Bội số chung nhỏ nhất

Trong số học, **bội số chung nhỏ nhất** (hay còn gọi tắt là **bội chung nhỏ nhất**, được viết tắt là **BCNN**, tiếng Anh: least common multiple hoặc lowest common multiple (LCM) hoặc smallest common multiple) của hai số nguyên a và b là số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho cả *a* và *b*. Tức là nó có thể chia cho *a* và *b* mà không để lại số dư. Nếu *a* hoặc *b* là 0, thì không tồn tại số nguyên dương chia hết cho a và b, khi đó quy ước rằng LCM(*a*, *b*) là 0.

Định nghĩa trên đôi khi được tổng quát hoá cho nhiều số nguyên dương: Bội chung nhỏ nhất của *a*1,..., *a<sub>n</sub>* là số nguyên dương nhỏ nhất là bội số của *a*1,..., *a<sub>n</sub>*.

## Ký hiệu
Bội số chung nhỏ nhất của hai số a và b được ký hiệu là *[a,b], BCNN(a,b)* hoặc *LCM(a,b)*.

Ký hiệu tương tự cho bội số chung nhỏ nhất của *a*1,..., *a<sub>n</sub>*.

## Ví dụ

Bội của 4 là:

: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,...
(thêm 4 để được bội số tiếp theo).*

Bội của 6 là:

: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66,...

(thêm 6 để được bội số tiếp theo).

*'Bội chung** của 4 và 6 là các số cùng xuất hiện trong hai dãy trên (không tính số 0):

: 12, 24, 36, vô cực,...

Vậy **bội chung nhỏ nhất** của 4 và 6 là **12**

== Ứng dụng ==

Khi cộng, trừ hoặc so sánh các [[phân số]], nó đặc biệt có ích khi tìm bội số chung của mẫu số, thường gọi là [[mẫu số chung nhỏ nhất]] (hay [[mẫu chung nhỏ nhất]]).

:<math>{2\over21}+{1\over6}={4\over42}+{7\over42}={12\over42},</math>

mẫu số 42 được sử dụng bởi vì nó là bội chung nhỏ nhất của 21 và 6.

== Tính bội số chung nhỏ nhất ==

=== Tính qua [[ước số chung lớn nhất]] ===

Công thức dưới đây chuyển từ việc tính bội số chung nhỏ nhất sang tính [[ước số chung lớn nhất]] (GCD):

:<math>\operatorname{BCNN}(a,b)=\frac{\operatorname{UCLN}(a,b)}.</math>

Có một [[thuật toán]] nhanh để tìm GCD mà không yêu cầu [[phần tích ra thừa số nguyên tố|phân tích ra thừa số nguyên tố]], đó là [[giải thuật Euclid|thuật toán Euclid]].
Ví dụ:

:

Điều này làm giảm kích thước đầu vào, giảm bộ nhớ cho các giá trị trung gian. 

:

=== Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố ===
[[Định lý cơ bản của số học]] nói rằng mọi số nguyên dương lớn hơn 1 có thể biểu diễn một cách duy nhất dạng tích các [[số nguyên tố]] (nếu không kể đến thứ tự của các thừa số). Như vậy các hợp số có thể coi như là các nguyên tố cấu thành [[hợp số]]. Ví dụ:

:<math>90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \,\!</math>

Ở đây chúng ta có hợp số 90 tạo thành bởi một nguyên tử **2**, hai nguyên tử **3** và một nguyên tử **5'''.

Kiến thức này có thể giúp chúng ta tìm BCNN của một tập hợp các số.

Ví dụ: Tìm giá trị của BCNN(8,9,21).

Đầu tiên, ta phân tích từng số thành dạng tích lũy thừa các số nguyên tố.
:8\; \, \; \,= 2^3 
:9\; \, \; \,= 3^2 
:21\; \,= 3\cdot7

Với mỗi số nguyên tố, nâng lũy thừa bậc cao nhất, tích của chúng cho ta giá trị BCNN cần tìm. Bốn thừa số nguyên tố 2, 3, 5 và 7, có bậc cao nhất lần lượt là 23, 32, và 71. Do đó,

:\operatorname{BCNN}(8,9,21) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504. \,\!

Thuật toán không thực sự hiệu quả bằng cách rút từ ước chung lớn nhất, bởi chưa có thuật toán hiệu quả để phân tích số nguyên, nhưng nó hiệu quả trong việc minh họa khái niệm.

## Tính chất
* Với ký hiệu \operatorname {BCNN}(a; b)=[a; b] và \operatorname{UCLN}(a; b)=(a; b), ta có
* Tính chất giao hoán: [a, b] = [b, a]
* Tính chất kết hợp: [a, [b, c]] = nguyên tố cùng nhau, thì: [a, b]= a \cdot b.
* Tính LCM của nhiều số thông qua cách tính LCM của hai số:
**[a, b, c] = [a, b], c];</math>
**<math>[a_1, a_2, \ldots, a_n] = [[a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}], a_n].</math>
*Với <math>k=[a_1, a_2, \ldots, a_n]</math> thì <math>\operatorname{BC}(a_1, a_2, \ldots, a_n)=\operatorname{B}(k)</math>

== Xem thêm ==
* [Ước số chung lớn nhất
* Giản ước dị thường
* Hàm Chebyshev

## Tham khảo

## Liên kết ngoài
* Online LCM calculator
* Online lcm calculator
* Online LCM calculator
* Online LCM and GCD calculator - displays also fractions of given numbers
* Algorithm for Computing the LCM
* Least Common Multiple from Wolfram MathWorld