O‘zgaruvchan massa tizimi

Mexanikada **oʻzgaruvchan massa tizimi** — bu massasi vaqt oʻtishi bilan oʻzgarib turadigan moddalar toʻplami. Nyutonning ikkinchi harakat qonunini toʻgʻridan-toʻgʻri bunday tizimga qoʻllashga urinish chalkash boʻlishi mumkin . Buning oʻrniga, *m* massasining vaqtga bogʻliqligini Nyutonning ikkinchi qonunini qayta tartibga solish va tizimga kirish yoki undan chiqish paytida olib boriladigan impulsni hisobga olish uchun muddat qoʻshish orqali hisoblash mumkin. Oʻzgaruvchan massali harakatning umumiy tenglamasi quyidagicha yoziladi:

: \mathbf{F}_{\mathrm{ext}} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d} \mathbf v \over \mathrm{d}t}

bu yerda **F**ext — jismga beriladigan aniq tashqi kuch, **v**rel - chiqib ketayotgan yoki kiruvchi massaning jismning massa markaziga nisbatan nisbiy tezligi, **v** — jismning tezligi. Raketalar mexanikasi bilan shugʻullanadigan astrodinamikada *v*rel atamasi koʻpincha samarali egzoz tezligi deb ataladi va *v**bilan* belgilanadi.

## Chiqarilishi
Massaning jismga kirishi yoki chiqishiga (boshqacha qilib aytganda, harakatlanuvchi jismning massasi mos ravishda ortib yoki kamayib borayotganiga) qarab, oʻzgaruvchan massali sistemaning harakat tenglamasi uchun turli hosilalar mavjud. Hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun barcha jismlar zarralar sifatida qabul qilinadi. Bundan tashqari, massa toʻplanish/ablasyon hodisalaridan tashqari tanaga tashqi kuchlarni qoʻllashga qodir emas deb taxmin qilinadi.

## Massaning kamayishi

Quyidagi hosila massa ortib borayotgan jism uchun (akkretsiya). Vaqt oʻzgaruvchan massasi *m* boʻlgan jism *t* boshlangʻich vaqtida **v** tezlikda harakat qiladi. Xuddi shu lahzada dm massali zarra erga nisbatan **u** tezlik bilan harakat qiladi. Dastlabki impulsni  shaklida yozish mumkin.

: \mathbf{p}_{\mathrm{1}} = m\mathbf{v} + \mathbf{u}\mathrm{d}m

Endi *t* + d*t* vaqtida asosiy jism ham, zarracha ham **v** + d**v** tezlikli jismga toʻplansin. Shunday qilib, tizimning yangi impulsi quyidagicha yozilishi mumkin

: \mathbf{p}_{\mathrm{2}} = (m + \mathrm{d}m)(\mathbf{v} + \mathrm{d}\mathbf{v}) = m\mathbf{v} + m\mathrm{d}\mathbf{v} + \mathbf{v}\mathrm{d}m + \mathrm{d}m\mathrm{d}\mathbf{v}

d*m* d**v** ikkita kichik qiymatning koʻpaytmasi boʻlgani sababli, uni eʼtiborsiz qoldirish mumkin, yaʼni d*t* davomida tizimning impulsi oʻzgaradi.

: \mathrm{d}\mathbf{p} = \mathbf{p}_{\mathrm{2}} - \mathbf{p}_{\mathrm{1}} = (m\mathbf{v} + m\mathrm{d}\mathbf{v} + \mathbf{v}\mathrm{d}m) - (m\mathbf{v} + \mathbf{u}\mathrm{d}m) = m\mathrm{d}\mathbf{v} - (\mathbf{u} - \mathbf{v})\mathrm{d}m

Shuning uchun Nyutonning ikkinchi qonuni bilan

: \mathbf{F}_{\mathrm{ext}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{m\mathrm{d}\mathbf{v} - (\mathbf{u} - \mathbf{v})\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = m\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} - (\mathbf{u} - \mathbf{v})\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}

**u** — **v** d*m* ning *m* ga nisbatan tezligi boʻlib, **v**rel bilan ifodalanganligini taʼkidlab, bu yakuniy tenglamani  kabi tartibga solish mumkin.

: \mathbf{F}_{\mathrm{ext}} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d} \mathbf v \over \mathrm{d}t}

### Massaning oʻzgarishi
Massa asosiy tanadan chiqarib yuborilayotgan yoki olib tashlangan tizimda hosila biroz boshqacha boʻladi. *t* vaqtda *m* massasi **v** tezlikda harakatlansin, yaʼni sistemaning dastlabki impulsi

: \mathbf{p}_{\mathrm{1}} = m\mathbf{v}

Agar **u** oʻchirilgan massaning yerga nisbatan tezligi d**m** deb faraz qilsak, *t* + d*t* vaqtda sistemaning impulsi boʻladi.

