Maksima at minima

Sa matematika, ang **maksimum at minimum** (maramihan: **maksima at minima**) ng isang punsiyon na magkasamang tinatawag na **ekstrema** (isahan: **ekstremum**) - mga "kasukdulan" o mga "dulo't dulo" - ang pinakamalaki at pinakamaliit na mga halaga na kinukuha ng punsiyon sa isang punto na maaaring nasa ibinigay na kapitbahay (local o relative extremum) o sa sakop ng punsiyon sa kabuuan nito (global o absolute extremum).

Sa pangkalahatan, ang maximum at minimum ng isang pangkat (na inilalarawan sa teoriya ng pangkat) ang pinakamalaki at pinakamaliit na elemento sa pangkat. Ang mga hindi tinatakdaang walang hangganang mga pangkat (unbounded infinite sets) gaya ng pangkat ng mga real na bilang ay walang minima at maksima.

Ang paghahanap ng mga halagang ekstremum ang pangunahing layunin ng optimisasyon. 

## Depinisyong analitikal
Ang isang may halangang-real na punsiyong *f* na inilalarawan sa isang real na linya ay sinasabing may **lokal (o relatibong) puntong maximum** sa puntong *x*&lowast; kung may umiiral na isang &epsilon; > 0 kung saan ang *f*(*x*&lowast;) &ge; *f*(*x*) sa tuwing ang |*x* − *x*&lowast;| &lowast;, kung ang *f*(*x*&lowast;) &le; *f*(*x*) sa tuwing ang |*x* − *x*&lowast;| &lowast; kung ang *f*(*x*&lowast;) &ge; *f*(*x*) para sa lahat ng *x*. Gayundin, ang isang punsiyon ay may**global (o absolutong) puntong minimum** sa *x*&lowast; kung ang *f*(*x*&lowast;) &le; *f*(*x*) para sa lahat ng *x*. Ang mga puntong global na maximum at global na minumum ay kilala bilang arg max at arg min: ang argumento (input) kung saan ang maximum(o minimum) ay umiiral. 

*Tinatakdaang mga sakop*(Restricted domains): Maaaring may maxima at minima para isang punsiyon na ang sakop ay hindi kinabibilangan ng lahat ng mga real na bilang. Ang isang may halagang-real na punsiyon na ang sakop ay anumang pangkat ay maaaring magkaroon ng global na maximum at minimum. Maaari ring ito ay mayroong mga puntong lokal na maxima at lokal na minima ngunit tanging sa mga punto ng pangkat na sakop kung saan ang konseptong kapitbahayan(neighborhood) ay inilalarawan. Ang isang kapitbahayan ay gumagampan ng papel na pangkat ng x upang ang |*x* − *x*&lowast;| \sqrt[x]{x} ay umiiral sa *x* = *e*.]]
* Ang punsiyong *x*2 ay may unikong(walang katulad) na global na minimum sa  *x* = 0.
* Ang punsiyong *x*3 ay walang global na minima o maxima. Bagaman ang unang deribatibong (3*x*2) ay 0 sa *x* = 0, ito ay isang puntong inpleksiyon. 
* Ang punsiyong \sqrt[x]{x} ay may unikong global maximum sa  *x* = *e*. (tingnan ang larawan sa kanan)
* Ang punsiyong x-x ay may unikong global maximum sa ibabaw ng mga positibong real na bilang sa *x* = 1/*e*.
* Ang punsiyong *x*3/3 − *x* ay may unang deribatibong *x*2 − 1 at ikalawang deribatibong 2*x*. Kung itatakda ang unang deribatibo sa 0 at lulutasin ang *x*, ito ay nagbibigay ng mga stasyonaryong punto sa  −1 at +1.  Mula sa senyas(sign) ikalawang deribatibo, makikita nating ang −1 ay isang local na maximum at ang  +1 ay isang lokal na minimum. Pansinin na ang punsiyong ito ay walang global na maximum o minimum. 
* Ang punsiyong |*x*| ay may global na minimum sa *x* = 0 na hindi matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng mga deribatibo dahil ang deribatibo ay hindi umiiral sa *x* = 0.
* Ang punsiyong cos(*x*) ay may walang hanggang maraming mga global maxima sa 0, ±2&pi;, ±4&pi;, …, at walang hanggang maraming mga global minima sa ±&pi;, ±3&pi;, ….
* Ang punsiyong 2 cos(*x*) − *x* ay may walang hanggang maraming mga lokal na maxima at minima ngunit walang global na maximum o minimum.  
* Ang punsiyong cos(3&pi;*x*)/*x* sa 0.1&nbsp;&le;&nbsp;*x*&nbsp;&le;&nbsp;1.1 ay may global na maximum sa *x*&nbsp;= 0.1 (na isang hanggananan), isang global minimum malapit sa *x*&nbsp;= 0.3, isang lokal na maximum malapit sa *x*&nbsp;= 0.6 at isang lokal na minimum malapit sa *x*&nbsp;= 1.0. 
* Ang punsiyong *x*3 + 3*x*2 − 2*x* + 1 na inilalarawan sa ibabaw ng saradong interbal na [−4,2] ay may dalawang extrema: isang lokal na maximum sa *x* = −1−&radic;15&frasl;3, isang lokal na minimum sa *x* = −1+&radic;15&frasl;3, isang global na maximum sa *x* = 2 at isang global na minimum sa *x* = −4.

Kategorya:Calculus
Kategorya:Optimisasyon