Binom dönüşümü

Tümleşik matematikte **binom dönüşümü** bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan **Euler dönüşümüyle** yakından ilintilidir.

## Tanım
Bir \{a_n\} dizisinin **binom dönüşümü** (*T*)

:s_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} a_k

olarak tanımlanan \{s_n\} dizisidir.

(Ta)_n = s_n yazımında *T* bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir:

:s_n = (Ta)_n = \sum_{k=0}^\infty T_{nk} a_k

Bu dönüşüm bir kıvrılmadır.

:TT = 1

Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir.

:\sum_{k=0}^\infty T_{nk}T_{km} = \delta_{nm}

Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir.

:a_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} s_k

işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir.

Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin *n.* ileri farkıdır.

:s_0 = a_0
:s_1 = - (\triangle a)_0 = -a_1+a_0
:s_2 = (\triangle^2 a)_0 = -(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0) = a_2-2a_1+a_0
:\dots\, 
:s_n = (-1)^n (\triangle^n a)_0

Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir.

Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm

:t_n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k} {n\choose k} a_k

biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi

:a_n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} t_k

olarak yazılır.

## Örnek

Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir.

0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ((2n^2+n) 3^{n-2} tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin (n^2 2^{n-1} tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür.

## Değişim durumları
Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle,

:B_{n+1}=\sum_{k=0}^n {n\choose k} B_k

eşitliği sağlanmaktadır. Burada B_n Bell sayılarını göstermektedir.

## Olağan üretici işlev
Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için

:f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n

ve

:g(x)=\sum_{n=0}^\infty s_n x^n

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

:g(x) = (Tf)(x) = \frac{1}{1-x} f\left(\frac{x}{x-1}\right)

ifadesine ulaşılabilir.

## Euler dönüşümü
Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman **Euler dönüşümü** olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle,

:\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n 
\frac {\Delta^n a_0} {2^{n+1}}

ifadesinde *x* yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.

Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir:

*p* = 0, 1, 2, … için

:\sum_{n=0}^\infty (-1)^n {n+p\choose n} a_n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n 
{n+p\choose n}\frac {\Delta^n a_0} {2^{n+p+1}}

eşitliği sağlanır.

Euler dönüşümü \,_2F_1 hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü

:\,_2F_1 (a,b;c;z) = (1-z)^{-b} \,_2F_1 \left(c-a, b; c;\frac{z}{z-1}\right)

olarak ifade edilebilmektedir.

Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. 0  sayısının sürekli kesir ifadesinin

:x=[0;a_1, a_2, a_3,\cdots]

olduğu varsayılsın. Buradan

:\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1, a_2, a_3,\cdots]

ve

:\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1, a_2, a_3,\cdots]

sonuçlarına ulaşılabilmektedir.

## Üstel üretici işlev
Üstel üretici işlev için

:\overline{f}(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{x^n}{n!}

ve

:\overline{g}(x)= \sum_{n=0}^\infty s_n \frac{x^n}{n!}

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

:\overline{g}(x) = (T\overline{f})(x) = e^x \overline{f}(-x)

eşitliğine ulaşılır.

Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir.

## İntegral biçimindeki ifadesi
Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir.

## Genellemeler
Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir.

:u_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} a^k (-c)^{n-k} b_k

eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında

:U(x) = \frac{1}{cx+1} B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)

ifadesine ulaşılır. Burada *U* ve *B* sırasıyla \{u_n\} ve \{b_n\} dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir.

Artan *k*-binom dönüşümü zaman zaman

:\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^k a_j

biçiminde, azalan *k*-binom dönüşümü

:\sum_{j=0}^n {n\choose j} j^{n-k} a_j

biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir.

Binom dönüşümü

:\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}a_i=b_n

olarak tanımlanır, bu ifade

\mathfrak J(a)_n=b_n

işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından \{b_n\} gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü

:\mathfrak J^2(a)_n=\sum_{i=0}^n(-2)^{n-i}\binom{n}{i}a_i

ifadesine eşit olur.

Aynı işlem *k* kez yinelendiğinde

:\mathfrak J^k(a)_n=b_n=\sum_{i=0}^n(-k)^{n-i}\binom{n}{i}a_i

eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi

:\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=\sum_{i=0}^nk^{n-i}\binom{n}{i}b_i

olarak yazılır.

Bu ifadenin genel biçimi

:\mathfrak J^k(a)_n=b_n=(\mathbf E-k)^na_0

olarak yazılabilir. Burada \mathbf E değişim işlecini göstermektedir.

Bu ifadenin tersi

:\mathfrak J^{-k}(b)_n=a_n=(\mathbf E+k)^nb_0

biçiminde gösterilir.

## Ayrıca bakınız
* Newton dizisi
* Hankel matrisi
* Möbius dönüşümü
* Stirling dönüşümü
* Euler toplamı

## Kaynakça

* 
* John H. Conway & Richard K. Guy, 1996, *The Book of Numbers*
* Donald E. Knuth, *The Art of Computer Programming Cilt 3*, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
* Helmut Prodinger, 1992, *[http://math.sun.ac.za/~prodinger/abstract/abs_87.htm Some information about the Binomial transform]*
* Michael Z. Spivey & Laura L. Steil, 2006, *[http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL9/Spivey/spivey7.pdf The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform]* 
* Borisov B. & Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

## Dış bağlantılar
* Binom Dönüşümü