Açıortay teoremi

Geometride **açıortay teoremi**, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

## Teorem
Bir \triangle ABC üçgeni düşünün. \angle A açısının açıortayının B ile C arasındaki D noktasında BC kenarını kesmesine izin verin. Açıortay teoremi, BD doğru parçasının uzunluğunun DC parçasının uzunluğuna oranının AB kenarının uzunluğunun AC kenarının uzunluğuna oranına eşit olduğunu belirtir:

:{\frac  }={\frac }, 

ve tersine, \triangle ABC üçgeninin BC kenarındaki D noktası BC'yi AB ve AC kenarları ile aynı oranda bölerse, daha sonra AD, \angle A açısının açıortayıdır.

Genelleştirilmiş açıortay teoremi, eğer D, BC doğrusu üzerinde yer alıyorsa, o zaman

:{\frac  }={\frac {|AB|  \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}. 

AD, \angle BAC'nin açıortayıysa bu ifade, önceki sürüme indirgenir. D, BC bölümünün dışında olduğunda, hesaplamada yönlendirilmiş çizgi bölümleri ve yönlendirilmiş açılar kullanılmalıdır.

Açıortay teoremi, açıortayları ve yan uzunlukları bilindiğinde yaygın olarak kullanılır. Bir hesaplamada veya bir ispatta kullanılabilir.

Teoremin doğrudan bir sonucu, bir ikizkenar üçgenin tepe açısının açıortayının aynı zamanda karşı kenarı ikiye böldüğüdür.

## İspatlar
### İspat 1

Yukarıdaki diyagramda, \triangle ABD ve \triangle ACD üçgenlerinde sinüs teoremi kullanıldığında:

 = {\frac {\sin \angle BDA} {\sin \angle BAD}} |}}

 = {\frac {\sin \angle ADC} {\sin \angle DAC}} |}}

\angle BDA ve \angle ADC açıları doğrusal bir çift oluşturur, yani bitişik bütünler açılar'dır. Bütünler açılar eşit sinüslere sahip olduğundan,

: = {\sin \angle ADC}. 

\angle BAD ve \angle DAC açıları eşittir. Bu nedenle, denklemlerin sağ tarafları () ve () eşittir, bu nedenle sol tarafları da eşit olmalıdır.

:{\frac  }={\frac }, 

bu da açıortay teoremi'dir.

\angle BAD ve DAC açıları eşit değilse, denklemler () ve () şu şekilde yeniden yazılabilir:

: {\frac   \sin \angle\ BAD = \sin \angle BDA},

: {\frac   \sin \angle\ DAC = \sin \angle ADC}.

\angle BDA ve \angle ADC açıları hala bütünlerdir, bu nedenle bu denklemlerin sağ tarafları hala eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:

: {\frac   \sin \angle\ BAD = \frac   \sin \angle\ DAC},

bu ifade, teoremi "genelleştirilmiş" versiyona göre yeniden düzenler.

### İspat 2

D, BC doğrusu üzerinde bir nokta olsun, B veya C'ye eşit olmasın ve AD, \triangle ABC üçgeninin bir yüksekliği olmasın (yani BD doğrusuna dik olmasın).

B_1, \triangle ABD üçgeninin B noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun ve C_1, \triangle ACD üçgeninin C noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun. Daha sonra, D kesinlikle B ile C arasındaysa, B_1 veya C_1'den biri ve yalnızca biri, \triangle ABC üçgeninin içinde yer alır ve B_1'in genelliği kaybetmeden yaptığı varsayılabilir. Bu durum yandaki şekilde tasvir edilmiştir. D, BC segmentinin dışında yer alıyorsa, o zaman ne B_1 ne de C_1 üçgenin içinde yer alır.

\angle DB_1B ve \angle DC_1C dik açılar iken, D, BC segmentinde yer alıyorsa (yani, B ve C arasında) \angle B_1DB ve \angle C_1DC açıları eş açılardır ve dikkate alınan diğer durumlarda aynıdır, bu nedenle üçgenler \triangle DB_1B ve \triangle DC_1C benzerdir (AAA), yani

:{\frac  }= {\frac }=\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}.

D bir yüksekliğin tabanıysa, o zaman,

:\frac = \sin \angle \ BAD \text{ ve } \frac = \sin \angle \ DAC,

ve genelleştirilmiş biçime ulaşılır.

### İspat 3

Hızlı bir kanıt, A'daki açıortay ile oluşturulan \triangle BAD ve \triangle CAD üçgenlerinin alanlarının oranlarına bakılarak elde edilebilir. Bu alanları farklı formüller kullanarak iki kez hesaplamak, yani g taban ve h yükseklik olmak üzere \tfrac{1}{2}gh şeklinde ve a, b kenarlar ve bu kenarlar arasındaki açı \gamma olmak üzere \tfrac{1}{2}ab\sin(\gamma) şeklinde hesaplamak mümkün olup istenen sonucu verecektir.

 h , tabanı  BC  olan üçgenlerin yüksekliği ve  \alpha   A 'daki açının yarısı olsun. Sonra,

:
\frac
= \frac{\frac{1}{2}|BD|h}{\frac{1}{2}|CD|h}= \frac

ve
:
\frac=\frac{\frac{1}{2}|AB||AD|\sin(\alpha)}{\frac{1}{2}|AC||AD|\sin(\alpha)}=\frac

buradan da
:
\frac = \frac

bulunur.

## Dış açıortaylar

Eşkenar olmayan bir üçgendeki dış açıortaylar için, üçgen kenarlarının uzunluklarının oranları arasında benzer denklemler vardır. Daha doğrusu,  A 'daki dış açıortay  E 'de uzatılmış kenar  BC  ile kesişiyorsa,  B 'deki dış açıortay  D 'de uzatılmış kenar  AC  ile kesişir ve  C 'deki dış açı açıortay  AB  uzatılmış kenar ile  F 'de kesişir, ardından aşağıdaki denklemler geçerli olur:\frac=\frac, \frac=\frac, \frac=\frac

Dış açıortayları ile uzatılmış üçgen kenarları  D ,  E  ve  F  arasındaki üç kesişme noktası eşdoğrusaldır, yani bir ortak çizgi üzerindedir.

## Tarihçe
Açıortay teoremi, Öklid'in *[[Öklid'in Elementler'i|Elemanlar]]*ı Kitap VI'nın Önerme 3'ü olarak görünür. 'e göre, dış açıortay için karşılık gelen ifade Robert Simson tarafından verildi ve Pappus bu sonucu kanıt olmadan doğru varsaydı. Heath, Augustus De Morgan'ın iki ifadenin aşağıdaki gibi birleştirilmesini önerdiğini söyler:

## Notlar

## Konuyla ilgili yayınlar
* 

## Dış bağlantılar
* 
*