Đạo hàm

Trong toán học, **đạo hàm** của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích. Chẳng hạn, trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động, khi mà công cụ này giúp đo lường tốc độ mà đối tượng đó thay đổi tại một thời điểm xác định.

Đạo hàm của một hàm số đơn biến tại một điểm xác định nếu tồn tại, sẽ đồng thời là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại chính điểm đó. Tiếp tuyến này cũng đồng thời là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất có thể tìm được của hàm số lân cận với giá trị đã cho. Bởi lý do này, đạo hàm thường được mô tả là "tốc độ thay đổi tức thời", với tỉ lệ thay đổi tức thời phụ thuộc vào biến độc lập của hàm số. 

Đạo hàm có thể được khái quát hóa cho hàm số đa biến, ở đó nó được định nghĩa là một phép biến đổi tuyến tính có đồ thị là xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của đồ thị hàm số ban đầu. Ma trận Jacobi là ma trận dùng để mô tả phép biến đổi tuyến tính đó đối với chuẩn được cho bởi các biến độc lập và biến phụ thuộc, có thể được tính nhờ các đạo hàm riêng đối với biến độc lập. Với một hàm số thực đa biến, ma trận Jacobi được rút gọn về vectơ gradien.

Quá trình tính toán đạo hàm của một hàm số được gọi là tìm **[[vi phân]]**, phép toán ngược với phép lấy đạo hàm là nguyên hàm, và định lý cơ bản của giải tích thể hiện mối quan hệ giữa tích phân với nguyên hàm. Vi phân và tích phân là hai công cụ cơ bản trong giải tích đơn biến.

## Định nghĩa
Một hàm số thực  có đạo hàm hay *khả vi* (tiếng Anh: *differentiable*) tại điểm  trên miền xác định của nó nếu như trên khoảng mở  có chứa , giới hạn 
L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h 
tồn tại. Điều này có nghĩa rằng, với mọi số thực dương \varepsilon (kể cả rất nhỏ), tồn tại một số thực dương \delta sao cho với mỗi số  sao cho |h|  và h\ne 0, khi đó f(a+h) được xác định và
\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|
với hai dấu gạch ngang thể hiện giá trị tuyệt đối
Khi đó, nếu  khả vi tại , giới hạn  tồn tại hay *hội tụ*, giới hạn này khi đó được gọi là đạo hàm của  tại  và được kí hiệu là f'(a) (đọc là đạo hàm của  tại ) hay \frac{df}{dx}(a) (đọc là thương của số gia của đối số trên số gia của hàm số tại )
## Vi phân

*[[Vi phân]]* là quá trình để tính đạo hàm. Đạo hàm của hàm số , với  là biến số, mô tả sự thay đổi giá trị của  tương ứng với độ biến thiên của  và còn được gọi là đạo hàm của  đối với . Nếu  và  đều thuộc tập số thực thì đạo hàm của hàm số là hệ số góc của đồ thị hàm đó tại mỗi điểm trong hệ tọa độ Descartes.

Xét trường hợp đơn giản nhất: gọi  là một hàm số bậc nhất biến  có đồ thị là một đường thẳng. Trong trường hợp này,  với  và  là số thực và hệ số góc  được tính bằng
:m=\frac{\Delta y}{\Delta x}

trong đó  (delta) là viết tắt của "thay đổi",  (số gia của đối số) và  (số gia tương ứng của hàm số) chỉ sự biến thiên của  và , \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x). Công thức trên là đúng do:

:\begin{align}
y + \Delta y &= f\left(x+\Delta x\right)\\
  &= m\left(x+\Delta x\right) +b =mx +m\Delta x +b \\
  &= y + m\Delta x.
\end{align} 
Suy ra
: \Delta y=m\Delta x. 

Biểu thức trên cho biết giá trị hệ số góc của một đường thẳng.

Nếu  không phải là hàm bậc nhất (đồ thị của nó không phải là đường thẳng) thì tỉ số giữa mức thay đổi của  và mức thay đổi của  sẽ khác nhau trên khoảng được xét: phép vi phân là một cách để tìm một giá trị duy nhất của tốc độ thay đổi đó tại bất kỳ giá trị nào của . Ý tưởng này được thực hiện bằng cách tìm giới hạn của  khi  tiến dần về 0, thể hiện qua các hình 1, 2, 3.

### Định nghĩa và Ý nghĩa hình học

Cách tiếp cận phổ biến nhất để chuyển ý tưởng trực quan này thành định nghĩa rõ ràng là xác định rằng đạo hàm là giới hạn của tỉ sai phân của các số thực.

