Çokludoğrusal gönderim

Matematiğin bir alt dalı olan çokludoğrusal cebirde veya daha genel olarak doğrusal cebirde, bir **çokludoğrusal gönderim**  her değişkeni için ayrı ayrı doğrusal olan çok değişkenli, yani birden fazla bağımsız değişkene sahip, bir fonksiyondur. Daha matematiksel bir ifadeyle, çokludoğrusal gönderim V_1,\ldots,V_n ve W\!  vektör uzayları olmak üzere
:f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}
biçiminde olan ve sabit tutulan herhangi bir i\!  için diğer v_j\! değişkenleri sabit tutulduğunda ortaya çıkan tek değişkenli f(v_1,\ldots,v_n) fonksiyonunun v_i\! bağımsız değişkeninde doğrusal fonksiyon olduğu bir fonksiyondur.

İki değişkenli bir çokludoğrusal gönderime bir çifte doğrusal gönderim denilir ve daha genel durumlarda, *k* değişkene bağlı bir çokludoğrusal gönderime **''k''-doğrusal gönderim** denilir. Eğer bir çokludoğrusal gönderimin değer kümesi bir 
skalerler cismi ise, o zaman bu gönderim çokludoğrusal form olarak adlandırılır. Çokludoğrusal gönderimler ve çokludoğrusal formlar  çokludoğrusal cebrin çalışılmasında temel araçlardır.

Tüm değişkenler aynı cisme ait ise, *k*-doğrusal gönderim için, bakışımlı,
tersbakışık ve almaşık *k*-doğrusal kavramlarından bahsedilebilir.

## Örnekler

* Her çifte doğrusal gönderim aynı zamanda bir çokludoğrusal gönderimdir. Örneğin, bir vektör uzayındaki herhangi bir iç çarpım uzayı çokludoğrusal bir gönderimdir. Yine, \mathbb{R}^3teki vektörler için tanımlı çapraz çarpım yine çokludoğrusal gönderimdir
* Bir matrisin determinantı, bir kare matrisin sütunlarının (veya satırlarının) tersbakışık çokludoğrusal fonksiyonudur.
* Eğer F\colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n  bir ''C<sup>k</sup>'' fonksiyonu ise, F\!'nin her p\! noktasındaki k\!inci türevi olan D^k\!f(p)\colon \mathbb{R}^m\times\cdots\times\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n bakışımlı k\!-doğrusal fonksiyon olarak görülebilir.

## Koordinat gösterimi
Diyelimki
:f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}
sonlu boyutlu vektör uzayları arasında bir çokludoğrusal gönderim olsun. Burada V_i\! boyutu d_i\!'dir ve W\! boyutu d\!'dir. Her bir V_i\! için \{\textbf{e}_{i1},\ldots,\textbf{e}_{id_i}\} ve W\! için \{\textbf{b}_1,\ldots,\textbf{b}_d\} taban seçersek, A_{j_1\cdots j_n}^k skalerlerini şöyle ifade edebiliriz:

:f(\textbf{e}_{1j_1},\ldots,\textbf{e}_{nj_n}) = A_{j_1\cdots j_n}^1\,\textbf{b}_1 + \cdots +  A_{j_1\cdots j_n}^d\,\textbf{b}_d.
 
Ardından  \{A_{j_1\cdots j_n}^k \mid 1\leq j_i\leq d_i, 1 \leq k \leq d\}  skalerleri, f\!  çokludoğrusal fonksiyonunu tam olarak tanımlar.

Özel olarak eğer,
1 \leq i \leq n\! için,
:\textbf{v}_i = \sum_{j=1}^{d_i} v_{ij} \textbf{e}_{ij}\!
oluyorsa, 
:f(\textbf{v}_1,\ldots,\textbf{v}_n) = \sum_{j_1=1}^{d_1} \cdots \sum_{j_n=1}^{d_n} \sum_{k=1}^{d} A_{j_1\cdots j_n}^k v_{1j_1}\cdots v_{nj_n} \textbf{b}_k olur.

## Tensör çarpımıyla ilişkisi
Burada, çokludoğrusal gönderimler arasında doğal bire-bir karşılaştırma yapılmıştır.
:f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}
ve doğrusal gönderimler
:F\colon V_1 \otimes \cdots \otimes V_n \to W\text{,}
burada V_1 \otimes \cdots \otimes V_n\! ifadesi V_1,\ldots,V_n tensör çarpımıdır.

f\! ve F\! fonksiyonlar arası ilişki şu formül ile verilir:
:F(v_1\otimes \cdots \otimes v_n) = f(v_1,\ldots,v_n).

## ''n''&times;''n'' matrislerindeki çokludoğrusal fonksiyonlar

Bir K değişmeli halkasındaki *n*&times;*n* matrisindeki çokludoğrusal fonksiyonlar, matrisin satırları (veya eşdeğer sütunları) olarak ifade edilir. Diyelim ki *A* gibi bir bir matris ve a_i, *A*nın 1 ≤ *i* ≤ *n* aralığındaki satırları olsun. Bu durumda *D* çokludoğrusal fonksiyonu şöyle yazılabilir:

:D(A) = D(a_{1},\ldots,a_{n}) \,

Daha geniş bir ifade ile;

:D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n}) \,

\hat{e}_j ifadesini, tanım matrisinin j.inci  satırı olarak ele alırsak, her bir a_{i} satırını şöyle olur.

:a_{i} = \sum_{j=1}^n A(i,j)\hat{e}_{j}

*D*nin çokludoğrusallığı kullanılarak  *D*(*A*) yı yeniden yazalım;

:
D(A) = D\left(\sum_{j=1}^n A(1,j)\hat{e}_{j}, a_2, \ldots, a_n\right)
       = \sum_{j=1}^n A(1,j) D(\hat{e}_{j},a_2,\ldots,a_n)


Her a_i için 1 ≤ *i* ≤ aralığında sürekli yerine konulursa,

:
D(A) = \sum_{1\le k_i\le n} A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n}) D(\hat{e}_{k_{1}},\dots,\hat{e}_{k_{n}})


Burada seçtiğimiz  1 \le i \le n  aralığında;

:
 \sum_{1\le k_i \le n} = \sum_{1\le k_1 \le n} \ldots \sum_{1\le k_i \le n} \ldots \sum_{1\le k_n \le n} \, 


İç içe toplamlar serisi elde edilir.

Burada, \hat{e}_{k_{1}},\dots,\hat{e}_{k_{n}} satırlarında D fonksiyonu vasıtasıyla D(A)'nın nasıl elde edildiği görüldü.

## Örnekler

2&times;2 matrisleri şöyle yazılır;

:
D(A) = A_{1,1}A_{2,1}D(\hat{e}_1,\hat{e}_1) + A_{1,1}A_{2,2}D(\hat{e}_1,\hat{e}_2) + A_{1,2}A_{2,1}D(\hat{e}_2,\hat{e}_1) + A_{1,2}A_{2,2}D(\hat{e}_2,\hat{e}_2) \,


Burada \hat{e}_1 = [1,0] ve \hat{e}_2 = [0,1]'dir. D'yi bir alternatif fonksiyon olarak sınırlandırırsak;
:D(\hat{e}_1,\hat{e}_1) = D(\hat{e}_2,\hat{e}_2) = 0 ve D(\hat{e}_2,\hat{e}_1) = -D(\hat{e}_1,\hat{e}_2) = -D(I) olur. D(I) = 1 olursa, *2*&times;*2* matrisinde şu determanant fonksiyonunu elde ederiz:

:
D(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{1,2}A_{2,1} \,


## Özellikler
Çokludoğrusal gönderimde bir sıfır değeri varsa, bağımsız değişkenlerden biri sıfır olur.

*n*>1 için, yalnızca *n*-doğrusal gönderim ve sıfır fonksiyonudur. Çifte doğrusallık#Örneklere bakınız.

## Ayrıca bakınız
* Cebirsel form
* Çokludoğrusal form
* Homojen polinom
* Homojen fonksiyon
* Tensörler
* çoklu doğrusal izdüşüm
* Çokludoğrusal altuzay öğrenimi

## Kaynakça