احصائی آزادی

اگر کسی واقعہ *A* کا احتمال، بعد ازاں یہ معلوم ہونے کے کہ واقعہ *B* رونما ہو چکا ہے، سے تبدیل نہ ہوتا ہو، تو واقعات *A* اور *B* کو آزاد کہتے ہیں۔ یعنی "واقعہ *A* کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ *B* رونما ہو چکا" برابر ہو واقعہ *A* کے احتمال کے :
: \Pr(A|B) = \Pr(A)
واضح رہے کہ یہ تعریف متناظر ہے، کیونکہ مشروط احتمال کی تعریف استعمال کرتے ہوئے
: \Pr(B|A) = \frac{\Pr(B \cap A)}{\Pr(A)} = \frac{\Pr(A|B) \Pr(B)}{\Pr(A)} 
ہمیں حاصل ہوتا ہے کہ:
: \Pr(B|A) = \Pr(B)

## مسلئہ اثباتی
واقعات *A* اور *B* آزاد ہوں گے، اگر بشرطِ اگر
:\ \Pr(A \cap B) = \Pr(A) \Pr(B)

### مثال 1
اگر طاس کو دو بار پھینکا جائے، تو ظاہر ہے دونوں "پھینک" ایک دوسرے سے آزاد ہیں۔ اس تجربہ کی نمونہ فضا
:\ S = \{1,2,3,4,5,6\} \times \{1,2,3,4,5,6\}
ہے۔ اب اس واقعہ کہ "پہلا پھینک 3 ہے اور دوسرا پھینک 4 ہے " کا احتمال، واقعہ "پہلا پھینک 3 ہے " اور واقعہ "دوسرا پھینک 4 ہے " کے احتمال کے ضرب سے معلوم ہو گا:
: \begin{matrix}
 \Pr(\hbox{first throw is 3, second throw is 4}) = \\
 \Pr(\hbox{first throw is 3}) \times \Pr(\hbox{second throw is 4}) \\
 = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}
\end{matrix}


### مثال 2
اگر طاس کو ایک بار پھینکا جائے اور واقعہ *A* ہو کہ طرف (نتیجہ) طاق عدد ہے، یعنی 1 یا 3 یا 5 ہے،
: A = \{1, 3, 5\}, \, \Pr(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
اور واقعہ *B* یہ ہو کہ طرف (نتیجہ) 1 یا 2 یا 4 یا 5 ہے،
: B = \{1, 2, 4, 5\}, \, \Pr(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
اب اگر یہ معلوم ہو کہ واقعہ *B* رونما ہو چکا ہے، تو "واقعہ *A* کا مشروط احتمال جبکہ واقعہ *B* رونما ہو چکا" یہ ہو گا
: \Pr(A|B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = \Pr(A) 
اس سے ثابت ہوا کہ واقعات *A* اور *B* آزاد ہیں۔

## باہمی ناشمول واقعات
باہمی ناشمول واقعات کبھی آزاد نہیں ہو سکتے، کیونکہ ایک واقعہ کے رونما سے یہ نتیجہ اخذ کیا جا سکتا ہے کہ دوسرا ناممکن ہو گیا۔

## دو سے زیادہ واقعات کی آزادی
تعریف: واقعات \ A_1, A_2, \cdots A_n  کو باہمی آزاد کہا جائے گا، اگر کس بھی \ m=2,3, \cdots, n  کے لیے اور \ \{1,2,3, \cdots, n\}  کے کسی بھی ذیلی مجموعہ \ i_1, i_2, i_3, \cdots, i_m  کے لیے یہ سچ ہو کہ:
:\ \Pr\left(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_m}\right) = \Pr(A_{i_1}) \Pr(A_{i_2})
\cdots \Pr(A_{i_m})


دوسرے الفاظ میں \ A_1, A_2, \cdots A_n  کے کسی بھی ذیلی مجموعہ کے تقاطع کا احتمال برابر ہو ہر نفس احتمال وں کی ضرب کے۔ یاد رہے کہ ہر دو واقعات کے جوڑے کی آزادی،
:\ \Pr(A_i \cap A_j) = \Pr(A_i ) \Pr(A_j)
سے *n* واقعات کی آزادی مقتض نہیں ہوتی۔

## آزاد تصادفی متغیر
تصادفی متغیر باہمی آزاد ہوں گے اگر ان سے جنم لینے والے واقعات باہمی آزاد ہوں۔ دو تصادفی متغیر *X* اور *Y* کو آزاد قرار دیا جائے گا بشرطیکہ
: \Pr(X \le x, Y \le y) = \Pr(X \le x) \Pr(Y \le y)
کسی بھی اعداد *x* اور *y* کے لیے۔ یہاں احتمال
 \Pr(X \le x, Y \le y) سے مراد واقعات  \{X \le x \}  اور  \{ Y \le y \}  دونوں کے وقوع پزیر ہونے کا احتمال ہے۔
غور کرو کے واقعات
: A=\{X \le x\} \,\,,\, B=\{Y \le y\}
کی آزادی سے معلوم ہو گا کہ
: \Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)
جو بعینہ اوپر دی تصادفی متغیر کی آزادی کی تعریف ہے۔

### متفرد
متفرد تصادفی متغیر *X* اور *Y* کو آزاد کہیں گے اگر
: \Pr(X = x, Y = y) = \Pr(X = x) \Pr(Y = y)
کسی بھی اعداد *x* اور *y* کے لیے۔ یہاں واقعہ \{X=x, Y=y\} سے مراد واقعات
:\ A=\{X=x\} اور \ B=\{Y=y\}
کا تقاطع ہے، یعنی
:\ \{X=x, Y=y\} = A \cap B

### تفاعل
آزاد تصادفی متغیر *X* اور *Y* کی دالہ سے بننے والے تصادفی متغیر \ Z=f(X) اور \ W=g(X) بھی آزاد ہوں گے۔

### متوقع قدر
آزاد تصادفی متغیر *X* اور *Y* کی ضرب سے بننے والے تصادفی متغیر Z=XY کی متوقع قدر *X* اور *Y* کی متوقع قدر کے حاصل ضرب ہوتی ہے
:\ E(Z) = E(XY) = E(X) \times E(Y)
بشرطیکہ *X* اور *Y* کی متوقع قدر موجود ہو۔

### تفاوت
آزاد تصادفی متغیر *X* اور *Y* کی جمع سے بننے والے تصادفی متغیر Z=X+Y کی تفاوت (variance)، تصادفی متغیر *X* اور *Y* کی تفاوت کی جمع ہوتی ہے
:\ \hbox{Var}(Z) = \hbox{Var}(X+Y) = \hbox{Var}(X) + \hbox{Var}(Y)

### n تصادفی متغیر کی آزادی
*n* تصادفی متغیروں X_1, X_2, \cdots, X_n  کو باہمی آزاد کہا جائے گا اگر ان میں سے ہر دو تصادفی متغیر
:X_i, X_j \,,\, i,j\in \{1,2,\cdots,n\}
آزاد ہوں۔

زمرہ:احتمال نظریہ
زمرہ:شماریات