De Gua teoremi

Adını Fransız matematikçi Jean Paul de Gua de Malves'den alan **De Gua teoremi**, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir.

## Açıklama
Bir dört yüzlünün dik açılı bir köşesi varsa (bir küpün köşesi gibi), o zaman dik köşenin karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir.

:  A_{ABC}^2 = A_{\color {blue} ABO}^2+A_{\color {green} ACO}^2+A_{\color {red} BCO}^2 

## Genellemeler
Pisagor teoremi ve de Gua teoremi dik köşe açılı ''n-''simpleks (*n* = 2, 3) hakkındaki genel bir teoremin özel durumlardır. Bu da Donald R. Conant ve William A. Beyer'in daha genel bir teoreminin özel bir durumudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

*U*, \mathbb{R}^n'nin (k \le n olmak üzere) *k*-boyutlu afin alt uzayının ölçülebilir bir alt kümesi olsun. Tam olarak *k* elemanlı herhangi bir I \subseteq \{ 1, \ldots, n \} alt kümesi için, U_I *U'nun* e_{i_1}, \ldots, e_{i_k} doğrusal açıklığı üzerine ortogonal izdüşümü olsun, burada I = \{i_1, \ldots, i_k\} ve e_1, \ldots, e_n \mathbb{R}^niçin standart taban (doğal taban)dır. Sonra,

: \mbox{vol}_k^2(U) = \sum_I \mbox{vol}_k^2(U_I),

burada \mbox{vol}_k(U) *U'nun* *k*-boyutlu hacmi ve toplam *k* elementli tüm I \subseteq \{ 1, \ldots, n \} alt kümeler üzerindedir.

De Gua'nın teoremi ve dik köşe açılı n-simpliklere genellemesi (yukarıda), *k* = *n*-1 ve *U*’nun koordinat eksenlerinde köşeleri olan \mathbb{R}^n'de bir (n−1)-simpleks olduğu özel duruma karşılık gelir. Örneğin, *n* = 3, *k* = 2 ve *U* \mathbb{R}^3içinde *A*, *B* ve *C* köşeleri sırasıyla x_1, x_2 ve x_3 eksenlerinde yer alan \triangle ABC üçgenidir. \{ 1, 2, 3 \}'ün tam olarak 2 elemanlı alt kümeleri I, \{ 2,3 \}, \{ 1,3 \} ve \{ 1,2 \}'dir. Tanım olarak, U_{\{ 2,3 \}} U = \triangle ABC'nin x_2 x_3-düzleminde ortogonal izdüşümüdür, yani U_{\{ 2,3 \}} köşeleri *O*, *B* ve *C* olan \triangle OBC üçgenidir, burada *O '<math>\mathbb{R}^3</math>*'ün orjinidir. Benzer şekilde, U_{\{ 1,3 \}} = \triangle AOC ve U_{\{ 1,2 \}} = \triangle ABO olup, Conant-Beyer teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir;

: \mbox{vol}_2^2(\triangle ABC) = \mbox{vol}_2^2(\triangle OBC) + 
\mbox{vol}_2^2(\triangle AOC) + \mbox{vol}_2^2(\triangle ABO),

bu ise de Gua teoremidir.

De Gua teoreminin dik köşe açılı *n-*simplekslere genelleştirilmesi de Cayley-Menger determinat formülünün özel bir durumu olarak elde edilebilir.

## Tarihçe
Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785), bu teoremi 1783'te yayınladı, ancak aynı zamanda teoremin biraz daha genel bir versiyonu başka bir Fransız matematikçi Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818) tarafından da yayınlandı. Ancak teorem, Johann Faulhaber (1580-1635) ve René Descartes (1596-1650) tarafından çok daha önce biliniyordu.

## Teoremin İspatı
### İspat 1
Bir köşesi dik açılı olan bir dört yüzlü verilsin. Dik açılı köşeye dokunan üç yüzün alanları A_1, A_2, A_3 ve dik açılı köşenin karşısındaki "hipotenüs yüzü" alanı H şeklinde etiketlensin, De Gua teoremi aşağıdaki eşitliği ifade etmektedir:

::H^2 = (A_1)^2 + (A_2)^2 + (A_3)^2.

Bu ispatta Heron formülünü kullanacağız. Heron formülü, bir üçgenin alanını kenar uzunlukları cinsinden verir. Kenarları a, b, c ve yarı çevresi s = \frac12 (a + b + c) olan bir üçgenin alanı aşağıdaki şekilde bulunur:

::A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}.

De Gua teoremi bağlamında, dört yüzlünün altı bacağı, l_1, l_2, l_3 ve h_1, h_2, h_3 şeklinde etiketlensin. Burada l_i, dik açılı köşeden çıkan bacaklar ve h_i ise hipotenüs yüzünün üç kenarıdır.

Dik açılı köşeye temas eden üç yüzün alanları sırasıyla;

::A_3 = \frac12 l_1\cdot l_2, \quad A_1 = \frac12 l_2\cdot l_3, \quad A_2 = \frac12 l_3 \cdot l_1.'dir.

Heron formülünü kullanarak hipotenüs yüzünün alanı aşağıdaki şekilde hesaplanır:

::H = \frac14 \sqrt{(h_1 + h_2 + h_3)(h_1 + h_2 - h_3)(h_2 + h_3 - h_1)(h_3 + h_1 - h_2)}.

Bunu bazı cebirsel işlemlerle aşağıdaki şekilde genişletebiliriz.

::H^2 = \frac1{16} \left(  2 h_1^2 h_3^2 + 2 h_2^2 h_3^2 + 2 h_1^2 h_2^2 - h_1^4 - h_2^4 - h_3^4 \right).

Şimdi, Pisagor teoremini kullanarak elde edebileceğimiz uzunluklar,

::h_1^2 = l_2^2 + l_3^2, \quad h_2^2 = l_1^2 + l_3^2, \quad h_3^2 = l_1^2 + l_2^2 olarak hesaplanır.

Ve böylece terimleri yerine koyup sadeleştirerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

::H^2 = \frac1{4} \left( l_1^2 l_2^2 + l_3^2 l_2^2 + l_1^2 l_3^2\right)

ve teorem kanıtlanmış olur.

### İspat 2
OA, OB, OC kenarlarının ilgili uzunlukları a, b, c olsun.

Dört yüzlü tarafından kesilen şeklin iç hacmi,  =   A_{\color {blue} ABO} = A_{\color {green} ACO} =  A_{\color {red} BCO} aynı zamanda h, ABC yüzü ile ilişkili yüksekliği göstermek üzere  A_{ABC}'ye eşittir.

\scriptstyle \overrightarrow {n} = (bc)^2 \overrightarrow{OA} + (ac)^2 \overrightarrow{OB} + (ab)^2 \overrightarrow{OC} vektörü gibi ABC düzlemine normaldir, bu yükseklik \scriptstyle h={\over || \overrightarrow n||} ile gösterilir.

Dolayısıyla, hacimleri eşitleyerek: \frac{abc}6=\frac13\frac{abc}{\sqrt{(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2}}A_{ABC}. Ve basitleştirerek 4A_{ABC}^2 = (ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2'ye yani istenen formüle ulaşılır.

## Notlar

## Kaynakça

* 
* Sergio A. Alvarez: ''Note on an n-dimensional Pythagorean theorem'' , Carnegie Mellon University.
* ''De Gua's Theorem, Pythagorean theorem in 3-D''  - Graphical illustration and related properties of the tetrahedron.

## Konuyla ilgili yayınlar

*  Proof of de Gua's theorem and of generalizations to arbitrary tetrahedra and to pyramids.
*  Application of de Gua's theorem for proving a special case of Heron's formula.
* Rasul A. Khan, (2013), *The cosine rule in three dimensions and de Gua's theorem*, The Mathematical Gazette, Volume 97, Issue 539, ss. 281-284, https://doi.org/10.1017/S0025557200005945, 
* Charles Frohman, (2010), *The Full Pythagorean Theorem*, s. 3, Makale 
* Magdalini Kokkaliari, (2013), *The Pythagoras' Theorem: Is the Methuselah theorem still alive?*, Makale