Richardson sayısı

**Richardson sayısı** (**Ri**), Lewis Fry Richardson (1881–1953) adını taşıyan boyansi teriminin akış kayma gerilmesi terimine oranını ifade eden bir boyutsuz sayı:

:
\mathrm{Ri} = \frac{\text{boyansi terimi}}{\text{akış kayma gerilmesi terimi}} = \frac{g}{\rho} \frac{\partial \rho/\partial z}{(\partial u / \partial z)^2}


burada g yerçekimi, \rho yoğunluk, u akış sürati ve z derinlik anlamına gelir.

Richardson sayısı veya çeşitli türevleri, hava tahmini ve okyanuslar, göller ve rezervuarlardaki yoğunluk ve bulanıklık akıntılarını araştırmada önemli bir pratik kullanıma sahiptir.

Yoğunluk farklarının küçük olduğu akışlar incelendiğinde (Boussinesq yaklaşımı), indirgenmiş yerçekimi *g' * kullanmak yaygındır ve bu durumda ilgili parametre densimetrik Richardson sayısıdır:

:
\mathrm{Ri} = \frac{-\partial g'/\partial z}{(\partial u / \partial z)^2}


Bu parametre, atmosferik veya okyanus akışları incelendiğinde sıklıkla kullanılmaktadır.

Richardson sayısı birden çok küçükse, boyansi akışta önemsizdir. Eğer birden çok büyükse, boyansi baskın hale gelir (bu, akışkanları homojenleştirecek yeterli kinetik enerjinin olmadığı anlamına gelir).

Richardson sayısı bir mertebesindeyse, akış muhtemelen boyansi etkisiyle gerçekleşir: akışın enerjisi başlangıçta sistemdeki potansiyel enerjiden kaynaklanır.

## Havacılık
Havacılık alanında, Richardson sayısı beklenen hava türbülansını tahmin etmek için genel bir ölçüt olarak kullanılır. Düşük bir değer, daha yüksek türbülans derecesine işaret eder. 10 ile 0.1 aralığındaki değerler tipiktir ve birin altındaki değerler belirgin türbülansa işaret eder.

## Termal konveksiyon

Termal konveksiyon problemlerinde, Richardson sayısı doğal konveksiyonun zorlanmış konveksiyona kıyasla önem derecesini ifade eder. Richardson sayısı bu bağlamda şu şekilde tanımlanır:

: 
\mathrm{Ri} = \frac{g \beta (T_\text{hot} - T_\text{ref})L}{V^2}


burada *g* yerçekimi ivmesi, \beta ısıl genleşme katsayısı, *T*hot sıcak yüzey sıcaklığı, *T*ref referans sıcaklık, *L* karakteristik uzunluk ve *V* karakteristik sürattir.

Richardson sayısı ayrıca Grashof sayısı ve Reynolds sayısı kombinasyonu ile de ifade edilebilir:

: 
\mathrm{Ri} = \frac{\mathrm{Gr}}{\mathrm{Re}^2}.


Genellikle, Ri  10 olduğunda zorlanmış konveksiyon önemsizdir ve 0.1 Ri_{f}, türbülans kinetik enerjisinin boyansi üretiminin (veya baskılanmasının) kayma gerilimi ile türbülans üretimine oranıdır. Matematiksel olarak, bu şu şekilde ifade edilir:
:
    Ri_{f} = \frac{(g/T_{v}) \overline{w' \theta'}}{\overline{u' w'} \frac{\partial \overline{u}}{\partial z} + \overline{v' w'} \frac{\partial \overline{v}}{\partial z}}
    ,

burada T_{v} gerçek sıcaklık (İng. *virtual temperature*), \theta_{v} gerçek potansiyel sıcaklık (İng. *virtual potential temperature*), z yükseklik, u rüzgarın x bileşeni, v rüzgarın y bileşeni ve w rüzgarın z (dikey) bileşenidir. Üst çizgi (ör. w'), ilgili alanın Reynolds ortalamasından sapmasını gösterir.

* Gradyan Richardson sayısı Ri_{g}, "K-teorisi" kullanılarak akı Richardson sayısının yaklaşık olarak elde edilmesiyle elde edilir. Bu şu şekilde sonuçlanır:
:
    Ri_{g} = \frac{(g/T_{v}) \frac{\partial \theta_{v}}{\partial z}}{(\frac{\partial u}{\partial z})^2 + (\frac{\partial v}{\partial z})^2}
    .

* Kitle Richardson sayısı Ri_{b}, gradyan Richardson sayısının türevlerine bir sonlu farklar yaklaşımı yapılarak elde edilir, bu da şu şekilde ifade edilir:
:
    Ri_{b} = \frac{(g/T_{v0})\Delta \theta_{v} \Delta z}{(\Delta u)^2 + (\Delta v)^2}
    .

Burada, herhangi bir değişken f için, \Delta f := f_{z1} - f_{z0}, yani f'nin z1 yüksekliğindeki değeri ile z0 yüksekliğindeki değeri arasındaki fark anlamına gelir. Alt referans seviyesi z0=0 olarak alınırsa, u_{z0}=v_{z0}=0 (kayma olmama koşulu (İng. *no-slip boundary condition*) nedeniyle), bu ifade şu şekilde sadeleşir:
:
Ri_{b} = \frac{(g/\theta_{v0})(\theta_{vz1} - \theta_{v0})z}{(u_{z1})^2 + (v_{z1})^2}
.

## Oşinografi
Oşinografi alanında, Richardson sayısı tabakalaşmayı dikkate alan daha genel bir forma sahiptir. Bu sayı, su sütunundaki mekanik ve yoğunluk etkilerinin göreceli önemini ölçer ve Taylor–Goldstein denklemi ile tanımlanır. Bu denklem, kayma akışları tarafından tetiklenen Kelvin–Helmholtz kararsızlığını modellemek için kullanılır.

:\mathrm{Ri} = \frac{N^2}{(\mathrm{d}u/\mathrm{d}z)^2} 

burada *N* Brunt–Väisälä frekansı ve *u* rüzgar süratidir.

Yukarıda tanımlanan Richardson sayısı her zaman pozitif olarak kabul edilir. *N²*'nin negatif bir değeri (yani, karmaşık *N*) aktif konvektif devrilmeler (İng. *active convective overturning*) ile dengesiz yoğunluk gradyanlarını gösterir. Bu tür durumlarda, negatif Ri'nin büyüklüğü genellikle ilgi çekici değildir. Ri < 1/4 olduğunda, hız kaymasının tabakalı bir akışkanın tabakalı kalma eğilimini aşması için gerekli bir koşul olduğu ve genellikle bir miktar karışımın (türbülans) gerçekleşeceği gösterilebilir. Ri büyük olduğunda, tabakalaşma boyunca türbülanslı karışım genellikle baskılanır.

## Kaynakça