Hareket denklemleri

Matematiksel fizik **hareket denklemlerini**, fiziksel bir sistemin hareketi sürecindeki davranışının zamana bağlı bir fonksiyonu olarak tanımlar. Hareket denklemleri, fiziksel bir sistemin davranışını, devinimsel değişkenler üzerinde tanımlanmış matematiksel bir fonksiyon takımı olarak açıklar. Bu değişkenler genellikle uzay koordinatları ve zamandan ibarettir ama gerektiğinde momentum bileşenleri de kullanılır. En yaygın değişken seçeneği, fiziksel sistemin özelliklerini uygun şekilde tanımlayan değişkenlerden oluşan genelleştirilmiş koordinatlardır. Klasik mekanikte bu fonksiyonlar Öklid Uzayı'nda tanımlanmıştır ama görelilikte eğilmiş uzay üzerindeki fonksiyon daha uygundur. Eğer sistemin dinamikleri biliniyorsa bu fonksiyonları tanımlayan denklemler dinamiğin hareketini izah eden diferansiyel denklemlerin çözümleridir.

Hareketin iki açıklaması vardır: dinamik ve kinematik. Parçacığın momenti, kuvvetleri ve enerjisi hesaba katıldığında dinamik geneldir. Bu durumda, bazen terim sisteme uygun bir diferansiyel denkleme (örneğin Newton'un ikinci yasası veya Euler-Lagrange denklemleri) bazen de denklemlerin çözümlerine işaret eder.eder.

Kinematik, konumsal ve zamanla bağlantılı değişkenlerle ilgilendiği için daha anlaşılabilirdir. İvmenin sabit olduğu durumda, hareketin bu denklemleri genellikle yer değiştirme (Y), ilk hız (İ), son hız (S), ivme (İ) ve zaman (Z) (kinematik büyüklüklerin doğduğu kavramlardan bazıları) denklemleriyle ("YİSİZ" olarak kısaltılabilen denklemler) çözülebilir.

Bu sebeplerden dolayı hareket denklemleri, hareketin bu ana sınırlandırıcılarıyla gruplandırılabilir. Tüm durumlarda hareketin ana türü; çeviri, rotasyon, salınım ya da bunların kombinasyonudur.

Tarihsel açıdan, hareket denklemleri klasik mekanikle başlamıştır ve çok büyük nesnelerin hareketini tarif ederken göksel mekanikle büyümüştür. Daha sonra hareket denklemleri elektrik ve manyetik alan içindeki yüklenmiş parçacıkların hareketini tarif ederken elektrodinamikte gözükmüştür. Genel göreliliğin gelişi ile klasik hareket denklemleri değiştirilmiştir. Tüm bu durumlarda, kuvvetler ve enerji değişimlerinden etkilenmiş olan parçacığın yörüngesini uzay ve zaman koordinatları cinsinden içeren bir diferansiyel denklem şeklinde ifade edilmiştir. Kuantum mekaniğinin denklemi dahi hareket denklemi şeklinde düşünülebilir. Çünkü o denklemler dalga fonksiyonlarının kuantum durumunun nasıl davranacağını benzer olarak parçacığın uzay ve zaman koordinatlarını kullanarak açıklayan diferansiyel denklemleriydi. Hareket denklemlerinin benzeşleri önemlidir. Dalgalar da bu benzerliklerin fiziğin diğer dallarındaki önemli örneklerindendir.

## Giriş

### Nitel

Hareket denkleminin genel anlamda kapsadıkları:
*genellikle herhangi bir fiziksel yasa ve uygulanan tanımları fiziksel nicelikleri olarak tanımlanan bir hareketin diferansiyel denklemi problem için bir denklem kurmak üzere kullanmak,
*sınır ve başlangıç değerlerini belirlemek,
*pozisyonun veya momentumun fonksiyonu ve zaman değişkenleri, sistemin kinematiğini tarif etmek,
*sınır ve başlangıç değerlerini kullanarak sonuçta oluşan diferansiyel denklemi çözmek.

