Sönümlü poisson denklemi

Fizikte, **Sönümlü Poisson Denklemi** :

:
\left[ \Delta - \lambda^2 \right] u(\mathbf{r}) = - f(\mathbf{r})


biçiminde Kısmi Diferansiyel Denklemdir. Burada \Delta Laplasyene, *f* herhangi bir (kaynak fonksiyonu olarak da bilinen) konum fonksiyonuna ve *u* da belirlenecek fonksiyona karşılık gelmektedir. Sönümlü Poisson Denklemi sık sık Hideki Yukava'nın mezonlar teorisini ve de plazmada elektrik alan sönümlenmesini içeren fizik alanlarında karşımıza çıkar.

Homojen durumda (f=0), sönümlü Poisson denklemi, zamandan bağımsız Klein-Gordon denklemi ile aynıdır. İnhomojen durumda ise sönümlü Poisson denklemi, İnhomojen Helmholtz Denklemine çok yakındır, tek fark köşebentlerin içindeki işarettir.

Genellemeyi kaybetmeden, λ'yı negatif olarak almayacağız. λ sıfır olduğu zaman, denklem Poisson denklemi olacaktır. Dolayısıyla, λ çok küçük olduğu zaman, boyutun n=3 olduğu ve de *1/r* fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu *f* ile süperpozisyon olduğu sönümsüz Poisson denkleminin çözümüne bizim çözümümüz yaklaşacaktır.

:
u(\mathbf{r})_{(\text{Poisson})} = \iiint \mathrm{d}^3r' \frac{f(\mathbf{r}')}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}.


Diğer taraftan, *λ* çok büyük olduğu zaman, *u*, *f/λ²* değerine ulaşacaktır ki bu da *λ* sıfıra giderken sonsuza gidecektir. Göreceğimiz gibi, *λ*'nın normal değerleri için çözüm **sönümlü**  1/*r* fonksiyonları ile sönümün gücünü gösteren *λ* 'nın süperpozisyonu olacaktır.

Sönümlü Poisson Denklemi genel bir *f* için Green fonksiyonu yöntemini kullanarak çözülebilir. Green Fonksiyonu *G*

:
\left[ \Delta - \lambda^2 \right] G(\mathbf{r}) = - \delta^3(\mathbf{r}).


olarak tanımlanır. *u* ve onun türevlerinin büyük *r* değerleri için sıfırlandığını varsayarsak, sürekli Fourier dönüşümünü uzaysal koordinatlarda uygulayabiliriz;

:
G(\mathbf{k}) = \iiint \mathrm{d}^3r \; G(\mathbf{r}) e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}


Burada integral tüm uzay üzerinden alınmıştır, anlaşılır şekilde şu da gösterilebilir

:
\left[ k^2 + \lambda^2 \right] G(\mathbf{k}) = 1.


*r* argümanlı Green fonksiyonunu ters Fourier dönüşümü yapılarak bulunabilir,

:
G(\mathbf{r}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \; \iiint \mathrm{d}^3\!k \; \frac{e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}}{k^2 + \lambda^2}.


Bu integralin değeri *k*-uzayında Küresel koordinatları kullanarak bulunabilir. Açısal koordinatlar üzerinden integral açık bir şekilde, bir bölü çizgisel dalga numarası  k_r  na dönüşür:

:
G(\mathbf{r}) = \frac{1}{2\pi^2 r} \; \int_0^{+\infty} \mathrm{d}k_r \; \frac{k_r \, \sin k_r r }{k_r^2 + \lambda^2}.


Bu ise Çizgi integrali kullanılarak bulunabilir ve sonuç :

:
G(\mathbf{r}) = \frac{e^{- \lambda r}}{4\pi r}.


Daha sonra problemin tümü için çözüm

:
u(\mathbf{r}) = \int \mathrm{d}^3r' G(\mathbf{r} - \mathbf{r}') f(\mathbf{r}')
= \int \mathrm{d}^3r' \frac{e^{- \lambda |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}}{4\pi |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} f(\mathbf{r}').


olarak bulunur. Üsttede belirtildiği gibi bu sönümlenmiş 1/*r* fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu ile güçlendirilip sönümlenme gücü gibi davranan *λ* ile süperpozisyonudur. Sönümlenmiş 1/*r* fonksiyonu genellikle fizikte Yukawa Potansiyeli olarak da bilinen sönümlenmiş Coulomb potansiyeli olarak karşımıza çıkar.

İki Boyutta:
Manyetik Plazma düşünüldüğünde **sönümlü poisson denklemi** 2boyutluya benzerdir:

:  \left( \Delta_\perp -\frac{1}{\rho^2} \right)u(\mathbf{r}_\perp) = -f(\mathbf{r}_\perp)  
burada \Delta_\perp=\nabla\cdot\nabla_\perp ve \nabla_\perp=\nabla-\frac{\mathbf{B}}{B}\cdot \nabla, \mathbf{B} manyetik alana ve \rho ise Larmor radius a tekamül etmektedir. İlgili Green fonksiyonunun Fourier dönüşümü :

:  G(\mathbf{k_\perp}) = \int\int d^2 r~G(\mathbf{r}_\perp)e^{-i\mathbf{k}_\perp\cdot\mathbf{r}_\perp} 

Daha sonra 2 boyutlu **sönümlü poisson denklemi** ile

:  \left( k_\perp^2 +\frac{1}{\rho^2} \right)G(\mathbf{k}_\perp) = 1  

olur. Dolayısıyla ters Fourier dönüşümü ile Green fonksiyonu:

:
G(\mathbf{r}_\perp) = \frac{1}{4\pi^2} \; \int\int \mathrm{d}^2\!k \; \frac{e^{i \mathbf{k}_\perp \cdot \mathbf{r}_\perp}}{k_\perp^2 + 1 / \rho^2}.


halini alır. k-uzayda (k'nın uzayın bazları olduğu kabul edildiğinde) Kutupsal koordinatlar kullanılarak bu integral çözülebilir :

:  \mathbf{k}_\perp = (k_r\cos(\theta),k_r\sin(\theta)) 

Açısal koordinatlardan integral hesap edildiğinde, bu integral bir bölü çizgisel dalganumarası  k_r  'na dönüşür:

:
G(\mathbf{r}_\perp) = \frac{1}{2\pi} \; \int_{0}^{+\infty} \mathrm{d}k_r \; \frac{k_r e^{i k_r r_\perp}}{k_r^2 + 1 / \rho^2}.


## Ayrıca bakınız
* Yukawa Etkileşimi