Uchburchaklar yechimlari

**Uchburchaklar yechimi** () uchburchakning xarakteristikalarini (tomonlarining burchaklari va uzunliklari) topish trigonometriyaning asoaiy muammosi boʻlib, ulardan baʼzilari nomaʼlum. Uchburchaklar tekislikda yoki sharda joylashgan boʻlishi mumkin. Uchburchak yechimlarini talab qiladigan yoʻnalishlar geodeziya, astronomiya, qurilish va navigatsiyani oʻz ichiga oladi.

## Tekislikdagi uchburchaklarini yechish

Umumiy shakldagi uchburchak oltita asosiy xususiyatga ega (rasmga qarang): uchta yon uzunliklari (yon uzunliklari ) va uchta burchaklari (). Klassik tekislik trigonometriyasi muammosi oltita xususiyatdan uchtasini belgilash va qolgan uchtasini aniqlashdir. Quyidagilardan biri berilganda uchburchak shu usulda aniqlanishi mumkin:

* Uch tomon (**[[Uchburchak|SSS]]**)
* Ikki tomon va kiritilgan burchak (**[[Uchburchak Alfa|SAS]]**)
* Ikki tomon va ular orasidagi burchak (**[[Uchburchak oraliq|SSA]]**), agar burchakka yopishgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa.
* Yon va unga yopishgan ikki burchak ('''ASA''')
* Bir tomon, unga qarama-qarshi burchak va unga qoʻshni boʻlgan burchak (**[[Uchburchak|AAS]]**).

Uchburdagi barcha holatlar uchun kamida bitta tomon uzunligi koʻrsatilishi kerak. Agar faqat burchaklar berilgan boʻlsa ham, tomonlarning uzunliklarini aniqlab boʻlmaydi, chunki har qanday oʻxshash uchburchak yechimli hisoblanadi.

### Trigonomik munosabatlar

Muammoni hal qilishning standart usuli — fundamental munosabatlardan foydalanish usulidir.

; Kosinuslar qonuni
:  a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c \cos \alpha 
:  b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos \beta 
:  c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma 
; Sinuslar qonuni
: \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}
; Burchaklar yigʻindisi
:
: \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ 
; Tangenslar qonuni
: \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac 1 2 (\alpha+\beta)]}.

Boshqa (baʼzan amaliy jihatdan ha juda foydali) universal munosabatlar mavjud: kotangentlar qonuni va Molveyd formulasi .

#### Eslatma
Togʻning balandligini qanday oʻlchash mumkin

# Nomaʼlum burchakni topish uchun kosinuslar qonun va sinuslar qonunidan foydalanish qulayroq. Buning sababi shundaki, uchburchakning burchagi uchun sinusning qiymati bu burchakni yagona qiymatini aniqlamaydi. Misol uchun, agar ***' boʻlsa, ***' burchak 30 ° yoki 150 ° ga teng boʻlishi mumkin. Kosinuslar qonunidan foydalanish bu muammoning oldini oladi: 0 ° dan 180 ° gacha boʻlgan oraliqda kosinus qiymati uning burchagini aniq belgilaydi. Boshqa tomondan, agar burchak kichik (yoki 180 ° ga yaqin) boʻlsa, uni kosinusdan koʻra sinusdan aniqlash ishonchliroq boʻladi, chunki yoy-kosinus funktsiyasi 1 (yoki −1) da turlicha hosilaga ega boʻladi.
# Belgilangan xususiyatlarning nisbiy pozitsiyasi maʼlum deb faraz qilamiz. Agar shunday boʻlmasa, uchburchakning koʻzgudagi aksi ham yechim boʻladi. Misol uchun, uch tomonning uzunligi uchburchakni yoki uning aksini aniq belgilaydi.

### Uchta tomon berilgan ([[Uchburchak|SSS]])

Uch tomon uzunligi ***' koʻrsatilsin. ***' burchaklarni topish uchun kosinuslar qonunidan foydalanish mumkin boʻladi:

: 
\begin{align}
\alpha & = \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c} \\[4pt]
\beta & = \arccos \frac{a^2 + c^2 - b^2} {2 a c}.
\end{align}


Keyingi burchak:***' .

