Ký hiệu Jacobi

**Ký hiệu Jacobi** là tổng quát hóa của ký hiệu Legendre. Nó được sử dụng trong lý thuyết số và được đặt theo tên nhà toán học Carl Gustav Jakob Jacobi.

## Định nghĩa
Ký hiệu Jacobi 
\left(\frac{a}{n}\right) 
sử dụng dạng phân tích tiêu chuẩn của số đứng dưới. Nó được định nghĩa như sau:

:::Giả sử *n* > 0 là số tự nhiên lẻ và p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k} là dạng phân tích tiêu chuẩn của *n*.

Với số nguyên *a* bất kỳ, ký hiệu Jacobi \left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}
trong đó tất cả các ký hiệu bên vế phải là Ký hiệu Legendre.

## Các tính chất của ký hiệu Jacobi
Các tính chất sau thường dùng để tính nhanh ký hiệu Jacobi:
#Nếu *n* là số nguyên tố thì ký hiệu Jacobi là ký hiệu Legendre.
#
\left(\frac{a}{n}\right)\in \{0,1,-1\}

#
\left(\frac{a}{n}\right) = 0 nếu \gcd (a,n) \neq 1
#
\left(\frac{ab}{n}\right) = \Bigg(\frac{a}{n}\Bigg)\left(\frac{b}{n}\right)

#  \left(\frac{a}{mn}\right)=\left(\frac{a}{m}\right)\left(\frac{a}{n}\right). Điều này dẫn tới \left(\frac{a}{n^2}\right) là 0 hoặc 1 với số nguyên *a* bất kỳ và số tự nhiên lẻ *n* bất kỳ. 
#Nếu *a* &equiv; *b* (mod *n*), thì 
\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{b}{n}\right)

#
\left(\frac{1}{n}\right) = 1

#
\left(\frac{-1}{n}\right) = (-1)^{\frac{(n-1)}{2}} = \left\{\begin{array}{cl} 1 & \textrm{ khi }\;n \equiv 1 \mod 4\\ -1 &\textrm{khi}\;n \equiv 3 \mod 4\end{array}\right.

#
{\left(\frac{2}{n}\right) = (-1)^{\frac{(n^2-1)}{8}} = \left\{\begin{array}{cl} 1 & \textrm{if}\;n \equiv 1\;\textrm{ hoac }\;7 \mod 8\\ -1 &\textrm{if}\;n \equiv 3\;\textrm{ hoac }\;5\mod 8\end{array}\right.}

#
\left(\frac{m}{n}\right)\left(\frac{n}{m}\right) = (-1)^{\frac{(m-1)(n-1)}{4}} nếu *m* và *n* là các số tự nhiên lẻ.

Tính chất sau cùng thường được biết với tên giống như trong ký hiệu Legendre: luật thuận nghịch bình phương.

## Lưu ý
Có hai tính chất đúng với ký hiệu Legendre nhưng không thể mở rộng cho ký hiệu Jacobi.

Thứ nhất, nếu \left(\frac{a}{n}\right) = -1 thì *a* không là thặng dư bậc hai của *n* vì *a* không là thặng dư bậc hai của một số thừa số của *n*. Tuy nhiên, ngược lại khi \left(\frac{a}{n}\right) = 1 *a* chưa chắc chắn là thặng dư bậc hai của *n*. Bởi vì ký hiệu Jacobi là tích của các ký hiệu Legendre, nên có thể có hai ký hiệu Legendre bằng &minus;1 và khi đó ký hiệu Jacobi bằng 1.

Tính chất thứ hai không thể mở rộng gắn với đồng dư thức Euler \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2} mod *p* với số nguyên tố *p* và số nguyên *a* bất kỳ. Một cách tự nhiên đồng dư thức Euler mở rộng từ ký hiệu Legendre sang ký hiệu Jacobi là:  
\left(\frac{a}{n}\right) \equiv a^{(n-1)/2} mod *n* với hợp số lẻ dương *n*. Tuy nhiên đồng dư thức này là sai với ít nhất một nửa của các *a* mod *n* khi *n* là hợp số. Tỷ lệ này là cơ sở của thuật toán kiểm tra Solovay-Strassen kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất.

## Ví dụ

\left (\frac{37035}{331}\right) 
=\left (\frac{294}{331}\right) 
=1\cdot\left (\frac{2}{331} \right)
\left (\frac{147}{331}\right)
=-\left (\frac{147}{331}\right) 
=\left (\frac{331}{147}\right) 
=\left (\frac{37}{147}\right) 
=\left (\frac{147}{37}\right) 
=\left (\frac{36}{37}\right) 
=\left (\frac{2}{37}\right) ^2
\left (\frac{9}{37}\right) 
=\left (\frac{37}{9}\right)
=\left (\frac{1}{9}\right)=1.

Vì 331 là số nguyên tố nên từ đó 37035 là thặng dư bậc hai mod 331.

## Các hàm liên quan
* Ký hiệu Kronecker là tổng quát hóa của ký hiệu Jacobi cho tất cả các số nguyên.

## Tham khảo

## Liên kết ngoài
* Calculate Jacobi symbol