Hareket eden mıknatıs ve iletken problemi

**Hareketli mıknatıs ve iletken problemi** 19. yüzyılda ortaya çıkan, klasik elektromanyetizma ve özel görelilik kesişimi ile ilgili ünlü bir düşünce deneyidir. Mıknatısa göre sabit hız (v) ile hareket eden iletkendeki akım, mıknatısın ve iletkenin referans sistemlerinde hesaplanır. "Sadece "göreli" hareket gözlemlenebilir, diğerlerinin mutlak bir standardı yoktur." diye belirten temel görelilik ilkesi doğrultusunda, deneydeki gözlemlenebilir miktar olan akım, her durumda aynıdır. Ancak, Maxwell denklemlerine göre, iletkendeki yük, mıknatıs referans sisteminde "manyetik kuvvete" ve iletken referans sisteminde "elektrik kuvvetine" maruz kalır. Aynı olgu, gözlemcinin referans sistemine bağlı olarak iki farklı tanımları var gibi görünebilir.
 
Michelson-Morley deneyi ile birlikte bu problem, Einstein'ın görelilik kuramının temelini oluşturmuştur.
 
## Giriş
 
Albert Einstein'ın 1905'te dünyaya göreliliği sunduğu çalışması, mıknatıs/iletken sorununun tanımıyla başlar. On the Electrodynamics of Moving Bodies
 

 
Farklı referans sistemlerindeki gereklilik tanımlamaları tutarlı olmalarıdır. Tutarlılık bir meseledir, çünkü Newton mekaniği, yükleri yürüten ve akıma yol açan güçler için olan ve Galileo değişmezliği olarak adlandırılan bir dönüşümü öngörürken Maxwell denklemleri olarak ifade edilen elektrodinamik, bu güçlere yol açan alanların Lorentz değişmezliğine göre farklı şekilde dönüştürdüğünü öngörür. Michelson Morley deneyinde açığa çıkan ışık sapması gözlemleri, Lorentz değişmezliğinin geçerliliğini saptadı ve özel göreliliğin gelişmesi Newton mekaniği ile sonuçlanan anlaşmazlığı çözdü. Özel görelilik, Lorentz değişmezliği ile tutarlı olması için, hareketli referans sistemlerindeki güçlerin dönüşümünü gözden geçirmiştir. Bu dönüşümlerin detayları aşağıda tartışılmıştır.
 
Tutarlılığın yanı sıra, referans sisteminden bağımsız gibi görünen tanımlamaları pekiştirmek iyi olacaktır. Referans sisteminden bağımsız tanımın anahtarı, bir referans sistemindeki manyetik alanların başka referans sisteminde elektrik alanı halini aldığının gözlenmesidir. Aynı şekilde, elektrik alanlarının solenoidal bölümü (elektrik yüklerinden kaynaklanmayan bölümü) başka bir referans sistemi içinde bir manyetik alan haline gelir: yani, solenoidal elektrik alanlar ve manyetik alanlar aynı şeyin görünümleridir. Bu farklı açıklamaların paradoksunun sadece semantik olabileceği anlamına gelir. ***B*** ve ***E*** yerine φ ve ***A*** skaler ve vektör potansiyelleri kullanan açıklama semantic tuzağın önüne geçer. Lorentz değişmeyen dört vektörü *A*α = (φ /*c* 0, ***A***) yerini **E** ve **B**  ve çerçeveden bağımsız açıklama (**E**– **B**– tanımlamasından daha az visseral de olsa) sağlar. Açıklamaların alternatif bir birleşmesi, fiziksel varlığı daha sonradan açıklanacak olan elektromanyetik alan tensörü olarak düşünülmektir. Bu tensör hem bileşenler olarak **E** ve **B** alanları içerir hem de referansın tüm çerçevelerinde aynı forma sahiptir. 
 
## Arka plan
Elektromanyetik alanlar doğrudan gözlemlenemezler. Elektromanyetik alanların varlığı görünebilir yörüngeleri olan yüklü parçacıkların hareketinden anlaşılmaktadır. Elektromanyetik alanlar, yüklü parçacıkların gözlenen hareketlerini açıklar. 
 
Fizikteki güçlü bir koşul, bir parçacığın hareketinin tüm gözlemcileri, parçacığın yörüngesi üzerinde hemfikir olduğudur. Örneğin, eğer bir gözlemci bir parçacığın gözetleme camının merkezi ile çarpıştığını kaydederse, sonrasında tüm gözlemcilerin aynı sonuca ulaşması gerekir. Bu gereklilik, elektromanyetik alanların doğası üzerine ve bu alanların bir referans çerçevesinde diğerine dönüşümü üzerine kısıtlamalar koyar. Ayrıca, alanların ivmeyi ve dolayısıyla yüklü parçacıkların yörüngelerini etkilediği biçime kısıtlamalar koyar.
 
Belki de en basit örnek ve Einstein'ın 1905'teki özel göreliliği tanıtan çalışmasında bahsettiği mıknatıs alanında hareket eden iletken problemidir. Mıknatıs çerçevesinde iletken *manyetik' bir kuvvete maruz kalır. Mıknatısa göre hareket eden bir iletkenin çerçevesinde, iletken *elektrik* alanına bağlı olarak bir kuvvete maruz kalır. Mıknatıs çerçevesindeki manyetik alanın ve iletken çerçevesindeki elektrik alanın iletkende tutarlı sonuçlar oluşturması gerekir. Einstein'ın zamanı 1905'te, [[Maxwell denklemleri]] tarafından temsil edilen alan denklemleri tamamen tutarlıydı. Fakat, Newton'un hareket kanunu, tutarlı parçacık yörüngeleri sağlaması için düzeltilmeliydi.

== Galileo dönüşümlerini kullanarak alanların dönüşümü ==
 
Mıknatıs çerçevenin ve iletken çerçevenin [[Galileo dönüşümü]] ile ilgili olduğu varsayılarak, iki çerçevedeki alanları ve kuvvetleri hesaplamak basittir. Bu, indüklenen akımın aslında her iki çerçevede aynı olduğunu gösterecektir. Bir yan ürün olarak, bu argüman *ayrıca* başka çerçevedeki alanlar açısından bir çerçevedeki elektrik ve manyetik alanlar için genel bir formül verir.
 
Gerçekte, çerçeveler Galileo dönüşümü tarafından ilişkilendirilmez, ama [[Lorentz dönüşümü|Lorentz dönüşümleri]] tarafından ilişkilendirilir. Buna rağmen, bu, ışık hızından çok daha az hızlarda Galileo dönüşümü olacaktır.
 
İşlemden geçirilmemiş nicelikler, mıknatısın geri kalan çerçevesine karşılık geliyorken işlemden geçirilmiş nicelikler, iletkenin geri kalan çerçevesine karşılık gelir. *'v** iletkenin mıknatısın olduğu referans sistemindeki hızı olsun.
 
=== Mıknatısın referans sistemi ===
 
Mıknatısın durgun olduğu referans sisteminde, manyetik alan, mıknatısın yapısı ve şekli tarafından belirlenen sabit bir alandır **B**(**r**). Elektrik alan sıfırdır.
 
Genel olarak, iletkendeki yükün parçacığı ''q'' üzerinde [[elektrik alan]] ve [[manyetik alan]] tarafından kullanılan kuvvet şöyledir (SI birimleri kullanılarak):
 
: <math>  \mathbf{F} = q (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}),</math>
 
burada <math> q \ </math> parçacık yükü, <math> \mathbf{v} \ </math> parçacık hızı ve **F** [[Lorentz kuvveti]]dir. Ancak burada, elektrik alanı sıfırdır ve parçacık üzerindeki kuvvet şöyledir:
 
: <math>\mathbf{F} = q  \mathbf{v} \times \mathbf{B} .</math>
 
=== İletkenin referans sistemi ===
 
İletkenin referans sisteminde, buna göre manyetik alan **B**', mıknatıs referans sistemindeki manyetik alan **B** ile şu ilişki içerisinde olacaktır:
 
:<math>\mathbf{B}'(\mathbf{x}',t) = \mathbf{B}(\mathbf{x}'+\mathbf{v}t) . </math>
 
Bu referans sisteminde, [[Maxwell-Faraday denklemi]] tarafından üretilen bir elektrik alanı vardır:
 
:<math>\mathbf{ \nabla  \times E}' =- \frac { \partial \mathbf{B}'}{\partial t} \ . </math>
 
**B**' için yukarıdaki ifadeyi kullanarak,
 
:<math>\mathbf{ \nabla \times E}' = - (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{B} = -\nabla\times(\mathbf{B} \times \mathbf{v}) - \mathbf{v}(\nabla\cdot \mathbf{B}) = -\nabla\times(\mathbf{B} \times \mathbf{v}) </math>
 
([[Zincir kuralı]]nı ve [[Gauss'un manyetizma kuralı]]nı kullanarak). Bunun şöyle bir çözümü vardır:
 
:<math>\mathbf{E}' = -\mathbf{B} \times \mathbf{v} = \mathbf{v}\times \mathbf{B} \ . </math>
 
İletkendeki yük ''q'', iletken referans sisteminde durağan olacaktır. Bu nedenle, [[Lorentz kuvveti]]nin manyetik kuvvet teriminin hiçbir etkisi yoktur ve yükün üzerindeki kuvvet şöyledir:
 
:<math>\mathbf{F}' = q\mathbf{E}' = q\mathbf{v}\times \mathbf{B} \ .</math>
 
Bu, (beklenileceği üzere) kuvvetin her iki referans sisteminde de aynı olduğunu gösterir, böylelikle, indüklenen akım gibi, bu kuvvetin gözlenebilen her bir sonucu da her iki çerçevede aynı olacaktır. Bu, kuvvetin iletkenin referans sisteminde elektrik kuvveti olarak görünmesine rağmen, mıknatısın referans sisteminde manyetik kuvvet olarak görünür. İşte burada manyetik alan ve elektrik alan arasındaki ilişki ortaya çıkmaktadır.
 
=== Alanlar için Galileo dönüşüm formülü ===
 
Eğer mıknatısın referans sistemi de elektrik alan içerirse benzer bir takım argümanlar üretilebilir. ([[Amper-Maxwell denklemi]] de bu hareketli elektrik alanının, iletkenin referans sistemi içinde manyetik alana nasıl katkıda bulunduğunu açıklayarak devreye giriyor.) Sonuç, genel olarak, şöyledir:
 
:<math>\mathbf{E}' = \mathbf{E} + \mathbf{v}\times \mathbf{B}</math>
 
:<math>\mathbf{B}' = \mathbf{B} - \frac{1}</math>
 
buna [[Lorentz faktörü]] denir ve ''c''<sub>0</sub> boş alandaki [[ışık hız]]ıdır. Bu sonuç, tüm ivmesiz referans sistemlerindeki gözlemcilerin Maxwell denklemleri için aynı forma ulaşması gerekliliğinin bir sonucudur. Özellikle, tüm gözlemcilerin, aynı ışık hızı ''c''<sub>0</sub> değeri gözlemlemeleri gerekir. Bu gereklilik uzay ve zaman için [[Lorentz dönüşümü|Lorentz dönüşümleri]]ne yol açar. Lorentz dönüşümünü varsayarsak, böylelikle Maxwell denklemlerinin değişmezliği bu örnek için alanın yukarıdaki dönüşümüne yol açar.
 
Sonuç olarak, yükün üzerindeki kuvvet şöyledir:
: <math>\mathbf{F}' = q \mathbf{E}' =  q \gamma \mathbf{v} \times  \mathbf{B}\ .</math>
 
Bu ifade, <math>\gamma </math> faktörü tarafından ve göreli olmayan Newton'un hareket yasasından elde edilen ifadeden farklıdır. Özel görelilik, kuvvetlerin ve alanların sürekli dönüştüğü bir şekilde uzay ve zamanı değiştirir.
 
== Dinamiğin Maxwell denklemleriyle tutarlılığı için modifikasyonu == 

Alanları farklı olsa da Lorentz kuvveti her iki referans sisteminde de aynı formülle gösterilir, yani:
 
:<math>\mathbf{F} = q \left[[\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right]] \ .</math>
 
Şekil 1'e bakınız. Basitleştirmek için, manyetik alan ''z'' yönünde olsun ve konumu ''x'' ekseni boyunca değişsin ve iletken ''v'' hızıyla pozitif ''x'' yönünde ilerlesin. Sonuç olarak, mıknatısın referans sisteminde iletken hareket eder, Lorentz kuvveti, hem hıza hem de "B" alanına dik doğrultudaki negatif "y" yönünü gösterir. Sadece ''B'' alanı nedeniyle yükün üzerindeki kuvvet şöyle ifade edilir:
 
:<math>F_y = -q\ v\ B \ ,</math>
 
iletkenin referans sistemindeyse mıknatıs hareket ediyorken, kuvvet, kuvvet **E**-alnından kaynaklı olarak yine negatif ''y'' yönünde olacaktır.
 
:<math>{F_y}' = q\ E' = -q\ \gamma v \ B . </math>
 
İki kuvvet birbirinden Lorentz faktörü γ kadar farklıdır. Bu fark rölativistik teoride beklenen bir sonuçtur; ancak, referans sistemleri arasındaki uzay-zaman değişimi de göz önünde bulundurulmalıdır.
 
