Birim aralık

Matematikte **birim aralık**, 0'a eşit veya büyük ve 1'e eşit veya küçük tüm gerçel sayılar kümesi, yani [0,1] kapalı aralığıdır. Genellikle **' (büyük harf <big></big>) ile gösterilir.

[[Gerçel analiz]]deki rolüne ek olarak birim aralık, [[topoloji]] alanında [[homotopi teorisi]]ni incelemek için de kullanılır.

Literatürde "birim aralık" terimi bazen 0'dan 1'e kadar olan aralığın alabileceği diğer şekiller için de kullanılır: (0,1], [0,1) ve (0,1). Ancak **' gösterimi en yaygın olarak [0,1] kapalı aralığı için ayrılmıştır.

## Özellikler

Birim aralık, genişletilmiş gerçel sayı doğrusuna homeomorfik olan bir tam metrik uzaydır. Bir topolojik uzay olarak kompakt, büzülebilir (*contractible*), yol bağlantılı (*path connected*) ve yerel yol bağlantılıdır (*locally connected*). Hilbert küpü, birim aralığın sayılabilir çokluktaki kopyalarının topolojik çarpımı alınarak elde edilir.

Matematiksel analizde birim aralık, sınırı 0 ve 1 noktalarından oluşan bir boyutlu analitik bir manifolddur. Standart yönlendirmesi (*orientability*) 0'dan 1'e gider.

Birim aralık tam sıralı bir küme ve tam kafestir (*complete lattice*; birim aralığın her alt kümesinin bir supremumu ve bir infimumu vardır).

### Kardinalite

Bir kümenin *boyutu* veya *[[kardinalite]]si*, içerdiği elemanların sayısıdır. Birim aralık, gerçel sayılar \mathbb{R}'nin bir alt kümesidir. Ancak kümenin tamamıyla aynı boyuta sahiptir: süreklilik kardinalitesi.

Gerçel sayılar sonsuz uzunluktaki bir doğru boyunca noktaları temsil etmek için kullanılabildiğinden, bu durum, o doğrunun bir parçası olan 1 uzunluğundaki bir doğru parçasının, tüm doğruyla aynı sayıda noktaya sahip olduğu anlamına gelir. Dahası, alanı 1 olan bir kareyle, hacmi 1 olan bir küple ve hatta sınırsız *n*-boyutlu Öklid uzayı \mathbb{R}^n ile aynı sayıda noktaya sahiptir.

Bahsedilen tüm kümelerdeki elemanların (gerçel sayılar veya noktalar) sayısı, doğal sayıların sayısından kesinlikle daha büyük olduğu için sayılamazdır.

### Yönlendirme
Birim aralık bir eğridir. (0,1) açık aralığı pozitif gerçel sayıların bir alt kümesidir ve yönlendirmeyi onlardan alır. Aralığa 1'den girildiğinde yönlendirme tersine döner; örneğin *x* aralık içindeyken doğal logaritmayı tanımlamak için kullanılan \int_1^x \frac{dt}{t}  integralinde olduğu gibi. Bu durum, bu tür *x* değerlerinin logaritması için negatif değerler verir.

Aslında bu integral, oradaki ters yönlendirme nedeniyle birim aralık üzerinde *negatif alan* veren bir işaretli alan (*signed area*) olarak değerlendirilir.

## Genellemeler
Pozitif ve negatif birimlerle sınırlandırılmış iki uzunluğundaki [-1,1] aralığı, sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonları ile tanh hiperbolik fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı) gibi yerlerde sıkça karşımıza çıkar. Bu aralık, ters fonksiyonların tanım kümesi için kullanılabilir. Örneğin *&theta;*, [&minus;π/2, π/2] ile sınırlandırıldığında \sin\theta bu aralıkta yer alır ve arksinüs burada tanımlanır.

Bazen "birim aralık" terimi, matematiğin çeşitli dallarında, [0,1] aralığının homotopi teorisinde oynadığı role benzer bir rol oynayan nesneleri ifade etmek için kullanılır. Örneğin, sadak (*quiver*) teorisinde, birim aralığın, köşe kümesi \{0,1\} olan ve kaynağı 0, hedefi 1 olan tek bir *e* kenarı içeren grafiktir. Daha sonra, sadak homomorfizmaları arasında, sürekli dönüşümler arasındaki homotopi kavramına benzer bir homotopi kavramı tanımlanabilir.

## Bulanık mantık
Mantıkta, [0,1] birim aralığı, Boole alanı {0,1}'in bir genellemesi olarak yorumlanabilir; bu durumda sadece 0 veya 1 değerlerini almak yerine, 0 ve 1 dahil olmak üzere aradaki herhangi bir değer varsayılabilir.

Cebirsel olarak, değilleme (DEĞİL),  ile değiştirilir; tümel evetleme (VE), çarpma () ile değiştirilir; ve tikel evetleme (VEYA), De Morgan yasaları uyarınca  olarak tanımlanır.

Bu değerlerin mantıksal doğruluk değerleri olarak yorumlanması, bulanık mantık ve olasılıksal mantık için temel oluşturan çok-değerli mantık sistemini ortaya çıkarır. Bu yorumlamalarda, bir değer gerçeğin "derecesi" olarak yorumlanır – bir önermenin ne ölçüde doğru olduğu veya önermenin doğru olma olasılığı.

## Ayrıca bakınız
* Birim kare, küp, çember, hiperbol ve küre
* Birim dürtü
* Birim vektör

## Kaynakça
* Robert G. Bartle, 1964, *The Elements of Real Analysis*, John Wiley & Sons.