Jensen eşitsizliği

Matematikte **Jensen eşitsizliği** dışbükey ve içbükey fonksiyonlar için temel bir eşitsizliktir. Eşitsizliğin birkaç değişik biçimi vardır; özellikle, analizde ve bilgi teorisinde başka birçok eşitsizliğin de temelini oluşturmaktadır.

Eşitsizlik, adını 17 Ocak 1905'te Danimarka Matematik Derneği'nin bir konferansında sunan Danimarkalı matematikçi ve mühendis Johan Ludwig Jensen'den almıştır. Biraz farklı koşullar altında sunulmuş ve Otto Hölder tarafından 1889 yılında kanıtlanmış bir hâli de bulunabilir.

Jensen eşitsizliği, bir dışbükey fonksiyonun sonlu sayıdaki noktalardan oluşan bir dışbükey bileşim noktasında aldığı değerin, fonksiyonun bu sonlu noktadaki aldığı değerlerinin sonlu dışbükey bileşiminden küçük veya eşit olduğunu belirtir. Eşitlik her zaman doğrusal fonksiyonlar için geçerlidir. Özellikle, Jensen eşitsizliği, bir dışbükey fonksiyonun kesen doğrusunun fonksiyonun grafiğinin üstünde yer aldığı ifadesini genelleştirir. Başka bir deyişle, Jensen iki nokta için kullanıldığında, fonksiyonun grafiğinin iki noktasını kesen doğru (*t*&nbsp;∈&nbsp;[0,1] için),
:t f(x_1) + (1-t) f(x_2),
olurken, fonksiyonun grafiğinin bu noktalar arasındaki kısmı ise
:f(t x_1 + (1-t) x_2)
tarafından verilir. Sonuç olarak, Jensen eşitsizliği 
:f(t x_1 + (1-t) x_2) \leq t f(x_1) + (1-t) f(x_2)
halini alır.

## Eşitsizliğin değişik biçimdeki ifadeleri
### Sonlu biçimi
Gerçel değerli bir \varphi fonksiyonu ve bu fonksiyonun tanım kümesinde x_1, x_2, \ldots, x_n noktaları olsun. Toplamları 1 olan pozitif a_i sayıları için 
:\varphi\left({\sum_{i=1}^n a_i x_i}\right) \le {\sum_{i=1}^{n} a_i \varphi (x_i)}
olur. Eğer fonksiyon içbükeyse, eşitsizlik yönü değişir ve 
:\varphi\left({\sum_{i=1}^n a_i x_i}\right) \ge {\sum_{i=1}^{n} a_i \varphi (x_i)}
olur.
Eşitlik, ancak ve ancak x_1=x_2=\cdots =x_n olursa ya da  \varphi doğrusal bir fonksiyonsa gerçekleşir.

#### Aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliği
Eğer a_i=\frac{1}{n} alınırsa, o zaman, yukarıdaki eşitsizlikler
:\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}
ve
:\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \geq \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}
olurlar. Dahası, fonksiyonu f(x)=\log(x) alırsak, o zaman, bu fonksiyon içbükey olduğu için 
\log\!\left( \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right) \geq \frac{\sum_{i=1}^n \log\!\left( x_i \right)}{n}
elde edilir. Her iki tarafın ilk önce üstelini alıp, daha sonra üstel fonksiyon ile logaritmanın birbirlerinin tersi olduğunu ve bu fonksiyonların özelliklerini kullanarak
\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}
aritmetik ortalama-geometrik ortalama eşitsizliğini elde ederiz.

### Ölçü kuramındaki biçimi
(\Omega, A, \mu)  bir olasılık uzayı olsun. f : \Omega \to \mathbb{R} fonksiyonu \mu-ölçülebilir olsun ve \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dıişbükey bir fonksiyon olsun. O zaman,

\varphi\left(\int_\Omega f \,\mathrm{d}\mu\right) \leq \int_\Omega \varphi \circ f \,\mathrm{d}\mu
 
olur. Gerçel analizde, bazen, negatif olmayab ve Lebesgue integrali var olan bir f\colon[a, b] \to \R fonksiyonu ve belli bir a, b \in \mathbb{R} sayıları için
:\varphi\left(\int_a^b f(x)\, dx\right)
ifadesinin kestirimi lazım olur. Elbette, bu durumda, [a, b] aralığının uzunluğu 1 olmayabilir. Bu durumda, integralde yerine koyma yöntemiyle bu aralığı ölçeklendirip eşitsizliğin kullanımına uygun hâle getirebiliriz.

