RC devresi

**Direnç - kapasitör devresi** **(RC devresi)** veya **RC filtresi** direnç ve kapsitörlerden oluşan ve gerilim veya akım kaynağı tarafından beslenen bir elektrik devresidir.

## Başlangıç
Üç temel, doğrusal (lineer) analog devre elemanı vardır: direnç (R), kapasitör (C) ve bobin (L). Bunların dört önemli kombinasyonu vardır: RC devresi, RL devresi, LC devresi ve RLC devresi olarak bilinirler. Bu devreler, analog elektroniğin en önemli devrelerini oluşturur. Özellikle, pasif filtrelerde çokça kullanılır. Burada RC devresinin hem seri hem de paralel diyagramları gösteriliyor.

## Karmaşık empedans
Bir kapasitörün kapasitansı *C* (farad) ise karmaşık empedansı *Z**C* (ohm)
:Z_C = \frac{1}{sC}  dir.

*s* açısal frekans gösterir ve genellikle bir karmaşık sayıdır,
:s \ = \ \sigma + j \omega  

Burada

* *j* sanal (imajiner) birimi gösterir:
: j^2 = -1
* \sigma \  gerçek (reel) kısım ve
* \omega \  sanal kısım, yani sinüzoidal olan açısal frekans (radyan/saniye)tır.

## Seri devre

Devrede kapasitör üzerindeki gerilim:
:
V_C(s) =  \frac{1/Cs}{R + 1/Cs}V_{in}(s) = \frac{1}{1 + RCs}V_{in}(s)


ve direnç üzerindeki gerilim:
:
V_R(s) = \frac{R}{R + 1/ Cs}V_{in}(s) = \frac{ RCs}{1 + RCs}V_{in}(s)
dir.

### Transfer fonksiyonları
Kapasitörün transfer fonksiyonu
:
H_C(s) = { V_C(s) \over V_{in}(s) }   = { 1 \over 1 + RCs  } 


ve aynı şekilde direncin transfer fonfsiyonu

:
H_R(s) = { V_R(s) \over V_{in}(s) }   = { RCs \over 1 + RCs  }
 dir.

#### Kutuplar ve sıfırlar
Her iki transfer fonksiyonunda da tek kutup vardır.
:
s = - {1 \over RC }
 .

Ek olarak, direnç için orijinde
sıfır vardır.
 
### Kazanç ve faz açısı

Kazanç iki etkene bağlıdır: Biri
:
G_C = | H_C(j \omega) | = \left|\frac{V_C(j \omega)}{V_{in}(j \omega)}\right| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}

diğeri ise
:
G_R = | H_R(j \omega) | = \left|\frac{V_R(j \omega)}{V_{in}(j \omega)}\right| = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + \left(\omega RC\right)^2}}
 dir

ve faz açıları:
:
\phi_C =  \angle H_C(j \omega) =  \tan^{-1}\left(-\omega RC\right)

ve
:
\phi_R = \angle H_R(j \omega) =  \tan^{-1}\left(\frac{1}{\omega RC}\right)
.

Bu ifadeler birlikte kullanılabilir ve genellikle fazör çıkışı temsil eder:
:
V_C \ = \ G_{C}V_{in}  e^{j\phi_C}

:
V_R \ = \  G_{R}V_{in} e^{j\phi_R}
.

### Akım
Seri devrelerde akım her yerde aynıdır:
:
I(s) = \frac{V_{in}(s) }{R+1/ Cs}  =  { Cs \over 1 + RCs } V_{in}(s)


### İmpuls cevabı
Her gerilim için impuls cevabı transfer fonksiyonunun karşılığı olan ters Laplace dönüşümüdür. Bu devre bir darbenin veya delta fonksiyonunun cevabının bir giriş gerilimine bağlı olduğunu gösterir.

