Yassi toʻlqin

** Yassi elektromagnit toʻlqin** — elektromagnit toʻlqinni xarakterlovchi toʻlqin funksiyasi faqat bitta koordinataga, masalan z ga va vaqtga bogʻliq boʻlgan toʻlqin.

Yassi elektromagnit toʻlqin uchun toʻlqin tenglamasi va Lorentz sharti quyidagi koʻrinishda boʻladi:
: 
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}} - \frac{1}{c}\dfrac{\partial^{2}f}{\partial t};\ \ \ \ \ (1)
: \dfrac{\partial A_{z}}{\partial z} + \frac{1}{c}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = 0;\ \ \ \ \ (2)
### Toʻlqin tenglamasining yechimi
(1) tenglamaning yechimini topish uchun yangi \xi va \eta oʻzgaruvchilar kiritiladi:
: 
\xi = z + ct;\ \ \ \ \ (3)
: \eta = z - ct;\ \ \ \ \ (4)

Endi (1) tenglama quyidagi koʻrinishni oladi:
: 
\left(\dfrac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\right)  \left(\dfrac{\partial}{\partial z} - \frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\right)f = 0;\ \ \ \ \ (5)


(3) va (4) dan koʻrinib turibdiki,
: 
\dfrac{\partial}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial z} + \dfrac{\partial}{\partial\eta}\dfrac{\partial\eta}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial\xi}+\dfrac{\partial}{\partial\eta}

: \dfrac{\partial}{\partial t} = \dfrac{\partial}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial t} + \dfrac{\partial}{\partial\xi}\dfrac{\partial\xi}{\partial t} = c\dfrac{\partial}{\partial\xi} - c\dfrac{\partial}{\partial\eta} = c\left(\dfrac{\partial}{\partial\xi} - \dfrac{\partial}{\partial\eta}\right)

Demak,
: 
\dfrac{\partial}{\partial\xi}+\frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t} = 2\dfrac{\partial}{\partial\xi}
: 
\dfrac{\partial}{\partial\xi}-\frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t} = 2\dfrac{\partial}{\partial\eta}

U holda toʻlqin tenglama (5) ga muvofiq
: 
\dfrac{\partial^{2}f}{\partial\xi\partial\eta} = 0;\ \ \ \ \ (6)

Bu toʻlqin tenglamani avval \xi boʻyicha integrallanadi: \dfrac{\partial f}{\partial\eta} = C_{1}(\eta), keyin esa \eta boʻyicha integrallanadi: f = \int C_{1}(\eta)d\eta+C_{2}(\xi), yaʼni
: 
f = f_{1}(\xi) + f_{2}(\eta);\ \ \ \ \ (7)

yoki (3) bilan (4) ga binoan,
: f = f_{1}(z + ct) + f_{2}(z - ct);\ \ \ \ \ (8)

boʻladi. Bu yerda f_{1} va f_{2} ixtiyoriy funksiyalardir.
### Toʻlqin tenglamaning mohiyati
Bu funksiyalarning maʼnosini aniqlash mumkin. Agar z - ct =const boʻlsa,

: 
f=f_{2}(z-ct);\ \ \ \ \ (9)

boʻladi. Agar z-ct=const boʻlsa, f_{2} = const boʻladi. Boshlangʻich vaqt momenti t = 0 ga mos koordinata z_{0} desak, z - ct =z_{0} boʻladi. Bu formula esa  z koordinata oʻqiga perpendikulyar boʻlgan va shu oʻq boʻylab  c oʻzgarmas tezlik bilan harakatlanuvchi tekislikni ifodalaydi. Koʻrinib turibdiki, boshlangʻich vaqt momenti t=0 va boshlangʻich koordinata z=z_{0} nuqtada funksiya qanday qiymatga ega boʻlsa,  t vaqt oʻtgandan keyin z=z_{0} + ct koordinatali nuqtada yana oʻsha qiymatiga ega, yaʼni f_{2}(z_{0})=f_{2}(z - ct) boʻladi. Shunday qilib, elektromagnit maydonni xarakterlovchi funksiya qiymati z oʻqi boʻylab c texlik bilan tarqaladi. Tekshirilayotgan f_{2}(z - ct) funksiya yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

Aytilganlardan ayonki, f_{1}(z + ct) funksiya esa  z koordinata oʻqiga qarama-qarshi yoʻnalishda yuguruvchi yassi toʻlqinni ifodalaydi.

## Yassi elektromagnit toʻlqin
Fazoda tarqalayotgan elektromagnit toʻlqin tenglamasini aniqlash uchun toʻlqin tenglamasidan foydalanamiz. Yassi toʻlqinlar masalasini koʻrib chiqayotganimiz uchun faqatgina z oʻqi boʻyicha yuguruvchi toʻlqin bilangina cheklanamiz. Shunday qilib, skalyar potensial va vektor potensial uchun
(9) ga asosan quyidagicha yozish mumkin:
: 
\varphi = \varphi(z - ct);\ \ \ \ \ (10)
: \textbf{A}=\textbf{A}(z-ct);\ \ \ \ \ (11)

Potensiallarning kalibrovka sharti quyidagi koʻrinishda edi:
: \varphi'=\varphi-\frac{1}{c}\dfrac{\partial\psi}{\partial t};\ \ \ \ \ (12)

yoki (10) ga muvofiq:
: \varphi'(z-ct)=\varphi(z-ct) - \frac{1}{c}\dfrac{\partial}{\partial t}\psi(z-ct)

Ammo (4) ga asosan,
: \dfrac{\partial}{\partial t}\psi(z-ct) = -\dot\psi(z-ct)

bu yerda argument \eta = z-ct boʻyicha differensiallash nuqta bilan belgilandi. Shunday qilib,
: \varphi'(z-ct)=\varphi(z-ct)+\dot\psi(z-ct)

boʻladi. \psi(z-ct) funksiya ixtiyoriy boʻlganligidanm uni quyidagi koʻrinishda tanlash mumkin: \varphi'(z-ct) = \dot\psi(z-ct). Demak, natijada \varphi(z-ct) = 0 boʻladi. U vaqtda Lorentz sharti (2) ga asosan,
: \dfrac{\partial A_{z}}{\partial z} = 0,\ \ \ \ \ A_{z} = const;\ \ \ \ \ (13)

Bu oʻzgarmas sonni nolga teng deb hisoblash mumkin.

Haqiqatdan ham, potensiallar orqali kuchlanganliklarni ifodalovchi formulalar:
: \textbf{E}=-\textrm{grad}\varphi -\frac{1}{c}\dfrac{\partial \textbf{A}}{\partial t}
: \textbf{H}=\textrm{rot}\textbf{A}

yoki \varphi(z-ct)=0 ekanligi hisobga olinsa,
: \textbf{E}=-\frac{1}{c}\dfrac{\partial\textbf{A}}{\partial t};\ \ \ \ \ (14)
: \textbf{H}=\textrm{rot}\textbf{A};\ \ \ \ \ (15)

(13) va (14) dan koʻrinib turibdiki, E_{z}=0, yaʼni elektr maydon kuchlanganligi \textbf{E} vektor toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shuning uchun, vektor potensialning toʻlqin tarqalishi yoʻnalishidagi tashkil etuvchisi nolga teng deb olish mumkin, yaʼni A_{z}=0.

Endi esa (4) va (11) ni hisobga olib, (14) va (15) ga muvofiq quyidagini yozamiz:
: \textbf{E} = -\frac{1}{c}\dfrac{\partial\textbf{A}}{\partial t}=-\frac{1}{c}\dfrac{\partial\textbf{A}}{\partial\eta}{\partial\eta}{\partial t}=\dot\textbf{A}
: \textbf{H}=\textrm{rot}\textbf{A} = [\nabla\ \textbf{A}] = [\nabla(z-ct), \textbf{A}]=[\nabla_{z}, \dot{\textbf{A}}]=[\nabla_{z}, \textbf{E}]

Toʻlqin tarqalishi yoʻnalishining ortini **n** bilan belgilasak, \textbf{n} = \nabla_{z} boʻladi. Demak,
: \textbf{H} = [\textbf{n}\ \textbf{E}];\ \ \ \ \ (16)

Koʻrinib turibdiki, magnit maydon kuchlanganligi \textbf{H} vektor ham elektr maydon kuchlanganligi \textbf{E} vektor singari, toʻlqinning tarqalish yoʻnalishiga perpendikulyardir. Shunday qilib, elektromagnit toʻlqin — koʻndalang toʻlqin hamda \textbf{H} va \textbf{E} vektorlar oʻzaro perpendikulyar vektorlar ekan. \textbf{n}, \textbf{E}, \textbf{H} vektorlarning yoʻnalishlari rasmda tasvirlangan.

## Umov-Poynting vektori

(16) tenglamadan koʻrinib turibdiki,
: 
H = E;\ \ \ \ \ (17)

yaʼni elektr maydon va magnit maydon kuchlanganliklarining son qiymatlari birxil, demak, toʻlqinning elektr maydon va magnit maydon energiya zichliklari bir xil. U vaqtda toʻlqining energiya zichligi
: 
w = \frac{E^{2}}{8\pi}+\frac{H^{2}}{8\pi}=\frac{E^{2}}{4\pi}=\frac{H^{2}}{4\pi};\ \ \ \ \ (18)

Toʻlqinning energiya oqimini xarakterlovchi Umov-Poynting vektori uchun
: 
\textbf{S} = 
\frac{c}{4\pi}
\left[\textbf{E}\ \textbf{H}\right] = 
\frac{c}{4\pi}
\left[\textbf{E}[\textbf{n}\ \textbf{E}]\right]=
\frac{c}{4\pi}
\left[\textbf{n}\textbf{E}^{2} - \textbf{E}(\textbf{nE})\right]
=\frac{E^{2}}{4\pi}c\ \textbf{n}


yoki (18) ga muvofiq,
: \textbf{S} = w\ c\ \textbf{n};\ \ \ \ \ (19)

demak, energiya oqimi toʻlqinning tarqalish yoʻnalishi boʻyicha yoʻnalgan. To'lqin elektromagnit impulsining zichligi uchun
: \textbf{g}_{S} = \frac{\textbf{S}}{c^{2}} = \frac{w}{c}\textbf{n};\ \ \ \ \ (20)

## Shuningdek qarang:
* Garmonik elektromagnit to'lqin
* To'lqin paket
* To'lqin paket uchun aniqsizlik munosabatlari

## Adabiyotlar

* *R.X.Mallin*, Klassik elektrodinamika, Oʻqituvchi, T., 1974