Mababang aritmetika

Ang **mababang aritmetika** o **elementaryong aritmetika** ay ang pinasimpleng bahagi ng aritmetika na kinabibilanganan ng pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati. Ito ang kadalasang unang itinuturo sa mga estudyanteng nasa mababang paaralan.

Nagsisimula ang mababang aritmetika sa mga likas na bilang at ang mga simbolo nito (mga tambilang). Tradisyonal na pinakakabisado ng mga guro ang mga sagot ng isang pares ng mga bilang sa apat na operasyong ito, lalo na sa pagpaparami, kung saan ginagamitan ng hanayan ng pagpaparami ito upang makatulong at mapabilis ang pagkalkula sa sagot nito.

Kasama rin sa sakop ng mababang aritmetika ang mga hatimbilang at negatibong bilang, na parehong maaaring maipakita sa isang linya ng mga bilang.

## Mga tambilang 
Isang pangkat ng mga simbolo ang mga tambilang (Ingles: *digit*) na ginagamit para maipakita ang bilang. Sa isang sistema ng bilang, walang tambilang ang may kapareho ng halaga sa isa pang tambilang, ngunit maaaring mag-iba ang hitsura ng mga ito depende sa sistema at kultura ng gumagamit.

Sa modernong panahon, pinakaginagamit ang mga bilang-Arabo. Ang hitsurang ginagamit ngayon ay ang istilo ng Kanluranin. Ipinapakita ng sumusunod na simbolo ang mga tambilang at ang kani-kanilang mga halaga:

0, *sero*

1, *isa*

2, *dalawa*

3, *tatlo*

4, *apat*

5, *lima*

6, *anim*

7, *pito*

8, *walo*

9, *siyam*

Ang bawat tambilang na ito ang nagdidikta ng magiging halaga ng isang partikular na bilang na hihigit sa siyam. Sa sistemang Hindu-Arabo, ginagamitan ng notasyong pamposisyon ang mga bilang na may dalawa o higit pang tambilang. Sa mga sistemang ganito ang siste, ang halaga ay aangat nang aangat sa ganitong kaparaanan:

b = d + (r^1 \times t_2) + (r^2 \times t_3) + (r^3 \times t_4) \dots

kung saan ang b ay ang bilang, ang r ang báse o *radix* ng sistema (hal. 10 sa sistemang desimal) na pinalakas ng posisyon ng tambilang na binawasan ng isa, at ang t naman ang tambilang na nasa posisyong isinaad. Tuloy-tuloy ito hanggang sa marating nito ang kabuuang bilang ng mga puwesto sa isang partikular na bilang (hal. may 3 posisyon sa bilang na *201*).

Halimbawa:

201 = 1 + (10^1 \times 0) + (10^2 \times 2)

17289 = 9 + (10^1 \times 8) + (10^2 \times 2) + (10^3 \times 7) + (10^4 \times 1)

## Pagdaragdag 
Ang **pagdaragdag** o **pagdadagdag**, kilala ring **adisyón**, ay ang proseso ng aritmetika kung saan pinagsasama ang dalawa o higit pang bilang upang makabuo ng panibagong bilang. Ang tawag sa mga bilang na idadagdag ay *panagdag,* samantalang ang sagot sa operasyong ito ay tinatawag na *dagup*''''* o *suma*. Gayunpaman, madalas ginagamit ang mga deribatibo ng pandiwang *dagdag* para maihatid nang malinaw kung eksaktong panagdag ang pinag-uusapan, tulad halimbawa ng mga salitang *idadagdag* at *dadagdagan*.

Hindi naaapektuhan ang suma kahit na magpalit ng puwesto ang dalawang bilang. Di rin nagbabago ang sagot nito kahit na anumang pares ng bilang ang maunang idagdag bago ang isa pang bilang para sa mga ekspresyong may higit sa dalawang terminong dinadagdag.

Ang bilang na idinagdag sa sero ay magreresulta sa sarili nito.

