Скаляр тапкырчыгыш

**Скаляр тапкырчыгыш** — ике вектор өстеннән операция нәтиҗәсендә  кординатлар системасына бәйсез һәм векторларның озынлыгы һәм арасындагы почмакны тасвирлаучы сан (скаляр).

**Х** векторының озынлыгы һәм **у** векторының **х** векторына проекциясе тапкырчыгышы әлеге операциягә туры килә.

Гадәттә векторларның скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:

: \langle \mathbf a, \mathbf b \rangle,
:  (\mathbf a, \mathbf b)  ,
:  \mathbf a \cdot \mathbf b ,
квант механикасында халәт векторы өчен шулай ук Дирак билгәләмәсе кулланыла:
: \langle a|b\rangle.

Гадәттә скаляр тапкырчыгыш уңай итеп билгеләнгән, ягъни:
:  \langle \mathbf a, \mathbf a \rangle > 0 барлык  a\not=0.

Югыйсә ул билгеләнмәгән тапкырчыгыш (тензор тапкырчыгышы) дип атала.

## Алгебраик билгеләмә
Ике вектор   һәм  скаляр тапкырчыгышы  ***n***-үлчәмле чын фәзада болай билгеләнә:

:\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n.

Мәсәлән, өч-үлчәмле фәзада  векторлар  һәм  скаляр тапкырчыгышы болай исәпләнә:

:
\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) \\
&= 4 - 6 + 5 \\
&= 3.
\end{align}


Комплекс векторлар  һәм   скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:

:\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\sum_{i=1}^n a_i\overline{b_i}=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\cdots+a_n\overline{b_n}.

Мәсәлән,  [1+i, 2] \cdot [2+i, i] = (1+i) \cdot (\overline{2+i}) + 2 \cdot \overline i = (1+i) \cdot (2-i) + 2 \cdot (-i) = 3-i

## Геометрик билгеләмә

Векторлар озынлыгы һәм арасындагы почмак төшенчәләре кертелгән һәм билгеләнгән очракта (классик геометриядә нәкъ шулай була), скаляр тапкырчыгышы векторларның озынлыгы һәм алар арасындагы почмак ярдәмендә билгеләнә:

:  \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)} 

Заманча аксиоматикада баштарак скаляр тапкырчыгыш билгеләнә, ә аннан вектор озынлыгы һәм почмак чыгарыла.

## Үзлекләре
* косинус теоремасы скаляр тапкырчыгыш ярдәмендә җиңел итеп чыгарыла:
*: |BC|^2 = \vec{BC}^2 = (\vec{AC} - \vec{AB})^2 = \langle\vec{AC} - \vec{AB},\vec{AC} - \vec{AB}\rangle = \vec{AC}^2 + \vec{AB}^2 - 2 \langle\vec{AC},\vec{AB}\rangle = |AB|^2 + |AC|^2 - 2 |AB| |AC| \cos\hat A
* Векторлар арасындагы почмак:
*: \alpha = \arccos \frac{\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle}{\sqrt{\langle\mathbf a, \mathbf a\rangle\langle\mathbf b,\mathbf b\rangle}}
* Векторлар арасындагы почмакны бәяләү:
*:   \langle\mathbf a, \mathbf b\rangle = 
|\mathbf a| \cdot |\mathbf b| \cdot \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf b)}  формуласында тамга почмакның косинусы белән билгеләнә (векторлар нормалары һаман уңай), шуңа күрә арасындагы почмак кысынкы булса, скаляр тапкырчыгыш > 0, ә әгәр арасындагы почмак җәенке булса, скаляр тапкырчыгыш  a_e = \langle\mathbf a,\mathbf e\rangle = |\mathbf a| |\mathbf e| \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf e)} = |\mathbf a| \cos \angle{(\mathbf a,\mathbf e)} ,   чөнки |\mathbf e| = 1
* ортогональлек шарты (перпендикулярлык шарты) \mathbf a һәм \mathbf b векторлары өчен:
:: \mathbf a\bot \mathbf b \Leftrightarrow \langle\mathbf a,\mathbf b\rangle = 0

* Ике вектор \mathbf{a}\  һәм \mathbf{b}\  -  нигезендәге параллелограмм мәйданы:
::  \sqrt{\langle\mathbf{a}, \mathbf{a}\rangle\langle\mathbf{b},\mathbf{b}\rangle - \langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle^2}\ 

### Коши — Буняковский тигезсезлеге
Сызыкча фәзада Һәр  \mathbf x һәм  \mathbf y  элементлары өчен түбәндәге тигезсезлек үтәлә:

  \vert \langle x,y \rangle \vert ^2 \le \langle x,x \rangle \langle y,y \rangle 

## Заманча билгеләмә
\mathbb L - вектор фәзасында  \mathbb C - комплекс (яки \mathbb R чын) саннар кыры өстеннән  \langle x, y \rangle скаляр тапкырчыгыш болай итеп билгеләнә - һәр пар элемент өчен түбәндәге шартлар үтәлә:
# \mathbb L сызыкча фәзасында  һәр өч элемент x_1, x_2  һәм y  һәм теләгән санннар  \alpha , \beta  өчен:
:  \langle \alpha x_1+\beta x_2,y \rangle = \alpha \langle x_1,y \rangle + \beta \langle x_2,y \rangle (сызыклылык);
# һәр x  һәм y  өчен:
:  \langle y,x \rangle = \overline{\langle x,y \rangle}, биредә сызык - комплекс иярү дип билгели;
# һәр x  өчен 
:\langle x,x \rangle \ge 0 , һәм \langle x,x \rangle =0  тик  x=0  булган очракта (скаляр тапкырчыгыш уңай).

## Әдәбият

*    Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
*    Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
*    Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
*    Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
*    Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
*    Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.

Төркем:Аналитик геометрияТөркем:Вектор анализыТөркем:Сызыкча алгебра