Koşullu beklenti

**Koşullu beklenti**, **koşullu beklenen değer** veya **koşullu ortalama**, olasılık kuramı bilim dalında bir reel değerli rassal değişken için bir koşullu olasılık dağılımı na göre matematiksel beklentidir.

Koşullu beklenti kavramı Rus matematikçi Andrey Kolmogorov tarafından ortaya atılmış olasılık kuramı'nın "ölçüm teorisi" ile tanımlanıp açıklanması sürecinde çok önemli bir rol oynamaktadır. Ayrıca stokastik sürecler incelemelerinde "martingal" konusu incelemesi için elzem bir kavramdır.

## Giriş

*X* ve *Y* ayrık rassal değişken olsunlar. Bu halde "*Y=y* olayı, *Y* sahasında *y*nin bir fonksiyonu olduğu verilmiş ise  **''X'' değişkenin ''Y=y'' koşullu beklentisi** şöyle tanımlanır:

: \operatorname{E} [X | Y=y ] = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \operatorname{P}[X=x|Y=y] = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \frac{\operatorname{P}[X=x,Y=y]}{\operatorname{P}[Y=y]}, 

Burada \mathcal{X} *X* değişkeninin istatistiksel açıklığını gösterir.

Bu sonucu *Y*nin bir sürekli rassal değişken olması haline de genişletmeye çalışırsak bir sorun ile karşılaşırız. Bu halde P(*Y=y*)&nbsp;=&nbsp;0 yani tek bir Y değeri için olasılık sıfır olur. Buna "Borel-Kolmogorov paradoksu" adi verilir, Bu yaklaşımla koşullu beklenti tanımlanmasına çalışmanın belirsizliği açıkça ortaya çıkar. Fakat yukarıda verilen ifadenin şöyle değiştirilmesi mümkündür:

: \operatorname{E} [X | Y=y] \operatorname{P}[Y=y] = \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \operatorname{P}[X=x,Y=y], 

Her iki taraf da sıfır olup burada *y*nin tek değerleri önemsiz olmakla beraber, bu ifade *Y* sahasında bulunan her türlü ölçülebilir *B* altseti için geçerli olur; yani

: \int_B \operatorname{E} [X | Y=y] \operatorname{P}[Y=y] \ \operatorname{d}y = \int_B \sum_{x \in \mathcal{X}} x \ \operatorname{P}[X=x,Y=y] \ \operatorname{d}y. 

Gerçekten bu hal hem koşullu beklenti hem de koşullu olasılık kavramlarını tanımlamak için  yeterli şart olur.

## Formel tanımlama

\scriptstyle (\Omega, \mathcal A, \operatorname{P}) bir gerçel rassal değişken *X* ve bir alt-sigma cebiri \scriptstyle \mathcal B \subseteq \mathcal A ile bir olasılık uzayı olsun. O zaman **bir verilmiş <math>\scriptstyle \mathcal B </math> için ''X''in koşullu beklentisi**

: \int_B \operatorname{E}[X|\mathcal{B}] (\omega) \ \operatorname{d} \operatorname{P}(\omega) = \int_B X(\omega) \ \operatorname{d} \operatorname{P}(\omega)  \qquad \text{for each} \quad B \in \mathcal{B}

ifadesini tatmin eden herhangi bir \scriptstyle \mathcal B -ölçülebilir fonksiyon \scriptstyle \operatorname{E}[X|\mathcal{B}]:\Omega \to \mathbb{R} olur.

Burada dikkat edilirse, \scriptstyle \operatorname{E}[X|\mathcal{B}] koşullu beklenti fonksiyonun basit bir notasyonla ifade edilmesidir.