## Pagbabawas 
Ang **pagbabawas** o **subtraksiyon** ay ang proseso ng aritmetika kung saan tinatanggalan ang isang bilang ng isang bilang. Ang bilang na babawasan ay tinatawag na *bawasin*, ang bilang na babawas ay ang *pamawas*, at ang sagot sa operasyong ito ay *kaibhan* o *diperensiya.* Gayunpaman, madalas ginagamit naman ang mga deribatibo ng pandiwang *bawas* para matukoy ang mga ito. Halimbawa, maaaring tawaging *babawasan* ang bawasin, samantalang maaaring tawaging *tagabawas* o *babawas* ang pamawas.

Di tulad ng kabaligtaran nitong operasyon ng pagdaragdag, nakakaapekto ang puwesto sa maaaring maging kaibhan ng dalawang bilang. Halimbawa, magkaiba ang sagot ng 7 - 3 at 3 - 7 (4 at -4).  Nagbabago rin ang sagot nito kung papalitan ang pares na unang babawasan. Halimbawa, hindi magkatumbas ang (7 - 3) - 2 at 7 - (3 - 2) (2 at 6).

Walang mababawas kung babawasan ng sero ang isang bilang. Gayunpaman, magreresulta sa isang negatibong bilang ang sagot kung babawasan ng isang bilang ang sero mismo, basta ba ang bilang na ito ay isang positibo.

## Pagpaparami 
Ang **pagpaparami** o **multiplikasyon** ay ang proseso ng aritmetika kung saan paulit-ulit na dadagdagan ang isang bilang sa sarili nito nang ilang beses depende sa isa pang bilang. Ang mga bilang na ginagamit sa operasyong ito ay tinatawag na mga *kabuo* o *produkto*. Ang tawag sa bilang na paparamihin ay tinatawag na *damihin*, samantalang ang tawag naman sa bilang na magbabawas ay *parami*.

Gayunpaman, madalas ginagamit ang mga deribatibo ng pandiwang *pagdami* upang ipakita ang mga ito. Halimbawa, ginagamit minsan ang salitang *paparamihin* sa mga kabuo na paparamihin, at *magpaparami* naman sa kabuo na magpaparami sa paparamihin. Ginagamit din minsan ang salitang *beses* bilang isang katumbas na salita sa kabuo na magpaparami, tulad ng pangungusap na "*tatlo paparamihin nang limang beses*."

Hati ang pananaw sa kung ano nga ba talaga ang damihin at parami. Madalas itinuturing na parami ang pangalawang kabuo at ang unang bilang naman ang damihin, ngunit minsan, nauuna ang parami sa damihin. Mapaanuman ang pananaw, dahil na rin may katangiang komutatibo ang pagpaparami, hindi masyado mahalaga ang pagtukoy sa mga ito, liban na lamang sa ilang mga algoritmo ng pagpaparami tulad ng mahabaang pagpaparami, kaya tinutukoy madalas ang mga bilang na sangkot sa operasyong ito bilang mga "kabuo."

Madalas tinatawag na *paulit-ulit na pagdaragdag* ang pagpaparami dahil maaari ring maisulat ang isang ekspresyon bilang isang sunod-sunod na pagdaragdag sa papamarihin sa sarili nito. Halimbawa:

7 \times 3 = 21 = 7 + 7 + 7

Kagaya rin ng pagdaragdag, hindi mababago ang sagot kahit na magpalit ng puwesto ang mga salik. Hindi rin nakakaapekto ang sagot kahit na palitan ang pares na unang paparamihin.

Magreresulta sa sero ang sagot kung pinarami ang isang bilang sa sero.

Bagamat madalas ginagamit sa mababang paaralan ang pa-ekis na anyo ng tandang pamparami, hindi ito ginagamit madalas pagtungtong sa mataas na paaralan, dahil maaari itong ikalito sa *x*, na madalas gamiting baryabol. Ginagamit ang gitnang tuldok (\cdot) o minsan (ngunit madalas sa mga wikang pamprograma), asterisko (*).

## Paghahati 
Ang **paghahati** o **dibisyon** ay ang proseso ng aritmetika kung saan hinahanap ang bilang ng isang bilang na kayang maipagkasya sa loob ng isang bilang, o ang paghahanap sa bilang na magreresulta sa pantay na pagkakahati sa isang bilang. Ang bilang na ihahati ay *hahatiin* (Ingles: *dividend*), ang hahati ay ang *tagahati* (Ingles: *divisor*), at ang sagot naman ay *kosyente* o *bahagi* (Ingles: *quotient*).

