割圆连比例

**割圆连比例**是清代级数理论的几何学基础，最先由明安图在《割圜密率捷法》卷三、四《法解》中阐明，其后经董祐誠、项名达等数学家的工作而趋于完善。。割圆连比例的中心问题是已知圆弧长度，如何求弦长及矢高，或已知弦长、矢高，如何求得弧长。割圆连比例中心方法是结合由西方传入的连比例方法，结合传统中算方法，将圆弧分割成多等分，画出多条矢，然后构造一系列相似三角形获得一系列连比例式，再将圆弧分割越细，以折线逼近弧线，求得弧长。

## 历史背景
1701年，法国耶稣会传教士杜德美（Pierre Jartoux  1668年至1720年）来到中国，他带来了由艾萨克·牛顿和J.格雷戈里创建的三个三角函数无穷级数 

:\pi=3\left(1+\frac{1}{4\cdot3!}+\frac{3^2}{4^2\cdot5!}+\frac{3^2\cdot5^2}{4^3\cdot7!}+\cdots\right)
:\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots
:\operatorname{vers} x=\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots

这些计算的“捷法”只涉及乘法和加减运算，速度远超传统刘徽割圆术涉及的平方根计算，因而激起了中国数学家的极大兴趣。然而杜德美没有将推导这些无穷级数的方法带来中国。明安图怀疑西方人不愿分享他们的秘密，于是他着手进行这项工作，前后历时30年，完成了书稿《割圜密率捷法》，他在书中创建几何模型用于获得三角函数无穷级数，不仅推出杜德美的三个无穷级数，还发现了六个新的无穷级数。在这个过程中，他发现和应用卡塔蘭數。

## 连比例

如图一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，于是。

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;
* AB为第一率，以\phi_1表示
* BC为第二率，以\phi_2 表示
* BC为第二率，以\phi_2 表示
* CD为第三率，以\phi_3 表示
* DE为第四率，以\phi_4 表示
* EF为第五率，以\phi_5 表示
* FG为第六率，以\phi_6 表示
* ……
* 第m率：\phi_m
于是：
:         \phi_6 = k* \phi_5   
:         \phi_5 = k* \phi_4
:         \phi_4 = k* \phi_3
:         \phi_3 = k* \phi_2
:         \phi_2 = k* \phi_1

:\phi_m=k^{m-1}*\phi_1

\phi_m……\phi_6:\phi_5:\phi_4:\phi_3:\phi_2:\phi_1=k^{m-1}:k^{m-2}……k^5:k^4:k^3:k^2:k:k^0

又：
\frac{\phi_m*\phi_n}{\phi_p}=(m+n-p-q)*\phi_q

## 明安图割圆连比例

### 由二分弧通弦率数求全弧通弦率数法
如图BCD为全弧，AB=AC=AD=为半径,令半径=1；BD为通弦，BC、CD为1/2 分弧。作BG=BC=x,作直线CG;又作DH=DC,连CH直线。因此，

BD=2*x-GH

作EJ=EF,FK=FJ；延长BE直线至L，并令EL=BE;作BF=BE,使F在AE线上。连BF延长至M，并BF=MF；连LM，显然LM通过C点。将三角形BLM以BM为轴反转成三角形BMN,C点重合G，L点重合N。将三角形NGB以BN为轴反转至BMI；显然BI=BC。

AB:BC:CI=1:x:x^2

作CG之平分线BM，并令BM=BC；连GM、CM；作CO=CM交BM于O;作MP=MO；作NQ=NR，R为BN与AC之交点。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;\therefore  ∠EBM=∠EAB;于是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;于是得:
*连比第一率:AB=AC=AD=AE
*连比第二率：BE=BC=BF=C
*连比第三率:EF=CM
*连比第四率:FJ
*连比第五率:JK=OP

AB:BE:EF:FJ:JK=1:p:p^2:p^3:p^4

1:BE=BE:EF；即EF=BE^2

1:BE^2=x:GH

于是GH=x*BE^2=x*p^2,

即BD=2*x -x*p^2

因为 风筝形ABEC 与BLIN相似，。

EF=LC=CM=MG=NG=IN

LM+MN=CM+MN+IN=CI+OP=JK+CI

:\therefore  AB:(BE+EC)=BL:(LM+MN) 即  AB:BL=BL:(CI+JK)
:令BL=q
:AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^2

