Jackson eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan yaklaşıklama kuramında **Jackson eşitsizliği** ya da **Jackson teoremi** bir fonksiyonun cebirsel ya da trigonometrik polinomlarla yapılan en iyi yaklaşıklama hatasına bir kestirim veren eşitsizliktir. Eşitsizliğin değişik sürümlerinde bu hatanın kestirimi bir sabit ya da sözkonusu fonksiyonun süreklilik modülü ya da pürüzsüzlük modülü aracılığıyla ifade edilir. Bu eşitsizlik aracılığıyla bir fonksiyonun pürüzsüzlüğü arttıkça polinomlar tarafından yaklaşıklamasının daha iyi olduğu anlaşılır.

Eşitsizlik, sonucu 1911'de tezinde kanıtlayan Dunham Jackson'ın adını taşımaktadır. Teoremin ya da eşitsizliğin genellemeleri ve uzantıları *Jackson tipi teoremler* olarak adlandırılır. Jackson eşitsizliğinin tersi Bernşteyn teoremi aracılığıyla verilmektedir.

## Eşitsizliğin ifadesi
Eşitsizliğin Jackson tarafından kanıtlanmış hâli şunu ifade eder: Bir f:[0,2\pi]\to \C fonksiyonu r kere türevlenebilen ve 
: \left |f^{(r)}(x) \right | \leq 1, \qquad x\in[0,2\pi],
özelliğini sağlayan bir periyodik fonksiyon ise, o zaman, 
her n pozitif tam sayısı için derecesi en fazla n-1 olan bir T_{n-1} trigonometrik polinomu vardır ve
:\left |f(x) - T_{n-1}(x) \right | \leq \frac{C(r)}{n^r}, \qquad x\in[0,2\pi] 
eşitsizliği  sadece rye bağlı olan bir C(r) sayısı tarafından sağlanır.

### Jackson'ın genelleştirmesi
Jackson, tezinde bu eşitsizliği şöyle genelleştirmiştir:
Bir f:[0,2\pi]\to \C fonksiyonu r kere türevlenebilen ve 
: \left |f^{(r)}(x) \right | \leq 1, \qquad x\in[0,2\pi],
özelliğini sağlayan bir periyodik fonksiyon ise, o zaman, 
\omega(\delta, g) bir g fonksiyonunun \delta adımlı süreklilik modülü olmak üzere, her n pozitif tam sayısı için derecesi en fazla n olan bir T_{n} trigonometrik polinomu aracılığıyla
:|f(x) - T_n(x)| \leq \frac{C(r) \omega \left (\frac{1}{n}, f^{(r)} \right )}{n^r}, \qquad x\in[0,2\pi]
eşitsizliği  sadece rye bağlı olan bir C(r) sayısı tarafından sağlanır.

 
### Jackson'ın sonuçlarının daha genel hali
Daha önce ifade edilen sonuçların şöyle bir genelleştirmesi vardır: f fonksiyonu 2\pi-periyotlu sürekli bir fonksiyonsa, \omega_k k mertebeli pürüzsüzlük modülü olmak üzere, her n doğal sayısı için 
:|f(x)-T_n(x)|\leq c(k)\omega_k\left(\tfrac{1}{n},f\right),\qquad x\in[0,2\pi], 
eşitsizliği sağlayan derecesi en fazla n olan bir T_{n} trigonometrik polinomu ve sadece k\in\N'ye bağlı c(k) sabiti tarafından sağlanır.

k=1 durumu, Dunham Jackson tarafından ispatlanmıştır. Antoni Zygmund 1945te k=2, \omega_2(t,f)\le ct, t>0 iken bir ispat vermiştir. Naum Akhiezer k=2 durumun 1956'da ispatlamıştır. k>2 durumu  Sergey Steçkin tarafından 1967'de ispatlanmıştır.

## Ahiezer-Krein-Favard sabiti
Jackson eşitsizliğindeki C(r) sayısının en iyi ne olabileceği Akhiezer–Krein–Favard teoremi aracılığıyla verilir:
:  C(r) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k(r+1)}}{(2k+1)^{r+1}}~.
Buradaki, C(r) sayısına  ya da **Akhiezer–Krein–Favard sabiti** de denilir. Bu sabit adını  Jean Favard, Naum Ahiezer ve Mark Krein'dan almaktadır. **Favard sabiti** K_r olarak da gösterilir.

Landau-Kolmogorov eşitsizliğindeki en iyi kestirim sabitleri Favard sabitleri ile ifade edilir. Yine, periyodik mükemmel eklemli polinomların normlarını da ifade eder. Sabitin başlangıç değerleri  K_0 = 1,  K_1 = \frac{\pi}{2},  K_2 = \frac{\pi^2}{8},  K_3 = \frac{\pi^3}{24},  K_4 = \frac{5\pi^4}{384} ve  K_5 = \frac{\pi^5}{240} olarak verilir.

## Kaynakça