Ang paghahati ang kabaligtaran ng pagpaparami; ang isang bilang na *y* na pinarami nang *x* na beses ay maaaring mahati nang *x* na beses, na magreresulta sa *y*. Di tulad ng pagpaparami, nababago ang sagot kung babaguhin ang mga puwesto ng dalawang bilang. Ganon din ang kaso kung papalitan ang pares ng bilang na unang hahatiin kaysa sa isa pang bilang. Sa ekspresyong matematikal:

(8 / 4) / 2 \neq 8 / (4 / 2), dahil ang sagot sa kaliwa ay 1 samantalang 4 naman ang sagot sa kanan.

Kaliwa-muna ang tradisyonal na ayos ng pagkompyut sa paghahati. Sa madaling salita, sa isang partikular na ekspresyong may sunod-sunod na dapat hatiin, unang hahatiin ang nasa kaliwa, bago muna sa kanan.

20/5/2 = (20/5)/2 = 4/2 = 2

Samantala, sa katangian naman ng pamamahagi (*distributive property*) sa pagdaragdag at pagbabawas, ibinabahagi lagi ng kanang termino sa kaliwa ang sarili nito. Halimbawa:

\frac{a \pm b}{c} = (a \pm b) / c = (a/c)\pm (b/c) =\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}.

Bilang isang pagkukumpara, kayang ibahagi ng pagpaparami sa pagdaragdag o pagbabawas ang alinman sa dalawang salik nito.

(a \pm b) \times c = (a \times c) \pm (b \times c) = a \times (b \pm c) = (b \times a) \pm (c \times a) 

Hindi mahahati ang sero, bagamat posible ito sa mataas na matematika. 

## Paghahanay at paglilipat 
Itinuturo sa mababang edukasyon ang prinsipyo ng "paghahanay" sa ikakalkula. Ito ang pagpatong sa dalawa o higit pang bilang nang pahanay at pantay ang pagkakaayos. Halimbawa:
  17289
 + 2390
 -------
  19679

Kinakalkula ang bawat puwesto ng tambilang mula kaliwa. Sa halimbawang binigay, unang idadagdag ang 9 at 0 bago ang sumunod na 8 at 9. Tuloy-tuloy ito hanggang sa madaan na ang lahat ng mga puwesto.

Samantala, dahil maaaring lumagpas sa siyam ang sagot sa ganitong proseso, may "paglilipat" (Ingles: *carry over*) na tinatawag. Ito ang paglipat ng sumobrang sampu (o hakbang (*multiple*) ng sampu) sa susunod na puwesto sa kaliwa. Ang halimbawa sa baba ay ang ikalawang hakbang sa pagkalkula sa nakaraang binigay na halimbawa:
    1
  17289
 + 2390
 -------
     79
Dahil ang sagot sa 9 + 8 ay 17, iniwan ang 7 sa sagot samantalang "nilipat" ang natirang 1 sa susunod na puwesto, kung saan idadagdag ito sa sagot ng 2 at 3.

## Sa pagtuturo 
Madalas na dumedepende sa mga lokal na pamantayang itinakda ang mga paraan sa pagtuturo, pati na rin sa mga ituturo sa mababang paaralan. Sa Estados Unidos at Canada halimbawa, isa sa mga kontrobersiya sa larangan ay ang paggamit sa mga pangkalkula (*calculator*), na nagkaroon pa ng debate sa pagitan ng tradisyonal na matematika at nirepormang matematika.

## Mga kagamitan 
Ginagamit pa rin sa ilang bahagi ng Asya ang abakus, isang lumang kagamitan sa aritmetika. Sa makabagong panahon, nagsilitawan ang mga kagamitang nakakatulong sa mas mabilis na pagkakalkula, kabilang na ang mga *smartphone*, pangkalkula, at kompyuter.

## Mga sanggunian 
## Link sa labas 
* Ang *Tuhfat al'ahbab fi eilm alhisab* (Filipino: *Ang Regalong Pangkaibigan sa Agham ng Aritmetika'') ay isang dokumentong Arabong mula sa ika-15 siglo na pinag-uusapan ang mababang aritmetika. (sa wikang Ingles)


Kategorya:Edukasyon