Gọi  là hàm số thực xác định trên một lân cận mở của số thực . Trong hình học cổ điển, tiếp tuyến của đồ thị hàm  tại  là đường thẳng duy nhất đi qua điểm  thuộc đồ thị và không cắt ngang qua nó. Về mặt hình học, đạo hàm của  đối với  tại  là hệ số góc  của tiếp tuyến đó tại . Giá trị này rất gần với hệ số góc của đường cát tuyến cắt đồ thị tại  và một điểm lân cận . Nếu 

:m = \frac{\Delta f(a)}{\Delta a} = \frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Biểu thức trên được gọi là tỉ sai phân Newton. Để đạt được kết quả chính xác nhất thì có thể dùng đến khái niệm giới hạn. Vì về mặt hình học, giới hạn của cát tuyến là tiếp tuyến của đồ thị nên giới hạn của biểu thức khi  tiến về 0 (nếu có) là hệ số góc của tiếp tuyến tại . Giới hạn đó được gọi là đạo hàm của  tại :

:f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Khi giới hạn này tồn tại,  được gọi là *[[hàm số khả vi]]* tại . Từ định nghĩa này, rõ ràng hàm số khả vi  là hàm số tăng khi và chỉ khi đạo hàm của nó dương, và là hàm số giảm khi và chỉ khi đạo hàm của nó âm. Tính chất này thường được ứng dụng trong việc khảo sát tính đơn điệu của hàm, chẳng hạn như tìm các điểm cực trị.

Một cách tương đương, đạo hàm thỏa mãn tính chất
:\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - (f(a) + f'(a)\cdot h)}{h} = 0,

và tính chất này có thể được hiểu bằng cách trực quan rằng tiếp tuyến của  tại  (hình 1) cho *xấp xỉ [[tuyến tính]] chính xác nhất*
:f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h

đối với hàm  tại một điểm gần  (hay  nhỏ).

Thay  bằng 0 trong tỉ sai phân dẫn đến phép chia cho số 0, nên hệ số góc của tiếp tuyến không thể tìm được trực tiếp bằng cách này. Thay vào đó, ta đặt  là một hàm số biến  bằng với tỉ sai phân:
:Q(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}.

 là hệ số góc của cát tuyến giữa  và . Nếu  là hàm số liên tục, nghĩa là đồ thị của nó không bị đứt đoạn hay bẻ gập, thì  là hàm số liên tục cách xa điểm . Nếu giới hạn  tồn tại, tức là có thể gán cho  một giá trị bất kỳ để  là hàm số liên tục, thì  khả vi tại  và đạo hàm của nó tại  bằng .

Trong thực tế, sự tồn tại tính liên tục của tỉ sai phân  tại  có thể được chứng minh bằng cách biến đổi tử số để loại  ở mẫu số. Phép biến đổi như vậy có thể giúp xác định giá trị giới hạn của  với  nhỏ, dù  vẫn không xác định tại . Quá trình này có thể kéo dài với các hàm phức tạp, và nhiều kỹ thuật lối tắt có thể được dùng để rút ngắn quá trình đó.

### Phương trình tiếp tuyến
Dựa vào ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta có phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm A(a;f(a)) là  y-f(a)=f'(a)(x-a) 

### Ví dụ

Hàm số bậc hai   có đạo hàm tại  và đạo hàm đó bằng 6. Điều này có được bằng cách tính giới hạn của tỉ sai phân của  khi  tiến về 0:
\begin{align}
f'(3) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} \\[10pt]
& = \lim_{h\to 0}\frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} \\[10pt]
& = \lim_{h\to 0}\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}{(6 + h)}.
\end{align}


Ta thấy tỉ sai phân trên là  khi  và không xác định khi . Giới hạn của nó là kết quả của việc cho  về 0 và là giá trị của  khi  trở nên rất nhỏ:

: \lim_{h\to 0}{(6 + h)} = 6 + 0 = 6. 

Vậy hệ số góc của đồ thị hàm số tại điểm  là  và đạo hàm của hàm số tại  là .

Tổng quát, đạo hàm của hàm số bậc hai tại  là :

:\begin{align}
f'(a) & = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}\frac{a^2 + 2ah + h^2 - a^2}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{2ah + h^2}{h} \\[0.3em]
& = \lim_{h\to 0}{(2a + h)} = 2a
\end{align}

### Tính khả vi và tính liên tục

Nếu  có đạo hàm tại  thì  cũng phải liên tục trên . Lấy ví dụ, chọn một điểm  và coi  như là một hàm bước có giá trị là 1 với mọi  nhỏ hơn  và 10 với mọi  lớn hơn hoặc bằng .  không thể có đạo hàm tại . Nếu  âm thì cát tuyến từ  đến  sẽ rất dốc, và khi  dần về 0 thì hệ số góc sẽ dần đến vô cực. Nếu  dương thì cát tuyến từ  đến  có hệ số góc bằng 0. Trong mỗi trường hợp trên, cát tuyến không đạt đến một hệ số góc duy nhất, nên giới hạn của tỉ sai phân không tồn tại.

