帕斯卡矩阵

**帕斯卡矩阵**是以组合数为元素的矩阵。
 
 

其中S_n=L_n U_n

## 性质
帕斯卡对称矩阵S_n的元素为：
:S_{ij} = \binom {i+j-2}{i-1}

S_n的迹为：
:tr(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2} （）

帕斯卡下三角矩阵L_6的逆为：
:\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0\\1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0\\1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\-1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0\\1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0\\-1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1\end{pmatrix}

帕斯卡矩阵可从超对角矩阵的指数构造出来：

:
\begin{array}{lll}
& L_7=\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & . & . & . & . & . & . \\
1 & . & . & . & . & . & . \\
. & 2 & . & . & . & . & . \\
. & . & 3 & . & . & . & . \\
. & . & . & 4 & . & . & . \\
. & . & . & . & 5 & . & . \\
. & . & . & . & . & 6 & .
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
1   & .   & .   & .   & .   & .   & .   \\
1   & 1   & .   & .   & .   & .   & .   \\
1   & 2   & 1   & .   & .   & .   & .   \\
1   & 3   & 3   & 1   & .   & .   & .   \\
1   & 4   & 6   & 4   & 1   & .   & .   \\
1   & 5   & 10  & 10  & 5   & 1   & .   \\
1   & 6   & 15  & 20  & 15  & 6   & 1  
\end{smallmatrix}
\right ]
;\quad
\\
\\
& U_7=\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & 1 & . & . & . & . & . \\
. & . & 2 & . & . & . & . \\
. & . & . & 3 & . & . & . \\
. & . & . & . & 4 & . & . \\
. & . & . & . & . & 5 & . \\
. & . & . & . & . & . & 6 \\
. & . & . & . & . & . & . 
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   \\
.   & 1   & 2   & 3   & 4   & 5   & 6   \\
.   & .   & 1   & 3   & 6   & 10  & 15  \\
.   & .   & .   & 1   & 4   & 10  & 20  \\
.   & .   & .   & .   & 1   & 5   & 15  \\
.   & .   & .   & .   & .   & 1   & 6   \\
.   & .   & .   & .   & .   & .   & 1  
\end{smallmatrix}
\right ]
;
\\
\\

& S_7
=\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & . & . & . & . & . & . \\
1 & . & . & . & . & . & . \\
. & 2 & . & . & . & . & . \\
. & . & 3 & . & . & . & . \\
. & . & . & 4 & . & . & . \\
. & . & . & . & 5 & . & . \\
. & . & . & . & . & 6 & .

\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
\exp
\left (
\left [
\begin{smallmatrix}
. & 1 & . & . & . & . & . \\
. & . & 2 & . & . & . & . \\
. & . & . & 3 & . & . & . \\
. & . & . & . & 4 & . & . \\
. & . & . & . & . & 5 & . \\
. & . & . & . & . & . & 6 \\
. & . & . & . & . & . & . 
\end{smallmatrix}
\right ]
\right )
=
\left [
\begin{smallmatrix}
1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   & 1   \\
1   & 2   & 3   & 4   & 5   & 6   & 7   \\
1   & 3   & 6   & 10  & 15  & 21  & 28  \\
1   & 4   & 10  & 20  & 35  & 56  & 84  \\
1   & 5   & 15  & 35  & 70  & 126 & 210 \\
1   & 6   & 21  & 56  & 126 & 252 & 462 \\
1   & 7   & 28  & 84  & 210 & 462 & 924
\end{smallmatrix}
\right ].
\end{array}


映射出正负相间的伯努利数：
:\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0\\1 & 2 & 1 & 0\\1 & 3 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\-1/2\\1/6\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}

## 应用
利用帕斯卡矩阵的逆求解线性方程与等幂求和问题，例如：

: \sum_{i=1}^{n} i^{3} = \begin{pmatrix} C^n_1 & C^n_2 & C^n_3 & C^n_4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1^3 \\ 2^3 \\ 3^3 \\ 4^3 \end{pmatrix}= C^n_1+7C^n_2+12C^n_3+6C^n_4 

## 参见
*杨辉三角形
*LU分解

## 参考资料