Aralık (matematik)

Matematikte, bir **reel aralık**, iki sabit uç noktası arasında kalan ve hiçbir "boşluk" içermeyen tüm reel sayıların kümesidir.

Her bir uç noktası ya bir reel sayıdır ya da aralığın bir sınır olmaksızın uzandığını gösteren pozitif veya negatif sonsuzdur.
Bir reel aralık; uç noktaların ikisini de içermeyebilir, birini içerebilir veya sonsuz olan uç noktalar hariç olmak üzere her iki uç noktasını da içerebilir.
Örneğin, ,  ve bunların arasındaki tüm sayılardan oluşan reel sayılar kümesi,  ile gösterilen bir aralıktır ve birim aralık olarak adlandırılır;
tüm pozitif reel sayıların kümesi,  ile gösterilen bir aralıktır;
tüm reel sayıların kümesi,  ile gösterilen bir aralıktır;
ve herhangi bir  reel sayısı,  ile gösterilen bir aralıktır.

Aralıklar, matematiksel analizde her yerde karşımıza çıkar.
Örneğin, sürekliliğin epsilon-delta tanımında örtük olarak yer alırlar;
ara değer teoremi, bir aralığın sürekli fonksiyon altındaki görüntüsünün yine bir aralık olduğunu belirtir;
reel fonksiyonların integralleri bir aralık üzerinde tanımlanır vb.

Aralık aritmetiği, girdi verisindeki belirsizlikler ve yuvarlama hataları varlığında bile sayısal bir hesaplama sonucunun garantili bir kapsamasını sağlamak için reel sayılar yerine aralıklarla hesaplama yapmaktan oluşur.
Aralıklar, tamsayılar veya rasyonel sayılar gibi keyfi bir tam sıralı küme üzerinde de benzer şekilde tanımlanır.
Tamsayı aralıklarının gösterimi, aşağıdaki özel bölümde ele alınmıştır.

## Tanımlar ve terminoloji
### Aralık tanımı
Bir *aralık*, bir kümenin herhangi iki sayısı arasında kalan tüm reel sayıları içeren, reel sayıların bir alt kümesidir.
Örnekler, bir ile iki arasındaki x sayıları (1 \leq x \leq 2) ve 10'dan büyük y sayılarıdır (y > 10).
Özellikle, boş küme \varnothing ve tüm reel sayılar kümesi \R birer aralıktır.

Bir aralığın *uç noktaları*, reel sayı olarak mevcut iseler, o aralığın supremumu (en küçük üst sınır) ve infimumudur (en büyük alt sınır). Eğer infimum mevcut değilse ve aralık boş değilse, karşılık gelen uç noktanın negatif sonsuz olduğu söylenir ve -\infty şeklinde yazılır. Benzer şekilde, boş olmayan bir aralığın supremumu mevcut değilse, karşılık gelen uç noktanın pozitif sonsuz olduğu söylenir ve +\infty şeklinde yazılır.

Boş olmayan aralıklar, uç noktalarıyla ve her bir uç noktanın aralığa ait olup olmadığıyla tamamen belirlenir.
Bu, boş olmayan bir aralığın elemanlarının hepsi sonlu bir değerden küçükse aralığın bir supremumu olduğunu ima eden, reel sayıların en küçük üst sınır özelliğinin (*least-upper-bound property*) bir sonucudur.
Bu karakterizasyon, bir uç noktanın aralığa ait olup olmadığını belirtmek için köşeli veya yuvarlak parantezin kullanıldığı **' aracılığıyla aralıkları belirtmek için kullanılır.

=== Açık ve kapalı aralıklar ===
Bir *****'', hiçbir uç noktasını içermez ve parantezlerle kısaca belirtilebilir. Örneğin, <math>(0, 1) = \{x \mid 0 < x < 1\}</math>, <math>0</math>'dan büyük ve <math>1</math>'den küçük tüm reel sayıların aralığıdır.
(Bu aralık <math>]0,1[</math> şeklinde de gösterilebilir, aşağıya bakınız).
Açık aralık <math>(0, +\infty)</math>, <math>0</math>'dan büyük reel sayılardan, yani pozitif reel sayılardan oluşur.
Dolayısıyla açık aralıklar şu formlardan birine sahiptir:
:<math>\begin{align}
 (a,b)        &= \{x\in\mathbb R \mid a<x<b\}, \\
 (-\infty, b) &= \{x\in\mathbb R \mid x<b\}, \\
 (a, +\infty) &= \{x\in\mathbb R \mid a<x\}, \\
 (-\infty, +\infty) &= \R, \\
 (a,a)&=\emptyset,
\end{align}</math>
burada <math>a</math> ve <math>b</math>, <math>a< b</math> koşulunu sağlayan reel sayılardır. Son durumda, ortaya çıkan aralık [[boş küme]]dir ve 'ya bağlı değildir.
Açık aralıklar, reel sayılar üzerindeki olağan [[Nokta-küme topolojisi|topolojiye]] göre [[açık küme]] olan aralıklardır ve açık kümelerin bir [[Taban (topoloji)|tabanını]] oluştururlar.

