明渠流

**明渠流（）**是水力学的分支，是液體在管道或水路中的流動，而且液體存在自由表面，包括未全滿的液體在管道中流動，則稱為管流。 流體的重量是這種流體的主要驅動來源。
## 流的狀態
明渠流的行為是由粘滯力和重力以及流體本身的慣性所控制。表面张力有一些影響，不過在大部份的應用中，表面张力不是主要影響因素。由於流體有自由表面，明渠流中重力多半是最重要影響明渠流的因素。慣力和重力的比例就是明渠流裡最重要旳無因次量，此無因次量稱為福祿數
，定義為\text{Fr} = {U\over{\sqrt{gD}}}

其中
*U是平均速度
*D是表示渠深度的特徵長度
*g為重力加速度。

粘滯力相對慣性力的影響可以用雷诺数表示，流體可以分為层流、湍流和过渡流。不過一般會假設其雷诺数夠大，流體的粘滯力可以忽略，流體本身會是湍流。

## 公式

可以用針對質量、動量和能量的守恆定律來描述明渠流。其統御方程可以從考慮流速向量場{\bf v}（分量{\bf v} = \begin{pmatrix} u & v & w \end{pmatrix}^{T}）的動態方程求得。在笛卡儿坐标系下，這些分量對應x軸、y軸和z軸的流速。
 
為了簡化最後的公式，會進行以下的假設：
 
# 流是不可壓縮流（若是快速變化的流，此假設就不合適)
# 雷诺数夠大，粘滯擴散可以忽略
# 流是沿著x軸的一維流

### 連續性方程式
通用的連續性方程式描述質量的守恆，其形式如下：{\partial \rho\over{\partial t}} + \nabla \cdot (\rho {\bf v}) = 0其中\rho是流體密度，\nabla \cdot()是散度算子。假設不可壓縮流，有固定的控制體積 V，方程可以表示為\nabla \cdot {\bf v} = 0。不過，明渠流的截面A可能會隨著時間和位置而變化。若從連續性方程式的積分形開始：{d\over{dt}}\int_{V}\rho \; dV = -\int_{V} \nabla\cdot(\rho {\bf v}) \; dV可以將體積積分分解成截面和長度，因此可以得到下式：{d\over{dt}}\int_{x}\left(\int_{A}\rho \; dA \right) dx = -\int_{x}\left[\int_{A}\nabla\cdot(\rho {\bf v}) \; dA \right] dx在流體不可壓縮、一維流的假設下，方程式可以寫成：{d\over{dt}}\int_{x}\left(\int_{A}dA \right) dx = -\int_{x}{\partial\over{\partial x}}\left(\int_{A} u \; dA \right) dx利用\int_{A}dA = A並且定義體積流率 Q = \int_{A}u \; dA, 方程式可以簡化如下：\int_{x}{\partial A\over{\partial t}} \; dx = -\int_{x}{\partial Q\over{\partial x}} dx最後，可以得到不可壓縮、一維明渠流的方程： + {\partial Q\over{\partial x}} = 0 |border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}
### 動量方程
明渠流的動量方程可以從不可壓縮的纳维-斯托克斯方程開始：\overbrace{\underbrace}_{\begin{smallmatrix} \text{Local} \\ \text{Change} \end{smallmatrix}} + \underbrace_{\text{Advection}}}^{\text{Inertial Acceleration}} = -\underbrace\nabla p}_{\begin{smallmatrix} \text{Pressure} \\ \text{Gradient} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\nu \Delta {\bf v}}_{\text{Diffusion}} - \underbrace{\nabla \Phi}_{\text{Gravity}} + \underbrace_{\begin{smallmatrix} \text{External} \\ \text{Forces} \end{smallmatrix}}其中p是压强，\nu是動黏度，\Delta是拉普拉斯算子，而\Phi = gz 是重力位。配合高雷諾數以及一維流的假設，可得以下方程：\begin{aligned}
{\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} &= -{1\over{\rho}}{\partial p\over{\partial x}} + F_{x} \\
-{1\over{\rho}}{\partial p\over{\partial z}} - g &= 0
\end{aligned}第二個方程中有流体静壓p = \rho g \zeta，而渠深度\eta(t,x) = \zeta(t,x) - z_{b}(x) 是自由表面\zeta和渠底z_{b}的距離。將此代入第一個方程，可得：{\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \zeta\over{\partial x}} = F_{x} \implies {\partial u\over{\partial t}} + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \eta\over{\partial x}} - gS = F_{x}where the channel bed slope S = -dz_{b}/dx。若要考慮渠道上的剪應力,可以定義受力項為：F_{x} = -{1\over{\rho}}{\tau\over{R}}其中\tau為剪應力，R為水力半徑。定義摩擦斜率S_{f} = \tau/\rho g R，是量化摩擦損失的方式，可以得到以下的動量方程式： + u{\partial u\over{\partial x}} + g{\partial \eta\over{\partial x}} + g(S_{f}- S) = 0 |border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}

### 能量方程式
若要推導能量方程式，考慮平流加速度項{\bf v}\cdot\nabla {\bf v}可以分解如下：{\bf v}\cdot\nabla {\bf v} = \omega \times {\bf v} + {1\over{2}}\nabla\|{\bf v}\|^{2}其中\omega是流的涡量，\|\cdot\|是欧几里得範數。這可以得到一個不考慮外部力的動量方程，為：{\partial {\bf v}\over{\partial t}} + \omega \times {\bf v} = -\nabla\left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} + {p\over{\rho}} + \Phi \right )將方程兩側對{\bf v}進行点积，可得：{\partial\over{\partial t}}\left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} \right ) + {\bf v}\cdot \nabla \left({1\over{2}}\|{\bf v}\|^{2} + {p\over{\rho}} + \Phi \right ) = 0其中有利用三重积 {\bf v}\cdot (\omega \times {\bf v}) = 0。定義E為能量密度：E = \underbrace\rho\|{\bf v} \|^{2} }_{\begin{smallmatrix} \text{Kinetic} \\ \text{Energy} \end{smallmatrix}} + \underbrace{\rho\Phi}_{\begin{smallmatrix} \text{Potential} \\ \text{Energy} \end{smallmatrix}}注意其中的 \Phi是非時變的。可以得到下式：{\partial E\over{\partial t}} + {\bf v}\cdot\nabla (E+p) = 0假設能量密度是非時變的，且流是一維流，可以簡化如下：E + p = Cwith C為常數，這和伯努利定律等效。明渠流中特別關注的是比能 e = E/\rho g，可以計算扬程 h，定義如下： \\
&= {u^{2}\over{2g}} + z + {p\over{\gamma}}
\end{aligned} |border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}其中 \gamma = \rho g是比重量。不過，實際系統需加上扬程損失項 h_{f}，這是考慮因為摩擦力和湍流產生的能量耗散，之前因為在動量方程不考慮外力，這些被省略了。
## 相關條目
*水躍
*曼寧公式

## 參考資料

分類:流體力學