Bresenham'ın çizgi algoritması

### Tarihçe
**Bresenham'ın çizgi algoritması**, Amerikalı bilgisayar mühendisi Jack Bresenham tarafından, 1960'lı yıllarda IBM için doğrunun bilgisayar ekranına çizimi için geliştirilen bir algoritmadır.

### Artıları
Bresenham Algoritmasi DDA'ya göre daha hızlıdır, çünkü DDA'nın aksine ondalıklı sayılarla (float) işlem yapılmaz. Bresenham algoritması tam sayılarla(int) toplama, çıkarma ve ikiyle çarpma işlemlerini içerir. İkiyle çarpma işlemi shift Operasyonu ile Assembler düzeyinde çok hızlı yapılabildiğinden, Bresenham algoritması oldukça verimli bir algoritmadır.

### Genel Algoritma
Pseudo kod ile şu şekilde ifade edilir. Bu hali ondalıklı sayılarla işlem içerdiği için kullanılmaz.

 **function** line(x0, x1, y0, y1)
   *int* deltax := abs(x1 - x0)
   *int* deltay := abs(y1 - y0)
   *real* error := 0
   *real* deltaerr := deltay / deltax  // Assume deltax != 0 (line is not vertical)
   *int* y := y0
   **for** x **from** x0 **to** x1
     plot(x, y)
     error := error + deltaerr
     **if** error ≥ 0.5 **then**
       y := y + 1
       error := error - 1.0

### Optimize Edilmiş Hali
Bu hali sadece tam sayılar kullandığı için oldukça verimlidir. Aşağıdaki hali algoritmanın anlaşılması için basitleştirilmiştir. aşağıdaki hali x-eksenin y-ekseninden daha hızlı arttığını (yani deltax'in deltay'den büyük olduğunu) ve x0'ın x1'den küçük olduğunu varsaymaktadır.

  **function** line(x0, y0, x1, y1)
    *int* deltax := abs(x1 - x0)
    *int* deltay := abs(y1 - y0)
    *int* error := 2 * deltay - deltax
    *int* xk := x0
    *int* yk := y0
    **while** xk k+1 := xk + 1
      **if** error > 0
         yk+1 := yk + 1
         error := error + 2 * deltay - 2 * deltax
      **else**
         yk+1 := yk
         error := error + 2 * deltay
      xk := xk+1

### Matematiksel İspatı
**Bresenham algoritması** verimliliğini, yavaş artan eksenin belirli bir kurala göre arttığını gözlemlemesine borçludur. Hızlı artan eksen her iterasyondan 1 piksel artarken, yavaş artan eksen bazen sabit kalıp, bazen bir piksel artar. Matematiksel olarak anlatmak istersek:

En son çizilen pikselin koordinatlarının (xk, yk) olduğunu ve y-ekseninin yavaş arttığını varsayalım. dalt gerçek doğruyla yk arasındaki uzaklık olsun. düst gerçek doğruyla yk + 1 arasındaki uzaklık olsun.

Eğer (dalt üst) ise yk+1 := yk olmalıdır. Aksi halde yk+1 := yk + 1 olmalıdır.

y = mx + b doğrusu için
   dalt = y - yk = m(xk + 1) + b - yk

   düst = yk + 1 - y = yk + 1 - m(xk + 1)

   m = (y1 - y0) / (x1 - x0) = deltay / deltax

   dalt - düst = 2 * m * (xk + 1) - 2 * yk - 1
         = 2 * deltay * (xk + 1) / deltax - 2 * yk - 1

Bölüm halindeki deltax'den kurtulmak için bulduğumuz formülü deltax'le çarpalım ve pk olarak adlandıralım. pk değeri optimize edilmiş algoritmada error olarak isimlendirilmişti ama burada ardışık error değerlerini karıştırmamak için pk olarak adlandıracağız.

  pk = deltax * (dalt - düst) = 2 * deltay * (xk + 1) - 2 * deltax * yk - deltax

Eğer pk pozitifse gerçek doğru üst piksele daha yakın olduğu için yk+1 = yk + 1, aksi halde yk+1 = yk olacaktır.

  pk+1 - pk = 2 * deltay * (xk+1 - xk) - 2 * deltax * (yk+1 - yk)
 
xk+1 = xk + 1 olduğundan 
  
  pk+1 = pk + 2 * deltay - 2 * deltax * (yk+1 - yk)

Eğer pk pozitifse (yk+1 - yk) = 1; aksi halde (yk+1 - yk) = 0

Görüldüğü üzere error değeri (yani pk) pozitifse 2 * deltax kadar azaltılıyor ve yk değeri artırılıyor. Ayrıca error değeri, her adımda 2 * deltay kadar artırılmaktadır.