

### 等价关系
若*X*是集合体，即具有等价关系\sim的集合，则“表示”这等价关系的广群可由如下构成：
* 广群对象是*X*的元素；
* \forall x,\ y\in X,有单态射(y,x):\ x\to y，当且仅当x\sim y；
*(z,y)与(y,x)的组合是(z,x)。
这个广群的顶点群总是平凡的；此外，这个广群一般不传递，其轨道正是等价类。有两个极端例子：

* *X*每个元素若都与*X*的其他元素有联系，则就得到了*X*的**对广群**，其以整个X \times X作为箭头集，且是传递的。
* *X*每个元素若只与自身有关系，就得到了**单位广群**，其以*X*为箭头集，s = t = id_X，是完全不传递的（每个单子\{x\}都是轨道）。

#### 例子
*若f: X_0 \to Y是光滑流形的光滑满射浸没，则X_0\times_YX_0 \subset X_0\times X_0是等价关系，因为在拓扑空间的满射下，*Y*与X_0的商拓扑拓扑同构。若记X_1 = X_0\times_YX_0则可得广群X_1 \rightrightarrows X_0有时称为光滑流形的满射浸没的**平庸广群**。
*若放宽自反性要求、考虑*偏等价关系*，则就可考虑关于集合的可计算实现子上的半可决定概念。这使得广群可用于集合论的可计算近似，称作**PER模型**。作为一个范畴，PER模型是具有自然数对象与子对象分类子的笛卡儿闭范畴，从而产生了马丁·海兰德所谓有效拓扑斯。

### 切赫广群

切赫广群是一类特殊的广群，与某个流形*X*的开覆盖\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}所给出的等价关系相关联。其对象由不交并
\mathcal{G}_0 = \coprod U_i
给出，其箭头是相交
\mathcal{G}_1 = \coprod U_{ij}.
源映射与目标映射由诱导映射给出\begin{align}
s = \phi_j: U_{ij} \to U_j\\
t = \phi_i: U_{ij} \to U_i
\end{align}包含映射\varepsilon: U_i \to U_{ii}则给出了广群的结构。实际上，还可设置\mathcal{G}_n = \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0} \cdots \times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1为*n*次迭代的纤维积来进一步扩展，其中\mathcal{G}_n表示*n*个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射，因为\begin{matrix}
U_{ijk} & \to & U_{ij} \\
\downarrow & & \downarrow \\
U_{ik} & \to & U_{i}
\end{matrix}是笛卡儿图，其中到U_i的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型；此外，这种构造的另一个产物是k-上循环[\sigma] \in \check{H}^k(\mathcal{U},\underline{A})对某个阿贝尔群之常数层可表为函数\sigma:\coprod U_{i_1\cdots i_k} \to A给出了上同调类的明确表示。

### 群作用
若群*G*作用于集合*X*，则可由如下方式组成代表群作用的**作用广群**或**变换广群**：
*对象是*X*的元素；
*\forall x,\ y\in X，态射x\to y对应g\in G，使得gx = y；
*态射的复合解释了*G*的二元运算。

更明确地说，*作用广群*是小范畴\mathrm{ob}(C)=X、\mathrm{hom}(C)=G\times X，源映射和目标映射分别为s(g,x) = x、t(g,x) = gx。通常表示为G \ltimes X（对于右作用记为X\rtimes G）。广群中的乘法（或组合）就是(h,y)(g,x) = (hg,x)，定义条件是y=gx。

\forall x\in X，顶点群由gx=x的(g,x)组成，这只是给定作用在*x*处的迷向子群（这就是顶点群称为迷向子群的原因）。同样，作用广群的轨道是群作用的轨道，广群是传递的当且仅当群作用也有传递性。

另一种描述*G*集合的方法是函子范畴[\mathrm{Gr},\mathrm{Set}]，当中\mathrm{Gr}是1个元素的广群（范畴），同构于群*G*。事实上，这个范畴的每个函子*F*都定义了集合X=F(\mathrm{Gr});\ \forall g\in G（即对\mathrm{Gr}中的每个态射）诱导了双射F_g：X\to X。函子*F*的范畴结构保证了*F*定义了集合*G*上的*G*作用。（唯一）可表函子*F*：\mathrm{Gr} \to \mathrm{Set}是*G*的凯莱表示。事实上，这个函子与\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)同构，因此将\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})送到集合\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},\mathrm{Gr})，后者的定义就是“集合”*G*和\mathrm{Gr}的态射*g*（即*G*的元素*g*）到集合*G*的置换F_g。由米田嵌入推导出：群*G*同构于*G*的置换群的子群\{F_g\mid g\in G\}。

