Lie eşcebri

Matematik'te bir **Lie eşcebri** ikili yapıda  bir Lie cebridir.

sonlu boyutlular içinde, burada ikili nesnelerdir: Lie eşcebrinin yapısı bir Lie cebri doğasında  **ikili  [[vektör uzayı]]**dır ve terside var.

## Tanım
Diyelimki *E* bir vektör uzayı üzerinde bir *k*  alanı donanımı ile bir doğrusal gönderim d\colon E \to E \wedge E olsun *E* den  *E* ile kendisinin dış çarpımı'nadır, bunu genişletmekte mümkündür *d* bir kademe türevi tekliğine (bunun anlamı, herhangi *a*, *b* için  &isin; *E* homojen elemanılarıdır, d(a \wedge b) = (da)\wedge b + (-1)^{\operatorname{deg} a} a \wedge(db)) *E* dış cebiri'nin derecesi 1 olsun:
:d\colon \bigwedge^\bullet E\rightarrow \bigwedge^{\bullet+1} E.
öyleyse (*E*, *d*) çifti eğer *d*2 = 0 ise bir Lie eşcebri olduğu söylenir,
örneğin eğer dış cebri'nin kademeli bileşenleri  ile türevleri (\bigwedge^* E, d)
bir eşzincir karmaşık formudur:
:E\ \rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ E\wedge E\ \rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ \bigwedge^3 E\rightarrow^{\!\!\!\!\!\!d}\ \dots

### De Rham karmaşık İlişkisi
vektör alanları'nın dış cebri  olarak (ve tensör cebri) sadece  diferansiyel formların de Rham karmaşığı olarak bir manifold formun bir  Lie eşcebri(*K* baz alanı üzerindedir. Ayrıca, vektör alanları ve diferansiyel formlar arasında bir eşleştirme vardır.
ancak, durum ustacadır: Lie braketi düzgün fonksiyon C^\infty(M) un üzerindeki cebir doğrusal değildir (hatta Lie türevidir) veya dış türev'i değildir: d(fg) = (df)g + f(dg) \neq f(dg) (bunun bir türevidir, fonksiyonları üzerinde doğrusal değil): bu tensör değildir. Onlar fonksiyonları üzerinde doğrusal olmayan, ama tutarlı bir şekilde davranırlar, Lie cebir ve Lie eşcebri kavramı basitçe yakalanamaz.
Daha fazla, de Rham karmaşığı içinde, derivasyon için tanımlanan sadece\Omega^1 \to \Omega^2, aynı zamanda C^\infty(M) \to \Omega^1(M) için tanımlanmıştır.

## Lie cebri olarak ikili yapı
Bir vektör uzayı üzerinde bir Lie cebir yapı haritası [\cdot,\cdot]\colon \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}  çarpık-simetrik'tir ve Jacobi özdeşliği tatmin edicidir.Eşdeğer bir harita [\cdot,\cdot]\colon
\mathfrak{g} \wedge \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} bu Jacobi özdeşliği tatmin edicidir.

Ikili, bir vektör uzayı diyelim ki *E* üzerinde bir Lie eşcebri yapısı doğrusal bir harita d\colon E \to E \otimes E bu antisimetriktir (Bu bunu karşılamak demektir  \tau \circ d = -d , burada  \tau  kurallı çevirmedir E \otimes E \to E \otimes E ) ve *eşdöngü durumu* denmesi uygundur (ayrıca *eş-Leibniz kuralı* olarak da bilinir)

: \left(d\otimes \mathrm{id}\right)\circ d = \left(\mathrm{id}\otimes d\right)\circ d+\left(\mathrm{id} \otimes \tau\right)\circ\left(d\otimes \mathrm{id}\right)\circ d .

Antisimetri durumuna ikili, harita d\colon E \to E \otimes E ayrıca bir harita olarak yazılabilir d\colon E \to E \wedge E.

bir Lie cebrinin Lie braketi çiftinin   \mathfrak g  ürün bir haritası (eşdeğişmeli)
:[\cdot,\cdot]^*\colon \mathfrak{g}^* \to (\mathfrak{g} \wedge \mathfrak{g})^* \cong \mathfrak{g}^* \wedge \mathfrak{g}^*
burada izomorfizm \cong sonlu boyut içinde tutunur;Lie eşçarpımı'nin ikilisi için ikilidir. Bu konu içinde, Jacobi özdeşliği eşdöngü durumuna karşı gelir.

Daha açıkçası, diyelim ki *E* karakteristik ne *2* ne de *3* bir alan üzerinde bir Lie eşcebri olsun.Çift alan *E** ile tanımlanan bir braket yapısını taşır

:&alpha;([*x*, *y*]) = *d*&alpha;(*x*&and;*y*), hepsi için &alpha; &isin; *E* ve*x*,*y* &isin; *E**.

Bizim gösterdiğimiz bu bağlantı *E** ile bir Lie braketidir.
Jacobi özdeşliği ile  kontrol etmek için yeterlidir .Herhangi *x*, *y*, *z* ∈ *E** ve α ∈ *E* için 
:d^2\alpha (x\wedge y\wedge z) = \frac{1}{3} d^2\alpha(x\wedge y\wedge z + y\wedge z\wedge x + z\wedge x\wedge y) =  \frac{1}{3} \left(d\alpha([x, y]\wedge z) + d\alpha([y, z]\wedge x) +d\alpha([z, x]\wedge y)\right),
burada ikinci adım eşlenikler arasında kama çarpımı ile bir kama çarpımı çifti, standart ayrımı aşağıdadır . 
sonucu şudur
:d^2\alpha (x\wedge y\wedge z) = \frac{1}{3} \left(\alpha([x, y], z]) + \alpha([[y, z], x])+\alpha([[z, x], y])\right).</math>
dolayısıyla ''d''<sup>2</sup> = 0, bu  aşağıdadır
:<math>\alpha([[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y]) = 0</math>, için herhangi &alpha;, ''x'', ''y'' ve ''z''.
Böylece, çift ikilik izomorfizmi (daha doğrusu, çift ikilikli monomorfizm tarafından, dolayı sonlu boyutlu vektör uzayına gerek olmayabilir) tarafından, Jacobi özdeşliğine uyar.

özel olarak, unutmayın [eşdöngü durumunu bu kanıt göstermektedir *d*2 = 0 içinde, Jacobi özdeşliği içinde bir ikili anlamdır

## Kaynakça

*