### Tartışma

Verilen tanımlama üzerinde bazı noktaların tartışılması gerekir:
* Bu yapıcı ve pratik bir tanımlama değildir. Sadece koşullu beklentinin tatmin etmesi gereken niteliğinin verilmesidir.
** Gereken nitelik giriş kısmında verilen son ifadenin aynı şeklindedir.
** Bir koşullu beklentinin var olması "Radon-Nikodym teoremi" adı verilen bir savla gösterilir ve bu sav *X* için (koşulsuz) beklenti değerinin var olması için de yeterli bir şart sağlar.
** Sonucun tek olması "nerede ise kesinlik" ile gösterilebilir; yani aynı koşullu beklentinin verziyonları ancak "sıfır olasılık seti" için değişik olacaktır.
* Sigma cebiri ile tanımlanmış \scriptstyle \mathcal B koşullanmanın "taneli olmasını (granularity)" kontrol eder. Daha ince taneli σ-algebra \scriptstyle \mathcal B σ-cebiri daha geniş turlu olaylar için koşullanmaya izin verir.
** \scriptstyle (\mathcal Y, \Sigma)  hal uzayli bir *Y* rassal değişkeni değerleri üzerinde bağımsızca koşullanma için *Y* ye göre  *Σ*nin "onsel-imaji (pre-image)"ni, yani

::: \mathcal{B} = \sigma(Y) = \{Y^{-1}(S) : S \in \Sigma \}  

kullanarak koşullu beklenti tanımlama yeterlidir.

::Bu koşullu beklentinin σ(*Y*)-ölçülebilir olmasını sağlamayı yeterli olur. Koşullu beklenti altında yatan Ω olasılık uzayındaki olaylar üzerine koşullanmış olarak tanımlanmakla beraber, bunun  σ(*Y*)-ölçülebilir olması gerekliliği (girişte gösterildiği gibi) \mathcal{Y}  üzerinde koşullanmaya imkân verir.

## Koşullu olasılık tanımlanması

Herhangi bir istatistiksel olay  A \in \mathcal{A} için su gosterge fonksiyonu tanımlansın:

:\mathbf{1}_A (\omega) = \begin{cases} 1 \; &\text{if } \omega \in A, \\ 0 \; &\text{if } \omega \notin A, \end{cases}

Bu "Borel  σ-cebiri"ne göre [0,1] içinde bir rassal değişkendir, Bu rassal değişkenin beklentisi *A*nin olasılığına eşit olur:

:\operatorname{E}[\mathbf{1}_A] = \operatorname{P}[A]. \; 

Bu halde, **verilmiş <math>\scriptstyle \mathcal B</math> için [[kosullu olasilik]]'', eğer

:<math>\scriptstyle \operatorname{P}[A|\mathcal{B}]</math> ifadesinin ''A'' için gösterge
fonksiyonunun koşullu beklentisi olması halinde 
 
:<math>\scriptstyle \operatorname{P}[\cdot|\mathcal{B}]:\mathcal{A} \times \Omega \to \mathbb{R}</math>

olur; yani

:<math>\operatorname{P}[A|\mathcal{B}] = \operatorname{E}[\mathbf{1}_A|\mathcal{B}] \; </math>

Diğer bir şekilde ifadeyle, <math>\scriptstyle \operatorname{P}[A|\mathcal{B}] </math>

:<math>\int_B \operatorname{P}[A|\mathcal{B}] (\omega) \, \operatorname{d} \operatorname{P}(\omega) = \operatorname{P} [A \cap B] \qquad \text{for all} \quad A \in \mathcal{A}, B \in  \mathcal{B}. </math>

ifadesini tatmin eden <math>\scriptstyle \mathcal B</math>-ölçülebilir fonksiyondur.

Eğer  <math>\scriptstyle \operatorname{P}[\cdot|\mathcal{B}](\omega) </math>  ifadesi her ''ω''&nbsp;∈&nbsp;''Ω'' için de bir [[olasilik olcusu]] ise, böyle bir koşullu 
olasılık **düzgün** olur. Bir düzgün koşullu olasılığa göre bir rassal değişkenin beklentisi onun koşullu beklentisine eşittir.

