Ölçülme ölçeği

Matematik ve istatistik bilim dallarında, bir değişken için sayısal veri **ölçülme ölçeği**, o değişken içindeki nesneleri temsil eden sayısal değerlerin kapsadıkları bilgilerin özelliklerinin belirli bir şekilde sınıflandırmasıdır. İncelenen kavramlar Amerikan uygulamalı matematikçi Stanley Smith Stevens tarafından teklif edilip geliştirilmiştir. Stevens'in ölçekler kuramına göre bir değişken için sayısal veriler dört değişik şekilde ölçülme ölçeğine sahip olabilirler: isimsel, sırasal, aralıksal ve oransal. Bu değişik ölçeklere göre değişken verilerine, değişik matematik ve istatistiksel işlemlerin ve ölçümlerin değişik şekilde uygulanması gerekmektedir.

## Sayısal veri ölçeklerinin sınıflanması

Stevens dört değişik ölçülme ölçeği önermistir. Bunlar 
* isimsel
* sırasal
* aralıksal
* oransal
ölçeklerdir.

Stevens'in sınıflanma düzenine göre, istatistik uygulaması için, yani betimsel istatistik ve çıkartımsal istatistik yöntemleri uygulamaları için, kullanılan verilerin ölçülme ölçeklerine uygunluk göstermesi gerekmektedir. Bu veri ölçekleri ve bunların sınıflanması en zayıftan başlayıp giderek daha güçlenen matematiksel yapıya göre hazırlanmıştır. Buna göre ne kadar daha fazla matematiksel işlem ve ikisel ilişki için uygulama mümkünse, bazı istatistik tekniklerini kullanmak için o kadar fazla uygunluk ortaya çıkmaktadır. Stevens'in ölçeklerini, hangi istatistiklerle tanımlandıklarını, nasıl ilişki veya işlem kullanılabileceğini ve nasıl matematiksel ifadeye uygun olacağını şu tablo özetlemektedir:

Stevens bu veri ölçek sınıflamasını ortaya attığı yayınında, birçok istatistik ile ilgili ders kitabında aynen alınmış ifade ile şu öneriyi ortaya çıkartmıştır:
::"Ölçülme, nesnelere ve olaylara belli bir kurala göre sayı saptamaktır."
Ölçülme ölçeği ve özellikle bu şekilde ölçülmenin tanımlanması matematikçiler ve teorik ve uygulamalı istatistikçiler arasında büyük tartışmalara ve anlaşmazlıklara yol açmıştır; (Tenkitçiler arasında Duncan (1984) ve Mitchell (1986, 1999)yayınları örnek olarak verilebilir.)). Bu tenkitlere kavramlar genişletildikten sonra değinilecektir. Ancak hemen söylemek gereklidir ki bu ölçülme ölçekleri sınıflanması çok geniş alanlarda, özellikle uygulamacı istatistikçiler ve veri analizcileri tarafından, pratikte kabul edilip kullanılmaktadır.

 
### İsimsel ölçek

Bu tip ölçüm için her bir değişik nesneye veya kişiye bir kategori isminin bir etiket gibi belirlenmesi gereklidir. Kategori isimlerini belirlemesi için yapılan ilk çalışma, iyice belirlenmiş bir yordam kullanıp benzerlikleri ve ayrımları ayırt ederek ölçümde kullanılacak her bir etiket isim kategorisini açıkça tarif etmek şeklinde olur. Sonra birbirlerine benzerliği iyice karakterize edilmiş her kategori ismi için bir sayı belirlenir. Bu işlemlerle kategorilere verilmiş olan *sayı* değerleri **isimsel ölçekli** sayı olarak adlandırılır. Kategori isimlerine verilen *isimsel ölçekli* sayı, kategorinin sanki *hüviyet numarası* olur. *İsimsel ölçekli* sayılar ve bunların ifade ettiği kategoriler şeklinde ölçülen değişkene *isimsel değişken* adı da verilir.

Kategori tanımlanması ve kategoriye sayısal isim belirlenmesi önemlidir, ama her bir sayısal isim verilmiş kategori için belirlenmiş sayının matematiksel önemi çok azdır. Çünkü verilen sayı değerleri ile çok sınırlı matematiksel işlem uygulanabilir. Bir kategori için verilen *isimsel ölçekli* sayılar, genel olarak kısa, nötr ve üniversel (yani kullanılan dile bağlı olmayan) bir ifade sağladıkları için ve sayıları çok kolay işleme koyan bilgisayarda bilgi depolanmasına ve tasnif işlemlerine yardımcı olmaları nedeni ile önem kazanırlar.

*İsimsel ölçekli* sayılar için tek anlamlı matematiksel işlem uygulaması eşitlik veya eşitsizliğin tayini şeklinde olabilir. Kategoriler için belirlenen herhangi iki *isimsel ölçekli* sayı için *karşılaştırmalı daha küçük* veya *karşılaştırmalı daha büyük* ilişkileri kurulamaz; toplama, çıkartma, çarpma ve bölme gibi aritmetik işlemler tümüyle anlamsızdır.

Sosyal araştırmalarda ve birçok işletme ile ilgili araştırmalarda (örneğin pazarlama veya iş gücü planlaması ve idaresi için) *isimsel değişken*ler arasında cinsiyet, medeni durum, doğum yeri, ailenin asılı, ırk, din veya mezhep, bilinen lisan, tutulan parti, tutulan spor takımı, son eğitim durumu vb. sayılabilir. Diğer önemli isimsel değişkenler: ikamet coğrafyası ile ilgili olarak ikamet edilen veya nüfusa kayıt il numarası; adres posta kodu; ev ve daire numaraları vb.; işletme ve ticaretle ilgili olarak: üretilen, depolanan, nakil edilen, satılan ve satın alınan mal tipi, mal cinsi ve mal markası vb. Bu liste istenirse çok genişletilebilir. Ölçüm ölçeği kavramını ortaya çıkartan ve geliştiren Amerikan psikolog S.S.Stevens'in verdiği örnek, çocukların renk algılaması üzerine yaptığı araştırmada, değişik renklere verdiği isimsel sayılardır.

*İsimsel ölçekli* sayısal veriler için betimsel istatistik incelemesi olarak sadece merkezsel konum ölçüsü olarak modun kullanılması ve isimsel değişkenlere özel olan kategorik değişkenler için yayılım ölçüleri kullanılması mümkündür. *İsimsel ölçekli* verilere uygulanabilen çıkarımsal istatistik teknikleri için özel parametrik olmayan istatistik yöntemleri geliştirilmiştir. Ortalama, medyan, dörttebirlik vb. merkezsel konum ölçüleri veya standart sapma, varyans, değişim açıklığı ve daha az bilinen mutlak sapma ölçüleri kullanılması anlamsızdır. Bunlarla ilişkili kestirim ve parametrik sınama teknikleri de kullanılamaz.

İki kategoriden oluşan (evet/hayır veya sayısal olarak 0/1) *isimsel değişkenler*e uygulabilecek istatistiksel yöntemler üzerinde istatistikçiler arasında görüş ayrılılıkları bulunmakta ve bazı isimsel ölçekli verilere uygulanamıyacak işlem veya yöntemlerin bu iki kategorili isimsel değişkenler için anlamlı olabileceği iddia edilmektedir.

### Sırasal ölçek

**'

**Sırasal ölçekli** sayısal değişkenler iki değişik şekilde ortaya çıkarlar ve değişik şekilde işlem görmeleri gerekir.

Birinci şekilde, sayılar artan ve eksilen bir şekilde eldeki değişken için bütün veriler (yani örneklem için n tane veya tam sayım için tüm anakütle için N tane) [[sıralama düzeni]]ni gösterir. Bir veri serisi bir değişkene göre sıralama düzenine konulmuş olabilir ve her bir veri elemanına ya artan şekilde (1'den n'e veya 1'den N'e kadar) ya da azalan şekilde (n'den '1'e veya N'den '1'e kadar) özel bir şekil sırasal ölçekli sayı veya daha uygun bir terimle ''sıra numarası'' verilir. Genellikle bu türlü [[sıralama düzeni]] için kullanılan ''sıra numaraları'' birbirini takip eden tam sayılardır. Ancak bu bir pratik alışkanlıktan ortaya çıkmıştır ve matematiksel olarak monotonik olma karakterini korudukça herhangi bir değişik sıra numarası vermek mümkündür. Buna en iyi örneğin belli bir değişken için veri elemanları için [[sıralama düzeni]] hazırlanırken, bu değişken için iki veya daha çok sayıda veri elemanı beraberlik gösterirlerse, beraberlik gösteren elemanlara verilen sıra numaraları için özel bir strateji uygulanması gerekir ve beraberlik gösteren elemanlara ya tam sayı ya da kesirli sayı olan, birbirine eşit sıra numarası verilir. Özellikle beraberlik halinde uygulanan kurallar için [[sıralama düzeni]] maddesine bakınız.

Diğer şekilde ''sırasal ölçekli'' sayısal veriler, incelenen değişken için belli sırasal kategoriler bulunması halinde ortaya çıkar. Örneğin bir tüketici anketi için bir karakteri tercih göstermesi için 3 kategori sayısı (1=tercihli, 2=tarafsız, 3=tercihsiz) veya tatmin olma göstermesi için 5 kategori sayısı (1=çok tatmin edici, 2=tatmin edici, 3=tarafsız, 4=tatmin etmeyici, 5=çok tatmin etmeyici) vb. kullanılabilir. Her örneklem veya tam sayım elemanına bu çeşit değişken için (örneğin 1 ile 3 arasında veya 1 ile 5 arasında) bir kategori sayısı (veya kategori puanı) veri serisi oluşturulur. Bu sayı şeklinde veriler de (isimsel ölçekli değişken verileri gibi) birer kategoriyi gösterir; ama kategori sayı numaraları arasında bir sıralama veya rütbe ilişkisi vardır. Böyle değişken için sayı verileri ''sırasal ölçekli''dir; bazen bu değişkene ''sırasal değişken'' veya ''rütbe değişkeni'' adı da verilmektedir.

''Sırasal ölçekli'' veriler için (yine ''isimsel ölçekli'' değişken verileri gibi) ''karşılaştırmalı küçük'' veya ''karşılaştırılmalı büyük'' olma işlemleri anlamlıdır. Ama buna ilaveten ''sırasal ölçekli'' verilere ''eşitlik'' ve ''eşitsizlik'' işlemleri de anlamlı olarak uygulanabilir. Ancak ''sırasal ölçekli'' veriler için bazı çok iyi bilinen aritmetik işlemler, yani toplama, çıkartma, çarpma ve bölme işlemleri uygulanmaları, anlamsız olur.

[[Sosyal bilimler]], [[psikoloji]], işletme bilimleri alanlarında pratikte birçok istatistiksel veri ''sırasal ölçekli'' olarak elde edilir. Örneğin tercih, tatmin olma, davranış, yargı gibi subjekif skorlar; [[muhafazakarlık]], [[önyargılılık]], [[sosyal sınıf]] vb. değişkenler ''sırasal ölçekli'' veriler ortaya çıkartırlar. Pozitif bilim alanında da sırasal ölçekli veriler bulunur: minerallerin çizilme sertliğini gösteren [[Mohs sertlik skalası]], deprem şiddeti için [[Richter ölçeği]] vb.

''Sırasal ölçekli'' veriler için [[betimsel istastik]]lerden [[merkezsel konum ölçüsü]] olarak [[medyan]] ve (''isimsel ölçekli'' veriler gibi) [[mod]] kullanılması uygun olur. Ancak toplama ve bölme işlemleri uygun olmadığı için [[ortalama]] tanımlanamaz. [[Dörttebirlik]], [[ondabirlik]], [[yüzdebirlik]], maksimum, minimum vb tanımlanabilir. İstatistiksel yayılım için özel [[kategorik veriler için yayılım]] ölçüleri hesaplanıp kullanılabilir. Buna karşılık çıkartma anlamsız olduğu için [[açıklığı]], [[dörtebirlik açıklığı]] kulanılamaz. Alışılagelen yayılım ölçümleri olan [[varyans]], [[standart sapma]], [[mutlak sapmalar]] da anlamsızdır. [[Çıkarımsal istatistik]]ler için [[parametrik sınama]] ve kestirim uygulamaları anlamsızdır. Ancak [[orantısal çokluklar dağılımı]] ve [[orantılar]] için [[hiptotez sınamaları]] ve kestirimler pratikte uygulanmaktadır. Ayrıca birçok [[parametrik olmayan istatistik]]ler sırasal ölçekli değişkenlere tatbik edilebilir.

