Ewald toplamı

**Ewald toplamı**, ismini Paul Peter Ewald'dan alır, periyodik sistemlerin, özellikle elektrostatik enerjilerin, etkileşim enerjilerini hesaplayan bir yöntemdir. Ewald toplamı Poisson toplam formülünde gerçek uzaydaki etkileşim enerjilerinin Fourier uzayındaki denk bir toplam ile değiştirilmiş toplam formülünün özel bir halidir. Bu yöntemin avantajı gerçek uzaydaki etkileşimler uzun mesafeli olduğunda Fourier uzayındaki toplamın hızlı yakınsıyor olmasıdır. Elektrostatik enerjiler kısa ve uzun mesafeli etkileşimlerden oluştukları için en verimli hesaplama etkileşim potansiyeli gerçek uzayda kısa mesafeli etkileşim toplamı ve Fourier uzayında uzun mesafeli etkileşim toplamı olarak iki parçaya ayrıldığında gerçekleşir.

## Türetme

Ewald toplamı etkileşim potansiyelini iki terim halinde yeniden yazar

:\varphi(\mathbf{r}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \varphi_{sr}(\mathbf{r}) + \varphi_{\ell r}(\mathbf{r})

burada \varphi_{sr}(\mathbf{r}) gerçek uzaydaki kısa mesafe terimine karşılık gelirken \varphi_{\ell r}(\mathbf{r}) Fourier uzayındaki uzun mesafe terimine karşılık gelir. Uzun mesafe terimi tüm argümanlar için sonlu olmalıdır; ama yine de tutarlı herhangi bir matematiksel yapı da gösterebilir, örneğin Gauss dağılımı. Bu yöntem kısa mesafe teriminin kolayca toplanabileceğini kabul eder; bu yüzden problem doğrudan uzun mesafe teriminin hesaplanması problemine dönüşür. Fourier toplamının faydasından dolayı bu yöntem dolaylı olarak üzerinde çalışıldığı sistemin sonsuz periyodik olduğunu kabul eder. Bu varsayımsal sistemin tekrar eden birimlerine *birim hücre* denir. Bu hücrelerden bir tanesi referans olarak *merkezi hücre* olarak, diğerleri de *görüntüler* olarak adlandırılır.

Uzun mesafe etkileşim enerjisi merkezi hücre yükü ile kafesteki diğer tüm yüklerin arasındaki etkileşim enerjilerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla merkezi hücreyi ve kristal ağını

:
E_{\ell r} = \iint d\mathbf{r}\, d\mathbf{r}^\prime\, \rho_\text{TOT}(\mathbf{r}) \rho_{uc}(\mathbf{r}^\prime) \ \varphi_{\ell r}(\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime)


burada birim hücre yük yoğunluğu alanı \rho_{uc}(\mathbf{r}) q_k yüklerinin  \mathbf{r}_k konumları üzerinden bir toplama eşittir.

:
\rho_{uc}(\mathbf{r}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{\mathrm{charges}\ k} q_k \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_k)


toplam yük ypğunluğu alanı \rho_\text{TOT}(\mathbf{r})  q_{k}  birim hücre yükleri ve onların periyodik görüntüleri üzerinden toplamına eşittir.

:
\rho_\text{TOT}(\mathbf{r}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{n_1, n_2, n_3} \sum_{\mathrm{charges}\ k} 
q_k \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_k - n_1 \mathbf{a}_1  - n_2 \mathbf{a}_2  - n_3 \mathbf{a}_3)


Burada \delta(\mathbf{x}) Dirac delta fonksionu, \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2 ve \mathbf{a}_3 ağ vektörleri ve n_1, n_2 and n_3 tam sayı değeri alan değişkenlerdir. Toplam alan \rho_\text{TOT}(\mathbf{r}) L(\mathbf{r}) ağ fonksiyonu ile birlikte \rho_{uc}(\mathbf{r}) nin bir evrişimi olarak gösterilebilir.

:
L(\mathbf{r}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{n_1, n_2, n_3}
\delta(\mathbf{r} - n_1 \mathbf{a}_{1}  - n_{2} \mathbf{a}_2  - n_3 \mathbf{a}_3)


Bu bir evrişim olduğundan, \rho_\text{TOT}(\mathbf{r}) in Fourier transformu bir çarpımdır

:
\tilde{\rho}_\text{TOT}(\mathbf{k}) = \tilde{L}(\mathbf{k}) \tilde{\rho}_{uc}(\mathbf{k})


burada ağ fonksiyonlarının Fourier dönüşümleri delta fonksiyonlarının bir başka toplamıdır

:
\tilde{L}(\mathbf{k}) = 
\frac{\left(2\pi \right)^{3}}{\Omega} \sum_{m_1, m_2, m_3}
\delta(\mathbf{k} - m_1 \mathbf{b}_1  - m_2 \mathbf{b}_2  - m_3 \mathbf{b}_3)


