دترمینان

ایک 2\times 2 میٹرکس A = \left[\begin{matrix}a & b \\c & d\end{matrix}\right] کا *دترمینان* یوں تعریف کیا جاتا ہے:
 
\ \det(A) = ad - bc
 
انگریزی میں اسے determinant کہتے ہیں۔ **دترمینان** کے ہندسہ معنی کے لیے نیچے "مسلئہ اثباتی 4" دیکھو۔

## دترمینان
ایک 3\times 3 میٹرکس
:
A = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} \\
a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} \\
a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} 
\end{matrix}\right]

کا دترمینان یہ ہو گا
:
\det(A) = a_{0,0} a_{1,1} a_{2,2} 
+ a_{0,1} a_{1,2} a_{2,0} 
+ a_{0,2} a_{1,0} a_{2,1} 
- a_{0,2} a_{1,1} a_{2,0} 
- a_{0,1} a_{1,0} a_{2,2} 
- a_{0,0} a_{1,2} a_{2,1} 


اسی طرح ایک n\times n میٹرکس *A* کا دترمینان یوں لکھا جا سکتا ہے
:
\det(A) = \sum \pm a_{0,k_0} a_{1,k_1} \cdots a_{n-1,k_{n-1}} 

جہاں

\{k_0, k_1, \cdots, k_{n-1} \}

ایک تَبَدُّلِ کامل ہے، اعداد

\{0, 1, \cdots, n-1 \}

کی، اس طرح کہ ایک رقم میں دو \ a_{i,j} ایک قطار سے نہ ہوں اور نہ دو \ a_{i,j} ایک ستون سے ہوں۔ غور کرو کہ یہاں \ n! رقمیں جمع ہو رہی ہیں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی ہے اس بنا پر کہ تَبَدُّلِ کامل کا نمبر جفت عدد ہے یا طاق عدد۔

(یہاں \ n! سے مراد *n* کا عامَلیّہ ہے۔)
یہ طریقہ دترمینان کی تعریف سمجھنے کے لیے ہے۔ عملی طور پر دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ ہم اب بتاتے ہیں:

### دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ
تعریف: ایک n \times n  میٹرکس *A* کا *(i,j) والا چھوٹا* ایسی \ n-1 \times n-1  میٹرکس \ A_{i,j}  کو کہتے ہیں جو \ n \times n  میٹرکس کی *i* ویں قطار اور *j* واں ستون کو ضائع کرنے سے بنائی جائے۔
انگریزی میں اسے minor کہتے ہیں۔ مثلاً میٹرکس

A = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,2} & a_{0,3}\\
a_{1,0} & a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,0} & a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{matrix}\right]

کا (1,2) واں چھوٹا یوں لکھیں گے

A_{1,2} = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & a_{0,3}\\
a_{2,0} & a_{2,1} & a_{2,3}\\
a_{3,0} & a_{3,1} & a_{3,3}\\
\end{matrix}\right]


تعریف: میڑکس *A* کے چھوٹے A_{i,j} اور 2 \times 2 میٹرکس کے دترمینان کو جانتے ہوئے ہم ایک n \times n میٹرکس

A = \left[\begin{matrix}
a_{0,0} & a_{0,1} & \cdots & a_{0,n-1}\\
a_{1,0} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,n-1}\\
\vdots & \cdots & \ddots & \vdots\\
a_{n-1,0} & a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,n-1}\\
\end{matrix}\right]
 
کا دترمینان یوں نکال سکتے ہیں (پہلے ستون کو استعمال کرتے ہوئے):


\det(A) = a_{0,0} \det(A_{0,0}) - a_{1,0} \det(A_{1,0}) + \cdots + (-1)^{n} a_{n-1,0} \det(A_{n-1,0})


### مسلئہ اثباتی 1
میٹرکس جن کا سائیز n \times n  ہو،
* اگر میٹرکس *A* کی کسی قطار کو \alpha سے ضرب دے کر میٹرکس *B* حاصل کی جائے تو:
:\ \det(B) = \alpha \det(A)
* اگر میٹرکس *A* کی کوئی دو قطاروں کی جگہ آپس میں تبدیل کر کے میٹرکس *B* حاصل کی جائے تو:
:\ \det(B) = -\det(A)
* اگر میٹرکس *A* کی کسی قطار کو کسی عدد سے ضرب دے کر کسی دوسری قطار میں جمع کر دیا جائے اور اس نئی میٹرکس کو *B* کہا جائے تو:
:\ \det(B) = \det(A)
* تطابق قالب کا دترمینان ایک (1) ہوتا ہے:
:\ \det(I) = 1
* میٹرکس *A* کے اُلٹ کا دترمیناں
:\ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}
* میٹرکس *A* کے پلٹ کا دترمیناں
:\ \det(A^{t}) = \det(A)
* میٹرکس کو ایک سکیلر (عدد) سے ضرب دینے کے بعد کا دترمینان
:\ \det(\alpha A) = \alpha^n \det(A)

### مسلئہ اثباتی 2
میٹرکس جن کا سائیز n \times n  ہو،
* اگر کسی میٹرکس *A* کی کوئی قطار سب صفر ہو تو:
\ \det(A) =0 
* اگر کسی میٹرکس کی دو قطاریں برابر ہوں، تو:
\ \det(A) =0 

### مسلئہ اثباتی 3
میٹرکس جن کا سائیز n \times n  ہو، تو میٹرکس ضرب کا دترمینان:
\ \det(AB) = \det(A) \det(B) 

### مسلئہ اثباتی 4
لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب
 
f(X) = AX : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2

، جہاں میٹرکس *A* کا سائیز  2 \times 2  ہے اور اس کا ہر جُز میدان \mathbb{R} میں ہے۔ یہ "میٹرکس فنکشن" علاقہ*E* کو علاقہ *f(E)* میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے رقبہ کی ریشو میٹرکس*A* کے دترمینان کی مطلق (absolute) قیمت کے برابر ہو گی:
: \frac{\mathrm{Area \ of \ } f(E)}{\mathrm{Area \ of \ } E} = |\det(A)|
(تصویر کے لیے دیکھو)

### مسلئہ اثباتی 5
لکیری فنکشن بزریعہ میٹرکس ضرب
 
f(X) = AX : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3

، جہاں میٹرکس *A* کا سائیز  3 \times 3  ہے اور اس کا ہر جُز میدان \mathbb{R} میں ہے۔ یہ "فنکشن" علاقہ*E* کو علاقہ *f(E)* میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے حجم کی ریشو میٹرکس*A* کے دترمینان کی مطلق قیمت کے برابر ہو گی:
 \frac{\mathrm{Volume \ of \ } f(E)}{\mathrm{Volume \ of \ } E} = |\det(A)|

## مزید دیکھیے
* سائیلیب help det

زمرہ:الجبرا
زمرہ:خطی الجبرا
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مختلف مختصر وضاحت