Cauchy dizisi

## <big>Cauchy dizisinin Analiz 1 tanımı</big>

(x_n)_n bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her \epsilon>0 için,

|x_n-x_m|  eşitsizliğinin her n,m>N (N\in\mathbb N) için sağlandığı bir N göstergeci varsa, (x_n)_n dizisine Cauchy dizisi denir.

## <big>Cauchy dizisi ile ilgili teoremler</big>

### Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir

***İspat:***

(x_n)_n yakınsak bir gerçel sayı dizisi ve \epsilon>0 herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine a diyelim. Demek ki, öyle bir N doğal sayısı vardır ki, her n>N için,

|x_n-a|  olur. Dolayısıyla, n,m>N için, |x_n-x_m|=|(x_n-a)-(x_m-a)|\le |x_n-a|+|x_m-a|     olur ve kanıt biter      \Box.

### Her Cauchy dizisi sınırlıdır

***İspat:***

(x_n)_n bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki \epsilon'u, \epsilon=1 seçelim. Demek ki, öyle bir N göstergeci vardır ki, her n,m>N için,

|x_n-x_m| olur. Demek ki, her n>N için, |x_n-x_{N+1}| olur; bir başka deyişle,

 x_{N+1}-1 olur.

b=\max\{x_0,x_1,...,x_N,x_{N+1}+1\} ve a=\min\{x_0,x_1,...,x_N,x_{N+1}-1\}  diye tanımlayalım.

O zaman, her  için, a olur  ve ispat biter \Box.

### Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir
***İspat:***

(x_n)_n, bir Cauchy dizisi, (x_{n_k})_k dizisi de bu dizinin altdizisi olsun.\epsilon>0 herhangi bir sayı olsun.Öyle bir N var ki, her n,m>N için, |x_n-x_m|  dir.

Eğer k,l>N ise N ve N  olduğundan, |x_{n_k}-x_{n_l}| olur. \Box.

### Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar
***İspat:***

(x_n)_n Cauchy dizisi olsun ve (x_{n_k})_k bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki "a\in\mathbb R" ya yakınsasın), tanımı yazarsak,

n_k,k>N ve \forall \epsilon>0 için |x_{n_k}-a|  önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz \forall\epsilon>0 için |x_n-a| önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;

|x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\le \underbrace_1+\underbrace_2

2. ifade altdizinin tanımından dolayı \epsilon/2'den küçüktür,

1. ifade ise, n_k>n>N olduğundan bir Cauchy dizisidir ve |x_n-x_{n_k}| olarak doğrudur.

İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,

n_k>n>N ve \forall\epsilon>0 için |x_n-a|\le |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|
 
ve ispat biter \Box.
### Her Cauchy dizisinin <math>\mathbb R</math>'de bir limiti vardır

***İspat:***
(x_n)_n verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.)

# (x_n)_n'nin monoton bir (y_n)_n altdizisi bulunur.
# (x_n)_n bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır. Demek ki (y_n)_n altdizisi de sınırlıdır. 
# Monoton ve sınırlı olduğundan, (y_n)_n dizisi yakınsaktır.
# 1,2,3 maddelerden, (x_n)_n dizisinin yakınsak olduğu görülür.

Dolayısıyla, \mathbb R tamdır ve ispat biter. \Box.

***Formal ispat:***

\mathbb{R}'de (hatta metrik uzaylarda)&nbsp;yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden&nbsp;\mathbb{R}'deki herhangi bir&nbsp;Cauchy dizisinin&nbsp;yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.

(x_n)_n, \ \mathbb{R}'de bir Cauchy dizisi ve \epsilon>0 olsun.

\left.\begin{array}{rr}(x_n)_n \in\mathbb {R^N}\text{ Cauchy dizisi} \\ \epsilon>0\end{array}\right\}\Rightarrow (\exists N(\epsilon)\in\mathbb N)(\forall n,m\ge N(\epsilon))\left(|x_n-x_m|

\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left(|x_n-x_{N(\epsilon)}|

\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left( x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2}

\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left( x_n\in A:=\left(x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2},x_{N(\epsilon)}+\dfrac{\epsilon}{2}\right)\right)

\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left( x_n\in B_N:=\left\{x_{N(\epsilon)},x_{N(\epsilon)+1},x_{N(\epsilon)+2},...\right\} \subseteq A\right)

\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon)) (|B_N|\leq \aleph_0)\left(x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2}\in B_N^{l}\neq\emptyset\right)\left(x_{N(\epsilon)}+\dfrac{\epsilon}{2}\in B_{N}^{u}\neq\emptyset\right)

\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon)) (\exists x\in\mathbb{R})(x=\sup {B_N})\left(x_{N(\epsilon)}-\dfrac{\epsilon}{2}\le x\le x_{N(\epsilon)}+\dfrac{\epsilon}{2}\right)

\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left(|x-x_{N(\epsilon)}|\leq\dfrac{\epsilon}{2}\right)

\Rightarrow(\exists N(\epsilon)\in\mathbb{N})(\forall n\geq N(\epsilon))\left(|x_n-x|\leq|x_n-x_{N(\epsilon)}|+|x_{N(\epsilon)}-x| \Box

## Kaynakça

## Dipnotlar

https://web.archive.org/web/20170111210130/http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22

Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition.

Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]

http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir 

http://matkafasi.com/106636/dizisinin-mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir