Ehtimolik zichligi funksiyasi

Ehtimollar nazariyasida **ehtimollik zichligi funksiyasi** (EZF) yoki mutlaqo uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchining **zichligi**, bu funksiya boʻlib, uning qiymati tanlama boʻshligʻidagi har qanday berilgan namunadagi (yoki nuqtada) (tasodifiy oʻzgaruvchi tomonidan olingan mumkin boʻlgan qiymatlar toʻplami) tasodifiy oʻzgaruvchining qiymati ushbu tanlamaga teng boʻlishining *nisbiy ehtimolini* taʼminlash sifatida talqin qilinishi mumkin. Ehtimollik zichligi — bu uzunlik birligiga toʻgʻri keladigan ehtimollik, boshqacha qilib aytganda, uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchining har qanday maʼlum qiymatni olishi *mutlaq ehtimolligi* 0 ga teng boʻlsa (chunki boshlash uchun mumkin boʻlgan qiymatlarning cheksiz toʻplami mavjud), EZF qiymati Ikki xil namunada tasodifiy oʻzgaruvchining har qanday aniq tanlovida tasodifiy oʻzgaruvchining boshqa namunaga nisbatan bir namunaga yaqinroq boʻlish ehtimoli qanchalik yuqori ekanligini aniqlash uchun foydalanish mumkin.

Aniqroq maʼnoda, EZF tasodifiy oʻzgaruvchining biror bir *qiymatni qabul qilishdan farqli oʻlaroq, maʼlum bir qiymat oraligʻiga* tushish ehtimolini aniqlash uchun ishlatiladi. Bu ehtimollik ushbu oʻzgaruvchining: EZF-ning ushbu diapazondagi integrali bilan beriladi, yaʼni u zichlik funksiyasi ostidagi, lekin gorizontal oʻqdan yuqori va diapazonning eng kichik va eng katta qiymatlari orasidagi maydon bilan beriladi. Ehtimollik zichligi funksiyasi hech qachon manfiy emas va butun egri chiziq ostidagi maydon 1 ga teng.

*Ehtimollar taqsimoti funksiyasi* va *ehtimollik funksiyasi* atamalari ham baʼzan ehtimollik zichligi funksiyasini belgilash uchun ishlatilgan. Biroq, ehtimollar va statistiklar orasida bu foydalanish standart emas. Boshqa manbalarda, ehtimollik taqsimoti umumiy qiymatlar toʻplami boʻyicha funksiya sifatida aniqlanganda yoki u umumiy taqsimot funksiyasiga murojaat qilganda yoki ehtimollik massasi funksiyasi (EMF) boʻlishi mumkin zichligi. „Zichlik funksiyasi“ning oʻzi ham ehtimollik massasi funksiyasi uchun ishlatiladi, bu esa yanada chalkashlikka olib keladi. Umuman olganda, EMF diskret tasodifiy oʻzgaruvchilar (hisoblanuvchi toʻplamda qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy oʻzgaruvchilar) kontekstida, EZF esa doimiy tasodifiy oʻzgaruvchilar kontekstida ishlatiladi.

## Namuna
Aytaylik, bizga maʼlum bir turdagi bakteriyalar odatda 4 dan 6 soatgacha yashaydi. Bakteriyaning aynan 5 soat yashashi ehtimoli nolga teng. Koʻpgina bakteriyalar taxminan 5 soat yashaydi, ammo har qanday bakteriya aniq 5.00 … soatda oʻlishi ehtimoli yoʻq. Shu bilan birga, bakteriyaning 5 soatdan 5,01 soatgacha oʻlishi ehtimoli miqdoriy hisoblanadi. Aytaylik, javob 0,02 (yaʼni 2%). Soʻng, bakteriyaning 5 soatdan 5,001 soatgacha oʻlishi ehtimoli taxminan 0,002 boʻlishi kerak, sababi bu vaqt oraligʻi avvalgisiga qaraganda oʻndan biriga teng boʻladi. Bakteriyaning 5 soatdan 5,0001 soatgacha oʻlishi ehtimoli taxminan 0,0002 boʻlishi kerak va hokazo.

Ushbu misolda nisbat (intervalda oʻlish ehtimoli) / (intervalning davomiyligi) taxminan doimiy va soatiga 2 ga teng (yoki 2 soat−1) Misol uchun, 0,01 soatlik intervalda 5 va 5,01 soat oraligʻida 0,02 oʻlim ehtimoli bor va (0,02 ehtimollik / 0,01 soat) = 2 soat −1. Bu 2 soat−1 miqdori 5 soat atrofida oʻlish ehtimoli zichligi deb ataladi. Shuning uchun bakteriyaning 5 soatda oʻlish ehtimolini (2 soat−1)*dt* deb yozish mumkin. Bu bakteriyaning 5 soat atrofida cheksiz kichik vaqt oraligʻida oʻlish ehtimoli, bu yerda *dt* — bu jarayonning davomiyligi. Masalan, uning 5 soatdan koʻproq, lekin (5 soat + 1 nanosoniya) dan qisqa yashashi ehtimoli (2 soat −1)×(1 nanosoniya) ≈  ( nanosekund = 1 soat).

*f* (5 soat) = 2 soat−1 boʻlgan *f* ehtimollik zichligi funksiyasi mavjud. Vaqtning istalgan qismi (nafaqat cheksiz kichik qismlar, balki katta qismlar ham) boʻyicha *f* ning integrali bu qismda bakteriyaning nobud boʻlish ehtimolidir.

## Mutlaqo uzluksiz bir oʻzgaruvchili taqsimotlar
Ehtimollik zichligi funksiyasi, odatda, mutlaqo uzluksiz bir oʻzgaruvchili taqsimotlar bilan bogʻliq. Tasodifiy oʻzgaruvchi X f_X zichlikka ega, bu yerda f_X aniq boʻlgan Lebeg integrallanuvchi funksiyasi, agar:

\Pr [a \le X \le b] = \int_a^b f_X(x) \, dx .

Demak, agar F_X bu X ning umumiy taqsimot funksiyasi hisoblanadi, keyin:

F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(u) \, du ,


va (agar f_X x da davom etadi)

f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x) .

namunaviy ravishda, oʻylash mumkin f_X(x) \, dx ehtimoli sifatida X cheksiz kichik oraliq ichiga tushadi [x,x+dx] .

## Asosiy taʼrif
(*Ushbu taʼrif ehtimollikning oʻlchov-nazariy taʼrifidan foydalangan holda har qanday ehtimollik taqsimotiga kengaytirilishi mumkin*)

Tasodifiy oʻzgaruvchi X oʻlchanadigan makonda qiymatlar bilan (\mathcal{X}, \mathcal{A}) (odatda \mathbb{R}^n Borel toʻplamlari oʻlchanadigan kichik toʻplamlar bilan) ehtimollik taqsimoti sifatida *X*∗*P* oʻlchoviga ega (\mathcal{X}, \mathcal{A}) : **zichligi** X mos yozuvlar oʻlchoviga nisbatan \mu yoqilgan (\mathcal{X}, \mathcal{A}) Radon-Nikodim hosilasi :

f = \frac{dX_*P}{d\mu} .


Yaʼni, *f* — bu xususiyatga ega har qanday oʻlchanadigan funksiya:

\Pr [X \in A ] = \int_{X^{-1} A} \, dP = \int_A f \, d\mu

har qanday oʻlchanadigan toʻplam uchun A \in \mathcal{A}.

### Munozara
Yuqoridagi uzluksiz bir oʻzgaruvchan holatda, mos yozuvlar oʻlchovi Lebeg oʻlchovidir. Diskret tasodifiy oʻzgaruvchining ehtimollik massasi funksiyasi namuna maydonidagi hisoblash oʻlchoviga nisbatan zichlikdir.

Zichlikni ixtiyoriy oʻlchovga asoslanib aniqlash mumkin emas (masalan, oʻzgarmas tasodifiy oʻzgaruvchiga havola sifatida hisoblash oʻlchovini tanlash mumkin emas). Bundan tashqari, u mavjud boʻlganda, zichlik deyarli noyobdir, yaʼni har qanday 2 ta bunday zichlik deyarli hamma joyda mos keladi.

## Batafsil maʼlumotlar
Ehtimoldan farqli oʻlaroq, ehtimollik zichligi funksiyasi birdan katta qiymatlarni qabul qilishi mumkin; masalan, [0, 1/2] oraliqda bir xil taqsimot 0≤x≤1/2 uchun f (x)=2 ehtimollik zichligiga ega va boshqa joylarda f (x)=0. Standart normal taqsimot ehtimollik zichligiga ega:

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^2/2}.

Agar  tasodifiy oʻzgaruvchisi berilgan boʻlsa va uning taqsimoti  ehtimollik zichligi funksiyasini qabul qilsa, u holda  ning kutilgan qiymati (agar kutilgan qiymat mavjud boʻlsa) quyidagicha hisoblanishi mumkin:

\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x\,f(x)\,dx.


Har bir ehtimollik taqsimoti zichlik funksiyasiga ega emas: diskret tasodifiy oʻzgaruvchilar taqsimoti yoʻq. Cantor taqsimoti ham diskret komponentga ega boʻlmasa ham, yaʼni har qanday namunaviy nuqtaga musbat ehtimollik belgilamaydi.

Taqsimot zichlik funksiyasiga ega boʻladi, agar uning yigʻindisi taqsimot funksiyasi  mutlaq uzluksiz boʻlsa. Bu holda:  deyarli hamma joyda differentsiallanadi va uning hosilasi ehtimollik zichligi sifatida ishlatilishi mumkin:

\frac{d}{dx}F(x) = f(x).

Agar ehtimollik taqsimoti zichlikni qabul qilsa, u holda har bir nuqtali } toʻplamining ehtimoli nolga teng va xuddi shunday chekli va sanaladigan toʻplamlar uchun ham bu qoida amal qiladi.

Ikki ehtimollik zichligi  va  bir xil ehtimollik taqsimotini aniq ifodalay oladi, agar ular faqat Lebeg oʻlchovi nol toʻplamida farq qilsalar.

Statistik fizika sohasida, asosan, ehtimollik zichligi funksiyasining taʼrifi sifatida yigʻma taqsimot funksiyasining hosilasi va ehtimollik zichligi funksiyasi oʻrtasidagi yuqoridagi munosabatni norasmiy qayta shakllantirish qoʻllanadi. Ushbu muqobil taʼrif quyidagicha:

Agar  cheksiz kichik son boʻlsa,  ning (t, t+dt) oraliqda boʻlish ehtimoli  ga teng yoki:

\Pr(t
## Manbalar
* K.Krane „Introduction nuclear physics“
* G.Ahmedova „Atom fizikasi“