Virtual joy almashish

Analitik mexanikada amaliy matematika va fizikaning bir boʻlimi, **virtual siljish** (yoki **cheksiz kichik oʻzgarish**) \delta \gamma Mexanik tizimning trayektoriyasi *gipotetik* (shuning uchun *virtual* atamasi) haqiqiy traektoriyadan qanday qilib biroz chetga chiqishi mumkinligini koʻrsatadi. \gamma tizimning cheklovlarini buzmasdan  . Har lahza uchun  t,\delta \gamma(t) nuqtadagi konfiguratsiya fazosiga tangensial vektordir \gamma(t). Vektorlar \delta \gamma(t) qaysi yoʻnalishlarni koʻrsating \gamma(t) cheklovlarni buzmasdan „borish“ mumkin.

Misol uchun, ikki oʻlchovli sirtdagi bitta zarrachadan tashkil topgan tizimning virtual siljishlari, qoʻshimcha cheklovlar yoʻq deb hisoblab, butun tangens tekisligini toʻldiradi.

Biroq, cheklovlar barcha trayektoriyalarni talab qilsa \gamma berilgan nuqtadan oʻting \mathbf{q} berilgan vaqtda \tau, yaʼni \gamma(\tau) = \mathbf{q}, keyin \delta\gamma (\tau) = 0.

## Belgilari
Mayli M mexanik tizimning konfiguratsiya maydoni boʻlsin, t_0,t_1 \in \mathbb{R} vaqt lahzalari boʻlsin, q_0,q_1 \in M,C^\infty[t_0, t_1] ustidagi silliq funksiyalardan iborat.

Cheklovlar \gamma(t_0)=q_0,\gamma(t_1)=q_1 Bu yerda faqat tasvir uchun. Amalda, har bir alohida tizim uchun individual cheklovlar toʻplami talab qilinadi.

## Taʼrifi
Har bir yoʻl uchun \gamma \in P(M) va \epsilon_0 > 0, *ning oʻzgarishi* \gamma funksiya hisoblanadi \Gamma : [t_0,t_1] \times [-\epsilon_0,\epsilon_0] \to M shunday, har bir uchun \epsilon \in [-\epsilon_0,\epsilon_0],\Gamma(\cdot,\epsilon) \in P(M) va \Gamma(t,0) = \gamma(t). *Virtual joy almashish* \delta \gamma : [t_0,t_1] \to TM(TM ning tangens toʻplamidir M) oʻzgarishiga mos keladi \Gamma har biriga quyidagini belgilaydi t \in [t_0,t_1] tangens vektori

\delta \gamma(t) = \frac{d\Gamma(t,\epsilon)}{d\epsilon}\Biggl|_{\epsilon=0} \in T_{\gamma(t)}M.

Tangens xaritasi nuqtai nazaridan,


\delta \gamma(t) = \Gamma^t_*\left(\frac{d}{d\epsilon}\Biggl|_{\epsilon=0}\right).


Bu yerda \Gamma^t_*: T_0[-\epsilon,\epsilon] \to T_{\Gamma(t,0)}M = T_{\gamma(t)}M ning tangens xaritasi hisoblanadi \Gamma^t : [-\epsilon,\epsilon] \to M, bu yerda \Gamma^t(\epsilon) = \Gamma(t,\epsilon), va \textstyle \frac{d}{d\epsilon}\Bigl|_{\epsilon = 0} \in T_0[-\epsilon,\epsilon].

## Xususiyatlari

* *Koordinatali vakillik.* Agar \{q_i\}^n_{i=1} ixtiyoriy diagrammadagi koordinatalar M va n = \mathop{\rm dim}M, keyin

: 
\delta \gamma(t) = \sum^n_{i=1} \frac{d[q_i(\Gamma(t,\epsilon))]}{d\epsilon}\Biggl|_{\epsilon=0} \cdot \frac{d}{dq_i}\Biggl|_{\gamma(t)}.


* Agar, bir zumda \tau va har bir \gamma \in P(M),\gamma(\tau)=\text{const}, keyin, har biri uchun \gamma \in P(M),\delta \gamma (\tau) = 0.

* Agar \textstyle \gamma,\frac{d\gamma}{dt} \in P(M), keyin \delta \frac{d\gamma}{dt} = \frac{d}{dt}\delta \gamma.

