Klein-Gordon denklemi

**Klein-Gordon Denklemi**, (bazı kaynaklarda **Klein-Fock-Gordon Eşitliği** olarak da ifade edilir) Schrödinger denkleminin bağıl/göreli (relativistik) olan versiyonudur ve atomaltı fizikte kendi ekseni etrafında dönmeyen parçacıkları tanımlamada kullanılır. Oskar Klein ve Walter Gordon tarafından bulunmuştur.

## Matematiksel Açılım
Serbest bir parçacık için Schrödinger denklemi aşağıdaki gibidir.

:
\frac{\mathbf{p}^2}{2m} +V \psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi

burada \mathbf{p} = -i \hbar \mathbf{\nabla} momentum operatörü, \nabla ise del operatörüdür.
:Hamiltonyen işlemcisi (**Ĥ**);
:
H = \frac{\mathbf{p}^2}{2m} +V


Hamiltonyen işlemcisi, toplam enerjiyi karakterize eden ve içinde (kinetik enerjiyi + potansiyel enerjiyi) barındıran bir operatördür.

Schrödinger denklemi Einstein'ın Özel Görelilik Kuramı'nı hesaba katmadığı için özellikle atomaltı parçacık hesaplamalarında yetersiz kalır.

Özel Görelilik Kuramı'ndan enerjinin tanımını ihraç edip

:
E = \sqrt{\mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4}


sonra, bu formüle kuantum mekanik momentum operatörünü eklediğimizde,

: \sqrt{(-i\hbar\mathbf{\nabla})^2 c^2 + m^2 c^4} \psi= i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi. 

sonucunu alırız. Ancak bu eşitlik karekökten dolayı gayrilokal ve düzensiz bir yapıdadır ve bu yüzden Klein ve Gordon eşitliğin daha objektif bir versiyonunu tümdengelmişlerdir.

:
(\Box^2 + \mu^2) \psi = 0,


burada

: \mu = \frac{mc}{\hbar} \,

ve

: \Box^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2\, olur.

Bu yeni operatöre d'Alembert operatörü denir ve günümüzde skaler *(sıfır rotasyonlu)* parçacıklar için alan denklemi olarak kullanılmaktadır.

## Göreli serbest parçacık çözümü

Serbest bir parçacığın Klein-Gordon denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.

:
\mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\psi
= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi


Yukarıdaki ifadenin göreli olmayan versiyonu ise bu şekilde ifade edilebilir:

:
\psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}


Ancak elbette bu durumda,

:
-k^2+\frac{\omega^2}{c^2}=\frac{m^2c^2}{\hbar^2}.


engeli oluşacaktır. Göreli olmayan parçacıklarda olduğu gibi, aynı ifadenin enerji ve momentum için olan versiyonları,

:
\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \psi |-i\hbar\mathbf{\nabla}|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k},


ve

:
\langle E\rangle=\langle \psi |i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega.


şeklinde formüle edilir. Bu noktada eşitliği **k** ve **ω** bilinmeyenleri için çözüp yukarıda değindiğimiz engel denklemine ihraç ettiğimizde *m*>0 kütleli parçacıkların enerji ve momentum değerleri arasındaki bağlantıyı formüle etmiş oluruz.

:\left.\right.
\langle E \rangle^2=m^2c^4+\langle \mathbf{p} \rangle^2c^2.


Kütlesiz parçacıklar için, yukarıdaki denklemde *m*`i 0 olarak alabiliriz. Bu durumda kütlesiz parçacığın enerji ve momentumu arasında,

:\left.\right.
\langle E \rangle=\langle |\mathbf{p}| \rangle c.


ilişkisine ulaşırız.

## Aksiyom
Klein-Gordon denklemi aşağıdaki aksiyom kullanılarak tümdengelinebilir.
:\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^4x \left(\frac{1}{2}\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi - \frac{1}{2}\frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \phi^2 \right)
burada \phi Klein-Gordon alanını, m ise kütleyi ifade etmektedir.

## Ayrıca bakınız
* Dirac denklemi
* Kuantum alan kuramı
* Skalar alan
* Schrödinger denklemi
* Klein-Gordon denkleminin matematiksel argümanları bu sayfada tartışılmıştı: Dispersive PDE Wiki.

## Dış bağlantılar

* 
* 
*