Pi

**** („pi“, deb talaffuz qilinadi) soni — aylana uzunligining diametriga nisbati; irratsional son va transsendent (yaʼni butun koeffitsiyentli algebraik tenglama ildizi boʻlmagan) son.

Aylana uzunligi, doira yuzi, aylanma jismlar hajmini hisoblashda qoʻllanadi.

 soni aylana uzunligining uning diametriga nisbati sifatida avvalo geometriyada paydo boʻlgan, biroq hozirda u matematikaning boshqa boʻlimlarida ham ishlatiladi.  soni irratsional hamda transsendentdir.

Bu sonni grek xarfi  bilan birinchi bol`ib ingliz matematigi Jonson belgilashni boshlagan (1706), Leonard Eylerning mehnatlaridan soʻng esa bunday belgilash mashhur boʻlib ketdi.

Bunday belgilash yunoncha \pi\varepsilon\rho i\varphi\varepsilon\rho i\alpha — periferiya soʻzining bosh harfidan olingan.
## Soni
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510…

## Tarixi
 irratsional sonini na butun son, na arifmetik kasr sifatida aniq ifodalash mumkin emas.
cheksiz va davriy boʻlmagan oʻnli kasrlar bilan ifodalanadi.  soni aylana perimetrining uning diametriga nisbatidir. Qadimgi yunon matematigi Arximed π ning qiymatini uchta kasrgacha hisoblagan. Klavdiy Ptolemey π ning qiymatini toʻrtinchi kasrgacha koʻrsatdi. Oʻsha davrda π ning qiymati ekvivalentlarda ifodalangan, shundan beri oʻnli kasr yoʻq edi. Keyingi 1500 yil davomida gʻarbiy dunyoda π ning aniqroq qiymatini olishda muvaffaqiyatga erishilmadi. Biroq, ayni paytda qadimgi Xitoyda, aksincha,  sonining qiymatini hisoblash sohasida sezilarli yutuqlar mavjud edi.
Qadimgi Xitoy matematiklari  sonining taxminiy qiymatini olish uchun barcha usullarni sinab koʻrdilar.
Usullardan biri quyidagicha edi: aylana chizish, unga muntazam koʻpburchak yozish. Koʻpburchakning qanchalik koʻp tomonlari boʻlsa, koʻpburchakning maydoni va doira maydoni oʻrtasidagi farq shunchalik kichik boʻladi. Doira maydoni πr² formulasi bilan ifodalanadi, bu yerda  radiusini oʻlchash orqali aniq hisoblash mumkin. Shunday qilib, koʻpburchakning maydoni aylananing maydoniga yaqinlashganda, π sonining taxminiy qiymati olinadi.
Arximed aylana ichiga muntazam 96 burchakli burchakni yozdi, natijada shunday qiymat hosil boʻldi: 3,140 \frac2\pi=
\frac{\sqrt2}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2
\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\ldots
* Leybnits qatori:
:: \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}
* Eyler ayniyati:
:: e^{\pi i} + 1 = 0\;
## Hisoblash usullari

 sonini matematik hisoblab chiqarishni Arximed birinchi boʻlib taklif qilgan, deb taxmin etiladi. Buning uchun u aylana va unga tashqi va ichki chizilgan muntazam ko`pburchaklardan foydalangan. Aylana diametrini bir, deb hisoblab, Arximed tashqi chizilgan koʻpburchak perimetrini  sonining yuqori, ichki chizilgan koʻpburchak perimetrini esa quyi qiymati, deb koʻrar edi. Masalan, oltiburchak uchun (rasmga qarang) 3  tengsizlik kelib chiqadi.

Arximed 96 burchakli muntazam koʻpburchak uchun 3\frac{10}{71}  tengsizlikni keltirib chiqardi.

Arab matematigi Gʻiyosiddin Jamshid ibn Maqsud al-Koshiy 1424-yilda yozib bitirgan „Aylana haqidagi traktat“ kitobida  sonini 17 xona aniqlikda keltiradi.

Ludolf van Seylen (1536—1610)  sonini 20 xona aniqlikda xisoblab chiqarish uchun oʻn yil sarfladi (1596 yilda chop etilgan „Aylana haqida“ („Van den Cirkel“) kitobida). Arximed usulini qoʻllab, u *n* burchakli koʻpburchak ishlatdi, bu yerda n = 60 * 2^29. Ludolf kitobini ushbu soʻzlar bilan yakunladi: „Kimning xohishi boʻlsa, davom ettiraversin“. Uning oʻlimidan soʻng qoʻlyozmalarida  soning yana 15 raqami topildi. Ludolf qabrtoshiga shu sonlarni yozib qoʻyishni vasiyat qilgan. Baʼzan  sonini „Ludolf soni“, deb ham atashadi.

Keyinchalik  sonini hisoblash uchun analitik usullardan foydalanishga oʻtishdi.

Birinchi samarali formulani 1706 yilda Jon Mechin (*John Machin*) taklif qildi:
: \frac{\pi}{4} = 4\mathrm{arctg}\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\frac{1}{239}
Arktangensni Teylor qatoriga yoyib,  sonini katta aniqlikda topishga imkon eruvchi yaqinlashuvchi qatorga keltirish mumkin.

Ramanujan va Chudnovskiy algoritmlari esa yanada tezroq ishlaydi:
: \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} 

: \frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}

## Transsendentlik va irratsionallik

 soning irratsionalligini birinchi boʻlib Iohann Lambert 1767 yilda \frac{e-1}{2^n} sonini uzluksiz kasrga yoyib isbotlagan. 1794 yilda Lejandr  va \pi^2 sonlarining irratsional ekanligiga yanada qatʼiy isbotlar keltirdi.

1882 yilda Kyonigberg, keyinchalik Myunhen universitetlari professori Ferdinand Lindeman  sonining transsendentligini isbotladi.Feliks Kleyn v 1894da bu isbotni soddalashtirdi.

 sonining transsendentligi aniqlangach, 2,5 ming yildan koʻp vaqt davom etib kelayotgan doira kvadraturasi masalasining Yevklid geometriyasida yechimi yoʻqligi koʻrinib, bu haqdagi bahslarga chek qoʻyildi.
## Norasmiy bayramlar

„Pi Kuni“ (ingl. *Pi Day*) 14-martda nishonlanadi, chunki bu kun Amerika sanalar formatida 3.14 shaklida yoziladi, bu esa Pi sonining taqribiy qiymatidir.

Piga bogʻliq yana bir norasmiy bayram — „Taqribiy Pi Kuni“ (ingl. *Pi Approximation Day*) 22-iyulda oʻtkaziladi, chunki bu kun Yevropa sanalar formatida 22/7 shaklida yoziladi, bu esa Pi soning kasr shaklidagi taqribiy qiymatidir.

## Yana qarang
* Radian

## Manbalar

## Havolalar
*  soni million xona aniqlikda 
*  soni 200 million xona aniqlikda 
* Pi Arbuz.uz da
* Pi-memory