Bilang

[thumb|right|240px|Mula sa kaliwa: ang mga bilang na *isa*, *dalawa*, at *tatlo* na kinakatawan ng mga [pamilang na 1 2 at 3.]]
Ang **bilang** ay isang bagay na pang-matematika na ginagamit sa pagbilang at pagsukat.  Tinatawag na pamilang, **makakatuwirang mga bilang**, **hindi-makakatuwirang mga bilang**, **totoong mga bilang**, **hindi totoong mga bilang**, at **masasalimuot na mga bilang**.  Mahalaga ang lahat ng mga ito para sa mga matematiko at iba pang mga taong gumagamit ng bilang sa kanilang mga gawain at hanap-buhay.

### Likas na bilang 
**Likas na bilang**, **bilang na pamilang**, o **bilang na pambilang** (mga *counting number* o mga *natural number*) ang tawag sa mga bilang na ginagamit sa pagbibilang ng mga bagay (katulad nito: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, at iba pa). Marahil, ang pinakakilalang makakatuwirang mga bilang ay ang π, e, at √2.  Katulad ng makakatuwirang mga bilang, maikakatawan din ang hindi makakatuwirang mga bilang sa hanay ng isang linya ng bilang o talasukatan.

### Totoong bilang 
Ang totoong bilang o tunay na numero (*real number*) ay ang anumang bilang na maitutugma sa isang puwesto, posisyon, o punto sa ibabaw ng isang guhit ng bilang.  Kabilang sa mga ito ang mga bilang na makatuwiran at hindi makakatuwirang mga bilang.

### Hindi totoong bilang 
Ang hindi totoong bilang o numerong imahinaryo (*imaginary number*) ay ang parisukat na ugat (*square root*) ng isang pasalungat o negatibong bilang.

### Masalimuot na bilang 
Ang masasalimuot na mga bilang (mga *complex number*) ay mga bilang na may dalawang bahagi: ang *totoo* o *tunay* na bahagi at ang *hindi totoo*, *hindi tunay*, o *imahinaryong* bahagi. Isa ring masalimuot na bilang ang bawat uri ng bilang na nakasulat sa itaas.  Mas isang panglahat o heneral na anyo ng mga bilang ang masasalimuot na mga bilang.  Maaaring lutasin ang bawat ekwasyon sa pamamagitan ng pagagamit lamang ng masasalimuot na mga bilang.  Maaaring iguhit o ilarawan sa ibabaw ng isang talangguhit o *diagram* ang ganitong mga bilang (katulad ng nasa lapya o *plane* na nakalarawan sa ibaba), na binubuo ng isang totoong guhit o linya ng bilang at ng isang hindi totoong guhit ng bilang.

            3i|_
              |
              |
            2i|_          . 2+2i
              |
              |
             i|_
              |
              |
  |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|
 -2    -1     0     1     2     3     4     5     6
              |
            -i|_                .3-i
              |
              |
  .-2-2i   -2i|_
              |
              |
           -3i|_
              |

Bawat posisyon, puwesto, o puntong nasa talangguhit sa itaas ay kumakatawan sa kabuoan ng isang tunay na bilang at isang hindi tunay na bilang.  Ginagamit ang mga bilang na ito sa paglutas ng masaligutgot o kumplikadong mga suliranin o problema hinggil sa elektrisidad o paglipad sa kalawakan.

Magagawa ang lahat ng karaniwan o normal na matematika na may mga bilang na masasalimuot:

