Dördey

Matematikte, **dördeyler** (ya da kvaterniyon, kuaternion, dördübir), karmaşık sayıları bir gerçek, üç sanal boyuta genişleten sayı sistemidir. İlk defa İrlandalı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. Kuaterniyonlar değişme özelliğine (*ab* = *ba*) sahip değildir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler dördeylerin yerini almışsa da, kuramsal ve uygulamalı matematikte hala kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanı, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır.

Dördey cebiri genellikle **H** (Hamilton) ile gösterilir. Clifford cebiri sınıflandırması *C*ℓ0,2(**R**) = *C*ℓ03,0(**R**) olarak da gösterilirler. **H** cebirinin analizde önemli bir yeri vardır. Çünkü, Frobenius teoremi'ne göre, gerçel sayılar cismini althalka olarak içeren sonlu-boyutlu dört bölüm cebirinden bir tanesidir (diğerleri gerçel sayılar, karmaşık sayılar ve sekizeyler (octonions)).

## Tanım
Dördeyler bir halka olarak tanımlanır. Kümesi:

:\mathbb{H}=\{a+bi+cj+dk | a,b,c,d\in\mathbb{R}\}.

olarak verilir. Burada kullanılan toplama şu şekilde tanımlıdır:

:(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)+(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\,
:::=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k\,

Çarpma ise

:(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\,

ifadesinin dağıtma kuralı kullanılarak açılmasıyla ve aşağıdaki bağıntılar yardımıyla tanımlanır.

: i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,\,

Her dördey tektir ve temel dördeylerin, yani 1, *i*, *j* ve *k* nin gerçel doğrusal birleşimidir.

Dördeyler halkası, çarpma işleminin değişmeli olmaması yüzünden bir cisim değildir. Bir bölüm halkasıdır.

Aynı zamanda, dördeyler, gerçel sayılar üzerinde bir bölüm cebiri oluşturur. Gerçel sayılar ve
karmaşık sayılarla birlikte, gerçelleri içeren birleşmeli üç bölüm cebirinden biridir.
### Taban ögelerinin çarpımı
denklikler
:i^2=j^2=k^2=ijk=-1,

burada *i*, *j* ve *k* **H **nın taban ögeleridir,*i*, *j* ve *k *nın tüm olası çarpanlarını belirtir.

örneğin   nın sağ çarpanlarının her ikisi de *k*  ile verilir
:\begin{align}
-k & = i j k k = i j (k^2) = i j (-1), \\
 k & = i j.
\end{align}
Diğer tüm olası çarpanlar  benzer yöntemlerle belirlenebilir
:\begin{alignat}{2}
ij & = k, & \qquad ji & = -k, \\
jk & = i, & kj & = -i, \\
ki & = j, & ik & = -j,
\end{alignat}
olan satır çarpanı sol faktörü teşkil eder ve bir tablo olarak ifade edilebilir, bu yazının üstünde gösterildiği gibi kendilerinin sütunlari sağ faktörü teşkil eder.
### Hamilton çarpımı
iki  elementler için ve , burada çarpıma, **Hamilton çarpımı** () () denir, taban ögeler ve dağılımsal kanunun çarpımları ile tanımlanıyor.Dağılım kanunu onu çarpımın açılımı için olası yapar böylece bu taban ögelerin çarpımlarının bir toplamıdır. Bu aşağıdaki bağıntılarla veriliyor:
:a_1a_2 + a_1b_2i + a_1c_2j + a_1d_2k
:{}+ b_1a_2i + b_1b_2i^2 + b_1c_2ij + b_1d_2ik
:{}+ c_1a_2j + c_1b_2ji + c_1c_2j^2 + c_1d_2jk
:{}+ d_1a_2k + d_1b_2ki + d_1c_2kj + d_1d_2k^2.
Şimdi taban elemanları kullanılarak elde etmek için yukarıda verilen kuralları  çoğaltılabilir:
:a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2
:{}+ (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i
:{}+ (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)j
:{}+ (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)k.
### Sıralı liste formu
**H**'nın  1, *i*, *j*, *k* tabanları kullanılıyor dört katının bir kümesi olarak **H** yazmak için mümkün kılar:
:\mathbf{H} = \{(a, b, c, d) \mid a, b, c, d \in \mathbf{R}\}.
ise taban  ögeleri:
:
\begin{align}
1 & = (1, 0, 0, 0), \\
i & = (0, 1, 0, 0), \\
j & = (0, 0, 1, 0), \\
k & = (0, 0, 0, 1),
\end{align}

ve toplam ve çarpım için formüller:

:(a_1,\ b_1,\ c_1,\ d_1) + (a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2) = (a_1 + a_2,\ b_1 + b_2,\ c_1 + c_2,\ d_1 + d_2).
:\begin{align}
(a_1,\ b_1,\ c_1,\ d_1)&(a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2) = \\
& = (a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2, \\
& {} \qquad a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2, \\
& {} \qquad a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2, \\
& {} \qquad a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2).
\end{align}

## Dördey değişkenlerinin bir fonksiyonu

bir karmaşık analizin fonksiyonları gibi, bir dördey değişkenin fonksiyonları kullanışlı fizik modelleri önerir.Örneğin, Maxwell tarafından tanıtılan orijinal elektrik ve manyetik alanlar bir dördey değişkenin fonksiyonları idi.

### Üstel, logaritma ve kuvvet
bir dördey veriliyor,
:*q* = *a* + *bi* + *cj* + *dk* = *a* + **v**,
üstel
:\exp(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac{q^n}{n!}=e^{a} \left(\cos \|\mathbf{v}\| + \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \sin \|\mathbf{v}\|\right) 
olarak hesaplanıyor ve
:\ln(q) = \ln \|q\| + \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \arccos \frac{a}{\|q\|}.
bir dördeyin kutupsal çözülümünü aşağıdaki gibi yazabiliriz
:q=\|q\|e^{\hat{n}\theta} = \|q\| \left(\cos(\theta) + \hat{n} \sin(\theta)\right),

burada açı θ ve birim vektör \hat{n} ile tanımlanıyor:
:a=\|q\|\cos(\theta)
ve
:\mathbf{v}=\hat{n} \|\mathbf{v}\|=\hat{n}\|q\|\sin(\theta).
Herhangi birim dördey  e^{\hat{n}\theta}.olan kutupsal biçim içinde ifade edilebilir

bir keyfi (gerçek) üstel \alpha  için bir  yükselen  dördeyin kuvveti ile veriliyor:
:q^\alpha=\|q\|^\alpha e^{\hat{n}\alpha\theta} = \|q\|^\alpha \left(\cos(\alpha\theta) + \hat{n} \sin(\alpha\theta)\right).

## Ayrıca bakınız

* 3-küre
* Birleşmeli cebir
* Bikuaterniyon
* Clifford cebiri
* Karmaşık sayı
* Kuaterniyonlar ve Euler açıları arasındaki dönüşüm
* Bölme cebiri
* Dual Dördey
* Euler açıları
* Dış cebir
* Geometrik cebir
* Hurwitz Dördey
* Hurwitz Dördey düzeni
* Hiperbolik Dördey
* hiperkarmaşık sayı
* Lénárt küresi
* Oktonyon
* Pauli matrisleri
* Kuaterniyon grubu
* Kuaterniyon değişkeni
* Kuaterniyonik matris
* Kuaterniyonlar ve mekansal dönme
* Dönme operatörü (vektör uzayı)
* 4-boyutlu Öklid uzayında dönmeler
* Slerp
* Bölünmüş-Dördey
* Teserakt

## Notlar

## Dış makaleler ve kaynaklar

### Kitaplar ve yayınlar
* Hamilton, William Rowan. On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra. Philosophical Magazine. Vol. 25, n 3. p.&nbsp;489–495. 1844.
* Hamilton, William Rowan (1853), "*[http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9 Lectures on Quaternions] *". Royal Irish Academy.
* Hamilton (1866) *[http://books.google.com/books?id=fIRAAAAAIAAJ Elements of Quaternions] * University of Dublin Press. Edited by William Edwin Hamilton, son of the deceased author.
* Hamilton (1899) *Elements of Quaternions* volume I, (1901) volume II. Edited by Charles Jasper Joly; published by Longmans, Green & Co..
* Tait, Peter Guthrie (1873), "*An elementary treatise on quaternions*". 2d ed., Cambridge, [Eng.]: The University Press.
* Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. *Algebras, rings and modules*. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
* Maxwell, James Clerk (1873), "*[[A Treatise on Electricity and Magnetism]]*". Clarendon Press, Oxford.
* Tait, Peter Guthrie (1886), "**'". M.A. Sec. R.S.E. [[Encyclopaedia Britannica]], Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp.&nbsp;160–164. (bzipped [[PostScript]] file)
* Joly, Charles Jasper (1905), "''A manual of quaternions''". London, Macmillan and co., limited; New York, The Macmillan company. LCCN 05036137 //r84
* [[Alexander Macfarlane|Macfarlane, Alexander]] (1906), "''Vector analysis and quaternions''", 4th ed. 1st thousand. New York, J. Wiley & Sons; [etc., etc.]. LCCN es 16000048
* [[1911 encyclopedia]]: "''[http://www.1911encyclopedia.org/Quaternions Quaternions] ''".
* Finkelstein, David, Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich, and David Speiser (1962), "''Foundations of quaternion quantum mechanics''". J. Mathematical Phys. 3, pp.&nbsp;207–220, MathSciNet.
* [[Patrick du Val|Du Val, Patrick]] (1964), "''Homographies, quaternions, and rotations''". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979 //r81
* Crowe, Michael J. (1967), [[A History of Vector Analysis]]: ''The Evolution of the Idea of a Vectorial System'', University of Notre Dame Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
* Altmann, Simon L. (1986), "''Rotations, quaternions, and double groups''". Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press; New York: [[Oxford University Press]]. LCCN 85013615 ISBN 0-19-855372-2
* Altmann, Simon L. (1989), "''Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal''". Mathematics Magazine. Vol. 62, No. 5. p.&nbsp;291–308, December  1989.
* Adler, Stephen L. (1995), "''Quaternionic quantum mechanics and quantum fields''". New York: Oxford University Press. International series of monographs on physics (Oxford, England) 88. LCCN 94006306 ISBN 0-19-506643-X
* [https://web.archive.org/web/20110805044706/http://members.cox.net/vtrifonov/ Trifonov, Vladimir] (1995), "''A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem''", Europhysics Letters, **32 (8)** 621–626, 
* Ward, J. P. (1997), "''Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications''", Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4513-4
* Kantor, I. L. and Solodnikov, A. S. (1989), "''Hypercomplex numbers, an elementary introduction to algebras''", Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-96980-2
* Gürlebeck, Klaus and Sprössig, Wolfgang (1997), "''Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers''". Chichester; New York: Wiley (Mathematical methods in practice; v. 1). LCCN 98169958 ISBN 0-471-96200-7
* Kuipers, Jack (2002), "''Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality''" (reprint edition), [[Princeton University Press]]. ISBN 0-691-10298-8
* [[John Horton Conway|Conway, John Horton]], and Smith, Derek A. (2003), "''On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry''", A. K. Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.
* [[Vladislav Kravchenko|Kravchenko, Vladislav]] (2003), "''Applied Quaternionic Analysis''", Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.
* [http://www.cs.indiana.edu/~hanson/quatvis/ Hanson, Andrew J.]  (2006), "''Visualizing Quaternions''", Elsevier: Morgan Kaufmann; San Francisco. ISBN 0-12-088400-3
* [https://web.archive.org/web/20110805044706/http://members.cox.net/vtrifonov/ Trifonov, Vladimir] (2007), "''Natural Geometry of Nonzero Quaternions''", International Journal of Theoretical Physics, **46 (2)** 251–257, 
* Ernst Binz & Sonja Pods (2008) ''Geometry of Heisenberg Groups'' [[American Mathematical Society]], Chapter 1: "The Skew Field of Quaternions" (23 pages) ISBN 978-0-8218-4495-3.
* Vince, John A. (2008), ''Geometric Algebra for Computer Graphics'', Springer, ISBN 978-1-84628-996-5.
* For molecules that can be regarded as classical rigid bodies [[molecular dynamics]] computer simulation employs quaternions. They were first introduced for this purpose by D.J. Evans, (1977), "On the Representation of Orientation Space", Mol. Phys., vol 34, p 317.
* Zhang, Fuzhen (1997), "Quaternions and Matrices of Quaternions", Linear Algebra and its Applications, Vol. 251, pp.&nbsp;21–57.

===Bağlantılar ve uzman yazıları===
* 
* [http://www.j3d.org/matrix_faq/matrfaq_latest.html Matrix and Quaternion FAQ v1.21]  Frequently Asked Questions
* "Geometric Tools documentation" ([http://www.geometrictools.com/Documentation/Documentation.html frame] ; [https://web.archive.org/web/20120220062435/http://www.geometrictools.com/Documentation/DocumentationBody.html body]) includes several papers focusing on computer graphics applications of quaternions. Covers useful techniques such as spherical linear interpolation.
* [https://sites.google.com/site/patrickmaillot/english Patrick-Gilles Maillot]  Provides free [[Fortran]] and C source code for manipulating quaternions and rotations / position in space. Also includes mathematical background on quaternions.
* "Geometric Tools source code" ([https://web.archive.org/web/20100111025321/http://www.geometrictools.com/LibFoundation/Mathematics/Mathematics.html frame]; [http://www.geometrictools.com/LibFoundation/Mathematics/MathematicsBody.html body] ) includes free C++ source code for a complete quaternion class suitable for computer graphics work, under a very liberal license.
* Doug Sweetser, [http://world.std.com/~sweetser/quaternions/qindex/qindex.html Doing Physics with Quaternions] 
* [https://web.archive.org/web/20120515203342/http://www.fho-emden.de/~hoffmann/quater12012002.pdf Quaternions for Computer Graphics and Mechanics (Gernot Hoffman)]
* [http://arxiv.org/pdf/math-ph/0201058 The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton] (PDF)
* D. R. Wilkins, [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Quaternions.html Hamilton’s Research on Quaternions] 
* [http://www.unpronounceable.com/julia/ Quaternion Julia Fractals]  3D Raytraced Quaternion [[Julia set|Julia Fractals]] by David J. Grossman
* [http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm Quaternion Math and Conversions]  Great page explaining basic math with links to straight forward rotation conversion formulae.
* John H. Mathews, [https://web.archive.org/web/20121104060352/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/QuaternionBib/Links/QuaternionBib_lnk_3.html Bibliography for Quaternions].
* [https://web.archive.org/web/20060423132728/http://www.gamedev.net/reference/articles/article1095.asp Quaternion powers on GameDev.net]
* Andrew Hanson, [https://web.archive.org/web/20070521234919/http://books.elsevier.com/companions/0120884003/vq/index.html Visualizing Quaternions home page].
*  - Technical report and [[MATLAB|Matlab]] toolbox summarizing all common attitude representations, with detailed equations and discussion on features of various methods.
* Charles F. F. Karney, ''Quaternions in molecular modeling'', J. Mol. Graph. Mod. **25*'(5), 595–604 (January  2007); ; E-print [http://arxiv.org/abs/physics/0506177 arxiv:0506177] .
* Johan E. Mebius, [http://arxiv.org/abs/math/0501249 A matrix-based proof of the quaternion representation theorem for four-dimensional rotations.] , *arXiv General Mathematics* 2005.
* Johan E. Mebius, [http://arxiv.org/abs/math/0701759  Derivation of the Euler–Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations.] , *arXiv General Mathematics'' 2007.
* NUI Maynooth Department of Mathematics, Hamilton Walk .
* OpenGL:Tutorials:Using Quaternions to represent rotation
* David Erickson, Defence Research and Development Canada (DRDC), Complete derivation of rotation matrix from unitary quaternion representation in DRDC TR 2005-228 paper. Drdc-rddc.gc.ca
* Alberto Martinez, University of Texas Department of History, "Negative Math, How Mathematical Rules Can Be Positively Bent",Utexas.edu
* D. Stahlke, Quaternions in Classical Mechanics Stahlke.org  (PDF)
* Morier-Genoud, Sophie, and Valentin Ovsienko. "Well, Papa, can you multiply triplets?", arxiv.org   describes how the quaternions can be made into a skew-commutative algebra graded by .
* Curious Quaternions  by Helen Joyce hosted by John Baez.
* Luis Ibanez "Tutorial on Quaternions" Part I Part II (PDF)
* R. Ghiloni, V. Moretti, A. Perotti (2013) "Continuous slice functional calculus in quaternionic Hilbert spaces, " Rev.Math.Phys. 25 1350006. An expository paper about continuous functional calculus in quanternionic Hilbert spaces useful in rigorous quaternionic quantum mechanics.
* Visualizing Quaternions  by Andrew J. Hanson at Indiana University in Bloomington.