Elastik to‘qnashuv

Fizikada **elastik toʻqnashuv** — bu ikki jismning umumiy kinetik energiyasi bir xil boʻlib qoladigan ikki jismning toʻqnashuvi (toʻqnashuvi). Ideal, mukammal elastik toʻqnashuvda kinetik energiya issiqlik, shovqin yoki potentsial energiya kabi boshqa shakllarga aniq konvertatsiya qilinmaydi.

Kichik jismlarning toʻqnashuvi vaqtida kinetik energiya birinchi navbatda zarralar orasidagi itaruvchi yoki jozibador kuch bilan bogʻliq boʻlgan potentsial energiyaga aylanadi (zarralar bu kuchga qarshi harakat qilganda, yaʼni kuch va nisbiy tezlik oʻrtasidagi burchak oʻtkir boʻlsa), keyin bu potentsial energiya yana kinetik energiyaga aylanadi (zarralar shu kuch bilan harakat qilganda, yaʼni kuch va nisbiy tezlik orasidagi burchak oʻtkir boʻladi).

Atomlarning toʻqnashuvi elastikdir, masalan , Rezerfordning orqaga tarqalishi .

Elastik toʻqnashuvning foydali maxsus holati bu ikki jismning massasi teng boʻlganda, ular shunchaki oʻz momentlarini almashtiradilar.

Gaz yoki suyuqlik *[[Molekula|molekulalari]]*, atomlardan farqli oʻlaroq, kamdan-kam hollarda mukammal elastik toʻqnashuvlarni boshdan kechiradilar, chunki har bir toʻqnashuvda molekulalarning translatsiya harakati va ularning ichki erkinlik darajalari oʻrtasida kinetik energiya almashadi. Har qanday lahzada toʻqnashuvlarning yarmi turli darajada *elastik boʻlmagan toʻqnashuvlardir* (juftlik toʻqnashuvdan keyingi harakatlarida avvalgiga qaraganda kamroq kinetik energiyaga ega) va yarmini „oʻta elastik“ (*koʻproq* kinetik energiyaga ega) deb taʼriflash mumkin. oldingidan koʻra toʻqnashuvdan keyin). Butun namuna boʻylab oʻrtacha hisoblanganda, molekulyar toʻqnashuvlarni mohiyatan elastik deb hisoblash mumkin, chunki Plank qonuni energiyani qora jism fotonlari tomonidan olib ketilishini taqiqlaydi.

Makroskopik jismlar holatida, mukammal elastik toʻqnashuvlar hech qachon toʻliq amalga oshirilmaydigan idealdir, lekin bilyard toʻplari kabi ob’ektlarning oʻzaro taʼsiri bilan yaqinlashadi.

Energiyalarni koʻrib chiqishda, toʻqnashuvdan oldin va/yoki undan keyin mumkin boʻlgan aylanish energiyasi ham rol oʻynashi mumkin.

## Tenglamalar

### Bir oʻlchovli Nyuton mexnikasida

Har qanday toʻqnashuvda impuls saqlanib qoladi; lekin elastik toʻqnashuvda kinetik energiya ham saqlanadi. Massalari *m* 1, *m* 2 va tezligi *u* 1, *u* 2, toʻqnashuvdan oldin *v* 1, *v* 2 boʻlgan 1 va 2 zarralarni koʻrib chiqaylik. Toʻqnashuvdan oldin va keyin impulsning saqlanishi quyidagicha ifodalanadi:

m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2} \ =\ m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}.

Xuddi shunday, umumiy kinetik energiyaning saqlanishi quyidagicha ifodalanadi:

\tfrac12 m_1u_1^2+\tfrac12 m_2u_2^2 \ =\ \tfrac12 m_1v_1^2 +\tfrac12 m_2v_2^2.

