LOCC

**LOCC** 是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（經典通訊）的縮寫，它是一種用在量子信息上、對量子態進行操作的方法。簡單的說，當一個量子系統被分成許多部份，每個部份的測量和操作只限制在該部分上，各個部分之間允許經典通訊，例如：打電話。許多量子信息的工作必須藉由 **LOCC** 來完成，例如：假設某次實驗室製備了一個貝爾態，但是卻不能確定這個貝爾態是 |\psi_1\rangle 還是 |\psi_2\rangle，其中 |\psi_1\rangle 和 |\psi_2\rangle 是

:
 |\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B\right)

:
 |\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_A\otimes|1\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|0\rangle_B\right)

A和B兩個量子位元是分隔兩地的，並且由*愛麗絲*對量子位元A進行操作，由*鲍勃*對量子位元B進行操作。首先*愛麗絲*測量量子位元A並得到結果0，此時我們仍不知道當初實驗室製備的貝爾態是 |\psi_1\rangle 還是 |\psi_2\rangle。這時候*愛麗絲*藉由打電話把結果告訴*鲍勃*，接著*鲍勃*對量子位元B進行測量並得到結果0，現在*鲍勃*得知波函數塌縮成 |0\rangle_A\otimes|0\rangle_B，所以推得實驗室製備的貝爾態是 |\psi_1\rangle。

## 糾纏轉換
將一個量子系統分成兩部分，利用 **LOCC** 操作，把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。
舉例說明：*愛麗絲*和*鲍勃*分別擁有一個糾纏態(純態)的一部分，例如 \frac{1}{\sqrt{2}}(\mid\uparrow\downarrow\rangle-\mid\downarrow\uparrow\rangle )。*愛麗絲*和*鲍勃*都只能對各自的自旋進行操作，也就是Local Operation的意思。當然這個操作也包含測量，當*愛麗絲*進行Sz的測量後，得到本征值+ħ/2，波函數塌縮成 \mid\uparrow\downarrow\rangle，然後*愛麗絲*透過電話告訴*鲍勃*結果，這就是Classical Communications，*鲍勃*知道結果後也相應做了一個Local Operation，現在*鲍勃*做σx操作，於是波函數變為 \mid\uparrow\uparrow\rangle。如果剛才*愛麗絲*測得本征值-ħ/2，波函數塌縮成 \mid\downarrow\uparrow\rangle，則*愛麗絲*立即進行σx操作，然後經由電話告訴*鲍勃*，要求*鲍勃*不做任何操作，結果仍然可將波函數透過利用LOCC轉換成 \mid\uparrow\uparrow\rangle。

顯然利用 LOCC 把某個態 |\psi\rangle 轉換成 |\phi\rangle，A與B之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要 |\phi\rangle 的糾纏熵比 |\psi\rangle 的糾纏熵還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉，首先，可以把 |\psi\rangle 和 |\phi\rangle 分別做：
:
|\psi\rangle=\sum_{i=1}^D\sqrt{\omega_i}|a_i\rangle |b_i\rangle

:
|\phi\rangle=\sum_{i=1}^D\sqrt{\omega_i'}|a_i'\rangle |b_i'\rangle

將Schmidt值由大至小排列然後進行比較。尼爾森(Nielsen)在1999年提出定理:
::若Majorization
:::\sum_{i=1}^k\omega_i\le\sum_{i=1}^k\omega_i',
::對於所有 k 都成立，則 |\psi\rangle 可利用LOCC轉換成 |\phi\rangle。
然而若上述條件不成立，並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入**催化態**，LOCC 轉換仍有可能的。

### 催化轉換
Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子：考慮
:|\psi\rangle=\sqrt{0.4}|00\rangle+\sqrt{0.4}|11\rangle+\sqrt{0.1}|22\rangle+\sqrt{0.1}|33\rangle
:|\phi\rangle=\sqrt{0.5}|00\rangle+\sqrt{0.25}|11\rangle+\sqrt{0.25}|22\rangle
:|c\rangle=\sqrt{0.6}\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.4}\mid\downarrow\downarrow\rangle
以上三個態已經過且係數皆由大至小排列，以下進行 |\psi\rangle 和 |\phi\rangle 驗算係數的前 k 項之和：
:::
以上表格中，若「|\psi\rangle 的前 k 項之和」比「|\phi\rangle 的前 k 項之和」小的話，填入綠色；大的話，填入紅色；相等則是留下白色。如此一來，**觀察 <math>k</math> 方向的顏色**便一目了然。如果所有顏色皆為綠色，則表示 |\psi\rangle 可經由LOCC轉換成 |\phi\rangle；如果所有顏色皆為紅色，則表示 |\phi\rangle 可經由LOCC轉換成 |\psi\rangle；如果顏色既有紅色又有綠色，則說明若無催化態便不可轉換。

那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢？我們考慮直積態 |\psi\rangle |c\rangle 和 |\phi\rangle |c\rangle：
:\begin{align}|\psi\rangle |c\rangle &=
\sqrt{0.24}|00\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.24}|11\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+
\sqrt{0.16}|00\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.16}|11\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\\
&+\sqrt{0.06}|22\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.06}|33\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+
\sqrt{0.04}|22\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.04}|33\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\end{align}
:\begin{align}|\phi\rangle |c\rangle &=
\sqrt{0.30}|00\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.20}|00\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+
\sqrt{0.15}|11\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle+\sqrt{0.15}|22\rangle\mid\uparrow\uparrow\rangle\\
&+\sqrt{0.10}|11\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle+\sqrt{0.10}|22\rangle\mid\downarrow\downarrow\rangle\end{align}
以上各項已按照由大至小排列，接著同樣進行製作表格計算前 k 項之和：
:::
表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色，因此根據尼爾森定理，|\psi\rangle |c\rangle 透過LOCC轉換成 |\phi\rangle |c\rangle 是可以的。由於 |c\rangle 只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走，很像化學反應中的催化劑，因此可稱 |c\rangle 是催化態。

### 塔庫定理
2007年塔庫（Turgut）證明了定理

### 糾纏轉換和量子多體系統

## 參考文獻