Morera teoremi

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın ardından adlandırılan **Morera teoremi**, bir fonksiyonun holomorf olduğunu kanıtlamak için kullanılan temel bir sonuçtur. İtalyan matematikçi Giacinto Morera'nın adını taşımaktadır.

## Teoremin ifadesi
:**Morera teoremi**: *[[Karmaşık düzlem]] üzerindeki [[açık küme|açık bir *D* kümesi]] üzerinde tanımlı, [[sürekli fonksiyon|sürekli]], [[karmaşık sayı|karmaşık değerli]] ve *D* içindeki her kapalı *C* eğrisi için <math>\oint_C f(z)\,dz = 0</math> *ifadesini sağlayan bir *f* fonksiyonu *D* üzerinde holomorftur.*

Morera teoreminin varsayımı, *f* 'nin *D* üzerinde terstürevi olduğuna denktir.

Teoremin tersi genel anlamda doğru değildir. Holomorf bir fonksiyon, ek varsayımlar konulmadıkça, [[tanım kümesi]] üzerinde terstüreve sahip olmak zorunda değildir. Örneğin, [[Cauchy integral teoremi]], holomorf bir fonksiyonun [[kapalı eğri|kapalı bir eğri]] üzerindeki [[çizgi integrali]]nin ancak fonksiyonun tanım kümesinin basit bağlantılı olması durumunda sıfır olacağını ifade eder.

== Kanıt ==


Teoremin göreceli olarak basit bir kanıtı vardır. *f* için açıkça bir terstürev oluşturulur. Ondan sonra teorem, [[holomorf fonksiyonların analitikliği]] gerçeğinden yola çıkılarak kanıtlanır.

Genellemeyi kaybetmeden, *D* 'nin [[bağlantılı uzay|bağlantılı]] olduğu varsayılabilir. *D* içinde bir *a* noktası sabitlensin ve *D* üzerinde aşağıdaki gibi karmaşık değerli bir *F* fonksiyonu tanımlansın:

:<math>F(b) = \int_a^b f(z)\,dz.\,</math>

Yukarıdaki integral, *D* içinde *a* 'dan *b* 'ye herhangi bir yol üzerinden alınabilir. Burada *F* fonksiyonu iyi tanımlıdır çünkü [[hipotez]] gereği *f* 'nin *a* 'dan *b* 'ye giden herhangi iki eğri boyunca integrali eşittir. [[Kalkülüsün temel teoremi|Hesabın temel teoremi]] sayesinde *F* 'nin türevinin *f* olduğu görülür:

:<math>F'(z) = f(z).\,</math>

Özellikle, *F* holomorftur. O zaman *f* de holomorf bir fonksiyonun türevi olduğu için holomorftur.

== Uygulamalar ==
Morera teoremi karmaşık analizde standart bir araçtır. Bir holomorf fonksiyon cebirsel olmayan bir yolla oluşturulacaksa, hemen hemen tüm argümanlarda Morera teoremi kullanılır.

=== Düzgün limitler ===
Örneğin, *f*<sub>1</sub>, *f*<sub>2</sub>, ... açık bir küme üzerinde sürekli bir *f* fonksiyonuna [[düzgün yakınsaklık|düzgün bir şekilde yakınsayan]] bir holomorf fonksiyon dizisi olsun. [[Cauchy integral teoremi]]nden her *n * için ve disk içinde kapalı her *C* eğrisi için

:<math>\oint_C f_n(z)\,dz = 0</math>

ifadesinin doğru olduğu görülür. Düzügün yakınsaklık sayesinde de her kapalı *C* eğrisi için

:<math>\oint_C f(z)\,dz = \lim_{n\rightarrow\infty} \oint_C f_n(z)\,dz = 0 </math>

ifadesinin doğruluğu biliniyor. Bu yüzden, Morera teoreminden dolayı *f* holomorf olmalıdır. Bu gerçek, aynı zamanda, herhangi [[açık küme|açık]] bir Ω ⊆ *'C** kümesi için, ''u'' : Ω → **C** şeklinde tanımlanan [[sınırlı fonksiyon|sınırlı]] ve [[analitik fonksiyon|analitik]] tüm fonksiyonların kümesi ''A''(Ω)'nın supremum norm'a göre bir [[Banach uzayı]] olduğunu göstermek için de kullanılabilir.

=== Sonsuz toplamlar ve integraller ===
Morera teoremi ayrıca [[Riemann zeta işlevi|Riemann zeta fonksiyonu]]

:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}</math>

veya [[gama fonksiyonu]]

:<math>\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x}\,dx.</math>

gibi toplamlar ve integraller yoluyla tanımlanmış fonksiyonların analitikliğini göstermek için de kullanılabilir.

== Hipotezlerin zayıflatılması ==
Morera teoreminin hipotezleri epeyce zayıflatılabilir. Özellikle, ''D'' bölgesi içindeki her kapalı ''T'' üçgeni için

:<math>\oint_{\partial T} f(z)\, dz</math>

integralinin sıfır olması yeterlidir. Bu aslında, holomorfiyi ayırıcı bir niteliğe sokar, yani ''f'' [[ancak ve ancak]] yukarıdaki koşullar sağlanırsa holomorftur.

== Kaynakça ==
* 
* 
* G. Morera, "Un teorema fondamentale nella teoria delle funzioni di una variabile complessa", ''Rend. del R. Instituto Lombardo di Scienze e Lettere'' (2) **19''' (1886) 304–307
* 

## Dış bağlantılar
* MathWorld'deki Morera Teoremi bilgisi
* John H. Mathews'ün Morera Teoremi için yaptığı modül
* EoM makalesi