Baʼzi manbalar [[Sinuslar teoremasi|sinuslar qonunidan]] ***' burchakni topishni tavsiya qiladi, lekin (yuqoridagi 1-izohda aytilganidek) oʻtkir burchak qiymatini oʻtmas burchak qiymati bilan chalkashtirib yuborish xavfi mavjud.

Maʼlum tomonlardan burchaklarni hisoblashning yana bir usuli kotangenslar qonunini qoʻllashdir usulidir.

### Ikki tomon va ular orasidagi burchak ([[Uchburchak Alfa|SAS]])

Bu yerda  tomonlarning uzunliklari va bu tomonlar orasidagi  burchak maʼlum. Uchinchi tomonni kosinuslar qonunidan aniqlash mumkin boʻladi:

: c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.

Endi ikkinchi burchakni topish uchun ham kosinuslar qonunidan foydalansak boʻladi:

:  \alpha = \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c}.

Nihoyat, ***' .

=== Ikki tomon va ular orasida boʻmagan burchak berilgan ([[Uchburchak|SSA]]) ===


Bu ish hamma hollarda ham toʻgʻri boʻlmaydi; Agar burchakka ulashgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa, yechim yagona boʻladi. Faraz qilaylik, ikki tomon ***' va ***' burchak maʼlum. ***' burchak uchun tenglama sinuslar qonunidan nazarda tutilishi mumkin:

: \sin\gamma = \frac c b \sin\beta.

Keyingi  ni belgilaymiz(tenglamaning oʻng tomoni). Toʻrtta holat boʻlishi mumkin:

# Agar ***' boʻlsa, bunday uchburchak mavjud boʻlmaydi, chunki ***' tomoni ***' chizigʻiga yetib bormaydi. Xuddi shu sababga koʻra, agar burchak ***' va ***' boʻlsa ham yechim mavjud boʻlmaydi.
# Agar ***' boʻlsa, yagona yechim mavjud: ***', yaʼni [[Toʻgʻri burchakli uchburchak|toʻgʻri burchakli]] uchburchak boʻladi.
# Agar ***' boʻlsa, ikkita variant mumkin.
## Agar ***' boʻlsa, u holda ***' (katta tomon katta burchak qarshisida boʻladi). Hech bir uchburchakda ikkita oʻtmas burchak boʻlishi mumkin emasligi sababli, ***' oʻtkir burchak va yechim ***' yagona yechim hisoblanadi.
## Agar ***' boʻlsa, ***' burchak oʻtkir boʻlishi mumkin: ***' yoki oʻtmas: ***' . Oʻngdagi rasmda birinchi yechim sifatida ***' nuqta, ***' tomon va ***' burchak, ikkinchi yechim sifatida esa ***' nuqta, ***' tomon va ***' burchak koʻrsatilgan, uchinchi burchak ***' ga teng .

Uchinchi tomonni [[Sinuslar teoremasi|sinuslar qonuni]]<nowiki/>dan topish mumkin boʻladi:

: '''<math>a = b\ \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}</math>'''

yoki [[Kosinuslar teoremasi|kosinuslar qonuni]]<nowiki/>dan ham topsa boʻladi:

: '''<math>a = c\cos\beta \pm \sqrt{b^2 -c^2\sin^2\beta} </math>'''

=== Birta tomon va ikkita qoʻshni burchak berilgan ([[Uchburchak bo'shliq|ASA]]) ===

Maʼlum uchburchakning  tomoni va  burchaklari berilgan. Uchinchi burchak esa  teng boʻladi.

[[Sinuslar teoremasi|Sinuslar qonuni]]<nowiki/>dan ikkita nomaʼlum tomonni topish mumkin:

: <math>a = c\ \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}; \quad b = c\ \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.</math>

yoki

: <math>a = c \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha \cos \beta +\sin\beta \cos \alpha}</math>
: <math>b = c \frac{\sin\beta}{\sin\alpha \cos \beta +\sin\beta \cos \alpha}</math>

=== Bitta tomon, bitta qoʻshni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan ([[Uchburchak|AAS]]) ===
[[Uchburchak|AAS]] uchburchagini yechish tartibi [[Uchburchak|ASA]] uchburchagi bilan bir xil: Birinchidan, uchburchakning burchak yigʻindisi xususiyatidan foydalanib uchinchi burchakni topiladi, soʻngra [[Sinuslar teoremasi|sinuslar qonunidan]] foydalanib qolgan ikki tomoni ham topiladi.

