Fraksiyonel fourier dönüşümü

Matematikte, harmonik analiz alanında, **kesirli Fourier dönüşümü (FRFT)** Fourier dönüşümüne genelleştirilecek doğrusal dönüşümlerin bir ailesidir. Bu nedenle, -zaman ve frekans- arasında bir ara etki alanı için bir işlev dönüştürebilir - Fourier dönüşünde n'in bir tam sayı olması gerekmez n'inci kuvvet dönüşümü olarak da düşünülebilir. Onun uygulamaları faz geri alma ve örüntü tanıma için,filtre tasarımı ve sinyal analizi arasında değişir.

kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) Fourier dönüşümüne genelleştirilecek lineer dönüşümlerin bir ailesidir.

FRFT  fraksiyonel konvolüsyon, korelasyon ve diğer işlemleri tanımına kullanılabilir ve aynı zamanda lineer kanonik dönüşümler(LCT) içine daha fazla genelleştirilebilir ve ayrıca Namias'ın.    Green fonksiyonu için çözümü yardımıyla faz uzayı rotasyonları için FRFT'nin bir erken tanımı Condon tarafından verildi, Hermit polinomları üzerinde Wiener'in    çalışması genelleştirildi.

Bağımsız birkaç araştırma grubu tarafından 1993 civarında yeniden icat edilene kadar ancak yaygın olarak kabul edilmemiştir. O zamandan beri, fraksiyonel fourier boyutunda sınırlı bant kabul edilen sinyalleri için, Shannon örnekleme teoremine  olan ilgide büyük bir artış olmuştur.

"Kesirli Fourier dönüşümü" için tamamen farklı bir anlam frekansı alanı kesirli bir miktarda kaydırılarak ayrık bir Fourier dönüşümüne karşılık bir durumda  z-dönüşümü için aslında başka bir isim olarak ve özellikle Bailey ve Swartztrauber  tarafından tanıtıldı (bir doğrusal kesir tarafından giriş çarpılması) ve frekans noktalarının (örn. tayfı sadece küçük bir kısmı göz önünde bulundurarak) bir fraksiyonel kümesi de değerlendiriliyor. (Bu tür dönüşümler Bluestein FFT algoritması tarafından verimli bir şekilde değerlendirilebilir.) Bu terminoloji teknik edebiyatının en kullanım dışına çıkmış,yani, FRFT  tercih edilecek Bu makalenin geri kalanında FRFT olarak geçecek. Fourier dönüşümünün bir genelleştirmesi ile ilgili cıvıltı dönüşümünede ayrıca bakılmalıdır.

## Tanım
Sürekli Fourier fonksiyonu bir f(t) dönüşümü halinde \mathcal{F}(f) ile gösterilir, \mathcal{F}^2(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}(f)), daha sonra, genel olarak, benzer şekilde, \mathcal{F}^{(n+1)}(f)=\mathcal{F}(\mathcal{F}^n(f));benzer şekilde, \mathcal{F}^{-n}(F) dönüşümü ters n'inci gücü gösterir.FRFT ile gösterilen tam sayı olmayan herhangi bir gerçek sayı için n=2\alpha/\pi herhangi gerçel sayı \alpha üslerin idare ve özelliklerine sahip su tanıma uzanır:
:\mathcal{F}_\alpha(f) = \mathcal{F}^{2\alpha/\pi}(f)

olduğunda, bir tam sayıdır, ve:

 
Daha spesifik olarak,\mathcal{F}_\alpha(f) 
denklemi ile ifade edilir:
:\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = 
\sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} 
e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} 
\int_{-\infty}^\infty 
e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2}
f(t)\, dt. 

unutmadan, bu tam olarak sürekli bir Fourier dönüşümü tanımı haline gelir ve bunun tersi  \alpha=-\pi/2 sürekli bir Fourier dönüşümü tanımına dikkat edilmelidir.
çünkü yukarıda ayrışan kotanjant ve cosekant fonksiyonlarına bakılırsa bu ifade daha sonra, katlı bir tam sayı olmaktadır. Bununla birlikte, bu limit alınabilir ve bu integral Dirac delta fonksiyonu'na neden olabilir, kolayca ve sırasıyla, \mathcal{F}^2(f)=f(-t), \mathcal{F}_\alpha(f)
veya basitçe f(t) veya f(-t) için \alpha bir çift veya tek katlı \pi, olarak sayılmalıdır.
### İlgili dönüşümler
Yine benzer dönüşümler için ayrık Fourier dönüşümü veya **ayrık fraksiyonal Fourier dönüşümü** ile ilgili
Zeev Zalevsky tarafından tanımlanan fraksiyonel genellemeler vardır.