Ushbu tenglamalarni topish uchun toʻgʻridan-toʻgʻri yechish mumkin v_1,v_2 qachonki u_1,u_2 maʼlum boʻlsa:


\begin{array}{ccc}
v_1 &=& \dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2} u_1 + \dfrac{2m_2}{m_1+m_2} u_2 \\[.5em]
v_2 &=& \dfrac{2m_1}{m_1+m_2} u_1 + \dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2} u_2.
\end{array}


Agar ikkala massa bir xil boʻlsa, bizda sodda yechim bor:


\begin{align}
v_{1} &= u_{2} \\
v_{2} &= u_{1}.
\end{align}

Bu shunchaki jismlarning bir-biri bilan boshlangʻich tezligini almashishiga mos keladi.

Kutilganidek, barcha tezliklarga doimiy (Galiley nisbiyligi) qoʻshilganda yechim oʻzgarmas boʻladi, bu oʻzgarmas translatsiya tezligiga ega boʻlgan mos yozuvlar tizimidan foydalanishga oʻxshaydi. Haqiqatan ham, tenglamalarni olish uchun, avvalo, maʼlum tezliklardan biri nolga teng boʻlishi uchun sanoq sistemasini oʻzgartirish, yangi sanoq tizimidagi nomaʼlum tezliklarni aniqlash va dastlabki sanoq sistemasiga aylantirish mumkin.

#### Misollar

; Toʻqnashuvdan oldin
:
: 1-toʻp: massa = 3 kg, tezlik = 4 m / s
: 2-toʻp: massa = 5 kg, tezlik = −6 m / s
; Toʻqnashuvdan keyin
:
: 1-toʻp: tezlik = −8,5 m / s
: Toʻp 2: tezlik = 1,5 m / s

Boshqa vaziyat:

Quyidagilar teng massali holatni koʻrsatadi, m_1=m_2 .

Cheklovchi holatda bu yerda m_1 dan ancha katta m_2 Masalan, stol tennisi koptokiga yoki SUV axlat qutisiga urilganda, ogʻirroq massa tezlikni deyarli oʻzgartirmaydi, engilroq massa esa oʻz tezligini teskarisiga aylantiradi va ogʻirdan ikki baravar koʻp boʻladi.

Katta holatda u_{1}, qiymati v_{1} massalari taxminan bir xil boʻlsa, kichik boʻladi: ancha engilroq zarrachaga urish tezlikni unchalik oʻzgartirmaydi, ancha ogʻirroq zarrachaga urish tez zarrachaning yuqori tezlikda orqaga qaytishiga olib keladi. Shuning uchun neytron moderatori (tezkor neytronlarni sekinlashtiradigan va shu bilan ularni zanjirli reaktsiyani davom ettirishga qodir boʻlgan termal neytronlarga aylantiradigan vosita) neytronlarni osongina singdira olmaydigan yengil yadroli atomlarga toʻla materialdir: eng yengil yadrolar taxminan neytron bilan bir xil massa.

#### Natijani keltirib chiqarish
Yuqoridagi tenglamalarni chiqarish uchun v_1,v_2, kinetik energiya va impuls tenglamalarini qayta tashkil qiling:

\begin{align}
m_1(v_1^2-u_1^2) &= m_2(u_2^2-v_2^2) \\
m_1(v_1-u_1) &= m_2(u_2-v_2)
\end{align}

Yuqori tenglamaning har bir tomonini pastki tenglamaning har bir tomoniga boʻlish va foydalanish \tfrac{a^2-b^2}{(a-b)} = a+b, beradi:

v_1+u_1=u_2+v_2 \quad\Rightarrow\quad v_1-v_2 = u_2-u_1.

Yaʼni, bir zarraning ikkinchisiga nisbatan nisbiy tezligi toʻqnashuv bilan teskari boʻladi.

Endi yuqoridagi formulalar chiziqli tenglamalar tizimini yechishdan kelib chiqadi v_1,v_2, haqida m_1,m_2,u_1,u_2 doimiylar sifatida:

\left\{\begin{array}{rcrcc}
v_1 & - & v_2 &=& u_2-u_1 \\
m_1v_1&+&m_2v_2 &=& m_1u_1+m_2u_2.
\end{array}\right.

