Toán học và nghệ thuật

[nhỏ|250px|Toán học trong nghệ thuật: Bản khắc trên tấm đồng mang tên ''[Melencolia I* (1514) của [[Albrecht Dürer]]. Những yếu tố liên quan đến toán học bao gồm [[com-pa]] đại diện cho [[hình học]], [[hình vuông ma thuật]] và hình khối triangular trapezohedron cắt cụt, còn [[đo lường]] thì được biểu thị bằng [[Cân (dụng cụ đo)|cân]] và [[đồng hồ cát]].]]

*'Toán học và nghệ thuật*' có mối liên hệ theo nhiều cách khác nhau. Bản thân [[toán học]] đã là một bộ môn [[nghệ thuật]] được [[Vẻ đẹp của toán học|thúc đẩy bởi cái đẹp]]. Có thể thấy rõ hình bóng của toán học trong các môn nghệ thuật như [[âm nhạc]], [[khiêu vũ]], [[hội họa]], [[kiến trúc]], [[điêu khắc]] và dệt may.

Toán học và nghệ thuật có mối quan hệ lịch sử lâu dài. Nhiều nghệ sĩ đã áp dụng toán học kể từ thế kỷ 4 TCN, khi nhà điêu khắc Hy Lạp [[Polykleitos]] đưa ra quy ước giả định dựa trên tỷ lệ lý tưởng cho nam khỏa thân là 1: √2. Có nhiều tuyên bố phổ biến niềm tin rằng [[tỷ lệ vàng]] đã được áp dụng trong nghệ thuật và kiến trúc cổ đại mặc dù không có nhiều bằng chứng đáng tin cậy. Tại nước Ý thời [[Phục Hưng]], [[Luca Pacioli]] đã viết chuyên luận có tầm ảnh hưởng là *De divina ratiotione* (1509), sử dụng tranh khắc gỗ của [[Leonardo da Vinci]] làm hình minh họa cho việc sử dụng tỷ lệ vàng trong nghệ thuật. Một họa sĩ người Ý khác là [[Piero della Francesca]] đã khai thác ý tưởng của [[Euclid]] về [[phối cảnh]] trong các chuyên luận như *De Prospectiva Pingendi*, và cả trong những bức tranh của ông. Thợ chạm khắc [[Albrecht Dürer]] từng đề cập nhiều đến toán học trong tác phẩm *Melencolia I*. Vào thời hiện đại, [[Nhà thiết kế đồ họa|nghệ sĩ đồ họa]] [[M. C. Escher]] đã ứng dụng rộng rãi [[hình học hyperbol]] và [[tessellation]], với sự trợ giúp của nhà toán học H. S. M. Coxeter. Phong trào [[De Stijl]] do [[Theo van Doesburg]] và [[Piet Mondrian]] dẫn đầu cũng bao gồm nhiều dạng hình học một cách rõ ràng. Toán học truyền cảm hứng cho nhiều sản phẩm dệt may như [[may ghép]], [[đan]], [[thêu chữ thập]], [[móc]], [[dệt]], [[thảm Thổ Nhĩ Kỳ]] và các loại [[thảm]] khác, chẳng hạn như [[kilim]]. Trong [[nghệ thuật Hồi giáo]], sự đối xứng được thể hiện rõ ràng dưới nhiều hình thức như gạch [[girih]] của Ba Tư và gạch [[zellige]] của Ma-rốc, các tấm bình phong đá [[jali]] trong [[kiến trúc Mughal]], và mái vòm [[muqarnas]].

Toán học tác động trực tiếp đến nghệ thuật với những khái niệm như [[Phối cảnh|phối cảnh tuyến tính]], phân tích [[đối xứng]], và các vật thể trong toán học như [[khối đa diện]] và [[dải Mobius]]. [[Magnus Wenninger]] tạo ra [[:Tập tin:Seventeenth stellation of icosahedron.png|khối đa diện xòe ra như hình sao]] đầy màu sắc, với mục đích ban đầu là để phục vụ cho việc giảng dạy. Những khái niệm toán học như [[đệ quy]] và nghịch lý logic có thể nhận thấy trong tranh của [[René Magritte]] và tranh khắc của M. C. Escher. Nghệ thuật máy tính thường sử dụng những [[fractal]] bao gồm [[tập hợp Mandelbrot]], và đôi khi nghiên cứu các vật thể toán học khác như [[cellular automata]]. Nghệ sĩ [[David Hockney]] đưa ra quan điểm gây tranh cãi rằng nghệ sĩ từ thời Phục Hưng trở đi đã sử dụng [[camera lucida]] để biểu diễn quang cảnh một cách chính xác. Kiến trúc sư Philip Steadman cũng lập luận tương tự rằng [[Johannes Vermeer|Vermeer]] từng sử dụng [[camera obscura]] trong những bức tranh có góc quan sát khác biệt.

Những mối liên hệ khác bao gồm việc phân tích thuật toán trong tác phẩm nghệ thuật bằng [[quang phổ huỳnh quang tia X]], việc phát hiện ra rằng những tấm [[batik]] truyền thống ở từng vùng thuộc [[Java]] có [[khổ fractal]] riêng biệt, và các tác nhân kích thích việc nghiên cứu toán học, đặc biệt là lý thuyết về phối cảnh của [[Filippo Brunelleschi]] dẫn đến sự ra đời của [[hình học xạ ảnh]]. Có một quan điểm lâu dài, chủ yếu dựa vào quan niệm của [[Chủ nghĩa Pythagoras|Pythagoras]] về hòa âm trong âm nhạc, cho rằng mọi thứ được sắp đặt bởi Con số, rằng Chúa là nhà hình học của thế giới, và do đó hình học của thế giới là biểu tượng linh thiêng.

