Lagranjian

**Lagranjian** yäki **Lagranj funktsiäse**  \mathcal {L} [\varphi_i]  — dinamik sistemanıñ üzgäreşlären taswirlawçı ğomumiläşterelgän koordinatlarğa bäyle funktsiä.

Klassik mexanika öçen xäräkät tigezlämäläre iñ keçkenä tä'sirneñ mäslägennän çığarılalar:
:  \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \varphi_i} = 0 
biredä tä'sir - funktsional:

 \mathcal{S}[\varphi_i] = \int{\mathcal{L}[\varphi_i(s)]{}\,d^ns}, 

\varphi_i — ğomumiläşterelgän koordinatlar (kisäkçeklär koordinatları yäki qırnıñ üzgärmä zurlıqları), \ s_j  - sistemanıñ parametrları küplege, klassik mexanika oçrağında - bäysez fäzanıñ koordinatları häm waqıt.

Jozef Lui Lagranj xörmätenä atalğan.

Lejandr üzgärtüläre yärdämendä Lagranjian Hamiltonian belän bäylänä, Hamiltonian nigezendä Haminton mexanikası icat itelgän.

## Misallar
### Klassik mexanika
Klassik mexanikada Lagranjian kinetik häm potentsial' energiälär ayırmasına tigez:

:  \mathcal{L} = T - V 

biredä *T* — kinetik energiä, *V* — potentsial' energiä, yäğni:

: \mathcal{L} =\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m\dot{\vec{x}}^2-V(\vec{x}),

biredä \dot{\vec{x}} - waqıt buyınça çığarılma
: \vec{x} — radius-vektor
: *V* — potentsial' energiä

Bu alım Nyuton ısulına tigez: ägär köç öçen \vec{F}=- \nabla V(x) yazsaq, şunnan çığarabız: 
:\vec{F}=m\ddot{\vec{x}}
: \vec{F}=d\vec{p}/dt
Bu näq Nyuton tigezlämäläre

**Öç ülçämle sistema öçen sferik koordinatlarda**  r, θ, φ:

: \mathcal{L} =\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)

Eyler-Lagranj tigezlämäläre:

: m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V' =0,

: \frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0,

: \frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0.

### Relätivistik Lagranjian

Relätivistik (tiz) irekle kisäkçekneñ klassik (kvant tügel, spinsız) Lagranjianı:

-m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1 - v^2/c^2},

biredä *v* — kisäkçekneñ tizlege , *c* — yaqtılıq tizlege

Bu Lagranjiannan relätivistik kisäkçeklärneñ klassik dinamikası çığarıla.

### Qırnıñ teoriäsendä Lagranjian

Qırnıñ teoriäsendä Lagranj funktsiase *L* häm Lagranjian töşençäläre ayırıla:
* **Lagranj funktsiase**: tä'sir tik waqıt buyınça integralğa tigez:
: S = \int{\mathcal{L} \, dt}

* **Lagranjian**: tä'sir böten 4-ülçämle fäza (fäza-waqıt) buyınça integralğa tigez:

: S [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, d^4x}

Şuña kürä Lagranjian - Lagranjiannıñ tığızlığı buyınça integralğa tigez.

Zamança teoriälärdä yış qına Lagranjiannıñ tığızlığın Lagranjian dip yörtälär.

## Elektromagnitik Lagranjian

### Elektrostatika

Klassik mexanikada Lagranjian: 
:  \mathcal{L} = T - V 

skalär potentsial  \phi\  öçen kinetik energiä:
:  T_s = {1 \over 2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}

Tä'sirläşü energiä :
:  V = q\phi\  yäki   V = \int \rho\phi\ dx dy dz

Kinetik energiä:
:  T_f = \int {1 \over 2 \varkappa} (\nabla \phi)^2 dx dy dz,
biredä  \varkappa - köç daimie

Şunnan Lagranjian:

:  \mathcal{L} = T_f - V + T_s,

Tä'sirdän variatsiä alıp, xäräkät tigezlämäse çığarıla, ul Puasson tigezlämäsenä tigez:

: m \dot{\mathbf v} = - q \nabla \phi.

### Elektrodinamika
#### Öç ülçämle taswir
Elektrodinamikada tä'sirläşü energiäse tizleklärgä bäyle inde:
:  V = q\phi - {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} 
yäki

:  V = \int (\rho\phi - {1 \over c} \mathbf{j} \cdot \mathbf{A}) dx dy dz 

biredä  **j** — ağım tığızlığı vektorı

Elekromagnit qırınıñ energiäsenä magnit qırı energiäse dä kerä:

:  T_f = \int \frac{1}{2\varkappa} (E^2 - H^2) dx dy dz,

**<math>\phi</math>* : skalär potentsial
*   **А** : vektor potentsialı

: \mathbf E = -\nabla\phi - {1 \over c} \frac{\partial\mathbf A}{\partial t},~~~~~~~ \mathbf H = \mathbf{rot} \mathbf A.

Yäğni Elektromagnitik Lagranjian:

:  L = T_f  - q\phi + {q \over c} \mathbf{v} \cdot \mathbf{A} + T_s.
yäki
:  L = T_f  + \int (-\rho\phi + {1 \over c} \mathbf j\ \cdot \mathbf{A}) dx dy dz + T_s.

tiz kisäkçeklär öçen:
: T_s = -m c^2 d\tau/dt = -m c^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}

Tä'sirdän *ф* , A_x, A_y, A_z buyınça variatsiä alıp näq Makswell tigezlämäläre çığarılalar.

#### Dürt ülçämle taswir
Dürt ülçämle taswirda Elektromagnitik Lagranjian (с=1):

: L = \frac{1}{4\varkappa} F_{ik}F^{ik} + A_i j^i + L_s.

İkençe äğza  tä'sirläşüne taswirlıy, aña tä'sir turı kilä:

: S_{int} = - \int q A_i dx^i.

:F^{ik} — Elektromagnitik qırnıñ tenzorı, Lagranjianda anıñ törelüe - kvadrat

:A_i — 4-potentsial, 
:j^i — 4-ağım tığızlığı, 
:dx^i — 4-vektor; 
: Härqayda Eynşteyn kileşüe ütälä

Tä'sirdän A_i buyınça variatsiä alıp, näq Makswell tigezlämäläre çığarılalar:

: \partial_i F^{ik} = \varkappa j^k,
Tä'sirdän  x^i buyınça variatsiä alıp, xäräkät tigezlämäse çığarıla:
: d p_i/d\tau = q F_{ik}u^k,\ 

biredä  p_i = m u_i — 4-impuls, u^k — 4-tizlek.

## Kvant qırnıñ teoriäse

### Kvant elektrodinamikası Lagranjianı

Kvant elektrodinamikası Lagranjianı tığızlığı:

:  \mathcal{L} = \bar \psi (i \not \!\, D - m) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}

biredä  \psi  — spinor, 
: \bar \psi = \psi^\dagger \gamma^0  — Dirak iäreşle spinorı, 
:\! F^{\mu\nu} — Elektromagnitik qırnıñ tenzorı, 
:D_\mu \equiv \partial_\mu+ieA_\mu+ieB_\mu \,\! — kalibrlaw kovariant çığarılması, 
:  \not \!\, D  —   \! \gamma^\sigma D_\sigma  öçen Feynman bilgese

yäki

: \mathcal{L}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}

: \gamma^\mu   - Dirak matritsaları

### Kvant xromodinamikası

Köçle tä'sir iteşü öçen Lagranjianı tığızlığı:

:  \mathcal{L} = -{1\over 4} F^\alpha {}_{\mu\nu} F_\alpha {}^{\mu\nu} - \sum_n \bar \psi_n (\not\!\, D_\mu + m_n) \psi_n 

biredä \! D_\mu — KXD kalibrlaw kovariant çığarılması,  
:\! F^\alpha {}_{\mu\nu}  — gluon qırnıñ köçäneşlelär tenzorı

## Sıltamalar

*    Ж. Лагранж. Аналитическая механика. — М. - Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — 594 с.
*    Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
*    Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — М.: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.

Төркем:Физика
Төркем:Кырның теориясе