Elektromagnit impuls oqimining zichlik tenzori

## Elektromagnit kuchlar zichligi
Elektromagnit maydon va zaryadlangan zarralar sistemasining umumiy impuls oʻzgarishi qonuni quyidagicha ifodalanadi:
: \dfrac{d}{dt}\left(\textbf{G}_{m}+\textbf{G}_{s}\right)=\oint\textbf{T}_{n}d\sigma;\ \ \ \ \ (1)

bu yerda:
: \textbf{T}_{n} = (\textbf{T}_{x}\textbf{n})\textbf{i} + (\textbf{T}_{y}\textbf{n})\textbf{j} + (\textbf{T}_{z}\textbf{n})\textbf{k};\ \ \ \ \ (2)

boʻlib, normal orti **n** boʻlgan birlik yuzachaga taʼsir qiluvchi elektromagnit maydon kuchini ifodalaydi va sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi deyiladi. Normalning yoʻnalishiga qarab **T<sub>n</sub>** vektor ham turlicha boʻlishi mumkin. Normalning orti **n** sifatida, masalan, Ox oʻqining orti **i** olinsa, koʻramizki, **T<sub>x</sub>** vektor shu oʻqqa perpendikulyar qoʻyilgan birlik yuzachaga taʼsir qiluvchi maydon kuchini ifodalaydi. Shuning kabi **T<sub>y</sub>** va **T<sub>z</sub>** vektorlar Oy va Oz oʻqlariga mos ravishda perpendikulyar boʻlgan birlik yuzachalarga taʼsir qiluvchi maydon kuchlarini ifodalaydi.

## Elektromagnit kuchlar zichligi vektorining tashkil etuvchilari
Sirtga taʼsir qiluvchi elektromagnit kuchlar zichligi **T<sub>n</sub>** vektorning aniqlanishi uchun (2) ga muvofiq **T<sub>x</sub>**, **T<sub>y</sub>**,**T<sub>z</sub>** vektorlar maʼlum boʻlishi lozim: bu vektorlarning tashkil etuvchilarini quyidagicha yozamiz:
: T_{xx} = \frac{1}{4\pi}\left(E_{x}^{2}+H_{x}^{2}\right) - \frac{1}{8\pi}\left(E^{2}+H^{2}\right),
: T_{xy} = \frac{1}{4\pi}\left(E_{x}E_{y}+H_{x}H_{y}\right),
: T_{xz} = \frac{1}{4\pi}\left(E_{x}E_{z}+H_{x}H_{z}\right),
: T_{yx} = \frac{1}{4\pi}\left(E_{y}E_{x}+H_{y}H_{x}\right),
: T_{yy} = \frac{1}{4\pi}\left(E_{y}^{2}+H_{y}^{2}\right) - \frac{1}{8\pi}\left(E^{2}+H^{2}\right),
: T_{yz} = \frac{1}{4\pi}\left(E_{y}E_{z}+H_{y}H_{z}\right),
: T_{zx} = \frac{1}{4\pi}\left(E_{z}E_{x}+H_{z}H_{x}\right),
: T_{zy} = \frac{1}{4\pi}\left(E_{z}E_{y}+H_{z}H_{y}\right),
: T_{zz} = \frac{1}{4\pi}\left(E_{z}^{2}+H_{z}^{2}\right) - \frac{1}{8\pi}\left(E^{2}+H^{2}\right);\ \ \ \ \ (3);

Agar x_{1}=x, x_{2}=y, x_{3}=z desak, koordinatalarning umumiy koʻrinishi x_{\alpha} boʻladi, bu yerda \alpha indeks 1, 2, 3, \ldots qiymatlarni qabul qiladi. U vaqtda (3) ifodani quyidagi koʻrinishda yozib koʻrsatish mumkin:
: T_{\alpha\beta}=\frac{1}{4\pi}\left(E_{\alpha}E_{\beta}+H_{\alpha}H_{\beta}\right)-\delta_{\alpha\beta}\frac{1}{8\pi}\left(E^{2}+H^{2}\right);\ \ \ \ \ (4)


bu yerda \alpha, \beta indekslar 1, 2, 3 qiymatlarga ega boʻlib, \delta_{\alpha\beta} esa Kroneker belgisi deyiladi va quyidagicha taʼriflanadi:
: 
\delta_{\alpha\beta}=\begin{cases}
0, \ \textrm{agar}\  \alpha\ne\beta \\
      1, \ \textrm{agar}\  \alpha=\beta \end{cases};\ \ \ \ \ (5)


