Cauchy-Schwarz eşitsizliği

**Cauchy-Schwarz eşitsizliği** (bazen **Schwarz eşitsizliği** veya **Cauchy eşitsizliği** veya **Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği** olarak anılır) matematikte önemli bir eşitsizliktir. 
Özellikle lineer cebir, analiz, istatistik ve olasılık kuramında bu eşitsizlik yoğun bir şekilde kullanılmaktadır.

Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafından 1821'de ve integraller için ise bu eşitsizlik ilk defa Viktor Bunyakovski tarafından 1850'de ve sonra yine Hermann Amandus Schwarz tarafından 1888'de ortaya atılmıştır.

## Eşitsizliğin ifadesi
Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre bir iç çarpım uzayında bulunan tüm x ve y öğeleri için şu ifade geçerlidir:

:|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle. 
Burada, \langle \cdot, \cdot \rangle  iç çarpımı temsil etmektedir. 
Bu ifadenin her iki tarafının karekökü alınırsa \|\mathbf{u}\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}, norm tanımı kullanılarak aynı özdeş şekilde yeni bir ifade ile şöyle yazılır:

:|\langle x,y\rangle| \leq ||x|| \cdot ||y||.

Buna ek olarak ifadenin iki tarafının birbirine eşit olması ancak ve ancak x ve y öğelerinin birbirlerine lineer olarak bağımlı olmaları halinde gerçekleşir.

Öte yandan aynı eşitsizlik x_1,x_2,\dots,x_n ve y_1,y_2,\dots,y_n reel sayıları için  

( \sum_{i=1}^{n} x_i^2 )( \sum_{i=1}^{n} y_i^2 ) \geq ( \sum_{i=1}^{n} x_i y_i )^2  

olarak yazılabilir.  

Eşitlik sadece  

\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \dots = \frac{x_n}{y_n} 

için sağlanır.

## Kanıt
İç çarpımın tanımı gereği, herhangi iç çarpım uzayındaki \mathbf{x}  ve \mathbf{y}  öğesi için,
* \mathbf{y} =0 ise, eşitlik vardır: 0 = |\langle \mathbf{x}  ,0 \rangle||=|\mathbf{x}||\ ||0||.
* \mathbf{y} \ne 0 ise, o zaman \mathbf{z} := \mathbf{x} - \frac {\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} {\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle} \mathbf{y} alalım. İç çarpımın doğrusallığından, 
\langle \mathbf{z}, \mathbf{y} \rangle 
= \left\langle \mathbf{x} - \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} {\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle} \mathbf{y}, \mathbf{y} \right\rangle 
= \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle - \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} {\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle} \langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle 
= 0
olduğu görülür. Yani, \mathbf{z}  \mathbf{y} 'ye diktir. O zaman, 
\mathbf{x}= \frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle} {\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle} \mathbf{y} + \mathbf{z}
yazılıp, iç çarpımda geçerli olan Pisagor teoremi uygulanabilir. Gerçekten de,
\|\mathbf{x}\|^2 
= \left|\frac{\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle}{\langle \mathbf{y}, \mathbf{y} \rangle}\right|^2 \|\mathbf{y}\|^2 + \|\mathbf{z}\|^2 
= \frac{|\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle|^2}{(\|\mathbf{y}\|^2 )^2} \,\|\mathbf{y}\|^2 + \|\mathbf{z}\|^2 
= \frac{|\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle|^2}{\|\mathbf{y}\|^2} + \|\mathbf{z}\|^2 \geq \frac{|\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle|^2}{\|\mathbf{y}\|^2}.Eşitsizliğin diğer formu için ise ispat şöyle yapılabilir:

x_1,x_2,\dots,x_n,y_1,y_2,\dots,y_n reel sayıları için

(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)x^2+2(x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n)x+(y_1^2+y_2^2+\dots+y_n^2)=
\sum_{i=1}^n [x_i^2x^2+2x_iy_ix+y_i^2] = \sum_{i=1}^n (x_ix+y_i)^2 \geq 0olduğu görülür. En soldaki ifade ikinci dereceden bir polinom olup negatif değildir. Bu yüzden bu polinomun diskriminantı pozitif olamaz. Yani

B^2-4AC \leq 0 \Rightarrow (2(\sum_{i=1}^n x_iy_i))^2 \leq 4(\sum_{i=1}^n x_i^2)(\sum_{i=1}^n y_i^2)\Rightarrow
(\sum_{i=1}^n x_iy_i)^2 \leq (\sum_{i=1}^n x_i^2)(\sum_{i=1}^n y_i^2) olur ve ispat tamamlanır.

## Kaynakça

## Dış bağlantılar

* Bouniakowsky, V. (1859), "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies" (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg 7 (1): 9, http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/bunyakovsky.pdf   (Erişme:15.12.2009)
* Cauchy, A. (1821), Oeuvres 2, III, s. 373 
* Dragomir, S. S. (2003), "A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete inequalities", JIPAM. J. Inequal. Pure Appl. Math. 4 (3): 142 pp, https://web.archive.org/web/20080720034744/http://jipam.vu.edu.au/article.php?sid=301  (Erişme:15.12.2009)
* Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press.
* Schwarz, H. A. (1888), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF), Acta Societatis scientiarum Fennicae XV: 318, http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/Schwarz.pdf   (Erişme:15.12.2009)
* Solomentsev, E.D. (2001), "Cauchy inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/C/c020880.htm   (Erişme:15.12.2009)