Delta-funksiya

**Delta - funksiya** yoki **Dirak delta funksiyasi**

### Fanga kiritilish tarixi va matematik isboti
Birinchi marta 1926-yilda Dirak tomonidan kiritilgan \delta-funksiya odatda quyidagicha ta'riflanadi:

 \delta(x) = 0, agar x\ne 0;(1)
 \delta(x) = \infty, agar x = 0;(2)
 \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx = 1, agar -\infty 


Integrallash chegaralari -\infty, +\infty bo`lishi shart emas. Delta-funksiya cheksiz bo`lgan nuqtani o`z ichiga olgan har qanday soha integrallash sohasi bo`lishi mumkin. Delta-funksiyaning ma'nosi ham shundaki, integral uning argumenti bo`yicha olinadi.

Har qanday uzluksiz f(x) funksiya uchun yozish mumkin:


\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x)dx = f(0), agar -\infty 

Haqiqatdan, \delta(x) xususiyatiga muvofiq, yuqoridagi integralda faqat x = 0 nuqta atrofigina ahamiyatlidir. Cheksiz kichik sohada uzluksiz funksiyani o`zgarmas hisoblash mumkin. U vaqtda f(x) funksiyaning f(0) qiymatini integral belgisining oldiga chiqariladi. Qolgan integral esa 3-formulaga asosan birga tengdir.

Delta-funksiya uchun muhim bo`lgan yana bir formulani qarab ko`raylik:


\delta(kx) = \frac{1}\delta(x);(5)   
,
agar k = const \ne 0

Haqiqatdan ham, agar kx ni \xi orqali belgilasak,


\xi = kx;(6)


U vaqtda (1) va (2) formulalarga asosan,


\delta(\xi) = 0,  agar\xi\ne 0;(7)


\delta(\xi) = \infty,  agar \xi = 0;(8)


(5) da ifodalangan tenglik belgisining ma'nosi shundan iboratki, uning o`ng va chap tomonlari integral ostidagi ko`paytuvchilar sifatida olinib, bir xil natija beradi.

Tenglamaning chap tomonini ko`rib chiqaylik. Agar  k > 0  bo`lsa,


\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)dx = \frac{1}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|k|\delta(kx)dx = \frac{1}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}k\delta(kx)dx = \frac{1}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)d(kx)
 
bo`ladi. Ammo (6) ga muvofiq,


\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)d(kx) = \frac{1}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi


Endi (6)-(8) ifodalarni nazarda tutib, delta-funksiya ta'rifiga asosan yozishimiz mumkin


    \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi = 1;(9)


demak,


\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)dx = \frac{1}


Agar k  bo`lsa,


\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)dx = 
\frac{1}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|k|\delta(kx)dx = 
-\frac{1}
\int\limits_{-\infty}^{+\infty}k\delta(kx)dx = -
\frac{1}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(kx)d(kx)
= -\frac{1}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi = \frac{1}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(\xi)d\xi = \frac{1}
 
bo`ladi.

(5) ning o`ng tomonidan olingan integral esa


\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}\delta(x)dx = \frac{1}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx = \frac{1} 
 
bo`ladi.

Shunday qilib, (5) ifoda isbotlandi. Xususiy hol k = -1 uchun


\delta(-x) = \delta(x);(10)


### Xossalari
* Delta-funksiya - juft funksiya hisoblanadi.
* x\delta^\prime(x)=-\delta(x)
* \delta(f(x))=\sum_k\frac{\delta(x-x_k)}, bu yerda x_{k} - f(x) funksiyaning nollari
* Bir o`lchamli Delta-funksiyadan olingan integral Heaviside funksiyasi beradi:


{\displaystyle \theta (x)=\left\0,&x0.\\\end{array}}\right.}

* Delta-funksiyaning filtrlash xossasi:


\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).


### Integral tasavvurlar

Amaliyotda, ko`pincha, Delta-funksiyaning integral ko`rinishidan foydalanish qulay:


: \delta(t)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{i\omega t}\,d\omega


{tN}.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2)

Ma'lumki,
: \int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt=\pi.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3)
Agar ixtiyoriy N uchun  (3) dan foydalansak, quyidagi tenglik o`rinli:
: \int\limits_{-\infty}^{\infty}I_N(t)\,dt=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{\sin{tN}}{tN}\,d(tN)=1.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(4)
Demak,  ning cheksiz o`suvchi  qiymatlarida (2) funksiya uchun Delta-funksiyaning barcha xossalari o`rinli va u \delta(t) ga intiladi.
}}

## Yana qarang
* Green-funksiyasi
* Bessel-funksiyasi

## Adabiyotlar
* *Mallin R.X.*, Klassik elektrodinamika, O`qituvchi, - T. 1974
* *Дирак П. А. М.* Основы квантовой механики / Пер. с англ. — М., 1932 (есть много переизданий).