Paralelkenar yasası

Matematikte **paralelkenar yasası**nın en temel formu (ayrıca **paralelkenar özdeşliği** denir), temel geometriye aittir. Yasa, paralelkenarın tüm kenarlarının karelerinin toplamının köşegenlerinin karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler.

## Teoremin açıklaması
Yandaki gösterimdeki paralelkenarın kenarları; (AB), (BC), (CD) ve (DA)'dır. Öklidci geometriden beri, paralelkenarın karşılıklı kenarları mutlaka eşit olmalıdır. Yani, (*AB*) = (*CD*) ve (*BC*) = (*DA*)'dır.

Yasa şu şekilde ifade edilebilir,
: 2(AB)^2+2(BC)^2=(AC)^2+(BD)^2\,

Paralel kenarın dikdörtgen olması durumunda ise köşegenler eşit olmalıdır (AC) = (BD) yani,
: 2(AB)^2+2(BC)^2=2(AC)^2\,

İfade, dört kenarı eşit olmayan genel dörtgenler içinse Pisagor teoremine indirgenebilir,
: (AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2+4x^2.\,

burada x köşegenlerinin orta noktasını birleştiren çizginin uzunluğudur. Şemada görüldüğü gibi, paralelkenar için *x* = 0 ve genel formül paralelkenar yasasındakine eşdeğerdir.

## İç çarpım uzayları içinde paralelkenar kanunu

Bir normlu uzayı içinde paralelkenar kanununun durumu normlarla ilişkili bir denklemdir:

:2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2. \, 

Bir iç çarpım uzayı içinde, norm iç çarpım kullanımı belirleniyor:

:\|x\|^2=\langle x, x\rangle.\,

Tanımın bir sonucu olarak, bir iç çarpımlı uzay içinde paralelkenar kanunu  bir cebrik özdeşliktir, iç çarpımın özellikleri kullanılarak kolayca kurulmuştur:

:\|x+y\|^2=\langle x+y, x+y\rangle= \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle +\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle, \, 
:\|x-y\|^2 =\langle x-y, x-y\rangle= \langle x, x\rangle - \langle x, y\rangle -\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle. \, 

bu iki bağıntı ekleniyor:

:\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 = 2\langle x, x\rangle + 2\langle y, y\rangle  = 2\|x\|^2+2\|y\|^2, \, 

olarak gereklidir.

Eğer *x*  *y*ye ortogonal ise,  \langle x ,\ y\rangle  = 0 ve alınan bir toplamın normu için  yukarıdaki denklem:

:\|x+y\|^2= \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle +\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle =\|x\|^2+\|y\|^2, 

Bu pisagor teoremidir.

## Normlu vektör uzaylarını paralelkenar kanunu karşılar
En gerçek ve karmaşık normlu vektör uzayları iç çarpımlı değildir, ama tüm normlu vektör uzaylarının normları var (tanımı ile).Örneğin, bir ortak kullanılan norm ''p''-normdur:

:\|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right) ^{1/p}, 

x_i burada x vektörünün bileşenleridir.

Verilen bir norm, yukarıda paralelkenar kanununun iki tarafını teke evriltilebilir. Dikkat çekici gerçektir şudur ki paralelkenar kanunu tutarlı ise, o zaman standart bir iç çarpım, alışılmış bir yolla ortaya çıkmalıdır. Özel olarak, bu *p*-norm'un ancak ve ancak *p*&nbsp;=&nbsp;2,*Öklidyen* norm  veya *standard* norm gibi-adlandırılması uygundur.

Herhangi norm için paralelkenar kanunu karşılar (bu zorunlu olarak bir iç çarpım normudur), iç çarpım üreten norm polarizasyon özdeşliğinin bir sonucu olarak tekliktir. Gerçek durum içinde, polarizasyon özdeşliği ile veriliyor:

:\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4},\,

veya, eşdeğerliği, ile:

:{\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\over 2}\text{ veya }{\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\over 2}.\,

karmaşık durum içinde aşağıdaki ile veriliyor:

:\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}+i{\|ix-y\|^2-\|ix+y\|^2\over 4}.

Örneğin, *p*-norm ile *p* = 2 ve gerçel vektörler x , \ y \, kullanılıyor, iç çarpımın evirtimi için süreç aşağıdadır:

:\begin{align}
\langle x, y\rangle&={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}\\
&=\frac{1}{4} \left[ \sum |x_i +y_i|^2 -\sum|x_i-y_i|^2 \right]\\
&=\frac{1}{4} \left[ 4 \sum x_i y_i \right]\\
&=(x\cdot y),
\end{align}


bu iki vektörlerin  standart nokta çarpımıdır.

## Notlar ve iç-hat kaynakları

## Ayrıca bakınız
* Apollonius teoremi
* Birleşmeli özellikler
* Polarizasyon özdeşliği

## Dış bağlantılar
* The Parallelogram Law Proven Simply at Dreamshire blog
* The Parallelogram Law: A Proof Without Words  at Cut-the-Knot
* Proof of Parallelogram Law  at PlanetMath
* A generalization of the "Parallelogram Law/Identity" to a Parallelo-hexagon and to 2n-gons in General - Relations between the sides and diagonals of 2n-gons (Douglas' Theorem)  at Dynamic Geometry Sketches , an interactive dynamic geometry sketch.