Яссылык (математика)

**Яссылы́к** — геометриянең төп төшенчәләреннән берсе. Геометрияне систематик рәвештә аңлатканда, яссылык төшенчәсен беренчел төшенчә буларак кулланалар. Яссылык тигезләмәсе беренче тапкыр А. К. Клеро хезмәтләрендә (1731), яссылыкның турылар аша бирелгән тигезләмәсе Г.Ламеда очрый (1816—1818), нормаль тигезләмәне Л. О. Гессе кертә (1861).

## Яссылыкның төп үзлекләренең кайберләре

* Яссылык — үзенең ике теләсә нинди ноктасын тоташтыручы бөтен кисемтәләрне үз эченә алган өслек;
* Яссылык — ике бирелгән ноктадан тигез ераклыкта урнашкан нокталар күплеге.

Кисемтә һәм интервалга ошатып, кырый нокталарга ия булмаган яссылыкны интерваль яки ачык яссылык дип атарга мөмкин.

## Яссылык тигезләмәләре

**Яссылык** — беренче дәрәҗәдәге алгебраик өслек: декарт координаталар системасында яссылык беренче дәрәҗәдәге тигезләмә белән бирелергә мөмкин.

* **Яссылыкның гомуми (тулы) тигезләмәсе**

: Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

монда A,B,C һәм D — даимиләр, шунда ук A,B һәм C бер үк вакытта нульгә тигез түгелләр; векторлы формада:

: (\mathbf{r},\mathbf{N})+D=0

монда \mathbf{r} — M(x,y,z) ноктасының радиус-векторы, \mathbf{N}=(A,B,C) векторы яссылыкка перпендикуляр (нормаль вектор). * <math>\mathbf{N}</math> векторының *юнәлтүче косинуслары*:
: <math>\cos \alpha = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>
: <math>\cos \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},</math>
: <math>\cos \gamma = \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.</math>

Әгәр Я. тигезләмәсендә берәр коэффициент нульгә тигез булса, тигезләмәне *тулы булмаган* дип атыйлар. 
<math>D=0</math> булганда, Я. [[координаталар башлангычы]] аша үтә, <math>A=0</math> (яки <math>B=0</math>, <math>C=0</math>) булган вакытта, Я. <math>Ox</math> күчәренә параллель (аналогия буенча <math>Oy</math> яки <math>Oz</math> күчәрләренә).<math>A=B=0</math> (<math>A=C=0</math>, яки <math>B=C=0</math>) булган вакытта, Я. <math>Oxy</math> яссылыгына параллель (аналогия буенча <math>Oxz</math> яки <math>Oyz</math> яссылыкларына).

* *'Кисемтәләр аша яссылык тигезләмәсе:**

: <math>\frac{x}{a}+ \frac{y}{b}+ \frac{z}{c}=1,</math>

монда <math>a=-D/A</math>, <math>b=-D/B</math>, <math>c=-D/C</math> — <math>Ox, Oy</math> һәм <math>Oz</math> күчәрләрендә Я. белән кисешә торган кисемтәләр.

* <math>M(x_0,y_0,z_0)</math> **ноктасы аша,** <math>\mathbf{N}(A,B,C)</math> **нормаль векторына перпендикуляр рәвештә үтүче яссылык тигезләмәсе**:

: <math>A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;</math>

векторлы формада:

: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_0}),\mathbf{N})=0.</math>

* **Бер турыда ятмаучы** <math>M(x_i,y_i,z_i)</math> **өч нокта аша үтүче яссылык тигезләмәсе**:

: <math>((\mathbf{r}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}),(\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}))=0</math>

(векторларның кушма тапкырчыгышы), ягъни

: <math>\left| \begin{matrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\\ \end{matrix}\right|=0.</math>

* **Яссылыкның нормаль (нормага китерелгән) тигезләмәсе**

: <math>x \cos \alpha+ y \cos \beta+ z \cos \gamma - p=0 \qquad (2)</math>

векторлы формада:

: <math>(\mathbf{r},\mathbf{N^0})\mathbf{-p}=0,</math>

монда <math>\mathbf{N^0}</math>- берле вектор, <math>p</math> — яссылыкның координаталар башлангычыннан ераклыгы. (2) тигезләмәсе (1) тигезләмәсеннән, түбәндәге нормалаштыручы тапкырлаучыга тапкырлап, табылырга мөмкин:

: <math>\mu = \pm \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math>

(<math>\mu</math> һәм <math>D</math> тамгалары капма-каршылар).

