Uzluksiz funksiya

**Uzluksiz funksiya** – maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) boʻlsa, f(x) funksiya x_0 nuqtada uzluksiz deyiladi.

Demak, f(x) funksiyaning x_0 nuqtada uzluksiz ushbu 1) \lim_{x \to x_0} f(x)=b ning mavjudligi, 2) b=f(x_0) boʻlishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.

### Misollar

# Ushbu f(x)=x^4+x^2+1 funksiya \forall x_0\in R nuqtada uzluksiz boʻladi, chunki \lim_{x \to x_0} f(x)=\lim_{x \to x_0} (x^4+x^2+1)=x^4_0+x^2_0+1=f(x_0)
# Ushbu f(x) = (sinx)^2=\begin{cases} 1, agar & x\neq0& bo'lsa \\ 0, agar & x=0 &bo'lsa \end{cases} funksiyani qaraylik. Ravshanki,  \forall x_0\in R nuqtada \lim_{x \to x_0} f(x)=1 boʻladi. Demak, qaralyotgan funksiya \forall x_0\in R, x_0\neq0 nuqtada uzluksiz boʻladi. Ammo f(0)=0 boʻlgani sababli \lim_{x \to x_0} f(x)=f(0) boʻladi. Demak, f(x) funksiya x_0=0 nuqtada uzluksiz boʻlmaydi. Funksiya limitning Geyne va Koshi taʻriflariga binoan funksiyaning x_0 nuqtadagi uzluksizligini quyidagicha taʻriflash mumkin.

## Ikkinchi taʻrif
Agar n\rightarrow\infty da x_n\rightarrow x_0  (x_n\in X, n=1,2...) boʻladigan ixtiyoriy \{x_n\} ketma-ketlik uchun  n\rightarrow\infty da f(x_n)\rightarrow f(x_0) boʻlsa, f(x) funksiya x_0 nuqtada uzluksiz deyiladi.

## Uchinchi taʻrif
Agar \forall\epsilon>0 son olinganda ham shunday \delta=\delta(\epsilon)>0 son topilsaki, \forall x \in X \bigcap U_\delta (x_0) uchun \mid f(x)-f(x_0)\mid  tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya x_0 nuqtada uzluksiz deyiladi.

Odatda, x-x_0 ayirma argument orttirmasi, f(x)-f(x_0) esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mmos ravishda \bigtriangleup x va \bigtriangleup f kabi belgilanadi: \bigtriangleup x=x-x_0, \bigtriangleup f=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\bigtriangleup x)-f(x_0).

Unda funksiya uzluksizligining birinchi taʻrifidagi munosabat ushbu \textstyle \lim_{\bigtriangleup \to 0} \displaystyle \bigtriangleup f=0 koʻrinishga keladi.

Demak, munosabatni funksiyaning x_0 nuqtada uzluksizligi taʻrifi sifatida qarash mumkin.

Aytaylik, f(x) funksiya X\subset R toʻplamda berilgan boʻlib, x_0 \in X nuqta X toʻplamning oʻng (chap) limit nuqtasi boʻlsin.

## Toʻrtinchi taʻrif
Agar \lim_{x \to x_0+0} f(x)= f(x_0) (\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)) boʻlsa, f(x) funksiya x_0 nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

Demak, f(x) funksiya x_0 nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz boʻlganda funksiyaning oʻng (chap) limiti uning x_0 nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi: f(x_0+0)=f(x_0)  (f(x_0-0)=f(x_0)).

Keltirilgan taʻriflardan, f(x) funksiya x_0 nuqtada ham boʻlganda, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz boʻlsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz boʻlishini topamiz.

Umuman, f(x) funksiyaning x_0 nuqtada uzluksiz boʻlishi, \forall\epsilon>0 berilganda ham unga koʻra shunday \delta=\delta(\varepsilon)>0 topilib, \forall x\in \cup_\delta(x_0)\subset X\Rightarrow f(x) \in\cup_\varepsilon(f(x_0)) boʻlishini bildiradi.

## Beshinchi taʻrif
Agar f(x) funksiya X\subset R toʻplamining har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, f(x) funksiya X toʻplamda uzluksiz deyiladi.

## Oltinchi taʻrif
X\subset R toʻplamda uzluksiz boʻlgan funksiyalardan iborat toʻplam uzluksiz funksiyalar toʻplami deyiladi va C(X) kabi belgilanadi.

Masalan, f(x)\in C[a,b] boʻlishi, f(x) funksiyaning [a,b] segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, yaʻni f(x) funksiya (a,b) intervalning har bir nuqtasida uzluksiz, a nuqtadan oʻngdan, b nuqtadan esa chapdan uzluksiz boʻlishini bildiradi.

### Funksiyaning uzulishi
Aytaylik, f(x) funksiya (a,b) da (-\infty\leq a berilgan boʻlib, x_0\in(a,b) boʻlsin.

Maʻlumki, f(x) funksiyaning x_0 nuqtadagi oʻng va chap limitlari f(x_0+0), f(x_0-0) mavjud boʻlib, f(x_0-0)=f(x_0)=f(x_0+0) tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda f(x) funksiya x_0 nuqta f(x) funksiyaning uzulish nuqtasi deyiladi.

## Yettinchi taʻrif
Agar limitlar mavjud va chekli boʻlib, tengliklarning birortasi oʻrinli boʻlmasa, x_0 nuqta f(x) funksiyaning birinchi tur uzulish nuqtasi deyiladi. Bunda f(x_0+0)-f(x_0-0) ayirma funksiyning x_0 nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Masalan, f(x)=[x] funksiya x=p  (p\in Z) nuqtada birinchi tur uzilishiga ega, chunki f(p+0)=p,  f(p_0)=p-1 boʻlib f(p+0)\neq f(p_0-0) boʻladi. Agar hech boʻlaganda limitlarning birortasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa, x_0 nuqta f(x) funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Masalan, ushbu f(x) = \begin{cases} sin\frac{1}{x}, agar & x\neq0& bo'lsa \\ 0, agar & x=0 &bo'lsa \end{cases} funksiya x=0 nuqtada ikkinchi tur uzilishiga ega boʻladi, chunki bu funksiya x=0 nuqtadagi oʻng va chap limitlari mavjud emas.

### Murakkab funksiyaning uzluksizligi
Faraz qilaylik, y=f(x) funksiya X\subset R toʻplamda, u=F(y) funksiya esa Y_f toʻplamda aniqlangan boʻlib, ular yordamida u=(f(x)) murakkab funksiya tuzilgan.

## Manbalar