Ma trận khả nghịch

Trong đại số tuyến tính, một **ma trận khả nghịch** hay **ma trận không suy biến** là một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận.

## Định nghĩa
### Ma trận đơn vị
*Ma trận đơn vị cấp *n* trên vành có đơn vị *V* là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không.
::::E_n=\begin{bmatrix} 1 & 0 &\cdot&\cdot & 0 \\ 0 & 1 &\cdot&\cdot&0\\ 
\cdot & \cdot &\cdot &\cdot&\cdot \\ 0 & 0 &\cdot&\cdot & 1\end{bmatrix}
*Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A. 
### Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó
*Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên  *V* nếu tồn tại ma trận A' cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu là A&minus;1.

## Các tính chất
#Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành *V*.
#Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. 
# Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
# Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
#Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp *n* tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận

## Tìm ma trận nghịch đảo
### Định thức con và phần bù đại số
*Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử aij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử aij, ký hiệu là Mij.
*Định thức con Mij với dấu bằng (-1)i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử aij, ký hiệu là Aij.
Ví dụ: Cho ma trận 
::::A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1\\0 & 0 & 3 \end{bmatrix}. 
:Khi đó 
:A_{11}=(-1)^2 \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}=6 
:Tương tự *A*12=0; *A*13=0; *A*21=-3;*A*22=3;*A*23=0;*A*31=-1;*A*32=-1;*A*33=2;

### Công thức tính ma trận nghịch đảo
Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng công thức:

:A^{-1}=\frac 1 {det(A)} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} &\cdot &A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} &\cdot &A_{n2}\\ \cdot & \cdot &\cdot &\cdot\\ A_{1n} & A_{2n} &\cdot &A_{nn} \end{bmatrix}

### Các bước tìm ma trận nghịch đảo
* Bước 1: Tính định thức của ma trận A
*:Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo  A^{-1}
*:Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo  A^{-1}, chuyển sang bước 2
* Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A' của A.
* Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A' được định nghĩa như sau
*:: A^{*}=(A'_{ij})_{nn}
*:với  A'=(A'_{ij}) là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A'.
* Bước 4: Tính ma trận  A^{-1}=\frac {1} {det (A)}A^{*}
#### Ví dụ
Cho A=\begin{bmatrix} 1 & -2\\ 3& 2\\\end{bmatrix}. Tính  A^{-1},

### Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép khử Gauss-Jordan
Phép khử Gauss-Jordan là một phương pháp tìm ma trận nghịch đảo.

* Bước 1: Tính định thức của ma trận A

det(A)=\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=1*2 -(-2*3)=8

det(A)=8\neq0suy ra tồn tại ma trận nghịch đảo A^{-1}, chuyển sang bước 2.

* Bước 2: Tìm ma trận chuyển vị A' của A.

 A'=\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}

* Bước 3: Tìm ma trận phụ hợp A* của A'.

 A^{*}=\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}

* Bước 4: Tính ma trận nghịch đảo  A^{-1}.

 A^{-1}=\frac{1}{8}\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0.25 & 0.25 \\ -0.375 & 0.125 \end{bmatrix}

## Xem thêm
*Phép nhân ma trận
*Ma trận đơn vị
*Ma trận giả đảo

## Tham khảo

* 
* 
* 

## Liên kết ngoài

* 
* 
* Symbolic Inverse of Matrix Calculator with steps shown
* Moore-Penrose Inverse Matrix