Catalan sayıları

**Katalan sayıları**, kombinatorik matematikte birçok problemin çözümünde kullanılabilen özel bir sayı dizisi. Adını Belçikalı matematikçi Eugène Charles Catalan(1814-1894)’dan alan bu dizinin terimleri,

:C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}  \qquad n\ge 0  \mbox{ için}.
formülüyle bulunur. 
Alternatif bir formül olan 
:C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n+1} \quad n\ge 0 \mbox{ için },
:C_n’in bir doğal sayı olduğunu bir önceki formülden daha açık bir şekilde gösterir.

Katalan sayılarının her biri, kendinden önceki terimlere bağlıdır. Yani :C_0=1 alınır ve diğerleri için 
:\quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad n\ge 0 \mbox{ için };
uygulanır.

Hesaplamayı kolaylaştıran bir başka formül ise
:\quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n  'dir.

## Örnekler

1.	3 çift parantez, bir cümle içinde kaç farklı şekilde bulunabilir?

Cevap C_3=5 olacak ve parantezler şu şekillerde kullanılabilecektir:

 ((())) &nbsp;&nbsp;&nbsp; ()(()) &nbsp;&nbsp;&nbsp; ()()() &nbsp;&nbsp;&nbsp; (())() &nbsp;&nbsp;&nbsp; (()()) 

2.	 3 düğümlü bir ikili ağaç, kaç farklı şekilde çizilebilir?

Cevap yine C_3=5 'tir.

3.	 4x4'lük, karelere bölünmüş bir alanda, köşegenin diğer tarafına geçmeksizin sadece sağa ve yukarı yönlü birim hareketlerle sol alt köşeden sağ üst köşeye  kaç farklı şekilde çıkılabilir?

C_4=14

4.	 *n* + 2 kenarlı bir kapalı çokgen birbiriyle kesişmeyen köşegenler yardımıyla üçgenlere ayrılabilir. Bu işlem sonucu oluşan üçgen sayısı *n* + 2 iken, bu işlemin yapılabileceği farklı yolların sayısı da *C<sub>n</sub>*' dir. Aşağıda *n* = 4 durumu altıgenler ile gösterilmektedir:

C_4=14

5.	1'den 4'e kadar olan sayılar, sıralı bir üçlü oluşturmamak kaydıyla kaç farklı şekilde yan yana getirilebilir?

C_4=14

{1432, 2143, 2413, 2431, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4132, 4213, 4231, 4312,4321}

6.	4 basamaklı bir merdiven, 4 karoyla kaç farklı şekilde kaplanabilir?

C_4=14

7. nxn boyutlu bir A matrisinde, her a_{ij}=C_{i+j-2} ise, o matrise Hankel matrisi denir ve determinant, boyuttan bağımsız olarak daima 1'dir.

:\det\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 5 & 14 \\ 2 & 5 & 14 & 42 \\ 5 & 14 & 42 & 132\end{bmatrix} = 1.

:\det\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 14 \end{bmatrix} = 1.

### Katalan sayılarının sayma problemlerindeki (Kombinatorik) uygulamaları
Bu dizinin terimleri, kombinatorik matematiğin problemlerini çözmede fayda sağlar. Yukarıda gördüğümüz örnekler bunlardan bazılarıdır. Farklı başlangıç değerleri için problemin cevabı, başlangıç değerini n yerine yazarak elde edilen Katalan sayısına eşit olur.

C_n ;
* n çift parantezin kaç farklı şekilde düzgün konumlanabileceğini, (düzgün konumlanmakla kastedilen, açılan her parantezin kapanması ve bir parantez açılmadan kapatma parantezi konmamasıdır.)
* n+1 dallı bir ikili ağacın kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini,
* nxn karelik bir alanda, diagonalin üzerine çıkmayacak şekilde, sol alt köşeden sağ üst köşeye kaç farklı şekilde ulaşılabileceğini,
* n+2 kenarlı bir konveks çokgenin, köşegenler aracılığıyla kaç üçgene bölünebileceğini,
* 1'den n'e kadar olan sayıların, sıralı üçlü oluşturmamak koşuluyla kaç farklı şekilde dizilebileceğini, 
* n basamaklı bir merdivenin, n tane karoyla kaç farklı şekilde kaplanabileceğini,
* {1,…,n} kümesinin kesişmeyen kısımlarının sayısını,
* 2xn boyutlu bir standart Young tablosunun kaç farklı şekilde oluşturulabileceğini,

Ve bunlara benzer sayma problemlerinin nasıl çözülebileceğini gösterir.,

## Formülün İspatları

### 1.İspat

Bu ispat, Dyck kelimelerinin(baştan sona doğru nereden bölünürse bölünsün, X'lerin sayısının Y'lerden az olmadığı, X ve Y'den oluşan kelimeler) yazılışına dayanır. Bu durumda C_n, kurala uygun şekilde yazılmış kelimelerin sayısıdır. Bu kurala uygun, c ve c+ 'lardan oluşan, (boş da olabilen) bir kelime oluşturur ve c'yi c=[c1]c2 şeklinde yazarsak, c+ için uygun olan yerlerin toplamı,

:C_0 = 1 \quad \text{ve} \quad C_{n+1} = \sum_{i=0}^n C_i\,C_{n-i}\quad n\ge 0.

b de dengeli, yani eşit sayıda c ve c+ içeren, 2n uzunluğunda bir kelime ve \textstyle B_n = {2n\choose n} = d_n C_n olsun.
Yukarıda olduğu gibi, dengeli bir kelime de [c]b ya da ] c+ [b olarak yazılabilir, öylseyse
:B_{n+1} = 2 \sum_{i=0}^n B_i C_{n-i}.

Yanlış fakat dengeli olan bir kelime de c] ile başlar, dolayısıyla,
:B_{n+1} - C_{n+1} = \sum_{i=0}^n {2i+1 \choose i} C_{n-i} = \sum_{i=0}^n \frac{2i+1}{i+1} B_i C_{n-i}.

Bu eşitlikten ve *B**i* = *d**i* *C**i* 'den faydalanarak :C_{n+1} = 2 \sum_{i=0}^n d_i C_i C_{n-i} - \sum_{i=0}^n \frac{2i+1}{i+1} d_i C_i C_{n-i} = \sum_{i=0}^n \frac{d_i}{i+1} C_i C_{n-i}. elde edilir. Katsayılar *C**n* için verilen ilk formülle karşılaştırılınca *d**i* = *i* + 1 bulunur. O halde,
:C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n}.

### 2.İspat

Bu ispat da Katalan sayılarının üçgenleme tanımını kullanarak *C<sub>n</sub>* ve *C**n*+1 arasında bir bağıntı kurmamızı sağlar. n+2 kenarlı bir P çokgeninin bir kenarını temel olarak alalım. P çokgeni üçgenlenebiliyorsa 2n+1 kenarından birini seçip devam edebiliriz. Bu şekilde oluşturulabilecek (4n+2) *C<sub>n</sub>* farklı durum vardır.
Bir de n+3 kenarlı bir Q çokgeni verilsin. Yine bir kenarını temel aldığımızda, Q üçgenlenebilir bir çokgense, ilkinden farklı bir kenar daha seçebiliriz. Bu kez oluşturabileceğimiz (n+2) *C**n*+1 farklı durum vardır.
Şimdi bu ikisi arasında bir geçiş yapabiliriz: ya Q çokgenini, bir kenarı işaretli olan bir üçgenini çıkararak küçülteceğiz ya da P'nin işaretli kenarının yerine bir üçgen koyarak P'yi genişletip bir kenarını işaretleyeceğiz.
Öyleyse ;
:(4n+2)C_n = (n+2)C_{n+1}.

:C_n ’in binom formülü,:C_1=1 başlangıç koşulu ve bu bağıntı yoluyla doğrudan elde edilebilir.

## Ayrıca bakınız
* Catalan problemi

## Dış bağlantılar

https://web.archive.org/web/20040808170406/http://www.math.harvard.edu/~mantovan/ADMIN/catalan2.pdf

http://www.geometer.org/mathcircles/catalan.pdf 

http://www.math.utah.edu/mathcircle/notes/mladen2.pdf