Harmonik ortalama

**Harmonik ortalama**, gözlem sonuçlarının (birim değerlerinin) terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir.

Birim değerleri x1, x2, ..., xn gibi gösterilirse harmonik ortalama aşağıdaki gibi yazılır:

:H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

Harmonik ortalama genellikle, ekonomik olaylarda 1 birim ile alınan ortalama miktara veya bir mamülün bir biriminin üretimi için harcanan ortalamaya gereksinim duyulduğunda kullanılır. Harmonik ortalama kısaca H harfi ile gösterilir.

## Tanım
Pozitif gerçek sayıların harmonik ortalaması; x_1, x_2, \ldots, x_n

H(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \frac{n}{\displaystyle \frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^n \frac1{x_i}}.

Bu, karşıtların aritmetik ortalamasının tersidir.

\begin{align}
H(x_1, x_2, \ldots, x_n) &= \frac{1}{\displaystyle A\left(\frac1{x_1}, \frac1{x_2}, \ldots \frac1{x_n}\right)}, \\
A(x_1, x_2, \ldots, x_n) &= \frac{1}{\displaystyle H\left(\frac1{x_1}, \frac1{x_2}, \ldots \frac1{x_n}\right)},
\end{align}

Aritmetik ortalama şu şekilde tanımlanır: A(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \tfrac1n \sum_{i=1}^n x_i.

Harmonik ortalama,  bir fonksiyondur ve argümanlarının minimum değeri tarafından baskın bir şekilde tanımlanır. \min(x_1 \ldots x_n) \le H(x_1 \ldots x_n) \le n \min(x_1 \ldots x_n) şeklindedir. Bu nedenle, harmonik ortalamanın bazı değerleri daha büyük olanlarla değiştirildiğinde (en az bir değer değiştirilmeden) daha büyük hale getirilemeyeceği söylenebilir.

Harmonik ortalama ayrıca  fonksiyonu olmasından dolayı güçlü bir özelliktir. Ancak, negatif değerler kullanıldığında ortalamanın fonksiyon olma özelliğini kaybettiği için yalnızca pozitif sayıların kullanılması gerektiğine dikkat edilmelidir.

## İki veri için harmonik ortalama

Yalnız iki tane veri, (x_1 ve x_2) elde bulunursa, bunlar için harmonik ortalama H şöyle ifade edilebilir.

:H = \frac  .

Bu halde bulunan harmonik ortalama, bu iki sayının aritmetik ortalamasına şöyle ilişkilidir;

:A = \frac  {2},

ve bu iki verinin geometrik ortalamasi olan G ise

:G = \sqrt ,

Bu harmonik ortalamaya şöyle ilişkilidir:

:H = \frac {G^2} {A}.

Böylece,

:G = \sqrt  ,

olur. Bu demektir ki geometrik ortalama, aritmetik ortalama ve harmonik ortalama'nın geometrik ortalaması olur.

Ama çok dikkat edilmelidir ki bu sonuç yalnız ve yalnız iki veri için geçerli olur.

## Diğer ortalama türleriyle ilişkisi
Tüm pozitif veri setlerinde, en az bir eşit olmayan değer çifti bulunan durumlarda, harmonik ortalama her zaman üç Pythagorean ortalamasından en küçüğüdür. Aritmetik ortalama her zaman en büyüğüdür ve geometrik ortalama ise her zaman bunların ortasında yer alır. (Eğer bir boş olmayan veri setindeki tüm değerler eşitse, bu üç ortalama her zaman birbirine eşit olur; örneğin, {2, 2, 2} kümesinin harmonik, geometrik ve aritmetik ortalamaları hepsi 2'dir.)

Bu, kuvvet ortalamasının *M*−1 özel durumudur;H\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = M_{-1}\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = \frac{n}{x_1^{-1} + x_2^{-1} + \cdots + x_n^{-1}}Harmonik ortalama, bir sayı listesinin en küçük elemanlarına güçlü bir şekilde yöneldiğinden, büyük aşırı değerlerin etkisini azaltma ve küçük olanların etkisini artırma eğilimindedir. Aritmetik ortalama, sıklıkla harmonik ortalamanın gerektiği yerlerde yanlış bir şekilde kullanılmaktadır.

Harmonik ortalama, aşağıdaki eşitlikte görüldüğü gibi diğer Pythagorean ortalamaları ile ilişkilidir. Bu, paydanın, n sayısının her bir terimini hariç tutarak çarpımının aritmetik ortalaması olarak yorumlanmasıyla görülebilir. Yani, birinci terim için, ilk terim hariç tüm n sayısını çarparız; ikinci terim için, ikinci terim hariç tüm n sayısını çarparız; ve bu şekilde devam ederiz. Pay, aritmetik ortalamayla ilişkili n hariç tutulduğunda, n kuvvetine sahip geometrik ortalamadır. Böylece n'inci harmonik ortalama, n'inci geometrik ve aritmetik ortalamalarla ilişkilidir.

Genel formül şöyledir:H\left(x_1, \ldots, x_n\right) =
  \frac{\left(G\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)^n}
       {A\left(x_2 x_3 \cdots x_n, x_1 x_3 \cdots x_n, \ldots, x_1 x_2 \cdots x_{n-1}\right)} =
  \frac{\left(G\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)^n}
       {A\left(
         \frac{1}{x_1} {\prod\limits_{i=1}^n x_i},
         \frac{1}{x_2} {\prod\limits_{i=1}^n x_i},
         \ldots,
         \frac{1}{x_n} {\prod\limits_{i=1}^n x_i}
       \right)}.
Eğer birbirine benzemeyen bir sayı kümesi, aritmetik ortalamayı değiştirmeden iki veya daha fazla elemanın birbirinden "yayılmasını" içeren bir ortalama koruyucu yayılmaya tabi tutulursa, harmonik ortalama her zaman azalır.

## Ayrıca bakınız

* Ağırlıklı harmonik ortalama
* Aritmetik ortalama
* Geometrik ortalama&nbsp;: Verilerin logaritmalarının aritmetik ortalaması.
* Ortalama kare
* Ortalama
* Pisagorik ortalama

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
* Harmonik Ortalama Hesaplama
* MathWorld'de harmonik ortalama
* Cut-the-Knot sitesinde ortalamalar, aritmetik ve harmonik ortalamalar