Born-Lande tenglamasi

**Born-Lande tenglamasi** kristalli ionli birikmaning panjara energiyasini hisoblash vositasidir. 1918-yilda Maks Born va Alfred Lande panjara energiyasini, ion panjarasiga elektrostatik potentsialidan itaruvchi potentsial energiya atamasidan olish mumkinligini taklif qilishdi.
: E =- \frac{N_AMz^+z^- e^2 }{4 \pi \varepsilon_0 r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)

Bu yerda:

* *N*A = Avogadro doimiysi,
* *M* = Madelung doimiysi, kristallning geometriyasiga tegishli,
* *z*+ = kationning zaryad raqami
* *z*- = anionning raqamli zaryad raqami
* *e* = elementar zaryad, 1,6022 C
* *&#x3B5;*0 = bo'sh joyning o'tkazuvchanligi
*: 4p*&#x3B5;*0 = 1,112 C 2 /(J·m)
* *r*0 = eng yaqin kation [+ve] va anion [-ve] orasidagi masofa.
* *n* = Born koʻrsatkichi, odatda 5 dan 12 gacha boʻlgan raqam, qattiq jismning siqilish qobiliyatini oʻlchash orqali eksperimental ravishda aniqlanadi yoki nazariy jihatdan olinadi.
* E = Panjara energiyasi 'Eʼ bilan ifodalanadi.

## Chiqarishi
Ion panjara ionlardagi elektrostatik zaryadlarning oʻzaro tortilishi natijasida bir-biriga siqilgan qattiq elastik sharlar yigʻindisi sifatida modellashtirilgan. Muvozanat hosil qiluvchi qisqa masofali itarilishi tufayli ular bir-biridan muvozanat masofasiga ega boʻlishadi.

### Elektrostatik potentsiali
Teng va qarama-qarshi zaryadli ionlar jufti orasidagi elektrostatik potentsial energiyasi, *E*juftligi:

: E_\text{juftligi} = -\frac{z^2 e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r}

Bu yerda:

: *z* = bitta ion zaryadining kattaligi
: *e* = elementar zaryad, 1.6022  C
: *e*0 = bo'sh joyning o'tkazuvchanligi
:: 4π*e*0 = 1.112 C2/(J·m)
: *r* = ion markazlarini ajratib turadigan masofa

1:1 nisbatda teng va qarama-qarshi zaryadga ega ionlardan tashkil topgan oddiy panjara uchun bir ion va boshqa barcha panjara ionlari oʻrtasidagi oʻzaro taʼsirlarini hisoblash uchun *E*Mni hisoblash kerak, buni esa Madelung yoki panjara energiyasi deb ataladi.

: E_\text{M} = -\frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r}

Bu yerda:

: *M* = Madelung doimiysi, bu kristalning geometriyasi bilan bogʻliq
: *r* = qarama-qarshi zaryadli ikkita ion orasidagi eng yaqin masofa

### Jiddiy atamasi
Born va Lande panjara ionlari orasidagi itaruvchi oʻzaro taʼsirga mutanosib boʻlishini taklif qildilar, shuning uchun itaruvchi energiya atamasi *E*R bilan ifodalanadi.

: E_\text{R} = \frac{B}{r^n}

Bu yerda:

: *B* = repulsiv oʻzaro taʼsir kuchini doimiy ravishda oʻlchash.
: *r* = qarama-qarshi zaryadli ikkita ion orasidagi eng yaqin masofa.
: *n* = Born koʻrsatkichi, 5 dan 12 gacha boʻlgan raqam itaruvchi toʻsiqning tikligini ifodalaydi.

### Umumiy energiyasi
Panjaradagi ion jami intensiv potentsial energiyasini Madelung va itaruvchi potentsiallarning yigʻindisi sifatida ifodalash mumkin.

: E(r) = -\frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r} + \frac{B}{r^n}

Ushbu energiyani *r* ga nisbatan minimallashtirish, nomaʼlum *B* doimiysi boʻyicha muvozanat ajralishini *r*0 beradi.

: \begin{align}
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}r} &= \frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r^2} - \frac{n B}{r^{n+1}} \\
0 &= \frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r_0^2} - \frac{n B}{r_0^{n+1}} \\
r_0 &= \left( \frac{4 \pi \epsilon_0 n B}{z^2 e^2 M}\right) ^\frac{1}{n-1} \\
B &= \frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 n} r_0^{n-1}
\end{align}

Minimal intensiv potentsial energiyani baholab, *B* ifodasini *r*0 ga almashtirsak, Born-Lande tenglamasi hosil bo‘ladi.

: E(r_0) = - \frac{M z^2 e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)

## Hisoblangan panjara energiyalari
Born-Lande tenglamasi tizimning panjara energiyasi haqida maʼlumoti. 

## Born koʻrsatkichi
Born koʻrsatkichi odatda 5 dan 12 gacha moddalarni o'z ichiga oladi. Taxminiy eksperimental qiymatlari quyida keltirilgan. 

## Yana qarang

* Kapustinskiy tenglamasi
* Born-Mayer tenglamasi

## Manbalar