Euler sayıları

Matematikte **Euler sayıları**, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir *E<sub>n</sub>* tam sayı dizisidir. .

:\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty  \frac{E_n}{n!} \cdot t^n

Burada \cosh(t), hiperbolik kosinüs fonksiyonudur. Euler sayıları, Euler polinomlarının özel bir değeriyle ilgilidir, yani:
:E_n=2^nE_n(\tfrac 12)

Euler sayıları, sekant ve hiperbolik sekant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki fonksiyondur. Ayrıca kombinatoriklerde, özellikle çift sayıda elemanlı bir kümenin alternatif permütasyonlarının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar.

## Örnekler
Tek indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. Çift indeksli olanlar,  değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır:
:
Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip tek sayılı Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için diziyi yeniden indekslemektedir . Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır.

## Açık formüller

### İkinci tür Stirling sayıları
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür Stirling sayıları cinsinden ifade etmektedir.

: E_{r}=2^{2r-1}\sum_{k=1}^{r}\frac{(-1)^{k}S(r,k)}{k+1}\left(3\left(\frac{1}{4}\right)^{(k)}-\left(\frac{3}{4}\right)^{(k)}\right), 
: E_{2l}=-4^{2l}\sum_{k=1}^{2l}(-1)^{k}\cdot \frac{S(2l,k)}{k+1}\cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{(k)},

Burada  S(r,k)  ikinci türden Stirling sayılarını göstermektedir ve  x^{(n)}=(x)(x+1)\cdots (x+n-1)  yükselen faktöriyelini ifade etmektedir.

### Çift toplam
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir.
:E_{2k}=(2 k+1)\sum_{\ell=1}^{2k} (-1)^{\ell}\frac{1}{2^{\ell}(\ell +1)}\binom{2 k}{\ell}\sum _{q=0}^{\ell}\binom{\ell}{q}(2q-\ell)^{2k}, 
:E_{2k}=\sum_{i=1}^{2k}(-1)^{i} \frac{1}{2^{i}}\sum_{\ell=0}^{2i}(-1)^{\ell } \binom{2i}{\ell}(i-\ell)^{2k}. 

### Yinelemeli toplam
Euler sayıları için açık bir formül:

:E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k \binom{k}{j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k i^k k},

Burada ,  ile hayali birimi göstermektedir.

### Bölümlerin toplamı
Euler sayısı , 'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir.

:  E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n} \binom K {k_1, \ldots, k_n}
	\delta_{n,\sum mk_m}  \left( -\frac{1}{2!} \right)^{k_1} \left( -\frac{1}{4!} \right)^{k_2}
	\cdots \left( -\frac{1}{(2n)!} \right)^{k_n} ,

'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra,

: 	 E_{2n} =  (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}
    \binom K {k_1, \ldots, k_n}
    \delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m }   \left( -\frac{1}{1!} \right)^{k_1}  \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
    \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n}  , 

Her iki durumda da  ve
: \binom K {k_1, \ldots, k_n}
          \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}
çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki Kronecker deltaları, s üzerindeki toplamları sırasıyla  ve .

Örnek olarak,
:
\begin{align}
E_{10} & = 10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!\,8!} + \frac{2}{4!\,6!}
	- \frac{3}{2!^2\, 6!}- \frac{3}{2!\,4!^2} +\frac{4}{2!^3\, 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\[6pt]
& = 9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^2\,7!} + \frac{6}{1!\,3!\,5!}
	+\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^4\,5!} -\frac{10}{1!^3\,3!^2} + \frac{7}{1!^6\, 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\[6pt]
& = -50\,521.
\end{align}


### Determinant
 determinant tarafından verilmektedir.

:
\begin{align}
E_{2n} &=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix}   \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\
                                                             \frac{1}{4!}&  \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
                                                                 \vdots & ~  &  \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
                                                               \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} &  1\\
                                                               \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots &  \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}
 

### İntegral
 ayrıca aşağıdaki integrallerle verilmektedir:
:
\begin{align}
(-1)^n E_{2n} & = \int_0^\infty \frac{t^{2n}}{\cosh\frac{\pi t}2}\; dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1} \int_0^\infty \frac{x^{2n}}{\cosh x}\; dx\\[8pt]
&=\left(\frac2\pi\right)^{2n} \int_0^1\log^{2n}\left(\tan \frac{\pi t}{4} \right)\,dt =\left(\frac2\pi\right)^{2n+1}\int_0^{\pi/2} \log^{2n}\left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx\\[8pt]
&= \frac{2^{2n+3}}{\pi^{2n+2}} \int_0^{\pi/2} x \log^{2n} (\tan x)\,dx = \left(\frac2\pi\right)^{2n+2} \int_0^\pi \frac{x}{2} \log^{2n} \left(\tan \frac{x}{2} \right)\,dx.\end{align}
 

## Kongrüanslar
W. Zhang, herhangi bir asal  p  için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir.
:
(-1)^{\frac{p-1}{2}} E_{p-1} \equiv \textstyle\begin{cases} 0 \mod p &\text{eğer }p\equiv 1\bmod 4; \\ -2 \mod p & \text{eğer }p\equiv 3\bmod 4. \end{cases}

W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir  p \equiv 1 \pmod{4}  asal ve  \alpha\geq 1  tam sayı için,
:  E_{\phi(p^{\alpha})/2}\not \equiv 0 \pmod{p^{\alpha}} 
burada \phi(n), Euler'in totient işlevidir.

## Asimptotik yaklaşım

Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir.

:  |E_{2 n}| > 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}. 

## Euler zikzak sayıları
Taylor serisi \sec x + \tan x = \tan\left(\frac\pi4 + \frac x2\right)

:\sum_{n=0}^{\infty} \frac{A_n}{n!}x^n

 ile başlayan Euler zikzak sayıları
:1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... 

Hepsi için ,
:A_n = (-1)^\frac{n}{2} E_n
burada  Euler sayısıdır; ve tüm tek  için,
:A_n = (-1)^\frac{n-1}{2}\frac{2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}
 Bernoulli sayısıdır.

Her *n için*,
:\frac{A_{n-1}}{(n-1)!}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}+\sum_{m=0}^{n-1}\frac{A_m}{m!(n-m-1)!}\sin{\left(\frac{m\pi}{2}\right)}=\frac{1}{(n-1)!}

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
* 
*