Birim kesir

**Birim kesir**, payı bir olan pozitif bir kesirdir ve 1/ şeklinde yazılır.
Bu kesir, pozitif bir doğal sayı olması gereken paydanın çarpmaya göre tersidir.
Örnekleri 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 vb. şeklindedir. Bir nesne eşit parçalara bölündüğünde, her bir parça bütünün bir birim kesridir.

İki birim kesrin çarpılması başka bir birim kesir üretir, ancak diğer aritmetik işlemler birim kesir özelliğini korumaz.
Modüler aritmetikte, birim kesirler eşdeğer tam sayılara dönüştürülebilir, bu da modüler bölmenin çarpmaya dönüştürülmesine olanak tanır.
Her rasyonel sayı, farklı birim kesirlerin toplamı olarak gösterilebilir;
bu gösterimlere, Antik Mısır matematiğindeki kullanımlarına dayanarak Mısır kesirleri denir.
Birim kesirlerin birçok sonsuz toplamı matematiksel olarak anlamlıdır.

Geometride, birim kesirler üçgen gruplarının eğriliğini ve Ford çemberlerinin teğetliklerini karakterize etmek için kullanılabilir.
Birim kesirler adil paylaşım problemlerinde yaygın olarak kullanılır ve bu tanıdık uygulama, matematik eğitiminde diğer kesirlerin anlaşılmasına yönelik erken bir adım olarak kullanılır.
Birim kesirler, kayıtsızlık ilkesi (*principle of indifference*; bir olayın gerçekleşeceğine dair bir sebep yoksa, gerçekleşmesi muhtemel tüm olaylara eşit olasılıkların atanması gerektiği ilkesi) nedeniyle olasılık kuramında yaygındır.
Ayrıca kombinatoryal optimizasyonda ve hidrojen spektral serilerindeki frekans desenlerinin analizinde uygulamaları vardır.

## Aritmetik
Birim kesirler, n'nin herhangi bir pozitif doğal sayı olabildiği \frac1n, biçiminde yazılabilen rasyonel sayılardır.
Dolayısıyla bunlar pozitif tam sayıların çarpmaya göre tersleridir.
Bir unsur n eşit parçaya bölündüğünde, her parça bütünün 1/n kesri kadardır.

### Temel aritmetik
Herhangi iki birim kesrin çarpılması, başka bir birim kesir olan bir çarpımla sonuçlanır:
\frac1x \times \frac1y = \frac1{xy}.
Ancak, iki birim kesri toplamak, çıkarmak veya bölmek genellikle bir birim kesir olmayan bir sonuç üretir:
\frac1x + \frac1y = \frac{x+y}{xy}

\frac1x - \frac1y = \frac{y-x}{xy}

\frac1x \div \frac1y = \frac{y}{x}.

Bu formüllerden sonuncusunun gösterdiği gibi, her kesir iki birim kesrin bölümü olarak ifade edilebilir.

### Modüler aritmetik
Modüler aritmetikte, herhangi bir birim kesir, genişletilmiş Öklid algoritması kullanılarak eşdeğer bir tam 
sayıya dönüştürülebilir. Bu dönüşüm modüler bölme işlemini gerçekleştirmek için kullanılabilir: y modunda bir x sayısına bölme işlemi, 1/x birim kesrinin y modunda eşdeğer bir tam sayıya dönüştürülmesi ve ardından bu sayıyla çarpılması yoluyla yapılabilir.

Daha ayrıntılı olarak, x'in y ile aralarında asal olduğunu varsayalım (aksi takdirde, y modunda x ile bölme tanımlanmaz).
En büyük ortak bölen için genişletilmiş Öklid algoritması, Bézout özdeşliğini sağlayan a ve b tam sayılarını bulmak için kullanılabilir:
\displaystyle ax + by = \text{ebob}(x,y)=1.
Modulo-y aritmetiğinde, by terimi y modunda sıfır olduğu için elimine edilebilir.
Geriye şu kalır:
\displaystyle ax \equiv 1 \pmod y.
Yani, a, x'in modüler tersidir; bu, x ile çarpıldığında bir sonucunu veren sayıdır.
Eşdeğer olarak,
a \equiv \frac1x \pmod y.
Böylece x ile bölme (y modunda), bunun yerine a tam sayısı ile çarpılarak gerçekleştirilebilir.

