Özdeğer ayrışımı

Lineer cebirde, **özdeğer ayrışımı** ya da **eigen ayrışımı**, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

## Tanım

 adet doğrusal olarak bağımsız  () özvektörleri olan  boyutlu  kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:
:\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1}  
Burada ,  numaralı sütunu 'nın   özvektörü olan  boyutlu kare matristir.  ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler () olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin, \left[ \begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right] ayrıştırılamaz.

Özvektörler  genellikle normaldir, ama bazen 'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş  adet  özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki  ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.

Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:
:\begin{align}
\mathbf{A} \mathbf{v} &= \lambda \mathbf{v} \\
\mathbf{A} \mathbf{Q} &= \mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \\
\mathbf{A} &= \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}\mathbf{Q}^{-1} .
\end{align}

### Örnek

2 × 2 boyutlu  matrisi
:\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix}
tekil olmayan  matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.
:\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2\times2}.


Herhangi bir köşegen matrisi C=\left[ \begin{smallmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{smallmatrix} \right] için, \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{C} özdeşliği:

: \begin{bmatrix}
    a & b \\
    c & d 
  \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    1 & 3
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    a & b \\
    c & d
  \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
    x & 0 \\
    0 & y
  \end{bmatrix},


İki taraf da  ile çarpılırsa:

: \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}.

Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır:

:  \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ cx \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} by \\ dy \end{bmatrix} \end{cases} .

Özdeğerler  ve  ayrıştırılır:
:  \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} = y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \end{cases} 

Vektörleri isimlendirirsek:
:\overrightarrow{a} = \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}, \quad \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix},
iki vektör denklemi elde ederiz:

:  \begin{cases} A \overrightarrow{a} = x \overrightarrow{a} \\ A \overrightarrow{b} = y \overrightarrow{b} \end{cases}

İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:
: \mathbf{A} \mathbf{u} = \lambda \mathbf{u}

burada  iki özdeğeri (, ),  ise iki vektörü (, ) içerir.

'u sola kaydırıp 'yu ayırırsak:

:(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \mathbf{u} = \mathbf{0}

 tekil olmadığı için  sıfırdan büyüktür. Yani,
: \det(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0

Böylece,
: (1- \lambda)(3 - \lambda) = 0

 matrisinin özdeğerlerini verir (, ). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi \left[ \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{smallmatrix} \right] olur.

Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek
:  \begin{cases} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} = 3\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix} \end{cases} 

ve bu denklemi çözersek:
:a = -2c \quad\text{and} \quad b = 0, \qquad c,d \in \mathbb{R}.

'yi buluruz
:\mathbf{B} = \begin{bmatrix} -2c & 0 \\ c & d \end{bmatrix},\qquad c, d\in \mathbb{R}, 
ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:
: \begin{bmatrix}
-2c & 0 \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2c & 0 \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix},\qquad c, d\in \mathbb{R}

## Kaynakça