:\varphi\left(\frac{1}{b-a}\int_a^b  f(x)\, dx\right) \le \frac{1}{b-a} \int_a^b \varphi(f(x)) \,dx. 

### Olasılıktaki biçimi
(\Omega, \mathfrak{F},\operatorname{P}) olasılık uzayı, *X* gerçel değerli ve integrallenebilir bir rasgele değişken ve \varphi dışbükey bir fonksiyon olsun. O zaman,

:\varphi\left(\operatorname{E}[X]\right) \leq \operatorname{E} \left[ \varphi(X) \right].

Olasılık durumunda,  ölçüsünün yerine \operatorname{P} olasılığı, 'ye göre olan integralin yerine  \operatorname{E}, yani, beklenen değer ve son olarak, foknsiyon f yerine de *X* rasgele değişkeni gelmiştir. 
Son olarak, eşitlik ancak ve ancak \varphi, \mathrm{P}(X \in A) = 1 özelliğini sağlayan dışbükey bir A kümesi üzerinde doğrusal olursa sağlanır.

## Kanıtlar
### Sonlu biçim için kanıt
Sonlu biçimdeki Jensen eşitliğinin kanıtı tümevarımla verilebilir. Fonksiyonun dışbğkeyliğinden başlangıç adımı n=2 için doğrudur. Diyelim ki tümevarımdaki varsayım gereği, bir n sayısı için eşitsilik doğru olsun. Yani, her  için ve  olan her  için
:\varphi\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^{n}\lambda_i \varphi\left(x_i\right)

doğru olsun. Eşitsizliği,  için kanıtlamamız gerekecek. 
Bu durumda,  olduğu içn, en azından bir tane  1den kesin küçük olacak. Diyelim ki,  olsun. Dışbükey eşitsizliğinden

:\begin{align}
\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right) &= \varphi\left((1-\lambda_{n+1})\sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}} x_i + \lambda_{n+1} x_{n+1} \right) \\
&\leq (1-\lambda_{n+1}) \varphi\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}} x_i \right)+\lambda_{n+1}\,\varphi(x_{n+1})
\end{align}
yazabiliriz.  1den kesin küçük olduğu için
: \sum_{i=1}^{n} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}} = 1 
yazılabilir. O hâlde, tümevarım varsayım adımını kullanarak, 
: \varphi\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}} x_i\right) \leq \sum_{i=1}^{n}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}} \varphi(x_i)
elde ederiz. Bu yüzden, 
: \begin{align}
\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right) 
&\leq (1-\lambda_{n+1}) \sum_{i=1}^{n}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{n+1}} \varphi(x_i)+\lambda_{n+1}\,\varphi(x_{n+1}) 
=\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i \varphi(x_i)
\end{align}
olur.

### Ölçü kuramsal biçim için kanıt
(\Omega, A, \mu)  bir olasılık uzayı olsun. f : \Omega \to \mathbb{R} fonksiyonu \mu-ölçülebilir olsun ve \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dışbükey bir fonksiyon olsun.

\varphi dışbükey olduğu için, her gerçel x sayısı için, boş olmayan bir alttürev kümesi vardır. Burada, alttürev kümesi \varphinin grafiğine x noktasında dokunan ama \varphinin grafiğinin altında kalan doğrular olarak düşünülebilir. Şimdi, 
:x_0:=\int_\Omega g\, d\mu,
tanımlarsak, dışbükey fonksiyonların altürevlerinin varlığı sayesinde, öyle bir a ve b seçebiliriz ki 
:ax + b \leq \varphi(x),
eşitliği tüm x değerleri için sağlanır. Sonuç olarak,
:ax_0+ b = \varphi(x_0)
olur ve o zaman, hemen hemen tüm \omega \in \Omega için 
:\varphi \circ g (\omega) \geq ag(\omega)+ b
olur. Olasılık ölçüsünde olduğumuz için, integralin de artma özelliği vardır (\mu(\Omega) = 1). Böylece,

:\int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu  \geq \int_\Omega (ag + b)\, d\mu  = a\int_\Omega g\, d\mu + b\int_\Omega d\mu = ax_0 + b = \varphi (x_0) = \varphi \left (\int_\Omega g\, d\mu \right )
elde edilir.

## Kaynakça