Reinhardt bölgesi

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde, **Reinhardt bölgesi**, sabit bir merkeze göre alınan çemberlerin birinin kümenin elemanlarından birini içerdiğinde bu çemberin hepsini birden içeren özel bölgelerdir. Bu kümelere bu yüzden *çemberli bölgeler* de denilir. Bu bölge, adını Alman matematikçi Karl Reinhardt'tan almaktadır.

## Tanımı
\Omega \subset \mathbb{C}^n bir bölge olsun ve sabit bir a=(a_1, a_2, \dots, a_n)\in \mathbb C^n merkezi olsun. Her z = (z_1, z_2, \dots, z_n) \in \Omega ve her \vartheta_1, \vartheta_2, \dots, \vartheta_n \in \mathbb{R} için \left(e^{i \vartheta_1} (z_1-a_1),  e^{i \vartheta_2} (z_2-a_2),  \dots, e^{i \vartheta_n}(z_n-a_n) \right) \in \Omega  özelliği sağlanıyorsa, \Omega'ya a merkezli **Reinhardt bölgesi** adı verilir.

\Omega \subset \mathbb{C}^n,  a merkezli  bir **Reinhardt bölgesi** olsun. Eğer \Omega, a merkezli çemberleri içerdiğinde bu çemberleri topolojik sınır olarak kabul eden disklerin çarpımını da içeriyorsa \Omega \subset \mathbb{C}^n'ya  **tam Reinhardt bölgesi** adı verilir. Diğer deyişle, her z = (z_1, z_2, \dots, z_n) \in \Omega  için \left\{w = (w_1, w_2, \dots, w_n) \in \mathbb{C}^n \,:\, \left|w_j-a_j\right|  özelliği sağlanıyorsa, o zaman \Omega \subset \mathbb{C}^n'ya  **tam Reinhardt bölgesi** adı verilir.

### Örnekler
* n-boyutlu ve (\rho_1, \rho_2,\dots,\rho_n) vektör yarıçaplı disk çarpımı (polidisk) \left\{z = (z_1, z_2, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \,:\, \left|z_j\right| 
* n-boyutlu, 0 = (0, 0, \dots, 0) \in \mathbb{C}^n merkezli ve \rho > 0 yarıçaplı yuvar \left\{z = (z_1, z_2, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \,:\, \left|z_1 \right|^2 + \left|z_2 \right|^2 + \dots + \left|z_n\right|^2 
* n=1 iken, tam Reinhardt bölgeleri karmaşık düzlemin kendisi, diskler veya halkalardır.

## Logaritmik dışbükeylik
\Omega \subset \mathbb{C}^n bir **Reinhardt bölgesi** olsun ve 
\Omega^* = \{z=(z_1, \cdots, z_n) \in \Omega | z_1 \cdots z_n \neq 0\} tanımlansın. 
:\lambda : z \rightarrow \lambda(z) = (\ln(|z_1|), \cdots, \ln(|z_n|)) gönderimi altında 
\lambda(\Omega^*), \mathbb{R}^nnin dışbükey bir altkümesi oluyorsa, \Omega'ya **logaritmik dışbükey** denir.

### Yakınsaklık bölgesi
Bir karmaşık değişkenli karmaşık analizde yakınsaklık bölgesi ya disk olur ya da karmaşık düzlem olur. Bu bakış açısıyla, yüksek boyutlarda yakınsaklık bölgesi sadece yuvar ya da disk çarpımı (polidisk) veya karmaşık koordinat uzayının tamamı değildir. Yüksek boyutlarda, kuvvet serilerinin yakınsaklık bölgesi tam Reinhardt bölgesi olmak zorundadır. Ancak, her tam Reinhardt bölgesi aynı zamanda bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olmak zorunda değildir. Bunun için bu bölgelere geometrik özellikler getirmek zorunluluğu vardır. Daha açık bir şekilde yazmak gerekirse, bir Reinhardt bölgesinin bir kuvvet serisinin yakınsaklık bölgesi olması için gerekli ve yeterli özellik bu Reinhardt bölgesinin logaritmik dışbükey olmasıdır. Bu yüzden, Reinhardt bölgeleri, kuvvet veya Laurent serilerinin doğal tanım bölgeleridir denilebilir.

## Thullen sınıflandırması
Peter Thullen'in 1931 yılındaki çalışması ile \mathbb C^2deki sınırlı Reinhardt bölgeleri sınıflandırılmıştır. Daha açık bir ifade ile yazmak gerekirse, \Omega \subset \mathbb{C}^2 sınırlı bir Reinhardt bölgesi ve 0\in\Omega olsun. O zaman, \Omega aşağıdaki bölgelerden birine biholomorftur.

# \{(z,w)\in \Complex^2;~|z|  (polidisk);
# \{(z,w)\in \Complex^2;~|z|^2 + |w|^2  (birim yuvar);
# \{(z,w)\in \Complex^2;~|z|^2 + |w|^{\frac{2}{p}}  0,\neq 1) (Thullen bölgesi~Kompleks elipsoit).
# Otomorfi grubuna göre orijinin yörüngesinin yine orijin olduğu bölgeler. Diğer deyişle, Aut(D) otomorfi grubuysa ve G(D) de bu grubun birim elemanını içeren bağlantılı bileşense, o zaman G(D)\cdot 0 = 0 olan bölgeler.

Thullen, ayrıca, D_1 ve D_2 ile gösterilen sınırlı Reinhardt bölgelerinin birbirine holomorf olarak denk olmalarının ancak ve ancak 
:\begin{cases}z\mapsto r_1z\\ w\mapsto r_2 w\end{cases} \quad \text{ veya } \quad \begin{cases}z\mapsto r_3w\\ w\mapsto r_4 z\end{cases}\quad (r_i>0, i=1,2,3,4) 
şeklinde tanımlı ve D_1=\phi(D_2) özelliğini sağlayan bir \phi gönderiminin varlığıyla mümkün olacağını kanıtlamıştır. Toshikazu Sunada, 1978'de, Thullen'in sonuçlarının bir genellemesini kanıtlamıştır. Yani,  n-boyutlu uzayda sınırlı iki Reinhardt bölgesinin (G_1 ve G_2 olsunlar) birbirine biholomorf denk olmalarının ancak ve ancak bu bölgelerin arasında z_i\mapsto r_iz_{\sigma(i)} (r_i>0) şeklinde tanımlı ve G_1=\varphi(G_2) özelliğini sağlayan bir \varphi:\mathbf{C}^n\longrightarrow \mathbf{C}^n gönderiminin varlığıyla mümkün olacağını kanıtlamıştır.

## Notlar


## Kaynakça