Độ cong

Trong hình học, **độ cong** thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.

## Độ cong của một đường cong

### Định nghĩa
Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong \kappa chính là nghịch đảo của bán kính cong R.
:\kappa = \frac{1}{R}
Gọi ds là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và d\phi là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:
:\kappa = \frac{d\phi}{ds}

### Tính độ cong của một đường cong phẳng
#### Trong hệ tọa độ Descartes
:*Xem thêm: *Hệ tọa độ Descartes
Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số 
\begin{cases}
 x = x(t) \\
 y = y(t)
\end{cases}
, từ phần trên ta có định nghĩa:
:\kappa = \frac{d\phi}{ds}
 = \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\dfrac{ds}{dt}}
 = \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\sqrt{\left (\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left (\dfrac{dy}{dt}\right)^2}}
 = \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\sqrt
d\phi là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa \phi là góc tiếp tuyến của đường cong.
:\tan \phi = \dfrac{dy}{dx}
 = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}
 = \dfrac{y'}{x'}
Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số t ta được:
:\frac{d}{dt}(\tan \phi)
 = \left (1 + {\tan}^2 \phi \right)\frac{d\phi}{dt}
 = \dfrac{x'y* - y'x*}

#### Trong hệ tọa độ cực
:*Xem thêm: *Hệ tọa độ cực
Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số r = r(\theta) thì độ cong được tính như sau:
:\kappa = \dfrac{r^2 + 2\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 - r\dfrac{d^2r}{d\theta^2}}{\left [r^2+\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2\right ]^{3/2}}

#### Ví dụ
##### Đường thẳng
**[[Đường thẳng]]** 
\begin{cases}
 x = t \\
 y = at + b
\end{cases}
 hay y = ax + b sẽ có độ cong được tính như sau:
:x' = 1,\quad x* = 0,\quad y' = a, \quad y* = 0,\quad \dfrac{dy}{dx} = a, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} = 0 
Áp dụng công thức ta có:
:\kappa = \dfrac{x'y* - y'x*}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}
= \dfrac{1\cdot 0 - a\cdot 0}{\left ({1}^2+{a}^2\right)^{3/2}} = 0

hay công thức:
:\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{0}{\left [1+a^2\right ]^{3/2}} = 0
Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

##### Đường tròn
**[[Đường tròn]]** 
\begin{cases}
 x = R\cos t \\
 y = R\sin t
\end{cases}
 hay r = R sẽ có độ cong được tính như sau:
:x' = -R\sin t,\quad x* = -R\cos t,\quad y' = R\cos t, \quad y* = -R\sin t,\quad \dfrac{dr}{d\theta} = 0, \quad \dfrac{d^2r}{d\theta^2} = 0 
Áp dụng công thức ta có:
:\kappa = \dfrac{x'y* - y'x*}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}
= \dfrac{(-R\sin t)\cdot (-R\sin t) - (R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left [{(-R\sin t)}^2+{(R\cos t)}^2\right ]^{3/2}} = \frac{1}{R}

hay công thức:
:\kappa = \dfrac{r^2 + 2\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 - r\dfrac{d^2r}{d\theta^2}}{\left [r^2+\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{R^2 + 2\cdot 0^2 - R\cdot 0}{\left [R^2+0^2\right ]^{3/2}} = \frac{1}{R}

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.
##### Các đường khác
***Đường [[parabol]]** y = ax^2 sẽ có độ cong được tính như sau:
:\dfrac{dy}{dx} = 2ax, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} = 2a 
Áp dụng công thức ta có:
:\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{2a}{\left [1+(2ax)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{2a}{\left (1+4a^2x^2\right)^{3/2}}
* **Đường [[ellipse]]** 
\begin{cases}
 x = a\cos t \\
 y = b\sin t
\end{cases}
 sẽ có độ cong được tính như sau:
:x' = -a\sin t,\quad x* = -a\cos t,\quad y' = b\cos t, \quad y* = -b\sin t
Áp dụng công thức ta có:
:\kappa = \dfrac{x'y* - y'x*}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}
= \dfrac{(-a\sin t)\cdot (-b\sin t) - (b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left [{(-a\sin t)}^2+{(b\cos t)}^2\right ]^{3/2}}
::= \frac{ab}{\left [\left (\dfrac{ay}{b}\right)^2+\left (\dfrac{bx}{a}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \frac{ab}{\left [a^2\left (1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)+\dfrac{b^2}{a^2}x^2\right ]^{3/2}}
::= \frac{ab}{\left [a^2 - \left (1 - \dfrac{b^2}{a^2}\right)x^2\right ]^{3/2}}
= \frac{ab}{\left (a^2 - e^2x^2\right)^{3/2}}

với e=\sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}} là tâm sai của ellipse.

### Độ cong của một đường cong ghềnh
Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes 
\begin{cases}
 x = x(t) \\
 y = y(t) \\
 z = z(t)
\end{cases}
 được tính theo công thức
:\kappa=\frac{\sqrt{(z*y'-y*z')^2+(x*z'-z*x')^2+(y*x'-x*y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}

## Độ cong của một mặt cong

### Độ cong Gauss

### Độ cong trung bình

## Độ cong của một không gian

### Tenxơ độ cong Riemann

### Tenxơ độ cong Ricci

## Xem thêm
* Bán kính cong
* Đa tạp Riemann
* Hệ tọa độ Descartes
* Hệ tọa độ cực
* Hình học vi phân

## Tham khảo
John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds