Abel testi

Matematikte **Abel testi** (**Abel kriteri** veya **Abel ölçütü** olarak da bilinir) sonsuz bir serinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test matematikçi Niels Abel'e ithafen bu şekilde isimlendirilmiştir. Abel testinin farklı iki çeşidi vardır – birisi gerçel sayıların serileriyle kullanılır; diğeri ise karmaşık analizdeki kuvvet serileriyle kullanılır.

## Gerçel analizdeki Abel testi

Gerçel sayıların iki dizisi \{a_n\} ve \{b_n\},
şunları sağlarsa

*  \sum^{\infty}_{n=1}a_n  yakınsar
* \lbrace b_n \rbrace\, monotondur ve \lim_{n \rightarrow \infty} b_n \ne \infty

o zaman,

:\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n

serisi yakınsar.

## Karmaşık analizdeki Abel testi

Yine **Abel testi** olarak bilinen oldukça yakın ilişkili yakınsaklık testi sıklıkla bir kuvvet serisinin yakınsaklık çemberinin sınırı üzerindeki yakınsaklığını kurmak için kullanılır. Daha ayrıntılı olarak, Abel testi şunu ifade eder:

:
\lim_{n\rightarrow\infty} a_n = 0\,


ise ve

:
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\,


serisi |*z*|  1 iken ıraksarsa, *n* > *m* için (yani başka bir deyişle çok büyük *n* 'ler için) {*a**n*} katsayıları sıfır limitine doğru monoton olarak azalan *pozitif gerçel sayılar* ise, o zaman *f*(*z*) 'nin kuvvet serisi birim çember üzerindeki *z* = 1 dışında her yerde yakınsaktır. Abel testi *z* = 1 olduğunda uygulanamaz; bu yüzden bu noktadaki yakınsaklık ayrı bir şekilde incelenmelidir. Abel testi aynı zamanda yakınsaklık yarıçapı *R* ≠ 1 olan bir kuvvet serisine basit bir *ζ* = *z*/*R* değişken değiştirmesiyle uygulanabilir.

**Abel testinin kanıtı:** *z* birim çemberin üzerinde bir nokta ve *z* ≠ 1 olsun. O zaman

:
z = e^{i\theta} \quad\Rightarrow\quad z^{\frac{1}{2}} - z^{-\frac{1}{2}} = 
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}} \ne 0


olur; böylece, *p* > *q* > *m* olan herhangi iki pozitif tam sayı için

:
\begin{align}
2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right) & = 
\sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right] -
a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}} + a_pz^{p+\frac{1}{2}}\,
\end{align}


yazabiliriz. *S**p* ve *S**q* burada kısmi toplamlardır:

:
S_p = \sum_{n=0}^p a_nz^n.\,


Ancak şimdi, |*z*| = 1 ve *a**n* 'ler *n* > *m* iken monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar olduğu için, ayrıca

:
\begin{align}
\left| 2i\sin{\textstyle \frac{\theta}{2}}\left(S_p - S_q\right)\right| & = 
\left| \sum_{n=q+1}^p a_n \left(z^{n+\frac{1}{2}} - z^{n-\frac{1}{2}}\right)\right| \\
& \le \left[\sum_{n=q+2}^p \left| \left(a_{n-1} - a_n\right) z^{n-\frac{1}{2}}\right|\right] +
\left| a_{q+1}z^{q+\frac{1}{2}}\right| + \left| a_pz^{p+\frac{1}{2}}\right| \\
& = \left[\sum_{n=q+2}^p \left(a_{n-1} - a_n\right)\right] +a_{q+1} + a_p \\
& = a_{q+1} - a_p + a_{q+1} + a_p = 2a_{q+1}\,
\end{align}


yazabiliriz. Şimdi Cauchy yakınsaklık testini uygulayabiliriz ve *f*(*z*) 'nin kuvvet serisinin seçilmiş *z* ≠ 1 noktasında yakınsadığını söyleyebiliriz çünkü sin(½*θ*) ≠ 0 sabit bir niceliktir ve *a**q*+1, *q* yeterince büyük seçilerek verilmiş herhangi bir *ε* > 0 'dan daha küçük yapılabilir.

## Dış bağlantılar
* Kanıt (gerçel seriler için),PlanetMath.org sitesinde

## Notlar

## Kaynakça
* Gino Moretti, *Functions of a Complex Variable*, Prentice-Hall, Inc., 1964