Fermi enerjisi

Kuantum mekaniğinde **fermi enerjisi**, genelde mutlak sıfır sıcaklığında etkileşimde olmayan fermiyonlardan oluşan bir kuantum sistemi içerisinde, en yüksek ve en düşük seviyede dolu vaziyetteki tek parçacık durumları arasındaki enerji farkını temsil eden bir konsepttir. Bir metalde en düşük dolu durum genelde iletken bandın altı olarak alınırken, bir fermi gazında bu durumun sıfır kinetik enerjisi olduğu kabul edilir.

Fermi enerjisi terimi, bazen farklı ama yakından ilişkili bir konsept olan ‘Fermi düzeyi’ (elektrokimyasal potansiyel) yerine de kullanılmaktadır. Fermi düzeyi ve Fermi enerjisi hakkında, en azından bu makalede de kullanılan küçük kilit farklar vardır;

* Fermi enerjisi yalnızca mutlak sıfır sıcaklığında tanımlıyken Fermi düzeyi her sıcaklık için tanımlıdır.
* Fermi düzeyi kinetik ve potansiyel enerjileri içeren toplam bir enerjiyken Fermi enerjisi bir enerji farkıdır (Genelde bir kinetik enerjiye karşılık gelir).
*Fermi düzeyi (bir elektronun elektrokimyasal potansiyeli), termodinamik denge durumunda, kompleks etkileşen sistemlerde bile tanımlıyken Fermi enerjisi yalnızca etkileşim içerisinde olmayan fermiyonlar (potansiyel enerjinin veya bant eşiğinin statik ve düzgün tanımlı bir değer olduğu durumlar) için tanımlıdır.
	
Mutlak sıfırdaki bir metal içerisindeki Fermi enerjisi, en yüksek doldurulmuş tek parçacık durumunun enerjisi olduğundan, bir metal içerisindeki Fermi enerjisi, sıfır derecedeyken Fermi düzeyi ve en düşük doldurulmuş tek parçacık durumu arasındaki enerji farkıdır.

## Giriş
### İçerik
Kuantum mekaniğinde, fermiyonlar olarak bilinen bir grup parçacıklar (elektronlar, protonlar ve nötronlar gibi), Pauli dışarlama ilkesine uyarlar. Bu, iki fermiyonun aynı kuantum durumunu dolduramayacağını ortaya koyar. Etkileşim içerisinde olmayan idealleştirilmiş bir Fermi gazı, durağan tek parçacık durumuna göre analiz edilebileceğinden, bu sayede iki fermiyonun aynı kuantum durumunu dolduramayacağını söyleyebiliriz. Bu durağan durumlar tipik olarak enerjide farklı olacaktırlar. Tüm sistemin temel halini bulmak için, boş bir sistem ile başlayıp birer birer parçaları ekleyerek sıralı bir şekilde en düşük enerjili doldurulmamış durağan durumlar doldurulmalıdır. Bütün parçacıklar içeri konulduğu zaman, Fermi enerjisi en yüksek doldurulmuş durumdur.

Bunun anlamı şudur ki bir Fermi gazın içerisindeki tüm olağan enerjileri bu gazı neredeyse sıfır dereceye kadar soğutarak çıkartmış olsak bile, fermiyonlar yine de yüksek hıza yakın hareket ederler. En hızlı olanlar Fermi enerjisine eşit olan bir kinetik enerjiye karşılık gelen bir hıza sabittirler. Bu, Fermi hızıdır. Elektronlar sadece sıcaklık Fermi sıcaklığını geçtiğinde belli bir şekilde mutlak sıfır hızından hızlı hareket etmeye başlarlar.
 
Fermi hızı, metallerin katı hal fiziği ve süper iletkenler konularındaki en önemli konseptlerdendir. Bu aynı zamanda tıpkı düşük sıcaklıktaki helyumun (hem normal hem süper sıvı helyum-3) konusunu içeren kuantum sıvılarında da çok önemli bir değer olduğu gibi, aynı zamanda nükleer fizikte ve beyaz cücelerin çekimsel çökmeye karşı nasıl stabil bir şekilde durduğunu anlamada da önemlidir.

### İleri içerik
Etkileşim içerisinde olmayan fermiyonların sisteminin Fermi enerjisi, sistemin yalnızca bir parça eklendiğinde temel hali enerjisindeki artışından o parçacığın potansiyel enerjisinin çıkarılmış halidir. Buna aynı zamanda her bir fermiyonun temel haldeki maksimum kinetik enerjisi de denebilir. Sıfır derecedeki iç kimyasal potansiyele aynı zamanda Fermi enerjisi de denebilir.

## Tek boyutlu karenin konseptinin örneklemesi
L uzunluklu ve tek boyutlu sonsuz kare, tek boyutlu bir kare kutunun modelidir. Kuantum mekaniğinde standart bir model-sistem olan bu modelde tek bir parçacık için çözümü iyi bilinir. Seviyeler tek bir kuantum numarası n ile gösterilirken enerji seviyeleri bu denklem ile bulunur;

E_n = E_0 + \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} n^2. \,

Eo kutunun içerisindeki potansiyel enerjidir. Şimdi ise kutu içinde bir parçacık yerine, dönüşleri 1/2 olan fermiyonlardan oluşan N sayıda parçacıklar olduğunu varsayalım. Bu durumda en fazla iki parçacığın aynı enerjisi vardır. Örneğin her iki parçacık da E1 enerjisine sahip olabilir, diğer bir ikisi de E2 enerjisine (ve bunun gibi). İki parçacığın da aynı enerjiye sahip olabilmelerinin sebebi, kendilerini her bir enerji düzeyi için iki duruma getiren 1/2 dönüş(yukarı) veya -1/2 dönüş (aşağı) dönüşlerine sahip olmalarıdır. Toplam enerjinin en düşük olduğu (temel haldeyken) dizilimde, n=N/2 ye kadar olan tüm enerji seviyeleri doldurulmuş ve diğer daha yüksek enerjili seviyeler de boş durumdadır.

Fermi enerjisi referansı E0 olarak tanımlandığında, Fermi enerjisi:

E_F=E_{N/2}-E_0=\frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m L^2} (N/2)^2,

Elektron sayısı çift rakam olduğunda N, tek olduğunda ise (N-1) kullanılır.

## Üç boyutlu durumda
Üç boyutlu izotropik durum aynı zamanda Fermi küresi olarak da bilinir.

Şimdi yanal uzunluğu L olan üç boyutlu kübik bir kutu düşünelim (sonsuz kare). Bu, bir metal içerisindeki elektronları tarif etmede çok iyi bir yaklaşımdır. Bu durumlar nx, ny ve nz olarak üç kuantum sayısıyla isimlendirilir. Tek bir parçacık enerjileri:

E_{n_x,n_y,n_z} = E_0 + \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\right) \,

nx, ny, nz pozitif sayılardır.

Bunlar, aynı enerjiye sahip çeşitli durumlardır. Örneğin E_{211}=E_{121}=E_{112}. Şimdi de dönüşleri 1/2 olan N sayıda, etkileşim içinde olmayan fermiyon koyalım. Bu durumda Fermi enerjisini hesaplamak için, N'nin büyük bir sayı olduğu durumu ele alalım. Eğer \vec{n}=\{n_x,n_y,n_z\} adlı bir vektör alırsak, o halde her bir kuantum durumu ‘n-boşluktaki’ bir noktayı temsil eder ve bunların enerjisi şu denklemle verilir:

E_{\vec{n}} =  E_0 + \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} |\vec{n}|^2 \,

 |\vec{n}|^2 ,bir öklit uzunluğu olan   (\sqrt{n_x^2+n_y^2+n_z^2})^2 ' nin karesini temsil eder. Enerjisi EF +  E0dan az olan durumların enerjisi, nx, ny, nz sayılarının pozitif olduğu bir n-boşluğundaki bölgede bulunan |\vec{n}_F| yarıçaplı bir kürenin içerisindeki durumların sayısına eşittir. Temel haldeyken bu sayı, sistemdeki fermiyonların sayısına eşittir.

N =2\times\frac{1}{8}\times\frac{4}{3} \pi n_F^3 \,

İki tane dönüş durumunun olması sebebiyle katsayı iki denklemde yine mevcuttur.1/8 katsayısının olmasının sebebi ise bu kürenin yalnızca 1/8'inin n'nin her zaman pozitif olduğu bölgede bulunmasıdır. Bu sayede:

n_F=\left(\frac{3 N}{\pi}\right)^{1/3} 

ve sonuç olarak Fermi enerjisi:

E_F = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} n_F^2 = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2m L^2} \left( \frac{3 N}{\pi} \right)^{2/3}

Bu denklem de Fermi enerjisi ve hacim başına düşen parçacık sayısı arasındaki ilişkiyle sonuçlanır (L2 'yi V2/3 ile değiştirdiğimizde:)

E_F = \frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{3 \pi^2 N}{V} \right)^{2/3} \,

N sayısında fermiyon içeren bir kürenin toplam fermiyon enerjisi:

E_t = N E_0 + {\int_0}^{N} E_F dN^\prime = ({3\over 5} E_F + E_0)N

Bu sebeple, bir elektronun sahip olduğu ortalama enerji:

 E_{av} = E_0 + \frac{3}{5} E_F 

## Alakalı değerler
Bu konuyla ilişkili bir değer de,k_B nin Boltzmann sabiti ve E_F nin de Fermi enerjisi olduğu, E_F/k_Bolarak tanımlanan Fermi sıcaklığıdır  (T_F). Bu kontekstde tanımlanan bir diğer değerler de, Fermi yüzeyindeki bir fermiyonun sırasıyla Fermi momentumu (p_F,) Fermi hızı (v_F) momentum ve grup hızıdır. (Bu değerler Fermi yüzeyinin küresel olmadığı durumlarda tam olarak tanımlı değildir).Yukarıda verilen kuadratik ayrılma ilişkileri durumunda:

 p_F = \sqrt{2 m_e E_F} 
 v_F = \frac{p_F}{m_e}

Denklemlerdeki me, elektronun kütlesini temsil eder.
	
Fermi momentumu aynı zamanda p_F = \hbar k_F  şeklinde de ifade edilebilir (k_F fermi yarıçapını temsil eder ve aynı zamanda fermi dalga vektörü olarak isimlendirilir)

## Herhangi bir boyutlu durumda
Durum öz kütlesini, d boyutlarında adlı bir hacim integrali bulabiliriz:

g(E)=2\int\frac{d^d\vec{k}}{(2\pi)^d/V}\delta\left(E-E_0-\frac{\hbar^2\vec{k}^2}{2m}\right)=V\frac{d\,m^{d/2}(E-E_0)^{d/2-1}}{(2\pi)^{d/2}\ \Gamma(d/2+1)\hbar^d}

Ardından kaç tane parçacık olduğuna bakarak, Fermi enerjisini bu formülü çıkarmak için:

E_F=\frac{2\pi\hbar^2}{m}\left(\tfrac{1}{2}\Gamma\left(\tfrac{d}{2}+1\right)n\right)^{2/d} şu şekilde yazabiliriz: n=\int_{E_0}^{E_0+E_F}g(E)dE

## Tipik Fermi enerjileri
### Metaller
Metallerde elektron taşıma yoğunluğu sayısı yani N/V 1028 and 1029 electrons/m³, arasında değişiklik göstermektedir. Ayrıca bu yoğunluk, herhangi bir katı maddenin tipik yoğunluğu olarak kabul edilmektedir. Bu yoğunluk, Fermi enerjiyi üretir.

E_F = \frac{\hbar^2}{2m_e} \left( 3 \pi^2 \ 10^{28 \ \div \ 29} \ \mathrm{m}^{-3} \right)^{2/3} \approx 2 \ \div \ 10 \ \mathrm{eV} 

### Beyaz cüceler
Beyaz cüceler olarak bildiğimiz yıldızların bizim güneşimize kıyaslanır bir kütleleri ve yaklaşık olarak yüzde bir düzeyinde yarıçapları vardır. Yüksek yoğunluklarının anlamı ise elektronların artık tek bir çekirdeğe bağlı olmamaları ve bunun yerine  dejenere elektron gazı oluşturmalarıdır. Bir beyaz cüce içerisindeki elektronların öz kütle numarası 1036 electrons/m³ sırasındadır. Bunun anlamı, Fermi enerjisinin gelecek denkleme eşit olmasıdır:

E_F = \frac{\hbar^2}{2m_e} \left( \frac{3 \pi^2 (10^{36})}{1 \ \mathrm{m}^3} \right)^{2/3} \approx 3 \times 10^5 \ \mathrm{eV} = 0.3 \ \mathrm{MeV}

### Çekirdek
Başka tipik bir örnek ise çekirdek içerisinde bulunan parçacıklardır. Çekirdeğin yarıçapı kaba bir şekilde:

R = \left(1.25 \times 10^{-15} \mathrm{m} \right) \times A^{1/3}

A, nükleonların sayısını temsil etmektedir.

Bu sebeple çekirdek içerisindeki nükleonların öz kütle numaraları da:

n = \frac{A}{\begin{matrix} \frac{4}{3} \end{matrix} \pi R^3 } \approx 1.2 \times 10^{44} \ \mathrm{m}^{-3} 

Fermi enerjisi sadece aynı tip fermiyonlara uygulandığı için, bulunan bu öz kütle ikiye bölünmelidir. Bunun sebebi çekirdekte bulunan nötronların, protonların Fermi enerjisi veya başka bir şeyi etkilemiyor olmasıdır. Bu sebeple çekirdeğin Fermi enerjisi yaklaşık olarak:

E_F = \frac{\hbar^2}{2m_p} \left( \frac{3 \pi^2 (6 \times 10^{43})}{1 \ \mathrm{m}^3} \right)^{2/3} \approx 3 \times 10^7 \ \mathrm{eV} = 30 \ \mathrm{MeV} 

Çekirdeğin yarıçapı bu değerlere yaklaşık değerleri kabul ettiğinden, tipik Fermi enerji değeri genelde 38 MeV olarak verilir.

## Kaynakça