Temel grup

**Temel grup**, Henri Poincaré'nin 1895'te yayınladığı "*Analysis Situs"* adlı makalesinde tanımlanmıştır. Kavram, Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein'ın çalışmalarıyla Riemann yüzeyleri teorisinden ortaya çıkmıştır. Karmaşık değerli fonksiyonların monodromik özelliklerini açıkladığı gibi kapalı yüzeylerin tam bir topolojik sınıflandırılmasını sağlar.

## Yollar ve Homotopiler
Bu bölümde topolojik uzayları ele alacağız. Yolların tanımında kullanacağımız \ I  aralığı \ [0, 1]  kapalı aralığı olacaktır. Son olarak, başlangıç noktası \ p  ve bitiş noktası \ q  olan yollara \ p  'den \ q  'ya giden yollar diyeceğiz.

### Yol
Bir \ X  uzayı alalım. Bir \alpha \colon [0, 1] \to X sürekli fonksiyonuna \ X  uzayında bir **yol** denir. Böyle bir \alpha  yolu için \alpha(0)  noktası **başlangıç noktası** ve \alpha(1)   noktası **bitiş noktası** olarak adlandırılır.

\ x,y \in X  olsun. Başlangıç ile bitiş noktaları sırasıyla \ x  ve \ y  olan ve \ I = [0,1] 'den \ X  uzayına giden bütün yolların kümesi  \ \mathbf{P}(x,y)=\{f\colon[0,1]\to X | f(0)=x, f(1)=y\}   olarak tanımlanır.

#### Örnekler

İlk örnek olarak, \ X= [0,1]  uzayında bir \ f \colon [0, 1] \to X  fonksiyonunu \ f(x) =x^2   olarak tanımlayalım. \ X=  \R^2 uzayındaki yollar genellikle  \varphi \colon [0, 1] \to  \R^2,\ t \to (x(t),y(t))  fonksiyonu ile temsil edilir. Burada \ x(t)  ve \ y(t)  sürekli fonksiyonlardır. Şimdi bir \varphi \colon [0, 1] \to  \R^2 yolunu \varphi(t)=(t,t^2) şeklinde tanımlayalım. Bu durumda

• \varphi(0) = (0,0) noktası, başlangıç noktası ve

• \varphi(1) = (1,1) bitiş noktasıdır.

Ayrıca \ [0,1]  üzerindeki oryantasyonun, \varphi fonksiyonunun görüntüsünün yönlendirmesini içerdiğinin de altını çizelim.

Diğer bir örnek olarak da bir \ g \colon [-1, 1] \to [-1,1]  fonksiyonunu ele alalım ve \ g(x) =x^3  olsun.

\ g  fonksiyonunun grafiği \ X  uzayı olmak üzere bu uzaydaki yollara bakalım. Bir \beta_1 \colon I \to X  fonksiyonunu \beta_1 (t)=(t,t^3)  olarak tanımlayalım.

\beta_1 (0)=(0,0) , \beta_1 (1) = (1,1)  olduğunu görüyoruz. \beta_1 'in bileşenleri olan t ve t^3, I üzerinde sürekli birer fonksiyon olduğundan \beta_1'in y=x^3fonksiyonu için bir yol olduğunu söyleyebiliriz.

Şimdi \varphi_1 \colon [-1, 1] \to  \R^2 fonksiyonunu ele alalım, öyle ki \varphi_1 (t)=(t,t^3)  olsun.

\varphi_1, bir yol değildir çünkü tanım kümesi I= [0,1] değildir. \varphi_1 fonksiyonunu kullanarak x^3 grafiğinin üzerinde başka bir yol bulacağız.

Bunun için, sürekli ve daima artan bir fonksiyon tanımlayalım. \ f \colon I \to [-1,1]   fonksiyonu f(t)=2t-1 olarak tanımlansın.

Sonra bileşke fonksiyonu yazalım. \varphi_1 \circ \ f(t) \colon I \to  \R^2 öyle ki \varphi_1 \circ \ f(t) =(2t-1,(2t-1)^3)  olsun.

\varphi_1 \circ \ f(0)= (-1,-1) ve \varphi_1 \circ \ f(1) =(1,1) olmaktadır.

Bu bileşke fonksiyonunun bileşenleri 2t-1 ve (2t-1)^3, I tanım aralığında sürekli fonksiyon olduklarından bu bileşke fonksiyonun sürekli olduğu sonucuna ulaşılır.

Sonuç olarak \varphi_1 \circ \ f , X uzayında bir yol olur.

#### Ters Yol

p’den q’ya giden bir \varphi \colon I \to X  yolu için, \bar \varphi  **ters yolu** \bar \varphi (t)= \varphi (1-t) olarak tanımlanır. Bu durumda \bar \varphi  yolunun başlangıç noktası q ve bitiş noktası p olur.

Örnek olarak, \varphi \colon I \to [-1,1]  yolunu \varphi (t)=2t-1 olarak tanımlayalım. Bu durumda \varphi (0)=-1  ve \varphi (1)=0  olur.

\varphi üzerindeki oryantasyonu ters çevirirsek, \bar \varphi \colon I \to [-1,1]  olarak tanımlı \bar \varphi (t)= \varphi(1-t) olan ters yolunu elde ederiz (Şekil 3).

\bar \varphi (0)= \varphi(1)=1 ve \bar \varphi (1)= -1, \varphi(0)=-1, \varphi(1)=1 olduğunu not edelim.

Birim çember üzerinde yol örneğini inceleyelim;

S^1 birim çember olmak üzere, \varphi \colon I \to S^1 \subset \Complex  fonksiyonunu \varphi (t)=  e^{2i \pi} = \cos 2 \pi t + i\sin 2 \pi t olarak tanımlayalım.

Bu fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır:

•\varphi süreklidir, çünkü üstel fonksiyonun sürekli olduğunu biliyoruz.

•\varphi (0)=1, \varphi \bigg(\frac{1}{4}\bigg)=i, \varphi \bigg(\frac{1}{2}\bigg)=-1, \varphi \bigg(\frac{3}{4}\bigg)=-i, \varphi (1)=1.

Bu nedenle,\varphi birim çember üzerindeki pozitif yönlü bir yoldur (Şekil 4).

Birim küre üzerinde yol örneğinde ise, R^3 üzerindeki birim küreyi ele alalım:  S^2 = \left\{(x, y, z) \in \R^3 \mid x^2 + y^2 + z^2 = 1\right\}.

\varphi \colon [0,1] \to S^2 \subset \R^3  fonksiyonunu \varphi (t)=   ( \cos \pi t , \sin \pi t , 0 )  şeklinde tanımlayalım. Bu şekilde tanımlı \varphi  fonksiyonu bariz bir şekilde süreklidir çünkü kosinüs ve sinüs fonksiyonları süreklidir.

Sonuç olarak, \varphi (0)=(1,0,0), \varphi \bigg(\frac{1}{2}\bigg)=(0,1,0)  ve \varphi (1) = (-1,0,0)  olur. Bu yüzden, \varphi  fonksiyonu S^2 üzerinde bir yoldur ve oryantasyonu Şekil 5’teki gibidir.
Dosya:Temelgrupdorduncuornek.png|Şekil 5
Dosya:Temelgrupbesinciornek.png|Şekil 6
 
Diğer yandan, \beta \colon I \to S^2 \subset \R^3 , \beta (t)=   ( 0 , \sin \pi 2t , \cos \pi 2t )  biçiminde tanımlı olan fonksiyon süreklidir ve \beta (0)=(0,0,1), \beta (1)=(0,1,0)  olduğundan \beta fonksiyonu S^2 üzerinde başka bir yola örnektir (Şekil 6).

### Homeomorfizma
Herhangi  X  ve  Y  topolojik uzayları arasında bir **[[homeomorfizma]],** \ f \colon X \to Y  birebir ve örten bir fonksiyon şeklinde tanımlanır;  f  ve \ f^{-1} \colon Y \to X  sürekli fonksiyonlardır.

#### Tanım

 I 'dan I'ya giden daima artan homeomorfizmaların kümesi şu şekilde tanımlanır:**<math> \operatorname{Homeo}^+ (I, I)= \left\{ f \colon I \to I \mid f\ \text{daima artan ve homeomorfizma} \right\}</math>.**

#### Önermeler
*  \operatorname{Homeo}^+ (I, I) kümesi fonksiyon bileşkesi  \circ   altında bir gruptur.

Kanıtı için, önce  \operatorname{Homeo}^+ (I, I) kümesinin  \circ  işlemi altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi  f, g \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I) seçelim.  f \circ g \colon I \to I \in\operatorname{Homeo}^+ (I, I) olduğunu göstereceğiz.

 f , daima artan ve sürekli bir fonksiyon olup tersi de süreklidir. Aynı şekilde g için de aynı özellikler sağlanır. İki artan fonksiyonun bileşkesi de artan olacağından  f \circ g  fonksiyonu da artan olur.

