向量算子

**向量算子**是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义，包括梯度、散度和旋度。
: \operatorname{grad} \equiv \nabla 
: \operatorname{div} \ \equiv \nabla \cdot 
: \operatorname{curl} \equiv \nabla \times 

拉普拉斯算符表示为：
: \nabla^2 \equiv \operatorname{div}\ \operatorname{grad} \equiv \nabla \cdot \nabla 

向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧，例如：
: \nabla f 
得到*f*的梯度，但是
: f \nabla 
是另一个向量算子，没有对任何量进行运算。

一个向量算子可对另一个向量算子进行运算，得到一个复合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。

## 三維空間中的純量函數與向量函數
### 純量函數
令 U 為空間位置 (x, y, z) 的 ，例如：
:U(x,y,z) = x^2 + y^2+z^2 = r^2
表示了一個球面，這是一個标量场，其中每點的值等於該球半徑的平方。
### 向量函數
令 V 為空間位置 (x, y, z) 的向量函數 ，它可以被拆成三個分量，寫成以下的向量形式：
:V(x,y,z)=V_x(x,y,z)\hat{i}+V_y(x,y,z)\hat{j}+V_z(x,y,z)\hat{k}

## 梯度與Nabla算子的定義

純量函數 U(x, y, z) 在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率：
:\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}
因為是沿著座標軸的變率，所以可以寫成分量形式：
:\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i}, \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j}, \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}
其加總即為 U 的組合變率：
:\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}
如同微分算子 D 被用來表示某函數的導數，例如 D(f) 或 Df，我們使用  \nabla  來表示組合變率：
:\nabla U = \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}= V(x,y,z)
其中 V 為一向量函數。組合變率 \nabla U 稱為 U 的導數（derivative），U 則稱為 \nabla U 的本原（primitive）。

\nabla U 本身是一個向量函數。在幾何與物理上，它指向變化速率最大的那個方向，在這個意義上，它被稱為 U 的梯度、或斜率。

### Nabla算子的單獨使用

我們可以把 \nabla 當作一個函數，唸為 del，記為 \operatorname{grad}，它接受一個純量函數，並傳回一個向量函數。其運算式為：
:\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}，因此：
:\nabla U = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)(U) = \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k} = \operatorname{grad} U
將 \nabla 當作一個形式上的向量，則可以用向量的內積與叉積導出散度與旋度。

## 散度：Nabla算子與向量函數的內積

將 \nabla 當作一個形式向量，與向量函數 V 做內積：
:\nabla \cdot V = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\cdot \left(V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k}\right)=\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} = U(x,y,z)
這裡得到一個純量函數 U，稱為 V 的散度。

我們也可以將 \nabla \cdot 當作一個算子，唸為 del\ dot，記為 \operatorname{div}，它接受一個向量函數，但是傳回一個純量函數：
:\nabla \cdot V = \operatorname{div} V
= \hat{i}\cdot\frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j}\cdot\frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k}\cdot\frac{\partial V}{\partial z}

## 旋度：Nabla算子與向量函數的叉積

將 \nabla 當作一個形式向量，與向量函數 V 做叉積：
:\begin{align}
\nabla \times V 
&= \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\times \left(V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k}\right) \\
&= 
\hat{i} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) +
\hat{j} \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \right) +
\hat{k} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right) =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
V_x & V_y & V_z
\end{vmatrix}
\end{align}

這裡得到一個向量函數，稱為 V 的旋度。

我們也可以將 \nabla \times 當作一個算子，唸為 del\ cross，記為 \operatorname{curl}，它接受一個向量函數，並傳回一個向量函數：
:\nabla \times V = \operatorname{curl} V
= \hat{i}\times\frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j}\times\frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k}\times\frac{\partial V}{\partial z}

## 拉普拉斯算子

對一個純量函數做梯度運算，可以得到一個向量函數，再對該向量函數做散度運算，又得回一個純量函數，稱為梯度的散度：
:\nabla \cdot \nabla = 
\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right) \cdot
\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right) = 
\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}

這稱為拉普拉斯算子，記為 \nabla^2 或者 \Delta，它接受一個純量函數，並傳回一個純量函數。

## 参见
* Nabla算符
* 达朗贝尔算符
* *Vector Analysis*, Gibbs and Wilson, p.136, p.152, p.158

## 延伸阅读
* H. M. Schey (1996) *Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus*, ISBN 0-393-96997-5.