Liên kết (phân thớ véc tơ)

Trong toán học, đặc biệt là trong hình học vi phân, một **liên kết** (cũng gọi là **liên thông**) trên một phân thớ véc tơ là một cách định nghĩa dịch chuyển song song trên phân thớ đó; nói cách khác, là một cách để so sánh các thớ liền kề nhau.

## Định nghĩa
Gọi *E* → *M* là một phân thớ véc tơ trên một đa tạp vi phân *M*. Kí hiệu không gian các nhát cắt trơn của *E* là Γ(*E*). Một **liên kết** trên *E* là một ánh xạ tuyến tính

: \nabla: \Gamma(E) \to \Gamma(E\otimes T^*M)

sao cho luật Leibniz thỏa mãn:

: \nabla(\sigma f) = (\nabla\sigma)f + \sigma\otimes df

với mọi hàm trơn *f* trên *M* và mọi nhát cắt trơn σ của *E.*

Trong trường hợp *E* là phân thớ tiếp tuyến *TM*, một nhát cắt của *E* cũng chính là một trường vectơ *X* trên *M.* Ta có thể định nghĩa **đạo hàm hiệp biến dọc theo ''X***

: <math>\nabla_X: \Gamma(E) \to \Gamma(E)</math>

bằng cách đánh giá tại <math>X:\nabla_X\sigma:=(\nabla\sigma)(X)</math>. Đạo hàm hiệp biến thỏa mãn:

: <math>\begin{align}&\nabla\!_X(\sigma_1{+}\sigma_2) \ =\ \nabla\!_X\sigma_1+\nabla\!_X\sigma_2\\
&\nabla\!_{(X_1{+}X_2)}\sigma \ =\ \nabla\!_{X_1}\sigma + \nabla\!_{X_2}\sigma\\
&\nabla\!_{X}(f\sigma) \ =\ f\,\nabla\!_X\sigma + X(f)\sigma\\
&\nabla\!_{fX}\sigma \ =\ f\,\nabla\!_X\sigma.\end{align}</math>

Ngược lại, bất kỳ toán tử nào thỏa mãn các thuộc tính trên đều xác định một liên kết trên <math>E</math>*.*

== Nhát cắt song song ==
Một *'nhát cắt song song** (trên một tập mở <math>U\subset M</math>) là một nhát cắt <math>s\in\Gamma(E,U)</math> sao cho <math>\nabla s=0</math>.

== Độ cong ==
**Độ cong** của một liên kết ∇ trên ''E'' → ''M'' là một dạng bậc hai ''F'' <sup>∇</sup> trên ''M'' với giá trị trong phân thớ tự đồng cấu End''(E)'' = ''E''⊗''E'' *. Tức là,

: <math>F^\nabla \in \Omega^2(\mathrm{End}\,E) = \Gamma(\mathrm{End}\,E\otimes\Lambda^2T^*M).</math>

''F'' <sup>∇</sup> được định nghĩa bởi biểu thức

: <math>F^\nabla(X,Y)(s) = \nabla_X\nabla_Y s- \nabla_Y\nabla_X s- \nabla_{[X,Y]}s</math>

Trong đó <math>X</math> và <math>Y</math> là các trường vectơ trên <math>M</math> và <math>s</math> là một nhát cắt của <math>E</math>''.''

== Ví dụ ==

* Gắn với một [[đa tạp Riemann]] <math>(M,g)</math>, ta có một liên kết Levi-Civita <math>\nabla^g</math> trên <math>TM\rightarrow M</math>. Đây là liên kết duy nhất thỏa mãn hai tính chất sau đây:
# Tính không xoắn: với mọi trường véc-tơ <math>X, Y</math>, ta có <math>\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]</math>

# Tính bảo toàn metric: với mọi trường véc-tơ <math>X</math>, <math>Y</math> và <math>Z</math>, ta có <math> Z g(X,Y)=g(\nabla_ZX,Y)+g(X,\nabla_ZY)</math> (trong đó vế trái là tác động tự nhiên của trường véc-tơ <math>Z</math> lên hàm số <math>g(X,Y)</math>).
Độ cong <math>F</math> của liên kết này cũng chính là ten-xơ độ cong Riemann (thường được biết đến qua kí hiệu <math>R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}</math> mà, không gì khác hơn, chính là các hệ số của <math>F</math> đối với cơ sở cảm sinh từ một hệ tọa độ địa phương <math>(x^i)</math>).

* Tổng quát hơn, một **liên kết a-phin** (hay **liên thông tuyến tính*') trên một đa tạp vi phân <math>M</math> là một liên kết trên phân thớ tiếp tuyến <math>TM</math>.

== Tham khảo ==


== Thư mục ==
* Ambrose, W.; Singer, I.M., 
* Chern, Shiing-Shen, 
* Darling, R. W. R.,  <bdi> </bdi>
* Đoàn Quỳnh, *Hình học vi phân*, Nhà xuất bản giáo dục, 2000
* Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi,  <bdi> </bdi>
* Koszul, J. L., 
* Lee, John, 1997, *Introduction to Riemannian Manifolds,'' Springer, ISBN 0-387-98271-X
* Wells, R. O.,