Braun dinamikasi

Fizikada **Brown dinamikasi** diffuz rejimda molekulyar tizimlarning dinamikasini tavsiflash uchun matematik yondashuvdir. Bu Langevin dinamikasining soddalashtirilgan versiyasi boʻlib, oʻrtacha tezlashuv sodir boʻlmagan chegaraga mos keladi. Ushbu yaqinlashish, shuningdek, haddan tashqari sönümlenmiş Langevin dinamikasi yoki inertsiyasiz Langevin dinamikasi sifatida ham tanilgan.

## Taʼrif

Broun dinamikasida koordinatali stoxastik tizim dinamikasini tasvirlash uchun quyidagi harakat tenglamasidan foydalaniladi.

X=X(t):

\dot{X} = - \frac{D}{k_B T} \nabla U(X) + \sqrt{2 D} R(t).

bu yerda:

* \dot{X} tezlik, nuqta vaqt hosilasidir
* U(X) zarrachalarning oʻzaro taʼsir potentsiali hisoblanadi
* \nabla gradient operatori, shuning uchun - \nabla U(X) zarrachalarning oʻzaro taʼsir potentsialidan hisoblangan kuchdir.
* k_B Boltsman doimiysi .
* T harorat hisoblanadi.
* D ning birliklarida diffuziya koeffitsienti hisoblanadi \text{length}^{2}\text{time}^{-1} .
* R(t) oq shovqin atamasi, birliklarda \text{time}^{-1/2}, qoniqarli \left\langle R(t) \right\rangle =0 va \left\langle R(t)R(t') \right\rangle = \delta(t-t').

## Chiqarish
Langevin dinamikasida yuqoridagi kabi bir xil yozuvdan foydalangan holda harakat tenglamasi quyidagicha:

M\ddot{X} = - \nabla U(X) - \zeta \dot{X} + \sqrt{2 \zeta k_B T} R(t)

bu yerda:

* M zarrachaning massasi.
* \ddot{X} tezlashuv hisoblanadi
* \zeta ishqalanish doimiysi yoki tenzor, birliklarda \text{mass} / \text{time} .
** Bu koʻpincha shaklga ega \zeta=\gamma M, qayerda \gamma hal qiluvchi bilan toʻqnashuv chastotasi, birliklarda damping doimiysi \text{time}^{-1} .
** Past Reynolds soni chegarasidagi *r* radiusli sferik zarralar uchun Stokes qonuni \zeta = 6 \pi \, \eta \, r .

Yuqoridagi tenglamani quyidagicha qayta yozish mumkin:

\underbrace{M\ddot{X}}_{\text{inertial force}} + \underbrace{\nabla U(X)}_{\text{potential force}} + \underbrace{\zeta \dot{X}}_{\text{viscous force}} - \underbrace{\sqrt{2 \zeta k_B T} R(t)}_{\text{random force}} = 0

Broun dinamikasida inertial kuch atamasi M\ddot{X}(t) qolgan uchtasidan juda kichik boʻlib, u ahamiyatsiz deb hisoblanadi. Bu holda tenglama taxminan ga teng.

: 0 = - \nabla U(X) - \zeta \dot{X}+ \sqrt{2 \zeta k_B T } R(t)

Radiusli sferik zarralar uchun r past Reynolds soni chegarasida biz Stokes-Eynshteyn munosabatidan foydalanishimiz mumkin. Ushbu holatda, D = k_B T/\zeta, va tenglama oʻqiydi:

: \dot{X}(t) = - \frac{D}{k_B T} \nabla U(X) + \sqrt{2 D} R(t).

Masalan, ishqalanish tenzorining kattaligi \zeta kuchayadi, viskoz kuchning damping taʼsiri inersiya kuchiga nisbatan dominant boʻladi. Binobarin, tizim inertial rejimdan diffuziv (Braun) rejimga oʻtadi. Shu sababli, Broun dinamikasi haddan tashqari dampingli Langevin dinamikasi yoki inertsiyasiz Langevin dinamikasi sifatida ham tanilgan.

## Algoritmlar
1978 yilda Ermak va Makkammon gidrodinamik oʻzaro taʼsirlar bilan Broun dinamikasini samarali hisoblash uchun algoritmni taklif qildilar. Gidrodinamik oʻzaro taʼsirlar zarralar bilvosita oʻzaro taʼsirlashganda, erituvchida mahalliy tezliklarni hosil qilish va ularga reaksiyaga kirishganda sodir boʻladi. tizimi uchun N F(X) kuch vektoriga tobe boʻlgan uch oʻlchamli zarrachalar diffuziyasi natijasida olingan Broun dinamikasi sxemasi quyidagicha boʻladi:

X(t + \Delta t) = X(t) + \frac{\Delta t D}{k_B T} F[X(t)] + R(t)

bu yerda D diagonal boʻlmagan yozuvlarda gidrodinamik oʻzaro taʼsirlarni koʻrsatadigan diffuziya matritsasi va R(t) — oʻrtacha nolga teng va kovariatsiya matritsasi qanoatlantiruvchi Gauss shovqin vektori = 2 D \Delta(t) .

## Manbalar
* Schlick, Tamar (2002). Molecular Modeling and Simulation. Interdisciplinary Applied Mathematics. Vol. 21. Springer. p. 480-494. doi:10.1007/978-0-387-22464-0. ISBN 978-0-387-22464-0.
* Ermack, Donald L; McCammon, J. A. (1978). „Brownian dynamics with hydrodynamic interactions“. J. Chem. Phys. 69 (4): 1352-1360. Bibcode:1978JChPh..69.1352E. doi:10.1063/1.436761.
* Loncharich, R J; Brooks, B R; Pastor, R W (1992). „Langevin Dynamics of Peptides: The Frictional Dependence of lsomerization Rates of N-Acetylalanyl-WMethylamid“. Biopolymers. 32