Sınır tabakası

Fizik ve akışkanlar mekaniğinde, bir **sınır tabaka** (veya **sınır katman**), bir yüzey boyunca akan akışkanın oluşturduğu, sınır yüzeyinin hemen yakınındaki ince akışkan tabakasıdır. Akışkanın duvar ile etkileşimi, bir kaymazlık sınır koşuluna (duvarda sıfır hız) neden olur. Akış hızı daha sonra, yüzeyden uzaklaştıkça serbest akım hızına ulaşana kadar monoton bir şekilde artar. Hızı henüz serbest akım hızına dönmemiş olan akışkandan oluşan ince tabakaya hız sınır tabakası denir.

Bir insanın yanındaki hava ısınır, bu da yerçekimi kaynaklı konvektif (taşınım) hava akışına neden olur; bu durum hem bir hız hem de ısıl sınır tabaka ile sonuçlanır. Bir esinti sınır tabakayı bozar; saç ve giysiler ise onu koruyarak insanın daha serin veya daha sıcak hissetmesini sağlar. Bir uçak kanadında, hız sınır tabakası akışın kanada yakın olan kısmıdır; burada viskoz kuvvetler çevredeki viskoz olmayan akışı bozar. Dünya atmosferinde, atmosferik sınır tabaka yere yakın hava katmanıdır (~ 1&nbsp;km). Bu katman yüzeyden etkilenir; güneşin yeri ısıtmasıyla oluşan gece-gündüz ısı akışları, nem veya yüzeye/yüzeyden momentum transferi bu etkileşime örnektir.

## Sınır tabaka türleri

Laminer sınır tabakalar, yapılarına ve oluştukları koşullara göre kabaca sınıflandırılabilir. Titreşen bir cisim üzerinde gelişen ince kayma tabakası (*shear layer*) bir Stokes sınır tabakası örneğidir; Blasius sınır tabakası ise, üzerine gelen tek yönlü bir akışta tutulan düz bir levha yakınındaki iyi bilinen benzeşim (*similarity*) çözümünü ifade eder. Falkner–Skan sınır tabakası ise Blasius profilinin bir genellemesidir. Bir akışkan döndüğünde ve viskoz kuvvetler (konvektif eylemsizlik yerine) Coriolis etkisi ile dengelendiğinde, bir Ekman tabakası oluşur. Isı transferi teorisinde, bir ısıl sınır tabaka meydana gelir. Bir yüzey aynı anda birden fazla sınır tabaka türüne sahip olabilir.

Hava akışının viskoz doğası, bir yüzey üzerindeki yerel hızları azaltır ve yüzey sürtünmesinden sorumludur. Kanat yüzeyi üzerindeki, viskozite tarafından yavaşlatılan veya durdurulan hava tabakası sınır tabakadır. İki farklı sınır tabaka akışı türü vardır: laminer ve türbülanslı.

**Laminer sınır tabaka akışı**

Laminer sınır, çok pürüzsüz bir akıştır; türbülanslı sınır tabaka ise girdaplar veya çevrintiler (*eddy*) içerir. Laminer akış, türbülanslı akıştan daha az yüzey sürtünme direnci yaratır, ancak daha az kararlıdır. Bir kanat yüzeyi üzerindeki sınır tabaka akışı, pürüzsüz bir laminer akış olarak başlar. Akış, hücum kenarından (*leading edge*) geriye doğru devam ettikçe, laminer sınır tabakanın kalınlığı artar.

**Türbülanslı sınır tabaka akışı**

Hücum kenarından belli bir mesafe geride, pürüzsüz laminer akış bozulur ve türbülanslı bir akışa geçer. Sürükleme (*drag*) açısından, laminerden türbülanslı akışa geçişin kanat üzerinde mümkün olduğunca geride olması veya kanat yüzeyinin büyük bir kısmının sınır tabakanın laminer kısmında kalması umulur. Ancak, düşük enerjili laminer akış, türbülanslı tabakadan daha ani bir şekilde bozulma eğilimindedir.

## Prandtl sınır tabaka kavramı

Aerodinamik sınır tabaka kavramı ilk olarak Ludwig Prandtl tarafından 12 Ağustos 1904'te Heidelberg, Almanya'daki üçüncü Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde sunulan bir makalede varsayılmıştır. Bu kavram, akış alanını iki bölgeye ayırarak akışkan akışı denklemlerini basitleştirir: biri sınır tabakanın içinde, viskozitenin baskın olduğu ve sınır cisminin deneyimlediği sürüklemenin çoğunu yaratan bölge; diğeri ise sınır tabakanın dışında, viskozitenin çözüm üzerinde önemli etkiler yaratmadan ihmal edilebildiği bölge. Bu yaklaşım, tam Navier-Stokes denklemlerinde önemli basitleştirmeler yaparak her iki bölgedeki akış için kapalı formda bir çözüm bulunmasına olanak tanır. Aynı hipotez, su gibi orta ila düşük viskoziteye sahip diğer akışkanlar (havanın yanı sıra) için de geçerlidir.

Yüzey ile serbest akışkan arasında bir sıcaklık farkının olduğu durumda, bir cisme veya cisimden ısı transferinin çoğunun hız sınır tabakasının yakınında gerçekleştiği bulunur. Bu durum, denklemlerin sınır tabakanın dışındaki akış alanında basitleştirilmesine tekrar olanak tanır. Sınır tabaka boyunca yüzeye dik yöndeki (örneğin bir kanat profili) basınç dağılımı, sınır tabaka boyunca nispeten sabit kalır ve yüzeyin kendisindeki ile aynıdır.

Hız sınır tabakasının kalınlığı, normalde katı cisimden, viskoz akış hızının serbest akım hızının (bir viskoz-olmayan akışın yüzey hızı) %99'u olduğu noktaya kadar olan mesafe olarak tanımlanır. Deplasman kalınlığı, sınır tabakanın duvarda kaymalı viskoz-olmayan akışa kıyasla kütle akışında bir açığı temsil ettiğini belirten alternatif bir tanımdır. Viskoz olmayan durumda, viskoz durumla aynı toplam kütle akışını sağlamak için duvarın yer değiştirmesi gereken mesafedir. Kaymazlık koşulu, katı bir nesnenin yüzeyindeki akış hızının sıfır olmasını ve akışkan sıcaklığının yüzey sıcaklığına eşit olmasını gerektirir. Akış hızı daha sonra, aşağıda verilen sınır tabaka denklemleri tarafından yönetilerek sınır tabaka içinde hızla artacaktır.

Isıl sınır tabaka kalınlığı benzer şekilde, cisimden sıcaklığın serbest akım sıcaklığının %99'u olduğu mesafedir. İki kalınlığın oranı Prandtl sayısı tarafından yönetilir. Prandtl sayısı 1 ise, iki sınır tabaka aynı kalınlıktadır. Prandtl sayısı 1'den büyükse, hız sınır tabakası ısıl sınır tabakasından daha kalındır. Prandtl sayısı 1'den küçükse (standart koşullarda hava için geçerli olduğu gibi), hız sınır tabakası ısıl sınır tabakasından daha incedir.

Planörler ve ticari uçaklar gibi yüksek performanslı tasarımlarda, sürüklemeyi en aza indirmek için sınır tabakanın davranışını kontrol etmeye büyük özen gösterilir. İki etkinin dikkate alınması gerekir. Birincisi, sınır tabaka deplasman kalınlığı yoluyla cismin etkin kalınlığını artırır, dolayısıyla basınç sürüklemesini artırır. İkincisi, kanat yüzeyindeki kayma kuvvetleri yüzey sürtünme direncini yaratır.

Tam boyutlu uçakların tipik özelliği olan yüksek Reynolds sayılarında, bir laminer sınır tabakaya sahip olmak arzu edilir. Bu, laminer akışın karakteristik hız profili nedeniyle daha düşük bir yüzey sürtünmesi ile sonuçlanır. Ancak, akış cisim boyunca geliştikçe sınır tabaka kaçınılmaz olarak kalınlaşır ve daha az kararlı hale gelir; sonunda sınır tabaka geçişi olarak bilinen süreçle türbülanslı hale gelir. Bu problemle başa çıkmanın bir yolu, sınır tabakayı gözenekli bir yüzeyden emmektir (bkz. sınır tabaka emilimi). Bu, sürüklemeyi azaltabilir ancak mekanik karmaşıklığı ve havayı hareket ettirmek ve atmak için gereken güç nedeniyle genellikle pratik değildir. Doğal laminer akış teknikleri, kanat profilini veya gövdeyi yeniden şekillendirerek, en kalın noktanın daha geride ve daha az kalın olmasını sağlayarak sınır tabaka geçişini geriye doğru iter. Bu, ön kısımdaki hızları düşürür ve aynı Reynolds sayısı daha büyük bir uzunlukla elde edilir.

Model uçaklarda görülenler gibi daha düşük Reynolds sayılarında, laminer akışı sürdürmek nispeten kolaydır. Bu, arzu edilen düşük yüzey sürtünmesini sağlar. Ancak, laminer sınır tabakaya düşük yüzey sürtünmesini veren hız profili, aynı zamanda onun ters basınç gradyanlarından kötü etkilenmesine neden olur. Basınç, kanat veterinin arka kısmında toparlanmaya başladığında, laminer bir sınır tabaka yüzeyden ayrılma eğiliminde olacaktır. Bu tür bir akış ayrılması, kanat kesitinin etkin boyutunu büyük ölçüde artırdığından, basınç sürüklemesinde büyük bir artışa neden olur. Bu durumlarda, bir türbülatör kullanarak, laminer ayrılma konumundan önceki bir noktada sınır tabakayı kasıtlı olarak türbülansa "tetiklemek" (*trip*) avantajlı olabilir. Türbülanslı sınır tabakanın daha dolu hız profili, ayrılmadan ters basınç gradyanına dayanmasını sağlar. Böylece, yüzey sürtünmesi artsa da, genel sürükleme azalır. Bu, golf toplarındaki çukurların ve uçaklardaki girdap üreteçlerinin arkasındaki prensiptir. Ayrıca, laminer ayrılmanın azaltıldığı veya tamamen ortadan kaldırıldığı basınç toparlanmasını ayarlayan özel kanat kesitleri de tasarlanmıştır. Bu, akış ayrılmasından kaynaklanan basınç sürüklemesi ile indüklenen türbülanstan kaynaklanan yüzey sürtünmesi arasında optimum bir dengeyi temsil eder.

## Sınır tabaka denklemleri
**Sınır tabaka denklemlerinin** türetilmesi, akışkanlar dinamiğindeki en önemli ilerlemelerden biriydi. Bir büyüklük mertebesi analizi kullanılarak, viskoz akışkan akışının iyi bilinen yönetici Navier-Stokes denklemleri sınır tabaka içinde büyük ölçüde basitleştirilebilir. Özellikle, kısmi diferansiyel denklemlerin (KDD) karakteristiği, tam Navier-Stokes denklemlerinin eliptik formunun aksine parabolik hale gelir. Bu, denklemlerin çözümünü büyük ölçüde basitleştirir. Sınır tabaka yaklaşımı yapılarak, akış viskoz olmayan bir kısma (birçok yöntemle çözülmesi kolaydır) ve daha kolay çözülebilir bir KDD tarafından yönetilen sınır tabakaya bölünür.

Kartezyen koordinatlarda iki boyutlu kararlı sıkıştırılamaz akış için süreklilik ve Navier-Stokes denklemleri şöyledir:

: {\partial u\over\partial x}+{\partial \upsilon\over\partial y}=0 

: u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}\left({\partial^2 u\over \partial x^2}+{\partial^2 u\over \partial y^2}\right) 

: u{\partial \upsilon \over \partial x}+\upsilon{\partial \upsilon \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial y}+{\nu}\left({\partial^2 \upsilon\over \partial x^2}+{\partial^2 \upsilon\over \partial y^2}\right) 

burada u ve \upsilon hız bileşenleri, \rho yoğunluk, p basınç ve \nu akışkanın bir noktadaki kinematik viskozitesidir.

Yaklaşım, yeterince yüksek bir Reynolds sayısı için bir yüzey üzerindeki akışın, viskoziteden etkilenmeyen bir dış viskoz-olmayan akış bölgesine (akışın çoğunluğu) ve viskozitenin önemli olduğu yüzeye yakın bir bölgeye (sınır tabaka) bölünebileceğini belirtir. u ve \upsilon sırasıyla sınır tabaka içindeki akış yönü ve enine (duvara dik) hızlar olsun. Ölçek analizi kullanılarak, yukarıdaki hareket denklemlerinin sınır tabaka içinde aşağıdaki hale indirgendiği gösterilebilir:

: u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2} 

: {1\over \rho} {\partial p \over \partial y}=0 

ve eğer akışkan sıkıştırılamaz ise (standart koşullarda sıvıların olduğu gibi):

: {\partial u\over\partial x}+{\partial \upsilon\over\partial y}=0 

Ölçek analizi, akış yönündeki uzunluk ölçeğinin sınır tabaka içindeki enine uzunluk ölçeğinden önemli ölçüde daha büyük olduğunu varsayar. Bundan, akış yönündeki özellik değişimlerinin genellikle duvara dik yöndekilerden çok daha düşük olduğu sonucu çıkar. Bunu süreklilik denklemine uygulamak, duvara dik hız olan \upsilon'nin, akış yönü hızı u'ye kıyasla küçük olduğunu gösterir. Statik basınç p, y'den bağımsız olduğundan, sınır tabakanın kenarındaki basınç, belirli bir akış yönü konumunda sınır tabaka boyunca olan basınçtır. Dış basınç, Bernoulli denkleminin bir uygulamasıyla elde edilebilir.  U , sınır tabakanın dışındaki akışkan hızı olsun, burada  u  ve  U  her ikisi de paraleldir. p yerine konulduğunda şu sonuç elde edilir:

: u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}=U\frac{dU}{dx}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2} 

Statik basınç  p 'nin akış yönünde değişmediği bir akış için:

: \frac{dp}{dx}=0 

böylece  U  sabit kalır. Bu nedenle hareket denklemi şu hale sadeleşir:

: u{\partial u \over \partial x}+\upsilon{\partial u \over \partial y}={\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2} 

Bu yaklaşımlar, bilimsel ve mühendislik açısından ilgi çeken çeşitli pratik akış problemlerinde kullanılır. Yukarıdaki analiz herhangi bir anlık laminer veya türbülanslı sınır tabaka içindir, ancak esas olarak laminer akış çalışmalarında kullanılır çünkü ortalama akış aynı zamanda anlık akıştır (hız dalgalanmaları yoktur). Bu basitleştirilmiş denklem parabolik bir KDD'dir ve genellikle Blasius sınır tabakası olarak adlandırılan bir benzerlik çözümü kullanılarak çözülebilir.

### Prandtl transpozisyon teoremi
Prandtl, sınır tabaka denklemlerini sağlayan herhangi bir u(x,y,t),\ v(x,y,t) çözümünden, yine sınır tabaka denklemlerini sağlayan başka bir u^*(x,y,t),\ v^*(x,y,t)  çözümünün şu şekilde yazılarak oluşturulabileceğini gözlemledi:

:u^*(x,y,t) = u(x,y+f(x),t), \quad v^*(x,y,t) = v(x,y+f(x),t) - f'(x) u(x,y+f(x),t)

burada f(x) keyfidir. Matematiksel açıdan çözüm benzersiz olmadığından, Stewartson ve Paul A. Libby tarafından gösterildiği gibi çözüme sonsuz bir özfonksiyon kümesinden herhangi biri eklenebilir.

### Von Kármán momentum integrali
Von Kármán, 1921 yılında sınır tabaka denklemini sınır tabaka boyunca entegre ederek integral denklemi türetti. Denklem şöyledir:

:\frac{\tau_w}{\rho U^2 } = \frac{1}{U^2}\frac{\partial }{\partial t}(U\delta_1) + \frac{\partial \delta_2}{\partial x} +\frac{2\delta_2+\delta_1}{U} \frac{\partial U}{\partial x} + \frac{v_w}{U} 

burada

:\tau_w = \mu \left( \frac{\partial u}{\partial y}\right)_{y=0}, \quad v_w = v(x,0,t), \quad \delta_1 = \int_0^\infty \left(1- \frac{u}{U} \right) \, dy, \quad \delta_2 = \int_0^\infty \frac{u}{U} \left(1- \frac{u}{U}\right) \, dy

:\tau_w duvar kayma gerilmesi, v_w duvardaki emme/enjeksiyon hızı, \delta_1 deplasman kalınlığı ve \delta_2 momentum kalınlığıdır. *Kármán–Pohlhausen yaklaşımı* bu denklemden türetilmiştir.

### Enerji integrali
Enerji integrali Wieghardt tarafından türetilmiştir.

:\frac{2 \varepsilon}{\rho U^3 } = \frac{1}{U}\frac{\partial }{\partial t}(\delta_1 + \delta_2) + \frac{2 \delta_2}{U^2}\frac{\partial U}{\partial t}  +\frac{1}{U^3} \frac{\partial }{\partial x}(U^3\delta_3) + \frac{v_w}{U} 

burada

:\varepsilon = \int_0^\infty \mu \left( \frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 dy, \quad \delta_3 = \int_0^\infty \frac{u}{U}\left(1- \frac{u^2}{U^2}\right) \, dy

:\varepsilon sınır tabaka boyunca viskoziteye bağlı enerji yayılım oranı ve \delta_3 enerji kalınlığıdır.

### Von Mises dönüşümü
Kararlı iki boyutlu sınır tabakalar için, von Mises, x ve y yerine bağımsız değişkenler olarak x ve \psi'yi (akım fonksiyonu) alan ve u yerine bağımlı değişken \chi = U^2-u^2'yi kullanan bir dönüşüm tanıttı. Sınır tabaka denklemi o zaman şu hale gelir:

:\frac{\partial \chi}{\partial x} = \nu \sqrt{U^2-\chi} \, \frac{\partial^2 \chi}{\partial \psi^2}

Orijinal değişkenler şu şekilde geri elde edilir:

:y = \int \sqrt{U^2-\chi} \, d\psi, \quad u = \sqrt{U^2-\chi}, \quad v = u\int \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{1}{u}\right) \, d\psi.

Bu dönüşüm daha sonra von Kármán ve Tsien tarafından sıkıştırılabilir sınır tabakaya genişletilmiştir.

### Crocco dönüşümü
Kararlı iki boyutlu sıkıştırılabilir sınır tabaka için, Luigi Crocco, x ve y yerine bağımsız değişkenler olarak x ve u'yu alan ve u yerine bağımlı değişken \tau=\mu\partial u/\partial y'yi (kayma gerilmesi) kullanan bir dönüşüm tanıttı. Sınır tabaka denklemi o zaman şu hale gelir:

: 
\begin{align}
& \mu \rho u \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\tau}\right)  + \frac{\partial^2 \tau}{\partial u^2} -\mu \frac{dp}{dx} \frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{1}{\tau}\right) =0, \\[5pt]
& \text{eğer } \frac{dp}{dx}=0, \text{ ise } \frac{\mu\rho}{\tau^2} \frac{\partial \tau}{\partial x} = \frac{1}{u}\frac{\partial^2 \tau}{\partial u^2}.
\end{align}


Orijinal koordinat şuradan geri elde edilir:

: y = \mu \int \frac{du} \tau .

## Türbülanslı sınır tabakalar
Türbülanslı sınır tabakaların ele alınması, akış özelliklerinin zamana bağlı değişimi nedeniyle çok daha zordur. Türbülanslı akışların ele alınmasında en yaygın kullanılan tekniklerden biri Reynolds ayrışımı (*Reynolds decomposition*) uygulamaktır. Burada anlık akış özellikleri, ortalama ve dalgalanan (*fluctuation*) bir bileşene ayrıştırılır; dalgalanan bileşenin ortalamasının her zaman sıfır olduğu varsayılır. Bu tekniğin sınır tabaka denklemlerine uygulanması, literatürde sıkça verilmeyen tam türbülanslı sınır tabaka denklemlerini verir:

: {\partial \overline{u}\over\partial x}+{\partial \overline{v}\over\partial y}=0 

: \overline{u}{\partial \overline{u} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{u} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}+ \nu \left({\partial^2 \overline{u}\over \partial x^2}+{\partial^2 \overline{u}\over \partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'})-\frac{\partial}{\partial x}(\overline{u'^2}) 

: \overline{u}{\partial \overline{v} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{v} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial y}+\nu \left({\partial^2 \overline{v}\over \partial x^2}+{\partial^2 \overline{v}\over \partial y^2}\right)-\frac{\partial}{\partial x}(\overline{u'v'})-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{v'^2}) 

Benzer bir ölçek analizi kullanılarak, yukarıdaki denklemler başat terimlere indirgenebilir. Enine yöndeki değişimler için uzunluk ölçeği  \delta  ve akış yönündeki değişimler için  L  seçilerek (burada \delta), x-momentumu denklemi şu şekilde basitleşir:

: \overline{u}{\partial \overline{u} \over \partial x}+\overline{v}{\partial \overline{u} \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 \overline{u}\over \partial y^2}-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'}).


Bu denklem duvardaki kaymazlık koşulunu sağlamaz. Prandtl'ın kendi sınır tabaka denklemleri için yaptığı gibi, viskoz terimin momentum denkleminde başat terim olmasını sağlamak için yeni, daha küçük bir uzunluk ölçeği kullanılmalıdır. *y* ölçeği olarak \eta seçilerek, bu "iç sınır tabaka" için başat momentum denklemi şu şekilde verilir:

: 0=-{1\over \rho} {\partial \overline{p} \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 \overline{u}\over \partial y^2}-\frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'}).


Sonsuz Reynolds sayısı limitinde, basınç gradyanı teriminin türbülanslı sınır tabakanın iç bölgesi üzerinde hiçbir etkisi olmadığı gösterilebilir. Yeni "iç uzunluk ölçeği" \eta viskoz bir uzunluk ölçeğidir ve \frac{\nu}{u_*} mertebesindedir; burada u_*, türbülans dalgalanmalarının hız ölçeğidir, bu durumda bir sürtünme hızıdır (*friction velocity*). Laminer sınır tabaka denklemlerinin aksine, farklı akış ölçekleri kümeleri (yani iç ve dış ölçekleme) tarafından yönetilen iki rejimin varlığı, türbülanslı sınır tabaka için evrensel bir benzerlik çözümü bulmayı zor ve tartışmalı hale getirmiştir. Akışın her iki bölgesini de kapsayan bir benzerlik çözümü bulmak için, akışın her iki bölgesinden gelen çözümleri asimptotik olarak eşleştirmek gerekir. Bu tür bir analiz, ya ''log-yasasını'' ya da *kuvvet yasasını* verecektir. Sıkıştırılabilir akışlarda enerji denklemi kullanılarak ısıl sınır tabakalar için de benzer yaklaşımlar uygulanmıştır.

Türbülanslı sınır tabaka denklemlerindeki ek terim \overline{u'v'}, Reynolds kayma gerilmesi olarak bilinir ve a priori (önsel olarak) bilinmemektedir. Bu nedenle türbülanslı sınır tabaka denklemlerinin çözümü, Reynolds kayma gerilmesini bilinen akış değişkenleri veya türevleri cinsinden ifade etmeyi amaçlayan bir türbülans modelinin kullanılmasını gerektirir. Bu tür modellerin doğruluk ve genellikten yoksun olması, modern akışkanlar dinamiğinde türbülanslı akış özelliklerinin başarılı bir şekilde tahmin edilmesinde büyük bir engeldir. Duvar yakınındaki bölgede sabit bir gerilme tabakası mevcuttur. Dikey hız dalgalanmalarının duvar yakınında sönümlenmesi nedeniyle, Reynolds gerilmesi terimi ihmal edilebilir hale gelir ve doğrusal bir hız profilinin var olduğunu buluruz. Bu sadece çok *duvar yakını bölge* için geçerlidir.

## Isı ve kütle transferi
1928'de Fransız mühendis André Lévêque, akan bir akışkandaki konvektif ısı transferinin yalnızca yüzeye çok yakın hız değerlerinden etkilendiğini gözlemledi. Büyük Prandtl sayısına sahip akışlar için, yüzeyden serbest akım sıcaklığına sıcaklık/kütle geçişi yüzeye çok yakın çok ince bir bölgede gerçekleşir. Bu nedenle, en önemli akışkan hızları, hız değişiminin yüzeyden normal mesafeyle doğrusal kabul edilebileceği bu çok ince bölge içindekilerdir. Bu şekilde,

:u(y) = U \left[ 1 - \frac{(y - h)^2}{h^2} \right] = U \frac{y}{h} \left[ 2 - \frac{y}{h} \right] \;, 

için  y \rightarrow 0 olduğunda,

:u(y) \approx 2 U \frac{y}{h} = \theta y, 

burada *θ*, duvarı kesen Poiseuille parabolünün teğetidir. Lévêque'in çözümü bir Poiseuille akışına ısı transferine özgü olsa da, içgörüsü diğer bilim insanlarının ısıl sınır tabaka problemine kesin bir çözüm bulmasına yardımcı oldu. Schuh, bir sınır tabakada 'nun yine 'nin doğrusal bir fonksiyonu olduğunu, ancak bu durumda duvar teğetinin 'in bir fonksiyonu olduğunu gözlemledi. Bunu Lévêque profilinin değiştirilmiş bir versiyonuyla ifade etti:

:u(y) = \theta(x) y. 

Bu, düşük Pr sayıları için bile çok iyi bir yaklaşımla sonuçlanır, öyle ki sadece Pr sayısı 1'den çok küçük olan sıvı metaller bu şekilde ele alınamaz.

1962'de Kestin ve Persen, ısıl sınır tabakanın tamamen momentum tabakası içinde olduğu durumlar ve çeşitli duvar sıcaklık dağılımları için ısı transferi çözümlerini açıklayan bir makale yayınladılar. x = x_0'da bir sıcaklık sıçraması olan düz bir levha problemi için, parabolik ısıl sınır tabaka denklemini bir bayağı diferansiyel denkleme indirgeyen bir ikame önerdiler. Bu denklemin çözümü, yani akışkan içindeki herhangi bir noktadaki sıcaklık, eksik bir gama fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Schlichting, ısıl sınır tabaka denklemini çözümü aynı eksik gama fonksiyonu olan bir bayağı diferansiyel denkleme indirgeyen eşdeğer bir ikame önerdi. Isı iletimini içeren sıkıştırılamaz sınır tabaka denklemleri için zamana bağlı özbenzer (*self-similarity*) ansatz (tahmin yürüterek hesaplama) ile analitik çözümler türetilebilir.

Çeşitli ders kitaplarından iyi bilindiği üzere, sınır tabakanın artmasıyla ısı transferi azalma eğilimindedir. Yakın zamanda, bir fotovoltaik jeneratörden geçen rüzgarın, azalan ısı transferi nedeniyle türbülanslı bir rejim altında PV panellerindeki ısıyı "hapsetme" eğiliminde olduğu pratik ve büyük ölçekte gözlemlendi. Sıklıkla doğası gereği türbülanslı olduğu varsayılmasına rağmen, bu tesadüfi gözlem, doğal rüzgarın pratikte ideal bir akışkana çok yakın davrandığını, en azından düz bir levhadaki beklenen davranışa benzeyen bir gözlemde, bu tür fenomenlerin daha büyük ölçekte analiz edilmesindeki zorluğu potansiyel olarak azalttığını göstermektedir.

## Sınır tabaka analizinden konvektif transfer sabitleri

Paul Richard Heinrich Blasius, yukarıdaki laminer sınır tabaka denklemleri için kesin bir çözüm türetti. Sınır tabaka kalınlığı \delta, laminer akış için Reynolds sayısının bir fonksiyonudur.

: \delta \approx 5.0{x \over \sqrt {Re}} 

:\delta = sınır tabakanın kalınlığı: hızın uzak alan hızı v_\infty'un %99'undan az olduğu akış bölgesi;
x yarı sonsuz levha boyunca konum ve Re ise \rho v_\infty x / \mu ile verilen Reynolds Sayısıdır (\rho = yoğunluk ve \mu = dinamik viskozite).

Blasius çözümü sınır koşullarını boyutsuz bir formda kullanır:

: {v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {v_x \over v_\infty} = {v_y\over v_\infty}= 0y=0'da

: {v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {v_x \over v_\infty} = 1y=\infty'da ve x=0'da

Birçok durumda, kaymazlık sınır koşulunun, levha yüzeyindeki akışkan hızı v_S'nin tüm konumlarda levhanın hızına eşit olduğunu kabul ettiğine dikkat edin. Eğer levha hareket etmiyorsa, o zaman v_S = 0 olur. Akışkan kaymasına izin verilirse çok daha karmaşık bir türetme gerekir.

Aslında, yarı sonsuz bir levha üzerindeki sınır tabakadaki laminer hız profili için Blasius çözümü, sırasıyla ısı ve kütle transferi için Isıl ve Konsantrasyon sınır tabakalarını tanımlamak üzere kolayca genişletilebilir. Diferansiyel x-momentum dengesi (hareket denklemi) yerine, bu benzer şekilde türetilmiş Enerji ve Kütle dengesini kullanır:

Enerji:  v_x {\partial T \over \partial x} + v_y {\partial T \over \partial y} = {k \over \rho C_p}{\partial^2 T \over \partial y^2} 

Kütle:  v_x {\partial c_A \over \partial x} + v_y {\partial c_A \over \partial y} = D_{AB}{\partial^2 c_A \over \partial y^2} 

Momentum dengesi için, kinematik viskozite \nu, *momentum difüzivitesi* (yayılımı) olarak kabul edilebilir. Enerji dengesinde bunun yerini ısıl difüzivite \alpha = {k / \rho C_P}, kütle dengesinde ise kütle difüzivitesi D_{AB} alır. Bir maddenin ısıl difüzivitesinde, k onun ısıl iletkenliği, \rho yoğunluğu ve C_P ısı kapasitesidir. AB indisi, A türünün B türüne difüzyonunu (yayılımını) belirtir.

\alpha = D_{AB} = \nu varsayımı altında, bu denklemler momentum dengesine eşdeğer hale gelir. Böylece, Prandtl sayısı  Pr = \nu/\alpha = 1 ve Schmidt sayısı  Sc = \nu/D_{AB} = 1 için Blasius çözümü doğrudan geçerlidir. Buna göre, bu türetme v'yi T veya c_A (mutlak sıcaklık veya A türünün konsantrasyonu) ile değiştirerek sınır koşullarının ilgili bir formunu kullanır. S indisi bir yüzey koşulunu belirtir.

: {v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {T - T_S \over T_\infty - T_S} = {c_A - c_{AS} \over c_{A\infty} - c_{AS}}= 0y=0'da

: {v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {T - T_S \over T_\infty - T_S} = {c_A - c_{AS} \over c_{A\infty} - c_{AS}} = 1y=\infty'da ve x=0'da

Akım çizgisi fonksiyonunu kullanarak Blasius, levha yüzeyindeki kayma gerilmesi için aşağıdaki çözümü elde etti:

:\tau_0 = \left( {\partial v_x \over \partial y} \right) _{y=0}=0.332 {v_\infty \over x} Re^{1/2}

Ve sınır koşulları aracılığıyla, şunlar bilinmektedir:

: {v_x - v_S \over v_\infty - v_S} = {T - T_S \over T_\infty - T_S} = {c_A - c_{AS} \over c_{A\infty} - c_{AS}}

Levha yüzeyinden dışarı ısı/kütle akısı için aşağıdaki ilişkiler verilir:

:\left( {\partial T \over \partial y} \right) _{y=0}=0.332 {T_\infty - T_S \over x} Re^{1/2}

:\left( {\partial c_A \over \partial y} \right) _{y=0}=0.332 {c_{A\infty} - c_{AS} \over x} Re^{1/2}

Böylece Pr=Sc=1 için

:\delta =\delta _T= \delta _c= {5.0 x\over\sqrt{Re}}

burada \delta_T,\delta_c, T ve c_A'nın uzak alan değerlerinin %99'undan az olduğu akış bölgeleridir.

Belirli bir akışkanın Prandtl sayısı genellikle bir olmadığından, Ludwig Prandtl ile çalışan Alman mühendis E. Pohlhausen, bu denklemleri Pr\ne 1 için geçerli olacak şekilde ampirik olarak genişletmeye çalıştı. Sonuçları Sc'ye de uygulanabilir. Prandtl sayısının 0,6'dan büyük olması durumunda, ısıl sınır tabaka kalınlığının yaklaşık olarak şu şekilde verildiğini buldu:

:{\delta \over \delta_T} = Pr^{1/3}ve bu nedenle{\delta \over \delta_c} = Sc^{1/3}

Bu çözümden, konvektif ısı/kütle transferi sabitlerini sınır tabaka akış bölgesine dayanarak karakterize etmek mümkündür. Fourier iletim yasası ve Newton'un Soğuma Yasası, yukarıda türetilen akı terimi ve sınır tabaka kalınlığı ile birleştirilir.

:{q\over A} = -k \left({\partial T \over \partial y} \right)_{y=0} = h_x(T_S-T_\infty)

:h_x = 0.332{k \over x} Re^{1/2}_x Pr^{1/3}

Bu, yarı sonsuz düzlem üzerindeki bir noktadaki yerel konvektif sabit h_x'i verir. Levhanın uzunluğu boyunca entegrasyon bir ortalama verir:

:h_L = 0.664{k \over x} Re^{1/2}_L Pr^{1/3}

Kütle transferi terimleriyle (k = konvektif kütle transferi sabiti, D_{AB} = A türünün B türüne difüzivitesi, Sc = \nu / D_{AB} ) türetme izlendiğinde, aşağıdaki çözümler elde edilir:

:k'_x = 0.332{D_{AB} \over x} Re^{1/2}_x Sc^{1/3}

:k'_L = 0.664{D_{AB} \over x} Re^{1/2}_L Sc^{1/3}

Bu çözümler, Prandtl/Schmidt sayısı 0,6'dan büyük olan laminer akış için geçerlidir.

## Gemi inşa mühendisliği
Uçaklar için geçerli olan prensiplerin çoğu, hava yerine birincil akışkan olarak suyun söz konusu olduğu gemiler, denizaltılar ve açık deniz platformları için de geçerlidir. Su ideal bir akışkan olmadığından, suda hareket eden gemiler dirençle karşılaşır. Akışkan parçacıkları, su ile gemi arasındaki yapışma kuvveti nedeniyle geminin tekne gövdesine yapışır ve akış hızının küçük ama dik bir hız gradyanı oluşturduğu bir sınır tabaka meydana getirir; gemiyle temas halindeki akışkan ideal olarak 0 bağıl hıza sahipken, sınır tabakanın sınırındaki akışkan serbest akım hızına veya akışkanın gemi etrafındaki bağıl hızına sahiptir.

Geminin önü, çevresindeki akışkan nedeniyle normal basınç kuvvetleriyle karşılaşırken, arka kısım sınır tabaka nedeniyle daha düşük bir etkiyen basınç bileşeni görür. Bu durum, 'viskoz basınç sürüklemesi' veya 'form sürüklemesi' olarak bilinen basınç kaynaklı daha yüksek bir dirence yol açar.

Gemiler için, uçakların aksine, su yoğunluğundaki değişimin ihmal edilebilir olduğu sıkıştırılamaz akışlarla ilgilenilir (1000 kPa'ya yakın bir basınç artışı yalnızca 2–3&nbsp;kg/m3'lük bir değişime yol açar). Bu akışkanlar dinamiği alanına hidrodinamik denir. Bir gemi mühendisi önce hidrodinamik için, sonra mukavemet için tasarım yapar. Sınır tabaka gelişimi, bozulması ve ayrılması kritiktir çünkü suyun yüksek viskozitesi yüksek kayma gerilmeleri üretir.

