Euler-Mascheroni sabiti

Matematiksel analizin sayı teorisinde **Euler–Mascheroni sabiti** matematiksel sabit'tir. Yunan harfi  (gama) ile gösterilir.

Harmonik seri ile doğal logaritma arasındaki fark veya limit'tir.

:\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx.

sayısal değerin 50 basamağı:
: 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 …|
\gamma ile e sayısı karıştırılmamalıdır *[[e sayısı|e]]* *Euler sayısı*, doğal logaritma'nın tabanı olarak bilinir.

## Tarihçe

Sabit 1735'te İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, *De Progressionibus harmonicis observationes* başlığı (Eneström Index 43) açıklanmıştır. Euler'in sabit için kullandığı notasyon *C* ve *O* dur. 1790'te, İtalyan matematikçi Lorenzo Mascheroni'nin sabit için kullandığı notasyon *A* ve *a* 'dır. γ gösterimine Euler veya Mascheroni sabiti dendi, daha sonra gama fonksiyonu ile ilişkisi anlaşıldı. Mesela Carl Anton Bretschneider tarafından γ notasyonu 1835'te kullanıldı.

## Tezahürleri

Euler-Mascheroni sabiti, diğer denklemler içerisinde görünür : 
* üstel integral ifadelerinde. 
* doğal logaritma'nın Laplace dönüşümü'nde. 
* Riemann zeta fonksiyonu'nun Taylor serisine açılımında ilk terim, burada Stieljes sabiti ilk terimdir.
* Digama fonksiyonu hesaplamaları 
* Gama fonksiyonu'ndan üretilen bir formül 
* Euler totient fonksiyonu için bir eşitsizlik 
* Bölen fonksiyonu'nun büyük kesri 
* Meissel-Mertens sabiti için bir hesaplama 
* Mertens'in üçüncü teoremi 
* ikinci tür Bessel denklemi'nin çözümü. 
* Kuantum alan teorisi'nde Feynman diagram'larının Boyutsal düzenlenmesinde .
* Gumbel dağılımının anlamı ile. 
Bu tür için daha fazla bilgi, bkz: Gourdon ve Sebah (2004).  rmulas.html Gourdon and Sebah (2004).]

## Kimliği

γ sayısının cebirsel sayı veya aşkın sayı olup olmadığı bilinmiyor. Hatta γ'nın irrasyonel sayı olup olmadığı da bilinmiyor sürekli kesir'le rasyonel, γ paydası 10242080 'dan büyük olmalıdır. Birçok denklemde ortaya çıkan γ'nın (pi/2e~0.5778) irrasyonalitesi? büyük bir açık sorudur. Sondow'a bakınız (2003a).

Daha fazla bilgi için bakınız:
Gourdon and Sebah (2002). 

### Gama fonksiyonu ile ilişkisi

γ digama fonksiyonu Ψ ile ilişkilidir, Ψ,gama fonksiyonu yani Γ 'unun türevidir.:
: \ -\gamma = \Gamma'(1) = \Psi(1). 

Bunun limiti:

: -\gamma = \lim_{z\to 0} \left\{\Gamma(z) - \frac1{z} \right\}
                = \lim_{z\to 0} \left\{\Psi(z)   + \frac1{z} \right\}.

Daha öte limit sonuçları (Krämer, 2005):

: \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Gamma(1+z)} - \frac1{\Gamma(1-z)} \right\} = 2\gamma
: \lim_{z\to 0} \frac1{z}\left\{\frac1{\Psi(1-z)} - \frac1{\Psi(1+z)} \right\} = \frac{\pi^2}{3\gamma^2}.

beta fonksiyonu ile ilişkisi (dolayısıyla gama fonksiyonu)

: \gamma = \lim_{n \to \infty} \left \{\frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right\}. 

:\gamma = \lim\limits_{m \to \infty}\sum_{k=1}^m{m \choose k}\frac{(-1)^k}{k}\ln(\Gamma(k+1)).

