Matris çarpımı

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte **matris çarpımı**, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, **sayı dizileridir**. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, (matrisin "boyutu" olarak adlandırılır) ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.

Vektörler gibi herhangi bir boyutlu matrislerde de, nokta çarpım yapılabilir. Bu işlem, matrisin her bir girişinin (ögesinin) aynı sayı (skaler) ile çarpılmasıdır. Matrislerin toplanması veya çıkarılması işlemleri de benzer şekilde yapılır.

Matris çarpımı başka yöntemlerle de yapılabilir. Fakat en kullanışlı yöntemler, doğrusal denklemler ve doğrusal dönüşümlerle elde edilir. Sayısal uygulamaları, uygulamalı matematik, fizik ve mühendislikte görülür.

## Tanım
### Skaler çarpma

Matrislerle ilgili en basit çarpma formu skaler çarpmadır.

Bir  matrisinin  skaleri ile **sol skaler çarpma** işlemi sonucunda  ile aynı boyutlu fakat farklı bir matris elde edilir. Bu  çarpma işlemi, aşağıdaki şekilde ifade edilir;
: (\lambda \mathbf{A})_{ij} = \lambda\left(\mathbf{A}\right)_{ij}\,,

Daha açık ifade ile:

: \lambda \mathbf{A} = \lambda \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\lambda A_{11} & \lambda A_{12} & \cdots & \lambda A_{1m} \\
\lambda A_{21} & \lambda A_{22} & \cdots & \lambda A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda A_{n1} & \lambda A_{n2} & \cdots & \lambda A_{nm} \\
\end{pmatrix}\,.

Benzer şekilde, bir  matrisinin  skaleri ile **sağ skaler çarpma** işlemi şöyledir:
: (\mathbf{A}\lambda)_{ij} = \left(\mathbf{A}\right)_{ij} \lambda\,, 

Daha açık ifade ile:

: \mathbf{A}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} \lambda & A_{12} \lambda & \cdots & A_{1m} \lambda \\
 A_{21} \lambda & A_{22} \lambda & \cdots & A_{2m} \lambda \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} \lambda & A_{n2} \lambda & \cdots & A_{nm} \lambda \\
\end{pmatrix}\,.

halkada eğer bir değişme özelliği varsa, örneğin; reel veya karmaşık sayılarda bu iki çarpım (skaler çarpım ve nokta çarpım), aynı anlama gelir ve basitçe skaler çarpım olarak adlandırılır. Fakat matrisler için, daha genel ifade ile halka (örneğin dördey) için  değişme özelliği *yoksa* bu iki çarpım aynı anlama gelmez. 
Bir reel skaler ve matris şöyle olsun:

: \lambda = 2, \quad \mathbf{A} =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} 

: 2 \mathbf{A} = 2 \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \!\cdot\! a & 2 \!\cdot\! b \\
2 \!\cdot\! c & 2 \!\cdot\! d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a \!\cdot\! 2 & b \!\cdot\! 2 \\
c \!\cdot\! 2 & d \!\cdot\! 2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}2= \mathbf{A}2.

Dördeyin skalerleri ve matrisleri de şöyle olsun:

: \lambda = i, \quad \mathbf{A} = \begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{pmatrix} 

:
  i\begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    i^2 & 0 \\
    0 & ij \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    -1 & 0 \\
     0 & k \\
  \end{pmatrix}
\ne \begin{pmatrix}
    -1 & 0 \\
    0 & -k \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    i^2 & 0 \\
    0 & ji \\
  \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
    i & 0 \\
    0 & j \\
  \end{pmatrix}i\,,


Burada , dördeyin birimleridir. Dördeyde çarpma işleminin değişmeli olamaması,  ile  değişiminin yapılmasını engeller.

