Dấu hiệu hội tụ

Trong toán học, các **dấu hiệu hội tụ** (hay **tiêu chuẩn hội tụ**) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn \sum_{n=1}^\infty a_n.

## Danh sách các dấu hiệu hội tụ

### [[Dấu hiệu số hạng|Giới hạn của các số hạng]]
Nếu giới hạn của dãy các số hạng của chuỗi là không xác định hoặc khác 0, tức là \lim_{n \to \infty}a_n \ne 0 thì chuỗi phải là phân kỳ. Theo nghĩa này, dãy các tổng riêng là Cauchy chỉ khi giới hạn này là tồn tại và bằng 0. Tuy nhiên, dấu hiệu này không chỉ ra một chuỗi có hội tụ hay không nếu thỏa mãn giới hạn của các số hạng bằng 0.

#### Chứng minh
Đặt S_n=a_1+a_2+...+a_n. Do chuỗi \sum_{n=1}^\infty a_n hội tụ nên dãy (S_1,S_2,S_3,...) là dãy cơ bản. Theo đó với mỗi số thực \varepsilon>0 tồn tại số n_0 sao cho với mọi n>n_0 ta có \varepsilon>|S_{n+1}-S_n| hay |a_{n+1}| Điều này chứng tỏ \lim_{n\to\infty}a_n=0.

### [[Dấu hiệu hội tụ tỉ số|Dấu hiệu tỉ số]]
Dấu hiệu này còn được gọi là **tiêu chuẩn d'Alembert**.

: Xét hai giới hạn
: L_+=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|,L_-=\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
: Nếu L_+ thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu L_->1 thì chuỗi phân kỳ. Nếu L_-\le 1\le L_+ thì chưa thể có kết luận, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ.

#### Chứng minh
Đặt c_n=\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|. Nếu L_+ thì theo định nghĩa giới hạn trên của dãy số tồn tại một số c dương sao cho L_+  và số N sao cho c_n hay |a_{n+1}| với mọi n\ge N. Từ đây ta truy toán được |a_{n+N}| với mọi n\ge1. Khi đó

\sum_{n=0}^\infty |c_{n+N}|

Chuỗi 1+c+c^2+... là chuỗi hình học với công sai c\in(0;1),  suy ra ta có đẳng thức 1+c+c^2+...=\frac{1}{1-c}, do đó

|a_0|+|a_1|+...=\sum_{k=0}^{N-1} |a_k|+\sum_{n=N}^\infty |a_n|

Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ngược lại nếu L_->1 thì theo định nghĩa giới hạn dưới của dãy số ta tìm được số dương d sao cho 1 và tồn tại p\in\mathbb{N} sao cho |a_p|>0 đồng thời |a_{n+p}|>d^n|a_p|  với mọi n\ge 1. Do d>1 nên d^n\to\infty khi n\to\infty, do đó |a_{n+p}|\to\infty khi n\to\infty, do đó dãy (a_0,a_1,...) không hội tụ về 0  nên chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn của các số hạng.

### [[Dấu hiệu hội tụ căn|Dấu hiệu căn]]
Dấu hiệu này còn được gọi là **dấu hiệu căn bậc ''n*** hay *'tiêu chuẩn căn Cauchy**.

: Đặt
:: <math display="block">r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n],</math>
: trong đó <math>\limsup</math> ký hiệu cho [[Giới hạn trên và giới hạn dưới|giới hạn trên]] (có thể là <math>\infty</math>; nếu tồn tại giới hạn nó là cùng một giá trị).
: Nếu ''r'' < 1 thì chuỗi hội tụ, nếu lớn hơn thì chuỗi phân kỳ. Nếu ''r'' = 1 thì chưa thể có kết luận từ dấu hiệu căn, và chuỗi có thể hội tụ hoặc phân kỳ.
Dấu hiệu căn là mạnh hơn dấu hiệu tỉ số: trong khi dấu hiệu tỉ số có thể xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn thì dấu hiệu căn cũng xác định được, nhưng đảo lại không đúng. Ví dụ, với chuỗi

: 1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 +... = 4,

sự hội tụ được suy ra từ dấu hiệu căn nhưng dấu hiệu tỉ số lại không kết luận được.
====Chứng minh====
Nếu <math>r<1</math> thì tồn tại số <math>N</math> và <math>c\in(r;1)</math> sao cho <math>\sqrt[n]<c</math> hay <math>|a_n|<c^n</math> với mọi <math>n\ge N</math>. Khi đó <math>\sum_{n=N}^\infty|a_n|<|a_N|\sum_{n=0}^\infty c^n=\frac{1-c}<\infty</math> nên suy ra được chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ngược lại, nếu có vô hạn <math>n</math> sao cho <math>\sqrt[n]>1</math> thì <math>|a_n|>1</math> với vô hạn <math>n</math>, khi đó chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn của các số hạng.

=== [[Tiêu chuẩn hội tụ tích phân|Tiêu chuẩn tích phân]] ===
Chuỗi có thể được so sánh với một [[tích phân]] để xét sự hội tụ hay phân kỳ. Cho <math>f:[1,\infty)\to\R_+</math> là một [[hàm số]] không âm và [[Hàm số đơn điệu|đơn điệu giảm]] sao cho <math>f(n) = a_n</math>. Nếu tích phân vô định<math display="block">\int_1^\infty f(x) \, dx=\lim_{t\to\infty}\int_1^t f(x) \, dx</math>là hữu hạn thì chuỗi hội tụ. Nhưng nếu tích phân trên là phân kỳ thì chuỗi cũng phân kỳ. Nói cách khác chuỗi <math>{a_n}</math> hội tụ [[khi và chỉ khi]] tích phân hội tụ.

==== [[Chuỗi điều hòa (toán học)|Dấu hiệu p-chuỗi]] ====
Một hệ quả thường được sử dụng của tiêu chuẩn tích phân là dấu hiệu p-chuỗi. Cho số <math>k > 0</math>. Vậy thì chuỗi <math>\sum_{n=k}^{\infty} \bigg(\frac{1}{n^p}\bigg)</math> hội tụ khi và chỉ khi <math>p > 1</math>.

Trường hợp <math>p = 1, k = 1</math> ta có chuỗi điều hòa, là một chuỗi phân kỳ. Trường hợp <math>p = 2, k = 1</math> là [[bài toán Basel]] và chuỗi hội tụ đến <math>\frac{\pi^2}{6}</math>. Tổng quát, với <math>p > 1, k = 1</math>, chuỗi bằng [[hàm zeta Riemann]] áp dụng với <math>p</math> tức là <math>\zeta(p)</math>.

=== [[Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp]] ===
Nếu chuỗi <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> là một chuỗi [[hội tụ tuyệt đối]] và các số hạng <math>|a_n|\le |b_n|</math> với ''n''&nbsp;đủ lớn, thì chuỗi <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> cũng hội tụ tuyệt đối.

=== [[Tiêu chuẩn so sánh giới hạn]] ===
Nếu <math>\{a_n\},\{b_n\}>0</math>, (tức là mỗi phần tử của hai dãy là dương) và giới hạn <math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}</math> tồn tại, hữu hạn và khác 0 thì <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> phân kỳ [[khi và chỉ khi]] <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> phân kỳ.

Nói cách khác, các chuỗi trên là cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

=== [[Tiêu chuẩn Cauchy nén]] ===
Cho <math>\left \{ a_n \right \}</math> là một dãy dương không tăng. Vậy thì tổng vô hạn <math>A = \sum_{n=1}^\infty a_n</math> hội tụ [[khi và chỉ khi]] tổng <math>A^* = \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}</math> hội tụ. Hơn nữa, nếu chúng hội tụ thì bất đẳng thức <math>A \leq A^* \leq 2A</math> được thỏa mãn.

