Trigonometrik integral

Matematikte, **trigonometrik integraller** trigonometrik fonksiyonları içeren temel olmayan integrallerin ailesidir.

## Sinüs integrali

Farklı sinüs integral tanımları şunlardır:
\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt
\operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt~.

\frac{\sin(t)}{t} integralinin sinc fonksiyonu ve aynı zamanda sıfırıncı küresel Bessel fonksiyonu olduğuna dikkat edin.

Çünkü  bir çift tam fonksiyon (holomorfik tüm karmaşık düzlem üzerinde),  tamdır, tektir ve tanımındaki integral, uç noktaları birleştiren herhangi bir yol boyunca alınabilir.

Tanım olarak , 'in 'da değeri sıfır olan ters türevidir ve  ise 'da değeri sıfır olan ters türevidir. Aralarındaki fark Dirichlet integrali tarafından verilir,
\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2} \quad \text{ veya } \quad \operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{si}(x) ~.

Sinyal işlemede, sinüs integralinin salınımları sinc filtresi kullanıldığında aşırı salınım ve halkasal bozulmaya ve alçak geçiren filtre olarak kesilmiş bir sinc filtresi kullanıldığında frekans etki alanı bozulmaya neden olur.

Bununla ilgili Gibbs fenomeni vardır: Sinüs integrali, sinc fonksiyonunun Heaviside basamak fonksiyonu ile konvolüsyonu olarak kabul edilirse, bu Gibbs fenomeninin nedeni olan Fourier serisinin kesilmesine karşılık gelir.

## Kosinüs integrali

Farklı kosinüs integral tanımları şunlardır:
\operatorname{Cin}(x) = \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt~,
\operatorname{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t}\,dt = \gamma + \ln x - \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt
\qquad ~\left|\operatorname{Arg}(x)\right| 

burada  Euler-Mascheroni sabitidir. Bazı metinlerde  yerine  kullanılır.

,  (x \to \infty sıfıra eşit olan) ters türevidir. Bu iki tanım,
 
\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Cin}(x)~

ile ilişkilidir.  bir çift, tam fonksiyondur. Bu nedenle, bazı metinler 'i birincil fonksiyon olarak ele alır ve 'yi  cinsinden türetir.

## Hiperbolik sinüs integrali
Hiperbolik sinüs integrali şu şekilde tanımlanır:

\operatorname{Shi}(x) =\int_0^x \frac {\sinh (t)}{t}\,dt.

Sıradan sinüs integrali ile şu şekilde ilişkilidir:

\operatorname{Si}(ix) = i\operatorname{Shi}(x).

## Hiperbolik kosinüs integrali
Hiperbolik kosinüs integrali şöyledir:

\operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt \qquad ~ \left| \operatorname{Arg}(x) \right| 

burada \gamma Euler-Mascheroni sabitidir.

Aşağıdaki seri açılımına sahiptir:

\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {x^2}{4} + \frac {x^4}{96} + \frac {x^6}{4320} + \frac {x^8}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O(x^{12}).

## Yardımcı fonksiyonlar
Trigonometrik integraller, "yardımcı fonksiyonlar" olarak adlandırılan terimlerle anlaşılabilir.



\begin{array}{rcl}
f(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \,dt &=& \int_0^\infty \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt 
 &=& \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~,  \\
g(x) &\equiv& \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \,dt &=& \int_0^\infty \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt 
 &=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~.
\end{array}



Bu fonksiyonlar kullanılarak trigonometrik integraller aşağıdaki gibi yeniden ifade edilebilir 
(bkz. Abramowitz & Stegun, s. 232)

\begin{array}{rcl}
\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x)  &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \qquad \text{ ve } \\
\operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\
\end{array}

## Nielsen sarmalı

 parametrik grafiği ile oluşturulan spiral, Nielsen spirali olarak bilinir.

x(t) = a \times \operatorname{ci}(t)
y(t) = a \times \operatorname{si}(t)

Sarmal, Fresnel integrali ve Euler spirali ile yakından ilişkilidir. Nielsen spiralinin görüntü işleme, yol ve iz yapımı ve diğer alanlarda uygulamaları vardır.

## Açılım
Trigonometrik integrallerin değerlendirilmesi için argümanın aralığına bağlı olarak çeşitli açılımlar kullanılabilir.

### Asimptotik seri (büyük argüman için)
\operatorname{Si}(x) \sim \frac{\pi}{2} 
 - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)
\operatorname{Ci}(x) \sim \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right)
 - \frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) ~.

Bu seriler asimptotik ve ıraksaktır, ancak  değerinde tahminler ve hatta kesin değerlendirme için kullanılabilir.

### Yakınsak seriler
\operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots
\operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2} + \frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots

Bu seriler herhangi bir kompleks  değerinde yakınsaktır, ancak  için seri başlangıçta yavaş yakınsayacak ve yüksek hassasiyet için birçok terim gerektirecektir.

### Seri açılımının türetilmesi
Sinüsün Maclaurin serisi açılımından:\sin\,x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!} + \cdots

\frac{\sin\,x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}- \frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+\cdots

\therefore\int \frac{\sin\,x}{x}dx = x - \frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}- \frac{x^7}{7!\cdot7}+\frac{x^9}{9!\cdot9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot11}+\cdots 

## Sanal argümanın üstel integral ile ilişki
\operatorname{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad~\text{ for }~ \Re(z) \ge 0 

fonksiyonu üstel integral olarak adlandırılır. Bu integral,  ve  ile yakından ilişkilidir;


\operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad ~\text{ for }~ x > 0 ~.


İlgili her bir fonksiyon, argümanın negatif değerlerindeki kesim dışında analitik olduğundan, bağıntının geçerlilik alanı genişletilmelidir (Bu aralığın dışında, 'nin tam sayı çarpanları olan ek terimler ifadede görünür).

