Chứng minh e là số vô tỉ

Số được Jacob Bernoulli giới thiệu lần đầu vào năm 1683. Hơn nửa thế kỷ sau, Leonhard Euler, người từng là học trò của Johann Bernoulli (em trai Jacob), đã chứng minh rằng  là số vô tỉ, nghĩa là nó không thể được biểu thị dưới dạng thương số của hai số nguyên.

## Chứng minh của Euler
Euler đã chấp bút lập luận chứng minh  là số vô tỉ lần đầu tiên vào năm 1737 (nhưng phải đến bảy năm sau thì toàn văn của chứng minh mới được xuất bản). Ông đã xác định được biểu diễn của  dưới dạng liên phân số là

:e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, \ldots, 2n, 1, 1, \ldots]. 

Liên phân số này là vô hạn và mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn liên phân số hữu hạn nên  là số vô tỉ. Đẳng thức ở trên có một cách chứng minh ngắn gọn hơn. Vì liên phân số của  không có tính tuần hoàn nên kết quả trên cũng dẫn đến  không phải là nghiệm của một đa thức bậc hai với hệ số hữu tỉ; đặc biệt,  là số vô tỉ.

## Chứng minh của Fourier
Cách chứng minh được biết đến nhiều nhất là chứng minh phản chứng của Joseph Fourier, được xây dựng dựa trên đẳng thức

: e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}.

Ban đầu  được giả sử là một số hữu tỉ có dạng . Ý tưởng trong chứng minh này là phân tích hiệu số (sau đây ký hiệu là ) giữa biểu diễn của  dưới dạng chuỗi và tổng từng phần thứ  của chuỗi đó. Khi chọn hệ số nhân là giai thừa của  thì cả phân số  và tổng từng phần thứ  đều trở thành số nguyên, vì vậy  phải là một số nguyên dương. Tuy nhiên, tính chất hội tụ nhanh của khai triển chuỗi dẫn đến  nhỏ hơn 1. Từ mâu thuẫn này ta suy ra  là số vô tỉ.

Dưới đây chúng ta đi vào chi tiết. Giả sử  là số hữu tỉ, khi đó tồn tại hai số nguyên dương  và  sao cho . Đặt

: x = b!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right).

Thay  vào biểu thức bên trên ta được

: x = b!\left (\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}.

Số hạng đầu tiên là số nguyên và mọi phân số trong tổng thực chất cũng là số nguyên vì ta luôn có . Do đó  là số nguyên.

Bây giờ ta chứng minh . Thay khai triển chuỗi của  vào biểu thức định nghĩa , ta có

: x = b!\left(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = \sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}>0,

vì tất cả các số hạng đều dương.

Với mọi số hạng thỏa mãn  ta có xấp xỉ cận trên

: \frac{b!}{n!} =\frac1{(b + 1)(b + 2) \cdots \big(b + (n - b)\big)} \le \frac1{(b + 1)^{n-b}}.

Bất đẳng thức này là nghiêm ngặt với mọi . Thay chỉ số lấy tổng thành  và áp dụng công thức cho chuỗi hình học vô hạn, ta có

:x =\sum_{n = b + 1}^\infty \frac{b!}{n!}


Do đó .

Vì không có số nguyên nào nằm giữa 0 và 1 nên giả thiết phản chứng là sai. Vậy  là số vô tỉ.

## Chứng minh khác
Một cách chứng minh khác có thể được suy ra từ chứng minh ở trên từ việc nhận thấy

: (b + 1)x =
1 + \frac1{b + 2} + \frac1{(b + 2)(b + 3)} + \cdots 

suy ra . Bất đẳng thức này rõ ràng không thể xảy ra do  và  là số nguyên dương.

Một cách chứng minh khác nữa đến từ đẳng thức

: \frac{1}{e} = e^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}.

Đặt

: s_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k}}{k!}.

Khi đó

: e^{-1} - s_{2n-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k!} - \sum_{k=0}^{2n-1} \frac{(-1)^{k}}{k!} 

suy ra

: 0  

với mọi số nguyên dương .

Nhận thấy (2n - 1)!s_{2n-1} luôn là số nguyên. Giả sử e^{-1} là số hữu tỉ, tức e^{-1} = p/q với 
p, q nguyên tố cùng nhau và q \neq 0. Ta có thể chọn n sao cho (2n - 1)!e^{-1} là số nguyên, hay n \geq (q + 1)/2, dẫn đến hiệu số giữa (2n - 1)!e^{-1} và (2n - 1)!s_{2n-1} là một số nguyên. Tuy nhiên điều này không thể xảy ra do mâu thuẫn với bất đẳng thức ở trên. Vậy e^{-1} là số vô tỉ, dẫn đến e là số vô tỉ.

## Khái quát hóa
Năm 1840, Liouville đã lần lượt xuất bản hai chứng minh rằng  là số vô tỉ và  không phải là nghiệm của một đa thức bậc hai với hệ số hữu tỉ (dẫn đến  là số vô tỉ). Hai chứng minh của ông gần giống với chứng minh của Fourier về tính vô tỉ của số . Đến năm 1891, Hurwitz giải thích rằng có thể chứng minh  không phải là nghiệm của một đa thức bậc ba với hệ số hữu tỉ (hay  là số vô tỉ) bằng ý tưởng tương tự. Tổng quát hơn,  là số vô tỉ với  là số hữu tỉ khác 0 bất kỳ.

Charles Hermite vào năm 1873 đã chứng minh  và mọi số  với  là số đại số khác 0 đều là số siêu việt, có nghĩa là chúng không phải là nghiệm của bất kỳ đa thức nào với hệ số hữu tỉ.

## Xem thêm
* Định nghĩa đặc trưng của hàm mũ
* Số siêu việt, bao gồm phần chứng minh  là số siêu việt
* Định lý Lindemann–Weierstrass
* Chứng minh  là số vô tỉ

## Tham khảo