Dirichlet serisi

Matematikte **Dirichlet serisi**

:\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}

biçimindeki herhangi bir seriyi ifade etmektedir.

Burada *s* ve *a**n* (*n* = 1, 2, 3, …) karmaşık sayılardır. Bu ifade genel Dirichlet serisinin özel bir durumudur.

Dirichlet serileri çözümlemeli sayı kuramında önemli bir yere sahiptir. Riemann zeta işlevinin en ünlü tanımı Dirichlet L-işlevlerinde olduğu gibi Dirichlet serilerine gerek duymaktadır. Seri, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet'ye adanmıştır.

## Örnekler
En ünlü Dirichlet serisi

:\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

Riemann zeta işlevidir. Bir diğeri

:\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

biçiminde ifade edilen seridir. Burada μ(*n*) Möbius işlevini belirtmektedir. Bunlar ve aşağıda sıralanan serilerin büyük bir bölümü bilinen serilere Möbius evirtimi ve Dirichlet katlaması uygulanarak elde edilebilmektedir. Örneğin, \scriptstyle\chi(n) bir Dirichlet karakteri olmak koşuluyla

:\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}

ifadesine ulaşılır. Burada L(\chi,s) bir Dirichlet L-işlevini göstermektedir.

Diğer özdeşlikler ise şunlardır:

φ(*n*) totient olmak koşuluyla

:\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} 
\frac{\varphi(n)}{n^s}

ve

:\zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s}

:\frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}
=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}

Burada σ*a*(*n*) bölen işlevi göstermektedir. Bu işlevi içeren diğer özdeşlikler

: \frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n^2)}{n^s}

: \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{d(n)^2}{n^s}

olarak yazılabilir.

Zeta işlevinin logaritması

:\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\,\frac{1}{n^s}

biçiminde tanımlanmaktadır. Bu ifade Re(*s*)&nbsp;>&nbsp;1 için geçerlidir. \scriptstyle \Lambda(n) von Mangoldt işlevini göstermektedir. Buradan logaritmik türev

:\frac {\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}

olarak hesaplanır.

Liouville işlevi (\scriptstyle\lambda(n)) kullanılarak

:\frac {\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}

ifadesine ulaşılır.

Ramanujan toplamı da benzer bir örnek sunmaktadır.

:\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}

## Dirichlet serisinin analitik özellikleri: Yakınsaklık yatay ekseni
Karmaşık sayılar kümesinde tanımlı {*a**n*}*n* ∈ **N** işlevi için

: f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s} 

ifadesi karmaşık değişken *s*nin bir işlevi olarak tanımlanabilmektedir.

{*a**n*}*n* ∈ **N** bir sınırlı seriyse buna karşılık gelen *f* Dirichlet serisi *s*nin yarı açık düzleminde mutlak yakınsar (Re(*s*) > 1 olmak koşuluyla). Genel olarak, *a**n* = O(*n**k*) eşitliği sağlanıyorsa seri Re(*s*)&nbsp;>&nbsp;*k*&nbsp;+&nbsp;1 yarı düzleminde mutlak yakınsar.

*a**n* + *a**n* + 1 + ... + *a**n* + *k* toplamlar kümesi *n*de sınırlı ve *k* ≥ 0 ise yukarıdaki sonsuz seri Re(*s*) > 0 koşulunu sağlayacak biçimde yakınsar.

Her iki durumda da *f*, yarı açık düzlemde tanımlı bir analitik işlevdir.

Bir Dirichlet serisinin **yakınsaklık yatay ekseni** karmaşık düzlemdeki dik doğrunun gerçel ekseni kestiği nokta olarak tanımlanmaktadır. Böylece, bu noktanın sağında kalan bölge yakınsaklığı, solunda kalan bölge ıraksaklığı simgeler. Bu, üs serisindeki yakınsaklık yarıçapına benzer bir kavramdır.

## Türevleri
:F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}

eşitliği sağlanıyorsa

:F'(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}

ifadesi geçerlidir. Bir ƒ(*n*) tümüyle çarpımsal işlevi tanımlanabiliyor ve seri Re(*s*)&nbsp;>&nbsp;σ0 için yakınsıyorsa

:\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}

ifadesi Re(*s*)&nbsp;>&nbsp;σ0 için yakınsar. Burada \scriptstyle\Lambda(n) von Mangoldt işlevini göstermektedir.

## Çarpımları
:  F(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)n^{-s} 

ve

:  G(s)= \sum_{n=1}^{\infty} g(n)n^{-s} 

olduğu varsayılsın.

*F*(*s*) ve *G*(*s*), *s* > *a* ve *s* > *b* için mutlak yakınsak ise

:  \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)g(n)n^{-a-b} \text{ as }T \sim \infty 

ifadesine ulaşılır.

*a* = *b* ve ƒ(*n*) = *g*(*n*) eşitlikleri sağlanıyorsa

:  \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|F(a+it)|^{2} dt= \sum_{n=1}^{\infty} [f(n)]^{2}n^{-2a} \text{ as } T \sim \infty 

sonucu elde edilir.

## İntegral dönüşümleri
Dirichlet serisinin Mellin dönüşümü Perron formülüyle hesaplanabilmektedir.

## Ayrıca bakınız
* Genel Dirichlet serisi
* Euler çarpımı

## Kaynakça

* 
* G. H. Hardy & Marcel Riesz, *The general theory of Dirichlet's series*, Cambridge Tracts in Mathematics, No. **18** (Cambridge University Press, 1915)
*  The general theory of Dirichlet's series, G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. Cornell University Library Digital Collections