Магнитогидродинамика

**Магнитогидродинамика** — гидродинамика һәм тоташ тирәлекләр электродинамикасы кисешкән урында барлыкка килгән физик дисциплина. Аның тикшерү обьекты булып магнит кырындагы үткәрүче сыеклык (газ) динамикасы тора. Мондый тирәлекләрнең мисаллары: төрле төрдәге плазма, сыек металлар, тозлы су. 
Магнитогидродинамиканың беренче тикшеренүчесе дип, бу хезмәтләре өчен 1970 елда нобель премиясенә лаек булган, Ханнес Альфвен таныла. 

## Магнит гидродинамикасы тигезләмәләре
Үткәрүче сыеклыкның релятивистик булмаган магнит гидродинамикасы тигезләмәләренең тулы системасы түбәндәгечә языла:

:: 
\begin{cases}
\rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla  p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] + \eta \Delta \vec v + \left(\frac 13 \eta + \zeta\right)\nabla \operatorname{div}\vec v \\
p=p(\rho) \\
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\

\frac{\partial \vec H}{\partial t} = - \frac {1}{\sigma} \frac{c^2}{4\pi} \operatorname{rot} \left[\nabla \times \vec H\right] +   \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\
\nabla \cdot \vec H = 0

\end{cases}


Монда \ p — тирәлектәге басым, \ \rho — тыгызлык, \sigma — сыеклыкның үткәрүчәнлеге, \eta — күчешле (сдвиговая) үзлелек, \zeta  — икенче үзлелек (күләм үзлелеге) а \vec v — аның элементларының тизлекләре кыры.
\vec H — магнит кыры көчәнешлелеге.

Бу система 8 тигезләмәне үз эченә ала һәм, башлангыч һәм чик шартлар бирелгән булса, \ p, \rho, \vec H, \vec v 8 билгесезне табарга мөмкинлек бирә. 

Әгәр дә түбәндәге китерешләрне куллансак(диссипативсыз чик):
# \sigma \to \infty
# \eta = 0 ,\quad \zeta =0 , МГД тигезләмәләр системасы гадирәк төрдә языла:

:: 
\begin{cases}
\rho\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \rho (\vec v, \nabla) \vec v =- \nabla  p - \frac{1}{4\pi}[\vec H \operatorname{rot} \vec H] \\
p=p(\rho) \\
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div} \rho \vec v=0 \\

\frac{\partial \vec H}{\partial t} = \operatorname{rot} \left[\vec v \times \vec H\right] \\
\nabla \cdot \vec H = 0

\end{cases}


## Кушымталар

### Максвелл тигезләмәләреннән МГД тигезләмәләрен чыгару

Максвелл тигезләмәләре системасын СГС системасында языйк. 
: 
\begin{cases}
\nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\
\nabla \times \vec H = \frac 1c \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \frac {4 \pi}{c} \vec j\\
\nabla \cdot \vec H = 0\\
\nabla \cdot \vec E = 0
\end{cases}

Түбәндәге чамалаулардан чыгып эш итәбез:
# Магнит үткәрүчәнлеге  \mu=1 
# Электр корылмалары юк  \rho = 0 
# Ом законы:  \vec j = \sigma \vec E + \frac {\sigma}{c} \vec v \times \vec H 
Релятивистик булмаган очрак ( v \ll c ) белән генә икләнербез, ягъни   \left| \nabla \times \vec H  \right| \gg \left| \frac 1c \vec E  \right|  

Бу китерүдә Максвелл тигезләмәләре түбәндәгечә языла:
: 
\begin{cases}
\nabla \times \vec E = - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} \\
\nabla \times \vec H = \frac {4 \pi}{c} \vec j\\
\end{cases}

\vec E ны Ом законы аша күрсәтеп, беренче тигезләмәгә куябыз:
:: - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left(\frac {1}{\sigma} \vec j - \frac 1c \vec v \times \vec H\right)
Бу тигезләмәгә Максвеллның икенче тигезләмәсеннән токны куябыз һәм табабыз:
:: - \frac 1c \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \frac {1}{\sigma} \frac{c}{4\pi} \nabla \times \left[\nabla \times \vec H\right] - \frac 1c  \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right]

Идеаль үткәрүче сыеклыкның чигендә  \sigma \to \infty   табабыз:

 \frac{\partial \vec H}{\partial t} = \nabla \times \left[\vec v \times \vec H\right]

Гидродинамика белән бәйләнеш өчен, Навье — Стокс тигезләмәсенә, магнит кыры тарафыннан токларга тәэсир итүче Ампер көче өчен җаваплы, әгъза кертәләр(ток Максвеллның икенче тигезләмәсеннән, магнит кыры көчәнешлелеге аша чыгарыла):  
:: \vec f = \frac 1c \left[ \vec j \times \vec H \right] = - \frac{1}{4 \pi} \left[ \vec H\times \operatorname{rot}\vec H \right]

## Искәрмәләр

## Сылтамалар

## Моны да карагыз
* Магнитогидродинамик эшкәртү
* МГД-генератор
* Электрогидродинамика
* Тоташ тирәлекләр электродинамикасы
* Динамо-эффект

Төркем:Физика