傑恩斯-卡明斯模型

**傑恩斯-卡明斯模型**（Jaynes–Cummings model (JCM)）是一個量子光學的理论模型。 這是一個描述雙態系統和量子化光腔(optical cavity)交互作用的模型，這種交互作用和光子的存在與否無關(在电磁辐射能造成光子自發性的放射與吸收)。它主要被運用在原子物理學、量子光學、固態量子信息電路的理論與實驗上。

## 公式

系统哈密頓量

:\hat{H} = \hat{H}_{\text{field}} +\hat{H}_{\text{atom}} +\hat{H}_{\text{int}}

由自由場哈密頓量，原子激發態哈密頓量，JCM哈密頓量組成：
:
\begin{array}{lcl}
\hat{H}_\text{field} &=& \hbar \omega_c \hat{a}^{\dagger}\hat{a}\\
\hat{H}_\text{atom} &=& \hbar \omega_a \frac{\hat{\sigma}_z}{2}\\
\hat{H}_\text{int} &=& \frac{\hbar \Omega}{2} \hat{E} \hat{S}.
\end{array}


為方便起見，设真空場能量為 0.

其中：
* \begin{smallmatrix}\hat{E} = \hat{a} +\hat{a}^{\dagger}\end{smallmatrix}場運算符，目的是把量化輻射場转化為玻色子的模型，另外雙態原子是能被三維布洛赫球面所描述的半自旋粒子
** \begin{smallmatrix}\hat{a}^{\dagger}\end{smallmatrix}是玻色子的創生算符
** \begin{smallmatrix}\hat{a}\end{smallmatrix}  是玻色子的湮滅算符

* \begin{smallmatrix}\hat{S} = \hat{\sigma}_+ +\hat{\sigma}_-\end{smallmatrix}是原子耦合區的偏振運算符
* \begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_+ = |e \rangle \langle g |\end{smallmatrix}與\begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_- = |g \rangle \langle e |\end{smallmatrix} 是原子的階梯算符
* \begin{smallmatrix}\hat{\sigma}_z = |e \rangle \langle e | - |g \rangle \langle g |\end{smallmatrix} 是原子反轉運算符
* \begin{smallmatrix}\omega_a\end{smallmatrix}是原子的躍遷頻率
* \begin{smallmatrix}\omega_c\end{smallmatrix} 是模型的角頻率

### JCM哈密頓量

通過把薛丁格繪景轉換為相互作用繪景(又名旋轉框架(rotating frame)) ，使得\begin{smallmatrix}H_0 = \hat{H}_{\text{field}} +\hat{H}_{\text{atom}}\end{smallmatrix}，可以得到：

:\hat{H}_\text{int}(t) = \frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_{-} e^{-i(\omega_c+\omega_a)t}
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_{+}e^{i(\omega_c+\omega_a)t}
+\hat{a}\hat{\sigma}_{+}e^{i (-\omega_c+\omega_a) t}
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_{-}e^{-i (-\omega_c+\omega_a) t}\right).

這個哈密頓量同時包含了兩個部分：
* \begin{smallmatrix}(\omega_c + \omega_a)\end{smallmatrix} 是快速震蕩，
* \begin{smallmatrix}(\omega_c - \omega_a)\end{smallmatrix} 是慢速震蕩。
為了求解這個方程，簡化模型是再所難免的。注意到，當 \begin{smallmatrix}|\omega_c - \omega_a| \ll \omega_c+\omega_a\end{smallmatrix}
的時候，快速振盪的 “反向旋轉”項（也就是快速震蕩項）可被忽略，這被稱為旋波近似。再將之轉換回薛丁格繪景，JCM哈密頓量就變成了：

:\hat{H}_{\text{JC}} = \hbar \omega_c \hat{a}^{\dagger}\hat{a}
+\hbar \omega_a \frac{\hat{\sigma}_z}{2}
+\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_-\right).

