Carnot teoremi (dikmeler)

Adını Fransız matematikçi Lazare Carnot'dan alan **Carnot teoremi**, üçgenin (uzatılmış) kenarlarına dik olan üç doğrunun ortak bir kesişme noktası için gerek ve yeter koşulu tanımlar. Teorem ayrıca Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak düşünülebilir.

## Teoremin açıklaması
Kenarları a, b, c olan bir \triangle ABC üçgeni için, üçgenin kenarlarına dik olan ve ortak bir F noktasında kesişen üç doğru düşünün. Eğer P_a, P_b, P_c a, b, c kenarları üzerindeki bu üç dikmenin ayak noktaları ise, ardından aşağıdaki denklem geçerli olur:

:  |AP_c|^2 + |BP_a|^2 + |CP_b|^2 = |BP_c|^2 + |CP_a|^2 + |AP_b|^2

Yukarıdaki ifadenin tersi de doğrudur, yani bir üçgenin üç kenarındaki üç dikmenin ayak noktaları için denklem geçerliyse, o zaman bu dikmeler ortak bir noktada kesişirler. Bu nedenle denklem, gerekli ve yeterli bir koşulu sağlar.

## Özel durumlar
Eğer \triangle ABC üçgeni C noktasında bir dik açıya sahipse ve kesişme noktası F, A veya B üzerinde bulunuyorsa, yukarıdaki denklem Pisagor teoremini verir. Örneğin eğer F noktası, A ile çakışırsa bu, |AP_b| = 0, |AP_c| = 0, |CP_a| = 0, |CP_b| = b, |BP_a| = a ve  |BP_c| = c olduğu sonucunu doğurur. Bu nedenle, yukarıdaki denklem a^2 + b^2 = c^2 haline yani Pisagor teoremine dönüşür.

Diğer bir sonuç, bir üçgenin dik açıortaylarının ortak bir noktada kesişme özelliğidir. Dikey açı ortaylar söz konusu olduğunda |AP_c| = |BP_c|, |BP_a| = |CP_a| ve |CP_b| = |AP_b| olur ve bu nedenle yukarıdaki denklem geçerlidir. Bu, üç dikey açıortayın da aynı noktada kesiştiği anlamına gelir.

## İspat

Şekilden görülebileceği gibi dik açıortayların ayakları A_a, B_b, C_c olarak gösterilsin.

Carnot Teoremi, aşağıdaki ifade doğrulandığında istenen tutarlılığı garanti eder.
:: \left(\;|AC_c|^2 - |BC_c|^2\;\right) + \left(\;|BA_a|^2 - |CA_a|^2\;\right) + \left(\;|CB_b|^2 - |AB_b|^2\;\right) \stackrel{?}{=}\ 0 \qquad(\star)

Öncelikle (\star) ifadesinin ilk kısmını ele alalım:

::|AC_c|^2 - |BC_c|^2 = \left(\;|AC_c|+|BC_c|\;\right)\left(\;|AC_c|-|BC_c|\;\right) = |AB|\;\left(\;|AC_c|-|BC_c|\;\right)

::|AC_c| = \frac12 (\; |AA_c| + |AB_c| \;) = \frac12 (\;|AA_c|+|AB|-|BB_c|\;)

::|BC_c| = \frac12(\;|BB_c|+|AB|-|AA_c|\;)

olduğundan, yukarıdaki ifade,

::|AC_c|^2 - |BC_c|^2 = |AB|\;\left(\;|AA_c| - |BB_c|\;\right)

şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde,

::|BA_a|^2 - |CA_a|^2 = |BC|\;\left(\;|BB_a|-|CC_a|\;\right)
::|CB_b|^2 - |AB_b|^2 = |CA|\;\left(\;|CC_b|-|AA_b|\;\right)

Bu nedenle, (\star) aşağıdaki ifadeye dönüşür:

::|AB||AA_c| + |BC||BB_a| + |CA||CC_b| \stackrel{?}{=} |BA||BB_c| + |CB||CC_a|+|AC||AA_b| \qquad(\star\star)

sağ tarafta "|AB|" yerine "|BA|" yazılması, vb. gibi değişiklerle ve aşağıdaki ifadeden faydalanırsak:

(\star\star) ifadesinde, |AB||AA_c| teriminin değeri K_A'ya göre A noktasının kuvvetidir; ama |AC||AA_b| değeri de öyledir. Bu nedenle her iki terim iptal edilir. Benzer şekilde, |BC||BB_a| = |BA||BB_c| (B'nin K_B'ye göre kuvveti) ve |CA||CC_b| = |CB||CC_a| (C'nin K_C'ye göre kuvveti). Tüm terimler birbirini götürür, böylece Carnot Teoremine ulaşılır: şekildeki doğrular tek noktada kesişir.

## Kaynakça

*  
* 

## Dış bağlantılar
* Carnot's theorem @ Interactive Geometry
* Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot  @ Matheplanet.com (Almanca)
* Carnot's Theorem  @ cut-the-knot.org
* Carnot's Theorem  @ artofproblemsolving

## Konuyla ilgili yayınlar
* Prof. Ion Pătrașcu, *The Dual of the Orthopole Theorem*, Makale 
* Oğuzhan Demirel & Emine Soytürk, (2008), *The Hyperbolic Carnot Theorem in the Poincare Disc Model of Hyperbolic Geometry*, Novi Sad J. Math., Vol. 38, No. 2, ss. 33-39, Makale