Điểm Zeeman-Gossard

**Điểm Zeeman-Gossard**  (còn gọi là điểm Gossard ) là một điểm đặc biệt trong hình học tam giác. Tên ban đầu của điểm này là điểm Gossard được đặt tên bởi John Conway vào năm 1998 để vinh danh Harry Clinton Gossard người phát hiện ra sự tồn tại của nó vào năm 1916. Sau đó người ta phát hiện ra rằng điểm này đã xuất hiện trong một bài viết của Christopher Zeeman trong năm 1899 - 1902. Từ năm 2003 trở đi, trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác đề cập đến điểm này là **điểm Zeeman-Gossard**.

## Định nghĩa

### Tam giác Zeeman-Gossard
Cho *ABC* là một tam giác bất kỳ trong mặt phẳng. Nếu đường thẳng Euler của tam giác *ABC* cắt các cạnh *BC*, *CA* và *AB* của tam giác*ABC* lần lượt tại *A<sub>1</sub>*, *B<sub>1</sub>* và *C<sub>1</sub>*. Cho *A<sub>g</sub>B<sub>g</sub>C<sub>g</sub>* là tam giác được tạo bởi ba đường thẳng Euler của ba tam giác *AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>*, *BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub>* và *CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>*. Khi đó tam giác *A<sub>g</sub>B<sub>g</sub>C<sub>g</sub>* là tam giác *Tam giác Zeeman-Gossard*' của tam giác *ABC*. Tam giác Zeeman-Gossard của tam giác ABC có các cạnh song song với tam giác ABC và bằng tam giác ABC.

### Điểm Zeeman-Gossard

Tam giác *A<sub>g</sub>B<sub>g</sub>C<sub>g</sub>* là tam giác Gossard của tam giác *ABC* thì ba đường thẳng AAg, BBg, CCg đồng quy tại điểm Zeeman-Gossard của tam giác ABC. Điểm Zeeman-Gossard nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC.

Trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác điểm này được thể hiện qua điểm X(402).
## Mở rộng
Các xây dựng mở rộng tam giác Gossard của tam giác *ABC* có thể tổng quát thành tam giác *A'B'C'&nbsp;* có cùng diện tích với tam giác *ABC* và các cạnh song song với các cạnh của tam giác *ABC*.
### Mở rộng 1
Kết quả này đề xuất bởi Christipher Zeeman: 
Cho *l* là đường thẳng bất kỳ song song với đường thẳng Euler của tam giác *ABC*. Đường thẳng L cắt ba cạnh tam giác *BC*, *CA*, *AB* lần lượt tại *X*, *Y*, *Z*. Gọi *A'B'C'&nbsp;* là tam giác tạo bởi các đường thẳng Euler của tam giác *AYZ*, *BZX* và *CXY*. Khi đó tam giác *A'B'C'&nbsp;* sẽ đối xứng với tam giác *ABC* qua một điểm.
### Mở rộng 2
Mở rộng này là của Paul Yiu.
Cho *P* là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng của tam giác *ABC* khác trọng tâm *G* của tam giác *ABC*. Đường thẳng *PG* cắt các cạnh *BC*, *CA* và *AB* lần lượt tại *X*, *Y* và *Z*. Gọi trọng tâm của các tam giác *AYZ*, *BZX* và *CXY* lần lượt là *G<sub>a</sub>*, *G<sub>b</sub>* and *G<sub>c</sub>*. Cho *P<sub>a</sub>* là một điểm sao cho *YP<sub>a</sub>* song song với *CP* và *ZP<sub>a</sub>* song song với *BP*. Gọi *P<sub>b</sub>* là một điểm sao cho *ZP<sub>b</sub>* song song với *AP* and *XP<sub>b</sub>* song song với *CP*. Gọi *P<sub>c</sub>* là một điểm sao cho *XP<sub>c</sub>* song song với *BP* and *YP<sub>c</sub>* song song với *AP*. Gọi *A'B'C'&nbsp;* là tam giác tạo bởi các đường thẳng *G<sub>a</sub>P<sub>a</sub>*, *G<sub>b</sub>P<sub>b</sub>* và *G<sub>c</sub>P<sub>c</sub>*.

Khi đó tam giác *A'B'C'&nbsp;* sẽ đối xứng với tam giác *ABC* qua một điểm. Khi *P* trùng với trực tâm tam giác thì *A'B'C'&nbsp;* sẽ trùng với tam giác Gossard *A<sub>g</sub>B<sub>g</sub>C<sub>g</sub>* của tam giác *ABC*.

### Mở rộng 3
Mở rộng này là của Đào Thanh Oai. Cho tam giác *ABC*, cho hai điểm *H, O* trong mặt phẳng, đường thẳng *HO* cắt ba cạnh tam giác *BC, CA, AB* lần lượt tại *A<sub>0</sub>,B<sub>0</sub>,C<sub>0</sub>*. Cho hai điểm *A<sub>H</sub>*, *A<sub>O</sub>* trên mặt phẳng sao cho *C<sub>0</sub>A<sub>H</sub>* song song với *BH, B<sub>0</sub>A<sub>H</sub>* song song với *CH* và *C<sub>0</sub>A<sub>H</sub>* song song với *BO, B<sub>0</sub>A<sub>H</sub>* song song với *CO*. Xác định các điểm *B<sub>H</sub>, B<sub>O</sub>, C<sub>H</sub>, C<sub>O</sub>* tương tự. Khi đó tam giác tạo bởi *A<sub>H</sub>A<sub>O</sub>, B<sub>H</sub>B<sub>O</sub>*, *C<sub>H</sub>C<sub>O</sub>* và tam giác *ABC* sẽ đối xứng nhau qua một điểm nằm trên *OH*.
* Khi *OH* trùng với đường thẳng Euler từ mở rộng 3 trở thành định lý Gossard. 
* KHi *OH* song song với đường thẳng Euler từ mở rộng 3 trở thành định lý của Zeeman.
* Khi *OH* đi qua trọng tâm tam giác *ABC* từ mở rộng 3 ta thu được mở rộng của Paul Yiu.

## Chú thích

## Liên kết ngoài
* Gossard perspector at Art of Poblem Solving Wiki