Lineer cebir

**Doğrusal cebir** ya da **lineer cebir**; matematiğin, vektörleri (yöney), vektör uzaylarını, doğrusal dönüşümleri, doğrusal denklem takımlarını ve matrisleri (dizey) inceleyen alanıdır. 

Lineer cebir matematiğin merkezinde yer alan bir konudur. Örneğin geometrinin doğru, düzlem veya öteleme gibi temel kavramlarının modern tanımları lineer cebir kullanılarak yapılır. Fonksiyonel analiz, lineer cebirin fonksiyon uzayları üzerine uygulamaları olarak görülebilir. Doğrusal cebir, analitik geometri ile de alakalı olup matematiksel modellemedeki kullanışlılığından dolayı sosyal bilimlerde, doğa bilimlerinde, iktisatta ve her türlü mühendislik dalında yaygın bir uygulama alanına sahiptir.

Modern doğrusal cebirin geçmişi 1843 ve 1844 yıllarına dayanır. 1843'te William Rowen Hamilton Kuaterniyonları keşfetti. 1844'te Hermann Grassmann *Die lineale Ausdehnungslehre* adlı kitabını yayınladı. Arthur Cayley, doğrusal cebirin en temel fikirlerinden birisi olan vektörleri 1857 yılında tanıttı. Ne var ki doğrusal cebir, asıl büyük atılımlarını 20. yüzyılda yapmıştır.

## Temelleri
Doğrusal cebirin temelleri vektörlerin incelenmesinde yatar. Burada sözü edilen vektör, yönü ve büyüklüğü olan bir doğru parçasıdır. Vektörler yöney olarak da bilinir. Vektörler kuvvet gibi fiziksel birimlerin ifade edilmesinde kullanılabilir. Birbirlerine eklenebildikleri gibi sabit bir skalerle de çarpılabilirler. Böylece basit bir reel vektör uzayının oluşumu gösterilebilir.

Modern Doğrusal Cebir, 2 ve 3 boyut sınırlamasını kaldırarak isteğe bağlı veya sonsuz boyutlu uzaylarda işleyebilecek şekilde genişletilmiştir. 2 ve 3 boyutlu uzaylardaki sonuçların büyük bir kısmı n-boyutlu uzaylarda da geçerlidir. N boyutlu bir uzayın görselleştirilmesi zor gibi görünse de aslında bu tür uzaylar temel bilimlerde ve günlük hayatta sık kullanılır. Örneğin 8 ülkenin ulusal gelirini listelediğimiz zaman bu liste 8 boyutlu bir vektörü ifade eder. Bu vektördeki her bir elemanın bir ülkenin ulusal gelirini temsil ettiğini söyleyebiliriz.

Matematikte, soruna doğrusal bir açıdan bakıp, matris cebriyle ifade ettikten sonra onu matris işlemleriyle çözmek, matematikte sık kullanılan uygulamalardan birisidir. Örneğin doğrusal denklem sistemleri (dizge) matris yardımıyla ifade edilip çözülerek denklemin kökleri elde edilebilir.

## Vektörler ve Matrisler
Aşağıda üç boyutlu bir sütun vektörü görülmektedir:

:\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix}

Burada ise 4 boyutlu bir satır vektörünü görmekteyiz:

:\mathbf{b}=\begin{pmatrix} 4 & 6 & 3 & 7 \end{pmatrix}

Son olarak 4 satır ve üç sütundan oluşan bir matris örneğini şöyle gösterebiliriz:

:\mathbf{M} = \begin{pmatrix}
8 & 2 & 9 \\ 
4 & 8 & 2 \\ 
8 & 3 & 7 \\ 
5 & 9 & 1 
\end{pmatrix}

## Çalışmanın kapsamı

### Vektör uzayları
Bir **F** cismi üzerine bir vektör uzayı, bir *V* kümesi ile birlikte iki ikili işlemdir. *V*'nin elemanlarına *vektör* ve **F**’nin elemanlarına *skaler* denir. Ilk işlem, vektör toplamı, *v* ve *w* vektörlerinini bir üçüncü vektöre, *v+w*, eşler. Ikinci işlem, skaler çarpım, bir vektör *v* ve bir skaler *a*'yı *av* vektörüne eşler. Aşağıdaki tabloda *u*, *v* ve *w,* *V*'nin elemanları (vektörler) ve *a* ve *b,* **F**'in elemanları (skalerler) olsunlar. Eğerki bu iki işlem aşağıdaki özellikleri sağlıyorlarsa (*V, *'F**'', +, .) bir vektör uzayı olur.



=== Doğrusal dönüşümler ===
Verilen bir **F** alanı üzerinde ''V'' ve ''W'' iki vektör uzayı, bir [[doğrusal dönüşüm]] (ayrıca doğrusal gönderme, doğrusal gönderim veya doğrusal işlemci) bir [[haritalama (matematik)|gönderme]]dir.

: <math> T:V\to W </math>

bu toplam ve skaler çarpım ile uyumlandırılabilir:

: <math> T(u + v) = T(u) + T(v), \quad T(av) = aT(v) </math>

''u'',''v'' ∈ ''V'' herhangi iki vektör ve bir skaler ''a'' ∈ **F** için.

toplanabilir herhangi iki vektör ''u'', ''v'' ∈ ''V'' ve skaler ''a'', ''b'' ∈ **F** için:

: <math>\quad T(au + bv) = T(au) + T(bv) = aT(u) + bT(v) </math>

=== Alt uzay, germe ve taban ===
Yine diğer cebirsel nesnelerin teorileri ile analog olarak, lineer cebir vektör uzaylarının kendileri vektör alanlarının alt kümeleriyle ilgilenmektedir, bu alt kümeler [[doğrusal alt uzayı]] olarak adlandırılır. Örneğin, aralık ve doğrusal bir eşleme bölgesinin hem çekirdek hem de alt uzayları vardır ve bu nedenle sık sık aralık alanı olarak adlandırılır ve [[boşuzay]]; bu alt uzayların önemli örnekleridir. Bir alt uzayı oluşturmanın bir diğer önemli yolu da [[doğrusal kombinasyon]]a almaktır, ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v<sub>k</sub>'' vektörlerinin bir kümesi:

: <math> a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_k v_k,</math>

burada ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''k''</sub> skalerlerdir. Vektörlerinin doğrusal tüm bileşimlerinin kümesi ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v<sub>k</sub>'' buna [[Doğrusal germe|germe]] denir, bunun bir alt uzay formudur.

Tüm sıfır katsayısı ile vektörlerinin herhangi bir sisteminin bir lineer kombinasyonu ''V'' sıfır vektörüdür. Bu lineer bir kombinasyonu olarak sıfır vektör ifade etmek için tek yoldur ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v<sub>k</sub>'' ise bu vektörler [[doğrusal bağımsız]]dır.Verilen bir vektörler kümesinin bu vektörlerinin bir uzay gerimi, eğer herhangi vektör ''w'' diğer vektörlerin doğrusal kombinasyonu (ve böylece kümeleri doğrusal bağımsız değildir) ise biz eğer ''w'' kümesinden germeyi kaldırırsak aynı kalacaktır. Böylece, doğrusal bağımlı vektörlerin kümesi bir doğrusal bağımsız alt kümesi aynı alt uzayı kapsar anlamında gereksizdir. Bu nedenle, bir vektör uzayı ''V'' yi geren vektörlerin lineer bağımsız kümesinin içinden daha çok ilgiliyiz, buna ''V''’nin [[taban (lineer cebir)|taban]]ı deriz. Vektörlerin herhangi kümesi that spans ''V''nin gerilmiş bir tabanını içerir ve ''V'' içindeki vektörlerin herhangi doğrusal bağımsız kümesi bir tabana gerilebilir(yayılabilir). Buradan çıktığı üzere biz [[seçim aksiyomu]] olarak kabul edersek, her vektör uzayının bir tabanı vardır; yine de, bu doğal olmayan baz olabilir ve gerçekten de, hatta inşa edilebilir olmayabilir. Örneğin, burada [[Kesirli]] üzerinde bir [[vektör alanı]] olarak kabul edilen [[reel sayılar]] için bir temel var, ama hiçbir açık temel inşa edilmemiştir.

