Einstein ilişkisi (kinetik teori)

Fizikte (özellikle gazların kinetik teorisinde) **Einstein ilişkisi**; 1904'te William Sutherland'in, 1905'te Albert Einstein'ın ve 1906'da Marian Smoluchowski'nin Brown hareketi üzerine yaptıkları çalışmalarında bağımsız olarak ortaya koydukları önceden beklenmedik bir bağlantıdır. Denklemin daha genel biçimi:

:  D = \mu \, k_\text{B} T, 

burada;

: *D* difüzyon katsayısıdır;
: *μ*, "hareketlilik" veya parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir kuvvete oranıdır, *μ* = *v*d/*F*;
: *k*B, Boltzmann sabitidir;
: *T* mutlak sıcaklıktır.

Bu denklem, bir dalgalanma-dağılım teoreminin erken bir örneğidir.

İlişkinin sık kullanılan iki önemli özel biçimi şunlardır:

: D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q} (**elektriksel hareketlilik denklemi**, yüklü parçacıkların difüzyonu için
: D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r}  (**Stokes-Einstein denklemi**, küresel parçacıkların düşük Reynolds sayılı bir sıvıdan difüzyonu için)

burada;

: *q*, bir parçacığın elektrik yüküdür;
: *μ<sub>q</sub>*, yüklü parçacığın elektriksel hareketliliğidir;
: *η* dinamik viskozitedir;
: *r*, küresel parçacığın yarıçapıdır.

## Özel durumlar

### Elektriksel hareketlilik denklemi
Elektrik yükü *q* olan bir parçacık için, elektriksel hareketliliği *μ<sub>q</sub>*, genelleştirilmiş hareketliliği *μ* ile *μ* = *μ<sub>q</sub>*/*q* denklemiyle ilişkilidir. *μ<sub>q</sub>* parametresi, parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir elektrik alanına oranıdır. Bu nedenle, yüklü bir parçacık durumunda denklem şu şekilde verilir:

: D = \frac{\mu_q \, k_\text{B} T}{q},

burada;

* D difüzyon katsayısıdır (\mathrm{m^2s^{-1}}).
* \mu_q elektriksel hareketliliktir (\mathrm{m^2V^{-1}s^{-1}}).
* q parçacığın elektrik yüküdür (C, coulomb)
* T plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (K).

Sıcaklık, plazma için daha yaygın olan Volt cinsinden verilirse:

: D = \frac{\mu_q \, T}{Z},

burada;

* Z parçacığın yük sayısıdır (birimsiz)
* T plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (V).

### Stokes-Einstein denklemi
Düşük Reynolds sayısı sınırında; hareketlilik μ, sürtünme katsayısı \zeta'nın tersidir. Yayılan nesnenin ters momentum gevşeme süresi (atalet momentumunun rastgele momente kıyasla ihmal edilebilir hale gelmesi için gereken süre) için bir sönüm sabiti \gamma = \zeta / m sıklıkla kullanılır. Yarıçapı r olan küresel parçacıklar için Stokes yasası:

: \zeta = 6 \pi \, \eta \, r,

burada \eta ortamın viskozitesidir. Böylece Einstein-Smoluchowski ilişkisi Stokes-Einstein ilişkisi ile sonuçlanır:

: D = \frac{k_\text{B} T}{6\pi\,\eta\,r}.

Bu, sıvılarda öz-difüzyon katsayısını tahmin etmek için uzun yıllar boyunca uygulandı ve izomorf teorisi ile tutarlı bir versiyon, Lennard-Jones sisteminin bilgisayar simülasyonları ile doğrulandı.

Dönel difüzyon durumunda, sürtünme \zeta_\text{r} = 8 \pi \eta r^3 ve rotasyonel difüzyon sabiti D_\text{r}:

: D_\text{r} = \frac{k_\text{B} T}{8\pi\,\eta\,r^3}.

### Yarı iletken
Rastgele bir durum yoğunluğuna sahip bir yarı iletkende, yani deliklerin veya elektronların yoğunluğu p ve karşılık gelen yarı Fermi seviyesi (veya elektrokimyasal potansiyel) \varphi arasındaki p = p(\varphi) formunun bir ilişkisi, Einstein ilişkisi şöyledir:

: D = \frac{\mu_q p}{q \frac{dp}{d\varphi}},

burada \mu_q elektriksel hareketliliktir. Durumların yoğunluğu için parabolik bir dağılım ilişkisini varsayan bir örnek ve genellikle inorganik yarı iletken malzemeleri tanımlamak için kullanılan Maxwell-Boltzmann istatistikleri hesaplanabilir:

: p(\varphi) = N_0 e^{\frac{q \varphi}{k_\text{B} T}},

buradaN_0 N_0, basitleştirilmiş ilişkiyi veren mevcut enerji durumlarının toplam yoğunluğudur:

: D = \mu_q \frac{k_\text{B} T}{q}.

### Nernst-Einstein denklemi
Bir elektrolitin eşdeğer iletkenliğinin ifadelerinden katyonların ve anyonların elektrik iyonik hareketlilik ifadelerindeki difüziviteleri değiştirerek, Nernst-Einstein denklemi türetilir:

: \Lambda_e = \frac{z_i^2 F^2}{RT}(D_+ + D_-).

## Genel durumun kanıtı
Einstein ilişkisinin kanıtı birçok referansta bulunabilir, örneğin bkz. Kubo.

Bazı sabit, harici potansiyel enerji U'nun, belirli bir \mathbf{x} konumunda bulunan bir parçacık üzerinde korunumlu bir F(\mathbf{x})=-\nabla U(\mathbf{x}) kuvveti (örneğin, bir elektrik kuvveti) oluşturduğunu varsayalım. Parçacığın v(\mathbf{x})=\mu(\mathbf{x}) F(\mathbf{x}) hızıyla hareket ederek tepki vereceğini varsayıyoruz. Şimdi konumun bir fonksiyonu olarak yerel derişim \rho(\mathbf{x}) olan çok sayıda böyle parçacık olduğunu varsayalım. Bir süre sonra denge kurulacaktır: parçacıklar en düşük potansiyel enerji U'ya sahip alanların etrafında yığılacaktır, ancak yine de difüzyon nedeniyle bir dereceye kadar yayılacaktır. Dengede, parçacıkların net akışı yoktur: parçacıkların sürüklenme akımı olarak adlandırılan daha düşük U'ya doğru çekilme eğilimi, parçacıkların difüzyon nedeniyle yayılma eğilimini mükemmel bir şekilde dengeler ve buna difüzyon akımı denir (bkz. sürüklenme-difüzyon denklemi).

Sürüklenme akımı nedeniyle parçacıkların net akışı:

: \mathbf{J}_\mathrm{drift}(\mathbf{x}) = \mu(\mathbf{x}) F(\mathbf{x}) \rho(\mathbf{x}) = -\rho(\mathbf{x}) \mu(\mathbf{x}) \nabla U(\mathbf{x}),

yani, belirli bir konumdan geçen parçacıkların sayısı, parçacık konsantrasyonu çarpı ortalama hıza eşittir.

Difüzyon akımı nedeniyle parçacıkların akışı, Fick yasasına göre,

: \mathbf{J}_\mathrm{diffusion}(\mathbf{x})=-D(\mathbf{x}) \nabla \rho(\mathbf{x}),

burada eksi işareti, parçacıkların daha yüksek derişimden daha düşük derişime aktığı anlamına gelir.

Şimdi denge durumunu düşünün. İlk olarak, net akış yoktur, yani \mathbf{J}_\mathrm{drift} + \mathbf{J}_\mathrm{diffusion} = 0. İkincisi, etkileşmeyen nokta parçacıklar için, denge yoğunluğu \rho yalnızca yerel potansiyel enerji U'nin bir fonksiyonudur, yani iki konum aynı U'ya sahipse, o zaman aynı \rho'ye de sahip olacaklardır (örneğin aşağıda tartışıldığı gibi Maxwell-Boltzmann istatistiklerine bakınız). Bunun anlamı, zincir kuralının uygulanması,

: \nabla\rho = \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U} \nabla U.

Bu nedenle, dengede:

: 0 = \mathbf{J}_\mathrm{drift} + \mathbf{J}_\mathrm{diffusion} = -\mu \rho \nabla U - D \nabla \rho = \left(-\mu \rho - D \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}\right)\nabla U.

Bu ifade her \mathbf{x} konumunda geçerli olduğundan, Einstein ilişkisinin genel biçimini ifade eder:

: D = -\mu \frac{\rho}{\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}}.

Klasik parçacıklar için \rho ve U arasındaki ilişki Maxwell-Boltzmann istatistikleriyle modellenebilir:

: \rho(\mathbf{x}) = A e^{-\frac{U(\mathbf{x})}{k_{\rm B} T}},

burada A toplam parçacık sayısıyla ilgili bir sabittir. Bu nedenle:

: \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U} = -\frac{1}{k_{\rm B} T}\rho.

Bu varsayım altında, bu denklemi genel Einstein ilişkisine dahil etmek şunları verir:

: D = -\mu \frac{\rho}{\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d} U}} = \mu k_{\rm B} T,

ki bu klasik Einstein ilişkisine karşılık gelir.

## Ayrıca bakınız

* Smoluchowski faktörü
* İletkenlik (elektrolitik)
* Stokes yarıçapı
* İyon taşıma numarası

## Kaynakça

## Dış bağlantılar

* Einstein ilişki hesaplayıcıları
* İyon yayılımı