Ay aritmetiği

**Ay aritmetiği** (eskiden **kasvetli (dismal) aritmetik** olarak adlandırılırdı), basamaklar üzerindeki toplama ve çarpma işlemlerinin maks ve min işlemleri olarak tanımlandığı bir aritmetik versiyonudur.
Böylece, ay aritmetiğinde,
:2+7=\max\{2,7\}=7 ve 2\times 7 = \min\{2,7\}=2.
Negatif olmayan çok basamaklı sayılar üzerindeki ay aritmetiği işlemleri, aşağıdaki örneklerde gösterildiği gibi olağan aritmetikteki gibi gerçekleştirilir.
Ay aritmetiği uzayı negatif olmayan tam sayılar kümesi ile sınırlıdır.
  976 +
  348
  ----
  978 (basamakları sütun sütun toplayarak)

     976 ×
     348
    ----
    876 (976'nın basamaklarını 8 ile çarparak)
   444  (976'nın basamaklarını 4 ile çarparak)
  333   (976'nın basamaklarını 3 ile çarparak)
  ------
  34876 (basamakları sütun sütun toplayarak)
Ay aritmetiği kavramı David Applegate, Marc LeBrun ve Neil Sloane tarafından ortaya atılmıştır.

Ay aritmetiğinin genel tanımında, sayılar keyfi bir b tabanda ele alınır ve ay aritmetiği işlemleri, seçilen tabana karşılık gelen basamaklar üzerinde maks ve min işlemleri olarak tanımlanır. Ancak basitlik adına, aşağıdaki tartışmada sayıların taban olarak 10 kullanılarak temsil edildiği varsayılacaktır.

## Ay işlemlerinin özellikleri
Ay işlemlerinin temel özelliklerinden birkaçı aşağıda listelenmiştir.
# Ay toplama ve çarpma işlemleri değişme ve birleşme yasalarını sağlar.
# Ay çarpması, ay toplamasının üzerine dağılır.
# 0 rakamı, ay toplamasında etkisiz elemandır. Sıfır olmayan hiçbir sayının ay toplamasında tersi yoktur.
# 9 rakamı, ay çarpmasında etkisiz elemandır.
9'dan farklı hiçbir sayının ay çarpmasında tersi yoktur.

## Bazı standart diziler

### Çift sayılar

Ay aritmetiğinde n+n\ne 2\times n ve n+n=n olduğu unutulmamalıdır.
Çift sayılar 2 \times n formundaki sayılardır.
Ay aritmetiğine göre ilk birkaç farklı çift sayı aşağıda listelenmiştir:
:0,1,2,10,11,12,20,21,22,100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 121, 122, \ldots
Bunlar, tüm basamakları 2'ye eşit veya 2'den küçük olan sayılardır.

### Kareler

Bir karesel sayı, n\times n formundaki bir sayıdır.
Yani ay aritmetiğinde, ilk birkaç kare şöyledir:
:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 100, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 200, \ldots

### Üçgensel sayılar

Bir üçgensel sayı, 1+2+\cdots+n formundaki bir sayıdır.
İlk birkaç üçgensel ay sayısı şöyledir:
:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 29, 29, 29, 29, 29, \ldots

### Faktöriyeller

Ay aritmetiğinde, n!=1\times 2\times \cdots \times n faktöriyelinin ilk birkaç değeri aşağıdaki gibidir:
:1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 110, 1110, 11110, 111110, 1111110, \ldots 

## Asal sayılar
Alışılagelmiş aritmetikte, bir asal sayı, tek olası çarpanlara ayırma biçimi 1\times p olan bir p sayısı olarak tanımlanır.
Benzer şekilde, ay aritmetiğinde bir asal sayı, tek çarpanlara ayırma biçimi 9\times n olan bir m sayısı olarak tanımlanır; burada 9, alışılagelmiş aritmetikteki 1'e karşılık gelen çarpımsal etkisiz elemandır.
Buna göre, ay aritmetiğindeki ilk birkaç asal sayı şunlardır:
:19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 109, 209, 219,
:309, 319, 329, 409, 419, 429, 439, 509, 519, 529, 539, 549, 609, 619, 629, 639, \dots
n keyfi olmak üzere, 10 \ldots ( n\text{ tane sıfır}) \ldots 09 formundaki her sayı ay aritmetiğinde bir asaldır.
n keyfi olduğundan, bu durum ay aritmetiğinde sonsuz sayıda asal olduğunu gösterir.

## Toplam kümeleri ve ay çarpması
Negatif olmayan tam sayıların alt kümelerinin toplam kümelerini oluşturma işlemi ile ikili sayılar üzerindeki ay çarpması arasında ilginç bir ilişki vardır.
A  ve B , negatif olmayan tam sayılar kümesi N'nin boş olmayan alt kümeleri olsun.
A+B  toplam kümesi şöyle tanımlanır:
:A+B=\{a+b:a\in A, \, b\in B\}.

A  kümesi ile aşağıdaki gibi benzersiz bir \beta(A)  ikili sayısı ilişkilendirebiliriz. m=\max(A)  olsun.
i=0,1,\ldots,m  için şunu tanımlarız:
:b_i=\begin{cases} 1& \text{eğer } i\in A\\ 0 &\text{eğer } i\notin A\end{cases} 
ve ardından şunu tanımlarız:
:\beta(A)=b_mb_{m-1}\ldots b_0.
Şu kanıtlanmıştır ki:
:\beta(A+B)=\beta(A)\times\beta(B)  burada sağdaki "\times ", ikili sayılar üzerindeki ay çarpmasını ifade eder.

## Ay aritmetiği kullanılarak karelerin sihirli kareleri
Karelerin sihirli karesi, sayıların karelerinden oluşan bir sihirli karedir.
Tamsayıların olağan toplama ve çarpma işlemleriyle 3. dereceden karelerin sihirli karesinin olup olmadığı bilinmemektedir.
Ancak, ay aritmetiği işlemleri dikkate alındığında, sonsuz sayıda 3. dereceden karelerin sihirli karesi olduğu gözlemlenmiştir. Bir örnek, aşağıda verilmiştir:
: \begin{matrix}44^2 & 38^2 & 45^2\\ 46^2&0^2&28^2\\ 18^2 &47^2 &8^2\end{matrix}

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
*