Heston modeli

Finansta ve matematiğin bir alt dalı olan finansal matematikte **Heston modeli**, bir dayanak varlığın volatilitesinin zamana bağlı hareketini tanımlayan stokastik bir modeldir. Bu modelde, volatilite, Black-Scholes modeli ya da yerel volatilite modelindeki gibi sabit ya da deterministik değildir ve bir rassal süreçtir. Model, bu modeli 1993 yılında yayınlayan. Amerikalı finansçı ve matematikçi Steven Heston'ın adını taşımaktadır.

## Varsayımlar
Heston modelinde, S_t ile gösterilen bir varlığın fiyat süreci ve bu sürecin içinde bulunan volatilite süreci \sqrt{\nu_t}'nin  her ikisi de stokastik bir süreci takip eder. Daha ayrıntılı yazmak gerekirse, 
S_t sürecinin 
:dS_t = \mu S_t\,dt + \sqrt{\nu_t} S_t\,dW^S_t
stokastik diferansiyel denklemini sağladığı varsayılırken, \sqrt{\nu_t} sürecinin aşağıdaki gibi verilen bir stokastik denklemi sağladığı; yani, bir Ornstein-Uhlenbeck sürecini izlediği varsayılır:
:d \sqrt{\nu_t} = -\theta \sqrt{\nu_t} \,dt + \delta\,dW^\nu_t. 
Burada, W^S_t, W^{\nu}_t ile gösterilenler, aralarındaki korelasyonun \rho olduğu birer Wiener sürecidir; yani, her ikisi de birer Brown hareketidir (sürekli  bir rassal yürüyüştür). 
Itô önsavı kullanılarak, anlık varyans \nu_t'nin aağıdaki gibi bir Feller karekök süreci ya da CIR sürecini izlediği gösterilebilir:
:
d\nu_t = \kappa(\theta - \nu_t)\,dt + \xi \sqrt{\nu_t}\,dW^{\nu}_t.

Modelin beş parametresi vardır:
* \nu_0 başlangıçtaki varyanstır.
* \theta, fiyat sürecinin uzun vadedeki ortalama varyansıdır; yani, *t* sonsuza doğru giderken, \nu_t'nin beklenen değeri de sıfıra gider.
* \rho daha önce bahsedildiği gibi iki Wiener sürecinin arasındaki korelasyondur.
* \kappa parametresi \nu_t sürecinin \theta ortalama değerine dönüş hızıdır.
* \xi ise \nu_t'nin varyansını belirler ve volatilitenin volatilitesi olarak ifâde edilir.
Eğer parametreler, Feller şartı da denilen, 
:
2 \kappa \theta > \xi^2

eşitsizliğini sağlıyorsa, o zaman, \nu_t pozitif olur.

## Heston kismi diferansiyel denklemi
Heston modelinde Black-Scholes modelindeki benzer bir argümanla bir kısmi diferansiyel denklem elde edilebilir. Ancak, dikkat edilmesi gereken nokta, Black-Schole modelinde rassallığın bir tane kaynağı varken, Heston modelinde rassallığın iki tane kaynağı vardır.

Black-Scholes modelindeki fikirden hareketle portföy (P) şu şekilde elde kurulabilir:
* 1 tane opsiyon (yani opsiyon alınmıştır)
* \triangle sonradan belirlenmek üzere -\triangle tane opsiyonun dayanak varlığı (hisse senedi)
* \triangle_1 sonradan belirlenmek üzere -\triangle_1 tane değeri dayanak varlığın volatilitesine bağlı başka bir varlık

Opsiyonun fiyatı V=V(t,S) ve yukarıda bahsedilen ve değeri dayanak varlığın volatilitesine bağlı başka bir varlığın değeri de V_1 olsun. O zaman, bu portföyün değeri 
:P = V - \triangle S - \triangle_2 V_1
olur. Bu portföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi \mathrm{d}P  o zaman
:\mathrm{d}P = \mathrm{d}V - \triangle \mathrm{d}S- \triangle_1 \mathrm{d}V_1
olur. Blakck-Scholes denkleminde olduğu gibi, Ito formülü kullanılarak d\Pi hesaplanır ve rassallıkları yok edecek \triangle ve \triangle_1 seçimleri yapılır. Sonuç olarak elde kalan portföy risksiz oranla büyüyecektir. Sonuç olarak, \lambda:=\lambda(S, \nu, t) volatilite  riski fiyatı olmak üzere (ki daha sonra \lambda(S, \nu, t)=\lambda \nu olarak belirlenir)
:
\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{S^2 \nu}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \rho \xi \nu S\frac{\partial^2 V}{\partial \nu \partial S} +\frac{\xi^2\nu}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial \nu^2}+ rS\frac{\partial V}{\partial S} -rV+[\kappa(\theta-\nu)-\lambda ]\frac{\delta V}{\delta \nu}=0

elde edilir.

## Ayrıca bakınız
* Stokastik volatilite
* Riske duyarız ölçü
* Girsanov teoremi
* Martingal (olasılık teorisi)
* SABR volatilite modeli

## Kaynakça