Madde dalgası

**Madde dalgaları** veya **de Broglie dalgaları**, maddenin dalga-parçacık ikiliğini yansıtan kavramdır. Kuram 1924'te, Louis de Broglie tarafından doktora tezinde önerilmiştir. De Broglie denklemleri dalga boyunun parçacığın momentumuyla ters orantılı olduğunu gösterir ve ayrıca de Broglie dalga boyu diye isimlendirilir. Ayrıca madde dalgalarının tekrarsıklığı, de Broglie tarafından türetildiği gibi, parçacığın toplam enerjisi E'ye – kinetik enerjisinin ve potansiyel enerjisinin toplamı – doğru orantılıdır.

## Tarihsel İçerik

19. yüzyılın sonunda, ışığın Maxwell denklemlerinden türetildiği gibi elektromanyetik alanların dalgalarından, maddeninse yerel parçacıklardan oluştuğu düşünülüyordu. Bu ayrım Albert Einstein tarafından, 1905'te yazdığı ışılelektrik etki üzerine makalesinde, ışığın yerelleşmiş cepler ya da “quanta”lar (şimdi ise fotonlar olarak isimlendirilirler) tarafından emildiği ve yayıldığının önerilmesiyle sarsılmıştır. Bu quantalar \nu ışığın tekrarsıklığı ve h Planck sabiti olmak üzere
:E=h\nu
enerjiye sahiptir. Modern anlaşmada, bu başlığın kalanında yapıldığı gibi tekrarsıklığı f olarak sembolize edilir. Einstein'ın önerisi Robert Millikan ve Arthur Compton tarafından sonraki yirmi yılda deneysel olarak kanıtlanmıştır. Sonuçta da ışığın hem dalgasal hem maddesel özellikleri olduğu açık hale gelmiştir. De Broglie, 1924'teki doktora tezinde, bu dalga-parçacık ikiliğini tüm
parçacıklara genelleştirmeyi amaçlamıştır :“Dalga mekaniklerine dair ilk fikirlerim 1923-24'te oluştuğunda, dalganın eş varlığının ve Einstein tarafından 1905'teki makalesinde önerdiği fotonların parçacık özelliğinin, her parçacık için geçerli, gerçek bir fiziksel sentez
yapmak amacı bana yol gösteriyor.”-De Broglie}}

1926'da Erwin Schrödinger olasılık dalgasının nasıl evirileceğine dair bir denklem yayınladı -Maxwell denklemlerinin olasılık dalgası dengi- ve hidrojenin enerji spektrumunu türetmek için kullandı. Aynı yıl Max Born şimdi standartlaşmış olan madde dalgasının büyüklüğünün karesinin bir parçacığın belirli bir yerde bulunma olasılığını verdiği yorumunu yayımladı. Bu yorum De Broglie'nin dalganın yerel bir parçacığın fiziksel hareketine denk geldiği yorumuna zıddı.

## De Broglie Formülleri

### Nicem Mekaniği
De Broglie formülleri dalga boyunu (λ) momentumla (p) ve tekrarsıklığı (f) parçacığın toplam enerjisiyle (E) ilişkilendirir:

:\begin{align}
& \lambda = h/p\\
& f = E/h
\end{align}

h Planck sabiti olmak üzere. Denklem denk olarak şu şekilde de yazılabilir;

:\begin{align}
& p = \hbar k\\
& E = \hbar \omega\\
\end{align}

şu
tanımları kullanmak üzere;

* \hbar=h/2\pi  indirgenmiş Planck sabiti (veya Dirac sabiti),
* k= 2\pi/\lambda açısal dalga sayısı,
* \omega=2\pi f açısal tekrarsıklığı.

Her ikili de, Planck ve Einstein tarafından önerildiği için ikincilere Planck-Einstein formülü de denir.

### Özel Görecelilik
Özel görecelilikten göreli momentum formülünü

:p = \gamma m_0v 

kullanarak denklemler şu şekilde yazılabilir:

:\begin{align}&\lambda = \frac {h}{\gamma m_0v} = \frac {h}{m_0v} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\\
& f = \frac{\gamma\,m_0c^2}{h} = \frac {m_0c^2}{h\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
\end{align}

Bu
formüllerde m0 &nbsp;parçacığın
durgun kütlesi, v parçacığın hızı, γ Lorentz faktörü ve c ışığın boşluktaki hızıdır. De Broglie
denklemlerinin çeşitlendirilmesinin detayları için aşağıya bakın. Grup hızı
(parçacığın hızına eşit) faz hızıyla (parçacığın tekrarsıklığı ve dalga boyunun
çarpımına eşit) karıştırılmamalıdır. Kırılma olmayan ortamlarda eşit olurken,
olmayan ortamlarda değildirler.

#### Grup Hızı
Albert
Einstein dalga-parçacık ikiliğini 1905'te ilk defa açıkladı. Louis de Broglie
herhangi bir parçacığın bu ikiliği sergilemesi gerektiği hipotezini sundu. Bir parçacığın
hızının her zaman karşılık gelen dalganın grup hızına eşit olması gerektiği
sonucuna vardı (ancak bugün sorgulanabilir, detaylar için yukarıya bakın). De
Broglie eğer ışık için bilinen ikilik denklemleri her parçacık için tutarsa,
hipotezinin kanıtlanacağı sonucuna vardı. Bu şu anlama gelir;

:v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial (E/\hbar)}{\partial (p/\hbar)} = \frac{\partial E}{\partial p}

E
parçacığın toplam enerjisi, p parçacığın momentumu, *ħ* indirgenmiş Planck sabiti olmak
üzere. Bir serbest göreli-olmayan parçacık için;

:\begin{align}
  v_g &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \frac{1}{2}\frac{p^2}{m} \right),\\
    &= \frac{p}{m},\\
    &= v.
\end{align}

m parçacığın
kütlesi ve v parçacığın hızı olmak üzere.

Ayrıca
özel görelilikten buluruz ki;

:\begin{align}
  v_g &= \frac{\partial E}{\partial p} = \frac{\partial}{\partial p} \left( \sqrt{p^2c^2+m^2c^4} \right),\\
    &= \frac{pc^2}{\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}},\\
    &= \frac{p}{m\sqrt{\left(\frac{p}{mc}\right)^2+1}},\\
    &= \frac{p}{m\gamma},\\
    &= \frac{mv\gamma}{m\gamma},\\
    &= v.
\end{align}

m
parçacığın kütlesi, c ışığın boşluktaki hızı, γ Lorentz faktörü ve v parçacığın
dalga davranışından bağımsız şekilde hızı olmak üzere.

Grup
hızı faz hızıyla karıştırılmamalıdır.

Hem göreli hem göreli olmayan nicem fiziğinde, bir parçacığın grup
hızının dalga fonksiyonunu parçacık hızıyla belirleyebiliriz. Nicem mekaniği
bu hipotezi oldukça keskin bir şekilde doğrulamış ve ilişki molekül büyüklüğündeki
parçacıklara kadar açık bir şekilde gösterilmiştir.

#### Faz Hızı
Nicem mekaniğinde, parçacıklar karmaşık fazlı dalgalar gibi davranırlar. De Broglie
hipotezinden görürüz ki;

:v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k} = \frac{E/\hbar}{p/\hbar} = \frac{E}{p}. 

Enerji
ve momentumun göreli formüllerini kullanarak;

:v_\mathrm{p} = \frac{E}{p} = \frac{\gamma m c^2}{\gamma m v} = \frac{c^2}{v} = \frac{c}{\beta}

E parçacığın toplam enerjisi, p momentum, γ Lorentz faktörü, c ışık hızı ve β hızın c'nin bir böleni olmak
üzere bir denklem elde ederiz. Değişken v parçacığın hızı ya da karşılık gelen
madde dalgasının grup hızı olarak seçilebilir. Parçacık hızı kütlesi olan her
parçacık için (özel göreceliliğe göre) ışık hızından az olduğundan, olasılık
dalgalarının faz hızı her zaman ışık hızını geçer, yani,

:v_\mathrm{p} > c, \,

Ve
görebileceğimiz gibi, parçacık hızı göreli aralığa geldiğinde faz hızı c
ye yaklaşır. Işık ötesi faz hızı özel göreceliliğe hiçbir bilgi taşımadığından
dolayı karşı gelmez.

