Không gian Baire

Không gian Baire là một lớp không gian quan trọng, thuộc lĩnh vực Topo - một chuyên ngành của Toán học. Không gian Baire mang tên  của nhà toán học người Pháp René-Louis Baire, với định lý Phạm trù Baire (Baire category theorem) công bố trong luận văn Tiến sĩ của ông năm 1899.

## Định nghĩa không gian Baire
Một tập con của một không gian topo *(X,<big>τ</big>)* được gọi là **có phần trong rỗng** nếu và chỉ nếu nó không chứa bất kì một tập mở khác trống của *(X,<big>τ</big>)*.

Không gian topo *(X,<big>τ</big>)* được gọi là một **không gian Baire** nếu như cho bất kì một họ {*A**n*} đếm được các tập đóng có phần trong rỗng thì ∪*A**n* có phần trong rỗng.

Ví dụ: Q với topo tương đối (topo sinh bởi topo Euclidean trên R) không phải là không gian Baire.

### Một phát biểu khác của định nghĩa không gian Baire
Đây là một phát biểu tương đương, sử dụng họ đếm được các tập mở và trù mật trong *X*, phát biểu như sau:
Không gian *(X,<big>τ</big>)* là không gian Baire nếu và chỉ nếu  với bất kì một họ đếm được {*U**n*} các tập mở trù mật trong *X* thì ∩*U**n* cũng trù mật trong *X*.

## Các phạm trù Baire
Thuật ngữ phạm trù thứ nhất và phạm trù thứ hai được sử dụng đầu tiên bởi René-Louis Baire.

### Phạm trù thứ nhất
Tập *A* ⊆ *(X,<big>τ</big>)* được gọi là thuộc  **phạm trù thứ nhất** nếu nó là hội của một họ đếm được các tập hợp *không đâu trù mật* (nowhere dense, nghĩa là bao đóng có phần trong rỗng).

### Phạm trù thứ hai
Tập *A* ⊆ *(X,<big>τ</big>)* được gọi là thuộc **phạm trù thứ hai** nếu nó không thuộc phạm trù thứ nhất.

### Tính chất
Nếu *h*: *X*→*X*  là một đồng phôi giữa *E* ⊆ *X* và *h(E)*, thì khi đó *E* và *h(E)* cùng một phạm trù.

Một không gian topo *(X,<big>τ</big>)* là không gian Baire khi và chỉ khi mọi tập mở khác trống của *(X,<big>τ</big>)* đều là phạm trù thứ hai.

## Định lý phạm trù Baire

*Nếu *S* là một [[không gian mêtric đầy đủ]] hoặc là không gian [[compact địa phương]] [[Hausdroff]] thì *S* là không gian Baire.*

### Chứng minh

Cho *V<sub>1</sub>*,*V<sub>2</sub>*,*V<sub>3</sub>*,...là các tập mở và trù mật trong *S*, cho *B<sub>0</sub>* là tập mở  (khác rỗng) bất kì trong *S*. Cần chứng minh (∩*V<sub>n</sub>*)∩*B<sub>0</sub>*≠ ∅.

#### Bước 1

Dựa vào tính trù mật của *V<sub>1</sub>* trong *S* nên *V<sub>1</sub>*∩*B<sub>0</sub>*≠∅.

#### Bước 2

Tìm tập mở *B<sub>1</sub>* trong *S* sao cho Cl(*B<sub>1</sub>*) ⊆ *V<sub>1</sub>*∩*B<sub>0</sub>*.
Với *S* là không gian metric đầy đủ  thì cần tìm *B<sub>1</sub>* thỏa d(x,y)≤1, ∀x,y∈Cl(*B<sub>1</sub>*).

Với *S* là không gian compact địa phương Hausdroff, dùng mệnh đề sau để tìm *B<sub>1</sub>* là tập compact và khác rỗng:
*Cho *(X,τ)* là một không gian Compact địa phương Hausdroff, *K* là tập [[compact]] trong *(X,τ)* và *U* là một tập mở của *(X,τ)* thỏa *K* <big>⊆</big> *U*. Khi đó, tồn tại tập mở *V* trong *(X,τ)* với bao đóng Cl(*V*) là tập compact và thỏa *K* <big>⊆</big> *V* <big>⊆</big> Cl(*V*) <big>⊆</big> *U*.

====Bước 3====
Xây dựng các tập mở *Bn* với n≥2 giống với tính chất của tập *B1*.

Tìm tập mở *B2* thỏa mãn Cl(*B2*) <big>⊆</big> *V2*<big>∩</big>*B1*, với d(x,y)<big>≤</big>1/2 ∀x,y<big>∈</big>Cl(*B2*) khi *S* là không gian metric đầy đủ hay Cl(*B2*) là [[Compact]] khi *S* là không gian compact địa phương Hausdroff.

Dựa vào tính chất trù mật của *V2* nên *V2*<big>∩</big>*B1*<big>≠</big><big>∅</big>. Cách tìm *B2* tương tự cách tìm với *B1*.

Với cách xây dựng các *Bn* tương tự, được một dãy tập mở *B0*, *B1*, *B2*, *B3*,... trong *S* với *B0* <big>⊇</big> Cl(*B1*) <big>⊇</big> Cl(*B2*) <big>⊇</big>... thỏa Cl(*Bn*) <big>⊆</big> *Vn*<big>∩</big>*Bn-1* ∀n<big>≥</big>1, sao cho d(x,y)<big>≤</big>1/n với *S* là không gian metric đầy đủ hoặc thỏa Cl(*Bn*) compact và không rỗng khi *S* là không gian compact địa phương Hausdroff.

====Bước 4====

Hoàn thành chứng minh, chia thành hai  trường hợp: Với *S* là không gian compact địa phương Hausdroff,sử dụng lý luận căn bản về các phép toán trên tập hợp, chứng minh (<big>∩</big>*Vn*)<big>∩</big>*B0*<big>≠</big><big>∅</big>.
Với *S* là quảng đường, chỉ cần chứng minh cho <big>∩</big>Cl(*Bn*)<big>≠</big><big>∅</big>, bằng cách xây dựng một 
[[dãy Cauchy]] {*xn*}, với mỗi *n*, *xn*<big>∈</big>Cl(*Bn*), do tính đầy đủ của *S* nên dãy {*xn*} hội tụ về *x* trong *S*, do *xn*<big>∈</big>Cl(*Bk*), ∀*n*≥*k*, suy ra x<big>∈</big><big>∩</big>Cl(*Bn*).

==Một vài ứng dụng==
*Một hệ quả của định lý phạm trù Baire đã được sử dụng trong chứng minh [[Nguyên lý ánh xạ mở]], một định lý quan trọng trong [[Giải tích hàm]].
*Định lý phạm trù Baire cho thấy rằng tất cả các [[đa tạp]] Hausdroff  hữu hạn chiều là không gian Baire.
*Cho một dãy các tập đóng không rỗng lồng nhau *K1* <big>⊇</big> *K2* <big>⊇</big>...trong không gian metric đầy đủ (*X*,*d*). Nếu như diam *Kn*<big>→</big>0 thì <big>∩</big>*Kn*<big>≠</big><big>∅</big>.
*Cho *X* là một không gian tôpô. (*Y*,*d*) là không gian metric. Cho {*fn*} là dãy các hàm liên tục từ *X* vào *Y*, thỏa mãn *fn (x)* <big>→</big> *f(x)* với mọi *x* thuộc *X*, với *f* là ánh xạ từ *X* vào *Y*. Khi đó, nếu *X* là không gian Baire thì tập hợp tất cả các điểm mà *f* liên tục trù mật trong *X*.

==Tham khảo==


*Dương Minh Đức(2000),*Giải tích hàm*, Nhà xuất bản: Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
*James Munkres(2000), *Topology: A first course*, 2nd edition, Prentice-Hall, New Jersey.
*Colin Adams, Robert Fransoza(2009), *Introduction to Topology: Pure and Applied'', Pearson.