Trigonometrik özdeşliklerin ispatları

Trigonometrik fonksiyonları tanımlamanın birkaç eşdeğer yolu vardır ve bunlar arasındaki trigonometrik özdeşliklerin kanıtları seçilen tanıma bağlıdır. En eski ve en temel tanımlar dik üçgenlerin geometrisine ve kenarları arasındaki orana dayanır. Bu makalede verilen kanıtlar bu tanımları kullanır ve dolayısıyla bir dik açıdan büyük olmayan negatif olmayan açılar için geçerlidir. Daha büyük ve negatif açılar için Trigonometrik fonksiyonlar bölümüne bakınız.

Diğer tanımlar ve dolayısıyla diğer kanıtlar sinüs ve kosinüsün Taylor serisine veya f* + f = 0</math> [[diferansiyel denklem]]inin çözümlerine  dayanır.

==Temel trigonometrik özdeşlikler==

===Tanımlar===


Altı trigonometrik fonksiyon, bazıları için 0'dan dik açının (90°) katları kadar farklı olan açılar hariç, her [[gerçel sayı]] için tanımlanmıştır. Sağdaki diyagrama bakılırsa, θ'nın altı trigonometrik fonksiyonu, dik açıdan daha küçük açılar içindir:

:<math> \sin \theta = \frac {\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac {a}{h}</math>

:<math> \cos \theta = \frac {\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac {b}{h}</math>

:<math> \tan \theta = \frac {\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} = \frac {a}{b}</math>

:<math> \cot \theta = \frac {\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}} = \frac {b}{a}</math>

:<math> \sec \theta = \frac {\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}} = \frac {h}{b}</math>

:<math> \csc \theta = \frac {\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}} = \frac {h}{a}</math>

=== Oran özdeşlikleri===

Bir dik açıdan daha küçük açılar söz konusu olduğunda, aşağıdaki özdeşlikler bölme özdeşliği aracılığıyla yukarıdaki tanımların doğrudan sonuçlarıdır
: <math> \frac {a}{b}= \frac {\left(\frac {a}{h}\right)} {\left(\frac {b}{h}\right) }.</math>
90°'den büyük açılar ve negatif açılar için geçerli olmaya devam ederler.

:<math> \tan \theta
= \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}}
= \frac { \left( \frac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}} \right) } { \left( \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}}\right) }
= \frac {\sin \theta} {\cos \theta} </math>

:<math> \cot \theta =\frac{\text{komşu kenar}}{\text{karşı kenar}}
= \frac { \left( \frac{\text{komşu kenar}}{\text{komşu kenar}} \right) } { \left( \frac {\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} \right) }
= \frac {1}{\tan \theta} = \frac {\cos \theta}{\sin \theta} </math>

:<math> \sec \theta = \frac {1}{\cos \theta} = \frac{\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}} </math>
:<math> \csc \theta = \frac {1}{\sin \theta} = \frac{\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}} </math>

:<math> \tan \theta = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}}
= \frac{\left(\frac{\text{karşı kenar} \times \text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar} \times \text{komşu kenar}} \right) } { \left( \frac {\text{komşu kenar} \times \text{hipotenüs}} {\text{karşı kenar} \times \text{komşu kenar} } \right) }
= \frac{\left( \frac{\text{hipotenüs}}{\text{komşu kenar}} \right)} { \left( \frac{\text{hipotenüs}}{\text{karşı kenar}} \right)}
= \frac {\sec \theta}{\csc \theta} </math>
Veya
:<math> \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
= \frac{\left( \frac{1}{\csc \theta} \right) }{\left( \frac{1}{\sec \theta} \right) }
= \frac{\left( \frac{\csc \theta \sec \theta}{\csc \theta} \right) }{\left( \frac{\csc \theta \sec \theta}{\sec \theta} \right) }
= \frac{\sec \theta}{\csc \theta} </math>
:<math> \cot \theta = \frac {\csc \theta}{\sec \theta}</math>

===Tümler açı özdeşlikleri===
Toplamı π/2 radyan (90 derece) olan iki açı "tümler (veya tamamlayıcı veya dikler)”dir. Şekilde, A ve B köşelerindeki açılar tümlerdir, bu nedenle a ve b'yi değiştirebilir ve θ'yı π/2&nbsp;-&nbsp;θ olarak değiştirerek elde edebiliriz:

:<math> \sin\left(  \pi/2-\theta\right) = \cos \theta</math>

:<math> \cos\left(  \pi/2-\theta\right) = \sin \theta</math>

:<math> \tan\left(  \pi/2-\theta\right) = \cot \theta</math>

:<math> \cot\left(  \pi/2-\theta\right) = \tan \theta</math>

:<math> \sec\left(  \pi/2-\theta\right) = \csc \theta</math>

:<math> \csc\left(  \pi/2-\theta\right) = \sec \theta</math>

=== Pisagor özdeşlikleri===


***Özdeşlik 1:***
:<math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math>

Bu ve oran özdeşliklerinden aşağıdaki iki sonuç çıkar. İlkini elde etmek için, <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> ifadesinin her iki tarafını <math>\cos^2\theta</math>'ya ikincisi için <math>\sin^2\theta</math>'ya bölün.

:<math>\tan^2\theta + 1\ = \sec^2\theta </math>
:<math>\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 </math>

Benzer şekilde,

:<math>1\ + \cot^2\theta = \csc^2\theta </math>
:<math>\csc^2\theta - \cot^2\theta = 1</math>

***Özdeşlik 2:***

Aşağıda her üç ters fonksiyon da açıklanmaktadır.

:<math> \csc^2\theta + \sec^2\theta - \cot^2\theta = 2\ + \tan^2\theta </math>

***İspat 2:***

Yukarıdaki üçgen şekline bakınız. [[Pisagor teoremi]]ne göre <math>a^2+b^2=h^2</math> olduğuna dikkat edin.

:<math>\csc^2\theta + \sec^2\theta = \frac{h^2}{a^2} + \frac{h^2}{b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2} + \frac{a^2+b^2}{b^2} = 2\ + \frac{b^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2}</math>

Uygun fonksiyonlarla yer değiştirdiğimizde -

:<math> 2\ + \frac{b^2}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} = 2\ + \tan^2\theta+ \cot^2\theta </math>

Yeniden düzenlersek:

:<math> \csc^2\theta + \sec^2\theta - \cot^2\theta = 2\ + \tan^2\theta </math>

===Açı toplam özdeşlikleri===


====Sinüs====


Yatay bir çizgi (*x*-ekseni) çizin; bir O orijini işaretleyin. O'dan yatay çizginin üzerinde <math>\alpha</math> açısında bir çizgi ve bunun üzerinde <math>\beta</math> açısında ikinci bir çizgi çizin; ikinci çizgi ile *x*-ekseni arasındaki açı <math>\alpha + \beta</math>'dır.

P'yi <math>\alpha + \beta</math> ile tanımlanan doğru üzerine orijinden birim uzaklıkta yerleştirin.

PQ, <math>\alpha</math> açısıyla tanımlanan OQ doğrusuna dik bir doğru olsun ve bu doğru üzerindeki Q noktasından P noktasına çizilsin. <math>\therefore</math> OQP bir dik açıdır.

QA, *x*-ekseni üzerindeki A noktasından Q'ya ve PB, *x*-ekseni üzerindeki B noktasından P'ye bir dik olsun.

QR *x*-eksenine paralel olacak şekilde R'yi PB üzerine çizin.

Şimdi <math>RPQ = \alpha</math> açısı (çünkü <math>OQA = \frac{\pi}{2} - \alpha</math>, <math>RQO = \alpha, RQP = \frac{\pi}{2}-\alpha</math> ve son olarak <math>RPQ = \alpha</math> yapar.)
:<math>RPQ = \tfrac{\pi}{2} - RQP = \tfrac{\pi}{2} - (\tfrac{\pi}{2} - RQO) = RQO = \alpha</math>
:<math>OP = 1</math>
:<math>PQ = \sin \beta</math>
:<math>OQ = \cos \beta</math>
:<math>\frac{AQ}{OQ} = \sin \alpha</math>, so <math>AQ = \sin \alpha \cos \beta</math>
:<math>\frac{PR}{PQ} = \cos \alpha</math>, so <math>PR = \cos \alpha \sin \beta</math>
:<math>\sin (\alpha + \beta) = PB = RB+PR = AQ+PR = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta</math>

<math>\beta</math> yerine <math>-\beta</math> koyarak ve [[tek ve çift fonksiyonlar]] için [[Trigonometrik özdeşlikler listesi#Yansımalar|yansıma özdeşlikleri]]ni kullanarak da elde ederiz:
:<math>\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos (-\beta) + \cos \alpha \sin (-\beta)</math>
:<math>\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta</math>

====Kosinüs====
Yukarıdaki şekli kullanarak,

:<math>OP = 1</math>

:<math>PQ = \sin \beta</math>

:<math>OQ = \cos \beta</math>

:<math>\frac{OA}{OQ} = \cos \alpha</math>, so <math>OA = \cos \alpha \cos \beta</math>

:<math>\frac{RQ}{PQ} = \sin \alpha</math>, so <math>RQ = \sin \alpha \sin \beta</math>

:<math>\cos (\alpha + \beta) = OB = OA-BA = OA-RQ = \cos \alpha \cos \beta\ - \sin \alpha \sin \beta</math>

<math>\beta</math> yerine <math>-\beta</math> koyarak ve [[tek ve çift fonksiyonlar]] için [[Trigonometrik özdeşlikler listesi#Yansımalar|yansıma özdeşlikleri]]ni kullanarak da elde ederiz:

:<math>\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos (-\beta) - \sin \alpha \sin (-\beta),</math>
:<math>\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta</math>

Ayrıca, [[Tümler açılar|tümler açı formülleri]] kullanılarak,
:<math>
\begin{align}
\cos (\alpha + \beta) & = \sin\left(  \pi/2-(\alpha + \beta)\right) \\
& = \sin\left(  (\pi/2-\alpha) - \beta\right) \\
& = \sin\left(  \pi/2-\alpha\right) \cos \beta - \cos\left(  \pi/2-\alpha\right) \sin \beta \\
& = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\end{align}
</math>

====Tanjant ve kotanjant====
Sinüs ve kosinüs formüllerinden şunu elde ederiz
:<math>\tan (\alpha + \beta) = \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta)}
= \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}</math>

Hem pay hem de paydayı <math> \cos \alpha \cos \beta </math> ile bölersek, şunu elde ederiz
:<math>\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}</math>

<math> \beta </math> değerini, <math> \alpha </math> değerinden <math>\tan (- \beta) = -\tan \beta </math> eşitliği yardımıyla çıkarırsak,
:<math>\tan (\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan (-\beta)}{1 - \tan \alpha \tan (-\beta)} = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}</math>

Benzer şekilde, sinüs ve kosinüs formüllerinden şunu elde ederiz
:<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{\cos (\alpha + \beta)}{\sin (\alpha + \beta)}
= \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}</math>

Daha sonra hem pay hem de paydayı <math> \sin \alpha \sin \beta </math> ile bölerek şunu elde ederiz
:<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}</math>

Ya da <math> \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} </math> eşitliğini kullanarak,
:<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{1 - \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta}
= \frac{\frac{1}{\tan \alpha \tan \beta} - 1}{\frac{1}{\tan \alpha} + \frac{1}{\tan \beta}}
= \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta} </math>

<math>\cot (- \beta) = -\cot \beta </math> eşitliğini kullanarak,
:<math>\cot (\alpha - \beta) = \frac{\cot \alpha \cot (-\beta) - 1}{ \cot \alpha + \cot (-\beta) } = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}</math>

===Çift açı özdeşlikleri===
Açı toplam özdeşliklerinden şunu elde ederiz

:<math>\sin (2 \theta) = 2 \sin \theta \cos \theta</math>

ve

:<math>\cos (2 \theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta</math>

Pisagor özdeşlikleri bunlardan ikincisi için iki alternatif form verir:

:<math>\cos (2 \theta) = 2 \cos^2 \theta - 1</math>

:<math>\cos (2 \theta) = 1 - 2 \sin^2 \theta</math>

Açı toplam özdeşlikleri de şunları verir

:<math>\tan (2 \theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2}{\cot \theta - \tan \theta}</math>

:<math>\cot (2 \theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta} = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}</math>

Ayrıca [[Euler formülü]] kullanılarak da kanıtlanabilir.

:<math> e^{i \varphi}=\cos \varphi +i \sin \varphi</math>

Her iki tarafın karesi alındığında

:<math> e^{i 2\varphi}=(\cos \varphi +i \sin \varphi)^{2}</math>

Ancak açıyı, denklemin sol tarafında aynı sonucu veren iki katına çıkarılmış versiyonu ile değiştirirsek

:<math> e^{i 2\varphi}=\cos 2\varphi +i \sin 2\varphi</math>

Bundan şu sonuç çıkar

:<math>(\cos \varphi +i \sin \varphi)^{2}=\cos 2\varphi +i \sin 2\varphi</math>.

Kareyi genişletmek ve denklemin sol tarafını sadeleştirmek şu sonucu verir

:<math>i(2 \sin \varphi \cos \varphi) + \cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi\ = \cos 2\varphi +i \sin 2\varphi</math>.

Sanal ve gerçek kısımlar aynı olmak zorunda olduğundan, orijinal özdeşliklerle baş başa kalırız

:<math>\cos^2 \varphi - \sin^2 \varphi\ = \cos 2\varphi</math>,

ve ayrıca

:<math>2 \sin \varphi \cos \varphi = \sin 2\varphi</math>.

=== Yarım açı özdeşlikleri===
cos 2θ için alternatif formları veren iki özdeşlik aşağıdaki denklemlere yol açar:

:<math>\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{2},</math>

:<math>\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{2}.</math>

Karekök işaretinin doğru seçilmesi gerekir -θ'ya 2 eklenirse, kareköklerin içindeki büyüklüklerin değişmediğini, ancak denklemlerin sol taraflarının işaret değiştirdiğini unutmayın. Bu nedenle, kullanılacak doğru işaret θ değerine bağlıdır.

Tan fonksiyonu için denklem şöyledir:

:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}.</math>

Daha sonra karekök içindeki pay ve paydayı (1 + cos θ) ile çarpmak ve Pisagor özdeşliklerini kullanmak şu sonucu verir:

:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}.</math>

Ayrıca, pay ve paydanın her ikisi de (1 - cos θ) ile çarpılırsa, sonuç şu olur:

:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}.</math>

Bu aynı zamanda şunu da verir:

:<math>\tan \frac{\theta}{2} = \csc \theta - \cot \theta.</math>

Benzer düzenlemeler cot fonksiyonu için de geçerlidir:

:<math>\cot \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt\frac{1 + \cos \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \csc \theta + \cot \theta.</math>

===Çeşitli – üçlü tanjant özdeşliği===

Eğer <math>\psi + \theta + \phi = \pi = </math> yarım çember ise (örneğin, <math>\psi</math>, <math>\theta</math> ve <math>\phi</math> bir üçgenin açılarıdır),
:<math>\tan(\psi) + \tan(\theta) + \tan(\phi) = \tan(\psi)\tan(\theta)\tan(\phi).</math>

***İspat:***

:<math>
\begin{align}
\psi & = \pi - \theta - \phi \\
\tan(\psi) & = \tan(\pi - \theta - \phi) \\
& = - \tan(\theta + \phi) \\
& = \frac{- \tan\theta - \tan\phi}{1 - \tan\theta \tan\phi} \\
& = \frac{\tan\theta + \tan\phi}{\tan\theta \tan\phi - 1} \\
(\tan\theta \tan\phi - 1) \tan\psi & = \tan\theta + \tan\phi \\
\tan\psi \tan\theta \tan\phi - \tan\psi & = \tan\theta + \tan\phi \\
\tan\psi \tan\theta \tan\phi & = \tan\psi + \tan\theta + \tan\phi \\
\end{align}
</math>

===Çeşitli – üçlü kotanjant özdeşliği===
Eğer <math>\psi + \theta + \phi = \tfrac{\pi}{2} = </math> çeyrek çember ise,

:<math> \cot(\psi) + \cot(\theta) + \cot(\phi) = \cot(\psi)\cot(\theta)\cot(\phi)</math>.

***İspat:***

<math>\psi </math>, <math>\theta </math> ve <math>\phi </math> açılarının her birini tümler açılarıyla değiştirin, böylece kotanjantlar tanjantlara dönüşür ve bunun tersi de geçerlidir.

