Navier-Stokes denklemleri

**Navier-Stokes denklemleri**, ismini *[[Claude-Louis Navier]]* ve *[[George Gabriel Stokes]]'tan* almış olan, sıvılar ve gazlar gibi akışkanların hareketini tanımlamaya yarayan bir dizi denklemden oluşmaktadır.

Bu denklemler; akışkan içerisindeki birim kütleye etki eden momentum (ivmelenme) değişimlerinin, basınç değişimleri ve sürtünme kayıplarına neden olan viskoz kuvvetlerin (sürtünmeye benzer) toplamına eşit olduğunun doğruluğunu ortaya koymaktadır. Bu viskoz kuvvetler moleküller arası etkileşimlerden meydana gelmekte ve akışkanın akmaya ne kadar dirençli (viskoz) olduğunu göstermektedir. Böylece, *Navier-Stokes denklemlerinin*, verilen akışkanın herhangi bir bölgesindeki kuvvetler dengesinin dinamik ifadesi olduğu söylenebilir.

Bu denklemler en kullanışlı denklemlerin başında gelmektedirler. Çünkü, gerek akademik gerekse ekonomik birçok fenomenin fiziğini açıklamaktadır. Hava akımları ve okyanus akıntılarının, boru içindeki su akışının, galaksideki yıldız hareketlerinin, kanat etrafındaki hava akımlarının modellenmesinde ve hesaplarında sıkça kullanılırlar.

## Temel kabuller
*Navier-Stokes denklemlerinin* detayına girmeden önce, akışkanlar hakkında bazı kabuller yapılması gereklidir. Öncelikle akışkanın sürekli olduğu kabul edilir. Yani akışkanın tamamının aynı özellikte olduğu içinde farklı biçimler (formlar) bulunmadığı kabul edilir. Bir başka gerekli kabul de konu ile ilgili tüm alanların basınç, hız, yoğunluk, sıcaklık vs., diferansiyel olduğudur. (faz değişimleri olmadan)

Denklemler, momentum ve enerji ve kütle korunumunun temel prensiplerinden elde edilir. 
Bunun için, bazı hallerde kontrol hacmi adı verilen, rastgele seçilmiş sonlu bir hacim belirlemek gereklidir, bu hacim üzerinde bu prensipler kolayca uygulanabilir. Bu sonlu hacim \Omega ile gösterilir ve yüzeyi sınırlandırılır \partial{\Omega}. Kontrol hacmi, sabit kalabilir veya akışkan ile hareket edebilir. Temel kabuller bunlardır, bununla beraber, farklı uygulamalarda özel kabuller de yapılabilir.

## Gerçek türev
Hareket eden akışkanın özelliklerinin değişiminin ölçülebilmesi için iki yol vardır. Örneğin dünya atmosferindeki rüzgar hızının değişimleri ele alınacak olursa; bu değişiklikler bir meteoroloji istasyonu ölçüm cihazı (anemometre) veya bir hava balonu yolu ile ölçülebilir. Şüphesiz, ilk durumdaki anemometre boşlukta sabit bir nokta boyunca geçiş yapan tüm hareketli parçacıkların hızını ölçerken, ikinci durumda bahsedilen aygıt akışkan ile beraber hareket ederken hızdaki değişimi ölçer.

Aynı durumda, yoğunluk, sıcaklık vb. değişimler de ölçümü etkileyecektir. Bu nedenle, bu iki hal için bir ayrım yapılmalıdır. Bir alanın boşluktaki sabit bir pozisyona göre türevi *uzaysal (spatial)* veya *Euleryen türev (Eulerian derivative)* olarak adlandırılır. Hareketli bir parçacığın izlenmesi türevi *gerçek (substantive)*, *Lagrangyan (Lagrangian)* veya *maddi (material)* türev olarak adlandırılır.

Gerçek türev şu şekilde tanımlanır:

:\frac{D}{Dt}(\star ) \equiv \frac{\partial(\star )}{\partial{t}} + \mathbf{v}\cdot\nabla (\star )

Burada \mathbf{v} akışkanın hızıdır. Denklemin sağ tarafındaki ilk terim alışılmış Euleryen türevi (sabit bir referans üzerindeki türev) iken, ikinci terim akışkan hareketi ile oluşan değişiklikleri ifade eder. Bu etki adveksiyon olarak adlandırılır.

