博雷爾求和

在數學上，**博雷爾求和**（）是一種发散级数的求和方法。這種求和法是由提出的，在處理發散的渐近展开時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔-列夫勒和。

## 定義
博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。

設*A(z)*是*z*的一個形式冪級數

:A(z) = \sum_{k = 0}^\infty a_kz^k，

則定義*A*的**博雷爾變換**為其等價冪級數
:\mathcal{B}A(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{a_k}{k!}t^k。

### 博雷爾指數求和
設*A<sub>n</sub>(z)*為下列部分和：

:A_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k。

博雷爾和的一種較弱的形式定義*A*的博雷爾和為

: \lim_{t\rightarrow\infty} e^{-t}\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}A_n(z)。

若此極限在某個*z*&nbsp;∈&nbsp;**C**時收斂至*a(z)*，則稱*A*的**弱博雷爾和**收斂於*z*，並記為 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) .

### 博雷爾積分求和
假設上述的博雷爾變換在實數上收斂，且下列的反常積分有意義，則*A*的**博雷爾和**定義為

:\int_0^\infty e^{-t} \mathcal{B}A(tz) \, dt. 

若積分在某個*z*&nbsp;∈&nbsp;**C**時收斂於*a(z)*，則稱*A*的博雷爾和在*z*收斂，並記為  {\textstyle \sum}  a_kz^k = a(z) \,(\boldsymbol B) 。

實際上，積分求和法的條件中，博雷爾變換無需對所有*t*都收斂，只需在0附近收斂為*t*的一個解析函數，且它在正半軸上解析連續即可。

## 基本性質

### 正定性
(**B**)和(**wB**)兩者都是正定的求和法，意味着若*A(z)*收斂，則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂，並且其值等於原級數的值，亦即：
: \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = A(z) 。

(**B**)的正定性容易由下式看出，若*A(z)*在*z*收斂，則

: A(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k = \sum_{k=0}^\infty a^k \left( \int_{0}^\infty e^{-t}t^k dt \right) \frac{z^k}{k!} = \int_{0}^\infty e^{-t} \sum_{k=0}^\infty a_k \frac{(tz)^k}{k!}dt ，

其中最右式正是原級數在*z*處的博雷爾和。

(**B**)和(**wB**)的正定性代表了此方法可以提供*A(z)*的解析延拓。

### 博雷爾和與弱博雷爾和的等價性
對任意的級數*A(z)*，若它在*z*&nbsp;∈&nbsp;*C*處是**弱博雷爾可求和的**，則必定是**博雷爾可求和的**。然而，可以構造 一個例子，使得其弱博雷爾和發散，但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。

:**定理** 
:設*A(z)* 是一個形式冪級數，並限定*z*&nbsp;∈&nbsp;*C*，則：
:# 若 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) ，則 {\textstyle \sum}a_kz^k = a(z), (\boldsymbol{B})。
:# 若 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{B}) ，且 \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t}\mathcal B A(zt) = 0，則 {\textstyle \sum} a_kz^k = a(z) \, (\boldsymbol{wB}) 。

### 與其他求和法的關聯
* (**B**) 是米塔-列夫勒求和法在α&nbsp;=&nbsp;1時的特殊情況。
* (**wB**) 可視為廣義歐拉求和法(**E**,q) 一個有限制的形式，其中q \rightarrow \infty。

## 例子

### 幾何級數
考慮幾何級數

:y(z) = \sum_{k = 0}^\infty z^k

當 |*z*|&nbsp;\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}t^k = e^t

因此，上述級數的博雷爾和為

:\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz)  \, dt = \int_0^\infty e^{-t} e^{tz} \, dt =\frac{1}{1-z}

然而，這個積分能在更大的範圍 Re(*z*)&nbsp;N(z) = (1-zN+1)/(1-z)*，因此其弱博雷爾和為

:<math> \lim_{t \rightarrow \infty}e^{-t} \sum_{n=0}^\infty  \frac{1 -z^{n+1}}{1-z} \frac{t^n}{n!} = \lim_{t \rightarrow \infty} \frac{e^{-t}}{1-z} \big( e^t - z e^{tz} \big) = \frac{1}{1-z}</math>，

同樣在Re(*z*)&nbsp;<&nbsp;1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出，因為對Re(*z*)&nbsp;<&nbsp;1，

:<math> \lim_{t \rightarrow \infty} e^{-t} (\mathcal{B} A)(zt) = e^{t(z-1)} = 0</math>。

===一個交替級數===
級數
:<math>y(z) = \sum_{k = 0}^\infty k!\left(-1 \cdot z\right)^k</math>

對任意非零的 *z* 都發散。它的博雷爾變換為 
:<math>\mathcal{B}y(t) \equiv \sum_{k=0}^\infty \left(-1 \cdot t\right)^k = \frac{1}{1+t} </math>

對任意的|*t*|&nbsp;<&nbsp;1 都成立，且於 &nbsp;*t*&nbsp;≥&nbsp;0 上解析連續。

因此，上述級數的博雷爾和為
:<math>\int_0^\infty e^{-t}\mathcal{B}y(tz)  \, dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}} {1+tz} \, dt = \frac 1 z \cdot e^\frac 1 z \cdot \Gamma\left(0,\frac 1 z \right)</math>

（其中Γ是指[[不完全Γ函數]]）

這個廣義積分對任意的 *z*&nbsp;≥&nbsp;0 都收斂，所以原來的發散級數是對任意這樣的&nbsp;*z* *'博雷爾可求和*'的. 這個函數實際上是當 *z* 趨近於 0 時，原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見，一些發散的級數，亦有可能以博雷爾求和的方式求出“正確”的發散漸近展開式。

===不滿足等價性的例子===
以下是所給出的例子的一個擴展。考慮

:<math>A(z) = \sum_{k = 0}^\infty  \left( 
 \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l(2l + 2)^k}{(2l+1)!} \right)
z^k. </math>

交換求和的順序後，上式的博雷爾變換為

:<math> 
\begin{align}
\mathcal B A(t)&= \sum_{l = 0}^\infty 
\left( \sum_{k=0}^\infty \frac{\big((2l+2) t\big)^k}{k!}  \right) \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\
&= \sum_{l=0}^\infty e^{(2l+2)t}\frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\
&= e^t \sum_{l=0}^\infty \big(e^t\big)^{2l+1} \frac{(-1)^l}{(2l+1)!} \\
& = e^t \sin\left( e^t \right).
\end{align}
 </math>

在 *z*&nbsp;=&nbsp;2 處，可求得博雷爾和為

:<math> \int_{0}^\infty e^t \sin(e^{2t})dt = \int_{1}^\infty \sin(u^2)du = \frac{\sqrt{\pi}}{8} - S(1) < \infty,
</math>

其中 *S(x)* 表示[[菲涅耳積分]]。於是上述博雷爾積分對任意*z*&nbsp;&le;&nbsp;2 都收儉（但顯然積分對 *z*&nbsp;>&nbsp;2發散）。

至於求弱博雷爾和時，注意到

:<math> \lim_{t \rightarrow \infty} e^{(z-1)t}\sin \left( e^{zt} \right) = 0 </math>

僅對 *z''&nbsp;<&nbsp;1 成立，因此，實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。

## 相關條目
* 發散級數
* 切薩羅求和
* 拉馬努金求和

## 參考文獻

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