Brahmagupta formülü

Öklid geometrisinde, **[[Brahmagupta]] formülü**, kenarların uzunlukları göz önüne alındığında herhangi bir kirişler dörtgeninin (daire içine çizilebilen dörtgen) alanını bulmak için kullanılır.

## Formül
Brahmagupta formülü, kenarlarının uzunluğu , , ,  olan bir kirişler dörtgeninin  alanını aşağıdaki şekilde verir:

: K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

burada , yarı çevre olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır;

: s=\frac{a+b+c+d}{2}.

Bu formül, bir üçgenin alanını hesaplamak için verilen için Heron formülünü genelleştirir. Bir üçgen, bir kenarı sıfır olan bir dörtgen olarak kabul edilebilir. Bu perspektiften,  sıfıra yaklaştıkça, bir kirişler dörtgeni, çember içine çizilen bir üçgene yakınsar (tüm üçgenler çember içine çizilebilir) ve Brahmagupta formülü, Heron formülüne sadeleştirilir.

Yarı çevre kullanılmazsa, Brahmagupta formülü aşağıdaki şekilde yazılır:

: K=\frac{1}{4}\sqrt{(-a + b + c + d)(a - b + c + d)(a + b - c + d)(a + b + c - d)}.

Başka bir eşdeğer versiyon da aşağıdaki gibidir:

: K=\frac{\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2+8abcd-2(a^4 + b^4 + c^4 + d^4)}}{4}\cdot

## İspat

### Trigonometrik ispat
Burada sağdaki şekildeki gösterimler kullanılmıştır. Kirişler dörtgeninin  alanı,  ve  alanlarının toplamına eşittir:

: = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C.

Ancak  bir kirişler dörtgeni olduğundan, . Dolayısıyla,  'dir. Bu nedenle,

: K = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A

: K^2 = \frac{1}{4} (pq + rs)^2 \sin^2 A

: 4K^2 = (pq + rs)^2 (1 - \cos^2 A) 

Ortak kenar  için çözülürse,  ve  üçgenlerinde Kosinüs yasası aşağıdaki özdeşliği verir:

: p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C. 

 ( ve  açıları bütünler açı olduğu için) yerine konur ve eşitlik yeniden düzenlenirse aşağıdaki ifade elde edilir;

: 2 (pq + rs) \cos A = p^2 + q^2 - r^2 - s^2. 

Bunu alan denkleminde yerine yazarsak,

: 4K^2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2

: 16K^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2.

Sağ taraf  biçimindedir ve bu nedenle şu şekilde yazılabilir:

: [2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2][2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2] 

köşeli parantez içindeki terimleri yeniden düzenledikten sonra,

: = [ (r+s)^2 - (p-q)^2 ][ (p+q)^2 - (r-s)^2 ] 

: = (q + r + s - p)(p + r + s - q)(p + q + s - r)(p + q + r - s). 

Yarı çevre  olarak dikkate alınırsa,

: 16K^2 = 16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s). 

Her iki tarafın karekökünü alırsak,

: K = \sqrt{(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}.

elde edilir.

### Trigonometrik olmayan ispat

Trigonometrik olmayan alternatif bir kanıt, Heron'un üçgen alan formülünün benzer üçgenler üzerindeki iki uygulamasını kullanır.

Kirişler dörtgenine AC kirişini çizelim. AB ve CD doğru parçasını uzatalım, böylece P noktasında kesişsinler.

\angle ADC ve \angle ABC açıları, çemberin iki yayından aynı AC kirişini görür. Bu nedenle bütünler açılardır. \angle ADP, \angle ADC'nin bütünleyicisidir. Yani \angle ADP  \cong \angle ABC'dir. \triangle PBC ve \triangle PDA benzerdir. Benzerlik oranı ise \frac{d}{b}'dir.

:: {Alan} (\triangle PDA) = \frac{d^2}{b^2} {Alan} (\triangle PBC)
:: {Alan} (ABCDA) = {Alan} (\triangle PBC) - {Alan} (\triangle PDA)

ABCD dörtgeninin alanına *A* ve \triangle PBC üçgeninin alanına da *T* diyelim.

:: A = T - \frac{d^2}{b^2}T = (1 - \frac{d^2}{b^2})T = \frac{(b^2 - d^2)}{b^2}T

PA = e ve PD = f olarak alınarak Heron formülü uygulanırsa, {Alan} (\triangle PBC) aşağıdaki şekilde bulunur:

:: T = \sqrt{s(s - (e + a))(s - (f + c))(s - b)}
:: s = \frac{e + a + f + c + b}{2}

Bu nedenle,

:: A = \frac{(b^2 - d^2)}{b^2} \sqrt{s(s - (e + a))(s - (f + c))(s - b)}

(Not: Bu noktada ÜÇGEN'in yarı çevresi için *s* kullandık. Aşağıda, *s*, *e* ve *f* için *a*, *b*, *c* ve *d* cinsinden terimleri yerine koyacağız. Sonunda dörtgenin yarı çevresini temsil eden *s* kullanıma geri döneceğiz.)

* İlk olarak, *e*’yi *a*, *b*, *c* ve *d* cinsinden ifade etmek istiyoruz.

::\frac{e + a}{b} = \frac{f}{d}
::e = \frac{fb}{d} - a
::ed + ad = fb
::ed + ad = (\frac{eb}{d} - c)b
::ed + ad = \frac{eb^2}{d} - cb
::ed + ad = \frac{eb^2 - cbd}{d}
::ed^2 + ad^2 = eb^2 - cbd
::ed^2 - eb^2 = -(ad^2 + cbd)
::e(d^2 - b^2) = -d(ad + cb)
::e = \frac{-d(ad + cb)}{d^2 - b^2} veya
::e = \frac{d(ad + cb)}{b^2 - d^2}

* Sonra, *f*’yi *a*, *b*, *c* ve *d* cinsinden ifade etmek istiyoruz.

::\frac{f + c}{b} = \frac{e}{d}
::f = \frac{eb}{d} - c
::fd + cd = eb
::fd + cd = (\frac{fb}{d} - a)b
::fd + cd = \frac{fb^2}{d} - ab
::fd + cd = \frac{fb^2 -abd}{d}
::fd^2 + cd^2 = fb^2 - abd
::fd^2 - fb^2 = -(cd^2 + abd)
::f(d^2 - b^2) = -d(cd + ab)
::f = \frac{-d(cd + ab)}{d^2 - b^2}

* Şimdi, üçgen formüllerinde yukarıda elde ettiğimiz e = \frac{dbc + ad^2}{b^2 - d^2} ve f = \frac{cd^2 + abd}{b^2 - d^2} ifadelerini yerine koyarak devam edeceğiz.

::2s = \frac{dbc + ad^2}{b^2 - d^2} + a + \frac{cd^2 + abd}{b^2 - d^2} + c + b
::s =  \frac{dbc + ad^2}{b^2 - d^2} + a + \frac{cd^2 + abd}{b^2 - d^2} + c + b]
::s = \frac{1}{2}[\frac{dbc + ad^2 + a(b^2 - d^2) +cd^2 + abd + c(b^2 - d^2) + b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::s = \frac{1}{2}[\frac{dcb + ad^2 + ab^3 - ad^2 + cd^2 + abd + cb^2 - cd^2 + b^3 - bd^2}{b^2 - d^2}]
::s = \frac{1}{2}[\frac{bd(c + a) + b^2(c + a) + b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::s = \frac{1}{2}[\frac{(bd + b^2)(c + a) + b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::s = \frac{1}{2}[\frac{b(d + b)(c + a)}{(b + d)(b - d)} + \frac{b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::s = \frac{1}{2}[\frac{b(c + a) + b(b - d)}{b - d}]
::s = \frac{b(c + a + b - d)}{2(b - d)}

* Şimdi, (s - (e + a))'yı hesaplayalım.

::s - (e + a) = \frac{b(c + a + b - d)}{2(b - d)} - \frac{d(ad + cb)}{b^2 - d^2}- a
::= [\frac{dcb + ad^2}{2(b^2 - d^2)} + \frac{a}{2} + \frac{cd^2 + abd}{2(b^2 - d^2)} + \frac{c}{2} + \frac{b}{2}] - [\frac{dcb + ad^2}{b^2 - d^2}] - a
::= \frac{dcb + ad^2}{2(b^2 - d^2)} + \frac{a}{2} + \frac{cd^2 + abd}{2(b^2 - d^2)} + \frac{c}{2} + \frac{b}{2} - \frac{dcb + ad^2}{b^2 - d^2} - a
::= -\frac{dcb + ad^2}{2(b^2 - d^2)} - \frac{a}{2} + \frac{cd^2 + abd}{2(b^2 - d^2)} + \frac{c}{2} + \frac{b}{2}
::= -\frac{1}{2}[\frac{dcb + ad^2}{b^2 - d^2} + a - \frac{(cd^2 + abd)}{b^2 - d^2} - c - b]
::= -\frac{1}{2}[\frac{dcb + ad^2 + a(b^2 - d^2) - cd^2 - abd -c(b^2 - d^2)-b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::= -\frac{1}{2}[\frac{dcb + ab^2 - abd - cd^2 - b^3 + bd^2}{b^2 - d^2}]
::= -\frac{1}{2}[\frac{bd(c - a) - b^2(c - a) - b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::= -\frac{1}{2}[\frac{(bd - b^2)(c - a)}{b^2 - d^2} - \frac{b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::= - \frac{b(d - b)(c - a)}{2(b - d)(b + d)} + \frac{b}{2}
::= \frac{b(c - a) + b(b + d)}{2(b + d)}
::= \frac{b(c - a + b + d)}{2(b + d)}

* Benzer şekilde, şimdi (s - (f + c))'yi *a*, *b*, *c* ve *d* cinsinden hesaplayalım.

::s - (f + c) = \frac{b(c + a + d - b)}{2(b - d)} - \frac{cd^2 + abd}{b^2 - d^2} - c
::= [\frac{dcb + ad^2}{2(b^2 - d^2)} + \frac{a}{2} + \frac{cd^2 + abd}{2(b^2 - d^2)} + \frac{c}{2} + \frac{b}{2}] - [\frac{cd^2 + abd}{b^2 - d^2}] - c
::= \frac{dcb + ad^2}{2(b^2 - d^2)} + \frac{a}{2} + \frac{cd^2 + abd}{2(b^2 - d^2)} + \frac{c}{2} + \frac{b}{2} - \frac{cd^2 + abd}{b^2 - d^2} - c
::= \frac{dcb + ad^2}{2(b^2 - d^2)} + \frac{a}{2} - \frac{cd^2 + abd}{2(b^2 - d^2)} - \frac{c}{2} + \frac{b}{2}
::= -\frac{1}{2}[\frac{-dcb + ad^2}{b^2 - d^2} - a + \frac{cd^2 + abd}{b^2 - d^2} + c - b]
::= -\frac{1}{2}[\frac{-dcb - ad^2 - a(b^2 - d^2) + cd^2 + abd + c(b^2 - d^2) -b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::= -\frac{1}{2}[\frac{-dcb - ad^2 - ab^2 + ad^2 + cd^2 + abd + cb^2 - cd^2 - b^3 + bd^2}{b^2 - d^2}]
::= -\frac{1}{2}[\frac{-dcb - ab^2 + abd + cb^2 - b^3 + bd^2}{b^2 - d^2}]
::= -\frac{1}{2}[\frac{-bd(c - a) + b^2(c - a) - b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::= -\frac{1}{2}[\frac{-(bd - b^2)(c - a)}{b^2 - d^2} - \frac{b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::= \frac{-b(b - d)(c - a)}{2(b - d)(b + d)} + \frac{b}{2}
::= \frac{-b(c - a) + b(b + d)}{2(b + d)}
::= \frac{b(-c + a + b + d)}{2(b + d)}

* Şimdi (s - b)'yi hesaplayalım.

::(s - b) = \frac{dcb + ad^2}{2(b^2 - d^2)} + \frac{a}{2} + \frac{cd^2 + abd}{2(b^2 - d^2)} + \frac{c}{2} + \frac{b}{2} - b
::= \frac{dcb + ad^2}{2(b^2 - d^2)} + \frac{a}{2} + \frac{cd^2 + abd}{2(b^2 - d^2)} + \frac{c}{2} - \frac{b}{2}
::= \frac{1}{2}[\frac{dcb + ad^2}{b^2 - d^2} + a + \frac{cd^2 + abd}{b^2 - d^2} + c - b]
::= \frac{1}{2}[\frac{dcb + ad^2 + a(b^2 - d^2)+cd^2 + abd + c(b^2 - d^2) - b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::= \frac{1}{2}[\frac{dcb + ad^2 + ab^2 - ad^2 + cd^2 + abd + cb^2 - cd^2 - b^3 + bd^2}{b^2 - d^2}]
::= \frac{1}{2}[\frac{bd(c + a) + b^2(c + a) - b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::= \frac{1}{2}[\frac{b(b + d)(c + a)}{b^2 - d^2} - \frac{b(b^2 - d^2)}{b^2 - d^2}]
::= \frac{b(b + d)(c + a)}{2(b + d)(b - d)} - \frac{b}{2}
::= \frac{b(c + a) - b(b - d)}{2(b - d)}
::= \frac{b(c + a - b + d)}{2(b - d)}

* Şimdi dörtgenin alanını *a*, *b*, *c*, *d* cinsinden hesaplamaya hazırız.

::A = \frac{b^2 - d^2}{b^2} \sqrt{(\frac{b(c - a + b + d)}{2(b + d)})(\frac{b(c + a - b + d)}{2(b - d)})(\frac{b(-c + a + b + d)}{2(b + d)})(\frac{b(c + a + b - d)}{2(b - d)})}
::A = \frac{b^2 - d^2}{b^2} \sqrt{\frac{b^4}{(b - d)^2(b + d)^2} (\frac{-a + b + c + d}{2}) (\frac{a - b + c + d}{2}) (\frac{a + b - c + d}{2}) (\frac{a + b + c - d}{2})}
::A = \frac{b^2 - d^2}{b^2}.\frac{b^2}{b^2 - d^2} \sqrt{(\frac{-a + b + c + d}{2}) (\frac{a - b + c + d}{2}) (\frac{a + b - c + d}{2}) (\frac{a + b + c - d}{2})}
::A = \sqrt{(\frac{-a + b + c + d - a + a}{2}) (\frac{a - b + c + d - b + b}{2}) (\frac{a + b - c + d - c + c}{2}) (\frac{a + b + c - d - d + d}{2})}
::A = \sqrt{(\frac{a + b + c + d}{2} - a)(\frac{a + b + c + d}{2} - b)(\frac{a + b + c + d}{2} - c)(\frac{a + b + c + d}{2} - d)}

Bu nedenle,

::A = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}

burada *s*, kirişler dörtgenin yarı çevresi yani

::s = \frac{a + b + c + d}{2}'dir.

## Kirişler dörtgeni olmayan dörtgenlere genişletme
Kirişler dörtgeni olmayan dörtgenler söz konusu olduğunda, Brahmagupta formülü, dörtgenin iki zıt açısının ölçüleri dikkate alınarak genişletilebilir:

: K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}

burada  herhangi iki zıt açının toplamının yarısıdır. (Hangi zıt açı çiftinin seçimi önemsizdir: diğer iki açı alınırsa, toplamlarının yarısı 'dir.  olduğundan,  ederiz. Bu daha genel formül Bretschneider formülü olarak bilinir.

Bir dörtgenin zıt açılarının toplamının 180°'ye eşit olması, kirişler dörtgeninin (ve nihayetinde çevre açıların) bir özelliğidir. Sonuç olarak, bir çevrel dörtgen durumunda,  açısı 90°'dir, bu nedenle

: abcd\cos^2\theta=abcd\cos^2 \left(90^\circ\right)=abcd\cdot0=0,

olup Brahmagupta formülünün temel biçimini verir. İkinci denklemden, bir kirişler dörtgenin alanının, verilen kenar uzunluklarına sahip herhangi bir dörtgen için mümkün olan maksimum alan olduğu sonucu çıkar.

Coolidge tarafından kanıtlanan ilgili bir formül de genel bir dışbükey dörtgen alanını verir.

: K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac + bd + pq)(ac + bd - pq)}

burada  ve , dörtgenin köşegenlerinin uzunluklarıdır. Batlamyus teoremine göre bir kirişler dörtgeninde  'dir ve Coolidge formülü, Brahmagupta formülüne indirgenir.

## İlgili teoremler

* Bir üçgenin alanını hesaplamak için Heron formülü,  alınarak elde edilen özel durumdur.
* Brahmagupta formülünün genel ve genişletilmiş biçimi arasındaki ilişki, Kosinüs yasasının Pisagor teoremini nasıl genişlettiğine benzer.
* Maley ve diğerleri tarafından açıklandığı gibi, çemberler üzerindeki genel çokgenlerin alanı için giderek karmaşıklaşan kapalı biçimli formüller mevcuttur.

## Kaynakça

## Dış bağlantılar

* Brahmagupta's formula  at ProofWiki
*

*Bu makale, Creative Commons Attribution/Share-Alike Lisansı altında lisanslanan [[PlanetMath]] üzerinde Brahmagupta formülünün kanıtından materyal içermektedir.*