Abel teoremi

Matematiğin bir ana dalı olan analizde, özellikle gerçel ve karmaşık analizde, **Abel teoremi**, **Abel limit teoremi** ya da  **Abel yakınsaklık teoremi**, bir kuvvet serisinin limitini katsayılarının toplamıyla ilişkilendiren önemli bir sonuçtur. Teorem, bu sonucu 1826'da kanıtlayan Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel'in adını taşımaktadır.

## Teoremin ifadesi

### Gerçel değişkenli kuvvet serileri için ifâdesi
Yakınsaklık yarıçapı 1 olan ve katsayıları gerçel sayı olan bir Taylor serisini ele alalım:
G (x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k.
Eğer \sum_{k=0}^\infty a_k serisi yakınsaksa, o zaman, G(x) fonksiyonu x = 1 noktasında soldan süreklidir. Diğer deyişle,
\lim_{x\to 1^-} G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k
olur.

### Karmaşık değişkenli kuvvet serileri için ifâdesi
Gerçel değişkenli kuvvet serileri için verilen sonucun karmaşık değişkenli kuvvet serileri için geliştirilmiş hâli de vardır: 
Yakınsaklık bölgesi birim disk \mathbb D olan ve katsayıları karmaşık sayı olan bir Taylor serisini ele alalım:
G(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k. 
Eğer \sum_{k=0}^\infty a_k serisi yakınsaksa, o zaman  G(z) fonksiyonunun sabit bir M > 1 tarafından 
\{z\in \mathbb D: |1-z| \leq M(1-|z|)\}
biçiminde tanımlı bir *Stolz dilimi* içinden z = 1 noktasında limiti vardır.

Geometrik bir bakış açısıyla, limitin z = 1 noktasına çembere teğet olmadan yaklaşması lazımdır. Birim disk içinde yer alan bu biçimdeki yaklaşma bölgesinde tepe noktası z = 1dir, bölge (-\infty, 1) eksenini ortalar ve elbette tepe açısı 180^{\circ}den azdır. Çember üzerindeki bir noktaya bu tür bölgelerden yaklaşılan limitlere  **teğet olmayan limit** denir. Teoremin varsayımındaki  **teğet olmayan limit** bahsi teorem için gereklidir. Gerçekten de bu bölge dışından yaklaşıldığında teoremde bahsedilen sonuca karşıt örnekler bulunabilir. Örneğin, 
G(z) = \sum_{n>0}^\infty a_n z^n 
serisini

a_n=\begin{cases}
\frac{1}{k} &, n=3^k, k\in \mathbb Z^{+} \\
-\frac{1}{k} &, n=2\cdot 3^k, k\in \mathbb Z^{+}\\
0 &, \text{diğer hallerde}
\end{cases}

olacak şekilde tanımlayalım. \sum_{n>0}^\infty a_n serisi sıfıra yakınsaktır; çünkü, serinin kısmî toplamları S_N için

S_N=\begin{cases}
\frac{1}{k} &, 3^k\le N 
olduğu görülebilir. S_N dizisinin limiti elbette sıfırdır. Diğer taraftan, G(z), birim disk \mathbb D'nin tıkız altkümeleri üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır; bu yüzden, açık disk üzerinde holomorftur. Gerçekten, |z|  iken
 \left |\sum_{n=1}^\infty a_n z^n\right |\le \sum_{n=1}^\infty |a_n z^n|
Diğer taraftan, benzer sebeplerle, G(z) fonksiyonunu \sum_{n>0} \frac{z^{3^n}-z^{2\cdot 3^n}} n
olarak yazmanın sakıncası yoktur; çünkü, seri, iki yakınsak serinin farkı olarak yazılmıştır Ancak, *teğet olmayan limit* alınmadığında, meselâ, birim çember üzerinde e^{\frac{i\pi}{3^n}} noktaları üzerinden limit alındığında seri harmonik serinin bir katı olarak ıraksak olacaktır. Bu yüzden, limitin teğet olmayan limit olması lazımdır.

