pali pi sewi nanpa

**pali pi sewi nanpa** li sama pali pi mute nanpa lon sike. pali ni la, mi ken toki e ni:

2^3=2\times 2\times 2=8
o sewi e **tu** tawa **tu wan** la, **luka tu wan** li lon.


kepeken nanpa nimi la, mi sitelen e ni: b^n. nanpa b li **nanpa anpa** la, nanpa n li **nanpa sewi** la, mi ken sitelen e ni:

b^n = \underbrace{b \times \dots \times b}_{\text{nimi }b\text{ pi mute }n}
*poka open la: *o sewi e **nanpa <math>b</math>** tawa **nanpa <math>n</math>**.


## sona lawa

tan ni la, mi ken sona e ni: mi *mute* e nanpa b^m tawa nanpa b^n la, seme li lon?

\begin{align}
b^m \times b^n &= \underbrace{b \times \dots \times b}_{\text{nimi }b\text{ pi mute }m} \times \underbrace{b \times \dots \times b}_{\text{nimi }b\text{ pi mute }n}\\
&= \underbrace{b \times \dots \times b}_{\text{nimi }b\text{ pi mute } m+n}\\
&= b^{m+n}
\end{align}


mi ken sona e ni: mi *sewi* e nanpa b^m tawa nanpa b^n la, seme li lon?


\begin{align}
\left(b^m\right)^n &= \underbrace{b^m \times \dots \times b^m}_{\text{nimi pi mute }n}\\
&= \underbrace{b^{m + \dots + m}}_{\text{nimi }m\text{ pi mute }n}\\
&= b^{mn}
\end{align}


## nanpa ante pi kipisi wan
jan li ken toki pona e pali pi sewi nanpa kepeken pali tan sona pi pali nanpa. 

### nanpa sewi li nanpa [[ala]]
tan open la, mi sona e ni: b^m \times b^n = b^{m+n}. toki ni li pona taso tawa nanpa pi nanpa ijo. 

taso, mi ken wile e ni: lawa ni o lon tawa nanpa ale pi wan nanpa. nanpa \ell = m + n la, mi ken ni:

\begin{align}
b^m \times b^n &= b^{m+n} \\
b^m \times b^{\ell - m} &= b^\ell\\
b^{\ell - m} &= \frac{b^\ell}{b^m}
\end{align}

nimi \ell en nimi m li sama la, ni li kama e ni:

\begin{align}
b^{m - m} &= \frac{b^m}{b^m} \\
b^0 &= 1
\end{align}


nanpa anpa b li nanpa ala ala la, ni li awen lon. taso, nanpa b = 0 (ante la, jan li sitelen e 0^0) la, ni li ike tawa pali ni.

### nanpa sewi li nanpa weka
mi kipisi e nanpa b^m tawa nanpa b^n la, mi sona e ijo pini. nanpa ale weka la, mi ken ni:


\begin{align}
b^{0 - m} &= \frac{b^0}{b^m} \\
b^{-m} &= \frac{1}{b^m}
\end{align}


ijo wan suli la, b^{-1}=\frac{1}{b}.

## pali pi anpa nanpa
tenpo mute la, jan li wile sona e ni: mi jo e nanpa n, li jo e nanpa x. mi sewi e nanpa seme tawa nanpa n la, nanpa x li lon? jan li lon e **pali pi anpa nanpa** tawa sona ni. nasin wan la, ona li weka e pali sewi. sitelen nanpa la, mi ken sitelen e ni:


(m^n = x) \implies (\sqrt[n]{x} = m) 


kepeken toki la: 

mi sewi e nanpa m tawa nanpa n la, nanpa x li lon. ni la, mi anpa e nanpa x tawa nanpa n la, nanpa m li lon.


sitelen ni la, nanpa n li *nanpa sewi*; nanpa x li *nanpa anpa*.

### mi wile e nanpa wan taso
lon la, pali pi anpa nanpa li ken kama e nanpa mute. taso, jan li wile e nanpa wan taso la, ona li ken wile e ni: nanpa pini o nanpa nasa ala o nanpa weka ala.

### pali sewi kepeken nanpa kipisi
pali sewi la, nanpa sewi li nanpa kipisi la, pali pi anpa nanpa li pona.

nanpa x^\frac{1}{n} li nanpa \sqrt[n]{x} tan ni: sina sewi e nanpa \sqrt[n]{x} tawa nanpa n la, nanpa x li lon. ni li pona tawa lawa nanpa tu tan open pi lipu ni.

ni la, kepeken lawa sama la, mi ken sitelen e ni:


x^\frac{n}{m} = \left(x^n\right)^\frac{1}{m} = \sqrt[m]{x^n}


## leko li pona tawa ni
tenpo mute la, jan li sewi e nanpa tawa tu tawa tu wan. ken la, ona li kepeken nimi ni:

* mi **leko supa** e nanpa la, mi sewi e ona tawa tu. nimi li tan ni: leko supa pona la, suli pi poka ona li suli s la, suli pi insa ona li suli s^2.
* mi **leko tomo** e nanpa la, mi sewi e ona tawa tu wan. nimi li tan ni: leko supa pona la, suli pi poka sinpin ona li suli s la, suli pi insa ona li suli s^3.

ante la, jan li anpa e nanpa tawa tu tawa tu wan. nimi sama li ken lon:

* mi **anpa leko supa** e nanpa la, mi anpa e ona tawa tu.
* mi **anpa leko tomo** e nanpa la, mi anpa e ona tawa tu wan.

lon la, sijelo leko pona li lon ale ma pi nasin k la, suli pi palisa wan ona li suli s la, suli pi insa ale ona pi nasin k li suli s^k.