Brezis-Gallouët eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde, **Brezis-Gallouët eşitsizliği**, yeteri kadar türevlenebilen iki gerçel değişkenli fonksiyonların esaslı sınırlılığıyla ilgili ve kısmi diferansiyel denklemlerin çalışılmasında çok yararlı olan bir eşitsizliktir. Bu eşitsizlik, Haïm Brezis and Thierry Gallouët'nin adını taşımaktadır.

## Eşitsizliğin ifadesi
\Omega\subset\mathbb{R}^2, düzenli sınırı olan sınırlı bir kümenin içi veya dışı ya da  \mathbb{R}^2nin kendisi olsun. O zaman, hemen hemen her yerde 0dan farklı her u\in H^2(\Omega) için 
:\displaystyle \|u\|_{L^\infty(\Omega)}\leq C \|u\|_{H^1(\Omega)}\left(1+\Bigl(\log\bigl( 1+\frac{\|u\|_{H^2(\Omega)}}{\|u\|_{H^1(\Omega)}}\bigr)\Bigr)^{1/2}\right)
eşitsizliğini sağlayan ve sadece \Omega'ya bağlı gerçel bir C sayısı vardır.

Her v\in H^2(\mathbb{R}^2) için 
:\int_{\mathbb{R}^2} \bigl( (\partial^2_{11} v)^2 + 2(\partial^2_{12} v)^2 +  (\partial^2_{22} v)^2\bigr) = \int_{\mathbb{R}^2} \bigl(\partial^2_{11} v+\partial^2_{22} v\bigr)^2 
olduğu için, Brezis-Gallouët eşitsizliğinden hareketle, hemen hemen her yerde 0dan farklı her u\in H^2(\Omega) için, 
:\displaystyle \|u\|_{L^\infty(\Omega)}\leq C \|u\|_{H^1(\Omega)}\left(1+\Bigl(\log\bigl( 1+\frac{\|\Delta u\|_{L^2(\Omega)}}{\|u\|_{H^1(\Omega)}}\bigr)\Bigr)^{1/2}\right)
elde edilir ki eşitslizliğin bu hali Brezis-Gallouët eşitsizliğin daha çok atfedilen halidir.

## İspat
\Omega'nın düzenli sınırı olduğu varsayımıyla aşağıdaki şu özelliklere sahip bir P~:~H^2(\Omega)\to H^2(\mathbb{R}^2) genişleme operatörünün varlığı elde edilmiş olur:
*  P operatörü H^1(\Omega) uzayından H^1(\mathbb{R}^2) uzayına sınırlı bir operatördür.
*  P operatörü H^2(\Omega) uzayından H^2(\mathbb{R}^2) uzayına sınırlı bir operatördür.
* Her u\in H^2(\Omega) için, P u'nun \Omega'ya kısıtlanması yine  u olur.

\|u\|_{H^1(\Omega)} = 1 özelliğine sahip bir u\in H^2(\Omega) alalım. v = P u  fonksiyonunun Fourier dönüşümünü \widehat{v} ile gösterelim. O hâlde,

* \|(1+|\xi|)\widehat{v}\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} \le C,
* \|(1+|\xi|^2)\widehat{v}\|_{L^2(\mathbb{R}^2)} \le C\|u\|_{H^2(\Omega)},
* \|u\|_{L^\infty(\Omega)} \le \|v\|_{L^\infty(\mathbb{R}^2)} \le C\|\widehat{v}\|_{L^1(\mathbb{R}^2)}.
eşitsizliklerini sağlayan ve sadece \Omega'ya bağlı pozitif bir C sayısı vardır.

Herhangi bir R >0 için, daha önce elde edilen eşitsizlikler ve Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılarak
:\begin{align}\displaystyle \|\widehat{v}\|_{L^1(\mathbb{R}^2)} &= \int_{|\xi|R} |\widehat{v}(\xi)| {\rm d}\xi\\
 &= \int_{\rm d}\xi + \int_{|\xi|>R} (1+|\xi|^2)|\widehat{v}(\xi)| \frac 1 {1+|\xi|^2}{\rm d}\xi\\
 &\le C \left( \int_{|\xi|R} \frac 1 {(1+|\xi|^2)^2}{\rm d}\xi\right)^{\frac 1 2}\end{align}
yazılır. İntegraller hesaplanarak, 
:\|\widehat{v}\|_{L^1(\mathbb{R}^2)}\le C(\log(1+R))^{\frac 1 2} +  C \frac {\|u\|_{H^2(\Omega)}} {1+R}.
eşitsizliği elde edilir.

\|u\|_{H^1(\Omega)} = 1 durumunda, R =\|u\|_{H^2(\Omega)}  alınarak eşitsizlik elde edilmiş olur. Eşitszliğin genel hali için, sıfıra eşit olmayan u\in H^2(\Omega) için, daha önce kanıtlanan eşitsizlik durumunda  u/ \|u\|_{H^1(\Omega)} fonksiyonu kullanılır.

## Ayrıca bakınız
* Ladıjenskaya eşitsizliği
* Agmon eşitsizliği

## Kaynakça