Arg maks

Matematikte, **maksimumun argümanları** (kısaca **arg maks** (*arg max*) veya **argmaks** (*argmax*)) ve **minimumun argümanları** (kısaca **arg min** veya **argmin**), bir fonksiyonun çıktı değerinin sırasıyla maksimize ve minimize edildiği girdi noktalarıdır. Argümanlar fonksiyonun tanım kümesi üzerinde tanımlanırken, çıktı fonksiyonun değer kümesinin bir parçasıdır.

## Tanım

Keyfi bir küme  tam sıralı bir küme  ve bir  fonksiyonu verildiğinde; X'in bir S alt kümesi üzerindeki \operatorname{argmax} şu şekilde tanımlanır:

:\operatorname{argmax}_S f := \underset{x \in S}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in S ~:~ \text{her } s \in S \text{ için } f(s) \leq f(x) \}.

Eğer S = X ise veya S bağlamdan açıkça anlaşılıyorsa, S genellikle yazılmaz; örneğin \underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{ x ~:~ \text{her } s \in X \text{ için } f(s) \leq f(x) \}. 

Diğer bir deyişle \operatorname{argmax}, f(x)'in fonksiyonun en büyük değerine (eğer varsa) ulaştığı x noktalarının kümesidir.

\operatorname{Argmax} boş küme, tek elemanlı küme veya birden fazla eleman içeren bir küme olabilir.

Konveks analiz ve varyasyonel analiz alanlarında, Y = [-\infty,\infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm\infty \} kümesinin genişletilmiş reel sayılar olduğu özel durumda biraz daha farklı bir tanım kullanılır. Bu durumda, eğer f, S üzerinde özdeş olarak \infty'a eşitse \operatorname{argmax}_S f := \varnothing (yani, \operatorname{argmax}_S \infty := \varnothing) olarak tanımlanır. Aksi takdirde \operatorname{argmax}_S f yukarıdaki gibi tanımlanır; bu durumda \operatorname{argmax}_S f şu şekilde de yazılabilir:
:\operatorname{argmax}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \sup {}_S f \right\} 

burada, \sup {}_S f içeren bu eşitliğin  f'nin S üzerinde özdeş olarak \infty olmadığı durumlarda geçerli olduğu vurgulanır.

### Arg min
**Minimumun argümanı** anlamına gelen \operatorname{argmin} (veya \operatorname{arg\,min}) kavramı da benzer şekilde tanımlanır.
Örneğin,

:\underset{x \in S}{\operatorname{arg\,min}} \, f(x) := \{ x \in S ~:~ \text{her } s \in S \text{ için } f(s) \geq f(x) \}

kümesi, f(x)'in en küçük değerine ulaştığı x noktalarıdır.
Bu operatör,  operatörünün tümleyenidir.

Y = [-\infty,\infty] = \R \cup \{ \pm\infty \} kümesinin genişletilmiş reel sayılar olduğu özel durumda; eğer f, S üzerinde özdeş olarak -\infty'a eşitse \operatorname{argmin}_S f := \varnothing (yani, \operatorname{argmin}_S -\infty := \varnothing) olarak tanımlanır. Aksi takdirde \operatorname{argmin}_S f yukarıdaki gibi tanımlanır ve dahası, bu durumda (f'nin özdeş olarak -\infty'a eşit olmadığı durumda) şu eşitliği de sağlar:
:\operatorname{argmin}_S f := \left\{ x \in S ~:~ f(x) = \inf {}_S f \right\}.

## Örnekler ve özellikler

Örneğin, eğer f(x) fonksiyonu 1 - |x| ise, f maksimum değeri olan 1'e yalnızca x = 0 noktasında ulaşır. Dolayısıyla:

:\underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, (1 - |x|) = \{ 0 \}.

\operatorname{argmax} operatörü, \max operatöründen farklıdır.
\max operatörü, aynı fonksiyon verildiğinde, fonksiyonun o değere ulaşmasını sağlayan  yerine fonksiyonun  döndürür;
diğer bir deyişle

:\max_x f(x), \{ f(x) ~:~ \text{her } s \in S \text{ için } f(s) \leq f(x) \} kümesindeki elemandır.

\operatorname{argmax} gibi, \max da boş küme (maksimumun tanımsız olduğu durumda) veya tek elemanlı bir küme olabilir; ancak \operatorname{argmax}'tan farklı olarak \operatorname{max} birden fazla eleman içeremez: örneğin, eğer f(x) fonksiyonu 4 x^2 - x^4 ise, \underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \left\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right\} olur, fakat \underset{x}{\operatorname{max}}\, \left( 4 x^2 - x^4 \right) = \{ 4 \} olur; çünkü fonksiyon \operatorname{argmax} kümesinin her elemanında aynı değere ulaşır.

Eşdeğer olarak, eğer M, f'nin maksimumu ise, \operatorname{argmax} maksimumun düzey kümesidir (*level set*):

:\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) = \{ x ~:~ f(x) = M \} =: f^{-1}(M).

Bu ifadeyi şu basit özdeşliği verecek şekilde yeniden düzenleyebiliriz:

:f\left(\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) \right) = \max_x f(x).

Eğer maksimuma tek bir noktada ulaşılıyorsa, bu noktaya genellikle  \operatorname{argmax} denir ve \operatorname{argmax} bir noktalar kümesi olarak değil, bir nokta olarak kabul edilir.
Örneğin,

:\underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, (x(10 - x)) = 5

(tek elemanlı \{ 5 \} kümesi yerine) yazılır, çünkü x (10 - x)'in maksimum değeri 25'tir ve bu değer x = 5 için gerçekleşir. Ancak, maksimuma birçok noktada ulaşıldığı durumlarda \operatorname{argmax} bir noktalar  olarak ele alınmalıdır.
Örneğin

:\underset{x \in [0, 4 \pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{ 0, 2 \pi, 4 \pi \}

çünkü \cos x'in maksimum değeri 1'dir ve bu aralıkta bu değer x = 0, 2 \pi veya 4 \pi için gerçekleşir. Tüm reel sayı doğrusu üzerinde ise:

:\underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \left\{ 2 k \pi ~:~ k \in \mathbb{Z} \right\}, yani sonsuz bir kümedir.

Fonksiyonlar genel olarak bir maksimum değere ulaşmak zorunda değildir, dolayısıyla \operatorname{argmax} bazen boş küme olabilir;
örneğin, \underset{x\in\mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x^3 = \varnothing, çünkü x^3 reel sayı doğrusunda sınırsızdır.
Başka bir örnek olarak, \underset{x \in \mathbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, \arctan(x) = \varnothing, verilebilir; <math>\arctan</math> fonksiyonu \pm\pi/2 ile sınırlı olmasına rağmen bu böyledir. Ancak, uç değer teoremi (*extreme value theorem*) gereği, kapalı bir aralık üzerinde sürekli ve reel değerli bir fonksiyonun bir maksimumu ve dolayısıyla boş olmayan bir \operatorname{argmax} kümesi vardır.

## Ayrıca bakınız

* Bir fonksiyonun argümanı
* Maksimum ve minimum
* Mod
* Optimizasyon
* Kernel

## Notlar

## Kaynakça

* Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

## Dış bağlantılar
*