Bir *****'', tüm sonlu uç noktalarını içeren bir aralıktır.
Her iki uç nokta da sonlu olduğunda, köşeli parantez içine alınırlar. Örneğin, [0, 1], 'a eşit veya büyük ve 'e eşit veya küçük olan sayıları içeren kapalı aralıktır.
Boş aralık dışındaki kapalı aralıklar,  ve 'nin <math>a<  b</math> koşulunu sağlayan reel sayılar olduğu aşağıdaki formlardan birine sahiptir:
:<math>\begin{align}
  \;[a,b]        &= \{x\in\mathbb R \mid a\le x\le b\}, \\
 \left(-\infty, b\right] &= \{x\in\mathbb R \mid x\le b\}, \\
 \left[a, +\infty\right) &= \{x\in\mathbb R \mid a\le x\}, \\
 (-\infty, +\infty) &= \R,\\
 \left[a,a\right]&=\{a\}.
\end{align}</math>
Kapalı aralıklar, reel sayılar üzerindeki olağan [[Topolojik uzay|topolojiye]] göre [[kapalı küme]] olan aralıklardır.

=== Yarı açık aralıklar ===
Bir **', iki farklı sonlu uç noktasına sahiptir ve bunlardan birini içerirken diğerini içermez.
Dışlanan uç noktanın solda mı yoksa sağda mı olduğuna bağlı olarak *soldan açık* veya *sağdan açık* olarak adlandırılır.
Bu aralıklar, açık ve kapalı aralık gösterimlerinin karıştırılmasıyla ifade edilir. Örneğin, (0, 1], 'dan büyük ve 'e eşit veya küçük anlamına gelirken; [0, 1), 'a eşit veya büyük ve 'den küçük anlamına gelir.
Yarı açık aralıklar şu forma sahiptir:
:\begin{align}
 \left(a,b\right]       &= \{x\in\R \mid a

Özetle, reel sayıların bir kümesi ancak ve ancak bir açık aralık, bir kapalı aralık veya bir yarı açık aralık ise bir aralıktır.
Yukarıdaki sınıflandırmada iki kez görünen tek aralıklar, hem açık hem de kapalı olan  ve  kümeleridir.

### Yozlaşmış aralıklar
Bir **', [[Tek nesne|tek bir reel sayıdan oluşan herhangi bir kümedir]] (yani [''a'', ''a''] formundaki bir aralıktır). Bazı yazarlar boş kümeyi de bu tanıma dahil ederler.
Ne boş ne de yozlaşmış olan bir reel aralığa ''has'' (İngilizce: proper) aralık denir ve sonsuz sayıda eleman içerir.

=== Sınırlı aralıklar ===
Bir aralık, sırasıyla tüm elemanlarından daha küçük veya daha büyük bir reel sayı varsa, ''soldan sınırlı'' veya ''sağdan sınırlı'' olarak adlandırılır.
Bir aralık hem soldan hem de sağdan sınırlıysa ''sınırlı'' olarak adlandırılır;
aksi takdirde ''sınırsız'' olarak adlandırılır. Yalnızca bir ucunda sınırlı olan aralıklara ''yarı sınırlı'' denir.
Boş küme sınırlıdır ve tüm reel sayılar kümesi her iki uçta da sınırsız olan tek aralıktır.
Sınırlı aralıklar yaygın olarak ''sonlu aralıklar'' olarak da bilinir.

Sınırlı aralıklar, [[Kümenin çapı|çaplarının]] (uç noktalar arasındaki [[Mutlak değer|mutlak farka]] eşittir) sonlu olması anlamında [[Sınırlı küme|sınırlı küme]]lerdir.
Çap; aralığın ''uzunluğu'', ''genişliği'', ''ölçümü'', ''aralığı'' (range) veya ''boyutu'' olarak adlandırılabilir.
Sınırsız aralıkların boyutu genellikle  olarak tanımlanır ve boş aralığın boyutu  olarak tanımlanabilir (veya tanımsız bırakılır).

Uç noktaları  ve  olan sınırlı bir aralığın ''merkezi'' ([[orta nokta]]), 'dir ve ''yarıçapı'' ise yarı uzunluk olan 'dir.
Bu kavramlar boş veya sınırsız aralıklar için tanımsızdır.

=== Minimum ve maksimum elemanlara göre sınıflandırma ===
Bir aralık, ancak ve ancak [[Maksimum ve minimum|minimum]] (diğer tüm elemanlardan daha küçük bir eleman) içermiyorsa ''soldan açık'';
[[Maksimum ve minimum|maksimum]] içermiyorsa ''sağdan açık''; ve hiçbirini içermiyorsa ''açık'' olarak adlandırılır. Örneğin,  aralığı, soldan kapalı ve sağdan açıktır.
Negatif olmayan reel sayılar kümesi, sağdan açık ama soldan açık olmayan (soldan kapalı) bir kapalı aralıktır (topolojik anlamda kapalıdır).
Bir aralık, bir minimum elemana sahipse veya soldan sınırsızsa ''soldan kapalı''; bir maksimuma sahipse veya sağdan sınırsızsa ''sağdan kapalı'';
hem soldan kapalı hem de sağdan kapalıysa basitçe ''kapalı'' olarak adlandırılır.

