Kartezyen koordinat sistemi

Geometride, bir düzlemdeki **Kartezyen koordinat sistemi**, her noktayı, *koordinatlar* adı verilen bir çift reel sayı ile benzersiz bir şekilde belirleyen bir koordinat sistemidir. Bu koordinatlar, noktanın iki sabit dik yönlendirilmiş doğruya (bunlara *koordinat doğruları*, *koordinat eksenleri* veya kısaca sistemin *eksenleri* denir) olan işaretli uzaklıklarıdır. Eksenlerin kesiştiği nokta *[[Başnokta|orijin]]* (veya başlangıç noktası) olarak adlandırılır ve koordinatları 'dır.

Eksenlerin yönleri bir ortogonal tabanı temsil eder. Orijin ve tabanın kombinasyonu, **Kartezyen çatısı** (*Cartesian frame*) adı verilen bir koordinat çatısını oluşturur. Benzer şekilde, üç boyutlu uzaydaki herhangi bir noktanın konumu, noktanın birbirine dik üç düzleme olan işaretli uzaklıkları olan üç *Kartezyen koordinat* ile belirtilebilir. Daha genel olarak,  Kartezyen koordinat, herhangi bir  boyutu için -boyutlu bir Öklid uzayındaki noktayı belirtir. Bu koordinatlar, noktanın birbirine dik  sabit hiperdüzleme olan işaretli uzaklıklarıdır.

Kartezyen koordinatlar, 17. yüzyıldaki icatlarıyla; geometri problemlerinin cebir ve kalkülüs kullanılarak ifade edilmesine olanak tanıyarak matematikte devrim yaratan René Descartes'a atfen isimlendirilmiştir. Kartezyen koordinat sistemi kullanılarak, geometrik şekiller (örneğin eğriler), şeklin noktalarının koordinatlarını içeren denklemlerle tanımlanabilir. Örneğin, düzlemin orijininde merkezlenmiş 2 yarıçaplı bir çember, koordinatları  ve  olan ve  denklemini sağlayan tüm noktaların kümesi olarak tanımlanabilir; alan, çevre ve herhangi bir noktadaki teğet doğrusu, herhangi bir eğriye uygulanabilecek bir yöntemle integraller ve türevler kullanılarak bu denklemden hesaplanabilir.

Kartezyen koordinatlar, analitik geometrinin temelidir ve lineer cebir, karmaşık analiz, diferansiyel geometri, çok değişkenli kalkülüs, grup teorisi ve daha fazlası gibi matematiğin diğer birçok dalı için aydınlatıcı geometrik yorumlar sağlar. Tanıdık bir örnek, fonksiyon grafiği kavramıdır. Kartezyen koordinatlar ayrıca astronomi, fizik, mühendislik ve daha pek çok geometri ile ilgilenen uygulamalı disiplinler için temel araçlardır. Bilgisayar grafikleri, bilgisayar destekli geometrik tasarım ve diğer geometri ile ilgili veri işleme alanlarında kullanılan en yaygın koordinat sistemidir.

## Tarihçe

*Kartezyen* sıfatı, bu fikri Hollanda'da ikamet ederken 1637'de yayınlayan Fransız matematikçi ve filozof René Descartes'a atıfta bulunur. Bu fikir, aynı zamanda üç boyutta da çalışan Pierre de Fermat tarafından bağımsız olarak keşfedilmiş, ancak Fermat bu keşfi yayımlamamıştır. Fransız din adamı Nicole Oresme, Descartes ve Fermat'tan çok önce Kartezyen koordinatlara benzer yapılar kullanmıştır.

Hem Descartes hem de Fermat, incelemelerinde tek bir eksen kullandılar ve bu eksene referansla ölçülen değişken bir uzunluğa sahiptiler. Bir çift eksen kullanma kavramı, Descartes'ın *[[La Géométrie]]* adlı eserinin 1649'da Frans van Schooten ve öğrencileri tarafından Latince'ye çevrilmesinden sonra tanıtıldı. Bu yorumcular, Descartes'ın çalışmasındaki fikirleri netleştirmeye çalışırken birkaç kavram ortaya attılar.

Kartezyen koordinat sisteminin gelişimi, Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından kalkülüsün geliştirilmesinde temel bir rol oynadı. Düzlemin iki koordinatlı tanımı daha sonra vektör uzayları kavramına genelleştirildi.

Descartes'tan bu yana, düzlem için kutupsal koordinatlar ve üç boyutlu uzay için küresel ve silindirik koordinatlar gibi başka birçok koordinat sistemi geliştirilmiştir.

## Tanım

### Bir boyut

Seçilmiş bir Kartezyen koordinat sistemine sahip bir afin doğruya *sayı doğrusu* denir. Doğru üzerindeki her noktanın bir reel sayı koordinatı vardır ve her reel sayı, doğru üzerinde bir noktayı temsil eder. Bir doğru için Kartezyen koordinat sistemi seçiminde iki serbestlik derecesi vardır; bunlar, doğru boyunca iki farklı nokta seçilerek ve bunlara iki farklı reel sayı (en yaygın olarak sıfır ve bir) atanarak belirtilebilir. Diğer noktalar daha sonra lineer enterpolasyon ile sayılara benzersiz bir şekilde atanabilir.

Eşdeğer olarak, bir nokta belirli bir reel sayıya, örneğin sıfıra karşılık gelen bir *orijin* noktasına atanabilir ve doğru boyunca yönlendirilmiş bir uzunluk birim olarak seçilebilir; buradaki yönelim (*orientation*), doğru boyundaki yönler ile pozitif veya negatif sayılar arasındaki ilişkiyi gösterir. Her nokta, orijine olan işaretli uzaklığına karşılık gelir (uzaklığa eşit bir mutlak değere ve yöne göre seçilen bir  veya  işaretine sahip bir sayı).

Doğrunun geometrik transformasyon, bir reel değişkenli fonksiyon ile temsil edilebilir; örneğin, doğrunun ötelenmesi toplamaya, doğrunun ölçeklenmesi ise çarpmaya karşılık gelir. Doğru üzerindeki herhangi iki Kartezyen koordinat sistemi, bir sistemdeki belirli bir noktanın koordinatını diğer sistemdeki koordinatına götüren bir doğrusal fonksiyon ( formundaki fonksiyon) ile birbirine bağlanabilir. İki farklı doğru için birer koordinat sistemi seçmek, bir doğru üzerindeki her noktayı diğer doğru üzerindeki aynı koordinata sahip noktaya götüren, bir doğrudan diğerine bir afin harita oluşturur.

### İki boyut

İki boyutta bir Kartezyen koordinat sistemi (ayrıca **dikdörtgen koordinat sistemi** veya **Kartezyen ortogonal koordinat sistemi** olarak da adlandırılır), sıralı bir çift dik doğru (eksenler), her iki eksen için tek bir uzunluk birimi ve her eksen için bir yönelim ile tanımlanır. Eksenlerin kesiştiği nokta her ikisi için de orijin olarak alınır, böylece her eksen bir sayı doğrusuna dönüşür. Herhangi bir *P* noktası için, *P* noktasından her bir eksene dik bir doğru çizilir ve ekseni kestiği konum bir sayı olarak yorumlanır. Bu seçilen sıradaki iki sayı, *P* noktasının *Kartezyen koordinatları*dır. Ters işlem, koordinatları verilen *P* noktasının belirlenmesini sağlar.

Birinci ve ikinci koordinatlara sırasıyla *P* noktasının *[[apsis]]*i ve *[[Apsis ve ordinat|ordinat]]*ı denir; eksenlerin kesiştiği nokta ise koordinat sisteminin *orijin*i olarak adlandırılır. Koordinatlar genellikle parantez içinde, virgülle ayrılmış iki sayı olarak yazılır, örneğin . Böylece orijin  koordinatlarına sahiptir ve pozitif yarı eksenler üzerinde, orijinden bir birim uzaklıktaki noktalar  ve  koordinatlarına sahiptir.

Matematik, fizik ve mühendislikte, birinci eksen genellikle yatay ve sağa doğru yönlendirilmiş, ikinci eksen ise dikey ve yukarı doğru yönlendirilmiş olarak tanımlanır veya tasvir edilir. (Ancak, bazı bilgisayar grafikleri bağlamlarında, ordinat ekseni aşağı doğru yönlendirilmiş olabilir.) Orijin genellikle *O* olarak etiketlenir ve iki koordinat genellikle *X* ve *Y* veya *x* ve *y* harfleriyle gösterilir. Eksenler daha sonra *X*-ekseni ve *Y*-ekseni olarak adlandırılabilir. Harf seçimleri, bilinmeyen değerleri göstermek için alfabenin son kısımlarını kullanma yönündeki orijinal uzlaşımdan gelir. Alfabenin ilk kısmı bilinen değerleri (sabitleri) belirtmek için kullanılırdı.

Seçilmiş bir Kartezyen koordinat sistemine sahip bir Öklid düzlemi, **Kartezyen düzlem** olarak adlandırılır. Bir Kartezyen düzlemde, birim çember (yarıçapı uzunluk birimine eşit ve merkezi orijinde olan), birim kare (köşegeni  ve  uç noktalarına sahip olan), birim hiperbol vb. gibi belirli geometrik şekillerin kurallı (kanonik) temsilcileri tanımlanabilir.

İki eksen düzlemi, *kadranlar* adı verilen dört dik açıya böler. Kadranlar çeşitli şekillerde adlandırılabilir veya numaralandırılabilir, ancak tüm koordinatların pozitif olduğu kadran genellikle *birinci kadran* olarak adlandırılır. Bir noktanın koordinatları  ise, bu noktanın *X*-eksenine ve *Y*-eksenine olan uzaklıkları sırasıyla  ve 'tir; burada , bir sayının mutlak değerini belirtir.

### Üç boyut

Üç boyutlu bir uzay için Kartezyen koordinat sistemi, ortak bir noktadan (*orijin*) geçen ve çiftler halinde birbirine dik olan sıralı bir üçlü doğrudan (*eksenler*); her eksen için bir yönelimden; ve üç eksenin tümü için tek bir uzunluk biriminden oluşur. İki boyutlu durumda olduğu gibi, her eksen bir sayı doğrusu haline gelir. Uzayın herhangi bir *P* noktası için, *P* noktasından geçen ve her koordinat eksenine dik olan bir düzlem düşünülür ve bu düzlemin ekseni kestiği nokta bir sayı olarak yorumlanır. *P* noktasının Kartezyen koordinatları, seçilen sıradaki bu üç sayıdır. Ters işlem, üç koordinatı verilen *P* noktasını belirler.

Alternatif olarak, bir *P* noktasının her koordinatı, *P* noktasından diğer iki eksen tarafından tanımlanan düzleme olan uzaklık olarak alınabilir; işaret, ilgili eksenin yönelimine göre belirlenir. Her eksen çifti bir *koordinat düzlemi* tanımlar. Bu düzlemler uzayı sekiz *[[Oktant|oktanta]]* böler. Oktantlar şunlardır:


\begin{align}
(+x,+y,+z) && (-x,+y,+z) && (+x,-y,+z) && (+x,+y,-z) \\
(+x,-y,-z) && (-x,+y,-z) && (-x,-y,+z) && (-x,-y,-z)
\end{align}


Koordinatlar genellikle parantez içine alınmış ve virgülle ayrılmış üç sayı (veya cebirsel formül) olarak yazılır, örneğin  veya . Böylece, orijin  koordinatlarına sahiptir ve üç eksen üzerindeki birim noktalar ,  ve 'dir.

Üç eksendeki koordinatlar için standart isimler *apsis*, *ordinat* ve *aplik*tir (veya kod). Koordinatlar genellikle *x*, *y* ve *z* harfleriyle gösterilir. Eksenler daha sonra sırasıyla *x*-ekseni, *y*-ekseni ve *z*-ekseni olarak adlandırılabilir. Koordinat düzlemleri ise *xy*-düzlemi, *yz*-düzlemi ve *xz*-düzlemi olarak adlandırılabilir.

Matematik, fizik ve mühendislik bağlamlarında, ilk iki eksen genellikle yatay olarak tanımlanır veya tasvir edilir, üçüncü eksen ise yukarıyı işaret eder. Bu durumda üçüncü koordinata *yükseklik* veya *rakım* denebilir. Yönelim genellikle, birinci eksenden ikinci eksene olan 90 derecelik açının  noktasından bakıldığında saat yönünün tersine görüneceği şekilde seçilir; bu kural yaygın olarak *[[sağ el kuralı]]* olarak adlandırılır.

### Daha yüksek boyutlar
Kartezyen koordinatlar benzersiz ve belirsizlikten uzak olduğundan, bir Kartezyen düzlemin noktaları reel sayı çiftleri ile tanımlanabilir; yani, \R^2 = \R\times\R Kartezyen çarpımı ile, burada \R tüm reel sayılar kümesidir. Aynı şekilde, *n* boyutlu herhangi bir Öklid uzayındaki noktalar, *n* reel sayıdan oluşan demetler (listeler) ile tanımlanabilir; yani, \R^n Kartezyen çarpımı ile.

### Genellemeler
Kartezyen koordinat kavramı, birbirine dik olmayan eksenlere ve/veya her eksen boyunca farklı birimlere izin verecek şekilde genelleştirilebilir. Bu durumda, her koordinat, noktanın bir eksen üzerine, diğer eksene (veya genel olarak diğer tüm eksenler tarafından tanımlanan hiperdüzleme) paralel bir yön boyunca izdüşümü alınarak elde edilir. Böyle bir *[[eğik koordinat sistemi]]*nde (*oblique coordinate system*), uzaklık ve açı hesaplamaları standart Kartezyen sistemlerindekinden farklı olarak değiştirilmelidir ve birçok standart formül (uzaklık için Pisagor formülü gibi) geçerli değildir.

## Notasyonlar ve kurallar
Bir noktanın Kartezyen koordinatları genellikle parantez içinde yazılır ve  veya  örneğinde olduğu gibi virgülle ayrılır. Orijin genellikle *O* büyük harfi ile etiketlenir. Analitik geometride, bilinmeyen veya genel koordinatlar genellikle düzlemde (*x*, *y*) ve üç boyutlu uzayda (*x*, *y*, *z*) harfleriyle gösterilir. Bu alışkanlık, (birçok geometrik problemdeki noktaların koordinatları gibi) bilinmeyen değerler için alfabenin sonundaki harfleri ve verilen nicelikler için alfabenin başındaki harfleri kullanan bir cebir geleneğinden gelir.

Bu geleneksel isimler genellikle fizik ve mühendislik gibi diğer alanlarda da kullanılır, ancak başka harfler de kullanılabilir. Örneğin, basıncın zamanla nasıl değiştiğini gösteren bir grafikte, grafik koordinatları *p* ve *t* olarak gösterilebilir. Her eksen genellikle o eksen boyunca ölçülen koordinatın adıyla anılır; bu nedenle *x-ekseni*, *y-ekseni*, *t-ekseni* vb. denir.

Koordinat adlandırmada bir diğer yaygın kural, özellikle *n* 3'ten büyük veya belirtilmemiş olduğunda, *n*-boyutlu bir uzaydaki *n* koordinat için (*x*1, *x*2, ..., *x**n*) şeklinde alt indisler kullanmaktır. Bazı yazarlar (*x*0, *x*1, ..., *x**n*−1) numaralandırmasını tercih eder. Bu gösterimler özellikle bilgisayar programlamada avantajlıdır: Bir noktanın koordinatlarını bir kayıt yerine bir dizi olarak saklayarak, alt indis koordinatları dizinlemek için kullanılabilir.

İki boyutlu Kartezyen sistemlerin matematiksel çizimlerinde, birinci koordinat (geleneksel olarak apsis olarak adlandırılır) soldan sağa yönlendirilmiş yatay bir eksen boyunca ölçülür. İkinci koordinat (ordinat) ise genellikle aşağıdan yukarıya yönlendirilmiş dikey bir eksen boyunca ölçülür. Kartezyen sistemini öğrenen küçük çocuklar, *x*-, *y*- ve *z*-ekseni kavramlarını oturtmadan önce değerleri okuma sırasını öğrenmek için genellikle 2-boyutlu anımsatıcılarla başlarlar (örneğin, önce *x*-ekseni boyunca düz gidip sonra *y*-ekseni boyunca dikey çıkmaya benzetilen 'Koridorda yürü, sonra merdivenleri çık' gibi).

Bununla birlikte, bilgisayar grafikleri ve görüntü işleme, genellikle bilgisayar ekranında *y*-ekseninin aşağı doğru yönlendirildiği bir koordinat sistemi kullanır. Bu kural, 1960'larda (veya daha öncesinde) görüntülerin görüntü tamponlarında (*framebuffer*) orijinal olarak saklanma şeklinden gelişmiştir.

