Christoffel sembolleri

Matematik ve fizikte Elwin Bruno Christoffel'in adına atfedilen **Christoffel sembolleri** eğri uzaylardaki metrik farkı düzenler.Daha basit bir biçimde anlatmaya çalışırsak bir vektörü gösterdiğimiz **[[kartezyen koordinat sistemi]]** gibi düz koordinatlarda vektörün bileşenlerini temsil eden baz vektörler kendi eksenlerine dik olduğu için türevleri sıfıra eşittir. Fakat eğri bir uzayda baz vektörler de değişir yani türevlenir. İşte bu türev işlemi Yunan alfabesinden \Gamma harfi ile temsil edilmektedir. Christoffel sembollerinin fizikte birçok uygulaması vardır. Bunlardan en önemlisi Einstein alan denklemlerinde kullanılmasıdır.

## Ön Hazırlık
x^i  koordinatlarından oluşan i=1,2,3...n için *M* üzerine **''n'' boyutlu** bir manifold verilsin. O halde baz vektörler:

*<math>e_i</math>*={\partial\over\partial x^i}=\partial_i    , i=1,2..n

Baz vektörleri tanımladığımıza göre metrik tensörü inşa edebiliriz:

g_{ij}=e_i\otimes e_j

ve onun tersi:

g^{ij}={1 \over g_{ij}}

Kovaryant baz vektörünü şu biçimde de yazabiliriz:

e^j =e_jg^{ji}                       i=1,2..n

Bazı kaynaklarda e_i yerine g_i yazabilir.İkisi de aynı şeyi temsil eder.

## Öklit Uzayında Gösterimi
Öklit uzayında Cristoffel sembollerinin genel ifadesi dışında 2. gösterim türü aşağıda verilmiştir:

\Gamma^{k}_{ij}={\partial e_i \over \partial x^j}e_k={\partial e_i \over \partial x^j}.g^{km}e_m  (Burada Einstein toplama kuralı kullanılmıştır.)

Christoffel sembollerinin ilk türü ise indislerin düşmesi ile açıklanabilir:

\Gamma_{kij}=\Gamma^m_{ij}g_{mk}={\partial e_i \over \partial x^j}.e^m.g_{mk}={\partial e_i \over \partial x^j}.e_k

Ve şu durumu görebiliriz:

{\partial e_i \over \partial x^j}=\Gamma^k_{ij}.e_k=\Gamma_{ijk}.e^k

Demek istediğimizi sözlü olarak açıklarsak Christoffel sembolleri tarafından temsil edilen baz vektörlerin noktadan noktaya nasıl değiştiğini izler. 2. türdeki semboller değişimi  tek baz vektöre göre ayrıştırırken 1. türdekiler onu iki baz vektöre göre ayrıştırır. 2 tür sembollerde de bir şart dahilinde simetri vardır:

g_{ij}=g_{ji}  ise

\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji} ve \Gamma_{kij}=\Gamma_{kji} olur.

Sebebi:

g_{ij}=e_i\otimes e_j ={\partial  \over \partial x^i}\otimes{\partial  \over \partial x^j} =g_{ji}=e_j\otimes e_i={\partial  \over \partial x^j}\otimes{\partial  \over \partial x^i}

{\partial e_j \over \partial x^i}={\partial  \over \partial x^i}(e_j)={\partial \over \partial x^i}({\partial  \over \partial x^j})={\partial  \over \partial x^j}({\partial  \over \partial x^i})={\partial  \over \partial x^j}(e_i)={\partial e_i \over \partial x^j}

{\partial e_j \over \partial x^i}=\Gamma^k_{ij}e_k  ve {\partial e_i \over \partial x^j}=\Gamma^k_{ji}e_k o halde:

\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}

## Genel Gösterim
\Gamma_{cab}=g_{cd}\Gamma^d_{a b}  ve \Gamma_{cab}={ 1 \over 2}({\partial g_{ca} \over \partial x^b}+{\partial g_{cb} \over \partial x^a} -{\partial g_{ab} \over \partial x^c}) sebebi.:

{\partial g_{ca} \over \partial x^b}={\partial  \over \partial x^b}(e_c\otimes e_a)={\partial e_c \over \partial x^b}e_a+e_c{\partial e_a  \over \partial x^b }

Biliyoruz ki {\partial e_c \over \partial x^b}=\Gamma^d_{cb}.e_d ve {\partial e_a \over \partial x^b}=\Gamma^d_{ab}.e_d, o halde:

{\partial g_{ca} \over \partial x^b}=(\Gamma^d_{cb}.e_d).e_a+e_c (\Gamma^d_{ab}.e_d)

Baz vektörleri içeri alıp Christoffel sembolünü dışarı çıkartırsak amacımıza ulaşmış oluruz:

{\partial g_{ca} \over \partial x^b}=(e_a.e_d)\Gamma^d_{cb}.+(e_c .e_d)\Gamma^d_{ab}

e_a.e_d=g_{ad}  ve e_c.e_d=g_{cd} olduğuna göre

{\partial g_{ca} \over \partial x^b}=g_{ad}\Gamma^d_{cb}+g_{cd}\Gamma^d_{ab} olacaktır.

