Holomorfluk bölgesi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, **holomorfluk bölgesi**, üzerinde tanımlı olan holomorf fonksiyolardan en az bir tanesinin daha büyük bir bölgeye holomorf özelliğini koruyarak devam ettirilemediği bölgelere verilen addır. Karmaşık düzlemdeki açık kümelerin hepsi holomorfluk bölgesidir. Ancak, karmaşık düzlemde geçerli olan bu sonucun dengi bir sonuç yüksek boyutlu uzayda herhangi bir bölge için geçerli değildir. Bu yüzden, holomorfluk bölgelerin belirleyici özelliklerini bulmak yirminci yüzyılın ilk yarısında çok değişkenli karmaşık analizde en yoğun çalışılmış konulardan birisi olmuştur. Bu farklılığı ilk defa Fritz Hartogs göz önüne sermiştir ve sonuç en genel haliyle Hartogs devam (genişleme) teoremi olarak bilinmektedir.

## Tanım

\Omega \subset \mathbb{C}^n açık bir küme olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan \Omega_1 ve \Omega_2 gibi açık kümeler yoksa, \Omega'ya **holomorfluk bölgesi** denir.
# \emptyset \neq \Omega_1 \subset \Omega_2 \cap \Omega.
# \Omega_2 bağlantılı ve \Omega_2\not\subset\Omega.
# \Omega üzerinde tanımlı her holomorf f fonksiyonu için, tanım kümesi \Omega_2 olan ve \Omega_1 üzerinde f=g sağlayan holomorf bir  g vardır.

## Denk tanımlar
Holomorfluk bölgesinin tanımına denk olan başka matematiksel ifadeler de vardır. Bu amaçla, \Omega \subset \mathbb{C}^n bir bölge olsun. O zaman aşağıdaki ifadeler birbirine denktir. 
# \Omega holomorfluk bölgesidir.
# \Omega holomorf-dışbükey bölgedir. Yani, \Omega'nın tıkız altkümelerinin \Omega içindeki holomorf dışbükey zarfı \Omega içinde yine tıkızdır. \Omega üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonların kümesi \mathcal{O}(\Omega) ile gösterilirse, tıkız bir  K \subset \Omega için holomorf dışbükey zarf şu şekilde tanımlanır: \displaystyle\hat{K}_\Omega := \left \{ z \in \Omega ; |f(z)| \leq \sup_{w \in K} |f(w)| \quad \forall f \in \mathcal{O}(\Omega)\right \}.
# \Omega sözde dışbükey bölgedir.
# \Omega üzerinde Süreklilik İlkesi vardır. Yani, \triangle_\alpha kümeleri  \Omega içinde yer alan kapalı analitik disklerse ve \cup_{\alpha}\partial\triangle_\alpha\subset \Omega ise, o zaman \cup_{\alpha}\triangle_\alpha\subset \Omega olur.
# \Omega **yerel Levi özelliği**ne sahiptir: \Omega'nın sınırındaki her nokta için bir komşuluk vardır öyle ki bu komşuluğun \Omega ile kesişiminde holomorf olan hiçbir fonksiyon komşuluğun tümüne holomorf olarak devam ettirilemez.
1\Rightarrow 3 Oka önsavı yardımıyla çözülür. 
5 \Rightarrow 1 ise Levi problemi olarak bilinir. İlk defa Kiyoshi Oka tarafından çözülmüştür.

## Özellikler
* \Omega_1, \dots, \Omega_{n} holomorfluk bölgesi ise, o zaman kesişimleri \Omega = \bigcap_{j=1}^{n} \Omega_j de holomorfluk bölgesi olur.
* \Omega_{1} \subseteq \Omega_{2} \subseteq \dots  bir öncekini kapsayarak artan bir holomorfluk bölge dizisi ise, o zaman bu bölgelerin birleşimleri \Omega=\bigcup_{n=1}^{\infty}\Omega_{n} de holomorfluk bölgesidir. Bu özellik Behnke-Stein teoremi olarak da bilinir.
* \Omega_{1} ve \Omega_{2}  holomorfluk bölgesi ise, o zaman  \Omega_{1} \times \Omega_{2} de holomorfluk bölgesidir.
* Birinci Cousin problemi bir holomorfluk bölgesinde her zaman çözülebilir. İkinci Cousin problemi ise ilave topolojik varsayımlar eklenerek çözülebilir.

## Karmaşık düzlemde sonuçlar
Karmaşık düzlemdeki açık kümelerin hepsi holomorfluk bölgesidir.
Karmaşık düzleme eşit olmayan açık kümenin holomorfluk bölgesi olduğunu göstermek için genelde iki ayrı yöntem takip edilir. Ya fonksiyonun sıfır değeri aldığı noktaların kümeye eşit olmadığı ve kümenin sınırındaki her noktaya yığılması istenir ya da fonksiyonun sınırdaki noktalara doğru limitinin sonsuz olması istenir. Mesela, açık kümenin sınırının her noktasına yığılma gösteren ama herhangi bir şekilde içerideki bir noktaya yığılmayan karmaşık sayı dizisi inşa edilebilir. O zaman, Weierstrass çarpım teoreminin bir genellemesi yardımıyla, bu bölge üzerinde holomorf olan ve bu dizinin yığılma noktalarında sıfır değerleri olan bir fonksiyon vardır. Bu fonksiyonun çarpmaya göre tersi, açık kümenin üzerinde tanımlı ve holomorftur. Bu sayede,  bu kümenin dışına holomorf olarak devam ettirilemez.

### Örnekler
* Hadamard boşluk teoremi sayesinde, kuvvetleri belli tamsayıları atlayan (boşluklu) seriler birim diskin dışına holomorf bir şekilde genişletilemez. Mesela, 
:*a \geq 2 tamsayı olmak  üzere \sum_{n=0}^\infty z^{a^n} serisi birim diskin dışına holomorf  olarak devam ettirilemez. 
:*Başka bir örnek ise  \sum_{n=0}^\infty z^{n!} serisidir. 
:*Aynı türden başka bir örnek ise  \sum_{n=0}^\infty z^{2^{n}} serisidir.
* \prod_{\nu=0}^{\infty}(1-z^{2^{\nu}}) de birim diskin dışına holomorf bır şekilde devam ettirilemeyen holomorf bir fonksiyondur.

## Ayrıca bakınız
* Behnke-Stein teoremi
* Sözde dışbükeylik
* Stein manifoldu

## Notlar

## Kaynakça
* 
* Steven G. Krantz. *Function Theory of Several Complex Variables*, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
* Boris Vladimirovich Shabat, *Introduction to Complex Analysis*, AMS, 1992