Fizik kattaliklarning operatorlari

**Operator** fizik holatlar fazosidan boshqa fizik holatlar fazosiga oʻtadigan funksiyadir . Operatorlar foydaliligining eng oddiy misoli simmetriyani oʻrganishdir. Shu sababli, ular klassik mexanikada juda foydali vositalardir. Operatorlar kvant mexanikasida yanada muhimroqdir, ular nazariyani shakllantirishning ajralmas qismini tashkil qiladi.

## Klassik mexanikada operatorlar
Klassik mexanikada zarrachaning (yoki zarralar tizimining) harakati butunlay Lagranjian orqali aniqlanadi. L(q, \dot{q}, t) yoki shunga oʻxshash Gamiltonian H(q, p, t), orqali aniqlanadi. bu yerda umumlashtirilgan koordinatalar funksiyasi *q*, umumlashtirilgan tezliklar \dot{q} = \mathrm{d} q / \mathrm{d} t va uning impulsi

: p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}

Agar *L* yoki *H* umumlashgan *q* koordinatasiga bogʻliq boʻlmasa, yaʼni *q* oʻzgartirilganda *L* va *H* oʻzgarmasa, bu oʻz navbatida *q* oʻzgarganda ham zarrachaning dinamikasi bir xil boʻlishini anglatadi. Yaʼni koordinatalar saqlanib qoladi (bu Noeter teoremasining bir qismidir va harakatning *q* koordinatasiga nisbatan oʻzgarmasligi simmetriyadir). Klassik mexanikada operatorlar ushbu simmetriyalar bilan bogʻliq.

Koʻramiz, *H* maʼlum bir guruh oʻzgarishlar *G* taʼsiri ostida oʻzgarmas boʻlganda:

: S\in G, H(S(q,p))=H(q,p) .

*G* ning elementlari miqdoriy operatorlar boʻlib, ular oʻzaro fizik holatlarni xaritada koʻrsatadilar.

### Klassik mexanikada operatorlar jadvali

bu yerda R(\hat{\boldsymbol{n}}, \theta) birlik vektor bilan aniqlangan oʻq atrofida aylanish matritsasi \hat{\boldsymbol{n}} va burchak *θ-theta*.

## Generatorlar
Agar transformatsiya cheksiz kichik boʻlsa, operator harakati quyidagi shaklda boʻlishi kerak:

:  I + \epsilon A 

bu yerda I identifikatsiya operatori, \epsilon kichik qiymatga ega parametrdir va A mavjud transformatsiyaga bogʻliq boʻladi va guruhning generatori deb ataladi. Shunga qaramay, oddiy misol sifatida biz 1D funksiyalarida kosmik translatsiyalar generatorini olamiz.

Taʼkidlanganidek, T_a f(x)=f(x-a) . Agar a=\epsilon cheksiz kichik boʻlsa, biz quyidagicha yozishimiz mumkin:

: T_\epsilon f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x) - \epsilon f'(x).

Ushbu formulani yana qayta yozish mumkin:

: T_\epsilon f(x) = (I-\epsilon D) f(x)

bu yerda D tarjima guruhining generatori boʻlib, bu holda *hosila* operatori boʻladi. Shunday qilib, tarjimalarning generatori hosila ekanligi aytiladi.

## Eksponensial xarita
Butun guruh normal sharoitda generatorlardan eksponensial xarita orqali tiklanishi mumkin. Tarjimalarda gʻoya shunday ishlaydi.

a ning cheklangan qiymati uchun natija cheksiz kichik tarjimani takroran qoʻllash orqali olinishi mumkin:

: T_a f(x) = \lim_{N\to\infty} T_{a/N} \cdots T_{a/N} f(x)

Agar N katta boʻlsa, omillarning har birini cheksiz kichik deb hisoblash mumkin:

: T_a f(x) = \lim_{N\to\infty} \left(I - \frac{a}{N} D\right)^N f(x).

Ammo ushbu chegara eksponensial sifatida qayta yozilishi mumkin:

: T_a f(x) = \exp(-aD) f(x).

Ushbu ifodaning toʻgʻriligiga ishonch hosil qilish uchun biz eksponensialni darajalar qatorida kengaytirishimiz mumkin:

: T_a f(x) = \left( I - aD + {a^2 D^2 \over 2!} - {a^3 D^3 \over 3!} + \cdots \right) f(x).

Oʻng tomoni qayta yozilishi mumkin:

: f(x) - af'(x) + \frac{a^2}{2!} f*(x) - \frac{a^3}{3!} f^{(3)}(x) + \cdots</math>

Bu shunchaki Teylor qatori <math>f(x-a)</math>, bu bizning asl qiymatimiz edi <math>T_a f(x)</math> .

Fizik operatorlarning matematik xossalari oʻz-oʻzidan katta ahamiyatga ega mavzudir.

== Kvant mexanikasidagi operatorlar ==
Kvant mexanikasining (QM) matematik formulasi operator degan tushunchasiga asoslanadi.

Kvant mexanikasidagi fizik sof holatlar maxsus [[Kompleks sonlar|kompleks]] [[Gilbert fazosi|Hilbert fazosida]] [[Birlik vektor|birlik-norma vektorlar]] (ehtimolliklar bittaga normallashtiriladi) sifatida qaraladi. Bu vektor fazoda vaqt evolyutsiyasi evolyutsiya operatori nomi bilan beriladi.

Har qanday kuzatiladigan, yaʼni fizik tajribada oʻlchanishi mumkin boʻlgan miqdor oʻz-oʻzidan qoʻshiladigan chiziqli operator bilan bogʻlanishi kerak. Operatorlar haqiqiy oʻz qiymatlarini berishi zarur, chunki ular tajriba natijasida paydo boʻlishi mumkin boʻlgan qiymatlardir. Matematik jihatdan bu operatorlar Hermitian boʻlishi kerakligini anglatadi. Har bir xos qiymatning ehtimoli shu xos qiymat bilan bogʻliq boʻlgan pastki fazodagi fizik holatning proyeksiyasi bilan bogʻliq.

Kvant mexanikada toʻlqin mexanikasi formulasida toʻlqin funksiyasi koordinata va vaqtga yoki impuls va vaqtga qarab oʻzgaradi.

Matritsa mexanikasi formulasida fizik holat normasi oʻzgarmas boʻlishi kerak, shuning uchun evolyutsiya operatori unitar boʻlishi kerak va operatorlar matritsalar sifatida ifodalanishi mumkin. Miqdoriy holatni boshqasiga koʻrsatadigan har qanday boshqa simmetriya bu cheklovni saqlab qolishi lozim.

=== Toʻlqin funksiyasi ===
Toʻlqin funksiyasi kvadrat integral boʻlishi shart (qarang: *L p