Dönel cisim

Matematik, mühendislik ve imalat alanlarında kullanılan **dönel cisim**, bir eğriyi aynı düzlemde bulunan bir doğru (dönme ekseni) etrafında döndürülerek elde edilen şekildir.

Eğrinin dönme eksenini geçmediği kabul edilirse; dönel cismin hacmi, şeklin ağırlık merkezini merkez kabul eden dairenin uzunluğu ile şeklin alanının çarpımıdır (Pappus'un Ağırlık Merkezi Teoremi).

**Temsili disk** dönel cisimin üç-boyutlu bir hacim elemanıdır.
Bu eleman (w uzunluğunda) bir doğru parçasının (r birim uzaklıkta) bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşturulur. Böylece *&pi;*r*<sup>2</sup>*w* birimlik [[silindir]]ik [[hacim]] çevrelenmiş olur.

==Hacim bulma==
Dönel cismin hacmini bulmak için sıklıkla kullanılan iki integrasyon yöntemi, disk yöntemi ve kabuk yöntemidir. Bu yöntemleri uygulamak için, grafik çizmek en kolayıdır; dönme ekseni etrafında döndürülecek alan belirlenir; dönel cismin *δx* kalınlığına sahip disk şeklindeki bir diliminin ya da *δx* genişliğindeki silindirik bir kabuğun hacmi bulunur ve bu hacimlerin *δx* 0'a yakınsarkenki limit toplamı hesaplanır. Bu limit değeri, uygun bir integral hesaplanarak da bulunabilir.

===Disk yöntemi===



Disk yöntemi, çizilen dilimin dönme eksenine *dik* olduğu zaman yani dönme eksenine *paralel* integrasyon gerçekleştirilirken kullanılır.

<math>f(x)</math> ve <math>g(x)</math> eğrileri ve <math>x=a</math> ve <math>x=b</math> doğruları arasında kalan alan *x*-ekseni etrafında döndürülerek oluşan dönel cismin hacmi şöyle ifade edilir:
:<math>V = \pi \int_a^b \vert f^2(x) - g^2(x)\vert\,dx</math>

Eğer *g*(*x*) = 0 ise (yani bir eğri ile *x*-ekseni arasındaki alan döndürülüyorsa) formül şöyle indirgenir:
:<math>V = \pi \int_a^b f^2(x) \,dx \qquad (1)</math>

Bu yöntem üst noktası <math>f(y)</math> alt noktası <math>g(y)</math> olmak üzere yatay olarak uzanan çok ince bir dikdörtgen ile görselleştirilebilir. Bu dikdörtgen *y*-ekseni etrafında döndürülürse yüzük biçimini alır (<math>g(y) = 0</math> ise disk olur). Bu yüzüğün dış yarıçapı *f*(*y*) iç yarıçapı ise *g*(*y*) olur. *R* dış yarıçap (bu durumda *f*(*y*)), *r* iç yarıçap (bu durumda *g*(*y*)) olmak üzere bu yüzüğün alanı <math>\pi (R^2 - r^2)</math> dir. Aralıktaki tüm alanları toplamak toplam hacmi verir. Bu yüzden her bir sonsuz küçük diskin hacmi <math>\pi f^2(x) dx</math> dir. Bu disklerin *a* ve *b* aralığındaki sonsuz toplamı açıkça integral (1) şeklinde kendini gösterir.

===Silindir yöntemi===



Silindir yöntemi, çizilen dilimin dönme eksenine *paralel* olduğu zaman yani dönme eksenine *dik* integrasyon gerçekleştirilirken kullanılır.

<math>f(x)</math> ve <math>g(x)</math> eğrileri ve <math>x=a</math> ve <math>x=b</math> doğruları arasında kalan alan *y*-ekseni etrafında döndürülerek oluşan dönel cismin hacmi şöyle ifade edilir:
:<math>V = 2\pi \int_a^b x\vert f(x) - g(x)\vert\,dx</math>

Eğer *g*(*x*) = 0 ise (yani bir eğri ile *x*-ekseni arasındaki alan döndürülüyorsa) formül şöyle indirgenir:
:<math>V = 2\pi \int_a^b x \vert f(x) \vert \,dx</math>

Bu yöntem <math>[f(x) - g(x)]</math> yüksekliğine sahip ve dikey olarak uzanan çok ince bir dikdörtgen ile görselleştirilebilir. Bu dikdörtgen *y*-ekseni etrafında döndürülürse silindirik kabuk biçimini alır. *r* yarıçap (bu durumda *x*) h yükseklik (bu durumda <math>[f(x) - g(x)]</math>) olmak üzere bir silindirin yanal alanı <math>2\pi rh</math> dir. Aralıktaki tüm yüzey alanlarını toplamak toplam hacmi verir.

==Parametrik form==
Bir eğri <math>(x(t),y(t))</math> parametrik formunda <math>[a,b]</math> aralığında tanımlandığında, eğriyi *x*-ekseni veya *y*-ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan dönel cisimlerin hacmi şöyle verilir:
:<math>V_{x} = \int_a^b \, \pi \, y^2 \, \frac{dx}{dt} \, dt</math>

:<math>V_{y} = \int_a^b \pi \, \, x^2 \, \frac{dy}{dt} \, dt .</math>

Aynı şartlar altında eğriyi *x*-ekseni veya *y* ekseni etrafında döndürülerek oluşturulan dönel cisimlerin yüzey alanları şöyle verilir:
:<math>A_{x} = \int_a^b 2 \pi y \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt</math>

:<math>A_{y} = \int_a^b 2 \pi x \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt</math>

==Notlar==


== Kaynakça ==
*CliffsNotes.com. Volumes of Solids of Revolution. 12 Apr 2011 <https://web.archive.org/web/20120319195953/http://www.cliffsnotes.com/study_guide/topicArticleId-39909,articleId-39907.html>. 
*[[Frank J. Ayres|Frank Ayres]], [[Elliott Mendelson]]. *Schaum's Outlines: Calculus*. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. pp.&nbsp;244–248 ()
*
*Vikipedi *Solid of revolution'' makalesi. (Son Erişim Tarihi: 05.04.2015)