Zeta dağılımı

{\zeta(s)}|
  ortalama      =\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}~\textrm{for}~s>2|
  medyan   =|
  mod       =1\,|
  varyans   =\frac{\zeta(s)\zeta(s-2) - \zeta(s-1)^2}{\zeta(s)^2}~\textrm{for}~s>3|
  çarpıklık  =|
  basıklık   =|
  entropi   =\sum_{k=1}^\infty\frac{1/k^s}{\zeta(s)}\log (k^s \zeta(s)).\,\!|
  mf          =\frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}|
  kf          =\frac{\operatorname{Li}_s(e^{it})}{\zeta(s)}|
}}
Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, *zeta dağılımı* bir ayrık olasılık dağılımıdır. Eğer *X* *s* parametresi ile **zeta dağılımı** gösteren bir bir rassal değişken ise, *X*in  *k* tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

:f_s(k)=k^{-s}/\zeta(s)\,

Burada  ζ(*s*)  Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon  *s* = 1 tanımlanamaz.).

Sonsuz değerde *N* için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman *Zipf dağılımı* ve *zeta dağılım* aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.

## Momentler

Genel olarak, *n*inci ham moment *X**n*in beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:

:m_n = E(X^n) = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{s-n}}

Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece *s-n* değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment

:m_n =\left\{
\begin{matrix}
\zeta(s-n)/\zeta(s) & \textrm{for}~n 

olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, *n* ≥ *s* - 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir *n* değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez'

### Moment üreten fonksiyon

Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

:M(t;s) = E(e^{tX}) = \frac{1}{\zeta(s)} \sum_{k=1}^\infty \frac{e^{tk}}{k^s}.

Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve e^t için geçerlidir ve bu halde 
 
:M(t;s) = \frac{\operatorname{Li}_s(e^t)}{\zeta(s)}\text{ for }t

Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:

:\sum_{n=0}^\infty \frac{m_n t^n}{n!},

Bu ifade, büyük *n* değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir *s* 'nin sonsuz olmayan değeri için kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden

:\scriptstyle |t|\,

için şu ifadeyi elde ederiz:

:\frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=0,n\ne s-1}^\infty \frac{\zeta(s-n)}{n!}\,t^n=\frac{\operatorname{Li}_s(e^t)-\Phi(s,t)}{\zeta(s)}

\scriptstyle\Phi(s,t) değeri şöyle verilir

:\Phi(s,t)=\Gamma(1-s)(-t)^{s-1}\text{ for }s\ne 1,2,3\ldots
:\Phi(s,t)=\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}\left[H_s-\ln(-t)\right]\text{ for }s=2,3,4\ldots
:\Phi(s,t)=-\ln(-t)\text{ for }s=1,\,

burada *H**s* bir harmonik sayı olur.

## ''s''=1 hali

Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle 
*s*=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer *A* yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tam sayılar seti ise yani

:\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{N(A,n)}{n}

var olmakta ise ve burada *N*(*A*, *n*)  *A* seti içinde bulunan ve *n* değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade

:\lim_{s\rightarrow 1+}P(X\in A)\,

bu yoğunluğa eşittir.

Bazı hallerde  *A* için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer *A* birinci tam sayısı ;*d* olan bütün pozitif tam sayıların bir seti ise, *A* için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama geçerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:

:\log(d+1) - \log(d),\,

Buna benzer yöntem  aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.

## Kaynakça

## Ayrıca bakınız
Diğer *güç-savı*  dağılımları şunlardır:
* Benford'un savı
* Cauchy dağılımı 
* Pareto dağılımı

## Dış bağlantılar
* Allan Gut'un "Reieman zeta dağılımı" olarak andığı ''X'' bir rassal değişken olarak   -log ''X'',  ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır