Aylanma harakat va uning dinamikasi

Fizikada **aylanma harakat** — bu obyektning aylana boʻylab harakati yoki aylana yoʻli boʻylab aylanish. U bir xil boʻlishi mumkin, doimiy burchak tezligi va doimiy tezlik bilan yoki oʻzgaruvchan aylanish tezligi bilan bir xil boʻlmagan. Uch oʻlchamli jismning sobit oʻqi atrofida aylanish uning qismlarining aylanma harakatini oʻz ichiga oladi. Harakat tenglamalari jismning massa markazining harakatini tavsiflaydi. Dumaloq harakatda jism va sirtdagi qoʻzgʻalmas nuqta orasidagi masofa bir xil boʻlib qoladi.

Aylanma harakatga misollar: Yer atrofida doimiy balandlikda aylanuvchi sunʼiy sunʼiy yoʻldosh, ship ventilyatorining qanotlari uya atrofida aylanayotgani, arqonga bogʻlangan va aylana boʻylab aylantirilayotgan tosh, egri chiziqdan aylanayotgan avtomobil. poyga yoʻli, bir xil magnit maydonga perpendikulyar harakatlanuvchi elektron va mexanizm ichida aylanadigan tishli.

## Bir jinsli aylanma harakat

Fizikada **oʻzgarmas aylanma harakat**, jismning dairesel yoʻlni doimiy tezlikda bosib oʻtgan harakatini tasvirlaydi. Tana dumaloq harakatni tasvirlaganligi sababli, uning aylanish oʻqidan masofasi doimo doimiy boʻlib qoladi. Tananing tezligi doimiy boʻlsa-da, uning tezligi doimiy emas: tezlik, vektor miqdori tananing tezligiga ham, uning harakat yoʻnalishiga ham bogʻliq. Bu oʻzgaruvchan tezlik tezlashuv mavjudligini koʻrsatadi; bu markazlashtirilgan tezlanish doimiy kattalikda va har doim aylanish oʻqi tomon yoʻnaltirilgan. Bu tezlanish, oʻz navbatida, doimiy kattalikdagi va aylanish oʻqiga yoʻnaltirilgan markazga yoʻnaltirilgan kuch tomonidan ishlab chiqariladi.

Qattiq jismning qatʼiy oʻqi atrofida aylanayotganda, u yoʻlning radiusi bilan solishtirganda arzimas darajada kichik boʻlsa, tananing har bir zarrasi bir xil burchak tezligi bilan bir xil aylana harakatini tasvirlaydi, lekin tezligi va tezlanishi bilan oʻzgaradi. oʻqiga nisbatan pozitsiyasi.

### Formulalar

Radiusi  boʻlgan aylana boʻylab harakatlanish uchun aylananing aylanasi  ga teng. Agar bitta aylanish davri  boʻlsa, burchak tezligi,  deb ham ataladigan burchak tezligi :

\omega = \frac {2 \pi}{T} = 2\pi f = \frac{d\theta}{dt}
va birligi: radian/sekund.

Aylana boʻylab harakatlanadigan jismning tezligi:

v = \frac{2 \pi r}{T} = \omega r
 vaqtida chiqib ketgan  th:

\theta = 2 \pi \frac{t}{T} = \omega t

Zarrachaning burchak tezlanishi  teng:

\alpha = \frac{d\omega}{dt}

Bir tekis aylanma harakatda  nolga teng boʻladi.

Yoʻnalishning oʻzgarishi tufayli tezlanish:

a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

Markazdan qochish va markazdan qochma kuchni tezlanish yordamida ham topish mumkin:

F_c = \dot{p} \mathrel\overset{\dot{m} = 0}{=} ma_c = \frac{mv^2}{r}
Vektor munosabatlari 1-rasmda keltirilgan. Aylanish oʻqi vektor sifatida koʻrsatilgan  orbita tekisligiga perpendikulyar va kattaligi  .  ning yoʻnalishi oʻng qoʻl qoidasi yordamida tanlanadi. Aylanishni tasvirlash uchun ushbu konventsiya bilan tezlik vektor oʻzaro koʻpaytma bilan berilgan

\mathbf{v} = \boldsymbol \omega \times \mathbf r ,

 va  ga perpendikulyar, orbitaga tangensial va  kattalikdagi vektor. Xuddi shunday, tezlashuv tomonidan beriladi

\mathbf{a} = \boldsymbol \omega \times \mathbf v = \boldsymbol \omega \times \left( \boldsymbol \omega \times \mathbf r \right) ,

kattaligi  va  ga perpendikulyar vektor boʻlgan va  ga w|v| = w^2r toʻliq qarama-qarshi yoʻnaltirilgan. 

Eng oddiy holatda tezlik, massa va radius doimiydir.

Bir kilogramm ogʻirlikdagi jismni koʻrib chiqaylik, u bir metr radiusli aylana boʻylab harakatlanadi, burchak tezligi soniyasiga bir radian.
* Tezligi sekundiga 1 metr.
* Ichkariga tezlashuv kvadrat soniyada 1 metr, v^2/r .
* U kvadrat sekundiga 1 kilogramm metr markazga tortish kuchiga taʼsir qiladi, bu 1 nyutondir .
* Tananing impulsi 1 kg·m·s -1ga teng.
* Inersiya momenti 1 kg·m 2 ga teng.
* Burchak momenti 1 kg·m 2 ·s -1ga teng.
* Kinetik energiya 1 joul .
* Orbita aylanasi 2 π (~6,283) metr.
* Harakat davri burilish uchun 2 π soniya.
* Chastotasi (2 π) -1 gerts .

#### Polar koordinatalarda

Aylanma harakat vaqtida jism qutb koordinata tizimida orbitaning orbita markazidan koordinata boshi sifatida qabul qilingan  masofasi, qandaydir mos yozuvlar yoʻnalishidan  burchakka yoʻnaltirilgan sobit masofa sifatida tasvirlanishi mumkin boʻlgan egri chiziq boʻylab harakatlanadi. 4-rasmga qarang. Siqilish *vektori* \mathbf{r} — zarrachaning boshlangʻich nuqtasidan joylashishigacha boʻlgan radial vektor:

\mathbf{r}(t) = R \hat\mathbf{u}_R(t)\,

bu yerda \hat\mathbf{u}_R(t)  vaqtda radius vektoriga parallel boʻlgan va koordinata boshidan uzoqqa yoʻnaltirilgan birlik vektor . ga ortogonal birlik vektorini kiritish qulay \hat\mathbf{u}_R(t) shuningdek, yaʼni \hat\mathbf{u}_\theta(t) . Orientatsiya qilish odatiy holdir \hat\mathbf{u}_\theta(t) orbita boʻylab harakat yoʻnalishini koʻrsatish.

Tezlik siljishning vaqt hosilasidir:

\mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \mathbf{r}(t) = \frac{d R}{dt} \hat\mathbf{u}_R(t) + R \frac{d \hat\mathbf{u}_R}{dt} \,
Doira radiusi doimiy boʻlgani uchun tezlikning radial komponenti nolga teng. Birlik vektori \hat\mathbf{u}_R(t) vaqt bilan oʻzgarmas birlik kattaligiga ega, shuning uchun vaqt oʻzgarganda uning uchi har doim birlik radiusi boʻlgan aylanada yotadi, burchak  burchak bilan bir xil boʻladi. \mathbf{r}(t) . Agar zarrachalarning siljishi  vaqt ichida  burchak ostida aylansa, xuddi shunday \hat\mathbf{u}_R(t),  kattalik birlik doirasi ustidagi yoyni tasvirlash. 4-rasmning chap tomonidagi birlik doirasiga qarang. Demak:

\frac{d \hat\mathbf{u}_R}{dt} = \frac{d \theta}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) \,

bu yerda oʻzgarish yoʻnalishi perpendikulyar boʻlishi kerak \hat\mathbf{u}_R(t) (yoki, boshqacha qilib aytganda, birga \hat\mathbf{u}_\theta(t)) chunki har qanday oʻzgarish d\hat\mathbf{u}_R(t) yoʻnalishida \hat\mathbf{u}_R(t) hajmini oʻzgartiradi \hat\mathbf{u}_R(t) . Belgisi ijobiy, chunki  ning ortishi obyektni anglatadi va \hat\mathbf{u}_R(t) yoʻnalishi boʻyicha harakat qildilar \hat\mathbf{u}_\theta(t) . Shunday qilib, tezlik quyidagicha boʻladi:

\mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \mathbf{r}(t) = R\frac{d \hat\mathbf{u}_R}{dt} = R \frac{d \theta}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) = R \omega \hat\mathbf{u}_\theta(t) \,

Jismning tezlashishi ham radial va tangensial qismlarga boʻlinishi mumkin. Tezlanish tezlikning vaqt hosilasidir:

\begin{align}
\mathbf{a}(t) &= \frac{d}{dt} \mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt} \left(R \omega \hat\mathbf{u}_\theta(t) \right) \\
              &= R \left( \frac{d \omega}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) + \omega \frac{d \hat\mathbf{u}_\theta}{dt} \right) \, .
\end{align}

\hat\mathbf{u}_\theta(t)ning vaqt hosilasi bilan bir xil tarzda topiladi \hat\mathbf{u}_R(t) . Yana, \hat\mathbf{u}_\theta(t) birlik vektor boʻlib, uning uchi  boʻlgan burchakka ega boʻlgan birlik doirani kuzatadi. Demak, burchakning  tomonidan ortishi \mathbf{r}(t) nazarda tutadi \hat\mathbf{u}_\theta(t)  kattalikdagi yoyni izlaydi va kabi \hat\mathbf{u}_\theta(t) ga ortogonaldir \hat\mathbf{u}_R(t), bizda quyidagi bor:

\frac{d \hat\mathbf{u}_\theta}{dt} = -\frac{d \theta}{dt} \hat\mathbf{u}_R(t) = -\omega \hat\mathbf{u}_R(t) \, ,

bu yerda manfiy belgini saqlash kerak, chunki \hat\mathbf{u}_\theta(t) ga ortogonal \hat\mathbf{u}_R(t) . (Aks holda, orasidagi burchak \hat\mathbf{u}_\theta(t) va \hat\mathbf{u}_R(t)  ortishi bilan *kamayadi* .) 4-rasmning chap tomonidagi birlik doirasiga qarang. Shunday qilib, tezlanish:

\begin{align}
\mathbf{a}(t) &= R \left(\frac{d \omega}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) + \omega \frac{d \hat\mathbf{u}_\theta}{dt} \right) \\
              &= R \frac{d \omega}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) - \omega^2 R \hat\mathbf{u}_R(t) \,.
\end{align}

Markazga intilma tezlanish radial komponent boʻlib, u radial ravishda ichkariga yoʻnaltiriladi:

\mathbf{a}_R(t) = -\omega^2 R \hat\mathbf{u}_R(t) \,

Tangensial komponent tezlikning kattaligini oʻzgartirganda:

\mathbf{a}_\theta(t) = R \frac{d \omega}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) = \frac{d R \omega}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) = \frac{d \left|\mathbf{v}(t)\right|}{dt} \hat\mathbf{u}_\theta(t) \, .
#### Kompleks sonlardan foydalanish
Dairesel harakatni murakkab raqamlar yordamida tasvirlash mumkin.  oʻqi haqiqiy oʻq boʻlsin va y eksa xayoliy oʻq boʻlsin. Keyin tananing pozitsiyasi sifatida berilishi mumkin z, murakkab „vektor“:

z = x + iy = R\left(\cos[\theta(t)] + i \sin[\theta(t)]\right) = Re^{i\theta(t)}\,

 xayoliy birlik va \theta(t) vaqt funksiyasi  sifatida kompleks sonning argumenti.

Radius doimiy boʻlgani uchun:

\dot{R} = \ddot R = 0 \, ,

Bu yerda *nuqta* vaqt boʻyicha farqlanishni bildiradi.

Ushbu belgi bilan tezlik quyidagicha boʻladi:

v = \dot{z}
  = \frac{d}{dt}\left(R e^{i\theta[t]}\right)
  = R \frac{d}{dt}\left(e^{i\theta[t]}\right)
  = R e^{i\theta(t)} \frac{d}{dt} \left(i \theta[t] \right)
  = iR\dot{\theta}(t) e^{i\theta(t)}
  = i\omega R e^{i\theta(t)} = i\omega z


va tezlanish quyidagicha boʻladi:

\begin{align}
  a &= \dot{v} = i\dot{\omega} z + i\omega\dot{z} = \left(i\dot{\omega} - \omega^2\right)z \\
    &= \left(i\dot{\omega} - \omega^2 \right) R e^{i\theta(t)} \\
    &= -\omega^2 R e^{i\theta(t)} + \dot{\omega} e^{i\frac{\pi}{2}} R e^{i\theta(t)} \, .
\end{align}

Birinchi atama siljish vektoriga qarama-qarshi yoʻnalishda, ikkinchisi esa oldingi natijalar kabi unga perpendikulyar.

#### Tezlik
1-rasmda orbitaning toʻrt xil nuqtasida bir tekis harakatlanish uchun tezlik va tezlanish vektorlari koʻrsatilgan. Tezlik  dumaloq yoʻlga tangens boʻlgani uchun ikkita tezlik bir xil yoʻnalishni koʻrsatmaydi. Obyekt doimiy *tezlikka* ega boʻlsa-da, uning *yoʻnalishi* doimo oʻzgarib turadi. Tezlikning bu oʻzgarishi  tezlanishi tufayli yuzaga keladi, uning kattaligi (tezlik kabi) doimiy boʻlib, lekin yoʻnalishi ham doimo oʻzgarib turadi. Tezlanish radial ravishda ichkariga (markazga qarab) ishora qiladi va tezlikka perpendikulyar. Bu tezlanish markazga intiluvchi tezlanish deb ataladi.

Radiusi  boʻlgan yoʻl uchun  burchak tashqariga chiqarilganda, orbita  boʻylab oʻtgan masofa  ga teng. Shuning uchun orbita boʻylab harakatlanish tezligi

v = r \frac{d\theta}{dt} = r\omega ,

bu yerda aylanishning burchak tezligi  . (Qayta tartibga solish orqali,  .  Shunday qilib,  doimiydir va tezlik vektori ham  doimiy kattalik bilan, bir xil burchak tezligi  bilan aylanadi.
#### Relyativistik aylanma harakat
Bu holda, uch tezlanish vektori uch tezlik vektoriga perpendikulyar,

\mathbf{u} \cdot \mathbf{a} = 0.

va skalyar invariant sifatida ifodalangan toʻgʻri tezlanish kvadrati, barcha mos yozuvlar tizimida bir xil,

\alpha^2 = \gamma^4 a^2 + \gamma^6 \left(\mathbf{u} \cdot \mathbf{a}\right)^2,
aylanma harakatning ifodasiga aylanadi,

\alpha^2 = \gamma^4 a^2.
yoki musbat kvadrat ildizni olib, uch tezlanishdan foydalanib, aylanma harakat uchun kerakli tezlanishga erishamiz:

\alpha = \gamma^2 \frac{v^2}{r}.

#### Tezlanish
2-rasmdagi chap aylana — ikki qoʻshni vaqtda tezlik vektorlarini koʻrsatadigan orbita. Oʻng tomonda bu ikki tezlik harakatlanadi, shuning uchun ularning dumlari mos keladi. Tezlik doimiy boʻlgani sababli, oʻngdagi tezlik vektorlari vaqt oʻtishi bilan aylanani supurib tashlaydi. Supurilgan burchak  uchun  ning oʻzgarishi  ga toʻgʻri burchak ostida va  kattalikdagi vektor boʻlib, bu oʻz navbatida tezlanishning kattaligi quyidagicha berilganligini anglatadi.

a_c = v \frac{d\theta}{dt} = v\omega = \frac{v^2}{r}

## Bir jinsli boʻlmagan harakat

Bir **tekis boʻlmagan aylanma harakatda** jism oʻzgaruvchan tezlikda aylanma yoʻlda harakatlanadi. Tezlik oʻzgarganligi sababli, oddiy tezlanishga qoʻshimcha ravishda tangensial tezlanish ham mavjud.

Bir tekis boʻlmagan aylanma harakatda aniq tezlanish (a) aylana ichiga yoʻnaltirilgan, lekin uning markazidan oʻtmaydigan  yoʻnalishi boʻylab (rasmga qarang). Aniq tezlanish ikki komponentga boʻlinishi mumkin: tangensial tezlanish va normal tezlanish, shuningdek, markazlashtirilgan yoki radial tezlanish. Tangensial tezlanishdan farqli oʻlaroq, markazga yoʻnaltirilgan tezlanish ham bir xil, ham bir xil boʻlmagan aylanma harakatda mavjud.

Bir tekis boʻlmagan aylanma harakatda normal kuch har doim ham ogʻirlikning teskari yoʻnalishini koʻrsatmaydi. Bu yerda obyektning toʻgʻri yoʻlda harakatlanishi, soʻngra halqani yana toʻgʻri yoʻlga aylantirilishi misoli keltirilgan.

Ushbu diagrammada ogʻirlik kuchiga qarama-qarshi emas, balki boshqa yoʻnalishlarga ishora qiluvchi normal kuch koʻrsatilgan. Oddiy kuch aslida radial va tangensial kuchlarning yigʻindisidir. Ogʻirlik kuchining komponenti bu yerda tangensial kuch uchun javobgardir (biz ishqalanish kuchini eʼtiborsiz qoldirdik). Radial kuch (markazga tortish kuchi) yuqorida aytib oʻtilganidek, tezlik yoʻnalishining oʻzgarishi bilan bogʻliq.

Bir tekis boʻlmagan aylanma harakatda normal kuch va ogʻirlik bir xil yoʻnalishga ishora qilishi mumkin. Ikkala kuch ham pastga ishora qilishi mumkin, ammo obyekt pastga tushmasdan aylana yoʻlda qoladi. Birinchidan, nima uchun oddiy kuch birinchi navbatda pastga ishora qilishi mumkinligini bilib olaylik. Birinchi diagrammada aytaylik, obyekt samolyot ichida oʻtirgan odam boʻlib, ikkita kuch faqat aylananing tepasiga etib kelganida pastga ishora qiladi. Buning sababi shundaki, normal kuch tangensial kuch va markazlashtirilgan kuchning yigʻindisidir. Tangensial kuch tepada nolga teng (chunki harakat qoʻllanadigan kuch yoʻnalishiga perpendikulyar boʻlganda ish bajarilmaydi. Bu yerda ogʻirlik kuchi aylananing tepasidagi jismning harakat yoʻnalishiga perpendikulyar) va markazdan qoʻzgʻatuvchi kuch pastga qaraydi, shuning uchun normal kuch ham pastga ishora qiladi. Mantiqiy nuqtai nazardan, samolyotda sayohat qilayotgan odam aylana tepasida teskari boʻladi. Oʻsha paytda odamning oʻrindigʻi aslida odamni pastga itarib yuboradi, bu oddiy kuchdir.

Jismning faqat pastga yoʻnaltirilgan kuchlar taʼsirida pastga tushmasligining sababi oddiy. Obyektni uloqtirgandan keyin nima ushlab turishini oʻylab koʻring. Obyekt havoga tashlangandan soʻng, jismga faqat Yerning tortishish kuchi taʼsir qiladi. Bu narsa havoga tashlangandan soʻng u bir zumda tushib ketadi degani emas. Bu jismni havoda ushlab turadigan narsa uning tezligidir . Nyutonning harakat qonunlarining birinchisida aytilishicha, jismning inertsiyasi uni harakatda ushlab turadi va havodagi jismning tezligi boʻlgani uchun u shu yoʻnalishda harakat qilishni davom ettiradi.

