Teğet ve normal bileşenler

Matematikte, bir eğri üzerindeki bir noktada bulunan vektör; biri eğriye teğet olan (vektörün **teğet bileşeni** olarak adlandırılır) ve diğeri eğriye dik olan (vektörün **normal bileşeni** olarak adlandırılır) iki vektörün toplamı olarak tek bir biçimde ayrıştırılabilir.

Benzer şekilde, bir yüzey üzerindeki bir noktada bulunan vektör de aynı yöntemle bileşenlerine ayrılabilir.
Daha genel olarak, bir M manifoldunun bir N alt manifoldu ve N'nin bir noktasında M'ye ait teğet uzaydaki bir vektör verildiğinde; bu vektör, N'ye teğet olan bileşen ve N'ye normal olan bileşen şeklinde ayrıştırılabilir.

## Resmi tanım

### Yüzey
Daha resmi bir ifadeyle, S bir yüzey ve x bu yüzey üzerinde bir nokta olsun.
\mathbf{v},  noktasındaki bir vektör olsun. O halde \mathbf{v}, benzersiz bir biçimde aşağıdaki gibi bir toplam olarak yazılabilir:
\mathbf{v} = \mathbf{v}_\parallel + \mathbf{v}_\perp
Burada toplamdaki ilk vektör teğet bileşen, ikinci vektör ise normal bileşendir.
Bu iki vektörün birbirine dik olduğu sonucuna doğrudan ulaşılır.

Teğet ve normal bileşenleri hesaplamak için, yüzeye ait bir birim normal ele alalım; yani  noktasında S'ye dik olan bir \hat\mathbf{n} birim vektörünü düşünelim. O halde,
\mathbf{v}_\perp = \left(\mathbf{v} \cdot \hat\mathbf{n}\right) \hat\mathbf{n}
ve dolayısıyla
\mathbf{v}_\parallel = \mathbf{v} - \mathbf{v}_\perp
olur; burada "\cdot", nokta çarpımını ifade eder.

Teğet bileşen için bir diğer formül ise şöyledir:
\mathbf{v}_\parallel = -\hat\mathbf{n} \times (\hat\mathbf{n}\times\mathbf{v}),
burada "\times", çapraz çarpımı ifade eder.
Bu formüller, kullanılan \hat\mathbf{n} birim normaline bağlı değildir (herhangi bir yüzeyde belirli bir noktada zıt yönlere bakan iki birim normal bulunur, dolayısıyla birim normallerden biri diğerinin negatifidir).

### Alt manifold
Daha genel olarak, bir M manifoldunun bir N alt manifoldu ve bir p \in N noktası verildiğinde, teğet uzayları içeren bir kısa tam dizi elde ederiz:
T_p N \to T_p M \to T_p M / T_p N
Buradaki T_p M / T_p N bölüm uzayı, genelleştirilmiş bir normal vektörler uzayıdır.
Eğer M bir Riemann manifoldu ise, yukarıdaki dizi ayrışır ve M'nin p'deki teğet uzayı, N'ye teğet bileşen ile N'ye normal bileşenin bir direkt toplamı olarak ayrışır:
T_p M = T_p N \oplus N_p N := (T_p N)^\perp
Böylece her v \in T_p M teğet vektörü,  şeklinde ayrılır; burada v_\parallel \in T_p N ve v_\perp \in N_p N := (T_p N)^\perp'dir.

## Hesaplamalar
N'nin dejenere olmayan denklemlerle verildiğini varsayalım.

Eğer N, parametrik denklemler (örneğin bir parametrik eğri) aracılığıyla açık bir şekilde verilmişse, türev işlemi teğet demeti için bir germe kümesi (*spanning set*) verir (bu küme, parametrizasyon bir daldırma (*immersion*) ise ve ancak ise bir taban oluşturur).

Eğer N; bir yüzeyin (veya daha genel olarak bir hiperyüzeyin) yukarıdaki tanımında olduğu gibi, bir g_i için seviye kümesi veya seviye yüzeylerinin kesişimi olarak örtük biçimde verilmişse, g_i'nin gradyanları normal uzayı gerer.

Her iki durumda da, yine nokta çarpımını kullanarak hesaplama yapabiliriz; ancak çapraz çarpım 3 boyuta özgü bir işlemdir.

## Uygulamalar
* Lagrange çarpanı: Kısıtlanmış kritik noktalar, toplam türevin teğet bileşeninin yok olduğu yerlerdir.
* Yüzey normali

## Kaynakça

*
*