קוואדראטצאל

אין מאטעמאטיק, איז א **קוואדראטצאל** א גאנצע צאל וואס מ'קען שרייבן אלס דער קוואדראט פון אן (אנדער) גאנצע צאל, ד.ה. דער פראדוקט פון א גאנצע צאל מיט זיך אליין. למשל , 9 איז א קוואדראטצאל , ווייל מען קען זי שרייבן 3 × 3. אלע קוואדראטצאלן זענען נישט-נעגאטיוו. מ'קען אויך זאגן אזוי—א (נישט-נעגאטיוו) צאל איז א קוואדראטצאל ווען איר קוואדראט ווארצל איז אויך א גאנצע צאל. למשל, √9 = 3, טא איז 9 א קוואדראטצאל.

געוויינלעך שרייבט מען פאר דעם קוואדראט פון דעם נומער *n* נישט דעם פראדוקט *n*&nbsp;×&nbsp;*n*, נאר דעם עקוויוואלענט עקספאנענציאציע *n*2, ארויסגערעדט "*n* קוואדראטירט".
זענען דא  \lfloor \sqrt{n} \rfloor קוואדראטצאלן ביז *n* (עד ועד בכלל). 

## ביישפילן 
די ערשטע 49 קוואדראטצאל זענען: 

:02 = 0
:12 = 1
:22 = 4
:32 = 9
:42 = 16
:52 = 25
:62 = 36
:72 = 49
:82 = 64
:92 = 81

:102 = 100
:112 = 121
:122 = 144
:132 = 169
:142 = 196
:152 = 225
:162 = 256
:172 = 289
:182 = 324
:192 = 361

:202 = 400
:212 = 441 
:222 = 484
:232 = 529
:242 = 576
:252 = 625
:262 = 676
:272 = 729
:282 = 784
:292 = 841

:302 = 900
:312 = 961
:322 = 1024
:332 = 1089
:342 = 1156
:352 = 1225
:362 = 1296
:372 = 1369
:382 = 1444
:392 = 1521

:402 = 1600
:412 = 1681
:422 = 1764
:432 = 1849
:442 = 1936
:452 = 2025
:462 = 2116
:472 = 2209
:482 = 2304
:492 = 2401

## אייגנקייטן 
דער נומער *m* איז א קוואדראטצאל נאר ווען מען קען איינארדענען *m* פונקטן אין א קוואדראט:

די *n*טע קוואדראטצאל *n*2 איז גלייכווערטיג צו דער סומע פון די ערשטע *n* נומען (n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1)), אזוי ווי מען זעט אין די בילדער אויבן, וואו איין קוואדראט קומט פון דעם פריערדיגן ווען מען לייגט צו א נומיקע צאל פונקטן (באצייכנט מיט '+').
למשל, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

די *n*קוואדראטצאל קען מען רעכענען פון די צוויי פריערדיגע דורך נעמען צוויי מאל דעם (*n*&nbsp;−&nbsp;1)טן קוואדראט, אראפנעמען דעם (*n*&nbsp;−&nbsp;2)טן קוואדראט, און צולייגן 2:  (n^2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2). למשל, 2×52&nbsp;−&nbsp;42&nbsp;+&nbsp;2 = 2×25&nbsp;−&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 50&nbsp;−&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 36 = 62.

ס'איז כדאי צו באמערקן אז דh קוואדראטצאל פון יעדן נומער קען מען אויסרעכענען אלס א סומע 1 + 1 + 2 + 2 + ... + *n*&nbsp;–&nbsp;1 + *n*&nbsp;–&nbsp;1 + *n*. למשל, די קוואדראטצאל פון 4 אדער 42 איז גלייך מיט 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. 

א קוואדראטצאל איז אויך די סומע פון צוויי הינטעראנאנדיקע דרייעקיקע צאל.

א קוואדראטצאל קען ענדיגן נאר מיט די ציפערן 00,1,4,6,9, אדער 25 אין באזע 10, ווי פאלגנדיק:

# אז דער לעצטער ציפער פון א  צאל איז 0, זיין קוואדראט לאזט אויס 00 און דער פריערדיקער ציפערן מוזן אויף פארמירן א קוואדראט.
# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 1 אדער 9, זיין קוואדראט לאזט אויס 1 און די צאל פארמירט פון די פריערדיקע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 2 אדער 8, זיין קוואדראט לאזט אויס 4 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין גראד.
# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 3 אדער 7, זיין קוואדראט לאזט אויס 9 און די צאל פארמירט פון די פריערדיקע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 4 אדער 6, זיין קוואדראט לאזט אויס 6 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין **נומיק**. 
# אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 5, זיין קוואדראט לאזט אויס 25 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין 0, 2, 06 אדער 56.

א גרינגן וועג צו  קוואדראטירן א צאל איז צו טרעפן צוויי צאלן וואס האבן זי אלס דורכשניט, 212: 20 און  22, און טאפלען די צוויי צאלן און צולייגן דעם קוואדראט פון דער ווייט פונעם דורכשניט: 22×20 = 440&nbsp;+&nbsp;12 = 441. דאס ארבעט צוליב דער אידענטיטעט: (*x*&nbsp;–&nbsp;*y*)(*x*&nbsp;+&nbsp;*y*) = *x*2&nbsp;–&nbsp;*y*2

באקאנט אלס דער  דיפערענץ פון צוויי קוואדראטן. אזוי (21&nbsp;–&nbsp;1)(21&nbsp;+&nbsp;1) = 212&nbsp;–&nbsp;12 = 440, אז מען רעכנט צוריקוועגס. 

א קוואדראטצאל קען נישט זיין קיין פערפעקטע צאל.

## נומיקע און גראדע קוואדראטצאלן 
דער קוואדראט פון א גראדער צאל איז גראד, ווייל (2*n*)2 = 4*n*2.

דער קוואדראט פון א נומיקער צאל איז נומיק, ווייל  (2*n* + 1)2 = 4(*n*2 + *n*) + 1.

אזוי אויך איז דער קוואדראט ווארצל פון א גראדער קוואדראטצאל גראד, און דער קוואדראט ווארצל פון א נומיקער צאל נומיק.

## טשענ'ס טעארעם 
טשען זשינגרון האט געוויזן אין  1975 אז עס איז שטענדיק דא א צאל  *P* וואס איז אדער  א  פרימצאל אדער א פראדוקט פון צוויי פרימצאלן צווישן *n*2 און (*n*+1)2.

## צו ליינען ווייטער 
* Conway, J. H. and Guy, R. K. *The Book of Numbers*. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

## וועבלינקען 
* Dario Alpern, Sum of squares. A Java applet to decompose a natural number into a sum of up to four squares.
* Fibonacci and Square Numbersat

קאַטעגאָריע:נומערן
קאַטעגאָריע:אריטמעטיק