Fermat ilkesi

**Fermat ilkesi**, **Fermat prensibi** ya da **en az süre prensibi**, Pierre de Fermat tarafından ışık yollarının belirlenmesi için kullanılabilen genel bir ilkedir. Fermat ilkesine göre bir ışık ışını herhangi iki nokta arasında ilerlerken, izlediği yol en az zamanı gerektiren yoldur.

Bu prensip bazen ışık demetinin tanımı olarak görülür. Ancak bu tanım genel değildir, ışık demetleri yolun değişkenlerine bağlı olan sabit optikal uzunluğu kateder tanımı daha modern bir tanımdır. Bir başka deyişle, bir ışık demeti iki yanında başka yolların da olduğu neredeyse aynı sürede alabileceği bir yol tercih eder. 
Fermat ilkesi, aynadan yansıtılan ışığın, farklı ortamlarda kırılan ışığın ya da süregelen toplam iç yansımalardan oluşan ışığın özelliklerini tanımlamak için kullanılabilir. Fermat ilkesi, Huygen prensibi tarafından matematiksel olarak takip edilir. (küçük dalga boyları sınırında). Fermat'ın **Analyse des réfractaions Snell** yasası ve yansıma yasasını elde etmek için yeterlilik tekniğinden yararlanır. Fermat prensibi Hamilton prensibi ve Hamiltonian optiğiyle aynı forma sahiptir.

## Modern versiyon
Elektromanyetik dalganın A ve B noktaları arasındaki yolu alması için geçen süre olan T;
:T=\int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} \, dt = \frac{1}{c} \int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} \frac{c}{v} \frac{ds}{dt}\, dt = \frac{1}{c} \int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} n\, ds\ 
“c ışık vakumdaki hızıdır”,”ds ışın üzerinde son derece küçük uzaklıktır”, *v* = *ds*/*dt* bir madde içindeki ışığın hızı ve *n* = *c*/*v* bu maddenin kırıcı dizini. Bir ışının A noktasından B  noktasına olan  optiksel uzunluğu  şöyle tanımlanır;
:S=\int_{\mathbf{A}}^{\mathbf{B}} n\, ds\ 
Ve bu  alınan yol ile ilgili *S* = *cT* şeklinde ilgilidir. Optiksel yol uzunluğu tamamıyla geometrik niceliktir çünkü zaman optiksel yolun hesaplamalarında düşünülmez. A ve B  noktaları arasında yol alan ışğın zamanındaki bir uç değer, bu noktalar arasındaki bir uç değerine eşittir. Fransız matematikçi Pierre de Fermat tarafından önerilen tarihsel formu tamamlanmamıştır. ^{\mathbf{B}} n \, ds =0 
Genelde, yansıtıcı dizin uzayda bir sayısal alan pozisyonudur; n=n\left(x_1,x_2,x_3\right) \  in 3D euclidean uzayı. Şimdi ışığın x ekseni boyunca  hareket eden bir bileşeni olduğunu varsyalım3 bir ışık demetinin yolu şu şekilde parametrelerle ifade edilebilir, s=\left(x_1\left(x_3\right),x_2\left(x_3\right),x_3\right) \  ve
:nds=n \frac{\sqrt{dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2}}{dx_3}dx_3=n \sqrt{1+\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2} \ dx_3
where\dot{x}_k=dx_k/dx_3. Fermat prensibi şimdi şöyle yazılabilir;
:\delta S= \delta\int_{x_{3A}}^{x_{3B}} n\left(x_1,x_2,x_3\right) \sqrt{1+\dot{x}_1^2+\dot{x}_2^2}\, dx_3
:= \delta\int_{x_{3A}}^{x_{3B}} L\left(x_1\left(x_3\right),x_2\left(x_3\right),\dot{x}_1\left(x_3\right),\dot{x}_2\left(x_3\right),x_3\right)\, dx_3=0
Bu aynı zamanda Hamilton prensibiyle aynı forma sahiptir fakat  but *x*3 klasik mekanikte zamanın rolünü alır. FonksiyonL\left(x_1,x_2,\dot{x}_1,\dot{x}_2,x_3\right) Lagrangian and Hamiltonian'un geometrik optik formulasyonlarından türetilebilen optiksel Lagrangiandır.

## Köken
Klasik olarak Fermat'ın prensibi Huygen prensibinin matematiksel sonucu olarak düşünülebilir. Gerçekte, uç noktaları olan sabit yollara sahip bütün ikincil dalgalar (bütün muhtemelen yollar boyunca) yapıcı girişimler etkisiyle katkı sağlar. Işığın A dan B ye başta tüm muhtemel geometriksel ve fiziksel optik kurallarıyla sınırlanmamış güzergahlarda türediğini varsayalım ABj,. Çeşitli optiksel yollar ABj fazla olan dalga boyu miktarıyla birlikte değişecektir ve B ye ulaşan dalga daha fazla çeşitli aşamaya sahip olacaktır ve yıkıcı bir şekilde karışmaya daha fazla eğilimli olacaktır. Fakat eğer kısa bir yol rota varsa B AB0 ve optiksel yol bu yol üzerinde düzgünce değişiyorsa, AB0 ye yakın  önemli sayıda komşu yollar AB0 densadece ikinci sıra miktarı  olarak farklı optiksel yollara sahip olacaktır, bu yüzden yapıcı şekilde karışacaklardır. Bu kısa rotaya yakın ve bu rota boyunca olan dalgalar hakim olacaktır ve AB0 ışığın aldığı yol olacaktır. 
Herhangi parçacık (örneğin proton ya da elektron) bütün mevcut olan kapatılmış yollar üzerinde türediğini ve dalga fonksiyonun bütün bu yolar üzerinde girişimi(toplam ya da superpozisyon)(gözlemcinin ya da dedektörün noktalarında ) bu parçacığın olası doğru algılamalarını verdiğini(bu noktada) anlatan Fermat prensibi kuantum elektrodinamiğinin başlıca prensibidir. Böylece, uç yollar (en kısa, en uzun ya da sabit) bu girişime birbirlerine sıfırlamadan  yapabilecekleri en çok şekilde katkı sağlarlar. Dalgaların klasik mekaniğinde Fermat prensibini mekaniğin ekstremum prensibi takip eder.

## Tarihi
Hero of Alexandria (Heron) (c. 60) A noktasından B noktasına giden bir ışık demeti birçok düz ayna yansımalarına uğrar ve aynı ortamda yakınındaki herhangi bir yoldan küçük bir yola sahip olduğunu anlatan yansıma prensibini tanımladı.
İbnü'l-Heysem, *[[Book of Optics]]* (1021) adlı kitabında, yansıma ve kırınım prensiplerini genişletti ve en kısa süre prensibinin ilk versiyonunu ifade etti. Onun deneyleri Yunan bilim insanı Ptolemy'nin yansıma üzerindeki çalışmalarına dayanıyordu. En az süre prensibinin genelleştirilmiş hali Fermat tarafından yazılan 1 Ocak 1662 tarihli bir mektupta Cureau de la Chambre‘ye beyan edildi. Mayıs 1662'de bu mektup optik alanında uzman olan ve o sıralar  kartezyen için sözcülere öncülük eden Claude Clersselier'in itirazlarına maruz kaldı. Clerselier şunu ifade eder:

*... Fermat prensibi bir neden olamaz, aksi hali olduğu halde biz bilgiyi doğaya atfetmiş olurduk ve bu durumda doğa sayesinde bizi yasallık ve dünyadaki bilgi dahilinde olmayan ve bir seçenek olmayan düzenin gerekli bir belirleme olduğunu anlıyoruz.
</blockquote>:
Orijinal Mahoney'den olan Fransızcası şöyledir;
<blockquote>
*Le principe que vous prenez pour fondement de votre démonstration, à savoir que la nature agit toujours par les voies les plus courtes et les plus simples, n’est qu’un principe moral et non point physique, qui n’est point et qui ne peut être la cause d’aucun effet de la nature.''

Gerçekte, Fermat ilkesi tek başına var olamaz, Fermat prensibi Huygen prensibinden türetilebilir. Tarihsel olarak, Fermat ilkesi fiziksel yasaların değişken hesaplarına rehberlik eden bir prensiptir.