## Matris çarpma (iki matris)
İki matrisin çarpılacağını varsayalım.

### Matris çarpmanın genel tanımı

Eğer ,  boyutlu bir matris ve ,  boyutlu bir matris ise;

:\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
 A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
 A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix},\quad\mathbf{B}=\begin{pmatrix}
 B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1p} \\
 B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 B_{m1} & B_{m2} & \cdots & B_{mp} \\
\end{pmatrix}

 **matris çarpma** (çarpım işaretsiz veya noktasız ifade edilir),  matrisi olarak ifade edilir.

:\mathbf{A}\mathbf{B} =\begin{pmatrix}
 \left(\mathbf{AB}\right)_{11} & \left(\mathbf{AB}\right)_{12} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{1p} \\
 \left(\mathbf{AB}\right)_{21} & \left(\mathbf{AB}\right)_{22} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \left(\mathbf{AB}\right)_{n1} & \left(\mathbf{AB}\right)_{n2} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{np} \\
\end{pmatrix}

Burada her bir  girişi,  girişleri  matrisinin  satırı) ile  girişleri ( matrisinin  sütunu) çarpımıdır.  ve,  sonuçlar toplamı şöyle ifade edilir:

: (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj}\,. 

Girişler genellikle sayı veya ifadelerle belirtilir. Fakat matrislerin kendisi de bir giriş olabilir. (Blok matrise bakınız).

### Şekilsel gösterim

Sağdaki şekil,  ve  iki matrisinin çarpımını şematik olarak gösteriyor. Sonuçta elde edilen matris 4'e 3'lük  matrisi olsun.

:
\overset{4\times 2 \text{ matris}}{\begin{bmatrix}
{\color{Brown}{a_{11}}} & {\color{Brown}{a_{12}}} \\
\cdot & \cdot \\
{\color{Orange}{a_{31}}} & {\color{Orange}{a_{32}}} \\
\cdot & \cdot \\
\end{bmatrix}}

\overset{2\times 3\text{ matris}}{\begin{bmatrix}
\cdot & {\color{Plum}{b_{12}}} & {\color{Violet}{b_{13}}} \\
\cdot & {\color{Plum}{b_{22}}} & {\color{Violet}{b_{23}}} \\
\end{bmatrix}}

= \overset{4\times 3\text{ matris}}{\begin{bmatrix}
\cdot & x_{12} & x_{13} \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & x_{32} & x_{33} \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
\end{bmatrix}}


Şekilde, çemberle işaretlenen hücrelerin değerleri şunlardır:

:\begin{align}
x_{12} & = {\color{Brown}{a_{11}}}{\color{Plum}{b_{12}}} + {\color{Brown}{a_{12}}}{\color{Plum}{b_{22}}} \\
x_{13} & = {\color{Brown}{a_{11}}}{\color{Violet}{b_{13}}} + {\color{Brown}{a_{12}}}{\color{Violet}{b_{23}}} \\
x_{32} & = {\color{Orange}{a_{31}}}{\color{Plum}{b_{12}}} + {\color{Orange}{a_{32}}}{\color{Plum}{b_{22}}} \\
x_{33} & = {\color{Orange}{a_{31}}}{\color{Violet}{b_{13}}} + {\color{Orange}{a_{32}}}{\color{Violet}{b_{23}}}
\end{align}

Yukarıdakiler,  matrisinin belirlenen girişleridir.

### Matris çarpmaya örnekler

;Satır vektör ve sütun vektör

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,

Burada matris çarpma işlemi şöyle:

:\mathbf{AB} = \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = ax + by + cz \,,


Benzer şekilde;

:\mathbf{BA} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
xa & xb & xc \\
ya & yb & yc \\
za & zb & zc
\end{pmatrix} \,.


 ile nın çok farklı matrisler olduğuna dikkat edin. İlk matris  boyutlu matris iken, ikincisi  boyutlu matristir.

;Kare matris ve sütun vektörü

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,

Burada matris çarpma işlemi şöyle:

:\mathbf{AB} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
ax + by + cz \\
px + qy + rz \\
ux + vy + wz
\end{pmatrix}\,,


Bu örnekte  tanımlı değildir.

Bir kare matrisi, sütun matrisi ile çarpma, doğrusal denklemleri çözme ve doğrusal dönüşümleri ifade etmek için sıkça kullanılır.

;Kare matrisler

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix}\,,

Burada matris çarpma işlemi şöyledir:

:\mathbf{AB} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau \\
p\alpha + q\lambda + r\rho & p\beta + q\mu + r\sigma & p\gamma + q\nu + r\tau \\
u\alpha + v\lambda + w\rho & u\beta + v\mu + w\sigma & u\gamma + v\nu + w\tau
\end{pmatrix}\,,


Benzer şekilde;

:\mathbf{BA} = \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
\alpha a + \beta p + \gamma u & \alpha b + \beta q + \gamma v & \alpha c + \beta r + \gamma w \\
\lambda a + \mu p + \nu u & \lambda b + \mu q + \nu v & \lambda c + \mu r + \nu w \\
\rho a + \sigma p + \tau u & \rho b + \sigma q + \tau v & \rho c + \sigma r + \tau w
\end{pmatrix}\,.


