Büyük-daire mesafesi

**Büyük-daire mesafesi**, **ortodromik mesafe** veya **küresel mesafe**, bir küre üzerindeki iki nokta arasındaki, aralarındaki büyük daire yayı boyunca ölçülen mesafedir. Bu yay, küre yüzeyindeki iki nokta arasındaki en kısa yoldur. (Karşılaştırmak gerekirse, kürenin içinden geçen en kısa yol, noktalar arasındaki kiriştir.)

Eğri bir yüzeyde , doğru çizgiler kavramının yerini, yüzeye göre yerel olarak düz olan eğriler olan daha genel bir jeodezikler kavramı alır. Küre üzerindeki jeodezikler, merkezleri kürenin merkeziyle çakışan daireler olan büyük dairelerdir. 

Bir küre üzerinde antipodal (çap olarak zıt) olmayan herhangi iki farklı nokta, bu noktaların iki yaya böldüğü benzersiz bir büyük daire üzerinde yer alır; kısa olan yayın uzunluğu, noktalar arasındaki büyük daire mesafesidir. Bu yay uzunluğu, noktalar arasındaki merkez açıyla orantılıdır ve bu açı radyan cinsinden ölçülürse, yay uzunluğunu elde etmek için kürenin yarıçapıyla çarpılarak büyütülebilir. İki antipodal noktanın her ikisi de, her birini yarıçapın  katı uzunluğunda iki yaya böldükleri sonsuz sayıda büyük daire üzerinde bulunur. 

Büyük daire mesafesinin belirlenmesi, uç noktalardaki ve ara yol noktalarındaki azimutları da hesaplayan daha genel büyük-daire navigasyonu probleminin bir parçasıdır. Dünya neredeyse küresel olduğundan, Dünya üzerindeki noktaların boylam ve jeodezik enlemine uygulanan büyük-daire mesafesi formülleri yaklaşık %0,5 oranında doğrudur.

## Formüller

1 ve 2 noktalarının coğrafi boylam ve enlemleri sırasıyla \lambda_1, \phi_1 ve \lambda_2, \phi_2 olsun ve \Delta\lambda, \Delta\phi bunların mutlak farkları olsun; o halde aralarındaki merkez açı olan \Delta\sigma, kutuplardan biri küre üzerinde yardımcı bir üçüncü nokta olarak kullanılırsa küresel kosinüs teoremi (*spherical law of cosines*) ile verilir:

:\Delta\sigma = \arccos\bigl(\sin\phi_1\sin\phi_2 + \cos\phi_1\cos\phi_2\cos\Delta\lambda\bigr).

Problem genellikle \Delta\sigma merkez açısını bulma cinsinden ifade edilir. Bu açının radyan cinsinden verilmesiyle, *r* yarıçaplı bir küre üzerindeki gerçek yay uzunluğu *d* basitçe şu şekilde hesaplanabilir:
:d = r \, \Delta\sigma.

## Merkez açı ve kiriş uzunluğu arasındaki ilişki
\Delta\sigma merkez açısı, birim kürenin \Delta\sigma_\text{c}\,\! kiriş uzunluğu ile ilişkilidir:
:\begin{align}
  \Delta\sigma &= 2\arcsin \frac{\Delta\sigma_\text{c}}{2} ,\\
  \Delta\sigma_\text{c} &= 2\sin \frac{\Delta\sigma}{2} .
\end{align}

Kısa-mesafe yaklaşıklaması için (|\Delta\sigma_\text{c}| \ll 1),
:\Delta\sigma = \Delta\sigma_\text{c} \left(1 + \frac{1}{24} \left(\Delta\sigma_\text{c}\right)^2 + \cdots \right).

### Hesaplama formülleri
Düşük kayan nokta hassasiyetine sahip bilgisayar sistemlerinde, eğer mesafe küçükse (eğer iki nokta Dünya yüzeyinde birbirinden bir kilometre uzaktaysa, merkez açının kosinüsü 0.99999999 civarındadır) küresel kosinüs teoremi formülü büyük yuvarlama hatalarına sahip olabilir. Modern 64-bit kayan nokta sayıları için, yukarıda verilen küresel kosinüs teoremi formülü, Dünya yüzeyindeki birkaç metreden daha büyük mesafeler için ciddi yuvarlama hatalarına sahip değildir.

Aşağıdaki haversine formülü, yukarıdaki kiriş uzunluğu ilişkisine dayanarak küçük mesafeler için sayısal olarak daha iyi koşullandırılmıştır :

:\begin{align}
  \Delta\sigma &= \operatorname{archav}\left( \operatorname{hav}\left(\Delta\phi\right) + \left(1 - \operatorname{hav}(\Delta\phi) - \operatorname{hav}(\phi_1 + \phi_2)\right) \operatorname{hav}\left(\Delta\lambda\right)\right) .
\end{align}

Tarihsel olarak, bu formülün kullanımı, \operatorname{hav} \theta = \sin^2 \frac{\theta}{2} ve \operatorname{archav} x = 2 \arcsin \sqrt{x} ile tanımlanan haversine fonksiyonu için tabloların mevcut olmasıyla basitleştirilmişti. Aşağıdaki, kiriş uzunluğunu açıkça ifade eden eşdeğer formülü göstermektedir:
:\begin{align}\Delta\sigma_\text{c}&=2\sqrt{\sin^2\left(\frac{\Delta\phi}{2}\right)+\cos{\phi_1}\cdot\cos{\phi_2}\cdot\sin^2\left(\frac{\Delta\lambda}{2}\right)} \ , \\
&=2\sqrt{\left(\sin \frac{\Delta \lambda}{2} \cos\phi_\textrm{m} \right)^2 + \left(\cos \frac{\Delta \lambda}{2} \sin \frac{\Delta \phi}{2} \right)^2} \ ,
\end{align}
burada \phi_\text{m}=\tfrac12(\phi_1+\phi_2)'dir. 

Bu formül bir küre üzerindeki mesafelerin çoğu için doğru olsa da, antipodal noktaların özel (ve biraz sıradışı) durumu için yuvarlama hatalarından muzdariptir. Tüm mesafeler için doğru olan bir formül, eşit büyük ve küçük eksenlere sahip bir elipsoit için Vincenty formülünün aşağıdaki özel durumudur:

:\begin{align}
\Delta\sigma = {\operatorname{atan2}} \Bigl( &\sqrt{\left(
  \cos\phi_2\sin\Delta\lambda\right)^2 +
      \left(\cos\phi_1\sin\phi_2 - \sin\phi_1\cos\phi_2\cos\Delta\lambda
    \right)^2}, \\
    &\quad {\sin\phi_1\sin\phi_2 + \cos\phi_1\cos\phi_2\cos\Delta\lambda} \Bigr),
\end{align}

burada  iki bağımsız değişkenli arktanjanttır. *Atan2* kullanmak, doğru çeyreğin seçilmesini sağlar.

### Vektör versiyonu
Benzer formüllerin konumları tanımlamak için enlem ve boylam yerine normal vektörler kullanan başka bir temsili, nokta çarpımı, çapraz çarpım veya bir kombinasyonunu kullanarak 3-boyutlu vektör cebiri aracılığıyla bulunur:

:\begin{align}
  \Delta\sigma &= \arccos \left(\mathbf n_1 \cdot \mathbf n_2\right) \\
               &= \arcsin \left| \mathbf n_1 \times \mathbf n_2 \right| \\
               &= \arctan \frac{\left| \mathbf n_1 \times \mathbf n_2 \right|}{\mathbf n_1 \cdot \mathbf n_2} \\
\end{align}

burada \mathbf n_1 ve \mathbf n_2, 1 ve 2 konumlarındaki kürenin normalleridir. Enlem ve boylama dayalı yukarıdaki denklemlere benzer şekilde, arktanjanta dayalı ifade, tüm açılar için iyi koşullandırılmış tek ifadedir. Arktanjanta dayalı ifade, çapraz çarpımın büyüklüğünün nokta çarpımına bölünmesini gerektirir.

### Kiriş uzunluğundan
İlgilenilen noktalar arasında üç boyutlu uzaydan geçen ve küresel Dünya üzerindeki bir çizgi, noktalar arasındaki büyük dairenin kirişidir. İki nokta arasındaki merkez açı, kiriş uzunluğundan belirlenebilir. Büyük daire mesafesi merkez açıyla orantılıdır. Büyük daire kiriş uzunluğu, \Delta\sigma_\text{c}\,\!, karşılık gelen birim küre için Kartezyen çıkarma yoluyla şu şekilde hesaplanabilir:
:\begin{align}
  \Delta{X} &= \cos\phi_2\cos\lambda_2 - \cos\phi_1\cos\lambda_1;\\
  \Delta{Y} &= \cos\phi_2\sin\lambda_2 - \cos\phi_1\sin\lambda_1;\\
  \Delta{Z} &= \sin\phi_2 - \sin\phi_1;\\
          \Delta\sigma_\text{c} &= \sqrt{(\Delta{X})^2 + (\Delta{Y})^2 + (\Delta{Z})^2}.
\end{align}

\lambda_1 = -\tfrac12\Delta \lambda  ve \lambda_2 = \tfrac12 \Delta \lambda ifadeleri yerine konduğunda, bu formül cebirsel olarak yukarıda  bölümünde gösterilen forma dönüştürülebilir.

## Küresel Dünya için yarıçap

Dünyanın şekli, ekvator yarıçapı a 6378.137&nbsp;km olan basık bir küreye (bir sferoit) çok benzer; sferoitin merkezinden her bir kutba olan b mesafesi 6356.7523142&nbsp;km'dir. 

Ekvatordaki kısa bir kuzey-güney çizgisinin uzunluğu hesaplanırken, o çizgiye en iyi yaklaşan daire \frac{b^2}{a} yarıçapına (bu meridyenin yarı latus rektumuna eşittir) veya 6335.439&nbsp;km'ye sahipken, kutuplardaki sferoit en iyi \frac{a^2}{b} yarıçaplı bir küre ile, yani 6399.594&nbsp;km ile yaklaşık olarak ifade edilir; bu %1'lik bir farktır. 

Küresel bir Dünya varsayıldığı sürece, Dünya üzerindeki mesafeyi hesaplayan herhangi bir tek formülün yalnızca %0.5 oranında doğru olması garanti edilir (yine de formülün yalnızca sınırlı bir alana uygulanması amaçlanıyorsa daha iyi bir doğruluk mümkündür). 

Ortalama Dünya yarıçapının kullanılması, (R_1 = \frac{1}{3}(2a + b) \approx 6371.009\text{ km}, küçük basıklık sınırında mesafe tahminlerindeki ortalama kare bağıl hatanın en aza indirildiği anlamına gelir.

Kutupların dışındaki ve 500 kilometreden küçük mesafeler için, elipsoidal bir Dünya'nın Öklidci yaklaşımı hem daha basit hem de daha doğrudur (%0.1'e kadar).

## Ayrıca bakınız

* Açısal mesafe
* Dünyanın çevresini dolaşma
* Jeodezi
* Jeodezik sistem
* Kerte hattı

## Kaynakça ve notlar

## Dış bağlantılar
* MathWorld'de GreatCircle