Laplas-Runge-Lenz vektori

Klassik mexanikada **Laplas-Runge-Lenz (LRL) vektori** asosan bir astronomik jismning boshqasi atrofidagi orbitasining shakli va yoʻnalishini, masalan, qoʻshaloq yulduz yoki yulduz atrofida aylanadigan sayyorani tasvirlash uchun ishlatiladigan vektordir . Nyuton tortishish kuchi bilan oʻzaro taʼsir qiluvchi ikkita jism uchun LRL vektori harakat doimiysi boʻlib, u orbitaning qayerda hisoblanganidan qatʼi nazar, bir xil boʻladi; ekvivalenti LRL vektori *saqlanuvchi* deyiladi. Umuman olganda, LRL vektori ikkita jismning oʻzaro taʼsirida ular orasidagi masofaning teskari kvadrati sifatida oʻzgarib turadigan markaziy kuch bilan oʻzaro taʼsir qiladigan barcha masalalarda saqlanadi; bunday muammolar Kepler muammolari deb ataladi   .

Vodorod atomi Kepler muammosidir, chunki u Kulonning elektrostatika qonuni boʻyicha oʻzaro taʼsir qiluvchi ikkita zaryadlangan zarrachani oʻz ichiga oladi, bu boshqa teskari kvadrat markaziy kuch. LRL vektori Shredinger tenglamasi ishlab chiqilishidan oldin vodorod atomi spektrining birinchi kvant mexanik hosilasida muhim ahamiyatga ega edi . Biroq, bugungi kunda bu yondashuv kamdan-kam qoʻllanadi.

Klassik va kvant mexanikasida saqlanib qolgan miqdorlar odatda sistemaning simmetriyasiga mos keladi. LRL vektorining saqlanishi noodatiy simmetriyaga mos keladi; Kepler muammosi toʻrt oʻlchovli (giper-)sfera yuzasida erkin harakatlanadigan zarrachaga matematik jihatdan ekvivalentdir , shuning uchun butun muammo toʻrt oʻlchovli fazoning maʼlum aylanishlari ostida simmetrik boʻladi. Bu yuqori simmetriya Kepler muammosining ikkita xususiyatidan kelib chiqadi: tezlik vektori har doim mukammal aylana boʻylab harakat qiladi va berilgan umumiy energiya uchun barcha tezlik doiralari bir xil ikkita nuqtada bir-birini kesib oʻtadi.

Laplas-Runge-Lenz vektori Per-Simon de Laplas, Karl Rung va Vilgelm Lents sharafiga nomlangan. U **Laplas vektori** , **Runge-Lenz vektori** va **Lenz vektori** sifatida ham tanilgan . Qizigʻi shundaki, oʻsha olimlarning hech biri buni kashf etmagan. LRL vektori bir necha marta qayta kashf etilgan va qayta tuzilgan; masalan, samoviy mexanikaning oʻlchovsiz ekssentriklik vektoriga ekvivalentdir  . LRL vektorining turli umumlashtirishlari aniqlangan, ular maxsus nisbiylik, elektromagnit maydonlar va hatto turli xil markaziy kuchlarning taʼsirini oʻz ichiga oladi  .

## Nazariy qismi
Har qanday konservativ markaziy kuch ostida harakatlanadigan bitta zarracha kamida toʻrtta doimiy harakatga ega: umumiy energiya  va kuch markaziga nisbatan burchak momentum vektori  ning uchta dekart komponenti . Zarrachaning orbitasi zarrachaning dastlabki impulsi  (yoki ekvivalenti uning tezligi ) va zarracha bilan kuch markazi oʻrtasidagi vektor  bilan aniqlangan tekislik bilan chegaralangan (1-rasmga qarang) . Bu harakat tekisligi doimiy burchak momentum vektoriga perpendikulyar ; bu vektor nuqta mahsulot tenglamasi bilan matematik tarzda ifodalanishi mumkin  . Quyida uning matematik taʼrifini hisobga olsak, Laplas-Runge-Lenz vektori (LRL vektor)  barcha markaziy kuchlar uchun doimo doimiy burchak momentum vektori  ga perpendikulyar boʻladi (). Shuning uchun  har doim harakat tekisligida yotadi. Quyida koʻrsatilgandek,  kuch markazidan harakatning periapsisiga, eng yaqin yaqinlashish nuqtasiga va uning uzunligi orbitaning eksantrikligiga proportsionaldir.

