Casorati-Weierstrass teoremi

Karmaşık analizde **Casorati-Weierstrass teoremi**, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve Felice Casorati'ye atfen isimlendirilmiştir.

*z*0 'ı içeren, karmaşık düzlemin açık bir altkümesi *U* ile ve *z*0 'da esaslı tekilliği olan, *U* - {*z*0} üzerinde tanımlı holomorf bir *f* fonksiyonuyla başlayalım. Bu halde, Weierstrass-Casorati teoremi şunu ifade eder:

:*V*, *U* içinde yer alan, z_{0}'ın bir komşuluğu ise, o zaman *f*(*V* - {*z*0}) **C** 'de yoğundur.

Ayrıca şu şekilde de ifade edilebilir:
:herhangi bir ε > 0 ve karmaşık sayı *w* için, *U* 'da öyle bir *z* karmaşık sayısı vardır ki |*z* - *z*0| 0 = 0'da esaslı tekilliğe sahiptir; ancak *g*(*z*) = 1/*z*3 'ün esaslı tekilliği yoktur (0'da bu fonksiyonun kutbu vardır).

f(z)=e^{\frac{1}{z}}

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun esaslı tekilliği olan z=0 etrafında şu Laurent serisi vardır.

f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!z^{n}}.

z \neq 0 olan tüm noktalar için f'(z) =\frac{-e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}}
var olduğundan, f(z) 'nin z=0 'ın komşuluğunda analitik olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, diğer bütün esaslı tekillikler gibi korunmalı tekilliktir.

Değişken değiştirme ile kutupsal koordinatlar z=re^{i \theta } 'ya dönersek, fonksiyonumuz f(z)=e^{\frac{1}{z}}

f(z)=e^{\frac{1}{r}e^{-i\theta}}=e^{\frac{1}{r}\cos(\theta)}e^{-i \sin(\theta)}

haline gelir. Her iki tarafın mutlak değerini alırsak

\left| f(z) \right| = \left| e^{\frac{1}{r}cos \theta} \right| \left| e^{-i \sin(\theta)} \right | =e^{\frac{1}{r}\cos \theta}

elde ederiz. Bu yüzden, \cos \theta >0 olan \theta değerleri için, r \rightarrow 0 iken f(z)\rightarrow\infty olur ve \cos \theta  için, r \rightarrow 0 iken f(z) \rightarrow 0 olur.

Sanal eksene teğet olan \frac{1}{R} çaplı çember üzerinde *z* değer alırsa neler olabileceğini düşünelim. Bu çember r=\frac{1}{R}\cos \theta ile verilir. O zaman,

f(z) = e^{R} \left[ \cos \left( R\tan \theta \right) - i \sin \left( R\tan \theta \right) \right] 

ve

\left| f(z) \right| = e^{R}
 
olur. Bu yüzden, \left| f(z) \right| uygun bir *R* seçimi ile sıfır dışında bütün pozitif değerleri alır. Çember üzerinde z \rightarrow 0 oldukça, *R* sabit iken  \theta \rightarrow \frac{\pi}{2} olur. Denklemin

\left[ \cos \left( R \tan \theta \right) - i \sin \left( R \tan \theta \right) \right] 

parçası, birim çember üzerindeki bütün değerleri sonsuz kere alır. Bu yüzden *f*(*z*), karmaşık düzlemdeki sıfır dışındaki tüm değerleri sonsuz kere alır.

## Kanıt
Teoremin kısa bir kanıtı şu şekildedir: *f*, delikli bir *V* - *z*0 komşuluğunda holomorf olsun ve *z*0 esaslı tekillik olsun. Ayrıca, *f*(*V* - {*z*0}), **C** 'de yoğun olmasın; yani *f*(*V* - {*z*0}) 'ın kapanışında yer almayan bir *b* olsun. O zaman, *V* - {*z*0} üzerinde tanımlı

:g(z) = \frac{1}{f(z) - b}

fonksiyonu sınırlıdır ve bu yüzden *V* 'nin tümüne holomorf bir şekilde genişletilebilir. Böylece, *V* - {*z*0} üzerinde

:f(z) = \frac{1}{g(z)} + b

olur.

:\lim_{z \rarr z_0} g(z)

limitinin iki çeşit durumunu ele alalım. Limit 0 ise, o zaman *f* 'nin *z*0 'da kutbu vardır. Limit 0 değilse, o zaman *z*0 kaldırılabilir tekilliktir. Her iki olası sonuç da teoremin varsayımıyla çelişmektedir. Bu yüzden teorem doğrudur.