(4) — tenglamadan maʼlumki,
: 
T_{\alpha\beta}=T_{\beta\alpha};\ \ \ \ \ (6)

Normal orti **n** bilan ixtiyoriy *i<math>_{\beta}</math>* orasidagi burchak kosinusini C_{n\beta} orqali belgilasak:
: C_{n\beta} = \cos(\textbf{n}^{\wedge}\textbf{i}_{\beta}) = \left( \textbf{n}\ \textbf{i}_{\beta}\right)\ \ \ \ \ (7)

u holda

: \textbf{n} =\sum C_{n\beta}\textbf{i}_{\beta};\ \ \ \ \ (8)

Endi bizni qiziqtirayotgan **T<sub>n</sub>** vektor uchun berilgan (2) ifodani kiritilgan belgilashlar asosida yozamiz:
: \textbf{T}_{n} =\sum \left(\textbf{T}_{\alpha}\ \textbf{n}\right) \textbf{i}_{\beta}

yoki (8) ga muvofiq
: \textbf{T}_{n} =\sum\sum C_{n\beta}\left( \textbf{T}_{\alpha}\textbf{i}_{\beta}\right)\textbf{i}_{\alpha}

Skalyar koʻpaytma (\textbf{T}_{\alpha}\textbf{i}_{\beta})  esa \textbf{T}_{\alpha} vektorning i_{\beta} ort yoʻnalishidagi \textbf{T}_{\alpha\beta} tashkil etuvchisidir. Demak,
:  \textbf{T}_{n}=\sum\sum C_{n\beta}\textbf{T}_{\alpha\beta}\textbf{i}_{\alpha}

yoki (6) ga muvofiq,
:  \textbf{T}_{n}=\sum\sum C_{n\beta}\textbf{T}_{\beta\alpha}\textbf{i}_{\alpha};\ \ \ \ \ (9)

Berilgan \textbf{i}_{\beta} ortlar sistemasini koordinatalar boshi atrofida aylantirish natijasida kelib chiqqan yangi sistema ortlarini \textbf{i}'_{l} orqali belgilaylik, bu yerda l = 1, 2, 3. Normal orti **n** ixtiyoriy boʻlganligidan, **n** oʻrniga **i'<sub>l</sub>**olinishi mumkin. U vaqtda (9) ga muvofiq,
: \textbf{T}'_{l} = \sum\sum C_{l\beta}\textbf{T}_{\beta\alpha}\textbf{i}_{\alpha}

Bu tenglikning ikki tomonini **i'<sub>m</sub>** (m =1, 2, 3, \ldots) ortga skalyar ravishda koʻpaytirilsa,
: T'_{lm}\sum\sum C_{l\beta}C_{m\alpha}\textbf{T}_{\beta\alpha}

yokki  \alpha va \beta oʻrinlarini almashtirilsa,
: T'_{lm}\sum\sum C_{l\alpha}C_{m\beta}\textbf{T}_{\alpha\beta};\ \ \ \ \ \ (10)

Mana shu almashtirish qonuniga boʻysungan T_{\alpha\beta} miqdorlar toʻplami *ikkinchi rangli tenzor* deyiladi. (4) da ifodalangan toʻqqizta T_{\alpha\beta} miqdorlar toʻplami **elektromagnit impuls oqimi zichligining tenzori** deb yuritiladi.

## Yana qarang
* Zarraning elektromagnit massasi
* Zaryadlar sistemasining energiyasi
* Elektromagnit induksiya qonuni

## Adabiyotlar
* *R.X.Mallin*, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974