: \mathbf{p}_{\mathrm{2}} = (m - \mathrm{d}m)(\mathbf{v} + \mathrm{d}\mathbf{v}) +\mathbf{u}\mathrm{d}m = m\mathbf{v} + m\mathrm{d}\mathbf{v} - \mathbf{v}\mathrm{d}m - \mathrm{d}m\mathrm{d}\mathbf{v} + \mathbf{u}\mathrm{d}m

bu yerda **u -** chiqarilgan massaning erga nisbatan tezligi va manfiy, chunki ablatsiyalangan massa massaga qarama-qarshi yoʻnalishda harakat qiladi. Shunday qilib, d*t* davomida tizimning impulsi oʻzgaradi

: \mathrm{d}\mathbf{p} = \mathbf{p}_{\mathrm{2}} - \mathbf{p}_{\mathrm{1}} = (m\mathbf{v} + m\mathrm{d}\mathbf{v} -\mathrm{d}\mathbf{m}\mathrm{d}\mathbf{v} - \mathbf{v}\mathrm{d}m +\mathbf{u}\mathrm{d}m) - (m\mathbf{v}) = m\mathrm{d}\mathbf{v} +[\mathbf{u} - (\mathbf{v} +\mathrm{d}\mathbf{v})]\mathrm{d}m

Olingan massaning *m* massaga nisbatan nisbiy tezligi **v<sub>rel</sub>** quyidagicha yoziladi.

: \mathbf{v}_{\mathrm{rel}} = \mathbf{u} - (\mathbf{v} +\mathrm{d}\mathbf{v}) 

Shuning uchun impulsning oʻzgarishi quyidagicha yozilishi mumkin

: \mathrm{d}\mathbf{p} = m\mathrm{d}\mathbf{v} +\mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\mathrm{d}m

Shuning uchun Nyutonning ikkinchi qonuni bilan

: \mathbf{F}_{\mathrm{ext}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{m\mathrm{d}\mathbf{v} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = m\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}

Shuning uchun yakuniy tenglamani quyidagicha tartibga solish mumkin

: \mathbf{F}_{\mathrm{ext}}- \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d}t} = m {\mathrm{d} \mathbf v \over \mathrm{d}t}

## Shakllari

Tezlanishning taʼrifi boʻyicha **a** = d**v** /d*t*, shuning uchun oʻzgaruvchan massali tizim harakat tenglamasini quyidagicha yozish mumkin.

: \mathbf{F}_{\mathrm{ext}} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = m\mathbf{a}

Zarrachalar sifatida qaralmaydigan jismlarda asm **ga** **almashtirilishi** kerak, sistemaning massa markazining tezlanishi, yaʼni

: \mathbf{F}_{\mathrm{ext}} + \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = m\mathbf{a}_{\mathrm{cm}}

Koʻpincha surish natijasida kelib chiqadigan kuch sifatida aniqlanadi \mathbf{F}_{\mathrm{thrust}} = \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} Shuning uchun quyidagi natijani olamiz:

: \mathbf{F}_{\mathrm{ext}} + \mathbf{F}_{\mathrm{thrust}} = m\mathbf{a}_{\mathrm{cm}}

Bu shakl jismga hech qanday tashqi kuchlar taʼsir qilmasa ham surish taʼsirida tezlashishi mumkinligini koʻrsatadi (**F**ext = 0). Nihoyat, shuni yodda tutingki, agar **F**net bu **F**ext va **F**surish yigʻindisi boʻlsa, tenglama Nyutonning ikkinchi qonunining odatiy shakliga qaytadi:

: \mathbf{F}_{\mathrm{net}} = m\mathbf{a}_{\mathrm{cm}}

### Ideal raketa tenglamasi

Ideal raketa tenglamasi yoki Tsiolkovskiy raketa tenglamasi raketa kabi harakat qiladigan transport vositalarining harakatini oʻrganish uchun ishlatilishi mumkin (bu yerda jism oʻz massasining bir qismini, propellantni yuqori tezlikda chiqarib yuborish orqali tezlashadi). Uni oʻzgaruvchan massali tizimlar uchun harakatning umumiy tenglamasidan quyidagicha olish mumkin: jismga tashqi kuchlar taʼsir qilmasa (**F**ext = 0) oʻzgaruvchan massali tizimning harakat tenglamasi quyidagiga kamayadi.

: \mathbf{v}_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}= m \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}

Agar otilgan yoqilgʻining tezligi **v**rel raketaning tezlanishiga qarama-qarshi yoʻnalishga ega deb hisoblansa, d**v** / d*t*, bu tenglamaning skalyar ekvivalentini quyidagicha yozish mumkin.

: -v_{\mathrm{rel}}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = m{\mathrm{d} v \over \mathrm{d}t}

shunday d*t* berishni bekor qilish mumkin

: -v_{\mathrm{rel}}\mathrm{d}m = m\mathrm{d}v \,

Oʻzgaruvchilarni ajratish orqali integratsiya beradi

: -v_\mathrm{rel}\int_{m_0}^{m_1} \frac{\mathrm{d}m}{m} = \int_{v_0}^{v_1} \mathrm{d}v

: v_\mathrm{rel}\ln{\frac{m_0}{m_1}} = v_1 - v_0

Δ*v* = *v*1 — *v*0 ni qayta tartibga solish va ruxsat berish orqali ideal raketa tenglamasining standart shakliga erishiladi:

: \Delta v = v_\mathrm{rel} \ln \frac {m_0} {m_1}

bu yerda *m*0 — boshlangʻich umumiy massa, shu jumladan propellant, *m*1 — yakuniy umumiy massa, *v*rel — samarali egzoz tezligi (koʻpincha *v**e* deb belgilanadi) va Δ*v* — avtomobil tezligining maksimal oʻzgarishi boʻlmaganda tashqi kuchlar harakat qiladi).

## Manbalar