Eğim

Matematikte bir doğrunun **eğim**i ya da **gradyan**ı o doğrunun dikliğini, eğimliliğini belirtir. Daha büyük eğim, daha dik bir doğru demektir.

Eğim, bir doğrunun herhangi iki noktası arasındaki dikey değişimin yatay değişime oranı olarak tanımlanabilir. Bir doğru üzerinde (*x*1,*y*1) ve (*x*2,*y*2) koordinatlarında iki nokta verildiğinde doğrunun eğimi m, m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} formülüyle bulunabilir.

Diferansiyel kalkülüs ile, bir teğetin, bir eğrinin herhangi bir noktasındaki eğimi hesaplanabilir.

Eğim kavramı, coğrafya ve inşaat mühendisliğindeki grad ve gradyanlarda doğrudan kullanılmaktadır. Trigonometri açısından bir yolun gradı *m* ile diklik açısı *θ* arasındaki ilişki; m = \tan \theta\!'dır.

## Tanımı

Koordinat düzlemindeki bir doğrunun eğimi çoğunlukla *m* harfiyle ifade edilir ve doğru üzerindeki iki noktadan *y* koordinatındaki değişimin *x* koordinatındaki değişime oranı olarak hesaplanabilir. Denklem olarak şu şekilde yazılır:

:m = \frac{\Delta y}{\Delta x}

(*x*1,*y*1) ve (*x*2,*y*2) şeklinde iki nokta verildiğinde, değişkenleri yerine yazarak şu elde edilir:

:m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

### Örnekler
Bir doğru *P*&nbsp;=&nbsp;(1, 2) ve *Q*&nbsp;=&nbsp;(13,8) noktalarından geçiyor olsun. *y* koordinatlarındaki değişimi *x* koordinatlarındaki değişime oranlayarak eğimi şu şekilde bulunabilir:
:m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{13 - 1} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

Bir başka örnek vermek gerekirse, (4,15) ve (3,21) noktalarından geçen doğrunun eğimi şu şekilde hesaplanır:
:m = \frac{ 21 - 15}{3 - 4} = \frac{6}{-1} = -6

## Geometri
Eğimin mutlak değeri arttıkça, doğrunun dikliği artar. Yatay bir doğrunun eğimi 0 iken, pozitif yönde 45° açı yapan bir doğrunun eğimi +1, negatif yönde 45° açı yapan bir doğrunun eğimi ise -1'dir. Dikey bir doğrunun eğimi tanımsızdır, dolayısıyla eğimi yoktur.

Bir doğrunun pozitif *x* aksisiyle yaptığı θ açısı, tanjant fonksiyonu aracılığıyla *m* eğimiyle yakından ilgilidir:
:m = \tan\,\theta
ve
:\theta = \arctan\,m

İki doğru, ancak ve ancak eğimleri eşitse ya da ikisi de dikey ve eğimleri tanımsızsa paralel ve çakışmazdır. İki doğrunun eğimleri çarpımı -1 ise ya da doğrulardan biri yatay, biri dikeyse (eğimleri 0 ve tanımsızsa) doğrular birbirine diktir. 

## Cebir
Eğer *y*, *x*`in doğrusal fonksiyonuysa, *x*`in katsayısı fonksiyon doğrusunun eğimini verir. Doğrunun denklemi aşağıdaki gibi verilirse,
:y = mx + b \,
*m* eğim olur.

Eğer doğrunun eğimi *m* ve doğru üzerindeki bir nokta (*x*1,*y*1) biliniyorsa, doğrunun denklemi aşağıdaki gibi bulunabilir:
:y - y_1 = m(x - x_1)\!

Örneğin, (2,8) ve (3,20) noktalarından geçen bir doğru ele alındığında, eğim *m* şuna eşittir:
:\frac {(20 - 8)}{(3 - 2)} \; = 12 \,

Doğrunun denklemi de şu şekilde:
:y - 8 = 12(x - 2) = 12x - 24 \,
ya da şu şekilde: 
:y = 12x - 16. \,
yazılabilir.

:ax + by +c = 0 \, şeklinde tanımlanan bir fonksiyonun eğimi -\frac {a}{b} \;'ye eşittir.

## Kalkülüs

Eğim kavramı diferansiyel kalkülüste çok kullanılmaktadır. Doğrusal olmayan fonksiyonlarda, değişim oranı eğri boyunca değişir. Bir noktada fonksiyonun türevi, o noktada eğriye teğet olan doğrunun eğimini (o noktadaki değişim oranını) verir.

Δ*x* ve Δ*y* eğri üzerindeki iki noktanın uzaklıklarıysa, yukarıdaki tanıma uygun olarak,

:m = \frac{\Delta y}{\Delta x},

formülü eğriyi kesen bir doğrunun eğimini verir. Diğer eğrilerden farklı olarak, doğru üzerindeki herhangi iki noktadan geçen bir *kesen* doğrunun kendisidir. Örneğin, *y* = *x*2 eğrisini (0,0) ve (3,9) noktalarında kesen doğrunun eğimi 3'tür. ('daki teğetin eğimi de 3'tür-ortalama değer teoreminin bir tesadüfü.)

İki nokta Δ*y* ve Δ*x* küçülecek şekilde birbirine yakınlaştırıldığına, *kesen*, gittikçe teğet doğrusuna yaklaşır. Dolayısıyla *kesen*in eğimi de teğetin eğimine yaklaşır. Diferansiyel kalkülüs kullanılarak, limiti bulunabilir ya da Δ*y* ve Δ*x* sıfıra yaklaşırken Δ*y*/Δ*x*`in değeri hesaplanabilir. Eğer *y*, *x*`e bağlıysa, sadece Δ*x*in sıfıra yaklaşırken limiti almak yeterlidir. Teğet doğrusunun eğimi, Δ*x* sıfıra yaklaşırken Δ*y*/Δ*x*`in limitine eşittir. Bu limit türev olarak adlandırılır.

## Ayrıca bakınız
* Gradyan, birden fazla değişken alan fonksiyonlar için eğim kavramının genelleştirilmesidir.
* Öklid uzaklığı

## Dış bağlantılar