Tam kare

Matematikte, **kare sayı** ya da **tam kare**, bir tamsayının karesi olan bir tamsayıdır; başka bir deyişle, bir tamsayının kendisiyle çarpımıdır. Örneğin, 9 bir kare sayıdır, çünkü 'ye eşittir ve  olarak yazılabilir.

Bir sayının  karesi için alışılmış gösterim,  çarpımı değil, buna eşdeğer olan üs alma  olup genellikle "'in karesi" diye okunur. *Kare* sayı adı şeklin adından gelir. Alanın birimi, bir birim karenin () alanı olarak tanımlanır. Bu nedenle, kenar uzunluğu  olan bir karenin alanı  olur. Bir kare sayı *n* nokta ile temsil edilirse, noktalar, her bir kenarında *n*'nin karekökü kadar nokta bulunan bir kare olacak şekilde satırlar halinde düzenlenebilir; dolayısıyla, kare sayılar bir tür şekilli sayılardır (diğer örnekler küp sayılar ve üçgensel sayılardır).

Reel sayı sisteminde, kare sayılar negatif olmayandır. Negatif olmayan bir tamsayı, karekökü yine bir tamsayı olduğunda kare sayıdır. Örneğin, \sqrt{9} = 3, dolayısıyla 9 bir kare sayıdır.

1 dışında kare böleni olmayan pozitif bir tamsayıya karekökten arınmış denir.

Negatif olmayan bir tamsayı  için, 'inci kare sayı  olup,  sıfırıncı olandır. Kare kavramı bazı diğer sayı sistemlerine de genişletilebilir. Rasyonel sayılar dahil edilirse, kare, iki kare tamsayının oranıdır ve tersine, iki kare tamsayının oranı bir karedir; örneğin, 

\textstyle \frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2.

1'den başlayarak, 'e kadar ve  dahil olmak üzere \lfloor \sqrt{m} \rfloor tane kare sayı vardır; burada \lfloor x \rfloor ifadesi, &nbsp; sayısının tabanını temsil eder.

## Örnekler

602&nbsp;=&nbsp;3600'den küçük kare sayılar  şunlardır:


:02 = 0
:12 = 1
:22 = 4
:32 = 9
:42 = 16
:52 = 25
:62 = 36
:72 = 49
:82 = 64
:92 = 81



:102 = 100
:112 = 121
:122 = 144
:132 = 169
:142 = 196
:152 = 225
:162 = 256
:172 = 289
:182 = 324
:192 = 361



:202 = 400
:212 = 441
:222 = 484
:232 = 529
:242 = 576
:252 = 625
:262 = 676
:272 = 729
:282 = 784
:292 = 841



:302 = 900
:312 = 961
:322 = 1024
:332 = 1089
:342 = 1156
:352 = 1225
:362 = 1296
:372 = 1369
:382 = 1444
:392 = 1521


 
:402 = 1600 
:412 = 1681 
:422 = 1764
:432 = 1849
:442 = 1936
:452 = 2025
:462 = 2116
:472 = 2209
:482 = 2304
:492 = 2401


 
:502 = 2500
:512 = 2601 
:522 = 2704
:532 = 2809
:542 = 2916
:552 = 3025
:562 = 3136
:572 = 3249
:582 = 3364
:592 = 3481


Herhangi bir tam kare ile bir önceki arasındaki fark, özdeşlik  ile verilir. Eşdeğer olarak, kare sayıları; son kareyi, son karenin kökünü ve mevcut kökü, yani  toplayarak saymak mümkündür.

## Özellikler

*m* sayısı ancak ve ancak *m* noktası bir kare şeklinde düzenlenebiliyorsa bir kare sayıdır:

 kare sayının ifadesi 'dir. Bu, yukarıdaki resimlerde görülebileceği gibi, ilk  tek sayının toplamına da eşittir; burada bir kare, bir öncekine tek sayıda nokta (macenta ile gösterilen) eklenerek elde edilir. Formül şöyledir:n^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1).Örneğin, .

Kare sayıları hesaplamak için çeşitli özyinelemeli yöntemler vardır. Örneğin,  kare sayı, bir önceki kareden  ile hesaplanabilir. 

Alternatif olarak,  kare sayı, önceki iki kareden aşağıdaki formül ile hesaplanabilir: 

. 

Örneğin:

:.

Bir  sayısının karesinin bir eksiği her zaman m - 1 ve m + 1 çarpımıdır: 

m^2-1=(m-1)(m+1).

Örneğin: 

 olduğundan 6 \times 8 = 48 elde edilir. 

