Türev alma kuralları

Türev, matematikteki ve özellikle diferansiyeldeki temel kavramlardan biridir. Aşağıda temel **türev alma kuralları** ve bazı fonksiyonların türev kuralları yer almaktadır.

## Temel türev alma kuralları
### Sabit fonksiyonun türevi
Herhangi bir c\in \mathbb{R} için, eğer f(x) = c ise, o zaman \frac{df}{dx} = 0 olur.
#### Kanıt
c \in \mathbb{R} olsun. O zaman, türevin tanımından yola çıkarak 
:\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{(c) - (c)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} 0 \\
&= 0
\end{align}
elde edilir.

### Türev almanın doğrusallığı

f ve g iki fonksiyon, a ve b iki gerçel sayı olsun. O zaman, h(x) = af(x) + bg(x) fonksiyonunun x'e göre türevi 
:  h'(x) = a f'(x) + b g'(x).
Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
 \frac{d(af+bg)}{dx}  = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.
Türevin doğrusallığı şu özel halleri de verir:
* *Sabitle çarpım kuralı*
:\left({cf}\right)' = cf'
* *Toplama kuralı*
(f + g)' = f' + g'
* *Çıkarma kuralı*
(f - g)' = f' - g'.

### Çarpımın türevi

f ve g iki fonksiyon olsun. O zaman, h(x) = f(x) g(x) fonksiyonunun x'e göre türevi
:h^\prime(x)=f^\prime(x) g(x)+ f(x) g^\prime(x) 
şeklinde olmalıdır. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
\frac{d(fg)}{dx} = g \frac{df}{dx} + f \frac{dg}{dx}.

### Zincir kuralı

h(x) = f(g(x)) fonksiyonunun türevi şu şekilde verilir:
 h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).
Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
\frac{d}{dx}h(x) = \left.\frac{d}{dz}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot \frac{d}{dx}g(x),
ve genelde şu şekilde kısaltılır:
\frac{dh(x)}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}.

### Ters fonksiyon kuralı

Eğer  fonksiyonunun ters fonksiyonu  ise; yani, g(f(x)) = x ve f(g(y)) = y ise 
g' = \frac{1}{f'\circ g}.
Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
 \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}.

## Kuvvet yasası, polinomlar, bölme ve çarpmaya göre ters
### Polinom ve basit kuvvet kuralı

f(x) = x^r ise her r \neq 0, için
:f'(x) = rx^{r-1}.
Eğer r = 1 ise o zaman f(x) = x'tir ve f'(x) = 1 olur.
Kuvvet kuralını toplama ve sabit terimle çarpma kuralı ile birleştirerek polinomların türevi hesaplanabilir.

### Çarpmaya göre tersin türevi

Eğer bir fonksiyon, başka bir fonksiyonun çarpmaya göre tersi ise; yani, h(x)=\frac{1}{f(x)} ile tanımlanmışşsa ve **' sıfır değeri almıyorsa
:<math> h'(x) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}</math> (**' nin 0 olmadığı her yerde)
olur. Leibniz gösterimi ile bu ifade şu şekilde yazılır:
: \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}.

Çarpmaya göre tersin türevi böle kuralından ya da kuvvet luralı ve zincir kuralının peşpeşe kullanılmasında elde edilebilir.

### Bölmenin türevi

**' ve **' iki fonksiyon olsun. O zaman, **' nin 0 olmadığı her yerde 
:<math>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2} </math>
olur. Bu kural, çarpma kuralı ve çarpmaya göre tersin türevi beraber kullanılarak gösterilebilir.

=== Genel kuvvet kuralı ===

Kuvvet kuralı daha genel hale de uygulanabilir. 
Eğer <math display="inline">f(x)=x^a\!</math> ise, o zaman **' 0 olmadığı ve **' pozitif olduğu müddetçe, 
:<math display="inline">f'(x)=ax^{a-1}</math>
olur. Bunun daha genel hali için **' ve **' iki fonksiyon olsun. O zaman, 
:<math>(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad</math>

Bu halde, çarpmaya göre tersin türevi <math display="inline">g(x)=-1\!</math> alınarak bulunabilir.

== Üstel ve logaritma fonksiyonlarının türevleri ==
<math>d/dx</math>, fonksiyonun <math>x</math>'e göre türevinin alındığını gösterir.

:<math>{d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0</math>
Eğer <math display="inline">c<0</math> olursa, o zaman [[karmaşık sayı]]lar göz önüne alınmalıdır.
:<math>{d \over dx}e^{ax} = a e^{ax}</math>

:<math>{d \over dx} \log_c x = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0,  c\ne 1</math>
Eğer <math display="inline">c<0</math> olursa, o zaman [[karmaşık sayı]]lar göz önüne alınmalıdır.

:<math>{d \over dx} \ln x = {1 \over x}\qquad x > 0</math>  
:<math>{d \over dx} \ln|x| = {1 \over x}\qquad x\ne 0</math>

:<math>{d \over dx} x^x = x^x(1+\ln x)</math>

:<math> \frac{d}{dx}\left( f(x)^{ g(x) } \right ) = g(x)f(x)^{g(x)-1} \frac{df}{dx} + f(x)^{g(x)}\ln{( f(x) )}\frac{dg}{dx}, \qquad \text{ eğer }f(x)> 0 \text{ ise ve} \frac{df}{dx} \text{ ve } \frac{dg}{dx} \text{ varsa.}</math>

:<math> \frac{d}{dx}\left( f_{1}(x)^{f_{2}(x)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x)}}} \right ) = \left [\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{\partial }{\partial x_{k}} \left( f_{1}(x_1)^{f_{2}(x_2)^{\left ( ... \right )^{f_{n}(x_n)}}} \right ) \right ] \biggr\vert_{x_1 = x_2 = ... =x_n = x}, \text{ eğer } f_{i<n}(x) > 0 \text{ ve }</math> <math> \frac{df_{i}}{dx} \text{ varsa. }</math>

=== Logaritmik türevler ===

Logaritmik türev bir fonksiyonun logaritmasının türevini ifade etmenin bir başka yoludur
:<math> (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad</math>  (**' pozitif olduğu müddetçe).
#### Logaritma ile türev alma
Logaritma ile türev alma özellikle karmaşık fonksiyonlar için kullanılır. Logaritma ile türev alınırken ilk önce fonksiyon yazılır ve fonksiyonun doğal logaritması alınır. Sonra da iki tarafında türevi alınır. Son olarak da fonksiyonun türevi izole edilir. Örnek olarak:
:
\begin{align}
h(x) &= f(x)g(x)\\
\ln(h(x)) &= \ln(f(x)g(x))\\
\ln(h(x)) &= \ln(f(x)) + \ln(g(x))\\
\frac{h'(x)}{h(x)} &= \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}\\
h'(x) &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\\
\end{align}
Ve türevin çarpma kuralının özel bir durumunda, yani f(x)> 0 ve g(x)> 0 iken elde edilir.

## Trigonometrik fonksiyonların türevleri

Trigonometrik fonksiyonların türevi, temel prensipler kullanılarak, yani eğrinin eğimini veren cebirsel bir ifade bulunarak elde edilir:
{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
|width=50%|{d \over dx} \sin x = \cos x
|width=50%| \frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 
|-
| \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x
| \frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} 
|-
| \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x 
| \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2} 
|-
| \frac{d}{dx} \csc x = -\csc{x}\cot{x} 
| \frac{d}{dx} \operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2 - 1}} 
|-
| \frac{d}{dx} \sec x = \sec{x}\tan{x} 
| \frac{d}{dx} \operatorname{arcsec} x = \frac{1}
Yukarıdaki ters fonksiyonların bazıları için tanımları gereği şart koymak gerektir.
Burada, ters sekant fonksiyonun görüntü kümesi [0,\pi]\! ve ters kosekant fonksiyonunun görüntü kümesi \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] olarak değerlendirilmiştir. Ayrıca, ters tanjant fonksiyonu da bazen \arctan(y,x) olarak gösterilebilir. Görüntü kümesi [-\pi,\pi] ve (x,y) hangi kuadrantta yer aldığını yansıtır. Birinci ve dördüncü kuadrantta (yani x > 0 iken) \arctan(y, x>0) = \arctan(y/x) olur. O zaman kısmi türevler
: \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2} \qquad\text{ve}\qquad \frac{\partial \arctan(y,x)}{\partial x} = \frac{-y}{x^2 + y^2}
halinde hesaplanır.

## Hiperbolik fonksiyonların türevleri
{| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;"
|width=50%|\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x
| width="50%" |\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}x = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}
|-
|\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x
|\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}
|-
|\frac{d}{dx} \tanh x = {\operatorname{sech}^2 x} = 1 - \tanh^2 x
|\frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}
|-
|\frac{d}{dx} \operatorname{csch} x = -\operatorname{csch}{x}\coth{x}
|\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x = -\frac{1}

BU türevlerin üzerindeki sınırlandırmaları görmek için Hiperbolik fonksiyonlar'a bakınız.

## Özel fonksiyonlarin türevleri
;Gama fonksiyonu
:\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\, dt
:\begin{align}
\Gamma'(x) & = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt \\
& = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) \\
& = \Gamma(x) \psi(x)
\end{align}  Burada, \psi(x) digama fonksiyonudur.

;Riemann zeta fonksiyonu
:\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^x}
:\begin{align}
\zeta'(x) & = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x}
=-\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots \\
& = -\sum_{p \text{ asal}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2} \prod_{q \text{ asal}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}}
\end{align}

## İntegralin türevi

Diyelim ki 
:F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt
biçiminde verilen bir fonksiyonun *x*e göre türevini almak istiyoruz. Diyelim ki şu koşullar sağlanıyor:
* (t,x) düzleminin a(x)\leq t\leq b(x),  x_0\leq x\leq x_1 koşullarını da sağlayacak belli bir bölgesinde f(x,t) ve \frac{\partial}{\partial x}f(x,t) fonksiyonları hem t hem de x değişkeninde sürekliler
* a(x) ve b(x) fonksiyonlarının x_0\leq x\leq x_1 için hem kendileri hem de türevleri sürekli.
O zaman, \,x_0\leq x\leq x_1 için
: F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\,. 
Bu formüle Leibniz integral kuralı denir ve Kalkülüsün temel teoremi ile çıkarılabilir.

## ''n''' inci mertebeden türev
Eğer  pozitif tam sayı ise fonksiyonların inci türevini hesaplamak için bazı kurallar da vardır.

### Faà di Bruno's formülü

Eğer  ve ,  kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman,
  \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}.
Burada,  r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m ve  \{k_m\} kümesi ise
Diyofant denklemi  \sum_{m=1}^{n} m k_m = n nin negatif olmayan bütün çözümlerinden oluşmaktadır.

### Genel Leibniz Kuralı

Eğer  ve ,  kere türevlenebilir fonksiyon olsun. O zaman,
 \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x).

## Kaynakça