Bohr–Van Leeuwen teoremasi

**Bor-Van Leuven teoremasi** shuni koʻrsatadiki, statistik mexanika va klassik mexanika izchil qoʻllanilganda, magnitlanishning termal oʻrtacha qiymati har doim nolga teng.  Bu qattiq jismlardagi magnitlanishni faqat kvant mexanik taʼsiriga aylantiradi va klassik fizika paramagnetizm, diamagnetizm va ferromagnetizmni hisobga olmasligini anglatadi. Klassik fizikaning triboelektrni tushuntira olmasligi ham Bor-Van Leven teoremasidan kelib chiqadi. 

## Tarix

Bugungi kunda Bor-Van Leven teoremasi deb nomlanuvchi narsa Niels Bor tomonidan 1911 yilda doktorlik dissertatsiyasida  kashf etilgan va keyinchalik Hendrika Yoxanna van Leuven tomonidan 1919 yilda doktorlik dissertatsiyasida qayta kashf etilgan  1932 yilda J. H. Van Vlek elektr va magnit sezuvchanlik haqida yozgan kitobida Borning dastlabki teoremasini rasmiylashtirdi va kengaytirdi. 

Ushbu kashfiyotning ahamiyati shundaki, klassik fizika paramagnetizm, diamagnetizm va ferromagnetizm kabi narsalarga yoʻl qoʻymaydi va shuning uchun magnit hodisalarni tushuntirish uchun kvant fizikasi kerak. Ushbu natija, „ehtimol, barcha davrlarning eng deflyatsion nashri“ 1913 yilda Borning vodorod atomining kvaziklassik nazariyasini ishlab chiqishga hissa qoʻshgan boʻlishi mumkin.

## Isboti

### Intuitiv dalil
Bor-Van Leven teoremasi aylana olmaydigan izolyatsiyalangan tizimga taalluqlidir. Agar izolyatsiya qilingan tizim tashqi qoʻllaniladigan magnit maydonga javoban aylanishiga ruxsat berilsa, bu teorema qoʻllanilmaydi.  Agar qoʻshimcha ravishda maʼlum bir harorat va maydonda termal muvozanatning faqat bitta holati mavjud boʻlsa va maydon qoʻllanilgandan soʻng tizimga muvozanatga qaytish uchun vaqt ajratilsa, u holda magnitlanish boʻlmaydi.

Tizimning maʼlum bir harakat holatida boʻlish ehtimoli Maksvell-Boltzman statistikasi boʻyicha proportsional boʻladi. \exp(-U/k_\text{B} T), qayerda U tizimning energiyasi, k_\text{B} Boltsman doimiysi va T mutlaq haroratdir . Bu energiya kinetik energiya yigʻindisiga teng (m v^2/2 massali zarracha uchun m va tezlik v) va potentsial energiya.

Magnit maydon potentsial energiyaga hissa qoʻshmaydi. Zaryadli zarraga Lorents kuchi q va tezlik \mathbf{v} hisoblanadi:

: \mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right),

bu yerda \mathbf{E} elektr maydoni va \mathbf{B} magnit oqimining zichligi . Bajarilgan ish tezligi \mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v} va bogʻliq emas \mathbf{B} . Shuning uchun energiya magnit maydonga bogʻliq emas, shuning uchun harakatlarning taqsimlanishi magnit maydonga bogʻliq emas.

Nol maydonda zaryadlangan zarrachalarning aniq harakati boʻlmaydi, chunki tizim aylana olmaydi. Shunday qilib, oʻrtacha magnit moment nolga teng boʻladi. Harakatlarning taqsimlanishi magnit maydonga bogʻliq emasligi sababli, har qanday magnit maydonda termal muvozanatdagi moment nolga teng boʻlib qoladi.

### Yana rasmiy dalil
Shunday qilib, dalil murakkabligini kamaytirish uchun, bir tizim bilan N elektronlardan foydalaniladi.

Bu oʻrinli, chunki qattiq jismdagi magnitlanishning koʻp qismi elektronlar tomonidan amalga oshiriladi va isbot bir nechta zaryadlangan zarrachalar uchun osonlik bilan umumlashtiriladi.

Har bir elektron manfiy zaryadga ega e va massa m_\text{e} .

Agar uning pozitsiyasi boʻlsa \mathbf{r} va tezlik \mathbf{v}, u oqim hosil qiladi \mathbf{j} = e\mathbf{v} va magnit moment

:  \mathbf{\mu} = \frac{1}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{j} = \frac{e}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{v}.

Yuqoridagi tenglama shuni koʻrsatadiki, magnit moment tezlik koordinatalarining chiziqli funktsiyasidir, shuning uchun berilgan yoʻnalishdagi umumiy magnit moment shaklning chiziqli funktsiyasi boʻlishi kerak.

:  \mu = \sum_{i=1}^N\mathbf{a}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i,

bu yerda nuqta vaqt hosilasini ifodalaydi va \mathbf{a}_i pozitsiya koordinatalariga qarab vektor koeffitsientlaridir \{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\}.

Maksvell-Boltzman statistikasi n-zarraning impulsga ega boʻlish ehtimolini beradi \mathbf{p}_n va muvofiqlashtirish \mathbf{r}_n kabi

:  dP \propto \exp{\left[-\frac{\mathcal{H}(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)}{k_\text{B}T}\right]}d\mathbf{p}_1,\ldots,d\mathbf{p}_Nd\mathbf{r}_1,\ldots,d\mathbf{r}_N, 

bu yerda \mathcal{H} — Gamiltonian, tizimning umumiy energiyasi.

Har qanday funktsiyaning termal oʻrtacha qiymati f(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N) bu umumlashtirilgan koordinatalardan keyin

: \langle f\rangle =\frac{\int f dP}{\int dP}.

Magnit maydon mavjud boʻlganda,

:  \mathcal{H} = \frac{1}{2m_\text{e}}\sum_{i=1}^N \left(\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i \right)^2 + e\phi(\mathbf{q}),

bu yerda \mathbf{A}_i magnit vektor potensiali va \phi(\mathbf{q}) elektr skalyar potentsialdir . Har bir zarracha uchun impulsning komponentlari \mathbf{p}_i va pozitsiyasi \mathbf{r}_i Gamilton mexanikasi tenglamalari bilan bogʻlangan:

:  \begin{align}
\dot{\mathbf{p}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\
\dot{\mathbf{r}}_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i.
\end{align}

Shuning uchun,

:  \dot{\mathbf{r}}_i \propto \mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i,

shuning uchun moment \mu momentning chiziqli funksiyasidir \mathbf{p}_i.

Termal oʻrtacha moment,

: \langle \mu \rangle = \frac{\int \mu dP}{\int dP},

shaklning integrallariga proporsional hadlar yigʻindisidir

:  \int_{-\infty}^\infty (\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i) dP, 

bu yerda p impuls koordinatalaridan birini ifodalaydi.

Integralning toq funksiyasi p, shuning uchun u yoʻqoladi.

Shuning uchun, \langle\mu\rangle=0 .

## Ilovalar
Bor-Van Leven teoremasi bir qancha ilovalarda, shu jumladan plazma fizikasida ham foydalidir: "Bu havolalarning barchasi Bor-Van Leven teoremasini muhokama qilish uchun Niels Borning jismoniy modeliga asoslanadi, bunda toʻrni toʻxtatuvchi oqimlarni taʼminlash uchun mukammal aks ettiruvchi devorlar zarur. plazma elementining ichki qismidan hissa qoʻshadi va plazma elementi uchun nol aniq diamagnetizmga olib keladi. 

Plazmalarda sof klassik xarakterdagi diamagnetizm paydo boʻladi, lekin plazma zichligidagi gradient kabi termal muvozanatning natijasidir. Elektromexanika va elektrotexnika ham Bor-Van Leven teoremasidan amaliy foyda koʻradi.

## Manbalar
* Aharoni, Amikam (1996). Introduction to the Theory of Ferromagnetism. Clarendon Press
* Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (2006). The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2. p

## Havolalar
* 20-asr boshlari: Nisbiylik va kvant mexanikasi nihoyat tushunishga olib keladi