Öklid uzayı

Matematikte **Öklid uzayı**, Öklid geometrisinin üç boyutlu uzayıdır ve bu kavramlar, çok boyutlu olarak genelleştirilir. “Öklid” terimi bu uzayları, Öklid geometrisi olmayan eğimli uzaydan ve Einstein'nın genel görelilik kuramından ayırt eder. Bu adı Yunan matematikçi Öklid'den dolayı almıştır.

Modern matematikte Öklid uzayını ifade etmek için kartezyen koordinat sistemi ve analitik geometri kavramları çok yaygın olarak kullanılır.

## Reel koordinat uzayı
Reel sayılar kümesi **R** ile gösterilsin. Herhangi bir pozitif *n* tamsayısı. *R*de *n* boyutlu vektör uzayında tüm *n* katlı reel sayılardan oluşsun. Bu  **R***n* sembolü ile gösterilir ve bazen **reel koordinat uzayı** olarak adlandırılır. **R***n*de bir eleman şöyle yazılabilir;

:\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n),

Her bir *x**i*, bir reel sayıdır. **R***n*deki vektör uzayı işlemleri şöyle ifade edilir;

:\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n),

:a\,\mathbf{x} = (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n).

**R***n* vektör uzayı *doğal taban* ile gösterilir:
:
\begin{align}
\mathbf{e}_1 & = (1, 0, \ldots, 0), \\
\mathbf{e}_2 & = (0, 1, \ldots, 0), \\
& {}\,\,\,  \vdots \\
\mathbf{e}_n & = (0, 0, \ldots, 1).
\end{align}


**R***n*de keyfi bir vektör, aşağıdaki biçimde yazılabilir;

:\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i.

**R***n*, bir *n* boyutlu vektör uzayında prototip örnektir. Aslında her reel *n* boyutlu vektör uzayı *V*, **R***n*  izomorfizmasıdır.

## Öklid yapısı
Öklid uzayı, bir reel koordinat uzayında daha fazlasıdır. Öklid geometrisinde işlem yapmak için noktalar arasındaki mesafeden ve çizgi veya vektörler arasındaki açıdan da bahsetmek gerekir. Bu nicelikleri elde etmenin doğal yolu, **R***n*'de nokta çarpım kullanmak gerekir. Herhangi **x** ve **y** iki reel *n*vektörü nokta çarpımı şöyle ifade edilir;

:\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.

Sonuç daima bir reel sayıdır. Ayrıca **x**in kendisi ile nokta çarpımı hiçbir zaman negatif olmaz. Bu çarpım, bir *x* vektörünün "uzunluğunu" ifade etmemizi sağlar, şöyle ki;

:\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}.

Bu uzunluk fonksiyonu, gerekli norm özelliğini sağlar ve **R***n*de **Öklid normu** olarak adlandırılır.

θ (0° ≤ *θ* ≤ 180°), **x** ile **y** arasındaki **sabit açı**dır (periyodik olmayan) ve şöyle ifade edilir;
:\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)
burada cos&minus;1, arccos'un ters trigonometrik fonksiyonudur.

Son olarak, **R***n*deki bir *metriği* (uzaklık fonksiyonunu) ifade etmek için aşağıdaki norm kullanılabilir;

:d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.

Bu uzaklık fonksiyonu **[[Öklid uzaklığı]]** olarak adlandırılır ve Pisagor teoreminin bir biçimi olarak görülebilir.

Reel koordinat uzayı ile bu Öklid yapısı **Öklid uzayı** olarak adlandırılır ve daha çok **E***n* sembolü ile gösterilir. (Çoğu yazar, Öklid uzayında çalışırken Öklid yapısının anlaşılması için **R***n* sembolünü kullanmayı tercih eder).

*T* doğrusal dönüşümlerine yönelimi ifade etmek için Öklid uzayı dönüşü (rotasyonu) kullanılır. Bunlar açı ve uzaklıkla belirtilir;

:T\mathbf{x} \cdot T\mathbf{y} = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y},

:|T\mathbf{x}| = |\mathbf{x}|.

Matrisde dönüş, özel ortogonal matrislerdir.

## Ayrıca bakınız
* Kartezyen koordinat sistemi
* Kutupsal koordinat sistemi
* Hilbert uzayı