İç içe kökler

Matematikte iç içe kökler kök içinde köklü ifadelerin bulunması durumudur.

## İç içe sonsuz kökler
ax^n+bx+c=0 genel denklemi için:

ax^n=-bx-c\Rightarrow x^n=-\frac{b}{a}x-\frac{c}{a} yandaki denklemde her iki tarafın n dereceden kökü alınırsa x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}x} şeklinde düzendi.

x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}x} denkleminde sol tarafta x ve sağ tarafta kökün içinde x vardır. Her ikisi de x tir. Sol taraftaki x kök içindeki kökün içine bir defa yazılırsa x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}x}} olur.

İki defa yazılırsa x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}x}}} olur. Burada -x/a ve -b/a şeklinde bir tekrarlanma var.

Sol taraftaki x kök içindeki kökün sonsuz defa yazılırsa :{\color{Violet}x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}} şeklinde bir içe sonsuz kökler meydana gelir. İç içe sonsuz köklerin kaynağı buradan gelmektedir.

*Bunun tersi de doğrudur.* Birinci kökün içindeki -b/a nın çarpım durumunda olan köklü ifadeye x denilirse ax^n+bx+c=0 elde edilir.

**Çünkü : **x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}} içe içe sonsuz kökün her tarafın n ninci kuvveti alınırsa x^n={-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}} \Rightarrow -x^n-\frac{c}{a}={\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}**<br>** şeklinde olur işleme devam edilirse** <math>\frac{b}{a}[-x^n-\frac{c}{a}]={\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}</math> **oldu sağ taraftaki ifade zaten x e eşitti.** <math>\frac{b}{a}[-x^n-\frac{c}{a}]=x</math> **ve ispat tamamlanmış olur.

Genel **Sonuç : **ax^n+bx+c=0 \Rightarrow x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}  dir.

Eğer denklem ax^n+bx=0 şeklinde ise : Burada c sabit sayısı yoktur.

ax^n=-bx \Rightarrow x^n=-\frac{b}{a}x \Rightarrow x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}x} şekline dönüşür. Sol taraftaki x kök içindeki x yerine bir defa yazılırsa x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}x}} olur. İki defa yazılırsa x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}x}}} şeklinde olur. Burada içe içe kök içinde -b/a lar devam eder. Bu işlem sonsuz defa uygulanırsa iç içe sonsuz kökler meydana gelir. x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}} şeklinde sonsuza gider. *<u>Bunun tersi de doğrudur</u>*.

Tersi için x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}} denkleminin her iki tarafının n dereceden kuvveti yani üssü alınırsa x^n={-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}} devam edilirse -\frac{a}{b}x^n={\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}} bu denklemde ise sağ taraf x e eşitti. {\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}} yerine x yazılırsa -\frac{a}{b}x^n=x olur. Bu denklem düzenlenirse ax^n+bx=0 denklemi elde edilir. ax^n+bx=0 denkleminde x^n=-\frac{b}{a}x \Rightarrow x^{n-1}=-\frac{b}{a} \Rightarrow x=\sqrt[n-1]{-\frac{b}{a}} Şimdi iç içe köklü ifadelerin içindeki ikinci köklü ifadeye neden x denildiği ispatlandı.

Genel Sonuç 2 : ax^n+bx=0 \Rightarrow x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}} ve {\color{Blue}{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}}=\sqrt[n-1]{-\frac{b}{a}}} olur.

Genel Sonuç 2 için ikinci yol: x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}}  ** **bu ifadede c=0 alınırsa sonuç 2 : yine elde edilir. Çünkü c=0 olması durumunda** **ax^n+bx+c=0   denkleminde artık sabit sayı olmaz.

x=\sqrt[n]{-\frac{0}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{0}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{0}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}} \Rightarrow x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{b}{a} \sqrt[n]...}}}  şeklinde olur.

