Fermi va Boze zarralari

Ideal **Bose gazi** klassik ideal gazga oʻxshash materiyaning kvant-mexanik fazasidir. U spini butun qiymatiga ega boʻlgan va Bose-Eynshteyn statistikasiga amal qiluvchi bozonlardan iborat. Bozonlarning statistik mexanikasi Satyendra Nath Bose (Boze) tomonidan foton gazi uchun ishlab chiqilgan va Albert Eynshteyn tomonidan massiv zarrachalarga qadar kengaytirilgan boʻlib, u klassik ideal gazdan farqli oʻlaroq, ideal bozon gazi yetarlicha past haroratda kondensat hosil qilishini tushundi. Bu kondensat Bose-Eynshteyn kondensati sifatida tanilgan.

## Nazariy qism.
Bozonlar Bose-Eynshteyn statistik maʼlumotlariga amal qiladigan yoki butun spinga ega boʻlgan kvant mexanik zarralaridir. Bu zarralarni elementar deb tasniflash mumkin: bular Xiggs bozoni, foton, glyuon, W,Z bozon va faraziy graviton ; yoki vodorod atomi, 16O atomi, deyteriy yadrosi, mezonlar va boshqalar kabi kompozitsion zarralar. Bundan tashqari, murakkabroq tizimlardagi baʼzi kvazizarralar ham plazmonlar (zaryad zichligi toʻlqinlari kvantlari) kabi bozonlar deb hisoblanishi mumkin.

Gazni bir nechta bozonlar bilan qayta ishlagan birinchi model Bose tomonidan ishlab chiqilgan foton gazi edi. Ushbu model Plank qonuni va qora jism nurlanishini yaxshiroq tushunishga olib keladi. Foton gazi massasiz oʻzaro taʼsir qilmaydigan bozonlarning har qanday holatida osongina kengaytirilishi mumkin. Debay modeli sifatida ham tanilgan *[[fonon]] gazi* metall kristall panjarasining normal tebranish rejimlari samarali massasiz bozonlar sifatida koʻrib chiqilishi mumkin boʻlgan. Piter Debye past haroratda metallarning issiqlik sigʻimi harakatini tushuntirish uchun fonon gaz modelidan foydalangan.

Bose-Eynshteyn kondensatlari va Bose gazlari nazariyasi oʻta oʻtkazuvchanlikning baʼzi xususiyatlarini ham tushuntirishi mumkin, bunda zaryad tashuvchilar juft boʻlib (Kuper juftlari) birikadi va oʻzini bozonlar kabi tutadi. Natijada, oʻta oʻtkazgichlar past haroratlarda elektr qarshiligiga ega boʻlmagandek harakat qilishadi.

### Kondensatsiyalanmagan fazadagi zarrachalarning maksimal soni, kritik harorat
Katta potentsialdan zarrachalarning umumiy soni topiladi

: N_{\rm m} = -z\frac{\partial\Omega_m}{\partial z} = \frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}.

Bu *z* bilan monoton ravishda ortadi (maksimal *z* =+1 gacha). Biroq, *z* =1 ga yaqinlashganda xatti-harakatlar *a* ning qiymatiga juda bogʻliq (yaʼni, gazning 1D, 2D, 3D ekanligiga, uning tekis yoki garmonik potensial quduqda boʻlishiga bogʻliq).

*a*>1 uchun zarrachalar soni faqat cheklangan maksimal qiymatgacha ortadi, yaʼni N_{\rm m} *z* =1 da cheklangan:

: N_{\rm m, max} = \frac{\zeta(\alpha)}{(\beta E_{\rm c})^\alpha},

bu yerda *z* (*a*) Rieman zeta funksiyasi (Li*a*(*1*)=*z* (*a*) dan foydalangan holda). Shunday qilib, belgilangan miqdordagi zarrachalar uchun N_{\rm m}, *b* ega boʻlishi mumkin boʻlgan eng katta qiymat kritik qiymat *b*c hisoblanadi. Bu *T*c =1/*kb*c kritik haroratga toʻgʻri keladi, undan pastda Tomas-Fermi yaqinlashuvi buziladi (holatlar uzluksizligi endi bunchalik koʻp zarrachalarni pastroq haroratlarda ushlab turolmaydi). Kritik harorat uchun yuqoridagi tenglamani yechish mumkin:

: T_{\rm c}=\left(\frac{N}{\zeta(\alpha)}\right)^{1/\alpha}\frac{E_{\rm c}}{k_{\rm B}}

Masalan, idishdagi uch oʻlchamli Bose gazi uchun (\alpha=3/2 va yuqorida qayd etilgan qiymatidan foydalanib E_{\rm c}) biz olamiz:

: T_{\rm c}=\left(\frac{N}{Vf\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\frac{h^2}{2\pi m k_{\rm B}}

*a*≤1 uchun zarrachalar sonining yuqori chegarasi yoʻq (N_{\rm m} *uchun „z*“ 1 ga yaqinlashganda ajralib chiqadi va shuning uchun bir yoki ikki oʻlchovli qutidagi gaz uchun (\alpha=1/2 va \alpha=1 mos ravishda) kritik harorat boʻlmaydi.

## Fermi gazi
**Fermi gazi** — yarim butun (h birliklarida 1/2, 3/2,…) spinli zarralardan tashkil topgan gaz. Fermi — Dirak statistikasiga boʻysunadi. Oʻzaro taʼsirlashmaydigan zarralardan tashkil topgan. Fermi gazi ideal gaz deb ataladi. Metallar va yarimoʻtkazgichlardagi elektronlar, atom nomeri katta boʻlgan atomlardagi elektronlar, ogʻir atom yadrolaridagi nuklonlar, yarim butun spinli kvazizarralaryaan tashkil topgan gazlar Fermi gazlar hisoblanadi. Fermi gazlar uchun Pauli prinsipi oʻrinli. T=0 K temperaturada Fermi gaz asosiy holatda boʻladi va uning zarralar energiyasi Fermi energiyasi (Efer) deb ataluvchi energiyagacha boʻlgan barcha kvant holatlarni egallaydi, energiyasi E>Efer boʻlgan holatlar boʻsh boʻladi. T=0 K da ideal Fermi gaz kvant holatlarini oʻrtacha toʻldirish soni Fermi taqsimot funksiyasi bilan aniqlanadi. Ideal boʻlmagan Fermi gaz uchun ham chegaraviy Fermi energiyasi mavjud, lekin uning zarralari maʼlum kvant holatlarda boʻlmaydi.
* Fermi energiyasi quyidagicha aniqlanadi: E_{fer}=\frac{\hbar^2}{2m}\cdot(3\pi^2\frac{N}{V})^{2/3}
## Manbalar
*G.Ahmedova "Atom fizikasi"