İşlem

Matematikte, bir **işlem**, bir kümeden kendisine tanımlı bir fonksiyondur. Örneğin, reel sayılar üzerindeki bir işlem, reel sayıları alacak ve bir reel sayı döndürecektir. Bir işlem, sıfır veya daha fazla girdi değerini (bunlara "*[[işlenen (matematik)|işlenen]]*" (*operand*) veya "argüman" da denir) iyi tanımlanmış bir çıktı değerine götürür. İşlenenlerin sayısı işlemin aritesidir.

En çok çalışılan işlemler, toplama ve çarpma gibi ikili işlemler (yani aritesi 2 olan işlemler) ve toplamsal ters ile çarpımsal ters gibi tekli işlemlerdir (yani aritesi 1 olan işlemler). Aritesi sıfır olan bir işleme veya sıfırlı işleme, sabit denir. Karma çarpım, üçlü işlem olarak da adlandırılan, aritesi 3 olan bir işlem örneğidir.

Dört klasik işlem toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir. Bu işlemler aritmetiğin temelini oluşturur ve çeşitli alanlarda hesaplamalar yapmak ve problemleri çözmek için gereklidir.

Genellikle aritenin sonlu olduğu varsayılır. Ancak bazen sonsuz işlemler (*infinitary operations*) de dikkate alınır; bu durumda sonlu ariteye sahip "olağan" işlemlere **sonlu işlemler** (*finitary operations*) denir. Bir **kısmi işlem**, işlemle benzer şekilde tanımlanır ancak fonksiyon yerine bir kısmi fonksiyon söz konusudur.

## İşlem türleri

İki yaygın işlem türü vardır: tekli (*unary*) ve ikili (*binary*). Tekli işlemler, negasyon ve trigonometrik fonksiyonlar gibi yalnızca bir değer içerir. İkili işlemler ise iki değer alır ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs almayı içerir.

İşlemler sayılar dışındaki matematiksel nesneleri de içerebilir. Mantıksal değerler olan *doğru* ve *yanlış*, *ve*, *veya* ve *değil* gibi mantık işlemleri kullanılarak birleştirilebilir. Vektörler toplanabilir ve çıkarılabilir. Dönmeler, önce birinci döndürmeyi sonra ikinciyi uygulayan fonksiyon bileşkesi işlemi kullanılarak birleştirilebilir. Kümeler üzerindeki işlemler arasında *[[Birleşme özelliği (küme teorisi)|birleşim]]* ve *[[Arakesit|kesişim]]* gibi ikili işlemler ve *[[Tümleyen (küme teorisi)|tümleme]]* gibi tekli işlemler yer alır. Fonksiyonlar üzerindeki işlemler ise bileşke ve evrişimi içerir.

İşlemler, *[[tanım kümesi]]*ndeki her olası değer için tanımlanmayabilir. Örneğin, reel sayılarda sıfıra bölme yapılamaz veya negatif sayıların karekökü alınamaz. Bir işlemin tanımlı olduğu değerler, *tanım bölgesi* veya *aktif tanım kümesi* adı verilen bir küme oluşturur. Üretilen değerleri içeren kümeye *[[değer kümesi]]* denir; ancak işlem tarafından ulaşılan gerçek değerlerin kümesi, işlemin tanım değer kümesi, aktif değer kümesi, *[[Görüntü kümesi|görüntüsü]]* veya *erimi*dir. Örneğin, reel sayılarda kare alma işlemi yalnızca negatif olmayan sayılar üretir; değer kümesi reel sayılar kümesidir ancak görüntü kümesi negatif olmayan sayılardır.

İşlemler farklı türden nesneleri içerebilir: bir vektör bir skaler ile çarpılarak başka bir vektör oluşturulabilir (skaler çarpma olarak bilinen bir işlem), ve iki vektör üzerindeki iç çarpım işlemi skaler bir nicelik üretir. Bir işlemin belirli özellikleri olabilir veya olmayabilir; örneğin birleşmeli, değişmeli, zıt sıra değişimli (*anticommutative*), eşgüçlü (*idempotent*) ve benzeri olabilir.

Birleştirilen değerlere *işlenenler*, *argümanlar* veya *girdiler*; üretilen değere ise *değer*, *sonuç* veya *çıktı* denir. İşlemler ikiden az veya çok girdiye sahip olabilir (sıfır girdi ve sonsuz sayıda girdi durumu dahil).

Bir **operatör**, işlemi göstermek için kullanılan sembolü veya süreci ifade etmesi bakımından işleme benzer. Dolayısıyla bakış açıları farklıdır. Örneğin, işlenenlere ve sonuca odaklanıldığında genellikle "toplama işlemi"nden söz edilir, ancak sürece veya daha sembolik bir bakış açısına odaklanıldığında "toplama operatörü"ne (nadiren "toplama işlemi operatörü") geçiş yapılır; bu durumda fonksiyon  şeklindedir (burada X, reel sayılar kümesi gibi bir kümedir).

İşlemleri göstermekte kullanılan artı (+), eksi (-), çarpı (\times), bölü (\div) gibi sembollere **işleç** adı verilir.

## Tanım
Bir küme *X* üzerinde bir *n*-li işlem *ω*,  şeklinde bir fonksiyondur.  kümesine işlemin *tanım kümesi*, çıktı kümesine işlemin *[[değer kümesi]]* ve sabit negatif olmayan *n* tamsayısına işlemin *[[arite]]si* denir. Bu nedenle bir tekli işlem bir ariteye, bir ikili işlem ise iki ariteye sahiptir. Sıfır ariteli bir işleme *sıfırlı* işlem denir ve bu sadece değer kümesi *Y* nin bir elemanıdır. Bir *n*-li işlem, *n* girdi alanı üzerinde tam ve çıktı alanı üzerinde tekil olan bir -li bağıntı olarak da görülebilir.

'e bir *n*-li kısmi işlem *ω*,  şeklinde bir kısmi fonksiyondur. Bir *n*-li kısmi işlem, çıktı alanı üzerinde tekil olan bir -li bağıntı olarak da görülebilir.

Yukarıdakiler, sonlu sayıdaki işlenenlere (*n* değeri) atıfta bulunarak genellikle *sonlu işlem* olarak adlandırılan şeyi tanımlar. Aritenin sonsuz bir ordinal veya kardinal, hatta işlenenleri indeksleyen keyfi bir küme olarak alındığı bariz genişletmeler mevcuttur.

Çoğunlukla, *işlem* teriminin kullanımı, fonksiyonun tanım kümesinin değer kümesinin bir kuvvetini (yani değer kümesinin bir veya daha fazla kopyasının Kartezyen çarpımını) içerdiğini ima eder, ancak vektörlerin çarpılıp bir skalerle sonuçlandığı nokta çarpım durumunda olduğu gibi bu hiçbir şekilde evrensel değildir. Bir *n*-li işlem , **iç işlem** olarak adlandırılır. Bir *n*-li işlem  (burada ), *skaler kümesi* veya *operatör kümesi* *S* tarafından bir **dış işlem** olarak adlandırılır. Özellikle bir ikili işlem için, , *S* tarafından bir **soldan-dış işlem** ve , *S* tarafından bir **sağdan-dış işlem** olarak adlandırılır. Bir iç işlem örneği, iki vektörün toplanıp bir vektörle sonuçlandığı vektör toplamadır. Bir dış işlem örneği ise, bir vektörün bir skaler ile çarpılıp bir vektörle sonuçlandığı skaler çarpmadır.

Bir *n*-li çoklu fonksiyon veya *çoklu işlem* *ω*, bir kümenin Kartezyen kuvvetinden o kümenin alt kümelerinin kümesine yapılan bir eşlemedir; biçimsel olarak \omega : X^n \rightarrow \mathcal{P}(X).

## Ayrıca bakınız
* Cebir
* Hiperişlem
* İşlem sırası

### Özel durumları
* İkili işlem

### İlgili konular
* Tanım kümesi
* Fonksiyon
* Bağıntı
* Aritmetik
* Değişken
* Mantık bağlacı

## Kaynakça