Silindirik ve küresel koordinatlarda vektör alanı

NOT: Bu sayfa küresel koordinatların fizik gösterimi içindir, \theta  *z* ekseni arasındaki açıdır.ve yarıçap vektörü söz konusu noktaya orijinden bağlantılıdır, bu \phi açısı *x-y* düzlemi ve *x* ekseni ile vektör yarıçapının izdüşümü arası açıdır. Diğer bazı tanımları da kullanılıyor ve çok dikkatli farklı kaynaklardan karşılaştırarak alınmalıdır.

## Silindirik koordinat sistemi
### Vektör alanı

Vektörler (p, φ, *z*) ile silindirik koordinatlarda tanımlanıyor, burada
* *p , xy* düzlemine *r* vektörünün  izdüşüm uzunluğu,
* &nbsp;**φ**  pozitif   *x*-ekseninin (0 ≤ &nbsp;**φ** \begin{bmatrix} p \\ \phi \\ z \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2} \\ \operatorname{arctan}(y / x) \\ z
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \phi 

veya tersi yoluyla:

:\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} p\cos\phi \\ p\sin\phi \\ z \end{bmatrix}.

Herhangi bir vektör alanı birim vektörleri tarafından yazılabilir:
:\mathbf A = A_x \mathbf{\hat x} + A_y \mathbf{\hat y} + A_z \mathbf{\hat z} 
                 = A_p \mathbf{\hat p} + A_\phi \boldsymbol{\hat \phi} + A_z \mathbf{\hat z}
Silindirik birim vektörleri ile kartezyen birim vektörleri ilişkilidir:
:\begin{bmatrix}\mathbf{\hat p} \\ \boldsymbol{\hat\phi} \\ \mathbf{\hat z}\end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0 \\
                   -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
                   0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}
* Not: bu matris bir ortogonal matristir, şöyle ki, o terstir, basittir, transpozedir.

### Bir vektör alanının zaman türevleri
"vektör alanı A"nın zaman içindeki değişikliklerini bulmak için biz zaman türevlerini hesaplıyoruz.

Bunu desteklemek için zaman türevleri için biz Newton gösterimini kullanıyoruz (\dot{\mathbf{A}}).
Kartezyen koordinatlar içinde bu basitçe:
:\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_x \hat{\mathbf{x}} + \dot{A}_y \hat{\mathbf{y}} + \dot{A}_z \hat{\mathbf{z}}

Bununla birlikte silindirik koordinatlar şu alınır:
:\dot{\mathbf{A}} = \dot{A}_p \hat{\boldsymbol{p}} + A_p \dot{\hat{\boldsymbol{p}}} 
  + \dot{A}_\phi \hat{\boldsymbol{\phi}} + A_\phi\dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}}
  + \dot{A}_z \hat{\boldsymbol{z}} + A_z \dot{\hat{\boldsymbol{z}}}

Birim vektörlerin zaman türevlerine ihtiyacımız var.

:\begin{align}
  \dot{\hat{\mathbf{p}}} &= \dot\phi \hat{\boldsymbol{\phi}} \\
  \dot{\hat{\boldsymbol{\phi}}} &= - \dot\phi \hat{\mathbf{p}} \\
  \dot{\hat{\mathbf{z}}}   &= 0 \end{align}
ile verilir.
Zaman türevleri basitçe:
:\dot{\mathbf{A}} = \hat{\boldsymbol{p}} (\dot{A}_p - A_\phi \dot{\phi})
  + \hat{\boldsymbol{\phi}} (\dot{A}_\phi + A_p \dot{\phi})
  + \hat{\mathbf{z}} \dot{A}_z

### Bir vektör alanın ikinci kez türevi

fizikte ilginç olan ikinci zaman türevidir, klasik mekanik sistemde hareketin denklemi bulunuyor .
Bir vektör alanının silindirik koordinatlarda ikinci zaman türevi şu denklem yoluyla veriliyor:
:\mathbf{\ddot A} = \mathbf{\hat p} (\ddot A_p - A_\phi \ddot\phi - 2 \dot A_\phi \dot\phi - A_p \dot\phi^2)
  + \boldsymbol{\hat\theta} (\ddot A_\phi + A_p \ddot\phi + 2 \dot A_p \dot\phi - A_\phi \dot\phi^2)
  + \mathbf{\hat z} \ddot A_z

Bu ifadeyi anlamak için, A = P eşitliğine inanıyoruz, burada p, (r, θ, z) vektörüdür.

Bu demektir ki \mathbf{A} = \mathbf{P} = p\mathbf{\hat p} + z \mathbf{\hat z}.

