Üreteç fonksiyonu

Matematikte **üreteç fonksiyonu** ya da **üreteç fonksiyon** verilen bir dizinin her bir elemanını katsayılarıyla temsil eden biçimsel bir kuvvet serisidir.
 
Kullanım ve uygulama olanaklarına göre çeşitli üreteç fonksiyonları vardır. En yagın örnekleri arasında, **sıradan üreteç fonksiyonu**, **üstel üreteç fonksiyonu**, **Lambert serisi**, **Bell serisi** ve **Dirichlet serisi** vardır.

## Tarihçe
Üreteç fonksiyonları ilk defa 1730 yılında Abraham de Moivre tarafından genel doğrusal yineleme problemlerini çözmek amacıyla tanımlanmıştır. Bu tip fonksiyonlara ilk defa üreteç fonksiyonları adını veren ise George Polya'ya göre Laplacetır;ancak, Euler Laplace'tan daha önce bu fonksiyonları kullanıp kombinatorik analiz ve saylar teoreisindeki problemlere uygulamıştır.

## Tanım
Bir *a**n*, n=0, 1, 2, \cdots dizisine denk düşen (sıradan) **üreteç fonksiyonu**  şöyle tanımlanır:
:G(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n.

Örneğin, tam kare dizisi için üreteç fonksiyonu *a**n* = *n*2 dir ve bu halde
sıradan üreteç fonksiyonu,
:G(n^2;x)=\sum_{n=0}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}
olur.

### Yakınsaklık
Bir üreteç fonksiyonu, yalnızca biçimsel olarak bir kuvvet serisi olduğundan, her *x* değeri için yakınsak olmak zorunda değildir. Üreteç fonksiyonunun kullanıldığı bağlam ve örneğe göre kimi zaman uygun düşen *x* değerleri için yakınsaklığı incelenebilir ve bu *x* değerleri için eşit olduğu fonksiyon yazılabilir. Örneğin, 1,1,1,\ldots  dizisine karşılık gelen
:\sum_{n=0}^{\infty}x^n 
üreteç fonksiyonu,  |x| için \frac{1}{1-x} fonksiyonuna eşittir.

## Üreteç fonksiyon türleri
### Üstel üreteç fonksiyonu
Bir *a**n* dizisi için **üstel üreteç fonksiyonu** ise şöyledir:
:EG(a_n;x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}x^n.
Örneğin, 
:EG(n^2;x)=\sum _{n=0}^{\infty} \frac{n^2x^n}{n!}=x(x+1)e^x

### Olasılık üreteç fonksiyonu

Bir *U* olasılık uzayı üzerinde negatif olmayan bir rassal değişken *X* için (yani her  u\in U  için  X(u)\geq 0 )
:G_X(x)=\sum_{n=0}^{\infty} p(X(u)=n) x^n
serisine **olasılık üreteç fonksiyonu** ya da **olasılık çıkaran fonksiyon** denir. Burada *p* gösterimi ile olasılık dağılım fonksiyonudur. Örneğin, 
a\in\N olmak üzere, p(X(u)=n)=\frac{1}{a}, n=1, \cdots, a olsun. Bu durumda, düzgün dağılım üreteç fonksiyonu 
:G_X (x)=\sum_{n=0}^{\infty} p(X(u)=n) x^n=\sum_{n=1}^{a} p(X(s)=n) x^n=\frac{1}{a}(x+x^2+\cdots+x^a)=\frac{1}{a} \left(\frac{x-x^{a+1}}{1-x}\right)
olarak elde edilir.

### Bell serisi
Bir p asal sayısı ve bir *a**n*, n=0, 1, 2, \cdots dizisine denk düşen **Bell serisi**
:BG_p(a_n, x)=\sum_{n=0}^\infty a_{p^n}x^n=\frac{1}{1-p^2x}
olarak verilir.
\operatorname{BG}_p(a_n;x) = \sum_{n=0}^\infty a_{p^n}x^n.

### Dirichlet serisi üreteç fonksiyonu
Bir *a**n*, n=0, 1, 2, \cdots dizisine denk düşen **Dirichlet serisi**
:DG(a_n;s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}
olarak tanımlanır.
\operatorname{DG}(a_n;s)=\sum _{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}.

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
* Generating Functions, Power Indices and Coin Change at Cut-the-Knot
* Generatingfunctionology PDF download page
* 1031 Generating Functions 
* Ignacio Larrosa Cañestro, León-Sotelo, Marko Riedel, Georges Zeller, *[http://groups.google.com/group/es.ciencia.matematicas/browse_thread/thread/26328abc49e15dd9/88b7b522437223ce#88b7b522437223ce Suma de números equilibrados], newsgroup es.ciencia.matematicas*
* Frederick Lecue; Riedel, Marko, *et al.*, ''Permutation'', *Les-Mathematiques.net*, in French, title somewhat misleading.
* "Generating Functions" by Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project, 2007.