Küresel harmonikler

Matematikte, **küresel harmonikler** Laplace denkleminin çözüm kümesinin açısal kısmıdır. Küresel koordinatların bir sistemi içinde küre yüzeyinde tanımlanır, Fourier serisi ise çember üzerinde tanımlanır. Laplace'ın küresel harmonikleri Y_\ell^m Pierre Simon de Laplace tarafından ilk 1782 yılında tanıtılan bir ortogonal sistemin küresel harmonik formlarının özel bir kümesidir. Küresel harmoniklerden birkaçının kökleri sağda gösterimlenmiştir.  Küresel harmonikler pek çok yerde teorik önem taşımaktadır ve özellikle atomik yörünge elektron konfigürasyonları, yerçekimi alanları, geoitleri ve gezegen ve yıldızların manyetik alanlarının temsili ve kozmik mikrodalga arka plan radyasyonu karakterizasyonu hesaplanmasında kullanılan pratik uygulamaları vardır. Küresel harmonikler 3D Bilgisayar grafiklerinde, dolaylı aydınlatma (ortam tıkanıklığı, küresel aydınlatma, Önceden hesaplanan parlaklık transferi, vb) ve 3D şekillerin tanınması gibi konularda geniş bir yelpazede özel bir rol oynamaktadır.

## Tarihçe
Küresel harmonikler üç boyut içerisinde Newton'un evrensel kütleçekim yasasının Newtonyen potansiyeli ile bağlantısı nedeniyle 1782 yılında, Pierre-Simon de Laplace ilk kez *Mécanique Céleste*si içinde araştırdı, **x***i* noktalarında yerleşik nokta kütlelerin kümesinin bir **x** noktasında ilişkisini belirleyen *m**i* ile veriliyor idi

:V(\mathbf{x}) = \sum_i \frac{m_i}.

yukardaki toplamda her terim için bir nokta kütle Newtonyen potansiyeli bireyseldir. İlk kez *r*&nbsp;=&nbsp;|**x**| ve *r*1&nbsp;=&nbsp;|**x**1| nin kuvvetleri içinde Newtonyen potansiyelin açılımını Adrien-Marie Legendre araştırdı. O bunu *r* ≤ *r*1  için  araştırmıştı.

:\frac{1} = P_0(\cos\gamma)\frac{1}{r_1} + P_1(\cos\gamma)\frac{r}{r_1^2} + P_2(\cos\gamma)\frac{r^2}{r_1^3}+\cdots

burada γ vektörler **x** ve **x**1 arasındaki açıdır. Fonksiyonlar *P**i* Legendre polinomlarıdır ve bu küresel harmoniklerin bir özel durumudur. Sonradan, "in his 1782 memoire" 'de, Laplace **x**1 ve **x** arasında γ açısını göstermek için küresel koordinatlarda kullanılan katsayıları araştırdı. (daha detaylı analiz için bakınız Fizikte Legendre polinomlarının uygulamaları)

1867'de, William Thomson (Lord Kelvin) ve Peter Guthrie Tait burada *[[Doğa felsefesi üzerine tez]]* içinde katı küresel harmonikleri tanıttı, ayrıca bu fonksiyonların içinde "küresel harmonikler" adı ilk kez tanıtıldı. Katı harmonikler Laplace denkleminin homojen çözümleridir. 
:\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0.
ile küresel koordinatlar içinde Laplace  denklemi incelendi, Thomson ve Tait  Laplace'ın küresel harmoniklerini açıkladı. "Laplace'ın katsayıları" terimi bir çizgi boyunca tanıtılan çözümlerin tanımlanan özel sistemi için William Whewellle çalışıyordu, oysa diğer zonal küresel harmonikler için bu düzenleme  korundu şöyle ki Laplace ve Legendre ile tanıtılmış olan özellikler idi.

19.yy Fourier serisinde gelişmeler, ısı denklemi ve dalga denkleminin çözümü gibi dörtgen domenler içinde fizik problemlerinin yaygın bir çeşidinin çözümünü olası yapar. Bu trigonometrik fonksiyonlar serisi içindeki fonksiyonların açılımı ile sağlanabilir. Oysa bir Fourier serisinin bir sicim içinde de temel titreşim modları gösterilebilir, küresel harmonikler benzer şekilde bir kürenin temel titreşim modları ile gösterilebiliyor. Fourier serilerinin teorisinin trigonometrik fonksiyonlar tarafından birçok açıdan genelleştirilmiş şekilleri küresel harmoniklerdeki açılımlar olarak yerini almaktadır. Bu, aslında Laplace ve Legendre tarafından incelenen gök mekaniği gibi küresel simetri içeren sorunları içinde bir nimet oldu.

20. yy kuantum mekaniğinin doğumu için  küresel harmoniklerin fizik sahnedeki önemi zaten yaygındı. Küresel harmonikler yörünge açısal momentum işlemcisinin karesinin özfonksiyonlarıdır
:-i\hbar\mathbf{r}\times\nabla,
ve bunun için bu farklı nicelenmiş atomik yörüngelerin düzenlenimini gösterir.

## Laplace'ın küresel harmonikleri

Laplace denklemi skalar(eğimsiz) bir alanın gradyanının diverjansı *f* in sıfır olduğunu vurgular. küresel koordinatlarda ise bu şöyledir:

: \nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
+ {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
+ {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0.
Yani
*f*(*r*,θ,φ)&nbsp;=&nbsp;*R*(*r*)*Y*(θ,φ) formunda bulunan problemin çözümleri düşünülüyor.Değişkenlerin ayrılması sonucu, iki diferansiyel denklemin Laplace denklemine uyarlanması ile:
:\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = \lambda,\qquad \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2} = -\lambda.
İkinci denklem *Y *varsayımı ile sadeleştirilebilir *Y*(θ,φ)&nbsp;=&nbsp;Θ(θ)Φ(φ) biçimi var. İkinci denklem için yine değişkenlerin ayrılması uygulanarak  diferansiyel denklemlerin çifti için verilen yol

:\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2
:\lambda\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2

Bu bazı *m* sayıları içindir. Öncelikle, *m* bir karmaşık sabittir, ama bir Φ periyodik fonksiyonu böylece 2π periyoduna eşit bölündüğü için *m* zorunlu olarak bir tam sayı ve Φ *e*±*im*φ karmaşık üstellerin bir doğrusal bileşimidir. Çözüm fonksiyonu *Y*(θ,φ); kürenin kutup bölgelerinde düzenlidir, burada θ=0,π dir. Domenin ikinci denklemin sınır noktalarında Θ çözümü bu düzenlilik uyarlaması ile bir Sturm&ndash;Liouville problemi  λ parametresinin kuvveti m λ&nbsp;=&nbsp;ℓ(ℓ+1) formunda olan bazı negatif olmayan ℓ&nbsp;≥&nbsp;|*m*| tam sayılar içindir; bu ayrıca yörünge açısal momentumun terimleri içinde aşağıda açıklanmıştır. Ayrıca, Legendre denklemi içinde bu denklemin  *t*&nbsp;=&nbsp;cosθ dönüşümü değişken dönüşümlerinin bir yer değişimidir, böylece çözüm P_\ell^m(\cos\theta) asosiye Legendre polinomunun birçoğuludur. Sonuç olarak, *R* için denklem ;biçiminin çözümü var ve gerekli çözüm **R**3 boyunca düzenli olan *B*&nbsp;=&nbsp;0 kuvvetleridir.

Burada *Y*(θ,φ)&nbsp;=&nbsp;Θ(θ)Φ(φ).özel biçiminin sahip olduğu varsayılan çözüm idi. ℓ,nin verilen bir çözümü için burada 2ℓ+1 bu biçimlerin bağımsız çözümleridir, *m* ile −ℓ&nbsp;≤&nbsp;*m*&nbsp;≤&nbsp;ℓ her tam sayı için tektir. Burada açısal çözümler  trigonometrik fonksiyonların bir çarpımıdır. Burada bir karmaşık üstel olarak gösterilebilir ve asosiye Legendre polinomları:

: Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N \, e^{i m \varphi } \, P_\ell^m (\cos{\theta} )

yerine getirip

: r^2\nabla^2 Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = -\ell (\ell + 1 ) Y_\ell^m (\theta, \varphi ).

Burada Y_\ell^m ℓ ve *m* derecenin bir küresel harmonik fonksiyonu olarak adlandırılır, P_\ell^m bir asosiye Legendre polinomudur, *N* bir normalizasyon sabitidir ve θ ve φ sırasıyla represent eş-enlem ve boylamı gösteriyor. Özel olarak, eş-enlem θ veya kutup açısı, Güney Kutup'ta π den Kuzey Kutupta 0 a kadar aralıklıdır. Ekvatorda π/2'nin varsayılan değeri ve boylam φ veya güney açısı, 0&nbsp;≤&nbsp;φ&nbsp; r^2\nabla^2 Y = -\ell (\ell + 1 ) Y
Y_\ell^m nin bir doğrusal bileşimdir. Aslında, böyle bir çözüm için, *r*ℓ*Y*(θ,φ) böyle bir homojen polinomun küresel koordinatlar içinde bağıntıları harmoniktir (bakınız aşağıda) ve burada gösterilen boyut sayılı polinomlar gibi 2ℓ+1 doğrusal bağımlıdır.

