Klassik ehtimollik zichligi

**Klassik ehtimollik zichligi** — bu klassik mexanik tizimdagi potentsial energiyaga tobe boʻlgan maʼlum bir joyning yaqinida zarrachani topish ehtimolini ifodalovchi ehtimollik zichligi funktsiyasi . Ushbu ehtimollik zichliklari yozishmalar printsipi haqida tushunchaga ega boʻlishda va oʻrganilayotgan kvant tizimi va klassik chegara oʻrtasida aloqa oʻrnatishda yordam beradi.   

## Matematik asos

Dastlab  amplitudali tinch holatda oddiy harmonik osilator misolini koʻrib chiqing. Aytaylik, bu tizim yorugʻlik oʻtkazmaydigan konteyner ichiga joylashtirilgan, shunda uni faqat kamera yordamida koʻrish mumkin, u faqat ichida sodir boʻlayotgan voqealarni suratga olishi mumkin. Har bir surat osilatorni uning traektoriyasi boʻylab har qanday mumkin boʻlgan  holatida koʻrish ehtimoli bor. Klassik ehtimollik zichligi qaysi pozitsiyalar ehtimoli koʻproq, qaysilari kamroq, tizimning oʻrtacha pozitsiyasi va hokazolarni qamrab oladi. Ushbu funktsiyani olish uchun, osilatorning eng koʻp topilishi mumkin boʻlgan pozitsiyalari osilator koʻp vaqtini oʻtkazadigan pozitsiyalar ekanligini hisobga oling. Darhaqiqat, maʼlum bir  qiymatida boʻlish ehtimoli ushbu  qiymatiga yaqin joyda oʻtkazgan vaqtga proportsionaldir. Agar osilator berilgan  -qiymatning  yaqinida cheksiz kichik  vaqt sarflasa, u holda bu yaqinlikda boʻlish ehtimoli  boʻladi.

: P(x)\, dx \propto dt.

Osillatorga taʼsir etuvchi kuch konservativ boʻlgani uchun va harakat cheklangan sohada sodir boʻlgani sababli, harakat  bilan belgilanadigan maʼlum bir davr bilan tsiklik boʻladi. Osilatorning mumkin boʻlgan minimal mumkin boʻlgan  -qiymati va maksimal mumkin boʻlgan  -qiymati oʻrtasidagi har qanday holatda boʻlish ehtimoli 1 ga teng boʻlishi kerakligi sababli, normalizatsiya

: \int_{x_{\rm min}}^{x_{\rm max}} P(x)\, dx = 1 = N \int_{t_i}^{t_f} dt

ishlatiladi, bu yerda  — normalizatsiya konstantasi. Tebranish massasi oʻz davrining yarmida bu pozitsiyalar oraligʻini qamrab olganligi sababli (toʻliq davr  dan  ga, keyin esa  ga oʻtadi)  ustidagi integral  ga teng boʻlib, bu   ga oʻrnatadi.

Zanjir qoidasidan foydalanib, shuning uchun bizning ehtimollik zichligimiz  boʻladi, deb taʼkidlab, massa choʻzilgan balandlik nuqtai nazaridan qoʻyish mumkin .

: P(x)\,dx = \frac{2}{T}\, \frac{dx}{dx/dt} = \frac{2}{T}\, \frac{dx}{v(x)},

Bu yerda  — osilatorning tezligi, uning holatiga bogʻliq. (Eʼtibor bering, tezlik skalar boʻlgani uchun  har ikkala yarim davr uchun ham bir xil.) Bu vaqtda  ni olish uchun  funksiyasini taqdim etish kifoya. Konservativ kuchlar taʼsiri ostida boʻlgan tizimlar uchun bu tezlikni energiya bilan bogʻlash orqali amalga oshiriladi. Kinetik energiya  boʻlgani uchun

: v(x) = \sqrt{\frac{2K}{m}} = \sqrt{\frac{2}{m}[E-U(x)]}.

Buni  ifodamizga kiritsak, hosil boʻladi

: P(x) = \frac{1}{T} \sqrt{\frac{2m}{E-U(x)}}.

Bizning boshlangʻich misolimiz garmonik osilator boʻlgan boʻlsa-da, shu paytgacha barcha matematika konservativ kuchga boʻysunadigan zarracha uchun butunlay umumiy boʻlib kelgan. Ushbu formulani mos keladigan potentsial energiya funktsiyasini ulash orqali har qanday bir oʻlchovli jismoniy tizim uchun umumlashtirish mumkin. Bu bajarilgandan soʻng, har qanday ruxsat etilgan energiya  uchun  osongina olinadi.

## Misollar

### Oddiy garmonik osilator

Yuqoridagi hosilada ishlatilgan misoldan boshlab, oddiy garmonik osillator potensial energiya funksiyasiga egaligini koʻrishimiz mumkin:

: U(x) = \frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{2} m\omega^2 x^2,

bu yerda  — osilatorning doimiysi va  — osilatorning tabiiy burchak chastotasi . Osilatorning umumiy energiyasi  burilish nuqtalarida  baholash orqali beriladi. Buni  ifodasiga ulash natijasida hosil boʻladi

: P(x) = \frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}.

Bu funksiya burilish nuqtalarida ikkita vertikal asimptotaga ega, bu jismoniy maʼnoga ega, chunki burilish nuqtalari osilatorning dam olish joyidir va shuning uchun katta ehtimollik bilan ushbu  qiymatlari yaqinida topiladi. Eʼtibor bering, ehtimollik zichligi funksiyasi cheksizlikka moyil boʻlsa ham, ehtimollikni ifodalovchi egri chiziqning oʻzi emas, balki egri chiziq ostidagi maydon tufayli ehtimol hali ham cheklangan.

### Muvozanatlovchi toʻp

Yoʻqotishsiz sakrab turgan toʻp uchun potensial energiya va umumiy energiya

: U(z) = mgz,
: E = mgh,

bu yerda  — toʻp erishgan maksimal balandlik. Bularni  ga ulash natijasida hosil boʻladi

: P(z) = \frac{1}{2\sqrt{h}}\frac{1}{\sqrt{h-z}},

munosabatlar bu yerda T = \sqrt{8h/g} oldingi omillarni soddalashtirish uchun ishlatilgan. Bu funksiyaning domeni z \in [0,h] (toʻp  da poldan tushmaydi), shuning uchun taqsimot oddiy garmonik osilatordagi kabi nosimmetrik emas. Shunga qaramay,  burilish nuqtasida vertikal asimptota mavjud.

## Impuls-kosmik taqsimot
Pozitsiya fazosida ehtimollik taqsimotini koʻrib chiqishdan tashqari, tizimni uning momentumiga qarab tavsiflash ham foydalidir. Yuqoridagi kabi argumentdan keyin natija

: P(p) = \frac{2}{T}\frac{1},

Bu yerda  zarrachaga pozitsiya funktsiyasi sifatida taʼsir qiluvchi kuch. Amalda, bu funktsiyani oʻzgaruvchilarning oʻzgarishi bilan  impulsiga koʻra qoʻyish kerak.

### Oddiy garmonik osilator
Yuqoridagi oddiy garmonik osilatorga misol qilib, potentsial energiya va kuchni quyidagicha yozish mumkin

: U(x) = \frac{1}{2}kx^2,
: |F(x)| = |-kx| = \sqrt{2kU(x)} = \sqrt{\frac{k}{m}(2mE - p^2)}.

Tizimning maksimal impulsi sifatida  aniqlash, buni soddalashtiradi.

: P(p) = \frac{1}{\pi} \frac{1}{\sqrt{p_0^2 - p^2}}.

Eʼtibor bering, bu joylashuv-boʻshliq ehtimoli taqsimoti bilan bir xil funktsional shaklga ega. Bu oddiy garmonik osilator muammosiga xos boʻlib, harakat tenglamalarida  va  oʻrtasidagi simmetriya tufayli yuzaga keladi.

### Muvozanatlovchi toʻp
Saqlayotgan toʻp misoli aniqroq, chunki bu holda kuch doimiy,

: F(x) = mg,

natijada ehtimollik zichligi funksiyasi

: P(p) = \frac{1}{m\sqrt{8gh}} = \frac{1}{2p_0} \text{ for } |p| 

Bu yerda  — toʻpning maksimal impulsi. Bu tizimda barcha momentlar bir xil ehtimolga ega.

## Manbalar

## Adabiyotlar
* Bohm, D. (1989). Quantum Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-65969-0.
* Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.)