Ki-kare dağılımı

{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}\,|
  YDF        =\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,|
  ortalama   =k\,|
  medyan     =yaklaşık olarak k-2/3\,|
  mod        =k-2\, eğer k\geq 2\,|
  varyans    =2\,k\,|
  çarpıklık  =\sqrt{8/k}\,|
  basıklık   =12/k\,|
  entropi    =\frac{k}{2}\!+\!\ln(2\Gamma(k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi(k/2)|
  mf         =(1-2\,t)^{-k/2} eğer 2\,t|
  kf        =(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,
}}

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında **ki-kare dağılım** (x2 dağılımı) özellikle çıkarımsal istatistik analizde çok geniş bir pratik kullanım alanı bulmuştur.

Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.

x,  \lambda  ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:

 f(x)= \frac{1}{\lambda^n \Gamma(n)} x^{n-1}e^{-\frac{x}{\lambda}} \qquad , x>0  olur.

Burada  \lambda = 2  ve  n= \nu/2  alınırsa, elde edilen yeni dağılıma,  \nu  serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve  \Chi _\nu ^2  ile gösterilir.

x,  \nu  serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:

ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir
 f(x)= \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}} \Gamma(\frac{\nu}{2})} x^{\frac{\nu}{2}-1} e^{-x/2} \qquad ,x>0  olur.

**Teorem 1**

 x\sim N(0,1)  ise  x^2 \sim \Chi _1^2  olur.

**Teorem 2**

 x_1 , x_2 , \cdots , x_n  rassal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.

 y= \sum_{i=1}^n x_i^2  ise  y \sim \Chi_n^2  olur.

**Teorem 3**

 \sigma^2 varyansı bilinen,  N(\mu , \sigma^2)  dağılımına sahip rastgele örneklem  x_1, x_2, \cdots, x_n  ve  s^2 örneklem varyansı olmak üzere:
 \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \Chi_{n-1}^2  olur.

## Karakteristikleri

### Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Ki-kare dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şu olur:

:
f(x;k)=
\begin{cases}\displaystyle
\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}\,x^{(k/2) - 1} e^{-x/2}&\text{eğer }x>0,\\
0&\text{eğer }x\le0,
\end{cases}


Burada \Gamma bir Gamma fonksiyonu bulunduğunu gösterir ve bu yarım-tamsayılar için özel değerler gösterir.

### Yığmalı dağılım fonksiyonu
Ki-kare dağılımının yığmalı dağılım fonksiyonu şudur:

:F(x;k)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)} = P(k/2, x/2)

burada \gamma(k,z)  aşağı kısmı tamamlanmamış Gamma fonksiyonu ve P(k, z) ise  tanzim edilmiş Gamma fonksiyonu olur.

Ki-karenin için verilen tablolar (biri aşağıda verilmiştir) yığmalı dağılim fonksiyonundan elde edilmektedir. Bu tablolar birçok değişik kaynaklardan bulunabilir. Örneğin bu fonksiyon için tablolar spreadsheet ve istatistik program paketlerinde bulunmaktadır.

### Karakteristik fonksiyonu
Ki-kare dağılımının karakteristik fonksiyonu şöyle yazılır:

:\chi(t;k)=(1-2it)^{-k/2}.\,

## Özellikleri
* Ki-kare dağılımı cikarimsal istatistik analizde epeyce kullanış alanı bulmuştur. Parametrik istatistik olarak varyans değeri güvenlik aralığı ve hipotez testi, parametrik olamayan uygunluk iyiliği testi, olumsallık tablosu üzerinde bağımsızlık testi ve ki-kareye bağlı ortaklılık katsayıları, uzaklık ölçüleri  vb.
* Varyanslar analizinde F-dagiliminin iki ki-kare dağılımının oranından ortaya çıkması dolayışıyla önemli rol oynamaktadır.
  

### Normal yaklaşım

Eğer X\sim\chi^2_k ise, limitte k sonsuzluğa yaklaştıkça X normal dağılıma yaklaşır. Ancak bu eğilim (çarpıklık \sqrt{8/k} ve basıklık fazlalığı 12/k olduğundan dolayı) yavaş gelişmektedir. Ki-kare dağılımının iki değişik dönüşüm fonksiyonu normalliğe çok daha hızla yaklaşma göstermektedir:

Fisher ispat etmiştir ki \sqrt{2X} ifadesi, yaklaşık olarak ortalaması \sqrt{2k-1} olan ve varyans değeri *1* olan bir normal dağılım gösterir.

Aynı normal yaklaşım sonucuna moment karşılaştırması yapılarak da erişilebilir. Bunu görmek için ki-dağılım gösteren rassal değişken z=\sqrt{X}in ortalaması ve varyansı izlensin. Bunlar sırasıyla şöyle verilir: 
:\mu_z= \sqrt{2}\frac{\Gamma\left(k/2+1/2\right)}{\Gamma\left(k/2 \right)} 
ve
:\sigma_z^2= k-\mu_z^2

Burada \Gamma(\cdot) bir Gamma fonksiyonudur. \mu_z  ifadeli gamma fonksiyonunun özel oranı (particular ratio) şu seri halinde açılabilir:
:\frac{\Gamma\left(N+1/2\right)}{\Gamma\left(N
\right)}=\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}+
\frac{1}{128N^2}+\frac{5}{1024N^3}-\frac{21}{32768N^4}+\ldots\right).
N\gg 1 olduğu halde bu oran için şöyle yaklaşım bulunur:
 \frac{\Gamma\left(N+1/2\right)}{\Gamma\left(N
\right)}\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}\right)\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{4N}\right)^{0.5}=\sqrt{N-1/4}.