### Bölüm durumundaki iç içe sonsuz kökler
İspatlar dan sonra bir ispat daha

x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y...}}}} şeklinde gösterilen iç içe kökler denir. m=x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y...}}}} işlemin sonucuna m denilirse m=x\sqrt[n]{y:m} şeklinde bir denkleme dönüşür. (Çünkü ikinci köklü ifadede sezgisel olarak m ye eşit oluyor.İspatı yukarıda yapıldı) m=x\sqrt[n]{y:m} \Rightarrow  m^n=x^ny:m olur işleme devam edilirse m^nm=x^ny\Rightarrow m^{n+1}=x^ny  eşit olur. Her iki tarafın n+1 dereceden kökü alınırsa m=\sqrt[n+1]{x^ny} eşit olur. m=x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y...}}}} eşitti. O zaman \sqrt[n+1]{x^ny}=x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y...}}}} eşitliğinde doğrudur.

### Genel sonuç 3
 {\color{Emerald}\sqrt[n+1]{x^ny}=x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y:x\sqrt[n]{y...}}}}}
## [[İkinci dereceden denklemler|İkinci dereceden denklemin]] iç içe köklerle ilişkisi
Yukarıda ispatlar yapıldı. Genel iç içe kökler oluşturuldu.

ax^n+bx+c=0 denkleminde x=\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt[n]{...}}}} eşitti. n=2 alınması durumunda ax^2+bx+c=0 denklemi ve x=\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{...}}}} oluşur.

Sonuç olarak ax^n+bx+c=0 \Rightarrow x=\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{...}}}} eşittir.

İkinci dereceden denklemin bir kökü x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a} dır. O zaman x ler aynı olduğundan eşitleme yapılır. \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{...}}}} eşitliği yazılabilir. Burada dikkat edilmesi gereken nokta iç içe köklü ifadenin pozitif bir sonucu olması. Negatif sonuçlar çözüm kümesine alınamaz. (Bir ispat daha yapıldı.)

*<u>İkinci dereceden denklemde sabit sayı yok ise :</u>*

ax^2+bx=0 şeklinde bir denklem oluşur. Yandaki denklem ax^n+bx=0 denkleminin n=2
 için özel bir durumudur. ax^n+bx=0 denkleminde x=\sqrt[n-1]{-\frac{b}{a}} eşitti. Burada n=2 için

ax^2+bx=0 \Rightarrow x={-\frac{b}{a}} olur. x ler eşit olduğundan dolayı {-\frac{b}{a}}=\sqrt{-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{b}{a} \sqrt...}}} eşitliği yazılabilir.

### Sonuç 1
{\color{Violet}\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{c}{a}-\frac{b}{a}\sqrt{...}}}}} eşittir.

-\frac{b}{a}=r ve -\frac{c}{a}=p dönüşümleri yapılırsa: \frac{ar+\sqrt{(ar)^2+4pa^2\ }}{2a}=\sqrt{p+r\sqrt{p+r \sqrt{p+r \sqrt{...}}}} işleme devam edilirse \frac{ar+\sqrt{(ar)^2+4pa^2\ }}{2a}=\frac{ar+a\sqrt{(r)^2+4p\ }}{2a}=\frac{r+\sqrt{r^2+4p\ }}{2}

\sqrt{p+r\sqrt{p+r \sqrt{p+r \sqrt{...}}}}=\frac{r+\sqrt{r^2+4p\ }}{2} eşitliğine dönüşür. Daha da düzenlisi her iki tarafı r ile çarpılırsa iç içe Karekökler genel sonucu {\color{Purple}r\sqrt{p+r\sqrt{p+r \sqrt{p+r \sqrt{...}}}}=\frac{r^2+r\sqrt{r^2+4p\ }}{2}}  olur. Burada {\color{Red} r> 0} olduğuna dikkat ediniz.

### Sonuç 2
-\frac{b}{a}=\sqrt{-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{b}{a}\sqrt{-\frac{b}{a} \sqrt...}}}

-\frac{b}{a}=r dönüşümü yapılırsa: {\color{Brown}r=\sqrt{r\sqrt{r\sqrt{r \sqrt...}}}} olur.

## İç içe kökler
\sqrt[a]{y_1+\sqrt[b]{y_2+\sqrt[c]{y_3}+...+\sqrt[m]{y_q}}},

\sqrt[r]{m+\sqrt[n]{u}+\sqrt[q]{a}} şeklinde olan köklere iç içe kökler denir.

Kökler üssü ifadelerin kesirli biçimidir.

{[(a)^b]}^c=a^{bc} şeklindeki ifade üssü sayıların bir özelliğidir. İç içe köklerde aynı şekildedir. Kök sembolü aslında kesirli üsler için özel bir parantezdir. Aslında aynılar.

En önemli özelliği : {\color{Sepia}\sqrt[a]{p}=p^{\frac{1}{a}}} bu ifade köklü ifadeleri ve üslü ifadeleri birbirine bağlayan bir eşitliktir. Bu özellikten yola çıkarak \sqrt[r]{\sqrt[v]{\sqrt[w]{n}}} şeklindeki ifadeyi üssü ifadeye çevirmek mümkün.

\sqrt[r]{\sqrt[v]{\sqrt[w]{n}}} burada ilk olarak \sqrt[w]{n}=n^{\frac{1}{w}} şeklinde olur. Devam edilirse \sqrt[r]{\sqrt[v]{n^{\frac{1}{w}}}} aynı şekilde {\sqrt[v]{n^{\frac{1}{w}}}}=[{n^{\frac{1}{w}}}]^{\frac{1}{v}} şeklinde olur.{[(a)^b]}^c=a^{bc} özelliği uygulanırsa  n^{\frac{1}{wv}} olur.

Sıra n^{\frac{1}{wv}} ifadesinde \sqrt[r]{n^{\frac{1}{wv}}} biçimine dönüşür. Bu da aynı şekilde \sqrt[r]{n^{\frac{1}{wv}}}=[n^{\frac{1}{wv}}]^{\frac{1}{r}} olur.Aynı özellik uygulanırsa \sqrt[r]{n^{\frac{1}{wv}}}=[n^{\frac{1}{wv}}]^{\frac{1}{r}}=n^{\frac{1}{wvr}} sonucuna ulaşılır. n^{\frac{1}{wvr}} ifadesi \sqrt[\frac{1}{wvr}]{n} formundada yazılabilir.

### Sonuç
{\color{Red}n^{\frac{1}{wvr}}=\sqrt[r]{\sqrt[v]{\sqrt[w]{n}}}=\sqrt[\frac{1}{wvr}]{n}}

**A-) **\sqrt{a}+\sqrt{b} köklü ifadesi için \sqrt{a}+\sqrt{b}=x denilirse her iki tarafın karesi alınırsa a+b+2\sqrt{ab}=x^2 şekline dönüşür.

a+b+2\sqrt{ab}=x^2 ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=x şeklinde olur. \sqrt{a}+\sqrt{b}=x denilmişti. O zaman \sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} eşitliği olur.

### Sonuç
{\color{Fuchsia}\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b} }

**B-)**

\sqrt{a}\geq \sqrt{b}  ise \sqrt{a}-\sqrt{b}=x denilirse her iki tarafın karesi alınırsa a+b-2\sqrt{ab}=x^2 şekline dönüşür.

a+b-2\sqrt{ab}=x^2 ifadesinin her iki tarafının karekökü alınırsa \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=x şeklinde olur. \sqrt{a}-\sqrt{b}=x denilmişti. O zaman \sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} eşitliği olur.

### Sonuç
{\color{Fuchsia}\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b} }

Not: Bu işlemler ispata dayalıdır. İçerisinde ezbere dayalı bir işlem yoktur. Tamamen mantık üzerinedir.