Дивергенция (математика)

**Дивергенция** (лат. *divergere* — таралуны табу) — вектор кырын скаляр кырына әйләндерүче дифференциаль оператор, кечкенә өслек аша вектор кырының агымын тасвирлый, ягъни керүче һәм чыгучы вектор агымнарының ничек таралуын билгели.

Дивергенция операторы болай билгеләнә:

: \ \operatorname{div} \mathbf F
яки
: \ \nabla \cdot \mathbf F.

## Математик билгеләмә

Математикада дивергенция болай билгеләнә:

:  \operatorname{div}\,\mathbf{F} 
= \lim_{V \rightarrow 0} {\mathit\Phi_{\ \mathbf F} \over V}

биредә *Ф*F — *S* мәйданлы сферик өслек аша **F** вектор кырының агымы, сфера  *V* күләмен чикли.

Агым:

: \mathit\Phi_{\ \mathbf F} = \iint\limits_S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset\; (\vec F, d\vec S).

Әлеге билгеләмә теләгән координаталарда кулланыла.

### Декарт координатларында

Өч үлчәмле Декарт координатларында дивергенция болай билгеләнә:

: \operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\frac{\partial F_x}{\partial x}
+\frac{\partial F_y}{\partial y}
+\frac{\partial F_z}{\partial z}\ \ \ 

(биредә **F** - ниндидер  вектор кыры һәм аның компонентлары 
F_x, F_y, F_z):

Набла операторы ярдәмендә болай языла:

: \operatorname{div}\,\mathbf{F}
=\nabla\cdot \mathbf{F}\ \ \ 

## Физик аңлатма

Физикада вектор кырыннан дивергенция әлеге нокта - кырның чыганагы (яки китеме) булу-булмавын күрсәтә:
:  \operatorname{div}\,\mathbf{F} >0  — кырның ноктасы кырның чыганагы булып тора;
:  \operatorname{div}\,\mathbf{F}  — кырның ноктасы кырның китеме булып тора;
:  \operatorname{div}\,\mathbf{F} =0  — кырның чыганаклары һәм китемнәре юк.

## Үзлекләре

* Сызыклылык:
: \operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) 
= a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) 
+ b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} ) 
**F** , **G** - вектор кырлары, a , b - чын саннар.
* \varphi  — скаляр кыр, ә **F** — вектор кыры өчен:

: \operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) 
= \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),  яки

: \nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}). 

*  ротор белән бәйләнеш:

: \operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) 
= \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} 
\;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}), яки

: \nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G}
- \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).

* градиенттан дивергенция лапласианга тигез:

: \operatorname{div} (\operatorname{grad}(\varphi)) = \Delta \varphi 

*  ротордан дивергенция нульга тигез:

: \operatorname{div}  (\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0 

* Остроградский-Гаусс тигезләмәсе:

: \iiint\limits_V\mathrm{div}\,\mathbf{F}\,dV=\int\limits_{\;\,S}\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\!\!\;\subset\!\!\supset\mathbf F\cdot\mathbf{n}\,dS,

## Әдәбият

*    Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
*    Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
*    Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
*    Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
*    Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
*    Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.

Төркем:Дифференциаль исәпләүТөркем:Вектор анализы