Örgü grubu

Matematikte, Artin Örgü Grubu olarak da bilinen **n** iplik üzerindeki **örgü grubu** (B_{n} ile gösterilir), elemanları n-örgülerin denklik sınıfları olan gruptur. Örgü gruplarının örnek uygulamaları arasında düğüm teorisi (), matematiksel fizikte; Artin'in örgü grubunun  karşılık geldiği kanonik sunumu (matematiksel fizik konusu) ve cebirsel geometrinin  değişmezleri yer alırlar.

## Tarihi
Örgü grupları, 1925'te  tarafından açık bir şekilde tanıtıldı, ancak ('un 1974'te işaret ettiği gibi), Adolf Hurwitz'in, 1891 yılı "M*onodromy"* çalışmasında zaten üstü kapalı bir şekilde geçiyordu. 1947'de Emil Artin tarafından açıkça tanımlanabileceği gibi, Örgü grupları ayrıca daha derin bir matematiksel yorumla da tanımlanır: belirli konfigürasyon uzaylarının temel grubu olarak.

I=[0,1] aralığı olmak üzere aşağıdaki şartları sağlayan b \subset \mathbb{R}^2 \times I kümesine **n-ipli örgü** denir.

⋅ b kümesi n tane ayrık ipten oluşur. Bu iplerin her biri   \R^2 \times I \to I projeksiyonu altında I birim aralığına homeomorfdur. Kısacası her ip z=t, 0\leq t\leq 1 düzleminden sadece bir kere geçmektedir.

⋅ b \cap (\R^2 \times \{0\}) =\{(1,0), (2,0), ..., (n,0)\} \times \{0\}

⋅ b \cap (\mathbb{R}^2 \times \{1\}) =\{(1,0), (2,0), ..., (n,0)\} \times \{1\}

## Temel Özellikler
n tane ipten oluşan ve B_n olarak gösterilen bir Artin örgü grubu, n \ge 2 için \sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_{n-1} üreteçleri ile üretilen ve aşağıdaki ilişkileri sağlayan bir gruptur.

i) \sigma_i \sigma_j = \sigma_j \sigma_i,\  |i-j| \ge 2

ii) \sigma_{i+1} \sigma_i \sigma_{i+1} = \sigma_i \sigma_{i+1} \sigma_i,\  1 \le i \le n-2

Kısaca B_n=\langle \sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_{n-1} \rangle  şeklinde de gösterilir.

\mathbf{B_1} örgü grubunda tüm örgüler tek bir ip üzerinde oluşur. Trivial bir gruptur.

\mathbf{B_2} grubundaki örgüler iki ipin bükülmesi ile oluşur. Bir yönde bir büküm vererek +1 değeri ve diğer yönde bir büküm ile -1 değeri elde edilir. Bu sayede B_2 grubunun (\mathbb{Z},+) grubuna izomorfik olduğu görülür.

 ve 

\mathbf{B_3}=\langle \sigma_1, \sigma_2 \ | \ \sigma_1\sigma_2\sigma_1=\sigma_2\sigma_1\sigma_2 \rangle  grubu sonsuzdur ve değişmeli değildir. Elemanları aşağıdaki gibidir.

      ve 

\mathbf{B_4} =\langle \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \ | \ \sigma_1\sigma_2\sigma_1=\sigma_2\sigma_1\sigma_2 \ , \ \sigma_2\sigma_3\sigma_2=\sigma_3\sigma_2\sigma_3 \ ve \ \sigma_1\sigma_3=\sigma_3\sigma_1 \ranglegrubundaki her örgü bu 3 örgü ve tersleri ile yazılabilir, bu yüzden bu 3 örgü \mathbf{B_4}'ü temsil eder.

     ve 

### Konfigürasyon Uzayı ile İlişkisi
Kompleks uzayda n tane sıralı ve birbirinden farklı nokta düşünelim. Bu noktaların oluşturduğu konfigürasyon uzayı aşağıdaki gibi tanımlanır:
  \operatorname{M_n}=\{(z_1,\ldots,\ z_n)\in \mathbb{C}^n ;\ z_i\neq z_j,\ \forall i\neq j\}

### Pür Örgü Grubu
n ipten oluşan pür örgü grubu \operatorname{PB_n} ile gösterilir ve \operatorname{M_n} uzayının temel grubudur. \operatorname{PB_n}=\pi_1(\operatorname{M_n})

Bir pür örgü \beta \in \pi_1(\operatorname{M_n}), \operatorname{M_n} uzayı içerisinde bir düğümdür. Yani, aynı noktada başlayıp aynı noktaya geri döner.

\beta \colon [0,1] \to \operatorname{M_n}

 t \mapsto \beta(t)=(\beta_1(t), \ldots, \beta_n(t))

## Diğer Özellikler
n=1 için \operatorname{M_1}=\mathbb{C}'dir. Rastgele bir z\in \operatorname{M_1} alalım. O halde 1 ipli pür örgü grubu z'den z'ye giden morfizmaların kümesi olur. Sonuç olarak  \pi_1(\operatorname{M_1})= \langle \operatorname{id}_z \rangle elde edilir.

n=2 olsun. O halde \operatorname{M_2}=\{(z_1,z_2)\in \mathbb{C}^2 |\ z_1\neq z_2 \} olur. Bu uzayın temel grubu \mathbb{Z} kümesine izomorftur. Sonuç olarak \operatorname{PB_2}\cong \mathbb{Z}.

\mathbf{SL_2( \mathbb{Z} )}  Özel lineer grup olarak adlandırılır, determinantı 1 olan 2 \times 2 tam sayı matrislerinin grubudur.

\mathbf{PSL_2( \mathbb{Z} )}  Projektif özel lineer grup olarak adlandırılır, \mathbf{SL_2( \mathbb{Z} )} / {\pm I}' e eşittir, öyle ki I, 2 \times 2 birim matrislerdir.

## Kaynakça