Karmaşık eşlenik

Matematikte, bir karmaşık sayının **karmaşık eşleniği**, büyüklük olarak eşit ancak işaret olarak zıt bir sanal kısma ve eşit bir gerçel kısma sahip olan bir karmaşık sayıdır. Yani, a ve b gerçel sayılar ise, o zaman 
 a + ib'nin  karmaşık eşleniği a - ib  olur.

## Gösterim
Bir karmaşık sayının eşleniği genelde bu karmaşık sayının üzerine sayıyı kaplayacak şekilde çekilen bir çizgi ile gösterilir. Yani, karmaşık sayı  z=a+ib ise, bu sayının eşleniği \overline{z}=\overline{a+ib}=a-ib olur. Matematikte nadir de olsa z^* kullanımı da mevcuttur. Ancak, bu tür bir gösterimin bir matrisin eşlenik devrik matrisiyle karıştırılması ihtimali artacağından bu gösterim pek tercih edilmez.

Kutupsal koordinat sisteminde, eğer r ve \varphi gerçel sayılarsa, o zaman r e^{i \varphi} sayısının eşleniği r e^{-i \varphi} sayısıdır. Bunu Euler formülü aracılığıyla göstermek basittir.

## Özellikler
* Bir karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı gerçel bir sayıdır; yani, z=a+ib ya da polar koordinat gösteriminde z=r e^{i \varphi} ise o zaman z\overline{z}=a^2 + b^2=r^2 olur.
* Herhangi iki karmaşık sayı için, eşlenik alma işleminin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme üzerine dağılmalıdır. Herhangi iki karmaşık sayı z ve w olsun. O zaman,

:\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}, 
:\overline{z - w} = \overline{z} - \overline{w}, 
:\overline{zw} = \overline{z} \; \overline{w}, 
:\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}},\quad (\text{eğer } w \neq 0 ise)

* Bir karmaşık sayının eşleniğinin kendisine eşit olması için bu sayının sanal kısmının sıfıra eşit olması lazımdır. Diğer deyişle, bu karmaşık sayı aslında bir gerçel sayıdır.
* Bir karmaşık sayının mutlak değeri eşlenik altında değişmez; yani, \left| \overline{z} \right| = |z|.
* Eşlenik alma işlemi bir involüsyondur. Yani, karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği yine karmaşık sayıyı verir.
* Karmaşık bir sayının mutlak değeri karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı üzerinden tanımlabilir: z\overline{z} = {\left| z \right|}^2. O zaman, her z \neq 0 için z^{-1} = \frac{\overline{z}} = \overline{e^{z}} sağlanır.
**eşlenik alma işlemi ile logaritma alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, eğer z logaritmanın tanım kümesi içerisindeyse \ln\left(\overline{z}\right) = \overline{\ln(z)}  sağlanır.
* Tek karmaşık değişkenli ver gerçel sayı katsayılı polinomların köklerinden biri karmaşık sayı ise, o zaman bu kökün karmaşık eşleniği de bu polinomun yine köküdür.

## Değişken olarak kullanımı
Bir karmaşık değişken z = x + iy veya z = re^{i\theta} halinde verilmiş olsun. O zaman eşleniği kullanarak, z-değişkeninin gerçel ve sanal kısımları hesaplanabilir ve basi:
* Gerçel kısım : x = \operatorname{Re}(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2}
* Sanal kısım: y = \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}
* Mutlak değer: r= \left| z \right| = \sqrt{z\overline{z}}
* Argüman: e^{i\theta} = e^{i\arg z} = \sqrt{\dfrac{z}{\overline z}}, böylece  \theta = \arg z = \dfrac{1}{i} \ln\sqrt{\frac{z}{\overline{z}}} = \dfrac{\ln z - \ln \overline{z}}{2i}.
Dahası, \overline{z} karmaşık düzlemdeki doğruları tanımlamak için de kullanılabilir. Mesela,
\left\{z : z \overline{w} + \overline{w} r = 0 \right\}
kümesi orijinden geçen ve {w}'ya dik olan bir doğruyu verir. Çünkü, z\cdot\overline{r} ifadesinin gerçel kısmının sıfıra eşit olması ancak when the cosine of the angle between z ve {w} arasındaki açının kosinüsünün sıfıra eşit olmasıyla mümkündür. benzer bir şekilde, sabitlenmiş biri birim karmaşık sayısı  u = e^{i b}, için 
\frac{z - z_0}{\overline{z} - \overline{z_0}} = u^2
ifadesi de 0 ve u'dan geçen doğruya paralel olan ve z_0'dan geçen bir doğru verir.

## Notlar

## Kaynakça