Logaritmik dışbükey fonksiyon

Matematikte logaritma fonksiyonu ile bileşkesi dışbükey olan fonksiyonlara **logaritmik dışbükey** veya **log dışbükey** **fonksiyon** denir; daha matematiksel bir ifadeyle, verilmiş bir f fonksiyonu için \log f dışbükey bir fonksiyonsa, o zaman f logaritmik dışbükey fonksiyondur.

## Tanım
 gerçel bir vektör uzayınının dışbükey bir altkümesi olsun.  ise negatif olmayan değerler alan bir fonksiyon olsun. O zaman, 
* {\log} \circ f dışbükeyse,  **logaritmik dışbükey**dir.
* {\log} \circ f kesin dışbükeyse,  ** kesin logaritmik dışbükey**dir.
Burada, \log 0 değeri  -\infty olarak alınmıştır.
Daha matematiksel bir ifadeyle açıkça yazmak gerekirse,  fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak  
ve her  için aşağıdaki eşitsizlikleri sağlaması ile mümkündür: 
:\begin{align}
\log f(tx_1 + (1 - t)x_2) &\le t\log f(x_1) + (1 - t)\log f(x_2), \\
f(tx_1 + (1 - t)x_2) &\le f(x_1)^tf(x_2)^{1-t}.
\end{align}
Benzer bir şekilde,  fonksiyonunun kesin logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak yukarıdaki  eşitsizliklerin bütün  için eşitlik olmadan sağlanması ile mümkündür.

Yukarıdaki tanıma göre,  sıfır değer alabilir. Ancak,  logaritmik dışbükeyse ve  kümesi içindeki herhangi bir noktada 0 değeri alıyorsa, o zaman in içindeki her noktada sıfır değeri almak zorundadır.

### Denk koşullar
Eğer  bir  aralığında tanımlanmış ve türevlenebilir bir fonksiyonsa
 fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak  aşağıdaki eşitsizliğin 'daki her  ve  için sağlanmasıyla mümkündür.
:\log f(x) \ge \log f(y) + \frac{f'(y)}{f(y)}(x - y).
'daki her  ve  için  varsayıldığında yukarıdaki eşitsizlik şuna denktir:
:\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)^{\frac{1}{x - y}} \ge e^{\frac{f'(y)}{f(y)}}.
Benzer bir şekilde,  fonksiyonunun kesin logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak yukarıdaki  eşitsizliklerin eşitlik olmadan sağlanması ile mümkündür.

Eğer  bir  aralığında tanımlanmış ve iki kere türevlenebilir bir fonksiyonsa,  fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak 'daki her  için 
:f*(x)f(x) \ge f'(x)^2</math>
olması ile mümkündür. Eğer eşitsizlik kâti ise, o zaman  fonksiyonu kesin logaritmik dışbükeydir. Ancak, bunun tersi doğru değildir; yani,  kesin logaritmik dışbükey olup bir   değeri için, <math>f*(x)f(x) = f'(x)^2 olabilir. Örneğin, f(x) = e^{x^4} ise, o zaman,  kesin logaritmik dışbükeydir. Ancak, f''(0)f(0) = 0 = f'(0)^2 olur.

Ayrıca, f\colon I \to (0, \infty) fonksiyonunun logaritmik dışbükeyliği ancak ve ancak  \alpha\in\mathbb R için e^{\alpha x}f(x) fonksiyonunun dışbükey olması ile mümkündür.

## Yeterli koşullar
* f_1, \ldots, f_n logaritmik dışbükeyse ve w_1, \ldots, w_n negatif olmayan gerçel sayılarsa f_1^{w_1} \cdots f_n^{w_n} logaritmik dışbükeydir.
* \{f_i\}_{i \in I} logaritmik dışbükeylerden oluşan bir aile ise, o zaman, g = \sup_{i \in I} f_i logaritmik dışbükeydir.
* f \colon X \to I \subseteq \mathbf{R} dışbükeyse ve g \colon I \to \mathbf{R}_{\ge 0} logaritmik dışbükey ve azalmayan bir fonksiyonsa, o zaman  g \circ f logaritmik dışbükeydir.

## Özellikler
Logaritmik dışbükey bir fonksiyon f, artan dışbükey fonksiyon e^x ile tanım gereği dışbükey olan \log\circ f fonksiyonun bileşkesi olduğundan dışbükey bir fonksiyon olur. Ancak, tersi  durum her zaman geçerli değildir ve logaritmik dışbükeylik olağan dışbükeylikten daha kesin ve güçlü bir özelliktir. Örneğin, f(x) = x^2 dışbükeydir ama \log f(x) = 2\log |x| dışbükey değildir.

## Örnekler
* f(x) = \exp(|x|^p) fonksiyonu p \ge 1 iken logaritmik dışbükeydir ve p > 1 iken kesin logaritmik dışbükeydir.
* f(x) = \frac{1}{x^p} fonksiyonu (0,\infty) üzerinde bütün p>0 için  kesin logaritmik dışbükeydir.
* Euler gama fonksiyonu pozitif gerçel sayılar üzerine kısıtlandığında kesin logaritmik dışbükeydir. Aslında, bu özellik, Bohr-Mollerup teoremi ile Euler gama fonksiyonunu karakterize etmek için kullanılan şartlardan biridir.

## Ayrıca bakınız
* Logaritmik içbükey fonksiyon

## Notlar


## Kaynakça