Tetrasyon

Matematikte, **tetrasyon** (**hiper-4** olarak da bilinir), üslü sayıdan sonra gelen ilk aşırı işlecin **tekrarlı üssü**dür. Tetrasyonun İngilizce karşılığı olan *tetration* kelimesi ilk kez matematikçi Reuben Louis Goodstein tarafından, tetra- (dört) ve iteration (tekrar)dan türetilerek kullanılmaya başlandı. Tetrasyon çok büyük sayıların gösterimi için kullanıldı. Fakat birkaç pratik uygulaması vardır. Bu yüzden sadece saf matematik incelenir.
Burada aşırı işlecin ilk dört örneğin gösteriliyor. Tekrasyon dördüncüsüdür:
# toplama
#:: Normal bilinen toplama işlemi.
# çarpma
#: a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n
#:: genellikle temel işlemlerden birini ifade eder. Fakat doğal sayılar gibi özel durumlar için kendine *n* kere eklenen *a* olabilir.
# üs alma
#: a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n
#:: *a* nın kendisi ile *n* kere çarpılması.
# **tetrasyon**
#: {^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n
#:: *a* 'nın kendisiyle *n* kere üssünün alınması.
buradaki her bir işlem, bir öncekinin tekrarı şeklinde tanımlanır. Tetrasyonunu bu işlemlerden ayıran özellik, ilk üçü, (toplama, çarpma ve üs alma) *n* nin karmaşık değerler ile genelleşmesiyken, tetrasyonun henüz keşfedilen düzenli bir genelleştirilmesi yoktur ve tetrasyon, bir temel fonksiyon olarak nitelendirilmez.

Toplama (*a* + *n*), en temel işlemdir. Çarpma (*an*) da temel fonksiyondur. Tetrasyon (^{n}a), *n* nin *a* tane kuvvetini içeren bir dizi olarak düşünülebilir. *a* değişkeni ilerleyen bölümlerde temel değişken olarak adlandırılırken *n* değişkeni de *yükseklik* değişkeni olarak adlandırılacak (integral ilk yaklaşımdır, fakat kesirli olarak genelleştirilebilir, gerçel ve karmaşık *yükseklik* gibi).

## Tanım
Her pozitif reel  a > 0  ve negatif olmayan tam sayı  n \ge 0  için \,\! {^{n}a}  şöyle tanımlanır:
* \,\! {^{0}a} = 1  ( n = 0  ise) ve
* \,\! {^{n}a} = a^{(^{n-1}a)}  (eğer  n > 0  ise)

## Tekrarlı kuvvetler
Tanımdan da görüldüğü üzere, tetrasyon "üslü kuvvet" olarak hesaplandığında üs, öncelikle en derin seviyede alınır (gösterimdeki en yüksek derece) Diğer ifadeyle:
:\,\!\ ^{4}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65.\!536

Üssün birleşme olmadığına dikkat edin. Böylece, diğer sıradaki hesaplama, farklı bir cevaba gider:
:\,\! 2^{2^{2^2}} \ne \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot2} = 256

Burada, üslü kuvvetler, yukarıdan aşağıya doğru (veya sağdan sola doğru) hesaplanmalıdır.

## Terimbilim
Tetrasyon için birçok terim ve her birinin kullanımı için mantıksal düşünceler vardır. Fakat bazıları, birçok nedenden dolayı yaygınlık kazanamadı. Burada birkaçından bahsedilecektir.

* **Tetration** (tetrasyon) terimi, 1947'de Goodstein tarafından geliştirildi.
* **Superexponentiation** (süper üs) terimi Bromer tarafından geliştirildi.
* **Hyperpower** (aşırı kuvvet), *hyper* (aşırı) ve *power* (kuvvet) kelimelerinin birleşimidir ve tetrasyonun uygun şekilde açıklar.
* **Power tower** (üslü kule), ara sıra kullanılır. Örneğin, {\ \atop {\ }} }}}} \atop n} " *n* sırasının üslü kulesi"

Tetrasyon birbirine yakın ilişkiye sahip fonksiyon ve ifadelerle genellikle karıştırılıyor. Bundan dolayıdır ki tetrasyon ile ilgili birçok terim kullanılıyor. Burada birkaçını vereceğiz:

:

İlk iki ifadede *a*, **taban**dır. Kez (kere) sayısı olan diğer *a*, **yükseklik**dir. Üçüncü ifadede *n*, **yükseklik**tir, fakat her birinin tabanı farklıdır.

## Gösterim
Tetrasyonun yazılabileceği gösterimler şunlardır:
:

Yukarıdaki gösterimlerden biri, tekrarlı üstel gösterimi kullanır. Bu genellikle şöyle tanımlanır:
:\exp_a^n(x) = a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}} *n* tane "*a*".

Tekrarlı üsler için çok fazla gösterim yoktur. Fakat birkaçını verelim:
:

## Örnekler
Aşağıdaki tablodaki çoğu değerler, bilimsel gösterimde yazmak çok zordur. Bundan dolayı tekrarlı üstel gösterim onları 10 tabanında ifade etti. Değerlerdeki ondalık nokta yaklaşıktır.

:

## Çok ilkel fonksiyonlardaki yaklaşımlar
### Polinom ''yaklaşımları''

#### Lineer yaklaşım
**Lineer yaklaşımı** (süreklilik isteğinin çözümüe, differensiyellenebilirlik yaklaşımı) şöyle elde edilir:
:{}^{x}a \approx \begin{cases}
\log_a({}^{(x+1)}a) & x \le -1  \mbox{ için} \\ 
1 + x & -1  0 \mbox{ için}
\end{cases}
Bundan dolayı:
:
ve böylece devam eder.

**Örnekler:**
\,{}^{(\pi / 2)}e \approx 5{,}868\dots,\; {}^{-4,3}0{,}5 \approx 4{,}03335\dots,\; 

Ana teorem Hooshmand'e göre:  0 'dir. Eğer f:(-2,+\infty)\rightarrow \mathbb{R}, istenmeyen durumlara doğru giderse:

*  f(x)=a^{f(x-1)} \; \; \mbox{ tüm} \; \; x>-1 \mbox{ ve} \; f(0)=1 \mbox{ için}, 
* f, (-1,0)'de türevlenebilir,
* f^\prime fonksiyonu,  (-1,0)'da azalmayan veya artmayan bir fonksiyondur, 
* f^\prime (0^+) = (\ln a) f^\prime (0^-) \mbox{ veya } f^\prime (-1^+) = f^\prime (0^-).

Daha sonra f, şu denklemle benzersiz tanımlanır:

: \; \; \; f(x)=\exp^{[x]}_a (a^{(x)})=\exp^{[x+1]}_a((x)) \; \; \; \mbox{tüm} \; \; x>-2 \mbox{ için }. 

Buradaki  (x)=x-[x] , x in kısmi parçasını ifade eder ve  \exp^{[x]}_a  fonksiyonu,  \exp_a  fonksiyonunun  [x] -tekrarlı fonksiyonudur.

İkinci ve dördüncü şartlar ispattır.

{}^xe doğal tetrasyon fonksiyonundaki lineer yaklaşımı sürekli olarak türevlenebilir. Fakat ikinci türevi, argümanının tam sayısında bulunmaz. Hooshmand, onun için de söyle bir eşsiz teorem türetti:

Eğer  f: (-2, +\infty)\rightarrow \mathbb{R} ise,
sürekli fonksiyon şöyledir:

*  f(x)=e^{f(x-1)} \; \; \mbox{tüm} \; \; x>-1, \; f(0)=1 için,
* f, (-1,0)'de yakınsar,
* f^\prime (0^-)\leq f^\prime (0^+).

Sonra f=\mbox{uxp} olur.

Buradaki ispat bir öncekine çok benzer. Özyineleme eşitliği, f^\prime (-1^+) = f^\prime (0^+), olduğunu sağlar ve yakınsaklık şartı (-1, 0)'de f fonksiyonunun lineer olduğunu ifade eder.

Bundan dolayı doğal tetrasyondaki lineer yaklaşımı, sadece  f(x)=e^{f(x-1)} \; \; (x>-1) eşitliğinin çözümüdür ve f(0)=1, (-1,+\infty)'de yakınsaktır. Diğer tüm uygun türevlenebilir çözümlerin (-1, 0) aralığında bir büküm noktası olması gerekir.

