Düzgün limit teoremi

Matematikte **düzgün limit teoremi**, sürekli fonksiyonlardan oluşan herhangi bir fonksiyon dizisinin düzgün limitinin yine sürekli fonksiyon olduğunu belirten önemli bir sonuçtur.

## Teoremin ifadesi
X topolojik uzay, Y metrik uzay ve f_n:X\to Y ise f:X\to Y fonksiyonuna düzgün yakınsayan bir fonksiyon dizisi olsun. Düzgün limit teoremine göre, eğer dizideki f_n fonksiyonlarından her biri sürekli ise, o zaman, f fonksiyonu da süreklidir.

Teoremde düzgün yakınsaklık koşulu noktasal yakınsaklık ile değiştirildiğinde sonuç artık geçerli olmayacaktır. Örneğin, X=[0,1], Y=\mathbb R ve f_n:X\to Y ise f_n(x)=x^n olarak verilsin. O zaman, her n için f_n fonksiyonu süreklidir. Ancak, [0,1)  aralığından olan x değerleri için limit fonksiyonu 0 değeri alırken, x=1 değeri için limit fonksiyonu 1 değeri alacaktır. Bu yüzden, limit fonksiyonu x=1 noktasında sürekli değildir.

Bir başka örnek ise yandaki şekilde verilmiştir: X=[0,\pi], Y=\mathbb [0,1] ve f_n:X\to Y ise f_n(x)=\sin^n(x) olarak verilsin. O zaman, her n için f_n\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin^n\left(\frac{\pi}{2}\right)=1 olur. Ancak, diğer noktalar için (yâni, x\ne \frac{\pi}{2} için), \sin(x) olacaktır. Böylece, x\ne \frac{\pi}{2}  için, \sin^n(x) değerleri 0'a yakınsayacaktır. O zaman, limit fonksiyonu, x\ne \frac{\pi}{2} noktaları için 0 olan, x=\frac{\pi}{2} noktasında ise 1 değeri alan ve bu yüzden x=\frac{\pi}{2} noktasında sürekli olmayan bir fonksiyon olur.

Fonksiyon uzayları açısından bakılacak olursa, düzgün limit teoremi, topolojik uzay Xten metrik uzay Yye tanımlanan tüm sürekli fonksiyonların uzayı olan C(X, Y)'nin düzgün metrik altında Y^X uzayının kapalı bir altkümesi olduğunu söyler. Eğer, Y tam bir metrik uzaysa, o zaman C(X, Y) de tam bir metrik uzay olur. Dahası, Y Banach uzayı ise, o zaman, C(X, Y) uzayı düzgün norm altında Banach uzayı olur.

Teoremde, süreklilik ifadesi düzgün süreklilik ile değiştirildiğinde, düzgün limit teoremi yine geçerlidir. Diğer deyişle, X ve Y metrik uzaysa ve f_n:X\to Y dizisi düzgün sürekli fonksiyonlardan oluşan ve bir f fonksiyonuna düzgün yakınsayan bir fonksiyonlar dizisi ise, o zaman, f de düzgün süreklidir.

## Kanıt
fnin sürekliliğini kanıtlamak için, her \varepsilon > 0 sayısı ve her x\in X için, x'in bir U komşuluğunu bulmalıyız; öyle ki 
:d_Y(f(x),f(y)) 
olsun. o zaman, keyfi bir \varepsilon > 0 sayısı verilsin. Fonksiyon dizisinin düzgün yakınsak olduğu varsayıldığı için, 
:d_Y(f_N(t),f(t)) 
eşitsizliğini sağlayacak bir N sayısı vardır. Ayrıca, fonksiyon dizisindeki fonksiyonların her biri sürekli olduğu için, her x\in X için 
:d_Y(f_N(x),f_N(y)) 
eşitsizliğinin sağlandığı bir U komşuluğu vardır. Son adım olarak, üçgen eşitsizliği kullanılarak
:\begin{align}
  d_Y(f(x),f(y)) & \leq d_Y(f(x),f_N(x)) + d_Y(f_N(x),f_N(y)) + d_Y(f_N(y),f(y)) \\
                     & 
elde edilir. Böylelikle, kanıtın en başında gösterilmek istenen eşitsizlik elde edilmiş olur. Bu yüzden, limit fonksiyonu f süreklidir.

## Karmaşık analizde düzgün limit teoremi
Karmaşık analizde, düzgün limit teoreminin varsayımlarının değiştirilmiş halleriyle görülen değişik çeşitlemeleri vardır.

**Teorem.**\Omega karmaşık düzlemde bir bölge (açık ve bağlantılı) olsun.  f_n:\Omega\to \mathbb{C} fonksiyon dizisindeki her bir fonksiyon holomorf ise ve bu dizi \Omeganın her tıkız altkümesinde bir f:\Omega \to \mathbb{C} fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, o zaman f de \Omega üzerinde holomorf olur. Üstelik, bu fonksiyon dizisindeki fonksiyonların türevlerinden oluşan (f'_n)_{n=1}^{\infty} dizisi de \Omeganın her tıkız altkümesinde f':\Omega \to \mathbb{C} fonksiyonuna düzgün yakınsar.

**Teorem.**\Omega karmaşık düzlemde bir bölge (açık ve bağlantılı) olsun.  f_n:\Omega\to \mathbb{C} fonksiyon dizisindeki her bir fonksiyon yalınkat ise ve bu dizi \Omeganın her tıkız altkümesinde bir f:\Omega \to \mathbb{C} fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, o zaman f de \Omega üzerinde holomorf olur. Üstelik, f:\Omega \to \mathbb{C} fonksiyonu ya yalınkattır ya da sabittir.

## Notlar


## Kaynakça
* E. M. Stein, R. Shakarchi (2003). *Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, No. 2)*, Princeton University Press.
* E. C. Titchmarsh (1939). *The Theory of Functions*, 2002 Reprint, Oxford Science Publications.