Grupoid

Matematikte, özellikle kategori teorisi ve homotopi teorisinde bir **grupoid** için (nadiren Brandt grupoidi veya sanal grup olarak da anılır) grup kavramı birden fazla eşdeğer yolla açıklanabilir. Bir grupoid şu iki şekilde genelleştirilir:

* İkili işlemin yerini alan bir kısmi fonksiyon ilişkisindeki grup;
* Her morfizmanın ters çevrilebilir olduğu kategorideki grup.

Grupoidler genellikle manifoldlar gibi geometrik nesneler hakkında akıl yürütmek için kullanılır. Heinrich Brandt (1927), Brandt yarı-grupları (Brandt Semigroup) aracılığıyla dolaylı olarak grupoidleri tanıtmıştır.

## Tanımlar

Bir \ f \colon X \to Y fonksiyonunu düşünelim. Boş kümeden farklı herhangi bir A \subseteq X alt kümesi için \ f \colon A \to Y şeklinde tanımlı fonksiyona **kısmi fonksiyon** denir.

### Grup Teorisinde Grupoid
Bir \ G  grupoidi {}^{-1}\colon G \to G şeklinde tanımlı tekli işlem ile \ * \colon G \times G \to G kısmi fonksiyonu ile tanımlanan ve her a, b, c \in G için aşağıdaki özellikleri sağlayan bir kümedir.

*(i)* Bileşim: Eğer (a*b) ve (b*c) tanımlı ise (a*b)*c  = a*(b*c) ’dir.

*(ii)* Tersinirlik:\ a^{-1} * a  ve \ a * a^{-1}   tanımlıdır.

*(iii)* Özdeşlik: Eğer \ a * b  tanımlı ise

•  a*b*b^{-1} = a ,

•  a^{-1}*a*b = b .

Ek olarak da

• (a^{-1})^{-1} = a 

• (a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}  özellikleri sağlanır.

### Kategori Teorisinde Grupoid
Bir grupoid, içindeki her morfizmanın bir izomorfizma olduğu küçük ve bağlantılı bir kategoridir.

Tanımı daha açık bir şekilde görebilmek için rastgele bir kategorik teorisel G grupoidi alalım. Bu grupoid aşağıdaki özellikleri sağlar.

*(i)* G grupoidi, nesnelerden oluşan bir \operatorname{ob}(G) kümesi içermektedir.

*(ii)* G grupoidi, her x,y \in  \operatorname{ob}(G) nesneleri için x’ten y’ye tanımlı morfizmaların oluşturduğu bir \operatorname{mor}(x,y) kümesini içerir. Bu kümeden alınan bir f morfizması f \colon x \to y şeklinde gösterilir.

*(iii)* Her x \in  \operatorname{ob}(G)  nesnesi için \operatorname{id}_x \in  \operatorname{mor}(x,x)’dir.

*(iv)* Her x, y, z \in \operatorname {ob} (G) için x’ten y’ye giden ve y’den z’ye giden morfizmaların bileşkesi şu şekilde tanımlanır: \operatorname{comp}_{x,y,z}  \colon  \operatorname{mor}(y, z)\times \operatorname{mor}(x,y)\to \operatorname{mor}(x, z)öyle ki (g,f)\mapsto gf *(v)* Her x, y \in  \operatorname{ob}(G) için x nesnesinden y nesnesine giden morfizmaların tersi şu şekilde tanımlanır:\operatorname{inv}\colon \operatorname{mor}(x, y)\to \operatorname{mor}(y,x)

f \mapsto f^{-1}

ve \operatorname{inv} fonksiyonu her f \colon x \to y , g \colon y \to z  ve h \colon z \to w  morfizmaları için aşağıdaki özellikleri sağlar:

• f \operatorname{id}_x =f ve \operatorname{id}_y f=f.

• (hg)f = h(gf).

• ff^{-1} = \operatorname{id}_y ve  f^{-1}f = \operatorname{id}_x.

#### Bağlı Grupoid
Kategori teorisel bir G grupoidi alalım. Eğer her   x, y \in G için \operatorname{mor}(x,y) kümesi boş kümeden farklı  ise **<math>G</math>’**ye** bağlı grupoid** denir.

## Örnekler

### Grup Olarak Grupoid
Her grup bir grupoiddir. Örnek olarak (\Z ,+) grubunu düşünelim. Grupoidin grup teorisindeki tanımını kullanarak bu grubun bir grupoid olduğunu gösterelim. \Z kümesini ve  + \colon \Z \times \Z \to \Z operatörünü ele alacağız. Rastgele a, b, c \in \Z alalım.

*(i)* Bileşim: (a+b) ve (b+c)’nin tanımlı olduğunu biliyoruz. O halde +’nın Z üzerinde bileşim özelliğini sağladığından (a + b) + c = a + (b + c) elde edilir.

*(ii)* Tersinirlik: Her a \in \Z için a^{-1} vardır ve  a^{-1} =-a \in \Z olur. Bunun yanı sıra (-a) + a = 0 \in \Z, a + (-a) = 0 \in \Z özellikleri de sağlanır.

*(iii)* Özdeşlik: (a + b) tanımlı olduğu için

•  a+b+b^{-1} =a+0 =a ,

•  a^{-1} +a+b =0+b =b  olur.

Sonuç olarak ( \Z, +) bir grupoiddir.

### Lineer Fonksiyonlar
Nesneleri vektör uzayları ve morfizmaları birebir ve örten lineer (doğrusal) fonksiyonlar olan bir G kategorisi grupoid belirtir. Kategori teorisindeki grupoid tanımını kullanarak G’in bir grupoid olduğunu gösterelim.

*(i)* \operatorname{ob}(G)  = \left\{ V \mid V\ \text{bir vektör uzayı} \right\}.

*(ii)* \operatorname{mor}(G)  = \left\{ T\colon V \to W \mid T \text{ birebir ve örten lineer fonksiyon} \right\}

*(iii)* Rastgele bir  V \in \operatorname{ob}(G) nesnesi alalım. Bariz bir şekilde  \operatorname{id}_V \colon V \to V birim fonksiyonu birebir, örten ve lineer olduğundan  \operatorname{id}_V \in  \operatorname{mor}(G) olur.

*(iv)* Herhangi üç V, U, W \in  \operatorname{ob}(G)nesneleri alalım. \operatorname{mor}(G) kümesinden  T_1 \colon V \to U ve  T_2 \colon U \to W şeklinde tanımlı iki morfizma düşünelim. T_1 ve T_2’nin birebir, örten ve lineer fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. T_2 T_1 \colon V \to W şeklinde tanımlı bileşke fonksiyonunun birebir, örten ve lineer olduğunu göstermeliyiz.

• İki birebir fonksiyonun bileşkesi de birebir olacağından ve T_1 ile T_2 birebir olduğundan ötürü T_2 T_1 birebirdir.

• İki örten fonksiyonun bileşkesi örten olduğundan T_2 T_1 örten bir fonksiyon olur.

• İki lineer fonksiyonun bileşkesinin de lineer olduğu bilindiğinden T_2 T_1 de lineer bir fonksiyon olur.

Sonuç olarak T_2 T_1 \in  \operatorname{mor}(V, W) olur ve dolayısıyla\operatorname{comp}_{V,U,W} \colon \operatorname{mor}(U,W) \times  \operatorname{mor}(U,V)\to  \operatorname{mor}(V,W)  öyle ki; (T_2,T_1)\mapsto T_2T_1  şeklinde tanımlanabilir.*(v)* Herhangi iki V,U \in  \operatorname{ob}(G) nesneleri ve rastgele bir T \in  \operatorname{mor}(V,U) morfizması ele alalım. T birebir ve örten olduğundan  T^{-1} \colon U \to V vardır. T lineer bir fonksiyon olduğundan T^{-1} de lineerdir. Sonuç olarak T^{-1} \in  \operatorname{mor}(U, V) olur. Bu örnekte morfizmalar fonksiyon olduğundan rastgele alınan T_1 \in \operatorname{mor}(V,U), T_2 \in  \operatorname{mor}(U,W) ve T_3 \in  \operatorname{mor}(W, Z) morfizmaları için aşağıdaki özellikler de sağlanmaktadır:•T_1 \operatorname{id}_V =T_1 , \operatorname{id}_U T_1 =T_1.

•(T_3 T_2) T_1 (x) = T_3 (T_2 T_1) (x), \forall x \in V .

•T_1 T_1 ^{-1} =\operatorname{id}_U ,T_1 ^{-1} T_1=\operatorname{id}_V .
Sonuç olarak G bir grupoiddir.

### Topolojik Uzay
Herhangi bir X topolojik uzayı ele alalım. Bu uzaydaki bir noktadan başka bir noktaya giden yollar kategori teorisinde bir grupoid belirtir. Bu yolların kümesine G diyerek nesneler ve morfizmalar kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım:

*(i)* \operatorname{ob}(G)  = X 

*(ii)* \operatorname{mor}(G)  = \left\{ [ \varphi ] \mid \varphi \colon [0,1] \to X \text{ bir yol} \right\}.

Burada \operatorname{mor}(G) kümesi homotopi denklik sınıflarından oluşmaktadır. Rastgele bir  [ \varphi ]\in \operatorname {mor}(G) aldığımızda bu eleman  \varphi'ye homotopik olan yolları içermektedir.

*(iii)* Rastgele bir  x \in X  nesnesi alalım.  \operatorname{id}_x \colon x \to x  fonksiyonunun x’ten x’e giden bir morfizma olduğunu gösterelim.  \operatorname{id}_x \colon [0, 1] \to X  fonksiyonu bir yol olup bariz bir şekilde  \operatorname{id}_x \in [\operatorname{id}_x]olur. Sonuç olarak  \operatorname{id}_x \in  \operatorname{mor}G(x,x) denilir.

*(iv)* Rastgele  x, y, z \in  \operatorname{ob}(G)alalım. Herhangi iki  [\varphi_1] \in  \operatorname{mor}G(x, y), [\varphi_2] \in  \operatorname{mor}G(y, z) morfizmalarını düşünelim. O zaman[\varphi_2][\varphi_1] \colon  \operatorname{mor}G(y, z) \times\operatorname{mor}G(x, y) \to   \operatorname{mor}G(x, z) öyle ki (\varphi_2, \varphi_1) \mapsto [\varphi_2][\varphi_1][\varphi_2][\varphi_1] = [\varphi_2 \varphi_1] iyi tanımlıdır, çünkü  \varphi_2 \varphi_1 \colon x \to z şeklinde X uzayında bir yol belirtir. Sonuç olarak [\varphi_2][\varphi_1] \in  \operatorname{mor}G(x, z)’dir.

*(v)* Rastgele x, y \in \operatorname{ob}(G) ve [\varphi] \in  \operatorname{mor}G(x, y) alalım. Bariz bir şekilde [\varphi^{-1} ]\in  \operatorname{mor}G(y, x)'dir.

### Tanımların denkliği
Grupoidin grup teorisindeki tanımı ile kategori teorisindeki tanımı birbirine denktir.İspatını yaparken, bir G grupoidi, kategori teorisindeki gibi tanımlansın diyelim. Bu grupoidin grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını göstereceğiz.

G grupoidi kategori teorisindeki tanıma göre ikisi de boş kümeden farklı nesneler kümesinden ve morfizmalar kümesinden oluşur. Bu kümelere sırasıyla \operatorname{ob}(G) ve \operatorname{mor}(G) diyelim. Rastgele bir x \in  \operatorname{ob}(G) nesnesi alalım. x’ten x’e giden morfizmaların kümesi  \operatorname{mor}(x,x)'in bileşim, tersinirlik ve özdeşlik özelliklerini sağladığını gösterelim.*(i)* Bileşim: Rastgele \varphi_1, \varphi_2, \varphi_3 \in  \operatorname{mor}(x,x) alalım. G’nin kategori teorisindeki tanımına göre \varphi_1 \varphi_2 ve \varphi_2 \varphi_3 tanımlıdır. Yine kategori teorisindeki tanıma göre (\varphi_1 \varphi_2)\varphi_3 = \varphi_1(\varphi_2 \varphi_3) özelliği sağlanır.

*(ii)* Tersinirlik: Herhangi bir  \varphi \in  \operatorname{mor}(x,x) morfizması alalım. Kategori teorisindeki tanıma göre her morfizmanın tersi vardır. Dolayısıyla \varphi’nin de tersi vardır ve \varphi^{-1} \colon x \to x olur. Bu yüzden  \varphi^{-1} \in  \operatorname{mor}(x,x). Tekrar kategori teorisindeki tanıma göre \varphi \varphi^{-1} = id_x ve  \varphi^{-1} \varphi = id_x  olur. Sonuç olarak tersinirlik özelliği sağlanır.

*(iii)* Özdeşlik: Herhangi iki \varphi_1 , \varphi_2 \in  \operatorname{mor}(x,x) morfizmaları alalım. \varphi_1 \varphi_2 \in  \operatorname{mor}(x,x)  olduğunu biliyoruz. O halde• \varphi_1 \varphi_2 \varphi_2^{-1} = \varphi_1 id= \varphi 

• \varphi_1 ^{-1} \varphi_1 \varphi_2 = id \varphi_2 = \varphi_2 

• ( \varphi_1^{-1})^{-1} = \varphi_1  ve

• (\varphi_1 \varphi_2)^{-1} = \varphi_2^{-1} \varphi_1^{-1} özellikleri sağlanır.

Şimdi de grup teorisindeki tanımın özelliklerini sağlayan G grupoidinin kategori teorisindeki tanımın özelliklerini sağladığını gösterelim. * operatörünü fonksiyon bileşkesi olarak düşünerek nesneler ve morfizmalar kümesini oluşturalım. f, g \in  \operatorname{mor}(x,x) olacak şekilde; *(i)* \operatorname{ob}(G)   = \left\{ ff^{-1} \mid f \in G \right\}

*(ii)* \operatorname{mor}(ff^{-1}, gg^{-1})   = \left\{ \alpha \in G \mid \exist ff^{-1} \alpha , \exist \alpha gg^{-1} \right\} kümeleri G grupoidinin sırasıyla nesneler ve morfizmalar kümeleridir. Böylece, kategori teorisindeki grupoid tanımına göre *(i)* ve *(ii)* sağlanmış olur.

*(iii)* Rastgele bir  ff^{-1} \in  \operatorname{ob}(G)  nesnesi olsun.  id_{ff^{-1}} \colon ff^{-1} \to ff^{-1}  şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyonun \operatorname{mor}(ff^{-1}, ff^{-1})  kümesinin bir elemanı olduğunu gösterelim. G’nin grup teorisindeki grupoid tanımından dolayı  ff^{-1} id_{ff^{-1}} = ff^{-1} \in G   ve  id_{ff^{-1}} ff^{-1} = ff^{-1} \in G  özellikleri sağlanacağından  id_{ff^{-1}} \in  \operatorname{mor}(ff^{-1}, ff^{-1}) olur.

*(iv)* Herhangi üç ff^{-1},gg^{-1},hh^{-1} \in  \operatorname{ob}(G) nesnelerini ele alalım. Rastgele iki \alpha_1 \in \operatorname{mor}(ff^{-1}, gg^{-1}), \alpha_2 \in  \operatorname{mor}(gg^{-1},hh^{-1}) morfizmaları olsun. \alpha_2 \alpha_1’nın \operatorname{mor}(ff^{-1}, hh^{-1}) olduğunu gösterelim. \alpha_2, \alpha_1 \in G  olduğundan \alpha_2 \alpha_1 \in G olur dolayısıyla ff^{-1} \alpha_2 \alpha_1 \in G  ve \alpha_2 \alpha_1 hh^{-1} elde edilir. Sonuç olarak, \alpha_2 \alpha_1 \in  \operatorname{mor}(ff^{-1}, hh^{-1})  olur.

*(v)* Rastgele  ff^{-1},gg^{-1} \in  \operatorname{ob}(G) nesneleri ve  \alpha \in  \operatorname{mor}(ff^{-1}, gg^{-1}) morfizmasını ele alalım ve \alpha_1 \in  \operatorname{mor}(gg^{-1}, ff^{-1})  olduğunu gösterelim. G, grup teorisindeki grupoid tanımını sağladığından \alpha^{-1} \in G olmaktadır. \alpha \in \operatorname{mor}(ff^{-1}, gg^{-1}) olduğundan ff^{-1} \alpha \in G  ve \alpha gg^{-1} \in G sağlanmaktadır. Yine G’nin sağladığı tanımdan dolayı gg^{-1} \alpha^{-1} = (\alpha gg^{-1})^{-1}  ve \alpha^{-1} ff^{-1} = (ff^{-1} \alpha)^{-1} olduğu görülür. Sonuç olarak gg^{-1} \alpha^{-1} , \alpha^{-1} ff^{-1} \in G  sağlanarak \alpha^{-1} \in  \operatorname{mor}(gg^{-1}, ff^{-1}) elde edilmiş olur.

Öte yandan \operatorname{ob}(G)  kümesi üzerinde  ff^{-1} \sim  gg^{-1} \Leftrightarrow ff^{-1} = gg^{-1}  olacak şekilde bir \sim ilişkisi vardır.

Sonuç olarak G bir kategoridir.

## Önermeler

**Denklik bağıntısı ile ilişkisi**

\sim ilişkisi, \operatorname{ob}(G) üzerinde bir denklik bağıntısıdır.
Kanıtını şöyle açıklayabiliriz: f \in \operatorname{mor}_G(x, x)  olan rastgele bir ff^{-1} \in  \operatorname{ob}(G) alalım. Bariz bir şekilde  ff^{-1}  olur. Dolayısıyla gg^{-1} \sim ff^{-1} ’dir. Böylelikle  \sim  bağıntısının simetri özelliğini sağladığı görülür.Rastgele  ff^{-1} , gg^{-1} , hh^{1} \in  \operatorname{ob}(G) alalım.  ff^{-1} \sim gg^{-1}  ve  gg^{-1} \sim hh^{-1}  olduğunu varsayalım ve  ff^{-1} \sim hh^{-1}  olduğunu gösterelim.

 ff^{-1} \sim gg^{-1}  ve  gg^{-1} \sim hh^{-1}  olduğundan;  ff^{-1} = gg^{-1}  ve  gg^{-1} = hh^{-1} olur. Buradan da  ff^{-1} = hh^{-1}  eşitliğine ulaşılır. Dolayısıyla  ff^{-1} \sim hh^{-1} ’dir. Sonuç olarak  \sim  ilişkisi \operatorname{ob}(G) kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır.

**Morfizma Kümesi ve Grup İlişkisi**

Kategori teorisel herhangi bir G grupoidi alalım. Her    x \in  \operatorname{ob}(G) nesnesi için \operatorname{mor}(x, x) kümesi bir gruptur. Kanıtını açıklayalım;

• Kapalılık: Rastgele f,g \in  \operatorname{mor}(x, x) alalım. fg bileşke fonksiyonu da x’ten x’e giden bir morfizma olacağından \operatorname{mor}(x, x) kümesi bileşke işlemi altında kapalıdır.

