Функция чыгарылмасы

**Функция чыгарылмасы** (ноктада) —  билгеләнгән  ноктада функция үзгәреше тизлеген тасвирлаучы дифференциаль хисапның төп төшенчәсе.

Функция чыгарылмасы — функция артымы аргумент артымына чагыштырмасының чиге булып билгеләнә (аргумент һәм функция артымнары нульгә омтылалар).

Чикле чыгарылмасына ия булган функция ноктада дифференциаль функция дип йөртелә.

Чыгарылманы исәпләү **дифференциал табу** дип атала. Кире исәпләү **баштагы функцияне табу** (русча *первообразная*) яки **интеграл табу** дип йөртелә.

## Математик тасвиры

Функция чыгарылмасы ~A түбәндәгечә күрсәтеп була:
:f\colon U(x_0) \subset \R \to \R. 
: f(x_0+h)=f(x_0)+Ah+o(h)

Функция чыгарылмасы чик (lim) ярдәмендә болай күрсәтелә:
:f\colon U(x_0) \subset \R \to \R.
: f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.

## Чыгарылмалар җәдвәле

\left( c\right) =\left( const\right)
\left( e^{x}\right) ^{\left( n\right) }=e^{x}
## Геометрик мәгънә

Әгәр функция ноктада чикле чыгарылмасына ия була икән, димәк ноктаның тирә-ягында функция сызык функциясе белән якынча тасвирланып була:
: f_l(x) \equiv f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).
Функция f_l

:f_l - орынма дип йөртелә
: ~f'(x_0)  - орынма почмак коэффициенты яки авышлык почмагының тангенсы

Функция чыгарылмасы функциянең мизгелдәге үзгәреш тизлеге булып тора:
:v(t_0)=s'(t_0)

## Югары буын чыгарылмалар
:: f^{(0)}(x_0) \equiv f(x_0).
: f^{(1)}(x_0) \equiv f'(x_0).
: f^{(n+1)}(x_0) = \left(f^{(n)}\right)'(x_0).

## Бүленмә чыгарылма
Күп аргументлы функция 
:~u = f(x, y, z)
бүленмә чыгарылма
: ~u*_{x^2} = f*_{x^2}(x_0, y_0, z_0)&nbsp; яки&nbsp;~\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x^2}
: ~u*_{xy} = f*_{xy}(x_0, y_0, z_0)&nbsp; яки&nbsp;~\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f(x_0, y_0, z_0)}{\partial x \partial y}
: ~u*_{xy} = f*_{xy}(x_0, y_0, z_0)

## Мисаллар

* f(x) = x^2. димәк
: f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{x^2 - x_0^2}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}\frac{(x - x_0)(x + x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{x \to x_0}(x+x_0) = 2x_0.
* f(x) = |x|. Әгәр  x_0 \neq 0, димәк 
: f '(x_0) = \sgn x_0,
биредә \sgn  - тамга функциясе. Әгәр  x_0 = 0, димәк 
f'_+(x_0) = 1,\; f'_-(x_0) = -1,
шуңа күрә  f'(x_0) булмый.

## Дифференциал табу кагыйдәләре
* C'=0
* x'=1
* \left(f+g\right)'=f '+g'
* \left(fg\right)'=f'g+fg' 
* \left(Cf\right)'=Cf'
* \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f' g-fg'}{g^2} ...(g ≠ 0)
* \left(\frac{C}{g}\right)'=-\frac{Cg'}{g^2} (g ≠ 0)
* \left\{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}\; \; t\in\left[T_1; T_2 \right] \right.,

:y'_x=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=y'_t\cdot t'_x=\frac{y'_t}{x'_t}

* \frac{d}{dx}f(g(x))=\frac{df(g)}{dg}\cdot \frac{dg(x)}{dx}=f'_g g'_x
: (f g)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^k f^{(n-k)} g^{(k)}}, биредә C_n^k 
* (f(x)^{g(x)})' = f(x)^{g(x)} \left (g'(x) \ln f(x) + \frac {g(x)f'(x)} {f(x)}\right ) (\forall x \in D_f:   f(x)>0) 

## Кайбер функцияләрдән чыгарылмалар

## Әдәбият
* *В. А. Гусев*, *А. Г. Мордкович* «Математика»
* *Г. М. Фихтенгольц* «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1
* *В. М. Бородихин*, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1

Төркем:Математика төшенчәләре
Төркем:Дифференциаль хисап