Bir marta v_1 belgilanadi, hamda v_2ni simmetriya orqali topish mumkin.

#### Ommaviy ramka markazi
Massa markaziga nisbatan ikkala tezlik ham toʻqnashuv natijasida teskari boʻladi: ogʻir zarracha sekin massa markaziga qarab harakatlanadi va xuddi shunday past tezlikda orqaga sakraydi, engil zarracha esa massa markazi tomon tez harakat qiladi va sakrab tushadi. bir xil yuqori tezlikda orqaga qayting.

Toʻqnashuv natijasida massa markazining tezligi oʻzgarmaydi. Buni koʻrish uchun vaqtdagi massa markazini koʻrib chiqing  t  toʻqnashuvdan oldin va vaqt  t'  toʻqnashuvdan keyin:

\begin{align}
\bar{x}(t) &= \frac{m_{1} x_{1}(t)+m_{2} x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}} \\
\bar{x}(t') &= \frac{m_{1} x_{1}(t')+m_{2} x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}.
\end{align}

Demak, massa markazining toʻqnashuvdan oldingi va keyingi tezligi:

\begin{align}
v_{ \bar{x} } &= \frac{m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}} \\
v_{ \bar{x} }' &= \frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
\end{align}

ning raqamlari  v_{ \bar{x} }  va  v_{ \bar{x} }'  toʻqnashuvdan oldingi va keyingi jami momentlar. Impuls saqlanib qolganligi sababli, bizda mavjud  v_{ \bar{x} } = v_{ \bar{x} }' \,.

### Bir oʻlchovli relyativistik mexanikada
Maxsus nisbiylik nazariyasiga koʻra,

p = \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Bu yerda *p* har qanday massali zarrachaning impuls momentini, *v* tezlikni, *c* yorugʻlik tezligini bildiradi.

Umumiy impuls nolga teng boʻlgan momentum ramkasining markazida,

\begin{align}
p_1 &= - p_2 \\
p_1^2 &= p_2^2 \\
E &= \sqrt {m_1^2c^4 + p_1^2c^2} + \sqrt {m_2^2c^4 + p_2^2c^2} = E \\
p_1 &= \pm \frac{\sqrt{E^4 - 2E^2m_1^2c^4 - 2E^2m_2^2c^4 + m_1^4c^8 - 2m_1^2m_2^2c^8 + m_2^4c^8}}{2cE} \\
u_1 &= -v_1.
\end{align}

Bu yerga m_1, m_2 toʻqnashayotgan ikkita jismning qolgan massalarini ifodalaydi, u_1, u_2 ularning toʻqnashuvdan oldingi tezligini ifodalaydi; v_1, v_2 toʻqnashuvdan keyin ularning tezligi, p_1, p_2 ularning momentlari, c yorugʻlikning vakuumdagi tezligi va E umumiy energiyani, ikki jismning tinch massalari va kinetik energiyalarining yigʻindisini bildiradi.

Tizimning umumiy energiyasi va impulsi saqlanganligi va ularning dam olish massalari oʻzgarmasligi sababli, toʻqnashayotgan jismning impuls momentini toʻqnashuvchi jismlarning tinch massalari, umumiy energiya va umumiy impuls hal qilishi koʻrsatilgan. Impuls ramkasining markaziga nisbatan, har bir toʻqnashuvchi jismning impulsi toʻqnashuvdan keyin kattalikni oʻzgartirmaydi, balki uning harakat yoʻnalishini oʻzgartiradi.

Yorugʻlik tezligidan ancha sekin harakatlanadigan makroskopik jismlar bilan ishlashda aniq natijalar beradigan klassik mexanika bilan solishtirganda, toʻqnashayotgan ikkita jismning umumiy impulslari ramkaga bogʻliq. Klassik mexanikaga koʻra, momentum ramkasining markazida,

\begin{align}
m_1u_1 + m_2u_2 &= m_1v_1 + m_2v_2 = 0 \\
m_1u_1^2 + m_2u_2^2 &= m_1v_1^2 + m_2v_2^2 \\
\frac{(m_2u_2)^2}{2m_1} + \frac{(m_2u_2)^2}{2m_2} &= \frac{(m_2v_2)^2}{2m_1} + \frac{(m_2v_2)^2}{2m_2} \\
(m_1 + m_2)(m_2u_2)^2 &= (m_1 + m_2)(m_2v_2)^2 \\
u_2 &= -v_2 \\
\frac{(m_1u_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_1u_1)^2}{2m_2} &= 
\frac{(m_1v_1)^2}{2m_1} + \frac{(m_1v_1)^2}{2m_2} \\
(m_1 + m_2)(m_1u_1)^2 &= (m_1 + m_2)(m_1v_1)^2 \\
u_1 &= -v_1\,.
\end{align}


Bu relyativistik hisoblash bilan mos keladi u_1 = -v_1, boshqa farqlarga qaramay.

Maxsus nisbiylik haqidagi postulatlardan biri impulsning saqlanishi kabi fizika qonunlari barcha inertial sanoq sistemalarida oʻzgarmas boʻlishi kerakligini aytadi. Umumiy impuls ixtiyoriy boʻlishi mumkin boʻlgan umumiy inertial tizimda,

\begin{align}
\frac{m_1\;u_1}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} +
\frac{m_2\;u_2}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} &= 
\frac{m_1\;v_1}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} +
\frac{m_2\;v_2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=p_T \\
\frac{m_1c^2}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} +
\frac{m_2c^2}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} &=
\frac{m_1c^2}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} +
\frac{m_2c^2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=E
\end{align}

Biz ikkita harakatlanuvchi jismni umumiy impulslari boʻlgan bitta tizim sifatida koʻrishimiz mumkin p_T, umumiy energiya hisoblanadi E va uning tezligi v_c uning massa markazining tezligi. Impuls ramkasining markaziga nisbatan umumiy impuls nolga teng. Buni koʻrsatish mumkin v_c tomonidan beriladi:

v_c = \frac{p_T c^2}{E}

Endi impuls ramkasining markazida toʻqnashuvdan oldingi tezliklar u_1 ' va u_2 ' quyidagilar:

\begin{align}
u_1' &= \frac{u_1 - v_c}{1- \frac{u_1 v_c}{c^2}} \\
u_2' &= \frac{u_2 - v_c}{1- \frac{u_2 v_c}{c^2}} \\
v_1' &= -u_1' \\
v_2' &= -u_2' \\
v_1 &= \frac{v_1' + v_c}{1+ \frac{v_1' v_c}{c^2}} \\
v_2 &= \frac{v_2' + v_c}{1+ \frac{v_2' v_c}{c^2}}
\end{align}

Qachonki u_1 \ll c va u_2 \ll c\,,  boʻlsa

\begin{align}
p_T  &\approx m_1 u_1 + m_2 u_2 \\
v_c  &\approx \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\
u_1' &\approx u_1 - v_c \approx \frac {m_1 u_1 + m_2 u_1 - m_1 u_1 - m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac {m_2 (u_1 - u_2)}{m_1 + m_2} \\
u_2' &\approx \frac {m_1 (u_2 - u_1)}{m_1 + m_2} \\
v_1' &\approx \frac {m_2 (u_2 - u_1)}{m_1 + m_2} \\
v_2' &\approx \frac {m_1 (u_1 - u_2)}{m_1 + m_2} \\
v_1  &\approx v_1' + v_c \approx \frac {m_2 u_2 - m_2 u_1 + m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} = \frac{u_1 (m_1 - m_2) + 2m_2 u_2}{m_1 + m_2} \\
v_2  &\approx \frac{u_2 (m_2 - m_1) + 2m_1 u_1}{m_1 + m_2}
\end{align}

Shu sababli, toʻqnashayotgan ikkala jismning tezligi yorugʻlik tezligidan (sekundiga ~ 300 000 kilometr) ancha past boʻlsa, klassik hisob toʻgʻri boʻladi.

