مفرد عدد

تصغیر|مفرد اعداد

تعریف: ایک مثبت صحیح عدد کو اولی کہا جاتا ہے اگر اس عدد کے صرف دو ضربی اجزا (جزوِ ضربی) ہوں (ایک یہ خود اور دوسرا 1)۔ مثلاً 25 سے چھوٹے اولی اعداد یہ ہیں:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

انگریزی میں**مفرد عدد** یا ** عددِ اولی** کو پرائم (prime) کہا جاتا ہے۔

عدد* 1* نہ اولی ہے نہ مرکب۔

### حساب کا بنیادی مسلئہ اثباتی
*تفصیلی مضمون*: حساب کا بنیادی مسلئہ اثباتی

فرض کرو n>1۔ اب عدد *n* کو اولی اعداد پر مشتمل جزوِ ضربی کے بطور لکھا جا سکتا ہے۔ اور یہ جُزوِ ضربی منفرد ہوں گے، صرف ترتیب مختلف ہو سکتی ہے۔ مثال:


\ 299376 = 2^4 \times 3^5 \times 7 \times 11


جہاں 2, 3, 7, 11, اولی اعداد ہیں۔ ان اولی اعداد کے علاوہ کوئی دوسرا اولی اعداد کا مجموعہ نہیں، جو 299376 کے جزو ضربی بن سکیں، صرف ترتیب مختلف ہو سکتی ہے، مثلاً


\ 299376 = 7 \times 3 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 2 \times 3 \times 11 \times 3 \times 2 


### مسلئہ اثباتی
اولی اعداد کی تعداد لامحدود ہے۔ 
ثبوت: 
ثبوت نفی طریقہ سے دیتے ہیں۔ فرض کرو کہ اولی اعداد کا مجموعہ محدود ہے۔ تو اس مجموعہ کو یوں لکھ لیتے ہیں:
 \{ p_1, p_2, p_3, \cdots, p_k \} 
اب اس عدد کو دیکھو:
 Q = p_1 p_2 p_3 \cdots p_k + 1 
اب یا تو*Q* اولی ہے یا پھر اس کے اولی جزو ضربی موجود ہیں۔ اگر اولی ہے تو مفروضے کی نفی ہو گئی۔ دوسری صورت میں دیکھو کہ اوپر دیے اولی اعداد میں سے کوئی بھی *Q* کو تقسیم نہیں کرتا جو بنیادی نظریہ کے خلاف ہے۔ اس لیے یہ صورت بھی مفروضے کی نفی کرتی ہے۔ پس ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ یہ مفروضہ کہ "اولی اعداد کی تعداد محدود ہے" ہی غلط تھا۔

### مسلئہ اثباتی
اگر صحیح عدد  n>1  کے کوئی جزوِ ضربی ایسے نہیں جو  \sqrt{n}  سے چھوٹے ہوں ( \le \sqrt{n} )، تو عدد *n* اولی ہے۔

### اولی عدد کی چھاننی
اولی اعداد ڈھونڈنے کے لیے چھاننی کا طریقہ مفید ہے۔ فرض کرو کہ ہمیں 300 سے کم اعداد میں سے اولی عدد
تلاش کرنے ہیں، تو 300 تک کے اعداد لکھ لو

2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 ........

اب 2 سے شروع کرتے ہیں۔ اس کے نیچے لکیر لگا دو۔ اب 2 کے ضربیات کاٹ دو۔ اس کے بعد 3 کے نیچے لکیر لگاؤ۔ اب 3 کے ضربیات کاٹ دو۔ اس ظرح نہ کٹے اعداد کے نیچے لکیر لگا کر اس کے ضربیات کاٹنے (چھاننے) کا عمل جاری رکھو۔
کسی نھی وقت سب سے چھوٹا عدد جس کے نیچے لکیر نہیں لگی یا کٹا ہوا نہیں، تو یہ عدد اولی ہے۔ چونکہ  \lfloor\sqrt{300}\rfloor= 17 ، اس لیے ہمیں 17 تک کے اعداد کے نیچے لکیر لگانے کا عمل جاری رکھنا ہے۔

### اولی عدد کی پہچان
اولی کی یہ ایک کسوٹی ہے:
اگر عدد *p*اولی ہے تو لازم ہے کہ وہ اس امتحان میں پورا اترے

*p-1* کو 2 کی طاقت علاحدہ کر کے لکھو

p-1 =2^\zeta \times \eta


تو *p* کے اولی ہونے کے لیے لازم ہے کہ نیچے دی دو مساوات میں سے ایک کی تسکین ہو:


\beta^\eta \equiv \pm 1 \mod p


**یا**

\beta^{2^j \eta} \equiv -1 \mod p \,,\, j=1,2,\cdots,\zeta-1


ہر نیچے دیے \beta کے لیے


\beta = 2,3,\cdots,p-2


مثال: عدد 511 اولی نہیں کیونکہ 7 سے تقسیم ہوتا ہے۔ مگر \beta=81  کے لیے کسوٹی پر پورا اترتا ہے
 \begin{matrix}
p-1 = 510 = 2^1 \times 255 \\
\beta=81 \\
\beta^\eta = 81^{255} \equiv 1 \mod 511
\end{matrix}


جس سے پتہ چلتا ہے کہ تمام \beta  کے لیے تسلی کرنی چاہیے۔

عملی طور پر یہ کسوٹی اولی عدد ڈھونڈنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔ بہت بڑے اعداد کی تجزی کرنا ممکن نہیں ہوتا۔ کچھ عملیات میں یہ کرتے ہیں کہ کسی عدد کے بمطابق بہت سے تصادفی \beta لے کر (مگر سارے نہیں) تجربہ کیا جاتا ہے، اگر کسوٹی پر کوئی عدد پورا اترے تو اسے اولی تصور کر لیا جاتا ہے۔

### توزیع اولی اعداد
اگر *x* سے کم اولی اعداد کی تعداد کو \pi(x) لکھا جائے تو


\frac{\pi(x) }{x/\ln(x)} \to 1 \,\, as\,\, x \to \infty

## فہرست مفرد اعداد


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167173
179181 191193 197 199 211 223 227229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541


## حوالہ جات

زمرہ:ابتدائی ریاضیات
زمرہ:مفرد اعداد
زمرہ:نظریۂ عدد
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مختلف مختصر وضاحت
زمرہ:ابتدائی حساب
زمرہ:حساب