İki sürekli fonksiyonun bileşkesi de sürekli bir fonksiyon olduğundan  f \circ g  fonksiyonu da sürekli olur.

Öte yandan,  f^{-1}  ve  g^{-1}  fonksiyonlarının sürekli olduğunu biliyoruz. O halde  (f \circ g)^{-1} =   g^{-1} \circ f^{-1}  fonksiyonu da sürekli olur. Sonuç olarak  f \circ g \colon I \to I \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I)  elde ederiz.

Şimdi ( \operatorname{Homeo}^+ (I, I) , \circ ) kümesinin grup aksiyomlarını (bileşim, birim eleman, terslenebilme) sağladığını gösterelim.

•Bileşim özelliği: Herhangi  f,g,h \in\operatorname{Homeo}^+ (I, I)  seçelim. Rastgele bir  x \in I elemanı alalım. O halde,

•  h \circ (g \circ f)(x)= h(g \circ f(x))= h(g(f(x)))  ve
•  (h \circ g) \circ f(x)= (h \circ g) (f(x))= h(g(f(x)))  olduğundan her  x \in I için  h \circ (g \circ f)(x)= (h \circ g) \circ f(x)  olur.

•Birim eleman:  \operatorname{Id} \colon I \to I  fonksiyonu,  \operatorname{Id}(x)=x  olduğunda ( \operatorname{Homeo}^+ (I, I) , \circ )’nun birim elemanıdır çünkü \operatorname{Id} (birim fonksiyon) süreklidir, birebir ve örtendir, daima artandır.

Öte yandan  \operatorname{Id}^{-1} \colon I \to I  ters fonksiyonu da süreklidir çünkü her  x \in I için  \operatorname{Id}^{-1} (x) = \operatorname{Id}(x) \Leftrightarrow \operatorname{Id}^{-1} =
\operatorname{Id} .

Sonuç olarak her  x \in I için  (f \circ \operatorname{Id})(x)= f(\operatorname{Id}(x))= f(x), (\operatorname{Id} \circ f)(x) = \operatorname{Id}(f(x))= f(x)  olmaktadır.

•Terslenebilme: Herhangi bir  f \in\operatorname{Homeo}^+ (I, I)  alalım.  \operatorname{Homeo}^+ (I, I) ’ın tanımından dolayı, f’in daima artan, birebir, örten ve sürekli olduğunu ve  f^{-1} ’in de sürekli olduğunu biliyoruz.

 f^{-1} \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I)  olduğunu göstermek gereklidir. Bunun için,  f^{-1} ’in daima artan olduğunu göstermek yeterlidir.

Herhangi  x,y \in I alalım ve  x  olduğunu varsayalım.  f^{-1} (x)  olduğunu gösterelim.

f daima artandır ve  x  olduğu için  f(x)  olur. f’in birebir ve örtenlik özelliğinden dolayı  f(a) =x ve  f(b) =y olan biricik  a,b \in I elemanları vardır.

f daima artan ve  x  olduğu için,  f(a)  olur. Bu yüzden  a   ve   f^{-1} (x)  olur. Sonuç olarak,  \circ  işlemi altında  \operatorname{Homeo}^+ (I, I)  bir gruptur.

* Eğer  h \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I)  ise h(0) = 0 ve h(1) = 1 olur.

Kanıtını şöyle açıklayabiliriz; herhangi  h \in\operatorname{Homeo}^+ (I, I)  alalım; yani  h \colon I \to I  sürekli, daima artan ve birebir-örten bir homeomorfizmadır. O halde  f^{-1} ’ fonksiyonu da süreklidir.

 h(0) \ne \{0,1\}  olsun ki bu  h(0)=x \in (0,1)  anlamına gelir. (0,1] aralığının bağlantılı (connected) olduğunu biliyoruz. O zaman  h  sürekli olduğundan  h((0,1]) 'in de bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz.

h birebir ve örten olduğundan,  h((0,1]) = [0,x) \cup [x,1]  olur. Fakat  [0,x) \cup [x,1]  bağlantılı değildir. Bu yüzden  h(0) \ne {0,1}  varsayımıyla bir çelişki elde ederiz. Yani  h(0) =\{0,1\}  olur.

