Finansal matematik

**Finansal matematik** ya da yabancı dillerdeki yaygınlaşmış adıyla **matematiksel finans**, finans problemlerinin matematiksel modellenmesiyle ilgilenen uygulamalı matematiğin ve finansın ortak bir alt dalıdır. Sıklıkla, *Nicel finans* veya *Kantitatif finans* adlarıyla da anılır. Hesaplamalı finans ve finans mühendisliği ile büyük ölçüde örtüşür. Finansal matematiğin altında yatan teorileri de kapsayan finansal iktisat alanıyla da yakın bir bağlantısı vardır.

Türev ürünlerinin fiyatlandırılması ve risk ve portföy yönetimi finansın ileri derecede nicel teknikler gerektiren alt dallarıdır ve finansal matematiğin araştırmal alanlarıdır. Bu iki alanın en temel farkı, türev ürünlerinin fiyatlandırılmasında riske duyarsız olasılık kullanılırken risk ve portföy yönetiminde fiili, yani gerçek, olasılık kullanılmasıdır. Bu iki ayrı olasılığın ayrımını vurgulamak amacıyla türev ürünlerinin fiyatlandırılmasında  \mathbb{Q} ve risk ve portföy yönetiminde ise \mathbb{P} notasyonu kullanılır.

## Tarihçe
Finansal matematiğin doğuşu kesin bir tarihe bağlanamasa da, modern finansal matematiğin temellerini atan isim olarak genellikle Louis Bachelier kabul edilir. 1900 yılında Henri Poincaré gözetiminde savunduğu doktora tezi olan *Théorie de la Spéculation* ile opsiyon fiyatlandırma teorisini ilk kez ortaya koymuş ve bu teoride daha sonra *[[Wiener süreci]]* olarak adlandırılan süreçlere benzer yapılar kullanmıştır.

Bachelier'in çalışmaları, hayatı boyunca pek tanınmasa da, 1950'lerde ünlü istatistikçi Leonard J. Savage tarafından keşfedildi. Savage, Bachelier'in teorik yaklaşımının ekonomik modellerde kullanılabileceğini düşünerek birkaç ekonomiste bu konuda bilgi verdi. Bu sayede Paul Samuelson, Bachelier'in doktora tezini okudu ve teorinin finansal problemlere uygulanabilirliğini fark etti.

### Modern finansal matematiğin gelişimi
Bachelier'in çalışmalarının tekrar keşfedilmesi, 1960'larda özellikle opsiyon fiyatlaması üzerine araştırmaların hız kazanmasına yol açtı. Bu dönemde Samuelson, James Boness ve Milo Sprenkle gibi ekonomistler tarafından opsiyon fiyatlandırma formülleri geliştirildi.

1973 yılında Fischer Black, Myron Scholes ve Robert Merton tarafından geliştirilen ve yayımlanan Black-Scholes modeli, modern finansal matematiğin dönüm noktalarından biri olarak kabul edilir. Bu model, bir opsiyonun riskten arındırılabileceği fikrine dayanmaktadır ve dinamik bir riskten korunma stratejisi kullanarak türev ürünlerin fiyatlandırılabileceğini göstermiştir.

### Black-Scholes sonrası dönem

1980'lerin sonlarına doğru, finansal matematikçiler piyasadaki daha karmaşık türev ürünlerin fiyatlandırılması ve risk yönetimi üzerine yoğunlaştılar. Cox-Ross-Rubinstein modeli gibi ağaç modelleri, Heston modeli gibi stokastik volatilite modelleri ve SABR modeli gibi asimptotik formüller bu dönemde geliştirilmiştir.
### 2007-2008 finansal krizi ve sonrası

2007-2008 küresel finansal krizi, nicel finansın teorik temellerini ve piyasa uygulamalarını yeniden gözden geçirme ihtiyacını doğurdu. Özellikle kredi türevleri ve karmaşık finansal ürünlerin fiyatlandırılmasında kullanılan modellerin eksiklikleri ortaya çıktı. David X. Li'nin Gauss kopula modeli, teminatlandırılmış borç yükümlülüklerinin (CDO) fiyatlandırılmasında yaygın olarak kullanılmış ancak ciddi sorunlara yol açmıştır. 2007-2008 krizi, riskten arındırılmış fiyatlandırma/riskten korunma modellerinin yüksek derecede eksik piyasalarda kullanıldığında ortaya çıkan tehlikeyi gözler önüne sermiştir. Ayrıca, model riskinin önemini de vurgulamıştır: piyasadaki katılımcılar ve bu katılımcılara fiyat tedarik eden analistlere model riskinin göz ardı edilmemesine dair önemli bir dönüm noktası oluşturmuştur.

### Günümüzdeki nicel finans çalışmaları

Krizin ardından, finansal matematikçiler ve nicel analistler, kredi riskinin daha iyi modellenmesi, sistemik riskin anlaşılması ve yüksek frekanslı ticaret modelleri üzerine yoğunlaşmıştır. Heath-Jarrow-Morton modeli, faiz oranlarının dinamik olarak modellenmesinde önemli bir adım olmuştur.

Finansal matematiğin teorik gelişimi, ekonomik modelleme, stokastik süreçler, optimizasyon ve risk yönetimi gibi birçok alanla iç içe geçerek gelişmeye devam etmektedir.

## Türev ürünlerinin fiyatlandırılması

Türev ürünlerinin fiyatlandırılmasının amacı bir arz ve talebe bağlı olarak fiyatı değişen likit bir varlığın üzerine yazılan türev ürünlerinin hem alıcı hem de satıcı tarafından adil bir fiyatını bulmaktır. Bu türev ürünlerine örnek olarak egzotik opsiyonlar, ipoteğe dayalı menkul kıymetler, dönüştürülebilir tahviller vs. verilebilir.
Adil bir fiyata ulaşmak için kullanılan teknikler elde olan bilgiyi geleceğe taşımaya vesile olan tekniklerdir. Bu sebeple, Ito hesabı, Brown hareketi, kısmi diferansiyel denklemler ve martingal süreçler sıklıkla kullanılan teorik araçlardır. Nümerik analiz içinde yer alan integral ve diferansiyel denklem hesaplama yöntemlerine ve Monte Carlo simülasyonuna modelleri programlamak için sıklıkla başvurulur.

Bu alandaki ilk çalışma Louis Bachelier tarafından yazılan doktora tezinde Brown hareketinin opsiyon fiyatlandırmasına yönelik uygulamasında görülür. Bachelier, Fransa borsasındaki hisse seneti fiyatlarının logaritmalarındaki zaman serisi değişimlerini bir rastgele yürüyüş olarak varsayıp, hisse senedi fiyatı dinamiğini bugünkü bilinen haliyle aritmetik Brown hareketi olarak modellemiştir. Uzun bir aradan sonra, Fischer Black ve Myron Scholes'un, (Robert Merton'un da ciddi katkılarıyla) geometrik Brown hareketini opsiyon fiyatlandırmasında kullanması finansal matematik açısından ciddi bir süreci başlatmış oldu.
Daha sonraları, Harrison ve Pliska tarafından varlık fiyatlamanın ilk temel teoremi kanıtlanmıştır ve martingal süreçler ve Girsanov teoremi vesilesiyle \mathbb{Q} notasyonu literatüre girmiştir.

## Kaynakça