Akustik dalga denklemi

Fizikte **akustik dalga denklemi**, akustik dalgaların bir ortamda yayılımını düzenler. Denklemin biçimi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemdir. Denklem, akustik basınç p ve parçacık hızı ***u*** nun gelişimini, konum ***r*** ve zaman t türünden fonksiyon olarak ifade eder. Denklemin basitleştirilmiş bir formu akustik dalgaları sadece bir boyutlu uzayda, daha genel formu ise dalgaları üç boyutta tanımlar.

## Tek boyutta

### Denklem
Sesin madde içerisindeki davranışını tek boyutta tanımlayan dalga denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir,
 
: { \partial^2 p  \over  \partial x ^2 }   -  {1 \over c^2} { \partial^2 p  \over  \partial t ^2 }   = 0  

p akustik basıncı(ortam basıncından değişimi), c ise ses hızını gösteriyor.

### Çözüm
Hızın c sabit olduğu düşünüldüğünde, frekansa bağlı olmadan(dağılım olmayan durumda) en genel çözüm;

:p = f(c t - x) + g(c t + x)

f ve g iki kere türevlenebilen fonksiyonlardır. İki hareket eden dalganın üst üste binmesi olarak görülebilir, (f) pozitif x-ekseninde, (g) ise negatif x-ekseninde c hızıyla hareket eder. Tek bir yönde hareket eden bir sinüs dalgası ise f veya g den birinin sinüsoid ve diğerinin sıfır olması ile elde edilir.

:p=p_0 \sin(\omega t \mp kx).

\omega dalganın açısal frekansını, k ise dalga sayısını verir.

### Elde etme
Dalga denklemi lineerize edilmiş tek boyutlu süreklilik denkleminden, tek boyutlu kuvvet denkleminden ve hal denkleminden elde edilebilir
Hal denklemi(ideal gaz yasası):

:PV=nRT

Adiabatik(ısı almayan) işlemde, basınç P yoğunluğun \rho bir fonksiyonudur ve şu şekilde lineerize edilebilir;

:P = C \rho \,

*C* herhangi bir katsayı. Basınç ve yoğunluğu ortalama ve toplam bileşenlerine ayırırsak:

:P - P_0 = \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right) (\rho - \rho_0).

Akışkanlar için adiabatik hacim modülü;

:B= \rho_0 \left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{adiabatic}

Şu sonucu verir:
 
:P-P_0=B \frac{\rho - \rho_0}{\rho_0}.

Yoğunlaşma, *s*, verilen bir akışkan yoğunluğu için yoğunluktaki değişme olarak tanımlanır.
 
:s = \frac{\rho - \rho_0}{\rho_0}

Lineerize edilmiş hal denklemi buna dönüşür:

:p = B s\,

P akustik basınç (P − P0).

Süreklilik denklemi(kütle korunumu) tek boyutta şöyledir:

::\frac{\partial \rho}{\partial t} +  \frac{\partial }{\partial x} (\rho u) = 0.

Denklem lineerize edilmeli ve değişkenler yine ortalama ve değişen bileşenlerine ayrılmalıdır.

:\frac{\partial}{\partial t} ( \rho_0 + \rho_0 s) +  \frac{\partial }{\partial x}  (\rho_0 u + \rho_0 s u) = 0

Tekrar düzenleyerek ve ortam yoğunluğunun zamana veya konuma bağlı değişmediğine, aynı zamanda hız ile yoğunluğun çarpımının çok küçük bir sayı olduğuna dikkat ederek şunu yazabiliriz:
 
:\frac{\partial s}{\partial t}  +  \frac{\partial }{\partial x}  u  = 0

Euler'ın Kuvvet yasası(momentum korunumu) gereken sonunsur. Tek boyutta denklem:

:\rho \frac{D u}{D t} + \frac{\partial P}{\partial x} = 0

D/Dt ileten, kayda değer veya gerekli türevdir, sabit bir noktadan ziyade ortamla beraber hareket eden bir noktadaki türevdir.
Değişkenleri lineerize edersek:

:(\rho_0 +\rho_0 s)\left( \frac{\partial }{\partial t} + u \frac{\partial }{\partial x} \right) u + \frac{\partial }{\partial x} (P_0 + p) = 0.

Küçük terimleri yok sayıp yeniden düzenlersek denkem bu hale gelir:

:\rho_0\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0.

Süreklilik denkleminin zamana göre, kuvvet denkleminin ise konuma göre türevlerini alırsak:

:\frac{\partial^2 s}{\partial t^2}  +  \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} = 0

:\rho_0 \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial t} + \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = 0.
 
İlk denklemi \rho_0 ile çarpar, birbirlerinden çıkarır ve hal denkleminin lineerize edilmiş formunu yerine koyarsak:

:- \frac{\rho_0 }{B} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = 0
 
Son hali şu olur:

: { \partial^2 p  \over  \partial x ^2 }   -  {1 \over c^2} { \partial^2 p  \over  \partial t ^2 }   = 0  
 
c = \sqrt{ \frac{B}{\rho_0 }} yayılma hızıdır

## Üç boyutta

### Denklem
Feynman üç boyutta sesin ortamdaki dalga denklemini şöyle elde etmiştir:
 
: \nabla ^2 p - {1 \over c^2} { \partial^2 p  \over  \partial t ^2 } = 0  

\nabla ^2 Laplace operatörü, p akustik basınç ve c sesin hızıdır.

### Çözüm

Aşağıdaki çözümler farklı koordinat sistemlerinde değişken ayırma yöntemi ile elde edilmiştir. Bu çözümlerin zamana bağlı açık olmayan bir faktörleri vardır, e^{i\omega t},burada \omega = 2 \pi f açısal frekanstır. Açık zamana-bağlılık şöyle verilir:
:p(r,t,k) = \operatorname{Real}\left[p(r,k) e^{i\omega t}\right]
 
burada  k = \omega/c \  dalga sayısıdır.

#### Kartezyen koordinatlarda

: p(r,k)=Ae^{\pm ikr} 

#### Silindirik koordinatlarda

: p(r,k)=AH_0^{(1)}(kr) + \ BH_0^{(2)}(kr)

Burada kr\rightarrow \infty  iken Hankel fonksiyonlarına asimptotik yaklaşımlar şöyle verilir;

: H_0^{(1)}(kr) \simeq \sqrt{\frac{2}{\pi kr}}e^{i(kr-\pi/4)}

: H_0^{(2)}(kr) \simeq \sqrt{\frac{2}{\pi kr}}e^{-i(kr-\pi/4)}

#### Küresel koordinatlarda

: p(r,k)=\frac{A}{r}e^{\pm ikr}

Seçilen Fourier kuralına bağlı olarak, bunlardan biri dışarı hareket eden, diğeri ise fiziksel olmayan içeri hareket eden dalgayı temsil eder. İçeri hareket eden dalganın fiziksel olmaması sadece r=0 da oluşan tekillikten ileri gelir; içeri hareket eden dalgalar mevcuttur.

## Kaynakça