Bergman uzayı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, **Bergman uzayı** kompleks koordinat uzayının bir *D* bölgesinde tanımlı holomorf fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon uzayıdır. Uzay, Stefan Bergman'ın adını taşımaktadır. 
Daha matematiksel bir ifadeyle, Bergman uzayı olan A^p(D), D üzerinde tanımlı ve p-normu sonlu olan holomorf fonksiyonlardan oluşmaktadır.

## Gösterim hakkında
Bergman uzaylarının gösterimi hakkında bir uzlaşım yoktur. Karmaşık düzlemdeki analitik fonksiyonlar çalışıldığında L^p_\alpha(D) ya da L^p_a(D) gösterimi yaygındır; buradaki, \alpha ya da a harfi fonksiyonun *analitik* (holomorf fonksiyonların analitikliği maddesine bakınız) olduğunu simgelemek için eklenmiştir. Alt ve üst indekslerin başka özellikler için kullanılması gerektiği durumlarda, kullanımının zorluk çıkarmayacağı düşünülerek A^p(D) veya \mathcal{A}^p(D) de kullanılmaktadır. Yine, L^p_\alpha(D) kullanımına paralel olarak L^{p,h}(D) kullanımı da vardır ve h harfi fonksiyonun *holomorf* olduğunu simgeler.

## Tanımı
D\subset \Complex^n açık küme, dV ise D üzerindeki Öklid hacim formu olsun. D üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonlar uzayı H (D) ile gösterilsin. 0  için, L^p(D) ise Lebesgue uzayı olsun. Bu gösterimler altında,
:A^p(D):=L^p(D)\cap H (D)
şeklinde tanımlanan ve L^p(D) uzayının normunu alan uzaya D üzerinde tanımlı **Bergman uzayı** denir. Diğer deyişle, f fonksiyonunun Bergman uzayında olması için, 
* f inin holomorf olması
* Aşağıdaki gibi tanımlı L^p(D)'de olma koşulunu sağlaması gerekir:
: \Vert f \Vert_{A^p(D)} =\left(\int_D |f(z)|^p dV(z)\right)^{1/p} 

p=2 olmadığı durumlarda, bazen bu duruma vurgu yapmak için **p-Bergman uzayı** ifadesi de kullanılır.

## Özellikler
* Yukarıda verilen \Vert \cdot \Vert_{A^p(D)} tanımı ancak p\ge 1 ise gerçek bir normdur.
*p\ge 1 ise, Bergman uzayları Banach uzayıdır. Bu sonuç,  D'nin tıkız bir  K altkümesi üzerindeki şu kestirimin bir sonucu olarak elde edilebilir:
:\sup_{z\in K} |f(z)| \le C_K\|f\|_{L^p(D)}.
:Bu yüzden, L^p(D)'deki holomorf fonksiyonlar dizisinin yakınsaklığı ayrıca bu dizinin tıkız yakınsak olduğunu verir. Böylece, limit fonksiyonu da holomorftur.

* p=2 olduğu durumlarda uzay üzerinde iç çarpım şu şekilde belirlenebilir:
:\langle f, g \rangle:= \int_D f(z) \overline{g(z)} dV(z). 
:O zaman A^2(D) bir doğuran çekirdekli Hilbert uzayıdır ve çekirdeği de Bergman çekirdeği tarafından belirlenir. Gerçekten de,
 
:* Uzay, tanımı gereği yine bir Hilbert uzayı olan L^2(D)nin doğrusal bir altuzayıdır.
:* Aynı zamanda, Bergman uzayı, L^2(D) içinde kapalıdır. Bu yüzden, kendi başına da tam bir metrik uzaydır. Bu uzayın kapalı olmasının sebebi Dnin her tıkız alt kümesi için \sup_{z\in K} |f(z)| \le C_K\|f\|_{L^2(D)} eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Bu halde, bir holomorf fonksiyon dizisinin L^2(D) içindeki yakınsaklığı tıkız kümeler üzerindeki düzgün yakınsaklığa (yani tıkız yakınsaklığa) dönüşür. Böylelikle, bu dizinin limiti de holomorf olur. L^2(D) zaten tam olduğu için, limitin kare integrallenebilir olduğu bilinmektedir. O yüzden, limit fonksiyonu da  A^{2}(D) içindedir.

## Bergman çekirdeği
Daha önceden bahsedilen \sup_{z\in K} |f(z)| \le C_K\|f\|_{L^2(D)} eşitsizliğinin Dnin her tıkız altkümesinde sağlanması, aynı zamanda D içindeki her z noktası için, ev_z: f\mapsto f(z) gönderiminin bir sürekli doğrusal operatör olduğunu da gösterir. Bir başka deyişle, D içindeki her z noktası için,  A^{2}(D) uzayında bulunan fonksiyonların z noktasında değerlendirilmesi sürekli doğrusal operatör olur. O zaman, Riesz temsil teoremi kullanılarak bu doğrusal operatör   A^{2}(D)'deki bir elemanla iç çarpım halinde yazılabilir:
::\operatorname{ev}_z f = \int_D f(\zeta)\overline{\eta_z(\zeta)}\,d\mu(\zeta).

**Bergman çekirdeği** K, 
:K(z,\zeta) = \overline{\eta_z(\zeta)} 
olarak tanımlanır. Bergman çekirdeği, z  değişkeninde holomorf ve \zeta değişkeninde ise tersholomorftur. Aynı zamanda aşağıdaki çekirdek özelliğini sağlar:
:f(z) = \int_D K(z,\zeta)f(\zeta)\,d\mu(\zeta).
Başka bir deyişle, D içindeki her  z  noktası için, A^{2}(D) içindeki her holomorf fonksiyonun bu çekirdekle çarpılıp integralinin alınması fonksiyonun z noktasında değerlendirmesini geri verir. z noktası herhangi bir nokta olabileceği için, fonksiyon çekirdek tarafından yeniden üretilmiş olur; yani, çekirdek üreteç görevi görmektedir.

### Özel bölgelerde Bergman çekirdeği
Bergman çekirdeği, karmaşık düzlemdeki ve karmaşık koordinat uzayındaki bazı özel bölgelerde açık bir şekilde bilinmektedir.
* Birim disk:  D=\mathbb{D}(0, 1)= \{ z\in \mathbb{C} : \vert z\vert ise, o zaman 
K(z,\zeta) = \frac{1}{\pi}\frac{1}{(1-z\bar\zeta)^2}, \; \; \; \; \; (\zeta \in \mathbb{D}). 

* (Gerçel kısmı pozitif olan) Yarı düzlem:  D=\mathbb{C}_+= \{ z\in \mathbb{C} : \vert Re z>0\}\, ise, o zaman

: K(z,\zeta) = \frac{1}{(\overline{z}+\zeta)^2} \; \; \; \; \; (\zeta \in \mathbb{C}_+).

* Yuvar: B=\{z\in\Complex^n| |z| sıfır merkezli ve R yarıçaplı yuvar olsun. O zaman,
: K_B(z,\zeta) = \frac{n!R^n}{\pi^n}\left(R^2-\sum_{j=1}^n z_j\bar{\zeta}_j\right)^{-n-1}.
:n=1 ve R=1 iken yukarıda verilen ifâde buradan tekrar elde edilebilir.
* Disk çarpımı: U=\{z\in\Complex^n| |z_j| sıfır merkezli ve r=(r_1, \cdots, r_n) vektör yarıçaplı disk çarpımı (polidisk) olsun. O zaman,
: K_U(z,\zeta) = \frac{1}{\pi^n}\prod_{j=1}^n \frac{r_j^2}{\left(r_j^2-z_j\bar{\zeta}_j\right)^2}.

## Ayrıca bakınız
* Bergman metriği
* Szegő çekirdeği

## Kaynakça