Michaelis-Menten kinetiği

Biyokimyada **Michaelis–Menten kinetiği**, enzim kinetiğinin en basit ve en iyi modellerinden biridir. Alman biyokimyacı Leonor Michaelis ve Kanadalı hekim Maud Menten'e atfen adlandırılmıştır. Bu model, enzim reaksiyon hızını betimleyen bir denklem şeklindedir, reaksiyon hızı V, bir substrat S'nin konsantrasyonu cinsinden ifade edilir:

: v = \frac{ V_\max [S]}{K_m + [S]}. 

Burada, V_\max sistemden elde edilebilecek en yüksek reaksiyon hızıdır, enzimi doyurucu substrat konsantrasyonunda bu hıza ulaşılır. Michaelis sabiti K_m, reaksiyon hızının V_\max'ın yarısı olduğu substrat konsantrasyonudur. Genelde tek substratlı biyokimya reaksiyonlarının Michaelis–Menten kinetiğine uyduğu varsayılır, modelin varsayımlarına bakılmadan.

## Model

1903'te Fransız fizikokimyacısı Victor Henri, enzim reaksiyonların enzim ile substrat arasında bir bağ oluşması ile başladığını keşfetti. Onun bu çalışması, en basit enzimatik reaksiyon mekanizmalarından birinin kinetiği'ni çalışan Amerikalı biyokimyacı Leonor Michaelis ve Kanadali hekim Maud Menten tarafından devam ettirildi. Bu iki araştırmacı, invertaz tarafından sükrozun glukoz ve fruktoza dönüştüğü hidroliz reaksiyonunu inceliyordu. 1913'te bu reaksiyon için bir matematik model önerdiler. Modelde bir E enzimi bir S subtratına bağlanıp bir enzim-substrat kompleksi oluşturmakta, bu da enzim artı bir P ürününe dönüştürülmekteydi. Şematik olarak bu dönüşüm şöyle gösterilebilir:

: 
E + S \, \overset{k_f}\underset{k_r} \rightleftharpoons \, ES \, \overset{k_{cat}} {\longrightarrow} \, E + P


burada k_f, k_r ve k_{cat}  hız sabitleridir, S ve ES arasındaki çifte oklar enzim-substrat bağlanmasının tersinir olduğunu belirtir.

Bazı varsayımlar ile – enzim konsantrasyonun substrat konsantrasyonundan çok daha düşük olması gibi - ürün oluşum hızı şu denklemle gösterilebilir:

:v = V_\max \frac{[S]}{K_m + [S]} = k_\text{cat} [E]_0 \frac{[S]}{K_m + [S]}.

Reaksiyon hızı [S] ile birlikte artar, asimptotik olarak maksimum hız V_\max'a yaklaşır (V_\max'da tüm enzim molekülleri substrata bağlıdır). Dolayısıyla V_\max = k_\text{cat} [E]_0, burada [E]_0 enzim konsantrasyonudur. k_{cat} bir enzim molekülü tarafından bir saniyede substrata dönüştürülen maksimum substrat molekül sayısıdır; dönüşüm sayısı (veya etkinlik sayısı veya *turnover* sayısı) olarak adlandırılır.

Michaelis sabiti K_m reaksiyon hızının yarı-maksimum olduğu substrat konsantrasyonudur ve substratın enzime bağlanma afinitesinin (ilgisinin) bir ölçüsü sayılır. Küçük bir K_m yüksek bir afinite olduğuna işaret eder, yani reaksiyon hızı V_\max'a daha çabuk ulaşır.

## Uygulamalar

Parametreler enzimden enzime büyük farklılık gösterebilir:

k_\text{cat}/K_m sabiti enzimin substratı ürüne dönüştürmekte ne kadar verimli olduğunun bir göstergesidir. Teorik üst sınırı {nowrap|108 – 1010 /M.s}} 'dır; bu değere yakın olan fumaraz gibi enzimler için "süper verimli" terimi kullanılır.

Bu model, enzim-substrat etkileşimi dışında çeşitli biyokimyasal durumlar için de kullanılır, antijen-antikor bağlanması, DNA-DNA hibridizasyonu ve protein-protein etkileşimi gibi. Jenerik bir biyokimyasal bir reaksiyonun karakterizasyonu için de kullanılabilir, Langmuir denkleminin biyomoleküler molekül adsorpsiyonu jenerik olarak modellemek için kullanılması gibi. Michaelis-Menten kinetiği biyokimyasal reaksiyonlar dışında çeşitli alanlarda da kullanılmıştır, akciğer alveollerinden toz giderilmesi, popülasyonlarda biyolojik tür sayısının zenginliği, kan alkolünün giderilmesi, ve bakteriyel faj enfeksiyonu gibi.

