Elementar funksiyalar

**Elementar funksiyalar** — koʻphadlar, ratsional, koʻrsatkichli, darajali, logarifmik, trigonometrik, teskari trigonometrik funksiyalar, shuningdek, bu funksiyalardan toʻrt arifmetik amal va chekli marta qoʻllangan superpozitsiyalar yordamida hosil qilinadigan funksiyalarni oʻz ichiga olgan funksiyalar sinfi.

Elementar funksiyalar sinfi yaxshi oʻrganilgan va u amaliy matematikada koʻp qoʻllanadi. Elementar funksiyalar ning hosilasi hamisha Elementar funksiyalar boʻladi, lekin Elementar funksiyalardan olingan integral Elementar funksiyalar boʻlmasligi ham mumkin.

## Butun ratsional funksiyalar
Ushbuy=a_0+a_1x+a_2{x}^2+...a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^nkoʼrinishdagi funksiya butun ratsional funksiya deyiladi. Bunda a_0, a_1,...,a_n  - oʻzgarmas sonlar, n\in N. Bu funksiya R=(-\infty, +\infty) da aniqlangan. 
Butun ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:

### Chiziqli funksiya
Bu funksiya y=ax+b (a\neq0) koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.

Chiziqli funksiya (-\infty, +\infty) da aiqlangan a>0 boʻlganda oʻsuvchi, a boʻlganda kamayuvchi: grafigi tekislikdagi toʻgʻri chiziqdan iborat.

### Kvadrat funksiya

Bu funksiya y=ax^2+bx+c  (a\neq0) koʻrinishga ega, bunda a, b, c - oʻzgarmas sonlar.

Kvadrat funktsiya R da aniqlangan boʼlib, uning grafigi parabolani ifodalaydi.

Ravshanki y=ax^2+bx+c=a\Bigl(x+\frac{b}{2a}\Bigr)-\frac{b^2-4ac}{4a}

## Kasr ratsional funksiyalar
Ushbu y=\frac{a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n}{b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_mx^m} koʻrinishdagi funksiya kasr ratsional funksiya deyiladi. Bunda a_0, a_1,...,a_n va b_0, b_1,...,b_m lar oʻzgarmas sonlar n\in N, m\in N. Bu funksiya X=(-\infty, +\infty) \ \{x\mid b_0+b_1x+...+b_mx^m=0 toʻplamda aniqlangan. 

Kasr ratsional funksiyaning baʻzi xususiy hollari:

### Teskari proporsional bogʻlanish

U y=\frac{a}{x} (x\neq0  a=const) koʻrinishga ega. 

### Kasr chiziqli funksiya
U ushbu y=\frac{ax+b}{cx+d} korinishga ega. Bu funksiya X=R\backslash\{-\frac{d}{c}\} (c\neq0) toʻplamda aniqlangan:

Ravshanki, y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{bc-ad}{c^2}*\frac{1}{x+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}. Demak, y=\frac{a}{x+\beta}+\gamma, \Bigr(a=\frac{bc-ad}{c^2}, \beta=\frac{d}{c}, \gamma=\frac{a}{c}\Bigr). Uning grafigini y=\frac{a}{x} funksiya grafigi yordamida chizish mumkin.

## Darajali funksiya
Ushbu y=x^a, (x\geq0) koʻrinishdagi funksiya darajali funksiya deyiladi.

Bu funksiyaning aniqlanish toʻplami a ga bogʻliq. Darajali funksiya a>0, boʻlganda (0, +\infty) da oʻsuvchi, a boʻlganda kamayuvchi boʻladi. y=x^a funksiya grafigi tekislikning (0,0) va (1,1) nuqtalardan oʻtadi.

## Koʻrsatkichli funksiya
Ushbu y=a^x koʻrinishdagi funksiya koʻrsatkichli funksiya deyiladi. Bunda a\in R, a>0, a\neq1. Koʻrsatkichli funksiya (-\infty, +\infty) aniqlangan, \forall x\in R da a^x>0; a>0 boʻlganda oʻsuvchi; 0 boʻlganda kamayuvchi boʻladi.

Xususan, a=e boʻlsa, matematikada muhim roʻl oʻynaydigan y=e^x funksiya hosil bovladi.

Koʻrsatkichli funksiyaning grafigi Ox oʻqidan yuqoridan joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.

## Logarifimik funksiya
Ushbu y=\log_yx koʻrinishdagi funksiya logarifmik funksiya deyiladi. Bunda a>0, a\neq1. 

Logarifimlik funksiya (0, +\infty) da aniqlangan, y=a^x funksiyaga nisbatan teskari; a>1 boʻlganda oʻsuvchi, 0 boʻlganda kamayuvchi boʻlad.

Logarifmik funksiyaning grafigi Oy oʻqining oʻng tomonida joylashgan va tekislikning (0,1) nuqtasidan oʻtadi.

## Trigonometrik funksiyalar
Ushbu y=\sin x, y=\cos x, y=tgx, y=ctgx, y=secx, y=cosecx funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi.

y=\sin x, y=\cos x funksiyalar  R=(-\infty, +\infty) da aniqlangan, 2\pi davrli funksiyalar \forall x\in R da -1\leq sinx\leq 1, -1\leq cosx\leq 1 boʻladi. Ushbu  y=tgx funksiya X=R\backslash\{x\in R |x=(2k+1)\frac{\pi}{2}; k=0, \pm1,\pm2,...\} toʻplamda aniqlangan \pi davrli funksiya ctgx, secx, cosecx funksiyalar sinx, cosx, tgx lar orqali quyidagicha ifodalaydi: ctgx=\frac{1}{tgx}, secx=\frac{1}{cosx}, cosecx=\frac{1}{sinx}.

## Giperbolik funksiyalar
Koʻrsatkichli y=e^x funksiya yordamida tuzilgan ushbu \frac{e^x-e^{-x}}{2}, \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \frac{e^x-e^{-x}}}, \frac{e^x+e^{-x}}} funksiyalar giperbolik (mos ravishda giperbolik sinus, giperbolik kosinus, giperbolik tangens, giperbolik katangens) funksiyalar deyiladi va ular quyidagicha shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}, thx=\frac{e^x-e^{-x}}}, cthx=\frac{e^x+e^{-x}}} belgilanadi.

## Teskari trigonometrik funksiyalar
Maʻlumki, y=sinx funksiya R da aniqlangan va uning qiymatlari toʻplami Y_f= [-1,1] boʻladi.

Agar x\in \left (- \frac{\pi}{2} \right ) \left ( \frac{\pi}{2} \right ) boʻlsa, u holda X= \left (- \frac{\pi}{2} \right ) \left ( \frac{\pi}{2} \right ) va Y_f= [-1,1] toʻlamlarining elementlari oʻzaro bir qiymatli moslikda boʻladi.

y=sinx funksiyaga nisbatan teskari funksiya y=arcsinx kabi belgilanadi

Shunga oʻxshash y=cosx, y=tgx, y=ctgx funksiyalarga nisbatan ts=ekari funksiya mos ravishda y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx, kabi belgilanadi.

Ushbu y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx funksiyalar teskari trigonometrik deyiladi.

## Manbalar