Biz koymak yerine sonra:
:\ddot\mathbf{P} = \mathbf{\hat p} (\ddot p - p \dot\phi^2)
  + \boldsymbol{\hat\phi} (p \ddot\phi + 2 \dot p \dot\phi)
  + \mathbf{\hat z} \ddot z

Mekanikte,bu şekilde ifade açısından:
:\begin{align}
  \ddot p \mathbf{\hat p}          &= \mbox{central outward acceleration} \\
  -p \dot\phi^2 \mathbf{\hat p}    &= \mbox{centripetal acceleration} \\
  p \ddot\phi \boldsymbol{\hat\phi}      &= \mbox{angular acceleration} \\
  2  \dot p \dot\phi \boldsymbol{\hat\phi} &= \mbox{Coriolis effect} \\
  \ddot z \mathbf{\hat z}               &= \mbox{z-acceleration}
  \end{align}

Ayrıca bakınız: merkezcil çekim kuvveti, Açısal hız, Coriolis etkisi.

## Küresel koordinat sistemi
### Vektör alanı

(r,θ,φ) ile küresel koordinatlar içinde tanımlanan vektörler 
* r vektörünün boyudur,
* θ pozitif z-ekseni ve söz konusu vektör arasındaki açı(0 ≤ θ ≤ π)
* φ vektör ontolojik "X-Y" düzleminin projeksiyonu ve x-ekseni pozitif tarafı arasındaki açıdır (0 ≤ φ \begin{bmatrix}\ r \\ \theta \\ \phi \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\  \arccos(z / \ r ) \\ \arctan(y / x)
\end{bmatrix},\ \ \ 0 \le \theta \le \pi,\ \ \ 0 \le \phi 
tarafından

ya da ters tarafından:

:\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \ r \sin\theta\cos\phi \\ \ r \sin\theta\sin\phi \\ \ r \cos\theta\end{bmatrix}.

Birim vektör  yardımıyla herhangi bir vektör alanı yazılabilir:
:\mathbf A = A_x\mathbf{\hat x} + A_y\mathbf{\hat y} + A_z\mathbf{\hat z} 
= A_r\boldsymbol{\hat r} + A_\theta\boldsymbol{\hat \theta} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi}
Küresel birim vektör are Kartezyen birim vektörlerle şöyle ilişkilidir:
:\begin{bmatrix}\boldsymbol{\hat r} \\ \boldsymbol{\hat\theta}  \\ \boldsymbol{\hat\phi} \end{bmatrix}
  = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\phi & \sin\theta\sin\phi & \cos\theta \\
                    \cos\theta\cos\phi & \cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \\
                    -\sin\phi          & \cos\phi           & 0 \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} \mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix}
* Not: Bu matris bir ortogonal matristir, o terstir, basitçetranspozedir.

### Bir vektör alanın zaman türevi

Zaman içinde nasıl vektör alanı bir değişiklik bulmak için biz zaman türevinin hesaplamalıyız
Kartezyen koordinatlarda bu basitçe:
:\mathbf{\dot A} = \dot A_x \mathbf{\hat x} + \dot A_y \mathbf{\hat y} + \dot A_z \mathbf{\hat z}

Ancak, küresel koordinatlarda Bu hale gelir:
:\mathbf{\dot A} = \dot A_r \boldsymbol{\hat r} + A _r\boldsymbol{\dot{\hat r}}
  + \dot A_\theta \boldsymbol{\hat\theta} + A_\theta \boldsymbol{\dot{\hat\theta}}
  + \dot A_\phi \boldsymbol{\hat\phi} + A_\phi \boldsymbol{\dot{\hat\phi}}

Bu birim vektörlerin zaman türevleri gerekir. 
Bunlar tarafından verilmektedir:
:\begin{align}
  \boldsymbol{\dot{\hat r}} &= \dot\theta \boldsymbol{\hat\theta} + \dot\phi\sin\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\
  \boldsymbol{\dot{\hat\theta}} &= - \dot\theta \boldsymbol{\hat r} + \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\phi} \\
  \boldsymbol{\dot{\hat\phi}} &= - \dot\phi\sin\theta \boldsymbol{\hat r} - \dot\phi\cos\theta \boldsymbol{\hat\theta} \end{align}

zamana göre türevleri alınırsa:
:\mathbf{\dot A} = \boldsymbol{\hat r} (\dot A_r - A_\theta \dot\theta - A_\phi \dot\phi \sin\theta)
  + \boldsymbol{\hat\theta} (\dot A_\theta + A_r \dot\theta - A_\phi \dot\phi \cos\theta)
  + \boldsymbol{\hat\phi} (\dot A_\phi + A_r \dot\phi \sin\theta + A_\theta \dot\phi \cos\theta)

## Ayrıca bakınız
* gradyan, diverjans, curl özellikleri için, Silindirik ve küresel koordinatlarda del ve laplasyen in çeşitli koordinat sistemlerinde.

## kaynakça