三相 (电学)

在电子工程学中，**三相**交流电一般是将可变的电压通过三组不同的导体。这三组电压幅值相等、频率相等、彼此之间的相位差为120度。

通常来说，三相交流电分三角形接法（Δ）和星型接法（Y）两种。三角形接法即为将各相电源或负载依次首尾相连，形成一个三角环；而星型接法则是将各相电源或负载的一端连接在一点，形成一个中性点，这种接法又称为三相三线制。如果从该中性点再引出一条中性线，则整个结构变为三相四线制。其中星型接法允许对各相加上不同的电压。例如常见的230/400伏三相交流电，就是在中性点和任意一相上加上230伏，余下的两相各加上400伏的电压。三角形接法由于各相首尾相连，只能存在一种电压，但是其优点在于即使三相中有一相失去作用，整个系统仍然可以运作（效率为原来的57.7%）。

## 定义

假设有一台使用星型接法的发电机，将其三个负载的加入点命名为L1、L2、L3,则加在三相上的电压分别为：

: V_{L1-N}=\sin \left(\theta\right) * V_P\,\!

: V_{L2-N}=\sin \left(\theta -\frac{2}{3} \pi\right) * V_P = \sin \left(\theta +\frac{4}{3} \pi\right) * V_P

: V_{L3-N}=\sin \left(\theta-\frac{4}{3} \pi\right) * V_P = \sin \left(\theta+\frac{2}{3} \pi\right) * V_P
其中：
:V_P代表最大电压,
:\theta=2\pi ft\,\!代表相位角
:t代表时间，单位为秒
:f代表頻率，单位为转/秒
:V_{L1-N}、V_{L2-N}和V_{L3-N}则分别代表L1到中性点（N）、L2到中性点和L3到中性点的电压。

## 電壓和電流
線電壓（Line to Line Voltage, Line Voltage）為兩條相線間的電壓。相電壓（Vph）為負載端所獲得的電壓，隨連接方式而異。

線電流（IL）為相線上的電流大小。相電流（Iph）為負載端的電流大小。

;星形接法
在星形接法，线電壓是相電壓的√3倍，線電流等於相電流。
:V_L = \sqrt3 V_{ph}
:I_L = I_{ph}

;三角形接法
在三角形接法，线電壓等於相電壓，线電流是相電流的√3倍。
:V_L =  V_{ph}
:I_L = \sqrt3 I_{ph}

### 功率
星形接法和三角形接法的總功率，都可使用同一公式計算：
:P=3 P_{ph}=3 V_{ph}I_{ph} \cos\phi = \sqrt 3 V_L I_L \cos\phi

:P_{\Delta}=3 \times P_{Y}

;開三角形接法
三角形接法其中一個繞阻被移除，則變成開三角形（Open Delta）。

假設單相變壓器可以輸出電壓V及電流I，兩個變壓器的功率為
:S = 2\ V I

用作三相變壓器時，功率為
:S = \sqrt 3\ V I 

換言之，兩個變壓器可使用的功率為原來的86.6%。

對比三個變㱘器，整個系統的功率變成原來的57.7%。因為兩個變壓器的功率因素不同，其中一個提供无功功率，另一個消耗无功功率，所以可用輸出並不是66.7%。

## 稳定输出

一般在三相的电力系统中，每一相负载的做功的大小均相同。通常会先论证电动机在稳定输出的情况下运作，再考虑不稳定的情况。

### 恒定功率转化
三相发电机的特性在于，当各相的负载具有电阻性质时，其输出功率\scriptstyle P \,=\, V I \,=\, \frac{1}{R}V^2是恒定的。

: P_{Li} = \frac{V_{Li}^{2}}{R}
: P_{TOT} = \sum_i P_{Li}

为了使计算更方便，先定义一个无量纲的功率值\scriptstyle p \,=\, \frac{1}{V_P^2}P_{TOT} R作为中间量，则：
: p=\sin^{2} \theta+\sin^{2} \left(\theta-\frac{2}{3} \pi\right)+\sin^{2} \left(\theta-\frac{4}{3} \pi\right)=\frac{3}{2}

代回：
: P_{TOT}=\frac{3 V_P^2}{2R}

最终结果中不含\theta（相位角）由此可见发电机动率的输出不会随着时间的变化而变化。对于大型发电机来说，这点尤为重要。

实际上，发电机的负载不一定要带有电阻的性质，只需各个相位相等即可，设：
: Z=|Z|e^{j\varphi}

因此最大电流为：
: I_P=\frac{V_P}

所有相位上的瞬时电流大小为：
: I_{L1}=I_P\sin\left(\theta-\varphi\right)

: I_{L2}=I_P\sin\left(\theta-\frac{2}{3}\pi-\varphi\right)

: I_{L3}=I_P\sin\left(\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)

这时各个相位的功率输出为：
: P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_P I_P\sin\left(\theta\right)\sin\left(\theta-\varphi\right)

: P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_P I_P\sin\left(\theta-\frac{2}{3}\pi\right)\sin\left(\theta-\frac{2}{3}\pi-\varphi\right)

: P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_P I_P\sin\left(\theta-\frac{4}{3}\pi\right)\sin\left(\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)

利用三角恒等式里的积化和差与和差化积公式：
: P_{L1}=\frac{V_P I_P}{2}\left[\cos\varphi-\cos\left(2\theta-\varphi\right)\right]

: P_{L2}=\frac{V_P I_P}{2}\left[\cos\varphi-\cos\left(2\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)\right]

