Taylor teoremi

Kalkülüste **Taylor teoremi**, türevi tanımlı bir işleve bir nokta çevresinde, katsayıları yalnızca işlevin o noktadaki türevine bağlı olan polinomlar cinsinden bir yaklaştırma dizisi üreten bir sonuçtur. Teorem, yaklaştırma hesaplamalarındaki hata payına ilişkin kesin sonuçlar da verebilmektedir. Brook Taylor adlı matematikçinin 1712 yılında yaptığı çalışmalarından ötürü ismi bu şekilde anılan teoremin aslında bundan 41 yıl önce (1671 yılında) James Gregory tarafından bulunduğu bilinmektedir.

Taylor teoremine göre *k* defa türevlenebilir bir fonksiyona, verilen bir noktada yakınsayan *k* derece polinoma **Taylor polinomu** denir. Birinci derece Taylor polinomu **doğrusal yaklaşım** () olarak, ikinci derece Taylor polinomuysa **karesel yaklaşım** () olarak da bilinir.

## Giriş

Eğer *f(x)* gerçel fonksiyonu *x = a* noktasında türevlenebilir ise, bu noktada *doğrusal yaklaşımı* var demektir. Dolayısıyla, aşağıdaki gibi bir *h<sub>1</sub>(x)* fonksiyonu vardır:

: f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + h_1(x)(x - a), \quad \lim_{x \to a} h_1(x) = 0.

Burada

:P_1(x) = f(a) + f'(a)(x - a)

terimi, *f(x)*'in *x = a* noktasındaki doğrusal yaklaşımıdır ve grafiği *f(x)*'e teğettir. Yaklaşım hatası aşağıdaki gibi hesaplanır:

:R_1(x) = f(x) - P_1(x) = h_1(x)(x - a).

*x* değişkeni *a* değerine yaklaştıkça, bu hata f'(a)(x{-}a)'ten daha hızlı şekilde sıfıra yaklaşır, dolayısıyla f(x)\approx P_1(x) yaklaşımı kullanışlıdır.

Daha iyi bir tahmin bulmak için *f*(*x*)'e bir karesel polinom yaklaştırabiliriz:

:P_2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f*(a)}{2}(x - a)^2.</math>

*f*(*x*)'in *x* = *a*<nowiki/>'da yalnız bir türevini eşleştirmek yerine, hem birinci hem de ikinci türevlerini bu polinomla temsil edebiliriz.

Taylor teoremine göre, *karesel yaklaşım* *x*=*a*<nowiki/>'nın yeterince küçük bir mahalinde *doğrusal yaklaşım*dan daha isabetli bir tahmin sunar. Aşağıdaki yaklaşıma göre

:<math>f(x) = P_2(x) + h_2(x)(x - a)^2, \quad \lim_{x \to a} h_2(x) = 0.</math>

Hata değeri

:<math>R_2(x) = f(x) - P_2(x) = h_2(x)(x - a)^2,</math>

*x* değişkeni *a* değerine yaklaştıkça, <math>(x - a)^2</math>'den daha hızlı şekilde sıfıra yaklaşır.

Bu şekilde daha üst dereceden polinomlar kullanarak daha doğru bir yaklaşım elde edilebilir. Bunun sebebi, yaklaşım polinomunun verilen noktada *f*<nowiki/>'nin daha üst dereceden türevleriyle eşleşmesidir.

Genel olarak, *x* *a*<nowiki/>'ya yaklaşırken, *k* dereceden bir yaklaşım polinomunun hatasının sıfıra yaklaşma hızı, <math>(x-a)^k</math>'nin yaklaşma hızından daha fazladır. Ancak, sonsuz derecede [[Türevlenebilirlik|türevlenebilir]] olsa dahi isabetli bir yaklaşımı bulunmayan fonksiyonlar da vardır. Bu fonksiyonların *x = a*<nowiki/>'da [[Analitik fonksiyon|analitik]] olmadığı söylenir. Yani fonksiyon bu nokta ve çevresinde türevleriyle belirlenemez.

== Tek değişkenli Taylor teoremi ==

Taylor teoreminin en basit halinin açık ifadesi şöyledir:

:*k*&nbsp;≥&nbsp;1 bir [[tam sayı]] ve   noktasında *k* defa türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Öyleyse aşağıdaki tanıma sahip bir  fonksiyonu vardır:

::<math> f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f*(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k,
::ve
::\lim_{x\to a} h_k(x) = 0.
:Buna *kalanın [[Peano]] biçimi* denir.

Taylor teoremindeki polinom *f* fonksiyonunun *a* noktasındaki *k dereceden Taylor polinomudur*:

:P_k(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f*(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k </math>

Taylor polinomu [[biricik]] "asimtotik en uygun" polinomdur. Yani, aşağıdaki gibi  fonksiyonu ve *k* dereceden polinom *p* varsa

:<math> f(x) = p(x) + h_k(x)(x-a)^k, \quad \lim_{x\to a} h_k(x) = 0 ,</math>

o halde *p*&nbsp;=&nbsp;*Pk*<nowiki/>'dir. Taylor teoremi *kalan terim*<nowiki/>'in asimptotik davranışını ifade eder:

:<math> R_k(x) = f(x) - P_k(x),</math>

Bu terim, *f'' bir Taylor polinomuyla tahminlendiğindeki yaklaşım hatasıdır.

## Ayrıca bakınız
* Taylor dizisi
* Doğrusal yaklaştırma
* Üs dizisi
* Laurent dizisi – Taylor dizisinin tekil noktalara sahip işlevlere uyarlanmış biçimi

## Kaynakça

* 
* 
* 

## Dış bağlantılar
* Taylor Dizisinin Kosinüs Yaklaştırması 
* Trigonometrik Taylor Açılımı etkileşimli görsel sunum
* Taylor Dizisi, Yeniden, Bütüncül Sayısal Yöntemler Enstitüsü