Nhóm đồng luân của các hình cầu

Trong toán học, và cụ thể hơn là trong tô pô đại số, các **nhóm đồng luân của hình cầu** là các bất biến mô tả, một cách đại số, những cách mà các hình cầu n chiều và k chiều có thể quấn quanh nhau. Khái niệm này, vốn ban đầu được xác định cho các mặt cầu 1 chiều (vòng tròn) và 2 chiều (hình cầu), được khái quát cho các mặt cầu n chiều.

## Định nghĩa
Nhóm đồng luân bậc j của hình cầu n chiều \mathbb S^n , là tập hợp, ký hiệu \pi_j(\mathbb S^n) =[\mathbb{S}^j\to\mathbb S^n], các lớp đồng luân của các hàm liên tục giữa hai hình cầu sao cho một điểm cố định của hình cầu \mathbb{S}^j được gửi tới một điểm cố định của hình cầu \mathbb S^n (gọi là hai điểm cơ sở).

Tập hợp \pi_j(\mathbb S^n) có thể được trang bị một cấu trúc nhóm abel.

Nếu j, nhóm này là nhóm tầm thường: \pi_j(\mathbb S^n)=\{0\}.

Nếu j=n, ta có \pi_n(\mathbb S^n)=\Z (có thể chứng minh bằng định lý Hurewicz).

## 1 chiều: các nhóm đồng luân của đường tròn
Ta có:

* \pi_1(\mathbb S^1)=\Z; 
* \pi_q(\mathbb S^1)=0\quadvới\quad q\ge2.

## 2 chiều và 3 chiều
Các hình cầu có ít nhất hai chiều là đơn liên, nói riêng:

: \pi_1(\mathbb S^2)=\pi_1(\mathbb S^3)=0

Với mọi n lớn hơn hoặc bằng 3, ta có: \pi_2(\mathbb S^n)=0, nói riêng:

: \pi_2(\mathbb S^3)=0

Với mọi n, ta có: \pi_n(\mathbb S^n)=\Z, nói riêng:

: \pi_2(\mathbb S^2)=\Z, 
: \pi_3(\mathbb S^3)=\Z.

Thành thớ HopfF=S^1\hookrightarrow S^3\rightarrow S^2=B \,\! cho ta một dãy khớp đồng luân,  \pi_i(S^1)\to \pi_i(S^3) \to \pi_i(S^2) \to \pi_{i-1}(S^1)\to \pi_{i-1}(S^3)\, \cdots  Từ \pi_1(\mathbb S^1)=\Z và với i\ge 2, \pi_i(\mathbb S^1)=0 ta có một đẳng cấu

: \pi_i(\mathbb S^3)\simeq\pi_i(\mathbb S^2) với i\ge3,

nói riêng

: \pi_3(\mathbb S^2)=\pi_3(\mathbb S^3)=\Z

Với các nhóm đồng luân bậc cao hơn, nhiều kỹ thuật khác cho ta các kết quả sau

* \pi_4(\mathbb S^2)=\pi_4(\mathbb S^3)=\Z/(2)
* \pi_5(\mathbb S^2)=\pi_5(\mathbb S^3)=\Z/(2)
* \pi_6(\mathbb S^2)=\pi_6(\mathbb S^3)=\Z/(12) 

## Chiều cao hơn

### Bảng
Tính toán các nhóm đồng luân của các hình cầu nói chung là phức tạp. Bảng sau tóm gọn lại kết quả thu được. 

### Ổn định khi số chiều lớn
Bảng đồng luân của \pi_{n+k}(\mathbb S^n) dễ nhìn hơn: 

Với số chiều đủ lớn, ta có

* \pi_n(\mathbb S^n)=\Z,\quad n\ge1 (cột đầu tiên màu vàng của bảng trên) 
* \pi_{n+1}(\mathbb S^n)=\Z/(2),\quad n\ge3 (cột thứ hai - màu tím - của bảng trên) 
* \pi_{n+2}(\mathbb S^n)=\Z/(2),\quad n\ge2 (cột thứ ba - màu lam - của bảng trên)

