Vektör otoregresyon

**Vektör otoregresyon (VAR)**, tek değişkenli AR modellerini genelleştiren, çoklu zaman serileri arasındaki gelişimi ve karşılıklı bağımlılığı veren ekonometrik bir modeldir. Bir VAR'daki tüm değişkenler, modeldeki değişkenin kendi gecikmeleri ve diğer tüm değişkenlerin gecikmelerine bağlı olarak değişkenin gelişimini açıklayarak her bir değişken için bir denklem ile simetrik olarak ele alır. Bu özellik sebebiyle Christopher Sims, ekonomik ilişkilerin tahmininde teoriden bağımsız bir metot olarak VAR modelleri kullanımını, böylelikle yapısal modellerin "inanılmaz tanımlama kısıtlamalarına" bir alternatif olarak destekler.

## Belirtim
### Tanım
Bir VAR modeli, *k* değişkenli kümenin (***içsel değişkenler***)  aynı örnek periyodundaki (*t* = 1, ..., *T*) yalnız geçmiş gelişimlerinin lineer fonksiyonu olarak gelişimidir. Değişkenler, *k*&nbsp;&times;&nbsp;1 vektör *y<sub>t</sub>* de toplanır (i. eleman *y<sub>i,t</sub>* değişken *y<sub>i</sub>*nin *t* anındaki gözlemi). Örneğin, *i*. değişken GDP ise *y<sub>i,t</sub>* GDP'nin *t* deki değeridir.

(İndirgenmiş) bir p. mertebe VAR (***VAR(p)***):

:y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t,

(*c*: *k*&nbsp;&times;&nbsp;1 sabit vektör(**[[kesişim]]**), *A<sub>i</sub>* *k*&nbsp;&times;&nbsp;*k* matris (her *i* = 1, ..., *p* için) ve e*<sub>t</sub>*:*k*&nbsp;&times;&nbsp;1 hata vektörü aşağıdakileri sağlar:

#\mathrm{E}(e_{t}) = 0\, — her hata terimi 0 ortalamalıdır;
#\mathrm{E}(e_{t}e_{t}') = \Omega\, — hata terimlerinin eşzamanlı kovaryans matrisi Ω 'dır (*k*&nbsp;&times;&nbsp;*k* positive definite matris);
#\mathrm{E}(e_{t}e_{t-k}') = 0\, for any non-zero *k* — zaman karşısında korelasyonsuzdur; özellikle, ferdi hata terimlerinde hiçbir seri korelasyon yoktur.

The *l*-periods back observation *y**t*&minus;l is called the *l*-th ***lag*** of *y*. Bu yüzden, a *p*.-mertebe VAR'a bir ** ''p'' gecikmeli VAR** da denir.

### değişkenlerin integrasyon sırası
Kullanılan tüm değişkenlerin aynı integrasyon mertebesinde olmalıdır. Bu yüzden, aşağıdaki durumlar söz konusudur:

* Tüm değişkenler I(0) (stationary): biri standart durumdadır, yani, bir VAR düzey
* Tüm değişkenler, d>0 olmak üzere I(d) (non-stationary):
** Değişkenler eşbütünleşik: hata düzeltme terimi, VAR'a katılmalıdır. Model, bir Vektör hata düzeltme modeli (VECM) olur ki, bu model kısıtlı bir VAR olarak görülebilir. 
**Değişkenler eşbütünleşik değildir: Değişkenler, d kere çıkarılmalı ve fark VAR'dır.

### kısa matris gösterimi

Bir VAR(*p*)'ın kısa matris gösterimi:

: Y=BZ +U \, 

Matrislerin ayrıntıları ayrı sayfadadır.

### Örnek
*k* değişkenli VAR(p) genel örneği için, lütfen bu sayfaya bakınız.

İki değişkenli bir VAR(1) matris gösterimi (daha kısa gösterim):

:\begin{bmatrix}y_{1,t} \\ y_{2,t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2} \\ A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{1,t} \\ e_{2,t}\end{bmatrix},

veya, buna denk olan, aşağıdaki iki denklem sistemi:

:y_{1,t} = c_{1} + A_{1,1}y_{1,t-1} + A_{1,2}y_{2,t-1} + e_{1,t}\,
:y_{2,t} = c_{2} + A_{2,1}y_{1,t-1} + A_{2,2}y_{2,t-1} + e_{2,t}.\,

Modelde her bir değişken için bir denklem olduğuna dikkat et. Ayrıca, her bir değişkenin o anki (*t* zamanı) gözleminin, VAR'daki diğer her bir değişkenin gecikmelerinin yanı sıra kendi gecikmelerine bağlı olduğuna dikkat et.

### VAR(''p'')nin VAR(1) olarak yazılması
*p* gecikmeli VAR, daima eşdeğer olarak, bağımlı değişkeni uygun biçimde tanımlanmasıyla, 1 gecikmeli VAR olarak yazılabilir. The transformation amounts to merely stacking the lags of the VAR(*p*) variable in the new VAR(1) dependent variable and appending identities to complete the number of equations.

For example, the VAR(2) model

:y_{t}=c + A_{1}y_{t-1} + A_{2}y_{t-2} + e_{t}

can be recast as the VAR(1) model

::\begin{bmatrix}y_{t} \\ y_{t-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1}&A_{2} \\ I&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{t} \\ 0\end{bmatrix},

(*I* birim matris.

Eşedeğer VAR(1) formu, analitik çıkarımlarda daha uygundur ve daha kısa ifadelere yol açar.

## Yapısal ve indirgenmiş form
### Yapısal VAR
p **gecikmeli yapısal vektör** otoregresyon (**SVAR şeklinde kısaltılır**): 
:B_0 y_t = c_0 + B_1 y_{t-1} + B_2 y_{t-2} + \cdots + B_p y_{t-p} + \epsilon_t,

where *c*0 is a *k*&nbsp;&times;&nbsp;1 vector of constants, *B<sub>i</sub>* is a *k*&nbsp;&times;&nbsp;*k* matrix (for every *i* = 0, ..., *p*) and *ε**t* is a *k*&nbsp;&times;&nbsp;1 vector of error terms. *B*0 matrisininana köşegen terimleri  (*i*. eşitlikteki *i*. değişkenin katsayıları) 1'e ölçeklenir.

Hata terimleri ε*<sub>t</sub>* (***yapısal şoklar***) satisfy the conditions (1) - (3) in the definition above, with the particularity that all the elements off the main diagonal of the covariance matrix \mathrm{E}(\epsilon_t\epsilon_t') = \Sigma are zero. That is, the structural shocks are uncorrelated.

Örneğin, iki değişkenli yapısal bir VAR(1):

:\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2} \\ B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t} \\ y_{2,t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{0;1} \\ c_{0;2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2} \\ B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\epsilon_{1,t} \\ \epsilon_{2,t}\end{bmatrix},

(:\Sigma = \mathrm{E}(\epsilon_t \epsilon_t') = \begin{bmatrix}\sigma_{1}^2&0 \\ 0&\sigma_{2}^2\end{bmatrix};)

yani, yapısal şokların varyansları \mathrm{var}(\epsilon_i) = \sigma_i^2 (*i* = 1, 2) ve kovaryans ise \mathrm{cov}(\epsilon_1,\epsilon_2) = 0.

İlk eşitlik açıkça yazılıp,*y<sub>2,t</sub>* sağ tarafa alınırsa:

:y_{1,t} = c_{0;1} - B_{0;1,2}y_{2,t} + B_{1;1,1}y_{1,t-1} + B_{1;1,2}y_{2,t-1} + \epsilon_{1,t}\,

*B*0;1,2≠0 ise *y*2,*t* *y<sub>1,t</sub>* üzerine eşzamanlı etkili olabilir. Bu, *B*0 nin birim matris (diagonal dışı tüm elemanları 0 — olduğu durumdan farklıdır, başlangıçtaki tanımdaki durum), *y*2,*t*  *y*1,*t*+1 ve takip eden gelecek değerleri doğrudan etkileyebileceği, *y*1,*t* doğrudan etkileyemez.

parametre tanımlama problemi sebebiyle, ordinary least squares estimation of the structural VAR would yield inconsistent parameter estimates. Bu sorun, VAR'ı indirgenmiş formla yeniden yazarak aşılır.

Ekonomik bakış açısından, if the joint dynamics of a set of variables can be represented by a VAR model, then the structural form is a depiction of the underlying, "yapısal", ekonomik ilişkiler. Yapısal formun iki özelliği make it the preferred candidate to represent the underlying relations:

:1. *Hata terimleri koreleli değildir*. Ekonomik değişkenlerin dinamiklerini tetikleyen yapısal, ekonomik şokların bağımsız olduğu varsayılır (bu varsayım dolayısıyla, istenen bir özellik olarak, hata terimleri arasında 0 korelasyonluluktur). Bu, VAR'daki ekonomik olarak ilişkisiz etkileri ayrıştırmaya yarar. Örneğin, petrol fiyatları şokunun (arz şoku örneği olarak) should be related to a shift in tüketicilerin tercihlerindeki giyim tarzındaki bir değişiklikle ilişkisi olması gerekliliği için hiçbir sebep yoktur(talep şoku örneği olarak); bu yüzden bu etkenlerin istatistiksel olarak bağımsız olduğu beklenebilir.

:2. *Değişkenler, diğer değişkenlere eşzamanlı etkili olabilir*. Bu, özellikle düşük frekanslı veri kullanırken özellikle istenen bir özelliktir. Örneğin, dolaylı vergi oranı artışı kararı, kararın alındığı gün, vergi gelirlerini etkilemeyebilecektir ancak yılın ilgili çeyreğindeki veride bir etki olabilir.

