Hamilton optiği

**Hamiltonyan optik** ve Lagrange optiği, matematiksel formülasyonlarının büyük bir kısmını Hamilton mekaniği ve Lagrange mekaniği ile paylaşan Geometrik optiğin iki formülasyonudur.

## Hamilton Prensibi

Fizikte, Hamilton ilkesi, bir sistemin evriminin \left(q_1\left(\sigma\right),\cdots,q_N\left(\sigma\right)\right), \sigma_A ve \sigma_B parametreleriyle belirtilen iki durum arasında N genelleştirilmiş koordinatla tanımlanan bir sabit noktayla (varyasyonun sıfır olduğu bir nokta), hareket fonksiyonu, tanımlandığını belirtir. Başka bir deyişle,

\dot{q}_k=dq_k/d\sigma olmak üzere,

:\delta S= \delta\int_{\sigma_{A}}^{\sigma_{B}} L\left(q_1,\cdots,q_N,\dot{q}_1,\cdots,\dot{q}_N,\sigma\right)\, d\sigma=0

\delta S=0 \   koşulu ancak ve ancak k=1,\cdots,N iken Euler-Lagrange denklemleri

:
\frac{\partial L}{\partial q_k} -
\frac{d}{d\sigma}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} = 0
 
şartını sağladığında geçerlidir.

Momentum,
: p_k=\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}
olarak tanımlandığında, \dot{p}_k=dp_k/d\sigma  iken Euler-Lagrange denklemleri,
:
\dot p_k = \frac{\partial L}{\partial q_k}

şeklinde yeniden yazılabilir.

Bu problemin çözümüne farklı bir yaklaşım Hamiltonyen aşağıdaki gibi tanımlanmasını içerir (Lagrange denkleminin Legendre dönüşümünü alarak),

: H=\sum _{k}p_{k}-L 
Lagrange'ın parametre \sigma'ya, konumlara  q_i\  ve konumların \sigma'ya göre türevlerine   \dot q_i  nasıl bağlı olduğuna bakılarak yeni bir diferansiyel denklem seti üretilebilir. Bu türetme, Hamiltonyen mekaniğindeki ile aynıdır, ancak şimdi t zamanı genel bir parametre \sigma ile değiştirilmiştir. Bu diferansiyel denklemler k=1,\cdots ,N iken Hamilton denklemleridir.

: {\frac  {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot  {p}}_{k}\,,\quad {\frac  {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot  {q}}_{k}\,,\quad {\frac  {\partial H}{\partial \sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\, 

Hamilton denklemleri birinci dereceden Diferansiyel denklemler iken, Euler-Lagrange denklemleri ikinci derecedir.

## Lagrange optiği
Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Lagrange optiğine uygulanabilir. 3 boyutlu Öklid uzayında genelleştirilmiş koordinatlar artık Öklid uzayının koordinatlarıdır.

## Fermat İlkesi

Fermat ilkesi, iki sabit nokta arasındaki A ve B arasındaki ışığın izlediği yolun optik uzunluğunun durağan bir nokta olduğunu belirtmektedir. Bu nokta maksimum, minimum, sabit veya dönüm (büküm) noktası olabilir. Genel olarak, ışık ilerledikçe, uzayda skaler konum alanının değişken kırılma indisi oluşturduğu bir ortamda ilerler yani 3D Öklid uzayında  
: n=n\left(x_1,x_2,x_3\right) \ 

yazılabilir. Şimdi ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediğini varsayarsak, bir ışık ışınının yolu  {\mathbf  {A}}=\left(x_{1}\left(x_\right),x_{2}\left(x_\right),x_\right)\  noktasından başlayarak 
: {\mathbf  {B}}=\left(x_{1}\left(x_\right),x_{2}\left(x_\right),x_\right)\  
noktasında bitmek üzere 
:  s=\left(x_1\left(x_3\right),x_2\left(x_3\right),x_3\right) \  ile parametrize edilebilir. Bu durumda Hamilton ilkesine kıyasla, genelleştirilmiş koordinatlar  
  q_{k}\  nın rolünü  
  x_{1}\  ve 
  x_{2}\  koordinatları alırken, 
  x_{3}\  ise 
  \sigma \  parametresinin rolünü alır yani parametre \sigma = x_3 ve N = 2.
Diferansiyel kalkülüs bağlamında bu denklem ds, 
: ds={\sqrt  {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}} tarafından verilen ışın boyunca alınan sonsuz küçüklükteki bir yer değiştirme olmak üzere,

:\delta S=\delta \int _}}^}}n\,ds=\delta \int _^n{\frac  {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _^L\left(x_{1},x_{2},{\dot  {x}}_{1},{\dot  {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0 

olarak yazılabilir.  \dot{x}_k=dx_k/dx_3  olmak üzere optik Lagrange

:L=n{\frac  {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt  {1+{\dot  {x}}_{1}^{2}+{\dot  {x}}_{2}^{2}}} 
şeklinde tanımlanır. Optik yol uzunluğu (OYU) şu şekilde tanımlanır:
:S=\int _}}^}}n\,ds=\int _}}^}}L\,dx_{3} 
burada n, A ve B noktaları arasındaki yol boyunca bir konumun fonksiyonu olarak yerel kırılma indisidir.

## Euler-Lagrange denklemleri
Hamilton ilkesi için yukarıda verilen genel sonuçlar Fermat prensibinde tanımlanan Lagrange denklemini kullanarak optiğe uygulanabilir. Fermat prensibine \sigma = x_3 ve N = 2 parametreleriyle uygulanan Euler-Lagrange denklemleri,
: {\frac  {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac  {d}{dx_{3}}}{\frac  {\partial L}{\partial {\dot  x}_{k}}}=0  
Sonucunu verir, burada k=(1,2), L optik Lagrange ve 
:  \dot{x}_k=dx_k/dx_3  olarak tanımlanmıştır.

## Optik momentum

Optik momentum aşağıdaki gibi tanımlanır:
: p_{k}={\frac  {\partial L}{\partial {\dot  x}_{k}}} 
ve optik Lagrangian 
: L=n{\sqrt  {1+{\dot  {x}}_{1}^{2}+{\dot  {x}}_{2}^{2}}} tanımından yola çıkılarak bu ifade
: p_{k}=n{\frac  _{k}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}}}=n{\frac  {dx_{k}}}}}=n{\frac  {dx_{k}}{ds}}  olarak yeniden yazılabilir. Vektör formatında bu denklem aşağıdaki gibi yazılabilir,
: {\mathbf  {p}}=n{\frac  }{ds}}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right) 
: =\left(n\cos \alpha _{1},n\cos \alpha _{2},n\cos \alpha _{3}\right)=n{\mathbf  }} 
burada 
  \mathbf {\hat {e}}  bir birim vektördür ve açılar \alpha_1, \alpha_2 ve \alpha_3, p'nin sırasıyla x_1, x_2 ve x_3 eksenlerine şekil "optik momentum ”da gösterildiği gibi sırasıyla yaptığı açılardır. Bu nedenle optik momentum şu norma sahiptir
: \|{\mathbf  {p}}\|={\sqrt  {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}=n 
burada n, p'nin hesaplandığı kırılma indisidir. Vektör p, ışığın yayılım yönünde işaret eder. Eğer ışık değişken indis optiğinde yayılıyorsa, ışık ışınının yolu eğridir ve p vektörü ışık rayına teğettir.
Optik yol uzunluğu ifadesi optik momentumun bir fonksiyonu olarak da yazılabilir. {\dot  {x}}_{3}=dx_{3}/dx_{3}=1  olduğunu hesaba katarak, Lagrange denklemi yeniden şöyle yazılabilir,
:L=n{\sqrt  _{1}^{2}+{\dot  {x}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}={\dot  {x}}_{1}{\frac  {n{\dot  {x}}_{1}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}}}+{\dot  {x}}_{2}{\frac  {n{\dot  {x}}_{2}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}}}+{\frac  {n{\dot  {x}}_{3}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}}}
={\dot  {x}}_{1}p_{1}+{\dot  {x}}_{2}p_{2}+{\dot  {x}}_{3}p_{3}={\dot  {x}}_{1}p_{1}+{\dot  {x}}_{2}p_{2}+p_{3} 
Ve optik yol uzunluğunun formülü ise aşağıdaki gibi yazılır,
:S=\int L\,dx_{3}=\int {\mathbf  {p}}\cdot d{\mathbf  {s}}. 

## Hamilton denklemleri
Hamilton mekaniğinde olduğu gibi, optikte de Hamilton denklemi N = 2 için yukarıda karşılığı verilmiş  
  x_{1}\left(x_{3}\right)  ve x_{2}\left(x_{3}\right)  denklemleriyle şu şekilde tanımlanır,
: H={\dot  {x}}_{1}p_{1}+{\dot  {x}}_{2}p_{2}-L. 
Bu ifadeyi Lagrange için  
: L={\dot  {x}}_{1}p_{1}+{\dot  {x}}_{2}p_{2}+p_{3}  ifadesiyle karşılaştırmak aşağıdaki sonucu verir,
:H=-p_{3}=-{\sqrt  {n^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}
Ve σ =x3 and k=1,2 parametreleriyle optiğe uygulanan Hamilton denklemleri,
:{\frac  {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot  {p}}_{k}\,,\quad {\frac  {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot  {x}}_{k} 
şeklinde yazılabilir. Burada 
  \dot{x}_k=dx_k/dx_3  and 
  {\dot  {p}}_{k}=dp_{k}/dx_{3}  olarak alınmıştır.

## Uygulamalar
Işığın x_3 ekseni boyunca ilerlediği varsayıldığında, yukarıdaki Hamilton denkleminde,   x_{1}\  ve   x_{2}\  koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar   q_{k}\  rolünü alırken,  x_{3}\  σ parametresinin rolünü alır. Yani, parametre \sigma = x_3 ve N = 2.

## Kırılma ve yansıma

Eğer x_1x_2 düzlemi, aşağıda n_A ve altında n_B kırılma indisine sahip medyaları ayırırsa, kırılma indisi bir basamak fonksiyonu ile verilir
 n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\mbox{if }}x_{3}0\\\end{cases}} 
ve Hamilton denklemlerinden k=1,2 olmak üzere aşağıdaki denklem elde edilir,
:{\frac  {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac  {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt  {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0 
Ve böylece 
  {\dot  {p}}_{k}=0  ya da  
  p_{k}={\text{Constant}}\  çıkarımları yapılabilir.
Gelen bir ışık ışını kırılma öncesinde (x_1x_2 düzleminin altında) p_A momentumuna ve kırılma sonrasında (x_1x_2 düzlemi üzerinde) p_B momentumuna sahiptir. Işık ışını kırılmadan önce x_3 ekseni (kırıcı yüzeyin normali) ile \theta_A açısı ve kırılma sonrası x_3 ekseni ile \theta_B açısı yapar. Momentumun p_1 ve p_2 bileşenleri sabit olduğu için yalnızca p_3 p_{3A}'dan p_{3B}'ye değişir.
Şekil "kırılma", bu kırılmanın geometrisini gösterir; bu kırılma  
:  d=\|{\mathbf  {p}}_{A}\|\sin \theta _{A}=\|{\mathbf  {p}}_{B}\|\sin \theta _{B}. 
: \|{\mathbf  {p}}_{A}\|=n_{A}  ve 
: \|{\mathbf  {p}}_{B}\|=n_{B}  olduğundan, son ifade aşağıdaki gibi yazılabilir
: n_{A}\sin \theta _{A}=n_{B}\sin \theta _{B}\ 
bu ifade Snell kırılma yasasını verir.

“Kırılma” şeklinde görüldüğü üzere, kırıcı yüzeyin normali x_3 ekseninin ve 
: {\mathbf  {v}}={\mathbf  {p}}_{A}-{\mathbf  {p}}_{B}  vektörünün yönündedir. Daha sonra 
: {\mathbf  {n}}={\mathbf  {v}}/\|{\mathbf  {v}}\| birim normal vektörü aşağıdaki ifadeden elde dilebilir. 
: {\mathbf  {n}}={\frac  _{A}-{\mathbf  {p}}_{B}}{\|{\mathbf  {p}}_{A}-{\mathbf  {p}}_{B}\|}}={\frac  {n_{A}{\mathbf  {i}}-n_{B}{\mathbf  {r}}}{\|n_{A}{\mathbf  {i}}-n_{B}{\mathbf  {r}}\|}} 
burada i ve r, gelen ışın ve kırılmış ışın yönlerindeki  birim vektörlerdir. Ayrıca, giden ışın (  {\mathbf  {p}}_{B}  yönünde) gelen ışın (  {\mathbf  {p}}_{A}  yönünde) ve yüzey normali  {\mathbf  {n}}\  ile aynı düzlemdedir. 
Benzer bir argüman, dik açılı yansımalarda yansıma yasası türetilmesinde kullanılabilmektedir, ancak şu an n_A = n_B eşitliği, \theta_A = \theta_B ile sonuçlanmaktadır. Ayrıca, i ve r, sırasıyla gelen ışın ve kırılmış ışın doğrultusunda birim vektörlerse, yüzeye karşılık gelen normal, kırılma ile aynı ifadeyle, ancak n_A = n_B ile verilir
:{\mathbf  {n}}={\frac  -{\mathbf  {r}}}{\|{\mathbf  {i}}-{\mathbf  {r}}\|}} 
Vektör formunda, eğer i, gelen ışın yönünde işaret eden bir birim vektör ise ve n, yüzeyin normali ise, kırılan r ışınının yönü şöyledir:{\mathbf  {r}}={\frac  {n_{A}}{n_{B}}}{\mathbf  {i}}+\left(-\left({\mathbf  {i}}\cdot {\mathbf  {n}}\right){\frac  {n_{A}}{n_{B}}}+{\sqrt  {\Delta }}\right){\mathbf  {n}}
burada Δ aşağıdaki ifadeye eşittir.
: \Delta =1-\left({\frac  {n_{A}}{n_{B}}}\right)^{2}\left(1-\left({\mathbf  {i}}\cdot {\mathbf  {n}}\right)^{2}\right) 
Eğer **i**⋅**n**\Delta  olduğunda, ışık tam iç yansıma gösterir ve yansıyan ışının yansıma ifadesi şu şekilde yazılabilir,
:{\mathbf  {r}}={\mathbf  {i}}-2\left({\mathbf  {i}}\cdot {\mathbf  {n}}\right){\mathbf  {n}}.

## Işınlar ve Dalga cepheleri

Optik yol uzunluğunun tanımından 
  S=\int L\,dx_{3}. k=1,2  iken Euler-Lagrange denklemlerinden yararlanılarak,
{\frac  {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac  {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac  {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k} 
İfadesi yazılabilir. Ayrıca Hamilton denklemlerinin sonuncusunu  \partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3} , yukarıda kanıtlanan  H=-p_{3}\  eşitliğini ve 
: {\frac  {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac  {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac  {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}  denklemini momentum p'nin bileşenlerini dikkate alarak birleştirmek aşağıdaki sonucu verir:
: {\mathbf  {p}}=\nabla S. 
P, ışık ışınlarına teğet vektörü olduğundan, S = Sabit yüzeyler bu ışık ışınlarına dik olmalıdır. Bu yüzeylere Dalga Cephesi denir. Şekil "ışınlar ve dalga cepheleri" bu ilişkiyi göstermektedir. Ayrıca bir ışık ışınına tanjant ve dalga cephesine dikey olan optik momentum p gösterilmiştir.
Vektör alanı  {\mathbf {p}} = \nabla S  korunan vektör alanıdır. Gradyan teoremi daha sonra optik yol uzunluğuna (yukarıda verilen şekilde) uygulanabilir ve sonuç olarak
: S=\int _}}^}}{\mathbf  {p}}\cdot d{\mathbf  {s}}=\int _}}^}}\nabla S\cdot d{\mathbf  {s}}=S({\mathbf  {B}})-S({\mathbf  {A}}) 
elde edilir ve A ve B noktaları arasındaki C eğrisi boyunca hesaplanan optik yol uzunluğu S, sadece A ve B uç noktalarının bir fonksiyonudur ve aralarındaki eğrinin şekli değildir. eğri kapalı ise, özellikle, bu başlar ve aynı noktada sona erer başka bir deyişle A = B olur böylece
 S=\oint \nabla S\cdot d{\mathbf  {s}}=0  sonucuna ulaşılır.

