Büyüklük (matematik)

Matematikte, bir matematiksel nesnenin **büyüklüğü**, nesnenin aynı türden diğer nesnelerden daha büyük mü yoksa daha küçük mü olduğunu belirleyen bir özelliktir.
Daha resmi bir ifadeyle, bir nesnenin büyüklüğü, ait olduğu nesneler sınıfının bir sıralamasının (veya derecelendirmesinin) görüntülenen sonucudur.
Bir kavram olarak büyüklük, Antik Yunan'a kadar uzanır ve bir nesneden diğerine olan mesafenin bir ölçüsü olarak uygulanmıştır.
Sayılar söz konusu olduğunda, bir sayının mutlak değeri, genellikle o sayı ile sıfır arasındaki birimlerin ölçüsü olarak uygulanır.

Vektör uzaylarında, Öklid normu, uzaydaki iki nokta arasındaki mesafeyi tanımlamak için kullanılan bir büyüklük ölçüsüdür.
Fizikte, büyüklük nicelik veya mesafe (uzaklık) olarak tanımlanabilir.
Bir büyüklük mertebesi, tipik olarak ondalık ölçekte bir sayı ile diğerinin sayısal basamakları arasındaki uzaklık birimi olarak tanımlanır.

## Tarihçe
Antik Yunanlar, aşağıdakiler dahil olmak üzere çeşitli büyüklük türlerini ayırt etmişlerdir:
* Pozitif kesirler
* Doğru parçaları (uzunluğa göre sıralanmış)
* Düzlem şekilleri (alana göre sıralanmış)
* Katı cisimler (hacme göre sıralanmış)
* Açılar (açısal büyüklüğe göre sıralanmış)

İlk ikisinin aynı olamayacağını, hatta eşyapılı büyüklük sistemleri bile olamayacağını kanıtladılar. Negatif büyüklükleri anlamlı kabul etmediler ve *büyüklük* günümüzde hâlâ öncelikli olarak sıfırın ya en küçük boyut olduğu ya da tüm olası boyutlardan daha küçük olduğu bağlamlarda kullanılmaktadır.

## Sayılar

Herhangi bir x sayısının büyüklüğü genellikle o sayının *[[mutlak değer]]i* veya *modülü* olarak adlandırılır ve |x| ile gösterilir.

### Reel sayılar
Bir reel sayı *r*'nin mutlak değeri şu şekilde tanımlanır:
:  \left|
r \right| = r, \text{ eğer } r \text{ ≥ } 0 
:  \left| r \right|
= -r, \text{ eğer } r 

Mutlak değer, sayının reel sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan mesafesi olarak da düşünülebilir.
Örneğin, hem 70'in hem de −70'in mutlak değeri 70'tir.

### Karmaşık sayılar
Bir karmaşık sayı *z*, karmaşık düzlem adı verilen bir 2 boyutlu uzayda bir *P* noktasının konumu olarak görülebilir.
'nin mutlak değeri (veya *[[Mutlak_değer#Karmaşık_sayılar|modülü]]*), *P*'nin o uzayın başlangıç noktasına (orijin) olan uzaklığı olarak düşünülebilir.
'nin mutlak değeri formülü, 2 boyutlu bir Öklid uzayındaki bir vektörün Öklid normu formülüne benzerdir:
: \left|
z \right| = \sqrt{a^2 + b^2}
burada *a* ve *b* reel sayıları, sırasıyla *z*'nin gerçek kısmı ve sanal kısmıdır.
Örneğin, 'nin modülü \sqrt{(-3)^2+4^2} = 5'tir.
Alternatif olarak, *z* karmaşık sayısının büyüklüğü, kendisi ile karmaşık eşleniği \bar{z}'nin çarpımının karekökü olarak tanımlanabilir; burada herhangi bir  z = a + bi karmaşık sayısı için karmaşık eşlenik  \bar{z} = a -bi'dir.
: \left| z \right| = \sqrt{z\bar{z} } = \sqrt{(a+bi)(a-bi)} = \sqrt{a^2 -abi + abi - b^2i^2} = \sqrt{a^2 + b^2 }
(burada i^2 = -1).

## Vektör uzayları

### Öklid vektör uzayı

Bir Öklid vektörü, bir Öklid uzayındaki bir *P* noktasının konumunu temsil eder.
Geometrik olarak, uzayın başlangıç noktasından (vektör başlangıcı) o noktaya (vektör ucu) uzanan bir ok olarak tanımlanabilir.

Matematiksel olarak, *n*-boyutlu bir Öklid uzayındaki bir  vektörü, *n* adet reel sayının sıralı bir listesi (*P*'nin Kartezyen koordinatları) olarak tanımlanabilir: *x* = [*x*1, *x*2, ..., *x**n*].
Bu vektörün \|x\| ile gösterilen **büyüklüğü** veya **uzunluğu**, en yaygın olarak Öklid normu (veya Öklid uzunluğu) şeklinde tanımlanır:
: \|\mathbf{x}\|
= \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}.
Örneğin, 3 boyutlu bir uzayda [3,&nbsp;4,&thinsp;12]'nin büyüklüğü 13'tür çünkü \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13.
Bu, vektörün kendisiyle olan nokta çarpımının kareköküne eşdeğerdir:
: \|\mathbf{x}\|
= \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}.

Bir vektörün Öklid normu, Öklid uzaklığının sadece özel bir durumudur: vektörün başlangıç noktası ile uç noktası arasındaki uzaklıktır.
Bir *x* vektörünün Öklid normu için iki benzer gösterim kullanılır:
# \left \| \mathbf{x} \right \|,
# \left |
\mathbf{x} \right |.
İkinci gösterimin bir dezavantajı, skalerlerin mutlak değerini ve matrislerin determinantlarını belirtmek için de kullanılmasıdır, bu da bir belirsizlik durumu yaratır.

### Normlu vektör uzayları

Tanım gereği, tüm Öklid vektörlerinin bir büyüklüğü vardır (yukarıya bakınız).
Ancak, soyut bir vektör uzayındaki bir vektör bir büyüklüğe sahip değildir.
Öklid uzayı gibi bir norm ile donatılmış bir vektör uzayı, normlu vektör uzayı olarak adlandırılır. Normlu bir vektör uzayındaki bir *v* vektörünün normu, *v*'nin büyüklüğü olarak kabul edilebilir.

### Sözde Öklid uzayı
Bir sözde Öklid uzayında (*pseudo-Euclidean space*), bir vektörün büyüklüğü, o vektör için kuadratik formun değeridir.

## Logaritmik büyüklükler
Büyüklükleri karşılaştırırken genellikle bir logaritmik ölçek kullanılır.
Örnekler arasında bir sesin gürlüğü (desibel cinsinden ölçülür), bir yıldızın parlaklığı ve deprem şiddetinin Richter ölçeği bulunur.
Logaritmik büyüklükler negatif olabilir. Doğa bilimlerinde, logaritmik bir büyüklük tipik olarak bir *[[Düzey (logaritmik nicelik)|düzey]]* (*level*) olarak adlandırılır.

## Büyüklük mertebesi

Büyüklük mertebeleri, sayısal niceliklerdeki (genellikle ölçümlerdeki) farkları 10 katı ile ifade eder; yani ondalık noktanın konumunda bir basamaklık bir fark anlamına gelir.

## Diğer matematiksel ölçüler

## Ayrıca bakınız
* Vektör notasyonu

## Kaynakça