Gamilton operatori (kvant mexanikasi)

Kvant mexanikasida tizimning **Gamilton operatori** ushbu tizimning umumiy energiyasiga, shu jumladan kinetik energiya va potentsial energiyaga mos keladigan operatordir . Uning spektri, tizimning *energiya spektri* yoki *energiyaning oʻziga xos qiymatlari* toʻplami — bu tizimning umumiy energiyasini oʻlchash natijasida olinadigan natijalar toʻplamidir. Tizimning energiya spektri vaqt evolyutsiyasi bilan chambarchas bogʻliqligi tufayli u kvant nazariyasining aksariyat formulalarida asosiy ahamiyatga ega.

Gamilton operatori Nyuton mexanikasining inqilobiy islohotini ishlab chiqqan Uilyam Rouen Hamilton sharafiga nomlangan, u Gamilton mexanikasi deb nomlanuvchi va kvant fizikasining rivojlanishi uchun tarixiy ahamiyatga ega kashfiyot edi. Vektor yozuviga oʻxshab, u odatda \hat{H} bilan belgilanadi, bu yerda H ustidagi belgi operator ekanligini bildiradi. Buni shunday yozish ham mumkin H yoki \check{H} .

## Nazariy qism
Tizimning Gamilton operatori tizimning umumiy energiyasini ifodalaydi: yaʼni, tizim bilan bogʻlangan barcha zarrachalarning kinetik va potensial energiyalari yigʻindisi. Gamilton operatori turli shakllarda boʻladi va baʼzi hollarda tahlil qilinayotgan tizimning aniq xususiyatlarini hisobga olgan holda soddalashtirilishi mumkin, masalan, tizimdagi bitta yoki bir nechta zarralar, zarralar orasidagi oʻzaro taʼsir, potentsial energiya turi, vaqt oʻzgaruvchan potentsial yoki vaqtdan mustaqil. bitta.

## Shredinger Gamiltoniani (operatori)

### Bir zarrachali holat
Klassik mexanikaga oʻxshab, Gamilton operatori odatda shakldagi tizimning kinetik va potentsial energiyalariga mos keladigan operatorlar yigʻindisi sifatida ifodalanadi.
\hat{H} = \hat{T} + \hat{V},
bu yerda
\hat{V} = V = V(\mathbf{r},t),
potentsial energiya operatori hisoblanadi va \hat{T} = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2,
kinetik energiya operatori m zarrachaning massasi, nuqta vektorlarning nuqta mahsulotini bildiradi hamda
\hat{p} = -i\hbar\nabla ,

impuls operatori bunda a \nabla del operatori hisoblanadi. \nabla ning nuqta mahsuloti oʻzi bilan Laplas \nabla^2 . Dekart koordinatalari yordamida uch oʻlchovda Laplas operatori quyidagicha:

\nabla^2 = \frac{\partial^2}{ {\partial x}^2} + \frac{\partial^2}{ {\partial y}^2} + \frac{\partial^2}{ {\partial z}^2}

Garchi bu klassik mexanikada Gamilton operatorining texnik taʼrifi boʻlmasa ham, u eng koʻp qabul qiladigan shakldir. Bularni birlashtirib, Shredinger tenglamasida ishlatiladigan tanish shaklni beradi:

\begin{align}

\hat{H} & = \hat{T} + \hat{V} \\[6pt]

& = \frac{\mathbf{\hat{p}}\cdot\mathbf{\hat{p}}}{2m}+ V(\mathbf{r},t) \\[6pt]

& = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+ V(\mathbf{r},t)

\end{align}

Bu Gamilton operatorini toʻlqin funksiyasi bilan tavsiflangan tizimlarga qoʻllash imkonini beradi \Psi(\mathbf{r}, t) . Bu Schrödinger toʻlqin mexanikasining nazariyasidan foydalangan holda kvant mexanikasining kirish muolajalarida keng tarqalgan yondashuv.

Bundan tashqari, muayyan holatlarga, masalan, elektromagnit maydonlarni oʻz ichiga olgan baʼzi oʻzgaruvchilarga oʻzgartirishlarni ham kiritish mumkin.

