دالہ کی حد

Although the function (sin&nbsp;*x*)/*x* is not defined at zero, as *x* becomes closer and closer to zero, (sin&nbsp;*x*)/*x* becomes arbitrarily close to 1. We say that "the limit of (sin&nbsp;*x*)/*x* as *x* approaches zero equals&nbsp;1."




ریاضیات میں **فنکشن کی حد** بنیادی تصور ہے احصا اور تحلیل میں، کسی ادخال کے قریب دالہ کے کردار کے متعلق۔ غیر رسمی طور پر، فنکشن *f* کسی ادخال *x* کو اخراج *f(x)* تفویض کرتی ہے۔ فنکشن کی ادخال *p* پر حد *L* ہو گی اگر *f(x)* "قریب" ہو *L* کے جب بھی *x* "قریب" ہو *p* کے۔ دوسرے الفاظ میں، *f(x)* قریب تر ہوتی جائے گی *L* کے جیسے جیسے *x* قریب تر ہوتا جاتا ہے *p* کے۔ زیادہ خاصاً، جب *f* کا اطلاق *p* کے "کافی" قریب ہر ادخال پر کیا جائے، تو نتیجہ اخراج ایسا ہو گا جو *L* کے "تعسّفی" قریب ہو گا۔ اگر *p* کے "قریب" ادخال ایسے اخراج پیدا کریں جو بہت مختلف ہوں، تو کہا جائے گا کہ حد *وجود نہیں* رکھتی۔ رسمی تعاریف انسویں صدی میں بنائی گئیں جو نیچے دی ہیں۔

## تعاریف
ذیل میں دی گئی -(ε, δ)تعاریف جامع طور فنکشن کی حد تسلیم کی جاتی ہیں۔

### حقیقی لکیر پر تفاعل
فرض کرو کہ *f* : **R** → **R** تعریف ہے حقیقی لکیر پر اور اعداد *p,L* ∈ **R**، تو ہم کہتے ہیں کہ **فنکشن ''f'' کی حد ''L'' ہے جب ''x'' قریب ہوتا جاتا ہے ''p'' کے ** اور لکھتے ہیں
: \lim_{x \to p}f(x) = L 
اگر بشرط اگر ہر حقیقی *ε*> *0* کے لیے ایسا حقیقی *δ*> *0* وجود رکھتا ہو کہ *0*  سے تفویض ہوتا ہو کہ | *f*(*x*) - *L* | 

غور کرو کہ اس حد کی قدر *f*(*p*) پر منحصر نہیں۔

#### یکطرفہ حدیں
تصغیر|The limit as: x → x<sub>0</sub><sup>+</sup> ≠ x → x<sub>0</sub><sup>-</sup>. Therefore, the limit as x → x<sub>0</sub> does not exist.
متبادلاً، متغیر *x* چاہے اُوپر (دائیں طرف) سے *p* کے قریب آ رہا ہو، اس صورت میں حد کو لکھا جائے گا
: \lim_{x \to p^+}f(x) = L^+ 
یا پھر نیچے (بائیں طرف) سے کے *p* قریب آ رہا ہو، تو اس صورت میں حد کو لکھا جائے گا
: \lim_{x \to p^-}f(x) = L^- 
اگر یہ دونوں حدیں برابر ہوں اور L=L^+=L^- کے برابر ہوں تو پھر اسے *f*(*x*) کی *p* پر حد کہا جا سکتا ہے۔ اگر یہ دونوں حدیں *L* کے برابر نہ ہوں تو *p* پر اس فنکشن کی حد وجود نہیں رکھتی۔

*f*(*x*)
*S*> 0
*x> S*.

### لامتناہی سے وابستہ حدیں
تصغیر|300px|The limit of this function at infinity exists.
اگر توسیعی حقیقی لکیر **R** کو دیکھا جائے، یعنی، **R**&nbsp;∪&nbsp;{-∞, ∞}، تو پھر لامتناہی پر فنکشن کی حد تعریف کرنا ممکن ہو جاتا ہے۔

اگر *f*(*x*) حقیقی قدر فنکشن ہو، تو *f* کی حد جب *x* لامتناہی کی طرف نکلے، *L* ہو گی، علامتاً
: \lim_{x \to \infty}f(x) = L,
اگر بشرط اگر تمام \epsilon > 0 کے لیے ایسا *S*> 0 وجود رکھتا ہو کہ \ |f(x) - L|  ہو جب بھی *x> S*.

بعینہی، *f* کی حد جب *x* منفی لامتناہی کی طرف نکلے، *L* ہو گی، علامتاً
: \lim_{x \to -\infty}f(x) = L,
اگر بشرط اگر تمام \epsilon > 0 کے لیے ایسا *S*  وجود رکھتا ہو کہ \ |f(x) - L|  ہو جب بھی *x <S*.

مثال کہ طور پر
: \lim_{x \to -\infty}e^x = 0.

حدوں کی اقدار لامتناہی بھی ہو سکتی ہیں، مثلاً، **فنکشن ''f'' کی حد حب ''x'' چلے ''a'' کو پہنچنے، لامتناہی ہے،** یوں لکھا جائے گا
: \lim_{x \to a}f(x) = \infty,
اگر بشرط اگر تمام S > 0 کے لیے ایسا \delta > 0 وجود رکھتا ہو کہ f(x) > S ہو جب بھی \ |x - a| 

ان خیالات سے مختلف تعاریف اخذ کی جا سکتی ہیں، جیسا کہ

: \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty, \lim_{x \to a^+}f(x) = -\infty.

مثال کے طور پر
:\lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty.

زمرہ:احصا
زمرہ:تفاعلات
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مطابقت رکھنے والی مختصر تفصیل

زمرہ:حقیقی تحلیل
زمرہ:مقامیات
زمرہ:ریاضیات