Afin dönüşümü

Geometride, **afin dönüşüm** (Latince *affinis*, "ilişkili" anlamında) veya **ilgin dönüşüm**, afin uzaylar arasında noktaları, doğru parçalarını ve düzlemleri koruyan bir eşlemedir. Ayrıca, paralel doğru kümeleri bir afin dönüşüm sonrasında da paralel kalır. Bir afin dönüşüm, aynı doğru üzerinde bulunan noktalar arasındaki oranları korur; ancak açılar ve mutlak mesafeler genellikle korunmaz.

Öteleme, dönme, ölçekleme, benzeşim, benzerlik dönüşümü, yansıma, kayma eşlemesi ve bunların bileşimleri birer afin dönüşüm örneğidir.

X ve Y birer afin uzay olmak üzere, her f : X \to Y afin dönüşümü x \mapsto Mx + b biçimindedir. Burada M bir doğrusal dönüşümü, x bir vektörü (X uzayında) ve b Y uzayındaki bir vektörü temsil eder. Doğrusal dönüşümlerin aksine, afin dönüşümler sıfır noktasını sabit tutmak zorunda değildir. Bu nedenle, her doğrusal dönüşüm aynı zamanda bir afin dönüşümdür; ancak her afin dönüşüm doğrusal değildir.

Öklid uzayı, birçok durumda bir afin uzay olarak düşünülebilir. Ancak afin uzay kavramı daha geneldir; yani her Öklid uzayı bir afin uzaydır fakat her afin uzay Öklidyen olmak zorunda değildir. Afin koordinatlar içinde, kartezyen koordinatlar Öklid uzaylarına karşılık gelir. Bir afin dönüşümde her koordinat, başlangıç noktasından itibaren bir doğrusal fonksiyon olarak tanımlanır. Bu nedenle, herhangi bir afin dönüşüm, bir doğrusal dönüşüm ile bir öteleme işleminin birleşimi şeklinde ifade edilebilir.

## Matematiksel Tanımı
İki afin uzay arasında tanımlı bir dönüşüm, bu uzaylardaki noktalar arasındaki vektörler üzerinde doğrusal bir etki yapan bir gönderimdir.  
f:\mathcal{A} \to \mathcal{B} fonksiyonu için, herhangi iki nokta P, Q \in \mathcal{A} olmak üzere,

:\overrightarrow{f(P)f(Q)} = \varphi(\overrightarrow{PQ})

veya eşdeğer olarak,

:f(Q) - f(P) = \varphi(Q - P)

eşitlikleri sağlanır. Burada \varphi, doğrusal bir dönüşümdür.

Bu tanım farklı şekillerde de yorumlanabilir.

Eğer O \in \mathcal{A} noktası seçilirse, bu noktanın görüntüsü B = f(O) \in \mathcal{B} olur. Bu durumda herhangi bir vektör \vec{x} için,

:f(O + \vec{x}) = B + \varphi(\vec{x})

eşitliği sağlanır.

Eğer \mathcal{B} uzayında yeni bir orijin O' \in \mathcal{B} seçilirse, dönüşüm şu şekilde yazılabilir:

:g(O + \vec{x}) = O' + \varphi(\vec{x})

burada g : \mathcal{A} \to \mathcal{B} ve O \mapsto O' şeklindedir.

Böylece, \vec{b} = \overrightarrow{O'B} olmak üzere, f fonksiyonu bir öteleme ile doğrusal dönüşümün birleşimi olarak yorumlanabilir.

### Alternatif Tanımlar
Aynı alan üzerinde tanımlı iki afin uzay \mathcal{A} ve \mathcal{B} verildiğinde, f: \mathcal{A} \to \mathcal{B} fonksiyonu afin bir gönderimdir ancak ve ancak her aile için {(a_i, \lambda_i)}_{i \in I} (burada a_i \in \mathcal{A} ve \lambda_i skalarlar) bir ağırlık merkezi tanımlıyorsa ve:

:\sum_{i \in I} \lambda_i = 1 ise,

şu eşitlik sağlanır:

:f\left(\sum_{i \in I} \lambda_i a_i\right) = \sum_{i \in I} \lambda_i f(a_i)

Bir diğer ifadeyle, f fonksiyonu barycenter (ağırlık merkezi) yapısını korur.

## Gösterimler
Yukarıda gösterilen bir afin gönderme, iki fonksiyonun bileşimidir: bir öteleme ve bir doğrusal gönderme. Olağan vektör cebirinde, doğrusal göndermeler matris çarpımı ile, ötelemeler ise vektör toplamı ile ifade edilir. Resmî olarak, sonlu boyutlu bir durumda, eğer doğrusal gönderme bir matris *A* ile çarpım ve öteleme bir vektör \vec{b}'nin toplamı olarak gösteriliyorsa, bir vektör \vec{x} üzerindeki etkisi, bir afin gönderme f olarak şu şekilde ifade edilir:

:
\vec{y} = f(\vec{x}) = A \vec{x} + \vec{b}.


### Genişletilmiş matris

Bir genişletilmiş matris ve bir genişletilmiş vektör kullanılarak, hem öteleme hem de doğrusal gönderme tek bir matris çarpımı ile temsil edilebilir. Bu tekniğin uygulanabilmesi için tüm vektörlerin sonda bir "1" eklenerek genişletilmesi gerekir. Benzer şekilde, tüm matrisler de bir fazladan satır ve sütunla genişletilir: alt satır sıfırlardan ve son sütun öteleme vektöründen oluşur; sağ alt köşeye ise bir "1" yerleştirilir.

Eğer *A* bir matris ise,

:
\begin{bmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \vec{b} \\ 0, \ldots, 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{bmatrix}


eşdeğer olarak şunu ifade eder:

:
\vec{y} = A \vec{x} + \vec{b}.


## Düzlemin afin dönüşümü

İki boyutlu (2D) düzlemdeki başlıca afin dönüşümler şunlardır:
* Tam bir öteleme,
* Belirli bir yönde, bir doğruya göre yapılan ölçekleme (bu doğru dönüşüm yönüne dik olmak zorunda değildir); bu genellikle bir öteleme ile birleşir. Saf ölçekleme değildir, çünkü izdüşüm gibi durumlarda ölçekleme faktörü sıfır ya da negatif olabilir,
* Yansıma ve ötelemenin birleşimi olan öteleme yansıması,
* Dönme ile birleştirilmiş benzerlik dönüşümleri,
* Bir benzerlik ve öteleme ile birlikte yapılan kesme dönüşümü,
* Ve yine bir benzerlik ve öteleme ile yapılan sıkı dönüşüm.

Öklid düzleminde genel bir afin dönüşümün görselleştirilmesi için, paralelkenarlar *ABCD* ve *A′B′C′D′* etiketlenmiştir. Seçilen herhangi iki nokta, örneğin *A* ve *A′*, bir afin dönüşüm olan *T* tarafından eşleştirilmiştir. Her tepe noktası bu eşlemenin bir sonucudur.

Dejenere (çakışan ya da sıfır alanlı) durumlar hariç tutulursa, *ABCD* sıfır olmayan bir alana sahiptir ve bu durumda *T* tekil bir (benzersiz) afin dönüşümdür. Eğer *ABCD* taban alınarak tüm düzleme bir grid (ızgara) yayıyorsak, herhangi bir *P* noktası için *T(P)* görüntüsü de bu dönüşümle elde edilir.

Daha açık ifade ile:
* *T(A) = A′*
* *AB* doğrusu üzerindeki tüm noktalar *A′B′* doğrusu üzerine,
* *AC* doğrusu üzerindekiler ise *A′C′* üzerine yansıtılır.

