Digama fonksiyonu

Matematik'te, **digama fonksiyonu** gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

:\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

## Harmonik sayılar ile ilişkisi

**Digamma [[function (mathematics)|fonksiyon]]'u**, sıklıkla ψ0(*x*), ψ0(*x*) veya \digamma (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. 
Harmonik sayılar'la ilişkisi

:\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!

Burada *H**n* is the *n* 'inci harmonik sayıdır ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tam sayı değerleri için, açılım
:\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + 
\sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}

## Integral Gösterimleri
integral gösterimi

:\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\,dt şeklindedir.

:x reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir. Bunu şöyle yazabiliriz
:\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx

harmonik sayılar için Euler integrali'dir.

## Seri formülü
Digamma negatif tam sayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

:\psi(z+1)= -\gamma +\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{z}{n(n+z)} \right), z \neq -1, -2, -3, ...

## Taylor serisi
Digama Taylor serisi'nde *z*=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir, . 
Burada

:\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k,

yakınsaklık için |*z*|\zeta(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

## Newton serisi
Digama için Newton serisi Euler integral formülü ile:

:\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k}

Burada \textstyle{s \choose k} binom katsayısı'dır.

## Refleksiyon formülü
Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar
:\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }

## Özyineleme formülü
tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak
Digamma fonksiyonu 
:\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}

Böylece, 1/x için "teleskop" denilebilir, bu nedenle

:\Delta [\psi] (x) = \frac{1}{x}

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir,

: \psi(n)\ =\ H_{n-1} - \gamma

burada \gamma\, Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

:\psi(x+1) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty 
\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{x+k} \right)

## Gauss toplamı
Digama'nın Gaussian toplam formu

:\frac{-1}{\pi k} \sum_{n=1}^k 
\sin \left( \frac{2\pi nm}{k}\right) \psi \left(\frac{n}{k}\right) =
\zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -B_1 \left(\frac{m}{k}\right) = 
\frac{1}{2} - \frac{m}{k} şeklindedir.

Tam sayılar için 0. Burada, ζ(*s*,*q*) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve B_n(x) 'i Bernoulli polinomu'dur. Çarpma teoremi'nin özel bir durumu;

:\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right)
 =-k(\gamma+\log k),

ve genelleştirilmiş şekli

:\sum_{p=0}^{q-1}\psi(a+p/q)=q(\psi(qa)-\ln(q)),

Burada *q* 'nun doğal sayı ve 1-*qa* 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

## Gauss'un digama teoremi
Pozitif tam sayılar *m* ve *k* (*m < k*) şartıyla, digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

:\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) 
-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right)
+2\sum_{n=1}^{\lceil (k-1)/2\rceil}
\cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right)
\ln\left(\sin\left(\frac{n\pi}{k}\right)\right)


## Hesaplama & yaklaşıklık

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile *x*, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir, 
: \psi(x) = ln(x) -\frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + O\left(\frac{1}{x^8}\right)

veya
: \psi(x) = ln(x) - \frac{1}{2x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(1-2n)}{x^{2n}}

: \psi(x) = ln(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B(2n)}{2n(x^{2n})}

*n* tam sayı, B(n) *n* 'inci Bernouilli sayısı ve \zeta(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.

## Özel değerler
Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

:  \psi(1) = -\gamma\,\!

:  \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma

:  \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma

:  \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma

:  \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3) - \gamma

:  \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \left\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\right\} - \gamma

## Ayrıca bakınız
* Matematiksel fonksiyonların listesi
* Trigama fonksiyonu

## Kaynakça
* Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp.&nbsp;258–259, 1972. See section §6.4
* 

## Dış bağlantılar
* Cephes - C and C++ language special functions math library
* http://www.uv.es/~bernardo/1976AppStatist.pdf  - Bernardo Statistical algorithm Psi(digamma function) computation, pp.&nbsp;1