Yüksek-derece bileşik sayı

**Yüksek-derece bileşik sayı** (İngilizce: *highly composite number*), kendisinden küçük tüm pozitif tam sayılardan daha fazla bölene sahip olan bir pozitif tam sayıdır.

Eğer *d*(*n*) bir *n* pozitif tam sayısının bölen sayısını gösteriyorsa, bir *N* pozitif tam sayısı, tüm *n*&nbsp; *d*(*n*) koşulunu sağlıyorsa yüksek-derece bileşiktir. 
Örneğin, 6 yüksek-derece bileşik bir sayıdır çünkü *d*(6)&nbsp;=&nbsp;4'tür ve *n*&nbsp;=&nbsp;1,2,3,4,5 için *d*(*n*)&nbsp;=&nbsp;1,2,2,3,2 değerleri elde edilir; bunların hepsi 4'ten küçüktür.
İlgili bir kavram da, kendisinden küçük tüm pozitif tam sayılar kadar veya onlardan daha fazla bölene sahip pozitif tam sayıları ifade eden **büyük-ölçüde bileşik sayı**dır (İngilizce: *largely composite number*).
İlk iki yüksek-derece bileşik sayı (1 ve 2) aslında bileşik sayı olmadığından isim biraz yanıltıcı olabilir; ancak sonraki tüm terimler bileşik sayıdır.

Srinivasa Ramanujan, 1915 yılında yüksek-derece bileşik sayılar üzerine bir makale yazmıştır. Matematikçi Jean-Pierre Kahane, Platon'un bir şehirdeki ideal vatandaş sayısı olarak kasıtlı biçimde böyle bir sayıyı, 5040 (=&nbsp;7!) sayısını seçmesinden dolayı yüksek-derecede bileşik sayıları biliyor olması gerektiğini öne sürmüştür. Ayrıca, Vardoulakis ve Pugh'un makalesi de 5040 sayısıyla ilgili benzer bir incelemeyi derinleştirmektedir.

## Örnekler
İlk 41 yüksek-derecede bileşik sayı aşağıdaki tabloda listelenmiştir .
Bölenlerin sayısı *d*(*n*) etiketli sütunda verilmiştir. Yıldız işaretleri üstün yüksek-derece bileşik sayıları gösterir.

İlk 20 yüksek-derecede bileşik sayının bölenleri aşağıda gösterilmiştir.

Aşağıdaki tablo, 10080'i 36 farklı şekilde iki sayının çarpımı olarak yazarak tüm 72 bölenini göstermektedir.

15.000'inci yüksek-derece bileşik sayı Achim Flammenkamp'ın web sitesinde bulunabilir. Bu sayı 230 asal sayının çarpımıdır:

: a_0^{14} a_1^9 a_2^6 a_3^4 a_4^4 a_5^3 a_6^3 a_7^3 a_8^2 a_9^2 a_{10}^2 a_{11}^2 a_{12}^2 a_{13}^2 a_{14}^2 a_{15}^2 a_{16}^2 a_{17}^2 a_{18}^{2} a_{19} a_{20} a_{21}\cdots a_{229},

Burada a_n, n'inci ardışık asal sayıdır ve atlanan tüm terimler (*a*22'den *a*228'e kadar) üssü bire eşit olan çarpanlardır (yani sayı 2^{14}  \times 3^{9}  \times 5^6  \times \cdots \times 1451 şeklindedir). Daha kısa bir ifadeyle, yedi farklı primöriyelin çarpımıdır:

: b_0^5 b_1^3 b_2^2 b_4 b_7 b_{18} b_{229},

Burada b_n, primöriyel a_0a_1\cdots a_n değeridir.

## Asal çarpanlara ayırma

Kabaca söylemek gerekirse, bir sayının yüksek-derece bileşik olması için mümkün olduğunca küçük asal çarpanlara sahip olması, ancak aynı asal çarpanın çok fazla tekrar etmemesi gerekir.
Aritmetiğin temel teoremine göre, her *n* pozitif tam sayısının benzersiz bir asal çarpanlara ayırma biçimi vardır:

:n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}

Burada p_1  asal sayılardır ve c_i üsleri pozitif tam sayılardır.
*n* sayısının herhangi bir çarpanı, her bir asal sayı için aynı veya daha az katlılığa (*multiplicity*) sahip olmalıdır:

:p_1^{d_1} \times p_2^{d_2} \times \cdots \times p_k^{d_k}, 0 \leq d_i \leq c_i, 0 

Böylece *n* sayısının bölen sayısı şöyledir:

:d(n) = (c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1).

Dolayısıyla, yüksek-derece bileşik bir *n* sayısı için şu koşullar geçerlidir:

* Verilen *k* adet asal sayı *p**i*, tam olarak ilk *k* asal sayı (2, 3, 5, ...) olmalıdır; aksi takdirde, verilen asallardan birini daha küçük bir asalla değiştirebilir ve böylece *n*'den daha küçük ama aynı sayıda bölene sahip bir sayı elde edebilirdik (örneğin 10&nbsp;= 2&nbsp;&times;&nbsp;5, 6 = 2 &times; 3 ile değiştirilebilir; her ikisinin de dört böleni vardır);
* Üslerin dizisi artmayan (non-increasing) olmalıdır, yani c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k; aksi takdirde, iki üssün yerini değiştirerek yine *n*'den daha küçük ve aynı sayıda bölene sahip bir sayı elde ederdik (örneğin 18&nbsp;=&nbsp;21&nbsp;×&nbsp;32 sayısı, 12&nbsp;=&nbsp;22&nbsp;×&nbsp;31 ile değiştirilebilir; her ikisinin de altı böleni vardır).

Ayrıca, iki özel durum olan *n*&nbsp;=&nbsp;4 ve *n*&nbsp;=&nbsp;36 haricinde, son üs *c**k* 1'e eşit olmalıdır.
Bu, 1, 4 ve 36'nın tam kare olan tek yüksek-derece bileşik sayılar olduğu anlamına gelir.
Üsler dizisinin artmayan olduğunu söylemek, yüksek-derece bileşik bir sayının primöriyellerin bir çarpımı olması veya alternatif olarak, kendi asal imzası (*prime signature*) için en küçük sayı olması ile eşdeğerdir.
Yukarıda açıklanan koşullar gerekli olsa da, bir sayının yüksek-derece bileşik olması için yeterli değildir.
Örneğin, 96 = 25 × 3 sayısı yukarıdaki koşulları sağlar ve 12 böleni vardır, ancak kendisinden daha küçük bir sayı (60) aynı sayıda bölene sahip olduğundan yüksek-derece bileşik değildir.

## Asimptotik büyüme ve yoğunluk
Eğer *Q*(*x*), *x*'e eşit veya ondan küçük yüksek-derece bileşik sayıların sayısını ifade ediyorsa, her ikisi de 1'den büyük olan öyle *a* ve *b* sabitleri vardır ki şu eşitsizlik sağlanır:
:(\log x)^a \le Q(x) \le (\log x)^b \, .
Eşitsizliğin ilk kısmı 1944'te Paul Erdős tarafından, ikinci kısmı ise 1988'de Jean-Louis Nicolas tarafından kanıtlanmıştır. Şu sonuçlar elde edilmiştir:

:1.13682 

ve

:\limsup_{x\,\to\,\infty} \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1.71 \ .

## İlgili diziler
6'dan büyük yüksek-derece bileşik sayılar aynı zamanda zengin sayılardır (*abundant numbers*).
Bu gerçeği doğrulamak için, belirli bir yüksek-derece bileşik sayının en büyük üç öz bölenine bakmak yeterlidir.
Tüm yüksek-derece bileşik sayıların 10 tabanında aynı zamanda Harshad sayıları olduğu ifadesi yanlıştır. Harshad sayısı olmayan ilk aşırı bileşik sayı 245.044.800'dür; bu sayının rakamları toplamı 27'dir ve bu değer 245.044.800'ü tam olarak bölmez.
İlk 38 yüksek-derece bileşik sayıdan 10'u üstün yüksek-derece bileşik sayıdır.
Yüksek-derece bileşik sayılar dizisi , tam olarak *n* bölene sahip en küçük *k* sayıları dizisinin  bir alt kümesidir.
Bölenlerinin sayısı da yüksek-derece bileşik sayı olan aşırı bileşik sayılar şunlardır:
: 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 .
Bu dizinin tam (complete) olduğu bilinmektedir.

Pozitif bir *n* tam sayısı, tüm *m* ≤ *n* değerleri için *d*(*n*) ≥ *d*(*m*) şartını sağlıyorsa **büyük-ölçüde bileşik sayıdır** (*largely composite number*).
Büyük-ölçüde bileşik sayıların sayma fonksiyonu *Q**L*(*x*) şu eşitsizliği sağlar:
:(\log x)^c \le \log Q_L(x) \le (\log x)^d \ 
Burada *c* ve *d*, 0.2 \le c \le d \le 0.5 aralığında pozitif değerlerdir.

Yüksek-derece bileşik bir sayının asal çarpanlara ayrılışı ilk *k* asal sayının tamamını kullandığından, her yüksek-derece bileşik sayı aynı zamanda bir pratik sayıdır (*practical number*). Kesirler içeren hesaplamalardaki kullanım kolaylıkları nedeniyle, bu sayıların birçoğu geleneksel ölçüm sistemlerinde ve mühendislik tasarımlarında kullanılmaktadır.

## Ayrıca bakınız

* Bölenler tablosu 
* Euler totient fonksiyonu

## Notlar

## Kaynakça
* 
* 
* 
*  Jean-Louis Nicolas ve Guy Robin tarafından eklenmiş notlar ve önsöz ile.

## Dış bağlantılar
* 
* Aşırı Bileşik Sayıları hesaplamak için algoritma
* Çarpanlarına ayrılmış olarak İlk 10000 Aşırı Bileşik Sayı
* Achim Flammenkamp, İlk 779674 Aşırı Bileşik Sayı; sigma, tau ve çarpanları ile birlikte
* Çevrimiçi Aşırı Bileşik Sayılar Hesaplayıcısı
* Numberphile için Dr. James Grime tarafından hazırlanan 5040 ve diğer Anti-Asal Sayılar - Dr. James Grime