=== [[Hội tụ tuyệt đối|Dấu hiệu hội tụ tuyệt đối]] ===
Mọi chuỗi [[hội tụ tuyệt đối]] thì đều hội tụ. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, những chuỗi như vậy gọi là chuỗi hội tụ có điều kiện. Đối với những chuỗi số thực hội tụ có điều kiện ta có thể sắp xếp lại các <math>a_n</math> sao cho ta được chuỗi mới <math>\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}</math> hội tụ về bất kỳ số thực nào hoặc phân kỳ, đây chính là [[định lý chuỗi Riemann]]. Do đó khi làm việc với các chuỗi ta không được sắp xếp lại các <math>a_n</math> nếu chưa xác định được chuỗi có hội tụ tuyệt đối không vì nó có thể tạo ra một chuỗi mới hội tụ hoặc phân kỳ.
==== Chứng minh ====
Đặt <math>b_n=|a_0|+...+|a_n|</math> và <math>S_n=a_0+...+a_n</math>. Dãy <math>(b_0,b_1,b_2,...)</math> là [[Dãy Cauchy|dãy cơ bản]] nên với mỗi <math>\varepsilon>0</math> tồn tại số nguyên dương <math>N</math> sao cho với mọi <math>m>n\ge N</math> ta có
<math display="block">
\varepsilon>b_m-b_n=\sum_{k=n}^m|a_k|\ge\left|\sum_{k=n}^m a_k\right|=|S_m-S_n|,
</math>
trong đó bất đẳng thức sau cùng đúng do [[bất đẳng thức tam giác]]. Điều này chứng tỏ dãy <math>(S_n)_{n=1}^\infty</math> cũng là dãy cơ bản nên chuỗi <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> hội tụ.

=== [[Dấu hiệu Abel]] ===
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

# <math>\sum a_n </math> là một chuỗi hội tụ,
# <math>\left\{b_n\right\}</math> là một dãy đơn điệu, và
# <math>\left\{b_n\right\}</math> bị chặn.

Vậy thì chuỗi <math>\sum a_nb_n </math> cũng hội tụ.

=== [[Dấu hiệu Dirichlet]] ===
Giả sử có dãy số thực <math>(a_n)</math> và dãy phức <math>(b_n)</math> thoả mãn

:* Dãy <math>(a_n)</math> đơn điệu và <math>\lim_{n\to\infty}a_n=0</math>.
:* Tồn tại hằng số <math>C</math> sao cho <math>\left|\sum^{n}_{k=1}b_n\right|\leq C</math> với mọi số nguyên dương <math>n</math>.<br>
Khi đó chuỗi <math>S=\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n</math> hội tụ.
==== Chứng minh ====
Đặt <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_kb_k</math> và <math>B_n=\sum_{k=1}^n b_k</math>. Theo khai triển Abel ta có
<math display="block">S_n=\sum_{k=1}^n a_kb_k=a_nB_n+\sum_{k=1}^{n-1}B_k(a_k-a_{k+1}).</math>
Do dãy <math>(B_n)_{n=1}^\infty</math> bị chặn nên <math>a_nB_n\to0</math> khi <math>n\to\infty</math>. Theo định nghĩa của chuỗi ta có
<math display="block">
\begin{align}
S&=\lim_{n\to\infty}S_n\\
&=\lim_{n\to\infty}a_nB_n+\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}B_k(a_k-a_{k+1})\\
&=\sum_{n=1}^\infty B_n(a_n-a_{n+1}).
\end{align}
</math>
Theo [[bất đẳng thức tam giác]] ta có
<math display="block">
\begin{align}
\left|\sum_{n=1}^\infty B_n(a_n-a_{n+1})\right|&\le \sum_{n=1}^\infty\big|B_n(a_n-a_{n+1})\big|\\
&\le C\sum_{n=1}^\infty|a_n-a_{n+1}|.
\end{align}</math>
Không mất tính tổng quát giả sử dãy <math>(a_n)</math> giảm ngặt, vì nếu không ta có thể thay <math>S</math> bởi <math>-S</math>. Lúc này <math>|a_n-a_{n+1}|=a_n-a_{n+1}</math> nên chuỗi <math>C\sum_{n=1}^\infty |a_n-a_{n+1}| </math> là [[chuỗi lồng nhau]], khi đó ta dễ dàng có
<math display="block">C\sum_{n=1}^\infty |a_n-a_{n+1}|=C\sum_{n=1}^\infty (a_n-a_{n+1})=Ca_1,</math>
và điều này chứng tỏ rằng chuỗi <math>\sum_{n=1}^\infty B_n(a_n-a_{n+1})</math> [[Dấu hiệu hội tụ#Hội tụ tuyệt đối|hội tụ tuyệt đối]] nên chuỗi <math>S</math> cũng hội tụ.
=== [[Tiêu chuẩn Leibniz|Tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi đan dấu]] ===
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn đối với dãy <math>(a_n)</math>, đó là

* <math> \lim_{n \to \infty} a_n = 0 </math> và
* dãy <math>(a_n)</math> đơn điệu.