:JK=p^4
:CI=y^2
:CI+JK=q^2=BL^2=(2BE)^2=(2p)^2=4p^2
由此得q^2=4p^2 或p=\frac{q}{2}
:又CI+JK=x^2+p^4=q^2,代人p值得：

x^2+\frac{q^4}{16}=q^2,于是
:x^2=q^2-\frac{q^4}{16}
:上式平方之，两边除以16：
:\frac{(x^2)^2}{16}=\frac{(q^2-\frac{q^4}{16})^2}{16}=\sum_{j=0}^2 (-1)^j*{2 \choose  j}*\frac{q^{2*(2+j)}}{16^j}
:即\frac{x^4}{16} = \frac{q^4}{16}-\frac{q^6}{128}+\frac{q^8}{4096}{16}

依次类推
:\frac{x^{2n}}{16^{n-1}}= \sum_{j=0}^n (-1)^j*{n \choose j}*\frac{q^{2*(n+j)}}{16^{n+j-1}}。

将下列二式相加，可以消去q^4项：
:x^2=q^2-\frac{q^4}{16}
:\frac{x^4}{16} = {\frac{q^4}{16}-\frac{2*q^6}{16^2}+\frac{q^8}{4096}}{16}
:x^2+\frac{x^4}{16} = q^2-\frac{q^6}{128}+*\frac{q^8}{4096}
:同理
:x^2+\frac{x^4}{16}+\frac{2*x^6}{16^2} = q^2-\frac{5*q^8}{4096}+\frac{3*q^{10}}{32768}-\frac{q^{12}}{524288},

.......

: 
\begin{align}
& x ^ 2 + \frac{x^4}{16} + \frac{2 x^6}{16^2} + \frac{5x^8}{16^3} + \frac{14 x^{10}}{16^4} + \frac{42x^{12}}{16^5} \\[10pt]
{} & +\frac{132 x^{14}}{16^6} + \frac{429x^{16}}{16^7} + \frac{1430x^{18}}{16^8} + \frac{4862 x^{20}}{16^9} \\[10pt]
& {} + \frac{16796 x^{22}}{16^{10}} + \frac{58786 x^{24}}{16^{11}} + \frac{208012 x^{26}}{16^{12}} \\[10pt]
& {} + \frac{742900 x^{28}}{16^{13}} + \frac{2674440 x^{30}}{16^{14}} + \frac{9694845 x^{32}}{16^{15}} \\[10pt]
& {} + \frac{35357670 x^{34}}{16^{16}} + \frac{129644790 x^{36}}{16^{17}} \\[10pt]
& {} + \frac{477638700 x^{38}}{16^{18}} + \frac{1767263190 x^{40}}{16^{19}} + \frac{6564120420 x^{42}}{16^{20}} \\[10pt]
& = q^2 + \frac{62985}{8796093022208} q^{24}
\end{align}


展开式各项分子的系数 1，1，2，5，14，42，132……（见图二  明安图原图最后一行，由右至左读）乃是卡塔兰数,明安图是发现此数的世界第一人。

因而得到：

q^2=\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{x^{2n}}{4^{2n-2}}。

其中

C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}为明安图-卡塔兰数。
:明安图利用他首创的递推关系：
:C_n=\sum_k (-1)^k*{n-k  \choose  k+1}*C_{n-k}

\because BC:CG:GH=AB:BE:EF=1:p:p^2=x:px:p^2*x
:\therefore GH:=p^2*x=(\frac{q}{2})^2*x=\frac{q^2*x}{4}

代人BD=2x-GH
:最后得到。
BD=2x-\frac{x}{4}*q^2
:y_2=2x-\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{x^{2n+1}}{4^{2n-1}}

#### 三角学意义
在图一中令BAE角=α，BAC角=2α
*x=BC=sinα
*q=BL=2BE=4sin(α/2)
*BD=2sin(2α)
明安图获得的 BD=2*x -x*BE^2
:就是
:\sin(2\alpha)=2\sin\alpha-\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{(\sin\alpha)^{2n+1}}{4^{n-1}}
:=2*\sin(\alpha)-\frac{2*\sin(\alpha)^3}{1+\cos(\alpha)}

q^2=BL^2=\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{x^{2n}}{4^{2n-2}}
:即\sin(\frac{\alpha}{2})^2=\sum_{n=1}^\infty C_n*\frac{(sin\alpha)^{2n}}{4^{2n}}

