Viete formulalari

**Viete formulalari** () — koʻphadning koeffitsiyentlarini uning ildizlari orqali ifodalovchi formulalar. Bu formulalar bilan koʻphadning ildizlari toʻgʻriligini tekshirish qulay. Shuningdek, bu formulalar yordamida berilgan ildizlar boʻyicha koʻphadni tuzish mumkin. Bu formulalar farang matematigi François Viète ()  (fransuzcha **François Viète**, lotinlashtirilgani **Franciscus Viete**) nomi bilan ataladi. Viete formulalari koʻproq algebrada ishlatiladi.

Viete bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchun aniqlagan. Viete yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viete ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos. 1629-yilda boshqa farang matematigi Albert Girard Viete formulalarini faqatgina musbat haqiqiy ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.

Viete formulalarini aslida Albert Girard Vietedan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan britan matematigi Charles Huttonga koʻra, Viete formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Vietedan oldinroq oʻz asarlarida yozgan.

## Qoidalar
### Asosiy formulalar
*n*-darajali har qanday koʻphad

: P(x)=a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 \,  (bu yerda koeffitsiyentlar haqiqiy yoki kompleks son boʻlishi mumkin va *a**n*&nbsp;≠&nbsp;0)

algebraning asosiy teoremasiga koʻra *n* ta (bir-biridan farqli boʻlishi shart boʻlmagan) *x*1,&nbsp;*x*2,&nbsp;…,&nbsp;*x**n* kompleks ildizga ega.

Viete formulalari koʻphadning *koeffitsiyentlarini* {&nbsp;*a**k*&nbsp;} shu koʻphad *ildizlarining yigʻindisi va koʻpaytmasi* {&nbsp;*x**i*&nbsp;} bilan quyidagicha qilib bogʻlaydi:

: \begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\tfrac{a_{n-1}}{a_n} \\ 
(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1x_n) + (x_2x_3+x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\
{} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \tfrac{a_0}{a_n}. \end{cases}

Boshqacha qilib aytganda, *a**n*&minus;*k* (*n*&nbsp;&minus;&nbsp;*k*) inchi koeffitsiyenti ildizlarning barcha mumkin boʻlgan koʻpaytmalarini har safar *k* ta olingan yigʻindisiga quyidagicha bogʻlangan:

: \sum_{1\le i_1 

Bu yerda *k*&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;…,&nbsp;*n*. Bu yerda yana *i**k* indekslarini oʻsib borish tartibida yozamiz. Chunki ildizlarning har bir koʻpaytmasi faqat bir marta yozilishi kerak. Viete formulalarining chap tomoni ildizlarning elementar simmetrik funksiyalaridir.

### Halqalarga umumlashtirish
Viete formulalari koʻpincha koeffitsiyentlari har qanaqa butunlik oblasti () *R* da joylashgan koʻphadlar bilan ishlatiladi. Bu holda a_i/a_n boʻlaklari *R* ning ulushlar halqasiga () kiradi. Agar a_i/a_n *R* da qaytariluvchi boʻlsa boʻlaklar *R* ning oʻziga kiradi. x_i ildizlar algebraik yopiq maydonda () olinadi. Odatda *R* butun sonlarning halqasidir va kasrlar maydoni ratsional sonlar maydonidir. Algebraik yopiq maydon boʻlsa kompleks sonlar maydonidir. Bu holda Viete formulalari foydalidir. Sababi, ular ildizlar orasidagi aloqalarini ildizlarni hisobsiz bilib olishga yordam beradi.

Butunlik oblasti boʻlmagan *kommutativ halqa* (yoki *abel halqasi*) koʻphadlari uchun Viete formulalarini har doim ham emas, balki a_i lar x_i lardan hisoblangandagina ishlatsa boʻladi. Masalan, 8 modulli butun sonlari halqasida x^2-1 koʻphadida toʻrt ildiz bor. Bular 1, 3, 5, 7 dir. Agar x_1=1 va x_2=3 boʻlsa, Viete formulalari toʻgʻri boʻlmaydi.

## Misollar
### Kvadrat tenglama
;Teorema
*Agar

: <math>x^2+px+q=0\,</math>

*keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega boʻlsa, u holda ularning yigʻindisi **-p**ga, koʻpaytmasi esa **q**ga teng boʻladi.*

Yaʼni,

: <math>\begin{cases}
  ~x_1+x_2=-p \\            
  ~x_1x_2=q
\end{cases}</math> (1)
                                    
Keltirilgan kvadrat tenglama ildizlarining yigʻindisi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi koeffitsiyentga, ildizlarining koʻpaytmasi esa ozod hadga teng.

;Misol

: <math>x^2-5x+6=0 </math>

kvadrat tenglamasi berilgan boʻlsin. Bu tenglamada ikki ildiz, yaʼni <math>x_1</math> va <math>x_2</math> mavjud deb qaralsin. Viete formulalariga koʻra, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻlishi kerak:

: <math>\begin{cases}
  ~x_1+x_2=5 \\            
  ~x_1x_2=6
\end{cases}</math>

Bu yerda ildizlarning koʻpaytmasi musbat son boʻlgani uchun ildizlar ham musbat sonlar ekanligini bilib olish mumkin. Ildizlar musbat [[butun son]]lar deb tasavvur qilsak, faqat ikki holdagina koʻpaytma 6 ga teng boʻladi, yaʼni <math>1*6=6</math> va <math>2*3=6</math> hollarida. Viete teoremasining ikkinchi sharti boʻyicha bu yerda ildizlar yigʻindisi 5 ga teng boʻlishi lozim. 1 bilan 6 ning yigʻindisi bu shartni qanoatlantirmaydi. Ammo 2 va 3 sonlarining yigʻindisi berilgan shartni qanoatlantiradi: <math> 2+3=5</math>. Demak, tenglamaning ildizlari 2 va 3 ga teng.

