Haqiqiy va kompleks sonlar massivini hisoblash

matematikada **matritsa** (: **matritsalar**) to'rtburchaklar massiv yoki sonlar jadvalidir. , belgilar yoki ifodalar, elementlar yoki yozuvlar qatorida tartiblangan qatorlar va ustunlar, ular matematik obyekt yoki bunday obyektning xususiyatini ifodalash uchun ishlatiladi.

Masalan,
\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}
ikki qator va uchta ustunli matritsadir. Bu ko'pincha "ikki-uch matritsa", "2\times 3 matritsasi" yoki 2\times 3 o'lchovli matritsa deb ataladi.

Matritsalar odatda chiziqli algebra bilan bog'liq. E'tiborga molik istisnolar grafik nazariyasida insidlanish matritsalari va qo'shnilik matritsalarini o'z ichiga oladi. Ushbu maqola chiziqli algebra bilan bog'liq matritsalarga qaratilgan va agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, barcha matritsalar chiziqli xaritalarni ifodalaydi yoki shunday ko'rinishi mumkin.

*[[Kvadrat matritsalar]]*, qator va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsalar matritsalar nazariyasida katta rol o'ynaydi. Berilgan o'lchamdagi kvadrat matritsalar kommutativ bo'lmagan halqa ni tashkil qiladi, bu esa o'zgarmas halqaning eng keng tarqalgan misollaridan biridir. Kvadrat matritsaning determinanti matritsa bilan bog'langan son bo'lib, u kvadrat matritsani o'rganish uchun asosiy hisoblanadi; masalan, kvadrat matritsa invertible bo‘ladi, agar u nolga teng bo‘lmagan aniqlovchiga ega bo‘lsa va kvadrat matritsaning o‘z qiymatilari ko‘pnomli determinantning ildizlari bo‘lsa.

geometriyada matritsalar geometrik oʻzgartirishlarni (masalan, aylanishlar) va koordinata oʻzgarishilarni belgilash va ifodalash uchun keng qoʻllaniladi. sonli tahlilda koʻpgina hisoblash masalalari ularni matritsali hisoblashga qisqartirish yoʻli bilan hal qilinadi va bu koʻpincha katta oʻlchamdagi matritsalar bilan hisoblashni oʻz ichiga oladi. Matritsalar to'g'ridan-to'g'ri yoki geometriya va raqamli tahlilda foydalanish orqali matematika va ilmiy sohalarning aksariyat sohalarida qo'llaniladi.

** Matritsalar nazariyasi ** - matematikaning bo'limi matritsalarni o'rganishga qaratilgan. U dastlab chiziqli algebraning kichik tarmogʻi boʻlgan, lekin tez orada grafik nazariya, algebra, kombinatorika va statistika bilan bogʻliq fanlarni oʻz ichiga olgan.

## Ta'rifi
*matritsa* sonlardan (yoki boshqa matematik obyektlardan) iborat to'rtburchaklar massiv bo'lib, matritsaning * yozuvlari* deb ataladi. Matritsalar standart operatsiyalarga bo'ysunadi, masalan, qo'shish va ko'paytirish. Odatda, maydon *F* - *F* ning elementlari to'rtburchaklar massivi. **haqiqiy matritsa** va **kompleks matritsa** yozuvlari mos ravishda haqiqiy son yoki kompleks son bo'lgan matritsalardir. Yozuvlarning umumiy turlari quyida muhokama qilinadi. Masalan, bu haqiqiy matritsa:
:\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
-1,3 va 0,6 \\
20,4 va 5,5 \\
9,7 va -6,2
\end{bmatrix}.

Matritsadagi raqamlar, belgilar yoki iboralar uning “yozuvlari” yoki “elementlari” deb ataladi. Matritsadagi yozuvlarning gorizontal va vertikal chiziqlari mos ravishda “satrlar” va “ustunlar” deb ataladi.

### Hajmi
Matritsaning o'lchami uning tarkibidagi qatorlar va ustunlar soni bilan belgilanadi. Matritsa (odatiy ma'noda) musbat butun sonlar bo'lsa, bo'lishi mumkin bo'lgan satrlar va ustunlar soniga hech qanday cheklov yo'q . {m} qatorlari va {n} ustunlari boʻlgan matritsa {m \times n} matritsasi yoki {m deb ataladi. }-by-{n} matritsasi, bu yerda {m} va {n} uning deyiladi. * o'lchamlar*. Masalan, yuqoridagi {\mathbf{A}} matritsasi {3\times2} matritsasidir.

Bitta qatorli matritsalar *[[satr vektori]]s*, bitta ustunlilari esa *[[ustun vektorlari]]* deyiladi. Satrlar va ustunlar soni bir xil bo'lgan matritsa *[[kvadrat matritsa]]* deyiladi. Cheksiz qatorlar yoki ustunlar (yoki ikkalasi) bo'lgan matritsa '' cheksiz deb ataladi. matritsa ''. Ba'zi kontekstlarda, masalan, kompyuter algebrasi dasturlari, '' empty matritsa'' deb ataladigan qatorlar yoki ustunlarsiz matritsani ko'rib chiqish foydali bo'ladi.

