Đồng luân

Trong tô pô, hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô này vào không gian tô pô khác được gọi là **đồng luân** với nhau (tiếng Hy Lạp ὁμός-*homos*-đồng nhất và τόπος-*topos*-vị trí) nếu ánh xạ này có thể biến đổi liên tục thành ánh xạ kia, một phép biến đổi như vậy gọi là một **phép biến đổi đồng luân** giữa hai ánh xạ. Ngoài ra đồng luân còn nói đến nhóm đồng luân và nhóm đối đồng luân, các bất biến quan trọng trong tô pô đại số.

## Định nghĩa
* Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục f và g từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y được định nghĩa là ánh xạ liên tục H: X \times [0,1] \rarr Y từ tích của không gian X với đoạn đơn vị  [0,1]  vào Y sao cho với mọi điểm x\in X ta có H(x,0)= f(x) và H(x,1)=g(x).
* Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của H như là **thời gian**, khi đó H mô tả một **biến đổi liên tục** ánh xạ f thành g ký hiệu H(x,t), t\in [0,1]. Tại thời điểm 0 ta có ánh xạ f, tại thời điểm 1 ta có ánh xạ g. Chúng ta cũng có thể nghĩ đến tham số thứ hai như điều khiển một thanh trượt cho quá trình chuyển đổi từ f để g như di chuyển thanh trượt  0 đến 1, và ngược lại.
* Một ký hiệu thay thế khác cho ký hiệu một phép đồng luân giữa hai hàm số liên tục f,g: X \rightarrow Y là một họ của các hàm số liên tục h_t: X \rightarrow Y cho t\in [0,1 ] sao cho h_0= f và h_1 = g và mỗi bản đồ t \rightarrow h_t(x) liên tục từ [0, 1] đến Y. Hai cách viết này trùng nhau bằng cách thiết lập h_t(x)=H(x,t).
* Ví dụ về phép biến đổi đồng luân của cốc cà phê thành hình xuyến (sử dụng phần mềm **[[Sketchup]]** file: Ly cà phê).

## Tính chất

### Ánh xạ hợp
Hàm số liên tục f và g được gọi là đồng luân khi và chỉ khi có một đồng luân H từ f đến g như mô tả ở trên. Mối quan hệ đồng luân này tương thích với ánh xạ thành phần theo nghĩa sau đây: Nếu f_1,g_1:X \rightarrow Y là đồng luân, và f_2,g_2:Y\rightarrow Z là đồng luân, thì ánh xạ hợp của chúng f_2\circ f_1 và g_2\circ g_1:X\rightarrow Z  cũng đồng luân do tính chất ánh xạ hợp của hai hàm số liên tục thì liên tục.

### Nhóm đồng luân
Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ f, g\colon X\to Y là một quan hệ tương đương, do đó ta có thể xét tập hợp các lớp tương đương, ký hiệu là [X;Y]. Cố định X = [0,1]^n và y_0 ảnh của biên \partial([0,1]^n), tập hợp này tạo thành một nhóm \pi_n(Y,y_0). Các nhóm này được gọi là các nhóm đồng luân. Khi n = 1, ta thu được nhóm cơ bản.

## Đồng luân đường
* Nhắc lại về đường đi trong không gian X là ánh xạ liên tục  \alpha từ khoảng [0,1] trong tô pô Euclid vào X. Điểm \alpha (0) được gọi là điểm đầu và điểm \alpha (1) được gọi là điểm kết thúc.
* Đặt \alpha và \beta là hai đường từ a sang b trong X. Một phép **đồng luân** từ \alpha và \beta là họ các ánh xạ: F_t: X\rarr X, t\in [0,1], như vậy ánh xạ (t,s)\rarr F_t(s) là liên tục, F_0=\alpha, F_1=\beta, và với mọi điểm t đường F_t đi từ a \rarr b.
* Nếu có một phép đồng luân từ \alpha \rarr \beta chúng ta nói rằng \alpha **đồng luân với** \beta, thường ký hiệu là \alpha ~ \beta.
* Một vòng hay một đường đi đóng tại a \in X  là một đường mà điểm đầu và điểm cuối của nó là a. Nói cách khác, nó là một ánh xạ liên tục  \alpha:  [0,1] \rarr X sao cho \alpha (0) = \alpha (1) =\alpha . Vòng bất biến là vòng mà  \alpha (t) =\alpha  với mọi t\in[0,1].
* Một không gian được gọi là đơn liên nếu nó liên thông đường và bất kì vòng nào đều đồng phôi với một vòng bất biến.
* **Ví Dụ:** 
 
: Trong không gian định chuẩn hai đường \alpha, \beta  cùng điểm đầu và cùng điểm cuối là đồng luân. Ta có thể chọn đồng luân (1-t)\alpha+t\beta .