== Nguồn gốc: từ thời Hy Lạp cổ đại đến thời Phục Hưng ==

=== Tiêu chuẩn của Polykleitos và *symmetria* ===


Trưởng lão [[Polykleitos]] (khoảng 450–420 TCN) là một [[Điêu khắc|nhà điêu khắc]] [[người Hy Lạp]] học tập tại một ngôi trường ở [[Argos cổ đại|Argos]], và là người cùng thời với [[Phidias]]. Các tác phẩm và tượng của ông chủ yếu làm bằng đồng và thể hiện tư thế của vận động viên. Theo nhà triết học và toán học [[Xenocrates]], Polykleitos được xem là một trong những nhà điêu khắc quan trọng nhất của thời [[cổ đại Hy-La]] với tác phẩm *Doryphorus* và bức tượng nữ thần [[Hera]] trong đền [[Heraion thành Argos]]. Mặc dù tác phẩm điêu khắc của ông có thể không nổi tiếng bằng tác phẩm của Phidias, nhưng chúng vẫn được nhiều người ngưỡng mộ. Polykleitos đã viết một chuyên luận về tiêu chuẩn để cung cấp tư liệu về tỷ lệ cơ thể cân đối "hoàn hảo" cho nam khỏa thân. Ông cung cấp cho hậu thế một cách tiếp cận toán học đối với việc điêu khắc cơ thể người.

Bản thân tiêu chuẩn mà Polykleitos tạo ra đã bị thất truyền nhưng người đời phỏng đoán rằng ông đã sử dụng một chuỗi tỷ lệ cân đối mà trong đó mỗi độ dài là đường chéo của một hình vuông vạch ra tiền thân của tiêu chuẩn là 1:√2 (khoảng 1:1.4142).

Tầm ảnh hưởng của tiêu chuẩn do Polykleitos tạo ra là vô cùng lớn trong điêu khắc [[Hy Lạp cổ điển]], [[La Mã cổ đại|La Mã]], và [[Phục Hưng]]. Nhiều nhà điêu khắc đã tuân theo quy ước của Polykleitos. Mặc dù tác phẩm gốc của Polykleitos không còn tồn tại, nhưng những bản sao La Mã chứng tỏ lý tưởng của ông về sự hoàn hảo về mặt hình thể và độ chính xác trong toán học. Một số học giả cho rằng tư tưởng của Pythagoras có ảnh hưởng đến tiêu chuẩn của Polykleitos. Tiêu chuẩn này áp dụng một số khái niệm toán học cơ bản của hình học Hy Lạp, chẳng hạn như tỷ lệ, sự cân xứng, và *symmetria* (tiếng Hy Lạp cho "sự cân xứng hài hòa"). Bên cạnh việc áp dụng, tiêu chuẩn còn biến khái niệm toán học cơ bản của hình học Hy Lạp thành hệ thống có khả năng mô tả hình dáng con người thông qua một [[chuỗi hình học]] liên tiếp.

=== Phối cảnh và sự cân xứng ===




Trong thời kỳ cổ điển, thay vì làm cho hình ở xa nhỏ hơn giống như phối cảnh tuyến tính, họa sĩ thường định kích thước của vật thể và hình dựa trên ý nghĩa chủ đề của chúng. Vào thời Trung Cổ, một số nghệ sĩ đã sử dụng [[phối cảnh ngược]] để để tạo ra điểm nhấn đặc biệt. Nhà toán học theo đạo Hồi [[Alhazen]] (Ibn al-Haytham) đã mô tả một lý thuyết về quang học trong cuốn *Kitab al Manazir* (*Sách Quang học*) ra đời năm 1021, nhưng chưa bao giờ áp dụng lý thuyết đó vào nghệ thuật. Thời kỳ Phục Hưng chứng kiến sự tái sinh của văn hóa và ý tưởng Hy Lạp và La Mã cổ điển, trong số đó có nghiên cứu toán học để nâng tầm hiểu biết về [[tự nhiên]] và [[các môn nghệ thuật]]. Hai động lực chính này đã thúc đẩy nghệ sĩ thời [[hậu kỳ Trung Cổ]] và thời Phục Hưng hướng đến toán học. Đầu tiên, họa sĩ cần tìm ra cách mô tả cảnh ba chiều trên khung vẽ hai chiều. Thứ hai, triết gia và nghệ sĩ đều tin rằng toán học là bản chất thực sự của thế giới vật chất và toàn bộ vũ trụ, bao gồm cả nghệ thuật. Nghệ thuật có thể được giải thích bằng những thuật ngữ hình học.

Khái niệm ban đầu của phối cảnh bắt đầu từ [[Giotto]] (1266/7 - 1337), ông từng cố gắng vẽ phối cảnh bằng phương pháp đại số để xác định vị trí của các đường ở xa. Năm 1415, kiến trúc sư người Ý [[Filippo Brunelleschi]] và bạn ông là [[Leone Battista Alberti|Leon Battista Alberti]] đã chứng minh phương pháp hình học áp dụng phối cảnh ở [[Firenze|Florence]]. Họ sử dụng tam giác tương tự như công thức của [[Euclid]] để tìm chiều cao biểu kiến của vật thể ở xa. Những bức tranh phối cảnh của riêng Brunelleschi đã bị mất, nhưng bức tranh về [[Ba Ngôi]] của [[Masaccio]] lại cho thấy các nguyên tắc của Brunelleschi trong tác phẩm.



Họa sĩ người Ý [[Paolo Uccello]] (1397–1475) có sự đam mê với phối cảnh, điều này được thể hiện qua chùm tranh vẽ về [[trận San Romano]] (khoảng 1435–1460): những cây [[Thương (vũ khí)|thương]] bị gãy được vẽ ở vị trí thích hợp dọc theo đường phối cảnh.