Bu durumda hem  hem de  matrisi tanımlıdır. Fakat  ile  matrisinin girişleri çoğunlukla eşit değildir.

;Satır vektör, kare matris ve sütun vektör

Aşağıdaki gibi üç matris verilsin;

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,

Burada matris çarpma işlemi şöyledir:

:\begin{align}
\mathbf{ABC} & = \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix} \left[\begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \right] = \left[ \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix}
a & b & c
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha x + \beta y + \gamma z \\
\lambda x + \mu y + \nu z \\
\rho x + \sigma y + \tau z \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\\
& = a\alpha x + b\lambda x + c\rho x + a\beta y + b\mu y + c\sigma y + a\gamma z + b\nu z + c\tau z \,,\end{align}


Bu durumda  tanımlı değildir.  olduğuna dikkat edin. Bu çok genel özelliklerden biridir.

;Dikdörtgen matris

Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;

:\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix}
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix}\,,

Burada matris çarpma işlemi şöyledir:

:\mathbf{A}\mathbf{B} = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a\alpha + b\beta + c \gamma & a\rho + b\sigma + c \tau \\
x\alpha + y\beta + z \gamma & x\rho + y\sigma + z \tau \\
\end{pmatrix}
\,,

Benzer şekilde;

:\mathbf{B}\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha a + \rho x & \alpha b + \rho y & \alpha c + \rho z \\
\beta a + \sigma x & \beta b + \sigma y & \beta c + \sigma z \\
\gamma a + \tau x & \gamma b + \tau y & \gamma c + \tau z
\end{pmatrix}
\,.

### Matris çarpmanın özellikleri

#### Tüm matrisler

1. **[[Değişme özelliği]] yoktur:**

Genellikle:
:\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}
Çünkü  ile , eşzamanlı olarak tanımlanamazlar. Tanımlansalar bile eşit olamazlar. Bu, sayıların çarpılmasına terstir. Matris çarpımını büyüklüğünü kelimelerle ifade etmek için;  nın  ile "ön çarpımı  (veya sol çarpımı)"  olurken, " nın  ile son çarpımı (veya sağ çarpımı) "  olur. Matrisin tüm girişleri bir birime sahip halkada bulunduğu ve  olduğu müddetçe, halkada bir çift  değiştirilemez matris olur. Buna tek istisna birim matris (veya herhangi bir skaler çarpımı)dır.

Dizi gösterimi:
:\sum_k A_{ik}B_{kj} \neq \sum_k B_{ik}A_{kj} 

2. **Matrisin toplama üzerine [[dağılma özelliği]] vardır:**

Sol dağılım:
:\mathbf{A}(\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{AB} + \mathbf{AC}

Sağ dağılım:
:(\mathbf{A} + \mathbf{B} )\mathbf{C} = \mathbf{AC} + \mathbf{BC}

Dizi gösteriminde sırasıyla bunlar:
:\sum_k A_{ik}(B_{kj} + C_{kj}) = \sum_k A_{ik}B_{kj} + \sum_k A_{ik}C_{kj} 
:\sum_k (A_{ik} + B_{ik}) C_{kj} = \sum_k A_{ik}C_{kj} + \sum_k B_{ik}C_{kj} 

3. **[[Skaler çarpma]], matris çarpımı ile uyumludur:**
: \lambda(\mathbf{AB}) = (\lambda \mathbf{A})\mathbf{B} and  (\mathbf{A} \mathbf{B})\lambda=\mathbf{A}(\mathbf{B}\lambda )
Burada  bir skalerdir. Eğer matrisin tüm girişleri reel veya karmaşık sayı ise, tüm dört miktarda eşit olur. Daha genel bir ifade ile, eğer  matrisin girişlerinin halkasının merkezinde ise, tüm dördü de eşit olur. Çünkü bu durumda, tüm  matrisleri için,  olur. Dizin gösterimi sırasıyla şöyle olur:
:\lambda \sum_k (A_{ik}B_{kj}) = \sum_k ( \lambda A_{ik} ) B_{kj} = \sum_k A_{ik} ( \lambda B_{kj} ) 
:\sum_k (A_{ik}B_{kj}) \lambda = \sum_k ( A_{ik} \lambda ) B_{kj} = \sum_k A_{ik} ( B_{kj} \lambda ) 

4. **[[Tersçapraz|Transpoze]]:**
: (\mathbf{AB})^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T}\mathbf{A}^\mathrm{T} 
Burada , transpozeyi ifade eder.

Dizi gösteriminde:
:\begin{align}
\left[(\mathbf{AB})^\mathrm{T}\right]_{ij}&=\left(\mathbf{AB}\right)_{ji}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}\right)_{jk}\left(\mathbf{B}\right)_{ki}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}^\mathrm{T}\right)_{kj}\left(\mathbf{B}^\mathrm{T}\right)_{ik}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{B}^\mathrm{T}\right)_{ik}\left(\mathbf{A}^\mathrm{T}\right)_{kj}\\
&=\left[\left(\mathbf{B}^\mathrm{T}\right)\left(\mathbf{A}^\mathrm{T}\right)\right]_{ij}
\end{align}

5. **[[Karmaşık eşlenik]]:**
Eğer  ve  karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;
: (\mathbf{AB})^\star = \mathbf{A}^\star\mathbf{B}^\star 
olur. Burada , bir matrisin karmaşık eşleniğini ifade eder.

Dizi gösteriminde:
:\begin{align}
\left[(\mathbf{AB})^\star\right]_{ij}&=\left[\sum_k\left(\mathbf{A}\right)_{ik}\left(\mathbf{B}\right)_{kj}\right]^\star\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}\right)^\star_{ik}\left(\mathbf{B}\right)^\star_{kj}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}^\star\right)_{ik}\left(\mathbf{B}^\star\right)_{kj}\\
&=\left(\mathbf{A}^\star\mathbf{B}^\star\right)_{ij}
\end{align}

6. **[[Eşlenik transpozesi]]:**

Eğer  ve  karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;

: (\mathbf{AB})^\dagger = \mathbf{B}^\dagger\mathbf{A}^\dagger 

Burada , bir matrisin karmaşık transpozesini ifade eder.

Dizi gösteriminde:
:\begin{align}
\left[(\mathbf{AB})^\dagger\right]_{ij} &=\left[\left(\mathbf{AB}\right)^\star\right]_{ji}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}^\star\right)_{jk}\left(\mathbf{B}^\star\right)_{ki}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{A}^\dagger\right)_{kj}\left(\mathbf{B}^\dagger\right)_{ik}\\
&=\sum_k\left(\mathbf{B}^\dagger\right)_{ik}\left(\mathbf{A}^\dagger\right)_{kj}\\
&=\left[\left(\mathbf{A}^\dagger\right)\left(\mathbf{B}^\dagger\right)\right]_{ij}
\end{align}

7. **[[İlkköşegen toplamı]]:**
 çarpımının ilkköşegen toplamı  ve  matrislerinin büyüklüğünden bağımsızdır:
: \mathrm{tr}(\mathbf{AB}) = \mathrm{tr}(\mathbf{BA}) 

Dizi gösteriminde:
:\begin{align}
\mathrm{tr}(\mathbf{AB}) &=\sum_i \sum_k A_{ik}B_{ki}\\
&=\sum_k\sum_i B_{ki}A_{ik}\\
&=\mathrm{tr}(\mathbf{BA})
\end{align}

#### Yalnızca kare matrisler

1. **[[Birim matris]]:**

Eğer  bir kare matris ise, bu durumda

: \mathbf{AI} = \mathbf{IA} = \mathbf{A} 

Burada , aynı boyuta sahip birim matristir.

2. **[[Tersinir matris]]:**

Eğer  bir kare matris ise,  terslenebilir matrisi şöyle olur;

: \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I} 

Bu durumda aşağıdaki eşitlik sağlanır;
: (\mathbf{AB})^\mathrm{-1} = \mathbf{B}^\mathrm{-1}\mathbf{A}^\mathrm{-1} 

3. **[[Determinant]]:**
 çarpımının determinantı,  matrisinin determinantı ile  matrisinin determinantının çarpımına eşittir.

: \det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A})\det(\mathbf{B}) 

 ve  yalnızca sayıdır. Bu yüzden,  olsa bile  olur.