Diferansiyel denklem, uygulamanın genel tanımıdır ve belirli bir durum için ayarlanabilir. Çözüm tam olarak sistemin nasıl hareket edebileceğini başlangıç anından sonraki herhangi bir an için sınır değerlerini kullanarak tanımlar.

### Nicel

Newton mekaniğinde, hareket denklemi *M* genel formu olan ikinci dereceden olan adi diferansiyel denklemler halini alır, obje **r** konumundayken (detaylar için aşağıya bakınız)

:M\left[\mathbf{r}(t),\mathbf{\dot{r}}(t),\mathbf{\ddot{r}}(t),t\right]=0

burada t zamandır ve konum fonksiyonu **r** üstündeki her bir nokta konumun zamana göre o dereceden türevini ifade eder.

Başlangıç koşulları *t* = 0 anındaki sabit değerlerle verilir;

 \mathbf{r}(0), \quad \mathbf{\dot{r}}(0). 

Bir başka dinamik değişken ise parçacığın **p** momentumudur. Hareket denklemlerinden çözülecek nicelik olarak **r** yerine kullanılabilir (ama daha az yaygın bu kullanım), açıklamak gerekirse, momentumdaki ikinci dereceden adi diferansiyel denklem:

:\tilde{M}\left[\mathbf{p}(t),\mathbf{\dot{p}}(t),\mathbf{\ddot{p}}(t),t\right]=0

Belirli başlangıç değerlerine sahip hareket denkleminin çözümü **r** (veya **p**), sistemi t = 0'dan sonraki tüm t zamanları için tanımlar. Birden çok parçacık için, ayrı denklemler vardır her bir parçacık için (İstatistiksel mekanikte, bu birçok parçacığın istatistiksel topluluğu ile çelişir ve çok parçacıklı sistemlerle, kuantum mekaniğindeki - tüm parçacıkların tek bir olasılık dağlımı ile tanımlandığı) bazen, denklem lineer olur ve kesin olarak çözülebilir. Genelde, denklem lineer değildir ve kaotik bir davranış halinde olur, sistemin ne kadar duyarlı bir başlangıç koşuluna sahip olmasıyla kaotiklik değişir.

Genelleştirilmiş Lagrange mekaniğinde, genelleştirilmiş koordinatlar **q** (veya genelleştirilmiş momentum **p**) genel konum (veya momentum) ile yer değiştirir. Hamiltonian mekaniğinde bu durum oldukça farklıdır, iki birinci dereceden denklem vardır, genelleştirilmiş koordinatlar ve momentum:

:M\left[\mathbf{q}(t),\mathbf{\dot{q}}(t),t\right]=0,\quad \tilde{M}\left[\mathbf{p}(t),\mathbf{\dot{p}}(t),t\right]=0

**q** genelleştirilmiş koordinatların değişkenler grubu ve benzer olarak **p** genelleştirilmiş momentumun değişkenler grubudur. Başlangıç koşulları da aynı şekilde tanımlanmıştır.

## Bir parçacık için kinematik denklem

### Kinematik nicelikler

Anlık pozisyondan **r** = **r** (*t*), anlık belirli bir an için zamanın değeri, anlık hız **v** = **v** (*t*) ve ivme **a** = **a** (*t*), koordinattan bağımsız genel tanımları vardır;

: \mathbf{v} = \frac{d \mathbf{r}}{d t}, \quad \mathbf{a} = \frac{d \mathbf{v}}{d t} = \frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2} \,\!

Hız vektörünün her zaman hareketin yönüne doğru olduğuna dikkat etmek gerekir. Bir diğer deyişle, eğimli yörüngeye teğet vektörüdür. Detaya girmeden konuşursak, birinci derecen türevler eğimlerin teğetleriyle bağlantılıdır. Yine eğimli yörüngeler için, ivme vektörü yörüngenin eğrilik merkezine doğrudur. Tekrar, detaya girmeden konuşursak, ikinci dereceden türevleri eğrilikle ilgilidir.