=== Alt aralıklar ve ilgili yapılar ===
Eğer  aralığı  aralığının bir [[alt küme]]si ise,  aralığı 'nin bir ''alt aralığıdır''.
Eğer  aralığı 'nin bir [[öz alt küme]]si ise, , 'nin bir ''öz alt aralığıdır''.
Bir  aralığının ''içi'',  içinde kapsanan en büyük açık aralıktır;
bu aynı zamanda  kümesinin uç noktası olmayan noktalarının kümesidir.
'nın ''kapanışı'', 'yı içeren en küçük kapalı aralıktır;
bu aynı zamanda  kümesinin sonlu uç noktalarıyla genişletilmiş halidir.
Herhangi bir reel sayı kümesi  için, 'in ''aralık örtüsü'' (veya aralık kapsamı), 'i içeren ve 'i içeren başka herhangi bir aralığı öz alt küme olarak içermeyen tek aralıktır.

=== Segmentler ve aralıklar ===
Literatürde ''segment'' (bölüt) ve ''aralık'' terimleri için, esasen zıt iki şekilde kullanımdan kaynaklanan çelişkili bir terminoloji vardır ve bu terimler kullanıldığında belirsizliğe yol açar.
''Encyclopedia of Mathematics'', ''aralığı'' (niteleyici olmadan) her iki uç noktayı dışlayacak şekilde (yani açık aralık) tanımlarken, ''segmenti'' her iki uç noktayı içerecek şekilde (yani kapalı aralık) tanımlar. Öte yandan Rudin'in ''Principles of Mathematical Analysis'' (Matematiksel Analizin İlkeleri) adlı eseri, [''a'', ''b''] biçimindeki kümeleri ''aralık'', (''a'', ''b'') biçimindeki kümeleri ise ''segment'' olarak adlandırır.
Bu terimler daha eski çalışmalarda görülme eğilimindedir; modern metinler, uç noktaların dahil olup olmadığına bakılmaksızın (''açık'', ''kapalı'' veya ''yarı açık'' olarak nitelendirilen) ''aralık'' terimini giderek daha fazla tercih etmektedir.

== Aralık gösterimleri ==
 ile  arasındaki sayıların aralığı,  ve  dahil olmak üzere, genellikle [''a'', ''b''] şeklinde gösterilir.
Bu iki sayıya aralığın ''uç noktaları'' denir.
Sayıların [[Ondalık işareti|ondalık virgül]] ile yazıldığı ülkelerde, belirsizliği önlemek için ayırıcı olarak [[noktalı virgül]] kullanılabilir.

=== Uç noktaları dahil etme veya hariç tutma ===
Uç noktalardan birinin kümeden hariç tutulacağını belirtmek için, ilgili köşeli parantez ya bir yay parantez (normal parantez) ile değiştirilebilir ya da ters çevrilebilir.
Her iki gösterim de [[ISO 31-11]] [[Uluslararası standart|uluslararası standardında]] tanımlanmıştır. Böylece, [[küme kurucusu gösterimi]]nde:

:<math>\begin{align}
(a,b) = \mathopen{]}a,b\mathclose{[} &= \{x\in\R \mid a<x<b\},    \\[5mu]
[a,b) = \mathopen{[}a,b\mathclose{[} &= \{x\in\R \mid a\le x<b\}, \\[5mu]
(a,b] = \mathopen{]}a,b\mathclose{]} &= \{x\in\R \mid a<x\le b\}, \\[5mu]
[a,b] = \mathopen{[}a,b\mathclose{]} &= \{x\in\R \mid a\le x\le b\}.
\end{align}</math>

(''a'', ''a''), [''a'', ''a'') ve (''a'', ''a''] aralıklarının her biri [[boş küme]]yi temsil ederken, [''a'', ''a''] [[tek nesne|tekil]] küme 'yı belirtir.  olduğunda, dört gösterimin tümü genellikle boş kümeyi temsil eder.

Her iki gösterim de matematikte parantez ve köşeli parantezlerin diğer kullanımlarıyla çakışabilir. Örneğin,  gösterimi sıklıkla küme teorisinde [[Sıralı n-li|sıralı ikiliyi]], [[analitik geometri]] ve [[Lineer cebir|doğrusal cebirde]] bir [[Nokta (geometri)|noktanın]] veya [[Vektör (matematik)|vektörün]] [[koordinat sistemi|koordinatlarını]] veya bazen [[Cebir|cebirde]] bir [[karmaşık sayı]]yı belirtmek için kullanılır.
Bu nedenle [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]], açık aralığı belirtmek için  gösterimini getirmiştir.  gösterimi de, özellikle [[bilgisayar bilimi]]nde, zaman zaman sıralı ikililer için kullanılır.
Yves Tillé gibi bazı yazarlar,  gösterimini (''a'', ''b'') aralığının tümleyenini belirtmek için kullanırlar;
yani, 'ya eşit veya küçük ya da 'ye eşit veya büyük olan tüm reel sayıların kümesi.

=== Sonsuz uç noktalar ===
Bazı bağlamlarda bir aralık, [[Genişletilmiş gerçel sayılar sistemi|genişletilmiş reel sayıların]] (tüm reel sayılar kümesinin  ve  ile genişletilmiş hali) bir alt kümesi olarak tanımlanabilir.
Bu yorumda, [−∞, ''b''] , (−∞, ''b''] , [''a'', +∞]  ve [''a'', +∞) gösterimlerinin hepsi anlamlı ve farklıdır.
Özellikle, (−∞, +∞) olağan reel sayılar kümesini belirtirken, [−∞, +∞] genişletilmiş reel sayıları belirtir.
Olağan reel sayılar bağlamında bile, o yönde bir sınır olmadığını belirtmek için [[sonsuz]] bir uç nokta kullanılabilir.
Örneğin, (0, +∞) [[pozitif reel sayılar]] kümesidir ve <math>\mathbb{R}_+</math> olarak da yazılır. Bağlam, yukarıdaki tanımların ve terminolojinin bazılarını etkiler.
Örneğin, (−∞, +∞)&nbsp;=&nbsp;<math>\R</math> aralığı, olağan reel sayılar alanında kapalıdır, ancak genişletilmiş reel sayılar alanında kapalı değildir.