=== <u>Boshqa berilgan uzunliklar</u> ===
Koʻp hollarda uchburchaklar uchta maʼlumotni hisobga olgan holda echilishi mumkin, ulardan baʼzilari uchburchakning [[Mediana|medianalari]], [[balandlik]]<nowiki/>lari yoki burchak [[bissektrisa]]<nowiki/>larining uzunligi bilan hisoblanadi. Posamentier va Lemann 95 ta alohida holatlarning har biri uchun kvadrat ildizlardan yuqori boʻlmagan (yaʼni, [[Konstruktiv matematika|konstruktivlik]]) yordamida yechish qobiliyatiga oid savolning yechimlarini sanab oʻtadilar; Ulardan 63 tasidan uchburchak yasash mumkin.

== <u>'''Sferik uchburchaklarni yechish'''</u> ==

Ikki tomon va kiritilmagan burchak berilgan. Umumiy [[Sferik koordinatalar|sferik]] uchburchakning oltita xususiyatidan uchtasi (3 ta tomon va 3 ta burchak) bilan toʻliq aniqlanadi. [[Sferik koordinatalar|Sferik]] uchburchakning  tomonlari uzunligi ularning <u>markaziy burchaklari</u> boʻlib, chiziqli birliklarga ega emas, balki burchaklari birliklarda oʻlchanadi. (Birlik sharda burchak ([[Radian|radianlarda]]) va shar atrofidagi uzunlik son jihatdan bir xil boʻladi. Boshqa sohalarda burchak ([[Radian|radianlarda]]) [[radius]]<nowiki/>ga boʻlingan [[shar]] atrofidagi uzunlikka teng.)

[[Sferik koordinatalar|Sferik]] geometriya planar [[Yevklid geometriyasi|Evklid]] geometriyasidan farq qiladi, shuning uchun [[Sferik koordinatalar|sferik]] uchburchaklar yechimi turli qoidalarga asoslanadi. Masalan, ***' uchta burchakning yigʻindisi uchburchakning kattaligiga bogʻliq boʻladi. Bundan tashqari, oʻxshash uchburchaklar teng boʻlishi mumkin emas, shuning uchun belgilangan uchta burchakli uchburchakni qurish oʻziga xos yechimga ega. Muammoni hal qilish uchun ishlatiladigan asosiy munosabatlar tekislik holatiga oʻxshaydi: qarang: Kosinuslarning sferik qonuni va Sinuslarning sferik qonuni berilgan.

Foydali boʻlishi mumkin boʻlgan munosabatlar orasida yarim tomon formulasi va **Napier**ning oʻxshashligi ham bor:

* \tan\frac c 2 \cos\frac{\alpha-\beta} 2 = \tan\frac{a+b}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}
* \tan\frac c 2 \sin\frac{\alpha-\beta} 2 = \tan\frac{a-b} 2 \sin\frac{\alpha+\beta} 2
* \cot\frac{\gamma} 2 \cos\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha+\beta} 2 \cos\frac{a+b} 2
* \cot\frac{\gamma} 2 \sin\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha-\beta} 2 \sin\frac{a+b} 2.

### Uch tomon berilgan (sferik SSS)
Maʼlum: tomonlar ***' (burchak birliklarida). Uchburchakning burchaklari kosinuslarning sferik qonuni yordamida hisoblash mumkin:

: <math>\alpha = \arccos\left(\frac{\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}\right),</math>
: <math>\beta = \arccos\left(\frac{\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}\right),</math>
: <math>\gamma = \arccos\left(\frac{\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}\right).</math>



=== Ikki tomon va burchak berilgan ([[Sferik geometriya|sferik SAS]]) ===
Bizga maʼlum: ***' tomonlari va ular orasidagi ***' burchak. ***' tomonini kosinuslarning sferik qonunidan topishimiz mumkin:

: c = \arccos \left(\cos a\cos b + \sin a\sin b\cos\gamma \right).

