Birim küre

Matematikte **birim küre** uzaklık kavramının iyi tanımlı olduğu bir kümenin adına *merkez* denilen belli bir noktasından sayıyla bir birim uzaklıkta yer alan ve yine aynı kümede yer alan noktaların kümesidir. **Kapalı birim yuvar** ise bir merkez noktasından bir birime eşit ve bir birimden daha az uzaklıktaki noktalar kümesidir. **Açık birim yuvar** ya da sadece **birim yuvar** denildiğinde ise merkez noktasından bir birimden daha az uzaklıktaki noktalar kümesi anlaşılır.
Uzaklık kavramının tanımlı olduğu bu tür kümeler genellikle Öklid uzayları, ya da daha genel hâliyle metrik uzaylar ve normlu vektör uzaylarıdır.

Birim küre denildiğinde başnoktadan uzaklığı sayıyla bir olan noktaların kümesi anlaşılır ve uzlaşma aksi bir gösterim olmadıkça genellikle bu yöndedir. Merkezin başnokta olmadığı durumlarda birim kürenin merkezine vurgu yapılır. Uzaklığın bire eşit olmadığı durumlarda ise genel anlamda küre anlaşılır. Yani, birim küre, yarıçapın uzaklık kavramı üzerinden tanımlı olduğu ve bire eşit olduğu özel bir küredir.

Kapalı birim yuvar tanımı gereği birim küreyi altküme olarak içermektedir. Küredeki uzlaşmaya benzer şekilde, kapalı birim yuvar denilince, genellikle, başnoktadan uzaklığı bire eşit ya da birden küçük olan noktaların kümesi anlaşılır. Merkezin başnokta olmadığı durumlarda birim yuvarın merkezine vurgu yapılır. En genel haliyle, yarıçapın uzaklık kavramı üzerinden tanımlı olduğu ve birden küçük veya bire eşit olduğu özel kümelere kapalı birim yuvar denilir. Benzer uzlaşmalar açık birim yuvar için de geçerlidir.

## Öklid uzayında birim küre ve yuvarlar
n boyutlu Öklid uzayında **birim küre** 
: x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1
denklemini sağlayan (x_1, \ldots, x_n) noktalarının kümesidir. 
Yine, aynı uzayda, **kapalı birim yuvar**
: x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1
eşitsizliğini sağlayan (x_1, \ldots, x_n) noktalarının kümesidir.

Kapalı birim yuvarın birim küreden küme olarak farkı açık birim yuvarı verir. Diğer deyişle, n boyutlu Öklid uzayında
: x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 
eşitsizliğini sağlayan (x_1, \ldots, x_n) noktalarının kümesine **açık birim yuvar** denilir.

### Genel alan ve hacim formülleri
Yarıçapı 1 birim olan ve *x*-, *y*- ve  *z*- eksenlerinde değişikliğe sahip olmayan elipsoid birim kürenin klasik denklemini verir.

:f(x,y,z) =  x^2 + y^2 + z^2 = 1
n boyutlu Öklid uzayında   bir birim kürenin hacmi ve birim kürenin yüzey alanı birçok önemli formülde karşımıza çıkabilir.n boyutlu bir kürenin hacmini  *V**n* olarak  gösteririz, bu gama fonksiyonu kullanarak açıklanabilir.
:V_n = \frac{\pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \begin{cases}
{\pi^{n/2}}/{(n/2)!} & \mathrm{if~}n \ge 0\mathrm{~is~even,} \\
~\\
{\pi^{\lfloor n/2 \rfloor}2^{\lceil n/2 \rceil}}/{n!!} & \mathrm{if~}n \ge 0\mathrm{~is~odd,}
\end{cases} 
*n* double faktöriyel demektir.
(n-1) boyutlu birim kürenin hiperhacmi (n boyutta bir yuvarın yüzey alanı gibi) *A**n* ile gösterilir ve alttaki formülle açıklanabilr;
:A_n = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}\,,
Son eşitlikte *n*&nbsp;>&nbsp;0 olan değerler için kullanılabilr.
Bazı n değerleri  için bazı yüzey alanlar ve hacimleri;

*n*&nbsp;≥&nbsp;2 için genişletilmiş ondalık değerleri hassas olarak yuvarlanır.
 
#### Önyineleme
*A**n* değerleri  tekrarlamayı karşılar,
:A_0 = 0
:A_1 = 2
:A_2 = 2\pi
:A_n = \frac{2 \pi}{n-2} A_{n-2} for n > 2.
*V**n* değerleri tekrarlamayı karşılar,
:V_0 = 1
:V_1 = 2
:V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2} for n > 1.
#### Fonksiyonel boyutlar

*A**n* ve *V**n*  herhangi bir gerçek sayı*n*&nbsp;≥&nbsp;0, için hesaplanabilir. n 0 olmayan bir tam sayı olduğunda kürenin alanını  veya yuvarın hacmini saklamak için uygun koşullar vardır.

#### Diğer yarıçapı

Yarıçapı r olan (*n*–1) boyutlu bir kürenin yüzey alanı *A**n*&nbsp;*r**n*&minus;1  ve yarıçapı r olan n boyutlu bir yuvarın hacmi *V**n*&nbsp;*r**n*. For instance, the area is {{Kayma|*A* .Örneğin, yarıçapı r olan üç boyutlu yuvarın yüzey alanı 'dir.Yarıçapı r olan üç boyutlu bir yuvarın hacmi ise  ‘dir.

## Normlu uzaylarda birim yuvarlar
Normlu bir (V, \|\cdot\|) uzayında, açık birim yuvar
: \{ x\in V: \|x\|
kümesi olarak tanımlanır. Benzer bir şekilde,  kapalı birim yuvar
: \{ x\in V: \|x\|\le 1\}
kümesi olarak tanımlanır. Aynı uzayda, birim küre ise
: \{ x\in V: \|x\| = 1 \}
kümesi olarak tanımlanır.

Birim yuvarın şekli tamamen seçilen norma bağlıdır. İyi köşelere sahip olabilir ve [&minus;1,1] gibi görülebilir ve norm *n*,durumunda *l*∞ in *R**n*. Normal yuvarlak bir yuvar genellikle Hilbert spacenormu üzerinde  sonlu-boyutlu Öklid mesafesi üzerinde anlaşılır.Sınırladığı alan birim kürenin genellikle hangi anlama geldiğini tanımlar.*p* çeşitli değerlerinde, birim yuvarın iki boyutlu uzayı<math>\ell^p</math> space   için burada bazı fotoğraflar vardır.(birim yuvar konkav olduğunda *p* C_p;

:C_{0} = C_{\infty} = 8 maximum değerdir.
:C_{1} = 4 \sqrt{2} minimum değerdir.
:C_{2} = 2 \pi \,.

## Genellemeler
### Metrik uzaylar
Yukarıda tanımlanan her üç doğrudan, seçilen orijine göre bir metrik uzay açıkça genelleştirilebilir.Ancak, topolojik düşünceler(iç, kapatma, sınır) aynı yola (ultrametric alanlarda, açık kapalı kümelerin tümü)başvurmaya ihtiyaç duymaz  ve birim küre bazı metrik uzaylarda boş bile olabilir.
### Kuadratik formlar
Eğer  *V* gerçek olan bir doğrusal uzayın  kuadratik form'u  *F*:*V* → R, daha sonra  { p ∈ *V* : *F*(p) = 1 } birim küre  ya da  *V*nin birim yarı küresidir denebilir.Örneğin;kuadrik formu  x^2 - y^2,,birine eşit ayarlandığında  bölünmüş karmaşık sayılar düzleminde birim çember rolünü oynayan birim hiperbol oluşturulur.Kuadratik formu x2 uzayın içinde birim küre için bir çizgi çifti oluşturur.

## Kaynakça