=== Tamsayı aralıkları ===
 ve  [[Tam sayı|tamsayı]] olduğunda; ⟦''a, b''⟧, [''a'' .. ''b''],  veya sadece  gösterimleri bazen  ve  dahil olmak üzere bunlar arasındaki tüm ''tamsayıların'' aralığını belirtmek için kullanılır.
[''a'' .. ''b''] gösterimi bazı [[programlama dili|programlama dillerinde]] kullanılır;
örneğin [[Pascal (programlama dili)|Pascal]]'da, bir alt aralık (subrange) tipini biçimsel olarak tanımlamak için kullanılır ve en sık bir [[Dizi (veri yapısı)|dizinin]] geçerli indislerinin alt ve üst sınırlarını belirtmek için kullanılır.

Tamsayı aralıklarını yorumlamanın bir başka yolu da, [[üç nokta]] gösterimini kullanarak [[Küme (matematik)#Liste yöntemi|liste yöntemiyle tanımlanan kümeler]] şeklindedir.
Sonlu bir alt veya üst uç noktaya sahip bir tamsayı aralığı her zaman o uç noktayı içerir.
Bu nedenle, uç noktaların hariç tutulması  ,   veya  yazılarak açıkça belirtilebilir.
[''a'' .. ''b'') veya  gibi alternatif parantez gösterimleri tamsayı aralıkları için nadiren kullanılır.

== Özellikler ==
Aralıklar, tam olarak <math>\R</math>'nin [[Bağlantılı uzay|bağlantılı]] alt kümeleridir. Buradan, herhangi bir [[sürekli fonksiyon]] altında bir aralığın <math>\mathbb R</math>'den <math>\mathbb R</math>'ye görüntüsünün de bir aralık olduğu sonucu çıkar.
Bu, [[ara değer teoremi]]nin formülasyonlarından biridir.

Aralıklar aynı zamanda <math>\R</math>'nin [[Dışbükey küme|konveks alt kümeleridir]]. Bir <math>X\subseteq \R</math> alt kümesinin aralık örtüsü, aynı zamanda <math>X</math>'in [[Dışbükey zarf|dışbükey zarfıdır]].

Bir aralığın [[Kapanış (topoloji)|kapanışı]], aralığın kendisi ile sonlu uç noktalarının birleşimidir ve dolayısıyla o da bir aralıktır.
(Bu durum aynı zamanda, bir [[Topolojik uzay|topolojik uzayın]] her [[Bağlantılı uzay|bağlantılı alt kümesinin]] kapanışının da bağlantılı bir alt küme olduğu gerçeğinden de kaynaklanır.) Başka bir deyişle, şuna sahibiz:
:<math>\operatorname{cl}(a,b)=\operatorname{cl}(a,b]=\operatorname{cl}[a,b)=\operatorname{cl}[a,b]=[a,b],</math>
:<math>\operatorname{cl}(a,+\infty)=\operatorname{cl}[a,+\infty)=[a,+\infty),</math>
:<math>\operatorname{cl}(-\infty,a)=\operatorname{cl}(-\infty,a]=(-\infty,a],</math>
:<math>\operatorname{cl}(-\infty,+\infty)=(-\infty,\infty).</math>

Herhangi bir aralık koleksiyonunun kesişimi her zaman bir aralıktır. İki aralığın birleşimi, ancak ve ancak kesişimleri boş değilse veya bir aralığın açık uç noktası diğerinin kapalı uç noktasıysa bir aralıktır; örneğin <math>(a,b) \cup [b,c] = (a,c].</math>

Eğer <math>\R</math> bir [[Metrik uzay|metrik uzay]] olarak görülürse, [[Küre#Yuvar|açık yuvar]]ları (''c'' + ''r'', ''c'' − ''r'') şeklindeki açık sınırlı aralıklardır ve [[Küre#Yuvar|kapalı yuvar]]ları [''c'' + ''r'', ''c'' − ''r''] şeklindeki kapalı sınırlı aralıklardır. Özellikle, reel doğrusundaki [[Metrik uzay|metrik]] ve [[Sıralama topolojisi|sıralama]] topolojileri çakışır; bu da reel doğrusunun standart topolojisidir.
Bir  aralığının herhangi bir  elemanı, 'yı üç ayrık aralığa (<sub>1</sub>, <sub>2</sub>, <sub>3</sub>) böler: sırasıyla, 'nın 'ten küçük elemanları, tekil küme <math>[x,x] = \{x\}</math> ve 'ten büyük elemanlar.
<sub>1</sub> ve <sub>3</sub> parçalarının her ikisi de (içleri boş olmayacak şekilde) boştur ancak ve ancak , 'nın içinde yer alıyorsa.
Bu, [[üç hal kuralı]]nın (trichotomy principle) aralık versiyonudur.

== Uygulamalar ==

=== Diyadik aralıklar ===
Bir ''diyadik aralık'', uç noktaları <math>\tfrac{j}{2^n}</math> ve <math>\tfrac{j+1}{2^n}</math> olan sınırlı bir reel aralıktır; burada <math>j</math> ve <math>n</math> tamsayılardır.
Bağlama bağlı olarak, her iki uç nokta da aralığa dahil edilebilir veya edilmeyebilir.
Diyadik aralıklar şu özelliklere sahiptir:

* Bir diyadik aralığın uzunluğu her zaman [[İkinin kuvveti|ikinin bir tamsayı kuvvetidir]].
* Her diyadik aralık, uzunluğunun iki katı olan tam olarak bir diyadik aralığın içinde yer alır.
* Her diyadik aralık, uzunluğunun yarısı olan iki diyadik aralık tarafından oluşturulur.
* İki açık diyadik aralık örtüşüyorsa, bunlardan biri diğerinin alt kümesidir.
Sonuç olarak diyadik aralıklar, sonsuz bir [[ikili ağaç]] yapısını yansıtan bir yapıya sahiptir.

Diyadik aralıklar, [[uyarlamalı ağ iyileştirme]] (adaptive mesh refinement), [[çok ızgaralı yöntemler]] (multigrid methods) ve [[dalgacık|dalgacık analizi]] gibi [[sayısal analiz]]in çeşitli alanlarıyla ilgilidir.
Böyle bir yapıyı temsil etmenin bir başka yolu da [[p-adik analiz]]dir ( için).

=== Reel analiz ===
Aralıklar, [[matematiksel analiz]]de her yerde bulunur; burada fikirleri ifade etmek için kullanılırlar ve genellikle temel sonuçlarda yer alırlar.

Bir [[reel fonksiyon]]un [[integral]]i bir aralık üzerinden tanımlanır.
İlgili aralığın uç noktaları genellikle alt ve üst simge olarak görünür, böylece <math display="inline">\int_a^b f(x) \, dx</math> integrali, <math>[a, b]</math> aralığına ait tüm <math>x</math> değerleri için geçerlidir.

Aralıklar, bir <math>f(x)</math> fonksiyonunun [[sürekli fonksiyon|sürekliliğinin epsilon-delta tanımında]] örtük olarak yer alır: aşağıdaki anlatım bunları açık hale getirir.
Bir <math>f</math> fonksiyonunun bir <math>a</math> noktasında sürekli olması için; verilen herhangi bir <math>\varepsilon > 0</math> (sıfırdan büyük epsilon) değeri için, <math>x</math> değeri <math>\left( a-\delta, a+\delta \right)</math> aralığından seçildiğinde <math>f(x)</math>'in <math>\left( f(a)-\varepsilon , f(a)+\varepsilon \right)</math> açık aralığında kalmasını sağlayan bir <math>\delta > 0</math> (sıfırdan büyük delta) değeri bulunmalıdır.
<math>\varepsilon</math> ve <math>\delta</math>'nın olası değerleri sınırsız <math>(0, +\infty)</math> aralığına aittir, ancak genellikle küçük pozitif artışları tanımlamak için kullanılırlar.
Fikir şudur: <math>a</math> noktası etrafında küçük bir simetrik aralık vardır; öyle ki <math>f(x)</math> değeri, <math>f(a)</math> etrafında merkezlenmiş <math>\varepsilon</math> yarıçaplı bir açık aralık içinde kalır.

[[Ara değer teoremi]], eğer <math>f\colon [a, b]\to \R</math>, bir <math>[a, b]</math> aralığı üzerinde tanımlı reel değerli bir [[sürekli fonksiyon]] ise ve <math>d</math>, <math>f(a)</math> ile <math>f(b)</math> arasında herhangi bir değerse, o zaman <math>a</math> ile <math>b</math> arasında <math>f(c)=d</math> olacak şekilde bir <math>c</math> değeri bulmayı bekleyebileceğimiz sezgisini yakalar.
Örneğin, <math>[3,4]</math> aralığında tanımlı <math>f(x)=x^2</math> fonksiyonu için, <math>f(3)=3^2=9</math> ile <math>f(4)=4^2=16</math> arasındaki <math>d=10</math> değeri verildiğinde, <math>3</math> ile <math>4</math> arasında <math>f(c)=c^2=10</math> olan bir <math>c</math> değeri vardır.
Teoremin eşdeğer bir formülasyonu, sürekli bir fonksiyon altında bir aralığın [[Görüntü kümesi|görüntüsünün]] de bir aralık olduğunu belirtir.

=== Güven aralıkları ===
[[Güven aralığı|Güven aralıkları]], [[İstatistiksel çıkarım|istatistiksel çıkarımda]] önemlidir ve popülasyon [[ortalama]]sı gibi bilinmeyen bir [[İstatistiksel parametre|istatistiksel parametre]] için bir tahmini değerler aralığı sağlar.
Diğer aralık türlerinden farklı olarak, bir güven aralığı bir rastgele örneklemden değerlendirilir ve aralık uç noktaları reel değerli [[Rasgele değişken|rastgele değişkenlerdir]].
Farklı bir örneklem muhtemelen farklı bir sonuç verecektir.

Örnekleme tekrarlandığında, karşılık gelen bir aralığın bilinmeyen parametrenin gerçek değerini içermesi olasılığına ''güven düzeyi'' denir ve bu önceden belirlenmiş bir olasılıktır.
Örneğin, seçilen güven düzeyi 0,95 ise ve aynı örnekleme prosedürü birçok kez tekrarlanırsa, uzun vadede ortaya çıkan aralıkların yaklaşık %95'inin gerçek değeri içermesi beklenir.
[[Normal dağılım]] basitleştirilmiş bir örnek sağlar. Grafiği tanıdık çan eğrisi olan bir [[olasılık yoğunluk fonksiyonu]]na sahiptir.
Tepe noktası ortalamasında (<math>\mu</math>, Yunan harfi mü) oluşur ve genişliği standart sapmasıyla (<math>\sigma</math>, sigma) tanımlanabilir.
Bu iki parametre bir çan eğrisini diğerinden ayırır, ancak her durumda ortalamanın her iki yanındaki iki standart sapma içindeki bölge yaklaşık 0,95'lik bir olasılığı temsil eder.
Bu, normal dağılım gösteren bir rastgele değişken <math>X</math> için şu şekilde yazılabilir:

<math display="block">P(\mu-2\sigma \leq X \leq \mu+2\sigma) \approx 0.95</math>

Sabit bir örneklem büyüklüğü için [[örneklem ortalaması]]nı <math>\bar{X}</math> olarak alalım; bu <math>\mu</math> için bir [[Tahmin edici|tahmin edicidir]].
Bu da kendi standart sapması <math>\sigma_\bar{X}</math> ile normal bir dağılıma sahiptir.
Önceki eşitsizlikler daha sonra <math>\mu</math> cinsinden yazılarak şunu verir:

<math display="block">P(\bar{X}-2\sigma_\bar{X} \leq \mu \leq \bar{X}+2\sigma_\bar{X}) \approx 0.95.</math>

Eğer standart sapma <math>\sigma_\bar{X}</math>'in değeri biliniyorsa, <math>[\bar{X}-2\sigma_\bar{X}, \bar{X}+2\sigma_\bar{X}]</math> aralığı, yaklaşık 0,95 güven düzeyiyle <math>\mu</math> için bir güven aralığı olacaktır.
Uç noktaları, gerçek değerleri alınan örnekleme bağlı olan <math>\bar{X}-2\sigma_\bar{X}</math> ve <math>\bar{X}+2\sigma_\bar{X}</math> rastgele değişkenleridir.

=== Genel topolojide ===
Her [[Tychonoff uzayı]], kapalı birim aralıklar <math>[0,1]</math>'in bir [[çarpım uzayı]]na gömülebilir. Aslında, [[Kardinalite|kardinalitesi]] <math>\kappa</math> olan bir [[Taban (topoloji)|tabana]] sahip her Tychonoff uzayı, aralıkların <math>\kappa</math> kopyasının çarpımı olan <math>[0,1]^\kappa</math>'ya gömülebilir.

Konveks kümeler ve konveks bileşenler kavramları, [[Sıralama topolojisi|sıralama topolojisi]] ile donatılmış her [[Tam sıralı küme|tam sıralı kümenin]] [[Normal uzay|tamamen normal]] veya dahası [[monotonik normal]] olduğunun ispatında kullanılır.

== Genellemeler ==
=== Yuvarlar ===

Açık bir sonlu aralık <math>(a, b)</math>, merkezi <math>\tfrac12(a + b)</math> ve [[yarıçap]]ı <math>\tfrac12(b - a)</math> olan 1-boyutlu bir açık [[Küre#Yuvar|yuvar]]dır. Kapalı sonlu aralık <math>[a, b]</math> buna karşılık gelen kapalı yuvardır ve aralığın iki uç noktası <math>\{a, b\}</math> 0-boyutlu bir [[n-küre|küre]] oluşturur.
<math>n</math>-boyutlu [[Öklid uzayı]]na genellendiğinde, bir yuvar, merkeze olan uzaklığı yarıçaptan küçük olan noktalar kümesidir.
2-boyutlu durumda, bir yuvara [[Disk (matematik)|disk]] denir.
Eğer bir [[yarı uzay]], (iyi tanımlanmış bir merkezi veya yarıçapı olmayan) bir tür [[Yozlaşma (matematik)|yozlaşmış]] yuvar olarak alınırsa, bir yarı uzay, sınır düzlemi sonlu uç noktaya karşılık gelen (yozlaşmış) küre olmak üzere, yarı sınırlı bir aralığa benzer olarak kabul edilebilir.

=== Çok boyutlu aralıklar ===

Sonlu bir aralık, 1-boyutlu bir [[hiperdikdörtgen]]dir (veya içidir).
[[reel koordinat uzayı]] <math>\R^n</math>'ye genellendiğinde, [[eksenlere hizalı nesne|eksenlere hizalı]] bir hiperdikdörtgen (veya kutu), <math>n</math> adet sonlu aralığın [[Kartezyen çarpım]]ıdır.
<math>n=2</math> için bu bir [[dikdörtgen]]; <math>n=3</math> için bu bir [[dikdörtgenler prizması]]dır (veya "kutu").
Açık, kapalı ve sonsuz uç noktaların bir karışımına izin vererek, herhangi <math>n</math> aralığın Kartezyen çarpımı <math>I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n</math>, bazen **n-boyutlu aralık** olarak adlandırılır.

