Barrow eşitsizliği

Geometride **Barrow eşitsizliği**, bir üçgen içindeki rastgele bir nokta alındığında, bu nokta ile üçgenin köşeleri ve üçgenin kenarlarındaki belirli noktalar arasındaki mesafeleri ilişkilendiren bir eşitsizliktir. Adını Amerikalı bir matematikçi olan David Francis Barrow'dan almıştır.

## Açıklama
P, \triangle ABC üçgeninin içinde rastgele bir nokta olsun. P ve \triangle ABC'den, U, V ve W'yi, \angle BPC, \angle CPA ve \angle APB'nin açıortaylarının sırasıyla BC, CA, AB kenarlarıyla kesiştiği noktalar olarak tanımlayın. Ardından Barrow eşitsizliği şunu belirtir:

: PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,

Eşitlik sadece eşkenar üçgen durumunda sağlanır ve bu durumda P üçgenin merkezidir.

## İspat
d_1 = PA, d_2 = PB, d_3 = PC, l_1 = PU, l_2 = PV, l_3 = PW, 2\theta_1 = \angle BPC, 2\theta_2 = \angle CPA ve 2\theta_3 = \angle APB olsun. İspat edilmesi gereken ifade d_1 + d_2 + d_3 \ge 2(l_1 + l_2 + l_3) olur. Aşağıdaki özdeşlikleri çıkarmak kolaydır;

: l_1 =  \frac{2d_2 d_3}{d_2 + d_3}cos \theta_1,
: l_2 =  \frac{2d_1 d_1}{d_3 + d_1}cos \theta_2,
: l_1 =  \frac{2d_1 d_2}{d_1 + d_2}cos \theta_3.

Aritmetik Ortalama-Geometrik Ortalama eşitsizliği ve yukarıdaki sonuçla, bu şu anlama gelir:

: l_1 + l_2 + l_3 \le \sqrt{d_2 d_3} cos \theta_1 + \sqrt{d_3 d_1} cos \theta_2 + \sqrt{d_1 d_2} cos \theta_3 \le \frac{1}{2}(d_1 + d_2 + d_3)

İstenen ifade ispatlanmış olur.

## Genelleştirme
Barrow eşitsizliği dışbükey çokgenlere kadar genişletilebilir. Köşeleri A_1,A_2,\ldots ,A_n  olan dışbükey bir çokgen için P çokgenin içindeki rastgele bir nokta ve Q_1, Q_2,\ldots ,Q_n, \angle A_1PA_2,\ldots,\angle A_{n-1}PA_n,\angle A_nPA_1 açıortayları ile A_1A_2,\ldots ,A_{n-1}A_n, A_nA_1 ilişkili çokgen kenarlarının  kesişimleri olsun, ardından aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

: \sum_{k=1}^n|PA_k|\geq \sec\left(\frac{\pi}{n}\right) \sum_{k=1}^n|PQ_k|

Burada \sec(x) sekant fonksiyonunu belirtir. Üçgen durumu, yani n=3 için \sec\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2 olduğundan eşitsizlik, Barrow eşitsizliğine dönüşür.

## Tarihçe

Barrow eşitsizliği, PU, PV ve PW'nin P noktasından üçgenin kenarlarına olan üç uzaklık ile değiştirilmesi haricinde aynı biçime sahip olan Erdős-Mordell eşitsizliğini güçlendirir. Adını David Francis Barrow'dan almıştır. Barrow'un bu eşitsizliğin kanıtı, 1937'de, Erdős-Mordell eşitsizliğini kanıtlayan *American Mathematical Monthly* dergisinde ortaya atılan bir probleme çözüm olarak yayınlandı. 1961 gibi erken bir tarihte "Barrow eşitsizliği" olarak adlandırıldı.

Daha basit bir kanıt daha sonra Louis J. Mordell tarafından verildi.

## Ayrıca bakınız
* Geometride Euler teoremi
* Üçgen eşitsizlikleri listesi

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
* Hojoo Lee: Eşitsizliklerle İlgili Konular - Teoremler ve Teknikler
* Barrow's Inequality  @ Wolfram Demonstrations Project

## Konuyla ilgili yayınlar
* Malesevic, Branko & Petrovic, Maja. (2014). Barrow's Inequality and Signed Angle Bisectors. Journal of Mathematical Inequalities. 10.7153/jmi-08-40., Makale  veya Makale 
* Liu, Jian. (2016). Refinements of the Erdös-Mordell inequality, Barrow’s inequality, and Oppenheim’s inequality. Journal of Inequalities and Applications. 2016. 10.1186/s13660-015-0947-2., Makale
* Liu, Jian. (2019). New Refinements of the Erdös–Mordell Inequality and Barrow’s Inequality, https://doi.org/10.3390/math7080726, Makale