### 由三分弧通弦率求全弧通弦率

如图，BE为全弧通弦，BC=CE=DE=a为三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 为半径。连BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=Eα=BD,于是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ与三角形BδD相似。

因此：
AB:BC=BC:CG=CG:GF,BC:FG=BD:\delta\gamma

2*BD=BE+\delta\alpha

2*BD-\delta\gamma=BE+BC

\therefore  2*BD-\delta\gamma-BC=BE

依次类推，最后得：

y_3=3*a-a^3。

### 四分弦

y_4=4*a-\frac{10*a^3}{4}+\frac{14*a^5}{4^3}-\frac{12*a^7}{4^5}+……

:=4a-10*a^3/4+\sum_{n=1}^\infty (16C_n-2C_{n+1})*\frac{a^{2n+1}}{4^{2n-1}}。。
:几何意义：
\sin(4*\alpha)=4*sin(\alpha)-10*sin^3\alpha
+\sum_{n=1}^\infty(16*C_n-2C_{n+1})*\frac{\sin^{2n+3}(\alpha)}{4^n} 。

### 五分弦

y_5=5a-5a^3+a^5
:几何意义：
:\sin(5\alpha)=5\sin(\alpha)-20\sin^3(\alpha)+16\sin^5(\alpha)。

### 十分弦

从十分弦开始，明安图不再作几何模型，而是对无穷级数进行代数运算

显然十分弦等于五分弦和二分弦的组合，即

y_{10}=y_5(y_2)

:y_{10}=5*y_2-5*(y_2)^3+(y_2)^5;
展开即得：

y_{10}(a)=10*a-\frac{165*a^3}{4}+\frac{3003*a^5}{4^3}-\frac{21450*a^7}{4^5}+……。

### 百分弧
同理，

y_{100}=y_{10}(y_{10}),展开后即得：
:y_{100}=100*a-166650*\frac{a^3}{4}+333000030*\frac{a^5}{4*16}-316350028500*\frac{a^7}{4*16^2}+17488840755750*\frac{a^9}{4*16^3}+……。

### 千分弧
y_{1000}=1000*a-1666666500*\frac{a^3}{4}+33333000000300*\frac{a^5}{4*16}-3174492064314285000\frac{a^7}{4*16^2}+……。

### 万分弦
y_{10000}=10000*a-\frac{166666665000*a^3}{4}+\frac{33333330000000300*a^5}{4^3}+…………。
### 弧背求通弦
y100,y1000 and y10000 可表为:

y100=100a-\frac{(100a)^3}{24.002400240024002400}+\frac{(100a)^5}{24.024021859697730358*80}+..........

y1000:=1000a-\frac{(1000a)^3}{24.000024000024000024}+\frac{(1000a)^5}{24.000240002184019680*80}+..............

y10000:=10000a-\frac{(10000a)^3}{24.000000240000002400}+\frac{(10000a)^5}{24.000002400000218400*80}+..................

分弦数越大，分母24.000000240000002400、24.000002400000218400*80越接近
24 、  24*80 ；当分弦数n趋向无穷大，  n*a, 就变成 弧背，于是

令c 为弦，a 为弧背，

 c= a -\frac{a^3}{4*3!}+\frac{a^5}{4^2*5!}-\frac{a^7}{4^3*7!}+.....

=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}*a^{2*n-1}}{(4^{n-1}*(2*n-1)!)}

### 通弦求弧背
明安图求得上述无穷级数的反逆，将弧表示为弦的无穷级数:

a := c+\frac{c^3}{24}+\frac{3*c^5}{640}+\frac{5*c^7}{7168}+............

## 正弦的无穷级数展开
\because  sin(\alpha)=\frac{c}{2},

令 r=1

\therefore  sin \alpha =a-\frac{a^3}{3}+\frac{a^5}{5}-\frac{a^7}{7}+\frac{a^9}{9}+…………

 =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}*\frac{a^{2n-1}}{2n-1}。

## 参考文献

*明安图原著 罗见今译注 《割圆密率捷法译注》内蒙古教育出版社 1998 ISBN 7-5311-3584-1
*Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan
*李俨 《中算史论丛》 第三集 《明清算家的割圆术研究》《李俨钱宝琮科学史全集》第7卷