LRL vektor  uzunligi va yoʻnalishi boʻyicha doimiy, lekin faqat teskari kvadrat markaziy kuch uchun. Boshqa markaziy kuchlar uchun  vektor doimiy emas, balki uzunligi va yoʻnalishi boʻyicha oʻzgaradi. Agar markaziy kuch *taxminan* teskari kvadrat qonuni boʻlsa,  vektor uzunligi boʻyicha taxminan doimiy, lekin asta-sekin oʻz yoʻnalishini aylantiradi. *Umumiy* saqlangan LRL vektori \mathcal{A} barcha markaziy kuchlar uchun aniqlanishi mumkin, ammo bu umumlashtirilgan vektor pozitsiyaning murakkab funktsiyasidir va odatda yopiq shaklda ifodalanmaydi .

## Qayta kashf qilish tarixi
LRL vektor  Kepler muammosining harakat doimiysi boʻlib, sayyoralar va qoʻshaloq yulduzlar harakati kabi astronomik orbitalarni tavsiflashda foydalidir. Shunga qaramay, u fiziklar orasida hech qachon yaxshi maʼlum boʻlmagan, ehtimol u momentum va burchak momentumidan kamroq intuitivdir. Binobarin, soʻnggi uch asr davomida u bir necha marta mustaqil ravishda qayta kashf etilgan.

Yakob Hermann birinchi boʻlib  teskari kvadrat markaziy kuchning maxsus holati uchun saqlanishini koʻrsatdi va uning orbital ellipsning ekssentrisiteti bilan bogʻlanishini ishlab chiqdi. Hermannning ishi 1710 yilda Iogan Bernulli tomonidan zamonaviy shaklga umumlashtirildi . Asrning oxirida Per-Simon de Laplas  ning saqlanishini qayta kashf etdi va uni geometrik emas, balki analitik tarzda keltirib chiqardi. Oʻn toʻqqizinchi asr oʻrtalarida Uilyam Rouen Gamilton quyida aniqlangan ekvivalent ekssentriklik vektorini chiqardi va undan foydalanib impuls vektori  aylana boʻylab teskari kvadrat markaziy kuch taʼsirida harakat qilishini koʻrsatdi (3-rasm) .

Yigirmanchi asrning boshida Josiah Willard Gibbs vektor tahlili orqali xuddi shu vektorni oldi. Gibbsning hosilasi misol sifatida Karl Runge tomonidan vektorlar boʻyicha mashhur nemis darsligida ishlatilgan , Vilgelm Lenz vodorod atomining (eski) kvant mexanik ishlovi haqidagi maqolasida unga havola qilingan. 1926 yilda Volfgang Pauli LRL vektoridan vodorod atomining energiya darajalarini kvant mexanikasining matritsa mexanikasi formulasidan foydalangan holda LRLni olish uchun ishlatgan, shundan soʻng u asosan *Runge-Lenz vektori* sifatida tanilgan.

## Matematik taʼrif
Bitta zarrachaga taʼsir etuvchi teskari kvadrat markaziy kuch tenglama bilan tavsiflanadi


\mathbf{F}(r)=-\frac{k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}};


Tegishli potensial energiya tomonidan berilgan V(r) = - k / r . Doimiy parametr  markaziy kuchning kuchini tavsiflaydi; tortishish kuchi uchun  va elektrostatik kuchlar uchun  ga teng. Agar  boʻlsa, kuch jozibador, agar  boʻlsa, itaruvchi.

LRL vektor  matematik tarzda formula bilan aniqlanadi.

 \mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - m k \mathbf{\hat{r}},

bu yerda

*  markaziy kuchlar natijasida harakatlangan zarrachaningmassasi,
*  burchak momenti vektori,
*  zarrachaning koordinata vektori (1-rasm),
* \mathbf{\hat{r}} birlik vektor, masalan, \mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r}}{r},
*  — ning miqdor kattaligi, markaziy kuchdan zarrachagacha boʻlgan masofa.

LRL vektorining SI birliklari joule-kilogramm (J⋅kg⋅m) dir. Buning sababi,  va  ning birliklari mos ravishda kg⋅m/s va J⋅s. Bu  (kg) va  (N⋅m 2) birliklariga mos keladi.

LRL  vektorining bu taʼrifi qattiq kuch taʼsirida harakatlanayotgan  massali bir nuqtali zarrachaga tegishli. Shu bilan birga, xuddi shu taʼrifni Kepler muammosi kabi ikki jismli muammolarga,  ikki jismning kamaytirilgan massasi va  ikki jism orasidagi vektor sifatida qabul qilish orqali kengaytirish mumkin.

Qabul qilingan kuch konservativ boʻlgani sababli, umumiy energiya  harakat doimiysi,


E = \frac{p^{2}}{2m} - \frac{k}{r} = \frac{1}{2} mv^{2} - \frac{k}{r}.


Qabul qilingan kuch ham markaziy kuchdir. Demak, burchak momentum vektori  ham saqlanib qoladi va zarracha harakatlanadigan tekislikni belgilaydi. LRL vektor  burchak momentum vektori  ga perpendikulyar, chunki  va  ikkala  ga perpendikulyar. Bundan kelib chiqadiki,  harakat tekisligida yotadi.

Harakatning bir xil doimiyligi uchun muqobil formulalar, odatda vektorni massa , kuch parametri  yoki burchak momentum  kabi doimiylar bilan masshtablash orqali aniqlanishi mumkin. Eng keng tarqalgan variant  ni  ga boʻlishdir, bu ekssentriklik vektorini beradi moduli konusning ekssentrisitetiga teng boʻlgan yarim katta oʻq boʻylab oʻlchamsiz vektor :


\mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{m k} = \frac{1}{m k}(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) - \mathbf{\hat{r}}.


Ekvivalent formula bu ekssentriklik vektorini katta yarim oʻq ga koʻpaytiradi, natijada vektor uzunlik birliklarini beradi. Yana bir formula  ga ajratadi L^2, teskari uzunlik birliklari bilan ekvivalent saqlangan miqdorni beradi, bu miqdor Kepler muammosini hal qilishda paydo boʻladi.


u \equiv \frac{1}{r} = \frac{km}{L^2} + \frac{A}{L^2} \cos\theta


bu yerda \theta —  va pozitsiya vektori  orasidagi burchak. Qoʻshimcha muqobil formulalar quyida keltirilgan.

## Kepler orbitalarining kelib chiqishi

Orbitalarning *shakli* va *orientatsiyasini* LRL vektoridan quyidagicha aniqlash mumkin.  ning nuqta koʻpaytmasini  pozitsiya vektori bilan olib, tenglama hosil boʻladi


\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = A \cdot r \cdot \cos\theta = 
\mathbf{r} \cdot \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - mkr,


bu yerda  —  va  orasidagi burchak (2-rasm). Skayar uchlik mahsulot rentabelligini almashtirish


\mathbf{r} \cdot\left(\mathbf{p}\times \mathbf{L}\right) =
\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\right)\cdot\mathbf{L} =
\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2


Qayta tartiblash Kepler tenglamasining yechimini beradi


\frac{1}{r} = \frac{mk}{L^2} + \frac{A}{L^{2}} \cos\theta

Bu ekssentriklik *e ning* konus kesimi formulasiga mos keladi
\frac{1}{r} = C \cdot \left(1 + e \cdot \cos\theta \right)
bu yerda ekssentriklik e = \frac{A}{\left| mk \right|} \geq 0 va  doimiydir.

 ning nuqta mahsulotini oʻzi bilan olib, umumiy energiya  oʻz ichiga olgan tenglama hosil boʻladi.


A^2 = m^2 k^2 + 2 m E L^2,


ekssentriklik nuqtai nazaridan qayta yozilishi mumkin.


e^{2} = 1 + \frac{2L^2}{mk^2}E.


Shunday qilib, agar energiya  manfiy boʻlsa (bogʻlangan orbitalar), ekssentriklik birdan kichik va orbita ellipsdir. Aksincha, energiya ijobiy boʻlsa (bogʻlanmagan orbitalar, „tarqalgan orbitalar“ deb ham ataladi), ekssentriklik birdan katta va orbita giperbola boʻladi. Nihoyat, agar energiya aniq nolga teng boʻlsa, eksantriklik bitta va orbita parabola boʻladi. Barcha holatlarda  yoʻnalishi konus kesimining simmetriya oʻqi boʻylab yotadi va kuch markazidan periapsisga, eng yaqin yaqinlashish nuqtasiga ishora qiladi.

