Normal moda

Dinamik sistemaning **normal modasi** – bu sistemaning barcha qismlari sinusoidal ravishda bir xil chastotada va belgilangan faza bogʻlanishi bilan harakatlanadigan harakatlanish shaklidir. Normal modalar yordamida tushuntiriladigan erkin harakat belgilangan chastotalarda sodir boʻladi. Tizimning normal modalarining ushbu belgilangan chastotalari uning tabiiy chastotalari yoki rezonans chastotalari deb nomlanadi. Bino, koʻprik yoki molekula kabi fizik ob’ektning tuzilishi, materiallari va chegaraviy shartlariga bogʻliq boʻlgan tabiiy chastotalari va ularning normal modalar toʻplami mavjud.

Chiziqli sistemaning eng umumiy harakati uning normal rejimlarining superpozitsiyasidir. Modalar mustaqil harakatlana olgani uchun normaldir, yaʼni bitta rejimning qoʻzgʻalishi hech qachon boshqa modaning harakatiga sabab boʻlmaydi. Matematik nuqtai nazardan normal rejimlar bir-biriga perpendikulyardir.

## Umumiy tavsiflar

### Moda
Fizika va muhandislikning toʻlqin nazariyasida dinamik tizimdagi **moda** qoʻzgʻalishning turgʻun toʻlqin holati boʻlib, unda tizimning barcha tarkibiy qismlari ushbu moda bilan bogʻliq boʻlgan belgilangan chastotada sinusoidal tarzda taʼsir qiladi.

Hech qaysi real sistema turgʻun toʻlqinga toʻliq mos kelmasligi sababli, *moda* tushunchasi tebranishning oʻziga xos holatlarining umumiy tavsifi sifatida qabul qilinadi, shuning uchun dinamik tizimni *chiziqli* rejimda koʻrib chiqadi, bunda holatlarning chiziqli superpozitsiyasini amalga oshirish mumkin.

## Mexanik sistemalarda

### Bogʻlangan osillyatorlar
Ikki teng jismni (gravitatsiya taʼsirida boʻlmagan) koʻraylik, har birining massasi *m*, uchta prujinaga bogʻlangan, har birining bikrligi *k* . Ular fizik jihatdan simmetrik sistema tashkil etib, quyidagi tarzda tuziladi:

: 

chekkadagi nuqtalar qotirilgan va harakatlana olmaydi. Chapdagi massaning gorizontal koʻchishini belgilash uchun *x* 1 (*t*) va oʻng massaning koʻchishini belgilash uchun *x* 2 (*t*) dan foydalanamiz.

Agar tezlanishni (vaqtga nisbatan *x* (*t*) ning ikkinchi hosilasi) \scriptstyle \ddot x deb belgilasak, harakat tenglamalari :

: \begin{align}
 m \ddot x_1 &= - k x_1 + k (x_2 - x_1) = - 2 k x_1 + k x_2 \\
 m \ddot x_2 &= - k x_2 + k (x_1 - x_2) = - 2 k x_2 + k x_1
\end{align}

Normal modaning tebranma harakatini kutganimiz uchun (bu yerda ω ikkala massa uchun bir xil), biz quyidagini ishlatib koʻramiz:

: \begin{align}
 x_1(t) &= A_1 e^{i \omega t} \\
 x_2(t) &= A_2 e^{i \omega t}
\end{align}

: \begin{align}
 -\omega^2 m A_1 e^{i \omega t} &= - 2 k A_1 e^{i \omega t} + k A_2 e^{i \omega t} \\
 -\omega^2 m A_2 e^{i \omega t} &= k A_1 e^{i \omega t} - 2 k A_2 e^{i \omega t}
\end{align}

Eksponensial barcha joyda uchragani uchun biz uni qisqartiramiz va soddalashtiramiz:

: \begin{align}
 (\omega^2 m - 2 k) A_1 + k A_2 &= 0 \\
 k A_1 + (\omega^2 m - 2 k) A_2 &= 0
\end{align}

Va matritsa koʻrinishida:

: \begin{bmatrix}
 \omega^2 m - 2 k & k \\
         k & \omega^2 m - 2 k
 \end{bmatrix} \begin{pmatrix}
  A_1 \\
  A_2
 \end{pmatrix} = 0


Agar chapdagi matritsa teskari qilish mumkin matritsa boʻlsa, yagona yechim trivial yechimi (*A* 1 ,&nbsp;*A* 2) = (*x* 1 ,&nbsp;*x* 2) = (0,0). Trivial boʻlmagan yechimlari ω ning chapdagi matritsa singulyar boʻlgan qiymatlari uchun topiladi . Bundan kelib chiqadiki, matritsaning determinanti 0 ga teng boʻlishi kerak, shuning uchun:

:  (\omega^2 m - 2 k)^2 - k^2 = 0 

\omega uchun yechsak, bizda ikkita musbat yechim bor:

: \begin{align}
 \omega_1 &= \sqrt{\frac{k}{m}} \\
 \omega_2 &= \sqrt{\frac{3 k}{m}}
\end{align}

Agar matritsaga ω1 ni qoʻysak va (*A* 1 ,&nbsp;*A* 2) uchun yechsak biz (1,&nbsp;1) ni olamiz. Agar ω2 ni oʻrniga qoʻysak, biz (1,&nbsp;−1) niolamiz. (Bu vektorlar xos vektorlar, chastotalar esa xos qiymatlardir .)

Birinchi normal moda:

: \vec \eta_1 = \begin{pmatrix}
  x^1_1(t) \\
  x^1_2(t)
 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix}
  1 \\
  1
 \end{pmatrix} \cos{(\omega_1 t + \varphi_1)}


Bu ikkala massaning bir vaqtda bir xil yoʻnalishda harakatlanadi degani. Ushbu moda antisimmetrik deb ataladi.

Ikkinchi normal moda:

: \vec \eta_2 = \begin{pmatrix}
  x^2_1(t) \\
  x^2_2(t)
 \end{pmatrix} = c_2 \begin{pmatrix}
   1 \\
  -1
 \end{pmatrix} \cos{(\omega_2 t + \varphi_2)}


Bu qarama-qarshi yoʻnalishda harakatlanadigan massalarga mos keladi, massa markazi harakatsiz qoladi. Ushbu rejim simmetrik hisoblanadi.

Umumiy yechim **normal modalarning** superpozitsiyasi boʻlib, bunda *c* 1, *c* 2, φ1 va φ2, masalaning boshlangʻich shartlari bilan aniqlanadi.

Bu jarayonni Lagranj mexanikasi yoki Gamilton mexanikasi formalizmi yordamida umumiylashtirish va shakllantirish mumkin.

### Turgʻun toʻlqinlar
Turgʻun toʻlqin normal modaning davomiy shaklidir. Turgʻun toʻlqinda barcha fazo elementlari (yaʼni (*x* ,&nbsp;*y* ,&nbsp;*z*) koordinatalar) bir xil chastotada va fazada (muvozanat nuqtasiga birga yetib boradi) tebranadi, lekin hammasi har xil amplitudaga ega.

Turgʻun toʻlqinning umumiy formasi:

: 
\Psi(t) = f(x,y,z) (A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t))


bu yerda *ƒ* (*x* ,&nbsp;*y* ,&nbsp;*z*) amplitudaning joylashuvga bogʻliqligini, kosinus\sinus esa vaqtga bogʻliq tebranishlarni ifodalaydi.

Fizik jihatdan turgʻun toʻlqinlar toʻlqinlarning interferensiyasi (superpozitsiyasi) va ularning qaytishi natijasida hosil boʻladi (lekin buni teskari aytish ham toʻgʻri boʻladi; harakatlanuvchi toʻlqin turuvchi toʻlqinlarning superpozitsiyasidir). Muhitning geometrik shakli interferensiya manzarasini aniqlaydi, shuning uchun *ƒ* (*x*, *y* ,&nbsp;*z*) turgʻun toʻlqinning shakli. Bu fazoga bogʻliqlik **normal moda** deb ataladi.

Kvant nazariyasiga koʻra, xarakteristik chastotasi nyu boʻlgan kristall qattiq jismning normal tebranish modasining oʻrtacha energiyasi:

: E(\nu) = \frac{1}{2}h\nu + \frac{h\nu}{e^{h\nu/kT} - 1}

(1/2)*hv* hadi absolyut noldagi osilyator energiyasini ifodalaydi. *E*(v) yuqori haroratlarda klassik qiymat *kT* ga intiladi.

: E(\nu) = kT\left[1 + \frac{1}{12}\left(\frac{h\nu}{kT}\right)^2 + O\left(\frac{h\nu}{kT}\right)^4 + \cdots\right]

Termodinamik formulani bilgan holda,

: \left( \frac{\partial S}{\partial E}\right)_{N,V} = \frac{1}{T}

Birlik normal moda entropiyasi:

: \begin{align}
 S\left(\nu\right) &= \int_0^T\frac{d}{dT}E\left(\nu\right)\frac{dT}{T} \\[10pt]
         &= \frac{E\left(\nu\right)}{T} - k\log\left(1 - e^{-\frac{h\nu}{kT}}\right)
\end{align}

Erkin energiya bu:

: F(\nu) = kT\log \left(\frac{h\nu}{kT}\right)

*kT*&nbsp;>> *hn holatda* quyidagilarga intiladi:

Ichki energiya va solishtirma issiqlikni hisoblash uchun biz *v* va *v+dv* qiymatlari orasidagi chastotaning normal tebranish modalari sonini bilishimiz kerak. Shu raqamni *f*(v)d*v* qilib olaylik. Normal modalarning umumiy soni 3*N* ga teng boʻlgani uchun *f* (v) funksiyasi quyidagicha ifodalanadi:

## Kvant mexanikasida
Kvant mexanikasida holat \ | \psi \rang sistema toʻlqin funktsiyasi \ \psi (x, t) (Shredinger tenglamasini yechadi) bilan tushuntiriladi. \ \psi  ning absolyut qiymatining kvadrati, yaʼni:

: 
\ P(x,t) = |\psi (x,t)|^2


zarrani t vaqtda *x* joyda oʻlchash ehtimollik zichligidir.

Odatda, potentsial ishtirok etganda, toʻlqin funksiyasi energiyaning xos holatlarining superpozitsiyasiga parchalanadi, ularning har biri  \omega = E_n / \hbar  chastota bilan tebranadi. Demak quyidagini yoza olamiz

: 
|\psi (t) \rang = \sum_n |n\rang \left\langle n | \psi ( t=0) \right\rangle  e^{-iE_nt/\hbar}


## Oʻxshash mavzular

* Antirezonans
* Kritik tezlik
* Garmonik osilator
* Garmonik seriya (musiqa)
* Infraqizil spektroskopiya
* Oqish rejimi
* Mexanik rezonans
* Modali analiz
* Moda (elektromagnitizm)
* Kvazinormal moda
* Shturm-Liuvil nazariyasi
* Burilish tebranishi
* Aylana membrananing tebranishlari

## Manbalar

* 
* 
* 

## Tashqi havolalar

* Normal modaar boʻyicha Garvard maʼruza matnlari