Kinematika va uning asosiy kattaliklari

**Kinematika -** klassik mexanikada ishlab chiqilgan fizikaning kichik sohasi boʻlib, nuqtalar, jismlar (ob’ektlar) va jismlar tizimlari (ob’ektlar guruhlari) harakatini ularning harakatiga olib keladigan kuchlarni hisobga olmasdan tasvirlaydi. Kinematika oʻrganish sohasi sifatida koʻpincha „harakat geometriyasi“ deb ataladi va vaqti-vaqti bilan matematikaning bir boʻlimi sifatida koʻriladi. Kinematik masala tizim geometriyasini tavsiflash va tizim ichidagi nuqtalarning pozitsiyasi, tezligi va tezlanishining har qanday maʼlum qiymatlarining boshlangʻich shartlarini eʼlon qilishdan boshlanadi. Keyin, geometriyadan argumentlar yordamida tizimning har qanday nomaʼlum qismlarining holati, tezligi va tezlanishi aniqlanishi mumkin. Kuchlarning jismlarga qanday taʼsir qilishini oʻrganish kinematikaga emas, kinetikaga kiradi.

Kinematika astrofizikada samoviy jismlarning harakatini va bunday jismlarning toʻplamlarini tasvirlash uchun ishlatiladi. Mashinasozlik, robototexnika va biomexanikada kinematika dvigatel, robot qoʻli yoki inson skeleti kabi birlashtirilgan qismlardan (koʻp boʻgʻinli tizimlar) tashkil topgan tizimlarning harakatini tasvirlash uchun ishlatiladi.

Qattiq transformatsiyalar deb ham ataladigan geometrik oʻzgarishlar mexanik tizimdagi komponentlarning harakatini tasvirlash uchun ishlatiladi, bu harakat tenglamalarini chiqarishni soddalashtiradi. Ular, shuningdek, dinamik tahlil uchun markaziy hisoblanadi.

Kinematik tahlil – bu harakatni tasvirlash uchun ishlatiladigan kinematik miqdorlarni oʻlchash jarayoni. Masalan, muhandislikda kinematik tahlil maʼlum bir mexanizm uchun harakat oraligʻini topish uchun ishlatilishi mumkin va teskari yoʻnalishda ishlaganida, kerakli harakat diapazoni uchun mexanizmni loyihalash uchun kinematik sintezdan foydalanish mumkin. Bundan tashqari, kinematika mexanik tizim yoki mexanizmning mexanik ustunligini oʻrganish uchun algebraik geometriyani qoʻllaydi.

## Terminning etimologiyasi
Kinematik atamasi AM Amperning *cinematique filmining* inglizcha versiyasi boʻlib, u yunoncha  soʻzidan kelib chiqqan. *kinema* („harakat“), oʻzi  dan olingan *kinein* („harakat qilish“).

Kinematik va cinématique fransuzcha cinéma soʻzi bilan bogʻliq, lekin ikkalasi ham undan toʻgʻridan-toʻgʻri olingan emas. Biroq, ular bir xil ildiz soʻziga ega, chunki cinema cinematographe soʻzining qisqartirilgan shakli „kinofilm proyektori va kamera“ dan, yana yunoncha harakat soʻzidan va yunoncha  – *grapho* („yozish“) soʻzidan kelib chiqqan.

## Aylanmaydigan sanoq sistemasidagi zarracha traektoriyasining kinematikasi

Zarrachalar kinematikasi zarrachalar harakatini oʻrganuvchi fandir. Zarrachaning pozitsiyasi koordinata ramkasining boshidan zarrachagacha boʻlgan koordinata vektori sifatida aniqlanadi. Masalan, uyingizdan 50 m janubdagi minorani koʻrib chiqing, koordinata markazi uyingizning markazida joylashganki, sharq *x* oʻqi yoʻnalishida va shimol *y* oʻqi yoʻnalishida boʻlsa, minora poydevoriga koordinata vektori **r** = (0 m, −50 m, 0 m) ga teng. Agar minora 50 m balandlikda boʻlsa va bu balandlik *z* oʻqi boʻylab oʻlchanadi, keyin minora tepasiga koordinata vektori **r** = (0 m, −50 m, 50 m).

