級數列表

**本表** 列出基本或常見的有限級數與無限級數的計算公式。
*規定0^0=1；
*B_n(x)表示Bernoulli多項式；
*B_n表示Bernoulli數，其中，B_1=-\frac{1}{2}；
*E_n表示Euler數；
*\zeta(s)表示黎曼ζ函數；
*\Gamma(z)表示Γ函數；
*\psi_n(z)表示多伽瑪函數；
*\operatorname{Li}_s(z)表示多重對數函數。

## 冪求和
:參見等冪求和。
*\sum_{k=0}^m k^{n-1}=\frac{B_n(m+1)-B_n}{n}
其中，一次方項、平方項及立方項之和的公式如下︰
*\sum_{k=1}^m k=\frac{m(m+1)}{2}
*\sum_{k=1}^m k^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}=\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{6}
*\sum_{k=1}^m k^3=\left[\frac{m(m+1)}{2}\right]^2=\frac{m^4}{4}+\frac{m^3}{2}+\frac{m^2}{4}

:參見ζ常數.
*\zeta(2n)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^{2n}}=(-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!} 
其中，前幾項為︰
*\zeta(2)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6} （巴塞爾問題）
*\zeta(4)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}
*\zeta(6)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^6}=\frac{\pi^6}{945}

## 冪級數

### 低次數多重對數函數
有限項求和︰
*\sum_{k=0}^{n} z^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}, (等比數列求和公式)
*\sum_{k=1}^n k z^k = z\frac{1-(n+1)z^n+nz^{n+1}}{(1-z)^2}
*\sum_{k=1}^n k^2 z^k = z\frac{1+z-(n+1)^2z^n+(2n^2+2n-1)z^{n+1}-n^2z^{n+2}}{(1-z)^3} 
*\sum_{k=1}^n k^m z^k = \left(z \frac{d}{dz}\right)^m \frac{1-z^{n+1}}{1-z}

無限項求和，其中|z|（參見多重對數函數）︰
*\operatorname{Li}_n(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k^n}
以下是遞歸計算低整數次冪的多重對數函數以得出解析解時所用到的一個性質︰
*\frac{d}{dz}\operatorname{Li}_n(z)=\frac{\operatorname{Li}_{n-1}(z)}{z}
前幾項分別為︰
*\operatorname{Li}_{1}(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k}=-\ln(1-z)
*\operatorname{Li}_{0}(z)=\sum_{k=1}^\infty z^k=\frac{z}{1-z}
*\operatorname{Li}_{-1}(z)=\sum_{k=1}^\infty k z^k=\frac{z}{(1-z)^2}
*\operatorname{Li}_{-2}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^2 z^k=\frac{z(1+z)}{(1-z)^3}
*\operatorname{Li}_{-3}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^3 z^k =\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z)^4}
*\operatorname{Li}_{-4}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^4 z^k =\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z)^5}

### 指數函數
*\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} = e^z
*\sum_{k=0}^\infty k\frac{z^k}{k!} = z e^z （參見Poisson分佈的數學期望）
*\sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{z^k}{k!} = (z + z^2) e^z （參見Poisson分佈的二階矩）
*\sum_{k=0}^\infty k^3 \frac{z^k}{k!} = (z + 3z^2 + z^3) e^z
*\sum_{k=0}^\infty k^4 \frac{z^k}{k!} = (z + 7z^2 + 6z^3 + z^4) e^z
*\sum_{k=0}^\infty k^n \frac{z^k}{k!} = z \frac{d}{dz} \sum_{k=0}^\infty k^{n-1} \frac{z^k}{k!}\,\! = e^z T_{n}(z) 

其中，T_{n}(z)表示圖沙德多項式。

### [[三角函數]]、[[反三角函數]]、[[雙曲函數]]及[[反雙曲函數]]

*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sin z
*\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sinh z
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!}=\cos z
*\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k}}{(2k)!}=\cosh z
*\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\tan z, |z|
*\sum_{k=1}^\infty \frac{(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\tanh z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\cot z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\coth z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\csc z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{-(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\operatorname{csch} z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kE_{2k}z^{2k}}{(2k)!}=\sec z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}=\operatorname{sech} z, |z|
*\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} z^{2k}}{(2k)!}=\operatorname{ver}z（正矢）
*\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} z^{2k}}{2(2k)!}=\operatorname{hav}z（半正矢）
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}=\arcsin z, |z|\le1
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}=\operatorname{arcsinh} {z}, |z|\le1
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kz^{2k+1}}{2k+1}=\arctan z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{2k+1}=\operatorname{arctanh} z, |z|
*\ln2+\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!)^2}=\ln\left(1+\sqrt{1+z^2}\right), |z|\le1

### 修正的[[分母]][[階乘]]
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{(4k)!}{2^{4k} \sqrt{2} (2k)! (2k+1)!} z^k = \sqrt{\frac{1-\sqrt{1-z}}{z}}, |z|
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{2^{2k} (k!)^2}{(k+1) (2k+1)!} z^{2k+2} = \left(\arcsin{z}\right)^2, |z|\le1 
*\sum^{\infty}_{n=0} \frac{\prod_{k=0}^{n-1}(4k^2+\alpha^2)}{(2n)!} z^{2n} + \sum^{\infty}_{n=0} \frac{\alpha \prod_{k=0}^{n-1}[(2k+1)^2+\alpha^2]}{(2n+1)!}  z^{2n+1} = e^{\alpha \arcsin{z}}, |z|\le1 

### [[二項式係數]]
*(1+z)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} z^k, |z| （參見二項式定理）
* \sum_{k=0}^\infty {2z}, |z|\leq\frac{1}{4}（卡塔蘭數的母函數）
* \sum_{k=0}^\infty {2k \choose k} z^k = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}, |z|（中心二項式係數的母函數）
* \sum_{k=0}^\infty {2k + \alpha \choose k} z^k = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}\left(\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}\right)^\alpha, |z|

### [[調和數]]
* \sum_{k=1}^\infty H_k z^k = \frac{-\ln(1-z)}{1-z}, |z|
* \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k+1} z^{k+1} = \frac{1}{2}\left[\ln(1-z)\right]^2, \qquad |z|
* \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} H_{2k}}{2k+1} z^{2k+1} = \frac{1}{2} \arctan{z} \log{(1+z^2)}, \qquad |z|
* \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{2n} \frac{(-1)^k}{2k+1} \frac{z^{4n+2}}{4n+2} = \frac{1}{4} \arctan{z} \log{\frac{1+z}{1-z}},\qquad  |z|

## [[二項式係數]]
*\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n
*\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} = 0, \text{ 其中 }n>0
*\sum_{k=0}^n {k \choose m} = { n+1 \choose m+1 }
*\sum_{k=0}^n {m+k-1 \choose k} = { n+m \choose n } （參見多重集）
*\sum_{k=0}^n {\alpha \choose k}{\beta \choose n-k} = {\alpha+\beta \choose n}（參見Vandermonde恆等式）

## [[三角函數]]
:正弦及餘弦的求和詳見Fourier級數。

*\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(k\theta)}{k}=\frac{\pi-\theta}{2}, 0
*\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(k\theta)}{k}=-\frac{1}{2}\ln(2-2\cos\theta), \theta\in\mathbb{R}
*\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin[(2k+1)\theta]}{2k+1}=\frac{\pi}{4}, 0
*B_n(x)=-\frac{n!}{2^{n-1}\pi^n}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n}\cos\left(2\pi kx-\frac{\pi n}{2}\right), 0
*\sum_{k=0}^n \sin(\theta+k\alpha)=\frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin(\theta+\frac{n\alpha}{2})}{\sin\frac{\alpha}{2}}
*\sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{\pi k}{n}=\cot\frac{\pi}{2n}
*\sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{2\pi k}{n}=0
*\sum_{k=0}^{n-1} \csc^2\left(\theta+\frac{\pi k}{n}\right)=n^2\csc^2(n\theta)
*\sum_{k=1}^{n-1} \csc^2\frac{\pi k}{n}=\frac{n^2-1}{3}
*\sum_{k=1}^{n-1} \csc^4\frac{\pi k}{n}=\frac{n^4+10n^2-11}{45}

## [[有理函數]]
*\sum_{n=a+1}^{\infty} \frac{a}{n^2 - a^2} = \frac{1}{2} H_{2a}
*\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{1+a\pi\coth (a\pi)}{2a^2}
*\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{n^4+4a^4} = \dfrac{1 + a \pi \coth (a \pi)}{8a^4}

使用部分分式分解方法，能夠將任何關於n的有理函數的無限項級數都被化簡為一個多伽瑪函數的有限項級數。這個方法也被應用於有理函數的有限項級數中，使得即便所求級數的項數極多，其計算也能在常數時間內完成。

## 參閱

* 級數
* 積分表
* 求和符號
* 泰勒級數
* 二項式定理
* Gregory級數
* 整數數列線上大全

## 註釋