אריטמעטיק

די **אַריטמעטיק** (פון גריכיש  , *אַריטמאס* "נומער") איז דער עלצטער און עלעמענטארסטער צווייג פון מאטעמאטיק, געניצט דורך כמעט יעדן איינעם, פאר ארבעטן פון פשוטן טאג־טעגליכן ציילן ביז פארגעשריטענע וויסנשאפט און האנדל חשבונות. זי איז געבויט אויף דער שטודיע פון  קוואנטיטעט, ספעציעל ווי דער רעזולטאט פון אפעראציעס וואס קאמבינירן צאלן. אין דער געוויינלעכער שפראך, מיינט זי מער פשוטע אייגנקייטן ווען מען ניצט די טראדיציאנעלע  אפעראציעס פון צוגאב, אראפנעם, טאפלונג און  צעטיילונג מיט קלענערע צאלן. פראפעסיאנעלע מאטעמאטיקער ניצן אמאל דעם טערמין *(העכערע) אריטמעטיק* בנוגע צו פארגעשריטענע רעזולטאטן אין נומערן טעאריע, אבער מ'זאל דאס נישט אויסטוישן מיט חשבון.

## היסטאריע 
דער גריכישער מאטעמאטיקער דיאפאנטוס האט פארפאסט אינעם דריטן יארהונדערט די סעריע פון ביכער "אריטמעטיקא", וואס ווערט גערעכנט דעם אריטמעטישן פאראלעל צו די "עלעמענטן" פון אוקלידוס. אין דעם בוך האט ער געוויזן וועגן צו לייזן א סיסטעם פון גלייכונגען וואן די צאל אומבאשטימטע איז גרעסער ווי די צאל גלייכונגען און די לייזונגען זענען גאנצע צאל; די גלייכונגען רופט מען דיאפאנטישע גלייכונגען אויף זיין נאמען. צוליב דעם ווערט דיאפאנטוס גערופן "דער פאטער פון אלגעברע".

די מאיא קולטור האט געניצט א נומערן סיסטעם באזירט אויפן נומער 20, און האט אויך געהאט א סימבאל פארן נומער 0 נול. שוין פאר זייער צייט האט מען געניצט "ליידיק" פלעצער (למשל אין דער בבלישער סיסטעם), אבער די מאיא האבן דערפינדן א סימבאל פאר נול גאנץ נאענט צו ווי מען פארשטייט 0 היינט.

די דעצימאל סיסטעם וואס מען ניצט היינט, אין וואס יעדער ציפער באדייט א פאטענץ פון 10, איז געקומען פון אינדיע.

די בינארישע סיסטעם, וואס ניצט נאר צוויי סימבאלן, 0 און 1, איז אנטקוויקלט געווארן אינעם 17טן יארהונדערט דורך לייבניץ, אבער זי איז נישט געווארן ברייט געניצט ביז דער אנטוויקלונג פון דיגיטאלישער עלעקטראניק, בעיקר א דאנק צו קלאד שאנאן.

## אריטמעטישע אפעראציעס 
די גרונטלעכע אריטמעטישע אפעראציעס זענען צוגאב, אראפנעם, טאפלונג און צעטיילונג. אנדערע אפעראציעס זענען פראצענט, קוואדראט ווארצלען, פאטענץ און לאגאריטמען. 

### צוגאב (+) 
צוגאב איז די יסודותדיקע אפעראציע פון אריטמעטיק. מען שטעלט צוזאמען צוויי צאלן צו פראדוצירן איין צאל, דעם סכום.

צוגאב פון צאלן איז קאמוטאטיוו און אסאציאטיוו, במילא קען מען ענדערן דעם סדר אין וואס מען רעכנט דעם סכום.

דער נייטראלער עלעמענט פאר צוגאב איז 0; ד"ה אז מען גיט צו 0 צו נאר וועלכער צאל באקומט מען די זעלבע צאל.

צוגאב פון דער נומער 1 נאכאנאנד איז די גרונטלעכער פארעם פון ציילן; דער רעזולטאט פון צוגעבן 1 ווערט געוויינטלעך גערופן דער נאכגייער פון דער אריגינעלער צאל.

### טאפלונג  (× אדער · אדער *) 
טאפלונג איז די צווייטע יסודותדיקע אפעראציע פון אריטמעטיק. מען שטעלט צוזאמען צוויי צאלן צו פראדוצירן איין צאל, דעם פראדוקט. די ערשטע צוויי נומערן רופט מען דעם טאפלער און דעם פֿארטאפלטער, אדער סתם "פאקטארן.

