Гармоник рәт

**Гармоник рәт** — **җыелмый торган** чиксез гармоник рәт: натураль рәтнең саннарына кире әгъзаларның суммасы:

:  \sum_{k=1}^\mathcal{\infty} \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots .

Рәт гармоник дип аталган, чөнки эскрипкә кылыннан чыгарылган k -нче гармоникаларның суммасына тигез. k -нче гамоника - башлангыч кылның \frac{1}{k}- озынлыклы кылының төп тавышы (тон).

## Җыелмаучанлык
**Гармоник рәт әкрен кенә җыелмый**, өлешчә суммасы 100 не арттырып үтәсен өчен 1043 рәт әгъзасы кирәк.

Рәтнең аерым әгъзалары нульга омтылса да, аның суммасы җыелмый. Өлешчә суммасы болай бирелә:

:  s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n} 
:  s_n\rightarrow \infty   n\rightarrow \infty
### Өлешчә суммалары

### Эйлер тигезләмәсе
1740 елда Леонард Эйлер рәтнең беренче  n  әгъзалары суммасы өчен тигезләмә таба:
:
:  s_n = \ln(n) + \gamma + \varepsilon _n,
биредә \gamma = 0{,}5772... — **Эйлер — Маскерони даимие**, ә \ln — натураль логарифм.

n\rightarrow \infty  \varepsilon _n \rightarrow 0, шуңа күрә зур n өчен:
:  s_n\approx \ln(n) + \gamma  — **Эйлер формуласы**

Төгәлрәк ассимтотик формула::

:  s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \frac{1}{120n^4} - \frac{1}{252n^6} \dots = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2k\,n^{2k}}, биредә B_{2k} —  Бернулли саннары

Әлеге рәт җыелмый.

## Бәйләнгән рәтләр
### Дирихле рәте

**Гомумиләштерелгән гармоник рәт** яки **Дирихле рәте** түбәндәге бирелә:

:  \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + \frac{1}{4^\alpha} + \cdots +\frac{1}{k^\alpha} + \cdots .

Дирихле рәте
*\alpha \leqslant 1 булган очракта **җыелмый** :  s_n\rightarrow \infty   n\rightarrow \infty
*\alpha > 1 булган очракта **җыела**

\alpha-дәрәҗәдәге Дирихле рәтенең суммасы  Риман дзета-функциясенә тигез:
:  \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}=\zeta(\alpha) 
мәсәлән, \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6},

Гармоник рәтнең җыелмаучанлыгы түбәндәге тигезләмәдән күренә:
:  \zeta(1+\frac{1}{n}) \sim n.
: s_n\rightarrow \infty   n\rightarrow \infty

### Алмаш тамгалы рәт
Алмаш тамгалы рәт түбәндәге күренә:

: 
\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} \;=\; 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots


Алмаш тамгалы рәт Лейбниц билгесе буенча **җыела**, әлеге рәт **шартлы җыелучан** дип атала. Аның суммасы:

: 1 \,-\, \frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{3} \,-\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.

Лейбниц рәте

: 
\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \cdots \;\;=\;\; \frac{\pi}{4}.

## Әдәбият

*Р. Грэхэм, Д. Кнут, О. Паташник Конкретная математика. Основание информатики — М.: Мир; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. — стр. 47. — С. 703 ISBN 5-03-003773-X
* Harmonic Number — from Wolfram MathWorld
* Перейти к: 1 2 Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981, 718 с.
* «Random Harmonic Series», American Mathematical Monthly 110, 407—416, May 2003

Төркем:Дифференциаль исәпләү
Төркем:Математик анализ
Төркем:Рәтләр