Kesirli analiz

**Kesirli analiz**, matematiksel analiz'in bir koludur. Kesirli analiz, **D = ''d''/''dx***&nbsp;ile gösterilen [[türev|türev işlemcisi]]'nin ve *'J** ile gösterilen [[integrasyon işlemcisi]]'nin ''kuvvetlerinin'' [[reel sayı]] veya [[karmaşık sayı]] değerler olabilme olanaklarını inceler.

Bu bağlamda bir üst cümlede kullanılan ''kuvvetleri'' terimi, doğrusal bir operatörün bir fonksiyona ''f''&nbsp;<sup>2</sup>(''x'') =&nbsp;''f''(''f''(''x'')) şeklinde peşpeşe uygulanmasını ifade eder.

**Kesirli diferansiyel denklemler,** [[diferansiyel denklemler]]in kesirli analiz uygulanması yoluyla elde edilen bir genellemesidir.
== Kesirli türevin doğası ==


Kesirli türevde diğer bir önemli nokta ise bir ''x'' noktasının tam sayı olmasının yalnızca ''yerel özellik'' olduğu; tam sayı olmayan durumlarda ise bir şekilde, tam sayı-kuvvet türev  yapacak şekilde  ''x ''a çok yakın f'in değerlerine bağlı bir f fonksiyonunun x'teki kesirli türevleri olduğunu söyleyemeyiz. Bu nedenle teorinin fonksiyon hakkında daha ileri bilgi içeren, [[sınır koşulu|sınır koşullar]]ının bazı çeşitlerini içermesi beklenmektedir.

Bir mecaz kullanmak gerekirse kesirli türev, at gözlüklerini çıkartmayı gerektirir. Bildiğimiz kadarıyla böyle bir teorinin varlığı için ilk olarak, konunun temelleri [[Liouville]]nin 1832'deki notlarında  atılmıştır.

Artık, a dereceli bir fonksiyonun kesirli türevi genellikle  [[Fourier dönüşümü|Fourier]] veya [[Mellin dönüşümü|Mellin]] integral dönüşümleri vasıtasıyla tanımlanmaktadır.

== Sezgisel irdeleme ==

Burada oldukça doğal bir  soru  bir ''H'' işlemci'sinin var veya **yarı-türev** nin olup olmadigidir böylece

:<math>H^2 f(x) = D f(x) = \dfrac{d}{dx} f(x) = f'(x) </math>.

böyle bir işleç olduğu ortaya çıkıyor ve gerçekten herhangi ''a'' > 0  için  burada var olan bir  ''P''  işleci

:<math>(P ^ a f)(x) = f'(x) \,</math>,

veya ''d<sup>n</sup>y''/''dx<sup>n</sup>**tanımı ile tutulan yöntem *n* nin  tüm gerçek değerlerine uzanabilir.

Diyelimki *f*(*x*) ,*x* > 0 için tanımlı bir fonksiyon olsun.0 dan *x* a tanımlı bu form:

: ( J f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \; dt .
olarak kodlanir ve

: ( J^2 f ) ( x ) = \int_0^x ( J f ) ( t ) dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(s) \; ds \right) \; dt,
ise bu süreci yineler veya isteğe göre uzatılabilir.Tekrarlı integrasyon için Cauchy formülü:

: (J^n f) ( x ) = { 1 \over (n-1) ! } \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) \; dt,

Gerçek *n* için bir genelleme basit bir yol içinde yer alır. Faktöriyel fonksiyonunun gamma işlevini kullanarak ayrık doğasını ortadan kaldırmak bize integral işlemcinin kesirli uygulamaları için doğal bir aday verir.

: (J^\alpha f) ( x ) = { 1 \over \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} f(t) \; dt

Bu, aslında iyi tanımlanmış bir operatördür. Bunu  basitçe göstermek için *J* operatörü doyurucudur

: (J^\alpha) (J^\beta f)(x) = (J^\beta) (J^\alpha f)(x) = (J^{\alpha+\beta} f)(x) = { 1 \over \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1} f(t) \; dt

:
Bu ilişkililiğe kesirli diferintegral operatörlerin yarı grup özelliği denir. Ne yazık ki türev operatörü *D* için karşılaştırılabilir süreç çok daha karmaşık, ancak gösterilebilir ki *D*  genel içinde ne değişmeli ne de eklemelidir.

## Bir temel kuvvet fonksiyonun kesirli türevi

varsayalımki *f*(*x*) bir formun tek terimlisi(monomiali)dir

: f(x)=x^k\;.

İlk türev genel olarak

: f'(x)=\dfrac{d}{dx}f(x)=k x^{k-1}\;.

