Holat (geometriya)

Geometriyada, **holat vektori** yoki **radius vektori**, koordinata boshi *O* ga nisbatan fazodagi *P* nuqtaning oʻrnini ifodalovchi Evklid vektoridir. Odatda **x**, **r** yoki **s** bilan belgilanadi, u *O* dan *P* gacha boʻlgan toʻgʻri chiziq segmentiga mos keladi. Boshqacha qilib aytadigan boʻlsak, *P* nuqtaga koʻchishni koʻrsatadi

: \mathbf{r}=\overrightarrow{OP}

„Holat vektori“ atamasi asosan differensial geometriya, mexanika va baʼzan vektor hisob sohalarida qoʻllanadi.

Koʻpincha bu ikki oʻlchovli yoki uch oʻlchovli fazoda qoʻllanadi, ammo Evklid fazosida va har qanday oʻlchamdagi affin fazolari uchun ham osongina umumlashtirilishi mumkin.

## Nisbiy holat
*Q* nuqtaning *P* nuqtaga **nisbatan nisbiy holati** ikkita mutlaq holat vektorini ayirish natijasida hosil boʻlgan Evklid vektoridir (har biri boshlangʻichga nisbatan):

: \Delta \mathbf{r}=\mathbf{s} - \mathbf{r}=\overrightarrow{PQ}

bu yerda \mathbf{s}=\overrightarrow{OQ}.

Ikki nuqta orasidagi **nisbiy yoʻnalish** ularning birlik vektor sifatida normallashtirilgan nisbiy pozitsiyasidir:

: \Delta \mathbf{\hat{r}}=\Delta \mathbf{r} / \Delta {r} 

bu yerda maxraj ikki nuqta orasidagi masofa, \Delta r = \| \Delta \mathbf{r} \| .

## Taʼrif

### Uch oʻlchov

Uch oʻlchovda har qanday uch oʻlchovli koordinatalar toʻplami va ularga mos keladigan asosiy vektorlar fazodagi nuqtaning joylashishini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Korilayotgan jarayondauchun qaysi biri eng sodda boʻlsa, oʻshani foydalanish mumkin.

Odatda, tanish Dekart koordinata tizimi yoki baʼzan sferik qutb koordinatalari yoki silindrik koordinatalardan foydalaniladi:

:  \begin{align} 
 \mathbf{r}(t) 
 & \equiv \mathbf{r}(x,y,z) \equiv x(t)\mathbf{\hat{e}}_x + y(t)\mathbf{\hat{e}}_y + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z \\
 & \equiv \mathbf{r}(r,\theta,\phi) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r\big(\theta(t), \phi(t)\big) \\
 & \equiv \mathbf{r}(r,\phi,z) \equiv r(t)\mathbf{\hat{e}}_r\big(\phi(t)\big) + z(t)\mathbf{\hat{e}}_z, \\
\end{align}

Bu yerda *t* toʻrtburchak yoki aylana simmetriyasidan kelib chiqadigan parametrdir. Bu turli koordinatalar va ularga mos keladigan bazis vektorlari bir xil holat vektorini ifodalaydi. Buning oʻrniga koʻproq umumiy egri chiziqli koordinatalardan foydalanish mumkin.

### ''n'' oʻlcham
Chiziqli algebra *n* oʻlchovli holat vektorini abstraktsiya qilishga imkon beradi. Holat vektorini bazis vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalash mumkin:

: \mathbf{r} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i = x_1 \mathbf{e}_1 + x_2 \mathbf{e}_2 + \dotsb + x_n \mathbf{e}_n. 

Barcha holat vektorlari toʻplami holat fazosini (elementlari pozitsiya vektorlari boʻlgan vektor boʻshligʻi) hosil qiladi, chunki fazoda boshqa holat vektorini olish uchun holat vektorlarni qoʻshish (vektor qoʻshish) va uzunligi boʻyicha masshtablash (skaler koʻpaytirish) mumkin. „Fazo“ tushunchasi intuitivdir, chunki har bir *x<sub>i</sub>* (*i* = 1, 2, …, *n*) har qanday qiymatga ega boʻlishi mumkin, qiymatlar toʻplami fazodagi nuqtani belgilaydi.

Holat fazosining *oʻlchami* *n* (shuningdek, dim(*R*)=n bilan belgilanadi). **r** vektorining bazis vektorlariga nisbatan *[[Koordinatalar|koordinatalari]]* **e***i* *x**i* . Koordinatalar vektori *n* — toʻplam hosil qiladi (*x*1, *x*2, …, *x<sub>n</sub>*).

Har bir koordinata *x<sub>i</sub>* bir qator parametrlar bilan parametrlangan boʻlishi mumkin. Bitta parametr *x<sub>i</sub>* (*t*) egri 1D yo‘lni tavsiflaydi, ikkita parametr *x<sub>i</sub>* (*t*1, *t*2) egri 2D sirtni tavsiflaydi, uchta *x<sub>i</sub>* (*t*1, *t*2, *t*3) egri 3D hajmini tavsiflaydi.

## Qoʻllanilishi

### Differensial geometriya
Holat vektor maydonlari uzluksiz va differensiallanadigan fazoviy egri chiziqlarni tasvirlash uchun ishlatiladi, bu holda mustaqil parametr vaqt boʻlishi shart emas, balki (masalan) egri chiziqning yoy uzunligi boʻlishi mumkin.

### Mexanika
Har qanday harakat tenglamasida Holat vektori **r**(*t*) odatda eng koʻp ishlatiladigan kattalikdir, chunki bu funksiya zarrachaning harakatini (yaʼni nuqta massasi) — uning maʼlum bir vaqtda *t* vaqtida berilgan koordinata tizimiga nisbatan joylashishini belgilaydi.

Harakatni holat vektori boʻyicha aniqlash uchun har bir koordinatani vaqt boʻyicha parametrlash mumkin.

Bir oʻlchovli fazo misolida, holat faqat bitta komponentga ega, shuning uchun u samarali ravishda skalyar koordinataga tushadi. Bu, aytaylik, *x* yoʻnalishidagi vektor yoki radial *r* yoʻnalishi boʻlishi mumkin. Ekvivalent belgilar quyidagilarni oʻz ichiga oladi

:  \mathbf{x} \equiv x \equiv x(t), \quad r \equiv r(t), \quad s \equiv s(t).

## Holat vektorining hosilalari

*t* vaqtning funksiyasi boʻlgan **r** holat vektori uchun vaqt hosilalari *t* ga nisbatan hisoblanishi mumkin. Ushbu hosilalar kinematika, boshqaruv nazariyasi, muhandislik va boshqa fanlarni oʻrganishda umumiy foyda keltiradi.

; Tezlik
: \mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t},
: Bu yerda d **r** — cheksiz kichik koʻchish (vektor) .
; Tezlanish
: \mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}.
; Siltanish
: \mathbf{j} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{v}}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^3}.

Holatning birinchi, ikkinchi va uchinchi hosilasi uchun bu nomlar odatda asosiy kinematikada qoʻllanadi. Kengaytirilgan holda, yuqori tartibli hosilalar xuddi shunday tarzda hisoblanishi mumkin. Ushbu yuqori tartibli hosilalarni oʻrganish asl koʻchish funksiyasining yaqinlashuvini yaxshilashi mumkin. Bunday yuqori tartibli atamalar koʻchish funksiyasini cheksiz ketma-ketlikning yigʻindisi sifatida aniq ifodalash uchun talab qilinadi, bu muhandislik va fizikada bir nechta analitik usullarni qoʻllash imkonini beradi.

## Yana qarang

* Affin fazosi
* Koordinatalar tizimi
* Gorizontal holat
* Chiziq elementi
* Parametrik sirt
* Joylashuvni fiksirlash
* Olti erkinlik darajasi
* Vertikal holat

## Manbalar

## Adabiyotlar

* Keller, F. J, Gettys, WE va boshqalar. (1993). „Fizika: klassik va zamonaviy“ 2-nashr. McGraw Hill nashriyoti.

## Havolalar

* Media related to Position (geometry) at Wikimedia Commons