铁木辛柯梁理论

**铁木辛柯梁**是20世纪早期由美籍乌克兰裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展的力学模型。模型考虑了剪应力和转动惯性，使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励时梁的表现。结果方程有4阶，但不同于一般的梁理论，如欧拉-伯努利梁理论，还有一个2阶空间导数呈现。实际上，考虑了附加的变形机理有效地降低了梁的刚度，结果在一稳态载荷下挠度更大，在一组给定的边界条件时预估固有频率更低。后者在高频即波长更短时效果更明显，反向剪力距离缩短时也有同样效果。

如果梁材料的剪切模量接近无穷，即此时梁为剪切刚体，并且忽略转动惯性，则铁木辛柯梁理论趋同于一般梁理论。

## 控制方程

### 准静态铁木辛柯梁
 
在静力学中铁木辛柯梁理论没有轴向影响，假定梁的位移服从于
:
  u_x(x,y,z) = -z~\varphi(x) ~;~~ u_y(x,y,z) = 0 ~;~~ u_z(x,y) = w(x)

式中(x,y,z)是梁上一点的坐标，u_x, u_y, u_z是位移矢量的三维坐标分量，\varphi是对于梁的中性面的法向转角，w是中性面的在z方向的位移。

控制方程是以下常微分方程的解耦系统：
:
 \begin{align}
    & \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\left(EI\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right) = q(x,t) \\
    & \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x} = \varphi - \frac{1}{\kappa AG} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(EI\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right).
  \end{align}


静态条件下的铁木辛柯梁理论，若在以下條件成立時，等同于欧拉-伯努利梁理论
:
\frac{EI}{\kappa L^2 A G} \ll 1

此時，可忽略上面控制方程的最后一项，得到有效的近似，式中L是梁的长度。 

对于等截面均匀梁，合并以上两个方程，
:
   EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} = q(x) - \cfrac{EI}{\kappa A G}~\cfrac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} x^2}
 

### 动态铁木辛柯梁
在铁木辛柯梁理论中若不考虑轴向影响，则给出梁的位移
:
  u_x(x,y,z,t) = -z~\varphi(x,t) ~;~~ u_y(x,y,z,t) = 0 ~;~~ u_z(x,y,z,t) = w(x,t)

式中(x,y,z)是梁内一点的坐标，u_x, u_y, u_z是位移矢量的三维坐标分量，\varphi是对于梁的中性面的法向转角，w是中性面z方向的位移.

从以上假设，铁木辛柯梁，考虑到振动，要用线性耦合偏微分方程描述：

:
\rho A\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} - q(x,t) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right]


:
\rho I\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)


其中因变量是梁的平移位移w(x,t)和转角位移\varphi(x,t)。注意不同于欧拉-伯努利梁理论，转角位移是另一个变量而非挠度斜率的近似。此外，

* \rho是梁材料的密度（而非线密度）；
* A是截面面积；
* E是弹性模量；
* G是剪切模量；
* I是轴惯性矩；
* \kappa，称作铁木辛柯剪切系数，由形状确定，通常矩形截面\kappa = 5/6；
* q(x,t)是载荷分布（单位长度上的力）；
* m := \rho A
* J := \rho I

这些参数不一定是常数。

对于各向同性的线弹性均匀等截面梁，以上两个方程可合并成
:
   EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m~\cfrac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J + \cfrac{E I m}{k A G}\right)\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2~\partial t^2} + \cfrac{m J}{k A G}~\cfrac{\partial^4 w}{\partial t^4} = q(x,t) + \cfrac{J}{k A G}~\cfrac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \cfrac{EI}{k A G}~\cfrac{\partial^2 q}{\partial x^2}
 

#### 轴向影响
如果梁的位移由下式给出
:
  u_x(x,y,z,t) = u_0(x,t)-z~\varphi(x,t) ~;~~ u_y(x,y,z,t) = 0 ~;~~ u_z(x,y,z) = w(x,t)

其中u_0是x方向的附加位移，则铁木辛柯梁的控制方程成为
:
  \begin{align}
m \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} & = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right] + q(x,t) \\
J \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} & = N(x,t)~\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)
  \end{align}

其中J = \rho I，N(x,t)是外加轴向力。任意外部轴向力的平衡依靠应力
:
   N_{xx}(x,t) = \int_{-h}^{h} \sigma_{xx}~dz
 
式中\sigma_{xx}是轴向应力，梁的厚度设为2h。

包含轴向力的梁方程合并为
:
   EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + N~\cfrac{\partial^2 w}{\partial x^2} + m~\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J+\cfrac{mEI}{\kappa AG}\right)~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial t^2} + \cfrac{mJ}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^4 w}{\partial t^4} = q + \cfrac{J}{\kappa AG}~\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \cfrac{EI}{\kappa A G}~\frac{\partial^2 q}{\partial x^2}


#### 阻尼
如果，除轴向力外，也考虑与速度成正比的阻尼力，形如
:
   \eta(x)~\cfrac{\partial w}{\partial t}
 
铁木辛柯梁的耦合控制方程成为
:
m \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} + \eta(x)~\cfrac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right] + q(x,t)


:
J \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} = N\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)

合并方程为
:
  \begin{align}
   EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} & + N~\cfrac{\partial^2 w}{\partial x^2} + m~\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J+\cfrac{mEI}{\kappa AG}\right)~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial t^2} + \cfrac{mJ}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^4 w}{\partial t^4} + \cfrac{J \eta(x)}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^3 w}{\partial t^3} \\
  & -\cfrac{EI}{\kappa AG}~\cfrac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\eta(x)\cfrac{\partial w}{\partial t}\right) + \eta(x)\cfrac{\partial w}{\partial t} = q + \cfrac{J}{\kappa AG}~\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \cfrac{EI}{\kappa A G}~\frac{\partial^2 q}{\partial x^2}
  \end{align}


## 切变系数
确定切变系数不是直接的，一般它必须满足：

:\int_A \tau dA = \kappa A G \varphi\,

切变系数由泊松比确定。更严格的表达方法由多位科学家完成，包括斯蒂芬·铁木辛柯、雷蒙德·明德林（Raymond D. Mindlin）、考珀（G. R. Cowper）和约翰·哈钦森（John W. Hutchinson）等。工程实践中，斯蒂芬·铁木辛柯的表达一般状况下足够好。

对于固态矩形截面：
:
\kappa = \cfrac{10(1+\nu)}{12+11\nu}


对于固态圆形截面：
:
\kappa = \cfrac{6(1+\nu)}{7+6\nu}


## 参考文献

*