Satranç tahtası paradoksu

**Satranç tahtası paradoksu** veya **Loyd ve Schlömilch paradoksu**, bir göz yanılmasına dayanan yanıltıcı bir paradokstur.

Bir satranç tahtası veya 8 birim kenar uzunluğuna sahip bir kare dört parçaya kesilir.
Bu dört parça, 13 ve 5 birim kenar uzunluklarına sahip bir dikdörtgen oluşturmak için kullanılır.
Böylece dört parçanın toplam alanı karede 64 birimkare iken dikdörtgende 65 birimkare olur; bu görünürdeki çelişki, dört parçanın dikdörtgene tam olarak oturmaması, bunun yerine dikdörtgenin köşegeni çevresinde zorlukla görülebilen küçük bir boşluk bırakması sonucu oluşan bir göz yanılmasından kaynaklanır.
Paradoks bazen Amerikalı bulmaca mucidi Sam Loyd (1841–1911) ve Alman matematikçi Oskar Schlömilch'e (1832–1901) atfedilir.

## Analiz

Yakından incelendiğinde, dört parçanın tam olarak birleşmediği, bunun yerine dikdörtgenin köşegeni etrafında zorlukla görülebilen küçük bir boşluk bıraktığı görülebilir.
Bu DEBF boşluğu bir paralelkenar şeklindedir; bu durum, karşılıklı açıların eşit büyüklükte olduğu gösterilerek doğrulanabilir.

:
\begin{align}
\angle FDE &=90^\circ-\angle FDG -\angle EDI\\[6pt]
           &=90^\circ-\arctan\left( \frac\right)-\arctan\left( \frac\right)\\[6pt]
           &=90^\circ-\arctan\left( \frac{5}{2}\right)-\arctan\left( \frac{3}{8}\right)\\[6pt]
           &=90^\circ-\arctan\left( \frac\right)-\arctan\left( \frac\right)\\[6pt]
           &=90^\circ-\angle FBJ -\angle EBH \\[6pt]
           &=\angle FBE \approx 1.24536^\circ
\end{align}



\begin{align}
\angle DEB &=360^\circ-\angle DEI -\angle IEH -\angle EBH \\[6pt]
           &=360^\circ-\arctan\left( \frac\right)-90^\circ-\arctan\left( \frac\right) \\[6pt]
           &=360^\circ-\arctan\left( \frac{2}{5}\right)-90^\circ-\arctan\left( \frac{8}{3}\right) \\[6pt]
           &=360^\circ-\arctan\left( \frac\right)-90^\circ-\arctan\left( \frac\right)\\[6pt]
           &=360^\circ-\angle BFJ  -\angle JFG -\angle GFD \\[6pt]
           &=\angle DFB \approx 178.75464^\circ
\end{align}


Dört parçanın dikdörtgen boyunca tam olarak oturması, paralelkenarın bir doğru parçasına çökmesini (kapanmasını), yani aşağıdaki ölçülere sahip olmasını gerektirir:
:\angle FBE = \angle FDE = 0^\circ
:\angle DFB = \angle DEB = 180^\circ
Gerçek açılar bu değerlerden sadece çok az saptığı için, paralelkenarın sadece bir doğru parçası olduğu ve parçaların tam olarak oturduğu yönünde bir göz yanılması yaratır. Alternatif olarak, paralellik durumu dikdörtgeni bir koordinat sistemine yerleştirip eğimleri veya kenarların vektör gösterimlerini karşılaştırarak da doğrulanabilir.
Paralelkenarın kenar uzunlukları ve köşegenleri şöyledir:
:|DE|=|FB|=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29} 
:|DF|=|EB|=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73} 
:|EF|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10} 
:|DB|=\sqrt{5^2+13^2}=\sqrt{194} 

Heron formülü kullanılarak paralelkenarın yarısının alanı (\triangle DFG) hesaplanabilir.
Yarı çevre şöyledir:
:s=\frac{2}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{29}+\sqrt{73}}{2}
Bu da tüm paralelkenarın alanını verir:
:
\begin{align}
F&=2\cdot\sqrt{s\cdot(s-|EF|)\cdot(s-|DE|)\cdot(s-|DF|)}\\[5pt]
 &=2\cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{29}+\sqrt{73})\cdot (-\sqrt{10}+\sqrt{29}+\sqrt{73})\cdot(\sqrt{10}-\sqrt{29}+\sqrt{73})\cdot(\sqrt{10}+\sqrt{29}-\sqrt{73})}\\[5pt]
&=2\cdot \frac{1}{4} \cdot 2 \\[5pt]
&=1
\end{align}


Böylece boşluğun alanı, dikdörtgendeki fazladan alana tam olarak karşılık gelir.