***' burchaklarni yuqoridagi kabi yoki '''Napier''' analogiyalari yordamida hisoblash mumkin:

: <math>\alpha = \arctan\ \frac{2\sin a}{\tan(\frac{\gamma}{2}) \sin (b+a) + \cot(\frac{\gamma}{2})\sin(b-a)},</math>
: <math>\beta = \arctan\ \frac{2\sin b}{\tan(\frac{\gamma}{2}) \sin (a+b) + \cot(\frac{\gamma}{2})\sin(a-b)}.</math>

Bu muammo yerning kenglik va uzunliklari bilan belgilangan ikki nuqta orasidagi katta doirani topishning [[navigatsiya]] muammosini hal qilishda yordam beradi; ushbu ilovada yaxlitlash xatolariga moyil boʻlmagan formulalardan foydalanish muhimdir. Buning uchun quyidagi formulalardan ([[Vektor (matematika)|vektor algebras]]<nowiki/>i yordamida olinishi ham mumkin) foydalanish mumkin:

: <math>\begin{align}
c &= \arctan\frac
{\sqrt{(\sin a\cos b - \cos a \sin b \cos \gamma)^2 + (\sin b\sin\gamma)^2}}
{\cos a \cos b + \sin a\sin b\cos\gamma},\\
\alpha &= \arctan\frac
{\sin a\sin\gamma}
{\sin b\cos a - \cos b\sin a\cos\gamma},\\
\beta &= \arctan\frac
{\sin b\sin\gamma}
{\sin a\cos b - \cos a\sin b\cos\gamma},
\end{align}</math>

bu iboralardagi [[Sanoq sistemasi|sanoq]] va [[maxraj]]<nowiki/>larning belgilaridan [[Arktangens|arktangen]]<nowiki/>sning kvadrantini aniqlash uchun foydalanish mumkin.


=== Ikki tomon va kiritilmagan burchak berilgan ([[Sferik geometriya|sferik SSA]]) ===
Bu muammoni hamma hollarda ham hal qilib boʻlmaydi; Agar burchakka yopishgan tomon uzunligi boshqa tomon uzunligidan qisqaroq boʻlsa, yechim yagona boʻladi. Bizga maʼlum: tomonlar ***' va ular orasidagi boʻlmagan ***' burchak. Agar quyidagi shart bajarilsa, yechim mavjud boʻladi:

: <math>b > \arcsin (\sin c\,\sin\beta).</math>

***' burchakni sinuslarning sferik qonunidan topish mumkin boʻladi:

: \gamma = \arcsin \left(\frac{\sin c\,\sin\beta}{\sin b}\right).

uchburchak holatiga kelsak, agar ***' boʻlsa, u holda ikkita yechim mavjud boʻladi: ***' va ***' .

Napier [[analogiya]]<nowiki/>laridan foydalanib, biz boshqa xususiyatlarni ham topishimiz mumkin:

: <math>
\begin{align}
a & = 2\arctan \left[ \tan\left(\tfrac12(b-c)\right) \frac{\sin \left(\tfrac12(\beta+\gamma)\right)}{\sin\left(\tfrac12(\beta-\gamma)\right)} \right], \\[4pt]
\alpha & = 2\arccot \left[\tan\left(\tfrac12(\beta-\gamma)\right) \frac{\sin \left(\tfrac12(b+c)\right)}{\sin \left(\tfrac12(b-c)\right)} \right].
\end{align}
</math>



=== Bitta tomon va ikkita qoʻshni burchaklar berilgan ([[Sferik geometriya|sferik ASA]]) ===
Maʼlum: ***' tomoni va burchaklar ***' . Avval kosinuslarning sferik qonuni yordamida ***' burchakni topib olamiz:

: \gamma = \arccos(\sin\alpha\sin\beta\cos c -\cos\alpha\cos\beta).\,

Kosinuslarning sferik qonunidan ikkita nomaʼlum tomonni topishimiz mumkin (hisoblangan ***' burchak yordamida) boʻladi:

: <math>a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right),</math>
: <math>b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\alpha\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma}\right),</math>

yoki '''Napier'''ning analogiyalaridan foydalangan holda quyidagi tenglik hosil boʻladi:

: <math>
\begin{align}
a & = \arctan\left[\frac{2\sin\alpha}{\cot(\frac c 2) \sin(\beta+\alpha) + \tan(\frac c 2) \sin(\beta-\alpha)}\right], \\[4pt]
b & = \arctan\left[\frac{2\sin\beta} {\cot(\frac c 2) \sin(\alpha+\beta) + \tan(\frac c 2)\sin(\alpha-\beta)}\right].
\end{align}
</math>



=== Bir tomon, bitta qoʻshni burchak va qarama-qarshi burchak berilgan ([[Sferik geometriya|sferik AAS]]) ===
Bizga maʼlum: ***' tomon va burchaklar ***' . ***' tomonini sinuslarning sferik qonunidan topish mumkin boʻladi:

: b = \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right).

