Maksimum ve minimum

Matematiksel analizde, bir fonksiyonun **maksimum** ve **minimum**u, sırasıyla, fonksiyonun aldığı en büyük ve en küçük değerdir.
Genel olarak **ekstremum** (çoğul: **ekstrema**) olarak bilinen bu değerler, belirli bir aralık dahilinde (*yerel* veya *göreli* ekstremum) veya bir fonksiyonun tüm tanım kümesi üzerinde (*küresel* veya *mutlak* ekstremum) tanımlanabilir. 

Pierre de Fermat, fonksiyonların maksimum ve minimumlarını bulmak için genel bir teknik olan yeterlilik (*adequality*) yöntemini öneren ilk matematikçilerden biriydi.
Kümeler teorisinde tanımlandığı üzere, bir kümenin maksimum ve minimumu, sırasıyla kümedeki en büyük ve en küçük elemanlardır.
Reel sayılar kümesi gibi sınırsız sonsuz kümelerin minimumu veya maksimumu yoktur.

İstatistikte, buna karşılık gelen kavram örneklem maksimumu ve minimumudur.

## Tanım
Bir *X* tanım kümesi üzerinde tanımlı reel değerli bir *f* fonksiyonunun, eğer *X* içindeki tüm *x* değerleri için  ise *x*∗ noktasında bir **küresel** (veya **mutlak**) **maksimum noktası** vardır.
Benzer şekilde, eğer *X* içindeki tüm *x* değerleri için  ise fonksiyonun *x*∗ noktasında bir **küresel** (veya **mutlak**) **minimum noktası** vardır.

Fonksiyonun bir maksimum noktasındaki değerine fonksiyonun ***' denir ve <math>\max(f(x))</math> ile gösterilir; bir minimum noktasındaki değerine ise fonksiyonun ***' denir (netlik sağlamak için \min(f(x)) ile gösterilir).
Sembolik olarak bu şu şekilde yazılabilir:
:x_0 \in X, f:X \to \R fonksiyonunun küresel maksimum noktasıdır, eğer (\forall x \in X)\, f(x_0) \geq f(x) ise.
Küresel minimum noktasının tanımı da benzer şekilde yapılır.
Eğer *X* tanım kümesi bir metrik uzay ise, *x*∗ noktasına *ε* mesafesindeki tüm *X* elemanları için  olacak şekilde bir *ε* > 0 varsa, *f* fonksiyonunun *x*∗ noktasında bir **yerel** (veya **göreli**) **maksimum noktası** olduğu söylenir.
Benzer şekilde, *x*∗ noktasına *ε* mesafesindeki tüm *X* elemanları için *f*(*x*∗) ≤ *f*(*x*) ise fonksiyonun *x*∗ noktasında bir **yerel minimum noktası** vardır.

*X* bir topolojik uzay olduğunda da benzer bir tanım kullanılabilir, çünkü az önce verilen tanım komşuluklar cinsinden yeniden ifade edilebilir.
Matematiksel olarak, verilen tanım şu şekilde yazılır:
:Bir (X, d_X) metrik uzayı ve  f:X \to \R fonksiyonu olsun.
Eğer öyle bir  (\exists \varepsilon > 0) varsa ki (\forall x \in X)\, d_X(x, x_0) olsun, o zaman x_0 \in X, f fonksiyonunun bir yerel maksimum noktasıdır.

Yerel minimum noktasının tanımı da benzer şekilde yapılır.
Hem global hem de yerel durumlarda, ***' (''strict extremum'') kavramı tanımlanabilir.
Örneğin,  olan ''X'' içindeki tüm ''x'' değerleri için  ise ''x''<sup>∗</sup> bir ***'dır; ve eğer öyle bir  varsa ki, *x*∗ noktasına *ε* mesafesindeki (ve  olan) tüm *x* değerleri için  olsun, o zaman *x*∗ bir ***'dır.

Bir noktanın kesin küresel maksimum noktası olmasının, ancak ve ancak onun benzersiz küresel maksimum noktası olması durumunda geçerli olduğuna ve minimum noktaları için de benzer durumun geçerli olduğuna dikkat ediniz.
[[Kompakt uzay|Kompakt]] bir tanım kümesine sahip [[Sürekli fonksiyon|sürekli]] reel değerli bir fonksiyonun her zaman bir maksimum noktası ve bir minimum noktası vardır.
Önemli bir örnek, tanım kümesi [[reel sayılar]]ın kapalı ve sınırlı bir [[Aralık (matematik)|aralığı]] olan bir fonksiyondur (yukarıdaki grafiğe bakınız).