#### 有限集
考虑\mathbb{Z}/2在有限集X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}上的群作用，其将每个数取负，于是-2 \mapsto 2、1 \mapsto -1。商广群[X/G]是这个群作用的等价类集合\{[0],[1],[2]\}，[0]在其上有群作用\mathbb{Z}/2。

#### 商簇
任何映射到GL(n)的有限群*G*都会在仿射空间\mathbb{A}^n上产生群作用（由于这是自同构群）。于是，商广群的形式可以是[\mathbb{A}^n/G]，有一点的稳定子*G*位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间\mathbb{P}(n_1,\ldots, n_k)及其子空间，如卡拉比-丘轨形。

### 广群的纤维积
给定具有广群态射的广群图
:
\begin{align}
 & & X \\
 & & \downarrow \\
Y &\rightarrow & Z
\end{align}


其中f:X\to Z、g:Y\to Z，可组成广群X\times_ZY，其对象为三元组(x,\phi,y)，其中x \in \text{Ob}(X),\ y \in \text{Ob}(Y),\ \phi: f(x) \to g(y),\ \in Z。态射可定义为一对态射(\alpha,\beta)，其中\alpha: x \to x',\ \beta: y \to y'，使得对三元组(x,\phi,y), (x',\phi',y'),\ Z中有f(\alpha):f(x) \to f(x'),\ g(\beta):g(y) \to g(y'),\ \phi,\phi'的交换图。

### 同调代数
具体阿贝尔范畴中对象的二项复形
:
C_1 \overset{d}{\rightarrow}C_0

可形成广群。其对象是集合C_0，箭头是集合C_1\oplus C_0；源映射只是到C_0的映射，目标映射是对C_1与*d*的组合跟到C_0的映射的加法。也就是说，给定c_1 + c_0 \in C_1\oplus C_0，有
:
t(c_1 + c_0) = d(c_1) + c_0.

当然，若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴，则这种构造可用于形成广群的预层。

### 游戏
魔方可用群论来建模（见魔方群），也有些游戏更适合用广群建模。

数字推盘游戏的变换就是广群（不是群，因为并非所有移动都能复合）。这一广群作用作用于构型。

### 马蒂厄广群
马蒂厄广群是约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群，这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M12的一个副本。

## 与群的关系

若广群只有一个对象，则其态射集构成群。由代数定义，这样的广群实际上就是群。 群论的许多概念都能推广到广群，用函子概念取代群同态。

每个传递/连通的广群（即如上所述，任意两对象都由至少一个态射相连）都与作用广群（如上定义）(G, X)同构。根据传递性，这个作用下只有一个轨道。

注意刚才提到的同构不唯一，也没有自然的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象x_0、群同构h:\ G(x_0)\to G、\forall x\ne x_0,\ 态射\in G:\ x_0\to x。

若广群没有传递性，则就同构于上述类型的广群的不交并，也称作其**连通成分**（每个连通成分可能具有不同的群*G*与集合*X*）。

用范畴论的术语来说，广群的每个连通成分都等价（但不同构）于只有1个对象的广群，即单群。因此，任何广群都等价于无关群的多重集；换句话说，对等价（而非同构），我们不需要指定集合*X*，而只需指定群*G*。例如，

**X*的基本广群等价于*X*的每个路径连通成分的基本群的集合，但同构要指定每个成分的点集；
*具有等价关系\sim的集合*X*等价（作为广群）于每个等价类的平凡群的一个副本，但同构需要说明每个等价类；
*具备群*G*的作用的集合*X*等价（作为广群）于作用的每个轨道的*G*的一个副本，但同构需要说明每个轨道是什么集合。

即使从范畴论的角度来看，把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息，因为是不自然的。因此，当广群以其他结构出现时，保持整个广群是有帮助的；否则就必须选择一种方法，以从单群的角度看待每个G(x)，而这一选择是任意的。在拓扑学的例子中，必须连贯地选择路径（或路径的等价类），从相同路径连通成分的每个*p*点到每个*q*点。

