Black modeli

**Black modeli** ya da **Black76 modeli**, matematiksel finansta bir opsiyon fiyatlama modelidir. İsmini, bu modeli 1976 yılında yayınlayan Fischer Black'ten almıştır. Bu opsiyon modelinin sonucunda, halen opsiyon fiyatlamada piyasa katılımcılarınca yoğun olarak kullanılmakta olan **Black formülü** elde edilmiştir.

Black-Scholes modelinden farklı olarak vadeli işlemler üzerine yazılan opsiyonları fiyatlandırmak için kanıtlanmıştır. LIBOR piyasası modeli gibi daha genel bir model sınıfına uyarlanabilen bir modeldir.

## Black formülü

**Black formülü** ya da **Black76 formülü** Fischer Black tarafından Black modeli varsayımları altında ispatlanmış ve Black-Scholes formülüne benzeyen bir opsiyon fiyatlama formülüdür.
**Black modeli**nde 
* r risksiz faiz oranı, 
* T vade zamanı, 
* K kullanım fiyatı 
* F dayanak varlığın vadedeki fiyatı 
* \sigma dayanak varlığa ilişkin volatilite olmak üzere
* C(F, T) bir alım opsiyonunun fiyatı 
* P(F, T) bir satım opsiyonunun fiyatı 
olmak üzere şu formüller elde edilir:
: C(F, T)= e^{-r T} [FN(d_1) - KN(d_2)]
: P(F, T)= e^{-r T} [KN(-d_2) - FN(-d_1)].
Bu formüllerde
: d_1 = \frac{\ln(F/K) + (\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} 
: d_2 = \frac{\ln(F/K) - (\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} = d_1 - \sigma\sqrt{T}, 
N(\cdot) ise standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonudur.

### Kanıt ve varsayımlar
**Black formülü**, Margrabe formülü kullanılarak kolayca türetilebilir. Bu formül, Black-Scholes formülünün basit ama akıllıca bir uygulamasıdır.

Bir vadeli işlem sözleşmesindeki alım sahibinin sözleşme vadesinde elde edeceği miktar fonksiyonu \max (0, F(T) - K) olarak yazılabilir. Bu ifade, Margrabe formülünde ilk dayanak varlığın e^{-r(T-t)}F(t) olması, ikinci dayanak varlığın ise vade tarihinde 1 lira ödeyen K tane risksiz tahvil olması olarak uyarlanabilir. O zaman, vade dolduğunda, opsiyon hakları ilk dayanak varlığın değerinin ikinci dayanak varlığın değerinden yüksek olduğu zaman kullanılacaktır.

Margrabe formülünün varsayımları bu uyarlamayla uyumlu bir haldedir; ancak, kontrol edilmesi gereken tek şey, ilk varlığın gerçekten alım-satımı yapılabilen varlık olmasıdır. Açıkçası, bu aşağıdaki detaylardan oluşan bir portföy üzerinden rahatlıkla görülebilir:
* teslimat tarihi T olan bir forward sözleşmeye uzun pozisyon 
* F(0) tane risksiz tahvilde uzun pozisyon
Burada not edilmesi gereken nokta, deterministik (yani stokastik olmayan) bir faiz oranı varsayımında, vadeli *forward* ve *futures* fiyatlarının eşit olduğu ve bu nedenle burada herhangi bir belirsizlik olmadığıdır. O zaman, daha sonraki herhangi bir t zamanında, 
* forward sözleşmesindeki yükümlülükten kurtulup yine aynı vade tarihi olan başka bir forward sözleşmesinde kısa pozisyon alınabilir. Portföyün birinci ayağına dair yapılan bu işlemden elde edilen net gelirin t zamanındaki getirisi e^{-r(T-t)}[F(t) - F(0)] olacaktır.
* Yine, F(0) tane risksiz tahvilde tutulan uzun pozisyon boşaltılır. Her bir tahvilin değeri e^{-r(T-t)} olacağından, portföyün ikinci ayağına dair işlemden gelir e^{-r(T-t)}F(0) olacaktır. 
Sonuç olarak, portföyün bu alım-satım işlerinden doğan toplam ödeniş e^{-r(T-t)}F(t) olacaktır ki bu da Margrabe formülüne uyarladığımız ilk varlığın değeridir.

## Risk hassasiyetleri (Yunanlar)

Black formülü üzerinden bir Avrupa tipi opsiyonun risk hassasiyetleri analitik olarak hesaplanabilir.

(*)  F\varphi(d_1) = K\varphi(d_2)  olduğu şöyle gösterilir: 
: x= \sigma \sqrt \tau  olsun. O zaman,  d_1 = \frac{\ln \frac F K + \frac 1 2 x^2}{x} ve  d_1\cdot x = \ln \frac F K + \frac 1 2 x^2 olur. Bu nedenle,  \ln(F/K) = d_1\cdot x - \frac{1}{2}x^2 ve  \frac{F}{K} = e^{d_1 \cdot x - \frac{1}{2}x^2} yazılabilir. O halde, 
: \frac{F}{K} \cdot \frac{\varphi(d_1)}{\varphi(d_2)} = \frac{F}{K} \cdot e^{\frac{1}{2}\cdot {d_2}^2 - \frac{1}{2}\cdot{d_1}^2} =e^{d_1 x - \frac{1}{2}x^2} \cdot e^{\frac{1}{2}\cdot{(d_1-x)}^2 - \frac{1}{2}\cdot{d_1}^2} = e^{d_1 x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \cdot (2d_1 - x)(-x)} = e^0 = 1.
:Böylelikle,  F\varphi(d_1) = K\varphi(d_2)  elde edilir.

## Ayrıca bakınız
* Black-Scholes modeli
* LIBOR piyasası modeli

## Kaynakça