Phát biểu toán học của cơ học lượng tử

**Phát biểu toán học của cơ học lượng tử** là các hình thức toán học cho phép mô tả chặt chẽ cơ học lượng tử.
## Các tiên đề

### Tiên đề 1
Nội dung của tiên đề 1 nói về các **đại lượng quan sát được** và các **toán tử**: 
:Mỗi đại lượng quan sát được, hay biến số động lực, *A* trong cơ học lượng tử tương ứng với một toán tử  \hat{A} sao cho phép đo *A* thu được giá trị *a *là các giá trị riêng của  \hat{A}, nghĩa là các giá trị *a* là những giá trị mà phương trình trị riêng \hat{A} \varphi = a\varphi có nghiệm \varphi; khi đó \varphi là hàm riêng của toán tử \hat{A}  tương ứng với trị riêng *a*.

#### Ví dụ thứ nhất
Toán tử xung lượng \hat{p} là \hat{p} = -i \hbar \nabla \,\!. Xét **hạt chuyển động một chiều trên trục <math>x</math>**. Khi đó

:\hat p_x = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}

và phương trình trị riêng của toán tử xung lượng là

:-i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \varphi = p_x \varphi,

trong đó p_x là các giá trị khả dĩ mà ta sẽ thu được khi đo thành phần trên trục x* *của xung lượng; hàm sóng \varphi (x) tương ứng với một giá trị xác định của xung lượng (p_x) là hàm mà |\varphi(x)|^2 dx là xác suất tìm thấy hạt với xung lượng p_x trong khoảng [x, x + dx].

Giả sử hạt tự do (không có điều kiện biên) khi đó ta có nghiệm

:\varphi(x) = Ae^{\frac{i p_x x}{\hbar}} = Ae^{i k x},

trong đó số sóng k = \frac{p} {\hbar}, như vậy \varphi(x) là hàm tuần hoàn theo x.

Ta hãy tìm bước sóng \lambda:

:e^{ikx} = e^{ik(x+\lambda)} = cos(kx)+isin(kx)

:\Rightarrow  \left\{\begin{matrix}
cos(k\lambda) = 1 \\
sin(k\lambda) = 0
\end{matrix}\right. \Rightarrow  k\lambda = 2\pi,

tức là \frac{p}{\hbar}\lambda = 2\pi \Rightarrow p = \frac{2\pi\hbar}{\lambda}= \frac{h}{\lambda}

(hệ thức '''De Broglie''' \varepsilon = \hbar\omega; \vec{p} = \hbar\vec{k}, trong đó tần số góc \omega, vector sóng \vec{k}, mỗi phôton có năng lượng \varepsilon và xung lượng \vec{p})

Ta thấy rằng hàm riêng của toán tử xung lượng tương ứng với trị riêng p có bước sóng là bước sóng **De Broglie** \frac{h}{\lambda}.

Vậy hàm riêng và trị riêng của toán tử xung lượng là \varphi(x) = Ae^{ikx}; p = \hbar k
#### Ví dụ thứ hai

Toán tử tương ứng với năng lượng là toán tử năng lượng hay toán tử Hamilton \hat{H}, trong đó \vec{p} được thay bởi \hat{\vec{p}}.

Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng m trong trường thế V(\vec{r}) là

:\hat{H}= \frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\vec{r})=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r})

Phương trình trị riêng có dạng

:\hat{H}\varphi(\vec{r}) = E\varphi(\vec{r})

Đây chính là phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian.

Xét hạt tự do: \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2

Đối với hạt tự do một chiều, ta có phương trình trị riêng

:-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\varphi(x) = E\varphi(x)

Đặt k^2 =\frac{2mE}{\hbar^2} (k được gọi là số sóng), ta có phương trình

:\varphi(x)* + k^2\varphi(x) = 0</math>

Do không có điều kiện ban đầu nên

:<math>\varphi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}</math>

:<math>\varphi(x)</math> là hàm riêng của toán tử <math>\hat{H}</math> tương ứng với trị riêng năng lượng <math>E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}</math>.

Ta nhận thấy rằng hàm <math>\varphi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}</math> ứng với <math>B = 0</math> cũng là hàm riêng của toán tử xung lượng <math>\hat{\vec{p}}</math>.

Việc hai toán tử <math>\hat{H}</math> và <math>\hat{p}</math> của một hạt tự do có chung hàm riêng là một trường hợp đặc biệt của một định lý tổng quát hơn.

Tiếp theo ta hãy chứng minh rằng nếu <math>\varphi</math> là hàm riêng của <math>\hat{\vec{p}}</math> thì <math>\varphi</math> cũng là hàm riêng của <math>\hat{H}</math>.

Do <math>\varphi</math> là hàm riêng của <math>\hat{\vec{p}}</math> nên ta có:

:<math>\hat{\vec{p}}\varphi = \hbar k \varphi</math>

Do đó <math>\hat{H}\varphi=\frac{\hat{\vec{p}}}{2m}(\hat{\vec{p}}\varphi)=\frac{\hat{\vec{p}}}{2m}(\hbar k\varphi)=\frac{\hbar k}{2m}(\hat{\vec{p}}\varphi)=\frac{(\hbar k)^2}{2m}\varphi</math>

tức là <math>\varphi</math> cũng là hàm riêng của <math>\hat{H}</math>.

Cả năng lượng và xung lượng của hạt tự do có các giá trị liên tục

:<math>E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}; p = \hbar k;</math>

nghĩa là chúng là trị riêng của bất cứ số sóng <math>k</math> nào.

Hàm riêng tương ứng là

:<math>\varphi_k(x) = Ae^{ikx}</math>

Nếu hạt tự do ở trạng thái này thì phép đo xung lượng chắc chắn được giá trị <math>\hbar k</math>, phép đo năng lượng chắc chắn được giá trị <math>\frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math>.

Giả sử ta đo vị trí <math>x</math> của hạt. Hạt sẽ ở đâu?

Theo [[Max Born|Born]], khi hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng <math>\varphi_k(x) = Ae^{ikx}</math> thì mật độ xác suất liên quan tới xác suất tìm thấy hạt trong khoảng <math>[x, x + dx]</math> là <math>|\varphi_k|^2=|A|^2=const</math>. [[Mật độ xác suất]] cùng bằng một hằng số cho mọi <math>x</math>. Vậy xác suất tìm thấy hạt ở bất cứ vị trí nào là như nhau.

=== Tiên đề 2 ===
Nội dung của tiên đề 2 nói về phép đo trong cơ học lượng tử: 
:Phép đo biến số động lực <math>A</math> thu được giá trị <math>a</math> đưa hệ về trạng thái <math>\varphi_a</math>, trong đó <math>\varphi_a</math> là hàm riêng của toán tử <math>\hat{A}</math> tương ứng với trị riêng <math>a</math>.

Ví dụ:

Hạt tự do chuyển động một chiều. Ta không biết hạt đang ở trong trạng thái nào, ở một thời điểm bất kỳ ta đo xung lượng của hạt và đạt được giá trị <math>p = \hbar k</math>. Phép đo này đưa hệ về trạng thái <math>\varphi_k</math>, phép đo xung lượng sau đó chắc chắn thu được giá trị <math>p = \hbar k</math>.

Giả sử, ta đo vị trí của một hạt tự do và đo được vị trí <math>x = x'</math>. Từ 2 tiên đề suy ra

(1) Có một toán tử <math>\hat{x}</math> tương ứng với phép đo được vị trí <math>x</math>.

(2) Đo <math>x</math> được giá trị <math>x'</math> đưa hạt về hàm riêng của toán tử <math>\hat{x}</math> tương ứng với trị riêng <math>x'</math>.

Ta có phương trình trị riêng

<math>\hat{x}\delta(x - x')=x'\delta(x-x')</math> trong đó <math>\delta(x-x')</math> là hàm *'delta Dirac**.

=== Tiên đề 3 ===
(Thiết lập sự tồn tại của hàm trạng thái và mối liên hệ của nó với các tính chất của một hệ)

''Nội dung:''

Trạng thái của hệ ở một thời điểm bất kỳ được biểu diễn bởi một hàm trạng thái hay hàm sóng <math>\psi</math> liên tục và khả tích. Tất cả thông tin liên quan đến trạng thái của hệ được chứa đựng trong hàm sóng.

Cụ thể, nếu hệ ở trạng thái <math>\psi(\vec{r}, t)</math> thì giá trị trung bình của biến số động lực <math>C</math> bất kỳ liên quan tới thời điểm <math>t</math> là

:<math>\left \langle C \right \rangle=\int\psi^* \hat{C}\psi d\vec{r}</math>

trong đó <math>d\vec{r}</math> là vi phân thể tích, <math>\left \langle C \right \rangle</math> là [[giá trị kỳ vọng]] của biến số động lực <math>C</math>.

**Ý nghĩa vật lý của giá trị trung bình biến số động lực C:'''

Biến số động lực C được đo trong một thí nghiệm xác định X. Người ta chuẩn bị một số lượng N rất lớn các phép lặp của X, các trạng thái đầu \psi(\vec{r}, 0) của mọi phép lặp đều như nhau. Ở thời điểm t, đo C trong tất cả các thí nghiệm lặp và thu được tập giá trị C_1, C_2,..., C_N. Suy ra

:\left \langle C \right \rangle=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}C_i

Tiên đề 3 nói rằng giá trị trung bình tính được trong thí nghiệm bằng giá trị trung bình cho bởi tích phân.

### Tiên đề 4
Nội dung của tiên đề 4 là về sự tiến triển theo thời gian của hàm trạng thái: 
:Hàm trạng thái \psi(\vec{r}, t) của một hệ tiến triển theo thời gian theo phương trình

::i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec{r}, t) = \hat{H}\psi(\vec{r}, t)

Đây chính là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian.

Toán tử năng lượng của hạt có khối lượng m trong trường thế V(\vec{r}) là

:\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}+V(\vec{r})=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\vec{r})

Giả sử \hat{H} không phụ thuộc t: \hat{H} = \hat{H}(\vec{r})

Trong trường hợp này ta có thể tìm nghiệm của phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian nhờ kỹ thuật tách biến:

:\psi(\vec{r}, t) = \psi(\vec{r})T(t)

Kết quả ta tìm được phần phụ thuộc thời gian

:T(t) = Ae^{-\frac{iEt}{\hbar}}

Giả sử phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, thu được các hàm riêng \psi_n và trị riêng E_n:

:\hat{H}\psi_n=E_n\psi_n

Với mỗi nghiệm riêng như thế có một nghiệm riêng tương ứng với phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

:\psi_n(\vec{r}, t) = A\psi_n(\vec{r})e^{-\frac{i E_n t}{\hbar}}, n=1,2,3...

điều này phù hợp khi \left \{\psi_n \right \} gián đoạn.

Trong trường hợp \left \{\psi_n \right \} liên tục, ví dụ như hạt tự do chuyển động một chiều, từ phương trìng Schrodinger không phụ thuộc thời gian

:\hat{H}\psi_k=E_k\psi_k

ta đã thu được hàm riêng \psi_k(x) = Ae^{ikx} và trị riêng E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.

Với mỗi nghiệm không phụ thuộc thời gian ta có một nghiệm phụ thuộc thời gian tương ứng

:\psi_k(x, t) = Ae^{i(kx - \omega t)}, trong đó \hbar\omega = E_k

## Xem thêm
* Ký hiệu Bra-ket
* Hệ thức giao hoán 
* Mô hình Heisenberg
* Mô hình Schrödinger 
* Hàm sóng 
* Phép đo trong cơ học lượng tử 
* Bán cổ điển 
* Tích phân lộ trình 
* Phép gần đúng WKB 
* Logic lượng tử 
* Toán tử 
* Lý thuyết trường lượng tử 
* Tiên đề Wightman

## Tham khảo
*Cơ học lựơng tử - Đinh Phan Khôi
*http://plato.stanford.edu/entries/qm/
*http://www.mtnmath.com/faq/meas-qm.html 

## Chú thích