Tuy vậy, một hàm số có thể liên tục tại một điểm nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Chẳng hạn, hàm giá trị tuyệt đối  liên tục tại  nhưng không có đạo hàm tại đó. Nếu  dương thì hệ số góc của cát tuyến từ 0 đến  là 1, còn nếu  âm thì hệ số góc đó bằng -1. Trên mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hàm số đó bị "bẻ gập" tại . Kể cả hàm số có đồ thị trơn cũng không khả vi tại một điểm mà tiếp tuyến qua nó nằm dọc, chẳng hạn, hàm số  không có đạo hàm tại .

Tóm lại, một hàm số có đạo hàm là hàm số liên tục, nhưng có những hàm liên tục lại không có đạo hàm.

Phần lớn hàm số trong thực tế có đạo hàm tại mọi điểm (hoặc tại hầu hết mọi điểm). Trong thời kì đầu của lịch sử ngành giải tích, nhiều nhà toán học cho rằng một hàm số liên tục luôn có đạo hàm tại nhiều điểm. Năm 1872, Weierstrass phát hiện ví dụ đầu tiên về một hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng không khả vi tại bất cứ đâu. Hàm đó sau này được đặt tên là hàm Weierstrass. Năm 1931, Stefan Banach chứng minh được rằng tập hợp các hàm số có đạo hàm tại một số điểm nhất định là tập con rất nhỏ so với tập hợp các hàm liên tục.

### Đạo hàm là một hàm số

Gọi   là hàm số luôn có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định. Chúng ta có thể tìm được một hàm số mà với  bất kì, giá trị của hàm bằng với giá trị của đạo hàm của  tại . Hàm số đó được gọi là *đạo hàm của*  và kí hiệu là .

Thỉnh thoảng  có đạo hàm tại phần lớn điểm trên tập xác định (không phải mọi điểm). Hàm số mà giá trị của nó tại  bằng  khi  xác định, và không xác định tại mọi điểm khác, cũng được gọi là đạo hàm của , dù tập xác định của nó hoàn toàn nhỏ hơn.

Bằng ý tưởng này, phép vi phân trở thành một hàm hợp: đạo hàm là một toán tử mà tập xác định của nó là tập hợp tất cả các hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định và tập hợp đích của nó là một tập hợp các hàm số. Kí hiệu toán tử trên là  thì  là hàm số .  là hàm số xác định tại  nên ta có .

Để so sánh, ta xét hàm số :  là hàm số thực có đầu vào là một số, đầu ra cũng là một số:

:\begin{align}
 1 &{}\mapsto 2,\\
 2 &{}\mapsto 4,\\
 3 &{}\mapsto 6.
\end{align}

Toán tử  chỉ xác định trên các hàm số:

:\begin{align}
 D(x \mapsto 1) &= (x \mapsto 0),\\
 D(x \mapsto x) &= (x \mapsto 1),\\
 D\left(x \mapsto x^2\right) &= (x \mapsto 2\cdot x).
\end{align}

Đầu ra của  là một hàm số, có thể định được giá trị tại một điểm. Ví dụ: đầu vào của  là  cho đầu ra  mà ta gọi là . Các giá trị tương ứng của đầu ra đó là , ,...

### Đạo hàm cấp cao
Gọi  là hàm số khả vi và  là đạo hàm của nó. Đạo hàm của  (nếu có) được gọi là *đạo hàm cấp hai* của  và kí hiệu là . Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp hai (nếu có) được gọi là *đạo hàm cấp ba* của  và kí hiệu là . Cứ như vậy, ta xác định đạo hàm cấp  là đạo hàm của đạo hàm cấp . Các đạo hàm trên được gọi chung là *đạo hàm cấp cao*.

Nếu  mô tả vị trí của một vật ở thời gian  thì mỗi đạo hàm cấp cao của  mang một ý nghĩa riêng trong vật lý. Đạo hàm cấp một của  là vận tốc của vật. Đạo hàm cấp hai của  là gia tốc. Đạo hàm cấp ba của  là độ giật,...

Một hàm số  không cần phải có đạo hàm (chẳng hạn, nếu hàm đó không liên tục). Tương tự, ngay cả khi  có đạo hàm, nó có thể không có đạo hàm cấp hai. Chẳng hạn, cho hàm số

:f(x) = \begin{cases} +x^2, & \text{khi }x\ge 0 \\ -x^2, & \text{khi }x \le 0.\end{cases}

 là hàm số khả vi và đạo hàm của nó tại  là

:f'(x) = \begin{cases} +2x, & \text{khi }x\ge 0 \\ -2x, & \text{khi }x \le 0.\end{cases}

 không có đạo hàm tại . Những ví dụ tương tự cho thấy một hàm số có thể có đạo hàm cấp  (với  là số nguyên dương) nhưng không có đạo hàm cấp . Một hàm số có  đạo hàm liên tiếp thì khả vi  lần. Nếu đạo hàm thứ  là liên tục thì hàm số sẽ thuộc lớp khả vi . Một hàm số có vô số đạo hàm là hàm *khả vi vô hạn*.