## Izoh
Ramziy matritsa belgilarining o'ziga xos xususiyatlari ba'zi bir ustunlik tendentsiyalari bilan juda xilma-xildir. Matritsalar odatda kvadrat qavslar yoki qavslar ichida yoziladi, shuning uchun m \times n matritsasi \mathbf{A} quyidagicha ifodalanadi.
\mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}.

Buni faqat bitta umumiy atamani, ehtimol indekslar bilan birga yozish orqali qisqartirish mumkin.

\mathbf{A} = \left(a_{ij}\o'ng), \quad \left[ a_{ij}\right], \quad \text{yoki} \quad \left(a_{ij}\right)_ {1\leq i\leq m, \; 1\leq j\leq n}

yoki n=m bo‘lgan holatda \mathbf{A}=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}.

Matritsalar odatda katta harflar yordamida (masalan, yuqoridagi misollarda {\mathbf{A}}), mos keladigan kichik-kichik harflar ikkitadan iborat. pastki indeks indekslari (masalan, {a_{11}} yoki {a_{1,1}}), yozuvlarni ifodalaydi. Matritsalarni ramziy qilish uchun katta harflardan foydalanish bilan bir qatorda, koʻpgina mualliflar matritsalarni boshqa matematik obʼyektlardan ajratib koʻrsatish uchun maxsus tipografik uslub, odatda qalin rim (kursiv boʻlmagan) dan foydalanadilar. Muqobil yozuv, \underline{\underline{A}} da boʻlgani kabi, oʻzgaruvchi nomi bilan, qalin harflar bilan yoki boʻlmasdan, qoʻsh chiziqdan foydalanishni oʻz ichiga oladi.

 matritsaning -chi qator va -chi ustunidagi yozuv ba'zan matritsaning {i,j} yoki {(i,j)} yozuvi deb ataladi va odatda quyidagicha belgilanadi. {a_{i,j}} yoki {a_{ij}}. Ushbu yozuv uchun muqobil belgilar {\mathbf{A}[i,j]} va {\mathbf{A}_{i,j}} hisoblanadi. Masalan, quyidagi \mathbf{A} matritsasining (1,3) yozuvi  (shuningdek, {a_{ deb ham belgilanadi) 1 3}}, {a_{1,3}}, \mathbf{A}[1,3] yoki _{1,3}}):
:\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
4 & -7 & \ rang {qizil {5} & 0 \\
-2, 0, 11, 8 \\
19 va 1 va -3 va 12
\end{bmatrix}

Ba'zan matritsaning yozuvlari a_{i,j}=f(i,j) kabi formulalar bilan aniqlanishi mumkin. Masalan, quyidagi \mathbf{A} matritsasining har bir yozuvi a_{ij}=ij formulasi bilan aniqlanadi.
:\mathbf A = \begin{bmatrix}
0 & -1 & -2 & -3\\
1 & 0 & -1 & -2\\
2 & 1 & 0 & -1
\end{bmatrix}
Bunday holda, matritsaning o'zi ba'zan kvadrat qavslar yoki qo'sh qavslar ichida ushbu formula bilan aniqlanadi. Masalan, yuqoridagi matritsa {\mathbf{A}}=[ij] yoki {\mathbf{A}}=((ij)) sifatida aniqlanadi. Agar matritsa hajmi m\times n boʻlsa, yuqorida qayd etilgan f(i,j) formulasi har qanday i=1,\dots,m va har qanday j=1,\dots,n. Bu alohida belgilanishi yoki pastki belgisi sifatida m\times n yordamida koʻrsatilishi mumkin. Masalan, yuqoridagi \mathbf{A} matritsasi 3\times4 ga teng va uni {\mathbf{A}}=[ij] ( i=1,2,3; j=1,\dots,4) yoki {\mathbf{A}}=[ij]_{3\times4}.

Ba'zi dasturlash tillari -by- matritsasini ifodalash uchun ikki barobar obunali massivlardan (yoki massivlar massivlaridan) foydalanadi. Ba'zi dasturlash tillari massiv indekslarini raqamlashni noldan boshlaydi, bu holda -by- matritsaning yozuvlari 0\leq i \leq m-1 va 0\leq j \leq n-1. Ushbu maqolada sanab o'tish  dan boshlanadigan matematik yozishda keng tarqalgan qoidaga amal qilinadi.

Barcha -by- haqiqiy matritsalarning to'plami ko'pincha \mathcal{M bilan belgilanadi. }(m, n), yoki \mathcal{M}_{m \times n}(\R). Hammasi toʻplami -by- matritsalar boshqa maydon yoki halqasi ustidan , xuddi shunday belgilanadi: \mathcal{M}(m, n, R), yoki \mathcal{M}_{m \times n}(R). Agar  bo'lsa, masalan [ [kvadrat matritsalar]] oʻlchami takrorlanmaydi: \mathcal{M}(n, R), yoki  Ko'pincha o'z o'rnida M yoki \operatorname{Mat} ishlatiladi. \mathcal M.

## Asosiy operatsiyalar
Matritsalarga bir nechta asosiy amallarni qo'llash mumkin. Ba'zilari, masalan, *transpozitsiya* va *submatritsa* yozuvlarning tabiatiga bog'liq emas. Boshqalar, masalan, *matritsalarni qo'shish*, *skalyar ko'paytirish*, *matritsalarni ko'paytirish* va *satr operatsiyalari* matritsa yozuvlari bo'yicha operatsiyalarni o'z ichiga oladi va shuning uchun matritsa yozuvlari raqamlar bo'lishini yoki [ga tegishli bo'lishini talab qiladi. [maydon (matematika)|maydon]] yoki ring.