## Kombinasyonlar
Matematikteki çeşitli inşalar, genellikle toplama yoluyla birden fazla birim kesrin bir araya getirilmesini içerir.

### Sonlu toplamlar

Herhangi bir pozitif rasyonel sayı, birden çok yolla, farklı birim kesirlerin toplamı olarak yazılabilir.
Örneğin,
:\frac45=\frac12+\frac14+\frac1{20}=\frac13+\frac15+\frac16+\frac1{10}.
Bu toplamlara Mısır kesirleri denir, çünkü antik Mısır uygarlıkları bunları daha genel rasyonel sayılar için bir gösterim olarak kullanmıştır.
Eskilerin kesirli bir sayı için olası gösterimler arasından seçim yapmak ve bu tür gösterimlerle hesaplama yapmak için kullandıkları yöntemleri analiz etmeye bugün hala ilgi duyulmaktadır. Mısır kesirleri konusu modern sayılar teorisinde de ilgi görmüştür;
örneğin, Erdős–Graham problemi ve Erdős–Straus sanısı, Ore harmonik sayılarının tanımı gibi, birim kesirlerin toplamlarıyla ilgilidir.

Geometrik grup teorisinde, üçgen grupları; ilişkili birim kesirler toplamının bire eşit, birden büyük veya birden küçük olmasına bağlı olarak sırasıyla Öklidyen, küresel ve hiperbolik durumlar şeklinde sınıflandırılır.

### Sonsuz seriler

Pek çok iyi bilinen sonsuz seri, birim kesir olan terimlere sahiptir.
Bunlar şunları içerir:
* Harmonik seri, tüm pozitif birim kesirlerin toplamı. Bu toplam ıraksar ve kısmi toplamları \frac11 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n Euler-Mascheroni sabiti artı n'in doğal logaritmasına yakınsar. Her iki toplamadan birinin çıkarmaya dönüştürülmesi, 2'nin doğal logaritmasına eşit olan alterne harmonik seriyi üretir: \sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots = \ln 2.
* π için Leibniz formülü şöyledir: 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}.
* Basel problemi, kare birim kesirlerin toplamı ile ilgilidir: 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}. Benzer şekilde, Apéry sabiti küp birim kesirlerin toplamıdır ve bir irrasyonel sayıdır.
* İkili geometrik seri şöyledir: 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac1{16} + \cdots = 2.

### Matrisler
Bir Hilbert matrisi,  antiköşegen üzerindeki elemanların hepsinin 1/i birim kesrine eşit olduğu bir kare matristir.
Yani, elemanları şöyledir:
B_{i,j} = \frac1{i+j-1}.
Örneğin, şu matris
\begin{bmatrix} 
 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\
 \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\
 \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5}
\end{bmatrix}
bir Hilbert matrisidir.
Tersinir matrisdeki tüm elemanların tam sayı olması gibi olağandışı bir özelliğe sahiptir. Benzer şekilde, , elemanları paydaları Fibonacci sayıları olan birim kesirlerden oluşan bir matris tanımlamıştır:
C_{i,j} = \frac1{F_{i+j-1}},
burada F_i,  Fibonacci sayısını belirtir.
O bu matrise Filbert matrisi adını vermiştir ve bu matris de tam sayı bir ters matrise sahip olma özelliği taşır.

### Bitişiklik ve Ford çemberleri

İki kesir a/b ve c/d (en sade halleriyle), eğer 
ad-bc=\pm1
ise **bitişik** (*adjacent*) olarak adlandırılır, bu da birbirlerinden bir birim kesir kadar farklı oldukları anlamına gelir:
\left|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right|=\frac{bd}=\frac{1}{bd}.

Örneğin, \tfrac12 ve \tfrac35 bitişiktir: 1\cdot 5-2\cdot 3=-1 ve \tfrac35-\tfrac12=\tfrac1{10}.

Ancak, farkları bir birim kesir olan bazı kesir çiftleri bu anlamda bitişik değildir: örneğin, \tfrac13 ve \tfrac23 bir birim kesir kadar farklıdır, ancak bitişik değildirler, çünkü onlar için ad-bc=3'tür.

Bu terminoloji Ford çemberlerinin incelenmesinden gelir.
Bunlar, sayı doğrusuna belirli bir kesirde teğet olan ve çapları kesrin paydasının karesi olan bir çemberler sistemidir.
a/b ve c/d kesirleri, ancak ve ancak Ford çemberleri teğet çemberler ise bitişiktir.

## Uygulamalar

### Adil paylaşım ve matematik eğitimi
Matematik eğitiminde, görsel olarak bir bütünün eşit parçaları şeklinde açıklanmalarının kolaylığı nedeniyle, birim kesirler genellikle diğer kesir türlerinden daha erken tanıtılır. Birim kesirlerin yaygın bir pratik kullanımı, yiyecekleri bir grup insan arasında eşit olarak bölmektir ve bu tür bir adil paylaşım yapma alıştırmaları, öğrencilere birim kesirlerle çalışmayı öğretirken kullanılan standart bir sınıf örneğidir.

### Olasılık ve istatistik

Ayrık bir uzayda tekdüze dağılımda, tüm olasılıklar eşit birim kesirlerdir.
Kayıtsızlık ilkesi (*principle of indifference*) nedeniyle, bu formdaki olasılıklar istatistiksel hesaplamalarda sıkça ortaya çıkar.

Birim kesirlerle ilgili eşit olmayan olasılıklar Zipf yasasında ortaya çıkar.
Bu yasa, sıralı bir diziden öğelerin seçilmesini içeren birçok gözlemlenen olgu için,  öğenin seçilme olasılığının 1/n birim kesri ile orantılı olduğunu belirtir.

### Kombinatoryal optimizasyon
Kombinatoryal optimizasyon problemlerinin incelenmesinde, kutu paketleme problemleri (*bin packing*), kesirli boyutlara sahip bir girdi öğe dizisinin, kapasitesi (her bir kutuya yerleştirilen öğelerin toplam boyutu) bir olan kutulara yerleştirilmesini içerir.
Bu problemler üzerine yapılan araştırmalar, öğe boyutlarının birim kesirler olduğu kısıtlı kutu paketleme problemlerinin incelenmesini de kapsamıştır.

Bunun bir motivasyonu, daha genel kutu paketleme yöntemleri için bir test durumu olmasıdır.
Bir diğeri ise, eşit uzunluktaki bir mesaj koleksiyonunun sınırlı sayıda iletişim kanalında tekrar tekrar yayınlanması gereken ve her mesajın tekrarlanan yayınlarının başlangıç zamanları arasında maksimum bir gecikmeye sahip olduğu bir tür Pinwheel çizelgeleme içerir.
Gecikmesi bir mesajın uzunluğunun k katı olan bir öğe, atandığı kanaldaki zaman dilimlerinin en az 1/k oranındaki kısmını işgal etmelidir; bu nedenle çizelgeleme problemine bir çözüm, yalnızca kanalların kutu ve 1/k kesirlerinin öğe boyutları olduğu birim kesir kutu paketleme problemine bir çözümden gelebilir.

Keyfi öğe boyutlarına sahip kutu paketleme problemleri için bile, her öğe boyutunu bir sonraki daha büyük birim kesre yuvarlamak ve ardından birim kesir boyutları için özelleştirilmiş bir kutu paketleme algoritması uygulamak yararlı olabilir.
Özellikle, harmonik kutu paketleme yöntemi tam olarak bunu yapar ve ardından her kutuyu yalnızca tek bir yuvarlanmış birim kesir boyutundaki öğeleri kullanarak paketler.

### Fizik

Bir hidrojen atomu tarafından soğurulabilen veya yayılabilen fotonların enerji seviyeleri, Rydberg formülüne göre, iki birim kesrin farkları ile orantılıdır.
Bu olgu için bir açıklama Bohr modeli tarafından sağlanır; buna göre bir hidrojen atomundaki elektron yörüngelerinin enerji seviyeleri kare birim kesirlerle ters orantılıdır ve bir fotonun enerjisi iki seviye arasındaki farka kuantumlanır.

Arthur Eddington, ince yapı sabitinin bir birim kesir olduğunu savunmuştur.
Başlangıçta bunun 1/136 olduğunu düşünmüş, daha sonra teorisini 1/137 olarak değiştirmiştir.
İnce yapı sabitinin mevcut tahminlerinin (6 anlamlı basamağa kadar) 1/137.036 olduğu göz önüne alındığında, bu iddia yanlışlanmıştır.

## Kaynakça