Bilineer enterpolasyon

**Bilineer interpolasyon**, lineer interpolasyonun iki değişkenli fonksiyonların (ör. *x* ve *y*) rectilineer iki-boyutlu *grid* üzerinde interpolasyonu için olan uzantısıdır.

Metot, lineer interpolasyonun önce bir yönde sonra diğer yönde sırasıyla uygulanmasına dayanır. Bu iki adım kendi içinde lineerse de, metot, bir bütün olarak lineer değil; *quadratic*tir.

## Algoritma
Bilinmeyen bir fonksiyon *f*'in (*x, y*) noktasındaki değerinin bulunacağı varsayılsın. Ayrıca, *f*'in dört noktadaki değeri bilinsin: *Q*11 = (*x*1,&nbsp;*y*1), *Q*12 = (*x*1,&nbsp;*y*2), *Q*21 = (*x*2,&nbsp;*y*1) ve *Q*22 = (*x*2,&nbsp;*y*2).

İlk olarak, *x*-doğrultusunda lineer interpolasyon aşağıdaki gibi yapılır: 
:\begin{align}
f(x, y_1) &\approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \\
f(x, y_2) &\approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22})
\end{align}
İkinci olarak, yukarıdaki denklem, *y*-doğrultusunda lineer interpolasyonu uygulanırsa, aşağıdaki denklem bulunur:
:\begin{align}
f(x,y) &\approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(x, y_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(x, y_2) \\
&\approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} \left ( \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \right ) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \left ( \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \right ) \\
&= \frac{1}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} \left ( f(Q_{11})(x_2-x)(y_2-y) + f(Q_{21})(x-x_1)(y_2-y)+  f(Q_{12})(x_2-x)(y-y_1) + f(Q_{22})(x-x_1)(y-y_1) \right)\\
&=\frac{1}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}  \begin{bmatrix} x_2-x & x-x_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(Q_{11}) & f(Q_{12}) \\ f(Q_{21})& f(Q_{22}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
y_2-y \\ y-y_1 \end{bmatrix}
\end{align}
Son denklem, hangi doğrultu ile başlanırsa başlansın, aynıdır. Örneğin, önce *y-* sonra *x-*doğrultusunda yapılan iki ardışık lineer interpolasyon yukarıdaki aynı terimi verir. 
### Alternatif algoritma
İnterpolasyonun ifadesinde alternatif bir yöntem aşağıdaki gibidir:
: f(x,y) \approx a_0 + a_1 x + a_2 y + a_3 xy
Denklemin katsayıları aşağıdaki lineer sistemin çözülmesi ile elde edilir:
:\begin{align}
\begin{bmatrix}
1 & x_1 & y_1 & x_1 y_1 \\
1 & x_1 & y_2 & x_1 y_2 \\
1 & x_2 & y_1 & x_2 y_1 \\
1 & x_2 & y_2 & x_2 y_2 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
a_0\\a_1\\a_2\\a_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
f(Q_{11})\\f(Q_{12})\\f(Q_{21})\\f(Q_{22})
\end{bmatrix}
\end{align}
Eğer çözüm *f(Q)* cinsinden istenirse, aşağıdaki ifade kullanılabilir:
: f(x,y) \approx b_{11} f(Q_{11}) + b_{12} f(Q_{12}) + b_{21} f(Q_{21}) + b_{22} f(Q_{22})
Bu denklemin katsayıları da aşağıdaki sistemin çözümüyle elde edilir:
:
\begin{bmatrix}
b_{11}\\b_{12}\\b_{21}\\b_{22}
\end{bmatrix}=
\left(\begin{bmatrix}
1 & x_1 & y_1 & x_1 y_1 \\
1 & x_1 & y_2 & x_1 y_2 \\
1 & x_2 & y_1 & x_2 y_1 \\
1 & x_2 & y_2 & x_2 y_2
\end{bmatrix}^{-1}\right)^T \begin{bmatrix}
1\\x\\y\\xy
\end{bmatrix}

### Sadeleştirilmiş algoritma
Eğer *f*'in bilindiği dört noktanın koordinatları  ve (1,&nbsp;1), ise; interpolasyon denklemi aşağıdakince sadeleşir: 
: f(x,y) \approx f(0,0) (1-x)(1-y) + f(1,0) x(1-y) + f(0,1) (1-x)y + f(1,1) xy. 
Eşdeğer matris formatında ise denklem:
: f(x,y) \approx \begin{bmatrix} 1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(0,0) & f(0,1) \\ f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1-y \\ y \end{bmatrix}.

## Ayrıca bakınız
*İnterpolasyon
*Lineer interpolasyon
*Trilineer interpolasyon