### Giperbolik funksiyalar yordamida relyativistik hosila
*Tezlik deb ataladigan parametrdan* foydalanish s (odatda tezlik deb ataladi),

\frac{v}{c}=\tanh(s),

quyidagini olamiz:

\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\operatorname{sech}(s).

Relyativistik energiya va impuls quyidagicha ifodalanadi:

\begin{align}
E &= \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = m c^2 \cosh(s) \\
p &= \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m c \sinh(s)
\end{align}

Tenglamalar energiya va momentumning toʻqnashuvi massalarining yigʻindisi m_1 va m_2, (tezliklar v_1, v_2, u_1, u_2 tezlik parametrlariga mos keladi s_1, s_2, s_3, s_4), etarli quvvatga boʻlingandan keyin c quyidagilar:

\begin{align}
m_1 \cosh(s_1)+m_2 \cosh(s_2) &= m_1 \cosh(s_3)+m_2 \cosh(s_4) \\
m_1 \sinh(s_1)+m_2 \sinh(s_2) &= m_1 \sinh(s_3)+m_2 \sinh(s_4)
\end{align}

va bog‘liq tenglama, yuqoridagi tenglamalarning yigʻindisi:

m_1 e^{s_1}+m_2 e^{s_2}=m_1 e^{s_3}+m_2 e^{s_4}

„energiya“ dan har ikki tomonning kvadratchalari „impuls“ tenglamalarini ayirib va identifikatsiyadan foydalanamiz \cosh^2(s)-\sinh^2(s)=1, soddalashtirgandan soʻng biz quyidagilarni olamiz:

2 m_1 m_2 (\cosh(s_1) \cosh(s_2)-\sinh(s_2) \sinh(s_1)) = 2 m_1 m_2 (\cosh(s_3) \cosh(s_4)-\sinh(s_4) \sinh(s_3))

nol boʻlmagan massa uchun giperbolik trigonometrik identifikatsiyadan foydalangan holda \cosh(a-b)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(b)\sinh(a), olamiz:

\cosh(s_1-s_2) = \cosh(s_3-s_4)

funktsiyalar sifatida \cosh(s) Hatto ikkita yechimga ega boʻlamizmi:

\begin{align}
s_1-s_2 &= s_3-s_4 \\
s_1-s_2 &= -s_3+s_4
\end{align}

oddiy yechimga olib keladigan oxirgi tenglamadan biz hal qilamiz s_2 va qaram tenglamaga almashtiramiz, biz olamiz e^{s_1} undan keyin e^{s_2}, bizda quyidagi bor:

\begin{align}
e^{s_1} &= e^{s_4}{\frac{m_1 e^{s_3}+m_2 e^{s_4}} {m_1 e^{s_4}+m_2 e^{s_3}}} \\
e^{s_2} &= e^{s_3}{\frac{m_1 e^{s_3}+m_2 e^{s_4}} {m_1 e^{s_4}+m_2 e^{s_3}}}
\end{align}

Bu muammoning yechimi, lekin tezlik parametrlari bilan ifodalanadi. Tezliklarning yechimini olish uchun almashtirishni qaytarish:

\begin{align}
v_1/c &= \tanh(s_1) = {\frac{e^{s_1}-e^{-s_1}} {e^{s_1}+e^{-s_1}}} \\
v_2/c &= \tanh(s_2) = {\frac{e^{s_2}-e^{-s_2}} {e^{s_2}+e^{-s_2}}}
\end{align}

Oldingi yechimlarni almashtirib va oʻzgartiramiz: e^{s_3}=\sqrt{\frac{c+u_1} {c-u_1}} va e^{s_4}=\sqrt{\frac{c+u_2}{c-u_2}},  uzoq transformatsiyadan soʻng, almashtirish bilan:  Z=\sqrt{\left(1-u_1^2/c^2\right) \left(1-u_2^2/c^2\right)}  

quyidagini olamiz:

\begin{align}
v_1 &= \frac{2 m_1 m_2 c^2 u_2 Z+2 m_2^2 c^2 u_2-(m_1^2+m_2^2) u_1 u_2^2+(m_1^2-m_2^2) c^2 u_1} {2 m_1 m_2 c^2 Z-2 m_2^2 u_1 u_2-(m_1^2-m_2^2) u_2^2+(m_1^2+m_2^2) c^2} \\
v_2 &= \frac{2 m_1 m_2 c^2 u_1 Z+2 m_1^2 c^2 u_1-(m_1^2+m_2^2) u_1^2 u_2+(m_2^2-m_1^2) c^2 u_2} {2 m_1 m_2 c^2 Z-2 m_1^2 u_1 u_2-(m_2^2-m_1^2) u_1^2+(m_1^2+m_2^2) c^2}\,.
\end{align}

## Ikki oʻlchovli sistema
Ikki oʻlchamda aylanmaydigan ikkita toʻqnashuvchi jismlar uchun jismlarning harakati impuls, kinetik energiya va burchak momentumning uchta saqlanish qonunlari bilan aniqlanadi. Har bir jismning umumiy tezligi ikkita perpendikulyar tezlikka boʻlinishi kerak: biri toʻqnashuv nuqtasida toʻqnashuvchi jismlarning umumiy normal yuzalariga tegib, ikkinchisi toʻqnashuv chizigʻi boʻylab. Toʻqnashuv faqat toʻqnashuv chizigʻi boʻylab kuch berganligi sababli, toʻqnashuv nuqtasiga tegib turgan tezliklar oʻzgarmaydi. Keyinchalik toʻqnashuv chizigʻi boʻylab tezliklar bir oʻlchovli toʻqnashuv bilan bir xil tenglamalarda ishlatilishi mumkin. Yakuniy tezliklarni ikkita yangi komponent tezligidan hisoblash mumkin va ular toʻqnashuv nuqtasiga bogʻliq boʻladi. Ikki oʻlchovli toʻqnashuvlarni oʻrganish koʻplab jismlar uchun ikki oʻlchovli gaz doirasida olib boriladi.

Impuls doirasi markazida har qanday vaqtda ikkala jismning tezligi qarama-qarshi yoʻnalishda boʻlib, kattaliklari massalarga teskari proportsionaldir. Elastik toʻqnashuvda bu kattaliklar oʻzgarmaydi. Yoʻnalishlar jismlarning shakllariga va taʼsir nuqtasiga qarab oʻzgarishi mumkin. Masalan, sharlar holatida burchak ikki jism markazlarining (parallel) yoʻllari orasidagi masofaga bogʻliq. Yoʻnalishning nolga teng boʻlmagan har qanday oʻzgarishi mumkin: agar bu masofa nolga teng boʻlsa, toʻqnashuvda tezliklar teskari boʻladi; agar u sharlar radiusi yigʻindisiga yaqin boʻlsa, ikkita jism faqat bir oz egiladi.

Ikkinchi zarracha toʻqnashuvdan oldin tinch holatda boʻlsa, ikki zarrachaning burilish burchaklari, \theta_1 va \theta_2, burilish burchagi bilan bogʻliq \theta massa markazi tizimida :

\tan \theta_1=\frac{m_2 \sin \theta}{m_1+m_2 \cos \theta},\qquad \theta_2=\frac{2}.

