Kovaryans matrisi

İstatistikte, **kovaryans matrisi** (veya **varyans-kovaryans matrisi** veya **varyans matrisi**), rassal vektörlerin elemanları arasındaki kovaryansları içeren matristir. Kovaryans matrisi, skaler-değerli rassal değişkenler için var olan varyans kavramının çok boyutlu durumlara genelleştirilmesidir.

## Tanımlama

Eğer şu sütun vektörü içine

: \mathbf X = \begin{bmatrix}X_1 \\  \vdots \\ X_n \end{bmatrix}

giren değişkenlerin her biri sonlu varyansı olan rassal değişken iseler, o halde (*i*,&nbsp;*j*) elemanı bir kovaryans olan matris **Σ** **kovaryans matrisi** olur:

:
\Sigma_{ij}
= \mathrm{cov}(X_i, X_j) = \mathrm{E}\begin{bmatrix}
(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)
\end{bmatrix}


burada

: 
\mu_i = \mathrm{E}(X_i)\,


*X* vektöründeki *i*inci değişkenin beklenen değeri olur. Diğer bir deyişle, elimizde şu vardır:

: 
\Sigma
= \begin{bmatrix}
 \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\
 \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\
 \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)]
\end{bmatrix}.


Bu matrisin *tersi*' olan matris, yani \Sigma^{-1}, ters kovaryans matrisi ya da **konsantrasyon matrisi** veya **kesinlik matrisi** olarak anılır. Bu "ters kovaryans matrisi"nın elemanları kısmî korelasyonlar veya kısmî varyanslara yapılan atıflarla açıklanabilirler.

## Kullanılan notasyonlarda ve isimlendirmede çatışmalar

İstatistik literatüründe bu kavram için isimlendirme tek-örnek olarak değil, değişik şekillerde yapılmaktadır: 
* Amerikan olasılık teoricisi William Feller'in takipçileri bu matrise *X* rassal vektörünün **Varyans matrisi** adını verirler; çünkü bu tek-boyutlu varyans kavramının doğal olarak daha yüksek boyutlarda genelleştirilmesidir.
* Diğerleri bu matris *covaryans matris* olarak isimlendirirler, çünkü bu X matrisinin skaler parçalarının arasında olan kovaryansların matrisidir.
Böylece
:
\operatorname{var}(\textbf{X})
=
\operatorname{cov}(\textbf{X})
=
\mathrm{E}
\left[
 (\textbf{X} - \mathrm{E} [\textbf{X}])
 (\textbf{X} - \mathrm{E} [\textbf{X}])^\top
\right].


Ama iki vektör *arasındaki [[karşılıklı-kovaryans]] için notasyon sadece tek bir standarta uyar:

:<math>
\operatorname{cov}(\textbf{X},\textbf{Y})
=
\mathrm{E}
\left[
 (\textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}])
 (\textbf{Y} - \mathrm{E}[\textbf{Y}])^\top
\right].
</math>

Özel var notasyonu William Feller'in *An Introduction to Probability Theory and Its Applications*, adlı eserinde kullanılır; ama her iki alternatif notasyon da standart olarak kullanılmaktadır; bu iki değişik başta açılanıp öğrenilmekte ve anlayıp kullananlar için bir anlam karışıklığına neden olmamaktadır.

<math>\Sigma</math> matrisi ise çok zaman *'varyans-kovaryans matris*' olarak anılır; çünkü bu matrisin diagonal elemanları varyanslardır.

== Özellikleri ==

*X* *p*-boyutlu bir rassal değişken ve *Y* *q*-boyutlu bir rassal değişken için
<math>\Sigma=\mathrm{E} \left[ \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right) \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right)^\top \right]</math> 
ve 
<math> \mu = \mathrm{E}(\textbf{X})</math>,
olarak verilmişse, su temel ozellikler bulunmaktadır:
# <math> \Sigma = \mathrm{E}(\mathbf{X X^\top}) - \mathbf{\mu}\mathbf{\mu^\top} </math>
# <math> \Sigma \,</math> bir positif semi-definit matrisdir.
# <math> \operatorname{var}(\mathbf{A X} + \mathbf{a}) = \mathbf{A}\, \operatorname{var}(\mathbf{X})\, \mathbf{A^\top} </math>
# <math> \operatorname{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \operatorname{cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X})^\top</math>
# <math> \operatorname{cov}(\mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2,\mathbf{Y}) = \operatorname{cov}(\mathbf{X}_1,\mathbf{Y}) + \operatorname{cov}(\mathbf{X}_2, \mathbf{Y})</math>
# Eğer *p* = *q* ise o zaman <math>\operatorname{var}(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) = \operatorname{var}(\mathbf{X}) + \operatorname{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) + \operatorname{cov}(\mathbf{Y}, \mathbf{X}) + \operatorname{var}(\mathbf{Y})</math>
# <math>\operatorname{cov}(\mathbf{AX}, \mathbf{B}^\top\mathbf{Y}) = \mathbf{A}\, \operatorname{cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) \,\mathbf{B}</math>
# Eğer <math>\mathbf{X}</math> ve <math>\mathbf{Y}</math> birbirlerinden bağımsız iseler, o halde
 
<math>\operatorname{cov}(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = 0</math>

burada <math>\mathbf{X}, \mathbf{X}_1</math> ve <math>\mathbf{X}_2</math> rassal *p*×1 derecede vektör, <math>\mathbf{Y}</math> rassal *q*×1 derecede vektör, <math>\mathbf{a}</math> ise *q*×1 derecede vektör, <math>\mathbf{A}</math> ve <math>\mathbf{B}</math>  (*q*×*p*) dereceli matrislerdir.

Bu kovaryans matrisi değişik alanlarda uygulamaları bulunan bir [[matematik]] araçtır. Bu matrisden bir [[transformayon matrisi]] çıkartılabilir ve bu veride bulunan bütün korelasyonların elimine edilebilmesini mümkün kılar. Bu transformasyon matrisi bularak tüm korelasyonları elimine etme analizine  [[temel bileşenler]] ("principal components) analizi adı verilir.

== Bir doğrusal operatör olarak ==

== Hangi matrisler kovaryans matrisleridir? ==


== Uygun bir kovaryans matrisi nasıl bulunur ==

Bazı uygulamalarda (örneğin sadece kısmen gözümlenen verilerden veri modeli kurmada) bir verilmiş belirli (gözümlenen kovaryanslardan oluşmuş) bir simetrik matrise "en yakın" kovaryans matrisi bulmak istenebilir. 2002 yılında, Higham  "ağırlıklı Frobenius normu" kullanarak en yakınlılık kavramını formalize etmiştir ve böylece en yakın kovaryans matrisi bulmak için gereken yöntemi vermiştir.

== Kompleks rassal vektorler ==


== Kestirim ==

Bir [[çoklu değişirli normal dağılım]] için kovaryans matrisinin maksimum-olabilirlilik  kestrimcisininin elde edilmesi, belki çok zeki bir ince tranformasyon ile kolayca yapılabilir. Bakın [[kovaryans matrisleri kestimi]]

== Olasılık yoğunluk fonksiyonu ==

Bir <math>n</math> tane korelasyonlu rassal değişken dizisi için [[olasılık yoğunluk fonksiyonu]], *n* dereceli bir Gauss-tipi vektor olan birlesik olasılık fonksiyonu olup [[Enbüyük olabilirlik kestirimi|Maksimum olabilirlik]] maddesinde açıklanmaktadır.

== Dipnotlar ==


== Ayrıca bakınız ==
* [[Kovaryans matrisleri kestrimi]]
* [[Çok değişirli istatistik]]
* [[Örneklem ortalaması ve kovaryansı|Örneklem kovaryans matrisi]]
* [[Gramian matrisi]]
* [[eigendeğer dekompozisyon]]

== Dış bağlantılar ==
* [http://mathworld.wolfram.com/CovarianceMatrix.html Weisstein, Eric W., "Covariance Matrix", *MathWorld--A Wolfram Web Resource*]  (Erişme:17.12.2009)
* N.G. van Kampen, (1981) *Stochastic processes in physics and chemistry''. New York: North-Holland,