### Özellikler
\mathcal{F}_\alpha operatörünün özellikleri var:
*FT kuvvetleri ile **uyum** : Eğer \alpha \equiv \pi k\, [2\pi] ise, burada *k*  bir tam sayı ise
:\mathcal{F}_\alpha = \mathcal{F}^{k}
### Genelleme
Fourier dönüşümü aslında bozonik'tir; çünkü bu üstüstelik kuralları ve ilişkili girişim desenleri ile çalışır, ayrıca bir fermiyonik Fourier dönüşümüdür.  Burada  bir süpersimetrik FRFT içinde genelleştirme ve bir süpersimetrik Radon dönüşümü,ayrıca bir fraksiyonel Radon dönüşümü, bir simplektik FRFT ve bir simplektik dalgacık dönüşümüdür. Çünkü kuantum devreleri birim işlemci üzerinde temellidir, ayrıca ikinci olarak integral dönüşümlerini hesaplamak için kullanılan bir fonksiyon uzayı üzerinde birim işlemcidir. Bir kuantum devresi FRFT uygulamak için tasarlanmıştır.

* **Toplamsallık**:herhangi gerçek açılar α, β,için
:\mathcal{F}_{\alpha+\beta} = \mathcal{F}_\alpha \circ \mathcal{F}_\beta = \mathcal{F}_\beta \circ \mathcal{F}_\alpha.

### Fraksiyonel çekirdek
FrFT  bir integral dönüşümüdür
:\mathcal{F}_\alpha f (u) = \int K_\alpha (u, x) f(x)\, \mathrm{d}x
burada α-açı çekirdektir
:K_\alpha (u, x) = \begin{cases}\sqrt{1-i\cot(\alpha)} \exp \left(i \pi (\cot(\alpha)(x^2+ u^2) -2 \csc(\alpha) u x) \right) & \mbox{ eğer } \alpha \mbox{ bir çoğulu değil ise }\pi, \\
\delta (u - x) & \mbox{ eğer } \alpha \mbox{ bir çoğulu ise } 2\pi, \\
\delta (u + x) & \mbox{ eğer } \alpha+\pi \mbox{ bir çoğulu ise } 2\pi, \\
\end{cases}

(karekök [-\pi/2, \pi/2] aralığı içinde yer alan sonuçların bileşenleri böyle tanımlanır).

burada yine özel durum eğer α yaklaşıklığı  π'nin birçoğul limit davranış ile oluşturuluyor ise,

FrFT'de  bazı çekirdek özellikleri olarak şunlar var:
* simetri: K_\alpha (u, u') = K_\alpha (u', u)
* ters eleman: K_\alpha^{-1} (u, u') = K_\alpha^* (u, u') = K_{-\alpha} (u', u) 
* toplam: K_{\alpha+\beta} (u,u') = \int K_\alpha (u, u*) K_\beta (u*, u')\,\mathrm{d}u*.</math>

== Kesirli Fourier dönüşümünün Yorumlanması ==

Fourier dönüşümünün herzamanki kullanılan şekli bir zaman domeni sinyalinin bir frekans domeni sinyaline dönüşümüdür. Diğer taraftan, ters Fourier dönüşümü ise frekans domeni sinyalini zaman domeni sinyaline dönüştürür. Görünen o ki, Kesirli Fourier dönüşümü bir sinyale (ya zaman ya da frekans domeni) sürekli zaman ve frekans domenine dönüştürülebilir, [[zaman-frekans domeni]] içinde bu bir döngüdür. [[Lineer kanonik dönüşüm]] tarafından genelleştirilen bir bakış açısıdır, bu kesirli Fourier dönüşümü  genelleştirilerek dönme dışındada frekans-zaman domeni, doğrusal dönüşümlerini sağlar.

