Frenkel-Kontorova modeli

**Frenkel-Kontorova modeli**, **FK modeli** sifatida ham tanilgan, past oʻlchamli chiziqli boʻlmagan fizikaning asosiy modelidir.

Umumlashtirilgan FK modeli eng yaqin qoʻshni oʻzaro taʼsirga ega boʻlgan va vaqti-vaqti bilan saytdagi substrat potentsialiga duchor boʻlgan klassik zarralar zanjirini tavsiflaydi. Asl va eng oddiy koʻrinishda oʻzaro taʼsirlar garmonik va potentsial sinusoidal boʻlishi zarrachalarning muvozanat masofasiga mos keladigan davriylik bilan qabul qilinadi. Oʻzaro taʼsir va substrat potentsiallari va harakatlantiruvchi kuchni kiritish uchun turli xil tanlovlar turli xil jismoniy vaziyatlarning keng doirasini tavsiflashi mumkin.

FK modelining statsionar konfiguratsiyasi uchun tenglamalar standart xarita yoki stoxastik nazariyaning Chirikov-Teylor xaritasi tenglamalariga qisqaradi.

Kontinuum-chegara yaqinlashuvida FK modeli soliton yechimlarga imkon beruvchi aniq integrallanuvchi sinus-Gordon (SG) tenglamasiga qisqartiradi. Shuning uchun FK modeli „diskret sinus-Gordon“ yoki "davriy Klein-Gordon tenglamasi „ sifatida ham tanilgan.

## Tarixi
Davriy substrat potentsialidagi garmonik zanjirning oddiy modeli 1928 yilda Ulrich Dehlinger tomonidan taklif qilingan. Dehlinger ushbu modelning barqaror yechimlari uchun taxminiy analitik ifodani yaratdi, uni  deb ataydi, bugungi kunda *kink juftlari* deb ataladigan narsaga mos keladi. Mohiyatan shunga oʻxshash model 1912/13 yillarda Lyudvig Prandtl tomonidan ishlab chiqilgan, ammo 1928 yilgacha nashr etilgan.

Ushbu model mustaqil ravishda Yakov Frenkel va Tatyana Kontorova tomonidan 1938 yilda *“Plastik deformatsiya va egizaklik nazariyasi"* maqolasida dislokatsiya yaqinidagi kristall panjaraning dinamikasini tasvirlash va kristall egizakni tasvirlash uchun taklif qilingan. Standart chiziqli garmonik zanjirda atomlarning har qanday siljishi toʻlqinlarga olib keladi va yagona barqaror konfiguratsiya ahamiyatsiz boʻladi. Frenkel va Kontorovaning chiziqli boʻlmagan zanjiri uchun ahamiyatsiz konfiguratsiyadan tashqari barqaror konfiguratsiyalar mavjud. Kichik atom siljishlari uchun vaziyat chiziqli zanjirga oʻxshaydi; ammo etarlicha katta siljishlar uchun harakatlanuvchi yagona dislokatsiyani yaratish mumkin, buning uchun analitik yechim Frenkel va Kontorova tomonidan olingan. Ushbu dislokatsiyalarning shakli faqat buloqlarning massasi va elastik doimiyligi kabi tizim parametrlari bilan belgilanadi.

Dislokatsiyalar, shuningdek, solitonlar deb ataladi, taqsimlangan nolokal nuqsonlardir va matematik jihatdan topologik nuqsonlarning bir turidir. Solitonlar/dislokatsiyalarning oʻziga xos xususiyati shundaki, ular oʻzlarini barqaror zarrachalarga oʻxshatadilar, ular umumiy shaklini saqlab harakatlana oladilar. Teng va qarama-qarshi yoʻnalishdagi ikkita soliton toʻqnashganda bekor boʻlishi mumkin, ammo bitta soliton oʻz-oʻzidan yoʻq boʻlolmaydi.

