Yadroning tomchi modeli

**Yadroning tomchi modeli** — gidrodinamik model deb ham ataluvchi mazkur modelda yadro — zichligi yadro zichligiga teng bo‘lgan zaryadlangan suyuqlik tomchisi (murakkab versiyada proton va neytronlar suyuqligidan iborat tomchi) sifatida tushuntiriladi. Modelning fizik asoslari: yadro moddasi zichligining doimiyligi — bu uning siqilmasligini bildirishi; bog‘lanish energiyasining massa soniga proporsionalligi esa — suyuqlik tomchisi bug‘lanish energiyasining tomchi massasiga proporsionalligiga o‘xshashligi; suyuqliklardagi molekulyar kuchlar singari yadro kuchlarining to‘yinish xossasiga egaligi .

Erkinlik darajalari — kichik hajmli deformatsiyalar va sezilarli sirt tebranishlariga javob beradi. Modelning qo‘llanilish doirasi: yadro bog‘lanish energiyasining Z va A ga o‘rtacha bog‘liqligini tavsiflashda, sferik yadrolarning sirt tebranishlarini tavsiflashda, yadro bo‘linishini sifat jihatdan izolashdan iborat . 

## Umumiy tavsif

Yadro modellarini tushuntirishda, modellar klassifikatsiyasidan foydalaniladi . Yadro modellari uchta asosiy sinfga bo‘linadi, ulardan biri kollektiv modellar sinfidir . 

*Kollektiv modellarda* ko‘p sonli nuklonlarning bog‘langan harakatiga mos keluvchi erkinlik darajalari hisobga olinadi. Ular kuchli o‘zaro ta’sirli yadro modellari deb ham ataladi. Buning asosiy sababi shundaki, kollektiv effektlar zarrachaning eng yaqin qo‘shnilari bilan tez-tez va intensiv to‘qnashuvi asosiy rol o‘ynaganda paydo bo‘ladi. Fenomenologik tilda bu shuni anglatadiki, nuklonlar orasidagi o‘zaro ta’sir masofasi d va nuklonlarning erkin yugurish yo‘li l nuklonlar radiusi R dan ancha kichik bo‘ladi: d \ll R va l \ll R.

## Tomchi modeli

Yadro kuchlarining to‘yinganlik xossasi — nuklonlarning qisqa masofali ta’siri hamda kichik masofalarda itarishishidan kelib chiqadi. Bu esa o‘z navbatida yadroni suyuq tomchiga qiyoslash mumkinligi bildiradi. Chunki,
suyuqlik molekulalarini bog‘lovchi kuchlar ham to‘yingan bo‘ladi va bug‘lanish energiyasi suyuqlik massasining ortishi bilan chiziqli ravishda ortadi. Shu asosida suyuq tomchi modelida yadroni tasvirlash usuli yaratildi (1935-yil, Carl Friedrich von Weizäacker).

 

Nima sababdan o‘zi bizga ma’lum xususiyatlarni tushuntiradigan va ularni oldindan taxmin qiladigan yadro modellari kerak? 

Yadro — har biri o‘z tuzilishi va xususiyatlarini saqlab qolgan nuklonlarning bog‘langan sistemasi hisoblanadi. Haqiqatdan ham nuklon massasi m_\text{nucl}\approx940 \,\, \text{MeV} bo‘lib, uni birinchi g‘alayonlangan holatga o‘tkazish uchun W \approx 300 \,\, \text{MeV}  energiya kerak bo‘ladi. Shu bilan birga, yadrodagi nuklonning
o‘rtacha energiyasi 
 \langle T \rangle \approx 20 \,\,\text{MeV} 

Gazlarning kinetik nazariyasida atom tuzilishini va atomni tavsiflashda esa yadro tuzilishini hisobga olmaganimiz kabi, yadroni tavsiflashda ham birinchi yaqinlashishda nuklonlar tuzilishini hisobga olmaslik mumkin. Va yana bitta nuklonning potensial energiyasi — uning kinetik energiyasidan ancha katta bo‘lgani uchun norelyativistik kvant nazariyadan, xususan zarrachalar sistemasi uchun statsionar Schr¨odinger tenglamasidan foydalanish mumkin:
 \hat{H}\psi = E \psi 

Yadro uchun Shredinger tenglamasini yechishdagi qiyinchiliklar quyidagilar:

a) NN-o‘zaro ta’sir tabiati to‘liq o‘rganilmagan;
b) Kuchli o‘zaro ta’sirlashuvchi zarralar uchun A > 4 hollar to‘liq hal qilinmagan .

Oxirgi va asosiy qiyinchilikni soddalashtirish uchun uning eng muhim xususiyatini yadro modellaridan foydalanib chetlab o‘tishimiz mumkin. Yadroning birinchi va eng sodda modeli — suyuq tomchi modeli hisoblanib, uning yordamida Weizsacker formulasini keltirib chiqarish mumkin .

## Weizsacker formulasi
Yadroning suyuq tomchi modelidan foydalanib, asosiy holatdagi yadroning bog‘lanish energiyasi uchun yarim-emperik formula — Weizsacker formulasini hosil qilamiz. Suyuq tomchi va yadroning o‘xshashligi quyidagi ikkita fikrga asoslanadi :

* Ikkala holatda ham bog‘lanish energiyasi tarkibiy zarrachalar soniga proportsionaldir; 
* NN-o‘zaro ta’sir potentsial energiyasining radial shakli, oddiygina qilib NN-potensial deb ataladi, uning ko‘rinishi quyida rasmda tasvirlangan.

