Cauchy integral teoremi

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde **Cauchy integral teoremi**, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir.
Teorem, Augustin Louis Cauchy'nin adını taşımaktadır.

## Teoremin ifadesi
:**Cauchy integral teoremi**: *U*, **C** 'nin basit bağlantılı açık bir altkümesi olsun. *f* : *U* → **C** holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, *U* içinde başlangıç noktası bitiş noktasıyla aynı olan doğrultulabilir bir yol olsun. O zaman :\oint_\gamma f(z)\,dz = 0  eşitliği vardır.

Édouard Goursat tarafından gösterildiği gibi, **Cauch integral teoremi**, *U* içinde her yerde *f* 'nin karmaşık türevi olan *f*&nbsp;'(*z*) varsa, kanıtlanabilir. Bu önemlidir çünkü bu fonksiyonlar için o zaman Cauchy integral formülü de kanıtlanabilir ve bundan aslında bu fonksiyonların sonsuz kere türevlenebilmesi özelliği çıkar.

*U* 'nun basit bağlantılı olması koşulu kabaca *U* 'da "delik" olmaması anlamına gelir veya homotopi kavramlarıyla anlatılacak olursa, *U* 'nun temel grubunun bariz olması demektir. Örneğin, U=\{ z: |z-z_{0}|  açık diski bunlardan biridir. Bu şart teoremde çok önemlidir. Birim çemberi dolaşan

:\gamma(t) = e^{it} \quad t \in \left[0,2\pi\right]

düşünüldüğünde, 
:\oint_\gamma \frac{1}{z}\,dz = \int_0^{2\pi} { ie^{it} \over e^{it} }\,dt= \int_0^{2\pi}i\,dt = 2\pi i 

yol integrali sıfır olmayacaktır. Cauchy integral teoremi, *f*(*z*) = 1/*z* fonksiyonu *z* = 0 noktasında tanımlı olmadığı (ve elbette holomorf olmadığı) için artık burada geçerli değildir.

Teoremin önemli sonuçlarından birisi basit bağlantılı bölgelerdeki holomorf fonksiyonların yol integrallerinin hesabın temel teoremindekine benzer bir şekilde hesaplanabilmesidir: *U*, **C** 'nin basit bağlantılı açık bir kümesi olsun. *f* : *U* → **C** holomorf bir fonksiyon olsun ve γ, başlangıç noktası *a*, bitiş noktası *b* olan bir parçalı sürekli türevlenebilir yol olsun. *F*, *f* 'nin karmaşık antitürevi ise, o zaman

:\int_\gamma f(z)\,dz=F(b)-F(a)

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi üstte verilen halinden biraz daha güçlü halde de geçerlidir. *U* 'nun sınırı doğrultulabilir bir yolun (mesela γ) görüntüsü olsun ve ayrıca *U* basit bağlantılı açık bir **C** altkümesi olsun. *f*, *U* üzerinde holomorf olan bir fonksiyonsa ve *U* 'nun kapanışında sürekliyse, o zaman

:\oint_\gamma f(z)\,dz=0

eşitliği vardır.

Cauchy integral teoremi ayrıca Cauchy integral formülü 'nün ve rezidü (kalıntı) teoreminin kanıtlanmasını da sağlar.

## Kanıt
**Cauchy integral teoremi**, Green teoremi ile kanıtlanabilir. Kanıt için Cauchy-Riemann denklemlerini kullanmamız yetecektir. \gamma kontürü saat yönünün tersi şeklinde bir döngü halinde olsun ve U kümesi basit bağlantılı ve  \mathbb{C} kümesinin alt kümesi olsun. f fonksiyonu U gibi bir basit bağlantılı bölgenin tümünde holomorf olsun. z=x+iy ise, kompleks diferansiyeli  dz=dx+idy olur. Fonksiyonu da  gerçel ve sanal kısımlarının toplamı şeklinde yazalım: f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Bu durumda

\oint_\gamma f(z) dz=\oint_\gamma (u+iv)(dx+idy)=\oint_\gamma (u dx-v dy)+i\oint_\gamma (vdx+udy) olacaktır.

Green teoremi kullanarak
:\oint_\gamma (udx-vdy)=\iint\limits_D \left(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y} \right) dx dy

:\oint_\gamma (vdx+udy)=\iint\limits_D \left({\partial u \over  \partial x }-{\partial v \over \partial y}\right) dx dy
yazılabilir.

Cauchy-Riemann denklemleriyle \left({\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y} \text{ ve } {\partial v \over \partial x}=-{\partial u \over \partial y}\right)  teorem kanıtlanacaktır.

:\iint\limits_D \left(-{\partial v \over \partial x}-{\partial u \over \partial y}\right) dx dy=\iint\limits_D \left({\partial u \over \partial y}-{\partial u \over \partial y} \right) dx dy=0

:\iint\limits_D \left({\partial u \over  \partial x }-{\partial v \over \partial y}\right) dx dy =\iint\limits_D \left({\partial u \over \partial x}-{\partial u \over \partial x}\right) dx dy = 0.

Sonuç olarak,
\oint_\gamma f(z) dz = 0.

## Ayrıca bakınız
* Cauchy-Riemann denklemleri
* Cauchy integral formülü
* Morera teoremi
* Kontür integrali metotları
* Kalıntı (karmaşık analiz)

## Dış bağlantılar
* http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralTheorem.html  MathWorld'deki ilgili sayfa.
* Cauchy-Goursat Teoremi Modülü, John H. Mathews tarafından