Dizi

**Dizi**, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden (bazen eleman veya terim de denir) oluşur. Sıralı ögelerin sayısına (sonsuz olabilir) dizinin *uzunluğu* denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da (2, 4, 6, ...) tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.

Örneğin, (K, İ, T, A, P), ilk harfi 'K' ve son harfi 'P' olan bir dizidir. Bu dizi, (P, A, T, İ, K) dizisinden farklıdır. Ayrıca (1, 1, 2, 3, 5, 8) dizisindeki 1 sayısı iki farklı konuma sahiptir. Böyle olması dizinin geçerliliğini değiştirmez. Dizi sonlu ya da sonsuz olabilir. Pozitif tam sayılar (1, 2, 3, 4, …) sonsuz diziye örnek verilebilir. (1, 2, 3, 4) dizisi ise sonlu bir dizidir.

## Örnekler ve gösterim
Bir dizi rastgele sıralanmış ögeler listesi olarak düşünülebilir. Dizinin özellikleri kullanılarak, fonksiyonlar, uzaylar ve diğer matematik yapıları ile çalışmak için diziler, matematik disiplinlerinde kullanılabilir. Özellikle diziler, diferansiyel denklemler ve analizde önemli olan seriler için temel teşkil eder.

Diziyi belirtmenin birkaç yöntemi vardır. Bunların bazıları özel dizi türleri için çok kullanışlıdır. Diziyi belirtmenin bir yöntemi de, ögeleri listelemektir. Örneğin; ilk dört tek sayı dizisi (1, 3, 5, 7) formundadır. Bu gösterim, sonsuz diziler için de kullanılabilir. Örneğin pozitif tek tam sayıların sonsuz dizisi, (1, 3, 5, 7, ...) formunda yazılabilir. Listeleme, sonsuz diziler için en kullanışlı yöntemdir. Burada bir örüntü kullanılır. Böylece ilk birkaç öge kolayca fark edilebilir. Diğer yöntemlerden örneklerden sonra bahsedilecektir.

### Önemli örnekler

Birçok önemli tam sayı dizisi vardır. Asal sayılar, 1'den büyük fakat 1 ve kendilerinden başka bölenleri olmayan doğal sayılardır. Bunlar kendi sırasına göre dizilirse, (2,3,5,7,11,13,17,...) dizisi elde edilir. Asal sayılarla çalışmak, matematik ve özellikle sayılar teorisi için önemlidir.

Fibonacci dizisi, her sayının kendinden önceki sayı ile toplanması sonucu oluşan bir sayı dizisidir. İlk iki öge ya 0 ile 1 ya da 1 ile 1'dir. Böylece (0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,...) dizisi elde edilir.

Dizilere diğer önemli örnekleri, rasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar verilebilir. (.9,.99,.999,.9999,...) dizisi 1'e yaklaşır. Her reel sayı, rasyonel sayılar dizisinin limiti olarak yazılabilir. Örneğin, (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...) dizisinin limiti, π olarak yazılabilir. Daha genel bir ifade ile herhangi bir reel sayı ondalıklar dizisinin limiti olarak yazılabilir. π için, (0.9,0.99,...) dizisinde olduğu gibi herhangi bir ondalık örüntüsü yoktur.

### İndisleme
Örüntünün kolayca gösterilemediği durumlarda veya pi sayısında olduğu gibi rakamlarında herhangi bir örüntü yoksa, diziler için başka gösterimler kullanılabilir. Bu bölümde doğal sayılar alt kümesinde bulunan diziler için kullanılan gösterimlerden bahsedilmiştir. Diğer sayılabilir indis kümelerinin genelleştirmeleri için aşağıdaki bölüme bakın.

Bir dizinin terimleri (veya ögeleri) genellikle tek bir değişkenle ifade edilir. Dizideki herhangi bir *a<sub>n</sub>* ögesindeki *n* *indisi*, dizinin *n.* ögesidir.

:\begin{align} a_1   &\leftrightarrow&   \text{  1. terim} \\
a_2   &\leftrightarrow &\text{  2. terim } \\
a_3   &\leftrightarrow &\text{  3. terim } \\
\vdots& &\vdots \\
a_{n-1}   &\leftrightarrow &\text{  (n-1). terim} \\
a_n   &\leftrightarrow &\text{  n. terim} \\
a_{n+1}   &\leftrightarrow &\text{  (n+1). terim} \\
\vdots& &\vdots
 \end{align}

İndisleme gösterimi, bir diziyi soyut olarak ifade etmek için kullanılır. Ayrıca (terimin konumunu belirten) *n* indisli terimlerden oluşan diziler için bu, doğal bir gösterimdir. Örneğin ilk on tam kare olan sayılar için dizi şöyle yazılabilir:
:(a_1,a_2,...,a_{10}), \qquad a_k = k^2.
Bu, (1,4,9,...100) dizisini ifade eder. Bunun daha da basit gösterimi şöyledir:
:(a_k)_{k=1}^{10}, \qquad a_k = k^2.

Burada {k=1} alt indisi ve 10 üst indisi, *k* = 1, 2, ..., 10 için bu dizinin terimlerinin *a<sub>k</sub>* olduğunu ifade eder.

Diziler herhangi bir tam sayıdan başlayacak veya bitecek şekilde indislenebilir. Belirli bir *k* değerinden başlayarak tüm tam sayıları kapsayan diziyi ifade etmek için sonsuz sembolü (∞) üst indis olarak çok sık kullanılır. Tüm pozitif tam kareler şöyle ifade edilebilir:
:(a_k)_{k=1}^\infty, \qquad a_k = k^2.

Bunun gibi indisleme sayıları kümesinin anlaşılması için analizde alt indisler ve üst indisler sıkça kullanılır. Bir keyfi dizi için *a<sub>k</sub>* basit yazımı kullanılabilir. Analizde *k* 1'den ∞'a kadar olan dizi ele alınarak *k* anlaşılabilir. Fakat dizi çoğunlukla sıfırdan başlayarak indislenir, şöyle ki:
:(a_k)_{k=0}^\infty = ( a_0, a_1, a_2,... ).
Bazı durumlarda dizinin terimleri, örüntüsü kolayca anlaşılabilen bir tam sayılar dizisi ile ilgilidir. Bu durumda, ilk birkaç soyut terim listelenerek indis kümesinin geri kalan terimlerinin ne olduğu anlaşılabilir. Örneğin, tek sayılar aşağıdaki gösterimlerden herhangi biriyle ifade edilebilir.

# (1,9,25,...)
# (a_1,a_3,a_5,...), \qquad a_k = k^2
# (a_{2k-1})_{k=1}^\infty, \qquad a_k = k^2 
# (a_{k})_{k=1}^\infty, \qquad a_k = (2k-1)^2
# ((2k-1)^2)_{k=1}^\infty

Diğer taraftan, eğer 3., 4 ve 5. gösterimlerdeki indisleme kümesinin doğal sayılar olduğu anlaşılabilirse alt indisler ve üst indisler gösterilmeyebilir.

Sonuçta diziler, bir küme alt indisle birlikte yazmayı en genel biçimde ifade edebilir, şöyle ki:
:(a_k)_{k \in \mathbf{N}}
İndisle ifade edilen değerler kümesine **[[indis kümesi]]** denir. Genellikle *a<sub>k</sub>* ögelerinin dizilişi, indisleme kümesindeki terimlerin dizilişi ile belirtilir. *N* indis kümesi olursa, *a<sub>k*+1 terimi, *a<sub>k</sub>* teriminden sonra dizilir. Dolayısıyla (*k*+1) alt indisi, doğrudan *k* alt indisinden sonra gelir.

## Tanım ve temel özellikler
Matematikte diziler çok farklı yöntemlerle (örn; tam dizi) gösterilebilir. Aşağıda sadece bazı gösterimlerden bahsedilmiştir.

### Tanım
Bir dizi genellikle tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Reel analizde bir dizi, **N** (veya \scriptstyle\mathbb{N}) doğal sayılarından **R** (veya \scriptstyle\mathbb{R}) reel sayılarına kadar olan alt kümedeki bir fonksiyondur. Başka bir ifade ile dizi, *f*(*n*): **N** → **R** haritasıdır. Daha önce ifade edilen gösterimleri doğrulamak için, *a<sub>n</sub>* = *f*(*n*)  veya yalnızca *a<sub>n</sub>*: **N** → **R** yazılabilir.

Karmaşık analizde dizi, **N** doğal sayılarından \mathbf{C} (veya  veya \scriptstyle\mathbb{C}) karmaşık sayılarına kadar olan bir harita olarak tanımlanır. Topolojide dizi, genellikle doğal sayılar alt kümesinden topolojik uzayına kadar olan fonksiyonları tanımlar.

### Sonlu ve sonsuz
Bir dizinin **uzunluğu**, dizideki terimlerin sayısı ile belirlenir.

*n* sonlu uzunluklu bir dizi, *n* demetli olarak da adlandırılır. Hiçbir ögesi olmayan&nbsp;(&nbsp;) **boş dizi** de bir sonlu dizidir. 
Normalde *sonsuz dizi* kavramı, bir yönde sonsuz olan bir diziyi ifade ederken; *sonlu dizi*, diğer yönde birinci ögesi olan, fakat son ögesi olmayan bir dizidir. Her iki yönde de ya birinci ya da sonuncu ögesi olan sonsuz dizi, *çift sonsuz dizi* veya *iki yönlü sonsuz dizi* olarak adlandırılır. Örneğin; **tüm** tam sayılardan oluşan bir kümedeki fonksiyonun dizisinin tüm (…, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8…) çift tam sayıları, çift sonsuzdur. Bu dizi, (2n)_{n=-\infty}^{\infty} olarak ifade edilemez. Sonuçta, bir çift sonsuz dizi **Z** deki bir harita olarak tanımlanabilir.

Tek sonsuz dizi, *R*[**N**] doğal sayılarının yarıgrup halkasının; çift sonsuz dizi ise, *R*[**Z**] tam sayılarının Grup halkasının ögeleri  olarak ifade edilebilir. Bu görüş, dizilerin Cauchy çarpımında kullanılır.

### Artma ve azalma
Bir dizinin her bir terimi, bir önceki terimden büyük eşitse, buna *[[Monotonik fonksiyon|monotonik artma]]* denir. (a_n)_{n=1}^{\infty}  dizisinde tüm *n* ∈ **N** oluyorsa, dizi şöyle yazılabilir: *a**n* ≤ *a**n*+1 . Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden büyükse (>), "dizi **tam monotonik artıyor'" denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçük eşit ise, "dizi **monotonik azalıyor'"  denir. Eğer peşpeşe gelen terimlerin her biri, önceki terimden küçükse "dizi **tam monotonik azalıyor'" denir. Eğer bir dizi ya artıyor ya da azalıyorsa, "dizi **monotondur'" denir. Bu monotonik fonksiyonun genel kavramının özel durumudur.

**Azalmıyor** ve **artmıyor** kavramları sırasıyla *tam artıyor* ve *tam azalıyor* kavramları ile karışmaması için, bunlar yerine sırasıyla *artıyor* ve *azalıyor* kavramları sıkça kullanılır.

### Sınırlar
Eğer (*a<sub>n</sub>*) reel sayılar dizisi, belirli bir terimden sonraki tüm terimleri *M* reel sayısından daha küçük ise, "'üstten sınırlı** dizi" denir. Bunun anlamı, s, tüm ''n'' büyüktür ''N'' ve bazı ''M'' ve ''N'' çiftleri için, ''a<sub>n</sub>'' ≤ ''M'' olur. Burada ''M'', ''üst sınır'' olarak adlandırılır. Benzer şekilde, tüm ''n'' büyüktür ''n'' için bazı reel sayılar ''m'', ''a<sub>n</sub>'' ≥ ''m'' olur. Buna "'alttan sınırlı** dizi" denir. Burada *m* *alt sınır* olarak adlandırılır. Eğer dizi hem alttan sınırlı hem de üstten sınırlı ise diziye **sınırlı** denir.

### Diğer dizi türleri
Verilen bir dizinin bazı terimlerinin silinmesi, geri kalan terimlerin konumlarını dağıtmayacak forma dönüştüren diziye 
**[[altdizi]]** denir. Örneğin (2, 4, 6, ...) çift tam sayılar dizisi, (1, 2, 3,4, ...) pozitif tam sayılar dizisinin bir altdizisidir. Diğer terimleri silindiğinde, geri kalanları konumları değişmiş, fakat öncelik sıraları değişmemiştir.

Bazı diğer dizi türlerini şu şekilde kolayca tanımlanabilir:
*Bir **[[tam sayı dizisi]]**, terimleri tam sayı olan bir dizidir.
*Bir **[[polinom dizi]]**, terimleri polinom olan bir dizidir. 
*Eğer *n* ve *m* aralarında asal ise, tüm *n* ve *m* çiftleri için *a**nm* = *a**n* *a**m* oluyorsa, pozitif tam sayı dizisine, çarpan olarak adlandırılır. Başka bir ifade ile tüm *n* için eğer *a**n* = *na*1 oluyorsa, çarpan dizidir. Ayrıca ''çarpanlı'' Fibonacci dizisinin tekrarlı ilişkisi de bir dizidir, şöyle ki: *a**n* = *a**n*−1 *a**n*−2.

## Limitler ve yakınsaklık

Dizinin en önemli özelliklerinden biri de *yakınsaklık*tır. En basit anlamda eğer bir dizinin limiti varsa, "dizi yakınsaktır" denir. Yani bir (tek sonlu dizinde *n* çok çok büyük olduğunda *L* limite yaklaşırsa, "dizinin limiti vardır" denir. Bir (*a**n*) soyut dizisinde *n* → ∞ (*n* sonsuza giderken) *a**n*, *L* ye yakınsar.
:\lim_{n\to\infty} a_n = L.

Bunun tam ifadesi, eğer bir *L* limiti varsa dizi yakınsaktır. *L* yeterince büyük olursa, geri kalan an'ler *L* ye yakınsar.

Bir dizi eğer bazı limitlere yakınsıyorsa, dizi **yakınsaktır**, aksi takdirde **ıraksaktır**.

Bir (x_n) dizisi **sonsuza yaklaşıyorsa**, x_n \to \infty veya \lim_{n\to\infty}x_n = \infty şeklinde yazılır.

Eğer bir dizi sonsuza yaklaşıyorsa veya eksi sonsuz ise, dizi ıraksaktır ve \lim_{n\to\infty}a_n = -\infty şeklinde yazılır.

### Yakınsaklığın tanımı
*a**n* ∈ '''R''' olursa ve (a_n)_{n=1}^\infty dizi formunda yazılabiliyorsa, bu diziyi '''N''' indis kümesi ile şöyle yazabiliriz: (*a<sub>n</sub>*). Bu diziler gerçel analizde sıkça kullanılır.

### Uygulamalar ve özellikler
Reel sayılardaki dizilerin yakınsaklığı ve tek taraflı limit önemli sonuçlar aşağıda gösterilmiştir:

Reel dizilerin limitlerinin diğer bazı önemli özellikleri şunlardır:

*Bir dizinin limiti eşsizdir.
*\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) =  \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n
*\lim_{n\to\infty} c a_n =  c \lim_{n\to\infty} a_n
*\lim_{n\to\infty} (a_n b_n) =  (\lim_{n\to\infty} a_n)( \lim_{n\to\infty} b_n)
*\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}  {b_n} = \frac{ \lim_{n\to\infty} a_n}{ \lim_{n\to\infty} b_n} (Eğer \lim_{n\to\infty} b_n \ne 0 ise)
*\lim_{n\to\infty} a_n^p =  \left[ \lim_{n\to\infty} a_n \right]^p
*Tüm n'ler bazı N'lerden daha büyük ise ve a_n \leq b_n oluyorsa, \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n  olur
*(Sıkıştırma teoremi) Tüm n > N için a_n \leq c_n \leq b_n oluyorsa ve \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L ise, \lim_{n\to\infty} c_n = L olur.
*Eğer bir dizi sınırlandırılmış  ve monotonik ise dizi yakınsaktır. 
*Bir dizi yakınsak ise ancak ve ancak tüm alt dizileri de yakınsaktır.

### Cauchy dizileri

Cauchy dizisi, terimleri rastgele yakın olan bir dizidir. Cauchy dizisi kavramı, metrik uzayında, özellikle reel analizde ortaya çıkar.

:Bir dizi yakınsıyorsa ancak ve ancak Cauchy dizisidir.

## Seriler

**Seri**, bir dizinin terimlerinin toplamıdır. Bir tek taraflı dizinin ilk *N* terimi toplamı, başka bir dizinin *N.* terimi olan forma *seri* denir. Burada  (an) dizisinin *N* serisi, (*S**N*) dizisini oluşturur, şöyle ki:

:\begin{align} S_1 &=& a_1& & &\\
S_2 &=& a_1& {}+ a_2& &\\
S_3 &= &a_1& {}+ a_2& {}+ a_3&\\
\vdots & &\vdots & & &\\
S_N &=& a_1& {}+ a_2& {}+ a_3& {}+ \cdots \\
\vdots & &\vdots & & &\end{align}

Serinin *n.* terimini şöyle yazabiliriz:

:S_N = \sum_{n=1}^N a_n.

Yakınsaklık, seriye aktarmak (kısmi toplamlar dizisi) ve özellikler gibi kavramları kullanırken asıl bahsedilmek istenen dizilerin karakterleridir (son örnekteki (*a**n*) gibi). Sonsuz bir diziden elde edilen bir sonsuz serinin eğer limiti varsa, şöyle ifade edilir:

:\lim_{N\to\infty}S_N = \sum_{n=1}^{\infty} a_n.