Aynı şekilde

ve {\partial g_{cb} \over \partial x^a}=\Gamma^d_{ca}g_{bd}+\Gamma^d_{ba}g_{dc}

{\partial g_{ab} \over \partial x^c}=\Gamma^d_{ac}g_{db}+\Gamma^d_{bc}g_{ad}

Fark ettiyseniz her ikisinden  birisi birbirinin simetriğidir.

{\partial g_{ca} \over \partial x^b}+{\partial g_{bc} \over \partial x^a}-{\partial g_{ab} \over \partial x^c}=g_{ad}\Gamma^d_{cb}+g_{cd}\Gamma^d_{ab}+\Gamma^d_{ca}g_{bd}+\Gamma^d_{ba}g_{dc}-\Gamma^d_{ac}g_{db}-\Gamma^d_{bc}g_{ad} simetrik olduğu için:

=\Gamma^d_{ba}g_{dc}+\Gamma^d_{ab}g_{dc}=2\Gamma^d_{ba}g_{dc} dolayısıyla:

{\partial g_{ca} \over \partial x^b}+{\partial g_{bc} \over \partial x^a}-{\partial g_{ab} \over \partial x^c}=2\Gamma^d_{ab}g_{cd}

2'yi karşıya attığımızda

{1 \over 2}({\partial g_{ca} \over \partial x^b}+{\partial g_{cb} \over \partial x^a}-{\partial g_{ab} \over \partial x^c})=\Gamma^d_{ab}g_{cd}=\Gamma_{cab}

## Uygulamaları

### Genel görelilikte
Christoffel sembolleri Einstein'ın genel görelilik teorisinde kendine sıkça kullanım alanı bulmuştur. Genel görelilikte uzayzaman, 4 boyutlu eğri bir Lorentz manifoldu olarak tasvir edilmiştir. Genel göreliliğin matematiksel kalbi olan Einstein alan denklemleri ise, uzayzamanın geometrisi ile madde arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Uzayın geometrisini hesaplamak için Ricci tensörü kullanılır ki, bu tensörü hesaplamak için Christoffel sembollerini hesaba katmak esastır. Bu konuda önce uzayın geometrisi belirlenir, daha sonra madde ve ışığın uzayda nasıl bir yol izleyeceğini, Christoffel sembollerinin de yardım ettiği bir jeodezik denklem ile hesaplanır.

Einstein alan denklemleri şu şekilde yazılır:

R_{ij}-{Rg_{ij}  \over 2}+g_{ij}\Lambda={8 \pi G \over c^4}T_{ij}  

Christoffel sembollerini burada göremesekte aslında Riemann eğrilik tensörünün özel bir hali olan Ricci tensörünün içinde mevcuttur:

R_{ij}={\partial \over \partial x^j }\Gamma_{il}^l-{\partial  \over \partial x^l}\Gamma_{i j}^l +\Gamma_{jp}^l \Gamma_{il}^p- \Gamma_{lp}^l \Gamma_{ij}^p 

### Silindirik koordinatlar için örneği
\Upsilon(r,\theta,z)=r.cos(\theta)e_1+r.sin(\theta)e_2+z.e_3 denklemi silindirik koordinatların denklemidir.3 boyutlu silindirik koordinat sisteminde kartezyen koordinat cinsinden  metrikleri yazdığımızda:

x=r.cos(\theta)

y=r.sin(\theta)

z=z

Silindirik koordinatların metrik tensörünü  hesaplamak için denklemin birim vektörlerini hesap edersek:

{\partial \Upsilon \over \partial r}=e_r=cos(\theta).e_1+sin(\theta).e_2

{\partial \Upsilon \over \partial \theta}=e_\theta=-r.sin(\theta).e_1+r.cos(\theta).e_2

{\partial \Upsilon \over \partial z}=e_z=e_3

Ana Madde:Metrik Tensör

g_{ij}={\partial \Upsilon \over \partial x^i}\otimes {\partial \Upsilon \over \partial x^j}=e_i \otimes e_j    i,j=r,\theta,z

Metrik tensörü yazdığımızda,

g_{ij} = 
\begin{bmatrix}
g_{rr} & g_{r \theta} & g_{rz}  \\
g_{\theta r} & g_{\theta \theta} & g_{\theta z}  \\
g_{zr} & g_{z \theta} & g_{zz}  \\
\end{bmatrix}

Şimdi bileşenlerini tek tek hesap edelim.

Not=Kartezyen koordinat sisteminde metrik tensör:

g_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{eğer }i=j \\ 0, & \text{eğer }i\neq j \end{cases}

g_{rr}=e_r.e_r=(cos(\theta)e_1+sin(\theta)e_2).(cos(\theta)e_1+sin(\theta)e_2)=cos^2(\theta)+sin^2(\theta)=1

g_{r\theta}=e_r.e_{\theta}=(cos(\theta).e_1+sin(\theta)e_2).(-r.sin(\theta)e_1+r.cos(\theta)e_2)=-cos(\theta).rsin(\theta)+cos(\theta)r.sin(\theta)=0

g_{rz}=e_r.e_z=(cos(\theta).e_1+sin(\theta)e_2).e_3=0

g_{\theta r}=e_\theta . e_r=(-r.sin(\theta).e_1+r.cos(\theta).e_2).(cos(\theta).e_1+sin(\theta)e_2)=0

g_{\theta \theta}=(-r.sin(\theta).e_1+r.cos(\theta)e_2).(-rsin(\theta)e_1+r.cos(\theta)e_2)=r^2.(sin^2(\theta)+cos^2(\theta))=r^2

g_{\theta z}=e_{\theta}.e_z=(-r.sin(\theta).e_1+r.cos(\theta).e_2).e_3=0

g_{zr}=e_z.e_r=(cos(\theta)e_1+sin(\theta)e_2).e_3=0

g_{z \theta}=e_z.e_{\theta}=(-r.sin(\theta).e_1+r.cos(\theta).e_2).e_3=0

g_{zz}=e_z.e_z=e_3.e_3=1

Sonunda silindirik koordinatlar için metrik tensörü elde ettik.

g_{ij} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & r^2 & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
\end{bmatrix}

Şimdi silindirik koordinatlar için Christoffel sembollerini hesap edeceğiz.

Baştaki kanıtlardan şu özdeşliği hesap etmiştik;

\Gamma^{k}_{ij}={\partial e_i \over \partial x^j}e_k  ve baz vektörü sembolün yanına yazıp satır matris formunda gösterdiğimizde:

{\partial e_i \over \partial x^j}=\Gamma_{ij}^k.e_k=(\Gamma_{ij}^r,\Gamma_{ij}^\theta,\Gamma_{ij}^z)    .

Christoffel sembollerinin aslında tensör olmadığını sadece baz vektörlerin türevlerinin bileşenleri olduğunu görürüz.

Birim vektörlerin terslerini de şöyle hesap edebiliriz:

e^r=1/e_r=1/cos(\theta).e_1+sin(\theta).e_2 

Örneğin \Gamma_{\theta \theta}^{r}  şöyle hesaplanabilir.

\Gamma_{\theta \theta}^{r}= {\partial e_\theta \over \partial x^\theta}.e_r= {\partial  \over \partial x^\theta} -r.cos(\theta)e_1+r.sin(\theta).e_2

\Gamma_{\theta \theta}^r=(-r.cos(\theta).e_1-r.sin(\theta).e_2).(cos(\theta).e_1+sin(\theta).e_2)=-r 

Diğerlerini hesaplamak çok uzun süreceğinden direk diğer değerleri yazalım.


\begin{bmatrix}
\Gamma_{rr}^r & \Gamma_{\theta r}^r & \Gamma_{zr}^r  \\
\Gamma_{rr}^\theta & \Gamma_{\theta r}^\theta & \Gamma_{zr}^\theta  \\
\Gamma_{rr}^z & \Gamma_{\theta r}^z & \Gamma_{zr}^z  \\
\end{bmatrix}   = 
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0  \\
0 & r & 0  \\
0 & 0 & 0  \\
\end{bmatrix} 

 
\begin{bmatrix}
\Gamma_{r \theta}^r & \Gamma_{\theta \theta}^r & \Gamma_{zr}^r  \\
\Gamma_{r \theta}^\theta & \Gamma_{\theta \theta}^\theta & \Gamma_{z \theta}^\theta  \\
\Gamma_{r \theta}^z &\Gamma_{\theta \theta}^z &\Gamma_{z \theta}^z  \\
\end{bmatrix}  = 
\begin{bmatrix}
-1 & -r & 0  \\
1/r & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0  \\
\end{bmatrix} 


\begin{bmatrix}
\Gamma_{r z}^r & \Gamma_{\theta z}^r & \Gamma_{zz}^r  \\
\Gamma_{rz}^\theta & \Gamma_{\theta z}^\theta & \Gamma_{zz}^\theta  \\
\Gamma_{rz}^z & \Gamma_{\theta z}^z & \Gamma_{zz}^z  \\
\end{bmatrix}  = 
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 0  \\
\end{bmatrix}