Matris toplamı

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte **matris toplamı**, iki matrisin ilgili girişlerinin eklenmesi işlemidir. Matrisler için diğer bir toplama işlemi türü doğrudan toplamdır.

## Genişletilmiş toplam
Matris toplamı genellikle, aynı boyuta sahip iki matris için tanımlıdır. *m* × *n* ("m'ye n"lik diye okunur) boyutlu  **A** ve **B** matrislerinin toplamı, **A** + **B** şeklinde sembolize edilir. Toplama işlemi sonucunda yine *m* × *n* boyutlu matris elde edilir:

:\begin{align}
\mathbf{A}+\mathbf{B} & = \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix} +

\begin{bmatrix}
 b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
 b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\
& = \begin{bmatrix}
 a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
 a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \\
\end{bmatrix} \\

\end{align}\,\!

Örneğin:

:
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    1 & 0 \\
    1 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    7 & 5 \\
    2 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 \\
    1+7 & 0+5 \\
    1+2 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    8 & 5 \\
    3 & 3
  \end{bmatrix}


Aynı boyuta sahip iki matrisi birbirinden çıkartabiliriz. **A** &minus; **B**; **A** ile **B** ögelerinin birbirlerinden çıkarılması işlemidir. Sonuçta yine aynı boyutlu matris elde edilir. Örneğin:

:
\begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 1 & 0 \\    
 1 & 2
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
 0 & 0 \\
 7 & 5 \\
 2 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1-0 & 3-0 \\
 1-7 & 0-5 \\
 1-2 & 2-1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
 1 & 3 \\
 -6 & -5 \\
 -1 & 1
\end{bmatrix}


## <span id="directsum">Doğrudan toplam</span>

Nadir kullanılan diğer matris toplama işlemi, doğrudan toplamdır (⊕ ile sembolize edilir). *m* &times; *n* boyutlu **A** matrisi ile *p* &times; *q* boyutlu **B** matrisinin toplamı, (*m* + *p*) &times; (*n* + *q*) boyutlu bir matristir. Şöyle ifade edilir:
:
  \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} =
  \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \mathbf{B} \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
     a_{11} & \cdots & a_{1n} &      0 & \cdots &      0 \\
     \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{m 1} & \cdots & a_{mn} &      0 & \cdots &      0 \\
          0 & \cdots &      0 & b_{11} & \cdots &  b_{1q} \\
     \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
          0 & \cdots &      0 & b_{p1} & \cdots &  b_{pq}
  \end{bmatrix}


Örneğin,

:
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 3 & 1
  \end{bmatrix}
\oplus
  \begin{bmatrix}
    1 & 6 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
    2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\
    0 & 0 & 0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}


Matrislerin doğrudan toplamı, bir özel blok matris oluşturur.

*n* matrisin doğrudan toplamı, genellikle şöyle ifade edilir:
:
\bigoplus_{i=1}^{n} \mathbf{A}_{i} = {\rm diag}( \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2, \mathbf{A}_3 \cdots \mathbf{A}_n)=
\begin{bmatrix}
 \mathbf{A}_1 & \boldsymbol{0} & \cdots & \boldsymbol{0} \\
 \boldsymbol{0} & \mathbf{A}_2 & \cdots & \boldsymbol{0} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} & \cdots & \mathbf{A}_n \\
\end{bmatrix}\,\!

Buradaki sıfırlar, sıfır bloklardır. Yani sıfır matrislerdir.

## Ayrıca bakınız
* Matris çarpımı
* Vektör toplamı