Böyle bir <math>I</math> aralığının bir **faseti**, herhangi bir yozlaşmamış <math>I_k</math> aralık çarpanının, <math>I_k</math>'nın sonlu bir uç noktasından oluşan yozlaşmış bir aralıkla değiştirilmesi sonucunda elde edilir. <math>I</math>'nın **yüzleri**, <math>I</math>'nın kendisini ve fasetlerinin tüm yüzlerini kapsar.
<math>I</math>'nın **köşeleri**, <math>\R^n</math>'nin tek bir noktasından oluşan yüzlerdir.

=== Konveks politoplar ===

Herhangi bir sonlu aralık, yarı sınırlı aralıkların [[Kesişim (küme teorisi)|kesişimi]] olarak oluşturulabilir (boş bir kesişim tüm reel doğru anlamına gelir) ve herhangi bir sayıdaki yarı sınırlı aralığın kesişimi (muhtemelen boş) bir aralıktır.
<math>n</math>-boyutlu [[afin uzay]]a genellendiğinde, (keyfi yönelimli) yarı uzayların kesişimi bir [[konveks politop]]tur (veya içidir), ya da 2-boyutlu durumda bir [[konveks çokgen]]dir.

=== Bölgeler ===

Açık bir aralık, reel sayıların bağlantılı bir açık kümesidir.
Genel olarak [[topolojik uzay]]lara genellendiğinde, boş olmayan bağlantılı bir açık kümeye [[bölge (matematiksel analiz)|bölge]] (domain) denir.

=== Karmaşık aralıklar ===
[[Karmaşık sayı]] aralıkları, [[Karmaşık düzlem|karmaşık düzlemin]] [[dikdörtgen]] veya [[Disk (matematik)|dairesel]] bölgeleri olarak tanımlanabilir.

=== Kısmi sıralı ve ön sıralı kümelerdeki aralıklar ===


==== Tanımlar ====
Aralık kavramı, keyfi [[kısmi sıralı küme]]lerde veya daha genel olarak keyfi [[ön sıralı küme]]lerde tanımlanabilir.
Bir [[ön sıralı küme]] <math>(X,\lesssim)</math> ve iki eleman <math>a,b\in X</math> için, aralıklar benzer şekilde tanımlanır:
:<math>(a,b)            =\{x\in X \mid a<x<b\},</math>
:<math>[a,b]            =\{x\in X \mid a\lesssim x\lesssim b\},</math>
:<math>(a,b]            =\{x\in X \mid a<x\lesssim b\},</math>
:<math>[a,b)            =\{x\in X \mid a\lesssim x<b\},</math>
:<math>(a,\infty)       =\{x\in X \mid a<x\},</math>
:<math>[a,\infty)       =\{x\in X \mid a\lesssim x\},</math>
:<math>(-\infty,b)      =\{x\in X \mid x<b\},</math>
:<math>(-\infty,b]      =\{x\in X \mid x\lesssim b\},</math>
:<math>(-\infty,\infty) =X,</math>
burada <math>x<y</math>, <math>x\lesssim y\not\lesssim x</math> anlamına gelir. Aslında, tek veya hiç uç noktası olmayan aralıklar, daha büyük ön sıralı kümedeki iki uç noktalı aralıklarla aynıdır:
:<math>\bar X=X\sqcup\{-\infty,\infty\}</math>
:<math>-\infty<x<\infty\qquad(\forall x\in X)</math>
bu küme, yeni en küçük ve en büyük elemanların (zaten var olsalar bile) eklenmesiyle tanımlanır ve <math>X</math>'in alt kümeleridir. <math>X=\mathbb R</math> durumunda <math>\bar\mathbb R</math>, [[genişletilmiş reel sayı doğrusu]] olarak alınabilir.

==== Sıralama teorisinde konveks kümeler ve konveks bileşenler ====


<math>(X,\lesssim)</math> [[ön sıralı küme]]sinin bir <math>A\subseteq X</math> alt kümesi, eğer her <math>x,y\in A</math> ve her <math>x\lesssim z\lesssim y</math> için <math>z\in A</math> oluyorsa, **(sıralama-)konvekstir**. reel doğru durumunun aksine, bir ön sıralı kümenin konveks kümesi bir aralık olmak zorunda değildir.
Örneğin, [[Rasyonel sayı|rasyonel sayılar]]ın [[Tam sıralı küme|tam sıralı kümesi]] <math>(\mathbb Q,\le)</math> içinde,
:<math>\mathbb Q=\{x\in\mathbb Q \mid x^2<2\}</math>
kümesi konvekstir, ancak <math>\mathbb Q</math>'da ikinin karekökü olmadığı için <math>\mathbb Q</math>'nun bir aralığı değildir.

<math>(X,\lesssim)</math> bir [[ön sıralı küme]] ve <math>Y\subseteq X</math> olsun. <math>X</math>'in <math>Y</math> içinde kapsanan konveks kümeleri, kapsama (inclusion) altında bir [[kısmi sıralı küme]] (KSK) oluşturur.
Bu KSK'nin bir [[Maksimal eleman|maksimal elemanına]] <math>Y</math>'nin bir **konveks bileşeni*' denir. [[Zorn lemması]] gereği, <math>X</math>'in <math>Y</math> içinde kapsanan herhangi bir konveks kümesi, <math>Y</math>'nin bir konveks bileşeni içinde kapsanır, ancak bu bileşenlerin tek (unique) olması gerekmez.
Bir [[Tam sıralı küme|tam sıralı kümede]], böyle bir bileşen her zaman tektir.
Yani, tam sıralı bir kümenin bir alt kümesinin konveks bileşenleri bir [[küme parçalanışı|parçalanış]] oluşturur.