Ushbu bo'limda matritsa yozuvlari odatda raqamlar maydoni bo'lgan sobit halqaga tegishli deb taxmin qilinadi.

### Qo'shish, skalyar ko'paytirish, ayirish va transpozitsiya

;Qo'shimcha
Ikkita  matritsaning *yig'indisi*   va  kiritma bo'yicha hisoblanadi:

(\bold A + \bold B)_{i, j} = \bold A_{i,j} + \bold B_{i,j}, \quad 1 \leq i \leq m, \quad 1 \leq j \leq n.
Masalan,
:
\begin{bmatrix}
1, 3 va 1 \\
1 va 0 va 0
\end{bmatritsa}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 5 \\
7, 5 va 0
\end{bmatritsa}
=
\begin{bmatrix}
1+0 va 3+0 va 1+5 \\
1+7 va 0+5 va 0+0
\end{bmatritsa}
=
\begin{bmatrix}
1, 3 va 6 \\
8, 5 va 0
\end{bmatritsa}

;Skalyar ko'paytirish
 sonining  ko'paytmasi (shuningdek, bu kontekstda skalar deb ham ataladi) va  matritsasi  ning har bir yozuvini  ga ko'paytirish yo'li bilan hisoblanadi:
(c\bold A)_{i,j} = c \cdot \bold A_{i,j}
Bu amal *skalyar ko'paytirish* deb ataladi, lekin uning natijasi chalkashmaslik uchun "skalar ko'paytma" deb nomlanmagan, chunki "skalar ko'paytma" ko'pincha "ichki mahsulot" ning sinonimi sifatida ishlatiladi. Masalan:
:2\cdot \begin{bmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 va -2 va 5
\end{bmatritsa}
=
\begin{bmatrix}
2 \cdot 1 va 2\cdot 8 va 2\cdot -3 \\
2\cdot 4 va 2\cdot -2 va 2\cdot 5
\end{bmatritsa}
=
\begin{bmatrix}
2 & 16 & -6 \\
8 va -4 va 10
\end{bmatritsa}

;ayirish
Ikkita  matritsalarni ayirish matritsani skaler ko'paytirish bilan  ga qo'shish orqali aniqlanadi:
:\mathbf A - \mathbf B = \mathbf A +(-1)\cdot \mathbf B
;Transpozitsiya
 matritsaning *ko'chirilishi*   matritsa  (shuningdek belgilanadi)  yoki ) satrlarni ustunlar va o'rinbosarlarga aylantirish orqali hosil qilingan aksincha:
\left( \bold A^{\rm T} \right)_{i,j} = \bold A_{j,i}.
Masalan:
:
\begin{bmatrix}
1, 2 va 3 \\
0 & -6 va 7
\end{bmatrix}^\mathrm{T} =
\begin{bmatrix}
1 va 0 \\
2 va -6 \\
3 va 7
\end{bmatritsa}


Sonlarning tanish xossalari matritsalar ustidagi bu amallarga taalluqli: masalan, qo‘shish kommutativ, ya’ni matritsa yig‘indisi yig‘indilarning tartibiga bog‘liq emas: .
Transpoze qoʻshish va skaler koʻpaytirish bilan mos keladi, bu bilan ifodalangan  va . Nihoyat, .

### Matritsani ko'paytirish

Ikki matritsaning *ko'paytirilishi*, agar chap matritsaning ustunlari soni o'ng matritsaning satrlari soni bilan bir xil bo'lsagina aniqlanadi. Agar   matritsa va  bo'lsa  matritsa, keyin ularning *matritsa mahsuloti*   matritsa, uning yozuvlari tegishli  qatorining nuqta ko'paytmasi va mos keladigan  ustuni:
:[\mathbf{AB}]_{i,j} = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j } + \cdots + a_{i,n}b_{n,j} = \sum_{r=1}^n a_{i,r}b_{r,j},

bu yerda  va . Masalan, mahsulotdagi tagiga chizilgan 2340 yozuvi  sifatida hisoblanadi.
:
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\pastiga chizing{2} & \pastiga 3-chizing va \tastiga chizing 4\\
1 & 0 & 0 \\
\end{bmatritsa}

\begin{bmatrix}
0 va \ ostiga{1000} \\
1 va \pastini chizish{100} \\
0 va \ostiga chizilgan{10} \\
\end{bmatritsa}
&=
\begin{bmatrix}
3 va \tagini chizish{2340} \\
0 va 1000 \\
\end{bmatritsa}.
\end{tekislash}


Matritsani koʻpaytirish qoidalariga javob beradi  (assotsiativlik) va , shuningdek  (chap va o'ng taqsimlanish), matritsalarning o'lchami har xil mahsulotlar aniqlanganda.  mahsuloti  aniqlanadi, agar  va  bo'lsa  va  matritsalar va  Ikkala mahsulot ham aniqlangan bo'lsa ham, ular odatda teng bo'lishi shart emas, ya'ni:
 \bold{AB} \ne \bold{BA}.

