Özdeğerler ve özvektörler

Matematikte, bir lineer transformasyon altında yönünü değiştirmeyen vektörlere **özvektör** denir. Resmen tanımlamak gerekirse, \bold{v} bir vektörse ve \Phi bir lineer dönüşümse, bir \lambda skaleri için \Phi(\mathbf v)=\lambda \mathbf v eşitliğini sağlayan tüm \bold{v} vektörlerine **<math>\Phi</math>'nin özvektörü** ve \lambda skalerine de **<math>\Phi</math>'nin özdeğeri** denir.

Lineer dönüşümler vektörleri döndürerek, yansıtarak veya bükerek etkileyebilirler. Ancak \bold{v} bu dönüşümün bir özvektörüyse, \bold{v} bu dönüşümden sadece boyca uzayarak, kısalarak veya doğrultusunu değiştirmeden yönünü değiştirerek etkilenir. Boyca uzama veya kısama miktarı ise bu dönüşümün özdeğerine tekabül eder. Eğer vektör doğrultusunu koruyarak yönünü ters çeviriyorsa, sözkonusu özdeğer negatif demektir.

Lineer dönüşümler özdeğerlerine ve özvektörlerine bakarak sınıflandırıldığından özvektörler ve özdeğerler; jeoloji, finans ve kuantum mekaniği gibi alanlarda kullanılır.

## Tanım
A, n \times n'lik bir matris olsun, \bold{v} de n uzunluğunda \mathbf 0 dışında bir vektör olsun. Eğer \bold{v}'yi A ile çarpmak, \bold{v}'nin sadece bir \lambda skaleri kadar uzamasına sebep oluyorsa, \bold{v}'ye A'nın bir özvektörü ve \lambda'ya da A'nın bir özdeğeri denir. Bu ilişki, matematiksel olarak A\mathbf v=\lambda \mathbf v şeklinde gösterilebilir.

Bir taban seçimiyle herhangi bir sonlu boyutlu \mathbb K vektör uzayı V'den \mathbb K^n'e bir izomorfizma elde etmek mümkündür, bu durumda her \Phi lineer dönüşümünün de \mathbb K^{n \times n}'lik bir matris tarafından temsilcisi de elde edilir. Dolayısıyla sonlu boyutlu vektör uzaylarında özvektörlerin matris tanımıyla cebirsel tanımı aynı kapıya çıkmaktadır. Ancak sonsuz boyutlu vektör uzaylarının analizinde matrisler anlamlarını yitirdiğinden, özvektörleri cebirsel bir şekilde tanımlamak gerekir.

Bu şekilde, herhangi bir  \mathbb K vektör uzayı V üzerinde tanımlı bir \Phi lineer dönüşümü için, \Phi(\mathbf v)=\lambda \mathbf v eşitliğini sağlayan her \bold{v} \in V \setminus \{\mathbf 0\} vektörüne bir **özvektör** ve her \lambda \in \mathbb K skalerine de bir **özdeğer** denir. Aynı özdeğeri paylaşan iki özvektörün toplamı ve bir özvektörün katları da yine aynı özdeğere sahip bir özvektör oluşturduğundan, \mathbf 0 ile birlikte bir özdeğere ait özvektörler V'nin bir altuzayını teşkil eder ve bu altuzaya \lambda**<nowiki/>'nın özuzayı** ismi verilir ve bu altuzay V_\lambda(\Phi) ile gösterilir.

## Genel bakış
İngilizce ve birçok kuzey avrupa dilinde özvektör kavramı, Almancadaki *Eigenvektor*, *Eigenwert* ve *Eigenraum* terimlerinin çevirileriyle anılır. İlk katı cisimlerin temel eksenlerini analiz ederken araştırılan bu kavram, daha sonra tüm lineer dönüşümlerin sınıflandırılmasında kullanılacak şekilde genişletilmiş ve bu şekilde dizilerin analizinde, diferansiyel denklemlerde, kuantum fiziğinde ve hatta yüz tanıma ve yapay zekâ gibi bilişim alanlarında kullanım bulmuştur.

Temelinde bir özvektör, bir **<math>\Phi</math>** lineer dönüşümünde doğrultusunu değiştirmeyen sıfırdan farklı bir vektördür. \Phi(\mathbf v)=\lambda \mathbf v denklemine ise **özvektör denklemi** ismi verilir. \lambda özdeğeri ise pozitif olabilir, negatif olabilir, sıfır olabilir ve hatta \bold{v} bir karmaşık vektör uzayından geliyorsa karmaşık bir sayı bile olabilir.

Yandaki örnekte Mona Lisa resmi, bir lineer dönüşüme maruz kalmaktadır. Vektörler, dikey y eksenindeki konumlarına oranla x ekseninde hareket etmektedir ve daha uzak vektörler daha da uzağa itilmektedir. Bununla beraber, pozitif y koordinatlarındaki vektörler sağa oynarken negatif y koordinatlarındaki vektörler sola oynatılmaktadır. Bu vektörlerin hiçbiri başlangıçtaki hâlleriyle aynı doğrultuda kalmadığından hiçbiri bir özvektör değildir. Ancak y kordinatı 0 olan, yani doğrudan sağa veya sağa bakan vektörler bu değişim altında hiç kıpırdamadığından bu değişimin özvektörlerini teşkil eder ve özdeğerleri de 1'dir. Bu şekilde bu lineer değişimin yegâne özdeğeri 1'dir ve bu değere ait özuzay ise x eksenidir.

Lineer dönüşümler bir sürü ayrı şekil alabildiğinden özvektörler ve özuzaylar da bir sürü farklı şekil alabilir. Mesela türev alma işlemini de bir lineer dönüşüm olarak incelemek mümkündür, çünkü türev de toplama ve skaler çarpma işlemine saygı gösterir. Bu durumda söz konusu vektör uzayı, C^{\infty}(\mathbb C) ile gösterdiğimiz sonsuz kere türevlenebilir fonksiyonların uzayı olup, sonsuz boyutlu bir vektör uzayı teşkil eder. Bu durumda \frac{d}{dx} operatörünün özvektörleri, bir \lambda skaleri ile çarpılan fonksiyonlardır, mesela\frac{d}{dx}e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x}fonksiyonu.

Matris dilinde örnek vermek gerekirse de, mesela A ve \bold{v} şu şekilde tanımlanmış olsun:A = \begin{pmatrix} 
2 & -1 & 2\\
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}; \mathbf v = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}O zaman, \bold{v} A'nın bir özvektörüdür çünküA\mathbf v = \begin{pmatrix} 
2 & -1 & 2\\
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \mathbf v ilişkisi geçerlidir ve 2 de A'nın bir özdeğeridir. Matrisler, özvektörler sayesinde incelenebilir, mesela çaprazlayarak.

Özvektörler ile oluşturulan birtakım yapı, yine öz- takısını kullanarak anılır:

* 0 ve bir değere ait özvektörlerden oluşan altuzaya, o özdeğerin **özuzayı** ismi verilir.
* Özvektörlerden oluşan bir tabana **öztaban** ismi verilir. Bir lineer dönüşüme öztabanda tekabül eden bir matris, her zaman çapraz bir formda olur.

## Matrislerin özvektörleri

### Özvektör denklemi
Verilen bir matrisin özvektörleri ve özdeğerleri,A\mathbf v=\lambda \mathbf vözelliğinin sağlanmasını isteyerek bulunuyordu. Bunu yazmanın başka bir yolu şudur:\mathbf 0 = A\mathbf v - \lambda \mathbf v = A\mathbf v - \lambda \mathrm{Id}\cdot \mathbf v = (A - \lambda \mathrm{Id})\mathbf vBurada \mathrm{Id} ile kasıt, birim matristir. Kısaca beklenilen şey, A - \lambda \mathrm{Id} ile verilen bir matris ile sıfır olmayan bir vektörün çarpımının sıfır olmasıdır. Bunun olmasının tek yolu A - \lambda \mathrm{Id} matrisinin tersinir olmaması olduğundan, A - \lambda \mathrm{Id} matrisinin determinantı 0 olmak zorundadır. Yani, bir matrisin özdeğerlerini0 = \det(A - \lambda\mathrm{Id})şartını kullanarak bulabiliriz.

### Karakteristik polinom
\det(A - \lambda \mathrm{Id}) bize \lambda cinsinden bir polinom verir ve bu polinoma **karakteristik polinom** ismi verilir. A'nın boyutu n \times n ise \det(A - \lambda \mathrm{Id}) de n'inci dereceden olcağından bu polinomun en fazla n kökü bulunabilir. Bunun sonucunda n \times n'lik bir matrisin en fazla n özdeğeri olabilir. Bu makalede A matrisinin karakteristik polinomu \chi_A(\lambda) şeklinde gösterilecektir.

