Otoregresif hareketli ortalamalar modeli

**Otoregresif hareketli ortalamalar modelleri** (İngilizce:"autoregressive moving averages (ARMA) models"), istatistik biliminde George Box ve Gwilym Jenkins'e ithafen Box-Jenkins modelleri olarak da bilinen zaman serisi kestirimi ve öngörme yöntemi olup eşit zaman aralıklarında gözlenen zaman serisi verilerinde uygulanır.

*X**t* şeklinde bir zaman serisi verisi (*datası*) verildiğinde, ARMA modeli, serinin gelecek dönemlerdeki değerlerini anlamak ve hatta öngörmek için kullanılır. Model iki kısımdan oluşur. Bunlardan birisi otoregresif kısım (AR), diğeri ise hareketli ortalamalar kısmıdır. Model, genellikle *p* otoregresif kısmın derecesi, *q* ise hareketli ortalama kısmının derecesi olmak üzere ARMA(*p*,*q*) modeli şeklinde gösterilir.

## Otoregresif, AR(p), model
AR(*p*) ifadesi p. dereceden otoregresif bir modeli tanımlar. AR(*p*) modeli şöyle gösterilir:

: X_t = c + \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i}+ \epsilon_t .\,

\phi_1, \ldots \phi_p, modelin parametrelerini; c, sabit terimi; \epsilon_t ise hata terimini simgeler. Pek çok yazar tarafından basitleştirme maksadıyla sabit terim ihmal edilir. Modelin durağan olması için parametreler üzerinde kısıtlamaya gidilmelidir. Örneğin |φ1| > 1 durumunun geçerli olduğu bir AR(1) modeli durağan değildir.

## Örnek: AR(1) süreci

AR(1) süreci:

:X_t = c + \phi X_{t-1}+\epsilon_t,\,

şeklinde tanımlanır. \epsilon_t, beyaz gürültülü ve 0 ortalamaya sahip \sigma^2 varyanslı bir süreçtir. Eğer, |\phi| sağlanırsa süreç kovaryans durağandır. Eğer \phi=1 sağlanıyorsa süreç birim kök içermektedir ve durağan olduğu söylenemez. \phi=1 durumu aynı zamanda rassal yürüyüş olarak da bilinen özel bir durumdur. Bu özel durumda X_t için "beklenen değeri" hesaplamak mümkün değildir.

## AR parametrelerinin hesaplanması

: X_t = \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i}+ \epsilon_t.\,

denklemi ile verilen bir AR(*p*) modeli \phi_i parametrelerine dayanır. Bu parametreler **Yule-Walker denklemleri** ile hesaplanır:

:
\gamma_m = \sum_{k=1}^p \phi_k \gamma_{m-k} + \sigma_\epsilon^2\delta_m


*m = 0...p* olup sonuçta *p+1* tane denklem ortaya çıkar. \gamma_m, X'in otokorelasyon fonksiyonu olup \sigma_\epsilon girdi gürültü sürecinin standart hatasıdır. δm ise Kronecker Delta Fonksiyonu'nu gösterir.

Denklemin son kısmı yalnızca m=0 olma durumunda sıfırdan farklı olacağından, denklem m>0 koşulunu sağlayan bir matris şeklinde ifade edilerek çözülür.

\begin{bmatrix}
\gamma_1 \\
\gamma_2 \\
\gamma_3 \\
... \\
\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}
\gamma_0 & \gamma_{-1} & \gamma_{-2} & ... \\
\gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_{-1} & ... \\
\gamma_2 & \gamma_{1} & \gamma_{0} &... \\
...      & ...         & ...       &... \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\phi_{1} \\
\phi_{2} \\
\phi_{3} \\
... \\
\end{bmatrix}



m=0 için bütün \philer elde edildiğinde.


\gamma_0 = \sum_{k=1}^p \phi_k \gamma_{-k} + \sigma_\epsilon^2


ifadesi ortaya çıkar ki bu \sigma_\epsilon^2 değerini bulmamızı sağlar.

## Hareketli ortalamalar. MA(q), modeli

MA(*q*) ifadesi, *q*. dereceden bir hareketli ortalamalar modelini ifade eder

: X_t = \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}\,

θ1, ..., θ*q* modelin parametreleridir εt, εt-1,... modelin hata terimleridir. Bundan açıktır ki "hareketli ortalamalar" modelinde belirli bir zaman noktasındaki bir zaman serisi değişkeninin değeri (yani t'de Xt değeri) *q* tane daha önceki her bir zaman noktasıda yapılan hataların (yani her t zaman noktası için i gecikmeli ε hatasının) ağırlıklı olarak bileştirilmesi ile açıklanmaktadır.

## Otoregresif hareketli ortalamalar, ARMA(p,q), modeli

Bu model, AR(*p*) and MA(*q*) modellerinin bir birleşimidir,

: X_t = \varepsilon_t +  \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,

şeklinde gösterilir.

## Modelin tahmini
Model sadece AR(p) ile kurulursa "Yule-Walker denklemleri" çözüm için yeterli olacaktır ARMA(p, q) şeklinde bir model kurulduğunda ise önce p ve q değerlerinin kaç olacağına karar verilir, yâni kaç adet gecikmeli değişken kullanılacağı önem kazanır. Genelde p ve q'nun küçük seçilmesi tavsiye edilir. p ve q sayıları seçildikten sonra ise model en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilebilir.

## Notlar

## Dış bağlantılar
* Box, George Box, Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel ve Lon-Mu Liu (2009), *Time Series Analysis*, 4.ed.. Pearson Education, ISBN 0-13-147142-2    
* Mills, Terence C. ve Raphael N. Markellos (2008) *The Econometric Modelling of Financial Time Series* 3.ed. Cambridge:Cambridge University Press. ISBN 0-521-71009-X