正圖形

在幾何學中，**正圖形**或**正[[幾何圖形|幾何形狀]]**（）是一類具有高度對稱性的幾何結構。其中，若該幾何結構是由線段、平面或超平面的邊界構成則又可稱為**正多胞形**（）。

和正圖形相對的概念為**不規則圖形**（Irregular Geometric Shape）或**不規則[[幾何圖形|幾何形狀]]**、**非正[[幾何圖形|幾何形狀]]**，其對稱性比正圖形低或無對稱性。在不規則圖形中，依照對稱性的高低又可以分為擬正圖形（Quasiregular）、（Semiregular）、圖形（Demiregular）、（Uniform）等幾何結構。

## 正多胞形
正多胞形是一種對稱性对于標記可递的幾何結構，且具有高度對稱性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，例如，正方體所有的面的面積及形狀皆相同，且皆為正方形，是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素，或叫*j*維面（對所有的 0&nbsp;≤&nbsp;*j*&nbsp;≤&nbsp;n，其中n是該幾何體所在的維度） — 胞、面等等 — 也都对于多胞形的对称性可递，也是≤&nbsp;*n*维的正圖形。

正图形是正多边形（例如：正方形或者正五边形
）和正多面体（例如立方体）的向任意维度的推广类比。正图形极强的对称性使它们拥有极强的审美价值，吸引着数学家和数学爱好者。

一般地，*n*维正图形被定义为有正维面[(*n*&nbsp;−&nbsp;1)-表面]和正顶点图。这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的。但要注意的是，这一定义并不适用于。

一个正图形能用形式为{a,&nbsp;b,&nbsp;c,&nbsp;....,&nbsp;y,&nbsp;z}的施莱夫利符号代表，其正的面为{a,&nbsp;b,&nbsp;c,&nbsp;...,&nbsp;y}，顶点图为{b,&nbsp;c,&nbsp;...,&nbsp;y,&nbsp;z}。

## 分類和描述
正图形最基础的分类是按其维度。

它们能够按照对称性进一步分类。例如，正方体和正八面体有着相同的对称性，同样，正十二面体和正二十面体也是。事实上，对称群大多依照正图形命名，例如正四面体对称群和正二十面体对称群。

3种特殊类型的正图形存在于所有维度：
*单纯形（正单形）
*超方形（正测形）
*正轴形（交叉形）

在二维，这里有无穷多个正多边形。在三维和四维这里有许多上述三种之外的正多面体和正多胞体。在五维及以上维，只存在这三种类型的正图形。另见正图形列表。

正图形的概念有时被扩展，使其包括了另外一些相关的几何对象。其中一些有正的例子，下面“历史发现”一章将会详细说明。

### 施萊夫利符號

施萊夫利符號是一個簡潔有力的多面體表示法，是19世紀由路德維希·施萊夫利所發明的，一个改进了的版本随后成为了标准。这种记号可通过维度依次增加一获得最好的解释。

*一个有*n*条边的凸正多边形可以标记为{*n*}。所以一个等边三角形是{3}，一个正方形是{4}......一个绕其中心旋转*m*圈的正星形多边形被标记为分式{*n*/*m*}，这里*n*和*m*是互质的，例如正五角星是{5/2}。
*一个有着面{*n*}，并且一个顶点处有*p*个面相交的正多面体标记为{*n*, *p*}。九个正多面体是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{*p*}就是这个正多面体的*[[顶点图]]*。
*一个有着胞{*n*, *p*}，并且每一条棱处有*q*个胞相交的正多胞体标记为{*n*, *p*, *q*}。其顶点图为{*p*, *q*}。
*一个五维正多胞体是{*n*, *p*, *q*, *r*}，等等。

### 正图形的对偶性

正图形的对偶形也是正图形。对偶图形的施莱夫利符号就是将原来的符号倒过来写：{3,3}为自身对偶，{3,4}与{4,3}对偶，{4,3,3}与{3,3,4}对偶，以此类推。

正图形的顶点图的对偶即是其对偶图形的维面。例如{3,3,4}的顶点图是{3,4}，其对偶即是{4,3} — {4,3,3}的一个胞。

任何维的超方形和正轴形都是互相对偶的。

如果其施莱夫利符号是回文，即正反读都一样，那么这个正图形就是自身对偶的。自身对偶正图形包括：
* 點
* 線段，{}。
* 所有的正多边形，{a}。
* 所有的*n*-正单纯形，{3,3,3,...,3,3,3}。
* 四维正多胞形正二十四胞体，{3,4,3}。
* 所有*n*维超方形堆砌，{4,3,3,...,3,3,4}。这些在多胞形学中被看作无穷多胞形。

### 正单纯形

我们从点*A*开始。标下与*A*相距*r*的点*B*，并连接它们，形成线段。在垂直与它的第二维度标下与*A*、*B*都相距*r*的第三点*C*，并连接*AC*、*BC*，形成正三角形。在垂直与它的第三维度标下与三点都相距*r*的第四点*D*，连接四点，便形成正四面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这些就是**正单纯形**。以维度来排序，它们是：

:0. 点
:1. 线段
:2. 正三角形（正三边形）
:3. 正四面体
:4. 正五胞体 *或* 4-单纯形
:5. 五维正六胞体 *或* 5-单纯形
:... *n*-单纯形有*n*+1个顶点。

### 超方形

从一个点*A*开始。连一条线到距离为*r*的*B*，形成一条线段。延伸第二条长为*r*的线，垂直于*AB*，将*B*连接到*C*，同样链接*A*到*D*，形成一个正方形*ABCD*。从每个顶点同样延伸出长为*r*的线，同时垂直于*AB*和*BC*，标记点*E*、*F*、*G*、*H*形成立方体*ABCD-EFGH*。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

它们就是**超方形**或称**正测形**。以维度来排序，它们是：

:0. 点
:1. 线段
:2. 正方形（正四边形）
:3. 立方体（正六面体）
:4. 四维超正方体（正八胞体）*或*4-超方体
:5. 五维超正方体（五維正十胞体）*或*5-超方体
:...一个*n*-超方体有*2<sup>n</sup>*个顶点。

### 正轴形

从一个点*O*开始。从*O*向两个相反的方向延出两条线到距*O*点距离为*r*的*A*和*B*，互相之间距离为2*r*，形成一条线段。同样再画线段*COD*，长度为2*r*，以*O*为中点而垂直于*AB*。连接4个顶点形成正方形*ACBD*。再画线段*EOF*，同样长度为2*r*，中点为*O*，同时垂直于*AB*和*CD*（即上下方向）。将其顶点与正方形顶点一一相连得到正八面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这样得到的图形称为**正轴形**或**交叉形**。以维度来排序，它们是：

:0. 点
:1. 线段
:2. 正方形（正四边形）
:3. 正八面体
:4. 正十六胞体*或*4-正轴形
:5. 正三十二超胞体（五维正三十二胞体）*或*5-正轴形
:...*n*-正轴形有*2n*个顶点。

### 正无穷胞体 — 无穷多胞形

## 參見
* 正圖形列表
* 詹森多面體
* Bartel Leendert van der Waerden

## 參考文獻

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*Stella: Polyhedron Navigator  Tool for exploring 3D polyhedra, 4D polytopes, and printing nets
* Ernst Haeckel's ''Kunstformen der Natur'' online (German)
* Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron