Ротор (математика)

**Ротор** яки **өермә** — вектор кыры өстеннән вектор дифференциаль операторы.

Төрле ысуллар белән билгеләнә:

*\operatorname{rot} - рус, алман әдәбиятында һәм бөтен Аурупада диярлек
* \operatorname{curl} - инглиз телле әдәбиятта (Джеймс Максвелл тарафыннан тәкъдим ителгән)
*\mathbf{\nabla} \times \mathbf{F}. - набла операторы һәм вектор кыры  вектор тапкырчыгышы.

**F** вектор кырыннан роторы да вектор кыры булып тора.

rot **F** кыры - **F** кырының әйләнү компонентын тасвирлый.

## Математик билгеләмә

Математикада **а** вектор кырыннан ротор - вектор кырының циркуляциясе ΔS яссы мәйданчыгына чагыштырмасының чигенә тигез:

: \operatorname{rot} _ \mathbf n \mathbf a=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint\limits_{L}\mathbf{ a\cdot \, dr}}{\Delta S}.

L контуры сәгать теле буенча узып алына.

Өч үлчәмле декарт системасында ротор компонентлары болай билгеләнә:

: \operatorname{rot}\;(F_x \mathbf e_x + F_y\, \mathbf e_y + F_z \mathbf e_z) =

: =
\left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+
\left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+
\left( \partial_x F_y - \partial_y F_x \right) \mathbf e_z \equiv

: \equiv \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf e_x+
\left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf e_y+
\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf e_z.

яки
: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_x = \partial_y F_z - \partial_z F_y \equiv
\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}
: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_y = \partial_z F_x - \partial_x F_z \equiv 
\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}
: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_z = \partial_x F_y - \partial_y F_x \equiv
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}

Уңайлылык өчен  ротор - набла операторы һәм вектор кыры  вектор тапкырчыгышы булып күрсәтелә:
: \operatorname{rot}\; \mathbf{F} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial}{\partial x} \\  \\
\frac{\partial}{\partial y} \\  \\
\frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix} \times \mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\  \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
 \\  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.

(Соңгы тигезләмә - вектор тапкырчыгышы билгеләгеч буларак күрсәтелгән).

## Потенциаль кыр

Вектор кырыннан ротор нульгә тигез булганда әлеге кыр **өермәсез** һәм **потенциаль кыр** булып тора.

## Гомуми тасвир

Гомуми очракта күп үлчәмле вектор кыры өчен ротор болай билгеләнә:

: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_{12} =
\left(\frac{\partial F_2}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_2}\right)
: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_{13} =
\left(\frac{\partial F_3}{\partial x_1} - \frac{\partial F_1}{\partial x_3}\right)
: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_{23} =
\left(\frac{\partial F_3}{\partial x_2} - \frac{\partial F_2}{\partial x_3}\right)
...

яки
: (\operatorname{rot}\;\mathbf F)_{mn} = \partial_m F_n - \partial_n F_m \equiv
\frac{\partial F_n}{\partial x_m} - \frac{\partial F_m}{\partial x_n}

*m* һәм *n*  1 ... - фәза үлчәменә кадәр.

## Төп үзлекләре

* Сызыклылык:
: \operatorname{rot}\;( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{rot} ~\mathbf{F} + b\;\operatorname{rot} ~\mathbf{G}  

**F** , **G** - вектор кырлары, *a* , *b* - даими саннар.

* \varphi  — скаляр кыр, ә **F** — вектор кыры өчен:

: \operatorname{rot} ~\varphi \mathbf{F} 
= \operatorname{grad} ~\varphi ~\times \mathbf{F} 
+ \varphi \;\operatorname{rot} ~\mathbf{F}, 

яки

: \nabla\times(\varphi \mathbf{F}) 
= (\nabla\varphi) \times \mathbf{F} 
+ \varphi \;(\nabla\times\mathbf{F}). 

* Ротордан дивергенция нульга тигез:

: \operatorname{div} ~\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0  яки \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0 .

киресенчә
: \operatorname{div} ~\mathbf{F} = 0 \Rightarrow \mathbf{F} = \operatorname{rot} ~\mathbf{G}.

*Әгәр **F** потенциаль кыр булса, аннан ротор нульга тигез:

: \mathbf{F} = \operatorname{grad}~\varphi \Rightarrow \operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0

һәм киресенчә

: \operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0 \Rightarrow \mathbf{F} = \operatorname{grad}~\varphi

* Ике вектор кырыннан бертигез ротор була ала, ләкин алар ниндидер скаляр кырдан градиентта аерылып була.
*  \operatorname{rot} ~\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = \operatorname{grad} ~\operatorname{div} ~\mathbf{F} - \Delta\mathbf{F}
*Стокс теоремасы:

: \oint\limits_{\partial S}\mathbf{F} \cdot\,\mathbf{dl} = 
\int\limits_S (\operatorname{rot} ~\mathbf{F}) \cdot \,\mathbf{dS}

## Әдәбият

*    Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
*    Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
*    Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
*    Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
*    Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
*    Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.

Төркем:Дифференциаль исәпләү
Төркем:Вектор анализы