Bochner-Martinelli formülü

Matematikte, **Bochner-Martinelli formülü**, Cauchy integral formülünün birden fazla kompleks değişkenli fonksiyonlara yönelik genellemelerinden birisidir.  ve  tarafından bağımsız olarak kanıtlanmıştır.

Formülün diferansiyel formlara yönelik genellemesi **Bochner-Martinelli-Koppelman formülü** olarak bilinmektedir.

## Tarihçe
Bochner-Martinelli formülünün yayınlandığı ve kanıtlandığı ilk makale Martinelli'ye aittir. Başka bir makalede ise,
Martinelli Hartogs teoreminin kanıtını Bochner-Martinelli formülünü kullanarak vermiştir.

Bochner ise 1943'ün nisan ayında yayınlanması için ibraz ettiği makalesinde  yer alan ve yine aynı yılın Eylül ayında güncellediği bir dipnotta *Formül (53)'ün ve kanıtı bu formüle dayanan Teorem 5'in Enzo Martinelli tarafından () hemen yakın zamanda yayınlandığını* söylemektedir. Yine aynı dipnotta, yazarın (yani Bochner'in) bu sonuçları daha önce 1940/41 kış döneminde Princeton'daki doktora seviyesindeki bir derste sunduğu ve Donald C. May tarafından Haziran 1941'de yazılan *An integral formula for analytic functions of k variables with some applications* başlıklı doktora tezinde yer aldığı kaydedilmiştir. Ancak, Bochner 1947'de yayınladığı bir makalesindeki dipnotta, daha önce  makalesindeki dipnotta Martinelli'den önce bu formüle aşina olabileceği hakkındaki iddiasının dayanaksız olduğunu ve bu iddiasını geri çektiğini yazmıştır.

Walter Koppelman son yaptığı yayınında Cauchy-Fantappiè çekirdeği ile alakalı mekanizmanın sadece fonksiyonlar için değil diferansiyel formlar için de uyarlanabileceğini göstermiştir.

## Bochner–Martinelli çekirdeği

 \zeta, z\in \Complex^n  için, Bochner–Martinelli çekirdeği  ikili derecesi  olan ve  için aşağıdaki gibi tanımlı bir formdur:

:\omega(\zeta,z) = \frac{(n-1)!}{(2\pi i)^n}\frac{1}{|z-\zeta|^{2n}}
\sum_{1\le j\le n}(\overline\zeta_j-\overline z_j) \, d\overline\zeta_1 \land d\zeta_1 \land \cdots \land  d\zeta_j \land \cdots \land d\overline\zeta_n \land d\zeta_n

Burada, toplamın terimleri  formunu atlar.

\Omega kümesi \mathbb{C}*n*de parçalı düzgün bir sınıra (b\Omega) sahip olan bir bölge olsun. Diyelim ki  fonksiyonu  \Omega kümesinin kapanışında sürekli türevlenebilen bir fonksiyondur. O halde, Bochner-Martinelli formülü şunu ifade eder:
 z\in \Omega için 
:\displaystyle f(z) = \int_{b\Omega}f(\zeta)\omega(\zeta, z) - \int_\Omega\overline\partial f(\zeta)\land\omega(\zeta,z).

* Bu formülü veren teoremler aslında formülden daha fazlasını gösterirler. Bu teorem ifadelerinde, formülün sağ tarafı baz alınıp eşitlik bölge içindeki noktalar için yukarıdaki gibi verilir; bölgenin kapanışının dışında kalan noktalar içinse sonuç 0 olarak verilir.
*  ayrıca holomorf ise, ikinci integral o zaman sıfıra eşittir ve aşağıdaki bağlantı holomorf fonksiyonlar için yazılabilir.
:\displaystyle f(z) = \int_{b\Omega}f(\zeta)\omega(\zeta, z). 

* Bochner-Martinelli çekirdeği harmoniktir ama  n>1 için holomorf değildir.

### Cauchy çekirdeği
Bochner-Martinelli çekirdeği Cauchy çekirdeğini birden fazla kompleks boyuta taşımaktadır. Gerçekten de n=1 alınırsa, o zaman Bochner-Martinelli çekirdeği şu hali alır:
:\omega(\zeta, z) = \frac{1}{2\pi i}\frac{1}{|z-\zeta|^{2}} (\overline\zeta-\overline z) d\zeta. 

Burada, |z-\zeta|^{2}=(z-\zeta) (\overline z-\overline \zeta) olduğunu gözlemleyip gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra çekirdeğin
:\omega(\zeta, z) = \frac{1}{2\pi i}\frac{1}{(\zeta-z)} d\zeta 
olduğu görülür ki bu da Cauchy çekirdeğidir. Sonuç olarak, eğer  bir kompleks değişkenli holomorf fonksiyon ise Bochner-Martinelli formülünün yukarıda verilen özel hali Cauchy integral formülüne dönüşür. Yani, 
:\displaystyle f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{b\Omega}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z} d\zeta. 

## Bochner-Martinelli-Koppelman çekirdeği
\gamma=\sum_{j=1}^{n}(\bar{w}_j-\bar{z}_j)dw_j olsun. O zaman, **Bochner–Martinelli-Koppelman çekirdeği** (p,q) formları (1\le q\le n-1) için şu şekilde yazılabilir:
:U_q({w},{z})= \frac{(-1)^{\frac{q(q-1)}{2}}}{(2\pi i)^n} 
\gamma \wedge (\overline{\partial}_z\gamma)^q\wedge  (\overline{\partial}_w\gamma)^{n-q-1}


\Omega kümesi \mathbb{C}*n*de parçalı düzgün bir sınıra (b\Omega) sahip olan bir bölge olsun. Diyelim ki  , \Omega bölgesinin kapanışında sürekli türevlenebilen bileşen fonksiyonları olan (0,q)-formu olsun. O halde, Bochner-Martinelli-Koppelman formülü şunu ifade eder:
 z\in \Omega için 
:\displaystyle f(z) = \int_{b\Omega}f(w)\wedge U_q(w, z) - \int_\Omega\overline\partial_{w} f(w)\wedge U_q(w,z)- \overline\partial_z \int_\Omega f(w) \wedge U_{q-1}(w,z).
Bu teoremin ifadelerinde, formülün sağ tarafı baz alınıp eşitlik bölge içindeki noktalar için yukarıdaki gibi verilir; bölgenin kapanışının dışında kalan noktalar içinse sonuç 0 olarak verilir.

## Notlar

## Kaynakça
*(22 Haziran 2010da küçük güncellemeler yapılmıştır).
*.
*.
*.

*. 
*. SEALS Portal kaynağında mevcut.