## Genelleştirme

Son bölümlerdeki çizimde yer alan doğru parçaları 2, 3, 5, 8 ve 13 uzunluğundadır. Bunların hepsi ardışık Fibonacci sayılarıdır, bu da parçalama şemasının Fibonacci sayılarına dayalı bir genellemesini akla getirir.
Fibonacci sayılarının özellikleri, göz yanılmasının neden bu kadar iyi çalıştığına dair daha derin bir içgörü de sağlar.
Kenar uzunluğu  f_n Fibonacci sayısı olan bir kare, satranç tahtasının 8, 5, 3 uzunluğundaki doğru parçaları kullanılarak parçalanmasıyla aynı şekilde,  f_n, f_{n-1}, f_{n-2} uzunluğundaki doğru parçaları kullanılarak parçalanabilir (grafiğe bakınız).

Cassini özdeşliği şunu ifade eder: 
:f_{n+1} \cdot f_{n-1} - f_n^2=(-1)^n
Buradan, kare ile dikdörtgen arasındaki alan farkının her zaman 1 birimkare olması gerektiği hemen anlaşılır; özellikle orijinal satranç tahtası paradoksu için şöyledir:
:13 \cdot 5 -8^2= f_7 \cdot f_5 - f_6^2=(-1)^6=1
İndis n tek sayı olduğunda, karenin alanının bir birimkare daha küçük değil, daha büyük olduğuna dikkat ediniz.
Bu durumda dört parça dikdörtgen şeklinde birleştirildiğinde küçük bir boşluk oluşturmaz, bunun yerine hafifçe örtüşür.
Alan farkı her zaman 1 birimkare olduğundan, daha büyük Fibonacci sayıları kullanılarak göz yanılması iyileştirilebilir; bu, boşluğun dikdörtgen alanına oranının keyfi olarak küçülmesine ve dolayısıyla pratik amaçlar için görünmez hale gelmesine olanak tanır.
Komşu Fibonacci sayılarının oranı altın oran \varphi'ye oldukça hızlı yakınsadığından, aşağıdaki oranlar da hızlı bir şekilde yakınsar:

:\frac{f_n}{f_{n-2}}= \frac{f_n}{f_{n-1}} \cdot \frac{f_{n-1}}{f_{n-2}}\rightarrow \varphi^2,\, \frac{f_{n-2}}{f_n}= \frac{f_{n-2}}{f_{n-1}} \cdot \frac{f_{n-1}}{f_n}\rightarrow \varphi^{-2}

Kareden kesilen dört parçanın bir dikdörtgen oluşturmak üzere tam olarak birbirine uyması için, küçük DEBF paralelkenarının dikdörtgenin köşegeni olan bir doğru parçasına çökmesi gerekir.
Bu durumda, paralellerin yöndeş açıları olmaları nedeniyle dikdörtgendeki açılar için aşağıdakiler geçerlidir:
:\angle IDE =\angle HEB,  \angle DEI =\angle EBH, \angle FDG =\angle BFJ,  \angle GFD =\angle JBF
Sonuç olarak, şu dik üçgenler: \triangle IED, \triangle HBE, \triangle DFG ve \triangle FBJ benzer olmalı ve dik kenarlarının oranı aynı olmalıdır.
Yukarıda belirtilen hızlı yakınsama nedeniyle, birleştirilen dikdörtgendeki Fibonacci sayılarının ilgili oranları neredeyse aynıdır:
:\frac{f_n}{f_{n-2}} \approx \frac{f_{n-1}}{f_{n-3}},\, \frac{f_{n-2}}{f_n} \approx \frac{f_{n-3}}{f_{n-1}} 
Bu nedenle neredeyse tam olarak birbirlerine uyarlar, bu da göz yanılmasını yaratır.
Orijinal satranç tahtası analizinde olduğu gibi paralelkenarın açılarına da bakılabilir.
Bu açılar için aşağıdaki formüller türetilebilir: 
:n\geq 4:\quad\angle FBE = \angle FDE=\arctan\left( \frac{1}{f_{2n-3}+2f_{n-3}f_{n-2}}\right)\rightarrow 0^\circ 
:n\geq 4:\quad\angle DFB = \angle DEB=180^\circ - \arctan\left( \frac{1}{f_{2n-3}+2f_{n-3}f_{n-2}}\right)\rightarrow 180^\circ  
Böylece açılar, tam bir uyum için gereken değerlere doğru hızla yakınsar.
Bununla birlikte, parçalama şemasını bir alan uyuşmazlığı yaratmadan kullanmak mümkündür; yani kesilen dört parça, kare ile aynı alana sahip bir dikdörtgen oluşturacak şekilde tam olarak birleşir.
Bunun için Fibonacci sayılarını kullanmak yerine, parçalama işlemi doğrudan altın orana dayandırılır (çizime bakınız).
Kenar uzunluğu a olan bir kare için, bu durum dikdörtgenin alanını şöyle verir:
:(\varphi-1)a \cdot (\varphi a)=(\varphi^2-\varphi)a^2=a^2,
çünkü \varphi^2-\varphi=1  altın oranın bir özelliğidir.

## Tarihçe

Hooper paradoksu, satranç paradoksunun bir öncüsü olarak görülebilir.
Bu paradoksta da bir dikdörtgen şeklinde birleştirilmiş dört parça şekli vardır, ancak dört parçanın türetildiği parçalanmış şekil henüz bir kare değildir ve ilgili doğru parçaları Fibonacci sayılarına dayanmaz.
Hooper, sonradan kendi adıyla anılan bu paradoksu *Rational Recreations* adlı kitabında *The geometric money* (Geometrik para) adı altında yayınladı.
Ancak bu onun icadı değildi; çünkü kitabı aslında Edmé Gilles Guyot (1706–1786) tarafından yazılan ve 1769'da Fransa'da yayınlanan *Nouvelles récréations physiques et mathématiques* eserinin bir çevirisiydi. 

Asıl satranç paradoksunun bilinen ilk yayını Alman matematikçi Oskar Schlömilch'e aittir.
Schlömilch bunu 1868'de Alman bilim dergisi *Zeitschrift für Mathematik und Physik*te *Ein geometrisches Paradoxon* ("Geometrik bir Paradoks") başlığıyla yayınladı.
Aynı dergide 1879'da Victor Schlegel, *Verallgemeinerung eines geometrischen Paradoxons* ("Geometrik bir paradoksun genelleştirilmesi") makalesini yayınladı; bu makalede inşayı genelleştirdi ve Fibonacci sayıları ile olan bağlantıya dikkat çekti.

Satranç tahtası paradoksu aynı zamanda genelleştirme üzerine çalışan ancak bunu yayınlamayan İngiliz matematikçi ve yazar Lewis Carroll'ın da favorisiydi.

Bu durum daha sonra ölümünün ardından notlarında keşfedildi.
Amerikalı bulmaca mucidi Sam Loyd, satranç tahtası paradoksunu 1858'deki dünya satranç kongresinde sunduğunu iddia etti ve bu paradoks daha sonra aynı adı taşıyan oğlu tarafından ölümünden sonra yayınlanan *Sam Loyd's Cyclopedia of 5,000 Puzzles, Tricks and Conundrums* (1914) kitabında yer aldı.
Oğlu, dört parçanın 63 birimkarelik bir şekle (en üstteki grafiğe bakınız) birleştirilmesinin kendi fikri olduğunu belirtti.
Ancak bu, Walter Dexter tarafından yazılan *Some postcard puzzles* (Bazı kartpostal bulmacaları) makalesinde 1901'de zaten yayınlanmıştı.

## Kaynakça

## Konuyla ilgili yayınlar
* Jean-Paul Delahaye: *Au pays des paradoxes*. Humensis, 2014,  (Fransızca)
* Miodrag Petkovic: *Famous Puzzles of Great Mathematicians*. AMS, 2009, , pp. 14, 30–31
* A. F. Horadam: "Fibonacci Sequences and a Geometrical Paradox". In: *Mathematics Magazine*, vol. 35, no. 1 (Ocak, 1962), pp. 1–11 (JSTOR)
* David Singmaster: ["Vanishing Area Puzzles"](http://rmm.ludus-opuscula.org/PDF_Files/Singmaster_Vanish_10_21(1_2014)_low.pdf). In: *Recreational Mathematics Magazine*, no. 1, Mart 2014
* John F. Lamb Jr.: "The Rug-cutting Puzzle". In: *The Mathematics Teacher*, Band 80, Nr. 1 (Ocak 1987), pp. 12–14  (JSTOR)
* Warren Weaver: "Lewis Carroll and a Geometrical Paradox". In: *The American Mathematical Monthly*, vol. 45, no. 4 (Nisan, 1938), pp. 234–236 (JSTOR)
* Oskar Schlömilch: "Ein geometrisches Paradoxon". In: *Zeitschrift für Mathematik und Physik*, vol. 13, 1868, p. 162 (Almanca)
* Victor Schlegel: "Verallgemeinerung eines geometrischen Paradoxons". In: *Zeitschrift für Mathematik und Physik*, vol. 24, 1879, pp. 123–128 (Almanca)

## Dış bağlantılar

* ''Jigsaw Paradox''
*