Дирак тигезләмәсе

**Дирак тигезләмәсе** — электрон һәм бүтән фермион кырлары өчен релятивистик-инвариант хәрәкәт тигезләмәсе. Кырның квант теориясенең төп тигезләмәсе, квант физикасының нигезе булып санала.

Квант механикасында Шрөдингер тигезләмәсенең спинлы һәм релятивистик гомумиләштерүе.

Квант механикасында
*Релятивистик булмаган (әкрен тизлекле) һәм спинсыз кисәкчек өчен Шрөдингер тигезләмәсе кулланыла
*Релятивистик һәм спинсыз яки нуль спинлы кисәкчек, скаляр кыр өчен Кляйн—Гордон тигезләмәсе кулланыла
*Релятивистик һәм ярым бөтен спинлы - фермион кисәкчек (электрон, протон, нейтрон һ.б.)  өчен Дирак тигезләмәсе кулланыла.

## Тасвир

Дирак тигезләмәсе болай күренә:

:  \left(mc^2\alpha_0 + c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) 

биредә 
*m\  — электрон (яки бүтән фермион) массасы, 
*c\  — яктылык тизлеге, 
*p_j = - i \hbar \partial_j — импульс операторының өч компоненты (*x, y, z* буенча), 
* \hbar = {h \over 2 \pi} ,  h  — Планк даимие, 
* \psi(\mathbf{x},t) — дурт компонентлы комплекс дулкынча функция (биспинор).

\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\  — биспинор фәзасы өстеннән сызыкча операторлар, алар дулкынча функциягә тәэсир итәләр (Паули матрицалары). Әлеге операторлар антикомммуталаша:
: \alpha_i\alpha_j = -\alpha_j\alpha_i\ , биредә i\ne j һәм i,j\   0 - 3,
: \alpha_i^2 = 1  i\   0 - 3 өчен.

Әлеге операторлар 4×4 зурлыгы матрицалары булып тора, алар **Дирак матрицалары** дип атала.

### Реятивистик ковариант күренеше

Ирекле кисәкчек өчен Дирак тигезләмәсенең ковариант формасы болай күренә:

\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0,

яки Эйнштейн килешүе кулланып болай бирелә:

\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

Әлеге тигезләмәне чыгару:

Импульс операторы

: \mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \hbar \nabla \psi(\mathbf{x},t).

Дирак тигезләмәсен *α<sub>0</sub>* га тапкырлап ( *α<sub>0</sub>²=I*) чыгарабыз:

:  \left[ i\hbar c \left(\alpha_0 \frac{\partial}{c \partial t} + \sum_{j=1}^3 \alpha_0 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j} \right) - mc^2 \right] \psi = 0. 

шуннан  **[[Дирак матрицалары]]** билгеләнә:

:  \gamma^0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \alpha_0 \,,\quad \gamma^j \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \alpha_0 \alpha_j. 

:
\begin{array}{c c}
\gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \end{pmatrix}\,,&
\gamma^1 = \begin{pmatrix} &  & & 1 \\ & & 1 & \\ & -1 & & \\ -1 & & & \end{pmatrix}\,,\\ \,& \,\\
\gamma^2 = \begin{pmatrix} & & & -\mathrm i \\ & & \mathrm i & \\ & \mathrm i & &
\\ -\mathrm i & & & \end{pmatrix}\,, &
\gamma^3 = \begin{pmatrix} & & 1 & \\ & & & -1 \\ -1 & & & \\ & 1 & & \end{pmatrix} \,.
\end{array}

Аларның үзлекләре:

: \left\{\gamma^\mu , \gamma^\nu \right\} = 2\eta^{\mu\nu} \cdot I\,,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3

Әлеге нисбәтләр **Дирак алгебрасы** дип атала..

Дирак тигезләмәсен 4-вектор  *x* = (*ct*,**x**) ярдәмендә язап була:

\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.

Әлеге тигезләмәне шулай ук Тәэсирнең экстремумы ярдәмендә чыгарып була:

: \mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \sum_\mu \gamma^\mu \partial_\mu - mc^2)\psi \, d^4 x 

биредә

: \bar\psi \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \psi^\dagger \gamma_0 

- **Дирак иярешле матрицасы** дип атала. Ул кырның квант теориясендә киң кулланыла.

Әлеге формада өлешчә чыгарылманы киңәйтеп электромагнит тәэсир итешүе өстәлә:

: \partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu. 

## Дирак тигезләмәсен чыгару

Дирак тигезләмәсе — Шрөдингер тигезләмәсенең гомумиләштерүе:

:  H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle.

яки

:  H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{x},t)}{\partial t} , 

биредә гамильтониан *H* дулкынча функциягә тәэсир итә.

Релятивистик булмаган ирекле электрон өчен гамильтониан классик механикада кебек кинетик энергия белән билгеләнә:

:  H = \sum_{j=1}^3 \frac{p_j^2}{2m}, 

биредә *p<sub>j</sub>* — импульс проекцияләре операторлары, һәр оператор фәзадан чыгарылма кебек тәэсир итә:

: p_j \psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  - i \hbar \, \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial x_j}.

Ләкин релятивистик кисәкчек өчен гамильтониан башкача тасвирлана. Релятивистик нисбәт буенча системаның гомуми энергиясе болай тасвирлана (Махсус чагыштырмалылык теориясе):

: E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}.

Шуннан:

:  \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \ \psi = i \hbar \frac{d\psi}{d t}. 

Ләкин әлеге тигезләмә дә кайбер фундаменталь релятивистик мәскәкләргә туры килми: анда Лоренц ковариантлыгы юк -  ягъни вакыт һәм фәза бу тигезләмәдә "тиң хокуклы" булмый, ә шушы мәсләк - Махсус чагыштырмалылык теориясенең нигезе булып тора.

Әгәр тигезләмәнең уң өлешендә вакыттан беренче чыгарылма бар икән, димәк сул өлешендә фәза координатларыннан тик беренче чыгарылма (импульс беренче дәрәҗәдә) булырга тиеш. Дирак шуны исәпкә алып, беренче чырарылмалар алдыннан махсус даими коэффицинтлар кертеп, тигезләмәне чыгарган:

::

— **ирекле кисәкчек өчен Дирак тигезләмәсе**.

Дирак тәкъдиме буенча:

:  (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2 

ягъни

:  \left( mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \,\right)^2 
= (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2. 

Шуннан:

:  
\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 0\,, барлык  i,j = 0, 1, 2, 3 (i \ne j),

:  
\alpha_i^2 = 1\,, барлык  i = 0, 1, 2, 3.\ 


бергә язап:

:  \alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 2 \delta_{ij}\  для \ i,j = 0, 1, 2, 3, 

антикоммутатор ярдәмендә болай языла:

: 
\left\{\alpha_i , \alpha_j\right\} = 2\delta_{ij}\  для \  i,j = 0, 1, 2, 3.


биредә {,} — антикоммутатор
**δ*ij — Кронекер символы

Дулкынча функцияләр дүрт компонентлы булып чыга.

α —сызыкча  операторлар яки матрицалар.

: \alpha_0 = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{bmatrix} \quad \alpha_j = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{bmatrix} 

биредә *0* и *I* — 2×2 нульле һәм берәмлекле матрицалар 
* σ*j* (*j* = 1, 2, 3) — Паули матрицалары

Гамильтониан тигезләмәдә:

:  H = \,mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j

**Дирак гамильтонианы** дип атала.

## Тигезләмәнең чишелеше

Дулкынча функция *ψ* 4-компонент объекты була, ул ике ирек дәрәҗәсеннән тора, беренчесе уңай энергиягә, икенчесе тискәре энергиягә (антикисәкчек)  туры килә, һәрберсе ике ирек дәрәҗәсеннән тора - спин өскә һәм спин аска халәтенә туры килә.

Дулкынча функция болай языла:

: \psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \begin{bmatrix}\psi_1(\mathbf{x},t) \\ \psi_2(\mathbf{x},t) \\ \psi_3(\mathbf{x},t) \\ \psi_4(\mathbf{x},t) \end{bmatrix}. 

Дирак иярешле функциясе::

: \bar{\psi}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\bar{\psi}(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \psi^\dagger \alpha^0, 

биредә
:  \psi^\dagger = \begin{bmatrix}\psi_1^*(\mathbf{x},t) & \psi_2^*(\mathbf{x},t) & \psi_3^*(\mathbf{x},t) & \psi_4^*(\mathbf{x},t) \end{bmatrix} 

* - комплекс иярешү.

Үзлекләр:
: \bar{\psi} \psi = \bar{\psi}(\mathbf{x},t) \psi \, (\mathbf{x},t) = \sum_{a, b = 1}^4 \psi_a^*(\mathbf{x},t) (\alpha^0)_{a b} \psi_b(\mathbf{x},t). 

Ихтималлык саклана:

: \int \bar{\psi} \psi \; d^3x = 1. 

Ихтималлык агымы:

: \frac{\partial}{\partial t} \bar{\psi} \psi \, (\mathbf{x},t) = - \nabla \cdot \mathbf{J}. 

Ихтималлык агымы **J**:

:  J_j = c \bar{\psi} \alpha_j \psi.

*e***J** - электр агымы тыгызлыгы

Дирак тигезләмәсен чишү өчен спинор \chi кулланыла:

:: \chi^{(1)} = \begin{bmatrix}
1\\
0 \end{bmatrix}, \quad \quad \chi^{(2)} = \begin{bmatrix}
0\\
1 \end{bmatrix} , 

биредә \chi^{(1)} *спин өскә* халәтенә туры килә, 
*\chi^{(2)} *спин аска* халәтенә туры килә.

Антикисәкчекләр өчен:
:: \chi^{*(1)} = \begin{bmatrix}
0\\
1 \end{bmatrix}, \quad \quad \chi^{*(2)} = \begin{bmatrix}
1\\
0 \end{bmatrix} .

Паули матрицалары:
: 
\sigma_1 = 
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix},
\quad \quad
\sigma_2 = 
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix},
\quad \quad
\sigma_3 = 
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.


### Кисәкчекләр өчен
Ирекле кисәкчекләр өчен Дирак тигезләмәсенең чишелеше болай языла:

:: \psi = u(\mathbf{p}) e^{i p \cdot x}
: биредә
:: \mathbf{p} — 3-үлчәмле вектор, 
:: *p* һәм *x* — 4-вектор.

Биспинор *u*  моментка һәм спинга бәйле,
::  u^{(s)}(\mathbf{p}) = \sqrt{E+m} 
\begin{bmatrix} 
\chi^{(s)}\\ 
\frac{\mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{E+m} \chi^{(s)}
\end{bmatrix}

### Антикисәкчекләр өчен
:: \psi = v(\mathbf{p}) e^{i p \cdot x}
һәм
::  v^{(s)}(\mathbf{p}) = \sqrt{|E|+m} 
\begin{bmatrix}
\frac{- \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{p} }{|E|+m} \chi^{*(s)} \\ 
\chi^{*(s)}
\end{bmatrix}
## Моны да карагыз
* Шрөдингер тигезләмәсе
* Клейн — Гордон тигезләмәсе
## Әдәбият
*Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 296 с.
*Дайсон Ф. Релятивистская квантовая механика. — Ижевск: РХД, 2009. — 248 с.
*Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
*Дирак П. А. М. Релятивистское волновое уравнение электрона (рус.) // Успехи физических наук. — 1979. — Т. 129, вып. 4. — С. 681-691.
*Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
*Пескин М., Шрёдер Д. Введение в квантовую теорию поля. — Ижевск: РХД, 2001. — 784 с.
*Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1959. — 476 с.
Shankar R. Principles of Quantum Mechanics. — Plenum, 1994.
*Thaller B. The Dirac Equation. — Springer, 1992.

Төркем:Квант механикасы
Төркем:Элементар кисәкчәләр физикасы
Төркем:Кырның квант теориясе