Parseval Teoremi

Matematik dünyasında, **Parseval teoremi** Fourier dönüşümünün bir üniter ifade olduğu sonucunu bize açıklar. Basit bir şekilde açıklarsak, bir fonksiyonun karesinin toplamı (ya da integrali) ile Fourier dönüşümün fonksiyonunun karesinin toplamının (ya da integrali) birbirine eşit olduğunu söyler. Teorem, Marc-Antoine Parseval'in 1799 yılındaki seriler hakkındaki bir teoreminin Fourier serilerine uygulanması sonucu ortaya çıkmıştır. Lord Rayleigh ile John William Strutt'tan sonra ***Rayleigh Enerji Teorem''i''' ''veya '''Rayleigh Özdeşliği*** olarak da bilinir.

"Parseval Teoremi" terimi, genelde *herhangi bir* Fourier dönüşümünün üniterliğini tanımlamak için kullanılsa da, özellikle fizikte bu özelliğin en genel biçimi şeklinde daha doğru bir şekilde ifade edersek bu teoremin adı Plancherel Teoremi'dir.

## Parseval Teoremi'nin Matematiksel İfadesi
Varsayalım ki A(x) ve B(x) fonksiyonları \mathbb{R} reel sayılar kümesi içerisinde periyodu 2 \pi olan karmaşık değerli bir fonksiyondur. Ayrıca Fourier serisi şeklinde periyot uzunluğuna göre *integrallenebilir kare* fonksiyon olduklarını da göz önüne alırsak aşağıdaki eşitlikler karşımıza çıkar:

: A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx}
ile
: B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}

şeklinde formüle edilebilir. Daha sonra ise;
Burada i sayısı sanal sayıyı ve yatay çizgi ise karmaşık düzlemi ifade etmektedir. A(x) ve \overline{B(x)}'yi eşitlikte yerine koyarsak:

: 
\begin{align}
\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n}
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( \sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx} \right) \left( \sum_{n=-\infty}^\infty \overline{b_n}e^{-inx} \right) \, \mathrm{d}x \\[6pt]
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \left(a_1e^{i1x} + a_2e^{i2x} + \cdots\right) \left(\overline{b_1}e^{-i1x} + \overline{b_2}e^{-i2x} + \cdots\right) \mathrm{d}x \\[6pt]
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \left(a_1e^{i1x} \overline{b_1}e^{-i1x} + a_1e^{i1x} \overline{b_2}e^{-i2x} + a_2e^{i2x} \overline{b_1}e^{-i1x} + a_2e^{i2x} \overline{b_2}e^{-i2x} + \cdots \right) \mathrm{d}x \\[6pt]
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \left(a_1 \overline{b_1} + a_1 \overline{b_2}e^{-ix} + a_2 \overline{b_1}e^{ix} + a_2 \overline{b_2} + \cdots\right) \mathrm{d}x
\end{align}


Yukarıda bulunan eşitliğin orta terimlerinde olduğu gibi periyodu 2\pi olan birçok terimin integrali 0 olacaktır. (Ayrıca bakınız: Harmonik Seriler)

: 
\begin{align}
\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} &= \frac{1}{2\pi} \left[a_1 \overline{b_1} x + i a_1 \overline{b_2}e^{-ix} - i a_2 \overline{b_1}e^{ix} + a_2 \overline{b_2} x + \cdots\right] _{-\pi} ^{+\pi} \\[6pt]
&= \frac{1}{2\pi} \left(2\pi a_1 \overline{b_1} + 0 + 0 + 2\pi a_2 \overline{b_2} + \cdots\right) \\[6pt]
&= a_1 \overline{b_1} + a_2 \overline{b_2} + \cdots \\[6pt]
\end{align}

Genel olarak, *değişmeli yerel kompakt grup olan G Pontryagin İkiliği* olan *G^* şeklinde verildiğinde, Parseval Teoremi bize şunu söyler: Pontryagin-Fourier dönüşümü Hilbert uzayları olan *L*2(*G*) ve *L*2(*G^*) arasında üniter bir operatördür. *G*, birim çember '''T''' olduğunda, *G^* tam sayıdır ve yukarıda tartışılan durum tam olarak budur. *G* reel sayılarda \mathbb{R} gerçek doğru ise *G^* de aynı zamanda reeldir \mathbb{R} ve üniter dönüşüm gerçek doğru üzerindeki bir Fourier dönüşümdür. *G* döngüsel grup **Z<sub>n</sub>** olduğunda yine kendine eşittir (*self-dual*) burada ise Pontryagin-Fourier dönüşümü uygulamada ayrık Fourier dönüşümü olarak adlandırılır.

*Parseval Teoremi* şu şekilde de ifade edilebilir: f(x), Fourier serisi ile [-\pi, \pi] arasında *integrallenebilir kare* bir fonksiyondur (yani hem f(x) hem de f^2(x) de bu aralıkta *integrallenebilir*)

: f(x) \simeq \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)).

Daha sonra aşağıdaki formülü elde ederiz: \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^2(x) \,\mathrm{d}x = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n^2 + b_n^2 \right).

## Mühendislikte kullanılan notasyon
Elektrik mühendisliğinde, Parseval Teoremi genellikle şu şekilde formüle edilir:

: \int_{-\infty}^\infty | x(t) |^2 \, \mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty | X(\omega) |^2 \, \mathrm{d}\omega = \int_{-\infty}^\infty | X(2\pi f) |^2 \, \mathrm{d}f

Burada X(\omega) = \mathcal{F}_\omega\{ x(t) \} fonksiyonu x(t) fonksiyonunun sürekli Fourier dönüşümünü (normalleştirilmiş ve üniter formda) temsil eder. Açısal frekans \omega = 2\pi f ise birim zamandaki radyan sayısıdır.

Bu teorem, bir sinyalin toplam enerjisinin, zamana göre örnek başına güç toplamının veya frekansa göre spektral gücün toplanması yoluyla hesaplanabileceğini ifade eder.

Ayrık zaman sinyalleri için teorem şöyle aşağıdaki şekilde yazılır:

: \sum_{n=-\infty}^\infty | x[n] |^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi | X_{2\pi}({\phi}) |^2 \mathrm{d}\phi

Burada X_{2\pi}, x fonksiyonunun ayrık zamanlı Fourier dönüşümüdür (DTFT) ayrıca \phi ise x'in açısal frekansını (radyan cinsinden) temsil eder.

Alternatif olarak ayrık Fourier dönüşümü (DFT) şeklinde ifade etmek istersek eşitlik şu hale gelir:

:  \sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2

Burada X[k], x[n]'in DFT'sini ifade eder.

Aşağıda DFT'nin durumunu gösteriliyor. Diğer durumlar için de aynı ispat yolu izlenebilir. X[k]'in ters DFT'sini kullanarak  aşağıdaki eşitliği türetebiliriz.

:  \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k]\cdot X^*[k] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} \left[\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,\exp\left(-j\frac{2\pi}{N}k\,n\right)\right] \, X^*[k]
 = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \left[\sum_{k=0}^{N-1} X^*[k]\,\exp\left(-j\frac{2\pi}{N}k\,n\right)\right] 
 = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] (N \cdot x^*[n]) = \sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2,


Bırada * ifadesi Karmaşık Sayının Eşleniği'ni temsil eder.

## Kaynakça

## Dış bağlantılar

* Parseval , *MacTutor History of Mathematics archive*.
* George B. Arfken and Hans J. Weber, *Mathematical Methods for Physicists* (Harcourt: San Diego, 2001).
* Hubert Kennedy, *[http://hubertkennedy.angelfire.com/Eight_Mathematical.pdf Eight Mathematical Biographies] * (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
* Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, *Discrete-Time Signal Processing* 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
* William McC. Siebert, *Circuits, Signals, and Systems* (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp.&nbsp;410–411.
* David W. Kammler, *A First Course in Fourier Analysis* (Prentice–Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p.&nbsp;74.
* Mathworld Üzerine Parseval Teoremi