اندرونی حاصل ضرب فضا

ایسی لکیری فضا جس میں "اندرونی حاصل ضرب" تعریف کیا ہوا ہو، کو *اندرونی [[حاصل ضرب]] فضا* کہتے ہیں۔

تعریف: *اندرونی حاصل ضرب*

"اندرونی حاصل ضرب" ایک فنکشن ہے، جو سمتیہ مکاں *V* کے سمتیہ *u* اور *v* کے جوڑے کے ساتھ ایک اصلی عدد \langle u, v \rangle کی نسبت اس طرح جوڑتی ہے کہ نیچے دیے قواعد پورے ہوں۔ یہاں *u*, *v*, *w* سمتیہ ہیں اور \alpha ایک سکیلر (تمام اعداد میدان \mathbb{R} پر ہیں)
# \langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; متناظر
# \langle u+v, w \rangle = \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; جمع
#  \langle \alpha u, v \rangle = \alpha \langle v, u \rangle &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ہم جنسیت
#  \langle u, u \rangle \ge 0 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; مثبت ہونا
#  \langle u, u \rangle = 0 \iff u = 0 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; "اندرونی حاصل ضرب" صفر ہو گی، اگر بشرطِ اگر، جب سمتیہ خود صفر ہو۔

### اقلیدیسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب

اقلیدس سمتیہ مکاں \mathbb{R}^n پر سمتیہ
\mathbf{u} = \left[\begin{matrix}
u_0 \\
u_1 \\
\vdots \\
u_{n-1}
\end{matrix}\right]
اور سمتیہ
\mathbf{v} = \left[\begin{matrix}
v_0 \\
v_1 \\
\vdots \\
v_{n-1}
\end{matrix}\right]
کے درمیان ایک
* "اندرونی حاصل ضرب" یوں تعریف کیا جا سکتا ہے :
:\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \mathbf{u}^t \mathbf{v}
= u_0 v_0 + u_1 v_1 + \cdots + u_{n-1} v_{n-1}

اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ تعریف قواعد 1 تا 5 پر پورا اترتی ہے۔ (یہاں *t* پلٹ (میٹرکس) کو ظاہر کرتا ہے۔ )
* اس اندرونی ضرب کی زیادہ عام صورت اس طرح تعریف کی جاتی ہے۔ اگر *A* ایک مقلوب میٹرکس ہو، تو "اندرونی حاصل ضرب" یوں تعریف کرتے ہیں :
:\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = {(A \mathbf{u})}^t A\mathbf{v} 
= {\mathbf{u}}^t A^t A \mathbf{v} 

اب یہ آسانی سے تسلی کی جا سکتی ہے کہ یہ تعریف قواعد 1 تا 5 پر پورا اترتی ہے۔ (یہاں *t* پلٹ (میٹرکس) کو ظاہر کرتا ہے۔ ) یاد رہے کہ میٹرکس ضرب لکیری استحالہ بناتی ہے۔ اس مساوات کو ہم یوں لکھتے ہیں
:\ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle
= {\mathbf{u}}^t R \mathbf{v} \,,\,\,\, R=A^t A

یہ زور دینے کے لیے کہ *R* ایک متناظر میٹرکس ہے۔

## فضا میں سمتیہ کی لمبائی
*تفصیلی مضمون* : امثولہ (ریاضی)

لکیری فضا \ V  میں ایک سمتیہ \mathbf{v} کی لمبائی کو \ \| \mathbf{v}\| لکھتے ہیں اور یہ سمتیہ کا اپنے ساتھ "اندرونی حاصل ضرب" کے جزر سے یوں تعریف کی جاتی ہے :
:  \| \mathbf{v}\| = \sqrt{ \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}
سمتیہ کی لمبائی کو سمتیہ کا اُمثولہ بھی کہتے ہیں۔ انگریزی میں اسے سمتیہ کی norm کہتے ہیں۔

### اقلیدسی فضا میں سمتیہ کی لمبائی
فائل:norm simtia.png

اقلیدسی فضا \mathbb{R}^n میں سمتیہ کی لمبائی کی تعریف یوں ہو جائے گی (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی پہلی تعریف استعمال کرتے ہوئے):
: \| \mathbf{u}\| = 
\sqrt^2}

دیکھو کہ یہ اقلیدسی ہندسہ (Euclidean geometry) میں لمبائی کی تعریف ہے۔ غور کرو کہ فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی تعریف بدلنے سے "لمبائی" کی تعریف بھی مختلف ہو گی۔

## فضا میں فاصلہ
*تفصیلی مضمون* : فاصلہ (ریاضی)

لکیری فضا میں دو سمتیوں \mathbf{u} اور \mathbf{v} (فضا میں دو نکتوں) کے درمیان فاصلہ d(\mathbf{u},\mathbf{v})  یوں تعریف کیا جاتا ہے :

:d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \| \mathbf{u-v} \|

### اقلیدسی فضا میں فاصلہ
اقلیدسی فضا \mathbb{R}^n میں فاصلے کی تعریف یوں ہو سکتی ہے (اقلیدسی فضا پر "اندرونی حاصل ضرب" کی پہلی تعریف استعمال کرتے ہوئے):
:d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = 
\sqrt
= \sqrt{u_0^2+u_1^2+\cdots+u_{n-1}^2} 

: d(\mathbf{u},\mathbf{w}) = \sqrt{{(\mathbf{u-w})}^t (\mathbf{u-w})}
= \sqrt z = 2 v_0 + 2 v_1 =
\left[\begin{matrix}
2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}\right]
 

## مزید دیکھیے
* کاشی شوارز نامساوات

زمرہ:خطی الجبرا
زمرہ:ویکی ڈیٹا سے مختلف مختصر وضاحت
زمرہ:سمتیہ
زمرہ:اقلیدسی جیومیٹری
زمرہ:عامل تحلیل