## Korunum kanunları
*Navier-Stokes denklemleri*, aşağıdaki korunum kanunlarından türetilir:

* Kütle
* Enerji
* Momentum
* Açısal momentum

Ek olarak, akışkan için bir durum denklemi bağıntısı kabulü yapılması gereklidir.

En genel biçimde, bir korunum kanunu şunu ifade eder, bir kontrol hacmi üzerinde tanımlanmış hacim özelliği (bulk property) değişiminin oranı L hacim sınırları boyunca hareket eden akışkanın dışarı taşıdığı kayıp ve artı kontrol hacminin iç tarafındaki kazançlar ve kayıplara eşit kabul edilir. Bu, aşağıdaki integral denklemi ile ifade edilir.

:\frac{d}{dt}\int_{\Omega} L \; d\Omega = -\int_{\partial\Omega} L\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega+ \int_{\Omega} Q d\Omega

Bu denklemde **v** akışkanın hızı ve Q akışkan içindeki kazançlar ve kayıplar olarak ifade edilir.

Eğer kontrol hacmi boşluk içinde sabitlenmiş ise bu integral denkleminden aşağıdaki şekilde bir ifade yazılabilir.

:\frac{d}{d t} \int_{\Omega}  L d\Omega = -\int_{\Omega} \nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) d\Omega + \int_{\Omega} Q d\Omega 

Ayrıca, kontrol hacminin içinde, bu son denklemde elde edilmiş olan sağ taraftaki ilk terimin ifade edilmesi için diverjans teoremi kullanılmıştır. Böylece:

: \frac{d}{dt}\int_{\Omega} L d\Omega = - \int_{\Omega} (\nabla\cdot ( L\mathbf{v} ) - Q) d\Omega 

Yukarıdaki ifade boşlukta sabit kalan bir kontrol hacminde \Omega için geçerlidir. Çünkü \Omega zaman içinde sabittir, değişmez. Bu sayede "\frac{d}{dt}" ve " \int_{\Omega}^{} d\Omega" ifadeleri birbirinin yerine yazılabilir. Böylece ifade *tüm* alanlar için geçerli olur ve integral çıkartılabilir.

Gerçek türev,  Q = 0  olduğunda (kazanç ve kayıp yokken) elde edilir.

:\frac{\partial}{\partial t} L + \nabla\cdot\left(L \mathbf{v} \right) = \frac{D}{Dt}L + L \left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right) = 0

### Süreklilik denklemi
Kütlenin korunumu şu şekilde yazılır:

:\frac{\partial \rho}{\partial t} + 
\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0 
:
=\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \nabla \rho 

:
=\frac{D \rho}{D t} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v} = 0


Burada \rho kütle yoğunluğu (birim hacim başına kütle), v akışkanın hızıdır.

Sıkıştırılamaz bir akışkan için \rho akış hattı boyunca değişmez ve denklem şu hale indirgenir:

:\nabla\cdot\mathbf{v} = 0

### Momentumun korunumu
Momentumun korunumu, yoğunluk yerine momentumun vektör bileşenleri ve akışkan üzerine etkiyen kuvvetler ile, süreklilik denklemine benzer bir yaklaşım yapılarak ifade edilir. Süreklilik denkleminde \rho yerine belirli bir yönde birim hacim başına net momentum yazılır, \rho v_i, burada v_i hızın i^{th} bileşenidir. (hız *x*, *y* veya *z* yönleri boyunca olmak üzere)

:\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho v_i \right) + \nabla
\cdot (\rho v_i \mathbf{v}) =  
\rho f_i .

 \rho f_i , akışkan üzerine etkiyen kuvvetin i^{th} bileşenidir (her birim hacim başına gerçek kuvvet). Genel kuvvetler yerçekimi ve basınç gradyenlerini kapsar. Bu şu şekilde de ifade edilebilir:

:\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho\mathbf{v}\right) + \nabla\cdot(\rho\mathbf{v}\otimes\mathbf{v}) = \rho \mathbf{f}

Ayrıca, \mathbf{v}\otimes\mathbf{v} bir tensor'dür, \otimes tensor çarpımını ifade eder.

Süreklilik denkleminin kullanımı daha da basitleştirilebilir ve şu hale gelir:

:\rho\frac{D v_i}{D t}=\rho f_i
Genel kullanımda aşağıdaki gibi de yazılabilir.
:\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t}=\rho \mathbf{f}

Bu bağlamda **F**=m**a** ifadesi doğrulanmış olur.

## Denklemler
### Genel biçim
#### Denklemlerin elde edilişi
Momentumun korunumu için Navier-Stokes denklemlerinin genel biçimi:

:\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = \nabla \cdot\mathbb{P} + \rho\mathbf{f}

Burada \rho akışkan yoğunluğu, v hız vektörü ve f kitle kuvvet vektörüdür.

\mathbb{P} tensörü, akışkan parçacığı üzerine uygulanmış yüzey kuvvetleri olarak tanımlanır (gerilme tensörü). Akışkan girdap gibi bağımsız bir eğme bükme hareketi yapmadıkça, \mathbb{P} simetrik bir tensördür. Genel olarak, biçim:

:\mathbb{P} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} &  \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} &  \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} &  \tau_{zy} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix}
=
-
\begin{pmatrix}
p&0&0\\
0&p&0\\
0&0&p
\end{pmatrix}
+ 
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx}+p &  \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy}+p & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} &  \tau_{zy} & \sigma_{zz}+p
\end{pmatrix} 

Burada \sigma normal gerilmeler, \tau teğetsel gerilmeler (kesme gerilmeleri) ve p gerilme tensörünün izotropik parçası ile birleştirilmiş statik basınçtır.

\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz} matris izi (İng. *trace*) *akışkanın dengede olup, olmadığı mutlaka* tanımlanması (hacim vizkozitesi (bulk viscosity) olmadıkça) ile *daima* -3p'dir.

Sonuç olarak:

:\rho\frac{D\mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \nabla \cdot\mathbb{T} + \rho\mathbf{f}

Burada \mathbb{T}, \mathbb{P}'nin izsiz (traceless) parçasıdır.

Bu denklemler hala tamamlanmamıştır. Tamamlamak için, \mathbb{P}'nin şekli üzerinde bir varsayım yapılmalıdır, şöyle ki, gerilme tensörü için aşağıda gösterildiği gibi bir süreklilik kanununa ihtiyaç vardır.

Akış, sürekli ve diferansiyel kabul edilmiş ve korunum kanunları çerçevesinde kısmi diferansiyel denklemler ile ifade edilmiştir. Akışın sıkıştırılamaz (sabit yoğunluk) olduğu durumda, değişkenler, basınç ve hız bileşenleri için çözülmüştür. Bu değişkenler, *Navier-Stokes denklemlerinin* üç bileşeni, kütlenin korunumu (süreklilik denklemi) ilave edilerek, kapalı bir sistem için kısmi diferansiyel denklemler ile, sınır şartlarına uygun olarak çözülebilir. Sıkıştırılamaz akış durumunda, yoğunluk sistem için diğer bir bilinmeyen haline gelir, sistem için bir durum denklemi ilavesi ile saptanır. Durum denkleminde genelde akışkanın sıcaklığı işin içine girer, o yüzden denklem enerjinin korunumu için de mutlaka çözülmelidir. Bu denklemler non-lineer'dir (yani lineer değildir) ve kapalı formdaki analitik çözümleri sadece çok basit sınır şartları için bilinir.

Denklemler, akım ve girdap fonksiyonu ikinci değişkenleri için Wilkinson denklemlerine dönüştürülebilirdir. Çözüm akışkan özelliklerine (viskozite, özgül ısı ve ısıl iletkenlik gibi) ve çalışma alanındaki sınır şartlarına bağlıdır.

## Denklemlerin özel formları
Denklem akışkanlarla ilgili problemlerin çözümü için, genel bazı durumlar için sadeleştirilip, genelleştirilerek kullanılabilir.
### Newtonyen (Newtonian) akışkanlar

Burada
:\mu akışkanın vizkozitesidir.
:\delta_{ij} ise Kronecker delta olarak adlandırılan matematik işlemini ifade eder.(1 için i=j; 0 için i \ne j).

Buradan denklemi türetebilmek için, öncelikle denge hali ifade edilir, pij=-pδij. Newtonyen bir akışkan için, bu denge değerinden gerilim tensörünün sapması, hızın gradyeni içinde lineerdir. Galile sabiti (Galilean covariance) nedeni ile açık şekilde hız üzerinde bağımlı değildir. Diğer bir ifade ile, pij+pδij, \partial_i v_j de lineerdir. Akışkanların dönme sabiti belirlenir (*sıvı kristal (liquid crystal) olmayanlar*). pij+pδij izli ve izsiz simetrik tensörlerine ayrılır. Benzer olarak \partial_i v_j izli, izsiz simetrik ve antisimetrik tensorlere ayrılır. Antisimetrik parça sıfıra gider, izli parça ve izsiz simetrik parçaya uygun iki katsayı vardır. \partial_i v_j nin izsiz simetrik parçası, \partial_i v_j +\partial_j v_i - \frac{2}{d} \delta_{ij}\partial_k v_k dir, burada d uzaysal ölçü sayısıdır ve izli parça \delta_{ij} \partial_k v_k dır. Bu nedenle, en genel lineer dönme sabiti şu şekilde verilir;

:p_{ij}+p\delta_{ij}=\mu\left(\partial_i v_j+\partial_j v_i -\frac{2}{d}\delta_{ij}\nabla\cdot\mathbf{v}\right)+\mu_B \delta_{ij} \nabla\cdot \mathbf{v}

μ ve μB bazı katsayılardır. μ kesme vizkozitesi (shear viscosity) ve μB hacim vizkozitesi (bulk viscosity) olarak adlandırılır. Bu ampirik (deneysel) bir incelemedir, hacim vizkozitesi çoğu akışkan için ihmal edilebilirdir, bu nedenle çoğu zaman ihmal edilir.

Denklem içinde −2/3 ile çarpım görünmesi bununla açıklanır. Bu çarpım, 1 veya 2 uzaysal boyut içinde değiştirilebilir.

:\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+ ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{v}\right)=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu\left(\nabla ^2 \mathbf{v}+\frac{1}{3}\nabla\left(\nabla\cdot \mathbf{v}\right)\right)

:\rho \left(\frac{\partial v_i}{\partial t}+v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}\right)=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\mu\left(\frac{\partial ^2 v_i}{\partial x_j \partial x_j}+\frac{1}{3}\frac{\partial ^2 v_j}{\partial x_i \partial x_j}\right)

Burada, *Einstein notasyonu* kullanılmıştır.

Tamamı için yazıldığında, bu karmaşık denklem şu hali alır:

Momentumun korunumu:
:\rho \cdot \left({\partial u \over \partial t}+ u {\partial u \over \partial x}+ v {\partial u \over \partial y}+ w {\partial u \over \partial z}\right) = k_x -{\partial p \over \partial x} + {\partial \over \partial x} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial u \over \partial x}-\frac{2}{3}\cdot (\nabla \cdot \mathbf{v}) \right) \right] + {\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y} + {\partial v \over \partial x}  \right) \right] + {\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x} + {\partial u \over \partial z}  \right) \right]

: \rho \cdot \left({\partial v \over \partial t}+ u {\partial v \over \partial x}+ v {\partial v \over \partial y}+ w {\partial v \over \partial z}\right) = k_y -{\partial p \over \partial y} + {\partial \over \partial y} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial v \over \partial y}-\frac{2}{3}\cdot (\nabla \cdot \mathbf{v}) \right) \right] + {\partial \over \partial z}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z} + {\partial w \over \partial y}  \right) \right] + {\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial u \over \partial y} + {\partial v \over \partial x}  \right) \right]

: \rho \cdot \left({\partial w \over \partial t}+ u {\partial w \over \partial x}+ v {\partial w \over \partial y}+ w {\partial w \over \partial z}\right) = k_z -{\partial p \over \partial z} + {\partial \over \partial z} \left[ \mu \cdot \left(2 \cdot {\partial w \over \partial z}-\frac{2}{3}\cdot (\nabla \cdot \mathbf{v}) \right) \right] + {\partial \over \partial x}\left[\mu \cdot \left({\partial w \over \partial x} + {\partial u \over \partial z}  \right) \right] + {\partial \over \partial y}\left[\mu \cdot \left({\partial v \over \partial z} + {\partial w \over \partial y}  \right) \right]

Kütlenin korunumu:
: {\partial \rho \over \partial t} + {\partial (\rho \cdot u) \over \partial x}+{\partial (\rho \cdot v) \over \partial y}+{\partial (\rho \cdot w) \over \partial z}=0 

*Yoğunluk* bilinmediği zaman, diğer bir denklem gereklidir.