: P_{L3}=\frac{V_P I_P}{2}\left[\cos\varphi-\cos\left(2\theta-\frac{8}{3}\pi-\varphi\right)\right]
得出瞬时功率输出为：
: P_{TOT}=\frac{V_P I_P}{2}\left\{3\cos\varphi-\left[\cos\left(2\theta-\varphi\right)+\cos\left(2\theta-\frac{4}{3}\pi-\varphi\right)+\cos\left(2\theta-\frac{8}{3}\pi-\varphi\right)\right]\right\}

中括号中的三项互相抵消，得出最终的结果为：
: P_{TOT}=\frac{3V_P I_P}{2}\cos\varphi
或者
: P_{TOT}=\frac{3V_P^2}{2|Z|}\cos\varphi

### 中線電流
当一个星形接法是平衡負載，即使接上中線也沒有電流。流过中性点的电流即三相电流的向量之和，参见基尔霍夫定律。
:\begin{align}
I_{L1} &= \frac{V_{L1-N}}{R},\; I_{L2}=\frac{V_{L2-N}}{R},\; I_{L3}=\frac{V_{L3-N}}{R}\\
0&= I_{L1} + I_{L2} + I_{L3}+I_{N} 
\end{align}

定义一个非无量纲量的电流，大小为i=\frac{I_{N}R}{V_P}:
:
\begin{align}
i &=\sin \theta+\sin(\theta-\frac{2\pi}{3})+\sin(\theta+\frac{2\pi}{3})\\
 &=\sin \theta+2 \sin \theta \cos \frac{2\pi}{3}\\
 &=\sin \theta -\sin \theta\\
 &=0
\end{align}


流过中線的电流大小为零。因此将中線拿掉而不影响电路本身，证明输出的功率是恒定的。一般三相三線制只有在三相的电源或者负荷都连接在同一个电路上（例如三相电动机），否则各相的输入电压的波动会造成输出功率的不稳定。

## 不稳定输出
在实际的应用中，很少出现理论上输出功率很稳定的情况。利用对称分量法来简化电路，一个不恒定输出的系统可以看作是三个电压分别为正、零、负的恒定输出系统的叠加。

在一个限定的三相电路中，只需要知道三相的模量和流过中性点电流的大小。中性点电流的计算一般先求三相电流的复数之和，在代换回极坐标系的形式。假设三相内的电流分别为I_{L1}, I_{L2}和I_{L3}，则流经中性点的电流大小为：

: I_{L1} + I_{L2} * \cos\frac{2}{3}\pi + j * I_{L2} * \sin\frac{2}{3}\pi + I_{L3} * \cos\frac{4}{3}\pi + j * I_{L3} * \sin\frac{4}{3}\pi
: I_{L1} - I_{L2}*0.5 - I_{L3}*0.5 + j*\frac{\sqrt{3}}{2}*\left(I_{L2} - I_{L3}\right)

最后的极坐标系中的三相和的模量：
: \sqrt{I_{L1}^2 + I_{L2}^2 + I_{L3}^2 - I_{L1}*I_{L2} - I_{L1}*I_{L3} - I_{L2}*I_{L3}}
### 非线性负载
在线性的情况下，只有在三相的电源或者负载不均衡的情况下，中性点的电流才不等于零。但是当在实际的使用中，接入的用电器中会使用饱和电抗，光敏、压敏电阻等非线性的电路元件，由于用电器本身电抗的变化，也会造成输出功率的不平衡。 

## 旋转磁场
任何一个多相的电路，根据电流随着时间的变化，通过旋转即可生成磁场，这也是异步电动机的工作原理。感应电动机是异步电动机的一种，指的是仅有一套绕组联接电源的异步电动机。

### 励磁磁动势
定子三相对称绕组流过三相对称电流时，产生合成基波旋转磁动势。将该磁动势用空间矢量***F***0表示，其幅值为

:F_0=\frac{m_1}{2} \frac{4}{\pi} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{N_1 k_{dp1}}{p} I_0

式中，*N*1和*k*dp1分别为定子绕组的每相串联匝数和基波绕组因数；*p*为极对数；*m*1为定子绕组相数，对于三相异步电动机，*m*1=3。

## 对于其他多相系统的转化
任意两个随着时间t变化的电压之间一定存在着相互位移的关系，同样，一个三相的电源通过变压器可以转化为多相。例如，利用特殊的变压器，能将三相的电源转变为一个二相电源。此类变压器一般称为相位转换器。当三相的电力通过高压线传输到用户的社区在传输到每一户家中时，一般利用角接电容或星接电容将三相变为单项，为家庭用户提供电力。但是相应的，输出功率会有所下降。

## 输出功率的测量
用传感器可以测量三相电路的输出功率，无中线要用到两个传感器，有中性线要用到三个。需要使用传感器的数量总是比测量的电路的数量少一个。若採用高壓計量，則需要兩個电压互感器及兩個电流互感器(2VT+2CT)分別用來量度電壓及電流。

若使用功率分析儀用來分析諧波電流，宜使用四個电流互感器測量所有帶電導體的電流，以提高準確度。因為每個电流互感器都有誤差，利有三個測量值計算剩下的未知值，誤差也變成了三倍。

## 参见

*三相交流电
*发电机
*尼古拉·特斯拉
*直流电动机
*同步马达
*异步电动机
*单相电
*Y-Δ变换

## 参考资料