Einstein-Hilbert etkisi

**Einstein-Hilbert etkisi** (Hilbert etkisi olarak da adlandırılır) genel görelilikte en küçük eylem ilkesi boyunca Einstein alan denklemleri üretir. Hilbert etkisi genel görelilikte yerçekiminin dinamiğini tarifleyen fonksiyonel işlemdir. (- + + +) metrik işaretiyle, etkinin çekimsel kısmı,
S = {1 \over 2\kappa} \int R \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x \;,

burada g=\det(g_{\mu\nu}) metrik tensor determinantı, R Ricci sayılabilir büyüklüğü ve \kappa = 8\pi Gc^{-4} burada G Newton çekim sabiti ve c vakum içindeki ışık hızı şeklinde verilir. Eğer integral yakınsanıyorsa, tüm uzay zaman üzerinde alınır. Eğer yakınsamıyorsa S tanımlanamaz ama modife edilmiş tanımda bir integral isteğe bağlı şekilde büyük, bağıl tıkız tanım kümesinde yine Einstein denklemini Einstein Hilber ekisinin Euler- Lagrange denklemi olarak üretir.

Bu etki ilk kez David Hilbert tarafından 1915'te ileri sürülmüştür.

## Tartışma

Etkiden ötürü denklemlerin türevi bazı avantajlara sahip. İlk olarak, Maxwell teorisi gibi etki olarak formüle edilmiş klasik alan teorileriyle genel göreliliğin kolayca birleşimine izin verir. Etkiden türevleme süreci madde alanlarına metrik bağlantı kaynağı tanımı için doğal adayı tanımlar. Ayrıca, bu etki kolay tanımlı korunan nicelikler için Noether'in teorisi boyunca etkinin simetrik çalışmasına izin verir.

Genel görelelikte, bu etki genellikle metrik ve maddesel alanların işlevseli olduğu varsayılır ve bağlantı Levi- Civita bağıntısı ile verilir. Genel göreliliğin Palatini formülasyonu metric ve bağlantının bağımsız olduğunu ve bağlı olmayan spinle fermionic madde alanlarını kapsamayı mümkün kılan ikisine göre bağımsız değişkenler varsayar.

Maddenin varlığındaki Einstein denklemleri madde etkisini Einstein- Hilbert etkisine eklenmesiyle verilir.

## Einstein Denklemlerinin Türevi

Teorinin tüm etkisi Einstein- Hilbert terimi artı terim \mathcal{L}_\mathrm{M} teoride görülen herhangi madde alanları tanımıyla verilsin.

:S = \int \left[ {1 \over 2\kappa} \, R + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x 

Etki prensibi bize bu etkinin ters metriğe göre değişkeni sıfır der,

:
\begin{align}
0 & = \delta S \\
  & = \int 
         \left[ 
            {1 \over 2\kappa} \frac{\delta (\sqrt{-g}R)}{\delta g^{\mu\nu}} + 
            \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}}
         \right] \delta g^{\mu\nu}\mathrm{d}^4x \\
  & = \int 
        \left[ 
           {1 \over 2\kappa} \left( \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} +
             \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } 
            \right) +
           \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} 
        \right] \delta g^{\mu\nu} \sqrt{-g}\, \mathrm{d}^4x.
\end{align}


Çünkü bu eşitlik her \delta g^{\mu\nu} için geçerli olmalı, şunu der;

:  \frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} + \frac{R}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu}} 
= - 2 \kappa \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}},

metric alan için hareket denklemi. Denklemin sağ tarafı tanımdan stres- enerji tensorüyle orantılı,

: T_{\mu\nu}:=  \frac{-2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\delta g^{\mu\nu}} 
= -2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g^{\mu\nu}} + g_{\mu\nu} \mathcal{L}_\mathrm{M}.

Denklemin sol tarafını hesaplamak için metric determinant ve Ricci sayılabilir büyüklüğünün değişkenlerine ihtiyacımız var. Bunlar standart ders kitabı hesaplamalarından elde edilebilir.

### Riemann tensoru, Ricci tensoru ve Ricci sıkaler Değişkeni

Ricci skaler değişkenini hesaplamak için önce Riemann eğrilik tensor değişkenini hesaplarız ve sonra da Ricci tensor değişkenini. Böylece Riemann eğrilik tensoru;

: {R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho_{\nu\sigma}
    - \partial_\nu\Gamma^\rho_{\mu\sigma}
    + \Gamma^\rho_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
    - \Gamma^\rho_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

olarak tanımlanır.

Riemann tensor değişkeni

:\delta{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\delta\Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu\delta\Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \delta\Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\nu\sigma}
- \delta\Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \delta\Gamma^\lambda_{\mu\sigma}.

olarak hesaplanabilir çünkü Riemann eğriliği sadece levi- Civita bağıntısına  \Gamma^\lambda_{\mu\nu}  bağlı.

Şimdi, bu bir tensor ve biz bunun eşdeğişken türevini hesaplayabiliriz çünkü \delta\Gamma^\rho_{\nu\mu}  iki bağıntının farkı.

:\nabla_\lambda (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} ) = \partial_\lambda (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} ) + \Gamma^\rho_{\sigma\lambda} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - \Gamma^\sigma_{\nu\lambda} \delta \Gamma^\rho_{\sigma\mu} - \Gamma^\sigma_{\mu\lambda} \delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}. 

Biz şimdi yukardaki Riemann eğrilik tensoru değişkeni ifadesinin;

:\delta R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \nabla_\mu (\delta \Gamma^\rho_{\nu\sigma}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\rho_{\mu\sigma}).

bu iki terimin farkına eşit olduğunu söyleyebiliriz.

Biz şimdi Ricci eğrilik tensorunun değişkenini basitce Riemann tensor değişkenini ik indeksinin daralması vasıtasıyla elde edebilir ve Palatini özdeşliğini bulabiliriz.

: \delta R_{\mu\nu} \equiv \delta R^\rho{}_{\mu\rho\nu} = \nabla_\rho (\delta \Gamma^\rho_{\nu\mu}) - \nabla_\nu (\delta \Gamma^\rho_{\rho\mu}).

Ricci sıkaler;

: R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.\!

olarak tanımlanır.

Sonuç olarak, ters metric  g^{\mu\nu} ' e göre değişken

:
\begin{align}
\delta R &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu}\\
         &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + \nabla_\sigma \left( g^{\mu\nu} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} \right). 
\end{align}


vasıtasıyla verilir.

İkinci satırda Ricci eğrilik değişkeni ve eşdeğişken türevin, \nabla_\sigma g^{\mu\nu} = 0 , metric uygunluğu için önceden elde edilmiş sonucu kullandık.

Son terim, \nabla_\sigma ( g^{\mu\nu} \delta\Gamma^\sigma_{\nu\mu} - g^{\mu\sigma}\delta\Gamma^\rho_{\rho\mu} )  \sqrt{-g}' le çarpılan total türeve dönüştü,

:
\sqrt{-g}A^a_{;a} = (\sqrt{-g}A^a)_{,a} \;\mathrm{or}\;
\sqrt{-g}\nabla_\mu A^\mu = \partial_\mu\left(\sqrt{-g}A^\mu\right)


ve böylece sadece Stokes teoremi vasıtasıyla integral alındığında limit terim üretir. Bu yüzden sonsuzda metric değişken yok olduğu zaman, bu terim etki değişkenine katkıda bulunmaz. Ve böylece;

:\frac{\delta R}{\delta g^{\mu\nu}} = R_{\mu\nu}.

### Determinant Değişimi

Jacobi formülü, determinant türev kuralı,

:\,\! \delta g = \delta \det(g_{\mu\nu}) = g \, g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}

verir 
ya da koordinat sistemi g_{\mu\nu}\! köşegen olduğu yere dönüşebilir ve sonra ana köşegenin elemanlarının çarpımı türevine çarpma kuralı uygular.

Bunu kullanarak,

:\begin{align}
\delta \sqrt{-g} 
&= -\frac{1}{2\sqrt{-g}}\delta g 
&= \frac{1}{2} \sqrt{-g} (g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu})
&= -\frac{1}{2} \sqrt{-g} (g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}) \,. \end{align}
buluruz.

Son eşitlikte,

:g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\nu}\delta g_{\mu\nu}

ters matrix türevi kuralından gelen

:\delta g^{\mu\nu} = - g^{\mu\alpha} ( \delta g_{\alpha\beta} ) g^{\beta\nu} \,.
olgusunu kullandık.

Böylece 
:\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu\nu} } = -\frac{1}{2} g_{\mu\nu} .

### Hareket Denklemi

Şimdi emrimizdeki tüm önemli değişkenlere sahibiz, onları hareket denklemi içine metrik alan elde etmek için ekleyebiliriz.
:R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4}  T_{\mu\nu},

Einstein alan denklemi ve 
:\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4}

seçilen relativistik olmayan limite kadar Newton'un her zamanki çekim yasasını üretir, G çekimsel sabit.

### Kozmolojik Sabit

Bazen yeni etki için kozmolojik sabit /\ ' e Lagrangian dahil edilebilir,

:S = \int  \left[ {1 \over 2\kappa} \left( R - 2 \Lambda \right) + \mathcal{L}_\mathrm{M} \right] \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4 x 

:R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4}  T_{\mu \nu} \,.

alan denklemleri üretir.

## Kaynakça