Eng umumiy holatda, zarrachaning oʻrnini aniqlash uchun uch oʻlchovli koordinatalar tizimi qoʻllanadi. Biroq, agar zarracha tekislik ichida harakatlanishi cheklangan boʻlsa, ikki oʻlchovli koordinatalar tizimi yetarli. Fizikadagi barcha kuzatishlar mos yozuvlar tizimiga nisbatan tavsiflanmagan holda toʻliq emas.

Zarrachaning joylashuv vektori mos yozuvlar ramkasining kelib chiqishidan zarrachaga chizilgan vektordir . U nuqtaning boshlangʻich nuqtasidan uzoqligini ham, uning yoʻnalishini ham ifodalaydi. Uch oʻlchovda, pozitsiya vektori {\bf r} sifatida ifodalash mumkin:

\mathbf{r} = (x,y,z) = x\hat{\mathbf i} + y\hat{\mathbf j} + z\hat{\mathbf k},

bu yerda x, y, va z Dekart koordinatalari va  \hat{\mathbf i}, \hat{\mathbf j} va \hat{\mathbf k} boʻylab birlik vektorlardir x, y, va z mos ravishda koordinata oʻqlari. Joylashuv vektorining kattaligi \left|\mathbf{r}\right| nuqta orasidagi masofani beradi \mathbf{r} va kelib chiqishi.

|\mathbf{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Pozitsiya vektorining yoʻnalish kosinuslari yoʻnalishning miqdoriy oʻlchovini taʼminlaydi. Umuman olganda, ob’ektning joylashuv vektori mos yozuvlar tizimiga bogʻliq boʻladi; turli ramkalar pozitsiya vektori uchun turli qiymatlarga olib keladi.

Zarrachaning *traektoriyasi* vaqtning vektor funktsiyasidir, \mathbf{r}(t) tomonidan berilgan, harakatlanuvchi zarracha tomonidan kuzatilgan egri chiziqni belgilaydi:

\mathbf{r}(t) = x(t)\hat{\mathbf i} + y(t) \hat{\mathbf j} +z(t) \hat{\mathbf k},

bu yerda x(t), y(t), va z(t) zarracha joylashuvining har bir koordinatasini vaqt funksiyasi sifatida tasvirlangan.

## Tezlik
Zarrachaning tezligi vektor kattalik boʻlib, u zarracha harakatining kattaligi bilan bir *qatorda yoʻnalishini* ham tavsiflaydi. Matematik jihatdan nuqtaning pozitsiya vektorining vaqtga nisbatan oʻzgarish tezligi nuqta tezligidir. Zarrachaning ikkita pozitsiyasi farqini vaqt oraligʻiga boʻlish natijasida hosil boʻlgan nisbatni koʻrib chiqing. Bu nisbat oʻsha vaqt oraligʻidagi oʻrtacha tezlik deb ataladi va quyidagicha aniqlanadi:

\mathbf{v}_{\rm avg} = \frac {\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} \ ,

bu yerda \Delta \mathbf{r} vaqt oraligʻidagi pozitsiya vektorining oʻzgarishi \Delta t . Vaqt oraligʻi chegarasida \Delta t nolga yaqinlashadi, oʻrtacha tezlik pozitsiya vektorining vaqt hosilasi sifatida belgilangan oniy tezlikka yaqinlashadi.

\mathbf{v}

= \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}

= \frac {\text{d} \mathbf{r}}{\text{d} t}

=\dot{\mathbf{r}}

= \dot{x} \hat{\mathbf i} + \dot{y} \hat{\mathbf j} + \dot{z} \hat{\mathbf k},


Bu yerda nuqta vaqtga nisbatan hosilani bildiradi (masalan \dot{x} = \text{d}x/\text{d}t). Shunday qilib, zarrachaning tezligi uning pozitsiyasini oʻzgartirishning vaqt tezligidir. Bundan tashqari, bu tezlik zarrachaning yoʻli boʻylab har bir pozitsiyada traektoriyasiga tegib turadi. Aylanmaydigan sanoq sistemasida koordinata yoʻnalishlarining hosilalari hisobga olinmaydi, chunki ularning yoʻnalishlari va kattaliklari doimiydir.

Jismning tezligi uning tezligining kattaligidir. Bu skalyar miqdor:

v=|\mathbf{v}|= \frac {\text{d}s}{\text{d}t},

bu yerda s zarrachaning traektoriyasi boʻylab oʻlchanadigan yoy uzunligi. Bu yoy uzunligi zarracha harakat qilganda har doim ortib borishi kerak. Demak, \text{d}s/\text{d}t manfiy emas, bu tezlik ham manfiy emasligini bildiradi.
### Tezlanish
Tezlik vektori kattalik va yoʻnalish boʻyicha yoki bir vaqtning oʻzida ikkalasini ham oʻzgartirishi mumkin. Demak, tezlanish tezlik vektori kattaligining oʻzgarish tezligini ham, bu vektor yoʻnalishini oʻzgartirish tezligini ham hisobga oladi. Tezlikni aniqlash uchun zarrachaning pozitsiyasiga nisbatan qoʻllanadigan xuddi shunday fikrni tezlanishni aniqlash uchun tezlikka ham qoʻllash mumkin. Zarrachaning tezlashishi – bu tezlik vektorining oʻzgarish tezligi bilan aniqlangan vektor. Zarrachaning vaqt oraligʻidagi oʻrtacha tezlashishi nisbat sifatida aniqlanadi.

\overline{\mathbf{a}} = \frac {\Delta \mathbf{v}}{\Delta t} \ ,

Bu yerda Δ**v** tezlik vektoridagi farq va Δ*t* vaqt oraligʻi.

Zarrachaning tezlashishi vaqt oraligʻi nolga yaqinlashganda oʻrtacha tezlanishning chegarasi boʻlib, vaqt boʻyicha hosilasidir

\mathbf{a}

= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}

= \frac {d \mathbf{v}}{d t}

= \dot{\mathbf{v}}

= \dot{v}_x \hat{\mathbf i} + \dot{v}_y \hat{\mathbf j} + \dot{v}_z \hat{\mathbf k}


yoki,

\mathbf{a} = \ddot{\mathbf{r}}

= \ddot{x} \hat{\mathbf i} + \ddot{y} \hat{\mathbf j} + \ddot{z}\hat{\mathbf k}

Shunday qilib, tezlanish tezlik vektorining birinchi hosilasi va bu zarrachaning pozitsiya vektorining ikkinchi hosilasidir. Aylanmaydigan sanoq sistemasida koordinata yoʻnalishlarining hosilalari hisobga olinmaydi, chunki ularning yoʻnalishlari va kattaliklari doimiydir.

Jismning tezlanishining kattaligi – kattaligi | **a** | uning tezlanish vektori. Bu skalyar miqdor quyidagicha:

|\mathbf{a}| = |\dot{\mathbf{v}} | = \frac{\text{d}v}{\text{d}t}.

## Manbalar

## Adabiyotlar
* 
* 
* Eduard Study (1913) D. H. Delphenich translator, „Foundations and goals of analytical kinematics“.

## Havolalar
* Java applet of 1D kinematics
* Physclips: Mechanics with animations and video clips from the University of New South Wales.
* Kinematic Models for Design Digital Library (KMODDL), featuring movies and photos of hundreds of working models of mechanical systems at Cornell University and an e-book library of classic texts on mechanical design and engineering.
* Micro-Inch Positioning with Kinematic Components