Uzluksizlik mexanikasi

**Uzluksizlik mexanikasi** mexanikaning boʻlimi boʻlib, diskret zarrachalar emas, balki uzluksiz massa sifatida modellashtirilgan materiallar orqali kuchlarning deformatsiyasi va uzatilishi bilan shugʻullanadi. Bunday modellarni birinchi boʻlib 19-asrda fransuz matematigi Avgustin-Lui Koshi tuzgan.

Uzluksiz modeli ob’ektning moddasi u egallagan boʻshliqni toʻliq toʻldirishini nazarda tutadi. Bu moddaning atomlardan tashkil topganligi haqiqatiga eʼtibor bermaydi, ammo atomlararo masofalardan ancha kattaroq uzunlik shkalalarida materiyaning yetarlicha aniq tavsifini beradi. Uzluksiz muhit tushunchasi massa saqlanishi, impulsning saqlanishi va energiyani tejash kabi fizik qonunlarga muvofiq materiyaning xatti-harakatlarini tavsiflovchi differentsial tenglamalar yordamida ommaviy materiyani intuitiv tahlil qilish imkonini beradi. Muayyan material haqidagi maʼlumotlar konstitutsiyaviy munosabatlarda ifodalanadi.

Uzluksiz mexanika qattiq jismlar va suyuqliklarning fizik xossalarini ular kuzatiladigan har qanday aniq koordinatalar tizimidan mustaqil ravishda koʻrib chiqadi. Bu xususiyatlar koordinata tizimlaridan mustaqil boʻlish xususiyatiga ega boʻlgan matematik ob’ektlar boʻlgan tensorlar bilan ifodalanadi. Bu matematik jihatdan qulay uzluksiz funktsiyalarga muvofiq, kontinuumning istalgan nuqtasida jismoniy xususiyatlarni aniqlash imkonini beradi. Elastiklik, plastiklik va suyuqliklar mexanikasi nazariyalari uzluksizlik mexanikasi tushunchalariga asoslanadi.

## Uzluksizlik tushunchasi
Uzluksizlik tushunchasi materiallardagi katta kuchlar va deformatsiyalarni oʻrganish uchun matematik asosga asoslanadi. Materiallar boʻsh boʻshliq yoki mikroskopik yoriqlar va kristallografik nuqsonlar bilan ajratilgan diskret atomlar va molekulalardan tashkil topgan boʻlsa-da, fizik hodisalar koʻpincha fazoning maʼlum bir mintaqasida tarqalgan moddani hisobga olgan holda modellashtirilishi mumkin. Uzluksizlik — bu har qanday aniq nuqtada aniqlangan mahalliy moddiy xususiyatlarga ega boʻlgan cheksiz kichik elementlarga doimiy ravishda boʻlinishi mumkin boʻlgan tanadir. Shunday qilib, ommaviy materialning xususiyatlarini uzluksiz funktsiyalar bilan tavsiflash mumkin va ularning evolyutsiyasini hisoblash matematikasi yordamida oʻrganish mumkin.

Uzluksizlik farazlaridan tashqari, uzluksiz mexanikani oʻrganishda koʻpincha ikkita boshqa mustaqil farazlardan foydalaniladi. Bular bir xillik (barcha joylarda bir xil xususiyatlarni qabul qilish) va izotropiya (yoʻnalish boʻyicha oʻzgarmas vektor xususiyatlarini taxmin qilish). Agar ushbu yordamchi taxminlar global miqyosda qoʻllanilmasa, tahlilni soddalashtirish uchun material qoʻllanishi mumkin boʻlgan boʻlimlarga ajratilishi mumkin. Murakkab holatlar uchun ushbu taxminlardan biri yoki ikkalasi ham bekor qilinishi mumkin. Bunday hollarda material xossalarining evolyutsiyasini tavsiflovchi differensial tenglamalarni echish uchun koʻpincha hisoblash usullari qoʻllanadi.

## Asosiy kattaliklar
Uzluksiz mexanikaning qoʻshimcha sohasi elastomerik koʻpiklarni oʻz ichiga oladi, ular gʻayrioddiy giperbolik stress va kuchlanish munosabatlarini namoyish etadi. Elastomer haqiqiy uzluksizlikdir, lekin boʻshliqlarning bir xil taqsimlanishi unga gʻayrioddiy xususiyatlarni beradi.

## Modellarni shakllantirish

Uzluksiz mexanika modellari material tanasiga uch oʻlchovli Evklid fazosida mintaqani belgilashdan boshlanadi. \mathcal B modellashtirilmoqda. Bu hududdagi nuqtalar zarrachalar yoki moddiy nuqtalar deb ataladi. Tananing turli xil *konfiguratsiyasi* yoki holatlari Evklid fazosining turli mintaqalariga mos keladi. Vaqtida tananing konfiguratsiyasiga mos keladigan mintaqa t etiketlanadi \kappa_t(\mathcal B) .

Muayyan konfiguratsiyadagi tanadagi maʼlum bir zarracha pozitsiya vektori bilan tavsiflanadi:

: \mathbf x = \sum_{i=1}^3 x_i \mathbf e_i,

bu yerda \mathbf e_i muammo uchun tanlangan maʼlumot tizimidagi koordinata vektorlari (1-rasmga qarang). Bu vektorni zarracha pozitsiyasining funksiyasi sifatida ifodalash mumkin \mathbf X baʼzi *mos yozuvlar konfiguratsiyasida*, masalan, dastlabki vaqtda konfiguratsiya, shuning uchun

: \mathbf{x}=\kappa_t(\mathbf X).

Model jismoniy maʼnoga ega boʻlishi uchun bu funktsiya turli xil xususiyatlarga ega boʻlishi kerak. \kappa_t(\cdot) boʻlishi kerak:

* vaqt oʻtishi bilan uzluksiz, shuning uchun tana haqiqatga mos keladigan tarzda oʻzgaradi;
* har doim global miqyosda teskari boʻlishi mumkin, shuning uchun tana oʻzini kesib oʻtolmaydi;
* orientatsiyani saqlovchi, chunki koʻzgu aksini keltirib chiqaradigan transformatsiyalar tabiatda mumkin emas.

Modelni matematik shakllantirish uchun, \kappa_t(\cdot) Harakatni tavsiflovchi differensial tenglamalar tuzish uchun ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi deb ham qabul qilinadi.

## Uzluksizlikdagi kuchlar
Uzluksizlik mexanikasi qattiq jismlardan farqli oʻlaroq, deformatsiyalanadigan jismlar bilan shugʻullanadi. Qattiq jism deformatsiyalanuvchi jism boʻlib, kesish kuchiga ega, qattiq jism kesish kuchlarini qoʻllab-quvvatlay oladi (ular taʼsir qiladigan material yuzasiga parallel kuchlar). Boshqa tomondan, suyuqliklar kesish kuchlarini ushlab turmaydi.

Klassik Nyuton va Eyler dinamikasiga koʻra, moddiy jismning harakati tashqi taʼsir koʻrsatadigan kuchlar taʼsirida hosil boʻladi, ular ikki xil deb taxmin qilinadi: sirt kuchlari. \mathbf F_C va tana kuchlari \mathbf F_B. Shunday qilib, umumiy kuch \mathcal F tanaga yoki tananing bir qismiga qoʻllanadigan tarzda ifodalanishi mumkin:

: \mathcal F = \mathbf F_C + \mathbf F_B

### Yuza kuchlari
*Yuza kuchlari* yoki birlik maydonga toʻgʻri keladigan kuch sifatida ifodalangan *aloqa kuchlari* tananing chegaralangan yuzasida, boshqa jismlar bilan mexanik aloqa natijasida yoki tananing qismlarini bogʻlaydigan xayoliy ichki yuzalarda taʼsir qilishi mumkin. tananing qismlari yuzasining har ikki tomoniga mexanik oʻzaro taʼsiri (Euler-Koshining kuchlanish printsipi). Jismga tashqi aloqa kuchlari taʼsir qilganda, Nyutonning chiziqli impuls va burchak momentining saqlanish harakatining uchinchi qonuniga binoan (uzluksiz jismlar uchun bu qonunlar) ularning taʼsirini muvozanatlash uchun ichki aloqa kuchlari tananing ichida bir nuqtadan nuqtaga uzatiladi. Eyler harakat tenglamalari deyiladi). Ichki aloqa kuchlari konstitutsiyaviy tenglamalar orqali tananing deformatsiyasi bilan bogʻliq. Ichki aloqa kuchlari, tananing moddiy tuzilishidan qatʼi nazar, tananing harakati bilan qanday bogʻliqligi bilan matematik tarzda tavsiflanishi mumkin.

Jismning butun hajmi boʻylab ichki aloqa kuchlarining taqsimlanishi uzluksiz deb hisoblanadi. Shunday qilib, *aloqa kuchining zichligi* yoki *Koshi tortish maydoni* mavjud  \mathbf T(\mathbf n, \mathbf x, t) maʼlum bir vaqtda tananing maʼlum bir konfiguratsiyasida ushbu taqsimotni ifodalaydi t\,\! . Bu vektor maydoni emas, chunki u nafaqat pozitsiyaga bogʻliq \mathbf x maʼlum bir moddiy nuqtaning, balki uning normal vektori bilan aniqlangan sirt elementining mahalliy yoʻnalishi boʻyicha \mathbf n.

Har qanday differentsial maydon dS\,\! normal vektor bilan \mathbf n maʼlum bir ichki sirt maydoni S\,\!, tananing bir qismini chegaralab, aloqa kuchini boshdan kechiradi d\mathbf F_C\,\! ning har bir tomonida tananing ikkala qismi oʻrtasidagi aloqadan kelib chiqadi S\,\!, va u tomonidan berilgan

: d\mathbf F_C= \mathbf T^{(\mathbf n)}\,dS

bu yerda \mathbf T^{(\mathbf n)} *sirt tortilishi*, *stress vektori*, *tortishish*, yoki *tortish vektori deb ham ataladi*   . Stress vektori freymga befarq vektordir (Eyler-Koshining kuchlanish printsipiga qarang).

Muayyan ichki yuzadagi umumiy aloqa kuchi S\,\! keyin barcha differensial sirtlardagi aloqa kuchlarining yigʻindisi (sirt integrali) sifatida ifodalanadi dS\,\!:

: \mathbf F_C=\int_S \mathbf T^{(\mathbf n)}\,dS

Uzluksiz mexanikada jism stresssiz hisoblanadi, agar tanani bir-biriga bogʻlab turish va tashqi taʼsirlarsiz uning shaklini saqlab turish uchun zarur boʻlgan atomlararo kuchlar (ion, metall va van-der-Vaals kuchlari) mavjud boʻlsa., jumladan, tortishish kuchi . Muayyan konfiguratsiyaga ega boʻlgan tanani ishlab chiqarishda hosil boʻladigan stresslar tanadagi stresslarni hisobga olgan holda ham bundan mustasno. Shuning uchun kontinuum mexanikasida koʻrib chiqilgan kuchlanishlar faqat tananing deformatsiyasi natijasida hosil boʻlgan stresslardir, *sc.* stressning mutlaq qiymatlari emas, balki faqat stressdagi nisbiy oʻzgarishlar hisobga olinadi.

### Jism kuchlari
*JIsm kuchlari* jismdan tashqaridagi manbalardan kelib chiqadigan kuchlardir, ular tananing hajmiga (yoki massasiga) taʼsir qiladi. Tana kuchlari tashqi manbalardan kelib chiqadi, deyish tananing turli qismlari (ichki kuchlar) oʻrtasidagi oʻzaro taʼsir faqat kontakt kuchlari orqali namoyon boʻlishini anglatadi. Bu kuchlar jismning kuch maydonlarida, *masalan,* tortishish maydoni (tortishish kuchlari) yoki elektromagnit maydon (elektromagnit kuchlar) yoki jismlar harakatda boʻlgan inertsiya kuchlaridan kelib chiqadi. Uzluksiz jismning massasi uzluksiz taqsimlangan deb qabul qilinganidek, massadan kelib chiqadigan har qanday kuch ham uzluksiz taqsimlanadi. Shunday qilib, tana kuchlari vektor maydonlari bilan belgilanadi, ular tananing butun hajmida uzluksiz deb hisoblanadi , *yaʼni* uning har bir nuqtasiga taʼsir qiladi. Jism kuchlari tana kuchining zichligi bilan ifodalanadi \mathbf b(\mathbf x, t) (massa birligi uchun), bu ramka-inferent vektor maydoni.

Gravitatsion kuchlar holatida kuchning intensivligi massa zichligiga bogʻliq yoki proportsionaldir. \mathbf \rho (\mathbf x, t)\,\! materialning birligi va u massa birligiga toʻgʻri keladigan kuch bilan belgilanadi (b_i\,\!) yoki hajm birligiga (p_i\,\!). Ushbu ikki spetsifikatsiya tenglama boʻyicha material zichligi orqali bogʻliq \rho b_i = p_i\,\! . Xuddi shunday, elektromagnit kuchlarning intensivligi elektromagnit maydonning kuchiga (elektr zaryadiga) bogʻliq.

Uzluksiz jismga qoʻllanadigan umumiy tana kuchi quyidagicha ifodalanadi

: \mathbf F_B=\int_V\mathbf b\,dm=\int_V \rho\mathbf b\,dV

Jism kuchlari va jismga taʼsir qiluvchi aloqa kuchlari maʼlum bir nuqtaga nisbatan mos keladigan kuch momentlariga (momentlar) olib keladi. Shunday qilib, umumiy qoʻllanadigan moment \mathcal M kelib chiqishi haqida tomonidan berilgan

: \mathcal M= \mathbf M_C + \mathbf M_B

Materiallarning mexanik xatti-harakatlarini tahlil qilishda odatda hisobga olinmaydigan baʼzi vaziyatlarda yana ikkita turdagi kuchlarni kiritish kerak boʻladi: bular *juft kuchlanishlar* (sirt juftliklari, aloqa momentlari) va jism *momentlari*. Juft kuchlanishlar — bu sirtga qoʻllanadigan maydon birligiga toʻgʻri keladigan momentlar. Jism momentlari yoki tana juftlari — bu tana hajmiga qoʻllanadigan birlik hajmga yoki birlik massaga toʻgʻri keladigan momentlar. Ikkalasi ham elektr maydoni taʼsirida qutblangan dielektrik qattiq uchun stressni, molekulyar tuzilishi hisobga olinadigan materiallarni (*masalan*, suyaklar), tashqi magnit maydon taʼsirida qattiq moddalarni va dislokatsiya nazariyasini tahlil qilishda muhim ahamiyatga ega. metallar.

Faqat kuchlar tomonidan ishlab chiqarilgan momentlarga qoʻshimcha ravishda tana juftliklari va juft stresslarni koʻrsatadigan materiallar *qutbli materiallar* deb ataladi. *Qutbsiz materiallar* faqat kuch momentlariga ega boʻlgan materiallardir. Uzluksiz mexanikaning klassik tarmoqlarida kuchlanishlar nazariyasining rivojlanishi qutbsiz materiallarga asoslanadi.

Shunday qilib, tanadagi barcha qoʻllanadigan kuchlar va momentlarning yigʻindisi (koordinatalar tizimining kelib chiqishiga nisbatan) quyidagicha berilishi mumkin:

: \mathcal F = \int_V \mathbf a\,dm = \int_S \mathbf T\,dS + \int_V \rho\mathbf b\,dV
: \mathcal M = \int_S \mathbf r \times \mathbf T\,dS + \int_V \mathbf r \times \rho\mathbf b\,dV

## Kinematika: harakat va deformatsiya

Uzluksiz jismning konfigürasyonunun oʻzgarishi joy oʻzgarishiga olib keladi. Jismning siljishi ikkita komponentdan iborat: qattiq jismning siljishi va deformatsiya . Qattiq jismning siljishi uning shakli yoki hajmini oʻzgartirmasdan tananing bir vaqtning oʻzida tarjimasi va aylanishidan iborat. Deformatsiya tananing shakli va / yoki hajmining dastlabki yoki deformatsiyalanmagan konfiguratsiyadan oʻzgarishini anglatadi \kappa_0(\mathcal B) joriy yoki deformatsiyalangan konfiguratsiyaga \kappa_t(\mathcal B) (2-rasm).

Uzluksiz jismning harakati — bu joy almashishlarning uzluksiz vaqt ketma-ketligi. Shunday qilib, moddiy jism turli vaqtlarda turli xil konfiguratsiyalarni egallaydi, shunda zarracha fazoda yoʻl chizigʻini tavsiflovchi bir qator nuqtalarni egallaydi.

Uzluksiz jismning harakati yoki deformatsiyasida uzluksizlik mavjud, yaʼni:

* Har qanday lahzada yopiq egri chiziq hosil qiluvchi moddiy nuqtalar har qanday keyingi vaqtda har doim yopiq egri chiziq hosil qiladi.
* Har qanday lahzada yopiq sirtni tashkil etuvchi moddiy nuqtalar har qanday keyingi vaqtda har doim yopiq sirt hosil qiladi va yopiq sirt ichidagi materiya doimo ichida qoladi.

Barcha keyingi konfiguratsiyalarga havola qilingan mos yozuvlar konfiguratsiyasini yoki dastlabki holatni aniqlash qulay. Malumot konfiguratsiyasi tana hech qachon egallaydigan konfiguratsiya boʻlishi shart emas. Koʻpincha, konfiguratsiya t=0 mos yozuvlar konfiguratsiyasi hisoblanadi, \kappa_0 (\mathcal B) . Komponentlar X_i pozitsiya vektorining \mathbf X zarrachaning mos yozuvlar konfiguratsiyasiga nisbatan olingan koordinatalari material yoki mos yozuvlar koordinatalari deb ataladi.

Qattiq jismlarning harakati yoki deformatsiyasini yoki suyuqliklar oqimini tahlil qilganda, vaqt davomida konfiguratsiyalar ketma-ketligini yoki evolyutsiyasini tavsiflash kerak. Harakatning bitta tavsifi material tavsifi yoki Lagranj tavsifi deb ataladigan material yoki mos yozuvlar koordinatalari boʻyicha amalga oshiriladi.

## Manbalar