Agar **a** tomon ***' burchak oʻtkir va ***' boʻlsa, boshqa yechim ham mavjud:

: b = \pi - \arcsin \left( \frac{\sin a\,\sin \beta}{\sin \alpha} \right).

**Napier** analogiyalaridan foydalanib, biz boshqa xususiyatlarni ham topishimiz mumkin:

: 
\begin{align}
c & = 2\arctan \left[ \tan\left(\tfrac12(a-b)\right) \frac{\sin\left(\tfrac12(\alpha+\beta)\right)}{\sin\left(\frac12(\alpha-\beta)\right)}\right], \\[4pt]
\gamma & = 2\arccot \left[\tan\left(\tfrac12(\alpha-\beta)\right) \frac{\sin \left(\tfrac12(a+b)\right)}{\sin \left(\frac12(a-b)\right)} \right].
\end{align}


### Berilgan uchta burchak ([[Sferik geometriya|sferik AAA]])
Bizga maʼlum: burchaklar ***' . Kosinuslarning sferik qonunidan quyidagi xulosaga kelamiz:

: <math>a=\arccos\left(\frac{\cos\alpha+\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right),</math>
: <math>b=\arccos\left(\frac{\cos\beta+\cos\gamma\cos\alpha}{\sin\gamma\sin\alpha}\right),</math>
: <math>c=\arccos\left(\frac{\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}\right).</math>

=== Toʻgʻri burchakli [[Sferik geometriya|sferik]] uchburchaklarni yechish ===
Agar uchburchakning burchaklaridan biri (masalan, ***' burchagi) toʻgʻri burchak boʻlsa, yuqoridagi algoritmlar ancha soddalashadi. Bunday sferik uchburchak uning ikkita elementi bilan toʻliq aniqlanadi va qolgan uchtasini Nepierning Pentagoni yoki quyidagi munosabatlar yordamida hisoblash mumkin boʻladi.

: \sin a = \sin c \cdot \sin A (sinuslarning sferik qonunidan)
: \tan a = \sin b \cdot \tan A
: \cos c = \cos a \cdot \cos b (kosinuslarning sferik qonunidan)
: \tan b = \tan c \cdot \cos A
: \cos A = \cos a \cdot \sin B (kosinuslarning sferik qonunidan )
: \cos c = \cot A \cdot \cot B

## '''Baʼzi ilovalar'''

Agar qirgʻoqdan uzoq kemagacha boʻlgan masofani ***' triangulyatsiya orqali oʻlchamoqchi boʻlsangiz, qirgʻoqda ular orasidagi maʼlum masofa ***' boʻlgan ikkita nuqtani belgilaymiz (tayanch chiziq). Asosiy chiziq bilan kemaga yo‘nalish orasidagi burchaklar ***' bo‘lsin.

Yuqoridagi formulalardan ([[Uchburchak|ASA]] holati, planar geometriyani nazarda tutgan holda) masofani uchburchak balandligi sifatida hisoblash mumkin boʻladi:

: <math>d = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta} \ell.</math>

Sferik holat uchun birinchi navbatda [[Uchburchak|ASA]] formulasi orqali ***' nuqtadan kemagacha boʻlgan tomonning uzunligini (yaʼni ***' ga qarama-qarshi tomon) hisoblash mumkin boʻladi.

: <math> \tan b =\frac{2\sin\beta}{\cot(l/2)\sin(\alpha+\beta)+\tan(l/2)\sin(\alpha-\beta)},</math>

va buni ***' burchak va ***' va ***' tomonlarini oʻz ichiga olgan toʻgʻri burchakli uchburchak uchun AAS formulasiga kiritamiz:

:  \sin d = \sin b \sin\alpha = \frac{\tan b}{\sqrt{1+\tan^2 b}}\sin\alpha.