Họa sĩ [[Piero della Francesca]] (khoảng 1415–1492) là minh chứng cho sự đổi mới này trong tư duy Phục hưng ở Ý. Ông là một [[nhà toán học]] và hình học lão luyện, viết sách về [[hình học không gian]] và phối cảnh, bao gồm *De prospectiva pingendi* (*Về phối cảnh cho hội họa*), *Trattato d'Abaco* (*Luận về phép tính*), và *De quinque corporibus regularibus* (*Về năm khối đa diện đều*). Nhà sử học [[Giorgio Vasari|Vasari]] đã viết trong cuốn [[Le vite de' più eccellenti pittori, scultori, e architettori|*Le vite* *de' più eccellenti pittori, scultori, e architettori*]] (*Cuộc đời của những người họa sĩ, nhà điêu khắc, và kiến trúc sư xuất sắc nhất*) rằng Piero là "nhà hình học vĩ đại nhất trong thời đại của ông, hoặc có lẽ là bất kỳ thời đại nào." Sự quan tâm của Piero dành cho phối cảnh có thể tìm thấy trong những bức tranh gồm [[Đa liên họa thành Perugia]], *Bệ thờ Thánh Agostino* *và Sự trừng phạt Chúa Giê-su*. Tác phẩm về hình học của Piero có tầm ảnh hưởng đến những nhà toán học và nghệ sĩ sau này, có thể kể đến [[Luca Pacioli]] với tác phẩm *De divina proportione* mà ông hợp tác với [[Leonardo da Vinci]]. Piero có nghiên cứu toán học cổ điển và công trình của [[Archimedes]]. Ông từng giảng dạy số học thương mại tại "trường dạy tính toán"; những ghi chép của ông được định dạng như là sách giáo khoa của trường, có lẽ bao gồm cả cuốn *Liber Abaci* (1202) của Leonardo Pisano ([[Fibonacci]]). [[Phối cảnh tuyến tính]] thời bấy giờ chỉ có áp dụng trong lĩnh vực nghệ thuật. Alberti đã giải thích trong quyển *De pictura* ra đời năm 1435 rằng: "các tia sáng truyền theo đường thẳng từ các điểm trong cảnh được quan sát tới mắt, tạo thành một kiểu [[kim tự tháp]] với đỉnh là mắt." Một bức tranh được xây dựng bằng phối cảnh tuyến tính là một [[tiết diện]] của kim tự tháp đó.

Trong sách *De Prospectiva Pingendi*, Piero biến những quan sát thực nghiệm của mình về cách các phía của một hình thay đổi theo cảnh nhìn thành chứng minh toán học. Luận thuyết của ông lấy cảm hứng từ Euclid: ông định nghĩa điểm là "thứ nhỏ nhất mà mắt có thể nhận thấy được." Ông sử dụng [[suy diễn logic]] để dẫn dắt độc giả đến sự thể hiện phối cảnh của một vật thể ba chiều.

[[David Hockney]] lập luận trong cuốn *Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of the Old Masters* rằng nghệ sĩ bắt đầu sử dụng camera lucida từ thập niên 1420, dẫn đến sự thay đổi đột ngột về độ chính xác và tính thực tế. Những nghệ sĩ lớn như [[Jean-Auguste-Dominique Ingres|Ingres]], [[Jan van Eyck|Van Eyck]] và [[Caravaggio]] đã tiếp tục ứng dụng kỹ thuật này. Nhiều nhà phê bình không đồng ý về việc liệu Hockney có đúng hay không. Tương tự như vậy, kiến trúc sư Philip Steadman có tranh luận một cách gay gắt rằng [[Johannes Vermeer|Vermeer]] đã sử dụng một thiết bị khác là [[camera obscura]], để ông có thể tạo ra những bức tranh có sự quan sát khác biệt.

Năm 1509, [[Luca Pacioli]] (khoảng 1447–1517) xuất bản tác phẩm *De divina proportione* về sự cân xứng trong toán học và nghệ thuật, bao gồm cả khuôn mặt người. [[Leonardo da Vinci]] (1452–1519) là người vẽ minh họa cho văn bản bằng những bức tranh khắc gỗ thể hiện khối đa diện đều, trong khoảng thời gian ông hợp tác nghiên cứu với Pacioli vào thập niên 1490. Những bức họa của Leonardo có lẽ là minh họa đầu tiên về khối đa diện có khung. Chúng, chẳng hạn như khối [[rhombicuboctahedron]], là một trong những khối đầu tiên được vẽ để thể hiện phối cảnh bằng cách phủ lên nhau. *De divina proportione* bàn về quan điểm trong các tác phẩm của [[Piero della Francesca]], [[Melozzo da Forlì]], và [[Marco Palmezzano]]. Da Vinci có nghiên cứu về *Summa* của Pacioli, từ đó ông sao chép bảng tỷ lệ cân đối. Trong bức tranh *Mona Lisa* và *Bữa ăn tối cuối cùng*, Da Vinci đã kết hợp phối cảnh tuyến tính với một [[điểm biến mất]] để tạo ra chiều sâu rõ ràng. *Bữa ăn tối cuối cùng* được xây dựng bám sát theo tỷ lệ 12: 6: 4: 3, giống như bức tranh *Trường Athena* của [[Raffaello|Raphael]]. Tác phẩm của Raphael thể hiện [[Pythagoras]] với một bảng tỷ lệ lý tưởng, rất quan trọng đối với môn đồ của Pythagoras. Trong bức vẽ *Người Vitruvius*, Leonardo thể hiện ý tưởng của kiến trúc sư người La Mã [[Vitruvius]] một cách cách tân khi phô bày hình thể nam giới tới 2 lần, và đặt trọng tâm của anh ta theo cả hình tròn và hình vuông.

Ngay từ đầu thế kỷ 15, [[phối cảnh cong]] đã được tìm thấy trong những bức tranh của nghệ sĩ có quan tâm đến sự biến dạng của hình ảnh. Bức [[Chân dung Arnolfini|C*hân dung* *Arnolfini*]] (1434) do họa sĩ [[Jan van Eyck]] thực hiện có chứa tấm gương cầu lồi phản chiếu những nhân vật trong nền cảnh. Còn bức *Chân dung tự họa trong tấm gương lồi* (khoảng 1523–1524) của họa sĩ [[Parmigianino]] lại hiển thị phần lớn khuôn mặt không bị biến dạng của ông ở trung tâm, với cảnh nền cong một cách rõ rệt, và có bàn tay bao quanh rìa bức tranh.

Không gian ba chiều có thể được thể hiện một cách lôi cuốn trong nghệ thuật, thông qua [[vẽ kỹ thuật]] hoặc bằng những phương pháp khác ngoài phối cảnh. [[Phép chiếu xiên]], bao gồm cả phép chiếu cavalier (nghệ sĩ quân đội Pháp từng sử dụng để khắc họa công sự trong thế kỷ 18) đã được các nghệ sĩ Trung Hoa sử dụng liên tục và phổ biến từ thế kỷ 1 hoặc thế kỷ 2 cho đến tận thế kỷ 18. Người Trung Quốc tiếp thu kỹ thuật này từ Ấn Độ, và người Ấn Độ tiếp thu kỹ thuật này từ La Mã cổ đại. Phép chiếu xiên có thể tìm thấy trong nghệ thuật Nhật Bản, điển hình là tranh [[Ukiyo-e|Ukiyo-]]<nowiki/>e của [[Kiyonaga Torii]] (1752–1815).

<gallery>
Tập tin:Pacioli De Divina Proportione Head Equilateral Triangle 1509.jpg|Tranh khắc gỗ trong tác phẩm *De divina proportione* của [[Luca Pacioli]] thể hiện hình [[tam giác đều]] trên mặt người.
Tập tin:Camera Lucida in use drawing small figurine.jpg|[[Camera lucida]] được sử dụng để vẽ bức tượng thu nhỏ. *Scientific American*, 1879
Tập tin:Camera obscura2.jpg|Minh họa về một người nghệ sĩ sử dụng [[camera obscura]] (thế kỷ 17).
Tập tin:Da Vinci Vitruve Luc Viatour.jpg|Sự cân xứng: Bức họa *Người Vitruvius* của [[Leonardo da Vinci|Leonardo]] (khoảng 1490).
Tập tin:Masaccio, trinità.jpg|Lý thuyết về phối cảnh của Brunelleschi: bức tranh về [[Ba Ngôi]] do họa sĩ [[Masaccio]] thể hiện (khoảng 1426–1428, tại [[Vương cung thánh đường Santa Maria Novella]].
Tập tin:Della Pittura Alberti perspective pillars on grid.jpg|Bản vẽ trong luận thuyết *Della Pittura* (1435) của [[Leone Battista Alberti|Leon Battista Alberti]].
Tập tin:Piero - The Flagellation.jpg|[[Phối cảnh tuyến tính]] trong tác phẩm *Sự trừng phạt Chúa Giê-su* (1455–1460) của họa sĩ [[Piero della Francesca]].
Tập tin:The Arnolfini Portrait, détail (2).jpg|[[Phối cảnh cong]]: tấm gương lồi trong bức *Chân dung Arnolfini* (1434) của họa sĩ [[Jan van Eyck]].
Tập tin:Parmigianino Selfportrait.jpg|*Chân dung tự họa trong tấm gương lồi* (khoảng 1523–1524) của họa sĩ [[Parmigianino]].
Tập tin:Pythagoras with tablet of ratios.jpg|[[Pythagoras]] với bảng tỉ lệ lý tưởng, trong tác phẩm *Trường Athena* (1509) của [[Raffaello|Raphael]].
Tập tin:Xu Yang - Entrance and yard of a yamen.jpg|[[Phép chiếu xiên]]: *Lối vào và sân của một nha môn* (thế kỷ 18). Bức tranh cuộn này là do họa sĩ Từ Dương, người đến từ [[Tô Châu]] thực hiện, theo lệnh của Hoàng đế [[Càn Long]].
Tập tin:3 Brettspiele.jpg|Phép chiếu xiên: phụ nữ chơi cờ [[Shogi]], [[cờ vây]] và cờ [[sugoroku]]. Bức tranh của họa sĩ Nhật Bản Kiyonaga Torii (1780).
</gallery>

=== Tỷ lệ vàng ===
[[Tỷ lệ vàng]] (gần bằng 1.618) thường gắn liền với tên tuổi của [[Euclid]]. Thời hiện đại liên tục có nhiều tuyên bố khẳng định rằng người Ai Cập, Hy Lạp và một số nơi khác thời cổ đại đã sử dụng tỷ lệ vàng trong nghệ thuật và [[kiến trúc]], mặc dù không có bằng chứng nào đáng tin cậy. Tuyên bố này có thể bắt nguồn từ sự nhầm lẫn với "golden mean" (nghĩa bóng là sự dung hòa), mà đối với người Hy Lạp cổ đại nghĩa là "tránh sự vượt quá giới hạn theo cả hai phía [quá nhiều hoặc quá ít]" chứ không phải là tỷ lệ. Các nhà [[Kim tự tháp học|nghiên cứu kim tự tháp]] từ thế kỷ 19 đã tranh luận dựa trên cơ sở toán học đáng ngờ về tỷ lệ vàng trong thiết kế kim tự tháp. [[Đền Parthenon|Đền Pathenon]] xây dựng từ thế kỷ 5 TCN ở [[Athens]] được cho là có sử dụng tỷ lệ vàng theo sơ đồ mặt tiền và mặt bằng của nó, nhưng kết quả đo đạc đã bác bỏ tuyên bố này. [[Nhà thờ Hồi giáo lớn Kairouan]] ở [[Tunisia]] cũng được cho là sử dụng tỷ lệ vàng trong thiết kế, nhưng tỷ lệ này không xuất hiện trong các phần ban đầu của nhà thờ Hồi giáo. Nhà sử học kiến trúc [[Frederik Macody Lund]] lập luận vào năm 1919 rằng [[Nhà thờ chính tòa Đức Bà Chartres|Nhà thờ Chartres]] (thế kỷ 12), [[Nhà thờ Đức Bà Laon]] (1157–1205) và [[Nhà thờ Đức Bà Paris]] (1160) được thiết kế theo tỷ lệ vàng, ông đã vẽ đường điều chỉnh để chứng minh quan điểm của mình. Một số học giả khác cho rằng mãi đến năm 1509 mới có tỷ lệ vàng trong tác phẩm của Pacioli, còn giai đoạn trước đó thì chưa có nghệ sĩ hay kiến trúc sư nào biết đến. Lấy ví dụ, chiều cao và chiều rộng của mặt tiền Nhà thờ Đức Bà Laon có tỷ lệ là 8/5 hoặc 1.6, chứ không phải 1.618. [[Dãy Fibonacci|Tỷ lệ Fibonacci]] vì vậy mà trở nên khó phân biệt với tỷ lệ vàng. Sau Pacioli, tỷ lệ vàng chắc chắn sẽ xuất hiện rõ ràng trong các tác phẩm nghệ thuật bao gồm cả bức họa *Mona Lisa* của Leonardo.

<gallery>
Tập tin:Mathematical Pyramid.svg|Cơ sở: tỷ lệ cạnh huyền (b:a) của [[Kim tự tháp Khufu]] có thể là: 1:φ ([[tam giác Kepler]]), 3:5 ([[Tam giác vuông đặc biệt|tam giác 3-4-5]]) hoặc 1:4/π.
Tập tin:Laon Cathedral's regulator lines.jpg|Tỷ lệ giả định: Nhà thờ Đức Bà Laon.
Tập tin:Mona Lisa Golden Ratio.jpg|Hình chữ nhật vàng chồng lên bức tranh *Mona Lisa*.
</gallery>

=== Khối đa diện ===
[[Khối đa diện đều Platon]] và các loại khối đa diện khác là một chủ đề thường thấy trong nghệ thuật phương Tây. Chẳng hạn như tại sàn [[Vương cung thánh đường Thánh Máccô|Vương cung thánh đường San Marco]] ở [[Venice]], chúng ta có thể thấy một bức tranh khảm bằng [[đá cẩm thạch]] do [[Paolo Ucello]] thực hiện có khối thập nhị diện đều nhỏ xòe ra như hình sao. Leonardo da Vinci có vẽ sơ đồ các khối đa điện đều để minh họa cho cuốn sách *De divina proportione* (1509) của [[Luca Pacioli|Luci Pacioli]]. Bức chân dung của Pacioli do họa sĩ [[Jacopo de Barbari]] thể hiện vào năm 1495 có sự xuất hiện của khối [[rhombicuboctahedron]] thủy tinh. Trong bức tranh khắc *Melencolia I* của [[Albrecht Dürer]] có thể hiện khối đa diện cắt cụt cùng với một số vật thể toán học khác. Tác phẩm *Bữa ăn tối cuối cùng* do [[Salvador Dalí]] thực hiện khắc họa Chúa Giê-su và các tông đồ ăn tối trong một căn phòng có dạng hình khối thập nhị diện đều.

Albrecht Dürer (1471–1528) là họa sĩ thiết kế in ấn người Đức thời Phục Hưng. Ông có đóng góp quan trọng cho tài liệu về khối đa diện khi viết nên cuốn sách *Underweysung der Messung* (*Giáo dục về đo lường*) xuất bản năm 1525. Nội dung của quyển sách giảng dạy về chủ đề [[phối cảnh tuyến tính]], [[hình học]] trong [[kiến trúc]], [[khối đa diện đều Platon]], và [[đa giác đều]]. Có khả năng là Dürer đã chịu ảnh hưởng từ tác phẩm của [[Luca Pacioli]] và [[Piero della Francesca]] khi ông du hành đến [[Ý]] nhiều lần. Ví dụ về phối cảnh trong tác phẩm *Underweysung der Messung* chưa được xây dựng hoàn thiện và có nhiều điểm không chính xác, nhưng thảo luận về khối đa diện lại cặn kẽ, tỉ mỉ, đi sâu vào chi tiết. Dürer chính là người đầu tiên trình bày bằng văn bản ý tưởng về [[lưới đa diện]], các khối đa diện được mở ra đặt nằm phẳng để in. Năm 1528, ông xuất bản một cuốn sách có tầm ảnh hưởng viết về tỷ lệ cân đối của con người với tựa đề *Vier Bücher von Menschlicher Proportion* (*Bốn cuốn sách về tỷ cân đối của con người*).

Tác phẩm *Corpus Hypercubus* của Salvador Dalí khắc họa một mạng lưới không gian ba chiều mở ra thành một khối siêu lập phương, được biết đến với tên gọi là tesseract. Việc tesseract mở ra thành 8 khối lập phương cũng tương tự như việc một hình lập phương mở ra các mặt thành một dạng chữ thập của sáu hình vuông. Điều này thể hiện góc nhìn kỳ diệu về một khối đa diện đều bốn chiều.

<gallery>
File:Marble floor mosaic Basilica of St Mark Vencice.jpg|Tranh khảm bằng đá cẩm thạch tại [[Vương cung thánh đường Thánh Máccô|Vương cung thánh đường San Marco]] do Paolo Uccello thực hiện.
Tập tin:Leonardo polyhedra.png|Hình minh họa đầu tiên của khối [[rhombicuboctahedron]] do [[Leonardo da Vinci]] vẽ trong cuốn *De Divina Proportione* (1509).
File:Hypercube.svg|Hình khối tesseract.
</gallery>
== Mối quan hệ phức tạp ==

Nhà thiên văn học [[Galileo Galilei]] viết trong cuốn *Il Saggiatore* rằng "[Vũ trụ] được viết bằng ngôn ngữ toán học, và các đặc số của nó là hình tam giác, hình tròn và các hình học khác." Theo quan niệm của Galileo, nghệ sĩ cần phải hiểu đầy đủ về toán học trước khi nỗ lực và mưu cầu nghiên cứu về tự nhiên. Ở chiều ngược lại, các nhà toán học lại tìm cách làm sáng tỏ và phân tích nghệ thuật qua lăng kính của hình học và tính hợp lý. Nhà toán học [[Felipe Cucker]] đề xuất rằng toán học, đặc biệt là hình học là nguồn quy tắc cho "sự sáng tạo nghệ thuật theo quy tắc", mặc dù không phải là quy tắc duy nhất.

