Gamilton mexanikasi

**Gamilton mexanikasi** 1833 yilda Lagranj mexanikasining islohoti sifatida paydo boʻldi. Sir Uilyam Rouen Hamilton tomonidan kiritilgan . Gamilton mexanikasi (umumlashtirilgan) tezliklarni almashtiradi \dot q^i (umumlashtirilgan) *impuls* bilan Lagranj mexanikasida qoʻllanadi. Ikkala nazariya ham klassik mexanikaning talqinini beradi va bir xil fizik hodisalarni tavsiflaydi.

Gamilton mexanikasi geometriya (ayniqsa, simplektik geometriya va Puasson tuzilmalari) bilan yaqin aloqada boʻlib, klassik va kvant mexanikasi oʻrtasida bogʻlovchi boʻlib xizmat qiladi.

## Umumiy koʻrinish

### Fazo fazosi koordinatalari (p, q) va Gamilton H
Mayli (M, \mathcal L) konfiguratsiya maydoni boʻlgan mexanik tizim boʻlishi kerak M va silliq Lagrangian  \mathcal L. Standart koordinata tizimini tanlaymiz: (\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q}). \textstyle p_i(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q},t) ~\stackrel{\text{def}}{=}~ {\partial \mathcal L}/{\partial \dot q^i} miqdorlar *impuls* deyiladi. (Shuningdek, *umumlashtirilgan impuls*, qoʻshma *impuls* va *kanonik impulslar*). Bir zumda t, Legendre transformatsiyasi \mathcal{L}ning xaritasi sifatida belgilanadi (\boldsymbol{q}, \boldsymbol{\dot q}) \to \left(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}\right)  silliq teskari boʻlishi taxmin qilinadi (\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}) \to (\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q}). bilan tizim uchun n erkinlik darajasi, Lagranj mexanikasi *energiya funksiyasini* belgilaydi:

E_{\mathcal L}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q},t)\, \stackrel{\text{def}}{=}\, \sum^n_{i=1} \dot q^i \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q^i} - \mathcal L.

Legendre ning oʻzgarishi \mathcal{L} aylanadi E_{\mathcal L} funksiyaga aylanadi  \mathcal H(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t)  sifatida tanilgan. Gamiltonianlik qanoatlantiradi


 \mathcal H\left(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \boldsymbol{\dot q}},\boldsymbol{q},t\right) = E_{\mathcal L}(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q},t)


bu shuni anglatadi


 \mathcal H(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t) = \sum^n_{i=1} p_i\dot q^i - \mathcal L(\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot q},t),


tezliklar bu yerda \boldsymbol{\dot q} = (\dot q^1,\ldots, \dot q^n) dan topiladi (n -oʻlchovli) tenglama \textstyle \boldsymbol{p} = {\partial \mathcal L}/{\partial \boldsymbol{\dot q}} Bu, taxminga koʻra, yagona echilishi mumkin \boldsymbol{\dot q}. (2n -oʻlchovli) juftlik (\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}) *fazo fazosi koordinatalari* deb ataladi. (Shuningdek, *kanonik koordinatalar*).

### Eyler-Lagranj tenglamasidan Gamilton tenglamalariga
Fazoviy fazoda koordinatalar (\boldsymbol{p},\boldsymbol{q}), (n -oʻlchovli) Eyler-Lagranj tenglamasi

\frac{\partial \mathcal L}{\partial \boldsymbol{q}} - \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \boldsymbol{\dot q}} = 0

dagi *Gamilton tenglamalariga* aylanadi 2n oʻlchamlari


\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{q}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \boldsymbol{p}},\quad
\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\partial \mathcal H}{\partial \boldsymbol{q}}.


### Statsionar harakat tamoyilidan Gamilton tenglamalarigacha
Mayli  \mathcal P(a,b,\boldsymbol x_a,\boldsymbol x_b) silliq yoʻllar toʻplami boʻlsin \boldsymbol q: [a,b] \to M buning uchun \boldsymbol q(a) = \boldsymbol x_a va \boldsymbol q(b) = \boldsymbol x_{b}.  Funksional harakat  \mathcal S : \mathcal P(a,b,\boldsymbol x_a,\boldsymbol x_b) \to \Reals orqali aniqlanadi

 \mathcal S[\boldsymbol q] = \int_a^b \mathcal L(t,\boldsymbol q(t),\dot{\boldsymbol q}(t))\, dt = \int_a^b \left(\sum^n_{i=1} p_i\dot q^i - \mathcal H(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t) \right)\, dt,

bu yerda \boldsymbol{q} = \boldsymbol{q}(t), va \boldsymbol{p} = \partial \mathcal L/\partial \boldsymbol{\dot q} (yuqoriga qarang). Yoʻl \boldsymbol q \in \mathcal P(a,b,\boldsymbol x_a,\boldsymbol x_b) ning statsionar nuqtasi hisoblanadi  \mathcal S (va demak, harakat tenglamasi) agar va faqat yoʻl boʻlsa (\boldsymbol{p}(t),\boldsymbol{q}(t)) fazo fazosida koordinatalar Gamilton tenglamalariga boʻysunadi.

