Pauli matrisleri

**Pauli matrisleri** 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:
:
\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}


:
\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}


:
\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}


İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.
## Çarpım tablosu


## Özellikler
*I* birim matris olmak üzere.
:
\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I

* Pauli matrislerinin determinant ve izleri:

:\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \ i = 1, 2, 3
\end{matrix}

Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σ*i* ±1 olduğu açıkça görülebilir.

* Birim matris **I** (bazen σ0 olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.

### Komutasyon bağıntıları
:\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!
:\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!
:\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!
:\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i \quad i\ne j\,\!

* Yukarıdaki ifadeler kullanılarak \varepsilon_{ijk} Levi-Civita sembolü, \delta_{ij} Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir:

:\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]     &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex]
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I
\end{matrix}

Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

:\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \,.

Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:
:\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,

Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:
::(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} ) \quad \quad \quad \quad (1) \,
:(*a* ve *b* vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)
:en genel tanımıyla \vec{a} = a \hat{n}  olarak verilen bir *a* vektörü için
::e^{i (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \sigma) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \,


(1)' in ispatı

:



(2)' nin ispatı

Çift kuvvetler için
:(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \, 
tek kuvvetler için
:(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \,

Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:
:
x = a (\hat{n} \cdot \sigma) \, yerine koyularak
::= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \sigma)^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \sigma)^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,
::= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n}}{2n!}} + i (\hat{n}\cdot \sigma) \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,
sonuçta,
:e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \,
ifadesine ulaşılır.



## Fizik
Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.

S_i = \frac{ \hbar }{2}\sigma_i \quad i=1,2,3

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin \pm \hbar /2 olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.