Hilbert küpü

Matematikte, adını David Hilbert'ten alan **Hilbert küpü**, topolojideki bazı fikirler için öğretici bir örnek sağlayan bir topolojik uzaydır.
Ayrıca, birçok ilginç topolojik uzay Hilbert küpüne gömülebilir;
yani, Hilbert küpünün alt uzayları olarak görülebilirler (aşağıya bakınız).

## Tanım

Hilbert küpü en iyi, n = 1, 2, 3, 4, \ldots için [0, 1/n] aralıklarının topolojik çarpımı olarak tanımlanır. Yani, her bir ortogonal yöndeki kenar uzunluklarının \left( 1/n \right)_{n \in \N} dizisini oluşturduğu sayılabilir sonsuz boyutlu bir küboiddir.

Hilbert küpü, birim aralık [0, 1]'in sayılabilir sonsuz sayıdaki kopyasının çarpımına homeomorfiktir. Başka bir deyişle, topolojik olarak sayılabilir sonsuz boyutlu birim küpten ayırt edilemez.
Bazı yazarlar "Hilbert küpü" terimini, \left[0, \tfrac{1}{n}\right] aralıklarının çarpımı yerine bu Kartezyen çarpımı (birim aralıkların çarpımı) ifade etmek için kullanırlar.

Eğer Hilbert küpündeki bir nokta, 0 \leq a_n \leq 1/n koşulunu sağlayan bir \left( a_n \right)_{n \in \N} dizisi ile belirtilirse, sonsuz boyutlu birim küpe olan homeomorfizma h(a)_n = n \cdot a_n ile verilir.

## Metrik uzay olarak Hilbert küpü

Hilbert küpünü bir metrik uzay, hatta ayrılabilir bir Hilbert uzayının (yani, sayılabilir sonsuz bir Hilbert tabanına sahip bir Hilbert uzayı) belirli bir alt kümesi olarak düşünmek bazen uygundur.
Bu amaçlar doğrultusunda, onu [0, 1] kopyalarının bir çarpımı olarak değil, bunun yerine
[0, 1] \times [0, 1/2] \times [0, 1/3] \times \cdots;
olarak düşünmek en iyisidir; yukarıda belirtildiği gibi, topolojik özellikler açısından bu bir fark yaratmaz.
Yani, Hilbert küpünün bir elemanı,
0 \leq x_n \leq 1/n
koşulunu sağlayan bir
\left(x_n\right)_{n \in \N}
sonsuz dizisidir.

Böyle bir dizi <math>\ell_2</math> Hilbert uzayına aittir, dolayısıyla Hilbert küpü buradan bir metrik devralır.
Metriğin indüklediği topolojinin, yukarıdaki tanımdaki çarpım topolojisi ile aynı olduğu gösterilebilir.

## Özellikler

Kompakt Hausdorff uzaylarının bir çarpımı olarak Hilbert küpü, Tychonoff teoremi'nin bir sonucu olarak kendisi de kompakt bir Hausdorff uzayıdır.
Hilbert küpünün kompaktlığı, alışılagelmiş Cantor kümesinden Hilbert küpü üzerine sürekli bir fonksiyon inşa edilerek, seçim aksiyomu olmadan da kanıtlanabilir.

\ell_2 uzayında hiçbir nokta kompakt bir komşuluğa sahip değildir (dolayısıyla, \ell_2 yerel kompakt değildir).
\ell_2'nin tüm kompakt alt kümelerinin sonlu boyutlu olması beklenebilir.
Hilbert küpü, durumun böyle olmadığını gösterir.
Ancak Hilbert küpü, herhangi bir p noktasının bir komşuluğu olma özelliğini sağlamaz; çünkü kenarları her boyutta giderek küçülür, böylece p etrafındaki herhangi bir sabit e > 0 yarıçaplı açık yuvar, bazı boyutlarda küpün dışına çıkmak zorundadır.

Hilbert küpü, gergisi (span) tüm uzayda yoğun olan, ancak içi (interior) boş olan konveks bir kümedir.
Bu durum sonlu boyutlarda imkansızdır. Küpün sıfır vektöründeki kapalı teğet konisi tüm uzaydır.
K, \ell_2'nin herhangi bir sonsuz boyutlu, kompakt, konveks alt kümesi olsun;
veya daha genel olarak, K'nın aynı zamanda metriklenebilir olduğu herhangi bir yerel konveks topolojik vektör uzayının böyle bir alt kümesi;
veya daha da genel olarak, K'nın aynı zamanda bir mutlak retrakt olduğu herhangi bir metriklenebilir uzayın böyle bir alt kümesi olsun.
O zaman K, Hilbert küpüne homeomorfiktir. 

Hilbert küpünün her alt kümesi, hem metriklenebilir hem de ikinci sayılabilir olma özelliklerini Hilbert küpünden devralır.
Karşıtının da doğru olması daha ilginçtir: Her ikinci sayılabilir T4 uzayı, Hilbert küpünün bir alt kümesine homeomorfiktir.
Özellikle, Hilbert küpünün her Gδ-alt kümesi bir Polonya uzayıdır; yani ayrılabilir ve tam bir metrik uzaya homeomorfik olan bir topolojik uzaydır.
Tersine, her Polonya uzayı Hilbert küpünün bir G<sub>δ</sub>-alt kümesine homeomorfiktir.

## Notlar

## Kaynakça
* 
*
* 
* 

## Konuyla ilgili yayınlar
*