莫爾圓

**莫爾圓**（Mohr's circle）得名自德國土木工程師，是一種用二維方式表示柯西应力张量轉換關係的圖。

先針對假設為連續的物體進行，之後特定一點的柯西应力张量分量會和坐標系有關。莫爾圓是用圖形的方法去確認一個旋轉坐標系上的應力分量，也就是在同一點上，但是作用在不同方向平面上的分量。

圓上每一個點的橫坐標\sigma_\mathrm{n}及縱坐標\tau_\mathrm{n}都是在這個旋轉坐標系統上某一個方向的正應力及剪應力。換句話說，莫爾圓表示了在所有方向平面上應力狀態的軌跡，而X軸和Y軸為應力元素的主軸。

是第一個想到用圖形來表示應力的人，他是在分析水平樑承受彎曲時的縱向應力及垂直應力時所想到的。莫爾的貢獻不止是用莫爾圓表示二維及三維的應力，他也根據莫爾圓發展了結構失效判定的準則。

其他表示應力狀態的方式有及柯西應力二次曲線（Cauchy's stress quadric）。

莫爾圓可以擴展到對稱的 2x2 張量，包括應變及轉動慣量張量。

## 應力及莫爾圓

考慮一個會變形的物體（假設為連續體），若受到外力（可能是表面力或是體積力），物體的內部就會有力的分布。物體內部的力會依循歐拉運動定律，正如物體受力依循牛頓運動定律一様。物體內部力的強度可以用應力來表示。因為物體假設為連續體，其內部的力也是會均勻分佈在其體積中。

在工程中（例如結構工程、機械工程或土力工程）會透過來分析一物體中應力的的分佈，例如隧道中岩石的應力，飛機機翼的應力，或是建築物中樑柱的應力等。計算應力分布也就表示要知道物體中每一點的應力。據奧古斯丁·路易·柯西的理論，（假設為連續體的）物體中任何一點的應力（圖2），可以完全由二階的張量中的九個應力元素 \sigma_{ij}完全決定，此二階張量稱為柯西应力张量, \boldsymbol\sigma:

:\boldsymbol{\sigma}=
\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\
\end{matrix}}\right]

\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\
\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\
\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\
\end{matrix}}\right]
\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\
\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]


若確定了一物體在特定坐標系統(x,y)下的應力分佈，有可能需要知道特定一點P相對另一個有旋轉的坐標系統(x',y')下的應力張量，也就是在需要關注的點，在特定角度下的的應力張量。而此坐標系統(x',y')和原有的坐標系統(x,y)之間有一個角度差（圖3）。例如，一般會需要知道最大的正向應力以及最大的剪應力，也需要知道其對應的方向。因此，需要發展一種張量轉換的方式，可以配合坐標系統的旋轉得到新坐標系統的張量。依照張量的定義，柯西应力张量遵守張量轉換定律。應力的莫爾圓是用圖解方式來說明柯西应力张量轉換定律的方式。

## 二維張量下的莫爾圓

在二維下，一點P相對于垂直方向的應力張量可以用三個應力向量完全表示。在垂直坐標系統(x,y)下，其應力分量為：法向應力\sigma_x及\sigma_y，以及剪應力\tau_{xy}。由於角動量守恆，柯西應力張量會有對稱性，也就是\tau_{xy}=\tau_{yx}，因此柯西應力張量可以寫成：

:\boldsymbol{\sigma}=
\left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & 0 \\
\tau _{xy} & \sigma _y & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{matrix}}\right]
\equiv

\left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy}  \\
\tau _{xy} & \sigma _y  \\

\end{matrix}}\right]


其目的是在另一個通過P點，但存在角度差的坐標系統(x',y')下，找到應力分量\sigma_\mathrm{n}及\tau_\mathrm{n}（圖4）。坐標系統(x',y')和原坐標系統(x,y)的角度差即為\theta。

### 莫爾圓的方程
要推導二維平面應力及平面應變的莫爾圓方程，先考慮一個位在位置P的二維的無限小方形元素（圖4），和y-z平面平行。

利用無限小元素上的力平衡，正向應力\sigma_\mathrm{n}及剪應力\tau_\mathrm{n}的大小為：

:\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta

:\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta

:

上述二個方程也可以用柯西應力張量的張量變換定律來求得，這和在\sigma_\mathrm{n}及\tau_\mathrm{n}方向用力平衡計算是等效的。

:

這二個方程是莫爾圓的參數式。在方程中，2\theta為參數，而\sigma_\mathrm{n}和\tau_\mathrm{n}為坐標，因此表示若選擇適當的坐標系統，使\sigma_\mathrm{n}為橫軸，\tau_\mathrm{n}縱軸，給定參數\theta，會給定在莫爾圓上的一點。

若從參數式中消去參數2\theta，可以得到非參數式的莫爾圓方程。可以用重組\sigma_\mathrm{n}及\tau_\mathrm{n}的方程來達到。先將第一式等號右側的第一項移到等號左邊，二式平方後相加，可得

:\begin{align}
\left[ \sigma_\mathrm{n} - \tfrac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y )\right]^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= \left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2 \\
(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_\mathrm{avg})^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= R^2 \end{align}

其中
:R = \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2} \quad \text{and} \quad \sigma_\mathrm{avg} = \tfrac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y )

這就是圓（莫爾圓）的方程
:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

在(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})坐標系統中，其半徑r=R，圓心在坐標(a,b)=(\sigma_\mathrm{avg}, 0)處。

### 符號體系
在使用莫爾圓時，需考慮兩組分別的符號體系，一個是針對實體空間下應力分量的符號體系，另一個是針對「莫爾圓空間」下應力分量的符號體系。此外，工程力學（結構工程及機械工程）文獻用的體系和地質力學用的符號體系不同。沒有所有系統都適用的標準符號體系，是否要使用特定的符號體系取決於計算及詮釋特定問題的方便程度。

上述圖4的莫爾圓推導都是使用工程力學的符號體系，以下也會繼續使用工程力學的符號體系。

#### 實體空間符號體系
為了描述柯西應力張量的方便（圖3及圖4），應力分量的第一個下標表示應力分量作用的面，第二個下標表示應力分量的方向。因此\tau_{xy}是作用在以x軸正向為其法向量的平面上，而方向是往y軸的正方向。

在實體空間符號體系，正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）（圖5）。

在實體空間符號體系中，正剪應力在法向量為正的材料元素平面上，其作用方向會往軸的正方向，同樣的，正剪力在法向量為負的材料元素平面上，其作用方向會往軸的負方向。例如作用在正向平面的剪應力\tau_{xy}和\tau_{yx}為正，因為這二個剪應力的作用方向往y軸及x軸的正方向（圖3）。而相對應的作用在負向平面的剪應力\tau_{xy}和\tau_{yx}，其作用方向往y軸及x軸的負方向，因此這二個剪應力也為正。

#### 莫爾圓空間符號體系

在莫爾圓空間符號體系中，應力的符號體系和實體空間符號體系中的相同：正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）

不過剪應力的符號體系和實體空間符號體系中的不同。在莫爾圓空間符號體系中，正的剪應力會使材料往逆時針方向旋轉，而負的剪應力會使材料往順時針方向旋轉。因此在莫爾圓空間中，剪應力分量\tau_{xy}為正，而\tau_{yx}為負。這和實體空間符號體系中\tau_{xy}和\tau_{yx}符號相同的情形不同。

在繪製莫爾圓時，有二個作法可以繪製在數學上正確的莫爾圓：
# 將正的剪應力畫在上方（圖5，符號體系#1）
# 將正的剪應力畫在下方，也就是\tau_\mathrm n軸倒置（圖5，符號體系#2）

將正的剪應力畫在上方會讓莫爾圓上的2\theta角為正值時，旋轉方向是順時針旋轉，這和實體空間符號體系中的相反。因此有些作者會選擇讓正的剪應力畫在下方，這會讓莫爾圓上的2\theta角為正值時，旋轉方向是逆時針旋轉，類似實體空間符號體系的情形。

為了克服剪應力軸往下才是正向的問題，有另外一種「替代的」符號體系，其中正的剪應力假設為將材料將順時針方向旋轉，而負的剪應力假設為將材料將逆時針方向旋轉（圖5，符號體系#3）。在「替代」體系下，正的剪應力軸往上，而且在莫爾圓上2\theta為正值時，旋轉方向為逆時針。此符號體系產生的莫爾圓和圖5，符號體系#2中的相同，因為正的剪應力\tau_\mathrm n也是會逆時針旋轉的剪應力，也畫在下方。而負的剪應力\tau_\mathrm n也是會順時針旋轉的剪應力，也畫在上方。

此條目在實體空間符號體系中，會依照工程力學的符號體系，而在莫爾圓空間中，會使用「替代的」符號體系（圖5，符號體系#3）。

### 繪製莫爾圓

假設已知待研究物體上的點P的應力分量\sigma_x、\sigma_y及\tau_{xy}，如圖4所示。以下方法可以繪製點P的莫爾圓，以表示其應力狀態。

# 繪制笛卡爾坐標系統(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})，橫軸為\sigma_\mathrm{n}，縱軸為\tau_\mathrm{n}。
# 在(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})空間中，畫出二點A(\sigma_y, \tau_{xy})及B(\sigma_x, -\tau_{xy})，分別是作用在二垂直平面A平面和 B平面上的應力分量（圖4及圖6），需依照選擇的符號體系。
# 用線段\overline{AB}連接A點和B點，此即為圓的直徑。
# 繪製莫爾圓，其圓心O是線段\overline{AB}的中點，也就是此線和\sigma_\mathrm{n}軸的交點。

### 找主要正向應力
主要應力的大小是點C和點E（圖6中圓和 \sigma_\mathrm n軸的交點）中的橫坐標。最大正向應力\sigma_1的大小恆為這二個橫坐標中最大的那一個，而\sigma_2最小正向應力的大小恆為這二個橫坐標中最小的那一個。這二個點的縱坐標為0，對應在主要平面上的剪應力為零，主要應力的大小也可以表示為

:\sigma_1 = \sigma_\max = \sigma_\text{avg}+R
:\sigma_2 = \sigma_\min = \sigma_\text{avg}-R

其中平均正向應力\sigma_\text{avg}的大小是圓心O的橫坐標，為
:\sigma_\text{avg} = \tfrac{1}{2}(\sigma_x+ \sigma_y)

其半徑的長度R為
:R = \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2}

### 找最大和最小剪應力
最大剪應力和最小剪應力對應圓上最大及最小的縱坐標。這二個點是圓和通過圓心O的垂直線的交點。因此，最大和最小剪應力的大小為圓的半徑R
:
\tau_{\max,\min}= \pm R

### 找任意平面的應力分量
如前面所述，在二維應力分析後，可以知道在材料某一點P上的應力分量\sigma_x、\sigma_y及 \tau_{xy}。這些應力分量作用在通過P點的二垂直平面  A 及 B，如圖5及圖6所述。莫爾圓也可以計算在莫爾圓上D的應力分量\sigma_\mathrm{n}及\tau_\mathrm{n}，事實是作用在D平面上，此平面也通過P點，和B平面有夾角\theta，計算應力分量有二種方式：倍角法以及平面原點法（origin of planes）
#### 倍角法
如圖6所示，若平面D是平面B再逆時針旋轉角度\theta後的平面，要找到在平面D上的應力分量(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})，可以在莫爾圓上從已知應力點 B(\sigma_x, -\tau_{xy})同樣以逆時針旋轉，但旋轉角度 2\theta，旋轉到點D(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})，也就是讓\overline {OB}線和\overline {OD}線之間的夾角是2\theta。

倍角法的作法源自於通過P點的二實際平面之間的夾角\theta（圖4），是其對應應力點 (\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})在莫爾圓上和圓心連線形成夾角的一半。

倍角關係是因為莫爾圓的參數式是2\theta的函數。也可以從在材料點 P上的平面A和B夾角是90度，而在莫爾圓上其應力點夾角為180度看出（90度的兩倍）。

#### 極點法（或平面原點法）

第二種方式和要找到莫爾圓上的一個點，稱為極點（pole）或是平面原點（origin of planes）。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交，交點表示在和直線相同角度的平面上的應力狀態。因此若知道任何特定平面上的應力分量\sigma及\tau，可以畫一條線通過莫爾圓上的 \sigma_\mathrm{n}和\tau_\mathrm{n}，且和平面平行，找到莫爾圓上這些線的交點，即為極點。例如，假設有應力狀態如圓7所示，其分量是\sigma_x,\!, \sigma_y,\!及\tau_{xy},\!。首先先從B點畫一條線，平行\sigma_x的作用平面，或是從A點畫一條線，平行\sigma_y的作用平面，任一條線都會和莫爾圓交會，交會的點即為極點。在找到極點後，若要找到和垂直有 \theta夾角的平面上的應力，可以從極點畫一條平行該平面的線（見圖7）。可以根據直線和莫爾圓的交點找到平面上的正向應力以及剪應力。
### 找主要平面的方向
最大主要應力及最小主要應力所在的平面方向也稱為主要平面（principal planes），可以用莫爾圓中
的∠BOC及∠BOE判斷，然後將二個角度都取一半。因此\overline{OB}和\overline{OC}之間的夾角是角∠BOC，是\theta_p（主要平面和平面B夾角）角度的二倍。

而\theta_{p1}和\theta_{p2}也可以用以下的方程取得

:\tan 2 \theta_\mathrm{p} = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}

此方程的解會是二個角度，彼此相差90^\circ。可以直接用圓的幾何求解此方程，或是用圓的參數式，並且讓\tau_\mathrm n等於零（主要平面上的剪應力為0）。

## 一般三維應力下的莫爾圓

若要繪製三維應力下的莫爾圖，需要先量測其主應力的大小\left(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \right)以及方向\left(n_1, n_2, n_3 \right)。

考慮以主應力軸為坐標系統，而不是用x_1, x_2, x_3坐標系統，並且假設\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3，則在一法向量為 \mathbf n的平面，其應力向量\mathbf T^{(\mathbf n)}的應力分量及剪力分量會滿足下式
:\begin{align}
\left( T^{(n)} \right)^2 &= \sigma_{ij}\sigma_{ik}n_jn_k \\
\sigma_\mathrm{n}^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= \sigma_1^2 n_1^2 + \sigma_2^2 n_2^2 + \sigma_3^2 n_3^2 \end{align}
:\sigma_\mathrm{n} = \sigma_1 n_1^2 + \sigma_2 n_2^2 + \sigma_3 n_3^2.

由於n_i n_i = n_1^2+n_2^2+n_3^2 = 1，可以用高斯消去法求解n_1^2, n_2^2, n_3^2：
:\begin{align}
n_1^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)}{(\sigma_1 - \sigma_2)(\sigma_1 - \sigma_3)} \ge 0\\
n_2^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)}{(\sigma_2 - \sigma_3)(\sigma_2 - \sigma_1)} \ge 0\\
n_3^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)}{(\sigma_3 - \sigma_1)(\sigma_3 - \sigma_2)} \ge 0.
\end{align}

因為\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3及(n_i)^2都不是負值，因此其分子滿足
:\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3) \ge 0 因為其分母\sigma_1 - \sigma_2 > 0而且\sigma_1 - \sigma_3 > 0
:\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1) \le 0 因為其分母\sigma_2 - \sigma_3 > 0而且\sigma_2 - \sigma_1 
:\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2) \ge 0 因為其分母\sigma_3 - \sigma_1 而且\sigma_3 - \sigma_2 

方程式可以寫成
:\begin{align}
\tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_2 + \sigma_3) \right]^2 \ge \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_2 - \sigma_3) \right)^2 \\
\tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_1 + \sigma_3) \right]^2 \le \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3) \right)^2 \\
\tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_1 + \sigma_2) \right]^2 \ge \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2) \right)^2 \\
\end{align}

是三個應力莫爾圓C_1, C_2和C_3的方程，其半徑分別是R_1=\tfrac{1}{2}(\sigma_2 - \sigma_3), R_2=\tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3)及R_3=\tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2)，而其圓心分別在\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_2 + \sigma_3), 0\right], \left[\tfrac{1}{2}(\sigma_1 + \sigma_3), 0\right], \left[\tfrac{1}{2}(\sigma_1 + \sigma_2), 0\right]。

有了上述三個應力莫爾圓的方程，所有可能的應力點(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})都會在三個應力莫爾圓之間的陰影區域（見圖10）。應力點(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n}) 可能滿足圓C_1的方程，或是在圓C_1的外面，可能滿足圓C_2的方程，或是在圓C_2的裡面，可能滿足圓C_3的方程，或是在圓C_3的外面。

## 相關條目
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## 腳註

## 參考資料
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## 外部連結

*  ''Mohr's Circle and more circles'' by Rebecca Brannon 
* DoITPoMS Teaching and Learning Package- "Stress Analysis and Mohr's Circle"