Vektör hesabı özdeşlikleri

Bu madde Vektör Analizi'ndeki önemli özdeşlikleri içermektedir.

## Operatörlerin Notasyonu

### Gradyan
Ana madde:Gradyan

3 boyutlu kartezyen koordinatlarında verilen 3 değişkenli f(x,y,z) fonksiyonunun gradyanı bir vektör alanı verecektir.Notasyon olarak;

grad(f) veya \nabla f ile gösterilir.

\nabla f =({\partial  \over \partial x},{\partial  \over \partial y},{\partial \over \partial z})f={\partial f \over \partial x}\widehat{i}+{\partial f \over \partial y}\widehat{j}+{\partial f \over \partial z}\widehat{k}    olarak ifade edilir.Görüldüğü üzere elde artık 3 boyutlu bir vektör alanı vardır.

Burada \widehat{i},\widehat{j},\widehat{k}  x, y ve z eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.Genel bir biçimde düşündüğümüzde n değişkenli bir \xi(x_1,x_2...x_n) skaler fonksiyonu ele alırsak bu fonksiyonun gradyanı bize bir n boyutlu bir vektör alanı verecektir:

\nabla\xi=({\partial  \over \partial x_1},{\partial  \over \partial x_2},...{\partial  \over \partial x_n})\xi={\partial \xi \over \partial x_1}.\widehat{e}_1+{\partial \xi \over \partial x_2}.\widehat{e}_2+...+{\partial \xi \over \partial x_n}.\widehat{e}_n.

1\times n   satır matris formunda yazılan ya  da rankı 1 olan tensör yani vektör  \vec{A}  =(A_1,A_2,...,A_n)   gibi bir vektör alanı için gradyan ya da kovaryant türevi n\times n Jacobian matrisi ile temsil edilir:

\nabla\vec{A}=J_\vec{A}=({\partial A_i \over \partial x_j})_{ij}

Genellersek herhangi bir k ranklı bir  A tensörünün gradyanı k+1 değerinde bir tensör alanı verir.

### Diverjans
Ana madde:Diverjans

Kartezyen koordinatlarında sürekli ve türevlenebilir bir F vektör alanının diverjansı bir skaler değerli fonksiyon verecektir. Notasyon olarak;

div(F) veya \nabla\cdot F ile temsil edilir.

\nabla\cdot F =div(F)=({\partial  \over \partial x},{\partial  \over \partial y},{\partial  \over \partial z})\cdot(F_x,F_y,F_z)={\partial F_x \over \partial x}+{\partial F_y \over \partial y}+{\partial F_z \over \partial z} olarak ifade edilir.

Gradyanda olan mantık burada da geçerlidir.Yani k boyutlu bir A tensör alanının diverjansı (\nabla\cdot A), k-1 boyutlu bir tensör alanı verir.

### Rotasyonel
Ana madde;Rotasyonel

Kartezyen koordinat sisteminde bir F vektör alanının rotasyoneli yine bir vektör alanı verir. Notasyon olarak;

rot(F) ya da \nabla\times F ile temsil edilir.

rot(F)=\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}= \left(\frac{\partial F_z}{\partial y}  - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k} olarak ifade edilir.Burada \mathbf{i},\mathbf{j} ,\mathbf{k} x, y ve z koordinat eksenlerini temsil eden birim baz vektörlerdir.

Vektör ya da daha genel anlamda tensörlerin rotasyoneli Einstein toplama kuralı esas alınarak tensör dili ile yazılabilir;

F vektör alanının rotasyoneli;

\nabla\times F=\varepsilon^{ijk}e_i{\partial F_k \over \partial x^j}

Burada \varepsilon Levi-Civita Permütasyon Sembolü'dür.

### Laplasyen
Ana Madde:Laplace Operatörü

Kartezyen koordinatlarında skaler değerli bir f(x,y,z) fonksiyonunun laplasyeni;

\Delta f=\nabla^2 f=(\nabla\cdot \nabla)f={\partial^2 f\over\partial x^2}+{\partial^2 f\over\partial y^2}+{\partial^2 f\over\partial z^2}

Genel anlamda T tensörünün laplasyeni şöyle yazılabilir;

\Delta T=\nabla^2 T=(\nabla\cdot\nabla)T

Rank bakımından tensöre bu operatör uygulandığında tensörün rankı değişmeyecektir. Fonksiyonun laplasyeni 0'a eşit ise fonksiyon özel bir fonksiyon olan harmonik fonksiyon niteliğine sahip olur.

## İlk Türev Özdeşlikleri
Notasyon bakımından skaler alanlar için \phi ve \psi vektör alanları için A  ve B kullanacağız.

### Dağılma Özellikleri

* \nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi
* \nabla(A+B)=\nabla A+\nabla B
* \nabla\cdot(A+B)=\nabla\cdot A +\nabla\cdot B
* \nabla\times(A+B)=\nabla\times A + \nabla \times B

### Skaler ile Çarpılırken Çarpım Kuralı
Tek değişkenli klasik kalkülüsten bildiğimiz çarpım kuralını burada da genelleştirebiliriz.

* \nabla(\psi\phi)=\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi
* \nabla(\psi A)=(\nabla\psi)^T  A+\psi\nabla A =\nabla\psi\otimes A+\psi\nabla A
* \nabla \cdot ( \psi \mathbf{A} ) = \psi\ ( \nabla \cdot \mathbf{A}) \ +\  \mathbf{A}\cdot (\nabla \psi)
* \nabla \times ( \psi \mathbf{A} ) = \psi\ ( \nabla \times \mathbf{A}) \ +\ ( \nabla \psi ) \times \mathbf{A}
* \nabla^2(\psi\phi)=\psi\nabla^2\phi+2\nabla\psi\cdot\nabla\phi+\phi\nabla^2\psi

### Skalere bölünürken Bölme Kuralı

* \nabla\left(\frac{f}{g}\right) = \frac{g\nabla f - (\nabla g)f}{g^2}
* \nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{A}}{g}\right) = \frac{g \nabla \cdot \mathbf{A} - (\nabla g) \cdot \mathbf{A}}{g^2}
* \nabla \times \left(\frac{\mathbf{A}}{g}\right) = \frac{g \nabla \times \mathbf{A} - (\nabla g) \times \mathbf{A}}{g^2}

## İkinci Türev Özdeşlikleri

### Rotasyonelin diverjansı sıfıra eşittir
Bir \phi vektörün rotasyonelinin diverjansı sıfırdır:

\nabla\cdot(\nabla\times\phi)=0

### Gradyanın diverjansı Laplasyen operatörüne eşittir
\nabla^2 \psi = \nabla \cdot (\nabla \psi)

### Diverjansın diverjansı tanımsızdır
\nabla\cdot(\nabla\cdot\psi )    =Tanımsız

Sebebi diverjansı alınan vektör skaler olacağı için tekrar diverjans alınamaz.

Not=Bu durum sadece vektörler için geçerlidir.

### Gradyanın rotasyoneli sıfıra eşittir
\nabla \times ( \nabla \phi )  = \mathbf{0}

### Rotasyonelin rotasyoneli vektör Laplasyeni'ne eşittir
\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{A} \right) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^{2}\mathbf{A}

### Diverjansın rotasyoneli tanımsızdır
Sebebi diverjansı alınan vektörün skalere dönüştüğünü düşündüğümüzde yeni skalerin rotasyonelinin alınamayacağıdır.

\nabla\times(\nabla\cdot A)=Tanımsız

## Önemli Özdeşliklerin Özeti

### Diferansiyasyon

#### Gradyan

* \nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi
* \nabla (\psi \, \phi) = \phi \,\nabla \psi  + \psi \,\nabla \phi
* \nabla\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B}+\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times\left(\nabla\times\mathbf{B}\right)+\mathbf{B}\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)

#### Diverjans

* \nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})\ =\ \nabla\cdot\mathbf{A}\,+\,\nabla\cdot\mathbf{B}
* \nabla\cdot\left(\psi\mathbf{A}\right)\ =\ \psi\,\nabla\cdot\mathbf{A}\,+\,\mathbf{A}\cdot\nabla \psi
* \nabla\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\ =\ \mathbf{B}\cdot (\nabla\times\mathbf{A})\,-\,\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})

#### Rotasyonel

* \nabla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})\ =\ \nabla\times\mathbf{A}\,+\,\nabla\times\mathbf{B}
* \nabla\times\left(\psi\mathbf{A}\right)\ =\ \psi\,\nabla\times\mathbf{A}\,+\,\nabla\psi\times\mathbf{A}
* \nabla\times\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)\ =\ \mathbf{A}\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)\,-\,\mathbf{B}\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)\,+\,\left(\mathbf{B}\cdot\nabla\right)\mathbf{A}\,-\,\left(\mathbf{A}\cdot\nabla\right)\mathbf{B}

#### İkinci Türev

* \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0
* \nabla\times(\nabla\psi)= \mathbf{0}
* \nabla\cdot(\nabla\psi)=\nabla^{2}\psi (skaler laplasyen)
* \nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)=\nabla^{2}\mathbf{A} (vektör laplasyen)
* \nabla\cdot(\phi\nabla\psi)=\phi\nabla^{2}\psi + \nabla\phi\cdot\nabla\psi
* \psi\nabla^2\phi-\phi\nabla^2\psi= \nabla\cdot\left(\psi\nabla\phi-\phi\nabla\psi\right)
* \nabla^2(\phi\psi)=\phi\nabla^2\psi+2\nabla\phi\cdot\nabla\psi+\psi\nabla^2\phi
* \nabla^2(\psi\mathbf{A})=\mathbf{A}\nabla^2\psi+2(\nabla\psi\cdot\nabla)\mathbf{A}+\psi\nabla^2\mathbf{A}
* \nabla^2(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})= \mathbf{A}\cdot\nabla^2\mathbf{B} - \mathbf{B}\cdot\nabla^2\mathbf{A} + 2\nabla\cdot((\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A} + \mathbf{B}\times\nabla\times\mathbf{A}) (Green vektör özdeşliği)

#### Üçüncü Türev

* \nabla^{2}(\nabla\psi) = \nabla(\nabla\cdot(\nabla\psi)) = \nabla(\nabla^{2}\psi)
* \nabla^{2}(\nabla\cdot\mathbf{A}) = \nabla\cdot(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})) =\nabla\cdot(\nabla^{2}\mathbf{A})
* \nabla^{2}(\nabla\times\mathbf{A}) = -\nabla\times(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})) = \nabla\times(\nabla^{2}\mathbf{A})

### İntegrasyon
\partial  sembolü burada bir yüzeyin sınırlarını ifade eder.

#### Yüzey-Hacim İntegralleri
Yüzey-Hacim İntegral teoremlerini takip ettiğinizde genelde \partial A sembolü görürsünüz.Bunun anlamı eğer A, 3 boyutlu bir çokkatlı ise \partial A sınırlarını yani 2 boyutlu bir yüzeyi temsil eder.

* \int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_V \left(\nabla \cdot \mathbf{A}\right)dV  (Diverjans teoremi)
* \int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\psi d \mathbf{S} = \iiint_V \nabla \psi\, dV
* \int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\left(\hat{\mathbf{n}}\times\mathbf{A}\right)dS=\iiint _{V}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)dV
* \int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\psi\left(\nabla\varphi\cdot\hat{\mathbf{n}}\right)dS = \iiint _{V}\left(\psi\nabla^{2}\varphi+\nabla\varphi\cdot\nabla\psi\right)dV (ilk Green özdeşliği)
* \int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\left[\left(\psi\nabla\varphi-\varphi\nabla\psi\right)\cdot\hat{\mathbf{n}}\right]dS=G
*  G=\int\!\!\!\!\int_{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\left[\psi\frac{\partial\varphi}{\partial n}-\varphi\frac{\partial\psi}{\partial n}\right]dS\displaystyle=\iiint_{V}\left(\psi\nabla^{2}\varphi-\varphi\nabla^{2}\psi\right)dV (ikinci Green özdeşliği)

### Bir eğri üstündeki çizgi integrali

* \oint_{\partial S}\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\iint_{S}\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)\cdot d\mathbf{s} (Stokes Teoremi)
* \oint_{\partial S}\psi d\boldsymbol{\ell}=\iint_{S}\left(\hat{\mathbf{n}}\times\nabla\psi\right)dS

Burada şu anlaşılmalıdır ki saat yönü negatif taraftır ve saat yönünün tersi üzerinde alınan integral saat yönünde alınan integralin negatifine eşittir.