Moment (matematik)

Matematik bilimi içinde **moment** kavramı fizik bilimi için ortaya çıkartılmış olan moment kavramından geliştirilmiştir. Bir bir reel değişkenin reel-değerli fonksiyon olan *f*(*x*)in *c* değeri etrafında *n*inci momenti şöyle ifade edilir:
:\mu'_n=\int_{-\infty}^\infty (x - c)^n\,f(x)\,dx.
Sıfır değeri etrafında olan momentler en basit olarak bir fonksiyonun momenti diye anılır.

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dalları için **momentler**in ilgili olduğu fonksiyonlar bir rassal değişken için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgilidir. Bir olasılık yoğunluk fonksiyonun sıfır etrafındaki *n*inci momenti *X*nin matematiksel beklentidir. Ortalama μ etrafındaki momentler merkezsel momentler olarak adlandırılır; bunlar bir fonksiyonun şeklini betimlerler.

Eğer *f* bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ise, o halde yukarıda verilmiş olan entegralin değeri olasılık dağılımınin *n*inci moment Riemann-Stieltjes entegrali tarafından şöyle verilir:

:\mu'_n = \operatorname{E}(X^n)=\int_{-\infty}^\infty x^n\,dF(x)\,

Burada *X* bu dağılımı gösteren bir *rassal değişken* ve **E** bir beklenti operatörüdür.

Eğer

:\operatorname{E}(|X^n|) = \int_{-\infty}^\infty |x^n|\,dF(x) = \infty,\,

ise momentin mevcut olmadığı kabul edilir. Eğer herhangi bir nokta etrafında *n*inci moment belirlenebilirse, o halde (*n* - 1)inci moment de bulunur ve her bir nokta etrafında daha-alt derecelerdeki momentler de bulunur.

## Momentlerin önemi

Sıfır etrafindaki birinci moment, eğer anlamlı ise, *X*in matematiksel beklentisi yani *μ* olarak yazılan *X*in olasılık dağılımının ortalamasıdır. Daha yüksek dereceler için merkezsel momentler sıfır etrafında momentlerden daha ilgi çekicidir.

Bir rassal değişken olan *X*in olasılık dağılımının *n*inci merkezsel momenti şudur: 
:\mu_n=E((X-\mu)^n).\,
Böylece birinci merkezsel moment 0 olur.

### Varyans

İkinci merkezsel moment varyans σ2 olur; bunun pozitif kare kökü standart sapma σ olur.

#### Normalize edilmiş momentler

*Normalize edilmiş* *n*inci merkezsel moment veya standardize edilmis moment *n*inci merkezsel moment bolu 
σ*n* olur; yani *t* = (*x* - μ)/σ ifadesinin *n*inci momentidir. Bu normalize edilmiş momentler boyutsuz niceliklerdir ve herhangi bir dogrusal ıskala değişiminden etkilenmeden bir dağılımı temsil edebilirler.

### Çarpıklık

Üçüncü merkezsel moment bir dağılımın simetrik olmaması ölçüsüdür. Herhangi bir simetrik dağılım için üçüncü merkezsel moment, eğer tanımlanabilirse, 0 olur. Normalize edilmiş üçüncü merkezsel moment γ ile yazılıp çarpıklık adı ile anılır. Sol tarafa çarpıklık gösteren (yani sol kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım *negatif çarpıklık* gösterir. Sağ tarafa çarpıklık gösteren (yani sağ kuyruğu daha ağır basan) bir dağılım *pozitif çarpıklık* gösterir.

Normal dağılımdan çok fazla farklı olmayan dağılımlar için medyan μ - γσ/6 değerine yaklaşık olur ve mod ise μ - γσ/2 ifadesine yaklaşıktır.

### Basıklık

Dördüncü merkezsel moment dağılımın ince ve sivri mi yoksa kalın ve basık mı olduğunun ölçüsüdür ve bu niteliği ayırt etmek için aynı varyansı gösteren bir normal dağılım ile karşılaştırma yapılır. Dördüncü merkezsel moment, bir dörtlü üstelin matematiksel beklentisi olduğu için, eğer tanımı yapılabilirse, (sadece dejenere nokta dağılım hariç) her zaman pozitif değer alır. Bir normal dağılım için dördüncü merkezsel moment 3σ4 olur.
  
