Reynolds sayısı

Akışkanlar dinamiği alanında, **Reynolds sayısı** (****), farklı durumlarda akışkan akışı desenlerini tahmin etmeye yardımcı olan bir boyutsuz sayıdır ve eylemsizlik kuvvetleri ile viskoz kuvvetler arasındaki oranı ölçer. Düşük Reynolds sayılarında, akışlar genellikle laminer akış tarafından domine edilirken, yüksek Reynolds sayılarında akışlar genellikle türbülanslı olur. Türbülans, akışkanın hız ve yönündeki farklılıklardan kaynaklanır ve bazen bu yönler kesişebilir veya akışın genel yönüne ters hareket edebilir (girdap akımları (İng. *eddy*)). Bu girdap akımları, akışı karıştırmaya başlar ve bu süreçte enerji tüketir, bu da sıvılarda kavitasyon olasılığını artırır.

Reynolds sayısının, bir borudaki sıvı akışından bir uçak kanadının üzerinden geçen hava akışına kadar geniş uygulama alanları vardır. Laminer akıştan türbülanslı akışa geçişi tahmin etmek ve rüzgar tünelinde bir uçak modeli ile tam boyutlu versiyonu gibi benzer ama farklı büyüklükteki akış durumlarının ölçeklendirilmesinde kullanılır. Türbülansın başlangıcını tahmin etme ve ölçeklendirme etkilerini hesaplama yeteneği, yerel veya küresel hava veya su hareketlerinde akışkan davranışını tahmin etmeye yardımcı olabilir ve dolayısıyla ilgili meteorolojik ve klimatolojik etkileri öngörebilir.

Bu kavram, 1851 yılında George Stokes tarafından tanıtılmıştır, ancak Reynolds sayısı, 1908 yılında Arnold Sommerfeld tarafından Osborne Reynolds (1842–1912) onuruna adlandırılmıştır; Reynolds, 1883 yılında bu sayının kullanımını yaygınlaştırmıştır.

## Tanım
Reynolds sayısı, farklı akışkan hızları nedeniyle göreceli iç hareketlere maruz kalan bir akışkan içinde eylemsizlik kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranıdır. Bu kuvvetlerin davranışlarının değiştiği bir bölge, sınır tabakası (İng. *boundary layer*) olarak bilinir, örneğin bir borunun iç yüzeyi gibi. Benzer bir etki, yüksek hızlı bir akışkanın düşük hızlı bir akışkana girişi ile yaratılır; örneğin, havada bir alevden yayılan sıcak gazlar. Bu göreceli hareket, türbülanslı akışın gelişmesinde bir faktör olan akışkan sürtünmesi oluşturur. Bu etkiye karşı koyan faktör ise akışkanın viskozitesidir, bu da türbülansı engellemeye eğilimlidir. Reynolds sayısı, belirli akış koşulları için bu iki tür kuvvetin göreceli önemini nicelendirir ve belirli bir durumda türbülanslı akışın ne zaman meydana geleceğine dair bir rehberdir.

Türbülanslı akışın başlangıcını tahmin etme yeteneği, boru sistemleri veya uçak kanatları gibi ekipmanların tasarımı için önemli bir araçtır. Bunun yanı sıra, Reynolds sayısı akışkan dinamiği problemlerinin ölçeklendirilmesinde de kullanılır ve bir model uçak ile tam boyutlu versiyonu gibi iki farklı akış durumu arasındaki dinamik benzeşimi (İng. *dynamic similtude*) belirler. Bu tür ölçeklendirme doğrusal değildir ve her iki duruma da Reynolds sayılarının uygulanması, ölçeklendirme faktörlerinin geliştirilmesine olanak tanır.

Laminer ve türbülanslı akış rejimleri ile ilgili olarak:

* Laminer akış, viskoz kuvvetlerin baskın olduğu düşük Reynolds sayılarında meydana gelir ve uniform, sabit akışkan hareketi ile karakterize edilir;
* Türbülanslı akış, eylemsizlik kuvvetlerinin baskın olduğu yüksek Reynolds sayılarında meydana gelir ve kaotik girdaplar, vorteksler ve diğer akış kararsızlıklarını üretme eğilimindedir.

Reynolds sayısı şu şekilde tanımlanır

:\mathrm{Re} =\frac{u L}{\nu} = \frac{\rho u L}{\mu}

burada:

*  akışkanın yoğunluk değeridir (SI birimleri: kg/m3)
*  akış hızının değeridir (m/s)
*  karakteristik uzunluktur (m)
*  akışkanın dinamik viskozitesidir (Pa·s veya N·s/m2 veya kg/(m·s))
*  akışkanın kinematik viskozitesidir (m2/s).

Reynolds sayısı, bir akışkanın bir yüzeye göre göreceli hareket ettiği çeşitli durumlar için tanımlanabilir. Bu tanımlar genellikle yoğunluk ve viskozite gibi akışkan özelliklerini, bir hızı ve bir karakteristik uzunluk veya karakteristik boyutu (yukarıdaki denklemde L) içerir. Bu boyut, konvansiyona bağlıdır—örneğin, küreleri veya daireleri tanımlamak için yarıçap ve çap eşit derecede geçerlidir, ancak biri konvansiyon gereği seçilir. Uçaklar veya gemiler için uzunluk veya genişlik kullanılabilir. Bir borudaki akış veya bir akışkan içinde hareket eden bir küre için, bugün genellikle iç çap kullanılır. Dikdörtgen borular veya küresel olmayan nesneler gibi diğer şekiller için bir *[[eşdeğer küresel çap|eşdeğer çap]]* tanımlanmıştır. Sıkıştırılabilir gazlar gibi değişken yoğunluklu akışkanlar veya Newtonyen olmayan akışkanlar gibi değişken viskoziteli akışkanlar için özel kurallar geçerlidir. Hız da bazı durumlarda konvansiyona bağlı olabilir, özellikle karıştırılmış kaplarda.

Pratikte, yalnızca Reynolds sayısını eşleştirmek, benzerliği sağlamak için yeterli değildir. Akışkan akışı genellikle kaotiktir ve sınırlayıcı yüzeylerin şekil ve yüzey pürüzlülüğündeki çok küçük değişiklikler çok farklı akışlar oluşturabilir. Bununla birlikte, Reynolds sayıları çok önemli bir rehberdir ve geniş çapta kullanılmaktadır.

## Türetim
Bir fiziksel sistemde ilgili fiziksel büyüklüklerin sadece \rho, u, L, \mu olduğunu biliyorsak, Reynolds sayısı esasen Buckingham π teoremi ile belirlenir.

Detaylı olarak incelendiğinde, \rho, u, L, \mu olmak üzere 4 büyüklük vardır, ancak bunlar sadece 3 boyuta (uzunluk, zaman, kütle) sahiptir. \rho^{x_1} u^{x_2} L^{x_3} \mu^{x_4}  ifadesini düşünebiliriz, burada x_1, ..., x_4 reel sayılardır. \rho^{x_1} u^{x_2} L^{x_3} \mu^{x_4} 'nın üç boyutunu sıfıra ayarladığımızda, 3 bağımsız lineer kısıt elde ederiz ve bu nedenle çözüm uzayı 1 boyuta sahiptir ve (1,1,1,-1) vektörü tarafından kapsanmaktadır.

Bu nedenle, \rho, u, L, \mu kullanılarak oluşturulan herhangi bir boyutsuz büyüklük, Reynolds sayısı olan \rho u L \mu^{-1} 'in bir fonksiyonudur.

Alternatif olarak, sıkıştırılamaz Navier–Stokes denklemlerini (konvektif form) kullanabiliriz:

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} - \nu \,\nabla^2 \mathbf{u} = - \frac{1}{\rho}\nabla p + \mathbf{g}

Yerçekimi terimi \bold g'yi kaldırdığımızda, sol tarafta eylemsizlik kuvveti \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} ve viskoz kuvvet \nu \,\nabla^2 \mathbf{u}  kalır.

Bunların oranı \frac{(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}}{\nu \,\nabla^2 \mathbf{u} } \sim \frac{u^2/L}{\nu u/L^2} = \frac{uL}{\nu} mertebesindedir, bu da Reynolds sayısıdır.

### Alternatif türetme
Reynolds sayısı, Newtonyen bir akışkan için sıkıştırılamaz Navier–Stokes denklemlerinin boyutsuz sayı formu kullanılarak elde edilebilir ve Lagrange türevi cinsinden ifade edilir:
:\rho \frac{D \mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{f}. 

Yukarıdaki denklemdeki her terim, birim hacim başına kuvvet birimine sahip bir "cisim kuvveti" (İng. *body force*) birimlerine sahiptir ve bir yoğunluk ile bir ivmenin çarpımı olan aynı boyutlara sahiptir. Bu nedenle, her terim bir akışın kesin ölçümlerine bağlıdır. Denklemi boyutsuz hale getirdiğimizde, yani denklemi ters birimlerle çarptığımızda, fiziksel boyutlara doğrudan bağlı olmayan bir form elde ederiz. Boyutsuz bir denklem elde etmenin bir yolu, tüm denklemi şu faktörle çarpmaktır:
: \frac{L}{\rho V^2}, 
burada

*  akışkana göre ortalama hızdır,  veya , (m/s),
*  karakteristik uzunluktur (m),
*  akışkan yoğunluğudur (kg/m3).

Eğer şimdi

:\begin{align}
  \mathbf{v}' &= \frac{\mathbf{v}}{V}, &
           p' &= p\frac{1}{\rho V^2}, &
  \mathbf{f}' &= \mathbf{f}\frac{L}{V^2}, &
  \frac{\partial}{\partial t'}
              &= \frac{L}{V} \frac{\partial}{\partial t}, &
      \nabla' &= L \nabla,
\end{align}

olarak ayarlarsak, Navier-Stokes denklemini boyutsuz olarak yeniden yazabiliriz:
:\frac{D \mathbf{v}'}{D t'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho L V} \nabla'^2 \mathbf{v}' + \mathbf{f}', 

burada  terimi yer almaktadır.

Son olarak, okuma kolaylığı sağlamak amacıyla üst simgeleri kaldırdığımızda:
:\frac{D \mathbf{v}}{D t} = -\nabla p + \frac{1}{\mathrm{Re}} \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}. 

Bu nedenle, aynı Reynolds sayısına sahip tüm Newtonyen, sıkıştırılamaz akışlar matematiksel olarak karşılaştırılabilir. Ayrıca, yukarıdaki denklemde  olduğunda viskoz terimlerin ortadan kalktığına dikkat edin. Bu nedenle, yüksek Reynolds sayısına sahip akışlar, serbest akışta yaklaşık olarak viskozitesizdir.

## Tarihçe

Osborne Reynolds, akışkanın borulardaki akışının laminer akıştan türbülanslı akışa geçiş koşullarını kapsamlı bir şekilde inceledi. 1883 tarihli makalesinde, laminer akıştan türbülanslı akışa geçişi tanımladığı klasik bir deneyde, büyük bir borunun merkezine renklendirilmiş küçük bir su akımı vererek suyun farklı akış hızları altındaki davranışını inceledi.

Gözlem yapmak için büyük boru camdan yapılmıştı. Borunun sonunda, boru içindeki su hızını değiştirmek için bir akış kontrol vanası vardı. Düşük hızlarda, renklendirilmiş akış boru boyunca belirginliğini korudu. Hız arttığında, belirli bir noktada akış bozuldu ve akışkanın kesiti boyunca yayıldı. Bu olayın gerçekleştiği nokta, laminer akıştan türbülanslı akışa geçiş noktasıydı.

Bu deneylerden, dinamik benzerlik için eylemsizlik kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranı olarak boyutsuz Reynolds sayısı ortaya çıktı. Reynolds ayrıca türbülanslı akışların ortalamasını yapmayı önerdi, bu günümüzde Reynolds ortalaması olarak bilinir. Bu ortalamada hız gibi büyüklükler ortalama ve dalgalanan bileşenlerin toplamı olarak ifade edilir. Bu tür bir ortalama, türbülanslı akışın 'genel' tanımına olanak tanır.

## Boru akışı
Bir boru veya tüpte akış için, Reynolds sayısı genellikle şu şekilde tanımlanır:

: \mathrm{Re} = \frac{u D_\text{H}}{\nu} = \frac{\rho u D_\text{H}}{\mu} = \frac{\rho Q D_\text{H}}{\mu A} = \frac{W D_\text{H}}{\mu A}, 

burada

*  borunun hidrolik çapıdır (boru dairesel ise iç çap) (m),
*  debidir (m3/s),
*  borunun *kesit* alanıdır () (m2),
*  akışkanın ortalama hızıdır (m/s),
*  (mu) akışkanın dinamik viskozitesidir (Pa·s = N·s/m2 = kg/(m·s)),
*  (nu) kinematik viskozitedir () (m2/s),
*  (rho) akışkanın yoğunluğudur (kg/m3),
*  akışkanın kütlesel akış hızıdır (kg/s).

Yüksekliği ve genişliği karşılaştırılabilir olan kare, dikdörtgen veya halka şeklindeki kanallar gibi şekiller için, iç akış durumlarında karakteristik boyut, hidrolik çap  olarak alınır ve şu şekilde tanımlanır:

:D_\text{H} = \frac{4 A}{P},

burada  kesit alanı ve  ıslak çevredir. Bir kanalın ıslak çevresi, akışla temas halinde olan tüm kanal duvarlarının toplam çevresidir. Bu, kanalın havaya maruz kalan uzunluğunun ıslak çevreye dahil olmadığı anlamına gelir.

Dairesel bir boru için hidrolik çap, borunun iç çapına tam olarak eşittir:

:D_\text{H} = D.

Bir boru içinde boru gibi bir halka kanal için, hidrolik çapın şu şekilde azaldığı cebirsel olarak gösterilebilir:

:D_\text{H,annulus} = D_\text{o} - D_\text{i},

burada
* dış borunun iç çapıdır,
* iç borunun dış çapıdır.

Dairesel olmayan kanallarda akış hesaplamaları için, kanal kesitinin en-boy oranı AR,   2900 olduğunda meydana geldiğini göstermektedir. Bu aralığın alt ucunda, sürekli bir türbülanslı akış oluşacak, ancak borunun girişinden çok uzak bir mesafede olacaktır. Aradaki akış, laminerden türbülansa ve ardından tekrar laminer akışa düzensiz aralıklarla geçmeye başlayacaktır; bu duruma kesintili akış (İng. *intermittent flow*) denir. Bu, borunun kesitinin farklı bölgelerindeki akışkanın farklı hızları ve koşulları nedeniyle oluşur, boru pürüzlülüğü ve akışın uniformluğu gibi diğer faktörlere bağlıdır. Laminer akış, borunun hızlı hareket eden merkezinde baskın olma eğilimindeyken, yavaş hareket eden türbülanslı akış borunun duvarına yakın bölgede baskındır. Reynolds sayısı arttıkça, sürekli türbülanslı akış girişe daha yakın hale gelir ve kesintili akış artar, ta ki akış tamamen türbülanslı hale gelene kadar ( > 2900). Bu sonuç, hidrolik çap kullanılarak dairesel olmayan kanallara genellenebilir ve diğer kanal şekilleri için bir geçiş Reynolds sayısının hesaplanmasına olanak tanır.

Bu geçiş Reynolds sayıları, *kritik Reynolds sayıları* olarak da adlandırılır ve 1895 civarında Osborne Reynolds tarafından incelenmiştir. Kritik Reynolds sayısı, her geometri için farklıdır.

## Geniş-kanal akışı
İki düz paralel yüzey arasında hareket eden bir akışkan için - genişliğin plakalar arasındaki mesafeden çok daha büyük olduğu durumlarda - karakteristik boyut, plakalar arasındaki mesafeye eşittir. Bu, yukarıda belirtilen halka kanal ve dikdörtgen kanal durumlarıyla, sınırlayıcı bir en-boy oranına alındığında, tutarlıdır.

## Açık-kanal akışı
Serbest yüzeyli bir sıvının akışını hesaplamak için hidrolik yarıçapın belirlenmesi gerekmektedir. Bu, kanalın kesit alanının ıslak çevresine bölünmesiyle elde edilir. Yarı dairesel bir kanal için, tam boru akış durumunda, hidrolik yarıçap çapın dörtte biridir. Dikdörtgen bir kanal için, hidrolik yarıçap, kesit alanının ıslak çevresine bölünmesiyle hesaplanır. Bazı kaynaklarda, türbülans başlangıcı için boru akışında olduğu gibi aynı  değerini veren hidrolik yarıçapın dört katı bir karakteristik boyut kullanılır, diğer kaynaklarda ise, geçiş ve türbülanslı akış için farklı  değerleri ile sonuçlanan hidrolik yarıçap karakteristik uzunluk ölçeği olarak kullanılır.

## Kanat profili etrafında akış
Reynolds sayıları, kanat profili tasarımında, karakteristikleri hesaplama ve kıyaslama sırasında "ölçek etkisini" yönetmek için kullanılır (küçük bir kanat, büyük boyutta ölçeklendirildiğinde farklı performans gösterecektir). Akışkan dinamiği uzmanları, *kanat profili Reynolds sayısı*nı  olarak tanımlar, burada  uçuş hızı,  kanat profili uzunluğu ve  kanat profilinin içinde bulunduğu akışkanın kinematik viskozitesidir; deniz seviyesinde atmosfer için bu değer 'dir. Bazı özel çalışmalarda, kanat profili uzunluğu dışında bir karakteristik uzunluk kullanılabilir; nadir durumlarda "kanat açıklığı Reynolds sayısı" kullanılır, ancak bu, kanadın açıklık yönündeki istasyonlarıyla karıştırılmamalıdır, burada hala kanat profili uzunluğu kullanılır.

## Akışkan-içi nesne

Akışkan içinde hareket eden bir nesne için Reynolds sayısı, partikül Reynolds sayısı olarak adlandırılır ve genellikle  ile gösterilir; bu, çevresindeki akışın doğasını ve düşüş hızını karakterize eder.

### Viskoz akışkanlar

Viskozitenin doğal olarak yüksek olduğu yerlerde, örneğin polimer çözeltileri ve polimer eriyikleri, akış genellikle laminer olur. Reynolds sayısı çok küçüktür ve Stokes yasası akışkanın viskozitesini ölçmek için kullanılabilir. Kürelerin akışkan içinden düşmesine izin verilir ve küreler hızla terminal hıza ulaşır, bu hızdan viskozite belirlenebilir.

Polimer çözeltilerinin laminer akışı, balıklar ve yunuslar gibi hayvanlar tarafından, yüzme sırasında vücutları üzerinden akışı kolaylaştırmak için derilerinden viskoz çözeltiler salgılayarak kullanılmaktadır. Yat yarışlarında, sahipleri hız avantajı elde etmek için gövdenin ıslak yüzeyine düşük moleküler ağırlıklı polietilen glikol gibi bir polimer çözeltisi pompalayarak kullanmışlardır.

Ancak, polimerlerin karıştırılması için bir sorun teşkil eder, çünkü ince dolgu maddesini (örneğin) malzeme boyunca dağıtmak için türbülans gereklidir. "Boşluk transfer karıştırıcısı" (İng. *"cavity transfer mixer"*) gibi icatlar, hareketli bir eriyiğe birçok katlama yaparak karıştırma verimliliğini artırmak için geliştirilmiştir. Bu cihaz, karıştırmaya yardımcı olmak için ekstrüderlere monte edilebilir.

### Akışkan-içi küre

Bir akışkan içinde bir küre için, karakteristik uzunluk ölçeği kürenin çapıdır ve karakteristik hız, kürenin akışkana göre olan hızıdır; bu hız, kürenin hareketinin bu referans akışkan parselini bozmadığı bir mesafede ölçülür. Yoğunluk ve viskozite, akışkana ait olan değerlerdir. Bu tanıma göre, tamamen laminer akışın yalnızca  = 10'a kadar mevcut olduğunu hatırlanmalıdır.

Yüksek Reynolds sayılarında bir küre üzerindeki sürükleme, yüzey pürüzlülüğüne bağlıdır. Örneğin, bir golf topunun yüzeyine çukurlar eklemek, topun yukarı akış tarafındaki sınır tabakasının laminerden türbülansa geçmesine neden olur. Türbülanslı sınır tabakası, laminer bir sınır tabakasından çok daha uzun süre topun yüzeyine bağlı kalabilir ve böylece daha dar bir düşük basınçlı iz bölgesi (İng. *wake*) oluşturur ve dolayısıyla daha az basınç sürüklenmesi yaratır. Basınç sürüklenmesindeki azalma, topun daha uzağa gitmesine neden olur.

### Akışkan-içi dikdörtgen nesne
Dikdörtgen bir nesne için denklem, nesnenin bir elipsoit olarak yaklaşıldığı ve uzunluk ekseninin karakteristik uzunluk ölçeği olarak seçildiği durumda küreninkine benzerdir. Bu tür düşünceler, örneğin doğal akarsularda, tamamen küre-şekilli zerrecik çok az olduğu durumlarda önemlidir. Her eksenin ölçümünün pratik olmadığı zerrecikler için, karakteristik parçacık uzunluk ölçeği olarak elekten geçen çaplar kullanılır. Her iki yaklaşım da kritik Reynolds sayısının değerlerini değiştirir.

### Düşme hızı
Parçacık Reynolds sayısı, bir parçacığın düşme hızını belirlemede önemlidir. Parçacık Reynolds sayısı laminer akışı gösterdiğinde, Stokes yasası kullanılarak parçacığın düşme hızı veya çökelme hızı hesaplanabilir. Parçacık Reynolds sayısı türbülanslı akışı gösterdiğinde, uygun çökelme hızını modellemek için türbülanslı bir sürüklenme yasası oluşturulmalıdır.

### Dolgulu yatak
Yaklaşık çapı  olan küresel parçacıkların temas halinde bulunduğu bir yataktan akışkan akışı için, *[[gözeneklilik|boşluk oranı]]*  ve *[[görünür hız]]*  ise, Reynolds sayısı şu şekilde tanımlanabilir:
: \mathrm{Re} = \frac{\rho v_\text{s} D}{\mu},
veya
: \mathrm{Re} = \frac{\rho v_\text{s} D}{\mu \varepsilon},
veya
: \mathrm{Re} = \frac{\rho v_\text{s} D}{\mu (1 - \varepsilon)}.

Denklem seçimi ilgili sisteme bağlıdır: birinci denklem, çeşitli doldurulmuş ve akışkan yatak türleri için verileri ilişkilendirmede başarılıdır; ikinci Reynolds sayısı, sıvı faz verilerine uygundur; üçüncü denklem ise sıvı akışkanlaştırılmış yatak sistemi için ilk kez tanıtılarak akışkan yatak verilerini ilişkilendirmede başarılı bulunmuştur.

Laminer koşullar  = 10'a kadar geçerlidir,  = 2000'den itibaren tamamen türbülanslıdır.

### Karıştırmalı kap
Merkezi döner bir palet, türbin veya pervane ile karıştırılan silindirik bir kapta (İng. *stirred vessel*), karakteristik boyut karıştırıcının çapı 'dir. Hız,  ise 'dir, burada  dönme hızı (rad/s) olarak ifade edilir. Reynolds sayısı şu şekilde olur:
:\mathrm{Re} = \frac{\rho N D^2} {\mu} = \frac{\rho V D} {\mu}.

Sistem,  değeri 'in üzerinde olduğunda tamamen türbülanslıdır.

## Boru sürtünmesi

Tamamen gelişmiş akışkan akışında borulardaki basınç düşüşleri Moody diyagramı kullanılarak tahmin edilebilir. Bu diyagram, Reynolds sayısı  ve göreceli pürüzlülüğe  karşı Darcy–Weisbach sürtünme faktörünü  çizer. Diyagram, Reynolds sayısı arttıkça laminer, geçiş ve türbülanslı akış rejimlerini açıkça gösterir. Boru akışının doğası, akışın laminer mi yoksa türbülanslı mı olduğuna güçlü bir şekilde bağlıdır.

## Akışların benzerliği

İki akışın benzer olması için aynı geometrilere ve eşit Reynolds ve Euler sayılarına sahip olmaları gerekir. Bir model ve tam ölçekli akıştaki karşılaştırmalı noktaların akışkan davranışlarını karşılaştırırken aşağıdaki durum geçerlidir:

:\begin{align}
  \mathrm{Re}_\text{m} &= \mathrm{Re}, \\
  \mathrm{Eu}_\text{m} &= \mathrm{Eu},
\end{align}

burada \mathrm{Re}_\text{m} modelin Reynolds sayısı ve \mathrm{Re} tam ölçekli Reynolds sayısıdır ve benzer şekilde Euler sayıları için de geçerlidir.

Model sayıları ve tasarım sayıları aynı oranda olmalıdır, dolayısıyla

: \frac{p_\text{m}}{\rho_\text{m} v_\text{m}^2} = \frac{p}{\rho v^2}. 

Bu, mühendislerin su tünelleri veya rüzgar tüneli gibi ortamlarda küçültülmüş ölçekli modellerle deneyler yapmasına ve verileri gerçek akışlarla ilişkilendirmesine olanak tanır, böylece deney ve laboratuvar süresinden tasarruf sağlar. Gerçek dinamik benzerlik, sıkıştırılabilir akışlarda kullanılan Mach sayısı veya açık kanal akışlarını yöneten Froude sayısı gibi diğer boyutsuz sayıların eşleştirilmesini de gerektirebilir. Bazı akışlar, mevcut cihazlar ve akışkanlarla pratik olarak sağlanabilecekten daha fazla boyutsuz parametre içerir, bu yüzden hangi parametrelerin en önemli olduğuna karar verilmesi gerekir. Deneysel akış modellemesinin faydalı olabilmesi için mühendisin oldukça fazla deneyim ve yargı kabiliyetine sahip olması gerekir.

Yalnızca Reynolds sayısının akışların benzerliği (veya hatta akış rejimi - laminer veya türbülanslı) için yeterli olmadığına dair bir örnek, duvarlar veya diğer sınırlarla sınırlı olan akışlardır. Bunun klasik bir örneği, boyutsuz çevre oranının da önemli olduğu Taylor–Couette akışıdır ve bu ayrımların önemli bir rol oynadığı birçok teknik uygulamadır. Bu kısıtlamaların prensipleri Maurice Marie Alfred Couette ve Geoffrey Ingram Taylor tarafından geliştirilmiş ve daha sonra Floris Takens ve David Ruelle tarafından ilerletilmiştir.

;Tipik Reynolds sayısı değerleri

* Dictyostelium amipleri: ~ 1 × 10−6
* Bakteri ~ 1 × 10−4
* Ciliate ~ 1 × 10−1
* En küçük balık ~ 1
* Beyindeki kan akışı ~ 1 × 102
* Aorttaki kan akışı ~ 1 × 103
* **Türbülanslı akışın başlaması** ~ 2.3 × 103 ile 5.0 × 104 arasında boru akışı ve 106 sınır tabakaları için
* Major League Baseball'da tipik bir atış ~ 2 × 105
* Yüzen kişi ~ 4 × 106
* En hızlı balık ~ 1 × 108
* Mavi balina ~ 4 × 108
* Büyük bir gemi (*[[Queen Elizabeth 2]]*) ~ 5 × 109
* Atmosferik tropikal siklon ~ 1 x 1012

## Türbülanslı akışın en küçük ölçekleri
Türbülanslı bir akışta, zamana bağlı akışkan hareketinin çeşitli ölçekleri mevcuttur. Akışkan hareketinin en büyük ölçeklerinin boyutu (bazen girdaplar olarak adlandırılır), akışın genel geometrisi ile belirlenir. Örneğin, endüstriyel bir baca içinde, akışkan hareketinin en büyük ölçekleri bacanın çapı kadar büyük olabilir. En küçük ölçeklerin boyutu ise Reynolds sayısı ile belirlenir. Reynolds sayısı arttıkça, akışın daha küçük ve daha küçük ölçekleri gözlemlenebilir hale gelir. Bir bacada, dumanın büyük hacimli girdapların yanı sıra çok küçük hız bozulmaları veya girdaplara sahip olduğu görülebilir. Bu anlamda, Reynolds sayısı akıştaki ölçeklerin aralığının bir göstergesidir. Reynolds sayısı ne kadar yüksekse, ölçek aralığı o kadar geniştir. En büyük girdaplar her zaman aynı boyutta olacaktır; en küçük girdaplar ise Reynolds sayısı tarafından belirlenir.

Bu olgunun açıklaması nedir? Yüksek Reynolds sayısı, akışın büyük ölçeklerinde viskoz kuvvetlerin önemli olmadığını gösterir. Eylemsizlik kuvvetlerinin viskoz kuvvetler üzerinde baskın olduğu durumda, akışkan hareketinin büyük ölçekleri sönümlenmez—hareketlerini dağıtacak yeterli viskozite yoktur. Kinetik enerji, bu büyük ölçeklerden giderek daha küçük ölçeklere "kaskat" yapmak zorundadır, ta ki ölçeğin yeterince küçük olduğu bir seviyeye ulaşana kadar; bu seviyede viskoz kuvvetler önemli hale gelir (yani viskoz kuvvetler eylemsizlik kuvvetleri mertebesine gelir). Enerjinin viskoz etkilerle dağılımı nihayet bu küçük ölçeklerde gerçekleşir. Reynolds sayısı, bu viskoz dağılımın hangi ölçekte gerçekleştiğini gösterir.

## Fizyoloji
Vücuttaki kan dolaşımı üzerine Poiseuille yasası laminer akışa dayanır. Türbülanslı akışta, akış hızı, laminer akışta basınç gradyanına doğrudan orantılı olmasının aksine, basınç gradyanının karekökü ile orantılıdır.

Reynolds sayısının tanımını kullanarak, büyük çaplı ve hızlı akışın, kanın yoğunluğunun yüksek olduğu durumlarda, türbülansa eğilimli olduğunu görebiliriz. Damar çapındaki ani değişiklikler, örneğin daha dar bir damarın daha geniş bir damara genişlediği durumlarda, türbülanslı akışa yol açabilir. Ayrıca, bir aterom şişkinliği, stetoskopla duyulabilen türbülanslı akışa neden olabilir.

## Karmaşık sistemler
Reynolds sayısının yorumu, keyfi karmaşık sistemler alanına genişletilmiştir. Örneğin, finansal akışlar, doğrusal olmayan (İng. *nonlinear*) ağlar gibi. İkinci durumda, yapay bir viskozite, karmaşık ağ ortamlarında enerjinin dağılımının doğrusal olmayan bir mekanizmasına indirgenir. Reynolds sayısı, açık sınır sistemi için enjekte edilen ve dağıtılan enerji akışları arasındaki dengeyi ifade eden temel bir kontrol parametresini temsil eder. Reynolds kritik rejiminin iki tür faz uzayı hareketini ayırdığı gösterilmiştir: hızlandırıcı (çekici) ve yavaşlatıcı. Yüksek Reynolds sayısı, yalnızca garip çekici (İng. *strange attractor*) modeli çerçevesinde kaotik rejim geçişine yol açar.

## Diğer boyutsuz sayılarla ilişkisi
Akışkanlar mekaniğinde birçok boyutsuz sayı bulunmaktadır. Reynolds sayısı, hız alanındaki yapılar üzerindeki adveksiyon ve difüzyon etkilerinin oranını ölçer ve bu nedenle, bu etkilerin akış tarafından taşınan diğer alanlar (örneğin sıcaklık ve manyetik alanlar) üzerindeki oranını ölçen Péclet sayısı ile yakından ilişkilidir. 'deki kinematik viskozitenin  yerine termal veya manyetik difüzyon katsayısının kullanılması, sırasıyla termal Péclet sayısı ve manyetik Reynolds sayısı ile sonuçlanır. Bu nedenle, bu sayılar, difüzyon katsayılarının oranları olan Prandtl sayısı ve manyetik Prandtl sayısı ile ilişkili yan ürünlerdir.

## Kaynakça
### Dipnotlar

### Alıntılar

### Kaynaklar

*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

### İlave okumalar

# 
# Brezina, Jiri, 1979, Particle size and settling rate distributions of sand-sized materials: 2nd European Symposium on Particle Characterisation (PARTEC ), Nürnberg, West Germany.
# Brezina, Jiri, 1980, Sedimentological interpretation of errors in size analysis of sands; 1st European Meeting of the International Association of Sedimentologists, Ruhr University at Bochum, Federal Republic of Germany, March 1980.
# Brezina, Jiri, 1980, Size distribution of sand - sedimentological interpretation; 26th International Geological Congress, Paris, July 1980, Abstracts, vol. 2.
# Fouz, Infaz "Fluid Mechanics," Mechanical Engineering Dept., University of Oxford, 2001, p.&nbsp;96
# Hughes, Roger "Civil Engineering Hydraulics," Civil and Environmental Dept., University of Melbourne 1997, pp.&nbsp;107–152
# Jermy M., "Fluid Mechanics A Course Reader," Mechanical Engineering Dept., University of Canterbury, 2005, pp. d5.10.
#  Purcell, E. M. "Life at Low Reynolds Number", *American Journal of Physics* vol 45, pp.&nbsp;3–11 (1977)https://www2.gwu.edu/~phy21bio/Reading/Purcell_life_at_low_reynolds_number.pdf 
# Truskey, G. A., Yuan, F, Katz, D. F. (2004). *Transport Phenomena in Biological Systems* Prentice Hall, pp.&nbsp;7. . .
# Zagarola, M. V. and Smits, A. J., "Experiments in High Reynolds Number Turbulent Pipe Flow." AIAA paper #96-0654, 34th AIAA Aerospace Sciences Meeting, Reno, Nevada, January 15–18, 1996.
# Isobel Clark, 1977, ROKE, a Computer Program for Non-Linear Least Squares Decomposition of Mixtures of Distributions; Computer & Geosciences (Pergamon Press), vol. 3, p.&nbsp;245 - 256.
# B. C. Colby and R. P. Christensen, 1957, Some Fundamentals of Particle Size Analysis; St. Anthony Falls Hydraulic Laboratory, Minneapolis, Minnesota, USA, Report Nr. 12/December, 55 pages.
# Arthur T. Corey, 1949, Influence of Shape on the Fall Velocity of Sand Grains; M. S. Thesis, Colorado Agricultural and Mechanical College, Fort Collins, Colorado, USA, December 102 pages.
# Joseph R. Curray, 1961, Tracing  sediment masses by grain size modes; Proc. Internat. Association of Sedimentology, Report of the 21st Session Norden, Internat. Geol. Congress, p.&nbsp;119 - 129.
# Burghard Walter Flemming & Karen Ziegler, 1995, High-resolution grain size distribution patterns and textural trends in the back-barrier environment of Spiekeroog Island (Southern North Sea); Senckenbergiana Maritima, vol. 26, No. 1+2, p.&nbsp;1 - 24.
# Robert Louis Folk, 1962, Of skewnesses and sands; Jour. Sediment. Petrol., vol. 8, No. 3/September, p.&nbsp;105 - 111
# FOLK, Robert Louis & William C. WARD, 1957: Brazos River bar: a study in the significance of grain size parameters; Jour. Sediment. Petrol., vol. 27, No. 1/March, p.&nbsp;3 - 26
# George Herdan, M. L. Smith & W. H. Hardwick (1960): Small Particle Statistics. 2nd revised edition, Butterworths (London, Toronto, etc.), 418 pp.
# Douglas Inman, 1952: Measures for describing the size distribution of sediments. Jour. Sediment. Petrology, vol. 22, No. 3/September, p.&nbsp;125 - 145
# Miroslaw Jonasz, 1991: Size, shape, composition, and structure of microparticles from light scattering; in SYVITSKI, James P. M., 1991, Principles, Methods, and Application of Particle Size Analysis; Cambridge Univ. Press, Cambridge, 368 pp., p.&nbsp;147.
# William C. Krumbein, 1934: Size frequency distribution of sediments; Jour. Sediment. Petrol., vol. 4, No. 2/August, p.&nbsp;65 - 77.
# Krumbein, William Christian & Francis J. Pettijohn, 1938: Manual of Sedimentary Petrography; Appleton-Century-Crofts, Inc., New York; 549 pp.
# John S. McNown & Pin-Nam Lin, 1952, Sediment concentration and fall velocity; Proc. of the 2nd Midwestern Conf. on Fluid Mechanics, Ohio State University, Columbus, Ohio; State Univ. of Iowa Reprints in Engineering, Reprint No. 109/1952, p.&nbsp;401 - 411.
# McNownn, John S. & J. Malaika, 1950, Effects of Particle Shape of Settling Velocity at Low Reynolds' Numbers; American Geophysical Union Transactions, vol. 31, No. 1/February, p.&nbsp;74 - 82.
# Gerard V. Middleton 1967, Experiments on density and turbidity currents, III; Deposition; Canadian Jour. of Earth Science, vol. 4, p.&nbsp;475 - 505 (PSI definition: p.&nbsp;483 - 485).
# Osborne Reynolds, 1883: An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in parallel channels. Phil. Trans. Roy. Soc., 174, Papers, vol. 2, p.&nbsp;935 - 982
# E. F. Schultz, R. H. Wilde & M. L. Albertson, 1954, Influence of Shape on the Fall Velocity of Sedimentary Particles; Colorado Agricultural & Mechanical College, Fort Collins, Colorado, MRD Sediment Series, No. 5/July (CER 54EFS6), 161 pages.
# H. J. Skidmore, 1948, Development of a stratified-suspension technique for size-frequency analysis; Thesis, Department of Mechanics and Hydraulics, State Univ. of Iowa, p.&nbsp;2 (? pages).
# James P. M. Syvitski, 1991, Principles, Methods, and Application of Particle Size Analysis; Cambridge Univ. Press, Cambridge, 368 pp.

## Dış bağlantılar

* The Reynolds number - The Feynman Lectures on Physics
* The Reynolds Number at Sixty Symbols
* Reynolds mini-biography and picture of original apparatus at Manchester University.
* Reynolds Number Calculation