Matris (matematik)

Matematikte **matris** veya **dizey**, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.

Bir diğer deyişle matris, doğal sayıları dikdörtgen halinde dizip gösteren bir tablodur. Örneğin:

: \mathbf{A} = \begin{bmatrix}

12 & 83 & 16 \\
21 & 22 & 17 \\
14 & 9 & 20 \\
16 & 0 & 5 \end{bmatrix}.

Bir diğer notasyona göre dikdörtgen parantezler yerine eğri şekilli parantez kullanılır:

: \mathbf{A} = \begin{pmatrix}

9 & 8 & 6 \\
1 & 2 & 7 \\
4 & 9 & 2 \\
6 & 0 & 5 \end{pmatrix}.

Bir matrisdeki düz yatay sıraya **satır** dikey sıraya **sütun** adı verilir. Bir matris içinde dizili gösterilen sayılar *öğe* veya **eleman** olarak adlandırılır. Matrisin büyüklüğü satır ve sütun sayılarıyla ifade edilir. Yukarıdaki matrisler *4x3* (yani 4 satırlı 3 sütunlu) matrislerdir.

Genel matematiksel notasyon olarak bir matris *tek* *büyük harf* ile ifade edilir. Bazen, daha açık olarak *vurgulu kalın harf* ile gösterilir. Bu vurgu bilgisayar ile yazılırsa kalın yazıyla; elle yazılırsa matris harfinin altına bir (bazen iki) çizgi veya küçük dalgalı bir çizgi koymak suretiyle yapılır. Farklı bir notasyon da matrisin parantez içinde küçük harfle ifade edilen genel elemanını i satır ve j sütun alt indisli ve parantez dışında matris büyüklüğü ile vermektir. Örneğin m satırlı n sütunlu mxn türünden bir A matrisi aşağıdaki şekillerde gösterilebilir: 
# **A** veya 
# \underline{\underline{A}} veya 
# \ A=[a_{ij}]_{mxn} 
Böylece genel olarak m ve n pozitif tamsayılar, i \in \{1,2,3,4, \cdots,m\} ve j \in \{1,2,3,4, \cdots,n\} olmak üzere a_{i,j} sayma sayılarından oluşan yukarıdaki sayılar tablosu matris (dizey) olur. m, matrisin satır sayısını; n ise matrisin sütun sayısını belirtir. m satır ve n sütundan oluşan matrise mxn türünden matris denir:


\mathbf A = 
A_{m,n} = 
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \\
\end{bmatrix}


## Türleri
### Kare matris
Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislerdir.


A_{2,2} = 
\begin{bmatrix}
2 & -1  \\
0 & 5 \\
\end{bmatrix}

A dizeyi 2x2 türünden bir kare matrisdir.

#### Birim matris
Kare matrislerin yaygın bir örneği ise, köşegenin üzerindeki öğelerinin *1* geri kalan yerlerdeki öğelerin *0* olduğu birim matristir. Satır ve sütun sayısı *n* olan bir birim matrisi göstermek için (başka bir yerde kullanılmamışsa) genelde *I<sub>*n*</sub>* kullanılır. Mesela, 3x3'lük bir birim matris


I_{3} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
\end{bmatrix}


şeklinde gösterilir.

### Sıfır matris
Tüm elemanları sıfır olan matrisdir.


A_{2,3} = 
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}

A dizeyi 2x3'lük bir sıfır matrisdir.

### Satır ve sütun matris
Sadece bir satırdan oluşan matrislere *satır matris*, sadece bir sütundan oluşan matrislere ise *sütun matris* denir.


A_{m,n} = 
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}



B_{m,n} = 
\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
\end{bmatrix}


Eğer bir matrisin boyutlarından biri 1 ise (yani ya satır sayısı 1 veya sütun sayısı 1 ise yani satır matrisi veya sütun matrisi ise) bu matris, bir ''yöney'' veya ''vektör'' veya ''Euclid-tipi vektör'' olarak da tanımlanır.

## Cebirsel işlemler
Matrisler için *sayıyla çarpma* ve *matris çarpımı* farklı kavramlardır.

### Matris toplaması
Matrisler bileşenleri karşılıklı olarak toplanırlar.

İki matrisin toplanabilmesi için satır ve sütün sayılarının eşit olması gerekir.

:
    \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}  \implies c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
 

Örnek:
: 
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}


### Sayıyla (Skalerle) çarpma

Bir matris, bir sayıyla çarpılırsa her bileşeni o sayıyla çarpılır.
::c_{ij}=k a_{ij} 
Örnek:
: 2
  \begin{bmatrix}
    1 & 8 & -3 \\
    4 & -2 & 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2\times 1 & 2\times 8 & 2\times -3 \\
    2\times 4 & 2\times -2 & 2\times 5
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    2 & 16 & -6 \\
    8 & -4 & 10
  \end{bmatrix}


### Transpoz

*mxn* boyutlu bir A matrisinin transpozu *nxm* boyutlu A^T matrisidir:


\begin{bmatrix}
1 &  2 & 3 \\
0 & -6 & 7
\end{bmatrix}^\mathrm{T} =
\begin{bmatrix}
1 &  0 \\
2 & -6 \\
3 &  7
\end{bmatrix}


A^T matrisi A'nın satırlarını sütun yaparak elde edilir. Transpoz işlemi, matrisin ifade ettiği dönüşümün yönünü tersine çevirir.

### Matris çarpımı

Matris çarpımı ancak özel bir halde mümkündür ve genelde herhangi iki matris için matris çarpımı işlemi yapılamaz.

Çarpımı istenen iki matris için ilk önce matrislerden hangisinin *ön-çarpan matris*, hangisinin *art-çarpan* matris olduğunun belirlenmesi gerekir. Çünkü çarpma işlemi, sayılarda değişmelidir, fakat matrislerde değildir. Yani genel olarak *A* ve *B* matrisi için A·B ≠ B·A

A·B matris çarpımı için A ön-çarpan ve B art-çarpan, B·A matris çarpımı için B ön-çarpan ve A art-çarpan olur. İki matris çarpımı notasyonla belirtilmekle beraber ya "A·B" ya "B·A" ya da hem "A·B" hem "B·A" geçerli olmayabilir.

Matris çarpımı ancak ön-çarpan *sütun* sayısı ile art-çarpan *satır* sayısı birbirine eşitse mümkündür. Yani (p * j) boyutlu A matrisi ile (k * l) boyutlu B matrisinin çarpımı ancak "j = k" ise mümkün olur; yoksa geçerli değildir. Eğer matris çarpımı geçerli ise, ortaya çıkartılacak çarpım matrisi, ön-çarpan satır sayısı ve art-çarpan matris sütun sayısı boyutludur Yani eğer "j = k" ise, matris çarpımı sonucu matrisi (p * l) boyutludur.

Sayısal bir örnek olarak, A matrisi (2 * 3) boyutlu ise ve B (3 * 4) boyutlu ise matris çarpımı (A·B), "j = k" (3 = 3) olduğu için geçerlidir ve matris çarpımı işlemi sonuç matrisi (2 * 4) boyutludur; ama B·A matris çarpımı işlemi geçerli değildir; çünkü "j ≠ k" (4 ≠ 2).

Matris çarpımının algoritması şu şekildedir: İlk öğenin i'nci satırının bileşenleriyle, ikinci öğenin j'nci sütununun bileşenleri karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve sonuç dizeyin bileşeni olarak yazılır.

:*A*, *mxn* boyutlu *B* de *nxs* boyutlu dizeyler olmak üzere *mxs* boyutlu sonuç dizey
::A_{m \times n}B_{n \times s} = C_{m \times s}
:olarak tanımlanır ve her öğesi
::c_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
ile bulunur.

#### Örnekler
: 
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 2 \\
    -1 & 3 & 1 \\
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    3 & 1 \\
    2 & 1 \\
    1 & 0
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
     (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1) & (1 \times 1   +   0 \times 1   +   2 \times 0) \\
    (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1) & (-1 \times 1   +   3 \times 1   +   1 \times 0) \\
  \end{bmatrix}
=
  
\begin{bmatrix}
    5 & 1 \\
    4 & 2 \\
  \end{bmatrix}


Çarpmayı, ilk öğenin her satırını bir yöney ve ikinci öğenin her sütununu bir yöney olarak düşünüp ilk öğeyi bir sütun yöney ve ikinci öğeyi bir satır yöney olarak yöney iç çarpımına indirgeyebiliriz. Örneğin, \vec{a} ve \vec{b} yöneyleri n boyutlu olmak üzere,
:A_{m \times n}=\begin{bmatrix} \vec{a_1} \\ \cdots \\ \vec{a_m} \end{bmatrix} ve B_{n \times s}=\begin{bmatrix} \vec{b_1} && \cdots && \vec{b_s} \end{bmatrix}
şeklinde düşünüldüğünde çarpım,
:A B = \begin{bmatrix} \vec{a_1} \cdot \vec{b_1} && \cdots && \vec{a_1}\cdot\vec{b_s} \\ \vdots && \ddots && \ddots \\ \vec{a_m}\cdot\vec{b_1} && \cdots && \vec{a_m}\cdot\vec{b_s} \end{bmatrix}
biçimini alır. Bu şekilde düşünmek kâğıt üzerinde dizeyleri çarparken işe yarayabilir ve zaman kazandırır.

:

### Kronecker (Doğrudan) toplama

Bu toplamın sonucu bir matrisler köşegenidir.
::C=\oplus_{i=1}^{k} A_i=\text{kosegen}\left( A_1,A_2,...,A_k \right)=\left[ \begin{array}{cccc} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_k \\ \end{array} \right]
:burada sonuç dizeyin boyutları, toplanan dizeylerin doğrudan boyutları toplamı kadardır.

### Kronecker (Doğrudan) çarpım
Bu çarpım ilk öğenin her bileşenini ikinci öğeyle doğrudan çarpmayla tanımlanır.

::A_{m \times n} \otimes B_{r \times s} = \left[ \begin{array}{cccc} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ a_{21}B & a_{22}B & \cdots & a_{2n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \\ \end{array} \right]
:buradan,
::C_{(m r) \times (n s)}=\left[ \begin{array}{ccccc} a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & \cdots & a_{12}b_{11} & \cdots \\ a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & \cdots & a_{12}b_{21} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \quad & \quad \\ a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} & \quad & \ddots & \quad \\ \vdots & \vdots & \quad & \quad & \ddots \\ \end{array} \right]

Cebirsel ifade bir ya da birden fazla cebirsel terimin aynı ifade de yer almasına denir. Örneğin x sayısı gibi. Cebirsel ifadelerde en çok kullanılanlar: x, y, n dir. Cebirsel ifadelerle kurulmuş iki eşitliğe denklem denir. Mesela x+5=2x+2 çözüm bilenenler bir tarafa bilinmeyenler bir tarafa gönderilir. Öteki tarafa geçerken zıt işaret verilir yani: +5-2=2x-x sadeleştirirsek 3=x

## Doğrusal denklemler sistemleri

Bir doğrusal denklem sistemi matrislerle ifade edilebilir.

Örnek olarak dört bilinmeyenli (x1, x2, x3 ve x4) dört tane doğrusal denklemler sistemi ele alınsın. Bu denklemlerdeki katsayılar, i denklem numarası ve j bilinmeyen numarası ile indislenerek ai, j olarak ifade edilebilir. Bu doğrusal denklemler sistemi şöyle yazılır:

:
  \begin{align}
    a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 + a_{14} x_4 &= b_1  \\
    a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 + a_{24} x_4 &= b_2  \\
    a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 + a_{34} x_4 &= b_3 \\
    a_{41} x_1 + a_{42} x_2 + a_{43} x_3 + a_{44} x_4 &= b_4
  \end{align}
  ~.


Bu denklemler sistemi matris kullanılarak şöyle ifade edilir:

:
    \begin{bmatrix}
      a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\
      a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
      a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
      a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}
      x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4
    \end{bmatrix}
    = 
    \begin{bmatrix}
      b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4
    \end{bmatrix}
    ~.
  
Daha kısa bir notasyonla şöyle yazılabilir:
:
    \left[\mathsf{A}\right] \left[\mathsf{x}\right] = \left[\mathsf{b}\right]  ~~~~\text{veya}~~~~ \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b} ~.
  

Burada \mathbf{A} 4\times 4 boyutlu matrisdir; 
\mathbf{x} 
ve 
\mathbf{b} 4\times 1 
boyutlu sutun matrislerdir.

Genel olarak n sayıda değişkenli m sayıda doğrusal denklemden oluşan şu doğrusal denklemler sistemi:

:*A*1,1*x*1 + *A*1,2*x*2 + ... + *A*1,*n**x**n* = *b*1
:...
:*A**m*,1*x*1 + *A**m*,2*x*2 + ... + *A**m*,*n**x**n* = *b**m*

çok kolayca bir denklemler matrisi olarak ifade edilebilir. Bunun için **x** yöneyi *n* değişken ('x*<sub>1</sub>, *x*<sub>2</sub>, ..., *x*<sub>*n*</sub>) için bir n-sütun yöneyi (yani 'n*×1-matrisi); **A** matrisi *m*x*n* boyutlu katsayılar matrisi ve **b** n-sutun yöneyi halindeki denklem sabitleri olursa, herhangi bir doğrusal denklem sistemi matris denklemi olarak şöyle ifade edilir:
:**Ax** = **b**.

## Matematiksel matris kavramının tarihsel kaynağı

Doğrusal denklemler sistemlerinin çözülmesi için matris kavramlarının kullanılmasının çok uzun bir tarihi bulunmaktadır. Doğrusal denklemler sistemlerin ilk matris kullanarak açıklanıp çözülmesi, özellikle kare matrislerle ifade edilip determinant kullanımı dahil, MÖ.300 ile MS.200 arasında yazılmış olan *Jiu Zhang Suan Shu* (Matematik Sanatinda Dokuz Bölüm) adlı eserde bulunduğu anlaşılmıştır. Bu eserden Batı Avrupa matematikçileri hiç haberdar olmamışlardır. Bundan sonra matris kavramı 2000 yıl kadar sonra 1683'te "Seki Kowa" adlı Japon matematikçisi ve Batı Avrupa'da ilk defa 1693de Alman matematikçisi Leibniz tarafından ortaya atılmış ve ilk determinant kullanarak pratik çözüm olarak Cramer'in kuralı 1750'de Gabriel Cramer tarafından gösterilmiştir. 
 
Matris teorisinin Batı Avrupa'da geliştirilmesi daha çok determinant kavramına önem vermekteydi. Determinanttan bağımsız olarak matris matematiğinin geliştirilmesi 1858'de Arthur Cayley tarafından 
*Memoir on the theory of matrices (Matris teorisi hakkında bir not)* adında eserle başlamıştır. **Matris** terimi isim olarak ilk defa J.J.Syvester adlı İngiliz matematikçisi tarafından kullanılmıştır. Bu matematikçi determinantları açıp sayısal değerlerini bulmak için sütun ve satırları silip gittikçe daha küçük determinant (minor) elde ederek bu sonuca bulma üzerinde uğraşı göstermiş ve sanki bir ana determinanttan gittikçe küçülen "çocuk" determinantların bulunmasından ilham alarak şimdi *matris* olarak adlandırdığımız kavrama Latince kökten *mater* (anne) sözcüğünden çıkardığı *matrix* adını vermiştir.

## Uygulamalar
Hem matematikte hem de diğer bilimlerde matrislerin çok sayıda uygulaması vardır. Bazıları yalnızca bir matristeki bir dizi sayının kompakt temsilinden yararlanır. Örneğin, oyun teorisi ve ekonomi'de ödeme matrisi, oyuncuların belirli (sonlu) alternatifler arasından hangisini seçtiğine bağlı olarak iki oyuncu için getiriyi kodlar. Metin madenciliği ve otomatikleştirilmiş Tesarus derlemesi, çeşitli belgelerdeki belirli kelimelerin sıklıklarını izlemek için örneğin tf-idf gibi belge-terim matrislerini kullanır.

Karmaşık sayılar, karmaşık sayıların ve matrislerin toplanması ve çarpılmasının birbirine karşılık geldiği 
:a + ib \leftrightarrow \begin{bmatrix}
a & -b \\
b &  a \end{bmatrix},
aracılığıyla  belirli gerçek 2'ye 2 matrislerle temsil edilebilir.

Örneğin 2'ye 2 döndürme matrisleri, yukarıda gibi bazı mutlak değer 1 karmaşık sayısıyla çarpmayı gösterir. Genel olarak dördeyler ve Clifford cebirleri için de benzer bir yorum mümkündür.

Hill cipher gibi eski şifreleme teknikleri de matrisleri kullandı. Ancak matrislerin doğrusal doğası nedeniyle bu kodların kırılması nispeten kolaydır.

Bilgisayar grafikleri teorik kamera gözlemine karşılık gelen, üç boyutlu bir nesneyi iki boyutlu bir ekrana yansıtmak gibi görevleri gerçekleştirmede afin dönüş matrislerini kullanarak nesnelerin dönüşümlerini hesaplamada ve keskinleştirme, bulanıklaştırma, kenar algılama vb görüntü kıvrımlarını uygulamada nesneleri temsil için matrisleri kullanır. Polinom halkası üzerindeki matrisler, kontrol teorisi çalışmasında önemlidir.

Kimya'da özellikle kuantum teorisi moleküler bağı ve spektroskopiyi anlatmak için kullanıldığından beri matrisler çeşitli şekillerde kullanılmaktadır. Hartree–Fock yönteminin moleküler orbital'lerini elde etmek için Roothaan denklemlerini çözmek için kullanılan örtüşme matrisi ve Fock matrisi kimyadaki bazı kullanım örnekleridir.

### Grafik teorisi

Bir sonlu grafiğin bitişik matrisi, grafik teorisi'nin temel kavramıdır. Grafiğin hangi köşelerinin bir kenarla bağlandığını kaydeder. Yalnızca iki farklı değer içeren matrislere (1 ve 0 sırasıyla "evet" ve "hayır" anlamına gelir) mantıksal matrisler denir.

Mesafe matrisi kenarların mesafeleri hakkında bilgi içerir. Bu kavramlar, hiperlinkler ile bağlanan web sitelerine veya karayolu vb. ile bağlanan şehirlere uygulanabilir bu durumda (bağlantı ağı aşırı derecede yoğun olmadığı sürece) matrisler seyrek olma eğilimindedir yani sıfır olmayan birkaç giriş içerir. Bu nedenle özel uyarlanmış matris algoritmaları ağ teorisinde kullanılabilir.

### Analiz ve Geometri
Türevlenebilir bir *ƒ* fonksiyonunun Hesse matrisi: **R** → **R**, *ƒ* 'nin birkaç koordinat yönüne göre ikinci türevlerinden oluşur yani,
:H(f) = \left [\frac {\partial^2f}{\partial x_i \, \partial x_j} \right ].

Fonksiyonun yerel büyüme davranışı hakkındaki bilgileri kodlar: **x**=(*x*,...,*x*), kritik noktası verildiğinde, yani *ƒ'in* birinci kısmi türevlerinin \partial f / \partial x_i sıfır olduğu noktada Hesse matrisi pozitif tanımlıysa, fonksiyonun yerel bir minimumu vardır. İkinci dereceden programlama, matrislere bağlı olanlarla yakından ilişkili ikinci dereceden fonksiyonların global minimum veya maksimumlarını bulmak için kullanılabilir. (bkz. yukarıda)

Geometrik durumlarda sıklıkla kullanılan başka bir matris, **R** → **R** türevlenebilir bir haritanın Jacobi matrisidir. Eğer *f*1, ..., *f<sub>m</sub>*, f'nin bileşenlerini gösteriyorsa, Jacobi matrisi şu şekilde tanımlanır
:J(f) = \left [\frac {\partial f_i}{\partial x_j} \right ]_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}.
*n* > *m* ise ve Jacobi matrisinin rankı maksimum değeri *m*ye ulaşıyorsa, *f* bu noktada örtük fonksiyon teoremi ile yerel olarak tersinebilir.

Kısmi diferansiyel denklemler, denklemin en yüksek mertebeden diferansiyel operatörlerinin katsayı matrisi dikkate alınarak sınıflandırılabilir. Eliptik kısmi diferansiyel denklemler için bu matris pozitif tanımlıdır ve söz konusu denklemin olası çözüm kümesi üzerinde belirleyici bir etkiye sahiptir.

Sonlu elemanlar yöntemi, karmaşık fiziksel sistemleri simüle etmede yaygın olarak uygulanan, kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için önemli bir sayısal yöntemdir. Parçaların yeterince ince bir ızgaraya göre seçildiği ve bunun da bir matris denklemi olarak yeniden şekillendirilebildiği parçalı lineer fonksiyonlarla bazı denklemlerin çözümüne yaklaşmaya çalışır.

## Kaynakça