### Asosiy fizikaviy talqin
Gamilton mexanikasining oddiy talqini uni  massali bitta relyativistik boʻlmagan zarrachadan tashkil topgan bir oʻlchovli tizimda qoʻllashdan kelib chiqadi. Qiymat H(p,q) Gamiltonian — tizimning umumiy energiyasi, bu holda kinetik va potentsial energiya yigʻindisi, anʼanaviy ravishda mos ravishda  va  bilan belgilanadi. Bu yerda  — impuls ,  — fazo koordinatasi. Keyin

\mathcal{H} = T + V, \qquad T = \frac{p^2}{2m}, \qquad V = V(q) 

T faqat p ning funksiyasi, V esa faqat q funksiyasi (yaʼni, T va V skleronomik).

Bu misolda  ning vaqt hosilasi tezlikdir va shuning uchun birinchi Gamilton tenglamasi zarraning tezligi uning impulsga nisbatan kinetik energiyasining hosilasiga teng ekanligini bildiradi. Impuls momentining vaqt hosilasi  *Nyuton kuchiga* teng va shuning uchun ikkinchi Gamilton tenglamasi kuch potensial energiyaning salbiy gradientiga teng ekanligini anglatadi.

## Misol
Sferik mayatnik shar yuzasida ishqalanishsiz harakatlanuvchi *m* massadan iborat boʻlsin. Massaga taʼsir qiluvchi yagona kuchlar sfera va tortishish reaksiyasidir . Sferik koordinatalar massaning holatini (*r*, *θ*, *φ*) koʻrinishida tasvirlash uchun ishlatiladi, bu yerda  oʻzgarmas,  .

Ushbu tizim uchun Lagrangian :

L = \frac{1}{2} m\ell^2\left(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\ \dot{\varphi}^2 \right) + mg\ell\cos\theta.

Gamiltonian shunday

H = P_\theta\dot \theta + P_\varphi\dot \varphi - L

bu yerda

P_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot \theta} = m\ell^2\dot \theta

va

P_\varphi=\frac{\partial L}{\partial \dot \varphi} = m\ell^2\sin^2 \!\theta \, \dot \varphi .

Koordinatalar va impulslar nuqtai nazaridan, Gamiltonian buni oʻqiydi

H = \underbrace{\left[\frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 + \frac{1}{2} m\ell^2\sin^2\!\theta \,\dot \varphi^2\right]}_{T} + \underbrace{ \Big[-mg\ell\cos\theta\Big]}_{V} = \frac{P_\theta^2}{2m\ell^2} + \frac{P_\varphi^2}{2m\ell^2\sin^2\theta} - mg\ell\cos\theta

Gamilton tenglamalari toʻrtta birinchi tartibli differensial tenglamalarda koordinatalar va qoʻshma impulslarning vaqt evolyutsiyasini beradi,

\begin{align}
\dot {\theta}&={P_\theta \over m\ell^2}\\[6pt]
\dot {\varphi}&={P_\varphi \over m\ell^2\sin^2\theta}\\[6pt]
\dot {P_\theta}&={P_\varphi^2\over m\ell^2\sin^3\theta}\cos\theta-mg\ell\sin\theta \\[6pt]
\dot {P_\varphi}&=0.
\end{align}

impulsi, bu burchak momentumining vertikal komponentiga mos keladi L_z = \ell\sin\theta \times m\ell\sin\theta\,\dot\varphi, harakat doimiysi. Bu vertikal oʻq atrofida tizimning aylanish simmetriyasining natijasidir. Gamiltonian, azimutdan yoʻq boʻlish \varphi siklik koordinata boʻlib, uning qoʻshma impulsining saqlanishini nazarda tutadi.

## Gamilton tenglamalarini chiqarish
Gamilton tenglamalarini Lagrangian bilan hisoblash yoʻli bilan olish mumkin \mathcal L, umumlashtirilgan pozitsiyalar  va umumlashtirilgan tezliklar , bu yerda i = 1,\ldots,n . Bu yerda biz qobiqdan tashqari ishlaymiz, yaʼni q^i, \dot{q}^i, t Har qanday harakat tenglamalariga rioya qilish uchun cheklanmagan faza fazosidagi mustaqil koordinatalar (xususan, \dot{q}^i ning hosilasi emas q^i). Lagrangianning umumiy farqi :

\mathrm{d} \mathcal{L}
= \sum_i \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \mathrm{d} q^i + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}^i} \, \mathrm{d} \dot{q}^i \right)
+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \, \mathrm{d}t \ .