## Harakat va superintegratsiya konstantalari
Yetti skalyar miqdorlar ,  va  (vektor boʻlib, oxirgi ikkitasi har biri uchta saqlangan miqdorga hissa qoʻshadi) ikkita tenglama bilan bogʻlangan,  va , beshta mustaqil konstantani beradi. harakatdan . ( ning kattaligi, demak, orbitaning ekssentrisiteti  umumiy burchak impulsi  va  energiyasidan aniqlash mumkin boʻlgani sababli, faqat  ning *yoʻnalishi* mustaqil ravishda saqlanadi; bundan tashqari,   ga perpendikulyar boʻlishi kerakligi sababli, u hissa qoʻshadi. *faqat bitta* qoʻshimcha saqlangan miqdor.)

Bu zarrachaning orbitasini belgilaydigan oltita boshlangʻich shartga (zarrachaning boshlangʻich holati va tezlik vektorlari, har biri uchta komponentdan iborat) mos keladi, chunki boshlangʻich vaqt harakat konstantasi bilan aniqlanmaydi. Shunday qilib, 6 oʻlchovli fazali fazodagi 1 oʻlchovli orbita toʻliq aniqlangan.

Erkinlik darajasi  boʻlgan mexanik tizim koʻpi bilan  harakat konstantasiga ega boʻlishi mumkin, chunki 2 *d* boshlangʻich shartlar mavjud va boshlangʻich vaqtni harakat konstantasi bilan aniqlab boʻlmaydi. Harakat konstantalari  dan ortiq boʻlgan tizim *superintegral*,  konstantaga ega boʻlgan tizim **maksimal superintegral** deb ataladi. Gamilton-Jakobi tenglamasini bitta koordinata tizimida yechish faqat  harakat konstantasini berishi mumkinligi sababli, superintegratsiyalanuvchi tizimlar bir nechta koordinatalar tizimida ajratilishi kerak. Kepler muammosi maksimal darajada superintegraldir, chunki u uchta erkinlik darajasiga () va besh mustaqil harakat doimiysiga ega; uning Gamilton-Jakobi tenglamasi quyida tavsiflanganidek sferik koordinatalarda ham, parabolik koordinatalarda ham ajratilishi mumkin.

Maksimal superintegratsiyalanadigan tizimlar fazalar fazosida yopiq, bir oʻlchovli orbitalarni kuzatib boradilar, chunki orbita ularning harakat konstantalarining fazo-fazo izoyuzalarining kesishishi hisoblanadi. Binobarin, orbitalar ushbu barcha mustaqil izo-sirtlarning barcha gradientlariga perpendikulyar boʻlib, ushbu maxsus muammoda beshtasi mavjud va shuning uchun bu barcha gradientlarning umumlashtirilgan koʻndalang mahsuloti bilan aniqlanadi. Natijada, **barcha** superintegral tizimlar avtomatik ravishda Nambu mexanikasi tomonidan muqobil ravishda va Gamilton mexanikasiga ekvivalent tarzda tavsiflanadi.

Maksimal superintegrallash mumkin boʻlgan tizimlar, quyida koʻrsatilgandek, kommutatsiya munosabatlari yordamida nicellashtirilishi mumkin. Shunga qaramay, ular ekvivalent tarzda Nambu tizimida kvantlangan, masalan, bu klassik Kepler muammosi kvant vodorod atomiga mos keladi.

## Uygʻongan potensiallar ostida evolyutsiya

Laplas-Runge-Lenz vektor  faqat mukammal teskari kvadrat markaziy kuch uchun saqlanadi. Sayyora harakati kabi koʻpgina amaliy muammolarda esa, ikki jism oʻrtasidagi oʻzaro taʼsirning potentsial energiyasi mutlaqo teskari kvadrat qonuni emas, balki qoʻshimcha markaziy kuchni oʻz ichiga olishi mumkin,  potentsial energiya bilan tavsiflangan *tebranish* . Bunday hollarda LRL vektori orbita tekisligida sekin aylanadi, bu orbitaning sekin apsidal presessiyasiga mos keladi.

Taxminlarga koʻra, bezovta qiluvchi potentsial  konservativ markaziy kuch boʻlib, u umumiy energiya  va burchak momentum vektori  saqlanishini anglatadi. Shunday qilib, harakat hali ham  ga perpendikulyar tekislikda yotadi va  tenglamadan  kattaligi saqlanib qoladi. Buzilish potentsiali  har qanday funktsiya boʻlishi mumkin, lekin ikkita jism orasidagi asosiy teskari kvadrat kuchdan sezilarli darajada zaif boʻlishi kerak.