(Tezlik formulasi aslida ***' darajasida sharsimon sferaning ***' ning Teylor kengayishining birinchi hadidir.)

Bu usul kabotajda juda keng qoʻllanadi. ***' burchaklari kemadan tanish belgilarni kuzatish orqali aniqlanadi.

Yana bir misol sifatida, [[Togʻlar|tog]]<nowiki/>ʻning yoki baland [[bino]]<nowiki/>ning ***' balandligini oʻlchamoqchi boʻlsa, ikkita yer nuqtasidan tepagacha boʻlgan ***' burchaklari koʻrsatilgan boʻlsin. Bu nuqtalar orasidagi masofa ***' boʻlsin. Xuddi shu ASA holatlari formulalaridan biz quyidagi natijalarni olamiz:

:  h = \frac{\sin\alpha\,\sin\beta}{\sin(\beta-\alpha)} \ell = \frac{\tan\alpha\,\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha} \ell.

### Yer sharidagi ikki nuqta orasidagi masofa

Yer sharidagi ikki nuqta orasidagi masofani hisoblash uchun,

: **A** nuqta: kenglik ***', uzunlik ***' va
: **B** nuqtasi: kenglik ***', uzunlik ***'

***' [[Sferik geometriya|sferik]] uchburchakni koʻrib chiqamiz ***', bu yerda ***' — Shimoliy qutb. Baʼzi xususiyatlar quyidagilardir:

: '''<math>a = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{B}, \,</math>'''
: '''<math>b = 90^\mathrm{o} - \lambda_\mathrm{A}, \,</math>'''
: '''<math>\gamma = L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}. \,</math>'''

Agar ikki tomon va kiritilgan burchak berilgan boʻlsa, biz quyidagi formulalarni olamiz:

: <math>\mathrm{AB} = R \arccos\left[\sin \lambda_\mathrm{A} \,\sin \lambda_\mathrm{B} + \cos \lambda_\mathrm{A} \,\cos \lambda_\mathrm{B} \,\cos \left(L_\mathrm{A}-L_\mathrm{B}\right)\right].</math>

Bu yerda ***' — Yerning radiusi .

## '''Shunga oʻxshash'''
* Muvofiqlik
* Hansen muammosi
* Menteşe teoremasi
* Lénárt shari
* Snellius-Pothenot muammosi

## '''Manbalar'''

## '''Tashqi havolalar'''
* 
* Trigonometrik lazzatlar, Eli Maor tomonidan, Prinston universiteti nashriyoti, 1998 yil. Elektron kitob versiyasi, PDF formatida, toʻliq matn taqdim etilgan.
* Alfred Monro Kenyon va Lui Ingold tomonidan trigonometriya, Makmillan kompaniyasi, 1914 yil. Tasvirlarda toʻliq matn taqdim etilgan. Google kitob.
* Matematik olamida *[http://mathworld.wolfram.com/SphericalTrigonometry.html sferik trigonometriya]* .
* Sferik trigga kirish. Napier doirasi va Napier qoidalarini muhokama qilishni oʻz ichiga oladi
*  I. Todhunter, MA, FRS tarixiy matematika monografiyasi Cornell universiteti kutubxonasi tomonidan chop etilgan.
* *[http://www.rlefebvre.ca/triangulateur/triangulator.htm Triangulator]* &#x2013; uchburchakni hal qiluvchi. Har qanday tekis uchburchak masalasini minimal kirish maʼlumotlari bilan hal qiling. Yechilgan uchburchakni chizish.
* *[http://gnomonique.fr/trisph/index_en.htm TriSph]* &#x2013; Sferik uchburchaklarni echish uchun bepul dastur, turli amaliy ilovalar uchun sozlanishi va gnomonic uchun sozlangan.
* *[https://web.archive.org/web/20141009115504/https://files.nyu.edu/emf202/public/js/spherical.html Sferik uchburchak kalkulyatori]* &#x2013; Sferik uchburchaklarni hal qiladi.
* *[http://triancal.x10.bz TrianCal]* &#x2013; Iso S. tomonidan uchburchaklarni hal qiluvchi.