Umumlashtirilgan impuls koordinatalari quyidagicha aniqlandi:p_i = \partial \mathcal{L}/\partial \dot{q}^i, shuning uchun tenglamani quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:

 \begin{align}
\mathrm{d} \mathcal{L} 
=& \sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \, \mathrm{d} q^i 
+ p_i \mathrm{d} \dot{q}^i \right) + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\mathrm{d}t
\\
=& 
\sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \, \mathrm{d}q^i + \mathrm{d}( p_i \dot{q}^i) - \dot{q}^i \, \mathrm{d} p_i \right) 
+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \, \mathrm{d}t\,.
\end{align}


Qayta tartibga solishdan keyin quyidagilar olinadi:

\mathrm{d}\! \left ( \sum_i p_i \dot{q}^i - \mathcal{L} \right ) 
= \sum_i \left( - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \, \mathrm{d} q^i + \dot{q}^i \mathrm{d}p_i \right) 
- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \, \mathrm{d}t\ .

Chap tarafdagi qavs ichidagi atama faqat Gamiltoniandir

\mathcal H = \sum p_i \dot{q}^i - \mathcal L

ilgari belgilangan, shuning uchun:

\mathrm{d} \mathcal{H} 
= \sum_i \left( - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \, \mathrm{d} q^i + \dot{q}^i \, \mathrm{d} p_i \right) 
- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \, \mathrm{d}t\ .

Gamiltonianning umumiy differensialini ham hisoblash mumkin \mathcal H koordinatalariga nisbatan q^i, p_i, t oʻrniga q^i, \dot{q}^i, t, hosil beradi:

\mathrm{d} \mathcal{H}
=\sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q^i} \mathrm{d} q^i +
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right) 
+ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \, \mathrm{d}t\ .

Endi bu ikki ifodani tenglashtirish mumkin d\mathcal H, jihatidan biri \mathcal L, ikkinchisi jihatidan \mathcal H :

\sum_i \left( - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \mathrm{d} q^i + \dot{q}^i \mathrm{d} p_i \right) 
- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} \, \mathrm{d}t
\ =\ 
\sum_i \left( \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q^i} \mathrm{d} q^i +
\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right) 
+ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} \, \mathrm{d}t\ .

Ushbu hisob-kitoblar qobiqdan tashqari boʻlgani sababli, tegishli koeffitsientlarni tenglashtirish mumkin \mathrm{d}q^i, \mathrm{d}p_i, \mathrm{d}t ikki tomondan:

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q^i} = - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} \quad, 
\quad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} = \dot{q}^i \quad, 
\quad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t } = - {\partial \mathcal{L} \over \partial t}\ . 

Bunda, biri parametrik funksiyalarni almashtiradi q^i=q^i(t)  tezliklar bilan faza fazosida trayektoriyani belgilaydi \dot q^i = \tfrac{d}{dt}q^i(t) , Lagrange tenglamalariga boʻysunish:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}^i} - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} = 0\ . 

Qobiqdagi nuqtai nazardan qayta tartibga solish va yozish p_i = p_i(t)  beradi:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q^i} = \dot{p}_i\ . 

Shunday qilib, Lagranj tenglamalari Gamilton tenglamalariga ekvivalentdir:

\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q^i} =- \dot{p}_i \quad , 
\quad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_i} = \dot{q}^i \quad , 
\quad \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t} = - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t}\, .

Vaqtdan mustaqil boʻlgan holda \mathcal H va \mathcal L, yaʼni \partial\mathcal H/\partial t = -\partial\mathcal L/\partial t = 0 , Gamilton tenglamalari  birinchi tartibli differensial tenglamalardan, Lagranj tenglamalari esa  ikkinchi tartibli tenglamalardan iborat. Gamilton tenglamalari odatda aniq yechimlarni topish qiyinligini kamaytirmaydi, lekin ulardan muhim nazariy natijalarni olish mumkin, chunki koordinatalar va momentlar deyarli simmetrik rollarga ega boʻlgan mustaqil oʻzgaruvchilardir.
Gamilton tenglamalarining Lagranj tenglamalaridan yana bir afzalligi bor: agar tizim simmetriyaga ega boʻlsa, baʼzi koordinatalar q_i  Gamiltonianda (yaʼni *tsiklik koordinatada*) yuzaga kelmaydi, mos keladigan impuls koordinatasi. p_i  har bir traektoriya boʻylab saqlanadi va bu koordinatani toʻplamning boshqa tenglamalarida doimiyga kamaytirish mumkin. Bu muammoni  koordinatadan  koordinatagacha samarali qisqartiradi: bu geometriyadagi simplektik qisqarishning asosidir. Lagranj tizimida impulsning saqlanishi ham darhol sodir boʻladi, ammo barcha umumiy tezliklar \dot q_i  hali ham Lagranjiyada uchraydi va  koordinatali tenglamalar sistemasi haligacha yechilishi kerak.
Lagrangian va Gamilton yondashuvlari klassik mexanikada chuqurroq natijalar uchun zamin yaratadi va kvant mexanikasida oʻxshash formulalarni taklif qiladi: yoʻl integral formulasi va Shredinger tenglamasi .