Trên trục số thực, mọi hàm số đa thức đều là hàm khả vi vô hạn. Theo quy tắc tính đạo hàm, đa thức bậc  sau  lần vi phân sẽ thành hàm hằng, và mọi đạo hàm tiếp theo đều bằng 0.

Đạo hàm của hàm số  tại một điểm  cho ta phép tính đa thức gần đúng với một hàm (). Ví dụ, nếu  (x)khả vi hai lần thì

: f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac{1}{2} f*(x) h^2</math>

vì

:<math> \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac{1}{2} f*(x) h^2}{h^2}=0.

Nếu  khả vi vô hạn thì đây là phần đầu của chuỗi Taylor với  tính được tại  gần với .

### Điểm uốn
Một điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai của hàm số đổi dấu được gọi là *điểm uốn*. Tại điểm uốn, đạo hàm cấp hai có thể bằng 0 (như tại điểm uốn  của hàm số f(x) = x^3) hoặc không tồn tại (như tại điểm uốn  của hàm số f(x) = x^\frac{1}{3}). Tại điểm uốn, hàm số chuyển từ hàm lồi sang hàm lõm và ngược lại.

## Ký hiệu
Đạo hàm được ký hiệu bằng dấu nháy đơn sau một biến số hoặc hàm số.
### Ký hiệu của Leibniz

Các kí hiệu dx, dy và \frac{dy}{dx} được giới thiệu lần đầu tiên bởi Gottfried Leibniz vào năm 1675.

## Quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm của hàm số có thể được tính theo định nghĩa bằng cách tìm tỉ sai phân của hàm và tính giới hạn của nó. Trong thực tế, từ một số hàm đơn giản, đạo hàm của các hàm số khác phức tạp được tính dễ dàng hơn bằng cách áp dụng các *quy tắc* nhất định.

### Đạo hàm của hàm số sơ cấp
Dưới đây là quy tắc tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp, với *a* hoặc \alpha là một số thực.

* *Đạo hàm của hàm lũy thừa:* (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}
**Đặc biệt: \left (\frac{1}{x} \right)'=-\frac{1}{x^2}
** *Đạo hàm căn bậc hai:* (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}
***Đạo hàm căn bậc n: <math>(\sqrt[n]{x})'=\frac{\sqrt[n]{x^{1-n}}}n=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}</math>*
**Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:*

:(e^x)'=e^x
:(a^x)'=a^x \ln a
:(\ln x)'=\frac{1}{x} (x>0)
:(\log_a{x})'=\frac{1}{x \ln a}

**[[Đạo hàm của các hàm lượng giác|Đạo hàm của hàm số lượng giác]]:*

:(\sin x)'=\cos x
:(\cos x)'=-\sin x
:(\tan x)'=1+{\tan^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}
:(\cot x)'=-(1+{\cot^2 x})=-\frac{1}{\sin^2 x}

**Đạo hàm của hàm lượng giác ngược:*

:(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \qquad (-1
:(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \qquad (-1
:(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}
:(\arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}
### Đạo hàm của hàm hợp
Nhiều lúc việc tính đạo hàm bằng tỉ sai phân Newton rất phức tạp, ta có thể tránh điều này qua một số quy tắc sau:

* *Đạo hàm của hằng số:* (C)'=0
* *Quy tắc cộng: <math>(\alpha f + \beta g)' = \alpha f' + \beta g' </math>* với mọi hàm số *f* và *g* và mọi số thực \alpha và \beta. (1)
**Quy tắc nhân:*

:(fg)' = f 'g + fg'  với mọi hàm số *f* và *g*.
:(\alpha f)' = \alpha f' với \alpha là hằng số. (2)

**Quy tắc chia: <math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math>* (*g* khác 0)
**Quy tắc hàm hợp:* Nếu f(x) = h(g(x)) thì f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). 

Các quy tắc (1) và (2) cho thấy đạo hàm là một  ánh xạ tuyến tính. 
### Hệ quả
Từ các quy tắc trên, ta suy ra:

* *Với u là hàm số:*
** Đạo hàm lũy thừa: (u^n)'=u'nu^{n-1}
*** Đặc biệt: \left (\frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{u^2}
** Đạo hàm căn bậc hai: (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}
** Đạo hàm căn bậc *n*: *<math>(\sqrt[n]{u})'=\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}</math>*
** Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

::(e^u)'=u'e^u
::(a^u)'=u'a^u \ln a
::(\ln u)'=\frac{u'}{u}
::(\log_a{u})'=\frac{u'}{u \ln a}
:* Đạo hàm của hàm số lượng giác:
::(\sin u)'=u'\cos u
::(\cos u)'=-u'\sin u
::(\tan u)'=u'(1+{\tan^2 u})=\frac{u'}{\cos^2 u}
::(\cot u)'=-u'(1+{\cot^2 u})=-\frac{u'}{\sin^2 u}

* *Đạo hàm của các phân thức hữu tỉ:*
:\left (\frac{ax+b}{cx+d} \right)'=\frac{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}{(cx+d)^2}=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}
:\left (\frac{ax^2+bx+c}{ex+f} \right)'=\frac{aex^2+2afx+(bf-ce)}{(ex+f)^2}
:\left (\frac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2} \right)'=\frac{\begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}x^2+2\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}x+\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}}{(a_2x^2+b_2x+c_2)^2}

### Đạo hàm cấp cao

* *Đạo hàm lũy thừa:* (x^m)^{(n)} = \begin{cases} m(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^{m-n} & (m\geq n) \\ 0 & (m
* *Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:*
:(\log_ax)^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{\ln a}\frac{1}{x^n}
:(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n}
:(e^{kx})^{(n)}=k^ne^{kx}
:(a^x)^{(n)}=(\ln a)^na^x

* *Đạo hàm của hàm số lượng giác:*
:(\sin ax)^{(n)}=a^n\sin\left (ax+\frac{n\pi}{2} \right)
:(\cos ax)^{(n)}=a^n\cos\left (ax+\frac{n\pi}{2} \right)

* *Đạo hàm của phân thức hữu tỉ:* \left (\frac{1}{ax+b} \right)^{(n)}=(-1)^na^nn!\frac{1}{(ax+b)^{n+1}}

## Đạo hàm trong không gian

### Hàm vectơ
Hàm vectơ **y** của một biến số thực cho giá trị vectơ trong không gian **R***n* với mỗi số thực bất kì. Một hàm vectơ có thể được chia thành các hàm tọa độ *y*1(*t*), *y*2(*t*),..., *y<sub>n</sub>*(*t*), tức là **y**(*t*) = (*y*1(*t*),..., *y<sub>n</sub>*(*t*)). Nó cũng bao gồm các phương trình tham số tại **R**2 hay **R**3. Các hàm tọa độ này là hàm số thực, nên định nghĩa đạo hàm cũng đúng với chúng. Đạo hàm của **y**(*t*) là một vectơ, được gọi là vectơ tiếp tuyến, mà tọa độ của nó là đạo hàm của các hàm tọa độ, nghĩa là:
:\textbf {y}'(t)=(y_1'(t),...,y_n'(t))

hay
:\textbf {y}'(t)=\lim_{h \to 0}\frac{\textbf{y}(t+h)-\textbf{y}(t)}{h}

nếu giới hạn đó tồn tại. Ở đây tử thức là một đại lượng vectơ, không phải đại lượng vô hướng. Nếu đạo hàm của **y** tồn tại với mọi giá trị của *t* thì **y**' cũng là một hàm vectơ.

Nếu **e**1,..., **e***<sub>n</sub>* là các vectơ đơn vị trong **R***n* thì **y**(*t*) có thể được viết thành *y*1(*t*)**e**1 +... + *y<sub>n</sub>*(*t*)**e***<sub>n</sub>*. Vì mỗi vectơ đơn vị đều là hằng số nên theo quy tắc nhân:
:\textbf {y}'(t)=y_1'(t)\textbf{e}_1+...+y_n'(t)\textbf{e}_n

Trong vật lý, nếu **y**(*t*) là vectơ vị trí của một chất điểm tại thời điểm *t* thì **y**'(*t*) là vectơ vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm *t*.

### Đạo hàm riêng
Gọi *f* là hàm số đa biến, chẳng hạn:
:f(x,y)=x^2+xy+y^2

*f* còn được gọi là họ các hàm một biến được biểu thị bởi biến số khác:
:f(x,y)=f_x(y)=x^2+xy+y^2

Nói cách khác, mỗi giá trị của *x* xác định một hàm đơn biến *f<sub>x</sub>*:
:x \mapsto f_x,
:f_x(y)=x^2+xy+y^2.

Chọn một giá trị *x* = *a*, ta có hàm số *f<sub>a</sub>*:
:f_a(y)=a^2+ay+y^2.

Ở đây *a* là hằng số, không phải là biến nên *f<sub>a</sub>* là hàm đơn biến. Theo định nghĩa đạo hàm đơn biến thì
:f_a'(y)=a+2y.

