Limit bo'yicha taqqoslash alomati (testi)

Matematikada **limit bo'yicha taqqoslash alomati (testi)** (taqqoslash alomatidan farqli o'laroq) cheksiz qatorlarning yaqinlashishini tekshirish usuli hisoblanadi.

## Sharti
Aytaylik, bizda ikkita  \Sigma_n a_n  va \Sigma_n b_n qatorlar berilgan bo'lib, barcha  n lar uchun   a_n\geq 0, b_n > 0  munosabat o'rinli bo'lsin. Agar  \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c munosabat  0  uchun o'rinli bo'lsa, u holda har ikkala qator yaqinlashadi yoki har ikkala qator uzoqlashadi.

## Isbot
 \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c  bo'lganligi uchun barcha  \varepsilon > 0  sonlar uchun shunday n_0 musbat butun son mavjudki, bunda barcha n \geq n_0  lar uchun  \left| \frac{a_n}{b_n} - c \right|  munosabat, yoki shunga ekvivalent ravishda

:  - \varepsilon 

:  c - \varepsilon 

:  (c - \varepsilon)b_n 

munosabatlar o'rinli.

 c > 0  bo'lganligi uchun  \varepsilon  ni shunday yetarlicha kichik tanlashimiz mumkinki, bunda  c-\varepsilon  musbat bo'ladi. Shunday qilib,  b_n  va taqqoslash alomatiga ko'ra, agar \sum_n a_n yaqinlashsa, u holda \sum_n b_n  ham yaqinlashadi.

Xuddi shunday,  a_n  munosabat o'rinli va taqqoslash testiga ko'ra \sum_n a_n  uzoqlashsa, u holda \sum_n b_n  ham uzoqlashadi.

Ya'ni, har ikkala qator yaqinlashadi yoki har ikkala qator uzoqlashadi.

## Misol
 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 2n}  qatorni yaqinlashishga tekshiramiz. Buning uchun uni yaqinlashuvchi bo'lgan  \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} qator bilan taqqoslaymiz.

 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + 2n} \frac{n^2}{1} = 1 > 0  ekanligidan, berilgan qatorning ham yaqinlashuvchi bo'lishi kelib chiqadi.

## Bir tomonlama versiya: bir tomonlama taqqoslash alomati
Bir tomonlama taqqoslash alomati (testi) yuqori limitni qo'llagan holda keltirilishi mumkin. Barcha  n lar uchun   a_n, b_n \geq 0  bo'lsin. U holda agar  \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = c munosabat  0 \leq c  uchun o'rinli bo'lsa va \Sigma_n b_n qator yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda zaruriy ravishda  \Sigma_n a_n  qator ham yaqinlashadi.

## Misol
Barcha natural  n  lar uchun  a_n = \frac{1-(-1)^n}{n^2}  va  b_n = \frac{1}{n^2}  bo'lsin. Ushbu \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}(1-(-1)^n)  limit mavjud bo'lmaganligi uchun biz odatiy taqqoslash alomatini qo'llay olmaymiz. Ammo,   \limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n\to\infty}(1-(-1)^n) =2\in [0,\infty)  munosabatdan va \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} ning yaqinlashuvchi ekanligidan, bir tomonlama taqqoslash alomatiga ko'ra \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2} qator yaqinlashuvchi bo'ladi.

## Bir tomonlama taqqoslash alomatining teskarisi
Barcha  n lar uchun   a_n, b_n \geq 0  bo'lsin. Agar \Sigma_n a_n  qator uzoqlashuvchi bo'lib, \Sigma_n b_n  qator yaqinlashuvchi bo'lsa, u holda zaruriy ravishda  \limsup_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\infty , qaysiki,  \liminf_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}= 0  munosabat o'rinli bo'ladi. Bu yerda asosiy mazmun, qaysidir ma'noda,  a_n  larning  b_n  lardan kattaroq ekanligidadir.

## Misol
D = \{ z\in\mathbb{C} : |z| birlik diskda analitik bo'lgan f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n  berilgan bo'lib, u chekli yuzali tasvirga (aksga) ega bo'lsin. *Parseval formulasi* bo'yicha  f  ning tasviri(aks)ning yuzasi  \sum_{n=1}^{\infty} n|a_n|^2 ga teng. Bundan tashqari,  \sum_{n=1}^{\infty} 1/n qator uzoqlashuvchi. Shuning uchun, taqqoslash alomatining teskarisi bo'yicha, \liminf_{n\to\infty} \frac{n|a_n|^2}{1/n}= \liminf_{n\to\infty} (n|a_n|)^2 = 0 , qaysiki,  \liminf_{n\to\infty} n|a_n| = 0 .

## Yana qarang

* Yaqinlashish alomatlari
* Taqqoslash alomati (testi)

## Manbalar

# 

## Qo'shimcha manbalar

* Rinaldo B. Schinazi: *From Calculus to Analysis*. Springer, 2011, , pp. 50
* Michele Longo and Vincenzo Valori: *The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series*. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp.&nbsp;205–210 (JSTOR)
* J. Marshall Ash: *The Limit Comparison Test Needs Positivity*. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp.&nbsp;374–375 (JSTOR)

## Havolalar

* Pauls Online Notes on Comparison Test