Harakatning doimiyligi

Mexanikada **harakat doimiyligi** — bu harakat davomida saqlanib qoladigan, amalda harakatga cheklov qoʻyadigan miqdor . Biroq, bu *jismoniy* cheklovdan koʻra (qoʻshimcha cheklash kuchlarini talab qiladigan) *matematik* cheklov, harakat tenglamalarining tabiiy natijasidir. Umumiy misollar orasida energiya, chiziqli momentum, burchak momentum va Laplas-Runge-Lenz vektori (teskari kvadrat kuch qonunlari uchun) mavjud.

### Ilovalar

Harakat konstantalari foydalidir, chunki ular harakat tenglamalarini echmasdan harakat xususiyatlarini olish imkonini beradi. Baxtli holatlarda, hatto harakat traektoriyasi ham harakat konstantalariga mos keladigan izo-sirtlarning kesishishi sifatida olinishi mumkin. Masalan, Puinsot konstruktsiyasi shuni koʻrsatadiki, qattiq jismning momentsiz aylanishi shar (umumiy burchak momentumining saqlanishi) va ellipsoidning (energiyaning saqlanishi) kesishishi boʻlib, traektoriyani topish va tasavvur qilish qiyin boʻlishi mumkin. Shuning uchun harakat konstantalarini aniqlash mexanikaning muhim maqsadi hisoblanadi.

## Harakat konstantalarini aniqlash usullari
Harakat konstantalarini aniqlashning bir necha usullari mavjud.

* Eng oddiy, lekin eng kam tizimli yondashuv bu intuitiv („psixik“) hosila boʻlib, unda miqdor doimiy boʻlishi taxmin qilinadi (ehtimol, tajriba maʼlumotlari tufayli) va keyinchalik matematik jihatdan butun harakat davomida saqlanishi koʻrsatilgan.
* Gamilton-Jakobi tenglamalari, ayniqsa, Gamiltonian ortogonal koordinatalarda taniqli funktsional shakllarni qabul qilganda, harakat konstantalarini aniqlash uchun keng tarqalgan va oddiy usulni taqdim etadi.
* Yana bir yondashuv, saqlangan miqdorning Lagrangian simmetriyasiga mos kelishini tan olishdir. Noeter teoremasi bunday miqdorlarni simmetriyadan sistematik tarzda olish imkonini beradi. Masalan, energiyaning saqlanishi vaqtning kelib chiqishidagi siljishlar ostida Lagranjining oʻzgarmasligidan, chiziqli impulsning saqlanishi fazoning kelib chiqishidagi siljishlar (*translyatsiya simmetriyasi*) ostidagi lagranjning oʻzgarmasligidan va burchak impulsining saqlanishi natijasida hosil boʻladi. aylanishlar ostida Lagrangianʼın oʻzgarmasligi. Qarama-qarshilik ham toʻgʻri; Lagrangianning har bir simmetriyasi harakat doimiysiga toʻgʻri keladi, koʻpincha *saqlanib qolgan zaryad* yoki *oqim* deb ataladi.
* Bir miqdor A harakatning doimiysi, agar uning umumiy vaqt hosilasi nolga teng boʻlsa:

: 0 = \frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \{A, H\},

bunda, Gamiltonian va A ning Puasson qavsi vaqtga nisbatan hosilasi minusga teng.

: \frac{\partial A}{\partial t} = -\{A, H\}.

Yana bir foydali natija **Puasson teoremasi** boʻlib, agar ikkita miqdor boʻlsa A va B Harakat konstantalari, ularning Puasson qavslari ham shunday \{A, B\} .

Har qanday harakat juftligining Puasson qavslari yoʻqolib qoladigan *n* erkinlik darajasi va *n ta* harakat konstantasi boʻlgan tizim toʻliq integrallanuvchi tizim sifatida tanilgan. Harakat konstantalarining bunday yigʻindisi bir-biri bilan involyutsiyada boʻladi, deyiladi. Yopiq tizim uchun (Lagrangian aniq vaqtga bogʻliq emas), tizimning energiyasi harakat doimiysi (saqlangan miqdor)

## Kvant mexanikasida
Kuzatiladigan kattalik *Q* harakatning doimiysi boʻladi, agar u Gamiltonian, *H* bilan almashtirilsa va uning oʻzi aniq vaqtga bogʻliq boʻlmasa. Buning sababi

: \frac{d}{dt} \langle \psi | Q | \psi \rangle = -\frac{1}{i \hbar} \left\langle \psi\right| \left[ H,Q \right] \left|\psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| \frac{dQ}{dt} \left| \psi \right\rangle \,

bu yerda

: [H,Q] = HQ - QH \,

kommutator munosabati hisoblanadi.