Görelilik, Maxwell denklemlerinin Lorentz dönüşümleriyle verilen bir uzay-zamanda değişmez kılınmasını sağlar ve bunu dinamikte Newton'un hareket kanunları üzerinde de uygular. Bu örnekte, Lorentz dönüşümleri sadece ''x'' yönünde etki eder (göreli hareket sadece ''x'' yönü boyuncadır). Zaman ve uzayı birleştiren bağlantılar şöyledir (üssü işareti hareketli iletkenin referans sistemini ifade eder):
 
:<math>x'=\gamma (x-vt)\ </math>&emsp;&emsp;<math>x=\gamma(x'+vt')\ ,</math>
 
:<math>t'=\gamma (t-\frac{vx}{c_0^2})</math>&emsp;&emsp;<math>t=\gamma(t'+\frac{vx'}{c_0^2})\ .</math>
 
Bu dönüşümler, bir kuvvetin ''y'' bileşenindeki değişime neden olur:
 
:<math>{F_y}' = \gamma {F_y} \ .</math>
 
Galileo değişmezliğinin aksine, kuvvet [[Lorentz değişmezliği]]nde bütün referans sistemlerinde ***aynı değildir*'''. Fakat Lorentz kuvveti yasası temel alarak yapılan daha önceki analiz:
 
: \gamma F_y \  = -q\ \gamma v \ B \ ,  &ensp;&ensp;   {F_y}' \  = -q\ \gamma v \ B \ , 
 
tamamen tutarlıdır. Yani yük üzerindeki kuvvetler iki referans siteminde aynı değildir; fakat göreliliğe göre beklendiği gibi dönüşür.
 
## Modern gösterimde Newton'un hareket yasası

 
Newton'un hareket yasasını relativistik sürümünü elde etmek için modern bir yaklaşım Maxwell denklemlerinin kovaryant formda ve Newton'un hareket yasasını genelleştiren kovaryant formun bulunmasıyla yazılarak elde edilebilir 
 
Newton'un hareket yasası modern kovaryant gösterimle, alan gücü tensörü olarak yazılabilir:
 
: m c { d u^{\alpha} \over { d \tau }   } =  { {} \over {}    }F^{\alpha \beta} q u_{\beta}  
 
burada m parçacık kütlesi, q yük ve
 
: u_{\beta} = \eta_{\beta \alpha } u^{\alpha } = \eta_{\beta \alpha } { d x^{\alpha } \over {d \tau}   }  
 
parçacığın 4-hız vektörüdür. Burada,  \tau  parçacığın gerçek zamanının c katı, \eta Minkowski metriği tensorüdür. 
 
Alan gücü tensörü alan cinsinden aşağıdaki gibi yazılır: 
 
:F^{\alpha \beta} = \left(
\begin{matrix}
0 &  {E_x} &  {E_y} &  {E_z} \\
-{E_x} & 0 & cB_z & -cB_y \\
-{E_y}  & -cB_z & 0 & cB_x \\
-{E_z} & cB_y & -cB_x & 0
\end{matrix}
\right) .
 
Alternatif olarak, dört vektörü kullanarak:
 
: A^{\alpha} = \left( \phi / c,\ A_x,\ A_y,\ A_z \right) \ , 
 
elektrik ve manyetik alanlarla ilgili olarak:
 
: \mathbf{E = -\nabla} \phi - \partial_t \mathbf{A}&emsp; &emsp;  \mathbf{B = \nabla \times A } \ ,
 
alan tensörü şöyle olur:
 
: F^{\alpha \beta} = \frac {\partial A^{\beta}}{\partial x_{\alpha}} -  \frac {\partial A^{\alpha}}{\partial x_{\beta}} \ ,
 
burada
 
:x_{\alpha} = \left( -ct,\ x,\ y,\ z \right) \ .
 
Alanlar sabit göreli bir hızla hareket eden referans sistemine göre dönüştürülür:
 
: \acute{F}^{\mu \nu} = {\Lambda^{\mu}}_{\alpha} {\Lambda^{\nu}}_{\beta} F^{\alpha \beta},
 
burada  {\Lambda^{\mu}}_{\alpha}  bir Lorentz dönüşümüdür. 
 
Bu, mıknatıs/iletken probleminde şunu verir:
 
:  \ \mathbf{E}' = \gamma { \mathbf{v} \over c } \times  \mathbf{B}, 
 
bu SI ve CGS birimleri arasındaki ilişki dikkate aldığında geleneksel dönüşümle uyumludur. Böylece, Newton'un hareket yasasının Lorentz kuvvetini kullanarak rölativistik düzenlemesini yaparsak, bütün referans sistemleri için aynı olan, parçacığın hareketini tahmin edebiliriz.
 
## Kaynakça ve notlar

 
## Dış bağlantılar
* Özel görelilikte mıknatıs ve iletkenler

## Konuyla ilgili yayınlar
 
#
#
#
#
#

## Ayrıca bakınız

* Görelilik ilkesi
* Galile değişmezliği
* Lorentz dönüşümü
* Özel görelilik kuramı
 

* Faraday yasası
* Lenz yasası
* İvmesiz Referans Sistemi
 

* Elektrik motoru
* Eddy akımları
* Faraday paradoksu