Dao động con lắc

**Con lắc đơn** là hệ thống gồm sợi dây không dãn, chiều dài \ell, khối lượng không đáng kể, với một đầu gắn cố định, đầu kia gắn với quả nặng khối lượng m.
:

## Phương trình dao động
Giả sử một con lắc đơn có chiều dài \ell, dao động trong phạm vi góc rất nhỏ, và không ma sát, phương trình dao động của con lắc đơn được viết dưới dạng:

* **Phương trình li độ cong:** S=S_0 \cos (\omega t+\varphi)
* **Phương trình li độ góc:** \alpha= \alpha_0 \cos (\omega t+\varphi)

Trong đó:

* *<math>S</math> là biên độ ứng với góc lệch cực đại <math>\alpha</math>.*
* *<math>S_0</math> là biên độ ứng với góc lệch cực đại <math>\alpha_0</math>.*
* *<math>\omega</math> là tần số góc của dao động, <math>\omega =\sqrt{\frac{g}{\ell}}</math>.*
* *<chem>\varphi</chem> là pha ban đầu của dao động, phụ thuộc vào việc chọn mốc thời gian*

## Chu kỳ và tần số
Chu kỳ T và tần số f của dao động của con lắc sẽ được cho bởi:
:T = 2\pi\sqrt{\ell\over g}
:f = \cfrac{1}{2\pi}\sqrt{g \over \ell}
:*(Với g là gia tốc trọng trường, <math>g\thickapprox9,80665m/s^2</math>).*
## Hệ thức liên hệ giữa li độ dài và li độ góc

: S=\ell \times \alpha
: S_0=\ell \times \alpha_0

## Lực trong dao động con lắc
Khi dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của hai lực:

* Trọng lực \overrightarrow{P} (không đổi về hướng và độ lớn).
* Lực căng \overrightarrow{T} (thay đổi về cả hướng và độ lớn).

### Trọng lực của vật
:P=mg

### Lực căng dây treo con lắc
:T=mg(3 \cos\alpha-2 \cos\alpha_0)

### Lực kéo về
Hợp lực của các lực tác dụng lên vật khi dao động đươc gọi là ***lực kéo về*** (hay ***lực phục hồi***). Lực này luôn hướng về vị trí cân bằng.

* Lực kéo về được tính bởi công thức sau: F=-m \omega ^2 S
* Vậy lực kéo về cực đại có công thức là: F=-m \omega ^2 S_0

## Vận tốc, gia tốc

### Vận tốc của con lắc ở vị trí bất kì
:v=\sqrt

### Gia tốc của con lắc đơn
*Vì khi vật dao động, quỹ đạo là một phần của cung tròn (nhưng không phải chuyển động tròn đều) nên gia tốc được tách thành 2 thành phần đó là gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến. Mà [[vectơ]] của 2 gia tốc này luôn vuông góc nên gia tốc toàn phần xảy ra theo [[định lý Pythagoras]].*

* Gia tốc hướng tâm: a_{ht } = {v^2 \over \ell}
* Gia tốc tiếp tuyến: a_{tt}= g \sin \alpha
* Gia tốc toàn phần: a=\sqrt{a_{ht}^2+a_{tt}^2}
## Năng lượng dao động
*Nếu bỏ qua ma sát thì con lắc dao động mãi mãi quanh vị trí cân bằng, vì cơ năng được bảo toàn.*
* Động năng: W_{\text {đ}}=\frac{1}{2} mv^2=mg\ell (\cos \alpha - \cos \alpha_0)
* Thế năng: W_t=mg\ell (1-\cos \alpha)
* Cơ năng: W=W_{\text{đ}}+W_t=mg\ell (1-\cos \alpha_0)=const

## Các hệ thức liên quan

* Tốc độ cực đại: v_{max}=\omega S_0=\alpha_0\sqrt{g\ell}
* Gia tốc cực đại: a_{max}=\omega ^2S_0
* Hệ thức độc lập với thời gian:  S_0=\sqrt{S^2+\dfrac{v^2}{\omega^2}}

## Sai số của đồng hồ quả lắc
Gọi T = 2\pi\sqrt{\ell\over g} là chu kỳ chạy đúng của đồng hồ quả lắc.

Gọi T^/ là chu kỳ chạy sai. Nếu T^/>T thì đồng hồ chạy chậm, T^/ thì đồng hồ chạy nhanh.

Thời gian đồng hồ chạy sai trong 1 giây được tính bởi công thức:
:\tau = 

*Với <math>R</math> là [[bán kính Trái Đất]], <math>R\approx6371\ km</math>.*

### Đồng hồ chạy sai do thay đổi vị trí của nó trên Trái Đất
Coi đồng hồ chạy đúng, khi đặt nó ở đường xích đạo.

Giả sử nhiệt độ không đổi, nếu đưa đồng hồ ra một vị trí khác xích đạo thì đồng hồ chạy nhanh.

Thời gian đồng hồ chạy sai trong 1 s do thay đổi vị trí của nó trên Trái Đất được tính bởi công thức:

\tau = 

*Với <math>g</math> là [[gia tốc trọng trường]] tại đường xích đạo, <math>g^/</math> là gia tốc trọng trường ở một nơi nào đó trên Trái Đất.*