Nhóm con

Trong lý thuyết nhóm, một tập con của một nhóm có thể là một nhóm hoặc không.
Trong trường hợp nó là một nhóm, nó được gọi là **nhóm con** của G.

## Định nghĩa

Cho một nhóm *G* với phép toán hai ngôi *, và tập con *H* của *G*. *H* được gọi là **nhóm con** của *G* nếu chính *H* là một nhóm với phép toán * của *G*.

## Các điều kiện tương đương
Cho tập con *H* của nhóm *G*. Các mệnh đề sau là tương đương:
# *H* là nhóm con của *G*;
# Với mọi *a*, *b* \in *H* ta có a*b \in H và a^{-1} \in H; 
# Với mọi *a*, *b* \in *H* ta có a*b^{-1} \in H;

## Các nhóm con đặc biệt
* Cho *G* là một nhóm với phép toán * và phần tử đơn vị 1.
# Chính *G* là một nhóm con của *G*
# Tập con gồm một phần tử đơn vị {*1*} của *G* là một nhóm con của *G* (gọi là nhóm con tầm thường).
# Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của *G* là một nhóm con của *G*.
# Nếu a \in *G* thì tập H các phần tử là luỹ thừa của phần tử a
:::H=\left \{a^n | n \in \mathbb Z \right \}
:là một nhóm con của *G*.

### Nhóm con sinh bởi một tập con
* Cho A là tập con của *G*. Nhóm con nhỏ nhất *H* của *G* chứa *A* được gọi là nhóm con sinh bởi *A*. Nếu *H*=*G* ta nói *A* là tập sinh của *G*. 
* Nếu nhóm *G* sinh bởi một tập con có một phần tử {*a*} thì *G* được gọi là nhóm *cyclic*, phần tử *a* được gọi là phần tử sinh của *G*
Các nhóm cyclic hữu hạn có nhiều ứng dụng trong lý thuyết mật mã.

#### Các ví dụ
* Xét tập các số nguyên \mathbb Z như một nhóm với phép cộng.
# Nhóm con sinh bởi tập hợp gồm một số nguyên *k* là {x.k | x \in \mathbb Z }
# Nhóm con sinh bởi tập m số nguyên \left \{k_1,k_2,...,k_m \right \}
là tập \left \{k_1 \cdot x_1+ k_2 \cdot x_2+...+k_m \cdot x_m \right \}
* Xét nhóm cộng theo modulo 6 các số tự nhiên nhỏ hơn 6.
: {\mathbb Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}
Ta có các nhóm con sinh bởi các phần tử 2,3 là:
:\left \langle \;2\; \right \rangle= \{0,\; 2 \;, 4 \}
:\left \langle \;3\; \right \rangle= \{0,\; 3 \;\}
* Xét tập các số tự nhiên nhỏ hơn 12 và nguyên tố với 12:
::{\mathbb Z}_{12}^*={ 1, 5, 7, 11} 
:với phép nhân modulo 12. Ta có bảng nhân sau:



:Ta có các nhóm con của nhóm nhân {\mathbb Z}_{12}^* sau:
# Nhóm con { 1} sinh bởi phần tử 1
# Nhóm con { 1, 5} sinh bởi phần tử 5
# Nhóm con { 1, 7} sinh bởi phần tử 7
# Nhóm con { 1, 11} sinh bởi phần tử 11
# Các nhóm con chứa nhiều hơn một phần tử khác 1 đều trùng với chính {\mathbb Z}_{12}^*

### Nhóm con chuẩn tắc
Cho *H* là một nhóm con của *G*.

Ký hiệu *xH* là tập con của *G* gồm các phần tử dạng *x.h* trong đó *x* \in *G* và *h* \in *H*. *xH* được gọi là lớp trái của *H*.

Tương tự Ký hiệu *Hx* là tập con của *G* gồm các phần tử dạng *h.x* trong đó *x* \in *G* và *h* \in *H*. *Hx* được gọi là lớp phải của *H*.

**Định lý**
# Các lớp *xH*, *x* \in *G* tạo thành một phân hoạch của tập *G*;
# Các lớp *Hx*, *x* \in *G* tạo thành một phân hoạch của tập *G*;
# *Hx*=*xH* với mọi *x*\in*G* khi và chỉ khi x^{-1}.h.x \in H với mọi *x*\in*G* và mọi *h* \in *H*.
**Định nghĩa**

Nhóm con *H* của *G* được gọi là **nhóm con chuẩn tắc** của *G* nếu *Hx*=*xH* với mọi *x*\in*G*, hay tương đương x^{-1}.h.x \in H với mọi *x*\in*G* và mọi *h* \in *H*.

#### Ví dụ
# Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc.
# Xét nhóm các phép thế S3 của ba số tự nhiên dương đầu tiên 1, 2, 3. S3 gồm 6 phép thế sau:



Ta có bảng nhân của S_3 




Có thể kiểm tra 
# Nhóm con của S_3 sinh bởi \sigma_2 gồm e,  \sigma_2,\sigma_3;
# Nhóm con của S_3 sinh bởi \sigma_3 gồm e, \sigma_2, \sigma_3;
# Nhóm con của S_3 sinh bởi \sigma_4 gồm e, \sigma_4;
# Nhóm con của S_3 sinh bởi \sigma_5 gồm e, \sigma_5;
# Nhóm con của S_3 sinh bởi \sigma_6 gồm e, \sigma_6

## Xem thêm
* Nhóm
* Lý thuyết nhóm

## Tham khảo