Frenel tipidagi difraksiyalar

**Frenel diffraktsiyasi** - bu to'siqdan kichik masofada, ekran chegaralari interferensiya tasviriga asosiy hissa qo'shgan sharoitlarda kuzatiladigan diffraktsiya tasviri .

Shakl sxematik ravishda  dumaloq teshikka ega shaffof ekranni tasvirlaydi , uning chap tomonida yorug'lik manbayi joylashgan. Rasm boshqa ekranda - o'ngda o'rnatiladi. Difraksiya tufayli teshikdan o'tadigan yorug'lik ajralib chiqadi, shuning uchun geometrik optika qonunlariga ko'ra qoraygan maydon qisman yoritilgan bo'ladi. Yorug'likning to'g'ri chiziqli tarqalishi bilan yoritiladigan mintaqada konsentrik halqalar ko'rinishidagi yorug'lik intensivligining o'zgarishi kuzatiladi.

Frenel diffraktsiyasining diffraktsiya sxemasi ekranlar orasidagi masofaga va yorug'lik manbalarining joylashishiga bog'liq. Diafragma chegarasidagi har bir nuqta Gyuygens printsipiga ko'ra **[[Sfera|sferik]] [[Toʻlqinlar|to'lqin]]** chiqaradi deb hisoblash mumkin. Kuzatuv nuqtalarida, ikkinchi ekranda, to'lqinlar yo'l farqiga qarab bir-birini kuchaytiradi yoki bekor qiladi.

## Frenel integrali
Difraksiyaning skalyar nazariyasida *(x, y, z)* nuqtada diffraktsiya nurining elektr maydonining taqsimlanishi **Reley-Zommerfeld** ifodasi bilan ifodalanadi:

:  E(x,y,z)=-{i \over \lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty}{ E(x',y',0) \frac{e^{ikr}}{r} \cos \theta}dx'dy' 

Qayerda  r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+z^2},  i kompleks son va \cos \theta = \frac{z}{r}   *z* va *r* yo’nalishlari orasidagi burchakning kosinusu. Analitik shaklda bu integral faqat eng oddiy teshik geometriyalari uchun ifodalanishi mumkin, shuning uchun u odatda raqamli usullar bilan hisoblanadi.

### Frenel yaqinlashuvi
Integralni hisoblashdagi asosiy qiyinchilik *r* ning ifodasidir. Birinchidan, biz o'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali hisob-kitoblarni soddalashtiramiz:

: \rho^2 = (x-x')^2+(y-y')^2

Ushbu ifodani *r* o'rniga qo'yib, biz quyidagilarni topamiz:

:  r= \sqrt{\rho^2+z^2} = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} } 

Biz  foydalanamiz

: \sqrt{1+u} = (1+u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots

va *r ni* quyidagicha ifodalang

: r = z \sqrt{ 1 + \frac{\rho^2}{z^2} } = z \left[ 1 + \frac{\rho^2}{2 z^2} - \frac{1}{8} \left( \frac{\rho^2}{z^2} \right)^2 + \cdots \right] = z + \frac{\rho^2}{2 z} - \frac{\rho^4}{8z^3} + \cdots

Agar kengayishning barcha shartlarini ko'rib chiqsak, bu aniq ifoda bo'ladi . Bu ifodani integral ostidagi ko'rsatkichli funktsiya argumentiga almashtiramiz; Frenel yaqinlashuvida asosiy rolni kichik deb hisoblangan kengayishda uchinchi muddatni e'tiborsiz qoldirish o'ynaydi. Buning mumkin bo'lishi uchun u ko'rsatkichga ozgina ta'sir qilishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, u eksponent davridan ancha kichik bo'lishi kerak, ya'ni. 2 \pi :

:  k \frac{\rho^4}{8 z^3} \ll 2 \pi.

*k ni* to'lqin uzunligi bilan ifodalash,

: k = { 2 \pi \over \lambda }

quyidagi munosabatni olamiz:

:  \frac{\rho^4}{z^3 \lambda} \ll 8

Ikkala tomonni ko'paytirish z/\lambda, olamiz

:  \frac{\rho^4}{z^2 \lambda^2} \ll 8 {z \over \lambda}

yoki oldindan olingan ifodani r 2 ga almashtirib,

:  \frac{[(x-x')^2+(y-y')^2]^2}{z^2 \lambda^2} \ll 8 {z \over \lambda}

Agar bu shart *x*, *x'<nowiki/>*, *y* va *y*' ning barcha qiymatlari uchun qanoatlansa, Teylor qatoridagi uchinchi hadni e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin. Bundan tashqari, agar uchinchi muddat kichik bo'lsa, unda yuqori buyurtmalarning keyingi barcha shartlari ham kichikdir va ularni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Keyin ifodani ikkita kengaytirish atamasi yordamida taxmin qilish mumkin:

:  r \approx z + \frac{(x-x')^2 +(y-y')^2}{2 z} 

Bu ifoda *Frenel yaqinlashuvi* deb ataladi va ilgari olingan tengsizlik bu yaqinlashishning qo'llanilishi shartidir.

### Frenel diffraktsiyasi
Qo'llash sharti juda zaif va agar diafragma yo'l uzunligidan ancha kichik bo'lsa, barcha xarakterli o'lchamlarni taqqoslanadigan qiymatlar sifatida qabul qilishga imkon beradi. Bundan tashqari, bizni faqat manba yaqinidagi kichik mintaqa qiziqtirganligi sababli, *x* va *y* *z* dan ancha kichik, deylik. \theta \approx 0, nimani anglatadi **<math>\cos \theta \approx 1</math>**, va maxrajdagi *r ni* ifoda bilan yaqinlashtirish mumkin r \approx z .

Fraungofer difraksiyasidan farqli o'laroq, Frenel difraksiyasi interferentsion to'lqinlarning nisbiy fazalarini to'g'ri hisobga olish uchun to'lqin frontining egriligini hisobga olishi kerak.

*(x,y,z)* nuqtadagi Frenel diffraktsiyasi uchun elektr maydoni quyidagicha berilgan:

:  E(x,y,z)=-{i \over \lambda}{e^{ikz} \over z}\iint_{-\infty}^{+\infty} E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^2+(y-y')^2]}dx'dy' 

Bu Frenel difraksion integrali; bu shuni anglatadiki, agar Frenel yaqinlashuvi to'g'ri bo'lsa , tarqaladigan maydon teshikdan boshlanib, *z* bo'ylab harakatlanadigan to'lqindir.  Integral sferik to'lqinning amplitudasi va fazasini modulyatsiya qiladi.  Bu ifodaning analitik yechimi kamdan-kam hollardagina mumkin.   Faqat diffraktsiya manbasidan ancha katta masofalar uchun amal qiladigan qo'shimcha soddalashtirish uchun qarang '''Fraungofer diffraktsiyasi''' .

## Shuningdek qarang

*** Дифракция Фраунгофера
*** Интеграл Кирхгофа
*** Интегралы Френеля

## Eslatmalar

Приближение однако было в предыдущем шаге , когда мы предположили, что e^{i k r}/r реальная волна. В действительности не существует действительного решения векторного '''уравнения Гельмгольца''', только для скалярного. Смотри '''скалярное волновое приближение'''

## Adabiyot

* Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М. : Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — .
* Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. IV. Оптика.

## Havolalar

* http://www.falstad.com/diffraction/