== Faktörleme olarak koşullandırma ==

Bu denklem su verilen gösterimin bir [[kumutatif gosterim]] olduğunu söylemek seklinde de yorumlanabilir:

             E(X|Y)= goY
   ────────────────────────────────> **R** 
         Y             g=E(X|Y= ·)
 Ω ───────────>  **R**   ──────────────> **R** 
 ω ───────────> Y(ω) ──────────────> g(Y(ω)) = E(X|Y=Y(ω))
                 y   ──────────────> g(y) = E(X|Y=  y)
 
Denklemin anlamına göre ''X'' için entegraller ve ''U''nun bir altesinde ölçülebilir ''B'' için 
''Y''<sup>−1</sup>(''B'') seklideki setler için  <math>\operatorname{E}(X \mid Y=\ \cdot)\circ Y</math> bileşiği birbirine özdeştirler.

== Bir alt-cebire koşullandıran relatif ==

''N'' σ-alt-cebirlenin ''M'' σ-alt-cebiri ile koşullandırılması için diğer bir gorus sekli bulunmaktadır. Bu sekil önceden verilmiş olan incelemenin basitçe özelleştirilmiş seklidir. ''U'' basit olarak, üzerinde ''N'' σ-cebirli ve ''Y'' ozdeslik tasarımı olan Ω uzayı olduğu kabul edilir. sonuç soyle ifade edilir:

**Teorem*': *X* Ω üzerinde entegrali bulunan gercel rassal değişken ise, o halde  P'ye oranla eşdeğerliliğe uygunsa, tek bir ve tek su şarta uyan integre edilebilir *g* fonksiyonu bulunur; bu şarta göre altcebir *N* içinde bulunan herhangi bir *B* seti için

:<math> \int_{B} X(\omega) \ d \operatorname{P}(\omega) = \int_{B} g(\omega) \ d \operatorname{P} (\omega) </math>

olur. Burada *g* *N*ye göre ölçülebilir olur (ve bu *X* için gerekli olan *M* için ölçülebilir olma şartından daha siki bir şarttır.)

Bu şekilde koşullu beklenti genellikle  E(*X*|*N*) olarak yazılır. Bu sekil olasılık kuramı üzerinde spesialize olan matematikçiler tarafından tercih edilmektedir. Buna bir neden [[entegre edilebilir kare]] gercel rassal değişkenler uzayında (yani sonlu ikinci momenti bulunan gerçel rassal değişkenler için)

:*X* → E(*X*|*N*)

eşlenmesi kendine-eklenmiş [[ortogonal projeksiyon]] olur.
:<math> L^2_{\operatorname{P}}(X;M) \rightarrow L^2_{\operatorname{P}}(X;N). </math>

== Temel nitelikler ==

(Ω,*M*,P) bir olasılık uzayı olarak alınsın: 
* Bir σ-altcebirine göre koşullandırılırsa, *N* entegre edilebilir gercel rassal değişkenler uzayında doğrusaldır.
* E(1|*N*) = 1
* [[Jensen'in esitsizligi]] geçerlidir: Eger *f* bir [[conveks fonksiyon]] ise, o halde 
::<math> f(\operatorname{E}(X \mid N) ) \leq  \operatorname{E}(f \circ X \mid N).</math>
* Bir daralan projeksiyona göre koşullandılarsa herhangi bir *s* ≥ 1  için
::<math> L^s_P(X;M) \rightarrow L^s_P(X;N) </math>
olur.

== Ayrıca bakınız ==
* [[Toplam olasılık yasası]]
* [[Toplam beklenti yasası]]

== Dışsal kaynaklar ==

* [http://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_expectation Ingilizce Wikipedi "Conditional expectation" maddesi]   (Erişme:10.7.2010))
* William Feller, (1950), *An Introduction to Probability Theory and its Applications Cilt.1,*, Wiley. 
* Meyer, Paul A., (1956)  *Probability and Potentials*, Blaisdell Publishing Co. 
* Grimmett, Geoffrey ve D.R.Stirzaker (1995), *Probability and Random Processes'', Oxford:Oxford University Press ISBN 0-19-857222-0 

## Kaynakça