Lặp lại tương tự với mọi giá trị khác của *a*. Tổng hợp lại, ta có hàm số biểu diễn sự biến thiên của *f* theo *y*:
:\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x + 2y.\,

Đó là đạo hàm riêng của *f* theo *y*. Ở đây ∂ được gọi là **kí hiệu đạo hàm riêng**. Tổng quát, **đạo hàm riêng** của hàm *f*(*x*1,..., *x<sub>n</sub>*) theo hướng *x<sub>i</sub>* tại điểm (*a*1,..., *a<sub>n</sub>*) là:
:\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots, a_i, \dots,a_n)}{h}.

Trong tỉ sai phân trên, mọi biến trừ *x<sub>i</sub>* đều mang giá trị không đổi, nên hàm đơn biến sau được xác định:
:f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i)=f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n),

và theo định nghĩa:
:\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(x_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).

Nói cách khác, với các giá trị khác nhau của *a*, ta xác định được một họ các hàm đơn biến như ví dụ trên đây.

Một ví dụ quan trọng của hàm đa biến là trường hợp một hàm vô hướng *f*(*x*1,..., *x<sub>n</sub>*) xác định trên một miền của không gian Euclid **R***n* (chẳng hạn, **R**2 hay **R**3). Trong trường hợp này, *f* có đạo hàm riêng ∂*f*/∂*x<sub>j</sub>* với mỗi biến *x<sub>j</sub>*. Tại điểm (*a*1,..., *a<sub>n</sub>*), các đạo hàm riêng này định ra vectơ
:\nabla f(a_1,\ldots,a_n) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,\ldots,a_n), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1,\ldots,a_n)\right).

Vectơ này được gọi là **[[gradien]]** của *f* tại *a*. Nếu *f* khả vi tại mọi điểm trong miền xác định thì gradien là một hàm vectơ ∇*f* đưa một điểm (*a*1,..., *a<sub>n</sub>*) đến vectơ ∇*f*(*a*1,..., *a<sub>n</sub>*). Do đó, gradien là một trường vectơ.

### Đạo hàm có hướng
Nếu *f* là hàm số thực trên **R***n* thì đạo hàm riêng của *f* mô tả sự biến thiên của nó theo hướng của các trục tọa độ. Chẳng hạn, nếu *f* là một hàm gồm hai biến *x* và *y* thì các đạo hàm riêng của *f* biểu diễn sự biến thiên của nó theo hai trục *x* và *y*. Tuy nhiên, chúng không trực tiếp biểu diễn được sự biến thiên của *f* theo các trục khác (như đường thẳng *y* = *x*). Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm có hướng. Chọn một vectơ
:\textbf{v}=(v_1,\ldots,v_n).

**Đạo hàm có hướng** của *f* theo hướng của **v** tại điểm **x** là giới hạn
:D_\textbf{v}f(\textbf{x})=\lim_{h \to 0}\frac{f(\textbf{x}+h\textbf{v})-f(\textbf{x})}{h}.

Trong nhiều trường hợp, để hỗ trợ tính toán, ta thường thay đổi độ dài vectơ để quy về bài toán tính đạo hàm có hướng theo một vectơ đơn vị. Để chứng minh hiệu quả, ta đặt **v** = *λ***u**. Thay *h* = *k*/*λ* vào tỉ sai phân, ta có:
:\frac{f(\textbf{x}+(k/\lambda)(\lambda\textbf{u}))-f(\textbf{x})}{k/\lambda}=\lambda\cdot\frac{f(\textbf{x}+k\textbf{u})-f(\textbf{x})}{k}.

hay bằng *λ* lần tỉ sai phân của đạo hàm có hướng của *f* theo **u**. Hơn nữa, việc lấy giới hạn khi *h* tiến về 0 cũng giống như khi *k* tiến về 0 vì *h* và *k* là bội số của nhau. Do đó, *D***v**(*f*) = λ*D***u**(*f*). Vì tính chất này nên thường ta chỉ xét đạo hàm có hướng đối với các vectơ đơn vị.

Nếu tất cả đạo hàm riêng của *f* tồn tại và liên tục tại **x** thì chúng xác định đạo hàm có hướng của *f* theo hướng của **v** bằng công thức:
:D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}.

Đó là hệ quả của định nghĩa đạo hàm tổng. Theo đó, đạo hàm có hướng tuyến tính trên **v**, nghĩa là *D***v** + **w**(*f*) = *D***v**(*f*) + *D***w**(*f*).

Định nghĩa trên cũng đúng khi *f* là hàm số lấy giá trị trong **R***m*. Khi đó, đạo hàm có hướng là một vectơ trong **R***m*.

