Nordström çekim teorisi

Teorik fizikte, **[[Nordstrom]] kütleçekim kanunu**, genel göreliliğin bir öncülüdür. Açıkçası, Fin teorik fizikçi Gunnar Nordström tarafından 1912'de ve 1913'te önerilen iki ayrı teori vardır. Bunlardan ilki, hızla geçerliliğini yitirmiş, ancak ikinci, yerçekimi etkileri kavisli uzay-zaman geometrisi bakımından tamamen kabul edilen kütleçekim  metrik teorisinin bilinen ilk örneği olmuştur.
Nordstrom teorilerinin hiçbiri gözlem ve deney ile uyum içinde değildir. Bununla birlikte, ilkinin kısa sürede üzerindeki ilgiyi kaybetmesi, ikinciyi de etkilemiştir. İkinciden geriye kalan, kütleçekim kendine yeten özel görelilik teorisidir. Genel görelilik ve kütleçekim teorileri için temel taşı niteliği görevi görmektedir. Bir örnek olarak, bu teori, pedagojik tartışmalar kapsamında özellikle yararlıdır.

## Teorilerin geliştirilmesi

Nordstrom un teorisi, Helsinki Nordström, Prag'da Milan Max İbrahim, Greifswald, Almanya Gustav Mie ve Albert Einstein, gibi önde gelen ve göreli yerçekimi teorilerine rakip yaratmak için çalışan fizikçilerin bulunduğu bir ortamda ortaya çıktı. Bu araştırmacıların hepsi uygun mevcut teoriyi değiştirmeye çalışarak başladı. Bu teoriye göre, alan denklemi Poisson denklemidir &nbsp;. Burada &nbsp;çekim potansiyeli, maddenin özkütlesidir ve ortam çekim alanında bir test parçacığın hareket bir denklem ile artar, Biz, Newton’un kuvvet kanunu ve hangi seviyede test parçacığının potansiyelinin eğimi olarak verilen ivmelenmesine  bakarak türetebiliriz.

:\frac{d \vec{u}}{dt} = -\nabla \phi

Bu teori göreceli değildir, Çünkü hareket denklemi gerçek zaman yerine koordinat zamanını işler ve bazı izole edilmiş nesneler içindeki maddeler ani bir patlama ile dağıtılabilir. Alan denkleminin, her yerde "boşluk" potansiyel anında "kendini güncellemesi" gerektirmektedir ve bu durumda ışıktan hızlı hareket edemez. Einstein'ın eski matematik profesörü Hermann Mİnkowski, 1912 yılında bir vektör teori krokisi çizdi. Abraham  böyle bir teoriyi istikrarlı gezegen yörüngede kabul edeceğini belirtti ve bu da Nordström yerçekimi skalar teorilerinin dönüm noktalarından  biri oldu.

Nordstrom'un ilk girişimi yerçekimine uygun göreli skaler bir alan denklemi teklif etmek oldu. Bunun için sadece Newton alan denkleminde  D’Alembertian veya dalga operatörü ile Laplacian operatörünü değiştirmek yeterliydi ve elde edilen sonuç: Bu dalga denklemi Laplace denkleminden vakum alan denklemi değiştirme sonucu ortaya çıkmıştır. Bu da şu anlama gelir ki; maddenin dağıtımına ilişkin herhangi bir "haber" başka yerlere ışık hızında iletilir. Buna karşılık, deney parçacıkları hareket denklemi için, basit bir öngörü ile, burada nokta doğru zamana göre farklılık gösterir, virgül aşağıdaki indislerin koordinat endeksli kısmına göre kısmi türevi ifade eder ve test parçacığının hız vektörüdür. Bu kuvvet yasası daha önce Abraham tarafından önerilmişti ve Nordstrom çalışmayacağını biliyordu, onun yerine bu formülü önerdi, \dot{u}_a = -\phi_{,a} - \dot{\phi} \, u_a.

Bununla birlikte, bu teori, çeşitli nedenlerle için kabul edilemezdi. Edilen iki itiraz teorikti. İlk olarak, bu teorinin bir Lagrange tarafından türetilebilirliği yoktu, İkinci olarak, önerilen alan denklemi doğrusaldı. Ama elektromanyetizma ile kıyas yoluyla, biz yerçekimi alanının enerji  taşımasını bekleriz ve görelilik teorisi üzerine Einstein'ın çalışmaları temelinde, Bu enerji kütlesinin eşdeğer olmasını beklemeliyiz ve bu nedenle, yerçekimi ile de.

Einsetein ve Von Laue sorunun alanı denklemi ile ilgili olabileceğini önerdi, Onlar lineer formun  şeklinde olabileceğini düşünüyorlardı. Burada F, \phi nun henüz bilinmeyen bir fonksiyonu, T matter  maddenin yoğunluğunu açıklayan stresenerji tensör izini temsil eder.
Bu eleştirilere yanıt olarak, Nordström 1913 yılında ikinci teorisini öne sürdü. atalet ve yerçekimi kütlesi orantılılığından, alan denkleminin, \phi \, \Box \phi = -4 \pi \, T_{\rm matter}, olması gerektiği kanısına vardı. Nordström hareket denklemi:
:\frac{d \left( \phi \, u_a \right)}{ds} = -\phi_{,a}

Veya

 \phi \, \dot{u}_a = -\phi_{,a} - \dot{\phi} \, u_a .

Sadece madde mevcut toz bulutu olduğunda Einstein özel durum olarak Kabul edebileceğini söyledi ve O stres enerji tensörü için bu konuda katkısı olması gerektiğini savundu:

:4 \pi \, \left( T_{\rm grav} \right)_{ab} = \phi_{,a} \, \phi_{,b} - 1/2 \, \eta_{ab} \, \phi_{,m} \, \phi^{,m} 

Daha sonra, Nordstrom ikinci teoride yerçekimi alanının stres enerji tensörü için bir ifade elde etti

Bununla birlikte gösterdi ki  çekim alanı enerjisinden  ve maddeden olan stres enerji tansörünün katkıları toplamı korunmuş olmalıdır.
Dahası, gösterdi kl, Nordstrom ikinci teoreminin alan denklemi Lagrangian'ınkini izler:

: L = \frac{1}{8 \pi} \, \eta^{ab} \, \phi_{,a} \, \phi_{,b} - \rho \, \phi

ortam çekim alanında Test parçacıkları için Nordstrom denklemi de Lagrange hareket denklemini  izler.Bu durum Nordstrom ikinci teorisinde bir eylem prensibi elde edilebileceğini gösterdi. Ayrıca kendi içinde tutarlı bir alan teorisi talebi için diğer özelliklerin de tutarlı olduğunu kanıtlamış oldu.

Bu arada, yetenekli bir Hollandalı öğrenci, Adriaan Fokker doktora yazmıştı ve o şimdi Fokker-Planck denklemi diye bilinen denklemi türetmişti. Eski öğrencisinin başarısı Lorentzi memnun etti ve Fokkerı doktora sonrası Prag'da Einstein ile çalışmak için davet etti.Einstein ve Fokker test parçacıkların hareketinde Nordstrom denklemi için Lagrange gözlemleyerek  L = \phi^2 \, \eta_{ab} \, \dot{u}^a \, \dot{u}^b, metrik tensör g_{ab} = \phi^2 \, \eta_{ab}  ile kavisli bir Lorentz manifoldu için jeodezik Lagrange tanımını buldular. Kartezyen hat elemanlarını da buraya kabul edersek,d\sigma^2 = \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b &nbsp;, düzlemsel arka planda dalga operatörüne \Box tekabül eder. Minkowski uzay zamanı, eğri uzay-zamanın çizgi unsurudur ve ds^2 = \phi^2 \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b  ifade edilir. o zaman bu kavisli uzay-zamanın Ricci skaler sadece bir: :R = -\frac{6 \, \Box \phi}{\phi^3} 

Bu nedenle, Nordstrom saha denklemi basitçe şu şekli alır:

: R = 24 \pi \, T

Eşitliğin sağ tarafında, sistem enerji stres tensörünü kullanırız. Bu bir tarihi sonuçtur, çünkü sol tarafı yalnızca geometrik bir değer olan ilk alan denklemidir. Einstein neşeyle, bu denklem şimdiki hali önceki Von Laue ya teklif etmiş şeklini alması noktasına dikkat çekti.

## Nordstrom teorisinin özellikleri

Einstein, sadeliği açısından Nordstrom'un ikinci teorisine dikkat çekti. Nordstrom teorisine göre vakum alan denklemleri;

: R = 0, \; \; \; C_{abcd} = 0 

Biz hemen Nordstrom teorisine genel vakum çözümü yazabiliriz:

: ds^2 = \exp (2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b, \; \; \; \Box \psi = 0

Burada, &nbsp;\phi = \exp(\psi) ve d\sigma^2 = \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b herhangi bir uygun koordinat grafikte düz uzay  unsurlarıdır. Ve  düzlem dalga operatörünü temsil eder. Ama sıradan üç boyutlu dalga denkleminin genel çözümü de bilinmektedir  ve oldukça açık bir formda ifade edilebilir. Bir kuvvet serileri açısından genel bir çözüm yazabiliriz ve elektromanyetizmadan tanıdığımız Lienard-Wiechert potansiyelleri ile, Cauchy sorunları için de genel çözüme kavuşuruz.

Nordstrım'da alan denklemlerinin herhangi bir çözümünde, eğer uzay-zamanı konformal pertürasyon  olarak düşünürsek, : ds^2 = \exp(2 \, \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b \approx (1 + 2 \psi) \, \eta_{ab} \, dx^a \, dx^b olduğunu görürüz.

Böylece, zayıf alan yaklaşımında, newton'un çekimsel potansiyeli ile &nbsp;\psi tanımlayabiliriz.
Bu arada, gerçek bir Elektrovakum karışımı için i stres enerji tensörü izi kaybolması tensörün bir elektrovakum çözeltisi içinde olduğunu gösterir. Metrik tensör vakumlu bir çözeltisi ile aynı biçime sahiptir, böylece aşağı yazmak ve kavisli uzay-Maxwell alan denklemleri çözmek gerekir sadece. Ancak bu, konformal değişmez, bu yüzden de genel elektrikli vakum çözümü yazabiliriz.
Herhangi bir Lorentz manifoldunda, hangi Nordstrım'da alan denklemlerinin bir çözüm olarak duruyor ise Riemann tensörün konformal parçası her zaman kaybolur. Ricci Skalar da herhangi bir vakum bölgesinde aynı şekilde  kayboluyor. Nordstrom teorisine Riemann tensörü üzerinde başka kısıtlamaları da var mıdır?
öğrenmek için, manifoldlar teorisi ile önemli bir kimlik kazanan, Ricci ayrışmasını da unutmayınız, Bu ayrışma Riemann tensörünü üç parçaya böler: &nbsp;Ricci scalar, the&nbsp;trace-free Ricci tensorü

:S_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{4} \, R \, g_{ab} 

and the&nbsp;Weyl tensorüdür..&nbsp;Bu işlemden sonra da cebirsel ilişkiler bakımından Nordstrom'un teorisini takip eder. Ancak, iki kez sözleşmeli ve geri Bianchi kimliği dikkate alarak, herhangi bir (yarı) -Riemannian manifoldunda Riemann tensörü için de geçerlidir, bir diferansiyel kimliği Nordstrom'un teorisinde görmekteyiz.

: - \sqrt{\frac{m^2}{r^4} + \frac{m}{r^3}} \approx -\frac{1}{2} \sqrt{ \frac{m^3}{r^5}} 

bu nedenle periastrion lag per yörüngesi:

: \Delta \phi = 2 \pi \, \Delta \omega \approx -\pi \, \sqrt{\frac{m^3}{r^5}}

ve birinci dereceden m için, eliptik yörüngenin uzun ekseni

:\frac{ \Delta \phi}{\omega_{\rm orb}} \approx -\frac{\pi m}{r}

hızında hareket eder.

Bu da genel görelilikteki Schwarzschild vakum çözümü ile karşılaştırılabilir.

:\frac{ \Delta \phi}{\omega_{\rm orb}} \approx \frac{6 \pi m}{r}

Bu nedenle Nordstrom kuramında, eğer eliptik yörüngeler saat yönünün tersine çevrildiğinde, uzun eksek neredeyse saat yönünde döner, oysa genel görelilik kuramına göre altı kat daha hızlı olacak şekilde saat yönünün tersine döner. İlk durumda periastrion lag dan söz edebiliriz ancak ikinci de gelişmiş periastrion dan bahsederiz. Ya da teori üzerine daha çok çalışarak daha genel söylemler elde edebiliriz.

## Işık Gecikmesi

Ekvatoral düzlemdeki geodizikler denklemimizde : 0 = \frac{-dt^2 + dr^2}{(1 + m/r)^2} + r^2 \, d\phi^2 
eşitliğini sağlar.

Boş bir geodiziğin, orjine olan en yakın noktasından öncesi ve sonrası düşünüldüğünde ve mesafeler R_1, \, R, \, R_2 with R_1, \, R_2 \gg R olacak şekilde alındığında \phi den kurtulmak isteriz. Dolayısıyla
R = r \, \cos \phi olur. Bunun türevini aldığımızda ise  :0 = -r \sin \phi \, d\phi + \cos \phi \, dr 
elde ederiz. 
Bu nedenle, 
:r^2 \, d\phi^2 = \cot(\phi)^2 \, dr^2 = \frac{R^2}{r^2-R^2} \, dr^2 

Bunu çizgi elementine yerleştirdiğimizde ve dt için çözdüğümüzde ise

: dt \approx \frac{1}{\sqrt{r^2-R^2}} \; \left( r + m \, \frac{R^2}{r^2}  \right) \; dr 

Burada koordinat zamanının birinci olayının en yakın yaklaşımı 
: (\Delta t)_1 = \int_R^{R_1} dt \approx \frac{m+R_1}{R_1} \, \sqrt{R_1^2-R^2} = \sqrt{R_1^2-R^2} + m \, \sqrt{1-(R/R_1)^2} 
ve buna benzer bir şekilde

: (\Delta t)_2 = \int_R^{R_2} dt \approx \frac{m+R_2}{R_2} \, \sqrt{R_2^2-R^2} = \sqrt{R_2^2-R^2} + m \, \sqrt{1-(R/R_2)^2} 

Newton yaklaşımına göre  geçen koordinat zamanı : \sqrt{R_1^2-R^2} + \sqrt{R_2^2-R^2} olur.

Nordström  kuramına göre görelilik gecikmesi ise : \Delta t = m \, \left(  \sqrt{1-(R/R_1)^2} + \sqrt{1-(R/R_2)^2} \right)

Küçük oranlardaki birinci derece  olur ve olduğu bilindiğinden genel görelilik kuramına göre R/R_1, \; R/R_2 this is just  \Delta t = 2 m  elde edilir.

Örneğin, klasik bir deneyde, verilen herhangi bir zamanda, Dünya'dan bakıldığında, Venüs hemen Güneş'I geçmekte gibi görünürken, Dünya'dan yayılan radar ışınları Güneş ışınlarını sıyırır, Venüs'ü atlar ve Dünya'ya geri döner. Bu durumda, görelilik zaman gecikmesi Nordström kuramına göre 20 mikrosaniye iken genel göreliliğe göre 240 mikrosaniyedir.

## Özet

Yukarıda bulduklarımızı aşağıda tabloda özetlenebilir:

## Vakum çekimsel düzlemsel dalgası

Minkowski uzay zamanında ikili boş grafik için;

: ds^2 = 2 \, du \, dv + dx^2 + dy^2, \; \; \; -\infty 

dalga denkleminin basit bir çözümü

: 2 \, \psi_{uv} + \psi_{xx} + \psi_{yy} = 0 olur ve \psi = f(u) olduğunda f rastgele bir yumuşak dalgayı temsil eder.

Bu da z yönünde hareket eden bir dalgayı temsil eder. Bu nedenle Nordström kuramı tam vakum çözümünün

: ds^2 = \exp(2 f(u)) \; \left( 2 \, du \, dv + dx^2 + dy^2 \right), \; \; \; -\infty  olduğunu kabul eder.

Lorentz manifoldu kabul eder ki izometrinin altı boyutlu Lie öbeği veya öldürücü vektör alanları altı boyutlu lie cebiri

: \partial_v  ( dalga vektörü \partial_u) dik olan boş çeviri)
:\partial_x, \; \; \partial_y  (dalga cephesine dik olan uzaysal çeviri)
: -y \, \partial_x + x \, \partial_y (yayılma yönüne paralel dönme ekseni)
:x \, \partial_v + u \, \partial_x, \; \; y \, \partial_v + u \, \partial_y

Örneğin, x \, \partial_v + u \, \partial_x olduğu  killing vector alanında  eş ölçümlü parametreler ailesinde aşağıdaki şekilde birleşir:

:(u,v,x,y) \longrightarrow (u, \; v+ x \, \lambda + \frac{u}{2} \, \lambda^2, \; x + u \, \lambda, \; y)

Genel görelilik de olduğu gibi, denklemi bozmadan koordinatları değiştimek mümkündür. Böylece dalga, ye çapraz olarak herhangi  bir yönde yayılabilir. Hiper yüzeylerimiz üzerinde eşölüçümlü grubun olduğunu not etmekte fayda var. Buna karşın, genel görelilik de beş- boyutlu Lie grup eşölçümleri bulunmaktadır. Bunun hakkında aşağıda daha fazla açıklama yaplıcaktır.

Alanda ayarlama yaparsak:

: \vec{e}_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \, \left( \partial_v + \exp(-2f) \, \partial_u \right) 
: \vec{e}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \, \left( \partial_v - \exp(-2f) \, \partial_u \right) 
: \vec{e}_2 = \partial_x 
: \vec{e}_3 = \partial_y 

test parçacıklarının hareketsiz (serbest düşme) olduğunu görürüz. Çünkü hızlanma vektörü :\nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = 0  şeklinde yok olmaktadır.

Burada Minkowski uzay zamanına göre, eğer hızlanma vektörü yok olursa, ailenin ortak hareketsiz test parçacıklarına dönüşeceğini not etmekte fayda var. Zaman benzeri jeodezik dünya çizgilerinin uyumu, zaman benzeri birim vektör alanı \vec{X} = \vec{e}_0 integrali alınarak,

: \theta[\vec{X}]_{\hat{p} \hat{q}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \, f'(u) \, \exp (-2 \, f(u)) \, {\rm diag} (0,1,1) 

şeklinde elde edilir.

Bu da tam olarak enine dalga için spin-0 olarak bekleyeceğimiz bir şeydir. Test parçacıklarının benzer ailelerin davranışları genel görelilik kuramına göre oldukça farklıdır çünkü  bunlar spin-2 dalgalarıdır. Bu durum ise Nordström yerçekimi kuramının skaler, Einstein'in teorisinin ise tensör teori olmasından kaynaklanır. 
Diğer yandan, her iki teroride de yerçekimsel dalgalar çapraz dalgalardır. Elektromanyetik dalgaların tabii ki çapraz olması beklenmektedir. Dalga tensörü:

:E[\vec{X}]_{\hat{p}\hat{q}} = \frac{1}{2} \, \exp (-4 \, f(u)) \; \left ( f'(u) ^2 - f''(u) \right) \, {\rm diag} (0,1,1) 

şeklinde bulunur ve bu Nordström kuramına göre spin-0 özelliği sergiler.

Burada açıkladığımız kesin çözüm, düz yayılan yerçekimsel dalga olarak yorumladığımız dalga, Nordström kuramına göre yayılan yerçekimsel radyasyon hakkında bazı bilgiler vermektedir, öte yandan bu radyasyonun oluşuma dair bir bilgi vermemektedir. Bu noktada, doğal genel görelilik teorisinde doğrusallaştırılmış yerçekimi dalga standardının kütleçekim Nordstrom teorisine karşı tartışmak örneksel olacaktır. Ancak bu noktada bunu yapmayacağız.