Kechikuvchi potensiallar

Elektromagnit toʻlqinlar quyidagi differensial tenglamalarga boʻysunadi:
: 
\textrm{div}\textbf{A}+\frac{1}{c}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=0;\ \ \ \ \ \ (1)

: 
\Delta\textbf{A}-\frac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\textbf{A}}{\partial t^{2}}=-4\pi\frac{1}{c};\ \ \ \ \ \  (2)

: 
\Delta\varphi-\frac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=-4\pi\rho;\ \ \ \ \ \ \ (3)


Koʻrinib turibdiki, xususiy hosilalardan iborat chiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan amal qilishga toʻgʻri keladi.

Cheksiz kichik hajmdagi zaryad \delta e=\rho dV boʻladi. Koordinatalar boshini shu zaryadda joylashgan deb hisoblaymiz. U vaqtda, dV hajmdan tashqaridagi (R\ne 0) nuqtalarda zaryad yoʻq, demak (2 — 3) ga muvofiq
: 
\textrm{div}\textbf{A}+\frac{1}{c}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}=0;\ \ \ \ \ \ (4)
: 
\Delta \textbf{A}-\frac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\textbf{A}}{\partial t^{2}}=0;\ \ \ \ \ \ (5)
: 
\Delta\varphi-\frac{1}{c}\dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=0;\ \ \ \ \ \ (6)

\delta e zaryadning dv hajmdan tashqaridagi nuqtalarda hosil qilgan maydoni koordinatalar boshigacha boʻlgan masofa va vaqtgagina bogʻliq, yaʼni maydon sferik simmetriyaga ega. Endi Laplas operatorini sferik koordinatalarda yozib koʻrsak, (6) ga muvofiq
: 
\frac{1}{R^{2}}\dfrac{\partial}{\partial R}\left(R^{2}\frac{\partial\varphi}{\partial R}\right)-\frac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=0;\ \ \ \ \ \ (7)

Quyidagi koʻrinishda yangi funksiya kiritamiz:
: 
\varphi(t)=\frac{\psi(R,t)}{R};\ \ \ \ \ \ (8)

Koʻrinib turibdiki,
: 
\frac{\partial\varphi}{\partial R}=\frac{1}{R}\frac{\partial\psi}{\partial R}-\frac{\psi}{R^{2}},
: 
R^{2}\frac{\partial\varphi}{\partial R}=R\frac{\partial\psi}{\partial R}-\psi,
: 
\dfrac{\partial}{\partial R}\left(R^{2}\frac{\partial\varphi}{\partial R}\right)=R\frac{\partial^{2}\psi}{\partial R^{2}}+\frac{\partial\psi}{R}-\frac{\partial\psi}{R}=R\frac{\partial^{2}\psi}{\partial R^{2}},
: 
\frac{1}{R^{2}}\dfrac{\partial}{\partial R}\left(R^{2}\frac{\partial\varphi}{\partial R}\right)=\frac{1}{R}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial R^{2}}
: 
\frac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}

Demak, (7) ga muvofiq
: 
\dfrac{\partial^{2}\psi}{\partial R^{2}}-\frac{1}{c}\dfrac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0;\ \ \ \ \ \ (9)

boʻladi. Bu yassi elektromagnit to'lqin tenglamasidir. Shunday qilib,
: 
\psi=\psi_{1}\left(t+\frac{R}{c}\right)+\psi_{2}\left(t-\frac{R}{c}\right).\ \ \ \ \ \ \ (10)

To'lqin tenglamaning xususiy yechimigina bizni qiziqtiradi. Shu sababli \psi_{2} bilan cheklanamiz:
: 
\psi=\psi\left(t-\frac{R}{c}\right).\ \ \ \ \ \ (11)

U holda, (8) ga muvofiq
: 
\varphi (t)=\frac{\psi\left(t-\frac{R}{c}\right)}{R}.\ \ \ \ \ \ (12)

boʻladi. Koʻrinib turibdiki, vaqt oʻtishi bilan (t>0) toʻlqin radiusning orta borish tomoniga qarab tarqaladi. Nomaʼlum \psi\left(t-\frac{R}{c}\right) funksiyani aniqlash lozim.

Zaryadga cheksiz yaqin turgan nuqtalar uchun \frac{R}{c} cheksiz kichik. Demak, \varphi(t)=\frac{\psi(t)}{R}. Maʼlumki, zaryadning Kulon potensiali:
:  \varphi(t)=\frac{\delta e(t)}{R}=\frac{\rho(t)dV}{R}

Demak, \psi(t)=\rho(t)dV, bu yerdan \psi\left(t-\frac{R}{c}\right)=\rho\left(t-\frac{R}{c}\right)dV, u vaqtda (12) ga muvofiq
: 
\varphi(t)=\frac{\rho\left(t-\frac{R}{c}\right)dV}{R}.\ \ \ \ \ \ (13)


Koʻramizki, (13) ga asosan, kuzatish nuqtasida vaqtning t momentidagi potensial vaqtning oldingi t^{\prime}=t-\frac{R}{c} momentidagi zaryad zichligi bilan aniqlanadi. Zaryad turgan joyda vaqtning t^{\prime}=t-\frac{R}{c} momentida paydo boʻlgan potensial R masofani \frac{\textbf{R}}{c} vaqtda oʻtib, kuzatish nuqtasiga \frac{R}{c} vaqt kechikish bilan yetib keladi. Shuning uchun (13) bilan ifodalangan potensial kechikuvchi potensial deb yuritiladi.

## Zaryadlar sistemasining potensiali
Zaryadlar sistemasining potensialini aniqlash uchun (13) formulani sistemaning barcha zaryadlari joylashgan hajm boʻyicha integrallash lozim:
: 
\varphi(t)=\int \frac{\rho\left(t-\frac{R}{c}\right)}{R}\,dV;\ \ \ \ \ \ (14)

Xuddi shuningdek,
: 
\textbf{A}(t)=\frac{1}{c}\int \frac{\textbf{j}\left(t-\frac{R}{c}\right)}{R}\,dV;\ \ \ \ \ \ (15)

Ushbu tenglamalarda zaryad turgan nuqtani koordinatalar boshi sifatida olingan. Agar koordinatalar boshini sistemaning ichidagi boshqa biror nuqtaga koʻchirilsa, yangi koordinatalar boshiga nisbatan zaryad turgan nuqtaning radius-vektori \textbf{r}^{\prime} va kuzatish nuqtasining radius-vektori \textbf{r} bilan belgilanadi. Demak,
: 
\textbf{R}=\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime};\ \ \ \ \ \ (16)

boʻladi. Yangi koordinatalar boshiga nisbatan kechikuvchi potensiallar quyidagicha yoziladi:
: 
\varphi(\textbf{r},t)=\int \frac{\rho\left(\textbf{r}^{\prime},\ t-\frac{c}\right)}\,dV;\ \ \ \ \ \ (17)

: 
\textbf{A}(\textbf{r},t)=\frac{1}{c}\int \frac{\textbf{j}^{\prime}\left(\textbf{r}^{\prime},\ t-\frac{c}\right)}\,dV;\ \ \ \ \ \ (18)

## Adabiyotlar
* *R.X.Mallin*, Klassik elektrodinamika, Toshkent, 1974

## Yana qarang
* Zaryadlar sistemasining uzoq masofalardagi kechikuvchi potensiallari
* Elektr dipolning elektromagnit maydoni va nurlanishi
* Nurlanish reaksiyasi