Mga Elemento ni Euclides

na isinalin ni  Sir Henry Billingsley, 1570]]
Ang **Mga Elemento ni Euclides** ( *Stoicheia*) ay isang treatise na matematikal at heometriko na binubuo ng 13 mga aklat ng matematikong Griyego na si Euclides sa Alexandria noong c. 300 BCE. Ito ay isang koleksiyon ng mga depinisyon, postulado (mga aksiyoma, mga proposisyon (mga teorema at mga konstruksiyon) at mga patunay na matematikal ng mga proposisyon. Ang 13 aklat nito ay sumasakop sa heometriyang Euclidean at sinaunang bersiyong Griyego ng elementaryong teoriya ng bilang. Ang akdang ito ay kinabibilangan rin ng sistemang alhebraiko na nakilala bilang alhebrang heometriko na sapat na makapangyarihan upang lutasin ang maraming mga problemang alhebraiko kabilang ang problema ng paghahanap ng kwadradong ugat. Maliban sa *On the Moving Sphere*, ni  Autolycus, ang *Mga Elemento* ay isa sa pinakamatandang umiiral na Griyegong treatise ng matematika at pinakamatandang umiiral na pagtratong deduktibong aksiyomatiko ng matematika. Ito ay napatunayang instrumental sa pagpapaunlad ng lohika at modernong agham. Ang pangalang *Mga Elemento* ay nagmula sa plural ng elemento. Ayon kay Proclus, ang terminong ito ay ginamit upang ilarawan ang isang teorema na lumalaganap at nakatutulong sa pagbibigay ng mga patunay ng ibang maraming mga teorema. Ang salitang *elemento* sa wikang Griyego ay katulad ng *letra*. Ito ay nagmumungkahing ang mga teorema sa *Mga Elemento* ay dapat makitang nakatayo sa parehong relasyon sa heometriya gaya ng mga letra sa wika. Ang mga kalaunang komentador ay nagbigay ng medyo ibang kahulugan ng salitang elemento na nagbibigay diin sa kung paanong ang mga proposisyon ay umuunlad sa maliit na mga hakabn at patuloy sa pagtatayo ng mga nakaraang proposisyon sa isang mahusay na inilarawang kaayusan. Ang *Mga Elemento ni Euclid* ay tinukoy na isa sa pinaka matagumpay  at maimpluwensiyal na aklat na kailanman isinulat. Sa pagiging unang inilimbag sa Venice noong 1482, ito ang isa sa pinaka unang mga akdang matematikal na inilimbag pagkatapos ng imbensiyon ng palimbagan   Sa loob ng mga siglo, nang ang quadrivium ay isinama sa kurikulum ng lahat ng mga estudyante ng unibersidad. ang kaalaman ng kahit paanong bahagi ng *Mga Elemento ni Euclides* ay inaatas sa lahat ng mga estudyante. 

## Mga nilalaman
Ang Aklat 1 hanggang 4 ay umuukol sa heometriyang plano:
*Ang Aklat 1 ay naglalaman ng 10 mga aksiyoma ni Euclides (5 pinangalanang mga postulado kabilang ang postuladong parallelo at 5 pinangalanang mga aksiyomna) at ang mga basikong proposisyon ng heometryia: ang *pons asinorum* (proposisyon 5), ang teoremang Pythagorean (Proposisyon 47), ekwalidad ng mga anggulo at area, parallelismo, ang suma ng mga anggulo sa isang tatsulok at tatlong mga kaso na ang mga tatsulok ay magkakatumbas (may parehong area). 
*Ang Aklat 2 ay karaniwang tinatawag na "aklat ng alhebrang heometriko" dahil ang karamihan sa mga proposisyon ay maaaring makita bilang mga interpretasyong heometriko ng mga identidad na alhebraiko gaya ng *a*(*b*&nbsp;+&nbsp;*c*&nbsp;+&nbsp;...)&nbsp;=&nbsp;*ab*&nbsp;+&nbsp;*ac*&nbsp;+&nbsp;... or (2*a*&nbsp;+&nbsp;*b*)2&nbsp;+&nbsp;*b*2&nbsp;=&nbsp;2(*a*2&nbsp;+&nbsp;(*a*&nbsp;+&nbsp;*b*)2). Ito ay naglalaman rin ng isang paraan ng paghahanap ng kwadradong ugat ng isang bilang. 
*Ang Aklat 3 ay umuukol sa mga bilog at mga katangian nito: mga anggulong ininskriba, mga tangent, kapangyarihan ng isang punto, teorema ni Thales. 
*Ang Aklat 4 ay nagtatayo ng isang incircle at circumcirle ng isang tatsulok at nagtatayo ng mga poligong regular na may mga gilid na 4, 5, 6, at 15.

Ang Aklat 5 hanggang 10 ay nagpapakilala ng mga rasyo at proporsiyonalidad
*Ang Aklat na 5 ay isang treatise ng mga proporsiyon ng mga magnitudo. Ang Proposisyong 25 ay isang espesyal na kaso ng inekwalidad ng aritmetiko at heometrikong means.
*Ang Aklat 6 ay naglalapat ng mga proporsiyon sa heometriya: Parehong mga pigura.
*Ang Aklat 7 ay strikong umuukol sa elementaryong teoriya ng bilang: dibisibilida, mga bilang na primo, algoritmo ni Euclides para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang pahati, pinakamaliit na karaniwang multiple. Ang magkasamang Proposisyong 30 at 32 ay likas na katumbas ng pundamental na teorema ng aritmetika na nagsasaad na ang bawat positibong intedyer ay maaaring isulat bilang isang produkto ng mga primo sa isang likas na walang katulad na paraa bagaman si Euclides ay nahihirapan sa pagsasaad nito sa modernong anyo dahil hindi siya gumamit ng produkto ng higit sa 3 mga bilang.
*Ang Aklat 8 ay umuukol sa mga proporsiyon sa teoriya ng bilang at mga sekwensiyang heometriko.
*Ang Aklat 9 ay naglalapat ng mga resulta ng nakaraang dalawang mga aklat at nagbibigay ng inpinitudo ng mga bilang primo (Proposisyon 20), ang suma ng seryeng heometriko (Proposisyon 35) at ang konstruksiyon ng mga even na bilang perpekto (Proposisyon 36).
*Ang Aklat 10 ay nagtatangka na uriin ang mga magnitudong hindi komensurable (sa modernong wika ay irasyonal) gamit ang paraan ng pag-ubos na isang prekursor ng integrasyon.

Ang Aklat 11 hanggang 13 ay umuukol sa heometriyang pang-espasyo:
*Ang Aklat 11 ay naglalahat ng mga resulta ng Mga Aklat na  1&ndash;6 sa espasyo: perpendikularidad, parallelismo, mga bolyum ng mga parallelepiped.
*Ang Aklat 12 ay nag-aaral ng mga bolyum ng kono, piramide, silindro sa detalye at nagpapakita halimbawa na ang isang kono ay isang ikatlo ng bolyum ng tumutugong silindro. Ito ay nagbibigay konklusyon sa pamamagitan ng pagpapakitang ang bolyum ng isang spero ay proporsiyonal sa kubiko ng radius sa pamamagitan ng pagtatantiya nito sa pamamagitan ng union ng mga piramide.
*Ang Aklat 13 ay nagtatayo ng limang regular na mga solidong platoniko na nakainskriba sa isang spero, kumukwenta ng rasyo ng mga gilid sa radius ng spero at nagpapatunay na wala ng karagdagang mga solidong regular.

## Mga edisyon
 (kaliwa) at matematikong Tsino na si  Xu Guangqi (kanan) ay naglimbag ng edisyon sa wikang Tsino ng *Mga Elemento ni Euclides*' na 幾何原本 noong 1607.]]
*1460s, Regiomontanus (hindi kumpleto)
*1482, Erhard Ratdolt (Venice), unang nilimbag na edisyon
*1533, *editio princeps* ni Simon Grynäus
*1557, ni Jean Magnien at Pierre de Montdoré, ni-rebyu ni Stephanus Gracilis (mga proposisyon lamang, walang mga guong proeba, sinama ang oirhinal na Griyego at ang Latin na salin)
*1572, Commandinus, edisyong Latin
*1574, Christoph Clavius

### Mga salin sa ibang mga wika
*1505, Bartolomeo Zamberti (Latin)
*1543, Niccolò Tartaglia (Italyano)
*1557, Jean Magnien and Pierre de Montdoré, nirebyu ni Stephanus Gracilis (mula Griyego papuntang Latin)
*1558, Johann Scheubel (Aleman)
*1562, Jacob Kündig (Aleman)
*1562, Wilhelm Holtzmann (Aleman)
*1564–1566, Pierre Forcadel de Béziers (Pranses)
*1570, Henry Billingsley (Ingles)
*1575, Commandinus (Italyano)
*1576, Rodrigo de Zamorano (Spanish)
*1594, Typografia Medicea (edisyon na mula sa Arabong salin ni Nasir al-Din al-Tusi)
*1604, Jean Errard de Bar-le-Duc (Pranses)
*1606, Jan Pieterszoon Dou (Olandes)
*1607, Matteo Ricci, Xu Guangqi (Intsik)
*1613, Pietro Cataldi (Italyano)
*1615, Denis Henrion (Pranses)
*1617, Frans van Schooten (Olandes)
*1637, L. Carduchi (Spanish)
*1639, Pierre Hérigone (Pranses)
*1651, Heinrich Hoffmann (Aleman)
*1651, Thomas Rudd (Ingles)
*1660, Isaac Barrow (Ingles)
*1661, John Leeke and Geo. Serle (Ingles)
*1663, Domenico Magni (Italyano mula sa Latin)
*1672, Claude François Milliet Dechales (Pranses)
*1680, Vitale Giordano (Italyano)
*1685, William Halifax (Ingles)
*1689, Jacob Knesa (Spanish)
*1690, Vincenzo Viviani (Italyano)
*1694, Ant. Ernst Burkh v. Pirckenstein (Aleman)
*1695, C. J. Vooght (Olandes)
*1697, Samuel Reyher (Aleman)
*1702, Hendrik Coets (Olandes)
*1705, Edmund Scarburgh (Ingles)
*1708, John Keill (Ingles)
*1714, Chr. Schessler (Aleman)
*1714, W. Whiston (Ingles)
*1720s Jagannatha Samrat (Sanskrit, mula sa Arabong salin ni Nasir al-Din al-Tusi)
*1731, Guido Grandi (Pagpapaikli tungo sa Italyano)
*1738, Ivan Satarov (Russian mula sa Pranses)
*1744, Mårten Strömer (Swedish)
*1749, Dechales (Italyano)
*1745, Ernest Gottlieb Ziegenbalg (Danish)
*1752, Leonardo Ximenes (Italyano)
*1756, Robert Simson (Ingles)
*1763, Pubo Steenstra (Olandes)
*1773, 1781, J. F. Lorenz (Aleman)
*1780, Baruch Ben-Yaakov Mshkelab (Hebreo)
*1781, 1788 James Williamson (Ingles)
*1781, William Austin (Ingles)
*1789, Pr. Suvoroff nad Yos. Nikitin (Russian mula sa Griyego)
*1795, John PLayfair (Ingles)
*1803, H.C. Linderup (Danish)
*1804, F. Peyrard (Pranses)
*1807, Józef Czech (Polish na bersyon na base sa Griyego, Latin at Ingles na mga edisyon)
*1807, J. K. F. Hauff (Aleman)
*1817, Jo. Czencha (Polish)
*1818, Vincenzo Flauti (Italyano)
*1820, Benjamin of Lesbos (Modernong Griyego)
*1826, George Phillips (Ingles)
*1828, Joh. Josh and Ign. Hoffmann (Aleman)
*1828, Dionysius Lardner (Ingles)
*1833, E. S. Unger (Aleman)
*1833, Thomas Perronet Thompson (Ingles)
*1836, H. Falk (Swedish)
*1844, 1845, 1859 P. R. Bråkenhjelm (Swedish)
*1850, F. A. A. Lundgren (Swedish)
*1850, H. A. Witt and M. E. Areskong (Swedish)
*1862, Isaac Todhunter (Ingles)
*1865, Sámuel Brassai (Hungarian)
*1880, Vachtchenko-Zakhartchenk (Russian)
*1901, Max Simon (Aleman)
*1908, Thomas Little Heath (Ingles)
*1939, R. Catesby Taliaferro (Ingles)

### Kasalukuyang inililimbag
*''Euclid's Elements – All thirteen books in one volume'', Based on Heath's translation, Green Lion Press ISBN 1-888009-18-7.
**The Elements: Books I-XIII-Complete and Unabridged,* (2006)  Translated by Sir Thomas Heath, Barnes & Noble  ISBN 0-7607-6312-7.
*''The Thirteen Books of Euclid's Elements'', translation and commentaries by Heath, Thomas L. (1956) in three volumes. Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3)

## Mga sanggunian
Kategorya:Heometriyang Euclidean
Kategorya:Sinaunang Gresya
Kategorya:Aklat