Ağırlıklı ortalama

İstatistik bilim dalında **ağırlıklı ortalama** betimsel istatistik alanında, genellikle örneklem, veri dizisini özetlemek için bir merkezsel konum ölçüsüdür. En çok kullanan ağırlıklı ortalama tipi **ağırlıklı aritmetik ortalama**dır. Burada genel olarak bir örnekle bu kavram açıklanmaktadır. Değişik özel tipli ağırlıklar alan özel ağırlıklı aritmetik ortalamalar bulunmaktadır. Diğer ağırlıklı ortalamalar ağırlıklı geometrik ortalama ve ağırlıklı harmonik ortalamadir. Ağırlıklı ortalama kavramı ile ilişkili teorik açıklamalar son kısımda ele alınacakdır.

## Ağırlıklı aritmetik ortalama

### Ağırlıklı aritmetik ortalama

Boş-olmayan bir veri-seti olarak 
:[x_1, x_2, \dots, x_n]\,,
ve her bir eleman icin ağırlık fonksiyonu 
:[w_1, w_2, \dots, w_n]\,,
olarak verilirse, **ağırlıklı aritmetik ortalama** için formül şu olur:
:\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i},
Daha açık bir şekilde (toplama operatörü olan Σ kullanılmadan) bu formül
: \bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}.

olur.

Ağırlıklar negatif olmamalıdır. Ağırlıkların bazıları sıfır olabilir; ancak hepsi sıfır olamazlar çünkü bu halde p matematikte sıfırla bölme tanımlanmaz.

Eğer bütün ağırlıklar birbirlerine eşitlerse sonuç aritmetik ortalamanın aynısıdır. Genel olarak ağırlıklı ortalamalar özellikleri bakimdan aritmetik ortalamaya benzemektedir. Ancak ağırlıklı ortalamalar bazen sezgiyle kabul edilemeyecek sonuçlar doğurur; örneğin Simpson'un paradoksu ortaya çıkabilir.

Ağırlıklı ortalamalar bazı matematik alanlarda rol oynarlar. Ayrıca betimsel istatistik alanında ağırlıklı ortalamalar pratikte kullanılır.

### Normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama

Pratikte çok görülebilen bir özel ağırlıklı aritmetik ortalama hali, ağırlık fonksiyonun normalize edilmiş şekli ile ortaya çıkan özel *normalize ağırlıklı aritmetik ortalama*dır. Normalizasyon işlemi ağırlıkların toplamını **1**e eşit yapılması ile başarılır. Bu halde ağırlıklı aritmetik ortalama formülünün paydası **1**e eşit olur. Böylece payda 
: {w_1 + w_2 + \cdots + w_n} = 1 
olduğu için bu bir koşul olarak şu normalize edilmiş ağırlıklı aritmetik ortalama bulunur: 
:\bar{x} = {w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}

### Uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama

Eğer *x* bir uzunluk değişkeni ise uzunluk ağırlıklı aritmetik ortalama şu olur:

:\bar{y} = \frac{y_2 x_2 - y_1 x_1}{x_2 - x_1}

### Ağırlıklı aritmetik ortalama için pratik örneğin

Aynı bir istatistik imtihanı fakultede bulunan 30 öğrencili gündüz dersleri şubesine ve 20 öğrencili gece dersleri şubesine uygulanmıştır. Sonuç veri dizileri şöyledir:

:Gündüz dersleri = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

:Gece dersleri = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98

Ağırlıksız aritmetik ortalama sonucu, gündüz dersleri şubesi için 90% ve gece dersleri şubesi için 80% olarak hesaplanır. Eğer bu ikisinin basit bir ortalaması alınırsa, bu ortalama 85% olarak bulunur. Bu tüm öğrenciler için bir basit aritmetik ortalama değildir. Çünkü aritmetik ortalama tüm notların toplanmasını ve bütün toplam öğrenci sayısı ile bölünmesini gerektirir; yani
:\bar{x} = \frac{4300}{50} = 86\%.

Aynı sonuç daha kolay bir şekilde iki şube basit aritmetik ortalamalarını ve ağırlık olarak şube büyüklüklerini kullanarak bir ağırlıklı ortalama bulunması yoluyla da elde edilebilir:

:
\bar{x} = \frac{(20)80\% + (30)90\%}{20 + 30} = 86\%.


Böylece, eğer bireysel notlar elde bulunmuyorsa fakat şube ortalama notları ve şube büyüklükleri biliniyorsa, tüm öğrenciler için ortalama not yine de hesaplanabilir.

### Conveks kombinasyon

Incelenen sorunda sadece *oransal* olarak verilen ağırlıklar bulunuyorsa, herhangi bir ağırlıklı ortalamanın ağırlıklarının toplamı *1*e eşit olan özel bir ağırlıklı ortalama olarak ifade edilebilir. Bu çeşit lineer toplama dönüşümüne bir konveks birleşim adı verilir.

Verilen sayısal örneğinde ağırlıkları oransal yüzde iken bu şöyle gosterilebilir:

:
\frac{20}{20 + 30} = 0.4\,


:
\frac{30}{20 + 30} = 0.6\,


:
\bar{x} = \frac{(0.4)80\% + (0.6)90\%}{0.4 + 0.6} = 86\%


Bu şöyle basitleştirilebilir:

:
\bar{x} = (0.4)80\% + (0.6)90\% = 86\%


### Varyans ağırlıklı aritmetik ortalama

Eğer her bir veri elemanı x_i\,\!nin her biri bilinen {\sigma_i}^2\, varyansli değişik olasılık dağılımından geldiği bilinmekte ise, bir özel bir ağırlıklı aritmetik ortalama kurulabilir. Bu tür ağırlıklı aritmetik ortalama için ağırlıklar bilinen varyans değerleri, yani
:
w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}.

olarak seçilir. Eğer bu seçim yapılırsa, ortaya çıkan **varyans ağırlıklı aritmetik ortalama** şöyle ifade edililir:

:
\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i/{\sigma_i}^2}{\sum_{i=1}^n 1/{\sigma_i}^2},


Bu özel tip ağırlıklı ortalama için varyans şöyle hesaplanabilir:

: \sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{ 1 }{\sum_{i=1}^n 1/{\sigma_i}^2},

Eğer her bir varyans sabit ise, yani \sigma_i = \sigma_0\, ise, bu ifade daha da basit olarak şöyle yazılabilir:
: \sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{ {\sigma_0}^2 }{n}.

Çıkarımsal istatistik alanı içinde bu tür varyans ağırlıklı aritmetik ortalamanın önemi, bu tür ortalamanın bağımsız ve aynı ortalama ile normal dağılım gösteren olasılık dağılımlarının ortalaması için maksimum olabilirlik kestirimi olduğundadır.

## Ağırlıklı geometrik ortalama

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilirse

:*X* = { *x*1, *x*2, ..., *x**n*}

ve her bir veriye verilen ağırlıklar yani *ağırlık fonksiyonu*' şu ise:

:*W* = { *w*1, *w*2, ..., *w**n*}

Bu halde **ağırlıklı geometrik ortalama** şöyle hesaplanır:

: \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{\sum_{i=1}^n w_i \ln x_i}{\sum_{i=1}^n w_i \quad} \right) 

Bundan çıkartılabilecek bir diğer sonuç, geoemetrik ortalamanın logaritmasının bireysel değerlerin logaritmalarının ağırlıklı aritmetik ortalaması olduklarıdır.

## Ağırlıklı harmonik ortalama

Genellikle bir örneklem veri serisi şöyle verilsin:

:*X* = { *x*1, *x*2, ..., *x**n*}

Her bir veriye verilen ağırlıklar şunlar olsun:

:*W* = { *w*1, *w*2, ..., *w**n*}

Bu halde **ağırlıklı harmonik ortalama** şöyle hesaplanır:

: \bar{x} = \sum_{i=1}^n w_i \bigg/ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i} 

Dikkat edilirse, eğer butun ağırlıklar aynı ağırlık sayısı ise, sonuç bir harmonik ortalamanın aynısıdır.

## Genel ağırlıklı ortalama kavramı

### Genel kavramsal yaklaşım

Bir ağırlıklı ortalama M çoklu bir pozitif sayılar dizisini bir pozitif sayı olan
:(\mathbb{R}_{>0}^n\to\mathbb{R}_{>0}).
ifadesine tasarımlayan bir fonksiyondur.
* Sabit nokta:  M(1,1,\dots,1) = 1 
* Homojenlik:  \forall\lambda\ \forall x\ M(\lambda\cdot x_1, \dots, \lambda\cdot x_n) = \lambda \cdot M(x_1, \dots, x_n) 
::(Vektör notasyonu kullanarak:  \forall\lambda\ \forall x\ M(\lambda\cdot x) = \lambda \cdot M x )
* Monotonik fonksiyon:  \forall x\ \forall y\ (\forall i\ x_i \le y_i) \Rightarrow M x \le M y 
 
Sonuç olarak:
* Üst sınırlılık:  \forall x\ M x \in [\min x, \max x] 
* Devamlılık:  \lim_{x\to y} M x = M y 

:Bir isbat eskizi: \forall x\ \forall y\ \left(||x-y||_\infty\le\varepsilon\cdot\min x \Rightarrow \forall i\ |x_i-y_i|\le\varepsilon\cdot x_i\right) ve M((1+\varepsilon)\cdot x) = (1+\varepsilon)\cdot M x olduğu için sonuç olarak
\forall x\ \forall \varepsilon>0\ \forall y\ ||x-y||_\infty\le\varepsilon\cdot\min x \Rightarrow |Mx-My|\le\varepsilon.
* Türevi alınamayan ortalamalar bulunmaktadır. Örneğin, çok sayılı bir dizinin maksimum sayısı bir tür konum merkezi olduğu kabul edilebilir (ya bir güç ortalamasının uçsal hali olarak veya bir medyan olarak) ama bunun türevi alınamaz. 
* Hemen hemen her ortalama (genelleştirilmiş f-ortalama hariç) bu verilen özellikleri taşımaktadır.

** Eğer f kesinlikle monotonik ise, genelleştirilmiş f-ortalaması da monotoni özelliğini taşır.
** Genelleştirilmiş f-ortalaması homojenlik özelliği göstermez.
 
Yukarıda verilen özellikler daha karmaşık ortalama tipleri yaratmak tekniklerinin bulunduğunu sezindirmektedir.

### Eşit ağırlıklı ortalama

Eğer biraz aşırı detaycı bir görüş kabul edilirse, *ağırlıksız* ortalama kavramının gereksiz bulunduğu iddia edilebilir ve sadece genel olarak *ağırlıklı ortalama* kavramı belirlenmesi yeterlidir. Çünkü, hemen sezgi ile açıktır ki bir *ağırlıksız ortalama* ağırlıkları birbirine eşit olan ve bir özel ağırlıklı ortalamadır.

Böylece eğer C bir ağırlıklı ortalama, M_1, \dots, M_m bir dizi ağırlıksız ortalama ise, her pozitif reel sayı p için, 
:  \forall x\ A x = C(M_1 x, \dots, M_m x) 
:  \forall x\ B x = \sqrt[p]{M_1(x_1^p, \dots, x_n^p)} 
ifadelerine uyan A, B de ağırlıksiz ortalamalardır.

### Ağırlıklı ortalamaya dönüşüm

Elemanları tekrarlıyarak herhangi bir ağırlıksız ortalama bir ağırlıklı ortalamaya dönüştürülebilir. Bu özellik herhangi bir ortalamanın, ağirlıklı ortalamaların bir ağırlıklı şeklinin ortalaması olduğu önerilebilir. Bu öneri şöyle biraz daha açıklığa kavuşabilir: Diyelim ki ağırlıkı ortalama M ve doğal sayılardan oluşan şu ağırlıklar 
:a_1,\dots,a_n
verilmiş bulunsun. Bu halde buna karşıt olan ağırlıklı ortalama A şöyle elde edilebilir:
:A(x_1,\dots,x_n) = M(\underbrace{x_1,\dots,x_1}_{a_1},x_2,\dots,x_{n-1},\underbrace{x_n,\dots,x_n}_{a_n}).

### Anakütle ve örneklem ortalamaları

Normal dağılım gösteren bir anakütleden gelen bir rastgele örneklem için örneklem ortalamasının beklenen değeri, μ, yani anakütle ortalamasıdır. Böylece örneklem ortalaması, [yansızlık] nokta tahmin kriterine göre anakütle ortalamasının *iyi* bir tahminidir. Örneklem ortalaması bu halde, kendine ait bir olasılık dağılımı bulunan bir rassal değişken olarak görülmektedir. Normal dağılım gösteren bir anakütleden rastgele bir örneklem yöntemi ile seçilmiş *n* büyüklükte bir örneklemin ortalamasının *örneklem ortalama dağılımı* şudur: 
: \bar{x} \thicksim N\left\{\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right\}.

Çok kere anakütle varyansı bilinmeyen bir parametredir ve ortalama toplam kareler tahiminden yaklaşık olarak elde edilmiştir. Bu halde örneklem ortalamasının dağılımı, normal dağılım olmaktan çıkıp, *n* - 1 serbestlik dereceli bir Student'in t dağılımı olur.

## Ayrıca bakınız

* ortalama
* betimsel istatistik
* merkezsel konum ölçüleri

## Kaynakça

* Bevington, Philip. *Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences.*

## Dış bağlantılar

* Ölçüm verilerinin ağırlıklı ortalamaları ile ilişkili belirsizlik