Modulning parchalanishi

Mavhum algebrada **modulning parchalanishi modulni** modullarning bevosita yigʻindisi sifatida yozish usulidir. Modullarni aniqlash yoki tavsiflash uchun koʻpincha parchalanish turlaridan qoʻllanadi: masalan, yarim oddiy modul oddiy modullarga parchalanishi boʻlgan moduldir. Ringni hisobga olgan holda, halqa ustidagi modullarning parchalanish turlaridan uzluklilikni aniqlash yoki tavsiflash uchun ham foydalanish mumkin: uzuk yarim oddiy hisoblanadi, agar uning ustidagi har bir modul yarim oddiy modul boʻladi.

Ayrılabilir modul ikki nol boʻlmagan submodullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi boʻlmagan moduldir. **Azumaya teoremasi** shuni koʻrsatadiki, agar modul mahalliy endomorfizm halqalari boʻlgan modullarga parchalanishga ega boʻlsa, u holda ajralmaydigan modullarga barcha parchalanishlar bir-biriga ekvivalent boʻladi; Buning alohida holati, ayniqsa, guruh nazariyasida, Krull-Shmidt teoremasi deb nomlanadi.

Modul parchalanishining alohida holati halqaning parchalanishidir: masalan, halqa yarim oddiy boʻladi, agar u boʻlinish halqalari ustidagi matritsa halqalarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (aslida mahsulot) boʻladi (bu kuzatuv shunday deb nomlanadi). Artin-Vedderbern teoremasi).

## Idempotentlar va parchalanishlar
Modulning toʻgʻridan-toʻgʻri toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisini submodullarga ajratish modulning endomorfizm halqasida identifikatsiya xaritasini toʻplaydigan ortogonal idempotentlarni berish bilan bir xildir. Haqiqatan ham, agar M = \bigoplus_{i \in I} M_i, keyin, har biri uchun i \in I, chiziqli endomorfizm e_i : M \to M_i \hookrightarrow M tabiiy proyeksiya tomonidan berilgan, undan keyin tabiiy inklyuziya idempotentdir . Ular bir-biriga aniq ortogonaldir (e_i e_j = 0 uchun i \ne j) va ular identifikatsiya xaritasini jamlaydi. Bular:

: 1_{\operatorname{M}} = \sum_{i \in I} e_i

endomorfizmlar sifatida (bu yerda yigʻindi yaxshi aniqlangan, chunki u modulning har bir elementida cheklangan yigʻindi). Aksincha, ortogonal idempotentlarning har bir toʻplami \{ e_i \}_{i \in I} Shunday qilib, faqat cheksiz koʻp e_i(x) har biri uchun nolga teng x \in M va \sum e_i = 1_M olish orqali toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining parchalanishini aniqlanadi M_i tasvirlari boʻlish e_i ga teng.

Bu fakt allaqachon halqaning mumkin boʻlgan parchalanishiga baʼzi cheklovlar qoʻyadi: halqa berilgan R, dekompozitsiya bor deylik

: {}_R R = \bigoplus_{a \in A} I_a

R ning oʻzi ustidan chap modul sifatida, qaerda I_a chap submodullar; yaʼni, chap ideallar . Har bir endomorfizm {}_R R \to {}_R R *R* elementi bilan toʻgʻri koʻpaytirish bilan aniqlanishi mumkin; shunday qilib, I_a = R e_a qayerda e_a ning idempotentlari hisoblanadi \operatorname{End}({}_R R) \simeq R .Idempotent endomorfizmlarning yigʻindisi *R* birligining parchalanishiga mos keladi: 1_R = \sum_{a \in A} e_a \in \bigoplus_{a \in A} I_a, bu shartli ravishda cheklangan yigʻindi; ayniqsa, A chekli toʻplam boʻlishi kerak.

Masalan, R = \operatorname{M}_n(D), boʻlinish halqasi ustidagi *n* -uchun- *n* matritsalar halqasi *D.* Keyin {}_R R *n* nusxasining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisidir D^n, ustunlar; har bir ustun oddiy chap *R* -submodul yoki, boshqacha qilib aytganda, minimal chap ideal.

*R* halqa boʻlsin. Faraz qilaylik, uning oʻzidan chap modul sifatida parchalanishi (majburiy ravishda cheklangan) mavjud.

: {}_R R = R_1 \oplus \cdots \oplus R_n

*ikki tomonlama ideallarga* aylanadi R_i ning *R* . Yuqoridagi kabi, R_i = R e_i baʼzi ortogonal idempotentlar uchun e_i shu kabi \textstyle{1 = \sum_1^n e_i} . beri R_i idealdir, e_i R \subset R_i va hokazo e_i R e_j \subset R_i \cap R_j = 0 uchun i \ne j . Keyin, har bir *i* uchun,

: e_i r = \sum_j e_j r e_i = \sum_j e_i r e_j = r e_i.

Yaʼni, e_i markazda joylashgan; yaʼni ular markaziy idempotentlardir .Shubhasiz, argument teskari boʻlishi mumkin va shuning uchun toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining ideallarga boʻlinishi va birlik 1 ga toʻgʻri keladigan ortogonal markaziy idempotentlar oʻrtasida birma-bir moslik mavjud. Shuningdek, har biri R_i oʻzi — oʻz-oʻzidan halqa tomonidan berilgan birlik e_i va halqa sifatida *R* mahsulot halqasidir R_1 \times \cdots \times R_n.

Masalan, yana oling R = \operatorname{M}_n(D) . Bu halqa oddiy halqadir; xususan, u ikki tomonlama ideallarga notrivial parchalanishga ega emas.

## Parchalanish turlari
Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining bir necha turlari oʻrganilgan:

* Yarim sodda parchalanish : oddiy modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi.
* **Ajralmaydigan parchalanish** : parchalanmaydigan modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi.
* Mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish (qarang. #Azumaya teoremasi): endomorfizm halqalari mahalliy halqalar boʻlgan modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (har bir *x element uchun x* *yoki* 1 — *x* birlik boʻlsa, halqa mahalliy hisoblanadi).
* **Ketma-ket parchalanish** : bir seriyali modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (agar pastki modullar panjarasi chekli zanjir boʻlsa, modul bir qatorli hisoblanadi) parchalanishi.

Oddiy modul ajralmaydigan boʻlgani uchun, yarim oddiy parchalanish ajralmaydigan parchalanishdir (lekin aksincha emas). Agar modulning endomorfizm halqasi mahalliy boʻlsa, u holda, xususan, notrivial idempotentga ega boʻlishi mumkin emas chunki modul ajratilmaydi. Shunday qilib, mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish ajralmas parchalanish boʻladi.

Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi, agar u ajralmaydigan toʻldiruvchini qabul qilsa, *maksimal* parchalanish deyiladi. Parchalanish \textstyle{M = \bigoplus_{i \in I} M_i} Agar *M* ning har bir maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi *L* uchun kichik toʻplam mavjud boʻlsa, *maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi* deyiladi. J \subset I shu kabi

: M = \left(\bigoplus_{j \in J} M_j \right) \bigoplus L..

Ikki parchalanish M = \bigoplus_{i \in I} M_i = \bigoplus_{j \in J} N_j bijection mavjud boʻlsa, *ekvivalent* deyiladi \varphi : I \overset{\sim}\to J har biri uchun shunday i \in I, M_i \simeq N_{\varphi(i)} .Agar modul maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi ajralmaydigan dekompozitsiyani qabul qilsa, modulning har qanday ikkita ajralmaydigan parchalanishi ekvivalent boʻladi.

## Azumaya teoremasi
Eng oddiy shaklda **Azumaya teoremasida** aytiladi.Sunday parchalanish berilgan M = \bigoplus_{i \in I} M_i Shunday qilib, har birining endomorfizm halqasi M_i mahalliy (shuning uchun parchalanish ajralmas), *M* ning har bir parchalanmaydigan parchalanishi shu berilgan parchalanishga teng. Teoremaning aniqroq versiyasida aytiladi.Bunday parchalanish berilgan, agar M = N \oplus K, keyin

# agar nol boʻlmasa, *N* ajralmaydigan toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindini oʻz ichiga oladi,
# agar N ajralmaydi, uning endomorfizm halqasi mahalliy va K berilgan parchalanish bilan toʻldiriladi:
#: M = M_j \oplus K va hokazo M_j \simeq N baʼzilar uchun j \in I ,
# Har biriga i \in I, toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar mavjud N' ning N va K' ning K shu kabi M = M_i \oplus N' \oplus K' .

Cheklangan uzunlikdagi ajratilmaydigan modulning endomorfizm halqasi lokaldir (masalan, Fitting lemmasi boʻyicha) va shuning uchun Azumaya teoremasi Krull-Shmidt teoremasini isbotlash uchun qoʻllanadi. Darhaqiqat, agar *M* cheklangan uzunlikdagi modul boʻlsa, u holda uzunlik boʻyicha induksiya boʻyicha u cheklangan parchalanmaydigan parchalanishga ega. M = \bigoplus_{i=1}^n M_i, bu mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanishdir. Aytaylik, bizga parchalanib boʻlmaydigan parchalanish berilgan M = \bigoplus_{i=1}^m N_i . Keyin u birinchisiga teng boʻlishi kerak: shunday m = n va M_i \simeq N_{\sigma(i)} baʼzi almashtirish uchun \sigma ning \{ 1, \dots, n \} . Aniqrogʻi, beri N_1 ajralmas, M = M_{i_1} \bigoplus (\bigoplus_{i=2}^n N_i) baʼzilar uchun i_1 . Keyin, beri N_2 ajralmas, M = M_{i_1} \bigoplus M_{i_2} \bigoplus (\bigoplus_{i=3}^n N_i) va hokazo; yaʼni har bir summani toʻldiradi \bigoplus_{i=l}^n N_i baʼzilarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi sifatida qabul qilinishi mumkin M_i ning qiymatidir.