Boshqacha qilib aytganda, koʻpaytmasi tartibdan mustaqil boʻlgan (ratsional, haqiqiy yoki murakkab) raqamlardan farqli oʻlaroq, matritsani koʻpaytirish kommutativ emas, omillarning. Ikki matritsaning bir-biri bilan almashmasligiga misol:
:\begin{bmatrix}
1 va 2\\
3 va 4\\
\end{bmatritsa}

\begin{bmatrix}
0 va 1\\
0 va 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 va 1\\
0 va 3\\
\end{bmatrix},

holbuki
:\begin{bmatrix}
0 va 1\\
0 va 0\\
\end{bmatritsa}

\begin{bmatrix}
1 va 2\\
3 va 4\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
3 va 4\\
0 va 0\\
\end{bmatritsa}.


Yuqorida tavsiflangan oddiy matritsalarni ko'paytirishdan tashqari, ko'paytirish shakllari deb hisoblanishi mumkin bo'lgan matritsalar ustida kamroq qo'llaniladigan amallar ham mavjud, masalan, Hadamard mahsuloti va Kroneker mahsuloti. Ular Silvester tenglamasi kabi matritsali tenglamalarni yechishda yuzaga keladi.

### Qator operatsiyalari

Satr operatsiyalarining uch turi mavjud:
# qator qo'shish, ya'ni qatorni boshqasiga qo'shish.
# qatorni ko'paytirish, ya'ni qatorning barcha yozuvlarini nolga teng bo'lmagan doimiyga ko'paytirish;
# qatorni almashtirish, ya'ni matritsaning ikki qatorini almashtirish;
Bu amallar chiziqli tenglamalarni yechish va matritsaga teskarilarni topish kabi bir qancha usullarda qoʻllaniladi.

### Submatritsa
Matritsaning **submatritsasi** har qanday qatorlar va/yoki ustunlar to'plamini o'chirish orqali olingan matritsadir. Masalan, quyidagi 3 ga 4 matritsadan 3 va 3 qatorni olib tashlash orqali 2 ga 3 kichik matritsa qurishimiz mumkin. 2-ustun:
:\mathbf{A}=\begin{bmatrix}
1 & \rang{qizil}{2} & 3 & 4 \\
5 & \color{red}{6} & 7 & 8 \\
\color{red}{9} & \color{red}{10} & \color{red}{11} & \color{12}
\end{bmatritsa} \o'ngga strelka \begin{bmatritsa}
1, 3 va 4 \\
5, 7 va 8
\end{bmatritsa}.


Matritsaning kichik va kofaktorlari ma'lum submatritsalarning determinant larini hisoblash yo'li bilan topiladi.

**Asosiy submatritsa** - bu ma'lum qatorlar va ustunlarni olib tashlash orqali olingan kvadrat submatritsa. Ta'rif muallifdan muallifga farq qiladi. Ba'zi mualliflarning fikriga ko'ra, asosiy submatritsa - bu qolgan qator indekslari to'plami qolgan ustun indekslari to'plami bilan bir xil bo'lgan pastki matritsadir. Boshqa mualliflar asosiy submatritsani birinchi  qator va ustunlardan iborat boʻlgan maʼlum bir son sifatida aniqlang. , qolganlar; bu tur submatritsaning "*" yetakchisi deb ham atalgan submatritsa*'.

## Chiziqli tenglamalar

Matritsalar ixcham yozish va bir nechta chiziqli tenglamalar, ya'ni chiziqli tenglamalar tizimlari bilan ishlash uchun ishlatilishi mumkin. Masalan, agar   matritsa bo'lsa, .

spektral teorema boʻyicha haqiqiy simmetrik matritsalar va murakkab Germit matritsalari oʻziga xos asosga ega; ya'ni har bir vektor xos vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi. Ikkala holatda ham barcha xos qiymatlar haqiqiydir. Bu teoremani umumlashtirish mumkin. cheksiz ko'p satr va ustunli matritsalar bilan bog'liq cheksiz o'lchovli vaziyatlarga qarang pastda.

#### Invertible matritsa va uning teskarisi
 kvadrat matritsa *[[invertible matritsa|invertible]]* yoki matritsa mavjud bo'lsa, *nosingular* deyiladi  shundayki
\bold{AB} = \bold{BA} = \bold I_n,
bu yerda   identifikatsiya matritsasi asosiy diagonalda 1lar va boshqa joylarda 0lar bilan. Agar  mavjud bo'lsa, u yagona bo'lib, *[[Invertible matritsa|teskari matritsa]]*  deb ataladi. , belgilangan .

#### Aniq matritsa

Simmetrik haqiqiy matritsa , agar bog'langan kvadrat shakl bo'lsa, ''musbat-aniq'' deyiladi.
f(\bold x) = \bold x^{\rm T} \bold{Ax}
har bir nolga teng boʻlmagan vektor uchun musbat qiymatga ega   Agar  faqat manfiy qiymatlarni beradi, keyin  ''salbiy-aniqli''; agar  ham manfiy, ham ijobiy qiymatlarni hosil qilsa,  '' noaniq'' bo'ladi. Agar kvadratik shakl  faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni (musbat yoki nol) beradi, simmetrik matritsa *musbat-yarim aniq* (yoki faqat ijobiy bo'lmagan qiymatlar bo'lsa, u holda manfiy-yarim aniq) deb ataladi; demak, matritsa na musbat-yarim-aniqli, na manfiy-yarim-aniq bo'lmaganda aniq noaniq bo'ladi.

Simmetrik matritsa musbat-aniqli, agar uning barcha xos qiymatlari musbat bo‘lsa, ya’ni matritsa musbat-yarim aniq va teskari bo‘lsa. O'ngdagi jadval ko'rsatilgan 2 ga 2 matritsalar uchun ikkita imkoniyat.

Ikki xil vektorga kirishga ruxsat berilsa,  bilan bog'langan bilinear shakl hosil bo'ladi:
B_{\bold A} (\bold x, \bold y) = \bold x^{\rm T} \bold{Ay}.

Murakkab matritsalar bo'lsa, xuddi shunday atama va natija *simmetrik matritsa*, *kvadrat shakl*, *bilinear shakl* va *transpoze*  mos ravishda Germitian matritsasi, Germitian shakli, sesquilinear bilan almashtirildi. shakl va konjugat transpose .

#### Ortogonal matritsa

*Ortogonal matritsa* ustunlari va satrlari ortogonal birlik vektors (ya'ni, ortonormal vektorlar bo'lgan haqiqiy yozuvli kvadrat matritsadir. ). Ekvivalent tarzda,  matritsa ortogonal bo'ladi, agar uning ko'chirish teskari ga teng bo'lsa:
:\mathbf{A}^\mathrm{T}=\mathbf{A}^{-1}, \,
o'z ichiga oladi
:\mathbf{A}^\mathrm{T} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^\mathrm{T} = \mathbf{I}_n,
bu yerda   o'lchamdagi identifikatsiya matritsasi.

Ortogonal matritsa  shartli ravishda invertible (teskari {{math|1=**A**), unitar () va normal (). Har qanday ortogonal matritsaning determinanti  yoki  boʻladi. *maxsus ortogonal matritsa* determinant +1 bo'lgan ortogonal matritsadir. chiziqli transformatsiya sifatida,  determinantli har bir ortogonal matritsa aks ettirilmasdan sof aylanish hisoblanadi, yaʼni transformatsiya oʻzgartirilgan strukturaning yoʻnalishini saqlaydi,  determinantli har bir ortogonal matritsa orientatsiyani o'zgartiradi, ya'ni sof matritsaning kompozitsiyasidir. fikrlash va (ehtimol null) aylanish. Identifikatsiya matritsalari  determinantga ega va ular nol burchak bilan sof aylanishlardir.

Ortogonal matritsaning kompleks analogi unitar matritsadir.

### Asosiy operatsiyalar

#### Iz
Kvadrat matritsaning  iz,  uning yig'indisidir. diagonal yozuvlar. Matritsalarni ko'paytirish yuqorida aytib o'tilganidek kommutativ bo'lmasa-da, ikkita matritsa ko'paytmasining izi omillar tartibiga bog'liq emas:
: \operatorname{tr}(\mathbf{AB}) =\operatorname{tr}(\mathbf{BA}).
Bu matritsalarni ko'paytirishning ta'rifidan darhol:
:\operatorname{tr}(\mathbf{AB}) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} b_{ji} = \operatorname{tr}( \mathbf{BA}).
Bundan kelib chiqadiki, ikkitadan ortiq matritsalar koʻpaytmasining izi matritsalarning siklik almashtirish lariga bogʻliq emas, lekin bu umuman ixtiyoriy almashtirishlarga taalluqli emas (masalan , , umuman). Shuningdek, matritsaning izi uning transpozitsiyasiga teng, ya'ni
\operatorname{tr}(\bold A) = \operatorname{tr}(\bold A^{\rm T}).

#### Aniqlovchi

Kvadrat matritsaning *determinanti*  (belgilangan  yoki ) - matritsaning ma'lum xususiyatlarini kodlovchi raqam. Matritsa teskari bo'ladi faqat va agar uning determinanti nolga teng bo'lmasa. Uning mutlaq qiymati birlik kvadrat (yoki kub) tasvirining maydoniga () yoki hajmiga ( da) tengdir, uning belgisi esa mos chiziqli xaritaning yo'nalishiga mos keladi: determinant faqat va faqat yo'nalish saqlanib qolganda ijobiy bo'ladi.

2 ga 2 matritsalarning determinanti bilan berilgan
:\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.
3 ga 3 matritsalarning determinanti 6 ta haddan iborat (Sarrus qoidasi). Uzunroq Leybnits formulasi bu ikki formulani barcha o'lchamlarga umumlashtiradi.

Kvadrat matritsalar mahsulotining determinanti ularning determinantlarining mahsulotiga teng:
 \det(\bold{AB}) = \det(\bold A) \cdot \det(\bold B),
yoki muqobil yozuvdan foydalanish:
|\bold{AB}| = |\bold A| \cdot |\bold B|.
Boshqa qatorga istalgan satrning karrali yoki boshqa ustunga har qanday ustunning karrali qo‘shilishi determinantni o‘zgartirmaydi. Ikki qator yoki ikkita ustunni almashtirish determinantni −1 ga ko'paytirish orqali ta'sir qiladi. Bulardan foydalanish operatsiyalarda har qanday matritsa pastki (yoki yuqori) uchburchak matritsaga aylantirilishi mumkin va bunday matritsalar uchun determinant asosiy diagonaldagi yozuvlar mahsulotiga teng; bu har qanday matritsaning determinantini hisoblash usulini beradi. Nihoyat, Laplas kengayishi determinantni kichiklar, yaʼni kichikroq matritsalarning determinantlari bilan ifodalaydi. Ushbu kengaytma rekursiv ta'rif uchun ishlatilishi mumkin determinantlar (boshlang'ich holat sifatida 1 ga 1 matritsaning determinanti, ya'ni uning yagona kirishi yoki hatto 0 ga 0 matritsaning determinanti, ya'ni 1) ekvivalent deb ko'rish mumkin Leybnits formulasi. Determinantlardan chiziqli tizimlarni Kramer qoidasi yordamida yechish uchun foydalanish mumkin, bunda ikkita bogʻliq kvadrat matritsalar determinantlarining boʻlinishi tizimning har bir oʻzgaruvchisi qiymatiga teng boʻladi.

