Ayrılma belitleri

**Ayrılma belitleri** bir topolojik uzayın üzerine konan ve noktaların ve altkümelerin birbirilerinden ne kadar ayrı olduğunu belirten belitler ailesi. Bir topolojik uzayın bu belitlerden birini sağladığı söylendiğinde, topolojisi hakkında global bir bilgi verilmiş ve topolojinin cinsi daraltılmış olur. Örneğin, topolojinin sahip olduğu açık kümelere bakmaksızın o topolojinin T0 olduğunu söylemek, topolojik uzayda seçilmiş herhangi iki noktanın birbirlerinden ayırt edilebilir olduğunu garanti eder.

Ayrılma belitleri Almancada ayrılma anlamına gelen Trennung sözcüğüne atıfta bulunarak **T** harfiyle gösterilir. Bu belitlerden bazıları çok eskiden ifade edilmiştir, bazıları daha yenidir. Kimileri çalışılan matematik dalına göre ifadesinde farklılık göstermiş ve zaman içinde şöyle böyle standart bir listeye kavuşulmuştur. Kaynağına bağlı olarak adlandırmalar farklılık gösterebilir.

## Matematiksel tanımlar

*X* topolojik bir uzay olsun.

* Eğer *X*'te herhangi iki nokta topolojik olarak birbirinden **ayıredilebiliyorsa**, yani içerildikleri açık kümeler tamamen birbirlerinin aynı değilse (yani birini içeren ve diğerini içermeyen en az bir açık küme varsa) *X* uzayına *[[T0 uzay|T<sub>0</sub>]]* ya da *Kolmogorov* denir.
* Eğer birbirinden ayırdedilebilir her nokta çifti birbirinden **ayrılabiliyorsa**, yani birinciyi içeren ve ikinciyi içermeyen en az bir açık küme ve ikinciyi içeren ve birinciyi içermeyen en az bir açık küme varsa, *X* 'e *[[R0 uzay|R<sub>0</sub>]]* ya da *simetrik* denir.
* Eğer birbirinden farklı her nokta çifti hem birbirinden ayırdedilebiliyorsa hem de ayrılabiliyorsa, *X*'e *[[T1 uzay|T<sub>1</sub>]]*, ya da *Fréchet topolojisine sahip* denir. Yani T1 olmak, T0 ve R0 olmak demektir. Böyle bir uzayda tek tek noktalar birer kapalı altkümedir.
* Eğer birbirinden farklı her nokta çiftinin birbirinden ayrık birer komşuluğu varsa, *X*'e *[[Hausdorff uzay|Hausdorff]]* ya da *T<sub>2</sub>* ya da *ayrılmış* denir. Bir Hausdorff uzay hem T0 hem R0'dır yani T1'dir. Fazladan istenen şey, noktaları birbirinden ayıran açık kümelerin ayrık seçilebilmesidir.
* Eğer Hausdorff'luk belitinde noktaları ayıran ayrık kümeler kapalı seçilebiliyorsa, *X*'e *[[Urysohn uzay|T<sub>2½</sub>]]*, ya da *Urysohn* denir. Tabii, tanım gereği T2½ uzay Hausdorff'tur.
* Eğer verilen her kapalı küme ve onun içinde olmayan her nokta için, kümenin ve noktanın ayrık açık komşulukları bulunabiliyorsa, *X*'e *[[Düzenli uzay|düzenli]]* denir.
* *X* hem düzenli hem de T1'se, *X*'e *[[düzenli Hausdorff uzay|düzenli Hausdorff]]* ya da *T<sub>3</sub>* denir. Böyle bir uzay Hausdorff'tur çünkü her bir nokta kapalı bir altkümedir. Düzenli Hausdorff uzay T2½'tur.
* *X* hem T1 uzaysa hem de verilen her kapalı *K* kümesi ve dışındaki her *x* noktası birbirinden sürekli bir fonksiyonla ayrılabiliyorsa, yani *X* 'ten reel sayılara *K* 'de 0 *x* 'te 1 değerini alan sürekli bir fonksiyon bulunabiliyorsa, *X*'e *[[Tychonoff uzay|Tychonoff]]*, ya da *T<sub>3½</sub>*, ya da *tamamen düzenli Hausdorff* denir.
* Eğer verilen her kapalı ayrık küme çifti birbirilerinden açık kümelerle ayrılıyorsa, yani kapalı kümeleri içeren iki tane ayrık açık küme bulunabiliyorsa, *X*'e *[[normal uzay|normal]]* denir. Urysohn önsavına göre, normal bir uzayda kapalı ayrık kümeler aynı zamanda fonksiyonlarla da ayrılabilir.
* *X* hem T1 hem de normal ise, *X*'e *[[normal Hausdorff uzay|normal Hausdorff]]*, ya da *T<sub>4</sub>* denir. Urysohn önsavı, T4 uzayın T3½ olduğunu garanti eder.
* *X* hem T1'se hem de *tamamen normal* ise, yani herhangi iki küme çifti açık komşuluklarıyla ayrılabiliyorsa, *X*'e *[[tamamen normal Hausdorff uzay|tamamen normal Hausdorff]]* ya da *T<sub>5</sub>* denir.
* Verilen her kapalı ayrık küme çifti *K* ve *L* için, bunları birbirilerinden ayıran sürekli bir fonksiyon varsa ve bu fonksiyon altında 0'ın ters görüntüsü *K*, 1'in ters görüntüsü *L* ise, *X*'e *[[mükemmel normal Hausdorff uzay|mükemmel normal Hausdorff]]* ya da *T<sub>6</sub>* denir.

Yukarıda saydığımız ayrılma belitlerinin tanımdan gelen bir hiyerarşileri vardır. Listede daha başta olanlar, sonra gelenlerden daha genel durumlardır:

T0 > T1 > T2 > T2½ > T3 > T3½ > T4 > T5 > T6.