Ekwasyong parsiyal diperensiyal

sa isang dalawang dimensiyonal na plano.]]

Sa matematika, ang isang **ekwasyong parsiyal diperensiyal** (Ingles: **partial differential equation** o **PDE**) ay isang ekwasyong diperensiyal na naglalaman ng hindi alaman na mga punsiyong multibariabulo at mga parsiyal na deribato ng mga ito. Ang mga PDE ay ginagamit upang ipormula ang mga problemang kinasasangkutan ng mga punsiyon ng ilang mga bariabulo at nilulutas sa pamamagitan ng kamay o sa paglikha ng isang mahalagang modelong kompyuter. Ang mga PDE ay maaaring gamitin upang ilarawan ang isang malawak na uri ng mga phenomena gaya ng tunog, init, elektrostatika, elektrodinamika, daloy ng pluido o elastisidad. Ang mga tilang natatanging pisikal na phenomena nito ay maaaring ipormalisa ng pare pareho sa mga termino ng PDE na nagpapakita kung paanong ang mga ito ay pinangangasiwaan ng parehong pinagsasaligang dinamika. Kung paanong ang mga ekwasyong ordinaryong diperensiyal ay kadalasang modelo ng isang dimensiyonal na mga sistemang dinamikal, ang mga PDE ay kadalasang nagmomodelo ng mga sistemang multidimensiyonal. Ang mga PDE ay nakakahanap ng kanilang paglalahat sa mga ekwasyong stokastikong parsiyal diperensiyal. 
## Introduksiyon
Ang mga Ekwasyong Parsiyal Diperensiyal ang mga ekwasyong sumsangkot sa mga rate ng pagbabago sa respet ng mga tuloy tuloy na bariabulo. Ang konpigurasyon ng isang matigas na katawan ay tinutukoy ng mga anim na bilang ngunit ang konpigurasyon ng isang pluido ay ibinibigay ng distribusyong tuloy tuloy ng temperatura, presyur at iba pa. Ang mga dinamika para sa matigas na bagay ay nangyayari sa isang may hangganang dimensiyonal na espasyong konpigurasyon. Ang mga dinamika para sa pluido ay nangyayari sa isang walang hangganang espasyong konpigurasyon. Ang distinksiyong ito ay karaniwang gumagawa sa mga PDE na mas mahirap na malutas kesa sa mga ekwasyong ordinaryong diperensiyal(ODE) ngunit muli, mayroon isang simpleng mga solusyon para sa mga problemang linyar nito. Ang mga klasikong sakop kung saan ang mga PDE ay ginagamit ay kinabibilangan ng akustika, daloy ng pluido, elektrodinamika at paglipat ng init. Ang isang PDE para sa punsiyong u(x_1,...x_n) ay isang ekwasyong nasa anyong: 
: F(x_1, \, \ldots, \, x_n, \, u, \, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \, \ldots, \, \frac{\partial u}{\partial x_n}, \, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_1}, \, \ldots, \, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_n}, \ldots) = 0.~

Kung ang *F* ay isang punsiyong linyar ng *u* at mga deribatibo nito, kung gayon ang PDE ay tinatawag na linyar. Ang mga karaniwang halimbawa ng mga linyar na PDE ay kinabibilangan ng ekwasyon ng init, ekwasyon ng alon, ekwasyon ni Laplace, ekwasyong Helmholtz, ekwasyong Klein-Gordon at ekwasyon ni Poisson. Ang isang relatibong simpleng PDE ay 
: \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = 0.~

Ang relasyong ito ay nagpapahiwatig na ang punsiyong *u*(*x*,*y*) ay independiyente(hindi nakasalalay) sa *x*). Gayunpaman, ang ekwasyon ay hindi nagbibigay ng impormasyon sa dependensiya ng punsiyon sa bariabulong *y*. Kaya ang  pangkalahatang solusyon ng ekwasyong ito ay 

: u(x,y) = f(y),~

kung saan ang *f* ay isang arbitraryong punsiyon ng *y*. Ang analogosong ekwasyong ordinaryong diperensiyal ay
: \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}(x) = 0,~

na may solusyon:

: u(x) = c,~

kung saan ang *c* ay anumang halagang konstante. Ang dalawang mga halimbawang ito ay nagpapakita na ang mga pangkalahatang solusyon ng mga ODE ay kinasasangkutan ng mga arbitraryong konstante ngunit ang mga solusyon ng mga PDE ay pangkalahatang walang katulad. Ang mga karagdagang kondisyon ay dapat pangkalahatang tumutukoy sa hangganan ng rehiyon kung saan ang solusyon ay nilalarawan. Halimbawa, sa simpleng halimbawa sa itaaas, ang punsiyong *f(y)* ay matutukoy kung ang *u* ay tinukoy sa linyang  *x* = 0.

## Pag-iral at pagiging walang katulad
Bagaman ang isyu ng pag-iral at pagiging walang katulad(*uniqueness*) ng mga solusyon ng ODE ay may isang labis na nakasasapat na sagot sa teoremang Picard-Lindelöf na malayo mula sa kaso para sa mga PDE. Ang teoremang Cauchy–Kowalevski ay nagsasaad na ang problemang Cauchy para sa anumang PDE na ang mga koepisyente ay analitiko sa hindi alam na punsiyon at mga deribatibo nito ay may isang lokal na walang katulad na solusyong analitiko. Bagaman ang resulta ay maaaring lumabas na lumulutas sa pag-iral at pagiging walang katulad ng mga solusyon, may mga halim bawa ng linyar na ekwasyong parsiyal diperensiyal na ang mga koepisyente ay mga deribatibo ng lahat ng order(na gayunpaman ay hindi analitiko) ngunit walang solusyon. Kahit pa ang solusyon ng isang PDE ay umiiral at walang katulad, ito ay gayunpaman maaaring may mga hindi kanais nais na katangian. Ang pag-aaral matematikal ng mga tanong na ito ay karaniwang mas makapangyarihan sa konteksto ng mga mahinang solusyon. Ang isang halimbawa ng pag-aasal na patolohikal ang sekwensiya ng mga problemang Cuach(depende sa *n*) para sa ekwasyong Laplace ang

: \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0,~

na may mga kondisyong hangganan na 

: u(x,0) = 0,~

:  \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) = \frac{\sin n x}{n},~

kung saan ang *n* ay isang intedyer. Ang deribatibo ng *u* sa respeto ng *y* ay lumalapit sa 0 nang pantay sa *x* habang ang *n* ay tumataas ngunit ang solusyon ay 

: u(x,y) = \frac{(\sinh ny)(\sin nx)}{n^2}.~

Ang solusyong ito ay lumalapat sa inpinidad kung ang *nx* ay hindi intedyer na multiple ng π para sa anumang halagang hindi sero ng *y*. Ang problemang Cauchy para sa ekwasyong Laplace ay tinatawag na *masamang-nakatanghal* o *hindi mahusay na nakatanghal*, dahil ang solusyon ay hindi nakasalalay nang tuloy tuloy sa datos ng problema. Ang gayong mga problemang masamang-nakatanghal ay karaniwang hindi nakasasapat para sa mga aplikasyong pisikal. 
## Notasyon
Sa mga PDE, karaniwang tukuying ang mga parsiyal na deribatibo gamit ang subskripto: 

: u_x = {\partial u \over \partial x}

: u_{xy} = {\partial^2 u \over \partial y\, \partial x} = {\partial \over \partial y } \left({\partial u \over \partial x}\right). 

Lalo na sa pisika, ang del (∇) ay kadalasang ginagamit para sa mga deribatibong pang-espasyo at ang  \dot u\,,\ddot u\,  para sa mga deribatibo ng panahon. Halimbawa, ang ekwasyong alon ay maaaring isulat na: 
:\ddot u=c^2\nabla^2u\,  

o 

:\ddot u=c^2\Delta u\,  

kung saan Δ ang operador na Laplace. 
## Mga halimbawa 
### Ekwasyong init sa isang espasyong dimensiyon 
Ang ekwasyon para sa konduksiyon ng init sa isang dimensiyon para sa isang parehong katawan ay may anyong:

: u_t = \alpha u_{xx} \,

kung saan ang *u*(*t*,*x*)  ang temperatura at ang α ay isang positibong konstante na naglalarawan ng rate ng dipusyon. Ang problemang Cauchy para sa ekwasyogn ito ay binubuo ng pagtukoy na *u*(0, *x*)= *f*(*x*) kung saan ang *f*(*x*) ay isang arbitraryong punsiyon. Ang mga pangkalahatang solusyon ng ekwasyong hinit ay maaaring matagpuan sa pamamagitan ng paraan ng paghihiwalay ng mga bariabulo. Gamit ang transpormang Fourier, ang isang pangkalahatang solusyon ng ekwasyong init ay may anyong: 

: u(t,x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\xi) e^{-\alpha \xi^2 t} e^{i \xi x} d\xi, \,

kung saan ang *F* ay isang arbitraryong punsiyon. Upang masapaatan ag inisyal na kondisyon, ang *F* ay ibinigay ng transpormang Fourier ng *f* na 
: F(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i \xi x}\, dx. \,

Kung ang *f* ay kumakatawan sa isang napaka liit ngunit masidhing pinagmulan ng init, kung gayon ang nauunang integral ay maaaring matantiya ng distribusyong delta na pinarami ng lakat ng pinagmulan. Para sa isang pinagmulan na ang lakas ay normalisado sa 1, ang resulta ay:
:  F(\xi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \,

at ang nagreresultang solusyon ng ekwasyong init ay:

:  u(t,x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha \xi^2 t} e^{i \xi x} d\xi. \,

Ito ay isang integral na Gaussian. Ito ay maaaring tasahin upang makamit ang 

:  u(t,x) = \frac{1}{2\sqrt{\pi \alpha t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4 \alpha t} \right). \,

Ang resultang ito ay tumutugon sa normal na densidad na probabilidad para sa *x* na may mean na 0 at bariansang 2α*t*. Ang ekwasyong init at katulad na mga ekwasyong dipusyon ay magagamit na mga kasangkapan upang pag-aralan ang mga randomang phenomena. 
### Ekwasyong alon sa isang pang-espasyogn dimensiyon
Ang ekwaysong alon ay isang ekwasyon para sa hindi alam na punsiyong *u*(*t*, *x*) ng anyong:

:  u_{tt} = c^2 u_{xx}. \, 

Dito, ang *u* ay maaaring maglarawan ng paglinsad ng isang hinatak na tali mula sa ekwilibrium o ang pagkakaiba ng presyur ng hangin sa isang tubo o ang magnitudo ng elektromagnetikong field sa isang tubo at ang *c* ay isang bilang na tumutugon sa belosidad ng alon. Ang problemang Cauchy para sa ekwasyong ito ay binubuo ng pagtukoy ng inisyal na paglinsad at ang belosidad ng isang tali o iba pang midyum:
:  u(0,x) = f(x), \,

:  u_t(0,x) = g(x), \,

kung saan ang *f* at *g* ay arbitraryong mga ibinigay na punsiyon. Ang solusyon ng problemang ito ay ibinigay ng pormula ni d'Alembert:

:  u(t,x) = \frac{1}{2} \left[f(x-ct) + f(x+ct)\right] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(y)\, dy. \,

Ang pormulang ito ay nagpapahiwatig na ang solusyon sa (*t*,*x*) ay nakasalalay lamang sa datos ng segmento ng inisyal na linyar na inalis sa pamamagitan ng mga kurbang karakteristiko: 
:  x - ct = \text{constant,} \quad x + ct = \text{constant}, \,

na iginuguhit ng paurong mula sa puntong ito. Ang mga kurbang ito ay tumutugon sa mga sinal na lumalaganap na may belosidad na *c* ng pasulong at paurong. Sa kabaligtaran, ang impluwensiya ng mga datos sa anumang ibinigay na punto sa inisyal na linya ay lumalagap na may may hangganang belosidad na *s*: walang epekto sa labas ng isang tatsulok sa puntong ito na ang mga gilid are mga kurbang karakteristiko. Ang pag-aasal na ito ay labis na iba mula sa solusyon ng ekwasyong ito kung saan ang epekto ng puntong pinagmulan ay lumilitaw(na may maliit na amplitudo) ng agaran sa bawat punto sa espasyo. Ang solusyong ibinigay sa itaas ay balid rin kung ang *t* ay negatibo at ang hayagang pormula ay nagpapakita na ang solusyon ay nakasalalay nang makinis sa mga datos: ang parehong mga problemang pasulong at paurong para sa ekwasyong alon ay mahusay-na-nakatanghal.h the forward and backward Cauchy problems for the wave equation are well-posed.

### Nilahat na tulad ng init na ekwasyon sa isang espasyong dimensiyon
Kung saan ang tulad ng init na ekwasyon ay nangangahulugang mga ekwayon ng anyong:

: \frac{\partial u}{\partial t} = \hat{H} u +f(x,t) u+g(x,t) \, 
kung saan ang  \hat{H} ay isang operador na Sturm-Liouville(Gayunpaman dapat banggitin na ang operador na ito ay sa katotohanan ng anyong  \frac{1}{w(x)} \left(\frac{d}{dx}\left(p(x) \frac{d}{dx}\right)+q(x)\right)  kung saan ang  w(x) ang nagtitimbang na punsiyon sa respeto kung saang ang mga eigenpunsiyon ng  \hat{H}  ay ortogonal) sa koordinatong *x*. Sa ilalim ng mga kondisyong hangganang: 
: u(x,0)=h(x). \, 

Kung gayon:

Kung ang:

:  \hat{H} X_n = \lambda_n X_n 
:  X_n (a) = X_n (b) =0 
:  \dot{a}_n (t) - \lambda_n a_n (t) -\sum_m (X_n f(x,t),X_m) a_m (t) = (g(x,t),X_n) 
:  a_n(0) = \frac{(h(x),X_n)}{(X_n,X_n)}  
:  u(x,t) = \sum_{n} a_n (t) X_n(x)

kung saan ang:

:  (f,g)=\int_a^b f(x) g(x) w(x) \, dx. 

### Mga along sperikal
Ang mga along sperikal ang mga alon na ang amplitudo ay nakasalalay lamang sa distansiyal radial na *r* mula sa isang sentral na puntong pinagmulan. Para sa gayong mga alon, ang tatlong dimensiyonal na ekwasyong alon ay kumukuha ng anyong: 
: u_{tt} = c^2 \left[u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right]. \,

Ito ay katumbas ng:

:  (ru)_{tt} = c^2 \left[(ru)_{rr} \right],\,

at kaya ang kantidad na *ru* ay sumasapat sa isang dimensiyonal na ekwasyong alon. Kaya ang isang pangkalahatang solusyon para sa mga along sperikal ay may anyong:

:  u(t,r) = \frac{1}{r} \left[F(r-ct) + G(r+ct) \right],\,

kung saan ang *F* at *G* ay mga kompletong arbitraryong punsiyon. Ang radiasyon mula sa antenna ay tumutugon sa kaso kung saan ang *G* parehong sero. Kaya ang anyong alon na pinadala mula sa isang antenna ay walang distorsiyon sa panahon: ang tanging paktor na sumisira ang 1/*r*. Ang katangian ng mga hindi nasirang paglaganap ng mga alon ay hindi umiiral kung may dalawang mga dimensiyong pang-espasyo. 
### Ekwasyong Laplace sa dalawang mga dimensiyon
Ang ekwasyong Laplace para sa hindi alam na punsiyon ng dalawang mga bariabulong  φ ay may anyong 
: \varphi_{xx} + \varphi_{yy} = 0.

Ang mga solusyon ng ekwasyong Laplace ay tinatawag na mga harmonikong punsiyon
#### Koneksiyon sa mga punsiyong holomorpiko
Ang mga solusyon ng ekwasyong Laplace sa dalawang mga dimensiyon ay malapit na nauugnay sa mga punsiyong analitiko ng isang bariabulong kompleks(aka mga punsiyong holomorpiko): ang mga bahaging real at imahinaryo ng anumang punsiyong analitiko ay nga punsiyong **konhugatong harmoniko**: ang parehogn ito ay sumasapat sa ekwasyong Laplace at mga gradient ay ortogonal. Kung ang *f*=*u*+*iv*, kung gayon, ang mga ekwasyong Cauchy-Riemanna ay nagsasaad na: 
: u_x = v_y, \quad v_x = -u_y,\,

at sumusunod na:
: u_{xx} + u_{yy} = 0, \quad v_{xx} + v_{yy}=0. \,

Sa kabaligtaran, sa ibinigay na anumang punsiyong harmoniko sa dalawang mga dimensiyon, ito ang real na bahagi ng punsiyong analitiko na kahit papaano ay ng lokal. 
#### Isang tipikal na problemang halagang hangganan
Ang isang problemang tipikal para sa ekwasyong Laplace ay hanapin ang isang solusyon na sumasapat sa mga halagang arbitraryo sa hangganan(*boundary*) ng isang sakop(*domain*. Halimbawa, maaari tayong maghanap ng isang punsiyong harmoniko na kumukuha ng mga halagang *u*(θ) sa isang bilog ng radius na isa. ANg solusyon ay ibinigay ni Poisson na: n a circle of radius one. The solution was given by Poisson:

: \varphi(r,\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1-r^2}{1 +r^2 -2r\cos (\theta -\theta')} u(\theta')d\theta'.\,

Ipinakita ni Petrovsky (1967, p.&nbsp;248) kung paanong ang pormulang ito ay maaaring makamit sa pamamagitan ng pagsusuma ng isang seryeng Fourier para sa  φ. Kung ang *r*u_{xx} \, =xu_{yy}.

### Ekwasyong adbeksiyon  
Ang ekwasyong adbeksiyon ay naglalarawan ng paghahati ng isang nakonserbang skalar na ψ sa isang field na belosidad na {\mathbf u}=(u,v,w). Ito ay:

: \psi_t+(u\psi)_x+(v\psi)_y+(w\psi)_z \, =0.

Kung ang field na belosidad ay solenoidadl(na ang ibig sabihin ay \nabla\cdot{\mathbf u}=0), kung gayon ang ekwasyon ay maaaring pasimplehin sa: 
: \psi_t+u\psi_x+v\psi_y+w\psi_z \, =0.

Sa kasong isang dimensiyonal kung saan ang *u* ay hindi konstante at katumbas ng  ψ, ang ekwasyon ay tinutukoy na ekwasyon ni Burgers. 
### Ekwasyong Ginzburg–Landau 
Ang ekwasyong Ginzburg-Landau ay ginagamit sa pagmomodelo ng superkonduktibidad. Ito ay: 

: iu_t+pu_{xx} +q|u|^2u \, =i\gamma u

kung saan ang *p*,*q* ∈ **C** at γ ∈ **R** ay mga konstante at ang *i* ang unit na imahinaryo. a
### Ekwasyong Dym 
Ang ekwasyong Dym ay pinangalan para kay Harry Dym at nangyayari sa pag-aaral ng mga soliton. Ito ay:

: u_t \, = u^3u_{xxx}.

### Mga problemang halagang inisyal-hangganan
Maraming mga problema ng matematikal na pisika ay pinopormula bilang mga problemang halagang inisyal-hangganan.
#### Taling nanginginig
Kung ang tali ay hinatak sa pagitan ng dalawang mga punto kung saan ang  *x*=0 at *x*=*L* at ang *u* ay tumutukoy sa amplitudo ng paglinsad ng tali, kun ggayon ang *u* ay sumasapt sa isang dimensiyonal na ekwasyong alon sa rehiyon kung saan ang 0 u(t,0)=0, \quad u(t,L)=0, \,

gayundin sa mga kondisyong inisyal na: 

:  u(0,x)=f(x), \quad u_t(0,x)=g(x). \,

Ang paraan ng paghihiwalay ng mga bariabulo para sa ekwasyong alon ay:

:  u_{tt} = c^2 u_{xx}, \,

na tumutungo sa mga solusyon na may anyong:

:  u(t,x) = T(t) X(x),\,

kung saan ang:

:  T* + k^2 c^2 T=0, \quad X* + k^2 X=0,\,

kung saan ang konstanteng *k* ay dapat matukoy. Ang mga kondisyong hangganan ay nagpapahiwatig naman na ang *X* ay isang multiple ng *kx*, at ang *k* ay dapat may anyong: 

:  k= \frac{n\pi}{L}, \,

kung saan ang *n* ay isang intedyer. Ang bawat termino sa suma ay tumutugon sa isang modo ng panginginig ng tali. Ang modong may *n*=1 ay tinatawag na modong pundamental at ang mga prekwensiya ng ibang mga modo ay lahat mga multiple ng prekewnsiyang ito. Ang mga ito ay bumubo ng seryeng overtone ng tali at baehan ng akustikang musikal. Ang mga inisyal na kondisyon ay maaari namang sapatan sa pamamagitan ng pagkakatawan ng *f* at *g* bilang walang hangganang suma ng mga modong ito. Ang mga instrumento ng hangin ay karaniwang tumutugon sa mga panginginig sa column ng hangin na ang isang dulo ay bukas at ang isa ay sara. Ang tumutugong mga kondisyong hangganan ay: 

: X(0) =0, \quad X'(L) = 0.\,

Ang paraan ng paghihiwalay ng mga bariabulo ay maaari ring ilapat sa kasong ito at ito ay tumutungo sa isang serye ng mga odd  na overtone. Ang pangkalahatang problema ng ganitong  uri ay nalulutas ng teoriyang Sturm-Liouville. 

#### Nanginginig na membrano
Kung ang isang membrano ay hinatak sa ibabaw ng isang kurbang *C* na bumubuo ng hangganan ng isang sakop na *D* sa plano, ang mga panginginig nito ay pinangangasiwaan ng ekwasyong alon na:

:  \frac{1}{c^2} u_{tt} = u_{xx} + u_{yy}, \,

kung ang *t*>0 at ang (*x*,*y*) nasa *D*. Ang kondisyong hangganan ay  *u(t,x,y)* = 0 kung ang *(x,y)* ay nasa *C*.  Ang paghihiwalay ng mga bariabulo ay tumutungo sa anyong: 
:  u(t,x,y) = T(t) v(x,y),\,

na dapat naman sumapat sa:

:  \frac{1}{c^2}T* +k^2 T=0, \,

:  v_{xx} + v_{yy} + k^2 v =0.\,

Ang huling ekwasyon ay tinatawag na ekwasyong Helmholtz. Ang konstanteng *k* ay dapat matukoy upang payagan ang isang hindi-trivial na *v* na sumapat sa kondisyong hangganan sa *C*. Ang gayong mga halaga ng *k2* ay tinatawag na mga eigenhalaga ng Laplacian sa *D* at ang mga kaugnay na solusyon ang mga eigenpunsiyon ng Laplacian sa *D*. Ang teoriyang Sturm-Liouville ay maaaring palawigin sa problemang eliptikong eigenhalagang ito.(Jost, 2002).

### Iba pang mga halimbawa 
Ang ekwasyong Schrödinger ay isang PDE sa puso ng hindi-relatibistikongg mekanikang quantum. s a PDE at the heart of non-relativistic quantum mechanics. Sa aproksimasyong WKB, ito ang ekwasyong Hamilton-Jacobi. Maliban sa ekwasyong Dym at ekwasyong Ginzburg-Landau, ang mga ekwasyon sa itaas ay linyar sa kahulugang ang mga ito ay maaaring isulat sa anyong *Au* = *f* para sa isang ibinigay na operador na linyar na *A* at isang ibinigay na punsiyong *f''.  Ang ibang mga mahalagang ekwasyong hindi-linyar ay kinabibilangan ng mga ekwasyong Navier–Stokes na naglalarawan ng daloy ng mga pluido at mga ekwasyong field ni Einstein ni Albert Einstein ng pangkalahatang relatibidad.
## Sanggunian
* Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics) Lawrence C. Evans, American Mathematical Society.
* Partial Differential Equations I-III (Applied Mathematical Sciences) Michael Taylor, Springer.
* Egorov, Y. V., & Shubin, M. A. (2013). Foundations of the classical theory of partial differential equations. Springer Science & Business Media.
* Olver, P. J., Introduction to partial differential equations. Berlin: Springer.
* Computational Partial Differential Equations Using MATLAB, Jichun Li and Yi-Tung Chen, Chapman & Hall.
* Ames, W. F. (2014). Numerical methods for partial differential equations. Academic Press.
* M. Nakao, M. Plum, Y. Watanabe (2019) Numerical Verification Methods and Computer-Assisted Proofs for Partial Differential Equations (Springer Series in Computational Mathematics).

Kategorya:Multivariable calculus
Kategorya:Mga ekwasyong diperensiyal
Kategorya:Mga ekwasyong parsiyal diperensiyal