Yaygın koordinat dönüşümleri listesi

Burada, en yaygın olarak kullanılan koordinat dönüşümü bazılarının bir listesi verilmiştir. Kısmi türevler alınırken çarpımın türevi gibi  davranıldığı akıldan çıkarılmamalıdır.
Bir örnek olarak 
y=x.e^x.sin (x) fonksiyonunda üç çarpım vardır

y'=(x)'.e^x.sin (x )+x. (e^x)'.sin (x)+x.e^x. (sin(x))' ve

y'=e^x.sin(x)+x.e^x.sin (x)+x.e^x.cos(x) olur. veya;

(x.y.z)' = y.z+x.z+x.y toplamı tam türevi sağlar. Her parça türevin bir bileşenidir. İlk örnekte çarpım türevi tek değişkene uygulanırken ikincide 3 değişkene uygulandı
Aşağıdaki örneklerin tümü yine çarpım türevi omurgası üzerine oturmuştur. Matrisin her satırı üstten alta sırasıyla x, y, z fonksiyonlarının karşılıkları olan kutupsal, küresel, silindirik vs nin türevleridir. 2 veya 3 bilinmeyenli bir denklemi çözerken bu determinant karşımıza çıkar.
Bir diğer örnek olarak şunu kastediyoruz:

:x=r\,\cos\theta \quad
:y=r\,\sin\theta \quad
:
\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\,\sin\theta  \\
\sin\theta & r\,\cos\theta
\end{pmatrix}


:
\det{\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}} =
r

Matrisin üst satırı
x in türevi x' ve
Alt satırı
y nin türevi y' dür.
Matristeki değerler çarpım türevi alındıktan sonra aradaki işaretle iki bilinmeyenli bir denkleme dönüşen eşitliğin sağındaki kutupsal değerlerin matrisel gösterimidir. 3 değişkenli fonksiyonlarda ise benzer şekilde 3x3 matris olacaktır.

## 2-Boyutlu
(x, y) standart kartezyen koordinat ve r ve θ standart kutupsal koordinatlar olsun.

### Kutupsal koordinatlardan kartezyen koordinatlara
:x=r\,\cos\theta \quad
:y=r\,\sin\theta \quad
:
\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\,\sin\theta  \\
\sin\theta & r\,\cos\theta
\end{pmatrix}


:
\det{\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}} =
r


### Kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara
:r=\sqrt{x^2 + y^2}
:\theta^\prime = \arctan\left|\frac{y}{x}\right|
#### Not
:\theta^\prime'yi çözmek için ilk kadran bileşke açı ile döner(0). ve \theta bulunur.Bunun için orijinal kartezyen koordinat başvurmalıdır, \theta'nın kadranını belirlemek ve çözmek için aşağıdakileri kullanın; 
:\theta
:eğer \theta^\prime QI'in içindeyse:
:\theta = \theta^\prime

:eğer \theta^\prime QII'nin içindeyse:
:\theta= \pi - \theta^\prime

:eğer \theta^\prime in QIII'ün içindeyse:
:\theta = \pi + \theta^\prime 

:eğer \theta^\prime in QIV'ün içindeyse:
:\theta = 2\pi - \theta^\prime 

:\theta değeri için çünkü \theta, \tan\theta tüm değerlerinin bu şekilde çözülmesi için gereken yalnızca -\frac{\pi}{2} aralığında tanımlı olmalıdır ve periyodik (\pi periodu ile) olmalıdır. Bu ters fonksiyon, sadece fonksiyon etki değerleri vermek anlamına gelir, ancak tek bir periyod ile sınırlı. Dolayısıyla, ters fonksiyonunu aralığında bir tam yarım daire.

Bir de aklınızda bulunsun
:r=\sqrt{x^2 + y^2}
:\theta = 2 \arctan \frac{y}{x+r}

### Log-polar koordinatlar kartezyen koordinat sistemine

:\begin{cases}x = e^\rho\cos\theta, \\ y = e^\rho\sin\theta.\end{cases}

Karmaşık sayılar kullanılarak (x,y)=x+iy', dönüşümü gibi yazılabilir.

: x + iy = e^{\rho+i\theta} \, 

Bu karmaşık üstel fonksiyonu ile verilir yani.

### Kartezyen koordinatlardan "log-polar" koordinatlara
:\begin{cases} \rho = \log\sqrt{ x^2 + y^2}, \\ \theta = \arctan \frac{y}{x}.  \end{cases}

### Bipolar koordinatlardan kartezyen koordinatlara

:
x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma}


:
y = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}


### İki merkezli bipolar koordinatlardan kartezyen koordinatlara

:
x = \frac{r_1^2-r_2^2}{4c}


:
y = \pm \frac{1}{4c}\sqrt{16c^2r_1^2-(r_1^2-r_2^2+4c^2)^2}


### İki merkezli bipolar koordinatlardan polar koordinatlara
:
r = \sqrt{\frac{r_1^2+r_2^2-2c^2}{2}}


:
\theta = \arctan \left[ \sqrt{\frac{8c^2(r_1^2+r_2^2-2c^2)}{r_1^2-r_2^2}-1}\right]


Burada 2*c* kutuplar arasındaki mesafedir.

### Cesàro denkleminden kartezyen koordinat sistemine

:
x = \int \cos \left[\int \kappa(s) \,ds\right] ds


:
y = \int \sin \left[\int \kappa(s) \,ds\right] ds


### Kartezyen koordinatlardan Yay uzunluğu ve eğriliğe
\kappa = \frac{x'y*-y'x*}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}

s = \int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt

### Polar koordinatlardan yay uzunluğu ve eğriliğe
\kappa=\frac{r^2+2r'^2-rr*}{(r^2+r'^2)^{3/2}}</math>
<math>s = \int_a^\phi \sqrt { 1 + y'^2 }\, d\phi</math>

== 3-Boyutlu ==
(x, y, z) standart kartezyen koordinatlar ve (ρ, θ, φ) [[küresel koordinatlar]] olsun,ölçülen açı ise +Z axisinden θ iledir. Φ 360° alındığında polar ile aynı düşüncelerle (2 boyutlu) bunun bir arctan'ı alındığında geçerli koordinatlara sahiptir. θ nın sınırı 180°'dir, 0°dan 180°'ye dönen bir arccos'un hesaplanması herhangi bir sorun teşkil etmez, ancak arctanjantı için dikkatli olunur. Alternatif tanım için, θ −90°den +90°'ye döner şeklinde seçilmiştir, daha önceki tanımla ters yönde, o bir arcsin'e eşit bulunmayabilir, ancak arccotanjanta dikkat. Aşağıdaki tüm formüllerde bu durumdaki tüm θ açıları sinüs ve kosinüse değişebilir ve türevi olarak da artı ve eksiye değişebilir. Ana eksenlerden biri boyunca aynı yönde olan özel durumlarında tüm sıfıra bölünmeme sonuçlarının ve gözlemlerin pratikte çok kolay çözümleri vardır.
=== Kartezyen koordinatlara ===
==== Küresel koordinatlardan ====

:<math>{x}=\rho \, \sin\theta \, \cos\phi \quad </math>
:<math>{y}=\rho \, \sin\theta \, \sin\phi \quad </math>
:<math>{z}=\rho \, \cos\theta\quad </math>

:<math>
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} =
\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\phi& \rho\cos\theta\cos\phi & -\rho\sin\theta\sin\phi  \\
\sin\theta\sin\phi & \rho\cos\theta\sin\phi  & \rho\sin\theta\cos\phi   \\
\cos\theta           & -\rho\sin\theta                  & 0
\end{pmatrix}
</math>
Böylece [[hacim]] ögesi için:
:<math>
dx\;dy\;dz=\det{\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \theta, \phi)}} d\rho\;d\theta\;d\phi =
\rho^2 \sin\theta \; d\rho \; d\theta \; d\phi \;
</math>

==== Silindirik koordinatlardan ====

:<math>{x}={r} \,\cos\theta</math>
:<math>{y}={r} \, \sin\theta</math>
:<math>{z}={h} \,</math>

:<math>
\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, h)} =
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \\
\sin\theta &  r\cos\theta & 0 \\
         0 &            0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
Böylece hacim ögesi için:
:<math>
dx\;dy\;dz=\det{\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, h)}} dr\;d\theta\;dh =
{r}\; dr \; d\theta \; dh \;

</math>

=== Küresel koordinatlara ===
==== Kartezyen koordinatlardan ====
:<math>{\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>

:<math>{\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)= \arccos \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = \arcsin \left( \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)</math>

:<math>{\theta}=\arctan \left( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{z} \right)=\arccos \left( {\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}} \right)</math>

:<math>
\frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(x, y, z)} =
\begin{pmatrix}
\frac{x}{\rho} &                  \frac{y}{\rho} & \frac{z}{\rho} \\
\frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\rho^2}\\
\frac{-y}{x^2+y^2} &               \frac{x}{x^2+y^2} & 0\\
\end{pmatrix}
</math>

==== Silindirik koordinatlar ====
:<math>{\rho}=\sqrt{r^2+h^2}</math>
:<math>{\phi}=\phi \quad</math>
:<math>{\theta}=\arctan\frac{r}{h}</math>

:<math>
\frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(r, \phi, h)} =
\begin{pmatrix}
\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}} & 0 & \frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}} \\
\frac{h}{r^2+h^2} & 0 & \frac{-r}{r^2+h^2} \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
</math>

:<math> \det \frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(r, \theta, h)} = \frac{1}{\sqrt{r^2+h^2}}</math>

=== Silindirik koordinatlara ===
==== Kartezyen koordinatlardan ====
:<math>r=\sqrt{x^2 + y^2}</math>
:<math>\theta=\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y </math>
:<math>h=z \quad</math>

:<math>
\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(x, y, z)} =
\begin{pmatrix}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
</math>

==== Küresel koordinatlardan ====
Not: Bu bölümün isimlendirme ile tutarlılık için güncellenmesi gerekir. Bir diyagramda her bir değişkenin neyi temsil ettiğini gösteren bu makale içine dahil edilmelidir. Genellikle <math> \theta \,</math> küresel koordinatlar ve <math> \phi \,</math> silindirik koordinatlar için düzlem açısı için polar açıyı temsil eder. Burada iki karışık ve karışıklığa neden olabilir.

:<math> r = \rho \sin \phi \,</math>
:<math> \theta  = \theta \,</math>
:<math> h  = \rho \cos \phi \,</math>

:<math>
\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} =
\begin{pmatrix}
\sin\phi & 0 & \rho\cos\phi  \\
0        & 1 &   0           \\
\cos\phi & 0 & -\rho\sin\phi
\end{pmatrix}
</math>

:<math> \det\frac{\partial(r, \theta, h)}{\partial(\rho, \theta, \phi)} = - \rho </math>

=== Kartezyen koordinatlardan yay uzunluğu, eğrilik ve burulma ===
:<math>s = \int_0^t \sqrt { x'^2 + y'^2 + z'^2 }\, dt</math>

:<math>\kappa=\frac{\sqrt{(z*y'-y*z')^2+(x*z'-z*x')^2+(y*x'-x*y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}</math>

:<math>\tau=\frac{z*'(x'y*-y'x*)+z*(x*'y'-x'y**)+z'(x''y**-x*'y*)}{(x'^2+y'^2+z'^2)(x*^2+y*^2+z''^2)}

## Kaynakça