Bu sonuç "optik yol uzunluğu" şekli gibi kapalı bir ABCDA yoluna uygulanabilir ve aşağıdaki denklem elde edilir,
: S=\int _}}^}}{\mathbf  {p}}\cdot d{\mathbf  {s}}+\int _}}^}}{\mathbf  {p}}\cdot d{\mathbf  {s}}+\int _}}^}}{\mathbf  {p}}\cdot d{\mathbf  {s}}+\int _}}^}}{\mathbf  {p}}\cdot d{\mathbf  {s}}=0
Eğri doğru parçası AB için optik momentum p, AB eğrisi boyunca bir ds yer değiştirmesine diktir yani 
  {\mathbf  {p}}\cdot d{\mathbf  {s}}=0. Aynı şey CD doğru parçası için de geçerlidir. BC doğru parçası için optik momentum, yer değiştirme ds ile aynı yöndedir ve 
 {\mathbf  {p}}\cdot d{\mathbf  {s}}=nds.  
DA doğru parçası için, optik momentum p, yer değiştirme ds ile zıt yönde ve 
 {\mathbf  {p}}\cdot d{\mathbf  {s}}=-n\,ds. 

Ancak integral yönünü tersine çevirerek integralin A'dan D'ye çekilmesi, ds yönü tersine çevirilirse elde dilen eşitlik {\mathbf  {p}}\cdot d{\mathbf  {s}}=n\,ds  olur. Bunlar hesaba katıldığında 
\int _}}^}}n\,ds=\int _}}^}}n\,ds 
ya da
 S_}=S_}  sonuçlarına varılır ve bunları birbirine bağlayan ışın boyunca B ve C noktaları arasındaki optik yol uzunluğu S_{BC}, A ve D noktaları arasındaki ışın boyunca optik yol uzunluğu S_{AD} ile aynıdır. Optik yol uzunluğu, dalga cepheleri arasında sabittir.

## Faz uzayı

Şekil "2D faz uzayı", üst tarafında iki boyutlu uzayda bazı ışık ışınlarını göstermektedir. Burada x_2 = 0 p_2 = 0 olduğundan ışık x_1x_3 düzlemi doğrultusunda artan x_3 değerleriyle ilerlemektedir. Bu durumda, p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}  ve p_2 = 0 olduğundan ışınının yönü momentumun p_1 bileşeni tarafından tamamen tanımlanır 
 {\mathbf  {p}}=(p_{1},p_{3}). P_1 verilirse, p_3 hesaplanabilir (kırılma indisi n değeri verilirse) ve bu nedenle p_1, ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. Işının seyahat ettiği ortamın kırılma indisi \|\mathbf{p}\|=n ifadesiyle belirlenir.

Örneğin, ışın r_C x_1 eksenini, x_B konumunda ortalayan yarıçapı n olan bir çember üzerinde ucu bulunan optik bir momentum P_C ile x_B koordinatından kesmektedir. X_B Koordinatını ve momentum p_C'nin yatay koordinatını p_{1C}, ışını r_C'yi, x_1 eksenini keserken tamamen tanımlar. Bu ışın daha sonra, şeklin alt kısmında gösterildiği gibi x_1p_1 uzayında bir nokta r_C = (x_B, p_{1C}) ile tanımlanabilir. Uzay x_1p_1'e faz uzayı denir ve farklı ışık ışınları bu alanda farklı noktalardan temsil edilebilir.

Bu durumda, en üstte gösterilen ışın r_D, alttaki faz uzayında bir nokta r_D ile temsil edilir. r_C ve r_D Işınları arasında bulunan x_B koordinatında x_1 ekseni geçen tüm ışınlar, faz uzayında r_C ve r_D noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Buna göre, r_A ve r_B ışınları arasında bulunan x_A koordinatında x_1 eksenini geçen tüm ışınlar, faz uzayında r_A ve r_B noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Genel olarak, x_l ekseni x_L ve x_R arasında geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir R hacmi ile gösterilir. R hacminin \partial R sınırındaki ışınlara kenar ışınları denir. Örneğin, x_1 ekseni koordinat x_A'da, ışınlar r_A ve r_B, diğer ışınlar bu ikisi arasında bulunduğu için kenar ışınlarıdır.

Üç boyutlu geometride momentum 
: {\mathbf  {p}}=(p_{1},p_{2},p_{3})  
with   p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}. P_1 ve p_2 verilirse, p_3 hesaplanabilir (kırılma indisinin n değeri verilir) ve bu nedenle p_1 ve p_2 ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. X_3 ekseni boyunca ilerleyen bir ışın daha sonra x_1x_2 düzleminde bir nokta (x_1, x_2) ve bir yönde (p_1, p_2) tanımlanır. Daha sonra, dört boyutlu faz uzayı x_1x_2p_1p_2'deki bir nokta ile tanımlanabilir.

## Etendue korunması

Şekil "hacim değişimi" (hacmin varyasyonu), A alanı ile sınırlanmış bir hacim V'yi gösterir. Zamanla, A sınırı hareket ederse, V hacmi değişebilir. Bilhassa, sonsuz küçük alan birimi dA dışa doğru işaret eden bir birim normali n doğrultusunda v hızı ile hareket ettiğinde, hacim değişimine şu şekilde yol açar:
: dV=dA({\mathbf  {v}}\cdot {\mathbf  {n}})dt.

Gauss teoreminden yararlanarak, uzayda hareket eden toplam V hacminin zaman içerisinde değişimi:
:{\frac  {dV}{dt}}=\int _{A}{\mathbf  {v}}\cdot {\mathbf  {n}}\,dA=\int _{V}\nabla \cdot {\mathbf  {v}}\,dV.
En sağdaki terim, hacim V üzerindeki hacim integrali ve orta terim, hacim V'nin sınır A'sı üzerindeki yüzey integralidir. Ayrıca, v, V noktalarının hangi hareket ettiği hızdır.
Optikte 
  x_{3}\  zamanın rolünü üstlenir. Faz uzayında ışık ışını  {\mathbf  {v}}=({\dot  {x}}_{1},{\dot  {x}}_{2},{\dot  {p}}_{1},{\dot  {p}}_{2})\  “hızı” ile ilerleyen bir nokta   (x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})\  ile tanımlanır. Burada nokta  x_{3}\ ’e göre türevi temsil eder.

  x_{1}\   koordinatında  dx_{1}\,  x_{2}\  koordinatında   dx_{2}\,   p_{1}\   koordinatında   dp_{1}\   ve   p_{2}\  koordinatında   dp_{2}\   üzerine yayılmış bir ışık ışını seti, faz uzayında  dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}\  hacmini kaplar. Genel olarak, geniş bir ışın grubu Gauss teoreminin uygulanabileceği faz uzayında büyük bir hacim V yi kaplar,

:  {\frac  {dV}{dx_{3}}}=\int _{V}\nabla \cdot {\mathbf  {v}}\,dV
Ve Hamilton denklemlerini kullanarak,
:\nabla \cdot {\mathbf  {v}}={\frac  {\partial {\dot  {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac  {\partial {\dot  {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac  {\partial {\dot  {p}}_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac  {\partial {\dot  {p}}_{2}}{\partial p_{2}}}={\frac  {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac  {\partial H}{\partial p_{1}}}+{\frac  {\partial }{\partial x_{2}}}{\frac  {\partial H}{\partial p_{2}}}-{\frac  {\partial }{\partial p_{1}}}{\frac  {\partial H}{\partial x_{1}}}-{\frac  {\partial }{\partial p_{2}}}{\frac  {\partial H}{\partial x_{2}}}=0 
sonucuna varılır. Yani, 
  dV/dx_{3}=0\  ve dV=dx_1dx_2dp_1dp_2=\text{Constant} \ 

bu, ışık bir optik sistem boyunca ilerledikçe faz alan hacminin korunması anlamına gelir.
Faz uzayında bir dizi ışın tarafından kullanılan hacim, x_3 yönündeki optik sistemde ışık ışınları ilerledikçe korunan etendue olarak adlandırılır. Bu Liouville teorisine karşılık gelir ve bu da Hamilton mekaniği için de geçerlidir.
	
Bununla birlikte, mekanikte Liouville teoremi anlamı, eminin korunması teorisinden oldukça farklıdır. Liouville teoremi aslında doğasında istatistikseldir ve aynı özelliklere sahip, ancak başlangıç koşulları farklı mekanik sistemlerin bir topluluğunun zaman içindeki evrimini ifade eder. Her sistem, faz uzayında tek bir nokta ile temsil edilir ve teorem, faz uzayındaki noktaların ortalama yoğunluğunun zaman içinde sabit olduğunu belirtir. Buna bir örnek, konteynerde dengede mükemmel bir klasik gaz molekülü olacaktır. Bu örnekte 2N boyutlarına sahip olan, faz uzayındaki her nokta, N, molekül sayısıdır ve temsil eden noktaların yoğunluğunun istatistiksel bir ortalamasını almaya yetecek kadar büyük bir topluluk olan aynı kapların bir grubunu temsil eder. Liouville teoremine göre, tüm kaplar dengede kalırsa puanların ortalama yoğunluğu sabit kalır.

## Görüntüleme ve görüntülemesiz optik

Şekil "etendue korunumu" solda, x_2 = 0 ve p_2 = 0 olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan x_1x_3 yönünde ilerler.
Noktanın x_1 = x_l noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şeklin sağ alt köşesi) faz uzayında r_A ve r_B noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları r_A ve r_B arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge r_I ile temsil edilir.

Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında r_A ve r_B noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları r_A ve r_B arasında bulunur (sağ üst köşe şekli). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge r_O ile gösterilir.

Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki R_I tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki r_O tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir.

Görüntülenen optikte giriş diyaframını x_1 = x_l'de geçen tüm ışık ışını x_1 = x_0 x_I = mx_O olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme m ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu, R_O'da dikey çizgi r_A r_B'nin R_O'da dikey çizgi r_A r_B'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu. Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu, R_I'nın kenar ışınları \partial R_I'yi R_O'nun kenar ışınlarına \partial R_O dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir.

## Genelleştirmeler

Yukarıdaki Hamilton ilkesinde, ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediği farz edildi, 
  x_{1}\   ve   x_{2}\  koordinatları  q_{k}\  genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, x_3 parametre \sigma rolünü üstlenir, yani parametre \sigma = x_3 ve N = 2'dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür.

## Genel ışın parametrizasyonu
Bir ışık ışınının yolunun, σ'nın genel bir parametre olduğu 
 s=\left(x_{1}\left(\sigma \right),x_{2}\left(\sigma \right),x_{3}\left(\sigma \right)\right)\  
olarak parametrize edildiği daha genel bir durum düşünülür. Bu durumda, yukarıdaki Hamilton ilkesine kıyasla,   x_{1}\,  x_{2}\  ve   x_{3}\  koordinatları,   q_{k}\  genelleştirilmiş koordinatlarının N = 3 olduğu rolünü üstlenirler. Bu durumda optikte Hamilton ilkesinin uygulanması,
:\delta S=\delta \int _}}^}}n\,ds=\delta \int _}^}n{\frac  {ds}{d\sigma }}\,d\sigma  

: =\delta \int _}^}L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot  {x}}_{1},{\dot  {x}}_{2},{\dot  {x}}_{3},\sigma \right)\,d\sigma = 0 
ve şimdi 
  L=nds/d\sigma \   
 {\dot  {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma  
ve bu Fermat ilkesinin formuna uygulanan Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki sonucu verir,
:  {\frac  {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac  {d}{d\sigma }}{\frac  {\partial L}{\partial {\dot  x}_{k}}}=0 
burada k=1,2,3 ve L optik Lagrange'dır. Bu durumda da optik momentum şu şekilde tanımlanır:

:  p_{k}={\frac  {\partial L}{\partial {\dot  x}_{k}}} 
ve Hamilton denklemlerinde P, yukarıda tanımlanan ve N = 3 için verilen   x_{1}\left(\sigma \right),  x_{2}\left(\sigma \right)  ve   x_{3}\left(\sigma \right)  fonksiyonlarına karşılık gelen ifade ile tanımlanır.
:  P={\dot  {x}}_{1}p_{1}+{\dot  {x}}_{2}p_{2}+{\dot  {x}}_{3}p_{3}-L 
Ve k = 1,2,3 iken Hamilton denklemlerinin optiğe uyarlanmış hali,
: {\frac  {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot  {p}}_{k}\,,\quad {\frac  {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot  {x}}_{k} 
burada   {\dot  {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma  ve  {\dot  {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma  olarak alınır. Optik Lagrange aşağıdaki gibidir,
: L=n{\frac  {ds}{d\sigma }}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt  _{1}^{2}+{\dot  {x}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}=L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot  {x}}_{1},{\dot  {x}}_{2},{\dot  {x}}_{3}\right). 
ve açıkça parametre \sigma'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen \sigma üzerine L'nin açık bir bağımlılığa sahiptir.

