Định lý nhị thức

Trong toán học, **định lý khai triển nhị thức** (ngắn gọn là **định lý nhị thức**) là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng. Cụ thể, kết quả của định lý này là việc khai triển một nhị thức bậc n thành một đa thức có n+1 số hạng:
: (x+a)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}a^k 
với:
: {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}
Gọi là số tổ hợp chập k của n phần tử.

Định lý này đã được độc lập chứng minh bởi hai người đó là:
* Nhà toán học và cơ học Isaac Newton tìm ra trong năm 1665.
* Nhà toán học James Gregory tìm ra trong năm 1670.

Công thức đã giới thiệu còn mang tên là **Nhị thức Newton**.

## Chứng minh định lý
*Định lý này được chứng minh bằng quy nạp.*

Ta có biểu thức **<math>P(n):(1+x)^n=\sum_{k=0}^n C_n^kx^k </math>**  (1) với mọi số tự nhiên n.

Đầu tiên tại P(1) đúng.

Giả sử P(n) đúng, ta phải chứng minh P(n+1):(1+x)^{n+1}=(1+x).\sum_{k=0}^n C_n^kx^k=(1+x)  và \sum_{k=0}^n C_n^kx^{k+1}= \sum_{k=1}^n C_n^{k-1}x^k+x^{n+1} 

Áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta có:

(1+x)^{n+1}= 1+ \sum_{k=1}^n(C_n^k+C_n^{k-1}).x^k+x^{n+1}=C_{n+1}^0.x^0+\sum_{k=1}^nC_{n+1}^k.x^k+C_{n+1}^{n+1}.x^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^kx^k 

Do đó công thức (1) đúng.

Giờ đặt x=\frac{b}{a} \Rightarrow (1+\frac{b}{a})^n=\sum_{k=0}^n C_n^k\frac{b^k}{a^k}  và do đó (a+b)^n=a^n(1+\frac{b}{a})^n= a^n\sum_{k=0}^n C_n^k\frac{b^k}{a^k}= \sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k 

Ta có điều phải chứng minh.

## Ví dụ

Các trường hợp đặc biệt của định lý này nằm trong danh sách các **[[hằng đẳng thức đáng nhớ]].**

Ví dụ: điển hình nhất là nhị thức là công thức bình phương của x + y:

:(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!

Hệ số nhị thức xuất hiện ở phép triển khai này tương ứng với hàng thứ ba của tam giác Pascal. Các hệ số có lũy thừa cao hơn của x + y tương ứng với các hàng sau:

:
\begin{align}
(x+y)^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
(x+y)^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
(x+y)^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
(x+y)^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
(x+y)^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
\end{align}

Chú ý rằng:
# Lũy thừa của x giảm dần cho tới khi đạt đến 0 (x^0=1), giá trị bắt đầu là n (n trong (x+y)^n.)
# Lũy thừa của y tăng lên bắt đầu từ 0 (y^0=1) cho tới khi đạt đến n (n trong (x+y)^n.)
# Hàng nhị thức của tam giác Pascal sẽ là các hệ số của nhị thức mở rộng (chú ý rằng đỉnh là hàng 0)
# Với mỗi hàng, tích số (tổng của các hệ số) bằng 2^n.
# Với mỗi hàng, nhóm tích số bằng n+1.

Định lý nhị thức có thể áp dụng với lũy thừa của bất cứ nhị thức nào. Ví dụ:

:\begin{align}
(x+2)^3 &= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\
&= x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\end{align}

Với một nhị thức có phép trừ, định lý có thể được áp dụng khi sử dụng phép nghịch đảo số hạng thứ hai.
:(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\!

## Tổng quát
Trong trường hợp tổng quát trên trường số phức và ràng buộc một số hạng trong nhị thức. 
:*Nếu <math>r</math> là một [[số thực]] và <math>z</math> là một [[số phức]] có số dư nhỏ hơn 1 thì khi đó, ta sẽ phân tích được ra thành một [[Chuỗi (toán học)|chuỗi]] vô hạn hội tụ:*
:(1+z)^r = \sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k}z^k
*Trong đó:*
:{n \choose k} =\frac {n!} {k!(n-k)!}= \frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}

## Xem thêm
* Định lý khai triển đa thức
* Định lý luật số lớn
* Tam giác Pascal

## Tham khảo

* H Anton, Calculus with Analytic Geometry (NewYork, 1980)