Minkowski eşitsizliği

**Minkowski Eşitsizliği**, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan a_i, b_i, i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir:
\left( \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^n b_i^p \right)^{1/p}

Hölder eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir.

üçgen'de, *Minkowski eşitsizliği*' L<sup>''p''</sup> uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki *S* bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ *p* ≤ ∞  ve diyelimki  L*p*(*S*) ögeleri *f*  ve  *g* olsun. ise  L*p*(*S*) içindeki *f* + *g*dir ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var

:\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

için eşitliği ile 1 \lambda ≥ 0.için *f* = \lambda *g* aşağıdaki norm ile verilir:
:\|f\|_p = \left( \int |f|^p d\mu \right)^{1/p}
Eğer *p* \|f\|_\infty = \operatorname{ess\ sup}_{x\in S}|f(x)|.

Minkowski eşitsizliği L*p*(*S*) içinde üçgen eşitsizliğidir, aslında bu durumun daha genel durumu var,
:\|f\|_p = \sup_{\|g\|_q = 1} \int |fg| d\mu, \qquad 1/p + 1/q = 1
bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay
 
Hölder eşitsizliği gibi, Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:

:\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

için tümgerçel (veya karmaşık) *x*1, ..., *x**n*, *y*1, ..., *y**n* sayıları için ve burada n; S'in kardinalite'sidir. (S'in ögelerinin sayısı).

## Kanıt
İlk, kanıtı *f*+*g* sonludur *p*-norm eğer *f* ve *g* ikilisi olarak, bunlar ile aşağıda
:|f + g|^p \le 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p).
Nitekim, aslında burada h(x)=x^p konveks üzerinde \mathbb{R}^+ (p birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile,
:\left|\frac{1}{2} f + \frac{1}{2} g\right|^p\le\left|\frac{1}{2} |f| + \frac{1}{2} |g|\right|^p \le \frac{1}{2}|f|^p + \frac{1}{2} |g|^p.
Bunun anlamı
:|f+g|^p \le \frac{1}{2}|2f|^p + \frac{1}{2}|2g|^p=2^{p-1}|f|^p + 2^{p-1}|g|^p.

Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz (\|f + g\|_p). Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki (\|f + g\|_p) sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.
:\|f + g\|_p^p = \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu
: \le \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
:=\int |f||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
:\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le} \left( \left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}} 
:= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}.
Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile \frac{\|f + g\|_p}{\|f + g\|_p^p}. her iki taraf çarparız
## Minkowski integral eşitsizliği
Varsayalımki (*S*1,μ1) ve (*S*2,μ2) are iki ölçüm uzayıs ve *F* : *S*1&times;*S*2 → **R** ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is dir, :
: \left[\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\,d\mu_1(x)\right|^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \le \int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x),
durumunda belirgin değişiklikler *p* = ∞. eğer *p* > 1 ve her iki taraf sonlu ise eşitlikle örtüşür eğer |*F*(*x*,*y*)| = φ(*x*)ψ(*y*) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için.

Eğer μ1 iki nokta kümesi sayma ölçüsü*S*1 = {1,2} ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için *&fnof;**i*(*y*) = *F*(*i*,*y*) yapıştırma için *i* = 1,2, integral eşitsizliğini verir.
:
\begin{align}
\|f_1 + f_2\|_p  &= \left[\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\,d\mu_1(x)\right|^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \le\int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x)=\|f_1\|_p + \|f_2\|_p.
\end{align}

## Ayrıca bakınız
*Mahler eşitsizliği
*Hölder eşitsizliği

## Kaynakça

* 
* .
* .
* 
*