Vẻ đẹp của toán học

**Vẻ đẹp của Toán học** mô tả quan niệm rằng một số nhà toán học có thể lấy được niềm vui từ công việc của họ, và từ toán học nói chung. Họ thể hiện niềm vui này bằng cách mô tả toán học (hoặc, ít nhất, một số khía cạnh của toán học) là *đẹp*. Các nhà toán học mô tả toán học dưới dạng một hình thức nghệ thuật hoặc, ở mức tối thiểu, là một hoạt động sáng tạo. So sánh thường được thực hiện với âm nhạc và thơ.
Bertrand Russell đã thể hiện ý thức về vẻ đẹp toán học của mình bằng những lời này:Paul Erdős bày tỏ quan điểm của mình trên ineffability của toán học khi ông nói: "Tại sao những con số đẹp? Nó giống như hỏi tại sao Giao hưởng số 9 của Beethoven đẹp. Nếu bạn không thấy lý do tại sao, ai đó không thể cho bạn biết. Tôi *biết* con số đẹp. Nếu chúng không đẹp, không có gì đẹp hơn".

## Nét đẹp qua các con số
# **Phép nhân**
12345679 x 09 = 111.111.111

12345679 x 18 = 222.222.222

12345679 x 27 = 333.333.333

12345679 x 36 = 444.444.444

12345679 x 45 = 555.555.555

12345679 x 54 = 666.666.666

12345679 x 63 = 777.777.777

12345679 x 72 = 888.888.888

12345679 x 81 = 999.999.999

2. **Bình phương**

1 x 1         =                 1

11 x 11        =               121

111 x 111       =             12321

1111 x 1111      =           1234321

11111 x 11111     =         123454321

111111 x 111111    =       12345654321

1111111 x 1111111   =     1234567654321

11111111 x 11111111  =   123456787654321

111111111 x 111111111 = 12345678987654321

## Nét đẹp qua các công thức

## Nét đẹp trong các phương pháp chứng minh

Các nhà toán học miêu tả các phương pháp chứng minh của mình một cách thanh nhã. Phụ thuộc vào nội dung của bài toán, họ có thể:

*Chứng minh bằng việc sử dụng một cách ít nhất các giả thiết hay kết quả ban đầu.
*Chứng minh bằng cách biến đổi một cách ngạc nhiên một kết quả từ những định lý tưởng chừng như không có mối liên hệ gì với bài toán.
*Chứng minh bằng một phương pháp hay hướng đi hoàn toàn mới mẻ.
*Chứng minh theo một phương pháp tổng quát, từ đó có thể giải quyết được nhiều bài toán tương tự khác.

Trong công việc nghiên cứu một cách chứng minh thanh nhã, các nhà toán học đi theo nhiều con đường chứng minh khác nhau để dẫn tới kết quả, cách chứng minh đầu tiên chưa chắc đã là cách chứng minh hoàn hảo nhất. Định lý Pytago,  a^2 = b^2 + c^2 , là một ví dụ điển hình vì nó có rất nhiều các cách chứng minh được đưa ra.

Một ví dụ khác là Định lý tương hỗ bậc II (*quadratic reciprocity*), riêng Carl Friedrich Gauss đã đưa ra trên 10 cách chứng minh khác nhau cho định lý này. Định lý tương hỗ phát biểu:

Nếu tồn tại một số nguyên *x* và các số nguyên dương *n*, *p*, *q* sao cho x^n = q \ (mod \ p), *q* được gọi là phần dư bậc ''n'' của *p* khi và chỉ khi x^n = q \ (mod \ p) có khả năng tìm được nghiệm *x*.

Định lý tương hỗ (hay định lý nghịch đảo) là sự liên hệ giữa "*q* là phần dư bậc *n* của *p*" và "*p* là phần dư bậc *n* của *q*". Viết theo ký hiệu của Lâm Đức Chung là:  \frac{q}{p}  và  \frac{p}{q} . Với trường hợp *n* = 2, gọi là Định lý tương hỗ bậc II, được Gauss đưa ra chứng minh hoàn thiện lần đầu tiên. Gauss đồng thời cũng giải quyết với trường hợp *n* = 3, gọi là Định lý tương hỗ bậc III, sử dụng dạng nguyên a + b \beta, trong đó *β* là nghiệm của phương trình x^2 + x + 1 = 0 và *a', *b* là các số nguyên hữu tỉ.

Gauss có gợi ý với trường hợp *n* = 4 ([[Định lý tương hỗ bậc IV]]), sử dụng [[số nguyên Gaussian]] (một số nguyên Gaussian là một số phức có dạng a + b*i*, trong đó a và b là các số nguyên).

Phần chứng minh tổng quát, với bậc n là [[số nguyên tố]], được đưa ra bởi [[Ferdinand Eisenstein]] trong những năm [[1844]]–[[1850]], và [[Ernst Eduard Kummer]] trong những năm [[1850]]–[[1861]]. Và định lý tương hỗ dạng tổng quát với mọi *n* được chứng minh bởi [[Emil Artin]] vào những năm [[1920]], do đó, định lý này còn gọi là [[Định lý tương hỗ Artin]].

Nhà toán học [[người Hung]] [[Paul Erdös|Paul Erdős]] thì tưởng tượng rằng [[Thượng đế]] có một cuốn sách chứa tất cả những các chứng minh đẹp đẽ nhất trong toán học. Mỗi khi Erdos muốn miêu tả một cách chứng minh độc đáo, ông đều nói *"Cách chứng minh ấy nằm trong cuốn sách này đó"*.

Ngược lại, các kết quả từ suy luận [[logic|lôgic]], chứa các bước tính tỉ mỉ, không được xếp vào hàng các cách chứng minh thanh nhã, mà gọi là các chứng minh khó coi hay thô kệch. Ví dụ những cách chứng minh phụ thuộc vào việc giới hạn các trường hợp riêng biệt, như phương pháp vét cạn được sử dụng trong chứng minh [[Định lý bốn màu]].

==Nét đẹp trong các kết quả tìm ra==

Các [[danh sách nhà toán học|nhà toán học]] nhận ra cái đẹp trong các kết quả của bài toán, như việc nó liên hệ giữa hai lĩnh vực [[toán học]], mà với cái nhìn đầu tiên ta sẽ cho rằng chúng hoàn toàn không có mối liên hệ gì với nhau. Những kết quả như này được coi là độc đáo và sâu sắc.

Một trong những kết quả sâu sắc đó chính là [[biểu thức Euler]] <math>e^{ix} = cosx + i sinx</math>, được [[Richard Feynman]] cho là *"công thức đặc biệt nhất trong toán học"*.

Một ví dụ khác chính là [[định lý Taniyama-Shimura]], định lý này được phát biểu một cách ngắn gọn như sau: *"mọi đường cong ellip trên tập Q đều là modular"*. Nó là cầu nối quan trọng giữa [[đường cong ellip]], một khái niệm trong [[hình học đại số]], và các [[dạng modular]], là những hàm [[holmorphic]] tuần hoàn được miêu tả trong [[lý thuyết số]]. Tên gọi của định lý này bắt nguồn từ [[định lý Taniyama-Shimura|giả thuyết Taniyama-Shimura]], còn phần chứng minh được hoàn thành bởi [[Andrew Wiles]], [[Christophe Breuil]], [[Brian Conrad]], [[Fred Diamond]] và [[Richard Taylor (nhà toán học)|Richard Taylor]].

==Nét đẹp trong sự bí ẩn==

Một số [[danh sách nhà toán học|nhà toán học]] biểu lộ niềm tin về [[toán học]] như với những thuyết thần bí. Tiêu biểu là nhóm [[Pythagoras]], họ là những nhà toán học và [[triết gia]] sống ở những năm [[582 TCN|582]]–[[496 TCN|496 trước công nguyên]], là những người "khai sinh ra các con số" và tin tưởng một cách xác thực về các con số này. Họ tin vào [[sự tuyệt đối]] của các con số, do đó đã không chấp nhận việc [[Hippasus]] chứng minh sự tồn tại của [[số vô tỉ]].

Còn [[Galileo Galilei]], một nhà [[vật lý học|vật lý]] nổi tiếng thì cho rằng *"Toán học là ngôn ngữ mà Thượng đế đã viết lên vũ trụ".*

Một [[nhà vật lý]] khác là [[Johannes Kepler]] tin tưởng rằng [[tỷ số]] của các vòng [[quỹ đạo]] của các [[hành tinh]] trong [[hệ Mặt Trời]] đã được sắp xếp bởi bàn tay Thượng đế, ứng với năm [[khối Platonic]] đồng tâm, mỗi quỹ đạo nằm trên [[mặt cầu ngoại tiếp]] của một [[đa diện]] và [[mặt cầu nội tiếp]] của một đa diện khác. Vì chỉ có đúng 5 [[khối Platonic]] nên [[giả thuyết]] của Kepler chỉ cung cấp 5 quỹ đạo hành tinh, và nó đã bị bác bỏ với sự phát hiện ra [[Sao Thiên Vương]], hành tinh thứ bảy.

[[Paul Erdos]] thì biểu lộ quan điểm của mình về sự không thể diễn tả được của toán học khi ông nói rằng "*Tại sao các con số lại mang một vẻ đẹp? Nó giống như việc hỏi tại sao bản Giao hưởng số 9 của Beethoven lại đẹp. Nếu bạn không nhận ra nó thì người khác không thể nói cho bạn được. Tôi biết các con số là đẹp. Chúng mà không đẹp thì chẳng có thứ gì là đẹp nữa.*"

==Bức tranh nghệ thuật của toán học==

==Xem thêm==
*[[Định lý lớn Fermat#Lịch sử chứng minh định lý lớn Fermat|Gian nan con đường đi tìm lời giải bài toán Fermat]]

==Tham khảo==

==Liên kết ngoài==
Tiếng Anh:
*[http://www.cut-the-knot.org/manifesto/beauty.shtml Is Mathematics Beautiful?]
*[http://www.madras.fife.sch.uk/maths/linksbeauty.html Links Concerning Beauty and Mathematics] 
*[http://www.chemistrycoach.com/science_mathematics_and_beauty.htm Mathematics and Beauty] 
*[http://users.forthnet.gr/ath/kimon/ The Beauty of Mathematics] 
*[http://www.justinmullins.com/ Justin Mullins]
*[http://www.the-athenaeum.org/poetry/detail.php?id=80 Edna St. Vincent Millay (poet): *Euclid alone has looked on beauty bare*]
*[http://creativelab.org.ua/eng/index_eng.htm The method for transformation of music into an image through numbers and geometrical proportions]
*[[Terence Tao]], [http://www.math.ucla.edu/~tao/preprints/Expository/goodmath.dvi *What is good mathematics?'']
Tiếng Việt:
*Lịch sử toán học-Những phát minh