其中，
* \begin{smallmatrix}\hbar \Omega/2 = d (\omega_a/\hbar V \epsilon_0)^{1/2}\end{smallmatrix}是原子場的耦合常數，
* \begin{smallmatrix}d\end{smallmatrix}是原子躍遷時刻，
* \begin{smallmatrix}V\end{smallmatrix}是腔模的體積。

### 本徵態

一般情況下，將哈密頓量拆分為2部分有助於對其進行求解:

:\hat{H}_\text{JC} = \hat{H}_I +\hat{H}_{II},

其中，
\begin{array}{lcl}
\hat{H}_{I}  &=& \hbar \omega_c \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} +\frac{\hat{\sigma}_z}{2}\right)\\
\hat{H}_{II} &=& \hbar \delta \frac{\hat{\sigma}_z}{2}
+\frac{\hbar \Omega}{2} \left(\hat{a}\hat{\sigma}_+
+\hat{a}^{\dagger}\hat{\sigma}_-\right)
\end{array}
\begin{smallmatrix}\delta = \omega_a - \omega_c\end{smallmatrix} 稱之為場與雙態系統的失諧量（頻率）。為了更好地求解哈密頓量，把\begin{smallmatrix}\begin{smallmatrix}\hat{H}_{I}\end{smallmatrix}\end{smallmatrix}的本徵態轉換成張量積 \begin{smallmatrix}|n,g\rangle, |n,e\rangle\end{smallmatrix}（\begin{smallmatrix}n \in \mathbb{N}\end{smallmatrix}，表示模型中輻射量子的數量。）

對位任意正整數n，狀態\begin{smallmatrix}|\psi_{1n}\rangle := |n,e\rangle\end{smallmatrix} 與狀態\begin{smallmatrix}|\psi_{2n}\rangle := |n+1,g\rangle\end{smallmatrix}
會退化為\begin{smallmatrix}\hat{H}_{I}\end{smallmatrix} ，\begin{smallmatrix}\hat{H}_{\text{JC}}\end{smallmatrix} 足以在子空間\begin{smallmatrix}\text{span} \{ |\psi_{1n}\rangle ,|\psi_{2n}\rangle\}\end{smallmatrix}對角化。 \begin{smallmatrix}\hat{H}_{\text{JC}}\end{smallmatrix}的元素屬於\begin{smallmatrix}{H}^{(n)}_{ij} := \langle\psi_{in}|\hat{H}_{\text{JC}}|\psi_{jn}\rangle\end{smallmatrix}的子空間，表示為：

:H^{(n)} = \hbar
\begin{pmatrix}
n \omega_c +\frac{\omega_a}{2} & \frac{\Omega}{2} \sqrt{n+1} \\[8pt]
\frac{\Omega}{2} \sqrt{n+1} & (n+1)\omega_c -\frac{\omega_a}{2}
\end{pmatrix}


對於任意正整數n，能量本徵態\begin{smallmatrix}H^{(n)}\end{smallmatrix}為：

:E_{\pm}(n) = \hbar\omega_c \left(n+\frac{1}{2}\right) \pm \frac{1}{2} \hbar\Omega_n(\delta),

其中，\begin{smallmatrix}\Omega_n(\delta) = \sqrt{\delta^2 +\Omega^2(n+1)}\end{smallmatrix} 是拉比頻率特殊的失諧參數。

含能量本徵態 \begin{smallmatrix}|n,\pm\rangle~\end{smallmatrix}的特徵值是：

:|n,+\rangle= \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{1n}\rangle+\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{2n}\rangle
:|n,-\rangle= -\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{1n}\rangle+\cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|\psi_{2n}\rangle

其中，\begin{smallmatrix}\angle\alpha_n = \tan^{-1}\left(\frac{\Omega \sqrt{n+1}}{\delta}\right)\end{smallmatrix}

### 薛丁格繪景動量

為了得到動量的一般情況。 首先考慮一個場疊加態的初態 \begin{smallmatrix}~|\psi_\text{field}(0)\rangle=\sum_n{C_n|n\rangle}~\end{smallmatrix}，若置一激發態原子于場內，則系統初態為：

:|\psi_\text{tot}(0)\rangle= \sum_n C_n \left[ \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,+\rangle-\sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,-\rangle\right].

其中 \begin{smallmatrix}~|n,\pm\rangle~\end{smallmatrix} 是該系統的定態, 含時狀態向量是：

:|\psi_\text{tot}(t)\rangle = e^{-i\hat{H}_{\text{JC}}t/\hbar}|\psi_\text{tot}(0)\rangle = \sum_n C_n \left[ \cos \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,+\rangle e^{-iE_+(n)t/\hbar}- \sin \left(\frac{\alpha_n}{2}\right)|n,-\rangle e^{-iE_-(n)t/\hbar}\right] , t > 0

### 相互作用繪景動量

可以直接通過海森堡記法（Heisenberg notation）來確定么正演化算符（unitary evolution operator） :
:\begin{matrix}\begin{align}
\hat{U}(t) &= e^{-i\hat{H}_{\text{JC}}t/\hbar}\\
&=
\begin{pmatrix}
e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \frac{1}{2})}\left( \cos t \sqrt{\hat{\varphi} + g^2} - i \delta/2 \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi} +
g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}\right)
& - i g e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \frac{1}{2})} \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}} \,\hat{a} \\

-i g e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} - \frac{1}{2})}\frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi}}} {\sqrt{\hat{\varphi}}}\hat{a}^{\dagger}
& e^{- i \omega_c t (\hat{a}^{\dagger} \hat{a} - \frac{1}{2})} \left( \cos t \sqrt{\hat{\varphi}} + i \delta/2 \frac{\sin t \sqrt{\hat{\varphi}}}{\sqrt{\hat{\varphi} }}\right)
\end{pmatrix}
\end{align}\end{matrix}

其中，定義算符~\hat{\varphi}~為

: \hat{\varphi} = g^2 \hat{a}^{\dagger} \hat{a} + \delta^2/4 

~\hat{U}~的么正(unitary )被恆等定義：

:\frac{\sin t\,\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}{\sqrt{\hat{\varphi} + g^2}}\; \hat{a} = \hat{a}\; \frac{\sin t\,\sqrt{\hat{\varphi}}}{\sqrt{\hat{\varphi}}} ,
:\cos t\, \sqrt{\hat{\varphi} + g^2}\; \hat{a} = \hat{a}\; \cos t
\sqrt{\hat{\varphi}},

么正算符可以計算被密度矩陣~\hat{\rho}(t)~所描述的含時系統狀態的演變，么正算符包含了所有可觀測量。給定初態~\hat{\rho}(0)~，則有：

:\hat{\rho}(t)=\hat{U}^{\dagger}(t)\hat{\rho}(0)\hat{U}(t)，
:\langle\hat{\Theta}\rangle_{t}=\text{Tr}[\hat{\rho}(t)\hat{\Theta}] ，
:其中，~\hat{\Theta}~ 是表示可觀測量的算符。
:
## 量子震盪的崩塌和復興

原子反轉的量子震盪圖像（二次反比失諧參數 \begin{smallmatrix}a = (\delta/(2g))^2 = 40\end{smallmatrix}， 其中\delta是失諧參數），基於 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式。

## 參考資料

## 參考文獻

* Serge Haroche, Jean-Michel Raimond: Exploring the Quantum: Atoms, Cavities, and Photons. Oxford University Press 2006, ISBN 978-0198509141

## 延伸閱讀

*C.C. Gerry and P.L. Knight (2005). *Introductory Quantum Optics*, Cambridge: Cambridge University Press.
*M. O. Scully and M. S. Zubairy (1997), *Quantum Optics*, Cambridge: Cambridge University Press.
*D. F. Walls and G. J. Milburn (1995), *Quantum Optics*, Springer-Verlag.