Bu tekrarlama daha genel sonuç verir

: \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}\;,

Yukarıdan  gama fonksiyonu ile faktöriyel değiştirildikten sonra, bizi şuna götürür

: \dfrac{d^a}{dx^a}x^k=\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}\; for k \ge 0

k=1 için ve \textstyle a=\frac{1}{2},

: \dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{\Gamma(1+1)}{\Gamma(1-\frac{1}{2}+1)}x^{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1!}{\Gamma(\frac{3}{2})}x^{\frac{1}{2}} =
\dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}.

olarak x fonksiyonunun yarı türevini elde ederiz

Bu süreci veren tekrarlama

:\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}2 \pi^{-\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(1+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=2 \pi^{-\frac{1}{2}}\dfrac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(1)}x^{0}=\dfrac{2 \sqrt{\pi}x^0}{2 \sqrt{\pi}0!}=1,

Nitekim beklenen sonuçlar verecek şekilde

: \left(\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\dfrac{d^{\frac{1}{2}}}{dx^{\frac{1}{2}}}\right)x=\dfrac{d}{dx}x=1.

Negatif tam sayı kuvveti k için, gama fonksiyonu tanımsız ve aşağıdaki ilişkiyi kullanmak zorunda
:

: \dfrac{d^a}{dx^a}x^{-k}=(-1)^a\dfrac{\Gamma(k+a)}{\Gamma(k)}x^{-(k+a)} for k

Yukarıdaki diferansiyel operatörün bu uzantısı sadece gerçek güçlere kısıtlı örneğin, 2'nci türevi veren (1 − *i*)inci türevin, ayrıca *a* için

negatif değerler bağlamında integral veren fark  olması gerekmez.

Genel bir fonksiyon *f*(*x*) ve 0 D^{\alpha}f(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\frac{f(t)}{(x-t)^{\alpha}}dt

dir
keyfi *α*,için dolayısıyla gama fonksiyonu böyle bileşen için tanımlanamaz ve gerçek kısmı bir negatif tam sayıdır, Bu uygulama için gerekli kesirli türev sonrası

tam sayı türevi gerçekleştirilmiştir. Örneğin,

:D^{\frac{3}{2}}f(x)=D^{\frac{1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}f(x)

### Laplace dönüşümü
Ayrıca  sorudan  Laplace dönüşümü 
:\mathcal L \left\{Jf\right\}(s) = \mathcal L \left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\}(s)=\frac1s(\mathcal L\left\{f\right\})(s) yoluyla alınabilir
ve
:\mathcal L \left\{J^2f\right\}=\frac1s(\mathcal L \left\{Jf\right\} )(s)=\frac1{s^2}(\mathcal L\left\{f\right\})(s)
vs, ters laplace;
:J^\alpha f=\mathcal L^{-1}\left\{s^{-\alpha}(\mathcal L\{f\})(s)\right\}.
örneğin beklenildiği gibi
:
\begin{array}{lcr}
J^\alpha\left(t^k\right) &= &\mathcal L^{-1}\left\{\dfrac{\Gamma(k+1)}{s^{\alpha+k+1}}\right\}\\
&= &\dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha+k+1)}t^{\alpha+k}
\end{array}

dir.Yani, evrişim kuralı ile
:\mathcal L\{f*g\}=(\mathcal L\{f\})(\mathcal L\{g\}) dir.
ve özetle *p*(*x*) = *x**α* − 1 için şunu buluruz
:
\begin{array}{rcl}
(J^\alpha f)(t) &= &\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\mathcal L^{-1}\left\{\left(\mathcal L\{p\}\right)(\mathcal L\{f\})\right\}\\
&=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}(p*f)\\
&=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t p(t-\tau)f(\tau)\,d\tau\\
&=&\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^t(t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)\,d\tau\\
\end{array}

Yukarıdakiler Cauchy tarafından bize verilmiştir.

Laplace nispeten az sayıda fonksiyonlar üzerinde "iş" dönüştürür, ancak* sık sık* kesirli diferansiyel denklemlerin çözümü için yararlıdır.

## Kesirli integraller

### Riemann–Liouville kesirli integrali

Kesirli analizin klasik formu  Riemann–Liouville integrali tarafından veriliyor, bu esasen yukarıda tanımlanmıştır. Teori periyodik fonksiyonlar için (bir periyod sonra yinelenen 'sinir değerler' içerir)  Weyl integralidir. Bu Fourier serisi üzerinde tanımlanıyor ve Fourier katsayılarının kaybolması gereklidir (böylece, 0 için birim çember üzerindeki fonksiyonlar integrallerin evrimi için uygulanıyor).

:_aD_t^{-\alpha} f(t)={_aI_t^\alpha}f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t (t-\tau)^{\alpha-1}f(\tau)d\tau 

Grünwald–Letnikov türevi karşıtlığı ile  integralin yerine türev ile başlıyor.

### Hadamard kesirli integrali

*Hadamard kesirli integral'i* J. Hadamard   tarafından tanıtılmış ve formül aşağıda verilmiştir,

:_a\mathbf{D}_t^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t \Bigg(\log\frac{t}{\tau}\Bigg)^{\alpha -1} f(\tau)\frac{d\tau}{\tau}


*t* > *a *içindir

## Kesirli türevler
Klasik Newton türevleri gibi, bir kesirli türev bir kesirli integrali üzerinden tanımlanamaz.

### Riemann–Liouville kesirli türevi
Karşılık gelen türev diferansiyel operatörler için Lagrange kuralı kullanılarak, (*n* − *α*) derecenin integrali üzerinden *n*-inci dereceli türev hesaplanır, *α* dereceli türevi elde edilir. Bu *n* ifadesinin önemi *α* dan büyük tam sayıya yakındır.

: _aD_t^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n}{_aD_t^{-(n-\alpha)}}f(t)=\frac{d^n}{dt^n}{_aI_t^{n-\alpha}}f(t)

### Caputo kesirli türevi
Kesirli türevleri hesaplamak için başka bir seçenek;1967 makalesinde M. Caputo tarafından tanıtılan Caputo kesirli türevidir. Caputo'nun tanımlaması kullanılarak diferansiyel denklem çözerken Riemann Liouville kesirli türev aksine, bu kesirli mertebeden başlangıç koşullarını tanımlamaya gerek yoktur. Aşağıdaki gibi Caputo tanımı gösterilmiştir.

: {_a^CD_t^\alpha} f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_a^t \frac{f^{(n)}(\tau)d\tau}{(t-\tau)^{\alpha+1-n}}

## Genelleme

### Erdélyi–Kober işlemcisi

**[[Erdelyi–Kober operator|Erdélyi–Kober işlemcisi]]** bir integral işlemci olup Arthur Erdélyi  ve Hermann Kober tarafından 1940'ta tanıtıldı ve aşağıdaki gibi verilir:

:\frac{x^{-\nu-\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (t-x)^{\alpha-1}t^{-\alpha-\nu}f(t) dt 

bunun genellemesi Riemann kesirli integrali ve Weyl integralidir.Yeni bir genelleme ise aşağıdadır ve bununh genellemesi  *Riemann-Liouville kesirli integrali* ve *Hadamard kesirli integrali*dir. Bu  ile
x* > *a* için verilen
:<math> ({}^\rho \mathcal{I}^\alpha_{a+}f)(x) = \frac{\rho^{1- \alpha }}{\Gamma({\alpha})} \int^x_a \frac{\tau^{\rho-1} f(\tau) }{(x^\rho - \tau^\rho)^{1-\alpha}}\, d\tau, </math>

== Fonksiyonel hesap ==

[[fonksiyonel analiz]]in konuları içinde, fonksiyonların *f(D)* daha genel kuvvetlerinde  [[Spectral theorem|spektral teorinin]]  [[functional calculus|fonksiyonel hesabı]] içindeki çalışmalardır.[[pseudo-differential operator|Sözde-diferansiyel işlemcilerin]] teorisi *D'nin *kuvvetlerini ayrıca düşünmemizi sağlar. Ortaya çıkan operatörler [[singular integral operator|tekil integral işlemcilerin]] örnekleridir; ve yüksek boyutlar için klasik teorinin genelleştirilmesine  [[Riesz potential|Riesz potansiyellerinin]] teorisi denir. Böylece bu çağdaş tutarlı teoride bir sayıdır ve bununla birlikte *kesirli hesap*  tartışılabilir. Ayrıca [[Erdélyi–Kober operator|Erdélyi–Kober işlemcisi]], ,  'nin [[special function|özel fonksiyon]] teorisi içinde önemlidir.

== Uygulamalar ==

=== Kesirli kütle korunumu ===

Tanıtım olarak  Wheatcraft ve Meerschaert (2008) tarafından, kütle denkleminin bir kesirli korunumu [[kontrol hacmi]] sıvı akışını modellemek için gerekli olduğunda [[heterojen]]liğin ölçeğine göre yeterince büyük değildir  ve kontrol hacmi içinde akı olduğunda doğrusal değildir. Başvuru yapılan yazıda, sıvı akışı için kütle denkleminin kesirli korumasi:

:<math> -\rho (\nabla^{\alpha} \cdot \vec{u}) = \Gamma(\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha}\rho(\beta_s+\phi \beta_w) \frac{\partial p}{\partial t} </math>

=== Kesirli adveksiyon dağılım denklemi ===

Bu denklemin, heterojen gözenekli ortam içinde  kirletici akışı modellemek için kullanışlı olduğu gösterilmiştir.

=== Zaman-uzay kesirli difüzyon denklemi modelleri ===

Karmaşık ortamda anormal difüzyon süreçleri kesirli-dereceli difüzyon denklem modelleri kullanılarak karakterize edilebilir. Zaman türevi terimi uzun süre ağır kuyruk çürümesi ve yerel olmayan difüzyon  için uzay türevine karşılık gelir. Uzay-zaman kesirli difüzyon yönetim denklemi olarak yazılabilir.

:<math>
\frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha}=K (-\triangle)^\beta u.
</math>

Kesirli türevin basit bir uzantısı değişken dereceli kesirli türev, *α*, *β* ifadeleri *α*(*x*, *t*), *β*(*x*, *t*) içinde değişir. Anormal difüzyon modelleme uygulamaları için kaynak bulunabilir.

=== Yapısal sönümleme modelleri ===

Kesirli türevler polimerler gibi bazı malzeme türlerinde  [[viskoelatik|viskoelastik]] [[sönümleme]]yi modellemek için kullanılır.

=== Karmaşık ortam için akustik dalga denklemleri ===

Kompleks ortamlarda, örneğin biyolojik dokuda akustik dalgaların yayılımı, yaygın bir frekans-güç yasalarına uymanın zayıflaması anlamına gelir. Bu tür olgular, kesirli zaman türevlerini içeren nedensel bir dalga denklemi kullanılarak  tarif edilebilir:

:<math>
{\nabla^2 u -\dfrac 1{c_0^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \tau_\sigma^\alpha \dfrac{\partial^\alpha}{\partial t^\alpha}\nabla^2 u	- \dfrac {\tau_\epsilon^\beta}{c_0^2} \dfrac{\partial^{\beta+2} u}{\partial t^{\beta+2}} = 0.} </math>

Ayrıca  buradaki referanslara bakınız. Bu tür modeller birden fazla gevşeme fenomeni ölçülen karmaşık ortamlarda zayıflama doğuran, yaygın olarak tanınan hipotez ile bağlantılıdır. Bu bağlantı ayrıca   içindeki tanım ve araştırma makalesinde, [[akustik zayıflama]]da ayrıca yazılıdır.

=== Kuantum teorisinde kesirli Schrödinger denklemi ===

[[Fraksiyonel Schrödinger denklemi|Kesirli Schrödinger denklemi]] [[Fraksiyonel kuantum mekaniği|kesirli kuantum mekaniği]] nin  [[Nick Laskin]] tarafından incelenen bir temel denkleminin  formu aşağıdaki gibidir:

:<math>i\hbar \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=D_\alpha (-\hbar^2\Delta )^{\alpha /2}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t).</math>

burada  [[dalga fonksiyonu]] denkleminin çözümü olması için  verilen bir [[durum vektörü]]ne *ψ*(*'r**, ''t'') - kuantum mekaniksel parçacık için **r** [[olasılık genliği]] var ''t'' herhangi verilen zaman ve ''ħ'' [[Planck constant|indirgenmiş Planck sabiti]]dir.[[Potansiyel enerji]] fonksiyonu sistemi üzerinden ''V''(**r**, ''t'') bağımlıdır.

Ayrıca, Δ = <sup>2</sup>/**r*'<sup>2</sup> [[Laplace işlemcisi]]dir ve *Dα*  fiziksel [[dimensional analysis|boyut]] ile  bir skala sabitidir.[*Dα*] = erg<sup>1 − *α*</sup>·cm<sup>*α*</sup>·sec<sup>−*α*</sup>, (*m* kütlenin parçacığı için *α*&nbsp;=&nbsp;2 de, *D*<sub>2</sub> = 1/2*m*) ve (−*ħ*<sup>2</sup>Δ)<sup>*α*/2</sup> işlemci is the 3-boyutlu kesirli kuantum Riesz türevi ile tanımlanır

:<math>
(-\hbar ^2\Delta )^{\alpha /2}\psi (\mathbf{r},t)=\frac 1{(2\pi \hbar
)^3}\int d^3pe^{i \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}/\hbar }|\mathbf{p}|^\alpha \varphi (
\mathbf{p},t)\,.
</math>

Kesirli Schrödinger denkleminde *α* indisi Lévy indisi, 1&nbsp;<&nbsp;*α*&nbsp;≤&nbsp;2.

== Ayrıca bakınız ==

* [[Akustik zayıflama]]
* Diferintegral
* [[Diferansiyel denklem]]
* [[Fraksiyonel dinamikleri|Kesir dinamikleri]]
* [[Fraksiyonel fourier dönüşümü|Kesirli fourier dönüşümü]]
* [[Neopolarogram]]
* [[Fraksiyonel Schrödinger denklemi|Kesirli Schrödinger denklemi]]
* [[Özbağlanımlı kesirli bütünleşik hareketli ortalama]]

== Notlar ==


== Kaynakça ==
**Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications*, by Samko, S.; Kilbas, A.A.; and Marichev, O. Hardcover: 1006 pages. Publisher: Taylor & Francis Books. ISBN 2-88124-864-0
**Theory and Applications of Fractional Differential Equations*, by Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; and Trujillo, J. J. Amsterdam, Netherlands, Elsevier, February 2006. ISBN 0-444-51832-0 (https://web.archive.org/web/20090816133048/http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/707212/description#description)
**An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations*, by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor). Hardcover: 384 pages. Publisher: John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). ISBN 0-471-58884-9
**The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V)*, by Keith B. Oldham, Jerome Spanier. Hardcover. Publisher: Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0
**Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications.*, (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny. Hardcover. Publisher: Academic Press; (October 1998) ISBN 0-12-558840-2
* [https://web.archive.org/web/20120519174508/http://www.worldscibooks.com/mathematics/p614.html Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models.] by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010. 368 pages.
* [http://www.springer.com/physics/complexity/book/978-3-642-14002-0 Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media.] by V.E. Tarasov, Springer, 2010. 450 pages.
* [http://www.springer.com/physics/theoretical,+mathematical+%26+computational+physics/book/978-3-642-33910-3 Fractional Derivatives for Physicists and Engineers]  by V.V. Uchaikin, Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.
* [http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8934 Fractional Calculus - An Introduction for Physicists]  by R. Herrmann, World Scientific, Singapore 2014. 500 pages.
**Fractals and quantum mechanics*, by N. Laskin. Chaos Vol.10, pp.&nbsp;780–790 (2000). (http://link.aip.org/link/?CHAOEH/10/780/1 )
**Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics*, by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor). Paperback: 348 pages. Publisher: Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-X
**Physics of Fractal Operators*, by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini. Hardcover: 368 pages. Publisher: Springer Verlag; (January 14, 2003). ISBN 0-387-95554-2
**Fractional Calculus and the Taylor-Riemann Series*, Rose-Hulman Undergrad. J. Math. Vol.6(1) (2005).
**Operator of fractional derivative in the complex plane*, by Petr Zavada, Commun.Math.Phys.192, pp.&nbsp;261–285,1998.  (available [http://www.springerlink.com/content/2xbape94pk99k75a/ online] or as the [http://arxiv.org/abs/funct-an/9608002 arXiv preprint] )
**Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators*, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp.&nbsp;163–197, 2002.  (available [https://web.archive.org/web/20090605003356/http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155%2FS1110757X02110102&e=cta online] or as the [http://arxiv.org/abs/hep-th/0003126 arXiv preprint])
**Fractional differentiation by neocortical pyramidal neurons*, by Brian N Lundstrom, Matthew H Higgs, William J Spain & Adrienne L Fairhall, Nature Neuroscience, vol. 11 (11), pp.&nbsp;1335 – 1342, 2008.  ([http://www.nature.com/neuro/journal/v11/n11/abs/nn.2212.html abstract] )
**Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models'', by Ahmed E., A.M.A. El-Sayed, H.A.A. El-Saka. 2007. Jour. Math. Anal. Appl. 325,452.
*
*
*Recent history of fractional calculus by J.T. Machado, V. Kiryakova, F. Mainardi,

## Dış bağlantılar
*Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation."  From MathWorld — A Wolfram Web Resource.
*MathWorld - Fractional calculus 
*MathWorld - Fractional derivative 
*Fractional Calculus at MathPages
*Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis 
*Specialized journal: Fractional Differential Equations (FDE)
*Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
*www.nasatech.com 
*unr.edu (Broken Link)
*Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.  
*GigaHedron - Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc.  
*s.dugowson.free.fr 
*History, Definitions, and Applications for the Engineer (PDF), by Adam Loverro, University of Notre Dame
*Fractional Calculus Modelling 
*Introductory Notes on Fractional Calculus
*Pseudodifferential operators and diffusive representation in modeling, control and signal
*Power Law & Fractional Dynamics
*The CRONE (R) Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable