Hofstadter noktaları

Düzlem geometrisinde, bir **Hofstadter noktası** her düzlem üçgen ile ilişkili özel bir noktadır. Aslında bir üçgenle ilişkili birkaç Hofstadter noktası vardır. Bunların hepsi üçgen merkezidir. Bunlardan ikisi, **Hofstadter sıfır noktası** ve **Hofstadter bir noktası**, özellikle ilginçtir. Bunlar iki aşkın üçgen merkezidir. Hofstadter sıfır noktası, X(360) olarak gösterilen merkezdir ve Hofstafter bir noktası ise Clark Kimberling'in Encyclopedia of Triangle Centers adlı eserinde X(359) olarak gösterilen merkezdir. Hofstadter sıfır noktası, 1992 yılında Douglas Hofstadter tarafından keşfedilmiştir.

## Hofstadter üçgenleri

 verilen bir üçgen ve  de pozitif bir reel sabit olsun.

 doğru parçasını  etrafında  açısı ile 'ya doğru döndürün ve  bu doğru parçasını içeren doğru olsun. Sonra  doğru parçasını  etrafında  açısı ile 'ya doğru döndürün ve  bu doğru parçasını içeren doğru olsun.  ve  doğruları 'de kesişsin. Benzer şekilde  ve  noktaları inşa edilir. Köşeleri  olan üçgen 'nin Hofstadter -üçgenidir (veya -Hofstadter üçgenidir)

### Özel durumlar
*Hofstadter 1/3-üçgeni  üçgeninin  ilk Morley üçgenidir. Morley üçgeni her zaman bir eşkenar üçgendir.
*Hofstadter 1/2-üçgeni basitçe üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

### Hofstadter üçgenlerinin köşelerinin trilineer koordinatları
Hofstadter -üçgeninin köşelerinin trilineer koordinatları aşağıda verilmiştir:

\begin{array}{ccccccc}
  A(r) &=& 1 &:& \frac{\sin rB}{\sin (1-r)B} &:& \frac{\sin rC}{\sin(1-r)C} \\[2pt]
  B(r) &=&  \frac{\sin rA}{\sin(1-r)A} &:& 1 &:& \frac{\sin rC}{\sin(1-r)C} \\[2pt]
  C(r) &=&  \frac{\sin rA}{\sin(1-r)A} &:& \frac{\sin(1-r)B}{\sin rB} &:& 1
\end{array}

## Hofstadter noktaları

Pozitif bir reel sabit  için,   üçgeninin Hofstadter -üçgeni olsun. O halde  doğruları tek noktada kesişmektedir. Kesişme noktası, 'nin Hofstdter -noktasıdır.

### Hofstadter -noktasının trilineer koordinatları
Hofstadter -noktasının trilineer koordinatları aşağıda verilmiştir.

\frac{\sin rA}{\sin(A-rA)} \ :\ \frac{\sin rB}{\sin(B-rB)} \ :\ \frac{\sin rC}{\sin(C-rC)}

## Hofstadter sıfır ve bir noktaları
Bu noktaların trilineer koordinatları, Hofstadter -noktası için trilineer koordinat ifadelerinde  için 0 ve 1 değerlerini yerine koyarak elde edilemez.

Hofstadter sıfır noktası,  sıfıra yaklaştıkça Hofstadter -noktasının limitidir; bu nedenle, Hofstadter sıfır noktasının trilineer koordinatları aşağıdaki gibi türetilir:

\begin{array}{rccccc}
  \displaystyle \lim_{r \to 0} & \frac{\sin rA}{\sin(A-rA)} &:& \frac{\sin rB}{\sin(B-rB)} &:& \frac{\sin rC}{\sin(C-rC)} \\[4pt]
  \implies \displaystyle \lim_{r \to 0} & \frac{\sin rA}{r\sin(A-rA)} &:& \frac{\sin rB}{r\sin(B-rB)} &:& \frac{\sin rC}{r\sin(C-rC)} \\[4pt]
  \implies \displaystyle \lim_{r \to 0} & \frac{A\sin rA}{rA\sin(A-rA)} &:& \frac{B\sin rB}{rB\sin(B-rB)} &:& \frac{C\sin rC}{rC\sin(C-rC)} 
\end{array}

Çünkü \lim_{r \to 0} \tfrac{\sin rA}{rA} = \lim_{r \to 0} \tfrac{\sin rB}{rB} = \lim_{r \to 0} \tfrac{\sin rC}{rC} = 1,

 \implies \frac{A}{\sin A}\ :\ \frac{B}{\sin B}\ :\ \frac{C}{\sin C} \quad = \quad \frac{A}{a}\ :\ \frac{B}{b}\ :\ \frac{C}{c}

Hofstadter bir noktası,  bire yaklaştıkça Hofstadter -noktasının limitidir; bu nedenle Hofstadter bir noktasının trilineer koordinatları aşağıdaki gibi türetilir:

\begin{array}{rccccc}
  \displaystyle \lim_{r \to 1} & \frac{\sin rA}{\sin(A-rA)} &:& \frac{\sin rB}{\sin(B-rB)} &:& \frac{\sin rC}{\sin(C-rC)} \\[4pt]
  \implies \displaystyle \lim_{r \to 1} & \frac{(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)} &:& \frac{(1-r)\sin rB}{\sin(B-rB)} &:& \frac{(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)} \\[4pt]
  \implies \displaystyle \lim_{r \to 1} & \frac{(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)} &:& \frac{(1-r)B\sin rB}{B\sin(B-rB)} &:& \frac{(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)} 
\end{array}

Çünkü \lim_{r \to 1} \tfrac{(1-r)A}{\sin(A-rA)} = \lim_{r \to 1} \tfrac{(1-r)B}{\sin(B-rB)} = \lim_{r \to 1} \tfrac{(1-r)C}{\sin(C-rC)} = 1,

\implies \frac{\sin A}{A}\ :\ \frac{\sin B}{B}\ :\ \frac{\sin C}{C} \quad = \quad \frac{a}{A}\ :\ \frac{b}{B}\ :\ \frac{c}{C}

## Kaynakça