Apéry sabiti

**Apéry [[sabit]]i**, matematiğin gizemli sayılarından biridir. Elektrodinamik alanında elektronun jiromagnetik oranının ikinci ve üçüncü derece terimlerinin yanı sıra birçok fiziksel soruda karşılaşılan bu sabit, paydasında üstel fonksiyon barındıran integrallerin çözümünde de kullanılmaktadır. Debye modelinin iki boyut için hesaplanması buna örnek olarak gösterilebilir.
Sayı, aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır.

:\zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \cdots

Burada ζ, Riemann zeta fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu sayının yaklaşık değeri

:\zeta(3)=1.20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\;
61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots

Bu sayının çarpmaya göre tersi rastgele seçilen üç pozitif tamsayının aralarında asal olma olasılığına eşittir.

## Apéry teoremi

Bu sabit, onun bir irrasyonel sayı olduğunu 1978 yılında kanıtlayan Roger Apéry (1916–1994)'ye atfedilmiştir. Bu sonuç, *[[Apéry teoremi]]* olarak adlandırılır. Özgün ispatın karmaşık yapısından ötürü anlaşılamaması Legendre polinomlarını kullanan ispatları popüler hale getirmiştir. Apéry sabitinin bir doğaüstü sayı olup olmadığı henüz bilinmemektedir.

Wadim Zudilin ve Tanguy Rivoal'ın yürüttükleri çalışma, sonsuz çoklukta ζ(2*n*+1) sayısının irrasyonel olduğunu göstermiştir. Ayrıca, ζ(5), ζ(7), ζ(9) ve ζ(11)'den en az birinin irrasyonel olması gerektiği bulunmuştur.

## Seri şeklinde yazılışı
Leonhard Euler  1772 yılında bu sayıyı seri şeklinde ifade etmiştir :

:\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7}
\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]

Bu ifade birçok kez yeniden bulunmuştur.

Simon Plouffe her uygulamada farklı doğruluk derecesine sahip birçok seri önermiştir. Bunlar, :

:\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}

ve

:\zeta(3)= 14 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)}
-\frac{11}{2}
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)}
-\frac{7}{2} 
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)}.


ifadeleridir.

\zeta(2n+1)'in farklı değerleri için geçerli eşitlikler zeta sabitleri maddesinde bulunmaktadır.

Bulunan diğer seri ifadeleri şunlardır:

:\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}

:\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}

:\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k!)^2}{k^3 (2k)!}

:\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}
\frac{56k^2-32k+5}{(2k-1)^2} \frac{((k-1)!)^3}{(3k)!}

:\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\,
    \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \,
    {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{((2k+1)!)^5}

ve

:\zeta(3) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{P(k)}{24}
\frac{((2k+1)!(2k)!k!)^3}{(3k+2)!((4k+3)!)^3}

Burada,

:P(k) = 126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463.\,

Bu ifadelerden bazıları Apéry sabitinin birkaç milyon basamağa kadar hesaplanmasında kullanılmıştır.

'ün sağladığı seri açılımı ikili sayı sisteminde çalışmaktadır. Bu, sabitin doğrusal zamanda hesaplanabilmesine olanak tanımaktadır.

## Diğer formüller
Apéry sabiti ikinci dereceden bir poligamma fonksiyonu ile de ifade edilebilmektedir.

:\zeta(3) = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1).

## Bilinen basamakları
Apéry sabitinin bilinen basamak sayısı son yıllarda büyük bir artış göstermiştir. Bu, bilgisayarların gelişen başarımı ve daha verimli algoritmaların üretilmiş olmasının bir sonucudur.

## Kaynakça

## Konuyla ilgili yayınlar
* .
* .
* .
* .
* 
* .
* 
* 
* 
*