Parallel o‘qlar teoremasi

**Huygens&#x2013;Steiner(Gyuygens &#x2013; Shtayner) teoremasi** deb ham ataladigan **parallel oʻq teoremasi** yoki xuddi Kristian Gyuygens va Yakob Shtayner nomi bilan atalgan **Shtayner teoremasi**  qattiq jismning inertsiya momentini yoki ikkinchi momentini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin. Bu teorema jismning ogʻirlik markazi va oʻqlar orasidagi perpendikulyar masofa orqali parallel oʻqga nisbatan jismning inersiya momentini hisobga olgan holda har qanday oʻq uchun oʻrinli

## Inersiyaning massa momenti

Faraz qilaylik, massasi  boʻlgan jism tananing massa markazidan oʻtuvchi  oʻqi atrofida aylantirildi. Tananing bu oʻqqa nisbatan  inersiya momenti bor. Parallel oʻq teoremasi shuni koʻrsatadiki, agar jism oʻrniga birinchi  parallel boʻlgan va undan  masofaga siljigan yangi oʻq atrofida aylansa, u holda yangi oʻqqa nisbatan inersiya momenti  boʻladi. tomonidan  bilan bogʻliq

:  I = I_\mathrm{cm} + md^2.

Aniqki,  masofa  va  oʻqlari orasidagi perpendikulyar masofa.

Parallel oʻq teoremasi choʻzish qoidasi va perpendikulyar oʻq teoremasi bilan turli shakllar uchun inersiya momentlarini topish uchun qoʻllanishi mumkin.

### Chiqarish
Biz umumiylikni yoʻqotmagan holda, Dekart koordinata tizimida oʻqlar orasidagi perpendikulyar masofa *x* oʻqi boʻylab, massa markazi esa koordinata boshida joylashgan deb taxmin qilishimiz mumkin. *z* — oʻqiga nisbatan inersiya momenti keyin

: I_\mathrm{cm} = \int (x^2 + y^2) \, dm.

*X* oʻqi boʻylab massa markazidan  masofada joylashgan  oʻqiga nisbatan inersiya momenti.

: I = \int \left[(x - D)^2 + y^2\right] \, dm.

Qavslar ochib chiqamiz,

: I = \int (x^2 + y^2) \, dm + D^2 \int dm - 2D\int x\, dm.

Birinchi hadi , ikkinchi hadi esa  aylanadi. Yakuniy hadda integral massa markazining x koordinatasiga koʻpaytiriladiBu nolga teng, chunki massa markazi boshlangʻichda joylashgan. Shunday qilib, tenglama quyidagicha boʻladi:

:  I = I_\mathrm{cm} + MD^2.

### Tensorlarni umumlashtirish
Parallel eksa teoremasi inertsiya tensorini oʻz ichiga olgan hisob-kitoblarga umumlashtirilishi mumkin.  jismning massa markazida hisoblangan inersiya tenzorini belgilaylik. Keyin yangi nuqtaga nisbatan hisoblangan  inertsiya tensori

: J_{ij}=I_{ij} + m\left(|\mathbf{R}|^2 \delta_{ij}-R_i R_j\right),

bu yerda \mathbf{R}=R_1\mathbf{\hat{x}}+R_2\mathbf{\hat{y}}+R_3\mathbf{\hat{z}}\! — massa markazidan yangi nuqtaga siljish vektori,  — Kroneker deltasi.

Diagonal elementlar uchun ( boʻlganda) aylanish oʻqiga perpendikulyar siljishlar parallel oʻq teoremasining yuqoridagi soddalashtirilgan versiyasiga olib keladi.

Parallel oʻq teoremasining umumlashtirilgan versiyasini koordinatalarsiz yozuvlar shaklida quyidagicha ifodalash mumkin.

