Euler spirali

**Euler spirali**, eğimi eğrinin uzunluğuyla doğrusal olarak degişen bir eğridir. Euler spiralleri yaygın olarak **spiros, clothoids** veya **Cornu spiralleri** olarak da adlandırılır. Euler spirallerinin kırınım hesaplamalarında uygulamaları vardır. Genellikle demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geometriyi bağdaştırmaya ve aktarmaya yarayan geçiş eğrisi olarak kullanılır. Teğet eğrisi ve dairesel eğri arasındaki geçiş eğrisinin eğimindeki lineer değişim prensibi Euler spiralinin geometrisini belirler:

* Eğimi teğetin düzgün kesitinden başlayarak lineer olarak eğri boyunca artar.
* Euler spiralinin dairesel eğriyle karşılaştığı yerde eğimi dairesel eğrinin eğimine eşit olur.

## Uygulamaları
### Geçiş eğrisi

Dairesel yörüngede hareket eden bir nesne merkezcil ivmeye maruz kalır. Bir araç düz bir yörüngeden dairesel bir yörüngeye yaklaşırken aniden teğet noktasında başlayan merkezcil ivmeyi hissedecektir. İlk demiryollarında trenlerin düşük hızla hareket etmesinden ve yörüngelerin geniş yarıçaplı eğrilerden oluşmasından dolayı şimdiki yanal kuvvet uygulaması bir sorun oluşturmamaktaydı. Demiryolu taşıtlarının hızı günden güne arttıkça konforun gerekli olduğu ortaya çıktı. Bu yüzden de merkezcil ivme yolculuk mesafesiyle doğrusal olarak artmaktadır. Konforun sağlanması için eğimi alınan mesafeyle doğrusal olarak artan bir eğri çözüm olarak bulundu. Bu geometrik ifade Euler spiralidir. Leonhard Euler'in geometri çözümünden habersiz olarak Rankine Euler spiralinin dairesel bir eğriye yakınsayan bir parabol üzerindeki küçük açısal değişiklikler üzerinden yapılan bir yaklaşımı olan kübik eğriden (3. dereceden polinom) bahsetmiştir. Marie Alfred Cornu ve daha sonra başka inşaat mühendisleri de Euler spiralinin hesaplamalarını birbirlerinden bağımsız olarak çözmüşlerdir. Günümüzde Euler spiralleri yaygın olarak demiryolu ve karayolu mühendisliklerinde teğet eğrisi ve yatay dairesel eğri arasında geçişi ve konforu sağlamak için kullanılır.

### Optik
Cornu spirali kırınım desenini betimlemek için kullanılır.

## Formülasyon

### Semboller

### Çıkarımlar

Sağ taraftaki grafik Euler spiralinin negatif x ekseni boyunca uzanmış düz bir çizgiyle bir çember arasındaki geçiş eğrisi olarak kullanıldıgını göstermektedir. Spiral pozitif x ekseni üzerindeki orijinden başlayarak gitgide saat yönünün tersinde dönerek çembere değer. Spiral ilk kadrandaki çift sonlu Euler spiralinin yukarısındaki küçük bir kısımdır.

: Eğim tanımından yola çıkılarak,
:: \frac {1}{R} = \frac {d\theta}{dL} \propto L 

:: R L = \text{constant} = R_c L_s\,
:: \frac {d\theta}{dL} = \frac {L}{R_c L_s}

: Aşağıdaki şekilde yazarsak,
::\frac {d\theta}{dL} = 2a^2 L

::2a^2= \frac {1}{R_c L_s}

:ya da ::a = \frac {1}{\sqrt {2R_c L_s} }

:Böylece
::\theta = (a L)^2\, olur.

:: 
\begin{align}
x & = \int_0^L \cos\theta \, ds \\
  & = \int_0^L \cos \left[ (a s)^2 \right] ds
\end{align}

:Eğer
::L' = a L \, olduğunu kabul edersek,
:::dL = \frac{dL'}{a}\,.
:Böylece :: x = \frac{1}{a} \int_0^{L'} \cos {s}^2 ds elde ederiz.

:: 
\begin{align}
y & = \int_0^L \sin\theta \, ds \\
  & = \int_0^L \sin \left[ (a s)^2 \right] ds \\
  & = \frac{1}{a} \int_0^{L'} \sin {s}^2 \, ds 
\end{align}


### Fresnel integral açılımı
A'nın olduğu yani Euler eğrisinin normalize edilebilir olduğu durumlarda kartezyen koordinatlar Fresnel integrali (ya da Euler integrali) ile aşağıdaki gibi belirlenir:

:      C(L) =\int_0^L\cos s^2 \, ds
:      S(L) = \int_0^L\sin s^2 \, ds

Kosinüs açılımına göre C(L)'yi :

:      \cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots
:      C(L) = \int_0^L \cos s^2 \, ds
:           = \int_0^L (1 - \frac{s^4}{2!} + \frac{s^8}{4!} - \frac{s^{12}}{6!} + \cdots) \, ds

:           = L - \frac{L^5}{5 \times 2!} + \frac{L^9}{9 \times 4!} - \frac{L^{13}}{13 \times 6!} +\cdots

Sinüs açılımına göreyse S(L)'yi:

:      \sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots
:      S(L) = \int_0^L \sin s^2 \, ds
:           = \int_0^L (s^2 - \frac{s^6}{3!} + \frac{s^{10}}{5!} - \frac{s^{14}}{7!} + \cdots) \, ds

:           = \frac{L^3}{3} - \frac{L^7}{7 \times 3!} + \frac{L^{11}}{11 \times 5!} - \frac{L^{15}}{15 \times 7!} +\cdots

bu şekillerde elde ederiz.

### Normalize etme ve sonuç

Verilen Euler eğrisi için:

:2RL = 2R_c L_s = \frac{1}{a^2} \, 

ya da 
:\frac{1}{R} = \frac{L}{R_c L_s} = 2a^2L \,  geçerliyse,

:x=\frac{1}{a} \int_0^{L'} \cos s^2 \, ds

:y=\frac{1}{a} \int_0^{L'} \sin s^2 \, ds \, 

where L' = aL \,  and  a = \frac{1}{\sqrt{2R_c L_s}}.

Euler spiralinin (x,y) cinsinden çözümünün elde edilme süreci şu şekilde belirlenebilir: 
* Orijinal Euler spiralinin uzunluğu L a ile çarpılarak normalize edilmiş Euler spiralinin uzunluğu L*e eşlenir;
* Fresnel integralinden (x',y') bulunur; ve
* (x',y') 1/a oranında arttırılarak  (x,y)'ye eşlenir. (1/a > 1)

Normalizasyon süresince,

:<math>
\begin{align}
R'_c & = \frac{R_c}{\sqrt{2 R_c L_s}} \\
     & = \sqrt{\frac{R_c}{2L_s}} \\
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
L'_s & = \frac{L_s}{\sqrt{2R_c L_s}} \\
     & = \sqrt{\frac{L_s}{2R_c}}
\end{align}
</math>

:<math>
\begin{align}
2R'_c L'_s & = 2 \sqrt{\frac{R_c}{2L_s} } \sqrt{\frac{L_s}{2 R_c}} \\
           & = \tfrac{2}{2} \\
           & = 1
\end{align}
</math>

Normalizasyon genel olarak L*ı 1'den küçük bir değere götürür.

#### Örnekleme

Verilen:
:
   \begin{align}
   R_c & = 300\mbox{m} \\
   L_s &= 100\mbox{m}
   \end{align}

değerleri için,
:
   \begin{align}
   \theta_s & = \frac{L_s} {2R_c} \\
       & = \frac{100} {2 \times 300} \\
       & = 0.1667 \ \mbox{radian} \\
    \end{align}
 olur.

: 2R_c L_s = 60,000 \,

Euler spiralini √60,000 küçültürsek, yani normalize Euler spiralinin 100√6 olması durumunda:

:
   \begin{align}
      R'_c = \tfrac{3}{\sqrt{6}}\mbox{m} \\
      L'_s = \tfrac{1}{\sqrt{6}}\mbox{m} \\
      \\
   \end{align}


:
   \begin{align}
   2R'_c L'_s & = 2 \times \tfrac{3}{\sqrt{6}} \times \tfrac{1}{\sqrt{6}} \\
              & = 1 
   \end{align}

ve
:
   \begin{align}
    \theta_s & = \frac{L'_s}{2R'_c} \\
       & = \frac{\tfrac{1}{\sqrt{6}}} {2 \times \tfrac{3}{\sqrt{6}}} \\
       & = 0.1667 \ \mbox{radian} \\
   \end{align}


Yukarıda iki açı \theta_s\, da aynı. Bu orijinal ve normalize edilmiş Euler spirallerinin benzer geometrilere sahip oldugunu göstermektedir. Normalize eğrinin konumu Fresnel integraliyle belirlenebilirken, orijinal Euler spiralinin konumu ise denormalizasyonla elde edilir.

### Normalize Euler spiralinin diğer özellikleri

Normalize Euler spirali şu şekilde ifade edilir:

:: x = \int_0^L \cos s^2 ds

:: y = \int_0^L \sin s^2 ds

ve normalize Euler spiralinin bazı özellikleri şunlardır:

:2 R_c L_s = 1 \,\!

:\theta_s = \frac{L_s}{2 R_c} = L_s ^2

ve

:\theta = \theta _s\cdot\frac{L^2}{L_s^2} = L^2
:\frac{1}{R} = \frac{d\theta}{dL} = 2L.

## Euler spiral üretmek için gereken kodlar

Aşağıdaki Sage koduyla yukarıdaki ikinci grafik elde edilebilir. İlk 4 satır Euler spirali bileşenlerini ifade eder. fresnel fonksiyonlarının yerine iki Taylor seri açılımı adapte edilmiştir. Geriye kalan kodlarsa sırayla teğet ve daireyi ifade eder.

   var('L')
   p = integral(taylor(cos(L^2), L, 0, 12), L)
   q = integral(taylor(sin(L^2), L, 0, 12), L)
   r1 = parametric_plot([p, q], (L, 0, 1), color = 'red')
   
   r2 = line([(-1.0, 0), (0,0)], rgbcolor = 'blue')
   
   x1 = p.subs(L = 1)
   y1 = q.subs(L = 1)
   R = 0.5
   x2 = x1 - R*sin(1.0)
   y2 = y1 + R*cos(1.0)
   r3 = circle((x2, y2), R, rgbcolor = 'green')
   show(r1 + r2 + r3, aspect_ratio = 1, axes=false)

Aşağıdaki Mathematica kodu da Euler spiralinin bileşenleri içindir; wolframalpha.com'da sorunsuz bir şekilde çalışır.

:

   ParametricPlot[
    {FresnelC[Sqrt[2/\[Pi]] t]/Sqrt[2/\[Pi]],
     FresnelS[Sqrt[2/\[Pi]] t]/Sqrt[2/\[Pi]]},
    {t, -10, 10}]

## Kaynakça

## Konuyla ilgili okumalar

*
*R. Nave, The Cornu spiral, *Hyperphysics* (2002) *(Uses πt²/2 instead of t².)*
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm (See Chapter 7)]*
*

## Dış bağlantılar
* 
* Euler's spiral at 2-D Mathematical Curves
* [Interactive example with JSXGraph](http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Euler%27s_spiral_(Clothoid))