Berry aloqasi va egrilik

Fizikada **Berri aloqasi** va **Berri egriligi** oʻzaro bogʻliq tushunchalar boʻlib, ularni mos ravishda mahalliy oʻlchov potentsiali va Berri fazasi yoki geometrik faza bilan bogʻliq oʻlchov maydoni sifatida koʻrish mumkin. Bu kontseptsiya birinchi marta S. Pancharatnam  tomonidan geometrik faza sifatida taqdim etilgan va keyinchalik Maykl Berri tomonidan 1984 yilda chop etilgan maqolada  batafsil tushuntirilgan va ommalashgan boʻlib, unda geometrik fazalar klassik va kvant fizikasining bir nechta sohalarida qanday qilib kuchli birlashtiruvchi kontseptsiyani taʼminlashini taʼkidlaydi.

## Berry fazasi va siklik adiabatik evolyutsiya

Kvant mexanikasida Berri fazasi siklik adiabatik evolyutsiyada yuzaga keladi. Kvant adiabatik teorema Gamiltonian boʻlgan tizimga taalluqlidir H(\mathbf R) (vektor) parametrga bogʻliq \mathbf R bu vaqtga qarab oʻzgaradi t . Agar n xos qiymat \varepsilon_n(\mathbf R) yoʻlning hamma joyida degenerativ boʻlmagan holda qoladi va *t* vaqt boʻyicha oʻzgarish etarlicha sekin boʻladi, keyin tizim dastlab normallashtirilgan oʻz holatida boʻladi.  |n(\mathbf R(0))\rangle  bir lahzali xos holatda qoladi  |n(\mathbf R(t))\rangle  Gamiltoniyalik  H(\mathbf R(t)), bir bosqichgacha, butun jarayon davomida. Fazaga kelsak, *t* vaqtidagi holatni sifatida yozish mumkin.


|\Psi_n(t)\rangle =e^{i\gamma_n(t)}\,
e^{-{i\over\hbar}\int_0 ^t dt'\varepsilon_n(\mathbf R(t'))}\,
| n(\mathbf R(t))\rangle,


bu yerda ikkinchi eksponensial atama „dinamik faza omili“. Birinchi eksponensial atama — geometrik atama, bilan \gamma_n Berry bosqichi boʻlishi. Bu talabdan  |\Psi_n(t)\rangle vaqtga bogʻliq Shredinger tenglamasini qanoatlantirsa, buni koʻrsatish mumkin:


\gamma_n(t)=i\int_0^t dt'\,\langle n(\mathbf R(t'))|{d\over dt'}|n(\mathbf R(t'))\rangle=i\int_{\mathbf R(0)}^{\mathbf R(t)} d\mathbf R\,\langle n(\mathbf R)|\nabla_{\mathbf R}|n(\mathbf R)\rangle,


Berry fazasi faqat parametr fazosidagi yoʻlga bogʻliqligini koʻrsatadi, yoʻlni bosib oʻtish tezligiga emas.

Yopiq yoʻl atrofida tsiklik evolyutsiya holatida \mathcal C shu kabi \mathbf R(T)=\mathbf R(0), yopiq yoʻl Berry bosqichi hisoblanadi


\gamma_n = i\oint_{\mathcal C} d\mathbf R\,\langle n(\mathbf R)|\nabla_{\mathbf R}|n(\mathbf R)\rangle.


Elektron yopiq yoʻl boʻylab harakatlanadigan jismoniy tizimga misol siklotron harakatidir (batafsil maʼlumotlar Berry fazasi sahifasida berilgan). Toʻgʻri kvantlash shartini olish uchun berry fazasini hisobga olish kerak.

## Oʻlchovni oʻzgartirish
Oʻlchovni oʻzgartirish amalga oshirilishi mumkin

|\tilde n(\mathbf R)\rangle=e^{-i\beta(\mathbf R)}|n(\mathbf R)\rangle

asl holatdan faqat a bilan farq qiladigan yangi holatlar toʻplamiga \mathbf R -bogʻliq faza omili. Bu ochiq yoʻl Berry bosqichini oʻzgartiradi \tilde\gamma_n(t)=\gamma_n(t)+\beta(t)-\beta(0) . Yopiq yoʻl uchun uzluksizlik buni talab qiladi \beta(T)-\beta(0)=2\pi m (m butun son) va undan keyin keladi \gamma_n oʻzgarmas, modulli 2\pi, oʻzboshimchalik bilan oʻlchagich transformatsiyasi ostida.

## Berry aloqasi
Yuqorida tavsiflangan yopiq yoʻl Berry bosqichi sifatida ifodalanishi mumkin:

\gamma_n=\int_\mathcal{C} d\mathbf R\cdot \mathcal{A}_n(\mathbf R)

bu yerda

\mathcal{A}_n(\mathbf R)=i\langle n(\mathbf R)|\nabla_{\mathbf R}|n(\mathbf R)\rangle

vektor qiymatli funksiya Berry ulanishi (yoki Berry salohiyati) deb nomlanadi. Berry aloqasi oʻlchovga bogʻliq boʻlib, sifatida oʻzgaradi \tilde{\mathcal{A}}_n(\mathbf R)=\mathcal{A}_n (\mathbf R)+\nabla_{\mathbf R\,}\beta(\mathbf R) . Shunday qilib, mahalliy Berry aloqasi \mathcal{A}_n(\mathbf R) hech qachon jismoniy kuzatilishi mumkin emas. Biroq, uning yopiq yoʻl boʻylab integral, Berry bosqichi \gamma_n, ning butun sonli karraligacha oʻzgarmasdir 2\pi . Shunday qilib, e^{i\gamma_n} mutlaq oʻlchov bilan oʻzgarmasdir va jismoniy kuzatilishi mumkin boʻlgan narsalar bilan bogʻliq boʻlishi mumkin.

## Berry egriligi
Berry egriligi — bu Berry ulanishidan olingan antisimmetrik ikkinchi darajali tensor


\Omega_{n,\mu\nu} (\mathbf R)={\partial\over\partial R^\mu}\mathcal{A}_{n,\nu}(\mathbf R)-{\partial\over\partial R^\nu}\mathcal{A}_{n,\mu}(\mathbf R).


Uch oʻlchovli parametr fazosida Berry egriligi psevdovektor shaklida yozilishi mumkin.

\mathbf\Omega_n(\mathbf R)=\nabla_{\mathbf R} \times\mathcal{A}_n(\mathbf R).

Berri egriligining tenzor va psevdovektor shakllari Levi-Civita antisimmetrik tenzori orqali bir-biri bilan bogʻlangan. \Omega_{n,\mu\nu}=\epsilon_{\mu\nu\xi}\,\mathbf\Omega_{n,\xi} . Berri ulanishidan farqli oʻlaroq, faqat yopiq yoʻl atrofida integratsiyalashgandan soʻng jismoniy boʻladi, Berri egriligi parametr fazosidagi toʻlqin funksiyalarining geometrik xususiyatlarining oʻlchov bilan oʻzgarmas mahalliy koʻrinishi boʻlib, u uchun muhim jismoniy tarkibiy qism ekanligi isbotlangan. turli xil elektron xususiyatlarni tushunish. 

Yopiq yoʻl uchun \mathcal C bu sirt chegarasini tashkil qiladi \mathcal{S}, yopiq yoʻl Berri fazasini Stokes teoremasi sifatida qayta yozish mumkin

\gamma_n=\int_\mathcal{S} d\mathbf S\cdot\mathbf\Omega_n (\mathbf R).

Agar sirt yopiq manifold boʻlsa, chegara atamasi yoʻqoladi, lekin chegara terminining noaniqligi moduli 2\pi yopiq manifold ustidagi Berri egrilikning integrali birliklarda kvantlanganligini bildiruvchi Chern teoremasida oʻzini namoyon qiladi. 2\pi . Bu raqam Chern raqami deb ataladi va turli kvantlash effektlarini tushunish uchun zarurdir.

Nihoyat, Berri egriligi shakldagi boshqa barcha xos holatlar ustidan yigʻindi sifatida ham yozilishi mumkinligiga eʼtibor bering.


\Omega_{n,\mu\nu}(\mathbf R) = i\sum_{n'\neq n} \frac{1}{(\varepsilon_n-\varepsilon_{n'})^2} {\left( \left\langle n\right| \frac{\partial H}{\partial R_\mu} \left|n'\right\rangle \left\langle n'\right| \frac{\partial H}{\partial R_\nu} \left| n\right\rangle - \left\langle n\right| \frac{\partial H}{\partial R_\nu} \left|n'\right\rangle \left\langle n'\right| \frac{\partial H}{\partial R_\mu} \left|n\right\rangle\right)}.


## Misol: Spinor magnit maydonda
Magnit maydondagi spin-1/2 zarraning Gamiltonianini quyidagicha yozish mumkin 

H=\mu\mathbf\sigma\cdot\mathbf B,

bu yerda \mathbf\sigma Pauli matritsalarini belgilang, \mu — magnit moment, **B** — magnit maydon. Uch oʻlchovda xos holatlar energiyaga ega \pm\mu B va ularning xos vektorlari


|u_-\rangle=
	\begin{pmatrix}
	\sin{\theta\over 2}e^{-i\phi}\\
	-\cos{\theta\over 2}
	\end{pmatrix},
|u_+\rangle=
	\begin{pmatrix}
	\cos{\theta\over 2}e^{-i\phi}\\
	\sin{\theta\over 2}
	\end{pmatrix}.

Endi koʻrib chiqaylik |u_-\rangle davlat. Uning Berry ulanishi sifatida hisoblash mumkin \mathcal{A}_\theta=\langle u_-|i \frac{1}{r} \partial_\theta |u_-\rangle=0,

\mathcal{A}_\phi = \langle u_-|i \tfrac{1}{r\sin{\theta}} \partial_\phi |u_-\rangle = \frac{\sin^2{\theta\over 2}}{r\sin{\theta}}
, va Berri egriligi \ 
\Omega_{r}=\frac{1}{r\sin{\theta}}[\partial_\theta(\mathcal{A}_\phi\sin{\theta})-\partial_\phi\mathcal{A}_\theta]\hat{r}=\frac{1}{2r^2}\hat{r}.
 Agar koʻpaytirish yoʻli bilan yangi oʻlchagichni tanlasak |u_-\rangle tomonidan e^{i\phi} (yoki boshqa har qanday bosqich e^{i\alpha\phi}, \alpha \in \mathbb{R}), Berry ulanishlari \mathcal{A}_\theta=0 va \mathcal{A}_\phi=-\frac{\cos^2{\theta\over 2}}{r\sin{\theta}}, Berry egriligi esa bir xil boʻlib qoladi. Bu Berry ulanishi oʻlchovga bogʻliq, Berry egriligi esa yoʻq degan xulosaga mos keladi.

Qattiq burchakdagi Berri egriligi bilan berilgan \overline{\Omega}_{\theta\phi}=\Omega_{\theta\phi}/\sin\theta=1/2 . Bunday holda, birlik sferasidagi har qanday berilgan yoʻlga mos keladigan Berry bosqichi \mathcal S^2 magnit maydon fazosida bu yoʻlning qattiq burchagining yarmini tashkil qiladi. Demak, butun sfera boʻylab Berri egriligining integrali aynan 2\pi, shuning uchun Chern soni birlik boʻlib, Chern teoremasiga mos keladi.

## Kristallardagi ilovalar
Berri fazasi kristalli qattiq jismlardagi elektron xususiyatlarni zamonaviy tadqiq qilishda  va kvant Xoll effekti nazariyasida muhim rol oʻynaydi.  Kristalli potentsialning davriyligi Gamiltonning oʻz shakllari shaklga ega ekanligini bildiruvchi Bloch teoremasini qoʻllash imkonini beradi.

\psi_{n\mathbf k}(\mathbf r)=e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u_{n\mathbf k}(\mathbf r),

bu yerda n band indeksidir, \mathbf k oʻzaro fazodagi toʻlqin vektor (Briluen zonasi) va u_{n\mathbf k}(\mathbf r) ning davriy funktsiyasidir \mathbf r . Keyin, ruxsat berish \mathbf k parametr rolini oʻynaydi \mathbf R, oʻzaro boʻshliqda Berry fazalari, ulanishlari va egriliklarini aniqlash mumkin. Masalan, oʻzaro fazoda Berry aloqasi

\mathcal{A}_n(\mathbf k)=i\langle u_{n\mathbf k}|\nabla_{\mathbf k}|u_{n\mathbf k}\rangle.

Blox teoremasi, shuningdek, oʻzaro fazoning oʻzi yopiqligini nazarda tutganligi sababli, Brillouen zonasi uch oʻlchovda 3-torus topologiyasiga ega boʻlganligi sababli, yopiq pastadir yoki manifold orqali integrallash talablarini osongina qondirish mumkin. Shu tarzda, elektr qutblanish, orbital magnitlanish, anomal Xoll oʻtkazuvchanligi va orbital magnitoelektrik birikma kabi xususiyatlar Berri fazalari, ulanishlari va egriliklari bilan ifodalanishi mumkin.   

## Manbalar
* Sakurai, J. J. (2005). Modern Quantum Mechanics. Vol. Revised Edition. Addison-Wesley.
* Xiao, Di; Chang, Ming-Che; Niu, Qian (Jul 2010). „Berry phase effects on electronic properties“. Rev. Mod. Phys. 82

## Havolalar
* *[https://michaelberryphysics.files.wordpress.com/2013/07/berry187.pdf The quantum phase, five years after.]* by M. Berry.
* *[http://www.physics.rutgers.edu/~dhv/talks/rahman.pdf Berry Phases and Curvatures in Electronic Structure Theory] * A talk by D. Vanderbilt.
* *[http://www.physics.rutgers.edu/~dhv/talks/psik-vanderbilt-2010.pdf Berry-ology, Orbital Magnetolectric Effects, and Topological Insulators] * — A talk by D. Vanderbilt.