Eşitlik (matematik)

Matematikte, **eşitlik**, iki niceliğin veya ifadenin aynı değere sahip olduğunu veya aynı matematiksel nesneyi temsil ettiğini belirten bir ilişkidir.  ve  arasındaki eşitlik, eşittir işareti ile  şeklinde gösterilir ve ", 'ye eşittir" şeklinde okunur.
Yazılı bir eşitlik ifadesi, bağlama bağlı olarak denklem veya özdeşlik olarak adlandırılır.
Eşit olmayan iki nesneye **farklı** denir.

Eşitlik genellikle bir primitif nosyon olarak kabul edilir; yani biçimsel olarak tanımlanmaz, bunun yerine gayri resmi olarak "bir şeyin kendisine ve başka hiçbir şeye karşı taşıdığı ilişki" olduğu söylenir.
Bu nitelendirme belirgin bir şekilde döngüseldir ("başka *hiçbir şeye*"), bu da kavramı tam olarak nitelendirmenin genel kavramsal zorluğunu yansıtır. Yansımalılık, simetri ve geçişlilik gibi eşitlikle ilgili temel özellikler en azından Antik Yunanlardan beri sezgisel olarak anlaşılmış olsa da, 19. yüzyılın sonlarında Giuseppe Peano tarafından genel bağıntı özellikleri olarak sembolik bir şekilde ifade edilene kadar resmiyete dökülmemiştir.
Yerine koyma ve fonksiyon uygulama gibi diğer özellikler, sembolik mantığın gelişimine kadar biçimsel olarak ifade edilmemiştir.

Matematikte eşitliğin biçimselleştirilmesinin genellikle iki yolu vardır: mantık yoluyla veya küme teorisi yoluyla.
Mantıkta eşitlik, yansıma özelliğine (özdeşlik ilkesi denir) ve yerine koyma özelliğine sahip primitif bir yüklemdir (serbest değişkenleri olabilen bir önerme).
Bunlardan, eşitlik için genellikle ihtiyaç duyulan diğer özellikler türetilebilir.
20. yüzyılın başındaki matematiğin temelleri krizinden sonra, küme teorisi (özellikle Zermelo-Fraenkel küme teorisi) en yaygın matematik temeli haline geldi.
Küme teorisinde, herhangi iki küme, aynı elemanlara sahiplerse eşit olarak tanımlanır.
Buna kaplamsallık aksiyomu (*axiom of extensionality*) denir.

## Etimoloji

Türkçedeki *eşit* kelimesi, "birbiriyle aynı olan, denk" anlamına gelir.
İngilizcedeki *equal* kelimesi ise Latince  ('benzer', 'kıyaslanabilir', 'aynı') kelimesinden türetilmiştir ve bu kelime de  ('seviyeli', 'adil') kökünden gelir.
Daha genel olarak, *eşit* kelimesinin diller arası eş anlamlıları tarih boyunca daha geniş bir şekilde kullanılmıştır (bkz. ).

16. yüzyıldan önce, eşitlik için ortak bir sembol yoktu ve eşitlik genellikle *aequales, aequantur, esgale, faciunt, ghelijck* veya *gleich* gibi kelimelerle ve bazen de kısaltılmış biçimi *aeq* veya basitçe  ve  ile ifade edilirdi. Diophantus'un *[[Arithmetica]]* () eserinde  ( 'eşittir') kelimesinin kısaltması olan  kullanması, bir eşittir işaretinin ilk kullanımlarından biri olarak kabul edilir.

Günümüzde matematikte eşitlik için evrensel olarak kabul edilen  işareti, ilk olarak Galli matematikçi Robert Recorde tarafından, ölümünden sadece bir yıl önce *[[The Whetstone of Witte]]* (1557) adlı eserde kaydedilmiştir.
Sembolün orijinal biçimi şimdiki biçiminden çok daha genişti.
Recorde kitabında sembolünü Latince  ('ikiz') kelimesinden gelen "Gemowe çizgileri" (ikiz çizgiler) olarak açıklar ve eşitliği temsil etmek için iki paralel çizgi kullanır çünkü "hiçbir iki şeyin bundan daha eşit olamayacağına" inanıyordu.

Recorde'un sembolü hemen popüler olmadı.
Tanıtılmasından sonra, 1618'e (61 yıl sonra) kadar, John Napier'in *[[Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio|Descriptio]]* eserinin Edward Wright tarafından yapılan İngilizce çevirisindeki isimsiz bir Ek'te görünene kadar basılı olarak tekrar kullanılmadı.
1631 yılına kadar İngiltere'de genel bir tanınırlıktan fazlasını elde edemedi, ancak o tarihten sonra birkaç etkili eserde eşitlik sembolü olarak benimsendi.
Daha sonra, başta Isaac Newton ve Gottfried Leibniz olmak üzere birçok etkili matematikçi tarafından kullanıldı ve o dönemde kalkülüsün yaygınlaşması nedeniyle Avrupa'nın geri kalanına hızla yayıldı.

## Temel özellikler
;
Yansıma
: Her  için, .
;
Simetri
: Her  ve  için, eğer  ise, o zaman .
;
Geçişme
: Her ,  ve  için, eğer  ve  ise, o zaman .
;
Yerine koyma
: Gayri resmi olarak, bu sadece şu anlama gelir: eğer  ise, o zaman , herhangi bir matematiksel ifadede veya formülde anlamı değiştirmeden 'nin yerine geçebilir. (Biçimsel bir açıklama için bkz. ) Örneğin:
;
Fonksiyon uygulama
: Her  ve  ve bir f(x) fonksiyonu için, eğer  ise, o zaman f(a) = f(b) olur. Örneğin:
İlk üç özellik genellikle, bu özellikleri **' (1889) adlı eserinde eşitliğin temel özellikleri olarak açıkça ifade eden ilk kişi olması nedeniyle [[Giuseppe Peano]]'ya atfedilir. Ancak, temel kavramlar her zaman var olmuştur;
örneğin, [[Öklid'in Elementleri|Öklid'in ''Elemanları'']]'nda (), [[Öklid geometrisi|'ortak kavramlar'ı içerir]]: "Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine de eşittir" (geçişme), "Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir" (yansıma) ve toplama ve çıkarma için bazı fonksiyon uygulama özellikleri. Fonksiyon uygulama özelliği Peano'nun **' eserinde de belirtilmiştir, ancak bu, en azından Diophantus'tan () beri cebirde yaygın bir uygulamaydı. Yerine koyma özelliği genellikle Gottfried Wilhelm Leibniz'e () atfedilir ve sıklıkla *Leibniz Yasası* olarak adlandırılır.

## Denklemler

Bir denklem, iki matematiksel ifadenin bir eşittir işareti (=) ile bağlandığı sembolik bir eşitliktir. Cebir, matematiğin denklem çözme ile ilgilenen dalıdır: belirtilen eşitliğin doğru olduğu,  adı verilen bazı değişkenlerin değerlerini bulma problemi.
Denklemin sağlandığı bilinmeyenin her değerine, verilen denklemin bir  denir;
buna denklemi  da denir. Örneğin, x^2 - 6x + 5=0 denkleminin tek çözümleri x=1 ve x=5 değerleridir.
Bu terminoloji, birden fazla bilinmeyeni olan denklemler için de benzer şekilde kullanılır. Bir denklemin veya denklem takımının çözümler kümesine çözüm kümesi denir.

Matematik eğitiminde, öğrencilere denklemlerin somut modellerine ve görselleştirmelerine güvenmeleri öğretilir; bunlar arasında geometrik analojiler, çubuklar veya kaplar gibi manipülatifler ve denklemleri akış diyagramları olarak temsil eden "fonksiyon makineleri" bulunur.
Bir yöntem, öğrencilerin temel cebir problemlerini kavramalarına yardımcı olmak için resimsel bir yaklaşım olarak terazileri kullanır.
Terazi üzerindeki bazı nesnelerin kütlesi bilinmemektedir ve değişkenleri temsil eder.
Bir denklemi çözmek, terazinin her iki tarafına, dengenin bozulmaması şartıyla, tek bir tarafta sadece bilinmeyen kütleli nesne kalana kadar nesne ekleyip çıkarmaya karşılık gelir.

Genellikle denklemler, doğru veya yanlış olabilen bir ifade veya bağıntı olarak kabul edilir.
Örneğin, 1+1=2 doğrudur ve 1+1=3 yanlıştır. Bilinmeyenleri olan denklemler koşullu doğru olarak kabul edilir;
örneğin, x^2 - 6x + 5=0, x=1 veya x=5 olduğunda doğru, aksi takdirde yanlıştır. Bunun için birkaç farklı terminoloji vardır.
Matematiksel mantıkta, bir denklem, belirli özellikleri sağlayan iki terimli bir yüklemdir (yani serbest değişkenleri olabilen bir mantıksal ifade). Bilgisayar bilimlerinde, bir denklem, doğru ve yanlış için sırasıyla 1 ve 0 döndüren mantıksal değerli bir ifade veya ilişkisel operatör olarak tanımlanır.

### Özdeşlikler
Bir özdeşlik, belirli bir alandaki değişkenlerinin tüm değerleri için doğru olan bir eşitliktir. Bir "denklem" bazen bir özdeşlik anlamına gelebilir, ancak çoğunlukla, değişken uzayının denklemin doğru olduğu bir alt kümesini .
Bir örnek \left(x + 1\right)\left(x + 1\right) = x^2 + 2 x + 1, ifadesidir ki bu her x reel sayısı için doğrudur. Bir denklemi bir özdeşlikten veya eşitlik ilişkisinin diğer kullanımlarından ayıran standart bir notasyon yoktur: ifadelerin anlambiliminden ve bağlamdan uygun bir yorum tahmin edilmelidir. Bazen, ancak her zaman değil, bir özdeşlik denklik işareti ile yazılır: \left(x + 1\right)\left(x + 1\right) \equiv x^2 + 2 x + 1. Bu notasyon, Bernhard Riemann tarafından 1857 tarihli **' derslerinde (1899'da yayınlandı) tanıtılmıştır.

Alternatif olarak, özdeşlikler [[Fonksiyon (matematik)|fonksiyonların]] eşitliği olarak görülebilir; burada <math>\text{her } a \text{ için } f(a) = g(a)</math> yazmak yerine basitçe <math>f = g</math> yazılabilir. Buna fonksiyonların [[kaplamlılık|kaplamlılığı]]  (''extensionality'') denir. Bu anlamda, fonksiyon uygulama özelliği [[Operatör (matematik)|operatörlere]], yani [[Bileşke fonksiyon|bileşke]] veya [[türev]] gibi [[fonksiyon uzayı]] üzerindeki (fonksiyonlar arasında eşleme yapan fonksiyonlar) işlemlere atıfta bulunur ve yaygın olarak [[işlemsel kalkülüs]]te kullanılır. Bir özdeşlik, normal bir denkleme benzer şekilde çözülebilen ve "bilinmeyen" olarak fonksiyonlar içeren [[fonksiyonel denklem]]ler barındırabilir. Türevleri içeren bir fonksiyonel denkleme [[diferansiyel denklem]] denir.

=== Tanımlar ===
Denklemler genellikle sabitler için yeni terimler veya semboller tanıtmak, eşitlikleri [[Yargı (matematiksel mantık)|ileri sürmek]] ve "tanım gereği eşit" olarak adlandırılan ve genellikle (<math>:=</math>) ile gösterilen karmaşık ifadeler için kısaltma tanıtmak amacıyla kullanılır. Bu, [[bilgisayar bilimleri]]ndeki bir [[Değişken (bilgisayar bilimi)|değişkene]] [[Atama (bilgisayar bilimi)|atama]] kavramına benzer.
Örneğin, <math display = "inline">\mathbb{e} := \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}</math>, [[Euler sayısı]]nı tanımlar ve <math>i^2 = -1</math>, <math>i</math> [[sanal sayı]]sının tanımlayıcı özelliğidir.

[[Matematiksel mantık]]ta buna, bir [[biçimsel sistem]]e [[tutarlı genişleme]] olan (eşitlik yoluyla) [[tanımsal genişleme]] denir. Bu, yeni sabit sembolünü tanımlayan denklemin [[kuram (matematiksel mantık)|kuram]]ın yeni bir [[aksiyom]]u olarak alınmasıyla yapılır.
"Tanım gereği eşit"in ilk kayıtlı sembolik kullanımı, İtalyan matematikçi [[Cesare Burali-Forti]]'nin ''Logica Matematica'' (1894) adlı eserinde görülmüştür.
Burali-Forti, kitabında (<math>=_\text{Def}   </math>) notasyonunu kullanmıştır.

== Mantıkta ==


=== Tarihçe ===

Eşitlik genellikle bir [[primitif nosyon]] olarak kabul edilir ve gayri resmi olarak "bir şeyin kendisine karşı taşıdığı ve başka hiçbir şeye karşı taşımadığı bir ilişki" olduğu söylenir. Bu gelenek en azından [[Aristoteles]]'e kadar izlenebilir; Aristoteles, ''[[Kategoriler (Aristoteles)|Kategoriler]]'' (MÖ y. 350) adlı eserinde ''nicelik'' kavramını ([[Özdeşlik (felsefe)|özdeşlik]] veya [[Benzerlik (felsefe)|benzerlik]]ten farklı olan) daha ilkel bir ''eşitlik'' açısından tanımlayarak şunları belirtir:
<blockquote>Niceliğin en ayırt edici özelliği, eşitlik ve eşitsizliğin ona yüklenmesidir.
Sözü edilen niceliklerin her birine eşit veya eşit değil denir.
Örneğin, bir katı cisme diğerine eşit veya eşit değil denir;
sayı da, zaman da bu terimlerin kendilerine uygulanmasına sahip olabilir, aslında bahsedilen tüm nicelik türleri buna sahip olabilir.Nicelik olmayan bir şey, öyle görünüyor ki, hiçbir şekilde başka bir şeye eşit veya eşit değil olarak adlandırılamaz.
Belirli bir eğilim veya beyazlık gibi belirli bir nitelik, başka biriyle eşitlik ve eşitsizlik açısından değil, daha ziyade benzerlik açısından karşılaştırılır.
Bu nedenle, eşit ve eşit değil olarak adlandırılabilmesi niceliğin ayırt edici özelliğidir.
―&thinsp;([[E. M. Edghill]] tarafından İngilizceye çevrilmiştir)</blockquote>
Aristo, [[nicelik]]ler (sayı, uzunluk, hacim) ve [[nitelik]]ler (sıcaklık, yoğunluk, basınç) için ayrı kategorilere sahipti; bunlara şimdi [[içkin ve dışkın özellikler]] denir.
[[Skolastikler]], özellikle 14. yüzyılda [[Richard Swineshead]] ve diğer [[Oxford Hesaplayıcıları]], [[kinematik]] ve niteliklerin nicel analizi üzerine ciddi şekilde düşünmeye başladılar.
Örneğin, iki alev su üzerinde aynı etkiyi yaratıyorsa (örneğin ısıtma veya [[kaynama]]) aynı ısı yoğunluğuna sahiptir.
İki yoğunluğun eşit olduğu gösterilebildiğinden ve eşitlik niceliklerin tanımlayıcı özelliği kabul edildiğinden, bu, o yoğunlukların ölçülebilir olduğu anlamına geliyordu.

Eşitliğin yerine koyma özelliğinin öncüsü ilk kez [[Gottfried Leibniz]] tarafından ''[[Metafizik Üzerine Konuşma]]'' (''Discourse on Metaphysics''; 1686) adlı eserinde formüle edilmiş ve kabaca "İki farklı şey tüm özelliklere ortak olarak sahip olamaz" denilmiştir.
Bu o zamandan beri iki ilkeye ayrılmıştır: yerine koyma özelliği (eğer <math>x=y</math> ise, <math>x</math>'in herhangi bir özelliği <math>y</math>'nin de özelliğidir) ve bunun [[Karşıt (mantık)|karşıtı]] olan [[ayırt edilemeyenlerin özdeşliği]] (eğer <math>x</math> ve <math>y</math> tüm özelliklere ortak olarak sahipse, o zaman <math>x=y</math> olur).

20. yüzyılın başlarında, eşitliğin daha somut bir açıklamasına sahip olmak gerekli hale gelecekti.
1879'da [[Gottlob Frege]], mantığın odağını nesne sınıflarına odaklanan [[Aristo mantığı]]ndan, modern [[yüklem mantığı]] haline gelecek olan özellik tabanlı bir yapıya kaydıracak olan öncü metni ''[[Begriffsschrift]]''i yayınlayacaktı.
Bunu, matematiği mantıksal temellerle tanımlama hareketi olan [[mantıkçılık]] (''logicism'') izledi.
Bu eğilim, özellikle [[matematiksel mantık]] ve [[analitik felsefe]]de [[özdeşlik yasası]] ve [[Yerine koyma|yerine koyma özelliği]] yoluyla eşitliğin aksiyomatikleştirilmesine yol açtı.

Daha sonra, Frege'nin ''Aritmetiğin Temelleri'' (''The Foundations of Arithmetic''; 1884) ve ''Aritmetiğin Temel Yasaları'' (''Basic Laws of Arithmetic''; 1893, 1903) eserleri, matematiğin temellerini ''Begriffsschrift''te geliştirilen mantıksal sistemden türetmeye çalışacaktı. Bunun, [[Russell paradoksu]]na izin vermesi nedeniyle kusurlu olduğu gösterilecek ve [[Matematiğin temelleri|matematiğin temelleri krizi]]ne katkıda bulunacaktı.
Frege'nin çalışması sonunda [[Bertrand Russell]] ve [[Alfred North Whitehead|Alfred Whitehead]] tarafından **' (19101913) olarak bilinen üç ciltlik bir çalışmayla çözülecekti.
Russell ve Whitehead'in çalışması ayrıca Leibniz Yasası'nı sembolik mantığa tanıtacak ve resmileştirecekti; burada bu yasanın kendi indirgenebilirlik aksiyomundan (*axiom of reducibility*) kaynaklandığını iddia ettiler ancak fikir için Leibniz'e atıfta bulundular.

### Aksiyomlar

* **[[Özdeşlik ilkesi|Özdeşlik yasası]]:** Her şeyin kısıtlama olmaksızın kendisiyle özdeş olduğunu belirtir. Yani, her a için, a = a. Bu, geleneksel üç düşünme yasasından ilkidir.Yukarıdaki ifade sembolik olarak şöyle belirtilebilir: \forall a(a = a).
* **[[Yerine koyma|Yerine koyma özelliği]]:** Genel olarak, eğer iki şey eşitse, birinin herhangi bir özelliğinin diğerinin de bir özelliği olması gerektiğini belirtir. Bazen "Leibniz'in yasası" olarak adlandırılır.Biçimsel olarak şöyle ifade edilebilir: her  ve  ve bir serbest değişken  içeren herhangi bir formül \phi(x) için, eğer a=b ise, o zaman \phi(a), \phi(b)'yi gerektirir.Yukarıdaki ifade sembolik olarak şöyle belirtilebilir: (a=b) \implies \bigl[ \phi(a) \Rightarrow \phi(b) \bigr].

Fonksiyon uygulama da bazen eşitlik aksiyomlarına dahil edilir, ancak diğer iki aksiyomdan çıkarılabildiği için gerekli değildir; simetri ve geçişme için de aynısı geçerlidir (bkz. ).
Birinci basamak mantığında, bunlar aksiyom şemalarıdır, bunların her biri sonsuz bir aksiyom kümesi belirtir. Eğer bir teori, özdeşlik yasasını ve yerine koyma özelliğini sağlayan bir yükleme sahipse, "eşitliğe sahip" olduğu veya "eşitlik içeren bir teori" olduğu söylenir.

Burada "eşitlik" kullanımı biraz yanlış adlandırmadır çünkü eşitliğe sahip herhangi bir sistem, standart özdeşlik içermeyen ve ayırt edilemeyenler (*indiscernibles*) içeren bir teori ile modellenebilir. Ancak bu iki aksiyom, özdeşliğe sahip bir modelle izomorfik olacak kadar güçlüdür;
yani, bir sistem bu aksiyomları sağlayan bir yükleme standart eşitlik  sahipse, o sistemin standart eşitlik  bir modeli vardır. Bu, nesneleri orijinal "eşitliğin" eşdeğerlik sınıfları olan yeni bir alan tanımlanarak yapılabilir. Eğer bir model eşitliğe sahip olarak yorumlanırsa o zaman bu özellikler yeterlidir, çünkü x, y ile aynı özelliklere sahipse ve x, x'e eşit olma özelliğine sahipse, o zaman y, x'e eşit olma özelliğine sahiptir.

Aksiyomlar olarak, tümel özelleme (*universal instantiation*) kullanılarak ilkinden ve a = b ve \phi (a) verildiğinde modus ponensi (koşullu bir önerme ve öncülü doğru olarak verildiğinde sonucun da doğru çıkabileceği ilkesi) iki kez kullanarak ikinciden sonuç çıkarılabilir.
Alternatif olarak, bunlardan her biri mantığa çıkarım kuralları olarak dahil edilebilir. İlki "eşitlik ekleme" ve ikincisi "eşitlik çıkarma" (veya paramodülasyon) olarak adlandırılır ve John Alan Robinson gibi bazı teorik bilgisayar bilimcileri tarafından çözümleme ve otomatik teorem kanıtlama çalışmalarında kullanılır.

Yerine koyma özelliği naif bir şekilde uygulandığında yanlış ifadeler üretebilir.
Örneğin, eğer n, "güneş sistemindeki gezegenlerin sayısı"nı belirtiyorsa, "Johannes Kepler,  olduğunu bilmiyordu" ifadesi doğrudur, çünkü Uranüs ve Neptün onun ölümünden sonra keşfedilmiştir.
Ancak, n = 8 olduğundan, yerine koyma özelliği uygulandığında "Johannes Kepler,  olduğunu bilmiyordu" ifadesi elde edilir ki bu yanlıştır. Buradaki fark, "gezegenlerin sayısı" ve "8" ifadeleri aynı nesneye (kaplamlarına (*extension*)) atıfta bulunsa da, farklı anlamlara (içlerimlerine (*intension*)) sahip olmalarıdır.
Bu nedenle, yerine koyma özelliği yalnızca kaplamsal bağlamlarda garanti edilebilir, bu da modern matematikte kaplamlılık aksiyomu ile garanti altına alınmıştır.

### Temel özelliklerin türetilmesi
* **Yansıma:** Herhangi bir a ifadesi verildiğinde, özdeşlik yasası gereği a = a.
* **Simetri:** a = b verildiğinde, \phi(x) : x = a formülünü alın.Buna göre, (a=b) \implies ((a=a) \Rightarrow (b=a)).Varsayım gereği a=b ve yansıma gereği a=a olduğundan, b=a olduğu sonucu çıkar.
* **Geçişme:** a = b ve b = c verildiğinde, \phi(x): x=c formülünü alın.Buna göre, (b=a) \implies ((b=c) \Rightarrow (a=c)).Simetri gereği b=a ve varsayım gereği b=c olduğundan, a=c olduğu sonucu çıkar.
* **Fonksiyon uygulama:** Bir f(x) fonksiyonu ve  olacak şekilde  ve  ifadeleri verildiğinde, \phi(x): f(a) = f(x) formülünü alın.Buna göre, (a=b) \implies [(f(a) = f(a)) \Rightarrow (f(a) = f(b))].Varsayım gereği a=b ve yansıma gereği f(a) = f(a) olduğundan, f(a) = f(b) olduğu sonucu çıkar.

## Küme teorisinde

Küme teorisi, gayri resmi olarak "nesnelerin koleksiyonları" olarak tanımlanabilen kümeleri inceleyen matematik dalıdır. Her türlü nesne bir küme içinde toplanabilse de, küme teorisi — matematiğin bir dalı olarak — çoğunlukla bir bütün olarak matematikle ilgili olanlarla ilgilenir.
Kümeler elemanları tarafından benzersiz bir şekilde karakterize edilir; bu, tam olarak aynı elemanlara sahip iki kümenin eşit olduğu (aynı küme oldukları) anlamına gelir. Biçimselleştirilmiş bir küme teorisinde (*formalized set theory*), bu genellikle kaplamlılık aksiyomu (*axiom of extensionality*) adı verilen bir aksiyom ile tanımlanır.

Örneğin, ortak özellik yöntemi (*set-builder notation*) kullanılarak aşağıdakiler, formülasyondaki farklılıklara rağmen "0'dan büyük ancak 3'ten fazla olmayan tüm tamsayılar (\Z) kümesi, yalnızca 1, 2 ve 3'ü içeren kümeye eşittir" ifadesini belirtir.
\{x\in \Z \mid 0

*<nowiki/>'Kaplamlılık Aksiyomu*'nda kullanılan *kaplamlılık* (*extensionality*) teriminin kökleri mantık ve dilbilgisine dayanır (*krş. [[Kaplam (anlambilim)]]*).
Dilbilgisinde, bir içerimsel tanım, bir terimin bir nesneye uygulanması için gerek ve yeter koşulları açıklar.
Örneğin: "Bir Platonik cisim, üç boyutlu Öklid uzayında dışbükey, düzgün çokyüzlüdür."
Bir kaplamsal tanım ise terimin geçerli olduğu tüm nesneleri listeler.
Örneğin: "Bir Platonik cisim şunlardan biridir: Dörtyüzlü, Küp, Sekizyüzlü, Onikiyüzlü veya Yirmiyüzlü."
Mantıkta, bir yüklemin kaplamı, yüklemin doğru olduğu tüm nesnelerin kümesidir. Ayrıca, mantıksal kaplamlılık ilkesi, iki nesnenin aynı dışsal özellikleri sağlaması durumunda eşit olduğuna hükmeder.
Aksiyom gereği iki küme, üyeliği sağlıyorsa eşit olarak tanımlandığından, kümeler kaplamsaldır.

