Çarpım (matematik)

Matematikte, **çarpım**, çarpma işleminin sonucudur; ya da *çarpanlar* adı verilen ve çarpılacak olan nesneleri (sayıları veya değişkenleri) tanımlayan bir ifadedir.

Örneğin, 21 sayısı 3 ve 7'nin çarpımıdır (çarpma işleminin sonucu) ve x\cdot (2+x) ifadesi x ile (2+x)'in çarpımıdır (iki çarpanın birbiriyle çarpılması gerektiğini belirtir). Bir çarpan tam sayı olduğunda, çarpıma *[[Kat (matematik)|kat]]* (*multiple*) adı verilir.

Reel veya karmaşık sayıların çarpılma sırasının çarpım üzerinde hiçbir etkisi yoktur; bu durum çarpmanın *[[değişme özelliği]]* olarak bilinir. Matrisler veya diğer çeşitli birleşmeli cebirlerin üyeleri çarpıldığında ise çarpım genellikle çarpanların sırasına bağlıdır. Örneğin matris çarpımı değişmeli değildir; genel olarak diğer cebirlerdeki çarpma işlemleri de böyledir.

Matematikte pek çok farklı çarpım türü vardır: Sadece sayıları, polinomları veya matrisleri çarpabilmenin yanı sıra, birçok farklı cebirsel yapı üzerinde de çarpımlar tanımlanabilir.

## İki sayının çarpımı

Başlangıçta çarpım, iki veya daha fazla sayının çarpılmasının sonucuydu ve hâlâ da öyledir. Örneğin, ,  ve 'in çarpımıdır.

Aritmetiğin temel teoremi, her bileşik sayının asal sayıların bir çarpımı olduğunu ve bu çarpımın, çarpanların sıralaması haricinde benzersiz olduğunu belirtir. (Çarpanların sıralaması hariç: Bu ifade, sayıların yerlerini değiştirebilseniz dahi (örneğin 2×3 ile 3×2), kullanılan sayıların aslında tek ve değişmez bir çözüm oluşturduğunu açıklar.)

15. yüzyılın sonlarında matematiksel gösterimin ve değişkenlerin kullanılmaya başlanmasıyla birlikte, belirtilmemiş (katsayılar ve parametreler) veya bulunması gereken (bilinmeyenler) sayıların çarpımını ele almak yaygınlaşmıştır. Etkili bir şekilde (sayısal olarak) gerçekleştirilemeyen bu çarpmalara da *çarpım* adı verilir. Örneğin, ax+b=0, doğrusal denkleminde, ax terimi, a katsayısı ile x bilinmeyeninin *çarpımını* ifade eder.

Daha sonra ve esas olarak 19. yüzyıldan itibaren, sayıları hiç içermeyen ve yine *çarpım* olarak adlandırılan yeni ikili işlemler ortaya atılmıştır; örneğin, nokta çarpımı. Bu maddenin büyük bir kısmı bu tür sayısal olmayan çarpımlara ayrılmıştır.

## Bir dizinin çarpımı

Bir dizinin çarpımı için kullanılan çarpım operatörü, (toplama sembolü olarak büyük Sigma Σ kullanımına benzer şekilde) büyük Yunan harfi pi Π ile gösterilir. Örneğin, \textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2 ifadesi  yazımının bir başka yoludur.

Yalnızca tek bir sayıdan oluşan bir dizinin çarpımı, o sayının kendisidir; hiç çarpanı olmayan çarpım ise boş çarpım olarak bilinir ve 1'e eşittir.

## Değişmeli halkalar
Değişmeli halkalarda bir çarpım işlemi bulunur.

### Tam sayıların kalan sınıfları

\Z/N\Z halkalarındaki kalan sınıfları (*residue class*) toplanabilir:

:(a + N\Z) + (b + N\Z) = a + b + N\Z

ve çarpılabilir:

:(a + N\Z) \cdot (b + N\Z) = a \cdot b + N\Z

### Evrişim

Reel sayılardan yine kendine tanımlı iki fonksiyon, evrişim (konvolüsyon) adı verilen başka bir yolla çarpılabilir.

Şayet
:
  \int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|\,\mathrm{d}t 

ise, şu integral

:(f*g) (t) \;:= \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau 

iyi tanımlıdır ve evrişim olarak adlandırılır. Fourier dönüşümü altında evrişim, noktasal fonksiyon çarpımına dönüşür.

### Polinom halkaları

İki polinomun çarpımı aşağıdaki şekilde verilir:
:\biggl(\sum_{i=0}^n a_i X^i\biggr) \cdot \biggl(\sum_{j=0}^m b_j X^j\biggr) = \sum_{k=0}^{n+m} c_k X^k 

burada

: c_k = \sum_{i+j=k} a_i \cdot b_j 

## Lineer cebirde çarpımlar
Lineer cebirde irçok farklı çarpım türü vardır. Bunlardan bazıları kafa karıştırıcı derecede benzer isimlere (dış çarpım (*outer product*), dışsal çarpım (*exterior product*)) sahip olmalarına rağmen çok farklı anlamlar taşırken diğerleri çok farklı isimlere (tensör çarpımı, Kronecker çarpımı) sahip olmalarına rağmen esasen aynı fikri ifade ederler. Bunlara dair kısa bir genel bakış aşağıdaki bölümlerde verilmiştir.

### Skaler çarpma

Bir vektör uzayının tanımı gereği, herhangi bir skaler ile herhangi bir vektörün çarpımı oluşturulabilir ve bu \R \times V \rightarrow V gönderimini verir.

### Skaler çarpım

Bir skaler çarpım, aşağıdaki koşulları sağlayan bir çiftdoğrusal (bi-lineer) gönderimdir:

:\cdot : V \times V \rightarrow \R 

öyle ki tüm 0 \not= v \in V için v \cdot v > 0 olsun.

Skaler çarpımdan yola çıkarak, \|v\| := \sqrt{v \cdot v}  olsun denilerek bir norm tanımlanabilir. Skaler çarpım ayrıca iki vektör arasındaki açının tanımlanmasına da olanak tanır:

:\cos\angle(v, w) = \frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}

n-boyutlu Öklid uzayında, standart skaler çarpım (nokta çarpımı olarak adlandırılır) şu şekilde verilir:

:\biggl(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\biggr) \cdot \biggl(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i\biggr) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i

### 3-boyutlu uzayda çapraz çarpım

3 boyutta iki vektörün çapraz çarpımı, iki çarpana da dik olan ve uzunluğu iki çarpan tarafından gerilen paralelkenarın alanına eşit olan bir vektördür.

Çapraz çarpım aynı zamanda biçimsel determinant olarak da ifade edilebilir:
:\mathbf{u \times v} = \begin{vmatrix}
  \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
         u_1 &        u_2 &        u_3 \\
         v_1 &        v_2 &        v_3 \\
\end{vmatrix}

### Doğrusal eşlemlerin bileşkesi

Doğrusal bir eşlem (*mapping*), dayanak cismi **F** olan iki vektör uzayı *V* ve *W* arasında, aşağıdaki koşulu sağlayan bir *f* fonksiyonu olarak tanımlanabilir:
:f(t_1 x_1 + t_2 x_2) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2), \forall x_1, x_2 \in V, \forall t_1, t_2 \in \mathbb{F}.

Eğer sadece sonlu boyutlu vektör uzayları dikkate alınırsa,
:f(\mathbf{v}) = f\left(v_i \mathbf{b_V}^i\right) = v_i f\left(\mathbf{b_V}^i\right) = {f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j,
burada **b<sub>V</sub>** ve **b<sub>W</sub>**, *V* ve *W* nin tabanlarını, *v<sub>i</sub>* ise **v** nin **b<sub>V</sub>***i* üzerindeki bileşenini ifade eder ve Einstein toplam uzlaşımı uygulanır.

Şimdi sonlu boyutlu vektör uzayları arasındaki iki doğrusal gönderimin bileşkesini ele alalım. *f* doğrusal gönderimi *V* yi *W* ye, *g* doğrusal gönderimi ise *W* yi *U* ya götürsün. O halde şu elde edilir:
:g \circ f(\mathbf{v}) = g\left({f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j\right) = {g^j}_k {f^i}_j v_i \mathbf{b_U}^k.

Veya matris formunda:
:g \circ f(\mathbf{v}) = \mathbf{G} \mathbf{F} \mathbf{v},
burada **F** nin *i*-inci satır, *j*-inci sütun elemanı *F<sub>ij</sub>*, *f<sup>j</sup><sub>i</sub>* ile ifade edilir ve *G<sub>ij</sub>=g<sup>j</sup><sub>i</sub>* dir.

İkiden fazla doğrusal gönderimin bileşkesi de benzer şekilde bir matris çarpımı zinciri ile temsil edilebilir.

### İki matrisin çarpımı

Reel değerli girdilere sahip iki matris verildiğinde; ,  içinde ve ,  içinde olsun ('nın sütun sayısı 'nin satır sayısına eşit olmalıdır). Bu ikisinin çarpımı  içinde bir  matrisidir ve girdileri, 'nın ilgili satırı ile 'nin ilgili sütunundaki girdilerin ikili çarpımlarının toplamı ile verilir:

:c_{ij} = \sum_{k=1}^r a_{ik} b_{kj} = a_{i1} b_{1j} + a_{i2} b_{2j} + \cdots + a_{ir} b_{rj}

### Matris çarpımı olarak doğrusal fonksiyonların bileşkesi
Doğrusal fonksiyonların bileşkesi ile iki matrisin çarpımı arasında bir ilişki vardır. Bunu görmek için, r = dim(U), s = dim(V) ve t = dim(W), U, V ve W vektör uzaylarının (sonlu) boyutları olsun.
\mathcal U = \{u_1, \ldots, u_r\}, U'nun bir tabanı,
\mathcal V = \{v_1, \ldots, v_s\}, V'nin bir tabanı ve
\mathcal W = \{w_1, \ldots, w_t\}, W'nin bir tabanı olsun. Bu tabanlar cinsinden,
A = M^{\mathcal U}_{\mathcal V}(f) \in \R^{s\times r}, f: U → V'yi temsil eden matris ve
B = M^{\mathcal V}_{\mathcal W}(g) \in \R^{r\times t}, g: V → W'yi temsil eden matris olsun. O halde

:B\cdot A = M^{\mathcal U}_{\mathcal W} (g \circ f) \in \R^{s\times t}

matrisi g \circ f : U \rightarrow W fonksiyonunu temsil eder.

Başka bir deyişle: matris çarpımı, doğrusal fonksiyonların bileşkesinin koordinatlardaki açıklamasıdır.

### Vektör uzaylarının tensör çarpımı

Sonlu boyutlu iki vektör uzayı *V* ve *W* verildiğinde, bunların tensör çarpımı aşağıdaki koşulu sağlayan bir (2,0)-tensörü olarak tanımlanabilir:
:V \otimes W(v, m) = V(v) W(w), \forall v \in V^*, \forall w \in W^*,
burada *V<sup>*</sup>* ve *W<sup>*</sup>*, *V* ve *W* nin eşiz uzaylarını gösterir.

Sonsuz boyutlu vektör uzayları için şunlar da mevcuttur:
* Hilbert uzaylarının tensör çarpımı
* Topolojik tensör çarpımı.

Tensör çarpımı, dış çarpım (*outer product*) ve Kronecker çarpımı, hepsi aynı genel fikri taşır. Bunlar arasındaki farklar şöyledir: Kronecker çarpımı, önceden sabitlenmiş bir tabana göre matrislerin tensör çarpımıdır; oysa tensör çarpımı genellikle içsel tanımıyla (*intrinsic definition*) verilir. Dış çarpım ise basitçe Kronecker çarpımının (matrisler yerine) vektörlerle sınırlandırılmış halidir.