Bir küre merkezli orijininde Laplace denklemi için genel çözüm uygun ölçek çarpanı *r*ℓ ile çarpılan küresel harmonik fonksiyonlarının bir doğrusal bileşimidir,

: f(r, \theta, \varphi) =  \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell  f_\ell^m \, r^\ell  \, Y_\ell^m (\theta, \varphi ), 

Burada f_\ell^m sabitlerdir ve çarpanlar r^\ell  \, Y_\ell^m  katı harmonikler olarak biliniyor. Bir açılım gibi küre içinde değerdir

: r 
### Yörünge açısal momentum
Kuantum mekanikte, Laplace'ın küresel harmonikleri yörünge açısal momentumun terimleri içinde anlamlıdır
:\mathbf{L} = -i\hbar\mathbf{x}\times \nabla = L_x\mathbf{i} + L_y\mathbf{j}+L_z\mathbf{k}.
\hbar kuantum mekanikte gelenekseldir; bu  \hbar = 1 içindeki birimler içinde çalışma için gelenekseldir. Küresel harmonikler yörünge açısal momentumun karesinin özfonksiyonlarıdır
:\begin{align}
\mathbf{L}^2 &= -r^2\nabla^2 + \left(r\frac{\partial}{\partial r}+1\right)r\frac{\partial}{\partial r}\\
&= -{1 \over \sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\sin\theta {\partial \over \partial \theta} - {1 \over \sin^2\theta}{\partial^2  \over \partial \varphi^2}.
\end{align}
Laplace'ın küresel harmonikleri yörünge açısal momentumun karesinin özfonksiyonları ile ortaktır ve azimutal eksen ile ilgili dönmelerin üreteçleridir:
:\begin{align}
L_z &= -i\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right)\\
&=-i\frac{\partial}{\partial\varphi}.
\end{align}

Bu operatörlerdeki değişme ve **R**3 üzerinde normal dağılıma sırasıyla kare-integrallenebilir *f* fonksiyonunun Hilbert uzayı üzerinde yoğun tanımlanmış öz-eşleniktir:
:\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\mathbf{R}^3} |f(x)|^2 e^{-|x|^2/2}\,dx 
Daha ötesi, **L**2 bir pozitif işlemcidir.

Eğer *Y*, **L**2'nin bir ortak özfonksiyonu ve *L**z* ise
:\begin{align}
\mathbf{L}^2Y &= \lambda Y\\
L_zY &= mY
\end{align}

ile tanımlanır. Bazı gerçek sayılar *m* ve λ için. Burada *m* aslında  bir tam sayı olmalıdır, *Y* için periyodik bir sayı ile  koordinat φ içinde 2π ile eşit bölen periyot olmalı. Dahası, yine
:\mathbf{L}^2 = L_x^2+L_y^2+L_z^2
ve *L**x*, *L**y*, *L**z* nin her biri öz-eşleniktir, bu aşağıda şöyledir λ&nbsp;≥&nbsp;*m*2.

Bu *E*λ,*m* ile bu ortak özuzayı ve yükseltgen ve indirgen işlemciler tanımı ile ifade
:
\begin{align}
L_+ &= L_x + iL_y\\
L_- &= L_x - iL_y
\end{align}

İse *L*+ ve *L*− ile **L**2 değişme ve *L*+, *L*−, *L**z* ile üretilen Lie cebri özel doğrusal Lie cebridir, değişmelilik ilişkileri ile
:[L_z,L_+] = L_+,\quad [L_z,L_-] = -L_-, \quad [L_+,L_-] = 2L_z.
Böylece  (bu  bir "operatörü yükseltmek"tir) ve  (bu bir "indirgeyici işlemci"dir). Özel olarak,   yeterince büyük  *k* için sıfır olmalı, çünkü  λ&nbsp;≥&nbsp;*m*2 eşitsizliği önemsiz olmayan ortak her özuzayın içindekini tutmalı. Diyelimki *Y*&nbsp;∈&nbsp;*E*λ,*m* bir sıfır olmayan ortak özfonksiyon olsun ve diyelim ki *k* en küçük tam sayı olsun, böylece
:L_+^kY = 0.
ise, yine
:L_-L_+ = \mathbf{L}^2 - L_z^2 -L_z
bu aşağıda şöyledir
:0=L_-L_+^k Y = (\lambda - (m+k)^2-(m+k))Y.
Böylece  pozitif tam sayı için λ&nbsp;=&nbsp;ℓ(ℓ+1).

## Kurallar

### Diklik ve normalleştirme
Birkaç farklı normalleştirmeler Laplace küresel harmonik fonksiyonları için yaygın kullanım içindedir. Bölüm boyunca, biz bu standart yöntemi kullanıyoruz (bak asosiye Legendre polinomları)

:P_\ell ^{-m} = (-1)^m \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} P_\ell ^{m}

Rodrigues'in aşağıdaki formül ile verilen doğal normalleştirme ki şudur: Sismolojide, Laplace küresel harmonikleri (bu kurallar bu yazı içinde kullanıldı)

: Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt  \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi } 
olarak genel tanımıdır. Kuantum mekanik içinde ise: 
: Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = (-1)^m \sqrt  \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi } 

ortonormal olan şudur.

