Càdlàg

Matematikte, bir **càdlàg fonksiyon** (*Fr*. *continue à droite, limite à gauche*), gerçek sayıların bir altkümesi üzerinde tanımlı ve bu tanım kümesinin her noktasında sağdan sürekli, soldan limitli olan bir fonksiyondur. **Cadlàg** fonksiyonlar, özellikle sıçramaları olan stokastik süreçlerin incelenmesinde önemlidir. Bir tanım kümesi üzerindeki càdlàg fonksiyonların kümesine Skorokhod uzayı denir.

**Càdlàg** terimine benzeyen iki terim vardır. Bunlardan ilki olan **càglàd** (*Fr*. *continue à gauche, limite à droite*)
fonksiyonda sol ve sağ yer değiştirmiştir. Yani, **càglàd** soldan sürekli, sağdan limitlidir. İkinci terim ise **càllàl** (*Fr*. *continue à l'un, limite à l’autre*) fonksiyondur. Bu terim kapsamında yön belirtilmeden bir taraftan sürekli diğer taraftan limitli fonksiyonlar tanımlanmıştır.

## Tanım

(M, d) bir metrik uzay ve E \subseteq \mathbb{R} olsun. f:E \to M fonksiyonuna aşağıdaki özellikleri sağlarsa **càdlàg fonksiyon** denir.
Her t \in E için,
* f(t-) := \lim_{s \to t^{-}}f(s) vardır; 
* f(t+) := \lim_{s \to t^{+}}f(s) vardır ve f(t)'ye eşittir.
Diğer deyişle, f fonksiyonu tanım kümesindeki her noktada sağdan sürekli soldan limitlidir.

## Örnekler
* Gerçel sayılar ya da bunların alt kümelerinde tanımlı sürekli fonksiyonların hepsi càdlàg fonksiyondur.
* Tanımları gereği, bütün kümülatif dağılım fonksiyonları càdlàg fonksiyondur.
* Bir açık aralıkta tanımlanan her dışbükey fonksiyonun sağdan türevi artan bir càdlàg fonksiyondur.

## Skorokhod uzayı
E'den M'ye tanımlı tüm càdlàg fonksiyonlarının kümesi genellikle \mathbb{D}(E:M) (veya sadece \mathbb{D} ile) gösterilir ve bu kümeye Ukraynalı matematikçi Anatoliy Skorokhod'a atfen **Skorokhod uzayı** adı verilir. Skorokhod uzayına, sezgisel olarak "uzay ve zamanı biraz oynatmamıza" izin veren bir topoloji atanabilir (oysaki düzgün yakınsamanın geleneksel topolojisi yalnızca "uzayı biraz oynatmamıza" izin verir). Basitleştirmek için mesela E = [0, T] ve M = \mathbb{R}^n alalım.

İlk önce süreklilik modülüne karşılığı olan bir \varpi'_{f} (\delta) tanımlamamız gerekecek. Herhangi bir F \subseteq E için,
: 
    w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |
  
kümesini tanımlayalım. Her \delta > 0 içinse, **càdlàg modülü**nü
: 
    \varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),
  
şeklinde tanımlayalım. Burada infimum \min_i(t_i - t_{i+1}) > \delta ve k\in \mathbb N olacak şekilde tanımlanan bütün \Pi = \{0 = t_0  parçalanışları üzerinden tanımlanmaktadır. Süreksiz fonksiyonlar için tanımlanan süreklilik modülü ne kadar makul ise, buradaki tanım da càdlàg olmayan fonksiyonlar için en azından o kadar makuldur. O zaman, f càdlàg fonksiyondur ancak ve ancak \lim_{\delta \to 0} \varpi'_{f} (\delta) = 0.

E üzerinden yine E'ye tanımlı, kesin artan, sürekli, birebir örten fonksiyonların kümesi \Lambda olsun (bunlar "zaman içindeki kıpırdanmalar" olacak). E üzerinde tanımlı fonksiyonlar için 
: 
    \| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |
  
düzgün normunu tanımlayalım. Bu tanımlar ışığında, eğer I: E \to E özdeşlik (birim) fonksiyonu ise, f, g\in \mathbb{D} için
: 
    \sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},
  
**Skorokhod metriği**ni tanımlar. "Kıpırdama" sezgisi açısından konuşacak olursak, \| \lambda - I \| "zamandaki kıpırdamanın" boyutunu ölçer, \| f - g \circ \lambda \| ise "uzaydaki kıpırdamanın" büyüklüğünü ölçer.

**Skorokhod metriği** gerçekten bir metriktir. \sigma tarafından üretilen \Sigma topolojisine \mathbb{D}'deki **Skorokhod topolojisi** adı verilir.

### Skorokhod uzayının özellikleri
#### Düzgün topolojinin genelleştirilmesi
E üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonların uzayı olan C, \mathbb{D}'nin bir altuzayıdır. Skorokhod topolojisi, C'ye göre düşünülürse, o zaman oradaki düzgün topolojilerle aynıdır.

#### Tamlık
\mathbb{D}, Skorokhod metriği \sigma altında tam uzay değildir. Yine de, \mathbb{D}'yi tam yapacak ve topolojik olarak denk bir \sigma_0 metriği vardır.

#### Ayrılabilirlik
Hem \sigma_0 hem de \sigma açısından, \mathbb{D} ayrılabilir bir uzaydır. Bu yüzden, Skorokhod uzayı Polish uzaydır.

#### Skorokhod uzayındaki sıkılık
Arzelà-Ascoli teoreminin bir uygulaması aracılığıyla, Skorokhod uzayı \mathbb{D} üzerindeki bir olasılık ölçüsü dizisi (\mu_n)_{n=1,2,\dots} ancak ve ancak aşağıdaki şu koşullar sağlanırsa sıkıdır.
# 
    \lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in \mathbb{D} \;|\; \| f \| \geq a \} \big) = 0,
  
# 
    \lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in \mathbb{D} \;|\; \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} \big) = 0 \quad \forall \varepsilon > 0.
  

#### Cebirsel ve topolojik yapı
Skorokhod topolojisi ve fonksiyonların noktasal toplanması altında \mathbb{D} az sonra verilecek örnekte görülebileceği gibi topolojik bir grup değildir. Gerçekten de,  E=[0,2)  olsun ve f_n = \chi_{[1-1/n,2)} \in \mathbb{D} de bir karakteristik fonksiyonlar dizisi olsun. Skorokhod topolojisinde  f_n \rightarrow \chi_{[1,2)}  olmasına rağmen,  f_n - \chi_{[1,2)}  dizisi 0'a yakınsamaz.

## Ayrıca bakınız
* Klasik Wiener uzayı

## Kaynakça