Bertrand teoremasi

Klassik mexanikada **Bertran teoremasi** bogʻlangan orbitalarga ega boʻlgan markaziy kuch potentsiallari orasida barcha bogʻlangan orbitalar ham yopiq orbitalar boʻlish xususiyatiga ega boʻlgan markaziy kuch (radial) skalyar potentsiallarning faqat ikkita turi mavjudligini aytadi.  

Birinchi bunday potentsial tortishish yoki elektrostatik potentsial kabi teskari kvadrat markaziy kuchdir :

: V(r) = -\frac{k}{r} kuch bilan f(r) = -\frac{dV}{dr} = -\frac{k}{r^2} .

Ikkinchisi radial garmonik osilator potensiali:

: V(r) = \frac{1}{2} kr^2 kuch bilan f(r) = -\frac{dV}{dr} = -kr .

Teorema uning kashfiyotchisi Jozef Bertran sharafiga nomlangan.

## Chiqarish

Barcha jozibador markaziy kuchlar tabiiy ravishda yopiq orbitalar boʻlgan dumaloq orbitalarni ishlab chiqishi mumkin. Yagona talab shundaki, markaziy kuch markazga qoʻyiladigan kuchga toʻliq mos keladi, bu maʼlum bir dumaloq radius uchun kerakli burchak tezligini aniqlaydi. Bu yerda markaziy boʻlmagan kuchlar (yaʼni, burchak oʻzgaruvchilari va radiusga bogʻliq boʻlganlar) eʼtiborga olinmaydi, chunki ular umuman aylana orbitalarini hosil qilmaydi.

*V* (*r*) markaziy potentsialda harakatlanayotgan *m* massali zarraning radiusi *r* uchun harakat tenglamasi harakat tenglamalari bilan berilgan.

: m\frac{d^2 r}{dt^2} - mr \omega^2 = m\frac{d^2 r}{dt^2} - \frac{L^2}{mr^3} = -\frac{dV}{dr},

bu yerda \omega \equiv \frac{d\theta}{dt}, va burchak momentum *L* = *mr* 2 ō saqlanadi. Misol uchun, chapdagi birinchi atama dumaloq orbitalar uchun nolga teng va ichkariga qoʻllaniladigan kuch \frac{dV}{dr} kutilganidek, markazdan qochma kuch talabi *mrω*2 ga teng.

Burchak momentining taʼrifi mustaqil oʻzgaruvchining *t* dan th ga oʻzgarishiga imkon beradi:

: \frac{d}{dt} = \frac{L}{mr^2} \frac{d}{d\theta},

vaqtga bogʻliq boʻlmagan yangi harakat tenglamasini berish:

: \frac{L}{r^2} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{mr^2} \frac{dr}{d\theta} \right) - \frac{L^2}{mr^3} = -\frac{dV}{dr}.

Oʻzgaruvchilar oʻzgarishini amalga oshirishda bu tenglama kvaziziqli boʻladi u \equiv \frac{1}{r} va ikkala tomonni koʻpaytirish \frac{mr^2}{L^2} (shuningdek Binet tenglamasiga qarang):

: \frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2} \frac{d}{du} V\left(\frac{1}{u}\right).

Yuqorida taʼkidlanganidek, barcha markaziy kuchlar tegishli boshlangʻich tezlikni hisobga olgan holda aylana orbitalarini hosil qilishi mumkin. Biroq, agar biron bir radial tezlik kiritilgan boʻlsa, bu orbitalar barqaror boʻlishi (yaʼni, cheksiz orbitada qolishi) yoki yopiq boʻlishi kerak emas (bir necha marta aynan bir xil yoʻlga qaytish). Bu yerda biz barqaror, aniq yopiq aylana boʻlmagan orbitalarning zaruriy sharti teskari kvadrat kuch yoki radial garmonik osilator potensiali ekanligini koʻrsatamiz. Keyingi boʻlimlarda biz ushbu ikki kuch qonuni barqaror, aniq yopiq orbitalarni ishlab chiqarishini koʻrsatamiz (*etarli shart*) [oʻquvchi uchun nima etarli shart ekanligi aniq emas].

*J* (*u*) ni quyidagicha belgilaymiz:

: 
  \frac{d^2 u}{d\theta^2} + u =
  J(u) \equiv -\frac{m}{L^2} \frac{d}{du} V\left(\frac{1}{u}\right) =
 -\frac{m}{L^2 u^2} f\left(\frac{1}{u}\right),


Bu yerda *f* radial kuchni ifodalaydi. *r* 0 radiusda mukammal aylanma harakatning mezoni shundaki, chapdagi birinchi had nolga teng:

u_0 = J(u_0) = -\frac{m}{L^2 u_0^2} f\left(\frac{1}{u_0}\right) (1)

bu yerda u_0 \equiv 1/r_0 .

