Pormula ni Bretschneider

[thumb|256x256px|Isang [kuwadrilateral.]]
Sa heometriya, ang **pormula ni Bretschneider** ay isang ekspresyong matematikal na ginagamit upang makuha ang kabuuang sukat ng pangkalahatang kuwadrilateral:

:  K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}
:: = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd [ 1 + \cos (\alpha+ \gamma) ]} .

Dito, ang     ay ang mga gilid ng kuwadrilateral, ang  ay ang semi-perimetro, at ang  at  ay ang dalawang mga anggulong magkasalungat. Ang pormula ni Bretschneider ay maaaring gamitin sa anumang kuwadrilateral, maging ito ay sikliko o hindi.

Ang matematikong Aleman na si Carl Anton Bretschneider ang unang nakatuklas sa pormulang ito noong 1842. Ang pormula ay nakuha rin sa parehong taon ng dalubhasang Aleman na si Karl Georg Christian von Staudt .

## Patunay 
Itukoy ang sukat ng kuwadrilateral bilang . Ang pormula ay magiging

:  \begin{align} K &= \text{area of } \triangle ADB + \text{area of } \triangle BDC \\
            &= \frac{a d \sin \alpha}{2} + \frac{b c \sin \gamma}{2}. 
\end{align} 

Samakatuwid, mabubuo natin ang dalawang tumbasan na

:  2K= (ad) \sin \alpha + (bc) \sin \gamma. 
:  4K^2 = (ad)^2 \sin^2 \alpha + (bc)^2 \sin^2 \gamma + 2abcd \sin \alpha \sin \gamma. 

Ang batas ng mga cosine ay nagpapahiwatig na

:  a^2 + d^2 -2ad \cos \alpha = b^2 + c^2 -2bc \cos \gamma, 

sapagkat ang magkabilang gilid ay magkatumbas sa magiging kuwadrado ng haba ng dayagonal  . Maaari itong isulat muli bilang

: \frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad)^2 \cos^2 \alpha +(bc)^2 \cos^2 \gamma -2 abcd \cos \alpha \cos \gamma. 

Kung ipagsasama ito sa pormulang nasa itaas para sa , magiging

:  \begin{align} 
4K^2 + \frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} &= (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cos (\alpha + \gamma) \\
                      &= (ad+bc)^2-2abcd-2abcd\cos(\alpha+\gamma) \\
                      &= (ad+bc)^2 - 2abcd(\cos(\alpha+\gamma)+1) \\
                      &= (ad+bc)^2 - 4abcd\left(\frac{\cos(\alpha+\gamma)+1}{2}\right) \\
                      &= (ad + bc)^2 - 4abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right). 
\end{align} 

Tandaan:  \cos^2\frac{\alpha+\gamma}{2} = \frac{1+\cos(\alpha+\gamma)}{2} (isang trigonometrikong pagkakakilanlan na totoo para sa lahat na \frac{\alpha+\gamma}{2} )

Kung susundin ang parehong mga hakbang mula sa pormula ni Brahmagupta, maaari itong isulat bilang

: 16K^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right).

Sa pagsasama ng semi-perimetrong

: s = \frac{a+b+c+d}{2},

ang pormulang nasa itaas ay magiging

: 16K^2 = 16(s-d)(s-c)(s-b)(s-a) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)
: K^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)

at ang pormula ni Bretschneider ay magiging sang-ayon pagkatapos makuha ang ugat ng kuwadrado ng magkabilang gilid:

:  K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}

## Mga ugnayan 
Ang pormula ni Bretschneider ay isang paglalahat ng pormula ni Brahmagupta para sa pagkuha ng sukat ng isang siklikong kuwadrilateral, na sa pangkalahatan ay naglalahat  din sa pormula ni Heron para sa pagkuha ng sukat ng isang tatsulok .

Ang trigonometrikong pagsasaayos ng pormula ni  Bretschneider para sa mga kuwadrilateral na hindi sikliko ay maaaring muling isulat na di-trigonometriko sa pamamagitan ng mga gilid at mga dayagonal na  at  upang makuha ang tumbasang  

: 
\begin{align}
K &=\tfrac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-(b^2+d^2-a^2-c^2)^2} \\
 &=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+ef)(ac+bd-ef)}.
\end{align}

## Tingnan din 
* Pormula ni Heron

## Talababa 
## Mga sanggunian at karagdagang pagbasa 
*  
* CA Bretschneider. *Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes.* Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 225-261 ( online na kopya, Aleman )
* F. Strehlke: *Zwei neue Sätze vom ebenen und sphärischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes* . Archiv der Mathematik und Physik, Band 2, 1842, S. 323-326 ( online na kopya, Aleman )

## Mga kawingang panlabas 
* 
* Ang pormula ni Bretschneider sa proofwiki.org

Kategorya:Heometriya
Kategorya:Mga ekwasyon