Integrasyon sa pagpapaliit

Ang **Integrasyon sa pagpapaliit**(*Integration by reduction formula*) ay isang paraan para mahanap ang integral ng isang punsiyon.  Ang paraang ito ang isa sa pinakaunang paraan ng integrasyon sa buong mundo. 
## Paraan
Ang pagpapaliit na pormula ay maaaring matamo gamit ang anumang karaniwang paraan ng integrasyon gaya ng Integrasyon sa substitusyon,
Integrasyon ng mga bahagi, Trigonometrikong substitusyon, Integrasyon gamit ang parsiyal na praksiyon at iba pa. Ang ideya ay ihayag ang integral na kinasasangkutan ng isang kapangyarihan ng isang punsiyon na kumakatawan sa In sa mga termino ng integral na kinasasangkutan ng mas mababang kapangyarihan ng punsiyong ito, halimbawa ang example In-2. Sa paraaang ito, ang pagpapaliit na pormula ay nagiging ugnayang rekursibo. Sa ibang salita, ang pagpapaliit na pormula ay inihahayag ang ang integral na I_n = \int f(x,n)\,dx  sa mga termino ng I_k = \int f(x,k)\,dx , kung saan ang  k . Upang kwentahin ang integral, ang n ay papalitan ng halaga nito at gagamitin ang pagpapaliit na pormula ng paulit ulit hanggang maabot ang punto kung saan ang punsiyon na iintegraduhin(integrate) ay maaaring kwentahin na karawniwan kung ito ay kapangyarihan ng 0 o 1. Tapos ihahalili ang resulta ng paurong hanggang sa makwenta ang  In.

## Halimbawa
Magtakda ng pagpapaliit na pormula na maaaring gamitin upang mahanap ang \int \cos^n (x) \, dx\!. Samakatuwid, hanapin ang \int \cos^5 (x) \, dx\!.

:I_n \, = \int \cos^n (x) \, dx\!

::= \int \cos^ {n-1} (x) \cos (x) \, dx\!

::= \int \cos^{n-1} (x) \, d(\sin (x)) \!

::= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ - \int \sin (x) \, d(\cos^{n-1} (x))\!

::= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1)\int \sin (x) \cos^{n-2} (x)\sin(x)\, dx\!

::= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)\sin^2 (x)\, dx\!

::= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)(1-\cos^2 (x))\, dx\!

::= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1)\int \cos^{n-2} (x)\, dx\ - (n-1)\int \cos^n (x)\, dx\!

::= \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1) I_{n-2}\ - (n-1) I_n\,

:I_n \ + (n-1) I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + \ (n-1) I_{n-2} \,

:n I_n\ = \cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + (n-1) I_{n-2}\,

:I_n \ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + \frac{n-1}{n} I_{n-2} \,

Ang pagpapaliit na pormula:
:\int \cos^n (x) \, dx\ = \frac{1}{n}\cos^{n-1} (x) \sin (x)\ + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2} (x) \, dx\!

Upang mahanap ang \int \cos^5 (x) \, dx\!:
:n=5\,: I_5\ = \tfrac{1}{5} \cos^4 (x) \sin (x)\ + \tfrac{4}{5} I_3\,
:n=3\,: I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 (x) \sin (x)\ + \tfrac{2}{3} I_1\,

:\because I_1\ = \int \cos (x) \, dx\ = \sin (x)\ + C_1\,

:\therefore I_3\ = \tfrac{1}{3} \cos^2 (x) \sin (x)\ + \tfrac{2}{3}\sin(x)\ + C_2\,，C_2\ = \tfrac{2}{3} C_1\,

:I_5\ = \frac{1}{5} \cos^4 (x) \sin (x)\ + \frac{4}{5}\left[\frac{1}{3} \cos^2 (x) \sin (x) + \frac{2}{3} \sin (x)\right] + C\,, where C is a constant.

## Mga tabla ng pagpapaliit na pormula
### Mga rasyonal na punsiyon
Ang mga sumusunod na integral
 ay naglalaman ng:
*Mga paktor ng linyar ng radikal na \sqrt{ax+b}\,\!
*Mga linyar na paktor {px+q}\,\! at ang linyar na radikal na\sqrt{ax+b}\,\!
*Mga kwadratikong paktor na x^2+a^2\,\!
*Mga kwadratikong paktor na x^2-a^2\,\!, para sa x>a\,\!
*Mga kwadratikong paktor a^2-x^2\,\!, para sa x
*Hindi mapapaliit na mga kwadratikong paktor(Irreducible quadratic factors) na ax^2+bx+c\,\!
*Mga radikal ng hindi mapapaliit na mga kwadratikong paktor na \sqrt{ax^2+bx+c}\,\!

tandaan na sa batas ng mga indises(law of indices) ng eksponente:

I_{n+\frac{1}{2}} =  I_{\frac{2n+1}{2}} =\int \frac{1}{(ax^2+bx+c)^{\frac{2n+1}{2}}}\mathrm{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{(ax^2+bx+c)^{2n+1}}}\mathrm{d}x\,\!

### Mga punsiyong transendental
Ang mga sumusunod na integral  ay naglalaman ng:
*Mga paktor ng sine
*Mga paktor ng cosine
*Mga paktor ng produkto at kosiyente ng sine at cosine products 
*Produkto/kosiyente ng eksponesiyal na mga paktor at mga kapangyarihan ng *x*
*Mga produkto ng ekponensiyal at sine/cosine na mga paktor

## Pagtatamo ng mga pangkalahatang integral
Sa sumusunod, ang mga indises(indices) ay mga positibong mga intedyer na
 n,p,q \in \mathbf{N}\,\!.

