لکیری استحالہ

لکیری استحالہ ایسے استحالہ کو کہتے ہیں جو لکیری آزمائیش پر پورا اترے۔ اگر استحالہ \ T(X) درج ذیل آزمائش پوری
کرے (یہاں *X* اور *Y* ایک سمتیہ مکاں کے ارکان (یعنی سمتیہ) ہیں اور *a* کوئی بھی عدد میدان \ \mathbb{R} یا \mathbb{C} میں )
* \ T(aX) = a T(X)
* \ T(X+Y) = T(X) + T(Y)
تو اسے *لکیری استحالہ* کہتے ہیں۔

## میٹرکس ضرب
میٹرکس ضرب سے لکیری استحالہ بنتا ہے۔ اگر *X* سمتیہ مکاں \mathbb{R}^n کا رکن ہو اور *A* ایک \ m \times n  میٹرکس، تو لکیری استحالہ یوں لکھا جا سکتا ہے:

 Y = A X

جہاں *Y* سمتیہ فضا \mathbb{R}^m میں ہو گا۔ مزید تفصیل کے لیے دیکھو میٹرکس تفاعل۔

## میٹرکس ضرب صورت
کسی سمتیہ مکاں *V* میں سمتیہ *v* کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ v_0, v_1, ..., v_{n-1} کے حوالے سے منفرد صورت کو \mathbb{R}^n میں یوں لکھو:
c=\left[\begin{matrix} 
c_0 \\
c_1 \\
\vdots \\
c_{n-1}
\end{matrix}\right]


اب فرض کرو کہ ایک دوسری سمتیہ فضا *U* ہے اور \ T:V \to U ایک لکیری استحالہ ہے اور
\ u=T(v)
اب سمتیہ مکاں *U* میں سمتیہ *u* کی کسی بنیاد سمتیہ مجموعہ u_0, u_1, ..., u_{m-1} کے حوالے سے منفرد صورت کو \mathbb{R}^n میں یوں لکھو:
d=\left[\begin{matrix} 
d_0 \\
d_1 \\
\vdots \\
d_{m-1}
\end{matrix}\right]


ہم صورت *c* اور *d* میں رشتہ جاننا چاہتے ہیں۔ 
اب چونکہ \ T(v_i) سمتیہ فضا *U* میں ہیں، اس لیے انھیں *U* کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھا جا سکتا ہے:

\begin{matrix}
T(v_0) = a_{0,0} u_0 + a_{1,0} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1} \\
T(v_1) = a_{0,1} u_0 + a_{1,1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1} \\
\vdots \\
T(v_{n-1}) = a_{0,m-1} u_0 + a_{1,m-1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1} 
\end{matrix}


لکیری استحالہ

\ u = T(v) 
 
اب *v* کو سمتیہ فضا *V* کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھتے ہوئے

\begin{matrix}
\ u = T(c_0 v_0 + c_1 v_1 + \cdots + c_{n-1} v_{n-1}) 
\end{matrix}


اور لکیرے پن کا استعمال کرتے ہوئے
ِ

\begin{matrix}
u = c_0 T(v_0) + c_1 T(v_1) + \cdots + c_{n-1} T(v_{n-1}) \\
u = c_0 (a_{0,0} u_0 + a_{1,0} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1}) \\
 + c_1 (a_{0,1} u_0 + a_{1,1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1}) \\
\vdots \\
 + c_{n-1}(a_{0,m-1} u_0 + a_{1,m-1} u_1 + \cdots + a_{m-1,0} u_{m-1}) 
\end{matrix}


چونکہ *u* کو سمتیہ فضا *U* کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھا تھا
\begin{matrix}
u = d_0 u_0 + d_1 u_1 + \cdots + d_{m-1} u_{m-1}
\end{matrix}

اس سے یہ نتیجہ اخذ ہوتا ہے کہ

\left[\begin{matrix}
d_{0}\\
d_{1}\\
\vdots \\
d_{m-1}
\end{matrix} \right]
 = 
\left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,n-1} \\
a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-1} \\
\vdots \\
a_{m-1,0} & a_{m-1,1} & \cdots & a_{m-1,n-1} \\
\end{matrix} \right]
\left[\begin{matrix}
c_{0}\\
c_{1}\\
\vdots \\
c_{n-1}
\end{matrix} \right]

اب اس \ m \times n  میٹرکس کو ہم *A* کہتے ہوئے اوپر کی مساوات جو سمتیہ فضا *U* کے کسی سمتیہ *u* کی صورت *d* اور سمتیہ فضا *V* کے سمتیہ *v* کی صورت *c* کے درمیان رشتہ ایک میٹرکس ضرب کے طور بتاتی ہے، یوں لکھتے ہیں:

 \ d = A c 

غور کرو کہ میٹرکس *A* دونوں سمتیہ فضا (*V* اور *U*) میں انتخاب کردہ بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{v_i\} اور \ \{u_i\} پر منحصر ہے۔ میٹرکس *A* کی ہیئت پر غور کرو۔ میٹرکس *A* کا ہر ستون حاصل کرنے کے لیے، سمتیہ فضا *V* کے ایک بنیاد سمتیہ \ v_i کو *T* کے ذریعہ *U* میں بھیجا جاتا ہے اور \ T(v_i) کو سمتیہ فضا *U* کے بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{u_i\} کے لکیری جوڑ کے طور پر لکھنے سے جو عددی سر a_{.,.} حاصل ہوتے ہیں، یہ میٹرکس کا ایک ستون بنتے ہیں۔

### مثال 1
ایک لکیری استحالہ
\ T:\mathbb{R}^2 \to {subspace}(\mathbb{R}^3)
فائل:Simtia_planes_3_2.png
جو یوں ہے
T\left(
\left[\begin{matrix}
x \\
y
\end{matrix}\right]
\right)
= 
\left[\begin{matrix}
x \\
y \\
-6x + 17 y
\end{matrix}\right]

اور جو سمتیہ فضا V=\mathbb{R}^2 سے \mathbb{R}^3 کی ذیلی سمتیہ فضا *U* میں بھیجتا ہے۔ اس ذیلی سمتیہ فضا کو تصویر میں نیلے پلین سے دکھایا گیا ہے۔ \mathbb{R}^2 میں بنیاد سمتیہ مجموعہ کے لیے ہم قدرتی بنیاد سمتیہ مجموعہ کا انتخاب کر لیتے ہیں، یعنی

v_0=\left[\begin{matrix}
1 \\
0
\end{matrix}\right] , 
v_1=\left[\begin{matrix}
0 \\
1
\end{matrix}\right] 


اور \mathbb{R}^3 کی اس ذیلی سمتیہ فضا میں بنیاد سمتیہ مجموعہ

u_0=\left[\begin{matrix}
1 \\
0 \\
-6
\end{matrix}\right] , 
u_1=\left[\begin{matrix}
1 \\
1 \\
11
\end{matrix}\right] 

۔
اب *V* کے بنیاد سمتیہ کو *T* کے ذریعہ *U* میں بھیج کر *U* کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور یوں لکھتے ہیں

T(v_0) = 1 u_0 + 0 u_1 



T(v_1) = -1 u_0 + 1 u_1 


جس سے ہم میٹرکس *A* پڑھ لیتے ہیں

A = 
\left[\begin{matrix}
1 & -1\\
0 & 1
\end{matrix}\right] , 


### مثال 2
درجہ اول کے کثیر رقمی کی فضا کو *V* کہو اور درجہ دوم کے کثیر رقمی کو فضا *U* کہتے ہوئے، ایک لکیری استحالہ T: V \to U  یہ ہے
T(p_1(x)) = x p_1(x) 

یہاں درجہ اول کے کثیر رقمی کو
 p_1(x) 
لکھا ہے۔

فضا *V* میں بنیاد سمتیہ
v_0=1, v_1=x 

اور فضا *U* میں بنیاد سمتیہ
u_0=1, u_1=x , u_2 = x^2 

اب *V* کے بنیاد سمتیہ پر لکیری استحالہ *T* کے ذریعہ *U* میں لے جا کر، ان کو *U* کے بنیاد سمتیہ کے لکیری جوڑ کے بطور لکھ کر
T(v_0)=x = 0 u_0 + 1 u_1 + 0 u_2 

T(v_1)=x^2 = 0 u_0 + 0 u_1 + 1 u_2 

میٹرکس *A* پڑھ لو

A = 
\left[\begin{matrix}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right] , 


## مسلئہ اثباتی
ایک سمتیہ مکاں *S* پر لکیری استحالہ T:S \to S ہو۔ اس سمتیہ فضا میں ایک بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{v_i\}کے لحاظ سے اس استحالہ کی صورت میٹرکس *A* ہو۔ اب اگر اسی فضا کا ایک اور بنیاد سمتیہ مجموعہ \ \{u_i\} ہو اور اس مجموعہ کے حوالے سے استحالہ کی صورت میٹرکس *B* ہو، تو دونوں میٹرکس میں نسبت یوں لکھی جا سکتی ہے

\ B = P^{-1} A P

جہاں میٹرکس *P* مجموعہ \ \{u_i\} سے مجموعہ \ \{v_i\} لے جانی والی منتقلہ میٹرکس ہے۔ گویا *A* اور *B* مشابہ میٹرکس ہیں۔

## مزید دیکھیے
* حیطہ استحالہ
* قطار اور ستون فضا
* عدیمہ فضا
* عجمہ استحالہ
* نسبی استحالہ

زمرہ:استحالہ (ریاضی)
زمرہ:تجریدی الجبرا
زمرہ:تفاعلات
زمرہ:خطی الجبرا
زمرہ:لکیری مشتغلین