Aylanma yoʻlda harakatlanuvchi jism uchun oʻzgaruvchan burchak tezligiga, agar aylanadigan jism bir hil massa taqsimotiga ega boʻlmasa ham erishish mumkin. Bir jinsli boʻlmagan obyektlar uchun muammoga quyidagi kabi yondashish kerak. 

## Ilovalar
Bir xil boʻlmagan aylana harakati bilan bogʻliq ilovalarni hal qilish kuch tahlilini oʻz ichiga oladi. Bir tekis dumaloq harakatda aylana boʻylab harakatlanayotgan jismga taʼsir qiluvchi yagona kuch markazga tortish kuchidir. Bir tekis boʻlmagan aylanma harakatda jismga nolga teng boʻlmagan tangensial tezlanish tufayli qoʻshimcha kuchlar taʼsir qiladi. Obyektga taʼsir qiluvchi qoʻshimcha kuchlar mavjud boʻlsa-da, obyektga taʼsir qiluvchi barcha kuchlarning yigʻindisi markazga tortish kuchiga teng boʻlishi kerak.

\begin{align}
  F_\text{net} &= ma \\

               &= ma_r \\
               &= \frac{mv^2}{r} \\
               &= F_c
\end{align}

Umumiy quvvatni hisoblashda radial tezlanish qoʻllanadi. Tangensial tezlanish umumiy kuchni hisoblashda ishlatilmaydi, chunki u obyektni aylana yoʻlida ushlab turish uchun javobgar emas. Obyektning aylana boʻylab harakatlanishini taʼminlaydigan yagona tezlanish radial tezlanishdir. Barcha kuchlarning yigʻindisi markazga qoʻyuvchi kuch boʻlgani sababli, markazdan qoʻzgʻatuvchi kuchni erkin tana diagrammasida chizish shart emas va odatda tavsiya etilmaydi.

Foydalanish F_\text{net} = F_c, biz obyektga taʼsir qiluvchi barcha kuchlarni roʻyxatga olish uchun erkin tana diagrammalarini chizishimiz va keyin uni tenglashtirishimiz mumkin F_c . Keyinchalik, biz nomaʼlum narsalarni hal qilishimiz mumkin (bu massa, tezlik, egrilik radiusi, ishqalanish koeffitsienti, normal kuch va boshqalar boʻlishi mumkin.). Masalan, yarim doira tepasida joylashgan obyektni koʻrsatadigan yuqoridagi ingl F_c = n + mg .

Yagona aylanma harakatda jismning aylana yoʻlidagi umumiy tezlanishi radial tezlanishga teng boʻladi. Bir tekis boʻlmagan aylanma harakatda tangensial tezlanish mavjudligi sababli, bu endi haqiqiy emas. Bir xil boʻlmagan doiradagi jismning umumiy tezlanishini topish uchun tangensial tezlanish va radial tezlanishning vektor yigʻindisini topamiz

\sqrt{a_r^2 + a_t^2} = a

Radial tezlanish hali ham teng \frac{v^2}{r}. Tangensial tezlanish shunchaki istalgan nuqtadagi tezlikning hosilasidir: a_t = \frac{dv}{dt}  . Alohida radial va tangensial tezlanishlar kvadratlarining bu ildiz yigʻindisi faqat aylanma harakat uchun toʻgʻri keladi; qutb koordinatalari boʻlgan tekislik ichidagi umumiy harakat uchun (r, \theta), Koriolis atamasi a_c = 2 \left(\frac{dr}{dt}\right)\left(\frac{d\theta}{dt}\right) ga qoʻshilishi kerak a_t, holbuki radial tezlanish keyin boʻladi a_r = \frac{-v^2}{r} + \frac{d^2r}{dt^2} .

## Manbalar

## Havolalar
* Physclips: Mechanics with animations and video clips from the University of New South Wales
* Circular Motion  — a chapter from an online textbook
* Circular Motion Lecture — a video lecture on CM
* https://www.amazon.com/Unique-Perceptions-Physics-Commentaries-solutions/dp/1542776058 — an online textbook with different analysis for circular motion