Genelleştirilmiş ortalama

Bir **genelleştirilmiş ortalama;** Pisagorik ortalamalarını, yani aritmetik ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalamayı, aynı tanım formülünde birleştirip kapsayan bir soyut genelleştirmedir. **Güç ortalaması** veya **Holder ortalaması** adları da verilmektedir.

## Tanım

Eğer p sıfır olmayan bir pozitif reel sayı ise, **<math>p</math> üslü genelleştirilmiş ortalama**

:
M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p}.


ifadesine uyan x_1,\dots,x_n pozitif reel sayılardır.

## Özellikler

t = 1 hali aritmetik ortalama, t = - 1 harmonik ortalamasını ve *t* = 2 ise ortalama kare kökünü ortaya çıkartır. *t* limitte 0a yaklaşırsa, M(*t*') için verilen sayılar için limit o sayıların geometrik ortalamasını verir ve bu nedenle M(0) terimini geometrik ortalama olarak *tanımlamak* uygun olur. Bunun yanında *t* ∞ değerine limitte yaklaşmakta ise, M(*t*) verilen sayıların minimum değerine yaklaşım gösterir.

* Birçok değişik ortalamalar gibi, genelleştirilmiş ortalama, x_1,\dots,x_n argümanlarının bir homojen fonksiyonudur. Yani b pozitif bir reel sayı ise, b\cdot x_1,\dots, b\cdot x_n reel sayılarının p üslü genelleştirilmiş ortalaması b teriminin x_1,\dots, x_n sayılarının genelleştirilmiş ortalamasına eşittir.
* Yarı-aritmetik ortalamalar için uygulandığı gibi, ortalamanın hesaplanması birbirine eşit büyüklükte alt-blokların hesaplanması ile elde edilebilir.

:: 
M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) =
  M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}),
      M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}),
      \dots,
      M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))


### Genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği

Genellikle, eğer p  olursa, o halde M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n) olur ve iki ortalama ancak ve ancak x_1 = x_2 = \cdots = x_n ise birbirine eşittir. Bundan şu sonuç ortaya çıkartılır:

: \forall p\in\mathbb{R}\ \frac{\partial M_p(x_1,\dots,x_n)}{\partial p}\geq 0,

ve bu Jensen'in eşitsizliğini kullanılarak ispat edilebilir.

Özellikle, p\in\{-1, 0, 1\} ise genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği hem Pisagorik ortalamaların eşitsizliğini hem de aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliğini içermektedir.

## Özel haller

* \lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\} - minimum,
* M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}} - harmonik ortalama,
* \lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n} - geometrik ortalama,
* M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} - aritmetik ortalama,
* M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}} - kuadratik ortalama,
* \lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\} - maksimum.

## Kuvvet ortalamaları eşitsizliğinin ispatı

### Karşıt işaretli ortalamalar arasındaki eşitsizlerin birbirine tıpatıp benzemesi

*p* ve *q* endeksli güç ortalamaları arasında bir ortalama bulunsun:
:\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

O halde:
:\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}
(Bu pozitif reel sayılı kesinlikle azalan bir fonksiyon olduğu için) iki tarafın da -1 üssü alınabilir:

:\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}

Böylece -*p* ve -*q* üsleri olan ortalamalar için bir eşitsizlik elde etmiş oluruz. Aynı mantığı tersten de kullana bilip eşitsizliklerin birbirine aynı olduğu ispat edilebilir. (Bu sonuç ileri de kullanılacaktır.)

### Geometrik ortalama
Herhangi bir ''q'' değeri için, *q* üslü bir ortalama ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliğin şu yolla dönüşümü yapılabilir:

:\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}
:\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} 

(Birinci eşitsizlik bir pozitif *q* için ispat edilmiş olması gerekir.)

Her iki tarafından *q* üssü alınırsa 
:\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q
olur. Her iki halde de x_i^q silsilesi için ağırlıklı aritmetik ve geometrik ortalamalar arasındaki eşitsizlik ele geçirilir. Bu Jensen'in eşitsizliği ve logaritmik fonksiyonun konkav olduğu gerçeklerinden faydalanarak ispat edilebilir.

:\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)
:\log(\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}) \leq \log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)

(Kesinlikle azalan) exp fonksiyonu her iki tarafa tatbik edilirse, şu eşitsizlik ortaya çıkar:

:\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i

Böylece, herhangi bir pozitif *q* değeri için şu ifade önerilir:

:\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]
{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

Bu eşitsizlik herhangi bir *q* ne kadar küçük olursa olsun hep gerçek olacağı için, *q* limitte 0a yaklaştıkça, bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları geometrik ortalamaya yaklaşıklık gösterir. *q* 0a yaklaşım gösterdikçe, güç ortalaması limitte geometrik ortalamaya yaklaşır:

:\lim_{q\rightarrow 0}\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{q}}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}

### Herhangi bir güç ortalamaları çifti arasındaki eşitsizlik

Burada herhangi bir *p*\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

* Eğer *p* negatif ise ve *q* pozitif ise, eşitsizlik yukarıda ispatı verilenin aynıdır:
:\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

* Hem *p* pozitif hem de *q* pozitif ise ispat şöyle yapılır:
Önce şu fonksiyon tanımlanır:
: f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+}, f(x)=x^{\frac{q}{p}}. 
Burada *f* bir güç fonksiyonudur; bu nedenle ikinci türevi bulunup şöyle ifade edilir:
: f*(x) = \left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{q}{p} - 1\right) x^{\frac{q}{p}-2},</math> 
Bu *f* sahası içinde kesinlikle pozitif olur; çünkü *q* > *p* olduğu için *f* konvekstir.

Bu sonucu ve Jensen'in eşitsizliğini kullanarak, şu ifadeler elde edilir:
:<math>f\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\leq\sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)</math>
:<math>\sqrt[\frac{p}{q}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q</math>
Bunun her iki tarafının 1/*q* üssü alınırsa (1/q)'nin pozitif olması nedeniyle bunun bir artan fonskiyon görülür ve elde edilen eşitsizlik şu olur:
:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>
Bu eşitsizlik ise ispat gereken sonucudur.

* Hem *p* negatif ve hem *q* negatif ise, daha önce gösterilenlere aynı olan ifadeler geçerlidir ve bunlara -*p* ve -*q* konulursa, ispatı istenilen eşitsizlik yine elde edilir.

=== Minimum ve maksimum ===

Minimum ve maksimum değerlerin üssel endeksleri 
:<math>-\infty</math> ve <math>+\infty</math>.
olan güç ortalamaları olduğu kabul edilsin. Böylece herhangi bir *q* değeri için

:<math>\min (x_1,x_2,\ldots ,x_n)\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \max (x_1,x_2,\ldots ,x_n)</math>

Maksimum için ispat şöyle yapılır:
[[Genelliği kaybetmeden]] *xi* dizisinin artan olmadığını ve ağırlığının sıfır olduğu kabul edilsin. Bu halde eşitsizlik şu ifadeyle aynıdır:

:<math>\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq x_1</math>

Bu ifadenin iki tarafının da *q* üssü alınırsa, (*q*nun işaretine bağlı olarak) şu iki ifadeden birisi elde edilir:

:<math>\sum_{i=1}^nw_ix_i^q\leq {\color{red} \geq}  x_1^q</math>
≤ eğer *q*>0, <span style="color: red">≥ eğer *q*<0</span>.

Her iki taraftan <math>w_1x_1</math> çıkartılırsa, elde edilen ifade

:<math>\sum_{i=2}^nw_ix_i^q\leq {\color{red} \geq} (1-w_1)x_1^q</math>

olur. Bu <math>(1-w_1)</math> ile bölünürse, ortaya çıkan ifade şudur:

:<math>\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}x_i^q\leq {\color{red} \geq} x_1^q</math>

1 - *w*<sub>1</sub> sıfır değildir, böylece

:<math>\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}=1</math>

İki taraftan *x*<sub>1</sub><sup>*q*</sup> çıkartırsak ortaya çıkan ifade

:<math>\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}(x_i^q-x_1^q)\leq {\color{red} \geq} 0</math>

olur. Bu epeyce açıkça anlaşılır; çünkü *x*<sub>1</sub> herhangi bir *xi* değerine eşit veya o değerden daha fazladır ve böylece

:<math>x_i^q-x_1^q\leq {\color{red} \geq} 0</math>

Minimum için de ispat nerede ise aynı şekilde yapılır; ancak *x*<sub>1</sub>, *w*<sub>1</sub> yerine *x*<sub>n</sub>, *w*<sub>n</sub> kullanılır.

== Genelleştirilmiş <math>f</math>-ortalaması ==

*'Genelleştirilmiş ortalama** (veya **güç ortalaması*') daha da genelleştirilip [[genelleştirilmiş f-ortalaması]] formülü ortaya çıkarılmıştır. Bu formül şöyledir:

:<math> M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}
\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) </math>

Bu formüle göre *güç ortalaması''  f\left(x\right)=x^p  olarak elde edilir.

## Uygulamalar

### Sinyal üretilmesi

Bir güç ortalaması bir doğrusal olmayan hareketli ortalama hizmeti görür. Bu küçük p için düşük sinyal değerlerine doğru kaydırma yapar ve büyük p için yüksek sinyal değerlerine önem sağlar. Hareketli aritmetik ortalamanın etkin uygulaması (yani smooth uygulaması) gerçekse verilen şu Haskell koduna göre

  powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
  powerSmooth smooth p =
     map (** recip p) . smooth. map (**p)

* Bu büyük değerde p için rektifiye edilmiş sinyal üzerinde bir zarf detektörü olarak hizmet görebilir.
* Bu küçük değerde p için kütle spektrumu üzerinde anahat detektörü olarak hizmet görebilir.

## Ayrıca bakınız

* Aritmetik ortalama
* Geometrik ortalama
* Harmonik ortalama
* Heronian ortalama 
* Pisagorik ortalama
* Ortalama
* Ortalama kare kökü

## Dış bağlantılar

* MathWorld'de güç ortalaması 
* Genelleştirilmiş ortalama için örnekler 
* http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=ProofOfGeneralMeans
* Rasyonel ortalama