Martingal (olasılık teorisi)

Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde bir **martingal** (veya **martengal**) ya da **martingal süreci** bir sonraki beklenen değerinin geçmişteki bütün gözlemlenmiş değerlerden bağımsız olarak şimdiki gözlemlenen değer olduğu bir stokastik süreçtir.

## Martingal sözcüğü hakkında
**Martingal** sözü Türkçeye matematiksel anlamda yine aynı terimi kullanan İngilizce ve Fransızcadan  *Martingale* sözüyle geçmiştir. Bu kavrama Türkçede karşılık bulmuş bir yerleşik bir terim yoktur.
Olasılık teorisindeki *martingal* tanımını ilk defa 1934 yılında Paul Lévy literatüre sokmuştur; ancak, *martingal* sözünü kullanmamıştır. Martingal sözünü bu yönde tezinde kullanan Jean Ville (1939) olmuştur ki o da Lévy'nin tanımını sürekli martingallere genişletmiştir. Martingalin matematiksel tanımını yine bu sözü kullanarak ilk defa Joseph Leo Doob vermiştir; Doob bu sözü Ville'in  tezinde gördüğünden bir mülakatta bahsetmiştir. Martingal teorisinin bu aşamadan sonraki gelişiminde Joseph Doob büyük pay sahibidir.

*Martingal*  sözünün olasılık teorisinde yer alması büyük bir sürpriz değildir. Paul Lévy öncesinde de olasılık kavramlarına aşina olan matematikçiler bu kavramı şans oyunlarında her zaman kazanan bahis stratejisi anlamına olan *martingal* sözünden biliyorlardı. Bu bahis stratejilerinin en basiti yazı-tura atmadaki bahsi kazanasaya kadar durmadan ikiye katlama stratejisidir.

Martingal sözünün etimolojisi hakkında kesinlik yoktur.

## Tanım
### Kesikli-zaman martingali
Bir rassal değişkenler dizisi  \{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}'e aşağıdaki koşullar sağlanırsa **kesikli-zaman martingali** ya da **kesikli martingal** denir:
# \mathsf{E}|X_n| ;
# \mathsf{E}[X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}.

Bir rassal değişkenler dizisinin başka bir rassal değişkenler dizisine göreceli olarak martingalini tanımlamak da mümkündür. Bu bağlamda yine \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} başka bir rassal değişkenler dizisi olsun. Eğer  \{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} ve \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} aşağıdaki koşulları sağlarsa, o zaman  \{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} dizisine **<math>\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}</math>'e göre martingal**dir denir.

# \mathsf{E}|X_n| ;
# \mathsf{E}[X_{n+1} \mid  Y_1,\ldots,Y_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}.

### Sürekli-zaman martingali
(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) bir olasılık uzayı ve \{\mathcal{F}_t\}_{t \in T} de bu uzayın gerçel sayılara bağlı (T \subset \mathbb{R})  filtrelemesi olsun. O zaman, bir \{X_t\}_{t \in T} stokastik sürecine, aşağıdaki koşullar sağlanırsa **<math>\{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}</math>'ye göre martingal** denir:
# Her t \in T için, X_t, \mathcal{F}_t 'ye göre ölçülebilirdir.
# \mathsf{E}|X_t| 
# \mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s.

Eğer, \mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\} ise (yani doğal filtreleme ise), o zaman \{X_t\}'ye kısaca **martingal** denir.

## Alt ve üst martingaller
\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} ve \{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}} rassal değişken dizileri verilmiş olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa, \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} dizisine, \{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}'e **göre alt martingal** denir.
# \mathsf{E}|X_n| 
# \mathsf{E}[X_{n+1} \mid  Y_1,\ldots,Y_n] \ge X_n, \quad n \in \mathbb{N}.
Benzer bir şekilde, eşitsizlik aksi istimakette ise, \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} dizisine, \{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}'e **göre üst martingal** denir. Yani, aşağıdaki koşullar sağlanırsa, \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} dizisi, \{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}'e **göre üst martingal**dir:
# \mathsf{E}|X_n| 
# \mathsf{E}[X_{n+1} \mid  Y_1,\ldots,Y_n] \le X_n, \quad n \in \mathbb{N}.

Eğer \{X_t\}_{t \in T}, (T \subset \mathbb{R}) bir stokastik süreçse, aşağıdaki koşullar sağlandığında \{X_t\}_{t \in T} stokastik sürecine **<math>\{\mathcal{F}_t\}</math>'ye göre alt martingal** denir. 
# Her t \in T için, X_t, \mathcal{F}_t'ye göre ölçülebilirdir.
# \mathsf{E}|X_t| .
# \mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \ge X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t.
Benzer bir şekilde, eşitsizlik aksi istimakette ise, yani aşağıdaki koşullar sağlanırsa, o zaman \{X_t\}_{t \in T} stokastik sürecine **<math>\{\mathcal{F}_t\}</math>'ye göre üst martingal** denir.

# Her t \in T için, X_t, \mathcal{F}_t'ye göre ölçülebilirdir.
# \mathsf{E}|X_t| .
# \mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \le X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t.

Eğer, \mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\} ise (yani doğal filtreleme ise), o zaman \{X_t\}  stokastik sürecine sağladığı eşitsizlik koşuluna göre kısaca **alt martingal** ya da **üst martingal** denir.

## Özellikler
* Bir stokastik sürecin martingal olabilmesi için hem alt martingal hem de üst martingal olması gerekli ve yeterlidir.
* Eğer \{X_t\}_{t \in T}&nbsp;martingalse, o zaman \mathsf{E}[X_t] sabittir.
* \{X_t\}_{t \in T}&nbsp;alt martingal ise, o zaman \{-X_t\}_{t \in T}&nbsp;üst martingaldir.
* Eğer  \{X_t\}_{t \in T}, \{Y_t\}_{t \in T} alt (ya da üst) martingalse ve  a,b \geq 0  ise, o zaman   \{aX_t+bY_t\}_{t \in T}  de bir alt (ya da üst) martingaldir.
*  \{X_t\}_{t \in T}, \{Y_t\}_{t \in T}  martingalse,  \{aX_t+bY_t\}_{t \in T}  de  a,b \in \R  için martingaldir.
* Eğer   \{X_t\}_{t \in T}, \{Y_t\}_{t \in T}   üst martingalse, o zaman  \{\min(X_t,Y_t)\}_{t \in T}  de bir üst martingaldir.
* Eğer  \{X_t\}_{t \in T}, \{Y_t\}_{t \in T}  alt martingalse, o zaman  \{\max(X_t,Y_t)\}_{t \in T}  de bir alt martingaldir.
* \{X_t\}_{t \in T} martingalse ve f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} dışbükey fonksiyonsa, o zaman \{f(X_t)\}_{t \in T}&nbsp;Jensen eşitsizliği sayesinde alt martingaldir. Eğer, f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} içbükey fonksiyonsa, o zaman \{f(X_t)\}_{t \in T} üst martingaldir.
* Genel olarak, bir martingal Markov süreci olmak zorunda değildir. Tersi ifade de genel olarak doğru değildir. Yani, bir Markov süreci genel olarak martingal olmak zorunda değildir.
*  Sürekli her martingalin ya sonsuz varyasyonu vardır ya da bu martingal sabittir.

## Örnekler
* Oyuncunun tura geldiğinde 1 lira kazandığı ama yazı geldiğinde 1 lira kaybettiği bir yazı-tura oyununu ele alalım.
** Eğer oyun adil bir parayla oynanıyorsa, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı (oynanmış oyun sayısının fonksiyonu olarak)  martingaldir.
** Eğer parada yazının gelme olasılığı daha yüksekse, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı alt martingaldir.
** Eğer parada turanın gelme olasılığı daha yüksekse, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı üst martingaldir.
* Eğer X \, integrallenebilir bir rassal değikense ve X_n := E[X |\mathcal{F}_n]  olarak tanımlanırsa, \{X_t\}_{n\in \mathbb{N}}, \mathcal{F}_n'e göre bir martingaldir. Gerçekten de,  \operatorname E(X_{n+1}|\mathcal F_n)=\operatorname E (\operatorname E (X|\mathcal F_{n+1})|\mathcal F_n)= \operatorname E (X|\mathcal F_n)= X_n olacaktır.
* Durdurulmuş martingal yine martingaldir.
* Brown hareketi bir martingaldir.
* Eğer W_t Brown hareketiyse, 
**\{W_t^2-t\}_{t\in [0,\infty)} süreci martingaldir.
**Her \lambda\in\mathbb{R} için, \{e^{\lambda W_t- \frac{1}{2}t\lambda^2}\}_{t\in [0,\infty)} süreci martingaldir.

## Notlar

## Kaynakça
* 
* 
* 
*