### Dört Vektör
Dört momentum P&nbsp;= (*E/c*,&nbsp;p)
ve dört-dalga vektörü K&nbsp;= (*ω/c*,&nbsp;k),
kullanılarak De Broglie denklemleri sıfır noktasına bağıl olmayan tek bir
eşitlik oluşturur: 
:\mathbf{P}= \hbar\mathbf{K}

## Deneysel Kanıtlar
Madde dalgalarının oluşumu ilk kez Davisson-Germer elektron deneyleri sırasında
deneysel olarak gözlemlenmiş ve de Broglie hipotezi diğer temel parçacıklar
için kanıtlanmıştır. Dahası, nötr atomlar ve hatta moleküllerin dalgasallığı
gösterilmiştir.

### Elektronlar
Bell Labs'de 1927'de, Clinton Davisson ve Lester Germer kristalize nikel hedefi
yavaş hızlı elektronlarla bombaladılar. Yansıyan elektron yoğunluğunun açısal
bağımlılığı ölçüldü ve Bragg tarafından x-ışınları için öngörülenler aynı
kırılma kalıbına sahip olduklarına karar verildi. De Broglie hipotezinin
kabulünden önce, kırılmanın sadece dalgalar tarafından sergilenen bir özellik
olduğu düşünülüyordu. Dolayısıyla, madde tarafından sergilenen kırılma
etkilerinin hepsi maddenin dalgasal özelliklerini gösterdi. De Broglie dalga
boyu Bragg şartına eklendiğinde, gözlemlenen kırılma kalıbı tahmin edilmiş,
sonuç olarak da de Broglie hipotezi elektronlar için deneysel olarak
kanıtlanmış oldu.

Bu nicem mekaniğinin gelişimi için bir dönüm noktası oldu. Fotoelektrik etkinin
ışığın parçacık doğasını gösterdiği gibi, Davisson-Germer deneyi maddenin dalga
doğasını göstermiş ve dalga-parçacık ikiliği kuramını tamamlamış oldu.
Fizikçiler için bu fikir çok önemliydi çünkü bunun anlamı sadece herhangi bir
parçacığın dalga özelliği göstermesinden öte, dalga denklemlerinde de Broglie
dalga boyunu kullanarak maddenin gösterdiği özelliklerin açıklanabilmesidir.

### Nötr Atomlar
Nötr atomların Fresnel kırılması ve aynadan yansıma benzeri yansıma deneyleri de
Broglie hipotezinin atomlara uygulanışını kanıtladı. Yani çekim potansiyelini
takip eden nicem yansıma, kesişme ve kırılma yapan atomik dalgaların
varlığını gösterdi. Lazer soğutmadaki gelişmelerle, nanokelvin sıcaklıklara
kadar nötr atomlar soğutuldu. Bu sıcaklıklarda, ısısal de Broglie dalga boyları
mikrometre aralığa geldi. Atomlar için Bragg kırılımını ve Ramsey
interferometry tekniği kullanılarak, soğuk sodyum atomlarının dalga boyları
ölçüldü ve başka bir metotla elde edilen sonuçlarla uyumlu olduğu gözlendi.

Bu etki
atomik holografi üretmek için kullanıldı ve nanometre çözünürlükte atom
görüntüleme sistemi yapımını sağlayabilir. Bu fenomenin tanımı nötr atomların
dalga özellikleri üzerine kuruludur, de Broglie hipotezini doğrular.

### Moleküller
Yakın
zamanlardaki deneyler moleküller ve makromoleküller gibi nicem mekaniksel
etkiler için çok büyük olduğu düşünülen parçacıklar için de formülleri
onayladı. 1999'da Viyana'daki bir araştırma ekibi Fullerene büyüklüğündeki
moleküller için kırılımı gösterdi. Araştırmacılar en olası C60 de
Broglie dalga boyunu 2.5 pm olarak hesapladı. Daha yeni deneyler kütlesi 6910
amu'ya varan moleküllerin nicem doğasını kanıtladı. Genel olarak, de Broglie
hipotezinin iyi izole edilmiş herhangi bir parçacığa uygulanabilmesi
beklenmektedir.

## Kaynakça