Casey teoremi

Matematikte, genelleştirilmiş Batlamyus teoremi olarak da bilinen **Casey teoremi**, adını İrlandalı matematikçi John Casey'den alan Öklid geometrisindeki bir teoremdir.

## Teoremin formülasyonu

\,O, yarıçapı \,R olan bir çember olsun.\,O_1, O_2, O_3, O_4 (sırasıyla) \,O içinde yer alan kesişmeyen ve \,O'ya teğet olan dört çember olsun. \,t_{ij}, \,O_i, O_jO_i, O_j çemberlerin dış ortak çifte teğet (bitanjant)'inin uzunluğunu göstersin. Buna göre: \,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.

Dört çemberin hepsinin noktalara indirgendiği dejenere durumda, bunun tam olarak Batlamyus teoremi olduğuna dikkat edin.

## İspat
Aşağıdaki kanıt Zacharias'a atfedilebilir. \,O_i çemberinin yarıçapını \,R_i ile belirtelim ve çember ile teğet noktasını da\,K_i ile gösterelim. Çemberlerinin merkezleri için\,O, O_i  gösterimini kullanacağız. Pisagor teoreminden,

: \,t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2.

Bu uzunluğu, \,K_i,K_j türünden ifade etmeye çalışacağız . \,O_iOO_j üçgende kosinüs yasasına göre,

: \overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j

\,O,O_i çemberleri birbirine teğet olduğundan:

: \overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j

\,C, \,Oçemberinin üzerindeki bir nokta olsun. \,K_iCK_j üçgeninde sinüs yasasına göre:

: \overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}

Bu nedenle,

: \cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}

ve bunları yukarıdaki formülde yerine koyarsak:

: \overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right)

: \overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}

: \overline{O_iO_j}^2=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}

Ve son olarak, aradığımız uzunluk;

: t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}

\,K_1K_2K_3K_4 kirişler dörtgenine uygulanan orijinal Batlamyus teoreminin yardımıyla artık sol tarafı hesaplayabiliriz:

: 
\begin{align}
& t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23} \\[4pt]
= {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4} \left(\overline{K_1K_2} \cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right) \\[4pt]
= {} & \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right) \\[4pt]
= {} & t_{13}t_{24}
\end{align}


## Diğer genellemeler
Görülebileceği gibi, dört çemberin büyük çemberin içinde olması gerekmiyor. Aslında, ona dışarıdan da teğet olabilirler. Bu durumda aşağıdaki değişiklik yapılmalıdır:

Eğer \,O_i, O_j, ikisi de \,O'nun aynı tarafından teğetse (her ikisi de içeriden veya her ikisi de dışarıdan), \,t_{ij} dış ortak teğetin uzunluğudur.

Eğer \,O_i, O_j, \,O'ya farklı yönlerden teğetse (biri içeriden ve biri dışarıdan), \,t_{ij} iç ortak teğetin uzunluğudur.

Casey teoreminin tersi de doğrudur. Yani, eşitlik geçerliyse, çemberler ortak bir çembere teğettir.

## Uygulamalar
Casey teoremi ve tersi, Öklid geometrisindeki çeşitli ifadeleri kanıtlamak için kullanılabilir. Örneğin, Feuerbach teoreminin bilinen en kısa kanıtı  Casey teoreminin tersini kullanır.

## Notlar

## Dış bağlantılar
* 
* 
*  
* 
* 

## İlave okumalar
* 
* 
* Abrosimov, Nikolay & Mikaiylova, Liudmila. (2015). *Casey's theorem in hyperbolic geometry*. Siberian Electronic Mathematical Reports. 12. ss. 354-360. 10.17377/semi.2015.12.029.
* Abrosimov, N.V., Aseev, V.V. *Generalizations of Casey’s Theorem for Higher Dimensions*. Lobachevskii J Math 39, 1–12 (2018). https://doi.org/10.1134/S199508021801002X
* 

## Kaynakça
* 
* 
* 
*