Onlu

**Onlu** ya da **Ondalık** sayı sistemi (ayrıca **on tabanlı** konumsal sayı sistemi ve bazen **onluk** veya **desimal** olarak da adlandırılır), tam sayıları ve tam sayı olmayan sayıları ifade etmek için kullanılan standart bir sistemdir.
Bu sistem, Hint-Arap sayı sisteminin tam sayı olmayan sayılara (*ondalık kesirlere*) genişletilmiş halidir.
Sayıların ondalık sistemde ifade edilme biçimine genellikle *ondalık gösterim* adı verilir.

Bir **ondalık rakam** (genellikle sadece *ondalık* veya daha az doğru bir tabirle *ondalık sayı*), genel olarak bir sayının ondalık sayı sistemindeki gösterimini ifade eder.
Ondalıklar bazen bir ondalık ayracı ile tanımlanır (genellikle  veya  örneklerinde olduğu gibi "." veya ",");

*Ondalık* terimi ayrıca, ",  sayısının *iki ondalık basamağa* kadar yaklaşımıdır" ifadesinde olduğu gibi, ondalık ayracından sonraki rakamları da ifade edebilir.
Sonlu uzunlukta bir ondalık ile tam olarak temsil edilebilen sayılar, '''ondalık kesirlerdir'''.
Yani,  biçimindeki kesirlerdir; burada  bir tam sayı ve  bir negatif olmayan tam sayıdır.

Ondalık kesirler ayrıca bir tam sayı ile bir *[[kesir kısmı]]*nın toplanmasından da oluşur;
elde edilen toplama bazen *kesirli sayı* da denir.

Ondalık sayılar yaygın olarak reel sayıların yaklaşık değerini bulmak için kullanılır.
Ondalık ayracından sonraki basamak sayısı artırılarak, yeni basamakları hesaplama yöntemi bulunduğu sürece, yaklaşıklık hatası istenildiği kadar küçültülebilir.
Bilim dallarında, verilen ondalık basamak sayısı genellikle bir niceliğin bilindiği kesinliği gösterir;
örneğin, bir kütle 1,32 miligram olarak verilmişse, bu genellikle gerçek kütlenin 1,315 miligram ile 1,325 miligram arasında olduğuna dair makul bir güven olduğu anlamına gelir; oysa 1,320 miligram olarak verilmişse, muhtemelen 1,3195 ile 1,3205 miligram arasındadır.
Aynı durum soyut matematikte de geçerlidir; örneğin, 2'nin karekökü ondalık noktadan sonra iki basamağa kadar hesaplanırsa cevap 1,41 iken, üç basamağa kadar hesaplanırsa cevap 1,414 olur.
1,41 ve 1,414 farklı reel sayılar olduğu için, sondaki fazladan basamak anlamlıdır.

Prensip olarak, herhangi bir reel sayının ondalık açılımı, ondalık ayracından sonra istenildiği kadar sürdürülebilir.
Eğer açılım, kalan tüm basamakların sıfır olduğu bir noktaya ulaşırsa, bu sıfırlar atılabilir ve böyle bir açılıma **sonlu ondalık** denir.
Bir *[[Devirli sayı|devirli ondalık sayı]]*, belli bir basamaktan sonra aynı rakam dizisinin sonsuza kadar tekrar ettiği sonsuz bir ondalıktır (örneğin, ). Sonsuz bir ondalık, ancak ve ancak devirli bir ondalıksa veya sonlu sayıda sıfır olmayan basamağa sahipse bir rasyonel sayıyı, yani iki tam sayının bölümünü temsil eder.

## Köken

Eski medeniyetlerin birçok sayı sistemi, sayıları temsil etmek için onu ve onun kuvvetlerini kullanmıştır; bunun nedeni muhtemelen iki eldeki toplam on parmak olması ve insanların parmaklarını kullanarak saymaya başlamasıdır.
Buna örnek olarak sırasıyla Mısır rakamları, Brahmi rakamları, Yunan rakamları, İbrani rakamları, Romen rakamları ve Çin rakamları verilebilir. Bu eski sayı sistemlerinde çok büyük sayıları temsil etmek zordu ve sadece en iyi matematikçiler büyük sayıları çarpabiliyor veya bölebiliyordu.
Bu zorluklar, tam sayıları temsil etmek için Hint-Arap sayı sisteminin getirilmesiyle tamamen çözüldü.
Bu sistem, *[[#Ondalık kesirler|ondalık kesirler]]* veya *ondalık sayılar* olarak adlandırılan bazı tam sayı olmayan sayıları temsil edecek şekilde genişletilerek *ondalık sayı sistemi* oluşturulmuştur.

## Ondalık gösterim

Sayıları yazmak için ondalık sistem; on adet ondalık rakam, bir ondalık ayracı ve negatif sayılar için bir eksi işareti "−" kullanır.
Ondalık rakamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9'dur; ondalık ayracı birçok ülkede (çoğunlukla İngilizce konuşulan ülkelerde) nokta "" iken, diğer ülkelerde (ve Türkiye'de standart olarak) virgül "" kullanılır.