一个更有启发性的例子是，有自同态的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的向量空间的分类并不平凡。

广群的态射比群的更多样：例如，有纤维化、覆盖态射、泛态射、商态射。因此，群*G*的子群*H*会产生‘’G*对*G*中*H*的[[陪集]]集的作用，从而产生*K*到*G*的覆盖态射*p*，其中*K*是顶点群与*H*同构的广群。这样，群*G*的表示就可以“提升”到广群*K*的表示，这是获取子群*H*的表现信息的有用方法。

== 广群范畴 ==
对象是广群、态射是广群态射的范畴称作*'广群范畴**，记作**Grpd**。

**Grpd**与小范畴相似，是[[笛卡儿闭范畴]]：对任意广群<math>H,K</math>，我们都可以构造广群<math>\operatorname{GPD}(H,K)</math>，其对象是态射<math> H \to K </math>、箭头是态射的自然等价。于是，若<math> H,K </math>只是群，则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是，对任何广群<math> G,H,K </math>都有自然双射

<math>\operatorname{Grpd}(G \times H, K) \cong \operatorname{Grpd}(G, \operatorname{GPD}(H,K)).</math>

即使所有广群<math> G,H,K </math>都只是群，这个结果也有意义。

**Grpd**既是[[完全范畴]]，又是余完全范畴。

=== 与[[小范畴范畴|Cat]]的关系 ===
包含态射<math>i : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{Cat}</math>有左右[[伴随函子]]：

:<math> \hom_{\mathbf{Grpd}}(C[C^{-1}], G) \cong \hom_{\mathbf{Cat}}(C, i(G)) </math>
:<math> \hom_{\mathbf{Cat}}(i(G), C) \cong \hom_{\mathbf{Grpd}}(G, \mathrm{Core}(C)) </math>

当中，<math>C[C^{-1}]</math>表示反转每个态射的范畴局部化，<math>\mathrm{Core}(C)</math>表示所有同构的子范畴。

=== 与[[单纯集合|sSet]]的关系 ===
[[神经 (范畴论)|神经函子]]<math>N :  \mathbf{Grpd} \to \mathbf{sSet}</math>将**Grpd**嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是[[阚纤维|阚复形]]。

神经有左伴随
:<math> \hom_{\mathbf{Grpd}}(\pi_1(X), G) \cong \hom_{\mathbf{sSet}}(X, N(G)) </math>
当中<math>\pi_1(X)</math>表示单纯集''X''的基本广群。

=== Grpd中的广群 ===

广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构，即**双重广群**。因为**Grpd**是2范畴，这些对象构成了2范畴，比1范畴有额外的结构。本质上说，这些对象是具有函子<blockquote><math>s,t: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0</math></blockquote>的广群<math>\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_0</math>，以及由恒等函子<blockquote><math>i:\mathcal{G}_0 \to\mathcal{G}_1</math></blockquote>给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如，给定方块<blockquote><math>\begin{matrix}
\bullet & \to & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet
\end{matrix}
</math>与<math>\begin{matrix}
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \to & \bullet
\end{matrix}</math></blockquote>其中<math>a</math>是同一个态射，则可以垂直相连，得到图<blockquote><math>\begin{matrix}
\bullet & \to & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\
\downarrow & & \downarrow \\
\bullet & \to & \bullet
\end{matrix}</math></blockquote>可将垂直箭头转置，得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。

== 具有几何结构的广群 ==
研究几何对象时，产生的广群通常带有[[拓扑空间|拓扑]]，使其成为[[拓扑广群]]；一些[[微分结构]]还能将其变为[[李广群]]。最后这些对象也可根据其相关的[[李代数胚]]进行研究，这与[[李群]]和[[李代数]]之间的关系类似。

从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如，[[泊松流形|泊松几何]]中有[[辛流形|辛广群]]的概念，后者是具有相容辛形式的李广群。同样，也可拥有具备相容[[黎曼流形|黎曼度量]]或[[复流形]]等结构的广群。

== 另见 ==
*[[∞-广群]]
*[[2-群]]
*[[同伦类型论]]

== 脚注==


==参考文献==

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