Hata payı

**Hata marjı** ya da **hata payı** bir anketin sonuçlarındaki rastgele örnekleme hatası miktarını ifade eden bir istatistiktir. Hata payı ne kadar büyükse, anket sonucunun yığın özelliklerini yansıtacağına duyulan güven o kadar az olmalıdır. Bir popülasyon eksik örneklenip çıktı ölçüsü pozitif varyansa sahip olduğunda, yani ölçü *değiştiğinde*, hata marjı pozitif olur.

Hata marjı terimi genellikle anket dışı bağlamlarda ölçülen miktarların raporlanmasında oluşan gözlemsel hatayı belirtmek için kullanılır. Aynı zamanda konuşma dilinde, bir hedefe ulaşmada sahip olabileceğiniz alan veya esneklik miktarına atıfta bulunmak için de kullanılmaktadır. Örneğin, sporda genellikle yorumcular tarafından bir hedef, puan veya sonuca ulaşmak için ne kadar hassasiyetin gerekli olduğunu açıklarken kullanılır. Bowlingte kullanılan pinler 4,75 inç genişliğinde, top ise 8,5 inç genişliğindedir, bu nedenle bir bowling sporcusunun ikinci atışta kalan belirli bir pini düşürmek için 21,75 inç hata payı olduğu söylenebilir (örnek olarak 1 veya 5 numaralı pinler gösterilebilir, 7 ve 10 numaralı pinler hat kenarında olduklarından aynı hata marjına sahip değildir).

## Konsept
Basit bir *evet / hayır* anketini ele alalım P, N ile ifade edilen bir popülasyondan çekilen n adet katılımcının cevaplarının örneği (n  ve p verdikleri evet cevaplarının yüzdesi olsun. p sonucunun tüm N popülasyonuna uygulanacak bir anketin gerçek sonucuna, bu anketi gerçekten uygulamak zorunda kalmadan ne kadar yakın çıktığını bilmek isteriz. Varsayımsal olarak, N popülasyonundan yeni çekilen sonraki n adet katılımcının cevaplarının p_1,p_2,\ldots, \overline{p} üzerinde normal dağılmasını bekleriz. Hata payı, bu sonuçların belirli bir yüzdesinin \overline{p} den farkına ilişkin beklenilen mesafeyi tanımlar.

68-95-99.7 kuralına göre p_1,p_2,\ldots sonuçlarının %95'inin gerçek ortalamanın \overline{p}  her iki tarafında *yaklaşık* iki standart sapma (\plusmn2\sigma_{P} ) aralığına düşmesini bekleriz. Bu aralığa güven aralığı adı verilir ve yarıçap (aralığın yarısı), %95 güven düzeyine karşılık gelen hata payı olarak adlandırılır.

Genellikle \gamma güven düzeyinde, n örnek boyutuna sahip bir popülasyonun beklenen standart sapması \sigma; z_\gamma  *çeyreklik açıklığını* (ayrıca, bir *z-skorunu)* ve \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} standart hatayı gösterirken

: MOE_\gamma = z_\gamma \times \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}

hata payına sahiptir.

## Standart sapma ve standart hata
Normal dağılan&nbsp;p_1,p_2,\ldots değerlerinin n ile değişen bir standart sapmaya sahip olmasını bekleriz. Daha küçük n, daha geniş hata payı anlamına gelir. Buna standart hata denir \sigma_\overline{p} .

Anket sonuçlarından biri için şu varsayılır: p = \overline{p} ve sonraki *tüm* sonuçlar p_1,p_2,\ldots birlikte bir varyansa sahiptir \sigma_{P}^2=P(1-P) .

:  \text{Standart hata} = \sigma_\overline{p} \approx \sqrt{\frac{\sigma_{P}^2}{n}} \approx \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}

p(1-p) bir Bernoulli dağılımının varyansına karşılık gelir.

## Farklı güven seviyelerinde maksimum hata payı

\gamma güven düzeyi için ortalama ile ilgili bir güven aralığı \mu\plusmn z_\gamma\sigma, yani [\mu-z_\gamma\sigma,\mu+z_\gamma\sigma] şeklindedir. P değerleri \gamma olasılıkla bu aralık içine düşmelidir. z_\gamma'nin kesin değerleri normal dağılımın çeyrekler açıklığı fonksiyonu ile verilir (ve 68-95-99.7 kuralına yakınsar).

z_\gamma, |\gamma| \ge 1 için tanımsızdır, yani, z_{1.00} gibi z_{1.10} de tanımsızdır.

p = 0.5 iken \max \sigma_P^2 = \max P(1-P) = 0.25 olduğundan,

p=\overline{p} = 0.5şeklinde keyfi bir ayarlama ile \gamma güven seviyesinde ve n örnek boyutunda gerçek sonuçları almadan önce bile P'nin maksimum hata payını elde etmek için \sigma_{P}, \sigma_\overline{p} ve z_\gamma\sigma_\overline{p} değerleri hesaplanabilir. Örneğin p=0.5,n=1013 iken;

: MOE_{95}(0.5) = z_{0.95}\sigma_\overline{p} \approx z_{0.95}\sqrt{\frac{\sigma_{P}^2}{n}} = 1.96\sqrt{\frac{.25}{n}} = 0.98/\sqrt{n}=\plusmn3.1%
: MOE_{99}(0.5) = z_{0.99}\sigma_\overline{p} \approx z_{0.99}\sqrt{\frac{\sigma_{P}^2}{n}} = 2.58\sqrt{\frac{.25}{n}} = 1.29/\sqrt{n}=\plusmn4.1%

Ayrıca, bildirilen herhangi bir MOE_{95} için

: MOE_{99} = \frac{z_{0.99}}{z_{0.95}}MOE_{95} \approx 1.3 \times MOE_{95}

## Kaynakça

* Sudman, Seymour ve Bradburn, Norman (1982). *Sorular Sormak: Anket Tasarımı İçin Pratik Bir Kılavuz* . San Francisco: Jossey Bass.ISBN&nbsp;
*  

## Dış bağlantılar

* "Errors, theory of", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
* Weisstein, Eric W. "Margin of Error". MathWorld.