Şimdi  h(0) = 0  olduğunu gösterelim.  h(0) = 1  olduğunu varsayalım.  h  fonksiyonu daima artan ve  0  olduğundan,  h(0)olur; bu da  1demektir.

 h \colon [0,1] \to [0,1]  olduğundan  h(1)  değeri  1 'den büyük olamaz. O halde  h(0) = 0  olur. Aynı muhakeme ile  h(1) = 1  sonucu elde edilir.

Sonuç olarak, her  h \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I)  için,  h(0) = 0  ve h(1) = 1  olur.

### Yollar üzerinde denklik bağıntısı
 X  uzayında  f,g \colon I \to X  yollarını düşünelim. Eğer  f=g \circ h  eşitliğini sağlayan bir  h \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I)  varsa, o halde  f \approx g  denilir.

\approx  bir denklik bağıntısıdır, önermesinin ispatını şöyle açıklayabiliriz; \approx  bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstereceğiz.

•yansıma:  f \colon I \to X  herhangi bir yol olsun. Eğer  h  fonksiyonunu   \operatorname{Id} \colon I \to I  şeklinde tanımlı birim fonksiyon alırsak  f=f \circ h  olur. Dolayısıyla  f \approx f  olur.

•simetri:  f,g \colon I \to X  herhangi iki yol olsunlar.  f \approx g  olduğunu varsayalım ve  g \approx f  olduğunu gösterelim.

 f \approx g  ise  f=g \circ h olacak şekilde bir  h \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I)  vardır.  h  fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu biliyoruz; bu yüzden şöyle yazabiliriz:

 f=g \circ h \Leftrightarrow f \circ h^{-1} =g . Yani öyle bir fonksiyon bulmuş olduk ki  k =h^{-1} \in \operatorname{Homeo}^+ (I, I)   ve  g=f \circ k oldu. Sonuç olarak  g \approx f  olur.

•geçişme:  f,g,h \colon I \to X  herhangi üç yol olsunlar.  f \approx g  ve  g \approx h  olduklarını varsayalım ve  f \approx h  olduğunu gösterelim.

Varsayımlara göre,  f=g \circ \varphi_f  ve  g=h \circ \varphi_g  eşitliklerini sağlayan \varphi_f, \varphi_g \in \operatorname{Homeo}^+(I,I) elemanları vardır. Bu nedenle,  f=g \circ \varphi_f \Leftrightarrow f=h \circ \varphi_g \circ \varphi_f 'dir.

\varphi_f, \varphi_g \in \operatorname{Homeo}^+(I,I) olduğundan \varphi_f \circ \varphi_g \in \operatorname{Homeo}^+(I,I) olur. Yani  k= \varphi_f \circ \varphi_g \in \operatorname{Homeo}^+(I,I) elemanı  f=h \circ k eşitliğini sağlar. Dolayısıyla,  f \approx h  olur.

Sonuç olarak \approx  bir denklik bağıntısıdır.

### Homotopi
\varphi_1 ve \varphi_2 fonksiyonları X uzayında iki yol olsun. Bu yolların bir homotopisi,  F \colon I \times I \to X ,  (a, t) \mapsto F(a, t)  şeklinde tanımlı ve aşağıdaki şartları sağlayan sürekli bir fonksiyondur.

(i) Her a sayısı için,  F (a,t) \colon I \to X , p'den q'ya giden bir yol belirtir.

(ii) p'den q'ya giden \varphi_1, \varphi_2 yolları için  F (0,t)=  \varphi_1  ve  F (1,t)= \varphi_2'dir. \varphi_1 ve \varphi_2 yolları bu şekilde bir F homotopisi ile bağlanırlarsa \varphi_1 ve \varphi_2 **homotopiktirler** denilir ve \varphi_1 \simeq \varphi_2 şeklinde gösterilir.

#### Önermeler

* Yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.

Önermenin kanıtını şöyle açıklayabiliriz: \varphi_0 , \varphi_1,\varphi_0^{'}  ve \varphi_1^{'} :  [0,1] \rightarrow X şeklinde tanımlı yollar olsun. . Eğer    \varphi _{0} \simeq \varphi _{0}^{'}      ve   
\varphi _{1} \simeq \varphi _{1}^{'}   olduğunda  \varphi _{0} \circ \varphi _{1} \simeq
\varphi _{0}^{'} \circ \varphi _{1}^{'}    denkliği sağlanıyorsa bu bileşke işlemi iyi tanımlıdır.   \varphi _{0} \text{ ve } \varphi _{0}^{'}       arasında   F      homotopisi  ve   
\varphi _{1} \text{ ve } \varphi _{1}^{'}    arasında ise   
G    homotopisi tanımlı olsun.  {\displaystyle F\circ G} homotopisini aşağıdaki şekilde tanımladığımız zaman yolların bileşkesinin iyi tanımlı olduğunu göstermiş oluruz.

  
F \circ G(s,t) = \begin{cases} F(2s,t), & 0 \leq s\leq \frac{1}{2}  \\ G(2s-1,t), & \frac{1}{2}\leq s\leq 1 \end{cases}    olduğunda {\displaystyle (F\circ G)(s,0)=F(2s,0)=\varphi _{0}{\text{, }}(F\star G)(s,1)=G(2s-1,1)=\varphi _{1}^{'}} eşitliklerini elde ederiz. Bu yüzden  {\displaystyle \varphi _{0}\circ \varphi _{1}\simeq \varphi _{0}^{'}\circ \varphi _{1}^{'}} denkliği sağlanır. Bu yüzden yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.

* Bir uzayda sabit başlangıç ve bitiş noktaları olan yollar üzerindeki homotopi ilişkisi bir denklik bağıntısıdır. Uzaydaki bir \varphi yolunun homotopi sınıfı [ \varphi ] ile gösterilir.

İspatını yaparken, Homotopi ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığı göstermeli.

•yansıma: \varphi_1 \colon I \to X , p'den q'ya giden bir yol olsun.  F \colon I \times I \to X , F(a,t) =f(t) şeklinde tanımlanmış F fonksiyonu \varphi_1 ile \varphi_1 arasında bir homotopidir; çünkü her a için,

 F (a,t) \colon I \to X  fonksiyonu p'den q'ya giden bir yoldur ve  F (0,t) = \varphi_1 (t), F(1,t) = \varphi_1 (t)'dir. Sonuç olarak \varphi_1 \simeq \varphi_1 elde edilir.

•simetri: \varphi_1 , \varphi_2 \colon I \to X , p'den q'ya giden 2 yol olsun. \varphi_1 \simeq \varphi_2 olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir \ F \colon I \times I \to X  şeklinde tanımlı homotopi vardır ki; her sabit a için,

\ F(a,t) \colon I \to X  fonksiyonu p'den q'ya giden bir yol olur ve  F (0,t)= \varphi_1 (t),  F (1,t)= \varphi_2 (t)'dir.

Şimdi \ F' \colon I \times I \to X  fonksiyonunu  F' (a,t)= \ F(1-a,t)  şeklinde tanımlayalım. O zaman her sabit a için,  F' (a,t)= \ F(1-a,t)  fonksiyonu p'den q'ya giden bir yoldur ve

 F' (0,t)= \ F(1,t)= \varphi_2 (t)  ve  F' (1,t)= \ F(0,t)= \varphi_1 (t)  olur. Sonuç olarak\ g \simeq f  elde edilir.

•geçişme: \varphi_1 , \varphi_2 , \varphi_3 \colon I \to X  şeklinde tanımlı 3 yol olsun. \varphi_1 \simeq \varphi_2  ve \varphi_2 \simeq \varphi_3  olduğunu kabul edelim. Göstermemiz gereken; \varphi_1 \simeq \varphi_3 dir.

\varphi_1 \simeq \varphi_2  ve \varphi_2 \simeq \varphi_3  olduğundan öyle F ve G homotopileri vardır ki; \ F \colon I \times I \to X , \ F(0,t)= \varphi_1 (t)  ve \ F(1,t)= \varphi_2 (t) , \ G \colon I \times I \to X , \ G(0,t)= \varphi_2 (t)  ve

\ G(1,t)= \varphi_3 (t) 'dir. Şimdi bir \ H \colon I \times I \to X  fonksiyonunu

: \begin{align}
  \ H(a,t) &= \begin{cases}
        \ F(2a,t) & 0 \leq a \leq \tfrac{1}{2}  \\
    \ G(2a-1,t) & \tfrac{1}{2} \leq a \leq 1
  \end{cases}
\end{align} şeklinde tanımlayalım. Açıkça görüyoruz ki;  \ H(a,t)  fonksiyonu \ a=1/2  noktası dışında her yerde süreklidir.

Öte yandan  a = 1/2  için  \lim_{a \to 1/2^+}H(a,t) = G(0,t)=  \varphi_2 (t)  ve  \lim_{a \to 1/2^-}H(a,t) = F(1,t)=  \varphi_2 (t)  olmaktadır.

Dolayısıyla \ H(a,t)  fonksiyonu \ a = 1/2  noktasında da süreklidir. Ayrıca,  H(0,t) = F(0,t)=  \varphi_1 (t)  ve  H(1,t) = G(1,t)=  \varphi_3 (t)  olduğunu görüyoruz.

Sonuç olarak \varphi_1 \simeq \varphi_3 

\varphi_1 \simeq \varphi_3  elde edilir.

* \pi_{1}(X,x_{0})  gruptur.

Kanıtını göstermek için, örnek olarak x_{0} \in X ve \pi_{1}(X,x_{0}), x_{0}'a dayalı döngülerinin homotopi sınıflarının kümesi olsun.

•Birim elemanı  e_{x_{0}}: [0,1]\longrightarrow X, e_{x_{0}}(t)=x_{0}  olan  [e_{x_{0}}]   döngüsünün sınıfıdır. Herhangi bir f döngüsü için [e_{x_{0}}]\star [f]=[f]  eşitliği sağlanır ve homotopi şu şekilde tanımlanır: 

F(s,t)= \begin{cases} e_{x_{0}}, & 0  \leq t \leq \frac{1-s}{2} \\ f(\frac{(2t+s-1)}{(s+1)}), & \frac{1-s}{2} \leq t\leq 1 \end{cases}.

• f, \pi_{1}(X,x_{0})'te bulunan herhangi bir döngü olsun. f'in  tersini \overline{f(s)}=f(1-s) olarak tanımlayalım. f'in tersini yönünü değiştirerek tanımladık. Şimdi ise  e \text{ ve } f\star \overline{f}  arasındaki homotopi şu şekilde tanımlanır: 
 F(s,t) = \begin{cases} f(2ts), & 0 \leq t\leq \frac{1}{2} \\ f(2s(1-t), & \frac{1}{2}\leq t\leq 1 \end{cases}.

• f,g,h \in \pi_{1}(X,x_{0})   herhangi üç eleman olsun. Şimdi ise [f]\star([g]\star [h]) =([f]\star[g])\star [h] olduğunu gösterelim. Bu koşulu sağlayan homotopi şu şekilde tanımlanır: F(t,s)  = \begin{cases} f(\frac{4t}{1+s}), & 0 \leq t\leq \frac{s+1}{4} \\ g(4t-1-s), & \frac{s+1}{4}\leq t\leq \frac{s+2}{4}\\ h(1-4\frac{1-t}{2-s}), & \frac{s+2}{4} \leq t\leq 1 \end{cases}  .

Birim elemanın varlığı, ters elemanın varlığı ve geçişme özelliğini sağladığından ötürü \pi_{1}(X,x_{0}) bir gruptur.

### Örnekler

* 1 noktasına dayalı birim çemberin temel grubu \mathbb{Z} tam sayılar grubuna izomorftur, şeklinde gösterilir: \pi_{1}(S^{1},1) \simeq \mathbb{Z}.
* Sekiz şeklinin temel grubu iki eleman tarafından üretilen serbest gruptur.

### Dış bağlantılar

* 
* Flash animation for learning the unit circle 
* GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic function
* https://web.stanford.edu/~aaronlan/assets/fundamental-group.pdf 
* Hacettepe Journal of Mathematics & Statistics: https://dergipark.org.tr/en/download/article-file/808791 

### Kaynakça

* İngilizce vikipedi
* Ronald Brown, *Topology and Groupoids, 2006*
* Allen Hatcher, Algebraic Topology http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html