Enerjinin korunumu:
: \rho \left({\partial e \over \partial t}+ u {\partial e \over \partial x}+ v {\partial e \over \partial y}+ w {\partial e \over \partial z}\right) = \left( {\partial \over \partial x} \left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial x} \right) + {\partial \over \partial y} \left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial y} \right) + {\partial \over \partial z} \left(\lambda \cdot {\partial T \over \partial z} \right) \right) - p \cdot \left( \nabla \cdot \mathbf{v} \right) + \mathbf{k} \cdot \mathbf{v} + \rho \cdot \dot{q}_s + \mu \cdot \Phi

Burada: 
:\Phi = 2 \cdot \left[ \left({\partial u \over \partial x} \right)^2+\left({\partial v \over \partial y}\right)^2+\left({\partial w \over \partial z}\right)^2 \right]
+ \left({\partial v \over \partial x}+{\partial u \over \partial y} \right)^2
+ \left({\partial w \over \partial y}+{\partial v \over \partial z} \right)^2
+ \left({\partial u \over \partial z}+{\partial w \over \partial x} \right)^2
-\frac{2}{3} \cdot \left({\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z} \right)^2

\Phi yüksek süpersonik ve hipersonik uçuşlar gibi sıra dışı örnekler hariç, çoğunlukla ihmal edilebilirdir.

İdeal gaz kabul edilir:
:e = c_p \cdot T - \frac{p}{\rho}

Altı bilinmeyen (u, v, w, T, e and \rho) ve altı denklemden oluşan yukarıdaki gibi bir çözüm sistemi elde edilmiş olur.

### Bingham akışkanları
Bingham akışkanlarında, bazı yerlerde durum biraz daha farklıdır:

:\tau_{ij}=\tau_0 + \mu\frac{\partial v_i}{\partial x_j},\;\frac{\partial v_i}{\partial x_j}>0 

Bunlar, akış başlamadan önce bir miktar kesme dayanım kabiliyetleri olan akışkanlardır. Örnek olarak, *diş macunu* verilebilir.

### Power-law Akışkanı (Power-law fluid)
Bu akışkan, kesme gerilimi için, ideal hal almış akışkandır, \tau şu şekilde verilir;

:\tau = K \left( \frac {\partial u} {\partial y} \right)^n 

Bu form, hemen hemen genel akışkanların tüm çeşitlerine uygulanır.

### Sıkıştırılamaz akışkanlar

Navier-Stokes denklemleri,
:
\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[
2\mu\left(e_{ij}-\frac{\Delta\delta_{ij}}{3}\right)\right]
momentumun korunumu ve
:\nabla\cdot\mathbf{v}=0
kütlenin korunumu için

Burada
:\rho yoğunluk, 
:u_i (i=1,2,3) hızın üç bileşeni, 
:f_i gövde kuvvetleri (yerçekimi gibi), 
:p basınç, 
:\mu akışkanın o noktadaki dinamik vizkozitesi;

:e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right);
:\Delta=e_{ii} diverjans, 
:\delta_{ij} Kronecker delta.

Eğer, \mu akışkan üzerinde eşit dağılmış ise, momentum denklemi üzerinde şu basitleştirmeler yapılır:

:
\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}
+\mu
\left(
  \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+                                                                                                                                         \frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right)


(Eğer \mu=0 fakat akışkan sıkıştırılabilir ise sonuçta Euler denklemleri olarak bilinen denklemler elde edilir; burada, önemli olan sıkıştırılabilir akış ve akış içindeki şok dalgalarıdır.)

