Parametrik denklem

Matematikte, bir **parametrik denklem**, bir grup niceliği parametreler olarak adlandırılan bir veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonları olarak tanımlar. Parametrik denklemler genellikle bir eğri veya yüzey gibi geometrik bir nesneyi oluşturan noktaların koordinatlarını ifade etmek için kullanılır ve sırasıyla ***parametrik eğri*** ve ***parametrik yüzey*** olarak adlandırılır. Bu gibi durumlarda, denklemler, toplu olarak nesnenin **parametrik temsili** veya **parametrik sistem**, veya **parametrelendirilmesi** (alternatif olarak **parametrelendirme** olarak yazılır) olarak adlandırılır.

Örneğin,

\begin{align}
  x &= \cos t \\
  y &= \sin t
\end{align}

denklemleri,  parametre olmak üzere birim çemberin parametrik bir temsilini oluşturur: Bir nokta  birim çember üzerindedir ancak ve ancak  değeri varsa bu iki denklem o noktayı oluşturur. Bazen skaler çıktı değişkenleri için parametrik denklemler vektörler içinde tek bir parametrik denklemde birleştirilir:

(x, y)=(\cos t, \sin t).

Parametrik gösterimler genellikle benzersiz değildir (aşağıdaki "İki boyutta örnekler" bölümüne bakın), bu nedenle aynı büyüklükler bir dizi farklı parametrelendirme ile ifade edilebilir.

Eğriler ve yüzeylere ek olarak parametrik denklemler, parametre sayısı manifoldun veya varyetenin boyutuna eşit olacak şekilde, daha yüksek boyutu olan manifoldları ve cebirsel varyeteleri tanımlayabilir ve denklem sayısı manifold veya varyetenin göz önünde bulundurulduğu uzayın boyutuna eşittir (eğriler için boyut "bir" ve "bir" parametre kullanılır, yüzeyler için boyut "iki" ve "iki" parametre vb.).

Parametrik denklemler genellikle kinematik alanında kullanılır; burada bir nesnenin yörüngesi parametre olarak zamana bağlı denklemlerle temsil edilir. Bu uygulama nedeniyle, tek bir parametre genellikle  olarak etiketlenir; ancak, parametreler diğer fiziksel büyüklükleri (geometrik değişkenler gibi) temsil edebilir veya kolaylık sağlamak için keyfi olarak seçilebilir. Parametrelendirmeler benzersiz ve tek değildir; birden fazla parametrik denklem kümesi aynı eğriyi belirtebilir.

## Uygulamaları
### Kinematik

Kinematikte, nesnelerin uzaydaki yolları genellikle parametrik eğriler olarak tanımlanır ve her bir uzaysal koordinat açıkça bağımsız bir parametreye (genellikle zaman) bağlıdır. Bu şekilde kullanıldığında, nesnenin koordinatları için parametrik denklemler kümesi toplu olarak konum için bir vektör-değerli fonksiyon oluşturur. Bu tür parametrik eğriler daha sonra terimsel olarak integrallenebilir ve türevlenebilir olabilir. Böylece, bir parçacığın konumu parametrik olarak şöyle tanımlanırsa

\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))\,,

o zaman hız şu şekilde;
\begin{align}
\mathbf{v}(t) &= \mathbf{r}'(t) \\
              &= (x'(t), y'(t), z'(t))\,,
\end{align}

ve ivme de aşağıdaki gibi bulunabilir
\begin{align}
\mathbf{a}(t) &= \mathbf{v}'(t) = \mathbf{r}*(t) \\
              &= (x*(t), y*(t), z*(t))\,.
\end{align}

### Bilgisayar destekli tasarım
Parametrik denklemlerin bir diğer önemli kullanımı bilgisayar destekli tasarım (CAD) alanındadır. Örneğin, hepsi düzlemsel eğrileri tanımlamak için yaygın olarak kullanılan aşağıdaki üç gösterimi inceleyin.

Her bir gösterimin CAD uygulamaları için avantajları ve dezavantajları vardır.

Açık gösterim çok karmaşık olabilir, hatta mevcut olmayabilir. Dahası, geometrik dönüşümler ve özellikle de rotasyonlar altında iyi sonuç vermez. Öte yandan, parametrik bir denklem ve örtük bir denklem açık bir gösterimden kolayca çıkarılabileceğinden, basit bir açık gösterim mevcut olduğunda, diğer iki gösterimin avantajlarına sahiptir.

Örtük gösterimler eğri üzerinde noktalar oluşturmayı ve hatta gerçek noktalar olup olmadığına karar vermeyi zorlaştırabilir. Öte yandan, verilen bir noktanın bir eğri üzerinde olup olmadığına veya kapalı bir eğrinin içinde mi yoksa dışında mı olduğuna karar vermek için çok uygundurlar.

Bu tür kararlar parametrik bir gösterimle zor olabilir, ancak parametrik gösterimler bir eğri üzerinde noktalar oluşturmak ve bunu çizmek için en uygun olanıdır.

### Tam sayı geometrisi
Tam sayı geometrisi alanındaki çok sayıda problem parametrik denklemler kullanılarak çözülebilir. Bu tür klasik bir çözüm Öklid'in dik üçgenleri, kenarlarının  ve hipotenüslerinin  uzunlukları aralarında asal tam sayılar olacak şekilde parametrize etmesidir.  ve  çift olmadığından (aksi takdirde  ve  çift olmazdı),  çift olacak şekilde değiştirilebilir ve parametrelendirme şu şekilde olur:

\begin{align}
a &= 2mn \\
b &= m^2 - n^2 \\
c &= m^2 + n^2\,,
\end{align}

burada  ve  parametreleri her ikisi de tek olmayan pozitif aralarında asal tam sayılardır.

 ve 'yi rastgele bir pozitif tam sayı ile çarparak, üç kenarı tam sayı uzunluğunda olan tüm dik üçgenlerin parametrizasyonunu elde ederiz.

## Örtükleştirme
Bir dizi parametrik denklemin tek bir örtük denkleme dönüştürülmesi,  değişkeninin eşzamanlı x=f(t),\ y=g(t). denklemlerinden çıkarılmasını içerir. Bu işlem, **örtükleştirme** (**') olarak adlandırılır. Bu denklemlerden biri  için çözülebilirse, elde edilen ifade diğer denklemde yerine konularak yalnızca  ve  içeren bir denklem elde edilebilir: <math>y=g(t)</math> çözülerek <math>t=g^{-1}(y)</math> elde edilir ve bu <math>x=f(t)</math> içinde kullanılırsa <math> x=f(g^{-1}(y)),</math> açık denklemini verirken, daha karmaşık durumlarda <math>h(x,y)=0.</math> şeklinde örtük bir denklem elde edilir.

Eğer parametrizasyon,

<math display="block">x=\frac{p(t)}{r(t)},\qquad y=\frac{q(t)}{r(t)},</math>

[[rasyonel fonksiyon]]ları tarafından veriliyorsa bir [[resültant]] hesaplaması örtükleştirmeye izin verir, burada ,  ve  küme bazında [[aralarında asal]] polinomlarıdır. Daha doğrusu, örtük denklem  ve 'nin 'ye göre [[resültant]]ıdır.

Daha yüksek boyutlarda (ikiden fazla koordinat veya birden fazla parametre), rasyonel parametrik denklemlerin örtükleştirilmesi [[Gröbner temeli]] hesaplamasıyla yapılabilir; bkz .

Yarıçapı  olan çember örneğini ele alırsak, parametrik denklemler;

<math display="block">\begin{align}
  x &= a \cos(t) \\
  y &= a \sin(t)
\end{align}</math>

 ve  terimlerinde [[Pisagor trigonometrik özdeşliği]] aracılığıyla örtükleştirilebilir.

<math display="block">\begin{align}
\frac{x}{a} &= \cos(t) \\
\frac{y}{a} &= \sin(t) \\
\end{align}</math>

değerlerini

<math display="block">\cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1,</math>

özdeşliğinde yerine koyarak

<math display="block">\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{a}\right)^2 = 1,</math>

elde ederiz ve buradan

<math display="block">x^2+y^2=a^2,</math>

bulunur. Bu da orijin merkezli bir çemberin standart denklemidir.

==İki boyutta örnekler==
===Parabol===

Bir [[parabol]] için en basit denklem olan,

<math display="block">y = x^2</math>

serbest bir parametre  kullanılarak (basit bir şekilde) parametrelendirilebilir ve

<math display="block">x = t, y = t^2 \quad \mathrm{for} -\infty < t < \infty.</math>

elde edilir.

===Açık denklemler===
Daha genel olarak, açık bir denklemle verilen herhangi bir eğri,

<math display="block">y = f(x)</math>

serbest bir parametre  kullanılarak (basit bir şekilde) parametrelendirilebilir ve

<math display="block">x = t, y = f(t) \quad \mathrm{for} -\infty < t < \infty.</math>

bulunur.

===Çember===
Daha kapsamlı bir örnek ise aşağıdaki gibidir. Sıradan (Kartezyen) denklemle tanımlanan birim çemberi düşünün;

<math display="block"> x^2 + y^2 = 1.</math>

Bu denklem aşağıdaki gibi parametrelendirilebilir:

<math display="block">(x,y)=(\cos(t),\; \sin(t))\quad\mathrm{for}\ 0\leq t < 2\pi.</math>

Kartezyen denklem ile bir noktanın çember üzerinde olup olmadığını kontrol etmek daha kolaydır. Parametrik seçenek ile bir çizim üzerinde noktalar elde etmek daha kolaydır.

Bazı bağlamlarda, eğer varsa, sadece [[rasyonel fonksiyon]]ları (yani iki [[polinom]]un kesirlerini) içeren parametrik denklemler tercih edilir. Çember durumunda, böyle bir ''rasyonel parametrelendirme'' şöyledir:

<math display="block">\begin{align}
  x &= \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\
  y &= \frac{2t}{1 + t^2}\,.
\end{align}</math>

Bu parametrik denklem çifti ile  noktası 'nin [[reel sayı|gerçek]] değeri ile değil,  [[sonsuz]]a yöneldiğinde  ve 'nin [[limit (matematik)|limit]] değeri ile temsil edilir.

===Elips===
Yarı eksenleri  ve  olan kanonik konumdaki bir [[elips]] (merkezi orijinde, ana eksen  ekseni boyunca) parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

<math display="block">\begin{align}
  x &= a\,\cos t \\
  y &= b\,\sin t\,.
\end{align}</math>

Genel konumdaki bir elips şu şekilde ifade edilebilir:

<math display="block">\begin{alignat}{4}
  x ={}&& X_\mathrm{c} &+ a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&- b\,\sin t\,\sin\varphi \\
  y ={}&& Y_\mathrm{c} &+ a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+ b\,\sin t\,\cos\varphi
\end{alignat}</math>

 parametresi  ile  arasında değişir. Burada  elipsin merkezidir ve   ekseni ile elipsin ana ekseni arasındaki açıdır.

Her iki parametrelendirme de [[tanjant yarım-açı formülü]] kullanılarak ve

<math display="inline">\tan\frac{t}{2} = u\,.</math>

alınarak [[rasyonel fonksiyon|rasyonel]] yapılabilir.

=== Lissajous eğrisi ===


Bir [[Lissajous eğrileri|Lissajous eğrisi]] elipse benzer, ancak  ve  [[sinüzoid]]ler fazda değildir. Kanonik konumda, bir Lissajous eğrisi şu şekilde verilir:

:<math>\begin{align}
  x &=  a\,\cos(k_xt) \\
  y &=  b\,\sin(k_yt)
\end{align}</math>

burada  ve  şeklin lob sayısını tanımlayan sabitlerdir.

===Hiperbol===
Doğu-batı açılımlı bir [[hiperbol]] parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

<math display="block">\begin{align}
  x &= a\sec t + h \\
  y &= b\tan t + k\,,
\end{align}</math>

veya, [[rasyonel fonksiyon|rasyonel]] olarak,

<math display="block">\begin{align}
  x &= a\frac{1 + t^2}{1 - t^2} + h \\
  y &= b\frac{2t}{1 - t^2}  + k\,.
\end{align}</math>

Kuzey-güney açılımlı bir hiperbol parametrik olarak şu şekilde gösterilebilir:

<math display="block">\begin{align}
  x &= b\tan t + h \\
  y &= a\sec t + k\,,
\end{align}</math>

veya, rasyonel olarak

<math display="block">\begin{align}
  x &= b\frac{2t}{1 - t^2} + h \\
  y &= a\frac{1 + t^2}{1 - t^2} + k\,.
\end{align}</math>

Tüm bu formüllerde  hiperbolün merkez koordinatları,  yarı büyük eksenin uzunluğu ve  yarı küçük eksenin uzunluğudur. Bu formüllerin rasyonel formlarında, sırasıyla  ve  noktalarının 'nin gerçek bir değeriyle temsil edilmediğine,  sonsuza giderken  ve 'nin limiti olduğuna dikkat edin.

===Hipotrokoid===
Bir [[hipotrokoid]],  yarıçaplı bir çembere bağlı bir noktanın,  yarıçaplı sabit bir çemberin içinde yuvarlanmasıyla izlenen bir eğridir; burada nokta, iç çemberin merkezinden  uzaklıktadır.

<gallery>
Dosya:2-circles hypotrochoid.gif|
Dosya:HypotrochoidOutThreeFifths.gif|
</gallery>

Hipotrokoidler için parametrik denklemler şunlardır:

<math display="block">\begin{align}
  x (\theta) &= (R - r)\cos\theta + d\cos\left({R - r \over r}\theta\right) \\
  y (\theta) &= (R - r)\sin\theta - d\sin\left({R - r \over r}\theta\right)\,.
\end{align}</math>

Bazı örnekler:
<gallery>
Image: Param1a 6 4 1 a2.jpg|<div class="center">  </div>
Image: Param1a 7 4 1 a4.jpg|<div class="center">  </div>
Image: Param1a 8 3 2 a3.jpg|<div class="center">  </div>
Image: Param1a 7 4 2 a4.jpg|<div class="center">  </div>
Image: Param1a 15 14 1 a14.jpg|<div class="center">  </div>
</gallery>

==Üç boyutta örnekler==


===Helezon===


Parametrik denklemler yüksek boyutlu uzaylarda [[eğri]]leri tanımlamak için uygundur. Örneğin:

<math display="block">\begin{align}
  x &= a \cos(t) \\
  y &= a \sin(t) \\
  z &= bt\,
\end{align}</math>

yarıçapı  olan ve dönüş başına  birim yükselen üç boyutlu bir eğriyi, [[helezon]] tanımlar. Denklemler [[İki boyutlu uzay|düzlem]]de bir çember için olanlarla aynıdır.

Yukarıdaki gibi ifadeler genellikle şu şekilde yazılır:

<math display="block">\begin{align}
\mathbf{r}(t) &= (x(t), y(t), z(t)) \\
  &= (a \cos(t), a \sin(t), b t)\,,
\end{align}</math>

burada  üç boyutlu bir vektördür.

===Parametrik yüzeyler===


Büyük yarıçapı  ve küçük yarıçapı  olan bir [[torus]], parametrik olarak şu şekilde tanımlanabilir:

<math display="block">\begin{align}
x &= \cos(t)\left(R + r \cos(u)\right), \\
y &= \sin(t)\left(R + r \cos(u)\right), \\
z &= r \sin(u)\,.
\end{align}</math>

burada  ve  parametrelerinin her ikisi de  ile  arasında değişir.

<gallery>
Dosya:Torus.png|<div class="center">, </div>
</gallery>

,  ile  arasında değişirken, yüzeydeki nokta torustaki delikten geçen kısa bir çember etrafında hareket eder. ,  ile  arasında değiştikçe yüzeydeki nokta torustaki deliğin etrafında uzun bir çember çizer.

==Vektörlerle örnek==
<math>\left( x_0, y_0, z_0 \right)</math> noktasından geçen ve <math> a \hat\mathbf{i} + b \hat\mathbf{j} + c \hat\mathbf{k}</math> vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemi;

<math display="block">\begin{align}
x & = x_0 +a t \\
y & = y_0 +b t \\
z & = z_0 +c t
\end{align}</math>

şeklindedir.

== Eksik belirlenmiş doğrusal sistemler ==
 bilinmeyenli bir [[Doğrusal denklem sistemi| doğrusal denklem sistemi]] birden fazla çözüme sahipse [[Eksik belirlenmiş sistem|eksik belirlenmiş]]tir. Bu durum, sistemin [[matris (matematik)|matris]] ve [[artırılmış matris]] aynı [[rank (lineer cebir)|rank]] 'ye sahip ve  olduğunda ortaya çıkar. Bu durumda,  bilinmeyenleri parametre olarak seçilebilir ve tüm çözümleri, tüm bilinmeyenlerin seçilenlerin [[doğrusal birleşim]]i olarak ifade edildiği parametrik bir denklem olarak temsil eder.

Yani, bilinmeyenler <math>x_1, \ldots, x_n,</math> ise, çözümleri şu şekilde ifade etmek için bunları yeniden düzenleyebiliriz:

<math display="block">
\begin{align}
x_1 &= \beta_1+\sum_{j=r+1}^n \alpha_{1,j}x_j\\
\vdots\\
x_r &= \beta_r+\sum_{j=r+1}^n \alpha_{r,j}x_j\\
x_{r+1} &= x_{r+1}\\
\vdots\\
x_n &= x_n.
\end{align}
</math>

Böyle bir parametrik denklem, sistemin çözümünün **parametrik formu''' olarak adlandırılır.

Çözümün parametrik formunu hesaplamak için standart yöntem, artırılmış matrisin indirgenmiş satır eşelon formunu hesaplamak için Gauss eliminasyonu kullanmaktır. Daha sonra parametre olarak kullanılabilecek bilinmeyenler, herhangi bir başat girdi içermeyen sütunlara karşılık gelenlerdir (yani bir satırdaki veya matristeki en soldaki sıfır olmayan giriş) ve parametrik form doğrudan çıkarılabilir.

## Ayrıca bakınız
*Eğri
*Parametrik tahmin
*Konum vektörü
*Vektör-değerli fonksiyon
*Yay uzunluğuna göre parametrizasyon
*Parametrik türev

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
*
*Web application to draw parametric curves on the plane