Burada karşılıklı uzay vektörleri \mathbf{b}_{1} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{a}_{2} \times \mathbf{a}_{3} / \Omega olarak tanımlanmıştır. where \Omega \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{a}_{1} \cdot \left( \mathbf{a}_{2} \times \mathbf{a}_{3} \right) merkezi birim hücrenin hacmidir. Daha kısa bir ifade olarak etkin  tek parçacık potansiyeli tanımlayalım

Sadelik açısından, etkin tek-parçacık potansiyeli tanımlayalım

:
v(\mathbf{r}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int d\mathbf{r}^{\prime}\, \rho_{uc}(\mathbf{r}^\prime) \ \varphi_{\ell r}(\mathbf{r} - \mathbf{r}^\prime)


Yukarıdaki durum bunun için de geçerlidir

:
\tilde{V}(\mathbf{k}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \tilde{\rho}_{uc}(\mathbf{k}) \tilde{\Phi}(\mathbf{k})


Burada Fourier dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır

:
\tilde{V}(\mathbf{k}) = \int d\mathbf{r} \ v(\mathbf{r}) \ e^{-i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}


Bu noktada enerji tek bir alan integrali olarak yazılabilir.

:
E_{\ell r} = \int d\mathbf{r} \ \rho_\text{TOT}(\mathbf{r}) \ v(\mathbf{r}) 


Parseval teoreminden, enerjinin Fourier uzayındaki toplamı

:
E_{\ell r} = 
\int \frac{d\mathbf{k}}{\left(2\pi\right)^3} \ \tilde{\rho}_\text{TOT}^*(\mathbf{k}) \tilde{V}(\mathbf{k}) = 
\int \frac{d\mathbf{k}}{\left(2\pi\right)^3} \tilde{L}^*(\mathbf{k}) \left| \tilde{\rho}_{uc}(\mathbf{k})\right|^2 \tilde{\Phi}(\mathbf{k}) = 
\frac{1}{\Omega} \sum_{m_1, m_2, m_3}  \left| \tilde{\rho}_{uc}(\mathbf{k})\right|^2 \tilde{\Phi}(\mathbf{k})


Burada \mathbf{k} = m_1 \mathbf{b}_1 + m_2 \mathbf{b}_2 + m_3 \mathbf{b}_3 son toplamdır.

En önemli sonuç budur. \tilde{\rho}_{uc}(\mathbf{k}) hesaplandığı zaman, \mathbf{k} üzerinden toplam/integral bariz olup hızlı bir şekilde yakınsar. Olası bir ıraksaklığın en genel sebebi birim hücrenin iyi tanımlı olmamasından kaynaklanır.

## Parçacık ağ Ewald yöntemi

Ewald toplamı bilgisayar kullanımının gelişmesinden çok önce teorik fizik aracı olarak geliştirildi. Öte yandan Ewald yönteminin parçacık sistmlerindeki en yaygın kullanımı 1970 yıllarına denk gelir. Uygulama alanları arasında plazma fiziği, galaksiler ve moleküller sayılabilir.

Normal Ewald toplamındaki gibi karakteristik etkilişm potansiyeli iki terime ayrılır
\varphi(\mathbf{r}) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \varphi_{sr}(\mathbf{r}) + \varphi_{\ell r}(\mathbf{r}) - kısa mesafe terimi \varphi_{sr}(\mathbf{r})  uzun mesafe terimi \varphi_{\ell r}(\mathbf{r}) . Bu yöntemin temel mantığı etkileşim enerjilerini parçacıklar arasındakilerle değiştirmesidir

:
E_\text{TOT} = \sum_{i,j} \varphi(\mathbf{r}_{j} - \mathbf{r}_i) = E_{sr} + E_{\ell r}


iki toplamla, gerçek uzaydaki potansiyellerin doğrudan toplamı E_{sr}

:
E_{sr} = \sum_{i,j} \varphi_{sr}(\mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i)


Ve Fourier uzayındaki uzun mesafe teriminin toplamı

:
E_{\ell r} = \sum_{\mathbf{k}} \tilde{\Phi}_{\ell r}(\mathbf{k}) \left| \tilde{\rho}(\mathbf{k}) \right|^2


burada  \tilde{\Phi}_{\ell r} ve \tilde{\rho}(\mathbf{k}) potansiyel ve yük yoğunluğunun Fourier dönüşümlerini temsil etmektedir. İki toplamda kendi uzaylarında hızlı bir şekilde yakınsadıklarından hesaplamada vakit kazanmak adına baştaki sonlu sayıdaki terimi alınabilir. Yük yoğunluğu alanının Fourier dönüşümünü hesaplamak için Hızlı Fourier transformu kullanılabilir. Bunun yapılabilmesi iin yoğunluk alanının kesikli bir uzayda tanımlanması gerekir.

