Statsionar elektromagnit maydonning vektor potensiali

**Statsionar elektromagnit maydonning vektor potensiali**
Zaryadlarning taqsimoti va harakati oʻzgarishiga qarab, ularning maydoni ham oʻzgaradi. Zaryadlarning va toklarning taqsimoti oʻzgarmasa, ularning maydoni ham oʻzgarmaydi.

Vaqt oʻtishi bilan zichligi oʻzgarmaydigan zaryadlar *statsionar zaryadlar* deyiladi. Vaqt oʻtishi bilan zichligi oʻzgarmaydigan toklar *statsionar toklar* deyiladi. Demak, statsionar toklar va zaryadlar uchun

:
\frac{\partial\rho}{\partial t}=0
:\frac{\partial\textbf{j}}{\partial t}=0

Statsionar zaryadlar va toklarning hosil qilgan elektromagnit maydoni ham oʻzgarmaydi, yaʼni

:
\frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}=0
:
\frac{\partial\textbf{H}}{\partial t}=0

Vaqt oʻtishi bilan kuchlanganliklari oʻzgarmaydigan elektromagnit maydon *statsionar elektromagnit maydon* deyiladi.

## Statsionar elektromagnit maydon uchun Maksvell-Lorenz tenglamalari
Statsionar elektromagnit maydon uchun Maksvell-Lorenz tenglamalari quyidagi shaklni oladi:
: \textrm{div} \textbf{E}=4\pi\rho ;(1)
:\textrm{rot} \textbf{E}=0 ;(2)
:\textrm{div} \textbf{H}=0 ;(3)
:\textrm{rot} \textbf{H}=\frac{4\pi}{c}\textbf{j} ;(4)

Koʻrinib turibdiki, bu differensial tenglamalar oʻzaro bogʻlanmagan ikkita mustaqil tenglamalar sistemasidan iborat:
(1) bilan (2) tenglamalar faqat zaryadlar hosil qilgan elektr maydonni ifodalaydi
(3) bilan (4) tenglamalar esa faqat toklar hosil qilgan magnit maydonni ifodalaydi

(2) tenglamadan koʻramizki:
:\textbf{E} = -\textrm{grad} \varphi

u vaqtda, (1) tenglama Poisson tenglamasi shaklini oladi,
:\Delta\varphi=-4\pi\rho

Bu tenglamaning yechimi\varphi=\int\frac{\rho dV'}{R} ga asosan
: \varphi = \int\frac{\rho dV'}

boʻladi. Statsionar tok hosil qilgan magnit maydon bilan shugʻullanuvchi nazariya *[[magnitostatika]]* deyiladi. Magnitostatikaning asosiy tenglamalari (3) va (4) tenglamalarda ifodalangan.

(3) ga muvofiq
:\textbf{H} = \textrm{rot}\textbf{A} ;(5)

boʻladi. Bu yerda A - magnit maydonning vektor potensiali.

U vaqtda, (4) ga asosan,

:\textrm{rot} \textbf{H} = \textrm{rot\ rot} \textbf{A} = \textrm{grad\ div} \textbf{A}-\Delta \textbf{A} = \frac{4\pi}{c} \textbf{j} ;(6)

boʻladi. Maʼlumki, har qanday ixtiyoriy \psi funksiya gradientining uyurmasi nolga teng:
:
\textrm{rot\ grad}\psi = 0

Shuning uchun

:\textbf{A'} = \textbf{A} + \textrm{grad} \psi

qilib olingan A' vektor ham avvalgi A vektor kabi (5) shartga boʻysunadi. Vektor potensialni tekshirishda bunday noaniqlikka yoʻl qoʻymaslik maqsadida ixtiyoriy funksiyani \psi shunday qilib tanlaylikki, natijada quyidagi shart bajarilsin:
:\textrm{div} \textbf{A} = 0 ;(7)

Bu ifoda vektor potensialning *[[kalibrovka sharti]]* deyiladi. (7) ni  (6) ga qoʻyilsa, 
:\Delta\textbf{A} = - \frac{4\pi}{c}\textbf{j} ;(8)

boʻladi. Bu ifoda - vektor shaklda yozilgan *Poisson tenglamasi*. Uning yechimi esa
:\textbf{A} = \frac{1}{c}\int\frac{\textbf{j} dV'}{R}; (9)

boʻladi. Bu yerda dV - tok joylashgan sohaning ichki O nuqta atrofidagi hajm elementi (1-rasm), R -hajm elementi bilan kuzatish nuqtasidagi vektor potensial.

Vektor potensial uchun topilgan (9) ifoda (7) shartga boʻysunadi. Haqiqatdan, kuzatish nuqtasi koordinatalari  boʻyicha differensiallash va tok joylashgan hajm boʻyicha integrallash operatsiyalari bir-biriga bogʻliq boʻlmaganligi sababli ularning tartibini oʻzgartirish mumkin:
:\textrm{div}\textbf{A} = \frac{1}{c}\textrm{div}\int\frac{\textbf{j}dV'}{R} = \frac{1}{c}\int\textrm{div}\frac{\textbf{j}}{R}dV'

Gauss-Ostrogradskiy teoremasidan foydalansak, tok joylashgan hajmning chekli ekanligi sababli quyidagicha yozishga haqlimiz:
:\textrm{div} \textbf{A} = \frac{1}{c}\oint\left(\frac{\textbf{j}}{R}d\sigma\right) = 0

## Yana qarang
*Statsionar tokning magnit maydoni
*Sekin va tekis harakatlanuvchi zaryadning elektromagnit maydoni
*Zaryadlar sistemasining uzoq masofalardagi magnit maydoni

## Adabiyotlar
**R.X.Mallin*, Klassik elektrodinamika, O`qituvchi, T., 1974