Số Fermat

**Số Fermat** là một khái niệm trong toán học, mang tên nhà toán học Pháp Pierre de Fermat, người đầu tiên đưa ra khái niệm này. Nó là một số nguyên dương có dạng
:F_{n} = 2^{2^n} + 1.

với n là số nguyên không âm.
Nếu một số Fermat là một số nguyên tố thì nó được gọi là **số nguyên tố Fermat**.

## Tính chất cơ bản
Số Fermat thỏa mãn các hệ thức truy hồi sau

F_n = (F_n - 1)^2 + 1

F_n = F_0..F_{n-1}+2

,với n \ge 1 , và

F_n = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_0..F_{n-2}

F_n = F_{n-1}^2 - 2 (F_{n-2}-1)^2

với n \ge 2 . Mỗi hệ thức trên có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Trong đó từ hệ thức thứ hai ta có thể suy ra **[[Giả thuyết Goldbach]]** rằng không có 2 số Fermat phân biệt mà ước chung của chúng lớn hơn 1. Để kiểm tra điều này, giả sử *0 &le; i &lt; j*  và *F<sub>i</sub>* với *F<sub>j</sub>* có chung 1 ước số *a* > 1. Khi đó *a* là ước của F_0..F_{j-1} và F_j, suy ra *a* cũng phải là ước của 2, mà *a* lớn hơn 1 nên *a* bằng 2. Điều này mâu thuẫn bởi mọi số Fermat là số lẻ.

Đồng thời như một kết quả tất yếu, ta tìm được cách chứng minh khác cho sự vô hạn của số nguyên tố. Với mỗi *F<sub>n</sub>*, chọn một ước nguyên tố *p<sub>n</sub>* thì dãy *{p<sub>n</sub>}* tạo thành một dãy chứa vô hạn các số nguyên tố phân biệt.

### Các tính chất khác
* Không có số Fermat có thể biểu diễn thành hiệu của 2 lũy thừa bậc *p* với *p* là số nguyên tố lẻ*.
* Ngoại trừ F<sub>0</sub> và F<sub>1</sub>, các số Fermat đều kết thúc bằng số [[7 (số)|7]].
* Tổng của các nghịch đảo của các số Fermat là [[số vô tỉ]].

==Các giá trị đầu tiên==


==Lịch sử==
Khi nghiên cứu các số có dạng 2<sup>2<sup>n</sup></sup> + 1, Fermat đã tính ra được với n = 0, 1, 2, 3, 4 thì số có dạng trên là số nguyên tố, từ đó ông đưa ra dự đoán các số có dạng như trên đều là số nguyên tố. Từ đó các số có dạng thức như trên được gọi là số Fermat.

Tuy nhiên đến năm [[1732]], [[Leonhard Euler|Euler]] đã phủ định dự đoán trên bằng cách chứng minh F<sub>5</sub> là hợp số.

==Phân tích ra thừa số nguyên tố==
Bằng cách biểu thị:
:<math>641 = 5 \times 2^7 + 1 = 2^4 + 5^4</math>

Euler đã suy ra: <math>5 \times 2^7 \equiv -1\pmod{641}</math>, dẫn đến <math>5^4 \times 2^{28} \equiv (-1)^4 \equiv 1\pmod{641}</math>. Mặt khác <math>5^4 \equiv -2^4\pmod{641}</math> nên suy ra <math>-2^{32} \equiv 1\pmod{641}</math>. Vậy F<sub>5</sub> chia hết cho [[641 (số)|641]].

Euler cũng đã chứng minh được mọi ước nguyên tố của F<sub>n</sub> đều có dạng k2<sup>n + 2</sup> + 1.

Đến nay người ta vẫn chưa tìm ra nổi thêm số Fermat nào nguyên tố nữa, trong khi đã có hơn 70 hợp số của số Fermat đã được kiểm chứng.

Một trong những cách phân tích có uy tín nhất hiện nay là phân tích F<sub>n</sub> ra tổng hai [[bình phương]] (chúng có dạng 4k + 1, hoàn toàn làm được). Phân tích cơ bản nhất là:
:<math>F_n = \left (2^{2^{n-1}} \right)^2 + 1^2</math>.

Nếu như tồn tại một cách biểu diễn khác, giả dụ F<sub>n</sub> = x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> (với x > y) thì tính kết quả của:
:<math>\gcd (x + 2^{2^{n-1}} \times y,F_n)</math>.

Ví dụ:
*F<sub>5</sub> = 62 264<sup>2</sup> + 20 449<sup>2</sup>, dẫn đến:
:<math>\gcd (62.264 + 2^{2^4} \times 20.449,F_5) = 641</math>.
*F<sub>6</sub> = 4 046 803 256<sup>2</sup> + 1 438 793 759<sup>2</sup>, dẫn đến:
:<math>\gcd (4.046.803.256 + 2^{2^5} \times 1.438.793.759,F_6) = 274.177</math>.

Nhờ đó người ta đã phân tích ra thừa số nguyên tố của các số từ F<sub>5</sub> đến F<sub>11</sub>, thậm chí còn tìm ra ước nguyên tố của các số lớn hơn thế nữa.

Ví dụ:
*F<sub>1945</sub> = 2<sup>2<sup>1945</sup></sup> + 1 có khoảng 9,5929 × 10<sup>584</sup> chữ số, nhờ phép phân tích trên tìm ra được ước số của nó là 5 × 2<sup>1947</sup> + 1 ≈ 6,3734 × 10<sup>586</sup>.
*F<sub>2 478 782</sub> = 2<sup>2<sup>2 478 782</sup></sup> + 1 có khoảng 1,6343 × 10<sup>746 187</sup> chữ số, nhờ phép phân tích trên tìm ra được ước số của nó là 3 × 2<sup>2 478 785</sup> + 1 ≈ 1,3029 × 10<sup>746 189</sup>, đây là [[hợp số]] Fermat lớn nhất đã biết từ trước đến nay.

==Tính chất liên quan đến ước số==
Ta có thể tính gần đúng số chữ số của chúng bằng hệ thức gần đúng:
:<math>D(n,b) = \lfloor \log_{b}\left(2^{2^{\overset{n}{}}}+1\right)+1 \rfloor = \lfloor 2^{n}\,\log_{b}2+1 \rfloor </math>
*Nếu 2<sup>m</sup> + 1 là nguyên tố thì m là một lũy thừa của 2.
*Ước nguyên tố của F<sub>n</sub> luôn có dạng *'k2n + 2 + 1''', với k > 2.

## Ứng dụng trong dựng đa giác đều

## Tham khảo

## Liên kết ngoài
* 
* Chris Caldwell, The Prime Glossary: Fermat number at The Prime Pages.
* Luigi Morelli, History of Fermat Numbers
* John Cosgrave, Unification of Mersenne and Fermat Numbers 
* Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers 
* 
* 
* 
* 
* Yves Gallot, Generalized Fermat Prime Search
* Mark S. Manasse, Complete factorization of the ninth Fermat number (original announcement)
* Peyton Hayslette, Largest Known Generalized Fermat Prime Announcement