Black-Scholes denklemi

**Black-Scholes denklemi**, 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan makalede elde edilen Black-Scholes formülünün kanıtında ilk defa elde edilmiş ve daha genel türev ürünleri için de uyarlanabilen bir kısmi diferensiyel denklemdir. 
Black-Scholes formülünün orijinal kanıtındaki esas fikir, opsiyon ve opsiyon dayanak varlığından oluşan bir portföy yaratmak ve bu portföyü küçük zaman aralıklarında dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız hale getirmektir. Sonucunda, **Black-Scholes denklemi** elde edilir ve elde edilen diferansiyel denklem, değişik dönüşümler ve yerine koymalar vasıtasıyla ısı denklemine dönüştürülür.

## Denklemin ifadesi
Kullanma fiyatı *K*, vadesi *T*  olan Avrupa tipi bir opsiyonun fiyatı V=V(t,S), bu opsiyonun dayanak varlığının spot fiyatı *S*, oynaklığı (volatilitesi)  \sigma  ve risksiz-faiz oranı *r* olsun. Diyelim ki, dayanak varlığın spot fiyat süreci geometrik Brown hareketini izlesin; yani,  Brown hareketini W ile gösterirsek, \mu sabitse
: dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t 
olsun. O zaman,
:
\frac{\partial V}{\partial t}+r S \frac{\partial V }{\partial S} + \frac{S^2 \sigma^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV=0.


## Kanıt
Black-Scholes modelinin merkezi varsayımlarından biri söz konusu dayanak varlığın (Black-Scholes özelinde hisse senedinin) fiyatının hareketlerinin (*S**t*) geometrik Brown hareketini izlemesidir. Yani, sabit bir sürüklenme ( \mu ) ve volatilite ( \sigma ) olmak üzere
: dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t. 

Black ve Scholes'un makalesindeki fikirden hareketle portföy (P) şu şekilde oluşsun:
* -1 tane opsiyon (yani opsiyon satılmıştır)
* \triangle sonradan belirlenmek üzere \triangle tane dayanak varlık.

Opsiyonun fiyatı V=V(t,S) olsun. O zaman, bu portföyün değeri 
:P = -V + \triangle S
olur. Bu portföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi \mathrm{d}P  o zaman
:\mathrm{d}P = -\mathrm{d}V + \triangle \mathrm{d}S
olur.  Öbür taraftan, fiyatı iki kere türevlenebilien bir türev ürününün fiyatı V=V(t,S) için Ito önsavı kullanılarak 
:\mathrm{d}V = \left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu \,S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}\right) \mathrm{d}t + \sigma\,S\,\frac{\partial V}{\partial S}\,\mathrm{d}W
elde edilir. O zaman,

:\mathrm{d}P= -\mathrm{d}V  + \triangle \mathrm{d}S = -\left(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu \,S\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}-\triangle \mu S_t\right) \mathrm{d}t - \left(\sigma\,S\,\frac{\partial V}{\partial S}-\triangle\sigma S\right)\mathrm{d}W
 
olur. Bu portföyün dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız halde olması istendiğinden, difüzyon teriminin (rassallığa katkıda bulunan terimlerin) 0 olması gerekir. Yani,  \sigma\,S\,\frac{\partial V}{\partial S}-\triangle\sigma S=0 olmalıdır ki bu da \triangle=\frac{\partial V}{\partial S} verir. O zaman, 
 
:\mathrm{d}P= -\left(
\frac{\partial V}{\partial t} +  \frac{1}{2}\,\sigma^2\,S^2\,\frac{\partial^2V}{\partial S^2}
\right) \mathrm{d}t
 
elde edilir. Diğer taraftan, portföy rassallığa duyarsız hale geldiği için risksiz faiz oranı ile büyüyecektir; yani, 
:\mathrm{d}P=rP dt=-rV dt + r S \frac{\partial V}{\partial S} dt 
elde edilir. \mathrm{d}P için elde edilen bu iki ifade birbirine eşitlenerek Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi elde edilir:
:
\frac{\partial V}{\partial t}+r S \frac{\partial V }{\partial S} + \frac{S^2 \sigma^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}-rV=0

Bu denklemin çözülmesi için aynı zamanda bir sınır değeri konulması lazım;ancak, zaten opsiyonun vade tarihindeki değeri opsiyonun türüne göre \max(S_T-K,0) veya \max(K-S_T,0) olacaktır.

## Ayrıca bakınız
* Feynman-Kac formülü

## Kaynakça