Tatluhing tumbasan

[right|thumb|210x210px| [Grap ng punsiyon|Suklaraw ng isang kabisang buuking may tatlong tunay na ugat (kung saan ang curve ay tumatawid sa pahalang na agwatan *(axis)* sa  ). Ang kaso na ipinakita ay may dalawang kritikal na punto. Dito, ang kabisa ay \begin{align}
f(x) &= \frac{1}{4}\left(x^{3} + 3x^{2} - 6x - 8\right) \\
&= \frac{1}{4}(x-2)(x+1)(x+4)
\end{align} at samakatuwid ang tatlong tunay na ugat ay 2, −1 at −4.]]
Sa mulaing panandaan, ang isang **tatluhing tumbasan**, **buuking tumbasan** o **kubikong tumbasan** () sa isang aligin ay isang tumbasan sa anyongax^3+bx^2+cx+d=0 kung saan hindi sero ang .

Sa lahatan, ang kubikong tumbasan sa n aligin ay tumbasang maisusulat sa anyong

P(\underbrace{x, y , z ... a}_{n \text{ beses} }) = 0

Kung saan isang damikay ang *P* sa ikatlong antas o digri.

## Ibinabang buukin 
SInasabing nasa *ibinabang anyo* ang mga buuking tumbasang nasa anyongt^3+pt+qBagaman mas simple ito kaysa sa lahatang kubiko, sila ay nagsisilbing batayan sapagka't maisusulat ang lahat ng buukin sa anyong ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng aligin.

Kungax^3 + bx^2 + cx + d = 0 at ititumbas ang x sa halagangx=t-\frac b{3a} nagbibigay ng kubiko (sa ) na walang takay sa .

Pagkatapos hatiin sa , makukuha ang ibinabang tumbasangt^3+pt+q=0,kung saan\begin{align}
t={}&x+\frac b{3a}\\
p={}&\frac{3ac-b^2}{3a^2} \\
q={}&\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}.
\end{align}

Nauugnay ang mga ugat x_1, x_2, x_3 ng orihinal na tumbasan  sa mga ugat t_1,t_2,t_3 ng ibinabang anyo sa pamamagitan ng mga ugnayangx_i = t_i-\frac b{3a}, at i = 1, 2, 3.

## Sanyo ni Cardan 
Kinilala si Gerolamo Cardano (kilala rin sa ngalang Cardan) sa paglathala ng unang sanyo para sa paglutas ng mga buuking tumbasan, na iniugnay niya kanila Scipione del Ferro at Niccolo Fontana Tartaglia sa pagkatuklas nito. Bagaman para sa ibinababang buukin ang pormula, magagamit ito sa lahatang anyo sapagka't maisusulat ang lahat ng tumbasang kubiko sa ibinabang anyo.  

Sinasaad ng **sanyo ni Cardan** na kungt^3+pt+q=0kung saan tunay na bilang ang  at  kung saan positibo ang  \frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}  (nangangahulugang negatibo ang talangi ng tumbasan), samakatuwid may tunay na ugat ang tumbasan na katumbas sa:\sqrt[3]{u_1}+\sqrt[3]{u_2}, kung saan ang u_1 at u_2 ay ang dalawang numerong -\frac q2 + \sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}} at -\frac q2 - \sqrt{\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}}.
### Patunay 
Hawig ang pamamaraang ito sa linathala ni Cardan sa kanyang akdang *Ars Magna*, na ginamit upang malutas ang t sa tumbasang t^3 +pt + q = 0. Kung gagawing t = u + v sa alitkadaing aliging u at v, makukuha ang
u^3 + v^3 + (3uv + p)(u+v)+ q= 0
matapos ng ilang manipulasyon. Upang mapadali ang pagmamanipula sa tumbasan, pinasubali ni Cardan na 3uv + q = 0  (Magagawa ito dahil naglagay tayo ng dalawang alitakdaing aligin.) Samakatuwid,
\begin{align}u^3 + v^3&=-q \\ uv&=-\frac p3.\end{align}
Kung gagamitin ang mga sanyo ni Vieta, mapapansin na parehong lutas ang u^3 at  v^3 ng dawaking tumbasang
x^2 + qx -\frac {p^3}{27}=0. 
dahil u^3 + v^3=-q at u^3v^3 =-\left( \frac p3 \right)^3. Kung gagamitin ang sanyong dawakin, makukuha na

x = -\frac q2 \pm \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}. 
Sagayon, nang di nawawala ang pagkalahatan sa pagpili ng u at v (dahil parianyuing tumbasan ang t = u + v),
u = \sqrt[3]{-\frac q2 + \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}
v = \sqrt[3]{-\frac q2 - \sqrt {\frac {q^2}{4} +\frac {p^3}{27}}}.
Mula rito, makukuha na ang sanyo ni Cardan:
t=\sqrt[3]{-{q\over 2}+\sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}} +\sqrt[3]{-{q\over 2}-\sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}.
Kung hindi iingatan ang paggamit nito, maaaring makakuha ng siyam (o kahi't labingwalong) ugat sa tumbasang t^3 +pt + q = 0, kahi't may tatlo lamang ugat ang isang buuking tumbasan. Upang matugunan ito, kinukuha lamang natin ang mga ugat na lumalapat *(satisfies)* sa pasubaling uv=-\frac p3. Makukuha naman ang ibang dalawang ugat sa tulong ng Hunaing DeMoivre.

## Talangi 
Katumbas ang **talangi** ng isang buuking tumbasang ax^3+bx^2+cx+d sa
18\,abcd - 4\,b^3d + b^2c^2 - 4\,ac^3 - 27\,a^2d^2.

## Tingnan din 
* Apating tumbasan
* Limahing tumbasan
* Pagbabago ng Tschirnhaus
* Pangunahing anyo ng tumbasan

## Mga sanggunian 
Kategorya:Mga polynomial
Kategorya:Mga ekwasyon
Kategorya:Elementaryong Alhebra
Kategorya:Matematika