Nhóm nhân các số nguyên modulo n

Trong toán học, **nhóm nhân các số nguyên modulo ''n*** là một [[nhóm (đại số)|nhóm]] với phép nhân là phép toán nhóm và các phần tử là các đơn vị [[đơn vị (lý thuyết vành)|đơn vị]] trong một [[vành]]

:<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>

với số nguyên <math>n > 1</math>. Các đơn vị là các số nguyên khả nghịch theo modulo *n*. Trong trường hợp này, nó thường được biểu diễn bởi các lớp đồng dư của các số nguyên nguyên tố cùng nhau với *n*. Nó thường được ký hiệu

:<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^*</math>

hoặc

:<math>\mathbb{Z}_n^*</math>.

Cấp của nhóm này cho bởi [[phi hàm Euler]]. Nếu *n* là [[số nguyên tố]], cấp của nhóm là *n*&nbsp;−&nbsp;1. CHẳng hạn, khi *n* bằng 5 nhóm nhân <math>\mathbb{Z}_5^*</math> gồm 4 phần tử {1, 2, 3, 4}, và là nhóm với phép nhân modulo 5.

Nhóm này có nhiều ứng dụng trong [[lý thuyết số]] và [[mật mã học]]. Đặc biệt là việc tìm kích thước của nhóm có thể giúp [[kiểm tra tính nguyên tố]] của số *n*: <math>n</math> là số nguyên tố nếu và chỉ nếu kích thước của nhóm là <math>n-1</math>.

== Các nhóm nhân cyclic ==
Một nhóm nhân là [[nhóm cyclic]] nếu và chỉ nếu <math>n = 2</math>, <math>n = 4</math>, <math>n = p^m</math>, hoặc <math>n = 2p^m</math> với số nguyên tố lẻ <math>p</math> và <math>m > 0</math> nào đó. Một nhóm cyclic luôn có một [[phần tử sinh|tập hợp sinh gồm một phần tử]]; mộ phần tử sinh của nhóm nhân modulo *n* được gọi là một [[căn nguyên thủy]] của *n*.

Chẳng hạn, <math>\mathbb{Z}_9^*</math> chứa 6 phần tư {1, 2, 4, 5, 7, 8} và là một đẳng cấu của nhóm cyclic <math>C_6</math>. Nó được sinh bởi một trong hai phân tử 2 hoặc 5, do đó 2 và 5 là căn nguyên thủy của 9. <math>\mathbb{Z}_{10}^*</math> gồm 4 phần tử {1, 3, 7, 9} và đẳng cấu với nhóm <math>C_4</math>. Nó được sinh bởi một trong các phần tử 3 hoặc 7, do đó 3 và 7 là các căn nguyên thủy của 10.

== Cấu trúc của các nhóm nhân lũy thừa 2 ==
Các nhóm nhân modulo 2 và 4 có bậc 2 và đẳng cấu với <math>C_2</math>.

Với tất cả các lũy thừa khác của 2, bốn phần tử {1, <math>\frac{n}{2}-1</math>, <math>\frac{n}{2}+1</math>, *n*-1} là phân biệt và tạo thành một [[nhóm con]] của nhóm nhân các phần tử thỏa mãn *x*<sup>2</sup>=1 mod *n*. Đó là [[nhóm con 2 xoắn|nhóm xoắn]] (torsion), là đẳng cấu với [[nhóm Klein bốn]] <math>C_2 \times C_2</math>, không là cyclic. Điều này chứng tỏ nhóm nhân với *n*&nbsp;=&nbsp;2<sup>*k*</sup>, *k*>2 không là <math>C_{2^{k-1}}</math>.

Mặt khác, nó chứng tỏ rằng phần tử 3 trong nhóm nhân với *n*&nbsp;=&nbsp;2<sup>*k*</sup>, *k*>2 có bậc 2<sup>*k*-2</sup>, và do đó sinh ra một nhóm con cyclicđẳng cấu với <math>C_{2^{k-2}}</math>. Cấu trúc của nhóm nhân với *n*&nbsp;=&nbsp;2<sup>*k*</sup>, *k*>2 phải là <math>C_2 \times C_{2^{k-2}}</math>.

Giá trị nhỏ nhất của những *n* như vậy là 8, khi đó <math>\mathbb{Z}_8^*</math> chứa 4 phần tử {1, 3, 5, 7} và đẳng cấu với <math>C_2 \times C_2</math> - chúng ta có thể thấy điều này vì 1<sup>2</sup>, 3<sup>2</sup>, 5<sup>2</sup>, và 7<sup>2</sup> đều đồng dư với 1 modulo 8. Cúng như vậy <math>\mathbb{Z}_{16}^*</math> là đẳng cấu với <math>C_2 \times C_4</math>; các phần tử {1, 7, 9, 15} tạo thành một nhõm con đẳng cấu với <math>C_2 \times C_2</math>; và các lũy thừa của 3 tạo thành nhóm conform {1, 3, 9, 11} đẳng cấu với <math>C_4</math>.

== Cấu trúc của nhóm nhân với *n* tổng quát ==
Khi đã biết cấu trúc của các nhóm nhân với các lũy thừa của số nghuyên tố, ta có thể tìm được cấu trúc của nhóm nhân với *n* tổng quát khi dùng [[Định lý [[số dư]] Trung Quốc]] - nhóm nhân modulo *n* là [[tích trực tiếp]] của các nhóm nhân theo mỗi lũy thừa cực đại của các ước nguyên tố của *n*.

Chẳng hạn, <math>\mathbb{Z}_{24}^*</math> là đẳng cấu với <math>\mathbb{Z}_{8}^* \times \mathbb{Z}_{3}^*</math>, tích này lại đẳng cấu với <math>C_2 \times C_2 \times C_2</math> - mà ta có thể xác minh rằng các bình phương của 8 phần tử {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} là đồng dư với 1 mod 24.


<center>
Bảng sau cho cấu trúc của các nhóm nhân modulo *n* đầu tiên.

</center>

== Tham khảo ==

* Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/ModuloMultiplicationGroup.html *Modulo Multiplication Group''] tại MathWorld.