Beta fonksiyonu

Matematikte **beta fonksiyonu**, aynı zamanda birinci türden Euler integrali, karmaşık sayılarda tanımlı özel bir fonksiyondur ve gama fonksiyonu ve binomiyel katsayılarla yakından ilişkilidir. Beta fonksiyonu:

z_1,z_2 \in \mathbb{C}   ve \textrm{Re}(z_1), \textrm{Re}(z_2) > 0 için


 \mathrm{\Beta}(z_1,z_2) = \int_0^1t^{z_1-1}(1-t)^{z_2-1}\,dt
\! 

eşitliği ile tanımlanmıştır.

Beta fonksiyonunun sembolü **Β** bir yunanca harf olan beta harfinin büyük halidir. Fonksiyon Jacques Binet tarafından isimlendirilmiştir ve ilk olarak Leonhard Euler ile Adrien-Marie Legendre tarafından incelenmiştir.

## Özellikleri
Beta fonksiyonu girdilerinde simetriktir, yani

:
 \Beta(z_1,z_2) = \Beta(z_2,z_1).
\!

Beta fonksiyonu başka şekillerde ve başka eşitliklerle de yazılabilir:
:
 \Beta(z_1,z_2)=\dfrac{\Gamma(z_1)\,\Gamma(z_2)}{\Gamma(z_1+z_2)},
\!
:
\Beta(z,z) = \Beta(z)=\dfrac{\Gamma(z)^2}{\Gamma(2z)}
;\!

:
 \Beta(z_1,z_2) =
  2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2z_1-1}(\cos\theta)^{2z_2-1}\,d\theta,
  \qquad \textrm{Re}(z_1)>0,\ \textrm{Re}(z_2)>0
\!

:
 \Beta(z_1,z_2) =
  \int_0^\infty\dfrac{t^{z_1-1}}{(1+t)^{z_1+z_2}}\,dt,
  \qquad \textrm{Re}(z_1)>0,\ \textrm{Re}(z_2) > 0
\!

:
 \Beta(z_1,z_2) =
  \sum_{n=0}^\infty \dfrac {z_1+n},
\!

:
 \Beta(z_1,z_2) = \frac{z_1+z_2}{z_1 z_2} \prod_{n=1}^\infty \left(1+\dfrac{z_1 z_2}{n(z_1+z_2+n)}\right)^{-1},
\!
: \Beta(z_1,z_2) =
  \dfrac{1}{z_2}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{z_2^{n+1}}{n!(z_1+n)}
\!
:
:
 \Beta(z_1,z_2) \cdot \Beta(z_1+z_2,1-z_2) =
  \dfrac{\pi}{z_1 \sin(\pi z_2)}.
\!

Burada \Gamma(z) faktöriyelin gerçel ve karmaşık sayılara genelleştirildiği gama fonksiyonu'dur.

Özellikle eşitlikteki ikinci gösterimle beraber elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela bir bölü ikinin çıktıları,

:\Gamma(1/2) = \sqrt \pi,
:\Beta(1/2) = \pi,

kartezyen koordinatlardaki  n-küre hacminin türevleri'ne uygulanabilir.

Gama fonksiyonu doğal sayılarda sıradan faktöriyele dönüşür:

n \in \mathbb{N} \Rightarrow \Gamma(n) = (n-1)!.

Dolayısıyla binomiyel katsayılar beta fonksiyonu aracılığıyla da genelleştirilebilir:
:{n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}.

Ayrıca her n tam sayısı için, \Beta\,'nın k sürekli değerleri için öteleme fonksiyonu kapalı formunun integrallenmiş şekli:

:{n \choose k} = (-1)^n n! \cfrac{\sin (\pi k)}{\pi \prod_{i=0}^n (k-i)}.

İlk kez Gabriele Veneziano, sicim teorisi'deki genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.

## Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki

Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;

:
 \Gamma(x)\Gamma(y) =
  \int_0^\infty\ e^{-u} u^{x-1}\,du \int_0^\infty\ e^{-v} v^{y-1}\,dv.
\!

Şimdi, u \equiv a^2, v \equiv b^2 yazalım, böylece

:\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
  4\int_0^\infty\ e^{-a^2} a^{2x-1}\mathrm{d}a \int_0^\infty\ e^{-b^2} b^{2y-1}\,db \\
& {} = \int_{-\infty}^\infty\ \int_{-\infty}^\infty\ e^{-(a^2+b^2)} |a|^{2x-1} |b|^{2y-1} \,da \,db.
\end{align}
\!

Kutupsal koordinatlara dönüşüm, a = r\cos\theta, b = r\sin\theta:

:\begin{align}
 \Gamma(x)\Gamma(y) & {} =
  \int_0^{2\pi}\ \int_0^\infty\ e^{-r^2} |r\cos\theta|^{2x-1} |r\sin\theta|^{2y-1} r \, dr \,d\theta \\
& {} = \int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2x+2y-2} r\, dr \int_0^{2\pi}\ |(\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1}| \, d\theta \\
& {} = \frac{1}{2}\int_0^\infty\ e^{-r^2} r^{2(x+y-1)} \, d(r^2) 4\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \,d\theta \\
& {} = \Gamma(x+y) 2\int_0^{\pi/2}\ (\cos\theta)^{2x-1} (\sin\theta)^{2y-1} \, d\theta \\
& {} = \Gamma(x+y) \Beta(x,y).
\end{align}


Dolayısıyla, beta fonksiyonunun gama fonksiyonuyla ilişkisi:

:
 \Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.


Diğer bir türetim, bir özel durumu için konvolüsyon integrali  alınırsa

:f(u):=e^{-u} u^{x-1} 1_{\R_+} ve g(u):=e^{-u} u^{y-1} 1_{\R_+}, sonuç kolayca:

:\Gamma(x)\Gamma(y)=\left(\int_{\R}f(u)du\right)\left(\int_{\R}g(u)du\right)=\int_{\R}(f*g)(u)du=\Beta(x, y)\,\Gamma(x+y).

## Türevi

Beta fonksiyonunun z1 cinsinden parçalı türevi:

:{\partial \over \partial z_1} \mathrm{B}(z_1, z_2) = \mathrm{B}(z_1, z_2) \left( {\Gamma'(z_1) \over \Gamma(z_1)} - {\Gamma'(z_1 + z_2) \over \Gamma(z_1 + z_2)} \right) = \mathrm{B}(z_1, z_2) (\psi(z_1) - \psi(z_1 + z_2)).

Burada \psi(z), gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olan digama fonksiyonu'dur:

\psi(z) = {d \over dz}\ln\Gamma(z) = {\Gamma'(z) \over \Gamma(z)}.

Fonksiyonun girdi bazında simetrik olması dolayısıyla z2 cinsinden alacağımız parçalı türev önceki sonuçla direktmen bağlantılıdır:

{\partial \over \partial z_2} \mathrm{B}(z_1,z_2) = {\partial \over \partial z_2} \mathrm{B}(z_2,z_1)

Dolayısıyla yapmamız gereken tek şey z1 cinsinden aldığımız parçalı türevde z1 ile z2 değişkenlerinin yerlerini değiştirmektir:

z_1 \rightarrow z_2, z_2 \rightarrow z_1

\therefore

{\partial \over \partial z_2} \mathrm{B}(z_1,z_2) 
= \mathrm{B}(z_1,z_2)\left({\Gamma'(z_2) \over \Gamma(z_2)} - {\Gamma'(z_1 + z_2) \over \Gamma(z_1 + z_2)}  \right)
= \mathrm{B}(z_1,z_2)\left(\psi(z_2) - \psi(z_1+z_2)  \right).

## İntegralleri

Nörlund-Rice integrali beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir.

## Yaklaşıklıklar

Stirling yaklaşıklığı kullanılarak beta fonksiyonu için yeni yaklaşıklıklar türetilebilir.

*x* ve y görece büyük gerçek sayılar ise,

:\Beta(x,y) \sim \sqrt {2\pi } \frac y^{y - \frac{1}{2}} }} }}

diğer bir yaklaşık gösterim, *x*'in görece büyük ve *y*'nin sabit olması durumunda,

:\Beta(x,y) \sim \Gamma(y)\,x^{-y}.

## Tamamlanmamış beta fonksiyonu
Burada tamamlanmamış ifadesi integralin bir sınırının "kapalı" (alt sınır, 0), diğer sınırının ise "açık" olduğunu (üst sınır = x) belirtir. Beta fonksiyonunun daha genel bir versiyonu **tamamlanmamış beta fonksiyonu**'dur:

: \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt. \!

*x*'in bire eşit olduğu durumda tamamlanmamış beta fonksiyonu standart beta fonksiyonuna dönüşür. Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekliyle tamamlanmamış gama fonksiyonu arasında da vardır.

**Düzenlenmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu** (veya kısaca **düzenlenmiş beta fonksiyonu**), tamamlanmamış beta fonksiyonu ve standart beta fonksiyonunun aşağıdaki ilişkisiyle oluşur:

: I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}. \!

*a* ve *b* tam sayı değerleri için bilinen integral dışında (parçalanmış integrasyon kullanılabilir):

: I_x(a,b) = \sum_{j=a}^{a+b-1} {(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!} x^j (1-x)^{a+b-1-j}. 

Binom dağılımı'nın, bir rastgele değişkeni *X,* "başarı olasılığı" *p,* örnekleme boyutu *n* olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede düzenlenmiş tamamlanmamış beta fonksiyonu şu şekilde kullanılabilir:
 
:F(k;n,p) = \Pr(X \le k) = I_{1-p}(n-k, k+1). 

### Özellikler

: I_0(a,b) = 0 \, 
: I_1(a,b) = 1 \, 
: I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \, 

*(Listede diğer birçok özellik olabilir.)*

## Ayrıca bakınız
* Matematiksel fonksiyonların listesi
* Beta dağılımı
* Binom dağılımı
* Jacobi toplamı, sonlu alanlar üzerinde beta fonksiyonunun analogları.
* Negatif binom dağılımı
* Yule–Simon dağılımı
* Tekdüze dağılım (devamlılık)
* Gama fonksiyonu

## Kaynakça
* 
* M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *[[Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_258.htm (See §6.2, 6.6, and 26.5)]*
* W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. *[https://web.archive.org/web/20080516044136/http://www.nr.com/ Numerical Recipes] in C*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. *(See section 6.4)*
* 
* Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions Site, Evaluate Beta Regularized Incomplete beta 

## Dış bağlantılar
* Cephes - C and C++ language special functions math library
* Beta Function Calculator
* Incomplete Beta Function Calculator
* Regularized Incomplete Beta Function Calculator