Набла операторы

**Набла операторы** (Һамилтон операторы) — вектор дифференциаль операторы, аның компонентлары координаталар буенча аерым чыгарылмага тигез.

Набла \nabla  символы белән билгеләнә, Юникодта  `U+2207`, ∇.

Өч үлчәмле Евклид фәзасында турыпочмак Декарт координатларында набла операторы болай билгеләнә:
: \nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k},

биредә \vec i, \vec j, \vec k —  x, y, z күчәрләре буенча берәмлекле векторлар.

Набла операторы ярдәмендә вектор анализының төп гамәлләре тасвирлана: **grad** (градиент), **div** (дивергенция), **rot** (ротор), шулай ук  Лаплас операторы.

Физикада һәм математикада киң кулланыла.

*n*-үлчәмле набла операторы *n*-үлчәмле фәзада билгеләнә:

: \nabla={\partial\over\partial x_1}\vec{e}_1+{\partial\over\partial x_2}\vec{e}_2+...+{\partial\over\partial x_n}\vec{e}_n,

биредә \vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_n — берәмлекле векторлар

## Үзлекләр
### Градиент

Набла операторы \nabla һәм \phi функциясе скаляр тапкырчыгышы градиентка тигез (**вектор**):
: \nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\vec{i}+{\partial\phi\over\partial y}\vec{j}+{\partial\phi\over\partial z}\vec{k} = \mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi,

### Дивергенция
Набла операторы \nabla һәм  \vec{a} векторы  скаляр тапкырчыгышы дивергенциягә тигез (**скаляр**):

: \nabla\cdot\vec{a} = \nabla_xa_x+\nabla_ya_y+\nabla_za_z={\partial a_x\over\partial x}+{\partial a_y\over\partial y}+{\partial a_z\over\partial z} = \mathbf{\operatorname{div}}\,\vec a,

\nabla \cdot \vec a шулай ук  (\nabla, \vec a) дип языла
### Ротор
Набла операторы \nabla һәм  \vec{a} векторы  вектор тапкырчыгышы роторга тигез (**вектор**):

: \nabla \times \vec a = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ {\partial\over\partial x} & {\partial\over\partial y} & {\partial\over\partial z} \\ a_x & a_y & a_z\end{vmatrix} = \left( {\partial{a_z}\over\partial y} - {\partial{a_y}\over\partial z} \right)\vec{i} \ + \ \left( {\partial{a_x}\over\partial z} - {\partial{a_z}\over\partial x} \right)\vec{j} \ + \ \left( {\partial{a_y}\over\partial x} - {\partial{a_x}\over\partial y} \right)\vec{k} = \mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec a

\nabla \times \vec a шулай ук [\nabla,\vec a] 
дип языла

### Лаплас операторы
Набла операторлары  \nabla\cdot\nabla=\nabla^2 скаляр тапкырчыгышы Лаплас операторы (скаляр операторы) дип атала., ул  \ \Delta дип билгеләнә. Декарт координатларында болай билгеләнә:
: \Delta={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}.

### Үзгәртүләр кагыйдәләре
: \mathbf{\operatorname{grad}}(\phi\psi)=\mathbf{\nabla}(\phi\psi)=\psi\mathbf{\nabla}\phi+\phi\mathbf{\nabla}\psi=\psi\,
\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi+\phi \, \mathbf{\operatorname{grad}}\,\psi
: \operatorname{div}(\mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi)=\nabla\cdot(\nabla\phi)=(\nabla\cdot\nabla)\phi=\nabla^2\phi = \Delta\phi

## Икенче буын операторлар

Скаляр һәм вектор тапкырчыгышлары вариантлары 7 төрле икенче буын операторга китерә:

: \mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \cdot (\nabla f)
: \mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \times (\nabla f)
: \Delta f = \nabla^2 f
: \mathbf{\operatorname{grad}}\,(\mathbf{\operatorname{div}}\, \vec v ) = \nabla (\nabla \cdot \vec v)
: \mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec v)
: \mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \times (\nabla \times \vec v)
: \Delta \vec v = \nabla^2 \vec v

Яссы кырлар өчен әлеге операторлар бәйсез түгел:

: \mathbf{\operatorname{rot}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \times (\nabla f) = (\nabla \times \nabla) f = 0
: \mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{rot}}\,\vec v ) = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{v}) = (\nabla \times \nabla) \cdot \vec{v} = 0

:  \mathbf{\operatorname{div}}\,(\mathbf{\operatorname{grad}}\,f ) = \nabla \cdot(\nabla f) = (\nabla \cdot \nabla) f = \nabla^2 f = \Delta f 

: (\nabla \times ( \nabla \times \vec{v} ) ) = \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla^2 \vec{v}

Берсе векторлар тензор тапкырчыгышы ярдәмендә языла:
: \nabla ( \nabla \cdot \vec{v} ) = \nabla \cdot (\nabla \otimes \vec{v})

## Үзенчәлекләр

Набла операторы гади вектордан аерылып тора, мәсәлән әлеге оператор векторлар белән коммутатив булмый:

: \nabla \cdot \vec v \ne \vec v \cdot \nabla,

## Мисаллар

# z = xy, \nabla z = {\partial z\over\partial x}\vec{i}+{\partial z\over\partial y}\vec{j} = y\vec{i} + x\vec{j} 
# z = 30yx^3, \nabla z = {\partial z\over\partial x}\vec{i}+{\partial z\over\partial y}\vec{j} = 90yx^2\vec{i} + 30x^3\vec{j}

## Әдәбият

*    Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
*    Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
*    Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
*    Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
*    Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
*    Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.

Төркем:Дифференциаль исәпләү
Төркем:Вектор анализы