* Upang mapagsama o sumahin (adisyon) ang dalawang masasalimuot na mga bilang, magkahiwalay na pinagsasama-sama ang tunay at hindi tunay na mga bahagi.  Halimbawa na ang (2 + 3i) + (3 + 2i)  = (2 + 3) + (3 + 2)i = 5 + 5i.
* Upang maibawas (subtraksiyon) ang isang isang masalimuot na bilang mula sa isa pang masalimuot na bilang, magkahiwalay na ibinabawas ang mga tunay at hindi tunay na mga bahagi.  Halimbawa na ang (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.
* Mahirap paramihin (multiplikasyon) ang dalawang masasalimuot na mga bilang.  Mas madaling ilarawan ito sa pamamagitan ng panglahatang gawi na ginagamit ang dalawang masasalimuot na mga bilang na a + bi at c + di.
:( a + b \mathrm{i} ) \times ( c + d\mathrm{i} ) = a \times c + a \times d\mathrm{i} + b\mathrm{i} \times c + b\mathrm{i} \times d\mathrm{i} = ac + ad\mathrm{i} + bc\mathrm{i} -bd = ( ac - bd ) + ( ad + bc )\mathrm{i}

:Halimbawa na ang: (4 + 5**i**) × (3 + 2**i**) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)**i** = (12 - 10) + (8 + 15)**i** = 2 + 23**i**.

### Lumalampas na mga bilang 
Ang lumalampas na mga bilang o mga numerong transendental ay ang mga bilang na
hindi kayang tuusin sa pamamagitan lamang ng nabilang na ulit ng operasyon o kumbinasyon ng mga ekwasyong nagtataglay ng makakatuwirang mga mahahalagang koepisyente (*rational integral coefficient*).  O, iyong mga bilang na hindi masasabing katumbas ng isang buumbilang o kusyente ng mga buumbilang (ayon sa paglalarawan ng mga bilang na kinabibilangan ng mga bilang na kilala sa tawag na hindi-umuulit na walang hangganang desimal o *non-repeating infinite decimal*).  Samakatuwid, tinatawag na lumalampas na bilang ang isang totoo o masalimuot na bilang kung hindi ito makuha bilang isang kinalabasan o resulta ng isang alhebraikong ekwasyong may mga koepisyenteng buumbilang.

 a_{n}x^{n} + \dots + a_{2}x^2 + a_{1}x + a_{0} = 0 

Maaaring maging napakahirap patunayang lumalampas o transendental ang isang partikular na bilang.  Bawat isang lumalampas na bilang ay isa ring hindi makatuwirang bilang.  Unang natuklasan nina Gottfried Wilhelm Leibniz at Leonhard Euler ang pagkakaroon ng ganitong mga uri ng bilang.  Subalit si Joseph Liouville ang unang taong nakapagpatotoong may umiiral na lumalampas na mga bilang.  Nagawa niya ito noong 1844.

Naririto ang pinakakilalang lumalampas na mga bilang:
* e
* π
* ea para sa alhebraikong a ≠ 0 
* 2^{\sqrt{2}}

## Sanggunian 
### Talababa 
### Talaaklatan 
* Tobias Dantzig, *Number, the language of science; a critical survey written for the cultured non-mathematician*, New York, The Macmillan company, 1930.

* Erich Friedman, ''What's special about this number? *
* Steven Galovich, *Introduction to Mathematical Structures*, Harcourt Brace Javanovich, 23 Enero 1989, ISBN 0-15-543468-3.
* Paul Halmos, *Naive Set Theory*, Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
* Morris Kline, *Mathematical Thought from Ancient to Modern Times*, Palimbagan ng Pamantasan ng Oxford, 1972.
* Alfred North Whitehead at Bertrand Russell, *Principia Mathematica*, Palimbagan ng Pamantasan ng Cambridge, 1910.
* George I. Sanchez, *Arithmetic in Maya, Austin-Texas*, 1961.
* *What's a Number?* mula sa Cut-the-Knot.org
*  Jean-Paul G. Potet, *Numeral expressions in Tagalog''. Sa Archipel, 44 (1), 1992. 
*  T.H. Pardo de Tavera. Consideraciones sobre el origen del nombre de los números en Tagalog  (T. I Camacho, P. Somoza & PG Distributed Proofreaders, Eds.). Project Gutenberg. (Ang original na gawa ay inilathala noong 1889), 2005. Cantada, R.P. (Tagasalin) Salin sa Tagalog.

Kategorya:Bilang