Kalıntı (karmaşık analiz)

Karmaşık analizde **kalıntı** veya **rezidü**, bir meromorf fonksiyonun bir tekillik etrafındaki çizgi integrallerinin davranışını açıklayan bir karmaşık sayıdır. Kalıntılar oldukça kolay bir şekilde hesaplanabilir ve bilindiklerinde kalıntı teoremi sayesinde çok karışık gerçel integrallerin belirlenmesi yolunu açarlar.

## Tanım
Meromorf bir f fonksiyonunun korunmalı bir a tekilliğindeki kalıntısı ki genelde Res(f,a) ile gösterilir, f(z)-{R \over (z-a)} ifadesini 0 delikli diskinde analitik terstüreve sahip yapan *biricik* R değeridir. Dönüşümlü olarak, kalınıtılar bazen Laurent serisi açılımları bulunarak da hesaplanabilir ve bazen de bu seri açılımları bağlamında tanımlanırlar.

## Motivasyon
Örnek olarak, *C* 'nin 0 civarında Jordan eğrisi olduğu 
:\oint_C {e^z \over z^5}\,dz
integralini ele alalım.

Bu integrali elimizde var olan standard integral teoremlerini kullanmadan bulalım. *e**z* 'nin Taylor serisini bildiğimiz için, bunu integrali alınan ifadeye (integranda) koyalım. O zaman integral

:\oint_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz

halini alır. 1/*z*5 'i de içeriye atarsak, integral şu hale gelir:

:\oint_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz 

=\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.

Şimdi integral daha basit bir biçim aldı.

:\oint_C {1 \over z^a} \,dz=0,\quad a \in \mathbb{Z},\mbox{ }a \ne 1

olduğunu hatırlayalım. Böylece, *cz*−1 biçiminde olmayan her terimin *C* etrafındaki integrali sıfır olur ve integral de şu hale gelir:

:\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz={1 \over 4!}\oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.

1/4! değeri *e**z*/*z*5 'in *z* = 0 'daki kalıntısıdır ve şu hallerde gösterilir.

:\mathrm{Res}_0 {e^z \over z^5},\ \mathrm{veya}\ \mathrm{Res}_{z=0} {e^z \over z^5},\ \mathrm{veya}\ \mathrm{Res}(f,0).

Karmaşık düzlemde *D* = {*z* : 0 −1 ifadesinin *a*-1 katsayısıdır. Bir basit kutupta, kalıntı
:\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z)
ile verilir.

Cauchy integral formülüne göre, 
:\operatorname{Res}(f,c) = 
{1 \over 2\pi i} \int_\gamma f(z)\,dz

olmaktadır. Burada γ, *c* etrafında saat yönünün tersine yönde bir çember çizmektedir. γ'yı *c* etrafında istediğimiz kadar küçük yapabileceğimiz bir ε yarıçaplı çember olarak seçebiliriz.

*g* ve *h* 'nin *c* 'nin bir komşuluğunda *h(c)* = 0 ve *g(c)* ≠ 0 olacak şekilde holomorf fonksiyonlar olduğu *f*(*z*)=*g*(*z*)/*h*(*z*) fonksiyonunun bir *c* basit kutbundaki kalıntısı

:\operatorname{Res}(f,c) = \frac{g(c)}{h'(c)}

ile verilir. Daha genel olarak, *f* 'nin mertebesi n olan bir *z* = *c* kutbundaki kalıntısı

: \mathrm{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \cdot \lim_{z \to c} \left(\frac{d}{dz}\right)^{n-1}\left( f(z)\cdot (z-c)^{n} \right) 

formülü ile bulunabilir.

Eğer fonksiyon { *z* : |*z* - *c*| f(z)={\sin{z} \over z^2-z}

fonksiyonunun tekilliklerindeki kalıntılarını bulalım. Bu fonksiyonun açık bir şekilde *z* = 0 noktasında tekilliği vardır. Bununla birlikte, payda çarpanlarına ayrılıp

: f(z)={\sin{z} \over z(z-1)}

şeklinde yazılırsa, bu tekilliğin kaldırılabilir tekillik olduğu açıktır ve bu yüzden bu *z* = 0 noktasındaki kalıntı 0'dır.

Diğer tek tekillik ise *z* = 1 noktasındadır. Bir *g*(*z*) fonksiyonunun *z* = *a* noktasındaki Taylor serisinin ifadesinin

:  g(z) = g(a) + g'(a)(z-a) + {g*(a)(z-a)^2 \over 2!} + {g*'(a)(z-a)^3 \over 3!}+ \cdots

olduğunu hatırlayalım. O zaman, *g*(*z*) = sin *z* ve *a* = 1 için şunu yazabiliriz:

:  \sin{z} = \sin{1} + \cos{1}(z-1)+{-\sin{1}(z-1)^2 \over 2!} + {-\cos{1}(z-1)^3 \over 3!}+\cdots.

Ayrıca, *g*(*z*) = 1/*z* ve *a* = 1 için

:  \frac1z = \frac1 {(z-1)+1} = 1 - (z-1) + (z-1)^2 - (z-1)^3 + \cdots.

yazabiliriz.

Bu iki seriyi çarparak ve 1/(*z* - 1) ifadesini koyarak

:  \frac{\sin{z}} {z(z-1)} = {\sin{1} \over z-1} + (\cos{1}-\sin1) + (z-1) \left(-\frac{\sin{1}}{2!} - \cos1 + \sin1\right) + \cdots.

açılımını elde ederiz. Böylece, *f*(*z*) 'nin *z* = 1 noktasındaki kalıntısı sin 1 olur.

## Notlar

## Ayrıca bakınız
* Cauchy integral formülü
* Cauchy integral teoremi
* Kontür integrali yöntemleri
* Morera teoremi

## Dış bağlantılar
* 
* Kalıntılar Modülü, John H. Mathews tarafından

## Kaynakça

* 
* Marsden & Hoffman, *Basic complex analysis* (Freeman, 1999).