Bessel funktsiyalari

Matematikadagi **Bessel funktsiyalari** — bu Bessel differentsial tenglamasining kanonik yechimlari boʻlgan funktsiyalar oilasidir:

: x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,

qayerda \alpha ixtiyoriy haqiqiy son (umumiy holatda, kompleks son), **tartib** deb ataladi.

Eng koʻp ishlatiladigan Bessel funktsiyalari butun sonli tartiblarning funktsiyalaridir.

Garchi \alpha va (-\alpha) bir xil tenglamalarni yaratadi, ular odatda turli funktsiyalar ularga mos kelishiga rozi boʻlishadi (bu, masalan, Bessel funktsiyasida \alpha silliq boʻlishi uchun amalga oshiriladi.).

Bessel funktsiyalari birinchi marta shveytsariyalik matematik Daniel Bernoulli tomonidan aniqlangan va Fridrix Bessel sharafiga nomlagan.

## Ilovalar

Bessel tenglamasi silindrsimon va sferik koordinatalarda Laplas tenglamasi va Gelmgolts tenglamalarining yechimlarini topishda yuzaga kelib qoladi. Shuning uchun Bessel funktsiyalari toʻlqinlarning tarqalishi, statik potentsiallar va boshqalarning koʻplab muammolarini hal qilishda qoʻllanadi, masalan:

* silindrsimon toʻlqin qoʻllanmada elektromagnit toʻlqinlar ;
* silindrsimon ob’ektlardagi issiqlik oʻtkazuvchanligi ;
* yupqa dumaloq membrananing toʻlqin shakllari;
* dumaloq tuynuk bilan diffraksiyalangan yorugʻlik intensivligini taqsimlash;
* suyuqlik bilan toʻldirilgan va oʻz oʻqi atrofida aylanadigan silindrdagi zarrachalarning tezligi;
* sferik simmetrik potentsial qutidagi toʻlqin funktsiyalari.

Bessel funktsiyalari boshqa muammolarni hal qilishda, masalan, signalarni qayta ishlashda ham qoʻllanadi.

Bessel funksiyasi sinus funksiyasini umumlashtirilishidir. Bu oʻzgaruvchan qalinligi, oʻzgaruvchan kuchlanish (yoki ikkala shart bir vaqtning oʻzida) boʻlgan ipning tebranishi sifatida talqin qilinishi mumkin; oʻzgaruvchan xususiyatlarga ega boʻlgan muhitda tebranishlar; disk membranasining tebranishlari va boshqalarni oʻz ichiga oladi.

## Taʼriflar

Yuqoridagi tenglama ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama bo‘lgani uchun uning ikkita chiziqli mustaqil yechimi bo‘lishi kerak. Biroq, ushbu qarorlarning turli xil taʼriflari vaziyatga qarab tanlanadi. Quyida ulardan baʼzilari misol tariqasida keltirilgan.

### Birinchi turdagi Bessel funktsiyalari

Belgilangan birinchi turdagi Bessel funktsiyalari J_\alpha(x), yechimlar nuqtada cheklangan x=0 butun yoki manfiy boʻlmagan \alpha uchun qoʻllanadi . Muayyan funktsiyani tanlash va uni normallashtirish uning xususiyatlari bilan belgilanadi. Ushbu funktsiyalarni Teylor seriyasida nolga yaqin kengaytirish orqali aniqlash mumkin (yoki \alpha butun sonlar uchun umumiy quvvat seriyasida):

:  J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!\, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}. 

Bu yerda \Gamma(z) Bu Eyler gamma funktsiyasi boʻlib, faktorialni butun son boʻlmagan qiymatlarga umumlashtirishdir. Bessel funktsiyasining grafigi sinusoidga oʻxshaydi, uning tebranishlari proportsional ravishda parchalanadi. \frac{1}{\sqrt{x}}, garchi aslida funktsiyaning nollari vaqti-vaqti bilan joylashmasa ham (ammo, ketma-ket ikkita nol orasidagi masofa \pi da x \to \infty) .

Quyida jadvallar keltirilgan J_\alpha (x) uchun \alpha = 0, 1, 2 :

Agar a \alpha butun son emas, funktsiyalar J_\alpha (x) va J_{-\alpha} (x) chiziqli mustaqil va shuning uchun tenglamaning yechimlari shu boʻladi. Lekin agar \alpha butun son boʻlsa, quyidagi munosabat toʻgʻri boʻladi:

: J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x).

Bu shuni anglatadiki, bu holda funktsiyalar chiziqli bogʻliqdir. Keyin tenglamaning ikkinchi yechimi ikkinchi turdagi Bessel funktsiyasi boʻladi (2-rasmga qarang). .

#### Bessel integrallari

Butun sonlar uchun Bessel funktsiyasining boshqa taʼrifini berish mumkin \alpha, integral yordamida koʻramiz:

: J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau.

Bu yondashuv Bessel tomonidan qoʻllangan va u funksiyalarning baʼzi xususiyatlarini oʻrganish uchun foydalangan. Boshqa integral vakillik ham boʻlishi mumkin:

: J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\,d\tau.

Bessel funktsiyasining toʻliq boʻlmagan holda integral tasvirini topish \alpha abtsissa oʻqi boʻylab kesma mavjudligini hisobga olish kerak. Buning sababi, integral endi yoʻq 2\pi — davriy. Shunday qilib, integratsiya konturi 3 qismga boʻlinadi: nur -\infty dan 1 gacha, qayerda \varphi = -\pi, birlik radiusi doirasi va nur 1dan +\inftygacha\varphi = \pi . Oddiy matematik oʻzgarishlarni amalga oshirib, siz quyidagi integral tasvirni olishingiz mumkin:

: J_\alpha (x) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} \!e^{i(xsin(\varphi)-\alpha\varphi)}d\varphi - \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi}\int\limits_{1}^{\infin}
\frac{e^{-\frac{1}{2}x(r-\frac{1}{r})}}dr.

Butun son uchun buni tekshirish oson \alpha bu ifoda oldingi formulaga qoʻyiladi.

### Neyman funktsiyalari

Neyman funksiyalari — Yechimlar Y_\alpha(x) Bessel tenglamalari bir nuqtada cheksiz boʻladi u nuqta x=0 .

Bu xususiyat bilan J_\alpha(x) quyidagi nisbatga bogʻliq:

: Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},

bu yerda butun son boʻlsa \alpha chegarasi olinadi \alpha, masalan, Lapital qoidasi yordamida hisoblangan.

Neyman funksiyalari ikkinchi turdagi Bessel funksiyalari deb ham ataladi. Birinchi va ikkinchi turdagi Bessel funktsiyalarining chiziqli birikmasi Bessel tenglamasining toʻliq yechimidir:

: y(x) = C_1 J_\alpha(x) + C_2 Y_\alpha(x).

Quyida grafik keltirilgan Y_\alpha (x) uchun \alpha = 0, 1, 2 :

Bir qator kitoblarda Neyman funktsiyalari koʻrsatilgan N_\alpha (x) .

### Sferik Bessel funktsiyalari

Sferik koordinatalarda Helmgolts tenglamasini oʻzgaruvchilarni ajratish usuli bilan yechishda radial qism uchun tenglama shaklga ega boʻladi.

: x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + 2x \frac{dy}{dx} + \left(x^2 - n(n + 1)\right) y = 0.

Ikkinchi chiziqli mustaqil yechim **sferik Bessel funksiyalari** deyiladi  va  va odatiy Bessel funktsiyalari bilan bogʻliq  va Neyman  yordamida ifodalanadi.

: \begin{align}
j_n(x) &= \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{n+\frac{1}{2}}(x), \\
y_n(x) &= \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{n+\frac{1}{2}}(x) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{-n-\frac{1}{2}}(x).
\end{align}

 ham yoki  bilan belgilanadi; baʼzi mualliflar bu funktsiyalarni **sferik Neyman funktsiyalari** deb atashadi.

Sferik Bessel funksiyalarini (**Reyleigh formulasi**) shaklida ham yozish mumkin boʻladi.

: \begin{align}
j_n(x) &= (-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n \frac{\sin x}{x}, \\
y_n(x) &= -(-x)^n \left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n \frac{\cos x}{x}.
\end{align}

Bir necha birinchi sharsimon Bessel funksiyalari dan misollar :

: \begin{align}
j_0(x) &= \frac{\sin x}{x}, \\
j_1(x) &= \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}, \\
j_2(x) &= \left(\frac{3}{x^2} - 1\right) \frac{\sin x}{x} - \frac{3\cos x}{x^2}, \\
j_3(x) &= \left(\frac{15}{x^3} - \frac{6}{x}\right) \frac{\sin x}{x} - \left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\cos x}{x}
\end{align}

va Neyman :

: \begin{align}
y_0(x) &= -j_{-1}(x) = -\frac{\cos x}{x}, \\
y_1(x) &= j_{-2}(x) = -\frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x}, \\
y_2(x) &= -j_{-3}(x) = \left(-\frac{3}{x^2} + 1\right) \frac{\cos x}{x} - \frac{3\sin x}{x^2}, \\
y_3(x) &= j_{-4}(x) = \left(-\frac{15}{x^3} + \frac{6}{x}\right) \frac{\cos x}{x} - \left(\frac{15}{x^2} - 1\right) \frac{\sin x}{x}.
\end{align}

#### Funktsiyalarni keltirib chiqarish
Sferik Bessel funksiyalarini yaratish :

: \begin{align}
\frac{1}{z} \cos \left(\sqrt{z^2 - 2zt}\right) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} j_{n-1}(z), \\
\frac{1}{z} \sin \left(\sqrt{z^2 - 2zt}\right) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!} y_{n-1}(z).
\end{align}

#### Differentsial munosabatlar
Quyidagi formulalarda bilan almashtirilishi mumkin , *h*(1)*n*, *h*(1)*n*, *h*(2)*n*, *h*(2) sharsimon Hankel funktsiyalari, uchun :

: \begin{align}
\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^m \left (z^{n+1} f_n(z)\right ) &= z^{n-m+1} f_{n-m}(z), \\
\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^m \left (z^{-n} f_n(z)\right ) &= (-1)^m z^{-n-m} f_{n+m}(z).
\end{align}

## Xususiyatlari

### Ortogonallik

Mayli \mu_1, \mu_2 Bessel funksiyasining nollari J_{\alpha}(x) . Keyin :

: 
\int_{0}^{1}{x J_{\alpha}(\mu_1 x) J_{\alpha}(\mu_2 x) dx} = \left\{ \begin{matrix}
 0 & \mbox{;}\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\
 \frac{1}{2}(J'_{\alpha}(\mu_1))^2 & \mbox{;}\quad\mu_1=\mu_2 
\end{matrix} \right. .

### Asimptotiklar
Asimptotik formulalar birinchi va ikkinchi turdagi Bessel funktsiyalari uchun maʼlum. Kichik argumentlar uchun (0  va haqiqiy \alpha ular shunday koʻrinadi :

: J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha, 

: Y_\alpha(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix}
 \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right] & \mbox{;}\quad\alpha=0 \\ \\
 -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{;}\quad\alpha > 0 
\end{matrix} \right. ,

qayerda \gamma — Eyler doimiysi — Mascheroni (0,5772 …) va \Gamma Eyler gamma funktsiyasidir . Katta argumentlar uchun (x \gg |\alpha^2 - 1/4|) formulalar quyidagichakoʻrinishda koʻrinadi:

: J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
    \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right),

: Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
    \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).

Asimptotik kengayishning keyingi atamasidan foydalanish natijani sezilarli darajada yaxshilash imkonini beradi. Nolinchi tartibli Bessel funktsiyasi uchun u quyidagicha koʻrinishda koʻrinadi:

: J_0\rightarrow \sqrt\frac{2}{\pi x}\cos(x-\frac{\pi}{4})+\frac{1}{4x\sqrt{2\pi x}}\sin(x-\frac{\pi}{4}).

### Gipergeometrik qatorlar

Bessel funktsiyalari gipergeometrik funktsiya bilan ifodalanishi mumkin:

: J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).

Shunday qilib, butun son uchun \alpha Bessel funktsiyasi *bitta qiymatli analitikdir* va butun sonlar uchun u koʻp *qiymatli analitik boʻladi*.

### Yaratish funktsiyasi
Birinchi turdagi Bessel funktsiyalari va maʼlum bir turdagi funktsiyaning Loran qatori koeffitsientlari boʻyicha butun tartibli tasvirlar mavjuddir.

: e^{\frac{z}{2}\left(w-\frac{1}{w}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(z)w^n.

## Nisbatlar

### Yakobi-Angera formulasi va tegishli

Hosil qiluvchi funksiya ifodasidan olingan a=1, w=e^{i\phi} :

: e^{iz\sin\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty J_{2n}(z)\cos(2n\phi)+2i\sum_{n=1}^\infty J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi.

a=1, t=ie^{i\phi}da :

: e^{iz\cos\phi}=J_0(z)+2\sum_{n=1}^\infty i^nJ_n(z)\cos(n\phi).

### Takroriy munosabatlar
Bessel funksiyalari uchun bir qancha takrorlanish munosabatlari mavjuddir. Mana ulardan baʼzilari quyidagilar:

: J_{\alpha+1} = \frac{\alpha}{x}J_{\alpha}-J'_{\alpha}(x);

: J_{\alpha+1}(x)+J_{\alpha-1}(x) = \frac{2\alpha}{x}J_{\alpha}(x);

: J_{\alpha+1}(x)-J_{\alpha-1}(x) = -2J'_{\alpha}(x) .

### Qoʻshish teoremasi

Har qanday butun n va kompleks uchun z_1, z_2 bajarilgan:

: J_n(z_1+z_2) = \sum_{k=-\infty}^\infty J_k(z_1) J_{n-k}(z_2).

### Integral ifodalar
Har qanday masala uchun a va b (shu jumladan murakkab) uchun quyidagilar bajarildi

: \int_0^\infty e^{-at}J_n(bt)\mathrm dt = \frac{b^n}{\sqrt{a^2+b^2}(\sqrt{a^2+b^2}+a)^n}.

Oxirgi formulaning alohida holati ifodadir

: \int_0^\infty e^{-at}J_0(bt)\mathrm dt = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}.

## Shuningdek qarang

* Silindrsimon funktsiyalar
* Sferik funktsiyalar
* Oʻzgartirilgan Bessel funktsiyalari
* Bessel nuri

## Manbalar

## Adabiyotlar

* 
* 
*