Episikloid

Geometride, bir **episikloid** (ayrıca **hipersikloid** olarak da adlandırılır), sabit bir çemberin etrafında kaymadan yuvarlanan bir çemberin çevresi üzerinde seçilen bir noktanın yolunu izleyerek üretilen bir düzlem eğrisidir -buna ''episikl (epicycle)* denir. Bu, [[yuvarlanma eğrisi]]nin özel bir türüdür.

Küçük yarıçapı (R2) 0 olan bir episikloid bir çemberdir. Bu, eğrinin dejenere bir formudur.

==Denklemler==
Eğer küçük çemberin yarıçapı  ve büyük çemberin yarıçapı  ise, o zaman eğri için [[parametrik denklem]]ler her iki şekilde de verilebilir:

:<math>\begin{align}
& x (\theta) = (R + r) \cos \theta \ - r \cos \left( \frac{R + r}{r} \theta \right) \\
& y (\theta) = (R + r) \sin \theta \ - r \sin \left( \frac{R + r}{r} \theta \right)
\end{align}</math>
veya:
:<math>\begin{align}
& x (\theta) = r (k + 1) \cos \theta - r \cos \left( (k + 1) \theta \right) \\
& y (\theta) = r (k + 1) \sin \theta - r \sin \left( (k + 1) \theta \right)
\end{align}</math>

Daha özlü ve karmaşık bir biçimde

:<math>z(\theta) = r \left( (k + 1)e^{ i\theta} - e^{i(k+1)\theta} \right) </math>

burada; 
*  açısı devirler halindedir: <math>\theta \in [0, 2\pi].</math>
* : daha küçük çemberin yarıçapı  
* : daha büyük çemberin yarıçapı

==Alan==
(Başlangıç noktasının büyük çember üzerinde olduğu varsayılırsa.)  pozitif bir [[tam sayı]] olduğunda, bu episikloidin alanı;

:<math>A=(k+1)(k+2)\pi r^2.</math>

Bu, episikloidin orijinal sabit çemberden <math>\frac{(k+1)(k+2)}{k^2}</math> kat daha büyük olduğu anlamına gelir.

Eğer  pozitif bir tam sayı ise, o zaman eğri kapalıdır ve  tane [[köşe noktası (tekillik)|köşe noktası]]na (yani keskin köşelere) sahiptir.

Eğer  bir [[rasyonel sayı]] ise, örneğin  [[indirgenemez kesir]] olarak ifade edilirse, eğri  tepe noktasına sahiptir.


 ve 'yu görmek için animasyon döngülerini sayın.

Eğer  bir [[irrasyonel sayı]] ise, eğri asla kapanmaz ve büyük çember ile  yarıçaplı bir çember arasındaki uzayın [[yoğun küme|yoğun alt küme]]sini oluşturur.

  orijininden (küçük çember üzerindeki  noktasına) olan mesafe yukarı ve aşağı şu şekilde değişir;

:<math>R \leq \overline{OP} \leq R+2r </math>

burada
* = büyük çemberin yarıçapı ve
* = küçük çemberin çapıdır.

<gallery caption="Episikloid örnekleri">
Dosya:Epicycloid-1.svg|  ; bir *kardioid*
Dosya:Epicycloid-2.svg|  ; bir *nefroid*
Dosya:Epicycloid-3.svg|  ; bir *trefoiloid*
Dosya:Epicycloid-4.svg|  ; bir *quatrefoiloid''
Dosya:Epicycloid-2-1.svg|  
Dosya:Epicycloid-3-8.svg|  
Dosya:Epicycloid-5-5.svg|  
Dosya:Epicycloid-7-2.svg|  


Episikloid, epitrokoidin özel bir türüdür.

Bir tepe noktası olan episikloid kardioid, iki tepe noktası olan ise nefroiddir.

Bir episikloid ve onun eğeci (evolütü) benzerdir.

## İspat

Çözmek istediğimiz şeyin p konumu olduğunu, \alpha'nın teğet noktadan hareketli p noktasına olan açı olduğunu ve \theta'nın başlangıç noktasından teğet noktaya olan açı olduğunu varsayıyoruz.

İki döngü arasında kayma olmadığına göre, o zaman şunu elde ederiz;

:\ell_R=\ell_r

Açının tanımına göre (yarıçap üzerindeki yay oranıdır), o zaman şunu elde ederiz;

:\ell_R= \theta R 
ve
:\ell_r= \alpha r

Bu iki koşuldan şu özdeşliği elde ederiz;

:\theta R=\alpha r.

Buradan, \alpha ve \theta arasındaki ilişkiyi şu şekilde elde ederiz;
:\alpha =\frac{R}{r} \theta.

Şekilden, p noktasının küçük çember üzerindeki konumunu açıkça görüyoruz.

: x=\left( R+r \right)\cos \theta -r\cos\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\cos \theta -r\cos\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)
:y=\left( R+r \right)\sin \theta -r\sin\left( \theta+\alpha \right) =\left( R+r \right)\sin \theta -r\sin\left( \frac{R+r}{r}\theta \right)

## Ayrıca bakınız

* Periyodik fonksiyonlar listesi
* Sikloid
* Siklogon
* Taşıyıcı ve episikl
* Episiklik dişli
* Epitrokoid
* Hiposikloid
* Hipotrokoid
* Multibrot seti
* Yuvarlanma eğrisi
* Spirograf

## Notlar

## Kaynakça
* 

## Dış bağlantılar
*
*"Epicycloid" by Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project, 2007
*
*Animation of Epicycloids, Pericycloids and Hypocycloids
*Spirograph -- GeoFun
*Historical note on the application of the epicycloid to the form of Gear Teeth