Makapangyarihang serye

(sa bughaw) at ang suma ng unang *n*+1 mga termino ng seryeng Maclaurin nito (sa pula)]]

Sa sangang kalkulong integral ng matematika, ang **makapangyarihang serye** o *power series* ay tumutukoy sa ekspresyong:

:\sum_{j=0}^{\infty} a_j x^j = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n + \cdots
kung saan:
:ang a_j ay isang tunay o hugnayan na bilang, maliban na lamang kung binigyan ng diin na ang x ay isang tunay na bilang.

Hindi nagdudulot ng kaguluhan ang karugtong ng mga halagang hugnayan dahil ang teorya ng mga hangganan para sa mga seryeng hugnayan, sa katunayan, ay kaparehong-kapareho ng serye para sa mga tunay na bilang. Kaya, kung ang isang baryante ay:
:s_n = u_n + iv_n\, ,
:s = u + iv\,

at ayon sa kahulugan, ang
:\lim_{n \to \infty} s_n = s

ay katumbas ng:
:\lim_{n \to \infty} u_n = u

at
:\lim_{n \to \infty} v_n = v.

Ang mga seryeng kapangyarihan ay lumalabas sa numerikal na analisis gayundin sa kombinatroniks (sa ilalim ng lumilikhang punsiyon at elektrikal na inhiryeriya kung saan ito ay tinatawag na Z-transporma). Ang pamilyar na notasyong desimal para sa mga real na bilang ay maaari ring makita na isang halimbawa ng seryeng kapangyarihan sa buumbilang na koepisyente ngunit ang argumentong *x* ay nakapirme sa . Sa teoriya ng bilang, ang konsepto ng bilang na p-adic, ay malapit na kaugnay ng seryeng kapangyarihan.

## Panimula 
Ang simbolong \Sigma, "sigma", ay kumakatawan sa malaking titik na "S" ng alpabetong Griyego at nangangahulugan ng kabuuan ng isang binigay na karamihan. Inihihiwalay ng pariralang *notasyong sigma* ang kabuuang hanay na mayroong sigma (kagaya ng nasa may pinakataas) mula sa pinalawak na katumbas nito pagkatapos ng *equal sign*. Ang terminong a_0 na hindi kasama ang x ay tinatawag na "terminong palagian" (*constant term*).

## Teoryang pormal 
Ang dalawang makapangyarihang serye ay masasabing magkatumbas kung ang kani-kanilang koepisyent ay magkatulad din. Iyon ay:

:\sum_{j=0}^{\infty} a_j x^j = \sum_{j=0}^{\infty} b_j x^j

at nangangahulugan na:
:a_j = b_j\,

at

:j = 0, 1, 2, \cdots \,

Ang makapangyarihang serye na pinaramihan ng isang konstant na k, batay sa patakaran, ay:
:k\sum_{j=0}^{\infty} a_j x^j = \sum_{j=0}^{\infty} ka_j x^j

At ang dalawang makapangyarihang serye na pinagsama at mayroon nang mga konstant, ay:
:\sum_{j=0}^{\infty} a_j x^j + \sum_{j=0}^{\infty} b_j x^j = \sum_{j=0}^{\infty} \left (a_j + b_j \right )x^j.

Ang bunga ng pagsasama na ito ay maaari ring pagsamahin gaya ng mga polinomyal:
:(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots)(b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3 + \cdots)
:: = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0)x + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)x^2 + \cdots 

O, sa notasyong sigma:
:\left(\sum_{j=0}^{\infty} a_j x^j \right) \left(\sum_{j=0}^{\infty} b_j x^j \right) = \left(\sum_{j=0}^{\infty} c_j x^j\right)

Kung saan:

:c_j = a_0 b_j + a_1 b_{j-1} + a_2 b_{j-2} + \cdots + a_j b_0.

Ito ang tinatawag na *produktong Cauchy* na ipinangalan mula sa matematikong Pranses na si Augustin Louis-Cauchy. Kung ito ang gagamitin, ang kahit anong nawawalang mga koepisyent sa makapangyarihang serye ay kinukunsiderang 0.

Kung ang terminong konstant na b_0  ng denominator ay hindi katumbas sa 0, ang kusyenteng C = A/B ay maaaring gamitan ng mahabang paghahati, o, ang katumbas nito na CB = A at pagsama sa mga koepisyent.

Ang natamong serye, o ang **pormal na deribatibo**, ay pinakahuluganan ng:
:(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots )' = a_1 + 2a_2 x + 3a_3 x^2 + \cdots

Sa notasyong sigma, ito ay maaaring isulat bilang:
:\left(\sum_{j=0}^{\infty} a_j x^j \right)' = \sum_{j=0}^{\infty} ja_j x^{j-1}. 

Kung saan ang terminong may j=0 ay ang suma sa kanan na 0. Ang mas matataas na deribatibo ay maaaring makuha sa pagpapaulit-ulit ng kaparehong paraan. Ang makapangyarihang serye ay mayroong pormal na deribatibo sa lahat ng uri, kahit na ang punsiyon ay kinakatawanan ng mga seryeng makukuha lamang kung ang x ay katumbas sa 0, kaya, hindi ito *differentiable* sa lahat ng pagkakataon.

## Pagtatagpo ng mga serye 
Hindi nangangailangan ang teoryang pormal ng isang makapangyarihang serye na mayroong kahulugan na katumbas sa isang bilang sa kahit anong halaga ng x. Ngunit ang serye ng pagkanais sa isang equasyong differential ay hindi nagbibigay ng numerong sagot sa pangkalahatan, kung kapag

## Serye ni Taylor 
Ang Makapangyarihang serye sa isang bariabulo ang inpinitong serye (infinite series) na may anyong: 

:f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots
kung saan ang *an* ay kumakatawan sa koepisyente ng ika-*n* termino, ang *c* ay isang konstante, ang *x* ay nagiiba sa palibot ng *c* (sa dahilang ito, ang serye ay minsang sinasalita na nakasentro sa c). Ang seryeng ito ay lumilitaw bilang Serye ni Taylor ng isang kilalang punsiyon.  

## Serye ni Maclaurin 
Sa maraming sitwasyon, ang *c* ay katumbas ng sero, halimbawa kung ipagpalagay na serye ni Maclaurin. Sa mga gayong kaso, ang seryeng kapangyarihan ay kumukuha ng simpleng anyo na: 
:
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

Kategorya:Multivariable calculus