D'Agostino'nun K-kare sınaması

İstatistik bilim dalında **D'Agostino'nun K<sup>2</sup> sınaması** normal dağılımdan ayrılmayı ölçmek için kullanılan bir uygulama iyiliği ölçüsüdür. Örneklem basıklık ve çarpıklık ölçülerinin dönüşümlerinden elde edilmiştir. K2 istatistiği şöyle elde edilir:

*n* değerinin gözlem sayısı ve böylelikle genellikle serbestlik derecesi olduğu bilinmektedir. Örneklem çarpıklık ölçüsü, \sqrt{b_1}, şöyle tanımlanır:
:
\sqrt{ b_1 } = \frac{ \mu_3 }{ \sigma^3 } = \frac{ \mu_3 }{ \left( \sigma^2 \right)^{3/2} } = \frac{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^3}{ \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^{3/2}}

  
Örneklem basıklık ölçüsü, \sqrt{b_2} ise şöyle tanimlanır:
:
b_2 = \frac{ \mu_4 }{ \sigma^4 } = \frac{ \mu_4 }{ \left( \sigma^2 \right)^{2} } = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^4}{\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x - \bar{x} \right)^2 \right)^2}


Burada \bar{x} örneklem ortalaması, σ2 ikinci merkezsel moment veya varyans ve sırasiyla μ3 ve μ4 üçüncü ve dördüncü merkezsel moment lerdir.

## Dönüştürülmüş çarpıklık

Önce, çarpıklık ölçüsü \sqrt{b_1} 'nin bir dönüşümü olan 
:Z\left(\sqrt{b_1}\right)
hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

:
Y = \sqrt{b_1} \cdot \sqrt{\frac{(n+1)(n+3)}{6(n-2)}}

:
\beta_2\left(\sqrt{b_1}\right) = \frac{3(n^2+27n-70)(n+1)(n+3)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}

:
W^2 = -1 + \sqrt{2 (\beta_2\left(\sqrt{b_1}\right) - 1)}

:
\delta = 1/\sqrt{ln(W)}

:
\alpha = \sqrt{\frac{2}{W^2-1}}

:
Z\left(\sqrt{b_1}\right) = \delta ln\left(Y/\alpha + \sqrt{(Y/\alpha)^2 + 1}\right)


## Dönüştürülmüş Basıklık

Sonra, basıklık ölçüsü olan b_2 'in bir dönüşümü olan Z\left(b_2\right) 
hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade de yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

:
E\left(b_2\right) = \frac{3(n-1)}{n+1}

:
\sigma^2_{b_2} = \frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}

:
x = \frac{b_2 - E\left(b_2\right)}{\sigma_{b_2}}


Bundan sonra ise, basıklık ifadesinin çaprazlığı bulunur:

:
\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)} = \frac{6(n^2-5n+2)}{(n+7)(n+9)} \sqrt{\frac{6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}

:
A = 6 + \frac{8}{\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)}} \left[ \frac{2}{\sqrt{\beta_1\left(b_2\right)}} + \sqrt{1+\frac{4}{\beta_1\left(b_2\right)}}\right]

:
Z\left(b_2\right) = \left(\left(1 - \frac{2}{9A}\right) - \sqrt[3]{\frac{1-2/A}{1+x\sqrt{2/(A-4)}}}\right)\sqrt{\frac{9A}{2}}


## İçerikli K<sup>2</sup> istatistiği

Şimdi, bu Z\left(\sqrt{b_1}\right) ile Z\left(b_2\right) ifadelerini birleştirip normallik sınaması için D'Agustino'nun sınama istatistiği şöyle tanımlanır:

:
K^2 = \left(Z\left(\sqrt{b_1}\right)\right)^2 + \left(Z\left(b_2\right)\right)^2


K^2 istatistiği yaklaşık olarak serbestlik derecesi 2 olan bir \chi^2
ile dağılım gösterir.

## Ayrıca bakınız
* Normallik sınamaları
* Kolmogorov-Smirnov sınaması
* Shapiro-Wilk sınaması
* Smirnov-Cramér-von-Mises sınaması
* Jarque-Bera sınaması

## Kaynakça
* D'Agostino, Ralph B., Albert Belanger, and Ralph B. D'Agostino, Jr. "A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality", *The American Statistician*, Cilt. 44, No. 4. (Kasım., 1990), say. 316-321.