Determinant

**Determinant** kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.

Bir **A** matrisin determinant'ı *det*(**A**) ya da *det* **A** şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matrix elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir. Örneğin:

:  \begin{bmatrix}a&b&c\\
d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}  matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir:  \begin{vmatrix} a & b & c\\d & e & f\\g & h & i \end{vmatrix}\ .

Basit bir örnek olarak,


A = \begin{bmatrix} a & b\\c & d \end{bmatrix}\,


matrisinin determinantı şudur:

:\det A = ad - bc.\ 

#### Determinantın açık tanımı
Determinantın açık tanımı bir **A** matrisinin kofaktörü **C** ya da minörü **M** cinsinden gösterilebilir:

:\det(A) = \sum_{j=1}^n A_{i,j}C_{i,j} = \sum_{j=1}^n A_{i,j} (-1)^{i+j} M_{i,j}.

#### Determinant ve geometri

Yukarıda belirtilen 2x2 **A** matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (*a*,*b*), (*a* + *c*, *b* + *d*) ve (*c*,*d*) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.

Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.

#### Determinantın temel özellikleri

* Birim matrisin determinantı birdir:

:: \begin{vmatrix}1&0&\ldots&0\\

0 & 1 & \ldots & 0\\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\

0 &0&\ldots&1\end{vmatrix} = 1.

* Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:

:\mathsf{\det(AB) = \det (A) \det (B)}.

* det(A) sıfırdan farklı ise, **A** matrisinin tersi **A**−1 tanımlıdır. Bu durumda:

:\mathsf{\det(A^{-1}) = \left(\det (A)\right)^{-1}}.

* *A* ve *B* benzer matrisler olsun: \textstyle\mathsf{A = X^{-1}BX} ve dönüşüm matrisi **X** in tersi \textstyle\mathsf{X^{-1}} tanımlı olsun. Bu durumda:

:\mathsf{\det(A) = \det(X)^{-1} \det(BX) = \det(X)^{-1} \det(B)\det(X) = \det(B) \det(X)^{-1} \det(X) = \det(B)}.

* Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:

:\mathsf{\det(A^\mathrm{T}) = \det (A)}.

* Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:

:\mathsf{\det(\alpha A) = \alpha^ndet(A)}.
### Kalıp Matrisler (Blok matrisler)
Boyutları *n*×*n*, *n*×*m*, *m*×*n* ve *m*×*m* olan *A*, *B*, *C* ve *D* matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak *n+m* × *n+m* boyutunda büyük bir kare matris *M* oluşturalım. *M'y*i oluşturan *A*, *B*, *C* ya da *D* kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, **'nin determinantı kolayca hesaplanabilir:

:<math>\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& 0\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ 0& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(A) \det(D)} .</math>

Bu sonuç ''M'' matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. ''A''nın tersi tanımlı olsun. Bu durumda

:<math>\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathsf{A}& 0\\ \mathsf{C}& \mathsf{I}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mathsf{I}& \mathsf{A}^{-1} \mathsf{B}\\ 0& \mathsf{D - C A^{-1} B}\end{pmatrix}</math>

denkliği yazılabilir ve buradan determinant

:<math>\det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(A) \det(D - C A^{-1} B)} .</math>

şeklinde hesaplanır. ''B'' ya da ''C''nin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etmiş oluruz.

Ayrıca,

''C'' ve ''D**nin değişme özelliği var ise, yani *CD = DC* ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(AD - BC)}.

*A* ve *C*'nin değişme özelliği var ise, yani *AC = CA* ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(AD - CB)}.

*B* ve *D*'nin değişme özelliği var ise, yani *BD = DB* ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(DA - BC)}.

*A* ve *B*'nin değişme özelliği var ise, yani *AB = BA* ise, \det\begin{pmatrix}\mathsf{A}& \mathsf{B}\\ \mathsf{C}& \mathsf{D}\end{pmatrix} = \mathsf{\det(DA - CB)}.