Kotes spirali

Fizikada va tekislik egri chiziqlari matematikasida C**otes spirali** (shuningdek **,** **Kotes spirali** deb yoziladi) Rojer Kotes tomonidan tasniflangan spirallar oilasidan biridir.

### Tavsif

Kotes ushbu egri chiziqlar boʻyicha oʻzining tahlili bilan quyidagicha tanishtiradi: „Maʼlum bir joydan kelib chiqqan holda, ularning masofalari kublariga teskari nisbatda markazga tortuvchi kuchlar taʼsirida jismlar harakatlanishi mumkin boʻlgan har xil turdagi traektoriyalarni sanab oʻtish taklif etiladi. berilgan tezlik va yoʻnalish.“ (ularni spiral sifatida tasvirlamaydi).

Oiladagi spirallarning shakli parametrlarga bogʻliq. Qutb koordinatalaridagi egri chiziqlar (*r*, *θ*), *r* > 0 quyidagi besh tenglamadan biri bilan aniqlanadi:

: 
\frac{1}{r} = 
\begin{cases}
 A \cosh(k\theta + \varepsilon) \\
 A \exp(k\theta + \varepsilon) \\
 A \sinh(k\theta + \varepsilon) \\
 A (k\theta + \varepsilon) \\
 A \cos(k\theta + \varepsilon) \\
\end{cases}


*A* > 0, *k* > 0 va *e* ixtiyoriy haqiqiy son konstantalaridir. *A* hajmini, *k* shaklini va *e* spiralning burchak holatini aniqlaydi.

Kotes turli shakllarni „holatlar“ deb atagan. Yuqoridagi egri chiziqlar tenglamalari mos ravishda uning 5 ta holatiga mos keladi..

Diagramma turli xil egri chiziqlarning namunalarini koʻrsatadi. Markaz „O“ bilan belgilanadi va *θ* nolga teng boʻlsa, O dan egri chiziqgacha boʻlgan radius koʻrsatiladi. Agar koʻrsatilmagan boʻlsa, *e* qiymati nolga teng.

Birinchi va uchinchi shakllar Puinsot spirallari; ikkinchisi — teng burchakli spiral; toʻrtinchisi — giperbolik spiral (muqobil nomi bilan toʻgʻriroq: „Oʻzaro spiral“ deb ataladi, chunki u giperbola yoki Puinsot spirallarida mavjud boʻlgan giperbolik funktsiyalar bilan bogʻliq emas); beshinchisi — epispiral.

Ularning xususiyatlari haqida koʻproq maʼlumot olish uchun alohida egri chiziqlarga murojaat qilish kerak.

## Klassik mexanika
Kotes spirallari klassik mexanikada teskari kubli markaziy kuch ostida harakatlanadigan zarracha harakati uchun echimlar oilasi sifatida paydo boʻladi. Markaziy kuchni koʻrib chiqamiz:

: 
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = -\frac{\mu}{r^3}\hat\boldsymbol{r},


bu yerda *m* — tortishish kuchi. Markaziy kuch taʼsirida harakatlanuvchi zarrachani koʻrib chiqaylik va uning oʻziga xos burchak momenti *h* boʻlsin, u holda zarra Kotes spirali boʻylab harakatlanadi, bu spiralning doimiy *k* qiymati bilan berilgan.

: 
k = \sqrt{1 - \frac{\mu}{h^2}}


*μ* 2 boʻlganda (spiralning kosinus shakli), yoki

: 
k = \sqrt{\frac{\mu}{h^2} - 1}


*μ* > *h* 2 boʻlganda, spiralning Puinsot shakli. *μ* = *h* 2 boʻlganda, zarracha giperbolik spiral boʻylab boradi. Chiqarishni havolalarda topish mumkin.

## Tarix
*Harmonia Mensurarum* (1722) da Rojer Kotes bir qator spirallarni va  kabi boshqa egri chiziqlarni tahlil qildi. U teskari kubli markaziy kuch maydonidagi zarrachaning mumkin boʻlgan traektoriyalarini tasvirlab berdi, ular Kotes spirallaridir. Tahlil Principia 1 kitobining 42-taklifidagi usulga asoslanadi, bu yerda tananing yoʻli ixtiyoriy markaziy kuch, boshlangʻich tezlik va yoʻnalish ostida aniqlanadi.

Dastlabki tezlik va yoʻnalishga qarab, u 5 xil „holat“ mavjudligini aniqlaydi (arzimas holatlar bundan mustasno, aylana va markazdan oʻtgan toʻgʻri chiziq).

Uning taʼkidlashicha, 5 ning „birinchi va oxirgisi Nyuton tomonidan giperbola va ellipsning kvadraturasi (yaʼni integratsiyasi) orqali tasvirlangan“.

2-holat teng burchakli spiral boʻlib, u *eng yaxshi* spiraldir. Bu katta tarixiy ahamiyatga ega, chunki Principia 1 kitobining 9-taklifida Nyuton isbotlaydiki, agar jism markaziy kuch taʼsirida teng burchakli spiral boʻylab harakatlansa, bu kuch radius kubiga teskari boʻlishi kerak (hatto Uning isbotidan oldin, 11-taklifda, ellipsdagi fokusga qaratilgan harakat teskari kvadrat kuchni talab qiladi).

Shuni tan olish kerakki, barcha egri chiziqlar spiralning odatiy taʼrifiga mos kelmaydi. Masalan, teskari kub kuchi markazdan qochma (tashqariga yoʻnaltirilgan) boʻlganda, *m*  1.

Samuel Ernshou 1826 yilda nashr etilgan kitobida „Kotes spirallari“ atamasini ishlatgan, shuning uchun terminologiya oʻsha paytda ishlatilgan.

Earnshou Kotesning 5 ta holatini aniq tasvirlab beradi va keraksiz ravishda 6-ni qoʻshadi, yaʼni kuch markazdan qochma (itarish) boʻlganda. Yuqorida taʼkidlab oʻtilganidek, Kotes buni 5-kassaga kiritgan.

Faqat 3 ta Kotes spirali borligi haqidagi notoʻgʻri qarash ET Uittakerning 1904 yilda birinchi marta nashr etilgan *Zarrachalar va qattiq jismlarning analitik dinamikasi haqidagi risolasidan* kelib chiqqan koʻrinadi.

Uittakerning „oʻzaro spirali“ ning izohi bor, u Kotesning „Harmonia Mensurarum“ va Nyutonning 9-taklifiga ishora qiladi. Biroq, bu notoʻgʻri, chunki 9-taklifning spirali teng burchakli spirali boʻlib, u uni umuman Kotes spirali deb bilmaydi.

Afsuski, keyingi mualliflar uning toʻgʻriligini tekshirish uchun qiyinchiliklarga duch kelmay, Uittakerning yoʻl-yoʻrigʻiga ergashdilar.

## Manbalar

## Adabiyotlar
* 
* Roger Cotes (1722) *Harmonia Mensuarum*, pp.&nbsp;31, 98.
* Isaac Newton (1687) *[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]]*, Book I, § 2, Proposition 9, and § 8, Proposition 42, Corollary 3, and § 9, Proposition 43, Corollary 6
* 
* 
* 

## Havolalar
* Weisstein, Eric W. „Kotes spirali“ hisob-kitobi