''V'' vektör uzayının herhangi iki tabanı aynı [[kardinalite]]si varsa, buna ''V''’nin [[boyut]]u denir. Bir vektör uzayının boyutu [[vektör uzayı için boyut teoremi]] ile [[iyi-tanımlı]]dır. Eğer ''V''’nin bir tabanı ögelerin sonlu sayısı varsa, ''V''’ye bir sonlu-boyutlu vektör uzayı denir. Eğer ''V'' sonlu-boyutlu ve ''U'' ''V''’nin bir alt uzayı ise dim ''U'' ≤ dim ''V''. Eğer ''U''<sub>1</sub> ve ''U''<sub>2</sub> ''V**nin alt uzayı ise

:\dim(U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim(U_1 \cap U_2).

Birçoğu sonlu boyutlu vektör alanlarına önemi sınırlar. Lineer cebir temel bir teoremi aynı boyutun tüm vektör uzaylarının izomorf olduğunu belirtiyor, eş yapının karakterize edilmesi için bir kolay bir yol verir.

## Ayrıca bakınız
* Özvektörler
* Doğrusal regresyon, bir istatistiksel kestirim yöntemi
* Simpleks yöntemi, doğrusal programlama için teknik bir çözüm 
* Dönüşüm matrisi
* Elementer matris

## Notlar

## Konuyla ilgili yayınlar

;Tarih
* Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra" (https://web.archive.org/web/20120610211035/http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/DesmondFearnleySander.pdf), American Mathematical Monthly **86** (1979), pp.&nbsp;809–817.
* Grassmann, Hermann, *Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert*, O. Wigand, Leipzig, 1844.
;tanıtım ders kitapları
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

;ileri ders kitapları
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 
* 

;Çalışma kılavuzları ve anahatları
* 
* 
* 
* 
* 

## Dış bağlantılar

* International Linear Algebra Society 
* MIT Professor Gilbert Strang's Linear Algebra Course Homepage  : MIT Course Website Kursu
* MIT Linear Algebra Lectures: MIT OpenCourseWare dan videolar 
* Linear Algebra - Foundations to Frontiers EDX tarafından açılacak özgür MOOC
* Linear Algebra Toolkit .
* 
* Linear Algebra  on MathWorld.
* Linear Algebra tutorial  interaktif çevrimiçi programları ile.
* Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
* Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
* Linear Algebra Elmer G. Wiens.tarafından vektörler, matrisler, lineer denklem için etkileşimli web sayfaları
* Linear Algebra Solved Problems: Düşük seviyeden zor seviyeye doğrusal cebir problemlerinin tartışılması için interaktif forumlar(''Putnam'').
* Linear Algebra for Informatics. José Figueroa-O'Farrill, University of Edinburgh
* Online Notes / Linear Algebra Paul Dawkins, Lamar University
* Elementary Linear Algebra textbook with solutions 
* Linear Algebra Wiki
* Linear algebra (math 21b) homework and exercises 
* Textbook and solutions manual , Saylor Vakfı.
* An Intuitive Guide to Linear Algebra on BetterExplained

### Çevrimiçi kitaplar
* Beezer, Rob, *[http://linear.ups.edu/index.html A First Course in Linear Algebra] *
* Connell, Edwin H., *[http://www.math.miami.edu/~ec/book/ Elements of Abstract and Linear Algebra] *
* Hefferon, Jim, *[http://joshua.smcvt.edu/linalg.html/ Linear Algebra] *
* Matthews, Keith, *[http://www.numbertheory.org/book/ Elementary Linear Algebra] *
* Sharipov, Ruslan, *[http://arxiv.org/abs/math.HO/0405323 Course of linear algebra and multidimensional geometry]*
* Treil, Sergei, *[http://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.html Linear Algebra Done Wrong] *