Hadwiger–Finsler eşitsizliği

Matematikte **Hadwiger–Finsler eşitsizliği**, Öklid düzlemindeki üçgen geometrisinin bir sonucudur. Düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları a, b ve c ve alanı T ile gösterilirse, o zaman

: a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} + 4 \sqrt{3} T \quad \mbox{(HF)}.

## İlgili eşitsizlikler

* Weitzenböck eşitsizliği, Hadwiger–Finsler eşitsizliğinin doğrudan bir sonucudur: düzlemdeki bir üçgenin kenar uzunlukları a, b ve c ve alanı T ile gösterilirse, o zaman

: a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 4 \sqrt{3} T \quad \mbox{(W)}.

Weitzenböck eşitsizliği, Heron formülü kullanılarak da kanıtlanabilir; bu yolla, (W) için eşitliğin ancak ve ancak eğer üçgen bir eşkenar üçgen ise, yani a = b = c için geçerli olduğu görülür.

* Dörtgen için bir versiyon: ABCD, uzunlukları a, b, c, d ve alanı T ile gösterilen dışbükey bir dörtgen olsun, sonra:

:  a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge 4T + \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}\sum{(a - b)^2}  sadece bir kare için eşitlikle sonuçlanır.

Burada;  \sum{(a-b)^2} = (a - b)^2 + (a - c)^2 + (a - d)^2 + (b - c)^2 + (b - d)^2 + (c - d)^2 

## İspat
Kosinüs yasasından aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

:a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha

\alpha, b ve c arasındaki açı olsun. Bu aşağıdaki ifadeye dönüştürülebilir:

:a^2 = (b - c)^2 + 2bc(1 - \cos \alpha).

A = \frac{1}{2}bc \sin \alpha olduğundan;

:a^2 = (b - c)^2 + 4A\frac{1 - \cos\alpha}{\sin \alpha}'dir.

:1 - \cos\alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}

ve

:\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}

olduğunu hatırlarsak, bunları kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde edebiliriz;

:a^2 = (b - c)^2 + 4A \tan \frac{\alpha}{2}.

Bunu üçgenin her kenarı için yaparak ve taraf tarafa toplayarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

:a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} + 4A\left(\tan\frac{\alpha}{2} + \tan\frac{\beta}{2} + \tan\frac{\gamma}{2}\right).

\beta ve \gamma üçgenin diğer açılarıdır. Şimdi, üçgenin açılarının yarısı \frac{\pi}{2}'den küçük olduğundan, \tan fonksiyonu dışbükeydir:

:\tan\frac{\alpha}{2} + \tan\frac{\beta}{2} + \tan\frac{\gamma}{2}\geq 3\tan\frac{ \alpha + \beta + \gamma}{6} = 3\tan\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}.

Bunu kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

:a^{2} + b^{2} + c^{2}\geq(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2} + 4A\sqrt{3}.

Bu da Hadwiger–Finsler eşitsizliğidir.

## Tarihçe
Hadwiger–Finsler eşitsizliğine, Alman ve İsviçreli matematikçi Paul Finsler ile İsviçreli matematikçi Hugo Hadwiger yaptıkları çalışma () sonrası adını vermiştir, aynı makalede, bir tepe noktasını paylaşan diğer iki kareden türetilen bir kare üzerinde Finsler–Hadwiger teoremini de yayınladılar.

## Eşitsizliğin genelleştirilmesi
1. Eğer a, b, c ve d bir dörtgenin dört kenarıysa ve S alanı ise, o zaman

:a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge 4S'dir.

Eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir kare ise doğrudur.

2. Eğer L_{1}, L_{2}, ……, L_{n} n kenarlı şeklin kenar uzunlukları ve S alanı ise, o zaman

:L_1^2 + L_2^2 + ……L_n^2 \ge 4S\tan\tfrac{\pi}{n} (n \ge 3)'dir.

Eşitlik, ancak ve ancak n-kenarlı şekil eş kenarlı bir n-kenarlı şekil ise doğrudur.

## Ayrıca bakınız
* Üçgen eşitsizlikleri listesi
* Eşçevre eşitsizliği

## Notlar

## Kaynakça
*
*Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: *When Less is More: Visualizing Basic Inequalities*. MAA, 2009, , pp. 84-86 

## Dış bağlantılar
* 
* 

## Konuyla ilgili yayınlar
* 
* 
*