Black-Scholes modeli

**Black-Scholes modeli**, finansal matematikte bir opsiyon fiyatlama modelidir. İsmini, bu modeli 1973 yılında yayınlayan Fischer Black ve Myron Scholes'tan almıştır. Bu opsiyon modelinin sonucunda, halen opsiyon fiyatlamada piyasa katılımcılarınca yoğun olarak kullanılmakta olan  Black-Scholes formülü elde edilmiştir. 
**Black-Scholes modeli**, aslında rassal hareketler izleyen sıvı moleküllerini ortaya koyan Brown hareketinin hisse fiyatlarına ve finansal hareketlere uyarlanması sonucu ortaya çıkmıştır. Daha önce bu uyarlamanın öncüsü sayılabilecek varsayımı Louis Bachelier 1900'de "Théorie de la spéculation" başlığıyla yazdığı doktora tezinde yapmıştır. Yine, benzer uyarlamalar Paul Samuelson, Sheen Kassouf, Edward O. Thorp and Case Sprenkle tarafından da yapılmıştır. Ancak, Black ve Scholes'un zamandaşlarının önüne geçtiği nokta opsiyon fiyatlarına ihtiyaç duyan opsiyon piyasa katılımcılarına piyasada gözlemlenen veri ve değişkenlerle pratik bir şekilde hesaplanabilen analitik bir formül ortaya koymalarıdır.

Robert Merton'un modelde çözülemeyen bir bölümü çözmesinden sonra, model, **Black-Scholes-Merton modeli** olarak anılmaya da  başlamıştır. Bu çalışmaları sayesinde, Merton ve Scholes, 1997de Ekonomi alanında Nobel Ödülü almışlardır.

## Varsayımlar

**Black-Scholes modeli** ve bunun sonucunda elde edilen Black-Scholes formülü şu varsayımlara dayanmaktadır:

* Söz konusu dayanak varlığın (Black-Scholes özelinde hisse senedinin) fiyatının hareketleri (*S**t*) geometrik Brown hareketini izlemektedir. Yani, sabit bir sapma ( \mu ) ve volatilite ( \sigma ) olmak üzere;
: dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t \, 

* Söz konusu hissede açığa satış (*short sell*) yapılması mümkündür.
* Arbitraj imkânı yoktur.
* Hisselerde el değiştirme süreklidir. 
* Alımsatım maliyeti veya vergi yoktur.
* Bütün yatırım araçları kesirli bir şekilde alınıp satılabilmelidir; örneğin, bir dayanak varlığın yüzde birini almak mümkün olmalıdır.
* Risksiz faiz ile borç alınabilmelidir.
* Hisse temettü dağıtmamalıdır; bu kural sadece basit **Black-Scholes modeli** için geçerlidir.

## Black-Scholes formülü

**Black-Scholes formülü** 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından yazılan makalede ilk defa bahsedilen ve Black-Scholes modeline bağlı olarak elde edilmiş bir opsiyon fiyatlama formülüdür. Avrupa tipi ödenişleri olan alım ve satım opsiyonlarının fiyatlanmasında piyasa katılımcılarınca yoğun olarak kullanılmaktadır.

### Formülün ifadesi
Black–Scholes modelinin varsayımları altında, Avrupa tipi alım opsiyonu *(European call option)* için, 
* opsiyon kullanma fiyatı *K*  
* hissenin şu andaki fiyatı *S*, (yani opsiyonun verdiği hak ile *T* zaman sonra, hisseyi *K* fiyatından alma imkânımız var), 
* sabit faiz *r* ve sabit volatilite  \sigma  
olmak üzere, opsiyonun bugünkü fiyatı C(S,T) şu şekilde verilir.

: C(S,T) = SN(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2) \, 

Burada;

: d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} 

: d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} = d_1 - \sigma\sqrt{T}. 

Bu formülde N standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonudur.

Bir satım opsiyonunun fiyatı  P(S,T), yukarıda verilen C(S,T) formülü ve alım-satım paritesi *(put-call parity)* kullanılarak hesaplanabilir ve aşağıdaki şekilde düzenlenebilir:

: P(S,T) = Ke^{-rT}N(-d_2) - SN(-d_1). \, 

### Kanıt
#### Black ve Scholes'un orijinal kanıtının fikri
Black-Scholes formülünün kanıtı bugün Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi olarak bilinen diferansiyel denklemlerin çözümünden geçmektedir. Burada esas ilk fikir, opsiyon ve opsiyon dayanak varlığından oluşan bir portföy yaratmak ve bu portföyü küçük zaman aralıklarında dayanak varlığın piyasa fiyatına duyarsız hale getirmektir. Sonucunda, Black-Scholes kısmi diferansiyel denklemi elde edilir. İkinci esas fikir ise bu diferansiyel denklemi, değişik dönüşümler ve yerine koymalar vasıtasıyla ısı denklemine dönüştürmektir.

#### Martingaller yoluyla kanıt
Bu yöntemde Girsanov teoremi aracılığıyla riske duyarsız ölçü olan \mathbb{Q}'ya geçilir ve iskontolu hisse fiyatı sürecinin martingal olduğu elde edilir. Bu sayede, opsiyonun vadesindeki ödenişin iskontolu halinin beklenen değeri kolaylıkla hesaplanabilir. 
Diyelim ki bir olasılık ölçüsü \mathbb{P}'de
:dS_t=\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t^{\mathbb{P}}
verilmiş olsun. Girsanov teoreminde \theta=\frac{\mu-r}{\sigma} alırsak, o zaman W_t^{\mathbb{Q}}:=W_t^{\mathbb{P}}+\int_0^t \theta ds yeni ölçüde de bir Brown hareketi olur ve dW_t=dW_t^{\mathbb{Q}}-\frac{\mu-r}{\sigma} dt sağlanır. Bu halde, herhangi bir \tau\ge 0 için
:\begin{align}
d(e^{-r\tau}S_t)&=d(e^{-r\tau})S_t +e^{-r\tau}d(S_t)\\
&=-re^{-r\tau}S_tdt+e^{-r\tau} dS_t\\
&=-re^{-r\tau}S_t dt+e^{-r\tau}S_t (\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t^{\mathbb{P}})\\
&=\left(e^{-r\tau}S_t\right)(\mu-r)dt + \sigma \left(e^{-r\tau}S_t\right) dW_t^{\mathbb{P}}\\
&=(\mu-r)\left(e^{-r\tau}S_t\right) dt + \sigma \left(e^{-r\tau}S_t\right) (dW_t^{\mathbb{Q}}-\frac{\mu-r}{\sigma} dt)\\
&=\sigma \left(e^{-r\tau}S_t\right) dW_t^{\mathbb{Q}}
\end{align}
olur. Elimizde sadece difüzyon terimleri kaldığı için artık iskontolu dayanak varlık spot fiyatı sürecinin riske duyarsız ölçüde martingal olduğu açıktır. Aynı zamanda, 
:	\begin{align}
		dS_t&=\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t=\mu S_t dt + \sigma S_t \left(dW_t^{\mathbb{Q}}-\frac{\mu-r}{\sigma} dt\right)\\
		&= \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t^{\mathbb{Q}}- \mu S_t dt + r S_t dt\\
		&= r S_t dt + \sigma S_t dW_t^{\mathbb{Q}}.
	\end{align}
olur. Diğer deyişle, riske duyarsız ölçüde, dayanak varlık spot fiyatı sürecinin \mathbb{P}'deki deterministik terimi \mu, riske duyarsız ölçüde, risksiz faiz r ile yer değiştirir. Öbür taraftan, Ito önsavı sayesinde 
:\begin{align}
	d\ln(S_t)&=\frac{1}{S_t}dS_t+
	\frac{1}{2}\left(\frac{-1}{S_t^2}\right)dS_td S_t\\
	&=\left(\frac{1}{S_t}\right)\left(r S_tdt+\sigma S_t dW_t^{\mathbb{Q}}\right)-\left(\frac{1}{2S_t^2}\right)\sigma^2 S_t^2 dt\\
	&=\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)dt+\sigma dW_t^{\mathbb{Q}}
\end{align}
hesaplanır. Her iki tarafta integraller uygun aralıklarda alındıktan sonra 
:	S_T=S_t e^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t) + \sigma \left(W_T-W_t\right)}
bulunur. Geriye kalan, \tau=T-t koyup bir alım opsiyonun t zamanındaki fiyatının 
C_t(K,T)=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[ e^{-r\tau} \max(S_T-K)\right] olduğundan yola çıkarak, beklenen değeri tanımı gereği integrale çevirip hesaplamaktır. Yani,
:\begin{align}
C_t(K,T)&=\mathbb{E}_{t}^{\mathbb{Q}}\left[  e^{-r\tau} (S_T-K)^{+}|\mathcal{F}_t\right]\\
&=  e^{-r\tau}\int\max(S_T-K, 0)\ d\mathbb{Q}\\
&= e^{-r\tau}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\max(S_t e^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)+ \sigma \sqrt{T-t}x}-K, 0) e^{-\frac{x^2}{2\pi}}dx.
\end{align}
Integral fonksiyonunu \max  fonksiyonundan kurtarmak için (S_t e^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)+ \sigma \sqrt{T-t}x}-K)\ge 0 \iff  x\ge -d_2  olduğu hesaplanır.
Burada 
:d_2:= \frac{1}{\sigma \sqrt{T-t}}\left( \ln\left(\frac{S_t}{K}\right)+\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)\right)
alınmıştır. Buradan sonra kalkülüs teknikleri kullanılarak integraller ilk önce d_1=d_2+\sigma\sqrt{T-t} tanımlanarak
:
C_t(K,T)= S_t \int_{-d_1}^{\infty}e^{-\frac{y^2}{2}} dx- e^{-r\tau} K (1-N(-d_2))

haline getirilir. Burada N standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonudur. d_1 ve d_2 arasındaki ilişki ve N'nin özellikleri kullanılarak

:
C_t(K,T)= S_t N(d_1) - Ke^{-r\tau} N(d_2)

bulunur. Black-Scholes formülünün orijinal hali t=0 alınarak elde edilir.

## Risk hassasiyetleri (Yunanlar)

Black-Scholes formülü üzerinden bir Avrupa tipi opsiyonun risk hassasiyetleri analitik olarak hesaplanabilir. 

## Ayrıca bakınız
* Black-Scholes denklemi
* Binom opsiyon fiyatlama modeli
* Black modeli
* Sıçramalı difüzyon modeli
* Monte Carlo opsiyon fiyatlama modeli
* Stokastik volatilite

## Kaynakça