Yana bir ilova quyidagi bayonotdir (bu Kaplanskiyning proyektiv modullar haqidagi teoremasini isbotlashning asosiy bosqichidir):

* Element berilgan x \in N, toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi mavjud H ning N va kichik toʻplam J \subset I shu kabi x \in H va H \simeq \bigoplus_{j \in J} M_j .

Buni koʻrish uchun cheklangan toʻplamni tanlang F \subset I shu kabi x \in \bigoplus_{j \in F} M_j . Keyin, yozish M = N \oplus L, Azumaya teoremasi boʻyicha, M = (\oplus_{j \in F} M_j) \oplus N_1 \oplus L_1 baʼzi toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar bilan N_1, L_1 ning N, L va keyin, modul qonuniga koʻra, N = H \oplus N_1 bilan H = (\oplus_{j \in F} M_j \oplus L_1) \cap N . Keyin, beri L_1 ning bevosita yig‘indisidir L, yozishimiz mumkin L = L_1 \oplus L_1' undan keyin \oplus_{j \in F} M_j \simeq H \oplus L_1', bu *F* chekli boʻlgani uchun, bu degani H \simeq \oplus_{j \in J} M_j baʼzi *J* uchun Azumaya teoremasini takroran qoʻllash orqali hisoblanadi.

Azumaya teoremasini oʻrnatishda, agar qoʻshimcha ravishda har bir M_i hisoblash mumkin boʻlsa, quyidagi takomillashtirish mavjud (dastlab Krouli-Jonsson va keyinchalik Uorfild tufayli): N ga izomorfdir \bigoplus_{j \in J} M_j baʼzi bir kichik toʻplam uchun J \subset I (Maʼlum maʼnoda, bu Kaplanskiy teoremasining kengaytmasi va teoremani isbotlashda ishlatiladigan ikkita lemma bilan isbotlangan.), bu taxmin nomaʼlum „ M_i countably genered“ ni oʻchirib qoʻyish mumkin; yaʼni, bu yaxshilangan versiya judayam toʻgʻri.

## Halqaningning parchalanishi
Halqaning parchalanishi boʻyicha Artin-Vedderbern teoremasi deb nomlanuvchi eng asosiy, ammo muhim kuzatuv bu: *R* halqasi berilganda, quyidagilar ekvivalentligidir:

# *R* — yarim oddiy halqa; yaʼni, {}_R R yarim oddiy chap moduldir.
# R \simeq \prod_{i=1}^r \operatorname{M}_{m_i}(D_i) qayerda \operatorname{M}_n(D) *n* -by- *n* matritsalar halqasini va musbat sonlarni bildiradi r, m_1, \dots, m_r *R* bilan belgilanadi (lekin D_i s *R* bilan aniqlanmaydi).
# *R* ustidagi har bir chap modul yarim oddiy moduldir.

Birinchi ikkitasining ekvivalentligini koʻrish uchun eʼtibor bering: agar {}_R R \simeq \bigoplus_{i=1}^r I_i^{\oplus m_i} qayerda I_i oʻzaro izomorf boʻlmagan chap minimal ideallar, demak, endomorfizmlar oʻngdan harakat qiladi.

: R \simeq \operatorname{End}({}_R R) \simeq \bigoplus_{i=1}^r \operatorname{End}(I_i^{\oplus m_i})

har biri qaerda \operatorname{End}(I_i^{\oplus m_i}) boʻlinish halqasi ustidagi matritsa halqasi sifatida koʻrish mumkin D_i = \operatorname{End}(I_i) . (Buning aksi shundaki, 2.ning parchalanishi minimal chap ideallarga = oddiy chap submodullarga parchalanishga teng boʻladi.) Ekvivalentlik 1. \Leftrightarrow 3. chunki har bir modul boʻsh modulning qismidir va yarim oddiy modulning qismi aniq yarim oddiy moduldir.

## Yana qarang

* Sof inʼektsion modul

## Manbalar

* 
* Frank W. Anderson, Lectures on Non-Commutative Rings , University of Oregon, Fall, 2002.
* 
* Y. Lam, Bass’s work in ring theory and projective modules [MR 1732042]
* Claudio Procesi (2007) *Lie Groups: an approach through invariants and representation*, Springer, .
* R. Warfield: Exchange rings and decompositions of modules, Math. Annalen 199(1972), 31-36.