Kapasitörün gerilimi için impuls cevabı
:
h_C(t) = {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t)  =  { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)


Burada *u*(*t*) Heaviside adım fonksiyonudur ve
:
\tau \ = \ RC 

zaman sabitidir.

Aynı şekilde direnç geriliminin impuls cevabı
:
h_R(t) = \delta (t) - {1 \over RC} e^{-t / RC} u(t)  =  \delta (t) - { 1 \over \tau} e^{-t / \tau} u(t)


Burada da *δ*(*t*) Dirac delta fonksiyonudur.

### Frekans uzayı faktörleri

\omega \to \infty'a yaklaştıkça:
:G_C \to 0
:G_R \to 1 olur.

\omega \to 0'a yaklaştıkça:
:G_C \to 1
:G_R \to 0 olur.

:G_C = G_R = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Yukarıdaki denklemin çözümünden şu sonuç elde edilir:
:\omega_{c} = \frac{1}{RC} \ \mathrm{rad/s}
veya
:f_c = \frac{1}{2\pi RC} \ \mathrm{Hz}
Bu da filtrenin orijinal gücün yarısına düşeceği frekansıdır.

\omega \to 0'a yaklaştıkça:
:\phi_C \to 0
:\phi_R \to 90^{\circ} = \pi/2^{c}.

\omega \to \infty'a yaklaştıkça:
:\phi_C \to -90^{\circ} = -\pi/2^{c}
:\phi_R \to 0

### Zaman uzayı faktörleri

Zaman uzayını en doğru şekilde elde etmek için Laplace dönüşümünü ifade eden yukarıdaki V_C ve V_R yapıları kullanılır. Bu etkin dönüşümler j\omega \ s  e dönüştürülür.Adım girişi yaklaşımı yapılır. (örn. Önce V_{in} = 0 yapılarak t = 0 bulunur, sonra V_{in} = V yapılır):
:
V_{in}(s) = V\frac{1}{s}

:
V_C(s) = V\frac{1}{1 + sRC}\frac{1}{s}

ve
:
V_R(s) = V\frac{sRC}{1 + sRC}\frac{1}{s}
.

Kısmi kesir açılımları ve ters Laplace dönüşümüü:
:
\,\!V_C(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)

:
\,\!V_R(t) = Ve^{-t/RC}
.

Bu eşitlikler kapasitör ve direnç üzerindeki gerilimleri sırasıyla hesaplamak içindir. Kapasitörün dolması sırasındaki eşitlikler; boşalması sırasındaki eşitliklerin tam tersidir. Bu eşitlikler şarj ve akım ilişkisi C=Q/V ve V=IR (Ohm Kanununa bakın) kullanılarak tekrar yazılabilir.

Bu eşitlikler seri RC devrelerinde bir zaman sabitinin olduğunu gösteriyor, genellikle  \tau = RC  ifadesi voltaj karşısında bileşenleri ya  (C karşısında ) ya yükselir veya (R karşısında) bu son değerin 1/e ye birlikte düşer. Böylece \tau zamanında   V(1 - 1/e)  V_C ye ve V(1/e)  V_R ye ulaşabilir

Değişim oranı her \tau bir *fraksiyonel * \left(1 - \frac{1}{e}\right) dir. Böylece, t=N\tau dan t = (N+1)\tau'ye içinde giden voltaj  bu seviyeden yolun yaklaşık 63.2 % si taşınacak t=N\tau de yönünde bu sonuç değerdir. Böylece C  \tau,sonrasında  yaklaşık 63.2 % ye dolacak ve yaklaşık 5\tau sonrasında aslında tam dolacak (99.3 %) .Eğer voltaj kaynağı  bir kısa-devre ile yerdeğiştirirse, C 0 yönünde V'den *t*  ile  C karşısında voltaj C tam yükü ile üstel şekilde damlar.C  \tau sonrasında yaklaşık 36.8 % ye düşmüş  ve aslında   5\tau sonrasında aslında tamamen boşalmış (0.7 %) olacak. Unutmadan  I akımı Ohm Kanunu yoluyla R karşısında voltaj olarak akım davranışı içinde bunu yapar