### İndirgenmiş form VAR
Yapısal VAR'ı *B*0nin tersiyle önceden çarp:

: y_t = B_0^{-1}c_0 + B_0^{-1} B_1 y_{t-1} + B_0^{-1} B_2 y_{t-2} + \cdots + B_0^{-1} B_p y_{t-p} + B_0^{-1}\epsilon_t,

and denoting

:  B_{0}^{-1} c_0 = c,\quad B_{0}^{-1}B_i = A_{i}\text{ for }i = 1, \dots, p\text{ and }B_{0}^{-1}\epsilon_t = e_t

one obtains the **''p''th order reduced VAR**

:y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t

İndirgenmiş formda, sağdaki tüm değişkenler *t* zamanında önceden belirlidir. As there are no time *t* endogenous variables on the right hand side, no variable has a *direct* contemporaneous effect on other variables in the model.

Ancak, indirgenmiş VAR'da hata terimleri are composites of the structural shocks *e**t* = *B*0&minus;1*ε**t*. Thus, the occurrence of one structural shock *ε<sub>i,t</sub>* can potentially lead to the occurrence of shocks in all error terms *e<sub>j,t</sub>*, thus creating contemporaneous movement in all endogenous variables. Consequently, the covariance matrix of the reduced VAR

:\Omega = \mathrm{E}(e_t e_t') = \mathrm{E} (B_0^{-1} \epsilon_t \epsilon_t' (B_0^{-1})') = B_0^{-1}\Sigma(B_0^{-1})'\,

can have non-zero off-diagonal elements, böylelikle allowing non-zero correlation between error terms.

## Tahmin
### Regresyon parametrelerinin tahmini
Kısa metris gösteriminden başlayarak (ayrıntılar: Bir VAR(p)nin genel matris gösterimi):

: Y=BZ +U \, 

* B için çok değişkenli Least Square (MLS) aşağıdakini verir:

: \hat B= YZ^{'}(ZZ^{'})^{-1} 

Alternatif olarak şöyle yazılabilir:

: \mbox{Vec}(\hat B) = ((ZZ^{'})^{-1} Z \otimes I_{k})\ \mbox{Vec}(Y) 

( \otimes : Kronecker product, Vec:*Y* matrisinin vektörizasyonu.

Bu tahminci consistent ve asymptotically efficient. Ayrıca, koşullu En Çok Olabilirlik Tahmincisi'ne (MLE) eşittir (Hamilton 1994, p 293).

* Söz konusu açıklayıcı değişkenler aynı olduğundan, çok değişkenli EKK, her bir eşitliğe ayrı ayrı uygulanan Ordinary EKK(OLS) tahmincisine eşittir, Zellner'in (1962) gösterdiği gibi.

### Hataların kovaryans matrisinin tahmini

Standart durumda olduğu gibi, kovaryans matrisinin MLE tahmincisi OLS tahmincisinden farklıdır.

MLE tahmincisi:  \hat \Sigma = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat \epsilon_t\hat \epsilon_{t}^{'}

OLS tahmincisi: (bir sabitli, *k* değişkenli ve *p* gecikmeli model için) \hat \Sigma = \frac{1}{T-kp-1} \sum_{t=1}^T \hat \epsilon_t\hat \epsilon_t^'

Bunun matris gösterimi:

:  \hat \Sigma = \frac{1}{T-kp-1} (Y-\hat{B}Z)(Y-\hat{B}Z)^'.

### Tahminci'nin kovaryans matrisinin tahmini
Parametrelerin kovaryans matrisi, şöyle tahmin edilebilir:

:  \widehat  \mbox{Cov} (\mbox{Vec}(\hat B)) =({ZZ'})^{-1} \otimes\hat \Sigma.\, 

## Yazılım
*R: there is a package vars which deals with VAR models.
*SAS: VARMAX
*STATA: "var"
*EViews: "VAR"
*Gretl: "var"
*RATS
*[ARFit]: 
*https://web.archive.org/web/20100722164628/http://www.biosig-consulting.com/matlab/tsa/ Time Series Analysis toolbox for Octave and Matlab: MVAR

## Kaynakça
* Walter Enders, *Applied Econometric Time Series*, 2nd Edition, John Wiley & Sons 2003, ISBN 0-471-23065-0
* James D. Hamilton. *Time Series Analysis*. Princeton University Press. 1995.
* Helmut Lütkepohl. *New Introduction to Multiple Time Series Analysis*. Springer. 2005.
* Zellner (1962) An Efficient Method of Estimating Seemingly Unrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias. *Journal of the American Statistical Association*, Vol. 57, No. 298 (Jun., 1962), pp.&nbsp;348–368.
* Hacker, R. S. and Hatemi-J, A. (2008). "Optimal lag-length choice in stable and unstable VAR models under situations of homoscedasticity and ARCH," Journal of Applied Statistics, vol. 35(6), pages 601-615.
* Hatemi-J A. (2004). "Multivariate tests for autocorrelation in the stable and unstable VAR models," Economic Modelling, Vol. 21(4), Pages 661-683. 
* Hatemi-J A. & R. S. Hacker, (2009). "Can the LR test be helpful in choosing the optimal lag order in the VAR model when information criteria suggest different lag orders?," Applied Economics, vol. 41(9), pages 1121-1125.

## Notlar