Nuclear shell model

Yadro fizikasi, atom fizikasi va yadro kimyosida **yadroning qobiq modeli** atom yadrosining modeli bo'lib, u yadro tuzilishini energiya sathlari bo'yicha tasvirlash uchun Pauli istisno prinsipidan foydalanadi. Birinchi qobiq modeli 1932-yilda Dmitriy Ivanenko (E. Gapon bilan birgalikda) tomonidan taklif qilingan. Model 1949-yilda bir nechta fiziklarning mustaqil izlanishlari bilan ishlab chiqilgan, xususan, Evgeniy Pol Vigner, Mariya Goeppert Mayer va J. Xans D. Jensen oʻz hissalari uchun 1963 -yilda fizika boʻyicha Nobel mukofotiga sazovor boʻlgan.

Yadro qobiq modeli qisman atomdagi elektronlarning joylashishini tavsiflovchi atom qobig'i modeliga o'xshaydi, chunki to'ldirilgan qobiq katta barqarorlikka olib kelashi ikkala hol uchun ham o'rinli. Yadroga nuklonlarni (protonlar yoki neytronlar) qo'shganda shunday nuqta mavjudki, keyingi nuklonning bog'lanish energiyasi oldingi qo'shilgani bog'lanish energiyasidan sezilarli darajada kam bo'ladi. Nuklonlar uchun keyingi yuqori raqamga qaraganda kuchliroq bog'langan ma'lum sehrli sonlar (**2, 8, 20, 28, 50, 82, 126**) mavjudligini kuzatilishi, qobiq modelining kelib chiqishi asosi sanaladi.

Protonlar va neytronlar uchun qobiqlar bir-biridan mustaqildir. Shuning uchun, bitta yoki boshqa nuklon turi sehrli sonda boʻlgan "sehrli yadrolar" va ikkalasi ham sehrli sonli boʻlgan " ikki karra sehrli yadrolar " mavjud. Orbital to'ldirishdagi ba'zi variatsiyalar tufayli, eng yuqori sehrli raqamlar neytronlar uchun 126 va spekulyativ ravishda 184 bo'ladi, protonlar uchun esa atigi 114 ni tashkil qiladi, bu sonlar barqarorlik oroli deb ataladigan sohani qidirishda muhim rol o'ynaydi. Ba'zi yarim sehrli raqamlar topilgan, xususan *Z*&nbsp;=&nbsp;40 turli elementlar uchun yadro qobig'ini to'ldirish imkonini beradi; 16 ham sehrli raqam bo'lishi mumkin. 

Ushbu raqamlarni olish uchun yadro qobig'i modeli kvadrat potensial o'ra  va garmonik osilator o'rtasidagi shaklga ega boʻlgan o'rtacha potentsialdan boshlanadi. Ushbu potensialga spin orbita sathi qo'shiladi. Shunday bo'lsa ham, umumiy tebranish tajriba natijalariga to'g'ri kelmaydi va empirik spin orbita bog'lanishi o'rganilayotgan yadrolarga qarab, uning ulanish konstantasining kamida ikki yoki uch xil qiymati bilan qo'shilishi kerak.

Nuklonlarning sehrli soni boshqa parametrlar kabi, modelni uch o'lchovli garmonik osilator va spin-orbitaning o'zaro ta'siriga yaqinlashtirish orqali topilishi mumkin. Haqiqiyroq, ammo ayni paytda murakkab potentsial Woods-Saxon potensiali deb nomlanadi.

## Rivojlantirilgan garmonik ossilyator modeli
Uch o'lchovli garmonik osilatorni ko'rib chiqamiz. Bu, masalan, dastlabki uchta sathni beradi (" *ℓ* " - burchak momentum kvant soni)

Biz proton va neytronlarni qo'shish orqali yadro qurayapmiz deb tasavvur qilaylik. Ular har doim mavjud boʻlgan eng past sathni to'ldiradi. Shunday qilib, dastlabki ikkita proton nol sathni to'ldiradi, keyingi olti proton birinchi sathni to'ldiradi va hokazo. Davriy jadvaldagi elektronlarda boʻlgani kabi, eng tashqi qobiqdagi protonlar ham,agar bu qobiqda faqat bir nechta proton bo'lsa yadroga nisbatan erkin bog'langan bo'ladi, chunki ular yadro markazidan eng uzoqda joylashgan. Shunday qilib, tashqi proton qobig'i to'liq boʻlgan yadrolar protonlarning umumiy soni bir xil boʻlgan boshqa yadrolarga qaraganda yuqori bog'lanish energiyasiga ega bo'ladi. Yuqoridagi fikrlar neytronlar uchun ham amal qiladi.

Bu shuni anglatadiki, sehrli raqamlar barcha egallab olingan qobiqlar to'la boʻlgan raqamlar bo'lishi kutiladi. Ko'ramizki, dastlabki ikkita raqam uchun tajribaga muvofiq 2 (0-daraja to'liq) va 8 (0 va 1-darajalar to'liq) olinadi. Biroq, sehrli raqamlarning to'liq to'plami bu holda to'g'ri chiqmaydi. Bularni quyidagicha hisoblash mumkin:

: Uch o'lchovli garmonik ossilyatorda *n* sathdagi umumiy degeneratsiya {(n+1)(n+2)\over 2}.
: Spin tufayli degeneratsiya ikki barobar ortadi va  (n+1)(n+2)bo'lib qoladi.
: Shunday qilib, sehrli raqamlar *k* butun son uchun :
::  \sum_{n=0}^k (n+1)(n+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)} 3  bo'ladi
: Bu ushbusehrli raqamlarni beradi: 2,&nbsp;8,&nbsp;20,&nbsp;40,&nbsp;70,&nbsp;112,&nbsp;..., ularning faqat dastlabki uchtasi tajribaga mos keladi. Bu raqamlar Paskal uchburchagidagi tetraedral raqamlardan ikki baravar ko'p (1,&nbsp;4,&nbsp;10,&nbsp;20,&nbsp;35,&nbsp;56,&nbsp;...).

Xususan, birinchi oltita qobiq:

* 0-sath: 2 ta holat (*ℓ* = 0) = 2.
* 1-sath: 6 ta holat (*ℓ* = 1) = 6.
* 2-sath: 2 ta holat (*ℓ* = 0) + 10 ta holat (*ℓ* = 2) = 12.
* 3-sath: 6 ta holat (*ℓ* = 1) + 14 ta holat (*ℓ* = 3) = 20.
* 4-sath: 2 ta holat (*ℓ* = 0) + 10 ta holat (*ℓ* = 2) + 18 ta holat (*ℓ* = 4) = 30.
* 5-sath: 6 ta holat (*ℓ* = 1) + 14 ta holat (*ℓ* = 3) + 22 ta holat (*ℓ* = 5) = 42.

bu yerda har bir *ℓ* uchun *m <sub>l</sub>* ning 2 *ℓ* +1 turli qiymati va *m <sub>s ning</sub>* 2 qiymati mavjud bo'lib, har bir aniq daraja uchun jami 4 *ℓ* +2 holatni beradi.

Bu raqamlar Paskal uchburchagidagi uchburchak sonlarning qiymatlaridan ikki baravar katta: 1,&nbsp;3,&nbsp;6,&nbsp;10,&nbsp;15,&nbsp;21,&nbsp;....

### Spin-orbital o'zaro ta'sirini hisobga olish
Endibiz spin-orbitaning o'zaro ta'sirini hisobga olamiz. Avval tizimni vodorodga o'xshash atomdagi kabi *ℓ*, *m <sub>l</sub>* va *m <sub>s</sub>* o'rniga *j*, *m <sub>j</sub>* kvant raqamlari va juftlik  bilan tavsiflashimiz kerak. Har bir juft daraja faqat *ℓ* ning juft qiymatlarini o'z ichiga olganligi sababli, u faqat juft (musbat) juftlik holatlarini o'z ichiga oladi. Xuddi shunday, har bir toq daraja faqat toq (salbiy) juftlik holatlarini o'z ichiga oladi. Shunday qilib, biz holatlarni hisoblashda paritetni e'tiborsiz qoldira olamiz. Yangi kvant raqamlari bilan tavsiflangan dastlabki oltita qobiq:

* 0-sath(*n* = 0): 2 holat (*j* = ). Musbat juftlik.
* 1-sath(*n* = 1): 2 ta holat (*j* = ) + 4 ta holat (*j* = ) = 6. Manfiy juftlik
* 2-sath(*n* = 2): 2 ta holat (*j* = ) + 4 ta holat (*j* = ) + 6 ta holat (*j* = ) = 12. Musbat juftlik.
* 3-sath(*n* = 3): 2 ta holat (*j* = ) + 4 ta holat (*j* = ) + 6 ta holat (*j* = ) + 8 ta holat (*j* = ) = 20. Manfiy juftlik
* 4-sath(*n* = 4): 2 ta holat (*j* = ) + 4 ta holat (*j* = ) + 6 ta holat (*j* = ) + 8 ta holat (*j* = ) + 10 ta holat (*j* = ) = 30. Musbat juftlik.
* 5-sath(*n* = 5): 2 ta holat (*j* = ) + 4 ta holat (*j* = ) + 6 ta holat (*j* = ) + 8 ta holat (*j* = ) + 10 ta holat (*j* = ) + 12 holat (*j* = ) = 42. Manfiy juftlik

bu yerda har bir *j* uchun *m <sub>j</sub>* ning turli qiymatlaridan 2j + 1 ta turli holat mavjud.

Spin-orbitaning o'zaro ta'siri tufayli bir xil sathdagi, lekin *j* har xil boʻlgan holatlarning energiyalari endi bir xil bo'lmaydi. Buning sababi, asl kvant raqamlarida \scriptstyle \vec{s}  \scriptstyle \vec{l} ga parallel bo'lsa, o'zaro ta'sir energiyasi musbat; va bu holda: *j* = *ℓ* + *s* = *ℓ* +1/2 . Qachonki \scriptstyle \vec{s}  \scriptstyle \vec{l} ga antiparallel bo'lsa(ya'ni qarama-qarshi tekislangan), o'zaro ta'sir energiyasi manfiy va bu holda j = ℓ - s = ℓ -1/2

Masalan, 4-sathdagi holatlarni ko'rib chiqamiz:

* *j* =9/2 boʻlgan 10 ta holat , *ℓ* = 4 dan chiqadi va *s* *ℓ* ga parallel. Shunday qilib, ular musbat spin-orbital o'zaro ta'sir energiyasiga ega.
* *j* =7/2 boʻlgan 8 ta holat  *ℓ* = 4 dan chiqadi va *ℓ* ga *s* antiparallel. Shunday qilib, ular manfiy spin-orbital o'zaro ta'sir energiyasiga ega.
* *j* =5/2 boʻlgan 6 ta holat  *ℓ* = 2 dan chiqadi va *s* *ℓ* ga parallel. Shunday qilib, ular musbat spin-orbital o'zaro ta'sir energiyasiga ega. Biroq uning kattaligi *j* =9/2 boʻlgan holatlarga nisbatan ikki marta kichik.
* *j* =3/2 boʻlgan 4 ta holat  *ℓ* = 2 dan chiqadi va *s* *ℓ* ga antiparallel. Shunday qilib, ular manfiy spin-orbital o'zaro ta'sir energiyasiga ega. Biroq uning kattaligi *j* =7/2 boʻlgan holatlarga nisbatan ikki marta kichik .
* *j* =1/2 boʻlgan 2 ta holat  *ℓ* = 0 dan chiqadi va shuning uchun spin-orbital o'zaro ta'sir energiyasi nolga teng.

### Potensial profilini o'zgartirish
Garmonik ossilyator potensiali V(r) = \mu \omega^2 r^2 /2 markazdan masofa *r* cheksizlikka borgan sari cheksiz o'sadi. Woods-Saxon potensiali kabi realroq potentsial ushbu chegarada doimiyga yaqinlashadi. Asosiy oqibatlardan biri shundaki, nuklonlar orbitalarining o'rtacha radiusi real potentsialda kattaroq bo'ladi; Bu sathning Gamiltonianning Laplas operatorida qisqarishiga olib keladi: \scriptstyle \hbar^2 l(l+1)/ 2m r^2. Yana bir asosiy farq shundaki, yuqori-o'rta radiusli orbitalar, masalan, yuqori *n* yoki yuqori *ℓ* boʻlganda, garmonik ossilyator potentsialiga qaraganda kamroq energiyaga ega bo'ladi. Ikkala ta'sir ham yuqori *ℓ* orbitalarining energiya sathlarining pasayishiga olib keladi.