Bu niceliklerin dönüş hareketindeki karşılıkları açısal konum *θ* = *θ*(*t*) (bir eksene göre dönen parçacığın açısı), açısal hız *ω* = *ω*(*t*) ve açısal ivme *a* = *a*(*t*) olarak ifade edilir:

: \boldsymbol{\omega}= \mathbf{\hat{n}}\frac{d \theta}{d t}, \quad \boldsymbol{\alpha}= \frac{d \mathbf{\omega}}{d t} = \mathbf{\hat{n}}\frac{d^2 \theta}{d t^2} \,\!
ve 
:\mathbf{\hat{n}} = \mathbf{\hat{e}}_r\times\mathbf{\hat{e}}_\theta \,\!
burada \mathbf{\hat{n}} dönme ekseniyle aynı doğrultudaki birim vektördür. \mathbf{\hat{e}}_r \,\! \mathbf{r}'nin yönündeki birim vektördür ve \mathbf{\hat{e}}_\theta \,\! açıya teğetsel bir birim vektördür. Bu dönüşsel tanımlarda, açı belirlenmiş bir eksene göre herhangi bir açı olabilir. Açısal hız geleneksel olarak \theta ile gösterilir, ama bu sembol polar koordinat sistemlerinde kullanılan \theta ile karıştırılmamalıdır.

**ω** açısal hızıyla, herhangi bir eksen etrafında yörüngelenen, noktasal parçacıklar için geçerlidir, birazdan yazılacak olan denklemler:

: \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r} \,\!
: \mathbf{a} = \boldsymbol{\alpha}\times \mathbf{r} + \boldsymbol{\omega}\times \mathbf{v} \,\!

**r** açısal konum, **v** parçacığın teğetsel hızı ve **a** parçacığın ivmesidir. Bu denklemler, dönüşün herhangi sürecinde, bir katı cismin herhangi bir noktası için de doğrudurlar.

### Tek biçimli ivmelenme

#### Sabit lineer ivme: Doğrudaş vektörler

Bu denklemler, üç boyutlu düzlemde düz çizgi üstünde sabit ivme ile ilerleyen parçacıklar için lineer olarak ilerleyen parçacıklara uygulanır. Bunun sebebi konum, hız ve ivme doğrudaş olduğundan (paralel ve aynı düzlemde olan) - sadece bu vektörlerin büyüklükleri gerekli olmasıdır, çünkü hareket düz bir çizgide olduğundan, problem üç boyuttan bir boyuta etkili bir şekilde düşmektedir.

:\begin{align}
v & = at+v_0 \quad [1]\\
\end{align}
:\begin{align}
r & = r_0 + v_0 t + \frac_r \frac{d r}{dt} + r \omega \mathbf{\hat{e}}_\theta \\
\mathbf{a} & =\left ( \frac{d^2 r}{dt^2} - r\omega^2\right )\mathbf{\hat{e}}_r + \left ( r \alpha + 2 \omega \frac{dr}{dt} \right )\mathbf{\hat{e}}_\theta 
\end{align} \,\!

\scriptstyle \mathbf{\hat{e}}_r ,  \mathbf{\hat{e}}_\theta, \,\! polar koordinatın birim vektörleridir. İvmedeki, (–*rω*2) merkeze doğru olan ve 2*ω*d*r*/d*t* coriolis etkisinden oluşan ivmelenmelerdir.

Hareketin özel durumları tanımlanırken, bu durumlar aşağıdaki tabloda kısaca anlatılmıştır. İki tanesi zaten yukarıda tartışıldı, bu durumlarda ya yarıçapsal ya da açısal bileşeni sıfırdır ve sıfır olamayan bileşeni hareketin tektik ivmelenmeyi tanımlar.

## Genel üç boyutlu hareket

Üç boyutlu uzayda, denklemler küresel koordinatlarda olduğundan daha karışık ve hantal oluyor. (*r*, *θ*, *ϕ*), \scriptstyle \mathbf{\hat{e}}_r, \mathbf{\hat{e}}_\theta, \mathbf{\hat{e}}_\phi \,\! Birim vektörleriyle birlikte, sırasıyla konum, hız ve ivme olarak sıralanabilir.

: \begin{align}
\mathbf{r} & =\mathbf{r}\left ( t \right ) = r \mathbf{\hat{e}}_r\\
\mathbf{v} & = v \mathbf{\hat{e}}_r + r\,\frac{d\theta}{dt}\mathbf{\hat{e}}_\theta + r\,\frac{d\phi}{dt}\,\sin\theta \mathbf{\hat{e}}_\phi \\
\mathbf{a} & = \left( a - r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 - r\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2\sin^2\theta \right)\mathbf{\hat{e}}_r \\
 & + \left( r \frac{d^2 \theta}{dt^2 } + 2v\frac{d\theta}{dt} - r\left(\frac{d\phi}{dt}\right)^2\sin\theta\cos\theta \right) \mathbf{\hat{e}}_\theta \\
 & + \left( r\frac{d^2 \phi}{dt^2 }\,\sin\theta + 2v\,\frac{d\phi}{dt}\,\sin\theta + 2 r\,\frac{d\theta}{dt}\,\frac{d\phi}{dt}\,\cos\theta \right) \mathbf{\hat{e}}_\phi
\end{align} \,\!

### Bir parçacığın harmonik hareketi

#### Öteleme

Hareketin kinematik denklemi, basit harmonik hareket için olan, genel frekans ve periyot (bir devrin tamamlanma süresi) ile bağlantılıdır:

:\frac{d^2 x}{d t^2} = -\omega^2 x 

Birçok sistem yaklaşık olarak basit harmonik hareketi gerçekleştirir. Karışık harmonik salınım basit harmonik hareketin süperpozisyonudur.

:\frac{d^2 x}{d t^2} = -\sum_n \omega_n^2 x 

Basit harmonik hareketin herhangi bir yönde oluşması mümkündür, neden olmasın:

:\frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2} = -\sum_n \omega_n^2 \mathbf{r}_n 

ve bu denklem birden çok boyutlu harmonik salınım diye bilinir. Kartezyan koordinatlarda, konumun her bileşeni süperpozisyonudur, basit harmonik hareketin sinüslü biçiminin.

#### Rotasyon

Basit harmonik hareketin rotasyonal analogu düz yolda dayanak noktasına veya eksene göre olan açısal salınımdır.

:\frac{d^2 \theta}{d t^2} = -\omega^2 \theta 

*w* açısal frekansı salımın hareketinin, ama dikkat edin ki açısal hız değil.

Bu biçim (hiç değilse yaklaşık olarak) tanımlanabilir, titreşim olarak. Karışık analog yine basit harmonik salınım süperpozisyonudur.

:\frac{d^2 \theta}{d t^2} = - \sum_n \omega_n^2 \theta 

## Hareketin dinamik denklemi

### Newton mekaniği

Hareket denklemini vektör biçiminde yazmak Newton'un hareket yasalarını kullanarak basit olabilir ama bileşenleri değişebilir ve karışık olduğundan onları çözmek zor olabilir.. Genellikle soruyu tam olarak çözebilmemizi engelleyecek kadar değişkenlerin fazlalığına takılabiliriz, bu yüzden Newton'un yasaları parçacığın hareketini anlamada en etkili yöntem değildir. Dikdörtgen geometrisinin daha basit durumlarında, kartezyen koordinatların kullanımı çok güzel çalışır, ama diğer koordinat sistemleri üzücü bir şekilde daha karışık olabilir.

