Makatwirang bilang

Sa matematika, ang isang **bilang na tagwayin**, **makatwirang bilang** o **bilang na rasyonal** (Ingles:*rational number*) ay isang bilang na maisusulat sa anyong \frac{p}{q}, kung saan buumbilang ang p at q, at q \neq 0. Lahat ng rasyonal na bilang ay tunay na bilang, at maaaring maging positibo o negatibo. Ang isang bilang na hindi makatwiran o rasyonal ay tinatawag na numerong irasyonal o di-makatwirang bilang. Karamihan sa mga bilang na kinakaharap ng mga tao sa pang-araw-araw na buhay ay rasyonal. Kasama rito ang mga praksiyon at mga buumbilang.

## Pagsusulat ng mga makakatwirang bilang 
### Anyong praksiyon 
Lahat ng mga makakatwirang bilang ay maisusulat bilang isang praksiyon. Gawing halimbawa ang 1.5. Maaari itong isulat na 1 \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, o 3/2.

Kasama sa marami pang mga halimbawa ng mga praksiyon na makakatwirang bilang ang \frac{1}{7}, \frac{-8}{9}, at \frac{2}{5}.

### Nagwawakas na mga desimal 
Ang nagwawakas, nagtatapos, tumitigil, o humihintong desimal ay isang desimal na may partikular na bilang ng mga tambilang (*digit* sa Ingles) sa kanan ng tuldok na desimal. Halimbawa ng mga ito ang 3.2, 4.075, at -300.12002. Lahat ng mga ito ay makatwiran.

### Paulit-ulit na mga desimal 
Ang isang desimal na paulit-ulit ay isang desimal na kung saan may mga walang katapusang maraming mga tambilang sa kanan ng tuldok na desimal, subalit sumusunod sila sa isang paulit-ulit na pasimundan o padron. Isang halimbawa nito ay ang \frac{1}{3}. Bilang isang desimal, isinusulat ito na 0.3333333333... Ang mga tuldok o elipsis ay nagsasabi na ang bilang na **3** ay umuulit.

Kung minsan, isang pangkat ng mga tambilang ang umuulit. Isang halimbawa ang \frac{1}{11}. Bilang isang desimal, isinusulat ito na 0.09090909... Sa ganitong halimbawa, ang pangkat ng mga tambilang na **09** ang paulit-ulit.

Gayundin, kung minsan ang mga tambilang ay umuulit *pagkaraan* ng ibang pangkat ng mga tambilang. Isang halimbawa ang \frac{1}{6}. Isinusulat ito na 0.16666666... Sa ganitong halimbawa, ang tambilang na **6** ang nauulit, kasunod ng tambilang na 1.

Kapag sinubukan ito sa kalkulador, paminsan-minsan itong maaaring gumawa ng isang kamalian sa pagbubuo o kamalian sa pag-ra-*round off* sa hulihan. Halimbawa, maaaring ipakita ng kalkulador na ang \frac{2}{3} = 0.6666667, kahit na walang 7. Binubuo nito ang 6 sa hulihan magpahanggang 7.

## Di-makatwirang mga bilang 
Ang mga tambilang pagkaraan ng tuldok na desimal sa loob ng isang irasyonal o di-makatwirang bilang ay hindi umuulit. Halimbawa, ang unang mangilan-ngilang mga tambilang ng π (*Pi*) ay 3.1415926535... Hindi umuulit ang mga tambilang, at hindi uulit kaylanman, gaano mang kalayo ang marating sa kanan ng tuldok ng desimal.

## Aritmetika 
* Kapag nagdaragdag o nagbabawas ng dalawang makatwirang bilang, palaging makakakuha ng ibang makatwirang bilang.

* Kapag nagpaparami ng dalawang makatwirang bilang, palaging makakakuha ng ibang makatwirang bilang.

* Kapag hinahati ang makakatwirang mga bilang, palaging makakakuha ng ibang makatwirang bilang, basta't hindi hinahati sa pamamagitan ng sero.

* Magkatumbas ang dalawang makakatwirang mga bilang na \frac{a}{b} at \frac{c}{d} kung ang ad =  bc

## Mga sanggunian 
Kategorya:Teoriya ng bilang
Kategorya:Mga makatwirang bilang