## Gamiltonianning xossalari

* Gamiltonning qiymati  \mathcal H tizimning umumiy energiyasi, agar energiya funksiyasi boʻlsa E_ \mathcal L bir xil xususiyatga ega. (Tanrifiga qarang  \mathcal H).
* \frac{d \mathcal H}{dt} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} qachonki \mathbf p(t), \mathbf q(t) Gamilton tenglamalarining yechimini hosil qilamiz. Haqiqatdan ham, \frac{d \mathcal H}{dt} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial \boldsymbol{p}}\cdot \dot\boldsymbol{p} + \frac{\partial \mathcal H}{\partial \boldsymbol{q}}\cdot \dot\boldsymbol{q} + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}, va oxirgi muddatdan tashqari hamma narsa bekor qilinadi.
*  \mathcal H *nuqta oʻzgarishlarida*, yaʼni silliq oʻzgarishlarda oʻzgarmaydi \boldsymbol{q} \leftrightarrow \boldsymbol{q'} kosmik koordinatalar. (Energetika funksiyasining oʻzgarmasligidan kelib chiqadi E_{\mathcal L} nuqta oʻzgarishlari ostida. E_{\mathcal L} ning oʻzgarmasligi bevosita oʻrnatilishi mumkin).
* \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial t}. (Qarang: Gamilton tenglamalarini chiqarish).
* -\frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i} = \dot p_i = \frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i}. (Gemilton va Eyler-Lagranj tenglamalarini solishtiring yoki Gamilton tenglamalarini chiqarishga qarang).
* \frac{\partial \mathcal H}{\partial q^i} = 0 agar va faqat agar \frac{\partial \mathcal L}{\partial q^i}=0. Oxirgi tenglama bajariladigan koordinata *tsiklik* (yoki *inkor etilmaydigan*) deyiladi. Har bir siklik koordinata q^i tomonidan erkinlik darajalari sonini kamaytiradi 1, mos keladigan impulsni keltirib chiqaradi p_i saqlanishi kerak va Gamilton tenglamalarini yechishni osonlashtiradi .

## Elektromagnit maydondagi zaryadlangan zarrachaning Gamiltoniani
Gamilton mexanikasining yetarlicha tasviri elektromagnit maydondagi zaryadlangan zarrachaning Gamiltonian tomonidan berilgan. Dekart koordinatalarida elektromagnit maydondagi relyativistik boʻlmagan klassik zarrachaning lagranjiyani (SI birliklarida):

 \mathcal{L} = \sum_i \tfrac{1}{2} m \dot{x}_i^2 + \sum_i q \dot{x}_i A_i - q \varphi

Bu yerda  — zarrachaning elektr zaryadi,  — elektr skayar potentsiali va  — magnit vektor potentsialining tarkibiy qismlari, ularning barchasi aniq bogʻliq boʻlishi mumkin. x_i va t .

Ushbu Lagranj Eyler-Lagranj tenglamasi bilan birgalikda Lorents kuch qonunini hosil qiladi.

m \ddot{\mathbf{x}} = q \mathbf{E} + q \dot{\mathbf{x}} \times \mathbf{B} \,, va minimal ulanish deb ataladi.

Kanonik impulslar quyidagicha ifodalanadi: p_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{ \partial \dot{x}_i} = m \dot{x}_i + q A_i 

Gamiltonian, Lagrangianning Legendre oʻzgarishi sifatida, shuning uchun:

 \mathcal{H} = \sum_i \dot{x}_i p_i - \mathcal{L} = \sum_i \frac{ \left(p_i - q A_i\right)^2 }{2m} + q \varphi 

Bu tenglama kvant mexanikasida tez-tez ishlatiladi.

Oʻlchov transformatsiyasi ostida:\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A}+\nabla f \,, \quad \varphi \rightarrow \varphi-\dot f \,, Bu yerda  fazo va vaqtning har qanday skalyar funksiyasi boʻlib, yuqorida aytib oʻtilgan Lagranj, kanonik impuls va Gamilton oʻzgarishiga oʻxshash:
L \rightarrow L'= L+q\frac{df}{dt} \,, \quad \mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p'} = \mathbf{p}+q\nabla f \,, \quad H \rightarrow H' = H-q\frac{\partial f}{\partial t} \,, 

Bu hali ham xuddi shu Gamilton tenglamasini ishlab chiqaradi:

 \begin{align}
\left.\frac{\partial H'}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i}&=\left.\frac{\partial}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i}(\dot x_ip'_i-L')=-\left.\frac{\partial L'}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i} \\
&=-\left.\frac{\partial L}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i}-q\left.\frac{\partial}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i}\frac{df}{dt} \\
&= -\frac{d}{dt}\left(\left.\frac{\partial L}{\partial{\dot x_i}}\right|_{p'_i}+q\left.\frac{\partial f}{\partial{x_i}}\right|_{p'_i}\right)\\
&=-\dot p'_i
\end{align} 

Kvant mexanikasida toʻlqin funksiyasi ham oʻlchagich transformatsiyasi vaqtida mahalliy U(1) guruh transformatsiyasiga oʻtadi, bu esa mahalliy U(1) transformatsiyalar ostida barcha fizik natijalar oʻzgarmas boʻlishi kerakligini bildiradi.

### Elektromagnit maydondagi relativistik zaryadlangan zarracha
Zarra uchun relativistik lagranj (tinch massa m va zaryadlash q) tomonidan berilgan:

\mathcal{L}(t) = - m c^2 \sqrt {1 - \frac(t)}^2}{c^2}} + q \dot{\mathbf{x}}(t) \cdot \mathbf{A} \left(\mathbf{x}(t),t\right) - q \varphi \left(\mathbf{x}(t),t\right) 

Shunday qilib, zarrachaning kanonik impulsi:

\mathbf{p}(t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\mathbf{x}}} = \frac{m \dot{\mathbf{x}}}{\sqrt {1 - \frac}^2}{c^2}}} + q \mathbf{A} 

yaʼni kinetik impuls va potensial impulsning yigʻindisi.

Tezlikni yechib, biz olamiz

\dot{\mathbf{x}}(t) = \frac{\mathbf{p} - q \mathbf{A} }{\sqrt {m^2 + \frac{1}{c^2}{\left( \mathbf{p} - q \mathbf{A} \right) }^2}} 

Gamiltonian ham shunday

\mathcal{H}(t) = \dot{\mathbf{x}} \cdot \mathbf{p} - \mathcal{L} = c \sqrt {m^2 c^2 + {\left( \mathbf{p} - q \mathbf{A} \right) }^2} + q \varphi 

Natijada kuch tenglamasi (Eyler-Lagranj tenglamasiga teng)

\dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{x}} = q \dot{\mathbf{x}}\cdot(\boldsymbol{\nabla} \mathbf{A}) - q \boldsymbol{\nabla} \varphi = q \boldsymbol{\nabla}(\dot{\mathbf{x}} \cdot\mathbf{A}) - q \boldsymbol{\nabla} \varphi 

undan olish mumkin

\begin{align}
\frac\mathrm{d}{\mathrm{d} t}\left(\frac{m \dot{\mathbf{x}}} {\sqrt {1 - \frac{\dot{\mathbf{x}}^2}{c^2}}}\right)
&=\frac\mathrm{d}{\mathrm{d} t}(\mathbf{p} - q \mathbf{A})=\dot\mathbf{p}-q\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-q(\dot\mathbf{x}\cdot\nabla)\mathbf{A}
\\
&=q \boldsymbol{\nabla}(\dot{\mathbf{x}} \cdot\mathbf{A}) - q \boldsymbol{\nabla} \varphi -q\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}-q(\dot\mathbf{x}\cdot\nabla)\mathbf{A} \\
&= q \mathbf{E} + q \dot{\mathbf{x}} \times \mathbf{B}
\end{align} 

Yuqoridagi hosila vektor hisob identifikatoridan foydalanadi: \tfrac{1}{2} \nabla \left(\mathbf{A} \cdot \mathbf{A} \right)
= \mathbf{A} \cdot \mathbf{J}_\mathbf{A}
= \mathbf{A} \cdot (\nabla \mathbf{A})
= (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{A} + \mathbf{A} \times (\nabla \times \mathbf{A}) .Relyativistik (kinetik) impulsning funksiyasi sifatida Gamiltonian uchun ekvivalent ifoda, \mathbf{P} = \gamma m \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{p} - q \mathbf{A}, hisoblanadi

\mathcal{H}(t) = \dot{\mathbf{x}}(t) \cdot \mathbf{P}(t) +\frac{mc^2}{\gamma} + q \varphi (\mathbf{x}(t),t)=\gamma mc^2+ q \varphi (\mathbf{x}(t),t)=E+V

Bu kinetik impulsning afzalligi \mathbf{P} kanonik impulsni eksperimental ravishda oʻlchash mumkin, \mathbf{p}da mumkin emas. Eʼtibor bering, Gamiltonian (toʻliq energiya) nisbiy energiya (kinetik + dam) yigʻindisi sifatida koʻrib chiqilishi mumkin, E = \gamma m c^2, ortiqcha potentsial energiya, V = q \varphi .

