Toplamsal birim (cebir)

Matematikte, toplama işlemi ile donatılmış bir kümenin **toplamsal birimi** ya da **toplamsal etkisiz elemanı**, kümedeki herhangi bir  elemanına eklendiğinde  sonucunu veren bir elemandır.

En bilinen toplamsal birim, temel matematikteki 0 sayısıdır, ancak farklı toplamsal birimler, gruplar ve halkalar gibi toplamanın tanımlı olduğu diğer matematiksel yapılarda da bulunur.

## Temel örnekler
* Temel matematikten aşina olunan toplamsal birim, 0 ile gösterilen sıfırdır.
* Örneğin,
*:5+0 = 5 = 0+5.
* Doğal sayılarda  (eğer 0 dahil edilirse), tam sayılarda  rasyonel sayılarda  reel sayılarda  ve karmaşık sayılarda  toplamsal birim 0'dır. Bu, bu kümelerden herhangi birine ait bir  sayısı için şunu ifade eder:
*:n+0 = n = 0+n.

## Resmi tanım
Toplama işlemi (denklemde + ile gösterilir) altında kapalı bir grup  olsun.  için  ile gösterilen bir toplamsal birim, 'deki herhangi bir  elemanı için aşağıdaki koşulu sağlayan,  içindeki bir elemandır:
:e+n = n = n+e.

## Diğer örnekler
* Bir grupta toplamsal birim, grubun birim elemanıdır, genellikle 0 ile gösterilir ve benzersizdir (ispatı aşağıdadır).
* Bir halka veya cisim, toplama işlemi altında bir gruptur ve bu nedenle bunların da benzersiz bir toplamsal birimi (0) vardır. Halka (veya cisim) birden fazla elemana sahipse, bu eleman çarpımsal birim 1'den farklı olacak şekilde tanımlanır.
* Eğer toplamsal birim ve çarpımsal birim aynıysa, o zaman halka trivialdir (aşağıda ispatlanmıştır).
* Bir  halkası üzerindeki × matrislerin oluşturduğu  halkasında, toplamsal birim sıfır matrisidir,  veya  ile gösterilir ve girdilerinin tamamı 'deki birim eleman 0'dan oluşan × boyutunda bir matristir.
* Örneğin, tam sayılar üzerindeki 2×2 matrislerde  toplamsal birim şudur:
*:0 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}
* Kuaterniyonlarda 0 toplamsal birimdir.
*  fonksiyonlar halkasında, her sayıyı 0'a eşleyen fonksiyon toplamsal birimdir.
* 'deki vektörlerin toplamsal grubunda, orijin veya sıfır vektörü toplamsal birimdir.

## Özellikler

### Bir grupta toplamsal birim, benzersizdir
 bir grup olsun ve  içindeki  ve  elemanlarının her ikisi de toplamsal birimleri göstersin, böylece  içindeki herhangi bir  için,
:0+g = g = g+0, \qquad 0'+g = g = g+0'.

Yukarıdakinden şu sonuç çıkar:
:{\color{green}0'} = {\color{green}0'} + 0 = 0' + {\color{red}0} = {\color{red}0}.

### Toplamsal birim, halka elemanlarını yutar
Toplama üzerine dağılan bir çarpma işlemine sahip bir sistemde, toplamsal birim çarpımsal bir yutan elemandır; yani  içindeki herhangi bir  için .
Bu şu şekilde gösterilir:

:\begin{align}
             s \cdot 0 &= s \cdot (0 + 0) = s \cdot 0 + s \cdot 0 \\
 \Rightarrow s \cdot 0 &= s \cdot 0 - s \cdot  0 \\
 \Rightarrow s \cdot 0 &= 0.
\end{align}

### Trivial olmayan bir halkada toplamsal ve çarpımsal birimler farklıdır
 bir halka olsun ve toplamsal birim 0 ile çarpımsal birim 1'in eşit olduğunu, yani 0 = 1 olduğunu varsayalım. , 'nin herhangi bir elemanı olsun.
O halde

:r = r \times 1 = r \times 0 = 0

olur ki bu da 'nin trivial, yani } olduğunu kanıtlar. Dolayısıyla bunun devirmesi (*contapositive*) de gösterilmiş olur: Eğer  trivial değilse 0, 1'e eşit değildir.

## Ayrıca bakınız
* 0 (sayı)
* Toplamsal ters
* Birim eleman
* Çarpımsal birim

## Kaynakça

## Bibliyografya
* David S. Dummit, Richard M. Foote, *Abstract Algebra*, Wiley (3rd ed.): 2003, .

## Dış bağlantılar
*