Umuman olganda, bu potensial (shkalalardagi farq hisobga olinmasa) ikkita molekula uchun Lenard-Jons potensialiga
o‘xshaydi. Yadro bog‘lanish energiyasi uchun Weizsacker formulasi bir nechta hadlardan iborat. Quyida ularni ko‘rib chiqamiz. 

## Hajmiy energiya
Yadrodagi nuklonlar soni qancha ko‘p bo‘lsa yoki yardo hajmi qancha katta bo‘lsa, bog‘lanish energiyasi ham shuncha katta bo‘ladi. Hajm esa massa soni A ga proporsional bo‘lgani uchun yadro energiyasini hajmiy energiya deb ataluvchi birinchi taxminiy ko‘rinishda ifodalash mumkin: 
 E_\text{v} = \alpha A 

Agarda biz faqat mazkur had bilan ishlasak, u holda sirt effektlari hisobga olinmaydi, yadro esa zaryadsiz materiya deb qaraladi. 

## Sirtiy energiya

Sirtdagi nuklonlar ichki qismdagi nuklonlarga nisbatan kamroq bog‘lanishga ega. Negaki, ular ichki nuklonlarga nisbatan qo‘shni nuk-lonlari bilan kamroq ta’sirlashishadi. Cheksiz yadro materiyasida yadroni cheklovchi sirt chizib, undan tashqaridagi nuklonlarni olib tashlasak, u holda sirtda qolgan nuklonlar o‘z bog‘lanishlarining yarmini yo‘qotadi.

Yo‘qotilgan bog‘lanishlar soni sirtdagi nuklonlar soniga proporsionaldir, shu sababli sirt yuzasi
 S = 4\pi R^2 = 4\pi r_0 A^{2/3}    
ga teng bo‘ladi. Bunda, R — yadro radiusi, r_0= 1.4 \,\, \text{fm}. Shunday qilib,
sirt tufayli bog‘lanish energiyasi Esirt ga kamayadi va biz bu energiyani sirtiy energiya deb ataymiz: 
 E_\text{s} = \beta A^{2/3}     

bunda, \beta — sirt energiyasi o‘zgarmas koeffisienti. Sirtda joylashgan nuklonlarga yadro ichkarisiga yo‘nalgan kuch ta’sir qiladi. Demak, sirt nuklonlari suyuqlik tomchisidagi kabi sirt tarangligi hosil qiladi va ular hosil qilgan energiya (5) formula bilan aniqlanadi. 

## Coulomb energiyasi
Yadro zaryadi Ze ni, \rho zichlik bilan sfera bo‘ylab tekis taqsimlangan deb hisoblab, bu energiyani osongina hisoblab topamiz. Bunda zaryad zichligi
  \rho = \frac{Ze}{\frac{4}{3} \pi R^3}     
ga teng. Bundan foydalanib, bog‘lanish energiyasini kamaytiruvchi Coulomb itarishish energiyasini klassik elektrostatika yordamida aniqlaymiz. 
  E_\text{C} = \frac{3}{5} \frac{Z(Z-1)e^2}{R} = \gamma \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3} }    
bunda, \gamma = 0.72\,\,\text{MeV}. 

Yuqoridagi hadlar bilan cheklanib, barqarorlik chizig‘ining to‘g‘ri yo‘nalishini olish mumkin emas. Yengil yadrolar uchun bu chiziq protonlar sonining neytronlar soniga tengligi (N \approx Z) ga mos keladi. 

Shu bilan birga, bog‘lanish energiyasi uchun yuqorida ko‘rib chiqqan uchta hadlar ichida faqat Coulomb hadigina A va Z ga bog‘liq. Shuni hisobga oladigan bo‘lsak, maksimal bog‘lanish energiyasi Z = 0 da erishiladi va barqaror yadrolar esa faqat neytronlardan iborat bo‘lishi kerak edi. Shubhasiz, bunday emas va bu yerda yadro tomchisining kvant tabiati hisobga olinishi kerak edi. 

Har bitta hadni hisobga olib, yadro solishtirma bog‘lanish energiyasining
nuklonlar soniga bog‘liqlik grafigini hosil qilamiz.

## Manbalar

## Adabiyotlar

# Peter E. Hodgson; Nuclear Reactions and Nuclear Structure. Oxford University Press (1971).
# Irving Kaplan; Nuclear physics, the Addison-Wesley Series in Nuclear Science & Engineering, Addison-Wesley (1956). 2nd edition (1962).
# A. Bohr & B. Mottelson ; Nuclear Structure, 2 vol., Benjamin (1969–1975). Volume 1 : Single Particle Motion ; Volume 2 : Nuclear Deformations. Réédité par World Scientific Publishing Company (1998), ISBN 981-02-3197-0.
# P. Ring & P. Schuck; The nuclear many-body problem, Springer Verlag (1980), ISBN 3-540-21206-X
# A. de Shalit & H. Feshbach; Theoretical Nuclear Physics, 2 vol., John Wiley & Sons (1974). Volume 1: Nuclear Structure; Volume 2: Nuclear Reactions, ISBN 0-471-20385-8