Fonksiyonun limiti

Her ne kadar (sin&nbsp;*x*)/*x* fonksiyonu sıfırda tanımlı olmazsa bile, *x*, sıfıra çok çok yakın olduğunda, (sin&nbsp;*x*)/*x*, 1'e yaklaşır. Diğer taraftan *x* sıfıra yaklaşırken (sin&nbsp;*x*)/*x* fonksiyonunun limiti&nbsp;1'e eşittir.



Matematikte bir **fonksiyonun limiti**, kalkülüs ve analizde kullanılan bir temel kavramdır ve belirli bir girişe yaklaşan bir fonksiyonun davranışı ile ilgilidir.

Formal tanımı ilk olarak 19. yüzyıl başlarında ortaya çıktı ve şöyledir: Bir *f* fonksiyonunun her *x* girişi için bir *f*(*x*) çıkış olur. Bu fonksiyon *p* girişinde bir *L* limiti vardır ve şöyle ifade edilir: *x*, *p* ye çok çok yaklaştıkça, *f*(*x*) fonksiyonu da *L* ye çok çok yaklaşır.

## Tanımlar

: \lim_{x \to p}f(x) = L, \, 

Yukarıdaki eşitliğin anlamı: "*x*, *p* ye yaklaşırken, *ƒ*(*x*) fonksiyonunun limiti *L* dir" denir.

### Reel doğrudaki fonksiyonlar
*f* : **R** → **R** reel doğruda tanımlı ve *p,L* ∈ **R** ise, "*x*, *p* ye yaklaşırken *f* fonksiyonunun limiti, *L*dir" denir ve şöyle sembolize edilir:

: \lim_{x \to p}f(x) = L, \ 

Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

* Her *ε*&nbsp;>&nbsp;0 reel sayısı için bir *δ*&nbsp;>&nbsp;0 reel sayısı vardır. Tüm *x* için, 0&nbsp; \lim_{x \to p^+}f(x) = L 

ve

: \lim_{x \to p^-}f(x) = L 

Eğer her iki durumda da limitler *L* ye eşit ise, "*f*(*x*) in *p* noktasındaki limitleri *L* ye eşittir" denir. Benzer şekilde eğerher iki noktadaki limitte *L* ye eşit değilse, "limit yoktur" denir.

Formal tanımı şu şekildedir: *x*, *p* ye üstten yaklaşırken, *f*(*x*) in limiti *L* dir. Her *ε*&nbsp;>&nbsp;0 için δ > 0 olur. 0&nbsp; 0 için, δ > 0 olur. 0&nbsp;f(x)=\begin{cases}\sin\frac{5}{x-1} &  x1 \text{ için }\end{cases}
fonksiyonu x_0 = 1 noktasında limiti yoktur. Bu yüzden fonksiyon süreksizdir.

### Metrik uzayındaki fonksiyonlar
*M* ve *N*, sırasıyla *A* ve *B* metrik uzaylarının alt kümeleri olsun ve *f* : *M* → *N*, *M* ile *N* arasında tanımlansın, *x* ∈ *M* için *p*, *M* nin bir limit noktasıdır ve *L* ∈ *N* olur. "*x*, *p* ye yaklaşırken *f* nin limiti *L* dir" denir. ve şöyle yazılır:

: \lim_{x \to p}f(x) = L 

Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

* Her ε > 0 için, bir δ > 0 vardır. 0&nbsp;*A*(*x*,&nbsp;*p*)&nbsp;*B*(*f*(*x*), *L*)  \lim_{x \to p}f(x) = L 

Eğer aşağıdaki özellik sağlanırsa:

* Her *L* nin açık *V* komşusu için, *p* nin açık *U* komşusu vardır. *f*(*U*&nbsp;∩&nbsp;Ω&nbsp;&minus;&nbsp;{*p*}) ⊆ *V*.

## Özellikler
Eğer bir *f* fonksiyonu reel değerli ise, *f* nin *p* noktasında ancak ve ancak hem sağ limit hem de sol limit  varsa ve *L* ye eşit ise, *f* nin *p* noktasındaki limiti *L* dir. 
*f* fonksiyonu, *p* noktasında sürekli ise ancak ve ancak *x*, *p* ye yaklaşırken *f*(*x*)in limiti vardır ve *f*(*p*) ye eşittir. Eğer *f* : *M* → *N*, *M* ve *N* metrik uzaylarında bir fonksiyon ise, *M* deki her dizi için *f* dönüşümlerine eşdeğerdir.

Eğer *f* reel değerli (veya karmaşık değerli) bir fonksiyon ise, limiti temel aritmetik işlemlerine göre alınır. Bu limit alma işlemi **cebirsel limit teoremi** olarak adlandırılır.

:\begin{matrix}
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) + g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) + \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) - g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) - \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x)\cdot g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x)/g(x)) & = & {\lim\limits_{x \to p} f(x) / \lim\limits_{x \to p} g(x)}
\end{matrix}

Yukarıdaki her bir eşitlikte sağdaki limit yoksa veya son eşitlikte, hem pay hem de paydanın limitler sıfırsa, soldaki limite yine de belirsiz form denir. Bu belirsizlik *f* ve *g* fonksiyonlarının durumuna bağlıdır. Bu kurallar tek taraflı limitlerde de geçerlidir. *p* = ±∞ ve sonsuz limitler için, aşağıdaki kurallar geçerlidir. 
**q* + ∞ = ∞ for *q* ≠ −∞
**q* × ∞ = ∞ if *q* > 0
**q* × ∞ = −∞ if *q*  \lim_{x \to \ a+}{g(x)}  = \lim_{x \to a-}{h(x)} = L 

oluyorsa,

 \lim_{x \to \ a}{f(x)} = L 

### Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

1.sinx ve cosx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının sinüsü denir.

Sinüs fonksiyonu, bütün gerçek sayıları [-1,1] aralığına götürür."sin" ile ifade edilir.

Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına, o açının kosinüsü denir.

Kosinüs fonksiyonu, bütün gerçek sayıları [-1,1] aralığına götürür."cos" ile ifade edilir.

 \lim_{x \to \ a}{sinx} = sina 

2. tanx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunun yanındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının tanjantı denir.

Tanjant fonksiyonu, her k tam sayısı için &nbsp;π/2 + kπ sayıları dışındaki bütün gerçek sayıları bütün gerçek sayılara götürür."tan" ile ifade edilir.

tanx fonksiyonu, t bir tam sayı olmak üzere;

koşuluna uyan bütün x gerçek sayıları için tanımlı olduğu için,

3. cotx in limiti

Bir dik üçgende, bir dar açının yanındaki dik kenar uzunluğunun karşısındaki dik kenarın uzunluğuna oranına, o açının kotanjantı denir.

Kotanjant fonksiyonu, her k tam sayısı için kπ sayıları dışındaki bütün gerçek sayıları, bütün gerçek sayılara götürür."cot" ile ifade edilir.

cotx fonksiyonu, t bir tam sayı olmak üzere, x≠tπ koşuluna uyan bütün x sayıları için tanımlı olduğu için,

\lim_{x \to a} \cot(x) = cot(a)     (a≠t.π ve t ∈ ℤ)

olur.

t ∈ ℤ olmak üzere, a=t.π için,

\lim_{x \to a} \cot(x)  yoktur.

### Mutlak Değer Fonksiyonların Limiti

ƒ fonksiyonu A'dan B'ye gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon olsun.
|ƒ| fonksiyonuna ƒ fonksiyonunun mutlak değer fonksiyonu denir.

Mutlak değerin tanımına göre ƒ(x) in negatif olmadığı yerde |ƒ(x)| in grafiği ƒ(x) in grafiği ile aynıdır. ƒ(x) in negatif olduğu yerde |ƒ(x)| in grafiği ƒ(x) in grafiğinin x eksenine göre simetriğidir.

ƒ fonksiyonu gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon,

 \lim_{x \to a}   olmak üzere,

mutlak değerin içini 0 yapan değer kritik noktadır. Yani ƒ(a)=0 kritik noktada limit sorulursa ƒ(x) fonksiyonunun sağdan ve soldan limitlerine bakılır.

Kritik nokta dışında limit sorulursa,

 \lim_{x \to a}   =  |f(a)|