Vậy <math> \sum_{n = k}^\infty (-1)^{n} a_n </math> và <math> \sum_{n = k}^\infty (-1)^{n+1} a_n </math> là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là **tiêu chuẩn Leibniz*'.
Tiêu chuẩn này chỉ là một hệ quả của tiêu chuẩn Dirichlet ở trên, bởi vì ta có thể chọn
<math display="block">b_n=(-1)^n\Longrightarrow\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|\le 1.</math>
Đối với các chứng minh khác, bạn đọc có thể xem [[Tiêu chuẩn Leibniz#Chứng minh|tại đây]].

=== [[Dấu hiệu hội tụ Raabe–Duhamel]] ===
Cho dãy <math>a_n>0</math>.

Định nghĩa dãy

: <math>b_n=n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right).</math>

Nếu giới hạn

: <math>L=\lim_{n\to\infty}b_n</math>

tồn tại thì có ba khả năng:

* nếu *L* > 1 thì chuỗi hội tụ
* nếu *L* < 1 thì chuỗi phân kỳ
* còn nếu *L* = 1 thì chưa thể kết luận.

Một công thức khác của dấu hiệu này như sau. Cho Σ là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu *b* > 1 và tồn tại một số tự nhiên *K* sao cho

: <math>\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le 1-\frac{b}{n} </math>

với mọi *n* > *K* thì chuỗi Σ*an* hội tụ.

=== [[Dấu hiệu tỉ số|Dấu hiệu Bertrand]] ===
Cho { *an* } là một dãy số dương.

Định nghĩa

: <math>b_n=\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right).</math>

Nếu tồn tại giới hạn

: <math>L=\lim_{n\to\infty}b_n</math>

thì có ba khả năng:

* nếu *L* > 1 thì chuỗi Σ*an* hội tụ
* nếu *L* < 1 thì chuỗi Σ*an* phân kỳ
* còn nếu *L* = 1 thì chưa thể kết luận.

=== Dấu hiệu Gauss ===
Cho { *an'' } là một dãy số dương.  Nếu \frac{a_n}{a_{n + 1}} = 1+ \frac{\alpha}{n} + O\left(\frac{1}{n^\beta}\right) với một số β > 1, thì  \sum a_n hội tụ nếu  và phân kỳ nếu .

### Chú ý

Đối với một số loại chuỗi cụ thể thì có thể các dấu hiệu hội tụ chuyên biệt hơn, thí dụ đối với chuỗi Fourier có dấu hiệu Dini.

## Thí dụ
Xét chuỗi

(*) \;\;\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}.

Theo tiêu chuẩn Cauchy nén, (*) hội tụ hữu hạn khi

:  (**) \;\;\; \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n}\right)^\alpha 

cũng hội tụ hữu hạn. Bởi

: \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n} \right)^\alpha = \sum_{n=1}^\infty 2^{n-n\alpha} = \sum_{n=1}^\infty 2^{(1-\alpha) n} 

(**) là một chuỗi hình học với công bội  2^{(1-\alpha)} . (**) hội tụ hữu hạn khi công bội của nó nhỏ hơn 1 (tức là \alpha > 1). Vì thế, (*) hội tụ hữu hạn khi và chỉ khi  \alpha > 1 .

## Sự hội tụ của tích
Trong khi hầu hết các dấu hiệu đề cập đến sự hội tụ của các chuỗi vô hạn, chúng cũng có thể được sử dụng để cho thấy sự hội tụ hay phân kỳ của các tích vô hạn. Điều này có được là do định lý sau: Cho \left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty là một dãy số dương. Vậy thì tích vô hạn \prod_{n=1}^\infty (1 + a_n) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi \sum_{n=1}^\infty a_n hội tụ. Và tương tự, nếu thỏa mãn 0 , thì \prod_{n=1}^\infty (1 - a_n) tiến đến một giới hạn khác 0 khi và chỉ khi chuỗi \sum_{n=1}^\infty a_n hội tụ.

Có thể chứng minh điều đó bằng cách lấy logarit của tích và dùng dấu hiệu so sánh giới hạn.

## Xem thêm

* Quy tắc l'Hôpital
* Quy tắc shift

## Tham khảo

## Đọc thêm

* 

## Liên kết ngoài

* Flowchart for choosing convergence test