Garmonik elektromagnit toʻlqin

**Garmonik elektromagnit toʻlqin** — yassi elektromagnit to'lqinning xususiy holi boʻlib, fanda muhim ahamiyat kasb etadi.
Maʼlumki, vektor-potensial ifodasi quyidagi koʻrinishga ega:
: \textbf{A} = \textbf{A}\left(t-\frac{z}{c}\right);\ \ \ \ \ \ (1)

Bu ifodadagi vektor-potensialni t-\frac{z}{c} argumentning oddiy davriy funksiyasi, yaʼni garmonik funksiyasi deb hisoblansa, quyidagicha yozish mumkin boʻladi:
: 
\textbf{A} = \textbf{A}_{0}e^{i\omega(t-\frac{z}{c})};\ \ \ \ \ \ (2)

bu yerda \textbf{A}_{0} — oʻzgarmas kompleks vektor boʻlib, toʻlqin tebranishining amplitudasi, \omega — toʻlqin tebranishining siklik chastotasi deyiladi. Toʻlqin tarqalish yoʻnalishi *z* koordinata oʻqi boʻyicha boʻlmasa, u vaqtda
: z = (\textbf{r}\ \textbf{n});\ \ \ \ \ \ (3)

bu yerda **r** toʻlqin tekisligi nuqtasining radius-vektoridir, **n** toʻlqin tarqalish yoʻnalishini aniqlovchi ortdir. Maʼlumki,
: i \omega\left(t-\frac{z}{c}\right)=i\omega\left[t-\frac{1}{c}(\textbf{rn})\right]=i\left[\omega t-\frac{\omega}{c}(\textbf{rn})\right]
;\ \ \ \ \ \ (4)
## Toʻlqin soni
Quyidagi taʼrif orqali yangi **k** vektor kiritish mumkin:
: 
\textbf{k} = \frac{\omega}{c}\textbf{n};\ \ \ \ \ \ (5)

U vaqtda i \omega\left(t-\frac{z}{c}\right)=i\left[(\omega t-\textbf{kr})\right], demak,

: \textbf{A} = \textbf{A}_{0}e^{i[\omega t-(kr)]};\ \ \ \ \ \ (6)

Maʼlumki, koʻrsatkichli funksiya e^{i\beta} ning qiymati \beta funksiya har 2\pi ga oʻzgarishi bilan yana takrorlanadi. Masalan,

e^{i\omega(t+T)} = e^{i(\omega t+2\pi)}

demak,

: 
\omega=\frac{2\pi}{T};\ \ \ \ \ \ (7)

bu yerda T — toʻlqin tebranishining davri, \nu = \frac{1}{T} toʻlqin tebranishining chastotasi deyiladi. Xuddi shuningdek,
: e^{-i\frac{\omega}{c}[(r n)+\lambda]} = e^{-i\left[\frac{\omega}{c}(rn)+2\pi\right]}, demak, \frac{\omega}{c}\lambda=2\pi

yoki
: \lambda = \frac{2\pi c}{\omega};\ \ \ \ \ \ (8)

bu yerda \lambda — *toʻlqin uzunligi* deyiladi. Shuni nazarda tutib, (5) ga muvofiq yozish mumkin:
: \textbf{k} = \frac{2\pi}{\lambda}\textbf{n};\ \ \ \ \ \ \ (9)

Yuqorida taʼriflangan **k** vektor *toʻlqin vektori* deb ataladi. Koʻrinib turibdiki, uning yoʻnalishi toʻlqin tarqalishi yoʻnalishidir, son qiymati esa k = \frac{2\pi}{\lambda}, yaʼni 2\pi sm uzunlikda joylashgan toʻlqinlar soniga teng. Shuning uchun *k* kattalik toʻlqin soni deyiladi.

## Garmonik elektromagnit toʻlqin kuchlanganliklari
Garmonik elektromagnit toʻlqinlar uchun elektr maydon kuchlanganligi ifodasini quyidagicha yozish mumkin:
: \textbf{E} = -\frac{1}{c}\dfrac{\partial\textbf{A}}{\partial t} = -\frac{1}{c}\textbf{A}i\omega = -i\frac{\omega}{c}\textbf{A}_{0}e^{i[\omega t-(\textbf{kr})]}

yoki
: \textbf{E} = \textbf{E}_{0}e^{i[\omega t-(\textbf{kr})]};\ \ \ \ \ \ (10)

boʻladi. Bu yerda E_{0} — oʻzgarmas kompleks vektor. Shuningdek,
: \textbf{H} = \textbf{H}_{0}e^{i[\omega t-(\textbf{kr})]};\ \ \ \ \ \ (11)

Magnit maydon va elektr maydon har doim bir-biriga simmetrik ekanligini yoddan chiqarmaslik zarur!

### Garmonik toʻlqin kuchlanganliklarining oʻzgarishi
Dastlab, (10) formuladagi kvadrat qavs ichida turgan ifodani \psi orqali
: \psi  = \omega t -(\textbf{kr});\ \ \ \ \ \ (12)

belgilab, soʻngra \textbf{E}_{0} kompleks vektorni ikkita haqiqiy \textbf{a}_{1} va kompleks \textbf{a}_{2} vektorlar orqali ifodalash lozim: \textbf{E}_{0} = \textbf{a}_{1}+i\textbf{a}_{2}.

U vaqtda (10) ga muvofiq,
: 
\textbf{E} = (\textbf{a}_{1}+i\textbf{a}_{2})e^{i\psi} = (\textbf{a}_{1}+i\textbf{a}_{2})(\cos\psi+i\sin\psi)=\textbf{a}_{1}\cos\psi-\textbf{a}_{2}\sin\psi+i(\textbf{a}_{1}\sin\psi +\textbf{a}_{2}\cos\psi)

yoki haqiqiy qismini ajratib yozilsa,
: \textbf{E} = \textbf{a}_{1}\cos\psi - \textbf{a}_{2}\sin\psi;\ \ \ \ \ \ (13)

Ikkita oʻzaro perendikulyar boʻlgan haqiqiy **E**1 va **E**2 vektorlar berilgan boʻlsin. Yaʼni,

: (\textbf{E}_{1}\textbf{E}_{2}) = 0;\ \ \ \ \ \ (14)


Ularni **a**1 va **a**2 vektorlar boʻyicha quyidagi koʻrinishda ajratish mumkin:
: 
\textbf{E}_{1} = \textbf{a}_{1}\cos\gamma+\textbf{a}_{2}\sin\gamma;\ \ \ \ \ \ (15)
: 
\textbf{E}_{2} = \textbf{a}_{1}\sin\gamma-\textbf{a}_{2}\cos\gamma;\ \ \ \ \ \ (16)

bu yerda  \gamma burchak hozircha nomaʼlum.

Soʻnggi formulalardan koʻrinib turibdiki, \textbf{a}_{1} = \textbf{E}_{1}\cos\gamma+\textbf{E}_{2}\sin\gamma,\ \textbf{a}_{2} = \textbf{E}_{1}\sin\gamma - \textbf{E}_{2}\cos\gamma.
Shularga asosan, (13)-formuladan
: 
\textbf{E}= \textbf{E}_{1}\cos(\psi+\gamma)+\textbf{E}_{2}\sin(\psi+\gamma);\ \ \ \ \ \ (17)

(14)-formulaga muvofiq esa
: 
(\textbf{E}_{1}\textbf{E}_{2})=a_{1}^{2}\cos\gamma\sin\gamma - (\textbf{a}_{1}\textbf{a}_{2})\cos^{2}\gamma+(\textbf{a}_{1}\textbf{a}_{2})\sin^{2}\gamma-a_{2}^{2}\sin\gamma\cos\gamma=(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})\sin\gamma\cos\gamma+(\textbf{a}_{1}\textbf{a}_{2})(\sin^{2}\gamma-\cos^{2}\gamma)\Rightarrow
: 
\Rightarrow (a_{1}^{2}-a_{2}^{2})\frac{\sin 2\gamma}{2}-(\textbf{a}_{1}\textbf{a}_{2})\cos 2\gamma =0

bu yerdan
: 
\textrm{tg}2\gamma = \frac{2(\textbf{a}_{1}\textbf{a}_{2})}{a_{1}^{2}-a_{2}^{2}};\ \ \ \ \ \ \ (18)

Toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi **z** koordinata oʻqi yoʻnalishi bilan bir xil edi. Demak, \textbf{E}_{1} va \textbf{E}_{2} vektorlar *XOY* tekisligida yotadilar. \textbf{E}_{1} vektor yoʻnalishini *x* koordinata yoʻnalishi desak, \textbf{E}_{2} vektor *y* koordinata oʻqiga yo parallel, yoki antiparallel boʻlishi mumkin. Shunday qilib,
: 
E_{x}= E_{1}\cos(\psi+\gamma);\ \ \ \ \ \ \ (19)
: 
E_{y} =\pm E_{2}\sin(\psi+\gamma);\ \ \ \ \ \ \ (20)

bu yerda \psi+\gamma — toʻlqinning fazasi, E_{1} va E_{2} esa amplitudalari deyiladi.

Kuchlanganlik vektorining maʼlum nuqtada vaqtga qarab yuqoridagi qonun boʻyicha oʻzgarishi toʻlqinning qutblanishi va bunday toʻlqin qutblangan to'lqin deyiladi.

### Qutblanish turlari
Yuqoridagi berilgan tenglamalarni bir xil ishorali tebranishlar uchun quyidagicha yozish mumkin:
: 
E_{x}=E_{1}\cos(\psi+\gamma);\ \ \ \ \ \ \ (21)
: E_{y} = E_{2}\sin(\psi+\gamma) = E_{2}\cos\left(\psi+\gamma-\frac{\pi}{2}\right);\ \ \ \ \ \ (22)

Qarama-qarshi ishorali tebranishlar uchun esa:
: 
E_{x}=E_{1}\cos(\psi+\gamma);\ \ \ \ \ \ \ (23)
: E_{y} =-E_{2}\sin(\psi+\gamma) = E_{2}\cos\left(\psi+\gamma-\frac{3\pi}{2}\right);\ \ \ \ \ \ (24)

(19)-formulani E_{1} ga hamda (20)-formulani E_{2} ga koʻpaytirilsa, undan soʻng tengliklarning chap va oʻng tomonlarini kvadratga koʻtarib, yigʻindisi hisoblansa, \frac{E_{x}^{2}}{E_{1}^{2}}+\frac{E_{y}^{2}}{E_{2}^{2}}=1 boʻladi. Bu formula esa ellipsni ifodalaydi.

Koʻrinib turibdiki, elektr maydon kuchlanganligi vektorining oxiri fazoning har bir aniq oʻzgarmas nuqtasida toʻlqin tarqalishiga perpendikulyar tekislikdagi ellips boʻylab aylanadi. Bunday toʻlqin elliptik qutblangan to'lqin deyiladi.

Vaqt va fazoda **E** vektorning oʻzgarishini shunday tasavvur qilish mumkin: **E** vektorning oxiri toʻlqin tarqalishi yoʻnalishi atrofida oʻralgan spiral boʻylab aylanadi.

**E** vektor oxirining qaysi tomonga aylanishi (20)-formuladagi musbat yoki manfiy ishoraga bogʻliq. Toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga qarab turuvchiga nisbatan **E** vektorning oxiri soat strelkasining yurishi boʻyicha aylansa (yuqoridagi musbat ishoraga mos), yaʼni (21) bilan (22) ga binoan, toʻlqin *musbat spirallikka * ega deyiladi. Agar toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga qarab turuvchiga nisbatan **E** vektorning oxiri soat strelkasining yurishiga qarama-qarshi aylansa (yuqoridagi manfiy ishoraga mos), yaʼni (23) bilan (24) ga asosan, toʻlqin *manfiy spirallikka* ega deyiladi.

Agar E_{1} = E_{2} boʻlsa, ellips doira shaklini oladi, toʻlqin esa doiraviy qutblanishga ega boʻladi.

Agar E_{1} = 0 yoki E_{2} = 0 boʻlsa, toʻlqin chiziqli qutblanishga ega boʻladi (rasmga qarang).

Chiziqli qutblanishga ega yassi elektromagnit toʻlqinning elektr maydon kuchlanganlik vektori, quyidagicha ifodalanadi:
: 
\textbf{E} = \textbf{E}_{0}e^{i[\omega t-(\textbf{kr})]};\ \ \ \ \ \ (25)

va xuddiy shuningdek, bu toʻlqinning magnit maydon kuchlanganligi vektori
: \textbf{H} = \textbf{H}_{0}e^{i[\omega t-(\textbf{kr})]};\ \ \ \ \ \ (26)

boʻladi. Bu yerda \textbf{E}_{0},\ \textbf{H}_{0} — oʻzgarmas haqiqiy vektorlar.

Tarixiy anʼanalarga muvofiq, magnit maydon kuchlanganligi vektorining yoʻnalishi *qutblanish yoʻnalishi* deyiladi. Shuningdek, magnit maydon kuchlanganligi vektori bilan toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi yotgan tekislik qutblanish tekisligi deb yuritiladi.

## Yana qarang
* Toʻlqin paket
* Kechikuvchi potensiallar
* Dipol nurlanishi
## Adabiyotlar
* *R.X.Mallin*, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974