Kesişim (geometri)

Geometride, geometrik nesnelerin (nokta kümeleri olarak görülen) bir **kesişimi**, iki veya daha fazla nesneye (doğrular, eğriler, düzlemler ve yüzeyler gibi) ortak olan bir nokta, doğru veya eğridir.

Öklid geometrisindeki en basit durum, iki ayrı doğru arasındaki doğru-doğru kesişimidir; bu kesişim ya bir noktadır (bazen *[[Köşe (geometri)|köşe]]* olarak adlandırılır) ya da boş kümedir (eğer doğrular paralel ise).
Diğer geometrik kesişim türleri şunları içerir:
* Doğru-düzlem kesişimi
* Doğru-küre kesişimi
* Bir çokyüzlünün bir doğru ile kesişimi
* Doğru parçası kesişimi
* Kesişim eğrisi

Daha yüksek boyutlu bir uzaya gömülmüş doğrusal geometrik nesneler olan düzlemsel yapıların (İngilizce: flats) kesişiminin belirlenmesi, basit bir lineer cebir görevidir; yani bir doğrusal denklem sisteminin çözümüdür.

Genel olarak bir kesişimin belirlenmesi, örneğin Newton iterasyonu kullanılarak sayısal olarak çözülebilen doğrusal olmayan denklemlere yol açar.
Bir doğru ile bir konik kesiti (çember, elips, parabol vb.) veya bir kuadrik (küre, silindir, hiperboloid vb.) arasındaki kesişim problemleri, kolayca çözülebilen ikinci dereceden denklemlere yol açar.
Kuadrikler arasındaki kesişimler, cebirsel olarak çözülebilen dördüncü dereceden denklemlere yol açar.

Geometrideki kesişim kavramı, Giuseppe Peano'nun çalışmalarında kümelerle yapılan bir işlem olan küme kesişimi statüsüne genişletilmiştir.

## Düzlemde

### İki doğru

Paralel olmayan iki doğrunun kesişim noktasının belirlenmesi için

a_1x+b_1y=c_1, \ a_2x+b_2y=c_2 

denkleminden, Cramer kuralı veya bir değişkenin yerine konulması (yok etme metodu) yoluyla kesişim noktasının (x_s,y_s) koordinatları elde edilir:
: x_s=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1} , \quad y_s=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}.
\  
(Eğer  a_1b_2-a_2b_1=0 ise doğrular paraleldir ve 0'a bölme içerdiği için bu formüller kullanılamaz.)

### İki doğru parçası

Paralel olmayan iki doğru parçası (x_1,y_1),(x_2,y_2) ve (x_3,y_3),(x_4,y_4) için mutlaka bir kesişim noktası olması gerekmez (diyagrama bakınız), çünkü karşılık gelen doğruların kesişim noktası (x_0,y_0), doğru parçalarının içinde yer almak zorunda değildir.
Durumu kontrol etmek için doğruların parametrik gösterimleri kullanılır:
:  (x(s),y(s))=(x_1+s(x_2-x_1),y_1+s(y_2-y_1)),
:  (x(t),y(t))=(x_3+t(x_4-x_3),y_3+t(y_4-y_3)).

Doğru parçaları, ancak karşılık gelen s_0,t_0 parametreleri  0\le s_0,t_0 \le 1  koşulunu sağlıyorsa, ilgili doğruların ortak bir (x_0,y_0) noktasında kesişir.
Parametreler s_0,t_0 , aşağıdaki doğrusal sistemin çözümüdür:
: s(x_2-x_1)-t(x_4-x_3)=x_3-x_1,
: s(y_2-y_1)-t(y_4-y_3)=y_3-y_1 \ .
Bu sistem, Cramer kuralı kullanılarak *s* ve *t* için çözülebilir (bkz. yukarısı).
Eğer  0\le s_0,t_0 \le 1  koşulu sağlanıyorsa, s_0 veya t_0 ilgili parametrik gösterime yerleştirilir ve kesişim noktası (x_0,y_0) elde edilir.
*Örnek:* (1,1),(3,2) ve (1,4),(2,-1) doğru parçaları için şu doğrusal sistem elde edilir:
: 2s-t=0
:s+5t=3
ve buradan s_0=\tfrac{3}{11}, t_0=\tfrac{6}{11} bulunur.
Bu şu anlama gelir: doğrular (\tfrac{17}{11},\tfrac{14}{11}) noktasında kesişir.

*Not:* Nokta çiftleriyle belirlenen doğru parçaları yerine doğrular ele alındığında,  0\le s_0,t_0 \le 1  koşullarının her biri atlanabilir ve yöntem doğruların kesişim noktasını verir (bkz. yukarısı).

### Bir doğru ve bir çember

*ax+by=c doğrusu ile x^2+y^2=r^2 çemberinin kesişimi için,
doğru denklemi  veya  için çözülür ve çember denkleminde yerine konulur. Çözüm için (ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak) (x_1,y_1),(x_2,y_2) noktaları elde edilir:
:x_{1/2}= \frac{ac\pm b\sqrt{r^2(a^2+b^2)-c^2}}{a^2+b^2} \ , 
:y_{1/2}= \frac{bc\mp a\sqrt{r^2(a^2+b^2)-c^2}}{a^2+b^2} \ , 
eğer  r^2(a^2+b^2)-c^2 > 0 \ . Bu koşul kesin eşitsizlikle sağlanırsa, iki kesişim noktası vardır;
bu durumda doğruya çemberin kesen doğrusu denir ve kesişim noktalarını birleştiren doğru parçasına çemberin kirişi denir.
Eğer  r^2(a^2+b^2)-c^2=0  ise, sadece bir kesişim noktası vardır ve doğru çembere teğettir.
Eğer zayıf eşitsizlik sağlanmazsa, doğru çemberi kesmez.

Kesişim noktalarını türetmenin bir başka hızlı yolu da  (x_{1/2}, y_{1/2}) = s (a, b) \pm t (b, -a)  yaklaşımıdır. Önce doğru denklemi kullanılarak s için çözüm yapılır (bu s (a^2+b^2) = c olarak sadeleşir), ardından çember denklemi kullanılarak t için çözüm yapılır (bu da (s^2 + t^2)(a^2+b^2) = r^2  olarak sadeleşir).
Eğer çemberin merkezi orijin değilse, kaynaklara bakınız. Bir doğru ile bir parabol veya hiperbolün kesişimi de benzer şekilde ele alınabilir.

### İki çember

İki çemberin kesişim noktalarının belirlenmesi
* (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2 ,\ \quad  (x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2
bir önceki durum olan bir doğru ile bir çemberin kesişimine indirgenebilir.
Verilen iki denklemin taraf tarafa çıkarılmasıyla şu doğru denklemi elde edilir:
:2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y=r_1^2-x_1^2-y_1^2-r_2^2+x_2^2+y_2^2.

Bu özel doğru, iki çemberin kuvvet eksenidir (radikal doğru).

**Özel durum <math>\;x_1=y_1=y_2=0 </math> :** 
Bu durumda orijin, birinci çemberin merkezidir ve ikinci merkez x-ekseni üzerindedir (diyagrama bakınız).
Kuvvet ekseninin denklemi \;2x_2x=r_1^2-r_2^2+x_2^2\; olarak sadeleşir ve kesişim noktaları (x_0,\pm y_0) şeklinde yazılabilir; burada:
:x_0=\frac{r_1^2-r_2^2+x_2^2}{2x_2},\quad y_0 =\sqrt{r_1^2-x_0^2}\ .
r_1^2 durumunda çemberlerin ortak noktası yoktur.

r_1^2=x_0^2 durumunda çemberlerin bir ortak noktası vardır ve kuvvet ekseni ortak bir teğettir.
Yukarıda yazılan herhangi bir genel durum, bir öteleme ve bir döndürme ile bu özel duruma dönüştürülebilir.
İki dairenin (iki çemberin iç bölgeleri) kesişimi mercek adı verilen bir şekil oluşturur.

### İki konik kesiti
Bir elips/hiperbol/parabolün başka bir konik kesiti ile kesişim problemi, özel durumlarda bir koordinatın yok edilmesiyle kolayca çözülebilen bir ikinci dereceden denklem sistemine yol açar.
Bir çözüm elde etmek için konik kesitlerinin özel özellikleri kullanılabilir.

Genel olarak kesişim noktaları, denklemin bir Newton iterasyonu ile çözülmesiyle belirlenebilir.
Eğer a) her iki konik de örtük (*implicit*) olarak (bir denklemle) verilmişse 2-boyutlu bir Newton iterasyonu, b) biri örtük diğeri parametrik olarak verilmişse 1-boyutlu bir Newton iterasyonu gereklidir.
Bir sonraki bölüme bakınız.

### İki pürüzsüz eğri

Sürekli türevlenebilir (yani keskin kıvrımları olmayan) \R^2 (iki boyutlu uzay) içindeki iki eğrinin, eğer düzlemde ortak bir noktaları varsa ve bu noktada (diyagrama bakınız): : a) farklı teğet doğruları varsa (*transversal kesişim*, *[[transversalite]]* kavramından) veya: b) teğet doğruları ortaksa ve birbirlerini çaprazlıyorlarsa (*teğet kesişimi*, *[[teğetlik]]* kavramından) bir kesişim noktaları vardır.

Eğer her iki eğri de bir  noktasına ve orada ortak bir teğet doğrusuna sahipse ancak birbirlerini çaprazlamıyorlarsa,  noktasında sadece *teğettirler* (dokunuyorlardır).
Teğet kesişimleri nadiren görüldüğü ve ele alınması zor olduğu için, aşağıdaki değerlendirmeler bu durumu göz ardı etmektedir.
Aşağıdaki her durumda, gerekli tüm diferansiyel koşulların önceden varsayıldığı kabul edilir.
Kesişim noktalarının belirlenmesi her zaman Newton iterasyonu ile çözülebilen bir veya iki doğrusal olmayan denkleme yol açar.
Ortaya çıkan durumların bir listesi şöyledir:

*Eğer her iki eğri de açık (*explicit*) olarak verilmişse:  y=f_1(x), \ y=f_2(x), bunları eşitlemek şu denklemi verir
:: f_1(x)=f_2(x) \ .
*Eğer her iki eğri de parametrik olarak verilmişse: C_1: (x_1(t),y_1(t)), \ C_2: (x_2(s),y_2(s)).
: Bunları eşitlemek iki değişkende iki denklem verir:
::  x_1(t)=x_2(s), \ y_1(t)=y_2(s) \ .
*Eğer bir eğri parametrik, diğeri örtük (*implicit*) olarak verilmişse: C_1: (x_1(t),y_1(t)), \ C_2: f(x,y)=0.
:Bu, açık durumun yanındaki en basit durumdur.
C_1'in parametrik gösterimi C_2 eğrisinin f(x,y)=0 denklemine yerleştirilir ve şu denklem elde edilir:
::f(x_1(t),y_2(t))=0 \ .
*Eğer her iki eğri de örtük (*implicit*) olarak verilmişse: C_1: f_1(x,y)=0, \ C_2: f_2(x,y)=0.
: Burada bir kesişim noktası şu sistemin bir çözümüdür:
::f_1(x,y)=0, \ f_2(x,y)=0 \ .
Herhangi bir Newton iterasyonu, her iki eğrinin görselleştirilmesiyle türetilebilecek uygun başlangıç değerlerine ihtiyaç duyar.
Parametrik veya açık olarak verilen bir eğri kolayca görselleştirilebilir, çünkü herhangi bir  veya  parametresi için karşılık gelen noktayı hesaplamak kolaydır.
Örtük olarak verilen eğriler için bu görev o kadar kolay değildir.
Bu durumda, başlangıç değerleri ve bir iterasyon yardımıyla bir eğri noktası belirlenmelidir.
Bakınız.

*Örnekler:*
:1: C_1: (t,t^3) ve çember C_2: (x-1)^2+(y-1)^2-10=0 (diyagrama bakınız). 
:: f(t)=(t-1)^2+(t^3-1)^2-10 fonksiyonu için Newton iterasyonu t_{n+1}:=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)} yapılmalıdır. Başlangıç değerleri olarak -1 ve 1.5 seçilebilir.
::Kesişim noktaları şunlardır: (−1.1073,&thinsp;−1.3578), (1.6011,&thinsp;4.1046)
:2:C_1: f_1(x,y)=x^4+y^4-1=0,
:: C_2: f_2(x,y)=(x-0.5)^2+(y-0.5)^2-1=0  (diyagrama bakınız).
:: Newton iterasyonu {x_{n+1}\choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta_x\choose y_n+\delta_y} uygulanmalıdır, burada {\delta_x \choose \delta_y}, (x_n,y_n) noktasındaki
:::\begin{pmatrix}
  \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\
  \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} 
 \end{pmatrix}{\delta_x \choose \delta_y}={-f_1\choose -f_2}
 doğrusal sisteminin çözümüdür.
Başlangıç değerleri olarak (−0.5,&thinsp;1) ve (1,&thinsp;−0.5) seçilebilir.
:: Doğrusal sistem Cramer kuralı ile çözülebilir.
::Kesişim noktaları (−0.3686,&thinsp;0.9953) ve (0.9953,&thinsp;−0.3686)'dır.

### İki çokgen

Eğer iki çokgenin kesişim noktaları belirlenmek isteniyorsa, çokgenlerin herhangi bir doğru parçası çiftinin kesişimi kontrol edilebilir (bkz. yukarısı).

Çok sayıda parçaya sahip çokgenler için bu yöntem oldukça zaman alıcıdır.
Pratikte kesişim algoritması *pencere testleri* (*window tests*) kullanılarak hızlandırılır.
Bu durumda çokgenler küçük alt çokgenlere bölünür ve her alt çokgen için en küçük pencere (kenarları koordinat eksenlerine paralel olan dikdörtgen) belirlenir.

İki doğru parçasının kesişim noktasının zaman alıcı belirleme işlemine başlamadan önce, herhangi bir pencere çifti ortak noktalar açısından test edilir. Bakınız.

## Uzayda (üç boyutlu)

3-boyutlu uzayda eğriler ve yüzeyler arasında kesişim noktaları (ortak noktalar) bulunur.
Aşağıdaki bölümlerde sadece *[[Transversalite|transversal]] kesişimi* ele alacağız.

### Bir doğru ve bir düzlem

Üç boyutta *genel durumda* bir doğru ve bir düzlemin kesişimi bir noktadır.
Yaygın olarak uzaydaki bir doğru parametrik olarak  (x(t),y(t),z(t))  şeklinde ve bir düzlem ax+by+cz=d denklemiyle temsil edilir.
Parametrik gösterimin denkleme yerleştirilmesi, kesişim noktası (x(t_0),y(t_0),z(t_0))'ın t_0 parametresi için şu doğrusal denklemi verir:
:ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,
Eğer doğrusal denklemin çözümü yoksa, doğru ya düzlem üzerindedir ya da ona paraleldir.

### Üç düzlem
Eğer bir doğru ve kesişen iki düzlem \varepsilon_i: \ \vec n_i\cdot\vec x=d_i, \ i=1,2 tarafından tanımlanmışsa ve üçüncü bir düzlem \varepsilon_3: \ \vec n_3\cdot\vec x=d_3  ile kesiştirilecekse, üç düzlemin ortak kesişim noktası hesaplanmalıdır.

Doğrusal bağımsız normal vektörlere  \vec n_1,\vec n_2, \vec n_3 sahip üç \varepsilon_i: \ \vec n_i\cdot\vec x=d_i, \ i=1,2,3  düzleminin kesişim noktası şöyledir:
: \vec p_0=\frac{d_1(\vec n_2\times \vec n_3) +d_2(\vec n_3\times \vec n_1) + d_3(\vec n_1\times \vec n_2)}{\vec n_1\cdot(\vec n_2\times \vec n_3)} \ . 
İspat için, skaler-üçlü çarpım kuralları kullanılarak \vec n_i\cdot\vec p_0=d_i, \ i=1,2,3  eşitliği kurulmalıdır.
Eğer skaler-üçlü çarpım 0'a eşitse, düzlemler ya üçlü kesişime sahip değildir ya da kesişim bir doğrudur (veya üç düzlem de aynıysa bir düzlemdir).

### Bir eğri ve bir yüzey

Düzlem durumuna benzer şekilde, aşağıdaki durumlar 1 veya 3 boyutlu Newton iterasyonu kullanılarak çözülebilen doğrusal olmayan sistemlere yol açar.
*Parametrik eğri C: (x(t),y(t),z(t))  ve 
:Parametrik yüzey S: (x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,
*Parametrik eğri C: (x(t),y(t),z(t))  ve 
:Örtük yüzey  S: f(x,y,z)=0\ .

**Örnek:**
:Parametrik eğri C: (t,t^2,t^3) ve 
:Örtük yüzey S: x^4+y^4+z^4-1=0 (resme bakınız).
:Kesişim noktaları şunlardır: (−0.8587,&thinsp;0.7374,&thinsp;−0.6332), (0.8587,&thinsp;0.7374,&thinsp;0.6332).

Doğru-küre kesişimi basit bir özel durumdur.
Bir doğru ve bir düzlem durumunda olduğu gibi, genel durumda bir eğri ve bir yüzeyin kesişimi ayrık noktalardan oluşur, ancak bir eğri kısmen veya tamamen bir yüzeyin içinde de yer alabilir.

### Bir doğru ve bir çokyüzlü

### İki yüzey

Transversal olarak kesişen iki yüzey bir kesişim eğrisi verir.
En basit durum, paralel olmayan iki düzlemin kesişim doğrusudur.

### Bir küre ve bir düzlem

Bir küre ve bir düzlemin kesişimi boş küme veya tek bir nokta değilse, bu bir çemberdir.
Bu şu şekilde görülebilir:

*S*, merkezi *O* olan bir küre ve *P*, *S*'yi kesen bir düzlem olsun.
*P*ye dik olan ve *P* ile *E* noktasında buluşan  doğrusunu çizin.

*A* ve *B*, kesişimdeki herhangi iki farklı nokta olsun.
O zaman *AOE* ve *BOE*, ortak bir kenarı *OE* olan ve hipotenüsleri *AO* ve *BO* eşit olan dik üçgenlerdir.
Dolayısıyla, geri kalan kenarlar *AE* ve *BE* eşittir. Bu, kesişimdeki tüm noktaların düzlem *P* içindeki *E* noktasına aynı uzaklıkta olduğunu, başka bir deyişle kesişimdeki tüm noktaların merkezi *E* olan bir *C* çemberi üzerinde yattığını kanıtlar. Bu, *P* ve *S* kesişiminin *C* içinde kapsandığını kanıtlar.
*OE*'nin çemberin ekseni olduğuna dikkat edin.

Şimdi *C* çemberinden bir *D* noktası düşünün.
*C*, *P* içinde yattığından, *D* de oradadır. Öte yandan, *AOE* ve *DOE* üçgenleri, ortak bir kenarı *OE* olan ve dik kenarları *EA* ve *ED* eşit olan dik üçgenlerdir.
Dolayısıyla, hipotenüsler *AO* ve *DO* eşittir ve *S*'nin yarıçapına eşittir, böylece *D*, *S* içinde yatar.
Bu, *C*'nin *P* ve *S* kesişimi içinde kapsandığını kanıtlar.
Bir sonuç olarak, bir küre üzerinde verilen üç noktadan geçebilecek tam olarak bir çember vardır.

İspat, bir çember üzerindeki noktaların kutuplarından birine ortak bir açısal uzaklıkta olduğunu gösterecek şekilde genişletilebilir.

Ayrıca ovaller oluşturabilen konik kesitlerini karşılaştırın.

### İki küre
İki kürenin non-trivial kesişiminin bir çember olduğunu göstermek için, bir kürenin (yarıçapı R) merkezinin orijinde olduğunu varsayalım.
Bu küre üzerindeki noktalar şu denklemi sağlar:
:x^2 + y^2 + z^2 = R^2.
Yine, yarıçapı r olan ikinci kürenin merkezinin pozitif x-ekseni üzerinde, orijinden a uzaklıkta olduğunu varsayalım.
Noktaları şu denklemi sağlar:
:(x-a)^2 + y^2 + z^2 = r^2.
Kürelerin kesişimi, her iki denklemi de sağlayan noktalar kümesidir.
Denklemleri birbirinden çıkarmak şunu verir:
:\begin{align}
(x-a)^2 - x^2 & = r^2 - R^2 \\
    a^2 - 2ax & = r^2 - R^2 \\
            x & = \frac{a^2 + R^2 - r^2}{2a}.
\end{align}
a = 0 tekil durumunda, küreler eşmerkezlidir.

İki olasılık vardır: eğer R = r ise, küreler çakışır ve kesişim tüm küredir;
eğer R \not= r ise, küreler ayrıktır ve kesişim boş kümedir.
*a* sıfırdan farklı olduğunda kesişim, bu x-koordinatına sahip dikey bir düzlemde yatar; bu düzlem her iki küreyi kesebilir, her iki küreye teğet olabilir veya her iki kürenin dışında kalabilir.
Sonuç, küre-düzlem kesişimleri için yapılan önceki ispattan çıkar.

## Ayrıca bakınız

* Analitik geometri#Kesişimler
* Hesaplamalı geometri
* Doğru denklemi

## Notlar

## Kaynakça
*

## Konuyla ilgili yayınlar
* 
* Nicholas M. Patrikalakis ve Takashi Maekawa, *Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing*, Springer, 2002, , 9783540424543, s. 408. https://books.google.com/books?id=qoxBeti5ySoC&q=intersection
*