Keyingi qadam *kichik tebranishlar* ostida *u* uchun tenglamani koʻrib chiqishdir \eta \equiv u - u_0 mukammal dumaloq orbitalardan. Oʻng tomonda *J* funktsiyasi standart Teylor seriyasida kengaytirilishi mumkin:

: J(u) \approx J(u_0) + \eta J'(u_0) + \frac{1}{2} \eta^2 J*(u_0) + \frac{1}{6} \eta^3 J*'(u_0) + \cdots

Bu kengayishni *u* uchun tenglamaga qoʻyish va doimiy hadlarni ayirish natijasida hosil boʻladi

: \frac{d^2 \eta}{d\theta^2} + \eta = \eta J'(u_0) + \frac{1}{2} \eta^2 J*(u_0) + \frac{1}{6} \eta^3 J*'(u_0) + \cdots,

deb yozish mumkin

\frac{d^2 \eta}{d\theta^2} + \beta^2 \eta  = \frac{1}{2} \eta^2 J*(u_0) + \frac{1}{6} \eta^3 J*'(u_{0}) + \cdots, (2)

bu yerda \beta^2 \equiv 1 - J'(u_0) doimiy hisoblanadi. β2 manfiy boʻlmasligi kerak; aks holda, orbita radiusi uning boshlangʻich radiusidan eksponent ravishda oʻzgaradi. (Eritma b = 0 mukammal aylana orbitaga mos keladi.) Agar oʻng tomonni eʼtiborsiz qoldirish mumkin boʻlsa (yaʼni, kichik buzilishlar uchun), yechimlar

: \eta(\theta) = h_1 \cos(\beta\theta),

bu yerda *h* 1 amplitudasi integrallash doimiysi. Orbitalar yopiq boʻlishi uchun b ratsional son boʻlishi kerak. Bundan tashqari, u barcha radiuslar uchun *bir xil* ratsional son boʻlishi kerak, chunki b doimiy ravishda oʻzgara olmaydi; ratsional sonlar bir-biridan butunlay uzilgan . *J* ning taʼrifidan (1) tenglama bilan birgalikda foydalanish,

: 
 J'(u_0) =
 \frac{2}{u_0} \left[\frac{m}{L^2 u_0^2} f\left(\frac{1}{u_0}\right)\right] - \left[\frac{m}{L^2 u_0^2} f\left(\frac{1}{u_0}\right)\right]\frac{1}{f\left(\frac{1}{u_0}\right)} \frac{d}{du_0}f\left(\frac1{u_0}\right) =
 -2 + \frac{u_0}{f\left(\frac{1}{u_0}\right)} \frac{d}{du_0}f\left(\frac1{u_0}\right) =
 1 - \beta^2.


Bu *u*0 ning istalgan qiymati uchun amal qilishi kerakligi sababli,

: \frac{df}{dr} = (\beta^2 - 3) \frac{f}{r},

bu kuch kuch qonuniga amal qilishi kerakligini anglatadi

: f(r) = -\frac{k}{r^{3-\beta^2}}.

Demak, *J* umumiy shaklga ega boʻlishi kerak

J(u) = \frac{mk}{L^2} u^{1-\beta^2}. (3)

: \eta(\theta) = h_0 + h_1 \cos \beta \theta + h_2 \cos 2\beta \theta + h_3 \cos 3\beta \theta + \cdots

Biz buni (2) tenglamaga almashtiramiz va bir xil chastotaga tegishli koeffitsientlarni tenglashtiramiz, faqat eng past tartibli shartlarni saqlaymiz. Quyida koʻrsatganimizdek, *h* 0 va *h* 2 *h* 1 dan kichikroq, tartibli h_1^2 . *h*3 va boshqa barcha koeffitsientlar hech boʻlmaganda tartibda h_1^3 . Bu mantiqiy, chunki h_0, h_2, h_3, \ldots aylana orbitaga yaqinlashganda hammasi *h*1 dan tezroq yoʻqolishi kerak.

: h_0 = h_1^2 \frac{J*(u_0)}{4\beta^2},</math>
: <math>h_2 = -h_1^2 \frac{J*(u_0)}{12\beta^2},
: h_3 = -\frac{1}{8\beta^2} \left[ h_1 h_2 \frac{J*(u_0)}{2} + h_1^3 \frac{J*'(u_0)}{24} \right].

cos(bth) atamasidan biz quyidagini olamiz:

: 
 0 =
 (2 h_1 h_0 + h_1 h_2) \frac{J*(u_0)}{2} + h_1^3 \frac{J*'(u_0)}{8} =
 \frac{h_1^3}{24 \beta^2} \left(3 \beta^2 J**(u_0) + 5 J''(u_0)^2\right),
</math>

bu yerda oxirgi bosqichda biz ''h'' <sub>0</sub> va ''h'' <sub>2</sub> qiymatlarini almashtirdik.

(3) va (1) tenglamalardan foydalanib, ''u'' <sub>0</sub> da baholangan ''J'' ning ikkinchi va uchinchi hosilalarini hisoblashimiz mumkin:

: <math>J''(u_0) = \frac{\beta^2 (1 - \beta^2)}{u_0},</math>
: <math>J**(u_0) = -\frac{\beta^2 (1 - \beta^2) (1 + \beta^2)}{u_0^2}.

Ushbu qiymatlarni oxirgi tenglamaga almashtirish **Bertrand teoremasining** asosiy natijasini beradi:

: \beta^2 (1 - \beta^2) (4 - \beta^2) = 0.

Demak, barqaror yopiq aylana boʻlmagan orbitalarni hosil qilishi mumkin boʻlgan yagona potentsial teskari kvadrat kuch qonuni (b = 1) va radial garmonik-osilator potensiali (b = 2) hisoblanadi. b = 0 yechimi yuqorida aytib oʻtilganidek, mukammal aylana orbitalariga mos keladi.

## Klassik maydon potentsiallari
Gravitatsion yoki elektrostatik potensial kabi teskari kvadrat kuch qonuni uchun potensial yozilishi mumkin.

: V(\mathbf{r}) = \frac{-k}{r} = -ku.

Umumiy tenglamadan *u*(th) orbitasini olish mumkin

: \frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{L^2} \frac{d}{du} V\left(\frac{1}{u}\right) = \frac{km}{L^2},

uning yechimi doimiy hisoblanadi: \frac{km}{L^2}. Bundan tashqari oddiy sinusoid:

: u \equiv \frac{1}{r} = \frac{km}{L^2} [1 + e \cos(\theta - \theta_0)],

Bu yerda *e* (*eksentriklik*) va th0 (*faza siljishi*) integratsiya doimiylari.

Bu boshlangʻichda bitta fokusga ega boʻlgan konus kesimining umumiy formulasi; *e* = 0 aylanaga, 0  1 giperbolaga mos keladi. Eksentriklik *e* umumiy energiya *E* bilan bogʻliq (qarang : Laplas-Runge-Lenz vektori):

: e = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{k^2 m}}.

Ushbu formulalarni taqqoslash shuni koʻrsatadiki, *E*  0 giperbolaga mos keladi. Ayniqsa, E = -\frac{k^2 m}{2L^2} mukammal dumaloq orbitalar uchun.

## Garmonik osilator
**Radial garmonik osillator** potensiali ostidagi orbitani yechish uchun **r** = (*x*, *y*, *z*) komponentlarida ishlash osonroq. Potensialni shunday yozish mumkin:

: V(\mathbf{r}) = \frac{1}{2} kr^2 = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + z^2).

*m* massali zarraning harakat tenglamasi uchta mustaqil Eyler tenglamalari bilan berilgan:

: \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0,
: \frac{d^2 y}{dt^2} + \omega_0^2 y = 0,
: \frac{d^2 z}{dt^2} + \omega_0^2 z = 0,

bu yerda doimiy \omega_0^2 \equiv \frac{k}{m} chegaralangan, yopiq orbitalarni taʼminlash uchun ijobiy boʻlishi kerak (yaʼni, *k* > 0); aks holda, zarracha cheksizlikka uchib ketadi. Ushbu oddiy garmonik osilator tenglamalarining yechimlari oʻxshash:

: x = A_x \cos(\omega_0 t + \phi_x),
: y = A_y \cos(\omega_0 t + \phi_y),
: z = A_z \cos(\omega_0 t + \phi_z),

Bu yerda musbat konstantalar *A <sub>x</sub>*, *A <sub>y</sub>* va *A <sub>z</sub>* tebranishlarning *amplitudalarini*, ph *x*, ph *y* va ph *z* burchaklari esa ularning *fazalarini* ifodalaydi. Olingan orbita **r** (*t*) = [ *x* (*t*), *y* (*y*), *z* (*t*)] yopiq, chunki u bir davrdan keyin aynan takrorlanadi.

: T \equiv \frac{2\pi}{\omega_0}.

Tizim ham barqaror, chunki amplitudalar va fazalardagi kichik buzilishlar umumiy orbitada mos ravishda kichik oʻzgarishlarga olib keladi.

## Manbalar
* Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison-Wesley.
* Santos, F. C.; Soares, V.; Tort, A. C. (2011). „An English translation of Bertrand’s theorem“. Latin American Journal of Physics Education
* Leenheer, Patrick De; Musgrove, John; Schimleck, Tyler (2023). „A Comprehensive Proof of Bertrand’s Theorem“