### Chiqarish
Aytaylik, joylashuv, impuls va vaqtga bogʻliq boʻlgan kuzatilishi mumkin boʻlgan  miqdori,

: Q = Q(x,p,t)

Shuningdek, Shredinger tenglamasiga boʻysunadigan toʻlqin funksiyasi mavjudligi

: i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} = H \psi .

 ning kutilgan qiymatining vaqt hosilasini olish mahsulot qoidasidan foydalanishni talab qiladi va natijada

\begin{align}
\frac{d}{dt} \left\langle Q \right\rangle
&= \frac{d}{dt} \left\langle \psi \right| Q \left| \psi \right\rangle \\[1ex]
&= \left(\frac{d}{dt}\left\langle \psi \right|\right) Q \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| \frac{dQ}{dt} \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| Q \left(\frac{d}{dt}\left| \psi \right\rangle\right) \\[1ex]
&= -\frac{1}{i\hbar} \left\langle H \psi \right| Q \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| \frac{dQ}{dt} \left| \psi \right\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left\langle \psi \right| Q \left| H \psi \right\rangle \\[1ex]
&= -\frac{1}{i\hbar} \left\langle \psi \right| HQ \left| \psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| \frac{dQ}{dt} \left| \psi \right\rangle + \frac{1}{i\hbar} \left\langle \psi \right| QH \left| \psi \right\rangle \\[1ex]
&= -\frac{1}{i\hbar} \left\langle \psi\right| \left[H,Q\right] \left|\psi \right\rangle + \left\langle \psi \right| \frac{dQ}{dt} \left| \psi \right\rangle
\end{align}

Shunday qilib, nihoyat,

### Izoh
Kvant mexanik tizimining ixtiyoriy holati uchun, agar  va  harakatlansa, yaʼni agar

: \left[ H,Q \right] = 0

va  aniq vaqtga bogʻliq emas

: \frac{d}{dt} \langle Q \rangle = 0

Lekin agar \psi Gamiltonianning xos funksiyasi boʻlsa, u holda boʻlsa ham

: \left[H,Q\right] \neq 0

hali ham shunday

: \frac{d}{dt}\langle Q \rangle = 0

sharti bilan  vaqtga bogʻliq emas.

### Chiqarish

\frac{d}{dt} \langle Q \rangle
= -\frac{1}{i\hbar}  \langle \psi | \left[ H,Q \right] | \psi\rangle
= -\frac{1}{i\hbar} \langle \psi | \left(HQ - QH\right) | \psi \rangle

bunda

 H|\psi\rangle = E |\psi \rangle \,

keyin

\begin{align}
\frac{d}{dt} \langle Q \rangle
&= -\frac{1}{i\hbar}  \left( E \langle \psi | Q | \psi \rangle - E \langle \psi | Q | \psi \rangle \right) \\[1ex]
&= 0
\end{align}

Gamiltonning xos holatlarini statsionar holatlar deb ham atalishining sababi shu.

## Kvant xaos uchun dolzarblik
Umuman olganda, integrallashgan tizim energiyadan tashqari harakat doimiylariga ega. Aksincha, energiya integral boʻlmagan tizimda harakatning yagona doimiysi hisoblanadi; bunday tizimlar xaotik deb ataladi. Umuman olganda, klassik mexanik tizimni integrallash mumkin boʻlgan taqdirdagina kvantlash mumkin; 2006 yildan boshlab xaotik dinamik tizimlarni kvantlash uchun maʼlum izchil usul mavjud emas.

### Harakatning integrali

Harakatning doimiyligi maʼlum bir kuch maydonida fazo-fazo koordinatalarining (pozitsiya va tezlik yoki pozitsiya va impuls) va traektoriya boʻylab doimiy boʻlgan vaqtning har qanday funktsiyasi sifatida belgilanishi mumkin. Harakat konstantalarining kichik toʻplami **harakatning integrallari** yoki **birinchi integrallar** boʻlib, ular faqat orbita boʻylab doimiy boʻlgan faza-fazo koordinatalarining har qanday funktsiyalari sifatida aniqlanadi. Har bir harakat integrali harakat doimiysi, lekin buning aksi toʻgʻri emas, chunki harakat doimiysi vaqtga bogʻliq boʻlishi mumkin. Harakat integrallariga misollar burchak momentum vektori, \mathbf{L} = \mathbf{x} \times \mathbf{v}, yoki vaqtga bogʻliq boʻlmagan Gamiltonian, masalan H(\mathbf{x},\mathbf{v}) = \frac{1}{2} v^2 + \Phi(\mathbf{x}) . Harakat doimiysi boʻlgan, lekin harakatning integrali boʻlmagan funksiyaga misol qilib, funksiya boʻlishi mumkin C(x,v,t) = x - vt bir oʻlchovda doimiy tezlikda harakatlanuvchi obyekt uchun.

Dirak kuzatilishlari

Oʻlchov nazariyalaridan jismoniy maʼlumotni olish uchun oʻlchovning oʻzgarmas kuzatilishi mumkin yoki oʻlchagichni tuzatadi. Kanonik tilda bu odatda birinchi toifadagi cheklovlarni yaratuvchi oʻlchagich bilan cheklash yuzasida Puasson-kommutatsiya qiladigan funktsiyalarni qurish yoki har bir oʻlchagich orbitasidagi nuqtalarni ajratib koʻrsatish orqali ikkinchisining oqimini aniqlashni anglatadi. Bunday oʻlchovli oʻzgarmas kuzatiladiganlar, shuning uchun oʻlchov generatorlarining „harakat doimiylari“ boʻlib, Dirac kuzatilishi deb ataladi.

## Manbalar

*