Matematiksel seriler listesi

Aşağıdaki ***matematiksel seriler listesi***, sonlu ve sonsuz toplamlar için formüller içerir. Toplamları değerlendirmek için diğer araçlarla birlikte kullanılabilir.
*Burada <math>0^0</math>, 1 değerine sahip olduğu kabul edilir
*\{x\}, x'in kesirli kısmını ifade eder.
*B_n(x) bir Bernoulli polinomudur.
*B_n bir Bernoulli sayısıdır ve burada; B_1=-\frac{1}{2}'dir.
*E_n bir Euler sayısıdır.
*\zeta(s) Riemann zeta fonksiyonudur.
*\Gamma(z) gama fonksiyonudur.
*\psi_n(z) bir poligama fonksiyonudur.
*\operatorname{Li}_s(z) bir polilogaritmadır.
* n \choose k  binom katsayısıdır.
*\exp(x), x'in üstel'ini belirtir.

## Kuvvetler toplamı
Bkz. Faulhaber formülü.
*\sum_{k=0}^m k^{n-1}=\frac{B_n(m+1)-B_n}{n}
İlk birkaç değer şunlardır:
*\sum_{k=1}^m k=\frac{m(m+1)}{2}
*\sum_{k=1}^m k^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}=\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{m}{6}
*\sum_{k=1}^m k^3

=\left[\frac{m(m+1)}{2}\right]^2=\frac{m^4}{4}+\frac{m^3}{2}+\frac{m^2}{4}

Bkz. zeta sabitleri.
*\zeta(2n)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^{2n}}=(-1)^{n+1} \frac{B_{2n} (2\pi)^{2n}}{2(2n)!} 
İlk birkaç değer şunlardır:
*\zeta(2)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6} (Basel problemi)
*\zeta(4)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}
*\zeta(6)=\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^6}=\frac{\pi^6}{945}

## Kuvvet serileri

### Düşük mertebeli polilogaritmalar
Sonlu toplamlar:
*\sum_{k=m}^{n} z^k = \frac{z^{m}-z^{n+1}}{1-z}, (geometrik seri)
*\sum_{k=0}^{n} z^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}
*\sum_{k=1}^{n} z^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}-1 = \frac{z-z^{n+1}}{1-z}
*\sum_{k=1}^n k z^k = z\frac{1-(n+1)z^n+nz^{n+1}}{(1-z)^2}
*\sum_{k=1}^n k^2 z^k = z\frac{1+z-(n+1)^2z^n+(2n^2+2n-1)z^{n+1}-n^2z^{n+2}}{(1-z)^3} 
*\sum_{k=1}^n k^m z^k = \left(z \frac{d}{dz}\right)^m \frac{1-z^{n+1}}{1-z}

Sonsuz toplamlar, |z| için geçerli (bkz. polilogaritma):
*\operatorname{Li}_n(z)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{z^k}{k^n}
Aşağıdaki, düşük tam sayı mertebeli polilogaritmaları kapalı form içinde özyinelemeli olarak hesaplamak için yararlı bir özelliktir: 
*\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\operatorname{Li}_n(z)=\frac{\operatorname{Li}_{n-1}(z)}{z}
*\operatorname{Li}_{1}(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k}=-\ln(1-z)
*\operatorname{Li}_{0}(z)=\sum_{k=1}^\infty z^k=\frac{z}{1-z}
*\operatorname{Li}_{-1}(z)=\sum_{k=1}^\infty k z^k=\frac{z}{(1-z)^2}
*\operatorname{Li}_{-2}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^2 z^k=\frac{z(1+z)}{(1-z)^3}
*\operatorname{Li}_{-3}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^3 z^k =\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z)^4}
*\operatorname{Li}_{-4}(z)=\sum_{k=1}^\infty k^4 z^k =\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z)^5}

### Üstel fonksiyon
*\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} = e^z
*\sum_{k=0}^\infty k\frac{z^k}{k!} = z e^z (bkz. Poisson dağılımı ortalaması)
*\sum_{k=0}^\infty k^2 \frac{z^k}{k!} = (z + z^2) e^z (bkz. Poisson dağılımının ikinci momenti)
*\sum_{k=0}^\infty k^3 \frac{z^k}{k!} = (z + 3z^2 + z^3) e^z
*\sum_{k=0}^\infty k^4 \frac{z^k}{k!} = (z + 7z^2 + 6z^3 + z^4) e^z
*\sum_{k=0}^\infty k^n \frac{z^k}{k!} = z \frac{d}{dz} \sum_{k=0}^\infty k^{n-1} \frac{z^k}{k!}\,\! = e^z T_{n}(z) 

burada; T_{n}(z) Touchard polinomlarıdır.

### Trigonometrik, ters trigonometrik, hiperbolik ve ters hiperbolik fonksiyonlar ilişkisi

*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sin z
*\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sinh z
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k z^{2k}}{(2k)!}=\cos z
*\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k}}{(2k)!}=\cosh z
*\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\tan z, |z|
*\sum_{k=1}^\infty \frac{(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\tanh z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\cot z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\coth z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\csc z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{-(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}=\operatorname{csch} z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kE_{2k}z^{2k}}{(2k)!}=\operatorname{sech} z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}=\sec z, |z| 
*\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} z^{2k}}{(2k)!}=\operatorname{ver}z (versine)
*\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} z^{2k}}{2(2k)!}=\operatorname{hav}z (haversine)
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}=\arcsin z, |z|\le1
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^2(2k+1)}=\operatorname{arcsinh} {z}, |z| \le 1
*\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^kz^{2k+1}}{2k+1}=\arctan z, |z|
*\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{2k+1}=\operatorname{arctanh} z, |z|
*\ln2+\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!)^2}=\ln\left(1+\sqrt{1+z^2}\right), |z| \le 1

### Değiştirilmiş faktöriyel paydalar
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{(4k)!}{2^{4k} \sqrt{2} (2k)! (2k+1)!} z^k = \sqrt{\frac{1-\sqrt{1-z}}{z}}, |z|
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{2^{2k} (k!)^2}{(k+1) (2k+1)!} z^{2k+2} = \left(\arcsin{z}\right)^2, |z|\le1 
*\sum^{\infty}_{n=0} \frac{\prod_{k=0}^{n-1}(4k^2+\alpha^2)}{(2n)!} z^{2n} + \sum^{\infty}_{n=0} \frac{\alpha \prod_{k=0}^{n-1}[(2k+1)^2+\alpha^2]}{(2n+1)!}  z^{2n+1} = e^{\alpha \arcsin{z}}, |z|\le1 

### Binom katsayıları
*(1+z)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty {\alpha \choose k} z^k, |z| (bkz )
* \sum_{k=0}^\infty {2z}, |z|\leq\frac{1}{4}, Catalan sayıları üreteç fonksiyonu
* \sum_{k=0}^\infty {2k \choose k} z^k = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}, |z|, Merkezi binom katsayıları üreteç fonksiyonu
* \sum_{k=0}^\infty {2k + \alpha \choose k} z^k = \frac{1}{\sqrt{1-4z}}\left(\frac{1-\sqrt{1-4z}}{2z}\right)^\alpha, |z|

### Harmonik sayılar
(Bkz harmonik sayılar, kendileri H_n = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}  olarak tanımlanmıştır)

* \sum_{k=1}^\infty H_k z^k = \frac{-\ln(1-z)}{1-z}, |z|
* \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k+1} z^{k+1} = \frac{1}{2}\left[\ln(1-z)\right]^2, \qquad |z|
* \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1} H_{2k}}{2k+1} z^{2k+1} = \frac{1}{2} \arctan{z} \log{(1+z^2)}, \qquad |z|
* \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^{2n} \frac{(-1)^k}{2k+1} \frac{z^{4n+2}}{4n+2} = \frac{1}{4} \arctan{z} \log{\frac{1+z}{1-z}},\qquad  |z|