### Tensör çarpımına sahip tüm nesnelerin sınıfı
Genel olarak, bir lineer cebir tensör çarpımı gibi davranacak şekilde birleştirilebilen iki matematiksel nesneye sahip olunduğunda, bu durum en genel haliyle bir monoidal kategorinin iç çarpımı olarak anlaşılabilir. Yani, monoidal kategori, tensör çarpımının anlamını tam olarak yakalar; tensör çarpımlarının neden bu şekilde davrandığı kavramını tam olarak ifade eder. Daha kesin bir ifadeyle, bir monoidal kategori, bir tensör çarpımına sahip olan (belirli bir tipteki) tüm şeylerin sınıfıdır.

### Lineer cebirdeki diğer çarpımlar
Lineer cebirdeki diğer çarpım türleri şunları içerir:

* Hadamard çarpımı
* Kronecker çarpımı
* Tensörlerin çarpımı:
** Kama çarpımı veya dışsal çarpım (*Exterior product*)
** İç çarpım (*Interior product*)
** Dış çarpım (*Outer product*)
** Tensör çarpımı

## Kartezyen çarpım
Küme teorisinde, bir Kartezyen çarpımı, birden fazla kümeden bir küme (veya *çarpım kümesi*) döndüren bir matematiksel işlemdir. Yani, *A* ve *B* kümeleri için,  Kartezyen çarpımı,  ve  olmak üzere tüm  sıralı ikililerinin kümesidir.

Kartezyen çarpımlara sahip olan (belirli bir tipteki) tüm şeylerin sınıfına Kartezyen kategori denir. Bunların çoğu Kartezyen kapalı kategorilerdir. Kümeler, bu tür nesnelere bir örnektir.

## Boş çarpım
Sayılar ve çoğu cebirsel yapı üzerindeki boş çarpım, tıpkı boş toplamın 0 değerine (toplamanın birim elemanı) sahip olması gibi, 1 değerine (çarpmanın birim elemanı) sahiptir. Ancak boş çarpım kavramı daha geneldir ve mantık, küme teorisi, bilgisayar programlama ve kategori teorisinde özel muamele gerektirir.

## Diğer cebirsel yapılar üzerindeki çarpımlar
Diğer cebirsel yapı türleri üzerindeki çarpımlar şunları içerir:
* Kümelerin Kartezyen çarpımı
* Grupların direkt çarpımı ve ayrıca yarı-direkt çarpım, örgü çarpımı (*knit product*) ve çelenk çarpımı (*wreath product*)
* Grupların serbest çarpımı
* Halkaların çarpımı
* İdeallerin çarpımı
* Topolojik uzayların çarpımı
* Rastgele değişkenlerin Wick çarpımı
* Cebirsel topolojide şapka (*cap*), bardak (*cup*), Massey ve eğik (*slant*) çarpımı
* Homotopide smash çarpımı (parçalı çarpım) ve kama toplamı (bazen kama çarpımı olarak adlandırılır)

Yukarıdaki çarpımların birkaçı, bir monoidal kategorideki genel iç çarpım kavramının örnekleridir; geri kalanı ise kategori teorisindeki çarpım genel kavramıyla tanımlanabilir.

## Kategori teorisinde çarpımlar
Önceki örneklerin hepsi, genel çarpım kavramının özel durumları veya örnekleridir. Bir çarpım kavramının genel incelemesi için, bir nesne oluşturmak amacıyla (muhtemelen farklı türden) iki nesnenin nasıl birleştirileceğini açıklayan çarpım (kategori teorisi) maddesine bakınız.

Ayrıca, kategori teorisinde şunlar bulunur:
* Lif çarpımı (*fiber product*) veya geri çekme (*pullback*),
* Çarpım kategorisi, kategorilerin çarpımı olan bir kategori.
* Model teorisinde ultra çarpım.
* Bir tensör çarpımının özünü yakalayan, bir monoidal kategorinin iç çarpımı.

## Diğer çarpımlar
* Bir fonksiyonun çarpım integrali (bir dizinin çarpımının sürekli eşdeğeri olarak veya normal/standart/toplamsal integralin çarpımsal versiyonu olarak). Çarpım integrali aynı zamanda "sürekli çarpım" veya "multiplikal" olarak da bilinir.
* Karmaşık çarpım, eliptik eğriler teorisi.

## Ayrıca bakınız

* Çarpma

## Notlar

## Kaynakça

## Bibliyografya
* Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.