Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı

İstatistik bilim dalında, **Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı** veya **Spearman'ın rho**, bu istatistiksel ölçüyü ilk ortaya atan İngiliz psikolog   Charles Edward Spearman'a atfen adlandırılmıştır. Matematik notasyon olarak çok defa eski Yunan harfi ρ (rho okunur) ile belirtilir. Bir parametrik olmayan istatistik ölçüsüdür ve iki değişken arasındaki bağımlılık, yani korelasyon, ölçüsü olarak bulunup kullanılır. Bu demektir ki **Spearman'in rho (ρ) katsayısı** iki değişken için çokluluklar dağılımı hakkında hiçbir varsayım yapmayarak, bu iki değişken arasında bulunan bağlantının herhangi bir monotonik fonksiyon ile ne kadar iyi betimlenebilineceğini değerlendirmek amaçlı incelemedir.

## Yöntem

Prensip olarak *Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı* ρ Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısının özel bir halidir. ρ değerinin hesaplanması için iki değişken (Y ve X) içinde örneklem verilerinin sıralama düzeninde olmaları gereklidir. Genel olarak, örneklem verileri için bu koşul uygun değildir ve veriler sıralama düzeni halinde olmadan oransal ölçekli veya aralıksal ölçekli veya sırasal ölçekli olarak bulunur ve bu halde bir dönüşümle sıralama düzeni haline sokulurlar. Böylece ρ formülü için sıralama düzenli x_i ve y_i örneklem verileri kullanılır.

Sonra iki değişken için karşılıklı veri elemanları (x_i ve y_i)nin sıra numaraları arasındaki fark d_i i=1,...n olarak bulunur. Bu tüm karşılıklı veriler (i=1...n) için uygulanır. Eğer sıra numaraları arasında hiç beraberlik yoksa, ρ değerini bulmak için şu formül kullanılır:

: \rho = 1- {\frac {6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}} 
Burada 
:d_i = x_i - y_i : i elamni X_i ile Y_i sıra numaraları arasındaki fark;
:*n* : iki değişkenli örneklemde toplam gözlem sayısı.

Eğer sıralama esnasında beraberlikler bulunursa, sıralama numaraları verileri olarak kullanılarak klasik Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı formülü kullanılması tavsiye edilir. Bu halde sıralama düzeni hazırlanırken beraberlikler halinde kullanılacak strateji her beraber sıra numaralı veriye beraberlik sıra ortalama değeri verilmesidir (yani 1 2,5 2,5 4 stratejisinin uygulanmasıdır). Bu halde formül şu olur:

:
\rho=\frac{n(\sum x_iy_i)-(\sum x_i)(\sum y_i)}
{\sqrt{n(\sum x_i^2)-(\sum x_i)^2}~\sqrt{n(\sum y_i^2)-(\sum y_i)^2}}.


*Spearman'in ρ* katsayısı değerleri de (aynı *Pearson'un çarpım-moment korelasyon katsayısı* gibi) -1 ile +1 arasında değişir. Uç değerler (yani ρ=-1 ve ρ=+1 ve yakın değerler) iki değişken sıralaması arasında bağlantının çok iyi olduğunu (eğer sıralamalar noktalar olarak bir serpme diyagramına konulursa hepsinin çizilen bir doğru üzerinde olduğunu) gösterirler. Eğer ρ0 ise sıralamalar arasında birlikte (yani birlikte artma veya eksilme) değişme görülür. Eğer ρ=0 ise, sıralamalar arasında hiçbir bağlantını bulunmadığı (ve *serpme diyagrami* üzerinde noktaların rastgele dağıldıkları) sonucu çıkartılır.

## Diğer sıralama korelasyon ölçüleriyle ilişki

*Spearman'in ρ sıralama korelasyon katsayısı* ile Kendal'ın sıralama korelasyon katsayısı τ, bu ölçüleri destekleyen varsayımlara göre, birbiri ile aynıdır. Ancak aynı örneklem veriler serisi ile hesaplanan Spearman ρ katsayısı değeri ile Kendal'ın τ katsayısı değeri birbirinden farklı olacaktır. Buna başlıca neden hesaplama formüllerin geliştirilmesi için kullanılan mantıksal önerimlerin başka olması ve bu nedenle birbirinden çok değişik iki formülün ortaya çıkmasıdır. Bu iki katsayı arasındaki ilişki bir eşitsizlik ile ifade edilmiştir:
:-1 2 hesaplanmaktadır.

Fark kareleri toplamı \sum d_i^2 = 26 olarak bulunmuştur. Hesapların değerleri formüle şöyle konulur:

: \rho = 1- {\frac {6\times26}{8(8^2 - 1)}}

ve şu sonuç bulunur  \rho = 0.6.

Bu ρ=0.6 değeri sıfıra yakın pozitiftir. Sıfıra yakınlığı X ve Y sıralamaları arasındaki bağlantının (korelasyonun) az olduğunu gösterir ve negatif olma ise var zayıf bağlantının aksi yönde olduğunu ifade eder (yani X sıralaması artarsa Y sıralaması düşer ve aksi olur).

Bu veriler içinde beraberlikler bulunmaktadır. Bu nedenle kullanılan genel ρ formülü uygun sonuç vermeyebilir. Daha uygun sonuç bulmak için x ve y sıra numaraları için *Pearson'un çarpım-moment korelasyon katsayısı* bulunması tavsiye edilmektedir.

## ρ kestirimi için anlamlılık sınaması

Eğer hesaplar ve anlamlılık sınaması el hesap makineleri ile yapılmakta ise, klasik çıkarımsal istatistik yöntemleri kullanılmalıdır.

ρ kestirminin anlamlılık sınanması için en basit yaklaşım belirli gözlem sayısı ve belirli anlamlılık düzeyi değerleri için hazırlanmış özel tablolar kullanılarak başarılır. Ancak bu tablolar belirli veri sayısı ve anlamlılık düzeyi dışında ise kullanılamaz.

Önemli kompüter istatistik paketleri Spearman'in sıralamalı korelasyon katsayısını hesapladıkları zaman ek olarak anlamlılık sınaması için p-değerini de yanında vermektedirler.

Diğer bir alternatif yaklaşım eğer örneklem hacmi 20'den büyük ise uygulanabilir. Bu halde Student'in t dağılımına bir yaklaşım kullanılır: 
:t = \frac{\rho}{\sqrt{(1-\rho^2)/(n-2)}}
:\rho = \frac{t}{\sqrt{n-2+t^2}}
değişkeni sıfır hipotez olan ρ=0 için bir Student'in t dağılımı gösterir. Ancak karşıt hipotez biraz zayıftır ve sifir hipotez ret edilnece ρ'nun ne değer alacağını göstermez.

Gözümlenen ρ değerinin anlamlı şekilde 0dan başka değerde olmasını sınama için modern yaklaşım olarak tekrar örnekleme sınaması yöntemi kullanılmaktadır ve bu tip sınama için, sıfır hipotez verilmişse anakütle ρ değerinin örneklemle elde edilen değerde ve ondan büyük olma olasılığı hesap edilir. Bu modern sınama yöntemi ancak kompüter programı yazabilen ve kompüteri iyi kullanabilen bir bilim insanı için çok kolay olabilir.

## Ayrıca bakınız
* Kendall tau sıralama korelasyon katsayısı
* Sıralama korelasyonu
* Chebyshev'in toplam eşitsizliği, tekrar düzenleme eşitsizliği
* Pearson çarpım-moment korelasyon katsayısı
* Korelasyon

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
* http://www.sussex.ac.uk/Users/grahamh/RM1web/Rhotable.htm Küçük örneklemler için ρ için kritik değerler tablosu.
* http://www.wessa.net/rankcorr.wasp  Online ρ hesaplayıcısı.
* https://web.archive.org/web/20120420220419/http://faculty.vassar.edu/lowry/webtext.html Beraberlikler olursa kullanılabilecek bir diğer formül vermekte.
* http://udel.edu/~mcdonald/statspearman.html Spearman'ın sıralama korelasyon katsayısı: Öğrenciler için hazırlanmış bir örnek problem çözümü ve notlar. Hesaplama için Microsoft Excel kullanılması da gösterilir.