Genelleştirilmiş integro-üstel fonksiyonun sanal argümanının durumları şunlardır:


\int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \, dx =
-\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2}
+\sum_{n\ge 1} \frac{(-a^2)^n}{(2n)!(2n)^2} ~,

ki bu da, 

\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x}\,dx = 
-\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2} 
-\frac{\pi}{2}i\left(\gamma+\ln a\right) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^n}{n!n^2}  ~.

ifadesinin gerçek kısmıdır. Benzer şekilde,

\int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x^2}\,dx = 
 1 + ia\left[ -\frac{\pi^2}{24} + \gamma \left( \frac{\gamma}{2} + \ln a - 1 \right) + \frac{\ln^2 a}{2} - \ln a + 1 \right]
 + \frac{\pi a}{2} \Bigl( \gamma+\ln a - 1 \Bigr) 
 + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^2}~.


## Etkin değerlendirme
Yakınsak Taylor serilerinin Padé yaklaşımları, küçük argümanlar için fonksiyonları değerlendirmenin etkili bir yolunu sağlar. Rowe ve diğerleri (2015) tarafından verilen aşağıdaki formüller,  için 'dan daha doğrudur,

\begin{array}{rcl}
\operatorname{Si}(x) &\approx & x \cdot \left( 
\frac{
\begin{array}{l}
1 -4.54393409816329991\cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 1.15457225751016682\cdot 10^{-3} \cdot x^4 - 1.41018536821330254\cdot 10^{-5} \cdot x^6 \\
~~~ + 9.43280809438713025 \cdot 10^{-8} \cdot x^8 - 3.53201978997168357 \cdot 10^{-10} \cdot x^{10} + 7.08240282274875911 \cdot 10^{-13} \cdot x^{12} \\
~~~ - 6.05338212010422477 \cdot 10^{-16} \cdot x^{14}
\end{array}
}
{
\begin{array}{l}
1 + 1.01162145739225565 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 4.99175116169755106 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 1.55654986308745614 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\
~~~ + 3.28067571055789734 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 4.5049097575386581 \cdot 10^{-13} \cdot x^{10} + 3.21107051193712168 \cdot 10^{-16} \cdot x^{12}
\end{array}
}
\right)\\
&~&\\
\operatorname{Ci}(x) &\approx & \gamma + \ln(x) +\\
&& x^2 \cdot \left(
\frac{
\begin{array}{l}
-0.25 + 7.51851524438898291 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 - 1.27528342240267686 \cdot 10^{-4} \cdot x^4 + 1.05297363846239184 \cdot 10^{-6} \cdot x^6 \\
~~~ -4.68889508144848019 \cdot 10^{-9} \cdot x^8 + 1.06480802891189243 \cdot  10^{-11} \cdot x^{10} - 9.93728488857585407 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\
\end{array}
}
{
\begin{array}{l}
1 + 1.1592605689110735 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 6.72126800814254432 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 2.55533277086129636 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\
~~~ + 6.97071295760958946 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 1.38536352772778619 \cdot 10^{-12} \cdot x^{10} + 1.89106054713059759 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\
~~~ + 1.39759616731376855 \cdot 10^{-18} \cdot x^{14} \\
\end{array}
}
\right)
\end{array}

İntegraller, yardımcı fonksiyonlar aracılığıyla dolaylı olarak değerlendirilebilir. f(x) ve g(x) ile tanımlanır.

x \ge 4 için aşağıda verilen Padé rasyonel fonksiyonları f(x) ve g(x)'e 10−16'dan daha az hata ile yaklaşır:

\begin{array}{rcl}
f(x) &\approx & \dfrac{1}{x} \cdot \left(\frac{
\begin{array}{l}
1 + 7.44437068161936700618 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.96396372895146869801 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.37750310125431834034 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 1.43073403821274636888 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.33736238870432522765 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 6.40533830574022022911 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 4.20968180571076940208 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.00795182980368574617 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 4.94816688199951963482 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\
~~~ - 4.94701168645415959931 \cdot 10^{11} \cdot x^{-20}
\end{array}
}{
\begin{array}{l}
1 + 7.46437068161927678031 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.97865247031583951450 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.41535670165126845144 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 1.47478952192985464958 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.58595115847765779830 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 7.08501308149515401563 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 5.06084464593475076774 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.43468549171581016479 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 1.11535493509914254097 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}
\end{array}
}
\right) \\
& &\\
g(x) &\approx & \dfrac{1}{x^2} \cdot \left(\frac{
\begin{array}{l}
1 + 8.1359520115168615 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.35239181626478200 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} +3.12557570795778731 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 2.06297595146763354 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 6.83052205423625007 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.09049528450362786 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 7.57664583257834349 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.81004487464664575 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 6.43291613143049485 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\
~~~ - 1.36517137670871689 \cdot 10^{12} \cdot x^{-20}
\end{array}
}{
\begin{array}{l}
1 + 8.19595201151451564 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.40036752835578777 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 3.26026661647090822 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\
~~~ + 2.23355543278099360 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 7.87465017341829930 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.39866710696414565 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\
~~~ + 1.17164723371736605 \cdot 10^{13} \cdot x^{-14} + 4.01839087307656620 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 3.99653257887490811 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18}
\end{array}
}
\right) \\
\end{array}

## Ayrıca bakınız
*Logaritmik integral fonksiyonu
*Tanc fonksiyonu
*Tanhc fonksiyonu
*Sinhc fonksiyonu
*Coshc fonksiyonu

## Kaynakça

* 

## Konuyla ilgili okumalar
* 
* 
* 
* 

## Dış bağlantılar
* 
* 
*