Birikimli dağılım fonksiyonu

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında **birikimli dağılım fonksiyonu** bir reel değerli rassal değişken olan *X*in olasılık dağılımını tümüyle tanımlayan bir fonksiyondur. **Olasılık dağılım fonksiyonu** veya sadece **dağılım fonksiyonu** olarak da anılmaktadır. Her bir reel sayı olan *x* için X'in birikimli dağılım fonksiyonu şöyle ifade edilir:

:x \to F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x),

Burada sağ taraf *x*e eşit veya *x*den daha küçük değerler alan rassal değişken *X* için *olasılık* değerlerini temsil eder. Böylece, *X*in (*a*,&nbsp;*b* aralığında bulunma olasılığı 
:F_X(b)-F_X(a) if *a*&nbsp;F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt

Dikkat edilmelidir ki verilen tanımlama içinde bulunan '≤' (eşit ve daha az) işareti bir klasik kullanılma alışkanlığından ortaya çıkmıştır ve diğer bir şekilde '>=' olma imkânı da vardır. '≤' genellikle kullanıldığı için bu konvensiyona uyulacaktır. Binom ve Poisson dağılımları için hazırlanmış ve pratik problem çözümleri için genellikle kullanılan olasılık tabloları da bu tür tanım kullanırlar. Karakteristik fonksiyon için Levy'nin ters bulma formülü gibi önemli formüller de bu (eşit ve daha az) kullanımına dayandırılmıştır.

## Özellikler

Her birikimli dağılım fonksiyonu, *F*, genellikle (ama mutlaka hiç değişmez şekilde değil) dört özellik gösterir:
# *F* monoton artan özelliktedir;
# *F* sağdan sürekli olur; 
# \lim_{x\to -\infty}F(x)=0, \quad ;
# \lim_{x\to +\infty}F(x)=1.

Bu dört özellik gösteren her fonksiyon bir birikimli dağılım fonksiyonudur. Bu dört fonksiyon özelliği gösteren bütün birikimli dağılım fonksiyonları cadlag tipi fonksiyonlardır.

Eğer *X* bir aralıklı rassal değişken ise, o halde *p*i = P(*x*i)
olasılıklarla *x*1, *x*2, ... değerlerini alırlar ve *X* için  birikimli dağılım fonksiyonu  *x**i* noktalarında süreksiz olup
:F(x) = \operatorname{P}(X\leq x) = \sum_{x_i \leq x} \operatorname{P}(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p(x_i)
arasında sabit olur.

Eğer birikimli dağılım fonksiyonu *F* bir sürekli fonksiyon ise, o halde *X* bir sürekli rassal değişkendir. Bundan daha fazla olarak eğer *F* mutlak sürekli ise, o halde tüm reel *a* ve *b* sayıları için 
:F(b)-F(a) = \operatorname{P}(a\leq X\leq b) = \int_a^b f(x)\,dx
şeklinde bir Lebesque entegral fonksiyonu *f*(*x*) ortaya çıkmaktadır. (Genellikle, eğer dağılımın sürekli olduğu açıkça bildirilmezse, iki eşitliklerde birincisi geçerli olmayacaktır. Dağılımın sürekli olması  P(*X* = *a*) = P(*X* = *b*) = 0 ifadesinin geçerli olduğunu ortaya çıkartıp, bu eşitlikler için "\operatorname{P}(X=b) = F(b) - \lim_{x \to b^{-}} F(x)

## Betimleyici istatistikte empirik birikimli çokluluk dağılımı tanımı

İstatistikte empirik analizlerde çokluluk dağılımlar icin birikimli çokluluk fonksiyonu ve bunun grafik gösterimi olan *S-şekilli grafik* (en:ogive) eğer veriler niceliksel aralıklı ölçekli ve orantılı ölçekli veya sırasal ölçekli ise bulunabilir. (Eğer veriler isimsel ölçekli ise bulunmaz.)

Notasyon olarak birikimli çokluluk fonksiyonuda basitce
:\ F(x)
olarak ifade edilip gözlemlerin sayısal değerlerinin *x* değerine eşit veya bu değerden daha düşük olmalarının yüzde orantılarını gösterir.

Eğer x_1, ..., x_n gözlemler ise ve bu gözlemlerin  orantılı çokluluğu f_1, ..., f_n ise birikimli çokluluk fonksiyonunun analitik ifadesi şöyle verilir:
:F(x)=\begin{cases}0 & x 
Burada F_i değeri birikimliçokluluk olarak anılır.

## Kolmogorov-Smirnov'un ve Kuiper'in sınamaları

Kolmogorov-Smirnov sınaması birikimli dağılım fonksiyonlarına dayanır veya bir empirik dağılımın bir ideal teorik dağılımdan farklı olup olmadığını ya da iki empirik dağılımın birbirinden farklı olup olmadıklarını sınamak için kullanılır. Bu teste yakın olan Kuiper'in sınaması is eğer dağılım dalgalanma gösteriyorsa (örneğin haftanın değişik günlerinde değişik olarak) uygulanması önerilir. Örnegin, Kuiper'in sınamsı belirli bir mal satışlarının haftanın günlerine veya ayın günlerine göre değişip değişmediğini sınamak için kullanabiliriz.

## Tamamlayıcı birikimli dağılım fonksiyonu

Bazen çalışma hedefi bu sorunun tersini incelemek gerektirir ve sorun rassal değişkenin ne kadar zaman belli bir değerden *daha fazla* olacağını araştırmak gerekir. Buna **tamamlayıcı  birikimli dağılım fonksiyon** adı verilir ve bu fonksiyon şöyle tanımlanır:
:F_c(x) = \operatorname{P}(X > x) = 1 - F(x).
Yaşam analizi sorunları için  F_c(x) fonksiyonu yaşam fonksiyonu olarak adlandırılır ve olasılık notasyonu ile  S(x)  olarak ifade edilir.

## Bükülmüş birikimli dağılım

Bir  birikimli dağılım fonksiyonu genel olarak S-şeklini almaktadır. Ancak alternatif bir gösterim olarak **bükülmüş birikimli dağılım** grafiği veya **tepe gösterimi** kullanılabilir. Bu grafikte alt taraf için artan değerli eksen (alt-eksen) ve üst taraf için azalan değerli eksen (üst-eksen) kullanılarak S-eğrisinin üst tarafı geriye bükülmüş olarak gösterilir. Bu şekilde grafik dağılımın ya teorik dağılımın ya da emprik dağılımın medyanını ve yayılımını özellikle incelemek için
kullanılır.

## Örnekler

Bir örnek olarak, *X*in [ [0,&nbsp;1] aralığında tekdüze dağılım gösterdiği kabul edilsin. O halde X için birikimli dağılım fonksiyonu şöyle verilir:

:F(x) = \begin{cases}
0 &:\ x 

Diğer bir örnek olarak *X*in sadece aralıklı olarak 0 ve 1 değerler aldığı kabul edilsin. Bu halde X için birikimli dağılım fonksiyonu şudur:

:F(x) = \begin{cases}
0 &:\ x 

## Ters fonksiyon

Eğer bir birikimli dağılım fonksiyonu sürekli ve kesinlikle hep artma gösterirse, o halde

: F^{-1}( y ), y \ [0,1]  aralığı-için

 x  tek bir reel sayıya eşittir; şöyle ki  F(x) = y 

Ne yazıktır ki genellikle bu dağılım için bir ters bulunmamaktadır. y \ [0,1] aralığı-için 
:
F^{-1}( y ) = \inf_{r \in \mathbb{R}} \{ F( r ) > y \}
.
olur.

Örneğin 1: Medyan F^{-1}( 0.5 ) olur.

Örneğin 2: Eğer  \tau = F^{-1}( 0.95 )  bu fonksiyona koyarsak,  \tau  %95inci yüzdebirlik olur.

Bir birikimli dağılım fonksiyon için ters fonksiyon kuantil fonksiyonu olarak anılır.

## Çoklu değişirlilik hali

Birden fazla birlikte değişen rassal değişkenle ilgilenmekte isek, bir *ortak* birikimli dağılım fonksiyonuda tanımlanabilir. Örnegin, bir çift rassal değişken olan *X,Y* için ortak  birikimli dağılım fonksiyonu şöyle verilir:

:x,y \to F(x,y) = \operatorname{P}(X\leq x,Y\leq y),

Burada sağ-taraf *X* rassal değişkeninin *x*e eşit veya *x*den daha küçük değerler aldığında ve aynı zamanda *Y* rassal değişkeninin *y*e eşit veya *y*den daha küçük değerler aldığında ortaya çıkan olasılığı ifade etmektedir.

## Ayrıca bakınız

* Betimleyici istatistik
* Olasılık dağılımı
* Empirik dağılım fonksiyonu
* Birikimli çokluluk analizi
* Q-Q gösterimi

* Kuantil fonksiyonu

## Kaynakça