Temas mekaniği

**Temas mekaniği**, bir veya daha fazla noktada birbirine dokunan katıların deformasyonunun (şekil değiştirmesinin) incelenmesidir. Temas mekaniğindeki temel ayrım, temas eden cisimlerin yüzeylerine dik etkiyen gerilmeler (normal gerilme olarak bilinir) ile yüzeyler arasında teğetsel olarak etkiyen sürtünme gerilmeleri (kayma gerilmesi) arasındadır.
**Normal temas mekaniği** veya **sürtünmesiz temas mekaniği**, temiz ve kuru olsalar bile yakın temastaki yüzeylerde bulunan adhezyon ve uygulanan normal kuvvetlerin neden olduğu normal gerilmelere odaklanır.
*[[Sürtünmeli temas mekaniği]]*, sürtünme kuvvetlerinin etkisini vurgular.

Temas mekaniği, makine mühendisliğinin bir parçasıdır. Konunun fiziksel ve matematiksel formülasyonu, malzeme mekaniği ve sürekli ortamlar mekaniği üzerine inşa edilmiştir ve statik veya dinamik temas halindeki elastik, viskoelastik ve plastik cisimleri içeren hesaplamalara odaklanır.
Temas mekaniği, teknik sistemlerin güvenli ve enerji açısından verimli tasarımı için ve triboloji, temas sertliği, elektriksel temas direnci ve batma sertliği çalışmaları için gerekli bilgileri sağlar.
Temas mekaniği prensipleri; lokomotif tekerlek-ray teması, bağlama tertibatları, fren sistemleri, lastikler, rulmanlar, yanmalı motorlar, mekanik bağlantılar, conta sızdırmazlık elemanları, metal işleme, metal şekillendirme, ultrasonik kaynak, elektrik kontakları ve diğerleri gibi uygulamalara yönelik olarak hayata geçirilir.
Alandaki mevcut zorluklar arasında temas ve bağlantı elemanlarının gerilme analizi ile yağlama ve malzeme tasarımının sürtünme ve aşınma üzerindeki etkisi yer alabilir.
Temas mekaniğinin uygulamaları ayrıca mikro ve nanoteknolojik alana kadar uzanır.

Temas mekaniğindeki özgün çalışmalar, 1881 yılında Heinrich Hertz tarafından yazılan "Elastik katıların teması üzerine" () makalesinin yayınlanmasına dayanır. Hertz, üst üste yığılmış birden fazla merceğin optik özelliklerinin, onları bir arada tutan kuvvet ile nasıl değişebileceğini anlamaya çalıştı. *Hertz temas gerilmesi*, iki kavisli yüzey temas ettiğinde ve uygulanan yükler altında hafifçe deforme olduğunda gelişen yerel gerilmeleri ifade eder. Bu deformasyon miktarı, temas halindeki malzemenin elastiklik modülüne bağlıdır. Temas gerilmesini; normal temas kuvveti, her iki cismin eğrilik yarıçapları ve her iki cismin elastiklik modülünün bir fonksiyonu olarak verir. Hertz temas gerilmesi; rulmanlar, dişliler ve iki yüzeyin temas halinde olduğu diğer tüm cisimlerdeki yük taşıma kapasiteleri ve yorulma ömrü denklemlerinin temelini oluşturur.

## Tarihçe

Klasik temas mekaniği en çok Heinrich Hertz ile ilişkilendirilir. 1882'de Hertz, kavisli yüzeylere sahip iki elastik cismin temas problemini çözdü. Bu hala geçerli olan klasik çözüm, temas mekaniğindeki modern problemler için bir temel sağlar. Örneğin, makine mühendisliği ve tribolojide, *Hertz temas gerilmesi*, eşleşen parçalar içindeki gerilmenin bir tanımıdır.
Hertz temas gerilmesi genellikle farklı yarıçaplı iki küre arasındaki temas alanına yakın gerilmeyi ifade eder.

Yaklaşık yüz yıl sonrasına kadar Kenneth L. Johnson, Kevin Kendall ve Alan D. Roberts, yapışmalı temas durumu için benzer bir çözüm bulamadılar. Bu teori, 1970'lerde farklı bir adhezyon teorisi öneren Boris Derjaguin ve çalışma arkadaşları tarafından reddedildi. Derjaguin modeli Derjaguin–Muller–Toporov (DMT) modeli (Derjaguin, M. V. Muller ve Yu. P. Toporov'a ithafen) olarak bilinir hale gelirken, Johnson ve diğerlerinin modeli, yapışmalı elastik temas için Johnson–Kendall–Roberts (JKR) modeli olarak bilinir hale geldi.
Bu reddediş, belirli malzemeler için hangi temas modelinin (JKR ve DMT modellerinden hangisinin) yapışmalı teması daha iyi temsil ettiğini ölçen David Tabor ve daha sonra Daniel Maugis parametrelerinin geliştirilmesinde etkili oldu.

Yirminci yüzyılın ortalarında temas mekaniği alanındaki daha fazla ilerleme, Frank Philip Bowden ve Tabor gibi isimlere atfedilebilir. Bowden ve Tabor, temas halindeki cisimler için yüzey pürüzlülüğünün önemini vurgulayan ilk kişilerdi. Yüzey pürüzlülüğünün araştırılmasıyla, sürtünme ortakları arasındaki gerçek temas alanının görünür temas alanından daha az olduğu bulundu. Bu anlayış, tribolojideki çalışmaların yönünü de büyük ölçüde değiştirdi. Bowden ve Tabor'un çalışmaları, pürüzlü yüzeylerin temas mekaniğinde çeşitli teoriler ortaya koydu.

Bu alandaki öncü çalışmalardan bahsedilirken J. F. Archard'ın (1957) katkıları da anılmalıdır. Archard, pürüzlü elastik yüzeyler için bile temas alanının yaklaşık olarak normal kuvvet ile orantılı olduğu sonucuna vardı. Bu doğrultuda daha önemli içgörüler James A. Greenwood ve J. B. P. Williamson (1966), A. W. Bush (1975) ve Bo N. J. Persson (2002) tarafından sağlandı. Bu çalışmaların temel bulguları, pürüzlü malzemelerdeki gerçek temas yüzeyinin genel olarak normal kuvvetle orantılı olduğu, bireysel mikro temasların parametrelerinin (mikro temasın basıncı ve boyutu) ise yüke sadece zayıf bir şekilde bağlı olduğuydu.

## Yapışmasız elastik temas için klasik çözümler
Elastik cisimler arasındaki temas teorisi, basit geometriler için temas alanlarını ve batma derinliklerini bulmak amacıyla kullanılabilir. Yaygın olarak kullanılan bazı çözümler aşağıda listelenmiştir. Bu çözümleri hesaplamak için kullanılan teori, makalenin ilerleyen kısımlarında tartışılmaktadır. Kesik koni, aşınmış küre, pürüzlü profiller, içi boş silindirler vb. gibi teknik açıdan ilgili diğer birçok şekil için çözümler şu kaynakta bulunabilir:

### Küre ile yarı-uzay arasındaki temas

R yarıçaplı elastik bir küre, toplam deformasyonun d olduğu elastik bir yarı-uzaya batarak şu yarıçapa sahip bir temas alanı oluşturur:
: a = \sqrt{Rd}

Uygulanan kuvvet F, yer değiştirme d ile şu şekilde ilişkilidir:

: F = \frac{4}{3} E^*R^\frac{1}{2}d^\frac{3}{2}

burada
: \frac{1}{E^*} = \frac{1 - \nu^2_1}{E_1} + \frac{1 - \nu^2_2}{E_2}

ve E_1, E_2 elastiklik modülleri, \nu_1, \nu_2 ise her bir cisme ait Poisson oranlarıdır.
Temas alanındaki normal basıncın daire merkezinden uzaklığın bir fonksiyonu olarak dağılımı şöyledir:
: p(r) = p_0\left(1 - \frac{r^2}{a^2}\right)^\frac{1}{2}

burada p_0, aşağıdaki formülle verilen maksimum temas basıncıdır:
: p_0 = \frac{3F}{2\pi a^2} = \frac{1}{\pi}\left(\frac{6F{E^*}^2}{R^2}\right)^\frac{1}{3}

Dairenin yarıçapı, uygulanan yük F ile şu denklemle ilişkilidir:
: a^3 = \cfrac{3FR}{4E^*}

Toplam deformasyon d, maksimum temas basıncı ile şu şekilde ilişkilidir:
: d = \frac{a^2}{R} = \left(\frac{9F^2}{16{E^*}^2R}\right)^\frac{1}{3}

Maksimum kayma gerilmesi, \nu = 0.33 için iç kısımda z \approx 0.49a noktasında oluşur.

### İki küre arasındaki temas

Yarıçapları R_1 ve R_2 olan iki küre arasındaki temas için, temas alanı a yarıçaplı bir dairedir. Denklemler, etkin yarıçap R'nin şu şekilde tanımlanması dışında, bir yarı düzlemle temas halindeki bir küre ile aynıdır:

: \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}

### Eşit yarıçaplı iki çapraz silindir arasındaki temas
Bu durum, R yarıçaplı bir küre ile bir düzlem arasındaki temasa eşdeğerdir.

### Düz uçlu rijit silindir ile elastik yarı uzay arasındaki temas

Rijit bir silindir elastik bir yarı uzaya bastırılırsa, şu şekilde tanımlanan bir basınç dağılımı oluşturur:
: p(r) = p_0\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right)^{-\frac{1}{2}}

burada R silindirin yarıçapı ve
: p_0 = \frac{1}{\pi}E^*\frac{d}{R}

Batma derinliği ile normal kuvvet arasındaki ilişki şöyledir:
: F = 2RE^*d

### Rijit konik batıcı uç ile elastik yarı uzay arasındaki temas

Rijit konik bir batıcı uç kullanılarak Young modülü E olan elastik bir yarı-uzayın batırılması durumunda, temas bölgesi derinliği \epsilon ve temas yarıçapı a şu şekilde ilişkilidir:
: \epsilon = a\tan(\theta)

burada \theta, düzlem ile koninin yan yüzeyi arasındaki açı olarak tanımlanır. Toplam batma derinliği d şu şekilde verilir:
: d = \frac{\pi}{2}\epsilon

Toplam kuvvet:
: 
  F = \frac{\pi E}{2\left(1 - \nu^2\right)} a^2 \tan(\theta)
    = \frac{2E}{\pi\left(1 - \nu^2\right)}\frac{d^2}{\tan(\theta)}


Basınç dağılımı şöyledir:
: 
    p\left(r\right)
  = \frac{Ed}{\pi a\left(1 - \nu^2\right)} \ln\left(\frac{a}{r} + \sqrt{\left(\frac{a}{r}\right)^2 - 1}\right)
  = \frac{Ed}{\pi a\left(1 - \nu^2\right)} \cosh^{-1}\left(\frac{a}{r}\right)


Gerilme, koninin ucunda logaritmik bir tekilliğe sahiptir.

### Paralel eksenli iki silindir arasındaki temas

Paralel eksenli iki silindir arasındaki temasta kuvvet, silindirlerin uzunluğu *L* ve batma derinliği *d* ile doğrusal orantılıdır:
:F \approx \frac{\pi}{4}E^*Ld

Eğrilik yarıçapları bu ilişkide tamamen yoktur. Temas yarıçapı, aşağıdaki gibi olağan ilişkiyle tanımlanır:
:a = \sqrt{Rd}

burada, iki küre arasındaki temasta olduğu gibi:
:\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}

Maksimum basınç şuna eşittir:
:p_0 = \left(\frac{E^*F}{\pi L R}\right)^\frac{1}{2}

### Rulman teması

Rulmanlar için temas, genellikle dışbükey bir yüzey (erkek silindir veya küre) ile içbükey bir yüzey (dişi silindir veya küre: delik veya yarım küresel yuva) arasındaki temastır.

### Boyut indirgeme yöntemi

Bazı temas problemleri boyut indirgeme yöntemi (MDR) ile çözülebilir. Bu yöntemde, başlangıçtaki üç boyutlu sistem, doğrusal elastik veya viskoelastik bir tabana sahip bir cismin temasıyla değiştirilir (şekle bakınız). Cisimlerin formu değiştirilirse ve taban elemanları MDR kurallarına göre tanımlanırsa, bir boyutlu sistemlerin özellikleri orijinal üç boyutlu sisteminkilerle tam olarak örtüşür. MDR, ilk olarak Ludwig Föppl (1941) ve Gerhard Schubert (1942) tarafından elde edilen eksenel simetrik temas problemlerinin çözümüne dayanmaktadır.

Ancak kesin analitik sonuçlar için temas probleminin eksenel simetrik olması ve temasların kompakt olması gereklidir.

## Yapışmasız elastik temasın Hertz teorisi
Klasik temas teorisi, öncelikli olarak, temas alanı içinde hiçbir çekme kuvvetinin oluşmasına izin verilmediği, yani temas eden cisimlerin adhezyon kuvvetleri olmadan ayrılabildiği yapışmasız (adhezyonsuz) temasa odaklanmıştır. Yapışmama koşulunu sağlayan temas problemlerini çözmek için çeşitli analitik ve sayısal yaklaşımlar kullanılmıştır. Dokundukları yerde cisimler arasında karmaşık kuvvetler ve momentler iletildiğinden, temas mekaniğindeki problemler oldukça karmaşık hale gelebilir. Ayrıca temas gerilmeleri genellikle deformasyonun doğrusal olmayan bir fonksiyonudur. Çözüm prosedürünü basitleştirmek için genellikle nesnelerin (muhtemelen birbirine göre hareket halindeki) statik olduğu bir referans çerçevesi tanımlanır. Arayüzlerinde yüzey traksiyonları (veya basınçlar/gerilmeler) aracılığıyla etkileşime girerler.

Örnek olarak, z ekseninin yüzeye normal olduğu varsayılan (x,y) düzlemindeki bir S yüzeyinde buluşan iki nesneyi düşünün. Cisimlerden biri, S bölgesi üzerinde normal yönlü bir basınç dağılımı p_z=p(x,y)=q_z(x,y) ve düzlem içi yüzey çekişi (*surface traction*) dağılımları q_x=q_x(x,y) ve q_y=q_y(x,y) yaşayacaktır. Bir Newton kuvvet dengesi açısından kuvvetler:
:
  P_z = \int_S p(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ Q_x = \int_S q_x(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ Q_y = \int_S q_y(x,y)~ \mathrm{d}A
 
diğer cisimde oluşan kuvvetlere eşit ve zıt yönlü olmalıdır.
Bu kuvvetlere karşılık gelen momentler:
:
  M_x = \int_S y~q_z(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ M_y = \int_S -x~q_z(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ M_z = \int_S [x~q_y(x,y) - y~q_x(x,y)]~ \mathrm{d}A
  
cisimlerin kinematik olarak hareketsiz olmaları için cisimler arasında birbirini götürmesi gerekir.

### Hertz teorisindeki varsayımlar
Hertz temas problemlerinin çözümlerini belirlemede aşağıdaki varsayımlar yapılır:
* Gerinimler (birim şekil değiştirmeler) küçüktür ve elastik limit dahilindedir.
* Yüzeyler süreklidir ve uyumsuzdur (temas alanının temas eden cisimlerin karakteristik boyutlarından çok daha küçük olduğu anlamına gelir).
* Her cisim elastik bir yarı-uzay olarak kabul edilebilir.
* Yüzeyler sürtünmesizdir.

Bu varsayımların bazıları veya tamamı ihlal edildiğinde ek zorluklar ortaya çıkar ve bu tür temas problemleri genellikle *Hertz dışı* (non-Hertzian) olarak adlandırılır.

### Analitik çözüm teknikleri

Yapışmasız temas problemi için analitik çözüm yöntemleri, temas alanının geometrisine göre iki türe ayrılabilir. **Uyumlu temas** (*conforming contact*), herhangi bir deformasyon gerçekleşmeden önce iki cismin birden fazla noktada temas ettiği (yani sadece "birbirine uyduğu") temastır. **Uyumsuz temas** (*non-conforming contact*), cisimlerin şekillerinin yeterince farklı olduğu, sıfır yük altında sadece bir noktada (veya muhtemelen bir çizgi boyunca) temas ettikleri durumdur. Uyumsuz durumda, temas alanı nesnelerin boyutlarına kıyasla küçüktür ve gerilmeler bu alanda oldukça yoğunlaşmıştır. Böyle bir temasa *konsantre*, aksi takdirde *yayılı* denir.

Doğrusal elastiklikte yaygın bir yaklaşım, her biri temas alanı üzerinde etkiyen bir nokta yüküne karşılık gelen bir dizi çözümü süperpoze etmektir (üst üste bindirmektir). Örneğin, bir yarı düzlemin yüklenmesi durumunda, Flamant çözümü genellikle bir başlangıç noktası olarak kullanılır ve daha sonra temas alanının çeşitli şekillerine genelleştirilir. Temas halindeki iki cisim arasındaki kuvvet ve moment dengeleri, çözüm için ek kısıtlamalar olarak etki eder.

#### (2D) Yarı düzlemde nokta teması

Temas problemlerini çözmek için bir başlangıç noktası, sağdaki şekilde gösterildiği gibi, izotropik, homojen ve doğrusal elastik bir yarı düzleme uygulanan bir "nokta yükünün" etkisini anlamaktır. Problem düzlem gerilmesi veya düzlem deformasyonu olabilir. Bu, aşağıdaki çekiş (*traction*) sınır koşullarına tabi doğrusal elastikliğin bir sınır değer problemidir:
:\sigma_{xz}(x, 0) = 0 ~;~~ \sigma_z(x, z) = -P\delta(x, z)

burada \delta(x, z), Dirac delta fonksiyonudur. Sınır koşulları, yüzeyde kayma gerilmesi olmadığını ve (0, 0) noktasında tekil bir normal kuvvet P'nin uygulandığını belirtir. Bu koşulların elastikliğin yönetici denklemlerine uygulanması şu sonucu üretir:
:\begin{align}
  \sigma_{xx} & = -\frac{2P}{\pi}\frac{x^2z}{\left(x^2 + z^2\right)^2} \\
  \sigma_{zz} & = -\frac{2P}{\pi}\frac{z^3}{\left(x^2 + z^2\right)^2} \\
  \sigma_{xz} & = -\frac{2P}{\pi}\frac{xz^2}{\left(x^2 + z^2\right)^2}
\end{align}

yarı düzlemdeki herhangi bir (x, y) noktası için. Şekilde gösterilen daire, maksimum kayma gerilmesinin sabit olduğu bir yüzeyi belirtir. Bu gerilme alanından, birim şekil değiştirme bileşenleri ve dolayısıyla tüm malzeme noktalarının yerdeğişimleri belirlenebilir.

#### (2D) Yarı düzlemde çizgi teması

##### Bir bölge üzerinde normal yükleme
Nokta yükü P yerine, yüzeye a aralığında yayılı bir yük p(x) uygulandığını varsayalım. Doğrusal süperpozisyon ilkesi, aşağıdaki integral denklemlerinin çözümü olarak ortaya çıkan gerilme alanını belirlemek için uygulanabilir:
:\begin{align}
  \sigma_{xx} &= -\frac{2z}{\pi}\int_a^b\frac{p\left(x'\right)\left(x - x'\right)^2\, dx'}{\left[\left(x - x'\right)^2 + z^2\right]^2} ~;~~
  \sigma_{zz}  = -\frac{2z^3}{\pi}\int_a^b\frac{p\left(x'\right)\, dx'}{\left[\left(x - x'\right)^2 + z^2\right]^2} \\[3pt]
  \sigma_{xz} &= -\frac{2z^2}{\pi}\int_a^b\frac{p\left(x'\right)\left(x - x'\right)\, dx'}{\left[\left(x - x'\right)^2 + z^2\right]^2}
\end{align}

##### Bir bölge üzerinde kayma yüklemesi
Aynı ilke, yüzey düzlemindeki yüzey yüklemeleri için de geçerlidir. Bu tür çekişler sürtünme sonucu ortaya çıkma eğilimindedir. Çözüm yukarıdakine benzerdir (hem tekil yükler Q hem de yayılı yükler q(x) için) ancak biraz değiştirilmiştir:
:\begin{align}
  \sigma_{xx} &= -\frac{2}{\pi}\int_a^b\frac{q\left(x'\right)\left(x - x'\right)^3\, dx'}{\left[\left(x - x'\right)^2 + z^2\right]^2} ~;~~
  \sigma_{zz}  = -\frac{2z^2}{\pi}\int_a^b\frac{q\left(x'\right)\left(x - x'\right)\, dx'}{\left[\left(x - x'\right)^2 + z^2\right]^2} \\[3pt]
  \sigma_{xz} &= -\frac{2z}{\pi}\int_a^b\frac{q\left(x'\right)\left(x - x'\right)^2\, dx'}{\left[\left(x - x'\right)^2 + z^2\right]^2}
\end{align}

Bu sonuçlar, daha karmaşık yüklerle başa çıkmak için normal yükleme için yukarıda verilenlerin üzerine eklenebilir.

#### (3D) Yarı uzayda nokta teması
2D yarı düzlem için Flamant çözümüne benzer şekilde, doğrusal elastik 3D yarı uzay için de temel çözümler bilinmektedir. Bunlar, konsantre bir normal yük için Boussinesq tarafından ve teğetsel bir yük için Cerruti tarafından bulunmuştur.

### Sayısal çözüm teknikleri
Temas problemlerini çözmek için sayısal çözüm şemaları kullanıldığında uyumlu ve uyumsuz temas arasında ayrım yapılmasına gerek yoktur. Bu yöntemler, çözüm sürecinde daha fazla varsayıma dayanmaz çünkü yalnızca temel denklemlerin genel formülasyonuna dayanırlar. Cisimlerin deformasyonunu ve hareketini tanımlayan standart denklemlerin yanı sıra iki ek eşitsizlik formüle edilebilir. Birincisi, nüfuz etmenin (iç içe geçmenin) gerçekleşemeyeceği varsayımıyla cisimlerin hareketini ve deformasyonunu kısıtlar. Bu nedenle iki cisim arasındaki boşluk h yalnızca pozitif veya sıfır olabilir:
:h \ge 0

burada h = 0 teması belirtir. Temas mekaniğindeki ikinci varsayım, temas alanı içinde hiçbir çekme kuvvetinin oluşmasına izin verilmemesi gerçeğiyle ilgilidir (temas eden cisimler adhezyon kuvvetleri olmadan kaldırılabilir). Bu, gerilmelerin temas arayüzünde uyması gereken bir eşitsizliğe yol açar. Bu, normal gerilme \sigma_n = \mathbf{t} \cdot \mathbf{n} için formüle edilir. Yüzeyler arasında temasın olduğu yerlerde boşluk sıfırdır, yani h = 0 ve orada normal gerilme sıfırdan farklıdır, aslında \sigma_n . Yüzeylerin temas halinde olmadığı yerlerde normal gerilme sıfıra eşittir; \sigma_n = 0, boşluk ise pozitiftir; yani h > 0. Bu tür bir tamamlayıcılık formülasyonu, sözde Kuhn–Tucker formunda ifade edilebilir, yani:
:h \ge 0\,, \quad \sigma_n \le 0\,, \quad \sigma_n\,h = 0\,.

Bu koşullar genel bir şekilde geçerlidir. Boşluğun matematiksel formülasyonu, katının temel teorisinin kinematiğine (örneğin, iki veya üç boyutta doğrusal veya doğrusal olmayan katı, kiriş veya kabuk modeli) bağlıdır. Normal gerilme \sigma_n, temas basıncı p cinsinden yeniden ifade edilerek; yani p = -\sigma_n, Kuhn-Tucker problemi standart tamamlayıcılık formunda yeniden ifade edilebilir, yani h \ge 0\,,\quad p \ge 0\,,\quad p\,h = 0\,. Doğrusal elastik durumda boşluk şu şekilde formüle edilebilir {h} = h_0 + {g} + u, burada h_0 rijit cisim ayrılması, g temasın geometrisi/topografyası (silindir ve pürüzlülük) ve u elastik deformasyon/sehimidir.
Temas eden cisimler doğrusal elastik yarı uzaylar olarak yaklaşıklanırsa, deformasyonu (u) temas basıncının (p) bir fonksiyonu olarak ifade etmek için Boussinesq-Cerruti integral denklemi çözümü uygulanabilir; yani, u = \int_\infty^\infty K(x - s)p(s)ds, burada elastik bir yarı uzayın çizgi yüklemesi için K(x - s) = \frac{2}{\pi E^*}\ln|x - s| ve elastik bir yarı uzayın nokta yüklemesi için K(x - s) = \frac{1}{\pi E^*}\frac{1}{\sqrt{\left(x_1 - s_1\right)^2 + \left(x_2 - s_2\right)^2}} geçerlidir.

Ayrıklaştırmadan sonra doğrusal elastik temas mekaniği problemi standart Doğrusal Tamamlayıcılık Problemi (LCP) formunda ifade edilebilir.
: \begin{align}
         \mathbf{h} &= \mathbf{h}_0 + \mathbf{g} + \mathbf{Cp}, \\
  \mathbf{h} \cdot \mathbf{p} &= 0,\,\,\,\mathbf{p} \geq 0,\,\,\, \mathbf{h} \geq 0,\\
\end{align}

burada \mathbf{C}, elemanları temas basıncı ile deformasyonu ilişkilendiren sözde etki katsayıları olan bir matristir.
CM (Temas Mekaniği) probleminin yukarıda sunulan katı LCP formülasyonu, Lemke pivotlama algoritması gibi iyi kurulmuş sayısal çözüm tekniklerinin doğrudan uygulanmasına izin verir. Lemke algoritması, sonlu sayıda iterasyon içinde sayısal olarak kesin çözümü bulma avantajına sahiptir. Almqvist ve ark. tarafından sunulan MATLAB uygulaması, problemi sayısal olarak çözmek için kullanılabilecek bir örnektir. Ayrıca, 2B doğrusal elastik temas mekaniği probleminin LCP çözümü için örnek bir kod da Almqvist ve ark. tarafından MATLAB dosya değişiminde halka açık hale getirilmiştir.

## Pürüzlü yüzeyler arasındaki temas
Pürüzlü yüzeylere sahip iki cisim birbirine bastırıldığında, iki cisim arasında oluşan gerçek temas alanı A, görünür veya nominal temas alanı A_0'dan çok daha küçüktür. Pürüzlü yüzeylerin temas mekaniği, normal temas mekaniği ve statik sürtünme etkileşimleri açısından tartışılır. Doğal ve mühendislik yüzeyleri tipik olarak moleküler seviyeye kadar geniş bir uzunluk ölçeği aralığında, pütürler (*asperities*) olarak bilinen pürüzlülük özellikleri sergiler; yüzey yapıları kendine benzerlik, yani yüzey fraktalliği gösterir. Yüzeylerin kendine benzer yapısının, gerçek temas alanının uygulanan basınçla doğrusal ölçeklenmesinin kökeni olduğu kabul edilmektedir. Tribolojik etkileşimlerde kayan kaynaklı temaslar modeli varsayıldığında, temas alanı ile basınç arasındaki bu yaygın olarak gözlemlenen doğrusallık, statik sürtünme ile uygulanan normal kuvvet arasındaki ilişkinin doğrusallığının da kökeni olarak kabul edilebilir.

"Rastgele pürüzlü" bir yüzey ile elastik bir yarı-uzay arasındaki temasta, gerçek temas alanı normal kuvvet F ile şu şekilde ilişkilidir:
:
   A=\frac{\kappa}{E^*h'}F
 
burada h' yüzey eğiminin karekök ortalamasına (karesel ortalama olarak da bilinir) eşittir ve \kappa \approx 2.
Gerçek temas yüzeyindeki medyan basınç:
:
  p_{\mathrm{av}} =\frac{F}{A}\approx\frac{1}{2}E^*h'
 
etkin elastisiklik modülü E^* ile yüzey eğiminin karekök ortalaması h''nin çarpımının yarısı olarak makul bir şekilde tahmin edilebilir.

### GW modeline genel bakış
Greenwood ve Williamson 1966'da (GW), günümüzde tribolojideki (sürtünme, adhezyon, termal ve elektriksel iletkenlik, aşınma vb.) birçok teorinin temeli olan pürüzlü yüzeylerin elastik temas mekaniği teorisini önerdiler. Pürüzsüz rijit bir düzlem ile aynı R yarıçaplı yuvarlak uçlu pürüzlerle kaplı, nominal olarak düz, deforme olabilen pürüzlü bir yüzey arasındaki teması ele aldılar. Teorileri, her bir pürüzün deformasyonunun komşularınınkinden bağımsız olduğunu ve Hertz modeli ile tanımlandığını varsayar. Pürüzlerin yükseklikleri rastgele bir dağılıma sahiptir. Pürüz yüksekliğinin z ile z + dz arasında olma olasılığı \phi(z)dz'dir. Yazarlar temas noktalarının sayısını n, toplam temas alanını A_r ve toplam yükü P genel durumda hesapladılar. Bu formülleri iki biçimde verdiler: temel ve standartlaştırılmış değişkenleri kullanarak.
Pürüzlü bir yüzeyi N adet pürüzün kapladığı varsayılırsa, beklenen temas sayısı şöyledir:
: n = N\int_d^\infty \phi(z) dz

Beklenen toplam temas alanı şu formülden hesaplanabilir:
: A_a = N\pi R \int_d^\infty (z - d) \phi(z) dz

ve beklenen toplam kuvvet şöyledir:
: P = \frac{4}{3}N E_r \sqrt{R} \int_d^\infty (z - d)^\frac{3}{2} \phi(z) dz

burada:
: R, mikro pürüzün eğrilik yarıçapı,
: z, profil çizgisinden ölçülen mikro pürüzün yüksekliği,
: d, yüzey yakınlığı,
: E_r = \left(\frac{1 - \nu_1^2}{E_1} + \frac{1 - \nu_2^2}{E_2}\right)^{-1}, kompozit Young modülü,
: E_i, yüzeyin elastisite modülü,
: \nu_i, Poisson yüzey katsayıları.

Greenwood ve Williamson, standartlaştırılmış ayırma h = d/\sigma ve standart sapması bire eşit olan standartlaştırılmış yükseklik dağılımı \phi^*(s) kavramlarını tanıttı. Aşağıda formüller standartlaştırılmış formda sunulmuştur.
: \begin{align}
  F_n(h) &= \int_h^\infty (s - h)^n \phi^*(s) ds \\
       n &= \eta A_n F_0(h) \\
     A_a &= \pi \eta A R \sigma F_1(h) \\
       P &= \frac{4}{3} \eta A E_r \sqrt{R} \sigma^\frac{3}{2} F_\frac{3}{2}(h)
\end{align}

burada:
: d ayırma mesafesi,
: A nominal temas alanı,
: \eta pürüzlerin yüzey yoğunluğu,
: E^* etkin Young modülüdür.

*<math>A</math>* ve P, yüzey pürüzlülüğü \phi^*(s)'in konvolüsyonu kullanılarak verilen yüzeyler için F_n(h) terimleri hesaplandığında belirlenebilir. Çeşitli çalışmalar, Arcoumanis ve ark. ve Jedynak gibi isimler tarafından sunulan eğri uydurmalarla Gaussian yüzey yüksekliği dağılımı varsayarak F_n(h) için önerilen eğri uydurmalarını takip etmiştir.

Mühendislik yüzeylerinin Gaussian yüzey yüksekliği dağılımları göstermediği defalarca gözlemlenmiştir, örn. Peklenik, Leighton ve ark. Herhangi bir ölçülmüş yüzey için F_n(h) terimlerini belirleme süreciyle birlikte çapraz taramalı içten yanmalı motor silindir gömleği yüzeyleri için uydurmalar sundular. Leighton ve ark., Gaussian uydurma verilerinin herhangi bir işlenmiş yüzeyi modellemek için doğru olmadığını göstermiş ve yüzeylerin erken alıştırılmasının (rodaj), yüzey topografyasını, yük taşıma kapasitesini ve sürtünmeyi önemli ölçüde değiştiren kademeli bir geçişle sonuçlandığını göstermeye devam etmiştir.

Son zamanlarda A_r ve P için tam yaklaşımlar Jedynak tarafından yayınlanmıştır. Bunlar, F_n(h) integrallerine yaklaşım olan aşağıdaki rasyonel formüllerle verilmektedir. Mühendislik yüzeyleri için gerçekçi olmadığı gösterilen ancak sürtünme, yük taşıma kapasitesi veya gerçek temas alanı sonuçlarının analiz için kritik olmadığı durumlarda varsayılabilen pürüzlerin Gaussian dağılımı için hesaplanmıştır.
: F_{n}(h) = \frac{a_0 + a_1 h + a_2 h^2 + a_3 h^3}{1 + b_1 h + b_2 h^2+b_3 h^3 + b_4 h^4 + b_5 h^5 + b_6 h^6}\exp\left(-\frac{h^2}{2}\right)

F_1(h) için katsayılar şöyledir:
:\begin{align}[]
            [a_0, a_1, a_2, a_3] &= [0.398942280401, 0.159773702775, 0.0389687688311, 0.00364356495452] \\[]
  [b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6] &= \left[1.653807476138, 1.170419428529, 0.448892964428, 0.0951971709160, 0.00931642803836, -6.383774657279 \times 10^{-6}\right]
\end{align}

Maksimum bağıl hata \% 9.93 \times 10^{-8}'dir.

F_\frac{3}{2}(h) için katsayılar şöyledir:
: \begin{align}[]
           [a_0, a_1, a_2, a_3] &= [0.430019993662, 0.101979509447, 0.0229040629580, 0.000688602924] \\[]
  [b_1, b_2, b_3, b_4, b_5,b_6] &= [1.671117125984, 1.199586555505, 0.46936532151, 0.102632881122, 0.010686348714, 0.0000517200271]
\end{align}

Maksimum bağıl hata \% 1.91 \times 10^{-7}'dir.

Makale ayrıca F_n(h) için kesin ifadeleri içerir:
: \begin{align}
            F_1(h) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{1}{2}h^2\right) - \frac{1}{2} h\, 
\operatorname{erfc}\left(\frac{h}{\sqrt{2}}\right) \\
  F_\frac{3}{2}(h) &= \frac{1}{4\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{h^2}{4}\right) \sqrt{h} \left(\left(h^2 + 1\right) K_{\frac{1}{4}}\left(\frac{h^2}{4}\right) - h^2 K_{\frac{3}{4}}\left(\frac{h^2}{4}\right)\right)
\end{align}

burada erfc(z) *tümler hata fonksiyonu* anlamına gelir ve K_\nu(z) ikinci türden modifiye Bessel fonksiyonudur.

İki yüzeydeki pürüzlerin Gaussian yükseklik dağılımına sahip olduğu ve tepelerin küresel varsayılabileceği durum için, p_\text{av} = 1.1\sigma_y \approx 0.39 \sigma_0 olduğunda ortalama temas basıncı akmaya (yield) neden olmak için yeterlidir; burada \sigma_y tek eksenli akma gerilmesi (*yield stress*) ve \sigma_0 batma sertliğidir. Greenwood ve Williamson, temasın elastik mi yoksa plastik mi olacağını belirlemek için kullanılabilecek **plastiklik indeksi** adı verilen boyutsuz bir parametre \Psi tanımladılar. Greenwood-Williamson modeli istatistiksel olarak bağımlı iki niceliğin bilinmesini gerektirir; yüzey pürüzlülüğünün standart sapması ve pürüz tepelerinin eğriliği. Plastiklik indeksinin alternatif bir tanımı Mikic tarafından verilmiştir. Akma, basınç tek eksenli akma gerilmesinden büyük olduğunda meydana gelir. Akma gerilmesi batma sertliği \sigma _0 ile orantılı olduğundan, Mikic elastik-plastik temas için plastiklik indeksini şu şekilde tanımladı:
: \Psi = \frac{E^*h'}{\sigma _0} > \frac{2}{3}~.

Bu tanımda \Psi, tam plastiklik durumundaki mikro pürüzlülüğü temsil eder ve yalnızca yüzey ölçümlerinden hesaplanabilen rms eğimi gibi tek bir istatistiksel niceliğe ihtiyaç duyulur. \Psi  için yüzey temas sırasında elastik davranır.
Hem Greenwood-Williamson hem de Mikic modellerinde yükün deforme olmuş alanla orantılı olduğu varsayılır. Bu nedenle, sistemin plastik mi yoksa elastik mi davrandığı uygulanan normal kuvvetten bağımsızdır.

### GT modeline genel bakış
John A. Greenwood ve John H. Tripp (GT) tarafından önerilen model, GW modelini iki pürüzlü yüzey arasındaki temasa genişletti. GT modeli, elastohidrodinamik analiz alanında yaygın olarak kullanılmaktadır. GT modeli tarafından verilen en sık atıfta bulunulan denklemler, pürüz temas alanı:
: A_a = \pi^2 (\eta\beta\sigma)^2 AF_2(\lambda),

ve pürüzler tarafından taşınan yük içindir:

:P =\frac{8\sqrt{2}}{15}\pi (\eta\beta\sigma)^2 \sqrt{\frac{\sigma}{\beta}} E' AF_\frac{5}{2}(\lambda),

burada:
: \eta\beta\sigma, pürüzlülük parametresi,
: A, nominal temas alanı,
: \lambda, Stribeck yağ filmi parametresi, ilk olarak Stribeck \cite{gt} tarafından  \lambda = h/\sigma olarak tanımlanmıştır,
: E', etkin elastiklik modülü,
: F_2, F_\frac{5}{2}(\lambda), varsayılan Gaussian pürüz dağılımına uyması için tanıtılan istatistiksel fonksiyonlardır.

Matthew Leighton ve ark. Herhangi bir ölçülmüş yüzey için F_n(h) terimlerini belirleme süreciyle birlikte çapraz taramalı içten yanmalı motor silindir gömleği yüzeyleri için uydurmalar sundular. Leighton ve ark. Gaussian uydurma verilerinin herhangi bir işlenmiş yüzeyi modellemek için doğru olmadığını göstermiş ve yüzeylerin erken alıştırılmasının, yüzey topografyasını, yük taşıma kapasitesini ve sürtünmeyi önemli ölçüde değiştiren kademeli bir geçişle sonuçlandığını göstermeye devam etmiştir.

A_a ve P için kesin çözümler ilk olarak Jedynak tarafından sunulmuştur. Bunlar F_n ile aşağıdaki gibi ifade edilir. Mühendislik yüzeyleri için gerçekçi olmadığı gösterilen ancak sürtünme, yük taşıma kapasitesi veya gerçek temas alanı sonuçlarının analiz için kritik olmadığı durumlarda varsayılabilen pürüzlerin Gaussian dağılımı için hesaplanmıştır.

: \begin{align}
            F_2 &= \frac{1}{2} \left(h^2 + 1\right)\operatorname{erfc} \left(\frac{h}{\sqrt{2}}\right) -
                     \frac{h}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{h^2}{2}\right) \\
  F_\frac{5}{2} &= \frac{1}{8\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{h^2}{4}\right) h^\frac{3}{2}
             \left(\left(2h^2 + 3\right) K_\frac{3}{4} \left(\frac{h^2}{4}\right) - \left(2h^2 + 5\right)
                     K_\frac{1}{4}\left(\frac{h^2}{4}\right)\right)
\end{align}

burada erfc(z) *tümler hata fonksiyonu* anlamına gelir ve K_\nu(z) ikinci türden modifiye Bessel fonksiyonudur.

Makalede  F_\frac{5}{2} için mevcut yaklaşımların kapsamlı bir incelemesi bulunabilir. Yeni öneriler, literatürde rapor edilen F_\frac{5}{2} ve F_2 için en doğru yaklaşımları vermektedir. Bunlar, F_n(h) integrallerine çok kesin yaklaşımlar olan aşağıdaki rasyonel formüllerle verilmektedir. Pürüzlerin Gaussian dağılımı için hesaplanmıştır:
: F_n(h) = \frac{a_0 + a_1 h + a_2 h^2 + a_3 h^3}{1 + b_1 h + b_2 h^2 + b_3 h^3 + b_4 h^4 + b_5 h^5 + b_6 h^6}\exp\left(-\frac{h^2}{2}\right)

F_2(h) için katsayılar:
: \begin{align}[]
            [a_0, a_1, a_2, a_3] &= [0.5, 0.182536384941, 0.039812283118, 0.003684879001] \\[] 
  [b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6] &= [1.960841785003, 1.708677456715, 0.856592986083, 0.264996791567, 0.049257843893, 0.004640740133]
\end{align}

Maksimum bağıl hata \% 1.68 \times 10^{-7}'dir.

F_\frac{5}{2}(h) için katsayılar:

:\begin{align}[]
            [a_0, a_1, a_2, a_3] &= [0.616634218997, 0.108855827811, 0.023453835635, 0.000449332509] \\[]
  [b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6] &= [1.919948267476, 1.635304362591, 0.799392556572, 0.240278859212, 0.043178653945, 0.003863334276]
\end{align}

Maksimum bağıl hata \% 4.98 \times 10^{-8}'dir.

## Elastik cisimler arasında yapışmalı temas
İki katı yüzey birbirine çok yaklaştırıldığında, çekici van der Waals kuvvetleri yaşarlar. R. S. Bradley'in van der Waals modeli, mükemmel pürüzsüz yüzeylere sahip iki rijit küre arasındaki çekme kuvvetini hesaplamak için bir araç sağlar. Hertz temas modeli adhezyonu (yapışmayı) mümkün görmez. Ancak, 1960'ların sonlarında, Hertz teorisi kauçuk ve cam küreler arasındaki teması içeren deneylerle karşılaştırıldığında birkaç çelişki gözlemlendi.
Düşük yüklerde şunlar gözlemlendi:
* Temas alanı, Hertz teorisi tarafından tahmin edilenden daha büyüktü,
* Yük kaldırıldığında bile temas alanı sıfırdan farklı bir değere sahipti ve
* Temas eden yüzeyler temiz ve kuru ise güçlü bir yapışma bile vardı.