==Arama==
Küresel maksimum ve minimumları bulmak [[Optimizasyon|matematiksel optimizasyon]]un amacıdır.
Bir fonksiyon kapalı bir aralıkta sürekli ise, [[uç değerler teoremi]] gereği küresel maksimum ve minimumlar mevcuttur.
Ayrıca, bir küresel maksimum (veya minimum), ya tanım kümesinin iç bölgesindeki bir yerel maksimum (veya minimum) olmalı ya da tanım kümesinin sınırında yer almalıdır.
Dolayısıyla, bir küresel maksimumu (veya minimumu) bulmanın bir yöntemi, iç bölgedeki tüm yerel maksimumlara (veya minimumlara) ve ayrıca sınırdaki noktaların maksimumlarına (veya minimumlarına) bakmak ve en büyüğünü (veya en küçüğünü) almaktır.

[[Türevlenebilir fonksiyon]]lar için, [[Fermat teoremi (durağan noktalar)|Fermat teoremi]], bir tanım kümesinin iç bölgesindeki yerel ekstremumların [[Kritik nokta (matematik)|kritik nokta]]larda (veya türevin sıfıra eşit olduğu noktalarda) gerçekleşmesi gerektiğini belirtir. Ancak, tüm kritik noktalar ekstremum değildir.
Yeterli türevlenebilirlik verildiğinde, [[birinci türev testi]], [[ikinci türev testi]] veya [[yüksek mertebeden türev testi]] kullanılarak bir kritik noktanın yerel maksimum mu, yerel minimum mu yoksa hiçbiri mi olduğu genellikle ayırt edilebilir.

[[Parçalı fonksiyon|Parçalı]] olarak tanımlanmış herhangi bir fonksiyon için, her parçanın maksimumunu (veya minimumunu) ayrı ayrı bularak ve ardından hangisinin en büyük (veya en küçük) olduğuna bakılarak bir maksimum (veya minimum) bulunur.

==Örnekler==



Pratik bir örnek için, birinin <math>200</math> fit (yaklaşık 61 metre) çite sahip olduğunu ve dikdörtgen bir çevrili alanın metrekaresini maksimize etmeye çalıştığını varsayalım; burada <math>x</math> uzunluk, <math>y</math> genişlik ve <math>xy</math> alandır:

:<math> 2x+2y = 200 </math>
:<math> 2y = 200-2x </math>
:<math> \frac{2y}{2} = \frac{200-2x}{2} </math>
:<math> y = 100 - x</math>
:<math> xy=x(100-x) </math>

<math>x</math>'e göre türev şöyledir:
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx}xy&=\frac{d}{dx}x(100-x) \\
&=\frac{d}{dx} \left(100x-x^2 \right) \\
&=100-2x
\end{align}</math>
Bunu <math>0</math>'a eşitlemek:
:<math>0=100-2x</math>
:<math>2x=100</math>
:<math>x=50</math>
<math>x=50</math>'nin tek [[Kritik nokta (matematik)|kritik noktamız]] olduğunu ortaya çıkarır.
Şimdi <math>x</math>'in sınırlandığı aralığı belirleyerek uç noktaları bulun.
Genişlik pozitif olduğundan <math>x>0</math>'dır ve  olduğundan, bu  olduğu anlamına gelir.
Kritik nokta  ve uç noktalar <math>0</math> ile   içine yerleştirin; sonuçlar sırasıyla <math>2500, 0,</math> ve <math>0</math>'dır.
Bu nedenle, <math>200</math> fit çit ile elde edilebilecek en büyük alan dikdörtgeni  birimkaredir.

==Birden fazla değişkenli fonksiyonlar==



Birden fazla değişkenli fonksiyonlar için de benzer koşullar geçerlidir.
Örneğin, sağdaki (büyütülebilir) şekilde, bir ''yerel'' maksimum için gerekli koşullar, tek değişkenli bir fonksiyonunkine benzerdir.
''z'' (maksimize edilecek değişken) cinsinden birinci [[kısmi türev]]ler maksimumda (şeklin tepesindeki parlayan nokta) sıfırdır.
İkinci kısmi türevler negatiftir. Bunlar yerel maksimum için yalnızca gerekli koşullardır, yeterli değildir; çünkü bir [[eyer noktası]] olasılığı vardır.
Bu koşulların maksimumu çözmek için kullanılabilmesi için, ''z'' fonksiyonunun aynı zamanda her yerde [[Türevlenebilir fonksiyon|türevlenebilir]] olması gerekir.

[[İkinci kısmi türev testi]], noktanın göreli maksimum mu yoksa göreli minimum mu olduğunun sınıflandırılmasına yardımcı olabilir.
Buna karşılık, küresel ekstremumların belirlenmesinde tek değişkenli fonksiyonlar ile birden fazla değişkenli fonksiyonlar arasında önemli farklılıklar vardır.

Örneğin, reel sayı doğrusundaki kapalı bir aralıkta tanımlı, sınırlı ve türevlenebilir bir ''f'' fonksiyonunun yerel minimum olan tek bir kritik noktası varsa, bu aynı zamanda bir küresel minimumdur (bunu [[olmayana ergi]] yöntemiyle kanıtlamak için [[ara değer teoremi]] ve [[Rolle teoremi]]ni kullanın).
İki ve daha fazla boyutta bu argüman geçersizdir. Bu durum şu fonksiyonla gösterilebilir:
:<math>f(x,y)= x^2+y^2(1-x)^3,\qquad x,y \in \R,</math>
bu fonksiyonun tek kritik noktası (0,0)'dadır ve bu nokta ''f''(0,0)&nbsp;=&nbsp;0 ile bir yerel minimumdur.
Ancak, bu bir küresel minimum olamaz, çünkü ''f''(2,3)&nbsp;=&nbsp;−5'tir.

==Bir fonksiyonelin maksimumu veya minimumu==
Eğer bir ekstremumun bulunacağı fonksiyonun tanım kümesi fonksiyonlardan oluşuyorsa (yani bir [[Fonksiyonel (matematik)|fonksiyonelin]] ekstremumu bulunacaksa), ekstremum [[varyasyonlar hesabı]] (''calculus of variations'') kullanılarak bulunur.

==Kümeler ile ilişkisi==
Maksimum ve minimum kümeler için de tanımlanabilir.
Genel olarak, eğer bir ''S'' [[Kısmi sıralı küme|sıralı kümesinin]] bir ''m'' en büyük elemanı varsa, ''m'' kümenin bir maksimal elemanıdır ve <math>\max(S)</math> olarak da gösterilir.
Ayrıca, ''S'', bir ''T'' sıralı kümesinin alt kümesi ise ve ''m'', ''S'' kümesinin (''T'' tarafından sağlanan sıralamaya göre) en büyük elemanı ise, o zaman ''m'', ''S'' kümesinin ''T'' içindeki en küçük üst sınırıdır.
Benzer sonuçlar en küçük eleman, minimal eleman ve en büyük alt sınır için de geçerlidir.
Kümeler için maksimum ve minimum fonksiyonu [[veritabanı|veritabanlarında]] kullanılır ve bir bölümlemenin maksimumlarından kümenin maksimumu (veya minimumu) hesaplanabildiği için hızlı bir şekilde hesaplanabilir;
resmi olarak, bunlar kendi kendine [[ayrıştırılabilir toplama fonksiyonu|ayrıştırılabilir toplama fonksiyonlarıdır]].

Genel bir [[Kısmi sıralı küme|kısmi sıralama]] durumunda, bir '''en küçük eleman''' (yani diğerlerinden küçük olan eleman), '''minimal eleman''' (kendisinden küçüğü olmayan eleman) ile karıştırılmamalıdır.
Benzer şekilde, bir kısmi sıralı kümenin (poset) '''en büyük eleman'''ı, kümenin içinde yer alan ve kümenin bir üst sınırı olan elemandır; oysa bir ''A'' posetinin '''maksimal eleman'''ı ''m'', eğer ''m'' ≤ ''b'' ise (''A'' içindeki herhangi bir ''b'' için), o zaman ''m'' = ''b'' olan bir ''A'' elemanıdır.

Bir posetin herhangi bir en küçük elemanı veya en büyük elemanı benzersizdir, ancak bir posetin birden fazla minimal veya maksimal elemanı olabilir. Eğer bir posetin birden fazla maksimal elemanı varsa, bu elemanlar karşılıklı olarak karşılaştırılabilir olmayacaktır.

Bir [[tam sıralama|tam sıralı küme]]de veya ''zincir''de, tüm elemanlar karşılıklı olarak karşılaştırılabilirdir, bu nedenle böyle bir kümenin en fazla bir minimal elemanı ve en fazla bir maksimal elemanı olabilir.
O zaman, karşılıklı karşılaştırılabilirlik nedeniyle, minimal eleman aynı zamanda en küçük eleman, maksimal eleman da aynı zamanda en büyük eleman olacaktır.
Bu nedenle tam sıralı bir kümede, basitçe ***minimum*** ve ***maksimum**'' terimlerini kullanabiliriz.

Eğer bir zincir sonlu ise, her zaman bir maksimumu ve bir minimumu olacaktır.
Eğer bir zincir sonsuz ise, bir maksimumu veya minimumu olması gerekmez.
Örneğin, [[doğal sayılar]] kümesinin bir maksimumu yoktur, ancak bir minimumu vardır.
Eğer sonsuz bir ''S'' zinciri sınırlı ise, kümenin [[Kapanış (topoloji)|kapanış]]ı (''closure'') ''Cl''(''S'') bazen bir minimuma ve bir maksimuma sahip olur; bu durumda bunlara sırasıyla ''S'' kümesinin **en büyük alt sınırı** ve **en küçük üst sınırı''' denir.

## Maksimum argümanı

## Ayrıca bakınız
*Mekanik denge

## Notlar

## Kaynakça

## Dış bağlantılar

*Thomas Simpson'ın Maksimum ve Minimum üzerine çalışmaları - Convergence (İngilizce)
*Maksimum ve Minimum Uygulamaları ve çözümlü problem alt sayfaları (İngilizce)
*