#### Xususiy qiymatlar va xos vektorlar

\lambda va nolga teng bo'lmagan vektor  qanoatlantiruvchi
:\mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
mos ravishda  ning *o'ziga xos qiymat* va *o'zvektori* deb ataladi.  soni -matritsa  agar va faqat agar  teskari emas, bu ekvivalent
:\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}) = 0.
ni baholash orqali berilgan noaniq  polinomi. determinant   ning xarakteristik polinomi deb ataladi. U daraja  monik polinom. Shuning uchun  polinom tenglamasi ko'pi bilan  xil yechimga ega, ya'ni , matritsaning xos qiymatlari. Ular  yozuvlari haqiqiy bo'lsa ham murakkab bo'lishi mumkin. Keyli–Gamilton teoremasiga koʻra, , ya'ni matritsaning o'zini o'ziga xos ko'phadga qo'yish natijasida nol matritsa hosil bo'ladi.

## Hisoblash aspektlari
Matritsalarni hisoblash ko'pincha turli xil texnikalar bilan amalga oshirilishi mumkin. Ko'pgina muammolarni to'g'ridan-to'g'ri algoritmlar va iterativ yondashuvlar bilan hal qilish mumkin. Masalan, kvadrat matritsaning xos vektorlarini vektorlarning ketma-ketligi {{matematik|**x**} topib olish mumkin. } konversiya xos vektorga  moyil boʻlganda infinity.

Har bir aniq muammo uchun eng mos algoritmni tanlash uchun barcha mavjud algoritmlarning samaradorligi va aniqligini aniqlash muhimdir. Ushbu masalalarni o'rganadigan domen sonli chiziqli algebra deb ataladi. Boshqa raqamli vaziyatlarda bo'lgani kabi , ikkita asosiy jihat algoritmlarning murakkabligi va ularning [raqamliligi] barqarorlik](https://uz.wikipedia.org/wiki/raqamliligi%5D_barqarorlik).

Algoritmning murakkabligini aniqlash yuqori chegaralarni topish yoki ba'zi bir algoritmni bajarish uchun skalerlarni qo'shish va ko'paytirish kabi qancha elementar amallar zarurligini taxmin qilishni anglatadi, masalan, matritsalarni ko'paytirish . Yuqorida berilgan ta'rifdan foydalanib, ikkita - matritsaning matritsa mahsulotini hisoblash uchun  ko'paytirish kerak, chunki mahsulotning har qanday  yozuvlari uchun  ko'paytirish kerak. Strassen algoritmi bu "sodda" algoritmdan ustundir; unga faqat  ko'paytirish kerak. Takomillashtirilgan yondashuv hisoblash qurilmalarining o'ziga xos xususiyatlarini ham o'z ichiga oladi.

Ko'pgina amaliy vaziyatlarda matritsalar haqida qo'shimcha ma'lumotlar ma'lum. Muhim holat bu siyrak matritsalar, yaʼni koʻpchilik yozuvlari nolga teng boʻlgan matritsalardir. Aytaylik, chiziqli tizimlarni echish uchun maxsus moslashtirilgan algoritmlar mavjud  siyrak matritsalar uchun  va komponentning chiqish kuchlanishi bilan  2 o‘lchovli vektor bo‘lsin.  va uning elementlari sifatida joriy  chiqaring. Keyin elektron komponentning harakatini  bilan tavsiflash mumkin, bu yerda  2 x 2 bir empedans element (), bitta ruxsat elementni o'z ichiga olgan matritsa () va ikkita o'lchovsiz element ({{math|*h*} } va ). Sxemani hisoblash endi matritsalarni ko'paytirishga kamayadi.

## Tarix
Matritsalar chiziqli tenglamalarni yechishda uzoq vaqtdan beri qoʻllanish tarixiga ega, ammo ular 1800-yillargacha massivlar sifatida tanilgan. Miloddan avvalgi 10–2-asrlarda yozilgan Xitoycha matn *[[Matematika sanʼati boʻyicha toʻqqiz bob]]* bir vaqtda tenglamalar, determinantlar tushunchasini oʻz ichiga oladi. 1545 yilda italyan matematigi Gerolamo Kardano *Ars Magna* asarini nashr qilganda Yevropaga bu usulni joriy qilgan. Yapon matematigi Seki 1683-yilda bir vaqtda tenglamalarni yechish uchun bir xil massiv usullaridan foydalangan. Gollandiyalik matematik * *Yan de Vitt o'zining 1659-yilda chop etilgan *Elements of Curves* kitobida massivlar yordamida transformatsiyalarni ifodalagan. ' (1659). 1700-1710 yillarda Gotfrid Vilgelm Leybnits axborot yoki yechimlarni yozib olish uchun massivlardan foydalanishni eʼlon qildi va 50 dan ortiq turli massivlar tizimi bilan tajriba oʻtkazdi. Kramer uning qoidasi ni taqdim etdi 1750.