==== Özellikler ====
Reel aralıkların karakterizasyonlarının bir genellemesi şöyledir:
Bir <math>(L,\le)</math> [[Lineer süreklilik|lineer sürekliliğinin]] (linear continuum) boş olmayan bir <math>I</math> alt kümesi için, aşağıdaki koşullar eşdeğerdir.
* <math>I</math> kümesi bir aralıktır.
* <math>I</math> kümesi sıralama-konvekstir.
* <math>L</math>, [[Sıralama topolojisi|sıralama topolojisi]] ile donatıldığında <math>I</math> kümesi bağlantılı bir alt kümedir.

Bir <math>L</math> [[Kafes (sıralama teorisi)|kafesinin]] bir <math>S</math> [[alt küme]]si için, aşağıdaki koşullar eşdeğerdir.
* <math>S</math> kümesi bir [[alt kafes]]tir ve bir (sıralama-)konveks kümedir.
* Öyle bir <math>I\subseteq L</math> [[İdeal (sıralama teorisi)|ideali]] ve <math>F\subseteq L</math> [[Filtre (matematik)|filtresi]] vardır ki <math>S=I\cap F</math> olur.

== Topolojik cebir ==

Aralıklar düzlemin noktalarıyla ve dolayısıyla aralık bölgeleri düzlemin [[Bölge (matematiksel analiz)|bölge]]leriyle ilişkilendirilebilir.
Genel olarak, matematikte bir aralık, reel sayıların kendisiyle olan [[doğrudan çarpım]]ı <math>\R \times \R</math>'den alınan sıralı bir  ikilisine karşılık gelir; burada genellikle  olduğu varsayılır.
[[Matematiksel yapı|Matematiksel yapı]] amaçları doğrultusunda bu kısıtlama kaldırılır ve  olan "ters aralıklara" izin verilir. O halde, tüm  aralıklarının koleksiyonu, toplama ve çarpmanın bileşen bazında tanımlandığı <math>\R</math>'nin kendisiyle olan [[Modüllerin direkt toplamı#Cebirlerin direkt toplamı|direkt toplamıyla]] oluşturulan [[topolojik halka]] ile özdeşleştirilebilir.

Direkt toplam cebiri <math>( \R \oplus \R, +, \times)</math>'in iki [[İdeal (halka teorisi)|ideali]] vardır: { [*x*,0] : *x* ∈ R } ve { [0,*y*] : *y* ∈ R }.
Bu cebirin [[birim eleman]]ı, yoğunlaştırılmış aralık 'dir.
Eğer  aralığı bu ideallerden birinde değilse,  [[Çarpımsal ters eleman|çarpımsal tersine]] sahiptir.
Olağan [[topoloji]] ile donatıldığında, aralıklar cebiri bir [[topolojik halka]] oluşturur.
Bu halkanın [[birimsel grup|birimsel grubu]] (group of units), eksenler veya bu durumda idealler tarafından belirlenen dört [[Düzlem çeyreği|çeyrekten]] oluşur.
Bu grubun [[Birim bileşen|birim bileşeni]] (identity component) I. çeyrektir.

Her aralık, [[orta nokta]]sı etrafında simetrik bir aralık olarak düşünülebilir.
M. Warmus tarafından 1956'da yayınlanan bir yeniden yapılandırmada, "dengeli aralıklar"  ekseni, bir noktaya indirgenen  aralıkları ekseni ile birlikte kullanılır.
Aralıklar halkası, <math>R \oplus R</math> direkt toplamı yerine, M. Warmus ve [[D. H. Lehmer]] tarafından
:<math>z = \tfrac12(x + y) + \tfrac12(x - y)j,</math>
özdeşliği (burada <math>j^2 = 1</math>) aracılığıyla [[hiperbolik sayı]]larla özdeşleştirilmiştir.

Düzlemin bir [[halka izomorfizması]] anlamına gelen bu doğrusal dönüşümü, düzleme [[kutupsal ayrışım]] gibi sıradan karmaşık aritmetiğe bazı benzerlikleri olan çarpımsal bir yapı sağlar.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Birim aralık]]
* [[Yay (geometri)]]
* [[Eşitsizlikler|Eşitsizlik]]
* [[Aralık tahmini]]
* [[Doğru parçası]]

== Kaynakça ==


== Bibliyografya ==
* T. Sunaga, [http://www.cs.utep.edu/interval-comp/sunaga.pdf "Theory of interval algebra and its application to numerical analysis"] , In: Research Association of Applied Geometry (RAAG) Memoirs, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokyo, Japan, 1958, Vol. 2, pp.&nbsp;29–46 (547-564); reprinted in Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, No. 2-3, pp.&nbsp;126–143.

== Dış bağlantılar ==
* *A Lucid Interval'', Brian Hayes: Bir American Scientist makalesi giriş niteliğinde bilgi sağlar.
* Interval computations website 
* Interval computations research centers 
* Interval Notation, George Beck, Wolfram Demonstrations Project.
*