İçler dışlar çarpımı

Matematikte, özellikle temel aritmetik ve temel cebirde, iki kesir veya rasyonel ifadeler arasındaki bir denklem verildiğinde, denklemi basitleştirmek veya bir değişkenin değerini belirlemek için **içler dışlar çarpımı** yapılabilir.

Şu şekilde bir denklem verildiğinde:

: \frac a b = \frac c d,

burada  ve  sıfır değildir, içler dışlar çarpımı yapılarak şu elde edilir:

: ad = bc \quad \text{veya} \quad a = \frac{bc}d.

Öklid geometrisinde aynı hesaplama, oranları benzer üçgenlerin oranları olarak düşünerek de elde edilebilir.

## Yöntem
Uygulamada, içler dışlar çarpımı yöntemi, her bir (veya bir) tarafın payını diğer tarafın paydasıyla çarpmak, yani terimleri etkili bir şekilde çaprazlamak anlamına gelir:

: \frac a b \nwarrow \frac c d, \quad \frac a b \nearrow \frac c d.

Bu yöntemin matematiksel gerekçesi, aşağıdaki daha uzun matematiksel prosedüre dayanmaktadır.

Temel denklemle başlarsak:

: \frac a b = \frac c d,

her iki taraftaki terimleri aynı sayıyla çarpabiliriz ve terimler eşit kalır.

Bu nedenle, her iki taraftaki kesri her iki tarafın paydalarının çarpımıyla——çarparsak şunu elde ederiz:

: \frac a b \times bd = \frac c d \times bd.

Sol taraftaki iki  oluşumunun ve sağ taraftaki iki  oluşumunun birbirini götürdüğünü (sadeleştiğini) not ederek kesirleri en sade hale getirebiliriz:

: ad = bc,

ve denklemin her iki tarafını elemanlardan herhangi birine—bu durumda  kullanacağız—bölebiliriz:

: a = \frac{bc}d.

İçler dışlar çarpımının bir başka gerekçesi de şöyledir:

Verilen denklemle başlayarak:

: \frac a b = \frac c d,

sol tarafı  = 1 ile ve sağ tarafı  = 1 ile çarparız:

: \frac a b \times \frac d d = \frac c d \times \frac b b,

ve böylece:

: \frac{ad}{bd} = \frac{cb}{db}.

Ortak payda olan  =  sadeleştirildiğinde geriye şu kalır:

: ad = cb.

Bu prosedürlerdeki her adım, denklemlerin tek ve temel bir özelliğine dayanmaktadır.

İçler dışlar çarpımı, öğrencilere öğretilebilecek kolay anlaşılır bir prosedür ve bir kısayoldur.

## Kullanım
Bu, matematikte kesirleri sadeleştirmek veya bir kesir içindeki belirli bir değişkenin değerini hesaplamak için kullanılan yaygın bir prosedürdür.

Eğer şöyle bir denklemimiz varsa:

: \frac x b = \frac c d,

burada  çözmek istediğimiz bir değişkendir, içler dışlar çarpımını kullanarak şuna ulaşabiliriz:

: x = \frac{bc}d.

Örneğin, bir arabanın hızının sabit olduğunu ve son 3 saatte 90 mil yol aldığını biliyorsak, 7 saatte ne kadar yol gideceğini öğrenmek isteyelim.

Sözlü problemi oranlara dönüştürdüğümüzde şunu elde ederiz:

: \frac x{7\ \text{saat}} = \frac{90\ \text{mil}} {3\ \text{saat}}.

İçler dışlar çarpımı şunu verir:

: x = \frac{7\ \text{saat} \times 90\ \text{mil}}{3\ \text{saat}},

ve böylece:

: x = 210\ \text{mil}.

Şuna benzer basit denklemlerin bile:

: a = \frac{x}{d}

içler dışlar çarpımı kullanılarak çözüldüğüne dikkat edin, çünkü eksik olan  terimi örtük olarak 1'e eşittir:

: \frac a 1 = \frac x d.

Kesirler veya rasyonel ifadeler içeren herhangi bir denklem, her iki taraf en küçük ortak payda ile çarpılarak basitleştirilebilir. Bu adıma *kesirden kurtarma* denir.

## Üçlü kuralı
**Üçlü kuralı** (*Rule of three*), öğrencilere ezbere öğretilebilen içler dışlar çarpımının özel bir biçimi için kullanılan tarihsel bir kısaltmaydı. Kolonyal matematik eğitiminin zirvesi olarak kabul edilirdi ve hala Fransa ortaöğretim ulusal müfredatında ve İspanya ilköğretim müfredatında yer almaktadır.

