Không gian Étalé

Trong toán học, **không gian étalé** là một không gian tôpô dùng để mô tả một bó. 

## Định nghĩa
(a) Một *không gian Étalé* trên một không gian tôpô X là một không gian tôpô Y cùng với một toàn ánh liên tục π:Y → X sao cho π là một đồng phôi địa phương. Bộ ba (Y,π,X) cho ta một không gian étalé.

(b) Một *nhát cắt* của một không gian étalé (Y,π,X) trên một tập mở U, trong X, là một ánh xạ liên tục f:U → Y sao cho \pi\circ f = 1_U. Tập các nhát cắt trên U được ký hiệu là Γ(U,Y).

Ta sẽ kết hợp một tiền bó bất kỳ \mathcal{F} trên X một không gian étalé \hat{\mathcal{F}}\to X sao cho bó các nhát cắt của \hat{\mathcal{F}} cho một mô hình khác của \mathcal{F} nếu \mathcal{F} là một bó (i.e. đẳng cấu với \mathcal{F}).

Xét tiền bó \mathcal{F} trên X, và đặt \mathcal{F}_x:={\lim}_{x\in U}\mathcal{F}(U) là giới hạn trực tiếp của các tập \mathcal{F}(U) theo các ánh xạ thu hẹp r_V^U của \mathcal{F}. Nếu \mathcal{F} có một cấu trúc đại số mà được bảo toàn qua giới hạn trực tiếp, thì \mathcal{F}_x, được gọi là thớ của \mathcal{F} tại x, sẽ có cấu trúc đó.

Có một ánh xạ tự nhiên r_x^U:\mathcal{F}\to\mathcal{F}_x (x\in U) được cho bằng cách gán các phần tử trong \mathcal{F}(U) với lớp tương đương của nó qua giới hạn trực tiếp. Nếu s\in\mathcal{F}(U), thì s_x:=r_x^U(s) được gọi là mầm của s tại x, và s được gọi là một đại diện cho mầm s_x. Đặt \hat{\mathcal{F}}=\cup_{x\in X}\mathcal{F}_x và đặt \pi:\hat{\mathcal{F}}\to X là phép chiếu tụ nhiên gửi các điểm trong \mathcal{F}_x tới x. Để \hat{\mathcal{F}} là một không gian étalé, chỉ cần trang bị cho \hat{\mathcal{F}} một tôpô sao cho \pi là liên tục và là một đồng phôi địa phương. Với mỗi s\in\mathcal{F}(U) định nghĩa hàm \hat{s}:U\to\hat{\mathcal{F}} bằng cách đặt \hat{s}(x)=s_x với mỗi x\in U. Để ý rằng \pi\circ\hat{s}=1_U. Đặt \{\hat{s}(U), U\text{ mở trong }X, s\in\mathcal{F}(U)\} là một cơ sở cho tôpô của \hat{\mathcal{F}}. Khi đó, tất cả các hàm \hat{s} là liên tục. Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra rằng \pi là liên tục và là một đồng phôi địa phương.

Do vậy ta đã kết hợp mỗi tiền bó \mathcal{F} trên X một không gian étalé. Trong việc kết hợp một không gian étalé \hat{\mathcal{F}} với một tiền bó \mathcal{F}, ta cũng đã kết hợp một bó với \mathcal{F}, gọi là bó các nhát cắt của \hat{\mathcal{F}}. Chúng ta gọi bó này là bó được sinh bởi \mathcal{F}. Có một mối quan hệ giữa tiền bó \mathcal{F} và bó các nhát cắt của \hat{\mathcal{F}} mà ta gọi là \bar{\mathcal{F}} từ lúc này trở đi. Chúng ta cũng đã sử dụng một kết quả là có một đồng cấu tiền bó, ký hiệu bởi \tau:\mathcal{F}\to\bar{\mathcal{F}}, nghĩa là \tau_U:\mathcal{F}(U)\to\bar{\mathcal{F}}(U)[:=\Gamma(U,\hat{\mathcal{F})}] được cho bởi \tau_U(s)=\hat{s}. Trong trường hợp \mathcal{F} là một bó, ta có kết quả cơ bản sau.

**Định lý.** Nếu \mathcal{F} là một bó, thì \tau:\mathcal{F}\to\bar{\mathcal{F}}
là một đẳng cấu bó.

Định lý nói rằng với mỗi bó \mathcal{F}, ta có thể kết hợp một không gian étalé \hat{\mathcal{F}} mà bó các nhát cắt của nó là bó ban đầu; tức là, \hat{\mathcal{F}} chứa cùng lượng thông tin như \mathcal{F}.

Một số tác giả định nghĩa bó như là một không gian étalé.

## Tính chất tô-pô của không gian étalé
Do \pi:\hat{F}\rightarrow X là một đồng phôi địa phương, không gian étalé là một không gian tô-pô cục bộ Euclid có số chiều bằng số chiều của X.

Nhìn chung, một không gian étalé thường là phi-Hausdorff. Nói riêng, \pi không phải là một ánh xạ phủ bởi thớ \hat{\mathcal{F}}_x của nó thường là không rời rạc.

## Tham khảo

## Liên kết ngoài
*