Shredinger tenglamasi

**Shredinger tenglamasi** — bu kvant-mexanik tizimning toʻlqin funksiyasini boshqaruvchi chiziqli qisman differentsial tenglama. Uning kashfiyoti kvant mexanikasining rivojlanishida muhim voqea boʻldi. Tenglama Ervin Shredinger sharafiga nomlangan, u 1925-yilda tenglamani asoslab bergan va uni 1926-yilda nashr etgan va 1933-yilda fizika boʻyicha Nobel mukofotiga sazovor boʻlgan ish uchun asos boʻlgan.

Kontseptual jihatdan Shredinger tenglamasi klassik mexanikada Nyutonning ikkinchi qonuniga kvant tomonidan oʻxshashidir. Maʼlum boʻlgan dastlabki shartlar toʻplamini hisobga olgan holda, Nyutonning ikkinchi qonuni maʼlum bir moddiy tizim vaqt oʻtishi bilan qanday harakat qilishi haqida matematik bashorat qiladi. Shredinger tenglamasi toʻlqin funksiyasining vaqt boʻyicha evolyutsiyasini, izolyatsiya qilingan moddiy tizimning kvant-mexanik tavsifini beradi. Tenglama vaqt evolyutsiyasi operatori unitar boʻlishi kerakligi va shuning uchun kvant Gamiltonian boʻlgan oʻz-oʻzidan qoʻshilgan operatorning eksponensi tomonidan yaratilishi kerakligidan kelib chiqishi mumkin.

Shredinger tenglamasi kvant mexanik sistemalarni oʻrganish va avvaldan aytib berishning yagona usuli emas. Kvant mexanikasining boshqa formulalari orasida Verner Heisenberg tomonidan kiritilgan matritsa mexanikasi va asosan Richard Feynman tomonidan ishlab chiqilgan yoʻl integral formulasi mavjud. Pol Dirak matritsa mexanikasi va Shredinger o'z tenglamasini yagona formulaga kiritdi. Ushbu yondashuvlar solishtirilganda, Shredinger tenglamasidan foydalanish baʼzan „toʻlqin mexanikasi“ deb ataladi.

## Taʼrif

### Dastlabki fikrlar

Fizika yoki kimyo boʻyicha kirish kurslari, odatda, Shredinger tenglamasini faqat asosiy hisob-kitoblarning tushunchalari va belgilarini, xususan, fazo va vaqtga nisbatan hosilalarni bilish mumkin boʻlgan tarzda kiritadi. Shredinger tenglamasining ushbu shartlardagi bayonotni qabul qiladigan alohida holati bir oʻlchovdagi yagona relyativistik boʻlmagan zarracha uchun joy-fazo Shredinger tenglamasidir:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) = \left [ - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t)\right ] \Psi(x,t).

Bu yerda, \Psi(x,t) toʻlqin funksiyasi boʻlib, har bir nuqtaga kompleks sonni belgilaydigan funksiya x har safar t. Parametr m zarrachaning massasi va V(x,t) zarracha mavjud boʻlgan muhitni ifodalovchi *potentsialdir* . Doimiy i xayoliy birlikdir va \hbar kamaytirilgan Plank doimiysi boʻlib, u harakat birliklariga ega (energiya vaqtga koʻpaytiriladi).

Ushbu oddiy holatdan tashqariga chiqib, Pol Dirak, Devid Xilbert, Jon fon Neyman va Hermann Veyl tomonidan ishlab chiqilgan kvant mexanikasining matematik formulasi kvant mexanik tizimining holatini aniqlaydi. |\psi\rangle vektor (ajraladigan) Gilbert fazosiga tegishli \mathcal H . Bu vektor Gilbert fazosining ichki qiymati ostida normallashtiriladi deb taxmin qilinadi, yaʼni Dirak yozuvida u boʻysunadi. \langle \psi | \psi \rangle = 1 . Ushbu Hilbert fazosining aniq tabiati tizimga bogʻliq — masalan, pozitsiya va impulsni tavsiflash uchun Gilbert fazosi kompleks kvadrat integrallanuvchi funksiyalar fazosidir. L^2(\Complex), bitta protonning spini uchun Gilbert fazosi oddiygina ikki oʻlchovli kompleks vektorlar fazosidir. \Complex^2 odatiy ichki mahsulot bilan.