## Sınır tabaka türbini
Bu etki, 1913 yılında Nikola Tesla tarafından patenti alınan Tesla türbininde kullanılmıştır. Geleneksel bir türbinde olduğu gibi kanatlara çarpan bir akışkan değil, sınır tabaka etkisini kullandığı için kanatsız türbin olarak adlandırılır. Sınır tabaka türbinleri aynı zamanda kohezyon tipi türbin, kanatsız türbin ve Prandtl tabakası türbini (Ludwig Prandtl'a atıfla) olarak da bilinir.

## Boyut analizi kullanarak bir silindirdeki geçici sınır tabaka kalınlığının tahmini
Silindirik bir akış için geçici ve viskoz kuvvet denklemlerini kullanarak, Womersley Sayısını ( N_w ) bularak geçici sınır tabaka kalınlığını tahmin edebilirsiniz.

Geçici Kuvvet =  \rho v w 

Viskoz Kuvvet =  {\mu v\over\delta_1^2} 

Bunları birbirine eşitlemek şunu verir:

: \rho v w={\mu v\over\delta_1^2} 

Delta için çözüm:

: \delta_1=\sqrt{\mu\over\rho w}=\sqrt{\ v\over\ w} 

Boyutsuz formda:

: {L\over\delta_1}={L\sqrt{w\over\ v}}=N_w 

burada  N_w  = Womersley Sayısı;  \rho  = yoğunluk;  v  = hız; w= salınım frekansı;  \delta_1  = geçici sınır tabakanın uzunluğu;  \mu  = viskozite;  L  = karakteristik uzunluk.

## Boyut analizi kullanarak bir silindirdeki sınır tabakada konvektif akış koşullarının tahmini
Silindirik bir akış için sınır tabakadaki konvektif ve viskoz kuvvet denklemlerini kullanarak, boyutsuz Reynolds Sayısını ( Re ) bularak sınır tabakadaki konvektif akış koşullarını tahmin edebilirsiniz.

Konvektif kuvvet: \rho v^2\over\ L 

Viskoz kuvvet: {\mu v\over\delta_2^2} 

Bunları birbirine eşitlemek şunu verir:

: {\rho v^2\over\ L}={\mu v\over\delta_2^2} 

Delta için çözüm:

: \delta_2=\sqrt{\mu L\over\rho v} 

Boyutsuz formda:

: {L\over\delta_2}={\sqrt{\rho v L\over\mu}}=\sqrt{Re} 

burada  Re  = Reynolds Sayısı;  \rho  = yoğunluk;  v  = hız;  \delta_2  = konvektif sınır tabakanın uzunluğu;  \mu  = viskozite;  L  = karakteristik uzunluk.

## Sınır tabaka yutulması
Sınır tabaka yutulması, yavaş gövde sınır tabakasını yutan ve sürüklemeyi azaltmak ve itici verimi artırmak için iz bölgesini yeniden enerjelendiren kıça monte edilmiş bir itici ile uçak yakıt verimliliğinde bir artış vadetmektedir.
Bozuk hava akışında çalışmak için fan daha ağırdır, verimliliği azalır ve entegrasyonu zordur.
Aurora D8 veya Fransız araştırma ajansı Onera'nın Nova konsepti gibi tasarımlarda, gövde sınır tabakasının %40'ını yutarak seyir sırasında %5 tasarruf sağlamak için kullanılır.

Airbus, Nautilius konseptini Eylül 2018'deki ICAS kongresinde sundu:
azimut akış bozulmasını en aza indirirken tüm gövde sınır tabakasını yutmak için, gövde 13-18:1 baypas oranlı fanlara sahip iki iğe ayrılır. İtici verimlilikleri, daha küçük, daha hafif, daha az karmaşık ve gürültülü motorlara sahip zıt yönlü dönen açık rotorlar gibi %90'a kadar çıkar. Normal bir kanat altı 15:1 baypas oranlı motora kıyasla yakıt tüketimini %10'dan fazla düşürebilir.

## Ayrıca bakınız
* Sınır tabaka ayrılması
* Pertürbasyon teorisi
* Kayma gerilmesi

## Kaynakça

* 
* A.D. Polyanin and V.F. Zaitsev, *Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations*, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton – London, 2004. 
* A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, *Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering*, Taylor & Francis, London, 2002. 
* Hermann Schlichting, Klaus Gersten, E. Krause, H. Jr. Oertel, C. Mayes "Boundary-Layer Theory" 8th edition Springer 2004 
* John D. Anderson Jr., "Ludwig Prandtl's Boundary Layer", *Physics Today*, December 2005
*
*H. Tennekes and J. L. Lumley, "A First Course in Turbulence", The MIT Press, (1972).
*Lectures in Turbulence for the 21st Century by William K. George

## Dış bağlantılar
* National Science Digital Library – Boundary Layer
* Moore, Franklin K., "*[https://web.archive.org/web/19981203123145/http://naca.larc.nasa.gov/reports/1953/naca-report-1124/ Displacement effect of a three-dimensional boundary layer]*". NACA Report 1124, 1953.
* Benson, Tom, "*[http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/boundlay.html Boundary layer]*". NASA Glenn Learning Technologies.
* Boundary layer separation
* ''Boundary layer equations: Exact Solutions'' – from EqWorld
* Jones, T.V. ''BOUNDARY LAYER HEAT TRANSFER''
*