Định lý Casey

Trong hình học phẳng, **định lý Casey**, được biết đến như một mở rộng định lý Ptoleme, được đặt theo tên nhà toán học người Ai Len John Casey.

## Nội dung của định lý

Cho \,O là một đường tròn có bán kính \,R. Cho \,O_1, O_2, O_3, O_4 là bốn đường tròn theo thứ tự không cắt nhau cùng ở trong (hoặc cùng ở ngoài) và tiếp xúc với đường tròn \,O. Định nghĩa \,t_{ij} là độ dài tiếp tuyến ngoài của các đường tròn \,O_i, O_j. Khi đó:

:\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.

Trong trường hợp các đường tròn \,O_1, O_2, O_3, O_4 suy biến thành một điểm định lý Casey suy biến thành định lý Ptoleme.

## Chứng minh

Chứng minh sau đưa ra bởi Zacharias. Gọi bán kính của đường tròn \,O_i là \,R_i và các đường tròn này tiếp xúc với \,O tại \,K_i. Gọi \,O, O_i là tâm của các đường tròn này.

Theo định lý Pytago

:\,t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2.

Trong tam giác \,O_iOO_j, áp dụng định lý cos chúng ta có độ dài của \,K_i,K_j

:\overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j

Vì các đường tròn \,O,O_i tiếp xúc nhau:

:\overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j

Gọi \,C là một điểm trên đường tròn \,O. Theo định lý sin trong tam giác \,K_iCK_j ta có:

:\overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}

Do đó:

:\cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}

Từ các đẳng thức trên ta có:

:\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right)

:\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}

:\overline{O_iO_j}^2=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}

Cuối cùng ta có độ dài các đoạn tiếp tuyến là:

:t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}

Áp dụng định lý Ptoleme cho tứ giác nội tiếp \,K_1K_2K_3K_4 vế trái đẳng thức trên ta có:

:t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_2}\cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right)

:=\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right)=t_{13}t_{24}

Định lý được chứng minh.

## Ứng dụng

Định lý Casey được sử dụng nhiều trong các bài báo về Hình học phẳng. Ví dụ định lý Casey được sử dụng để chứng minh định lý Feuerbach.

## Xem thêm

* Định lý Ptoleme
* Định lý Purser

## Chú thích

## Tham khảo

* Casey, J. A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., p.&nbsp;103, 1888. 
* Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York: Chelsea, p.&nbsp;37, 1971.
* Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, p.&nbsp;117, 1928. 
## Liên kết ngoài

* 
* Shailesh Shirali: ''On a generalized Ptolemy Theorem''