Áp suất tiếp xúc ổ

**Áp suất tiếp xúc ổ** (bearing pressure) là một trường hợp cụ thể của cơ học tiếp xúc thường xảy ra khi một bề mặt lồi (trụ hoặc cầu “đực”) tiếp xúc với một bề mặt lõm (trụ hoặc cầu “cái”: lỗ doa hoặc ổ cầu chỏm bán cầu). Áp suất tiếp xúc quá lớn có thể dẫn đến các dạng hỏng điển hình như biến dạng dẻo tương tự peening. Vấn đề này cũng được gọi là **khả năng chịu ép ổ** (bearing resistance).

## Giả thiết

Tiếp xúc giữa một chi tiết “đực” (lồi) và một chi tiết “cái” (lõm) được xét khi bán kính cong của chúng gần bằng nhau. Không có lực siết chặt và khớp trượt không ma sát, do đó lực tiếp xúc là pháp tuyến với tiếp tuyến của bề mặt tiếp xúc.

Ngoài ra, áp suất tiếp xúc ổ chỉ xét trường hợp tải có thể biểu diễn bằng một lực hướng tâm hướng về tâm của khớp.

## Trường hợp tiếp xúc trụ–trụ

Trong trường hợp của khớp quay hoặc khớp bản lề, tồn tại tiếp xúc giữa một trụ “đực” và một trụ “cái”. Độ phức tạp phụ thuộc vào tình huống, và phân thành ba trường hợp:
* khe hở (dung sai lắp ghép) không đáng kể:
** a) các chi tiết là vật rắn tuyệt đối,
** b) các chi tiết là vật thể đàn hồi;
* c) khe hở không thể bỏ qua và các chi tiết là vật thể đàn hồi.

“Khe hở không đáng kể” thường ám chỉ lắp ghép H7/g6.

Trục của các trụ nằm dọc theo trục *z*, và hai lực ngoài tác dụng lên trụ “đực”:
* lực \vec{F} theo trục *y* (tải trọng);
* phản lực từ lỗ (áp suất tiếp xúc).

Mối quan tâm chính là áp suất tiếp xúc với lỗ, được phân bố đều theo trục *z*.

Ký hiệu:
* *D* là đường kính danh nghĩa của cả trụ “đực” và “cái”;
* *L* là chiều dài dẫn hướng.

### Khe hở không đáng kể và vật rắn tuyệt đối

Trong mô hình đầu tiên này, áp suất được giả thiết là phân bố đều. Giá trị của nó là:
: P = \frac{F}{D \times L} = \frac{\mathrm{radial\ load}}{\mathrm{projected\ area}}.

#### Chứng minh
Có hai cách để thu được kết quả này.

Cách thứ nhất, xét một nửa hình trụ đặt trong môi trường chất lỏng có áp suất thủy tĩnh đều. Trạng thái cân bằng đạt được khi lực tổng hợp tác dụng lên mặt phẳng bằng với lực tổng hợp tác dụng lên mặt cong. Mặt phẳng có dạng hình chữ nhật kích thước *D* × *L*, do đó:
: *F* = *P* × (*D* × *L*)
q.e.d.

Cách thứ hai, ta tích phân các lực vi phân do áp suất gây ra. Xét một phần tử diện tích nhỏ dS trên bề mặt trụ, song song với một đường sinh; chiều dài của nó là *L*, và bị giới hạn bởi các góc θ và θ + dθ. Phần tử diện tích này có thể coi như một hình chữ nhật phẳng kích thước *L* × (dθ × *D*/2). Lực do áp suất tác dụng lên phần tử này là:
: d*F* = *P* × d*S* =  × *P* × *D* × *L* × dθ

Mặt phẳng (*y*, *z*) là mặt phẳng đối xứng, nên thành phần theo phương *x* của lực này bị triệt tiêu bởi phần tử đối xứng. Thành phần theo phương *y* của lực là:
: d*F**y* = cos(θ) d*F* =  × cos(θ) × *P* × *D* × *L* × dθ.

Lực tổng hợp theo phương *y* là:
: F_y = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{2} \times P \times D \times L\times \cos(\theta) \times \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \times P \times D \times L \times \left [ \sin(\theta) \right ]_{-\pi/2}^{\pi/2} = P \times D \times L
q.e.d.

Phép tính này tương tự như trường hợp của bình chịu áp hình trụ.

### Khe hở không đáng kể và vật đàn hồi

Khi chi tiết biến dạng đàn hồi, áp suất không còn đều mà có dạng:
: *P*(θ) = *P*max⋅cos θ

với:
: P_\mathrm{max} = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{F}{L D}.

Áp suất cực đại lớn hơn trường hợp đều khoảng 4/π ≈ 1,27 lần.

### Khe hở có xét đến và vật đàn hồi
### Khe hở có xét đến và vật thể đàn hồi

Trong các trường hợp mà khe hở không thể bỏ qua, vùng tiếp xúc giữa chi tiết “đực” không còn là toàn bộ nửa bề mặt trụ mà bị giới hạn trong một góc 2θ0. Áp suất tuân theo định luật Hooke:
: *P*(θ) = *K*⋅δα(θ)

trong đó:
* *K* là một số thực dương biểu thị độ cứng của vật liệu;
* δ(θ) là chuyển vị hướng tâm của điểm tiếp xúc tại góc θ;
* α là hệ số đặc trưng cho hành vi vật liệu:
** α = 1 đối với kim loại (hành vi đàn hồi thuần);
** α &gt; 1 đối với polyme (hành vi đàn hồi nhớt hoặc dẻo nhớt).

Áp suất biến thiên theo dạng:
: *A*⋅cos θ − *B*

trong đó *A* và *B* là các số thực dương. Áp suất cực đại là:
: P_\mathrm{max} = \frac{4 F}{L D} \times \frac{1 - \cos \theta_0}{2\theta_0 - \sin 2\theta_0}

góc θ0 được tính bằng radian.

Hệ số độ cứng *K* và nửa góc tiếp xúc θ0 không thể xác định trực tiếp bằng lý thuyết mà phải đo thực nghiệm. Với một hệ xác định — tức là với đường kính và vật liệu cho trước — tương ứng với các giá trị *K* và khe hở *j*, có thể xây dựng quan hệ θ0 = ƒ(*F*/(*DL*)).

#### Chứng minh

**Mối quan hệ giữa áp suất, khe hở và góc tiếp xúc**

Chi tiết số 1 là trụ chứa (cái, lõm), chi tiết số 2 là trụ chứa bên trong (đực, lồi); tâm của trụ *i* là *O**i*, bán kính là *R**i*.

Vị trí tham chiếu là trạng thái lý tưởng khi hai trụ đồng tâm. Khe hở (tính theo bán kính) là:
: *j* = *R*1 − *R*2.

Dưới tác dụng tải, chi tiết 2 tiếp xúc với chi tiết 1, các bề mặt bị biến dạng. Giả sử trụ 2 là cứng (không biến dạng), trụ 1 là đàn hồi. Độ lún cực đại là δmax; độ lệch tâm là:
: *e* = *O*1*O*2 = *j* + δmax.

Xét hệ tọa độ tại tâm *O*1. Gọi *M* là điểm trên bề mặt tiếp xúc, θ là góc. Khi đó:
: δ(θ) = *O*1*M* − *R*1.

Sau biến đổi hình học và xấp xỉ biến dạng nhỏ, ta thu được:
: \delta(\theta) = j \left ( \frac{\cos \theta}{\cos \theta_0} - 1 \right )

Áp dụng định luật đàn hồi (α = 1):
: \left \{ \begin{align}
P(\theta) & = K \cdot j \left ( \frac{\cos \theta}{\cos \theta_0} - 1 \right ) \\
P_\max & = K \cdot j \cdot \frac{1 - \cos \theta_0}{\cos \theta_0}
\end{align} \right .

Áp suất là hàm affine theo cos θ:
: P(θ) = *A*⋅cos θ − *B*.

**Trường hợp khe hở không đáng kể**

Nếu *j* ≃ 0, vùng tiếp xúc phủ nửa chu vi: 2θ0 ≃ π. Khi đó áp suất trở thành dạng hình sin:
: *P*(θ) = *P*max⋅cos θ

với:
: P_\max = \frac{4}{\pi}\frac{F}{D L}.

**Trường hợp khe hở đáng kể**

Tích phân lực vi phân:
: F = \frac{K j D L}{4 \cos \theta_0} ( 2\theta_0 - \sin 2\theta_0 )

suy ra:
: P_\max = \frac{4 F}{D L} \times \frac{1 - \cos \theta_0}{2\theta_0 - \sin 2\theta_0}

q.e.d.

## Trường hợp tiếp xúc cầu–cầu

Tiếp xúc cầu–cầu tương ứng với khớp cầu (ổ chỏm cầu/bi cầu), ví dụ như khớp cầu trong cơ cấu dạng yên đỡ hình trụ. Nó cũng có thể mô tả trường hợp của các bi ổ lăn.

### Trường hợp áp suất phân bố đều

Trường hợp này tương tự như trên: khi các chi tiết được xem là vật rắn tuyệt đối và khe hở có thể bỏ qua, thì áp suất được giả thiết là phân bố đều. Áp suất cũng có thể được tính dựa trên diện tích chiếu:
: P = \frac{F}{\pi R^2} =  \frac{\mathrm{radial\ load}}{\mathrm{projected\ area}}.

### Trường hợp phân bố áp suất dạng hình sin

Tương tự như trong trường hợp tiếp xúc trụ–trụ, khi các chi tiết được mô hình hóa là vật thể đàn hồi và khe hở có thể bỏ qua, thì áp suất có thể được mô tả theo phân bố dạng hình sin:
: *P*(θ, φ) = *P*max⋅cos θ

với:
: P = \frac{3}{2} \cdot \frac{F}{\pi R^2}.

## Ứng suất tiếp xúc Hertz
## Ứng suất tiếp xúc Hertz

Khi khe hở không thể bỏ qua, cần phải biết giá trị của nửa góc tiếp xúc θ0, tuy nhiên giá trị này không thể xác định một cách đơn giản mà phải đo thực nghiệm. Khi không có giá trị này, có thể sử dụng lý thuyết tiếp xúc Hertz.

Lý thuyết Hertz thường chỉ đúng khi các bề mặt không thể “ôm khít” nhau, hay nói cách khác là không thể thích nghi với nhau thông qua biến dạng đàn hồi; một bề mặt phải là lồi, và bề mặt kia cũng phải là lồi hoặc phẳng. Điều này không hoàn toàn đúng trong trường hợp hiện tại vì trụ ngoài là lõm, do đó kết quả cần được sử dụng một cách thận trọng. Phép xấp xỉ chỉ hợp lý khi bán kính trong của chi tiết chứa *R*1 lớn hơn rất nhiều so với bán kính ngoài của chi tiết chứa bên trong *R*2, khi đó bề mặt chứa có thể xem như phẳng đối với chi tiết bên trong. Tuy nhiên, trong mọi trường hợp, áp suất tính theo lý thuyết Hertz luôn lớn hơn áp suất thực (do diện tích tiếp xúc trong mô hình nhỏ hơn thực tế), điều này tạo ra một hệ số an toàn cho thiết kế.

Trong lý thuyết này, bán kính của chi tiết “cái” (lõm) được coi là âm.

Định nghĩa đường kính cong tương đương:
: \frac{1}{d^*} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2}

trong đó *d*1 là đường kính của chi tiết “đực” (dương), còn *d*2 là đường kính của chi tiết “cái” (âm).

Môđun đàn hồi tương đương:
: \frac{1}{E^*} = \frac{1 - \nu^2_1}{E_1} + \frac{1 - \nu^2_2}{E_2}

trong đó ν*i* là hệ số Poisson của vật liệu chi tiết *i*, và *E**i* là môđun Young của nó.

Đối với tiếp xúc trụ–trụ, chiều rộng vùng tiếp xúc là:
: b = \left ( \frac{2 F}{\pi L} \cdot \frac{d^*}{E^*} \right )^{1/2}

và áp suất cực đại nằm tại tâm:
: P_\max = \frac{2 F}{\pi b L} = \sqrt{\frac{2 F E^*}{\pi L d^*}}.

Trong trường hợp tiếp xúc cầu–cầu, vùng tiếp xúc là một đĩa có bán kính:
: a = \left ( \frac{3 F}{8} \cdot \frac{d^*}{E^*} \right )^{1/3}

và áp suất cực đại tại tâm:
: P_\max = \frac{3 F}{\pi a^2} = \frac{4}{\pi} \sqrt[3]{3 F \left ( \frac{E^*}{d^*} \right )^2}.

## Ứng dụng

### Bu lông làm chốt chặn

Trong liên kết bu lông, vai trò của bu lông thường là ép các chi tiết lại với nhau; lực liên kết bám dính (ma sát) chống lại các lực tiếp tuyến và ngăn các chi tiết trượt. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, lực ma sát không đủ. Khi đó, bu lông đóng vai trò như chốt chặn: bu lông chịu ứng suất cắt còn lỗ chịu áp suất tiếp xúc.

Để tăng khả năng chịu áp suất tiếp xúc của vật liệu, có thể xét nhiều yếu tố. Một trong những cách hiệu quả nhất là tăng diện tích tiếp xúc. Khi diện tích tăng, tải được phân bố trên vùng lớn hơn, từ đó giảm áp suất tiếp xúc.

Trong thực hành thiết kế tốt, phần ren của bu lông nên càng ít càng tốt và chỉ phần trơn mới tiếp xúc với các tấm; trong trường hợp bu lông vai, khe hở giữa bu lông và lỗ rất nhỏ (trường hợp vật rắn với khe hở không đáng kể). Nếu biết giới hạn áp suất cho phép *P*lim của vật liệu, chiều dày *t* của chi tiết và đường kính bu lông *d*, thì lực tiếp tuyến lớn nhất cho phép trên mỗi bu lông *F*b, Rd (sức chịu ép thiết kế của mỗi bu lông) là:
: *F*b, Rd = *P*lim × *d* × *t*.

Trong trường hợp này, giới hạn áp suất cho phép được tính từ ứng suất kéo đứt *f*u và các hệ số an toàn theo tiêu chuẩn Eurocode 3.

Trong trường hợp hai tấm chồng đơn và một hàng bu lông:
: *P*lim = 1.5 × *f*u/γM2

trong đó:
* γM2 = 1.25: hệ số an toàn riêng phần.

Trong các trường hợp phức tạp hơn:
: *P*lim = *k*1 × α × *f*u/γM2

trong đó:
* *k*1 và α là các hệ số xét đến các dạng phá hỏng khác ngoài quá tải áp suất tiếp xúc; *k*1 xét ảnh hưởng vuông góc với lực, còn α xét ảnh hưởng theo phương lực;
* *k*1 = min{2.8*e*2/*d*0 ; 2.5} đối với bu lông biên,  *k*1 = min{1.4*p*2/*d*0 ; 2.5} đối với bu lông bên trong,
** *e*2: khoảng cách từ tâm lỗ đến mép chi tiết theo phương vuông góc với hướng truyền lực,
** *p*2: khoảng cách giữa các hàng bu lông theo phương vuông góc với hướng truyền lực,
** *d*0: đường kính lỗ;
* α = min{*e*1/3*d*0 ; *p*1/3*d*0 − 1/4 ; *f*ub/*f*u ; 1}, với
** *e*1: khoảng cách từ tâm lỗ đến mép theo hướng truyền lực,
** *p*1: khoảng cách giữa các bu lông theo hướng truyền lực,
** *f*ub: ứng suất kéo đứt quy định của bu lông.

Khi các chi tiết làm bằng gỗ, giới hạn áp suất cho phép khoảng 4 đến 8.5 MPa.

### Ổ trượt

Trong ổ trượt, trục thường tiếp xúc với bạc lót (ống lót hoặc bạc bích) để giảm ma sát. Khi tốc độ quay thấp và tải hướng tâm, có thể sử dụng mô hình áp suất phân bố đều (biến dạng nhỏ và khe hở nhỏ).

Tích của áp suất tiếp xúc và vận tốc trượt vòng, gọi là hệ số tải PV, được dùng để ước lượng khả năng chịu tải của vật liệu trước hiện tượng sinh nhiệt do ma sát.

## Tham khảo

## Tài liệu
* [Aublin 1992] 
* [Chevalier 2004] 
* [Fanchon 2001] 
* [Fanchon 2011] 
* [GCM 2000] 
* [SG 2003]