Şu formdaki bir denklem için:

: \frac a b = \frac c x,

değeri bulunacak değişkenin sağ taraf paydasında olduğu durumda, üçlü kuralı şunu belirtir:

: x = \frac{bc}a.

Bu bağlamda,  orantının *dış*ı,  ve  ise *iç*leri olarak adlandırılır.

Bu kural, MS 2. yüzyıldan önce Çinli matematikçiler tarafından zaten biliniyordu, ancak Avrupa'da çok daha sonrasına kadar kullanılmadı. 17. yüzyılın önde gelen ders kitabı Cocker's Arithmetick, üçlü kuralı tartışmasına şu problemle başlar: "Eğer 4 yarda kumaş 12 şilin tutuyorsa, 6 yarda kumaş bu oranda ne kadar tutar?"

Üçlü kuralı bu problemin cevabını doğrudan verir; oysa modern aritmetikte, 6 yarda kumaşın maliyetini temsil etmesi için bir  değişkeni tanımlayarak ve şu denklemi yazarak çözeriz:

: \frac{4\ \text{yarda}}{12\ \text{şilin}} = \frac{6\ \text{yarda}}{x}

ve ardından 'i hesaplamak için içler dışlar çarpımı kullanırız:

: x = \frac{12\ \text{şilin} \times 6\ \text{yarda}}{4\ \text{yarda}} = 18\ \text{şilin}.

1570 tarihli anonim bir el yazmasında şöyle denilmiştir:
"Çarpma eziyettir, / Bölme de o kadar kötü; / Üçlü Kuralı kafamı karıştırır, / Ve Alıştırmalar beni delirtir." (Orijinali: *Multiplication is vexation, / Division is as bad; / The Rule of three doth puzzle me, / And Practice drives me mad.*)

Charles Darwin, yeni ayırt edilen bir cinsteki türlerin sayısını tahmin ederken üçlü kuralını kullandığından bahseder. William Darwin Fox'a 1855'te yazdığı bir mektupta Charles Darwin, "Gerçek ölçüm ve Üçlü Kuralı dışında hiçbir şeye inancım yok." demiştir. Karl Pearson, bu beyanı yeni kurduğu Biometrika dergisinin sloganı olarak benimsemiştir.

### Çift üçlü kuralı
Üçlü kuralının bir uzantısı, bilinen üç değer yerine bilinen beş değerden bilinmeyen bir değeri bulmayı içeren **çift üçlü kuralı** idi.

Böyle bir problemin örneği şu olabilir: *Eğer 6 inşaatçı 8 evi 100 günde yapabiliyorsa, 10 inşaatçının 20 evi aynı hızda yapması kaç gün sürer?* Bu durum şöyle kurgulanabilir:

: \frac{\frac{8\ \text{ev}}{100\ \text{gün}}}{6\ \text{inşaatçı}} = \frac{\frac{20\ \text{ev}}{x}}{10\ \text{inşaatçı}},

iki kez içler dışlar çarpımı yapıldığında bu şunu verir:

:  x = \frac{20\ \text{ev} \times 100\ \text{gün} \times 6\ \text{inşaatçı}}{8\ \text{ev} \times 10\ \text{inşaatçı}} = 150\ \text{gün}.

Lewis Carroll'ın "The Mad Gardener's Song" (Çılgın Bahçıvanın Şarkısı) şiiri şu dizeleri içerir: "Bir Bahçe Kapısı gördüğünü sandı / Bir anahtarla açılan: / Tekrar baktı ve gördü ki o / Bir çift Üçlü Kuralı'ymış".

## Ayrıca bakınız
* Çapraz oran
* Göreceli olasılıklar oranı
* Devir (birim)

## Kaynakça

## Konuyla ilgili yayınlar
* Brian Burell: *Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference*. Merriam-Webster, 1998, ,  pp. 85-101
* 'Dr Math', ''Rule of Three''
* 'Dr Math', ''Abraham Lincoln and the Rule of Three''
*  - ilgili bölümün tıpkıbasımı
* The Rule of Three as applied by Michael of Rhodes in the fifteenth century (On beşinci yüzyılda Rodoslu Michael tarafından uygulandığı şekliyle Üçlü Kuralı)
* The Rule Of Three in Mother Goose (Kaz Ana masallarında Üçlü Kuralı)
* Rudyard Kipling: You can work it out by Fractions or by simple Rule of Three, But the way of Tweedle-dum is not the way of Tweedle-dee. (Bunu Kesirlerle veya basit Üçlü Kuralı ile çözebilirsin, Ama Tweedle-dum'ın yolu Tweedle-dee'nin yolu değildir.)