Bu, *A* tabanlı vektörlerin dönüşümüdür. Örneğin, eğer *A*, *E* ve *F* aynı doğru üzerindeyse, şu oran korunur:
:(AF uzunluğu) / (AE uzunluğu) = (A′F′ uzunluğu) / (A′E′ uzunluğu)

Bu geometrik eşitlik sayesinde, *ABCD* grid'i, *T* dönüşümüyle *A′B′C′D′* grid'ine dönüştürülmüş olur.

Afin dönüşümler, uzunlukları veya açıları korumaz; fakat alanları sabit bir katsayıyla çarpar. Bu oran:

:*A′B′C′D′* bölgesi / *ABCD* bölgesi

olarak tanımlanır. Ayrıca bir afin dönüşüm, oryantasyona göre iki şekilde sınıflandırılır:
* **Doğrudan dönüşüm** (sıralı yönü koruyan),
* **Dolaylı dönüşüm** (ters yönlendiren).

Bu, dönüşümün işaretiyle belirlenir. Örneğin, vektörlerin çapraz çarpımı bu işareti tanımlar.

## Afin dönüşümlerin örnekleri
### Reel sayılar üzerinde afin dönüşümler
 biçimindeki fonksiyonlar,  formülü ile tanımlanır. Burada *m* ve *c* sabit reel sayılardır ve bu fonksiyonlar klasik afin dönüşümlerdir.

### Sonlu bir alan üzerinde afin dönüşüm
Afin bir dönüşüm, Galois alanı GF(28) üzerinde aşağıdaki şekilde ifade edilir:

:
\{\,a'\,\} = M\{\,a\,\} \oplus \{\,v\,\},


Burada:
* *M* bir matris,
* *{v}* ise bir vektördür.

Matris ve vektör şu şekildedir:

:
M\{\,a\,\} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{bmatrix}


:
\{\,v\,\} =
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}


Bu ifade, özellikle kriptografide ve AES şifreleme algoritmasında kullanılan afin dönüşümün temelini oluşturur.

Örneğin, büyük-sonlu ikili gösteriminde aşağıdaki elemanın afin dönüşümü hesaplanmıştır.

Büyük-sonlu onaltılık gösterimde {CA} = {a} = *y*7 + *y*6 + *y*3 + *y* = {11001010}:

:a_0' = a_0 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 1 = 0 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1
:a_1' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 0
:a_2' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1
:a_3' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_7 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1
:a_4' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 = 0
:a_5' = a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus 1 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 = 1
:a_6' = a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus 1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 1
:a_7' = a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 0 = 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1

Böylece, {*a*′} = *y*7 + *y*6 + *y*5 + *y*3 + *y*2 + 1 = {11101101} = {ED} afin dönüşümü elde edilir.

### Düzlem Geometride Afin Dönüşüm

ℝ2 içinde, dönüşüm aşağıdaki gönderme ile sağ tarafta gösterilmiştir:

:\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -100 \\ -100 \end{bmatrix}

Orijinal üçgen (kırmızı), üç köşe noktasıyla dönüşüm sonucu yeni bir üçgen (mavi) oluşturur. Bu dönüşüm, orijinal üçgeni döndürür ve ötelemeye tabi tutar. Aslında, her üçgen bir afin dönüşüm ile başka bir üçgene eşlenir. Bu durum yalnızca paralelkenarlar için değil, tüm dörtgenler için de geçerlidir.

## Ayrıca bakınız
* Afin dönüşüm için dönüşüm matrisi
* Afin geometri
* 3D izdüşüm
* Düzlem

## Notlar

## Kaynakça
* 
* 
* 

## Dış bağlantılar
* 
* 
* Geometric Operations: Affine Transform , R. Fisher, S. Perkins, A. Walker ve E. Wolfart.
* 
* *[http://demonstrations.wolfram.com/AffineTransform/ Affine Transform] * Bernard Vuilleumier tarafından, Wolfram Demonstrations Project.
* Affine Transformation on PlanetMath 
* Free Affine Transformation software