动量映射

在数学，尤其在辛几何中，**动量映射**是一个与辛流形上的李群的哈密顿作用有关的工具，可用于构造作用的守恒量。动量映射推广了经典的 动量和角动量。它在各种辛流形的建立中是一个重要的部分，包括将会在后面讨论的**symplectic** (**Marsden–Weinstein**) **quotients**，以及symplectic cuts和sums。

## 正式定义
令 *M* 是一个配有辛形式 ω 的流形。假定一个李群 *G* 通过辛同胚作用在 *M* 上（也就是每个 *G* 中的 *g*  保持 ω ）。令 \mathfrak{g} 是 *G* 上的李代数，\mathfrak{g}^* 是它的对偶，且令

:\langle, \rangle : \mathfrak{g}^* \times \mathfrak{g} \to \mathbf{R}

是两者间的pairing。任一\mathfrak{g}中的ξ诱导了 *M* 上的一个向量场 ρ(ξ) 以描述ξ的无限小作用。更精确地说，向量场 \rho(\xi)_x 在*M*上一点*x*是

:\left.\frac{d}{dt}\right|_{t = 0} \exp(t \xi) \cdot x,

其中 \exp : \mathfrak{g} \to G 是指数映射并且 \cdot 表示 *M* 上的 *G*-作用。令 \iota_{\rho(\xi)} \omega \, 表示 向量场与 ω 的缩并。由于 *G* 通过辛同胚作用，它意味着对于 \mathfrak{g} 中所有的ξ，\iota_{\rho(\xi)} \omega \, 是闭形式。

一个在(*M*，ω)上的 *G*-作用的**动量映射**是一个映射 \mu : M \to \mathfrak{g}^*，对于 \mathfrak{g} 中所有的ξ满足

:d(\langle \mu, \xi \rangle) = \iota_{\rho(\xi)} \omega

。这里 \langle \mu, \xi \rangle 是通过 \langle \mu, \xi \rangle(x) = \langle \mu(x), \xi \rangle 定义的从 *M* 到 **R** 的函数。动量映射在差一个积分的常数的程度上是唯一定义的。

一个动量映射经常也要求是 *G*-等价的，这里 *G* 通过余伴随作用作用在 \mathfrak{g}^* 上。如果群是紧的或半单的，那么总是选择积分常数使动量映射是余伴随等价的; 但是通常余伴随作用必须被修正以使映射等价(this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1-cocycle on the group with values in \mathfrak{g}^*，as first described by Souriau (1970).

## 哈密顿群作用
动量映射的定义要求 \iota_{\rho(\xi)} \omega是闭形式。在实际中一个更强的假定是有用的。*G*-作用被称作是**哈密顿**的当且仅当当以下的条件满足。首先，对于 \mathfrak{g} 中的每一个ξ，1-形式 \iota_{\rho(\xi)} \omega 是恰当的，这意味着它对于一些光滑函数

:H_\xi : M \to \mathbf{R}.

等于 dH_\xi 。
如果这成立，那么我们可以选择 H_\xi 使映射 \xi \mapsto H_\xi 为线性。第二个使*G*-作用是哈密顿的要求是映射 \xi \mapsto H_\xi 是一个从 \mathfrak{g} 到 *M* 在泊松括号下的光滑函数的代数的李代数同态。

如果 *G* 在(*M*，ω)上的作用在这个意义上是哈密顿的，那么一个动量映射是映射 \mu : M\to \mathfrak{g}^* ，这样 H_\xi = \langle \mu, \xi \rangle 定义了一个李代数同态 \xi \mapsto H_\xi 满足 \rho(\xi) = X_{H_\xi}. 这里 X_{H_\xi} 是一个由哈密顿函数 H_\xi 通过

:\iota_{X_{H_\xi}} \omega = d H_\xi.

定义的向量场。
## 例子
In the case of a Hamiltonian action of the circle *G* = U(1)，the Lie algebra dual \mathfrak{g}^* is naturally identified with **R**，and the 动量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when *M* is the cotangent bundle of **R**3 and *G* is the Euclidean group generated by rotations and translations. That is，*G* is a six-dimensional group，the semidirect product of SO(3) and **R**3. The six components of the 动量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.

## Symplectic quotients
Suppose that the action of a compact Lie group *G* on the symplectic manifold (*M*，ω) is Hamiltonian，as defined above，with 动量映射 \mu : M\to \mathfrak{g}^*. From the Hamiltonian condition it follows that \mu^{-1}(0) is invariant under *G*.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that *G* acts freely and properly on \mu^{-1}(0). Thus \mu^{-1}(0) and its quotient \mu^{-1}(0) / G are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from *M*; that is，there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to \mu^{-1}(0) equals the restriction of ω to \mu^{-1}(0). Thus the quotient is a symplectic manifold，called the **Marsden–Weinstein quotient**，**symplectic quotient** or **symplectic reduction** of *M* by *G* and is denoted M/\!\!/G. Its dimension equals the dimension of *M* minus twice the dimension of *G*.

## 参见
* Poisson-Lie group
* Toric manifold
* Geometric Mechanics
* Kirwan map

## 注释

## 参考资料
* J.-M. Souriau, *Structure des systèmes dynamiques*, Ma?trises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970. ISSN 0750-2435.
* S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer, *The Geometry of Four-Manifolds*, Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9.
* Dusa McDuff and Dietmar Salamon, *Introduction to Symplectic Topology*, Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9.
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