Архимед спирале

**Архиме́д спира́ле** — спираль, яссы кыек, башлангычы *O*-да булып *OV* нуры буйлап бертөрле тигез чамалы итеп хәрәкәтләнүче *M* (1-енче рәсемне кара) ноктасының траекториясе. Башка сүзләр белән ρ = *OM* арасы *OV* нурының φ борылу почмагына пропорциональ.
*OV* нурының бер почмакка борылышына бер һәм шул ук ρ артуы тәңгәл килә.
Бу спиральнең хасиятләре борынгы грек галиме Архимед тарафыннан "Спиральләр турында" иншасында тасвирланган.
## Тасвирлама
Поляр координаталар системасында Архимед спираленең тигезләмәсе шулай дип языла:

: (1)  \rho = k\varphi,

биредә ***k*** — *M* ноктасының *r* нуры буенча бер радианга тигез почмакка борылганда күчеше.

Турының 2\pi-га борылышына  *a* = |*BM*|  = |*MA*| = 2k\pi күчеше тәңгәл килә.
*a* саны «**спираль адымы**» дип атала. Архимед спираленең тигезләмәсен башкача шулай дип язарга мөмкин:

: \rho = \frac{a}{2\pi}\varphi.

Нурны сәгать йөрешенә каршы борганда уң спираль (зәңгәр сызык) (2-енче рәсемне кара), сәгать йөреше буенча борганда — сул спираль (яшел сызык) барлыкка килә.

Спиральнең ике ботагы да (уң һәм сул) бер тигезләмә белән тасвирлана (1). Уңай кыйммәтләргә \varphi уң спираль, тискәреләргә — сул спираль туры килә. Әгәр M ноктасы UV турысы буенча тискәре кыйммәтләрдән O әйләнү үзәге аша һәм дәвам итеп уңай кыйммәтләргә UV турысы буйлап хәрәкәтләнсә, M ноктасы спиральнең ике ботагын да сызачак.

Башлангыч O ноктасыннан сызылган OV нуры спиральне чиксез кат кисеп уза — B, M, A нокталары һ.б. B һәм M, M һәм A нокталары аралары спираль адымы a = 2k\pi-га тигез. Спираль сүтелгәндә O ноктасыннан M ноктасына кадәр ара чиксезлеккә омтыла һәм спиральнең адымы даими (чикле) булып кала, ягъни үзәктән ераграк булган саен, спиральнең чорнамнары әйләнәгә якынлаша.

## Сектор мәйданы
OCM секторының мәйданы S:

: \left(2 \right) S = \frac{1}{6} \varphi \left( \rho^2 + \rho \rho'+ \rho'^2 \right),

биредә \rho = OC, \rho' = OM, \varphi = \angle COM.

\rho = 0, \rho' = a, \varphi = 2\pi булганда, формула (2) формула беренче спиральнең беренче чорнамы һәм CO кисемтәсе арасында фигураның мәйданын бирә:

: S_1 = \frac{1}{3} \pi a^2 = \frac{1}{3} S'_1,

биредә S'_1 — радиусы спиральнең адымы — a-га тигез түгәрәкнең мәйданы .

Барча бу хасиятләр һәм тигезләмәләр Архимед тарафыннан ачылган булган.

## Архимед спирале дугасы озынлыгын исәпләү
Дуганың чиксез кечкенә кисемтәсе dl шуңа тигез (рәс.3 кара):

: dl = \sqrt{d \rho^2 + dh^2},

биредә d\rho — \varphi почмагының d\varphi-га арттырганда радиусның артышы.
Чиксез кечкенә d\varphi почмак артышы өчен түбәндәге дөрес:

: dh^2 = \left(\rho d \varphi \right)^2.

Шуңа күрә:

: dl = \sqrt{d \rho^2 + \rho^2 d \varphi^2}

\rho = k\varphi һәм

: d \rho = k d \varphi булганга күрә

яки

: dl = \sqrt{k^2 d \varphi^2 + k^2 \varphi^2 d \varphi^2}

: dl = k d \varphi \sqrt{1 + \varphi^2}.

L дугасының озынлыгы  dl -дан  d \varphi  буенча  0 -дан  \varphi-га кадәр интегралга тигез:

:  L = \int\limits_{0}^ {\varphi} k \sqrt{1 + \varphi^2}  d \varphi

:  L = \frac{k}{2} \left[ \varphi \sqrt{1 + \varphi^2} + \ln \left( \varphi + \sqrt{1 + \varphi^2}\right) \right].

## Өч үлчәмле гомумиләштерү
**Архимед спираленең** өч үлчәмле гомумиләштерүе дип коник спиральнең конус күчәренә перпендикуляр яссылыкка проекциясен санарга була.

## Искәрмәләр

## Сылтамалар

Төркем:Геометрия