Тейлор рәте

**Тейлор рәте** - функцияне дәрәҗәле функцияләрнең чиксез суммасына таркату.

Тейлор үз эшен бастырганга кадәр шул рәтне 17 гасырда Ньютон һәм Герегори кулланганнар.

{a} ноктасында чиксез рәвештә дифференциалана торган  f(x) функциясенең Тейлор рәте болай бирелә:

f(x) = f(a) + {f'(a) \over 1!}(x - a) + {f*(a) \over 2!}(x - a)^2 + ... + {f^{(n)}(a) \over n!}(x - a)^n + ...</math> = <math>\sum_{k=0}^\infty {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k</math>

биредә <math>a</math> - параметр

<math>a=0</math> булган очракта *'Маклорен рәте** дип йөртелә

Әгәр <math>x=a</math> ноктасында <math>f(x)</math> функциясе чиксез туры килүче дәрәҗәле функциональ рәт <math>a</math>: <math>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^\infty  } \right| = \lim_{k \to \infty} \left| {\frac}}}}} \right| = \lim_{k \to \infty} \left| {\frac(a)}}(a)}}(k + 1)} \right|</math>.

==Тейлор тигезләмәсе==

Әгәр <math>f(x)</math> функциясе <math>a</math> һәм  <math>x</math> арасындагы кисемтәдә <math>n+1</math> чыгарылмага ия булса, шунда <math>\xi</math> ноктасы янында функцияне болай таркатып була:

<math>f(x) = \sum_{k=0}^n {f^{(k)} (a) \over k!} (x - a)^k + \left({x - a \over x - \xi}\right)^p{(x - \xi)^{n+1}\over n! p}f^{(n+1)}(\xi).</math>

икенче әгъза - **калдык әгъза** дип атала

Калдык әгъза бирничә формада бирелеп була:
* Лагранж: <math>R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = n+1; \qquad 0 < \theta < 1 </math>
*Коши: <math>R_{n}(x) = {(x - a)^{n+1} (1 - \theta)^n \over n!}f^{(n+1)} [a + \theta(x - a)] \qquad p = 1; \qquad 0 < \theta < 1</math>
*интеграль формада: <math>R_{n}(x) = {1 \over n!}\int\limits_a^x (x-t)^n f^{(n+1)} (t)\,dt</math>

== Кайбер функцияләрнең Маклорен рәтләре ==
Тейлор рәте <math>a=0</math> булган очракта **Маклорен рәте''' дип йөртелә:
* Экспонента: \displaystyle\mathrm{e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}
* Натураль логарифм: \displaystyle\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} =  \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(- 1)^{n-1}x^n}{n}, барлык  -1 өчен
* Ньютон биномы: \displaystyle(1+x)^\alpha  = 1+\sum\limits^{\infin}_{n=1} \binom \alpha n x^n, для всех  \left| x \right|  һәм барлык комплекс  \alpha, өчен , биредә \displaystyle\binom \alpha n = \prod\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha-k+1}k = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}
** Квадрат тамыр: \displaystyle\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \cdots = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n, бар |x| өчен
** \dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} x^n, барлык  |x|  өчен
** Чикле геометрик рәт: \displaystyle\dfrac{1-x^{m + 1}}{1-x} = \sum\limits^{m}_{n=0} x^n,  бар  x \not = 1,\ m\in\mathbb{N}_0 өчен
* Тригонометрик функцияләр:
** Синус: \displaystyle\sin x =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\ = \sum_{n=0}^{\infty} {(-1)^n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, x\in\mathbb{C}
** Косинус: \displaystyle\cos x =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}
** Тангенс: \displaystyle\operatorname{tg}\ x =  x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}, барлык   \left| x \right|  өчен, B_{2n} —  Бернулли саннары
** Секанс: \displaystyle\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} барлык   \left| x \right|   өчен
** Арксинус: \displaystyle\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} барлык   \left| x \right|  өчен
** Арккосинус: \displaystyle\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} барлык   \left| x \right|  өчен
** Арктангенс: \displaystyle\operatorname{arctg}\ x = x - \frac{x^3}{3}+ \frac{x^5}{5} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1} барлык  \left| x \right|  өчен
* Гиперболик функцияләр:
** \operatorname{sh}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}, x\in\mathbb{C}
** \operatorname{ch}\, \left(x\right) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}, x\in\mathbb{C}
** \operatorname{th}\,\left(x\right) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} - \cdots = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} барлык  
\left|x\right|  өчен
** \operatorname{arsh}\, \left(x\right) =  x - \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} - \cdots\ = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} барлык   \left| x \right|  өчен
** \operatorname{arth}\, \left(x\right) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} барлык   \left| x \right|  өчен

## Әдәбият
*Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
*Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
*Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
*Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10-24.
*Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, изд.: АЙРИС-пресс, 2002.
Төркем:Дифференциаль исәпләүТөркем:Математик анализТөркем:Рәтләр