Hosilani hisoblash

## HOSILANI HISOBLASH QOIDALARI
1. Ikki funksiya yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi va nisbatining hosilasi. Aytaylik *f (x) va g (x) funksiyalari (a, b)*\subset R da

berilgan boʻlib, x_0\in(a, b) nuqtada f'(x_0)  va g'(x_0) hosilalarga ega boʻlsin.

Hosila taʼrifiga koʻra

\lim_{n \to \infty}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=f'(x_0), (1)

\lim_{n \to \infty} {g(x)-g(x_0) \over x-x_0}=g'(x_0)
 (2)

boʻladi.

1) f(x)\pm g(x) funksiya x_0 nuqtada hosilaga ega boʻlib,

(f(x)\pm g(x))'_x=f' (x_0)\pm g'(x_0)

(f(x)\pm g(x))'_x=f' (x_0)\pm g'(x_0)

boʻladi.

\blacktriangleleft F(x)=f(x)\pm g(x) deb topamiz:

{F(x)-F(x_0) \over x-x_0}={f(x)-f(x_0) \over x-x_0}\pm {g(x)-g(x_0)\over x-x_0}.

Bu tenglikda x\rightarrow x_0 da limitga oʻtib, yuqoridagi munosabatlarni eʼtiborga olsak. Unda

\lim_{n \to x_0}{F(x)-F(x_0) \over x-x_0}=\lim_{n \to x_0}={f(x)+f(x_0) \over x-x_0}\pm

\pm\lim_{n \to x_0}{g(x)-g(x_0) \over x-x_0} =f'(x_0)\pm g'(x_0)

boʻlishi kelib chiqadi. Demak,

F'(x_0)=(f(x)\pm g(x))'_x=f'(x_0)\pm g'(x_0).\blacktriangleright

2) f(x)\cdot g(x)       funksiya x_0 nuqtada hosilaga ega boʻlib,

(f(x)\cdot g(x))'_x=f'(x_0)\cdot g(x_0)\pm f(x_0)\cdot g'(x_0)

boʻladi.

\blacktriangleleft  F(x)=f(x)\cdot g(x) deb

{F'(x)-F(x_0) \over x-x_0}

nisbatini quyidagicha

{F(x)-F(x_0)\over x-x_0}={f(x)-f(x_0) \over x-x_0}\cdot g(x_0)+{g(x)-g(x_0) \over x-x_0}\cdot f(x)

yozib olamiz. Soʻng x\longrightarrow x_0 da limitga oʻtib topamiz.

\lim_{n \to x_0}{F(x)-F(x_0) \over x-x_0}=g(x_0)\cdot \lim_{n \to x_0}{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}+\lim_{n \to x_0}{g(x)-g(x_0) \over x-x_0}\cdot f(x)=

=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0).

Demak,

F'(x_0)=(f(x)\cdot g(x))'_{x0}=f'(x_0)\cdot g(x_0)+ f(x_0)\cdot g'(x_0) \blacktriangleright

3) {f(x) \over g(x)} funksiya (g(x_0)\neq0) x_0 nuqtada ho silaga ega boʻlib,

\biggl({f(x) \over g(x)}\biggr)'_{x0}={f'(x_0)\cdot g(x_0)-f(x_0)\cdot g'(x_0) \over g^2(x_0)}

boʻladi.

\blacktriangleleft Modomiki, g(x_0)\neq0 ekan, unda x_0 nuqtaning biror atrofidagi x larda g(x)\neq0 boʻladi.

SHuni etiborga olib topamiz:

 toʻplamda

berilgan boʻlib, x_0\in X  nuqtada f'(x_0) hosilaga,  y_0\in \{f(x)|x\in X\} nuqtada    (y_0=f(x_0))      g'(y_0)   hosilaga ega boʻlsin.  U holda 

g(f (x))    murakkab funksiya    x_o  hosilaga ega boʻlib, 

(g(f(x)))'_{x0}=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0) 

boʻladi.

\blacktriangleleft g(y)   funksiyaning   y_0        nuqtada       g'(y_0)   hosilaga ega boʻlganligidan 

g(y)-g(y_0)=g'(y_0)\cdot (y-y_0)+\alpha\cdot(y-y_0) 

boʻlishi kelib chiqadi. Bunda 

y=f(x), y_0=f(x_0)   va     y\longrightarrow y_0    da  \alpha\longrightarrow 0  .

Keyingi tenglikning xar ikki tomonini x-x_0   ga bo'lib topamiz; 

{g(f(x))-g(x_0)) \over x-x_0}=g'(f(x_0))\cdot{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}+a{f(x)-f(x_0) \over x-x_0}

Bundan x-x_0  da limitga o'tib,

(g(f(x)))'_{x0}=g'(f(x_0))\cdot f'(x_0)

tenglikga kelamiz\blacktriangleright

## HOSILALAR JADVALI

## Quyidagi  sodda funksiyalarning hosilalarini ifodalovchi formulalarni keltiramiz

# (C)',   C=const.
# (x_a)'=a\cdot x^{a-1},       a\in R,   x>0     (x^n)' =nx^{n-1}        n\in N, x\in R
# (a^x)=a^x lna,  a>0,  a\neq 1,   x\in R      (e^x)'=e^x ,   x\in R
# (log_a x)'   ={1 \over x ln a},     a>0,    a\neq1,  x\neq0                (log_a \left\vert x \right\vert)'  ={1\over xln a}        a>0, a\neq 1,   x\neq 0.     (ln x)' ={1\over x}        x>0.   (ln\left\vert x \right\vert)'   ={1 \over x}         x\neq 0
# (sin x)'  =cos x        x\in R 
# (cos x)'   =-sin x,       x\in  R. 
# (tgx)'  ={1 \over cos^2x},       x\neq {\pi \over 2}    n\in  R   
# (ctg x)'   -{1 \over sin^2x}       x\neq n\pi    n\in R
#(\arcsin x)'  ={\operatorname{1}\!\over\operatorname{\sqrt{1-x^2}}\!},     \left\vert x \right\vert  
#(\arccos x)' =-{1 \over \sqrt{1-x^2}},     \left\vert x \right\vert  
#(\arctan x)' ={1 \over \sqrt{1+x^2}},      x\in  R  
#(\arccot)'   =-{1\over \sqrt{1+x_2}}       x\in R   
#(shx)'   =chx,    x\in  R
#(chx)' =shx,  x\in R  
#(thx)'  ={1\over ch^2 x},     x   \in  R 
#(cthx)'  =-{1\over sh^2 x},  x\neq 0  

## MANBALAR

* Differensial hisob

{Худойберганов_Г_ва_бошқалар_Математик_анализдан_маърузалар_1 toʻplami} dan
olindi