Radon-Nikodym teoremi

Matematikte **Radon-Nikodym teoremi**, aynı ölçülebilir uzayda tanımlanmış iki ölçü arasındaki ilişkiyi ifade eden bir sonuçtur. Burada ölçü ile kastedilen ölçülebilir bir uzayın ölçülebilir alt kümelerine tutarlı bir büyüklük atayan bir küme fonksiyonudur. Ölçü örnekleri arasında alan ve hacim verilebilir.

Verilen bir ölçüyü yeni bir ölçüye dönüştürmenin bir yolu, uzayın her noktasına bir yoğunluk atamak ve ardından istenilen ölçülebilir alt küme üzerinde integral almaktır ve şu şekilde ifade edilebilir:

:\nu(A) = \int_A f \, d\mu.

Burada , ölçülebilir herhangi bir alt küme  için tanımlanan yeni ölçüdür.   fonksiyonu ise verilen bir noktadaki yoğunluktur. İntegral, μ ölçüsüne göre alınır ve bu ölçü genellikle gerçel doğru  üzerindeki veya *n* boyutlu Öklid uzayı 'deki Lebesgue ölçüsüdür. Bu ölçü, uzunluk, alan ve hacim gibi standart kavramlara karşılık gelir.
Örneğin, kütle yoğunluğu   ve üç boyutlu uzay 'teki Lebesgue ölçüsü   ile gösterilirse, o zaman  uzaysal bir bölge A'daki toplam kütleye eşit olacaktır.

**Radon-Nikodym teoremi** esasen, belirli koşullar altında, herhangi bir  ölçüsünün aynı uzaydaki başka bir  ölçüsüne göre bu şekilde ifade edilebileceğini belirtir.  fonksiyonu  o zaman **Radon-Nikodym türevi** olarak adlandırılır ve \tfrac{d\nu}{d\mu} şeklinde gösterilir. Radon-Nikodym teoreminin önemli bir uygulaması olasılık teorisinde görülür. Bu uygulamada, rassal bir değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir.

Teorem, bu sonucu 1913'te  için kanıtlayan Johann Radon'un ve yine aynı sonucu daha bir genel durumda 1930'da kanıtlayan Otto Nikodym'in adını almıştır. 1936'da Hans Freudenthal, bugün Riesz uzay teorisinde bir sonuç olan Freudenthal spektral teoremini kanıtlayarak Radon-Nikodym teoremini genelleştirdi. Bu sonuçta, Radon-Nikodym teoremi özel bir sonuç olarak elde edilir.

 Banach uzayıysa ve Radon-Nikodym teoreminin genellemesi  değerlerine sahip fonksiyonlar için de geçerliyse (mutatis mutandis), o zaman 'nin *Radon-Nikodym özelliği*ne sahip olduğu söylenir. Bütün Hilbert uzayları Radon-Nikodym özelliğine sahiptir.

## Teoremin ifadesi
(X, \Sigma) ölçü uzayı, \mu ve \nu de bu uzayın üzerinde tanımlı σ-sonlu ölçü olsun. Eğer \nu \ll \mu ise (yani, \nu ölçüsü \mu'ye göre mutlak sürekli ölçü ise), o zaman ölçülebilir herhangi bir A \in \Sigma için
\nu(A) = \int_A f \, d\mu.
eşitliğini sağlayan \Sigma-ölçülebilir bir f : X \to [0, \infty)  fonksiyonu vardır.

### Radon-Nikodym türevi
Yukarıdaki eşitliği sağlayan f fonksiyonu \mu'ye göre sıfır ölçülü kümeler haricinde *biriciktir*. Diğer deyişle, eğer aynı özelliği sağlayan başka bir g fonksiyonu olsaydı, o zaman f ile  g fonksiyonları \mu'ye göre hemen hemen her yerde birbirine eşit olurdu. Sonuç olarak, böyle bir f fonksiyonu genelde \frac{d\nu}{d\mu} olarak yazılır ve fonksiyona **'' denilir. Buradaki gösterim ve türev terimi kastidir; kalkülüsteki türeve benzeyecek  şekilde bir ölçünün yoğunluğunun değişim oranının diğerininkine oranını gösterir.

