G'ovak muhitlar tenglamasi

G'ovak muhitlar tenglamasi yoki nochiziqli issiqlik tenglamasi deb quyidagi nochiziqli xususiy hosilali differensial tenglamaga aytiladi    

{ \cfrac{\partial u}{\partial t} = \Delta \left(u^m\right), \; m>1 }

bu yerda \Delta Laplas operatori. Shuningdek, yuqoridagi tenglamani quyidagicha, divergent ko'rinishda ham yozish mumkin

{\partial u\over{\partial t}} = \nabla \cdot \left[ D(u)\nabla u \right]

bu yerda Du = mu^{m-1} diffuziya koeffitsienti va \nabla \cdot (\cdot) divergensiya operatori.

## Yechimlar
Tenglama nochiziqli bo'lishiga qaramay o'zgaruvchilarni ajratish yoki avtomodel yechimlar metodlaridan foydalanib, analitik yechimlarni ham topish mumkin. Shuningdek, o'zgaruvchilari ajraladigan yechimlar chekli vaqtda chekizlik yoki "blow up" nomi bilan ma'lum.

### Barenblat-Kompanets-Zeldovich avtomodel yechimi
G'ovak muhitlar tenglamasi uchun avtomodel yechimlar metodi Barenblat, Kompanets, Zeldovich va Pattle tomonlaridan yaratilgan. x \in R^N, \; u(x,t)  quyidagicha ko'rinishda qidiriladi

u(t,x) = {1\over{t^{\alpha}}}v\left( {x\over{t^{\beta}}} \right), \quad t > 0

\alpha va \beta larni topib, yechimni quyidagicha ko'rinishda yozish mumkin

u(t,x) = {1\over{t^{\alpha}}}\left( b - {m-1\over{2m}} \beta {\|x\|^{2}\over{t^{2\beta}}} \right)_{+}^{1\over{m-1}}

bu yerda || \cdot || - \ell^2 norma, (\cdot) = max(\cdot, 0) nomanfiy had va \alpha, \beta koeffitsientlar

\alpha = {n\over{n(m-1) + 2}}, \quad \beta = {1\over{n(m-1) + 2}} .

## Qo'llanilishi
G'ovak muhitlar tenglamasi gas oqimi, issiqlik tarqalishi, yer osti, sizot suvlari va boshqa ko'plab jarayonlarni tavsiflaydi.

### Gaz oqimi
G'ovak muhitlar tenglamasi nomi bir jinsli muhitlarda ideal gas oqimini tavsiflashda qo'llanilishidan kelib chiqqan. Muhit zichligi \rho, muhit harakatlanish tezligi v, bosim p: massa saqlanishi uchun uzlukliksiz tenglamasi; g'ovak muhitlar tenglamasi Darsi qonuni  va ideal gaz tenglamasi. Ushbu tenglamalar quyidagicha:

\begin{aligned}
\varepsilon {\partial \rho\over{\partial t}} &= -\nabla \cdot (\rho {\bf v}) & (\text{Massaning saqlanish qonuni}), 
\\
{\bf v} &= -{k\over{\mu}}\nabla p & (\text{Darsi qonuni}),
\\
p &= p_{0}\rho^{\gamma} & (\text{Ideal gaz tenglamasi}),
\end{aligned}

bu yerda \varepsilon  g'ovaklilik, k muhitning o'tkazuvchanligi, \mu dinamik yopishqoqlik va  \gamma  Opolitropik konstanta. 'zgarmas g'ovaklik, o'tkazuvchanlik va dinamik yopishqoqlikni hisobga olsak, zichlik differensial tenglamasi quyidagicha yozish mumikin:{\partial \rho\over{\partial t}} = c\Delta \left( \rho^{m} \right) ,

bu yerda m = \gamma +1 va c=\gamma kp_{0}/ (\gamma +1) \varepsilon \mu .

### Issiqlik tarqalishi
Fourierning issiqlik tarqalish qonuniga ko'rsa, issiqlik tarqalishi tenglamasi quyidagicha ko'rinishda bo'ladi:

\rho c_{p} {\partial T\over{\partial t}} = \nabla \cdot (\kappa \nabla T) ,

bu yerda \rho muhit zichligi, c_p domiy bosim ostidagi issiqlik  sig'imi va \kappa  issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsientlari. Agar issiqlik tarqalishi energiya qonuniga bog'liq bo'lsa:

\kappa = \alpha T^{n} .

U holda issiqlik tarqalishini g'ovak muhitlar tenglamasi ko'rinishida yozish mumkin:

{\partial T\over{\partial t}} = \lambda\Delta \left(T^{m}\right) ,

bu yerda m=n+1 va c = \gamma kp_0/(\gamma +1)\varepsilon \mu .

## Shuningdek

* Diffyuziya tenglamasi
* G'ovak muhit