Hóa ra là \Gamma_k=\pi_{n+k}(\mathbb S^n) không phụ thuộc vào n với n đủ lớn. Hiện tượng này được gọi là sự ổn định. Nó xuất phát từ định lý suspension Freudenthal sau đây:

* *Các đồng cấu suspension <math>S:\pi_{n+k}(\mathbb S^n)\to\pi_{n+k+1}(\mathbb S^{n+1})</math> là một đẳng cấu với <math>n\ge k+2</math>* 
* *và là một toàn cấu (theo nghĩa một đồng cấu toàn ánh) với <math>n=k+1</math>.*

### Danh sách các nhóm đồng luân ổn định
Các nhóm ổn định đầu tiên \Gamma_k=\pi_{2k+2}(\mathbb S^{k+2})=\pi_{n+k}(\mathbb S^n),\quad n\ge k+2 là như sau:

* \Gamma_{-j}=\pi_{n-j}(\mathbb S^n)=0,
* \Gamma_0=\pi_n(\mathbb S^n)=\Z,\quad n\ge1
* \Gamma_1=\pi_{n+1}(\mathbb S^n)=\Z/(2),\quad n\ge3
* \Gamma_2=\pi_{n+2}(\mathbb S^n)=\Z/(2),\quad n\ge2
* \Gamma_3=\pi_{n+3}(\mathbb S^n)=\Z/(24),\quad n\ge5
* \Gamma_4=\pi_{n+4}(\mathbb S^n)=0,\quad n\ge6
* \Gamma_5=\pi_{n+5}(\mathbb S^n)=0,\quad n\ge7
* \Gamma_6=\pi_{n+6}(\mathbb S^n)=\Z/(2),\quad n\ge5
* \Gamma_7=\pi_{n+7}(\mathbb S^n)=\Z/(240),\quad n\ge9
* \Gamma_8=\pi_{n+8}(\mathbb S^n)=\Z/(2)\oplus\Z/(2),\quad n\ge10

Các nhóm đồng luân ổn định là hữu hạn ngoại trừ k=0. 

Từ k=23, \Gamma_k trở nên phức tạp, ví dụ:

: \Gamma_{23}=\Z_{65520}\oplus\Z_{24}\oplus\Z_{2}
: \Gamma_{23}=\Z_{16}\oplus\Z_8\oplus\Z_2\oplus\Z_9\oplus\Z_3\oplus\Z_5\oplus\Z_7\oplus\Z_{13}

### Các nhóm đồng luân không ổn định
Một số nhóm đồng luân không ổn định:

* Với chiều 2 và 3 (\pi_k(\mathbb S^2)=\pi_k(\mathbb S^3)): 
** \pi_3(\mathbb S^2)=\pi_3(\mathbb S^3)=\Z 
** \pi_5(\mathbb S^2)=\pi_5(\mathbb S^3)=\pi_4(\mathbb S^2)=\Z/(2) 
** \pi_6(\mathbb S^2)=\pi_6(\mathbb S^3)=\Z/(12) 
* Với chiều 4: \pi_7(\mathbb S^4)=\Z/(12)\oplus\Z

### Nhóm đồng luân vô hạn
Các nhóm đồng luân ổn định \pi_{n+k}(\mathbb S^n) là hữu hạn ngoại trừ k=0 ((\Gamma_0=\Z).

Các nhóm đồng luân không ổn định là hữu hạn ngoại trừ các nhóm \pi_{4p-1}(\mathbb S^{2p}) (với *p* > 0). Những nhóm này \pi_3(\mathbb S^2), \pi_7(\mathbb S^4), \pi_{11}(\mathbb S^6),...) đẳng cấu với tổng trực tiếp của \Z và một nhóm hữu hạn.

## Tham khảo

* Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, *Géométrie contemporaine - Méthodes et applications*, tomes 2 et 3
* Claude Godbillon, *Éléments de topologie algébrique*
* Fabien Morel, «*Groupes d'homotopie de sphères algébriques et formes quadratiques*», trong *Leçons de mathématiques d'aujourd'hui*, vol. 3, Cassini, 2007