### Mga deribasyon
Kung papansin, maraming mga pagpapaliit na pormula ng *isang* indeks na *I**n* (o hindi naglalaman ng dalawang indises kung saan ang *I**m,n*) ay maaaring isulat sa pangkalahatang anyo: 
I_{n} = A + B I_{n-p} \,\!

kung saan ang I_{n-p}\,\! ay kumakatawan sa paglipat(shift) ng mga integral na *p* ng paurong relatibo sa  I_{n}\,\!, at ang *A* at *B* ang mga tinipong mga dagdag na mga termino(hindi mga konstante), ang pangkalahatang pormula para sa mga integral na ito ay matatagpuan gamit ang paulit ulit na paghalali ng pagurong(backward subtitution):   
I_{n} = A + B I_{n-p} \,\!

I_{n-p} = A + B I_{n-2p} \,\!

I_{n-2p} = A + B I_{n-3p} \,\!

etc., so the general recurrence shift is:

I_{n-qp} = A + B I_{n-(q-1)p} \,\!

kung saan ang *q* ay isang multiple ng *p*. Isagawa ang paurong na paghalili sa indeks na *n* - *pq*, at maingat na palawgin ang mga braket:

I_{n} = A + B \left ( A + B \left ( A + B \left ( \cdots A + q I_{n-pq} \cdots \right ) \right ) \right ) \,\!

I_{n} = A + \left ( AB + B^2 \left ( A + B \left ( \cdots A + q I_{n-pq} \cdots \right ) \right ) \right ) \,\!

I_{n} = A + \left ( AB + \left ( AB^2 + B^3 \left ( \cdots A + q I_{n-pq} \cdots \right ) \right ) \right ) \,\!

I_{n} = A + \left ( AB + \left ( AB^2 + \left ( \cdots AB^{q-1} + B^q I_{n-pq} \cdots \right ) \right ) \right ) \,\!

I_{n} = A + AB +  AB^2 + \cdots + AB^{q-1} + B^q I_{n-pq}  \,\!

na nagreresulta ng:

:

Ito ay maaaring gamitin upang makamit ang integral na kasing layo pabalik sa mga indises na *pq* relatibo sa *n*, ngunit makakatulong kung babaguhin ang mga indises sa *q*, depende sa piniling *p* (hindi mahalaga kung ang *n* o *q* ang indeks). Ang pagbabago ay isang simpleng paghalili:

Kung ang *I*0 ay alam, maaaring itakda ang  I_{n-pq} = I_{0} \,\!, tapos ang  n-pq = 0 \,\! upang ang  n = pq \,\!

I_{pq} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{0}  \,\!

Kung ang  *I*0 ay alam, maaaring itakda ang  I_{n-pq} = I_{1} \,\!, tapos  n-pq = 1 \,\! upang ang  n = pq + 1 \,\!

I_{pq + 1} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{1}  \,\!

Malimit, gaya ng makikita sa mga tabla sa taas ang *p* = 1 o *p* = 2, upang ang pagpapaliit na pormula ay maaring itakda gaya ng:

### Pagpapatunay
Ang isang indaktibong pagpapatunay ay magpapakita na ang pangkahalatang pormula na  I_{n} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{n-pq}  \,\! upang maging totoo ang  \forall n \in \mathbf{N} \,\!. Ang pagpapatunay ay maaaring hatiin sa dalawa sa katulad na paraan sa itaas:

**Kasong 1**: one for  I_{n-pq} = I_{0} \,\! so I_{pq} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{0} \,\!

**Kasong 2**: one for  I_{n-pq} = I_{1} \,\! so I_{pq + 1} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{1} \,\!

Sa kasong 2, ang paglipat ng indeks ay  +1, upang ang pagpapatunay maging katulad sa kasong 1. Ang kasong 1 lamang ang pinatunayan sa ibaba:

*Kasong 1*':

Maaaring mahanap na ang:

I_{pq} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{0} \,\!

ay totoo para sa *q* = 1;

I_{p} = A\sum_{i=0}^{0} B^i + B I_{0} \,\!

I_{p} = A B^0 + B I_{0} \,\!

I_{p} = A + B I_{0} \,\!

Ngayon ipagpapalagay na:

I_{pq} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{0} \,\!

ay totoo para sa isang  *q* > 1, tapos ipakita ang pormula ay totoo para sa *q* + 1:

I_{p(q+1)} = A\sum_{i=0}^{q} B^i + B^{q+1} I_{0} \,\!

I_{p(q+1)} = A\left ( \sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q \right ) + B^q B I_{0} \,\!

I_{p(q+1)} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + AB^q + B^q B I_{0} \,\!

I_{p(q+1)} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q \left ( A + BI_{0} \right ) \,\!

I_{p(q+1)} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{p} \,\!

I_{pq+p} = A\sum_{i=0}^{q-1} B^i + B^q I_{p} \,\!

na umaayon sa paglipat ng indeks mula  *I*0 patungo sa *I**p* at *I**pq* patungo *I**pq+p* sa +p. Kaya ang pormula ay tototoo \forall q \geqslant 1 \,\!.
## Sanggunian
Kategorya:calculus