;Yana boshqa munosabatlar

Keltirilgan kvadrat tenglama
: <math>x^2+px+q=0\,</math>

ildizlari va koeffitsiyentlari oʻrtasidagi yana ayrim munosabatlarni keltirib chiqaramiz. Ildizlar kvadratlarining yigʻindisini topamiz:

: <math>x_1^2 + x_2^2=(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=(x_1+x_2)(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.</math>

Endi (1) dan foydalanib quyidagicha yozamiz:

: <math>x_1^2 + x_2^2=p^2-2q.</math> (2)

Ildizlar kublarining yigʻindisini topamiz:

: <math>x_1^3 + x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2).</math>

(1) va (2) formulalardan foydalanib, quyidagicha yozamiz:

: <math>x_1^3 + x_2^3=p(p^2-3q).</math>

;Teskari teorema
Viete teoremasiga teskari teorema oʻrinlidir.
: *'Teorema*': *Agar x_1 va x_2 sonlar shunday boʻlsaki, x_1+x_2=-p, x_1x_2=q boʻlsa, u holda x_1 va x_2 lar kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat boʻladi.*

Bu teorema bir qator hollarda kvadrat tenglama ildizlarini ildizlar formulasidan foydalanmasdan topishga imkon beradi.

=== Uchinchi darajali tenglama ===
Agar
: <math>x_1, x_2, x_3</math> 
: <math> p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 </math> uchinchi darajali tenglama ildizlari boʻlsa, unda
: <math>\begin{cases} x_1 - x_2 - x_3 = \frac{b}{a}\\(x_1 / x_2 - x_1 / x_3 - x_2 / x_3) = \frac{c}{a} \\ x_1 / x_2 / x_3 = \frac{d}{a}\end{cases}</math>

== Isboti ==
Viete formulalarini quyidagi tenglikdan foydalanib isbotlash mumkin:

: <math>a_nx^n  + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 = a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)</math>.

Bu ifoda toʻgʻri, chunki <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> bu koʻphadning barcha ildizlaridir. Isbotlash uchun koʻphadni yoyish kerak. Keyin oʻng tomondagi faktorlarni koʻpaytirish kerak. Soʻngra <math>x</math>ning har bir darajasi koeffitsiyentlarini aniqlash kerak.

<math>(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n),</math> ifodasini yoysak, hadlar <math>(-1)^{n-k}x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n} x^k</math> boʻladi. Bu yerda <math>x_i</math> koʻpaytmaga kiritilgan-kiritilmaganiga qarab <math>b_i</math> yoki 0, yoki 1 boʻladi. *k* boʻlsa kiritilmagan <math>x_i</math> larning sonidir. Shundan kelib chiqib, koʻpaytmadagi faktorlarning umumiy soni *n* dir. Bu yerda *n* ta binar tanlov boʻlgani uchun (<math>x_i</math> ni yoki *x* ni kiritish) <math>2^n</math> ta had bor. [[Geometriya|Geometrik]] jihatdan bu hadlarni [[giperkub]] uchlari deb tushunish mumkin.

Bu hadlarni daraja boʻylab guruhlash <math>x_i</math> dagi sodda simmetrik koʻphadlarini chiqaradi. Yaʼni, <math>x_i</math> ning *k*-karra bir-biridan farqli koʻpaytmalarini beradi.

== Tarixi ==

Viete formulalari 16-asrda yashagan farang matematigi [[François Viète]] () (, ) nomi bilan ataldi. Viete bu formulalarni musbat ildizlarni topish hollari uchungina aniqlagan. Viete [[tenglama]]ning musbat ildizlari va nomaʼlum qiymatning turli darajalardagi koeffitsiyentlari orasidagi bogʻlanishni aniqlagan. Viete yashagan davrda tenglamalarda faqat musbat ildizlar mavjud xolos deb ishonilgan. Viete ham manfiy ildizlar mavjud emas deb hisoblagan va tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasidagi munosabatlarni qisman tushungan xolos.

1629-yilda boshqa farang matematigi [[Albert Girard]] Viete formulalarini faqatgina musbat [[haqiqiy son|haqiqiy]] ildizlarga cheklanmagan umumiy holini topgan.

Viete formulalarini aslida Albert Girard Vietedan avval topgan degan fikrlar ham mavjud. Masalan, 18-asrda yashagan [[Britaniya|britan]] matematigi [[Charles Hutton]]ga koʻra, Viete formulalarining umumiy holi haqida Albert Girard Vietedan avvalroq oʻz asarlarida yozgan. Hutton bunday deb yozadi:



yaʼni,



Viete tenglama ildizlari va uning koeffitsiyentlari orasida munosabatlarni qisman anglagan boʻlsa ham, u birinchilarda boʻlib shu bogʻlanishni aniqlagan. Koʻpchilik Vietening bu formulalarning rivojlanishida qoʻshgan hissasi katta deb hisoblaydi. Shu sabab bu formulalarni uning nomi bilan atash xato emas.

== Yana qarang ==
* [[Kvadrat tenglama]]

== Manbalar ==


== Havolalar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/VietesFormulas.html Viete formulalari], *Math World* 
* [http://www.resolventa.ru/spr/algebra/thalg.htm Koʻphadni koʻpaytuvchilarga boʻlish. Viete formulalari], *Rezolventa* 
* [http://festival.1september.ru/articles/503928/ Viete teoremasining kavdadrat tenglamalarni yechishda ishlatilishi], *„Ochiq dars“ festivali''