#### Newton'un translasyon olan ikinci yasası

İlk gelişme ve en ünlü olan gelişme Newton' un ikinci hareket yasasıdır. Bunu yazmanın birden çok yolu vardır, en çok kullanılanı;

: \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} 

**p** = **p**(*t*) parçacığın momentumu ve **F** = **F**(*t*) parçacığın sonuç olan harici kuvvettir, parçacık üstündeki - her durumda *t* zaman için kullanılmıştır. Bu yasa daha popüler bir şekilde şöyle kullanılır;

: \mathbf{F} = m\mathbf{a} 

*m* sabit olduğundan dolayı, Newton mekaniğinde. Momentumun biçimi seçilebilirdir, çünkü rahatlıkla karışık sistemlere genelleştirilebilir ve bu genelleştirmeye özel ve genel görecelikte dahildir, çünkü momentum korunabilir bir nicelik olduğundan dolayı; ki daha derin ve temel bir önem arz ettiğinden, pozisyon vektörüne göre veya momentumun zamana göre, türevine göre.

Birden çok parçacık için;

: \frac{d\mathbf{p}_i}{dt} = \mathbf{F}_{E} + \sum_{i \neq j} \mathbf{F}_{ij} \,\!

**p***i* = *i*. parçacığın momentumu, **F**ij = *j* parçacığı tarafından *i* parçacığına uygulanan kuvvet ve **F**E = soçun olan dış kuvvet. *i* parçacığı kendi kendisine bir kuvvet uygulamaz.

#### Newton'nun (Euler'in) ikinci yasası rotasyon için olan

Katı cisimler için, Newton'nun ikinci yasası rotasyon için translasyon için aldığı biçimi alır;

:\mathbf{\tau} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} \,\!

**L** açısal momentumdur, burada. Kuvvet ve ivmenin analog;

: \mathbf{\tau} = \mathbf{I} \cdot \boldsymbol{\alpha}

**I** burada eylemsizlik momentidir. Benzer şekilde, birden çok parçacık için, hareket denklemi yazılır bir parçacığın;

: \frac{d\mathbf{L}_i}{dt} = \mathbf{\tau}_E + \sum_{i \neq j} \mathbf{\tau}_{ij} \,\!

*L*'*i* = açısal momentumudur *i*. parçacığın, **τ***ij* = *i*. parçacığın torkudur ve **τ***E* = sonuç olan dış torktur. *i* parçacığının kendi üstüne tork uygulayamaz.

#### Uygulamalar

Newton yasasının bazı örnekleri sarkacın hareketinin tanımlanmasında da kullanılır;

: - mg\sin\theta = m\frac{d^2 (\ell\theta)}{d t^2} \quad \Rightarrow \quad  \frac{d^2 \theta}{d t^2} = - \frac{g}{\ell}\sin\theta  \,\!

sönümlü, kararlı harmonik salınım için;

: F_0 \sin(\omega t)=m\left(\frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x \right),

veya bir top havaya atılmış olan, hava akımı (rüzgar gibi) direnç gösteren kuvvetlerin vektör alanı ile tanımlanan **R**(**r**, *t*) için;

: - \frac{GmM}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{e}}_r + \mathbf{R} = m\frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2} + 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2 \mathbf{r}}{d t^2} = - \frac{GM}{|\mathbf{r}|^2} \mathbf{\hat{e}}_r + \mathbf{A} \,\!

*G* = yer çekimsel sabit, *M* = dünyanın kütlesi ve **A**=**R**/*m* atılan cismin ivmesi hava akımına göre ve herhangi bir **r** pozisyonunda *t* zamanında. Newton'un yerçekimi yasası kullanılmıştır. Atılan cismin kütlesi *m* nötürleşir.

### Öklidiyen mekaniği

Euler, Newton'nun yasalarına benzeş bir şekilde katı cisimlerin hareketi için yasalar geliştirdi.

### Newton–Euler denklemleri

Euler'in denklemlerini toplayıp sadece bir denkleme sığdıran denklemlerdir.

## Analitik mekanik

### Kısıtlamalar ve Hareket

Eğer sistemde kısıtlamalar varsa üç boyutlu düzlemin tüm koordinatlarını kullanmak gereksizdir. Genelleştirilmiş koordinatlar **q**(*t*) = [*q*1(*t*), *q*2(*t*) ... *q<sub>N</sub>*(*t*)], *N* sistemin tüm serbestlik derecesinin toplamı, koordinat setlerinden herhangi birini sistemin konfigürasyonunu ark boyları ve açılar biçiminde tanımlanmasında kullanılır. Hatır sayılır derecede yalınlaştırmalar vardır hareketi tanımlarken, çünkü esas kısıtlamaların avantajıyla sistemin hareketini limitleyerek - mesela, birkaç koordinatta olan bir hareket minimuma indirgenmeye çalışılabilir, tüm koordinatları kullanarak tanımlanması yerine.

Genelleştirilmiş koordinatlar aşağıdakilere tekabül eder;

* onların zamana göre türevleri, genelleştirilmiş hızları: \mathbf{\dot{q}} = d\mathbf{q}/dt ,
* konjugate genelleştirilmiş momenta: \mathbf{p} = \partial L/\partial \mathbf{\dot{q}} = \partial S /\partial \mathbf{q},
* Lagrangian konfigürasyonun fonksiyonudur **q**, konfigürasyonun değişim oranı d**q**/d*t* ve zaman t; L = L\left [ \mathbf{q}(t), \mathbf{\dot{q}}(t), t \right ] ,
* Hamiltionian konfigürasyonun fonksiyonudur **q**, hareket **p** ve zaman t;S[\mathbf{q},t] = \int_{t_1}^{t_2}L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)dt.

Lagrangian veya Hamiltonian fonksiyonu **p'' ve **q*' değişkenlerini kullanarak kurulmuş bir sistemdir ve bunlar Euler-Lagrange veya Hamilton'nın denklemlerinin içine sistemin bir diferansiyel denklemini elde etmek için sokulmuştur. Bunlar koordinat ve momenta için çözülür.

===Genelleştirilmiş klasik hareket denklemi===


===En az hareketin prensibi===

Hareketin tüm klasik denklemleri, değişken prensibi tarafından elde edilebilir.

:<math>\delta S = 0 </math>

sistemin konfigürasyon uzayında gideceği yol belirlenebilir ve o yol en az hareketin olduğu yoldur.

===Euler-Lagrange denklemleri===

Euler-Lagrange denklemleri şunlardır;

:<math> \frac{d}{d t} \left ( \frac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{q}} } \right ) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{q}} </math>

Lagrangian'da yerine koyduktan sonra, kısmi türevleri hesaplanmış ve yalınlaştırılmış, ikinci derecen adi diferansiyel denklem her *q*<sub>i</sub> için elde edilmiştir.

===Hamilton denklemleri===

Hamilton denklemleri şunlardır;

:<math>\mathbf{\dot{p}} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}} \quad \mathbf{\dot{q}} = + \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} </math>

Fark edilmesi gereken şudur ki, denklemler simetriktir, (aynı biçimde kalmaktadırlar) bu değiş tokuşlara yaparak eşzamanlı olarak:

:<math>\mathbf{p} \rightleftharpoons \mathbf{q}, \quad H \rightarrow -H . </math>

Hamiltonian'da yerine koyduktan sonra, kısmi türevleri hesaplanmış ve yalınlaştırılmış, iki birinci derecen adi diferansiyele denklem her *q*<sub>i</sub> ve *p*<sub>i</sub> için elde edilmiştir.

===Hamilton-Jacobi denklemi===

Hamilton'ın formalizmi şöyle yazılabilir;



:<math> - \frac{\partial S(\mathbf{q},t)}{\partial t} = H\left(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t \right)  </math>

Denklemin basit bir biçimi olduğu halde, aslında bir lineer olmayan kısmi bir diferansiyel denklemdir, ilk derecesi *N*+1 değişkenli olan, *2N*li olması yerine. *S'' aksiyonundan dolayı, korunabilir nicelikleri tanımlarken kullanılabilir, mekanik sistemlerde, hatta ne zaman bu mekanik problemin kendisi tam olarak çözülemez, çünkü fiziksel sistemin aksiyonun diferansiyellenebilir simetrisi korunum kanuna uygun düşer. Bu teori Emmy Noether sayesinde vardır.

## Kaynakça

## Dış bağlantılar
* Equations of Motion Applet