Ewald toplamındaki periyodiklik varsayımından dolayı bu yöntemin uygulanabildiği fiziksel sistemlerde bu periyodik özellikle sınırlıdır. Böylece bu yöntem uzaysal dağılımı sonsuza kadar uzandığı varsayılabilecek periyodik sistemlerde en iyi çalışır. Molekül dinamiği simülasyonlarında bu şart sonsuz kere görüntü oluşturabilecek yüksüz birim hücrelerin oluşturulmasıyla sağlanabilir. Düzeltmelerle beraber toplam etkiye periyodik sınır koşulları denir. Bu durum en iyi şu şekilde düşünülebilir. Bir birim küp alalım. Öyle ki karşılıklı yüzeyler birbirleri ile etkili bir biçimde temas halinde olsun. Kübün boyutları öyle seçilmelidir ki küp karşılıklı yüzeylerde oluşabilecek istenmeyen bağıntıları engelleyecek kadar geniş ve hesaplamaya uygun olacak kadar küçük olsun.

Bir yoğunluk alanının ağa sınırlandırılması yoğunluğu sürekli değişen sistemler için bu yöntemi daha kullanışlı hale getirir. Bu durumu sağlamayan sistemler Greengard ve Rokhlin yöntemiyle daha etkili çözümlenebilir.

## Dipol terimi

Polar kristalin elektrostatik enerji terimi şartlı yakınsak tır, diğer bir deyişle toplamın derecesine bağlıdır. Örneğin eğer  birim hücrenin  sürekli artan bir kübün üzerindeki diğer birim hücrelerle arasındaki dipol-dipol etkileşimleri
Küresel hesaba göre farklı bir değere yakınsar. Kabaca söylemek gerekirse bu şartlı yakınsaklık başlıca üç sebepten kaynaklanır: (1)  R  yarıçaplı bir küre kabuğu içerisindeki etkileşen dipol sayısı R^{2} ile artar, (2)  bir dipol-dipol etkileşimi \frac{1}{R^{3}} ile azalır ve (3) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} ıraksaktır.

Bu şarşırtıcı sonuç gerçek kristallerin sonlu enerjisi ile ilgilidir çünkü bu kristaller sonsuz değildir ve belirli bir sınırları vardır. Daha basitçe söylemek gerekirse kutupsal bir kristalin sınırları yüzeyde etkin bir  \sigma = \mathbf{P} \cdot \mathbf{n} yük dağılımına sahiptir. Burada \mathbf{n} yüzey normal vektörüdür ve \mathbf{P}  polarizasyona karşılık gelir. Merkezi birim hücredeki dipolün yüzeysel yük yoğunluğu ile earasındaki etkileşim enerjisi etkileşim enerjisi U

:
U = \frac{1}{2V_{uc}} \int  
\frac{\left( \mathbf{p}_{uc}\cdot \mathbf{r} \right) 
\left( \mathbf{p}_{uc} \cdot \mathbf{n} \right)dS}{r^3}


where \mathbf{p}_{uc} and V_{uc} are the net dipole moment and volume of the unit cell, dS is an infinitesimal area on the crystal surface and \mathbf{r}
is the vector from the central unit cell to the infinitesimal area. This formula results from integrating the energy  dU = -\mathbf{p}_{uc} \cdot \mathbf{dE} where d\mathbf{E} represents the infinitesimal electric field generated by an infinitesimal surface charge dq \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sigma dS (Coulomb yasası)
burada \mathbf{p}_{uc} ve V_{uc}  sırasıyla net dipol momentine ve birim hücrenin hacmine, dS cristal yüzeyindeki sonsuz küçük alana ve \mathbf{r} merkezi birim hücrenin alan vektörüne karşılık gelmektedir. Bu formül dq \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sigma dS tarafından kaynaklanan  dU = -\mathbf{p}_{uc} \cdot \mathbf{dE} enerjisinin integrasyonundan gelir.

:
d\mathbf{E} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  
\left( \frac{-1}{4\pi\epsilon} \right) \frac{dq \ \mathbf{r}}{r^3} = 
\left( \frac{-1}{4\pi\epsilon} \right) 
\frac{\sigma\, dS \ \mathbf{r} }{r^3}


Eksi işareti \mathbf{r} nin tanımından gelir.

## Tarihçe

Ewald toplamı 1921'de Paul Peter Ewald tarafından iyonik kristallerin elektrostatik enerjisini hesaplamak için geliştirilmiştir.

## Ölçeklendirme

Genel olarak farklı Ewald toplamı teklikleri farklı zaman karışıklıkları verir. Doğrudan hesaplama O(N^2) değerini verir. Burada N sistemdeki atom sayısıdır. PME yöntemi  O(N\,\log N) verir.

## Ayrıca bakınız

* Paul Peter Ewald
* Madelung sabiti
* Poisson toplam formülü
* Moleküler modelleme

## Kaynakça

* Ewald P. (1921) "Die Berechnung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale", *Ann. Phys.* **369**, 253–287. 
* Darden T, Perera L, Li L and Pedersen L. (1999) "New tricks for modelers from the crystallography toolkit: the particle mesh Ewald algorithm and its use in nucleic acid simulations", *Structure* **7**, R55–R60, .
* Schlick T. (2002). *Molecular Modeling and Simulation: An Interdisciplinary Guide* Springer-Verlag Interdisciplinary Applied Mathematics, Mathematical Biology, Vol. 21. New York, NY.