#### Yüksek sıralı yaklaşımlar

**İkinci dereceden yaklaşım** şöyledir:
:{}^{x}a \approx \begin{cases}
\log_a({}^{(x+1)}a) & x \le -1 \mbox{ için } \\
1 + \frac{2\log(a)}{1+\log(a)}x - \frac{1-\log(a)}{1+\log(a)}x^2 & -1  0 \mbox{ için }
\end{cases}
Bu ifade tüm x > 0 için türevlenebilir. Faka iki kez türevlenemez. Eğer a = e ise bu, lineer yaklaşım gibidir.

## Genişlemeler
Tetrasyon,  {^n 0}  ve diğer tanım kümelerini ifade etmek için genişletilebilir.

### Tabanlarda tanım kümesi genişlemesi
#### Sıfır tabanında genişleme
0^0 üs ifadesi sürekli olarak tanımlanmaz. \,{^{n}0} tetrasyonu da, daha önceki formüle göre iyi tanımlanmaz. Yine de \lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x şöyle tanımlanabilir:

:\lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x = \begin{cases} 1, & n \mbox{ çift} \\ 0, & n \mbox{ tek} \end{cases} 
Buradan {}^{n}0 = \lim_{x\rightarrow0} {}^{n}x ifadesini sürekli tanımlayabiliriz. Bu  0^0 = 1  tanımının eşdeğeridir.

Bu genişleme altında, {}^{0}0 = 1. Böylece asıl tanım koruyarak  {^{0}a} = 1  kuralı sağlanır.

#### Karmaşık tabanlarda genişleme

Karmaşık sayılar kuvvetlerle arttarken, tetrasyon, z = a + bi formunun *tabanları*nda uygulanabilir. Buradaki i, -1'in kareköküdür. Örneğin, {}^{n}z (z=i) tetrasyonu, doğal logaritma prensibi kullanılarak ifade edilebilir. Euler formülünü kullanarak şöyle bir ilişki elde edebiliriz:

:
i^{a+bi} = e^ \left(\cos{a\pi \over 2} + i \sin{a\pi \over 2}\right)


Bu, {}^{(n+1)}i = a'+b'i için tekrarlı bir tanım ortaya çıkartır. Her {}^{n}i = a+bi için:

:a' = e^{-{b\pi \over 2}} \cos{a\pi \over 2}
:b' = e^{-{b\pi \over 2}} \sin{a\pi \over 2}

Aşağıdaki yaklaşım değerleri türetilebilir:
:

Önceki bölümle ters ilişkiyi çözme, *n* nin negatif değerli beklenen \,{}^{0}i = 1 ve \,{}^{(-1)}i = 0'ı sağlar. Bunun için sanal eksene sonsuz sonuç verilir.

### (Tekrarlı) "yükseklikler" için tanım kümesi genişlemeleri

#### Sonsuz yükseklik genişlemesi
Tetrasyon sonsuz yüksekliklere genişletilebilir ({}^{n}a'deki *n*). Örneğin, \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} ifadesi 2'ye yakınsar, bundan dolayı "2'ye eşittir" denir. 2'ye doğru gidiş, küçük sonlu kuleyi hesaplayarak görülebilir:

:\begin{align}
\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1,41}}}}} &= \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1,63}}}} \\
&= \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1,76}}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{1,84}} \\
&= \sqrt{2}^{1,89} = 1{,}93
\end{align}

Genellikle x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}} sonsuz kuvvet kulesi, {}^{n}x'in limiti (sınırı) olarak tanımlanır. Burada *n* *e*−*e*&nbsp;≤&nbsp;*x*&nbsp;≤&nbsp;*e*1/*e* için sonsuzluğa gider.

#### Negatif yüksekliklere (sınırlı) genişleme
Asıl kuralı korumak için:
: {^{(k+1)}a} = a^{({^{k}a})} 
k'nın negatif değerleri için, özyineleme ilişkisini kullanmalıyız:
: {^{k}a} = \log_a \left( {^{(k+1)}a} \right) 

Buradan:
: {}^{(-1)}a = \log_{a} \left( {}^{0}a \right) = \log_{a} 1 = 0 

Bununla beraber daha küçük negatif değerler, bu yolla iyi tanım verme. Çünkü,
: {}^{(-2)}a = \log_{a} \left( {}^{-1}a \right) = \log_{a} 0 
iyi tanımlı değildir.

\,\! {^{(-1)}1} 'in her tanımı  n = 1  için kuralla uyumlu olduğuna dikkat edin. Çünkü
:her \,\! n = {^{(-1)}1}  için,  {^{0}1} = 1 = 1^n 'dir.

#### Gerçek yüksekliklere genişleme

Burada, genişleme tetrasyonunun genel problemlerinin çözümü için n'nin reel veya karmaşık değerlerinde, yaygın olarak kullanılan kabul edilmiş bir çözüm yoktur. Çeşitli yaklaşımlar aşağıdaki gösteriliyor.

Genelde problem, *a*&nbsp;>&nbsp;0 ve, x > -2 değerleri için \,f(x) = {}^{x}a gibi bir **süper üstel fonksiyon** bulunuyor ki bu da yeterince tatminkârdır.
* \,{}^{(-1)}a = 0
* \,{}^{0}a = 1
* \,{}^{x}a = a^{\left({}^{(x-1)}a\right)} tüm reel *x*&nbsp;>&nbsp;-1 için.
* Dördüncü koşul genellikle şunlardan biridir:
:* Bir **süreklilik** koşulu (genellikle sadece {}^{x}a, her iki değişken için x > 0 şartılya süreklidir).
:* Bir **türevlenebilirlik** koşulu (*x* 'de bir kez, iki kez, *k* kez veya sonsuz kez türevlenebilir).
:* Bir **uygunluk** şartı (*x* 'de iki kez türevlenebilirliği ifade eder) şöyledir:
::\left( \frac{d^2}{dx^2}f(x) > 0\right) tüm  x > 0  için

Dördüncü koşul kişiden kişiye ve yaklaşımlara göre değişirr. Tetrasyonunu gerçel yüksekliklere genişletmek için iki ana yaklaşım vardır. Birincisi *uygunluk* koşulu, diğeri de *türevlenebilirlik* koşuludur. Bu iki yaklaşım, birbirleriyle tutarsız sonuçlar üretmesi, onların çok farklı olduğunu gösterdi.

Neyse ki, bir uzunluğun içindekilerden biri, tüm pozitif reel sayılar için genişletilebilir. Bir içsel uzunluk için \,{}^{x}a tanımlıysa, tam fonksiyon tüm x > -2 için geçerlidir.

#### Karmaşık yüksekliklere genişleme

Şöyle bir konjektür vardır:  eşitliğinin çözümü için eşsiz bir *F* fonksiyonu vardır ve ek *F*(0)=1 ve *F*(*z*) yaklaşımlarını sağlar. Bu fonksiyon sağdaki şekilde görülüyor.

## Ters fonksiyonlar

Tetrasyonun Ters fonksiyonları genellikle süper kök ve süper logaritma olarak adlandırılır. x^x'in süper kökün karesi olan \mathrm{ssrt}(x), Lambert W fonksiyonu ile şöyle ifade edilebilir:
:\mathrm{ssqrt}(x)=e^{W(\mathrm{ln}(x))}=\frac{\mathrm{ln}(x)}{W(\mathrm{ln}(x))}

Her *n* > tam sayıları için *<sup>n</sup>x* şeklinde fonksiyon vardır ve bu fonksiyon *x* ≥  için artarak 1=*n*1 = eşitliği elde edilir. Böylece *x* in *n*. süper kökü *x* ≥ 1 için elde edilir.

Yine de, eğer yukarıdaki lineer yaklaşım kullanılır ve -1≤*y*≤0 şart sağlanırsa, 1= *<sup>y</sup>x* = *y* + 1 olur. Böylece 1=*y*sroot(*y* + 1) elde edilemez.

slog*a* *x* süper algoritması, tüm gerçel *x* ve *a* > 1 sayıları için geçerlidir.

\mathrm{slog}_a fonksiyonu:
:\mathrm{slog}_a {^x a} = x
:\mathrm{slog}_a a^x = 1 + \mathrm{slog}_a x
:\mathrm{slog}_a x = 1 + \mathrm{slog}_a \log_a x
:\mathrm{slog}_a x > -2

*İnfra logaritma fonksiyonu*, ultra üstel fonksiyonun iki katıdır ve  \mathrm{iog}_a  şeklinde ifade edilir. Eğer  a>1  ise  \mathrm{uxp}_a  fonksiyonunun tersi olur.