José Ferreirós, ilkeyi açıkça ifade eden ilk kişinin Richard Dedekind olduğunu belirtir, ancak Dedekind bunu bir tanım olarak ileri sürmemiştir:

### Arka plan

20. yüzyılın başlarında, matematik çeşitli paradokslar ve sezgiye aykırı sonuçlarla karşı karşıya kaldı.
Örneğin, Russell paradoksu naif küme teorisinin bir çelişkisini gösterdi, paralel postulatının kanıtlanamayacağı gösterildi, hesaplanamayan veya açıkça tanımlanamayan matematiksel nesnelerin varlığı ve Peano aritmetiği ile kanıtlanamayan aritmetik teoremlerinin varlığı ortaya çıktı.
Sonuç bir matematiğin temelleri krizi oldu.

Bu krizin çözümü, matematik içinde biçimsel mantığı inceleyen matematiksel mantık adlı yeni bir matematiksel disiplinin yükselişini içeriyordu.
20. yüzyılda yapılan keşifler matematiğin temellerini stabilize etti ve disiplinin tüm dalları için geçerli tutarlı bir çerçeve üretti.
Bu çerçeve, aksiyomatik sistemin sistematik kullanımına ve özellikle Ernst Zermelo ve Abraham Fraenkel tarafından geliştirilen Zermelo-Fraenkel küme teorisine dayanmaktadır.
Bu küme teorisi (ve genel olarak küme teorisi) artık en yaygın matematik temeli olarak kabul edilmektedir.

### Eşitlik içeren birinci-derece mantığa dayalı küme eşitliği
Eşitlik içeren birinci-basamak mantıkta, kaplamlılık aksiyomu, aynı elemanları içeren iki kümenin aynı küme olduğunu belirtir.
* Mantık aksiyomu: x = y \implies \forall z, (z \in x \iff z \in y)
* Mantık aksiyomu: x = y \implies \forall z, (x \in z \iff y \in z)
* Küme teorisi aksiyomu: (\forall z, (z \in x \iff z \in y)) \implies x = y

İlk ikisi, birinci dereceden mantıktaki eşitliğin yerine koyma özelliği ile verilir; sonuncusu ise teorinin yeni bir aksiyomudur.
İşin yarısının birinci dereceden mantığa dahil edilmesi, Azriel Lévy tarafından belirtildiği gibi sadece bir kolaylık meselesi olarak görülebilir:

### Eşitlik içermeyen birinci-derece mantığa dayalı küme eşitliği
Eşitlik içermeyen birinci dereceden mantıkta, iki küme aynı elemanları içeriyorlarsa eşit olarak *tanımlanır*.
O zaman kaplamlılık aksiyomu, iki eşit kümenin aynı kümeler *içinde yer aldığını* belirtir.
* Küme teorisi tanımı:  (x = y) \ := \ \forall z, (z \in x \iff z \in y)
* Küme teorisi aksiyomu: x = y \implies \forall z, (x \in z \iff y \in z)
Veya, eşdeğer olarak, tüm atomik formüllerin tümel evetlemesi olarak, yerine koyma özelliğini açıkça taklit edecek şekilde eşitliği tanımlamak seçilebilir:
* Küme teorisi tanımı: (x = y) \, := \, \forall z ( z \in x \implies z \in y) \, \and \, \forall w (x \in w \implies y \in w) 
* Küme teorisi aksiyomu: (\forall z, (z \in x \iff z \in y)) \implies x = y

Her iki durumda da, eşitlik içermeyen birinci dereceden mantığa dayalı kaplamlılık aksiyomu, aynı elemanları içeren kümelerin her zaman aynı kümeler içinde yer aldığını belirtir:

\forall z ( z \in x \iff z \in y) \implies \forall w (x \in w \iff y \in w).

### Temel özelliklerin kanıtı
* **Yansıma:** Bir X kümesi verildiğinde, z \in X olduğunu varsayalım, z \in X olduğu aşikardır ve aynısı tersi için de geçerlidir, bu nedenle \forall z, (z \in X \iff z \in X), dolayısıyla X = X.
* **Simetri:** X=Y olacak şekilde X, Y kümeleri verildiğinde, \forall z, (z \in X \iff z \in Y), bu da \forall z, (z \in Y \iff z \in X) anlamına gelir, dolayısıyla Y=X.
* **Geçişme:** X, Y, Z, kümeleri verildiğinde, öyle ki:
*# X = Y, ve
*# Y = Z,
: z \in X olduğunu varsayalım. O zaman, (1) gereği z \in Y olur, bu da (2) gereği z \in Z anlamına gelir ve tersi için de benzer şekilde geçerlidir.
Böylece \forall z, (z \in X \iff z \in Z), dolayısıyla X=Z.
* **Yerine Koyma:** Bkz. Yerine koyma.
* **Fonksiyon uygulama:** a = b ve f(a) = c verildiğinde, (a,c) \in f. a = b ve c = c olduğundan, (a,c) = (b,c). Bu, bir sıralı ikilinin tanımlayıcı özelliğidir. (a,c) = (b,c) olduğundan, kaplamlılık aksiyomu gereği, aynı kümelere ait olmalıdırlar. Böylece, (a,c) \in f olduğundan, (b,c) \in f veya f(b) = c olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, f(a) = f(b).