### Đạo hàm tổng, vi phân tổng và ma trận Jacobi

Khi *f* là hàm số xác định trên một tập mở của **R***n* đến **R***m* thì đạo hàm có hướng của *f* theo một hướng xác định là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của *f* tại điểm đó và theo hướng đó. Nhưng khi *n* > 1 thì không đạo hàm có hướng nào có thể mô tả trạng thái biến thiên của *f* một cách toàn diện. Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm tổng. Với mỗi vectơ **v** bắt đầu tại *a*, ta có:
:f(\textbf a + \textbf v)\approx f(\textbf a) + f'(\textbf a)\textbf v.

Giống như đạo hàm đơn biến, *f*'(**a**) được chọn sao cho sai số trong biểu thức là thấp nhất có thể.

Nếu *n* và *m* cùng bằng 1 thì đạo hàm *f*'(*a*) là một số và *f*'(*a*)*v* là tích của hai số. Nhưng trong không gian, *f*'(**a**) không thể là một số, vì nếu vậy thì *f*'(**a**)**v** phải là một vectơ trên **R***n* và số hạng còn lại là vectơ trên **R***m*, đó là điều vô lý. Do đó, *f*'(**a**) phải là một hàm đưa vectơ ở **R***n* đến vectơ ở **R***m* và *f*'(**a**)**v** phải chứng tỏ hàm đó xác định tại **v**.

Để tìm xem hàm đó có dạng gì, chú ý rằng phép xấp xỉ tuyến tính có thể được viết lại thành
:f(\textbf a + \textbf v) - f(\textbf a) \approx f'(\textbf a)\textbf v.

Nếu ta chọn một vectơ **w** khác **v** thì biểu thức này xác định thêm một phép xấp xỉ tuyến tính khác bằng cách thay **v** bằng **w**. Nó cũng xác định một phép xấp xỉ tuyến tính thứ ba bằng cách thay **v** bằng **w** và thay **a** bằng **a** + **v**. Trừ vế cho vế ở hai biểu thức trên, ta được
:f(\textbf a + \textbf v + \textbf w) - f(\textbf a + \textbf v) - f(\textbf a + \textbf w) + f(\textbf a) \approx f'(\textbf a + \textbf v)\textbf w - f'(\textbf a)\textbf w.

Nếu coi **v** là nhỏ và đạo hàm đó biến đổi liên tục trên **a** thì *f*'(**a** + **v**) xấp xỉ bằng *f*'(**a**) nên vế phải xấp xỉ bằng 0. Bằng cách ứng dụng phép xấp xỉ tuyến tính với **v** thay bằng **v** + **w**, ta viết lại vế trái như sau:
:\begin{align} 0
     & \approx f(\textbf a + \textbf v + \textbf w) - f(\textbf a + \textbf v) - f(\textbf a + \textbf w) + f(\textbf a) \\ 
     & = (f(\textbf a + \textbf v + \textbf w) - f(\textbf a)) - (f(\textbf a + \textbf v) - f(\textbf a)) - (f(\textbf a + \textbf w) - f(\textbf a)) \\
     & \approx f'(\textbf a)(\textbf v + \textbf w) - f'(\textbf a)\textbf v - f'(\textbf a)\textbf w. \\
\end{align}

Điều này chứng tỏ rằng *f*'(**a**) là phép biến đổi tuyến tính từ không gian vectơ **R***n* sang không gian vectơ **R***m*.

Thực tế, đạo hàm đơn biến là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất vì đó là giới hạn của tỉ sai phân. Tuy nhiên, biểu thức này không hợp lý trong không gian, vì không phải lúc nào ta cũng thực hiện được phép chia các vectơ. Đặc biệt, trong tỉ sai phân, tử thức và mẫu thức không thuộc cùng một không gian vectơ: tử thuộc tập con **R***n* còn mẫu thuộc tập **R***m*. Hơn nữa, đạo hàm là phép biến đổi tuyến tính, do đó, để *f*'(**a**) là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất thì cần điều chỉnh một công thức khác cho đạo hàm đơn biến để giải quyết vấn đề. Nếu *f*: **R** **→** **R**, ta biến đổi biểu thức để cho thấy đạo hàm của *f* tại *a* là một số *f*'(*a*) duy nhất sao cho
:\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)}{h} = 0

hoặc đồng nghĩa với
:\lim_{h \to 0} \frac = 0

vì giới hạn của biểu thức bằng 0 khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của nó tiến về 0. Biểu thức cuối có thể áp dụng được cho hàm đa biến bằng cách thay giá trị tuyệt đối bằng chuẩn.