:<math>\psi + \theta + \phi = \tfrac{\pi}{2}</math>
:<math>\therefore (\tfrac{\pi}{2}-\psi) + (\tfrac{\pi}{2}-\theta) + (\tfrac{\pi}{2}-\phi) = \tfrac{3\pi}{2} - (\psi+\theta+\phi) = \tfrac{3\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2} = \pi </math>

verildiğinde sonuç üçlü tanjant özdeşliğinden çıkar.

===Çarpım-toplam özdeşlikleri===
* <math>\sin \theta \pm \sin \phi = 2 \sin \left ( \frac{\theta\pm \phi}2 \right ) \cos \left ( \frac{\theta\mp \phi}2 \right )</math>
* <math>\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos \left ( \frac{\theta+\phi}2 \right ) \cos \left ( \frac{\theta-\phi}2 \right ) </math>
* <math>\cos \theta - \cos \phi = -2 \sin \left ( \frac{\theta+\phi}2 \right ) \sin \left ( \frac{\theta-\phi}2 \right ) </math>

====Sinüs özdeşliklerinin ispatı====
İlk olarak, toplam-açı özdeşlikleri ile başlayın:
:<math>\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta</math>
:<math>\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta</math>

Bunları toplayarak,
:<math>\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta
= 2 \sin \alpha \cos \beta </math>

Benzer şekilde, iki toplam açı özdeşliğini çıkararak,
:<math>\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
= 2 \cos \alpha \sin \beta </math>

<math>\alpha + \beta = \theta</math> ve <math>\alpha - \beta = \phi</math> olsun,
:<math>\therefore \alpha = \frac{\theta + \phi}2 </math> ve <math>\beta = \frac{\theta - \phi}2 </math>

<math>\theta</math> ve <math>\phi</math> yerine
:<math>\sin \theta + \sin \phi = 2 \sin \left( \frac{\theta + \phi}2 \right) \cos \left( \frac{\theta - \phi}2 \right) </math>
:<math>\sin \theta - \sin \phi = 2 \cos \left( \frac{\theta + \phi}2 \right) \sin \left( \frac{\theta - \phi}2 \right) = 2 \sin \left( \frac{\theta - \phi}2 \right) \cos \left( \frac{\theta + \phi}2 \right) </math>

Dolayısıyla,
:<math>\sin \theta \pm \sin \phi = 2 \sin \left( \frac{\theta\pm \phi}2 \right) \cos \left( \frac{\theta\mp \phi}2 \right) </math>

====Kosinüs özdeşliklerinin ispatı====

Benzer şekilde kosinüs için de toplam-açı özdeşlikleri ile başlayın:
:<math>\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta\ - \sin \alpha \sin \beta</math>
:<math>\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta</math>

Tekrar, toplama ve çıkarma yaparak
:<math>\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta\ - \sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = 2\cos \alpha \cos \beta</math>
:<math>\cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta\ - \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
= -2 \sin \alpha \sin \beta</math>

<math>\theta</math> ve <math>\phi</math> değerlerini daha önce olduğu gibi yerine koyun,
:<math>\cos \theta + \cos \phi = 2 \cos \left( \frac{\theta+\phi}2 \right) \cos \left( \frac{\theta-\phi}2 \right) </math>
:<math>\cos \theta - \cos \phi = -2 \sin \left( \frac{\theta+\phi}2 \right) \sin \left( \frac{\theta-\phi}2 \right) </math>

===Eşitsizlikler===




Sağdaki şekil, yarıçapı 1 olan bir çemberin bir sektörünü göstermektedir. Sektör tüm çemberin 'sıdır, dolayısıyla alanı 'dir. Burada .

:<math>OA = OD = 1</math>
:<math>AB = \sin \theta</math>
:<math>CD = \tan \theta</math>

 üçgeninin alanı  veya 'dir. Üçgenin  alanı  veya 'dir.

 üçgeni tamamen sektörün içinde yer aldığından ve sektör de tamamen  üçgeninin içinde yer aldığından,

:<math>\sin \theta < \theta < \tan \theta.</math>

Bu geometrik argüman, varsayım olarak hareket eden [[yay uzunluğu]] ve [[Peano-Jordan ölçüsü|alan]] tanımlarına dayanır, bu nedenle kanıtlanabilir bir özellikten ziyade [[trigonometrik fonksiyonlar]]ın yapımında dayatılan bir koşuldur. Sinüs fonksiyonu için diğer değerleri de ele alabiliriz. Eğer  ise, . Ancak  (Pisagor özdeşliği nedeniyle), bu nedenle . O halde elimizde,

:<math>\frac{\sin \theta}{\theta} < 1\ \ \ \ \ 0 < \theta \ \ \ \mathrm{ise}.</math>

Negatif  değerleri için sinüs fonksiyonunun simetrisi gereği

:<math>\frac{\sin \theta}{\theta} = \frac{\sin (-\theta)}{-\theta} < 1.</math>

Dolayısıyla

:<math>\frac{\sin \theta}{\theta} < 1\quad \text{ }\quad \theta \ne 0\quad \text{ ise},</math>
ve
:<math>\frac{\tan \theta}{\theta} > 1\quad  \text{ }\quad  0 < \theta < \frac{\pi}{2} \quad \text{ ise}.</math>

==Kalkülüs içeren özdeşlikler==

===Önbilgiler===

:<math>\lim_{\theta \to 0}{\sin \theta} = 0</math>
:<math>\lim_{\theta \to 0}{\cos \theta} = 1</math>

===Sinüs ve açı oranı özdeşliği===

:<math>\lim_{\theta \to 0}{\frac{\sin \theta}{\theta}} = 1</math>

Başka bir deyişle, sinüs fonksiyonu 0'da [[türevlenebilir fonksiyon|türevlenebilir]]dir ve [[türev]]i 1'dir.

***İspat:*** Önceki eşitsizliklerden, küçük açılar için

:<math>\sin \theta < \theta < \tan \theta</math>,
Bu nedenle,
:<math>\frac{\sin \theta}{\theta} < 1 < \frac{\tan \theta}{\theta}</math>,
Sağ taraftaki eşitsizliği göz önünde bulundurun. O zaman,
:<math>\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} </math>
:<math>\therefore 1 < \frac{\sin \theta}{\theta \cos \theta} </math>
<math>\cos \theta </math> ile çarpın
:<math>\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} </math>
Sol taraftaki eşitsizlik ile birleştirildiğinde:
:<math>\cos \theta < \frac{\sin \theta}{\theta} < 1 </math>
<math>\cos \theta </math> değerinin <math> \theta \to 0 </math> limitini alırsak
:<math>\lim_{\theta \to 0}{\cos \theta} = 1</math>
Böylece,
:<math>\lim_{\theta \to 0}{\frac{\sin \theta}{\theta}} = 1</math>

=== Kosinüs ve açı oranı özdeşliği===
:<math>\lim_{\theta \to 0}\frac{1 - \cos \theta}{\theta} = 0</math>

***İspat:***

:<math>
\begin{align}
\frac{1 - \cos \theta}{\theta} & = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\theta (1 + \cos \theta)}\\
& = \frac{\sin^2 \theta}{\theta (1 + \cos \theta)}\\
& = \left( \frac{\sin \theta}{\theta} \right) \times \sin \theta \times \left( \frac{1}{1 + \cos \theta} \right)\\
\end{align}
</math>

Bu üç niceliğin limitleri 1, 0 ve 1/2'dir, dolayısıyla sonuçta elde edilen limit sıfırdır.

=== Kosinüs ve açının karesi oranı özdeşliği===
:<math> \lim_{\theta \to 0}\frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}  = \frac{1}{2} </math>

***İspat:***

Önceki kanıtta olduğu gibi,

:<math>\frac{1 - \cos \theta}{\theta^2} = \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{1}{1 + \cos \theta}.</math>

Bu üç niceliğin limitleri 1, 1 ve 1/2'dir, dolayısıyla ortaya çıkan limit 1/2'dir.

=== Trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların bileşimlerinin ispatı===

Tüm bu fonksiyonlar, Pisagor trigonometrik özdeşliğinden kaynaklanır. Örneğin şu fonksiyonu kanıtlayabiliriz
:<math>\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>

***İspat:***

Şuradan başlayalım;
:<math>\sin^2\theta+\cos^2\theta=1</math> (I)
Daha sonra bu (I) denklemini <math>\cos^2\theta</math>'a bölersek

:<math>\cos^2\theta=\frac{1}{\tan^2\theta+1}</math> (II)
:<math>1-\sin^2\theta=\frac{1}{\tan^2\theta+1}</math>
Ardından <math>\theta=\arctan(x)</math> ifadesini yerine koyun:

:<math>1-\sin^2[\arctan(x)]=\frac{1}{\tan^2[\arctan(x)]+1}</math>
:<math>\sin^2[\arctan(x)]=\frac{\tan^2[\arctan(x)]}{\tan^2[\arctan(x)]+1}</math>

Daha sonra <math>\tan[\arctan(x)]\equiv x</math> özdeşliğini kullanırız.
:<math>\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}</math> (III)

Ve ilk Pisagor trigonometrik özdeşliği kanıtlandı...

Benzer şekilde bu (I) denklemini <math>\sin^2\theta</math>'e bölersek
:<math>\sin^2\theta=\frac{\frac{1}{1}}{1+\frac{1}{\tan^2\theta}}</math> (II)
:<math>\sin^2\theta=\frac{\tan^2\theta}{\tan^2\theta+1}</math>

Ardından <math>\theta=\arctan(x)</math> ifadesini yerine koyun:
:<math>\sin^2[\arctan(x)]=\frac{\tan^2[\arctan(x)]}{\tan^2[\arctan(x)]+1}</math>

Daha sonra <math>\tan[\arctan(x)]\equiv x</math> özdeşliğini kullanırız.
:<math>\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}</math> (III)

Ve ilk Pisagor trigonometrik özdeşliği kanıtlandı...

:<math>[\arctan(x)]=[\arcsin(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})]</math>

:<math>y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}</math>

:<math>y^2=\frac{x^2}{x^2+1}</math> (IV)

Kanıtlamamız gereken şeyi tahmin edelim:

:<math>x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}</math>

:<math>x^2=\frac{y^2}{1-y^2}</math> (V)

(V)'i (IV) ile değiştirirsek:

:<math>y^2=\frac{\frac{y^2}{(1-y^2)}}{\frac{y^2}{(1-y^2)}+1}</math>

:<math>y^2=\frac{\frac{y^2}{(1-y^2)}}{\frac{1}{(1-y^2)}}</math>

Yani doğrudur: <math>y^2=y^2</math> ve tahmin ettiğimiz <math>x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}</math> ifadesi de doğruydu:

:<math>[\arctan(x)]=[\arcsin(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}})]=[\arcsin(y)]=[\arctan(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}})]</math>

Şimdi *y*, *x* olarak yazılabilir; ve [arctan] cinsinden ifade edilen [arcsin]'i elde ettik...

:<math>[\arcsin(x)]=[\arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})]</math>

Benzer şekilde, eğer araştırırsak:<math>[\arccos(x)]</math>....

:<math>\cos[\arccos(x)]=x</math>

:<math>\cos(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}-[\arccos(x)]))=x</math>

:<math>\sin(\frac{\pi}{2}-[\arccos(x)])=x</math>

:<math>\frac{\pi}{2}-[\arccos(x)]=[\arcsin(x)]</math>

:<math>[\arccos(x)]=\frac{\pi}{2}-[\arcsin(x)]</math>

<math>[\arcsin(x)]</math>'den ...

:<math>[\arccos(x)]=\frac{\pi}{2}-[\arctan(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})]</math>

:<math>[\arccos(x)]=\frac{\pi}{2}-[\arccot(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x})]</math>

Ve son olarak [arctan] cindsinden ifade edilen [arccos]'u elde ettik...

:<math>[\arccos(x)]=[\arctan(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x})]</math>

==Ayrıca bakınız==

* [[Trigonometrik özdeşlikler listesi]]
* [[Bhaskara I'in sinüs yaklaşımı formülü]]
* [[Trigonometrik tablolar]]
* [[Aryabhata sinüs tablosu]]
* [[Madhava sinüs tablosu]]
* [[Newton serileri tablosu]]
* [[Madhava serisi]]
* [[Birim vektör]] (yön kosinüsleri açıklar)
* [[Euler formülü]]


==Notlar==


==Kaynakça==

* [[E. T. Whittaker]] & [[G. N. Watson]]. *A Course of Modern Analysis'', Cambridge University Press, 1952