Mittag-Leffler teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, **Mittag-Leffler teoremi**, önceden verilmiş ve belirli özellikleri sağlayan bir noktalar kümesinde kutupları olan meromorf fonksiyonların varlığıyla ilgili olan bir sonuçtur. Bu sonuç, önceden verilmiş ve yine bazı özellikleri sağlayan noktalar kümesinde sıfır değerleri alan holomorf fonksiyonların varlığıyla ilgili olan Weierstrass çarpım teoremi ile parallellik taşımaktadır.

Teorem, 1876 ve 1884'te teoremi bugün halinden farklı şekilde yayınlayan İsveçli matematikçi Gösta Mittag-Leffler'in adını taşımaktadır.

## Teoremin ifadesi
U\subset\Complex  açık küme, E \subset U ise, eğer varsa, limit noktaları U'nun sınırında olan bir altküme olsun. Edeki her a noktası için p_a(z) fonksiyonu  1/(z-a)'nın sabit katsayılı polinomu olsun; diğer deyişle, 
p_a(z) = \sum_{n=1}^{N_a} \frac{c_{a,n}}{(z-a)^n}, \quad c_{a,n}\in\Complex .
O zaman, U üzerinde meromorf bir f fonksiyon vardır, f fonksiyonun kutup noktalarının kümesi E ile aynıdır ve Edeki her a noktası için f(z)-p_a(z) fonksiyonun a noktasında sadece kaldırılabilir tekilliği vardır. Ayrıca, fnin a noktasıdaki Laurent serisinin negative üslü kısmı p_a(z)'ye eşittir. 
Eğer fden başka meromorf bir g fonksiyonu U üzerinde aynı özellikleri taşıyorsa, o zaman f=g+h yazılabilir ve burada h holomorf olur.

## Kanıtın taslağı
Olası bir kanıt taslağı şu şekildedir. Eğer E sonlu bir küme ise p_a(z) almak yeterldir. E sonlu bir küme değilse, E'nin altkümesi olan sonlu bir F kümesi için  S_F(z) = \sum_{a \in F} p_a(z) fonksiyonunu ele alalım. F kümesi E kümesine yaklaşırken S_F(z) yakınsamayabilir. Ancak, Runge teoremi vasıtasıyla  kutupları U'nun dışında kalacak şekilde iyi seçilmiş fonksiyonları S_F(z) fonksiyondan çıkarıp hem Laurent serisindeki negatif üslü terimleri koruyabiliriz hem de yakınsaklığı güvence altına almış oluruz.

## Örnek
Diyelim ki bütün pozitif tam sayılarda kalıntısı 1 olan basit kutuplu bir meromorf fonksiyon bulmak istiyoruz. O zaman, E = \mathbb{Z}^+ ve k\in E için p_k(z) = \frac{1}{z-k}. Mittag-Leffler teoremi sayesinde z=k noktasindak' Laurent serisinin negati üslü kısmının  p_k(z) 'ye eşit olduğu meromorf bir f fonksiyonu vardır. Hatta, bu fonksiyonu, 
f(z) = z\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(z-k)} 
olarak alabiliriz. Bu seri,  \Complex \smallsetminus \mathbb{Z}^+  kümesinin herhangi bir tıkız altkümesi üzerinde istediğimiz özelliklere sahip meromorf bir fonksiyona normal yakınsaktır.

## Bazı meromorf fonksiyonların kutup açılımları

 \tan(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{8z}{(2n+1)^2\pi^2-4z^2} 
 \csc(z)
= \sum_{n \in \Z} \frac{(-1)^n}{z-n\pi}
= \frac{1}{z} + 2z\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{z^2 - (n\,\pi)^2}
 \sec(z)
\equiv -\csc\left(z-\frac{\pi}{2}\right)
= \sum_{n \in \Z} \frac{(-1)^{n-1}}{z-\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n+1)\pi}{(n+\frac{1}{2})^2\pi^2-z^2}

 \cot(z)
\equiv \frac{\cos (z)}{\sin (z)}
= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{z-n\pi}
= \frac{1}{z} + 2z\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{z^2 - (k\,\pi)^2}
 \csc^2(z) = \sum_{n \in \Z} \frac{1}{(z-n\,\pi)^2} 
 \sec^2(z) = \frac{d}{dz}\tan(z)
= \sum_{n=0}^\infty \frac{8((2n+1)^2\pi^2+4z^2)}{((2n+1)^2\pi^2-4z^2)^2}
 \frac{1}{z \sin(z)}
= \frac{1}{z^2} + \sum_{n \neq 0} \frac{(-1)^n}{\pi n(z-\pi n)}
= \frac{1}{z^2} + \sum_{n=1}^\infty {(-1)^n} \frac{2}{z^2 - (n\,\pi)^2}

## Kaynakça

*.
*.

## Ayrıca bakınız
* Riemann-Roch teoremi
* Weierstrass çarpım teoremi

## Dış bağlantılar
*