Inersiya momenti

Qattiq jismning **inersiya momenti** yoki **massa inersiya momenti, burchak/aylanish massasi, massaning ikkinchi momenti** yoki aniqroq qilib aytilsa **aylanish momenti** aylanish oʻqiga nisbatan burilishida hosil boʻladigan kattalik. **Inersiya momenti** aylanish oʻqida jismga qoʻyilgan kuch momenti va shu kuch momenti yuzaga keltirgan burchak tezlanishining nisbatidir. Inersiya momenti jismning aylanma harakatida massa chiziqli harakatda qanday rol oʻynasa shunday rol oʻynaydi, yaʼni jism harakatiga qarshilik qiladi. Jismning inersiya momenti uning tanlangan aylanish oʻqiga va uning shu aylanish oʻqi atrofida massaning qanday taqsimlangani va har bir massa birligining aylanish oʻqidan boʻlgan masofasiga bogʻliq.

Nuqtaviy zarraning inersiya momenti uning massasi va aylanish oʻqiga perpendikulyar masofasi koʻpaytmasiga teng. Qattiq murakkab jismlarning toʻliq inersiya momenti shu jismning boʻlingan kichik boʻlaklarinig bitta aylanish oʻqiga nisbatan olingan momentlari yigʻindisiga teng. Agar jism tekislikda aylanayotgan boʻlsa, uning aylanish oʻqi bitta va tekislikka perpendikulyar boʻlib, inersiya momenti skalyar kattalik hisoblanadi. Agar jism uch oʻlchamda aylanayotgan boʻlsa, uning aylanish oʻqi uchta boʻlib bir-biridan erkin va 3x3 matritsa orqali ifodalanadi. Inersiya momenti esa tenzor kattalikdir.

Mexanika muhandisligida inersiya momenti va inersiya massasi qisqacha inersiya deb ataladi.

## Kirish
Agar jism oʻq atrofida aylanayotgan boʻlsa, uning burchak momentini oʻzgartirish uchun kuch momenti qoʻyilishi lozim. Burchak tezlanishi berish uchun kerak boʻlgan kuch momenti jismning inersiya momentiga toʻgʻri proporsional. Inersiya momentining xalqaro birliklar tizimida kilogram metr kvadrat ( kg·m2 ).

Inersiya momenti aylanma harakatda massa chiziqli harakatda qanday rol oʻynasa shunday rol oʻynaydi —ikkisi ham jismning tekis harakatiga oʻzgarishlarga qarshiligini ifodalaydi. Inersiya momenti tanlangan aylanish oʻqiga nisbatan oʻzgaradi va massaning shu oʻq atrofida qanday taqsimlanganiga bogʻliq. Nuqtaviy massaning inersiya momenti mr^2 formula orqali topiladi, r aylanish oʻqidan perpendikulyar masofa va m esa jism massasi. Yirik murakkab jism uchun esa inersiya momenti har kichik massa boʻlagi va ularning aylanish oʻqidan perpendikulyar masofa kvadrati yigʻindisiga teng. Bir jinsli shakli maʼlum jismlar uchun esa xos formulalar mavjud.

1673-yilda Xristian Gyuygens mayatnikning tebranishlar bilan bogʻliq oʻrganishi davomida bu tushunchasini kiritdi. Inersiya momenti ( lotincha „momentum inertiae“ ) nomi esa Leonard Eylerning 1765-yili yozilgan *Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum* kitobida uchraydi va Eylerning ikkinchi qonuniga kiritilgan.

Mayatnikning tabiiy tebranish chastotasi gravitatsiyaning mayatnik massasiga tushirgan kuch momenti va uning burchak tezlanishiga qarshiligiga ( inersiya momenti ) nisbatiga teng. Bu tebranish chastotasi nuqtaviy massaning inersiya momentini hisoblashda ishlatiladigan matematik formulaga asos boʻladi.

Inersiya momenti yana burchak momenti, kinetik energiya va Nyuton qonunlarida jismning shakli va massasini izohlaydaydigan kattalik sifatida uchraydi. Tekislikda va fazoda aylanayotgan jismlarning inersiya momentini hisoblashda farq bor. Tekislikda aylanayotgan jismning inersiya momenti bitta skalyar koʻpaytma boʻlib, fazodagi harakat uchun esa inersiya momenti 3x3 matritsa hosil qiladi va bu matritsa inersiya matritsasi yoki inersiya tenzori deb ataladi.

## Taʼrif
Inersiya momenti jism boʻlagining massasi va aylanish oʻqi va boʻlakning geometrik markazidan boʻlgan masofa kvadrati koʻpaytmasi hisoblanadi. Inersiya momenti I yana burchak momenti va burchak tezligi nisbati orqali ham topiladi:I = \frac{L}{\omega}..Agar jismning burchak momenti oʻzgarmas boʻlsa, inersiya momenti kichrayadi va burchak tezligi ortadi. Real hayotda buni figurali uchuvchilarning qoʻllarini tortib olganda, ularning aylanish tezligi ortadi.Agar jism harakati davomida shakli oʻzgarmasa, Nyutonning ikkkinchi qonuniga koʻra uning inersiya momenti kuch momenti  va uning burchak tezlanishi  koʻpaytmasiga teng boʻladi, \tau = I \alpha.

Mayatnikning inersiya momenti  uning massasi  va taynachdan boʻlgan masofa  kvadrati koʻpaytmasiga teng I = mr^2.Shu tufayli, mayatnikning inersiya momenti uning massasi , uning aylanish oʻqidan masofasi  va geometrik xususiyatlariga bogʻliq.

Har qanday jismning inersiya momentini hisoblash uchun universal qoida uning har bir nuqtaviy massasi  va har bir nuqtaviy massaning aylanish oʻqi  dan perpendikulyar masofa kvadratlari yigʻindisiga teng. Shuning uchun jismning inersiya momenti uning massasi fazoda qanday taqsimlanganiga bogʻliq.

## Misollar

### Oddiy mayatnik
Matematik jihatdan, *oddiy mayatnik*ning inersiya momenti unga gravitatsiya bergan kuch momenti va uning burchak tezlanishi koʻpaytmasiga teng. Oddiy mayatnik uchun ham umumiy formula foydalaniladi.
I = mr^2.
Gravitatsiya kuchi mayatnikning massasiga kuch momenti beradi \boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} va bu moment yoʻnalishi mayatnik harakatiga perpendikulyar. Bu yerda \mathbf{r} mayatnikning massa markaziga perpendikulyar masofa vektori va \mathbf{F} esa shu massaga qoʻyilgan natijaviy kuch. Bu kuch momenti burchak tezlanishi \boldsymbol{\alpha} ni yuzaga keltiradi. Bu massa aylana harakatda boʻlgani uchun uning tangensial tezlanishi \mathbf{a} = \boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{r}. Bu yerda natijaviy kuch \mathbf F = m \mathbf a boʻlgani uchun, kuch momenti tenglamasi:
\begin{align}
  \boldsymbol{\tau}
    &= \mathbf{r} \times \mathbf{F}
     = \mathbf{r} \times (m \boldsymbol{\alpha} \times \mathbf{r}) \\
    &= m \left(\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}\right) \boldsymbol{\alpha} - \left(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\alpha}\right) \mathbf{r}\right) \\
    &= mr^2 \boldsymbol{\alpha}
     = I\alpha \mathbf{\hat{k}},
\end{align},
boʻladi, bu yerda \mathbf{\hat{k}} mayatnik harakat qilayotgan tekislikka perpendikulyar vektor. Bu yerda I = mr^2 mayatnik massasining inersiya momenti.

I = mr^2 inersiya momenti yana oddiy mayatnikning burchak tezlanishidan ham hisoblasa boʻladi. Bunda massaning tayanch atrofidagi chiziqli tezligi \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}  boʻlib, \boldsymbol{\omega} massaning tayanch atrofidagi burchak tezligi. Bu formula orqali burchak tezlanishi:
\begin{align}
  \mathbf{L}
    &= \mathbf{r} \times \mathbf{p}
     = \mathbf{r} \times \left(m\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\right) \\
    & = m\left(\left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}\right)\boldsymbol{\omega} - \left(\mathbf{r} \cdot \boldsymbol{\omega}\right)\mathbf{r}\right) \\
    &= mr^2 \boldsymbol{\omega}
     = I\omega\mathbf{\hat{k}},
\end{align},
va yuqoridagi tenglamaga oʻxshash holga keladi.
Oddiy mayatnikning kinetik energiyasi uning tayanch atrofidagi tezligi orqali beriladi:
E_\text{K} = \frac{1}{2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{2} \left(mr^2\right)\omega^2 = \frac{1}{2}I\omega^2..
Bunda kattalik I = mr^2 massa va jismning shakli qanday qilib birga jismning inersiya momentini ifodalashini koʻrsatadi. Aniq shaklga ega boʻlmagan jismlarning inersiya momenti shu jimdagi har bir massa elementining mr^2 koʻpaytma yigʻindisi orqali topiladi.

### Murakkab mayatnik
*Murakkab mayatniklar* har qanday shakldagi jism va shu jism tebrana oladigan aylanish oʻqidan iborat mayatnikdir. Uning inersiya momenti shu jismni tashkil qilgan massaviy elementlarning inersiya momentlari yigʻindisiga teng. Murakkab mayatnikning tabiiy tebranish chastotasi ( \omega_\text{n}) uning inersiya momenti I_Pga proporsional,
\omega_\text{n} = \sqrt{\frac{mgr}{I_P}},,
bu yerda m mayatnikning massasi, g erkin tushish tezlanishi va r tayanchdan mayatnikning massa markazigacha boʻlgan masofa. Tebraning chastotasini kichik burchak koʻchishlari orqali hisoblash mayatnikning inersiya momentini samarali hisoblash imkonini beradi.

Shuning uchun, jismning inersiya momentini hisoblash uchun, uni P tayanch nuqtaga ilib, jismning inersiya momenti hisoblanayotgan aylanish oʻqiga perpendikulyar yoʻnalishda erkin tebranishi lozim. Keyin uning tabiiy tebranish davri ( t ) oʻlchanadi, va
I_P = \frac{mgr}{\omega_\text{n}^2} = \frac{mgrt^2}{4\pi^2},
oqali uning inersiya momenti hisoblanadi.

### Tebranish markazi
Murakkab mayatnik bilan bir xil tabiiy tebranish chastotasiga ega boʻlgan oddiy mayatnikning uzunligi L, murakkab mayatnikning tebranish markazi deyiladi. Bu nuqta perkussiya markazi ham deyiladi. Uzunlik L quyidagi formula orqali hisoblanadi,
\omega_\text{n} = \sqrt{\frac{g}{L}} = \sqrt{\frac{mgr}{I_P}},yoki

L = \frac{g}{\omega_\text{n}^2} = \frac{I_P}{mr}.
*Sekund mayatnigi* osma soatlardagi „tiq-tiq“ ovozini beradigan mayatnik, har bir har tebranishi uchun bir soniya vaqt ketadi. Uning tebranish davri ikki soniya, yoki uning tabiiy tebranish chastotasi \pi \ \mathrm{rad/s}. Bu mayatnik uchun tebranish markazi 
L = \frac{g}{\omega_\text{n}^2} \approx \frac{9.81 \ \mathrm{m/s^2}}{(3.14 \ \mathrm{rad/s})^2} \approx 0.99 \ \mathrm{m}.
Bunda tebranish markazi masofasi mahalliy erkin tushish tezlanishi qiymatiga qarab oʻzgartiriladi. Kater mayatnigi shu xususiyatdan foydalanib, mahalliy erkin tushish tezlanishi qiymatini hisoblashga yordam beradi va *gravimetr* deb ataladi.

## Manbalar