=== İşaretli veya karmaşık ölçülere genelleştirilmesi ===
Benzer bir teorem [[işaretli ölçü|işaretli]] ve [[karmaşık ölçü]]ler için de kanıtlanabilir. Eğer  <math>\mu</math> negatif olmayan [[σ-sonlu ölçü|σ-sonlu bir ölçü]], <math>\nu</math> sonlu-değer alan işaretli veya karmaşık bir ölçü ve <math>\nu \ll \mu</math> ise, o zaman <math>X</math> üzerinde tanımlı, gerçel veya karmaşık değerli,<math>\mu</math>'ye göre integrali olan ve ölçülebilir herhangi bir <math>A</math> için
:<math display=block>\nu(A) = \int_A g \, d\mu</math> 
ilişkisini sağlayan bir <math>g</math> fonksiyonu vardır.

== Örnekler ==
Aşağıdaki örneklerde,  kümesi [0,1] aralığı, <math>\Sigma</math> ise  üzerinde [[Borel kümesi|Borel sigma-cebiridir]]. 
* <math>\mu</math>,  üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü olsun. <math>\nu</math> ise 'in altkümesi 'ye 'nin uzunluğunun iki katını atasın. O zaman, <math display="inline">\frac{d\nu}{d\mu} = 2</math>.
* <math>\mu</math>,  üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü olsun. <math>\nu</math> ise 'in altkümesi 'ye  {0.1, …, 0.9} kümesinin  içinde olan eleman sayısını atasın. O zaman, <math>\nu</math> ölçüsü <math>\mu</math>'ye göre mutlak sürekli değildir; çünkü, <math>\nu</math> ölçüsü, <math>\mu</math>'ye göre ölçüsü sıfır olan noktalar kümesine sıfır olmayan ölçü değerleri tayin etmektedir. Gerçekten de, <math display="inline">\frac{d\nu}{d\mu}</math> türevi yoktur. Mesela, herhangi bir <math>\varepsilon > 0</math> için, <math>(0.1 - \varepsilon)</math>'den <math>(0.1 + \varepsilon)</math>'a kadar integrali 1 olan sonlu bir fonksiyon yoktur.
*  <math>\nu</math> ölçüsü  üzerinde tanımlı uzunluk ölçüsü, <math>\delta_0</math> ölçüsü 0 merkezli [[Dirac ölçüsü]] (0'ı içeren herhangi bir kümenin ölçüsü 1, geri kalan kümelerin ölçüsü ise 0) ve son olarak  <math>\mu = \nu + \delta_0</math> olsun. O zaman, <math>\nu</math> ölçüsü  <math>\mu</math>'ye göre mutlak süreklidir ve <math display="inline">\frac{d\nu}{d\mu} = 1_{X\setminus \{0\}}</math> olur. Yani, <math>x = 0</math>'da türev 0, <math>x > 0</math> olduğunda ise türev 1 olur.

== Özellikler ==
* ''ν'', ''μ'' ve ''λ'' aynı ölçülebilir uzayda σ-sonlu ölçü olsunlar. Eğer ''ν'' ≪ ''λ'' ve ''μ'' ≪ ''λ'' (hem ''ν'' hem de ''μ'', ''λ'' 'ya göre mutlak sürekli) ise, o zaman ''λ**ya göre hemen hemen her yerde
 \frac{d(\nu+\mu)}{d\lambda} = \frac{d\nu}{d\lambda}+\frac{d\mu}{d\lambda} 
:olur.
* Eğer *ν* ≪ *μ* ≪ *λ* ise, o zaman *λ*'ya göre hemen hemen her yerde 
\frac{d\nu}{d\lambda}=\frac{d\nu}{d\mu}\frac{d\mu}{d\lambda} 
:olur. Bilhassa, *μ* ≪ *ν* ve *ν* ≪ *μ* ise, o zaman *ν*'ye göre hemen hemen her yerde
: \frac{d\mu}{d\nu}=\left(\frac{d\nu}{d\mu}\right)^{-1} olur.
* *μ* ≪ *λ* ise ve  fonksiyonun *μ*'ye göre integrali varsa, o zaman
 \int_X g\,d\mu = \int_X g\frac{d\mu}{d\lambda}\,d\lambda.
* *ν* sonlu işaretli veya karmaşık ölçü ise, o zaman  {d|\nu|\over d\mu} = \left|{d\nu\over d\mu}\right|. 

