Euler teoremi (geometri)

Geometride, **Euler teoremi**, bir üçgenin çevrel çemberinin ve iç teğet çemberinin merkezleri arasındaki uzaklıkla bu çemberlerin yarıçapları arasında bir ilişki kuran temel bir sonuçtur. Teorem, adını, bu sonucu 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır. Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.

## Teoremin ifadesi
Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R, içteğet çemberin yarıçapı r ve bu iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık d ise, o zaman
: d^2=R (R - 2r)
eşitliği vardır. Eşitlik ifadesi, eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde de yazılabilir:
:\frac{1}{R - d} + \frac{1}{R + d} = \frac{1}{r}.

### Euler eşitsizliği
Uzaklık kavramı negatif-olmayan bir gerçel sayıyı işaret ettiği için, teoremde d=R(R-2r)\ge 0 yazılıp 
**Euler eşitsizliği** elde edilir: 
:R \ge 2r.
Burada, eşitlik hali, yani, R = 2r olması, ancak ve ancak bahsi geçen üçgenin eşkenar üçgen olması durumunda geçerlidir.

Eşitsizliğin daha güçlü bir hâli de vardır. a, b, c üçgenin kenar uzunlukları olmak üzere
:\frac{R}{r} \geq \frac{abc + a^3 + b^3 + c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} -1 \geq \frac{2}{3} \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq 2,
eşitsizliği yazılabilir.

## Teoremin ispatı

O noktası, \triangle ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve I noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun. 
AI'nın uzantısının çevrel çemberi kestiği noktaya L diyelim. Bir iç teğet çemberin merkezi üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktası olduğu için, AI doğrusu, BAC nin açıortayıdır. O halde BL ve LC yayları eşit uzunluğa sahiptir. Böylece, L noktası, BC yayının orta noktasıdır.
L ve O'dan geçen doğruyu uzatıp bu doğrunun çevrel çemberi kestiği diğer noktaya M diyelim. Böylelikle, ML=2R olur. I'dan AB kenarına bir dik çizelim ve bu dikmenin kenarı kestiği noktaya D diyelim. O zaman, ID = r olur.

\triangle ADI üçgeninin \triangle MBL üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir. Böylece, 
:\frac{ID}{BL} = \frac{AI}{ML},
yani, ID \times ML = AI \times BL elde edilir. ID ve ML uzunluklarının değerlerini yerine koyarak 
:2Rr = AI \times BL
olur. BI'yı birleştirilince, iç teğet üçgenin açıortay özelliğinden
:\angle BIL = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}
olduğu elde edilir. Diğer taraftan, L noktasını BC yayının orta noktası olduğundan, \angle CBL =\frac{\angle A}{2}  olur. İç teğet üçgenin açıortay özelliğinden \angle IBC= \frac{\angle B}{2} olacağından, 
:\angle IBL = \frac{\angle ABC}{2} + \angle CBL = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle A}{2}
elde edilir. Sonuç olarak, \angle BIL = \angle IBL elde edilmiştir. Bir üçgende aynı açılara sahip kenarların uzunluğu aynı olduğundan, BL = IL elde edilir.

AI \times IL = 2Rr olduğu bilgisine sahibiz. OI doğru parçasını çevrel çemberi P ve Q noktalarında kesecek şekilde uzatalım. O halde, 
:PI \times QI = AI \times IL = 2Rr, 
yani, 
:(R + d) (R - d) = 2Rr
elde edilir. Sonuç olarak,
:d^2 = R(R - 2r)
olur.

## Dış teğet çember için Euler teoremi

A tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapı r_a olsun. Dış teğet çemberin merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzaklık ise d_a ile gösterilsim. O zaman, 
:d_a^2 = R(R + 2r_a) 
olur.

## Mutlak geometride Euler eşitsizliği
Euler eşitsizliğinin şu biçimi mutlak geometride geçerlidir:
Bir çember içinde çizilen tüm üçgenler arasında, 
* sadece eşkenar üçgenlerin alanın en büyüktür,
* iç teğet çemberlerinin yarıçapı en büyük olanlar eşkenar üçgenlerdir; yani, sonuç olarak R \ge 2r.

## Ayrıca bakınız

* İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi
* Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı R, r ve d) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir.
* Üçgen eşitsizlikleri listesi

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
* 
* 
* 

## Konuyla ilgili yayınlar
* 
* 
* 
*