Pozitsiya va Impuls fazosi

Fizika va geometriyada ikkita chambarchas bog'liq vektor bo'shliqlari mavjud, odatda uch o'lchovli, lekin umuman olganda har qanday chekli o'lchovli. **Pozitsiya fazosi** (shuningdek, **real fazo** yoki **[[Koordinatalar|koordinata]] fazosi**) fazodagi barcha *pozitsiya vektorlari* **r** to'plami bo'lib, uzunlik o'lchamlariga ega; pozitsiya vektori fazodagi nuqtani belgilaydi. (Agar nuqtali zarrachaning joylashuv vektori vaqt o'tishi bilan o'zgarib tursa, u zarrachaning yo'lini, traektoriyasini aniqlaydi.) **Impuls fazosi** - fizik sistema ega bo'lishi mumkin bo'lgan barcha *[[Impuls|impuls vektorlari]]* **p** to'plami; zarraning impuls vektori uning harakatiga mos keladi, birliklari [massa][uzunlik][vaqt] −1.

Matematik nuqtai nazardan, pozitsiya va impuls o'rtasidagi *ikkilik Pontryagin dualligining* namunasidir. Xususan, agar funksiya pozitsiya fazosida *f* (**r**) berilgan bo'lsa, u holda uning Furye konvertatsiyasi impuls fazosida *ph* (**p**) funksiyani oladi. Aksincha, impuls fazosi funksiyasining teskari Furye konvertatsiyasi pozitsiya fazosi funksiyasidir.

Bu miqdorlar va g'oyalar barcha klassik va kvant fizikasidan ustundir va fizik tizimni tashkil etuvchi zarrachalarning pozitsiyalari yoki ularning momentlari yordamida tasvirlash mumkin, har ikkala formula ham ko'rib chiqilayotgan tizim haqida bir xil ma'lumot beradi. Yana bir miqdor to'lqinlar kontekstida aniqlash uchun foydalidir. To'lqin vektori **k** (yoki oddiygina " **k** -vektor") o'zaro uzunlikdagi o'lchamlarga ega bo'lib, uni o'zaro vaqt o'lchamlariga ega bo'lgan *ō* burchak chastotasining analogiga aylantiradi. Barcha to'lqin vektorlari to'plami **k-fazodir**. Odatda **r** **k** ga qaraganda intuitivroq va soddaroqdir, ammo buning aksi ham to'g'ri bo'lishi mumkin, masalan, qattiq jismlar fizikasida.

Kvant mexanikasi pozitsiya va impuls o'rtasidagi ikkilanishning ikkita asosiy misolini keltiradi: Geyzenberg noaniqlik printsipi \Delta*x* \Delta*p* ≥ *ħ* /2 pozitsiya va impulsni bir vaqtning o'zida ixtiyoriy aniqlik bilan bilish mumkin emasligini va de Broyl munosabati **p** = *ħ***k**. erkin zarrachaning impulsi va to'lqin vektori o'zaro proportsionaldir. Shu nuqtai nazardan, bir ma'noli bo'lsa, " impuls " va "to'lqin vektor" atamalari bir-birining o'rnida ishlatiladi. Biroq, de Broyl munosabati kristalda to'g'ri emas.

## Klassik mexanikada pozitsiya va impuls fazolari

### Lagranj mexanikasi
Ko'pincha Lagranj mexanikasida Lagrangian *L* (**q**, *d* **q** / *dt*, *t*) konfiguratsiya maydonida bo'ladi, bu yerda **q** = (*q* 1, *q* 2 ,..., *q <sub>n</sub>*) umumlashtirilgan koordinatalarning \eta - tuplesidir.. Eyler-Lagranj harakat tenglamalari\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial L}{\partial q_i} \,,\quad \dot{q}_i \equiv \frac{dq_i}{dt}\,. (Bir haddan tashqari nuqta bir martalik hosilani bildiradi). Har bir umumlashtirilgan koordinata uchun kanonik impuls ta'rifini kiritish p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \,, Eyler-Lagranj tenglamalari shaklni oladi\dot{p}_i = \frac{\partial L}{\partial q_i} \,. Lagrangian impuls fazosida ham ifodalanishi mumkin, *L* ′(**p**, *d* **p** / *dt*, *t*), bu yerda **p** = (*p* 1, *p* 2,..., *p <sub>n</sub>*) *n* -tupledir. umumlashtirilgan moment. Lagranjning umumlashtirilgan koordinata fazosining umumiy differentsialidagi o'zgaruvchilarni o'zgartirish uchun Legendre transformatsiyasi amalga oshiriladi;dL = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial L }{\partial q_i}dq_i + \frac{\partial L }{\partial \dot{q}_i}d\dot{q}_i\right) + \frac{\partial L }{\partial t}dt = \sum_{i=1}^n (\dot{p}_i dq_i + p_i d\dot{q}_i) + \frac{\partial L }{\partial t}dt \,, Bu yerda umumlashtirilgan impulsning ta'rifi va Eyler-Lagrange tenglamalari *L* ning qisman hosilalari o'rnini egalladi. Differensiallar uchun mahsulot qoidasi umumlashtirilgan koordinatalar va tezliklardagi differentsiallarni umumlashtirilgan momentdagi differentsiallar va ularning vaqt hosilalari bilan almashish imkonini beradi,\dot{p}_i dq_i = d(q_i\dot{p}_i) - q_i d\dot{p}_i  p_i d\dot{q}_i = d(\dot{q}_i p_i) - \dot{q}_i d p_i almashtirilgandan so'ng soddalashtiriladi va qayta tartibga solinadi d\left[L - \sum_{i=1}^n(q_i\dot{p}_i + \dot{q}_i p_i)\right] = -\sum_{i=1}^n (\dot{q}_i d p_i + q_i d\dot{p}_i) + \frac{\partial L }{\partial t}dt \,. Endi impuls fazosining to'liq differensiali Lagranjian *L* ′ dir

shuning uchun lagranjlarning differensiallarini, momentlarini va ularning vaqt hosilalarini solishtirganda, mos ravishda, *L ' impuls fazosi va L* **'' dan olingan umumlashtirilgan koordinatalar.<math display="block">L' = L - \sum_{i=1}^n(q_i\dot{p}_i + \dot{q}_i p_i)\,,\quad -\dot{q}_i = \frac{\partial L'}{\partial p_i}\,,\quad -q_i = \frac{\partial L'}{\partial \dot{p}_i} \,. </math>Oxirgi ikkita tenglamani birlashtirib, impuls fazosi Eyler-Lagrange tenglamalarini beradi<math display="block">\frac{d}{dt}\frac{\partial L'}{\partial \dot{p}_i} = \frac{\partial L'}{\partial p_i} \,. </math>Legendre transformatsiyasining afzalligi shundaki, bu jarayonda yangi va eski funksiyalar va ularning o'zgaruvchilari o'rtasidagi bog'liqlik olinadi. Tenglamaning koordinata va impuls shakllari ham ekvivalent bo'lib, tizimning dinamikasi haqida bir xil ma'lumotlarni o'z ichiga oladi. Ushbu shakl momentum yoki burchak momenti Lagrangianga kirganda foydaliroq bo'lishi mumkin.

=== Gamilton mexanikasi ===
Gamilton mexanikasida, barcha koordinatalardan ''yoki'' momentdan foydalanadigan Lagranj mexanikasidan farqli o'laroq, harakatning Gamilton tenglamalari koordinatalar va momentlarni teng asosda joylashtiradi. Gamiltonian ''H'' (**q**, **p**, ''t'') boʻlgan sistema uchun tenglamalar<math display="block"> \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \,,\quad \dot{p}_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i} \,. </math>