### פאטענץ 
מיט גאנצע צאלן איז די אפעראציע פון פאטענץ נאר א פארקירצונג פאר איבערגעחזרטע טאפלונגען. אז מען טאפלט *a* מיט זיך *b*
מאל רופט מען דאס "*a* צו פאטענץ *b*", און מען שרייבט *a**b*

### געזעצן פון אריטמעטיק 
די געזעצן פון אריטמעטיק זענען פונדאמענטאלע פרינציפן וואס האלטן ביי די אריטמעטישע אפעראציעס, און מיט זיי קען מען פארגרינגען דעם גאנג פון רעכענען. דער ערשטער וואס האט געשריבן די געזעצן פון אריטמעטיק וואס מיר האבן היינט איז געווען דער אינדישער מאטעמאטיקער בראהמאגופטא, וואס האט געלעבט בערך אין יאר 625.

מיט די געזעצן ווערן די אפעראציעס פון אריטמעטיק שטארק נוצלעך מיט א סך אפליקאציעס. אין א פאראלגעמיינערטן שטייגער, א מאטעמאטישע סטרוקטור ווי די ראציאנאלע צאל אדער די רעאלע צאל וואס האט די אריטמעטישע אפעראציעס און היט זייערע געזעצן ווערט אנגערופן א פעלד.

פאלגנד זענען די פונדאמענטאלע געזעצן פון אריטמעטיק. 

#### אסאציאטיווער געזעץ 
די אפעראציעס פון צוגאב און טאפלונג זענען אסאציאטיוו. דאס הייסט, אז מען וויל רעכענען א צוגאב אדער א טאפלונג פון דריי אדער מער נומערן אין א געוויסן סדר, איז נישט וויכטיק וואו מ'שטעלט די קלאמערן, קומט אויס אלעמאל דער זעלבער רעזולטאט. מאטעמאטיש שרייבט מען אזוי, ווען *a,b,c* זענען דריי טערמינען אדער פאקטארן:
* \ (a + b) + c = a + (b + c) דערפאר מעג מעו שרייבן איינפאך \ a+b+c.
* a\cdot(b \cdot c)=(a\cdot b)\cdot c דערפאר מעג מעו שרייבן איינפאך a\cdot b\cdot c.

#### קאמוטאטיווער געזעץ 
ווען מען רעכנט דעם צוגאב פון צוויי נומערן, אדער מען טאפלט צוויי נומערן, איז נישט וויכטיק וועלכן פון די צוויי שרייבט מען ערשט און וועלכן צווייט. דאס הייסט, עס האלט זיך:
* \!\, a+b=b+a.
* \!\, a\times b=b\times a.
אבער, די אפעראציעס פון אראפנעם און צעטיילן **זענען נישט** קאמוטאטיוו, און דער סדר ווי מען שרייבט די נומערן איז גאר וויכטיק. מען קען דאס זען גוט מיט א ביישפיל:
* \!\, 1-0=1, אבער \!\, 0-1=-1
* \!\, 4/2=2, אבער \!\, 2/4=\frac{1}{2}

## נומערן סיסטעמען 
יעדע צאל קען מען אויסשטעלן אין פארשידענע וועגן לויט וועלכער סיסטעם מען ניצט. אין טאג־טעגלעכן לעבן ניצט מען די דעצימאלע סיסטעם, וואס האט צען ציפערן: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 און 9. מיט די צען ציפערן קען מען אויסשטעלן יעדע צאל. אין דער סיסטעם ווייזט דער ארט פון א ציפער זיין ווערט. אין דער רעכטער פאזיציע איז יעדער ציפער ווערט גענוי זיין צאל, אין דער צווייטער פאזיציע צען מאל זיין צאל, אין דער דריטער פאזיציע, הונדערט מאל זיין צאל, אא"וו.

היסטאריש, פלעג מען ניצן אנדערע סיסטעמען איידער די דעצימאלע סיסטעם איז געווארן ברייט אנגענומען. צוויי סיסטעמען וואס זענען נאך אין באניץ זענען די סיסטעם פון לשון קודש, וואו יעדער אות אין אלף בית האט א ווערט, נישט אפהענגיק אין וואו מען שרייבט אים, און די רוימישע צאלן, וואס האט געוויסע אותיות וואס זייער ווערט איז יא אומאפהענגיק וואו זיי זענען געשריבן, אבער נישט אזוי ווי די דעצימאלע סיסטעם.

## נומערן טעאריע 
מען ניצט דאס ווארט "אריטמעטיק" צו באדייטן נומערן טעאריע. דאס שליסט איין אייגנשאפטן פון גאנצע צאלן וואס האבן א שייכות מיט פרימצאלן, צעטיילקייט און לייזן גלייכונגען אין גאנצע צאלן. דאס נעמט איין אויך דעם גרונט-טעארעם פון אריטמעטיק און אריטמעטישע פונקציעס.

## רעפערענצן 
## וועבלינקען 
*