Sinüs (matematik)

{\textrm{hipotenus}}

| parity=tek
| domain=(−, +)&thinsp;
| range=[−1, 1]&thinsp;
| period=2
| zero=0 |plusinf= |minusinf= 
| max=(2*k* + , 1) |min=(2*k* − , −1)
| vr1= |f1=  |vr5= |f5=
| asymptote=
| root=*k* |critical=*k* + 
| inflection=*k*
| fixed=0
| notes = 

|fields_of_application= Trigonometri, İntegral dönüşüm, Fourier serisi, vb.
|date=Gupta dönemi
|motivation_of_creation=Hint astronomisi

|reciprocal = Kosekant
|inverse = Arksinüs
|derivative = f'(x) = \cos(x) 
|antiderivative = \int f(x)\,dx = -\cos(x) + C 
|generalized_continued_fraction = 
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 +
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 +
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}.

|taylor_series= 
\begin{align}
x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[8pt]
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt]
\end{align}


|other_related= cos, tan, csc, sec, cot
}}
  
*Bu madde trigonometri fonksiyonu Sinüs ile alakalıdır. Anatomideki [[Sinüs (anatomi)|Sinüs]] ile karıştırılmamalı.*

Matematikte **sinüs**, trigonometrik bir fonksiyon. `''Sin''` kısaltmasıyla ifade edilir.

Merkezi orijin olan 1 birim yarıçaplı çember üzerindeki bir noktanın y eksenine göre koordinatıdır. Orijinden noktaya çizilen bir doğrunun y ekseniyle yaptığı açı kullanılarak ya da aynı açıya sahip bir dik üçgende, bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse bölümüyle hesaplanır.

Sinüs fonksiyonu çoğunlukla ışık, ses, harmonik osilatörlerin konumu ve hızı, güneş ışığı yoğunluğu, gündüz uzunluğu ve yıl içindeki ortalama sıcaklık değişimleri gibi periyodik olayları modellemek için kullanılır.

Sinüs fonksiyonunun tarihi Gupta dönemi Hint astronomisinde kullanılan jyā ve koṭi-jyā fonksiyonlarına kadar uzanır. Sinüs fonksiyonu Sanskritçe'den Arapçaya, daha sonra Arapçadan Latince'ye çevrilmiştir.

## Dik üçgen tanımı

Bir dar açı olan *α*'nın sinüsünü tanımlamak için *α* açısını içeren bir dik üçgen düşünün. Yandaki görselde *Â* açısı ilgili açı olmak üzere *ABC* üçgeninin üç kenarını şu şekilde isimlendirebiliriz:

* *Karşı kenar*, ilgili açının karşısındaki kenardır (yandaki üçgende&nbsp;*o* kenarıdır).
* *Hipotenüs*, dik açının karşısındaki kenardır (yandaki üçgende&nbsp;*h* kenarıdır). Hiptenüs bir dik açılı üçgende her zaman en uzun kenardır.
* *Komşu kenar*, son kalan kenardır (yandaki üçgende&nbsp;*a* kenarıdır). Komşu kenar hem dik açıya hem de ilgili açıya komşudur.

Böyle bir üçgende açının sinüsü karşı kenarın hipotenüsü bölümü ile bulunur, veya:

:\sin(\alpha) =  \frac {\textrm{karsi}}{\textrm{hipotenus}}

Diğer trigonometrik fonksiyonlar da benzer şekilde tanımlanabilir; Mesela, bir açının kosinüsü komşu kenar ile hipotenüsün oranıdır, bununla beraber tanjant karşı kenar ile komşu kenarın oranınıdır.

## Birim çember tanımı

Trigonometride birim çember, yarıçapı bir olan ve Kartezyen koordinat sisteminde merkezi orijin'de (0, 0) olan çemberdir.

Orijinden geçen ve *x* ekseninin pozitif yarımıyla *θ* açısı yapan bir çizginin birim çember ile kesişimi bir nokta verir. Bu kesişim noktasının *x* ve *y* koordinatları sırasıyla  ve 'e eşittir.

Dik üçgen tanımının aksine birim çember tanımındaki açı bütün gerçek sayılar olabilir.


File:Circle_cos_sin.gif|y = \sin(\theta) kırmızı ile gösterilen sinüs fonksiyonunun *x* ekseniyle *θ* açısı yapan birim çemberdeki yeşil noktanın *y* koordinatından (kırmızı nokta) çizilişini gösteren animasyon.


## Özdeşlikler
Bunlar \theta'nın tüm değerleri için geçerlidir.

: 
\sin(\theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\csc(\theta)}


### Çarpmaya göre tersi
Sinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi kosekanttır. Başka bir deyişle 'nın çarpmaya göre tersi  veya cosec(*A*)'dır. Bir dik üçgende, hipotenüs'ün karşı dik kenara oranına kosekant denir:

:\csc(A) = \frac{1}{\sin(A)} = \frac {\textrm{hipotenus}} {\textrm{karsi}} = \frac{h}{o}. 

### Ters fonksiyonu

Sinüs fonksiyonunun tersi arcsinüstür.  fonksiyonu  olarak ifade edilebilir. 'i ifade eden birçok *y* sayısı vardır. Örneğin , aynı zamanda ,  vb.  fonksiyonu da çok değerlidir: , aynı zamanda ,  vb. Yalnızca tek bir değer belirtildiğinde, fonksiyon kısıtlanır. Bu kısıtlama ile, tanım kümesindeki her bir *x* için  ifadesi yalnızca tek bir değere karşılık gelir, bu da asıl değer olarak adlandırılır. Bu özellikler tüm ters trigonometrik fonksiyonlarlarda uygulanır.

:\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \right) = \sin^{-1} \left( \frac {a}{h} \right).

*k* &isin; \mathbb{Z}:

:\begin{align}
\sin(y) = x \iff & y = \arcsin(x) + 2\pi k , \text{ veya }\\
 & y = \pi - \arcsin(x) + 2\pi k
\end{align}

Tek bir denklemde:

:\sin(y) = x \iff  y = (-1)^k \arcsin(x) + \pi k

:\arcsin için bu iki denklem doğru olabilir
:

:\sin(\arcsin(x)) = x\!
ve
:-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \text{ ise } \arcsin(\sin(\theta)) = \theta\quad

### Kalkülüs
Sinüs fonksiyonu için:

:f(x) = \sin(x) 

Türevi:

:f'(x) = \cos(x) 

İlkel fonksiyonu:

:\int f(x)\,dx = -\cos(x) + C 

*C* entegrasyon sabitini temsil ediyor.

## Yazılımdaki uygulamaları
Diğer trigonometrik fonksiyonlarla beraber sinüs fonksiyonu birçok programlama dillerinde ve platformlarında mevcuttur. Bilgi işlemde genel olarak `sin` şeklinde kısaltılır.

Intel x87 FPU'ların 80387 ve daha sonraki jenerasyonlarında olduğu gibi bazı CPU mimarileri sinüs için hazır talimatlar içerir.

Proglamlama dillerinde `sin` genelde ya hazır bir fonksiyondur ya da dilin standart matematik kütüphanesinde bulunur.

Örneğin, C standart kütüphanesinde sinüs fonksiyonları math.h dosyasında tanımlıdır: `sin(double)`, `sinf([[kayan nokta|float]])` ve `sinl(long double)`. Her fonksiyonun parametrelerinin veri tipi kayan noktadır ve radyan türünden bir açıyı belirtir. Her fonksiyon aldığı veri tipini geri verir. C standart kütüphanesinde sinüsle beraber bir sürü başka trigonometrik fonksiyon da tanımlanmıştır, mesela kosinüs, arksinüs ve hiperbolik sinüs(sinh).

Benzer olarak, Python dilinde de sinüs fonksiyonu (`math.sin(x)`) hazır `math` modülünde tanımlıdır. CPython'un matematik fonksiyonları C `math` kütüphanesini çağırır.

Sinüs hesaplamak için standart bir algoritma yoktur. kayan nokta hesaplamaları için kullanılan en yaygın standart IEEE 754-2008  sinüs gibi trigonometrik fonksiyonların hesaplanması hakkında bilgi vermemektedir.

Sinüs hesaplamak için kullanılan algoritmalar hız, kesinlik, taşınabilirlik veya veri girişi aralığı gibi sınırlamalar için dengelenebilir. Bu, farklı algoritmaların farklı sonuçlar vermesine yol açabilir, özellikle çok büyük veri girişi (Örneğin: `sin(10)`) gibi özel durumlar için.

Özellikle 3 boyutlu bilgisayar grafiklerinde kullanılan yaygın bir optimizasyon tekniği sinüs değerlerinin bir tablosunu önceden hesaplamaktır, örnepin her derece için bir değer. Bu yöntem her seferinde değeri hesaplamak yerine u tablodan bakıp kullanmayı sağlar.

CORDIC algoritması bilimsel hesap makinelerinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

### Tur tabanlı uygulamaları

Bazı yazılım kütüphaneleri veri giriş açısını yarım tur (180 derece) veya \pi radyan olarak almaktadır. Açıyı yarım turla veya turla ifade etmek bazen kesinliklik ve verimlilik avantajları sağlayabilir.

## Ayrıca bakınız
* Kosinüs
* Tanjant
* Kotanjant
* Dönüşüm formülleri

## Kaynakça