Kelebek teoremi

**Kelebek teoremi**, Öklid geometrisinin klasik bir sonucudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir: 

, bir çemberin başka iki  ve  kirişi üzerinden geçen  kirişinin orta noktası olsun, buna bağlı olarak  ve ,  kirişini  ve   noktalarında keser. O halde , 'nin orta noktasıdır.

## Teoremin ispatı

Teoremin biçimsel bir ispatı aşağıdaki gibidir:   ve   dikmeleri  noktasından sırasıyla  ve   düz çizgileri üzerine indirilsin. Benzer şekilde,  ve ,  noktasından sırasıyla  ve  düz çizgilerine dik indirilsin.

::  \triangle MXX' \sim \triangle MYY', olduğundan
:  {MX \over MY} = {XX' \over YY'}, 

::  \triangle MXX* \sim \triangle MYY*,
:  {MX \over MY} = {XX* \over YY*}, 

::  \triangle AXX' \sim \triangle CYY*,</math>
: <math> {XX' \over YY*} = {AX \over CY}, 

::  \triangle DXX* \sim \triangle BYY',</math>
: <math> {XX* \over YY'} = {DX \over BY}. 

Önceki denklemlerden ve kesişen kirişler teoreminden,

:  \left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY' } {XX* \over YY*}, 

:  {} = {AX \cdot DX \over CY \cdot BY}, 

:  {} = {PX \cdot QX \over PY \cdot QY}, 

:  {} = {(PM-XM) \cdot (MQ+XM) \over (PM+MY) \cdot (QM-MY)}, 

:  {} = { (PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}, 

 olduğundan,

Böylece

:  { (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}. 

İkinci denklemde içler dışlar çarpımı yapılırsa,

:  {(MX)^2 \cdot (PM)^2 - (MX)^2 \cdot (MY)^2} = {(MY)^2 \cdot (PM)^2 - (MX)^2 \cdot (MY)^2} . 

Ortak terim olan

:  { -(MX)^2 \cdot (MY)^2} 

ifadesi elde edilen denklemin her iki tarafından sadeleştirilirse,

:  {(MX)^2 \cdot (PM)^2} = {(MY)^2 \cdot (PM)^2}, 

elde edilir, dolayısıyla , çünkü MX, MY ve PM hepsi pozitif, gerçek sayılardır.

Bu nedenle, , 'nin orta noktasıdır.

Projektif geometri kullanan biri de dahil olmak üzere başka ispatlar da mevcuttur.

## Tarihçe
Kelebek teoremini kanıtlamak William Wallace tarafından *The Gentlemen's Mathematical Companion*'da (1803) bir problem olarak ortaya atıldı. 1804'te üç çözüm yayınlandı ve 1805'te Sir William Herschel, Wallace'a yazdığı bir mektupta soruyu tekrar sordu. Thomas Scurr, aynı soruyu 1814'te *Gentlemen's Diary veya Mathematical Repository*'de tekrar sordu.

## Dış bağlantılar
* Geogebra - Butterfly Theorem
* Cut-the-knot'da Kelebek Teoremi 
* Cut-the-knot'da Daha İyi Bir Kelebek Teoremi 
* PlanetMath'te Kelebek Teoreminin Kanıtı 
* Wolfram Gösterimleri Projesi, Jay Warendorff'un Kelebek Teoremi .
* Weisstein, Eric W., MathWorld - Kelebek Teoremi .

## Konuyla ilgili yayınlar
* Volenec, V. (2000). *A generalization of the butterfly theorem*. Mathematical Communications, 5(2), ss. 157-160.
* Čerin, Z. (2001). *A generalization of the butterfly theorem from circles to conics*. Mathematical Communications, 6(2), ss. 161-164.
* Sliepcevic, A. (2002). *A new generalization of the butterfly theorem*. Journal for Geometry and Graphics, 6(1), ss. 61-68.
* Volenec, V. (2002). *The butterfly theorem for conics*. Mathematical Communications, 7(1), ss. 35-38.
* Kung, S. (2005). *A butterfly theorem for quadrilaterals*. Mathematics Magazine, 78(4), ss. 314-316.
* Čerin, Z., & Gianella, G. M. (2006). *On improvements of the butterfly theorem*. Far east journal of mathematical sciences: FJMS, 20(1), 69.
* Jun-lin, Y. A. N. G. (2009). *Version of butterfly theorem under projective transformation*. Journal of Fuyang Teachers College (Natural Science), 4.
* Markowsky, G. (2011). *Pascal's Hexagon Theorem Implies the Butterfly Theorem*. Mathematics Magazine, 84(1), ss. 56-62.
* Dergiades, N., & Lim, S. H. (2012). *The Butterfly Theorem Revisited*. In Forum Geometricorum (Vol. 12, ss. 301-304).
* Donolato, C. (2016). *A proof of the butterfly theorem using Ceva’s theorem*. In Forum Geom (Vol. 16, ss. 185-186).
* Celli, M. (2016). *A proof of the butterfly theorem using the similarity factor of the two wings*. In Forum Geom (Vol. 16, ss. 337-338).
* Hung, T. Q. (2016). *Another synthetic proof of the butterfly theorem using the midline in triangle*. In Forum Geometricorum (Vol. 16, ss. 345-346).
* Krishna, Dasari. (2017). *Another New Proof of the Butterfly Theorem*. International journal of mathematics and its applications. 5. ss. 1-55. 
* Nguyen, N. P. (2020). *On Generalizations of the Butterfly Theorem*. arXiv preprint arXiv:2001.07201.

## Kaynaklar