Yorugʻlik dispersiyasining elementar klassik nazariyasi

Fizika fanlari va elektrotexnika fanlarida **dispersiya munosabatlari** muhitdagi toʻlqinlarning xususiyatlariga  dispersiya taʼsirini tavsiflaydi. Dispersiya munosabati toʻlqin uzunligi yoki toʻlqin sonini uning chastotasiga bogʻliqligi hisoblanib. Dispersiya munosabatini hisobga olgan holda, muhitdagi toʻlqinlarning faza tezligi va guruh tezligini chastotaga bogʻliq holda hisoblash mumkin. Geometriyaga bogʻliq va materialga bogʻliq dispersiya munosabatlariga qoʻshimcha ravishda, keng qamrovli Kramers-Kronig munosabatlari toʻlqin tarqalishi va zaiflashuvining chastotaga bogʻliqligini tavsiflaydi.

Dispersiya geometrik chegara sharoitlari (toʻlqin oʻtkazgichlar, sayoz suv) yoki toʻlqinlarning uzatuvchi vosita bilan oʻzaro taʼsiri tufayli yuzaga kelishi mumkin. Materiya toʻlqinlari sifatida qabul qilingan elementar zarralar geometrik cheklovlar va boshqa muhitlar boʻlmasa ham, notrivial dispersiya munosabatiga ega.

Dispersiya mavjud boʻlganda, toʻlqin tezligi endi yagona aniqlanmaydi, bu faza tezligi va guruh tezligining farqlanishiga olib keladi.

## Dispersiya
Dispersiya turli toʻlqin uzunlikdagi sinusoidal toʻlqinlarning tarqalish  tezligi turlicha boʻlganda sodir boʻladi, shuning uchun aralash toʻlqin uzunlikdagi toʻlqin paketi kosmosda tarqalishga intiladi. MIsol uchun, samolyot toʻlqinining tezligi v, to‘lqin uzunligining funksiyasi \lambda:

: v = v(\lambda).

Toʻlqinning tezligi, toʻlqin uzunligi va chastotasi *f* funksiyasi bilan bogʻliq

: v(\lambda) = \lambda\ f(\lambda).

Funksiya  f(\lambda) berilgan muhitning dispersiya munosabatini ifodalaydi. Dispersiya munosabatlari koʻproq burchak chastotasi bilan ifodalanadi: \omega=2\pi f va toʻlqin raqami k=2 \pi /\lambda. Ushbu oʻzgaruvchilardagi yuqoridagi munosabatni qayta yozsak:

: \omega(k)= v(k) \cdot k.

bu yerda *f* ni *k* ning funksiyasi sifatida qaraymiz. Dispersiya munosabatini tavsiflash uchun *ō* (*k*) dan foydalanish  standart boʻlib qoldi, chunki faza tezligi *ō* / *k* va guruh tezligi *dō* / *dk* bu funksiya orqali qulay tasvirlarga ega.

Koʻrib chiqilayotgan tekis toʻlqinlar bilan tavsiflanishi mumkin

: A(x, t) = A_0e^{2 \pi i \frac{x - v t}{\lambda}}= A_0e^{i (k x - \omega t)},

bu yerda

* *A* — toʻlqinning amplitudasi,
* *A* 0 = *A* (0, 0),
* *x* — toʻlqinning harakat yoʻnalishi boʻyicha pozitsiyasi va
* *t* — toʻlqin tasvirlangan vaqt.

## Vakuumdagi tekis toʻlqinlar
Vakuumdagi tekis toʻlqinlar toʻlqin tarqalishining eng oddiy holatidir, yaʼni geometrik cheklov yoʻq, uzatuvchi muhit bilan oʻzaro taʼsir oʻtkazilmaydi.

### Vakuumdagi elektromagnit toʻlqinlar
Vakuumdagi elektromagnit toʻlqinlar uchun burchak chastotasi toʻlqin soniga proporsionaldir:

: \omega = c k.\,

Bu *chiziqli* dispersiya munosabati. Bunday holatda, faza tezligi va guruh tezligi bir xil boʻladi:

:  v = \frac{\omega}{k} = \frac{d\omega}{d k} = c;

bu yerda *c* vakuumdagi yorugʻlik tezligi, chastotaga bogʻliq boʻlmagan doimiy.

### De Broglie(De Broyl) dispersiya munosabatlari
de Brogliemateriya toʻlqinlari uchun chastota dispersiyasi munosabati chiziqli emas:

\omega(k) \approx \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m_{0} }\,.

Tenglama materiyaning toʻlqin chastotasini bildiradi: \omega>vakuumda relyativistik boʻlmagan yaqinlashuvda toʻlqin soniga qarab oʻzgaradi(k=1/\lambda) Variatsiya ikki qismdan iborat boʻladi: qolgan massaning de Broyl chastotasi tufayli doimiy qism (\hbar \omega_0 = m_{0}c^2) va kinetik energiya tufayli kvadratik qism.

#### Chiqarish
Materiya toʻlqinlarining qoʻllanishi relativistik boʻlmagan tezlikda sodir boʻlsa, de Broyl oʻz toʻlqinlarini olish  uchun maxsus nisbiylikni qoʻllagan. Relyativistik energiya-momentum munosabatidan boshlab:

E^2 = (p \textrm c)^2 + \left(m_0 \textrm c^2\right)^2\,

materiya toʻlqinlari uchun energiya va impuls uchun de Broyl munosabatlaridan foydalaning,

E = \hbar \omega \,, \quad \mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}\,,

bu yerda  — burchak chastotasi va  — kattaligi |**k**|  *k* boʻlgan toʻlqin vektor, toʻlqin raqamiga teng. ga boʻling \hbar va kvadrat ildizni oling. Bu **relativistik chastota dispersiyasi munosabatini** beradi:

\omega(k) = \sqrt{k^2c^2 + \left(\frac{m_0c^2}{\hbar}\right)^2} \,.

Materiya toʻlqinlari bilan amaliy ish relativistik boʻlmagan tezlikda sodir boʻladi . Taxminan hisoblash uchun biz qolgan massaga bogʻliq chastotani chiqaramiz:

\omega = \frac{m_0 c^2}{\hbar}\sqrt{1+ \left( \frac{k\hbar}{m_{0} c} \right)^2 } \,.

Keyin biz buni koʻramiz \hbar/c omil juda kichik, shuning uchun k juda katta emas, biz kengaytiramiz   \sqrt{1+x^2}\approx 1+x^2/2, va koʻpaytiramiz:

\omega(k) \approx \frac{m_0 c^2}{\hbar} + \frac{\hbar k^2}{2m_{0} }\,.

Bu yuqorida muhokama qilingan relativistik boʻlmagan yaqinlikni beradi. Agar biz relyativistik boʻlmagan Schrodinger(Shredinger) tenglamasidan boshlasak, biz birinchi tinchlikdagi massadan yakunlaymiz.

## Chastota va toʻlqin soni
Yuqorida  aytib oʻtilganidek, muhitda fokus yutilish emas balki sinishi yaʼni sinish koʻrsatkichining haqiqiy qismi boʻlsa burchak chastotasining toʻlqin soniga funksional bogʻliqligini *dispersiya munosabati* deb atash odatiy holdir. Zarrachalar uchun bu energiyani impuls funksiyasi sifatida bilishga aylanadi.

### Toʻlqinlar va optika
"Dispersiya munosabati" nomi dastlab optikadan olingan. Doimiy boʻlmagan sinish indeksiga ega boʻlgan materialdan yorugʻlik oʻtishi yoki toʻlqin oʻtkazgich kabi bir xil boʻlmagan muhitda yorugʻlikdan foydalanish orqali yorugʻlikning samarali tezligini toʻlqin uzunligiga bogʻliq qilish mumkin. Bu holatda, toʻlqin shakli vaqt oʻtishi bilan tarqaladi, tor puls kengaytirilgan pulsga aylanadi, yaʼni tarqaladi. Ushbu materiallarda, \frac{\partial \omega}{\partial k} guruh tezligi deb nomlanadi va impulsning eng yuqori nuqtasi tarqalish tezligiga mos keladi, bu qiymat faza tezligidan farq qiladi.

### Chuqur suv toʻlqinlari

Chuqur suv toʻlqinlari uchun dispersiya munosabati koʻpincha shunday yoziladi

: \omega = \sqrt{gk},

Bu yerda *g* — tortishish taʼsiridan tezlanish. Chuqur suv, bu jihatdan, odatda, suv chuqurligi toʻlqin uzunligining yarmidan kattaroq boʻlgan holat sifatida belgilanadi. Bu holda faza tezligi

: v_p = \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{g}{k}},

va guruh tezligi

: v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{1}{2} v_p.

### Ipdagi toʻlqinlar

Ideal chiziq uchun dispersiya munosabati quyidagicha yozilishi mumkin

: \omega = k \sqrt{\frac{T}{\mu}},

Bu yerda *T* — ipning taranglik kuchi, *m* — ipning uzunligi birlikdagi massasi. Vakuumdagi elektromagnit toʻlqinlar holatiga kelsak, ideal simlar dispersiv boʻlmagan muhitdir, yaʼni faza va guruh tezligi teng va tebranish chastotasiga bogʻliq emas (birinchi tartib)

Qattiqlik hisobga olinadigan ideal boʻlmagan qator uchun dispersiya munosabati quyidagicha yoziladi:

: \omega^2 = \frac{T}{\mu} k^2 + \alpha k^4,

qayerda \alpha satrga bogʻliq boʻlgan doimiydir.

### Elektron tarmoqli tuzilishi
Qattiq jismlarni oʻrganishda elektronlarning disperslik munosabatini oʻrganish katta ahamiyat kasb etadi. Kristallarning davriyligi maʼlum bir impuls uchun energiyaning koʻp darajalari mumkinligini va baʼzi energiyalar har qanday momentumda mavjud boʻlmasligini anglatadi. Barcha mumkin boʻlgan energiya va momentlarning toʻplami materialning tarmoqli tuzilishi deb nomlanadi. Tarmoqli strukturaning xususiyatlari, materialning yalıtkan, yarim oʻtkazgich yoki oʻtkazgich ekanligini aniqlaydi.

### Fononlar
Fotonlar yorugʻlik uchun qanday boʻlsa, fononlar qattiq jismdagi tovush toʻlqinlari uchun shunday: ular uni olib yuruvchi kvantlardir. Fononlarning dispersiya munosabati ham ahamiyatsiz va muhim boʻlib, materialning akustik va issiqlik xususiyatlariga bevosita bogʻliqdir. Aksariyat tizimlar uchun fononlarni ikkita asosiy turga boʻlish mumkin: Brillouin(Brillouen) zonasining markazida diapazonlari nolga teng boʻlganlar akustik fononlar deb ataladi, chunki ular uzoq toʻlqin uzunliklari chegarasida klassik tovushga mos keladi. Qolganlari optik fononlardir, chunki ular elektromagnit nurlanish bilan qoʻzgʻalishi mumkin.

### Elektron optikasi
Yuqori energiya bilan (masalan, ) transmissiya elektron mikroskopidagi elektronlar, konvergent nurli elektron diffraktsiyasi (CBED) naqshlarida yuqori tartibli Laue zonasi (HOLZ) chiziqlarining energiyaga bogʻliqligi, aslida, kristalning uch oʻlchovli dispersiyasining sirt kesmalarini *toʻgʻridan-toʻgʻri tasvirlash* imkonini beradi. Ushbu dinamik effekt panjara parametrlarini, nur energiyasini aniq oʻlchashda qoʻllanishini topdi va yaqinda elektronika sanoati uchun: panjara kuchlanishi.

## Tarix
Isaac Newton(Isaak Nyuton) prizmalarda sinishni oʻrgandi, lekin dispersiya munosabatining moddiy bogʻliqligini tan olmadi, prizma dispersiyasi oʻlchovi Nyutonnikiga toʻgʻri kelmaydigan boshqa tadqiqotchining ishini rad etdi.

Toʻlqinlarning suvda tarqalishini 1776-yilda Per-Simon Laplas oʻrgangan

Kramers-Kronig munosabatlarining universalligi (1926-27) barcha turdagi toʻlqinlar va zarrachalarning tarqalish nazariyasidagi dispersiya munosabatining sababiy bogʻliqligi haqidagi keyingi ishlarda yaqqol namoyon boʻlgan.
## Manbalar
* R. A. Serway, C. J. Moses and C. A. Moyer (1989). Modern Physics
* R. G. Dean and R. A. Dalrymple (1991). Water wave mechanics for engineers and scientists.
* A. D. D. Craik (2004). „The origins of water wave theory“
* John S. Toll (1956). „Causality and the dispersion relation: Logical foundations“
## Havolalar
* Poster on CBED simulations to help visualize dispersion surfaces, by Andrey Chuvilin and Ute Kaiser
* Angular frequency calculator