Ölçülebilir fonksiyon

Matematikte, özellikle ölçü kuramında, bir **ölçülebilir fonksiyon**, iki ölçülebilir uzay arasındaki temel kümeler üzerinde tanımlı ve bu uzayların yapısını koruyan bir fonksiyondur: her ölçülebilir kümenin ters görüntüsü yine ölçülebilirdir. Bu durum, topolojik uzaylar arasındaki *açık bir kümenin ters görüntüsü açık olur* tanımını gerektiren sürekli fonksiyon tanımıyla doğrudan benzerdir.

Gerçel analizde, ölçülebilir fonksiyonlar Lebesgue integralinin tanımında kullanılır. Olasılık kuramında ise, bir olasılık uzayı üzerindeki ölçülebilir fonksiyonlara **[[rasgele değişken]]** denir.
## Tanım
(X,\Sigma) ve (Y,\Tau) ölçülebilir uzaylar olsun. Burada X ve Y, sırasıyla \Sigma ve \Tau σ-cebirleri ile donatılmış kümelerdir.

Bir f : X \to Y fonksiyonu, eğer her E \in \Tau için ters görüntüsü f^{-1}(E) \in \Sigma olacak şekilde tanımlanmışsa, **ölçülebilir** olarak adlandırılır. Yani:

f^{-1}(E) := \{ x \in X : f(x) \in E \} \in \Sigma.

Başka bir ifadeyle, \sigma(f) \subseteq \Sigma olmalıdır; burada \sigma(f), f tarafından oluşturulan σ-cebirini ifade eder.

Fonksiyonun ölçülebilir olduğunu vurgulamak için genellikle şöyle yazılır:
f \colon (X, \Sigma) \rightarrow (Y, \Tau).

## Terim kullanımı

Tanımda geçen \sigma-cebirlerinin seçimi bağlama göre değişebilir. Örneğin, \R, \Complex veya başka bir topolojik uzayda, genellikle Borel cebiri kullanılır (tüm açık kümeler tarafından oluşturulan σ-cebiri). Bazı kaynaklar, ölçülebilir fonksiyonu yalnızca Borel cebiri bağlamında tanımlar.

Eğer fonksiyonun değerleri sonsuz boyutlu vektör uzayında yer alıyorsa, zayıf ölçülebilirlik ve Bochner ölçülebilirliği gibi eşdeğer olmayan başka tanımlar da mevcuttur.

## Önemli ölçülebilir fonksiyon sınıfları

* Rasgele değişkenler tanım gereği, olasılık uzayları üzerinde tanımlı ölçülebilir fonksiyonlardır.
* Eğer (X, \Sigma) ve (Y, T) Borel uzayı ise, f : (X, \Sigma) \to (Y, T) fonksiyonu **Borel fonksiyonu** olarak adlandırılır. Her sürekli fonksiyon bir Borel fonksiyonudur, ancak tersi doğru değildir. Yine de, ölçülebilir fonksiyonlar neredeyse sürekli fonksiyonlardır (bkz. Luzin teoremi).
* Lebesgue ölçülebilir bir fonksiyon, f : (\R, \mathcal{L}) \to (\Complex, \mathcal{B}_{\Complex}) biçiminde bir fonksiyondur. Burada \mathcal{L}, gerçel sayı doğrusundaki Lebesgue ölçülebilir kümeleri belirleyen σ-cebiri ve \mathcal{B}_{\Complex}, karmaşık sayılar üzerindeki Borel cebiridir. Bu tür fonksiyonlar integrallenebilir niteliktedir.

f : X \to \R biçimindeki bir fonksiyonun ölçülebilir olması, aşağıdaki ifadelerden herhangi birinin sağlanmasıyla eşdeğerdir:
* \{x \in X : f(x) > \alpha\} ölçülebilirdir (her \alpha \in \R için),
* \{f \geq \alpha\}, \{f  kümeleri ölçülebilirdir,
* herhangi bir açık kümenin ters görüntüsü ölçülebilirdir.

Sürekli fonksiyonlar, monoton fonksiyonlar, basamak fonksiyonları, yarı-sürekli fonksiyonlar, Riemann integrallenebilir fonksiyonlar ve sınırlı değişimli fonksiyonların tümü Lebesgue ölçülebilirdir.

Bir f : X \to \Complex fonksiyonunun ölçülebilir olması ancak ve ancak gerçel ve sanal ksımlarının ölçülebilir olmasıyla mümkündür.

## Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri

* İki karmaşık değerli ölçülebilir fonksiyonun toplamı ve çarpımı ölçülebilirdir. Sıfıra bölme içermediği sürece bölümleri de ölçülebilirdir.
* f : (X, \Sigma_1) \to (Y, \Sigma_2) ve g : (Y, \Sigma_2) \to (Z, \Sigma_3) ölçülebilir fonksiyonlar ise, bileşkeleri g \circ f de ölçülebilirdir.
* Ancak, g fonksiyonu \Sigma_3 yerine daha büyük bir σ-cebiriyle tanımlıysa, bileşke her zaman ölçülebilir olmayabilir.
* Gerçel değerli ölçülebilir fonksiyonlardan oluşan bir dizinin noktasal üst sınırı, alt sınırı, en küçük üst sınırı \limsup ve en büyük alt sınır \liminf ölçülebilirdir.
* Eğer f_n : X \to Y ölçülebilir fonksiyonlar dizisi, Y metrik bir uzaysa (Borel cebiriyle birlikte), noktasal limit fonksiyon da ölçülebilirdir. Bu durum, Y metrik olmayan bir uzay olduğunda genellikle geçerli değildir. Sürekli fonksiyonlar için benzer ifadenin geçerli olabilmesi için, noktasal yakınsamadan daha güçlü koşullar gereklidir; örneğin, tekbiçimli yakınsama gibi.

## Ölçülemez fonksiyonlar

Uygulamalarda karşılaşılan çoğu gerçel değerli fonksiyon ölçülebilirdir; ancak seçim aksiyomu kullanılarak ölçülemez fonksiyonların varlığı kolayca gösterilebilir. Bu tür örneklerin çoğu, Zermelo–Fraenkel küme kuramı içinde seçim aksiyomunu gerektirir.

Eğer (X, \Sigma) bir ölçü uzayı ve A \subset X ölçülemez bir küme ise, o zaman A'nın gösterge fonksiyonu ölçülemez olur:

\mathbf{1}_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{eğer } x \in A \\ 0 & \text{aksi halde} \end{cases}

Bu fonksiyon \R üzerindeki Borel cebirine göre ölçülemezdir çünkü \{1\}'in ters görüntüsü ölçülemez olan A'dır.

Başka bir örnek: \Sigma = \{\varnothing, X\} olan aşikar σ-cebiri için tanımlı ve sabit olmayan herhangi bir f : X \to \R fonksiyonu da ölçülemezdir.

## Ayrıca bakınız

* 
* 
*  – Ölçülebilir fonksiyonlardan oluşan vektör uzayları
* 
* 
* 

## Kaynakça

## Dış bağlantılar

* Ölçülebilir fonksiyon – Matematik Ansiklopedisi
* Borel fonksiyonu – Matematik Ansiklopedisi