Multinom dağılımı

(X_i) = n p_i (1-p_i){\mathrm{Cov}}(X_i,X_j) = - n p_i p_j (i\neq j)|
  çarpıklık   =|
  basıklık  =|
  entropi    =|
  mf        =\left( \sum_{i=1}^k p_i e^{t_i} \right)^n|
  kf       =|
}}

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, **multinom dağılımı** binom dağılımının genelleştirilmesidir.

Binom dağılım *n* sayıda her biri istatistiksel olarak bağımsız olan 'Bernoulli denemeleri içinde 
her bir deneme için *başarı* olasılığı bilinip ve aynı olursa  elde edilebilen *başarılı* sonuç sayısının olasılık dağılımıdır.

Bir multinom dağılımında her deneme sonlu bir sabit olan *k* sayıda mümkün sonuçtan sadece tek birinin gerçekleşmesi ile son bulur. Bu *k* sayıda mümkün sonucun her biri için sabit olasılıklar, yani
:*p*1, ..., *p**k* 
bulunmaktadır; bunlar için
:*p**i* ≥ 0  eğer *i* = 1, ..., *k* 
ve
\sum_{i=1}^k p_i = 1
*n* sayıda bağımsız deneme yapılır.

O zaman rassal değişkenler olan X_i *n* deneme yapılırsa  *i* sayılı sonucun gözümlenmesi sayısını ifade eder. X=(X_1,\ldots,X_k) ifadesi ise *n* ve vektör **p** parametreleri olan bir multinom dağılımı gösterir. Vektör **p**=(*p*1, ..., *p**k*) olarak da yazılabilir.

## Tanımlama

### Olasılık kütle fonksiyonu

Multinom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu şudur:

:  \begin{align}
f(x_1,\ldots,x_k;n,p_1,\ldots,p_k) & {} = \Pr(X_1 = x_1\mbox{ ve }\dots\mbox{ ve }X_k = x_k) \\  \\
& {} = \begin{cases} { \displaystyle {n! \over x_1!\cdots x_k!}p_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k}}, \quad &
\mbox{eğer } \sum_{i=1}^k x_i=n \\  \\
0 & \mbox{diğer hallerde,} \end{cases}
\end{align}


burada *x*1, ..., *x**k* negatif olmayan tam sayılardır.

## Özellikleri

Beklenen değer şudur:

:\operatorname{E}(X_i) = n p_i.

Kovaryans matrisi şöyle gösterilir:

Bu matrisin orta çarprazında bulunan elemanlar bir binom dağılımlı rassal değişken için varyansdırlar:

:\operatorname{var}(X_i)=np_i(1-p_i).

Orta çapraz dışındaki elemenlar kovaryans değerleridir:

:\operatorname{cov}(X_i,X_j)=-np_i p_j

Burada *i*, *j* birinden her zaman farklıdır.

Bütün kovaryans değerleri negatif işaretlidir; çünkü sabit bir *N* değeri için, bir multinom vektörünün bir parçasında olan artış, diğer bir parçasında bir düşüş olmasını gerektirir.

Bu kovaryans matrisi kertesi *k* - 1 olan  bir *k* × *k* büyüklüğünde bir matristir.
 
Bununla ilişkili olan bir diğer matrik corelasyon matrisidir. Korelasyon matrisinin ana çapraz dışı elemanları şöyle bulunurlar:

:\rho(X_i,X_j) = -\sqrt{\frac{p_i p_j}{ (1-p_i)(1-p_j)}}.

ve ana çapraz elemanlarının 1 olduğu aşikardır. Dikkat edilirse bu matris elemanlarının hesaplanmasında örneklem büyüklüğü hiç rol oynamaz. Bu matrisin her bir *k* parçası uygun bir *i* indeksi için ayrı ayrı olarak *n* ve *p**i* parametreleri olan bir binom dağılımı gösterir.

Bir multinom dağılımı için destek 
:\{(n_1,\dots,n_k)\in \mathbb{N}^{k}| n_1+\cdots+n_k=n\}. 
değerinde sağlanır ve bunun eleman sayısı

: {n+k-1 \choose k} = \left\langle \begin{matrix}n \\ k \end{matrix}\right\rangle,

olur. Bu *k* tipte olan bir multiset *n*-kombinasyonudur.

## İlişkili dağılımlar

* Eğer *k* = 2 ise multinom dağılımı bir binom dağılımı ile aynıdır
* Dirichlet dağılımı Bayes tipi istatistikte multinom dağılımının eşlenik önselidir.
* Çokdeğişirli Polya dağılımı

## Ayrıca bakınız

* Multinom teoremi

## Kaynakça

*

## Dış bağlantılar
* Ayrık olasılık dagılımı - Multinom Dağılımı

## Bibliyografya
* Merran Evans, Nicholas Hastings ve Brian Peacock (2000) *Statistical Distribution 3ncu ed.* Wiley: New York  say.134-13 isbn = 0-471-37124-6