Yanı sıra, iki sayının karelerinin farkı, toplamları ile farklarının çarpımıdır: 

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

Bu, iki karenin farkı formülüdür ve zihinden hesaplamada yararlı olabilir: örneğin, ,  olarak kolayca hesaplanabilir.

Ayrıca, bir kare sayı ardışık iki üçgensel sayının toplamıdır. Ardışık iki kare sayının toplamı bir merkezil kare sayıdır. Her tek kare aynı zamanda bir merkezil sekizgensel sayıdır.

Bir kare sayının bir başka özelliği, (0 hariç) pozitif bölen sayısının tek olmasıdır; diğer doğal sayıların pozitif bölen sayısı ise çifttir. Tamsayı bir kök, kare sayıyı vermek üzere kendisiyle eşleşen tek bölen olurken, diğer bölenler çiftler hâlinde gelir.

Lagrange'ın dört-kare teoremi, her pozitif tamsayının dört ya da daha az tam kare toplamı olarak yazılabileceğini söyler. Bir pozitif tamsayı, asal çarpanlara ayrıştırılması  biçimindeki asalların tek kuvvetlerini içermiyorsa ve ancak o zaman iki karenin toplamı olarak temsil edilebilir. Bu, Waring Problemi ile genelleştirilir.

10 tabanında, bir kare sayı yalnızca 0, 1, 4, 5, 6 veya 9 rakamlarıyla bitebilir; şöyle ki:

* bir sayının son rakamı 0 ise, karesi 00 ile biter;
* bir sayının son rakamı 1 veya 9 ise, karesi 1'in önünde bir çift rakamla biter;
* bir sayının son rakamı 2 veya 8 ise, karesi 4'ün önünde bir çift rakamla biter;
* bir sayının son rakamı 3 veya 7 ise, karesi 9'un önünde bir çift rakamla biter;
* bir sayının son rakamı 4 veya 6 ise, karesi 6'nın önünde bir tek rakamla biter; ve
* bir sayının son rakamı 5 ise, karesi 25 ile biter.

12 tabanında, bir kare sayı yalnızca kare rakamlarla bitebilir (12 tabanında bir asal sayının yalnızca asal rakamlarla veya 1 ile bitebilmesine benzer şekilde), yani 0, 1, 4 veya 9 ile; şöyle ki:

* bir sayı hem 2'ye hem 3'e bölünebiliyorsa (yani 6'ya bölünebiliyorsa), karesi 0 ile biter ve bir önceki rakamı 0 veya 3 olmak zorundadır;
* bir sayı ne 2'ye ne 3'e bölünebiliyorsa, karesi 1 ile biter ve bir önceki rakamı çift olmak zorundadır;
* bir sayı 2'ye bölünüp 3'e bölünmüyorsa, karesi 4 ile biter ve bir önceki rakamı 0, 1, 4, 5, 8 veya 9 olmak zorundadır; ve
* bir sayı 2'ye bölünmeyip 3'e bölünüyorsa, karesi 9 ile biter ve bir önceki rakamı 0 veya 6 olmak zorundadır.

Genel olarak, bir asal&nbsp;, bir kare sayı &nbsp;'i bölüyorsa, 'nin karesi de 'yi bölmek zorundadır; , 'yi bölmüyorsa,  kesinlikle kare değildir. Önceki cümledeki bölmeleri tekrarlayarak, her asalın verilen bir tam kareyi (muhtemelen 0 kez dâhil) çift sayıda böldüğü sonucuna varılır. Dolayısıyla,  sayısı ancak ve ancak kanonik gösteriminde tüm üsler çift ise bir kare sayıdır.

Karelik testi, büyük sayıların çarpanlara ayrılmasında alternatif bir yol olarak kullanılabilir: verilen  ve herhangi bir sayı&nbsp; için,  bir tamsayı&nbsp;'nin karesi ise, , 'yi böler. (Bu, iki karenin farkının çarpanlara ayrılmasının bir uygulamasıdır.) Örneğin, , 3'ün karesidir; dolayısıyla , 9991'i böler. Bu test,  ile  aralığındaki tek bölenler için deterministiktir; burada , bazı doğal sayı aralığını kapsar k \geq \sqrt{m}.

Bir kare sayı bir mükemmel sayı olamaz.

İlk *n* kare sayının toplamı aşağıdaki gibi ifade edilir:

\sum_{k=0}^n k^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Bu toplamların ilk değerleri olan kare piramidal sayılar şunlardır: 


0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...