### Zeta fonksiyonu ile ilişkisi
Pozitif tam sayı içeren Riemann zeta fonksiyonu'nun sonsuz toplamı γ sabitine yakınsar:

:\begin{align}\gamma &= \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{m} \\ 
 &= \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=2}^{\infty} (-1)^m\frac{\zeta(m)}{2^{m-1}m}.\end{align} 

zeta fonksiyonu içeren diğer serilerle ilişkisi:

:\begin{align} \gamma &= \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] \\
 &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] \\
 &= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2^n}{e^{2^n}} \sum_{m=0}^\infty \frac{2^{m \,n}}{(m+1)!} \sum_{t=0}^m \frac{1}{t+1} - n\, \ln 2+ O \left ( \frac{1}{2^n\,e^{2^n}} \right ) \right ].\end{align} 

Son denklemde n sayısı nedeniyle hata teriminin hızla azalması hesaplama için uygundur.

Diğer ilginç limit eşitliği Euler–Mascheroni sabitinin antisimetrik limitidir. (Sondow, 1998)

: \gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )  = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right ) 

ve

:\begin{align} \gamma  =   \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right ).\end{align}

rasyonel zeta serisi ifadesi ile de yakında ilişkilidir.
:\gamma = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n - 
\sum_{m=2}^\infty \frac{\zeta (m,n+1)}{m}
Burada ζ(*s*,*k*) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur. Bu denklem harmonik sayılar'ın toplamını içermektedir., *H**n*. Hurwitz zeta fonksiyonu'nun açılımındaki bazı terimler:

:
H_n =  \ln n + \gamma + \frac {1} {2n} - \frac {1} {12n^2} + \frac {1} {120n^4} - \varepsilon , burada 0 

## Notlar

## Kaynakça
*  Derives γ as sums over Riemann zeta functions.
* Gourdon, Xavier, and Sebah, P. (2002) "Collection of formulas for Euler's constant, γ. "
* ----- (2004) "The Euler constant: γ. "
* Donald Knuth (1997) *[[The Art of Computer Programming]], Vol. 1*, 3rd ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4
* Krämer, Stefan (2005) *Die Eulersche Konstante γ und verwandte Zahlen*. Diplomarbeit, Universität Göttingen.
* Sondow, Jonathan (1998) "An antisymmetric formula for Euler's constant," *[[Mathematics Magazine]] 71*: 219-220.
* ------ (2002) "A hypergeometric approach, via linear forms involving logarithms, to irrationality criteria for Euler's constant." With an Appendix by Sergey Zlobin, Mathematica Slovaca 59*: 307-314.
* ------ (2003) "[http://arXiv.org/abs/math.CA/0306008 An infinite product for e<sup>γ</sup> via hypergeometric formulas for Euler's constant, γ.]"
* ------ (2003a) "[http://arXiv.org/abs/math.NT/0209070 Criteria for irrationality of Euler's constant,]" *Proceedings of the American Mathematical Society 131*: 3335-3344.
* ------ (2005) "[http://arXiv.org/abs/math.CA/0211148 Double integrals for Euler's constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas's formula,]" *American Mathematical Monthly 112*: 61-65.
* ------ (2005) [http://arXiv.org/abs/math.NT/0508042 "New Vacca-type rational series for Euler's constant and its 'alternating' analog ln 4/π.]"
* ------ and [[Wadim Zudilin]] (2006), [http://arXiv.org/abs/math.NT/0304021 "Euler's constant, q-logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper,"] Ramanujan Journal 12*: 225-244.
* G. Vacca (1926), "Nuova serie per la costante di Eulero, *C* = 0,577…". *Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali* (6) 3, 19–20.
* James Whitbread Lee Glaisher (1872), "On the history of Euler's constant". Messenger of Mathematics. New Series, vol.1, p.&nbsp;25-30, JFM 03.0130.01
* Carl Anton Bretschneider (1837). "Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova". Crelle Journal, vol.17, p.&nbsp;257-285 (submitted 1835)
* Lorenzo Mascheroni (1790). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur". Galeati, Ticini.
* Lorenzo Mascheroni (1792). "Adnotationes ad calculum integralem Euleri. In quibus nonnullae formulae ab Eulero propositae evolvuntur". Galeati, Ticini. Both online at: http://books.google.de/books?id=XkgDAAAAQAAJ 
* 

## Dış bağlantılar
* 
*