### Koʻp zarralari holat
Gamilton formalizmni kengaytirish mumkin N ta zarralar bilan:
\hat{H} = \sum_{n=1}^N \hat{T}_n + \hat{V}

bu yerda

\hat{V} = V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots, \mathbf{r}_N,t),
bu potensial energiya funksiyasi, endi tizim va vaqtning fazoviy konfiguratsiyasi funksiyasidir (vaqtning maʼlum bir lahzasida fazoviy pozitsiyalarning maʼlum bir toʻplami konfiguratsiyani belgilaydi) va
\hat{T}_n = \frac{\mathbf{\hat{p}}_n\cdot\mathbf{\hat{p}}_n}{2m_n} = -\frac{\hbar^2}{2m_n}\nabla_n^2

zarrachaning kinetik energiya operatori n, \nabla_n zarracha uchun gradient hisoblanadi n va \nabla_n^2  zarracha uchun Laplas operatori hisoblanadi:

\nabla_n^2 = \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} + \frac{\partial^2}{\partial y_n^2} + \frac{\partial^2}{\partial z_n^2},

Bularni birlashtirganda Shredinger Gamilton operatori hosil boʻladi N -zarracha holati:

\begin{align}

\hat{H} & = \sum_{n=1}^N \hat{T}_n + \hat{V} \\[6pt]

& = \sum_{n=1}^N \frac{\mathbf{\hat{p}}_n\cdot\mathbf{\hat{p}}_n}{2m_n}+ V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N,t) \\[6pt]

& = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{n=1}^N \frac{1}{m_n}\nabla_n^2 + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N,t)

\end{align}

Biroq, koʻp tana muammosida asoratlar paydo boʻlishi mumkin. Potensial energiya zarrachalarning fazoviy joylashuviga bogʻliq boʻlgani sababli, kinetik energiya energiyani tejash uchun fazoviy konfiguratsiyaga ham bogʻliq boʻladi. Har qanday zarrachaning harakati tizimdagi boshqa barcha zarralarning harakati tufayli oʻzgaradi. Shu sababli Gamilton operatorida kinetik energiya uchun oʻzaro faoliyat atamalar paydo boʻlishi mumkin; Ikki zarracha uchun gradientlar aralashmasi:

-\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_i\cdot\nabla_j

bu yerda M bu qoʻshimcha kinetik energiyaga olib keladigan zarralar toʻplamining massasini bildiradi. Ushbu shaklning shartlari *massa polarizatsiyasi atamalari* sifatida tanilgan va koʻplab elektron atomlarining Gamiltonianida paydo boʻladi (pastga qarang).

N oʻzaro taʼsir qiluvchi zarralar uchun, yaʼni oʻzaro taʼsir qiluvchi va koʻp jismli vaziyatni tashkil etuvchi zarralar, potensial energiya funksiyasi — V bu shunchaki alohida potensiallarning yigʻindisi *emas* (va, albatta, miqdor emas, chunki bu oʻlchovli notoʻgʻri). Potensial energiya funksiyasi faqat yuqoridagi kabi yozilishi mumkin: har bir zarrachaning barcha fazoviy pozitsiyalarining funksiyasi.

Oʻzaro taʼsir qilmaydigan zarralar, yaʼni oʻzaro taʼsir qilmaydigan va mustaqil harakatlanadigan zarralar uchun tizimning potensiali har bir zarra uchun alohida potensial energiya yigʻindisidir, yaʼni.

V = \sum_{i=1}^N V(\mathbf{r}_i,t) = V(\mathbf{r}_1,t) + V(\mathbf{r}_2,t) + \cdots + V(\mathbf{r}_N,t)

Bu holda Gamiltonianning umumiy shakli:

\begin{align}

\hat{H} & = -\frac{\hbar^2}{2}\sum_{i=1}^N \frac{1}{m_i}\nabla_i^2 + \sum_{i=1}^N V_i \\[6pt]

& = \sum_{i=1}^N \left(-\frac{\hbar^2}{2m_i}\nabla_i^2 + V_i \right) \\[6pt]

& = \sum_{i=1}^N \hat{H}_i

\end{align}

bu yerda yigʻindi barcha zarralar va ularga mos keladigan potensiallar ustidan olinadi; natijada sistemaning Gamilton operatori har bir zarracha uchun alohida Gamiltonianlarning yigʻindisidir. Bu ideallashtirilgan holat — amalda zarralarga deyarli har doim qandaydir potensial taʼsir qiladi va koʻplab zarralarning oʻzaro taʼsirlari mavjud. Ikki jismli oʻzaro taʼsirning yorqin misollaridan biri, bu shakl qoʻllanilmaydi, zaryadlangan zarralar tufayli elektrostatik potensiallar uchun, chunki ular quyida koʻrsatilganidek, bir-biri bilan Kulon taʼsiri (elektrostatik kuch) bilan oʻzaro taʼsir qiladi.
## Manbalar
* Landau va Lifshis „Nazariy mexanika“
* G.Ahmedova „Atom fizikasi“
* B.Fayzullayev „Nazariy mexanika“