Tam sayı

**Tam sayılar**, sayılar kümesinde yer alan sıfır (0), pozitif yönde yer alan doğal sayılar (1, 2, 3, ...) ve bunların negatif değerlerinden oluşan negatif sayılardan (−1, −2, −3, ...) oluşan sayı kümesidir.

Tüm tam sayıların oluşturduğu küme, çoğunlukla kalın harf biçimindeki **Z** veya karatahta vurgusu kullanılarak \mathbb{Z} şeklinde ifade edilir. Z harfi Almanca *Zahlen* (sayılar) sözcüğünden gelir.

Doğal sayılar kümesi \mathbb{N}, \mathbb{Z} tam sayılar kümesinin bir alt kümesi olarak tanımlanır. Bu tam sayılar kümesi, ardından tüm rasyonel sayılar kümesi \mathbb{Q}’nun ve bu küme de reel sayılar kümesi \mathbb{R}’nin bir alt kümesi olarak sıralanır. Doğal sayılar kümesine benzer biçimde, \mathbb{Z} tam sayılar kümesi de sayılabilir sonsuzluk özelliği gösterir. Tam sayı kavramı, kesirli bir kısmı bulunmayan ve böylelikle doğrudan reel sayı olarak ifade edilebilen sayılar için kullanılır. Mesela, 21, 4, 0 ve -2048 tam sayılardır; buna karşın 9.75,  ve  tam sayı olarak değerlendirilmez.

Doğal sayı kümelerini kapsayan yapılar içerisinde, tam sayılar hem en minimal grup hem de en minimal halka yapısını teşkil ederler. Cebirsel sayı teorisi alanında, tam sayılar zaman zaman, onları daha geniş bir kapsamda ele alınan cebirsel tam sayılar ile karıştırmamak adına **rasyonel tam sayılar** olarak özel bir şekilde tanımlanır. Gerçekte, rasyonel olarak ifade edilen tam sayılar, hem cebirsel tam sayı özelliklerini taşır hem de rasyonel sayılar kategorisinde değerlendirilirler.

## Tarihçe

İlk Türkçe *tam sayı* teriminin kullanımlarından biri 1955'e dayanır.

Tarih boyunca tam sayı terimi, 1'in katları olan sayılar için veya tam sayılı kesirlerin tam kısımlarını ifade etmek için kullanılmıştır. Başlangıçta yalnızca pozitif tam sayılar ele alınmış ve bu durum, terimin doğal sayılarla eşanlamlı hale gelmesine yol açmıştır. Tam sayı kavramının tanımı, negatif sayıların faydasının zamanla kabul edilmesiyle genişletilmiş ve bu sayılar da tanımın içine dahil edilmiştir. Örneğin, Leonhard Euler, 1765 tarihli *Cebirin Unsurları* adlı çalışmasında tam sayıları, hem pozitif hem de negatif sayıları içerecek biçimde tanımlamıştır. Bununla birlikte, Avrupalı matematikçilerin büyük bir kısmı 19. yüzyılın ortalarına kadar negatif sayılar konseptine karşı direnç göstermiştir.

Tam sayılar kümesini temsil etmek üzere 'Z' harfinin tercih edilmesi, Almancada "sayılar" anlamına gelen **' kelimesinden kaynaklanmaktadır ve bu bağlamda [[David Hilbert]] ile ilişkilendirilir. Bu notasyonun ders kitaplarında ilk defa kullanıldığı bilinen örnek, 1947 yılında [[Nicolas Bourbaki]] grubu tarafından kaleme alınan [[Éléments de mathématique|Algébre]] isimli eserde yer almaktadır. Notasyonun benimsenmesi hemen gerçekleşmemiştir; mesela, bir başka ders kitabında 'J' harfi kullanılmış ve 1960 yılında yayımlanan bir makalede 'Z', yalnızca sıfır ve pozitif tam sayıları ifade etmek amacıyla tercih edilmiştir. Ancak 1961 itibarıyla, modern cebir metinleri genel olarak 'Z' harfini, hem pozitif hem de negatif tam sayıları kapsayacak şekilde kullanmaya başlamışlardır.

<math>\mathbb{Z}</math> sembolü, çeşitli kümeleri tanımlamak amacıyla farklı yazarların tercihlerine göre değişken notasyonlar ile sıklıkla sembolize edilir: Pozitif tam sayılar için <math>\mathbb{Z}^+</math>, <math>\mathbb{Z}+</math> veya <math>\mathbb{Z}^{>}</math> kullanılırken, sıfır ve pozitif tam sayılar için <math>\mathbb{Z}^{0+}</math> veya <math>\mathbb{Z}^{\geq}</math> ve sıfır olmayan tam sayılar için <math>\mathbb{Z}^{\neq}</math> tercih edilir. Bazı yazarlar, sıfır olmayan tam sayılar için <math>\mathbb{Z}^{*}</math> kullanırken diğerleri bu notasyonu sıfır ve pozitif tam sayılar için veya <math>\mathbb{Z}</math>'nin birimler grubunu (İng. ''unit (ring theory)'') ifade eden  için kullanmaktadır. Ek olarak, <math>\mathbb{Z}_{p}</math> notasyonu, ya modüler  tam sayılarını (yani, tam sayıların denklik sınıflarını) ya da -adik tam sayılarını tanımlamak için kullanılır.

1950'lerin başlarına dek, bütün sayılar ile tam sayılar arasında bir eşanlamlılık söz konusuydu. 1950'lerin sonlarına doğru, ''[[New Math]]'' hareketinin bir unsuru olarak, Amerikan ilkokul öğretmenleri "bütün sayılar" (İng. ''whole numbers'') teriminin, negatif sayıları dışlayarak yalnızca [[doğal sayılar]]ı kapsadığını, "tam sayı" teriminin ise negatif sayıları da içerecek şekilde genişletildiğini derslerinde işlemeye başladılar. "Bütün sayı" kavramı (İng. ''whole numbers''), günümüzde hala belirsizliğini sürdürmektedir.

== Cebirsel özellikler==



Doğal sayılar kümesi gibi, <math>\mathbb{Z}</math> kümesi de toplama ve [[çarpma]] gibi [[ikili işlem]]ler bakımından [[kapalılık (matematik)|kapalı]] bir yapıya sahiptir; bu, herhangi iki tam sayının toplamının ve çarpımının yine bir tam sayı olacağı anlamına gelir. Bununla birlikte, negatif doğal sayıların ve özellikle 'ın dahil edilmesi ile <math>\mathbb{Z}</math>, doğal sayılar kümesinden farklı olarak, [[çıkarma]] işlemine yönelik de kapalı bir karakter gösterir.

Tam sayılar kümesi, her bir birimli halka yapısı için, bu yapılara doğru tam sayılardan tekil bir [[halka homomorfizması]]nın (İng. ''ring homomorphism'') tesis edilebildiği, temel bir [[birimli halka]] olarak işlev görür. Bu [[evrensel özellik]] (İng. ''universal property''), özgül olarak [[halkaların kategorisi]] içerisinde bir [[başlangıç objesi]] (İng. ''initial object'') olarak tanımlanabilirlik, <math>\mathbb{Z}</math> halkasının ayırt edici niteliğini belirler.

<math>\mathbb{Z}</math> kümesi, iki tam sayının birbirine bölünmesi işlemi (örnek olarak, 1 sayısının 2 sayısına bölünmesi durumu gösterilebilir) neticesinde her defasında tam sayı elde edilmeyebileceğinden, [[bölme]] işlemi açısından kapalı bir yapı sergilemez. Doğal sayılar kümesi, [[üs alma]] işlemine göre kapalılık özelliğine sahipken, tam sayılar kümesi bu özelliği taşımamaktadır; zira üssün negatif değer alması halinde, sonuç kesirli bir sayıya dönüşebilir.

Aşağıdaki tablo, herhangi bir ,  ve  tam sayısı için toplama ve çarpma işlemlerinin bazı temel özelliklerini listelemektedir:


Toplama işlemi çerçevesinde, <math>\mathbb{Z}</math> kümesine ilişkin olarak sıralanan başlıca beş özelliğin tanımladığı yapı, bu kümenin bir [[abelyen grup]] olduğunu ifade eder. Bu küme, her biri sıfırdan farklı olan tam sayıların, sonlu bir  veya  şeklindeki toplamları ile ifade edilebilirliği dolayısıyla, aynı zamanda bir [[devirli grup]] özelliği taşır (İng. ''cyclic group''). Gerçekte, toplama işlemi altında <math>\mathbb{Z}</math>, herhangi bir sonsuz devirli grubun, <math>\mathbb{Z}</math> ile [[grup izomorfizması|eşyapı grubu]] olduğu bağlamda, ''tek'' sonsuz devirli gruptur.

Çarpma işlemine ilişkin olarak sıralanan ilk dört özelliğin tanımı, <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin çarpma altında bir [[Birlik|değişmeli monoid]] yapısına sahip olduğunu gösterir. Ancak, 2 sayısının örneğinde olduğu gibi, her tam sayının çarpmaya ilişkin bir çarpımsal tersi bulunmamaktadır, bu durum <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin çarpma işlemi bağlamında bir grup oluşturmadığını ifade eder.

Yukarıda sunulan özellikler cetvelinden (en sonuncu dışında) elde edilen kuralların tümü, toplama ve çarpma işlemleriyle bir arada <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin, [[Birim öge|birimli]] [[değişmeli halka]] olarak tanımlandığını ortaya koyar. Bu yapı, benzer [[cebirsel yapı]]lara ait nesnelerin ilk örneğidir. <math>\mathbb{Z}</math> içerisinde, değişkenlerin her bir değeri için gerçek olan, yalnızca herhangi bir birimli değişmeli halkada doğru kabul edilen [[Eşleşik|eşitlikler]] ve [[cebirsel ifade|ifadeler]] geçerlidir. Bazı sıfır olmayan tam sayılar, çeşitli halkalarda [[toplamsal etkisiz eleman|sıfır]] değerine karşılık gelir.

Tam sayılar kümesinde [[sıfır böleni|sıfır bölensiz]]lerin bulunmaması (özellikler tablosundaki son özellik), değişmeli halka <math>\mathbb{Z}</math>'nin, bir [[tamlık bölgesi]] olarak nitelendirilebileceğini gösterir.

Çarpmaya ilişkin ters elemanların eksikliği, bu durumun <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığı gerçeği ile eşdeğer olduğundan, <math>\mathbb{Z}</math>'nin bir [[alan (matematik)|alan]] olarak tanımlanamayacağı anlamına gelir. Tam sayıları bir [[althalka]] olarak barındıran en küçük alan yapı, [[rasyonel sayılar]] alanıdır. Tam sayılar kümesinden rasyonel sayılar kümesinin türetilmesi süreci, herhangi bir tamlık bölgesi için [[kesirler cismi]]nin (İng. ''field of fractions'') oluşturulması amacıyla modellenebilir. Ayrıca, bir [[cebirsel sayı cismi]]nden (rasyonel sayılara bir uzantı olarak) başlanarak, içerisinde <math>\mathbb{Z}</math> kümesini de barındıran [[tam sayılar halkası]] (İng. ''ring of integers'') elde edilebilir.

Her ne kadar <math>\mathbb{Z}</math> üzerinde geleneksel bölme işlemi tanımlanmamış olsa da, "kalan ile bölme" işlemi bu küme üzerinde tanımlanabilir. Bu işleme, [[Kalanlı bölme|Öklid bölmesi]] adı verilir ve şu kritik özelliği taşır:  koşulunu sağlayan herhangi  ve  tam sayı çifti için,  ve  ilişkilerini sağlayan benzersiz  ve  tams ayıları mevcuttur; burada ,  sayısının [[mutlak değer]]ini ifade eder. Bu bağlamda,  tam sayısı ''bölüm'',  ise  ile 'nin bölünmesi sonucu elde edilen ''[[kalan]]'' olarak isimlendirilir. [[Ortak bölen|En büyük ortak bölen]]lerin belirlenmesi sürecinde kullanılan [[Öklid algoritması]], ardışık Öklid bölme işlemlerine dayanır.

İlgili metin, <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin bir [[Öklid bölgesi]] (İng. ''Euclidean domain'') olarak tanımlandığını belirtmektedir. Bu durum, aynı zamanda <math>\mathbb{Z}</math>'nin bir [[esas ideal bölgesi]] (İng. ''principal ideal domain'') olduğunu gösterir ve her pozitif tam sayının, [[asal sayılar]]ın çarpımı şeklinde [[özünde benzersiz]] (İng. ''essentially unique'') bir biçimde ifade edilebileceğini ima eder. Bu durum, [[aritmetiğin temel teoremi]] olarak bilinir.

==Sıralama teorisine ilişkin özellikler==
<math>\mathbb{Z}</math>, herhangi bir [[tam sıralama]] özelliği gösteren, fakat ne [[Üst ve alt sınır|üst ne de alt sınır]] içeren bir kümedir. <math>\mathbb{Z}</math> kümesinin sıralama ilişkisi aşağıdaki gibi ifade edilir:

Bir tam sayının [[0|sıfır]] değerinden büyük olması durumunda ''pozitif'', sıfırdan küçük olması durumunda ise ''negatif'' olarak nitelendirilir. Sıfır değeri, ne negatif ne de pozitif olarak nitelendirilebilir.

Tam sayılar arasındaki sıralama ilişkisi, cebirsel işlemlerle aşağıdaki biçimde uyum içindedir:

 ve  olduğunda,  sonucu elde edilir.
 ve  olduğunda,  eşitsizliği geçerlidir.

Bunun sonucu olarak, <math>\mathbb{Z}</math> üzerinde tanımlanan bu sıralama ile birlikte, bir [[sıralı halka]] yapısını oluşturur.

Tam sayılar, pozitif elemanları [[iyi sıralı]] olan tek ciddi [[tam sıralı]] [[Abel grubu]]dur. 
Bu, herhangi bir [[Noetherian halka]] [[değerleme halkası]]na (İng. ''valuation ring'') ya bir [[Cisim (cebir)|cisim]]-ya da [[ayrık değerleme halkası]] (İng. ''discrete valuation ring'') olduğu ifadesine eşdeğerdir.

==Tanımlama==

===Geleneksel tanımlama===

Temel eğitim süreçlerinde, tam sayı kavramı, genellikle pozitif doğal sayılar kümesi, [[sıfır]] ve doğal sayıların negatif karşılıklarının birleşimi olarak sezgisel bir yaklaşımla tanımlanmaktadır. Bu tanım, formal bir yapıya kavuşturulabilir: başlangıçta, [[Peano aksiyomları]] temel alınarak <math>N</math> doğal sayılar kümesi inşa edilir. Ardından, <math>N</math> kümesi ile her elemanı arasında birebir eşleme bulunan ve <math>N</math> kümesinden [[Ayrık küme|ayrık]] bir <math>N^-</math> kümesi tanımlanır. Bu bağlamda, <math>N^-</math> kümesi için, örneğin, <math>\psi</math> eşlemesi <math>n \mapsto (1,n)</math> olacak şekilde <math>(1,n)</math> formundaki sıralı çiftler seçilebilir. Son adımda, 0 elemanı, ne <math>N</math> kümesinde ne de <math>N^-</math> kümesinde yer almayacak şekilde, örneğin <math>(0,0)</math> sıralı çifti olarak belirlenir. Böylelikle, tam sayılar kümesi, <math>N \cup N^- \cup {0}</math> birleşimi ile tanımlanmış olur.

Geleneksel aritmetik işlemleri, tam sayılar kümesi üzerinde, pozitif sayılar, negatif sayılar ve sıfır olmak üzere, [[parçalı fonksiyon]]lar yardımıyla tanımlanabilir. Mesela, [[Tümleme (mantık)|negasyon]] işlemi şu şekilde ifade edilir:
<math display="block">
-x = \begin{cases}
  \psi(x), & \text{eğer } x \in P \\
  \psi^{-1}(x), & \text{eğer } x \in P^- \\
  0, & \text{eğer } x = 0
\end{cases}
</math>

Geleneksel tanımlama yöntemi, çeşitlilik arz eden durumların ortaya çıkmasına neden olur (her aritmetik işlemin, tam sayı türlerinin her birinin kombinasyonları üzerine tanımlanması gereklidir) ve tam sayıların aritmetik yasalarına olan uyumunun ispatı sürecini oldukça yorucu bir hale getirir.

=== Sıralı ikili dizilerin eşdeğerlilik sınıfları ===


Çağdaş küme teorisine dayalı matematikte, aritmetik işlemilerin herhangi bir özgül durum ayrımına gerek kalmadan tanımlanabilmesine imkan veren daha soyut bir yapı tercih edilmektedir. Bu bağlamda, tam sayılar, [[doğal sayı]]lardan oluşturulan [[sıralı ikili]] çiftlerin denklik sınıfları olarak formel bir biçimde kurulabilir .

Sezgisel olarak,  ifadesi, 'nin 'dan çıkarılması sonucunu temsil eder.  ile  gösterimlerinin aynı sayısal değeri temsil ettiği öngörümüzü teyit etmek amacıyla, bu ikili diziler üzerinde belirli bir kural çerçevesinde bir [[denklik bağıntısı|denklik ilişkisi]]  tanımlamaktayız:
:<math>(a,b) \sim (c,d) </math>
yalnızca ve yalnızca
:<math>a + d = b + c. </math>

Tam sayılar üzerinde gerçekleştirilen toplama ve çarpım işlemleri, doğal sayılara uygulanan benzer işlemler temel alınarak tanımlanabilir;  gösterimi, içerisinde  ögesini barındıran denklik sınıfını ifade etmek için kullanılır ve bu durumda işlemler şu şekilde ifade edilir:
:<math>[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].</math>
:<math>[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].</math>

Bir tam sayının negatif değeri (veya toplamsal ters öge), ilgili ikilinin elemanlarının yer değiştirilmesiyle elde edilir:
:<math>-[(a,b)] := [(b,a)].</math>

Dolayısıyla, çıkartma işlemi, toplamsal ters ögenin eklenmesi şeklinde tanımlanabilir:
:<math>[(a,b)] - [(c,d)] := [(a+d,b+c)].</math>

Tam sayılara ilişkin standart sıralama kuralı aşağıdaki gibi ifade edilir:
:<math>[(a,b)] < [(c,d)]</math> [[ancak ve ancak]] <math>a+d < b+c.</math>

Bu tanımlamaların, denklik sınıflarının temsilcilerinin seçimiyle ilgisiz olduğu kolaylıkla ispatlanabilir.

Her bir denklik sınıfı,  veya  (veya her iki durum için de) formunda özgün bir elemana sahiptir. Doğal sayı ,  sınıfıyla özdeşleştirilmekte (yani doğal sayılar, 'yi 'ye eşleyen bir fonksiyon aracılığıyla tam sayılara [[gömme|gömülmüştür]]) ve  sınıfı  olarak ifade edilir (bu durum, kalan tüm sınıfları kapsar ve  sınıfını  olduğundan yeniden tanımlar).

Dolayısıyla,  gösterimi aşağıdaki gibi ifade edilir:
:<math>\begin{cases} a - b, & \mbox{eğer }  a \ge b  \\ -(b - a),  & \mbox{eğer } a < b. \end{cases}</math>

Doğal sayıların, karşılık gelen tam sayılarla özdeşleştirilmesi durumunda (önceden bahsi geçen gömme metodu kullanılarak), bu gösterim yöntemi herhangi bir karmaşıklığa yol açmaz.

Bu gösterim yöntemi, tam sayıların  şeklindeki alışılagelmiş [[grup temsili|temsiline]] geri dönüş sağlar.

Örneklerden bazıları şu şekildedir:
:<math>\begin{align}
 0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\
 1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\
-1 &= [(0,1)] &= [(1,2)] &= \cdots & &= [(k,k+1)] \\
 2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= \cdots & &= [(k+2,k)] \\
-2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)].
\end{align}</math>

===Diğer yaklaşımlar===

Teorik bilgisayar biliminde, tam sayıların inşası için [[otomatik teorem kanıtlama]] ve [[Terimi yeniden yazma|terim yeniden yazım motorları]] tarafından kullanılan diğer yaklaşımlar mevcuttur.
Tam sayılar, birkaç temel işlem (örneğin, **sıfır**, **bir sonraki**, **bir önceki**) kullanılarak ve muhtemelen, zaten inşa edilmiş olduğu varsayılan [[doğal sayı]]lar kullanılarak oluşturulan [[Terim cebiri|cebirsel terimler]] (İng. ''term algebra'') olarak temsil edilir (örneğin, [[Peano aksiyomları|Peano yaklaşımı]] kullanılarak).

İşaretli tam sayıların oluşturulması amacıyla, en azından on farklı yöntem mevcuttur. Bu yapılar, çeşitli parametrelere göre ayrışır: Yapıyı gerçekleştirmek amacıyla başvurulan temel işlemlerin adedi, bu işlemlerin kabul ettiği argümanların sayısı ve nitelikleri (çoğunlukla 0 ile 2 arasında değişir); belirli işlemler için doğal sayıların argüman olarak kullanılıp kullanılmadığı ve işlemlerin serbest yapılandırıcı olup olmadığı, yani bir tam sayının tek veya birden çok cebirsel ifadeyle ifade edilebilirliği.

Bir önceki bölümde tanıtılan tam sayıların inşası yöntemi, iki doğal sayıyı argüman olarak alan ve sonucunda bir tam sayı (bu durumda x-y'ye eşit) veren tekil bir temel işlem olan **çift**<math>(x,y)</math> işlemine dayanır. Bu işlem serbest nitelikte değildir; zira sıfır tam sayısı, **çift**(0,0), **çift**(1,1), **çift*'(2,2) gibi çeşitli şekillerde ifade edilebilir. Bu inşa metodolojisi, [[ispat yardımcısı]] [[Isabelle (yazılım)|Isabelle]] yazılımı tarafından benimsenmiş olup; ancak, serbest yapılandırıcıları temel alan ve bilgisayar ortamlarında daha etkin bir şekilde implemente edilebilecek daha sade alternatif inşa teknikleri de mevcuttur.

==Bilgisayar bilimi==

Tam sayı, sıkça [[bilgisayar dili]]lerindeki primitif bir [[veri tipi]]dir. Ancak, tam sayı veri tipleri, pratik bilgisayarların sonlu kapasitesi nedeniyle tüm tam sayıların bir [[alt küme]]sini temsil edebilirler. Ayrıca, yaygın [[ikinin tümleyeni]] gösteriminde, [[işaret (matematik)|işaretin]] içsel tanımı "negatif" ve "negatif olmayan" arasında ayrım yapar, "negatif, pozitif ve 0" değil. (Bununla birlikte, bir bilgisayarın bir tam sayı değerinin gerçekten pozitif olup olmadığını belirlemesi kesinlikle mümkündür.) Sabit uzunluklu tam sayı yaklaşım veri tipleri (veya alt kümeleri), birkaç programlama dilinde *int* veya *Integer'' olarak adlandırılır (ALGOL 68, C, Java, Delphi, vb.).

Tam sayıların değişken uzunluklu temsilleri, bilgisayarın belleğine sığan herhangi bir tam sayıyı depolayabilir. Diğer tam sayı veri tipleri ise genellikle 2'nin bir kuvveti olan bir bit sayısı (4, 8, 16, vb.) veya akılda kalıcı bir ondalık basamak sayısı (örneğin, 9 veya 10) ile sabit bir boyutta uygulanır.

## Sayallık (Kardinalite)
Tam sayılar kümesi sayılabilir sonsuzdur, bu da her tam sayının benzersiz bir doğal sayı ile eşleştirilebileceği anlamına gelir. Böyle bir eşleştirmenin bir örneği şöyledir:

:

Daha teknik bir ifadeyle, \mathbb{Z} kardinalitesinin  (alef-sıfır) ile eşit olduğu söylenir. \mathbb{Z} ve \mathbb{N} elemanları arasındaki bu eşleştirme, bir bijection olarak adlandırılır.

## Notlar

## Ayrıca bakınız

## Kaynakça

## Bibliyografya

* )
* 
* 
*