Teorik olarak ''sırasal ölçekli'' değişken verilerinin istatistiksel işlemlar uygun olup olmayacağı teoriye çok bağlı birçok ististikçi tarafından uygun olmadığı kabul edilmekle beraber, (özellikle davranış bilimleri ile ilgili olan) belli bir grup istatistikçi bunu kabul etmemekte ve birçok istatistikçinin anlamsız bulduğu istatistik yöntemleri ''sırasal ölçekli'' değişkenler ve veriler için uygulamaktadırlar. Birçok uygulamalı bilim ve pratik kullanımda da sırasal ölçekli veri olan değişkenler ile niceliksel (aralıksal veya oransal ölçekli) değişkenler arasında fark gözetilmemektedir. Örneğin, üniversitelerde öğrencilerin ders değerlendirilme anketlerinden ortaya çıkan tercih ve tatmin gösteren ''sırasal ölçekli'' verilerin ortalamaları ve standart sapmaları üniversite ve devlet eğitim idarecileri tarafından sanki birer niceliksel veri sonuçları imiş gibi üniversite, bölüm, bilim dalı ve ders değerlendirilmeleri için kullanılmaktadır.

=== Aralıksal ölçek ===

''Aralıksal ölçekli'' sayılar nesnelere tahsis edilince sırasal ölçekli sayıların tüm özelliklerin sahiptirler ama bunlara ek olarak ''aralıklı ölçekli'' sayılarda ölçümlerdeki farklar her halde eşit olan aralıkları temsil etmektedir. Bu demektir ki, rastgele alınan bir çift nesne için yapılan ayrı ölçümler birbirleriyle karşılaştırılabilirler. Bu nedenle ortalama alma ve çıkartma gibi aritmetik operasyonlar anlamlıdır. Ancak toplama operasyonunun anlamı bulanıktır Çünkü bu ölçekte mutlak bir sıfır başlangıç noktası bulunmaz ve değişik nesneler için değişik keyfi orijin noktaları kullanma imkânı ve bu değişik orijinli ölçümlerin karıştırılma imkânı bulunur. Biçimsel matematik terminolojiye göre bu sayılar [[afin uzayı]] elemanlarıdır. Aralıksal ölçekli olarak ölçülen değişkenlere **aralıksal değişkenler*' denilmektedir. Bazen aynı kavrama [[ölçülme birimleri]] anlamlı olduğu için *ölçeklenmiş değişkenler* denilmektedir ama bu kullanış tarzı tavsiye edilmemektedir.

Aralıksal ölçekli sayılar için iki sayı arasındaki *oran* anlamlı değildir. Onun için çarpma ve bölme işlemleri doğrudan doğruya tatbik edilemez. Ancak *farkların* orantıları anlamlıdır; örneğin bir fark diğer bir farkdan 2 misli büyük olabilir.

Aralıksal ölçekli değişkenlere çok kullanılan örnekler şunlardır: Miladî, Hicrî, Çinli gibi çok değişik takvim şekli olduğu için [[takvim tarihleri]]; yine [[santigrad]], [fahrenhayt] vb kullanarak sıcaklık ölçme.

Aralıksal ölçekli değişken verileri için [[merkezsel konum ölçüleri]] [[mod]], [[medyan]] veya aritmetik [[ortalama]] olabilir. İstatistiksel yayılım ölçüsü sadece farklar ve ortalama almayı 
kapsayan [[açıklık]], [[çeyrekler açıklığı]] veya (farkların oranı anlamlı olduğu için) [[standart sapma]] olabilir. Aralıksal ölçekli değişkenler için bölme işlemi anlamsız olduğu için [[student-tipi açıklık]] veya [[varyasyon katsayısı]] uygun ölçüler değildirler. Yine aralıksal ölçekli değişkenlerde başlangıç noktası keyfî olduğu için [[merkezsel moment]]ler anlamsızdır.

=== Oransal ölçek ===

Nesnelere bağlanan *oransal ölçekli* sayılar *aralıksal ölçekli* sayıların tüm özelliklerine sahiptirler ve bunlara ek olarak herhangi iki çift sayı arasında kurulan [[orantı]] da anlamlı olur. Bu nedenle çarpma ve bölme matematiksel işlemleri de anlamlıdır. *Oransal ölçekli* sayılar için keyfî olmayan gerçek başlangıç sıfır noktası bulunur. *Oransal ölçekli* sayılarla ölçümü yapılan değişkenlere *oransal değişkenler* adı verilir.

Fizikle ilgili birçok miktarlar için, [[kütle]], [[uzunluk]], [[enerji]] vb, oransal ölçekli sayılar ile ölçümü yapılır. Fizik için [[kelvin]] bazında ölçülen [[mutlak sıfır]] (-273° santigrad Celsius'da) gerçek olarak başlangıç noktası olduğu için bilimsel alanda kullanılan bu şekil ölçum dolayısıyla [[sıcaklık]] da *oransal değişken*dir. Halbuki pratikte normal olarak kullanılan santigrad veya fahranhayt birimleri ile ölçülen [[sıcaklık]] değişkeni *aralıksal değişken* olur.

Sosyal bilimler alanında birçok değişken oransal ölçekte ölçülür; örneğin ankete cevap verenlerin için [[yaş]], belli bir adreste ikamet dönemi, çalışma yerinde kaç yıldır bulunduğu vb.

*Oransal ölçekli* verilere bütün normal matematik işlemler uygulanabileceği için, tüm istatistiksel ölçüm, kestirim, sınama ve işlemler için, hiç kuşku yaratmadan, kullanılabilirler.

*Oransal ölçekli* bir değişken için, merkezsel konum ölçüleri sadece [[mod]], [[medyan]], [[aritmetik ortalama]] olmayıp [[geometrik ortalama]] da kuşkusuz kullanılabilir. [[İstatistiksel yayılım ve sapma]] ölçüleri olan ve *aralıksal ölçekli* değişkenler için kullanılabilen çeşitli tipte [[açıklık]] ve [[varyans]] yahut [[standart sapma]] yanında oransal ölçekli istatistik veriler için orantı şeklinde uygulanan [[student-tipi açıklık]] veya [[varyasyon katsayısı]] da kuşkusuz kullanılabilir. Ayrıca başlagıç sıfır noktası gerçek oldugu için orijin etrafındaki momentler de, aralıklı ölcekli değişkenler için biraz kuşkulu olarak kullanılırken, oransal ölçekli değişken verileri için hiç kuşkusuz kullanılabilirler.

=== Niceliksel ve kategorik sayılar ===

Birçok istatistikçiler *aralıksal ölçekli* sayılar ve *oransal ölçekli* sayılar arasındaki kavram farklarının istatistiksel özetleme, inceleme ve analiz için çok önemli olmadığını ve her ikisi için de çok önemli olan matematiksel işlemlerin uygun olduğunu iddia edip bu çeşit verilere *niceliksel veriler* adını vermektedirler. Bazı matematikçilere göre bu türlü ölçekli veriler *gerçek ölçülme* ile elde edilmişlerdir. Diğer taraftan daha zayıf önemde olan *isimsel ölçekli* ve *sırasal ölçekli* sayılar için *kategorik veriler* adı verilmekte ve *kategorik sayılar* şeklinde olan veriler için (giriş, orta derecede ve hatta ileri derecede) istatistik ders kitaplarına girmeyen birçok istatistik işlemler, sınamalar ve analizler değişik, ayrı özel referans kitaplarında ele alınmaktadır. Örneğin ana istatistik kitaplarında önemli olarak açılanan *yayılım ölçüleri* sadece *niceliksel veriler* için verilmekte; *kategorik veriler* için geliştirilmiş konsentrasyon kavramına dayanan yayılım ölçülerinin ise ne istatistik kitaplarında ne de istatistik kompüter program paketlerinde isimleri hiç geçmemektedir. [[Kategorik veriler için yayılım]] maddesine bakın.

Diğer taraftan *niceliksel veriler* için öğrenilip kullanılması bilinen yayılım ölçüleri ve diğer istatistiksel işlemler (her hâlde anlamlı ve uygun ölçüler bilinmediği için) pratikte uygunsuz ve anlamsız olarak *sırasal ölçekli* ve *isimsel ölçekli* veriler için hiç kritik kabul edilmeden kullanılmaktadır.

== Sınıflama sistemi üzerinde tartışma ==

Stevens'in ölçülme ölçeği sınıflandırması çok geniş alanlarda kabul edilip kullanılmasına rağmen, bu sınıflamanın uygunluğu (özellikle isimsel ve sırasal ölçekler hallerinde) büyük tartışmalara yol açmıştır ve bu tartışma hala da devam etmektedir. (Velleman ve Wilkinson, 1993)
Duncan (1984) kendi hazırlayıp geliştirdiği *ölçülme* kavramının belirlenmesini göz önüne alarak, Stevens'in *isimsel ölçekli* adını verdiği ölçümlerin imkânsız ve uygunsuz olacağını iddia etmiştir. Stevens (1975) kendinin ortaya atıp geliştirdiği kavramlar üzerinde sonradan hazırladığı bir kitabında:
:Bir değişkene bir sayı tahsis edilmesi belirli tutarlı kurala göre yapılmalıdır; rastgele sayı tahsis edilmesi kabul edilemiyecek bir kuraldır; çünkü rastgelelik bir efektif olarak kural olmadığına işaret etmektedir.
demektedir. Buna göre keyfî bir şekilde isim olarak sayıların tahsis edilmesi sonucu ortaya çıkan *isimsel ölçekli* değişkenler ölçüm olmayacaklardır. Lord (1953) yazısında biraz alaycı olarak *Futbol sayılarına istatistiksel işlemlerin uygulanması* hakkında yazdığı kritikte bu noktaya da çok önem vermiştir.

*Ölçülme ölçegi* kavramları hakkında, özellikle davranış bilimlerinde, diğer bir büyük tartışma konusu *sırasal ölçekli* değişkenler için aritmetik ortalamanın uygun ve anlamlı olup olmayacağıdır. Ölçme kuramına göre aritmetik ortalamalar (ve buna dayanan standart sapma veya varyans) *sırasal ölçekli* sayılar için, anlamsız ve uygun olmayan matematik işlemlerin kullanılmasını gerektirdiği için, anlamsızdırlar. Buna karşılık pratikte, özellikle davranış bilimi uygulayıcıları, çok belirli şekilde sırasal ölçekli olan anket verilerinin aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını çok büyük kitleler için çok (hatta hayatî) önem taşıyan sosyal incelemelere ve sosyal politikalara baz olarak kullanmaktadırlar. Bu (ölçme teorisine aykırı) kullanım için verilen neden, davranış bilimlerinde kullanılan sırasal ölçekli görünüşlü değişkenlerin, gerçekte ölçme teorisinde ele alınan sırasal değişkenlerden değişik karakterde oldukları ve daha çok aralıksal ölçekli değişkenlere benzedikleridir. Bu iddiaya göre değişik elemanlar için bulunan sırasal sayı aralıkları teorik olarak sabit ve duragan olmamakla beraber, genellikle elamanlar arasında fazla farklılık göstermemekte ve hatta genellikle pratikte elemanlar arasında sabit görünüşte olmaktadır. Örneğin egitim alanında aynı imtihan kâğıtlarına bakıp sırasal bir sayı olarak not veren değişik öğretim üyelerinin sırasal ölçekli olarak verdikleri imtihan değerlendirmeleri arasında pratikte pek az farklılık bulunmaktadır. Bu nedenle davranışsal bilim uygulayıcılarından çoğu, sırasal ölçekli verilere aralıksal veya oransal ölçekli verilere uygun olan istatistiksel ölçümleri hiçbir sorun duymadan, hiç sakınma veya kuşku göstermeden uygulamaktadırlar.

== Kaynakça ==


== Dışsal kaynaklar ==

* Babbie, E. (2004). *The Practice of Social Research, 10uncu ed.*, Wadsworth, Thomson Learning Inc., ISBN 0-534-62029-9
* Briand, L. ; El Emam, K. ve Morasca, S. (1995). "On the Application of Measurement Theory in Software Engineering." *Empirical Software Engineering,'' C.1, say.61-88. https://web.archive.org/web/20070926232755/http://www2.umassd.edu/swpi/ISERN/isern-95-04.pdf
* Hyperstat — Ölçülme ölçeği
* [ftp://ftp.sas.com/pub/neural/measurement.html Ölçülme kuramı: Sıkça sorulan sorular]