## Umumiy model
Umumlashtirilgan FK modeli eng yaqin qoʻshni oʻzaro taʼsirga ega boʻlgan atomlarning bir oʻlchovli zanjirini davriy potentsialda koʻrib chiqadi, bu tizim uchun Gamiltonian

: \mathcal{H} = \frac{m_a}{2} \sum_n \left(\frac{dx_n}{dt}\right)^2 + U, (1)

Bu yerda birinchi had — ning kinetik energiyasi n massa atomlari m_a, va potentsial energiya U eng yaqin qoʻshni oʻzaro taʼsiridan kelib chiqadigan potentsial energiya va substrat potentsialining yigʻindisidir: U = U_\text{sub} + U_\text{int} .

Substrat potentsiali davriydir, yaʼni U_\text{sub}(x + a_s) = U_\text{sub}(x) baʼzilar uchun a_s .

Garmonik boʻlmagan oʻzaro taʼsirlar va/yoki sinusoidal boʻlmagan potentsial uchun FK modeli mutanosib-nomutanosib faza oʻtishini keltirib chiqaradi.

FK modeli ikkita bogʻlangan kichik tizim sifatida koʻrib chiqilishi mumkin boʻlgan har qanday tizimga qoʻllanishi mumkin, bu yerda bitta quyi tizim chiziqli zanjir sifatida va ikkinchi quyi tizim harakatsiz substrat potentsiali sifatida taxmin qilinishi mumkin.

Masalan, qatlamning kristall yuzasiga adsorbsiyasi boʻlishi mumkin, bu yerda adsorbsion qatlam zanjir sifatida, kristall sirt esa saytdagi potentsial sifatida taxmin qilinishi mumkin.

## Klassik model
Ushbu boʻlimda biz FK modelining eng oddiy shaklini batafsil koʻrib chiqamiz. Ushbu lotinning batafsil versiyasini adabiyotda topish mumkin. Model eng yaqin qoʻshni garmonik oʻzaro taʼsirga ega boʻlgan va sinusoidal potentsialga duchor boʻlgan atomlarning bir oʻlchovli zanjirini tasvirlaydi. Atomlarning koʻndalang harakati eʼtiborga olinmaydi, yaʼni atomlar faqat zanjir boʻylab harakatlanishi mumkin. Bu holat uchun Gamiltonian 1 bilan berilgan, bu yerda biz oʻzaro taʼsir potentsialini belgilaymiz:

: 
 U_\text{int} = \frac{g}{2} \sum_n(x_{n+1} - x_n - a_0)^2,


bu yerda g elastik konstanta, va a_0 atomlararo muvozanat masofasi. Substrat potentsiali

: 
 U_\text{sub} = \frac{\epsilon_s}{2} \sum_n \left[1 - \cos\frac{2\pi x_n}{a_s}\right],


bilan \epsilon_s amplituda boʻlish va a_s davr.

Gamiltonianni qayta yozish uchun quyidagi oʻlchamsiz oʻzgaruvchilar kiritiladi:

: 
 x_n \to \left(\frac{2\pi}{a_s}\right)x_{n}, \quad
 t \to \left(\frac{2\pi}{a_s}\right) \sqrt{\frac{\epsilon_s}{2m_a}} t, \quad
 a_0 \to \frac{2\pi}{a_s}, \quad
 g \to g \frac{a_s / 2\pi^2}{\epsilon_s / 2}.


Oʻlchovsiz shaklda Gamiltonian

: 
 H = \frac{\mathcal{H}}{\epsilon_s / 2}
 = \sum_n \left[\frac{1}{2} \frac{dx_n}{dt}^2 + \left(1 - \cos x_n + \frac{1}{2} g(x_{n+1} - x_n - a_0)^2\right)\right],


Bu davrning sinusoidal potentsialida birlik massa atomlarining garmonik zanjirini tavsiflaydi a_s = 2\pi amplituda bilan \epsilon_s = 2 . Bu Gamiltonian uchun harakat tenglamasi

: 
 \frac{d^2 x_n}{dt^2} + \sin x_n - g(x_{n+1} + x_{n-1} - 2x_n) = 0.


Biz faqat ishni koʻrib chiqamiz a_0 va a_s mutanosibdir, soddaligi uchun biz qabul qilamiz a_0 = a_s . Shunday qilib, zanjirning asosiy holatida substrat potentsialining har bir minimal qismini bitta atom egallaydi. Biz oʻzgaruvchini kiritamiz u_n tomonidan belgilanadigan atom siljishlari uchun

: 
 x_n = n a_s + u_n.


Kichik siljishlar uchun u_n \ll a_s Harakat tenglamasi chiziqli boʻlishi mumkin va quyidagi shaklni oladi:

: 
 \frac{d^2 u_n}{dt^2} + u_n - g(u_{n+1} + u_{n-1} - 2u_n) = 0.


Bu harakat tenglamasi fononlarni tasvirlaydi u_n \propto \exp[i(\omega_\text{ph}(\kappa) t - \kappa n)] fonon dispersiya munosabati bilan \omega_\text{ph}^2(\kappa) = \omega_\text{min}^2 + 2g(1 - \cos \kappa) oʻlchovsiz toʻlqin raqami bilan |\kappa| \leq \pi . Bu zanjirning chastota spektrining tarmoqli boʻshligʻiga ega ekanligini koʻrsatadi \omega_\text{min} \equiv \omega_\text{ph}(0) = 1 kesish chastotasi bilan \omega_\text{max} \equiv \omega_\text{ph}(\pi) = \sqrt{\omega_\text{min}^2 + 4g} .

Atom siljishlari kichik boʻlmaganda chiziqli harakat tenglamasi haqiqiy emas va chiziqli boʻlmagan harakat tenglamasidan foydalanish kerak. Nochiziqli tenglamalar FK modelining uzluksiz chegarasini hisobga olgan holda eng yaxshi yoritilgan mahalliylashtirilgan qoʻzgʻalishlarning yangi turlarini qoʻllab-quvvatlashi mumkin. Diskret panjaradan kontinuum-chegara tenglamalarini olish uchun Rosenauning standart protsedurasini qoʻllash buzilgan sinus-Gordon tenglamasini keltirib chiqaradi.

: 
 u_{tt} + \sin u - (a_s^2 g) u_{xx} = \epsilon f(u),


funksiya bu yerda

: 
 \epsilon f(u) = \frac{1}{12} a_s^2 (u_{xxtt} + u_x^2 \sin u - u_{xx} \cos u)


zanjirning diskretligidan kelib chiqqan effektlarni birinchi tartibda tasvirlaydi.

Diskretlik effektlarini eʼtiborsiz qoldirish va joriy etish x \to \frac{x}{a_s \sqrt{g}} harakat tenglamasini standart shakldagi sinus-Gordon (SG) tenglamasiga qisqartiradi.

: 
 u_{tt} - u_{xx} + \sin u = 0.


SG tenglamasi uchta elementar qoʻzgʻalish / yechimni keltirib chiqaradi: *burmalar*, *nafas olishlar* va *fononlar* .

Kinks yoki topologik solitonlar davriy substrat potentsialining ikkita eng yaqin bir xil minimalini bogʻlaydigan eritma sifatida tushunilishi mumkin, shuning uchun ular asosiy holatning degeneratsiyasi natijasidir. Bu yechimlar:

: 
 u_\text{k}(x, t) = 4 \tan^{-1}(\exp[-\sigma \gamma (v)(x - vt)]),


bu yerda \sigma = \pm 1 topologik zaryad hisoblanadi. Uchun \sigma = 1 yechim *kink* deb ataladi va uchun \sigma = -1 Bu *antikink* . Burilish kengligi \gamma burilish tezligi bilan aniqlanadi v, qayerda v tovush tezligining birliklarida oʻlchanadi c va boʻladi \gamma(v) = 1 / \sqrt{1 - v^2} . Bilan burilish harakati uchun v^2 \ll c^2, kengligi taxminan 1. Oʻlchovsiz birliklarda burilish energiyasi

: 
 E_\text{k} = mc^2 \gamma(v) \approx mc^2 + \frac{1}{2} mv^2,


undan kinkning qolgan massasi quyidagicha keladi m = \frac{2}{\pi^2 \sqrt{g}}, va kinks dam energiya sifatida \epsilon_\text{k} = mc^2 = 8 \sqrt{g} .

Masofa bilan ikkita qoʻshni statik burmalar R itarish energiyasiga ega

: 
 v_\text{int} \approx \epsilon_\text{k} \sinh^{-2} \frac{R}{2a_s \sqrt{g}},


holbuki kink va antikink oʻzaro taʼsir bilan oʻziga tortadi

: 
 v_\text{int}(R) \approx -\epsilon_\text{k} \cosh^{-2} \frac{R}{2a_s \sqrt{g}}.


*Nafas* oluvchi:

: 
 u_\text{br}(x, t) = 4\tan^{-1}\left[\frac{\sqrt{1 - \Omega^2}}{\Omega} \frac{\sin(\Omega t)}{\cosh(x\sqrt{1 - \Omega^2})}\right],


chastota bilan chiziqli boʻlmagan tebranishlarni tavsiflaydi \Omega, bilan 0  .

Nafas oluvchi dam olish energiyasi

: 
 \epsilon_\text{br} = 2 \epsilon_\text{k} \sqrt{1 - \Omega^2}.


Past chastotalar uchun \Omega \ll 1 nafas oluvchi birlashgan kink-antikink juftligi sifatida koʻrish mumkin. Kinks va nafas oluvchilar hech qanday energiya yoʻqotmasdan zanjir boʻylab harakatlanishi mumkin. Bundan tashqari, SG tenglamasining barcha qoʻzgʻalishlari orasidagi har qanday toʻqnashuv faqat faza siljishiga olib keladi. Shunday qilib, burmalar va nafas oluvchilar SG modelining *chiziqli boʻlmagan kvazi-zarralari* hisoblanishi mumkin. SG tenglamasining deyarli integrallash mumkin boʻlgan modifikatsiyalari uchun, masalan, FK modeli burmalarining kontinuumga yaqinlashishi, agar ehtiyotkorlik effektlari kichik boʻlsa, *deformatsiyalanadigan* kvazizarralar deb hisoblanishi mumkin.

## Peierls-Nabarro salohiyati

Oldingi boʻlimda FK modelining qoʻzgʻalishlari modelni kontinuum-chegara yaqinlashuvida koʻrib chiqish orqali olingan. Bukilishlarning xossalari birlamchi modelning diskretligi bilan bir oz oʻzgartirilganligi sababli, SG tenglamasi tizimning koʻpgina xususiyatlari va dinamikasini etarli darajada tavsiflashi mumkin.

Biroq, diskret panjara Peierls-Nabarro (PN) potentsialining mavjudligi bilan burilish harakatiga oʻziga xos tarzda taʼsir qiladi. V_\text{PN}(X), bu yerda X kink markazining pozitsiyasidir. PN potentsialining mavjudligi diskret zanjirda translyatsion oʻzgarmaslikning yoʻqligi bilan bogʻliq. Kontinuum chegarasida tizim zanjir boʻylab burilishning har qanday tarjimasi uchun oʻzgarmasdir. Diskret zanjir uchun faqat panjara oraligʻining butun sonli koʻpaytmasi boʻlgan tarjimalar a_s tizimni oʻzgarmas qoldiring. PN toʻsigʻi, E_\text{PN}, burilish uchun eng kichik energiya toʻsigʻi boʻlib, u panjara orqali harakatlana oladi. PN toʻsigʻining qiymati barqaror va beqaror statsionar konfiguratsiya uchun kinkning potentsial energiyasi oʻrtasidagi farqdir. Statsionar konfiguratsiyalar sxematik tarzda rasmda koʻrsatilgan.

## Manbalar