Gama fonksiyonu

**Gama fonksiyonu**, matematikte faktöriyel fonksiyonunun karmaşık sayılar ve tam sayı olmayan reel sayılar için genellenmesi olan bir fonksiyondur. Г simgesiyle gösterilir.

:
\Gamma(z) = \int_0^\infty  \, t^{z-1} \, e^{-t} dt

: \Gamma(n) = (n-1)! 
Kompleks düzlemde Analitik devamlılık için n negatif tam sayı olmamalıdır, pozitif tam sayı olmalıdır.

## Alıştırma
Öncelikle;
: (n+1)n! = (n+1)! eşitliğini ele alalım.
:n =0 alırsak;  1.0! = 1!=1 olur.
Bu durumda "Aynı işlem kesirli sayılarla da yapılabilir mi?" diye bir soru akla gelir.
:n =1/2 alırsak;
: (3/2)(1/2)! = (3/2)! olması gerekir. Yani

: (3/2)(1/2)! = (3/2)!→ (3/2)!/(1/2)! = 3/2 olmalıdır.
: \Gamma(n) = (n-1)! ' olduğundan;
: \Gamma(5/2)→(3/2)! 'e karşılık gelmelidir(eşittir demiyoruz) ve yine

: \Gamma(3/2)→(1/2)! işlemine karşılık gelmelidir.

:\begin{array}{lll}
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\\end{array}
: \Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2
Bu da
: \Gamma(5/2)/\Gamma(3/2)=3/2→ (3/2)!/(1/2)! = 3/2 varsayımımızı doğrular. Denenirse diğer sayılar için de bunun doğruluğu görülebilir.

## Tanım
### Ana Tanım

Bu çift \Gamma(z) gösterim Legendre tarafından yapılmıştır. Kompleks sayı *z*'nin gerçel kısmı (Re[*z*]&nbsp;>&nbsp;0) şeklindedir. integral'i

:\Gamma(z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,dt

Burada kısmi integrasyon kullanarak, mutlak yakınsaklık gösterilebilir.

:\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z) \qquad \text{(1)}
&nbsp;*n*&nbsp; =&nbsp;*n*&nbsp;·&nbsp;(*n*&nbsp;−&nbsp;1)&nbsp; faktoriyel fonksiyonunun genel kimliği/tanımı Bu fonksiyonel denklemdir.
: \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1 \qquad\text{(2)}
Bu iki sonuç bize faktöriyel fonksiyonun gama fonksiyonun özel bir durumu olduğunu gösteriyor.
Bütün *n* Doğal sayılar'ı için . 
:\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = n \, (n-1) \, \Gamma(n-1) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,

\Gamma(z) genellemesi analitik devamlılık için gereklidir. *z* böylece 0 ve negatif değerler hariç bütün kompleks sayıları meromorfik fonksiyon olarak tanımlar. (*z*.&nbsp;=&nbsp;−*n* basit kutbu ile rezidü (−1)&nbsp;*n*/*n*&nbsp;).

### Alternatif tanımlamalar
0 ve negatif tam sayılar dışında bütün kompleks sayılar *z* için tanım sonsuz sayıda Gama fonksiyonu için, sırasıyla Euler ve Weierstrass çifti tarafından
:
\begin{align}
\Gamma(z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)} 
= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}
\\
\Gamma(z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n} \\
\end{align}


burada γ, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

yukarıdaki *z* nin 0,-1,-2,-3..dışındaki değerleri için Euler tanımı fonksiyonel denklemi
basitleştirilmiş şekli, 
:
\begin{align}
\Gamma(z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n)^{z+1}}{(z+1) \; (z+2)\cdots(z+n+1)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2)\cdots(z+n)} \; \frac{(n)}{(z+n+1)}\right) \\
&= z \; \Gamma(z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{(n)}{(z+n+1)} \\
&= z \; \Gamma(z). \\
\end{align}


değişik bir gösterim...

:
\Gamma(z+1) = \int_0^\infty  e^{-t^{1/z}}\,dt. \,\!


Bazen Gamma fonksiyonu'nun parametrik şekli Laguerre polinomları'nın
terimleri içinde verilir;
:\Gamma(z)=t^z \cdot \sum_{n=0} \frac{L_n^{(z)}(t)}{z+n} , yakınsaklık için \Re (z)  olmalıdır.


Image:Complex gamma function abs.png | Mutlak değer
Image:Complex gamma function Re.png | Gerçel kısım
Image:Complex gamma function Im.png | Sanal kısım


## Özellikler

### Pi fonksiyonu
Bir alternatif gösterimde Gauss tarafından girilmişti. ve bazen **Pi fonksiyonu** deniyor, gama fonksiyonu terimleri yardımıyla

:\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \Gamma(z)  = \int_0^\infty  e^{-t} t^z\,{\rm d}t,

böylece

her negatif olmayan *n* için.

:\Pi(n) = n!,
Pi fonksiyonunu kullanarak yansıma formülü formunu alır

:\Pi(z)  \Pi(-z) = \frac{\pi z}{\sin( \pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(z)}

burada sinc normalize sinc fonksiyonudur, eğer çarpım teoremi formu alınırsa

:\Pi\left(\frac{z}{m}\right) \, \Pi\left(\frac{z-1}{m}\right) \cdots \Pi\left(\frac{z-m+1}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} m^{-z-\frac{1}{2}} \Pi(z).

ayrıca bazen

:\pi(z) = \frac{1}{\Pi(z)},
bulunur.

yukardaki bir Tam fonksiyon'dur, çünkü karmaşık sayılar içinde tanımlıdır. Burada π(*z*) hiçbir kutba sahip değildir, Π(*z*)de, &Gamma;(*z*) gibi, sıfır yok idi.

ilgilenenler için, yarıçap r_1,...,r_n ile bir n-ellipsoidin hacmi gösterilebilir.

:V_n(r_1,...,r_n)=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Pi(\frac{n}{2})}\prod_{k=1}^{n}r_k

## Özel değerler

:
\begin{array}{lll}
\Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma(1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma(2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma(3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma(4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

### Raabe formülü

1840 yılında Raabe şunu kanıtladı,

::\int\limits_a^{a+1}\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi + a\log a - a,\quad a\ge0.

:özel olarak, eğer a=0 ise

::\int\limits_0^1\log\Gamma(t)\,\mathrm dt = \tfrac12\log2\pi.

## Ayrıca bakınız

* Matematiksel fonksiyonların listesi
* Beta fonksiyonu
* Bohr–Mollerup teoremi
* n-küre hacminin türevi (görünüşte ilgisiz olan problemden Gama fonksiyonunun türetilmesi)
* Digama fonksiyonu
* Elliptik gama fonksiyonu
* Faktöriyel
* Gamma dağılımı
* Gauss sabiti
* Gauss toplamı
* Lanczos yaklaşıklığı
* Çokdeğişkenli Gama fonksiyonu
* Pochhammer k-sembolü
* Poligama fonksiyonu
* Ters Gama fonksiyonu
* Trigama fonksiyonu

## Notlar

## Kaynakça

* 
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *[[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_253.htm (See Chapter 6)] *
* Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) *Exposition by Emil Artin: a selection*; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
* Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," *Am. Math. Monthly* **66**, 849-869 (1959)
* Julian Havil, *Gamma, Exploring Euler's Constant", ISBN 0-691-09983-9 (c) 2003*
* W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. *[[Numerical Recipes|Numerical Recipes in C]]*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. *(See Section 6.1.)*
* Pascal Sebah and Xavier Gourdon. *Introduction to the Gamma Function*. In PostScript and HTML formats.
## Dış bağlantılar

* 
* Cephes - C and C++ language special functions math library
* Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com.
* Gamma function calculator
* Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
* 
* Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages
* Computing the Gamma function - various algorithms
* Online tool to graph functions which contain the Gamma function
* 
* "Elementary Proofs and Derivations" 
* "Transformations, Identities and Special Values"