דעריוואטיוו

) מיט זײַן באַריר־לינע (רויט). דער באַרגנייג פֿון דער באַריר־לינע איז דער דעריוואַטיוו.]]

אַ **דעריוואַטיוו** (**דעריוואַט**) פֿון אַ פֿונקציע איז דער באַרגנייג אויף דער באַריר־ליניע בײַ א פֿונקט. א דעריוואַטיוו באַשרײַבט די וואַקסיקייט פון אַ פֿונקציע. דער היפּוך פֿון א דעריוואַטיוו איז אַן אינטעגראל. דער דעריוואַטיוו ווערט געפֿונען געוויינטלעך אין מאַטעמאַטיק און פֿיזיק. 

אין פֿיזיק, דער דעריוואַטיוו פֿון פּאָזיציע איז גיכקייט, און דער דעריוואַטיוו פֿון גיכקייט איז פֿאַרגיכערונג.

## דעפֿיניציע
דערמאַנט זיך אַז די פֿונקציע פאַר אַ גראָדער ליניע איז  y(x)=ax+b . דער וואַריאבל  a  איז דער באַרגנייג פון דער לינע, ד"ה ווען  x_1\neq x_2 :

:\begin{align}
a &= \frac{y(x_2) - y(x_1)}{x_2 - x_1}\\
  &= \frac{\Delta y}{\Delta x}
\end{align} 

דעריבער א שנײַדלינע (secant) וואָס שנײַדט זיך איבער א פֿונקצע f(x) בײַ  x=x_1  און  x=x_2  האָט דעם באַרגנייג 

:\begin{align}
a(x_1,x_2) &= \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}
\end{align} 

ווען  x_1,x_2 זענעך נאָענט איז  a(x_1,x_2)  בערך דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע. באַניצנדיק קאַלקולוס קענען מיר ניצן א גרעניץ כּדי גורם זײַן  x_2 \to x_1. בכן איז  a=a(x_1)  אַן איינבאַטרעפֿיקע פֿונקציע. מ'רופֿט a(x)  דעם דעריוואַטיוו פֿון  f(x) .

דער דעריוואַטיוו ווערט אָנגעשריבן אין מאַטעמאַטישער נאָטאַציע ווי  f'(x)  צי  \frac{d}{dx} f(x) . טאָ מע שרײַבט:

:\begin{align}
f'(x) &= \lim_{x_2\to x}\frac{f(x)-f(x_2)}{x-x_2}\\
&= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{align} 

די לעצטע שורה ניצט דעם אונטערשטעל  x-x_2=h .

## דעריוואַטיוו טעאָרעמען 
פאַראַן כּלערליי כּללים וואָס העלפֿן אונדז צו געפֿינען דעם דעריוואַטיוו.

### כּפֿלען מיט א שטענדיקער גרייס
אויב מיר ווילן דיפֿערענצירן א פֿונקציע מאָל אַ שטענדיקע גרייס:
:\begin{align}
\frac{d}{dx}(cf(x)) = cf'(x)
\end{align} 

### סך־הכּל־כּלל 
אויב מיר ווילן דיפֿערענצירן א פֿונקציע פּלוס אַ פֿונקציע ניצט מען דעם סך־הכּל־כּלל:

:\begin{align}
\frac{d}{dx}\left(f(x)+g(x)\right) = f'(x)+g'(x)
\end{align} 

### קייט־כּלל 
אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פֿונקציע פֿון א פֿונקציע ניצט מען דעם קייט־כּלל:

:\begin{align}
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)
\end{align} 

### פּראָדוקט־כּלל 
אויב מיר ווילן דיפערענצירן אַ פראָדוקט פֿון צוויי פֿונקציעס ניצט מען דעם פּראָדוקט־כּלל:

:\begin{align}
\frac{d}{dx}f(x)g(x) = f'(x)g(x)+g'(x)f(x)
\end{align} 

## בײַשפּילן 
### קוואַדראַטישע פֿונקציע 
בדרך משל לאָמיר דיפערענצירן א פראָסטע פֿונקציע f(x) = x^2  (קוואַדראַטישע פֿונקציע) ניצנדיק דער דעפֿיניציע

:\begin{align}
\frac{d}{dx}x^2 &= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\
\ &= \lim_{h\to 0} \frac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h}\\
\ &= \lim_{h\to 0} \frac{2xh+h^2}{h}\\
\ &= \lim_{h\to 0} (2x+h)\\
\ &= 2x
\end{align} 

אָדער זינט \frac{d}{dx} x=1  (זעט „דעפֿיניציע“ אין דער הייך), פּראָדוקט־כּלל באַווייזט

:\begin{align}
\frac{d}{dx}x^2 &= \frac{d}{dx}(x\cdot x)\\
\ &= \left(\frac{d}{dx}x\right)x+x\left(\frac{d}{dx}x\right)\\
\ &= (1)x+x(1)\\
\ &= 2x\\
\end{align} 

### קוואַדראַט־וואָרצל  
:\begin{align}
\frac{d}{dx}\sqrt{x} &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\
\ &= \lim_{h\to 0} \left(\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\right)\\
\ &= \lim_{h\to 0} \frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\
\ &= \lim_{h\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\\
\ &= \frac{1}{2\sqrt{x}}\\
\end{align} 

קאַטעגאָריע:מאטעמאטיק