Баштагы функция

**Баштагы функция** (, ) — функция интегралын табу өчен кулланыла торган функция.  f(x) функциясенең **баштагы функциясе** дип, чыгарылмасы fка тигез булган, F(x) функциясен атыйлар. Ягъни: F'(x) = f(x). Баштагы функцияне табу билгесез интеграл табудан гыйбәрәт һәм бу процесс **интеграл табу** дип атала.

Мисал: ~f(x) = x^2 өчен баштагы функция ~F(x) = \frac{x^3}{3}  була. Константадан чыгарылма нульгә тигез, шуңа күрә гомуми баштагы функция болай күренә: F(x) = x^3/3+C биредә C - теләгән сан. Мондый баштагы функцияләрнең графиклары бер-берсенә карата вертикаль буенча күчкәннәр, һәм бу күчеш C даимиенә генә бәйле.

## Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе буенча баштагы функцияләр аермасы интегралга тигез:

: \int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).

## Билгесез интеграл

f(x) функциянең баштагы функцияләре күплеге - билгесез интеграл дип йөртелә, анда чикләр язылмый:
: \int f(x)\, dx

Һәрбер баштагы функция F өзлексез функциядән f билгесез интеграл ярдәмендә күрсәтелеп була:
: F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.

Кайбер өзлекле функцияләр баштагы функциягә ия була:

Мисал өчен: f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}  :f(0) = 0 өзлекле x = 0, ләкин баштагы функ. F(x) = x^2 sin\frac{1}{x} с F(0) = 0 бар

Шулай ук элементар функцияләр ярдәмендә күрсәтелеп булмаган баштагы функцияләр бар:

: \int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx.

## Кайбер баштагы функцияләр
### Дәрәҗәле функцияләр
:\int k\,dx = kx + C
:\int x^a\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \qquad\text{(for } a\neq -1\text{)}\,\! 
:\int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\text{)}\,\!
:\int {1 \over x}\,dx = \ln \left|x \right| + C
::гомуми очракта,
::\int {1 \over x}\,dx = \begin{cases}\ln \left|x \right| + C^- & x  0
\end{cases}
:\int\frac{c}{ax + b} \, dx= \frac{c}{a}\ln\left|ax + b\right| + C

### Экспонент функцияләр
 
:\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C
:\int f'(x)e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C
:\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

### Логарифмик функцияләр
 
:\int \ln x\,dx = x \ln x - x + C
:\int \log_a x\,dx = x\log_a x - \frac{x}{\ln a} + C

### Тригонометрик функцияләр
 
:\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
:\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
:\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C = \ln{\left| \sec{x} \right|} + C
:\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
:\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C

:\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
:\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
:\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
:\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
:\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = -\csc{x} + C
:\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x ) + C 
:\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x ) + C 
:\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C

:\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
:\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx

### Кире тригонометрик функцияләр

:\int \arcsin{x} \, dx = x \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + C , \text{ for } \vert x \vert \le +1 

:\int \arccos{x} \, dx = x \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} + C , \text{ for } \vert x \vert \le +1 

:\int \arctan{x} \, dx = x \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \text{ for all real } x 

:\int \arccot{x} \, dx = x \arccot{x} + \frac{1}{2} \ln { \vert 1 + x^2 \vert } + C , \text{ for all real } x 

:\int \arcsec{x} \, dx = x \arcsec{x} - \ln \vert x \, ( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, ) \vert + C , \text{ for } \vert x \vert \ge +1 

:\int \arccsc{x} \, dx = x \arccsc{x} + \ln \vert x \, ( 1 + \sqrt{ 1 - x^{-2} } \, ) \vert + C , \text{ for } \vert x \vert \ge +1 

### Гиперболик функцияләр
 
:\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
:\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
:\int \tanh x \, dx = \ln \cosh x + C
:\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C , \text{ for } x \neq 0 
:\int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan\,(\sinh x) + C
:\int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C , \text{ for } x \neq 0 

### Кире гиперболик функцияләр

:\int \operatorname{arsinh} \, x \, dx = x \, \operatorname{arsinh} \, x - \sqrt{ x^2 + 1 } + C , \text{ for all real } x 

:\int \operatorname{arcosh} \, x \, dx = x \, \operatorname{arcosh} \, x - \sqrt{ x^2 - 1 } + C , \text{ for } x \ge 1 

:\int \operatorname{artanh} \, x \, dx = x \, \operatorname{artanh} \, x + \frac{\ln\left(\,1-x^2\right)}{2} + C , \text{ for } \vert x \vert 

:\int \operatorname{arcoth} \, x \, dx = x \, \operatorname{arcoth} \, x + \frac{\ln\left(x^2-1\right)}{2} + C , \text{ for } \vert x \vert > 1 

:\int \operatorname{arsech} \, x \, dx = x \, \operatorname{arsech} \, x + \arcsin x + C , \text{ for } 0 

:\int \operatorname{arcsch} \, x \, dx = x \, \operatorname{arcsch} \, x + \vert \operatorname{arsinh} \, x \vert + C , \text{ for } x \neq 0 

### Катлаулы функцияләр
:\int \cos ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( a\sin ax + b\cos ax \right) + C
:\int \sin ax\, e^{bx}\, dx = \frac{e^{bx}}{a^2+b^2}\left( b\sin ax - a\cos ax \right) + C
:\int \cos ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( a\sin ax\, \cosh bx+ b\cos ax\, \sinh bx \right) + C
:\int \sin ax\, \cosh bx\, dx = \frac{1}{a^2+b^2}\left( b\sin ax\, \sinh bx- a\cos ax\, \cosh bx \right) + C

## Әдәбият
* *В. А. Гусев*, *А. Г. Мордкович* «Математика»
* *Г. М. Фихтенгольц* «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
* *В. М. Бородихин*, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

Төркем:Математика төшенчәләре
Төркем:Интеграль хисап