Định lý Green

Trong toán học, **định lý Green** đưa ra mối liên hệ giữa tích phân đường quanh một đường cong khép kín *C* và tích phân mặt trên một miền *D*  bao quanh bởi *C*. Đây là trường hợp đặc biệt trong không gian 2 chiều của  định lý Stokes, và được đặt tên theo nhà toán học người Anh tên George Green.

## Định lý
*C* là một đường đơn đóng có định hướng dương trong mặt phẳng **<math> \mathbb{R} </math><sup>2</sup>**, và *D* là miền được bao quanh bởi *C*. Nếu *L* và *M* là các hàm số với biến (*x*, *y*) được định nghĩa trên miền mở chứa *D* và có các đạo hàm riêng phần liên tục trên đó, thì

:\oint_{C} (L\, \mathrm{d}x + M\, \mathrm{d}y) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y.

## Mối liên hệ với định lý Stokes
Định lý Green là một trường hợp đặc biệt của định lý Stokes, khi áp dụng trên mặt phẳng-*xy*:

Chúng ta có thể mở rộng trường 2 chiều thành một trường trong không gian 3 chiều với thành phần *z* luôn bằng 0. Gọi **F** là hàm số vector định nghĩa bởi \mathbf{F}=(L,M,0).  Bắt đầu với vế trái của định lý Green:

:\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \oint_{C} (L, M, 0) \cdot (dx, dy, dz) = \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}. 

Theo định lý Stokes thì:
:\oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS. 

Mặt S chỉ là một miền D trong mặt phẳng, với vector định chuẩn \mathbf{\hat n} hướng lên (theo hướng *z*) để trùng với "định hướng dương" trong cả hai định lý.

Biểu thức bên trong tích phân trở thành 
:\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} = \left[ \left(\frac{\partial 0}{\partial y}  - \frac{\partial M}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial 0}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \mathbf{k} \right] \cdot \mathbf{k} = \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right). 

Do đó mà ta sẽ được vế phải của định lý Green
:\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \, dA. 

## Mối liên quan với định lý Gauss
Nếu chỉ xét các trường vectơ trong không gian 2 chiều,
định lý Green là tương đương với phiên bản 2 chiều sau đây của định lý Gauss:
:\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds,
với \mathbf{\hat n} là véc tơ định chuẩn hướng ra ngoài trên biên.

Để thấy điều này, xét vec tơ định chuẩn \mathbf{\hat n} ở tay phải của phương trình. Bởi vì trong định lý Green d\mathbf{r} = (dx, dy) là một vecto đi theo hướng tiếp tuyến với đường cong, và đường cong C được định hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) dọc theo biên, vectơ định chuẩn hướng ra ngoài sẽ chỉ vuông góc  90° về phía phải, và sẽ là (dy, -dx). Chiều dài của vec tơ này là \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds. Do vậy \mathbf{\hat n}\,ds = (dy, -dx).

Bây giờ hãy để \mathbf{F} = (P, Q). Khi đó vế phải sẽ trở thành
:\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds = \oint_C P dy - Q dx
mà do định lý Green sẽ trở thành
:\oint_C -Q dx + P dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA.

Điều ngược lại cũng có thể được chứng minh một cách dễ dàng.

## Tính toán diện tích
Định lý Green có thể được sử dụng để tính diện tích sử dụng tích phân đường. Diện tích của miền D được cho bởi:

:A = \iint_{D}\mathrm{d}A.

Miễn là chúng ta chọn được L và M sao cho:

:\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} = 1.

Diện tích sẽ được cho bởi công thức sau:

:A = \oint_{C} (L\, \mathrm{d}x + M\, \mathrm{d}y).

Các công thức cho diện tích của D bao gồm:

:A=\oint_{C} x\, \mathrm{d}y = -\oint_{C} y\, \mathrm{d}x = \tfrac 12 \oint_{C} (-y\, \mathrm{d}x + x\, \mathrm{d}y).

Đây là cùng công thức cho tính diện tích cho những hình nằm trên mặt phẳng xy bằng toán vectơ:

*A* = 1/2 ∮ **r** x *d***r** = 1/2 **k** ∮(*xdy* – *ydx*)

khi **r** = *x***i** + *y***j** và *d***r** = *dx***i** + *dy***j**.

## Xem thêm
*Planimeter
*Method of image charges – A method used in electrostatics that takes advantage of the uniqueness theorem (derived from Green's theorem)

## Tham khảo

## Đọc thêm

* *Calculus (5th edition)*, F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
* *Advanced Calculus (3rd edition)*, R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.

## Liên kết ngoài
*Green's Theorem on MathWorld