## Misollar

### R <sup>3</sup> dagi erkin zarracha
Yagona zarracha erkin harakatlanadi \mathbb{R}^3 3 erkinlik darajasiga ega. Konfiguratsiya maydoni M=\mathbb{R}^3, va P(M)=C^\infty([t_0,t_1], M). Har bir yoʻl uchun  \gamma \in P(M) va variatsiya \Gamma(t,\epsilon) ning  \gamma,  noyobi mavjud  \sigma \in T_0\mathbb{R}^3  shu kabi  \Gamma(t,\epsilon) = \gamma(t) + \sigma(t)\epsilon + o(\epsilon),  kabi \epsilon \to 0. Taʼrifga koʻra,


\delta \gamma (t) = \left(\frac{d}{d\epsilon} \Bigl(\gamma(t) + \sigma(t)\epsilon + o(\epsilon)\Bigr)\right)\Biggl|_{\epsilon=0}


olib keladi


\delta \gamma (t) = \sigma(t) \in T_{\gamma(t)} \mathbb{R}^3.


### Sirtdagi erkin zarralar
N ikki oʻlchovli sirtda erkin harakatlanadigan zarralar S \subset \mathbb{R}^3 bor 2N erkinlik darajasi. Bu yerda konfiguratsiya maydoni

M= \{(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N)\in \mathbb{R}^{3\, N} \mid \mathbf{r}_i \in \mathbb{R}^3;\ \mathbf{r}_i \neq \mathbf{r}_j\ \text{if}\ i \neq j\},


bu yerda \mathbf{r}_i \in \mathbb{R}^3 ning radius vektori i^\text{th} zarracha. Bundan quyidagi kelib chiqadi


T_{(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N)} M = T_{\mathbf{r}_1}S \oplus \ldots \oplus T_{\mathbf{r}_N}S,


va har bir yoʻl \gamma \in P(M) radius vektorlari yordamida tasvirlanishi mumkin \mathbf{r}_i har bir alohida zarrachaning, yaʼni

\gamma (t) = (\mathbf{r}_1(t),\ldots, \mathbf{r}_N(t)).

Bu shuni anglatadiki, har bir kishi uchun \delta \gamma(t) \in T_{(\mathbf{r}_1(t), \ldots, \mathbf{r}_N(t))} M, 

\delta \gamma(t) = \delta \mathbf{r}_1(t) \oplus \ldots \oplus \delta \mathbf{r}_N(t),

bu yerda \delta \mathbf{r}_i(t) \in T_{\mathbf{r}_i(t)} S. Baʼzi mualliflar buni shunday ifodalaydilar


\delta \gamma = (\delta \mathbf{r}_1, \ldots, \delta \mathbf{r}_N).

### Ruxsat etilgan nuqta atrofida aylanadigan qattiq jism
Qoʻshimcha cheklovlarsiz qoʻzgʻalmas nuqta atrofida aylanadigan qattiq jism 3 daraja erkinlikka ega. Bu yerda konfiguratsiya maydoni M=SO(3), 3 oʻlchovli maxsus ortogonal guruh (aks holda 3D aylanish guruhi deb nomlanadi) va P(M)=C^\infty([t_0,t_1], M). Biz standart belgidan foydalanamiz  \mathfrak{so}(3)  barcha egri-simmetrik uch oʻlchovli matritsalarning uch oʻlchovli chiziqli fazosiga murojaat qilish. Eksponensial xarita \exp : \mathfrak{so}(3) \to SO(3) mavjudligini kafolatlaydi \epsilon_0 > 0 Shunday qilib, har bir yoʻl uchun \gamma \in P(M), uning oʻzgarishi \Gamma(t,\epsilon), va t \in [t_0,t_1], oʻziga xos yoʻl bor  \Theta^t \in C^\infty([-\epsilon_0, \epsilon_0], \mathfrak{so}(3))  shu kabi \Theta^t(0) = 0 va har biri uchun \epsilon \in [-\epsilon_0,\epsilon_0],\Gamma(t,\epsilon) = \gamma(t)\exp(\Theta^t(\epsilon)). Taʼrifga koʻra,


\delta \gamma (t) = \left(\frac{d}{d\epsilon} \Bigl(\gamma(t)\exp(\Theta^t(\epsilon))\Bigr)\right)\Biggl|_{\epsilon=0}
= \gamma(t)\frac{d\Theta^t(\epsilon)}{d\epsilon}\Biggl|_{\epsilon=0}.


Chunki, baʼzi funksiyalar uchun \sigma : [t_0,t_1]\to \mathfrak{so}(3),\Theta^t(\epsilon) = \epsilon\sigma(t) + o(\epsilon), kabi \epsilon \to 0 ,


\delta \gamma (t) = \gamma(t)\sigma(t) \in T_{\gamma(t)}SO(3).


## Manbalar