Toʻqnashuvdan keyingi zarrachalar tezligining kattaliklari:\begin{align}
v'_1 &= v_1\frac{\sqrt{m_1^2+m_2^2+2m_1m_2\cos \theta}}{m_1+m_2} \\
v'_2 &= v_1\frac{2m_1}{m_1+m_2}\sin \frac{\theta}{2}.
\end{align}

### Ikki harakatlanuvchi jism bilan ikki oʻlchovli toʻqnashuv
Birinchi sharning yakuniy x va y tezligi komponentlarini quyidagicha hisoblash mumkin:

\begin{align}
v'_{1x} &= \frac{v_{1}\cos(\theta_1-\varphi)(m_1-m_2)+2m_2v_{2}\cos(\theta_2-\varphi)}{m_1+m_2}\cos(\varphi)+v_{1}\sin(\theta_1-\varphi)\cos(\varphi + \tfrac{\pi}{2})
\\[0.8em]
v'_{1y} &= \frac{v_{1}\cos(\theta_1-\varphi)(m_1-m_2)+2m_2v_{2}\cos(\theta_2-\varphi)}{m_1+m_2}\sin(\varphi)+v_{1}\sin(\theta_1-\varphi)\sin(\varphi + \tfrac{\pi}{2}),
\end{align}

bu yerda  va  — jismlarning ikkita asl tezligining skalyar kattaliklari,  va  — ularning massalari,  va  — harakat burchaklari, yaʼni v_{1x} = v_1\cos\theta_1,\; v_{1y}=v_1\sin\theta_1 (toʻgʻridan-toʻgʻri oʻng-pastga siljish −45 ° burchak yoki 315 ° burchak degan maʼnoni anglatadi) va kichik harf  - toʻqnashuv burchagi. (Ikkinchi toʻpning  va  tezligini olish uchun barcha „1“ pastki belgilarni „2“ pastki belgisi bilan almashtirish kerak.)

Bu tenglama ikki jism oʻrtasidagi oʻzaro taʼsir aloqa burchagi boʻylab osonlik bilan hisoblab chiqilishidan kelib chiqadi, yaʼni jismlarning tezligini x va y oʻqlarini bir oʻlchamda oʻzaro bogʻlanish burchagiga parallel qilib aylantirish orqali hisoblash mumkin. ob’ektlar, soʻngra tezliklarning haqiqiy x va y komponentlarini olish uchun asl yoʻnalishiga qaytariladi     .

Burchaksiz tasvirda oʻzgartirilgan tezliklar  va  markazlari yordamida aloqa vaqtida hisoblab chiqiladi.

\begin{align}
\mathbf{v}'_1 &= \mathbf{v}_1-\frac{2 m_2}{m_1+m_2} \ \frac{\langle \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2,\,\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2\rangle}{\|\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2\|^2} \ (\mathbf{x}_1-\mathbf{x}_2),
\\
\mathbf{v}'_2 &= \mathbf{v}_2-\frac{2 m_1}{m_1+m_2} \ \frac{\langle \mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1,\,\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1\rangle}{\|\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1\|^2} \ (\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1)
\end{align}

Bu yerda burchak qavslari ikkita vektorning ichki mahsulotini (yoki nuqta mahsulotini) koʻrsatadi.

Boshqa saqlangan miqdorlar

Massalari teng boʻlgan zarralarning alohida holatida, toʻqnashuvdan oldingi va keyingi tezliklarning skalyar mahsuloti bir xil ekanligini yuqoridagi natijadan toʻgʻridan-toʻgʻri hisoblash orqali tekshirish mumkin, yaʼni \langle \mathbf{v}'_1,\mathbf{v}'_2 \rangle = \langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \rangle. Garchi bu mahsulot elastik toʻqnashuvlar uchun impuls va kinetik energiyaga oʻxshab qoʻshimcha oʻzgarmas boʻlmasa ham, bu miqdorning saqlanishi yuqori tartibli saqlanish qonunlarini chiqarish uchun ishlatilishi mumkin.

## Manbalar

## Asosiy adabiyotlar
* 
* 
* 

## Havolalar
*Qattiq jismning to'qnashuvi uch o'lchovdagi rezolyutsiyasi, shu jumladan, saqlash qonunlaridan foydalangan holda olingan