## Uygulamalar
### Olasılık teorisi
Teorem, olasılık teorisinin fikirlerini gerçel sayılar üzerinde tanımlanan olasılık kütle ve yoğunluk fonksiyonlarından keyfi kümeler üzerinde tanımlanan olasılık ölçülerine genişletmede çok önemlidir. Bir olasılık ölçüsünden diğerine geçmenin mümkün olup olmadığını ve nasıl mümkün olduğunu söyler. 
Örneğin, olasılık ölçüleri için koşullu beklentinin varlığını kanıtlamak için kullanılabilir.

### Finansal matematik
Diğer alanların yanı sıra, teorem, Finansal matematikte özellikle Girsanov teoremi aracılığıyla yaygın olarak kullanılır. Bu tür ölçü değişiklikleri, türevlerin adil fiyatlandırılmasının temel taşıdır ve gerçek dünyada gözlemlenmiş olasılıkları riske duyarsız olasılıklara dönüştürmek için kullanılır.

### Bilgi ıraksaklıkları
*μ* ve *ν*  üzerinde ölçü olsun. *μ* ≪ *ν* ise
* *ν* 'den *μ* 'ye Kullback–Leibler ıraksaklığı  D_\text{KL}(\mu \parallel \nu) = \int_X \log \left( \frac{d \mu}{d \nu} \right) \; d\mu
:olarak tanımlanır.
* *α* > 0 ve *α* ≠ 1 için, *ν* 'den *μ* 'ye *α* mertebeden Rényi ıraksaklığı  D_\alpha(\mu \parallel \nu) = \frac{1}{\alpha - 1} \log\left(\int_X\left(\frac{d\mu}{d\nu}\right)^{\alpha-1}\; d\mu\right)
:olarak tanımlanır.

## σ-sonluluk varsayımının gerekliliği
'nün σ-sonlu olmadığı ve Radon-Nikodym teoreminin geçerli olmadığı bir örnek verelim. 
Gerçel sayılar üzerinde Borel σ-cebirini ele alalım. Bir Borel kümesi 'nın sayma ölçüsü , eğer  sonlu ise 'nın eleman sayısını verir; aksi takdirde, 'nın sayma ölçüsü  olur. 'nün gerçekten bir ölçü olduğu kolaylıkla kontrol edilebilir. Ancak, , -sonlu değildir. Çünkü, sonlu kümelerin sayılabilir birleşimleri herhangi bir Borel kümesini vermeyebilir. Diğer deyişle, bu halde yazılamayacak Borel kümeleri vardır. 'nün  bu Borel cebiri üzerindeki olağan Lebesgue ölçüsü olduğunu varsayalım. O zaman,  ölçüsü, 'ye göre mutlak süreklidir. Çünkü bir A kümesi için  olması ancak   boş küme ise gerçekleşir; bu durumda  da zaten sıfırdır.

Şimdi, diyelim ki Radon–Nikodym teoremi bu durumda sağlansın. Yani, elimizde ölçülebilir bir  fonksiyonu vardır öyle ki 
:\nu(A) = \int_A f \,d\mu
tüm Borel kümeleri için sağlanır. Bu halde, 'yı  gibi tek noktadan oluşan bir küme alırsak, yukarıdaki integral her  sayısı için
: 0 = f(a)
verecektir. O zaman,  sıfır olur. Sonuç olarak, Lebesgue ölçüsü   de sıfır olacaktır. Bu, bir  çelişkidir.

## Ayrıca bakınız
*Girsanov teoremi
*Radon–Nikodym kümesi

## Kaynakça