Stokes sınır tabakası

Akışkanlar dinamiğinde, **Stokes problemi**, **Stokes ikinci problemi** veya bazen **Stokes sınır tabakası** ya da **Salınımlı sınır tabakası** olarak da bilinen problem, adını Sir George Stokes'tan alan ve salınım yapan katı bir yüzeyin yarattığı akışın belirlenmesini konu alan bir problemdir.

Bu problem, Navier-Stokes denklemleri için tam çözüme sahip olan en basit zamana bağlı problemlerden biri olarak kabul edilir. Türbülanslı akışta da bu durum Stokes sınır tabakası olarak adlandırılır, ancak bu durumda akış hakkında yararlı bilgiler elde etmek için deneylere, sayısal simülasyonlara veya yaklaşıklama yöntemlerine güvenmek gerekir.

## Akış tanımı
Sonsuz bir akışkan alanında y=0 konumunda bulunan ve x yönünde U \cos \omega t hızıyla salınım yapan sonsuz uzunlukta bir levha düşünün; burada \omega, salınımların frekansıdır.
Sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemleri şu hale indirgenir:

:\frac{\partial u}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}

burada \nu, kinematik viskozitedir.
Basınç gradyanı probleme dahil olmaz. Duvardaki başlangıç ve kaymazlık koşulu şöyledir:

:u(0,t) = U \cos\omega t, \quad u(\infty,t) = 0,

ve ikinci sınır koşulu, y=0'daki hareketin sonsuzda hissedilmemesi gerçeğinden kaynaklanır.
Akış sadece levhanın hareketinden kaynaklanmaktadır, uygulanan herhangi bir basınç gradyanı yoktur.

### Çözüm
Periyodiklik nedeniyle başlangıç koşuluna gerek yoktur. Hem denklem hem de sınır koşulları doğrusal (lineer) olduğundan, hız bir karmaşık fonksiyonun reel kısmı olarak yazılabilir:

:u = U\Re \left[e^{i\omega t} f(y)\right]

çünkü \cos \omega t = \Re \left[e^{i\omega t}\right]'tir.
Bunu kısmi diferansiyel denklemde yerine koymak, denklemi adi diferansiyel denkleme indirger:

:f* - \frac{i \omega}{\nu}f = 0</math>

sınır koşulları ile birlikte:

:<math>f(0)= 1, \quad f(\infty) =0</math>

Yukarıdaki problemin çözümü şöyledir:

:<math>f(y) =  \exp\left[- \frac{1+i}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{\omega}{\nu}}y\right] </math>
:<math>u(y,t) = U e^{- \sqrt{\frac{\omega}{2\nu}}y}\cos\left(\omega t -\sqrt{\frac{\omega}{2\nu}}y \right) </math>

Salınım yapan levha tarafından oluşturulan bozulma, akışkan boyunca enine bir dalga olarak ilerler, ancak üstel faktör nedeniyle büyük ölçüde sönümlenir.

Bu dalganın nüfuz derinliği (*penetration depth*) <math>\delta=\sqrt{2\nu/\omega}</math>, salınım frekansı ile azalır, ancak akışkanın kinematik viskozitesi ile artar.
Akışkan tarafından levhaya uygulanan birim alan başına kuvvet şöyledir:

:<math>F = \mu \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{y=0} = \sqrt{\rho \omega\mu}U\cos \left(\omega t - \frac{\pi}{4}\right) </math>

Levhanın salınımı ile oluşturulan kuvvet arasında bir faz farkı vardır.

=== Sınır yakınında girdaplık salınımları ===

Stokes'un salınımlı Stokes akışı çözümüyle ilgili önemli bir gözlem, [[girdaplık]] (*vorticity*) salınımlarının ince bir sınır tabakasıyla sınırlı olması ve duvardan uzaklaştıkça [[Üstel azalma|üstel olarak]] sönümlenmesidir. Bu gözlem, türbülanslı sınır tabakası durumu için de geçerlidir.

Genellikle akışkan hacminin büyük kısmını oluşturan Stokes sınır tabakasının dışında, girdaplık salınımları ihmal edilebilir.
İyi bir yaklaşıklama ile, akış hızı salınımları sınır tabakası dışında [[girdapsız akış|girdapsız]]dır (*irrotational*) ve hareketin salınımlı kısmına [[potansiyel akış]] teorisi uygulanabilir.
Bu durum, söz konusu akış problemlerinin çözümünü önemli ölçüde basitleştirir ve genellikle [[ses dalgası|ses dalgaları]] ve [[Dalga (su)|su dalgalarının]] girdapsız akış bölgelerinde uygulanır.

=== Üst duvarla sınırlandırılmış akışkan ===
Akışkan alanı, <math>y=h</math> yüksekliğinde bulunan sabit bir üst duvarla sınırlandırılmışsa, akış hızı şu şekilde verilir:

:<math>u(y,t) = \frac{U}{2(\cosh 2\lambda h -\cos 2\lambda h)}[e^{-\lambda(y-2h)}\cos(\omega t-\lambda y) + e^{\lambda(y-2h)}\cos(\omega t+\lambda y) - e^{-\lambda y} \cos(\omega t-\lambda y+2\lambda h) - e^{\lambda y}\cos(\omega t+\lambda y-2\lambda h)]</math>

burada <math>\lambda=\sqrt{\omega/(2\nu)}</math>'dir.

=== Serbest yüzeyle sınırlandırılmış akışkan ===
Akışkan alanı aralığının <math>0<y<h</math> olduğunu ve <math>y=h</math>'nin bir serbest yüzeyi (*free surface*) temsil ettiğini varsayalım.
Bu durumda, 1968'de [[Chia-Shun Yih]] tarafından gösterildiği gibi çözüm şöyledir:

:<math>u(y,t) = \frac{U \cos h/\delta\, \mathrm{cosh}\, h/\delta}{2(\cos^2h/\delta + \mathrm{sinh}^2h/\delta)} \Re\left\{W + W^* - i \mathrm{tanh}\, h/\delta\, \tan h/\delta \,(W-W^*)\right\},\qquad W = \mathrm{cosh}[(1+i)(h-y)/\delta] e^{i\omega t}</math>

burada <math>\delta = \sqrt{2\nu/\omega} </math> ve <math> W^* </math>, <math> W </math>'nin karmaşık eşleniğidir.

=== Düz rijit bir levha yakınında salınımlı basınç gradyanı kaynaklı akış ===


Levhanın sabit tutulduğu salınımlı bir [[Yakın ve uzak alan|uzak alan]] akışı durumu, çözümlerin [[Süperpozisyon prensibi (fizik)|doğrusal süperpozisyon]]u kullanılarak salınımlı levha için önceki çözümden kolayca oluşturulabilir.

Levhadan çok uzakta düzgün bir hız salınımı <math>u(\infty,t)=U_\infty \cos \omega t</math> ve levhada sıfır hız <math>u(0,t)=0</math> olduğunu düşünün.
Orijinal problemdeki durgun akışkanın aksine, burada sonsuzdaki basınç gradyanı zamanın harmonik bir fonksiyonu olmalıdır.
Çözüm o zaman şu şekilde verilir:

:<math>
  u(y,t) = U_\infty \left[\, \cos  \omega t  - \text{e}^{-\sqrt{\frac{\omega}{2\nu}}y}\, \cos\left( \omega t - \sqrt{\frac{\omega}{2\nu}}y\right) \right],
</math>

bu ifade, hareketsiz bir duvar için [[kaymazlık koşulu]]na uygun olarak *y = 0'' duvarında sıfırdır.

Bu durumla genellikle katı bir duvarın yakınındaki ses dalgalarında veya su dalgalarında deniz tabanına yakın akışkan hareketinde karşılaşılır.
Hareketsiz bir duvar yakınındaki salınımlı akış için girdaplık, salınımlı levha durumundaki girdaplığa eşit ancak zıt işaretlidir.

## Silindirik geometride Stokes problemi

### Burulma salınımı

Yarıçapı a olan ve \Omega\cos\omega t açısal hızıyla burulma salınımı yapan sonsuz uzunlukta bir silindir düşünün; burada \omega frekanstır.
Bu durumda hız, başlangıçtaki geçici fazdan sonra şu değere yaklaşır:

:v_\theta = a\Omega\ \real\left[\frac{K_1(r\sqrt{i\omega/\nu})}{K_1(a\sqrt{i\omega/\nu})}e^{i\omega t}\right]

burada K_1, ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonudur.
Bu çözüm reel argümanla şu şekilde ifade edilebilir:

:
\begin{align} 
v_{\theta}  \left( r,t \right)  &= \Psi  \left\lbrace \left[ \textrm{kei}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}}  \right) \textrm{kei}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}} r \right) + \textrm{ker}_1 \left(  \sqrt{R_{\omega}}  \right) \textrm{ker}_1 \left(  \sqrt{R_{\omega}} r \right) \right] \cos \left( t \right) \right. \\ 
&+ \left. \left[ \textrm{kei}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}} \right) \textrm{ker}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}} r \right) - \textrm{ker}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}} \right) \textrm{kei}_1 \left( \sqrt{R_{\omega}} r \right) \right] \sin \left( t \right) \right\rbrace \\ 
\end{align}

burada
:
\Psi =  \left[ \textrm{kei}_1^2 \left( \sqrt{R_{\omega}}  \right) + \textrm{ker}_1^2 \left( \sqrt{R_{\omega}}  \right) \right]^{-1},

\mathrm{kei} ve \mathrm{ker} Kelvin fonksiyonlarıdır ve 
R_\omega
, 
R_{\omega} = \omega a^2 / \nu
 olarak tanımlanan boyutsuz salınımlı Reynolds sayısıdır; burada 
\nu
 kinematik viskozitedir.

### Eksenel salınım

Eğer silindir U\cos\omega t hızıyla eksenel yönde salınım yaparsa, hız alanı şöyledir:

:u = U\ \real\left[\frac{K_0(r\sqrt{i\omega/\nu})}{K_0(a\sqrt{i\omega/\nu})}e^{i\omega t}\right]

burada K_0, ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonudur.

## Stokes–Couette akışı
Couette akışında, plakalarından birinin öteleme hareketi yerine, bir düzlemin salınımı gerçekleştirilir.
y=0'da hareketsiz bir alt duvarımız varsa ve y=h'deki üst duvar U\cos\omega t hızıyla salınım hareketi yapıyorsa, hız alanı şu şekilde verilir:

:u = U\ \real\left\{ e^{-i \omega t} \frac{\sin k y}{\sin kh}\right\}, \quad \text{burada}\quad k = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{\omega}{\nu}}.

Hareketli düzlem üzerindeki birim alan başına sürtünme kuvveti -\mu U \real\{ k\cot kh\} ve sabit düzlem üzerindeki ise \mu U \real\{ k\csc kh\}'tir.

## Ayrıca bakınız

*Rayleigh problemi

## Kaynakça