Qiziqarli moddiy kattaliklar — koordina, impuls, energiya, spin — „kuzatish mumkin boʻlganlar“ bilan ifodalanadi, ular Gilbert fazosida harakat qiluvchi Ermit operatori (aniqrogʻi, oʻz-oʻzidan qoʻshiladigan) chiziqli operatorlardir. Toʻlqin funksiyasi kuzatiladigan narsaning xos vektori boʻlishi mumkin, bu holda u xos holat deb ataladi va bogʻlangan xos qiymat shu xos holatdagi kuzatiladigan qiymatga mos keladi. Umuman olganda, kvant holati kvant superpozitsiyasi deb nomlanuvchi xos holatlarning chiziqli birikmasi boʻladi. Kuzatish mumkin boʻlgan narsa oʻlchanganda natija Born qoidasi bilan berilgan ehtimollik bilan uning xos qiymatlaridan biri boʻladi: eng oddiy holatda xos qiymat \lambda degenerativ emas va ehtimollik |\langle \lambda | \psi\rangle|^2 bilan berilgan, bu yerda  |\lambda\rangle uning bogʻlangan xos vektoridir. Umuman olganda, xos qiymat degenerativ va ehtimollik bilan berilgan \langle \psi | P_\lambda |\psi\rangle, bu yerda P_\lambda u bilan bogʻliq xususiy fazoga proyektor hisoblanadi.

Impulsning oʻz holati cheksiz darajadagi mukammal monoxromatik toʻlqin boʻladi, bu kvadrat integrallanmaydi. Xuddi shunday pozitsiyaning oʻz holati Dirac delta taqsimoti boʻladi, kvadrat bilan integrallanmaydi va maʼno jihatdan umuman funksiya emas. Binobarin, ikkalasi ham zarrachaning Gilbert fazosiga tegishli boʻla olmaydi. Fiziklar baʼzan bu boʻshliqdan tashqari elementlardan iborat Gilbert fazosi uchun xayoliy „asoslar“ni kiritadilar. Bular hisoblash qulayligi uchun ixtiro qilingan va moddiy holatlarni ifodalamaydi. Shunday qilib, pozitsiya-fazo toʻlqini funksiyasi \Psi(x,t) yuqorida ishlatilganidek, vaqtga bogʻliq holat vektorining ichki mahsuloti sifatida yozilishi mumkin |\Psi(t)\rangle miqdoriy boʻlmagan, ammo qulay „pozitsiyaning oʻz holatlari“ bilan |x\rangle:

\Psi(x,t) = \langle x | \Psi(t) \rangle.

### Formulasi
Gamiltonni doimiy ushlab turish \hat{H}, Shredinger tenglamasida yechimga ega:

|\Psi(t)\rangle = e^{-i\hat{H}t/\hbar }|\Psi(0)\rangle.

Operator \hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar} vaqt evolyutsiyasi operatori sifatida tanilgan va unitardir: u Hilbert fazosida vektorlar orasidagi ichki mahsulotni saqlaydi. Unitarlik Shredinger tenglamasi ostidagi vaqt evolyutsiyasining umumiy xususiyatidir. Agar dastlabki holat boʻlsa |\Psi(0)\rangle, keyin buyruq t tomonidan beriladi:

|\Psi(t)\rangle = \hat{U}(t) |\Psi(0)\rangle

ayrim unitar operator uchun \hat{U}(t). Aksincha deylik, \hat{U}(t) tomonidan parametrlangan unitar operatorlarning uzluksiz oilasi t. Umumiylikni yoʻqotmasdan, parametrlash shunday tanlanishi mumkin \hat{U}(0) tanlash operatori va u \hat{U}(t/N)^N = \hat{U}(t) har qanday uchun N > 0 . Keyin \hat{U}(t) t parametrga bogʻliq shunday tarzda:

\hat{U}(t) = e^{-i\hat{G}t}

baʼzi oʻz-oʻzidan qoʻshilgan operator uchun \hat{G}, oilaning asosiysi deb ataladi \hat{U}(t) . Gamiltonian aynan shunday asosiy operatordir (tabiiy birliklarda 1 ga oʻrnatiladigan Plank doimiysi koeffitsientigacha). Ermit ekanligini koʻrish uchun buni eʼtiborga olish zarur: \hat{U}(\delta t) \approx \hat{U}(0)-i\hat{G} \delta t, bizda quyidagi tenglama bor:

\hat{U}(\delta t)^\dagger \hat{U}(\delta t)\approx(\hat{U}(0)^\dagger+i\hat{G}^\dagger \delta t)(\hat{U}(0)-i\hat{G}\delta t)=I+i\delta t(\hat{G}^\dagger-\hat{G})+O(\delta t^2),

shunday \hat{U}(t) Agar birinchi navbatda uning hosilasi Ermit boʻlsa, unitar hisoblanadi.
## Manbalar
* G.Ahmedova „Atom fizikasi“
* K.Krane „Introduction nuclear physics“