=== Toán học như một bộ môn nghệ thuật ===

Nhà toán học Jerry P. King mô tả toán học như một bộ môn nghệ thuật, nói rằng "chìa khóa của toán học là vẻ đẹp và sự thanh lịch chứ không phải là sự buồn tẻ và tính kỹ thuật", và vẻ đẹp đó là động lực để thúc đẩy nghiên cứu toán học. King trích dẫn bài luận *A Mathematician's Apology* năm 1940 của nhà toán học [[G. H. Hardy]]. Trong bài luận, Hardy thảo luận về lý do tại sao ông tìm thấy hai định lý từ thời [[cổ đại Hy-La]] vào loại xuất sắc, đầu tiên là chứng minh của [[Euclid]] về sự tồn tại của vô cùng nhiều [[số nguyên tố]] và thứ hai chứng minh [[căn bậc hai]] của số 2 là [[Số vô tỉ|số vô tỷ]]. King đánh giá chứng minh thứ hai dựa trên tiêu chí của Hardy về [[Vẻ đẹp của toán học|sự thanh lịch của toán học]]: "*tính nghiêm túc, tính chiều sâu, tính tổng quát, tính bất ngờ, tính chắc chắn* và *tính kinh tế*" (chữ in nghiêng là của King) và mô tả phép chứng minh là "thú vị về mặt thẩm mỹ". Nhà toán học người Hungary [[Paul Erdős]] đồng ý rằng toán học sở hữu vẻ đẹp nhưng không thể nào lý giải được: "Tại sao những con số lại đẹp? Giống như việc đặt câu hỏi tại sao [[Giao hưởng số 9 (Beethoven)|Bản giao hưởng số 9 của Beethoven]] lại đẹp như vậy. Nếu bạn không hiểu rõ tại sao, thì một người nào đó không thể chỉ cho bạn biết. Tôi *hiểu* rằng những con số đều đẹp."

=== Công cụ toán học cho nghệ thuật ===
[[Tập_tin:Octopod_by_syntopia.jpg|nhỏ|Tác phẩm *Octopod* của nghệ sĩ Mikael Hvidtfeldt Christensen. Phần mềm *Structure Synth* đã tạo ra tác phẩm [[nghệ thuật thuật toán]] này.]]

Toán học có thể được đánh giá cao trong nhiều môn nghệ thuật như [[âm nhạc]], [[khiêu vũ]], [[hội họa]], [[kiến trúc]] và [[điêu khắc]]. Mỗi bộ môn đều có mối liên hệ mạnh mẽ với toán học. Trong số những mối liên kết với nghệ thuật thị giác, toán học có thể cung cấp cho nghệ sĩ công cụ, chẳng hạn như quy tắc phối cảnh tuyến tính do [[Brook Taylor]] và [[Johann Heinrich Lambert|Johann Lambert]] vạch ra, hoặc các phương pháp của [[hình học họa hình]] hiện được áp dụng trong phần mềm tạo mô hình khối đa diện. Những phương pháp này đã có từ thời Albrecht Dürer và [[Gaspard Monge]]. Nghệ sĩ như Luca Pacioli, Leonardo da Vinci và Albrecht Dürer đều tận dụng và phát triển các ý tưởng toán học để theo đuổi công việc sáng tạo nghệ thuật của họ. Phối cảnh bắt đầu được sử dụng vào thế kỷ 13 bởi những họa sĩ người Ý như [[Giotto]], mặc dù kiến trúc Hy Lạp cổ đại có thể đã áp dụng hình thức sơ khai của phối cảnh. [[Filippo Brunelleschi|Brunelleschi]] xây dựng nguyên tắc điểm biến mất vào khoảng năm 1413, và lý thuyết này có ảnh hưởng đến Leonardo và Dürer. Công trình nghiên cứu về [[quang phổ]] của [[Isaac Newton]] có ảnh hưởng đến tác phẩm *Zur Farbenlehre* (*Lý thuyết về màu sắc*) của [[Goethe]] và lần lượt là các nghệ sĩ như [[Philipp Otto Runge]], [[J. M. W. Turner]], [[Tiền Raphael|nhóm Tiền Raphael]] và [[Wassily Kandinsky]]. Nghệ sĩ có thể chọn phân tích [[Đối xứng|sự đối xứng]] của một cảnh. Công cụ có thể được áp dựng bởi nhà toán học đang khám phá nghệ thuật hoặc nghệ sĩ được truyền cảm hứng từ toán học, chẳng hạn như [[M. C. Escher]] (người truyền cảm hứng cho Escher là [[H. S. M. Coxeter]]) và kiến trúc sư [[Frank Gehry]]. Gehry có lập luận rằng thiết kế với sự hỗ trợ của máy tính cho phép ông thể hiện bản thân theo một cách hoàn toàn mới.

Nghệ sĩ Richard Wright lập luận rằng có thể xem những vật thể toán học có khả năng tạo dựng được là "quá trình mô phỏng hiện tượng" hoặc sản phẩm của "[[nghệ thuật máy tính]]". Ông xem xét bản chất của tư tưởng toán học, nhận thấy rằng các nhà toán học đã biết đến những [[phân dạng|fractal]] trong một thế kỷ trước khi chúng được công nhận. Wright đi đến kết luận rằng sẽ thật thích hợp khi đưa vật thể toán học vào bất kỳ phương pháp nào được sử dụng để "chấp nhận nó là một phần của tạo tác văn hóa như nghệ thuật, sự đối lập giữa hai mặt khách quan và chủ quan, ý nghĩa ẩn dụ của chúng và đặc tính của hệ thống tiêu biểu." Ông lần lượt đưa ra những ví dụ về một hình ảnh được sinh ra từ [[tập hợp Mandelbrot]], một hình ảnh được tạo ra bởi thuật toán [[cellcular automata]] và một hình ảnh được [[Kết xuất đồ họa|kết xuất]] bằng máy tính. Ông có thảo luận và tham khảo [[phép thử Turing]] để tìm hiểu xem liệu các sản phẩm của [[thuật toán]] có phải là nghệ thuật hay không.

Một vài trong số những tác phẩm đầu tiên của nghệ thuật máy tính là do [[Desmond Paul Henry]] sử dụng "Máy Vẽ 1" tạo nên. "Máy vẽ 1" là một cỗ máy xây dựng dựa trên nền tảng hệ thống của máy tính ngắm ném bom và được đưa ra triển lãm vào năm 1962. Cỗ máy có khả năng tạo ra bản vẽ phức tạp, trừu tượng, không đối xứng, cong veo, nhưng lặp đi lặp lại. Gần đây hơn, [[Hamid Naderi Yeganeh]] đã tạo ra các mô hình có tính gợi về vật thể trong thế giới thực như cá và chim. Anh tạo ra nó bằng cách sử dụng đa dạng công thức để vẽ những họ đường cong hoặc đường góc. Nghệ sĩ như Mikael Hvidtfeldt Christensen tạo ra các tác phẩm [[nghệ thuật tạo sinh]] hoặc [[Nghệ thuật thuật toán|thuật toán]] bằng cách viết tập lệnh cho hệ thống phần mềm như *Structure Synth*: nghệ sĩ điều khiển hệ thống một cách hiệu quả để kết hợp các phép toán theo ý muốn vào một tập hợp dữ liệu đã chọn.

<gallery>
Tập tin:Bathsheba Grossman geometric art.jpg|Tác phẩm điêu khắc toán học của nghệ sĩ [[Bathsheba Grossman]], 2007.
Tập tin:Hartmut Skerbisch.jpg|Tác phẩm điêu khắc [[phân dạng]]: *3D Fraktal 03/H/dd* của [[:de:Hartmut Skerbisch|Hartmut Skerbisch]], 2003.
Tập tin:FWF Samuel Monnier détail.jpg|[[Dãy từ Fibonacci]]: tác phẩm nghệ thuật của Samuel Monnier, 2009.
Tập tin:Picture produced by Drawing Machine 1.jpg|Ảnh [[nghệ thuật máy tính]] do "Máy vẽ 1" của [[Desmond Paul Henry]] tạo ra, triển lãm năm 1962.
Tập tin:A Bird in Flight by Hamid Naderi Yeganeh 2016.jpg|Tác phẩm *A Bird in Flight* (2016) do [[Hamid Naderi Yeganeh]] tạo nên bằng cách vẽ nhiều họ đường cong.
</gallery>

=== Từ toán học đến nghệ thuật ===



Tác phẩm *La Science et l'Hypothèse* (*Khoa học và giả thuyết*) của nhà toán học và [[vật lý lý thuyết]] [[Henri Poincaré]] đã được nhiều người theo [[Lập thể|chủ nghĩa lập thể]] đón nhận, bao gồm cả [[Pablo Picasso]] và [[Jean Metzinger]]. Poincaré đã không lạ gì với công trình [[hình học phi Euclid]] của [[Bernhard Riemann]] nên ông nhận thức rõ rằng [[hình học Euclid]] chỉ là một trong nhiều hệ thống hình học khả dĩ chứ không phải là chân lý khách quan tuyệt đối. Sự tồn tại có thể có của chiều không gian thứ 4 truyền cảm hứng cho các nghệ sĩ đặt câu hỏi về phối cảnh cổ điển thời Phục Hưng: hình học phi Euclid đã trở thành một sự lựa chọn hợp lý, có cơ sở. Có một khái niệm cho rằng hội họa có thể được thể hiện bằng toán học, bằng màu sắc, và hình thức và góp phần hình thành nên chủ nghĩa lập thể, phong trào nghệ thuật dẫn đến sự ra đời của [[nghệ thuật trừu tượng]]. Năm 1910, Metzinger viết rằng: "[Picasso] đưa ra một góc nhìn tự do, linh động để từ đó, nhà toán học [[Maurice Princet]] luận ra toàn bộ hình học". Sau này, Metzinger cũng viết trong hồi ký:


[[Man Ray]] đã chụp ảnh một số [[mô hình toán học]], bao gồm cả *Objet mathematique* (Vật thể toán học) ở viện nghiên cứu toán học [[Institut Henri Poincaré]] thuộc Paris. Ông lưu ý rằng vật thể này là điển hình cho [[bề mặt Enneper]] có [[Độ cong|độ cong âm]] không đổi, bắt nguồn từ [[giả hình cầu]]. Nền tảng toán học này có tầm quan trọng với ông, vì nó cho phép ông phủ định rằng vật thể đó là trừu tượng để thay vào đó khẳng định nó là thật giống như chiếc bồn tiểu mà Duchamp sáng tạo thành tác phẩm nghệ thuật. Man Ray thừa nhận rằng công thức [bề mặt Enneper] của vật thể "chẳng có ý nghĩa gì với tôi, nhưng bản thân các dạng công thức này rất đa dạng và chân thực như bất kỳ dạng công thức nào trong tự nhiên." Phóng viên nghệ thuật Jonathan Keats viết trên tờ *ForbesLife* rằng Man Ray đã chụp ảnh "các [[paraboloid]] hình [[elip]] và điểm conic một cách nhẹ nhàng gợi cảm như những bức ảnh về [nữ người mẫu] [[Alice Prin|Kiki de Montparnasse]] mà ông chụp", và "khéo léo sử dụng lại các phép tính toán học có vẻ ngầu để bộc lộ cấu trúc liên kết của dục vọng". Những nhà điêu khắc thế kỷ 20 như [[Henry Moore]], [[Barbara Hepworth]] và [[Naum Gabo]] đều lấy cảm hứng từ mô hình toán học. Năm 1938, Moore viết trong *Stringed Mother and Child* rằng: "Không nghi ngờ gì nữa, nguồn cảm hứng cho bức tượng bện dây của tôi là đến từ [[Bảo tàng Khoa học, Luân Đôn|Bảo tàng Khoa học]]... Mô hình toán học mà tôi thấy ở đó đã thực sự cuốn hút tôi... Đó không phải là nghiên cứu khoa học về những mô hình mà là khả năng nhìn qua những sợi dây như nhìn qua lồng chim và nhìn thấy hình dạng này bên trong hình dạng khác khiến tôi phấn khích."

