正规序

在量子场论中，一组創生及湮滅算符的乘积称為是按**正规序**排列的，如果所有的創生算符排列在所有的湮灭算符的左侧，相应的乘积称为正规乘积。类似地可以定义反正规序，在反正规序中，所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。

## 记号
令\hat{O}為任意創生和湮灭算符之乘積，則我們將\hat{O}按照正规序重新排列之后得到的算符用\mathcal{N}(\hat{O}) 或 \mathopen{:} \hat{O} \mathclose{:}表示。注意正規序只對算符乘積有意義，因為正規序不是線性關係，將正規序用在算符和並無太大作用。

## 玻色子
玻色子符合玻色–爱因斯坦统计。

### 单个玻色子
单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符：
* \hat{b}^\dagger：玻色子的产生算符
* \hat{b}：玻色子的湮灭算符
则有：
:\left[\hat{b}^\dagger, \hat{b}^\dagger \right]_- = 0
:\left[\hat{b}, \hat{b} \right]_- = 0
:\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1
其中 \left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA 表示两个算符的对易子。

#### 例子
1. 最简单的例子是 \hat{b}^\dagger \hat{b} 的正规序，根据正规序的定义，可见这里的算符已经按照正规序排列，所以 \hat{b}^\dagger \hat{b} 的正规序就是它自身：
: {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}. 

2. 第二个例子是 \hat{b} \, \hat{b}^\dagger  的正规序，
: {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}. 

这里，按照正规序的要求，产生算符 \hat{b}^\dagger 放到了湮灭算符 \hat{b}的左边。由玻色子算符的对易关系有：
: \hat{b} \, \hat{b}^\dagger -  {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = 1.

在维克定理中，两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差，称为这两个算符的收缩。

3. 一个多算符的例子：
: {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} = (\hat{b}^\dagger)^3 \, \hat{b}^4.

### 多个玻色子
对于 N 个不同的玻色子来说，有 2 N 个算符：
* \hat{b}_i^\dagger：第 i 个玻色子的产生算符
* \hat{b}_i：第 i 个玻色子的湮灭算符
其中 i = 1,\ldots,N.

它们满足下列对易关系：
:\left[\hat{b}_i^\dagger, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = 0 
:\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j \right]_- = 0 
:\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = \delta_{ij} 

其中 i,j = 1,\ldots,N，\delta_{ij} 是克罗内克函数。

#### 例子
1.对于两个玻色子 (N=2) ，有：
: : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 
: : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger  : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 

2. 对三个玻色子 (N=3) ，有：
: : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3

由于 \hat{b}_2 \,\hat{b}_3 = \hat{b}_3 \,\hat{b}_2 （参见对易关系），湮灭算符之间的顺序并不重要。

## 费米子
费米子服从费米-狄拉克统计。

### 单个费米子
单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符：
* \hat{f}^\dagger：费米子的产生算符
* \hat{f}：费米子的湮灭算符
它们满足下面的反对易关系：
:\left[\hat{f}^\dagger, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 0
:\left[\hat{f}, \hat{f} \right]_+ = 0
:\left[\hat{f}, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 1

其中 \left[A, B \right]_+ \equiv AB + BA 是反对易子。

与玻色子不同的是，对于费米子的正规序，每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时，需要额外引入一个负号。

#### 例子
1. 最简单的例子是：
: : \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f} 
由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。反过来，若是产生算符排列在后面，则如前文所说，其正规序需要引入一个负号，即：
: : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f} 
由费米子算符的反对易关系有：
: \hat{f} \, \hat{f}^\dagger -  : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : = 1.
与玻色子的情形一样，上式用于定义维克定理里面的收缩。

2. 其它情形下的正规序都是零，因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质，此时结果为零，例如：
: : \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger  : \,= \hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0 

### 多个费米子
N 个费米子有 2 N 个产生湮灭算符，设：
* \hat{f}_i^\dagger为第 i 个费米子的产生算符
* \hat{f}_i为第 i个费米子的湮灭算符
其中 i = 1,\ldots,N.

它们满足下列反对易关系：
:\left[\hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = 0 
:\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j \right]_+ = 0 
:\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = \delta_{ij} 

其中 i,j = 1,\ldots,N， \delta_{ij} 是克罗内克函数。

#### 例子
1. 对两个费米子 (N=2) ，有：
: : \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 
由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。
: : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger  : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 
由于两个算符的顺序发生了交换，所以要引入一个负号。
: : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}^\dagger_2  : \,= \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2^\dagger \,\hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2  
与玻色子的情形不同，此时产生算符之间的顺序是有关系的。

2. 对三个费米子 (N=3) ，有：
: : \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2 \, \hat{f}_3 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \,\hat{f}_3 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \,\hat{f}_2

类似地有：
: : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_3  : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 = \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2
: : \hat{f}_3 \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger  : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 

## 量子场论中的应用
任意算符的正规序的真空期望值为零。这是因为对于真空态来说，\langle 0 | \hat{a}^\dagger以及 \hat{a} |0\rangle都是0。

这里 \hat{a}^\dagger 和 \hat{a} 分别是（玻色子或费米子的）产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与维克定理结合起来，便能大大简化场算符的真空期望值的计算。

## 参考文献

* F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
* S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
* T.S. Evans, D.A. Steer, , Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996)