## Binom katsayıları

*\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n
*\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} = 0, \text{ burada; }n\geq 1
*\sum_{k=0}^n {k \choose m} = { n+1 \choose m+1 }
*\sum_{k=0}^n {m+k-1 \choose k} = { n+m \choose n } (bkz Çoklu küme)
*\sum_{k=0}^n {\alpha \choose k}{\beta \choose n-k} = {\alpha+\beta \choose n} (bkz Vandermonde özdeşliği)

## Trigonometrik fonksiyonlar
Sinüsler ve kosinüsler toplamı, Fourier serileri'nde ortaya çıkar.

*\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(k\theta)}{k}=-\frac{1}{2}\ln(2-2\cos\theta)=-\ln \left(2\sin\frac{\theta}{2} \right), 0
*\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(k\theta)}{k}=\frac{\pi-\theta}{2}, 0
*\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k}\cos(k\theta)=\frac{1}{2}\ln(2+2\cos\theta)=\ln \left(2\cos\frac{\theta}{2}\right), 0\leq\theta
*\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k}\sin(k\theta)=\frac{\theta}{2}, -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}
*\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos(2k\theta)}{2k}=-\frac{1}{2}\ln(2\sin\theta), 0
*\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2k\theta)}{2k}=\frac{\pi-2\theta}{4}, 0
*\sum_{k=0}^\infty \frac{\cos[(2k+1)\theta]}{2k+1}=\frac{1}{2}\ln \left(\cot\frac{\theta}{2}\right), 0
*\sum_{k=0}^\infty \frac{\sin[(2k+1)\theta]}{2k+1}=\frac{\pi}{4}, 0,
*\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}= \pi \left(\dfrac{1}{2} - \{x\}\right), \ x \in \mathbb{R}
*\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2\pi kx \right)}{k^{2n-1}} = (-1)^{n}\frac{(2\pi)^{2n-1}}{2(2n-1)!} B_{2n-1}(\{x\}), \ x \in \mathbb{R}, \ n \in  \mathbb{N}
*\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\cos \left(2\pi kx \right)}{k^{2n}} = (-1)^{n-1}\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} B_{2n}(\{x\}), \ x \in \mathbb{R}, \ n \in  \mathbb{N}
*B_n(x)=-\frac{n!}{2^{n-1}\pi^n}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n}\cos\left(2\pi kx-\frac{\pi n}{2}\right), 0
*\sum_{k=0}^n \sin(\theta+k\alpha)=\frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\sin(\theta+\frac{n\alpha}{2})}{\sin\frac{\alpha}{2}}
*\sum_{k=0}^n \cos(\theta+k\alpha)=\frac{\sin\frac{(n+1)\alpha}{2}\cos(\theta+\frac{n\alpha}{2})}{\sin\frac{\alpha}{2}}
*\sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{\pi k}{n}=\cot\frac{\pi}{2n}
*\sum_{k=1}^{n-1} \sin\frac{2\pi k}{n}=0
*\sum_{k=0}^{n-1} \csc^2\left(\theta+\frac{\pi k}{n}\right)=n^2\csc^2(n\theta)
*\sum_{k=1}^{n-1} \csc^2\frac{\pi k}{n}=\frac{n^2-1}{3}
*\sum_{k=1}^{n-1} \csc^4\frac{\pi k}{n}=\frac{n^4+10n^2-11}{45}

## Rasyonel fonksiyonlar
*\sum_{n=a+1}^{\infty} \frac{a}{n^2 - a^2} = \frac{1}{2} H_{2a}
*\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+a^2}=\frac{1+a\pi\coth (a\pi)}{2a^2}
*\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac {1}{n^4+4a^4} = \dfrac{1}{8a^4}+\dfrac{\pi(\sinh(2\pi a)+\sin(2\pi a))}{8a^3(\cosh(2\pi a)-\cos(2\pi a))}
*n'nin herhangi bir rasyonel fonksiyon'unun sonsuz bir serisi, burada açıklandığı gibi kısmi kesirlere ayrıştırma kullanılarak poligama fonksiyonu'nun sonlu bir serisine indirgenebilir. Bu gerçek, rasyonel fonksiyonların sonlu serilerine de uygulanabilir ve seri çok sayıda terim içerdiğinde bile sonucun sabit zamanda hesaplanmasına izin verir.

## Üstel fonksiyon

* \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{p}}\sum_{n=0}^{p-1}\exp \left(\frac{2\pi i n^2 q}{p} \right)=\dfrac{e^{\pi i/4}}{\sqrt{2q}}\sum_{n=0}^{2q-1}\exp \left(-\frac{\pi i n^2 p}{2q} \right)(bkz. Landsberg–Schaar bağıntısı)
* \displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty e^{-\pi n^2} = \frac{\sqrt[4] \pi}{\Gamma\left(\frac 3 4\right)}

## Nümerik seriler
Bu numerik seriler, yukarıda listelenen serilerdeki sayılar eklenerek bulunabilir.

### Alternatif harmonik seriler
*\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots=\ln 2
*\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots=\frac{\pi}{4}

### Faktöriyellerin tersinin toplamı
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots=e
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{(2k)!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{8!}+\cdots=\frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=\cosh 1
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{(3k)!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{6!}+\frac{1}{9!}+\frac{1}{12!}+\cdots=\frac{1}{3}\left(e+\frac{2}{\sqrt{e}}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{(4k)!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{8!}+\frac{1}{12!}+\frac{1}{16!}+\cdots=\frac{1}{2}\left(\cos 1+\cosh 1\right)

### Trigonometri ve π
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}=\frac{1}{1!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}-\frac{1}{7!}+\frac{1}{9!}+\cdots=\sin 1
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{(-1)^k}{(2k)!}=\frac{1}{0!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{6!}+\frac{1}{8!}+\cdots=\cos 1
*\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{k^2+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}+\frac{1}{17}+\cdots=\frac{1}{2}(\pi \coth \pi - 1)
*\sum^{\infty}_{k=1} \frac{(-1)^k}{k^2+1}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}+\frac{1}{17}+\cdots=\frac{1}{2}(\pi \operatorname{csch} \pi - 1)
* 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots = \pi

### Üçgensel sayıların tersi
*\sum^\infty_{k=1} \frac{1}{T_k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\cdots=2
Burada; T_n=\sum^n_{k=1} k 

### Dörtyüzlüsel sayıların tersi
*\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{Te_k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{10}+\frac{1}{20}+\frac{1}{35}+\cdots=\frac{3}{2}
Burada; Te_n=\sum^{n}_{k=1} T_k

### Üstel ve logaritmalar
*\sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{(2k+1)(2k+2)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{3\times 4}+\frac{1}{5\times 6}+\frac{1}{7\times 8}+\frac{1}{9\times 10}+\cdots=\ln 2
*\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{2^kk}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{24}+\frac{1}{64}+\frac{1}{160}+\cdots=\ln 2
*\sum^{\infty}_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{2^kk}+\sum^{\infty}_{k=1} \frac{(-1)^{k+1}}{3^kk}=\Bigg(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\Bigg)-\Bigg(\frac{1}{8}+\frac{1}{18}\Bigg)+\Bigg(\frac{1}{24}+\frac{1}{81}\Bigg)-\Bigg(\frac{1}{64}+\frac{1}{324}\Bigg)+\cdots=\ln 2
*\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{3^kk}+\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{4^kk}=\Bigg(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\Bigg)+\Bigg(\frac{1}{18}+\frac{1}{32}\Bigg)+\Bigg(\frac{1}{81}+\frac{1}{192}\Bigg)+\Bigg(\frac{1}{324}+\frac{1}{1024}\Bigg)+\cdots=\ln 2

## Ayrıca bakınız

* Seri (matematik)
* İntegraller listesi
* 
* Taylor serisi
* Binom teoremi
* Gregory serileri
* On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

## Notlar

## Kaynakça
*İntegraller listesi içeren birçok kitapta, seriler listesi de vardır.
*\frac{\pi}{4} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{2k+1}