Optik momentum bileşenleri aşağıdaki yoldan elde edilebilir,
: p_{k}=n{\frac  _{k}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}}}=n{\frac  {dx_{k}}}}}=n{\frac  {dx_{k}}{ds}} 
burada  {\dot  {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma  ve Lagrange ifadesi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir,
: L=n{\sqrt  _{1}^{2}+{\dot  {x}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}={\dot  {x}}_{1}{\frac  {n{\dot  {x}}_{1}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}}}+{\dot  {x}}_{2}{\frac  {n{\dot  {x}}_{2}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}}}+{\dot  {x}}_{3}{\frac  {n{\dot  {x}}_{3}}_{2}^{2}+{\dot  {x}}_{3}^{2}}}}}
={\dot  {x}}_{1}p_{1}+{\dot  {x}}_{2}p_{2}+{\dot  {x}}_{3}p_{3} 
L için bu ifadeyi Hamilton P ifadesi ile karşılaştırıldığında,
  P=0\  sonucuna ulaşılır.  p_{k}\ 'nın bileşenlerinden yararlanılarak optik momentum aşağıdaki gibi bulunur,
:  p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0 
Başka şekilde seçilebilecek olsa da Optik Hamilton aşağıdaki gibi seçilmiştir: 
: P=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0
k = 1,2,3  ve  P=0\  ile tanımlanan Hamilton denklemleri, olası ışık ışınlarını tanımlar.

## Genelleştirilmiş koordinatlar
Hamilton mekaniğinde olduğu gibi Hamilton optik denklemlerini genelleştirilmiş koordinatlar \left(q_1\left(\sigma\right),q_2\left(\sigma\right),q_3\left(\sigma\right)\right) \  ve genelleştirilmiş momenta \left(u_1\left(\sigma\right),u_2\left(\sigma\right),u_3\left(\sigma\right)\right) \  ve Hamilton işlevi P açısından yazmak mümkündür:

:\frac{dq_1}{d\sigma} =\frac{\partial P}{\partial u_1} \quad \quad \frac{du_1}{d\sigma} =-\frac{\partial P}{\partial q_1}
:\frac{dq_2}{d\sigma} =\frac{\partial P}{\partial u_2} \quad \quad \frac{du_2}{d\sigma} =-\frac{\partial P}{\partial q_2}
:\frac{dq_3}{d\sigma} =\frac{\partial P}{\partial u_3} \quad \quad \frac{du_3}{d\sigma} =-\frac{\partial P}{\partial q_3}
:P=\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}-n^2=0

burada optik momentum aşağıdaki şekilde verilmiştir:
:\mathbf{p}=u_1 \nabla q_1+u_2 \nabla q_2+u_3 \nabla q_3
:=u_1 \|\nabla q_1 \| \frac{\nabla q_1}{\|\nabla q_1 \|}
+u_2 \|\nabla q_2 \| \frac{\nabla q_2}{\|\nabla q_2 \|}
+u_3 \|\nabla q_3 \| \frac{\nabla q_3}{\|\nabla q_3 \|}
:=u_1 a_1 \mathbf{\hat{e}}_1
+u_2 a_2 \mathbf{\hat{e}}_2
+u_3 a_3 \mathbf{\hat{e}}_3

ve \mathbf{\hat{e}}_1, \mathbf{\hat{e}}_2 ve \mathbf{\hat{e}}_3 birim vektörlerdir.

Özel bir durum bu vektörlerin ortonormal baz oluşturduğunda görülür. Ortonormal bazda bütün temel birim vektörler birbirine diktir.
Bu durumda optik momentum \mathbf{p} ile birim vektör \mathbf{\hat{e}}_k arasındaki açının kosinüsü u_k a_k/n \  ifadesine eşittir.

## Ayrıca bakınız

* Hamilton mekaniği
* Diferansiyel Kalkülüs

## Kaynakça