• Bileşim: Herhangi f,g,h \in  \operatorname{mor}(x, x) alalım. G grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre f(gh) = (fg)h eşitliği sağlandığından bileşke işlemi \operatorname{mor}(x, x) kümesi içinde bileşim özelliğini sağlar.

• Birim eleman: G grupoidinin kategori teorisindeki tanımına göre her   x \in  \operatorname{ob}(G) nesnesi için   \operatorname{id}_x \in  \operatorname{mor}(x, x) olduğundan ve f \operatorname{id}_x = f, \operatorname{id}_x f = f özellikleri sağlandığından birim eleman \operatorname{id}_x vardır ve tektir.

• Ters eleman: Rastgele bir f \in  \operatorname{mor}(x, x) alalım. G’nin kategori teorisindeki tanımından f^{-1} \in  \operatorname{mor}(x, x)’dir ve  ff^{-1} = \operatorname{id}_x  ve  f^{-1}f = \operatorname{id}_x  olmaktadır.

**Morfizma Kümesi ve Grup İzomorfizma İlişkisi**

G bağlı bir grupoid olsun. Rastgele x, y \in  \operatorname{ob}(G) alalım.

Bir  \eta \in  \operatorname{mor}(y, x) morfizması için  \varphi_{ \eta } \colon  \operatorname{mor}(x, x) \to \operatorname{mor}(y, y) öyle ki  \gamma \mapsto  \eta \gamma \eta^{-1}  bir grup izomorfizmasıdır. Yani:

*(i)*  \varphi_{ \eta }  bir grup homomorfizmasıdır.

*(ii)*  \varphi_{ \eta }   birebirdir.

*(iii)*  \varphi_{ \eta }  örtendir.


Kanıtını şöyle açıklayabiliriz:

* Rastgele  \gamma_1 \gamma_2 \in \operatorname{mor}(x, x) alalım. O halde,

 \varphi_{ \eta } ( \gamma_1 \gamma_2) = \eta \gamma_1 \gamma_2  \eta^{-1}

=  \eta \gamma_1 \eta^{-1} \eta \gamma_2  \eta^{-1} 

= \varphi_{ \eta } (\gamma_1) \varphi_{ \eta } (\gamma_2) 

Sonuç olarak  \varphi_{ \eta }   bir grup homomorfizmasıdır.

* Herhangi iki  \gamma_1 \gamma_2 \in  \operatorname{mor}(x, x) alalım ve  \varphi_{ \eta } (\gamma_1) = \varphi_{ \eta } (\gamma_2) olsun. O halde,

 \eta \gamma_1 \eta^{-1} = \eta \gamma_2 \eta^{-1} 

 \gamma_1 \eta^{-1} =  \gamma_2  \eta^{-1} 

Buradan da  \gamma_1 = \gamma_2 elde edilir. O halde \varphi_{ \eta } birebirdir.

* Görüntü kümesinden yani \operatorname{mor}(y, y)’den bir f elemanı alalım. O halde öyle bir  \gamma \in  \operatorname{mor}(x, x) arıyoruz ki  \varphi_{ \eta }( \varphi ) = f  olsun. O halde  \gamma  = \eta^{-1} f \eta alırsak;

 \varphi_{ \eta }( \gamma )  = \varphi_{ \eta }( \eta^{-1} f \eta )  = \eta ( \eta^{-1} f \eta ) \eta^{-1} = (\eta \eta^{-1} )f ( \eta \eta^{-1} ) = f  olur. O halde \varphi_{ \eta } örtendir.

Sonuç olarak \varphi_{ \eta } bir grup izomorfizmasıdır.

## Temel gruba geçiş
Rastgele bir   x \in   için \operatorname{mor}(x, x) grubuna G grupoidinin **[[Temel grup|temel grubu]]** adı verilir.