Legendre polinomları

Matematiksel analizde **Legendre fonksiyonları**, aşağıdaki **Legendre diferansiyel denkleminin** çözümleridir.

:L = {d \over dx }(1 - x^2){d \over dx }+l(l+1)* y \, ; l \in (0,\mathbb{Z}^+)

Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.

## Özyineli tanımlama
Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;

:\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n.\qquad  (Denklem I)

(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:

:P_0(x) = 1,\quad P_1(x) = x

Bu ilk iki terim **Legendre polinomu**dur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:


**n**
P_n(x)\,


0
1\,


1
x\,


2
\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,


3
\begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,


4
\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,


5
\begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,


6
\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,


7
\begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,


8
\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,


9
\begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,


10
\begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,




## Çözümü
Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

:Ly = 0\,

Burada L, Legendre operatörüdür.

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

:y= \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
:y' = \sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1}
:y* = \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2}</math>

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

:

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

:<math> a_2 = -{l(l+1) \over 2} a_0</math>

olur. Genellenirse

:<math> a_{n+2} = -{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_n  </math>

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

:<math>\lim_{n \to \infty}\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_nx^n}\right|<1</math>

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

:<math> n =-l \mbox { veya } n = -(l+1)\,</math>

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara *'Legendre polinomları** denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.
== Legendre polinomlarının ek özellikleri ==

Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyle ki

:<math>P_n(-x) = (-1)^n P_n(x). \,</math>

diferansiyel denklem  ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir, ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı

:<math>P_n(1) = 1. \,</math>

ve son noktada [[türev]] ile veriliyor

:<math>P_n'(1) = \frac{n(n+1)}{2}. \, </math>

yukardaki soruda, Bonnet'in yineleme formülünde üç [[özyineleme]] ilişkisi terimi, bilinen Legendre polinomları ile uyumludur
:<math> (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\,</math>
ve
:<math> {x^2-1 \over n} {d \over dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x).</math>

Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;

:<math>(2n+1) P_n(x) = {d \over dx} \left[ P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \right].</math>

yukardakinden şu görülebilir

:<math>{d \over dx} P_{n+1}(x) = (2n+1) P_n(x) + (2(n-2)+1) P_{n-2}(x) + (2(n-4)+1) P_{n-4}(x) + \ldots</math>

veya eşdeğeri

:<math>{d \over dx} P_{n+1}(x) = {2 P_n(x) \over \| P_n(x) \|^2} + {2 P_{n-2}(x) \over \| P_{n-2}(x) \|^2}+\ldots</math>

burada <math>\| P_n(x) \|</math>  −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur

:<math>\| P_n(x) \| = \sqrt{\int _{- 1}^{1}(P_n(x))^2 \,dx} = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}}.</math>

Bonnet'in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile
:<math>P_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}^2 \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k.</math>

elde edilir.[[Askey–Gasper eşitsizliği]]'nden Legendre polinomları için okunan
:<math>\sum_{j=0}^n P_j(x)\ge 0\qquad (x\ge -1).</math>

Legendre polinomlarının bir toplamı <math>-1\leq y\leq 1</math> için ve <math>-1\leq x\leq1</math> için [[Dirac delta fonksiyonu]]ya ilişkilidir
:<math>
\delta(y-x) = \frac12\sum_{\ell=0}^{\infty} (2\ell + 1) P_\ell(y)P_\ell(x)\,.
</math>

[[birim vektörler]]in bir [[ölçek çarpımı]]nın Legendre polinomları [[küresel harmonikler]] ile kullanılan açılımı kullanılabilir

:<math>
P_{\ell}({r}\cdot {r'})=\frac{4\pi}{2\ell + 1}\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}(\theta,\phi)Y_{\ell m}^*(\theta',\phi')\,.
</math>
burada sırasıyla birim vektörler r ve r' [[küresel koordinatlar]] <math>(\theta,\phi)</math> ve <math>(\theta',\phi')</math> var,

Asimptotiklik  <math>\ell\rightarrow \infty</math> birimden yoksun eklentiler için
:<math>
P_{\ell}(\cos \theta)
=
J_0(\ell\theta) + \mathcal{O}(\ell^{-1})
=
\frac{2}{\sqrt{2\pi \ell \sin \theta}}\cos\left[\left(\ell + \frac{1}{2}\right)\theta - \frac{\pi}{4}\right]
+ \mathcal{O}(\ell^{-1})
</math>
ve  birimden büyük eklentiler için
:<math>
P_{\ell}\left(\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right) =
I_0(\ell e) + \mathcal{O}(\ell^{-1})
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi \ell e}} \frac{(1+e)^{(\ell+1)/2}}{(1-e)^{\ell/2}}
+ \mathcal{O}(\ell^{-1})\,,
</math>
burada <math>J_0</math> ve <math>I_0</math> [[Bessel fonksiyonları]]dır.
== Legendre polinomlarının kayması ==

**Kayan Legendre polinomları*' <math>\tilde{P_n}(x) = P_n(2x-1)</math> olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon <math>x\mapsto 2x-1</math> (aslında, bu  bir [[afin dönüşüm]]'dür) böylece seçilen bu [[bijection|örten gönderme]] [0,&nbsp;1] aralığından [&minus;1,&nbsp;1] aralığına vurgusu yapilan <math>\tilde{P_n}(x)</math> polinomları [0,&nbsp;1] arasında bulunur:

:<math>\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,dx = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}.</math>

kayan Legendre polinomu için bir

:<math>\tilde{P_n}(x) = (-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k.</math>

açık [[bağıntı]] ile veriliyor

kayan Legendre polinomları için [[Rodrigues' formülü]]nün analoğu

:<math>\tilde{P_n}(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -x)^n \right].\, </math>

ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:

<div style="text-align:center;">

</div>

==Legendre fonksiyonları==

Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu *ikinci türün Legendre fonksiyonları*dır,<math>Q_n(x)</math> ile ifade edilir.
:<math>Q_n(x)=\frac{n!}{1.3\cdots(2n+1)}\left[x^{-(n+1)}+\frac{(n+1)(n+2)}{2(n+3)}x^{-(n+3)}+\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}x^{-(n+5)}+\cdots\right]</math>

Diferansiyel denklem

:<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} f(x) \right] + n(n+1)f(x) = 0</math>
genel çözümü var
:<math>f(x)=AP_n(x)+BQ_n(x)</math>,
burada *A* ve *B* sabitlerdir.

== Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları  ==

Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları  ve [[kesirli hesap]] ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından  ve tam sayı-olmayan [[faktöriyel]]ler ([[gamma fonksiyonu]] ile tanımlanır) [[Rodrigues' formülü]] içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (&minus;1,1) yeterli sürekliliktedir, ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.[[Asosiye Legendre polinomları]] *P* ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu *P*<sub>*n''  uyumludur.

## Ayrıca bakınız
* Matematiksel fonksiyonların listesi
* Legendre fonksiyonlarıyla ilişkisi
* Gaussian dörtlüsü
* Gegenbauer polinomları
* Legendre kesirli fonksiyonları
* Turán eşitsizliği
* Legendre dalgacığı
* Jacobi polinomları
* Küresel Harmonikler

## Notlar

## Kaynakça
* 
* , Chapter 2.
* .
* .
*
*
* 

## Dış bağlantılar
*A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen
*
*Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials
*Module for Legendre Polynomials by John H. Mathews
*Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics
*The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
*Legendre Polynomials from Hyperphysics