:\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*} \, d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'},

burada δ*ij* Kronecker delta ve *d*Ω = sinθ *d*φ *d*θ dır. Bu olasılığın normalize olmasını sağlar, çünkü bu normalleştirme kuantum mekaniğinde kullanılır, örneğin

:\int - (-1)^{m}\, Y_\ell^\right) & \text{if}\ m0.
\end{cases}
\end{align}

Condon-Shortley faz kuralı tutarlılık için burada kullanılmıştır. Karşılık gelen ters denklemler
: 
Y_{\ell}^{m} =
\begin{cases}
\displaystyle {1 \over \sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} - i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{if}\ m0.
\end{cases}


Gerçek küresel harmonikler bazen *tesseral küresel harmonikler* olarak biliniyor. Bu işlevler yukarıda karmaşık olanlar aynı ortonormalite özelliklere sahiptir. *m*&nbsp;>&nbsp;0 harmonikler ile cos tip'inin olduğu söylenir ve böylece sine tip'inin *m*&nbsp;
Y_{\ell m} =
\begin{cases}
 \displaystyle \sqrt{2} \sqrt P_\ell^m(\cos \theta) \cos m\varphi & \mbox{if } m>0 \\
 \displaystyle \sqrt P_\ell^m(\cos \theta) & \mbox{if } m=0\\
 \displaystyle \sqrt{2} \sqrt P_\ell^(\cos \theta) \sin |m|\varphi  &\mbox{if } m

Aynı sinüs ve kosinüs faktörler de kartezyen gösterimi ile ilgilidir, aşağıdaki alt bölümde görülebilir.

kadar gerçek küresel harmoniklerin listesi için bakınız burada  ve \ell = 4 içeriyor, bunun yukarıdaki denklemlerin çıkışı ile uyumlu olduğu görülebilir.
#### Kuantum kimyada kullanımı
Hidrojen atomu için analitik çözümlerden bilindiği gibi, dalga fonksiyonunun açısal kısmının özfonksiyonlarının küresel harmonikleri bulunmaktadır.
Ancak, manyetik şartlar olmaksızın göreli olmayan Schrödinger denkleminin çözümleri gerçek hale getirilebilir. Programlar daha sonra karmaşık cebir kullanmak gerekmez gibi gerçek formlar yoğun, kuantum kimyası için temel fonksiyonlarında kullanılan budur. İşte, bu gerçek fonksiyonlar, karmaşık olanları olduğu gibi aynı alanı kapsayan dikkat etmek önemlidir.

Örneğin olarak küresel harmonik tablosundan görülebileceği gibi, olağan *p* işlevleri (l=1) karmaşıktır ve eksen yön karışımı, ama gerçek versiyonlar aslında sadece *x*, *y* ve *z*.

## Kartezyen formu içinde küresel harmonikler
Kartezyen koordinatlar içinde  normalize küresel harmonikler ifadesi aşağıdadır (Condon-Shortley fazı):
:
r^\ell\,
\begin{pmatrix}
 Y_\ell^{m} \\
 Y_\ell^{-m}
\end{pmatrix}
=
\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)  
\begin{pmatrix}
(-1)^m (A_m +  i B_m) \\
\qquad (A_m -  i B_m) \\
\end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.

ve 'm* = 0 için:
:<math>
r^\ell\,Y_\ell^{0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}
\bar{\Pi}^0_\ell  .
</math>
Burada
:<math>
A_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos ((m-p) \frac{\pi}{2}),
</math>

:<math>
B_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin ((m-p) \frac{\pi}{2}),
</math>
ve
:<math>
\bar{\Pi}^m_\ell(z)
= \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2}
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} 
 (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}
\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.
</math>
<math>m = 0</math> için bu 
:<math>
\bar{\Pi}^0_\ell(z)
= \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor} 
 (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}.
</math>
ya indirgenir
===Örnekler===

<math>\bar{\Pi}^\ell_m(z)</math>, <math>A_m(x,y)\,</math> ve <math>B_m(x,y)\,</math> için biz yukarıdakilerden açıkça listelenmiş şu bağıntıları elde ederiz: 
:<math>
 Y^1_3 = - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} (5z^2-r^2)(x+iy) =
-  \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot  \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} (5\cos^2\theta-1) (\sin\theta e^{i\varphi})
</math>
 
:<math>
Y^{-2}_4 =  \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2}(7z^2-r^2) (x-iy)^2
=  \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2}(7 \cos^2\theta -1) (\sin^2\theta e^{-2 i \varphi})
</math>
Bu [[Küresel harmoniklerin tablosu#Spherical harmonics with l .3D 3|burada]] ve [[Küresel harmoniklerin tablosu#Spherical harmonics with l .3D 4|burada]] listelenmiş fonksiyon ile bu kabul doğrulanabilir.

===Gerçek form===

Gerçek küresel harmonikler formuna yukardaki denklemler kullanılıyor, <math>m>0</math> için bunun olduğu görülmektedir. Yalnızca <math>A_m</math> terimleri (kosinüs) içeriyor ve <math>m<0</math> için yalnızca <math>B_m</math> terimleri (sinüs) içeriyor:

:<math>
r^\ell\,
\begin{pmatrix}
 Y_{\ell m} \\
 Y_{\ell -m}
\end{pmatrix}
=
\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)  
\begin{pmatrix}
 A_m \\
 B_m \\
\end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.
</math>
ve *m* = 0 için:
:<math>
r^\ell\,Y_{\ell 0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}
\bar{\Pi}^0_\ell  .
</math>
==Spektrum analizi==

===Sinyal işlemci içinde kuvvet spektrumu===
bir *f* fonksiyonunun toplam kuvveti kare fonksiyonun integrali olarak [[işaret işleme]] literatüründe tanımlanıyor, bu domenin bölgesi ile bölünür. Gerçek birim-kuvvet küresel harmonik fonksiyonların [[ortonormalite]] özellikleri kullanılıyor, bu birim küre üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun toplam gücünü doğrulamak için basitçe [[Parseval Teoremi|Parseval teoreminin]] bir genellemesi spektral katsayılarla ilişkilidir:

:<math>\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega  |f(\Omega)|^2\, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{f\!f}(\ell),</math>

burada

:<math>S_{f\!f}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell  |f_{\ell m}|^2 </math>

açısal kuvvet spektrumu olarak tanımlanıyor. Benzer bir şekilde, bir iki fonksiyon arasında çapraz güç tanımlayabilirsiniz

:<math>\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega  f(\Omega) \, g^\ast(\Omega) \, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{fg}(\ell),</math>

burada

:<math>S_{fg}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell  f_{\ell m} g^\ast_{\ell m} </math>

çapraz-kuvvet spektrumu olarak tanımlanıyor. Eğer fonksiyonlar *f* ve *g* have bir (yani spektral katsayılar *f*<sub>00</sub> ve *g*<sub>00</sub> sıfırdır) ortada sıfır var, ise sırasıyla *S*<sub>*ff*</sub>(ℓ) ve *S*<sub>*fg*</sub>(ℓ) fonksiyon'ların değişken için ve ℓ derecesi için eşdeğişken katkısını gösterir. Bu yaygın e (çapraz-)kuvvet spektrum formunun bir kuvvet kanunu ile iyi yaklaşıklıktır

:<math>S_{f\!f}(\ell) = C \, \ell^{\beta}.</math>

Eğer β&nbsp;=&nbsp;0,spektrum eş kuvvet her derecesine sahip olarak "beyaz"dır. Eğer β&nbsp;<&nbsp;0 ise, spektrum "kırmızı" olarak adlandırılan düşük dereceden de daha kuvvetli yüksek dereceden uzun dalgadır. Sonuç olarak, eğer β&nbsp;>&nbsp;0 ise, spektrum "mavi" olarak adlandırılıyor. *S*<sub>*ff*</sub>(ℓ)nin büyüklüğünün derecesi üzerinde durum son kesit içinde *f*nin diferansiyellenebilirliklerinin derecesine göredir.

===Diferansiyellenebilir özellikler===
Ayrıca orijinal fonksiyonunun *S*<sub>*ff*</sub>(ℓ)in [[asimtotik]] terimleri içinde *f* orijinal fonksiyonunun [[derivative|türevlenebilir özellikler]]i anlaşılabilir. Özel olarak, eğer *S*<sub>*ff*</sub>(ℓ)  ℓ&nbsp;→&nbsp;∞ olarak ℓ'nin herhangi [[kesirli fonksiyonu]] daha hızlı çürüyorsa, *f* [[sonsuz türevlenebilir]]dir. Ve dahası *S*<sub>*ff*</sub>(ℓ) [[üstel azalma]] ise *f*  küre üzerinde aslında [[gerçek analitik]]tir.

Diferansiyellenebilirlik için *S*<sub>*ff*</sub>(ℓ) in büyüklüğü  ile ilişkili durumları [[Fourier serisi]]nin katsayılarının büyümesindeki analog sonuçlara benzer ise genel teknik olarak [[Sobolev uzayı]]nın teorisi kullanılıyor. Özellikle eğer
:<math>\sum_{\ell=0}^\infty (1+\ell^2)^s S_{ff}(\ell) < \infty,</math>
ise *f* Sobolev uzayı *H*<sup>*s*</sup>(*S*<sup>2</sup>) içindedir. Özel olarak, [[Sobolev gömme teoremi]] *f*
:<math>S_{ff}(\ell) = O(\ell^{-s})\quad\rm{as\ }\ell\to\infty</math>
şartıyla tüm *s*ler için sonsuz türevlenebilir anlamına gelir.

==Küresel harmonikleri gösterimleme==




<math>Y_\ell^m</math>  Laplace küresel harmonikler burada "[[nodal line|düğüm çizgileri]]" göz önüne alınarak görselleştirilebilir, şöyle ki, burada <math>\text{Re}[Y_\ell^m] = 0</math>, küre üzerinde noktaların kümesi veya karşıt olarak burada <math>\text{Im}[Y_\ell^m] = 0</math>. dir  <math>Y_\ell^m</math>nin düğüm çizgileri çemberin oluşumudur: bazıları enlemlerdir ve diğerleri boylamlardır. Enlemsel ve bağımsız boyuna tarifi içinde <math>Y_\ell^m</math>nin sıfırlarının sayısının sayılması ile her tipinin düğüm çizgilerinin sayısı belirlenebilir. Enine yönünde için, asosiye Legendre polinomlarının sanal  ve gerçek bileşenleri her  ℓ−|*m*| sıfırlarına sahiptir, oysa, uzunlamasına yön için, trigonometrik sin ve cos fonksiyonları 2|*m*| sıfırlara sahiptir.

Eğer küresel harmonik derece *m* (sol-üst resim) sıfır ise, küresel harmonik fonksiyonlar boylam bağlı olmayan ve *'zonal** olarak adlandırılır. Bu gibi küresel harmonikler  [[zonal spherical function|zonal küresel fonksiyonlar]]ın bir özel durumudur  Eğer ℓ&nbsp;=&nbsp;|''m''| (Şekilde sağ alt) ise, burada enlem içinde sıfır geçidi yoktur ve fonksiyonlar **sektörel** olarak adlandırılır. Diğer durumlar için, küre [[English draughts|denetleyicisi]] fonksiyonları ve bu  **tesseral** olarak adlandırılır.

Daha genel ℓ derecesinin küresel harmonikleri are Laplace tabanı <math>Y_\ell^m</math>nın böyle olması gerekmez ve burada nodal(düğümsel) kümeler oldukça genel bir tipi olabilir.

==Küresel harmoniklerin listesi==


İlk birkaç ortonormalize edilmiş Laplace küresel harmonik(=salınan) için analitik bağlantılar kullanılan Condon-Shortley faz kuralı:

:<math>Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}</math>

:<math>Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi} \, \sin\theta \, e^{-i\varphi}</math>
:<math>Y_{1}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\, \cos\theta</math>
:<math>Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\, \sin\theta\, e^{i\varphi}</math>

:<math>Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi} \, \sin^{2}\theta \, e^{-2i\varphi}</math>
:<math>Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\, \cos\theta\, e^{-i\varphi}</math>
:<math>Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\, (3\cos^{2}\theta-1)</math>
:<math>Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\,\cos\theta\, e^{i\varphi}</math>
:<math>Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin^{2}\theta \, e^{2i\varphi}</math>
==Yüksek boyutlar==
Klasik küresel harmonikler üç-boyutlu Öklid uzayı içerisinde birim küre ''S''<sup>2</sup>  üzerinde fonksiyonlar olarak tanımlanıyor. Küresel harmonikler yüksek-boyutlu Öklid uzayı **R**<sup>''n''</sup> için genelleştirilebilir olarak aşağıdadır.   Diyelim ki **P**<sub>ℓ</sub>  ''n'' değişkenleri içinde  ℓ derecesinin [[homogeneous polynomial|homojen polinomları]]nın [[vector space|uzayını]] ifade eder. Şöyle ki, bir ''P''  polinomu **P**<sub>ℓ</sub>  içinde şunu sağlıyor.

:<math>P(\lambda \mathbf{x}) = \lambda^\ell P(\mathbf{x}).</math>

Diyelim ki  **P**<sub>ℓ</sub> nin altuzayı ifadesi **A**<sub>ℓ</sub> tüm [[harmonic function|harmonik]] polinomlarının oluşturuyor; bu [[katı küresel harmonikler]]dir. Diyelim ki **H**<sub>ℓ</sub> birim kürenin üzerindeki fonksiyonların uzayını ifade ediyor 
:<math>S^{n-1} = \{\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n\,\mid\, |x|=1\}</math>
**A**<sub>ℓ</sub> dan sınırlandırılarak elde edilir.

aşağıdaki özellikler uyar:

* **H**<sub>ℓ</sub> uzayının  toplamı  [[uniform convergence|tektip topoloji]] ye göre  ''S''<sup>''n''−1 </sup>üzerinde sürekli fonksiyonun kümesi içinde [[dense set|yoğunluk]] [[Stone-Weierstrass theorem|Stone-Weierstrass teoremi]] iledir. Bir sonuç olarak, bu uzayın toplamı  küre üzerinde kare integrallenebilir fonksiyonların  ''L''<sup>2</sup>(''S''<sup>''n''−1</sup>) uzayı içinde ayrıca yoğunluktur. Böylece bir küresel harmoniklerin bir serisi içinde küre teklik ayrışması üzerinde her kare integrallenebilir fonksiyon, burada  ''L''<sup>2</sup> içinde anlamı yakınsak seridir.
* Tüm ''f''&nbsp;∈&nbsp;**H**<sub>ℓ </sub>,için tek olan 
::<math>\Delta_{S^{n-1}}f = -\ell(\ell+n-2)f.</math>
:burada Δ<sub>''S''<sup>''n''−1</sup></sub>  ''S''<sup>''n''−1 </sup>üzerinde  [[Laplace–Beltrami operator|Laplace–Beltrami işlemcisi]]dir. Bu operatör üç boyutlu Laplacian'ın açısal kısmının analoğudur. Demek ki,''n'' boyutlarda Laplasyen olarak parçalanır
::<math>\nabla^2 = r^{1-n}\frac{\partial}{\partial r}r^{n-1}\frac{\partial}{\partial r} + r^{-2}\Delta_{S^{n-1}}.</math>

* Bu [[Stokes theorem|Stokes teoremi]] ve **H**<sub>ℓ</sub> uzayı önceki özelliği takip eden ''L''<sup>2</sup>(''S''<sup>''n''−1</sup>) dan iç çarpıma göre ortogonaldir. Demek ki,
::<math>\int_{S^{n-1}} f\bar{g}\,d\Omega = 0</math>
:''f''&nbsp;&isin;&nbsp;**H**<sub>ℓ</sub> ve ''g''&nbsp;&isin;&nbsp;**H**<sub>''k''</sub> for ''k''&nbsp;≠&nbsp;ℓ.için

*Aksine, **H**<sub>ℓ</sub> uzayı  Δ<sub>''S''<sup>''n''−1</sup></sub> nın öz uzayları tamdır. Özel olarak, <math>\Delta_{S^{n-1}}^{-1}</math> [[Riesz potansiyeli]] için [[Spectral theorem#The spectral theorem for compact self-adjoint operators|spektral teoremi]]nin bir uygulaması **H**<sub>ℓ</sub> uzayları diğer kanıtları veriyor. İkişerli ortogonal ve ''L''<sup>2</sup>(''S''<sup>''n''−1</sup>) içinde tamdır.
*Her homojen polinom ''P''&nbsp;∈&nbsp;**P**<sub>ℓ</sub> formu içinde teklik yazılabilir 
::<math>P(x) = P_\ell(x) + |x|^2P_{\ell-2} + \cdots + \begin{cases} 
|x|^\ell P_0 & \ell \rm{\ even}\\
|x|^{\ell-1} P_1(x) & \ell\rm{\ odd}
\end{cases}</math>
:burada ''P''<sub>''j''</sub>&nbsp;&isin;&nbsp;**A**<sub>''j''</sub>. Özel olarak,
::<math>\dim \mathbf{H}_\ell = \binom{n+\ell-1}{n-1}-\binom{n+\ell-3}{n- 1}.</math>

yüksek boyutlar içinde küresel harmoniklerin bir ortogonal tabanı [[değişkenlerin ayrılması]]nın metodu ile [[mathematical induction|tümevarım]] ile inşa edilebilir, küresel Laplasyen için Sturm-Liouville problemi çözümü ile
:<math>\Delta_{S^{n-1}} = \sin^{2-n}\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\sin^{n-2}\phi\frac{\partial}{\partial\phi} + \sin^{-2}\phi \Delta_{S^{n-2}}</math>
burada φ ''S''<sup>''n''−1</sup> üzerinde bir küresel koordinat sistemi içinde eksenel koordinattır. Bir işlem gibi sonuçtur
:<math>Y_{l_1, \dots l_{n-1}} (\theta_1, \dots \theta_{n-1}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i l_1 \theta_1} \prod_{j = 2}^{n-1} {}_j \bar{P}^{l_{n-2}}_{l_j} (\theta_j)</math>
burada |ℓ<sub>1</sub>| &le; ℓ<sub>2</sub> &le; ... &le; ℓ<sub>''n''−1</sub> indisleri karşılar ve özdeğer  −ℓ<sub>''n''−1</sub>(ℓ<sub>''n''−1</sub> + ''n''−2)dır. Çarpım içindeki fonksiyonlar [[Legendre fonksiyonu]]nun terimleri içinde tanımlanıyor
:<math>{}_j \bar{P}^l_{L} (\theta) = \sqrt{\frac{2L+j-1}{2} \frac{(L+l+j-2)!}{(L-l)!}} \sin^{\frac{2-j}{2}} (\theta) P^{-(l + \frac{j-2}{2})}_{L+\frac{j-2}{2}} (\cos \theta)</math>

==Gösterim teorisi ile bağlantısı==
**H**<sub>ℓ</sub> uzayı ℓ derecenin küresel harmoniğinin bir ([[SO(3)]])nokta çevresinde dönmelerin simetri [[group (mathematics)|grubu]]nun bir [[group representation|gösterim]]i ve [[Special unitary group|SU(2)]] çift örtüktür. Aslında, iki-boyutlu [[küre]] üzerinde dönme hareketi ve böylece ayrıca fonksiyon düzeni ile **H**<sub>ℓ</sub> üzerinde
:<math> \psi \mapsto \psi\circ\rho</math>
ψ için bir küresel harmonik ve ρ bir dönme ve **H**<sub>ℓ</sub> gösterimi SO(3)ün bir [[irreducible (mathematics)|indirgenemez]] [[group representation|gösterimi]]dir.

**H**<sub>ℓ</sub>nın ögeleri **A**<sub>ℓ</sub>nın ögelerinin küre için sınırlandırılmış olarak ortaya çıkar: üç-boyutlu öklid uzayı **R**<sup>3</sup> üzerinde ℓ derecenin homojen  harmonik polinomlarıdır. ψ&nbsp;∈&nbsp;**A**<sub>ℓ</sub> nin [[polarization of an algebraic form|polarizasyon]]u ile, burada <math>\psi_{i_1\dots i_\ell}</math> indisler üzerinde teklik şartı ile belirlenen simetrik katsayılardır,
:<math>\psi(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i_1\dots i_\ell}\psi_{i_1\dots i_\ell}x_{i_1}\cdots x_{i_\ell}.</math>
Durum that ψ be harmonik  is [[tensör]] <math>\psi_{i_1\dots i_\ell}</math> onaylanması için eşdeğerdir ve indislerin her çifti üzerinde bağımsız [[tensor contraction|iz]] olmalı. Böylece SO(3), **H**<sub>ℓ</sub> nin indirgenemez gösterim olarak  ℓ derecesinin [[simetrik tensör]]lerinin izsizlik uzayı için izomorfiktir.

Daha genel olarak, yüksek boyutlar içinde tutan analog durumlar: [[N-sphere|''n''-küre]] üzerinde küresel harmoniklerin  **H**<sub>ℓ</sub> uzayı izsiz simetrik ℓ-tensörler için karşılık gelen SO(''n''+1)nin indirgenemez gösterimidir. Bununla birlikte, oysa SO(2)nin  ve SO(3) ün her indirgenemez tensör gösterimi bu türündür, yüksek boyutlar içinde özel ortogonal gruplar ek bir indirgenemez gösterimleri var ve bu tutum içinde ortaya çıkmaz.

Özel ortogonal grupların have ek [[spin gösterimler]]i var ve tensör gösterimleri değildir ve ''tipik olarak'' küresel harmonikler değildir. bir istisna SO(3)ün [[spin gösterimi]]dir: strictly speaking these are [[double cover (topology)|çift örtü]] SU(2) ve SO(3)ün  [[double cover (topology)|çift örtü]]nün gösterimidir. sırayla, SU(2) birim [[kuaterniyon]]ların grubu ile özdeştir ve [[3-küre]] ile ile bu çakışma, 3-küre üzerinde küresel harmoniklerin uzayı SO(3)ün belli dönmesidir, kuaterniyonik çarpım ile harekete göre.
===Genellemeler===

[[İki-küre]]nin [[conformal geometry|açı koruyucu simetrileri]] [[Möbiüs dönüşümleri]] PSL(2,**C**)'nin grubu ile tarif edilmektedir. Bu grup ile ilgili olarak, küre genel [[Riemann küre]]nin eşdeğeridir. Grup PSL(2,**C*') (uygun) [[Lorentz grubu]]na izomorf ve iki küre üzerinde hareket [[Minkowski uzayı]]nda [[göksel küre]] üzerinde Lorentz grubunun eylemi ile uygundur. Lorentz grubunun küresel harmonik analoğu bir [[Hipergeometrik seri]] ile verilir; bundan başka, küresel harmoniklerin terimleri içinde yeniden ifade edileblir. SO(3)&nbsp;=&nbsp;PSU(2) olarak  PSL(2,C)nin bir [[altgrubu|altgrubudur.]] Daha genel olarak, hipergeometrik serisi herhangi bir [[simetrik uzay]] simetrilerini açıklamak için jeneralize olabilir; Özellikle, hipergeometrik serisi herhangi bir [[Lie grubu]] için geliştirilmiş olabilir.

==Ayrıca bakınız==

* [[Silindirik harmonikler]]
* [[Küresel taban]]
* [[Spin küresel harmonikler]]
* [[Spin-ağırlıklı küresel harmonikler]]
* [[Sturm-Liouville teorisi]]
* [[Küresel harmoniklerin tablosu]]
* [[Vektör küresel harmonikler]]

==Notlar==


==Kaynakça==

;Cite edilmiş kaynaklar
*.
* 
*
*.
*.
*.
*.
*.
*.

;Genel kaynakça
* E.W. Hobson, *The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics*, (1955) Chelsea Pub. Co., ISBN 978-0-8284-0104-3.
* C. Müller, *Spherical Harmonics*, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17, ISBN 978-3-540-03600-5.
* E. U. Condon and G. H. Shortley, *The Theory of Atomic Spectra*, (1970) Cambridge at the University Press, ISBN 0-521-09209-4, *See chapter 3*.
* J.D. Jackson, *Classical Electrodynamics*, ISBN 0-471-30932-X
* Albert Messiah, *Quantum Mechanics*, volume II. (2000) Dover. ISBN 0-486-40924-4.
* 
* D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii *Quantum Theory of Angular Momentum'', (1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, ISBN 9971-5-0107-4
*