:  \mathbf{J} = \mathbf{I} + m \left[\left(\mathbf{R} \cdot \mathbf{R}\right) \mathbf{E}_{3} - \mathbf{R} \otimes \mathbf{R} \right],

bu yerda **E**3 —  identifikatsiya matritsasi va \otimes tashqi manba hisoblanadi.

Parallel oʻq teoremasining keyingi umumlashtirilishi x, y va z oʻqlarining mos yozuvlar toʻplamiga parallel boʻlgan har qanday ortogonal oʻqlar toʻplamiga nisbatan inersiya tenzorini beradi, ular massa markazidan oʻtadi yoki oʻtmaydi.

## Maydonning ikkinchi momenti
Parallel oʻqlar qoidasi *D* tekislik mintaqasi uchun maydonning ikkinchi momentiga (soha inersiya momenti) ham qoʻllanadi:

: I_z = I_x + Ar^2,

Bu yerda  — parallel oʻqga nisbatan *D* ning inersiya maydoni momenti,  — *D* ning markazga nisbatan inersiya maydoni,  — tekislik mintaqasining maydoni *D*,  — yangi oʻqdan masofa. oʻqi  tekislik mintaqasining markaziy qismiga *D* . *D* ning markazi bir xil zichlikka ega boʻlgan bir xil shakldagi fizik plastinkaning ogʻirlik markaziga toʻgʻri keladi.

## Planar dinamika uchun qutb inersiya momenti

Tekislikka parallel harakatlanishi cheklangan qattiq jismning massa xossalari uning massa markazi **R=(''x'',''y'')** bilan aniqlanadi. Bu tekislikda va uning tekislikka perpendikulyar boʻlgan **R** orqali oʻq atrofidagi qutb inersiya momenti *I**R*. Parallel oʻq teoremasi ixtiyoriy **S** nuqta atrofidagi inersiya momenti IS va massa markazi **R** ga nisbatan IR inersiya momenti oʻrtasidagi qulay munosabatni taʼminlaydi.

Eslatib oʻtamiz, **R** massa markazi xossaga ega

:  \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}) \, dV=0, 

bu yerda **r** jismning *V* hajmida integrallashgan. Planar harakatlanayotgan jismning qutb inersiya momentini har qanday mos yozuvlar nuqtasi **S** ga nisbatan hisoblash mumkin,

:  I_S = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{S})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{S}) \, dV,

Bu yerda **S** doimiy va **r** esa ***V*** hajm boʻyicha integrallashgan.

*I**R* inersiya momenti boʻyicha *I**S* inersiya momentini olish uchun **S** dan **R** massa markaziga **d** vektorni kiritamiz,

: 
\begin{align}
I_S & = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}+\mathbf{d})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{R}+\mathbf{d}) \, dV \\
& = \int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{R})dV + 2\mathbf{d}\cdot\left(\int_V \rho(\mathbf{r}) (\mathbf{r}-\mathbf{R}) \, dV\right) + \left(\int_V \rho(\mathbf{r}) \, dV\right)\mathbf{d}\cdot\mathbf{d}.
\end{align}


Birinchi aʼzo — inersiya momenti *I**R*, ikkinchi aʼzo — massa markazining taʼrifi boʻyicha nolga teng, oxirgi belgi **d** — jismning umumiy massasi vektorning kvadrat kattaligiga koʻra. Shunday qilib,

:  I_S = I_R + Md^2, \, 

Bu parallel oʻq teoremasi deb nomlanadi.

## Inertsiya momenti matritsasi
Qattiq zarralar tizimining inertsiya matritsasi mos yozuvlar nuqtasini tanlashga bogʻliq. **R** massa markaziga nisbatan inertsiya matritsasi va boshqa **S** nuqtaga nisbatan inersiya matritsasi oʻrtasida foydali munosabat mavjud. Bu munosabat parallel oʻq teoremasi deb ataladi.

tomonidan berilgan mos yozuvlar nuqtasi **S** ga nisbatan oʻlchangan qattiq zarrachalar tizimi uchun olingan inertsiya matritsasi [IS] ni koʻrib chiqaylik.

:  [I_S] = -\sum_{i=1}^n m_i[r_i-S][r_i-S],

bu yerda **r** *i* zarracha *P**i*, *i=1,…,n* oʻrnini belgilaydi. Eslatib oʻtamiz, [*r**i*&#x2212;*S*] — oʻzaro koʻpaytmani bajaradigan egri-simmetrik matritsa,

:  [r_i -S]\mathbf{y} = (\mathbf{r}_i - \mathbf{S})\times \mathbf{y},

ixtiyoriy **y** vektor uchun.

U holda, **R** qattiq sistemaning massa markazi boʻlsin

:  \mathbf{R} = (\mathbf{R}-\mathbf{S}) + \mathbf{S} = \mathbf{d} + \mathbf{S},

Bu yerda **d -** **S** mos yozuvlar nuqtasidan **R** massa markaziga vektor. Inertsiya matritsasini hisoblash uchun ushbu tenglamadan foydalanib,

:  [I_S] = -\sum_{i=1}^n m_i[r_i- R + d][r_i - R+ d].

buni olish uchun ushbu tenglamani ochib chiqamiz

:  [I_S] = \left(-\sum_{i=1}^n m_i [r_i - R][r_i - R]\right) + \left(-\sum_{i=1}^n m_i[r_i - R]\right)[d] + [d]\left(-\sum_{i=1}^n m_i[r_i - R]\right) + \left(-\sum_{i=1}^n m_i\right)[d][d].

Birinchi aʼzo — massa markaziga nisbatan inertsiya matritsasi [*I**R*]. Ikkinchi va uchinchi shartlar **R** massa markazining taʼrifi boʻyicha nolga teng,

:  \sum_{i=1}^n m_i(\mathbf{r}_i -\mathbf{R}) = 0.

Va oxirgi aʼzo tizimning umumiy massasi **d** dan tuzilgan qiyshaygan-simmetrik matritsa [*d*] kvadratiga koʻpaytiriladi.

Natijada parallel oʻq teoremasi,

:  [I_S] = [I_R] - M[d]^2,

Bu yerda **d -** **S** mos yozuvlar nuqtasidan **R** massa markaziga vektor.

### Egri-simmetrik matritsa uchun identifikatsiyalar
Parallel oʻq teoremasining formulalarini egri-simmetrik matritsalar va tenzor formulasidan foydalangan holda solishtirish uchun quyidagi identifikatsiyalar foydalidir.

[*R*] pozitsiya vektori **R=(''x'',''y'',''z'')** bilan bogʻlangan qiyshaygan simmetrik matritsa boʻlsin, keyin inertsiya matritsasidagi mahsulotga aylanadi

:  -[R][R]= -\begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix}
 y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -y x & x^2+z^2 & -yz \\ -zx & -zy & x^2+y^2 \end{bmatrix}.

Ushbu mahsulot tashqi mahsulot [**RR**T] tomonidan hosil qilingan matritsa yordamida identifikatsiyadan foydalanib hisoblanishi mumkin.

:  -[R]^2 = |\mathbf{R}|^2[E_3] -[\mathbf{R}\mathbf{R}^T]= 
\begin{bmatrix} x^2+y^2+z^2 & 0 & 0 \\ 0& x^2+y^2+z^2 & 0 \\0& 0& x^2+y^2+z^2 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix}x^2 & xy & xz \\ yx & y^2 & yz \\ zx & zy & z^2\end{bmatrix},

bu yerda [*E*3] — 3×3 identifikatsiya matritsasi.

Shuni ham eʼtiborga oling

:  |\mathbf{R}|^2 = \mathbf{R}\cdot\mathbf{R} =\operatorname{tr}[\mathbf{R}\mathbf{R}^T],

Bu yerda **tr** tashqi manba matritsasining diagonal elementlari yigʻindisini bildiradi, uning izi deb nomlanadi.

## Manbalar