Nghệ sĩ [[Theo van Doesburg]] và [[Piet Mondrian]] là hai người sáng lập nên phong trào [[De Stijl]]. Họ muốn "xây dựng nên một bảng từ vựng trực quan bao gồm các dạng hình học cơ bản mà tất cả mọi người đều có thể hiểu và có thể tương thích với bất kỳ môn học nào". Có thể thấy rõ những hình vuông và tam giác, đôi khi là hình tròn được sắp xếp theo nguyên tắc trong tác phẩm của họ. Nghệ sĩ De Stijl hoạt động trong lĩnh vực hội họa, đồ nội thất, thiết kế nội thất và kiến trúc. Sau khi De Stijl tan rã, Van Doesburg thành lập phong trào [[Art Concret]]. Ông mô tả tác phẩm *Arithmetic Composition* (1929–1930) thể hiện một dãy gồm bốn hình vuông màu đen, trên đường chéo của một nền được đóng khung là "một cấu trúc có thể mang tính sắp đặt trước, một mặt phẳng rõ ràng không có yếu tố ngẫu nhiên hay cá biệt", nhưng "không vì thế mà mất đi cái hồn, không vì thế mà thiếu đi tính phổ quát và không vì thế mà... trống rỗng vì *tất cả mọi thứ* đều hòa vào nhịp đập của nội tại". Nhà phê bình nghệ thuật Gladys Fabre nhận thấy rằng có hai sự tiến triển trong bức tranh, đó là những hình vuông màu đen to dần lên và những hình nền xen kẽ.

Toán học về tessellation, khối đa diện, tạo hình không gian và phép tự tham chiếu đã cung cấp cho nghệ sĩ đồ họa [[M. C. Escher]] (1898-1972) những tư liệu để đời trong việc tạo ra những bức tranh khắc gỗ. Trong tác phẩm *Alhambra Sketch*, Escher chỉ ra rằng nghệ thuật có thể được tạo nên từ những hình đa giác hoặc hình thông thường như hình tam giác, hình vuông và hình lục giác. Escher sử dụng các đa giác không đều khi ốp mặt phẳng và thường sử dụng phép phản chiếu, phép phản chiếu đối xứng và [[phép tịnh tiến]] để thu được thêm những mẫu hình khác. Nhiều tác phẩm của ông chứa đựng cả những cấu trúc bất khả thi. Chúng được thực hiện bằng cách sử dụng những vật thể hình học mà tạo ra sự mâu thuẫn giữa phép chiếu phối cảnh và ba chiều, nhưng lại dễ chịu đối với thị giác con người. Tác phẩm *Ascending and Descending* của Escher chịu ảnh hưởng từ "[[Cầu thang Penrose|cầu thang bộ bất khả thi]]" do nhà khoa học y tế [[Lionel Penrose]] cùng với nhà toán học [[Roger Penrose]] tạo ra.

Một vài bức vẽ tessellation của Escher lấy cảm hứng từ cuộc trò chuyện với nhà toán học [[H. S. M. Coxeter]] về [[hình học hyperbol]]. Escher đặc biệt quan tâm đến năm khối đa diện đặc trưng, xuất hiện nhiều lần trong tác phẩm của ông. Các [[khối đa diện đều Platon]] bao gồm tứ diện, lập phương, bát diện, thập nhị diện, và nhị thập diện đều đáng chú ý trong hai tác phẩm *Order and Chaos* và *Four Regular Solids*. Những hình sao này thường bọc trong một hình khác, khiến cho góc nhìn và hình dáng của khối đa diện bị bóp méo dẫn tới sự hình thành tác phẩm nghệ thuật xếp tầng tầng lớp lớp.

Sự phức tạp về mặt hình ảnh của cấu trúc toán học như tessellation và khối đa diện đã truyền cảm hứng cho nhiều tác phẩm nghệ thuật toán học khác nhau. [[Stewart Coffin]] làm đồ chơi xếp hình đa diện bằng gỗ đẹp và hiếm; [[George W. Hart]] nghiên cứu lý thuyết về khối đa diện và điêu khắc nên những vật thể dựa trên lý thuyết đó; [[Magnus Wenninger]] tạo ra các mô hình "đặc biệt đẹp" của khối đa diện hình sao phức tạp.

Toán học [[tô pô]] đã truyền cảm hứng cho một số nghệ sĩ thời hiện đại. Nhà điêu khắc [[John Robinson (nhà điêu khắc)|John Robinson]] (1935–2007) đã tạo ra các tác phẩm như [[Nút thắt Gordian]]<nowiki/>và *Bands of Friendship*, thể hiện [[lý thuyết nút thắt]] thông qua khối đồng được đánh bóng. Những tác phẩm khác của Robinson có sự nghiên cứu về tô pô của [[hình xuyến]]. *Genesis* được tạo ra dựa trên lý thuyết về một tập hợp gồm 3 vòng tròn gọi là vòng Borromean, không có 2 vòng nào trong tập hợp liên kết với nhau nhưng toàn bộ cấu trúc của nó không thể nào tách rời trừ khi đập vỡ ra. Nghệ sĩ [[Nelson Saiers]] đã kết hợp các các khái niệm và định lý toán học vào trong nghệ thuật của mình từ những [[tô pô]] và [[định lý bốn màu]] cho đến tính vô tỷ của số [[Pi|π]].

<gallery>
Tập tin:Jouffret.gif|[[Không gian bốn chiều]] áp dụng vào [[lập thể]], theo *Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions* (*Luận cơ bản về hình học bốn chiều*) của [[Esprit Jouffret]].
Tập tin:Theo van Doesburg Composition I.jpg|[[De Stijl]]: Tác phẩm *Composition I'' (1916) của Theo van Doesburg.
Tập tin:Magnus Wenninger polyhedral models.jpg|Phương pháp giáo dục áp dụng nghệ thuật: Magnus Wenninger và một số khối đa diện hình sao của ông, 2009.


## Chú thích

## Tham khảo

## Liên kết ngoài