Laguerre polinomları

**Laguerre polinomları**, matematikte adını Edmond Laguerre'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma **Laguerre denklemi**dir:

:
x\,y* + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,
</math>

İkinci mertebeden bir [[lineer diferansiyel denklem]]'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca *n* negatif olmayan [[tam sayı]] ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için [[Gaussian dördünü]] kullanılan formudur 
: <math>\int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx.</math>

*L*<sub>0</sub>, *L*<sub>1</sub>, ..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için [[Rodrigues formülü]] tarafından [[polinomal dizi]] kullanılmalıdır

:<math>
L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right).
</math>

Diğer önemli her bir [[iç çarpım]] [[ortogonal polinomlar]] tarafından verilir.

:<math>\langle f,g \rangle = \int_0^\infty f(x) g(x) e^{-x}\,dx.</math>

Laguerre polinomlarının dizisi bir [[Sheffer dizisi]]'dir.

Laguerre polinomları [[kuantum mekaniği]]'nde tek-elektronlu atomun ([[Hidrojen atomu]]) [[Schrödinger denklemi]]'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar.

Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım, *n*, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır.

== İlk birkaç polinom ==
İlk birkaç Laguerre polinomları:

<div style="text-align:center;"><table class="wikitable">
<tr>
<td width="20%" align="center">*n*</td>
<td align="center"><math>L_n(x)\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">0</td>
<td><math>1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">1</td>
<td><math>-x+1\,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">2</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{2}} (x^2-4x+2) \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">3</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{6}} (-x^3+9x^2-18x+6) \,</math></td>
</tr>
<tr>
<td align="center">4</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{24}} (x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">5</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{120}} (-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,</math>
</tr>
<tr>
<td align="center">6</td>
<td><math>{\scriptstyle\frac{1}{720}} (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,</math>
</tr>
</table>
</div>


== Tümevarımsal tanım ==

Tümevarımsal olarak *'Laguerre polinomları**'nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom:

:<math>L_0(x) = 1\,</math>

:<math>L_1(x) = 1 - x\,</math>

ve izleyen polinomlar için [[Orthogonal polynomials#Recurrence relations|özyineleme]] ile ''k'' ≥ 1 'i kullanabiliriz:

:<math>L_{k + 1}(x) = \frac{1}{k + 1} \left( (2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)\right). </math>

== Genelleştirilmiş Laguerre polinomları ==

ortogonal özellikli durumda [[exponential distribution|üstel dağılım]] [[rastgele değişken]] ile [[olasılık ağırlık fonksiyonu]] ise; ''X'' ile eşdeğer gösterim

:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} e^{-x} & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.</math>

buradan

:<math>E \left[ L_n(X)L_m(X) \right]=0\ \mbox{whenever}\ n\neq m.</math>

[[üstel dağılım]] sadece [[gamma dağılımı]] değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için,''α'' > −1,

:<math>f(x)=\left\{\begin{matrix} x^\alpha e^{-x}/\Gamma(1+\alpha) & \mbox{if}\ x>0, \\ 0 & \mbox{if}\ x<0, \end{matrix}\right.</math>

(**Genelleştirilmiş Laguerre polinomu* için [[Rodrigues formula#Rodrigues formula|Rodrigues]] tanımı ile verilen [[gama fonksiyonu]] içeren denklemi görebiliriz):

:<math>L_n^{(\alpha)}(x)=
{x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right).</math>

Bazen *'uyarlanmış Laguerre polinomları** olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları:

:<math>L^{(0)}_n(x)=L_n(x).</math>

=== Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek ===

* [[melez hipergeometrik fonksiyon]] tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü
** <math>L_n^{(\alpha)}(x):= {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x)={n+ \alpha \choose n} \sum_{i=0} (-1)^i \fracx^i\, </math> <math>= e^x\cdot {n+ \alpha \choose n} M(\alpha+n+1,\alpha+1,-x)</math><math>=\frac{e^x \sin(n \pi )}{\sin((n+\alpha)\pi)}L_{-\alpha-n-1}^{(\alpha)}(-x)</math><math>=e^x\cdot\sum_{i=0}(-1)^i {\alpha+n+i \choose n} \frac{x^i}{i!}.</math> 
** Eğer <math>n</math> bir tam sayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi <math>n</math>. alternaif bir ifade <math>L_n^{(\alpha)}(x)= \frac {(-1)^n}{n!} U(-n,\alpha+1,x)</math> içindeki [[confluent hypergeometric function|Kummer fonksiyonu'nun ikinci türü]] terimleridir.
* Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi <math>n</math> ise <math> L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!} </math> ([[Leibniz rule (generalized product rule)|diferansiyasyon için Leibniz teoremi]] tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.)
** İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları:
:<math> L_0^{(\alpha)} (x) = 1 </math>
:<math> L_1^{(\alpha)}(x) = -x + \alpha +1</math>
:<math> L_2^{(\alpha)}(x) = \frac{x^2}{2} - (\alpha + 2)x + \frac{(\alpha+2)(\alpha+1)}{2}</math>
:<math> L_3^{(\alpha)}(x) = \frac{-x^3}{6} + \frac{(\alpha+3)x^2}{2} - \frac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}
+ \frac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}</math>
** ilk terimleri is (−1)<sup>''n''</sup>/''n'' [[katsayı]]'sıdır;
** <math>L_n^{(\alpha)}(0)= {n+\alpha\choose n} \approx \frac{n^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)};</math> merkezindeki değer [[sabit terim]]'dir.
* hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü [[Horner scheme|Horner metodu]] sağlar, bununla beraber, [[algoritma]] sonuçları [[Numerical stability|kararlı]]' değildir.

izlenen kararlı metod:

   **function** LaguerreL(n, alpha, x) {
     L1:= 0; LaguerreL:= 1;
     **for** i:= 1 **to** n {
         L0:= L1; L1:= LaguerreL;
         LaguerreL:= ((2* i- 1+ alpha- x)* L1- (i- 1+ alpha)* L0)/ i;}
   **return*' LaguerreL;
  }

* *L*<sub>*n*</sub><sup>(*α*)</sup> ile *n* [[Reel sayılar|gerçel]],[[Root of a function|kökler]] kesinlikle pozitif (burada <math>\left((-1)^{n-i} L_{n-i}^{(\alpha)}\right)_{i=0}^n</math> bir [[Sturm zinciri]]'dir), bütün <math>(0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt{n+\alpha}]</math> [[Interval (mathematics)|aralık]]'ı içindedir.
* <math>n</math>'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı <math>\alpha</math> sabit ve <math>x>0</math>, verilirse, 
:<math>L_n^{(\alpha)}(x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \cos\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)}- \frac{\pi}{2}\left(\alpha+\frac{1}{2} \right) \right)</math>, and

:<math>L_n^{(\alpha)}(-x) \approx \frac{n^{\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{4}}}{2\sqrt{\pi}} \frac{e^{-\frac{x}{2}}}{x^{\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{4}}} \exp\left(2 \sqrt{x \left(n+\frac{\alpha+1}{2}\right)} \right)</math>..

==Ayrıca bakınız==
* [[Matematiksel fonksiyonların listesi]]
* [[Ortogonal polinomlar]]
* [[Rodrigues formülü]]
* [[Angelescu polinomları]]
* [[Bessel polinomları]]
* [[Denisyuk polinomları]]
* [[Enine mod]]; bir dalga kılavuzu veya lazer ışını profili içindeki alan yoğunluğunu tanımlamak için Laguerre polinomlarının önemli bir uygulaması.

==Notlar==


== Kaynakça ==
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm Chapter 22] ", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 . 
* B Spain, M G Smith, *Functions of mathematical physics*, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
* Eric W. Weisstein, "[http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html Laguerre Polynomial] ", From [[MathWorld]] – A Wolfram Web Resource. 
* 
* S. S. Bayin (2006), *Mathematical Methods in Science and Engineering'', Wiley, Chapter 3.