## Benzer bağıntılar

### Yaklaşık eşitlik

Sayısal analiz, matematiksel analizdeki problemlere çözüm bulmak için (sembolik işlemlerin aksine) sayısal yaklaşıklamalar bulmaya yönelik inşacı (*constructive proof*) yöntemlerin ve algoritmaların incelenmesidir.
Özellikle analitik olarak çözülemeyen problemler için (*closed-form expressions*).

Hesaplamaların yuvarlama hataları ve diğer yaklaşıklama hataları içermesi muhtemeldir.
Logaritma tabloları, sürgülü hesap cetvelleri ve hesap makineleri, en basit hesaplamalar dışındakiler için yaklaşık cevaplar üretir.
Bilgisayar hesaplamalarının sonuçları normalde sınırlı sayıda anlamlı basamakla ifade edilen bir yaklaşımdır, ancak daha kesin sonuçlar üretmek için programlanabilirler.

Eğer yaklaşık eşitlik, reel sayılar veya diğer şeyler arasında bir ikili bağıntı (\approx sembolü ile gösterilir) olarak görülürse, geçişli olmaması nedeniyle herhangi bir kesin tanımı bir denklik bağıntısı olmayacaktır.
Bu, bir bulanık bağıntı olarak modellendiğinde bile geçerlidir.

Bilgisayar bilimlerinde, eşitlik ilişkisel operatörler kullanılarak ifade edilir.
Bilgisayarlarda, fiziksel kısıtlamalar sayıların temsil edilebileceği kesinlik düzeyini temelden sınırlar.
Bu nedenle, reel sayılar genellikle kayan noktalı sayılar ile yaklaştırılır.
Her kayan noktalı sayı, belirli bir tabanda sabit uzunlukta bir basamak dizisinden oluşan bir anlamlı kısım (*significand*) ile temsil edilir ve bu, taban noktasının (*radix point*) anlamlı kısım içindeki her olası konum arasında "yüzmesini" sağlayan söz konusu tabanın bir tamsayı üssü ile ölçeklendirilir.
Bu, birçok büyüklük mertebesine yayılan sayıların temsil edilmesine izin verir, ancak yalnızca büyüklükleri arttıkça daha az kesin hale gelen bulanık değer aralıkları olarak. Kesinlik kaybını önlemek için, bilgisayarlarda reel sayıları, reel sayıyı ifade eden bir ifade biçiminde temsil etmek yaygındır.
Ancak, bir ifade ile verilen iki reel sayının eşitliğinin karar verilemez olduğu bilinmektedir (özellikle tam sayıları, temel aritmetik işlemleri, logaritmayı ve üstel fonksiyonu içeren ifadelerle tanımlanan reel sayılar).
Başka bir deyişle, böyle bir eşitliğe karar vermek için herhangi bir algoritma var olamaz (bkz. Richardson teoremi).

### Denklik bağıntısı

Bir denklik bağıntısı, benzerlik veya aynılık fikrini genelleştiren bir matematiksel bağıntıdır.
Bir X kümesi üzerinde, şu üç özelliği sağlayan bir \sim ikili bağıntısı olarak tanımlanır: yansıma, simetri ve geçişme.
Yansıma, X içindeki her elemanın kendisine denk olduğu anlamına gelir (her a \in X için a \sim a).
Simetri, eğer bir eleman diğerine denkse, tersinin de geçerli olmasını gerektirir (a \sim b \implies b \sim a).
Geçişme, eğer bir eleman ikinciye ve ikinci üçüncüye denkse, o zaman birincinin üçüncüye denk olmasını sağlar (a \sim b ve b \sim c \implies a \sim c). Bu özellikler, bir kümeyi ayrık eşdeğerlik sınıflarına parçalamak için yeterlidir.
Tersine, her parçalanma bir denklik sınıfı tanımlar.

Eşitlik denklik bağıntısı özel bir durumdur, çünkü belirli bir S kümesiyle sınırlandırıldığında, S üzerindeki mümkün olan en katı denklik bağıntısıdır;
özellikle, eşitlik bir kümeyi tüm tek-nesne kümelerden oluşan denklik sınıflarına parçalar. Diğer denklik bağıntıları, daha az kısıtlayıcı olduklarından, modüler aritmetikteki kongrüans veya geometrideki benzerlik gibi paylaşılan özelliklere veya dönüşümlere dayalı olarak elemanları tanımlayarak eşitliği genelleştirir.

#### Kongrüans bağıntısı
Soyut cebirde, bir kongrüans bağıntısı (a ve b tamsayıları, m pozitif tamsayısı ile bölündüklerinde kalanlarının aynı sayı olması şeklinde tanımlanan ve a≡b(mod m) sembolü ile ifade edilen bağıntı), denklik bağıntısı fikrini fonksiyon uygulama özelliğini de içerecek şekilde genişletir.
Yani, bir X kümesi ve X üzerinde bir işlem kümesi verildiğinde, bir \sim kongrüans bağıntısı, tüm f işlemleri için a \sim b \implies f(a) \sim f(b) özelliğine sahiptir (burada, hantal notasyondan kaçınmak için birli olarak yazılmıştır, ancak f herhangi bir ariteye (bir fonksiyondaki arguman sayısı) sahip olabilir).
Grup, halka veya modül gibi bir cebirsel yapı üzerindeki bir kongrüans bağıntısı, o yapı üzerinde tanımlanan işlemlere saygı duyan bir denklik bağıntısıdır.

### İzomorfizma
Matematikte, özellikle soyut cebir ve kategori teorisinde, halihazırda bir iç yapıya sahip olan nesnelerle uğraşmak yaygındır.
Bir izomorfizma, iki nesne arasında yapı koruyan bir tür eşleşmeyi tanımlar ve bunları yapıları veya özellikleri açısından esasen özdeş olarak belirler.

Daha resmi olarak, bir izomorfizma, iki küme veya yapı A ve B arasında, f ve tersi f^{-1}'in bu yapılar üzerinde tanımlanan işlemleri, bağıntıları veya fonksiyonları koruduğu, birebir ve örten bir eşlemedir (veya morfizmadır). Bu, A'da geçerli olan herhangi bir işlemin veya bağıntının, eşleme altında B'deki işleme veya bağıntıya tam olarak karşılık geldiği anlamına gelir.
Örneğin, grup teorisinde, bir grup izomorfizması f: G \mapsto H , tüm a, b elemanları için f(a * b) = f(a) * f(b) eşitliğini sağlar; burada * grup işlemini gösterir.

İki nesne veya sistem izomorfik olduğunda, elemanları veya temsilleri farklı olsa bile, iç yapıları açısından ayırt edilemez kabul edilirler.
Örneğin, \infty mertebeden tüm devirli gruplar, toplama işlemi altındaki tamsayılar (\Z) ile izomorfiktir. Benzer şekilde, doğrusal cebirde, iki vektör uzayı, aynı boyuta sahiplerse izomorfiktir, çünkü elemanları arasında doğrusal bir birebir eşleme vardır.

İzomorfizma kavramı, graf teorisi (graf izomorfizması), topoloji (homeomorfizma) ve cebir (grup ve halka izomorfizmaları) dahil olmak üzere matematiğin birçok dalına uzanır.
İzomorfizmalar, matematiksel varlıkların sınıflandırılmasını kolaylaştırır ve sonuçların ve tekniklerin benzer sistemler arasında aktarılmasını sağlar.
İzomorfizma ve eşitlik arasındaki boşluğu doldurmak, kategori teorisinin yanı sıra homotopi tip teorisi ve tek değerlikli temellerin geliştirilmesinin motivasyonlarından biriydi.

### Geometri

Geometride, biçimsel olarak, iki şekil tam olarak aynı noktaları içeriyorsa eşittir.
Ancak, tarihsel olarak, geometrik eşitlik her zaman çok daha geniş anlamda ele alınmıştır.
Öklid ve Arşimet, "eşit" ( ) terimini sıklıkla aynı alana sahip şekiller veya birbirini oluşturmak için kesilip yeniden düzenlenebilen şekiller için kullanmışlardır.
Örneğin, Öklid Pisagor teoremini "hipotenüs üzerindeki kare, kenarlar üzerindeki karelere, birlikte alındığında, eşittir" şeklinde ifade etmiş ve Arşimet "bir daire, kenarları yarıçap ve çevrenin yarısı olan dikdörtgene eşittir" demiştir.

Bu kavram, Adrien-Marie Legendre 1867'de eşit alana sahip şekilleri tanımlamak için "denk" (*equivalent*) terimini tanıtana ve "eşit" terimini "eşleşik" (*congruent*) — aynı şekil ve boyuta sahip veya biri diğerinin ayna görüntüsü ile aynı şekil ve boyuta sahip — anlamında ayırana kadar devam etti. Öklid'in terminolojisi, David Hilbert'in *Grundlagen der Geometrie* adlı çalışmasında devam etti; Hilbert, Öklid'in fikirlerini daha da rafine ederek, çokgenlerin sonlu sayıda eş üçgenlere bölünebilmesi durumunda "bölünebilir eşit" () ve eğer her birine sonlu sayıda bölünebilir eşit çokgen eklendiğinde elde edilen çokgenler bölünebilir eşit oluyorsa "içerik olarak eşit" () kavramlarını tanıttı.

Küme teorisinin yükselişinden sonra, 1960'lar civarında, Rus geometri derslerini dönüşümler ve küme teorisi merceğinden sunmayı öneren Andrey Kolmogorov'u takiben "New Math" (*Yeni Matematik*) adı verilen bir matematik eğitimi reformu için bir baskı oluştu.
Bir şekil bir noktalar kümesi olarak görüldüğünden, yalnızca kendisine eşit olabilirdi; Kolmogorov'un bir sonucu olarak, daha önce "eşit" olarak adlandırılan şekiller için okullarda "eş" (congruent) terimi standart hale geldi ve bu terimi popülerleştirdi.

Öklid orantı ve aynı şekle sahip figürleri ele alsa da, benzerlik kavramının modern anlamda biçimselleştirilmesi 17. yüzyıla kadar gerçekleşmedi.
Benzer şekiller, aynı şekle sahip olan ancak boyutları farklı olabilen şekillerdir;
ölçeklendirme ve eşlik yoluyla birbirlerine dönüştürülebilirler. Daha sonra, 1835'te Giusto Bellavitis tarafından yönlü doğru parçalarının eşitliği kavramı olan eşgüçlülük (*equipollence*) geliştirildi.

## Ayrıca bakınız
* 2 + 2 = 5
* Biricik

## Kaynakça

### Atıflar

### Bibliyografya

* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
*