== Kvant mexanikasidagi pozitsiya va impuls fazolari ==
 
[[Kvant mexanika|Kvant mexanikasida]] zarracha kvant holati bilan tavsiflanadi. Bu kvant holatini asosiy holatlarning superpozitsiyasi (ya'ni vaznli yig'indi sifatida chiziqli birikma) sifatida ko'rsatish mumkin. Printsipial jihatdan bazaviy holatlar to'plamini tanlash erkindir, agar ular bo'sh joyni qamrab olsa. Pozitsiya operatorining xos funksiyalari bazis funksiyalar toʻplami sifatida tanlansa, holat haqida pozitsiya fazosida [[To'lqin funksiya|toʻlqin funksiyasi]]  sifatida soʻz boradi (uzunlik boʻyicha [[fazo]] haqidagi oddiy tushunchamiz). **r** pozitsiyasi bo'yicha tanish bo'lgan Shredinger tenglamasi pozitsiyani tasvirlashda kvant mexanikasiga misoldir.

Bazis funksiyalar toʻplami sifatida boshqa operatorning xos funksiyalarini tanlab, bir xil holatning bir qancha turli koʻrinishlariga erishish mumkin. Agar impuls operatorining xos funksiyalari bazis funksiyalar to'plami sifatida tanlansa, natijada to'lqin funksiyasi <math>\phi(\mathbf{k})</math> impuls fazosidagi to’lqin funksiyasi deyiladi.

Kvant mexanikasining o'ziga xos xususiyati shundaki, fazali bo'shliqlar turli xil bo'lishi mumkin: diskret o'zgaruvchan, rotor va doimiy o'zgaruvchan. Quyidagi jadvalda uch turdagi fazali bo'shliqlar bilan bog'liq ba'zi munosabatlar jamlangan.


== Fazo va o'zaro makon o'rtasidagi munosabat ==
To'lqin funksiyasining momentum ifodasi Furye transformatsiyasi va chastota sohasi tushunchasi bilan juda chambarchas bog'liq. Kvant-mexanik zarracha impulsga mutanosib chastotaga ega boʻlgani uchun (yuqorida berilgan de-Broyl tenglamasi), zarrachani impuls komponentlari yigʻindisi sifatida tasvirlash uni chastota komponentlari yigʻindisi (yaʼni Furye konvertatsiyasi) sifatida tasvirlashga tengdir. Bu biz o'zimizdan qanday qilib bir vakillikdan ikkinchisiga o'tishimiz mumkinligini so'raganimizda aniq bo'ladi.

=== Pozitsiya fazosidagi funksiyalar va operatorlar ===
Faraz qilaylik, bizda  pozitsiya fazosida uch oʻlchamli [[To'lqin funksiya|toʻlqin funksiyasi]] bor, u holda bu funksiyalarni ortogonal bazis funksiyalarining  vaznli yigʻindisi sifatida yozishimiz mumkin:<math display="block">\psi(\mathbf{r})=\sum_j \phi_j \psi_j(\mathbf{r})</math>yoki uzluksiz holatda [[integral]] sifatida<math display="block">\psi(\mathbf{r})=\int_{\mathbf{k}\text{-space}} \phi(\mathbf{k}) \psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \mathrm d^3\mathbf{k}</math>Agar funksiyalar to'plamini ko'rsatsak, bu aniq <math>\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})</math>, impuls operatorining xos funksiyalar toʻplami sifatida aytaylik, funksiya <math> \phi(\mathbf{k})</math>  ni qayta qurish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarni o'z ichiga oladi va shuning uchun davlat uchun muqobil tavsifdir <math>\psi</math>.

Kvant mexanikasida impuls operatori tomonidan berilgan<math display="block">\mathbf{\hat p} = -i \hbar\frac{\partial}{\partial \mathbf{r}}</math>(maxraj belgisi uchun matritsa hisobiga qarang) tegishli domen bilan. Xususiy funksiyalar<math display="block">\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} e^{i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}</math>va xos qiymatlar ''ħ'' **k**. Shunday qilib<math display="block">\psi(\mathbf{r})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} \int_{\mathbf{k}\text{-space}} \phi(\mathbf{k}) e^{i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \mathrm d^3\mathbf{k} </math>

