Bottema teoremi

**Bottema teoremi**, Hollandalı matematikçi Oene Bottema (Groningen, 1901–1992) tarafından matematik literatürüne kazandırılmış olan düzlem geometride bir teoremdir.

## Teoremin Açıklaması
Teorem şu şekilde ifade edilebilir; verilen herhangi bir ABC üçgeninde, herhangi iki bitişik kenarda, AC ve BC, kareler oluşturulsun. Üçgenin iki kenarının ortak tepe noktası olan *<math display="inline">C</math>*'nin karşısındaki karelerin köşelerini birbirine bağlayan doğru parçasının orta noktası, C'nin konumundan bağımsızdır.

Teorem, kareler aşağıdaki yollardan biriyle oluşturulduğunda doğrudur:

* Şekle bakarak, sol alt köşe A'dan başlayarak, üçgen köşelerini saat yönünde takip edin ve üçgenin kenarlarının solundaki kareleri oluşturun.
* Üçgeni aynı şekilde takip edin ve üçgenin kenarlarının sağındaki kareleri oluşturun.

## Teoremin İspatı

### Benzerlikleri kullanarak ispat
* \frac{AH}{AG}=\frac{BI}{BD}=\alpha olsun.
* AB doğru parçası üzerine HL, CX, JK ve IM diklerini indirelim.
* JK, HLMI yamuğunun orta tabanıdır, bu nedenle;
::JK=\frac{(HL + IM)}{2}'dir.
* Ayrıca, \angle HAC dik olduğundan \angle HAL ve \angle CAX tümler açılardır ve bu da \triangle HAL ve \triangle ACX dik üçgenlerini benzer yapar.
* Benzerlikten faydalanarak;
::HL = \alpha AX ve IM = \alpha BX yazılabilir.
* Bu üç özdeşliği de dikkate alarak aşağıdaki eşitlik elde edilebilir:
::JK=\frac{(HL + IM)}{2}=\frac{\alpha}{2}(AX + BX)=\frac{\alpha}{2}AB=\alpha AK
::Buradan da C'den bağımsız olduğu görülür.
* \triangle HAL \sim ACX ve \triangle IBM \sim \triangle BCX olduğundan;
::AL = CX = BM yazılabilir.
* Orta taban (midline) teoremine göre LK = KM'dir.
* Bu nedenle, AK = (LK - AL) = (KM - BM) = KB'dir.
::Bu, J'nin sabit olduğunu, çünkü AB doğru parçasının orta noktasının "üstünde" sabit bir mesafede olduğunu gösterir.

### Vektörler yoluyla ispat
* Orijinal şekli kullanalım ve O, AB'nin orta noktası olsun.
* \overrightarrow{OB}=a \hat i olsun. Buna göre \overrightarrow{OA}=-a \hat i olur.
* \overrightarrow{OC}=b \hat i + c \hat j olsun.
* Bu nedenle; \overrightarrow{AC}=(a + b) \hat i + c \hat j ve \overrightarrow{BC}=(-a + b) \hat i + c \hat j'dir.
* Buradan kolayca, \overrightarrow{AE}=-c \hat i + (a + b) \hat  j ve \overrightarrow{BD}=c \hat i + (a - b) \hat j olduğunu gösterebiliriz.
* \frac{AF}{AE}=\frac{BG}{BD}=k olsun.
* \overrightarrow{AF}=-kc \hat i + k(a + b) \hat  j ve \overrightarrow{BG}=kc \hat i + k(a - b) \hat  j eşitliklerine sahibiz.
* Sonuç olarak:
::\overrightarrow{OH}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OF} + \overrightarrow{OG})
::=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BG})
::=\frac{1}{2}(-a \hat i -kc \hat i + k(a + b) \hat j + a \hat i + kc \hat i + k(a - b) \hat j)
::=\frac{k}{2}((a + b) + (a - b)) \hat j
::=ka \hat j bulunur.
* Bu da OH \perp AB ve OH uzunluğunun sadece a ve k'ye, yani AB'nin uzunluğuna ve k oranına bağlı olduğunu, dolayısıyla H'nin yerinin gerçekten sabit olduğunu gösterir.

## Konuyla ilgili yayınlar
* Sashalmi, É., & Hoffmann, M. (2004). *Generalizations of Bottema’s theorem on pedal points*. Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae, 31, Makale, ss. 25-31.
* Zvonko Cerin. (2009). *Rings of Squares Around Orthologic Triangles*. Makale , s. 1
* Nguyen Ngoc Giang. (2018). *A New Proof and Some Generalizations of the Bottema Theorem*. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM), , Volume 3, 2018, Makale , ss. 49-54

## Dış bağlantılar
* Bottema Teoremi: Nedir? 
* Wolfram Gösterimleri Projesi - Bottema Teoremi 
* Geogebra - Bottema Teoremi 
* Dynamic mathematics learning (Java Applet) 
* GoGeometry - Bottema Teoremi 

## Ayrıca bakınız
* Van Aubel teoremi
* Napoleon teoremi

## Kaynaklar