Bir örnek olarak aşağıda Şekil alalım:sinyal zaman domeninde [[dörtgen]] ise(aşağıda), frekans domeni içinde bir [[sinc fonksiyon]] alınacak. Ancak kesirli Fourier dikdörtgen sinyaline dönüştürme uygularsanız, dönüşüm çıkış zaman ve frekans arasındaki bir domen olacaktır.

Aslında, kesirli Fourier dönüşümü zaman frekans dağılımı üzerine bir dönme işlemdir. Yukarıdaki tanımından *α*&nbsp;=&nbsp;0 için, burada kesirli Fourier Dönüşümü uyguladıktan sonra herhangi bir değişiklik olmayacak ve bir Fourier dönüşümüne *α*&nbsp;=&nbsp;*π*/2 için, kesirli Fourier dönüşümü alınıyor. Buradaki zaman frekans dağılımını &nbsp;*π*/2 ile döndürülür.&nbsp;*α* için diğer değer,α nın zaman frekans dağılımına göre kesirli Fourier dönüşümünün döngüsüdür. Aşağıdaki resim &nbsp;*α*nın değişik değerleri ile birlikte kesirli Fourier'e dönüştüren sonuçları gösterir.

== Uygulama ==

Fraksiyonel Fourier dönüşümü zaman frekans analizi ve [[Digital signal processing|DSP]]'de kullanılabilir. Bu gürültüyü filtrelemek için yararlıdır, ama zaman-frekans domeninde istenen sinyalin örtüşmemesi koşulu ile. Aşağıdaki örneği inceleyelim. Gürültüyü ortadan kaldırmak için doğrudan bir filtre uygulayamayız, ancak kesirli Fourier dönüşümü yardımıyla, öncelikle (istenilen sinyal ve gürültü dahil) sinyal döndürebiliriz. O halde sadece istenilen sinyali geçmesine izin verecek özel bir filtre uygulayabiliriz. Böylece gürültü tamamen kaldırılır. Sonra biz geri sinyale döndürmek için tekrar kesirli Fourier dönüşümünü kullanıyoruz ve istenilen sinyal alabiliyoruz.

Böylece, sadece zaman alanında  kesilme kullanılarak veya  eşdeğeri frekans domenindeki [[alçak geçiren filtre]]'lerle, herhangi bir [[konveks küme]] zaman-frekans alanını kesebilirsiniz;kesirli Fourier kullanılarak zaman domeni veya frekans domeninde yöntemleri kullanılarak sadece eksene paralel dikdörtgenler dışındaki kesimin dönüşümüne izin verir.


== Ayrıca bakınız ==

Diğer zaman-frekans dönüşümleri:
* [[Lineer kanonik dönüşümler]]
* [[kısa-süreli Fourier dönüşümü]]
* [[Dalgacık dönüşümü]]
* [[Chirplet dönüşümü]]

== Kaynakça ==


== Dış bağlantılar ==
* [http://tfd.sourceforge.net/ DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions]
*"[http://demonstrations.wolfram.com/FractionalFourierTransform/ Fractional Fourier Transform]" by Enrique Zeleny, [[The Wolfram Demonstrations Project]].
* [https://web.archive.org/web/20090215081459/http://mechatronics.ece.usu.edu/foc/FRFT/ Dr YangQuan Chen's FRFT (Fractional Fourier Transform) Webpages]

== Kaynakça ==

* 
* 
* A. W. Lohmann, "Image rotation, Wigner rotation and the fractional Fourier transform," *J. Opt. Soc. Am.* *'A 10**, 2181–2186 (1993).
* Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," ''IEEE Trans. Sig. Processing'' **49*' (8), 1638–1655 (2001).
* Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), [[Taipei]], Taiwan, 2007.
* Saxena, R., Singh, K., (2005) *Fractional Fourier transform: A novel tool for signal processing'', J. Indian Inst. Sci., Jan.–Feb. 2005, 85, 11–26. https://web.archive.org/web/20110716112239/http://journal.library.iisc.ernet.in/vol200501/paper2/11.pdf.