\lambda, A'nın bir özdeğeri olsun. Eğer \lambda, \chi_A'nın k katlı bir köküyse k'ya \lambda'nın **cebirsel katı** denir. Eğer A, karmaşık sayılar gibi cebirsel kapalı bir cisim üzerinde tanımlıysa \chi_A doğrusal terimlerin çarpımı şeklinde yazılabilir ve şu şekli alır:\chi_A(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)^{k_1} (\lambda_2 - \lambda)^{k_2} (\lambda_3 - \lambda)^{k_3} (\lambda_4 - \lambda)^{k_4}...ve k_i'lerin toplamı n'i verir.

### Özuzay
\mathbf 0 = (A - \lambda \mathrm{Id})\mathbf v şartının sağlanması için 0 = \det(A - \lambda\mathrm{Id}) olması yetmez. Aynı zamanda \mathbf v, A - \lambda \mathrm{Id}'in çekirdeğinde olmalıdır. O zaman A'nın \lambda özdeğerli özvektörlerinin, aynı zamanda \ker(A - \lambda \mathrm{Id})'in içinde olmalıdır. Bu durumda \mathbf 0 = (A - \lambda \mathrm{Id})\mathbf v şartı sağlanır ve özuzay V_\lambda(A),V_\lambda(A) = \ker(A-\lambda\mathrm{Id})denkleminden hesaplanabilir. V_\lambda(A)'nın boyutuna \lambda'nın **geometrik katı** denir. Bir özdeğerin geometrik katı hiçbir zaman cebirsel katından büyük olamaz, ancak eşit olmak zorunda değildir, küçük de olabilir. Eğer bir matrisin tüm özdeğerlerin geometrik katı, cebirsel katına eşitse, bu matrise **çaprazlanabilir** bir matris denir ve tüm özuzaylara bir taban bularak matris, çapraz bir forma getirilebilir.

### Diğer özellikler
A, karmaşık sayılar üzerinde tanımlı n \times n̈lik bir matris olsun ve özdeğerleri \lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n olsun. Bu listede her özdeğeri cebirsel katı kadar yazmış olalım, yani \lambda_1 k katlı bir kökse \lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_k şeklinde yazalım.

* \mathrm{tr}(A) ile gösterilen A'nın izi, \mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + ... \lambda_n şeklinde özdeğerlerin toplamına eşittir.
* \det(A) ile gösterilen A'nın determinantı, \det(A) = \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot...\cdot\lambda_n şeklinde özdeğerlerin çarpımına eşittir.
* Tersinir bir matrisin tüm özdeğerleri 0'dan farklıdır. Tersinir olmayan bir matrisin özdeğerlerinden birisi 0'a eşittir.
* A^k'nın özdeğerleri, \lambda_1^k, \lambda_2^k, ... \lambda_n^k olur.
* Daha genel olarak P bir polinomsa, P(A)'nın özdeğerleri P(\lambda_1), P(\lambda_2), ... P(\lambda_n)  olur.
* Eğer A tersinirse A^{-1}'in özdeğerleri \frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, ... \frac{1}{\lambda_n} olur ve özdeğerlerinin hem cebirsel hem de geometrik katı A'nınkilerle aynı olur.
* A'nın girdilerinin eşleniğinden oluşan \bar A'ın özdeğerleri \bar \lambda_1, \bar \lambda_2, ... \bar \lambda_n olur. 
* A'nın transpozu A^T'nin özdeğerleri, A ile aynıdır.
* Eğer A, transpozunun eşleniğine eşitse \lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n özdeğerlerinin hepsi reeldir.
* Eğer A üniterse, yani A'nın eşleniğinin transpozu A^{-1}'e eşitse her özdeğerin mutlak değeri 1'e eşittir.

### Örnekler

#### 2 boyutlu matris
MeselaA = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
3 & 5
\end{pmatrix}  şeklinde verilmiş olsun. O zaman \chi_A,\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda\mathrm{Id}) = \begin{vmatrix} 
1 - \lambda & -1 \\
3 & 5 - \lambda
\end{vmatrix} = (1-\lambda)(5 - \lambda) + 3 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 4)(\lambda - 2) şeklinde bulunur ve kökleri 4 ve 2'den oluşur. Yani A'nın özdeğerleri 4 ve 2 olarak tespit edilebilir. Eğer A'nın mesela 2'ye ait özuzayını da bulmak istiyorsak, V_2(A) = \ker(A - 2 \mathrm{Id}) = \ker\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} = \ker\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \biggl \langle \begin{pmatrix}1 \\ -1 \end{pmatrix} \biggr \rangle şeklinde bulunabilir. 4'ün özuzayı da benzer şekilde hesaplanır. İki özuzayın da hem cebirsel, hem de geometrik katı 1'dir.