Тензор

**Тензор** (латинча *tensus* - киеренке) -  бер сызыкча фәзаның элементларын икенче сызыкча фәзаның элементларына үзгәртүче сызыкча алгебраның объекты.

Тензорларның аерым очраклары - скалярлар, векторлар, бисызыкча формалар һ.б.

Еш кына тензор исәпләве тикшерә торган тензор кыры өчен тензор кыскартмасы кулланыла.

Гадәттә тензор саннар (тензор компонентлары) белән тутырылган күп үлчәмле X^{i_1i_2\dots i_r}_{j_1j_2\dots j_s} җәдвәле булып күрсәтелә, биредә d - вектор фәзасының үлчәме, анда  тензор билгеләнгән, тапкырлаучылар саны - **тензорның рангы яки валентлыгы** дип йөртелә.

Бу тасвирлама тик базис яки координатлар системасын сайлаудан соң мөмкин була. Базис үзгәргәндә, тензорның компонентлары да үзгәрә.  Тензор үзе геометрик объект буларак үзгәрми, мисал өчен вектор - тензорның очрагы - базис үзгәргәндә, компонентлары үзгәрәләр, ләкин вектор үзе үзгәрми.

Гадәттә тензор хәреф **аскы (ковариант)** һәм **өске (контрвариант)**  индекслары белән билгеләнә: X^{i_1i_2\dots i_r}_{j_1j_2\dots j_s}.

Базис үзгәргәндә, тензорның ковариант компонентлары базис кебек үзгәрә, ә контрковариант компонентлары базиска каршы рәвештә үзгәрә.

**Тензор = компонентлары җыелмасы + базис үзгәргәндә, аларның үзгәртүләр кануны.**

Тензорның компонентлары 
:  \tau^i_{jk} 

Өч векторның тапкырчыгышы кебек үзгәрә:
:  \ a^ib_jc_k 

## Мисаллар

* (0,0) ранглы тензор - скаляр;
* (1,0) ранглы тензор - вектор (дөресрәк — контравариант вектор) 
* (0,1) ранглы тензор - ковектор (ковариант вектор)
*  (0,2) ранглы тензор - бисызыкча форма, мәсәлән, метрик тензор g_{ij} орынма фәзада.
* (1,1) ранглы тензор - сызыкча оператор A:V\to V яки A:V^*\to V^*
** Берәмлек операторы \delta^i_j, —   (1,1) ранглы тензор.
* Риман кәкрелеге R^i_{\ jkl} = (1,3)-ранглы тензор, аның төрелүе — Риччи тензоры R_{ij} һәм скаляр кәкрелек R=R_{ij}g^{ij} : (0,2)-ранглы тензор һәм (0,0)ранглы тензор мисаллары, ягъни соңгысы — скаляр.
* Леви-Чивита символы — 3-ранглы тензор -   \varepsilon_{ijk}.

## Кагыйдәләр
* Скалярга тапкырлау - тензорның һәр компонентасы скалярга тапкырлау
*Тензорларның тапкырчыгышы: 
:: \sigma\otimes\tau\in T^{m+m'}_{n+n'}=T^{m}_n\otimes T^{m'}_{n'}.
Компонентлары:
::  P^{ij}_{\ \ kl}\ = A^{ij} B_{kl}
* Тензорның төрелүе - тензорның валентлыгын киметүче махсус тензорлык операция:
:  B^i_{\ kl}\ = \sum_j A^{ji}_{\ \ jkl} = A^{ji}_{\ \ jkl}
* **[[Эйнштейн килешүе]]**: әгәр бертигез хәреф аскы һәм өске индекста очраса, димәк бу әгъза шушы индексның барлык кыйммәтләре буенча  суммага тигез: 
: v_k= a_ib^i_k=\sum_i{a_ib^i_k}=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k
* Ике тензорның төрелүе:
:  C^i_{jk}\ = \sum_m B^i_m A^m_{jk} = B^i_m A^m_{jk}
** Тензор сызыкча оператор белән төрелүе:
:  u^i\ = \sum_j A^i_j v^j = A^i_j v^j 
:  C^i_j\ = \sum_k B^i_k A^k_j = B^i_k A^k_j

биредә һәркайда соңгы язма Эйнштейн килешүе буенча күрсәтелә

## Әдәбият

*    Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969;
*    Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Высшая школа, 2001. — 576 с. ISBN 5-06-004155-7.
*    Коренев Г. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — М.: Издательство МФТИ, 2000. — 240 с. — ISBN 5-89155-047-4.
*    Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления (9-е издание). — М.: Наука, 1965;
*    Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. — М.: Физматлит, 1963;
*    Номидзу К. Группы Ли и дифференциальная геометрия. — М.: ИЛ, 1960;
*    Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. (3-е изд.). — М.: Изд-во МГУ, 1986;
*    Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ (3-е издание). — М.: Наука, 1967;
*    Шарипов Р. А. Быстрое введение в тензорный анализ. — БашГУ.

Төркем:Математика
Төркем:Тензор исәпләве