Üç boyutlu sistemler için bir kural, *xy*-düzlemini yatay olarak, *z*-eksenini ise yüksekliği (yukarı pozitif) temsil edecek şekilde ekleyerek tasvir etmektir. Ayrıca, *x*-eksenini izleyiciye doğru, sağa veya sola eğilimli olarak yönlendirme geleneği vardır. Bir diyagram (3B projeksiyon veya 2B perspektif çizimi) *x*- ve *y*-eksenini sırasıyla yatay ve dikey olarak gösteriyorsa, *z*-ekseni "sayfanın dışına", izleyiciye veya kameraya doğru işaret eder şekilde gösterilmelidir. 3B koordinat sisteminin böyle bir 2B diyagramında, *z*-ekseni, varsayılan izleyici veya kamera perspektifine bağlı olarak aşağı ve sola veya aşağı ve sağa işaret eden bir doğru veya ışın olarak görünür.

Herhangi bir diyagramda veya ekranda, üç eksenin bir bütün olarak yönelimi keyfidir. Ancak, eksenlerin birbirine göre yönelimi, aksi belirtilmedikçe her zaman sağ el kuralına uymalıdır. Fiziğin ve matematiğin tüm yasaları, tutarlılığı sağlayan bu sağ elliliği varsayar.

3B diyagramlar için, *x* ve *y* için "apsis" ve "ordinat" isimleri nadiren kullanılır. Kullanıldıklarında, *z*-koordinatı bazen *aplik* (veya *kod*) olarak adlandırılır. *Apsis*, *ordinat* ve *aplik* sözcükleri bazen koordinat değerlerinden ziyade koordinat eksenlerine atıfta bulunmak için kullanılır.

### Bölgeler ve oktantlar

İki boyutlu bir Kartezyen sistemin eksenleri, düzlemi, her biri iki yarı eksenle sınırlanan ve *kadran* adı verilen dört sonsuz alana böler. Bunlar genellikle 1'den 4'e kadar numaralandırılır ve Romen rakamları ile gösterilir: I (koordinatların her ikisinin de pozitif olduğu yer), II (apsisin negatif − ve ordinatın pozitif + olduğu yer), III (hem apsisin hem de ordinatın − olduğu yer) ve IV (apsis +, ordinat −). Eksenler matematiksel geleneğe göre çizildiğinde, numaralandırma sağ üst ("kuzeydoğu") bölgeden başlayarak saat yönünün tersine gider.

Benzer şekilde, üç boyutlu bir Kartezyen sistem, uzayı, noktaların koordinatlarının işaretlerine göre sekiz kadrana veya *[[Oktant|oktanta]]* böler. Belirli bir oktantı adlandırmak için kullanılan kural, işaretlerini listelemektir; örneğin,  veya . Kadran ve oktantın keyfi sayıda boyuta genellemesi *[[ortant]]*tır ve benzer bir adlandırma sistemi geçerlidir.

## Düzlem için Kartezyen formüller
### İki nokta arasındaki uzaklık
Kartezyen koordinatları (x_1, y_1) ve (x_2, y_2) olan düzlemin iki noktası arasındaki Öklid uzaklığı:

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.

Bu, Pisagor teoreminin Kartezyen versiyonudur. Üç boyutlu uzayda, (x_1,y_1,z_1) ve (x_2,y_2,z_2) noktaları arasındaki uzaklık:

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2+ (z_2-z_1)^2} ,

bu da Pisagor teoreminin ardışık iki uygulamasıyla elde edilebilir.

### Öklid transformasyonları
Öklid transformasyonları veya **Öklid hareketleri**, Öklid düzleminin noktalarının kendilerine, noktalar arasındaki uzaklıkları koruyan (birebir ve örten) eşlemeleridir. Bu eşlemelerin (izometriler olarak da adlandırılır) dört türü vardır: Ötelemeler, dönmeler, yansımalar ve ötelemeli yansımalar.

#### Öteleme
Düzlemdeki bir noktalar kümesini, aralarındaki uzaklıkları ve yönleri koruyarak ötelemek, kümedeki her noktanın Kartezyen koordinatlarına sabit bir  sayı çifti eklemeye eşdeğerdir. Yani, bir noktanın orijinal koordinatları  ise, ötelemeden sonra koordinatlar şöyle olacaktır:

(x', y') = (x + a, y + b) .

#### Dönme
Bir şekli orijin etrafında bir \theta açısı kadar saat yönünün tersine döndürmek, (*x*,*y*) koordinatlarına sahip her noktayı (*x*,*y*) koordinatlarına sahip nokta ile değiştirmeye eşdeğerdir; burada:


\begin{align}
x' &= x \cos \theta - y \sin \theta \\
y' &= x \sin \theta + y \cos \theta .
\end{align}


Böylece:

(x',y') = ((x \cos \theta - y \sin \theta\,) , (x \sin \theta + y \cos \theta\,)) .

#### Yansıma
 bir noktanın Kartezyen koordinatları ise, , sanki o doğru bir aynaymış gibi, ikinci koordinat ekseni (y-ekseni) boyunca yansımasının koordinatlarıdır. Benzer şekilde, , birinci koordinat ekseni (x-ekseni) boyunca yansımasının koordinatlarıdır. Daha genel olarak, x-ekseni ile \theta açısı yapan ve orijinden geçen bir doğru boyunca yansıma,  koordinatlarına sahip her noktayı  koordinatlarına sahip nokta ile değiştirmeye eşdeğerdir; burada:


\begin{align}
x' &= x \cos 2\theta + y \sin 2\theta \\
y' &= x \sin 2\theta - y \cos 2\theta .
\end{align}


Böylece:
(x',y') = ((x \cos 2\theta + y \sin 2\theta\,) , (x \sin 2\theta - y \cos 2\theta\,)) .

#### Ötelemeli yansıma
Ötelemeli yansıma, bir doğru boyunca yansıma ve ardından o doğru yönünde bir ötelemenin bileşimidir. Bu işlemlerin sırasının önemli olmadığı görülebilir (önce öteleme, ardından yansıma gelebilir).

#### Transformasyonların genel matris formu
Düzlemin tüm afin transformasyonları, matrisler kullanılarak tekdüze bir şekilde tanımlanabilir. Bu amaçla, bir noktanın (x,y) koordinatları genellikle \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} sütun matrisi olarak temsil edilir. Bir (x,y) noktasına afin dönüşüm uygulamanın sonucu (x', y'), şu formülle verilir:
\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + b,
burada
A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} \\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{pmatrix}
bir 2×2 matris ve b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix} bir sütun matrisidir. Yani,

\begin{align}
x' &= x A_{1,1} + y A_{1,1} + b_{1} \\
y' &= x A_{2,1} + y A_{2, 2} + b_{2}.
\end{align}


Afin transformasyonlar arasında, Öklid transformasyonları, A matrisinin ortogonal olması gerçeğiyle karakterize edilir; yani, sütunları Öklid normu bir olan ortogonal vektörlerdir veya açıkça,
A_{1,1} A_{1, 2} + A_{2,1} A_{2, 2} = 0
ve
A_{1, 1}^2 + A_{2,1}^2 = A_{1,2}^2 + A_{2, 2}^2 = 1.

Bu,  ile transpozesinin çarpımının birim matris olmasına eşdeğerdir. Bu koşullar sağlanmazsa, formül daha genel bir afin dönüşümü tanımlar.

Transformasyon, ancak ve ancak  bir birim matris ise bir ötelemedir. Transformasyon, ancak ve ancak  bir dönme matrisi ise (yani ortogonal ve
 A_{1, 1} A_{2, 2} - A_{2, 1} A_{1, 2} = 1
ise) bir nokta etrafında dönmedir.

Aşağıdaki durumda bir yansıma veya ötelemeli yansıma elde edilir:
 A_{1, 1} A_{2, 2} - A_{2, 1} A_{1, 2} = -1 .

Ötelemelerin kullanılmadığı varsayılırsa (yani, b_1=b_2=0), dönüşümler sadece ilişkili dönüşüm matrislerinin çarpılmasıyla bileşke haline getirilebilir. Genel durumda, dönüşümün ekli matrisini (*augmented matrix*) kullanmak yararlıdır; yani, transformasyon formülünü şu şekilde yeniden yazmak:
\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix} = A' \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix},
burada
A' = \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2}&b_1 \\ A_{2,1} & A_{2,2}&b_2\\0&0&1 \end{pmatrix}.
Bu yöntemle, afin dönüşümlerin bileşkesi, ekli matrislerin çarpılmasıyla elde edilir.

### Afin dönüşümü

Öklid düzleminin afin dönüşümleri, doğruları doğrulara eşleyen ancak uzaklıkları ve açıları değiştirebilen dönüşümlerdir. Önceki bölümde belirtildiği gibi, bunlar ekli matrislerle temsil edilebilir:
\begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{2,1} & b_{1} \\ A_{1,2} & A_{2,2} & b_{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix}.

Öklid transformasyonları, A_{i,j}'nin 2×2 matrisinin ortogonal olduğu afin dönüşümlerdir. İki afin dönüşümün bileşkesini temsil eden ekli matris, bunların ekli matrislerinin çarpılmasıyla elde edilir. Öklid dönüşümü olmayan bazı afin dönüşümler özel isimler almıştır.

#### Ölçekleme
Öklid olmayan bir afin dönüşüm örneği ölçekleme ile verilir. Bir şekli daha büyük veya daha küçük yapmak, her noktanın Kartezyen koordinatlarını aynı pozitif *m* sayısıyla çarpmaya eşdeğerdir. Orijinal şekil üzerindeki bir noktanın koordinatları  ise, ölçeklenmiş şekil üzerindeki karşılık gelen nokta şu koordinatlara sahiptir:

(x',y') = (m x, m y).

Eğer *m* 1'den büyükse, şekil büyür; *m* 0 ile 1 arasındaysa, küçülür.

#### Kesme (Makaslama)
Bir kesme dönüşümü (*shear*), bir karenin üst kısmını yana doğru iterek bir paralelkenar oluşturur. Yatay kesme şu şekilde tanımlanır:

(x',y') = (x+y s, y)

Kesme dikey olarak da uygulanabilir:

(x',y') = (x, x s+y)

## Yönelim ve ellilik

### İki boyutta

*x*-eksenini sabitlemek veya seçmek, *y*-eksenini yönüne kadar belirler. Yani, *y*-ekseni mutlaka *x*-eksenine, *x*-ekseni üzerinde 0 ile işaretlenmiş noktadan geçen dikmedir. Ancak dikme üzerindeki iki yarı doğrudan hangisinin pozitif, hangisinin negatif olarak belirleneceği konusunda bir seçim vardır. Bu iki seçimden her biri, Kartezyen düzlemin farklı bir yönelimini (veya *elliliğini* (*handedness*)) belirler.

Pozitif *x*-ekseninin sağa ve pozitif *y*-ekseninin yukarıyı gösterdiği (ve *x*-ekseninin "birinci", *y*-ekseninin "ikinci" eksen olduğu) düzlemi yönlendirmenin olağan yolu, *pozitif* veya *standart* yönelim veya *sağ elli* yönelim olarak kabul edilir. Pozitif yönelimi tanımlamak için yaygın olarak kullanılan bir anımsatıcı *[[sağ el kuralı]]*dır. Başparmak yukarıyı gösterecek şekilde düzlemin üzerine bir miktar kapalı bir sağ el yerleştirildiğinde, parmaklar pozitif yönlendirilmiş bir koordinat sisteminde *x*-ekseninden *y*-eksenine doğru işaret eder.

Düzlemi yönlendirmenin diğer yolu, başparmak yukarıyı gösterecek şekilde sol eli düzlemin üzerine yerleştirerek *sol el kuralı*nı izlemektir. Başparmak orijinden eksen boyunca pozitife doğru işaret ettiğinde, parmakların eğriliği o eksen boyunca pozitif bir dönüşü gösterir.

Düzlemi yönlendirmek için kullanılan kural ne olursa olsun, koordinat sistemini döndürmek yönelimi koruyacaktır. Herhangi bir ekseni değiştirmek yönelimi tersine çevirir, ancak her ikisini de değiştirmek yönelimi değiştirmeden bırakır.

### Üç boyutta

*x*- ve *y*-eksenleri belirtildikten sonra, *z*-ekseninin üzerinde uzanması gereken doğruyu belirlerler, ancak bu doğru için iki olası yönelim vardır. Ortaya çıkan iki olası koordinat sistemine 'sağ elli' ve 'sol elli' denir. *xy*-düzleminin yatay olduğu ve *z*-ekseninin yukarıyı gösterdiği (ve *xy*-düzlemine *yukarıdan* bakıldığında *x*- ve *y*-ekseninin *xy*-düzleminde pozitif yönlendirilmiş iki boyutlu bir koordinat sistemi oluşturduğu) standart yönelim, **sağ elli** veya **pozitif** olarak adlandırılır.

İsim sağ el kuralından türetilmiştir. Sağ elin işaret parmağı ileriye doğru uzatılırsa, orta parmak ona dik açıyla içe doğru bükülürse ve başparmak her ikisine de dik açıyla yerleştirilirse, üç parmak *sağ elli* bir sistemde *x*-, *y*- ve *z*-eksenlerinin göreceli yönelimini gösterir. Başparmak *x*-eksenini, işaret parmağı *y*-eksenini ve orta parmak *z*-eksenini gösterir. Tersine, aynısı sol el ile yapılırsa, sol elli bir sistem ortaya çıkar.

Şekil 7, bir sol ve bir sağ elli koordinat sistemini tasvir etmektedir. Üç boyutlu bir nesne iki boyutlu ekranda temsil edildiğinden, bozulma ve belirsizlik ortaya çıkar. Aşağı (ve sağa) işaret eden eksen aynı zamanda izleyiciye *doğru* işaret etmeyi amaçlarken, "orta" eksen izleyiciden *uzağa* işaret etmeyi amaçlar. Kırmızı daire, yatay *xy*-düzlemine *paraleldir* ve (her iki durumda da) *x*-ekseninden *y*-eksenine dönüşü gösterir. Bu nedenle kırmızı ok *z*-ekseninin *önünden* geçer.

Şekil 8, sağ elli bir koordinat sistemini tasvir etmenin başka bir girişimidir. Yine, üç boyutlu koordinat sistemini düzleme yansıtmaktan kaynaklanan bir belirsizlik vardır. Birçok gözlemci, Şekil 8'i dışbükey bir küp ile içbükey bir "köşe" arasında "gidip gelen" bir şekil olarak görür. Bu, uzayın iki olası yönelimine karşılık gelir. Şekli dışbükey olarak görmek sol elli bir koordinat sistemi verir. Bu nedenle Şekil 8'i görüntülemenin "doğru" yolu, *x*-ekseninin izleyiciye *doğru* işaret ettiğini hayal etmek ve böylece içbükey bir köşe görmektir.

## Vektörün standart tabanda gösterimi
Kartezyen koordinat sistemindeki uzayda bir nokta, koordinat sisteminin orijininden noktaya işaret eden bir ok olarak düşünülebilen bir konum vektörü ile de temsil edilebilir. Koordinatlar uzaysal konumları (yer değiştirmeleri) temsil ediyorsa, orijinden ilgi noktasına olan vektörü \mathbf{r} olarak temsil etmek yaygındır. İki boyutta, orijinden (x, y) Kartezyen koordinatlarına sahip noktaya olan vektör şöyle yazılabilir:

 \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j},

burada \mathbf{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ve \mathbf{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}, sırasıyla *x*-ekseni ve *y*-ekseni yönündeki birim vektörlerdir ve genellikle *[[Standart baz|standart taban]]* olarak adlandırılır (bazı uygulama alanlarında bunlara versörler (kuaterniyonun dönme faktörü) de denilebilir).

Benzer şekilde, üç boyutta, orijinden (x,y,z) Kartezyen koordinatlarına sahip noktaya olan vektör şöyle yazılabilir:
 \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k},

burada \mathbf{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, ve \mathbf{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.

Başka bir vektör elde etmek için vektörleri çarpmanın tüm boyutlarda çalışan *doğal* bir yorumu yoktur, ancak böyle bir çarpımı sağlamak için karmaşık sayıları kullanmanın bir yolu vardır. İki boyutlu bir kartezyen düzlemde,  koordinatlarına sahip noktayı  karmaşık sayısı ile özdeşleştirin. Burada, *i* sanal birimdir ve  koordinatlarına sahip nokta ile özdeşleştirilir, bu nedenle *x*-ekseni yönündeki birim vektör *değildir*. Karmaşık sayılar çarpılarak başka bir karmaşık sayı verebildiğinden, bu özdeşleştirme vektörleri "çarpmak" için bir yol sağlar. Üç boyutlu bir kartezyen uzayda, kuaterniyonların bir alt kümesi ile benzer bir özdeşleştirme yapılabilir.

## Ayrıca bakınız
* Ortogonal koordinatlar, bir tür eğrisel koordinat sistemi
* Kutupsal koordinat sistemi
* Küresel koordinat sistemi

## Notlar

## Kaynakça

## Genel ve atıf yapılan referanslar
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Konuyla ilgili yayınlar
* 
* 
* 
* 
* 
* 

## Dış bağlantılar
* Kartezyen Koordinat Sistemi
* 
* Koordinat Dönüştürücü – kutupsal, Kartezyen ve küresel koordinatlar arasında dönüşüm yapar
* Bir noktanın koordinatları – bir noktanın koordinatlarını keşfetmek için etkileşimli araç
* 2B/3B Kartezyen koordinat sistemi manipülasyonu için açık kaynaklı JavaScript sınıfı