Bu, yapışma kuvvetlerinin iş başında olduğunu gösterdi. Johnson-Kendall-Roberts (JKR) modeli ve Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) modelleri, adhezyonu Hertz temasına dahil eden ilk modellerdi.

### Rijit temasın Bradley modeli
Yaygın olarak, birbirinden z mesafesindeki iki atomik düzlem arasındaki yüzey kuvvetinin Lennard-Jones potansiyeli'nden türetilebileceği varsayılır. Bu varsayımla:
:
   F(z) = \cfrac{16\gamma}{3 z_0}\left[\left(\cfrac{z}{z_0}\right)^{-9} - \left(\cfrac{z}{z_0}\right)^{-3}\right]
 
burada F kuvvet (basınçta pozitif), 2\gamma birim alan başına *her iki* yüzeyin toplam yüzey enerjisi ve z_0 iki atomik düzlemin denge ayrıklığıdır.
Bradley modeli, iki rijit küre arasındaki yapışma kuvvetini bulmak için Lennard-Jones potansiyelini uyguladı. Küreler arasındaki toplam kuvvet şu şekilde bulunur:
:
   F_a(z) = \cfrac{16\gamma\pi R}{3}\left[\cfrac{1}{4}\left(\cfrac{z}{z_0}\right)^{-8} - \left(\cfrac{z}{z_0}\right)^{-2}\right] ~;~~  \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
 
burada R_1,R_2 iki kürenin yarıçaplarıdır.
İki küre, *kopma kuvveti*ne (pull-off force) z = z_0 noktasında ulaşıldığında tamamen ayrılır; bu noktada:
:
   F_a = F_c = -4\gamma\pi R .


### Elastik temasın JKR modeli

Adhezyonun etkisini Hertz temasına dahil etmek için Johnson, Kendall ve Roberts, depolanan elastik enerji ile yüzey enerjisindeki kayıp arasındaki dengeyi kullanarak yapışmalı temasın JKR teorisini formüle ettiler. JKR modeli, temas basıncı ve adhezyonun etkisini yalnızca temas alanı içinde dikkate alır. JKR modelinde temas alanındaki basınç dağılımı için genel çözüm şöyledir:
:
   p(r) = p_0\left(1 - \frac{r^2}{a^2}\right)^\frac{1}{2} + p_0'\left(1 - \frac{r^2}{a^2}\right)^{-\frac{1}{2}}
 

Orijinal Hertz teorisinde, temas bölgesinde gerilmenin sürdürülemeyeceği gerekçesiyle p_0' içeren terimin ihmal edildiğine dikkat edin.
İki küre arasındaki temas için:
:
   p_0  = \frac{2aE^*}{\pi R} ;\quad
   p_0' = -\left(\frac{4\gamma E^*}{\pi a}\right)^\frac{1}{2}
 

burada a\, temas alanının yarıçapı, F uygulanan kuvvet, 2\gamma birim temas alanı başına **her iki** yüzeyin toplam yüzey enerjisi,
R_i,\, E_i,\, \nu_i,~~i = 1, 2 iki kürenin yarıçapları, Young modülleri ve Poisson oranlarıdır ve
:
   \frac{1}{R}   = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} ;\quad
   \frac{1}{E^*} = \frac{1 - \nu_1^2}{E_1} + \frac{1 - \nu_2^2}{E_2}
 

İki küre arasındaki yaklaşma mesafesi şu şekilde verilir:
:
   d = \frac{\pi a}{2E^*}\left(p_0 + 2p_0'\right) = \frac{a^2}{R}
 

Yüzey enerjisini hesaba katacak şekilde değiştirilmiş, iki küre arasındaki temas alanı için Hertz denklemi şu forma sahiptir:
:
   a^3 = \frac{3R}{4E^*}\left(F + 6\gamma\pi R + \sqrt{12\gamma\pi RF + (6\gamma\pi R)^2}\right)
 

Yüzey enerjisi sıfır olduğunda, \gamma = 0, iki küre arasındaki temas için Hertz denklemi geri elde edilir.
Uygulanan yük sıfır olduğunda, temas yarıçapı şöyledir:
:
   a^3 = \frac{9R^2\gamma\pi}{E^*}
 

Kürelerin ayrıldığı (yani a = 0) çekme yükünün şu olacağı tahmin edilir:
:
   F_\text{c} = -3\gamma\pi R\,
 

Bu kuvvete ayrıca **kopma kuvveti** (*pull-off force*) de denir. Bu kuvvetin iki kürenin modüllerinden bağımsız olduğuna dikkat edin. Ancak, bu yükte a değeri için başka bir olası çözüm daha vardır. Bu, şu şekilde verilen kritik temas alanı a_\text{c}'dir:
:
   a_\text{c}^3 = \frac{9R^2\gamma\pi}{4E^*}
 

Eğer **adhezyon işini** (yapışma işi) şu şekilde tanımlarsak:
:
   \Delta\gamma = \gamma_1 + \gamma_2 - \gamma_{12}
 

burada \gamma_1, \gamma_2 iki yüzeyin adhezyon enerjileri ve \gamma_{12} bir etkileşim terimidir, JKR temas yarıçapını şu şekilde yazabiliriz:
:
   a^3 = \frac{3R}{4E^*}\left(F + 3\Delta\gamma\pi R + \sqrt{6\Delta\gamma\pi R F + (3\Delta\gamma\pi R)^2}\right)
 

Ayrılma anındaki çekme yükü:
:
   F = -\frac{3}{2}\Delta\gamma\pi R\,
 

ve kritik temas yarıçapı şu şekilde verilir:
:
   a_\text{c}^3 = \frac{9R^2\Delta\gamma\pi}{8E^*}
 

Kritik batma derinliği:
:
   d_\text{c} = \frac{a_c^2}{R}
              = \left(R^\frac{1}{2} \frac{9\Delta\gamma\pi}{4E^*}\right)^\frac{2}{3}
 

### Elastik temasın DMT modeli
Derjaguin–Muller–Toporov (DMT) modeli, temas profilinin Hertz temasındakiyle aynı kaldığını ancak temas alanı dışında ek çekici etkileşimler olduğunu varsayan yapışmalı temas için alternatif bir modeldir.
DMT teorisine göre iki küre arasındaki temas yarıçapı:
:
   a^3 = \cfrac{3R}{4E^*}\left(F + 4\gamma\pi R\right)
 
ve kopma kuvveti:
:
   F_c = -4\gamma\pi R\,
 
Kopma kuvvetine ulaşıldığında temas alanı sıfır olur ve temas alanının kenarında temas gerilmelerinde tekillik olmaz.
Adhezyon işi \Delta\gamma cinsinden:
:
   a^3 = \cfrac{3R}{4E^*}\left(F + 2\Delta\gamma\pi R\right)
 
ve
:
   F_c = -2\Delta\gamma\pi R\,
 

### Tabor parametresi
1977'de Tabor, JKR ve DMT teorileri arasındaki görünürdeki çelişkinin, iki teorinin aşağıdaki gibi tanımlanan **Tabor parametresi** (\mu) ile parametreleştirilen tek bir teorinin uç sınırları olduğunu belirterek çözülebileceğini gösterdi:
:
   \mu := \frac{d_c}{z_0} \approx \left[\frac{R(\Delta\gamma)^2}{m^2\left(1 - \frac{r^2}{m^2 a^2}\right)}\right] & \quad \text{için} \quad r \le a \\
               -\sigma_0 & \quad \text{için} \quad a \le r \le c
            \end{cases}
 

Toplam yapışma kuvveti o zaman şöyle verilir:
:
   F^D = -2\sigma_0 m^2 a^2\left[\cos^{-1}\left(\frac{1}{m}\right) + \frac{1}{m^2}\sqrt{m^2 - 1}\right]
 

Dugdale yapışmasından kaynaklanan sıkıştırma:
:
  d^D = -\left(\frac{2\sigma_0 a}{E^*}\right)\sqrt{m^2-1}
 

ve r = c noktasındaki boşluk:
:
   h^D(c) = \left(\frac{4\sigma_0 a}{\pi E^*}\right)\left[\sqrt{m^2 - 1}\cos^{-1}\left(\frac{1}{m}\right) + 1 - m\right]
 

Temas alanı üzerindeki net traksiyon o zaman p(r) = p^H(r) + p^D(r) ile verilir ve net temas kuvveti F = F^H + F^D şeklindedir.
h(c) = h^H(c) + h^D(c) = h_0 olduğunda yapışkan traksiyon sıfıra düşer.
Bu aşamada a, c, F, d'nin boyutsuzlaştırılmış değerleri şu şekilde tanımlanır:
:
  \bar{a} = \alpha a ~;~~ \bar{c} := \alpha c ~;~~ \bar{d} := \alpha^2 Rd ~;~~
  \alpha := \left(\frac{4E^*}{3\pi\Delta\gamma R^2}\right)^\frac{1}{3} ~;~~
  \bar{A} := \pi c^2 ~;~~ \bar{F} = \frac{F}{\pi\Delta\gamma R}
 

Ek olarak Maugis, Tabor parametresi \mu'ye eşdeğer bir \lambda parametresi önerdi. Bu parametre şöyle tanımlanır:
:
   \lambda := \sigma_0\left(\frac{9R}{2\pi\Delta\gamma{E^*}^2}\right)^\frac{1}{3}\approx 1.16\mu
 

burada basamak kohezyon gerilmesi \sigma_0, Lennard-Jones potansiyelinin teorik gerilmesine eşittir:
:
   \sigma_\text{th} = \frac{16\Delta\gamma}{9\sqrt{3}z_0}
 

Zheng ve Yu, Lennard-Jones potansiyeliyle eşleşmesi için basamak kohezyon gerilmesi için başka bir değer önerdiler:
:
   \sigma_0 = \exp\left(-\frac{223}{420}\right) \cdot \frac{\Delta\gamma}{z_0} \approx 0.588 \frac{\Delta\gamma}{z_0}
 

bu da şuna yol açar:
:
   \lambda \approx 0.663\mu


O zaman net temas kuvveti şu şekilde ifade edilebilir:
:
  \bar{F} = \bar{a}^3 - \lambda \bar{a}^2\left[\sqrt{m^2 - 1} + m^2 \sec^{-1} m\right]
 

ve elastik sıkıştırma:
:
  \bar{d} = \bar{a}^2 - \frac{4}{3}~\lambda \bar{a}\sqrt{m^2-1}
 

İki cisim arasındaki kohezyon boşluğu denklemi şu şekli alır:
:
  \frac{\lambda \bar{a}^2}{2}\left[\left(m^2 - 2\right)\sec^{-1} m + \sqrt{m^2 - 1}\right] + \frac{4\lambda\bar{a}}{3}\left[\sqrt{m^2-1}\sec^{-1} m - m + 1\right] = 1
 

Bu denklem, a ve \lambda'nın çeşitli değerleri için c değerlerini elde etmek üzere çözülebilir. \lambda'nın büyük değerleri için m \rightarrow 1 olur ve JKR modeli elde edilir. \lambda'nın küçük değerleri için DMT modeli geri elde edilir.

### Carpick–Ogletree-Salmeron (COS) modeli
Maugis–Dugdale modeli, \lambda değeri önceden bilinmiyorsa yalnızca yinelemeli olarak çözülebilir. Carpick–Ogletree–Salmeron (COS) yaklaşık çözümü (Robert Carpick, D. Frank Ogletree ve Miquel Salmeron'a atfen), temas yarıçapı a'yı belirlemek için aşağıdaki ilişkiyi kullanarak süreci basitleştirir:
:
  a = a_0(\beta) \left(\frac{\beta + \sqrt{1 - F/F_c(\beta)}}{1 + \beta}\right)^\frac{2}{3}
 

burada a_0 sıfır yükteki temas alanıdır ve \beta, \lambda ile şu şekilde ilişkili bir geçiş parametresidir:
:
   \lambda \approx -0.924 \ln(1 - 1.02\beta)
 

\beta = 1 durumu tam olarak JKR teorisine karşılık gelirken, \beta = 0 DMT teorisine karşılık gelir. 0  ara durumları için COS modeli, 0.1  için Maugis–Dugdale çözümüne yakından karşılık gelir.

### Temas şeklinin etkisi
Mükemmel pürüzsüz yüzeylerin varlığında bile geometri, temas bölgesinin makroskopik şekli formunda devreye girebilir. Düz ancak garip şekilli bir yüzeye sahip rijit bir zımba yumuşak kısmından dikkatlice çekildiğinde, ayrılması anında gerçekleşmez; bunun yerine ayrılma cepheleri sivri köşelerden başlar ve makroskopik olarak izotropik şekiller için neredeyse dairesel olan nihai konfigürasyona ulaşılana kadar içeriye doğru ilerler. Düz temasların yapışma mukavemetini belirleyen ana parametrenin, temasın maksimum doğrusal boyutu olduğu görülmektedir. Deneysel olarak gözlemlendiği gibi ayrılma süreci filmde görülebilir.

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
* http://www.mathworks.se/matlabcentral/fileexchange/43216: MATLAB Central'da "An LCP solution of the linear elastic contact mechanics problem" başlıklı doğrusal elastik temas mekaniği problemini çözmek için bir MATLAB rutini sunulmaktadır.
* http://www.fxsolver.com/solve/share/VhTovbqoPtGglYEgSNndkw==/: Temas mekaniği hesaplayıcısı.
* http://www.msc.univ-paris-diderot.fr/~cgay/homepage/doku.php?id=diffusion:jkr: İki küre için JKR teorisinin ayrıntılı hesaplamaları ve formülleri.
* : Hertz temas analizi için bir Matlab kodu (çizgi, nokta ve eliptik durumları içerir).
* : Adhezyonun JKR, MD ve DMT modelleri (Matlab rutinleri).