Ek olarak, eğer \rho sabit farzedilirse şu sistem elde edilir:

: \rho \left({\partial v_x \over \partial t}+ v_x {\partial v_x \over \partial x}+ v_y {\partial v_x \over \partial y}+ v_z {\partial v_x \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_x \over \partial x^2}+{\partial^2 v_x \over \partial y^2}+{\partial^2 v_x \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial x} +\rho g_x
: \rho \left({\partial v_y \over \partial t}+ v_x {\partial v_y \over \partial x}+ v_y {\partial v_y \over \partial y}+ v_z {\partial v_y \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_y \over \partial x^2}+{\partial^2 v_y \over \partial y^2}+{\partial^2 v_y \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial y} +\rho g_y
: \rho \left({\partial v_z \over \partial t}+ v_x {\partial v_z \over \partial x}+ v_y {\partial v_z \over \partial y}+ v_z {\partial v_z \over \partial z}\right)= \mu \left[{\partial^2 v_z \over \partial x^2}+{\partial^2 v_z \over \partial y^2}+{\partial^2 v_z \over \partial z^2}\right]-{\partial p \over \partial z} +\rho g_z

Süreklilik denklemi (sıkıştırılamazlık kabulü ile):

: {\partial v_x \over \partial x}+{\partial v_y \over \partial y}+{\partial v_z \over \partial z}=0 

### Silindirik koordinatlar

Navier-Stokes Süreklilik denklemi silindirik koordinatlar için şöyledir:

:{\partial u_r \over \partial r}+ {u_r \over \ r} + {1 \over \ r} {\partial u_\theta \over \partial \theta}+ {\partial u_z \over \partial z}=0

Silindirik koordinatlar için Navier-Stokes denklemleri de şu şekilde yazılır:

r momentum:
: \rho \left( {\partial u_r \over \partial t} + u_r {\partial u_r \over \partial r}    + {u_\theta \over r} {\partial u_r \over \partial \theta} + u_z {\partial u_r \over \partial z}-{u^2_\theta \over r} \right)=

: -
{\partial P \over \partial r}
+\mu \left({\partial^2 u_x \over \partial r^2}
+{1 \over r} {\partial u_x \over \partial r} 
- {u_r \over r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 u_r \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 u_r \over \partial z^2}
- {2 \over r^2}{\partial u_\theta \over \partial \theta}
\right)+F_r

 \theta momentum:
: \rho \left({
\partial u_\theta \over \partial t}
+ u_r {\partial u_\theta \over \partial r}
+ {u_r u_\theta \over r}
+ {u_\theta \over r} {\partial u_\theta \over \partial \theta}
+ u_z {\partial u_\theta \over \partial z}
\right)
=

: -{1 \over r}{\partial P \over \partial \theta}
+\mu \left(  { {\partial^2 u_\theta \over \partial r^2} }
+{1 \over r}{\partial u_\theta \over \partial r}
- {u_\theta \over r^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 u_\theta \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 u_\theta \over \partial z^2}
+ {2 \over r^2}{\partial u_r \over \partial \theta}
\right)+F_\theta

z momentum:
: \rho \left({
\partial u_z \over \partial t}
+ u_r {\partial u_z \over \partial r}
+ {u_\theta \over r} {\partial u_z \over \partial \theta}
+ u_z {\partial u_z \over \partial z}
\right)
=

: -{\partial P \over \partial z}
+\mu \left( {\partial^2 u_z \over \partial r^2}
+ {1 \over r}  { {\partial u_z \over \partial r} }
+ {1 \over r^2} {\partial^2 u_z \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 u_z \over \partial z^2}
\right)+F_z

Şunu ifade etmek gerekir ki, Navier-Stokes denklemleri akışkan akışını sadece yaklaşık olarak tanımlayabilir ve çok küçük ölçeklerde veya sıra dışı şartlarda, gerçek akışkanlar diğer maddeleri ve molekülleri içeren karışımlardır, Navier-Stokes denklemleri ile homojen ve sürekli akışlar modellenmiş ve bunun üzerinden sonuçlar elde edilmiştir. Bununla beraber Navier-Stokes denklemleri pratikteki problemlerin çözümü için, geniş bir aralıkta faydalı olur.

## Ayrıca bakınız
* Akışkan
* Akışkanlar dinamiği
* Mach Sayısı
* Süreklilik mekaniği
* Diferansiyel denklemler

## Kaynakça