Merkezsel moment

Olasılık kuramı ve istatistik bilimsel dallarında bir reel-değerli rassal değişken için *k*-ıncı ortalama etrafındaki moment, E beklenen değer operatörü olursa 
: μ*k* := E[(*X* - E[*X*])*k*]
miktarı olarak tanımlanır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu *f*(*x*) olan bir sürekli tekdeğişirli olasılık dağılımı için ortalama μ etrafındaki moment şöyle ifade edilir:

:
\mu_k
= \left\langle ( X - \langle X \rangle )^k \right\rangle
= \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^k f(x)\,dx.


Fizikçiler kullandıkları notasyonda burada verilen E(*X*) (*X*in beklenen değeri) yerine \langle X \rangle terimini tercih etmektedirler.

Eğer rassal değişken için bir ortalama bulunmuyorsa (örneğin Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken için) o halde merkezsel momentler de anlamsızdır.

İlk birkaç merkezsel moment için biraz sezgiye dayanan açıklamalar şöyle verilebilir:
* Birinci merkezsel moment sıfırdır.
* İkinci ortalama etrafındaki moment varyans ismini alır ve σ2 olarak ifade edilir; burada σ standart sapmayı temsil eder.
* Ortalama etrafındaki üçüncü ve dördüncü momentler standardize edilmiş momentlerin tanımlanmasında kullanılırlar ve bunlar ise ayni sırayla çarpıklık ve basıklık tanımlaması için kullanılırlar.

## Özellikleri

* *n*inci merkezsel moment çevirme operasyonu ile değiştirilemez; herhangi bir rassal değişken olan *X* için ve bir sabit olan *c* için 
:\mu_n(X+c)=\mu_n(X).\,
olur. 
* Her *n* için, *n*inci merkezsel moment *n* dereceli homojen dir; yani
:\mu_n(cX)=c^n\mu_n(X).\,
* Yalnız *n* ≤ 3 için geçerli olan bir özellik, birbirinden bağımsız olan *X* ve *Y* rassal değişkenleri için **toplanabilirlilik** özelliğidir:
:\mu_n(X+Y)=\mu_n(X)+\mu_n(Y)\ \mathrm{eger}\ n\leq 3.\,

**Kümülant** adı verilen, bir diğer fonksiyon türü de, *n*inci merkezsel momentin sahip olduğu çevirme operasyonu ile değişmeme ve homojenlik özelliklerini taşır. Fakat, merkezsel momentin aksine, bu fonksiyon türü *n* ≥ 4 olsa bile toplanabilirlilik özelliği gösterir. Bu fonksiyon türü
: κ*n*(*X*).
olarak ifade edilen *n*inci kümülantdır. 
* *n* = 1, için *n*inci kümülant, sadece beklenen değerdir. 
* *n* = ya 2 veya 3 ise, *n*inci kümülant sadece *n*inci merkezsel moment olur. 
* *n* ≥ 4 ise *n*inci kümülant ise bir ilk sifir etrafindaki *n* momentin *n*inci-derecede monotonik polinomu olurlar ve daha kolaylıkla ilk *n* merkezsel momentlerin *n* dereceli polinomları olurlar.

## Orijin etrafındaki momentlere ilişki

Bazen *orijin etrafındaki moment*leri *ortalama etrafındaki moment*lere değiştirmek daha uygun olabilir. Orijin etrafındaki *n*inci-derecede momenti ortalama etrafındaki momente değiştirmek için kullanılan genel denklem şudur:

:
\mu_n = \sum_{j=0}^n {n \choose j} (-1) ^{n-j} \mu'_j m^{n-j},


Burada *m* dağılımın ortalaması olur. Orijin etrafındaki moment şöyle verilir:

:
\mu'_j = \int_{-\infty}^{+\infty} x^j f(x)\,dx.


n=2,3,\text{ ve } 4 halleri sırasıyla varyans, çarpıklık ve basıklık
özellikleri ile ilişkili oldukları için önemlilerdir ve formülleri şöyle ifade edilir:

:\mu_2 = \mu'_2 - m^2

:\mu_3 = \mu'_3 - 3 m \mu'_2 + 2 m^3

:\mu_4 = \mu'_4 - 4 m \mu'_3 + 6 m^2 \mu'_2 - 3 m^4

## Ayrıca bakınız

* Kümülant
* Momentler
* Görüntü momenti