Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti

**Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti** — sonli fazo elementlari ketma-ketligining chegarasi. Sonli fazo metrik fazo boʻlib, unda masofa elementlar orasidagi farq moduli sifatida aniqlanadi. Kompleks sonlarda ketma-ketlik chegarasining mavjudligi kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarining tegishli ketma-ketliklarining chegaralari mavjudligiga tengdir. 

Limit (sonli ketma-ketlik) matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Har bir haqiqiy son kerakli qiymatga yaqinlashishlar ketma-ketligining chegarasi sifatida ifodalanishi mumkin. Sanoq sistemasi bunday takomillashtirish ketma-ketligini taʼminlaydi. Butun va ratsional sonlar davriy yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan, irratsional sonlar esa davriy boʻlmagan yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan tavsiflanadi. Sonli usullarda sonlarni chekli sonli belgilar bilan tasvirlash qoʻllanadi, bunda yaqinlashishlar tizimini tanlash alohida oʻrin tutadi. Taxminlovchilar tizimining sifati mezoni yaqinlashuv tezligi hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, raqamlarning davomli kasrlar koʻrinishida ifodalanishi samaralidir.

## Tarixi
Ketma-ketlik chegarasi tushunchasi XVII asrning ikkinchi yarmida Nyuton va XVIII asrning Euler va Lagrange kabi matematiklari tomonidan qoʻllangan, lekin ular chegarani intuitiv ravishda tushungan. Ketma-ketlik chegarasining birinchi qatʼiy taʼriflari 1816-yilda Bolzano va 1821-yilda Cauchy tomonidan berilgan.

## Birinchi taʼrif
Birinchisi akslantirishning akslaridan iborat ushbu x_1, x_2, x_3, ...,x_n,... toʻplam sonlar ketma-ketligi deyiladi. Uni \{x_n\} yoki x_n kabi belgilanadi.

x_n(n=1,2,3,...) sonlar ketma-ketlikning hadlari deyiladi. Masalan, 1) x_n=\frac{1}{n}:1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{n}, 2) x_n=(-1)^n:-1,1,-1,...(-1)^n, 3) x_n=\sqrt[n]{n}: 1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, ..., \sqrt[n]{n}, ... 4) x_n=1: 1, 1, 1, ..., 1,... 5) 0,3; 0.33; 0,333; ...;\underbrace{ 0,333...3;\cdots }_{n } lar sonlar ketma-ketliklardir. Biror \{x_n\} ketma-ketlik berilgan boʻlsin.

## Ikkinchi taʼrif
Agar shunday oʻzgarmas m soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy x_n(n=1,2,3,...) uchun x_n\leq M tengsizlik bajarilsa (yaʼni \exists m, \forall n\in N:x_n\geq M boʻlsa),\{x_n\} ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.

## Uchinchi taʼrif
Agar shunday oʻzgarmas m soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy x_n(n=1,2,3,...) uchun x_n\geq m tengsizlik bajarilsa (yaʼni \exists m, \forall n\in N:x_n\geq m boʻlsa),\{x_n\} ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.

## Toʻrtinchi taʼrif
Agar \{x_n\} ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralanga boʻlsa 
(yaʼni \exists m, \forall n\in N:m\leq x_n\leq M boʻlsa),\{x_n\} ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Misol uchun. Ushbu x_n=\frac{n}{4+n^2} (n=1,2,3,...) ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin. Ravshanki, \forall n\in N uchun x_n=\frac{n}{4+n^2}>0 boʻladi. Demak, qaralyotgan ketma-ketlik quyidagi chegaralangan. Maʼlumki, 0\leq(n-2)^2=n^2-4n+4 boʻlib, undan 4n\leq4+n^2 yaʼni \frac{n}{4+n^2}\leq\frac{1}{4} boʻlishi kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligin bildiradi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan. 

## Beshinchi taʼrif
Agar \{x_n\} ketma-ketlik uchun  \forall M\in R, \exists n_0\in N:x_0> M boʻlsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan deyiladi. 

### Sonlar ketma-ketligining limiti
Aytaylik, a\in R son hamda ixtiyoriy musbat \varepsilon son berilgan boʻlsin.

## Oltinchi taʼrif
Ushbu U_\varepsilon(a)=\{x\in R\mid a-\varepsilon toʻplam a nuqtaning \varepsilon - atrofi deyiladi. Faraz qilaylik \{x_n\} ketma-ketlik  va a\in R soni berilgan boʻlsin.

## Yettinchi taʼrif
Agar ixtiyoriy \varepsilon>0 son olingandan ham shunday n_0 natural soni mavjud boʻlsaki, n>n_0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchun \mid x_n-a\mid tengsizlik bajarilsa, (yaʼni \forall \varepsilon>0, \exists n_0\in N, \forall n>n_0:\mid x_n-a\mid boʻlsa), a son \{x_n\} ketma-ketlikning limiti deyiladi va a=\lim_{n \to \infty}x_n yoki n\rightarrow\infty da x_n\rightarrow a kabi belgilanadi.

Ravshanki, yuqoridagi tengsizlik uchun \mid x_n-a\mid yaʼni, x_n\in U_\varepsilon (a), (n>n_0) boʻladi. Shuni eʼtiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha taʼriflasa boʻladi.

## Sakkizinchi taʼrif
Agar a nuqtaning ixtiyoriy U_\varepsilon(a) ham \{x_n\} ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli boʻlsa, a soni \{x_n\} ketma-ketlikning limiti deyiladi.

Yuqorida keltirilgan taʼriflardan koʻrinadiki \varepsilon ixtiyoriy musbat son boʻlib, natural n_0 soni esa \varepsilon ga qaraliyotgan ketma-ketlikka bogʻliq ravishda topiladi.

## Manbalar