“Matrisa” (lotincha “bachadon”, “to‘g‘on” (ko‘paytirish uchun saqlanadigan odam bo‘lmagan urg‘ochi hayvon), “manba”, “kelib chiqishi”, “ro‘yxat” va “registr” atamasi *[[ wikt: mater#Lotin|mater]]*—ona) 1850-yilda Jeyms Jozef Silvestr tomonidan yaratilgan, matritsani bugungi kunda kichik deb ataladigan bir nechta determinantlarni keltirib chiqaradigan obyekt deb tushunganlar, ya'ni dastlabkisidan kelib chiqadigan kichikroq matritsalarning determinantlari. ustunlar va qatorlarni olib tashlash orqali. 1851 yilgi maqolasida Silvestr shunday tushuntiradi:

Artur Kayli ilgari qilinganidek tekshirilayotgan koeffitsientlarning aylantirilmagan versiyalari bo'lmagan matritsalar yordamida geometrik o'zgarishlar haqida risolani nashr etdi. Buning o'rniga u qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kabi amallarni ushbu matritsalarning o'zgarishi sifatida aniqladi va assotsiativ va taqsimlovchi xususiyatlarni ko'rsatdi. Keyli matritsalarni ko‘paytirishning o‘zgarmas xususiyatini hamda matritsalarni qo‘shishning kommutativ xususiyatini tadqiq qildi va ko‘rsatdi. Ilk matritsa nazariyasi massivlardan deyarli faqat determinantlar va Artur Keylining mavhum matritsasi bilan foydalanishini cheklab qo‘ygan edi. operatsiyalar inqilobiy edi. U tenglamalar tizimidan mustaqil matritsa kontseptsiyasini taklif qilishda muhim rol o'ynadi. 1858 yilda Keyli o'zining "Matritsalar nazariyasi bo'yicha xotiralar" asarini nashr etdi. Maqolalar II* 475-496</ref> unda u [[Keyli-Gamilton teoremasi]]ni taklif qilgan va ko‘rsatgan.

Ingliz matematigi [[Kutbert Edmund Kullis]] 1913 yilda birinchi bo'lib matritsalar uchun zamonaviy qavs belgisini qo'llagan va u bir vaqtning o'zida  matritsani ifodalash uchun  -chi qator va -ustunni bildiradi.

Determinantlarni zamonaviy tadqiq qilish bir necha manbalardan kelib chiqqan. [[sonlar nazariyasi|Raqam-nazariy]] muammolari [[Gauss]ga olib keldi. ]] [[kvadrat shakl]]larning koeffitsientlarini, yaʼni kabi ifodalarni bogʻlash.  va [[chiziqli xarita]]lar uch o'lchovli matritsalarga. [[Gotthold Eyzenshteyn|Eyzenshteyn]] bu tushunchalarni yanada rivojlantirdi, jumladan, zamonaviy tilda aytganda, [[matritsa mahsuloti]]lar [[kommutativ boʻlmagan]] degan fikrni ham oʻz ichiga oladi. [[Ogustin-Lui Koshi|Koshi]] matritsa determinantining ta'rifi sifatida foydalangan holda birinchi bo'lib determinantlar haqidagi umumiy fikrlarni isbotladi  quyidagi: vakolatlarni  bilan almashtiring  [[polinom]] ichida
:<math>a_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)\;</math>,
bu yerda <math>\textstyle\prod</math> ko'rsatilgan shartlarning [[ko'paytirish|mahsulot]] ni bildiradi. Shuningdek, u 1829 yilda simmetrik matritsalarning [[oʻz qiymati]]lari haqiqiy ekanligini koʻrsatdi. [[Karl Gustav Jacob Jacobi|Jacobi]] "funktsional determinantlar" ni o'rgangan - keyinchalik [[Yakobi] deb nomlangan. matritsa va determinant|Yakobi determinanti Silvestr tomonidan — mahalliy (yoki [[cheksiz kichik]]) darajadagi geometrik oʻzgarishlarni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin, [[#Jacobi matritsasi|yuqoridagi]] ga qarang. [[Leopold Kronecker|Kronecker]] *Vorlesungen über die Theorie der Determinanten* ikkalasi ham 1903-yilda nashr etilgan boʻlib, birinchi boʻlib determinantlarga [[aksioma]]atik munosabatda boʻldi, bu esa Koshi formulasi kabi oldingi aniqroq yondashuvlardan farqli oʻlaroq. O'sha paytda determinantlar mustahkam o'rnatildi.

Ko'pgina teoremalar dastlab faqat kichik matritsalar uchun o'rnatildi, masalan, [[Keyli-Gamilton teoremasi]] 2×2 matritsalar uchun Keyli tomonidan yuqorida qayd etilgan memuarda, [[Uilyam Rouen Gamilton|Hamilton]] tomonidan 4× uchun isbotlangan. 4 ta matritsa. [[Georg Frobenius|Frobenius]] [[bilinear shakl]]lar ustida ish olib, teoremani barcha oʻlchamlarga umumlashtirdi (1898). Shuningdek, 19-asr oxirida [[Gauss-Iordaniyani bartaraf etish]] (hozirda [[Gaussni yoʻq qilish]] deb nomlanuvchi maxsus holatni umumlashtirish) [[Vilgelm Jordan (geodezist)|Vilgelm Jordan]] tomonidan oʻrnatildi. 20-asr boshlarida matritsalar chiziqli algebrada markaziy oʻrinni egalladi. O'tgan asrdagi [[giperkompleks sonlar]] tizimlari.

[[matritsalar mexanikasi]]ning [[Verner Geyzenberg|Geyzenberg]], [[Maks Born|Born]] va [[Paskual Jordan|Iordaniya]] tomonidan yaratilishi cheksiz koʻp qator va ustunli matritsalarni oʻrganishga olib keldi Keyinchalik [[Jon fon Neyman|fon Neyman]] [[kvant mexanikasining matematik formulasini]] [[funksional tahlil|funksional analitik]] kabi tushunchalarni yanada rivojlantirish orqali amalga oshirdi. [[Gilbert fazosi]] lardagi [[chiziqli operator]]lar, juda qoʻpol qilib aytganda, [[Yevklid fazosi]] ga toʻgʻri keladi, lekin cheksiz [[Hamel o'lchami|mustaqil yo'nalishlar]] bilan.

===Matematikada "matritsa" so'zining boshqa tarixiy qo'llanilishi===
Bu so'z tarixiy ahamiyatga ega bo'lgan kamida ikkita muallif tomonidan g'ayrioddiy tarzda ishlatilgan.

[[Bertrand Russell]] va [[Alfred North Whitehead]] *Principia Mathematica* asarida (1910–1913) o'zlarining [[qaytariluvchanlik aksiomasi]] kontekstida "matritsa" so'zidan foydalanadilar. Ular bu aksiomani har qanday funktsiyani ketma-ket pastroq turga qisqartirish vositasi sifatida taklif qildilar, shunda "pastki" (0 tartib)da funktsiya uning [[kengaytma (predikat mantiqi)|kengaytma] bilan bir xil bo'ladi:



Masalan,  va  ikkita oʻzgaruvchidan iborat  funksiyani *to'plam*ga qisqartirish mumkin. bitta o'zgaruvchining funktsiyalari, masalan, , "individuallar" ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun funktsiyani "ko'rib chiqish" orqali  oʻzgaruvchisi oʻrniga  almashtirildi. Va keyin bitta o'zgaruvchining  funktsiyalari to'plami, ya'ni , funktsiyani "ko'rib chiqish" orqali qiymatlarning "matritsasi" ga keltirilishi mumkin  oʻzgaruvchisi oʻrniga almashtirilgan  "individuallar" ning barcha mumkin boʻlgan qiymatlari uchun:
<math display=block>\forall b_j \forall a_i : \phi(a_i, b_j).</math>

[[Alfred Tarski]] oʻzining 1946-yilgi “Mantiqqa kirish” asarida “matritsa” soʻzini matematik mantiqda qoʻllanilgan [[haqiqat jadvali]] tushunchasi bilan sinonim sifatida ishlatgan.

==Shuningdek qarang==



* [[Nomlangan matritsalar roʻyxati]]
* 
* 
* 
* [[Irregular matritsa]]
* 
* 
* [[Matritsani ko'paytirish algoritmi]]
* [[Tensor]] — Istalgan sonli indekslar bilan matritsalarni umumlashtirish
* 
* [[Matritsalar toifasi]] — Matritsalar va ularni koʻpaytirish orqali hosil boʻlgan algebraik tuzilma


==Eslatmalar==



==Ma'lumotnomalar==
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* .
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* {{Iqtibos |last1=Oualline |first1=Stiv |title=Amaliy C++ dasturlash |nashriyotchi=[[O'Reilly Media|O'Reilly]] |isbn=978-0-596-00419-4 |yil=2003} }
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* {{Iqtibos |last1=Šolin |first1=Pavel |title=Qisman differensial tenglamalar va sonli elementlar usuli |nashriyotchi=[[Wiley-Interscience]] |isbn=978-0-471-76409-0 |yil=2005} }
* 
* 
* 
* 

===Fizika ma'lumotnomalari===
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

===Tarixiy manbalar===
* A. Kayli *Matritsalar nazariyasi bo'yicha memuar''. Fil. Trans. 148 1858 17–37; Matematika. Maqolalar II 475–496
* , 1907 yilgi asl nashrning qayta nashri
* 
* {{Iqtibos |tahrirlovchi1-oxirgi=Dieudonne |muharrir1-birinchi=Jan |muharrir1-havola=Jan Dieudonne |sarlavha=Abrége d'histoire des mathematiques 1700-1900 |nashriyotchi=Hermann,Fermann |joy=9=Paris=8 | }
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Qo'shimcha o'qish
* 
* 
* 

## Tashqi havolalar

* MacTutor: Matritsalar va determinantlar
* Matritsalar va chiziqli algebra eng dastlabki foydalanish sahifalarida
* Matritsalar va vektorlar uchun belgilarning eng qadimgi qo'llanilishi