=== Impuls fazosidagi funksiyalar va operatorlar ===
Aksincha, impuls fazosida uch o'lchovli to'lqin funksiyasi <math>\phi(\mathbf{k})</math> ortogonal bazis funksiyalarining vaznli yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin <math>\phi_j(\mathbf{k})</math> ,<math display="block">\phi(\mathbf{k}) = \sum_j \psi_j \phi_j(\mathbf{k}),</math>yoki integral sifatida,<math display="block">\phi(\mathbf{k}) = \int_{\mathbf{r}\text{-space}} \psi(\mathbf{r}) \phi_{\mathbf{r}}(\mathbf{k}) \mathrm d^3\mathbf{r}.</math>Pozitsiya operatori tomonidan berilgan<math display="block">\mathbf{\hat r} = i \hbar\frac{\partial}{\partial \mathbf p} = i\frac{\partial}{\partial \mathbf{k}}</math>xos funksiyalar bilan<math display="block">\phi_{\mathbf{r}}(\mathbf{k}) = \frac{1}{\left(\sqrt{2\pi}\right)^3} e^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}</math>va xos qiymatlar **r**. Shunday qilib, shunga o'xshash parchalanish <math>\phi(\mathbf{k})</math> teskari Furye konvertatsiyasi bo'lib chiqadigan ushbu operatorning xos funksiyalari nuqtai nazaridan amalga oshirilishi mumkin,<math display="block">\phi(\mathbf{k})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^3} \int_{\mathbf{r}\text{-space}} \psi(\mathbf{r}) e^{-i \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \mathrm d^3\mathbf{r}.</math>

== Pozitsiya va impuls operatori o'rtasidagi unitar ekvivalentlik ==
**r** va **p** operatorlari unitar ekvivalentdir, unitar operator Furye konvertatsiyasi, ya'ni osilator Gamiltonian tomonidan yaratilgan chorak tsiklli aylanish fazasi orqali aniq berilgan. Shunday qilib, ular bir xil spektrga ega. Jismoniy tilda impuls fazo toʻlqini funksiyalariga ta’sir etuvchi **p** pozitsion fazo toʻlqin funksiyalariga ta’sir etuvchi **r** bilan bir xil (Furye konvertatsiyasi tasviri ostida).

== O'zaro bo'shliq va kristallar ==
Kristaldagi [[elektron]] (yoki boshqa [[Zarra|zarracha]]) uchun uning **k** qiymati deyarli har doim uning kristall impulsiga bog'liq bo'ladi, uning normal momentumiga emas. Shuning uchun, **k** va **p** oddiy proportsional emas, balki turli rollarni bajaradi. Misol uchun k·p tebranish nazariyasiga qarang. Kristal impuls to'lqin konvertiga o'xshaydi, u to'lqinning bir hujayradan ikkinchisiga o'zgarishini tavsiflaydi, lekin har bir birlik hujayra ichida to'lqin qanday o'zgarishi haqida hech qanday ma'lumot ''bermaydi''.

Agar **k** haqiqiy impuls o'rniga kristall impuls bilan bog'liq bo'lsa, **k** - fazo tushunchasi hali ham mazmunli va juda foydali, ammo u yuqorida muhokama qilingan kristal bo'lmagan **k** - fazodan bir necha jihatdan farq qiladi. Masalan, kristallning **k** -fazosida o'zaro panjara deb ataladigan cheksiz nuqtalar to'plami mavjud bo'lib, ular **k** = **0** ga "ekvivalent" (bu boshqa nomga o'xshash). Xuddi shunday, " [[Zonaviy nazariya|birinchi Brilyuen zonasi]] " ham **k** -fazoning cheklangan hajmi bo'lib, har bir mumkin bo'lgan **k''' ushbu mintaqadagi aniq bir nuqtaga "ekvivalent" bo'ladi.

## Yana qarang

* Faza maydoni
* O'zaro bo'shliq
* Konfiguratsiya maydoni
* Fraktsion Furye konvertatsiyasi

## Izohlar

## Manbalar