De Broyl toʻlqini

**Materiya toʻlqinlari** kvant mexanikasi nazariyasining asosiy qismi boʻlib, toʻlqin-zarracha dualizmining yarmidir. Barcha moddalar toʻlqinga oʻxshash xatti-harakatlarni namoyon qiladi. Misol uchun, elektronlar xuddi yorugʻlik nurlari yoki suv toʻlqinlari kabi difraksiyalanishi mumkin.

Materiya toʻlqin kabi harakat qiladi degan tushuncha 1924-yilda fransuz fizigi Lui de Broyl () tomonidan taklif qilingan va shuning uchun materiya toʻlqinlari *de Broyl toʻlqinlari* sifatida ham tanilgan.

*De Broyl toʻlqin uzunligi* Plank doimiysi  orqali impuls  va zarracha toʻlqin uzunligi  bilan bogʻliq:

:  \lambda = \frac{h}{p}.

Materiyaning toʻlqinga oʻxshash xatti-harakati birinchi marta Jorj Paget Tomson va Aleksandr Reidning transmissiya difraksiyasi tajribasi va mustaqil ravishda Devisson-Germer tajribasida ikkalasi ham elektronlar yordamida eksperimental tarzda koʻrsatildi va boshqa elementar zarralar, neytral atomlar va molekulalar uchun ham tasdiqlandi.

### De Broyl gipotezasi

De Broyl oʻzining 1924-yilgi nomzodlik dissertatsiyasida yorugʻlik ham toʻlqin, ham zarracha xossalarga ega boʻlganidek, elektronlar ham toʻlqin xususiyatlarga ega ekanligini taklif qildi. Uning dissertatsiyasi gipotezadan boshlandi: „ Toʻgʻri massasi  boʻlgan energiyaning har bir qismi uchun  chastotali davriy hodisani bogʻlash mumkin, shunday qilib,  topiladi.  — chastotasi, albatta, energiya paketining qolgan qismida oʻlchanishi kerak. Bu gipoteza bizning nazariyamizning asosidir“ (Ushbu chastota Compton chastotasi sifatida ham tanilgan)

Harakatlanuvchi jismga ekvivalent to‘lqin uzunligini topish uchun de Broyl ushbu jism uchun maxsus nisbiylik nazariyasidan jami energiyani  ga teng qilib belgiladi:

E = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = h\nu

(Zamonaviy fizika endi umumiy energiyaning bu shaklidan foydalanmaydi va energiya-momenti munosabatlari foydaliroq boʻldi) De Broyl zarrachaning tezligini  boʻsh fazodagi toʻlqin guruhi tezligi bilan aniqladi:

v_\text{g} \equiv \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{d\nu}{d(1/\lambda)}

(Guruh tezligining zamonaviy taʼrifi burchak chastotasi  va toʻlqin soni  dan foydalanadi). Energiya tenglamasiga differensiallarni qoʻllash va relativistik impulsni aniqlash orqali:

p = \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

keyin integrallashganda, de Broyl Plank doimiysi  orqali elektron bilan bogʻlangan toʻlqin uzunligi  va uning impuls moduli  oʻrtasidagi bogʻliqlik formulasi sifatida keldi:

\lambda = \frac{h}{p}.

Oʻshandan beri bu munosabatlar materiyaning barcha turlariga tegishli ekanligi koʻrsatildi, bu degani barcha moddalar zarrachalar va toʻlqinlarning xususiyatlarini namoyish etadi.

## De Broyl munosabatlari
De Broyl oʻz dissertatsiyasini yozganida materiya toʻlqinlari bilan ishlashning umumiy gʻoyalari toʻliq ishlab chiqilmagan edi; Keyinchalik Shredinger tenglamasi bilan ular yaxshiroq aniqlangan. Ushbu boʻlim baʼzi murakkab jihatlarni qamrab olmaydi, ularning aksariyatini kvant mexanikasi va ikkinchi kvantlash va kvant maydon nazariyasining yanada murakkab, koʻp tana yondashuvi boʻlimlarida tegishli havolalar bilan topish mumkin.

Bu yerda eng oddiy yondashuv erkin zarracha uchun tekis materiya toʻlqinlari nuqtai nazaridan tavsifga eʼtibor qaratishdir, yaʼni toʻlqin funksiyasi tomonidan tasvirlangan.

\psi (\mathbf{r}) = \exp ( i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}-i \omega t)

bu yerda \mathbf{r} real kosmosdagi pozitsiya, \mathbf{k} teskari metr birliklarida toʻlqin vektori,  — teskari vaqt birliklari bilan burchak chastotasi va t vaqt hisoblanadi. (Bu yerda toʻlqin vektorining fizik taʼrifi qoʻllanadi, yaʼni 2 \pi marta kristallografi ishlatiladigan toʻlqin vektor, toʻlqin vektor qarang.) De Broyl tenglamalari to‘lqin uzunligi  impuls moduliga bog‘laydi. |\mathbf{p}| = p va  chastotasi yuqorida yozilganidek, erkin zarrachaning umumiy energiyasi  :

\begin{align}

& \lambda = \frac {2 \pi} = \frac{h}{p}\\

& f = \frac{\omega}{2 \pi}= \frac{E}{h}

\end{align}

Bu yerda *h* — Plank doimiysi . Tenglamalarni quyidagicha yozish ham mumkin:

\begin{align}

& \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k}\\

& E = \hbar \omega ,\\

\end{align}

Bu yerda  — kamaytirilgan Plank doimiysi. Ikkinchi tenglama Plank-Eynshteyn munosabati deb ham nomlanadi.

#### Guruhiy tezlik
Albert Eynshteyn ilk marta 1905-yilda yorugʻlikning toʻlqin-zarracha ikkiligini tushuntirdi. Lui de Broyl har qanday zarracha ham shunday dualizmni namoyon qilishi kerak, deb faraz qildi. Zarrachaning tezligi har doim mos keladigan toʻlqinning guruh tezligiga teng boʻlishi kerak degan xulosaga keldi.

Relyativistik va norelativistik kvant fizikasida biz zarrachaning toʻlqin funksiyasining guruh tezligini zarracha tezligi bilan aniqlashimiz mumkin. Kvant mexanikasi bu gipotezani juda toʻgʻri koʻrsatdi va molekulalardek katta boʻlgan zarralar uchun bogʻliqlik aniq koʻrsatildi.

De Broyl, agar yorugʻlik uchun allaqachon maʼlum boʻlgan dualizm tenglamalari har qanday zarracha uchun bir xil boʻlsa, uning gipotezasi oʻrinli boʻladi, degan xulosaga keldi. Bu shuni anglatadiki:

: \mathbf{v}_\mathrm{g} = \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (\mathbf{p} /\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial \mathbf{p}}.

Erkin relyativistik boʻlmagan zarra uchun bundan kelib chiqadi:

: \begin{align}
  \mathbf{v}_\mathrm{g} &= \frac{\partial E}{\partial \mathbf{p}} = \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}} \left( \frac{1}{2}\frac{p^2}{m} \right)\\
    &= \frac{\mathbf{p}}{m}\\
    &= \mathbf{v} .
\end{align}

Bundan tashqari, maxsus nisbiylikda biz buni olamiz:

: \begin{align}
  \mathbf{v}_\mathrm{g} &= \frac{\partial E}{\partial \mathbf{p}} = \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}} \left( \sqrt{p^2c^2+m_0^2c^4} \right)\\
    &= \frac{\mathbf{p} c^2}{\sqrt{p^2c^2 + m_0^2c^4}}\\
    &= \frac{\mathbf{p} c^2}{E} .
\end{align}

Ammo, faza tezligidan foydalanib \mathbf{v}_\mathrm{p} = E/\mathbf{p} = c^2/\mathbf{v}, keyin:

: \begin{align}
 \mathbf{v}_\mathrm{g} &= \frac{\mathbf{p}c^2}{E}\\
    &= \frac{c^2}{\mathbf{v}_\mathrm{p}}\\
    &= \mathbf{v} ,
\end{align}
bu yerda \mathbf{v} toʻlqin harakatidan qatʼiy nazar zarrachaning tezligi.

#### Faza tezligi
Kvant mexanikasida zarralar ham murakkab amplitudali toʻlqinlar kabi harakat qiladi. Faza tezligining moduli chastotaning toʻlqin uzunligiga koʻpaytirilgan qiymatiga tengdir:

De Broyl gipotezasiga koʻra, biz buni olamiz:

\mathbf{v}_\mathrm{p} = \frac{\omega}{\mathbf{k}} = \frac{E/\hbar}{\mathbf{p}/\hbar} = \frac{E}{\mathbf{p}}

Energiya va impuls uchun relativistik munosabatlardan foydalanib, biz quyidagicha yozamiz:

\mathbf{v}_\mathrm{p} = \frac{E}{\mathbf{p}} = \frac{m c^2}{m \mathbf{v}} = \frac{\gamma m_0 c^2}{\gamma m_0 \mathbf{v}} = \frac{c^2}{\mathbf{v}} = \mathbf{\hat{v}} \frac{c}{\beta}

Oʻzgaruvchi \mathbf{v} zarracha tezligi yoki mos keladigan materiya toʻlqinining guruh tezligi sifatida qabul qilinishi mumkin. Zarracha |\mathbf{v}|  tezligidan boshlab nol boʻlmagan massaga ega boʻlgan har qanday zarra uchun (maxsus nisbiylik boʻyicha) materiya toʻlqinlarining faza tezligi har doim *c* dan oshadi, yaʼni,

| \mathbf{v}_\mathrm{p} | > c ,

zarracha tezligi relyativistik boʻlganda *c ga* yaqinlashadi. Faza tezligi maxsus nisbiylikni buzmaydi.

## Manbalar
* en.wikipedia.org
* G.Ahmedova „Atom fizikasi“
* R.Bekjonov „Atom va yadro fizikasi“