Basıklık ölçüsü olarak kullanılan *basıklık fazlalığı* katsayısı κ, normalize edilmiş dördüncü merkezsel moment eksi 3 olarak tanımlanır. (Gelecek kısımda gösterildiği gibi, bu ölçü dördüncü kümülant bölü varyans kare olarak da tanımlanır.) Bazı otoriteler bu şekilde normal dağılımı koordinatların orijinine koymak için kullanılan *eksi 3* terimini tenkit etmektedirler. Eğer bir dağılım ortalama değerinde bir doruk ve iki tarafında uzun kuyruklar gösterirse, dördüncü moment değeri büyük olur ve basıklık ölçüsü κ pozitiftir; aksi halde dördüncü moment değeri küçük ve basıklık ölçüsü κ negatif olur. Böylece sınırlanmış dağılımlarda basıklık düşüktür.

Basıklık ölçüsü hiç sınırsız bir şekilde pozitif olması mümkündür ve κ değeri mutlaka γ2 - 2; değerine eşit veya bu değerden büyük olmalıdır. κ değeri ile γ2 - 2; değeri eşitliği ise ancak ve ancak Bernoulli dağılımı için doğrudur. Normal dağılımdan çok farklı şekil göstermeyen sınırsız çarpıklık gösteren dağılımlar için κ değeri γ2 ile 2γ2 arasında bulunur.

Bu eşitsizlik terimin ispat etmek için önce şu terimi ele alalım:

:\operatorname{E} ((T^2 -  aT)^2)\,

Bunda *T* = (*X* - μ)/σ olur. Bu bir karenin matematiksel bekleyişidir. *a* değeri ne olursa olsun bu non-negatiftir ve ayni zamanda *a* ifadesinde bir kuadratik denklem olur. Bu da ispati istenilen ifadedir.

## Kümülantlar

Birinci moment ve ikinci ve üçüncü *normalize edilmemiş merkezsel* momentler doğrusaldırlar; yani eğer *X* ve *Y* istatistiksel olarak bağımsız rassal değişkenlerse, o halde

:\mu_1(X+Y)=\mu_1(X)+\mu_1(Y)\,

ve

:\operatorname{var}(X+Y)=\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y)

ve

:\mu_3(X+Y)=\mu_3(X)+\mu_3(Y).\,

eşitlikleri gerçektir. (Bu şartlar yalnız bağımsızlık şartına değil daha zayıf şartlar altında bulunan değişkenler için de gerçek olabilir.) Birinci şart her zaman doğru olup ikinci şart da doğru olursa bu değişkenler arasında korelasyon yoktur.

Bunun doğruluğunu anlamak için bu momentlerin ilk üç kümülant olduklarını ve dördüncü kümülantin ise basıklık katsayısı κ çarpı σ4 olduğunu anlamak yeterlidir.

Bütün kümülantlar momentlerin polinomlarıdır yani faktoriyel momentlerdir. Merkezsel momentler sıfır etrafındaki momentlerin polinomlarıdır ve bunun aksi de doğrudur.

## Örneklem momentleri

Bir anakütle için momentler bir örneklem *k*-inci momenti kullanılarak kestirimi yapılabilirler. Örneklem *k*-inci momenti şöyle ifade edilir:
:\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n} X^k_i\,\!
ve bu anakütleden rassal örneklem ile seçilmiş *X*1,*X*2,..., *X**n* örneklem değerlerine uygulanır.

Bu bir yansız kestirimdir. Çünkü herhangi bir *n* büyüklükte bir örneklem için örneklem momentinin matematiksel beklenen değerinin anakütle *k*-inci momentine eşit olduğu hemen gösterilebilir.

## Ayrıca bakınız

* Binom dağılım
* Kümülant
* Momentler yöntemi
* Ortalama etrafinda moment
* Moment üreten fonksiyon
* Normal dağılım
* Standardize edilmiş moment

## Dış bağlantılar
* http://mathworld.wolfram.com/topics/Moments.html Mathworld websitesi.