## Türetme
Kütle etkisi kanunu, bir reaksiyon hızının reaktanların konsantrasyonların çarpımı ile orantılı olduğunu belirtir. Bu kanun uygulanarak reaktanların miktarındaki t zamanına bağlı değişimi ifade eden dört doğrusal olmayan adi diferansiyel denklem elde edilir:

:
\begin{array}{ccccc}
d [S] / d t & = & - k_f [E] [S] & + k_r [ES] & \\
d [E] / d t & = & - k_f [E] [S] & + k_r [ES] & + k_{cat} [ES] \\
d [ES] / d t & = & + k_f [E] [S] & - k_r [ES] & - k_{cat} [ES] \\
d [P] / d t & = & & & + k_{cat} [ES] \\
\end{array}


Bu mekanizmada E enzimi, sadece reaksiyonu kolaylaştıran bir katalizördür, dolayısıyla onun serbest ve bağlı halleri için toplam konsantrasyonu, [E] + [ES] = [E]_0, bir sabittir. Bu koruma yasası yukarıdaki ikinci ve üçüncü denklemlerin toplanmasıyla da elde edilebilir.

### Hızlı denge yaklaşımı
Orijinal analizlerinde Michaelis ve Menten, substrat ile kompleksin kimyasal denge içinde olduklarını ve dolayısıyla k_f [E] [S] = k_r [ES] olduğunu varsaymışlardır. Bu eşitlik ile enzim korunum kanunu birleştirilirse, kompleksin konsantrasyonu şuna eşittir:

:[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_d + [S]}

BuradaK_d = k_r / k_f enzim-substrat kompleksinin ayrışma sabitidir. Dolayısıyla, reaksiyonun v hızı, yani P ürününün oluşum hızı şudur:

:v = d [P]/d t = \frac{V_\max [S]}{K_d + [S]}

Burada V_\max = k_{cat} [E]_0 maksimum reaksiyon hızıdır.

### Sürekli hal yaklaşımı
Sistemin alternatif bir analizi Britanyalı botanikçi G. E. Briggs ve Britanyalı genetikçi J. B. S. Haldane tarafından 1925'te yapıldı. Bu araştırmacılar, ürünün oluştuğu zaman ölçeğinde, ara ürün kompleksinin konsantrasyonunun değişmediğini varsaydılar; bu varsayım, "kararlı hâlimsilik varsayımı" (veya "kararlı hâl benzerliği varsayımı"; İng. *quasi-steady-state assumption*) veya "sahte kararlı hâl hipotezi" (*pseudo-steady-state-hypothesis*) olarak adlandırılır. Matematiksel olarak, bu varsayım k_f [E] [S] = k_r [ES] + k_{cat} [ES]  anlamına gelir. Bu eşitlik ile enzim korunum kanun birleştirilince, ES kompleksin konsantrasyonu şudur:

:[ES] = \frac{[E]_0 [S]}{K_m + [S]}

Burada

:K_m = \frac{k_r + k_{cat}}{k_f} ,

Michaelis sabiti olarak bilinir. Dolayısıyla reaksiyon hızı v için şu sonuç çıkar:

:v = d [P]/d t = \frac{V_\max [S]}{K_m + [S]}.

### Varsayımlar ve sınırlamalar

Denklemin türetmesindeki ilk adım, kütle etkisi kanununu kullanır ki bu serbest difüzyona dayalıdır. Oysa, canlı bir hücrenin içinde yüksek bir protein konsantrasyonu vardır, sitoplazma sıvıdan çok bir jel gibi davranır, bu yüzden molekül hareketleri sınırlıdır ve reaksiyon hızları bundan etkilenir. Kütle etkisi kanunu heterojen ortamlar için geçerli olsa da, sitoplazmanın sınırlı hareket kinetiği özelliğinin bir fraktal olarak modellenmesi daha uygun bulunmuştur.

İki yaklaşımla elde edilen reaksiyon hızı denklemleri benzerdir, aradaki fark, denge yaklaştırmasındaki sabitin K_d olarak tanımlanması, kararlı hâlimsilik yaklaştırmasının ise K_m'yi kullanmasıdır. Ancak, bu iki yaklaşım farklı varsayımlara dayandırılmıştır. Michaelis-Menten denge analizinin doğru olması için substratın dengeye yaklaşma hızının ürün oluşumundan çok daha hızlı olması gerekir veya daha kesin olarak,

:\epsilon_d = \frac{k_{cat}}{k_r} \ll 1

teriminin küçük olması gerekir. Buna karşın, Briggs-Haldane kararlı hâlimsilik analizinin doğru olması için

:\epsilon_m = \frac{[E]_0}{[S]_0 + K_m} \ll 1

teriminin küçük olması gerekmektedir. Dolayısıyla, onun geçerli olması için enzim konsantrasyonu substratınkinden çok daha az olmalıdır. Bu şart sağlanmasa dahi, eğer K_m büyükse bu  yaklaştırma geçerlidir.

Hem Michaelis-Menten hem Briggs-Haldane analizinde, \epsilon\,\! küçüldükçe yaklaştırmanın kalitesi iyileşir. Ancak, enzim reaksiyonlarının modellemesinde, varsayımlar gözden geçirilmeden genelde Michaelis-Menten kinetiğinin kullanılma eğilimi vardır.

## Sabitlerin belirlenmesi
V_\max ve K_m sabitlerinin belirlenmesi için tipik yöntem, farklı substrat konsantrasyonlarında ([S]) bir seri enzim ölçümü yapılması ve reaksiyon ilk hızının v_0 ölçülmesidir. Burada 'ilk' teriminden kasıt, reaksiyon hızının başlangıçtan sonraki nispeten kısa bir süre içinde ölçülmesidir, bu süre zarfında enzim-substrat kompleksinin oluşmuş olduğu ama, substrat konsantrasyonun yaklaşık sabit olduğu ve dolayısıyla denge veya kararlı hâlimsilik yaklaştırmasının geçerli olduğu varsayılır. Reaksiyon hızını konsantrasyona göre grafikleyince ve Michaelis-Menten denklemi ile doğrusal olmayan regresyon yaparak, parametreler elde edilebilir.

Doğrusal olmayan regresyon yapmak için, eskiden bilgisayarlar mevcut değilken, denklemin doğrusallaştırılmasını sağlayan grafik yöntemler kullanılırdı: Eadie–Hofstee çizimi, Hanes–Woolf grafiği ve Lineweaver–Burk grafiği bunlardan bazılarıdır; Hanes–Woolf grafiği en hatasızıdır. Ancak, görselleştirme için faydalı olsalar da, her üç yöntem de verilerdeki hata dağılımını bozduğu için, doğrusal olmayan regresyonla sabitlerin bulunması kadar sağlıklı değildir. Buna rağmen, modern literatürde bu grafik yöntemler hâlâ kullanılmaktadır.

## Uzantılar

Michaelis ve Menten, tek substratlı ve tersinmez ürün oluşumlu basit reaksiyonların kinetiğini incelediler. Bu teori daha sonra genişletilmiştir, kararlı hâlimsilik yaklaştırmasını daha karmaşık sistemler için de uygulayarak. Bazı örnekler aşağıda verilmiştir.

### Yarışmalı inhibisyon
Bir bileşik, enzimin substrat bağlanma yerine bağlanıp enzimin reaksiyonu katalizlemesini engellerse, yarışmalı inhibisyon meydana gelir. Bu durumda inhibitör sistemin K_m'sini değiştirir, reaksiyon hızı şu şekilde değişir:

:v = k_\text{cat} [E]_0 \frac{[S]}{K_m^\text{app} + [S]}

burada

: K_m^\text{app} = K_m \left( 1 + \frac{[I]}{K_I} \right)

görünür K_m'dir, *I* inhibitör bileşiktir, K_I de onun ayrışma sabitidir.

### Yarışmasız inhibisyon
Bir bileşik, enzim üzerinde substrat bağlanma yerinden farklı bir yere bağlanıp k_\text{cat} değerini değiştirirse, yarışmasız inhibisyon meydana gelir. Reaksiyon hızı şöyle değişir:

:v = k_\text{cat}^\text{app} [E]_0 \frac{[S]}{K_m + [S]}

burada

: k_\text{cat}^\text{app} = k_\text{cat} \frac{K_I}{K_I + [I]}.

## Kaynakça