Kümülant

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken *X*in μ = *E*(*X*) olarak ifade edilen beklenen değeri ve σ² = *E*((*X* - μ)²) olarak ifade edilen varyansı bulunur. Bunlar ilk iki **kümülant** olarak belirlenirler; yani 
: κ1 = μ ve κ² = σ².

*n* tane kümülant κ*n* bir **kümülant üreten fonksiyon'' tarafından belirlenir; bu fonksiyon ''g''(''t'') olarak şöyle ifade edilebilir:

:<math>g(t)=\log(E (e^{t\cdot X}))=\sum_{n=1}^\infty\kappa_n \frac{t^n}{n!}=\mu t + \sigma^2 \frac{ t^2} {2} + \cdots.</math>

Bu fonksiyonun türevleri var olduğu kabul edilirse, kümülantlar ''g''(''t'') fonksiyonunun (sıfırda) türevleri ile şöyle verilir:

:κ<sub>1</sub> = μ = ''g'' (0),
:κ<sub>2</sub> = σ² = ''g''(0),
:κ<sub>''n''</sub> = ''g''<sup>(''n'')</sup> (0).

κ<sub>''n''</sub> kümülantlari verilmiş olan bir olasılık dağılımı [[Edgeworth serileri]] açılımı suretiyle yaklaşık olarak bulunabilir.

== Tarihçe ==
Kümülant kavramı 1889'da Danimarkalı matematikçi ve istatistikçi [[Thorvald N. Thiele]] (1838 - 1910) tarafından ''yarı-değişmezler'' adı altında ortaya atılmıştır. Kümülant adı ilk defa İngiliz istatistikçisi [[Ronald Fisher]] tarafından ortaya atılıp sonradan bu kavram Fisher ve İngiliz istatistikçi [[Wishart]] tarafından geliştirilmiştir.

== Momentler ve kümülantlar ==
Bir olasılık dağılımı için kümülantlar o dağılımın [[momentler]]i ile yakından ilişkilidir. Kümülant kavramının geliştirilmesi ve bunların [[momentler]] kavramına pratik kullanımda tercih edilmesi nedeni [[bağımsız]] iki rassal değişken ''X'' ve ''Y'' için şu ifadenin bulunmasına bağlıdır;

:<math>g_{X+Y}(t)=\log(E(e^{t\cdot (X+Y)}))=\log(E(e^{tX})\cdot E(e^{tY}))=\log(E(e^{tX}))+\log(E(e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t) \,.</math>

Böylece her kümülant daha önce toplam olarak elde edilmiş karşıt kümülantların toplamının bir toplamı olur.

[[Moment üreten fonksiyon]] şöyle verilir:
:<math>1+\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu'_n t^n}{n!}=\exp\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\kappa_n t^n}{n!}\right) = \exp(g(t)).</math>
Böylece ''kümülant üreten fonksiyon'' ''moment üreten fonksiyon''un logaritmasıdır.

Birinci kümülant [[beklenen değer]]; ikinci kümülant [[varyans]] ve ikinci ve üçüncü kümülant [[merkezsel moment]]ler olur. Ancak daha yüksek derecede kümülantlar ne [[momentler]] ne de [[merkezsel moment]]lere karşıttırlar.
 
**Kümülantlar** [[momentler]]e şu (yineleme) formülü ile bağlıdırlar:

:<math>\kappa_n=\mu'_n-\sum_{k=1}^{n-1}{n-1 \choose k-1}\kappa_k \mu_{n-k}'.</math>

''n''inci [[momentler|moment]] μ′<sub>''n''</sub> ilk ''n'' kümülant ile kurulmuş ''n''inci derece bir polinomdur; yani
(Bunun katsayıları hep pozitif olur ve ''Faà di Bruno'nin formülü''nde bulunan katsayılardır.)

:<math>\mu'_1=\kappa_1\,</math>
:<math>\mu'_2=\kappa_2+\kappa_1^2\,</math>
:<math>\mu'_3=\kappa_3+3\kappa_2\kappa_1+\kappa_1^3\,</math>
:<math>\mu'_4=\kappa_4+4\kappa_3\kappa_1+3\kappa_2^2+6\kappa_2\kappa_1^2+\kappa_1^4\,</math>
:<math>\mu'_5=\kappa_5+5\kappa_4\kappa_1+10\kappa_3\kappa_2
+10\kappa_3\kappa_1^2+15\kappa_2^2\kappa_1
+10\kappa_2\kappa_1^3+\kappa_1^5\,</math>
:<math>\mu'_6=\kappa_6+6\kappa_5\kappa_1+15\kappa_4\kappa_2+15\kappa_4\kappa_1^2
+10\kappa_3^2+60\kappa_3\kappa_2\kappa_1+20\kappa_3\kappa_1^3+15\kappa_2^3
+45\kappa_2^2\kappa_1^2+15\kappa_2\kappa_1^4+\kappa_1^6.\,</math>

[[Merkezsel moment]]ler olan μ<sub>''n''</sub> (**DIKKAT μ′*n* DEĞIL''') ile kümülant bağlılığı şöyledir:

:\mu_1=0\,
:\mu_2=\kappa_2\,
:\mu_3=\kappa_3\,
:\mu_4=\kappa_4+3\kappa_2^2\,
:\mu_5=\kappa_5+10\kappa_3\kappa_2\,
:\mu_6=\kappa_6+15\kappa_4\kappa_2+10\kappa_3^2+15\kappa_2^3.\,

## Karakteristik fonksiyon ve kümülantlar
Bazı istatistikçiler kümülant üreten fonksiyonu başka bir yol kullanarak karakteristik fonksiyonlar yoluyla şöyle tanımlamayı tercih ederler. 
:h(t)=\log(E (e^{i t X}))=\sum_{n=1}^\infty\kappa_n \cdot\frac{(it)^n}{n!}=\mu it - \sigma^2 \frac{ t^2}{2} + \cdots.\,

Bu türlü tanımlamanın avantajı eğer daha yüksek derecelerde momentler bulunmasa bile uygun kümülantlarin elde edilmesini sağlamasıdır.

## Ayrıca bakınız
* Momentler
* Merkezsel moment
* Moment üreten fonksiyon

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
* 
* http://members.aol.com/jeff570/c.html Kumulant - bazı matematiksel sözcük ve ifadelerin ilk kullanışları.