Интеграл

**Интеграл** - интеграль хисапның төп төшенчәсе, функцияләр, саннар суммасына туры килә, билгеле интеграл функциянең графигы һәм абсцисс күчәре арасындагы мәйданга тигез, димәк кәкре сызыклы трапеция мәйданына тигез.

Ике үзгәрмә зурлык буенча интеграл табу очрагында, интеграл - функция графигының өслеге астындагы күләмгә тигез.

## Риман интегралы

**Риман интегралы** - интеграл табу иң гади ысулы, Риман суммасы нигезендәге алым, ягъни график астындагы кечкенә турыпочмаклар суммасына тигез.

:S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i.

Интеграль сумма: \sigma _x  = \sum\limits_{i = 1}^n {f(\xi _i )\Delta x_i }

Бүлемнәр адымы \delta R = \max (\Delta x_i ) нульгә омтылган очракта, интеграль суммалар бертигез санга омтыла, ул интеграл дип йөртелә:
:\int\limits_a^b f(x)\,dx  = \lim \limits_{\delta R \to 0} \sigma _x 

Кисемтәләр кечкенә бүлемнәрен ясап, кечкенә турыпочмаклар мәйданнары  суммасы  S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i., чик очрагында (\Delta x_i  нульга омтылса), интеграль сумма интегралга омтыла:
: S = \sum_i f(x_i) \Delta x_i \rightarrow \int f(x) dx.

## Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе буенча баштагы функцияләр аермасы билгеле интегралга тигез:

\int\limits_a^b f\left( x\right) dx=F\left( x\right) \vline ^{b}_{a}=F\left( b\right) -F\left( a\right)

## Кайбер билгесез интеграллар
### Дәрәҗәле функцияләр
:\int k\,dx = kx + C
:\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \qquad\text{(for } a\neq -1\text{)}\,\! 
:\int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)}\,\!
:\int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C
::гомуми очракта,
::\int {1 \over x}\,dx = \begin{cases}\ln \left|x \right| + C^- & x  0
\end{cases}
:\int\frac{c}{ax + b} \, dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| + C

### Экспонент функцияләр
 
:\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C
:\int f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C
:\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

### Логарифмик функцияләр
 
:\int \ln x\,dx = x \ln x - x + C
:\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C

### Тригонометрик функцияләр
 
:\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
:\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
:\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C = \ln{\left| \sec{x} \right|} + C
:\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
:\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C

:\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
:\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
:\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
:\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
:\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = -\csc{x} + C
:\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x ) + C 
:\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x ) + C 
:\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C

:\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
:\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx

### Кире тригонометрик функцияләр

:\int \arcsin{x} \, dx = x \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + C , \text{ for } \vert x \vert \le +1 

:\int \arccos{x} \, dx = x \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} + C , \text{ for } \vert x \vert \le +1 

:\int \arctan{x} \, dx = x \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \text{ for all real } x 

:\int \arccot{x} \, dx = x \arccot{x} + \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \text{ for all real } x 

:\int \arcsec{x} \, dx = x \arcsec{x} - \ln \vert x \, ( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, ) \vert + C , \text{ for } \vert x \vert \ge +1 

:\int \arccsc{x} \, dx = x \arccsc{x} + \ln \vert x \, ( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, ) \vert + C , \text{ for } \vert x \vert \ge +1 

### Һиперболик функцияләр
 
:\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
:\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
:\int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C
:\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C , \text{ for } x \neq 0 
:\int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan\,(\sinh x) + C
:\int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C , \text{ for } x \neq 0 

### Кире һиперболик функцияләр

:\int \operatorname{arsinh} \, x \, dx = x \, \operatorname{arsinh} \, x - \sqrt{ x^2 + 1 } + C , \text{ for all real } x 

:\int \operatorname{arcosh} \, x \, dx = x \, \operatorname{arcosh} \, x - \sqrt{ x^2 - 1 } + C , \text{ for } x \ge 1 

:\int \operatorname{artanh} \, x \, dx = x \, \operatorname{artanh} \, x + \frac{\ln\left(\,1-x^2\right)}{2} + C , \text{ for } \vert x \vert 

:\int \operatorname{arcoth} \, x \, dx = x \, \operatorname{arcoth} \, x + \frac{\ln\left(x^2-1\right)}{2} + C , \text{ for } \vert x \vert > 1 

:\int \operatorname{arsech} \, x \, dx = x \, \operatorname{arsech} \, x + \arcsin x + C , \text{ for } 0 

:\int \operatorname{arcsch} \, x \, dx = x \, \operatorname{arcsch} \, x + \vert \operatorname{arsinh} \, x \vert + C , \text{ for } x \neq 0 

### Катлаулы функцияләр
:\int \cos ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( a\sin ax + b\cos ax \right) + C
:\int \sin ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( b\sin ax - a\cos ax \right) + C
:\int \cos ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( a\sin ax\, \cosh bx+ b\cos ax\, \sinh bx \right) + C
:\int \sin ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( b\sin ax\, \sinh bx- a\cos ax\, \cosh bx \right) + C

## Әдәбият
* *В. А. Гусев*, *А. Г. Мордкович* «Математика»
* *Г. М. Фихтенгольц* «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
* Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы 
* *В. М. Бородихин*, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

Төркем:Математика төшенчәләре
Төркем:Интеграль хисап