### Süper kök
**Süper kök**, tetrasyonun iki ters fonksiyonundan biridir. Sadece, kökler ve logaritma üstel olarak iki ters fonksiyonken, keza tetrasyonunda iki ters fonksiyonu vardır: süper kök ve süper logaritma. Süper kök, tetrasyonun tabanını ifade eden ters fonksiyonudur: eğer ^n y = x ise *y* de *x* in *n*. süper kökü olur.
Örneğin;
:^4 2 = 2^{2^{2^{2}}} = 65.536
böylece 2, 65.536'nın 4. köküdür ve
:^3 3 = 3^{3^{3}} = 7.625.597.484.987 olur.
Böylece 3, 7.625.597.484.987'nin 3. süper kökü (veya süper küpü)dür.

Süper kökün birkaç pratik uygulaması vardır. Bunlar sadece saf matematikte çalışılır.

#### Kare kök

2. sıra süper kök veya "süper kare kök" is noteworthy for its simple expression in terms of Lambert W fonksiyonunda terimlerinin basit ifadesi için önemlidir. İfadesi;

: \sqrt{x}_s = e^{W(\ln{x})} buradaki \sqrt{x}_s,  x 'in süper kare köküdür.

Fonksiyon her ne kadar süper karenin karşıtı olarak tanımlanmış olsa bile, sonsuz üstelin de karşıtıdır. Sonsuz n.kökte şöyledir;

\sqrt{x}_s = \sqrt[\sqrt[\sqrt[\sqrt[...]{x}]{x}]{x}]{x}.

##### Kare kök örnekleri

Aşağıdaki tablo ilk 27 tam sayının süper kare köklerini gösteriyor.

Eğer bir sayının süper kare kökü tam sayı değilse, o irrasyoneldir. Fakat bununla ilgili herhangi bir ispat bilinmiyor.

#### Diğer süper kökler

Diğer süper kökler, normal kökle kullanılan aynı tabanda ifade edilebilir: süper küp kökler, x = y^{y^y} olduğunda *y* üreten fonksiyon, \sqrt[3]{x}_s olarak ifade edilebilir. 4. süper kök, \sqrt[4]{x}_s olarak ifade edilebilir ve bundan dolayı, *n*. süper kök, \sqrt[n]{x}_s'dir denilebilir.

### Süper logaritma
Tetrasyonun iki ters fonksiyonundan biridir. Sadece, kökler ve logaritma üstel olarak iki ters fonksiyonken, keza tetrasyonunda iki ters fonksiyonu vardır: süper logaritma ve süper kök. Süper logaritmayı açıklayan birkaç yol vardır:

* Üstel fonksiyonların Abel fonksiyonu olarak,
* Tetrasyonun yüksekliğini ifade eden ters fonksiyonu olarak,
* Logaritmanın 1'e gitmesi için kaç kez tekrarlanması gerektiğinin sayısı,
* As a generalization of Robert Munafo's large number class system,
* Biçimsel fonksiyonun bir sınırsız sürümü olarak.

#### Süper logaritma tanımları
\,\mathrm{slog}_b(z) olarak yazılan süper logaritma, tam olarak şöyle tanımlanır;
:\,\mathrm{slog}_b(b^z) = \mathrm{slog}_b(z) + 1 ve
:\,\mathrm{slog}_b(1) = 0.

Bu tanımın sadece tam sayılar verebileceğine ve sadece tam sayı üretebilecek sayıları kabul edebileceğine dikkat edin. Bu tanımın kabul edeceği sayılar b, b^b, b^{b^b} vb. formdadır.

#### Yaklaşımlar
Genellikle özel fonksiyonlar, argüman(lar)ın reel değerleri için değil, karmaşık düzlem, diferansiyel ve integral ifadeleri içinde tanımlanır. **Slag** fonksiyonu için mevcut ifadeler olmadığı için, basit yaklaşımlar şöyle öneriliyor.

##### Süper logaritmaya lineer yaklaşım
Süper logaritmaya lineer yaklaşım şöyledir:

:\mathrm{slog}_b(z) \approx \begin{cases}
\mathrm{slog}_b(b^z) - 1 & z \le 0 \mbox{için } \\
-1 + z &  0 

Bu fonksiyon, tüm reel *z* (C^0 süreklilik) için süreklidir.

##### İkinci dereceden yaklaşım
Süper logaritmaya ikinci dereceden yaklaşım şöyledir:

:\mathrm{slog}_b(z) \approx \begin{cases}
\mathrm{slog}_b(b^z) - 1 & z \le 0 \mbox{için } \\
-1 + \frac{2\log(b)}{1+\log(b)}z + 
\frac{1-\log(b)}{1+\log(b)}z^2 & 0 

Bu fonksiyon tüm reel *z* (C^1 süreklilik) için türevlenebilir.

#### Abel fonksiyonuna yaklaşımlar

Abel fonksiyonu, şu eşitliği sağlayan herhangi bir fonksiyondur:
:\,A_f(f(x)) = A_f(x) + 1
Verilen bir A_{f}(x) Abel fonksiyonunun diğer çözümü herhangi sabit A'_{f}(x) = A_{f}(x) + c eklenerek elde edilebilir. Verilen bu süper logaritma \mathrm{slog}_b(1) = 0 olarak tanımlanır ve üçüncü özelliği üstel fonksiyonun Abel fonksiyonu, eşsiz olarak tanımlanabilmesidir.

#### Özellikler
Süper logaritmanın diğer eşitlikleri:
:\,\mathrm{slog}_b(z) = \mathrm{slog}_b(\log_b(z)) + 1 
:\,\mathrm{slog}_b(z) > -2 tüm reel z için

#### Tetrasyonun tersi olarak slag

Tetrasyon olarak ~{\rm sexp}_b(z)~, analitik fonksiyon olması husunuda şüphelidir. En azından ~b~'nin bazı değerleri için slogb=sexpb−1 ters fonksiyonu analitik olabilir. Karmaşık z düzlemindeki ~{\rm slog}_b(z)~'nin davranışı, yukarıdaki şekilde, ~b=e~ durumu için çizilmiştir. slog fonksiyonunun sanal kısmının reel ve tam sayı değerlerinin dereceleri kalın çizgilerle gösteriliyor.

## Ayrıca bakınız
* Ackermann işlevi
* Aşırı işleçler
* Tekrarlı logaritma

## Alıntılar

* Daniel Geisler, *[http://www.tetration.org/ tetration.org] *
* Ioannis Galidakis, *[https://web.archive.org/web/20090520164620/http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/exponents4.html On extending hyper4 to nonintegers]* (2006'dan önce) *(A simpler, easier to read review of the next reference)*
* Ioannis Galidakis, *[https://web.archive.org/web/20060525195301/http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/papers/Extensions.pdf On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals]* (undated, 2006 or earlier).
* Robert Munafo, *[http://mrob.com/pub/math/hyper4.html#real-hyper4 Extension of the hyper4 function to reals] * *(An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)*
* Lode Vandevenne, *[http://groups.google.com/group/sci.math/browse_frm/thread/39a7019f9051c5d7/8c1c4facb7e4bd6d#8c1c4facb7e4bd6d Tetration of the Square Root of Two] *, (2004). *(Attempt to extend tetration to real numbers.)*
* Ioannis Galidakis, *[https://web.archive.org/web/20061011192213/http://ioannis.virtualcomposer2000.com/math/  Mathematics]*, *(Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)*
* Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
* Joseph MacDonell, *[http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/ther/tower.htm Some Critical Points of the Hyperpower Function] *.
* Dave L. Renfro, *[http://mathforum.org/discuss/sci.math/t/350321 Web pages for infinitely iterated exponentials] * *(Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)*
* Andrew Robbins, *[http://tetration.itgo.com Home of Tetration]*  *(An infinitely differentiable extension of tetration to real numbers.)*
* R. Knobel. "Exponentials Reiterated." *Amerikan Matematik Aylığı* **88**, (1981), p.&nbsp;235-252.
* Hans Maurer. "Über die Funktion y=x^{[x^{[x(\cdots)]}]} für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." *Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg* **4**, (1901), p.&nbsp;33-50. *(Reference to usage of <math>\ {^{n} a}</math> from Knobel's paper.)*

## Dış bağlantılar
* Andrew Robbins'in tetrasyon sitesi
* Daniel Geisler'in tetrasyon sitesi 
* Tetrasyon Forumu 
* citizendium'daki tetrasyon