Harnack eşitsizliği

Matematikte **Harnack eşitsizliği** pozitif harmonik fonksiyonların iki ayrı noktada aldığı değerle ilgili bir eşitsizliktir. Bu eşitsizlik, Harnack teoremi olarak bilinen ve harmonik fonksiyonların yakınsaklığıyla ilgili bir sonucu  ifade eden teoremin ispatında kullanılmaktadır. Eşitsizlik Carl Gustav Axel Harnack'ın adını taşımaktadır.

James Serrin ve Jürgen Moser, Harnack eşitsizliğini eliptik veya parabolik kısmi diferansiyel denklemlerin çözümleri için genelleştirdiler. Bu tür denklemlerin zayıf çözümlerinin iç düzenliliğini göstermede bu genelleştirilmiş eşitsizlikler kullanılmaktadır.

Poincare sanıtının Perelman tarafından verilen çözümünde Richard Hamilton tarafından Ricci akışı için ispatlanmış olan Harnack eşitsizliği kullanılmıştır.

## Eşitsizliğin ifadesi
Öklid uzayı R^n'deki R yarıçaplı ve x_0 merkezli kapalı bir yuvarın üzerinde negatif olmayan ve sürekli olan *f* fonksiyonu bu yuvarın içinde harmonik ise |x-x_0|=r koşulunu sağlayan her x noktası için 
: \frac{1-(r/R)} {[1+(r/R)]^{n-1}} f(x_0)\le f(x) \le  {1+(r/R)\over [1 - (r/R)]^{n-1}} f(x_0)
eşitsizliği sağlanır. n=2 alındığında, yani **R**2 düzlemindeki açık diskler üzerinde eşitsizlik
:{R-r\over R+r} f(x_0)\le f(x)\le {R+r\over R-r}f(x_0)
hâlini alır.

\mathbf{R}^n'deki genel \Omega bölgeleri için eşitsizlik şöyle ifade edilebilir:
\omega sınırlı bir bölge ve \bar{\omega} \subset \Omega olsun. İki kere türevlenebilir ve harmonik olan bir u(x) fonksiyonu negatif değerler almıyorsa, o zaman 
: \sup_{x \in \omega} u(x) \le C \inf_{x \in \omega} u(x)
eşitsizliğini sağlayan, u'dan bağımsız ve sadece \Omega ve \omega bölgelerine bağımlı olan bir C sabiti vardır.

## Yuvar üzerinde Harnack eşitsizliği
**R***n*'deki birim kürenin alanı *ω**n* − 1 ve *r* = |*x* − *x*0| olmak üzere, Poisson formülü kullanılarak
: f(x) = \frac 1 {\omega_{n-1}} \int_{|y-x_0|=R} \frac{R^2 -r^2}{R|x - y|^n} \cdot f(y) \, dy 
yazılabilir.

: R-r \le |x-y| \le R+r, olduğundan, tümlevlenen çekirdek fonksiyon şu eşitsizliği sağlar:
: \frac{R -r}{R (R+r)^{n-1}} \le \frac{R^2 -r^2}{R|x-y|^n}\le \frac{R+r}{R(R-r)^{n-1}}. 
O zaman bu eşitsizlik ve harmonik fonksiyonlar için
:  f(x_0)= \frac 1 {R^{n-1}\omega_{n-1}} \int_{|y-x_0|=R} f(y)\, dy 
olduğunu ifade eden  ortalama değer teoremi kullanılarak Harnack eşitsizliği elde edilir.

## Eliptik kısmi diferansiyel denklemler
Eliptik kısmi diferansiyel denklemler için Harnack eşitsizliği, bağlantılı ve bir açık bölgedeki pozitif bir çözümün en küçük üst sınırının (supremum), en büyük alt sınır (infimum) ve muhtemelen denklemdeki verilerin fonksiyonel normunu içeren ek bir terimin toplamının bir sabit ile çarpımıyla sınırlandırıldığını belirtir:
: \sup u \le C ( \inf u + \|f\|)
Buradaki sabit, denklemin eliptikliğine ve bağlantılı açık bölgeye bağlıdır.

## Parabolik kısmi diferansiyel denklemler
Harnack eşitsizliğinin doğrusal parabolik kısmi diferansiyel denklemler için  bir hâli de vardır. \mathcal{M}, \mathbb{R}^n'de pürüzsüz ve sınırlı bir bölge olsun.
Pürüzsüz ve sınırlı katsayılara ve kesin pozitif (a_{ij}) matrisine sahip
: \mathcal{L}u=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(t,x)\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j} + \sum_{i=1}^n b_i(t,x)\frac{\partial u}{\partial x_i} + c(t,x)u
doğrusal eliptik operatörü ele alınsın. Diyelim ki u(t,x)\in C^2((0,T)\times\mathcal{M}) fonksiyonu 
: \quad (0,T)\times\mathcal{M}\text{ içinde } u(t,x)\ge0
olmak üzere
: (0,T)\times\mathcal{M}  içinde \frac{\partial u}{\partial t}-\mathcal{L}u=0
denkleminin çözümü olsun.

K ise tıkız olarak \mathcal{M}nin içinde yer alsın ve \tau\in(0,T) olsun. O zaman, her t\in(\tau,T) için
: \sup_K u(t-\tau,\cdot)\le C \inf_K u(t,\cdot).
eşitsizliğini sağlayan ve sadece *K*, \tau, t-\tau ve \mathcal{L}'nin katsayılarına bağımlı bir  *C*&nbsp;>&nbsp;0  sabiti vardır.

## Ayrıca bakınız
* Harnack teoremi

## Kaynakça

## Ek kaynaklar

*
*
*
*
*