Ayrıca  diferensiyel denklemler'in çözümü ile elde edilebilen bu sonuçlar devreyi tanımlayabilir:
:
\frac{V_{in} - V_C}{R} = C\frac{dV_C}{dt}

ve
:
\,\!V_R = V_{in} - V_C
.
İlk denklem  bir integral alan faktör kullanılarak  ve ikincisi takiben kolayca çözülür; çözümler böylece Laplace dönüşümleri yoluyla tam aynısı olarak elde edilir.

#### İntegral işlemi
*yüksek* frekanstada kapasitör karşısında çıkış düşünülür yani.
:\omega \gg \frac{1}{RC}.

Bunun anlamı  bu kapasitörün dolmasına  zaman yetersizdir ve böylece bu voltaj çok küçüktür. Böylece direnç karşısında voltaj yaklaşık giriş voltajına eşittir. I için yukarıda verilen bağıntı düşünüldüğünde şuna bakalım:
:
I = \frac{V_{in}}{R+1/j\omega C}

ama unutmadan frekans durumu şu şekilde tanımlanır
:
\omega C \gg \frac{1}{R}

böylece
:
I \approx \frac{V_{in}}{R}
 bu sadece Ohm kanunu'dur

Şimdi,
:
V_C = \frac{1}{C}\int_{0}^{t}Idt

böylece
:
V_C \approx \frac{1}{RC}\int_{0}^{t}V_{in}dt
,
bu *kapasitörün karşısında *bir  integratör'dür

#### Türev işlemi
*düşük* frekansta çıkış karşısında düşünüldüğünde; yani,
:
\omega \ll \frac{1}{RC}
.

Bunun  anlamı bu  kapasitör voltajı kadar yukarı şarja zaman var  ve voltaj kaynağına neredeyse eşittir. I için yine bağıntı düşünüldüğünde o zaman
:
R \ll \frac{1}{\omega C}
,
böylece
:
I \approx \frac{V_{in}}{1/j\omega C}

:
V_{in} \approx \frac{I}{j\omega C} \approx V_C


Şimdi,
:
V_R = IR = C\frac{dV_C}{dt}R

:
V_R \approx RC\frac{dV_{in}}{dt}

bu bir diferensiyatör *karşısında dirençtir*.

Daha kesin integrasyon ve diferansiyasyon giriş üzerinde uygun olarak dirençleri ve kapasitörler yerleştirerek  ve operasyonel amplifikatörlerin döngü geribeslemesi sağlanabilir.

## Paralel devre

Paralel RC devresi genellikle seri devreden daha az ilgi görür. Çünkü çıkış gerilimi V_{out}, giriş gerilimi olan V_{in} e eşittir. — Sonuç olarak, bu devre bir akım kaynağı tarafından beslenen bir filtre değildir.

Karmaşık empedans:
:
I_R = \frac{V_{in}}{R}\,

ve
:
I_C = j\omega C V_{in}\,
.

Bu kapasitör akımının 90° olduğunu gösteriyor.direnç(ve kaynak) akımı ile fazın çıkışı. Karşıt olarak, diferansiyel denklemler kullanılarak yönetiliyor:
:
I_R = \frac{V_{in}}{R}

ve
:
I_C = C\frac{dV_{in}}{dt}
.

Bir basamak  giriş için (bu etkili bir 0 Hz veya DC işaretidir), girişin türevi    t=0 'da bir uyarıdır.Böylece kapasitör  çok hızlı tam yüke ulaşır ve bir açık devre olur— böylece bir kapasitörün  DC davranışı iyi bilinir.

## Bakınız
* Elektriksel ağ
* Elektronik konularının Listesi

## Dış bağlantılar
* RC Filter Calculator