Do đó, người ta định nghĩa: **Đạo hàm tổng** của *f* tại *a* là phép biến đổi tuyến tính duy nhất *f*'(**a**): **R***n* **→** **R***m* sao cho
:\lim_{\textbf h \to 0} \frac{\|f(\textbf a + \textbf h) - (f(\textbf a) + f'(\textbf a)\textbf h)\|}{\|\textbf h\|} = 0.

Nếu đạo hàm tổng này tồn tại ở **a** thì tất cả đạo hàm riêng và đạo hàm có hướng của *f* đều tồn tại ở **a**, và với mọi **v**, *f*'(**a**)**v** là đạo hàm có hướng của *f* theo hướng **v**. Nếu ta viết lại *f* theo các hàm tọa độ, tức là *f* = (*f*1, *f*2,..., *f<sub>m</sub>*) thì đạo hàm tổng có thể được biểu thị bằng cách coi các đạo hàm riêng như là một ma trận. Ma trận đó được gọi là **[[ma trận Jacobi]]** của *f* tại **a**:
:f'(\mathbf{a}) = \operatorname{Jac}_{\mathbf{a}} = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{ij}.

Nếu đạo hàm riêng tồn tại và liên tục thì đạo hàm tổng tồn tại, được xác định bằng ma trận Jacobi và phụ thuộc liên tục vào **a**.

Định nghĩa đạo hàm tổng còn gộp vào thêm định nghĩa đạo hàm đơn biến, tức là, nếu *f* là hàm số thực đơn biến thì đạo hàm tổng tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm thường của nó tồn tại. Ma trận Jacobi khi đó được thu gọn thành ma trận 1×1, trong đó đạo hàm *f*'(*x*) là phần tử duy nhất. Ma trận 1×1 này thỏa mãn tính chất *f*(*a* + *h*) - (*f*(*a*) + *f*'(*a*)*h*) có giá trị xấp xỉ bằng 0, hay
:f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h.

Đây cũng là phát biểu cho rằng hàm x \mapsto f(a) + f'(a)(x - a) là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của *f* tại *a*.

## Lịch sử

Vi tích phân là một nhánh của toán học tập trung vào giới hạn, hàm số, đạo hàm, tích phân và chuỗi vô hạn. Isaac Newton và Gottfried Leibniz tìm ra vi tích phân vào giữa thế kỷ 17.

## Ứng dụng của đạo hàm

### Ý nghĩa vật lí

#### Vận tốc tức thời
Xét một chuyển động thẳng có phương trình dạng s=s(t), với s(t) là một hàm số có đạo hàm. Khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức v(t_0)=s'(t_0)= \lim_{t \to t_0} \frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}.

#### Cường độ tức thời của dòng điện
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số thời gian của t hay Q= Q(t) với cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian \left\vert t-t_0 \right\vertlà I= \frac{Q(t)-Q(t_0)}{t-t_0}  hay chỉ là I(t_0)=Q'(t_0) 

### Khảo sát sự biến thiên hàm số bằng đạo hàm

#### Xét tính đơn điệu của hàm số
Ta có thể rút ra tính đơn điệu của một hàm số trên khoảng dựa vào định lý sau:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Nếu f'(x) > 0, \forall x \in K thì hàm số đồng biến trên K, còn nếu f'(x)  thì hàm số nghịch biến trên K.

Nếu  f'(x) \geq 0 (f'(x) \leq 0) \forall x \in K, f(x) = 0 tại  một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

#### Điều kiện để hàm số có cực trị
Có một điều kiện đủ để xác định điểm cực trị như sau:

Giả sử có số thực dương h và hàm y = f(x) liên tục trên K=(x_0-h;x_0+h) và có đạo hàm trên K.  hoặc trên K\setminus \left \{ x_0 \right \}. 

Nếu f'(x) > 0, \forall x \in (x_0-h;x_0)  và f'(x)  thì x_0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). 

Nếu f'(x)   và f'(x) > 0, \forall x \in (x_0; x_0+h) thì x_0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). 

### Sử dụng đạo hàm cấp 2
Giả sử có số thực dương h và hàm y = f(x) liên tục trên K=(x_0-h;x_0+h) và có đạo hàm cấp 2 trên K.hoặc trên K\setminus \left \{ x_0 \right \}. Khi đó có kết quả sau:

Nếu f'(x_0)=0, f*(x_0)>0 </math> thì <math>x_0</math> là một điểm cực tiểu của hàm số.

Nếu <math>f'(x_0)=0, f*(x_0) thì x_0 là một điểm cực đại của hàm số.

## Xem thêm

## Chú thích

### Ghi chú

### Tham khảo

## Thư mục

### Sách in

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

### Sách trực tuyến

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

## Liên kết ngoài

*Derivative trong *[[Encyclopædia Britannica]]*
*Đạo hàm trong Từ điển bách khoa Việt Nam
*Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
* 
* Online Derivative Calculator từ WolframAlpha.