Doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemler

**Doğrusal ve zamanla değişmeyen** (**DZD**) sistemler, tüm sistemler ailesinin *en önemli alt kümesini* oluşturmaktadır. Bunun nedeni sahip oldukları iki özelliğin (1-Doğrusallık ve 2-Zamanla Değişmemek) sinyal işleme alanında kullanılan en temel matematiksel operatörlerin (Fourier dönüşümleri, Konvolüsyon Operatörü, Sabit Katsayılı Doğrusal Diferensiyel Denklemler) doğası ile tam bir uyum sergilemesi ve böylece karmaşık problemlerin başarılı matematiksel çözümlerinin elde edilmesine olanak sağlamasıdır.

Bir sistemin DZD olabilmesi için şu iki özelliği taşıması *gerekli ve yeterli koşuldur*:

**1- Doğrusallık:**

Giriş-Çıkış ilişkisi y(t)=T\{x(t)\}, şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan iki giriş sinyali x_1(t) ve x_2(t) ve bu sinyallere karşılık alınan çıkış tepkileri de y_1(t) = T\{x_1(t)\} ve y_2(t) = T\{x_2(t)\} olsun. Bu sisteme uygulanacak üçüncü bir girişi de  x_3(t) = a x_1(t) + b x_2(t) şeklinde (lineer kombinasyon) tanımlarsak, **doğrusal** bir sistemin çıkışının aşağıdakini sağlaması gerekir: (*Süperpozisyon* özelliği)

y_3(t) = T\{x_3(t)\}=T\{a x_1(t) + b x_2(t)\}=aT\{x_1(t)\}+bT\{x_2(t)\} = ay_1(t)+by_2(t) 

Burada *a* ve *b* sabit katsayıları karmaşık sayılar kümesine dahildir.

**2- Zamanla Değişmeme:**

Benzer şekilde, Giriş-Çıkış ilişkisi y(t)=T\{x(t)\}, şeklinde ifade edilen sürekli zamanlı bir sisteme uygulanan bir giriş x_1(t) ve karşılık gelen çıkış y_1(t) = T\{x_1(t)\} olsun. İkinci bir girişi şu şekilde tanımlarsak: x_2(t) = x_1(t-d) ~~,~~ d \in R , bu sistemin **zamanla değişmeyen**  özelliği gösterebilmesi için ikinci sinyal için çıkışının aşağıdaki özelliği sağlaması gerekir:

y_2(t) \triangleq T\{x_2(t)\}=T\{x_1(t-d)\}=y_1(t-d) 

Benzeri bir tanım ayrık zamanlı DZD sistemleri için de yapılabilir ve şu şekilde özetlenebilir:

Ayrık zamanlı bir sistemin DZD olabilmesi için aşağıdaki iki özelliği sağlaması *gerekli ve yeterli koşuldur:*

1-   y_3[n] = T\{x_3[n]\}=T\{a x_1[n] + b x_2[n]\}=aT\{x_1[n]\}+bT\{x_2[n]\} = ay_1[n]+by_2[n] 

2-   y_2[n] \triangleq T\{x_2[n]\}=T\{x_1[n-d]\}=y_1[n-d] ~~~,~~ d \in Z 

Aşağıdaki örnek(ler) verilen bir sistemin DZD olup olmadığını, matematiksel olarak, nasıl bulabileceğimizi gösterir:

## Örnek 1

Giriş çıkış özelliği y(t)=T\{x(t)\}  = e^{-x(t)}olan sürekli zamanlı bir sistem DZD midir ?

### Doğrusallık Testi

x_1(t) ve x_2(t) girişler için çıkışlar y_1(t) = e^{-x_1(t)} ve y_2(t) = e^{-x_2(t)} olsun, x_3(t)=ax_1(t) + bx_2(t) için çıkışy_3(t)= T\{ax_1(t) + bx_2(t)\}=e^{-ax_1(t) - bx_2(t)} = (e^{-x_1(t)})^a \cdot (e^{-x_1(t)})^b = (y_1(t))^a \cdot (y_2(t))^b   \neq ay_1(t) + by_2(t) olduğundan, *doğrusal değildir*.

### Zamanla Değişmeme Testi

x_1(t) girişi için çıkış y_1(t) = e^{-x_1(t)} ikinci bir girişi x_2(t) = x(t-d)  şeklinde tanımlarsak, ilgili çıkış: y_2(t) = T\{x_1(t-d)\}= e^{-x_1(t-d)} = y_1(t-d)olduğu için sistem *zamanla değişmeyen* özelliği gösterir.

Dolayısı ile doğrusallık koşulunu sağlamayan bu sistem *DZD değildir*. Böylesi bir sistem için doğrusal olmayan-zamanla değişmeyen tanımı yapılabilir.

## Örnek 2
Giriş çıkış özelliği y[n]=T\{x[n]\}  = \sum_{k=0}^{M-n}{x[-k]} olan ayrık zamanlı bir sistem DZD midir ?

### Doğrusallık Testi

x_1[n] ve x_2[n] girişler için çıkışlar y_1[n]= \sum_{k=0}^{M-n}{x_1[-k]} ve y_2[n]= \sum_{k=0}^{M-n}{x_2[-k]} olsun, x_3[n]=ax_1[n] + bx_2[n] için çıkışy_3[n]= T\{ax_1[n] + bx_2[n]\}=\sum_{k=0}^{M-n}{ \big(ax_1[-k] + bx_2[-k] \big)} = a\sum_{k=0}^{M-n}{x_1[-k]} + b\sum_{k=0}^{M-n}{x_2[-k]} = a y_1[n] + b y_2[n]   olduğundan, *doğrusaldır*.

### Zamanla Değişmeme Testi

x_1[n] girişi için çıkış y_1[n]= \sum_{k=0}^{M-n}{x_1[-k]} olsun, ikinci bir girişi x_2[n] = x[n-d]  şeklinde tanımlarsak, ilgili çıkış: y_2[n]= T\{x_1[n-d]\}=\sum_{k=0}^{M-n}{ x_2[-k]}=\sum_{k=0}^{M-n}{ x_1[-k-d]}  = \sum_{k=d}^{M-n+d}{ x_1[-k]}  \neq y_1[n-d] = \sum_{k=0}^{M-(n-d)}{ x_1[-k]} olduğu için sistem *zamanla değişmektedir*.

Dolayısı ile doğrusallık koşuluğunu sağladığı halde zamanla değişmeme koşulunu sağlamayan bu sistem *DZD değildir*.

## Kaynakça