## Simplektik geometriyadan Gamilton tenglamalarigacha

### Gamilton sistemalarining geometriyasi
Gamiltonian bir necha ekvivalent usullar bilan silliq juft oʻlchamli  koʻp qirrali simplektik strukturani keltirib chiqarishi mumkin, eng yaxshi maʼlum boʻlganlari quyidagilardir:

Yopiq degenerativ simplektik 2-forma sifatida ō. Darbu teoremasiga koʻra,  ning istalgan nuqtasi atrofidagi kichik mahallada tegishli mahalliy koordinatalar mavjud. p_1, \cdots, p_n, \ q_1, \cdots, q_n (*kanonik* yoki *simplektik* koordinatalar), bunda simplektik shakl quyidagicha boʻladi:

\omega = \sum_{i=1}^n dp_i \wedge dq_i \, .Shakl \omega kotangent fazo bilan tangens fazoning tabiiy izomorfizmini keltirib chiqaradi: T_xM \cong T^*_xM. Bu vektorni xaritalash orqali amalga oshiriladi \xi \in T_x M 1-shaklga \omega_\xi \in T^*_xM, bu yerda \omega_\xi (\eta) = \omega(\eta, \xi) Barcha uchun \eta \in T_x M. Bilinearligi va degeneratsiyasi tufayli \omega, va bu haqiqat \dim T_x M = \dim T^*_x M, xaritalash \xi \to \omega_\xi Bu, albatta, chiziqli izomorfizmdir . Bu izomorfizm *tabiiydir*, chunki u koordinatalar oʻzgarishi bilan oʻzgarmaydi M. Hammasini takrorlash x \in M, biz izomorfizm bilan yakunlaymiz J^{-1} : \text{Vect}(M) \to \Omega^1(M) silliq vektor maydonlarining cheksiz oʻlchovli fazosi va silliq 1-shakllar orasidagi. Har biri uchun f,g \in C^\infty(M,\Reals) va  \xi,\eta \in \text{Vect}(M),

J^{-1}(f\xi + g\eta) = fJ^{-1}(\xi) + gJ^{-1}(\eta).

(Algebraik nuqtai nazardan, shuni aytish mumkin C^\infty(M,\Reals) -modullar  \text{Vect}(M)  va \Omega^1(M) izomorf). Agar H \in C^\infty(M \times \R_t, \R), keyin, har bir sobit uchun t \in \R_t,dH \in \Omega^1(M), va J(dH) \in \text{Vect}(M).J(dH) Gamilton vektor maydoni sifatida tanilgan. Mda tegishli differensial tenglama yoqilgan.

\dot{x} = J(dH)(x)

 deyiladi. Bu yerda x=x(t) va J(dH)(x) \in T_xM vektor maydonining (vaqtga bogʻliq) qiymati J(dH) da x \in M.

Gamilton tizimini  vaqt davomida tolalar toʻplami  deb tushunish mumkin,  tolasi  vaqtidagi joylashuv maydonidir. Shunday qilib, Lagrangian jet toʻplamining  ustida  ustidagi funksiyasi; Lagranjning tolali Legendre konvertatsiyasini olib, vaqt oʻtishi bilan dual toʻplamda funksiya hosil qiladi, uning tolasi  dagi kotangent fazosi  boʻlib, u tabiiy simplektik shakl bilan jihozlangan va bu oxirgi funksiya Gamiltoniandir. Lagranj va Gamilton mexanikasi oʻrtasidagi yozishmalarga tavtologik bir shakl bilan erishiladi.

Simplektik manifolddagi har qanday silliq real qiymatli H funksiyasidan Gamilton tizimini aniqlash uchun foydalanish mumkin. H funksiyasi „Gamiltonian“ yoki „energiya funksiyasi“ deb nomlanadi. Simplektik manifold keyin fazo fazosi deb ataladi. Gamiltonian simplektik manifoldda Gamilton vektor maydoni deb nomlanuvchi maxsus vektor maydonini induksiya qiladi.

Gamilton vektor maydoni manifoldda Gamilton oqimini keltirib chiqaradi. Bu kollektor oʻzgarishlarining bir parametrli oilasi (egri chiziqlar parametri odatda „vaqt“ deb ataladi); boshqacha qilib aytganda, simplektomorfizmlarning izotopi, identifikatsiyadan boshlab. Liuvil teoremasiga koʻra, har bir simplektomorfizm faza fazosida hajm shaklini saqlaydi. Gamilton oqimi tomonidan qoʻzgʻatilgan simplektomorfizmlar toʻplami odatda Gamilton tizimining „Gamilton mexanikasi“ deb ataladi.

Simplektik tuzilma Puasson qavsni keltirib chiqaradi. Puasson qavs Lie algebrasining strukturasi manifoldidagi funksiyalar maydonini beradi.

Agar  va   da silliq funksiyalar boʻlsa, silliq funksiya  toʻgʻri aniqlanadi; u  va  funksiyalarning *Puasson qavsi* deyiladi va  bilan belgilanadi. Poisson qavs quyidagi xususiyatlarga ega:

# ikkilik
# antisimmetriya
# Leybnits qoidasi : \{F_1 \cdot F_2, G\} = F_1\{F_2, G\} + F_2\{F_1, G\}
# Yakobi identifikatori : \{\{H,F\}, G\} + \{\{F, G\}, H\} + \{\{G, H\}, F\} \equiv 0
# degeneratsiya emas: agar  dagi  nuqta  uchun muhim boʻlmasa, u holda silliq  funktsiyasi mavjud boʻladi \{F, G\}(x) \neq 0 .

  funksiya berilgan\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f = \frac{\partial }{\partial t} f + \left\{f,\mathcal{H}\right\},

agar ehtimollik taqsimoti mavjud boʻlsa , u holda (fazo fazo tezligidan beri (\dot{p}_i, \dot{q}_i) nol divergensiyaga ega va ehtimollik saqlanib qolgan) uning konvektiv hosilasi nolga teng ekanligini koʻrsatish mumkin va shuning uchun

\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \left\{\rho ,\mathcal{H}\right\}

Bu Liuvil teoremasi deb ataladi. Simplektik manifold ustidagi har bir silliq funksiya  simplektomorfizmlarning bir parametrli oilasini hosil qiladi va agar  boʻlsa, u holda  saqlanib qoladi va simplektomorfizmlar simmetriya oʻzgarishlari hisoblanadi.

Gamiltonian bir nechta saqlangan miqdorlarga ega boʻlishi mumkin  . Agar simplektik manifold  oʻlchamga ega boʻlsa va involyutsiyada boʻlgan  funksional mustaqil saqlangan  kattaliklari mavjud boʻlsa (yaʼni, ), u holda Gamiltonian Liuvil integrallanishi mumkin . Liuvil-Arnold teoremasi shuni koʻrsatadiki, lokal ravishda har qanday Liuvil integrallanadigan Gamiltonian simplektomorfizm orqali yangi Gamiltonianga koordinatalar sifatida  saqlanib qolgan kattaliklarga aylantirilishi mumkin; yangi koordinatalar *harakat burchagi koordinatalari* deb ataladi. Oʻzgartirilgan Gamiltonian faqat  ga bogʻliq va shuning uchun harakat tenglamalari oddiy shaklga ega.

 \dot{G}_i = 0 \quad, \quad \dot{\varphi}_i = F_i(G)baʼzi funksiyalar uchun  . KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser) teoremasi tomonidan boshqariladigan integral tizimlardan kichik ogʻishlarga qaratilgan butun bir maydon mavjud.

Gamilton vektor maydonlarining integralligi ochiq savol. Umuman olganda, Gamilton tizimlari xaotikdir; oʻlchov, toʻliqlik, yaxlitlik va barqarorlik tushunchalari kam taʼriflangan.

### Riman manifoldlari
Muhim maxsus holat kvadrat shakllar boʻlgan Gamiltonianlardan iborat, yaʼni shunday yozilishi mumkin boʻlgan Gamiltonianlar.

\mathcal{H}(q, p) = \tfrac{1}{2} \langle p, p\rangle_q

Bu yerda  —  tolalaridagi silliq oʻzgaruvchan ichki mahsulot, konfiguratsiya maydonidagi  nuqtasiga kotangent boʻshliq, baʼzan komerik deb ataladi. Bu Gamiltonian butunlay kinetik atamadan iborat.

Agar Rieman manifoldu yoki psevdo-Riman manifoldini hisobga oladigan boʻlsak, Rieman metrikasi tangens va kotangens toʻplamlari oʻrtasida chiziqli izomorfizmni keltirib chiqaradi. (Qarang: Musiqiy izomorfizm). Ushbu izomorfizmdan foydalanib, komerikni aniqlash mumkin. (Koordinatalarda belgilovchi matritsa metrikani belgilovchi matritsaga teskarisidir.) Bu Gamiltonian uchun Gamilton-Jakobi tenglamalarining yechimlari manifolddagi geodeziya bilan bir xil boʻladi. Xususan, bu holda Gamilton oqimi geodezik oqim bilan bir xil narsadir. Bunday yechimlarning mavjudligi va yechimlar toʻplamining toʻliqligi geodeziya maqolasida batafsil muhokama qilinadi. Hamilton oqimlari sifatida Geodeziyaga qarang.

### Sub-Riman manifoldlari
Kometrika degenerativ boʻlsa, u teskari emas. Bunday holda, metrikaga ega boʻlmaganidek, Rieman manifoldiga ega emas. Biroq, Gamiltonian hali ham mavjud. Kometrik konfiguratsiya manifoldu  ning har  nuqtasida degeneratsiyaga uchragan holatda, komerikning darajasi manifold  oʻlchamidan kichik boʻlishi uchun, birida Riemanning pastki manifoldiga ega boʻladi.

Bu holatda Gamiltonian **sub-rimanlik Gamiltonian** sifatida tanilgan. Har bir bunday Gamiltonian komerikni oʻziga xos tarzda aniqlaydi va aksincha. Bu shuni anglatadiki, har bir sub-rimanlik manifold oʻzining sub-rimanlik Gamiltonian tomonidan noyob tarzda aniqlanadi va buning aksi toʻgʻri: har bir sub-rimanlik manifold noyob sub-rimanlik Gamiltonianga ega. Sub-Riman geodeziyasining mavjudligi Chou-Rashevskiy teoremasi bilan berilgan.

Uzluksiz, haqiqiy qiymatli Heisenberg guruhi sub-Riemann manifoldining oddiy misolini beradi. Heisenberg guruhi uchun Gamiltonian tomonidan berilgan

\mathcal{H}\left(x,y,z,p_x,p_y,p_z\right) = \tfrac{1}{2}\left( p_x^2 + p_y^2 \right).

 Hamiltonianni ichiga kirmaydi.

### Puasson algebralari
Gamilton tizimlarini turli yoʻllar bilan umumlashtirish mumkin. Simplektik manifold ustidagi silliq funksiyalar algebrasini oddiygina koʻrib chiqish oʻrniga, Gamilton mexanikasi umumiy kommutativ birlik real Puasson algebralarida shakllantirilishi mumkin. Holat Puasson algebrasidagi uzluksiz chiziqli funksionaldir (baʼzi mos topologiyalar bilan jihozlangan), algebraning istalgan  elementi uchun  manfiy boʻlmagan haqiqiy songa mos keladi.

Yana bir umumlashtirish Nambu dinamikasi tomonidan berilgan.

### Puasson qavs orqali kvant mexanikasiga umumlashtirish
Yuqoridagi Gamilton tenglamalari klassik mexanika uchun yaxshi ishlaydi, lekin kvant mexanikasi uchun emas, chunki muhokama qilingan differensial tenglamalar bir vaqtning oʻzida istalgan vaqtda zarrachaning aniq oʻrni va momentumini belgilash mumkinligini taxmin qiladi. Shu bilan birga, tenglamalarni keyinchalik umumlashtirish mumkin, keyin esa kvant mexanikasiga, shuningdek klassik mexanikaga, Puasson algebrasini  va  nisbatan Moyal qavslar algebrasiga deformatsiya qilish orqali kengaytirish mumkin.

Xususan, Gamilton tenglamasining umumiy shakli oʻqiydi

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \left\{f, \mathcal{H}\right\} + \frac{\partial f}{\partial t}Bu yerda   va  ning baʼzi funksiyasi, H esa Gamiltonian. Differensial tenglamalarga murojaat qilmasdan Puasson qavsni baholash qoidalarini bilish uchun Li algebrasiga qarang; Puasson qavs — bu Puasson algebrasidagi Li qavsning nomi. Keyinchalik bu Puasson qavslari Hilbrand J. Groenewold tomonidan isbotlanganidek, tengsiz Li algebrasiga mos keladigan Moyal qavslariga kengaytirilishi mumkin va shu bilan fazalar fazosida kvant mexanik diffuziyasini tasvirlaydi (Faza fazosining formulasiga va Wigner-Veyl konvertatsiyasiga qarang). Ushbu koʻproq algebraik yondashuv nafaqat fazalar boʻshligʻida ehtimollik taqsimotini Wigner kvazi-ehtimollik taqsimotiga kengaytirish imkonini beradi, balki oddiy Puasson qavs klassik sozlamalarida tizimdagi tegishli saqlangan miqdorlarni tahlil qilishda koʻproq kuch beradi.

## Manbalar

## Adabiyotlar
* Landau, Lev Davidovich; Lifshitz, Evgenii Mikhailovich (1976). Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 1. Sykes, J. B. (John Bradbury), Bell, J. S. (3rd ed.). Oxford. ISBN 0-08-021022-8. OCLC 2591126.
* Abraham, R.; Marsden, J.E. (1978). Foundations of mechanics (2d ed., rev., enl., and reset ed.). Reading, Mass.: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-0102-X. OCLC 3516353.
* Arnol'd, V. I.; Kozlov, V. V.; Neĩshtadt, A. I. (1988). "Mathematical aspects of classical and celestial mechanics". Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Dynamical Systems III. Vol. 3. Anosov, D. V. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. OCLC 16404140.
* Arnol'd, V. I. (1989). Mathematical methods of classical mechanics (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC 18681352.
* Goldstein, Herbert; Poole, Charles P. Jr.; Safko, John L. (2002). Classical mechanics (3rd ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0. OCLC 47056311.
* Vinogradov, A. M.; Kupershmidt, B A (1977-08-31). "The structure of Hamiltonian mechanics". Russian Mathematical Surveys. 32 (4): 177–243.