Pro sonlu grup

**Pro sonlu gruplar**, Matematikte ilk olarak sayılar kuramında görülmüştür. 19. yüzyılın sonlarına doğru kongurans sistemlerini çalışmak için Alman matematikçi Hensel tarafından bulunan p-sel tamsayılar halkası **Z***p*, pro-sonlu grupların en temel örneklerinden birisidir. Alman matematikçi Krull herhangi bir sonsuz Galois genişlemesinin Galois grubunun aslında doğal bir şekilde pro-sonlu grup yapısına sahip olduğunu gördü. Bu yapının sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla belirlendiğini gösterdi. Daha sonra, cebirsel geometri alanında Grothendieck, şemaların temel gruplarını birer pro-sonlu grup olarak tanıttı.

## Tanım
   
Ayrık topoloji ile donatılmış bir takım sonlu grupların oluşturduğu projektif sistemin projektif limitine izomorf olan topolojik gruplara pro-sonlu grup denir. Bahsi geçen sistem, (I, \le) yönlü bir küme (yani, her sonlu altkümesinin bir üst sınıra sahip olduğu yarı-sıralı küme) olmak üzere; sonlu gruplardan oluşan bir {G_i} ailesi ile aşağıdaki kosulları sağlayan \{f_{j,i}: G_j \to G_i \mid i, j \in I, i \le j\} şeklindeki grup homomorfizmaların ailesinden oluşur:
* Her i\le j\le k için f_{k,i}=f_{j,i}\circ f_{k,j}
* Her i\in I için f_{i,i}=id_{G_i} (yani f_{i,i}, G_i üzerine birim fonksiyondur.)

Böyle bir sistemin projektif limiti

\lim_{\leftarrow}{G_i} = \left\{ (g_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I} G_i : f_{j,i} (g_j) = g_i \text{ for all } j \ge i \right\}

şeklinde bir küme ile tanımlanır. (Projektif limitin tanımı sağladığı evrensel özellikle daha soyut olarak verilebilir.) Bu küme üstündeki topolojik grup yapısı en doğal haliyle gelir. Sonlu G_i grupları, ayrık topoloji ile donatılırsa projektif limit çarpım topolojisinden inen topolojiyle bir topolojik uzay olur. Ayrıca \prod G_i  çarpım grubunun ikili işlemi olan noktasal toplama ile birlikte limit aynı zamanda bir grup yapısına sahiptir.

Pro-sonlu grupların sağladığı bir takım topolojik özellikleri bakımından daha sade bir başka karakterizasyonu mevcuttur. Her pro-sonlu grup aslında Hausdorff, kompakt ve tümden bağlantısız (yani, tek nokta altkümelerinden başka bağlantılı altkümesi yoktur) bir topolojik gruptur. Tersine bir G topolojik grubu bu üç özelliğe sahip ise bir pro-sonlu gruptur. Nitekim, G/N bölüm gruplarının G nin açık ve normal olan tüm N altgrupları üzerinden projektif limiti \lim_{\leftarrow}{G/N}, G topolojik grubuna topolojik grup olarak izomorftur. Burada her bir bölüm grubu sonlu grup olduğundan limit bir pro-sonlu gruptur. Dolayısıyla G topolojik grubu bu izomorfizma vasıtasıyla pro-sonlu grup olarak görülür.
## Pro-sonlu tamlanış
Verilen bir gruptan doğal bir şekilde pro-sonlu grup elde etmenin bir yolu, o grubun sonlu bölüm gruplarının projektif limitini almaktır. Nitekim bir G grubunun sonlu indeksli normal altgrupları kümesi I=\{H\triangleleft G: H \ \text{sonlu indeksli}\}, kapsama ilişkisi ile birlikte bir yönlü küme oluşturur. Sıralama N\le N' \iff N'\subset N şeklindedir. Bu durumda X=\{G/N: N\triangleleft G \ \text{sonlu indeksli}\} kümesiyle xN'\mapsto xN ile tanımlı f_{N',N}: G/N' \to G/N grup homomorfizmaları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin projektif limitine G grubunun **pro-sonlu tamlanışı** denir ve \widehat{G} ile gösterilir. Daha açık bir ifadeyle pro-sonlu tamlanış,

\widehat{G}=\lim_{\leftarrow}{G/N}=\{(g_N)_{N\in I}\in \prod_{N\in I} G/N : \ g_{N'} \equiv g_N\pmod{N}\ \ \text{for all} \ N'\subset N\}

şeklinde verilir. Burada G ile \widehat{G} arasında g \mapsto (gN)_N ile tanımlı doğal bir \pi : G\to \widehat{G} grup homomorfizması mevcuttur. G grubunun \pi altındaki imgesi \widehat{G} içinde yoğundur. Bu homomorfizmanın birebir olması için gerek ve yeter koşul \bigcap_{N\in I}N = 1 olmasıdır. Özel olarak G yerine \mathbb{Z} tamsayılar grubunu alırsak, \pi  homomorfizması \mathbb{Z} tamsayılar grubunu \widehat{\mathbb{Z}} pro-sonlu tamlanışı içine gömer. Dolayısıyla tamsayılar kendi tamlanışı içinde yoğun bir şekilde yaşar. Bu tamlanışın elemanlarına pro-sonlu tamsayılar denir.
## Örnekler
* Tüm ayrık sonlu topolojik gruplar pro-sonludur.
* Toplamsal p-sel tamsayılar grubu \mathbb{Z}_p, \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} sonlu gruplarının projektif limitine topolojik grup olarak izomorftur. Doğal sayılar kümesi üzerindeki doğal sıralama göz önüne alınırsa, n\in \mathbb{N} olmak üzere, sonlu \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z} gruplarının oluşturduğu aile ile birlikte; her i\le j doğal sayıları için x+p^j\mathbb{Z}\mapsto x+p^i\mathbb{Z} ile tanımlı f_{j,i}:\mathbb{Z}/p^j\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p^i\mathbb{Z} grup homomorfizmaları ailesi bir projektif sistem verir. Buradaki projektif limitin topolojisi, \mathbb{Z}_p üzerindeki p-sel normun ürettiği topoloji ile aynıdır.
* Her Galois grup bir pro-sonlu gruba izomorftur. Nitekim L/K bir (sonlu veya sonsuz) Galois genişlemesi olsun. F/K sonlu Galois genişlemesi olacak şekilde, tüm K\subset F \subset L ara cisimleri kapsama ilişkisi ile birlikte yönlü bir kime oluşturur. Çünkü K üzerine sonlu Galois genişlemesi olan iki tane ara cismin kompozitumu yine K üzerine sonlu Galois genişlemesidir. Bu durumda, buradaki sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla her F'\subset F için Gal(F/K) \to  Gal(F'/K), \sigma \mapsto \sigma|_{F'} kısıtlama fonksiyonları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin limiti Gal(L/K) grubuna kanonik bir şekilde izomorftur. Aralarındaki grup izomorfizması \sigma\mapsto (\sigma|_F)_F ile tanımlı Gal(L/K)\to \lim_{\leftarrow}{Gal(F/K)}  fonksiyonu ile verilir. Verilen izomorfizma sayesinde, projektif limit üstündeki topoloji Gal(L/K) grubuna taşınır ve bu topolojiye Krull topoloji denir. Öte yandan, her pro-sonlu grup bir L/K Galois genişlemesinin Galois grubuna izomorftur (). Ancak burada K cismi kontrol edilememektedir. Dahası altta verilen birçok K cismi için tüm sonlu grupların elde edilebileceği dahi bilinmemektedir. (Her sonlu grubun \mathbb{Q} rasyonel sayılar ciminin sonlu bir Galois genişlemesi olup olmadığı ters Galois problemi olarak bilinir.)  
## Özellikler
* Bir topolojik grubun pro-sonlu olması için gerek ve yeter koşul Hausdorff, kompakt ve tümden sınırlı olmasıdır. 
* Pro-sonlu grupların (sonlu veya sonsuz) direkt çarpımı yine pro-sonludur. Üstündeki topoloji çarpım topolojisi ile aynıdır.
* Pro-sonlu grupların kapalı altkümeleri pro-sonludur. Üstündeki topoloji altuzay topolojisi ile aynıdır. Eğer H, bir G pro-sonlu grubunun kapalı normal bir altgrubu ise G/N bölüm grubu da pro-sonludur. Üstündeki topoloji bölüm topolojisi ile aynıdır.
* Her pro-sonlu grup kompakt bir Hausdorff uzay olduğundan üstünde Haar ölçüsü tanımlanabilir. Dolayısıyla üstünde bir takım olasılıklar hesaplanabilir, üzerinde tanımlı fonksiyonların integrali alınabilir.
* Pro-sonlu bir grubun altgrubunun açık olması için gerek ve yeter koşul kapalı ve sonlu indeksli olmasıdır.

## Bakınız
*Pro-p grup
*Pro-sonlu tamsayılar
*p-sel sayılar
*Sonsuz Galois teorisi

## Kaynakça

*
*