Thác triển giải tích

Trong giải tích phức, một nhánh của toán học, **thác triển giải tích** là một kỹ thuật để mở rộng miền xác định của một hàm giải tích nhất định.

## Thảo luận khởi đầu

Giả sử *f* là một hàm giải tích được xác định trên tập con mở không rỗng *U* của mặt phẳng phức \Complex. Nếu *V* là tập con mở lớn hơn của \Complex, chứa *U* và *F* là một hàm giải tích được xác định trên *V* sao cho

: F(z) = f(z) \qquad \forall z \in U, 

thì *F* được gọi là một **thác triển giải tích** của *f*. Nói cách khác, thu hẹp của *F* về *U* là hàm *f* ban đầu.

Thác triển giải tích là duy nhất theo nghĩa sau: nếu *V* là miền xác định liên thông của hai hàm giải tích *F*1 và *F*2 sao cho *U* được chứa trong *V* và với mọi *z* trong *U*

: F_1(z) = F_2(z) = f(z),

thì

: F_1=F_2

Đây là hệ quả trực tiếp từ định lý đồng nhất cho các hàm chỉnh hình.

## Ví dụ cụ thể

Xét:

: f(z) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k (z-1)^k.

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa này là 1. Đó là, f xác định và giải tích trên tập mở U = \{|z-1| có biên \partial U = \{|z-1|=1\}. Lưu ý rằng chuỗi lũy thừa phân kỳ tại z=0 \in \partial U.

Ta tìm một chuỗi số mới có tâm tại a \in U:

: f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-a)^k.

Ta sẽ tìm a_k và xác định xem chuỗi mới này có hội tụ trong một tập mở V không phải là một tập con của U hay không. Nếu ta thành công, ta đã thác triển f đến một miền U \cup V lớn hơn U.

Ta có

: \begin{align}
a_k &= \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \\
&=\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta) d \zeta}{(\zeta -a)^{k+1}} \\
&=\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\zeta-1)^n d \zeta}{(\zeta -a)^{k+1}} \\
&=\frac{1}{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_{\partial D} \frac{(\zeta-1)^n d\zeta}{(\zeta -a)^{k+1}} \\
&=\frac{1}{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \frac{(a+re^{i \theta}-1)^n rie^{i \theta}d\theta}{(re^{i \theta})^{k+1}} \\
&=\frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \frac{(a-1+re^{i \theta})^n d\theta}{(re^{i \theta})^{k}}\\
&=\frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \frac{\sum_{m=0}^n \binom{n}{m} (a-1)^{n-m} (re^{i \theta})^m d\theta}{(re^{i \theta})^{k}} \\
&=(-1)^k a^{-k-1}
\end{align}

Tức là

: f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-a)^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a^{-k-1} (z-a)^k = \frac{1}{a} \sum_{k=0}^\infty \left (1 - \frac{z}{a} \right)^k,

Chuỗi mới này có bán kính hội tụ |a| và V = \{|z-a| Nếu ta chọn a \in U với |a|>1, thì V không phải là một tập hợp con của U và thực ra thì có diện tích lớn hơn U. Hình vẽ minh họa cho a = \tfrac{1}{2}(3+i).

Ta có thể tiếp tục quá trình này. Trong trường hợp cụ thể này, f có thể được thác triển giải tích đến mặt phẳng phức trừ một điểm \Complex \setminus \{0\}.

## Mầm
Chuỗi lũy thừa được khái quát bằng khái niệm *mầm*. Lý thuyết chung thác triển giải tích và khái quát hóa của nó được gọi là lý thuyết bó. Xét

: f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

Ta nói rằng véc-tơ

: g = (z_0, \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots) 

là *mầm* của *f*. *Nền* của *g* là *z*0, *gốc* của *g* là (α0, α1, α2,...) và *đỉnh* *g*1 của *g* là α0. Đỉnh của *g* là giá trị của *f* tại *z* 0.

Tập hợp các mầm tạo thành một không gian mầm \mathcal G.

## Tô-pô của không gian mầm
Ta có thể định nghĩa một cấu trúc tô pô trên \mathcal G. Đặt *r* > 0 và xét

: U_r(g) = \{h \in \mathcal G: g \ge h, |g_0 - h_0| 

Các tập hợp *U<sub>r</sub>*(*g*), với *r* > 0 và g\in\mathcal G xác định một cơ sở của các tập mở cho một cấu trúc tô-pô trên \mathcal G.

Một thành phần liên thông của \mathcal G được gọi là một bó. Lưu ý rằng tồn tại các bản đồ \phi_g(h) = h_0: U_r(g) \to \Complex, với *r* là bán kính hội tụ của *g*. Tập hợp các bản đồ như vậy tạo thành một at-lat cho \mathcal G, vì thế \mathcal G là một mặt Riemann. \mathcal G đôi khi được gọi là *hàm giải tích phổ quát*. Một thành phần liên thông của nó cũng chính là không gian étalé của bó các hàm giải tích trên một miền của mặt phẳng phức.

## Tham khảo

*  
*  
* 

## Liên kết ngoài