### Mệnh đề
# Quan hệ đồng luân trên các tập của tất cả các đường từ a sang  b là mối quan hệ tương đương.
# 2. Nếu không gian X  có sự biến dạng co rút lại thành không gian con A  thì  X là đồng luân với  A.
# 3. Nếu  \alpha ~ \alpha_1  và  \beta ~\beta_1   thì  \alpha \cdot \beta ~ \alpha_1 \cdot \beta_1 . Thì chúng ta có thể định nghĩa [a]\cdot [b]=[\alpha\cdot \beta] .
# 4. Nếu \alpha  là đường từ a  sang  b thì \alpha \cdot \alpha^{-1}  là đồng luân chứa vòng tại a .
# 5. Đặt  \gamma là đường từ  x_0 sang y_0, \pi_1(X,y_0)  là nhóm cơ bản của X tại x_0 thì ánh xạ:
: \gamma^*: \pi_1(X,x_0) \rarr \pi_1(X,y_0)
::::: [f]\mapsto [\gamma^{-1}\cdot f \cdot \gamma][
:là đồng phôi.

## Đồng luân tương đương
* Cho hai không gian X và Y chúng ta nói rằng chúng **tương đương đồng luân**, hoặc của cùng một **dạng đồng luân**, nếu có tồn tại ánh xạ liên tục f: X \rarr Y và g: Y \rarr X sao cho   g\circ f đồng luân với ánh xạ đồng nhất của X và f \circ g đồng luân với ánh xạ đồng nhất của Y. Các ánh xạ f và g được gọi là tương đương đồng luân trong trường hợp này. Mỗi đồng phôi là một tương đương đồng luân, nhưng điều ngược lại là không đúng. Ví dụ, \mathbb{R}^n tương đương đồng luân với không gian đơn điểm: ta có thể chọn f:x\in\mathbb{R}^n\to\{\cdot\} là hàm hằng và g:\{\cdot\}\to\mathbb{R}^n là hàm gửi đơn điểm đến gốc tọa độ. f\circ g=\mathrm{id}_{\{\cdot\}} và g\circ f=0. Một đồng luân giữa g\circ f và \mathrm{id}_{\mathbb{R}^n} được cho bởi H(t,x)=tx với t\in[0,1] và x\in\mathbb{R}^n. Tuy nhiên, \mathbb{R}^n không đồng phôi với không gian đơn điểm. (chúng thậm chí còn không có cùng lực lượng.)
* Ví dụ: Một đĩa rắn không phải là đồng phôi với một điểm duy nhất (vì không có song ánh giữa chúng), mặc dù các ổ đĩa và các điểm tương đương đồng luân (kể từ khi bạn có thể biến dạng đĩa dọc theo các đường xuyên tâm liên tục vào một điểm duy nhất).
* Trực giác mà nói, hai không gian X và Y tương đương đồng luân nếu chúng có thể được chuyển đổi thành nhau bằng cách uốn cong, thu hẹp hay mở rộng. Ví dụ, một đĩa cứng hoặc một quả bóng rắn là tương đương đồng luân đến một điểm, và R^2-\{(0,0)\} là tương đương đồng luân với vòng tròn đơn vị S^1. Một không gian tương đương đồng luân với một điểm được gọi là một không gian co rút.

## Biến thể

### Đồng vị
Một **phép đồng vị**, là một phép đồng luân *H* sao cho với mọi *t*, *H*(*x*,*t*) là một phép nhúng.

Ví dụ, hai ánh xạ gửi [&#x2212;1,1] vào đường thẳng thực *f*(*x*) = &#x2212;*x* và *g*(*x*) = *x không* đồng vị với nhau. Tuy nhiên chúng *có* đồng luân với nhau.

Các phép đồng vị là cấu xạ trong phạm trù các nút thắt.

## Xem thêm
* Lý thuyết đồng đều
* Tô pô đại số

## Tham khảo