ویژہ قدر

ایک سمتیہ فنکشن \ f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n  کے لیے اگر سمتیہ کی ایسی قیمت \ X=X^* موجود ہو جس کے لیے،

\ f(X^*) = \lambda X^* \,\,, \lambda \in \mathbb{C}

جہاں \ \lambda ایک ساکن ہو، تو اس \ \lambda کو فنکشن کی *ویژہ قدر* اور \ X^* کو *ویژہ سمتیہ* کہتے ہیں۔ انگریزی میں انھیں eigenvalue اور eigenvector کہتے ہیں۔

ایک لکیری سمتیہ فنکشن کو میٹرکس ضرب کے طور پر لکھا جا سکتا ہے
\ f(X) = A X
جہاں *X* ایک \ n \times 1  میٹرکس (سمتیہ) ہے اور *A* کا سائیز \ n \times n  ہے۔ اب ہمیں ایسے *X* اور \ \lambda نکالنے ہیں کہ

\ A X = \lambda X

اس مساوات کو یوں لکھا جا سکتا ہے (جہاں *I* تطابق قالب ہے)

\ A X - \lambda X = 0 
\ (A - \lambda I) X = 0 
اب یہ اسی صورت ممکن ہے، جب کہ بائیں ہاتھ کی میٹرکس کا دترمینان صفر ہو
\ \det(A - \lambda I) = 0 
اس طرح ہمیں \ \lambda میں درجہ *n* کی مساوات مل جاتی ہے، جس کا حل ہمیں \ \lambda کی *n* قدریں دے سکتا ہے۔ ان میں سے کسی بھی ویژہ قدر \ \lambda کے لیے میٹرکس \ A - \lambda I کا رتبہ *n* سے کم ہو گا، اس لیے سمتیہ *X* کے ایک جُز کی کوئی قدر فرض کر کے ہم باقی اجزا کی قدر *n-1* یکلخت لکیری مساوات کو حل کر کے نکال سکتے ہیں۔ اس طرح ہمیں میٹرکس *A* کا ایک ویژہ سمتیہ معلوم ہو جائے گا۔

### مثال 1
میٹرکس
A =\left[ \begin{matrix}
3 & 4 \\
4 & 3 
\end{matrix}\right]
 
کے ویژہ قدریں اور ویژہ سمتیے نکالتے ہیں۔

اب دترمینان کے ذریعہ
\det \left[ \begin{matrix}
3-\lambda & 4 \\
4 & 3-\lambda
\end{matrix}\right] = 0
 
ہمیں یہ مساوات ملتی ہے، جسے حل کر کے دو ویژہ قدریں مل جاتی ہیں:

(3-\lambda)(3-\lambda) - 16 =0 
\lambda^2 -6 \lambda - 7 =0 
\lambda = \frac{-(-6) \pm \sqrt{6^2 -4 (1)(-7)}}{2(1)} 
اور اس طرح ہمیں دو وہژہ قدریں مل جاتی ہیں:
\lambda_0 = 7\,,\, \lambda_1= -1 
اب پہلی ویژہ قدر کو استعمال کرتے ہوئے دو یکلخت لکیری مساوات ملتی ہیں۔

 \left[ \begin{matrix}
3-7 & 4 \\
4 & 3-7
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
x_0 \\
x_1
\end{matrix}\right] 
= 0
  
\begin{matrix}
-4 x_0 &+& 4 x_1 &=& 0 \\
 4 x_0 &-& 4 x_1 &=& 0
\end{matrix}
 

غور کرو تو دوسری مساوات کو ‎-1 سے ضرب دے کر پہلی مساوات حاصل ہو جاتی ہے، یعنی مساوات لکیری آزاد نہیں۔ اس لیے ہم دوسری مساوات میں \ x_0=1 فرض کر لیتے ہیں، تو  x_1=1  مل جاتا ہے۔ اسی طرح دوسری ویژہ قدر کے لیے بھی ویژہ سمتیہ نکالا جا سکتا ہے۔ یہ دو ویژہ سمتیے یوں ہیں:

V_0 = \left[ \begin{matrix}
1 \\
1
\end{matrix}\right] , \,\,
V_1 \left[ \begin{matrix}
1 \\
-1
\end{matrix}\right]

ویژہ سمتیہ کی میٹرکس یوں لکھی جا سکتی ہے:

V =\left[ \begin{matrix}
V_0 & V_1
\end{matrix}\right] 
=\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right] 

فائل:eig_sym_matrix_ellipse.png
تصویر میں دیکھو کہ یہ میٹرکس تفاعل نیلے دائرے کو سرخ بیضوی شکل میں بھیجتی ہے۔ بیضوی شکل کی لمبائی اور چوڑائی کا تناسب (ratio) 7 ہے، جو اس میٹرکس کی دو ویژہ قدروں کا تناسب ہے۔ ویژہ سمتیہ کو تصویر میں کالی لکیروں سے دکھایا گیا ہے۔ ملاحظہ ہو کہ یہ سمتیہ بیضوی شکل کے دُھرا (axis) کے متوازی ہیں اور آپس میں قائم الزاویہ ہیں۔ (اگر میٹرکس متنانظر (symmetric) نہ ہوتی، تو ویژہ سمتیہ آپس میں قائم الزاویہ نہ ہوتے۔) غور کرو کہ عام فضا (جس میں نیلا دائرہ ہے ) کے بنیاد سمتیہ یہ ہیں (تصویر میں تانے بانے کی لکیروں میں دیکھو) :

\left[ \begin{matrix}
1 \\
0
\end{matrix}\right] , \,\,
\left[ \begin{matrix}
0 \\
1
\end{matrix}\right]

جو شناخت میٹرکس کے ویژہ سمتیہ ہیں۔

ایک میٹرکس کی کچھ ویژہ قدر مخلوط عدد بھی ہو سکتی ہیں، جس صورت میں ویژہ سمتیہ بھی مختلط ہوں گے اور ان کی جیومیٹریکل سمجھ پیدا نہیں ہوتی۔ یہ بھی ہو سکتا ہے کہ ایک سے زیادہ ویژہ قدر برابر ہوں (منفرد نہ ہوں) اور اس صورت میں پورے *n* ویژہ سمتیہ نہ نکالے جا سکیں ۔

### مسلئہ اثباتی 1
اگر ایک  n \times n  مربع میٹرکس *A* کی تمام ویژہ قدریں اصل (مختلط نہیں) عدد \ \lambda_0, \lambda_1, \cdots, \lambda_{n-1}  ہوں اور اس میٹرکس کے *n* لکیری آزاد ویژہ سمتیہ \ V_0, V_1, \cdots, V_{n-1}  نکالے جا سکتے ہوں (یہاں ہر ویژہ سمتیہ ایک \ n \times 1 میٹرکس ہے)،

اب ویژہ سمتی کو اکٹھا بطور میٹرکس اور ویزہ قدروں کو ایک وتر میٹرکس کے بطور یوں لکھتے ہوئے:

\begin{matrix} V=[V_0 & V_1 & \cdots & V_{n-1}] 
\end{matrix}\,,\,

\Lambda =\left[\begin{matrix} 
\lambda_0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_1 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n-1}
\end{matrix}\right]\,,
 

یہ سچ ہو گا کہ
 A = V \Lambda V^{-1} 

اسے یوں بھی لکھا جا سکتا ہے، یعنی ایک میٹرکس کو وتر میٹرکس میں بدلا جا سکتا ہے، ویژہ سمتیہ میٹرکس کی
مدد سے

 \Lambda = V^{-1} A V 

اس سے یہ نتیجہ بھی اخذ کیا جا سکتا ہے کہ
 \det(A) = \det(\Lambda) = \prod_{j=0}^{n-1} \lambda_j

چونکہ  \det(V^{-1}) = 1 / \det(V)

### مسلئہ اثباتی 2
اگر میٹرکس *A* ایک متناظر میٹرکس ہو، تو اوپر والا مسلئہ اثباتی 1 کی شرائط ہمیشہ پوری ہوں گی اور اس کے علاوہ ویژہ سمتیہ آپس میں قائم الزاویہ ہوں گے۔ اور

 A = V \Lambda V^{-1}  
 \Lambda = V^{-1} A V

اگر تمام ویژہ سمتیہ کی مطلق قدروں کو 1 کر کیا جائے، تو ویزہ سمتیہ کی میٹرکس *V* قائم الزاویہ ہو گی اور اس لیے \ V^{-1}=V^t  (جہاں\ V^t میٹرکس *V* کا پلٹ کر بنتی ہے)۔ اس صورت میں

 A = V \Lambda V^{-1} = V \Lambda V^{t} 
 \Lambda = V^{-1} A V = V^{t} A V


### مثال 2
اوپر والی مثال 1 میں:
 V \Lambda V^{-1} = 
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
7 & 0\\
0 & -1
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
1 & -1
\end{matrix}\right]^{-1} 
=
\left[ \begin{matrix}
3 & 4\\
4 & 3
\end{matrix}\right] 
=A
 

اور یہ بھی تسکین کر لو کے کہ


\det(A) = 3 \times 3 - 4 \times 4 = -7 \,,\, \det(\Lambda)=7 \times -1 = -7

تصویر میں دیکھو کہ سرخ بیضوی شکل کا رقبہ \ |\det(A)|=7  گنا ہے بہ نسبت نیلے دائرہ کے رقبہ کے ۔

چونکہ،
 
\left[ \begin{matrix}
1 & 1\\
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
1 \\
1
\end{matrix}\right] 
=2

، ویژہ سمتیہ کی مطلق قدر ہے \sqrt{2} ،
اس لیے اوپر والی ویژہ میٹرکس کو ہم  \sqrt{2}  سے تقسیم کر کے قائم الزاویہ میٹرکس بنا لیتے ہیں:

V =\left[ \begin{matrix}
V_0 & V_1
\end{matrix}\right] 
=\left[ \begin{matrix}
1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\
1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2}
\end{matrix}\right] 

اب مسلئہ اثباتی 2 کی رو سے (یاد رہے کہ *A* متناظر میٹرکس تھی)
 V \Lambda V^t = 
\left[ \begin{matrix}
1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\
1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2}
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
7 & 0\\
0 & -1
\end{matrix}\right] 
\left[ \begin{matrix}
1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\
1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2}
\end{matrix}\right]
=
\left[ \begin{matrix}
3 & 4\\
4 & 3
\end{matrix}\right] 
=A
 

## ویژہ کثیر رقمی
\ n \times n مربع میٹرکس \ A کے لیے،\ \det(A - \lambda I) = 0، متغیر \lambda میں ایک درجہ *n* کا کثیر رقمی ہے، جس کو *ویژہ کثیر رقمی* (characteristic polynomial) کہتے ہیں۔
:\ p(\lambda) = \det(A-\lambda I)= 
a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + a_{1} \lambda + a_0


## مزید دیکھیے
* میٹرکس
* چکوری ہئیت
* فرق مساوات میں ویژہ قدر کا تصور
* "کیلے ہمیلٹن" مسلئہ اثباتی
* میٹرکس فنکشن
* سائیلیب (help spec)

## حوالہ جات

زمرہ:تجریدی الجبرا
زمرہ:ریاضیاتی طبیعیات
زمرہ:خطی الجبرا
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مطابقت رکھنے والی مختصر تفصیل