庞特里亚金最大化原理

**庞特里亚金最大化原理**（Pontryagin's maximum principle）也根据使用条件稱為**庞特里亚金最小化原理**或**最大值原理**及**最小值原理**，是最优控制中的理論，是在狀態或是輸入控制項有约束條件的情形下，可以找到將动力系统由一個狀態到另一個狀態的最優控制信號。此理論是蘇俄數學家列夫·庞特里亚金及他的學生在1956年提出的。這是变分法中歐拉-拉格朗日方程的特例。

簡單來說，此定理是指在所有可能的控制中，需讓「控制哈密頓量」（control Hamiltonian）取極值，極值是最大值或是最小值則依問題以及哈密頓量的符號定義而不同。正式的用法，也就是哈密頓量中所使用的符號，會取到最大值，但是此條目中使用的符號定義方式，會讓極值取到最小值。

若\mathcal{U}是所有可能控制值的集合，則此原理指出，最優控制u^*必須滿足以下條件：
:H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t),t) \leq H(x^*(t),u,\lambda^*(t),t), \quad \forall u \in \mathcal{U}, \quad t \in [t_0, t_f]
其中x^*\in C^1[t_0,t_f]是最佳狀態軌跡，而\lambda^* \in BV[t_0,t_f]是最佳 協態軌跡

此結果最早成功的應用在輸入控制有限制條件的最小時間問題中，不過也可以用在狀態有限制條件的問題中。

也可以推導控制哈密頓量的特殊條件。若最終時間t_f固定，且控制哈密頓量不是時間的顯函數\left(\tfrac{\partial H}{\partial t} \equiv 0\right)，則：
:H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t)) \equiv \mathrm{constant}\,
若最終時間沒有限制，則：
:H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t)) \equiv 0.\,

若在某一軌跡上滿足庞特里亚金最大化原理，此原理是最佳解的必要条件。哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 提供了最佳解的充份必要條件，但該條件須在整個狀態空間中都要成立。

## 最大化和最小化
此定理一開始的名稱是庞特里亚金最大化原理（Pontryagin's maximum principle），其證明也是以控制哈密頓量最大化為基礎。此原理最早的應用是要最大化火箭的終端速度。不過後來此定理大部份的應用是使性能指標最小化，因此常稱為庞特里亚金最小化原理。庞特里亚金的書解出了要讓性能指標最小化的問題

## 符號
以下的內容會使用這些表示方式
:
\Psi_T(x(T))= \frac{\partial \Psi(x)}{\partial T}|_{x=x(T)} \,


:
\Psi_x(x(T))=\begin{bmatrix} \frac{\partial
\Psi(x)}{\partial x_1}|_{x=x(T)} & \cdots & \frac{\partial
\Psi(x)}{\partial x_n} |_{x=x(T)}
\end{bmatrix}


:
H_x(x^*,u^*,\lambda^*,t)=\begin{bmatrix} \frac{\partial H}{\partial x_1}|_{x=x^*,u=u^*,\lambda=\lambda^*}
& \cdots & \frac{\partial H}{\partial x_n}|_{x=x^*,u=u^*,\lambda=\lambda^*}
\end{bmatrix}


:
L_x(x^*,u^*)=\begin{bmatrix} \frac{\partial L}{\partial x_1}|_{x=x^*,u=u^*}
& \cdots & \frac{\partial L}{\partial x_n}|_{x=x^*,u=u^*}
\end{bmatrix}


:
f_x(x^*,u^*)=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}|_{x=x^*,u=u^*} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}|_{x=x^*,u=u^*} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}|_{x=x^*,u=u^*} &
\ldots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}|_{x=x^*,u=u^*}
\end{bmatrix}


## 最小化問題必要條件的正式敘述
以下是讓泛函最小化的必要條件。令x為在輸入為u時，動態系統的狀態，且滿足以下條件
:
\dot{x}=f(x,u), \quad x(0)=x_0, \quad u(t) \in \mathcal{U}, \quad t \in
[0,T]

其中
:\mathcal{U}為可行控制的集合
:T為系統的結束時間。

控制u \in \mathcal{U}需在所有t \in [0,T]內使目標泛函J最小化，目標泛函J隨應用而定，可以寫成

:
J=\Psi(x(T))+\int^T_0 L(x(t),u(t)) \,dt


系統動態的限制可以用導入時變拉格朗日乘数向量\lambda的方式和L相加，而拉格朗日乘数向量\lambda的元素稱為系統的協態（costate）。因此可以建構在所有 t \in [0,T]的哈密頓量為：
:
H(x(t),u(t),\lambda(t),t)=\lambda^{\rm T}(t)f(x(t),u(t))+L(x(t),u(t)) \,

其中\lambda^{\rm T}是\lambda的轉置。

庞特里亚金最小化原理提到最佳狀態軌跡x^*，最佳控制u^*及對應的拉格朗日乘数向量\lambda^*必需最小化哈密頓量H，因此

:
(1) \qquad H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t),t)\leq H(x^*(t),u,\lambda^*(t),t) \,


針對所有t \in [0,T]時間，也針對所有可能的控制輸入u \in \mathcal{U}。以下的式子也必須成立

:
(2) \qquad \Psi_T(x(T))+H(T)=0 \,


而且也要滿足以下的協態方程

:
(3) \qquad -\dot{\lambda}^{\rm T}(t)=H_x(x^*(t),u^*(t),\lambda(t),t)=\lambda^{\rm T}(t)f_x(x^*(t),u^*(t))+L_x(x^*(t),u^*(t))


若最終狀態x(T)沒有固定（其微分變異不為0），最終協態也要滿足以下條件

:
(4) \qquad \lambda^{\rm T}(T)=\Psi_x(x(T)) \,


上述(1)-(4)的條件是最佳控制的必要條件。公式(4)只有在x(T)沒有固定時才需要成立。若x(T)是固定值，公式(4)不在必要條件中。

此解法可以應用在宇宙學和天體物理學中 。

## 相關條目
* ，變分法下中的拉格朗日法
* 奇異控制：無法利用龐特里亞金最小化原理求出完整解的最優控制問題。

## 腳註

## 參考資料
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*  Slides are available at http://www.utdallas.edu/~sethi/OPRE7320presentation.html 
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## 外部連結
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