Eylemsizlik momenti

**Atalet momenti** veya **eylemsizlik momenti** (SI birimi kilogram metrekare - kg·m²), dönmekte olan bir cismin, dönme hareketine karşı durmasına eylemsizlik momenti denir. Eylemsizlik momenti, toplam dönme hareket gücüne karşı direnç oluşturur ve bu yüzden cisim, tam verimde dönemez.

## Tanım

Eylemsizlik momenti katı (bükülmez) cisimlerin, kendi rotasyon hareketlerindeki değişime karşı eylemsizliğini gösterir. Duran bir cismin eylemsizliği cismin kütlesi olduğu gibi, dönen bir cismin eylemsizliği de eylemsizlik momentidir. Eylemsizlik momenti kavramı iki başlık altında incelenir. Alan eylemsizlik momenti ve kütlesel eylemsizlik momenti:

# Alan eylemsizlik momenti (Kesit/Polar atalet momenti): Rastgele seçilen bir koordinat sistemine göre bir cismin iki boyutu (yüzeyi) ele alınmış olsun. Bu yüzey, rastgele seçilen koordinat sisteminin bir eksenine dik olsun. Yüzeyin şekil değiştirmeme isteğinin yüzeyi içine alan eksenlere göre tanımlanmış haline alan eylemsizlik momenti denir. Cismin seçilen yüzeyine dik eksen z ekseni olsun. Yani incelenen düzlem x-y düzlemi üzerindedir. Bu şekliyle alan eylemsizlik momenti x eksenine ve y eksenine göre ayrı ayrı tanımlanabilir.
# Eylemsizliğin bulunması istenen yüzey homojen ve tek boyutlu ise \lambda=\frac{\mathrm{d}M}{dL}=\frac{M}{L}; iki boyutlu ise \sigma=\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}A}=\frac{M}{A}; üç boyutlu ise \rho=\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}V}=\frac{M}{V} kullanılır.
# Alan eylemsizlik momenti formülü, malzemelerin burulması ve eğilmesiyle ilgili hesaplamalarda kullanılır. Özet olarak, yüzey şeklini değiştirmeye çalışan kuvvete koyduğu tepkidir. Birimi metre4 dür. Yani yüzeyin ufak bir değişimine olan tepki çok fazla yansıyacaktır.
# Kütlesel Atalet Momenti: Hareketin çeşitli koordinat sistemlerinde (kartezyen koordinat sistemi, yarı kutupsal koordinat sistemi, doğal koordinat sistemi) vektörel olarak tanımlanmasıyla, yer vektörünün zamana göre iki kez türevi alınmasıyla ivmenin vektörel olarak büyüklüğü belirlenmiş olur. Bu ivmeye ait kütle eylemsizlik momenti oluşturur. Bu da F=m\cdot{}a formülasyonu ile gösterilmektedir.
# Kütlesel atalet momentini tanımlamak için hareketli cismin dinamik (hareketli) ve statik(durgun) hallerdeki durumlarına uygun olan, cisim üzerinden noktalar belirlenmelidir.
# Genel olarak statik cisimler tek noktaya indirgenir. Yani, durgun halde L uzunluğunda homojen bir silindirin ağırlık ve kütle merkezi olan tam ortasına indirgenir ve sanki cisim orada toplanmış gibi düşünülür. Fakat dönme veya salınım hareketi yaptığında bir noktaya göre tanımlamak bazı durumlarda dinamik özellikleri yansıtmayabilir. Bu nedenle, çubuğu iki noktaya ya da dönme veya salınım hızı arttıkça üç noktaya indirgenebilir. Hareketin karmaşıklığı arttıkça kütlenin indirgendiği nokta sayısı da arttırılabilir. Fakat dört noktadan fazlası problemin çözümünden sapmayı arttırır.

## Hesaplanması
m kütleli noktasal bir cisim r uzaklığındaki bir eksen etrafında dönerse bu cismin eylemsizlik momenti mr^2 olarak tanımlanır. Eğer cisim çok sayıda parçacıktan oluşmuşsa her bir parçacığın mr^2 si toplanarak cismin eylemsizlik momenti bulunur. Yani cisim sonsuz küçüklükteki \mathrm{d}m kütlelerinden meydana geliyorsa bu cismin eylemsizlik momenti
\int r^2\,\mathrm{d}m olur.
Örneğin L boyundaki M kütleli düz bir çubuğun kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti şöyle hesaplanır:
# \mathrm{d}r boyundaki küçük bir parçanın kütlesi \mathrm{d}m ise \mathrm{d}m=\frac{M\,\mathrm{d}r}{L}
# Eksen çubuğun kütle merkezinden geçtiği için integralin sınırları -L/2 ve L/2 olur. Bulduğumuz \mathrm{d}m yi formülde yerine koyarsak \int\limits_{-L/2}^{L/2}r^2 \frac{M\,\mathrm{d}r}{L}
# M ve L sabit olduğundan integralin dışına çıkar, integrali çözersek
\frac{ML^2}{12} bulunur.

### Paralel eksenler teoremi
Paralel eksenler teoremi, kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti bilinen bir cismin bu eksenden d uzaklıktaki eksene göre eylemsizlik momentini bulmaya yarar. Bu teoreme göre
I=I_{km}+Md^2
Örneğin bir çubuğun ucuna göre eylemsizlik momenti paralel eksenler teoremi kullanılarak şu şekilde hesaplanır:
Çubuğun kütle merkezine göre eylemsizlik momenti \frac{ML^2}{12}, çubuğun ucu, merkezden L/2 uzaklıkta. Denklemde bunları yerine koyarsak
I=\frac{ML^2}{12}+M(L/2)^2=\frac{ML^2}{3}
Bu sonuç bir çubuğu; merkezinin etrafında döndürmenin, ucunun etrafında döndürmeye göre daha kolay olduğunu gösterir.

## Kütleyle olan benzerliği
Kütle, bir cismin öteleme hareketindeki eylemsizliğidir. Eylemsizlik momentiyse dönme hareketindeki eylemsizliktir. Bu ikisi arasındaki benzerlik hareket formüllerinde görülebilir.

*v: hız
*\omega: açısal hız
*m: kütle
*a: ivme
*\alpha: açısal ivme

## Bâzı cisimlerin eylemsizlik momentleri

Aşağıdaki hesaplamalarda cisimlerin homojen oldukları kabul edilmiştir.

**NOT: Dönme ekseni aksi belirtilmedikçe kütle merkezi olarak kabul edilecektir. I<sub>x</sub> dönme eksenin x ekseni, I<sub>y</sub> dönme eksenin y ekseni, I<sub>z</sub> dönme eksenin z ekseni olduğunu gösterir. **

||—
|-
| Sonsuz disk. Kütlesi dönme ekseni etrafında normal dağılım göstermekte.
(Örneğin:  \rho(x,y) = \tfrac{m}{2\pi ab}\, e^{-((x/a)^2+(y/b)^2)/2} 

Burada :  \rho(x,y)  x ve y'nin fonksiyonu olarak kütle yoğunluğu'dur.).
| || I = m (a^2+b^2) \,\! || 
|-
|Aralarında x uzaklığı bulunan M ve m kütleli iki nokta. || || I = \frac{ M m }{ M \! + \! m } x^2 = \mu x^2 || \mu  etkin kütle'i göstermektedir. \mu = \cfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2},\!\, || 
|}

## Kaynakça