Bir ile başlayarak ilk tek tamsayıların toplamı bir tam karedir: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, vb. Bu, Galileo'nun tek sayılar yasasını açıklar: durgunluktan düşen bir cisim, ilk keyfî zaman aralığında bir birim mesafe kat ediyorsa, aynı uzunluktaki sonraki zaman aralıklarında 3, 5, 7, vb. birim mesafe kat eder. s=ut+\tfrac{1}{2}at^2'den,  ve sabit  için (hava direnci olmaksızın yerçekimi ivmesi); dolayısıyla ,  ile orantılıdır ve başlangıç noktasından uzaklıklar, geçen zamanın tamsayı değerleri için ardışık karelerdir.

İlk *n* küpün toplamı, ilk *n* pozitif tamsayının toplamının karesidir; bu Nikomakhos teoremidir.

Tüm dördüncü kuvvetler, altıncı kuvvetler, sekizinci kuvvetler vb. tam karedir.

Üçgensel sayılarla benzersiz bir ilişki T_n için şöyledir:(T_n)^2 + (T_{n+1})^2 = T_{(n+1)^2}

## Tek ve çift kare sayılar

Çift sayıların karesi (2*n*)2 = 4*n*2' kuralı ile bulunabilir, çünkü çift sayıların kareleri çifttir ve 4'e bölünür.

Tek sayıların karesi ise (2*n* + 1)2 = 4(*n*2 + *n*) + 1' kuralı ile bulunabilir.

*Çift sayıların kareleri çift, tek sayıların kareleri tek olacak şekilde devam eder.*

Her tek tam kare bir merkezli sekizgensel sayıdır. Herhangi iki tek tam kare arasındaki fark 8'in katıdır. 1 ile daha büyük herhangi bir tek tam kare arasındaki fark her zaman bir üçgensel sayının sekiz katıdır; 9 ile daha büyük herhangi bir tek tam kare arasındaki fark ise bir üçgensel sayının sekiz katından sekiz eksiktir. Tüm üçgensel sayılar tek bir çarpana sahipken, 'in hiçbir iki değeri tek bir çarpan içeren bir miktar kadar farklı olmadığından,  biçimindeki tek tam kare 1'dir ve  biçimindeki tek tam kare 9'dur.

## Özel durumlar

* Eğer sayı *m*5 şeklindeyse bu sayının karesinde *n*25 olur. Burada *n*&nbsp;= *m* × (*m* + 1) kuralı vardır. Örneğin; 65'in karesi *n*&nbsp;= 6 × (6 + 1)&nbsp;= 42 ve 5'in karesi 25 olduğundan 4225 olur. 
* Eğer sayı *m*0 şeklindeyse bu sayının karesi *n*00 olur. Burada *n*&nbsp;= *m*2 kuralı vardır. Örneğin; 70'in karesi 4900'dür.
* Eğer sayı iki rakamlıysa ve 5*m* şeklindeyse (*m* sayının birler basamağı olmak koşuluyla, karesi *AABB*dir. Burada *AA*&nbsp;=&nbsp;25&nbsp;+&nbsp;*m* ve *BB*&nbsp;=&nbsp;*m*2 kuralı vardır. Örneğin: 57'nin karesini hesaplamak için önce 25&nbsp;+&nbsp;7&nbsp;=&nbsp;32 ve 72&nbsp;=&nbsp;49 hesaplanır, buradan da 572&nbsp;=&nbsp;3249 bulunur.
* Sayı 5 ile bitiyorsa, karesi de 5 ile biter; benzer biçimde 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625 vb. ile bitiyorsa da böyledir. Sayı 6 ile bitiyorsa, karesi de 6 ile biter; benzer biçimde 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376 ile bitiyorsa da böyledir. Örneğin, 55376'nın karesi 3066501376'dır; her ikisi de *376* ile biter. (5, 6, 25, 76 vb. sayılara otomorfik sayı denir. Bunlar OEIS'te  dizisidir.)
* 10 tabanında, kare sayıların son iki basamağı, 25'in katları etrafında aynalı simetri gösteren tekrarlayan bir örüntü izler. 25'ten 1 eksik ve 1 fazla olan 24 ve 26 örneğinde,  ve , her ikisi de 76 ile biter. Genel olarak, (25n+x)^2-(25n-x)^2=100nx. Benzer bir örüntü 250'nin katları etrafında son 3 basamak için de geçerlidir ve bu böyle devam eder. Sonuç olarak, olası 100 son 2 basamaktan yalnızca 22 tanesi kare sayılar arasında görülür (00 ve 25 tekrarlandığından).

## Notlar

## İlave kaynaklar
* Conway, J. H. ve Guy, R. K. *[[The Book of Numbers (math book)|The Book of Numbers]]*. New York: Springer-Verlag, ss.&nbsp;30–32, 1996. 
* Kiran Parulekar. *Amazing Properties of Squares and Their Calculations*. Kiran Anil Parulekar, 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC