Kalkulong integral

Ang **laguming tayahan** o **kalkulong integral** (Ingles: ***integral calculus***) ay isang sangay ng kalkulo na nag-aaral ng **integrasyon ** (**pagsasama**) at mga paggamit nito, katulad ng paghahanap ng mga bolyum, mga area, at mga solusyon sa mga ekwasyong diperensiyal. Ito ay nakatuon determinasyon o pag-alam (paghanap) ng mga **integral**. Bilang pag-aaral ng integrasyon at mga paggamit nito, ang mga paggamit na ito ay kinabibilangan ng pagkukwenta ng mga area na nahahangganan ng mga kurba, at mga bolyum na nahahangganan ng mga kalatagan o kaibabawan.
## Kasaysayan
Ang unang nadokumentong sistematikong pamamaraang may kakayahang tumukoy ng mga integral ang paraan ng pag-ubos ng sinaunang Griyegong astronomong si Eudoxus(ca. 370 BCE). Ito ay naghangad na humanap ng mga area at bolyum sa pamamagitan ng paghahati ng mga ito sa walang hangganang mga hugis kung saan ang area at bolyum ay alam. Ang paraang ito ay karagdagang pinaunlad at ginamit ni Archimedes noong ika-3 siglo BCE at ginamit upang kwentahin ang mga parabola at ang pagtatantiya ng area ng isang bilog. Ang mga kaparehong paraan ay independiyenteng pinaunlad sa Tsina noong ika-3 siglo CE ni Liu Hui na gumamit nito upang hanapin ang area ng bilog. Ang paraang ito ay kalaunang ginamit noong ika-5 siglo CE ng Tsinong mag-amang matematikong sina Zu Chongzhi at Zu Geng upang hanapin ang bolyum ng isang spero. Ang sumunod na mahalagang mga pagsulong sa kalkulong integral ay hindi nagsimula hanggang sa ika-16 siglo. Sa panahong ito, ang akda ni Bonaventura Cavalieri sa kanyang paraan ng mga hindi mahahati at akda ni Pierre de Fermat ay nagsimulang maglatag ng mga pundasyon ng modernong kalkulo. Ang mga karagdagang hakbang ay nagawa noong simulang ika-17 siglo nina Barrow at Torricelli na nagbigay ng unang mga pagpapahiwatig ng isang ugnayan sa pagitan ng integrasyon at diperesiasyon. Si Barrow ay nagbigay ng unang patunay ng pundamental na teorema ng kalkulo. Nilahat ni Wallis ang paraan ni Cavalieri na kumwenta ng mga integral ng x sa isang pangkalahatang kapangyarihan kabilang ang mga negatibong kapangyarihan at mga praksiyonal na kapangyarihan. Ang pangunahing pagsulong sa integrasyon ay dumating noong ika-17 siglo sa independiyenteng pagkakatuklas ng pundamental na teorema ng kalkulo nina Isaac Newton at Gottfried Wilhelm Leibniz. Ang teoremang ito ay nagpapakita ng isang ugnayan sa pagitan ng integrasyon at diperensiasyon. Ang balangkas na ito ay kalaunang naging modernong kalkulo na ang notasyon para sa mga integral ay direktang hinango mula sa akda ni Leibniz. Bagaman sina Newton at Leibniz ay nagbigay ng isang sistematikong pakikitungo sa integrasyon, ang kanilang mga akda ay nagkukulang sa isang digri ng matematikal rigor. Inatake ni George Berkeley ang mga naglalahong inkrementong ginamit ni Newton na tinawag ang mga itong "mga multo ng naglahong mga kantidad". Ang kalkulo ay nagkamit ng isang mas matatag na saligan sa pagpapaunlad ng mga hangganan. Ang integrasyon ay unang rigorosong matematikal na pinormalisa ni Bernhard Riemann gamit ang mga hangganan. Si Henri Lebesgue ay nagpormula ng isang ibang depinisyon ng integral na itinatag sa teoriya ng sukat. Ang iba pang mga depinisyon ay iminungkahi rin.

## Introduksiyon
Ang integral ang hangganan ng mga sumang kinwenta sa isang proseso kung saan ang sakop ng isang punsiyon ay hinahati sa maliliit na mga subset at ang isang posibleng nominal na halaga ng punsiyon sa bawat subset ay pinaparami ng sukat ng subset na ito at ang lahat ng mga produktong ito ay sinusuma. Ang depinidong integral ay mapapakahulugan bilang ang area o ang paglalahat ng isang area.  Ang indepinidong integral ay tumutukoy sa nosyon ng antideribatibo ng isang punsiyong F na ang deribatibo ang ibinigay na punsiyong f. Ang unang pundamental na teorema ng kalkulo ay pumapayag sa depinidong integral na makwenta sa mga termino ng indepinidong integral. Ang integral ay naisip ng mga tagapagtatag ng kalkulo bilang walang hangganang suma ng mga parihaba ng lapad na inpinitesimal. Ang isang rigorosong matematikal na depinisyon ng integral ay ibinigay ni Bernhard Riemann batay sa isang may hangganang paraan na nagtatantiya ng area ng isang rehiyong kurbilinyar sa pamamagitan ng paghahati ng rehiyon sa maninipis na patayong piraso. Ang ideya ay ang pagpapadami ng bilang ng mga parihaba tungo sa inpinidad sa pamamagitan ng pagkuha ng hangganan habang ang lapad ng parihaba ay papalapit sa sero. Simula ika-19 siglo, ang mas sopistikadong mga nosyon ng integral ay nagsimulang lumitaw kung saan ang punsiyon gayundin ang sakop kung saan ang integrasyon ay isinsasagawa ay nilahat.

Upang maintindihan ang konseptong ito, tingnan ang kurba sa larawan sa kanan na  *y*&nbsp;=&nbsp;*f*(*x*) sa pagitan ng *x*&nbsp;=&nbsp;0 at *x*&nbsp;=&nbsp;1, kung saan ang punsiyon ay inililalarawan ng *f*(*x*)&nbsp;=&nbsp;√*x*. Ang area na pagitan ng 0 hanggang 1 ang **integral** ng *f*. Ang notasyon ng integral na ito ay: 
: \int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!.

Sa unang aproksimasyon gamit ang mga parihabang kulay kahel, ang suma (*sum*) ng mga area ng mga parihabang ito ay eksaktong 1. Ang tunay na halaga ng area ng kurba na ito ay mas maliit sa 1. Kung pararamihin ang mga parihaba sa loob ng kurba gaya ng mga parihabang kulay berde, mas makakamit ang mas mabuting aproksimasyon. Kung susumahin ang mga area ng mga parihabang kulay berde, ang resulta ay mas mabuting aproksimasyon ng area ng kurba: 
:\textstyle \sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \cdots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0.7497\,\!

Upang kwentahin ang area ng kurba gamit ang operasyong integrasyon: Una, kailangang hanapin ang antideribatibo(integral) ng punsiyong ating nilulutas na: *f*(*x*) = √*x*. Ang antideribatibo ay: *F*(*x*)&nbsp;= 2⁄3*x*3/2. Ngayon isubtrak ang halaga ng *F*(1) sa halaga ng *F*(0), kung saan ang 0 at 1 ang mga hangganan ng kurba. Ang "eksaktong" area ng kurbang √*x* ay: 
: \int_0^1 \sqrt x \,dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \,dx = F(1)- F(0) = 0.666666667

## Mga pormal na depinisyon
Maraming mga paraan ng pormal na paglalarawan ng integral. Ang mga pagkakaiba ay umiiral upang pakitunguhan ang iba't ibang mga espesyal na kaso na hindi maiintegrado sa ilalim ng ibang mga depinisyon ngunit minsan ay para sa mga dahilan pedagogikal. Ang pinakakaraniwang ginagamit na depinisyon ng integral ang mga integral na Riemann at integral na Lebesgue.
### Integral na Riemann
Ang integral na Riemann ay inilalarawan sa mga termino ng sumang Riemann ng mga punsiyon sa respeto ng may mga tandang(tagged) partisyon(bahagi) ng interbal. Itakda ang  [*a*,*b*] na isang saradong interbal ng real na linya. Sa gayon, ang mga may tandang partisyon ng  [*a*,*b*] ay isang may hangganang sekwensiya(finite sequence)

: a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!

Ang interbal na [*a*,*b*] ay hinahati  sa *n* na mga sub-interbal(mas maliliit na interbal) na [*x**i*-1, *x**i*] na may indeks *i* at ang bawat sub-interbal ay nilagyan ng "tanda" (*tagged*) na isang puntong *t**i*∈[*x**i*-1, *x**i*]. Ang *sumang Riemann* (*Riemann sum*) ng isang punsiyong *f* sa respeto ng mga may tandang partisyon ay inilalarawan na:

:\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ; 

kaya ang bawat termino ng sum ang area ng isang parihaba na may taas na katumbas ng halaga ng punsiyon sa natatanging punto ng ibinigay ng subinterbal at ang lapad ay pareho sa lapad ng subinterbal. Itakda ang  na maging lapat ng subinterbal na i *i*; kung gayon ang mesh ng gayong may tandang partisyon ang lapad ng pinakamalaking subinterbal na nabubuo ng partisyon . Ang *Riemann integral* ng isang punsiyong *f* sa ibabaw ng interbal na [*a*,*b*] ay katumbas sa *S* kung:
:Para sa lahat ng  may umiiral na  na sa bawat anumang may tandang partisyong [*a*,*b*] na may mesh na mas maliit sa  δ, mayroong
::\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| 
Kapag ang napiling mga tanda ay nagbibigay ng maksimum(o minimum) na halaga ng bawat interbal, ang sumang Riemann ay nagiging itaas(o mababa) na sumang Darboux na nagmumungkahi ng malapit na ugnayan sa pagitan ng integral na Riemann at integral na Darboux. Ang kakulangan sa pagsalalay ng integral ni Riemann sa mga interbal at pagkakatuloy tuloy ay nagtulak sa mas bagong mga depinisyon lalo na ang integral na Lebesgue.

### Integral na Lebesgue
Ang integral na Riemann ay hindi inilalarawan sa napalaking bilang ng mga punsiyon at sitwasyon na mahalaga sa mga aplikasyon. Halimbawa, ang integral na Riemann ay madaling maiintegrado ang densidad upang mahanap ang masa ng bakal na barakilan(steel beam) ngunit hindi nito masasama ang bakal na bolang nakalapag dito. Eto ang nagmomotibo sa ibang mga depinisyon kung saan ang mga malalawak na uri ng punsiyon ay maiintegrado. Ang integral na Lebesgue sa partikular ay nagkakamit ng malaking pleksibilidad sa pamamagitan ng pagbibigay atensiyon sa mga timbang ng tinimbang na sum(sum).

Ang depinisyon ng integral na Lebesgue ay nasisimula sa isang sukat(measure) na μ. Sa pinakasimpleng kaso, ang sukat na Lebesgue(Lebesgue measure)(A) ng interbal na A = [a,b] ang haba nito na b − a kaya ang integral na Lebesgue ay umaayon sa (angkop o proper) na integral na Riemann kung pareho itong umiiral. Sa mga mas komplikadong mga kaso, ang mga pangkat (sets) na sinusukat ay maaaring watak watak na walang kontinuidad at walang pagkakahawig sa mga interbal.

Upang magamit ang pleksibiliad na ito, ang mga integral na Lebesgue ay nagbabaliktad ng paraan ng mga tininbangang suma. Ayon kay Folland, "upang makwenta ang integral na Riemann ng f, ang sakop(domain) na [a,b] ay pinapartisyon sa mga sub-interbal" samantalang sa integral na Lebesgue, "ang range ng f ay sa esensiya pinapartisyon".

Ang isang karaniwang paaran ay paglalarawan ng integral ng punsiyong indikador ng nasusukat na pangkat na *A* sa pamamagitan ng:
:\int 1_A d\mu = \mu(A).

Eto ay lumalawig sa pamamagitan ng linyaridad sa masusukat na simpleng punsiyong *s* na nagkakamit lamang ng may hangganang bilang na *n* na mga natatanging hindi negatibong mga halaga: 
:\begin{align}
 \int s \, d\mu &{}= \int\left(\sum_{i=1}^{n} a_i 1_{A_i}\right) d\mu \\
  &{}= \sum_{i=1}^{n} a_i\int 1_{A_i} \, d\mu \\
  &{}= \sum_{i=1}^{n} a_i \, \mu(A_i)
\end{align}
(kung saan ang imahe ng *A**i* sa ilalim ng simpleng punsiyong *s* ang konstanteng halagang *a**i*). Samakatuwid, kung ang *E* ay isang masusukat na pangkat, maglalarawan tayo ng:  
: \int_E s \, d\mu = \sum_{i=1}^{n} a_i \, \mu(A_i \cap E) . 
Pagkatapos, para sa anumang mga hindi negatibong masusukat na punsiyon na *f*, tayo ay maglalarawan: 
:\int_E f \, d\mu = \sup\left\{\int_E s \, d\mu\, \colon 0 \leq s\leq f\text{ and } s\text{ is a simple function}\right\};

na ang ibig sabihin ang integral ng *f* ay itinakdang supremum ng lahat ng mga integral ng mga simpleng punsiyon na mas maliit o katumbas ng *f*.

Ang isang pangkalahatang masusukat na punsiyong *f* ay hahatiin sa mga positibo at negatibong mga halaga sa pamamagitan ng paglalarawan ng:

:\begin{align}
 f^+(x) &{}= \begin{cases}
               f(x), & \text{if } f(x) > 0 \\
               0, & \text{otherwise}
             \end{cases} \\
 f^-(x) &{}= \begin{cases}
               -f(x), & \text{if } f(x) 
ang *f* ay maiintegradong Lebesgue kung ang: 
:\int_E |f| \, d\mu 
sa gayon, ang integral ay inilalarawan ng:
:\int_E f \, d\mu = \int_E f^+ \, d\mu - \int_E f^- \, d\mu . \,\!

Kung ang sukat na espasyo kung saan ang mga punsiyon ay inilalarawan ay isa ring lokal na siksik na espayong topolohikal(tulad ng sa kaso ng real na mg bilang na **R**), ang mga sukat na umaayon sa topolohiya sa isang nararapat na kahulugan(mga sukat na Radon na ang sukat na Lebesgue ang isa sa mga halimbawa nito) at ang integral sa respeto nito ay maaaring ilarawan ng magkaiba mula sa mga integral ng tuloy tuloy na punsiyon na may siksik na suporta. Sa mas tiyak na kahulugan, ang siksik na sinusuportahang punsiyon ay bumubuo ng isang espasyong bektor na may dalang isang natural na topolohiya at ang isang sukat(Radon) ay maaaring ilarawan na *anumang* tuloy tuloy na linyar na punsiyonal sa espasyong ito. Ang halaga ng sukat sa isang siksik na sinusuportahang punsiyon ay sa depinisyon rin ang integral ng punsiyon. Pagkatapos, atin nang itutuloy na palawigin ang sukat(ang integral) sa mas pangkalahatang mga punsiyon sa pamamagitan ng kontinuidad at ilarawan ang sukat ng isang pangkat bilang integral ng punsiyong indikador nito.

### Iba pang mga integral
Bagaman ang mga integral na Riemann at Lebesgue ang pinakamalawakang ginagamit na depinisyon ng integral, may ilan pang integral na umiiral kabilang ang:
* Integral na Riemann–Stieltjes integral na isang ekstensiyon ng integral na Rimeann. 
* Integral na Lebesgue-Stieltjes, na karagdagang pinaunland ni Johann Radon na lumalahat sa mga integral na Riemann–Stieltjes at Lebesgue integrals.
* Integral na Daniell na sumasakop sa integral na Lebesgue at integral na Lebesgue-Stieltjes na hindi nakabatay sa mga sukat. i
* Integral na Henstock-Kurzweil integral na iba ibang inilarawan nina Arnaud Denjoy, Oskar Perron,(pinaka elegante bilang integral na gauge), Jaroslav Kurzweil, at pinaunlad ni Ralph Henstock.
* Integral na Itō at Stratonovich na naglalarawan ng integrasyon sa respeto ng mga semimartingale gaya ng Galaw Brownian. 
* Integral na Youn na isang uri ng Riemann-Stieltjes sa respeto sa ilang mga punsiyon ng walang hangganang bariasyon(unbounded variation).  
* Integral na magaspang na landas na inilalarawan para sa mga punsiyon na may karagdagang "magaspang na landas" na estruktura at lumalahat sa integrasyong stokastiko laban sa parehong semimartingale at mga proseso gaya ng praksiyonal na Galaw Brownian.

## Mga katangian
### Linyaridad
*Ang koleksiyon ng maiintegradong Riemann na punsiyon sa isang saradong interbal na [*a*, *b*] ay bumubuo ng isang espasyong bektor sa ilalim ng mga operasyong adisyong pointwise at multiplikasyon ng skalar at ng operasyon ng integrasyon 
:: f \mapsto \int_a^b f \; dx
:ay isang linyar na punsiyonal sa epasyong bektor na ito. Kaya, una, ang koleksiyon ng mga maiintegradong mga punsiyon ay sarado sa ilalim ng pagkuha ng mga kombinasyong linyar at ikalawa, ang integral ng mga linyar na kombinasyon ang linyar na kombinasyon ng mga integral,

:: \int_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \,dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx. \,

*Gayundin, ang pangkat ng mga halagang real na bilang na mga maiintegrado ng Lebesgue na mga punsiyon sa isang ibinigay na sukat na *E* na may sukat na  *μ* ay sarado sa ilalim ng pagkuha ng mga linyar na kombinasyon at kaya ito ay bumubuo ng isang espasyong bektor at ang integral na Lebesgue ay:

::  f\mapsto \int_E f d\mu 

:ay isang linyar na punsiyonal sa espasyong bektor na ito, upang ang:

:: \int_E (\alpha f + \beta g) \, d\mu = \alpha \int_E f \, d\mu + \beta \int_E g \, d\mu. 

*Sa mas pangkalahatan, tingnan ang espasyong bektor ng lahat ng mga masusukat na punsiyon sa isang espasyong sukat na (*E*,*μ*) na kukunin ang mga halaga sa isang lokal na sisksik na kumpletong topolohikal na bektor na espasyong *V* sa ibabaw ng isang lokal na siksik na topolohikal na field na *K*,  *f* : *E* → *V*. Kung gayon, maaaring maglarawan ng isang abstraktong integrasyong mapa na magtatakda sa bawat punsiyong *f* ng isang elemento ng *V* o ang simbolong *∞*,
:: f\mapsto\int_E f d\mu, \,
:na umaayon sa mga linyar na kombinasyon. Sa sitwasyong ito, ang linyaridad ay totoo para sa mga subespasyo ng mga punsiyon na ang integral ay isang elemento ng *V* (i.e.  may hangganan). Ang pinakamahalagang mga kaso ay lumilitaw kung ang *K* ay **R**, **C**, o isang may hangganang ekstensiyon ng field na  **Q***p* ng mga bilang na p-adic, at ang *V* ay isang may hangganang dimensiyonal na espasyong bektor sa ibabaw ng *K* at kung ang *K*=**C** at *V* ay isang kompleks na espasyong Hilbert.

Ang linyaridad kasama ng ilang natural na kontinuidad na mga katangian at normalisasyon para sa mga ilang klase ng mga "simpleng" punsiyon ay maaaring gamitin upang magbigay ng alternatibong depinisyon ng integral. Eto ang paraan ng Integral na Daniell para sa kaso ng mga may halagang real na bilang na mga punsiyon sa isang pangkat na *X* na nilahat ni Nicolas Bourbaki sa mga punsiyong may mga halagang sa isang lokal na siksik na topolohikal na espasyong bektor.

### Mga inekwalidad para sa mga integral
Ang ilang mga pangkalahatang inekwalidad ay totoo para sa maiitengradong Riemman na mga punsiyon na inilalarawan sa isang sarado(closed) at may hangganang(bounded) interbal na  [*a*, *b*] at maaaring lahatin sa ibang mga nosyon ng integral gaya ng Lebesgue and Daniell.

* *Taas ang babang mga hangganan(bounds)* Ang isang maiintegradong punsiyong *f* sa [*a*, *b*] ay hindi maiiwasang may hangganan sa interbal na ito. Samakatuwid, may mga real na bilang na *m* at *M* upang ang *m* ≤ *f*&thinsp;(*x*) ≤ *M* para sa lahat ng *x* sa [*a*, *b*]. Dahil sa ang baba(lower) at taas(upper) na suma ng *f* sa ibabaw ng [*a*, *b*] ay tinatakdaan ng(o may hangganan na) *m*(*b* &minus; *a*) at *M*(*b* &minus; *a*), mauunawaan na:
::  m(b - a) \leq \int_a^b f(x) \, dx \leq M(b - a). 

* *Mga inekwalidad sa pagitan ng mga punsiyon.* Kung ang *f*(*x*) ≤ *g*(*x*) para sa bawat *x* sa [*a*, *b*], kung gayon ang bawat taas(upper) at baba(lower) na mga suma ng *f* ay tinatakdaan(bounded) sa itaas ng taas at babang mga suma ng *g*. Kaya ang:
::  \int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx. 
:Ito ay paglalahat ng nasa taas na mga inekwalidad dahil ang T*M*(*b* &minus; *a*) ang integral ng konstanteng punsiyon na may halagang *M* sa ibabaw ng [*a*, *b*].
:Sa karagdagan, kung ang inekwalidad sa pagitan ng mga punsiyon ay mahigpit, ang inekwalidad sa pagitan ng mga integral ay mahigpit din. Ang ibig sabihin, kung ang  *f*(*x*) &lt; *g*(*x*) sa bawat *x* sa [*a*, *b*], kung gayon
::  \int_a^b f(x) \, dx 

* *Mga Subinterbal.* Kung ang [*c*, *d*] ay isang subinterbal ng [*a*, *b*] at ang *f*(*x*) ay hindi negatibo para sa lahat ng *x*, kung gayon:
::  \int_c^d f(x) \, dx \leq \int_a^b f(x) \, dx. 

* *Mga Produkto at mga absolutong halaga ng mga punsiyon*. Kung ang *f* at *g* ay dalawang punsiyon, kung gayon maaari nating ikonsidera ang kanilang mga produktong pointwise at mga kapangyarihan at mga absolutong halaga:
:: 
 (fg)(x)= f(x) g(x), \; f^2 (x) = (f(x))^2, \; |f| (x) = |f(x)|.\,
:Kung ang *f* ay maiintegradong Riemann sa [*a*, *b*], kung gayon ito ay totoo rin sa  |*f*|, at
:: \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b | f(x) | \, dx. 
:Sa karagdagan, kung ang *f* at *g* ay parehong maiintegradong Riemman, kung gayon ang  *f* 2, *g* 2, at *fg* ay maiintegradong Riemann din at
:: \left( \int_a^b (fg)(x) \, dx \right)^2 \leq \left( \int_a^b f(x)^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 \, dx \right). 
:Ang inekwalidad na ito ay tinatawag na inekwalidad na Cauchy–Schwarz na may mahalagang papel na ginagampanan sa teoriya ng espasyong Hilbert kung saan ang kaliwang gilid ay pinapakahulugan bilang panloob ng produktong espasyo ng dalawang maiintegradong kwadradong mga punsiyong *f* at *g* sa interbal na [*a*, *b*].

* *Inekwalidad ni Hölder.* Ipagpalagay na ang *p* at *q* ay dalawang mga real na bilang at may kondisyong 1 ≤ *p*, *q* ≤ ∞  sa 1/*p* + 1/*q* = 1, at ang *f* at *g* ay dalawang maiintegradong Riemann na mga punsiyon. Kung gayon, ang mga punsiyong   |*f*|*p* at |*g*|*q* ay maiintegrado rin at ang sumusunod na inekwalidad ni Hölder ay totoo:
:\left|\int f(x)g(x)\,dx\right| \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \left(\int\left|g(x)\right|^q\,dx\right)^{1/q}.
:For *p* = *q* = 2, Hölder's inequality becomes the Cauchy–Schwarz inequality.

* *Inekwalidad na Minkowski*. Ipagpalagay na ang *p* ≥ 1 ay isang real na bilang at ang *f* at *g* ay mga maiintegradong Riemann na mga punsiyon. Kung gayon, ang  |*f*|*p*, |*g*|*p* at ang |*f* + *g*|*p* ay maiintegradong Riemann din at ang sumusunod na inekwalidad na Minkowski ay totoo:
:\left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} \leq
\left(\int \left|f(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p} +
\left(\int \left|g(x)\right|^p\,dx \right)^{1/p}.
: Ang analogo ng inekwalidad na ito para sa integral na Lebesgue ay ginagamit sa paglikha ng mga espasyong Lp.
### Mga konbensiyon
Sa seksiyong ito, ang *f* ay isang may halagang real na bilang na maiintegradong Riemann na punsiyon. Ang integral na
: \int_a^b f(x) \, dx 
sa ibabaw ng interbal na [*a*, *b*] ay inilalarawan kung ang *a* &lt; *b*. Ang ibig sabihin nito, ang taas(upper) at ang babang(lower) mga suma ng punsiyong *f* ay kinukwenta sa partisyong *a* = *x*0 ≤ *x*1 ≤ . . . ≤ *x**n* = *b* kung saan ang mga halagang *x**i* ay lumalaki. Sa heometrikal na kahulugan, ito ay naghuhudyat na ang integrasyon ay nagaganap mula "kaliwa hanggang kanana" na kumukwenta sa  *f* sa loob ng mga interbal na [*x*&thinsp;*i*&thinsp;, *x*&thinsp;*i*&thinsp;+1] kung saan ang interbal na may mas mataas na indeks ay nakalagay sa kanan ng isa sa mga mas mababang indeks. Ang mga halagang *a* at *b* na mga dulong punto ng interbal ay tinatawag na mga hangganan ng integrasyon ng *f*. Ang mga integral ay maaari ring ilarawan kung ang  *a* &gt; *b*:

* *Pagbabaliktad ng mga hangganan ng integrasyon*. Kung ang *a* &gt; *b*, maglarawan ng: 
:: \int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx. 
Eto na may *a* = *b* ay nagpapahiwatig na 
* *Ang mga integral sa ibabaw ng mga interbal na may habang sero.* Kung ang *a* ay isang real na bilang, kung gayon ang: 
:: \int_a^a f(x) \, dx = 0. 

Ang unang konbensiyon(convention) ay kinakailangan sa konsiderasyon ng pagkuha ng mga interbal sa ibabaw ng mga subinterbal ng [*a*, *b*]. Ang ikalawa ay nagsasaad na ang intergal na kinuha sa ibabaw ng lumiit na interbal o punto ay dapat sero. Ang isang dahilan para sa unang konbensiyon ay ang integrabilidad ng *f* sa interbal na [*a*, *b*] ay nagpapahiwatig na ang *f* ay maiintegrado sa anumang subinterbal na [*c*, *d*], ngunit sa partikular, ang mga integral ay may katangiang:

* *Aditibidad ng integrasyon sa mga interbal.* Kung ang *c* ay anumang elemento ng [*a*, *b*], kung gayon, ang:
::  \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx.
Sa unang konbensiyon, ang nagreresultang ugnayan ay:
: \begin{align}
 \int_a^c f(x) \, dx &{}= \int_a^b f(x) \, dx - \int_c^b f(x) \, dx \\
 &{} = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx
\end{align}
ay kung gayon mabuting inilalarawan para sa anumang siklikong permutasyon ng 
*a*, *b*, at *c*.

Imbis na tingnan ang nasa taas na mga konbensiyon, maaari ring kuning pananaw na ang integrasyon ay isinasagawa sa mga diperensiyal na mga anyo sa oryented na mga manipoldo lamang. Kung ang *M* ay isang oryented na *m*-dimensiyonal na manipoldo, at ang *M* ang parehong manipoldo na may kabaligtarang oryentasyon at ang  *ω* ay isang *m*-na anyo, kung gayong meron tayong:
: \int_M \omega = - \int_{M'} \omega \,.
Ang mga konbensiyong ito ay tumutugon sa pagpapakahulugan ng integrand bilang diperensiyal na anyo na in-integrado sa ibabaw ng isang kadena. Sa teoriyang sukat na salungat dito, pinapakahulugan ang integrand blang punsiyong 
*f* sa respeto ng isang sukat(measure) na \mu, at nag-iintegrado sa ibabaw ng ilalim-na-pangkat (subset) na *A,* na walang anumang nosyon ng oryentasyon. Isinusulat ang \textstyle{\int_A f\,d\mu = \int_{[a,b]} f\,d\mu} upang ipakita ang integrasyon sa ibabaw ng ilalim-na-pangkat na *A.* Eto ay isang maliit na distinksiyon sa isang dimensiyon ngunit nagiging mas mahirap na mapansin sa mga mas mataas na dimensiyonal na manipoldo.
## Pundamental na teorema ng kalkulo
Ang *Pundamental na teorema ng kalkulo* ay nagsasaad na ang diperentasyon at integrasyon ay mga inbersong operasyon. Kung ang isang tuloy tuloy na punsiyon ay in-integrado(integrated) muna at dineperensiya(differentiated), ang orihinal na punsiyon ay makukuha. Ang isang mahalagang kinahitnan nito na minsan tinatawag na *ikalawang pundamental na teorema ng kalkulo*' ay pumapayag na makwenta ang mga integral gamit ang antideribatibo ng punsiyong iintegraduhin. 
### Mga sinasaad ng teorema
* *Pundamental na teorema ng kalkulo.* Itakda ang *f* bilang isang may halagang real na bilang na maiintegradong punsiyon na inilalarawan sa interbal na [*a*, *b*]. Kung ang *F* ay inilalarawan para sa *x* sa  [*a*, *b*] ng:
::F(x) = \int_a^x f(t)\, dt.
:kung gayon, ang *F* ay tuloy tuloy sa  [*a*, *b*]. Kung ang *f* ay tuloy tuloy sa *x* sa [*a*, *b*], kung gayon ang *F* ay diperensiyable sa *x*, at ang *F*&thinsp;&prime;(*x*) = *f*(*x*).

* *Ikalawang pundamental na teorema ng kalkulo*. Itakda ang *f* bilang isang may halagang real na bilang na maiintegradong punsiyon na inilalarawan sa saradong interbal na [*a*, *b*]. Kung ang *F* ay isang punsiyon kung saan ang *F*&thinsp;&prime;(*x*) = *f*(*x*) para sa lahat ng *x* sa [*a*, *b*] (na ang ibig sabihin ay ang *F* ay antideribatibo ng *f*), kung gayon: 
::\int_a^b f(t)\, dt = F(b) - F(a).

Sa partikular, ang mga ito ay totoo sa tuwing ang *f* ay tuloy tuloy sa [*a*, *b*].
## Mga ekstensiyon
### Mga hindi angkop(improper) na integral
 \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} = \pi ay may hindi natatakdaang(unbounded) mga interbal sa parehong sakop(domain) at range.]] 
Ang isang "angkop"(proper) na integral na Riemann ay nagpapalagay na ang integrand ay inilalarawan at may hangganan sa isang saradong(closed) at tinakdaan(bounded) na interbal na may braket sa mga hangganan ng integrasyon. Ang isang hindi angkop(improper) na integral ay nangyayari kung ang isa o marami sa mga kondisyong ito ay hindi nasasapat. Sa ibang mga kaso, ang mga gayong integral ay maaaring ilarawan sa pagkokonsidera ng mga hangganan ng sekwensiya ng angkop ng integral na Riemann sa patuloy na lumalaking mga interbal.

Kung ang interbal ay hindi tinakdaan(unbounded), halimbawa ang taas na dulo nito, ang hindi angkop na integral ang hangganan habang ang dulong puntong ito ay patungo sa inpinidad(infinity). 
:\int_{a}^{\infty} f(x)dx = \lim_{b \to \infty} \int_{a}^{b} f(x)dx
Kung ang integrand ay inilalarawan lamang o may hangganan sa isang kalahating bukas na interbal, halimbawa ang
(*a*,*b*), kung gayon ang hangganan ay maaaring magbigay ng isang resultang may hangganan. 
:\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a+\epsilon}^{b} f(x)dx

Ang ibig sabihin nito, ang hindi angkop na integral ang hangganan ng mga angkop na integral habang ang isang dulongpunto ng interbal ng integral ay papalapit sa isang tinukoy na real na bilang o ∞, o &minus;∞. Sa mga mas komplikadong mga kaso, ang mga hangganan ay kinakailangan sa parehong mga dulong punto o sa panloob na mga punto.

Tingnan halimbawa, ang punsiyon na, \tfrac{1}{(x+1)\sqrt{x}} na in-integrado mula 0 patungo sa ∞ (pinapakita sa kanan). Sa babang hangganan(lower bound), habang ang  *x* ay patungo sa 0, ang punsiyon ay patungo sa ∞ at ang taas na hangganan(upper bound) ay mismong ∞ bagaman ang punsiyon ay patungo sa 0. Kaya ito ay isang dobleng hindi angkop na integral. Kung in-integrado sabihing mula 1 hanggang 3, ang ordinaryong sumang Riemann ay sasapat na magbigay ng resulta na \tfrac{\pi}{6}. Upang integraduhin mula  1 patungo sa ∞, ang isang sumang Riemann ay hindi posible. Gayunpaman, ang anumang may hangganang taas na hangganan, sabihin nating *t* (na ang*t*&nbsp;&gt;&nbsp;1) ay nagbibigay ng isang maiging inilarawan na resultang \tfrac{\pi}{2} - 2\arctan \tfrac{1}{\sqrt{t}}. Eto ay may may hangganang hangganan habang ang *t* ay patungo sa inpinidad o \tfrac{\pi}{2}. Gayundin, ang integral mula  1⁄3 hanggang 1 ay pumapayag sa isang sumang Riemann din, na koinsidental ay nagreresulta sa \tfrac{\pi}{6}. Kung papalitan ang 1⁄3 ng anumang arbitraryo(o ayon sa kagustuhan) positibong halagang  *s* (na ang *s*&nbsp;&lt;&nbsp;1) ay katumbas na ligtas na nagbibigay ng -\tfrac{\pi}{2} + 2\arctan\tfrac{1}{\sqrt{s}}. Eto rin ay may may hangganang hangganan habang ang *s* ay patungo sa sero o \tfrac{\pi}{2}. Kung pagsasamahin ang mga hangganan ng dalawang mga pragmento, ang resulta ng hindi angkop na integral na ito ay: 
:\begin{align}
 \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} &{} = \lim_{s \to 0} \int_{s}^{1} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}
   + \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}} \\
  &{} = \lim_{s \to 0} \left( - \frac{\pi}{2} + 2 \arctan\frac{1}{\sqrt{s}} \right)
   + \lim_{t \to \infty} \left( \frac{\pi}{2} - 2 \arctan\frac{1}{\sqrt{t}} \right) \\
  &{} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \\
  &{} = \pi .
\end{align}

Ang prosesong ito ay hindi tumitiyak ng pagtatagumpay. Ang isang hangganan ay maaaring mabigong umiral o maaaring hindi tinakdaan(unbounded). Halimbawa, sa ibabaw ng tinakdaang interbal na 0 hanggang 1, ang integral ng \tfrac{1}{x} ay hindi nagtatagpo(converge) at sa ibabaw ng hindi tinakdaang interbal na 1 hanggang ∞, ang integral na \tfrac{1}{\sqrt{x}} ay hindi nagtatagpo.

[[File:Improper integral unbounded internally.svg|right|thumb|Ang hindi angkop na integral na \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = 6 ay hindi tinakdaan sa loob nito ngunit ang parehong kaliwa at kanang hangganan ay umiiral.]]

Maaari ring mangyaring ang isang integrand ay hindi tinakdaan sa loob na punto na sa kasong ito, ang integral ay dapat hatiin sa puntong ito at ang mga hangganang integral sa parehong gilid ay dapat umiral at dapat takdaan(bounded). Kaya:

:\begin{align}
 \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} &{} = \lim_{s \to 0} \int_{-1}^{-s} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}
   + \lim_{t \to 0} \int_{t}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} \\
  &{} = \lim_{s \to 0} 3(1-\sqrt[3]{s}) + \lim_{t \to 0} 3(1-\sqrt[3]{t}) \\
  &{} = 3 + 3 \\
  &{} = 6.
\end{align}
Ngunit ang parehong integral na

: \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x} \,\!

ay hindi maaaring takdaan ng halaga sa ganitong paraan dahil mga integral sa itaas at ibaba ng sero ay hindi independiyenteng nagtatagpo(converge).
### Pangmaramihang(multiple) integral
Ang mga integral ay maaaring kunin sa ibabaw ng mga rehiyon bukod sa mga interbal. Sa pangkalahatan, ang integral sa isang pangkat na *E* ng punsiyong *f* ay isinusulat na:

:\int_E f(x) \, dx.

Dito, ang *x* ay hindi kinakailangang isang real na bilang ngunit maaaring maging isang angkop na kantidad gaya halimbawa ng bektor  **R**3. Ang teorema ni Fubini ay nagpapakitang ang mga gayong integral ay maaaring muling isulat bilang pangmaramihang integral. Sa ibang salita, ang integral ay maaaring kwentahin sa pamamagitan ng pag-iintegrado ng isang koordinado ng isa isa.

Kung paanong ang depinidong(definite) integral ng isang positibong punsiyon ng isang bariabulo ay kumakatawan sa area ng rehiyon sa pagitan ng grapo ng punsiyon at ng x-aksis, ang *dobleng integral* ng isang positibong punsiyon ng dawalang bariabulo ay kumakatawan sa bolyum ng rehiyon sa pagitan ng surpasiyo na inilalarawan ng punsiyon at ng plano na naglalaman ng sakop(domain) nito. Ang parehong bolyum ay maaaring makamit sa pamamagitan ng *tripleng integral* na integral ng isang punsiyon sa tatlong bariabulo ng konstanteng punsiyong *f*(*x*, *y*, *z*) = 1 sa ibabaw ng nabanggit sa taas na rehiyon sa pagitan ng surpasiyo at plano. Kung ang bilang ng mga bariabulo ay mas mataas, kung gayon, ang integral ay kumakatawan sa isang hiperbolyum(hypervolume) na bolyum ng solido ng higit sa tatlong dimensiyon na hindi maaaring i-grapo.

Halimbawa, ang bolyum ng kuboid(cuboid) ng mga gilid na 4 &times; 6 &times; 5 ay maaaring makamit sa dalawang paraan:
* Sa pamamagitan ng dobleng integral: 
:: \iint_D 5 \ dx\, dy
: ng punsiyong *f*(*x*, *y*) = 5 na kinwenta sa rehiyong *D* sa *xy*-plano na base ng kuboid. Halimbawa, kung ang isang rektangular na base ng gayong kuboid ay ibinigay sa pamamagitan ng *xy* ng mga inekwalidad 2 ≤ *x* ≤ 7, 4 ≤ *y* ≤ 9, ang nasa taas na dobleng integral ay mababasa na ngayong:

::\int_4^9 \int_2^7 \ 5 \ dx\, dy

:Mula dito, ang integrasyon ay maaaring isagawa, sa respeto ng *x* o *y* muna. Sa halimbawang ito, ang integrasyon ay gagawin muna sa respeto ng  *x* bilang interbal na tumutugon sa *x* sa panloob na integral is the inner integral. Pag ang unang integrasyon ay nakumpleto na sa pamamagitan ng F(b) - F(a) na paraan o ng ibang paraan, ang resulta ay muling iintegraduhin sa respeto ng ibang bariabulo. Ang resulta ay tutumbas sa bolyum sa ilalim ng surpasiyo.
* Sa pamamagitan ng tripleng integral
::\iiint_\mathrm{cuboid} 1 \, dx\, dy\, dz
:ng konstanteng punsiyong 1 na kinwenta sa mismong kuboid.
### Mga linyang integral
.]]

Ang konsepto ng integral ay maaaring palawigin sa mas pangkalahatang mga sakop(domain) ng integrasyon gaya ng kurbadong mga linya at mga surpasiyo. Ang gayong mga integral ay tinatawag na mga linyang integral at surpasiyong integral. Ang mga ito ay may mahahalagang mga aplikasyon sa pisika kung pinag-aaralan ang mga bektor na field.

Ang isang *linyang integral*( o minsang tinatawag na *landas na integral*) ang integral kung saan ang punsiyonng iintegraduhin ay kinukwenta sa kahabaan ng kurba. Ang iba ibang magkakaibang mga linyang integral ay ginagamit. Sa kaso ng saradong(closed) kurba, ito ay tinatawag rin *kontur na integral*(contour integral).

Ang punsiyong iintegraduhin ay maaaring isang skalar na field o isang bektor na field. Ang halaga ng linyang integral ay suma ng mga halaga sa lahat ng mga punto sa kurbo na tinimbang ng isang skalar na punsiyon sa kurba na karaniwang tinatawag na arkonghaba o kung para sa bektor na field, ang skalar na produkto ng bektor na field na may diperensiyal na bektor sa kurba. Ang pagtitimbang na ito ay bumubukod sa linyang integral sa mga mas simpleng integral na inilalarawan sa mga interbal. Maraming mga simpleng pormula sa pisika ang may natural na tuloy tuloy na analogo sa mga termino ng mga linyang integral. Halimbawa, ang isang mekanikal na gawa ay katumbas ng puwersang 
*F* na pinarami ng pagkakaalis(displacement) na *s* ay maaaring ihayag sa termino ng mga kantidad na bektor bilang: 
:W=\vec F\cdot\vec s.

Para sa isang obhektong gumagalaw sa kahabaan ng isang landas sa bektor na field na \vec F gaya ng isang elektrikong field o grabitasyonal na field, ang kabuuang gawa(work) na ginawa sa field ng obhekto ay makakamit sa pamamagitan ng pagsusuma(summing) ng diperensiyal na nagawa sa paggalaw mula \vec s patungo sa \vec s + d\vec s. Eto ay nagbibigay ng linyang integral na: 
:W=\int_C \vec F\cdot d\vec s.
### Mga Surpasiyong integral
Ang *surpasiyong integral* ay isang depinidong integral na kinuha sa ibabaw ng surpasiyo na maaaring isang kurbadong pangkat sa espasyo. Eto ay maaaring isipin na dobleng integral na analogo ng linyang integral. Ang punsiyong iintegraduhin ay maaaring isang skalar na field o isang bektor na field. Ang halaga ng surpasiyong integral ang suma(sum) ng field sa lahat ng mga punto sa surpasiyo. Eto ay makakamit sa pamamagitan ng paghati ng surpasiyo sa mga surpasiyong elemento na nagbibigay ng pagpapartisyon(pagbabahagi) para sa mga sumang Riemann.

Para sa halimbawa ng mga aplikasyon ng mga surpasiyong integral. tingnan ang bektor na field na *v* sa surpasiyong *S* o  sa bawat puntong *x* sa *S*, ang *v*(*x*) ay isang bektor. Isiping may pluidong dumadaloy sa *S* upang ang   **v**(**x**) ang tumutukoy ng belosidad ng pluido sa *x*. Ang flux ay inilalarawan bilang kantidad ng pluidong dumadaloy sa *S* sa isang unit na halaga ng panahon. Upang mahanap ang flux, kailangang kunin ang produktong tuldok ng *v* na may unit na surpasiyong normal sa *S* sa bawat punto na magbibigay ng skalar ng filed na iintegraduhin sa ibabaw ng surpasiyo: 
:\int_S {\mathbf v}\cdot \,d{\mathbf {S}}.

Ang pluidonng flux sa halimbawang ito ay maaaring mula sa pisikal na pluido gaya ng tubig o hangin o mula sa mga elektrikal o magnetikong flux. Ang mga surpasiyong integray ay may mga aplikasyon sa pisika partikular na sa klasikong teoriya o elektromagnetismo.
### Mga integral ng mga diperensiyal na mga anyo
Ang isang diperensiyal na anyo ay isang matematikal na konsepto sa mga larangan ng multibariabulong kalkulo, diperensiyal na topolohiya at mga tensor. Ang modernong notasyon para sa isang diperensiyal na anyo gayundin ang ideya ng mga diperensiyal na anyo bilang mga produktong wedge ng panlabas na deribatibo na bumubuo ng panlabas na alhebra ay ipinakilala niÉlie Cartan.

Sa simula ay gagawa tayo sa isang bukas na pangkat (open set) sa  **R***n*.
Ang isang 0-anyo ay inilalarawan bilang isang makinis na punsiyong  *f*.
Kung iintegraduhin ang punsiyong *f* sa ibabaw ng *m*-dimensiyonal na subespasyong  *S* ng **R***n*, ito ay isusulat na:
:\int_S f\,dx^1 \cdots dx^m.

(Ang mga superskritpo dito ay mga indeks at hindi mga eksponente). Maaari nating tignan ang *dx*1 patungo sa *dx**n* bilang mga pormal na obhekto sa kanilang sarili imbis na mga tanda(tags) na ikinabit upang gawin ang integral na magmukhang sumang Riemann. Sa ibang pananaw naman, maaari itong makita bilang mga kobektor, samakatuwid ay isang sukat ng densidad(na maiintegrado sa pangkalahatang kahulugan). Tawagin natin ang *dx*1, …,*dxn* na *basikong*(basic) 1-*mga anyo*.

Ating ilalarawan ang produktong wedge na  "∧" na isang bilinyar(bilinear) na multiplikasyong operador sa mga elementong ito na may kahaliling katangian na:

: dx^a \wedge dx^a = 0 \,\!

para sa lahat ng mga indeks na *a*. Pansinin na ang paghalili sa kahabaan ng linyaridad at asosiyatibidad ay nagpapahiwatig na *dx**b*∧*dx**a*&nbsp;= −*dx**a*∧*dx**b*. Tinitiyak din nito na ang resulta ng produktong wedge ay may oryentasyon.

Ating ilalarawan ang pangkat (set) ng lahat ng mga produktong ito bilang *basikong* *basic* 2-*mga anyo* at tulad nito, ating ilalarawan ang pangkat ng mga produktong ang anyo ay *dx**a*∧*dx**b*∧*dx**c* na maging *basikong* 3-*mga anyo*. Ang isang pangkalahatang *k*-anyo sa gayon, ay isang tinimbang na suma ng basikong k-*na mga anyo* kung saan ang mga timbang ang makinis na mga punsiyong *f*. Kung pagsasamahin ang mga ito, ito ay bumubuo ng bektor na espasyo na may basikong  *k*-mga anyo bilang mga basis na bektor at ang 0-mga anyo(mga makinis na punsiyon) bilang field ng mga skalar. Ang produktong wedge ay lumalawig naman sa *k**mga anyo sa natural na paraan. Sa ibabaw ng **R*'*n* sa pinakamarami na *n* mga kobektor ay maaaring linyar na independiyente, kaya ang *k-*anyo na may  with *k*&nbsp;&gt;&nbsp;*n* ay palaging sero sa kahaliling katangian.

Sa karagdagan sa produktong wedge, meron din panlabas na deribatibong operator na  *d*. Ang operador na ito ay nagmamapa ng mga *k*-mga anyo sa (*k*+1)-mga anyo. Para sa isang*k*-anyo ω = *f* *dxa* sa ibabaw ng **R***n*, ating ilalarawan ang aksiyon ng *d* sa pamamagitan ng:

:d\omega = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx^i \wedge dx^a.

na may ekstensiyon sa pangkalahatang *k*-mga anyo na nangyayaring linyar.

Ang mas pangkalahatang paraang ito ay pumapayag para sa mga mas natural na malaya sa koordinadong mga paraan ng integrasyon sa mga manipoldo. Eto ay pumapayag rin para sa isang natural na paglalahat ng pundamental na teorema ng kalkulong tinatawag na teorema ni Stokes na maaaring isaad na:

:\int_{\Omega} d\omega = \int_{\partial\Omega} \omega \,\!

kung saan ang ω ay isang pangkalahatang *k*-anyo at ang ∂Ω ay tumutukoy sa hangganan(boundary) ng rehiyong Ω. Samakatuwid, sa kasong ang ω ay isang 0-anyo at ang Ω ay isang saradong interbal ng linyang real, eto ay lumiliit sa pundamental na teorema ng kalkulo. Sa kasong ang ω ay isang 1-anyo at ang Ω ay isang dalawang-dimensiyonal na rehiyon sa plano, ang teorema ay lumiliit sa teorema ni Green. Gayundin, kung gagamitin ang 2-mga anyo at 3-mga anyo at ang dualidad na Hodge, maaari tayong dumating sa teorema ni Stokes at teoremang diberhensiya. Sa paraang ito, ang mga anyong diperensiyal ay nagbibigay ng makapangyarihang nagbibigkis na pananaw ng integrasyon.
## Mga paraan ng pagkwenta ng integral
### Mga pundamental na pormula
[thumb|300px|Ang integral ang area(**S**) ng [punsiyong **f(x)** mula **a** hanggang **b**]]
:\int dx = x + C
:\int x^n\,{\rm d}x =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ }n \ne -1
:\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C
:\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C
:\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin {x \over a} + C
:\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos {x \over a} + C
:\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec  + C
:\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
:\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
:\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
:\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
:\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
:\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
:\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C
:\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
:\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
:\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C
:\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
:\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx
:\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C
:\int \sinh x \, dx = \,cosh x + C
:\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
:\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C
:\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
:\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
:\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C
:\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C
: \int \operatorname{arcsinh} x \, dx  = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C
: \int \operatorname{arccosh} x \, dx  = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C
: \int \operatorname{arctanh} x \, dx  = x \operatorname{arctanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C
: \int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x \operatorname{arccsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C
: \int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x \operatorname{arcsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C
: \int \operatorname{arccoth}\,x \, dx  = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C

### Mga paraan ng pagkwenta sa integral ng mga komplikadong punsiyon
* Integrasyon sa substitusyon (Integration by substitution)
* Integrasyon ng mga bahagi (Integration by parts)
* Integrasyon ng pagiiba ng order(Changing the order of integration)
* Trigonometrikong substitusyon (Integration by trigonometric substitution)
* Integrasyon gamit ang parsiyal na praksiyon( Integration by partial fractions)
* Integrasyon sa pagpapaliit (Integration by reduction formulae)
* Integrasyon gamit ang parametrikong deribatibo (Integration using parametric derivatives)
* Integrasyon gamit ang pormula ni Euler (Integration using Euler's formula)
* Diperentasyon sa ilalim ng integral na senyas (Differentiation under the integral sign)
* Integrasyong kontur (Contour integration)

## Mga sanggunian
Kategorya:calculus