Trigonometrik fonksiyonların türevleri

{| class="wikitable" style="margin:1em 0 1em 1em" align="right"
!Fonksiyon
!Türev
|-
|\sin(x)
|\cos(x)
|-
|\cos(x)
|-\sin(x)
|-
|\tan(x)
|\sec^2(x)
|-
|\cot(x)
|-\csc^2(x)
|-
|\sec(x)
|\sec(x)\tan(x)
|-
|\csc(x)
|-\csc(x)\cot(x)
|-
|\arcsin(x)
|\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
|-
|\arccos(x)
|-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
|-
|\arctan(x)
|\frac{1}{x^2+1}
|-
|\arccot(x)
|-\frac{1}{x^2+1}
|-
|\arcsec(x)
|\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}
|-
|\arccsc(x)
|-\frac{1}
**Trigonometrik fonksiyonların türevleri**, trigonometrik bir fonksiyonun türevini yani bir değişkene göre değişim oranını bulmanın matematiksel sürecidir. Örneğin, sinüs fonksiyonunun türevi sin'(a) = cos(a) şeklinde yazılır, bu da sin(*x*) fonksiyonunun belirli bir açı *x = a* için değişim oranının o açının kosinüsü ile verildiği anlamına gelir.

Dairesel trigonometrik fonksiyonların tüm türevleri, tan(*x*) = sin(*x*)/cos(*x*) gibi fonksiyonlara uygulanan bölme kuralı ile sin(*x*) ve cos(*x*) türevlerinden elde edilebilir. Bu türevleri bildiğimizde, ters trigonometrik fonksiyonların türevleri örtük türev alma ile bulunur.

## Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin kanıtları

### θ sıfıra yaklaşırken sin(θ)/θ limiti

Sağdaki diyagramda, merkezi *O* olan ve yarıçapı *r =* 1 olan bir daire gösterilmektedir. İki yarıçap *OA* ve *OB* θ radyanlık bir yay oluşturur. *θ*'nın  0 1 *OAB* üçgeni, *R*2 daire dilimi *OAB* ve *R*3 *OAC* üçgenidir.

*OAB* üçgeninin alanı:

:  \mathrm{Alan}(R_1) = \tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB|  \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . 

*OAB* daire diliminin alanı:

: \mathrm{Alan}(R_2) = \tfrac{1}{2}\theta \, . 

*OAC* üçgeninin alanı:

:  \mathrm{Alan}(R_3) = \tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . 

Her alan, bir sonrakinin içindedir, bu nedenle:

: \text{Alan}(R_1) 

Ayrıca, birinci çeyrekte  olduğu için, her iki tarafı   ile bölebiliriz:

: 1  \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . 

Son adımda, üç pozitif terimin tersini aldığımız için eşitsizlikler tersine döner.

Sonuç olarak, 0 \lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . *θ* küçük bir negatif sayı olduğunda – π \lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta} = \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} = \lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} = \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . 

### θ sıfıra yaklaşırken (cos(θ)-1)/θ limiti
Son bölüm, bu yeni limiti görecek kadar kolay bir şekilde hesaplamamızı sağlar. Bu hesaplamada *θ*'nın işareti önemsizdir.

:  \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta} = \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) = \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)} . 

 ve bir çarpımın limitinin, limitlerin çarpımına eşit olduğu gerçeğini kullanarak, bir önceki bölümden elde ettiğimiz limiti buluyoruz:

:  \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta} = \lim_{\theta \to 0}\,\frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} = \left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) = (-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \, . 

### tan(θ)/θ Limitinin 0'a Yaklaşması
Sinüs fonksiyonu için limit, tanjant fonksiyonunun tek işlevsel olması ve bir çarpımın limitinin çarpımlarının limitleri olduğunu göz önünde bulundurarak şunu buluruz:
:
  \lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta}
  \ =\ 
 \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\!
 \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right)
 \ =\ 
 (1)(1)
 \ =\ 
  1 \, . 

### Sinüs Fonksiyonunun Türevi
Limit tanımını kullanarak sinüs fonksiyonunun türevini hesaplayalım:
: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0}  \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . 

Açı toplam formülünü kullanarak , şunu elde ederiz:
: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta 
+ \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right) . 
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:
: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
(1)\cos\theta + (0)\sin\theta 
 =
\cos\theta \, . 

### Kosinüs Fonksiyonunun Türevi

#### Türev Tanımından
Kosinüs fonksiyonunun türevini limit tanımından tekrar hesaplayalım:
: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\theta}\,\cos\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta} . 

Açı toplam formülünü kullanarak , şunu elde ederiz:
: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right) . 
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:
: \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta 
 = (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \, . 

#### Zincir Kuralı ile
Kosinüs fonksiyonunun türevini zincir kuralından hesaplamak için şu üç eşitliği gözlemleyelim:
:\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)
:\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)
:\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta
İlk iki eşitlik bir trigonometrik özdeşliktir, üçüncüsü ise yukarıda kanıtlanmıştır. Bu üç eşitliği kullanarak aşağıdaki gibi yazabiliriz:
:\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)
Bunu zincir kuralını kullanarak türevini alabiliriz. f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta olarak alırsak:

:\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta.

Dolayısıyla, şunu kanıtlamış olduk:
:\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta.

### Tanjant Fonksiyonunun Türevi

#### Türev Tanımından
Tanjant fonksiyonunun türevini ilk prensiplerden hesaplayalım. Tanıma göre:
:
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right) .

Açı toplam formülünü kullanarak :
:
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right]
 = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right] .

Bir çarpımın limitinin, limitlerinin çarpımına eşit olduğunu göz önünde bulundurarak:
:
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right) .

Tanjant fonksiyonu için limitleri kullanarak ve tan *&delta;* 'nin 0'a yaklaştığını göz önünde bulundurarak:
:
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta .

Hemen şunu görüyoruz:
:
 \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta
 = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}
 = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}
 = \frac{1}{\cos^2\theta}
 = \sec^2\theta \, .


#### Bölme kuralından
Tanjant fonksiyonunun türevini bölme kuralı kullanarak hesaplayabiliriz:
:\frac{d}{d\theta} \tan\theta = \frac{d}{d\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta } = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}
Pay Pisagor özdeşliği ile 1 olarak sadeleştirilebilir, bu da bize:
:\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta
Sonuç olarak:
:\frac{d}{d\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta

## Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri
Aşağıdaki türevler, türevini almak istediğimiz ters trigonometrik fonksiyon için bir değişken *y* belirleyerek bulunur. Örtük türevleme kullanarak, ardından *dy*/*dx* için çözümleyerek, ters fonksiyonun türevini *y* cinsinden buluruz. *dy*/*dx*'yi tekrar *x* cinsine çevirmek için, bir referans üçgeni çizebiliriz. Bunun için birim çember üzerinde θ'yi y olarak alırız. Pisagor teoremi ve normal trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak, nihayetinde dy*/*dx'yi *x* cinsinden ifade edebiliriz.

### Ters Sinüs Fonksiyonunun Türevini Alma
Şunu alıyoruz:
:y=\arcsin x\,\!
Burada:
:-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}
O halde:
:\sin y=x\,\!
Her iki tarafta türev alıyoruz ve *dy*/*dx* için çözümleyerek:
:{d \over dx}\sin y={d \over dx}x
:\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!
Yukarıdan \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y} değerini yerine koyarak,
:\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1
Yukarıdan x=\sin y değerini yerine koyarak,
:\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1
Sonuç olarak:
:{dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

### Ters Kosinüs Fonksiyonunun Türevini Alma
Şunu alıyoruz:
:y=\arccos x\,\!
Burada:
:0 \le y \le \pi
O halde:
:\cos y=x\,\!
Her iki tarafta türev alıyoruz ve *dy*/*dx* için çözümleyerek:
:{d \over dx}\cos y={d \over dx}x
:-\sin y \cdot {dy \over dx} =1\,\!
Yukarıdan \sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\! değerini yerine koyarak,
:-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1
Yukarıdan x=\cos y\,\! değerini yerine koyarak,
:-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1
Sonuç olarak:
:{dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Alternatif olarak, \arcsin x türevini belirledikten sonra, \arccos x türevi, \arcsin x+\arccos x=\pi/2 özdeşliğini türevleyerek (\arccos x)'=-(\arcsin x)' elde edilerek hemen takip edilir.

### Ters Tanjant Fonksiyonunun Türevini Alma
Şunu alıyoruz:
:y=\arctan x\,\!
Burada:
:-\frac{\pi}{2} 
O halde:
:\tan y=x\,\!
Her iki tarafta türev alıyoruz ve *dy*/*dx* için çözümleyerek:
:{d \over dx}\tan y={d \over dx}x
Sol taraf:
:
 {d \over dx}\tan y
 = \sec^2 y \cdot {dy \over dx}
 = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx}
 Pisagor özdeşliğini kullanarak.
Sağ taraf:
:{d \over dx}x = 1
Sonuç olarak:
:(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1
Yukarıdan x=\tan y\,\! değerini yerine koyarak,
:(1+x^2){dy \over dx}=1
Sonuç olarak:
:{dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}

### Ters Kotanjant Fonksiyonunun Türevini Alma
Şunu alıyoruz:
:y=\arccot x
Burada:
:0. O halde:
:\cot y=x
Her iki tarafta türev alıyoruz ve *dy*/*dx* için çözümleyerek:
:\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x
Sol taraf:
:
 {d \over dx}\cot y
 = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx}
 = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx}
 Pisagor özdeşliğini kullanarak.
Sağ taraf:
:{d \over dx}x = 1
Sonuç olarak:
:-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1
Yukarıdan x=\cot y değerini yerine koyarak,
:-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1
Sonuç olarak:
:\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}
Alternatif olarak, \arctan x türevi yukarıda açıklandığı gibi elde edilirse, \arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2} özdeşliğinden,
hemen şu sonuç elde edilir:
\begin{align}
\dfrac{d}{dx}\arccot x 
&=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right)\\
&=-\dfrac{1}{1+x^2}
\end{align}

### Ters Sekant Fonksiyonunun Türevini Alma
#### Örtük Türevleme Kullanarak
Şunu alıyoruz:
: y = \arcsec x\ \mid |x| \geq 1
O halde:
: x = \sec y \mid \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]
: \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}
(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü sekant ve tanjant çarpımı *y* aralığında her zaman pozitifken, kök \sqrt{x^2-1} her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)
: \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

#### Zincir Kuralını Kullanarak
Alternatif olarak, ters sekantın türevi, ters kosinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

: y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) 

Burada

: |x| \geq 1  ve  y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] 

O halde,  \arccos \left(\frac{1}{x}\right)  için zincir kuralını uygulayarak:

: \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) 
 = \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} 
 = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} 
 = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} 
 = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} 

### Ters Kosekant Fonksiyonunun Türevini Alma
#### Örtük Türevleme Kullanarak
Şunu alıyoruz:

:y = \arccsc x\ \mid |x| \geq 1

O halde

: x = \csc y\ \mid \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]

: \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}
(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü kosekant ve kotanjant çarpımı *y* aralığında her zaman pozitifken, kök \sqrt{x^2-1} her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)
: \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}

#### Zincir Kuralını Kullanarak
Alternatif olarak, ters kosekantın türevi, ters sinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

: y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) 

Burada

: |x| \geq 1  ve  y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] 

O halde,  \arcsin \left(\frac{1}{x}\right)  için zincir kuralını uygulayarak:

: \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) 
 = -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} 
 = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} 
 = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} 
 = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} 

## Ayrıca bakınız

* Kalkülüs
* Türev
* Türev alma kuralları
* Trigonometrik özdeşlikler listesi
* Trigonometri

## Kaynakça

## Bibliyografya

**Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı*, Editörler: Abramowitz ve Stegun, Ulusal Standartlar Bürosu, Uygulamalı Matematik Serisi, 55 (1964)