Brune teoremi

**Brune teoremi,** bir orta düzey Prusya memuru olan muhasebeci Ernst Wilhelm Brune (1790?-1860?) tarafından bulunan ve 1841 yılında Berlin'de yayınlanan, dörtgenlerle ilgili bir temel geometri teoremidir. Teorem, Öklid düzleminde bir dışbükey dörtgeninin yapıcı bir şekilde aynı alana sahip dört kısmi dörtgene nasıl bölünebileceği problemini ele alır ve yanıtlar.

## Teoremin formülasyonu
Teorem şu şekilde formüle edilebilir:

: *Öklid düzleminde keyfi bir <math>ABCD</math> dışbükey dörtgeni verilir. <math>M</math> ve <math>N</math>, <math>AC</math> ve <math>BD</math> [[Köşegen|köşegenleri üzerinde]] yer alan iki [[Merkez (geometri)|orta nokta]]dır.*

: *<math>M</math> ve <math>N</math> noktalarından diğer köşegene paralel çizilir, <math>O</math> noktası iki köşegen merkezinden çizilen doğruların kesişme noktasıdır. <math>O</math> noktasının <math>M = N</math>'de olması durumunda <math>ABCD</math> bir [[paralelkenar]]dır.*

: *Sonra:*
: *<math>O</math> noktası, dörtgenin dört kenarının orta noktaları ile birleştirilirse, <math>ABCD</math> dörtgeni, her biri <math>ABCD</math> dörtgeninin <math>\tfrac{1}{4}</math> alanına sahip olan dört alt dörtgene bölünmüş olur.*

## İspat

ABCD herhangi bir düzensiz dörtgen ve E, F, G, H ise bu dörtgenin kenarlarının orta noktaları olsun. Öyle bir K noktası vardır ki;

::S_{AHKE} = S_{EKFB} = S_{KHDG} = S_{KGCF} = \left(\frac{1}{4} S_{ABCD}\right)

A, B, C, D, I'nın sırasıyla p_1, p_2, p_3, p_4, p koordinatlarına sahip olduğunu varsayalım. Sonra,

::\mathbf S_{AHKE} = \frac{1}{2} (\mathbf p - \mathbf p_1) \times \frac{\mathbf p_2 - \mathbf p_4}{2} = \frac{1}{4} (\mathbf p - \mathbf p_1) \times (\mathbf p_2 - \mathbf p_4),
::\mathbf S_{EKFB} = \frac{1}{4} (\mathbf p_3 - \mathbf p_1) \times (\mathbf p_2 - \mathbf p) = \frac{1}{4} (\mathbf p - \mathbf p_2) \times (\mathbf p_3 - \mathbf p_1),
::\mathbf S_{KHDG} = \frac{1}{4} (\mathbf p_3 - \mathbf p_1) \times (\mathbf p - \mathbf p_4) = \frac{1}{4} (\mathbf p_4 - \mathbf p) \times (\mathbf p_3 - \mathbf p_1),
::\mathbf S_{KGCF} = \frac{1}{4} (\mathbf p_3 - \mathbf p) \times (\mathbf p_2 - \mathbf p_4).

Aşağıdaki ifade kolayca görülebilir:

::\mathbf S_{AHKE} + \mathbf S_{KGCF} = \frac{1}{2} \mathbf S_{ABCD},
::\mathbf S_{EKFB} + \mathbf S_{KHDG} = \frac{1}{2} \mathbf S_{ABCD}

bu nedenle p'nin iki bileşenini belirlemek için tam olarak iki doğrusal denklem vardır;

::\mathbf S_{AHKE} - \mathbf S_{KGCF} = 0,
::\mathbf S_{EKFB} - \mathbf S_{KHDG} = 0

Ve denklemler aşağıdaki şekilde yazılabilir;

::(2\mathbf p - \mathbf p_1 - \mathbf p_3) \times (\mathbf p_2 - \mathbf p_4) = 0,
::(2\mathbf p - \mathbf p_2 - \mathbf p_4) \times (\mathbf p_3 - \mathbf p_1) = 0

Bu, aşağıdaki ifadeye eşittir:

::\mathbf p = \frac{\mathbf p_1 + \mathbf p_3}{2} + \lambda(\mathbf p_2 - \mathbf p_4) = \frac{\mathbf p_2 + \mathbf p_4}{2} + \mu(\mathbf p_3 - \mathbf p_1), \quad \lambda,\mu \in \mathbb R

K'nin geometrik tanımı şimdi açık olmalıdır: K noktası, köşegenlerin kesişme noktasının (M = AC \cap BD), köşelerin ağırlık merkezi P'ye göre yansımasıdır/simetrisidir.

## Kaynakça
* 
* 

## Notlar

## Konuyla ilgili yayınlar
* Wetzel, John E. "Squares in triangles." The Mathematical Gazette 86.505 (2002): ss. 28-34.