Möbius fonksiyonu

**Möbius fonksiyonu** \mu(n), 1832 yılında Alman matematikçi August Ferdinand Möbius tarafından ortaya atılan çarpımsal bir fonksiyondur. Temel ve analitik sayılar teorisi'nde çoğunlukla kullanılan fonksiyon, genellikle Möbius inversiyon formülü'nün bir parçası olarak görülür. Gian-Carlo Rota'nın 1960'lı yıllardaki çalışmaları sonucunda \mu(n) ile gösterilen Möbius fonksiyonunun genellemeleri kombinatoriğe tanıtılmıştır.

## Tanım
Herhangi bir pozitif tam sayı n için \mu(n), 1'in primitif olan *n*inci köklerinin toplamını ifade eder. \mu(n), n'nin asal çarpanlarına ayrılışına göre \{-1, 0, 1\} değerlerini alabilir.

Eğer n,
* çift sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen (herhangi bir asal sayının karesine bölünmeyen) bir sayı ise \mu(n) = +1,
* tek sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen bir sayı ise \mu(n) = -1,
* kare içeriyorsa \mu(n) = 0
olur.

Möbius fonksiyonu alternatif olarak şu şekilde yazılabilir:
: \mu (n)=\delta _{\omega(n)\Omega(n)}\lambda(n)
Burada \delta Kronecker deltasını, \lambda(n) Liouville fonksiyonunu ((-1)^{\Omega(n)} olarak ifade edilir), \omega(n) ve \Omega(n) ise Asal omega fonksiyonlarını ifade eder.

## Değerler
\mu(n)'nin ilk 50 pozitif tam sayı için değerleri şu şekildedir:

Yukarıdaki değerlerin grafik üzerinde gösterimi aşağıdaki gibidir.

## Uygulamalar
### Matematiksel seriler
Möbius fonksiyonunu üreten Dirichlet serisi, Riemann zeta fonksiyonunun çarpımsal tersidir. Eğer s reel kısmı 1'den büyük bir karmaşık sayıysa

: \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}

eşitliği sağlanır.

Bu eşitlik 1/\zeta(s)'nin Euler çarpımından da görülebilir:

: \frac {1}{\zeta (s)} = \prod _{p{\text{ asal}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots

İlgili seriler:

* \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}
* \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\ln n}{n} = -1
* \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\ln^{2} n}{n} = -2\gamma (Burada \gamma, Euler-Mascheroni sabiti'ni ifade etmektedir.)

Möbius fonksiyonu için Lambert serisi:

: \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)q^n}{1-q^n} = q (|q|  için yakınsaktır.) 
Asal \alpha \le 2 için de şunu yazabiliriz:

: \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(\alpha n)q^n}{q^n-1} = \sum_{n \geq 0} q^{\alpha^n}, |q| 

## Özellikler
Möbius fonksiyonu \mu(ab), a ve b aralarında asal ise çarpımsaldır (\mu(ab) = \mu(a)\mu(b)).

n'nin her pozitif böleni d için \mu(d) değerlerinin toplamı sıfırdır: (n = 1 hariç)

: \sum_{d \vert n}{\mu(d)} = 
\begin{cases}
1 & \text{eğer } n = 1 \text{ ise} \\
0 & \text{eğer } n > 1 \text{ ise}
\end{cases}

Bu eşitlik Möbius inversiyon formülü'nün temelini oluşturur ve \mu'nun aritmetik ve çarpımsal fonksiyonlar teorisindeki öneminin asıl nedeni budur.

\mu'nun kombinatorikteki diğer uygulamaları Pólya'nın sayma teoremi'nin kullanımıyla beraber kombinatoryal gruplar ve kombinatoryal sayma ile bağlantılıdır.

Möbius fonksiyonu tarafından sağlanan bazı özdeşlikler:

: \sum_{k \leq n} \left\lfloor{ \frac{n}{k} }\right\rfloor \mu(k) = 1

: \sum_{jk \leq n} \cos\left( { \frac{\pi (jk-1)}{2}} \right) \mu(k) = 1.

### Ortalama değer
Möbius fonksiyonunun ortalama değeri sıfırdır. Bu iddia, asal sayı teoremine eşittir.

## Mertens fonksiyonu
Sayılar teorisinde Möbius fonksiyonu ile yakından ilgili bir diğer fonksiyon her doğal sayı n için aşağıdaki gibi tanımlanan Mertens fonksiyonu'dur.

: M(n) = \sum_{k=1}^{n}{\mu(k)}
Bu fonksiyon, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları ile yakından bağlantılıdır. Bunun hakkında daha fazla bilgi için Mertens konjektürü sayfasına bakabilirsiniz.

: \mu(n) = \sum_{\stackrel{1\le k \le n }{ \operatorname{ebob}(k,n)=1}} e^{2\pi i \frac{k}{n}}
eşitliğinden Mertens fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:

: M(n)= -1+\sum_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi i a}.
Burada \mathcal{F}_n, Farey dizisi'nin *n*inci kümesini belirtmektedir. Bu eşitlik, Franel-Landau teoremi'nin kanıtında kullanılmıştır.

## Ayrıca bakınız
* Asal omega fonksiyonu
* Liouville fonksiyonu
* Mertens fonksiyonu
* Möbius inversiyon formülü
* Mertens konjektürü
* Riemann hipotezi
* Asal sayı teoremi

## Kaynakça