Bir negatif olmayan sayıyı temsil etmek için, bir ondalık sayı şunlardan oluşur:
* ya (örneğin "2017" gibi) tüm dizinin bir tam sayıyı temsil ettiği (sonlu) bir rakam dizisi:
*: a_ma_{m-1}\ldots a_0
* ya da iki rakam dizisini ayıran bir ondalık ayracı (örneğin "20,70828"):
::a_ma_{m-1}\ldots a_0,b_1b_2\ldots b_n.
Eğer  ise, yani ilk dizi en az iki rakam içeriyorsa, genellikle ilk rakam olan 'nin sıfır olmadığı varsayılır.
Bazı durumlarda solda bir veya daha fazla 0 olması yararlı olabilir;
bu, ondalık sayının temsil ettiği değeri değiştirmez: örneğin, .
Benzer şekilde, ondalık ayracının sağındaki son rakam sıfırsa—yani  ise—bu sıfır kaldırılabilir;
tersine, temsil edilen sayıyı değiştirmeden ondalık ayracından sonra sona sıfırlar eklenebilir;
 örneğin,  ve .
Bir negatif sayıyı temsil etmek için, 'nin önüne bir eksi işareti konur.

a_ma_{m-1}\ldots a_0,b_1b_2\ldots b_n sayısı şu değeri temsil eder:
:a_m10^m+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots+a_{0}10^0+\frac{b_1}{10^1}+\frac{b_2}{10^2}+\cdots+\frac{b_n}{10^n}.
Ondalık sayının *[[Taban ve tavan fonksiyonları|tam sayı kısmı]]*, ondalık ayracının soluna yazılan tam sayıdır (ayrıca bkz. kırpma).
Negatif olmayan bir ondalık sayı için bu, ondalık sayıdan büyük olmayan en büyük tam sayıdır.
Ondalık ayracından sağa doğru olan kısım *[[kesir kısmı]]*dır ve bu, sayının kendisi ile tam sayı kısmı arasındaki farka eşittir.
Bir sayının tam sayı kısmı sıfır olduğunda, tipik olarak bilişimde, tam sayı kısmının yazılmadığı durumlar olabilir (örneğin,  yerine ).
Normal yazımda, ondalık ayracı ile diğer noktalama işaretlerinin karışma riski nedeniyle bundan genellikle kaçınılır.
Kısaca, her bir rakamın sayının değerine katkısı, sayı içindeki konumuna bağlıdır.
Yani, ondalık sistem bir konumsal sayı sistemidir.

## Ondalık kesirler

**Ondalık kesirler** (özellikle açık kesirleri içeren bağlamlarda bazen **ondalık sayılar** olarak da adlandırılır), paydası onun bir kuvveti olan bir kesir olarak ifade edilebilen rasyonel sayılardır. Örneğin, 0,8; 14,89; 0,00079; 1,618; 3,14159 ondalık ifadeleri sırasıyla , , ,  ve  kesirlerini temsil eder ve bu nedenle ondalık kesirleri belirtir.
(Sonlu sayıda basamakla) bir ondalık ifade ile temsil edilemeyen bir kesir örneği 'tür, çünkü 3, 10'un bir kuvveti değildir.

Daha genel olarak, ayraçtan (nokta veya virgül) sonra  basamağı olan bir ondalık, paydası  olan ve payı ayraç kaldırılarak elde edilen tam sayı olan kesri temsil eder.

Buradan, bir sayının ondalık kesir olması için sonlu bir ondalık gösterime sahip olmasının gerek ve yeter şart olduğu sonucu çıkar.

En sade kesir olarak ifade edildiğinde, ondalık sayılar, paydası 2'nin bir kuvveti ile 5'in bir kuvvetinin çarpımı olan sayılardır. Dolayısıyla ondalık sayıların en küçük paydaları şunlardır:
:1=2^0\cdot 5^0, 2=2^1\cdot 5^0, 4=2^2\cdot 5^0, 5=2^0\cdot 5^1, 8=2^3\cdot 5^0, 10=2^1\cdot 5^1, 16=2^4\cdot 5^0, 20=2^2\cdot5^1, 25=2^0\cdot 5^2, \ldots

### Ondalık sayılarla yaklaşıklama
Ondalık sayılar tüm reel sayılar için eksiksiz bir gösterime izin vermez.
Yine de, her reel sayıyı istenilen herhangi bir kesinlikle yaklaşık olarak ifade etmeye olanak tanırlar; örneğin, 3,14159 ondalık sayısı  sayısına 10−5'ten daha az bir farkla yaklaşır;
bu yüzden ondalıklar bilim, mühendislik ve günlük yaşamda yaygın olarak kullanılır.

Daha kesin bir ifadeyle, her  reel sayısı ve her pozitif  tam sayısı için, ondalık ayracından sonra en fazla **' basamağı olan ve  ile  koşullarını sağlayan iki  ve  ondalık sayısı vardır.

Sayılar genellikle [[ölçüm]] sonucunda elde edilir.
Ölçümler bilinen bir [[üst sınır|üst sınıra]] sahip [[ölçüm belirsizliği|ölçüm belirsizliğine]] tabi olduğundan, mutlak ölçüm hatası  ile üstten sınırlandığı anda, bir ölçüm sonucu ondalık ayracından sonra  basamaklı bir ondalık sayı ile iyi bir şekilde temsil edilir.
Uygulamada, ölçüm sonuçları genellikle ondalık noktadan sonra belirli sayıda basamakla verilir ve bu basamaklar hata sınırlarını belirtir.
Örneğin, 0,080 ve 0,08 aynı sayıyı belirtse de, 0,080 ondalık sayısı 0,001'den küçük bir hataya sahip bir ölçümü ima ederken, 0,08 sayısı 0,01 ile sınırlı bir mutlak hatayı belirtir.
Her iki durumda da, ölçülen niceliğin gerçek değeri örneğin 0,0803 veya 0,0796 olabilir (ayrıca bkz. [[anlamlı hane]]).

== Sonsuz ondalık açılım ==


Bir [[reel sayı]]  ve bir  tam sayısı için, , **' sayısından büyük olmayan ve ondalık ayracından sonra tam olarak  basamağa sahip en büyük sayının (sonlu) ondalık açılımını göstersin.
, 'nin son basamağını göstersin. 'nin, 'in sağına  eklenerek elde edilebileceği açıktır.
Bu şekilde şu elde edilir:
:,

ve  ile  arasındaki fark şuna eşittir:
:\left\vert \left [ x \right ]_n-\left [ x \right ]_{n-1} \right\vert=d_n\cdot10^{-n},

bu ifade,  ise 0'dır, aksi takdirde **' sonsuza giderken keyfi olarak küçülür.
Bir [[Limit (matematik)|limit]] tanımına göre, **', **' [[sonsuz|sonsuza]] giderken 'in limitidir.
Bu durum şöyle yazılır:<math display="inline">\; x = \lim_{n\rightarrow\infty} [x]_n \;</math>veya
: ,
buna **' sayısının **sonsuz ondalık açılımı** denir.

Tersine, herhangi bir  tam sayısı ve herhangi bir \;(d_n)_{n=1}^{\infty} rakam dizisi için,  (sonsuz) ifadesi bir **' reel sayısının ''sonsuz ondalık açılımıdır''.
Eğer **' yeterince büyük olduğunda (bir  doğal sayısından büyük tüm **' değerleri için) tüm 'ler 9'a eşit değilse ve tüm 'ler 0'a eşit değilse, bu açılım tektir.

Eğer  için tüm 'ler 9'a eşitse ve  ise, <math display="inline">\;([x]_n)_{n=1}^{\infty}</math> dizisinin limiti; son 9 olmayan rakamın, yani 'nin  ile değiştirilmesi ve sonraki tüm 9'ların 0 ile değiştirilmesiyle elde edilen ondalık kesirdir (bkz. [[0,999...]]).

Böyle bir ondalık kesir, yani  için  olan durum, 'nin  ile değiştirilmesi ve sonraki tüm 0'ların 9 ile değiştirilmesiyle eşdeğer sonsuz ondalık açılımına dönüştürülebilir (bkz. [[0,999...]]).

Özetle, ondalık kesir olmayan her reel sayının biricik (''unique'') bir sonsuz ondalık açılımı vardır.
Her ondalık kesrin tam olarak iki sonsuz ondalık açılımı vardır; biri belirli bir basamaktan sonra sadece 0'ları içerir (yukarıdaki  tanımıyla elde edilir), diğeri ise belirli bir basamaktan sonra sadece 9'ları içerir (bu da 'i, 'ten ''küçük'' olan ve ondalık ayracından sonra tam olarak **' basamağa sahip en büyük sayı olarak tanımlayarak elde edilir).

### Rasyonel sayılar

Uzun bölme, bir rasyonel sayının sonsuz ondalık açılımını hesaplamaya olanak tanır.
Eğer rasyonel sayı bir ondalık kesir ise, bölme işlemi sonunda durur ve bir ondalık sayı üretir; bu sayı, sonsuz sayıda sıfır eklenerek sonsuz bir açılıma uzatılabilir.
Eğer rasyonel sayı bir ondalık kesir değilse, bölme işlemi sonsuza kadar devam edebilir.
Ancak, tüm ardışık kalanlar bölenden küçük olduğu için, yalnızca sonlu sayıda olası kalan vardır ve belli bir yerden sonra aynı rakam dizisi bölümde sonsuza kadar tekrarlanmalıdır.
Yani, bir *devirli ondalık sayı* elde edilir. Örneğin:

: = 0,012345679012... (012345679 grubu sonsuza kadar tekrar eder).

Tersi de doğrudur: Eğer bir sayının ondalık gösteriminde bir noktadan sonra aynı rakam dizisi sonsuza kadar tekrar etmeye başlarsa, o sayı rasyoneldir.

veya hem payı hem de paydayı 6'ya bölerek,  elde edilir.

## Ondalık hesaplama