Anne teoremi

Fransız matematikçi Pierre-Leon Anne'in (1806-1850) adını taşıyan **Anne teoremi**, dışbükey dörtgen içindeki belirli alanların eşitliğini tanımlayan Öklid geometrisinden bir teoremdir.

## Açıklama

Teorem özellikle şunları belirtir:

: *ABCD, [[paralelkenar]] olmayan AC ve BD köşegenleri olan dışbükey bir dörtgen olsun. Ayrıca, E ve F köşegenlerin orta noktaları ve L, ABCD'nin iç kısmında rastgele bir nokta olsun. L, ABCD'nin kenarlarıyla dört üçgen oluşturur. Zıt iki üçgenlerin alanlarının toplamı eşitse;

::Alan (BCL) + Alan (DAL) = Alan (LAB) + Alan (DLC),

: L noktası [[Newton doğrusu]], yani E ve F'yi birbirine bağlayan doğru üzerinde bulunur.*

Bir paralelkenar için Newton doğrusu mevcut değildir çünkü köşegenlerin her iki orta noktası, köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. Ayrıca teoremin alan özdeşliği bu durumda dörtgenin herhangi bir iç noktası için geçerlidir.

Anne teoreminin tersi de doğrudur, yani dörtgenin iç noktası olan Newton doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta için alan özdeşliği geçerlidir.

## İspat
### İspat 1

E noktası, BD köşegeninin orta noktası olduğundan, B ve D notalarından EF doğrusuna çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Bu nedenle, diyelim ki \triangle BOF ve \triangle DOF üçgenleri eşit alanlara sahiptir. Benzer şekilde, {Alan} (\triangle AOF) = {Alan} (\triangle COF).

Ayrıca,

:: {Alan} (\triangle AOB) = {Alan} (\triangle AFB) + {Alan} (\triangle AOF) + {Alan} (\triangle BOF) ve
:: {Alan} (\triangle DOC) = {Alan} (\triangle DFC) - {Alan} (\triangle COF) - {Alan} (\triangle DOF).

Bu nedenle,

:: (1) {Alan} (\triangle AOB) + {Alan} (\triangle COD) = {Alan} (\triangle AFB) + {Alan} (\triangle CFD).

Aynı şekilde,

:: {Alan} (\triangle AOD) = {Alan} (\triangle AFD) + {Alan} (\triangle DOF) - {Alan} (\triangle AOF) ve
:: {Alan} (\triangle BOC) = {Alan} (\triangle BFC) - {Alan} (\triangle BOF) + {Alan} (\triangle COF).

Oradan,

:: (2) {Alan} (\triangle AOD) + {Alan} (\triangle BOC) = {Alan} (\triangle AFD) + {Alan} (\triangle CFB).

Ama biliyoruz ki, {Alan} (\triangle AFB) = {Alan} (\triangle AFD) ve aynı zamanda {Alan} (\triangle CFD) = {Alan} (\triangle CFB), (1) ve (2) ile birleştirildiğinde,

:: (3) {Alan} (\triangle AOD) + {Alan} (\triangle BOC) = {Alan} (\triangle AOB) + {Alan} (\triangle COD) elde edilir.

### İspat 2

Bir kenarortay, bir üçgenin alanını ikiye böldüğünden, dörtgenin köşegenlerinin orta noktaları söz konusu lokustan birindedir. Basil Rannie'den kaynaklanan bir gözlem, yerin düz bir çizgi olduğunu açıkça ortaya koyar.

Sabit tabanlı ve hareketli tepeli bir üçgenin alanı, ikincisinin Kartezyen koordinatlarının doğrusal fonksiyonudur. Tepe iki üçgen tarafından paylaşılıyorsa, bunların toplam alanı yine de koordinatlarının doğrusal bir fonksiyonudur. Ancak doğrusal bir fonksiyonun seviye eğrileri düz çizgilerdir.

## Notlar

## Kaynakça

* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: *Büyüleyici Kanıtlar: Zarif Matematiğe Bir Yolculuk*. MAA, 2010, , s. 116–117 ()
* Ross Honsberger: *Daha Fazla Matematiksel* Morsel. Cambridge University Press, 1991, , s. 174–175 )

## Dış bağlantılar

* ''Newton's and Léon Anne's Theorems''  at cut-the-knot.org
* Andrew Jobbings: ''The Converse of Leon Anne's Theorem'' 
* Weisstein, Eric W. "Leon Anne's Theorem ". MathWorld.

## İlave okumalar
* Hans Humenberger, (2018), Balanced areas in quadrilaterals – on the way to Anne’s Theorem, Makale
* Hans Humenberger & Berthold Schuppar, (2019), Balanced areas in quadrilaterals – Anne’s Theorem and its unknown origin, DOI: 10.5485/TMCS.2019.0462, ss. 93–103 Makale
* Anne’s Theorem Proof