LRL vektorining aylanish *tezligi* bezovta qiluvchi potentsial  haqida maʼlumot beradi. Kanonik tebranish nazariyasi va harakat burchagi koordinatalaridan foydalanib,  tezlik bilan aylanishini koʻrsatish oson.

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial L} \langle h(r) \rangle & = \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{1}{T} \int_0^T h(r) \, dt \right\} \\[1em]
& = \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{m}{L^{2}} \int_0^{2\pi} r^2 h(r) \, d\theta \right\},
\end{align}

Bu yerda  — orbital davri va  tengligi vaqt integralini burchakli integralga aylantirish uchun ishlatilgan (5-rasm). Burchakli qavs ichidagi ifoda, *h*(*r*), bezovta qiluvchi potentsialni ifodalaydi, lekin bir toʻliq davr uchun *oʻrtacha hisoblanadi* ; yaʼni tananing oʻz orbitasini bir marta toʻliq oʻtishi uchun oʻrtacha hisoblanadi. Matematik jihatdan, bu vaqt oʻrtacha qiymati jingalak qavslardagi quyidagi miqdorga toʻgʻri keladi. Bu oʻrtacha aylanish tezligidagi tebranishlarni bostirishga yordam beradi.

Ushbu yondashuv Eynshteynning umumiy nisbiylik nazariyasini tasdiqlash uchun ishlatilgan, bu oddiy Nyuton tortishish potentsialiga kichik samarali teskari kubik tebranish qoʻshadi,


h(r) = \frac{kL^{2}}{m^{2}c^{2}} \left(\frac{1}{r^{3}} \right).


Bu funksiyani integralga kiritish va tenglamadan foydalanish


\frac{1}{r} = \frac{mk}{L^2} \left(1 + \frac{A}{mk} \cos\theta \right)


 ni  bilan ifodalash uchun, bu Nyuton boʻlmagan tebranish natijasida kelib chiqqan periapsisning presessiya tezligiga teng deb hisoblanadi.


\frac{6 \pi k^2}{T L^2 c^2},


Bu Merkuriy va ikkilik pulsarlarning kuzatilgan anomal presessiyasiga yaqindan mos keladi. Tajriba bilan bu kelishuv umumiy nisbiylik uchun kuchli dalildir .

### Impuls fazosida vodorod atomi uchun Laplas-Runge-Lenz operatori
Impuls fazosida masshtablangan Laplas-Runge-Lenz operatori yaqinda topilgan . Operator uchun formula pozitsiya fazosiga qaraganda soddaroq:

:  \hat \mathbf{A}_{\mathbf p}=\imath(\hat l_{\mathbf p}+1 )\mathbf p -\frac{(p^2+1)}{2}\imath\mathbf\nabla_{\mathbf p },  

bu yerda \hat \mathbf{A} „darajali operator“

:  \hat l_{\mathbf p }=(\mathbf p \mathbf \nabla_{\mathbf p} ) 

bir jinsli koʻphadni darajasiga koʻpaytiradi.

### Casimir invariantlari va energiya darajalari
Salbiy energiya uchun Casimir invariantlari

 \begin{align}
C_1 &= \mathbf{D} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{L} \cdot \mathbf{L} = \frac{mk^2}{2|E|}, \\
C_2 &= \mathbf{D} \cdot \mathbf{L} = 0,
\end{align}

 va  ning barcha komponentlari bilan yoʻqolib borayotgan Puasson qavslari bor,

\{ C_1, L_i \} = \{ C_1, D_i\} =
\{ C_2, L_i \} = \{ C_2, D_i \} = 0.
*C*2 trivial nolga teng, chunki ikkala vektor har doim perpendikulyar.

Biroq, boshqa invariant, *C*1, notrivial va faqat ,  va  ga bogʻliq. Kanonik kvantlashda bu invariant vodorodga oʻxshash atomlarning energiya darajalarini Shredinger tenglamasining anʼanaviy yechimi oʻrniga faqat kvant mexanik kanonik kommutatsiya munosabatlari yordamida olish imkonini beradi . Ushbu hosila keyingi bobda batafsil muhokama qilinadi.

## Kepler masalalarida Laplas-Runge-Lenz vektorining saqlanishini isbotlash
Quyida LRL vektorining teskari kvadrat qonuniga boʻysunadigan markaziy kuchlar ostida saqlanishini koʻrsatadigan dalillar keltirilgan.

## Saqlashning bevosita isboti

Markaziy kuch \mathbf{F} zarrachaga taʼsir qiluvchi


\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = f(r) \frac{\mathbf{r}}{r} = f(r) \mathbf{\hat{r}}


baʼzi funksiyalar uchun f(r) radiusdan r . Burchak momenti \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} dan beri \frac{d}{dt}\mathbf{L} = 0 markaziy kuchlar ostida saqlanadi, va


\frac{d}{dt} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = \frac{d\mathbf{p}}{dt} \times \mathbf{L} = f(r) \mathbf{\hat{r}} \times \left( \mathbf{r} \times m \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) = f(r) \frac{m}{r} \left[ \mathbf{r} \left(\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) - r^2 \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right],


impuls bu yerda \mathbf{p} = m \frac{d\mathbf{r}}{dt} va bu yerda uch karra koʻpaytma Lagrange formulasi yordamida soddalashtirilgan


\mathbf{r} \times \left( \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) = \mathbf{r} \left(\mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) - r^2 \frac{d\mathbf{r}}{dt}.


Identifikatsiya


\frac{d}{dt} \left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} \right) = 2 \mathbf{r} \cdot \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \frac{d}{dt} (r^2) = 2r\frac{dr}{dt}


tenglamani chiqaradi


\frac{d}{dt} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) = 
-m f(r) r^2 \left[ \frac{1}{r} \frac{d\mathbf{r}}{dt} - \frac{\mathbf{r}}{r^2} \frac{dr}{dt}\right] = -m f(r) r^2 \frac{d}{dt} \left( \frac{\mathbf{r}}{r}\right).


Teskari kvadrat markaziy kuchning maxsus holati uchun f(r)=\frac{-k}{r^{2}}, bu quyidagiga teng:

\frac{d}{dt} \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) =
m k \frac{d}{dt} \left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right) =
\frac{d}{dt} (mk\mathbf{\hat{r}}).


Shuning uchun  teskari kvadrat markaziy kuchlar uchun saqlanadi :


\frac{d}{dt} \mathbf{A} = \frac{d}{dt} \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - \frac{d}{dt} \left( mk\mathbf{\hat{r}} \right) = \mathbf{0}.


Qisqaroq dalil burchak momentumning burchak tezligiga nisbati yordamida olinadi,  \mathbf{L} = m r^2 \boldsymbol{\omega}, bu zarrachaga perpendikulyar tekislikda harakatlanadigan zarra uchun amal qiladi  \mathbf{L} . Teskari-kvadrat markaziy kuchlarni belgilash, vaqt hosilasi \mathbf{p} \times \mathbf{L} hisoblanadi


 \frac{d}{dt} \mathbf{p} \times \mathbf{L} = \left( \frac{-k}{r^2} \mathbf{\hat{r}} \right) \times \left(m r^2 \boldsymbol{\omega}\right)
= m k \, \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{\hat{r}} = m k \,\frac{d}{dt}\mathbf{\hat{r}},
bu yerda oxirgi tenglik oʻrinli boʻladi, chunki birlik vektor faqat aylanish orqali oʻzgarishi mumkin va \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{\hat{r}} aylanuvchi vektorning orbital tezligi. Shunday qilib,  teng vaqt hosilalari boʻlgan ikki vektorning ayirmasi sifatida koʻrinadi.

Ushbu maqolaning boshqa qismida tasvirlanganidek, ushbu LRL vektor  umumiy saqlangan vektorning maxsus holatidir \mathcal{A} Bu barcha markaziy kuchlar uchun belgilanishi mumkin . Biroq, aksariyat markaziy kuchlar yopiq orbitalarni hosil qilmagani uchun (qarang: Bertran teoremasi), analog vektor \mathcal{A} kamdan-kam hollarda oddiy taʼrifga ega va odatda  va orasidagi  burchakning koʻp qiymatli funktsiyasidir.

## Manbalar

## Adabiyotlar
* Baez, John (2008). "The Kepler Problem Revisited: The Laplace–Runge–Lenz Vector" (PDF).
* Baez, John (2003). "Mysteries of the gravitational 2-body problem". Archived from the original on 2008-10-21.
* Baez, John (2018). "Mysteries of the gravitational 2-body problem". Retrieved 2021-05-31.
* D'Eliseo, M. M. (2007). "The first-order orbital equation". American Journal of Physics. 75 (4)
* Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer.
* Leach, P. G. L.; G. P. Flessas (2003). "Generalisations of the Laplace–Runge–Lenz vector". J. Nonlinear Math. Phys.