## Kanıt taslağı
Serideki ilk terimden gerekirse serinin değerini çıkararak \sum_{k=0}^\infty a_k=0 varsayabiliriz. Kısmi toplamlar s_n=\sum_{k=0}^n a_k  ile gösterilsin. a_k=s_k-s_{k-1} ifâdesini kullanarak ve seride birkaç basit işlemden sonra
G_a(z) = (1-z)\sum_{k=0}^{\infty} s_k z^k
elde ederiz.
Herhangi bir \varepsilon > 0  değeri içi n sayısını yeteri kadar büyük seçelim öyle ki bütün k \geq n için |s_k|  olsun. O zaman, z  Stolz diliminin içindeyken
\left|(1-z)\sum_{k=n}^\infty s_kz^k \right| \leq \varepsilon |1-z|\sum_{k=n}^\infty |z|^k = \varepsilon|1-z|\frac 
olur. Bu nedenle, z, 1'e yeteri kadar yakın olduğunda 
\left|(1-z)\sum_{k=0}^{n-1} s_kz^k \right| 
olacaktır. Böylece, z, 1'e yeteri kadar yakın olduğunda ve Stolz diliminin içindeyken \left|G_a(z)\right|   olur.
### Sonuçlar
Bu teoremin doğrudan bir sonucu olarak, eğer z sıfırdan farklı bir karmaşık sayıysa ve bu z için \sum_{k=0}^\infty a_k z^k serisi yakınsaksa, o zaman 
\lim_{z\to 1^{-}} G(z) \to \infty olur.

### Stolz dilimi

\{z\in \mathbb D: |1-z| \leq M(1-|z|)\} şeklinde tanımlanan Stolz diliminin sınırları için

y^2 = -\frac{M^4 (x^2 - 1) - 2 M^2 ((x - 1) x + 1) + 2 \sqrt{M^4 (-2 M^2 (x - 1) + 2 x - 1)} + (x - 1)^2}{(M^2 - 1)^2}

şeklinde açık bir denklem vardır. x = \frac{1-M}{1+M} noktası bu dilimin en soldaki noktası olurken, 
en sağdaki nokta da x=1 olmaktadır. x=1 noktasındaki tepe açısı 2\theta olmaktadır ki bu açı ile M arasında \cos\theta = \frac{1}{M} ilişkisi vardır.

## Örnekler
Abel teoreminin uygulaması olarak a_k = \frac{(-1)^k}{k+1}  ele alalım. 
Geometrik serinin, -1 iken yakınsak olduğu ve \frac{1}{1-x} =\sum_{k=0}^\infty x^k  biliniyor. Diyelim ki, 0 olsun. O zaman,
\int_{-z}^{0}\frac{dx}{1-x} =\ln(1+z) 
olurken diğer taraftan düzgün yakınsaklıktan 
\int_{-z}^{0}\sum_{k=0}^\infty x^k dx=\sum_{k=0}^\infty \int_{-z}^{0}x^k dx=z\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1} z^k  
olur. Böylece, 0  için bir taraftan  G_a(z) =\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1} z^k  varken, aynı zamanda 
G_a(z) = \frac{\ln(1+z)}{z}, \qquad 0  
olmaktadır. O zaman, Abel teoremi sayesinde, \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k+1} serisi \ln 2 değerine yakınsar.

Başka bir benzer örnek \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}  serisi için verilebilir. Ters tanjant fonksiyonu için
: \arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}
bilindiği için, 
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}
serisi 
 \arctan 1 = \tfrac{\pi}{4} değerine yakınsar.

## Notlar


## Kaynakça

## Dış bağlantılar
*  (İngilizce) --*(Bu tipteki Abel teoremlerine daha genel bir bakış veriliyor)*
* (İngilizce)
*  (İngilizce)

## Ayrıca bakınız
* Abel testi