累积量

在概率论和统计学中，一个概率分布的**累积量**()是指一系列能够提供和矩一样的信息的量。累积量和随机变量的矩密切相关。如果两个随机变量的各阶矩都一样，那么它们的累积量也都一样，反之亦然。

对于随机变量X而言，一阶累积量等于期望值E(x)，二阶累积量等于方差V(x)，三阶累积量等于三阶中心矩S(x)，但是四阶以及更高阶的累积量与同阶的中心矩并不相等。在某些理论推导中，使用累积量更加方便。特别是当两个或者更多的随机变量相互独立时，它们的
n阶累积量的和等于它们和的n阶累积量。另外，服从正态分布的随机变量的三阶及以上的累积量为0。

## 定义
一个随机变量X的n阶累积量\kappa_n可以用**累积生成函数**来定义
:K(t)=\log \mathbb{E} e^{t X}=\sum_{n=1}^\infty \kappa_n \frac{t^n}{n!}=:g(t).

从上面的观察可知，累积量可以通过对生成函数 g(t) （在0处）进行求导得到。也就是说，累积量是g(t) 的麦克劳林级数的系数。
:\begin{align} \kappa_1 &= g'(0) = \mu'_1 = \mu, \\
                     \kappa_2 &= g*(0) = \mu'_2 - {\mu'_1}^2 = \sigma^2, \\
                              &{} \  \  \vdots \\
                     \kappa_n &= g^{(n)}(0), \\
                              &{} \  \  \vdots
       \end{align}
 </math>

如果使用<math>X</math>（没有中心化）的<math>n</math>阶矩<math>\mu_n^{\prime} =  \mathbb{E}(X^n) </math>和[[动差生成函数|矩生成函数]]则可以定义：
:<math> \mathbb{E} (e^{tX}) = 1 + \sum_{m=1}^\infty \mu'_m \frac{t^m}{m!}=e^{g(t)}.</math>
使用[[形式幂级数]]定义的[[对数函数]]：
:<math>\begin{align}g(t) &= \log(\operatorname{E}(e^{tX})) = - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(1-\operatorname{E}(e^{tX})\right)^n = - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(-\sum_{m=1}^\infty \mu'_m \frac{t^m}{m!}\right)^n \\
&= \mu'_1 t
+ \left(\mu'_2 - {\mu'_1}^2\right) \frac{t^2}{2!}
+ \left(\mu'_3 - 3\mu'_2\mu'_1 + 2{\mu'_1}^3\right) \frac{t^3}{3!}
+ \cdots .
\end{align}</math>

随机变量的累积量和随机变量的矩密切相关。比如说，随机变量X有[[数学期望|期望]]<math>\scriptstyle \mu =  \mathbb{E}(X) </math>和[[方差]] <math>\scriptstyle \sigma^2 =  \mathbb{E}\left(|X - \mu |^2\right) </math> ，那么它们也是前两阶的累积量： <math>\scriptstyle \mu =  \kappa_1 , \, \sigma^2 = \kappa_2</math>。

要注意有时候<math>n</math>阶矩会用角括号来表示：<math>\mu'_n = \operatorname{E}(X^n)=\langle X^n \rangle \, </math>，累积量则用下标<math>c</math>的角括号表示：<math>\kappa_n = \langle X^n\rangle_c. \, </math>。

如果随机变量的矩生成函数不存在，那么可以通过后面对于累积量与矩之间的关系的讨论定义累积量。

有些作者偏向于定义累积生成函数为随机变量的[[特征函数 (概率论)|特征函数]]诱导的自然对数。这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的*'第二类特征函数*'。
:<math>h(t)=\sum_{n=1}^\infty \kappa_n \frac{(it)^n}{n!}=\log(\operatorname{E} (e^{i t X}))=\mu it - \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots.\,</math>

==统计数学中的应用==

使用累积量的一个优势是它对应的生成函数是加性函数。比如说对两个独立的随机变量<math>X</math>和<math>Y</math>，

:<math>

\begin{align}

g_{X+Y}(t) & =\log(\operatorname{E}(e^{t(X+Y)})) = \log(\operatorname{E}(e^{tX})\operatorname{E}(e^{tY})) \\

& = \log(\operatorname{E}(e^{tX})) + \log(\operatorname{E}(e^{tY})) = g_X(t) + g_Y(t).

\end{align}

</math>

它们的和的累积量是各自的累积量的和。

== 一些具体概率分布的累积量==
* 常量<math>X=\mu</math>的累积生成函数是 <math>K(t)=\mu t</math>。 一阶累积量是<math>\kappa_1 = K'(0)=\mu</math>,其他阶的累积量均为0， <math>\kappa_2 = \kappa_3 = \kappa_4 = ... =  0</math>。
* 服从[[伯努利分布]]的随机变量的累积生成函数是 <math>K(t)=log(1-p+pe^{t})</math>。一阶累积量是<math>\kappa_1 = K'(0)=p</math>，二阶累积量是<math>\kappa_2 = K*(0)=p(1-p),累积量满足递推公式

:: \kappa_{n+1}=p (1-p) \frac{d\kappa_n}{dp}.

* 服从几何分布的随机变量的累积生成函数是K(t)=log(\frac{p}{1+(p-1)e^{t}})。 一阶累积量是\kappa_1 = K'(0)=p^{-1}-1，二阶累积量是\kappa_2 = K*(0)=\kappa_1 p^{-1}</math>。
* 服从[[泊松分布]]的随机变量的累积生成函数是<math>K(t)=\mu{e^t -1}</math>。所有的累积量均等于参数<math>\mu</math>: <math>\kappa_1 = \kappa_2 = \kappa_3 = ... = \kappa_n = \mu</math>。
* 服从[[二项分布]]的随机变量的累积生成函数是<math>K(t)=n log(1- p + p e^{t})</math>。 一阶累积量是<math>\kappa_1 = K'(0)=np</math>，二阶累积量是<math>\kappa_2 = K*(0)=\kappa_1 (1-p)。
* 服从负二项分布的随机变量的累积生成函数的导数是K'(t)=\frac{n}{\frac{1}{(1-p)e^t}-1}。一阶累积量是\kappa_1 = K'(0)=n(\frac{1}{p}-1)，二阶累积量是\kappa_2 = K''(0)=\kappa_1 p^{-1}。

## 相關條目
*累積量生成函數

## 参考来源

## 外部链接
* 
*累积量 ：一些数学术语的早期使用