Sonra basitleşen moment karşılaştırılması sonuçları şu yaklaşık z dağılımı verirler; 
: z\sim{\mathcal N}\left(\sqrt{k-1/2},\frac{1}{2}\right), 
Bundan da şu ifade hemen çıkartılabilir\:
: \sqrt{2X}\sim{\mathcal N}\left(\sqrt{2k-1},1\right).

Wilson ve Hilferty [1931] göstermiştir ki \sqrt[3]{X/k} ifadesi, ortalaması 1-2/(9k) ve varyansı 2/(9k) olan bir normal dağılıma yaklaşıktır.

k serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımı gösteren bir rassal değişken için beklenen değer k olur. Aynı dağılımın medyan değeri yaklaşık olarak şu ifade ile verilir:
:k-\frac{2}{3}+\frac{4}{27k}-\frac{8}{729k^2}.

Eğer serbestlik derecesi 2 ise üstel dağılım ile aynı dağılımdır.

### Enformasyon entropisi
Enformasyon entropisi ifadesi şöyle verilir:

:
H
=
\int_{-\infty}^\infty f(x;k)\ln(f(x;k)) dx
=
\frac{k}{2}
+
\ln
 \left(
  2 \Gamma
  \left(
   \frac{k}{2}
  \right)
 \right)
+
\left(1 - \frac{k}{2}\right)
\psi(k/2).


Burada \psi(x) bir Digamma fonksiyonudur.

## İlişkili dağılımlar

* Serbestlik derecesi *2*ye eşit olan X \sim \chi_2^2 için X \sim \operatorname{Ustel}\left(\lambda =\tfrac{1}{2}\right) bir üstel dağılım olur.
 

* Normal dağılım gösteren ve birbirinden bağımsız olan X_i \sim N(0,1) değişkenleri için   Y = \sum_{m=1}^k X_m^2  ise, Y \sim \chi_k^2 bir ki-kare dağılımı gösterir.
* Eğer  X_i\sim N(\mu_i,1) dağılımlarının sıfır olmayan ortalamaları varsa, o halde Y = \sum_{m=1}^k X_m^2 bir merkezsel olmayan ki-kare dağılımndan çıkartılmıştır.
* X \sim \operatorname{Gamma}\left(\tfrac{\nu}{2}, 2\right) olduğundan dolayı, ki-kare dağılımı X \sim \chi^2_\nu bir gamma dağılımının özel halidir.
* Eğer verilmiş serbestlik dereceleri ile X_1 \sim \chi_{\nu_1}^2 ve X_2 \sim \chi_{\nu_2}^2 birbirinden bağımsız iken Y = \frac{X_1 / \nu_1}{X_2 / \nu_2} ise, Y \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2) bir F-dağılımı gösterir.
* Y = \sum_{m=1}^N X_m  ifadesi için X_m \sim \chi^2(\nu_m) değişkenleri bağımsız ve \bar{\nu} = \sum_{m=1}^N \nu_m ise, o halde Y \sim \chi^2(\bar{\nu}) ifadesi bir ki-kare dağılımı gösterir.
* Eğer X ki-kare dağılımı gösterirse, o halde \sqrt{X} ifadesi de ki-kare dağılımı gösterir.
* Özellikle, eğer X \sim \chi_2^2 (yani 2 serbestlik derecesi gösteren ki-kare ise), o halde \sqrt{X} ifadesi  Rayleigh dağılımı gösterir.
* Eğer X_1, \dots, X_n bağımsiz ama aynı dağılımlı, yani hepsi N(\mu,\sigma^2) normal dağılım gösteren, rassal değişkenlerse, o halde  
:\sum_{i=1}^n(X_i - \bar X)^2 \sim \sigma^2 \chi^2_{n-1}
olur; burada \bar X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i dir.
* Eğer X \sim \operatorname{CarpikLogistik}\left(\tfrac{1}{2}\right)\,, ise, o halde \log (1 + e^{-X}) \sim  \chi_2^2\, olur.





## Ki kare kritik değerler tablosu

*g* serbestlik derecesi için yukarı kuyruk alanının (olasılığın) α olmasına karşıt olan ki2  kritik değeri

 
 | \  α|                                                                       |
 |  \  | 0.995  0.91   0.925  0.95   0.90   0.10   0.05   0.025  0.01   0.005  |
 |g  \ |                                                                       |
 
 |  1  |  0.00   0.00   0.00   0.00   0.02   2.71   3.84   5.02   6.63   7.88  |
 |  2  |  0.01   0.02   0.05   0.10   0.21   4.61   5.99   7.38   9.21  10.60  |
 |  3  |  0.07   0.11   0.22   0.35   0.58   6.25   7.81   9.35  11.34  12.84  |
 |  4  |  0.21   0.30   0.48   0.71   1.06   7.78   9.49  11.14  13.28  14.86  |
 |  5  |  0.41   0.55   0.83   1.15   1.61   9.24  11.07  12.83  15.09  16.75  |
 |  6  |  0.68   0.87   1.24   1.64   2.20  10.64  12.59  14.45  16.81  18.55  |
 |  7  |  0.99   1.24   1.69   2.17   2.83  12.02  14.07  16.01  18.48  20.28  |
 |  8  |  1.34   1.65   2.18   2.73   3.49  13.36  15.51  17.53  20.09  21.95  |
 |  9  |  1.73   2.09   2.70   3.33   4.17  14.68  16.92  19.02  21.67  23.59  |
 | 10  |  2.16   2.56   3.25   3.94   4.87  15.99  18.31  20.48  23.21  25.19  |
 | 11  |  2.60   3.05   3.82   4.57   5.58  17.28  19.68  21.92  24.72  26.76  |
 | 12  |  3.07   3.57   4.40   5.23   6.30  18.55  21.03  23.34  26.22  28.30  |
 | 13  |  3.57   4.11   5.01   5.89   7.04  19.81  22.36  24.74  27.69  29.82  |
 | 14  |  4.07   4.66   5.63   6.57   7.79  21.06  23.68  26.12  29.14  31.32  |
 | 15  |  4.60   5.23   6.26   7.26   8.55  22.31  25.00  27.49  30.58  32.80  |
 | 16  |  5.14   5.81   6.91   7.96   9.31  23.54  26.30  28.85  32.00  34.27  |
 | 17  |  5.70   6.41   7.56   8.67  10.09  24.77  27.59  30.19  33.41  35.72  |
 | 18  |  6.26   7.01   8.23   9.39  10.86  25.99  28.87  31.53  34.81  37.16  |
 | 19  |  6.84   7.63   8.91  10.12  11.65  27.20  30.14  32.85  36.19  38.58  |
 | 20  |  7.43   8.26   9.59  10.85  12.44  28.41  31.41  34.17  37.57  40.00  |
 | 21  |  8.03   8.90  10.28  11.59  13.24  29.62  32.67  35.48  38.93  41.40  |
 | 22  |  8.64   9.54  10.98  12.34  14.04  30.81  33.92  36.78  40.29  42.80  |
 | 23  |  9.26  10.20  11.69  13.09  14.85  32.01  35.17  38.08  41.64  44.18  |
 | 24  |  9.89  10.86  12.40  13.85  15.66  33.20  36.42  39.36  42.98  45.56  |
 | 25  | 10.52  11.52  13.12  14.61  16.47  34.38  37.65  40.65  44.31  46.93  |
 | 26  | 11.16  12.20  13.84  15.38  17.29  35.56  38.89  41.92  45.64  48.29  |
 | 27  | 11.81  12.88  14.57  16.15  18.11  36.74  40.11  43.19  46.96  49.64  |
 | 28  | 12.46  13.56  15.31  16.93  18.94  37.92  41.34  44.46  48.28  50.99  |
 | 29  | 13.12  14.26  16.05  17.71  19.77  39.09  42.56  45.72  49.59  52.34  |
 | 30  | 13.79  14.95  16.79  18.49  20.60  40.26  43.77  46.98  50.89  53.67  |
 

Kaynak: Kritik değerler İtalyanca Wikipedia için R (software) serbest programının qchisq(,1:30) fonksiyonu kullanılarak bulunmuştur.

Serbestlik derecesi g>30 olursa kritik değerleri bulmak için şu ifadeyi kullanmak yeterli olacaktır. 
: χ&sup2;α,g = 1/2 ( zα + √(2g-1) )&sup2; 
Burada zα Standart Normal N(0,1) için kritik değerdir (örneğin z0,95 = 1,645 olur.)

## Ayrıca bakınız

* Cochran'in teoremi
* Ters-ki-kare dağılımı
* Serbestlik derecesi (istatistik)
* Bağımsız sınamaları birleştirmek için Fisher'in yöntemi 
* Merkezsel olmayan ki-kare dağılımı

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
* Ki-kare uyum-iyiliği sınaması ders notları 
Yale University Stats 101 kodlu ders için ornekler hipotez sinamasi ve parametre tahminleri konularini kapsar.
* Ki-kare kritik değerleri için On-line hesaplayıcı, Vassar College Richard Lowry'nin istatistik web sitesinde.
* Dağılımlar hesaplayıcısı Normal, Student'in t, ki-kare ve F dağılımları için olasılıkları ve kritik değerleri hesaplar.
* Ki-kare kritik değerleri için Ki-kare hesaplayıcısı  South Carolina Universitesi'nde R.Webster West'in Java applet deposunda
* GraphPad tarafından hazırlanmış Ki-kare hesaplayıcısı 
*  Ki-kare dağılımı için tablo