Chiếu vectơ

nhỏ|200x200px|Hình chiếu của '''a''' lên '''b''' ('''a'''<sub>1</sub>), và hình phản chiếu ('''a'''<sub>2</sub>).
nhỏ|248x248px|Khi 90° < ''θ'' ≤ 180°, '''a'''<sub>1</sub> có chiều ngược lại so với '''b'''.
**Hình chiếu vectơ** của một vectơ **a** lên một vectơ khác không **b**, ký hiệu là \operatorname{proj}_\mathbf{b} \mathbf{a}, (còn gọi là **thành phần vectơ** của **a** theo phương của **b**) là hình chiếu trực giao (vuông góc) của **a** lên một đường thẳng song song với **b**. Nó là một vectơ cùng phương với **b**, được định nghĩa là:

: \mathbf{a}_1 =  a_1\mathbf{\hat b}\,

trong đó a_1 là một vô hướng, gọi là hình chiếu vô hướng của **a** lên **b**, và **b̂** là vectơ đơn vị theo hướng của **b**.

Còn hình chiếu vô hướng được định nghĩa là:

: a_1 = \left\|\mathbf{a}\right\|\cos\theta = \mathbf{a}\cdot\mathbf{\hat b} = \mathbf{a}\cdot\frac{\mathbf{b}}{\left\|\mathbf{b}\right\|}\,

trong đó toán tử **&#x22C5;** ký hiệu cho tích vô hướng, ‖**a**‖ là độ dài của **a**, và *θ* là góc giữa hai vectơ **a** và **b**.

Hình chiếu vô hướng bằng độ dài của hình chiếu vectơ và có giá trị đại số, với dấu trừ nếu chiều của hình chiếu ngược lại với chiều của **b**. Ta cũng gọi thành phần vectơ của **a** vuông góc với **b** là hình **phản chiếu vectơ** của **a** từ **b** **(**ký hiệu là \operatorname{oproj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a}**)**, đó là hình chiếu trực giao của **a** lên mặt phẳng (hay tổng quát là siêu phẳng) trực giao với **b**. Hình chiếu **a**1 và hình phản chiếu **a**2 của **a** đều là các vectơ và tổng của chúng bằng **a**, suy ra hình phản chiếu được cho bởi: \mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{a}_1.

## Ký hiệu
Thường thì hình chiếu vectơ được ký hiệu bằng chữ **đậm** (ví dụ **a**1), còn hình chiếu vô hướng tương ứng được viết thường (*a*1). Trong một số trường hợp, chẳng hạn khi viết tay, hình chiếu vectơ được ký hiệu bởi chữ với dấu (\vec{a}_1 hay *a*1). Ta đôi khi cũng ký hiệu hình chiếu và hình phản chiếu của vectơ **a** lên **b** tương ứng là **a**∥**b** và **a**⊥**b**.

## Định nghĩa theo góc ''θ''

### Hình chiếu vô hướng
Hình chiếu vô hướng của **a** lên **b** là một vô hướng có giá trị bằng

:  a_1 = \left\|\mathbf{a}\right\| \cos \theta ,

trong đó *θ* là góc giữa hai vectơ **a** và **b**.

Hình chiếu vô hướng có thể được dùng làm hệ số nhân để tính hình chiếu vectơ tương ứng.

### Hình chiếu vectơ
Hình chiếu vectơ của **a** lên **b** là một vectơ có độ dài bằng hình chiếu vô hướng của **a** lên **b** và có cùng phương với **b**. Cụ thể, nó được định nghĩa là:

: \mathbf{a}_1 = a_1 \mathbf{\hat b} = (\left\|\mathbf{a}\right\| \cos \theta) \mathbf{\hat b}

trong đó a_1 là hình chiếu vô hướng tương ứng được định nghĩa ở trên, còn \mathbf{\hat b} là vectơ đơn vị cùng phương với **b**:

: \mathbf{\hat b} = \frac {\mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\|}\,

### Hình phản chiếu vectơ
Theo định nghĩa, hình phản chiếu vectơ của **a** lên **b** là vectơ:

: \mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{a}_1

vì vậy,

: \mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - (\left\|\mathbf{a}\right\| \cos \theta) \mathbf{\hat b}

## Định nghĩa theo vectơ a và b
Khi chưa biết góc *θ*, ta có thể tính giá trị cosin của *θ* dựa theo **a** và **b**, bằng tính chất sau của tích vô hướng **a**&#x22C5;**b**

:  \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{a}\right\| \, \left\|\mathbf{b}\right\|} = \cos \theta

### Hình chiếu vô hướng
Bởi tính chất trên của tích vô hướng, có thể định nghĩa hình chiếu vô hướng như sau:

: a_1 = \left\|\mathbf{a}\right\| \cos \theta = \left\|\mathbf{a}\right\| \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{a}\right\| \, \left\|\mathbf{b}\right\|} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\| }.

Trong không gian hai chiều ta có:

: a_1 = \frac {\mathbf{a}_x \mathbf{b}_x + \mathbf{a}_y \mathbf{b}_y} {\left\|\mathbf{b}\right\|}.

### Hình chiếu vectơ
Tương tự ta có định nghĩa hình chiếu vectơ của **a** lên **b**:

: \mathbf{a}_1 = a_1 \mathbf{\hat b} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\| } \frac {\mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\|},

điều này tương đương với

: \mathbf{a}_1 = \left(\mathbf{a} \cdot \mathbf{\hat b}\right) \mathbf{\hat b},

hoặc là

: \mathbf{a}_1 = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\left\|\mathbf{b}\right\|^2}{\mathbf{b}} = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}}.

### Hình phản chiếu vô hướng
Trong không gian hai chiều, hình phản chiếu vô hướng chính là hình chiếu của **a** lên vectơ trực giao \mathbf{b}^\perp = \begin{pmatrix}-\mathbf{b}_y & \mathbf{b}_x\end{pmatrix}, đó là vectơ \mathbf{b} = \begin{pmatrix}\mathbf{b}_x & \mathbf{b}_y\end{pmatrix} sau khi quay 90° ngược chiều kim đồng hồ. Vì vậy, ta có

: a_2 = \left\|\mathbf{a}\right\| \sin \theta = \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}^\perp} {\left\|\mathbf{b}\right\|} = \frac {\mathbf{a}_y \mathbf{b}_x - \mathbf{a}_x \mathbf{b}_y} {\left\|\mathbf{b}\right\| }.

Tích vô hướng có dạng trên được gọi là "tích vô hướng vuông."

### Hình phản chiếu vectơ
Theo định nghĩa:

: \mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \mathbf{a}_1 

vì vậy,

: \mathbf{a}_2 = \mathbf{a} - \frac {\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}} {\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}}{\mathbf{b}}.

## Tính chất
[phải|nhỏ|200x200px|Nếu 0° ≤ ''θ'' ≤ 90° như trong trường hợp này thì [hình chiếu vô hướng của **a** lên **b** bằng độ dài của hình chiếu vectơ.]]

### Hình chiếu vô hướng
Hình chiếu vô hướng của **a** lên **b** là một vô hướng, nó có dấu âm nếu 90° 1 =  ‖**a**1‖ nếu 0° ≤ *θ* ≤ 90°,
* *a*1 = −‖**a**1‖ nếu 90° 1, có thể song song với **b** hoặc bằng vectơ không. Cụ thể:

* **a**1 = **0** nếu *θ* = 90°,
* **a**1 và **b** cùng chiều nếu 0° ≤ *θ* 1 và **b** ngược chiều nếu 90° 2, có thể trực giao với **b** hoặc bằng vectơ không. Cụ thể:

* **a**2 = **0** nếu *θ*  = 0 or *θ*  = 180°,
* **a**2 vuông góc với **b** nếu 0° x, ay, az*), ta cần nhân vectơ đó với ma trận chiếu:

: <math>P_a = a a^\textsf{T} =
  \begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} a_x & a_y & a_z \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    a_x^2 & a_x a_y & a_x a_z  \\
    a_x a_y & a_y^2 & a_y a_z  \\
    a_x a_z & a_y a_z & a_z^2  \\
 \end{bmatrix}
</math>

== Ứng dụng ==
Phép chiếu vectơ là một phép toán quan trọng trong quá trình [[Trực chuẩn|trực giao hóa]] [[Trực giao hóa Gram–Schmidt|Gram–Schmidt]] cho [[Cơ sở (đại số tuyến tính)|cơ sở]] của các [[không gian vectơ]]. Nó cũng được sử dụng trong [[Định lý tách siêu phẳng|định lý tách trục]] để xác định xem liệu hai hình lồi có giao nhau.

== Tổng quát hóa ==
Bởi vì các khái niệm [[độ dài]] vectơ và [[góc]] giữa các vectơ có thể được tổng quát hóa trên một [[không gian tích trong]] *n* chiều, cũng có thể tổng quát hóa các khái niệm như hình chiếu trực giao của một vectơ, hình chiếu và hình phản chiếu của một vectơ lên vectơ khác.

Trong một số trường hợp, như với [[Không gian Euclid nhiều chiều|không gian Euclid *n* chiều]], khái niệm tích trong trùng với tích vô hướng. Nếu hai khái niệm này không giống nhau thì tích trong thay vì tích vô hướng sẽ được sử dụng trong định nghĩa chính tắc của hình chiếu và hình phản chiếu.

Đối với một [[không gian tích trong]] 3 chiều, các khái niệm hình chiếu và hình phản chiếu của một vectơ lên một vectơ khác được tổng quát hóa lên khái niệm hình chiếu và hình phản chiếu của vectơ lên một mặt phẳng. Hình chiếu của một vectơ lên một mặt phẳng cũng chính là [[Phép chiếu (đại số tuyến tính)|hình chiếu trực giao]] của vectơ đó lên mặt phẳng, còn hình phản chiếu của một vectơ lên mặt phẳng là hình chiếu trực giao của vectơ đó lên một đường thẳng trực giao với mặt phẳng đó. Cả hai đều là vectơ. Hình chiếu song song với mặt phẳng còn hình phản chiếu thì vuông góc.

Đối với một vectơ và một mặt phẳng cho trước, tổng của hình chiếu và hình phản chiếu bằng vectơ ban đầu. Tương tự, đối với không gian tích trong nhiều hơn 3 chiều, các khái niệm hình chiếu và phản chiếu lên một vectơ có thể được tổng quát hóa lên thành hình chiếu và phản chiếu lên một [[siêu phẳng]]. Trong một [[đại số hình học]], chúng được tổng quát hóa hơn nữa thành các khái niệm [[Đại số hình học|hình chiếu và hình phản chiếu]] của một đa vectơ tổng quát lên một *k''-blade khả nghịch.

## Xem thêm

* Hình chiếu vô hướng
* Ký hiệu vectơ

## Tham khảo

## Liên kết ngoài

* Projection of a vector onto a plane