Teğet vektörü

Matematikte bir **teğet vektör**, eldeki bir noktada bir eğriye veya yüzeye teğet olan bir vektördür. 

Teğet vektörler, **R***n* içindeki eğriler bağlamında eğrilerin türevlenebilir geometrisinde tanımlanır.  Daha genel olarak, teğet vektörler bir türevlenebilir manifoldun bir *[[teğet uzay]]*ının elemanlarıdır.  Teğet vektörler jermler (*germ*) cinsinden de tanımlanabilir.  Biçimsel olarak, x noktasındaki bir teğet vektör, x'teki jermler kümesi tarafından tanımlanan cebirin doğrusal bir türetmesidir. 

## Motivasyon
Teğet vektörün genel tanımına geçmeden önce, onun kalkülüsteki kullanımını ve tensör özelliklerini ele alalım. 

### Kalkülüs
\mathbf{r}(t) parametrik bir düzgün eğri olsun. Teğet vektör, mevcut olması ve \mathbf{r}'(t)\neq \mathbf{0} olması koşuluyla \mathbf{r}'(t) ile verilir; burada  parametresine göre türevi belirtmek için alışılagelmiş nokta yerine üs işareti kullanılmıştır.  Birim teğet vektör şu şekilde ifade edilir:
\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}\,. 

#### Örnek
\R^3 içinde
\mathbf{r}(t) = \left\{\left(1+t^2, e^{2t}, \cos{t}\right) \mid t\in\R\right\}
eğrisi verildiğinde, t = 0 noktasındaki birim teğet vektör şöyle bulunur:
\mathbf{T}(0) = \frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|} = \left.\frac{(2t, 2e^{2t}, -\sin{t})}{\sqrt{4t^2 + 4e^{4t} + \sin^2{t}}}\right|_{t=0} = (0,1,0)\,.
Burada teğet vektörün bileşenleri, eğrinin karşılık gelen her bir bileşeninin t'ye göre türevi alınarak bulunmuştur. 

### Kontravaryans
Eğer \mathbf{r}(t), n-boyutlu koordinat sistemi|''n''-boyutlu koordinat sisteminde  (burada alışılagelmiş alt indis yerine üst indisler kullanılmıştır) parametrik olarak \mathbf{r}(t) = (x^1(t), x^2(t), \ldots, x^n(t)) veya
\mathbf{r} = x^i = x^i(t), \quad a\leq t\leq b\,,
şeklinde verilmişse, \mathbf{T} = T^i teğet vektör alanı şu şekilde verilir:
T^i = \frac{dx^i}{dt}\,. 
Bir koordinat değişimi altında
u^i = u^i(x^1, x^2, \ldots, x^n), \quad 1\leq i\leq n
-koordinat sistemindeki \bar{\mathbf{T}} = \bar{T}^i teğet vektörü
\bar{T}^i = \frac{du^i}{dt} = \frac{\partial u^i}{\partial x^s} \frac{dx^s}{dt} = T^s \frac{\partial u^i}{\partial x^s}
ile verilir; burada Einstein notasyonu kullanılmıştır. Bu nedenle, düzgün bir eğrinin teğet vektörü, koordinat değişimi altında birinci mertebeden bir kontravaryant tensör olarak dönüşür. 

## Tanım
f: \R^n \to \R türevlenebilir bir fonksiyon ve \mathbf{v}, \R^n içinde bir vektör olsun.
Bir \mathbf{x} \in \R^n noktasında \mathbf{v} yönündeki yönlü türevi şöyle tanımlarız:
\nabla_\mathbf{v} f(\mathbf{x}) = \left.\frac{d}{dt} f(\mathbf{x} + t\mathbf{v})\right|_{t=0} = \sum_{i=1}^{n} v_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x})\,.
Bu durumda \mathbf{x} noktasındaki teğet vektör şu şekilde tanımlanabilir:
\mathbf{v}(f(\mathbf{x})) \equiv (\nabla_\mathbf{v}(f)) (\mathbf{x})\,.

## Özellikler
f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} türevlenebilir fonksiyonlar, \mathbf{v},\mathbf{w}; \mathbf{x}\in\mathbb{R}^n noktasında \mathbb{R}^n içindeki teğet vektörler ve a,b\in\mathbb{R} olsun.
O halde:
#(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})(f)=a\mathbf{v}(f)+b\mathbf{w}(f)
#\mathbf{v}(af+bg)=a\mathbf{v}(f)+b\mathbf{v}(g)
#\mathbf{v}(fg)=f(\mathbf{x})\mathbf{v}(g)+g(\mathbf{x})\mathbf{v}(f)\,. 

## Manifoldlar üzerinde teğet vektör
M türevlenebilir bir manifold ve A(M), M üzerindeki reel değerli türevlenebilir fonksiyonlar cebiri olsun.
Bu durumda, manifolddaki bir x noktasında M'ye teğet vektör, doğrusal olması gereken D_v:A(M)\rightarrow\mathbb{R} türetmesi ile verilir.
Yani, herhangi bir f,g\in A(M) ve a,b\in\mathbb{R} için şu eşitliğe sahibiz:
:D_v(af+bg)=aD_v(f)+bD_v(g)\,.
Türetmenin, tanımı gereği Leibniz özelliğine sahip olacağına dikkat ediniz:
:D_v(f\cdot g)(x)=D_v(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_v(g)(x)\,.

## Ayrıca bakınız
* Türevlenebilir eğri 

## Kaynakça

## Bibliyografya
* .
* . [cite: 17]
* .