Harakat-burchak koordinatalari

Klassik mexanikada **harakat burchagi oʻzgaruvchilari** kanonik koordinatalar toʻplami boʻlib, ular tejamkor energiya darajasi toʻplami ixcham boʻlganda va kommutatsiya oqimlari toʻliq boʻlganda integral tizimlarda kommutatsiya oqimlarining tabiatini tavsiflashda foydalidir. Harakat-burchak oʻzgaruvchilari, shuningdek, harakat tenglamalarini echmasdan tebranish yoki aylanish harakati chastotalarini olishda muhim ahamiyatga ega. Ular faqat dinamikaning asosiy tavsifini taʼminlovchi tizim toʻliq integrallashganda mavjud boʻladi, yaʼni mustaqil Puasson kommutatsiya invariantlari soni maksimal va saqlangan energiya yuzasi ixcham boʻlganda. Bu, odatda , Gamilton-Jakobi tenglamasini toʻliq ajratish mumkin boʻlganda va ajratish konstantalarini faza fazosida funktsiyalar sifatida echish mumkin boʻlganda amaliy hisob-kitob qiymatiga ega boʻladi. Harakat burchagi oʻzgaruvchilari **invariant Lagranj tori** boʻyicha qatlamlanishni aniqlaydi, chunki Puasson kommutatsiya invariantlari tomonidan induktsiya qilingan oqimlar ularning qoʻshma darajalari toʻplamida qoladi, energiya darajasi toʻplamining ixchamligi esa ularning tori ekanligini bildiradi. Burchak oʻzgaruvchilari harakatlanuvchi oqimlar chiziqli boʻlgan barglardagi koordinatalarni taʼminlaydi.

Klassik Gamilton tizimlari va ularni Shredinger toʻlqin mexanikasi yondashuvida kvantlash oʻrtasidagi bogʻliqlik Gamilton-Yakobi tenglamasini Shredinger tenglamasi uchun WKB asimptotik qatoridagi etakchi tartibli atama sifatida koʻrish orqali aniq boʻladi. Integral tizimlar holatida, Bor-Zommerfeld kvantlash shartlari birinchi marta kvant mexanikasi paydo boʻlishidan oldin, vodorod atomining spektrini hisoblash uchun ishlatilgan. Ular harakat burchagi oʻzgaruvchilari mavjudligini va ular Plank doimiysining integral koʻpaytmalari boʻlishini talab qiladi. Eynshteynning EBK kvantlashidagi integral boʻlmagan tizimlarni kvantlash qiyinligi haqidagi tushunchasi shu faktga asoslangan edi.

Harakat-burchak koordinatalari Gamilton mexanikasining buzilish nazariyasida, ayniqsa adiabatik invariantlarni aniqlashda ham foydalidir. Kichkina tebranishlar ostida integrallanuvchi dinamik tizimlarning dinamik barqarorligi uchun tartibsizlik nazariyasidan olingan eng dastlabki natijalardan biri KAM teoremasi boʻlib, u oʻzgarmas tori qisman barqaror ekanligini taʼkidlaydi.

Integrallashuvchi tizimlarning zamonaviy nazariyasida harakat burchagi oʻzgaruvchilari Toda panjarasini hal qilishda, Laks juftlarini aniqlashda yoki umuman olganda, integrallanuvchi dinamikani tavsiflovchi chiziqli operatorning izospektral evolyutsiyasida va tegishli spektral maʼlumotlarni harakat sifatida talqin qilishda ishlatilgan. Gamilton formulasida burchak oʻzgaruvchilari.

## Chiqarish
Harakat burchaklari 2-turdagi kanonik transformatsiyadan kelib chiqadi, bunda hosil qiluvchi funktsiya Gamiltonning xarakteristik funktsiyasidir. W(\mathbf{q}) (Gemiltonning asosiy vazifasi *emas* S). Dastlabki Gamiltonian aniq vaqtga bogʻliq emasligi sababli, yangi Gamiltonian K(\mathbf{w}, \mathbf{J}) faqat eski Gamiltonian H(\mathbf{q}, \mathbf{p}) deb belgilagan yangi kanonik koordinatalar bilan ifodalanadi \mathbf{w} (umumlashtirilgan koordinatalar boʻlgan **harakat burchaklari**) va ularning yangi umumlashtirilgan momentlari \mathbf{J} . Bu yerda ishlab chiqaruvchi funktsiyani hal qilishimiz shart emas W oʻzi; Buning oʻrniga biz uni faqat yangi va eski kanonik koordinatalarni bogʻlash vositasi sifatida ishlatamiz.

Harakat burchaklarini belgilash oʻrniga \mathbf{w} toʻgʻridan-toʻgʻri, biz ularning oʻrniga har bir asl umumlashtirilgan koordinata uchun klassik harakatga oʻxshash umumiy momentni aniqlaymiz

: 
J_{k} \equiv \oint p_k \, \mathrm{d}q_k


bu yerda integratsiya yoʻli doimiy energiya funksiyasi bilan bevosita berilgan E=E(q_k,p_k) . Haqiqiy harakat bu integratsiyada ishtirok etmaganligi tufayli, bu umumiy momentlar J_k harakat konstantalari boʻlib, oʻzgartirilgan Gamiltonianni bildiradi K koʻpaytma umumlashtirilgan koordinatalarga bogʻliq emas w_k

: 
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} J_{k} = 0 = \frac{\partial K}{\partial w_k}


bu yerda w_k 2-toifa kanonik transformatsiya uchun tipik tenglama bilan berilgan

: 
w_k \equiv \frac{\partial W}{\partial J_k}


Shunday qilib, yangi Gamiltonian K=K(\mathbf{J}) faqat yangi umumlashtirilgan momentga bogʻliq \mathbf{J} .

Harakat burchaklarining dinamikasi Gamilton tenglamalari bilan berilgan

: 
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} w_k = \frac{\partial K}{\partial J_k} \equiv \nu_k(\mathbf{J})


Oʻng tomon harakatning doimiysi (sababi barcha J lar). Demak, yechim tomonidan berilgan

: 
w_k = \nu_k(\mathbf{J}) t + \beta_k


bu yerda \beta_k integratsiya doimiysi hisoblanadi. Xususan, agar asl umumlashtirilgan koordinata davrning tebranishi yoki aylanishiga duchor boʻlsa T, mos keladigan harakat burchagi w_k tomonidan oʻzgaradi \Delta w_k = \nu_k (\mathbf{J}) T .

Bular \nu_k(\mathbf{J}) asl umumlashtirilgan koordinatalar uchun tebranish/aylanish chastotalari q_k . Buni koʻrsatish uchun biz harakat burchagidagi aniq oʻzgarishlarni birlashtiramiz w_k uning umumiy koordinatalarining aynan bitta toʻliq oʻzgarishi (yaʼni, tebranish yoki aylanish). q_k

: 
\Delta w_k \equiv \oint \frac{\partial w_k}{\partial q_k} \, \mathrm{d}q_k = 
\oint \frac{\partial^2 W}{\partial J_k \, \partial q_k} \, \mathrm{d}q_k = 
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}J_k} \oint \frac{\partial W}{\partial q_k} \, \mathrm{d}q_k = 
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}J_k} \oint p_k \, \mathrm{d}q_k = \frac{\mathrm{d}J_k}{\mathrm{d}J_k} = 1


uchun ikkita ifodani oʻrnatish \Delta w_{k} teng, biz kerakli tenglamani olamiz

:  
\nu_k(\mathbf{J}) = \frac{1}{T}


Harakat burchaklari \mathbf{w} umumlashtirilgan koordinatalarning mustaqil toʻplamidir. Shunday qilib, umumiy holatda, har bir asl umumlashtirilgan koordinata q_{k} *barcha* harakat burchaklarida Furye qatori sifatida ifodalanishi mumkin

: 
q_k = \sum_{s_1=-\infty}^\infty \sum_{s_2 = -\infty}^\infty \cdots \sum_{s_N = -\infty}^\infty A^k_{s_1, s_2, \ldots, s_N} e^{i2\pi s_1 w_1} e^{i2\pi s_2 w_2} \cdots e^{i2\pi s_N w_N}


bu yerda A^k_{s_1, s_2, \ldots, s_N} Furye qator koeffitsienti hisoblanadi. Aksariyat amaliy holatlarda esa, asl umumlashtirilgan koordinata q_k faqat oʻzining harakat burchaklarida Furye qatori sifatida ifodalanadi w_k

: 
q_k = \sum_{s_k=-\infty}^\infty A^k_{s_k} e^{i2\pi s_k w_k}


## Asosiy protokolning qisqacha mazmuni
Umumiy protsedura uch bosqichdan iborat:

# Yangi umumlashtirilgan momentni hisoblang J_{k}
# Ushbu oʻzgaruvchilar nuqtai nazaridan asl Gamiltonianni toʻliq ifodalang.
# Chastotalarni olish uchun Gamiltonianning ushbu momentlarga nisbatan hosilalarini oling \nu_k

## Degeneratsiya
Baʼzi hollarda ikki xil umumlashtirilgan koordinatalarning chastotalari bir xil boʻladi, yaʼni, \nu_k = \nu_l uchun k \neq l . Bunday hollarda harakat deyiladi **degenerativ** .

Qoʻshimcha umumiy saqlangan miqdorlar mavjudligini koʻrsatadigan degeneratsiya harakat signallari; masalan, Kepler muammosining chastotalari degenerativ boʻlib, Laplas-Runge-Lenz vektorining saqlanishiga mos keladi.

Degeneratsiya harakati, shuningdek , Gamilton-Jakobi tenglamalarini bir nechta koordinatalar tizimida toʻliq ajratish mumkinligidan dalolat beradi; Masalan, Kepler muammosi sferik koordinatalarda ham, parabolik koordinatalarda ham butunlay ajratilishi mumkin.

## Manbalar
* L. D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) *Mechanics*, 3rd. ed., Pergamon Press.  (hardcover) and  (softcover).
* H. Goldstein, (1980) *Classical Mechanics*, 2nd. ed., Addison-Wesley. 
* G. Sardanashvily, (2015) *Handbook of Integrable Hamiltonian Systems*, URSS. 
*