== Ноктадан яссылыкка кадәр ераклык ==

Ноктадан яссылыкка кадәр ераклык — әлеге ноктадан яссылык нокталарына кадәр иң кечкенә ераклык. Ноктадан яссылыкка кадәр [[ераклык]] шул ноктадан яссылыкка төшерелгән перпендикуляр озынлыгына тигез икәнлеге билгеле.

* <math>M_1(x_1,y_1,z_1)</math> **ноктасының** <math>(2)</math> нормаль тигезләмә белән бирелгән яссылыктан **тайпылышы** 
<center><math>\delta = x_1 \cos \alpha + y_1 \cos \beta + z_1 \cos \gamma - p;</math></center>
:: <math>\delta>0</math>, әгәр <math>M_i</math> һәм координаталар башлангычы яссылыктан төрле якта урнашкан булсалар, башка очракта <math>\delta<0</math>. Ноктадан яссылыккача ераклык <math>|\delta|.</math> тигез.
* <math>M_0(x_0, y_0, z_0)</math> ноктасыннан, <math>ax+by+cz+d=0</math> тигезләмәсе белән бирелгән яссылыкка кадәр <math>\rho</math> ераклыгы түбәндәге формула буенча исәпләнә:
<center><math>\rho = \frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math></center>

== Параллель яссылыклар арасындагы ераклык ==

* <math>Ax+By+Cz+D_1</math> һәм <math>Ax+By+Cz+D_2</math> тигезләмәләре аша бирелгән яссылыклар арасындагы ераклык:
<center><math>d=\frac{\mid D_2-D_1\mid}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}</math></center>
* <math>\bar n (\bar r - \bar{r_1})=0</math> һәм <math>\bar n (\bar r - \bar{r_2})=0</math> тигезләмәләре аша бирелгән яссылыклар арасындагы ераклык:
<center><math>d=\frac{\mid[\bar r_2 - \bar r_1, \bar n]\mid}{\mid\bar n\mid}</math></center>

== Бәйләнгән төшенчәләр ==

* **Ике яссылык арасындагы почмак.** Әгәр яссылык тигезләмәсе (1) төрендә бирелгән булса:

: <math>\cos \varphi = \frac{A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2+C_1^2) (A_2^2+B_2^2+C_2^2)}};</math>

Векторлы формада:

: <math>\cos \varphi = \frac{(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})}.</math>

* Түбәндәге шарт үтәлгәндә **Яссылыклар параллель**:

: <math>\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}</math> яки <math>[\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2}]=0.</math>

* Түбәндәге шарт үтәлгәндә **Яссылыклар үзара перпендикуляр**:

: <math>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0</math> яки <math>(\mathbf{N_1}, \mathbf{N_2})=0</math>.

* **Яссылыклар бәйләме*' — ике яссылыкның кисешү юлы аша үтүче теләсә нинди яссылыкның тигезләмәсе:

: <math>\alpha (A_1x+B_1y+C_1z)+\beta(A_2x+B_2y+C_2z)=0,</math>

монда <math>\alpha</math> һәм <math>\beta</math> — бер үк вакытта нульгә тигез булмаган теләсә нинди саннар.

== Дүртүлчәмле киңлектә яссылык тигезләмәләре ==

Әгәр дүртүлчәмле киңлектә ике яссылык бер [[гиперъяссылык]]та ятсалар, алар параллель (аерым очракта туры килергә), яисә юл линия буенча кисешергә мөмкиннәр.

Әгәр дүртүлчәмле киңлектә ике яссылык бер [[гиперъяссылык]]та ятмасалар, алар я кисешмиләр (өчүлчәмле киңлектә турылар кисешкән кебек), я *бердәнбер уртак ноктага ияләр*.

Ике яссылыкның бер ноктада (өчүлчәмле киңлектәге кебек, линия буенча түгел) кисешүләрен түбәндәгечә күрсәтергә мөмкин. *x y z t* [[Турыпочмаклы координаталар системасы|декарт координаталары]] системасы бирелгән булсын. Ике α һәм β яссылыклары координаталар башлангычы аша үтсеннәр, һәм α *x* һәм *y* координаталы турыларга, ә β яссылыгы *z* һәм *t* координаталы турыларга ия булсын. α яссылыгының бөтен нокталарында *z* һәм *t* нульгә тигезләр, β яссылыгының бөтен нокталарында *x* һәм *y''. Шул очракта, (0,0,0,0) ноктасының гына ике яссылыкка керүе күренә.

## Чыганак
[Рус википедиясе](http://ru.wikipedia.org/wiki/Плоскость_(математика))

Төркем:Евклид геометриясе
Төркем:Аксиоматик төшенчәләр