Parseval ayniyati

Matematik tahlilda Mark-Antuan Parseval nomi bilan ataladigan **Parseval ayniyati** funksiyaning Furye qatorining yigʻilishi haqida muhim natijadir. Geometrik nuqtai nazardan, bu ayniyat skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolar (sanoqsiz cheksiz bazis vektorga ega boʻlishi mumkin) uchun umumlashtirilgan Pifagor teoremasi hisoblanadi.

Norasmiy ravishda, ayniyat funksiyaning Furye koeffitsientlarining kvadratlarining yigʻindisi funksiya kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi,\Vert f \Vert^{2}_{L^{2}(-\pi,\pi)}= \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^{2} \, dx=2\pi\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^{2}bu yerda f ning Furye koeffitsientlari c_n quyidagicha berilganc_{n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} \, dx.Rasmiy tilda aytganda, agar f kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya yoki umumiyroq qilib olganda, Lp fazo L^2[-\pi, \pi] dan boʻlsa, natija yuqorida keltirilganidek bajariladi. Shunga oʻxshash natija *Plancherel teoremasi* boʻlib, u funksiyaning Furye almashtirishining kvadratining integrali funksiyaning oʻzining kvadratining integraliga teng ekanligini tasdiqlaydi. Bir oʻlchovli fazodada, f \in L^2(\R) uchun\int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi)|^{2}\,d\xi = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^{2}\, dxmunosabat oʻrinli.

## Umumlashgan Pifagor teoremasi
Yuqorida keltirilgan ayniyat Pifagor teoremasi bilan separabel Gilbert fazosining umumiy holatida quyidagicha bogʻlangan. Faraz qilaylik, H fazo \langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle skalyar koʻpaytmaga ega boʻlgan Gilbert fazosi boʻlsin. \left(e_n\right) Hning *ortonormal bazisi* boʻlsin; yaʼni e_n ning *chiziqli yoyilmasi* Hda *zich* va e_n lar oʻzaro ortonormal boʻlsin:

: \langle e_m, e_n\rangle = \begin{cases}
1 & \mbox{if}~ m = n \\
0 & \mbox{if}~ m \neq n.
\end{cases}

U holda Parseval ayniyati barcha x \in H lar uchun\sum_n \left|\left\langle x, e_{n} \right\rangle\right|^{2} = \|x\|^{2}ekanligini tasdiqlaydi.

Bu toʻgʻridan-toʻgʻri Pifagor teoremasiga oʻxshash boʻlib, Pifagor teoremasi ortonormal bazisdagi vektor komponentlari kvadratlarining yigʻindisi vektorning uzunligining kvadratiga teng ekanligini tasdiqlaydi. H ni L^2[-\pi, \pi] Gilbert fazosi deb hamda n \in \Z lar uchun e_n = e^{-i n x} deb olish orqali Furye qatorlari uchun Parseval ayniyatini tiklash mumkin.

Umuman olganda, Parseval ayniyati faqatgina separabel Gilbert fazolarida emas, balki har qanday *skalyar koʻpaytma aniqlangan fazolar*da bajariladi. Shunday ekan, faraz qilaylik, H skalyar koʻpaytma aniqlangan fazo boʻlsin. B Hning *ortonormal bazis*i boʻlsin, bunda B *toʻliq* ortonormal toʻplam (B ning chiziqli yoyilmasi Hda zichligi maʼnosida). U holda,\|x\|^{2} = \langle x, x\rangle = \sum_{v\in B}\left|\langle x, v\rangle\right|^{2}.B ning *toʻliq* boʻlishi ayniyatning bajarilishi uchun zaruriydir. Agar B *toʻliq* boʻlmasa, u holda Parseval ayniyatidagi tenglik belgisi \, \geq ga oʻzgartirilishi kerak boʻladi. Bu esa *Bessel tengsizligi*ga olib keladi. Parseval tengsizligining ushbu umumlashgan koʻrinishi *Riesz-Fischer teoremasi* yordamida isbot qilinadi.

## Yana qarang

* Parseval teoremasi

## Manbalar

* „Parseval equality“ , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
* .
* .
* .
* . http://www.tjinequality.com/articles/03-01-003.pdf